\section{Funktionenr"aume und Fourier-Reihen} \subsection{Der Raum der integrierbaren Funktionen} \begin{Bemerkung} Sei $(X,\cal{M},\mu)$ ein Ma"sraum. Wir w"urden gerne den Vektorraum $\cal{L}^{1}_{\Bbb{R}} (X,\mu)$ mit einer Norm versehen durch die Vorschrift $\| f \|_{1} = \int |f|.$ Hier sto"sen wir jedoch auf die Schwierigkeit, da"s es durchaus integrierbare Funktionen $f \neq 0$ gibt mit $\int |f| =0.$ Genauer haben wir \end{Bemerkung} \begin{Lemma} Sei $f : X \ra [0,\infty]$ me"sbar. Genau dann gilt $\int f =0,$ wenn $f$ au"serhalb einer Nullmenge verschwindet. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Verschwindet $f$ au"serhalb einer Nullmenge, so gilt offensichtlich $\int f =0.$ Gilt umgekehrt $\int f=0,$ so hat $f^{-1}([1/n, \infty])$ Ma"s Null f"ur alle $n,$ und damit hat auch $f^{-1}(\left(0,\infty\right])$ Ma"s Null als abz"ahlbare Vereinigung von Mengen vom Ma"s Null. \end{proof} \begin{Bemerkung} Es liegt damit nahe, im Rahmen der Integrationstheorie nicht zwischen Funktionen zu unterscheiden, die sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden. Diese Idee werden wir nun pr"azise zu fassen. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Sei $(X,\cal{M},\mu)$ ein Ma"sraum. Gilt eine Aussage f"ur alle $x \in X$ au"serhalb einer Nullmenge, so sagt man auch, die Aussage gelte \defind{fast "uberall} oder genauer {\bf $\mu$-fast "uberall}. \end{Definition} \begin{Definition} Auf der Menge aller Abbildungen von $X$ in irgendeine andere Menge $Y$ die "Aquivalenzrelation $\sim$ gegeben durch die Vorschrift $$f\sim g \Leftrightarrow \{f(x) = g(x)\;\; \text{ f"ur fast alle }x \in X\}.$$ Die zugeh"origen "Aquivalenzklassen nennt man {\bf fast "uberall definierte Abbildungen} von $X$ nach $Y.$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Sicher wird eine solche "Aquivalenzklasse schon dadurch festgelegt, da"s man fast "uberall die Werte eines Repr"asentanten angibt. Die fast "uberall definierten Funktionen $f: X \ra \Bbb{R}$ k"onnen auch aufgefa"st werden als die Elemente des Quotientenvektorraums $\op{Abb} (X,\Bbb{R})/\cal{N},$ wo $\cal{N}$ die Menge aller Abbildungen $X\ra \Bbb{R}$ bezeichnet, die fast "uberall verschwinden. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Man kann reellwertige oder auch komplexwertige fast "uberall definierte Funktionen addieren und multiplizieren, man darf sogar auch dann noch Quotienten $f/g$ bilden, falls $g$ nur {\em fast "uberall} von Null verschieden ist. Man kann die Verkn"upfung $g\circ f$ einer fast "uberall definierten Funktion $f$ mit einer "uberall definierten Funktion $g$ bilden. Eine reellwertige fast "uberall definierte Funktion hei"st {\bf me"sbar}\index{me"sbar!fast "uberall} bzw.\ {\bf integrierbar}\index{integrierbar!fast "uberall definierte Funktion} genau dann, wenn sie einen me"sbaren bzw.\ integrierbaren Repr"asentanten hat. Ist unser Ma"sraum nicht vollst"andig, so wird eine me"sbare fast "uberall definierte Funktion durchaus auch nicht-me"sbare Repr"asentanten haben. F"ur eine integrierbare fast "uberall definierte Funktion wird jedoch das Integral nicht vom gew"ahlten integrierbaren Repr"asentanten abh"angen, so da"s jeder integrierbaren fast "uberall definierten Funktion sinnvoll ihr Integral zugeordnet werden kann. Nicht sinnvoll ist das Auswerten einer fast "uberall definierten Funktion an einem Punkt, es sei denn, der fragliche Punkt habe positives Ma"s. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Sei $(X,\cal{M},\mu)$ ein Ma"sraum. Wir bezeichnen den Raum aller integrierbaren fast "uberall definierten reellwertigen Funktionen auf $X$ mit $L_\Bbb{R}^1(X)=L_\Bbb{R}^1(X,\mu).$ Dieser Raum hei"st auch der Raum der reellwertigen {\bf $L^1$-Funktionen} auf $X.$ \end{Definition} \subsection{Integration von vektorwertigen Funktionen} Wir wollen nun \ref{IV} zur Lebesgue-Theorie verallgemeinern. F"ur die Fourier-Theorie ist es wichtig, auch f"ur komplexwertige Funktionen einen Integralbegriff zur Verf"ugung zu haben. \begin{Definition} Sei $(X,\cal{M},\mu)$ ein Ma"sraum. Eine fast "uberall definierte komplexwertige Funktion $f: X \ra \Bbb{C}$ hei"st {\bf integrierbar} genau dann, wenn $\op{Re} f $ und $\op{Im} f$ es sind. Wir definieren das {\bf Integral} einer integrierbaren komplexwertigen Funktion durch $\int f = \int \op{Re} f + \op{i} \int \op{Im} f.$ \end{Definition} Nat"urlich ist auch eine komplexwertige, $\mu$-me"sbare Funktion $f$ integrierbar genau dann, wenn gilt $\int |f|<\infty,$ und unsere S"atze "uber dominierte Konvergenz und Integration auf Produktr"aumen gelten unver"andert auch f"ur komplexwertige Funktionen. Weiter haben wir \begin{Proposition} Sei $(X,\cal{M},\mu)$ ein Ma"sraum. \begin{enumerate} \item Der Raum $L^{1}(X)=L^{1}(X,\mu)$ der fast "uberall definierten integrierbaren komplexwertigen Funktion auf $X$ ist ein Untervektorraum im Raum aller fast "uberall definierten Funktionen auf $X,$ und das Integral ist ein $\Bbb{C}$-lineare Abbildung $$\int : L^{1} (X) \ra \Bbb{C}.$$ \item Wir erhalten eine Norm auf $L^{1} (X),$ die sogenannte {\bf $L^1$-Norm}, durch die Vorschrift $\|f\|_{1} = \int |f|.$ \item Es gilt $|\int f| \leq\int |f| $ f"ur alle $f\in L^{1}.$ \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Den Beweis der ersten beiden Aussagen "uberlassen wir dem Leser. F"ur 3 w"ahlen wir $\lambda \in \Bbb{C}$ mit $|\lambda| = 1$ und $\lambda \int f > 0$ und folgern $$|\int f| = \lambda \int f = \int \lambda f = \int \op{Re} (\lambda f) \leq \int |\lambda f| = \int |f|.\qedhere$$ \end{proof} Ein wesentlicher Grund daf"ur, da"s die Lebesgue'sche Integrationstheorie so wichtig ist, liegt in der Vollst"andigkeit der R"aume integrierbarer Funktionen, in anderen Worten gilt der folgende \begin{Satz} Jede Cauchy-Folge in $L^{1} (X)$ konvergiert. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir verschieben den Beweis auf den n"achsten Abschnitt, in dem gleichzeitig die Vollst"andigkeit von $L^2(X)$ gezeigt wird. \end{proof} \subsection{Der Raum der quadratintegrierbaren Funktionen} \begin{Definition} Sei $(X,\cal{M}, \mu)$ ein Ma"sraum. Wir definieren $L^{2} (X)=L^2(X,\mu)$ als den Raum aller fast "uberall definierten, $\mu$-me"sbaren Funktionen $f: X \ra \Bbb{C}$ derart, da"s gilt $\int |f|^{2} \mu < \infty.$ Die Elemente von $L^{2}(X)$ hei"sen auch {\bf (fast "uberall definierte) quadratintegrierbare Funktionen} oder kurz {\bf $L^2$-Funktionen} auf $X.$ \end{Definition} \begin{Lemma} \begin{enumerate} \item Die Menge $L^{2} (X)$ ist ein Untervektorraum im Vektorraum aller fast "uberall definierten Funktionen. \item F"ur $f,g \in L^{2}(X)$ ist $f\overline{g}$ integrierbar, und die Vorschrift $\langle f,g \rangle = \int f\overline{g}$ definiert ein Skalarprodukt auf $L^{2} (X).$ \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das folgt aus den Absch"atzungen $2 |f| \cdot |g|\leq |f|^{2} + |g|^{2}$ und $|f+ g|^{2}\leq |f|^{2} + 2 |f|\cdot|g| + |g|^{2} \leq 2 (|f|^{2} + |g|^{2})$ mit einigen offensichtlichen Verifikationen. \end{proof} Unser n"achstes Ziel ist \begin{Theorem} Sei $\Bbb{Z}$ mit dem Z"ahlma"s versehen. Wir erhalten einen Isomorphismus von R"aumen mit Skalarprodukt $$ \begin{array}{rcl} L^{2}([0,2\pi],|\diff t| / 2\pi) &\sira& L^{2}(\Bbb{Z})\\[2mm] f&\mapsto &\hat{f}\end{array}$$ durch die Vorschrift $\hat{f} (n) =\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(t) e^{-\op{i} n t} \diff t.$ \end{Theorem} Der Beweis dieses Theorems wird uns f"ur die n"achsten Abschnitte besch"aftigen. Wir beginnen mit \begin{Theorem} F"ur jeden Ma"sraum $X$ sind die normierten Vektorr"aume $L^1(X)$ und $L^2(X)$ vollst"andig. \end{Theorem} \begin{proof}[Beweis] F"ur $p\in\{1,2\}$ bezeichne $\| f\|_p=(\int |f|^p)^{1/p}$ die $L^p$-Norm von $f\in L^p.$ Es gilt zu zeigen, da"s jede Cauchy-Folge in $L^p(X)$ konvergiert. Seien also die $f_{n}$ Repr"asentanten f"ur die Glieder einer Cauchy-Folge in $L^p(X).$ Indem wir falls n"otig zu einer Teilfolge "ubergehen, d"urfen wir annehmen, da"s gilt $\|f_{n} - f_{n+1}\|_{p} \leq 2^{-n}.$ Wir betrachten nun die Funktionen $X\ra [0,\infty]$ gegeben durch $$g_k=\sum_{n=0}^k |f_{n} - f_{n+1}|\;\;\; \text{ und }\;\;\; g=\sum_{n=0}^\infty |f_{n} - f_{n+1}|.$$ Aus unseren Annahmen folgt $\|g_k\|_p\leq 2$ f"ur alle $k,$ und da die Funktion $g^p$ der monotone punktweise Grenzwert der $g_k^p$ ist, erhalten wir mit dem Satz von Lebesgue "uber monotone Konvergenz $\int g^p\leq 2^p.$ Insbesondere gilt also $g(x)<\infty$ f"ur fast alle $x\in X.$ Sicher gilt aber auch $$f_0-f_{k+1}=\sum_{n=0}^k (f_{n} - f_{n+1}),$$ und diese Reihe konvergiert absolut an allen Stellen $x\in X$ mit $g(x)<\infty,$ das hei"st fast "uberall. Mithin konvergiert auch die Folge der $f_{k}$ fast "uberall, und wir erhalten als ihren punktweisen Grenzwert eine fast "uberall definierte $\mu$-me"sbare Funktion $f.$ Wir m"ussen nur noch zeigen, da"s $f$ in $L^p$ liegt, und da"s die Folge der $f_k$ auch in der $L^p$-Norm gegen $f$ konvergiert. Offensichtlich sind aber die Funktionen $|f_0-f_{k}|$ beschr"ankt durch $g,$ folglich ist $|f_0-f|$ fast "uberall beschr"ankt durch $g,$ also geh"ort $f_0-f$ zu $L^p,$ und dann geh"ort auch $f$ zu $L^p.$ Weiter k"onnen wir absch"atzen $$|f-f_k|^p\leq 2(|f_0-f_k|^p+|f-f_0|^p) \leq 4 g^p,$$ und damit folgt $\lim_{k\ra 0} \|f-f_k\|_p=0$ aus dem Satz "uber dominierte Konvergenz, angewandt auf die Funktionenfolge $|f-f_k|^p.$ \end{proof} \begin{Ubung}\label{USs}%\label{US} Die integrierbaren Stufenfunktionen liegen dicht in $L^{1}$ und $L^{2}.$ (Man verwende Lemma \ref{MM}.) \end{Ubung} \subsection{Hilbertr"aume und abstrakte Fourierreihen} \begin{Definition} Ein {\bf Hilbertraum} ist ein komplexer (seltener auch reeller) Vektorraum mit Skalarprodukt $\langle \;,\;\rangle,$ der vollst"andig ist f"ur die von diesem Skalarprodukt induzierte Metrik $d(x,y)=\|x-y\|_2$ mit $\|v\|_2=\sqrt{\langle v,v\rangle}.$ \end{Definition} \begin{Beispiel} Zum Beispiel ist f"ur jeden Ma"sraum $X$ der Raum $L^{2}(X)$ der fast "uberall definierten quadratintegrierbaren Funktionen auf $X$ ein Hilbertraum. Wir werden zeigen, da"s es keine wesentlich anderen Beispiele f"ur Hilbertr"aume gibt, ja sogar, da"s jeder Hilbertraum bereits isomorph ist zum Raum der quadratintegrierbaren Funktionen auf einer mit dem Z"ahlma"s versehenen Menge. Dazu m"ussen wir aber zun"achst etwas mehr "uber Hilbert\-r"aume wissen. \end{Beispiel} \begin{Definition} Sei $\cal{H}$ ein Hilbertraum. Eine Familie von Vektoren $(e_{i})_{i \in I}$ aus $\cal{H}$ hei"st ein {\bf Orthonormalsystem} genau dann, wenn gilt $\langle e_{i},e_{j}\rangle= \delta_{i,j}.$ Eine {\bf Hilbertbasis} von $\cal{H}$ ist ein Orthonormalsystem derart, da"s die (endlichen) Linearkombinationen von Elementen aus unserem Orthonormalsystem eine dichte Teilmenge von $\cal{H}$ bilden. \end{Definition} \begin{Definition} F"ur eine Menge $I$ bezeichne $L^2(I)$ den Raum der in Bezug auf das Z"ahlma"s quadratintegrierbaren Funktionen $I\ra\DC$ und $\chi_i\in L^2(I)$ die charakteristische Funktion der einelementigen Menge ${\{i\}}.$ In der Literatur wird unser $L^2(I)$ auch oft $l^2(I)$ notiert. \end{Definition} \begin{Satz}["uber Hilbertbasen]\label{HiBa} \begin{enumerate} \item Ist $(e_{i})_{i\in I}$ ein Orthonormalsystem in einem Hilbert\-raum $\cal{H},$ so gibt es genau eine stetige lineare Abbildung $\varphi:L^{2} (I) \ra \cal{H}$ mit $\chi_i \mapsto e_{i}$ f"ur alle $i\in I,$ und diese Abbildung erh"alt das Skalarprodukt. \item Ist $(e_{i})_{i\in I}$ sogar eine Hilbertbasis, so ist besagte Abbildung ein Isomorphismus von Hilbertr"aumen $ L^{2} (I) \sira \cal{H}$ und ihre Inverse $\cal{H}\sira L^2(I),$ $v\mapsto \hat{v}$ wird gegeben durch $\hat{v}(i)=\langle v, e_i\rangle.$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkung} Wir schicken dem Beweis zwei Lemmata voraus. \end{Bemerkung} \begin{Lemma}\label{ADM} Seien $X,Y$ metrische R"aume, $A \subset X$ eine dichte Teilmenge und $f:A\ra Y$ eine gleichm"a"sig stetige Abbildung. Ist $Y$ vollst"andig, so gibt es genau eine Erweiterung von $f$ zu einer stetigen Abbildung $\tilde{f} : X \ra Y.$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Gegeben $x \in X$ finden wir eine Folge $a_{n}$ in $A$ mit $\lim_{n\ra \infty} a_{n} = x.$ Nat"urlich mu"s f"ur jede stetige Erweiterung $\tilde{f}$ von $f$ gelten $$\lim_{n\ra\infty} f(a_{n}) = \tilde{f}(x),$$ und das zeigt auch schon die Eindeutigkeit von $\tilde{f}.$ Ist $f$ nun gleichm"a"sig stetig, so ist mit $a_{n}$ auch $f(a_{n})$ eine Cauchy-Folge, und ist $Y$ vollst"andig, so mu"s $f(a_{n})$ konvergieren. Haben weiter zwei Folgen $a_{n}, b_{n}$ in $A$ denselben Grenzwert $x,$ so strebt auch die Folge $c_{n}$ mit den Gliedern $a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, \ldots $ gegen $x.$ Wir folgern $$\lim_{n\ra \infty} f(a_{n}) = \lim_{n\ra \infty} f(c_{n}) = \lim_{n\ra \infty} f(b_{n})$$ und k"onnen also definieren $\tilde{f}(x) = \lim_{n\ra \infty} f(a_{n})$ f"ur eine und jede Folge $a_{n}$ aus $A,$ die gegen $x$ strebt. Wir m"ussen nur noch zeigen, da"s $\tilde{f}$ stetig ist. Sei dazu f"ur $\varepsilon > 0$ ein $\delta > 0$ gegeben mit $d(a,b)\leq\delta \Rightarrow d(f(a), f(b))\leq\varepsilon.$ Wir zeigen $d (x,z) \leq\delta \Rightarrow d(\tilde{f}(x), \tilde{f}(z)) \leq\varepsilon$ f"ur alle $x,z \in X.$ Denn sei zun"achst $z \in A$ und $x = \lim_{n\ra \infty} a_{n}.$ So gilt $d(f(a_{n}), f(z)) \leq\varepsilon$ f"ur alle $n$ und folglich $d(\tilde{f}(x), f(z)) \leq\varepsilon$ im Grenzwert $n\ra \infty.$ Dasselbe Argument k"onnen wir aber auf der Basis dieser Erkenntnis wiederholen mit $z \in X$ beliebig. \end{proof} \begin{Lemma}\label{ADVM} Seien $X,Y$ normierte Vektorr"aume, $A \subset X$ ein dichter Teilraum und $f:A\ra Y$ eine stetige lineare Abbildung. Ist $Y$ vollst"andig, so gibt es genau eine Erweiterung von $f$ zu einer stetigen linearen Abbildung $\tilde{f} : X \ra Y.$ Sind $X$ und $Y$ Hilbertr"aume und ist $f$ zus"atzlich vertr"aglich mit dem Skalarprodukt, so gilt dasselbe f"ur $\tilde{f}.$ \end{Lemma} \begin{proof} Das vorherige Lemma \ref{ADM} zeigt, da"s es genau eine stetige Erweiterung von $f$ gibt, und wir m"ussen nur zeigen, da"s sie auch linear ist. Die Abbildung $X \times X \ra Y,$ $(v,w)\mapsto \tilde{f} (v)+ \tilde{f} (w)$ ist aber stetig und stimmt auf der dichten Teilmenge $A \times A$ mit der stetigen Abbildung $(v,w)\mapsto \tilde{f} (v+w)$ "uberein. Also sind diese Abbildungen gleich und es gilt $\tilde{f} (v+w)=\tilde{f} (v)+ \tilde{f} (w)$ f"ur alle $v,w\in X.$ Mit "ahnlichen Argumenten beendet man den Nachweis der Linearit"at von $\tilde{f}$ und zeigt die Vertr"aglichkeit mit dem Skalarprodukt. \end{proof} \begin{proof}[Beweis des Satzes "uber Hilbertbasen] 1. Bezeichne $\Bbb{C} I \subset L^{2} (I)$ den Raum aller Abbildungen $I\ra \Bbb{C},$ die nur an endlich vielen Stellen von Null verschieden sind. Nat"urlich bilden die $\chi_{i}$ eine Basis von $\Bbb{C} I$ und wir erhalten eine lineare Abbildung $\Bbb{C} I \ra \cal{H}$ mit $\chi_i \mapsto e_{i}.$ Da sowohl die $\chi_i$ als auch die $e_{i}$ Orthonormalsysteme sind, ist unsere Abbildung mit den Skalarprodukten vertr"aglich, insbesondere erh"alt sie Abst"ande. Da $\cal{H}$ vollst"andig ist und $\Bbb{C} I$ dicht liegt in $L^{2} (I)$, l"a"st sich unsere Abbildung nach Lemma \ref{ADVM} auf genau eine Weise zu einer stetigen linearen Abbildung $\varphi : L^{2} (I) \ra \cal{H}$ ausdehnen, die auch das Skalarprodukt erh"alt. \\[2mm]\noindent 2. Unsere Abbildung $\varphi$ aus Teil 1 ist stets injektiv, da sie Abst"ande erh"alt. Im Fall einer Hilbertbasis ist sie aber auch surjektiv: Gegeben $v \in \cal{H}$ finden wir n"amlich eine Folge $v_{n}$ in $\cal{H},$ deren Glieder endliche Linearkombinationen von Elementen unserer Hilbertbasis sind, und die gegen $v$ konvergiert. Nat"urlich finden wir eine Folge $a_{n}$ in $\Bbb{C} I$ mit $\varphi (a_{n}) = v_{n},$ und da $\varphi$ Abst"ande enth"alt, ist mit $v_{n}$ auch $a_{n}$ eine Cauchy-Folge. Da aber $L^{2} (I)$ vollst"andig ist, gibt es $a\in L^{2} (I)$ mit $\lim_{n\ra \infty} a_{n} = a$ und folglich mit $\varphi (a) = v.$ Um zum Abschlu"s auch noch die inverse Abbildung zu beschreiben, rechnen wir einfach $$ \hat{v}(i)=(\varphi^{-1}(v))(i)=\langle \varphi^{-1} (v), \chi_{i}\rangle = \langle v, \varphi (\chi_{i})\rangle= \langle v, e_{i}\rangle \qedhere$$ \end{proof} \begin{Bemerkung} Mit der Notation aus \ref{ABSB} kann nun unsere Abbildung $\varphi : L^{2} (I) \ra \cal{H}$ auch etwas suggestiver geschrieben werden in der Form $$\varphi: f \mapsto \sum_{i\in I} f(i) e_{i}$$ In der Tat gibt es f"ur jedes $\varepsilon >0$ ein endliches $I_{\varepsilon} \subset I$ mit $\sum_{i\not\in I_{\varepsilon}} |f(i)|^{2} < \varepsilon^{2},$ und f"ur $J$ endlich mit $ I_{\varepsilon}\subset J\subset I$ folgt $f=\chi_{J} f+ (1-\chi_{J})f $ und zus"atzlich $\|(1-\chi_{J})f\|_{2} < \varepsilon,$ mithin $\|\varphi (f) - \varphi (\chi_{J}f) \|_{2} < \varepsilon.$ \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung}\label{TeHi} Gegeben Hilbertr"aume $V$ und $W$ definiert man ihr \defind{Hilbertprodukt} $V\hat{\otimes} W$ als die Vervollst"andigung ihres \glqq algebraischen\grqq\ Tensorprodukts $V \otimes W$ in Bezug auf das offensichtliche Skalarprodukt auf diesem Tensorprodukt. Sind also $(v_{i})_{i\in I}$ bzw.\, $(w_{j})_{j\in J}$ Hilbertbasen von $V$ bzw.\, $W,$ so bilden die $(v_{i}\otimes w_{j})_{(i,j) \in I \times J}$ eine Hilbertbasis von $V \hat{\otimes} W.$ F"ur beliebige Ma"sr"aume $(X,\mu)$ und $(Y,\nu)$ gilt mit unserer Definition des Produktraums dann, da"s das Produkt von Funktionen einen Isomorphismus von {Hilbert}\-r"aumen $$L^{2}(X;\mu) \hat{\otimes} L^{2} (Y;\nu) \overset{\sim}{\rightarrow} L^{2}(X\times Y; \mu \otimes \nu)$$ liefert. Offensichtlich ist ja das Produkt von Funktionen schon einmal mit den Skalarprodukten vertr"aglich und wir erhalten so insbesondere eine injektive Abbildung $L^{2}(X;\mu)\otimes L^{2} (Y;\nu) \ra L^{2}(X\times Y; \mu \otimes \nu),$ von der nur noch gezeigt werden mu"s, da"s ihr Bild dicht liegt. Nun liegt aber das Erzeugnis der charakteristischen Funktionen von Mengen endlichen Ma"ses stets dicht im Raum der quadratintegrierbaren Funktionen. Jede Teilmenge endlichen Ma"ses von $X \times Y$ l"a"st sich einbetten in die Vereinigung einer Folge paarweise disjunkter Quader mit in beiden Seiten endlichem Ma"s, deren Gesamtma"s nur um ein Weniges gr"o"ser ist. Nehmen wir dann von dieser Folge nur ein hinreichend langes Anfangsst"uck, so wird das Gesamtma"s wieder nur um ein Geringes kleiner. So sehen wir, das die fraglichen Produkte dicht liegen. \end{Bemerkung} \subsection{Approximationen durch stetige Funktionen} \begin{Satz}\label{AL1} Sei $U\co \Bbb{R}^{n}$ eine offene Teilmenge. Die stetigen Funktionen mit kompaktem in $U$ enthaltenem Tr"ager liegen dicht im Raum der $L^{p}$-Funktionen auf $U,$ in Formeln $ \overline{C_{c}(U)} = L^{p}(U)$ f"ur $p=1,2.$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Nat"urlich ist $\overline{C_{c}(U)} \subset L^{p}(U)$ ein Untervektorraum. Wir zeigen nun f"ur immer gr"o"sere Funktionenklassen, da"s sie zu $\overline{C_{c}(U)}$ geh"oren. \\[2mm]\noindent 1. Ist $A \co U$ offen von endlichem Ma"s $\lambda (A) < \infty,$ so geh"ort die charakteristische Funktion $\chi_{A}$ von $A$ zu $\overline{C_{c}(U)}.$ Das folgt mit dem Satz "uber monotone Konvergenz sofort aus Lemma \ref{KO}. \\[2mm]\noindent 2. Ist $B \subset U$ me"sbar mit endlichem Ma"s $\lambda (B) < \infty,$ so geh"ort $\chi_{B}$ zu $\overline{C_{c}(U)}.$ In der Tat, f"ur jedes $\varepsilon >0$ finden wir aufgrund der Regularit"at des Lebesgue-Ma"ses eine offene Teilmenge $A \co U$ mit $B \subset A$ und $\lambda (B) \leq \lambda (A) \leq\lambda (B) +\varepsilon.$ F"ur deren charakteristische Funktion gilt dann $\|\chi_{B} - \chi_{A}\|_{p} < \varepsilon.$ Also ist $\chi_{B}$ Grenzwert einer Folge aus $\overline{C_{c}(U)}$ und geh"ort mithin selbst zu $\overline{C_{c}(U)}.$ \\[2mm]\noindent 3. F"ur jeden Ma"sraum liegen die integrierbaren Stufenfunktionen dicht im Raum aller integrierbaren bzw. aller quadratintegrierbaren Funktionen, siehe \ref{US}. \end{proof} \begin{Bemerkung}\label{DLp} Auch im Raum der $L^p$-Funktionen auf einem beliebigen separablen lokal kompakten Hausdorff-Raum mit einem Borel-Ma"s liegen die stetigen Funktionen mit kompaktem Tr"ager dicht. Das Argument geht "ahnlich. \end{Bemerkung} \subsection{Fourier-Reihen} \begin{Theorem}[Fourier-Reihe]\label{FR} Sei $\Bbb{Z}$ mit dem Z"ahlma"s versehen und $[0,2\pi]$ mit dem auf Gesamtma"s Eins normierten Lebesgue-Ma"s $\mu(t) =\diff t / 2\pi.$ So liefert die Fourierentwicklung $f\mapsto \hat{f}$ gegeben durch $\hat{f} (n) =\int_0^{2\pi} f(t) \op{e}^{-\op{i}n t} \mu\langle t\rangle$ einen Isomorphismus von Hilbertr"aumen $$L^{2}([0,2\pi],\mu) \sira L^{2}(\Bbb{Z})$$ \end{Theorem} \begin{Bemerkung} Wir k"onnen die inverse Abbildung schreiben in der Form $$(c_{n})_{n\in \Bbb{Z}}\mapsto \sum_{n\in \Bbb{Z}} c_{n} e^{\op{i}nt} $$ wobei die Summe allerdings im Sinne von \ref{ABSB} zu verstehen ist, {\em nicht} als punktweise Konvergenz f"ur alle $t \in [0,2\pi].$ \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Wir m"ussen nur zeigen, da"s die Funktionen $(e^{\op{i}nt})_{n\in \Bbb{Z}}$ eine Hilbertbasis von $L^{2}([0,2\pi],\mu)$ bilden. Wir haben aber schon im Beweis von \ref{F2} gesehen, da"s sie ein Orthonormalsystem bilden, und wissen aus \ref{QM}, da"s sich jede stetige Funktion auf $[0,2\pi]$ im quadratischen Mittel beliebig gut durch trigonometrische Polynome approximieren l"a"st. Da die stetigen Funktionen auf $[0,2\pi],$ ja sogar die stetigen Funktionen auf $[0,2\pi]$ mit Tr"ager im offenen Intervall $(0,2\pi)$ nach \ref{AL1} ihrerseits dicht in $L^{2}$ liegen, liegen auch die trigometrischen Polynome dicht in $L^{2}.$ \end{proof} \begin{Bemerkung} Seine nat"urlichste Form erh"alt unser Satz, wenn wir das Intervall $[0,2\pi]$ zur Kreislinie $K =\{ z \in \Bbb{C} \mid |z| =1\}$ zusammenbiegen, wie wir im Folgenden ausf"uhren. \end{Bemerkung} \begin{Satz} \begin{enumerate} \item Es gibt genau ein Ma"s $\mu$ auf den Borel-Mengen von $K$ mit $\mu (A) = \mu (z A) \quad \forall z \in K$ und mit Gesamtmasse $ \mu (K) =1.$ \item Die Menge $\hat{K}$ aller stetigen Gruppenhomomorphismen $\chi : K \ra \Bbb{C}^{\times}$ ist eine Hilbertbasis von $L^{2} (K,\mu),$ wir erhalten also in anderen Worten durch die Vorschrift $f \mapsto \hat{f}$ mit $\hat{f}(\chi)=\int_{K} f\bar{\chi} \; \mu$ einen Isomorphismus von Hilbertr"aumen $$ L^{2} (K,\mu) \sira L^{2} (\hat{K})$$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] 1. Die Abbildung $E : [0,2\pi) \ra K,$ $t \mapsto \op{e}^{\op{i}t}$ ist ein Isomorphismus von Me"sr"aumen, und unter $E$ entspricht $\diff t/2\pi$ einem Ma"s $\mu$ auf $K$ mit den geforderten Eigenschaften. Den Nachweis der Eindeutigkeit von $\mu$ "uberlassen wir dem Leser. \\[2mm]\noindent 2. Die stetigen Gruppenhomomorphismen $\chi : K \ra \Bbb{C}^{\times}$ sind nach \ref{??} genau die Abbildungen $\chi_n: z \mapsto z^{n}$ f"ur $ n \in \Bbb{Z}.$ Unter $E$ entsprechen sie gerade den Funktionen $\chi_{n} \circ E : t \mapsto \op{e}^{\op{i}nt}.$ Unser Satz ist damit nur eine "Ubersetzung des vorhergehenden Satzes. \end{proof} \begin{Bemerkung} Der vorhergehende Satz gilt sogar f"ur beliebige kompakte kommutative topologische Gruppen $K.$ Das werden wir jedoch nicht beweisen. \end{Bemerkung} \subsection{Orthogonale Projektionen in Hilbertr"aumen} \begin{Bemerkung} Wir holen schlie"slich noch den Beweis nach f"ur unsere Behauptung, da"s jeder Hilbertraum eine Hilbertbasis besitzt. Grundlegend daf"ur ist der folgende Satz. \end{Bemerkung} \begin{Satz}[Orthogonale Komplemente in Hilbertr"aumen]\label{OKoHi} F"ur jeden abgeschlossenen Teilraum eines Hilbertraums $U \subset \cal{H}$ ist auch das orthogonale Komplement $U^{\bot} =\{v\in \cal{H} \mid \langle v, u\rangle=0 \quad \forall u \in U\}$ ein abgeschlossener Teilraum und die Addition definiert eine Bijektion $$U\times U^{\bot} \sira \cal{H}$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sicher ist f"ur alle $x\in \cal{H}$ die Abbildung $\cal{H} \ra \Bbb{C},$ $v\mapsto \langle v, x\rangle$ stetig und linear. Das Urbild $x^{\bot}$ von $0\in \Bbb{C}$ unter dieser Abbildung ist also ein abgeschlossener Untervektorraum von $\cal{H},$ und dann mu"s auch f"ur beliebiges $E \subset \cal{H}$ die Menge $$ E^{\bot} = \{ v\in \cal{H}\mid \langle v,x\rangle=0 \quad \forall \; x\in E\} = \bigcap_{x\in E}x^{\bot} $$ ein abgeschlossener Untervektorraum von $\cal{H}$ sein. Offensichtlich gilt weiter $U \cap U^{\bot} = 0,$ und damit ist unsere Abbildung injektiv. Um die Surjektivit"at zu zeigen, w"ahlen wir ein $v \in \cal{H}$ und setzen $d = d (v,U) = \inf_{u \in U} \|v-u\|.$ Sicher gibt es eine Folge $u_{n}$ von Vektoren aus $U$ mit $\lim_{n\ra \infty} \|v-u_{n}\| = d.$ Wir erinnern nun an die Parallelogrammregel \ref{PGR}, die Summe der Quadrate der vier Seiten eines Parallelogramms ist gleich der Summe der Quadrate der beiden Diagonalen, und erhalten $$\begin{array}{lll} 2 \| v-u_{n}\|^{2} + 2\|v-u_{m}\|^{2} &=& \|u_{n}-u_{m}\|^{2}+ \|2v-u_{n}-u_{m}\|^{2}\\ &=& \|u_{n}-u_{m}\|^{2}+ 4\|v-(u_{n}+u_{m})/2\|^{2}.\end{array}$$ Da aber $(u_{n}+u_{m})/2$ auch in $U$ liegt, folgt $$ 2\|v-u_{n}\|^{2} + 2 \|v-u_{m}\|^{2} -4 d^{2} \geq \|u_{n}-u_{m}\|^{2}\hspace{3.5cm}$$ und aus dieser Absch"atzung erkennt man, da"s die $u_{n}$ eine Cauchy-Folge bilden. Mithin gibt es $u\in\cal{H}$ mit $\lim_{n\ra\infty}u_{n} = u,$ und da $U$ abgeschlossen ist, liegt $u$ sogar in $ U.$ Da die Norm stetig ist, gilt weiter $d= \|v-u\|.$ Wir behaupten $(v-u) \in U^{\bot}.$ In der Tat, f"ur alle $h \in U$ nimmt die Funktion $$t \mapsto \|v-u + th\|^{2} = \|v-u\|^{2} + 2t \op{Re}\langle v-u, h\rangle+ t^{2} \|h\|^{2}$$ bei $t =0$ ein Minimum an, folglich verschwindet dort ihre Ableitung, und wir erhalten $\op{Re}\langle v-u,h\rangle =0 $ f"ur alle $ h \in U.$ Damit haben wir aber die gesuchte Zerlegung $v = u + (v-u)$ mit $u \in U$ und $(v-u) \in U^{\bot}$ gefunden. \end{proof} \begin{Korollar} Jede stetige Linearform auf einem Hilbertraum kann beschrieben werden als das Bilden des Skalarprodukts mit einem durch die Linearform eindeutig bestimmten Vektor. \end{Korollar} \begin{proof} Sei $\cal{H}$ unser Hilbertraum und $l:\cal{H} \ra \Bbb{C}$ unsere Linearform. Der Kern $\ker l \subset \cal{H}$ ist ein abgeschlossener Teilraum und $l$ induziert eine Injektion $(\ker l)^{\bot} \hookrightarrow \Bbb{C}.$ Im Fall $l=0$ ist $x =0$ das gesuchte Element von $\cal{H}.$ Sonst finden wir genau ein $x \in (\ker l)^{\bot} \cong \Bbb{C}$ mit $\langle v,x \rangle = l (v) \quad \forall v \in (\ker l)^{\bot},$ und da diese Gleichung eh gilt f"ur alle $v \in \ker l$ folgt sie f"ur alle $v \in \cal{H}.$ \end{proof} \begin{Korollar}\label{EHiBa} Jeder Hilbertraum besitzt eine Hilbertbasis. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Nach dem Zorn'schen Lemma finden wir ein bez"uglich Inklusion maximales Orthonormalsystem. W"are der Abschlu"s seines Erzeugnisses nicht der ganze Raum, so k"onnten wir unser Orthonormalsystem nach \ref{OKoHi} doch noch vergr"o"sern durch Hinzunahme eines Vektors der L"ange Eins aus seinem orthogonalen Komplement, im Widerspruch zur Maximalit"at. \end{proof} \begin{Bemerkung} Damit ist insbesondere gezeigt, da"s sich jeder Hilbert\-raum schreiben l"a"st als ein Raum von quadratintegrierbaren Funktionen, und das sogar auf einer Menge mit Z"ahlma"s. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung}[\emph{\bf Keele-Vermutung}] Gegeben eine abgeschlossene beschr"ankte nichtleere Teilmenge eines Hilbertraums wird vermutet, da"s es zu jedem Punkt unseres Hilbertraums nur einen n"achsten Punkt in unserer Teilmenge gibt genau dann, wenn unsere Teilmenge konvex ist. Das ist derzeit (2004) meines Wissens nur f"ur endlichdimensionale R"aume bewiesen. \end{Bemerkung} \begin{comment} \section{Spektraltheorie} \subsection{Stetige Funktionen auf topologischen R"aumen} \begin{Definition} Ein topologischer Raum hei\ss t $\op{T}_{4}$ (f\"{u}r $\op{T}$ wie Trennung) genau dann, wenn sich je zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen unseres Raums zu disjunkten offenen Teilmengen vergr"o"sern lassen. Ein topologischer Raum hei"st {\bf normal}\index{normal!topologischer Raum} genau dann, wenn er $\op{T}_{4}$ und Hausdorff ist. \end{Definition} \begin{Beispiel}\label{KHN} Jeder kompakte Hausdorff-Raum ist normal, siehe \ref{FS}. \end{Beispiel} \begin{Lemma} Jeder metrische Raum ist normal. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $(X,d)$ unser metrischer Raum und seien $Y, Z \As X$ disjunkte abgeschlossene Teilmengen. Die Abbildung $$\begin{array}{rccl} f:& X &\ra & \DR^{2}\\ &x &\mapsto & (d(Y,x), d(Z,x)) \end{array}$$ ist stetig mit Werten im ersten Quadranten ohne Ursprung, in Formeln mit Werten in $Q=(\DR_{\geq 0})^2 \setminus(0,0).$ Ist nun $g: Q \ra [0,1]$ stetig so, da"s $g$ auf der Achse $\DR_{> 0}\times 0$ konstant $1$ ist und auf der Achse $0\times \DR_{> 0}$ konstant $0, $ so ist die Abbildung $F = g \circ f : X \ra [0,1]$ stetig mit $F|_Y = 1$ und $F|_Z= 0.$ Also sind $F^{-1}\left[ 0,1/2\right)$ und $F^{-1}\left( 1/2, 1\right]$ disjunkte offene Umgebungen von $Y$ und $Z.$ \end{proof} \begin{Satz}[\defind{Tietze's Erweiterungslemma}]\label{TELe}%{TEL} Jede stetige Abbildung von einer abgeschlossenen Teilmenge eines normalen Raums in ein nichtleeres reelles Intervall l"a"st sich fortsetzen zu einer stetigen Abbildung des ganzen Raums in besagtes Intervall. \end{Satz} \begin{Bemerkung} Wir behandeln zun"achst als speziellsten Spezialfall das sogenannte Lemma von Urysohn und im Anschlu"s den Fall der Intervalle $[0,1]$ und $[0,1).$ Der allgemeine Fall bleibt von da an dem Leser "uberlassen. \end{Bemerkung} \begin{Lemma}[von Urysohn]\label{Ur}\index{Urysohn's Lemma} Sei $X$ ein normaler Raum und seien $A,$ $B \subset X$ disjunkte abgeschlossene Teilmengen von $X.$ So gibt es eine stetige Funktion $f: X\ra [0,1]$ mit $f|_{A} = 0$ und $f|_{B}= 1.$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen mit einer Vor"uberlegung: Ist $X$ normal und sind $C\subset U\subset X$ gegeben mit $C\As X$ und $U\co X,$ so gibt es eine offene Menge $W \co X$ mit $$C\subset W\subset\overline{W}\subset U$$ Um das einzusehen nehme man disjunkte offene Umgebungen $W$ von $C$ und $D$ von $X-U,$ dann gilt n\"{a}mlich $C\subset W\subset \overline{W} \subset X-D \subset U.$ Wir finden nach unserer Vor\"{u}berlegung also $U(0)\co X$ mit $$A\subset U(0)\subset \overline{U(0)}\;\;\subset\;\; X-B$$ Wir finden weiter $U({1/2}) \co X$ mit $$\overline{U(0)}\subset U({1/2}) \subset \overline{U({1/2})} \subset X-B$$ und indem wir so weitermachen finden wir induktiv f\"{u}r alle $r \in [0,1)$ der Form $r=k/2^{n}$ mit $k\in \DN$ eine offene Menge $U(r)\subset X-B$ derart, da\ss\ gilt $r < r^{\prime} \Rightarrow \overline{U(r)} \subset U(r^{\prime}).$ Schlie"slich setzen wir noch $U(1) = X$ und definieren $f:X\ra [0,1]$ durch $$ f(x) =\inf \{r \in [0,1]\mid x \in U (r) \} $$ Sicher gilt $f|_{A} = 0,$ $f|_{B}= 1.$ Wir m\"{u}ssen nur noch zeigen, da"s $f$ stetig ist. F\"{u}r $0t} X-U(r) & \\ &=&\bigcup_{r^{\prime}>t} X-\overline{U(r^{\prime})}& \co X \end{array}$$ Da aber die Intervalle $[0,t)$ und $(t,1]$ die metrische Topologie auf $[0,1]$ erzeugen, ist $f$ damit nach \ref{EZT} stetig. \end{proof} \begin{proof}[Beweis des Erweiterungslemmas \ref{TEL}] Jetzt zeigen wir das Erweiterungslemma f"ur das Intervall $[0,1].$ Sei wieder $X$ unser Raum und $Y\As X$ eine abgeschlossene Teilmenge und $f:Y\ra [0,1]$ eine stetige Abbildung. Wir suchen $F:X\ra [0,1]$ stetig mit $F|_Y=f.$ Nach Urysohn finden wir $F_{0} : X \ra [0,1/3]$ stetig mit $f(x) \leq 1/3 \Rightarrow F_{0} (x) = 0$ und $f(x) \geq 2/3 \Rightarrow F_{0}(x) =1/3$ f\"{u}r alle $x \in Y.$ Es folgt $$F_{0}(x) \leq f(x) \leq 2/3 + F_{0}(x)$$ f\"{u}r alle $x\in Y.$ Nun nehmen wir die Funktion $f_{1} = f - F_{0} : Y \ra [0,2/3]$ und finden $F_{1} : X \ra [0, (1/3)(2/3)]$ mit $F_{1} (x) \leq f_{1} (x) \leq (2/3)^{2}+F_{1} (x) \quad \forall x \in Y$ und mithin $$F_{0}(x) +F_{1}(x) \leq f(x) \leq (2/3)^{2} +F_{0} (x) +F_{1}(x) $$ f\"{u}r alle $ x \in Y.$ Wir machen immer so weiter und konstruieren schlie"slich $F$ als Summe der gleichm\"{a}"sig konvergenten Reihe $F = F_{0} + F_{1} + F_{2} + \ldots,$ die gegen eine stetige Funktion strebt wegen \ref{GKo}. Jetzt zeigen wir das Erweiterungslemma noch f"ur das Intervall $[0,1).$ Wir benutzen dieselben Notationen wie eben und finden nach dem Vorhergehenden jedenfalls eine stetige Erweiterung von $f$ zu einer stetigen Abbildung $F:X\ra [0,1].$ Dann ist nat"urlich $F^{-1}(1)$ abgeschlossen in $X$ und disjunkt zu $Y.$ Wir finden also $G:X\ra [0,1]$ stetig mit $G|_Y=1$ und $G|_{F^{-1}(1)}=0$ und $H=\op{inf}(F,G)$ ist unsere gesuchte stetige Erweiterung von $f.$ Den Rest des Beweises k"onnen wir getrost dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Ubung}\label{GKo} Ein gleichm\"{a}"siger Grenzwert einer Folge stetiger Abbildungen von einem topologischen Raum in einen metrischen Raum ist stetig. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{FSKo} Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum l"a"st sich jede auf einer kompakten Teilmenge definierte stetige reellwertige Funktion stetig auf den ganzen Raum fortsetzen, und das sogar zu einer Funktion mit kompaktem Tr"ager. \end{Ubung} \subsection{Der Riesz'sche Darstellungssatz} \begin{Definition} Unter einem \defind{Borelma"s} auf einem topologischen Raum verstehen wir ein topologisches Ma"s, das auf allen Kompakta unseres Raums endliche Werte annimmt. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Diese Terminologie ist leider kein universeller Standard. Wir werden Borelma"se nur auf separablen lokal kompakten Hausdorffr"aumen verwenden, f"ur die die Konventionen der meisten Autoren dieselben Borelma"se liefern. Das Z"ahlma"s auf $\DR$ ist kein Borelma"s in unserem Sinne. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Sei $X$ ein topologischer Raum und $\cal{C}_{c} (X;\Bbb{R})$ der reelle Vektorraum aller stetigen Abbildungen $f: X \ra \Bbb{R}$ mit kompaktem Tr"ager. Eine Linearform $\Lambda: \cal{C}_{c}(X;\Bbb{R}) \ra \Bbb{R}$ hei"st \defind{nichtnegativ} genau dann, wenn sie jeder nichtnegativen Funktion eine nichtnegative reelle Zahl zuordnet. \end{Definition} \begin{Satz}[Riesz'scher Darstellungssatz]\index{Riesz!Darstellungssatz von}\label{RiDa} F"ur jeden lokal kompakten separablen Hausdorffraum $X$ liefert das Bilden des Integrals eine eineindeutige Entsprechung $$\left\{ \text{Borelma"se auf $X$} \right\} \; \;\overset{\sim}{\ra}\;\; \left\{ \text{Nichtnegative Linearformen auf } \cal{C}_{c} (X;\Bbb{R}) \right\} $$ \end{Satz} \begin{Bemerkung} In anderen Worten k"onnen wir also jede nichtnegative Linearform durch genau ein Borelma"s darstellen, deshalb die Bezeichnung als \glqq Darstellungssatz\grqq. Will man auf die Forderung verzichten, da"s $X$ separabel sein soll, so mu"s man an die Ma"se auf der linken Seite der Bijektion zus"atzliche Forderungen stellen, damit das Bilden des Integrals eine Bijektion liefert, vergleiche \cite{Halmos} oder \cite{RudinRCA}. Betrachten wir zum Beispiel eine "uberabz"ahlbare Menge mit der diskreten Topologie und das topologische Ma"s, das jeder abz"ahlbaren Menge Null zuordnet und jeder "uberabz"ahlbaren Menge Unendlich, so ist das Integral jeder stetigen Funktion mit kompaktem Tr"ager null, obwohl unser Ma"s nicht identisch verschwindet. F"ur allgemeine lokal kompakte Hausdorffr"aume hei"sen nichtnegative Linearformen auf dem Raum der stetigen reellwertigen Funktionen mit kompaktem Tr"ager auch \defnoind{Radon-Ma"se},\index{Radon-Ma"s} obwohl sie nat"urlich keine Ma"se im Sinne von \ref{DeMas} sind. Wir beginnen den Beweis des Satzes mit dem Nachweis, da"s nichtnegative Linearformen gewisse Stetigkeitseigenschaften haben. \end{Bemerkung} \begin{Lemma}\label{NiFu} Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ und eine nichtnegative Linearform $\Lambda:\cal{C}_{c}(X,\Bbb{R}) \ra \Bbb{R}$ und ein Kompaktum $K\subset X$ ist die Einschr"ankung von $\Lambda$ auf den Raum $\cal{C}_{K}(X,\Bbb{R})$ aller stetigen Funktionen mit Tr"ager in $K$ stetig f"ur die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz. \end{Lemma} \begin{proof} Das Lemma von Urysohn oder genauer \ref{FSKo} liefert eine stetige nichtnegative Funktion $h\in \cal{C}_{c}(X,\Bbb{R}),$ die auf unserem Kompaktum $K$ konstant Eins ist. F"ur $f\in \cal{C}_{K} (X;\Bbb{R})$ gilt dann $-\|f\|_\infty \;h\leq f\leq \|f\|_\infty \;h$ und Anwenden von $\Lambda$ liefert $|\Lambda(f)|\leq \Lambda(h)\; \|f\|_\infty.$ \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{RiDa}] Wir konstruieren zun"achst eine Abbildung in die Gegenrichtung und betrachten die $\sigma$-Algebra aller topologisch me"sbaren Mengen in $X\times\DR.$ Wir behaupten, da"s sie bereits erzeugt wird von den \glqq Graphenfl"achen\grqq\ $$G(f)=\{ (x,t) \mid 0\leq t < f(x)\}$$ f"ur alle nichtnegativen $f \in \cal{C}_{c} (X;\Bbb{R})$ sowie den \glqq verschobenen Graphenfl"achen\grqq\ $\{ (x,t) \mid 0\leq t+a < f(x)\}$ f"ur alle $a \in \Bbb{R}.$ Dazu reicht es zu zeigen, da"s die von den verschobenen Graphenfl"achen erzeugte $\sigma$-Algebra bereits alle Quader $U\times [a,b)$ mit $U\subset X$ offen enth"alt. Sicher d"urfen wir uns hier auf Quader $U\times [0,b)$ beschr"anken, und nach \ref{FoOo} d"urfen wir sogar annehmen, da"s gilt $U=\{x\mid f(x)>0\}$ f"ur eine stetige Funktion $f:X\ra[0,\infty)$ mit kompaktem Tr"ager. Dann aber erhalten wir f"ur den fraglichen Quader die Darstellung $$U \times [0,b) = \bigcup_{n\in\Bbb{N}} G (\op{inf}(n f, b))$$ Bezeichne nun $\cal{G} \subset \cal{P} (X\times \Bbb{R})$ den von allen verschobenen Graphenfl"achen erzeugten Mengenring und bezeichne $\lambda$ das Lebesguema"s auf $\DR.$ Wir behaupten, da"s f"ur alle $G \in \cal{G}$ die Abbildung $$\begin{array}{rccl} f_{G}:& X & \ra & [0,\infty)\\ &x &\mapsto &\lambda (G\cap \op{pr}_1^{-1}(x)) \end{array}$$ stetig ist. Um das zu sehen, betrachten wir f"ur alle stetigen $f:X\ra \DR$ den \glqq Halbraum\grqq\ $$H(f)=\{ (x,t) \mid t < f(x)\}$$ Sicher gilt $H(f)\cap H(g)= H(\inf(f,g))$ und $H(f)\cup H(g)= H(\sup(f,g)).$ Betrachten wir die leere Menge und die ganze Menge auch als Halbr"aume, so ist das System aller Halbr"aume stabil unter endlichen Schnitten und endlichen Vereinigungen. Die von allen Halbr"aumen erzeugte Mengenalgebra besteht nach \ref{MREe} folglich aus endlichen disjunkten Vereinigungen von Differenzmengen von derartigen Halbr"aumen. Insbesondere ist jede Menge $G\in\cal{G}$ eine endliche disjunkte Vereinigung von Mengen der Gestalt $H(f)-H(g)$ mit $f,g:X\ra\DR$ stetig, und das zeigt, da"s $f_G$ stetig ist. Wir behaupten nun, da"s f"ur $\Lambda : \cal{C}_{c} (X; \Bbb{R})\ra \Bbb{R}$ eine nichtnegative Linearform die Zuordnung $G \mapsto \Lambda (f_{G})$ sogar ein Pr"ama"s auf $\cal{G}$ ist. In der Tat folgt das aus \ref{NiFu} mit einem Satz von Dini \ref{Dini}, der besagt, da"s auf einem Kompaktum jede monotone Folge stetiger reellwertiger Funktionen, die punktweise gegen eine stetige Funktion konvergiert, bereits gleichm"a"sig konvergieren mu"s. Jede nichtnegative Linearform auf $\cal{C}_{c}(X;\Bbb{R})$ liefert so erst ein Pr"ama"s auf $\cal{G}$ und mit dem Erweiterungssatz von Hahn \ref{MHa} dann ein topologisches Ma"s $\pi_\Lambda$ auf $X\times \DR.$ Wir erhalten schlie"slich ein topologisches Ma"s $\mu_\Lambda$ auf $X,$ indem wir f"ur jede topologisch me"sbare Teilmenge $A\subset X$ setzen $$\mu_\Lambda(A)=\pi_\Lambda(A\times [0,1))$$ Dieses Ma"s $\mu_\Lambda$ ist endlich auf Kompakta, da wir nach \ref{FSKo} f"ur jedes Kompaktum $K$ die konstante Funktion Eins auf $K$ zu einer stetigen Funktion mit kompaktem Tr"ager $h:X\ra[0,\infty)$ ausdehnen k"onnen, und aus $K\times [0,1)\subset G(h)$ folgt dann sofort $\mu_\Lambda (K)\leq \Lambda(h).$ Damit haben wir eine Abbildung in die Gegenrichtung konstruiert, der man ohne Schwierigkeiten ansieht, da"s sie rechtsinvers ist zur Abbildung aus dem Satz. Es bleibt also nur noch zu zeigen, da"s die Abbildung aus unserem Satz injektiv ist, als da hei"st, da"s verschiedene Borel-Ma"se $\mu \neq \nu$ auf $X$ auch verschiedene Funktionale auf $\cal{C}_{c} (X;\Bbb{R})$ liefern. Sicher liefern sie verschiedene Ma"se $\mu \otimes \lambda \neq \nu \otimes \lambda$ auf $X \times \Bbb{R}$ und wegen der Eindeutigkeitsaussage im Ma"serweiterungssatz \ref{MHa} nehmen sie dann auch auf mindestens einer Menge $G \in \cal{G}$ verschiedene Werte an. Mit Fubini folgt daraus aber, da"s $\mu$ und $\nu$ verschieden sind auf $f_{G} \in \cal{C}_{c} (X;\Bbb{R})$.\end{proof} \begin{Ubung} Gegeben ein lokal kompakter separabler Hausdorff-Raum $X$ liefert das Bilden des Produkts mit dem Lebesgue-Ma"s eine Bijektion \begin{displaymath} \{ \text{Borel-Ma"se auf } X\} \overset{\sim}{\rightarrow} \{ \text{translationsinvariante Borel-Ma"se auf } X \times \Bbb{R}\} \end{displaymath} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{FoOo} Jede offene Teilmenge eines lokal kompakten separablen Haus\-dorff-Raums $X$ l"a"st sich darstellen als abz"ahlbare Vereinigung von Mengen der Gestalt $\{x\mid f(x)>0\}$ f"ur $f:X\ra[0,\infty)$ stetig mit kompaktem Tr"ager. \end{Ubung} \subsection{Normalform selbstadjungierter Operatoren} \begin{Bemerkung} Ist $\cal{H}$ ein Hilbertraum und $T : \cal{H} \ra \cal{H}$ ein Operator, so nennen wir ein Element $v \in \cal{H}$ einen \defnoind{zyklischen Vektor}\index{zyklisch!Vektor} genau dann, wenn die $T^n v$ mit $n \in \Bbb{N}$ dicht liegen in $\cal{H}.$ Ist $\mu$ ein Borelma"s auf $\Bbb{R}$ mit kompaktem Tr"ager und $T$ die Multiplikation $(\op{id}\cdot):L^2(\DR;\mu)\ra L^2(\DR;\mu)$ mit der Identit"at auf $\DR,$ so ist $T$ selbstadjungiert und die konstante Funktion $1$ ist ein zyklischer Vektor. Wir zeigen nun, da"s das im Wesentlichen die einzigen Beispiele f"ur einen Hilbertraum mit einem selbstadjungierten Operator und einem zyklischen Vektor sind. \end{Bemerkung} \begin{Satz}[Selbstadjungierte Operatoren mit zyklischem Vektor]\label{sazv}$\;$\\ Sei $\cal{H}$ ein Hilbertraum, $T : \cal{H} \ra \cal{H}$ ein selbstadjungierter Operator und $v \in \cal{H}$ ein zyklischer Vektor. So gibt es genau ein Paar $(\mu,\varphi)$ bestehend aus einem Borelma"s $\mu$ auf $\Bbb{R}$ mit kompaktem Tr"ager und einem Hilbertraum\-isomorphismus $\varphi:L^2 (\Bbb{R}; \mu)\sira \cal{H}$ mit $\varphi(1)= v$ und $\varphi\circ (\op{id}\cdot)=T\circ \varphi.$ \end{Satz} \begin{Bemerkung} Wir stellen die Aussage dieses Satzes graphisch dar im Diagramm \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} L^2 (\Bbb{R}; \mu)&\sira& \cal{H}\\ {\scriptstyle (\op{id}\cdot)}\da&&\;\;\;\da {\scriptstyle T}\\ L^2 (\Bbb{R}; \mu)&\sira& \cal{H} \\[1mm] 1&\mapsto& v \end{array} \end{displaymath} Hier meint $1\in L^2 (\Bbb{R}; \mu)$ die konstante Funktion Eins und $(\op{id}\cdot)$ meint das Multiplizieren mit der Funktion $\op{id}:\DR\ra\DR,$ $t\mapsto t.$ "Ahnlich S"atze gelten auch f"ur unit"are Operatoren und allgemeiner f"ur normale Operatoren, in diesen F"allen sind die Beweise jedoch schwieriger. Ich empfehle dem Leser, direkt hier den Fall, in dem unser Hilbertraum endlichdimensional ist, mit den aus der linearen Algebra zur Verf"ugung stehenden Hilfsmitteln zu pr"ufen. In diesem Fall ist $\mu$ eine Summe von Dirac-Ma"sen. Der Beweis des Satzes wird uns bis zum Ende dieses Abschnitts besch"aftigen. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Rein formal ist f"ur das Verst"andnis dieses Abschnitts keine Ma"stheorie n"otig. Es w"are sogar nachgerade viel einfacher, statt mit Borelma"sen mit den in unserer Situation nach \ref{RiDa} "aquivalenten Radonma"sen zu arbeiten, also mit Linearformen $\cal{C}_c(\DR;\DR)\ra\DR,$ die auf nichtnegativen Funktionen nichtnegative Werte annehmen. Solch eine Linearform liefert dann ein Skalarprodukt auf $\cal{C}_c(\DR)$ und der Hilbertraum $L^2 (\Bbb{R}; \mu)$ kann schlicht definiert werden als die Vervollst"andigung dieses Raums mit Skalarprodukt. Mir scheinen jedoch Borelma"se anschaulicher und im weiteren Fortgang der Theorie w"u"ste ich auch nicht ohne sie auszukommen. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Eine \defind{Banach-Algebra} ist ein Banachraum $(A, \|\; \|)$ mit einer bilinearen Verkn"upfung $A \times A \ra A$ derart, da"s $A$ zu einem Ring wird und da"s gilt $\| a b \| \leq \| a \| \|b\| \quad \forall a,b \in A.$ Wird nicht explizit das Gegenteil gesagt, nehmen wir hier $\DC$ als Grundk"orper an. Meinen wir ausnahmsweise den Grundk"orper $\DR,$ so sprechen wir von einer \defind{reellen Banach-Algebra}. \end{Definition} \begin{Beispiel} Alle stetigen linearen Selbstabbildungen eines vorgegebenen Hilbertraums bilden mit der Operatornorm eine Banach-Algebra. \end{Beispiel} \begin{Definition} Das \defind{Spektrum} eines Elements $x$ einer Banach-Algebra $A$ ist die Menge $ \sigma (x) = \sigma_A (x) = \left\{ \lambda \in \Bbb{C} \mid \lambda -x \text{ ist invertierbar in } A\right\}.$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Das Spektrum des Schr"odinger-Operators, der in der Quantenmechanik ein Elektron im elektrischen Potential eines Protons beschreibt, besitzt viele isolierte Punkte, die genau den Frequenzen entsprechen, in die das Licht eines angeregten Wasserstoffgases beim Durchgang durch ein Prisma zerf"allt. Daher r"uhrt die Bezeichnung \glqq Spektrum\grqq. \end{Bemerkung} \begin{Lemma}\label{UEe} Gegeben eine Banach-Algebra $A$ ist f"ur jedes Element $x \in A$ mit $\|x \| < 1$ die Differenz $(1-x)$ invertierbar in $A$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die absolute konvergente Reihe $1+x+ x^2 \ldots $ liefert ein Inverses. \end{proof} \begin{Lemma}\label{IvO} Die invertierbaren Elemente einer Banach-Algebra bilden eine offene Teilmenge, in Formeln $A^\times \co A$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Nach \ref{UEe} besitzt das Einselement eine Umgebung aus invertierbaren Elementen. Andererseits ist die Multiplikation mit jeder Einheit ein Hom"oomorphismus von $A$ auf sich selbst, der Einheiten zu Einheiten macht. Das Lemma folgt. \end{proof} \begin{Lemma} Das Spektrum eines Elements einer Banach-Algebra ist stets eine kompakte Teilmenge der komplexen Zahlenebene. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das Spektrum ist abgeschlossen, da sein Komplement offen ist nach \ref{IvO}. Es ist beschr"ankt, da f"ur $|\lambda| > \| x \|$ die Differenz $\lambda -x = \lambda (1-\lambda^{-1}x)$ stets invertierbar ist nach \ref{UEe}. \end{proof} \begin{Bemerkung}\label{AbSp} Der \defind{Spektralradius} eines Elements $x$ einer Banach-Alge\-bra $A$ ist definiert als \begin{displaymath} \rho (x) =\rho_A (x) = \inf \{ r \geq 0 \mid r\geq |\lambda | \quad \forall \lambda \in \sigma_A (x)\} \end{displaymath} Der vorhergehende Beweis liefert schon mal die Absch"atzung $ \rho (x)\leq \| x \| .$ Das Beispiel einer von Null verschiedenen nilpotenten Matrix zeigt, da"s hier im Allgemeinen keine Gleichheit gilt. \end{Bemerkung} \begin{Ubung} Gegeben eine von Null verschiedene Banach-Algebra $A \neq 0$ gilt stets $\|1\| =1$. \end{Ubung} \begin{Lemma}[Polynomialer spektraler Abbildungssatz]\label{BiSp} Gegeben ein Element $x$ einer Banach-Algebra $A$ und ein Polynom $P \in \Bbb{C} [X]$ haben wir stets \begin{displaymath} \sigma_A (P (x)) = P (\sigma_A (x)) \end{displaymath} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Gegeben $\lambda \in \Bbb{C}$ schreiben wir $P(X) - \lambda$ als Produkt von Linearfaktoren $P(X) - \lambda= (X - \mu_1) \ldots (X-\mu_r)$ und haben dann $ \{ \mu \mid P (\mu) = \lambda \} =\{\mu_1, \ldots, \mu_r\} .$ Setzen wir nun $x $ ein, so folgt $ P(x) - \lambda = (x -\mu_1) \ldots (x-\mu_r) $ und die linke Seite ist nicht invertierbar, also $\lambda \in \sigma_A (P (x)),$ genau dann, wenn einer der Faktoren auf der rechten Seite nicht invertierbar ist, wenn also $ \mu \in \sigma_A (x)$ existiert mit $P (\mu) =\lambda.$ \end{proof} \begin{Proposition}\label{SRSA} F"ur jeden selbstadjungierten Operator $T$ auf einem Hilbertraum stimmen Spektralradius und Operatornom "uberein, in Formeln \begin{displaymath} \rho (T) = \|T\| \end{displaymath} \end{Proposition} \begin{Bemerkung} Sp"ater werden wir diese Formel in noch sehr viel allgemeineren Situationen zeigen. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Sei $T: \mathcal{H} \ra \mathcal{H}$ unser Operator. Gegeben ein Vektor $v$ von der L"ange Eins gilt $\|Tv\|^2 = \langle Tv, Tv \rangle = \langle v, T^2v\rangle \leq \| v \| \| T^2 v\| .$ Das zeigt $\| T \|^2 \leq \|T^2\|.$ Die andere Ungleichung gilt eh, womit wir folgern $$\| T\|^2 = \| T^2\|$$ Wir d"urfen f"ur die weitere Argumentation sicher annehmen, da"s unser Raum $\mathcal{H}$ nicht Null ist. Dann finden wir eine Folge $v_n$ von Einheitsvektoren aus $\mathcal{H}$ mit $ \lim_{n\ra \infty} \| T^2 v_n\| = \| T^2\|. $ Wegen $\| T^2\| = \| T\|^2$ folgt daraus auch $ \lim_{n \ra \infty} \|Tv_n\| = \| T\| .$ Wir setzen nun $c =\|T\|$ und behaupten, da"s $c^2$ zum Spektrum von $T^2$ geh"ort. In der Tat gilt ja \begin{displaymath} \|(T^2 - c^2) v_n \|^2 = \langle v_n, (T^4 - 2 c^2 T^2 + c^4) v_n\rangle= \|T^2v_n\|^2 - 2c^2 \|Tv_n\|^2 + c^4 \end{displaymath} und das strebt f"ur $n \ra \infty$ offensichtlich gegen Null. Damit haben wir per definitionem $c^2 \in \sigma (T^2)$ und es folgt $\| T^2\| \leq \rho (T^2)$ und, da wir die andere Absch"atzung eh bereits kennen, $\|T^2\| = \rho (T^2)$. Der spektrale Abbildungssatz \ref{BiSp} zeigt jedoch $\rho (T^2) = \rho (T)^2$ und wegen $\| T^2\| = \|T\|^2$ folgt die Behauptung. \end{proof} \begin{Proposition}[Spektren selbstadjungierter Operatoren] Jeder selbstadjungierte Operator $T$ auf einem Hilbertraum $\mathcal{H}$ hat ein rein reelles Spektrum, in Formeln gilt also $\sigma (T) \subset \Bbb{R}$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Ist $T$ selbstadjungiert, so gilt $\langle v,Tv\rangle = \langle Tv,v\rangle = \overline{\langle v, Tv \rangle } $ f"ur alle $v \in \mathcal{H},$ mithin ist $\langle v,Tv\rangle$ stets reell. F"ur $\lambda \in \Bbb{C}$ erhalten wir so wegen $|\op{Im}z|\leq |z|$ von der Mitte ausgehend die Absch"atzungen \begin{displaymath} |\op{Im} \lambda| \; \|v\|^2 \leq |\langle (T-\lambda)v,v\rangle| \leq \|(T-\lambda) v \| \cdot \|v\| \end{displaymath} und so $|\op{Im} \lambda|\; \|v\| \leq \|(T-\lambda) v \|$. Sei ab jetzt $\lambda \not\in \Bbb{R}.$ Dann ist die Abbildung $(T-\lambda)$ sicher injektiv und $(T-\lambda)^{-1}$ ist stetig auf dem Bild von $(T-\lambda).$ Nun ist das Bild von $(T-\lambda)$ aber sogar dicht, denn f"ur $w\in \mathcal{H}$ folgt aus $\langle (T-\lambda) v,w\rangle =0 \quad \forall v \in \mathcal{H}$ bereits $\langle v, (T -\bar{\lambda})w\rangle =0 \quad \forall v \in \mathcal{H}$ alias $(T -\bar{\lambda})w =0$ alias $w=0$. Also gibt es nach \ref{ADVM} genau eine stetige Fortsetzung $R$ von $(T-\lambda)^{-1}$ auf ganz $\mathcal{H}$, und f"ur diese gilt $R \circ (T-\lambda) =\op{id}$ und dann $(T-\lambda) \circ R \circ (T-\lambda) = (T-\lambda)$ und dann $((T-\lambda) \circ R) (v) = v$ f"ur alle $v$ aus dem Bild von $(T-\lambda)$, aber da dieses Bild dicht liegt, sogar f"ur alle $v \in \mathcal{H}$. Also ist der Operator $(T-\lambda)$ invertibel und $\lambda$ geh"ort nicht zum Spektrum von $T$. \end{proof} \begin{Satz}[Anwenden stetiger Funktionen auf Operatoren] Ist $T$ ein selbstadjungierter Operator auf einem Hilbertraum $\mathcal{H},$ so gibt es genau einen stetigen $\Bbb{R}$-linearen Ringhomomorphismus \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \mathcal{C} (\sigma (T);\Bbb{R}) & \rightarrow &\mathcal{B} (\mathcal{H})\\ f & \mapsto & f(T) \end{array} \end{displaymath} vom Ring aller stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Spektrum von $T$ in den Ring aller beschr"ankten Operatoren unseres Hilbertraums, der die Einbettung $f:\sigma (T) \hra \Bbb{R}$ auf den Operator $T$ wirft. Das Bild dieses Ringhomomorphismus ist enthalten in der Menge aller selbstadjungierten Operatoren unseres Hilbertraums. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Der Teilring $\Bbb{R} [t] \subset \mathcal{C} (\sigma (T);\Bbb{R})$ aller Polynomfunktionen liegt nach Weierstra"s \ref{AvW} dicht im Raum aller stetigen Funktionen bez"uglich der Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz. Gegeben ein Polynom $P \in \Bbb{R} [X]$ haben wir $\sigma (P (T))= P (\sigma (T))$ und damit $\| P (T) \| = \|P|_{\sigma (T)} \|_{\infty}$ wegen der Gleichheit von Norm und Spektralradius bei selbstadjungierten Operatoren \ref{SRSA}. Der offensichtliche Homomorphismus $\Bbb{R} [X] \ra \mathcal{B}(\mathcal{H}),$ $P \mapsto P(T)$ faktorisiert also "uber einen normerhaltenden Homomorphismus $\Bbb{R} [t] \ra \mathcal{B}(\mathcal{H}),$ und dessen eindeutig bestimmte stetige Ausdehnung auf $\mathcal{C}(\sigma (T);\Bbb{R})$ nach \ref{ADVM} ist der gesuchte Ringhomomorphismus. Ist $P \in \Bbb{R}[X]$ ein Polynom, so ist $P(T)$ offensichtlich selbstadjungiert. Im allgemeinen ist $f(T)$ selbstadjungiert als Grenzwert derartiger selbstadjungierter Operatoren. \end{proof} \begin{Proposition}[Spektraler Abbildungssatz] Ist $T$ selbstadjungiert und $f: \sigma (T) \ra \Bbb{R}$ stetig, so hat $f(T)$ das Spektrum \begin{displaymath} \sigma (f(T)) = f(\sigma (T)) \end{displaymath} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Geh"ort $\lambda \in \Bbb{R}$ nicht zum Bild von $f$, so ist $f-\lambda $ invertierbar in ${\cal{C}}(\sigma (T);\DR)$ und damit $ f (T)-\lambda\op{id}$ invertierbar in $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ und wir haben $\lambda \not\in \sigma (f(T))$. Das zeigt von der behaupteten Gleichheit die Inklusion $\subset.$ Geh"ort $\lambda \in \Bbb{R}$ zum Bild von $f$, sagen wir $ \lambda=f(x)$ f"ur $x \in \sigma (T)$, so ist $f$ der gleichm"a"sige Grenzwert einer Folge $P_0, P_1, \ldots $ von Polynomen mit $P_n (x) = \lambda .$ Also ist $P_n (T)-\lambda \op{id} $ nicht invertierbar f"ur alle $n$ und damit auch $f (T)-\lambda \op{id} $ nicht invertierbar nach \ref{IvO}. Das zeigt die andere Inklusion $\supset.$ \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{sazv}] Gegeben ein Vektor $v \in \mathcal{H}$ betrachten wir die $\Bbb{R}$-lineare Abbildung \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \mathcal{C}_{c} (\Bbb{R}; \Bbb{R}) & \rightarrow & \Bbb{R}\\ f & \mapsto & \langle v, f(T) v \rangle \end{array} \end{displaymath} Um den Riesz'schen Darstellungssatz \ref{RiDa} anwenden zu k"onnen, gilt es zu zeigen, da"s hier nichtnegative Funktionen nichtnegative Zahlen liefern. Das ist aber klar, da jede nichtnegative Funktion ein Quadrat ist, so da"s wir haben $\langle v, f (T) v\rangle = \| \sqrt{f} (T) v\|^{2}$. Es gibt nach dem Riesz'schen Darstellungssatz also ein Borelma"s $\mu$ auf $\Bbb{R}$ mit \begin{displaymath} \int f (t) \mu (t) = \langle v,f (T) v\rangle \end{displaymath} f"ur alle stetigen $f: \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$ mit kompaktem Tr"ager. Unter der Abbildung \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \mathcal{C}_{c} (\Bbb{R}; \Bbb{R}) & \rightarrow & \mathcal{H}\\ f & \mapsto & f(T)v \end{array} \end{displaymath} verwandelt sich mithin die $L^2$-Norm in Bezug auf $\mu$ in die Norm von $\mathcal{H}.$ Durch Fortsetzen von einem dichten Teilraum nach \ref{??} und Komplexifizieren und k"onnen wir sie erweitern zu einer Einbettung $ L^2 (\Bbb{R};\mu) \hookrightarrow \mathcal{H} ,$ deren Bild offensichtlich der Abschlu"s der Menge aller $T^nv$ ist. \end{proof} \begin{Korollar} Genau dann besteht das Spektrum eines selbstadjungierten Operators aus einem einzigen Punkt $\lambda$, wenn unser Operator die Multiplikation mit $\lambda$ auf einem von Null verschiedenen Hilbertraum ist. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Sei $T : \mathcal{H} \ra \mathcal{H}$ unser Operator. Das einzige Problem ist aus $\sigma (T) =\{\lambda \}$ zu folgern, da"s gilt $Tv = \lambda v \quad \forall v \in \mathcal{H}$. Zerlegen wir $\mathcal{H}$ in den Abschlu"s des von den $T^n v $ f"ur $n \geq 0$ erzeugten Teilraums und sein orthogonales Komplement, so erkennen wir, da"s wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen d"urfen, $v$ sei ein zyklischer Vektor. Dann jedoch folgt das Korollar aus der kanonischen Form \ref{??}. \end{proof} \subsection{Sollte vorne: Unit"are Darstellungen von $\DR$} \begin{Satz}[Unit"are Darstellungen von $\Bbb{R}$] Sei $\mathcal{H}$ ein Hilbertraum, $\rho : \Bbb{R} \ra U (\mathcal{H})$ eine stetige unit"are Darstellung und $v \in \mathcal{H}$ ein zyklischer Vektor. So gibt es genau ein Paar $(\mu, \varphi)$ bestehend aus einem Borelma"s $\mu$ auf $\Bbb{R}$ und einem Isomorphismus von Hilbertr"aumen $\varphi : L^2 (\Bbb{R};\mu) \sira \mathcal{H}$ mit $\varphi(1)=v$ und derart, da"s f"ur alle $t \in \Bbb{R}$ gilt $\rho (t) \circ \varphi = \varphi\circ (\op{e}^{\op{i}t}\cdot).$ \end{Satz} \begin{Bemerkung} Der besseren "Ubersichtlichkeit halber stellen wir die Abbildung dieses Satzes auch noch in einem kommutativen Diagramm dar als $$\begin{array}{ccc} L^2 (\Bbb{R}; \mu)&\sira& \cal{H}\\ {\scriptstyle (\op{e}^{\op{i}t}\cdot)}\da&&\;\;\;\da {\scriptstyle \rho (t) }\\ L^2 (\Bbb{R}; \mu)&\sira& \cal{H} \\[1mm] 1&\mapsto& v \end{array}$$ \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Die differenzierbaren Vektoren von $\mathcal{H}$ liefern einen dichten Teilraum $\mathcal{H}^{\infty}$ mit einem schiefadjungierten Operator \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} X : \mathcal{H}^{\infty} & \ra & \mathcal{H}^{\infty}\\ v & \mapsto & \lim_{t \ra 0} \frac{\rho ( t) v -v}{t} \end{array} \end{displaymath} \end{proof} Besteht ganz $\mathcal{H}$ aus differenzierbaren Vektoren, so k"onnen wir nun die Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren verwenden und sind rasch fertig. Sonst sollte auf allen Teilr"aumen, die man als Bild des Konvolutionsoperators mit der Fourier-Transformierten einer $C^\infty$-Funktion mit kompaktem Tr"ager erh"alt, der Operator $X$ beschr"ankt sein, etc. Vielleicht gilt es auch, die Spektraltheorie unbeschr"ankter Operatoren zu entwickeln. \subsection{Der Satz von Radon-Nikodym} \begin{Definition} Ein \defind{signiertes Ma"s}\index{Ma"s!signiertes} auf einem Me"sraum $(X,\mathcal{M})$ ist eine Abbildung $\mu : \mathcal{M} \ra \Bbb{R}$, die sich darstellen l"a"st in der Form $\mu =\nu-\lambda$ mit $\nu, \lambda : \mathcal{M} \ra [0,\infty)$ endlichen Ma"sen. \end{Definition} \begin{Definition} Gegeben ein Ma"sraum $(X,\mathcal{M},\mu)$ hei"st ein signiertes Ma"s $\nu$ auf dem zugrundeliegenden Me"sraum \defind{stetig zu $\mu$} genau dann, wenn f"ur jede me"sbare Menge $M\in \mathcal{M}$ gilt $\mu(M)=0\RA \nu(M)=0.$ \end{Definition} \begin{Satz}[Radon-Nikodym] Gegeben ein $\sigma$-endlicher Ma"sraum $(X, \mu)$ liefert die Multiplikation mit dem Ma"s $\mu$ eine Bijektion $$ \begin{array}{ccc} L^1_{\Bbb{R}} (X;\mu)&\ra&\{\text{zu $\mu$ stetige signierte Ma"se auf }X\}\\ f&\mapsto &f\mu \end{array}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkung} Hier bezeichnen wir mit $f\mu$ das signierte Ma"s, das gegeben wird durch die Vorschrift $(f\mu) (E) = \int_{E} f\mu$ f"ur alle me"sbaren $E \subset X.$ In diesen Notationen liegt es nahe, die inverse Abbildung in der Form $\nu\mapsto \nu/\mu$ zu notieren. "Ublich ist stattdessen die Notation $\diff\nu/\!\diff\mu$ und die Bezeichnung als \defind{Radon-Nikodym-Ableitung}. Der Beweis des Satzes beginnt mit einigen Lemmata, die man im $\sigma$-endlichen Fall r"uckblickend auch als einfache Konsequenzen des Satzes von Radon-Nikodym verstehen kann. \end{Bemerkung} \begin{Lemma}[Hahn-Zerlegung] Gegeben ein signiertes Ma"s auf einem Me"sraum $X$ gibt es stets eine Zerlegung $X = A\amalg B $ in me"sbare Teilmengen derart, da"s unser Ma"s nichtnegativ ist auf allen me"sbaren Teilmengen von $A$ und nichtpositiv auf allen me"sbaren Teilmengen von $B$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $\mu$ unser signiertes Ma"s. Wir nennen eine me"sbare Teilmenge \defind{nichtpositiv} genau dann, wenn unser Ma"s $\mu$ auf allen me"sbaren Teilmengen dieser Teilmenge nichtpositive Werte annimmt. Sei $\beta$ das Infimum "uber die Ma"se aller nichtpositiven Teilmengen. Sei $B_0, B_1,\ldots$ eine Folge nichtpositiver Teilmengen mit \begin{displaymath} \lim_{n\ra \infty} \mu (B_n) = \beta \end{displaymath} Offensichtlich ist dann $B = \bigcup B_n$ eine nichtpositive Teilmenge mit $\mu (B) =\beta.$ Wir zeigen nun, da"s sie der nichtpositive Teil einer Hahn-Zerlegung ist. In der Tat reicht es dazu zu zeigen, da"s unser Ma"s nichtnegativ ist auf ihrem Komplement $A = X -B$. Sonst aber g"abe es eine Teilmenge $E \subset A$ von negativem Ma"s. Wir w"ahlen nun $n_0 \in \Bbb{Z}$ maximal derart, da"s $E$ eine Teilmenge $F_0$ vom Ma"s $\mu (F_0) \geq 2^{n_0}$ enth"alt; Dann $n_1 \in \Bbb{Z}$ maximal derart, da"s $E - F_0$ eine Teilmenge $F_1$ vom Ma"s $\mu (F_1) \geq 2^{n_1}$ enth"alt; Dann $n_2 \in \Bbb{Z}$ maximal derart, da"s $E -(F_0 \cup F_1)$ eine Teilmenge vom Ma"s $\mu (F_2) \geq 2^{n_2}$ umfa"st, und so weiter. Sicher gilt dann $n_0 > n_1 > n_2 \ldots$ und auf \begin{displaymath} C=E - \bigcup^{\infty}_{i=0} F_i \end{displaymath} w"are unser Ma"s nichtpositiv und auch nicht Null. Dann w"are jedoch $C \cup B$ eine nichtpositive Teilmenge von $X$ mit $\mu (C \cup B) < \beta$ im Widerspruch zu unseren Annahmen. \end{proof} \begin{Lemma}\label{ZMU} Ist ein endliches Ma"s $\nu$ auf einem Me"sraum $X$ nicht identisch Null und stetig in Bezug auf ein weiteres endliches Ma"s $\mu,$ so gibt es $\varepsilon >0$ und $A$ me"sbar mit $\nu (A) >0$ und $A$ nichtnegativ f"ur das signierte Ma"s $\nu - \varepsilon \mu$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir betrachten f"ur alle $n \geq 1$ eine Hahn-Zerlegung \begin{displaymath} X = A_n \cup B_n \end{displaymath} f"ur das signierte Ma"s $\nu - \frac{1}{n} \mu.$ Schreiben wir $B = \bigcap^{\infty}_{n=1} B_n$, so gilt $\nu (B) \leq \frac{1}{n} \mu (B)$ f"ur alle $n \geq 1$ und damit $\nu (B) =0$. F"ur das Komplement $V = \bigcup^{\infty}_{n=1} A_n$ gilt also $\nu (V) >0$ und damit $\mu (V) >0$ und damit $\mu (A_n) >0$ f"ur mindestens ein $n$. F"ur $A= A_n$ ist also $\nu - \frac{1}{n} \mu$ nichtnegativ auf $A$ und es gilt $\nu (A) >0$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von Radon-Nikodym] Die Injektivit"at unserer Abbildung folgt leicht aus \ref{??}. Um die Surjektivit"at zu zeigen, d"urfen wir nach einer Hahn-Zerlegung unser Ma"s $\nu$ nichtnegativ annehmen. Bezeichne $\cal{M}$ das System aller me"sbaren Teilmengen von $X.$ Wir betrachten nun die Menge $\mathcal{K}$ aller $g \in \mathcal{L}^1_{\Bbb{R}} (X;\mu)$ mit $g \geq 0$ und $\nu (E) \geq \int_{E} g\mu$ f"ur alle $E \in \mathcal{M}$. Bezeichne $\alpha$ das Supremum der $\int_{X} g \mu$ f"ur alle $g \in \mathcal{K}$ und sei $f_0,f_1, \ldots$ eine Folge in $\mathcal{K}$ mit $\lim_{n \ra \infty} \int_{X} f_n \mu = \alpha$. Man sieht ohne Schwierigkeiten, da"s das Maximum zweier Funktionen aus $\mathcal{K}$ wieder in $\mathcal{K}$ liegt. Indem wir $f_n$ durch $\max (f_0, \ldots, f_n)$ ersetzen, d"urfen wir unsere Funktionenfolge zus"atzlich monoton wachsend annehmen. Der Satz "uber monotone Konvergenz \ref{KKo} liefert f"ur die Grenzfunktion $f: X \ra [0,\infty]$ dann $\int f \mu = \alpha$ sowie $\nu (E) \geq \int_E f\mu$ f"ur alle $E \in \mathcal{M}.$ Insbesondere ist $f^{-1} (\infty)$ eine Nullmenge, und "andern wir dort unser $f$ ab zu Null, so erhalten wir ein $f \in \mathcal{K}$ mit \begin{displaymath} \int_{X} f \mu = \alpha . \end{displaymath} Es bleibt noch zu zeigen, da"s gilt $\nu = f\mu.$ Sonst aber gibt es eine me"sbare Menge $M$ mit $\nu(M) > (f\mu)(M)$ und da wir unser Ma"s $\mu$ als $\sigma$-endlich angenommen hatten, d"urfen wir hier sogar zus"atzlich $\mu(M)<\infty$ annehmen. Dann finden wir aber nach \ref{ZMU} angewandt auf die signierten Ma"se $\nu - f\mu$ und $\mu$ auf $M$ eine me"sbare Menge $A$ und $\varepsilon >0$ mit $\mu (A) > 0$ und $\nu - f \mu - \varepsilon \mu$ nichtnegativ auf $A.$ Dann geh"ort jedoch $f+ \varepsilon \chi_{A}$ auch zu $\mathcal{K}$ und h"atte echt gr"o"seres Integral "uber $X$ als $f$, im Widerspruch zu unseren Annahmen. \end{proof} \begin{Definition} Zwei Ma"se bzw.\ signierte Ma"se auf einem Me"sraum m"ogen {\bf zueinander singul"ar}\index{singul"ar!f"ur Ma"se} hei"sen genau dann, wenn er eine Zerlegung in zwei disjunkte me"sbare Teilmengen besitzt derart, da"s auf der einen Menge und allen ihren me"sbaren Teilmengen das eine Ma"s verschwindet und auf der anderen Menge und allen ihren me"sbaren Teilmengen das andere. \end{Definition}\begin{Korollar}[Lebesgue-Zerlegung] Sei $(X, \mathcal{M}, \mu)$ ein $\sigma$-endlicher Ma"sraum und $\nu : \mathcal{M} \ra \Bbb{R}$ ein signiertes Ma"s. So gibt es eindeutig bestimmte signierte Ma"se $\nu_c, \nu_s$ mit $\nu_c$ stetig zu $\mu$ und $\nu_s$ singul"ar zu $\mu$ und \begin{displaymath} \nu = \nu_c + \nu_s \end{displaymath} \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Wir zeigen zun"achst die Existenz und d"urfen dazu $\nu$ positiv annehmen. Nach Radon-Nikodym finden wir dann $f \in \mathcal{L}^1_{\Bbb{R}} (X; \mu + \nu)$ mit $\nu = f (\mu + \nu)$ und nach Ab"andern auf einer Nullmenge d"urfen wir $0 \leq f \leq 1$ annehmen. Jetzt betrachten wir $A = f^{-1} (1)$ und versuchen es mit \begin{displaymath} \nu_s = \chi_A f (\mu +\nu) = \chi_A (\mu + \nu) \end{displaymath} Sicher gilt dann $\mu (A) =0$ und $\nu_s$ ist singul"ar zu $\mu$ und kann auch geschrieben werden als $\nu_s = \chi_A \nu$. Andererseits folgt aus $\mu (C) =0$ bereits \begin{displaymath} \nu (C) = \int_C f (\mu + \nu) = \int_C f \nu \end{displaymath} und damit $\nu (C\backslash A) =0$ und $\nu (C) = \nu (C \cap A) = \nu_s (C)$ und $\nu_c (C) =0$. Um die Eindeutigkeit zu zeigen mu"s man nur bemerken, da"s zwei Zerlegungen $\nu = \nu_c + \nu_s = \nu^\prime_{c} +\nu^{\prime}_{s}$ zu einer Gleichheit $\nu_c - \nu^{\prime}_c = \nu^\prime_s -\nu_s$ von signierten Ma"sen f"uhrt, von denen das Erste stetig ist zu $\mu$ und das Zweite singul"ar zu $\mu$. Folglich sind sie beide Null. \end{proof} \subsection{Klassifikation selbstadjungierter Operatoren} \begin{Definition} Wir arbeiten im folgenden mit der Konvention $\cal{L}^{\infty} = \widehat{\bigoplus}_{n \in\Bbb{N}} \cal{L}$ f"ur jeden Hilbertraum $\cal{L}.$ Zwei Ma"se hei"sen \defind{quasi"aquivalent} genau dann, wenn sie denselben me"sbaren Mengen das Ma"s Null zuordnen. \end{Definition} \begin{Satz}[Klassifikation selbstadjungierter Operatoren] Sei $(\cal{H},N)$ ein separabler Hilbertraum mit einem selbstadjungierten Operator. \begin{enumerate} \item Es gibt eine Folge $\mu_\infty,\mu_1,\mu_2\ldots$ von paarweise singul"aren Borelma"sen auf $\Bbb{R}$ mit Tr"ager in einem gemeinsamen Kompaktum und einen Isomorphismus von Hilbert\-r"aumen \begin{displaymath} \widehat{\bigoplus} \;L^2 (\Bbb{C}; \mu_i)^i \overset{\sim}{\rightarrow} \cal{H} \end{displaymath} unter dem die Operation durch Multiplikation mit der Funktion $\op{id} : \Bbb{R} \ra \Bbb{R},$ $ x \mapsto x$ auf der linken Seite dem Operator $N$ auf der rechten Seite entspricht. \item Die Bilder der $L^2 (\Bbb{C}; \mu_i)^i$ werden hierbei als Teilr"aume von $\cal{H}$ bereits durch den Operator $N$ eindeutig festgelegt, wir notieren sie $\cal{H}(N;i)$ und nennen sie die \emph{\bf Teilr"aume zur Vielfachheit $i$}.\index{Vielfachheit!in Hilbertr"aumen} Die Ma"se $\mu_i$ werden durch unseren Operator eindeutig festgelegt bis auf Quasi"aquivalenz. \item Wir erhalten so eine Bijektion zwischen Paaren $(\cal{H},N)$ bestehend aus einem separablen Hilbertraum mit einem selbstadjungierten Operator, bis auf Isomorphie, und Folgen $\mu_\infty,\mu_1,\mu_2\ldots$ von paarweise singul"aren Borelma"sen auf $\DR$ mit Tr"ager in einem gemeinsamen Kompaktum, bis auf Ersetzen aller Folgenglieder durch quasi"aquivalente Ma"se. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkung} Ist unser Hilbertraum endlichdimensional, so m"ussen wir als $\mu_i$ ein diskretes Ma"s nehmen, das jedem Eigenwert der Vielfachheit $i$ eine positive Masse zuordnet und allen anderen komplexen Zahlen die Masse Null. \end{Bemerkung}\begin{Lemma} Seien $\mu, \nu$ Borelma"se mit kompaktem Tr"ager auf $\Bbb{R}$. Genau dann gibt es einen Hilbertraumisomorphismus $\psi :L^2 (\Bbb{R}; \mu) \overset{\sim}{\longrightarrow} L^2 (\Bbb{R};\nu)$, unter dem sich die Operatoren $(\op{id})$ entsprechen, wenn $\mu$ und $\nu$ quasi"aquivalent sind. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Offensichtlich wird $\psi$ festgelegt durch das Bild $f$ des zyklischen Vektors $1 \in L^2 (\Bbb{R}; \mu)$ und man erkennt sofort, da"s $\psi$ auf Polynomfunktionen der Operator der Multiplikation mit irgendeinem Repr"asentanten von $f$ in $\mathcal{L}_{\Bbb{R}} (\Bbb{R};\nu)$ sein mu"s. Nach Stone-Weierstra"s und dem Satz "uber dominierte Konvergenz wird $\psi$ dann auch auf allen stetigen Funktionen durch Multiplikation mit $f$ gegeben sein. Damit $\psi$ das Skalarprodukt erh"alt, mu"s f"ur alle stetigen Funktionen $p,q \in \mathcal{C} (\Bbb{R})$ gelten \begin{displaymath} \int p (x) \overline{q(x)} \mu (x) = \int p (x) \overline{q(x)} |f(x)|^2 \nu (x) \end{displaymath} woraus wir mit dem Riesz'schen Darstellungssatz folgern $\mu = |f|^2 \nu$. Also ist $\nu$ stetig zu $\mu$ und ebenso ist auch $\mu$ stetig zu $\nu$ und $\mu$ und $\nu$ sind quasi"aquivalent. Die Umkehrung folgt mit Radon-Nikodym und bleibe dam Leser "uberlassen. \end{proof} \subsection{Normale Operatoren} \begin{Definition} Sei $(X,\cal{M})$ ein Me"sraum und $\cal{H}$ ein Hilbertraum. Ein \defind{teilraumwertiges Ma"s} {\bf auf $X$ in $\cal{H}$} ist eine Zuordnung $M \mapsto \cal{H}(M)$, die jeder me"sbaren Teilmenge $M \in \cal{M}$ einen abgeschlossenen Teilraum $\cal{H}(M) \subset \cal{H}$ zuordnet derart, da"s f"ur jede abz"ahlbare Familie $(M_n)_{n \in N}$ von paarweise disjunkten me"sbaren Mengen die durch Addition definierte Abbildung von der "au"seren Hilbertsumme der zugeh"origen Teilr"aume in den urspr"unglichen Hilbertraum die fragliche Hilbertsumme identifiziert mit dem Teilraum zur Vereinigung der $M_n,$ in Formeln \begin{displaymath} \widehat{\bigoplus_{n \in N}} \;\cal{H} (M_n) \;\overset{\sim}{\rightarrow}\; \cal{H} \left(\bigcup_{n \in N} M_n\right) \end{displaymath} \end{Definition} \begin{Bemerkung} F"ur $N =\emptyset$ spezialisiert das zur Forderung $0 = \cal{H} (\emptyset)$ und f"ur je zwei disjunkte me"sbare Mengen $M, M'$ ergeben sich die beiden Forderungen $\cal{H} (M) \perp \cal{H} (M')$ sowie $\cal{H} (M \cup M')= \cal{H} (M) + \cal{H} (M').$ F"ur jede aufsteigende Folge me"sbarer Mengen $M_0 \subset M_1 \subset M_2 \subset \ldots$ ergibt sich schlie"slich die Forderung $\cal{H} (\bigcup_{i \geq 0} M_i)= \overline{\bigcup_{i\geq 0}\cal{H}(M_i)}$. Umgekehrt kann ein teilraumwertiges Ma"s auch durch diese vier Forderungen charakterisiert werden. Oft werden statt der Teilr"aume gleichbedeutend die orthogonalen Projektoren auf die jeweiligen Teilr"aume betrachtet. Bei dieser Variante spricht man dann von einem \defind{projektorwertigen Ma"s} und unter der zus"atzlichen Voraussetzung, da"s der ganzen Menge als Projektor die Identit"at des Hilbertraums zugeordnet wird, von einer \defind{Aufl"osung der Eins}. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Sei $\cal{H}$ ein Hilbertraum. Gegeben ein normaler Operator $N : \cal{H} \ra \cal{H}$ und eine Teilmenge $\Omega \subset \Bbb{C}$ definieren wir den \defind{Eigenraum} $$\op{Eig}(N,\Omega)=\cal{H} (\Omega) \subset \cal{H}$$ als den Raum aller Vektoren, die senkrecht stehen auf allen den $N$-stabilen Teilr"aumen $V\subset \cal{H},$ in denen $(N-\lambda \op{id})$ f"ur alle $\lambda\in \Omega$ stetig invertierbar ist. Im Fall eines endlichdimensionalen Raums $\cal{H}$ ist $\op{Eig}(N,\Omega)$ gerade die Summe aller Eigenr"aume zu Eigenwerten aus $\Omega.$ \end{Definition} \begin{Satz}[Spektralma"s] Sei $\cal{H}$ ein Hilbertraum. Ordnen wir jedem normalen Operator $ N:\cal{H} \ra \cal{H}$ und jeder topologisch me"sbaren Menge $\Omega \subset \Bbb{C}$ den Eigenraum $\op{Eig}(N,\Omega)$ im Sinne der vorhergehenden Definition zu, so erhalten wir eine Bijektion \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \text{Normale Operatoren}\\ \text{auf unserem }\\ \text{Hilbertraum }\cal{H}\end{array}\right\} & \overset{\sim}{\rightarrow} & \left\{ \begin{array}{c} \text{$\cal{H}$-teilraumwertige topologische Ma"se}\\ \text{auf $\Bbb{C},$ f"ur die es ein Kompaktum}\\ K\subset\DC \text{ gibt mit } \op{Eig}(N,K) = \cal{H} \end{array}\right\} \end{array} \end{displaymath} \end{Satz} \begin{Bemerkung} Ist unser Hilbertraum separabel, so k"onnen wir noch sehr viel pr"azisere Aussagen machen. \end{Bemerkung} \begin{Satz}[Klassifikation normaler Operatoren] Gegeben $(\cal{H},N)$ ein separabler Hilbertraum mit einem normalen Operator gibt es eine Familie $(\mu_i)$ induziert durch $i \in \{1,2, \ldots\} \amalg \{\infty \}$ von paarweise orthogonalen Borelma"sen auf $\Bbb{C}$ derart, da"s der Tr"ager aller $\mu_i$ in einem festen gemeinsamen Kompaktum enthalten ist, und einen Isomorphismus von Hilbert\-r"aumen \begin{displaymath} \widehat{\bigoplus} \;L^2 (\Bbb{C}; \mu_i)^i \overset{\sim}{\rightarrow} \cal{H} \end{displaymath} unter dem die Operation durch Multiplikation mit der Funktion $\op{id} : \Bbb{C} \ra \Bbb{C},$ $ z \mapsto z$ auf der linken Seite dem Operator $N$ auf der rechten Seite entspricht. Die Ma"se $\mu_i$ sind durch den Operator $N$ wohlbestimmt bis auf Quasi"aquivalenz. \end{Satz} \begin{Definition} Hier arbeiten wir mit der Konvention $\cal{L}^{\infty} = \widehat{\bigoplus}_{n \in\Bbb{N}} \cal{L}$ f"ur jeden Hilbertraum $\cal{L}.$ Zwei Ma"se hei"sen \defind{quasi"aquivalent} genau dann, wenn sie denselben me"sbaren Mengen das Ma"s Null zuordnen. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Ist unser Hilbertraum endlichdimensional, so m"ussen wir als $\mu_i$ ein diskretes Ma"s nehmen, das jedem Eigenwert der Vielfachheit $i$ eine positive Masse zuordnet und allen anderen komplexen Zahlen die Masse Null. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Man schreibt $\cal{H}$ als direkte Summe von Teilr"aumen mit $N$-zyklischem Vektor \ldots Mehr dazu findet man im selbstadjungierten Fall in \cite{Yosida} im Abschnitt "uber die \glqq kanonische Form selbstadjungierter Operatoren\grqq. \end{proof} \begin{Beispiel} Wir erinnern an die Cantormenge $C=C_0\cap C_1\cap\ldots,$ wie sie in \ref{CaMe} eingef"uhrt wurde. Dort haben wir gezeigt, da"s sie Lebesgue-Ma"s Null hat. Wir k"onnen nun ein Ma"s auf $C$ erkl"aren, indem wir den Mengenring betrachten, der aus allen Schnitten von $C$ mit den Mengen besteht, die man erhalten kann, wenn man irgendeine Auswahl der Intervalle vereinigt, aus denen ein $C_n$ zusammengesetzt ist. Geben wir jedem derartigen Schnitt als Ma"s $(1/2)^{n}$ mal der Zahl der ausgew"ahlten Intervalle, so erhalten wir ein Pr"ama"s auf unserem Mengenring, und der Erweiterungssatz von Hahn liefert ein Ma"s auf $C,$ unter dem jeder Punkt die Masse Null hat und ganz $C$ die Masse Eins. Dessen Bildma"s auf $\DR$ ist dann sowohl singul"ar zum Lebesgue-Ma"s als auch singul"ar zu jedem Dirac-Ma"s. \end{Beispiel} \begin{Satz} Ist $\cal{H}$ ein Hilbertraum, $N : \cal{H} \ra \cal{H}$ ein normaler Operator und $v \in \cal{H}$ ein Vektor derart, da"s die $N^{\nu} (N^*)^{\nu} v$ mit $\nu, \mu \in \Bbb{N}$ dicht liegen in $\cal{H}$, so gibt es genau ein Borel-Ma"s $\mu$ mit kompaktem Tr"ager auf $\Bbb{C}$ derart, da"s gilt \begin{displaymath} (\cal{H},N,v) \cong (L^2 (\Bbb{C}; \mu),(z \cdot) , 1) \end{displaymath} \end{Satz} \begin{Bemerkung} Ist andererseits $\mu$ ein Borel-Ma"s mit kompaktem Tr"ager auf $\Bbb{C}$, so ist offensichtlich $(z \cdot): L^2 (\Bbb{C}:\mu)$ ein normaler Operator mit Adjungiertem $(\bar{z}\cdot)$, und die Bilder unter $z ^{\nu} \bar{z}^{\mu}$ der konstanten Funktion 1 liegen dicht in unserem $L^2-$Raum nach Stone-Weierstra"s \ref{SWC} und \ref{DLp}. \end{Bemerkung} \subsection{Banach-Algebren} \begin{Satz}\label{SpR} In einer von Null verschiedenen Banach-Algebra hat jedes Element nichtleeres Spektrum und der Spektralradius wir gegeben durch \begin{displaymath} \rho (x) = \lim_{n \ra \infty} \sqrt[n]{\|x^n\|} \end{displaymath} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] F"ur alle $n \geq 1$ gilt $\rho (x)^n \leq \|x^n\|$ nach \ref{BiSp} und \ref{AbSp}, also $\rho (x) \leq \sqrt[n]{\|x^n\|} $ f"ur alle $n \geq 1$. Andererseits, und das mu"s noch weiter ausgef"uhrt werden, ist $\lambda \mapsto (\lambda -x)^{-1}$ eine holomorphe $A$-wertige Funktion $\mathbb{C} \backslash \sigma (x) \ra A$, die sich stetig und damit holomorph auf $\mathbb{P}^1 \backslash \sigma (x)$ fortsetzen l"a"st, indem man $\lambda = \infty$ die Null aus $A$ zuordnet. Etwas konkreter l"a"st sich die Abbildung \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \Bbb{C}^\times \backslash \{ \mu \mid \mu^{-1} \in \sigma(x) \} & \ra & A\\ \mu & \mapsto & (\mu^{-1} -x)^{-1} \end{array} \end{displaymath} holomorph auf den Ursprung fortsetzen, indem man $\mu =0$ die Null aus $A$ zuordnet. F"ur hinreichend kleines $\mu$, genauer $|\mu | \cdot \|x \| < 1$ wird diese Abbildung nun offensichtlich dargestellt durch die Potenzreihe \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} (\mu^{-1} - x)^{-1} &=& \mu (1-\mu x)^{-1}\\ & =& \mu + \mu^2 x + \mu^3 x + \ldots \end{array} \end{displaymath} Da diese Potenzreihe auf jeder Kreisscheibe um den Ursprung konvergieren mu"s, auf der unsere Funktion holomorph ist, ist f"ur alle $\lambda > \rho (x)$ die Folge $\lambda^{-n} \|x^n\|$ beschr"ankt. \ldots Da"s das Spektrum nicht leer ist, folgt mit einer Variante des Satzes von Liouville. \end{proof} \end{comment} \subsection{R"aume und Ringe} \begin{Definition} Eine $\DC$-\defind{Algebra} (hier stets unit\"{a}r, assoziativ) ist ein Vektorraum $A$ \"{u}ber $\DC$ mit einer bilinearen Abbildung $$\begin{array}{ccc} A \times A& \ra & A\\ (a,b)&\mapsto&ab \end{array}$$ derart, da\ss\ das Assoziativgesetz $a(bc)=(ab)c$ gilt, und da\ss\ es ein Element $1_{A}=1\in A$ gibt mit $1a=a1=a \; \forall a \in A.$ Ein \defind{Algebrenhomomorphismus} von einer $\DC$-Algebra $A$ in eine andere $\DC$-Algebra $Z$ ist eine $\DC$-lineare Abbildung $\varphi:A\ra Z$ derart, da"s gilt $\varphi(1)=1$ und $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ f\"{u}r alle $a,b\in A.$ Wir bezeichnen die Menge aller dieser Algebrenhomomorphismen mit $\op{Alg}_\DC(A,Z)$ oder kurz $\op{Alg}(A,Z).$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Zu jedem topologischen Raum $X$ k\"{o}nnen wir die $\DC$-Algebra ${\cal{C}}(X)$ der stetigen komplexwertigen Funktionen auf $X$ bilden, $${\cal{C}}(X) = \{f:X \ra \DC \mid f \mbox{ stetig}\}$$ Wir benutzen im weiteren Verlauf dieses Abschnitts f\"{u}r den Wert einer Funktion $f\in {\cal{C}}(X)$ an der Stelle $x \in X$ die symmetrischere Notation $f(x) =\langle f, x \rangle$ und erhalten eine Abbildung $$\begin{array}{ccc} {\cal{C}}(X) \times X & \ra & \DC \\ (f\;, \; x) &\mapsto & \langle f,x \rangle \end{array}$$ Jeder $\DC$-Algebra $A$ ordnen wir umgekehrt einen topologischen Raum $\op{Spek} A$ zu, das sogenannte \defind{Spektrum} von $A.$ Als Menge nehmen wir schlicht $$\op{Spek} A= \op{Alg} (A,\DC)$$ die Menge der Homomorphismen von $\DC$-Algebren $A\ra\DC.$ Wie dieses Spektrum mit dem Spektrum eines Operators zusammenh"angt, wird in \ref{AGN} erkl"art. F\"{u}r $a \in A$ und $\varphi \in \op{Spek} A$ benutzen wir analog die Notation $\varphi (a) = \langle a, \varphi \rangle$ und erhalten die Abbildung $$\begin{array}{ccc} A \times \op{Spek} A & \ra & \DC\\ (a\;, \; \varphi ) & \mapsto & \langle a, \varphi \rangle \end{array}$$ Wir definieren die Topologie auf $\op{Spek} A$ als Kofinaltopologie zu der Familie von Abbildungen $\langle a, \; \rangle : \op{Spek} A \ra \DC$ f\"{u}r $a \in A.$ \end{Bemerkung} \begin{Satz}\label{SHD} Das Spektrum des Rings der stetigen komplexwertigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorffraum $X$ ist hom"omorph zu $X$ selber. \end{Satz} \begin{Bemerkung} Analoges gilt mit demselben Beweis auch, wenn man im vorhergehenden $\DC$ durch $\DR$ ersetzt. Allerdings gilt der anschlie"sende Satz \ref{GN} von Gelfand-Naimark nicht mehr analog "uber $\DR,$ und das ist der Grund, warum wir uns hier auf die komplexe Version konzentrieren. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Ein kompakter Hausdorff-Raum $X$ ist also voll\-st\"{a}n\-dig \glqq kodiert\grqq\ in der $\DC$-Algebra ${\cal{C}}(X)$ der stetigen komplexwertigen Funktionen auf $X,$ einem rein algebraischen Objekt. Eine Variante dieser Entsprechung zwischen \glqq R\"{a}umen und Ringen\grqq\ steht im Zentrum der \glqq algebraischen Geometrie\grqq, jedoch stimmt der Begriff des Spektrums einer Algebra in diesem Zusammenhang nicht genau mit dem hier verwendeten Begriff "uberein, die Notation f"ur das Spektrum im Sinne der algebraischen Geometrie ist im "Ubrigen auch $\op{Spec}$ mit einem c statt mit einem k wie unser $\op{Spek}$ hier. Eine andere Variante f\"{u}hrt zur \glqq nichtkommutativen Geometrie\grqq. Die Grund\-idee ist hierbei, da"s ja nur ganz spezielle kommutative Ringe kompakte Hausdorff-R\"{a}ume beschreiben. Allgemeinere Klassen von eventuell nichtkommutativen Ringen kann man aber in analoger Weise auch \glqq geometrisch\grqq\ verstehen und so neue Arten von \glqq nichtkommutativen R\"{a}umen\grqq\ gewinnen. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Bevor wir das Satz beweisen, wollen wir seine Aussage noch etwas pr\"{a}zisieren. Per definitionem haben wir ja f\"{u}r jede $\DC$-Algebra $A$ einen Homomorphismus von $\DC$-Algebren $A \ra {\cal{C}}(\op{Spek} A),$ $a\mapsto \langle a,\; \rangle.$ Ebenso haben wir f\"{u}r jeden topologischen Raum $X$ eine stetige Abbildung $$\begin{array}{rccc} \Psi :& X &\ra &\op{Spek} {\cal{C}}(X)\\ &x&\mapsto&\langle \; , x \rangle \end{array}$$ Wir werden den obigen Satz in der folgenden pr\"{a}ziseren Form zeigen: \end{Bemerkung} \begin{Satz}\label{KRS} Ist $X$ ein kompakter Hausdorff-Raum, so ist unser $\Psi$ ein Hom\"{o}o\-morphismus $$\Psi :X\sira \op{Spek} {\cal{C}}(X)$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir zeigen zun\"{a}chst, da"s $\op{Spek} {\cal{C}}(X) $ und sogar allgemeiner $\op{Spek} A$ f\"{u}r eine beliebige $\DC$-Algebra $A$ ein Hausdorffraum ist. In der Tat, sind $\varphi,\psi:A\ra\DC$ zwei verschiedene Elemente von $ \op{Spek} A,$ so gibt es $a\in A$ mit $\langle a, \varphi \rangle \neq \langle a, \psi \rangle,$ und die Urbilder unter $\langle a, \; \rangle$ von disjunkten offenen Umgebungen dieser verschiedenen komplexen Zahlen sind dann disjunkte offene Umgebungen von $\varphi$ und $\psi$ im $\op{Spek} A.$ Wir m\"{u}ssen jetzt nur noch zeigen, da"s f\"{u}r kompaktes und Hausdorff'sches $X$ unsere Abbildung $\Psi : X\ra \op{Spek} {\cal{C}}(X)$ bijektiv ist, denn nach \ref{QHK} ist eine stetige Bijektion von einem kompakten Raum auf einen Hausdorffraum stets ein Hom\"{o}omorphismus. Aus Urysohns Lemma folgt schon mal, da"s $\Psi$ injektiv ist, denn f\"{u}r $x \neq y$ gibt es $f\in {\cal{C}}(X)$ mit $\langle f, x\rangle \neq \langle f,y \rangle,$ und daraus folgt $\langle \;, x \rangle \neq \langle \;, y \rangle.$ Es bleibt zu zeigen, da"s $\Psi$ surjektiv ist. Ist in anderen Worten $\varphi : {\cal{C}}(X) \ra \DC$ ein Algebrenhomomorphismus, so m\"{u}ssen wir $x \in X$ finden mit $\varphi= \langle \; , x \rangle.$ Finden wir $x \in X$ mit $\langle\ker \varphi , x\rangle=0,$ so ist notwendig $\varphi =\langle \;, x \rangle,$ denn beide Seiten sind dann Linearformen, die denselben Kern haben und die konstante Funktion $1\in {\cal{C}}(X)$ auf $1\in\DC$ werfen. Wir nehmen also an, es gebe keinen Punkt $x \in X,$ an dem alle Funktionen aus $\ker \varphi$ verschwinden, und f\"{u}hren diese Annahme zum Widerspruch. In der Tat g\"{a}be es ja dann f\"{u}r jeden Punkt $x \in X$ eine Funktion $f_{x} \in \ker \varphi$ mit $f_x(x)\neq 0.$ Nat\"{u}rlich gibt es dann auch eine offene Umgebung $U_{x}$ von $x,$ auf der $f_{x}$ nicht verschwindet. Endlich viele dieser $U_x$ \"{u}berdecken aber $X,$ es g\"{a}be also eine endliche Teilmenge $E \subset X$ mit $X = \bigcup_{ x \in E } U_{x},$ und $f =\sum_{ x \in E } f_{x} \bar{f}_x$ w\"{a}re ein Element von $\ker \varphi$ ohne Nullstelle. Dann w\"{a}re aber auch $1/f \in {\cal{C}}(X)$ eine wohldefinierte stetige Funktion auf $X,$ es folgte $1=(1/f)f \in \ker \varphi,$ und das ist absurd. \end{proof} \begin{Bemerkung} Ganz allgemein werden die $\DC$-Algebren, die isomorph sind zur Algebra aller stetigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorff-Raum, charakterisiert durch den Satz von Gelfand-Naimark. Wir werden ihn im folgenden formulieren, aber nicht beweisen. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Eine \defind{Banach-Algebra} ist ein (reeller oder komplexer) Banach-Raum $(A, \| \; \|)$ mit einer Algebren-Struktur $A \times A \ra A,$ $ (a,b) \mapsto ab$ derart, da"s gilt $\|ab\| \leq \|a\| \cdot \| b \| \quad \forall a,b \in A.$ \end{Definition} \begin{Beispiel} Ist $X$ ein kompakter Hausdorff-Raum, so ist $A =\cal{C} (X)$ mit der Norm $\|f\| = \sup \{| f(x)| \mid x \in X\}$ eine Banach-Algebra. \end{Beispiel} \begin{Definition} Eine \defind{Involution} auf einer $\DC$-Algebra $A$ ist eine $\DC$-schief\-li\-ne\-are Abbildung $a \mapsto a^{\ast}$ derart, da"s gilt $a^{\ast\ast} =a $ und $(ab)^{\ast} = b^{\ast} a^{\ast}$ f\"{u}r alle $a,b \in A.$ \end{Definition} \begin{Beispiel} Die komplexe Konjugation $f \mapsto \bar{f}$ auf der Algebra $\cal{C} (X)$ der stetigen Funktionen auf einem topologischen Raum $X$ ist eine Involution. \end{Beispiel} \begin{Definition} Eine \defind{$C^{\ast}$-Algebra} ist eine Banach-Algebra $A$ mit Involution derart, da"s gilt $\| a a^{\ast}\| = \| a\|^{2} \quad \forall a \in A.$ \end{Definition} \begin{Beispiel} Die Algebra ${\cal{C}}(X)$ aller stetigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorff-Raum $X$ ist eine $C^\ast$-Algebra. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\defind{Gelfand-Naimark}]\label{GN} Ist $A$ eine kommutative $C^{\ast}$-Algebra, so ist $\op{Spek} A$ ein kompakter Hausdorff-Raum und die offensichtliche Abbildung liefert einen Isomorphismus von $\DC$-Algebren $$A \sira \cal{C} (\op{Spek} A),$$ der die Norm und Involution auf $A$ mit der offensichtlichen Norm und Involution auf $\cal{C} (\op{Spek} A)$ identifiziert. \end{Satz} \begin{Bemerkung} Dieser Satz sagt insbesondere, da"s die Norm und die Involution auf einer $C^{\ast}$-Algebra schon durch die unterliegende Struktur einer $\Bbb{C}$-Algebra eindeutig festgelegt sind. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} In der Terminologie, wie wir sie in \ref{IKa} einf"uhren, liefern die Funktoren $\op{Spek}$ und ${\cal{C}}$ sogar zueinander inverse "Aquivalenzen von Kategorien $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{kompakte}\\ \text{Hausdorff-R"aume,}\\ \text{stetige Abbildungen} \end{array}\right\} & \begin{array}{c}{\cal{C}}\\[-3mm] \ra\\[-3mm] \sim \\[-3mm] \leftarrow \\[-3mm] \op{Spek} \end{array} & \left\{ \begin{array}{c} \text{kommutative}\\ \text{$C^{\ast}$-Algebren,}\\ \text{Homomorphismen von}\\ \text{$\Bbb{C}$-Algebren} \end{array}\right\}^{\circ} \end{array}$$ \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung}\label{AGN} Wir geben noch, ebenfalls ohne Beweis, eine konkrete Anwendung. Sei ${\cal H}$ ein Hilbertraum und $N:{\cal H} \ra {\cal H}$ ein beschr\"{a}nkter Operator, als da hei"st eine stetige lineare Abbildung. Man nennt $N$ {\bf normal}\index{normal!Operator} genau dann, wenn $N$ mit seinem Adjungierten $N^{\ast}$ kommutiert. Normal sind also insbesondere alle beschr\"{a}nkten selbstadjungierten Operatoren und ebenso alle unit\"{a}ren Operatoren. Das \defind{Spektrum} $\sigma (N) \subset \DC$ eines beschr\"{a}nkten Operators $N$ ist die Menge $$\sigma (N) =\{ \lambda \in \DC \mid N - \lambda \op{id} \text{ ist nicht invertierbar}\}$$ Das Spektrum eines beschr\"{a}nkten Operators ist stets eine kompakte Teilmenge von $\DC.$ Gegeben einen beschr\"{a}nkten normalen Operator $N: {\cal H} \ra {\cal H}$ bilden wir in der Algebra ${\cal B} ({\cal H})$ aller beschr\"{a}nkten Operatoren von ${\cal H}$ in sich selber die von $N$ und $N^{\ast}$ erzeugte Unteralgebra und bezeichnen mit $A$ ihren Abschlu"s bez\"{u}glich der Operatornorm. So ist $A$ eine kommutative $C^\ast$-Algebra, nach Gelfand-Naimark ist also die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus $$A \sira \cal{C} (\op{Spek} A)$$ Andererseits kann man zeigen, da"s das Auswerten an $N$ einen Hom\"{o}o\-mor\-phis\-mus $\op{Spek} A \sira \sigma (N)$ definiert. Zusammengesetzt ergibt sich so ein Isomorphismus $$\cal{C} (\sigma (N))\sira A,$$ den wir $f \mapsto f(N)$ abk\"{u}rzen. Er ist sehr n\"{u}tzlich, zum Beispiel, wenn man eine Wurzel aus dem Operator $N$ ziehen will. F\"{u}r Beweise dieser ganzen Tatsachen siehe \cite{Rudin}. \end{Bemerkung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% End: