\section{Fouriertransformation}


\subsection{Definition und erste Eigenschaften}
\begin{Definition}\label{FouD}
Die {\bf Fouriertransformierte}\index{Fouriertransformation!klassische} einer
integrierbaren  Funktion $f\in \cal{L}^{1}
(\Bbb{R}^n)$ ist die Funktion $f^\wedge  :\Bbb{R}^n \ra \Bbb{C}$, 
die gegeben wird durch die Vorschrift
$$f^\wedge  ( y) \pdef (2\pi)^{-n/2} \int_{\Bbb{R}^n} f(x)
\op{e}^{-\op{i} x \cdot  y} \diff^n x$$
Hier bezeichnet 
$x \cdot  y \in \Bbb{R}$ das Standard-Skalarprodukt der Vektoren
$x, y \in \Bbb{R}^n$.
Offensichtlich liefert die Abbildungsvorschrift $f\mapsto f^\wedge$ eine
$\DC$-lineare Abbildung von zumindest im Fall $n\geq 1$ 
unendlichdimensionalen komplexen Vektorr"aumen
$\cal F:\cal{L}^{1}\ra \op{Ens}(\Bbb{R}^n , \Bbb{C})$, die
{\bf Fouriertransformation}\index{Fouriertransformation!klassische}
oder genauer {\bf Fouriertransformation auf integrierbaren Funktionen}.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}\label{BSD}
Nat"urlich kann man die Fouriertransformierte auch 
berechnen, wenn man eine integrierbare Funktion nur
fast "uberall kennt.
Das Vorzeichen im Exponenten kommt her vom Vorzeichen 
aus unserer Formel f"ur die Koeffizienten 
der Fourierentwicklung  am Ende des Beweises 
von \eref{Fou2}{AN1} und verbessert die Vertr"aglichkeit beider
Formalismen. 
Der merkw"urdige Faktor $(2\pi)^{-n/2}$ wird  eingef"uhrt, um eine 
Symmetrie vorzut"auschen, die mir eher gek"unstelt scheint:
Wie wir beim Beweis der Inversionsformel
\ref{IIFF}
sehen werden, sorgt er daf"ur, da"s 
f"ur alle $f \in \cal{L}^{1}$ mit $f^\wedge  \in
\cal{L}^{1}$ gilt $(f^\wedge)^\wedge(x)=f(-x)$ f"ur fast alle $x$.
Oft verwendet man  eine alternative Konvention, nach der
die Fouriertransformierte gegeben wird durch das Integral
$$f^\wedge ( y) \pdef  \int_{\Bbb{R}^n} f(x)
\op{e}^{-2\pi\op{i} x \cdot  y} \diff^n x$$
Auch mit dieser Konvention liefert die zweimalige Transformation, wenn 
sie denn m"oglich ist, die Verkn"upfung der urspr"unglichen 
Funktion mit der Punktspiegelung am Ursprung, aber die Formeln
aus der gleich folgenden 
Proposition \ref{EFou} m"ussen beim Arbeiten mit dieser Konvention
durch kompliziertere Formeln ersetzt werden.
Die eigentliche Bedeutung dieser ganzen Faktoren ebenso wie ein nat"urlicherer
Formalismus werden in den folgenden 
Abschnitten   noch ausf"uhrlich diskutiert werden, vergleiche insbesondere
\ref{AFT} und \ref{AGI}.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauliche Bedeutung der Fouriertransformation}]
Sie alle beherrschen die Fouriertransformation\label{AkBs} viel besser, als Sie 
vielleicht vermuten: Wird etwa auf einem Klavier ein Akkord 
angeschlagen, so ist der Luftdruck  an Ihrem Ohr eine 
komplizierte Funktion der Zeit, und wenn wir diese Funktion 
auf ein im Vergleich zur Dauer des einmaligen Hin-und-Her-Schwingens einer 
Klaviersaite gro"ses Zeitintervall einschr"anken, durch Null ausdehnen
und darauf die Fouriertransformation anwenden, 
so erhalten wir eine Funktion auf dem
Raum aller m"oglichen Tonh"ohen, die in der N"ahe der angeschlagenen 
Tonh"ohen sehr gro"se Werte annimmt und sonst nur sehr kleine Werte,
vergleiche \ref{Hakk}.
In diesem Sinne ist also das Aufl"osen eines Akkordes in
einzelne T"one  eine Fouriertransformation.
Sie ist der Ausgangspunkt eines Teilgebiets der Mathematik, das 
man denn auch treffend als \defind{Harmonische Analysis} bezeichnet.
\end{Bemerkungl}




\begin{Beispiel}
Wir berechnen die Fouriertransformierte von
$f: \Bbb{R} \ra \Bbb{C}$, $x \mapsto \op{e}^{-|x|}$ und
erhalten
$$\begin{array}{ccl}
f^\wedge ( y) &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int 
\op{e}^{-|x|} \op{e}^{-\op{i} x  y}
\diff x\\[2mm]
&=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\infty}_{0} 
\op{e}^{-(\op{i} y+1)x} \diff x
+ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{0}_{-\infty} 
\op{e}^{-(\op{i} y -1)x} \diff x \\[2mm]
&=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left( \frac{1}{\op{i} y +1} -
\frac{1}{\op{i} y-1}\right) \\[2mm]
&=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{2}{ y^{2}+1}
\end{array}$$
\end{Beispiel}
\begin{Ubung}\label{Hakk}
 Man berechne die Fouriertransformierte der Rechtecksfunk\-tion 
$f$,
die gegeben wird durch die Vorschrift
$f(x)=1$ f"ur $|x|\leq 1$ und Null sonst, und zeige 
$f^\wedge(y)=(\sqrt{2}\op{sin}y)/\sqrt{\pi} y$. 
Man berechne auch die Fouriertransformierten
der Produkte $f(x)\op{sin}(\alpha x)$ f"ur $\alpha\in\DR$
und diskutiere den Zusammenhang 
mit dem H"oren von Akkorden.
\end{Ubung}


\begin{Proposition}[\textbf{Formeln f"ur die Fouriertransformation}]
Sei $f \in \cal{L}^{1}(\Bbb{R}^n)$ eine integrierbare Funktion.\label{EFou}
\begin{enumerate}
\item\label{EFou1} 
Die Fouriertransformierte $f^\wedge $ von $f$ 
ist stetig und beschr"ankt, genauer gilt $f^\wedge(y)\leq (2\pi)^{-n/2}\|f\|_1$
f"ur alle $y$. In \ref{FougN} zeigen wir zus"atzlich, da"s die 
Fouriertransformierte $f^\wedge $  einer
integrierbaren Funktion  $f$ f"ur $\|y\|\ra\infty$ stets gegen Null strebt;
\item\label{EFou2} 
F"ur $g(x) = f(x) \op{e}^{\op{i}\al \cdot x}$ mit $\al \in \Bbb{R}^n$ haben wir
$g^\wedge ( y) = f^\wedge  ( y - \al)$;
\item\label{EFou3} 
F"ur $g(x) = f(x - b ) \text{ mit }  b  \in \Bbb{R}^n$ haben wir
$g^\wedge  ( y) = f^\wedge ( y) \op{e}^{-\op{i}  b  \cdot  y}$;
\item\label{EFou4} 
F"ur $g(x) =\overline{f(x)}$ haben wir $g^\wedge ( y) =
\overline{f^\wedge (- y)}$;
\item\label{EFou5} 
F"ur $g(x) = f(c  x) \text{ mit } c  \in \Bbb{R}^{\times}$ haben wir
$g^\wedge ( y) = |c |^{-n} f^\wedge  ( y/c )$;
\item\label{EFou6} 
Ist f"ur ein $\nu$ mit $1\leq\nu\leq n$ 
die Funktion $g$ mit $g(x) = x_\nu f(x)$ auch integrierbar, so ist $f^\wedge $
partiell differenzierbar nach der $\nu$-ten Variablen und es gilt 
$ g^\wedge  ( y) = \op{i} \frac{\partial f^\wedge }{\partial  y_\nu}( y)$;
\item
Ist f"ur ein $\nu$ mit $1 \leq \nu \leq n$ die Funktion $f$ stetig
partiell differenzierbar nach der $\nu$-ten Variablen und ist
$h(x)=\frac{\partial f}{\partial x_{\nu}}(x)$ auch integrierbar, so gilt
$h^\wedge ( y) = \op{i}
 y_{\nu}f^\wedge  ( y)$.
\end{enumerate}
\end{Proposition}

\begin{proof}[Beweis]
Per definitionem ist die Fouriertransformierte von $f$ beschr"ankt 
durch $(2\pi)^{-n/2}\|f\|_1$.
Nach \eref{FGWv}{AN1} reicht es zum Nachweis der Stetigkeit (1), 
wenn wir f"ur jede konvergente Folge
$ y_r\ra  y$ zeigen, da"s gilt
$f^\wedge ( y_r)\ra f^\wedge ( y)$. Das folgt jedoch leicht aus dem Satz
"uber dominierte Konvergenz \ref{DoKo}.
Die Behauptungen (2) bis (5) ergeben sich durch
m"uhelose Rechnungen.
Um (6) zu zeigen, wenden wir unsere Erkenntnisse zum Differenzieren unter dem
Integral aus \ref{VIPA} an. Formal ist das allerdings etwas m"uhsam, 
da wir dort noch keine vektorwertigen Funktionen betrachtet hatten, 
so da"s es mir das Einfachste scheint, den Beweis 
nochmal  in unserem Fall mit den entsprechenden Variationen auszuf"uhren.
Dazu
bezeichnen wir mit $\op{e}_{\nu} \in \Bbb{R}^{n}$ den
$\nu$-ten Einheitsvektor und rechnen
$$ \frac{f^\wedge ( y) - f^\wedge ( y + t \op{e}_{\nu})}{t} =
(2\pi)^{-n/2} \int f(x)\op{e}^{-\op{i} x\cdot y}
\frac{1-\op{e}^{-\op{i}  t x_{\nu}}}{t}
\diff^n x$$
Jetzt beachten wir, da"s nach dem Mittelwertsatz in mehreren
Ver"anderlichen gilt $|1-\op{e}^{\op{i} ta}| \leq t |a|$. Der Integrand ist
also f"ur  $|t| \leq 1$ beschr"ankt durch die integrierbare
Funktion $|x_{\nu} f(x)|$. Nach dem Satz "uber dominierte
Konvergenz gilt also f"ur jede Folge $t_{r}$ aus $\DR^\times$ mit
$t_r\ra 0$ notwendig
$$\lim_{r \ra \infty} \frac{f^\wedge  ( y) - f^\wedge  ( y + t_{r}
\op{e}_{\nu})}{t_{r}} = (2\pi)^{-n/2} \int f(x) e^{-\op{i} x \cdot  y}
(-\op{i} x_{\nu}) \diff^n x = -\op{i} g^\wedge  ( y)$$
Die Behauptung folgt damit aus "Ubung \eref{GeFuU}{AN1} "uber den Zusammenhang
zwischen Grenzwerten von Funktionen und  Folgen.
Um (7) zu zeigen beginnen wir mit dem Fall $n=1$ und rechnen
$$
f^{\prime\wedge} ( y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int f^{\prime} (x)
\op{e}^{-\op{i} x y} \diff x
 = \lim_{r \ra \infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int^{b_{r}}_{a_{r}} f^{\prime} (x)
 \op{e}^{-\op{i} x y} \diff x
 $$
f"ur beliebige Folgen $a_r$, $b_r$ mit $a_{r} \ra -\infty$ und $b_{r} \ra
\infty$. Mit einer partiellen Integration d"urfen wir das
umschreiben zu
$$ f^{\prime\wedge}( y) 
= \lim_{r \ra \infty} \left( f(x) \op{e}^{-\op{i} x y}
|^{b_{r}}_{a_{r}} - 
\int^{b_{r}}_{a_{r}} f(x) (-\op{i}  y)\op{e}^{-\op{i} x y}
\diff x\right)$$
Da $f$ integrierbar ist, k"onnen wir unsere Folgen $a_{r},b_{r}$
sogar so w"ahlen, da"s gilt
$\lim_{r\ra \infty} f(a_{r}) = \lim_{r\ra \infty} f(b_{r}) = 0$,
und auf diese Weise sehen wir 
$$f^{\prime\wedge} ( y)= \op{i}  y f^\wedge ( y)$$
F"ur beliebiges $n$ folgt unsere Behauptung dann mit dem
Satz von Fubini.
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}\label{KoDFn}
Bezeichne $\cal{C}_{\op{b}}(D)$\index{C@$\cal{C}_{\op{b}}(D)$ stetige 
beschr"ankte komplexe Funktionen} den Raum der stetigen
beschr"ankten komplexwertigen Funktionen auf einem topologischen Raum $D$.
Bezeichnet $\cal{F}:\cal{L}^1(\DR^n)\ra\cal{C}_{\op{b}}(\DR^n)$ 
die Fouriertransformation
auf dem Schwartzraum und $\tau_ a $ die Verschiebung wie in \ref{StVer},
also $(\tau_ a  f)(x)=f(x- a )$,
so liefert die Proposition \ref{EFou} uns damit zwei kommutative Diagramme 
% $$
% \begin{array}{rcl}
% \cal{L}^1(\DR^n) & \stackrel{\cal{F}}{\ra} & \cal{C}_{\op{b}}(\DR^n)\\
% \tau_{ b } \downarrow & &\downarrow \op{e}^{-\op{i} b  \cdot y}\\
% \cal{L}^1(\DR^n) &\stackrel{\cal{F}}{\ra} &\cal{C}_{\op{b}}(\DR^n)
% \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{rcl}
% \cal{L}^1(\DR^n) &\stackrel{\cal{F}}{\ra} & \cal{C}_{\op{b}}(\DR^n)\\
% \op{e}^{\op{i}a \cdot x} \downarrow & & \downarrow 
% \tau_{ a }\\
% \cal{L}^1(\DR^n) & \stackrel{\cal{F}}{\ra} & \cal{C}_{\op{b}}(\DR^n)
% \end{array}
% $$  
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
\cal{L}^1(\DR^n)\ar[d]_-{\tau_{ b } } \ar[r]^-{\cal{F}} & \ar[d]^-{\op{e}^{-\op{i} b  \cdot y}}
\cal{C}_{\op{b}}(\DR^n)&
\cal{L}^1(\DR^n) \ar[d]_-{\op{e}^{\op{i}a \cdot x}} \ar[r]^-{\cal{F}}&\ar[d]^-{\tau_{ a }}
\cal{C}_{\op{b}}(\DR^n)\\
\cal{L}^1(\DR^n) \ar[r]^{\cal{F}} & \cal{C}_{\op{b}}(\DR^n)&
\cal{L}^1(\DR^n) \ar[r]^-{\cal{F}}& \cal{C}_{\op{b}}(\DR^n)
}
\end{displaymath}
Steht hier neben einem vertikalen Pfeil eine Funktion,
so ist die durch Multiplikation mit besagter Funktion
gegebene Abbildung  gemeint.
\end{Bemerkungl}
% , im Fall
% des vertikalen Pfeils links unten also
% die Abbildung $f\mapsto x_\nu f$, wobei 
% $x_\nu f$ die Funktion meint mit den Werten
% $(x_\nu f)(x_1,\ldots, x_n)=x_\nu f(x_1,\ldots, x_n)$.



\begin{Ubunge}\label{CoSi}
Wir betrachten in dieser "Ubung der Einfachkeit halber nur 
Funktionen auf der reellen Zahlengeraden.
Man zeige: Die Fouriertransformierte einer geraden Funktion ist gerade;
 die Fouriertransformierte einer ungeraden Funktion ist ungerade.
Die Fouriertransformierte einer geraden reellwertigen Funktion ist
reellwertig; die Fouriertransformierte einer ungeraden reellwertigen Funktion
nimmt nur rein imagin"are Werte an. Schreiben wir eine integrierbare Funktion
$f$ als Summe  $f=g+u$ ihres geraden und ihres ungeraden Anteils, 
so gilt $g^{\wedge}(y)=(2\pi)^{-1}\int f(x)\cos (xy)\diff x$ und
$\op{i}u^{\wedge}(y)=(2\pi)^{-1}\int f(x)\sin (xy)\diff x$. Diese
beiden Integrale, aufgefa"st als Funktionen von $y$, sind auch bekannt als die 
{\bf Cosinustransformation} und die\index{Cosinustransformation}  
{\bf Sinustransformation} von $f$.\index{Sinustransformation} 
Sie haben den Vorteil, 
reelle Funktionen wieder zu reellen Funktionen zu machen, und ihre 
diskreten Analoga sind von gro"ser technischer Bedeutung.
\end{Ubunge}
\begin{Definition}
Der {\bf Schwartzraum}\index{Schwartzraum} 
$\cal{S} = \cal{S} (\Bbb{R}^{n})$ ist der Raum aller
glatten Funktionen $ f: \Bbb{R}^{n} \ra \Bbb{C}$ derart, da"s
f"ur alle Multiindizes $\al,\beta \in
\DN^{n}$ die Funktion $x^{\al} \partial^{\beta} f$ beschr"ankt ist.
Hier verwenden wir die Multiindexschreibweise aus \eref{MuIn}{AN2}.
Im Fall einer Ver"anderlichen bedeutet unsere Forderung
also in Worten, da"s alle Ableitungen 
unserer Funktion 
multipliziert mit beliebigen Polynomfunktionen beschr"ankt bleiben. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}\label{BSTT}
Im Schwartzraum liegen insbesondere alle glatten Funktionen
mit kompaktem Tr"ager.
Offensichtlich ist der Schwartzraum stabil unter Multiplikationen
mit beliebigen $x^{\al}$ und unter allen partiellen Ableitungen
$\partial^{\beta}$.
Offensichtlich sind alle Funktionen des Schwartzraums
integrierbar.   
\end{Bemerkungl}

\begin{Ubung}\label{SR}
Die Funktion $x\mapsto \op{e}^{-x^2}$ liegt im Schwartzraum.
\end{Ubung}
\begin{Lemma}\label{SchwS}
Die Fouriertransformation f"uhrt den Schwartzraum $\cal{S} (\Bbb{R})$
in sich selber "uber.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
F"ur eine Funktion
aus dem Schwartzraum
$f\in\cal{S}$ finden wir nach \ref{BSTT} und  Proposition \ref{EFou} 
induktiv, da"s $f^\wedge $ beliebig stetig partiell differenzierbar ist 
und da"s f"ur alle Multiindizes $\al,\beta$ gilt
$$(\partial^{\beta}x^{\al}f)^\wedge = \op{i}^{|\beta|+|\al|}
  y^{\beta}\partial^{\al} f^\wedge $$
Die Fouriertransformierten 
integrierbarer Funktionen sind aber nach \ref{EFou}.\ref{EFou1}
stets be\-schr"ankt, und damit
 geh"ort $f^\wedge $ auch zum Schwartzraum.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}\label{KoDF}
Bezeichnet $\cal{F}:\cal{S}\ra\cal{S}$ die Fouriertransformation
auf dem Schwartzraum und $\tau_ a $ die Verschiebung wie in \ref{StVer},
also $(\tau_ a  f)(x)=f(x- a )$,
so liefert die Proposition \ref{EFou} uns damit vier kommutative Diagramme 
$$\begin{array}{ccc}
\begin{array}{rcl}
\cal{S} & \stackrel{\cal{F}}{\ra} & \cal{S}\\
\tau_{ b } \downarrow & &\downarrow \op{e}^{-\op{i} b  \cdot y}\\
\cal{S} &\stackrel{\cal{F}}{\ra} &\cal{S}
\end{array} & & \begin{array}{rcl}
\cal{S} &\stackrel{\cal{F}}{\ra} & \cal{S}\\
\op{e}^{\op{i}a \cdot x} \downarrow & & \downarrow 
\tau_{ a }\\
\cal{S} & \stackrel{\cal{F}}{\ra} & \cal{S}
\end{array}
\\[12mm]
\begin{array}{rcl}
\cal{S} &\stackrel{\cal{F}}{\ra} & \cal{S}\\
x_{\nu} \downarrow & & \downarrow \op{i} \frac{\partial}{\partial
 y_{\nu}}\\
\cal{S} & \stackrel{\cal{F}}{\ra} & \cal{S}
\end{array}\;\;\; & & \;\;\;\begin{array}{rcl}
\cal{S} & \stackrel{\cal{F}}{\ra} & \cal{S}\\
\frac{\partial}{\partial x_{\nu}} \downarrow & &\downarrow \op{i}
 y_{\nu}\\
\cal{S} &\stackrel{\cal{F}}{\ra} &\cal{S}
\end{array}
\end{array}$$  
Steht hier neben einem vertikalen Pfeil eine Funktion,
so ist wieder die durch Multiplikation mit besagter Funktion
gegebene Abbildung $\cal{S}\ra\cal{S}$ gemeint, im Fall
des vertikalen Pfeils links unten also
die Abbildung $f\mapsto x_\nu f$, wobei 
$x_\nu f$ die Funktion meint mit den Werten
$(x_\nu f)(x_1,\ldots, x_n)=x_\nu f(x_1,\ldots, x_n)$.
Die Fouriertransformation 
verwandelt nach den unteren Diagrammen
 insbesondere partielles Ableiten in
algebraische Operationen. 
Eine beliebte Anwendung ist denn auch das L"osen von 
Differen\-tial\-gleichungen. Im "Ubrigen wird die Inversionsformel 
\ref{IvSR}  zwei unserer vier Diagramme "uberfl"ussig machen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Werte der Fouriertransformierten fern vom Ursprung}]  
F"ur alle $f\in \op{L}^{1}$ gilt\label{FougN}  
mit der Notation \eref{NotGr}{AN1} sogar die Formel 
$\lim_{\|y\| \ra \infty} f^\wedge  (y)
=0$.
F"ur $f \in \cal{C}^{\infty}_{c}$ 
folgt das bereits aus \ref{SchwS}. F"ur
beliebiges $f \in \op{L}^{1}$ und beliebiges $\varepsilon >0$ finden wir nach
\ref{AL1} ein $g \in \cal{C}^{\infty}_{c}$ mit $\| f-g\|_{1} < \varepsilon$
und damit folgt dann sofort  
$|f^\wedge  (y) - g^\wedge (y)| < \varepsilon \quad \forall
\; y$. 
So erhalten wir unsere Aussage f"ur beliebiges integrierbares $f$.
Gegeben ein topologischer Raum $X$ bezeichnet man ganz allgemein mit
$$\cal{C}_0(X)\pdef\{f\in \cal{C}(X)\mid \forall\varepsilon >0
\exists K_\varepsilon\subset X\text{ kompakt mit }(x\not\in K_\varepsilon
\RA |f(x)|<\varepsilon)\}$$
die\index{$\cal{C}_0(X)$ im Unendlichen verschwindende Funktionen}  
Menge\index{Funktion!stetige im Unendlichen verschwindende}  
der {\bf im Unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen}.
Mit dieser Notation liefert unsere Fouriertransformation eine
Abbildung $\op{L}^{1}\ra \cal{C}_0$.
Anschaulich mag man das etwa im Fall $n=1$ wie folgt verstehen: Ist 
$|y|$ sehr gro"s, so
beschreibt $x\mapsto \op{e}^{\op{i}x y}$ eine Funktion, die 
sehr schnell oszilliert. "Andert sich $f$ nicht ganz so schnell, so wird
sich beim Integrieren von $f(x)\op{e}^{\op{i}x y}$ sehr viel wegheben, so da"s
das Integral sehr klein wird.
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}[\textbf{Fouriertransformierte der Glockenkurve}]
Die Gau"s'sche Glockenkurve ist ihre eigene Fouriertransformierte, in Formeln
gilt
f"ur die Funktion\label{RG} $g(x) = \op{e}^{-x^{2}/2}$ also $g^\wedge  ( y) =
\op{e}^{- y^{2}/2}$.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Nat"urlich erf"ullt $g$ die Differentialgleichung $$g^{\prime}(x)=
-x g(x)$$ Auch ohne den Eindeutigkeitssatz "uber L"osungen von 
Differentialgleichungen zu bem"uhen, kann man durch 
Ableiten von $f(x)/(\op{e}^{-x^{2}/2})$ zeigen, da"s diese
Differentialgleichung bis auf konstante Faktoren keine anderen
L"osungen $f$ hat.
Nach "Ubung \ref{SR} geh"ort $g$ zum Schwartzraum, durch
Fouriertransformation unserer Differentialgleichung ergibt sich
damit
$$\op{i}  y g^\wedge  ( y) = - \op{i} {g^\wedge}^{\prime} ( y)$$
und wir folgern, da"s die
Fouriertransformierte von $g(x) = \op{e}^{-x^{2}/2}$ die Gestalt 
$g^\wedge  ( y) = c \op{e}^{- y^{2}/2}$ haben mu"s
mit $c \in \Bbb{C}$.
Diese Konstante $c$ schlie"slich ergibt sich mit \ref{FGG} zu 
\begin{equation*}
c = g^\wedge  (0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int \op{e}^{-x^{2}/2} \diff x =
1\qedhere
\end{equation*}

\end{proof}
\begin{Bemerkunge}
Ein mehr konzeptionelle Alternative zur Rechnung mithilfe 
der Formel   f"ur die Fl"ache unter der Gauss'schen
Glockenkurve \ref{FGG} bietet die Poisson'sche Summationsformel
\ref{PoSF}, der man direkt und ohne erst schwierige Integrale zu
l"osen entnehmen kann, da"s die fragliche
Konstante $c$ den Wert Eins  haben mu"s.
\end{Bemerkunge}
\begin{Ubung}\label{Goi}
Gegeben integrierbare Funktionen $f_1,\ldots,f_n$ einer 
reellen Ver"anderlichen ist die 
Fouriertransformierte von $f(x)=f_1(x_1)\ldots f_n(x_n)$ das Produkt
$f^\wedge(y)=f_1^\wedge(y_1)\ldots f_n^\wedge(y_n)$. Speziell 
ist die Funktion $\op{e}^{-x\cdot x/2}$ auf $\DR^n$ ihre eigene 
Fouriertransformierte.
\end{Ubung}
\begin{Proposition}[\textbf{Inversionsformel im Schwartzraum}]
Gegeben eine Funktion aus dem Schwartzraum $f \in \mathcal{S}(\DR^n)
$ gilt f"ur die Fouriertransformierte ihrer\label{IvSR}  
Fouriertransformierten stets 
\begin{equation*}
(f^\wedge )^\wedge(x) = f(-x)
\end{equation*}
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
  In \ref{IIFF} leiten wir dieselbe Formel allgemeiner f"ur
beliebige integrierbare Funktionen mit integrierbarer
Fouriertransformierten her. Eine kanonische Version,
in der wir auch das Vorzeichen als ein Artefakt unserer 
Konventionen verstehen lernen, wird in \ref{AGI} gegeben.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Wir betrachten zun"achst im Schwartzraum eine beliebige weitere
Funktion $g \in \mathcal{S}$ und behaupten
\begin{equation*}
\int f^\wedge (y) g (y) \diff^n y = \int f(x) g^\wedge (x) \diff^n x
\end{equation*}
In der Tat ist das nach unseren Definitionen und Fubini gleichbedeutend zu
\begin{equation*}
\int \int f(x) \op{e}^{-\op{i}x\cdot y} 
g(y) \diff^n x\diff^n y = \int \int f(x)
\op{e}^{-\op{i}x\cdot y}
g(y) \diff^n y \diff^n x
\end{equation*}
und damit offensichtlich.
Ist etwas allgemeiner $h \in \mathcal{S} $ eine Funktion aus 
dem Schwartzraum und
betrachten wir f"ur $r >0$ die Funktion $g= h_r = h(y/r)$,
so erhalten wir mit \ref{EFou}.\ref{EFou5} sofort $g^\wedge = h^\wedge_r
=r^n h^\wedge (rx)$ und damit
\begin{equation*}
\int f^\wedge (y) h(y/r) = \int f(x)h^\wedge_r (x) = \int f(x) r^n h^\wedge
(rx) = \int f(x/r) h^\wedge (x)
\end{equation*}
wo wir im letzten Schritt die Transformationsformel \eref{TF}{AN2} 
angewandt haben.
F"ur $r \rightarrow \infty$ folgt dann aus dem Satz "uber
dominierte Konvergenz 
\begin{equation*}
\int f^\wedge (y) h(0) = \int f(0) h^\wedge (x)
\end{equation*}
und wenn wir $(2\pi)^{-n/2}$ davormultiplizieren und integrieren
\begin{equation*}
f^{\wedge\wedge} (0) \cdot h(0) = f(0) \cdot h^{\wedge\wedge}(0)
\end{equation*}
Setzen wir hier speziell f"ur $h$ das Produkt von 
Gauss'schen Glockenkurven $\op{e}^{-x\cdot x/2}$ ein,
so folgt aus \ref{RG} sofort
\begin{equation*}
f^{\wedge\wedge} (0) = f(0)
\end{equation*}
Diese Erkenntnis  brauchen wir nur noch auf die verschobenen Funktionen
$\tau_{ b } f $ anzuwenden und mit den beiden ersten
kommutativen Diagrammen von \ref{KoDF} erhalten wir
\begin{equation*}
f(- b )=(\tau_{ b } f)(0)=(\tau_{ b } f)^{\wedge\wedge}(0)=
\left(\tau_{- b }( f^{\wedge\wedge})\right)(0)=f^{\wedge\wedge}( b )\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
\begin{Satz}[\textbf{Fouriertransformation von $\op{L}^2$-Funktionen}]
Die Fouriertransformation nach \ref{FouD} l"a"st sich auf genau
eine Weise vom Schwartzraum fortsetzen zu einem\label{FouqI} 
unit"aren Isomorphismus von
Hilbertr"aumen
\begin{equation*}
\op{L}^2 (\Bbb{R}^n ; \diff^n x) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{L}^2
(\Bbb{R}^n; \diff^n y)
\end{equation*}
und das Quadrat dieses Isomorphismus f"allt zusammen mit dem Effekt
der Punktspiegelung am Usprung des $\DR^n$ 
auf  quadratintegrierbaren Funktionen.
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Nach \ref{AL1} liegt der Schwartzraum dicht im Raum der quadratintegrierbaren
Funktionen. Nach dem Lemma "uber die Existenz stetiger Fortsezungen \ref{ADM}
und dem Lemma "uber die Linearit"at
und Unitarit"at stetiger Fortsetzungen 
\ref{ADVM}  reicht es also, wenn wir f"ur alle 
$f \in \mathcal{S}(\Bbb{R}^n)$
zeigen $\| f\|_2 = \|f^\wedge \|_2$. Dazu erkl"aren wir $g$ durch
$g(y) = \overline{f^\wedge (y)}$ und finden mit
\ref{EFou}.\ref{EFou4} leicht
$$g^\wedge(x) = \overline{f^{\wedge\wedge}(-x)} = \overline{f(x)}$$ 
Unsere Formel vom Beginn des vorhergehenden Beweises 
der Inversionsformel \ref{IvSR}
zeigt dann sofort $\| f^\wedge \|_2
=\| f\|_2$. Die Inversionsformel im Fall quadratintegrierbarer 
Funktionen schlie"slich folgt durch stetige Fortsetzung aus der
Inversionsformel f"ur Funktionen aus dem Schwartzraum.
\end{proof}




\begin{Bemerkungl}
Die bisherigen Konstruktionen k"onnen wir zusammenfassen im Diagramm
$$
\begin{array}{rccc}
\mathcal{F}_1 :& \op{L}^1 &\rightarrow& \mathcal{C}_0\\
&\cup & & \cup\\
\mathcal{F}:&\mathcal{S} &\rightarrow & \mathcal{S}\\
&\cap & & \cap\\
\mathcal{F}_2:&\op{L}^2 & \rightarrow & \op{L}^2
\end{array}
$$
wobei die Transformation der obersten Zeile stetig ist nach
\ref{EFou}.\ref{EFou1} f"ur die $\|\;\|_1$-Norm auf $\op{L}^1$ und die 
$\|\; \|_\infty$-Norm auf $\mathcal{C}_0$, die mittlere Zeile sich
durch Einschr"ankung ergibt, und die unterste Zeile durch stetige
Ausdehnung in Bezug auf $\| \; \|_2$ entsteht.
    Dies Diagramm legt es nahe zu fragen, ob denn (1) f"ur eine fast "uberall
    definierte Funktion $f \in \op{L}^1 \cap \op{L}^2$ ihre 
Fouriertransformation im Sinne
    integrierbarer Funktionen stets "ubereinstimmt mit ihrer
    Fouriertransformation im Sinne quadratintegrierbarer Funktionen, 
und weiter,
    ob (2) f"ur $f\in \op{L}^1$ mit $f^\wedge \in \op{L}^1$ auch gilt $f^{\wedge\wedge}
    (x) = f(-x)$ fast "uberall.  Beides ist richtig und soll im Folgenden
    gezeigt werden. Daf"ur m"ussen wir einige Vorbereitungen treffen.
Zun"achst geben wir jedoch noch eine Anwendung. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Berechnung der 
Fourier-Transformierten einer ${\op{L}}^2$-Funktion}]
Es ist nicht ganz leicht, eine explizite 
Formel f"ur die Fourier-Transformierte einer ${\op{L}}^2$-Funktion 
$f:\DR\dashrightarrow \DC$ anzugeben. In der
Tat kann man ja  nicht  erwarten, da"s das Integral \ref{FouD}
f"ur alle $y$ konvergiert, ja das w"are sogar fast etwas beunruhigend, 
da es uns  unter Verwendung  der Inversionsformel erlauben w"urde,
zu jeder quadratintegrierbaren Funktion 
einen wohlbestimmten \glqq "uberall definierten Repr"asentanten\grqq\  
auszuzeichnen.
Stattdessen k"onnen wir wie folgt vorgehen: Wir w"ahlen reelle Folgen
$a_n, b_n$ mit $a_n\ra -\infty$ und $b_n\ra \infty$ und
betrachten die integrierbaren Funktionen 
$f_n$, die durch Restriktion von $f$ auf das kompakte Intervall
$[a_n, b_n]$ und Ausdehnen durch Null entstehen. Dann gilt
$f_n\ra f$ im ${\op{L}}^2$-Sinne und folglich auch 
$\mathcal F_2(f_n)\ra \mathcal F_2(f)$ im ${\op{L}}^2$-Sinne. 
Da  die $f_n$ integrierbar 
sind, gilt nach der im folgenden bewiesenen 
Proposition \ref{IGS} nun aber  $\mathcal F_2(f_n)=\mathcal F_1(f_n)=f_n^\wedge$,
und das k"onnen wir mit unserer Formel \ref{FouD} jedenfalls im
Prinzip ausrechnen. Die so gebildeten 
 fast "uberall definierten Funktionen 
$f_n^\wedge$ streben demnach im ${\op{L}}^2$-Sinne gegen $\mathcal  F_2(f)$.
Gelingt es uns also zum Beispiel, Folgen $a_n, b_n$ so geschickt
zu w"ahlen, da"s die Folge der Fouriertransformierten
$f_n^\wedge$ fast "uberall punktweise konvergiert,
so ist dieser punktweise Grenzwert nach \ref{VoLp}
notwendig bereits quadratintegrierbar 
und ist unsere gesuchte Fouriertransformierte $\mathcal  F_2(f)$.
\end{Bemerkungl}



\begin{Definition}\label{loci}
Eine fast "uberall definierte Funktion 
$f : \Bbb{R}^n \rightarrow \Bbb{C}$ hei"st
\defind{lokal integrierbar} genau dann, 
wenn jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt derart,
da"s die Einschr"ankung unserer Funktion 
auf besagte Umgebung integrierbar ist in Bezug auf das 
Lebesgue-Ma"s. Wir notieren den Raum aller reellwertigen 
bzw.\ komplexwertigen
lokal integrierbaren Funktionen auf dem $\DR^n$ mit
$$\op{L}^1_{\op{loc}} (\Bbb{R}^n,\DR)\subset \op{L}^1_{\op{loc}} (\Bbb{R}^n)$$
\end{Definition}
\begin{Bemerkunge}
Ist allgemeiner $\mu$ ein  topologisches Ma"s auf einem 
topologischen Raum $X$,
so nennen wir eine $\mu$-fast "uberall definierte Funktion 
$f : X \rightarrow \Bbb{C}$
{\bf lokal integrierbar in Bezug auf $\mu$} genau dann, 
wenn jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt derart,
da"s die Einschr"ankung unserer Funktion 
auf besagte Umgebung integrierbar ist in Bezug auf $\mu$. 
Diesen Funktionenraum notieren wir dann $ \op{L}^1_{\op{loc}} (X;\mu)$.
\end{Bemerkunge}
\begin{Ubung}
Jede $\op{L}^p$-Funktion auf $\Bbb{R}^n$ f"ur $p \in [1,\infty]$ 
ist lokal integrierbar.
Genau dann ist eine fast "uberall definierte Funktion lokal 
integrierbar, wenn ihre
Einschr"ankung auf jedes Kompaktum integrierbar ist. Jede lokal integrierbare
Funktion
ist me"sbar.
\end{Ubung}
\begin{Lemma}\label{lID}
Zwei lokal integrierbare Funktionen auf dem $\DR^n$, deren Produkt mit jeder
  kompakt getragenen glatten Funktion dasselbe Integral hat, stimmen 
bereits als fast "uberall definierte Funktionen "uberein.
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}\label{BMIII}
Dasselbe gilt auch mit fast demselben Beweis f"ur zwei in Bezug auf ein
vorgegebenes nichtnegatives Borelma"s lokal integrierbare Funktionen.
Derselbe Beweis zeigt die analoge Aussage auch noch
allgemeiner f"ur lokal integrierbare 
Funktionen, die auf offenen Teilmengen  $U\co \DR^n$ definiert sind:
Sie stimmen fast "uberall "uberein genau dann, 
wenn ihr Produkt mit jeder Funktion
aus $\cal{C}_c^\infty(U)$ dasselbe Integral "uber $U$ hat.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
In Formeln ausgedr"uckt m"ussen wir zeigen, da"s die Abbildung
$$\begin{array}{ccc}
\op{L}^1_{\op{loc}} (\Bbb{R}^n) & \rightarrow & \mathcal{C}_c^\infty
(\Bbb{R}^n)^\ast \\
f & \mapsto & (g \mapsto \int f g)
\end{array}$$
von unserem Raum lokal integrierbarer Funktionen in den
Dualraum des Raums aller glatten Funktionen mit
kompaktem Tr"ager eine Injektion ist.
Sicher reicht es, wenn wir zeigen, da"s dieselbe Abbildungsvorschrift 
im Fall reellwertiger Funktionen eine Injektion
$$
\op{L}^1_{\op{loc}} (\Bbb{R}^n,\DR)  \hra \mathcal{C}_c^\infty
(\Bbb{R}^n,\DR)^\ast $$
liefert.
Sicher reicht es sogar zu zeigen, da"s die Restriktion dieser 
Abbildung auf die Teilmenge $
\op{L}^1_{\op{loc}} (\Bbb{R}^n,\DR_{\geq 0})$
aller nichtnegativen lokal integrierbaren Funktionen injektiv ist.
Diese Restriktion jedoch k"onnen wir schreiben als die Verkn"upfung
von Injektionen
$$\op{L}^1_{\op{loc}} (\Bbb{R}^n,\DR_{\geq 0})\hra\{\text{Borelma"se auf }\DR^n\}
\hra \mathcal{C}_c^\infty
(\Bbb{R}^n,\DR)^\ast $$
wo die erste Abbildung jeder Funktion $f$ das Borelma"s $f(x)\diff^nx$
zuordnet und  die zweite Abbildung
jedem Borelma"s das Integrieren  nach diesem Ma"s.
Hier ist die erste Abbildung injektiv  nach \ref{MIFF}
und die Zweite injektiv nach  \ref{BOMA} und die Proposition ist bewiesen.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}
  Etwas feiner betrachten wir den Raum
$\op{L}^1_{\mathcal S}(\DR^n)$ aller me"sbaren 
fast "uberall definierten Funktionen
$f:\DR^n\dashrightarrow \DC$ mit der Eigenschaft, da"s ihr
Produkt mit jeder Schwartzfunktion integrierbar ist. Offensichtlich 
erhalten wir so einen Untervektorraum 
$$\op{L}^1_{\mathcal S}(\DR^n)\subset \op{L}^1_{\op{loc}}(\DR^n)$$
und ebenso offensichtlich liegen alle $\op{L}^p$-Funktionen ebenso wie
alle stetigen beschr"ankten Funktionen, ja sogar alle 
me"sbaren Funktionen von h"ochstens polynomialem Wachstum bereits
in diesem Teilraum.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}\label{inTT}
Wir bilden nun den algebraischen Dualraum $\mathcal{S}^\ast$ des 
Schwartzraums, also den Raum $\mathcal{S}^\ast 
= \op{Hom}_{\Bbb{C}} (\mathcal{S}, \Bbb{C})$ 
aller Linearformen auf dem Schwartzraum ohne 
irgendwelche Stetigkeitsannahmen.
Nach \ref{lID} erhalten wir erst recht eine Inklusion 
$$\op{int}:\op{L}^1_{\mathcal S}(\DR^n)\hra \mathcal{S}^\ast$$
durch die Vorschrift $f\mapsto \left(g\mapsto \int fg\right)$.
Des weiteren betrachten
wir nun die zur Fouriertransformation auf dem Schwartzraum 
transponierte Abbildung
$
\mathcal{F}^\top : \mathcal{S}^\ast \rightarrow \mathcal{S}^\ast
$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Proposition}\label{IGS}
Mit den Einbettungen $\op{int}$ aus \ref{inTT}
als Vertikalen kommutiert das Diagramm\label{VerTT}
$$
\begin{array}{rccc}
\mathcal{F}_1 :& \op{L}^1 &\rightarrow& \mathcal{C}_0\\
&\cap & & \cap\\
\mathcal{F}^\top:&\mathcal{S}^\ast &\rightarrow & \mathcal{S}^\ast\\
&\cup & & \cup\\
\mathcal{F}_2:&\op{L}^2 & \rightarrow & \op{L}^2
\end{array}
$$
Insbesondere stimmt auf  Funktionen, die sowohl integrierbar als auch 
quadratintegrierbar sind,   die
durch direktes Integrieren definierte Fouriertransformation zusammen
mit der durch stetige Ausdehnung vom Schwartzraum erhaltenen. 
\end{Proposition}

\begin{Bemerkunge}
Man kann allgemeiner zeigen, da"s 
unter $\mathcal{F}^\top$ f"ur  konjugierte Exponenten $p,q$ mit $1\leq p\leq
2$ 
Funktionen aus $\op{L}^p\subset \mathcal{S}^\ast$
in Funktionen aus $\op{L}^q\subset \mathcal{S}^\ast$
"ubergehen, 
vergleiche etwa \cite{Werner}.
\end{Bemerkunge}

\begin{proof}
Um die Kommutativit"at des oberen Quadrats
zu zeigen, w"ahlen wir $f \in \op{L}^1$ und 
m"ussen f"ur alle $g \in \mathcal{S}$ zeigen
$\int (\mathcal{F}_1 f)g = \int f (\mathcal{F} g)$.
Per definitionem und mit Fubini werden 
hier jedoch beide Seiten gegeben durch
dieselbe Formel
\begin{equation*}
(2\pi)^{-n/2} \int\int f (x) \op{e}^{-\op{i}x\cdot y} g (y) \diff^n x \diff^n y
\end{equation*}
Um weiter die Kommutativit"at des unteren Quadrats zu zeigen, w"ahlen wir
$f \in \op{L}^2$ und m"ussen f"ur alle $g \in \mathcal{S}$ 
zeigen $\int (\mathcal{F}_2 f) g
= \int f (\mathcal{F}g)$.
F"ur festes $g$ sind hier beide Seiten stetige 
Abbildungen $\op{L}^2 \rightarrow \Bbb{C}$
und es reicht zu zeigen, da"s sie auf allen Funktionen $f$
aus dem Schwartzraum "ubereinstimmen.
Das hinwiederum zeigt dieselbe Rechnung wie zuvor.
\end{proof}



% \subsection{Schrott}
% \begin{proof}[Alter Beweis von \eref{VerTT}{AN3}]
%   In Formeln und in den eben eingef"uhrten Notationen behaupten wir also f"ur
%   alle $f \in {\op{L}}^1 \cap {\op{L}}^2$ die Gleichung
%   $$\mathcal{F}_1 f = \mathcal{F}_2 f$$
%   Sei zum Beweis $h \in \mathcal{S}$ eine
%   Funktion des Schwartzraums mit $h(0) =1$. Setzen wir wieder $h_r (x) = h(x/r)$
%   f"ur $r \in \Bbb{N}_{\geq 1}$, so folgt f"ur $p \in [1,\infty)$ und $f \in
%   {\op{L}}^p$ aus dem Satz "uber dominierte Konvergenz
% \begin{equation*}
% h_r f \rightarrow f \text{ in } {\op{L}}^p \text{ bei } r \rightarrow \infty
% \end{equation*}
% Gegeben $f \in {\op{L}}^1 \cap {\op{L}}^p$ und $\varepsilon >0$ finden wir also $r \geq 1$ mit
% \begin{equation*}
% \| h_r f - f\|_p < \varepsilon \text{ f"ur } p =1,2.
% \end{equation*}
% Solch ein $r=r_\varepsilon$ halten wir erst einmal fest.  Ist nun weiter $(s_k)$
% eine Folge aus dem Schwartzraum $\mathcal{S}$ mit $s_k \rightarrow f$ in ${\op{L}}^2$,
% so folgt $h_r s_k \rightarrow h_r f$ in ${\op{L}}^1$ aus der H"older-Ungleichung
% \eref{HUG}{AN3} und $h_r s_k \rightarrow h_r f$ in ${\op{L}}^2$ wegen $ \|h_r (s_k -f)\|_2
% \leq (\sup h_r) \|s_k -f\|_2.  $ Also finden wir f"ur unser $\varepsilon$ und
% $r$ auch ein $k$ mit
% \begin{equation*}
% \| h_r s_k - h_r f\|_p < \varepsilon \text{ f"ur } p=1,2.
% \end{equation*}
% Gegeben $f \in {\op{L}}^1\cap {\op{L}}^2 $ bilden geeignete $h_rs_k$ also eine Folge $t_1,
% t_2, t_3, \ldots$ aus dem Schwartzraum mit
% \begin{equation*}
% t_\nu \rightarrow f \text{ in } {\op{L}}^p \text{ f"ur } p=1,2.
% \end{equation*}
% Es folgt $\mathcal{F}_1 (t_\nu) \rightarrow \mathcal{F}_1 (f)$ gleichm"a"sig und
% $\mathcal{F}_2 (t_\nu) \rightarrow \mathcal{F}_2 (f)$ im ${\op{L}}^2$-Sinne, also nach
% \eref{VoLp}{AN3} f"ur eine Teilfolge fast "uberall. Das zeigt schlie"slich
% $\mathcal{F}_1 (f) = \mathcal{F}_2 (f)$ fast "uberall wie behauptet.
% \end{proof}








\begin{Satz}[\textbf{Inversionsformel f"ur 
integrierbare Funktionen}]\label{IIFF}
F"ur eine integrierbare Funktion
 $f\in \op{L}^1$ mit integrierbarer Fouriertransformierten 
$f^\wedge \in \op{L}^1$  gilt $f^{\wedge\wedge}
    (x) = f(-x)$ fast "uberall.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Insbesondere besitzt jede $\op{L}^1$-Funktion 
mit einer integrierbaren Fouriertransformierten
 einen stetigen Repr"asentanten.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Nach der Inversionsformel
f"ur Funktionen aus dem Schwartzraum  wissen wir ja bereits, da"s
$ \mathcal{F}^\top\circ\mathcal{F}^{\top} :\mathcal{S}^\ast 
\rightarrow  \mathcal{S}^\ast$ die transponierte Abbildung zur 
von der Punktspiegelung am Ursprung auf dem Schwartzraum induzierten
Abbildung ist. Nat"urlich ist unsere Einbettung $\op{L}^1\hra \mathcal{S}^\ast $
vertr"aglich mit den von der Punktspiegelung am Ursprung auf beiden R"aumen 
induzierten Abbildungen.
Die Proposition  folgt nun  leicht aus \ref{IGS}.
\end{proof}


\begin{Bemerkunge}\label{teDE} 
Bezeichne im folgenden $\lambda$ das Lebesguema"s auf dem $\DR^n$.
  Motiviert durch 
 die vorhergehenden "Uberlegungen
  definiert man den Raum
  \begin{equation*}
    \mathcal S' \subset \mathcal S^\ast
  \end{equation*}
  aller 
{\bf temperierten Distributionen}\index{temperiert!Distribution} 
als\index{Distribution!temperierte} 
den kleinsten Untervektorraum
  des vollen Dualraums $\mathcal S^\ast$ des Raums der Schwartzfunktionen, 
der (1) alle Linearformen umfa"st,
  die die Gestalt $\varphi \mapsto \int f \varphi \lambda$ haben f"ur $f :
  \mathbb R^n \rightarrow \mathbb C$ stetig von h"ochstens polynomialem
  Wachstum, und der (2) stabil ist unter den Transponierten 
  $\partial_\nu^\top : \mathcal S^\ast \rightarrow \mathcal S^\ast$ der
  partiellen Ableitungen $\partial_\nu : \mathcal S \rightarrow \mathcal S$.
  Man "uberlegt sich ohne gro"se Schwierigkeiten, da"s die Transponierte
  der Fouriertransformation $\mathcal F^\top : \mathcal S^\ast
  \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal S^\ast$  einen
  Vektorraumisomorphismus
  \begin{equation*}
    \mathcal F^\top : \mathcal S^\prime 
\overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal S^\prime
  \end{equation*}
  auf den temperierten Distributionen induziert, und da"s sich alle
  ${\op{L}}^p$-Funktio\-nen $f$ 
als temperierte Distributionen auffassen lassen,
ja da"s das Bild unserer 
Einbettng $\op{int}:\op{L}^1_{\mathcal S}(\DR^n)\hra \mathcal{S}^\ast$
aus \ref{inTT} 
  gegeben durch die Vorschrift $\varphi \mapsto \int f \varphi
  \lambda$ 
aus temperierten Distributionen besteht,
in Formeln ${\op{L}}^p\subset \op{L}^1_{\mathcal S}(\DR^n)\subset
\mathcal S^\prime $.  
Dar"uberhinaus lassen sich auch alle endlichen Borelma"se $\mu$
  als die temperierte Distributionen auffassen vermittels der immergleichen
  Vorschrift
$\varphi \mapsto \int \varphi \mu$, und alle bisher betrachteten 
Varianten der Fouriertransformation sowie auch die noch ausstehende
Variante f"ur komplexe Ma"se k"onnen als Einschr"ankung unserer
Transformation 
$\mathcal F^\top : \mathcal S^\prime \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal
S^\prime$
verstanden werden.
  Welche Vorteile die temperierten Distributionen gegen"uber
  allgemeinen Linearformen auf dem Schwartzraum bieten, und wie allgemeiner
  beliebige, nicht notwendig temperierte
 Distributionen erkl"art werden, m"ogen Sie in 
  Vorlesungen zur Funktionalanalysis oder in \ref{Dis} lernen.
\end{Bemerkunge}

% \begin{Ubunge}
%   Man zeige, da"s unter unserer Transformation 
% $\mathcal F^\top : \mathcal S^\prime \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal
% S^\prime$ die Funktion $(x_\nu)^{-1}\in \op{L}^1_{\mathcal S}(\DR^n)$
% auf die Funktion 
% \end{Ubunge}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Fouriertransformation und Fourierreihe}]
Gegeben  $f\in \mathcal L^{1}(\DR)$ konvergiert 
die Reihe $S(t) \pdef \sum_{n\in \Bbb{Z}} f(t + n)$
f"ur fast alle $t\in[0,1]$ absolut, die so erkl"arte\label{PoSFc}  
fast "uberall definierte Funktion $S:[0,1]\dashrightarrow \DR$ 
geh"ort zu ${\op{L}}^{1}([0,1])$, und f"ur ihre Fourierkoeffizienten
gilt
$$
  \int_0^{1} S (t) \op{e}^{-2\pi{\op{i}} nt} \diff t  
=  \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \op{e}^{- 2\pi{\op{i}}nt}\diff t 
$$
Das alles folgt mit Fubini \ref{Fuba} aus der Bemerkung, da"s die Addition
$\DZ\times [0,1)\ra \DR$ einen Isomorphismus von
Ma"sr"aumen induziert, wenn man links das Produkt von
Z"ahlma"s und Lebesguema"s betrachtet. Bei geeigneter Normalisierung
sind also die Fourierkoeffizienten von $S$ genau die Werte der
Fouriertransformierten von $f$ auf den ganzen Zahlen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Abtast-Theorem}]\index{Abtast-Theorem} 
Eine stetige und quadratintegrierbare Funktion  
$g\in \mathcal L^{2}(\DR)\cap \mathcal C(\DR)$,
deren Fouriertransformierte 
$y\mapsto (1/2\pi)\int_{-\infty}^{\infty} f(t) 
\op{e}^{-{\op{i}}xy}\diff x$ Tr"ager in $[-1/2,1/2]$ hat, 
wird bereits durch ihre Werte an den ganzen Zahlen festgelegt 
vermittels der 
Entwicklung
$$ g(x)=\sum_{n\in\DZ}  g(n) \frac{\sin\pi(x-n)}{\pi(x-n)}$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Dieser Satz ist wichtig in der Signalverarbeitung.
Eine Funktion auf $\DR$  in diesem Zusammenhang ein \glqq Signal\grqq\
und eine Funktion wie im Satz  ein \glqq auf ein Frequenzband beschr"anktes
Signal\grqq. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
\emph{Noch nicht Normalisierungen gepflegt!} 
Nat"urlich wird die Fouriertransformierte
$f$ von $g$ bereits durch die
Werte ihrer Fouriertransformierten 
an allen ganzzahligen Stellen,
also die Werte
 $ f^\wedge(n)\pdef \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \op{e}^{- 2\pi{\op{i}}nt}\diff t$
mit $n\in\DZ$ eindeutig festgelegt. 
Genauer haben wir in ${\op{L}}^{2}([-1/2,1/2])$ 
die Darstellung
$f=\sum _{n\in\DZ}  f^\wedge(n)\op{e}^{ 2\pi{\op{i}}nt}$ nach \ref{PoSFc}.
Dehnen wir das durch Null aus auf die ganze Zahlengerade $\DR$
und wenden die ${\op{L}}^{2}$-Fouriertransformation an, 
so ergibt sich mit einer Variante von \ref{Hakk} die
Entwicklung
$$ f^\wedge(y)=\sum _{n\in\DZ}  f^\wedge(n) \frac{\sin\pi(y-n)}{\pi(y-n)}$$
\end{proof}

\begin{Satz}[\textbf{Poisson'sche 
Summationsformel}]\index{Poisson'sche Summationsformel!konkrete}
Ist $f: \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{C}$ eine Funk\-tion aus dem Schwartzraum
und\label{PoSF} 
$
f^\wedge (y) \pdef \int f(y) \op{e}^{-2\pi \op{i} x y} \diff x
$
ihre wie angegeben normalisierte Fouriertransformierte, so
gilt im Sinne absoluter Konvergenz
\begin{displaymath}
\sum_{n \in \Bbb{Z}} f(n) = \sum_{n \in \Bbb{Z}} f^\wedge  (n)
\end{displaymath}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Allgemeinere Versionen diskutieren wir in \ref{APFF} und \ref{APFFn}.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Es gilt, die Identit"at aus \ref{PoSFc} auch noch "uber alle $n\in\DZ$ zu
summieren. Unter der zus"atzlichen Annahme, da"s 
$S$ bei $t=0$ definiert ist und da"s
die Fourierreihe 
von $S$ bei $t=0$ punktweise gegen $S$ konvergiert, folgt dann die
Behauptung. Beides kann man leicht folgern, wenn $f$ eine Funktion
des Schwartzraums ist, und dann kommt man auch
beim Beweis von \ref{PoSFc} leicht ohne den Satz von Fubini aus. Genauer 
 ist dann $S(t) \pdef \sum_{n\in \Bbb{Z}} f(t +n)$ nicht nur f"ur alle $t$
definiert, sondern auch noch  stetig differenzierbar, denn die Summe
$$f'(t)+\sum_{n\geq 1} f'(t +n)+f'(t -n)$$ ist nach nach Annahme 
der gleichm"a"sige Grenzwert ihrer Partialsummen und 
nach \eref{gli}{AN1} d"urfen wir dann Grenzwert und Integral vertauschen.
F"ur jede stetig differenzierbare Funktion $S$ wissen wir aber
bereits aus \eref{KFou}{AN1}, 
da"s ihre Fouriereihe punktweise und sogar gleichm"a"sig konvergiert.
\end{proof}
\subsubsection{"Ubungen}
\begin{Ubunge}
F"ur $g \in \op{L}^1 (\Bbb{R})$ mit $g|_{ (-\infty, 0]} =0$
gibt es eine holomorphe
Funktion $g^\wedge$ auf der komplexen unteren Halbebene 
$\op{Im} z < 0$, die die
auf $\DR=\{z\mid \op{Im}z=0\}$ definierte
Fouriertransformierte $g^\wedge$ stetig fortsetzt.
Im "ubrigen kann man im Rahmen der Funktionentheorie \eref{StFot}{FT1} 
zeigen, da"s diese stetige Fortsetzung sogar eindeutig ist.
Die auf der rechten Halbebene $\{z\mid\op{Re}(z)\geq 0\}$ 
definierte  Funktion $t \mapsto g^\wedge (-\op{i}t)$ nennt man  die
\defind{Laplace-Transformierte} von $g$, vergleiche auch \eref{LaTa}{FT1}.
\end{Ubunge}











% \subsection{Die Inversionsformel, Schrotthalde}

% \begin{Satz}\label{KFouI}
%   Gegeben eine integrierbare Funktion $f:\DR^n\ra\DC$,
% deren Fouriertransformierte $f^\wedge :\DR^n\ra\DC$ im Sinne von \eref{FouD}{AN3}
% ebenfalls integrierbar ist, gilt f"ur fast alle $x\in\DR^n$ 
% die \emph{\bf Inversionsformel}\index{Inversionsformel}
% $$(f^\wedge )^\wedge(x)=f(-x)$$
% \end{Satz}

% \begin{Bemerkung}
% Insbesondere mu"s jede integrierbare Funktion mit 
% integrierbarer Fouriertransformierten  also 
% einen stetigen und beschr"ankten Repr"asentanten
% besitzen, und f"ur diesen Repr"asentanten gilt unsere Formel dann an
% jeder Stelle $x$.     
% Wir hatten obige Formel f"ur Funktionen aus dem Schwartzraum bereits
% bewiesen, aber der oben skizzierte Fall ist deutlich allgemeiner.
% Ich will ihn 
% gleich im Rahmen abstrakter endlichdimensionaler reeller Vektorr"aume
% formulieren und beweisen in der Hoffnung, da"s dadurch die zugrundeliegenden 
% Strukturen klarer hervortreten.
% \end{Bemerkung}


% \begin{Satz}[Abstrakte Inversionsformel]\label{AbInv}
% Ist $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum, $\lambda$ ein
% Haar-Ma"s auf $V$ und $\hat{\lambda}$ das zugeh"orige 
% Plancherel-Ma"s auf $\hat{V}$, so gilt f"ur jedes $f\in {\op{L}}^1(V;\lambda)$
% mit der Eigenschaft $(f\lambda)^\wedge\in {\op{L}}^1(\hat{V};\hat{\lambda})$
% die \emph{\bf Inversionsformel}\index{Inversionsformel!abstrakte}
% $$((f\lambda)^\wedge\;\hat{\lambda})^\wedge=f$$
% \end{Satz}
% \begin{Bemerkung}
% In dieser Formulierung verbergen sich  die Faktoren aus der Definition der
% Fouriertransformation \eref{FouD}{AN3} in der Definition des
% Plancherel-Ma"ses. Das Vorzeichen aus \eref{KFouI}{AN3} hinwiederum wurde von
% der Definition der kanonischen Identifikation von $V$ mit der 
% Charaktergruppe seiner
% Charaktergruppe absorbiert.  
% Die G"ultigkeit der Inversionsformel f"ur Funktionen $f$ aus dem
% Schwartzraum haben wir bereits gezeigt. Den allgemeinen Fall f"uhren
% wir im folgenden darauf zur"uck und schicken 
% dem eigentlichen
% Beweis  ein elementares Lemma voraus.
% \end{Bemerkung}


% \begin{Lemma}\label{KVMM}
% Seien $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $\hat{V}$ 
% sein Charakterraum
% und $\mu \in M(V)$, $\xi \in M(\hat{V})$ komplexe Ma"se. 
% So haben wir im Raum
% $\mathcal{C}^{\op{b}} (V)$ 
% der beschr"ankten stetigen komplexwertigen Funktionen
% auf $V$ die Gleichheit
% \begin{equation*}
% (\mu^\wedge \cdot \xi)^\wedge = \mu \ast \xi^\wedge
% \end{equation*}
% \end{Lemma}
% \begin{proof}[Beweis]
% Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit seien beide Ma"se reell
% und nichtnegativ.
% Wir werten beide Seiten aus auf $v \in V$ und erhalten
% \begin{eqnarray*}
% (\mu^\wedge \cdot \xi)^\wedge (v) &=& \int_{\hat{V}} \langle v, \chi \rangle
% \mu^\wedge (\chi) \;\xi \langle \chi \rangle\\
% &=& \int_{\hat{V}} \int_{V} \langle v,\chi\rangle \langle \chi , w\rangle
% \;\mu \langle w\rangle \xi \langle \chi \rangle
% \end{eqnarray*}
% \begin{eqnarray*}
% (\mu \ast \xi^{\wedge}) (v) &=& \int_V \xi^\wedge (v -w) 
% \;\mu \langle w\rangle\\
% &=& \int_V \int_{\hat{V}} \langle v -w, \chi \rangle \;\xi \langle 
% \chi \rangle
% \mu \langle w \rangle
% \end{eqnarray*}
% Damit folgt das Lemma ohne weiteres aus dem Satz von Fubini.
% \end{proof}
% \begin{Bemerkung}[Injektivit"at der Fouriertransformation]
% Ein komplexes Ma"s $\mu$, dessen Fouriertransformierte verschwindet, ist Null.
% In der Tat folgt mit \eref{KVMM}{AN3} f"ur jedes komplexe Ma"s
% $\xi$ auf der Charaktergruppe $(\mu\ast \xi^\wedge)(0)=0$ und 
% folglich  $\int\xi^\wedge(v)\;\mu\langle v\rangle =0$ 
%  und dann mit
% \eref{IvSR}{AN3}, da"s das Integral jeder Funktion aus dem
% Schwartzraum in Bezug auf unser Ma"s $\mu$ verschwindet. 
% Ohne Beschr"ankung der 
% Allgemeinheit d"urfen wir nun  $\mu$ reell annehmen
% und damit als Differenz zweier nichtnegativer Borelma"se.
% Diese sind dann jedoch gleich nach \eref{BOMA}{AN3}.
% \end{Bemerkung}
% \begin{proof}[Beweis]
% Nach \ref{Sg} reicht es, f"ur jede Funktion aus dem Schwartzraum
% $g \in \mathcal{S} (V)$ die Gleichheit 
% \begin{equation*}
% g \lambda \ast ((f \lambda)^\wedge \hat{\lambda})^\wedge = g \lambda \ast f
% \end{equation*}
% zu zeigen. 
% Mit \ref{KVMM} finden wir jedoch
% \begin{eqnarray*}
% g \lambda \ast ((f \lambda)^\wedge \hat{\lambda})^\wedge &=&
% ((g \lambda)^\wedge \cdot (f\lambda)^\wedge \hat{\lambda})^\wedge\\
% &=& ((f\lambda)^\wedge \cdot (g\lambda)^\wedge \hat{\lambda})^\wedge\\
% &=& (f\lambda)\ast ((g \lambda)^\wedge \hat{\lambda})^\wedge\\
% &=& (f\lambda)\ast g\\
% &=& (g \lambda)\ast f
% \end{eqnarray*}
% was zu zeigen war.
% \end{proof}
% \begin{Lemma}\label{Sg}
% Sei $ f\in {\op{L}}^1 (V;\lambda)$ und $h \in \mathcal{C}^{\op{b}}(V)$.
% Gilt f"ur alle $g \in \mathcal{S} (V)$ die Gleichheit
% \begin{equation*}
% g\lambda \ast h = g \lambda \ast f
% \end{equation*}
% so folgt $h = f$ fast "uberall.
% \end{Lemma}
% \begin{Bemerkung}
% $g\lambda \ast f= f \lambda \ast g$ ist stets stetig und beschr"ankt,
% so da"s die erste Gleichheit in obigem Lemma durchaus punktweise verstanden
% werden kann.
% \end{Bemerkung}
% \begin{proof}[Beweis]
% Wir w"ahlen eine Folge $g_r \in \mathcal{S} (V)$ von nichtnegativen
% Funktionen mit Integral $\int g_r (y) \lambda \langle y\rangle =1$
% und Tr"ager $\op{supp} g_r \subset [-1/r,1/r]^n$ und  behaupten
% \begin{eqnarray*}
% g_r \lambda \ast h &\rightarrow & h \text{ punktweise und } \\
% g_r \lambda \ast f & \rightarrow & f \text{ in } {\op{L}}^1
% \end{eqnarray*}
% Dann mu"s eine Teilfolge fast "uberall punktweise gegen $h$ und $f$
% konvergieren und das Lemma folgt.
% Um die erste Konvergenzaussage einzusehen, w"ahlen wir $x \in V$ und finden
% \begin{eqnarray*}
% |g_r \lambda \ast h)(x) - h(x)| &=& |\int (h (x-y) - h(x)) g_r (y) \lambda
% \langle y \rangle |\\
% & \leq & \int_{[-1/r, 1/r]^{n}} | h(x-y)-h (x)| g_r (y) \lambda \langle y
% \rangle\\
% &\leq & \sup_{|y|\leq 1/r} |h(x-y) - h(x)|
% \end{eqnarray*}
% und das strebt wegen der Stetigkeit von $h$ bei $x$ offensichtlich gegen
% Null f"ur $r \rightarrow \infty$.
% Um die zweite Konvergenzaussage einzusehen, rechnen wir "ahnlich
% \begin{eqnarray*}
% g_r \lambda \ast f - f &=& \int (f (x-y) - f(x)) g_r (y) \lambda
% \langle y\rangle\\
% \| g_r \lambda \ast f - f\|_1&\leq & \int \int | f (x-y) - f(x) | g_r (y) \lambda \langle y \rangle \lambda \langle x \rangle\\
% & \leq & \int \| \tau_y f - f\|_1 g_r (y) \lambda \langle y \rangle\\
% &\leq & \sup_{|y| \leq 1/r} \| \tau)y f - f\|_1
% \end{eqnarray*}
% und auch das strebt wegen der Stetigkeit von $V \rightarrow {\op{L}}^1$, $y \mapsto
% \tau_y f$ offensichtlich gegen Null f"ur $r \rightarrow \infty$.
% \end{proof}
% \begin{proof}[Alter Beweis von \ref{AbInv}]
% In diesem Lemma werden  wir nun $\mu=f\lambda$ setzen und 
% $\xi$ eine geeignete Folge von Ma"sen $\xi_n$ durchlaufen 
% lassen und zeigen, da"s die beiden Seiten der Gleichung aus
% unserem Lemma dann gegen die beiden Seiten der Inversionsformel
% konvergieren.
% Ist genauer $g:\hat{V}\ra\Bbb{C}$ eine beliebige stetige
%  Funktion, so konvergieren 
% die Funktionen $g_{n}$ gegeben durch 
% $g_{n} (\chi) = g (\chi/n)$ offensichtlich 
% punktweise gegen die konstante Funktion $g(0)$. 
% Ist $g$ stetig und beschr"ankt und $h:\hat{V}\ra\Bbb{C}$ integrierbar,
% so k"onnen wir auf die Folge $hg_n$ den Satz "uber dominierte
% Konvergenz anwenden und erhalten punktweise Konvergenz
% $(hg_n \hat{\lambda})^\wedge\ra g(0)\cdot(h \hat{\lambda})^\wedge$.
% Ist $g$ stetig und beschr"ankt und integrierbar, so k"onnen wir 
% im Lemma $\mu=f\lambda$ und $\xi_n=g_{n}\hat{\lambda}$ einsetzen.
% Wenden wir dann die vorherigen Erkenntnisse auf $h=\mu^\wedge$ an, so
% ergibt sich
% $$(\mu^\wedge \cdot \xi_n)^\wedge =((f\lambda)^\wedge 
% \cdot g_{n}\hat{\lambda})^\wedge\;\;\ra\;\; g(0)\cdot((f\lambda)^\wedge 
% \; \hat{\lambda})^\wedge \qquad\text{punktweise f"ur }n\ra\infty.$$
% F"ur $g$ stetig und beschr"ankt und integrierbar derart, da"s auch 
% $(g\hat{\lambda})^\wedge$ integrierbar ist, also insbesondere
% f"ur alle $g$ aus dem Schwartzraum, zeigen wir
% im folgenden andererseits 
% $$\mu\ast \xi_n^\wedge =(f\lambda)\ast
% (g_{n}\hat{\lambda})^\wedge=\xi_n^\wedge\ast_\lambda f\;\;\ra\;\; 
% \left(\int (g\hat{\lambda})^{\wedge}\lambda\right)\cdot f
%  \qquad\text{in ${\op{L}}^1$ f"ur }n\ra\infty.$$
% Sobald das gezeigt ist, folgt aus \eref{VoLp}{AN3} sofort
% die G"uligkeit der Inversionsformel bis auf eine feste von
% $f$ unabh"angige multiplikative Konstante, und die 
% Poisson'sche Summationsformel zeigt dann schlie"slich, da"s diese
% Konstante Eins sein mu"s.
% Um nun noch die eben behauptete Konvergenz zu zeigen, k"urzen wir 
% $(g\hat{\lambda})^\wedge=h$ ab und finden
% $\xi^\wedge_n=(g_n\hat{\lambda})^\wedge(x)=n^d h(nx)$ mit $d=\op{dim}V$.
% Das Integral "uber $\xi^\wedge_n$ h"angt demnach nicht von $n$ ab,
% aber f"ur jede offene Umgebung $U\co V$ des Ursprungs gilt
% $$\int_U \xi^\wedge_n\lambda\;\; \ra \;\;\int_V \xi^\wedge\lambda$$
% Sei nun $f \in {\op{L}}^1 (V;\lambda)$ und sei $\eta_n$ eine
% Folge von endlichen positiven Ma"sen mit $\eta_n (V)=c$ konstant
% und 
% \begin{equation*}
% \lim_{n \rightarrow \infty} \eta_n (U) =c
% \end{equation*}
% f"ur jede offene Umgebung $U\co V$ des Ursprungs.
% Wir behaupten unter diesen Umst"anden
% \begin{equation*}
% \eta_n \ast f \rightarrow cf \text{ in } {\op{L}}^1
% \text{ f"ur } n \rightarrow \infty
% \end{equation*}
% In der Tat finden wir nach \eref{StVer}{AN3} f"ur jedes $\varepsilon >0$ eine
% Umgebung $U \co V$ des Ursprungs mit $\| \tau_y f- f\|_1 < \varepsilon$
% f"ur alle $y \in U$. Weiter finden wir ein $N$ mit $|c - \eta_n (U)| \leq
% \| f\|_1$ und folglich auch
% \begin{equation*}
% \eta_n (V\backslash U) \leq \varepsilon \text{ f"ur } n \geq N.
% \end{equation*}
% Damit k"onnen wir f"ur $n \geq N$ absch"atzen
% \begin{eqnarray*}
% \| \eta_n \ast f - cf\|_1 &=& \int |(\eta_n \ast f)(x)-
% cf(x) | \; \lambda \langle x \rangle\\
% & =& \int \left| \int f(x-y)- f(x) \;\eta_n \langle y \rangle \right|
% \;\lambda  \langle x \rangle\\
% &\leq &\int \int | f(x-y) - f (x) | \;\eta_n \langle y\rangle \lambda
% \langle x \rangle\\
% &\leq & \int \| \tau_y f - f \|_1 \;\eta_n \langle y \rangle\\
% &\leq & \int_U \| \tau_y f - f\|_1 \;\eta_n \langle y \rangle + 
% \int_{V \backslash U} \| \tau_y f - f \|_1\; \eta_n \langle y \rangle\\
% &\leq & \varepsilon c + 2 \| f\|_1 \varepsilon
% \end{eqnarray*}
% und die Behauptung folgt.
% \end{proof}
















\subsection{Abstrakte Fouriertransformation}
\begin{Bemerkungl}
Getreu meiner Devise, 
durch die Verallgemeinerung vom Fall des $\DR^n$ auf abstrakte 
endlichdimensionale reelle Vektorr"aume 
nach besserem Verst"andnis zu suchen, 
diskutiere ich nun, welche Gestalt die Fouriertransformation 
in dieser Allgemeinheit annimmt.
Insbesondere hoffe ich, da"s dadurch die Bedeutung
des merkw"urdigen Vorfaktors $(2\pi)^{-n/2}$  aus unserer
urspr"unglichen Definition \ref{FouD} klarer wird.
Es scheint mir am nat"urlichsten,
die Fouriertransformation in dieser 
Allgemeinheit als eine Vorschrift aufzufassen, 
die endliche Ma"se auf einem Vektorraum transformiert in
Funktionen auf seinem Dualraum oder, noch pr"aziser, 
in Funktionen auf seinem Charakterraum.
Diese Formulierung hat "uber ihre Unabh"angigkeit von der Wahl
von Koordinaten hinaus den Vorteil, sich auf beliebige
\glqq kommutative lokal kompakte Hausdorff'sche topologische Gruppen\grqq\ 
verallgemeinern zu lassen. Diese Verallgemeinerung
umfa"st dann auch  die Theorie der Fourierreihen
\ref{FR}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{ChRR}
  Bezeichne $S^{1} \pdef \{z \in \Bbb{C} \mid |z| =1\}$ die Kreislinie.  
Gegeben ein
  endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ nennt man einen stetigen
  Gruppenhomomorphismus $\chi : V \rightarrow \DC^\times$ 
einen {\bf Charakter}\index{Charakter!multiplikativer komplexer} 
oder genauer einen {\bf multiplikativen komplexen Charakter von $V$} und
einen stetigen
  Gruppenhomomorphismus $\chi : V \rightarrow S^{1}$ einen
  {\bf unit"aren Charakter von $V$}. \index{Charakter!unit"arer}
Der Raum aller unit"aren Charaktere von $V$ hei"st  auch kurz der
  \defind{Charakterraum} {\bf von} $V$.  
Ich notiere die Menge aller Charaktere $\op{Grpto}(V,\DC^\times)$
und den  Raum aller unit"aren Charaktere alias Charakterraum 
\index{X@$\frak{X}(V)$ Charakterraum}\index{Grpto@$\op{Grpto}$ stetige
  Gruppenhomomorphismen}\index{$\hat{V}$ Charakterraum von $V$} 
  $$\hat{V}\pdef\frak{X}(V)\pdef
\op{Grpto}(V,S^1)$$
Gegeben Charaktere $\chi$ und $\eta$ erkl"art man ihre {\bf Summe} 
$\chi +\eta$ durch $$(\chi + \eta)(v) = \chi
  (v)  \eta (v)$$ Mit dieser Verkn"upfung wird der Charakterraum  
 eine abelsche Gruppe, man bezeichnet ihn deshalb auch oft als die 
{\bf Charaktergruppe}.\index{Charaktergruppe}
Gegeben ein Charakter $\chi$ und ein Skalar $\alpha\in \DR$ 
erkl"art  man einen weiteren Charakter
 $\alpha \chi$ durch die Vorschrift $(\alpha \chi )(v) = \chi (\alpha v)$
und pr"uft ohne Schwierigkeiten, da"s die Charaktergruppe $\hat{V}$ 
eines endlichdimensionalen
reellen Vektorraums auf diese Weise selbst ein 
reeller Vektorraum wird.
Jede lineare Abbildung
$L:V\ra W$ von endlichdimensionalen reellen Vektorr"aumen liefert 
schlie"slich durch
Vorschalten eine lineare Abbildung $\hat{L}:\hat{W}\ra \hat{V}$ in die
Gegenrichtung  auf den Charakterr"aumen.
\end{Definition}
\begin{Bemerkunge}
  Hier und im folgenden habe ich mir M"uhe gegeben, alle Aussagen
soweit m"oglich so
zu formulieren, da"s sie auch sinnvoll und richtig bleiben, wenn man
unter $\DC$  einen K"orper von \glqq verge"slichen komplexen Zahlen\grqq\  im Sinne
von \eref{vDC}{LA1} versteht, in dem  keine Wurzel aus $(-1)$
besonders ausgezeichnet ist.
\end{Bemerkunge}

\begin{Lemma}\label{ChR}
Gegeben ein  endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ 
liefert das Nachschalten der Exponentialabbildung 
einen Isomorphismus von reellen Vektorr"aumen
$$
\begin{array}{ccc}
\op{Hom}_\DR(V,\op{i}\DR)&\sira &\hat{V}\\
\phi&\mapsto&\op{exp}\circ \phi
\end{array}
$$  
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vergleich von Charakterraum und Dualraum}] 
  F"ur jede Wahl $\op{i}$ einer Quadratwurzel aus $-1$ erhalten wir also
einen Isomorphismus $V^\ast\sira \hat{V}$ zwischen 
dem Dualraum und dem
Charakterraum durch die Vorschrift 
$\psi\mapsto (v\mapsto \op{e}^{{\op{i}}\psi(v)})$.
Eine alternative auch oft verwendete Identifikation in diesem
Zusammenhang ist 
$\psi\mapsto (v\mapsto \op{e}^{2\pi{\op{i}}\psi(v)})$.
Ich will von nun an mit
dem Charakterraum $\hat{V}=\frak{X}(V)$ arbeiten, 
um die Darstellung
von der Notwendigkeit der Wahl einer derartigen 
Konvention zu befreien.
F"ur $V=\DR^n$ erhalten wir speziell eine Identifikation
$\DR^n\sira \frak{X}(\DR^n)$ durch die Vorschrift 
$y\mapsto \hat y$ mit $\hat y(x)=\op{e}^{-{\op{i}}x\cdot y}$,
die wir verwenden werden, um unsere abstrakte Fouriertransformation 
mit der bisher besprochenen konkreten Variante in Beziehung zu setzen.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Im Fall $V=\DR$ folgt die Behauptung unmittelbar aus 
\ref{GHrc}. Gilt die Behauptung f"ur zwei endlichdimensionale 
reelle Vektorr"aume $V_1$ und $V_2$, so
auch f"ur $V_1\times V_2$. Damit gilt sie dann im allgemeinen.
\end{proof}
\begin{Bemerkunge}\label{UIZk}
Die Inverse zur Abbildung in Lemma \ref{ChR} kann durch
die Formel  $\chi\mapsto\diff_0\chi$ beschrieben werden, 
wobei man
$\chi\in \hat V$ als Abbildung $\chi:V\ra\DC$ auffa"st und 
beachtet, da"s deren Differential im Ursprung $\diff_0\chi: V\ra\DC$ 
nur rein imagin"are Werte annehmen kann. 
\end{Bemerkunge}


% \begin{Lemma}
% Gegeben ein  endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ 
% ist jeder Charakter $\chi:V\ra \DC^\times$ 
% differenzierbar, das Differential im Ursprung  jedes unit"aren
%  Charakters landet in $\op{i}\DR\subset\DC$,
% und das Bilden dieses Differentials liefert 
% einen Isomorphismus von reellen Vektorr"aumen
% $$
% \begin{array}{ccc}
% \hat{V}&\sira &\op{Hom}_\DR(V,\op{i}\DR)\\
% \chi&\mapsto&\diff_0\chi
% \end{array}
% $$  
% \end{Lemma}
% \begin{proof}
% Im Fall $V=V_1\times V_2$ induzieren
% die Restriktionen sicher eine
%  Bijektion  
% $\op{Grpto}(V,\DC^\times)
% \sira \op{Grpto}(V_1,\DC^\times)\times \op{Grpto}(V_2,\DC^\times)$
% auf den R"aumen der Charaktere.
% Im Fall $V=\DR$ erhalten wir nach \ref{GHrc} eine Bijektion
% $\DC\sira \op{Grpto}(\DR,\DC^\times)$ 
% durch die Vorschrift $a\mapsto \chi_a$ mit $\chi_a(x)=\op{e}^{ax}$.
% Das zeigt, da"s auch f"ur allgemeines $V$ jeder Charakter differenzierbar 
% ist. Beschr"anken wir uns nun auf unit"are Charaktere, so induzieren  
% im Fall $V=V_1\times V_2$ 
% die Restriktionen ebenso eine Bijektion 
% $\hat{V}\sira \hat{V}_1\times \hat{V}_2$ und wir erhalten  
% nach \ref{GHrc} eine Bijektion
% $\DR\sira \hat{\DR}$ durch die Vorschrift
% $y\mapsto \hat{y}$ mit $\hat{y}(x)=\op{e}^{-\op{i}xy}$.
% Zusammen folgern wir unmittelbar sowohl
%  $\op{dim}\hat{V}=\op{dim}V$ als auch, da"s f"ur einen 
% unit"aren  Charakter
% $\chi:V\ra S^1$ sein
% Differential   beim Ursprung $\diff_0\chi:V\ra \DC$ 
%  nur rein imagin"are Werte annehmen kann. 
% Es bleibt zu zeigen, da"s die Abbildung aus unserem Lemma ein
% Isomorphismus ist.
%  Da wir bereits wissen, da"s 
% beide R"aume dieselbe Dimension haben, reicht es aus,
% die Surjektivit"at der fraglichen Abbildung zu zeigen. 
% Jede lineare Abbildung
% $\varphi:V\ra \op{i}\DR$ ist aber offensichtlich das Differential
% im Ursprung des  unit"aren Charakters $\exp\circ \varphi$.
% \end{proof}
% \begin{Bemerkunge}
%   Bezeichnet $V^\ast=\op{Hom}(V,\DR)$ den Dualraum von $V$, so erhalten wir
%   mithin eine Bijektion $$V^\ast \overset{\sim}{\rightarrow} \hat{V}$$ indem
%   wir $\varphi \in V^\ast$ den Homomorphismus $\chi_\varphi : v \mapsto \op{e}
%   ^{\op{i} \varphi (v)}$ zuordnen. In diesem Zusammenhang sind jedoch auch
%   andere Bijektionen sinnvoll. Vielfach verwendet man insbesondere auch die
%   Bijektion, die $\varphi \in V^\ast$ den Homomorphismus $ v \mapsto \op{e}
%   ^{2\pi\op{i} \varphi (v)}$ zuordnet. Ich will gerade deshalb mit
% dem Charakterraum $\hat{V}$ arbeiten, um die Darstellung
% von der Notwendigkeit einer Wahl derartiger Konventionen zu befreien.
% \end{Bemerkunge}

% \begin{proof}
% Im Fall $V=V_1\times V_2$ induzieren
% die Restriktionen sicher 
%  Bijektionen  
% $\op{Grpto}(V,\DC^\times)
% \sira \op{Grpto}(V_1,\DC^\times)\times \op{Grpto}(V_2,\DC^\times)$
% und 
% $\hat{V}\sira \hat{V}_1\times \hat{V}_2$ auf den Charakterr"aumen.
% Im Fall $V=\DR$ erhalten wir nach \ref{GHrc}  Bijektionen
% $\DC\sira \op{Grpto}(\DR,\DC^\times)$ und 
% $\DR\sira \hat{\DR}$ durch die Vorschrift
% $y\mapsto \hat{y}$ mit $\hat{y}(x)=\op{e}^{\op{i}xy}$.
% Zusammen folgern wir einerseits $\op{dim}\hat{V}=\op{dim}V$ und 
% andererseits, da"s jeder stetige Charakter
% $\chi:V\ra S^1$ als Abbildung $V\ra\DC$ differenzierbar ist.
% Sein Differential beim Ursprung ist eine $\DR$-lineare 
% Abbildung $\diff_0\chi:V\ra \DC$, der man leicht ansieht,
% da"s sie nur rein imagin"are Werte annehmen kann. 
% Ich behaupte, da"s wir so 
% f"ur jeden endlichdimensionalen reellen Vektorraum einen Isomorphismus
% $$
% \begin{array}{ccc}
% \hat{V}&\sira &\op{Hom}_\DR(V,\op{i}\DR)\\
% \chi&\mapsto&\diff_0\chi
% \end{array}
% $$
% erhalten. Da wir bereits wissen, da"s 
% beide R"aume dieselbe Dimension haben, reicht es aus,
% die Surjektivit"at der fraglichen Abbildung zu zeigen. Jede lineare Abbildung
% $\varphi:V\ra \op{i}\DR$ ist aber offensichtlich das Differential
% im Ursprung des  unit"aren Charakters $\exp\circ \varphi$.
%   Bezeichnet $V^\ast=\op{Hom}(V,\DR)$ den Dualraum von $V$, so erhalten wir
%   mithin eine Bijektion $$V^\ast \overset{\sim}{\rightarrow} \hat{V}$$
%   indem wir  $\varphi \in
%   V^\ast$ den Homomorphismus $\chi_\varphi : v \mapsto \op{e} ^{\op{i} \varphi
%     (v)}$ zuordnen. In diesem Zusammenhang sind jedoch auch andere
% Bijektionen sinnvoll. Vielfach verwendet man insbesondere auch die
% Bijektion, die $\varphi \in
%   V^\ast$ den Homomorphismus $ v \mapsto \op{e} ^{2\pi\op{i} \varphi
%     (v)}$ zuordnet.
% \end{proof}

\begin{Bemerkungw}
Ganz allgemein hei"sen die Gruppenhomomorphismen von einer 
abelschen Gruppe 
in die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen  auch die 
\defnoind{Charaktere}\index{Charakter!einer abelschen Gruppe} 
unserer Gruppe und  die Gruppenhomomorphismen
in die Kreislinie $S^1$
die \defnoind{unit"aren Charaktere} unserer 
Gruppe.\index{Charakter!unit"arer}
Tr"agt unsere Gruppe eine Topologie, so meint man  meist implizit 
stetige Charaktere.
Auch in dieser Allgemeinheit spricht man von
der \defind{Charaktergruppe}, 
wobei  in der Bezeichnung meist unterschlagen wird, 
da"s nur die stetigen
unit"aren Charaktere gemeint sind. 
\end{Bemerkungw}
\begin{Definition}\label{ArMa}
Sei $(X,\cal{M})$ ein Me"sraum.
Ein nichtnegatives Ma"s auf $X$ hei"st 
{\bf endlich}\index{endlich!Ma"s}\index{Ma"s!endliches} 
genau dann, wenn es den Wert $\infty$ nicht annimmt.
Ein {\bf komplexes Ma"s}\index{komplex!Ma"s}\index{Ma"s!komplexes} 
auf $X$ ist eine Abbildung
$$\mu : \cal{M} \ra \Bbb{C}$$
die sich schreiben l"a"st als eine endliche Linearkombination mit komplexen
Koeffizienten von endlichen nichtnegativen Ma"sen $\cal{M} \ra [0,\infty )$.
Ein komplexes Ma"s, das nur reelle Werte annimmt, nennen wir ein
{\bf reelles Ma"s}.\index{reell!Ma"s}\index{Ma"s!reelles} 
Wir verwenden f"ur die R"aume aller
komplexen, 
reellen, endlichen nichtnegativen
bzw.\ beliebigen nichtnegativen Ma"se auf einem vorgegebenen 
Me"sraum $X$ die Bezeichnungen
$$
\op{M}(X)\;\supset \;\op{M}(X;\DR)\;\supset\; \op{M}(X; [0,\infty))
\;\subset\; \op{M}(X; [0,\infty])
\index{M@$\op{M}(X)$ komplexe Ma"se auf $X$}
\index{M@$\op{M}(X;\DR)$ reelle Ma"se}
\index{M@$\op{M}(X; [0,\infty))$ endliche  Ma"se}
\index{M@$\op{M}(X; [0,\infty])$ Ma"se}
$$
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}\label{FoMa}
 Sei $(X,\cal{M})$ ein Me"sraum.   
Jede Abbildung von $\op{M}(X;[0,\infty))$ in einen reellen bzw.\ komplexen
    Vektorraum, die vertr"aglich ist mit der Addition von Ma"sen und der
    Multiplikation mit nichtnegativen reellen Skalaren, l"a"st sich auf genau
    eine Weise fortsetzen zu einer reell- bzw.\ komplexlinearen Abbildung auf
    $\op{M}(X;\DR)$ bzw.\ $\op{M}(X)$. 
Diese Aussage kann man nebenbei bemerkt auch als 
Spezialfall von \eref{FoKe}{LA1}  erhalten.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungw}
Gegeben ein    Me"sraum $(X,\cal{M})$
kann man  zeigen,
da"s  eine Abbildung $\mu:\cal{M}\ra \DC$ 
genau dann
ein komplexes Ma"s ist, wenn sie komplex $\sigma$-additiv ist  
in dem Sinne, da"s
    f"ur jede abz"ahlbare Familie $(A_{n})_{n\in N}$ von paarweise disjunkten
    me"sbaren Mengen die Gleichheit
    $$\mu \left(\bigcup_{n\in N}A_n\right)= \sum_{n\in N} \mu (A_{n})$$
    gilt.
    Die Summe ist hier zu verstehen im Sinne von \eref{ABSB}{AN1} oder 
gleichbedeutend 
im Sinne
absoluter Konvergenz.
Wir ben"otigen diese zugegebenerma"sen elegantere Charakterisierung 
komplexer Ma"se erst sp"ater
bei der Diskussion von Spektralma"sen und werden deshalb den Beweis erst dort
in \ref{HaZe} geben.
\end{Bemerkungw}


\begin{Definition}\label{AFT}
Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$
definieren wir  die 
\defnoind{abstrakte 
Fouriertransformation}\index{Fouriertransformation!abstrakte}
$$\begin{array}{cccc}
\mathcal{F} :& \op{M} (V) & \rightarrow &\op{Ens} (\hat{V}, \Bbb{C})\\
&\mu &\mapsto &\mu^\wedge
\end{array}$$
als die Vorschrift, die jedem  komplexen Ma"s $\mu$ auf unserem Vektorraum  
diejenige 
komplexwertige Funktion $\mu^\wedge$ auf seinem Charakterraum zuordnet,
deren Wert bei einem Charakter $\chi \in \hat{V}$
gegeben wird durch das Integral
\begin{equation*}
\mu^\wedge(\chi) \pdef \int_V \chi (v) \; \mu \langle v\rangle
\end{equation*}
Das Integral einer beschr"ankten 
me"sbaren Funktion nach einem nichtnegativen reellen Ma"s 
kennen wir bereits. Das
Integral einer beschr"ankten 
me"sbaren Funktion nach einem komplexen Ma"s hier ist 
zu verstehen als lineare Fortsetzung im Sinne von \ref{FoMa}.
\end{Definition}
\begin{Bemerkunge}
  Man beachte, da"s die Fouriertransformation in dieser Formulierung
sogar sinnvoll definiert ist, wenn man $\DC$ durch
einen  K"orper von vergesslichen komplexen Zahlen 
im Sinne von \eref{vDC}{LA1} ersetzt: Die Wahl einer ausgezeichneten Wurzel
von $-1$ ist dabei in anderen Worten v"ollig "uberfl"ussig. 
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Abstrakte Fouriertransformation durch ein Klavier}] 
Ich will am akustischen Beispiel \ref{AkBs} ausf"uhren,
welche konkreten Inhalte man
mit dieser Transformation verbinden mag. Ist etwa $V=\vec{\mathbb{T}}$ der
Vektorraum aller Zeitspannen, so kann man seinen Charakterraum 
$\hat{V}$ "ahnlich wie in \eref{DrG}{LA1} interpretieren 
als den Raum aller
Frequenzen. Es ist dann nur nat"urlich, ein zeitabh"angiges Signal nach
seinen Frequenzanteilen zu zerlegen oder in der umgekehrten Richtung,
die durch fast dieselbe Formel gegeben wird, eine Vorgabe von
Frequenzanteilen mit ihren jeweiligen St"arken zu einem zeitabh"angigen Signal
zusammenzufassen: Letztere Operation leistet 
etwa  ein Klavier und  Erstere  unser Ohr, so da"s man fast Lust h"atte,
statt von Fouriertransformationen und ihren Inversen
von \glqq Klaviertransformationen\grqq\  und \glqq H"ortransformationen\grqq\  zu reden.
An dieser Stelle  m"ochte ich Sie am liebsten 
wieder einmal
davon "uberzeugen, 
da"s  das  Abstrakte das eigentlich
Konkrete ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiele}[\textbf{Abstrakte  Fouriertransformation und Fourierreihe}]  
Per definitionem ist die Fouriertransformierte des Dirac-Ma"ses
$\delta_v$ zu $v \in V$ die\label{BCFo}
 durch das Auswerten bei $v$ gegebene Funktion
auf dem Charakterraum,  
in Formeln $$\delta^\wedge_v (\chi)
=\chi (v)$$
Ist ganz allgemein 
$(X,\cal{M},\mu)$ ein Ma"sraum, so definiert jede integrierbare
Funktion $f:X\ra \DC$ ein komplexes Ma"s $f\mu$ auf $X$ vermittels der
Vorschrift $$(f\mu)(A)=\int_A f(x)\; \mu\langle x\rangle$$ f"ur 
beliebiges $A\in\cal{M}$.
Betrachten wir 
das renormalisierte Lebesgue-Ma"s $\mu=(2\pi)^{-n/2}\diff^n x$ 
auf dem $\DR^n$ und
f"ur  $f \in \op{L}^1 (\DR^n)$ das komplexe Ma"s
$f\mu\in \op{M}(\DR^n)$  und betrachten wir andererseits
den Isomorphismus von $\DR^n$ mit seinem Charakterraum, 
der gegeben wird durch die Vorschrift
$ y\mapsto \hat{y}$ mit
$\hat{y} (x) 
= \op{e}^{-\op{i}x \cdot  y}$,  
so wird unser $f^\wedge  ( y)$ aus \ref{FouD} in der neuen Notation
gegeben als der Wert der Fouriertransformierten des komplexen Ma"ses 
$f\mu$ auf dem Charakter $\hat{y}$, in Formeln
$$ f^\wedge  ( y)=(f\mu )^\wedge (\hat{y})$$
In der Tat rechnen wir 
$$\begin{array}{lll}
(f\mu )^\wedge (\hat{y})&=&\int \hat{y}(x)
\;(f\mu )\langle x\rangle\\[2mm]
&=&
\int \op{e}^{-\op{i}x \cdot  y}f(x) \;\mu \langle x\rangle\\[2mm]
&=&
(2\pi)^{-n/2}\int \op{e}^{-\op{i}x \cdot  y}f(x) \;\diff^n x
\end{array}$$
wobei wir f"ur das zweite Gleichheitszeichen im Vorgriff auf  \ref{PcMF}
bereits das Analogon von
\ref{gmu} f"ur komplexe Ma"se verwenden.
Transformieren wir andererseits das Diracma"s $\delta_x$, so erhalten wir 
mit derselben Notation 
$$\delta_x^\wedge(\hat{y})=\op{e}^{-\op{i}x \cdot  y}$$
Ist schlie"slich $(c_n)_{n \in \Bbb{Z}}$ eine absolut summierbare Familie
komplexer Zahlen, so ist die Fouriertransformierte des in
hoffentlich offensichtlicher Weise erkl"arten 
komplexen Ma"ses $\mu = \sum c_n \delta_n$
auf $\Bbb{R}$ die zugeh"orige Fourierreihe, genauer 
die Funktion $$\mu^\wedge (t) = \sum c_n \op{e}^{-\op{i}nt}$$
\end{Beispiele}

\begin{Bemerkunge}\label{ChaFo}
In der Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnet man die Fouriertransformierte
eines Wahrscheinlichkeitsma"ses $\mu$ auf $\DR$ oder allgemeiner 
auf $\DR^n$ auch 
als die \defnoind{charakteristische 
Funktion}\index{charakteristische Funktion!eines Ma"ses}
des besagten Ma"ses.
F"ur konkrete Rechnungen verwende
ich   dieselbe Identifikation $y\mapsto \hat{y}$ von $\DR^n$ mit
seinem Charakterraum wie in \ref{BCFo}, so da"s wir insbesondere erhalten
$$\mu^\wedge(y)=\int \op{e}^{-\op{i}x \cdot  y}\mu\langle x\rangle$$
Die Koeffizienten der Taylorreihe der charakteristischen Funktion
eines Wahrscheinlichkeitsma"ses $\mu$ auf $\DR$ sind im wesentlichen 
dessen {\bf Momente}\index{Moment!eines Wahrscheinlichkeitsma"ses}
$\int x^n\mu\langle x\rangle$. Genauer gilt das bis auf einen Faktor
${\op{i}}^n/n!$ und unter der Annahme, da"s die Funktionen 
$x,\ldots,x^n$ auch wirklich in Bezug auf $\mu$ integrierbar sind. 
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkunge}
 Das Auswerten eines unit"aren
Charakters $\chi \in \hat{V}$ auf $v \in V$ notieren wir
hier und im folgenden
$
\langle \chi, v \rangle \in S^1
$.
 Die  kommutativen Diagramme in \ref{KoDFn} 
nehmen in der koordinatenfreien Fassung mit dieser Notation 
die Gestalt
kommutativer Diagramme
\begin{displaymath}
\xymatrix{
{\op{M}}(V)\ar[r]^{\mathcal{F}}\ar[d]_{\xi\cdot} 
&\mathcal{C}_{\op{b}}(\hat{V})\ar[d]^{\circ (+\xi)}
\\
{\op{M}}(V)\ar[r]^{\mathcal{F}} &\mathcal{C}_{\op{b}}(\hat{V})
}
\qquad\qquad
\xymatrix{
{\op{M}}(V)\ar[r]^{\mathcal{F}}\ar[d]_{(+w)_\ast} 
&\mathcal{C}_{\op{b}}(\hat{V})\ar[d]^{\cdot\langle\;,w\rangle}
\\
{\op{M}}(V)\ar[r]^{\mathcal{F}} &\mathcal{C}_{\op{b}}(\hat{V})
}
\end{displaymath}
an, f"ur beliebige Charaktere $\xi\in \hat V$ und Vektoren $w\in V$.
Ganz links ist die Multiplikation mit der Funktion
$\xi:V\ra \DC^\times$  zu verstehen, ganz rechts mit unserer
neuen Notation die
Multiplikation mit der  Funktion
$\hat V\ra \DC^\times$ gegeben durch $\chi\mapsto \chi(w)$.
\end{Bemerkunge}
\subsection{Abstrakte Inversionsformel und Poisson-Formel}
\begin{Definition}
Unter einem 
\defnoind{Haar-Ma"s}\index{Haar-Ma"s!auf affinem Raum} auf einem 
endlichdimensionalen reellen Raum versteht man
ein von Null verschiedenes\label{HaMAA} 
translationsinvariantes nichtnegatives Borelma"s.
\end{Definition}
\begin{Lemma}
Auf jedem endlichdimensionalen reellen Vektorraum
gibt es ein Haarma"s, und je zwei Haarma"se unterscheiden sich 
h"ochstens um
einen konstanten positiven Faktor.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Das folgt sofort aus  Satz \ref{Lee} "uber die Existenz
und Eindeutigkeit des Lebesguema"ses.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}\label{cIDF}
Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum.
Das Auswerten eines unit"aren
Charakters $\chi \in \hat{V}$ auf $v \in V$ notieren wir
weiter 
$
\langle \chi, v \rangle \in S^1
$
und vereinbaren zus"atzlich
 die Notation $\langle v,\chi \rangle = \overline{\langle
\chi, v\rangle}$.
Unter der kanonischen Identifikation 
$$\op{can}: V \overset{\sim}{\rightarrow} \hat{\hat{V}}$$
verstehen wir die Abbildung $v \mapsto\langle v,\;\rangle$, so da"s also
gilt $(\op{can} v)(\chi) = \chi (v)^{-1}$.
\end{Bemerkungl}
  
\begin{Bemerkungl}
Verkn"upfen wir die Fouriertransformation 
$\op{M}(\hat{V}) \rightarrow \mathcal{C}_{\op{b}} (\hat{\hat{V}})$
mit dem Vorschalten von $\op{can}$, so erhalten wir ganz allgemein 
auch eine Abbildung
vom Raum der komplexen Ma"se auf der Charaktergruppe
in den Raum der Funktionen auf unserem urspr"unglichen
Vektorraum, die wir notieren als
$
\op{M}(\hat{V}) \rightarrow \mathcal{C}_{\op{b}} (V)$, 
$ \xi\mapsto  \xi^\wedge
.
$
Hier wird $\xi^\wedge$ also explizit gegeben durch
\begin{equation*}
\xi^\wedge (v) = \int_{\hat{V}} \langle v,\chi\rangle \;\xi \langle
\chi \rangle = \int_{\hat{V}} \overline{\langle \chi, v\rangle}
\;\xi \langle \chi \rangle
\end{equation*}
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{Gitt}
  Unter einem {\bf Gitter}\index{Gitter!in $\DR$-Vektorraum} 
in einem endlichdimensionalen 
reellen Vektorraum  versteht man eine Untergruppe der additiven 
Gruppe des jeweiligen Vektorraums, die als Gruppe von einer 
Basis des besagten Vektorraums erzeugt wird.
Gegeben ein Gitter $\Gamma$ in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum
$V$ erkl"aren wir das \defind{duale Gitter} $\Gamma^\wedge $ 
im Raum der Charaktere $\hat{V}$ als die Menge aller Charaktere, die
auf allen Punkten der urspr"unglichen Gitters den Wert Eins annehmen, 
in Formeln
\begin{equation*}
\Gamma^\wedge  = \{ \chi \mid \langle \chi , 
v\rangle =1 \quad \forall v \in \Gamma\}
\end{equation*}
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
$\DZ\subset \DR$ ist ein Gitter, und 
das duale Gitter $\DZ^\wedge\subset \hat{\DR}$ 
entspricht unter der Identifikation
$\DR\sira \hat{\DR}$, $y\mapsto \hat{y}$ mit $\hat{y}(x)=\op{e}^{-\op{i}xy}$
dem Gitter
$2\pi\DZ\subset\DR$.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}\label{HMNo}
Gegeben ein Gitter $\Gamma$ in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum
$V$ und ein Haar-Ma"s $\lambda$ auf $V$
definieren wir eine reelle Zahl $\lambda(V/\Gamma)$ als das
\glqq Ma"s der Grundmasche des Gitters\grqq, in Formeln
\begin{equation*}
\lambda(V/\Gamma)=\lambda ([0,1]v_1 + \ldots +[0,1] v_n) 
\end{equation*}
f"ur ein und jedes Erzeugendensystem $v_1, \ldots, v_n $ von $\Gamma$, 
das eine Basis von $V$
bildet. Da"s diese Zahl nicht vom gew"ahlten Erzeugendensystem abh"angt,
kann man man zum Beispiel mit  der Transformationsformel aus der
Tatsache folgern, da"s die "Ubergangsmatrix zwischen je zwei derartigen 
Erzeugendensystemen ebenso wie ihre Inverse nur ganzzahlige 
Eintr"age hat, so da"s f"ur ihre Determinante 
nur die Werte $\pm 1$ in Frage kommen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{DPM}
Gegeben ein Haarma"s $\lambda$ auf einem endlichdimensionalen
reellen Vektorraum $V$ definieren wir ein
Haarma"s $\hat{\lambda}$ auf seiner Charaktergruppe $\hat{V}$, 
das \defind{Plancherel-Ma"s}  zu $\lambda$, durch die Vorschrift
$$\lambda(V/\Gamma)\cdot \hat{\lambda}(\hat{V}/\Gamma^\wedge )=1$$
f"ur jedes Gitter $\Gamma\subset V$. Der Nachweis, da"s solch ein
Plancherelma"s existiert, kann  dem Leser "uberlassen bleiben.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Unter unserer Identifikation 
$\op{can}: V \overset{\sim}{\rightarrow} \hat{\hat{V}}$
aus \ref{cIDF}
ist f"ur jedes Haar-Ma"s $\lambda$ auf
  $V$ das Plan\-che\-rel-Ma"s des Plancherel-Ma"ses offensichtlich 
verwandt zum Ma"s
  $\lambda$ selbst, in Formeln
$$\op{can}:\lambda\leadsto \hat{\hat{\lambda}}$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
Wir betrachten  $V=\DR^n$ mit dem Gitter $\Gamma=\DZ^n$.
Unser Isomorphismus $\varphi: \DR^n\sira \hat{V}$,
 $ y\mapsto \hat{y}$ gegeben durch
$\hat{y} (x) 
= \op{e} ^{-\op{i}x \cdot  y}$ induziert dann 
eine Bijektion
$2\pi\DZ^n\sira \Gamma^\wedge $. 
Das Plancherelma"s $\hat{\lambda}$  zum Lebesguema"s 
$\lambda=\diff^n x$ entspricht unter unserem Isomorphismus
folglich dem renormalisierten Lebesguema"s 
$(2\pi)^{-n}\diff^n y$ auf $\DR^n$,
in Formeln $$\hat{\lambda}=\varphi_\ast ((2\pi)^{-n}\diff^n y)$$
 und das Plancherelma"s $\hat{\mu}$ 
zum Ma"s  $\mu=(2\pi)^{-n/2}\diff^n x$ 
entspricht in derselben Weise dem Ma"s $(2\pi)^{-n/2}\diff^n y$. 
\end{Beispiel}


\begin{Definition}
Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ bezeichnen
wir mit $\cal{S}(V)$ die Menge aller Funktionen $V\ra\DC$, die
unter einer und jeder Identifikation $V\sira \DR^n$ Funktionen
des Schwartzraums entsprechen. Wir nennen $\cal{S}(V)$ den
\defind{Schwartzraum} von $V$ oder auch den \glqq Raum der glatten
schnell abklingenden Funktionen auf $V$\grqq\  oder k"urzer der
{\bf Schwartzfunktionen}.\index{Schwartzfunktion}
\end{Definition}


\begin{Definition}\label{SchM}
Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ erkl"aren wir 
im Raum aller komplexen topologischen Ma"se auf $V$ den
Teilraum der {\bf Schwartzma"se}\index{Schwartzma"s}
\begin{equation*}
\mathcal{M} (V) \subset\op{M}(V)
\end{equation*}
als den Raum aller komplexen Ma"se der Gestalt $f \lambda$ mit
$f \in \mathcal{S} (V)$ einer Funktion aus dem Schwartzraum und $\lambda$
einem Haarma"s auf $V$.
\end{Definition}


\begin{Bemerkunge}\label{FTGR}
Die unteren kommutativen Diagramme aus 
\ref{KoDF} nehmen mit diesen Notationen die Gestalt
$$
\xymatrix{ \mathcal{M}(V)\ar[r]^{\mathcal{F}}\ar[d]_{(\diff_0\xi)\cdot}
  &\mathcal{S}(\hat{V})\ar[d]^{D_\xi}
  \\
  \mathcal{M}(V)\ar[r]^{\mathcal{F}} &\mathcal{S}(\hat{V}) }
\qquad\qquad\xymatrix{ \mathcal{M}(V)\ar[r]^{\mathcal{F}}\ar[d]_{D_w}
  &\mathcal{S}(\hat{V})\ar[d]^{\cdot\diff_0\langle w,\;\rangle}
  \\
  \mathcal{M}(V)\ar[r]^{\mathcal{F}} &\mathcal{S}(\hat{V}) }
$$
an,  f"ur beliebiges 
$\xi\in \hat V$ und $w\in V$.
Dabei  ist $\diff_0\xi$  wie in
\ref{UIZk} die lineare Abbildung $\phi: V\ra {\op{i}}\DR$ mit
$\xi=\op{exp}\circ \phi$, und
rechts ist die Richtungsableitung in Richtung $\xi$ alias das Ableiten nach
dem konstanten Vektorfeld $\xi$ auf $\hat V$ gemeint.
Weiter ist $D_w: f\lambda\mapsto (D_wf)\lambda$ zu verstehen f"ur
ein beliebiges Haarma"s $\lambda$ auf $V$ und $f\in \mathcal{S}(V)$.
Schlie"slich  ist $\diff_0\langle w,\;\rangle:\hat V\ra\DC$ die lineare
Abbildung, die man als Differential 
im Ursprung von $\chi\mapsto \langle w,\chi\rangle$
erh"alt. F"ur $\psi: V\ra {\op{i}}\DR$ mit
$\chi=\op{exp}\circ \psi$ haben wir also $\diff_0\langle w,\;\rangle:
\chi\mapsto -\psi(w)$.
\end{Bemerkunge}





\begin{Satz}[\textbf{Abstrakte glatte Inversionsformel}]
Ist $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum\label{AGI} 
mit einem Haar-Ma"s $\lambda$
und $\hat{V}$ sein
Charakterraum mit dem 
zugeh"origen Plancherel-Ma"s  $\hat{\lambda}$ nach \ref{DPM},
so liefert im folgenden Diagramm mit abstrakten Fouriertransformationen
von Schwarzma"sen zu  Schwarzfunktionen nach \ref{AFT} in den
Horizontalen
das \glqq Einmal-im-Kreis-Herumgehen\grqq\  an jeder Stelle die Identit"at: 
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\mathcal{M}(V)\ar[rr]^{\mathcal{F}} &&\mathcal{S}(\hat{V})\ar[d]^{\cdot 
\hat{\lambda}}\\
\mathcal{S}(V)\ar[u]^{\cdot \lambda} & 
\mathcal{S}(\hat{\hat{V}}) \ar[l]_{\circ \op{can}} &\mathcal{M}(\hat{V})
\ar[l]_{\mathcal{F}}
}
\end{displaymath}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Das Vorzeichen aus der Inversionsformel \ref{IvSR} versteckt sich
bei dieser Formulierung in der Definition des kanonischen Isomorphismus
$\op{can}:V\sira \hat{\hat{V}}$ aus \ref{cIDF}.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $V=\DR^n$ annehmen und
in diesem Fall folgt die Behauptung ohne weitere Schwierigkeiten aus der 
konkreten Version \ref{IvSR}.
\end{proof}





\begin{Bemerkunge}
  Verwenden wir die schieflinearen Einbettungen 
in die Dualr"aume
${\op{M}}(V)\hra \mathcal{S}(V)^\ast$
gegeben durch $\mu\mapsto (f\mapsto \int f\bar\mu)$ und
$\mathcal{C}_{\op{b}}(V)\hra \mathcal{M}(V)^\ast$ gegeben durch 
$f\mapsto (\mu\mapsto \int \bar f\mu)$ und entsprechend 
mit $\hat V$ statt $V$, so wird das kommutative Viereck
aus \ref{AGI} in vertr"aglicher Weise in das entsprechende
transponierte und auf den Kopf gestellte Viereck eingebettet.
In Formeln ausgedr"uckt kommutiert mit den
so erkl"arten schieflinearen schr"agen Pfeilen nach 
ganz au"sen
also das Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\mathcal{S}(V)^\ast\ar[rrrrr]^{\mathcal{F}^\top}_\sim
&&&&&\mathcal{M}(\hat{V})^\ast\ar[ddddd]^{(\cdot 
\hat{\lambda})^\top}_\wr\\
&{\op{M}}(V)\ar[rrr]^{\mathcal{F}}\ar[ul]
&&&\mathcal{C}_{\op{b}}(\hat{V})\ar[ur]&\\
&&\mathcal{M}(V)\ar[r]^{\mathcal{F}}_\sim\ar[ul] 
&\mathcal{S}(\hat{V})\ar[d]^{\cdot 
\hat{\lambda}}_\wr\ar[ur]
&&\\
&&\mathcal{S}(V)\ar[u]^{\cdot \lambda}_\wr\ar[dl] &
\mathcal{M}(\hat{V})
\ar[l]_{\mathcal{F}}^\sim\ar[dr]&&\\
&\mathcal{C}_{\op{b}}(V)\ar[dl] &&&
{\op{M}}(\hat{V})
\ar[lll]_{\mathcal{F}}\ar[dr]&\\
\mathcal{M}(V)^\ast\ar[uuuuu]^{(\cdot \lambda)^\top}_\wr &&&&& 
\mathcal{S}(\hat{V})^\ast
\ar[lllll]_{\mathcal{F}^\top}^\sim\\
}
\end{displaymath}
Die wesentliche Rechnung zum Nachweis dieser Tatsache wird im Beweis
der anschlie"senden Proposition \ref{InFo} durchgef"uhrt.
Im "au"seren Viereck kann man feiner statt der vollen
Dualr"aume nur analog zu \ref{teDE}  erkl"arte Teilr"aume von
{\bf temperierten Distributionen}\index{Distribution!temperierte} 
 $\mathcal{S}(V)'\subset \mathcal{S}(V)^\ast$
und {\bf temperierten verallgemeinerten
  Funktionen}\index{Funktion!verallgemeinerte temperierte}  
$\mathcal{M}(V)'\subset \mathcal{M}(V)^\ast$ betrachten, die aber erst 
dann ihren Sinn zeigen, wenn sie mit den Methoden der Funktionalanalysis 
behandelt werden.
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkungw}
  Man kann zwei beliebige temperierte Distributionen nicht 
falten, aber hat eine von ihnen kompakten Tr"ager, so geht das doch noch. 
Man kann zwei beliebige temperierte 
verallgemeinerte Funktionen nicht 
multiplizieren, aber ist etwa  eine von ihnen glatt, so geht das doch noch.
Dann zeigt man, da"s auch in dieser Allgemeinheit die Faltung der
Multiplikation entspricht. 
\end{Bemerkungw}


\begin{Bemerkunge}
 Partielle Integration liefert auch m"uhelos die Kommutativit"at von
$$
\xymatrix{ \mathcal{S}(V)\ar[r]\ar[d]_{D_w}
  &\mathcal{M}(V)^\ast\ar[d]^{-D_w^\top}
  \\
  \mathcal{S}(V)\ar[r]&\mathcal{M}(V)^\ast }
$$
Unsere kommutativen Diagramme aus \ref{FTGR}
werden damit eingebettet in kommutative Diagramme
$$
\xymatrix{ \mathcal{S}(V)^\ast\ar[r]^{\mathcal{F}^\top}\ar[d]_{-((\diff_0\xi)\cdot)^\top}
  &\mathcal{M}(\hat{V})^\ast\ar[d]^{-D_\xi^\top}
  \\
  \mathcal{S}(V)^\ast\ar[r]^{\mathcal{F}^\top} &\mathcal{M}(\hat{V})^\ast }
\qquad\qquad
\xymatrix{ \mathcal{S}(V)^\ast\ar[r]^{\mathcal{F}^\top}\ar[d]_{-D_w^\top}
  &\mathcal{M}(\hat{V})^\ast\ar[d]^{-(\diff_0\langle w,\;\rangle\cdot)^\top}
  \\
  \mathcal{S}(V)^\ast\ar[r]^{\mathcal{F}^\top} &\mathcal{M}(\hat{V})^\ast }
$$
f"ur unsere \glqq verallgemeinerten Fourier-Transformationen\grqq\  $\mathcal{F}^\top$.
Dasselbe gilt feiner f"ur temperierte verallgemeinerte Funktionen und
Distributionen. 
Der Sinn dieser Konstruktionen erschlie"st sich hier allerdings noch nicht.
\end{Bemerkunge}





\begin{Bemerkunge}
Ich verzichte darauf, die Inversionsformel
f"ur integrierbare Funktionen in dieser Allgemeinheit 
zu formulieren und zu beweisen. Den Fall quadratintegrierbarer
Funktionen erkl"are ich im folgenden noch, werde diese 
Resultate jedoch im weiteren nicht verwenden.
\end{Bemerkunge}





\begin{Proposition}\label{InFo}
Die Fouriertransformation von Ma"sen ist injektiv, als da hei"st,
nur das Nullma"s liefert die Nullfunktion.
\end{Proposition}
\begin{proof}
Wir gehen dazu "ahnlich vor wie beim Beweis
von \ref{IGS} und
behaupten ein kommutatives Diagramm
$$
\begin{array}{rccc}
\mathcal{F} :& \op{M}(V) &\rightarrow& \mathcal{C}_{\op{b}}(\hat{V})\\
&\da & & \da\\
\mathcal{F}^\top:&\mathcal{S}(V)^\ast &\rightarrow & \mathcal{M}(\hat{V})^\ast
\end{array}
$$
Hier sei die linke Vertikale  gegeben durch 
$\mu\mapsto \left(g\mapsto \int g\bar{\mu}\right)$ und die rechte 
Vertikale analog durch $f\mapsto \left(\xi\mapsto \int \bar{f}\xi\right)$.
Die untere Horizontale sei die Transponierte 
der Verkn"upfung geeigneter Abbildungen aus
\ref{AGI}. Da sie  ein Isomorphismus ist, 
reicht es, wenn wir die Injektivit"at der linken Vertikale und die
Kommutativit"at des Diagramms zeigen.
Die besagte Injektivit"at mu"s nur
auf dem Teilraum aller reellen Ma"se gezeigt werden. Wie beim Beweis von
\ref{lID} reicht es hier
sogar, die Injektivit"at auf der Teilmenge der nichtnegativen reellen 
Ma"se zu zeigen, und diese folgt sofort aus \ref{BOMA}.
Um die Kommutativit"at nachzupr"ufen
nehmen wir $\mu\in \op{M}(V)$ und $\xi\in \mathcal{M}(\hat{V})$
und finden
\begin{equation*}
\int \overline{(\cal{F}\mu)}\xi
=\int\int 
\overline{\chi(v)}\overline{\mu\langle v\rangle}\xi\langle \chi\rangle
=\int (\cal{F}\xi)\bar{\mu}\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}

\begin{Satz}[\textbf{Abstrakte Poisson-Formel}]
Sei $V$ ein\index{Poisson'sche Summationsformel!abstrakte} 
endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $\Gamma 
\subset V$ ein Gitter, $\lambda_\Gamma$ das %im Sinne von \ref{HMNo}   
durch die Bedingung\label{APFF}  
$\lambda_\Gamma(V/\Gamma)=1$ 
normalisierte Haar-Ma"s auf $V$ und
$\Gamma^\wedge \subset \hat{V}$ das duale Gitter.
Ist $f \in \mathcal{S} (V)$ eine Schwarzfunktion, so gilt
f"ur die Fouriertransformierte $(f\lambda_\Gamma)^\wedge$ des komplexen 
Ma"ses $f\lambda_\Gamma$
die Formel
\begin{equation*}
\sum_{\zeta \in \Gamma^\wedge }
(f\lambda_\Gamma)^\wedge  (\zeta)= \sum_{\gamma \in \Gamma} f(\gamma) 
\end{equation*}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Das verallgemeinert \ref{PoSF}.
  Eine noch allgemeinere Version zeigen wir in einer etwas
abstrakteren Sprache in \ref{APFFn}. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir statt
$\Gamma \subset V$ konkret $\Bbb{Z}^n \subset \Bbb{R}^n$ betrachten.
Dann ist $\lambda_\Gamma=\lambda$ das "ubliche Lebesguema"s
auf dem $\DR^n$.
F"ur $f \in \mathcal{S}(\Bbb{R}^n)$ bilden wir die 
$\mathcal{C}^\infty$-Funktion
\begin{equation*}
F(x) = \sum_{\gamma \in \Bbb{Z}^{n}} f(x + \gamma)
\end{equation*}
Nach \eref{KFou}{AN1} im Fall $n=1$ und einer  Verallgemeinerung
der dort gegebenen Argumente im Allgemeinen konvergiert die
Fourier-Reihe von $F$ gleichm"a"sig gegen $F$.
Betrachten wir genauer als Hilbertbasis von $\op{L}^2 ([0,1]^n; \lambda)$
die Funktionen $2\pi \hat{ y } : x \mapsto \op{e}^{-2\pi\op{i} x\cdot  y }$ mit
$ y  \in \Bbb{Z}^n$ nach \ref{FMVi} und bilden die
Fourier-Koeffizienten
\begin{equation*}
c_ y  
= \int f (x) \op{e}^{-2\pi  \op{i} x \cdot
 y } \lambda \langle x \rangle = (f\lambda)^\wedge (2\pi\hat{ y })
\end{equation*}
so gilt $F (x) = \sum_{ y  \in \Bbb{Z}^{n}} c_ y  
\op{e}^{2\pi\op{i} x \cdot  y }$
an jeder Stelle $x \in \Bbb{R}^n$.
Speziell erhalten wir durch Vergleich der beiden Ergebnisse
\begin{equation*}
\sum_{\zeta \in \Gamma^\wedge} (f\lambda)^\wedge (\zeta) =
\sum_{ y  \in \Bbb{Z}^{n}} c_{ y } = F (0) = \sum_{\gamma \in \Gamma}
f(\gamma)\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}



\begin{Bemerkunge}
  Der {\bf Satz von Bochner}\index{Bochner, Satz von}
beschreibt das Bild der durch die Fouriertransformation 
gegebenen Einbettung 
$\mathcal{F} : \op{M}(V;[0,\infty)) \hra \mathcal{C}_{\op{b}}(\hat{V})$ 
des Raums der nichtnegativen 
endlichen Borelma"se in den Raum der beschr"ankten stetigen
Funktionen auf der Charaktergruppe
als die Menge aller beschr"ankten stetigen Funktionen $\phi: \hat{V}\ra\DC$,
die \glqq positiv semidefinit\grqq\  sind in dem Sinne, da"s
f"ur beliebiges $n$ und beliebige paarweise
verschiedene $\chi_1,\ldots,\chi_n\in \hat{V}$ die 
quadratische Matrix mit Eintr"agen $\phi(\chi_i-\chi_j)$ positiv
semidefinit ist. Da"s unsere Abbildung in den positiv semidefiniten
Funktionen landet, mag der Leser zur "Ubung selbst pr"ufen. 
Da"s auch alle beschr"ankten  positiv semidefiniten
Funktionen im Bild liegen, ist nicht so leicht zu sehen. 
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkunge}
Gegeben ein endlichdimensionaler reeller 
Raum $V$ definieren wir einen Hilbertraum
$$\op{L}^2(V)$$
wie folgt: Wir betrachten auf der Menge aller 
Paare $(\lambda,f)$ mit $\lambda$ einem von Null verschiedenen 
transla\-tions\-invarianten
Borelma"s und $f\in \op{L}^2(V;\lambda)$
die "Aquivalenzrelation $(\lambda,f)\sim (c^{2}\lambda, c^{-1}f)$ f"ur
$c>0$ und definieren $\op{L}^2(V)$ als die Menge der 
"Aquivalenzklassen.
Die "Aquivalenzklasse von $(\lambda,f)$ notieren wir 
$$f\sqrt{\lambda}$$ und bemerken, da"s 
es auf dem Raum dieser "Aquivalenzklassen genau eine
Struktur als Hilbertraum gibt derart, da"s 
f"ur ein und jedes transla\-tions\-invariante Borelma"s $\lambda$ die Abbildung
$\op{L}^2(V;\lambda)\ra \op{L}^2(V)$, $f\mapsto f\sqrt{\lambda}$ ein unit"arer 
Isomorphismus von Hilbertr"aumen ist.  
In \ref{qHaDi} erkl"are ich allgemeiner, wie man jeder Mannigfaltigkeit $X$ in
vollst"andig kanonischer Weise den Hilbertraum $\op{L}^2(X)$ der 
\glqq quadrat\-integrierbaren Halbdichten auf $X$\grqq\  zuordnen kann.
Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ mit
Charaktergruppe $\hat{V}$ liefert die Fouriertransformation  
auf den quadratintegrierbaren Halbdichten einen
vollst"andig kanonischen Hilbertraumisomorphismus
\begin{equation*}
\op{L}^2 (V) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{L}^2(\hat{V})
\end{equation*}
zwischen den quadratintegrierbaren Halbdichten 
auf $V$ und auf $\hat{V}$, und dessen Inverses ist die 
Verkn"upfung 
$$\op{L}^2 (\hat{V}) \overset{\sim}
{\rightarrow} \op{L}^2 (\hat{\hat{V}})
\overset{\sim}
{\rightarrow}
\op{L}^2 (V)$$
der entsprechenden Fouriertransformation zu $\hat{V}$ mit dem von unserem 
kanonischen Isomorphismus aus \ref{AFTr} 
unseres Raums mit dem Charakterraum seines 
Charakterraums
induzierten Hilbertraumisomorphismus.
Um das zu sehen, w"ahlen wir ein Haarma"s $\lambda$ auf 
$V$ mit Plancherelma"s
$\hat{\lambda}$ auf $\hat{V}$ und betrachten die Komposition
\begin{displaymath}
\op{L}^2 (V) \stackrel{\cdot \left(\sqrt{\lambda}\right)^{-1}}{\lra} 
\op{L}^2 (V; \lambda)
\ra \op{L}^2 (\hat{V};\hat{\lambda}) 
\stackrel{\cdot \sqrt{\hat{\lambda}}}{\lra} \op{L}^2 (\hat{V})
\end{displaymath}
Ersetzen wir hier $\lambda$ durch $c^{2}\lambda$ f"ur $c > 0$, so "andert sich
die mittlere Abbildung um den Faktor $c^{2}$ und die beiden "au"seren um den
Faktor $c^{-1}$ und die Verkn"upfung "andert sich folglich nicht.
\end{Bemerkunge}


\subsection{Operationen mit komplexen Ma"sen}

\begin{Bemerkungl}
Im n"achsten Abschnitt soll der zentrale Satz 
\ref{FTF} gezeigt werden, nach dem  unter der
Fouriertransformation die Faltung zweier Ma"se dem Produkt ihrer 
Fouriertransformierten entspricht. Daraus kann man dann ohne gro"se
M"uhe den sogenannten
\glqq zentralen Grenzwertsatz\grqq\  \ref{AzG}
ableiten, eine tragende S"aule der Wahrscheinlichkeitstheorie.
Nat"urlich k"onnten wir uns stattdessen auch auf die Faltung von
Funktionen beschr"anken. Das w"are  einfacher,
da dazu weniger Ma"stheorie ben"otigt wird, aber 
konzeptionell scheint es mir der falsche Zugang:
Funktionen auf Vektorr"aumen kann man gar nicht miteinander
falten, und bei Funktionen auf dem $\DR^n$ gelingt es nur
deshalb, weil uns dort mit dem Lebesgue-Ma"s 
ein kanonisches Haarma"s zur Verf"ugung steht,
mithilfe dessen wir den Raum der integrierbaren Funktionen in den
Raum der komplexen Ma"se einbetten k"onnen.
Um nun aber die Faltung zweier Ma"se 
in \ref{KonM}
definieren zu k"onnen,
m"ussen wir uns zun"achst etwas ausf"uhrlicher mit
komplexen Ma"sen besch"aftigen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{DCMaaa}
Gegeben ein komplexes Ma"s $\mu$ auf einem Me"sraum $(X,\cal{M})$
erkl"art man ein nichtnegatives reelles Ma"s $|\mu|$, 
seine \defnoind{Variation},\index{Variation!eines Ma"ses}
durch die Vorschrift
$$|\mu|(A)=\sup\sum |\mu(A_\nu)|$$
wo das Supremum "uber alle 
Zerlegungen $A=\coprod A_\nu$ von $A$ in eine disjunkte
Vereinigung einer abz"ahlbaren Familie von me"sbaren Teilmengen 
gebildet werden soll.
\end{Definition}

\begin{Ubung}
Gegeben ein komplexes Ma"s $\mu$ auf einem Me"sraum $(X,\cal{M})$
nimmt seine in\label{DCMaa}  
\ref{DCMaaa} erkl"arte Variation $|\mu|$ Werte in $[0,\infty)$ an
und ist ein Ma"s auf $\cal{M}$.  Weiter ist $\mu \mapsto \|\mu\|=|\mu|(X)$
eine Norm auf dem Raum $\op{M}(X)$ der komplexen Ma"se auf $X$,  
die \defind{Variationsnorm}.
Jedes komplexe Ma"s $\mu$ auf einem Me"sraum l"a"st sich darstellen als
Linearkombination von vier  nichtnegativen reellen Ma"sen in der Form
$$\mu=\mu_1-\mu_2 +\op{i}\mu_3-\op{i}\mu_4$$ und so, da"s zus"atzlich
gilt $\mu_r\leq |\mu|$ f"ur $1\leq r\leq 4$ als da hei"st
$\mu_r(A)\leq |\mu|(A)$ f"ur jede me"sbare Menge $A\subset X$.
Hinweis: Im Fall eines rellen
Ma"ses mag man etwa mit $\mu_1=(|\mu|+\mu)/2$ beginnen.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Integration nach komplexen Ma"sen}]
Gegeben ein komplexes Ma"s $\mu$ auf einem Me"sraum $(X,\cal{M})$
gibt es genau eine Linearform $\op{L}^1(X;|\mu|)\ra\DC$,\label{AbIC} 
$$f\mapsto \int f\mu$$ 
mit der 
Eigenschaft
$\int f\mu=\int f\mu_1-\int f\mu_2 +\op{i}\int f\mu_3-\op{i}\int f\mu_4$
f"ur eine und jede Darstellung von $\mu$ wie in \ref{DCMaa}. 
Man zeige weiter die Absch"atzung
$| \int f\mu|\leq  \int |f||\mu|$. Hinweis: Man beginne mit dem Fall,
da"s $f$ eine Stufenfunktion ist.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Produkte  komplexer Ma"se mit Funktionen}]
Gegeben ein komplexes Ma"s $\mu$ auf einem Me"sraum $(X,\cal{M})$
und eine Funktion $f\in \op{L}^1(X;|\mu|)$\label{PcMF}  
erhalten wir ein weiteres komplexes Ma"s $f\mu$ auf $X$ durch die Vorschrift 
$$(f\mu)(A)=\int [A]f\;\mu\quad\text{ f"ur alle me"sbaren }A\subset X$$
Dieses Ma"s hat dann die Variation $|f\mu|=|f||\mu|$. Hinweis: Man beginne
mit dem Fall, da"s $f$ eine Stufenfunktion ist.
Ist $g:X\ra \DC$ eine weitere me"sbare Funktion, so gilt
$g\in \op{L}^1(X;|f\mu|)$ genau dann, wenn $fg$ zu $\op{L}^1(X;|\mu|)$ geh"ort,
und in diesem Fall haben wir die Gleichheit komplexer Ma"se
$$g(f\mu)=(gf)\mu$$
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{NFNM}
Sei $(X,\mu)$ ein Ma"sraum und $f\in \op{L}^1(X;\mu)$ integrierbar.
Ist das Ma"s $f\mu$ Null, so war $f$ bereits die Null von $\op{L}^1(X;\mu)$.
\end{Ubung}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Produktma"s f"ur komplexe Ma"se}]\label{PKM}
 Bezeichnet $X\times Y$ das Produkt zweier
    Me"sr"aume, versehen mit der Produkt-$\sigma$-Algebra aus \ref{PrMa}, so
    liefert das Bilden des Produktma"ses mit zweimaligem Anwenden
von \ref{FoMa} eine bilineare Abbildung
auf den zugeh"origen R"aumen komplexwertiger Ma"se
    $$
    \begin{array}{ccc}
\op{M}(X)\times \op{M}(Y)&\ra& \op{M}(X\times Y)\\
(\mu,\nu)&\mapsto&\mu\boxtimes\nu
\end{array}
$$ 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Geht man von diskreten Mengen zu allgemeineren \glqq R"aumen\grqq\  "uber, etwa 
zu reellen affinen R"aumen, so 
gibt es zwei besonders nat"urliche Verallgemeinerungen
f"ur das Konzept einer komplexwertigen Funktion:
Funktionen und  Ma"se. Gegeben eine Abbildung $X\ra Y$ k"onnen 
Funktionen auf $Y$ zu Funktionen auf $X$ zur"uckgezogen werden,
Ma"se auf $X$ jedoch liefern in der Gegenrichtung Bildma"se auf $Y$. 
%Wenn wir es ganz genau nehmen, wird dieser Unterschied bereits im Fall
%unendlicher diskreter Mengen in Ans"atzen sichtbar: 
Diese zugegebenerma"sen  vagen Andeu\-tung\-en werden im folgenden
in speziellen Situationen ausgef"uhrt.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Bildma"se komplexer Ma"se}]
  Gegeben eine me"sbare Abbildung $f:X\ra Y$ von 
Me"sr"aumen und ein komplexes  Ma"s $\mu $
  auf $X$ erkl"art man wie in \ref{BiMaU} das 
\defind{Bildma"s} $f_\ast \mu$ auf
  $Y$ dadurch, da"s man f"ur jede me"sbare Menge $A\subset Y$ setzt
  $$(f_\ast \mu)(A)=\mu(f^{-1}(A))$$
  Offensichtlich gilt $\op{id}_\ast\mu=\mu$
  und f"ur verkn"upfbare Abbildungen haben wir $(f\circ g)_\ast=f_\ast \circ
  g_\ast$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Ubung}[\textbf{Integration "uber Bildma"se}]
   Gegeben eine me"sbare Abbildung $f:X\ra Y$ von 
Me"sr"aumen und ein komplexes Ma"s $\mu $
  auf $X$ 
ist die Variation des Bildma"ses nach oben beschr"ankt durch das 
Bildma"s der Variation, in Formeln $$|f_\ast\mu|\leq f_\ast|\mu|$$
Geh"ort f"ur eine me"sbare Funktion $h:Y\ra\DC$ die Verkn"upfung
$h\circ f$ zu $\op{L}^1(X;|\mu|)$, so ist $h$ integrierbar nach $|f_\ast\mu|$
und es gilt
$$\int_Y h\;(f_\ast\mu)=\int_X (h\circ f)\;\mu$$
\end{Ubung}





\begin{Ubung}[\textbf{Bilder von Produktma"sen}]
Gegeben me"sbare Abbildungen $f:X\ra X'$ und $g:Y\ra Y'$ 
und $\mu\in \op{M}(X)$ und
$\nu\in \op{M}(Y)$ komplexe Ma"se,
so ist das Bildma"s ihres Produkts das Produkt der Bildma"se, in Formeln
$$(f\times g)_\ast (\mu\boxtimes \nu)=(f_\ast \mu)\boxtimes (g_\ast\nu)$$
\end{Ubung}




\begin{Bemerkungl}
  Die Fouriertransformierte $\mu^\wedge$ eines komplexen Ma"ses ist 
notwendig
  beschr"ankt und stetig. Um das zu sehen, darf man ohne Beschr"ankung der
  Allgemeinheit $\mu$ endlich positiv annehmen, und dann ist $\mu(V)$ eine
  Schranke f"ur $|\mu^\wedge|$ und man folgert die Stetigkeit von $\mu^\wedge$
  leicht aus dem Satz "uber dominierte Konvergenz in Verbindung mit \eref{FGWv}{AN1}.
\end{Bemerkungl}


% \begin{Ubung}
% Gegeben komplexe Ma"se $\mu,\nu$ auf endlichdimensionalen
% reellen Vektorr"aumen $V,W$ 
% \end{Ubung}



\begin{Ubung}[\textbf{Nat"urlichkeit der Fouriertransformation}]
Ist $L:V\ra W$ eine lineare Abbildung endlichdimensionaler reeller
Vektorr"aume und $\mu$ ein komplexes Ma"s auf $V$, so stimmt die 
Fouriertransformation seines Bildma"ses "uberein\label{BIMF} 
mit der Fouriertransformation des Ma"ses selbst verkn"upft mit
der auf den Charakteren induzierten Abbildung, in Formeln
$$(L_\ast \mu)^\wedge= \mu^\wedge\circ \hat{L}$$ 
oder anders ausgedr"uckt: $L$-verwandte Ma"se 
haben $\hat{L}$-verwandte
Fouriertransformierte,
in Formeln
$(L:\mu\leadsto \nu)\RA (\hat{L}:\nu^\wedge \leadsto \mu^\wedge)$.
Spezieller zeige man
f"ur die durch Multiplikation mit einer 
invertierbaren quadratischen Matrix $A$ gegebene Abbildung $A:\DR^n\ra \DR^n$
und eine integrierbare Funktion $f\in \op{L}^1(\DR^n)$ die Formel 
$(f\circ A)^\wedge=|\op{det}A|^{-1}f^\wedge\circ (A^\top)^{-1}$.
Sie verallgemeinert \ref{EFou}.\ref{EFou5}.
\end{Ubung}













\subsection{Faltung von Ma"sen und Funktionen}\label{FaMa}

\begin{Bemerkungl}
Das Hauptresultat dieses Abschnitts ist Satz \ref{FTF},
nach dem der Faltung zweier Ma"se unter der Fouriertransformation
das Produkt ihrer Fouriertransformierten entspricht. 
Diese Formel verallgemeinert unsere
Erkenntnisse "uber die Fouriertransformierte einer
verschobenen Funktion \ref{EFou}.\ref{EFou3} und
hilft oft bei der Berechnung von Fouriertransformierten.
Eine besonders sch"one und wichtige Anwendung ist 
der Beweis des zentralen Grenzwertsatzes \ref{AzG}.
Der Begriff der Faltung scheint auf eine Arbeit aus dem Jahre 1923
von Gustav Doetsch mit dem Titel
\glqq Die Integrodifferentialgleichungen vom Faltungstypus\grqq\  
zur"uckzugehen. 
Gustav Doetsch begr"undete "ubrigends den
Gebrauch der Laplace-Trans\-for\-ma\-tion in den Ingenieurwissenschaften 
und wurde  1931  Professor in Freiburg. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}\label{KonM}
Gegeben  $\sigma$-endliche topologische Ma"se $\mu,\nu$ auf einem 
endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ erkl"aren wir ein
topologisches Ma"s $\mu\ast\nu$ auf $V$,
die 
{\bf Faltung}\index{Faltung!von Ma"sen!auf reellem Vektorraum} 
oder 
{\bf Konvolution}\index{Konvolution!von Ma"sen!auf reellem Vektorraum}
unserer beiden Ma"se, als das Bildma"s unter
der Additionsabbildung des Produktma"ses $\mu\boxtimes\nu$ auf $V\times V$, 
in Formeln 
$$\mu\ast\nu\pdef \op{add}_\ast (\mu\boxtimes\nu)$$\index{*!Faltung von Ma"sen}
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}
Die Faltung zweier
$\sigma$-endlicher Ma"se
liefert  nicht notwendig wieder ein $\sigma$-endliches Ma"s: So ist etwa die
Faltung des Lebesgue-Ma"ses auf der reellen Zahlengeraden mit sich selbst
das Ma"s, das jeder me"sbaren Nullmenge den Wert Null zuordnet und
jeder anderen me"sbaren Menge 
den Wert Unendlich.
Die Faltung zweier
endlicher Ma"se liefert jedoch notwendig wieder ein endliches Ma"s.
Deshalb k"onnen wir durch bilineare Fortsetzung auch die Faltung 
reeller und komplexer Ma"se erkl"aren und erhalten so wieder 
reelle bzw.\ komplexe Ma"se.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
Die Faltung des Dirac-Ma"ses bei $v\in V$ mit dem Dirac-Ma"s bei $w\in V$
ist das Dirac-Ma"s bei $v+w$, in Formeln
$\delta_v\ast \delta_w=\delta_{v+w}$.
Die Faltung eines beliebigen komplexen Ma"ses $\mu$ 
mit dem Dirac-Ma"s bei $w\in V$
ist das \glqq um $w$ verschobene Ma"s $\mu$\grqq, in  Formeln
$\mu\ast \delta_w=(\tau_w)_\ast\mu$. 
Insbesondere gilt stets
$\mu\ast \delta_0=\mu$.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkunge}
  Gegeben stochastisch unabh"angige reellwertige Zufallsvariablen $X,Y$
ist die Verteilung ihrer Summe die Faltung ihrer Verteilungen, in Formeln
\label{FaltP} $$P^{X+Y}=P^X\ast P^Y$$
In der Tat gilt $X+Y=\op{add}\circ (X,Y)$. Wegen der stochastischen
Unabh"angigkeit $P^{(X,Y)}=P^X\boxtimes P^Y$ folgt 
$P^{X+Y}=\op{add}_\ast P^{(X,Y)}=\op{add}_\ast (P^X\boxtimes P^Y)=P^X\ast P^Y$.
\end{Bemerkunge}
\begin{Lemma}\label{BLKo}
Die Faltung von komplexen Ma"sen ist eine kommutative und 
assoziative Verkn"upfung. 
\end{Lemma}
\begin{proof}
Wir zeigen nur die Assoziativit"at %im Fall komplexer Ma"se
und "uberlassen den Beweis
der Kommutativit"at %"ubrigen Aussagen 
dem Leser zur "Ubung.
Wir gehen aus vom kommutativen Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
V \times (V\times V)\ar@{=}[d]\ar[rr]^-{\op{id} 
\times \op{add}} & &V\times V \ar[d]^-{ \op{add}}\\
V\times V\times V \ar@{=}[d]\ar[rr]^-{\op{addd}} & &V \\
(V\times V)\times V \ar[rr]^-{\op{add}\times\op{id}} &&V\times V  \ar[u]_-{ \op{add}}
}
\end{displaymath}
Gegeben komplexe Ma"se $\mu, \nu, \lambda$  sind die Ma"se $\mu \boxtimes
(\nu \boxtimes \lambda)$ und $(\mu \boxtimes \nu) \boxtimes \lambda$ 
verwandt unter den
offensichtlichen Identifikationen in der linken Vertikalen
zu ein- und demselben  Ma"s auf $V\times V\times V$, das wir 
$\mu \boxtimes \nu \boxtimes \lambda$ notieren. Es folgt
\begin{eqnarray*}
\mu \ast (\nu \ast \lambda) &=&\op{add}_*(\mu \boxtimes \op{add}_* 
(\nu \boxtimes \lambda))\\
&=& \op{add}_* (\op{id}_*(\mu) \boxtimes \op{add}_* (\nu\boxtimes \lambda))\\
&=& \op{add}_*  (\op{id}\times \op{add})_*(\mu \boxtimes (\nu\boxtimes \lambda))\\
&=& \op{addd}_* (\mu \boxtimes \nu \boxtimes \lambda)
\end{eqnarray*}
F"ur $(\mu \ast \nu) \ast \lambda$ erh"alt man analog dieselbe Darstellung.
\end{proof}

\begin{Satz}[\textbf{Fouriertransformation und Faltung}]
Die Fouriertransformierte der Faltung zweier komplexer Ma"se 
auf einem endlichdimensionalen reellen\label{FTF} Vektorraum ist das
punktweise Produkt der Fouriertransformierten unserer beiden Ma"se, in
Formeln
\begin{equation*}
(\mu \ast \nu)^\wedge =\mu^\wedge \cdot \nu^\wedge
\end{equation*}
\end{Satz}
\begin{Beispiel}\label{VSCM}
Im Fall eines Diracma"ses $\mu=\delta_a$ erhalten wir insbesondere
in Verallgemeinerung von \ref{EFou}.\ref{EFou3} die Formel
$(\tau_a\nu)^\wedge(\chi)=\chi(a)\nu^\wedge(\chi)$. 
Gegeben Ma"se $\mu,\nu$ auf $\DR$, 
die durch endliche Summen $\mu=\sum a_n \delta_n$ und $\nu=\sum b_m \delta_m$
mit $n,m\in\DZ$ dargestellt werden k"onnen,
haben wir 
$$\mu\ast \nu=\sum \left(\sum_{n+m=k}a_n b_m\right)\delta_k$$
und bei geeigneter Identifikation von $\hat{\DR}$ mit $\DR$ weiter
$\mu^\wedge(t)=\sum a_n \op{e}^{2\pi\op{i}nt}$ und 
$\nu^\wedge(t)=\sum b_m \op{e}^{2\pi\op{i}mt}$ 
und unsere Formel ist damit explizit klar.
In der in \ref{VVFou} diskutierten Allgemeinheit 
kann das auch noch besser verstanden werden als das Analogon obiger 
Formel im Fall der Gruppe $\DZ$ mit ihrer Charaktergruppe $\hat{\DZ}=S^1$.
\end{Beispiel}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $V$ unser endlichdimensionaler reeller Vektorraum und seien $\mu, \nu
\in \op{M}(V)$ komplexe Ma"se. 
Da in der Behauptung beide Seiten bilinear sind, d"urfen wir 
unsere Ma"se endlich und nichtnegativ annehmen.
Gegeben $\chi \in\hat{V}$  gilt es zu zeigen
$(\mu \ast \nu)^\wedge(\chi) = \mu^\wedge (\chi) \nu^\wedge (\chi)$ alias
\begin{equation*}
\int_V \chi (v) \;(\mu \ast \nu)\langle v\rangle = \left( \int_V \chi (u)
\mu \langle u \rangle \right) \left( \int_V \chi (w) \nu 
\langle w\rangle \right)
\end{equation*}
Mit Hilfe der Beschreibung \ref{BmI} von Integralen unter Bildma"sen
und der Definition der Faltung k"onnen
wir die linke Seite umformen zu
\begin{equation*}
\int_{V\times V} (\chi \circ \op{add})(u,w) \;(\mu \boxtimes \nu) 
\langle u,w\rangle=
\int_{V\times V} \chi (u +w) \;(\mu \boxtimes \nu) \langle u,w\rangle
\end{equation*}
Wegen $\chi (u+w) = \chi (u) \chi (w) $ folgt die 
Behauptung dann leicht aus
dem Satz von Fubini.
\end{proof}

\begin{Definition}
[\textbf{Faltung von Ma"sen mit stetigen Funktionen}]
  Ist $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,\label{FMSF}
 $\mu\in \op{M}(V)$ ein
  komplexes Ma"s auf $V$ und $f:V\ra\DC$ stetig und beschr"ankt, so erkl"aren
  wir eine weitere stetige beschr"ankte Funktion $\mu\ast f$ auf $V$ durch die
  Vorschrift
  $$(\mu\ast f)(x)\pdef\int f(x-y)\;\mu\langle y\rangle$$
  Es reicht hier, die
  Stetigkeit der Funktion $\mu\ast f$ 
im Fall positiver endlicher Ma"se $\mu$ zu zeigen, in dem sie
  leicht aus dem Satz "uber dominierte Konvergenz folgt.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}[\textbf{Faltung mit Diracma"sen}] 
Ist $E\subset V$ endlich und $\mu=\sum_{y\in E}a_y\delta_y$ eine 
Linearkombination 
von Diracma"sen mit komplexen Koeffizienten, so haben wir
$$\mu\ast f=\sum_{y\in E}a_y(\tau_y f)$$
f"ur $\tau_y f$ die um $y$ verschobene Funktion gegeben durch
$(\tau_y f)(x)=f(x-y)$. "Ahnliches gilt allgemeiner f"ur
abz"ahlbare Linearkominationen von Diracma"sen mit einer 
absolut konvergenten Familie von Koeffizienten.
\end{Beispiel}
\begin{Ubung}
Sind $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, 
$\mu,\nu\in \op{M}(V)$  komplexe Ma"se auf $V$ und
$f:V\ra\DC$ stetig und beschr"ankt, so gilt
$$\mu\ast(\nu\ast f)=(\mu\ast\nu)\ast f$$
\end{Ubung}


\begin{Lemma}[\textbf{Faltung von Ma"sen mit $\op{L}^p$-Funktionen}]
Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,\label{FMSFp}
$\mu\in \op{M}(V;[0,\infty))$ ein endliches Ma"s auf $V$ und
$f:V\ra\DC$ eine $\op{L}^p$-Funktion
 in Bezug auf ein 
Haar-Ma"s $\lambda$  f"ur $1\leq p<\infty$. So ist die Funktion 
$y\mapsto f(x-y)$ f"ur alle $x\in V$ au"serhalb einer
$\lambda$-Nullmenge integrierbar in Bezug auf $\mu$ und die
fast "uberall definierte Funktion 
$$x\mapsto \int f(x-y)\;\mu\langle y\rangle$$
ist wieder eine $\op{L}^p$-Funktion. Sie hei"st die
\emph{\bf Faltung $ (\mu\ast f)(x)$ des Ma"ses $\mu$ mit der Funktion $f$}
und erf"ullt die Absch"atzung $\|\mu\ast f\|_p\leq 
\mu(V)\| f\|_p$.
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
Wir erkl"aren die Faltung von beliebigen 
komplexen Ma"sen mit $\op{L}^p$-Funk\-tio\-nen
$\op{M}(V)\times \op{L}^p(V)\ra \op{L}^p(V)$, $(\mu,f)\mapsto \mu\ast f$
dann durch lineare Fortsetzung. Im R"uckblick wird sich die Konvolution
von Ma"sen mit stetigen Funktionen
oder auch mit $\op{L}^p$-Funktionen 
als  Spezialfall der allgemeinen Konstruktion
einer \glqq Operation von Ma"sen auf Darstellungen\grqq\  erweisen,
wie sie in \ref{OMD} in einem anderen Spezialfall und
in \ref{OMDn} in vergleichsweise gro"ser Allgemeinheit
diskutiert wird.
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSche}\\[4mm]
\noindent 
Ein Quader $Q$ und sein Bild $S(Q)$ 
unter der Scherung $S:\DR^2\ra \DR^2$ gegeben
durch $(x,y)\mapsto (x-y,y)$. Berechnen wir die 
Ma"se unter $\lambda\boxtimes\mu$ f"ur $\lambda$ ein
Haarma"s und $\mu$ ein beliebiges $\sigma$-endliches Ma"s, indem
wir erst horizontal nach $x$ und dann vertikal
nach $y$ integrieren, so erkennen
wir unmittelbar, da"s  $Q$ und $S(Q)$ dasselbe Ma"s haben.
\end{figure}
\begin{proof}
Der Satz von Fubini zeigt, da"s f"ur
  jedes Haar-Ma"s $\lambda$ das Produktma"s $\lambda\boxtimes \mu$ 
unter der Scherung $S:V\times V\ra V\times V$,
  $(x,y)\mapsto (x-y,y)$ 
invariant ist, in Formeln $S:\lambda\boxtimes \mu\leadsto
\lambda\boxtimes \mu$. Wir behandeln nun zun"achst den Fall $p=1$.
F"ur $f\in \op{L}^1(V;\lambda)$ bilden wir die Funktion 
$(f\circ \op{pr}_1):(x,y)\mapsto f(x)$ und nach Fubini gilt
$$(f\circ \op{pr}_1)\in \op{L}^1(V\times V;\lambda\boxtimes \mu)$$ 
Daraus folgt, da"s auch  $(f\circ\op{pr}_1\circ S):(x,y)\mapsto
  f(x-y)$ integrierbar ist unter dem Produktma"s, und der Satz von 
Fubini zeigt dann
  die Behauptung.  
Im Fall von beliebigem $p$ k"onnen wir 
ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $f$ nichtnegativ annehmen.
Dann k"onnen wir
unsere bis hier gewonnenen
Erkenntnisse
auf die Funktion $f^p$ anwenden und erhalten so, da"s 
$y\mapsto
  f(x-y)^p$ f"ur  alle $x$ 
au"serhalb einer $\lambda$-Nullmenge
nach  $\mu\langle y\rangle$
integriert werden kann.
% und da"s diese Integrale eine
%nach $\lambda\langle x\rangle$ integrierbare Funktion $F(x)$ mit
%Integral $\mu(V)\|f\|_p^p$ liefern.
 Bemerkung \ref{HoU} aus dem Kontext der H"olderungleichung 
angewandt auf die Funktion $h_x(y)= f(x-y)$ aus $\op{L}^p(V;\mu)$
und die konstante Funktion 1 aus $\op{L}^q(V;\mu)$ 
zeigt dann, 
da"s f"ur alle $x$ au"serhalb 
derselben $\lambda$-Nullmenge die Funktion 
$h_x$  nach  $\mu\langle y\rangle$
integrierbar ist. Bezeichnen wir dies Integral
wie im Satz mit $(\mu\ast f)(x)$, so zeigt die H"olderungleichung  \ref{HoU}
 weiter
$$|(\mu\ast f)(x)|\leq \|h_x\|_1\leq \|1\|_q\|h_x\|_p$$
f"ur alle $x$ au"serhalb 
unserer $\lambda$-Nullmenge. 
Schreiben wir andererseits $f$ als punktweisen Grenzwert einer monoton
wachsenden Folge nichtnegativer integrierbarer Funktionen, 
so zeigt der bereits behandelte Fall $p=1$ auch, da"s 
$x\mapsto (\mu\ast f)(x)$ als fast "uberall definierte Funktion 
me"sbar sein mu"s.
Bilden wir nun auf beiden Seiten die $p$-te Potenz und integrieren
"uber $\lambda \langle x\rangle$, so ergibt sich
wegen $\|1\|_q=\mu(V)^{1/q}$ sofort
$$
\begin{array}{lll}
\int |(\mu\ast f)(x)|^p\;\lambda\langle x\rangle
&\leq & \mu(V)^{p/q}\left(\int |f(x-y)|^p\;
(\lambda\boxtimes \mu)\langle x,y\rangle
\right)\\[2mm]
&=&
\mu(V)^{1+p/q}\|f\|_p^p =\mu(V)^p\|f\|_p^p 
\end{array}
$$
und damit ist $\mu\ast f$ wieder eine $\op{L}^p$-Funktion mit
$\|\mu\ast f\|_p\leq \mu(V)\|f\|_p $.
\end{proof}







\begin{Ubung}\label{FFFM}
Gegeben ein Haarma"s $\lambda$ auf einem endlichdimensionalen
reellen Vektorraum $V$ und $f\in \op{L}^1(V;\lambda)$ zeige man 
f"ur jedes weitere komplexe Ma"s $\mu\in \op{M}(V)$ die
Gleichheit von Ma"sen
 $(\mu\ast f)\lambda=\mu\ast (f\lambda)$.
\end{Ubung}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Faltung von integrierbaren Funktionen}]
Sei $\lambda$ ein Haar-Ma"s auf  einem endlichdimensionalen
reellen Vektorraum $V$.
Gegeben integrierbare Funktionen $f,g\in \op{L}^1(V;\lambda)$  
erkl"aren wir eine weitere integrierbare Funktion, ihre 
\defind{Faltung}, durch die Vorschrift
$$f\ast_\lambda g\pdef (f\lambda)\ast g$$
oder explizit $(f\ast_\lambda g)(x)=\int g(x-y)f(y)\lambda\langle y \rangle$.
Die durch Multiplikation mit dem Ma"s $\lambda$ nach \ref{NFNM} induzierte
Einbettung
$\op{L}^1(V;\lambda)\hra \op{M}(V)$
ist nach  \ref{FFFM} vertr"aglich mit den jeweiligen 
Konvolutionen, in Formeln  $$(f\ast_\lambda g)\lambda
=(f\lambda)\ast (g\lambda)$$
Insbesondere ist also auch die Faltung $\ast_\lambda$ von integrierbaren
Funktionen assoziativ und kommutativ.
Unsere Fouriertransformation aus \ref{FouD} vertr"agt sich jedoch 
nicht so gut mit der Faltung von Funktionen
wie die abstrakte Fouriertransformation mit der Faltung von Ma"sen,
genauer gilt f"ur integrierbare Funktionen $f,g$ auf $\DR^n$ 
und Faltung in Bezug auf das Lebesgue-Ma"s die 
unsch"one Formel
$$(f\ast g)^\wedge= (2\pi)^{n/2}(f^\wedge\cdot  g^\wedge)$$ 
weil wir ja die Fouriertransformierte einer Funktion 
$f\in \op{L}^1(\DR^n;\diff^n x)$ 
erkl"art hatten
als die Fouriertransformierte des Ma"ses $(2\pi)^{-n/2}f\diff^n x$.
In diesem Zusammenhang erweist sich die in \ref{BSD} erw"ahnte 
alternative Fouriertransformation als g"unstiger, 
die jedoch hinwiederum in \ref{EFou} 
 Komplikationen verursacht.
\end{Bemerkungl}




\begin{Ubung}\label{StAb}  
F"ur die f"ur $v>0$ um den Faktor 
$\sqrt{v}$ verzerrten und  auf Integral Eins normierten
Gauss'schen Glockenkurven $G_{v} (x) \pdef \frac{1}{\sqrt{2\pi v}} \exp
(-x^{2}/2v)$  wird die Faltung in Bezug auf das Lebesgue-Ma"s 
gegeben durch 
$$G_{u} \ast G_{v} = G_{u+v}$$
\end{Ubung}

\begin{Bemerkungl}
  Mit partieller Integration pr"uft man f"ur die Standard-Normalverteilung 
$\mu=  \op{e}^{-x^{2}/2} \diff x/\sqrt{2\pi}$ leicht
$\int x^2 \mu \langle x \rangle = 1$. Weiter pr"uft man 
f"ur das $G_v$ aus \ref{StAb} auch
$\int x^2 G_v(x) \diff x  = v$. 
  In der Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie hat also eine 
reelle Zufallsvariable mit der Verteilung  $G_v(x) \diff x$ 
Varianz $v$ und Standardabweichung $\sqrt{v}$.
\end{Bemerkungl}




\begin{Satz}[\textbf{Abstrakter\index{zentraler Grenzwertsatz} 
zentraler Grenzwertsatz}]
Ist $\mu$ ein Wahrscheinlichkeitsma"s auf $\Bbb{R}$,\label{AzG} 
unter dem $x$ und $x^2$ integrierbar sind mit 
$\int x \mu \langle x \rangle =0$ und $\int x^2 \mu \langle x \rangle = 1$,
so konvergiert die Folge der jeweils um den Faktor $\sqrt{n} $ gestauchten 
iterierten Faltungen $\mu^{\ast n}$ gegen die 
\emph{\bf Standard-Normalverteilung}\index{Normalverteilung} 
$ \op{e}^{-x^{2}/2} \diff x/\sqrt{2\pi}$ im Sinne einer 
gleichm"a"sigen Konvergenz der Verteilungsfunktionen. In Formeln
haben wir also gleichm"a"sig in $a\in\DR$ die Konvergenz
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{\sqrt{n}\cdot a} \mu^{\ast n} \quad\longrightarrow \quad
\int^a_{-\infty} \frac{\op{e}^{-x^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}\diff x
\qquad\text{f"ur $n \rightarrow \infty$} \end{equation*}
\end{Satz}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[height=0.5\textheight]{SkriptenBilder/BildZGS}\\[4mm]
\noindent 
In der linken Spalte sind die erste, zweite und vierte
Faltungspotenz desjenigen Wahrscheinlichkeitsma"ses $\mu$ darsgestellt,
das die Summe der H"alfte der Diracma"se an den 
Stellen $1/4$ und $-1/4$ ist. Diese Faltungspotenzen sind wieder
Summen von Diracma"sen, und das Ma"s eines Punktes entspricht der L"ange des
an der entsprechenden Stelle angehefteten vertikalen Strichleins.
In der rechten Spalte sind entsprechend f"ur $n=1,2,4$ 
die um den Faktor $\sqrt{n}$
in $x$-Richtung gestauchten Ma"se dagestellt.
Die untere Zeile schlie"slich entsteht aus der rechten Spalte, 
indem wir jedes Strichlein durch ein T"urmchen ersetzen, dessen
Fl"ache gerade die L"ange unseres Strichleins ist. Der 
zentrale Grenzwertsatz bedeutet in obigem Spezialfall
anschaulich, da"s auf jedem kompakten Intervall 
die Treppenfunktionen der unteren Zeile gleichm"a"sig
gegen eine entsprechend normalisierte
Gauss'sche Glockenkurve  streben. 
\end{figure}

\begin{Bemerkunge}
In der Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie h"ort sich 
unser zentraler Grenzwertsatz \ref{AzG} dann so an:
Gegeben eine Folge identisch verteilter stochastisch unabh"angiger
reeller Zufallsvariablen  $X_1, X_2, \ldots$
 mit Erwartungswert Null und Varianz Eins
konvergiert die Folge der Zufallsvariablen 
$$\frac{1}{\sqrt{n}}(X_1+\ldots+X_n)$$
in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung.
\end{Bemerkunge}

\begin{proof}
Unsere Bedingungen liefern, da"s die Fouriertransformierte 
alias die charakteristische Funktion 
$\mu^\wedge$ von $\mu$ im Sinne von \ref{ChaFo} zweimal stetig differenzierbar 
ist, und ihre Taylorentwicklung um den Nullpunkt liefert 
mithilfe einer offensichtlichen Verallgemeinerung von
\ref{EFou}.\ref{EFou6}
eine Darstellung
\begin{equation*}
\mu^\wedge (y) = 1 - \frac{y^{2}}{2} + y^2 \varepsilon (y)
\end{equation*}
f"ur $\varepsilon$ stetig mit Funktionswert Null bei Null.
Nach \ref{FTF} ist nun die Fouriertransformierte der Faltung das 
Produkt der Fouriertransformierten, und verwenden wir
zus"atzlich \ref{EFou}.\ref{EFou5} oder besser
\ref{BIMF}, so ergibt sich f"ur die charakteristische
Funktion der um den Faktor $\sqrt{n}$ gestauchten 
$n$-fach iterierten Faltung die Darstellung 
\begin{equation*}
\left((n^{-1/2})_\ast \mu^{\ast n}\right)^\wedge (y)= 
\left(1- \frac{y^{2}}{2n} + \frac{y^{2}}{n}\;\varepsilon \!
\left(\frac{y}{\sqrt{n}}\right) \right)^n
\end{equation*}
Hier steht $(n^{-1/2})_\ast$ f"ur das Bildma"s im Sinne von \ref{BiMaU}
unter der durch die Multiplikation mit $n^{-1/2}$ gegebenen Abbildung
$\DR\ra\DR$.
Unsere Funktionenfolge
strebt nun nach \eref{FGEX}{AN1} punktweise  gegen 
die Funktion $\op{e}^{-y^{2}/2}$
und all ihre Glieder sind als charakteristische Funktionen von 
Wahrscheinlichkeitsma"sen betragsm"a"sig beschr"ankt durch Eins. 
Aus dem Satz "uber dominierte Konvergenz folgt damit
f"ur jede Funktion $f$ des Schwartzraums
$$\int\left((n^{-1/2})_\ast \mu^{\ast n}\right)^\wedge (y) \;f(y)\diff y
\ra 
\int \op{e}^{-y^{2}/2} f(y)\diff y$$
bei $n\ra\infty$.
Nach \ref{RG} ist die Funktion $\op{e}^{-y^{2}/2}$ die 
charakteristische Funktion im Sinne von \ref{ChaFo} des Ma"ses
$\op{e}^{-x^{2}/2} \diff x/\sqrt{2\pi}$, so da"s wir wie im Beweis 
von 
\ref{InFo} mit der Erkenntnis, da"s die Fouriertransformation 
im Wesentlichen ihre eigene Transponierte ist, folgern k"onnen, 
da"s f"ur alle Funktionen $g$ des Schwarzraums  gilt
$$\int g(x) \left((n^{-1/2})_\ast \mu^{\ast n}\right)\!\langle x\rangle
\ra 
\int g(x) \frac{\op{e}^{-x^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}\diff x$$
bei $n\ra\infty$.
Das anschlie"sende Lemma \ref{VFK} beendet dann den Beweis.
\end{proof}

\begin{Lemma}\label{VFK}
Sei $(\mu_n)_{n \in \Bbb{N}}$ eine Folge von Wahrscheinlichkeitsma"sen auf 
 $\Bbb{R}$ und $\mu$ ein  Wahrscheinlichkeitsma"s mit einer stetigen 
Verteilungsfunktion $V = V_\mu$. Gilt $$\int g (x) \mu_n \langle x \rangle
\rightarrow \int g (x) \mu \langle x \rangle\quad
\text{ bei }n \rightarrow \infty$$ f"ur
jede Funktion $g$ des Schwartzraums, so streben die Verteilungsfunktionen 
$V_n$ der 
$\mu_n$ gleichm"a"sig gegen die Verteilungsfunktion $V$ von $\mu$.
\end{Lemma}
\begin{proof}
Alle unsere Verteilungsfunktionen streben gegen Null f"ur 
$b \rightarrow -\infty$ und gegen Eins f"ur 
$b \rightarrow \infty$ und wachsen monoton.
Es ist damit nicht schwer einzusehen, da"s 
aus der punktweisen Konvergenz $V_n (b)
\rightarrow V(b)$ bereits die gleichm"a"sige Konvergenz folgt.
Gegeben $I \subset J \subset \Bbb{R}$ beschr"ankte 
Intervalle derart, da"s sogar der Abschlu"s des
Ersten im Inneren des Zweiten enthalten ist,
in Formeln  $\overline{I} \subset J^\circ$, finden 
wir eine glatte Funktion $g : \Bbb{R} \rightarrow [0,1]$, die auf
$I$ Eins ist und die au"serhalb von $J$ verschwindet.
Sicher gilt dann
\begin{equation*}
\mu (I) \leq \int g (x) \mu \langle x \rangle \leq \mu (J)
\end{equation*}
und ebenso f"ur alle $\mu_n$.
Wir finden folglich f"ur alle $\varepsilon >0$ ein $N$ mit
\begin{displaymath}
n \geq N \Rightarrow \left\{ \begin{array}{rrr}
\mu_n (I) & \leq & \mu (J) + \varepsilon;\\
\mu (I) &\leq &\mu_n (J) + \varepsilon.
\end{array}\right.
\end{displaymath}
Sind also $I \subset J \subset K \subset \Bbb{R}$ 
beschr"ankte Intervalle, von denen jeweils der 
Abschlu"s des einen im Inneren des n"achsten liegt, so folgt
\begin{equation*}
\mu (I) - \varepsilon \leq \mu_n (J) \leq \mu (K) +\varepsilon
\end{equation*}
f"ur hinreichend gro"ses $n$.
Da wir die Verteilungsfunktion von $\mu$ stetig 
angenommen hatten, k"onnen wir f"ur ein gegebenes 
beschr"anktes Intervall $J \subset \Bbb{R}$ und 
beliebiges $\varepsilon > 0$ auch beschr"ankte 
Intervalle $I,K$ wie oben finden mit $\mu (K) - \mu (I) \leq \varepsilon$.
Zusammen folgt so f"ur jedes beschr"ankte Intervall $J \subset \Bbb{R}$ bereits
\begin{equation*}
\lim_{n \rightarrow \infty} \mu_n (J) = \mu (J)
\end{equation*}
Schlie"slich finden wir f"ur jedes $\varepsilon > 0$ ein Intervall $[a,b)$ mit 
$\mu ([a,b)) \geq 1-\varepsilon$ und folglich 
$\mu ((-\infty, a)) \leq \varepsilon$.
F"ur hinreichend gro"ses $n$ gilt dann $\mu_n ([a,b)) \leq 1-2\varepsilon$ 
und damit $\mu_n ((-\infty, a)) \leq 2\varepsilon$.
F"ur $x \leq a$ gilt bereits f"ur diese $n$ die Absch"atzung
$
| \mu (( - \infty, x)) - \mu_n (( - \infty, x)) | \leq 3\varepsilon 
$.
F"ur $x > a$ m"ussen wir zus"atzlich $n$ noch so gro"s w"ahlen, da"s
$
| \mu ([a,x)) - \mu_n ([a,x)) \leq \varepsilon
$
und dann folgt f"ur derart gro"se $n$ offensichtlich 
\begin{equation*}
| \mu ((-\infty, x)) - \mu_n ((- \infty, x)) | \leq 4 \varepsilon
\end{equation*}
alias die punktweise Konvergenz der Verteilungsfunktionen.
\end{proof}


\subsection{Translationsinvariante Teilr"aume*}
\begin{Bemerkungl}
  In diesem Abschnitt wird erkl"art, wie man mithilfe der
Fouriertheorie die abgeschlossenen 
translationsinvarianten Teilr"aume des Raums der quadratintegrierbaren
Funktionen auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum bestimmen kann.
Wir werden das Resultat nicht ben"otigen, es wird sp"ater  durch die
Theorie der unit"aren Darstellungen von Vektorr"aumen "uberholt.
Jedoch mag es f"ur manche Vorlesung einen netten Abschlu"s liefern.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum.
Ein Teilraum $M \subset {\op{L}}^{2} (V)$ hei"st {\bf
translationsinvariant} genau dann, wenn er f"ur alle $a\in V$ 
invariant ist unter der
Translation $\tau_{a} :{\op{L}}^{2}(V)\ra {\op{L}}^{2} (V)$
gegeben durch $(\tau_{a} f)(x) = f(x-a)$, wenn also in Formeln gilt
$$ f \in M\; \Rightarrow\; \tau_{a} f \in M \quad \forall \; a \in
V$$
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
  F"ur  $E \subset \hat{V}$ Borel-me"sbar ist das Bild von
  $\chi_E {\op{L}}^{2}(\hat{V}) = {\op{L}}^{2}(E)$ unter der Fouriertransformation 
nach \ref{VSCM}  ein
  translationsinvarianter Teilraum von ${\op{L}}^{2}(V)$, 
und nach \eref{VRnn}{AN1} ist dieser Teilraum auch abgeschlossen.
Wir zeigen nun,
  da"s diese Konstruktion bereits alle Beispiele f"ur abgeschlossene 
translationsinvariante Teilr"aume liefert.
\end{Beispiel}

\begin{Satz}[\textbf{Translationsinvariante 
Teilr"aume in ${\op{L}}^2(V)$}]
Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum.\label{TrIn}
\begin{enumerate}
\item Jeder translationsinvariante abgeschlossene Teilraum $M\subset
  {\op{L}}^{2} (V)$ ist von der Form $M = {\op{L}}^{2} (E)^{\wedge}$ f"ur
eine Borelmenge
  $E\subset \hat{V}$.  
\item Gegeben eine weitere  Borelmenge
  $F\subset \hat{V}$ gilt ${\op{L}}^{2} (E)^{\wedge} = {\op{L}}^{2}
  (F)^{\wedge}$ genau dann, wenn $E\backslash F$ und 
$F\backslash E$ in Bezug auf ein und
  jedes Haarma"s Nullmengen sind.
\end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Im Fall einer Ver"anderlichen mag man die Aussage dieses 
Satzes dahingegehend zusammenfassen, da"s die translationsinvarianten
abgeschlossenen Teilr"aume durch die Vorgabe gewisser \glqq erlaubter 
Frequenzanteile\grqq\  beschrieben werden k"onnen, also
umgangssprachlich durch die
Angabe des \glqq erlaubten Tonumfangs\grqq.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Die zweite Behauptung ist klar.
F"ur die Erste 
w"ahlen wir ein Haarma"s $\lambda$ und 
bemerken, da"s ein Teilraum von ${\op{L}}^2(V;\lambda)$
nach \ref{VSCM} invariant ist unter allen Translationen genau dann, wenn
sein Bild unter der Fouriertransformation 
invariant ist unter allen Multiplikationen mit Charakteren. 
Damit folgt unser Satz aus der anschlie"senden Proposition \ref{UDS}.
\end{proof}
\begin{Proposition}\label{UDS}%\label{UDSn} gibts in der LA!
Sei $W$ ein endlichdimensionaler reeller
Vektorraum und $\mu$ ein Borelma"s  auf $W$.
So hat jeder unter der  Multiplikation mit
allen unit"aren Charakteren von $W$ invariante 
abgeschlossene
Teilraum $M \subset {\op{L}}^{2} (W;\mu)$ 
 die Gestalt $M = {\op{L}}^{2}(E)$
f"ur eine Borelmenge in $E\subset W$.  
\end{Proposition}
\begin{proof}
Sei $P: {\op{L}}^{2}(W;\mu)\ra M$ der orthogonale Projektor.
Nat"urlich gilt
$$\langle Pf,g \rangle = \langle Pf,Pg \rangle = \langle f,Pg
\rangle$$
f"ur alle $f,g \in {\op{L}}^{2} (W;\mu)$.
F"ur jeden Charakter 
 $\chi\in\hat{W}$  gilt 
offensichtlich $P (\chi f)= \chi (Pf)$.
Wir folgern
$\langle Pf, \chi g\rangle = \langle f,\chi Pg\rangle$
f"ur alle $\chi\in\hat{W}$ oder
ausgeschrieben
$$\int \overline{Pf} \cdot \chi g
=\int \bar{f}\cdot \chi Pg $$
Nach \ref{InFo}  haben aber zwei
kompexe Ma"se nur dann dieselbe Fouriertransformierte, 
wenn sie  "ubereinstimmen. Damit folgt die Gleichheit von Ma"sen
$$(\overline{Pf})g\mu = \bar{f} (Pg)\mu$$
W"ahlen wir nun $g \in \cal{L}^{2}$ Borelme"sbar
und quadratintegrierbar 
mit $g( y ) > 0$ f"ur alle
$ y  $ und setzen $$\varphi ( y  ) =
{(Pg)( y  )}/g( y  )$$ so folgt aus unserer Gleichheit von
Ma"sen mit \ref{NFNM} die Gleichheit von Funktionen
$(Pf)( y  ) = \varphi ( y  ) f( y  ) $ f"ur fast alle
$ y  $.
Da aber gilt $P^{2} =P$, nimmt $\varphi ( y  )$ fast "uberall nur die
Werte $0$ und $1$ an. Also gibt es eine Borelmenge $E \subset W$
 mit $P f = \chi_{E} f$. Nun gilt aber $f = \chi_{E} f
\Leftrightarrow f \in {\op{L}}^{2} (E)$ und es
folgt $M= {\op{L}}^{2} (E)$.
\end{proof}




\subsection{Allgemeinere Fouriertransformationen*}
%\index{Fouriertransformation!allgemeine}
\begin{Bemerkungl}\label{VVFou}
Als Ausblick will ich ohne Beweise  skizzieren, in welcher Weise 
sowohl Fourierreihen als auch Fouriertransformationen beide
Spezialf"alle einer allgemeineren Theorie sind.
Mehr dazu findet man etwa in \cite{RuGru,BouSP}. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
%   Man kann zeigen, da"s  in der Kategorie der topologischen R"aume
% beliebige Produkte im Sinne von \ref{PrKao} existieren und
% da"s sie unter dem Vergessen der Topologie Produkte in
% der Kategorie der Mengen werden.
Gegeben topologische
R"aume $X$ und $Y$ kann
man ihr kartesisches Produkt $X\times Y$ auf genau eine
Weise mit einer
Topologie versehen derart, da"s die Projektionen $\op{pr}_X$ und $\op{pr}_Y$
stetig werden und da"s das Tripel $(X\times Y, \op{pr}_X,\op{pr}_Y)$ 
im Sinne von \eref{PrKao}{LA2}
 ein Produkt in der Kategorie der topologischen R"aume
ist. Wie diese {\bf Produkttopologie}\index{Produkttopologie} 
im allgemeinen konstruiert
wird, k"onnen Sie etwa in \eref{PrTo}{ML} lernen.
Sind $X$ und $Y$  metrische R"aume mit
ihrer metrischen Topologie, so ist die metrische
Topologie zur  Produktmetrik nach \eref{SPS}{AN1} bereits die Produkttopologie.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Eine {\bf topologische Gruppe}\index{topologische Gruppe} ist eine
Gruppe $G$ mit einer Topologogie derart, da"s die Verkn"upfung
$G\times G\ra G$ und die Inversenabbildung $G\ra G$ stetig sind.
\end{Bemerkungl}

  \begin{Beispiele}
Die additiven Gruppen endlichdimensionaler reeller 
Vektorr"aume sind  mit ihrer nat"urlichen
Topologie topologische Gruppen.
Die Automorphismengruppen endlichdimensionaler reeller oder komplexer
Vektorr"aume sind mit der von der 
nat"urlichen Topologie des Endomorphismenraums 
induzierten Topologie topologische Gruppen.
Die orthogonalen und unit"aren Matrizen 
bilden mit ihrer jeweiligen von der 
nat"urlichen Topologie des Endomorphismenraums 
induzierten Topologie
topologische
Gruppen. Jede  Gruppe ist mit ihrer diskreten Topologie 
eine topologische Gruppe.
 In der Zahlentheorie sind auch die topologischen Gruppen 
der sogenannten \glqq $p$-adischen Zahlen\grqq\  und  \glqq Adele\grqq\   von Bedeutung.
  \end{Beispiele}


\begin{Bemerkungl}
F"ur  kommutative Hausdorff'sche lokal kompakte topologische
Gruppen schlage ich die abk"urzende Bezeichnung 
{\bf Pontrjagin-Gruppen}\index{Pontrjagin-Gruppe} vor.
In der Literatur wir die Theorie meist f"ur derartige Gruppen
entwickelt. Ich beschr"anke mich im
folgenden auf den Fall abz"ahlbar basierter Pontrjagin-Gruppen,
der einerseits alle mir bekannten Anwendungen abdeckt und 
andererseits technisch f"ur uns weniger aufwendig ist, da
 wir uns in diesem Fall auf die 
in dieser Vorlesung bereits entwickelten  Methoden
der Ma"stheorie st"utzen k"onnen.
\end{Bemerkungl}
  \begin{Beispiele}
Die additiven Gruppen endlichdimensionaler reeller 
Vektorr"aume sind abz"ahlbar basierte Pontrjagingruppen.
Die Kreislinie $S^1$ ist eine abz"ahlbar basierte Pontrjagingruppe.
Jede abz"ahlbare kommutative Gruppe mit ihrer diskreten Topologie 
ist eine abz"ahlbar basierte Pontrjagingruppe.
Auch die \glqq $p$-adischen Zahlen\grqq\  und  \glqq Adele\grqq\  aus der
Zahlenheorie sind 
abz"ahlbar basierte Pontrjagingruppen.
  \end{Beispiele}

\begin{Bemerkungl}
Ist $G$ eine  abz"ahlbar basierte 
Pontrjagingruppe, so erh"alt die Menge ihrer Charaktere, als da hei"st 
aller stetigen Gruppenhomomorphismen in die Kreislinie 
$$\hat{G}=\frak{X}(G)=\op{GrpTop}(G,S^1)$$ 
mit ihrer \glqq kompakt-offenen Topologie\grqq\  und punktweisen
Verkn"upfung auch wieder die Struktur 
einer abz"ahlbar basierten 
Pontrjagingruppe. Wir nennen $\hat G$ die
{\bf Charaktergruppe von} $G$.\index{Charaktergruppe} 
Die kompakt-offene Topologie ist dadurch definiert,
da"s eine Teilmenge $U\subset \hat{G}$ offen ist genau dann, wenn es
f"ur jedes $\chi\in U$ eine kompakte Teilmenge $K\subset G$ und
ein $\varepsilon >0$ gibt derart, da"s alle Charaktere $\psi$ mit
$|\psi(g)-\chi(g)|<\varepsilon\; \forall g\in K$ auch noch in $U$ liegen.
Die Vorschrift $G\mapsto \hat{G}$ ist sogar ein 
kontravarianter Funktor, in Formeln 
liefert jeder stetige Gruppenhomomorphismus 
$\varphi : G \rightarrow H$ in der Gegenrichtung einen
stetigen Gruppenhomomorphismus
$\hat \varphi := (\circ \varphi) : \hat H \rightarrow \hat G$.
Des weiteren wird unter diesem Funktor jede 
kurze exakte Sequenz bestehend aus einer
 abgeschlossenen Einbettung gefolgt von einer finalen Surjektion 
zu einer   kurzen exakten Sequenz derselben Art in der Gegenrichtung.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiele}
Im Fall $G = \Bbb{R}^n$
ergibt sich $\hat{G}
\cong \Bbb{R}^n$. 
 Im Fall $G = S^1$ ergibt sich $ \hat{G} \cong \Bbb{Z}$. 
Ist allgemeiner $G$ kompakt, so ist $\hat{G}$ diskret.
Ist  $G$ diskret, so ist $\hat{G}$ kompakt als abgeschlossene Teilmenge 
von $\prod_{g\in G}S^1$.
Ist $G$ endlich, so haben wir $ \hat{G} \cong G$, aber in
v"ollig unkanonischer Weise.
\end{Beispiele}

\begin{Definition}
Gegeben eine abz"ahlbar basierte 
Pontrjagingruppe $G$ 
   erkl"aren wir 
 die {\bf Fouriertransformation}\index{Fouriertransformation!allgemeine}
$$\begin{array}{cccc}
  \mathcal F:&\op{M}(G) &\rightarrow &\mathcal{C}_{\op{b}} (\hat{G})\\
  &\mu &\mapsto & \mu^\wedge
\end{array}$$
durch die Vorschrift
 $\mu^\wedge (\chi) \pdef \int_G \chi (g)\mu \langle g \rangle$.
In Worten ist der Wert $\mu^\wedge (\chi)$ 
der Fouriertransformierten $\mu^\wedge$ eines Ma"ses $\mu$
an einem Charakter $\chi$ das Integral von besagtem Charakter
in Bezug auf 
besagtes Ma"s.
\end{Definition}


  \begin{Beispiele}
    Im Fall $G = S^1$  erhalten wir
    die Theorie der Fourierreihen. Im Fall $G = \Bbb{R}^n$  erhalten  wir
die Theorie der
    Fouriertransformationen.  Im Fall $|G| < \infty$  erhalten 
wir die Theorie der die sogenannten {\bf diskreten
    Fouriertransformationen}.\index{Fouriertransformation!diskrete} 
Besonders beliebt ist der Fall $G=\DZ/2^n\DZ$
von zyklischen Gruppen, deren Ordnung eine Zweierpotenz ist.
Auch in dieser Allgemeinheit erkl"art man die  
{\bf Cosinustransformation} und die\index{Cosinustransformation}  
{\bf Sinustransformation} von $\mu$\index{Sinustransformation} 
als  die Funktionen 
$\chi \mapsto \int_G \frac{1}{2}(\chi (g)+\bar{\chi} (g))\mu \langle g
\rangle$
und $\chi 
\mapsto \int_G \frac{1}{2{\op{i}}}(\chi (g)-\bar{\chi} (g))\mu \langle g
\rangle$ und erh"alt so zu reellen Ma"sen reellwertige Funktionen.
Besonders wichtig ist wieder der Fall einer zyklischen Gruppe,
in dem diese Transformationen die 
{\bf diskrete Cosinustransformation}\index{Cosinustransformation!diskrete}
und die {\bf diskrete Sinustransformation} 
hei"sen.\index{Sinustransformation!diskrete}
  \end{Beispiele}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Nat"urlichkeit der Fouriertransformation}]
  Gegeben ein stetiger Homomorphismus $\varphi : G \rightarrow H$ von
   abz"ahlbar basierten 
  Pontrjagingruppen kommutiert, wie man unschwer einsieht,
  das Diagramm\label{NatFo}
  \begin{displaymath}
    \xymatrix{
      \op{M}(G) \ar[r]^-{\mathcal F} \ar[d]_-{\varphi_\ast} 
& \mathcal C_{\op{b}} (\hat G)\ar[d]^-{\circ \hat \varphi}\\
      \op{M}(H) \ar[r]^-{\mathcal F} &\mathcal C_{\op{b}} (\hat H)
    }
  \end{displaymath}
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiele}
  Einen Spezialfall dieser Aussage haben Sie bereits in "Ubung \ref{BIMF}
gesehen. Wickelt $\varphi$ die Zahlengerade auf die Kreislinie auf,
so ergibt sich ein Zusammenhang zwischen der Fourierreihe und der
Fouriertransformation.
\end{Beispiele}
\begin{Definition}\label{AUPP}
Gegeben ein Ring $k$ und Mengen $X,Y$ und 
Abbildungen $f:X\ra k$ und $g:Y\ra k$ notieren wir
$f\boxtimes g$\index{X@$\boxtimes$!"au"seres Produkt!von Funktionen} 
die\index{11Eckiges@$\boxtimes$!"au"seres Produkt!von Funktionen}
 Funktion $X\times Y\ra k$ gegeben durch $(x,y)\mapsto f(x)g(y)$.
Wir nennen $f\boxtimes g$  das 
{\bf "au"sere Produkt}\index{"au"seres Produkt!von Funktionen} der
beiden Funktionen $f$ und $g$.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Produktvertr"aglichkeit der 
Fouriertransformation}]
  Ist  unsere Gruppe ein Produkt $G \times H$ von
zwei abz"ahlbar basierten Pontrjagingruppen $G,H$ und sind Ma"se $\mu
  \in \op{M} (G)$, $\nu \in \op{M} (H)$ gegeben, so\label{ProFo} 
entspricht die Fouriertransformierte
  des Produktma"ses $\mu \boxtimes \nu \in \op{M}(G\times H)$ 
unter der nat"urlichen
  Identifikation
  $
    \frak X (G \times H) \sira \frak X  (G) \times \frak X (H)
  $
  dem "au"seren Produkt der Fouriertransformierten unserer beiden Ma"se,
  in Formeln
  \begin{equation*}
    (\mu \boxtimes \nu)^\wedge = \mu^\wedge \boxtimes \nu^\wedge
  \end{equation*}
Auch das folgt unmittelbar aus den Definitionen. Einen Schatten
dieses Resultats haben Sie eventuell bereits als "Ubung
\ref{Goi} ausgearbeitet.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Faltung}]
Gegeben eine abz"ahlbar basierte Pontrjagingruppe wird
die Faltung $\op{M}(G )\times\op{M}(G )\ra \op{M}(G )$, 
$(\mu, \nu)\mapsto \mu \ast \nu$ wie in \ref{KonM} erkl"art 
durch die Vorschrift
$$\mu \ast \nu\pdef 
    m_\ast (\mu \boxtimes \nu)$$
f"ur $m : G \times G
  \rightarrow G$ die Verkn"upfung unserer Gruppe.
Wie in \ref{FaMa} zeigt man auch in dieser Allgemeinheit, 
da"s die Faltung $\op{M}(G )$
zu einer $\DC$-Kringalgebra macht.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Fouriertransformation und Faltung}]
Die Fouriertransformierte\label{FTFn} der Faltung zweier komplexer Ma"se 
ist das
punktweise Produkt ihrer Fouriertransformierten, in
Formeln
\begin{equation*}
(\mu \ast \nu)^\wedge =\mu^\wedge \cdot \nu^\wedge
\end{equation*}
\end{Satz}
\begin{proof}
Der Komorphismus $\hat m : \hat G \rightarrow \hat G \times
  \hat G$ zur Verkn"upfung $ m :   G \times G \rightarrow 
   G$ ist offensichtlich die diagonale Einbettung, in Formeln  
$\hat m=\Delta_{\hat G}$.
Unsere Formeln liefern f"ur die
  Fouriertransformierte einer Faltung also
 $$ \begin{array}[b]{lll}
    (\mu \ast \nu)^\wedge &=
    & (m_\ast (\mu \boxtimes \nu))^\wedge \text{ nach Definition
      der Faltung,}\\
    &=& (\mu \boxtimes \nu)^\wedge \circ \hat m \text{ nach der Nat"urlichkeit
      \ref{NatFo},}\\
    &= & (\mu^\wedge \boxtimes \nu^\wedge) 
    \circ \hat m \text{ nach der Produktvertr"aglichkeit \ref{ProFo}},\\
    &=& \mu^\wedge \cdot \nu^\wedge \text{ wegen } 
    \hat m = \Delta_{\hat G}. 
\end{array}\qedhere$$
\end{proof}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Inversionsformel}]
Sei $G$ eine abz"ahlbar basierte Pontrjagingruppe.
 Die kanonische Abbildung 
gegeben durch $(\op{can}(g))(\chi)=\overline{\chi(g)}$  liefert  einen
Isomorphismus\label{AIF}
\begin{equation*}
\op{can} : G \overset{\sim}{\rightarrow} \hat{\hat{G}}
\end{equation*}
Man nennt die Charaktergruppe $\hat{G}$ deshalb auch die
{\bf
    Pontrjagin-duale Gruppe} zu $G$.
  Unter unseren Annahmen gibt es auf $G$ bis auf Skalar genau ein Haarma"s
  $\lambda$, als da hei"st ein von Null verschiedenes Borelma"s mit $\lambda
  (gA) = \lambda (A)$ f"ur alle $g \in G$ und alle me"sbaren $A \subset G$.
  Wieder gibt es f"ur jedes Haarma"s $\lambda$ auf $G$ genau ein Haarma"s
  $\hat{\lambda}$ auf $\hat{G}$, das zugeh"orige \defind{Plancherel-Ma"s}, mit
  der Eigenschaft, da"s f"ur 
$f \in \op{L}^1 (G;\lambda)$ und $h\in \op{L}^1 (\hat{G};\hat{\lambda})$
gilt
$$(\mathcal F: f\lambda \mapsto h)\;\;\IFF 
\;\;(\mathcal F: h\hat{\lambda} \mapsto f)$$
Hierbei ist die R"ucktransformation $\mathcal F:\op{M}(\hat{G})\ra
\mathcal{C}_{\op{b}} (G)$ als Fouriertransformation gefolgt von der
durch die Identifikation $\op{can}$ gegebenen Abbildung zu verstehen.
Etwas feiner folgt sogar f"ur jedes Ma"s $\mu\in \op{M}(G)$
aus $\mu^\wedge\in \op{L}^1 (\hat{G};\hat{\lambda})$ bereits
$\mu=(\mu^\wedge \hat\lambda)^\wedge \lambda$. Jedes Ma"s mit einer
integrierbaren
Fouriertransformierten ist mithin  
das Produkt eines Haarma"ses mit
einer stetigen integrierbaren Funktion.
 Auch in dieser Allgemeinheit  kann ein Hilbertraumisomorphismus
  \begin{equation*}
    \op{L}^2 (G;\lambda) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{L}^2 (\hat{G};
    \hat{\lambda})
  \end{equation*}
  definiert werden durch stetige Fortsetzung der auf den integrierbaren
  und quadratintegrierbaren Funktionen definierten Abbildung $\op{L}^1 \cap
  \op{L}^2 \rightarrow \mathcal{C}_{\op{b}} (\hat{G})$, $f \mapsto
  (f\lambda)^\wedge$. Dessen Inverses  entsteht
analog durch stetige Fortsetzung der Abbildung
  $\op{L}^1 \cap \op{L}^2 \rightarrow \mathcal{C}_{\op{b}} ({G})$, $g \mapsto
  (g\hat{\lambda})^\wedge\circ \op{can}^{-1}$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
 Ist $G$ kompakt, so ist $\hat{G}$ diskret und das Plancherelma"s zum
auf Gesamtmasse Eins normierten Haarma"s auf $G$ ist das Z"ahlma"s auf
 $\hat{G}$. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Ubunge}
Die Abbildung $\mu \mapsto \mu^{\wedge}$ mit $\mu^\wedge (n) = \int z^n \mu
\langle z \rangle$ liefert eine Injektion $\op{M} (S^1) \hookrightarrow 
\mathcal C_{\op{b}}
(\mathbb Z)$. Hinweis: \eref{Lei}{AN1} und \ref{BOMA} oder besser \ref{RiDa}.
Gegeben $w \in S^1 $ zeige man weiter $((w \cdot)_\ast \mu)^\wedge (n)
=w^n \mu^\wedge (n)$.
Ist insbesondere $w$ von unendlicher Ordnung, so gilt es au"ser den
Vielfachen des Haar'schen Ma"ses keine Borelma"se $\mu \in \op{M} (S^1)$ mit 
$(w \cdot)_\ast  \mu = \mu$. Bezeichnet $\lambda$ das auf Gesamtmasse Eins
normierte Haar-Ma"s, so  gilt insbesondere f"ur jede Borelmenge
$A\subset S^1$ mit $wA=A$  die Alternative $\lambda(A)\in\{0,1\}$. 
\end{Ubunge}




\begin{Satz}[\textbf{Poisson-Formel, Variante}]
Seien $V$ ein\index{Poisson'sche Summationsformel!abstrakte} 
endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $\Gamma 
\subset V$ ein Gitter, $\lambda_\Gamma$ das   
durch die Bedingung\label{APFFn} 
$\lambda_\Gamma(V/\Gamma)=1$ 
normalisierte Haar-Ma"s auf $V$ und
$\Gamma^\wedge \subset \hat{V}$ das duale Gitter.
Ist $f \in {\mathcal {L}}^1 (V;\lambda_\Gamma)$ eine integrierbare Funktion
derart, da"s f"ur alle $x\in V/\Gamma$ die Summe
$\sum_{v+\Gamma = x} f(v)$ absolut konvergiert und da"s 
diese Summen eine stetige Funktion 
auf $V/\Gamma$ liefern, so gilt
f"ur die Fouriertransformierte $(f\lambda_\Gamma)^\wedge$ des komplexen 
Ma"ses $f\lambda_\Gamma$
die Formel
\begin{equation*}
\sum_{\zeta \in \Gamma^\wedge }
(f\lambda_\Gamma)^\wedge  (\zeta)= \sum_{\gamma \in \Gamma} f(\gamma) 
\end{equation*}
\end{Satz}

\begin{Bemerkungl}
  Dieser Satz wurde unter st"arkeren Voraussetzungen
bereits als \ref{APFF} bewiesen. Hier formuliere ich noch einen 
koordinatenfreien Beweis. In \cite{Dieu} wird eine noch allgemeinere
Version beschrieben.
\end{Bemerkungl}
 \begin{proof}
Seien $\Gamma \As V$ abz"ahlbar basierte Pontrjagingruppen. Der kurzen
   exakten Sequenz $\Gamma \hookrightarrow V \twoheadrightarrow V/\Gamma$
   entspricht eine kurze exakte Sequenz in der Gegenrichtung, die auch
   $\Gamma^\wedge \hookrightarrow \hat V \twoheadrightarrow \hat
   V/\Gamma^\wedge$ geschrieben werden kann mit $\Gamma^\wedge = \mathfrak X
   (V/\Gamma)$ und $\hat V/\Gamma^\wedge =\mathfrak X (\Gamma)$.  Nun
   betrachten wir die beiden zueinander  Pontrjagin-dualen Zeilen
  %  \begin{displaymath}
%      \xymatrix{
%        V \ar@{->>}[d]_-{p}& &\hat V\\
%        V/\Gamma & &\Gamma^\wedge 
% \ar@{^{(}->}[u]_-{\hat p}\ar@{->>}[d]^-{\hat \imath}\\
%        0\ar@{^{(}->}[u]^-{i} &&0
%      }
%    \end{displaymath} 
\begin{displaymath}
  \begin{array}{ccccc}
       V &\stackrel{p}{\sra} & V/\Gamma&\stackrel{i}{\hookleftarrow}&0\\



\hat V&\stackrel{\hat p}{\hookleftarrow}&
        \Gamma^\wedge &\stackrel{\hat i}{\sra}
&0
   \end{array}
 \end{displaymath}
von additiv notierten  Gruppen.  
Der Beweis besteht im Wesentlichen darin, links mit
 einem Ma"s und seiner Fouriertransformierten zu beginnen,
mit Nat"urlichkeit in der Mitte ein Ma"s und seine Fouriertransformierte
 als das Bildma"s und die zur"uckgeholte Funktion zu konstruieren,
dort die Inversionsformel anzuwenden,  und
mit Nat"urlichkeit weiter nach ganz rechts weiterzugehen, wo  dann
die von der Poisson'schen Summationsformel 
behauptete Gleichheit von komplexen Zahlen entsteht.
In Formeln liest sich das wie folgt.
 Gegeben ein Ma"s
   $\mu \in \op{M}(V)$ mit Fouriertransformierter 
$\mu^\wedge\in \mathcal{C}_{\op{b}} (\hat{V})$, in Formeln 
\begin{align*}
\hspace{2cm}\mu\;\; &\stackrel{\mathcal F}{\mapsto}\;\; \mu^\wedge \\
\intertext{liefert die Nat"urlichkeit \ref{NatFo} der
Fouriertransformation in der Mitte}
    p_\ast \mu\;\; &\stackrel{\mathcal F}{\mapsto}\;\; \mu^\wedge \circ \hat p\\
\intertext{Ist $\lambda$ ein Haarma"s 
auf $V/\Gamma$ und $\hat\lambda$ das zugeh"orige
  Plancherelma"s auf $\Gamma^\wedge$, so folgt unter der Annahme $\mu^\wedge
  \circ \hat p \in {{\op{L}}^1 (\Gamma^\wedge; \hat \lambda)}$ aus der
  Inversionsformel \ref{AIF}, da"s es $h \in {\op{L}}^1 (V/\Gamma; \lambda)$
  gibt mit $h \lambda = p_\ast \mu$, und da"s f"ur dieses $h$ gilt}
    h\;\;&\stackrel{\mathcal F}{\mapsfrom}\;\;
  (\mu^\wedge \circ \hat p) \hat \lambda\\
\intertext{Mit erneutem Anwenden der
  Nat"urlichkeit \ref{NatFo} erhalten wir daraus ganz rechts}
     h \circ i 
    \;\;&\stackrel{\mathcal F}{\mapsfrom}\;\;
\hat{\imath}_\ast (( \mu^\wedge \circ \hat p)\hat \lambda)\\
  \intertext{Ist hier $\Gamma^\wedge$ diskret 
und $\hat\lambda$ das Z"ahlma"s, so besagt
  die letzte Zeile schlicht}
     h(0)\;\; &= \;\;\sum_{\zeta \in \Gamma^\wedge} \mu^\wedge (\zeta)
\end{align*}
   Sind nun $V,\Gamma,\lambda$ und $f$ wie im Satz und betrachten wir
 $\mu = f\lambda$, so gilt $p_\ast \mu = p_\ast
   (f\nu) = h \lambda$ mit $h(x) \pdef \sum_{p(v) = x} f(v)$.  
Bis hierher kann man
   noch $f \in {\op{L}}^1 (V;\lambda)$ beliebig annehmen, die 
Integrierbarkeit von $h$ folgt 
   mit Fubini aus dem Isomorphismus von Ma"sr"aumen $\Gamma \times A
   \overset{\sim}{\rightarrow} V$ f"ur eine  \glqq Grundmasche\grqq\ 
 $A$ des Gitters $\Gamma$.  
Ist jedoch zus"atzlich   $f\in \mathcal L^1$ eine "uberall definierte 
integrierbare Funktion derart, da"s die Summe $\sum_{p(v) = x} f(v)$ "uberall
   konvergiert und eine bei Null stetige Funktion $h$ liefert, so haben wir 
sogar
   \begin{equation*}
     h (0) = \sum_{\gamma \in \Gamma} f(\gamma)
   \end{equation*}
   Die Poisson'sche Summationsformel folgt.
\end{proof}

\begin{Bemerkunge}
  Nach Rieffel kann man den sogenannten
{\bf oszillatorischen Integralen}\index{oszillatorisches Integral}
$$\int F(x,y)\op{e}^{2\pi{\op{i}}x\cdot y}\diff x\diff y$$
bereits dann sinnvoll eine komplexe Zahl als Wert zuordnen, wenn
$F:\DR^{2n}\ra\DC$ glatt ist und  alle seine partiellen Ableitungen 
gleichm"a"sig stetig und beschr"ankt sind. 
F"ur Funktionen $F$ der Gestalt $F(x,y)=f(x)g(y)$ mit
$f$ und $g$ aus dem Schwartzraum liefert unser Integral bis auf
geeignete Normalisierungen das Skalarprodukt von $f$ mit der 
Fouriertransformierten von $g$.
Es  f"allt mir schwer,
dieses Resultat im Allgemeinen
einzuordnen. Es mag sinnvoll sein,
etwas allgemeiner 
$$\hat{F}(a,b)=\int F(x+a,y+b)\op{e}^{2\pi{\op{i}}x\cdot y}\diff x\diff y$$
als Funktion von $a,b$ zu untersuchen und zu bestimmen, wie 
diese Funktion mit Funktionen des Schwartzraums $G(a,b)$ paaren sollte.
Gegeben Funktionen $f, g$ aus dem Schwartzraum und 
mit $G(a,b)= f (a) g (b)$ finden wir heuristisch
\begin{displaymath}
 \begin{array}{lll}
  \int f (a) g (b) F (x+a, y+b) \op{e}^{-{\op{i}}xy} &= &\int f(a) g(b) F (x,y +b) \op{e}^{-{\op{i}}(x-a)y}\\[2mm]
&= &\int \hat f (-y) \op{e}^{-{\op{i}}xy} g(b) F (x,y+b)\\[2mm]
&= &\int \hat f (-y) g (b -y) \op{e}^{-{\op{i}}xy} F (x,b)\\[2mm]
&=& \int h (x,b) F (x,b)
 \end{array}
\end{displaymath}
f"ur $h$ die Fouriertransformierte in $y$ der Schwartzfunktion 
gegeben durch $(y,b) \mapsto
\hat f (-y) g(b-y)$. 






% Auch da bin ich jedoch auf keinen gr"unen Zweig gekommen.
% Verallgemeinerungen im adelischen Kontext k"onnten durchaus
% von Interesse sein.
\end{Bemerkunge}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AAANA3"
%%% End: