\section{Ma"sr"aume und Lebesgue-Integral}
\subsection{Ma"sr"aume und Ma"se}
\begin{Definition} 
Ein System $\cal{A} \subset \cal{P} (X)$ von Teilmengen
einer Menge  $X$  hei"st ein 
\defind{Mengenring}
genau dann, wenn es stabil ist unter 
dem Bilden von endlichen Vereinigungen und  von 
Differenzmengen.
\end{Definition}
\begin{Bemerkung}
Mitgemeint ist, da"s ein 
Mengenring
die leere Menge enthalten soll als 
\glqq die Vereinigung "uber "uberhaupt keine Teilmenge von $X$\grqq,
vergleiche \ref{VSMS}.
Ein Mengenring enth"alt mit zwei Mengen $A$ und $B$ nat"urlich auch
ihren Schnitt $A\cap B=(A\cup B)\setminus ((A\setminus B)\cup (B\setminus A)).$
Identifiziert man $\cal{P} (X)$ mit $\op{Ens}(X,\Bbb{F}_2)$ in der
offensichtlichen Weise, so entsprechen die Mengenringe genau
den nicht-unit"aren Teilringen.
\end{Bemerkung}
\begin{Definition}\label{Mess}
Ein Mengenring, der sogar stabil ist unter 
abz"ahlbaren Vereinigungen,
hei"st ein \defind{$\sigma$-Ring}.
Ein Paar $(X,\cal{M})$ 
bestehend aus einer Menge $X$ und einem $\sigma$-Ring
$\cal{M}\subset\cal{P} (X)$  hei"st  ein \defind{Me"sraum}. 
Die Mengen aus $\cal{M}$ hei"sen dann die  \defind{me"sbaren} Mengen
von $(X,\cal{M})$ oder kurz von $X.$
\end{Definition}
\begin{Bemerkung}
Ist $A_0,A_1,\ldots $ eine Folge me"sbarer Mengen in einem 
Me"sraum, so ist auch ihr Schnitt me"sbar. Den Beweis k"onnen
wir getrost dem Leser "uberlassen.
\end{Bemerkung}

\begin{Definition}
Sei $X =(X,\cal{M})$ ein Me"sraum. Ein   \defind{Ma"s} 
oder genauer ein \defind{positives Ma"s} auf $X$ ist
eine Abbildung $\mu :\cal{M} \ra [0,\infty]$ 
derart, da"s f"ur jede abz"ahlbare Familie 
von paarweise
disjunkten me"sbaren Mengen  das Ma"s ihrer Vereinigung
"ubereinstimmt
mit der Summe der Ma"se der einzelnen Mengen.
Wir sagen unter diesen Annahmen, die Abbildung 
$\mu$ sei
  \defind{$\sigma$-additiv} und nennen das Tripel $(X,\cal{M},\mu)$
einen \defind{Ma"sraum}.
\end{Definition}

\begin{Bemerkung}
  In Formeln fordern wir also f"ur jede abz"ahlbare Familie $(A_{n})_{n\in N}$
  von paarweise disjunkten me"sbaren Mengen die Gleichheit
  $$\mu \left(\bigcup_{n\in N}A_n\right)= \sum_{n\in N} \mu (A_{n})$$
  Die
  Gleichheit ist hier in $[0,\infty]$ zu verstehen und spezialisiert im Fall
  $N=\emptyset$ nach unseren Konventionen zur Forderung $\mu (\emptyset) =0.$
Fordert man diese Bedingung separat, so braucht man die
gro"se Formel nur
f"ur Folgen von Mengen $(A_{n})_{n\in \DN}$ zu fordern.
\end{Bemerkung}

\begin{Beispiele}
Einfache Beispiele f"ur Ma"se sind das  \defind{Dirac-Ma"s} 
$\delta_{x}$ an einem
Punkt $x \in X,$ gegeben durch
$$\begin{array}{ccc}
\delta_{x} (A) & = & \left\{ \begin{array}{lcl}
1 & & x \in A;\\ 0& & \text{ sonst}, \end{array} \right.
\end{array}$$
und das  \defind{Z"ahlma"s} $\mu (A) = |A| \in \Bbb{N} \cup \{\infty\}.$
Diese beiden Ma"se sind sogar auf der gesamten Potenzmenge einer
beliebigen Menge $X$ definiert.
Das vielleicht 
wichtigste Beispiel f"ur ein Ma"s ist das \glqq Lebesgue-Ma"s\grqq\  auf den
\glqq Borel-Mengen\grqq\  oder allgemeiner den \glqq Lebesgue-Mengen\grqq\ 
des $\DR^n,$ dessen
Konstruktion noch aussteht.
\end{Beispiele}
\begin{Bemerkung}
Ma"sr"aume, bei denen jede me"sbare Menge durch eine abz"ahlbare
Familie von me"sbaren Mengen endlichen Ma"ses "uberdeckt werden kann, 
hei"sen \defind{$\sigma$-endlich}. Ma"sr"aume, die nicht
$\sigma$-endlich sind, scheinen mir derart pathologisch,
da"s ich diese Bedingung gerne sogar bereits der Definition
eines Ma"sraums zugeschlagen h"atte. Das Z"ahlma"s von eben ist 
f"ur "uberabz"ahlbares $X$  nicht $\sigma$-endlich, wohl aber seine Restriktion
auf den $\sigma$-Ring aller abz"ahlbaren Teilmengen von $X.$
\end{Bemerkung}

\begin{Bemerkung}\label{spM}
F"ur jedes Ma"s gilt $A\subset B \Rightarrow \mu (A) \leq \mu
(B),$ es gilt ja sogar genauer $\mu (B) = \mu (A) + \mu (B-A).$
Ist weiter $A = \bigcup^{\infty}_{n =0} A_{n}$ eine abz"ahlbare
aufsteigende Vereinigung, also $A_{n} \subset A_{n+1}\;\forall n\in\Bbb{N},$ so gilt
$$\mu (A) = \lim_{n\ra \infty} \mu (A_{n})$$
In der Tat, schreiben wir $A$ als die disjunkte Vereinigung der
$B_{n} = A_{n} - A_{n-1},$ so haben wir $\mu (A_{n}) = \mu
(B_{n})+\ldots +\mu(B_0)$ und die Behauptung folgt aus der Definition.
Ist schlie"slich $A = \bigcup^{\infty}_{n=0}A_{n}$ ein beliebige 
abz"ahlbare Vereinigung
me"sbarer Mengen, so k"onnen wir $A$ auch als disjunkte Vereinigung der 
kleineren Mengen $B_n=A_n-(A_{n-1}\cup\ldots \cup A_0)$ schreiben 
und erhalten so
die Absch"atzung $$\mu (A) \leq \sum^{\infty}_{n=0}
\mu (A_{n})$$
\end{Bemerkung}

\begin{Bemerkung}
Sei $X$ eine feste Menge. Sind $\cal{M}, \cal{N} \subset \cal{P} (X)$ 
zwei $\sigma$-Ringe, so ist
auch ihr Schnitt $\cal{M} \cap \cal{N}$ ein $\sigma$-Ring.
Sogar ein beliebiger Schnitt von $\sigma$-Ringen in $X$
ist wieder ein $\sigma$-Ring in $X.$  
\end{Bemerkung}
\begin{Definition}
Ist $\cal{S} \subset \cal{P} (X)$ irgendein System von Teilmengen einer Menge
$X,$ so betrachten wir den Schnitt aller $\sigma$-Ringe,
die $\cal{S}$ enthalten. Dieser Schnitt ist sicher der kleinste
$\sigma$-Ring auf $X,$ die $\cal{S}$ enth"alt. Er hei"st der
{\bf von $\cal{S}$ erzeugte $\sigma$-Ring}.  
\end{Definition}
\begin{Definition}\label{DBM}
Der von den kompakten Teilmengen eines metrischen (oder allgemeiner
topologischen) Raums $X$ erzeugte $\sigma$-Ring hei"st 
der $\sigma$-Ring der {\bf Borel-Mengen} oder ausf"uhrlicher
der {\bf Borel-me"sbaren Teilmengen} 
von $X.$
\end{Definition}

\begin{Bemerkung}
Nat"urlich sind mit dieser Definition auch 
alle abgeschlossenen Mengen von $\DR^n$ Borel-Mengen, und
f"ur jede Borel-Menge $A\subset\Bbb{R}^n$ und beliebiges $a\in\Bbb{R}^n$ 
ist auch die verschobene Menge $a+A$ 
auch eine Borel-Menge.
Unser Ziel sind die beiden folgenden S"atze.  
\end{Bemerkung}

\begin{Satz}[Charakterisierung des Lebesgue-Ma"ses]
\label{Le}%\label{EEL}
Es gibt genau ein Ma"s $\lambda$ auf den Borel-Mengen des $\DR^n$ 
mit $\lambda ([0,1]^{n}) =1$ und so, da"s 
f"ur beliebiges $a \in \Bbb{R}^{n}$ und jede 
Borel-me"sbare Menge $A \subset \Bbb{R}^n$
gilt $$\lambda (a+ A) = \lambda (A)$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkung}
Dieses Ma"s $\lambda$ hei"st
das {\bf Lebes\-gue-Ma"s}
auf dem $\Bbb{R}^n.$  Die erste Bedingung an unser Lebesgue-Ma"s
nennen wir die \defind{Normierung}, die zweite die 
\defind{Translationsinvarianz}.
Anschaulich ordnet $\lambda$ jeder Borel-me"sbaren Menge $A \subset
\Bbb{R}^{n}$ ihr {\bf Volumen} oder {\bf Ma"s} 
$\lambda (A) \in [0,\infty]$ zu. Wir beweisen diesen Satz f"ur $n=1$ im
folgenden Abschnitt in Bemerkung \ref{ELes}. Der Beweis 
der Existenz f"ur beliebiges $n$ wird in \ref{LeB} gef"uhrt.
\end{Bemerkung}

\begin{Satz}[\textbf{Regularit"at des Lebesgue-Ma"ses}]
Bezeichne $\lambda$ das Lebes\-gue-Ma"s auf dem $\Bbb{R}^n.$
F"ur jede Borel-Menge $A \subset \Bbb{R}^{n}$ gilt
$$ \lambda (A)=\inf_{\substack{
U\supset A\\ U {\mbox{ \scriptsize{\em offen in} }}\Bbb{R}^n}} \lambda
(U)=\sup_{\substack{ K \subset A
\\ K\mbox{ \scriptsize{\em kompakt}} }} \lambda (K)$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkung}
Dieser Satz deutet
eine m"ogliche Konstruktion des Le\-bes\-gue-Ma"ses $\lambda$ auf dem $\Bbb{R}^n$ an:
Um das Lebesgue-Ma"s einer Borel-Menge $A\subset\Bbb{R}^n$ zu bestimmen,
k"onnen wir beginnen 
mit dem Fall endlicher disjunkter Vereinigungen von Produkten von
Intervallen. Solche \glqq Quadermengen\grqq\  haben noch ein anschauliches Volumen.
Dann wird f"ur $U$ offen der Wert $\lambda(U)$ definiert als das Supremum "uber
die Volumina aller in $U$ enthaltenen Quadermengen, und schlie"slich 
erh"alt man das Ma"s $\lambda(A)$ einer beliebigen Borel-Menge $A\subset\Bbb{R}^n$
 als Infimum "uber alle $\lambda(U)$ mit $U$ offen und $U\supset A.$
Diese Beschreibung von $\lambda(A)$ ist nicht ganz un"ahnlich zu unserer
definitiven Konstruktion des Lebesgue-Ma"ses. Allerdings ist die $\sigma$-Additivit"at der so konstruierten Abbildung $\lambda$ nicht offensichtlich. 
\end{Bemerkung}
\begin{Bemerkung}
Der Beweis dieser beiden S"atze wird uns eine ganze Weile besch"aftigen. 
Genauer werden wir den Beweis der Eindeutigkeit des Lebesgue-Ma"ses dem Leser "uberlassen,
der Beweis seiner Existenz wird in \ref{LeB} beendet sein,
und die Regularit"at des Lebesgue-Ma"ses wird in \ref{RE} gezeigt.
Wir
wollen uns jedoch zur besseren Motivation sofort "uberlegen, da"s
es schon im Fall $n=1$ keinen vern"unftigen Volumenbegriff 
f"ur {\em beliebige} Teilmengen von $\Bbb{R}$
geben kann.   
\end{Bemerkung}
\begin{Lemma}
Es gibt kein Ma"s $\lambda : \cal{P}
(\Bbb{R}) \ra [0,\infty]$ auf dem $\sigma$-Ring aller Teilmengen von $\DR,$
das
translationsinvariant und normiert ist.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Wir werden eine Teilmenge $A\subset\Bbb{R}$ und 
Folgen $r_n$ und $q_n$ reeller Zahlen konstruieren derart, da"s gilt
\begin{enumerate}
\item
Die $r_n+A$ sind paarweise disjunkt und alle
in $[0,3]$ enthalten.
\item
Die $q_n+A$ "uberdecken $\Bbb{R}.$
\end{enumerate}
F"ur unsere Menge $A$ m"u"ste also gleichzeitig gelten 
$$
\begin{array}{lll}
\sum_{n=0}^\infty\lambda(A)&=\sum_{n=0}^\infty\lambda(r_n+A)&\leq \lambda([0,3])\leq 3\\[2mm]
\sum_{n=0}^\infty\lambda(A)&=\sum_{n=0}^\infty\lambda(q_n+A)&\geq \lambda(\Bbb{R})=\infty
\end{array}$$ 
und dieser Widerspruch zeigt dann das Lemma.
Um unsere Menge $A$ zu konstruieren, w"ahlen wir 
$I \subset \Bbb{R}$ derart, da"s $\{1\} \cup I$ eine
$\DQ$-Basis von $\Bbb{R}$ ist, und betrachten $A= \DQ I \cap [0,2].$
F"ur jede Folge $r_n$ von paarweise verschiedenen 
rationalen Zahlen aus $[0,1]$ sind dann die $r_n+A$ paarweise disjunkt
und in $[0,3]$ enthalten. 
Andererseits finden wir auch f"ur alle $n\in\DZ$ ein
$b_n\in\DQ I\cap [n-1,n],$ es 
folgt $\DQ I=\bigcup b_n+A$ und dann
$$\Bbb{R}=\bigcup_{q\in\DQ,\; n\in\DZ} q+b_n+A\qedhere$$ 
\end{proof}

\begin{Ubung}\label{SA}
Sei $X$ eine Menge und $\cal{M} \subset \cal{P} (X)$ ein
Mengenring. Genau dann ist $\cal{M}$ ein $\sigma$-Ring, wenn
$\cal{M}$ stabil ist unter 
abz"ahlbaren {\em disjunkten} Vereinigungen.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Der von allen offenen 
Teilmengen eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums
erzeugte $\sigma$-Ring stimmt "uberein mit dem $\sigma$-Ring 
aller Borel-Mengen unseres Vektorraums.
Der von allen endlichen Intervallen 
in $\DR$ erzeugte $\sigma$-Ring stimmt "uberein mit dem $\sigma$-Ring 
aller Borel-Mengen von $\DR.$
\end{Ubung}


\subsection{Konstruktion des Lebesgue-Ma"ses auf $\DR$}
\begin{Definition}
Ist $X$ eine Menge und 
$\cal{A}\subset\cal{P}(X)$ ein Mengenring
und $\mu :\cal{A} \ra [0,\infty]$ eine Abbildung, 
die 
unsere Bedingung 
$$\mu \left(\bigcup_{n\in N}A_n\right)=
\sum_{n\in N} \mu (A_{n})$$ f"ur 
$(A_n)_{n\in N}$ eine abz"ahlbare Familie
paarweise disjunkter Mengen aus $\cal{A}$ 
erf"ullt \emph{wann immer die Vereinigung der $A_n$ wieder zu  $\cal{A}$
geh"ort}, so nennen wir die Abbildung 
$\mu$ ein \defind{Pr"ama"s} auf 
dem Mengenring $\cal{A}.$
\end{Definition}
\begin{Lemma}
Auf dem Mengenring $\cal{I} \subset \cal{P} (\Bbb{R}) $
aller endlichen Vereinigungen von endlichen Intervallen gibt es genau
ein Pr"ama"s $\lambda$ derart, da"s f"ur jedes nichtleere
Intervall $I \subset \Bbb{R}$ gilt
$$ \lambda(I) = \sup I - \inf I $$
\end{Lemma}

\begin{proof}
Gegeben $A\in\cal{I}$  betrachten
wir die bis auf Reihenfolge eindeutige Darstellung $A = J_{1} \cup
\ldots \cup J_{r}$ von $A$ als Vereinigung seiner 
Wegzusammenhangskomponenten  und m"ussen setzen 
$$\lambda (A) = \lambda (J_{1}) + \ldots + \lambda
(J_{r})$$
Das zeigt die Eindeutigkeit. 
Es gilt damit  nur noch zu zeigen, da"s 
f"ur $A = \coprod_{n\in\Bbb{N}} A_{n}$ eine disjunkte Vereinigung 
mit $A, A_{n}\in\cal{I}$ gilt 
$$\lambda (A) = \sum_{n\in \Bbb{N}} \lambda (A_{n})$$
Offensichtlich gilt schon einmal
$\lambda (B \cup C) = \lambda (B) + \lambda(C) $ f"ur 
$B, C \in\cal{I}$ disjunkt.
Wir setzen nun $B_{n}= A-(A_{0}\cup \ldots \cup A_{n}).$
Nat"urlich sind dann auch die $B_{n}$ endliche Vereinigungen
beschr"ankter Intervalle, es gilt 
$B_0\supset B_1\supset \ldots$ und
$\bigcap_{n\in\Bbb{N}} B_{n} =
\emptyset,$ und es reicht, wenn wir zeigen
$$\lim_{n\ra \infty} \lambda (B_{n})=0$$
Sei $\epsilon > 0$ beliebig. Wir finden f"ur jedes $n$ eine
kompakte Menge $C_{n} \subset B_{n},$ die endliche Vereinigungen
kompakter Intervalle ist, und f"ur die gilt
$$\lambda (B_{n}-C_{n})\leq 2^{-n} \epsilon$$
Jetzt betrachten wir $D_{n} = C_{0} \cap \ldots \cap C_{n}.$
Auch die $D_{n}$ sind endliche Vereinigungen kompakter
Intervalle, es gilt $D_n\subset C_n\subset B_n,$ und zus"atzlich haben wir 
$D_{n} \supset D_{n+1}.$ Wir zeigen nun  $\lambda (B_{n}-D_{n})\leq 2\epsilon.$
In der Tat gilt ja
$$B_{n}-D_{n} = \bigcup^{n}_{k=0} B_{n} - C_{k} \subset
\bigcup^{n}_{k=0} B_{k} - C_{k}$$ und folglich
$$\lambda (B_{n}-D_{n})\leq \sum^{n}_{k=0} \lambda (B_{k} - C_{k})
\leq \sum^{n}_{k=0} 2^{-k} \epsilon \leq 2
\epsilon$$
Nun folgt aber aus $\bigcap_{n\in\Bbb{N}}D_{n} = \emptyset$
und der Kompaktheit der $D_n$ und \ref{Sko} schon
$D_{N} = \emptyset$ f"ur ein $N,$ und damit ergibt sich  
$\lambda (B_{n}) \leq 2
\epsilon$ f"ur $n\geq N.$
\end{proof}

\begin{Definition} Sei $X$ eine Menge, $\cal{A}\subset \cal{P} (X)$  
ein Mengenring und
$\mu:\cal{A}\ra[0,\infty]$ ein Pr"ama"s.
L"a"st sich jedes $A\in\cal{A}$ 
"uberdecken durch eine abz"ahlbare Vereinigung von Mengen aus $\cal{A}$
mit endlichem
Pr"ama"s, so hei"st  das Pr"ama"s 
{\bf $\sigma$-endlich.}  
\end{Definition}


\begin{Satz}[\textbf{von Hahn "uber Ma"serweiterungen}]\label{MHa}
Sei $X$ eine Menge, $\cal{A} \subset \cal{P} (X)$ ein Mengenring
 und $\mu : \cal{A} \ra [0,\infty]$ ein $\sigma$-endliches Pr"ama"s.
So gibt es genau
eine Erweiterung von $\mu$ zu einem Ma"s auf dem
von $\cal{A}$ erzeugten $\sigma$-Ring $\cal{M} = \cal{M} (\cal{A}),$ 
und diese Erweiterung ist auch $\sigma$-endlich.
\end{Satz}


\begin{Bemerkung}\label{ELes}
Zusammen mit dem vorhergehenden Lemma folgt mit diesem  Satz
die in Satz \ref{Le} behauptete Existenz eines normierten
translationsinvarianten Ma"ses auf den Borel-Mengen der 
reellen Zahlengeraden. Den Nachweis der Eindeutigkeit
in  \ref{Le}  "uberlassen
wir dem Leser zur "Ubung.
\end{Bemerkung}
\begin{Bemerkung}
Der Beweis des Satzes von Hahn wird 
nach einigen Vorbereitungen im Anschlu"s an den Beweis des 
Lemmas  \ref{LHh} gef"uhrt werden.
\end{Bemerkung}



\begin{Definition}
Sei $X$ eine Menge und 
$\cal{N}\subset\cal{P}(X)$ ein $\sigma$-Ring.
Ein {\bf "au"seres Ma"s} auf $\cal{N}$ ist eine Abbildung
$\mu^{\ast} : \cal{N} \ra [0,\infty]$ derart, da"s 
aus $Y\subset Z$ folgt $\mu^{\ast}(Y)\leq\mu^{\ast}(Z)$ und da"s f"ur 
 jede 
abz"ahlbare Familie $(Y_{n})_{n\in N}$ 
 gilt $$\mu^{\ast}
\left(\bigcup_{n\in N}Y_{n}\right) \leq \sum_{n\in N}
\mu^{\ast}(Y_{n})$$
\end{Definition}
\begin{Bemerkung}
Die letzte Bedingung spezialisiert f"ur
$N=\emptyset$ zur Bedingung $\mu^{\ast} (\emptyset) = 0,$
und wenn wir das extra fordern, so m"ussen wir die letzte
Bedingung nur f"ur Folgen me"sbarer Mengen fordern.
\end{Bemerkung}
\begin{Lemma}\label{LHh}
\begin{enumerate}
\item
Unter den Voraussetzungen des Satzes von Hahn erhalten wir ein
"au"seres Ma"s auf $\cal{P}(X)$ durch die Vorschrift
$$\mu^{\ast} (Y) = \inf \sum^{\infty}_{n=0} \mu (A_{n})$$
wo das Infimum gebildet wird "uber alle Folgen in $\cal{A}$ 
mit $Y\subset \bigcup A_{n}$ und wir daran erinnern,
da"s das Infimum der leeren Menge  $\infty$ ist.
\item
Dieses "au"sere Ma"s $\mu^{\ast}$ stimmt auf $\cal{A}$ mit $\mu$ "uberein,
in Formeln $\mu^{\ast}
(A) = \mu (A) \quad  \forall A \in \cal{A}.$
\end{enumerate}
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Nur die gro"se Ungleichung aus der Definition
eines "au"seren Ma"ses ist problematisch.
Um sie zu zeigen, sei $\epsilon > 0$ beliebig gew"ahlt. 
Wir finden f"ur jedes
$n$ eine Folge $A^{i}_{n}$ in $\cal{A}$ mit $Y_{n} \subset
\bigcup^{\infty}_{i=0} A^{i}_{n}$ und
$$\mu^{\ast} (Y_{n}) \leq \sum^{\infty}_{i=0} \mu (A^{i}_{n}) \leq
\mu^{\ast} (Y_{n}) + \epsilon/2^{n}$$
Dann gilt aber $\bigcup Y_{n} \subset \bigcup_{i,n} A^{i}_{n}$ und aus
der Definition von $\mu^{\ast}$ folgern wir 
$$\mu^{\ast} \left(\bigcup
Y_{n}\right) \leq \sum_{i,n} \mu (A^{i}_{n}) \leq \sum^{\infty}_{n=0}
\mu^{\ast} (Y_{n}) \;+ 2 \epsilon$$
Da das nun gilt f"ur alle $\epsilon >0,$ ist $\mu^{\ast}$
in der Tat ein "au"seres Ma"s.
\\[2mm]\noindent
2.
Die Ungleichung $\mu^{\ast} (A) \leq \mu (A)$ ist offensichtlich.
Wir m"ussen nur noch $\mu (A) \leq\mu^{\ast} (A) $ zeigen.
Dazu reicht es, wenn wir zeigen $\mu (A) \leq\mu^{\ast} (A)
+\epsilon \quad \forall \epsilon > 0.$
F"ur jedes $\epsilon >0$ finden wir aber eine
Folge $A_{n}$ in $\cal{A}$ mit $A \subset \bigcup A_{n}$ und
$\sum^{\infty}_{n=0} \mu (A_{n}) \leq\mu^{\ast} (A) +\epsilon.$
Wegen $A = \bigcup (A \cap A_{n})$ erhalten wir 
dann wie gew"unscht $$\mu (A) = \sum
\mu (A \cap A_{n})\leq \sum \mu (A_{n}) \leq\mu^{\ast} (A) +
\epsilon\qedhere$$  
\end{proof}
\begin{Bemerkung}
Gegeben $A \subset X$ verwenden wir im folgenden
f"ur sein Komplement 
die Abk"urzung  $X -A = A^{c}$
\end{Bemerkung}


\begin{Definition}
Sei $X$ eine Menge und $\mu^{\ast}$ ein "au"seres Ma"s auf 
$\cal{P} (X).$ Eine Teilmenge
$A \subset X$ hei"st {\bf $\mu^{\ast}$-me"sbar} genau dann, wenn
f"ur jede Teilmenge $Z \subset X$ gilt $$\mu^{\ast} (Z) =
\mu^{\ast} (Z \cap A) + \mu^{\ast} (Z \cap A^{c})$$
\end{Definition}
\begin{Lemma}[\textbf{Carath\'{e}odory}]\label{LC}
Sei $X$ eine Menge und 
$\mu^{\ast}$ ein "au"seres Ma"s auf der Potenzmenge $\cal{P}(X)$ von $X.$
So ist das System $\cal{M}\subset\cal{P}(X)$ der $\mu^{\ast}$-me"sbaren 
Mengen ein
$\sigma$-Ring und $\mu^{\ast}$ ist ein Ma"s auf $\cal{M}.$
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Zun"achst einmal zeigen wir, da"s $\cal{M}$ ein Mengenring ist.
Sicher gilt $\emptyset \in \cal{M},$ und aus $A \in \cal{M}$ folgt $A^{c}
\in \cal{M}.$
Wir m"ussen nur noch zeigen, da"s aus $A,B \in \cal{M}$ folgt $A\cap B
\in \cal{M}.$
Sei dazu $Z \subset X$ beliebig.
Es gilt, f"ur $\mu^\ast$-me"sbare $A$ und $B$ zu zeigen
$$\mu^{\ast} (Z) = \mu^{\ast} (Z \cap A \cap B) + \mu^{\ast} (Z
\cap (A \cap B)^{c})$$
Da $A$ und $B$ schon $\mu^\ast$-me"sbar sind, finden wir aber in der Tat
$$\begin{array}{lcl}
\mu^{\ast}(Z \cap(A \cap B)^{c})& = &\mu^{\ast} (Z \cap (A\cap
B)^{c} \cap A) + \mu^{\ast} (Z \cap (A \cap B)^{c} \cap A^c)\\
&=& \hspace{1cm}\mu^{\ast} (Z \cap A \cap B^{c}) \hspace{1cm}+ \mu^{\ast}(Z \cap A^{c})\\
&=& \mu^{\ast} (Z \cap A) - \mu^{\ast} (Z \cap A \cap B) +
\mu^{\ast} (Z \cap A^{c})\\
&=& \mu^{\ast} (Z) - \mu^{\ast} (Z \cap (A \cap B)).
\end{array}$$
Also ist $\cal{M}$ schon mal ein Mengenring.
Sind $A, B \in \cal{M}$ disjunkt, so gilt  $\mu^{\ast} (Z \cap (A \cup B)) = \mu^{\ast}(Z \cap A) +
\mu^{\ast} (Z \cap B)$ f"ur beliebiges $Z \subset
X,$ denn unter der Voraussetzung $A\cap B =
\emptyset$ k"onnen wir schreiben $Z \cap A = Z \cap (A\cup B) \cap A$ und $Z
\cap B = Z \cap (A\cup B) \cap A^{c}.$
Induktiv folgt f"ur $A_{0}, \ldots, A_{n} \in \cal{M}$ paarweise
disjunkt und $Z \subset X$ beliebig
$$\mu^{\ast} (Z \cap (A_{0} \cup \ldots \cup A_{n})) =
\sum^{n}_{i=0} \mu^{\ast} (Z \cap A_{i})$$
Haben wir also eine Folge $(A_{i})$ in $\cal{M}$ von paarweise
disjunkten Teilmengen mit Vereinigung $A$ gegeben, so gilt f"ur
jede Teilmenge $Z \subset X$ die Absch"atzung 
$$\begin{array}{ccll}
\mu^{\ast} (Z) &=&
\mu^{\ast} (Z \cap (A_{0}\cup \ldots \cup A_{n})) &+ \mu^{\ast}(Z
\cap (A_{0} \cup \ldots \cup A_{n})^{c}) \\
&\geq &\sum^{n}_{i=0}
\mu^{\ast} (Z \cap A_{i}) &+ \mu^{\ast} (Z \cap A^{c})
\end{array}$$
und im Grenzwert $n\ra\infty$ ergibt sich
$$\mu^{\ast} (Z) \geq \mu^{\ast} (Z \cap A) + \mu^{\ast} (Z \cap
A^{c})$$
Die andere Ungleichung gilt eh, nach unseren Annahmen an ein
"au"seres Ma"s, also haben wir Gleichheit, und $A$ ist auch
$\mu^{\ast}$-me"sbar.
Nach Lemma \ref{SA} ist damit $\cal{M}$ ein $\sigma$-Ring, und 
f"ur eine Folge $A_k$ von paarweise disjunkten Teilmengen aus $\cal{M}$ folgt 
aus
$$\sum^{n}_{k=0} \mu^{\ast} (A_{k}) = \mu^{\ast}\left(\bigcup^{n}_{k=0}
A_{k}\right)\leq\mu^{\ast} (A) \leq\sum^{\infty}_{k=0}
\mu^{\ast}(A_{k})$$ im Grenz"ubergang $n \ra \infty$
die $\sigma$-Additivit"at von $\mu^\ast.$ Also ist
$\mu^{\ast}$ in der Tat ein Ma"s auf $\cal{M}.$
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis des Satzes von Hahn]
Seien $\cal{A}$ ein Mengenring, $\mu:\cal{A}\ra [0,\infty]$ ein
Pr"ama"s auf $\cal{A}$ und
$\mu^{\ast} : \cal{P} (X) \ra [0,\infty]$ das zugeh"orige "au"sere
Ma"s. Um den ersten Teil des Satzes von Hahn aus dem Lemma von Carath\'eodory
abzuleiten, 
m"ussen wir nur noch zeigen, da"s $\cal{A}$ aus $\mu^{\ast}$-me"sbaren
Mengen besteht.
F"ur jedes "au"sere Ma"s auf $\cal{P}(X)$ und beliebige $A,Z\subset X$ 
gilt per definitionem
$$\mu^{\ast} (Z) \leq \mu^{\ast} (Z
\cap A) + \mu^{\ast} (Z \cap A^{c})$$ 
Wir m"ussen f"ur $A\in\cal{A}$ und beliebiges $Z\subset X$ auch
die andere Ungleichung zeigen. 
Das ist nur
im Fall $\mu^\ast(Z)<\infty$ problematisch.
Unter dieser Voraussetzung finden wir aber
f"ur beliebiges $\epsilon > 0$ eine Folge
$(B_{n})$ in $\cal{A}$ mit $Z \subset \bigcup_{n} B_{n}$ und 
$$\begin{array}{ccl}
\mu^{\ast}
(Z) + \epsilon &\geq& \sum^{\infty}_{n=0} \mu (B_{n})\\
&=&
\sum^{\infty}_{n=0} \mu (B_{n}\cap A) + \mu (B_{n}\cap A^{c}) \\
&\geq&
\mu^{\ast} (Z \cap A)+ \mu^{\ast} (Z \cap A^{c})
\end{array}$$ Da das f"ur
alle $\epsilon >0$ gilt, folgt die andere Ungleichung $$\mu^{\ast}
(Z) \geq \mu^{\ast} (Z \cap A)+ \mu^{\ast} (Z \cap A^{c})$$ und
damit die Gleichheit. Also besteht $\cal{A}$ in der Tat aus
$\mu^{\ast}$-me"sbaren Mengen und folglich definiert 
$\mu^{\ast}$ eine Erweiterung unseres Pr"ama"ses zu einem
Ma"s auf dem von $\cal{A}$ erzeugten $\sigma$-Ring.
Wir zeigen nun 
die Eindeutigkeit unserer Ma"serweiterung f"ur $\sigma$-endliche Pr"ama"se.
Sei dazu $\nu$ ein zweites Ma"s
auf dem von $\cal{A}$ erzeugten $\sigma$-Ring $\cal{M},$ 
das auf $\cal{A}$ mit
$\mu$ "ubereinstimmt.
Es gilt zu zeigen $\mu (Y) = \nu (Y)$ f"ur alle $Y\in\cal{M}.$ 
Nach Annahme gibt es aber
eine Folge  $(S_{n})$ in $\cal{A}$ mit $\bigcup S_{n} \supset Y$ und
$\mu (S_{n}) < \infty \quad \forall n.$
Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen $S_{n}
\subset S_{n+1} \subset \ldots,$ und m"ussen nur f"ur alle 
$n$ die Gleichungen
$$\mu (Y \cap S_{n})= \nu (Y\cap S_{n})$$ zeigen,
dann ergibt sich $\mu (Y )= \nu (Y)$ im Grenzwert $n\ra\infty.$
Nach der Definition von $\mu$ gilt offensichtlich $\nu (Y\cap
S_{n}) \leq\mu (Y \cap S_{n}),$ aber ganz genauso auch $\nu (Y^{c}\cap
S_{n})\leq\mu (Y^{c} \cap S_{n}),$ und da die Summe dieser
Ungleichungen die Gleichung $\nu (S_{n}) = \mu (S_{n})$ liefert,
m"ussen unsere Ungleichungen beide schon Gleichungen gewesen sein.
\end{proof}
\begin{Bemerkung}
Allgemeiner zeigt unser Beweis sogar, da"s es f"ur jede stetige 
monoton wachsende Funktion $f:\Bbb{R}\ra\Bbb{R}$ genau ein Ma"s $\diff f$ auf 
den Borel-Mengen von $\Bbb{R}$ gibt mit $(\diff f)(I)=\sup f( I)-\inf f(I)$
f"ur jedes  
Intervall $I.$ Unser Lebesgue-Ma"s kann man 
mit dieser Notation auch schreiben als das Ma"s $\diff x,$ mit
$x$ als alternativer Bezeichnung f"ur die Identit"at $\op{id}_\Bbb{R}:\Bbb{R}\ra\Bbb{R},$
$x\mapsto x$ auf $\Bbb{R}.$  
\end{Bemerkung}

\begin{Bemerkung}
Im Rahmen der Konstruktion haben wir noch viel mehr Mengen
als nur den Borel-Mengen ein sinnvolles Ma"s zugeordnet und sogar
einen \glqq vollst"andigen\grqq\  Ma"sraum erhalten im Sinne der folgenden
Definition.  
\end{Bemerkung}

\begin{Definition}
Eine Teilmenge $Y$ eines Ma"sraums  $X=(X,\cal{M},\mu)$
hei"st eine \defind{Nullmenge} oder pr"aziser eine
{\bf $\mu$-Nullmenge} genau dann, wenn es eine me"sbare Menge $A \in
\cal{M}$ gibt mit $ \mu (A) =0$ und $Y \subset A.$
Ein Ma"sraum $X=(X,\cal{M},\mu)$ hei"st
 \defind{vollst"andig} genau dann, wenn jede Nullmenge $Y\subset X$ 
schon me"sbar ist, d.h.\ zu $\cal{M}$ geh"ort.
\end{Definition}

\begin{Satz}[Vervollst"andigung von Ma"sr"aumen]
Sei $(X,\cal{M}, \mu)$ ein Ma"sraum und $\cal{M}^{\ast}$ der von $\cal{M}$ und
den $\mu$-Nullmengen erzeugte $\sigma$-Ring. So gibt es genau
eine Fortsetzung von $\mu$ zu einem Ma"s $\mu^{\ast}$ auf
$\cal{M}^{\ast}$ und der so entstehende 
Ma"sraum $(X, \cal{M}^{\ast}, \mu^{\ast})$ ist
vollst"andig.
\end{Satz}
\begin{Bemerkung}
  Der Ma"sraum $(X,\cal{M}^{\ast},\mu^{\ast})$ hei"st die
  \defind{Vervollst"andigung} des Ma"sraums $(X,\cal{M}, \mu).$ Die bez"uglich
  der Vervollst"andigung des Lebesgue-Ma"ses me"sbaren Mengen nennt man die
  \defind{Lebesgue-me"sbaren} Teilmengen oder kurz \defind{Lebesgue-Mengen} von
  $\Bbb{R}$ bzw.\ $\Bbb{R}^n.$ Es ist nicht 
ganz einfach, eine Lebesgue-Menge in
  $\Bbb{R}$ anzugeben, die keine Borel-Menge ist.  Es wird sich jedoch
  herausstellen, da"s diese Unterscheidung f"ur unsere Ziele auch eher
  nebens"achlich ist.
\end{Bemerkung}
\begin{proof}[Beweis]
Erweitern wir $\mu$ zu einem "au"seren Ma"s $\mu^\ast$ auf $\cal{P}(X)$ wie
im Lemma \ref{LH} aus dem Beweis des Satzes von Hahn und wenden
auf dieses "au"sere Ma"s das Lemma von Carath\'{e}odory an, so folgt,
da"s alle $\mu$-Nullmengen bereits $\mu^\ast$-me"sbar sind und
da"s mithin 
$\mu^{\ast}$ ein Ma"s ist auf $\cal{M}^{\ast}.$
Das zeigt die Existenz von $\mu^{\ast}.$
F"ur die Eindeutigkeit pr"uft man, da"s $\cal{M}^\ast$ genau aus allen
 Teilmengen $E \subset X$ besteht 
derart, da"s es $A, B \in \cal{M}$ gibt mit $A\subset E \subset B$ und
$\mu (B-A) =0.$ In der Tat bilden n"amlich alle diese $E$
einen $\sigma$-Ring.
Jedes erweiterte Ma"s $\mu^\ast$ nimmt aber auf
einer solchen Teilmenge $E$ notwendig den Wert $\mu^\ast(E)=\mu(A)$ an.
\end{proof}


\subsection{Me"sbare Abbildungen} 
\begin{Definition}
Seien $(X,\cal{M})$ und $(Y,\cal{N})$ Me"sr"aume. Eine 
Abbildung $f: X \ra Y$ hei"st  \defind{me"sbar} genau dann, wenn
das Urbild jeder me"sbaren Menge me"sbar ist, in Formeln $V \in
\cal{N} \Rightarrow f^{-1} (V) \in \cal{M}.$
\end{Definition}
\begin{Bemerkung}
Jede Verkn"upfung me"sbarer Abbildungen ist
me"sbar, und auch sonst l"a"st sich  dieser Begriff
sehr gut handhaben. Leider taugt er nur f"ur Me"sr"aume, die selbst
me"sbar sind, da es auf allgemeineren
Me"sr"aumen nach unserer Definition schlicht 
"uberhaupt keine reellwertigen me"sbaren Funktionen gibt. Wir f"uhren
deshalb im Anschlu"s den Begriff der \glqq nullme"sbaren\grqq\  
Abbildung ein, der diese Unstimmigkeiten aufl"ost, der 
aber in der Handhabung lang nicht so bequem ist.
\end{Bemerkung}
 
\begin{Lemma}\label{KM}
Seien $(X,\cal{M})$ und $(Y,\cal{N})$ zwei Me"sr"aume und sei der
$\sigma$-Ring $\cal{N}$ erzeugt von einem Teilsystem
$\cal{S} \subset \cal{N}.$
Genau dann ist $f: X \ra Y$ me"sbar, wenn gilt
$$V \in \cal{S} \Rightarrow f^{-1} (V) \in \cal{M}$$
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Es reicht zu zeigen, da"s f"ur eine beliebige Abbildung $f: X \ra
Y$ die Menge $f_{\ast} \cal{M} = \{ V\subset Y \mid f^{-1} (V) \in
\cal{M}\}$
ein $\sigma$-Ring ist. Das ist jedoch klar.
\end{proof}
\begin{Bemerkung}
Gegeben ein Me"sraum $(X,\cal{M})$
betrachten wir auf jeder Teilmenge $A \subset X$ den {\bf induzierten
$\sigma$-Ring $\cal{M}|_{A}$},\index{induzierter $\sigma$-Ring} 
der gerade aus allen Schnitten mit $A$
von me"sbaren Mengen in $X$ besteht, $\cal{M}|_{A} = \{Z \cap A\mid Z
\in \cal{M}\}.$
Wir machen unsere erweiterten reellen Zahlen $\overline{\Bbb{R}}
=[-\infty, \infty]$ zu einem Me"sraum, indem wir darauf den von
allen Intervallen erzeugten $\sigma$-Ring betrachten.
F"ur die nat"urliche Topologie auf $\overline{\Bbb{R}}$ ist das genau der
$\sigma$-Ring der Borel-Mengen.
\end{Bemerkung}
\begin{Bemerkung}\label{BoMe}
Wenn nichts anderes gesagt ist, denken wir uns einen metrischen
(oder topologischen) Raum stets mit der durch die Borel-Mengen gegebenen
Struktur eines
Me"sraums versehen. Wollen wir besonders betonen, da"s wir messbare
Abbildungen von einem Messraum in einen topologischen Raum in
Bezug auf die Borel-Mengen des topologischen 
Raums verstehen wollen, so sprechen
wir von \defind{Borel-me"sbaren} Abbildungen.
Insbesondere sind dann alle stetigen Abbildungen
me"sbar. Weiter sind auch alle monotonen Abbildungen 
$\DR\ra\overline{\DR}$ me"sbar.
\end{Bemerkung}
\emph{Noch anpassen an richtige Borelmengen}
\begin{Proposition}[Komponentenregel]
\label{mp}
Sei $(X,\cal{M})$ ein Me"sraum. Seien $Y,Z$ metrische R"aume 
mit abz"ahlbaren
dichten Teilmengen
und seien $f:X
\ra Y,$ $ g: X \ra Z$ Abbildungen.  
So ist $(f,g) : X \ra Y\times Z$ me"sbar genau
dann, wenn $f$ und $g$ me"sbar sind.
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Mit $(f,g)$ sind nat"urlich auch $f=\op{pr}_{1} \circ (f,g)$ und $g =
\op{pr}_{2}\circ (f,g)$ me"sbar.
Sind andererseits $f$ und $g$ me"sbar, so gilt $f^{-1}
\op{B}(y,\delta) \in \cal{M}$ und $ g^{-1}\op{B} (z,\delta) \in \cal{M}$ 
f"ur alle
$y \in Y,$ $z \in Z,$ $\delta > 0,$ und daraus folgt 
$$(f,g)^{-1}
\op{B} ((y,z),\delta)=f^{-1}
\op{B}(y,\delta)\cap g^{-1}\op{B} (z,\delta) 
\in \cal{M}$$
Aus unseren Annahmen folgt aber, da"s die offenen B"alle 
$\op{B} ((y,z),\delta)$ in $Y\times Z$ schon
die
$\sigma$-Algebra der Borel-Mengen in $Y \times Z$ erzeugen.
\end{proof}

\begin{Korollar}
Die Summe und das Produkt reellwertiger me"sbarer Funktionen
sind wieder me"sbar.
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $X$ ein Me"sraum und seien $f,g:X\ra\Bbb{R}$ me"sbare Funktionen.
Nach Proposition \ref{mp} ist dann $(f,g):X\ra\Bbb{R}^2$ me"sbar,
und damit auch die Verkn"upfung von $(f,g)$ mit der stetigen und daher
me"sbaren Addition bzw. Multiplikation $\Bbb{R}^2\ra\Bbb{R}.$
\end{proof}

\begin{Satz}[Me"sbarkeit von Grenzwerten von Funktionenfolgen]
\label{MG3}$\;$
Sei $(X,\cal{M})$ ein Me"sraum.
\begin{enumerate}
\item
Eine Funktion $f:X \ra \overline{\Bbb{R}}$ ist genau dann me"sbar,
wenn f"ur jedes $a \in \Bbb{R}$ die Menge $\{x\mid f(x) > a \}$
me"sbar ist in $X.$
\item
F"ur jede Folge me"sbarer Funktionen $f_n:X\ra\overline{\Bbb{R}}$ sind auch das
Supremum und das Infimum $s,i:X\ra\overline{\Bbb{R}},$ $s(x)=\sup f_n(x)$ bzw.
$i(x)=\inf f_n(x)$ me"sbar.
\item
Konvergiert eine Folge me"sbarer Funktionen $f_{n}: X \ra
\overline{\Bbb{R}}$ punktweise gegen $f:X \ra \overline{\Bbb{R}},$ so ist
auch $f$ me"sbar.
\end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
1.
Die Intervalle der Form $\left( a, \infty\right]$ erzeugen die
$\sigma$-Algebra der Borel-Mengen in $\overline{\Bbb{R}}.$
\\[2mm]\noindent
2.
Es gilt $s^{-1}( a, \infty]=
\bigcup^{\infty}_{n=0} f^{-1}_{n} ( a,\infty]$ und
ganz analog haben wir  auch
$i^{-1}[-\infty, a)=
\bigcup^{\infty}_{n=0} f^{-1}_{n} [-\infty, a).$
\\[2mm]\noindent
3.
Nach 2 sind auch die Funktionen
$s_{N} (x) = \sup_{n\geq N} f_{n}(x)$
me"sbar, und dann auch die Funktion
$g:X \ra \overline{\Bbb{R}},$ $ g(x) = \inf_{N} s_{N}(x).$
Diese Funktion bezeichnet man auch mit $g=\lim \sup f_{n}.$
Falls die $f_{n}$ punktweise gegen eine Grenzfunktion $f$
konvergieren, so gilt nat"urlich insbesondere $f=\lim\sup f_{n},$
mithin ist $f$ me"sbar.
\end{proof}

\begin{Bemerkung}
Nach unseren Definitionen gibt es auf einem Me"sraum $X,$ 
der selbst nicht me"sbar ist, "uberhaupt keine reellwertigen me"sbaren 
Funktionen. Das ist uns denn doch zu wenig, weshalb wir 
\defind{$0$-messbare Funktionen} einf"uhren als ...
\end{Bemerkung}


\subsection{Me"sbare Abbildungen} 


\begin{Korollar}
Die Summe und das Produkt reellwertiger me"sbarer Funktionen
sind wieder me"sbar.
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $X$ ein Me"sraum und seien $f,g:X\ra\Bbb{R}$ me"sbare Funktionen.
Nach Proposition \ref{mp} ist dann $(f,g):X\ra\Bbb{R}^2$ me"sbar,
und damit 
nach \ref{??} auch die Verkn"upfung von $(f,g)$ mit der stetigen 
Addition bzw. Multiplikation $\Bbb{R}^2\ra\Bbb{R}.$
\end{proof}

\begin{Satz}[Me"sbarkeit von Grenzwerten von Funktionenfolgen]
\label{MG3}$\;$
Sei $(X,\cal{M})$ ein Me"sraum.
\begin{enumerate}
\item
F"ur jede Folge me"sbarer Funktionen $f_n:X\ra\overline{\Bbb{R}}$ sind auch das
Supremum und das Infimum $s,i:X\ra\overline{\Bbb{R}},$ $s(x)=\sup f_n(x)$ bzw.
$i(x)=\inf f_n(x)$ me"sbar.
\item
Konvergiert eine Folge me"sbarer Funktionen $f_{n}: X \ra
\overline{\Bbb{R}}$ punktweise gegen $f:X \ra \overline{\Bbb{R}},$ so ist
auch $f$ me"sbar.
\end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Mit \ref{VEg} d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit
$X$ me"sbar annehmen und das Kriterium \ref{EMk} anwenden.
Nun gilt jedoch $s^{-1}( a, \infty]=
\bigcup^{\infty}_{n=0} f^{-1}_{n} ( a,\infty]$ und
so folgt die Aussage f"ur das Supremum. 
Um die analoge Aussage f"ur das Infimum zu erhalten, m"ussen
wir nur zu den Negativen "ubergehen.
F"ur den zweiten Teil bemerken wir,
da"s nach dem ersten Teil die Funktionen
$s_{N} (x) = \sup_{n\geq N} f_{n}(x)$
me"sbar sind, und dann auch die Funktion
$g:X \ra \overline{\Bbb{R}},$ $ g(x) = \inf_{N} s_{N}(x).$
Diese Funktion bezeichnet man auch mit $g=\lim \sup f_{n}.$
Falls die $f_{n}$ punktweise gegen eine Grenzfunktion $f$
konvergieren, so gilt nat"urlich insbesondere $f=\lim\sup f_{n},$
mithin ist $f$ me"sbar.
\end{proof}

\subsection{Das Integral von nichtnegativen  Funktionen}
\begin{Definition}
Eine Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt, nennen wir 
eine   \defind{Stufenfunktion}.  
\end{Definition}
\begin{Bemerkung}
Ist $X$ eine Menge und $A\subset X$ eine Teilmenge,
so ist zum Beispiel  
die  \defind{charakteristische Funktion} $\chi_A:X\ra \{0,1\}$ von $A,$
definiert durch die Vorschrift 
$$
\chi_A(x)=\left\{\begin{array}{ll}
1&x\in A\\ 0&x\not\in A\end{array}\right.$$
eine Stufenfunktion.
Ist $(X,\cal{M})$ ein Me"sraum, so ist jede 
reellwertige me"sbare Stufenfunktion $s : X \ra\Bbb{R}$
von der Form $$s=\sum_{i=1}^n c_i \chi_{A_i}$$ f"ur  
$ A_1,\ldots, A_n$ paarweise disjunkte
me"sbare Mengen und geeignete $c_i\in{\Bbb{R}},$ 
und die reellwertigen me"sbaren 
Stufenfunktionen bilden einen Untervektorraum im 
Raum aller reellwertigen Funktionen auf $X.$
\end{Bemerkung}

\begin{Definition}[Integral einer nichtnegativen Stufenfunktion]
Ist  $(X,\cal{M},\mu)$ ein Ma"sraum und $s$ eine 
nichtnegative me"sbare 
reellwertige Stufenfunktion $s : X \ra [0,\infty),$ so
erkl"aren wir das 
\defind{Integral} $\int {s} = \int_{X} {s} =
\int_{X}{s}\mu \in [ 0,\infty]$ von $s$ "uber $X$ 
durch die Formel
$$\int_{X}{s} \mu = \sum_{c\in s(X)\setminus 0} c \cdot \mu (s^{-1}
(c))$$  
\end{Definition}

\begin{Bemerkung}\label{ASt}
Nat"urlich gilt $\int \alpha s = \alpha \int s,$ $ \forall  \alpha\in
(0,\infty),$ und ist $t : X \ra \left[ 0,\infty\right)$ eine
zweite me"sbare Stufenfunktion, so gilt $\int s + t = \int
s \;+ \int t.$
In der Tat reicht es, das unter der Zusatzannahme
$X$ me"sbar zu zeigen.
Schreiben wir dann $X_{ab}  = s^{-1} (a) \cap t^{-1} (b)$ 
und verwenden die Konvention $0\cdot\infty=0,$ so folgt
mit der Additivit"at des Ma"ses 
$$\begin{array}{rll}
\int s+t 
&= \sum_{c} c \cdot \mu \left(\bigcup_{c = a+b} X_{ab}\right)
&=\sum_{a,b} (a+b) \cdot\mu (X_{ab})
\\
\int s  
&= \sum_{a} a\cdot \mu \left(\bigcup_{b} X_{ab}\right)  
&= \sum_{a,b} a \cdot\mu (X_{ab})
\\
\int t 
&= \sum_{b}
b\cdot\mu \left(\bigcup_{a}X_{ab}\right) 
&= \sum_{a,b} b\cdot\mu (X_{ab})
\end{array}$$
F"ur $s=\sum_{i=1}^n c_i \chi_{A_i}$ mit $c_i\in(0,\infty)$
wird also das Integral gegeben durch die Formel 
$\int {s}=\sum_{i} c_i \mu(A_i).$    
\end{Bemerkung}

\begin{Definition}[Integral einer nichtnegativen  Funktion]
\label{Ipo}
 Sei $X=(X,\cal{M},\mu)$ ein Ma"sraum.
F"ur jede me"sbare Abbildung $f: X \ra [0,\infty]$
definieren wir ein Element $\int f$ von $[0,\infty],$ 
das {\bf Integral}  von $f$ "uber $X,$ als
$$\int f=\int_{X}f(x)\mu(x) =\int_{X}f\mu = \sup_{ s\leq f} \int_{X} s \mu,$$
wobei das Supremum gebildet wird "uber alle reellwertigen
nichtnegativen me"sbaren Stufenfunktionen $s: X
\ra \left[ 0, \infty\right)$ mit $s(x) \leq f(x)$ f"ur alle $x\in X.$
\end{Definition}
\begin{Bemerkung}
In der Literatur wird dies Integral meist mit
$\int_{X}f\diff\mu$ statt wie in diesem Text mit $\int_{X}f\mu$ bezeichnet. 
Diese leider allgemein "ubliche Notation scheint mir jedoch
im Lichte der urspr"unglichen Bedeutung des Symbols $\diff$ hinter
dem Integralzeichen v"ollig abwegig, um nicht zu sagen irref"uhrend. 
\end{Bemerkung}
\begin{Bemerkung}
Unsere Definition des Integrals ist sogar sinnvoll 
f"ur nicht notwendig me"sbare 
Funktionen $f:X\ra[0,\infty].$ Das Supremum hei"st dann das 
{\bf Unterintegral} von $f.$
Der Beweis des folgenden Satzes "uber monotone Konvergenz zeigt, 
welche Rolle die
Me"sbarkeit von $f$ spielt, und der Beweis des gleich anschlie"senden Satzes
\ref{IANN} zeigt dann, wie die Me"sbarkeit in den Beweis 
der Formel $\int f+g=\int f+\int g$ eingeht, die f"ur nicht
me"sbare Funktionen $f$ und $g$ im Allgemeinen auch nicht mehr richtig ist.
  \end{Bemerkung}

\begin{Satz}[\textbf{"uber monotone 
Konvergenz}]\label{MKo}\index{monotone Konvergenz}
Sei $(X,\cal{M}, \mu)$ ein Ma"sraum und $(f_{n})$ eine Folge me"sbarer
Funktionen $f_{n} : X \ra [0,\infty]$ mit $0\leq f_{0} \leq f_{1}
\leq\ldots.$
So ist auch der punktweise Grenzwert $f: X \ra [0,\infty],$ $f(x)
= \lim_{n\ra \infty} f_{n} (x)$ der $f_n$ me"sbar und es
gilt
$$\int_{X}f\mu = \lim_{n\ra \infty} \int_{X} f_{n} \mu$$
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Die Me"sbarkeit von $f$ folgt aus \ref{MG3}. Die Absch"atzung
$\geq$ ist evident. Es gilt, $\leq$ zu zeigen.
Daf"ur reicht es, wenn wir f"ur jede Stufenfunktion $s$ mit $s
\leq f$ und jedes $\eta \in (0,1)$ die Absch"atzung
$$\eta  \int s \leq
\lim_{n\ra \infty} \int f_{n}$$ zeigen.
Nun haben wir ja $s = \sum^{r}_{i=0} c_{i} \chi_{A_{i}}$ f"ur
geeignete paarweise disjunkte me"sbare $A_{i}$ und $c_{i}\in
(0,\infty).$
Setzen wir $A^{n}_{i} = \{ x \in A_{i} \mid f_{n} \geq\eta
c_{i}\},$ so sind auch die $A^{n}_{i}$ me"sbar und es gilt $\bigcup
A^{n}_{i} = A_{i},$ nach \ref{spM} also $$\lim_{n\ra \infty} \mu (A^{n}_{i}) =
\mu (A_{i})$$
Betrachten wir die Stufenfunktionen $s_{n} = \sum_{i} \eta
c_{i} \chi_{A_{i}^{n}},$ so gilt also 
$$\lim_{n\ra\infty}\int s_n=\eta\int s$$
Andererseits haben wir aber auch nach Konstruktion
$s_{n} \leq f_{n}$ und folglich
$\int s_{n} \leq \int f_{n}.$
Bilden wir nun auf beiden Seiten den Grenzwert f"ur $n \ra \infty,$ so
ergibt sich damit $\eta \int s \leq \lim_{n\ra \infty} \int f_{n}$ wie
gew"unscht.
\end{proof}
\begin{Satz}\label{IANN}
Seien $f,g$ nichtnegative me"sbare Funktionen auf einem Ma"sraum.
So gilt
\begin{enumerate}
\item
$f \leq g \Rightarrow \int f \leq \int g$;
\item
$\int c f = c \int f \quad \forall c \in (0,\infty)$;
\item
$\int f + g = \int f + \int g.$
\end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Nur der dritte Punkt braucht einen Beweis.
Sind $f$ und $g$ Stufenfunktionen, so haben wir die Behauptung schon 
in \ref{ASt} gezeigt.
Um den allgemeinen Fall daraus abzuleiten, brauchen wir
folgendes
\begin{Lemma}\label{MM}
Sei $(X,\cal{M})$ ein Me"sraum und $f:X \ra [0,\infty] $ eine me"sbare
Funktion.
So gibt es eine monotone Folge von me"sbaren Stufenfunktionen
$0\leq\varphi_{0} \leq \varphi_{1} \leq \ldots$ mit Werten in $[0,\infty),$
die punktweise
gegen $f$ konvergiert.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Wir konstruieren $\varphi_{n}$ zum Beispiel wie folgt:
Sei $0 = a_{0} <a_{1}< \ldots <a_{r} = n $ die "aquidistante
Einteilung von $[0,n]$ in St"ucke der L"ange $2^{-n},$ also $r = n
2^{n}$ und $a_{i} = i2^{-n}.$ Wir setzen
$
A_{i} = f^{-1} (a_{i},a_{i+1}]$ f"ur $0 \leq i < r$ sowie
$A_{r}= f^{-1} (n,\infty]
$
und bilden $\varphi_{n} = \sum^{r}_{i=0} a_{i} \chi_{A_{i}}.$
Es ist offensichtlich, da"s wir so eine monotone Folge von
Stufenfunktionen erhalten, die punktweise gegen $f$ konvergiert.
\end{proof}\noindent
Jetzt schreiben wir $f$ und $g$ als punktweise Grenzwerte
von monotonen Folgen me"sbarer Stufenfunktionen, 
$0\leq\varphi_{0} \leq \varphi_{1} \leq \ldots$ und
$0\leq\psi_{0} \leq \psi_{1} \leq \ldots,$ und folgern mit dem Satz
\ref{MKo} "uber monotone Konvergenz
$$\int f+g=\lim_{n\ra\infty} \int \varphi_n+\psi_n=
\lim_{n\ra\infty}\int \varphi_n+\lim_{n\ra\infty}\int \psi_n
=\int f +\int g\qedhere$$
\end{proof}

\begin{Ubung}
Sei $(X,\cal{M}^{\ast}, \mu^{\ast})$ ein Ma"sraum, $\cal{M} \subset
\cal{M}^{\ast}$ ein $\sigma$-Teilring und $\mu =
\mu^{\ast}|_{\cal{M}}$ das darauf induzierte Ma"s.
F"ur jede bez"uglich $\cal{M}$ me"sbare Funktion $f: X \ra [0,\infty]$
gilt $\int f \mu = \int f  \mu^{\ast}.$
\end{Ubung}

\subsection{Integrierbare Funktionen und ihr Integral}
\begin{Definition}[Integral einer integrierbaren Funktion]
Sei $X=(X,\cal{M}, \mu)$ ein Ma"sraum.
Eine Funktion $f:X \ra \Bbb{R}$ hei"st \defind{integrierbar} 
oder pr"aziser \defind{Lebesgue-integrierbar} genau dann,
wenn sie me"sbar ist bez"uglich der Vervollst"andigung
des Ma"sraums und wenn zus"atzlich gilt $\int |f| < \infty.$
Wir definieren das {\bf Integral} $\int f \in \Bbb{R}$ einer
integrierbaren Funktion $f: X \ra \Bbb{R}$ durch die Vorschrift
$$\int f = \int f_{+}- \int f_{-}$$
wobei $f_{+},f_{-} : X \ra [0,\infty)$ den {\bf positiven} bzw. 
{\bf negativen Anteil} von $f$ bezeichnen, der gegeben wird durch 
$f_{\pm}(x)=\max(\pm f(x),0).$
Die Menge aller Lebesgue-integrierbaren Funktionen $f: X \ra \Bbb{R}$
notieren wir  $\cal{L}^{1}_{\Bbb{R}} (X) $ oder
$\cal{L}^{1}_{\Bbb{R}} (X,\mu).$
\end{Definition}
\begin{Bemerkung}
Die Integrale "uber $|f|,$  $f_+$ und $f_-$ sind 
hier zu verstehen als Integrale nichtnegativer Funktionen
im Sinne des vorhergehenden Abschnitts, gebildet 
"uber den vervollst"andigten Ma"sraum.
Ich gehe in dieser Definition implizit zur
Vervollst"andigung des Ma"sraums "uber, da 
es dem Sprachempfinden entspricht und auch im weiteren 
Verlauf der Vorlesung bequem ist,
alle Funktionen integrierbar zu nennen, denen man noch in
vern"unftiger Weise ein Integral zuordnen kann. 
Eine Funktion, die me"sbar ist auf dem vervollst"andigten Ma"sraum, nennen
wir ganz allgemein  \defind{$\mu$-me"sbar}. 
Eine integrierbare Funktion ist also
per definitionem stets $\mu$-me"sbar.
Wollen wir von einer integrierbaren Funktion
fordern, da"s sie sogar schon auf dem
noch nicht vervollst"andigten Ma"sraum me"sbar ist, so nennen wir
sie \defind{me"sbar und integrierbar.}  
Den Zusammenhang zwischen diesen Begriffen kl"art das anschlie"sende  Lemma
\ref{MI}.
\end{Bemerkung}
\begin{Beispiel}
Ist $I$ eine Menge, versehen mit dem Z"ahlma"s auf dem
$\sigma$-Ring der abz"ahlbaren Teilmengen, 
so ist eine  Funktion 
$f:I\ra\DR$ integrierbar genau dann, wenn
sie au"serhalb einer abz"ahlberen Teilmenge verschwindet und
die Summe $\sum_{i\in I}f(i)$ absolut konvergiert im Sinne von
\ref{BUS}. Das Integral unserer Funktion ist in diesem Fall genau der
Grenzwert der Reihe.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkung}
Offensichtlich stimmt im Fall einer nichtnegativen 
reellwertigen me"sbaren und integrierbaren Funktion 
ihr Integral im Sinne des vorhergehenden Abschnitts "uberein
mit ihrem Integral im Sinne dieser Definition. Es ist deshalb
sinnvoll, f"ur beide Konzepte dasselbe Symbol  zu verwenden.
Es gilt jedoch zu beachten, da"s man einer
beliebigen me"sbaren reellwertigen  Funktion
im Allgemeinen nicht mehr sinnvoll ein Integral zuordnen kann.
Das gelingt nur bei
me"sbaren  Funktionen mit nichtnegativen Werten 
und wenn man
$\infty$ als Wert des Integrals zul"a"st. 
Wie wir gesehen haben, 
gelingt dann ja das Integrieren sogar allgemeiner f"ur me"sbare Funktionen 
mit Werten in $[0,\infty].$
\end{Bemerkung}
\begin{Lemma}\label{MI}
Sei $(X,\cal{M},\mu)$ ein Ma"sraum.
F"ur jede $\mu$-me"sbare Funktion 
$f:X\ra\Bbb{R}$ gibt es eine me"sbare Funktion
$\tilde{f}:X\ra\Bbb{R},$ die au"serhalb einer
$\mu$-Nullmenge mit $f$ "ubereinstimmt.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Sicher k"onnen wir $f$ schreiben als punktweisen Grenzwert einer Folge von
$\mu$-me"sbaren Stufenfunktionen $f(x) = \lim s_{n}(x).$
Dann verkleinern wir die Stufen zu me"sbaren Mengen so, da"s
sich das Ma"s der Stufen nicht "andert, und erhalten eine Folge
von me"sbaren Stufenfunktionen $\tilde{s}_{n},$ die
au"serhalb einer Nullmenge $A$ punktweise gegen $f$ konvergiert.
Nat"urlich d"urfen wir $A\in\cal{M}$ annehmen, und dann erf"ullt der punktweise
Grenzwert
$\tilde{f}(x) = \lim_{n\ra \infty} \chi_{A}(x) \tilde{s}_{n}(x)$
unsere Forderungen.
\end{proof}
\begin{Bemerkung}
Aus der Definition erhalten wir f"ur $f,g $ integrierbar sofort 
$|\int f| \leq \int |f|$ und $f\leq g\RA \int f\leq \int g.$  
\end{Bemerkung}


\begin{Satz}
Sei $(X,\cal{M}, \mu)$ ein Ma"sraum.
Der Raum $\cal{L}^{1}_{\Bbb{R}}(X)$ aller integrierbaren Funktionen ist
ein Untervektorraum im Raum aller Funktionen $X\ra\Bbb{R},$ und das Integral
ist eine lineare Abbildung
$$\int : \cal{L}^{1}_{\Bbb{R}} (X) \ra \Bbb{R}$$
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Wir "uberlassen den Nachweis der ersten Aussage dem Leser und
zeigen nur die Linearit"at des Integrals.
Zun"achst zeigen wir die Additivit"at
$$\int f + g = \int f + \int g$$
Seien $f= f_{+}-f_{-},$ $ g=g_{+}-g_{-}$ und $f+g = h = h_{+}-h_{-}$
die Zerlegungen in den positiven und negativen Anteil.
Wir folgern durch Einsetzen $f_{+} + g_{+} +h_{-} =
f_{-}+g_{-}+h_{+}$ und mit \ref{IANN} ergibt sich
$\int f_{+} + \int g_{+} + \int h_{-} = \int f_{-}+\int g_{-} +
\int h_{+},$ woraus mit der Definition dann wieder
$\int f+ \int g = \int f+g$ folgt.
Nun zeigen wir noch die Vertr"aglichkeit mit Skalarmultiplikation
$$\int c f =c \int f$$
F"ur $c=-1$ folgt das aus den Definitionen, f"ur $c \geq 0$
folgt es aus \ref{IANN}, und der allgemeine Fall ergibt sich aus diesen
beiden Spezialf"allen.
\end{proof}
  
\begin{Satz}[\textbf{"uber dominierte Konvergenz}]\index{dominierte Konvergenz}
Sei $(X,\cal{M}, \mu)$ ein Ma"sraum 
und $f_{n} : X \ra \Bbb{R}$ eine Folge $\mu$-me"sbarer
Funktionen, die punktweise gegen eine Funktion $f: X \ra \Bbb{R}$
konvergiert.
Gibt es eine integrierbare Funktion $g: X \ra \Bbb{R}$ mit $|f_{n}|
\leq g$ f"ur alle $n,$ so sind alle $f_{n}$ und auch $f$ integrierbar, und
es gilt
$$\int f = \lim_{n\ra \infty} \int f_{n}$$
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Aus unseren Annahmen folgt $\int |f_{n}|\leq\int g <\infty,$ also
sind die $f_{n}$ integrierbar. Weiter ist $f$ auch $\mu$-me"sbar als
punktweiser Grenzwert $\mu$-me"sbarer Funktionen und dann ist mit
demselben Argument auch $f$ integrierbar.
Um die Vertauschbarkeit des Grenzwerts mit dem Integral zu
zeigen, betrachten wir nun die Funktionenfolgen
$$\begin{array}{lcr}
i_{n} (x) &=& \inf \{f_{n}(x),f_{n+1}(x),\ldots \}\\
s_{n} (x) & =& \sup\{f_{n}(x),f_{n+1}(x),\ldots \}
\end{array}$$
Sie bestehen aus me"sbaren Funktionen, beide Folgen konvergieren
punktweise gegen $f,$ und es gilt
$$-g\leq i_{0} \leq i_{1}\leq \ldots \leq f \leq \ldots
\leq s_{1}\leq s_{0}\leq g$$
Mit dem Satz "uber monotone Konvergenz erhalten wir also
$\lim_{n\ra \infty} \int g+i_{n} = \int g+f$
und $\lim_{n\ra \infty} \int g-s_{n} = \int g-f,$ also
$$\lim_{n\ra \infty} \int i_{n} = \int f = \lim_{n\ra \infty} \int
s_{n}$$
Da aber nach Definition gilt $i_{n} \leq f_{n}\leq s_{n},$ folgt
die Behauptung sofort.
\end{proof}

\subsection{Integration auf Produktr"aumen}

\begin{Satz}[Produktma"s]
Seien $(X, \cal{M}, \mu)$ und $(Y,\cal{N},\nu)$ 
Ma"sr"aume mit $\sigma$-endlichem Ma"s.
So gibt es auf dem von allen
Produkten $A \times B$ mit $A \in \cal{M},$ $B \in \cal{N}$ erzeugten
$\sigma$-Ring $\cal{M} \otimes \cal{N} \subset \cal{P} (X\times Y)$ 
genau ein Ma"s $\mu \otimes \nu$ derart,
da"s  gilt
$$(\mu \otimes \nu)(A \times B) = \mu (A) \nu (B)\;\;\;\forall A \in \cal{M},\;
B \in \cal{N}$$ 
\end{Satz}
\begin{Bemerkung}
Wir arbeiten hier mit der Konvention $0\cdot \infty = \infty \cdot 0=0.$  
Das Ma"s $\mu \otimes \nu$ hei"st  das 
{\bf Produkt}\index{Produktma"s} der Ma"se
$\mu$ und $\nu.$ 
\end{Bemerkung}

\begin{proof}[Beweis]
Man pr"uft zun"achst, da"s die Gesamtheit aller endlichen
disjunkten Vereinigungen von Quadern $A \times B$ mit $A \in
\cal{M},$ $B \in \cal{N}$ einen Mengenring bildet.
Wir bezeichnen diesen Mengenring mit $\cal{M} \times \cal{N}.$ Unser
Satz folgt sofort aus dem Satz von Hahn \ref{MHa}, wenn wir nur zeigen, da"s
es auf $\cal{M} \times \cal{N}$ ein Pr"ama"s $\mu \times \nu$ gibt
mit $(\mu \times \nu) (A\times B) = \mu (A) \nu (B).$
Es ist jedoch klar, da"s f"ur $C \in \cal{M} \times \cal{N}$ und
beliebiges $y \in Y$ die Abbildung $x \mapsto \chi_{C} (x,y)$ eine
me"sbare Stufenfunktion $X\ra{0,1}$ ist und da"s wir weiter mit
$y\mapsto \int_{X} \chi_{C} (x,y) \mu(x)$ eine me"sbare
Stufenfunktion $Y\ra[0,\infty]$ erhalten.
Wir k"onnen also definieren
$$(\mu \times \nu)(C) = \int_{Y} \left(\int_{X} \chi_{C}(x,y)\mu(x)\right)
\nu(y)$$
und die $\sigma$-Additivit"at von $\mu \times \nu$ folgt dann aus
der Additivit"at der Integrale \ref{IANN} zusammen mit dem Satz "uber
monotone Konvergenz \ref{MKo}.
\end{proof}
\begin{Bemerkung}\label{LeB}
Mit diesem Satz k"onnen wir durch Induktion "uber $n$
das Lebesgue-Ma"s auf dem $\Bbb{R}^n$ aus dem Lebesgue-Ma"s auf $\Bbb{R}$
konstruieren und so die Existenz in \ref{Le} zeigen.
\end{Bemerkung}
\begin{Ubung}
Seien $(X, \cal{M}, \mu)$ und $(Y,\cal{N},\nu)$ 
Ma"sr"aume mit 
$\sigma$-endlichem Ma"s. Wir erhalten denselben 
Ma"sraum, ob wir den Produktraum 
vervollst"andigen oder ob wir die einzelnen Ma"sr"aume vervollst"andigen,
den Produktraum bilden, und nochmals vervollst"andigen. In  
 Formeln gilt also
$$(X\times Y, (\cal{M}^\ast\otimes \cal{N}^\ast)^\ast, 
(\mu^\ast\otimes \nu^\ast)^\ast)
=(X\times Y, (\cal{M}\otimes \cal{N})^\ast, (\mu\otimes \nu)^\ast)$$ 
\end{Ubung} 


\begin{Satz}[\textbf{positiver Fubini}]\label{pF}
Seien gegeben 
Ma"s\-r"aume $(X,\cal{M}, \mu)$ und $(Y,\cal{N},\nu)$  mit 
$\sigma$-endlichem Ma"s
und sei $(X\times Y, \cal{M} \otimes \cal{N}, \mu \otimes \nu)$ ihr
Produkt.
Gegeben eine me"sbare Funktion $f: X \times Y \ra [0,\infty]$  ist 
$x\mapsto f(x,y)$ f"ur alle $y\in Y$ eine me"sbare Funktion $X\ra[0,\infty]$ 
und das partielle Integral
 $y \mapsto \int f(x,y) \mu(x)$ ist eine me"sbare Funktion
$Y\ra[0,\infty]$ und es gilt
$$\int_{X\times Y} f(x,y)\;(\mu\otimes\nu)(x,y) = \int_{Y} \left(
\int_{X} f(x,y)\mu(x)\right) \nu(y)$$
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
F"ur jedes $y\in Y$ ist die $y$-Horizontale $X \ra X \times Y,$ $x
\mapsto (x,y)$ me"sbar nach Lemma \ref{KM}, da die Urbilder von
Erzeugern der $\sigma$-Algebra $\cal{M} \otimes \cal{N}$ me"sbar sind.
Also ist auch $x\mapsto f(x,y)$ me"sbar auf $X$ als die Verkn"upfung
von $f$ mit der $y$-Horizontalen.
Um die anderen Aussagen des Satzes zu zeigen, m"ussen wir weiter
ausholen.
Zun"achst einmal d"urfen wir annehmen, da"s $X$ und $Y$ endliches
Ma"s haben. Sonst schreiben wir $X$ bzw. $Y$ als aufsteigende
Vereinigung von Teilmengen $X_{n}$ bzw. $Y_{m}$ endlichen Ma"ses
und erhalten die Me"sbarkeit des partiellen Integrals "uber $X_n$ und
$$\int_{X_{n}\times Y_{m}} f(x,y) \;(\mu\otimes\nu)(x,y) =
\int_{Y_{m}} \left( \int_{X_{n}} f(x,y) \mu(x)\right) \nu(y)$$
Im Grenzwert $n\ra \infty$ ergibt sich dann $\int_{X\times Y_{m}}
f(x,y)  \;(\mu\otimes\nu)(x,y)$ auf der linken Seite, und auf der
rechten streben die me"sbaren Funktionen $y\mapsto \int_{X_{n}}
f(x,y) \mu(x)$ punktweise monoton gegen $y \mapsto \int_{X}f(x,y)
\mu(x).$ Mithin ist diese Funktion auch me"sbar und hat das Integral
$$\int_{Y_{m}} \left( \int_{X} f(x,y) \mu(x) \right) \nu(y) =
\lim_{n\ra \infty} \int_{Y_{m}} \left(\int_{X_{n}} f(x,y)
\mu(x)\right)  \nu(y)$$
Bilden wir dann schlie"slich den Grenzwert f"ur $m \ra \infty,$ so folgt
wie gew"unscht $\int_{X\times Y}f = \int_{Y}\int_{X}f.$
Wir d"urfen also ohne Beschr"ankung
der Allgemeinheit voraussetzen, da"s $X$ und $Y$ endliches Ma"s haben.
Wir zeigen nun den Satz zun"achst f"ur
Funktionen der Gestalt $f=\chi_{C}$ mit $C \in \cal{M} \otimes
\cal{N}.$ Dazu brauchen wir
\begin{Definition} Sei $Z$ eine Menge.
Ein System $\cal{A} \subset \cal{P} (Z)$ von Teilmengen von
$Z$  hei"st  \defind{monoton} genau dann, wenn gilt
\begin{enumerate}
\item
Liegen $A_{0} \subset A_{1} \subset A_{2} \subset \ldots$ alle in
$\cal{A},$ so auch $\bigcup A_{n}.$
\item
Liegen $B_{0} \supset B_{1} \supset B_{2} \supset \ldots$
alle in $\cal{A},$ so auch $\bigcap B_{n}.$
\end{enumerate}
\end{Definition}
\begin{Lemma}
Sei $Z$ eine Menge und $\cal{R} \subset \cal{P} (Z)$ eine Mengenalgebra.
So kann die von $\cal{R}$ erzeugte $\sigma$-Algebra $\cal{M} (\cal{R})$ auch
beschrieben werden als das kleinste 
monotone System $\cal{A}\subset\cal{P}(Z),$ das
$\cal{R}$ umfa"st.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Offensichtlich gilt $\cal{A} \subset \cal{M} (\cal{R}).$
Wir m"ussen also nur zeigen, da"s $\cal{A}$ eine $\sigma$-Algebra ist.
Zun"achst zeigen wir, da"s $\cal{A}$ stabil ist unter dem Bilden von
Komplementen.
Sicher ist mit $\cal{A}$ auch $\cal{A}^{c} = \{Z-A \mid A \in \cal{A}\}$ ein
monotones System und dann auch $\cal{A} \cap \cal{A}^{c}.$ Aus $\cal{R}
\subset \cal{A}^{c}$ folgt also $\cal{A} = \cal{A}^{c}.$ In anderen Worten 
haben wir gezeigt, da"s $\cal{A}$ stabil ist unter Komplementen, 
in Formeln  $$A
\in \cal{A} \Rightarrow Z - A \in \cal{A}$$
"Ahnlich ist f"ur jede Teilmenge $Y \subset Z$ mit $\cal{A}$ auch
$\cal{A}_{Y} = \{A \in \cal{A} \mid A \cap Y \in \cal{A}\}$ ein monotones
System.
F"ur $Y \in \cal{R}$ gilt nat"urlich
$\cal{R} \subset \cal{A}_{Y}$ und daraus folgt sofort $\cal{A}
\subset \cal{A}_{Y}.$
Damit haben wir gezeigt:
$$A \in \cal{A} \text{ und } Y \in \cal{R} \Rightarrow A\cap Y \in \cal{A}$$
Mit dieser Erkenntnis 
lassen wir nun dasselbe Argument nocheinmal laufen: F"ur $X \in \cal{A}$
wissen wir bereits, da"s gilt $\cal{R} \subset \cal{A}_{X},$ und daraus folgt
$\cal{A} \subset \cal{A}_{X}.$ Damit
haben wir gezeigt
$$A \in \cal{A} \text{ und }B \in \cal{A}\Rightarrow A \cap B \in \cal{A}$$
Also ist $\cal{A}$ eine Mengenalgebra. Da $\cal{A}$ 
stabil ist unter abz"ahlbaren aufsteigenden Vereinigungen, 
ist es dann sogar  eine $\sigma$-Algebra.
\end{proof}\noindent
Mit diesem Lemma k"onnen wir nun den Satz im Fall $f=\chi_{C}$
zeigen: Da wir uns n"amlich schon auf den Fall
$\mu(X)<\infty,$ $\nu(Y)<\infty$ zur"uckgezogen haben, ist die 
konstante Funktion $1$ integrierbar auf $X\times Y,$ und nat"urlich 
dominiert diese
Funktion die charakteristischen Funktionen aller Teilmengen von $X\times Y.$
Aus dem Satz "uber dominierte Konvergenz folgt also, da"s die
Menge aller $C \in \cal{M} \otimes \cal{N},$ f"ur deren charakteristische
Funktion der Satz gilt, ein monotones System ist. Dies monotone
System enth"alt aber offensichtlich alle $C \in \cal{M} \times \cal{N},$
mithin besteht es nach dem Lemma aus allen me"sbaren Mengen $C \in
\cal{M} \otimes \cal{N}.$
Damit ist der Satz nun auch f"ur me"sbare Stufenfunktion $f: X \times
Y \ra \left[0,\infty\right)$ klar.
F"ur beliebiges me"sbares $f$ folgert man die Aussage dann, indem
man $f$ als punktweisen Grenzwert einer monoton wachsenden Folge
von Stufenfunktionen schreibt und beachtet, da"s auf beiden Seiten
Integral und Grenzwert vertauscht werden d"urfen.
\end{proof}
\begin{Bemerkung}\label{PrC}
Der Spezialfall des vorhergehenden Satzes, in dem man f"ur $f$ die
charakteristische Funktion einer me"sbaren Menge $C \subset
\cal{M}\otimes \cal{N}$ nimmt, hei"st  das \defind{Prinzip von Cavalieri}.
\index{Cavalieri}
Explizit ist f"ur $C_{y}= i^{-1}_{y}(C)$ das Urbild von $C$
unter der $y$-Horizontalen $i_{y}:X \ra X\times Y,$
$x \mapsto (x,y)$ die Abbildung $Y\ra[0,\infty],$
$y\mapsto\mu(C_y)$ me"sbar, und es gilt
$$(\mu \otimes \nu)(C) = \int_{Y}\mu (C_{y})\nu(y)$$
Wir k"onnen damit zum Beispiel beweisen, da"s das Integral
einer nichtnegativen me"sbaren Funktion auf $\Bbb{R}$ tats"achlich die 
zwischen ihrem Graphen und der $x$-Achse eingeschlossene Fl"ache ist,
wie im folgenden Korollar ausgef"uhrt wird. 
\end{Bemerkung}

\begin{Korollar}
Sei $(X,\cal{M}, \mu)$ ein $\sigma$-endlicher Ma"sraum und $f: X \ra
[0,\infty]$ me"sbar. So ist auch die Menge
$F \subset X \times \Bbb{R}$ gegeben als $F =\{(x,y)\mid 0 \leq y <
f(x)\}$
me"sbar, und es gilt $(\mu\otimes \lambda)(F) = \int_{X} f \mu.$
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Um zu zeigen, da"s $F$ me"sbar ist, schreiben wir $F$ als
abz"ahlbare Vereinigung von Quadraten
$F = \bigcup_{q \in \DQ_{>0}} f^{-1}([q,\infty]) \times
\left[0,q\right).$
Die Formel f"ur das Volumen von $F$ folgt sofort aus dem Prinzip von Cavalieri
\ref{PrC}.
\end{proof}
\begin{Beispiel}
Es folgt sofort, da"s f"ur $k<n$ die Teilmenge $\DR^k\subset \DR^n$
eine Nullmenge ist. Es folgt weiter mit \ref{FEK}, 
da"s das Lebesgue-Ma"s einer Kreisscheibe $D$ vom Radius $r$
in der Tat gegeben wird durch  
$\lambda(D)=\pi r^2.$  Ist schlie"slich $I\subset\DR$ ein
Intervall oder allgemeiner
eine me"sbare Teilmenge und $f:I\ra [0,\infty]$ stetig
oder allgemeiner me"sbar, so folgt f"ur das
 {\bf Volumen des Rotationsk"orpers}\index{Rotationsk"orper} 
$R=\{(x,y,z)\in \DR^3\mid z\in I,\; x^2+y^2\leq f(z)^2\}$
die Formel $$\lambda(R)=\pi \int_I f(z)^2\diff z$$
\end{Beispiel}
\begin{Ubung}\index{Kugelvolumen}
Man zeige, da"s die Einheitskugel das Volumen $4\pi/3$ hat.
\end{Ubung}

\begin{Definition}
Sei $(X,\cal{M}, \mu)$ ein Ma"sraum.
Gilt eine Aussage f"ur alle $x \in X$ au"serhalb einer Menge $A$
vom Ma"s Null, so sagt man auch, die Aussage gelte \defind{fast
"uberall} oder genauer {\bf $\mu$-fast "uberall}.
\end{Definition}
\begin{Bemerkung}
Es sollte damit hinreichend klar sein, was im folgenden 
Satz unter einer \glqq fast "uberall definierten Funktion\grqq\  
zu verstehen ist, und wie f"ur
fast "uberall definierte Funktionen die Begriffe  Integrierbarkeit und
Integral erkl"art sind. 
  \end{Bemerkung}
\begin{Satz}[\defind{Fubini}]
Seien $(X,\cal{M} ,\mu)$ und $(Y,\cal{N},\nu)$ zwei $\sigma$-endliche
Ma"s\-r"aume und $(X \times Y, \cal{M} \otimes \cal{N}, \mu \otimes \nu)$ ihr
Produkt.
Ist $f: X\times Y \ra \Bbb{R}$ eine integrierbare
Funktion, so ist f"ur fast alle $y \in Y$ die Funktion
$x\mapsto f(x,y)$ integrierbar und die fast "uberall
definierte Funktion $y \mapsto \int_{X} f(x,y)  \mu(x)$ ist
integrierbar und ihr Integral ist
$$\int_{Y} \left(\int_{X}
f(x,y) \mu(x)\right) \nu(y)
=
\int_{X\times Y} f(x,y) \;(\mu\otimes\nu)(x,y) $$
\end{Satz}
\begin{Bemerkung}
Will man diesen Satz in der Praxis anwenden, so wird man in der Regel
zuerst den positiven
Fubini \ref{pF} benutzen m"ussen um die
Integrierbarkeit von $f$ nachzuweisen.
\end{Bemerkung}
\begin{Beispiel}
Das folgende Beispiel zeigt, welche Probleme beim Vertauschen der
Integrationsreihenfolge auftreten k"onnen.
Sei $\mu$ das Z"ahlma"s auf $\Bbb{N}.$  Wir finden induktiv eine
Funktion $f: \Bbb{N} \times \Bbb{N} \ra \Bbb{R}$ mit Tr"ager in der 
\glqq treppenf"ormigen\grqq\  Menge 
$\{(i,j) \mid 0 \leq i - j \leq 1\}$ mit
 $f(0,0) =1$  und
$$\begin{array}{cccl}
f(n,n)& +&
f(n+1,n)&=0\\f(n+1,n) &+& f(n+1,n+1) &= 2^{-n}
\end{array}$$ 
f"ur alle $n \geq 0.$ 
Die beiden partiellen Integrale von $f$ existieren und sind
integrierbar. Sie sind jedoch nicht gleich, genauer gilt 
$$\int\left(\int f(n,m) \mu(n)\right) \mu(m) 
= 0 \;\;\neq \;\;3 = \int\left( \int
f(n,m) \mu(m) \right)\mu(n)$$
\begin{comment} "Ahnliches gilt  dann auch
f"ur die Funktion $g: \Bbb{R}_{\geq 0} \times \Bbb{R}_{\geq
0} \ra \Bbb{R}$ gegeben durch $g(x,y) = f([x],[y])$ mit $[x] \in \Bbb{N}$
der gr"o"sten nat"urlichen Zahl $\leq x,$ bei Integration
mit dem Lebesgue-Ma"s.
Durch geeignete Transformation dieses 
Beispiels finden wir sogar eine me"sbare reellwertige Funktion
auf dem Einheitsquadrat derart, da"s die partiellen Integrale existieren
und selbst wieder integrierbar sind, das Endresultat jedoch von der
Integrationsreihenfolge abh"angt.  
\end{comment}
\end{Beispiel}


\begin{proof}[Beweis des Satzes]
Ist $f$ bez"uglich $\cal{M} \otimes \cal{N}$ me"sbar und nichtnegativ, so
folgt die Behauptung aus dem vorhergenden Satz, aus $\int_{Y}
\left(\int_{X} f(x,y) \mu(x)\right) \nu(y) < \infty$ 
folgt n"amlich $\int_{X} f(x,y) \mu(x)
< \infty$ f"ur fast alle $y \in Y.$
Ist $f$ bez"uglich $\cal{M} \otimes \cal{N}$ me"sbar und 
integrierbar, so folgt die
Behauptung mit der Zerlegung $f = f_{+}-f_{-}$ aus dem schon
behandelten Fall.
Ist $f$ nur integrierbar, so finden wir nach \ref{MI} ein
bez"uglich $\cal{M} \otimes \cal{N}$ me"sbares $\tilde{f},$ das bis auf
eine me"sbare Nullmenge $N \in \cal{M} \otimes \cal{N}$ mit $f$
"ubereinstimmt. Dann folgt aber aus dem vorhergehenden Satz wieder
$\int_{X}\chi_{N}(x,y) \mu(x) =0$ f"ur fast alle $y \in Y,$ und f"ur
diese $y$ stimmen $f(x,y)$ und $\tilde{f} (x,y)$ f"ur fast alle $x
\in X$ "uberein.
Die Behauptung f"ur $f$ folgt also aus der Behauptung f"ur
$\tilde{f}.$
\end{proof}
\begin{Bemerkung}
Die folgende "Ubung ist keine Anwendung des  Satzes von Fubini,
sondern eine Anwendung unserer beiden zentralen Konvergenzs"atze,
die den Begriff der fast "uberall definierten
Funktion ben"otigt. 
\end{Bemerkung}

\begin{Ubung}[\emph{\bf Satz von Beppo Levi}]\index{Beppo Levi}
Sei $f_{n}$ eine monoton wachsende Folge integrierbarer
Funktionen, und sei die Folge der Integrale beschr"ankt.
So gilt $\lim_{n\ra \infty} f_{n} (x) < \infty$ fast "uberall, und die
fast "uberall definierte Funktionen $f = \lim_{n\ra \infty} f_{n}
: X \ra \Bbb{R}$ ist integrierbar mit Integral $\int f = \lim_{n\ra
\infty} \int f_{n}.$
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Zeige: Die Menge
$\{ x \in\DR^n\mid 0 \leq x_{1} \leq 
\ldots \leq x_{n} \leq 1\}$ hat das
Volumen $(n!)^{-1}.$
\end{Ubung}

\subsection{Regularit"at des Lebesgue-Ma"ses}
\begin{Satz}[Regularit"at des Lebesgue-Ma"ses]
\label{RE} Sei $A \subset \Bbb{R}^{n}$ Lebesgue-me"sbar. So gilt
$$ \lambda (A)=\inf_{\substack{
U\supset A\\ U {\mbox{ \scriptsize{\em offen in} }}\Bbb{R}^n}} \lambda
(U)=\sup_{\substack{ K \subset A
\\ K\mbox{ \scriptsize{\em kompakt}} }} \lambda (K)$$

\end{Satz} 
\begin{proof}[Beweis]
Es reicht offensichtlich, diese Aussagen f"ur jede 
Borel-me"sbare Menge $A$ zu zeigen.
F"ur beschr"ankte Intervalle $I_{1}, \ldots , I_{n} \subset \Bbb{R}$
betrachten wir dazu den Quader $I_{1}\times \ldots \times I_{n} \subset
\Bbb{R}^{n}.$ Die Gesamtheit aller endlichen Vereinigungen
solcher Quader ist eine Mengenalgebra $\cal{Q} \subset \cal{P} (\Bbb{R}^{n}),$
und $\cal{Q}$ erzeugt die $\sigma$-Algebra der Borel-Mengen. Wir k"onnen
also den Satz von Hahn anwenden und folgern f"ur jede
Borel-me"sbare Teilmenge $A \subset \Bbb{R}^{n}$ die Gleichung
$$\lambda (A) = \inf \left( \sum^{\infty}_{\nu =0} \lambda
(Q_{\nu})\right)$$
wobei das Infimum gebildet wird "uber alle Folgen $Q_{\nu}$ in $\cal{Q}$ mit $A
\subset \bigcup_{\nu} Q_{\nu}.$
F"ur jedes $\epsilon>0$ finden wir demnach eine Folge $Q_\nu$ von
Quadern wie oben mit 
$$\lambda (A) \leq  \sum^{\infty}_{\nu =0} \lambda
(Q_{\nu})\leq\lambda(A)+\epsilon$$
Nun finden wir sicher f"ur jeden dieser Quader $Q_\nu$ einen
offenen Quader $B_\nu\supset Q_\nu$ mit
$\lambda(Q_\nu)\leq\lambda(B_\nu)\leq \lambda(Q_\nu)+2^{-\nu}\epsilon,$
und f"ur die offene Menge $U=\bigcup_\nu B_\nu$ folgt dann
$$\lambda (A) \leq  \lambda(U)\leq \sum^{\infty}_{\nu =0} \lambda
(B_{\nu})\leq\sum^{\infty}_{\nu =0} \lambda
(Q_{\nu})+2^{-\nu}\epsilon\leq\lambda(A)+3\epsilon$$ 
Da das f"ur alle $\epsilon >0$ gilt, ist das Ma"s von $A$ in der Tat das
Infimum "uber die Ma"se aller offenen Mengen, die $A$ enthalten.
Um die zweite Behauptung zu zeigen, w"ahlen wir eine Folge $L_{0} \subset
L_{1} \subset L_{2} \subset \ldots$ kompakter Teilmengen des
$\Bbb{R}^{n}$ mit $\bigcup L_{i} = \Bbb{R}^{n}.$ 
Nat"urlich gilt $\lambda (A) = \lim_{i\ra \infty} \lambda (A \cap L_{i})$
und es reicht folglich, die zweite 
Gleichung f"ur alle $A \cap L_{i}$ zu zeigen.
In anderen Worten d"urfen wir annehmen, da"s es ein Kompaktum $L$
gibt mit $A \subset L.$ 
Nach dem schon bewiesenen Teil gilt nat"urlich erst recht
$$\lambda (L-A)=\inf_{\substack{U\supset L-A\\ U {\mbox{ \scriptsize{offen}}}}}
 \lambda(U\cap L)$$
Jetzt beachten wir die Gleichungen $\lambda(L-A)=\lambda(L)-\lambda(A)$ und
$\lambda(U\cap L)=\lambda(L)-\lambda(L-U)$ und erhalten 
$$\lambda(A)=\sup_{\substack{U\supset L-A
\\ U {\mbox{ \scriptsize{offen}}}}} \lambda(L-U)$$
Aber es gilt ja
$\{L-U\mid U\supset L-A,\; U \mbox{ offen}\}=
\{ K \subset A\mid K\mbox{ kompakt} \},$
und damit ist auch die zweite Behauptung bewiesen.
\end{proof}



\subsection{Rechnen mit dem Lebesgue-Integral}

\begin{Satz}[Transformationsformel f"ur das Lebesgue-Integral]\label{TFL}$\;$\\
Seien $U, V \co \Bbb{R}^{n}$ offene Teilmengen und $\varphi : U \ra V$
ein $C^{1}$-Diffeomorphismus.
Gegeben eine Lebesgue-me"sbare Funktion $f:V \ra [0,\infty]$  
gilt in $[0,\infty]$ die Formel $$\int_{V} f   =
\int_{U} (f \circ \varphi) \;|\!\det \diff \varphi| \; $$
Ist weiter eine Funktion $f:V \ra \DC$ integrierbar, so ist auch die Funktion $
(f\circ \varphi)\;|\!\det \diff \varphi| : U\ra \DC$ 
integrierbar und dieselbe Formel gilt in $\DC.$  
\end{Satz}
\begin{Bemerkung}
Wir kennen unsere Formel aus \ref{TF}
bereits f"ur stetige Funktionen $f$ mit
kompaktem Tr"ager. Dem eigentlichen Beweis schicken
wir ein kurzes Lemma voraus.
\end{Bemerkung}

\begin{Lemma}\label{KO}
Sei $A\co\Bbb{R}^n$ eine offene Teilmenge. So gibt es eine monoton
wachsende Folge von stetigen Funktionen mit kompaktem, in $A$ enthaltenem
Tr"ager, die punktweise gegen die charakteristische Funktion $\chi_A$
von $A$ strebt.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Wir betrachten auf $\Bbb{R}^n$ die stetige
Funktion $$f(x) = \op{inf} \{d(x,\Bbb{R}^{n}-A), (\|x\| +1)^{-1}\}$$
Sie verschwindet au"serhalb von $A$ und wird beliebig klein f"ur
Punkte, die hinreichend fern sind vom Ursprung.
Jetzt definieren wir st"uckweise lineare 
Funktionen $g_{n} : \Bbb{R} \ra [0,1]$ durch
$$g_{n} (x) = \left\{ \begin{array}{ll}
0 & \text{falls }x\leq 1/n;\\
nx -1 &  \text{falls }1/n \leq x\leq 2/n;\\
1 &  \text{falls }x \geq 2/n. \end{array}\right.$$
Die Funktionen $g_{n}\circ f$ bilden dann schlie"slich die gesuchte Folge.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis von \ref{TFL}]
Wir zeigen nun zun"achst die erste Behauptung.
Mit dem Lemma folgt unsere Formel nun f"ur die charakteristischen
Funktionen $f=\chi_{O}$ von offenen Teilmengen $O\co V$ mit \ref{KO},
indem wir
$\chi_{O}$ als monotonen punktweisen Grenzwert einer Folge $f_{n}$
aus $C_{c}(V)$ schreiben.
Sie folgt f"ur charakteristische Funktionen $f= \chi_{K}$ von
kompakten Teilmengen $K \subset V,$ indem wir $O \co V$ w"ahlen
mit $K \subset O$ und  $\lambda(O)<\infty$ und auf 
$\chi_{O} = \chi_{K} + \chi_{O-K}$ die
Additivit"at des Integrals anwenden. Sie folgt f"ur
charakteristischen Funktionen beliebiger me"sbarer Mengen dann aus
der Regularit"at des Lebesgue-Ma"ses.
Sie folgt schlie"slich f"ur beliebige me"sbare Funktionen $f:
V \ra [0,\infty],$ indem wir $f$ als punktweisen monotonen
Grenzwert me"sbarer Stufenfunktionen schreiben.
Die zweite Variante folgt ohne M"uhe aus der ersten.
\end{proof}

\begin{Proposition}[N"utzliche Nullmengen]\label{NML}
Ist  $U \co \Bbb{R}^{k}$ offen,  $k<n$ und   $\varphi : U \ra \Bbb{R}^{n}$
stetig differenzierbar,
so ist $\varphi (U)$ eine Nullmenge.
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Nach dem technischen
Lemma \ref{abz}, das wir
im Anschlu"s beweisen,
k"onnen wir $U$ schreiben als abz"ahlbare Vereinigung
"uber eine Folge von offenen
Quadern $Q_{\nu}$ mit $\bar{Q}_{\nu}$ kompakt und
$\bar{Q}_{\nu} \subset U.$ Folglich d"urfen wir ohne
Beschr"ankung der Allgemeinheit voraussetzen, da"s $\bar{U}$
selbst ein kompakter Quader ist und da"s $|\!\diff\varphi|$ beschr"ankt
ist auf $U.$
Nach einer affinen Koordinatentransformation d"urfen wir
zus"atzlich sogar annehmen $U = (0,1)^{k}.$
Wir arbeiten wie immer mit der 
Maximumsnorm auf $\Bbb{R}^n$ und $\Bbb{R}^k,$
die B"alle
$\op{B}(x,\delta)$ sind also offene W"urfel
und ihre Abschl"usse $\bar{\op{B}}(x,\delta)$ abgeschlossene W"urfel.
Ist $C$ eine Schranke f"ur $|\!\diff\varphi |,$ so gilt nach dem
Mittelwertsatz $\varphi ( U \cap {\bar{\op{B}} (x,\delta)}) \subset
{\bar{\op{B}} (\varphi (x), C \delta)} $ f"ur alle $x \in U.$
F"ur $r \in\DN,$ $r\geq 1$ finden wir nun eine "Uberdeckung von $(
0,1)^{k}$ durch $r^{k}$ abgeschlossene W"urfelchen der
Gestalt ${\bar{\op{B}}(x,1/r)},$ also finden wir eine "Uberdeckung
von $\varphi (U)$ durch $r^{k}$ abgeschlossene W"urfelchen der Gestalt
${\bar{\op{B}}(y,C/r)}$ mit Gesamtvolumen $r^{k} (2C/r)^{n}.$
Dies Gesamtvolumen strebt aber gegen Null f"ur $r \ra \infty,$
mithin ist $\varphi (U)$ eine Nullmenge.
\end{proof}
\begin{Lemma}\label{abz}
Jede offene "Uberdeckung einer Teilmenge des
$\Bbb{R}^n$ besitzt eine abz"ahlbare Teil"uberdeckung.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Wir betrachten in $\Bbb{R}^{n}$ alle offenen B"alle mit
rationalem Radius und rationalem Mittelpunkt.
Diese offenen B"alle lassen sich abz"ahlen und bilden dann
eine Folge $U_0,$ $U_1,$ $\ldots$ von Teilmengen des $\Bbb{R}^n.$
Ist $V \co \Bbb{R}^{n}$ offen und $p \in V$ ein Punkt, so finden
wir stets ein $\nu$ mit $p \in U_{\nu} \subset V.$ In der Tat gibt
es $\varepsilon > 0$ rational mit $\op{B}(p,\varepsilon)\subset V$ und einen
Punkt mit rationalen Koordinaten in $\op{B}(p,\varepsilon/2)$ und dann
gilt $p \in \op{B}(q, \varepsilon/2) \subset V.$
Ist nun $A\subset \Bbb{R}^n$ "uberdeckt durch eine Familie $V_i$ von
offenen Teilmengen des $\Bbb{R}^n,$ so betrachten wir in der Folge
der $U_\nu$ die Teilfolge $U_{\nu(0)},\;U_{\nu(1)},\ldots$ aller $U_\nu,$
die in einem der $V_i$ liegen, und w"ahlen f"ur jedes $r\in\DN$
ein $i(r)$ mit
$V_{i(r)}\supset U_{\nu(r)}.$ Die $V_{i(r)}$ bilden dann die
gesuchte abz"ahlbare Teil"uberdeckung.
\end{proof}

\begin{Proposition}[Fl"ache unter der Gau"s'schen
Glockenkurve]\index{Gauss'sche Glockenkurve}
Es gilt $\int_{\Bbb{R}}\exp (-x^{2}) = \sqrt{\pi}.$
\end{Proposition}

\begin{proof}[Beweis]
Wir rechnen das Integral "uber die Ebene der nichtnegativen Funktion 
$\exp (-(x^{2}+y^{2}))$ 
auf zwei Weisen aus, einmal direkt 
mit Fubini und ein zweites Mal, indem wir
mithilfe von \ref{NML} die Ebene
l"angs der negativen $x$-Achse aufschneiden und 
mit \ref{TFL} zu Polarkoordinaten "ubergehen.
Ein Vergleich der Resultate liefert die Behauptung.
Genauer rechnen wir
$$\begin{array}[b]{ccl}
\int_{\Bbb{R}^{2}} \exp (-(x^{2}+y^{2})) &= &
\int_{\Bbb{R}}\int_{\Bbb{R}} 
\exp (-x^{2})\exp (-y^{2}) \diff x \diff y\\[2mm]
&=& \left( \int_{\Bbb{R}} \exp (-x^{2}) \diff x\right)^{2}\\[5mm]
\int_{\Bbb{R}^{2}}\exp (-(x^{2}+y^2))
&=& \int_{\Bbb{R}^{2}\setminus\{(x,y)\mid x\leq 0\}} \exp
(-(x^{2}+y^{2}))\diff x \diff y\\[2mm]
&=& \int_{( 0,\infty)\times(-\pi,\pi)} \exp (-r^{2})\; r \diff r
\diff \theta\\[2mm]
&=&  \int^{\infty}_{0} \int^{\pi}_{-\pi} \exp
(-r^{2})\; r \diff r \diff \theta\\[2mm]
&=& - \pi \exp (-r^{2}) |^{\infty}_{0}\\[2mm]
&=& \pi
\end{array}\qedhere$$
\end{proof}
\begin{comment}

\begin{Beispiel}
  Die \defind{Kugelkoordinaten} im Raum werden beschrieben durch 
eine geeignete Einschr"ankung der Abbildung
  $$\begin{array}{cccl}
    K :& \Bbb{R}^{3} & \ra &\;\;\;\Bbb{R}^{3}\\
   & (r,\varphi, \vartheta) &\mapsto & (r\cos \varphi \sin\vartheta, r
    \sin\varphi \sin\vartheta, r \cos \vartheta)
\end{array}$$
Diese Abbildung hat die folgende anschauliche Bedeutung: Stellen wir uns ein
Teleskop vor, das im Ursprung eines kartesischen
Koordinatensystems auf einem waagerechten, d.h.\ in der $xy$-Ebene
liegenden
Drehteller  steht und in
Richtung der positiven $x$-Achse zeigt. 
Um einen entfernten Stern zu betrachten,
m"ussen wir zun"achst den Drehteller drehen um einen
geeigneten Winkel, sagen wir um den Winkel 
$\varphi \in \left[ 0,2\pi \right)$ 
gegen den Uhrzeigersinn,
und dann das Teleskop nach
oben oder unten schwenken zu einem geeigneten Winkel,
den wir gegen die positive $z$-Achse messen als
 $\vartheta \in[0,\pi].$  
Ist schlie"slich $r$ die Entfernung unseres Sterns, so gibt
$K(r,\varphi,\vartheta)$ seine kartesischen Koordinaten an.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Es sollte irgendwann gezeigt werden, da"s
mit der Konvention $x!=\Gamma(x+1)$  gilt
$$(\text{Volumen der Einheitskugel im }\DR^n)=
\frac{\pi^{n/2}}{(n/2)!}$$
\end{Beispiel}
\end{comment}
\subsection{Fl"achenma"s einer Mannigfaltigkeit im $\DR^n$}


\begin{Satz}[Fl"achenma"s]\label{OFLM}
Gegeben  eine eingebettete $k$-Mannigfaltig\-keit 
$M \subset \Bbb{R}^{n}$ gibt es
genau ein Ma"s $\op{dS}$ auf den Borelmengen von 
$M$ derart, da"s f"ur jede Karte
$\varphi : W \ra M$ und jede Borelmenge $A \subset \varphi (W)$ gilt
$$(\op{dS})(A) = \int_{\varphi^{-1}(A)} 
\sqrt{\op{det}(\diff_{x}\varphi)^{t}(\diff_{x}\varphi)}
\;\diff^{k}x$$
Dieses Ma"s hei"st das 
\emph{\bf Fl"achenma"s}\index{Fl"achenma"s} auf $M.$
Jede in $M$ enthaltene Mannigfaltigkeit echt kleinerer
Dimension ist f"ur das Fl"achenma"s von $M$
eine Nullmenge.
\end{Satz}
\begin{proof}
Nach \ref{abz} k"onnen wir eine Folge von Karten 
$(W_{n}, \varphi_{n})$ finden,
deren Bilder unsere Mannigfaltigkeit "uberdecken.
Gegeben eine solche Folge setzen wir 
$M_{n}=\bigcup_{\nu \leq n}W_{\nu}$ und erhalten
ein Ma"s  auf den Borel-Mengen von $M$ durch die Vorschrift
$$A\mapsto \sum^{\infty}_{n=0} \int_{\varphi^{-1}_{n} (A-M_{n-1})}
\sqrt{\op{det}(\diff_{x}\varphi)^{t}(\diff_{x}\varphi)}
\diff^{k}x$$
Da"s dieses Ma"s die
 geforderte Eigenschaft besitzt, folgt mit \ref{TFL}
"ahnlich wie im Beweis von  \ref{IMgf}.
Da"s es kein anderes Ma"s mit dieser 
Eigenschaft geben kann, ist eh klar.
\end{proof}





\begin{Proposition}[Oberfl"ache der Einheitskugel]
$\int_{S^{2}} \diff \op{S} = 4 \pi.$
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Wir lassen aus der Kugelschale
$S^{2}$ den "Aquator weg, also alle Punkte $(x,y,z)$ mit $z =0,$
und dazu noch einen halben Gro"skreis von Pol zu Pol, sagen wir alle Punkte
$(x,y,z)$
mit $y=0$ und $x \leq 0.$
Nach \ref{OFLM} "andert sich dabei das Integral nicht.
Der Rest ist die disjunkte Vereinigung von zwei offenen Hemisph"aren
$U_{+}\cup U_{-}$ und $U_{\pm}$ ist das Bild der
Karte
$$\begin{array}{rccl}
\varphi_{\pm} : &( 0,1)\times  ( -\pi, \pi)
&\ra &\;\;U_{\pm}\\& (r\;\;,\;\;\theta)\;\;\;&\mapsto
& (r \cos \theta, r \sin \theta,\pm\sqrt{1-r^{2}})
\end{array}$$
Die Jacobi-Matrix ergibt sich zu
$$\diff \varphi_{\pm} =\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta &-r \sin \theta \\ \sin \theta & \;\;r \cos \theta\\ {\mp r}/\sqrt{1-r^{2}}
&0 \end{array} \right) $$
und wir erhalten als Gram'sche Matrix
$$(\diff\varphi_{\pm})^{t} \;(\diff\varphi_{\pm}) =
\left(\begin{array}{cc} 1/(1-r^{2}) &0\\ 0 & r^{2}
\end{array} \right)$$
Die Wurzel aus der Determinante der Gram'schen Matrix ergibt sich damit zu
${r}/\sqrt{1-r^{2}},$
wir erhalten
$$\begin{array}{ccl}
\int_{U_{\pm}} \diff \op{S} &= &\int^{\pi}_{-\pi}
\int^{1}_{0} \frac{r}{\sqrt{1-r^{2}}} \diff r \diff \theta\\[2mm]
&=&  - 2 \pi \sqrt{1-r^{2}} \;|^{1}_{0}\\[2mm]
 &=& 2\pi
\end{array}$$
und es ergibt sich wie gew"unscht 
$\int_{S^{2}} \diff \op{S} = \int_{U_{-}} 
\diff \op{S} + \int_{U_{+}} \diff \op{S}= 4
\pi.$
\end{proof}

\begin{Ubung}[\emph{\bf Oberfl"ache einer Mantelfl"ache}]
Sei $I\subset\DR$ ein echtes Intervall und $f:I\ra (0,\infty)$ stetig
differenzierbar. So ist die \defind{Mantelfl"ache} 
$M=\{(x,y,z)\in\DR^3\mid x^2+y^2= (f(z))^2\}$ eine in $\DR^3$
eingebettete
2-Mannigfaltigkeit mit der Oberfl"ache
$$\int_M\op{dS}=2\pi \int_I f(z)\sqrt{1+(f'(z))^2}\diff z$$

\end{Ubung}

\begin{comment}
\subsection{Der Satz von Stokes mit Ecken und Kanten}
\begin{Satz}[Dichte einer Differentialform]\label{DDfm}
  Gegeben eine eingebettete $k$-Mannigfaltig\-keit $M \subset V$ und eine
  $k$-Form $\omega$ auf einer halboffenen Teilmenge von $V,$ die $M$ umfa"st,
  gibt es genau ein Borel-Ma"s $|\omega|$ auf $M$ derart, da"s f"ur jede Karte
  $\varphi : W \ra M$ und jede Borelmenge $A \subset \varphi (W)$ gilt
  $$|\omega|(A) = \int_{\varphi^{-1}(A)}
  |(\varphi^\ast\omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)| \;\diff^{k}x$$
  Dieses Ma"s
  hei"st die \emph{\bf Dichte}\index{Dichte} zu $\omega.$
\end{Satz}
\begin{proof}
  Nach \ref{abz} k"onnen wir eine Folge von Karten $(W_{n}, \varphi_{n})$
  finden, deren Bilder unsere Mannigfaltigkeit "uberdecken.  Gegeben eine solche
  Folge setzen wir $M_{n}=\bigcup_{\nu \leq n}W_{\nu}$ und erhalten ein Ma"s auf
  den Borel-Mengen von $M$ durch die Vorschrift
  $$A\mapsto \sum^{\infty}_{n=0} \int_{\varphi^{-1}_{n} (A-M_{n-1})}
  |(\varphi^\ast\omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)| \diff^{k}x$$
  Da"s dieses Ma"s
  die geforderte Eigenschaft besitzt, folgt mit \ref{TFL} "ahnlich wie im Beweis
  von \ref{IMgf}.  Da"s es kein anderes Ma"s mit dieser Eigenschaft geben kann,
  ist eh klar.  Da"s schlie"slich unser Ma"s auf Kompakta endliche Werte annimmt
  folgt daraus, da"s wir jedes Kompaktum durch endlich viele Kompakta
  "uberdecken k"onnen, die jeweils ganz im Bild einer Karte liegen.
\end{proof}
\end{comment}






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