\section{Fouriertransformation}
\subsection{Definition und erste Eigenschaften}
\label{fdee}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation}] 
Im akustischen Beispiel bedeutet die  Fouriertransformation, 
ein zeitabh"angiges Signal nach
seinen Frequenzanteilen zu zerlegen und in der umgekehrten Richtung
 eine Vorgabe von
Frequenzanteilen mit ihren jeweiligen St"arken zu einem zeitabh"angigen Signal
zusammenzufassen. Letztere Operation leistet 
etwa  eine Orgel und  Erstere  unser Ohr, so da"s man fast Lust h"atte,
statt von Fouriertransformationen und ihren Inversen
von \glqq Orgeltransformationen\grqq\  und 
\glqq H"ortransformationen\grqq\  zu reden.
Mich verbl"ufft immer wieder, da"s diese Transformationen beide 
 durch dieselbe mathematische Formel beschrieben werden.
Aber genug geredet, her mit den Formeln!
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Gegeben eine in Bezug auf das Lebesguema"s \ref{Lee}  \hyperref[iIF]{integrierbare  Funktion} $f\in \cal{L}^{1}
(\Bbb{R}^n)$ erkl"art man ihre {\bf Fouriertransformierte} 
als die\index{Fouriertransformation!physikalisch standardisierte} 
  Funktion $f^\wedge  :\Bbb{R}^n \ra \Bbb{C}$,\label{FouD}  
die gegeben wird durch die Vorschrift
$$f^\wedge  ( y) \pdef  \int_{\Bbb{R}^n} f(x)
\op{e}^{-2\pi{\op{i}} x \cdot  y} \diff^n x$$
Hier bezeichnet 
$x \cdot  y \in \Bbb{R}$ das Standardskalarprodukt der Vektoren
$x, y \in \Bbb{R}^n$.
 Wenn ich auf der in diese Formeln eingearbeiteten Standardisierung
bestehen will, rede ich von der
{\bf physikalisch standardisierten Fouriertransformierten}.
 Wenn nichts anderes gesagt ist,
 ist im folgenden stets diese  Standardisierung 
 gemeint. Das Vorzeichen im Exponenten kommt her vom Vorzeichen 
aus unserer Formel f"ur die Koeffizienten 
der Fourierreihe  am Ende des Beweises 
von \eref{Fou2}{AN2} und verbessert die Vertr"aglichkeit beider
Formalismen. 
Offensichtlich liefert die Abbildungsvorschrift $f\mapsto f^\wedge$ eine
$\DC$-lineare Abbildung 
$$\cal F:\cal{L}^{1}(\Bbb{R}^n )\ra \op{Ens}(\Bbb{R}^n , \Bbb{C})$$
von zumindest im Fall $n\geq 1$ 
unendlichdimensionalen komplexen Vektorr"aumen, die
{\bf Fouriertransformation}
oder genauer {\bf Fouriertransformation auf 
integrierbaren Funktionen}. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Fouriertransformation von $\op{L}^1$-Funktionen}]
Nat"urlich kann man die Fouriertransformierte auch 
berechnen, wenn man eine integrierbare Funktion nur
fast "uberall kennt. Unsere  Fouriertransformation induziert 
also in Formeln eine lineare Abbildung\label{BSD} 
$$\cal F:\op{L}^{1}(\DR^n)\ra \op{Ens}(\Bbb{R}^n , \Bbb{C})$$
mit $\op{L}^{1}(\DR^n)$ dem Raum der fast "uberall definierten integrierbaren
Funktionen alias ${\op{L}}^1$-Funktionen aus \ref{DL1} und auch diese
Abbildung nennen
wir eine Fouriertransformation.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Standardisierungsfragen}]
  Es gibt andere g"angige Standardisierungen der Fouriertransformation.
F"ur das L"osen von Differentialgleichungen 
 besonders beliebt und praktisch ist die Variante
$$ f^\wedge(y)\pdef (2\pi)^{-n/2}\int_{\Bbb{R}^n} f(x)
\op{e}^{-{\op{i}} x \cdot  y} \diff^n x$$ Ich nenne sie die
{\bf mathematisch standardisierte 
  Fouriertransformation}.\index{Fouriertransformation!mathematisch
  standardisierte}  
In der Stochastik arbeitet man meist mit der Variante
$$f^\wedge(y)\pdef \int_{\Bbb{R}^n} f(x)
\op{e}^{{\op{i}} x \cdot  y} \diff^n x$$ Ich nenne sie die
   {\bf stochastisch standardisierte
   Fouriertransformation}\index{Fouriertransformation!stochastisch
     standardisierte} ohne implizieren zu wollen, da"s die
   Stochastik kein Teil der Mathematik sei.
Normalisierungsfragen werden wir
sp"ater noch ausf"uhrlicher besprechen. 
In jeder unserer Normalisierungen werden wieder
andere Formeln besonders einfach.
Ich ziehe die physikalische Standardisierung
 vor, weil sie am besten zu meiner Anschauung 
  pa"st. Wenn nichts anderes gesagt ist,
 ist im folgenden stets die \hyperref[FouD]{physikalische Standardisierung}  gemeint.
\end{Bemerkungl}







\begin{Beispiel}
Wir berechnen die Fouriertransformierte der 
Funktion
$f: \Bbb{R} \ra \Bbb{C}$, $x \mapsto \op{e}^{-|x|}$ und
erhalten
$$\begin{array}{ccl}
f^\wedge ( y) &=&  \int 
\op{e}^{-|x|} \op{e}^{-2\pi{\op{i}} x  y}
\diff x\\[2mm]
&=&  \int^{\infty}_{0} 
\op{e}^{-(2\pi{\op{i}} y+1)x} \diff x
+  \int^{0}_{-\infty} 
\op{e}^{-(2\pi{\op{i}} y -1)x} \diff x \\[2mm]
&=&  \left( \frac{1}{2\pi{\op{i}} y +1} -
\frac{1}{2\pi{\op{i}} y-1}\right) \\[2mm]
&=&  \frac{2}{4\pi^{2} y^{2}+1}
\end{array}$$
\end{Beispiel}



\begin{Satz}[\textbf{Formeln f"ur die Fouriertransformation}]
Gegeben  eine integrierbare Funktion $f \in \cal{L}^{1}(\Bbb{R}^n)$\label{EFou}
gilt:
\begin{enumerate}
\item\label{EFou1} 
Die Fouriertransformierte $f^\wedge $ von $f$ 
ist stetig und beschr"ankt und es gilt genauer $|f^\wedge(y)|\leq \|f\|_1$
f"ur alle $y\in\DR^n$;
\item\label{EFou2} 
F"ur $g(x) \pdef f(x) \op{e}^{2\pi{\op{i}}\al \cdot x}$ mit $\al \in \Bbb{R}^n$ haben wir
$g^\wedge ( y) = f^\wedge  ( y - \al)$;
\item\label{EFou3} 
F"ur $g(x) \pdef f(x - b ) \text{ mit }  b  \in \Bbb{R}^n$ haben wir
$g^\wedge  ( y) = f^\wedge ( y) \op{e}^{-2\pi{\op{i}}  b  \cdot  y}$;
\item\label{EFou4} 
F"ur $g(x) \pdef\overline{f(x)}$ haben wir $g^\wedge ( y) =
\overline{f^\wedge (- y)}$;
\item\label{EFou5} 
F"ur $g(x) \pdef f(c  x) \text{ mit } c  \in \Bbb{R}^{\times}$ haben wir
$g^\wedge ( y) = |c |^{-n} f^\wedge  ( y/c )$;
\item\label{EFou6} 
Ist f"ur ein $\nu$ mit $1\leq\nu\leq n$ 
die Funktion $g$ mit $g(x) \pdef x_\nu f(x)$ auch integrierbar, so ist $f^\wedge $
partiell differenzierbar nach der $\nu$-ten Variablen und es gilt 
$ g^\wedge  ( y) = -\frac{1}{2\pi{\op{i}}} \frac{\partial f^\wedge }{\partial  y_\nu}( y)$;
\item\label{EFou7} 
Ist f"ur ein $\nu$ mit $1 \leq \nu \leq n$ die Funktion $f$ stetig
partiell differenzierbar nach der $\nu$-ten Variablen und ist
$h(x)\pdef\frac{\partial f}{\partial x_{\nu}}(x)$ auch integrierbar, so gilt
$h^\wedge ( y) = 2\pi{\op{i}}
 y_{\nu}f^\wedge  ( y)$.
\end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungw} In \ref{FougN} zeigen wir 
zus"atzlich, da"s die 
Fouriertransformierte $f^\wedge $  einer
integrierbaren Funktion  $f$ f"ur $\|y\|\ra\infty$ stets gegen Null strebt.
\end{Bemerkungw}
\begin{proof}[Beweis]
Per definitionem ist die Fouriertransformierte von $f$ beschr"ankt 
durch $\|f\|_1$.
Nach der Charakterisierung der Stetigkeit
als Folgenstetigkeit aus 
\eref{FGW}{AN1} reicht es zum Nachweis der Stetigkeit (1), 
wenn wir f"ur jede konvergente Folge
$ y_r\ra  y$ zeigen, da"s gilt
$f^\wedge ( y_r)\ra f^\wedge ( y)$. Das folgt jedoch leicht aus dem Satz
"uber dominierte Konvergenz \ref{DoKo}.
Die Behauptungen (2) bis (5) ergeben sich durch
m"uhelose Rechnungen.
Um (6) zu zeigen, wenden wir unsere Erkenntnisse zum Differenzieren unter dem
Integral aus \ref{VIPA} an. Formal ist das allerdings etwas m"uhsam, 
da wir dort noch keine vektorwertigen Funktionen betrachtet hatten und hier
zumindest mit komplexwertigen Funktionen arbeiten m"ussen. 
Ich f"uhre deshalb den Beweis 
nochmal  in unserem Fall mit den entsprechenden Variationen aus.
Dazu
bezeichnen wir mit $\op{e}_{\nu} \in \Bbb{R}^{n}$ den
$\nu$-ten Einheitsvektor und rechnen
$$ \frac{f^\wedge ( y + t \op{e}_{\nu}) - f^\wedge ( y)}{t} =
 \int f(x)\op{e}^{-2\pi{\op{i}} x\cdot y}
\frac{\op{e}^{-2\pi{\op{i}}  t x_{\nu}}-1}{t}
\diff^n x$$
Jetzt beachten wir die Absch"atzung
 $|\op{e}^{{\op{i}} a}-1| \leq | a|$ f"ur $a\in\DR$. Der Integrand ist
damit  beschr"ankt durch die integrierbare
Funktion $|2\pi x_{\nu} f(x)|$. Nach dem Satz "uber dominierte
Konvergenz gilt also f"ur jede Folge $t_{r}$ aus $\DR^\times$ mit
$t_r\ra 0$ notwendig
$$\lim_{r \ra \infty} \frac{f^\wedge  ( y+ t_{r}
\op{e}_{\nu}) - f^\wedge  ( y )}{t_{r}} =  \int f(x) \op{e}^{-2\pi{\op{i}} x \cdot  y}
(-2\pi{\op{i}} x_{\nu}) \diff^n x = -2\pi{\op{i}} g^\wedge  ( y)$$
Die Behauptung folgt damit aus "Ubung \eref{GeFuU}{AN1}. 
Um (7) zu zeigen beginnen wir mit dem Fall $n=1$ und finden 
$$
f^{\prime\wedge} ( y) = \int f^{\prime} (x)
\op{e}^{-2\pi{\op{i}} x y} \diff x
 = \lim_{r \ra \infty} 
\int^{b_{r}}_{a_{r}} f^{\prime} (x)
 \op{e}^{-2\pi{\op{i}} x y} \diff x
 $$
f"ur beliebige Folgen $a_r$, $b_r$ mit $a_{r} \ra -\infty$ und $b_{r} \ra
\infty$. Mit einer partiellen Integration d"urfen wir das
umschreiben zu
$$ f^{\prime\wedge}( y) 
= \lim_{r \ra \infty} \left( f(x) \op{e}^{-2\pi{\op{i}} x y}
|^{b_{r}}_{a_{r}} - 
\int^{b_{r}}_{a_{r}} f(x) (-2\pi{\op{i}}  y)\op{e}^{-2\pi{\op{i}} x y}
\diff x\right)$$
Da $f$ integrierbar ist, k"onnen wir unsere Folgen $a_{r},b_{r}$
sogar so w"ahlen, da"s gilt
$\lim_{r\ra \infty} f(a_{r}) = \lim_{r\ra \infty} f(b_{r}) = 0$.
Auf diese Weise sehen wir 
$$f^{\prime\wedge} ( y)= 2\pi{\op{i}}  y f^\wedge ( y)$$
F"ur beliebiges $n$ folgt unsere Behauptung dann mit dem
Satz von Fubini.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl} Nach dem vorhergehenden faktorisiert die Fouriertransformation 
  "uber  eine wohlbestimmte Abbildung
  $$\cal{F}:{\op{L}}^1(\DR^n)\ra\cal{C}^{\op{b}}(\DR^n)$$
  vom Raum der $\op{L}^1$-Funktionen in den Raum der
  stetigen beschr"ankten Funktionen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}\label{KoDFn}
Bezeichnet $\cal{F}:\cal{L}^1(\DR^n)\ra\cal{C}^{\op{b}}(\DR^n)$ 
die Fouriertransformation
und $\tau_ a $ die Verschiebung wie in \ref{StVer},
also $(\tau_ a  f)(y)\pdef f(y- a )$,
so bedeuten die Formeln \ref{EFou2} und \ref{EFou3}
der Proposition \ref{EFou}  kommutative Diagramme 
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
\cal{L}^1(\DR^n)\ar[d]_-{\tau_{ b } } \ar[r]^-{\cal{F}} & \ar[d]^-{\op{e}^{-2\pi{\op{i}} b  \cdot y}}
\cal{C}^{\op{b}}(\DR^n)&&
\cal{L}^1(\DR^n) \ar[d]_-{\op{e}^{2\pi{\op{i}}a \cdot x}} \ar[r]^-{\cal{F}}&\ar[d]^-{\tau_{ a }}
\cal{C}^{\op{b}}(\DR^n)\\
\cal{L}^1(\DR^n) \ar[r]^{\cal{F}} & \cal{C}^{\op{b}}(\DR^n)&&
\cal{L}^1(\DR^n) \ar[r]^-{\cal{F}}& \cal{C}^{\op{b}}(\DR^n)
}
\end{displaymath}
Steht hier neben einem vertikalen Pfeil eine Funktion,
so ist die durch Multiplikation mit besagter Funktion
gegebene Abbildung  gemeint.
\end{Bemerkungl}




\begin{Definition}
Der {\bf Schwartzraum}\index{Schwartzraum} 
$\cal{S} = \cal{S} (\Bbb{R}^{n})$ ist der Raum aller
glatten Funktionen $ f: \Bbb{R}^{n} \ra \Bbb{C}$ derart, da"s
f"ur alle Multiindizes $\al,\beta \in
\DN^{n}$ die Funktion $x^{\al} \partial^{\beta} f$ beschr"ankt ist.
Hier verwenden wir die Multiindexschreibweise aus \eref{MuIn}{AN2}.
Im Fall einer Ver"anderlichen bedeutet unsere Forderung
also in Worten, da"s alle Ableitungen 
unserer Funktion 
multipliziert mit beliebigen Polynomfunktionen beschr"ankt bleiben. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Im Schwartzraum liegen insbesondere alle glatten Funktionen
mit kompaktem Tr"ager.\label{BSTT} 
Offensichtlich ist der Schwartzraum stabil unter Multiplikationen
mit beliebigen $x^{\al}$ und unter allen partiellen Ableitungen
$\partial^{\beta}$.
Offensichtlich sind alle Funktionen des Schwartzraums
integrierbar.   
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}\label{SR}
Die Funktion $x\mapsto \op{e}^{-x^2}$ liegt im Schwartzraum.
\end{Beispiel}
\begin{Lemma}
Die Fouriertransformation f"uhrt den Schwartzraum 
in sich selber "uber.\label{SchwS} 
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
F"ur eine Funktion
aus dem Schwartzraum
$f\in\cal{S}$ finden wir nach \ref{BSTT} und  Proposition \ref{EFou} 
induktiv, da"s $f^\wedge $ beliebig stetig partiell differenzierbar ist 
und da"s f"ur alle Multiindizes $\al,\beta$ gilt
$$(\partial^{\beta}x^{\al}f)^\wedge = (2\pi{\op{i}})^{|\beta|-|\al|}
  y^{\beta}\partial^{\al} f^\wedge $$
Die Fouriertransformierten 
integrierbarer Funktionen sind aber nach \ref{EFou}.\ref{EFou1}
stets be\-schr"ankt und damit
 geh"ort $f^\wedge $ auch zum Schwartzraum.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}\label{KoDF}
Bezeichne $\cal{F}:\cal{S}\ra\cal{S}$ die 
Fouriertransformation
auf dem Schwartzraum und bezeichne $\tau_ a $ 
die Verschiebung wie in \ref{StVer},
in Formeln gegeben durch $(\tau_ a  f)(x)=f(x- a )$. In diesen Notationen 
 liefert uns Proposition \ref{EFou} vier kommutative Diagramme
 \begin{displaymath}
 \xymatrix{
\cal{S} \ar[d]_-{\tau_{b}} \ar[r]^-{\cal{F}} & \cal{S}\ar[d]^-{\op{e}^{-2\pi{\op{i}} b  \cdot y}}
 &&&\cal{S}\ar[d]_-{\op{e}^{2\pi{\op{i}}a \cdot x}} \ar[r]^-{\cal{F}} & \cal{S}\ar[d]^-{\tau_{a}}\\
 \cal{S} \ar[r]^-{\cal{F}}  &\cal{S} &&&\cal{S} \ar[r]^-{\cal{F}}  &\cal{S} \\
  \cal{S} \ar[d]_-{x_{\nu}}\ar[r]^-{\cal{F}}  &\cal{S}\ar[d]^-{-\frac{1}{2\pi{\op{i}}}\frac{\partial}{\partial y_{\nu}}} 
  &&&\cal{S}\ar[d]_-{\frac{\partial}{\partial x_{\nu}}} \ar[r]^-{\cal{F}}  &\cal{S}\ar[d]^-{2\pi{\op{i}}
 y_{\nu}}\\
  \cal{S} \ar[r]^-{\cal{F}}  &\cal{S} &&&\cal{S} \ar[r]^-{\cal{F}}  &\cal{S} \\
  }
\end{displaymath}
Steht hier neben einem vertikalen Pfeil eine Funktion,
so ist  die durch Multiplikation mit besagter Funktion
gegebene Abbildung $\cal{S}\ra\cal{S}$ gemeint, im Fall
des vertikalen Pfeils links unten also
die Abbildung $f\mapsto x_\nu f$, wobei 
$x_\nu f$ die Funktion meint mit den Werten
$(x_\nu f)(x_1,\ldots, x_n)\pdef x_\nu f(x_1,\ldots, x_n)$.
Die Fouriertransformation 
verwandelt nach den unteren Diagrammen
 insbesondere partielles Ableiten in
die Multiplikation mit einer Koordinate. 
Eine beliebte Anwendung ist denn auch das L"osen von 
Differen\-tial\-gleichungen. Im weiteren Verlauf wird die Inversionsformel 
\ref{IvSR} zwei unserer vier Diagramme "uberfl"ussig machen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
H"atten wir hier statt mit unseren Konventionen mit
der mathematischen Standardisierung 
$(\mathcal F f)(y)\pdef (2\pi)^{-n/2}\int_{\Bbb{R}^n} f(x)
\op{e}^{-{\op{i}} x \cdot  y} \diff^n x$ gearbeitet, so w"urden sich obige Diagramme
dahingehend vereinfachen, da"s alle Faktoren $2\pi$ darin wegfallen. Der 
Vorfaktor $(2\pi)^{-n/2}$  bei der mathematischen
Standardisierung ist an dieser
Stelle noch  irrelevant.
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Grenzwertbegriff, Variante}] 
  Gegeben $f:X\ra Y$ und
  $g:X\ra Z$ Abbildungen von einer Menge $X$ in topologische R"aume $Y,Z$ 
  schreibt man\index{lim@$\lim_{g(x)\ra z}$}\label{NotGr} manchmal 
  $$\lim_{g(x)\ra z}f(x)=y$$
  als Abk"urzung f"ur die Aussage,
  da"s es f"ur jede Umgebung $U$ von $y$ eine Umgebung
  $U'$ von $z$ gibt mit $g(x)\in U'\backslash z\RA f(x)\in U$.
  Wir erlauben uns das nur, wenn $Y$ Hausdorff ist und
  $z$ ein H"aufungspunkt zu $g(X)$ in $Z$, weil nur dann solch ein
  Grenzwert auch eindeutig bestimmt ist, wenn er  existiert.
  Im Fall $g=\op{id}$ erhalten wir unseren "ublichen Grenzwertbegriff zur"uck.
\end{Bemerkungl}
  


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Werte von Fouriertransformierten fern vom Ursprung}]  
F"ur  integrierbare Funktionen 
$f\in\mathcal L^1(\DR^n)$ gilt\label{FougN}  
$$\lim_{\|y\| \ra \infty} f^\wedge  (y)
=0$$
mit der Notation \ref{NotGr}. F"ur $f \in \cal{C}^{\infty}_{!}$ 
folgt das bereits aus unserer Erkenntnis \ref{SchwS},
da"s die Fouriertransformation den Schwartzraum in sich selber
"uberf"uhrt. F"ur
beliebiges $f \in \mathcal{L}^{1}$ und beliebiges 
$\varepsilon >0$ finden wir nach
\ref{AL1} ein $g \in \cal{C}^{\infty}_{!}$ mit $\| f-g\|_{1} < \varepsilon$
und damit folgt dann sofort  
$|f^\wedge  (y) - g^\wedge (y)| < \varepsilon \; \forall
\; y$. 
So erhalten wir unsere Aussage f"ur beliebiges integrierbares $f$.
Anschaulich mag man das etwa im Fall $n=1$ 
wie folgt verstehen: Ist 
$|y|$ sehr gro"s, so
beschreibt $x\mapsto \op{e}^{-2\pi{\op{i}}x y}$ eine Funktion, die 
sehr schnell oszilliert. "Andert sich $f$ nicht ganz so schnell, so wird
sich beim Integrieren von $f(x)\op{e}^{-2\pi{\op{i}}x y}$ sehr viel wegheben, so da"s
das Integral sehr klein wird.
\end{Bemerkungl}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}[\textbf{Fouriertransformierte der Glockenkurve}]
Die Gau"s'sche Glockenkurve ist unter der mathematisch standardisierten 
 Fouriertransformation \ref{BSD} ihre eigene 
Fouriertransformierte, in Formeln
gilt
f"ur die Funktion\label{RG} $g(x) = \op{e}^{-x^{2}/2}$ 
also $ g^\wedge  ( y) =
\op{e}^{- y^{2}/2}$.
Hinweis: 
 $g$ erf"ullt die Differentialgleichung $g^{\prime}(x)=
-x g(x)$. Auch ohne den Eindeutigkeitssatz "uber L"osungen von 
Differentialgleichungen zu bem"uhen, kann man durch 
Ableiten von $f(x)/(\op{e}^{-x^{2}/2})$ zeigen, da"s diese
Differentialgleichung bis auf konstante Faktoren keine anderen
L"osungen $f$ hat. Jetzt zeige man, da"s $\hat g\pdef g^\wedge$ dieselbe
 Differentialgleichung l"ost. So folgt $g=c \hat g$.
Die Konstante $c$ schlie"slich ergibt sich aus \ref{FGG}.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
Gegeben integrierbare Funktionen $f_1,\ldots,f_n$ einer 
reellen Ver\-"an\-der\-li\-chen ist die 
Fouriertransformierte von $f(x)=f_1(x_1)\ldots f_n(x_n)$ das Produkt
$f^\wedge(y)=f_1^\wedge(y_1)\ldots f_n^\wedge(y_n)$.\label{Goi}  
Das gilt  f"ur alle drei Standardisierungen.
Speziell 
ist die Funktion $g(x)=\op{e}^{-x\cdot x/2}$ auf $\DR^n$ 
f"ur die mathematische Standardisierung ihre eigene 
Fouriertransformierte $\hat g=g$. Verallgemeinerungen findet
man in \ref{ProFo}.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Fouriertransformierte einer Rechtecksfunktion}] 
 Man berechne die
Fouriertransformierte der Recht\-ecksfunk\-tion 
$f$,
die gegeben wird durch die Vorschrift\label{Hakk} 
$f(x)=1$ f"ur $|x|\leq 1/2$ und Null sonst, und zeige 
$f^\wedge(y)=(\op{sin}\pi y)/\pi y$. 
Man berechne auch die Fouriertransformierten
der Produkte $f(x)\op{sin}(\alpha x)$ f"ur $\alpha\in\DR$
und diskutiere den Zusammenhang 
mit dem H"oren von Akkorden.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
  Die Fouriertransformierte $f^\wedge$ einer  Funktion
  $f\in{\op{L}}^1(\DR)$ ist genau dann reellwertig, wenn
  gilt $f(-x)=\overline{f(x)}$ f"ur fast alle $x\in \DR$.\label{ftRE} 
\end{Ubung}





\begin{Ubunge}
Wir betrachten in dieser "Ubung der Einfachkeit halber nur 
Funktionen auf der reellen Zahlengeraden.\label{CoSi} 
Man zeige: Die Fouriertransformierte einer geraden Funktion ist gerade;
 die Fouriertransformierte einer ungeraden Funktion ist ungerade.
Die Fouriertransformierte einer geraden reellwertigen Funktion ist
reellwertig; die Fouriertransformierte einer ungeraden reellwertigen Funktion
nimmt nur rein imagin"are Werte an. Schreiben wir eine integrierbare Funktion
$f$ als Summe  $f=g+u$ ihres geraden und ihres ungeraden Anteils, 
so gilt $g^{\wedge}(y)=(2\pi)^{-1/2}\int f(x)\cos (xy)\diff x$ und
${\op{i}}u^{\wedge}(y)=(2\pi)^{-1/2}\int f(x)\sin (xy)\diff x$
f"ur die mathematische Fouriertransformation. Diese
beiden Integrale, aufgefa"st als Funktionen von $y$, sind auch bekannt als die 
{\bf Cosinustransformation} und die\index{Cosinustransformation}  
{\bf Sinustransformation} von $f$.\index{Sinustransformation} 
Sie haben den Vorteil, 
reelle Funktionen wieder zu reellen Funktionen zu machen. Ihre 
diskreten Analoga sind von gro"ser technischer Bedeutung.
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}
  Man zeige f"ur $\alpha\in\DC$ mit $\op{Im}(\alpha)<0$, da"s die Funktion
  $g$ gegeben durch $g(x)=-2\pi{\op{i}}\op{e}^{-2\pi{\op{i}} x\alpha}$ f"ur $x>0$
  und $g(x)=0$ f"ur $x\leq 0$ die Fouriertransformierte
  $g^\wedge(y)=-1/(y+\alpha)$ hat.\label{ftpb} 
\end{Ubung}

\subsection{Fouriertransformation ohne Koordinaten}
\begin{Bemerkungl}
Um die Beziehung zwischen Fouriertransformationen
und Fourierreihen herauszuarbeiten, 
um die verschiedenen  Standardisierungen 
zu vereinheitlichen
 und  um der wahren Natur unserer
 Konstruktionen n"aher zu kommen, diskutiere ich nun
 einen  allgemeineren Formalismus.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{ArMa}
Sei $(X,\cal{M})$ ein Me"sraum.
Ein nichtnegatives Ma"s auf $X$ im Sinne von \ref{DeMas} hei"st 
{\bf endlich},\index{endlich!Ma"s}\index{Ma"s!endliches} 
 wenn es den Wert $\infty$ nicht annimmt.
Ein {\bf komplexes Ma"s\index{komplex!Ma"s}\index{Ma"s!komplexes} 
auf $X$} ist eine Abbildung
$\mu : \cal{M} \ra \Bbb{C}$,
die sich schreiben l"a"st als eine endliche Linearkombination mit komplexen
Koeffizienten von endlichen nichtnegativen Ma"sen $\cal{M} \ra [0,\infty )$.
Ein komplexes Ma"s, das nur reelle Werte annimmt, hei"st ein
{\bf reelles Ma"s}.\index{reell!Ma"s}\index{Ma"s!reelles} 
Wir verwenden f"ur die R"aume aller
komplexen, 
reellen, endlichen nichtnegativen
und beliebigen nichtnegativen Ma"se auf einem vorgegebenen 
Me"sraum $X=(X,\mathcal M)$ die Bezeichnungen
$$
\op{M}(X)\;\supset \;\op{M}(X;\DR)\;\supset\; \op{M}(X; [0,\infty))
\;\subset\; \op{M}(X; [0,\infty])
\index{M@$\op{M}(X)$ komplexe Ma"se auf $X$}
\index{M@$\op{M}(X;\DR)$ reelle Ma"se}
\index{M@$\op{M}(X; [0,\infty))$ endliche  Ma"se}
\index{M@$\op{M}(X; [0,\infty])$ Ma"se}
$$
Manchmal schreiben wir statt $\op{M}(X)$ 
auch ausf"uhrlicher $\op{Ma"s}(X)$ und
erweitern unsere anderen Notationen entsprechend.
Mehr zu komplexen Ma"sen diskutieren wir 
in den "Ubungen.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl} Eine {\bf reelle Form} eines $\DC$-Vektorraums $V$ ist
  ein $\DR$-Untervektorraum $V_\DR$ derart, da"s die Abbildung
  $(v,w)\mapsto v+{\op{i}}w$ eine Bijektion $V_\DR\times V_\DR\sira V$ induziert.
  Zum Beispiel sind unsere R"aume integrierbarer reeller Funktionen
  stets reelle Formen der entsprechenden R"aume integrierbarer
  komplexer Funktionen. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Komplexe Fortsetzung multilinearer Abbildungen}]
  Gegeben $\DC$-Vek\-tor\-r"au\-me $V_1,\ldots,V_r,W$ und reelle Formen
  $V_{\rho,\DR}\subset V_\rho$ besitzt jede $\DR$-multilineare Abbildung
  $V_{1,\DR}\times \ldots\times V_{r,\DR}\ra W$ genau eine Fortsetzung zu einer
  $\DC$-multilinearen Abbildung
  $V_{1}\times \ldots\times V_{r}\ra W$. Das scheint mir offensichtlich.
  Es wird im folgenden oft implizit verwendet.\label{KFoM}  
\end{Bemerkungl}
 


\begin{Beispiel}[\textbf{Integration "uber komplexe Ma"se}]
  Gegeben ein Me"sraum $X$ betrachten wir
  die Mengen $$\op{Me"s}^{\op{b}}(X,\DC)\supset \op{Me"s}^{\op{b}}(X,\DR)\supset \op{Me"s}^{\op{b}}(X,[0,\infty))$$
    der betragsm"a"sig beschr"ankten me"sbaren komplexwertigen Funktionen mit
    ihrer reellen Form der\label{FoMa}   
   entsprechenden  reellwertigen Funktionen und dem
   erzeugenden Konvexkegel der  entsprechenden
   nichtnegativen Funktionen. Nach \ref{FosT} und
    \ref{KFoM} l"a"st sich die in beiden Variablen positivlineare Abbildung
    $\op{Me"s}^{\op{b}}(X,[0,\infty))\times {\op{M}}(X;[0,\infty))\ra \DR$
        gegeben durch $(f,\mu)\mapsto \int f\mu$ auf genau eine Weise
        zu einer $\DC$-bilinearen Abbildung $$\op{Me"s}^{\op{b}}(X,\DC)\times {\op{M}}(X)\ra \DC$$ fortsetzen. Die so definierte bilineare Abbildung
        nennen wir wieder das {\bf Integral}, genauer das \glqq
        Integral komplexer beschr"ankter me"sbarer
        Funktionen "uber komplexe Ma"se\grqq\
        und notieren es 
$$\int f\mu=\int_X f(x)\mu\langle x\rangle$$
\end{Beispiel}










\begin{Bemerkungl}
Gegeben ein   Ma"sraum $(X,\lambda)$ und 
$f\in {\op{L}}^1(X;\lambda)$  erhalten wir offensichtlich 
ein komplexes Ma"s $f\lambda$ auf $X$ durch die Vorschrift
$(f\lambda)(A)\pdef \int_A f(x)\lambda\langle x\rangle$.
\end{Bemerkungl}
% \begin{Bemerkungw}
% Gegeben ein    Me"sraum $(X,\cal{M})$
% kann man  zeigen,
% da"s  eine Abbildung $\mu:\cal{M}\ra \DC$ 
% genau dann
% ein komplexes Ma"s ist, wenn sie komplex $\sigma$-additiv ist  
% in dem Sinne, da"s
%     f"ur jede abz"ahlbare Familie $(A_{n})_{n\in N}$ von paarweise disjunkten
%     me"sbaren Mengen die Gleichheit
%     $$\mu \left(\bigcup_{n\in N}A_n\right)= \sum_{n\in N} \mu (A_{n})$$
%     gilt.
%     Die Summe ist hier zu verstehen im Sinne von \eref{ABSB}{AN1} oder 
% gleichbedeutend 
% im Sinne
% absoluter Konvergenz.
% Wir ben"otigen diese zugegebenerma"sen elegantere Charakterisierung 
% komplexer Ma"se erst sp"ater
% bei der Diskussion von Spektralma"sen und werden deshalb den Beweis erst dort
% in \ref{HaZe} geben.
% \end{Bemerkungw}


\begin{Definition}
  Gegeben abelsche Gruppen $A,B,C$ nennen wir eine
  Abbildung $p:A\times B\ra C$ einen  {\bf Bimorphismus},\index{Bimorphismus}
  wenn gilt $p(a+a',b)=p(a,b)+p(a',b)$ und $ p(a,b+b')=p(a,b)+p(a,b')$ f"ur alle $ a,a'\in A$ und $b,b'\in B$.\label{Bimor} 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl} In der  Notation sind wir hier von
  additiv notierten Gruppen ausgegangen. In diesem Zusammenhang nenne
  ich einen Bimorphismus auch  eine
  {\bf biadditive Abbildung}.\index{biadditiv} Alternativ sagt man in diesem
  Kontext auch oft \glqq$\DZ$-bilinear\grqq. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Topologie der Charaktergruppe}]
  Gegeben eine Fouriergruppe $G$
  und $K\subset G$ kompakt und $U\co \DC$ offen setzen wir
  $$\mathcal O(K,U)\pdef\{\chi\in \hat G\mid \chi(K)\subset U\}$$
  und 
  versehen die
  Charaktergruppe $\hat G$ mit der Topologie, die 
  von all diesen Teilmengen $\mathcal O(K,U)$ erzeugt wird.
  Sie hei"st die {\bf kompakt-offene Topologie} oder auch die
  \glqq Topologie der gleichm"a"sigen Konvergenz auf Kompakta\grqq.
  Offensichtlich macht diese Topologie $\hat G$ zu einem Hausdorffraum. \end{Bemerkungl}


\begin{Definition}
Unter einer {\bf Charakterpaarung}\index{Charakterpaarung!von Fouriergruppen} 
von  Fouriergruppen $G,H$ verstehen wir einen stetigen Bimorphismus 
 $s: G\times H\ra S^1$ 
in die Kreisgruppe, der 
 sowohl einen Hom"oomorphismus\label{exPA} 
$G\sira \hat H$, $g\mapsto s( g,\;)$  als auch einen Hom"oomorphismus $H\sira \hat G$, $h\mapsto s( \;,h)$
induziert.
Wir  notieren  Charakterpaarungen meist in der Form 
$s:(g,h)\mapsto \llangle g,h\rrangle= \llangle g,h\rrangle_s$. 
Unter der {\bf dualen Charakterpaarung zu $s$}\index{Charakterpaarung!duale} 
verstehen wir  die Charakterpaarung $\bar s:H\times G\ra S^1$ gegeben durch
$$\llangle h,g\rrangle_{\bar s}\pdef\llangle g,h\rrangle_s^{-1}$$
\end{Definition}




\begin{Bemerkungw}
 Sie m"ogen als "Ubung \ref{AuCP} zeigen, da"s f"ur jede Fouriergruppe $G$ 
 auch $\hat G$ eine Fouriergruppe ist und
 das Auswerten $a=a_G:G\times \hat G\ra S^1$ gegeben durch
 $(g,\chi)\mapsto \llangle g,\chi\rrangle\pdef \chi(g)$
 eine Charakterpaarung. Dasselbe gilt f"ur die duale Paarung
 $$\llangle \chi,g\rrangle\pdef \overline{\llangle g,\chi\rrangle}$$
  Ich vermeide im folgenden die Notation
  $\chi(g)$, da  ich weniger durcheinanderkomme, wenn eine
  "Anderung der Reihenfolge
 dieser Symbole standardm"a"sig eine komplexe Konjugation bedeutet.
\end{Bemerkungw}
\begin{Beispiele} 
 Charakterpaarungen von Fouriergruppen 
sind etwa die Abbildungen\label{BsCH} 
$$\begin{array}{ccrl} \DZ\times S^1&\ra &S^1,& (n,z)\mapsto z^n\\[2mm]
\DR\times \DR&\ra &S^1, &(x,y)\mapsto {\op{e}}^{{\op{i}}xy}\\[2mm]
\DR_{>0}\times \DR&\ra &S^1, &(a,y)\mapsto {a}^{{\op{i}}y}\\[2mm]
\DR^n\times \DR^n&\ra &S^1, &(x,y)\mapsto {\op{e}}^{{\op{i}}x\cdot y}\\[2mm]
 %\vec{\mathbb T}^\ast\times \vec{\mathbb T}&\ra &S^1, &(\nu ,t )\mapsto {\op{e}}^{2\pi{\op{i}}\nu t}\\[2mm]
 V^\ast\times V&\ra &S^1, &(\phi,v)\mapsto {\op{e}}^{{\op{i}}\phi(v)}\\[2mm]
\DZ/m\DZ\times \DZ/m\DZ &\ra& S^1,&  (a,b)\mapsto  \op{e}^{2\pi{\op{i}}ab/m}
\end{array}$$
Hier bezeichnet
$V$ einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum   mit Dualraum $V^\ast$.
Besonders anschaulich ist der Fall $V=\vec{\mathbb T}$
des Raums der Zeitspannen mit Dualraum  $V^*=\vec{\mathbb T}^*$ dem
Raum der Frequenzen.
Etwas allgemeiner ist  auch $\DR\times \DR\ra S^1, (x,y)\mapsto {\op{e}}^{{\op{i}}cxy}$
f"ur beliebiges $c\in\DR^\times$ eine  Charakterpaarung. 
\end{Beispiele}



\begin{Definition}[{\bf Fouriertransformation zu einer Charakterpaarung}] 
Gegeben eine  Charakterpaarung von  Fouriergruppen $s:G\times H\ra S^1$ 
und ein Ma"s $\mu\in {\op{M}}(G)$ erkl"aren wir seine 
{\bf Fouriertransformierte} $\mu^\wedge:H\ra \DC$ als die Funktion, die bei 
$h\in H$ den Wert\label{AFT}  
 $$\mu^\wedge(h)\pdef \int_G \llangle g,h\rrangle_s \mu\langle g\rangle$$
annimmt. Wir erkl"aren die
  zu unserer Charakterpaarung $s$ geh"orige
{\bf  Fouriertransformation}\index{Fouriertransformation!zu Charakterpaarung}  
als die durch $\mathcal F_s:\mu\mapsto\mu^\wedge$ gegebene lineare Abbildung 
$$\mathcal F=\mathcal F_s:{\op{M}}(G)\ra \op{Ens}(H,\DC)$$
vom Raum der komplexen Ma"se auf $G$ in den Raum der 
komplexwertigen Funktionen 
auf $H$.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}[{\bf Eigenschaften der Fouriertransformierten
      von Ma"sen}]Gegeben eine Charakterpaarung von Fouriergruppen $s:G\times H\ra S^1$
 ist die Fouriertransformierte  
$\mu^\wedge$ eines komplexen Ma"ses notwendig
stetig und beschr"ankt. Es reicht, das f"ur endliche nichtnegative Ma"se
$\mu$ zu zeigen. F"ur diese folgt die Folgenstetigkeit 
von $\mu^\wedge$ aus dem  Satz "uber dominierte Konvergenz und 
die Beschr"anktheit ergibt sich aus der Schranke\label{EiFM}  
$$|\mu^\wedge(h)|=\left|\int_G \llangle g,h\rrangle \mu\langle g\rangle\right|
\leq \int_G |\llangle g,h\rrangle| \mu\langle g\rangle
=\int_G 1 \mu\langle g\rangle=\mu(G)$$
Unsere Fouriertransformation zur Charakterpaarung $s:G\times H\ra S^1$ ist mithin
eine Abbildung $$\mathcal F=\mathcal F_s:{\op{M}}(G)\ra \mathcal C^{\op{b}}(H)$$
\end{Bemerkungl}



\begin{Beispiel}[\textbf{Fouriertransformierte von Diracma"sen}] 
  Gegeben eine Charakterpaarung $s:G\times H\ra S^1$  wirft die zugeh"orige  Fouriertransformation  f"ur alle $g\in G$ das Diracma"s $\delta_g\in {\op{M}}(G)$  auf den
  zugeh"origen Charakter, in Formeln
  $$\big(\mathcal F_s(\delta_g)\big)(h)= \llangle g,h\rrangle_s\quad\forall h\in H$$
\end{Beispiel}



\begin{Beispiel}[\textbf{Orgeltransformation}]
Die Fouriertransformation 
 \begin{displaymath}
  \op{M}(\vec{\mathbb T}^\ast)\ra 
 \mathcal C^{\op{b}} (\vec{\mathbb T}) 
 \end{displaymath}
 ordnet salopp gesprochen jeder Wahl von Tasten einer Orgel,
 aufgefa"st als Linearkombination von Diracma"sen zu verschiedenen
 Frequenzen, diejenige Funktion auf der Zeitachse zu, die den Luftdruck
 als Funktion der Zeit angibt, der beim Anschlagen unseres Akkordes entsteht.
 Noch genauer w"urde diese Anschauung von der Abbildung
  \begin{displaymath}
  \op{M}(\vec{\mathbb T}^\ast_{>0})\ra 
\mathcal C^{\op{b}}_\DR( \vec{\mathbb T}) 
  \end{displaymath}
  modelliert, die durch $\mu\mapsto (\bar{\mu} +\iota_*\mu)^\wedge$ gegeben wird
  mit $\bar{\mu}$ dem komplex konjugierten Ma"s und $\iota:\nu\mapsto -\nu$
  dem Negativieren, vergleiche \ref{ftRE}. 
  Der komplexe Vorfaktor beim Diracma"s zu einer Taste kodiert dabei
  die Lautst"arke
  und \glqq Phase\grqq\ der entsprechenden Schwingung.  Die Taste zur Frequenz Null haben wir weggelassen, sie w"urde salopp gesprochen\label{SiFF} 
  den \glqq durchschnittlichen Luftdruck in der Kirche einstellen\grqq.
Die Fouriertheorie
 ist der Ausgangspunkt eines Teilgebiets der Mathematik, das 
man als \defind{Harmonische Analysis} bezeichnet.
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{H"ortransformation}]  
Wenn wir den durch unsere Orgel erzeugten Luftdruck als  Funktion der Zeit  
auf ein im Vergleich zum Inversen der Frequenz jedes einzelnen Tons  
gro"ses Zeitintervall einschr"anken, durch Null ausdehnen,
und dann die Fouriertransformation zur dualen Charakterpaarung anwenden, 
so erhalten wir wieder eine Funktion auf dem
Raum aller m"oglichen Tonh"ohen alias Frequenzen, die in der N"ahe der angeschlagenen 
Tonh"ohen sehr gro"se Werte annimmt und sonst nur sehr kleine Werte,
vergleiche \ref{Hakk}.
In diesem Sinne ist  sowohl das Verwandeln eines durch die
beteiligten Frequenzen bestimmten Akkordes in eine Funktion der Zeit  
als auch das Aufl"osen dieser Funktion der Zeit in
einzelne T"one  eine Fouriertransformation. Diese Transformationen
sind sogar 
zueinander invers in dem Sinne, in dem es die \glqq Inversionsformel\grqq\
\ref{IVFO}  pr"azisieren wird.
\end{Bemerkungl}





\begin{Beispiel}[\textbf{Physikalische Standardisierung}]
Betrachtet man 
 die  Charakterpaarung $p:\DR^n\times \DR^n\ra S^1$ gegeben durch
 $p: (x,y)\mapsto  {\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}x\cdot y}$  und die durch
$f\mapsto f(x)\diff^n x$  gegebene Einbettung
$ {\op{L}}^1(\DR^n)\hra \op{M}(\DR^n)$, so ist 
die Verkn"upfung 
 \begin{displaymath}
 \xymatrix{
{\op{L}}^1(\DR^n) \ar[r]^-{\diff^n x} & \op{M}(\DR^n)\ar[r]^-{\mathcal F_p}
 &\mathcal C^{\op{b}}({\DR}^n)}
\end{displaymath}
der abstrakten Fouriertransformation zur Charakterpaarung $p$ 
mit der Einbettung  des Raums der integrierbaren Funktionen
in den Raum der komplexen Ma"se unsere
  physikalisch standardisierte
Fouriertransformation aus \ref{FouD}.
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Mathematische Standardisierung}]
Betrachtet man 
 die Charakterpaarung $s:\DR^n\times \DR^n\ra S^1$ gegeben durch
 $s: (x,y)\mapsto  {\op{e}}^{-\op{i}x\cdot y}$  und die durch
$f\mapsto (2\pi)^{-n/2}f(x)\diff^n x$  gegebene Einbettung
$ {\op{L}}^1(\DR^n)\hra \op{M}(\DR^n)$, so ist 
die Ver\-kn"up\-fung 
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
{\op{L}}^1(\DR^n) \ar[rr]^-{ (2\pi)^{-n/2}\diff^n x}& & \op{M}(\DR^n)\ar[r]^-{\mathcal F_s}
 &\mathcal C^{\op{b}}({\DR}^n) }
\end{displaymath}
der abstrakten Fouriertransformation zur Charakterpaarung $s$ 
mit einer entsprechend reskalierten\label{MsFt} 
Einbettung  des Raums der integrierbaren Funktionen
in den Raum der komplexen Ma"se unsere mathematisch standardisierte
Fouriertransformation aus \ref{BSD}.
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Entwicklung in  eine Fourierreihe}]
Betrachtet man 
 die  Charakterpaarung $p:S^1\times\DZ \ra S^1$ gegeben durch
 $ p:(z,n)\mapsto  {z}^{-n}$, so k"onnen wir die
Abbildung, die jeder integrierbaren periodischen Funktion 
mit der Periode $2\pi$ ihre
Fourierkoeffizienten zuordnet, schreiben als die Komposition
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
{\op{L}}^1([0,2\pi)) \ar[r]^-{\diff t/2\pi}&  {\op{M}}([0,2\pi))
\ar[r]^-{u_\ast}& \op{M}(S^1)\ar[r]^-{\mathcal F_p}
 &\mathcal C^{\op{b}}(\DZ) }
\end{displaymath}
der abstrakten Fouriertransformation zur Charakterpaarung $p$ mit einer entsprechend reskalierten
Einbettung  des Raums der integrierbaren Funktionen
in den Raum der komplexen Ma"se gefolgt vom Bilden des 
Bildma"ses unter der Einschr"ankung der Um\-lauf\-ab\-bil\-dung   
$u:[0,2\pi)\sira S^1$ gegeben durch $t\mapsto {\op{e}}^{{\op{i}}t}$. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Aufsummieren einer Fourierreihe}]
Das Aufsummieren  einer
Fourierreihe ist die Komposition 
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
{\op{L}}^1(\DZ;\zeta) \ar[r]^-{\zeta}&  {\op{M}}(\DZ)
\ar[r]^-{\mathcal F_{\bar p}}& \mathcal C^{\op{b}}(S^1)\ar[r]^-{\circ u}
 &\mathcal C^{\op{b}}(\DR) }
\end{displaymath}
der Multiplikation einer 
absolut summierbaren Familie mit dem Z"ahlma"s $\zeta$ gefolgt von der
abstrakten Fouriertransformation zu der zur Charakterpaarung $p$ aus dem vorhergehenden Beispiel
dualen Charakterpaarung  $\bar p$ 
gefolgt vom Vorschalten der Umlaufabbildung $u:\DR\ra  S^1$. 
\end{Beispiel}



\begin{Beispiel}[\textbf{Diskrete  Fouriertransformation}]
  Unsere diskrete  Fouriertransformation
aus \ref{hbch} 
  kann  geschrieben werden 
 als abstrakte Fouriertransformation  zur Charakterpaarung 
$s:\DZ/m\DZ\times \DZ/m\DZ \ra S^1$ mit der Abbildungsvorschrift
 $ (a,b)\mapsto  \op{e}^{2\pi{\op{i}}ab/m}$,
genauer  als die Komposition 
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
{\op{L}}^2(\DZ/m\DZ;\zeta/m) \ar[r]^-{\zeta/m}&  {\op{M}}(\DZ/m\DZ)
\ar[r]^-{\mathcal F_{s}}& \mathcal C^{\op{b}}(\DZ/m\DZ)\ar@{=}[r]
 &{\op{L}}^2(\DZ/m\DZ;\zeta) }
\end{displaymath}
\end{Beispiel}






\begin{Bemerkungl}
Die Frage nach einer Verallgemeinerung des Schwartzraums 
in dieser Allgemeinheit stellen wir zur"uck bis \ref{SrFg} und entwickeln im n"achsten
Abschnitt erst einmal die konkrete 
Theorie weiter. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungw} Ich schlage  vor, die
  Fouriergruppen als Objekte einer Schmelzkategorie
  $\op{Fou}$ im Sinne von \eref{Multik}{TSK} zu betrachten, mit
  analog zu unseren Bimorphismen aus \ref{Bimor} erkl"arten Verschmelzungen.
  Insbesondere sind Leerverschmelzungen nach $G$ Elemente von $G$
  und $1\in\DZ$ ist eine stabil universelle Leerverschmelzung.
  Diese Schmelzkategorie besitzt nach  \ref{SFiH} internes Hom,
  aber der Auswertungsmorphismus $G\ra ((G{\Rrightarrow}\DZ){\Rrightarrow}\DZ)$
  ist im allgemeinen kein Isomorphismus.
  Dahingegen ist  der Auswertungsmorphismus nach \ref{PDFou} stets
  ein Isomorphismus
  $$G\sira ((G{\Rrightarrow}S^1){\Rrightarrow}S^1)$$
  Ich schlage nun vor, 
  die Superisierung $\op{sFou}$ von $\op{Fou}$ nach \eref{MudSS}{TSK} zu betrachten und
  die Wertegruppe $S^1$ der Charaktere
  als Objekt von geradem Grad zu verstehen, also $S^1=(S^1)^{\bar 0}$, 
  unsere Fouriergruppen $G$ dahingegen a priori als Objekte
  von ungeradem Grad $G=G^{\bar 1}$.
  Ein Paar von zueinander dualen Charakterpaarungen ist in dieser
  Sprache  eine Verschmelzung
  $G\curlyvee H\ra S^1$ in $\op{sFou}$,
  die Isomorphismen $G\sira (H{\Rrightarrow}S^1)$ und
  $H\sira (G{\Rrightarrow}S^1)$ induziert.
  Ich erinnere daran, da"s so eine Verschmelzung eine Vorschrift ist, die jeder
  Anordnung der verschmolzenen Objekte eine Verschmelzung
  in $\op{Fou}$ zuordnet derart, da"s eine "Anderung der
  Anordnung nach gewissen festen Regeln dasselbe Resultat oder
  das inverse Resultat liefert. 
  Die im weiteren bessere
  Wahl
  des Isomorphismus $G\sira \mathfrak X(\mathfrak X(G))$ ergibt
  sich dann\label{sFou} nach 
  \eref{VZhet}{TSK}, indem man dem offensichtlichen Isomorphismus $G\sira \mathfrak X(\mathfrak X(G))$
   das Invertieren nachschaltet. 
\end{Bemerkungw}

\nichtfinal{Ich denke, $\DZ\hra \DR\ra S^1$ ist eine injektive Aufl"osung
  in der Kategorie der Fouriergruppen, aber auch das derivierte Bidual von
  $S^1$ liefert nicht $S^1$. Da mu"s ich mal gucken, wie das bei Scholze geht!} 

\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Ubung}
Die  Charaktergruppe  $\hat V$ eines 
endlichdimensionalen reellen
Vektorraums $V$ wird selbst ein reeller Vektorraum, indem man 
f"ur  jeden Charakter $\chi$ und jeden Skalar $\alpha\in \DR$ 
den Charakter
 $\alpha \chi$ erkl"art 
durch die Vorschrift $$\llangle v,\alpha \chi\rrangle \pdef \llangle \alpha v, \chi\rrangle$$
Ich nenne die Charaktergruppe in diesem Fall auch den {\bf Charakterraum}.\index{Charakterraum} 
Der Charakterraum hat\label{ChRR}  
dieselbe Dimension wie der urspr"ungliche Raum.
Jede lineare Abbildung
$L:V\ra W$ von endlichdimensionalen reellen Vektorr"aumen liefert 
 durch
Vorschalten eine lineare Abbildung 
$\hat{L}:\hat{W}\ra \hat{V}$ in die
Gegenrichtung  auf den Charakterr"aumen.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Charakterraum und Dualraum}]  
Gegeben ein  endlichdimensionaler\label{ChR} reeller Vektorraum $V$ 
liefert das Nachschalten der Exponentialabbildung 
einen Isomorphismus von reellen Vektorr"aumen
$$
\begin{array}{ccc}
\op{Hom}_\DR(V,\op{i}\DR)&\sira &\hat{V}\\
\phi&\mapsto&\op{exp}\circ \phi
\end{array}
$$  
Dessen Inverse  kann durch
die Formel  $\chi\mapsto\diff_0\chi$ beschrieben werden, 
wobei man
$\chi\in \hat V$ als Abbildung $\chi:V\ra\DC$ auffa"st und 
beachtet, da"s deren Differential im Ursprung $\diff_0\chi: V\ra\DC$ 
nur rein imagin"are Werte annehmen kann. 
\end{Ubung}
\begin{Bemerkungl}\label{DCMaaa}
Gegeben ein komplexes Ma"s $\mu$ auf einem Me"sraum $(X,\cal{M})$
erkl"art man ein nichtnegatives reelles Ma"s $|\mu|$, 
seine \defnoind{Variation},\index{Variation!eines Ma"ses}
durch die Vorschrift
$$|\mu|(A)=\sup\sum |\mu(A_\nu)|$$
mit dem Supremum "uber alle 
Zerlegungen $A=\coprod A_\nu$ von $A$ in eine disjunkte
Vereinigung einer abz"ahlbaren Familie von me"sbaren Teilmengen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Ubung}
Man zeige f"ur die  Fouriertransformation zu einer Charakterpaarung 
$G\times H\ra S^1$ additiv notierter Fouriergruppen
$(G,+),(H,+)$ und $a,g\in G$ sowie $b,h\in H$ die Verallgemeinerungen $$((a+)_\ast\mu)^\wedge(h)=
\llangle a,h\rrangle\mu^\wedge(h)\quad\text{und}\quad  
(\llangle g,b\rrangle\mu)^\wedge(h)=
\mu^\wedge(b+h)$$ unserer Formeln \ref{EFou}.\ref{EFou2} und
\ref{EFou}.\ref{EFou3}.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
Man zeige f"ur die  stochastische
Fouriertransformierte eines Ma"ses $\mu\in\op{M}(\DR)$,
da"s unter der Voraussetzung, da"s $x$ integrierbar 
ist nach $\mu$,\label{BMIn}  
die Fouriertransformierte differenzierbar ist 
mit der Ableitung $(\mu^\wedge)'(y)={\op{i}}(x\mu)^\wedge$.
\end{Ubung}


\begin{Ubung} Man zeige: Gegeben Fouriergruppen $G,H$ ist
  die in \ref{CvP} angegebene Bijektion 
  ein Hom"oomorphismus $\mathfrak X(G\times H)\sira \mathfrak X(G)\times \mathfrak X(H)$. Zusammen mit den Beispielen \ref{BsCH} f"ur Charakterpaarungen
  zeigt das,  da"s f"ur jede Fouriergruppe $G$ 
 auch $\hat G$ eine Fouriergruppe und
 das Auswerten $G\times \hat G\ra S^1$ eine Charakterpaarung ist.\label{AuCP}  
\end{Ubung}







\begin{Ubung}
Gegeben ein komplexes Ma"s $\mu$ auf einem Me"sraum $(X,\cal{M})$
nimmt seine in\label{DCMaa}  
\ref{DCMaaa} erkl"arte Variation $|\mu|$ Werte in $[0,\infty)$ an
und ist ein Ma"s auf $\cal{M}$.  Weiter ist $\mu \mapsto \|\mu\|=|\mu|(X)$
eine Norm auf dem Raum $\op{M}(X)$ der komplexen Ma"se auf $X$,  
die \defind{Variationsnorm}.
Jedes komplexe Ma"s $\mu$ auf einem Me"sraum l"a"st sich darstellen als
Linearkombination von vier  nichtnegativen reellen Ma"sen in der Form
$$\mu=\mu_1-\mu_2 +{\op{i}}\mu_3-{\op{i}}\mu_4$$ und so, da"s zus"atzlich
gilt $\mu_r\leq |\mu|$ f"ur $1\leq r\leq 4$ als da hei"st
$\mu_r(A)\leq |\mu|(A)$ f"ur jede me"sbare Menge $A\subset X$.
Hinweis: Im Fall eines rellen
Ma"ses mag man etwa mit $\mu_1=(|\mu|+\mu)/2$ beginnen.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Integration nach komplexen Ma"sen}]
Gegeben ein komplexes Ma"s $\mu$ auf einem Me"sraum $(X,\cal{M})$
gibt es genau eine Linearform $\op{L}^1(X;|\mu|)\ra\DC$,\label{AbIC} 
$$f\mapsto \int f\mu$$ 
mit der 
Eigenschaft
$\int f\mu=\int f\mu_1-\int f\mu_2 +{\op{i}}\int f\mu_3-{\op{i}}\int f\mu_4$
f"ur eine und jede Darstellung von $\mu$ wie in \ref{DCMaa}. 
Man zeige weiter die Absch"atzung
$| \int f\mu|\leq  \int |f||\mu|$. Hinweis: Man beginne mit dem Fall,
da"s $f$ eine Stufenfunktion ist.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Produkte  komplexer Ma"se mit Funktionen}]
Gegeben ein komplexes Ma"s $\mu$ auf einem Me"sraum $(X,\cal{M})$
und eine Funktion $f\in \op{L}^1(X;|\mu|)$\label{PcMF}  
erhalten wir ein weiteres komplexes Ma"s $f\mu$ auf $X$ durch die Vorschrift 
$$(f\mu)(A)=\int [A]f\;\mu\quad\text{ f"ur alle me"sbaren }A\subset X$$
Dieses Ma"s hat dann die Variation $|f\mu|=|f||\mu|$. Hinweis: Man beginne
mit dem Fall, da"s $f$ eine Stufenfunktion ist.
Ist $g:X\ra \DC$ eine weitere me"sbare Funktion, so gilt
$g\in \op{L}^1(X;|f\mu|)$ genau dann, wenn $fg$ zu $\op{L}^1(X;|\mu|)$ geh"ort,
und in diesem Fall haben wir die Gleichheit komplexer Ma"se
$$g(f\mu)=(gf)\mu$$
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{NFNM}
Sei $(X,\mu)$ ein Ma"sraum und $f\in \op{L}^1(X;\mu)$ integrierbar.
Ist das Ma"s $f\mu$ Null, so war $f$ bereits die Null von $\op{L}^1(X;\mu)$.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Formelsammlung f"ur komplexe Ma"se}]
 Bezeichnet $X\times Y$ das Produkt zweier
    Me"sr"aume, versehen mit der Produkt-$\sigma$-Algebra aus \ref{PrMa}, so
    liefert das Bilden des Produktma"ses mit zweimaligem Anwenden\label{PKM} 
von \ref{FoMa} eine bilineare Abbildung
auf den zugeh"origen R"aumen komplexwertiger Ma"se
    $$
    \begin{array}{ccc}
\op{M}(X)\times \op{M}(Y)&\ra& \op{M}(X\times Y)\\
(\mu,\nu)&\mapsto&\mu\boxtimes\nu
\end{array}
$$ 
  Gegeben eine me"sbare Abbildung $f:X\ra Y$ von 
Me"sr"aumen und ein komplexes  Ma"s $\mu $
  auf $X$ erkl"art man wie in \ref{BiMaU} das 
\defind{Bildma"s} $f_\ast \mu$ auf
  $Y$ dadurch, da"s man f"ur jede me"sbare Menge $A\subset Y$ setzt
  $$(f_\ast \mu)(A)=\mu(f^{-1}(A))$$
  Offensichtlich gilt wieder $\op{id}_\ast\mu=\mu$
  und f"ur verkn"upfbare Abbildungen haben wir $(f\circ g)_\ast=f_\ast \circ
  g_\ast$. Man zeige, da"s auch die anderen Formel unserer Formelsammlung
  \ref{FSPM} weiter gelten.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Integration "uber Bildma"se}]
   Gegeben eine me"sbare Abbildung $f:X\ra Y$ von 
Me"sr"aumen und ein komplexes Ma"s $\mu $
  auf $X$ 
ist die Variation des Bildma"ses nach oben beschr"ankt durch das 
Bildma"s der Variation, in Formeln $$|f_\ast\mu|\leq f_\ast|\mu|$$
Geh"ort f"ur eine me"sbare Funktion $h:Y\ra\DC$ die Verkn"upfung
$h\circ f$ zu $\op{L}^1(X;|\mu|)$, so ist $h$ integrierbar nach $|f_\ast\mu|$
und es gilt
$$\int_Y h\;(f_\ast\mu)=\int_X (h\circ f)\;\mu$$
\end{Ubung}




















\begin{Ubunge}\label{IWH}
Man zeige: Gegeben eine stetige beschr"ankte Abbildung  von
einem topologischen Raum in einen Hilbertraum $f : X \rightarrow 
\mathcal{H}$ und 
ein komplexes Ma"s $\mu \in \op{M}(X)$
gibt es genau einen Vektor $\int f (x) \;\mu \langle x \rangle$ 
in $\mathcal{H}$
mit Eigenschaft
\begin{equation*}
\left\langle w, \int f (x) \;\mu \langle x \rangle \right\rangle 
= \int \langle w, f (x) \rangle
\;\mu \langle x \rangle \quad \forall w\in\cal{H}
\end{equation*}
Man zeige weiter, da"s dieses Integral $\int f (x) \;\mu \langle x \rangle$ 
 linear ist in $f$ und $\mu$. Hinweis: \ref{DRH}.
\end{Ubunge}
\begin{Ubung}\label{CHT}
Man zeige, da"s jeder abgeschlossene Teilraum von $\op{L}^2 (S^1)$, der unter
dem Vorschalten aller Multiplikationen $(z \cdot)$ f"ur $z \in S^1$ stabil
ist, der Abschlu"s des Erzeugnisses der in ihm 
enthaltenen Charaktere sein mu"s.
Hinweis: Man betrachte die linearen 
Abbildungen $p_n :\op{L}^2 (S^1) \rightarrow
\op{L}^2 (S^1) $ mit
\begin{equation*}
(p_n (f)) (w) = \int_{S^1} z^n f (z w) \mu \langle z \rangle
\end{equation*}
und "uberlege sich etwa mit \ref{IWH}, da"s sie auch unsere
abgeschlossenen Teilr"aume von oben in sich "uberf"uhren m"ussen.
\end{Ubung}






\subsection{Poissonformel und Inversionsformel}
\begin{Bemerkungl}
In diesem Abschnitt treiben wir
wieder die konkrete Theorie 
voran, bevor wir in den anschlie"senden Abschnitten
ihre koordinatenfreie Bedeutung und Verallgemeinerungen
diskutieren.
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[{\bf Poisson'sche Summationsformel}]
Seien  $f\in\mathcal S(\DR)$ eine Schwartzfunktion und
$ f^\wedge$ ihre \hyperref[FouD]{physikalisch standardisierte
 Fouriertransformierte} gegeben durch $f^\wedge  ( y) \pdef  \int f(x)
\op{e}^{-2\pi{\op{i}} x   y} \diff x$.
So gilt\label{PoiSS}  
$$\sum_{n\in\DZ}f(n)=\sum_{n\in\DZ} f^\wedge(n)$$
\end{Satz}
 \begin{Bemerkungl}
F"ur $f\in \mathcal S(\DR^d)$ zeigt man analog $\sum_{n\in\DZ^d}f(n)=\sum_{n\in\DZ^d} f^\wedge(n)$.
In \ref{ATTN} werden wir lernen, 
wie man diese Aussage aus allgemeinen Prinzipien 
herleiten kann. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Wir betrachten die 
Funktion  $g(t)\pdef \sum_{n\in\DZ}f(t+n)$ mit der Periode Eins.
Sie ist glatt nach \eref{VtAG}{AN1}.
Ihre Entwicklung in eine Fourierreihe hat die Form
$g(t)=\sum_{k\in\DZ}a_k {\op{e}}^{2\pi{\op{i}}tk}$ mit $ 
a_k=\int_0^1g(t){\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}tk}\diff t$
im Sinne der Summierbarkeit bez"uglich $\|\;\|_\infty$
nach \eref{KFou}{AN2}.
Damit finden wir
$$\sum_{n\in\DZ}f(n)= g(0)=\sum_{k\in\DZ}a_k
=\sum_{k\in\DZ}\int_0^1g(t){\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}tk}\diff t
=\sum_{k\in\DZ}\int_{-\infty}^\infty f(t){\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}tk}\diff t$$
 Im letzten Schritt haben wir 
die Identit"at ${\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}tk}
={\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}(t-n)k}$ verwendet. 
\end{proof}

\begin{Bemerkunge} Sogar f"ur jede integrierbare Funktion $f\in \mathcal L^1(\DR)$ konvergiert die Summe $\sum_{n\in\DZ}f(t+n)$ f"ur fast alle $t$ absolut und f"ur die so gegebene $\op{L}^1$-Funktion $g$ gilt  $\int_0^1g(t){\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}tk}\diff t
  =\int_{-\infty}^\infty f(t){\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}tk}\diff t$. Man erkennt das,
  indem man von dem durch Addition gegebenen Isomorphismus von Ma"sr"aumen
  $\DZ\times [0,1)\sira \DR$ ausgeht und den Satz von Fubini \ref{Fuba} anwendet.
\end{Bemerkunge}











\begin{Satz}[{\bf Inversionsformel f"ur Schwartzfunktionen}]
Gegeben eine Schwartzfunktion  $f\in\mathcal S(\DR)$ gilt f"ur 
die zweimal fouriertransformierte Funktion $ f^{\wedge\wedge}$ 
an jeder Stelle $x\in\DR$ die Identit"at\label{IVFO} 
$$ f^{\wedge\wedge}(x)=f(-x)$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
In $\DR^d$ folgt dieselbe Aussage analog. Die Aussage gilt auch f"ur
unsere mathematische Fouriertransformation aus \ref{BSD}. Genau um das zu erreichen wird bei dieser Normalisierung 
 der merkw"urdige
Vorfaktor $(2\pi)^{-d/2}$ mit hinzugenommen. Der Fall allgemeiner Fouriergruppen wird in \ref{IvFou} diskutiert. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Unsere Formeln \ref{EFou}.\ref{EFou2} und \ref{EFou}.\ref{EFou3}
zeigen $\tau_a (f^{\wedge\wedge})=(\tau_{-a}f)^{\wedge\wedge}$.
Es reicht also, die Identit"at  $ f^{\wedge\wedge}(0)=f(0)$
zu zeigen.
Die Poisson'sche Summationsformel \ref{PoiSS}  
liefert  durch Umnormieren f"ur alle $b>0$ die Identit"at
$$\sum_{n\in\DZ}f(nb)=\frac{1}{b}\sum_{n\in\DZ} f^\wedge(n/b)$$
Die
linke Seite strebt f"ur $b\ra \infty$  gegen $f(0)$,
da $f$ eine Schwarzfunktion ist. 
Andererseits ist dann auch $g\pdef f^\wedge$ eine Schwartzfunktion und damit strebt,
wie wir uns gleich "uberlegen, die rechte Seite gegen
$\int  f^\wedge=f^{\wedge\wedge}(0)$. Es reicht, wenn wir uns das 
f"ur $b=2^N$
und  $N\ra\infty$ "uberlegen. Gegeben $\varepsilon>0$ 
gibt es sicher $K\in\DN$ mit $|\int_{-\infty}^{-K} g|<\varepsilon$
und $|\int_{K}^{\infty} g|<\varepsilon$ und 
$|\frac{1}{b}\sum_{n/b\leq -K}g(n/b)|<\varepsilon$ und 
$|\frac{1}{b}\sum_{n/b\geq K}g(n/b)|<\varepsilon$.
Da aber auf dem Intervall $[-K,K]$ die Riemannsummen von
$g$ gegen das Integral von $g$ streben, folgt die Behauptung. 
\end{proof}

%\begin{proof}[Alternativer Beweis ohne Poissonformel]
%Wir arbeiten bei diesem Beweis mit der mathematischen Normalisierung \ref{BSD}
%und betrachten zun"achst im Schwartzraum eine beliebige weitere
%Funktion $g \in \mathcal{S}$ und behaupten
%\begin{equation*}
%\int  f^\wedge (y) g (y) \diff^n y = \int f(x)  g^\wedge (x) \diff^n x
%\end{equation*}
%In der Tat ist das nach unseren Definitionen und Fubini gleichbedeutend zu
%\begin{equation*}
%\int \int f(x) \op{e}^{-{\op{i}}x\cdot y} 
%g(y) \diff^n x\diff^n y = \int \int f(x)
%\op{e}^{-{\op{i}}x\cdot y}
%g(y) \diff^n y \diff^n x
%\end{equation*}
%und damit offensichtlich.
%Ist etwas allgemeiner $h \in \mathcal{S} $ eine Funktion aus 
%dem Schwartzraum und
%betrachten wir f"ur $r >0$ die Funktion $g= h_r = h(y/r)$,
%so erhalten wir mit \ref{EFou}.\ref{EFou5} sofort $ g^\wedge =  h_r^\wedge
%=r^n  h^\wedge (rx)$ und damit
%\begin{equation*}
%\int  f^\wedge (y) h(y/r) = \int f(x) h_r^\wedge (x) = \int f(x) r^n  h^\wedge
%(rx) = \int f(x/r)  h^\wedge (x)
%\end{equation*}
%Hier haben wir im letzten Schritt die Transformationsformel \eref{TF}{AN2} 
%angewandt.
%F"ur $r \rightarrow \infty$ folgt dann aus dem Satz "uber
%dominierte Konvergenz 
%\begin{equation*}
%\int  f^\wedge (y) h(0) = \int f(0)  h^\wedge (x)
%\end{equation*}
%Wenn wir $(2\pi)^{-n/2}$ davormultiplizieren und integrieren,
 %ergibt sich
%\begin{equation*}
%f^{\wedge\wedge} (0) \cdot h(0) = f(0) \cdot h^{\wedge\wedge}(0)
%\end{equation*}
%Setzen wir hier speziell f"ur $h$ das Produkt von 
%Gauss'schen Glockenkurven $\op{e}^{-x\cdot x/2}$ ein,
%so folgt aus \ref{RG} sofort, da"s f"ur jede Schwartzfunktion 
%ihre zweimal Fouriertransformierte  am Ursprung denselben 
%Wert hat wie 
%die Funktion selbst.
%Dann kann man wie im anderen Beweis zu Ende argumentieren.
%\end{proof}


\begin{Satz}[\textbf{Fouriertransformation von $\op{L}^2$-Funktionen}]
Die physikalisch standardisierte  
Fouriertransformation nach \ref{FouD} l"a"st sich auf genau
eine Weise vom Schwartzraum fortsetzen zu einem\label{FouqI} 
unit"aren Isomorphismus von
Hilbertr"aumen
\begin{equation*}
\mathcal F:
\op{L}^2 (\Bbb{R}^n) \sira \op{L}^2
(\Bbb{R}^n)
\end{equation*}
\end{Satz}
\begin{Beispiel}
  In "Ubung \ref{ftpb} haben wir f"ur $\op{Im}(\alpha) <0$ eine integrierbare
  Funktion $g$ angegeben mit Fouriertransformierter
  $g^\wedge (y)=-1/(y+\alpha)$. Diese Fouriertransforierte ist also quadratintegrierbar, aber nicht integrierbar. Wir wissen dennoch $g^{\wedge\wedge}=g\iota$. Ich w"u"ste jedoch nicht, wie ich
  die Fouriertransformierte von $g^\wedge$ mit den uns hier zur Verf"ugung
  stehenden Methoden direkt berechnen sollte.  
\end{Beispiel}
\begin{proof}[Beweis]
Bezeichne $\iota:\DR^n\ra\DR^n$ die Multiplikation mit $(-1)$
und $f\iota=f\circ \iota$.  Unsere Inversionsformel
sagt $f^{\wedge\wedge}=f\iota$ f"ur Schwartzfunktionen.
Als n"achstes pr"ufen wir, da"s die Abbildungen 
$f\mapsto f^{\wedge}$ und $g\mapsto (g^{\wedge})\iota$
f"ur die $\op{L}^2$-Skalarprodukte auf 
unseren Schwartzr"aumen zueinander adjungiert sind.
In Formeln behaupten wir also $\langle f^{\wedge},g\rangle=
\langle f,(g^{\wedge})\iota\rangle$ oder ausgeschrieben
$$
\int \overline{f(x){\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}xy}}g(y)\diff^n x\diff^n y
=\int \overline{f(x)}g(y){\op{e}}^{2\pi{\op{i}}xy} \diff^n x\diff^n y$$
Das war  auch schon der Beweis f"ur die behauptete Adjunktion.
F"ur jede Schwartzfunktion $f$ folgt daraus
$$\langle f^{\wedge},f^{\wedge}\rangle
=\langle f,(f^{\wedge\wedge})\iota\rangle
=\langle f,f\rangle$$
mit  der Inversionsformel f"ur Schwartzfunktionen \ref{IVFO} im zweiten Schritt.
Nach \ref{AL1} liegt jedoch der Schwartzraum dicht im Raum der quadratintegrierbaren
Funktionen. Unser Satz folgt damit aus
 dem Lemma "uber die Existenz stetiger Fortsezungen \ref{ADM}
und dem Lemma "uber die Linearit"at
und Unitarit"at stetiger Fortsetzungen 
\ref{ADVM}.  
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vorbereitungen zur Unsch"arferelation}]
  Bezeichne $(x\cdot):\mathcal S(\DR)\ra  \mathcal S(\DR)$ die
  lineare Abbildung $f\mapsto xf$ mit $(xf):x\mapsto xf(x)$.
   Bezeichne $\partial:\mathcal S(\DR)\ra  \mathcal S(\DR)$ die
   lineare Abbildung des Ableitens $f\mapsto f'$.
   Wir finden $(\partial\circ (x\cdot))(f)- ( (x\cdot)\circ \partial)(f)=f$
   f"ur alle Schwartzfunktionen $f\in \mathcal S(\DR)$. Damit finden wir f"ur
   alle Schwartzfunktionen $f\in \mathcal S(\DR)$ nach Cauchy-Schwartz
   und unserer Vor"uberlegung die Absch"atzung
   $$\begin{array}{llll}
     \|\partial f\| \| xf\|&\geq & |\langle \partial f, xf \rangle|&\text{}\\[1mm]
     &\geq&- \op{Re}\langle\partial f,  xf \rangle&\\[1mm]
     &=&-\frac{1}{2}\big(\langle \partial f, xf \rangle + \langle xf,\partial f \rangle\big)&\\[1mm]
     &=&\frac{1}{2}\big(\langle  f,\partial xf \rangle - \langle  f ,x\partial f \rangle\big)&\\[1mm]
      &=&\frac{1}{2}\langle  f,f \rangle&\text{}
   \end{array}$$
   Da"s wir  keine allgemeine Absch"atzung
   $\|\partial f\| \| xf\|\geq
   \alpha\langle  f,f \rangle$ mit $\alpha>1/2$ 
erhalten k"onnen, zeigt
   die 
   Gau"s'sche Glockenkurve $f(x)\pdef{\op{e}}^{-x^2/2}$.
   In diesem Fall spezialisieren beide Ungleichungen der obigen Herleitung
   zu Gleichungen. 
\end{Bemerkungl}







\begin{Proposition}
F"ur Funktionen $f\in \mathcal L^1(\DR^n)\cap \mathcal L^2(\DR^n)$
stimmt die  durch unsere explizite Formel \ref{FouD}
gegebene Fouriertransformierte "uberein mit der
durch stetige Fortsetzung vom Schwartzraum
\ref{FouqI} erhaltenen.\label{IGS}  
\end{Proposition}
\begin{proof}
Wir
bezeichnen nur f"ur diesen Beweis 
unsere durch stetige Fortsetzung vom Schwartzraum in
\ref{FouqI} konstruierte Fouriertransformation auf
quadratintegrierbaren Funktionen mit $\mathcal F_2$. 
Nun bilden wir den algebraischen Dualraum $\mathcal{S}^\ast$ des 
Schwartzraums, also den Raum $$\mathcal{S}^\ast 
\pdef \op{Hom}_{\Bbb{C}} (\mathcal{S}, \Bbb{C})$$ 
aller Linearformen auf dem Schwartzraum. \nichtfinal{Sollte besser
  den Raum der Schieflinearformen nehmen! Aber mit welcher komplexen Struktur? Durch Nachschalten oder durch Vorschalten? Ich denke, $\overline{\mathcal{S}^\ast}$ ist die richtige Wahl, also der Dualraum mit der 
  konjugierten komplexen Struktur.  Dann ist das Auswerten
  $$\overline{\mathcal{S}^\ast}\times\mathcal S\ra\DC$$  schieflinear
  in der ersten Variablen und linear in der 
  zweiten Variablen.}  
Das \glqq Daranmultiplizieren und Integrieren\grqq\ liefert
f"ur alle $p\in [1,\infty]$ eine lineare Abbildung 
$\op{int}:\op{L}^p(\DR^n)\ra \mathcal{S}^\ast$,
die in Formeln durch die Vorschrift $f\mapsto \left(g\mapsto \int fg\right)$ gegeben wird. \nichtfinal{Oder die Variante
  $\op{intv}:\op{L}^p(\DR^n)\ra \overline{\mathcal{S}^\ast}$,
die in Formeln durch die Vorschrift $f\mapsto \left(g\mapsto \int \bar f g\right)$ gegeben wird.} 
Mit der zu unserer Fouriertransformation auf dem Schwartzraum 
transponierten Abbildung
$
\mathcal{F}^\ttop : \mathcal{S}^\ast \rightarrow \mathcal{S}^\ast
$ 
 erhalten wir, wie wir gleich pr"ufen,  kommutative Diagramme 
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
\op{L}^1(\DR^n)\ar[d]_-{\op{int}} \ar[r]^-{\cal{F}} & \ar[d]^-{\op{int}}
\op{L}^\infty(\DR^n)&&\op{L}^2(\DR^n)\ar[d]_-{\op{int}} \ar[r]^-{\cal{F}_2} & \ar[d]^-{\op{int}}
\op{L}^2(\DR^n)\\
\cal{S}^\ast \ar[r]^{\cal{F}^\ttop} & \cal{S}^\ast
&&\cal{S}^\ast \ar[r]^{\cal{F}^\ttop} & \cal{S}^\ast}
\end{displaymath}
\nichtfinal{\begin{displaymath}
 \xymatrix{
\op{L}^1(\DR^n)\ar[d]_-{\op{intv}} \ar[r]^-{\cal{F}} & \ar[d]^-{\op{intv}}
\op{L}^\infty(\DR^n)&&\op{L}^2(\DR^n)\ar[d]_-{\op{intv}} \ar[r]^-{\cal{F}_2} & \ar[d]^-{\op{intv}}
\op{L}^2(\DR^n)\\
\overline{\cal{S}^\ast} \ar[r]^{\overline{\cal{F}^\ttop}} & \overline{\cal{S}^\ast}
&&\overline{\cal{S}^\ast} \ar[r]^{\overline{\cal{F}^\ttop}} & \overline{\cal{S}^\ast}}
\end{displaymath}}
Die Kommutativit"at des linken Diagramms zeigt dieselbe Rechnung, wie wir 
sie bereits im Beweis der Inversionsformel
durchgef"uhrt haben, wenn man darin das komplexe Konjugieren 
wegl"a"st. \nichtfinal{(Im gelben Fall mu"s man das Konjugieren
  noch nicht mal weglassen!)}
Die Kommutativit"at des rechten Diagramms folgt, wenn man 
statt quadratintegrierbarer Funktionen sich in der oberen Horizontale
auf Schwartzfunktionen
beschr"ankt. F"ur beliebige Schwartzfunktionen $f,g$ 
gilt also $(\op{int}\cal{F}f)(g)=(\op{int}(f))(\cal{F}g)$
alias
$\langle\overline{\cal{F}f},g\rangle=
\langle\bar f,\cal{F}g\rangle$ mit unserem 
$\op{L}^2$-Skalarprodukt. Aus Stetigkeitsgr"unden gilt das dann
f"ur beliebige $\op{L}^2$-Funktionen $f$ und das 
zeigt dann die Kommutativit"at des rechten Diagramms.
Im folgenden konstruieren wir in \ref{inTT} einen Raum 
$\op{L}^{\op{loc}}_{\mathcal S}(\DR^n)$ von fast "uberall 
definierten me"sbaren Funktionen,
der alle $\op{L}^p(\DR^n)$ umfa"st, nebst einer linearen Abbildung 
$\op{int}:\op{L}^{\op{loc}}_{\mathcal S}\ra \mathcal{S}^\ast$, die alle
unsere vorherigen Abbildungen $\op{int}$ fortsetzt.
Zus"atzlich zeigen wir noch, da"s diese Abbildung injektiv ist. 
Dann ist der Beweis zu Ende und wir k"onnen unsere Notation 
$\mathcal F_2$ wieder stornieren.
\end{proof}

\begin{Bemerkunge}
Man kann allgemeiner zeigen, da"s 
unter $\mathcal{F}^\ttop$ f"ur  konjugierte Exponenten $p,q$ mit $1\leq p\leq
2$ 
Funktionen aus $\op{L}^p\subset \mathcal{S}^\ast$
in Funktionen aus $\op{L}^q\subset \mathcal{S}^\ast$
"ubergehen, 
vergleiche etwa \cite{Werner}.
\end{Bemerkunge}

\begin{Definition}
Eine fast "uberall definierte Funktion 
$f : \Bbb{R}^n \dashrightarrow \Bbb{C}$ hei"st
\defind{lokal integrierbar},\label{loci}  
wenn jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt derart,
da"s die Einschr"ankung unserer Funktion 
auf besagte Umgebung integrierbar ist in Bezug auf das 
Lebesguema"s. Wir bezeichnen die R"aume aller reellwertigen 
beziehungsweise komplexwertigen
lokal integrierbaren Funktionen auf dem $\DR^n$ mit
$$\op{L}^{\op{loc}} (\Bbb{R}^n,\DR)\subset \op{L}^{\op{loc}} (\Bbb{R}^n)$$
\end{Definition}

\begin{Lemma}
Zwei lokal integrierbare Funktionen auf dem $\DR^n$, deren Produkt mit jeder
  kompakt getragenen glatten Funktion dasselbe Integral hat, stimmen 
bereits als fast "uberall definierte Funktionen "uberein.\label{lID}
\end{Lemma}

\begin{proof}
In Formeln ausgedr"uckt besagt unser Lemma, da"s $f  \mapsto  (g \mapsto \int f g)$ eine Injektion 
$$
\op{L}^{\op{loc}} (\Bbb{R}^n) \hra \mathcal{C}_!^\infty
(\Bbb{R}^n)^\ast $$ induziert.
Sicher reicht es, wenn wir zeigen, da"s dieselbe Abbildungsvorschrift 
im Fall reellwertiger Funktionen eine Injektion
$$
\op{L}^{\op{loc}} (\Bbb{R}^n,\DR)  \hra \mathcal{C}_!^\infty
(\Bbb{R}^n,\DR)^\ast $$
liefert.
Sicher reicht es sogar zu zeigen, da"s die Restriktion dieser 
Abbildung auf die Teilmenge $
\op{L}^{\op{loc}} (\Bbb{R}^n,\DR_{\geq 0})$
aller nichtnegativen lokal integrierbaren Funktionen injektiv ist,
denn gilt $f\neq 0$ und schreiben wir $f=f^+- f^-$ mit $f^+, f^-$ nichtnegativ,
so gilt $f^+\neq  f^-$, und finden wir 
$g$ glatt mit kompaktem  Tr"ager und $\int gf^+\neq \int gf^-$, so gilt $\int gf\neq 0$. 
Unsere Restriktion jedoch k"onnen wir schreiben als die Verkn"upfung
von Injektionen
$$\op{L}^{\op{loc}} (\Bbb{R}^n,\DR_{\geq 0})\hra\{\text{Borelma"se auf }\DR^n\}
\hra \mathcal{C}_!^\infty
(\Bbb{R}^n,\DR)^\ast $$
Die erste Abbildung ordnet dabei jeder Funktion $f$ das Borelma"s $f(x)\diff^nx$
zu und ist  injektiv  nach "Ubung \nichtfinal{6.4} \ref{MIFF}. Die zweite Abbildung
 ordnet jedem Borelma"s das Integrieren  nach diesem Ma"s zu
und ist injektiv nach "Ubung \nichtfinal{8.2} \ref{BOMA}.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}
  Etwas feiner betrachten wir den Raum
$\op{L}^{\op{loc}}_{\mathcal S}(\DR^n)$ aller me"sbaren 
fast "uberall definierten Funktionen
$f:\DR^n\dashrightarrow \DC$ mit der Eigenschaft, da"s ihr
Produkt mit jeder Schwartzfunktion integrierbar ist. Offensichtlich 
erhalten wir so einen Untervektorraum 
$$\op{L}^{\op{loc}}_{\mathcal S}(\DR^n)\subset \op{L}^{\op{loc}}(\DR^n)$$
und ebenso offensichtlich liegen alle $\op{L}^p$-Funktionen, 
ja sogar alle 
me"sbaren Funktionen von h"ochstens polynomialem Wachstum bereits
in diesem Untervektorraum.
Nach \ref{lID} erhalten wir aber durch die Vorschrift $f\mapsto \left(g\mapsto \int fg\right)$ erst recht eine Inklusion\label{inTT}  
$$\op{int}:\op{L}^{\op{loc}}_{\mathcal S}(\DR^n)\hra \mathcal{S}^\ast$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Berechnung der 
Fouriertransformierten einer ${\op{L}}^2$-Funktion}]
Es ist etwas delikat, eine explizite 
Formel f"ur die Fouriertransformierte einer ${\op{L}}^2$-Funktion 
$f:\DR\dashrightarrow \DC$ anzugeben. In der
Tat kann man  nicht  erwarten, da"s das Integral \ref{FouD}
f"ur alle $y$ konvergiert, ja das w"are sogar  beunruhigend, 
da es uns  unter Verwendung  der Inversionsformel erlauben w"urde,
zu jeder quadratintegrierbaren Funktion 
einen wohlbestimmten \glqq "uberall definierten Repr"asentanten\grqq\  
auszuzeichnen.\label{BFst}  
Stattdessen k"onnen wir wie folgt vorgehen: Wir w"ahlen reelle Folgen
$a_n, b_n$ mit $a_n\ra -\infty$ und $b_n\ra \infty$ und
betrachten die integrierbaren Funktionen 
$f_n$, die durch Restriktion von $f$ auf das kompakte Intervall
$[a_n, b_n]$ und Ausdehnen durch Null entstehen. Dann gilt
$f_n\ra f$ in ${\op{L}}^2$ und folglich auch 
$\mathcal F(f_n)\ra \mathcal F(f)$ in ${\op{L}}^2$. 
Da  die $f_n$ integrierbar 
sind, kann nach 
Proposition \ref{IGS} nun aber  $\mathcal F(f_n)=f_n^\wedge$
 mit unserer Formel \ref{FouD} jedenfalls im
Prinzip ausgerechnet werden. Die so gebildeten 
 fast "uberall definierten Funktionen 
$f_n^\wedge$ streben demnach in ${\op{L}}^2$ 
gegen $\mathcal  F(f)$.
Des weiteren mu"s nach \ref{VoLp} eine beliebige derartige
Folge $(a_n, b_n)$ eine Teilfolge   $(a_{n(k)}, b_{n(k)})$
haben derart, da"s die Folge der Fouriertransformierten
$f_{n(k)}^\wedge$ fast "uberall punktweise konvergiert,
und dann ist dieser fast "uberall definierte
punktweise Grenzwert weiter nach \ref{VoLp}
bereits quadratintegrierbar 
und repr"asentiert unsere gesuchte Fouriertransformierte $\mathcal  F(f)$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Proposition}
Die Fouriertransformation von Ma"sen ist injektiv, als da hei"st,
nur das Nullma"s liefert die Nullfunktion.\label{InFo}
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
Das rechtfertigt die
in der Stochastik "ubliche Bezeichnung der Fouriertransformierten
eines Wahrscheinlichkeitsma"ses auf $\DR$ als dessen 
{\bf charakteristische 
Funktion}.\index{charakteristische Funktion!eines Ma"ses} 
Man beachte jedoch, da"s man in der Stochastik "ublicherweise mit der\label{ChaFu}  
Charakterpaarung $\DR\times \DR\ra S^1$ gegeben durch 
$(x,y)\mapsto {\op{e}}^{{\op{i}}xy}$
arbeitet.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof} 
Nach \ref{BOMA} ist, wie bereits im vorhergehenden 
Beweis bemerkt, auch $\op{int}:\op{M}(\DR^n)\ra \cal{S}^\ast$ gegeben durch 
$\mu\mapsto (f\mapsto \int f\mu)$ eine Injektion.
Mit derselben Rechnung wie zuvor erhalten wir auch 
ein   kommutatives Diagramm 
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
\op{M}(\DR^n)\ar[d]_-{\op{int}} \ar[r]^-{\cal{F}} & \ar[d]^-{\op{int}}
\mathcal C^{\op{b}}(\DR^n)&\\
\cal{S}^\ast \ar[r]^{\cal{F}^\ttop} & \cal{S}^\ast}
\end{displaymath}
Das zeigt, da"s verschiedene reelle Ma"se in  $\op{M}(\DR^n)$
auch verschiedene Fouriertransformierte haben. 
\end{proof}

\begin{Bemerkungw}\label{teDE} \nichtfinal{Vielleicht ganz weglassen, kommt sp"ater besser!} 
Bezeichne  $\lambda$ das Lebesguema"s auf dem $\DR^n$.
  Motiviert durch 
 die vorhergehenden "Uberlegungen
  erkl"art man den Raum
  \begin{equation*}
    \mathcal S' \subset \mathcal S^\ast
  \end{equation*}
  aller 
{\bf temperierten Distributionen}\index{temperiert!Distribution} 
als\index{Distribution!temperierte} 
den kleinsten Untervektorraum
  des vollen Dualraums $\mathcal S^\ast$ des Raums der Schwartzfunktionen, 
der (1) alle Linearformen umfa"st,
  die die Gestalt $\varphi \mapsto \int f \varphi \lambda$ haben f"ur $f :
  \mathbb R^n \rightarrow \mathbb C$ stetig von h"ochstens polynomialem
  Wachstum, und der (2) stabil ist unter den Transponierten 
  $\partial_\nu^\ttop : \mathcal S^\ast \rightarrow \mathcal S^\ast$ der
  partiellen Ableitungen $\partial_\nu : \mathcal S \rightarrow \mathcal S$.
  Man "uberlegt sich ohne gro"se Schwierigkeiten, da"s die Transponierte
  der Fouriertransformation $\mathcal F^\ttop : \mathcal S^\ast
  \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal S^\ast$  einen
  Vektorraumisomorphismus
  \begin{equation*}
    \mathcal F^\ttop : \mathcal S^\prime 
\overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal S^\prime
  \end{equation*}
  auf den temperierten Distributionen induziert und da"s sich alle
  ${\op{L}}^p$-Funktio\-nen $f$ 
als temperierte Distributionen auffassen lassen,
ja da"s das Bild unserer 
Einbettung $\op{int}:\op{L}^{\op{loc}}_{\mathcal S}(\DR^n)\hra \mathcal{S}^\ast$
aus \ref{inTT} 
  gegeben durch die Vorschrift $\varphi \mapsto \int f \varphi
  \lambda$ 
aus temperierten Distributionen besteht,
in Formeln ${\op{L}}^p\subset \op{L}^{\op{loc}}_{\mathcal S}(\DR^n)\subset
\mathcal S^\prime $.  
Dar"uberhinaus lassen sich auch alle endlichen Borelma"se $\mu$
  als  temperierte Distributionen auffassen vermittels der immergleichen
  Vorschrift
$\varphi \mapsto \int \varphi \mu$ und alle bisher betrachteten 
Varianten der Fouriertransformation 
 k"onnen als Einschr"ankung unserer
Transformation 
$\mathcal F^\ttop : \mathcal S^\prime \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal
S^\prime$
verstanden werden.
  Welche Vorteile die temperierten Distributionen gegen"uber
  allgemeinen Linearformen auf dem Schwartzraum bieten und wie allgemeiner
  beliebige, nicht notwendig temperierte
 Distributionen erkl"art werden, m"ogen Sie in 
  Vorlesungen zur Funktionalanalysis \nichtfinal{oder in \ref{Dis}} lernen.
\end{Bemerkungw}




\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}
Jede $\op{L}^p$-Funktion auf $\Bbb{R}^n$ f"ur $p \in [1,\infty]$ 
ist lokal integrierbar.
Genau dann ist eine fast "uberall definierte Funktion lokal 
integrierbar, wenn ihre
Einschr"ankung auf jedes Kompaktum integrierbar ist. Jede lokal integrierbare
Funktion
ist me"sbar.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Ist die Fouriertransformierte einer integrierbaren Funktion
 $f\in \mathcal{L}^1$ wieder integrierbar, so gilt 
$f^{\wedge\wedge}(x)=f(-x)$ f"ur fast alle $x$.\label{IvSR}   
  Insbesondere besitzt jede $\op{L}^1$-Funktion 
mit einer integrierbaren Fouriertransformierten
 einen stetigen Repr"asentanten.\label{IIFF}
\end{Ubung}




\begin{Ubunge}
Ist  $\mu$ ein  topologisches Ma"s auf einem 
topologischen Raum $X$,
so nennen wir eine $\mu$-fast "uberall definierte Funktion 
$f : X \rightarrow \Bbb{C}$
{\bf lokal integrierbar in Bezug auf $\mu$}, 
wenn jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt derart,
da"s die Einschr"ankung unserer Funktion 
auf besagte Umgebung integrierbar ist in Bezug auf $\mu$. 
Diesen Funktionenraum notieren wir dann $ \op{L}^{\op{loc}} (X;\mu)$.\label{BMIII}
Gegeben $U\co \DR^n$ und ein Borelma"s $\mu$ auf $U$ 
zeige man, da"s  lokal integrierbare 
Funktionen aus
$ \op{L}^{\op{loc}} (U;\mu)$
genau dann fast "uberall "ubereineinstimmen, 
wenn ihr Produkt mit jeder Funktion
aus $\cal{C}_!^\infty(U)$ in Bezug auf $\mu$
dasselbe Integral hat.
\end{Ubunge}

\begin{Ubung} Die Fouriertransformation zu unserer Charakterpaarung
  $S^1\times\DZ\ra S^1$ mit $(z,n)\mapsto z^n$ ist eine Injektion
  $\op{M}(S^1)\hra \mathcal C(\DZ)$.\label{ifMZ} Das wir beim Beweis des
  Abtastsatzes gebraucht. 
\end{Ubung}


\subsection{Nat"urlichkeit der Fouriertransformation}
\begin{Bemerkungl}
Ist $G$ eine Fouriergruppe und $\hat G$ ihre Charaktergruppe, so ist das Auswerten eines Charakters 
auf einem Gruppenelement  nach \ref{AuCP}
stets eine  Charakterpaarung 
$a_G=a: G\times \hat G\ra S^1$. 
Die zugeh"orige Fouriertransformation 
$\mathcal F_a$ notieren wir 
meist ohne Index als $\mathcal F$ oder manchmal als $\mathcal F_G$ und schreiben   $\mathcal F:\mu\mapsto
\mu^\wedge$ und nennen sie die\label{kFt} 
{\bf kanonische 
Fouriertransformation}\index{Fouriertransformation!kanonische} 
$$\mathcal F: {\op{M}}(G)\ra
\mathcal C^{\op{b}}(\hat G)$$
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[{\bf Nat"urlichkeit der 
Fouriertransformation}] 
F"ur jeden stetigen Homomorphismus $\varphi:G\ra H$ von
Fouriergruppen ist der Vorschub von Ma"sen eine Abbildung
$\varphi _\ast:{\op{M}}(G)\ra {\op{M}}(H)$. Umgekehrt liefert das 
Vorschalten von $\varphi $ eine Abbildung
$\hat \varphi : \hat H\ra\hat G$\label{NatFF}  
auf den Charakteren in die Gegenrichtung. Nach den allgemeinen
Erkenntnissen \ref{BmI}
zu Integralen "uber Bildma"se 
kommutiert mit den kanonischen Fouriertransformationen
in den Horizontalen das
Diagramm 
\begin{displaymath}
    \xymatrix{
      \op{M}(G) \ar[r]^-{\mathcal F} \ar[d]_-{\varphi_\ast} 
& \mathcal C^{\op{b}} (\hat{G})\ar[d]^-{\circ \hat \varphi}\\
      \op{M}(H) \ar[r]^-{\mathcal F} &\mathcal C^{\op{b}} (\hat{H})
    }
  \end{displaymath}
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}[{\bf Nat"urlichkeit der 
Fouriertransformation, Variante}] 
  Gegeben Charakterpaarungen von Fouriergruppen $a:G\times \hat G\ra S^1$
  und $b:H\times \hat H\ra S^1$ gibt es f"ur jeden stetigen Homomorphismus
  $\varphi:G\ra H$ genau einen  stetigen Homomorphismus
  $\hat \varphi=\hat \varphi_{a,b}:\hat H\ra \hat G$ in die Gegenrichtung mit
  $$\llangle  g, \hat\varphi \hat h\rrangle_a=\llangle \varphi g, \hat h\rrangle_b  \quad\forall g\in G, \hat h\in \hat H$$
  Wir nennen ihn den {\bf adjungierten Homomorphismus} in Bezug auf
  die Charakterpaarungen $a$ und $b$.\index{adjungiert!bei Charakterpaarung}\label{adCH} 
  In diesen Notationen kommutiert mit den Fouriertransformationen zu den besagten Charakterpaarungen 
in den Horizontalen das
Diagramm 
\begin{displaymath}
    \xymatrix{
      \op{M}(G) \ar[r]^-{\mathcal F_a} \ar[d]_-{\varphi_\ast} 
& \mathcal C^{\op{b}} (\hat{G})\ar[d]^-{\circ \hat \varphi}\\
      \op{M}(H) \ar[r]^-{\mathcal F_b} &\mathcal C^{\op{b}} (\hat{H})
    }
\end{displaymath}
Das ist nur eine Umformulierung der vorhergehenden Aussage in die Sprache
der Charakterpaarungen. 
\end{Bemerkungl}





\begin{Bemerkungl}[{\bf Eigenschaften der Fouriertransformierten
      von Ma"sen, Variante}] Wir geben noch einen nat"urlicheren
  Beweis f"ur unsere Erkenntnis aus \ref{EiFM}, da"s die 
Fouriertransformierte eines komplexen 
Ma"ses  stets eine  stetige Funktion auf der
Charaktergruppe ist.\label{stF} 
Sei $G$ unsere Fouriergruppe. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $\mu$ ein
endliches nichtnegatives Ma"s.
Da $G$ als die Vereinigung einer Folge von Kompakta 
geschrieben werden kann, gibt es f"ur jedes $\varepsilon >0$ 
ein Kompaktum $K\subset G$ mit 
$\mu(K)\leq  \mu(G)\leq \mu(K)+\varepsilon$.
Gilt dann $|\chi-\psi|\leq \varepsilon $
auf diesem Kompaktum und beachten wir $|\chi-\psi|\leq 2$ "uberall, so folgt die Absch"atzung
$$|\mu^\wedge(\chi)-\mu^\wedge(\psi)|\;\leq \;\int_G |\chi-\psi|\mu\;\leq\;  2\varepsilon+\int_K |\chi-\psi|\mu \;\leq\; 2\varepsilon+\varepsilon \mu(G)
$$
Also ist $\mu^\wedge$ stetig f"ur die kompaktoffene Topologie.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}[\textbf{Fouriertransformation und Koordinatenwechsel}]
Wir betrachten den Homomorphismus 
$A:\DR^m\sira \DR^n$ zu
einer Matrix  $A\in \op{Mat}(n\times m;\DR)$  und unsere
"ublichen physikalisch standardisierten Charakterpaarungen.
Der zugeh"orige adjungierte Homomorphismus im Sinne von \ref{adCH}
wird gegeben durch die
transponierte Matrix $A^\ttop:\DR^n\sira \DR^m$ und wir erhalten nach \ref{adCH}
ein kommutatives Diagramm 
\begin{displaymath}
    \xymatrix{
      \op{M}(\DR^m) \ar[r]^-{\mathcal F} \ar[d]_-{A_\ast} 
& \mathcal C^{\op{b}} ( \DR^m)\ar[d]^-{\circ A^\ttop}\\
   \op{M}(\DR^n) \ar[r]^-{\mathcal F} &\mathcal C^{\op{b}} ( \DR^n)}
\end{displaymath}
Gilt $m=n$ und ist $A$ ein Isomorphismus, so k"onnen wir es mit Hilfe
der Transformationsformel erweitern zu einem  kommutativen 
Diagramm
\begin{displaymath}
    \xymatrix{
    \op{L}^1(\DR^n) \ar[r]^-{\diff^n x } \ar[d]_-{|\op{det}A|^{-1}(\circ A^{-1})} 
&  \op{M}(\DR^n) \ar[r]^-{\mathcal F} \ar[d]_-{A_\ast} 
& \mathcal C^{\op{b}} ( \DR^n)\ar[d]^-{\circ A^\ttop}\\
 \op{L}^1(\DR^n) \ar[r]^-{\diff^n x } 
&     \op{M}(\DR^n) \ar[r]^-{\mathcal F} &\mathcal C^{\op{b}} ( \DR^n)}
  \end{displaymath} 
Explizit gilt also  
$$\int |\op{det}A|^{-1}f(A^{-1}x){\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}x^\ttop y}\diff^n x=
\int f(x){\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}x^\ttop A^\ttop y}\diff^n x$$
Das sieht man auch ohne alle Theorie leicht ein.
Es verallgemeinert unsere Formel \ref{EFou}.\ref{EFou5} f"ur die
Fouriertransformierte einer \glqq gestreckten\grqq\ Funktion. Insbesondere folgt,
da"s Fouriertransformationen salopp gesprochen
\glqq mit dem Vorschalten\label{fOu}  
orthogonaler Abbildungen $A$ vertauschen\grqq.
\end{Beispiel}



\begin{Bemerkunge}
Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller
Vektorraum.   Der {\bf Satz von Bochner}\index{Bochner, Satz von}
beschreibt das Bild der durch die Fouriertransformation 
gegebenen Einbettung 
$\mathcal{F} : \op{M}(V;[0,\infty)) \hra \mathcal{C}^{\op{b}}(\hat{V})$ 
des Raums der nichtnegativen 
endlichen Borelma"se in den Raum der beschr"ankten stetigen
Funktionen auf der Charaktergruppe
als die Menge aller beschr"ankten stetigen Funktionen $\phi: \hat{V}\ra\DC$,
die \glqq positiv semidefinit\grqq\  sind in dem Sinne, da"s
f"ur beliebiges $n$ und beliebige paarweise
verschiedene $\chi_1,\ldots,\chi_n\in \hat{V}$ die 
quadratische Matrix mit Eintr"agen $\phi(\chi_i-\chi_j)$ positiv
semidefinit ist. Da"s unsere Abbildung in den positiv semidefiniten
Funktionen landet, mag der Leser zur "Ubung selbst pr"ufen. 
Da"s auch alle beschr"ankten  positiv semidefiniten
Funktionen im Bild liegen, ist nicht so leicht zu sehen. 
\end{Bemerkunge}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Abtastsatz f"ur bandbeschr"ankte Signale}] 
  Wir gehen aus von der Charakterpaarung $\DR\times\DR\ra S^1$ mit
  $(x,y)\mapsto {\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}xy}$ und der Charakterpaarung
  $S^1\times\DZ\ra S^1$ mit $(z,n)\mapsto z^{-n}$. Der stetige Gruppenhomomorphisms 
  $\varphi: \DR\ra S^1$ gegeben durch $x\mapsto {\op{e}}^{2\pi{\op{i}}x}$
  ist dann adjungiert im Sinne von \ref{adCH} zur
  Einbettung $\bar\varphi=i:\DZ\hra\DR$. 
  Damit liefert uns die Nat"urlichkeit
  \ref{adCH} das rechte Quadrat in einem kommutativen Diagramm
  \begin{displaymath}
    \xymatrix{
      \op{M}\big([-1/2,1/2)\big)\ar[r]^-{j_*}\ar[rd]^-{\sim}
        &  \op{M}(\DR)\ar@{^{(}->}[r]^-{\mathcal F}\ar[d]^{\varphi_*}
        & \mathcal C^{\op{b}}(\DR)\ar[d]^{\circ i}\\
        &\op{M}(S^1)\ar@{^{(}->}[r]^-{\mathcal F}& \mathcal C^{\op{b}}(\DZ)}
  \end{displaymath}
  Die Injektivit"at der Fouriertransformation auf Ma"sen in den Horizontalen
  kennen wir
  aus \ref{InFo} beziehungsweise \ref{ifMZ}. In voller Allgemeinheit
  werden wir sie in \ref{IFMa} kennenlernen.
  Von links kommend bezeichnet $j:[-1/2,1/2)\hra \DR$
    die Einbettungsabbildung.  
  Unser Diagramm zeigt, da"s die Komposition von links oben nach rechts
  unten l"angs der oberen Kante gefolgt von  der Vertikalen eine
  Injektion ist, weil sie ja l"angs der unteren Kante offensichtlich
  eine Injektion ist als die
  Verkn"upfung von zwei Injektionen. Das
  besagt im Sprech der Signalverarbeiter, da"s
  ein \glqq auf ein Frequenzband beschr"anktes Signal\grqq\ durch das
  \glqq Abtasten mit dem Doppelten der Maximalfrequenz\grqq\ eindeutig
  wiedererkannt werden kann.  
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Um eine Formel daf"ur anzugeben, wie aus den abgetasteten Werten
  das bandbeschr"ankte Signal zur"uckgewonnen werden kann, ziehen wir
  uns auf quadratintegierbare Funktionen zur"uck,
  weil wir die Inversionsformel nur
  in dieser Allgemeinheit kennen. In unser Diagramm k"onnen wir das Diagramm
 \begin{displaymath}
    \xymatrix{
      \op{L}^2([-1/2,1/2))\ar[r]^-{\sim}\ar[rd]^-{\sim}&  \chi_{[-1/2,1/2)}\op{L^2}(\DR)\ar[r]^-{\sim}
          & \mathcal F\big(\chi_{[-1/2,1/2)}\op{L^2}(\DR)\big)\ar[d]^{\circ i}\\
        &\op{L^2}(S^1)\ar[r]^-{\mathcal F}_-\sim & \op{L^2}(\DZ)}
  \end{displaymath}
einbetten  durch Multiplikation mit $\diff x$ links oben 
 und  durch Multiplikation mit dem normierten Haarma"s links unten, 
 da alle unsere $\op{L}^2$-Funktionen in diesem Kontext
 auch $\op{L}^1$-Funktionen sind. 
 Oben rechts stehen unsere frequenzbandbeschr"ankten Funktionen, sie sind
 sogar stetig. Um  eine frequenzbandbeschr"ankte Funktion $f$ aus ihren
 ganzzahligen Werten $(f(n))_{n\in\DZ}$ zur"uckzugewinnen, gehen wir
 in unserem Diagramm einmal ganz herum von unten rechts nach oben rechts und erhalten der Reihe nach mit in den jeweiligen $\op{L}^2$-R"aumen zu verstehenden Summen 
\begin{displaymath}
    \xymatrix{
    \sum_n f(n){\op{e}}^{2\pi{\op{i}}nx} \ar@{|->}[r] & \sum_n f(n) \chi_{[-1/2,1/2)}{\op{e}}^{2\pi{\op{i}}nx}\ar@{|->}[r]
          & \sum _{n\in\DZ}  f(n)\frac{\sin\pi(y-n)}{\pi(y-n)}\\
        & \sum_n f(n)z^n\ar@{|->}[lu]& (f(n))_{n\in\DZ}\ar@{|->}[l]}
\end{displaymath}
Hier verwenden wir im letzten Schritt die Formel
$\mathcal F(\chi_{[-1/2,1/2)})(y)=(\op{sin}\pi y)/\pi y$
aus \ref{Hakk} f"ur  die Fouriertransformation 
  von Rechtecksfunktionen und die Formel\label{Abtt} 
 \ref{EFou}.\ref{EFou2} f"ur die Fouriertransformierte des Produkts mit
 einem Charakter.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Abtastsatz mit Einheiten}]
  Jetzt versuche ich, den Abtastsatz nocheinmal physikalischer
  aufzuschreiben.\index{Abtastsatz}  
  Wir gehen aus vom orientierten  eindimensionalen reellen Vektorraum
   $\vec{\mathbb T}$ der Zeitspannen
  und der Charakterpaarung $\vec{\mathbb T}^*\times \vec{\mathbb T}\ra S^1$
  durch $(\omega,t)\mapsto {\op{e}}^{{\op{i}}\omega t}$.
  Gegeben eine positive Frequenz $F\in \vec{\mathbb T}^*_{>0}$ und $k\in\DN$ 
  liefert uns die zur Auswertung duale Charakterpaarung
    $\vec{\mathbb T}^*\times \vec{\mathbb T}\ra S^1$ 
    das rechte Quadrat in einem kommutativen Diagramm
  \begin{displaymath}
    \xymatrix{
     \op{M}([-(k+1)F,-kF)\cup [kF,(k+1)F))\ar[r]^-{u_*}\ar[rd]^-{\sim}&  \op{M}(\vec{\mathbb T}^*)\ar@{^{(}->}[r]^-{\mathcal F}\ar[d]^{p_*}& \mathcal C(\vec{\mathbb T})\ar[d]^{\circ i}\\
        &\op{M}(\vec{\mathbb T}^*/2F\DZ)\ar@{^{(}->}[r]^-{\mathcal F}& \mathcal C((2F)^{-1} \DZ )}
  \end{displaymath}
  Es sagt uns salopp gesprochen, da"s wir ein auf das Frequenzband
  $[kF,(k+1)F]$ beschr"anktes Signal zur"uckgewinnen k"onnen, indem wir
  es in Zeitintervallen der L"ange $(2F)^{-1}$ alias mit der verdoppelten
  Frequenz $2F$ abtasten. Ich verzichte in diesem Fall darauf, die Formel
  explizit anzugeben, die das Signal aus seinen Abtastwerten zur"uckgewinnt.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Auf Englisch hei"st unser Abtastsatz das
  {\bf Sampling Theorem}\index{Sampling Theorem} 
 und wird Shannon und Nyquist zugeschrieben, neuerdings auch Kotelnikow.
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}
Wir nennen ein topologisches Ma"s auf einem Hausdorffraum
 \defnoind{kompakt getragen},\index{kompakt getragen!Ma"s}
 wenn es in unserem Raum ein Kompaktum gibt derart, da"s
allen dazu disjunkten me"sbaren Teilmengen die Null zugeordnet wird.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Fouriertransformierte kompakt getragener Ma"se}]
Die Fouriertransformierte eines von Null verschiedenen 
kompakt getragenen Ma"ses $\lambda\in{\op{M}}(\DR)$
kann nie kompakten Tr"ager haben. 
In der Tat f"anden wir zu solch einem 
Ma"s
mithilfe der Nat"urlichkeit \ref{adCH} auch ein von Null verschiedenes Ma"s 
auf der Kreisgruppe $\mu\in{\op{M}}(S^1)$, das allen Teilmengen des 
\glqq oberen Halbkreises\grqq\ Null zuordnet und dessen Fouriertransformierte
 dennoch nur auf endlich vielen Elementen von $ \DZ$
 von Null verschiedene Werte ann"ahme. Wegen der Injektivit"at der 
Fouriertransformation ${\op{M}}(S^1)\hra \mathcal C^{\op{b}}(\DZ)$ mu"s aber
dann $\mu$ das Produkt von einem Haarma"s mit einem Laurentpolynom in 
$\DC[z,z^{-1}]$ sein und  ein von Null verschiedenes
 Laurentpolynom kann unm"oglich auf dem
oberen Halbkreis verschwinden. 
\end{Bemerkungl}






\subsection{Faltung von Ma"sen und Funktionen}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Formelsammlung f"ur komplexe Ma"se}]
  Ich fasse f"ur das folgende  zusammen, was wir "uber\label{FSKM} 
  Bildma"se und Produkte komplexer Ma"se auf Me"sr"aumen nach
  \ref{FSPM} und  \ref{PKM} wissen. 
 \begin{description}
  \item[Funktorialit"at:]
    Gegeben me"sbare Abbildungen $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$ gilt
    $g_*\circ f_*= (g\circ f)_*:{\op{M}}(X)\ra {\op{M}}(Z)$.
    F"ur die Identit"at auf einem Me"sraum $X$ gilt $\op{id}_*=\op{id}:{\op{M}}(X)\ra {\op{M}}(X)$;
\item[\textbf{Nat"urlichkeit von Produkten:}]
Gegeben me"sbare Abbildungen  $f : X \ra A$ und $g: Y \ra B$
%von Me"sr"aumen
gilt f"ur  Ma"se $\mu\in {\op{M}}(X)$  und $\nu\in {\op{M}}(Y)$ stets 
die Gleichheit
$(f_\ast \mu) \boxtimes (g_\ast \nu)=
(f\times g)_\ast (\mu \boxtimes \nu)$ in ${\op{M}}(A\times B)$;
\item[\textbf{Eins:}]
  Gegeben ein Me"sraum $X$ und $\mu\in {\op{M}}(X)$  und auf dem
  einpunktigen Me"sraum $\op{me"s}$ das Diracma"s  $\delta\in {\op{M}}(\op{me"s})$  gilt
$(\op{pr}_X)_*(\mu\boxtimes \delta)=\mu$;
\item[\textbf{Assoziativit"at:}]
  Gegeben $X,Y,Z$ Me"sr"aume
und $\mu,\nu,\lambda$ jeweils komplexe Ma"se 
ist die offensichtliche Bijektion  $\op{ass}:(X\times Y)\times Z\sira X\times (Y\times Z)$ me"sbar und es gilt 
$\op{ass}_*((\mu\boxtimes \nu)\boxtimes \lambda)=\mu\boxtimes (\nu\boxtimes \lambda)$;
\item[\textbf{Kommutativit"at:}]
  Gegeben $\tau : X \times Y \sira
Y \times X$ die Vertauschungsabbildung f"ur Me"sr"aume $X,Y$
und  $\mu\in {\op{M}}(X)$ und $\nu\in {\op{M}}(Y)$
gilt 
$\tau_\ast (\mu \boxtimes \nu)=  \nu\boxtimes \mu$.
  \end{description}
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungw} Diese Formelsammlung kann man in der entsprechenden
  Terminologie zusammenfassen als die Aussage, da"s $X\mapsto {\op{M}}(X)$
  ein Schmelzfunktor von der kartesischen 
  Schmelzkategorie der Me"sr"aume in die Schmelzkategorie der
  komplexen Vektorr"aume ist.\label{MsCn} Hierbei ist eine Verschmelzung von Me"sr"aumen
  $f:X_1\curlyvee \ldots \curlyvee X_r\ra Y$  zu verstehen als
  eine me"sbare Abbildung $f:X_1\times \ldots \times X_r\ra Y$ und eine
  Verschmelzung von komplexen Vektorr"aumen
  $V_1\curlyvee \ldots \curlyvee V_r\ra W$ als eine
  multilineare Abbildung $V_1\times \ldots \times V_r\ra W$ und
  eine Verschmelzung von Me"sr"aumen wie oben wird dabei abgebildet auf die
  Verschmelzung von Vektorr"aumen ${\op{M}}(X_1)\curlyvee \ldots \curlyvee {\op{M}}(X_r)\ra {\op{M}}(Y)$ alias die multilineare Abbildung
${\op{M}}(X_1)\times \ldots \times {\op{M}}(X_r)\ra {\op{M}}(Y)$
  gegeben durch $(\mu_1,\ldots,\mu_r)\mapsto
  f_*(\mu_1\boxtimes\ldots\boxtimes\mu_r)$. 
\end{Bemerkungw}


\begin{Definition} Ein {\bf Me"smonoid}\index{Me"smonoid} ist
  ein Monoid $(G,\top)$ mit der Struktur eines Me"sraums derart, da"s
  die Verkn"upfung $\top: G\times G\ra G$ me"sbar ist. 
\end{Definition}
\begin{Beispiel} Jedes abz"ahlbar basierte topologische Monoid
  ist mit seiner borelschen $\sigma$-Alebra ein Me"smonoid, denn
  die Verkn"upfung $G\times G\ra G$ ist stetig, also borelme"sbar,
  und wegen $\op{Borel}(G\times G)=\op{Borel}(G)\boxtimes \op{Borel}( G)$, 
  was in \ref{PrBS} gezeigt wurde,
  auch me"sbar in Bezug auf die Produkt-$\sigma$-Algebra.
\end{Beispiel}







\begin{Definition}
 Gegeben komplexe 
  Ma"se $\mu,\nu$ auf einem
Me"smonoid $G$ erkl"aren wir ein
Ma"s $\mu\ast\nu$ auf $G$,\label{KonM} 
die 
{\bf Faltung}\index{Faltung!von Ma"sen} 
oder 
{\bf Konvolution}\index{Konvolution!von Ma"sen}
unserer beiden Ma"se, als das Bildma"s unter
der Verkn"upfung $\top:G\times G\ra G$
des Produktma"ses $\mu\boxtimes\nu$, 
in Formeln\index{)8a@$*$ Faltung!von Ma"sen}  
$$\mu\ast\nu=\mu\ast_\top\nu\pdef \top\!_\ast (\mu\boxtimes\nu)$$
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Der Begriff der Faltung scheint auf eine Arbeit aus dem Jahre 1923
von Gustav Doetsch mit dem Titel
\glqq Die Integrodifferentialgleichungen vom Faltungstypus\grqq\  
zur"uckzugehen. 
 Doetsch begr"undete  den
Gebrauch der Laplace-Trans\-for\-ma\-tion in den Ingenieurwissenschaften 
und wurde  1931  Professor in Freiburg. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Faltung $\sigma$-endlicher Ma"se}] 
  Die obige Definition der Faltung bleibt sinnvoll f"ur $\sigma$-endliche nichtnegative Ma"se.
  Allerdings mu"s die Faltung $\sigma$-endlicher Ma"se nicht mehr $\sigma$-endlich sein. Zum Beispiel liefert die Faltung des Lebesguema"ses
  auf $\DR$ mit
  sich selbst das Ma"s, das jeder me"sbaren Nullmenge
  den Wert Null zuordnet und
jeder anderen me"sbaren Menge 
den Wert Unendlich. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Beispiele}[\textbf{Faltung mit Diracma"sen}] 
  Sei $(G,\top)$ ein Me"smonoid. Die Faltung des Diracma"ses bei
  $g\in G$ mit dem Diracma"s bei $h\in G$
ist das Diracma"s bei $g\top h$, in Formeln
$\delta_g\ast \delta_h=\delta_{g\top h}$.
Die Faltung eines beliebigen komplexen Ma"ses $\mu$ 
mit dem Diracma"s bei $g\in G$
ist das \glqq um $g$ verschobene Ma"s $\mu$\grqq,
und zwar sowohl von rechts wie von links, in  Formeln
$$\delta_g\ast\mu =(g\top)_\ast\mu\quad \quad \mu\ast\delta_g
=(\top g)_\ast\mu$$ 
Insbesondere gilt stets
$\delta_e\ast\mu =\mu\ast \delta_e=\mu$ f"ur $e\in G$ das neutrale Element. Ich zeige nun beispielhaft, wie man die Formel $\mu\ast \delta_g=(\top g)_\ast\mu$
aus den Formeln unserer Formelsammlung \ref{FSKM} herleiten kann.
Bezeichne dazu ${\op{em}}_g:\op{me"s}\hra G$ die Abbildung,
die den einzigen Punkt von $\op{me"s}$
auf $g\in G$ wirft. Wir betrachten das kommutative Diagramm
 \begin{displaymath}
\xymatrix{
G\times{\op{me"s}}\ar[rr]^-{\op{id}\times {{\op{em}}_g}}\ar[d]_{\op{pr}} && G\times G \ar[d]^-{\top}\\
G\ar[rr]_-{(\top g)} && G
}
 \end{displaymath}
Oben links f"ullen wir das Ma"s $\mu\boxtimes\delta$ ein. Sein Bildma"s unter
 der oberen und der unteren Verkn"upfung mu"s "ubereinstimmen. Mit den
 Formeln unserer Formelsammlung und der Identit"at $\delta_g=(\op{em}_{g})_*\delta$
 bedeutet diese Erkenntnis dann
 die behauptete Formel $\mu\ast \delta_g=(\top g)_\ast\mu$.
\end{Beispiele}





\begin{Lemma}[\textbf{Faltungsalgebra}] 
Die Faltung von komplexen Ma"sen auf einem Me"smonoid  ist\label{BLKo} 
assoziativ und im Fall  eines kommutativen Monoids  kommutativ.
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
  Da wir bereits wissen, da"s die Faltung bilinear ist und das
Dirac-Ma"s beim neutralen Element ein Einselement, ist f"ur jedes Me"smonoid $G$ der Vektorraum 
$\op{M}(G)$ mit der Konvolution als\label{FalEX} 
Multiplikation eine $\DC$-Ring\-al\-ge\-bra.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Polynomring als Faltungsalgebra}] 
 F"ur $(G,\top)=(\DN,+)$ mit der
diskreten Topologie liefert etwa die Vorschrift
$\sum a_nX^n\mapsto \sum a_n\delta_n$ einen injektiven Homomorphismus
von Ringalgebren $\DC[X]\hra \op{M}(\DN)$. Dieselbe 
Vorschrift liefert auch im Fall $(G,\top)=(\DZ,+)$ einen injektiven Homomorphismus
von Ringalgebren $\DC[X, X^{-1}]\hra \op{M}(\DZ)$. 
\end{Beispiel}
\begin{proof}
Sei $G$ unser Me"smonoid.
Wir zeigen nur die Assoziativit"at 
und "uberlassen den Beweis
der zweiten Aussage 
dem Leser zur "Ubung.
Wir gehen aus vom kommutativen Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
(G\times G)\times G\ar[d]^-{\op{ass}} \ar[rr]^-{
\top \times \op{id} } & &G\times G \ar[rr]^-{
\top }&&G\ar@{=}[d]\\
G \times (G\times G) \ar[rr]^-{\op{id}\times\top } &&G\times G\ar[rr]^-{
\top }&&G  
}
\end{displaymath}
Gegeben komplexe Ma"se $\mu, \nu, \lambda\in {\op{M}}(G)$
wird $(\mu \boxtimes \nu) \boxtimes \lambda$
auf beiden Wegen auf dasselbe Ma"s abgebildet. Das zeigt 
$(\mu \ast \nu) \ast \lambda= \mu \ast (\nu \ast \lambda)$
wie behauptet.
\end{proof}




\begin{Satz}[\textbf{Fouriertransformation und Faltung}]
Die Fouriertransformierte der Faltung zweier komplexer Ma"se 
auf einer Fouriergruppe\label{FTF}  ist das
punktweise Produkt der Fouriertransformierten unserer beiden Ma"se, in
Formeln
\begin{equation*}
\mathcal F(\mu \ast \nu) =\mathcal F\mu \cdot \mathcal F\nu
\end{equation*}
\end{Satz}
\begin{Beispiele}
Im Fall eines Diracma"ses $\mu=\delta_g$ erhalten wir insbesondere
in Verallgemeinerung von \ref{EFou}.\ref{EFou3} die Formel
$\big(\mathcal F(g\top)_\ast\nu\big)(\chi)
=\llangle g,\chi\rrangle\big((\mathcal F\nu)(\chi)\big)$.\label{VSCM}  
Im Fall der Charakterpaarung $\DZ\times S^1\ra S^1$  mit $(n,z)\mapsto z^n$ 
ist die Verkn"upfung 
$$\DC[X, X^{-1}]\hra \op{M}(\DZ)\ra 
\mathcal C^{\op{b}}(S^1)$$ 
 das Einsetzen der durch die
Einbettung gegebenen Funktion $z:S^1\hra \DC$ in ein Laurentpolynom.
\end{Beispiele}


\begin{proof}[Beweis]
Sei $(G,+)$ unsere Fouriergruppe und seien $\mu, \nu
\in \op{M}(G)$ komplexe Ma"se. 
Da in der Behauptung beide Seiten bilinear sind, d"urfen wir 
unsere Ma"se  endlich und nichtnegativ annehmen, vergleiche \ref{FosT},  \ref{KFoM}.
Gegeben $\chi \in\hat{G}$  gilt es zu zeigen
$(\mu \ast \nu)^\wedge(\chi) = \mu^\wedge (\chi) \nu^\wedge (\chi)$ alias
\begin{equation*}
\int_G \llangle g,\chi\rrangle \;(\mu \ast \nu)\langle g\rangle = \left( \int_G \llangle h,\chi\rrangle
\mu \langle h \rangle \right) \left( \int_G \llangle k,\chi\rrangle \nu 
\langle k\rangle \right)
\end{equation*}
Mit  der Verwandtschaftsvertr"aglichkeit des Integrals \ref{BmI} 
und der Definition der Faltung k"onnen
wir die linke Seite umformen zu
\begin{equation*}
\int_{G\times G} (\chi \circ +)(h,k) \;(\mu \boxtimes \nu) 
\langle h,k\rangle=
\int_{G\times G}  \llangle h+k,\chi\rrangle \;(\mu \boxtimes \nu) \langle h,k\rangle
\end{equation*}
Wegen $\chi (h+k) = \chi (h) \chi (k) $ folgt die 
Behauptung so aus
dem Satz von Fubini.
\end{proof}




\begin{Bemerkungl}
  Gegeben  Mengen $X,Y$ und 
Abbildungen $f:X\ra \DC$ sowie $g:Y\ra \DC$ notieren wir  
$f\boxtimes g:X\times Y\ra \DC$\index{)xbox@$\boxtimes$ "au"seres Produkt!von Funktionen} 
die
 Funktion 
$f\boxtimes g:(x,y)\mapsto f(x)g(y)$ und nennen $f\boxtimes g$  das 
{\bf "au"sere Produkt}\index{"au"seres Produkt!von Funktionen} der
 Funktionen $f$ und $g$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Fouriertransformation und "au"seres Produkt}]
  Gegeben Charakterpaarungen $a:G\times\hat G\ra S^1$ und
  $b:H\times \hat H\ra S^1$ von Fouriergruppen
  kommutiert  das
Diagramm 
\begin{displaymath}
    \xymatrix{
      \op{M}(G)\times \op{M}(H) \ar[rr]^-{\mathcal F_a\times \mathcal F_b} \ar[d]_-{\boxtimes} 
&& \mathcal C^{\op{b}} (\hat G)\times \mathcal C^{\op{b}} (\hat H)\ar[d]^-{\boxtimes}\\
      \op{M}(G\times H) \ar[rr]^-{\mathcal F_{a\boxtimes b}} 
&&\mathcal C^{\op{b}} (\hat G\times\hat H)
    }
  \end{displaymath}
mit der Fouriertransformation zur Charakterpaarung $a\boxtimes b:(G\times H)\times (\hat G\times \hat H)\ra S^1$ gegeben 
durch $a\boxtimes b:\big((g,h),(\hat g,\hat h)\big)\mapsto a(g,\hat g)b(h,\hat h)$. 
Sind in Formeln  $\sigma
  \in \op{M} (G)$ und  $\tau \in \op{M} (H)$ komplexe Ma"se, so\label{ProFo} 
 gilt
  \begin{equation*}
    \mathcal F_{a\boxtimes b} (\sigma \boxtimes \tau)
    = \mathcal F_a\sigma \boxtimes \mathcal F_b\tau
  \end{equation*}
  Um das zu sehen, mu"s man nur f"ur $\hat g\in \hat G$ und $\hat h\in \hat H$
  die Werte beider Seiten an der Stelle $(\hat g,\hat h)$ vergleichen.
  Es gilt also, die Identit"at
  $$\int_{G\times H}(\hat g\boxtimes \hat h)\;\sigma\boxtimes \tau=\left(\int_{G}\hat g\sigma\right)\left(\int_{H}\hat h\tau\right)$$
  zu pr"ufen. Die aber ist klar nach dem Satz von Fubini erst f"ur nichtnegative reelle Ma"se, dann aber mit der Bilinearit"at
  beider Seiten auch im allgemeinen. 
\end{Bemerkungl}




\begin{proof}[Beweisvariante zu \ref{FTF}] Wir zeigen nun  unsere Identit"at $\mathcal F(\sigma \ast \tau) =\mathcal F\sigma \cdot \mathcal F\tau$ f"ur komplexe  Ma"se auf einer Fouriergruppe $(G,+)$ ein weiteres
  Mal. Wir k"onnen im Fall $G=H$ unser Diagramm von \ref{ProFo} durch
  eine untere H"alfte erg"anzen
  zu einem kommutativen Diagramm 
\begin{displaymath}
    \xymatrix{
      \op{M}(G)\times \op{M}(G) \ar[rr]^-{\mathcal F\times \mathcal F} \ar[d]^-{\boxtimes} 
&& \mathcal C^{\op{b}} (\hat G)\times \mathcal C^{\op{b}} (\hat G)\ar[d]^-{\boxtimes}\\
      \op{M}(G\times G) \ar[d]^-{+_*}\ar[rr]^-{\mathcal F} 
      &&\mathcal C^{\op{b}} (\hat G\times\hat G)\ar[d]^-{\circ \Delta}\\
     \op{M}(G) \ar[rr]^-{\mathcal F} 
      &&\mathcal C^{\op{b}} (\hat G)
    }
  \end{displaymath}
Das folgt aus \ref{adCH}, denn  die Verkn"upfung $+$
und die diagonale Einbettung
$\Delta$ sind adjungiert f"ur die Charakterpaarungen $a\boxtimes a$ und $a$ alias  $$\llangle +(g,h), \hat g\rrangle_a= \llangle (g,h), \Delta(\hat g)\rrangle_{a\boxtimes a}\quad \forall g,h\in G, \hat g\in\hat G$$ 
In der Tat k"onnen wir das  umschreiben zu  $a(g+h,\hat g)=a(g,\hat g)a(h,\hat g)$
und das gilt, da $a$ eine Charakterpaarung ist.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Falten von Ma"sen mit integrierbaren Funktionen}]
 Gegeben $(G,+,\lambda)$ eine Fouriergruppe  mit  Haarma"s 
  betrachten wir die Einbettung $(\cdot\lambda):{\op{L}}^1(G;\lambda)\hra {\op{M}}(G)$.
    Das Bild dieser Einbettung ist stabil unter der Faltung mit beliebigen
    komplexen Ma"sen. Genauer behaupten wir f"ur alle 
    $\sigma\in {\op{M}}(G)$ und
    $f\in {\mathcal{L}}^1(G;\lambda)$ die Gleichheit
    $$\sigma\ast (f\lambda)= h\lambda$$
    mit $h$ der  fast "uberall definierten
    Funktion $h(y)\pdef \int f(y-x)\sigma\langle x\rangle$.
    Es reicht, das f"ur $\sigma$ ein reelles nichtnegatives Ma"s zu zeigen.  
    Hier gilt es zu beachten, da"s  $(x,y)\mapsto f(y-x)$ 
    in Bezug auf $(\sigma\boxtimes\lambda)\langle x,y\rangle$ integrierbar ist
    auf $G\times G$ nach Fubini, denn wir k"onnen $|f(y-x)|$ erst "uber
    $\lambda\langle y\rangle$ integrieren und erhalten eine von $x$ unabh"angige
    endliche Konstante.  Also liefert nach Fubini \ref{Fuba}
    auch das partielle Integral nach
    $\sigma\langle x\rangle$ eine integrierbare Funktion $h(y)$.
    Um nun die behauptete Identit"at von Ma"sen zu zeigen,
    nehmen wir eine me"sbare Funktion $\phi:G\ra [0,\infty]$ her und finden
    $$\textstyle \int \phi(x)\; (\sigma\ast (f\lambda))\langle x\rangle=\int \phi(x+y) (\sigma\boxtimes (f\lambda))\langle x,y\rangle=\int \phi(x+y)f(y) (\sigma\boxtimes \lambda)\langle x,y\rangle$$
$$\textstyle\int \phi(x) \; (h\lambda)\langle x\rangle=\int \phi(y) \int f(y-x)\sigma\langle x\rangle \lambda\langle y\rangle=\int \phi(y)  f(y-x) (\sigma\boxtimes \lambda)\langle x,y\rangle$$
    Auf der rechten Seite k"onnen wir hier erst "uber $y$ und dann "uber $x$ integrieren und im ersten Schritt beim unteren Integral
    $y$ durch $x+y$ substituieren und sehen so, da"s das in der Tat gleich ist.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Falten integrierbarer Funktionen}] 
 Gegeben $(G,+,\lambda)$ eine Fouriergruppe  mit  Haarma"s
 erhalten wir f"ur integrierbare Funktionen
 $f,g\in {\op{L}}^1(G;\lambda)$ insbesondere
   $(f\lambda)\ast (g\lambda)= (h\lambda)$ mit der Funktion $h\in {\op{L}}^1(G;\lambda)$ gegeben durch 
    $h(y)=\int f(y-x) g(x)\lambda\langle x\rangle$. Man erkl"art
   oft die Faltung von Funktionen direkt vermittels dieser
   Formel und setzt
   $$f\ast g=f\ast_\lambda g\pdef \int f(y-x) g(x)\lambda\langle x\rangle$$
\end{Bemerkungl}


    


\begin{Satz}[\textbf{Abstrakter\index{zentraler Grenzwertsatz} 
zentraler Grenzwertsatz}]
Ist $\mu$ ein Wahrscheinlichkeitsma"s auf $\Bbb{R}$,\label{AzG} 
unter dem $x$ und $x^2$ integrierbar sind mit 
$\int x \mu \langle x \rangle =0$ und $\int x^2 \mu \langle x \rangle = 1$,
so konvergiert die Folge der jeweils um den Faktor $\sqrt{n} $ gestauchten 
iterierten Faltungen $\mu^{\ast n}$ gegen die 
\emph{\bf Standard-Normalverteilung}\index{Normalverteilung} 
$ \op{e}^{-x^{2}/2} \diff x/\sqrt{2\pi}$ im Sinne einer 
gleichm"a"sigen Konvergenz der Verteilungsfunktionen. In Formeln
haben wir also gleichm"a"sig in $a\in\DR$ die Konvergenz
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{\sqrt{n}\cdot a} \mu^{\ast n} \quad\longrightarrow \quad
\int^a_{-\infty} \frac{\op{e}^{-x^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}\diff x
\qquad\text{f"ur $n \rightarrow \infty$.} \end{equation*}
\end{Satz}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[height=0.5\textheight]{SkriptenBilder/BildZGS}\\[4mm]
\noindent 
In der linken Spalte sind die erste, zweite und vierte
Faltungspotenz desjenigen Wahrscheinlichkeitsma"ses $\mu$ darsgestellt,
das die Summe der H"alfte der Diracma"se an den 
Stellen $1/4$ und $-1/4$ ist. Diese Faltungspotenzen sind wieder
Summen von Diracma"sen, und das Ma"s eines Punktes entspricht der L"ange des
an der entsprechenden Stelle angehefteten vertikalen Strichleins.
In der rechten Spalte sind entsprechend f"ur $n=1,2,4$ 
die um den Faktor $\sqrt{n}$
in $x$-Richtung gestauchten Ma"se dagestellt.
Die untere Zeile schlie"slich entsteht aus der rechten Spalte, 
indem wir jedes Strichlein durch ein T"urmchen ersetzen, dessen
Fl"ache gerade die L"ange unseres Strichleins ist. Der 
zentrale Grenzwertsatz bedeutet in obigem Spezialfall
anschaulich, da"s auf jedem kompakten Intervall 
die Treppenfunktionen der unteren Zeile gleichm"a"sig
gegen eine entsprechend normalisierte
Gauss'sche Glockenkurve  streben. 
\end{figure}

\begin{Bemerkunge}
In der Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie h"ort sich 
unser zentraler Grenzwertsatz \ref{AzG} dann so an:
Gegeben eine Folge identisch verteilter stochastisch unabh"angiger
reeller Zufallsvariablen  $X_1, X_2, \ldots$
 mit Erwartungswert Null und Varianz Eins
konvergiert die Folge der Zufallsvariablen 
$$\frac{1}{\sqrt{n}}(X_1+\ldots+X_n)$$
in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung.
\end{Bemerkunge}

\begin{proof}
Wir arbeiten mit der stochastisch standardisierten Fouriertransformation, also der Charakterpaarung $s:\DR\times\DR\ra S^1$ gegeben durch $s(x,y)={\op{e}}^{{\op{i}}xy}$. Unsere Bedingungen liefern, da"s die Fouriertransformierte 
alias die charakteristische Funktion 
$\mu^\wedge$ von $\mu$ im Sinne von \ref{ChaFu} zweimal stetig differenzierbar 
ist. Ihre Taylorentwicklung um den Nullpunkt liefert 
mithilfe einer offensichtlichen Verallgemeinerung von
\ref{EFou}.\ref{EFou6}
eine Darstellung
\begin{equation*}
\mu^\wedge (y) = 1 - \frac{y^{2}}{2} + y^2 \varepsilon (y)
\end{equation*}
f"ur $\varepsilon:\DR\ra\DR$ stetig mit $\varepsilon(0)=0$.
Nach \ref{FTF} ist nun die Fouriertransformierte der Faltung das 
Produkt der Fouriertransformierten. Verwenden wir
zus"atzlich die Nat"urlichkeit \ref{EFou}.\ref{EFou5} oder besser
\ref{BMIn}, so ergibt sich f"ur die charakteristische
Funktion der um den Faktor $\sqrt{n}$ gestauchten 
$n$-fach iterierten Faltung die Darstellung 
\begin{equation*}
\left((n^{-1/2})_\ast \mu^{\ast n}\right)^\wedge (y)= 
\left(1- \frac{y^{2}}{2n} + \frac{y^{2}}{n}\;\varepsilon \!
\left(\frac{y}{\sqrt{n}}\right) \right)^n
\end{equation*}
Hier steht $(n^{-1/2})_\ast$ f"ur das Bildma"s im Sinne von \ref{BiMaU}
unter der durch die Multiplikation mit $n^{-1/2}$ gegebenen Abbildung
$\DR\ra\DR$.
Unsere Funktionenfolge
strebt nun nach \eref{FGEX}{AN1} punktweise  gegen 
die Funktion $\op{e}^{-y^{2}/2}$
und all ihre Glieder sind als charakteristische Funktionen von 
Wahrscheinlichkeitsma"sen betragsm"a"sig beschr"ankt durch Eins. 
Aus dem Satz "uber dominierte Konvergenz folgt damit
f"ur jede Funktion $\psi$ des Schwartzraums
$$\int\left((n^{-1/2})_\ast \mu^{\ast n}\right)^\wedge (y) \;\psi(y)\diff y
\ra 
\int \op{e}^{-y^{2}/2} \psi(y)\diff y$$
bei $n\ra\infty$.
Nach \ref{RG} ist die Funktion $\op{e}^{-y^{2}/2}$ die 
charakteristische Funktion im Sinne von \ref{ChaFu} des Ma"ses
$\op{e}^{-x^{2}/2} \diff x/\sqrt{2\pi}$, so da"s wir wie im Beweis 
von 
\ref{InFo} mit der Erkenntnis, da"s die Fouriertransformation 
im wesentlichen ihre eigene Transponierte ist, folgern k"onnen, 
da"s f"ur alle Funktionen $\varphi$ des Schwarzraums  gilt
$$\int \varphi(x) \left((n^{-1/2})_\ast \mu^{\ast n}\right)\!\langle x\rangle
\ra 
\int \varphi(x) \frac{\op{e}^{-x^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}\diff x$$
bei $n\ra\infty$.
Das anschlie"sende Lemma \ref{VFK} beendet dann den Beweis.
\end{proof}

\begin{Lemma}\label{VFK}
Seien $(\mu_n)_{n \in \Bbb{N}}$ eine Folge von Wahrscheinlichkeitsma"sen auf 
 $\Bbb{R}$ und $\mu$ ein  Wahrscheinlichkeitsma"s mit einer stetigen 
Verteilungsfunktion $V = V_\mu$. Gilt $$\int \varphi (x) \mu_n \langle x \rangle
\rightarrow \int \varphi (x) \mu \langle x \rangle\quad
\text{ bei }n \rightarrow \infty$$ f"ur
jede Schwartzfunktion $\varphi$, so streben die Verteilungsfunktionen 
$V_n$ der 
$\mu_n$ gleichm"a"sig gegen die Verteilungsfunktion $V$ von $\mu$.
\end{Lemma}

%\nichtfinal{Die Funktion $g$ ist stetig und  sogar 
%gleichm"a"sig stetig nach \eref{bmgs}{AN1}. WOHIN?}  

\begin{proof} 1. 
Alle unsere Verteilungsfunktionen streben gegen Null f"ur 
$b \rightarrow -\infty$ und gegen Eins f"ur 
$b \rightarrow \infty$ und wachsen monoton. Die Funktion
$V$ ist stetig und  sogar 
gleichm"a"sig stetig nach \eref{bmgs}{AN1}.
Es ist damit nicht schwer einzusehen, da"s 
aus der punktweisen Konvergenz $V_n (b)
\rightarrow V(b)$ bereits die gleichm"a"sige Konvergenz folgt.
\\[2mm]\noindent 2. 
Gegeben $I \subset J \subset \Bbb{R}$ beschr"ankte 
Intervalle mit $\bar{I} \subset J^\circ$ finden 
wir eine glatte Funktion $\varphi : \Bbb{R} \rightarrow [0,1]$, die auf
$I$ Eins ist und die au"serhalb von $J$ verschwindet.
Sicher gilt dann
$
\mu (I) \leq \int \varphi (x) \mu \langle x \rangle \leq \mu (J)
$
und ebenso f"ur alle $\mu_n$.
Wir finden folglich f"ur alle $\varepsilon >0$ ein $N= N(I,J,\varepsilon)$
derart, da"s f"ur $n\geq N$ sowohl gilt 
$\mu_n (I) \leq \int \varphi (x) \mu_n \langle x \rangle \leq \mu (J)+\varepsilon$ als auch  
$\mu (I)-\varepsilon \leq \int \varphi (x) \mu_n \langle x \rangle \leq \mu_n (J)$.
\\[2mm]\noindent 3. 
Sind also $I \subset J \subset K \subset \Bbb{R}$ 
beschr"ankte Intervalle mit $\bar I\subset J^\circ$ und $\bar J\subset K^\circ$,  so folgt
\begin{equation*}
\mu (I) - \varepsilon \leq \mu_n (J) \leq \mu (K) +\varepsilon
\end{equation*}
f"ur hinreichend gro"ses $n\geq N(I,J,K,\varepsilon)$.
\\[2mm]\noindent 4. 
Da wir die Verteilungsfunktion von $\mu$ stetig 
angenommen hatten, k"onnen wir f"ur ein gegebenes 
beschr"anktes Intervall $J \subset \Bbb{R}$ und 
beliebiges $\varepsilon > 0$ auch beschr"ankte 
Intervalle $I,K$ wie oben finden mit $\mu (K) - \mu (I) \leq \varepsilon$.
Zusammen folgt so f"ur jedes beschr"ankte Intervall $J \subset \Bbb{R}$ bereits
\begin{equation*}
\lim_{n \rightarrow \infty} \mu_n (J) = \mu (J)
\end{equation*}
\\[2mm]\noindent 5. Schlie"slich finden wir f"ur jedes $\varepsilon > 0$ ein Intervall $[a,b)$ mit 
$\mu ([a,b)) \geq 1-\varepsilon$ und folglich 
$\mu ((-\infty, a)) \leq \varepsilon$.
F"ur hinreichend gro"ses $n$ gilt dann $\mu_n ([a,b)) \geq 1-2\varepsilon$ 
und damit $\mu_n ((-\infty, a)) \leq 2\varepsilon$.
F"ur $x \leq a$ gilt bereits f"ur diese $n$ die Absch"atzung
$
| \mu (( - \infty, x)) - \mu_n (( - \infty, x)) | \leq 3\varepsilon 
$.
F"ur $x > a$ m"ussen wir zus"atzlich $n$ noch so gro"s w"ahlen, da"s
$
| \mu ([a,x)) - \mu_n ([a,x))| \leq \varepsilon
$, 
und dann folgt f"ur derart gro"se $n$ offensichtlich 
\begin{equation*}
| \mu ((-\infty, x)) - \mu_n ((- \infty, x)) | \leq 4 \varepsilon
\end{equation*}
alias die punktweise Konvergenz der Verteilungsfunktionen.
\end{proof}

\begin{Bemerkungw}
  Wir haben nun zwei Schmelzfunktoren von der kartesischen Schmelzkategorie
  der Fouriergruppen in die Schmelzkategorie der komplexen Vektorr"aume,
  den Schmelzfunktor $G\mapsto \op{M}(G)$ aus der Spezialisierung von \ref{MsCn}
  und einen Schmelzfunktor $G\mapsto \mathcal C(\hat G)$. Die Fouriertransformation ist nach dem vorhergehenden eine Transformation
  vom ersten dieser Schmelzfunktoren zum zweiten. 
\end{Bemerkungw}



\subsection{Wellengleichung und Fouriertransformation}
\begin{Bemerkungl}
  Eine {\bf Halbmetrik}\index{Halbmetrik} auf einer Menge $X$ ist eine
  Abbildung $d:X\times X\ra \DR_{\geq 0}$ mit $d(x,y)=d(y,x)$ und
  $d(x,z)\leq d(x,y)+ d(y,z)$ f"ur alle $x,y,z\in X$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Topologie zu einer Halbmetrik}] 
  Gegeben eine  Halbmetrik $d$ auf einer Menge $X$ erkl"aren wir die zugeh"orige Topologie als die Topologie, die von allen B"allen $${\op{B}}(x;r)\pdef\{y\in X\mid d(x,y)<r\}$$ f"ur $x\in X$ und $r> 0$ erzeugt wird. Diese Topologie
  ist Hausdorff genau dann, wenn $d$ eine Metrik ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Eine {\bf Halbnorm}\index{Halbnorm} auf einem reellen oder komplexen
  Vektorraum $V$ ist eine Abbildung $\|\;\|:V\ra \DR_{\geq 0}$
  mit $\| v+w\|\leq \|  v\|+\|w\|$ f"ur alle $v,w\in V$
  und $\|\alpha v\|=|\alpha|\| v\|$ f"ur alle reellen beziehungsweise komplexen
  Skalare.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Halbmetrik zu einer Halbnorm}]
  Jede Halbnorm auf einem reellen oder komplexen Vektorraum
  $V$ induziert eine Halbmetrik durch die Vorschrift
  $$d(v,w)\pdef \|v-w\|$$ 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Topologie auf dem Schwartzraum}]
  Wir betrachten auf dem Schwartzraum $\mathcal S(\DR)$ der glatten schnell abfallenden Funktionen die Halbnormen
  $$\|f\|_{s,r}\pdef \|x^s\partial^rf\|_\infty$$
  f"ur $s,r\in \DN$ und versehen ihn mit der Topologie, die von den Topologien zu allen diesen Halbnormen erzeugt wird. Mit dieser Topologie  wird der
  Schwartzraum offensichtlich ein Hausdorffraum\label{TaS} und auch ein
  topologischer Vektorraum, als da hei"st, die Additition
  $\mathcal S(\DR)\times \mathcal S(\DR)\ra \mathcal S(\DR)$ und die
  Multiplikation mit Skalaren $\DC\times \mathcal S(\DR)\ra \mathcal S(\DR)$
  sind stetig. 
\end{Bemerkungl}
  \begin{Proposition}[\textbf{Fouriertransformation als Hom"oomorphismus}] 
    Die Fouriertransformation induziert auf dem Schwartzraum  einen
    Hom"oomorphismus\label{FaHH}   
$$\mathcal F\circ (\cdot\diff x): \mathcal S(\DR)\sira \mathcal S(\DR)$$
  \end{Proposition}
 \begin{proof}
 Wir arbeitem mit der Charakterpaarung $s(x,y)={\op{e}}^{-{\op{i}}xy}$.    Aufgrund der Inversionsformel \ref{IVFO} reicht es, die Stetigkeit zu zeigen. Wir bemerken nun, da"s auch die Halbnormen $$\|f\|_{(r,s)}\pdef \|\partial^r x^sf\|_\infty$$ unsere Topologie erzeugen, wie der Leser leicht selbst einsehen kann. 
    Nun ist $1/(1+x^2)$ integrierbar. Bezeichnet $C$ sein Integral,
    so finden wir von der Mitte ausgehend
    $$\begin{array}{lll}
      \big( \|f\|_{0,0}\leq A/2 \text{ und } \|f\|_{2,0}\leq A/2\big)  &\RA&  \|(1+x^2)f\|_{\infty}\leq A \\ &\RA&  |f|\leq A/(1+x^2)\\
      &\RA& \|\mathcal F f\|_\infty=\|\mathcal F f\|_{0,0} \leq AC
    \end{array}
    $$
    und mit den Formeln \ref{KoDF} f"ur das Vertauschen zwischen Multiplikation mit Koordinaten und Ableitung unter der Fouriertransformation ebenso
    \begin{displaymath}
      \big( \|f\|_{(r,s)}\leq A/2 \text{ und } \|f\|_{(r,s+2)}\leq A/2\big) \; \RA \; \|\mathcal F f\|_{s,r} \leq AC.
    \qedhere\end{displaymath}
  \end{proof}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Fouriertransformation und Wellengleichung}]
  Wir erinnern aus \eref{LlW}{AN2} die eindimensionale Wellengleichung $\partial_t^2 f=\partial_x^2 f$ f"ur  $f\in \mathcal C^2(\DR^2)$ und die
  Menge ihrer L"osungen. Hier diskutiere ich einen anderen Zugang,
  der sich auf h"ohere Dimensionen verallgemeinern l"a"st. 
  Wir suchen bei diesem Zugang  zweimal stetig differenzierbare
  Abbildungen der Zahlengeraden in den Schwartzraum
  $$q: \DR\ra \mathcal S(\DR)$$
  in der Notation  $q:t\mapsto q(t)$ oder $(q(t))(x)=q(x,t)$ mit 
  $$\partial^2_t q= \partial^2_x q $$
  Hier meinen wir mit $(\partial_tq)(s)\pdef \lim_{h\ra 0}\big(q(s+h)-q(s)\big)/h$
  den Grenzwert im Schwartzraum $\mathcal S(\DR)$ mit seiner in \ref{TaS}  erkl"arten Topologie. 
  Es ist leicht zu sehen, da"s $f(x,t)\pdef q(x,t)$ unsere urspr"ungliche
  Wellengleichung l"ost, wenn der Weg $q:\DR\ra \mathcal S(\DR)$
  im Schwartzraum die oben beschriebene Eigenschaft hat.
  Wir erhalten so zwar nicht alle L"osungen,
  weil wir ja in \eref{LlW}{AN2} durchaus L"osungen gefunden hatten, deren
  Einschr"ankung auf eine feste Zeit $t$ nicht im Schwartzraum liegt.
  Dahingegen erhalten wir ein L"osungsverfahren, das sich auf h"ohere Dimensionen verallgemeinern l"a"st. 
  Die  Fouriertransformation $$\mathcal F_s \circ (\cdot \diff x): \mathcal S(\DR)\sira \mathcal S(\DR)$$ zur Charakterpaarung
  $s(x,y)={\op{e}}^{-{\op{i}}xy}$ 
   ist nun n"amlich Vektorraumisomorphismus und nach \ref{FaHH} auch ein Hom"oomorphismus 
   und das Nachschalten von $\mathcal F_s\circ (\cdot \diff x)$ liefert folglich  eine
  Bijektion zwischen den L"osungen $q$ unserer Gleichung und der Menge der  
  zweimal stetig differenzierbaren Abbildungen
  $\hat q: \DR\ra \mathcal S(\DR)$ mit 
$$\partial^2_t \hat q= - y^2 \hat q$$
 Halten wir hier $y$ fest, so ist das eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, die wir mit dem Ansatz
$\hat q(y,t)=\op{exp}\lambda(y)t$ l"osen k"onnen.
Wir erhalten $\lambda(y)^2= - y^2$ und $\lambda(y)=\pm{\op{i}} y$ und die allgemeine L"osung
$$\hat q(y,t)=a {\op{e}}^{{\op{i}} yt} + b  {\op{e}}^{-{\op{i}} yt}= (a+b)\cos(yt) + {\op{i}}(a-b)\sin(yt)$$
mit $\hat q(y,0)=  a+b$ sowie $\hat q_t(y,0) ={\op{i}} y(a-b)$.
Wir k"onnen mithin jede L"osung $\hat q$ schreiben als 
$$\hat q(y,t)= (\cos yt)\hat q(y,0) + \big((\sin yt)/y\big)\hat q_t(y,0)$$
Mit etwas sorgf"altigeren Absch"atzungen sehen wir auch, da"s
die durch diese Gleichung gegebene
Funktion $\hat q(y,t)$ f"ur beliebige Vorgaben von zwei 
Schwartzfunktionen $\hat q(y,0)$ und $\hat q_t(y,0)$ in der Tat
eine zweimal stetig nach $t$ differenzierbare Abbildung
$\hat q:\DR\ra \mathcal S(\DR)$ liefert.  
Nun wissen wir bereits $\mathcal F_s(\delta_{t}+\delta_{-t})/2=\cos yt$
f"ur $\delta_{\pm t}$ das Diracma"s bei $y=\pm t$
und
als Variante von \ref{Hakk} erhalten wir $\mathcal F_s(\chi_{[-t,t]}\diff x)/2=(\sin yt)/y$ f"ur $t\geq 0$ und entsprechend $\mathcal F_s(-\chi_{[t,-t]}\diff x)/2=(\sin yt)/y$ f"ur $t\leq 0$.\label{Haj}  Da
die Fouriertransformation Faltung in Multiplikation verwandelt, ist unsere
Beschreibung von $\hat q$  "aquivalent zu
$$\textstyle\mathcal F_s \big(q(x,t)\!\diff x\big)
= \mathcal F_s\big(\frac{1}{2}(\delta_{t}+\delta_{-t})\ast q(x,0)\!\diff x\big)+ \mathcal F_s\big(\frac{1}{2}(\chi_{[-t,t]}-\chi_{[t,-t]} )\!\diff x\ast q_t(x,0)\!\diff x\big)$$
Da die Fouriertransformation des weiteren
injektiv und komplexlinear ist, können wir sie   weglassen und erhalten
$$\textstyle q(x,t)\!\diff x
= \frac{1}{2}(\delta_{t}+\delta_{-t})\ast q(x,0)\!\diff x + \frac{1}{2}(\chi_{[-t,t]}-\chi_{[t,-t]} )\!\diff x\ast q_t(x,0)\!\diff x$$
oder ausgeschrieben\label{LdW}  
$$ q(x,t)
= \frac{q(x-t,0)+ q(x+t,0)}{2}
+ \frac{1}{2}\int_{-t}^t q_t(x+s,0)\diff s 
$$
Das ist also die Beschreibung einer beliebigen zweimal stetig differenzierbaren Abbildung $q:\DR\ra \mathcal S(R)$, die die obige Gleichung $\partial^2_t q= \partial^2_x q $ erf"ullt, durch \glqq Ort und Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0$\grqq.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauliche Bedeutung obiger L"osungen der Wellengleichung}]
  In meiner Anschauung tritt
  die Bedeutung der in \ref{LdW} beschriebenen L"osungen der
  Wellengleichung besonders deutlich hervor, wenn
wir darin, obwohl das unser begrifflicher Rahmen bis jetzt noch nicht erlaubt,
$q(x,0)=\delta_0/\!\diff x$ und $q_t(x,0)=0$ beziehungsweise  $q(x,0)=0$ und $q_t(x,0)=\delta_0/\!\diff x$ einsetzen.
Im ersten Fall sehe ich zwei Teilchen der Masse $1/2$, die von rechts und links
kommend sich zum Zeitpunkt Null zu einem Teilchen der Masse $1$ am Ursprung
erg"anzen um dann wieder auseinanderzulaufen. Im zweiten Fall sehe ich eine
am Ursprung zentrierte Rechtecksfunktion der H"ohe $-1/2$, deren
Tr"ager mit der Zeit immer schmaler wird um beim Zeitpunkt $t=0$ zu verschwinden, wobei
die Funktion ins Positive umschl"agt um sich als Rechtecksfunktion der
H"ohe $1/2$ wieder zunehmend zu verbreitern. Einen begrifflichen Rahmen, der
diese Anschauung erlaubt und rechtfertigt, bilden die sogenannten Distributionen. Mit deren Hilfe l"a"st sich dann auch die  Wellengleichung
in h"oherdimensionalen R"aumen ganz "ahnlich l"osen. Mehr dazu k"onnen Sie
in Vorlesungen "uber Funktionalanalysis oder partielle Differentialgleichungen
lernen. 
\end{Bemerkungl}

  

\nichtfinal{ITERIERTE UND PARTIELLE FOURIERTRANSFORMATION DISKUTIEREN!
  ST"ARKER ALS BOXTIMES! Geht aber nicht immer, halt nur
  in Fubini-Situationen.} 




\subsection{Inversionsformel f"ur Fouriergruppen*}
\begin{Bemerkungl}
Wir beginnen mit der Konstruktion 
des Schwartzraums f"ur allgemeine Fouriergruppen und
verallgemeinern dazu unsere
Formeln \ref{EFou}.\ref{EFou7} und  \ref{EFou}.\ref{EFou6}
f"ur die Beziehung zwischen partiellen Ableitungen und der
Fouriertransformation. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Gegeben ein Gruppenweg $\xi : \mathbb R \rightarrow G$ in einer Fouriergruppe $(G,+)$ und eine Abbildung 
$f : G\rightarrow \mathbb C$ sagen wir, $f$ besitze bei $g \in G$ 
eine {\bf Richtungsableitung
in Richtung $\xi$}, wenn $t \mapsto f (\xi (t)+g)$ bei $t = 0$ differenzierbar ist. Die Ableitung dieser Abbildung bei
$t = 0$ notieren wir dann $$(\partial_\xi f)(g)$$
Existiert sie f"ur alle $g \in G$, so nennen wir $f$ 
{\bf differenzierbar nach $\xi$} und notieren die
entsprechende Funktion auf unserer Gruppe $\partial_\xi f$.
Ist $\partial_\xi f(\xi(t)+g)$ zus"atzlich stetig in $t$ f"ur alle $g$, so nennen wir $f$ {\bf partiell stetig differenzierbar nach $\xi$}.
\end{Definition}



\begin{Bemerkungl} Gegeben eine Fouriergruppe $G$ nennen wir einen stetigen
  Gruppenhomomorphismus $G\ra{\op{i}}\DR$ eine  {\bf Imagin"arkoordinate von $G$}.\index{Imagin"arkoordinate}
\end{Bemerkungl}
 \begin{Bemerkungl} Sei  $a:G\times \hat G\ra S^1$ eine Charakterpaarung von Fouriergruppen. Gegeben eine Imagin"arkoordinate  $\xi:G\ra {\op{i}}\DR$ erkl"aren wir  den  {\bf adjungierten  Gruppenweg} $\hat \xi=\hat \xi_a:  \DR\ra\hat G$
   durch die Identit"at\label{KgW}
$$\llangle g,\hat \xi(t)\rrangle_a= {\op{e}}^{\xi(g)t}\quad\forall g\in G,t\in\DR$$
 In der Terminologie aus \ref{adCH} ist das der zu $\xi$ adjungierte Homomorphismus
  in Bezug auf die Charakterpaarung $s:{\op{i}}\DR\times \DR\ra S^1$ gegeben durch
  $(r,t)\mapsto {\op{e}}^{rt}$ und wir k"onnten ihn  ausf"uhrlicher 
  $\hat \xi_a= \hat \xi_{a,s}$ notieren.
 Weiter erkl"aren wir f"ur jeden
  Gruppenweg $\kappa: \DR\ra G$ die {\bf adjungierte  Imagin"arkoordinate}
  $\hat\kappa=\hat \kappa_a: \hat G\ra{\op{i}}\DR$ durch die Identit"at
   $${\op{e}}^{-t\hat \kappa(\hat g)}= \llangle \kappa(t),\hat g\rrangle_a \quad\forall t\in\DR,\hat g\in \hat G$$
In der Terminologie aus \ref{adCH} ist das der zu $\kappa$ in Bezug auf die duale Charakterpaarung $\hat s:\DR\times {\op{i}}\DR\ra S^1$ adjungierte Homomorphismus und wir k"onnten ihn auch ausf"uhrlicher 
  $\hat \kappa_a= \hat \kappa_{\hat s,a}$ notieren.
\end{Bemerkungl}

 \begin{Beispiel}
   Gehen wir von der Charakterpaarung $a:\DR^n\times\DR^n\ra S^1$ aus,
   die gegeben wird durch $a( x, y)\pdef {\op{e}}^{-{\op{i}}x\cdot y}$, so ist
    $-{\op{i}}x_\nu:\DR^n\ra\DR$ eine Imagin"arkoordinate
   mit adjungiertem Gruppenweg $t\mapsto t{\op{e}}_\nu$
   im $\DR^n$ mit $y$-Koordinaten.
   Umgekehrt ist $t\mapsto t{\op{e}}_\nu$ ein Gruppenweg im $\DR^n$ mit $x$-Koordinaten 
   mit  ${\op{i}}y_\nu:\DR^n\ra\DR$  als 
   adjungierter Imagin"arkoordinate. 
 \end{Beispiel}

\begin{Proposition}[\textbf{Fouriertransformierte einer Richtungsableitung}]
  Seien  $a:G\times \hat G\ra S^1$ eine Charakterpaarung von Fouriergruppen, $\lambda$ ein Haarma"s auf $G$
  und $\kappa : \mathbb R \rightarrow G$ ein Gruppenweg.
Ist $f \in \mathcal L^1 (G, \lambda)$ partiell stetig differenzierbar nach $\kappa$ mit $\partial_\kappa f \in \mathcal L^1 (G, \lambda)$,\label{brevexi}  so gilt f"ur $\hat\kappa$ die adjungierte Imagin"arkoordinate 
\begin{equation*}
\mathcal F ((\partial_\kappa f) \lambda) = \hat \kappa \mathcal F (f\lambda)
\end{equation*}
\end{Proposition}









\begin{proof}
Wir betrachten die Funktion
$
 G \times \mathbb R \rightarrow \mathbb C , (g, t) \mapsto  f(\kappa (t)+ g)$.
An jeder Stelle $(g,t) \in G \times \mathbb R$ ist sie differenzierbar
nach $t$ mit der Ableitung 
$$\partial_t\left( f(\kappa (t)+ g)\right)=(\partial_\kappa f) (\kappa (t)+g)$$ und diese Ableitung ist stetig in $t$. Also
gilt f"ur festes $g \in G$ und $c\in \DR$ nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
\begin{equation*}
\int^c_0 (\partial_\kappa f) (\kappa (t)+g) \diff t = f (\kappa (c)+g) - f(g)
\end{equation*}
Nach unseren Annahmen ist $(g,t)\mapsto (\partial_\kappa f) (\kappa (t)+g)$ f"ur festes $c > 0$ integrierbar auf 
$G \times [0,c]$ und wir
erhalten durch Multiplikation mit $\llangle g,\hat g\rrangle$ und Integration "uber $G$
f"ur jeden Charakter $\hat g \in \hat G$ die Identit"at
\begin{eqnarray*}
\big( \llangle\kappa (-c),\hat g\rrangle -1\big) (\mathcal F f\lambda)(\hat g)& = & \int_G \int^c_0 \llangle g,\hat g\rrangle \;(\partial_\kappa f) (\kappa (t)+g) \;\diff t \boxtimes \lambda\\
&=&  \int_0^c \int_G \llangle \kappa (-t)+ g,\hat g\rrangle \;(\partial_\kappa f)(g)\; \lambda \boxtimes \diff t\\
&=& (\mathcal F(\partial_\kappa f)\lambda) (\hat g)\;  \int^c_0 \llangle \kappa (-t),\hat g\rrangle \;\diff t
\end{eqnarray*}
Teilen wir beide Seiten unserer obigen Identit"at durch $c$ und erinnern ${\op{e}}^{-t\hat \kappa(\hat g)}= \llangle \kappa(t),\hat g\rrangle$, 
so sehen wir, da"s im Grenzwert $c \rightarrow 0$ der Quotient
$({\op{e}}^{c\hat \kappa(\hat g)}-1)/c $ wie gew"unscht gegen $ \hat\kappa(\hat g)$ strebt.
\end{proof}



\begin{Proposition}[\textbf{Richtungsableitung einer Fouriertransformierten}]
  Seien  $a:G\times \hat G\ra S^1$ eine Charakterpaarung von Fouriergruppen, $\lambda$ ein Haarma"s auf $G$
  und $\xi : G \rightarrow {\op{i}}\DR$ eine Imagin"arkoordinate.
Gegeben $f \in \mathcal L^1 (G, \lambda)$ mit $\xi f \in \mathcal L^1 (G,\lambda)$ 
ist
$\mathcal F (f\lambda)\in\mathcal C^{\op{b}}(\hat G)$ partiell differenzierbar nach $\hat\xi$ 
und es gilt\label{pAp}  
$$\mathcal F(\xi f\lambda)=\partial_{\hat\xi} (\mathcal F f\lambda)  $$
\end{Proposition}

\begin{proof}
Wir rechnen
\begin{eqnarray*}
\frac{(\mathcal Ff \lambda) (\hat \xi (t)+\hat g)- (\mathcal Ff \lambda) (\hat g)}{t} & =& \frac{1}{t} \int_G \left(\llangle g, \hat \xi (t)+ \hat g\rrangle - \llangle g,\hat g\rrangle \right) f(g) \lambda \langle g \rangle\\
&=& \int_G \frac{\llangle g, \hat \xi (t)\rrangle - 1}{t} \llangle g,\hat g \rrangle f (g) \lambda \langle g \rangle
\end{eqnarray*}
Nun gilt per definitionem
$\llangle g, \hat\xi (t)\rrangle = {\op{e}}^{\xi (g)t}$.
Damit strebt der Bruch gegen
$ \xi (g)$ f"ur $t \rightarrow 0$.
Die Aussage folgt so
 aus dem Satz "uber dominierte Konvergenz.
\end{proof}



\begin{Definition}
Der {\bf Schwartzraum}\index{Schwartzraum} 
$\mathcal S (G)$\index{S@$\mathcal S (G)$ Schwartzraum} 
einer Fouriergruppe $G$ bestehe aus allen 
Funktionen $f : G \rightarrow \mathbb C$ derart, da"s f"ur
beliebige Gruppenwege  
$\kappa_1, \ldots, \kappa_r : \mathbb R \rightarrow G$ 
die iterierten partiellen Ableitungen 
$\partial_{\kappa_1} \ldots \partial_{\kappa_r} f$
existieren und da"s f"ur beliebige 
Imagin"arkoordinaten\label{SrFg}  
$\xi_1, \ldots , \xi_l : G \rightarrow {\op{i}}\mathbb R$ die
Produkte
$\xi_1 \ldots \xi_l \partial_{\kappa_1} \ldots \partial_{\kappa_r} f$
betragsm"a"sig beschr"ankt bleiben.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
Im Fall der Fouriergruppe $\DZ$ ist der Schwartzraum
 der Untervektorraum $\mathcal S(\DZ)\subset \mathcal{C}^{\op{b}}(\DZ)$ aller $(a_n)_{n\in\DZ}$ mit 
$\sum_{n\in\DZ}|n^l a_n|<\infty$ 
f"ur alle $l\in\DN$. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Im Fall der Kreisgruppe $S^1$
besteht der Schwartzraum $\mathcal S(S^1)$ aus 
allen Funktionen $f:S^1\ra\DC$, f"ur die $t\mapsto
f({\op{e}}^{{\op{i}}t})$ eine glatte Funktion $\DR\ra\DC$ ist. 
\end{Beispiel}
\begin{Lemma}[\textbf{Fouriertransformierte von Schwartzfunktionen}] 
Gegeben eine Fouriergruppe $G$  ist f"ur jede Schwartzfunktion $f$
 und jedes  Haarma"s 
$\lambda$ auch
die Fouriertransformierte von $f\lambda$ eine  Schwartzfunktion, in Formeln 
$$f \in \mathcal S (G)\;\;\RA\;\; 
\mathcal F(f \lambda) \in \mathcal S (\hat G)$$
\end{Lemma}
\begin{proof}
Man pr"uft unschwer $\partial_\kappa (\xi f) = (\partial_\kappa \xi) f + \xi (\partial_\kappa f)$
und $\partial_\kappa \xi$ ist eine Konstante.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
Der Raum der {\bf Schwartzma"se}\index{Schwartzma"s} 
$\mathcal M (G)\subset {\op{M}}(G)$\index{M@$\mathcal M (G)$ 
Schwartzma"se} 
einer Fouriergruppe $G$ bestehe aus allen 
Ma"sen, die Vielfache eines Haarma"ses mit 
einer Schwarzfunktion sind. 
Die Multiplikation mit jedem Haarma"s $\lambda$ von $G$ induziert folglich  
einen Isomorphismus
$$(\cdot\lambda):\mathcal S (G)\sira \mathcal M (G)$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Inversionsformel f"ur Fouriergruppen}]
Seien $a:G\times H\ra S^1$ 
eine  Charakterpaarung von Fouriergruppen 
und $b:H\times G\ra S^1$ die dazu duale Charakterpaarung.\label{IvFou}  
So gilt: \begin{enumerate}
\item F"ur jedes Haarma"s
$\lambda$ auf $G$ gibt es genau ein Haarma"s $\mu$ auf $H$ derart,
  \nichtfinal{(besser $\alpha$ und $\beta$ f"ur die Haarma"se?)}
  da"s im  Diagramm  
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\mathcal{M}(G)\ar[r]^{\mathcal{F}_a}_-\sim &\mathcal{S}(H)\ar[d]^{\cdot 
\mu}_\wr\\
\mathcal{S}(G)\ar[u]^{\cdot \lambda}_\wr & 
\mathcal{M}(H)
\ar[l]_{\mathcal{F}_{b}}^-\sim
}
\end{displaymath}
das \glqq Einmal-im-Kreis-Herumgehen\grqq\  an jeder Stelle die Identit"at
liefert. Man nennt  $\mu$ das
\emph{\bf Plancherel-Ma"s zu $\lambda$}.\index{Plancherel-Ma"s}
Wir nennen es auch das \emph{\bf zu $\lambda$ duale  Haarma"s}\index{Haarma"s!duales} in Bezug auf unsere Charakterpaarung;
\item 
  Gegeben  $\lambda$ und $\mu$ duale Haarma"se erhalten
 die zwischen den Schwartzr"aumen induzierten
 Isomorphismen $\mathcal F_{a}\circ (\cdot\lambda)$ und
 $\mathcal F_{b}\circ (\cdot\mu)$ 
die ${\op{L}}^2$-Norm zu $\lambda,\mu$ und induzieren 
zueinander inverse Hil\-bert\-raum\-iso\-mor\-phis\-men
$$ {\op{L}}^2(G;\lambda)\stackrel{\sim}{\longleftrightarrow}
{\op{L}}^2(H;\mu)$$
\end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl} Das Vorzeichen bei der
  Formel $f^{\wedge\wedge}(x)=f(-x)$ aus \ref{IVFO} zeigt sich im hier diskutierten Formalismus darin, da"s man die Fouriertransformation in die
  Gegenrichtung zur dualen Charakterpaarung nimmt.  
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Im Fall $G=\DR$ sind das genau unsere Inversionsformeln
\ref{IVFO} und \ref{FouqI}. Im Fall der Kreisgruppe 
$G=S^1$ ist das "Ubung \eref{ivSR}{AN2} und 
\ref{CBFouA}, \ref{hbch}. Der Fall der Gruppe
 $\DZ$ ist damit auch abgedeckt.   Im Fall 
einer endlichen abelschen Gruppe ist die Aussage in
\ref{CBFouA}, \ref{hbch} enthalten, das Plancherelma"s zum 
normierten Haarma"s ist das Z"ahlma"s.
Es bleibt nur noch zu zeigen, da"s unser Satz f"ur das Produkt 
$G=G_1\times G_2$ zweier Fouriergruppen folgt, wenn wir ihn f"ur die Faktoren kennen. Seien $\lambda_1$ und $\lambda_2$ Haarma"se und $a_i:G_i\times H_i\ra S^1$ Charakterpaarungen und $\mu_1,\mu_2$ die
dualen Haarma"se 
und $b_i:H_i\times G_i\ra S^1$
die dualen Charakterpaarungen.
Sie induzieren in offensichtlicher Weise eine Charakterpaarung $a:G\times H\ra S^1$ f"ur $G\pdef G_1\times G_2$ und $H\pdef H_1\times H_2$.
Ebenso induzieren $b_1,b_2$ die zu $a$ duale Charakterpaarung $b$. 
Das Erzeugnis von "au"seren Produkten $f_1 \boxtimes f_2$ mit $f_1 \in \mathcal S (G_1)$ und $f_2 
\in \mathcal S (G_2)$ liegt nun sicher dicht in 
${\op{L}}^2 (G_1 \times G_2; \lambda_1 \boxtimes \lambda_2)$.
Stetige Fortsetzung zeigt, da"s es genau einen Isomorphismus von Hilbertr"aumen
$$ {\op{L}}^2 (G_1 \times G_2; \lambda_1 \boxtimes \lambda_2) \sira {\op{L}}^2 (H_1 \times H_2; \mu_1
\boxtimes \mu_2)$$ gibt mit $f_1 \boxtimes f_2 \mapsto \mathcal F (f_1\lambda_1) \boxtimes \mathcal F (f_2\lambda_2)$ f"ur
alle $f_1 \in \mathcal S (G_1), f_2 \in \mathcal S (G_2)$.
Da wir das f"ur die Schwartzfunktionen auf $G_1$ und $G_2$ bereits wissen,
folgt auch hier, da"s der zur dualen Charakterpaarung in derselben Weise konstruierte Isomorphismus
die inverse Abbildung sein mu"s.
Da schlie"slich beide Transformationen Schwartzfunktionen zu Schwartzfunktionen machen, folgt auch
die Inversionsformel f"ur Schwartzfunktionen auf beliebigen Fouriergruppen.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl} Die Propositionen \ref{brevexi} und \ref{pAp}
  liefern f"ur  $a:G\times \hat G\ra S^1$ eine Charakterpaarung von Fouriergruppen, $\lambda$ ein Haarma"s auf $G$ und
   $\kappa : \mathbb R \rightarrow G$ ein Gruppenweg und $\xi:G\ra {\op{i}}\DR$ eine Imagin"arkoordinate jeweils ein kommutatives Diagramm\label{kouJ} 
\begin{displaymath}
\xymatrix{\mathcal{M}(G)\ar[d]_{\partial_{\kappa}}\ar[r]^-{\mathcal{F}_{ a}}_-\sim &\mathcal{S}(\hat G)
  \ar[d]^{\hat\kappa\cdot }\\
\mathcal{M}(G)\ar[r]^-{{\mathcal{F}_{ a}}}_-\sim & 
\mathcal{S}(\hat G)
}\qquad \xymatrix{\mathcal{M}(G)\ar[d]_{\xi\cdot}\ar[r]^-{\mathcal{F}_{ a}}_-\sim &\mathcal{S}(\hat G)
  \ar[d]^{\partial_{\hat\xi}}\\
\mathcal{M}(G)\ar[r]^-{{\mathcal{F}_{ a}}}_-\sim & 
\mathcal{S}(\hat G)
}
\end{displaymath}
mit der hoffentlich offensichtlichen partiellen Ableitung von
Schwartzma"sen nach Gruppenwegen. Diese beiden Diagramme sind "aquivalent
unter der
Inversionsformel. Schalten wir genauer an jeder Stelle rechts  $(\lambda\cdot):\mathcal S(G)\sira \mathcal M(G)$ vor und
gehen im rechten Diagramm zu den inversen Horizontalen $\mathcal F_{\hat a}\circ (\hat\lambda\cdot)$ "uber und beachten, da"s $\xi$ die unter $\hat a$
adjungierte Imagin"arkoordinate zu $\hat\xi$ ist, so verwandelt sich das rechte 
Diagramm in das linke Diagramm beim "Ubergang zur dualen Charakterpaarung. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Beispiel}[\textbf{Poissonformel und Nat"urlichkeit}] 
Wir betrachten den Gruppenhomomorphismus $\varphi:\DR\ra S^1$ gegeben durch 
$\varphi:t\mapsto {\op{e}}^{2\pi{\op{i}}t}$
sowie die Charakterpaarungen\label{ATTN} 
$b:\DR\times\DR\ra S^1$ mit $(t,\omega )\mapsto {\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}t\omega}$
und $p:S^1\times\DZ\ra S^1$ mit $(z,n)\mapsto z^{-n}$, so da"s die
Einbettung $i:\DZ\hra\DR$  adjungiert ist zu $\varphi$.
 Mit der
Nat"urlichkeit der Fouriertransformation \ref{adCH}
erhalten wir das Kommutieren
im oberen rechten Quadrat des  Diagramms
\begin{displaymath}
    \xymatrix{
    \mathcal{S}(\DR) \ar[r]^-{\cdot\diff t} \ar[d]_-{\sigma}  &   \cal{M}(\DR) \ar[r]^-{\mathcal F_b} \ar[d]_-{\varphi_\ast} 
& \mathcal S ( \DR)\ar[d]^-{\circ i}
\\
  \mathcal{S}(S^1) \ar[r]^-{\cdot\mu} \ar@{=}[dr]&     \cal{M}(S^1) \ar[r]^-{\mathcal F_{ p}} & \mathcal S ( \DZ) \ar[d]^-{\cdot\zeta}
\\
  &     \cal{S}(S^1)\ar[u]_-{\cdot\mu}   
&\ar[l]_-{\mathcal F_{\bar p}} \mathcal M ( \DZ) 
 } \end{displaymath}
Im Quadrat unten rechts  meint $\mu$ das
normierte Haarma"s auf der Kreisgruppe und  $\zeta$ dem Z"ahlma"s
auf $\DZ$, das das zugeh"orige Plancherelma"s ist, so da"s einmal im Kreis herumgehen an jeder Stelle die Identit"at ist nach der Inversionsformel \ref{IvFou}.
Ganz links ist  $\sigma:f\mapsto \tilde g$ gegeben durch das Aufsummieren 
$\tilde g(\varphi(t))\pdef \sum_{n\in\DZ}f(t+n)$ und macht das linke obere
Quadrat kommutativ. F"ullen wir oben links eine Schwartzfunktion ein und lassen
sie auf beiden Wegen nach unten in die Mitte laufen und werten das 
Resultat bei Null aus, so ergibt sich die 
Poissonformel.
\end{Beispiel}







% Weiter ist f"ur jede quadratintegrierbare Halbdichte
% $f\sqrt{\lambda}\in{\op{L}}^2(G)$ der Norm Eins das Produkt 
% $(f\sqrt{\lambda})(\bar f\sqrt{\lambda})$
% in nat"urlicher Weise ein Wahrscheinlichkeitsma"s auf $G$, was
% im Rahmen der Quantenmechanik auch vern"unftig ist: Im Fall $G=\vec{\mathbb E}$ 
% etwa sollte der Zustand eines Teilchens ein Vektor der
% L"ange Eins aus ${\op{L}}^2(\vec{\mathbb E})$ sein und das zugeh"orige
% wie eben konstruierte 
% Wahrscheinlichkeitsma"s auf $\vec{\mathbb E}$ 
% dessen Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Nun, wenn wir es noch genauer nehmen,
% m"ussen wir den Zustand eines Teilchens eigentlich als Element
% des projektiven Raums   $\mathbb P({\op{L}}^2(\mathbb E))$
% zum Raum der \glqq Halbdichten auf dem affinen Raum $\mathbb E$\grqq\
% modellieren, aber auch dann erhalten wir ein 
% wohlbestimmtes Wahrscheinlichkeitsma"s, indem wir
% einen Repr"asentant




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Injektivit"at der Fouriertransformation auf Ma"sen}] 
\nichtfinal{Weglassen? Falsche Normalisierung, wollte alles schieflinear machen!} Gegeben eine Fouriergruppe $G$
 erhalten wir durch die Vorschrift $f\mapsto \left(\mu\mapsto \int  f\mu\right)$  eine Inklusion 
$\op{int}:\op{L}^\infty(G)\hra \mathcal{M}(G)^\ast$
und durch die Vorschrift $\mu\mapsto \left(f\mapsto \int  f\mu\right)$ eine Inklusion
$\op{int}:\op{M}(G)\hra \mathcal{S}(G)^\ast$
und mit diesen Vertikalen und der\label{IFMa} 
Transponierten der Fouriertransformation $\bar{\cal{F}}={\cal{F}}_{\bar a}$ zur
Charakterpaarung $\bar a:\hat G\times G\ra S^1$, $(\chi,g)\mapsto \chi(g)$ in der unteren
Horizontalen ein   kommutatives Diagramm 
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
\op{M}(G)\ar[d]_-{\op{int}} \ar[r]^-{\cal{F}} & \ar[d]^-{\op{int}}
\op{L}^\infty(\hat G)&\\
\cal{S}(G)^\ast \ar[r]^{\bar{\cal{F}}^\ttop} & \cal{M}(\hat G)^\ast}
\end{displaymath}
Es zeigt, da"s unsere Fouriertransformation von komplexen Ma"sen
nur das Ma"s Null zur Nullfunktion macht. Die behaupteten Injektivit"aten 
in den Vertikalen zeigt man wie im Fall $G=\DR^n$ in \ref{lID} folgende.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeit der Transformation von Ma"sen und $\op{L}^2$-Funktionen}] 
 Gegeben eine  Fouriergruppe $G$ 
betrachten wir den Raum
$\op{L}^{\op{loc}}_{\mathcal S}(G)$ aller me"sbaren 
fast "uberall definierten Funktionen
$f:G\dashrightarrow \DC$ mit der Eigenschaft, da"s ihr
Produkt mit jeder Schwartzfunktion nach jedem Haarma"s
integrierbar ist. Offensichtlich 
 liegen f"ur alle $p\in [1,\infty]$ 
 alle $\op{L}^p$-Funktionen in Bezug auf ein und jedes Haarma"s
in diesem Teilraum. Halten wir ein Haarma"s $\lambda$ fest, 
so erhalten wir durch die Vorschrift $f\mapsto \left(g\mapsto \int  fg\lambda\right)$  eine Inklusion\label{inTTv}  
$\op{int}_\lambda:\op{L}^{\op{loc}}_{\mathcal S}(G)\hra \mathcal{S}(G)^\ast$.
Mit diesen Abbildungen erhalten wir nun kommutative Diagramme
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
\op{L}^1(G;\lambda)\ar[d]_-{\op{int}_\lambda} \ar[r]^-{\cdot\lambda} 
&\op{M}(G)\ar[d]_-{\op{int}} \ar[r]^-{\cal{F}} 
& \ar[d]^-{\op{int}} \op{L}^\infty(\hat G)
&&\op{L}^2(G;\lambda)\ar[d]_-{\op{int}_\lambda}  \ar[r]^-{\cal{F}} 
& \ar[d]^-{\op{int}} \op{L}^2(\hat G;\hat\lambda)\\
\cal{S}(G)^\ast  \ar[r]^{\op{id}}
& \cal{S}(G)^\ast  \ar[r]^{\bar{\cal{F}}^\ttop} 
& \cal{M}(\hat G)^\ast
&&\cal{S}(G)^\ast  \ar[r]^{\bar{\cal{F}}^\ttop} 
& \cal{M}(\hat G)^\ast
}
\end{displaymath}
mit derselben Abbildung $\bar{\cal{F}}^\ttop$ wie in \ref{IFMa} und
der Fouriertransformation f"ur $\op{L}^2$-Funktionen oben rechts.
Man 
zeigt das wie im Fall von $\DR^n$ beim Beweis von \ref{IGS}, ich f"uhre
das hier nicht mehr so genau aus. Es folgt wieder, da"s 
die durch direktes Integrieren auf $\op{L}^1$-Funktionen
erkl"arte Transformation und die durch stetige
Fortsetzung vom Schwartzraum auf $\op{L}^2$-Funktionen
erkl"arte Transformation auf dem Schnitt 
$\op{L}^1(G;\lambda)\cap\op{L}^2(G;\lambda)$ "ubereinstimmen.
Ebenso folgt auch, da"s uns f"ur $\op{L}^1$-Funktionen $f$ mit nach Haarma"sen
integrierbarer Fouriertransformierten eine nochmalige Transformation 
ihres Produkts mit dem Plancherelma"s die urspr"ungliche Funktion 
zur"uckgibt, in Formeln $\mathcal F(\mathcal Ff\lambda)\hat\lambda =f$.
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungw}\label{teDEN} 
  \nichtfinal{(Abgleichen mit \ref{VNAT}, da sind gute Konventionen.)}
  Sei $G$ eine Fouriergruppe mit
  Haarma"s $\mu$. Wie in \ref{teDE} mag man wieder den Raum
  \begin{equation*}
    \mathcal S' \subset \mathcal S^\ast
  \end{equation*}
  aller 
{\bf temperierten Distributionen}\index{temperiert!Distribution} 
als\index{Distribution!temperierte} 
den kleinsten Untervektorraum
  des vollen Dualraums $\mathcal S^\ast$ des Raums der Schwartzfunktionen erkl"aren, 
der (1) alle Linearformen umfa"st,
  die die Gestalt $\varphi \mapsto \int f \varphi \mu$ haben f"ur $f :
  G \rightarrow \mathbb C$ stetig und betragsm"a"sig
  beschr"ankt durch ein
  Vielfaches eines Produkts von stetigen
  Gruppenhomomorphismen $G\ra\DR$, und der (2) stabil ist unter den Transponierten 
  $\partial_{\xi}^\ttop : \mathcal S^\ast \rightarrow \mathcal S^\ast$ der
  partiellen Ableitungen $\partial_{\xi} : \mathcal S \rightarrow \mathcal S$ nach Gruppenwegen  $\xi:\DR\ra G$.
  Man "uberlegt sich ohne gro"se Schwierigkeiten, da"s die Transponierte
  der Fouriertransformation $\mathcal F^\ttop : \mathcal S^\ast
  \sira \mathcal M^\ast$  einen
  Vektorraumisomorphismus
  \begin{equation*}
    \mathcal F^\ttop : \mathcal S^\prime 
\sira \mathcal M^\prime
  \end{equation*}
  auf den temperierten Distributionen induziert und da"s sich alle
  ${\op{L}}^p$-Funk\-tio\-nen $f$ 
als temperierte Distributionen auffassen lassen.
Dar"uberhinaus lassen sich auch alle endlichen Borelma"se $\mu$
  als die temperierte Distributionen auffassen vermittels der immergleichen
  Vorschrift
$\varphi \mapsto \int \varphi \mu$, und alle bisher betrachteten 
Varianten der Fouriertransformation 
 k"onnen als Einschr"ankung unserer
Transformation 
$\mathcal F^\ttop : \mathcal S^\prime \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal
M^\prime$
verstanden werden.
Es sollte nun weiter so sein, da"s es f"ur
Fouriergruppen $G,H$ und temperierte Distributionen $\Lambda$
auf $G$ und $\Gamma$ auf $H$ genau eine temperierte Distribution
$\Lambda\boxtimes \Gamma$ auf $G\times H$ gibt mit
$(\Lambda\boxtimes \Gamma)(f\boxtimes g)
=\Lambda(f) \Gamma( g)$ und da"s die Fouriertransformation von temperierten Distributionen mit $\boxtimes$ vertr"aglich ist.
Das habe ich mir aber nicht so genau "uberlegt.
\end{Bemerkungw}
\begin{Beispiel}
  Zum Beispiel sollte die Dirac'sche $\delta$-Distribution
$\delta_1$ auf $S^1$ der konstanten Funktion auf $\DZ$
entsprechen, so da"s wir sie formal als
$\sum_{n\in\DZ}z^n$ zu entwickeln h"atten.
\end{Beispiel}



\begin{Bemerkunge}[\textbf{Fouriertransformation von Halbdichten}] 
  Ich will kurz erkl"aren, wie man die Inversionsformel f"ur quadratintegrierbare
  Funktionen 
von der Wahl Haar'scher Ma"se befreien kann.
Gegeben eine Fouriergruppe $G$ erkl"art man dazu den Vektorraum
$\mathcal{H}(G)$ der {\bf Schwartz-Halb\-dich\-ten\index{Halbdichte} auf $G$},
indem\label{sHD} man ausgeht von der Menge aller Paare $(f,\lambda)$ bestehend 
aus einer Schwartzfunktion $f\in\mathcal S(G)$ und einem Haarma"s $\lambda$,
modulo der "Aquivalenzrelation gegeben durch
$(f,a\lambda)\sim (\sqrt{a}f,\lambda)$
f"ur alle $a\in\DR_{>0}$. Die "Aquivalenzklasse von $(f,\lambda)$ notieren wir
$f\sqrt{\lambda}$ und die "Aquivalenzklasse von $(1,\lambda)$ abk"urzend
$\sqrt{\lambda}$. Es ist klar, wie wir Schwartzhalb\-dich\-ten mit
Schwartzfunktionen zu multiplizieren haben, und da"s f"ur jedes Haarma"s 
$\lambda$ das Multiplizieren mit $\sqrt{\lambda}$ eine Bijektion
$$(\cdot\sqrt{\lambda}): \mathcal{S}(G)\sira \mathcal{H}(G)$$
induziert. Weiter ist klar, da"s es auf $\mathcal{H}(G)$ genau eine Struktur
als $\DC$-Vektorraum gibt, unter der alle diese Bijektionen 
Vektorraumisomorphismen
werden.  Schlie"slich ist auch klar, da"s wir f"ur jedes Haarma"s $\lambda$ 
 einen Vektorraumisomorphismus
$$(\cdot\sqrt{\lambda}): \mathcal{H}(G)\sira \mathcal{M}(G)$$
erkl"aren k"onnen durch die Vorschrift, da"s er nach Vorschalten mit dem
zuvor erkl"arten Isomorphismus den offensichtlichen
Isomorphismus $(\cdot\lambda): \mathcal{S}(G)\sira \mathcal{M}(G)$ liefert.
Der Sinn dieser Konstruktion besteht nun darin, da"s f"ur eine
exakte Charakterpaarung $p:G\times H\ra S^1$ von Fouriergruppen 
und ein Haarma"s $\lambda$ auf $G$ mit zugeh"origem Plancherelma"s 
$\hat\lambda$ auf $H$ die Komposition 
$$\mathcal H(G)\stackrel{\sqrt{\lambda}}{\lra} 
\mathcal M(G)\stackrel{\mathcal F_p}{\lra} 
 \mathcal S(H)\stackrel{\sqrt{\hat\lambda}}{\lra}  \mathcal H(H)$$
von der Wahl von $\lambda$ gar nicht mehr abh"angt und da"s 
die duale Charakterpaarung die inverse Abbildung liefert. Weiter k"onnen
wir auf $\mathcal H(G)$ ein Skalarprodukt erkl"aren durch die Vorschrift
$\langle f\sqrt{\lambda}, g\sqrt{\lambda}\rangle\pdef \int\bar f g\lambda$ 
f"ur ein und jedes Haarma"s $\lambda$ und unsere Fouriertransformation 
von Halbdichten wird 
dann ein Isomorphismus von Skalarproduktr"aumen. 
Die Vervollst"andigung des Skalarproduktraums $\mathcal H(G)$
zu einem Hilbertraum notieren wir 
${\op{L}}^2(G)$
und beachten, da"s dieser Hilbertraum von keinerlei Wahlen mehr abh"angt
und da"s die Fouriertransformation
zu jeder exakten Charakterpaarung $p:G\times H\ra S^1$ von Fouriergruppen  einen vollst"andig kanonischen 
Hilbertraumisomorphismus\label{FhD}  
$\mathcal F_{p,2}:{\op{L}}^2(G)\sira {\op{L}}^2(H)$
mit Inversem $\mathcal F_{\bar p,2}$ induziert. Die Elemente von ${\op{L}}^2(G)$
nennen wir {\bf quadratintegrierbare Halbdichten auf $G$}.
Wir k"onnen also unser Diagramm aus \ref{IvFou} erg"anzen zu einem kommutativen Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
&\mathcal{M}(G)\ar[r]^{\mathcal{F}_p}_-\sim &\mathcal{S}(H)\ar[dr]^{\cdot 
    \sqrt{\mu}}_-\sim&\\
  \mathcal{H}(G)\ar[ur]^{\cdot 
    \sqrt{\lambda}}_-\sim\ar@{^{(}->}[r] &\op{L}^2(G)\ar@{<->}[r]^{\mathcal{F}_{p,2}}_{\mathcal{F}_{\bar p,2}}&\op{L}^2(H)
  &\mathcal{H}(H)\ar[dl]^{\cdot 
    \sqrt{\mu}}_-\sim\ar@{_{(}->}[l]\\
&\mathcal{S}(G)\ar[ul]^{\cdot \sqrt{\lambda}}_-\sim & 
\mathcal{M}(H)
\ar[l]_{\mathcal{F}_{\bar p}}^-\sim&
}
\end{displaymath}
In diesem Diagramm sind alle Morphismen des "au"seren Sechsecks Isomorphismen und einmal im Kreis herumgehen ist die Identit"at und zus"atzlich
h"angen weder unsere R"aume von
glatten und quadratintegrierbaren Halbdichten noch
die jeweils dazwischen  induzierten Isomorphismen
von der Wahl eines Haarma"ses $\lambda$ mit zugeh"origem Plancherelma"s $\mu$ ab.
\end{Bemerkunge}






\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}[{\bf Koordinatenfreie Poisson'sche Summationsformel}]
Gegeben seien eine Charakterpaarung  $a:V\times \hat V\ra S^1$ endlichdimensionaler reeller Vektorr"aume
und $\Gamma\subset V$ ein Gitter alias das Gruppenerzeugnis
einer Basis von $V$ und 
 $\lambda=\lambda_\Gamma$ das  Haarma"s auf $V$, das dadurch normalisiert ist, da"s f"ur eine und jede Basis $v_1,\ldots,v_n$ von $V$, die das Gitter $\Gamma$ erzeugt, gilt  $\lambda(\sum_{i=1}^n[0,1]v_i)=1$.
Sei weiter $$\Gamma^\wedge\pdef \{\hat v\in \hat V\mid \llangle \gamma,\hat v\rrangle_a=1\;\forall\gamma\in\Gamma \}$$ 
das zu $\Gamma$ \glqq duale Gitter\grqq. Ist dann $f\in\mathcal S(V)$ eine Schwartzfunktion auf $V$ und $\hat f\pdef \mathcal F_a(f\lambda)$ 
die  Fouriertransformierte des Ma"ses $f\lambda$, so gilt
$$\sum_{\gamma\in\Gamma}f(\gamma)=\sum_{\kappa\in\Gamma^\wedge}\hat f(\kappa)$$
\end{Ubung}




\subsection{Translationsinvariante Teilr"aume*}
\begin{Bemerkungl}
  In diesem Abschnitt wird erkl"art, wie man mithilfe der
Fouriertheorie die abgeschlossenen 
translationsinvarianten Teilr"aume des Raums der quadratintegrierbaren
Funktionen auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum bestimmen kann.
Wir werden das Resultat nicht ben"otigen, es wird sp"ater  durch die
Theorie der unit"aren Darstellungen von Vektorr"aumen "uberholt.
Jedoch mag es f"ur manche Vorlesung einen netten Abschlu"s liefern.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum.
Ein Teilraum $M \subset {\op{L}}^{2} (V)$ hei"st {\bf
translationsinvariant}, wenn er f"ur alle $a\in V$ 
invariant ist unter der
Translation $\tau_{a} :{\op{L}}^{2}(V)\ra {\op{L}}^{2} (V)$
gegeben durch $(\tau_{a} f)(x) = f(x-a)$, wenn also in Formeln gilt
$$ f \in M\; \Rightarrow\; \tau_{a} f \in M \quad \forall \; a \in
V$$
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
  F"ur  $E \subset \hat{V}$ Borel-me"sbar ist das Bild von
  $\chi_E {\op{L}}^{2}(\hat{V}) = {\op{L}}^{2}(E)$ unter der Fouriertransformation 
nach \ref{VSCM}  ein
  translationsinvarianter Teilraum von ${\op{L}}^{2}(V)$, 
und nach \eref{VRnn}{AN1} ist dieser Teilraum auch abgeschlossen.
Wir zeigen nun,
  da"s diese Konstruktion bereits alle Beispiele f"ur abgeschlossene 
translationsinvariante Teilr"aume liefert.
\end{Beispiel}

\begin{Satz}[\textbf{Translationsinvariante 
Teilr"aume in ${\op{L}}^2(V)$}]
Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum.\label{TrIn}
So gilt:
\begin{enumerate}
\item Jeder translationsinvariante abgeschlossene Teilraum $M\subset
  {\op{L}}^{2} (V)$ ist von der Form $M = {\op{L}}^{2} (E)^{\wedge}$ f"ur
eine Borelmenge
  $E\subset \hat{V}$.  
\item Gegeben eine weitere  Borelmenge
  $F\subset \hat{V}$ gilt ${\op{L}}^{2} (E)^{\wedge} = {\op{L}}^{2}
  (F)^{\wedge}$ genau dann, wenn $E\backslash F$ und 
$F\backslash E$ in Bezug auf ein und
  jedes Haarma"s Nullmengen sind.
\end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Im Fall einer Ver"anderlichen mag man die Aussage dieses 
Satzes dahingegehend zusammenfassen, da"s die translationsinvarianten
abgeschlossenen Teilr"aume durch die Vorgabe gewisser \glqq erlaubter 
Frequenzanteile\grqq\  beschrieben werden k"onnen, also
umgangssprachlich durch die
Angabe des \glqq erlaubten Tonumfangs\grqq. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Die zweite Behauptung ist klar.
F"ur die Erste 
w"ahlen wir ein Haarma"s $\lambda$ und 
bemerken, da"s ein Teilraum von ${\op{L}}^2(V;\lambda)$
nach \ref{VSCM} invariant ist unter allen Translationen genau dann, wenn
sein Bild unter der Fouriertransformation 
invariant ist unter allen Multiplikationen mit Charakteren. 
Damit folgt unser Satz aus der anschlie"senden Proposition \ref{UDS}.
\end{proof}
\begin{Proposition}%\label{UDSn} gibts in der LA!
Seien $W$ ein endlichdimensionaler reeller
Vektorraum und $\mu$ ein Borelma"s  auf $W$.\label{UDS}
So hat jeder unter der  Multiplikation mit
allen unit"aren Charakteren von $W$ invariante 
abgeschlossene
Teilraum $M \subset {\op{L}}^{2} (W;\mu)$ 
 die Gestalt $M = {\op{L}}^{2}(E)$
f"ur eine Borelmenge in $E\subset W$.  
\end{Proposition}
\begin{proof}
Sei $P: {\op{L}}^{2}(W;\mu)\ra M$ der orthogonale Projektor.
Nat"urlich gilt
$$\langle Pf,g \rangle = \langle Pf,Pg \rangle = \langle f,Pg
\rangle$$
f"ur alle $f,g \in {\op{L}}^{2} (W;\mu)$.
F"ur jeden Charakter 
 $\chi\in\hat{W}$  gilt 
offensichtlich $P (\chi f)= \chi (Pf)$.
Wir folgern
$\langle Pf, \chi g\rangle = \langle f,\chi Pg\rangle$
f"ur alle $\chi\in\hat{W}$ oder
ausgeschrieben
$$\int \overline{Pf} \cdot \chi g
=\int \bar{f}\cdot \chi Pg $$
Nach \ref{InFo}  haben aber zwei
kompexe Ma"se nur dann dieselbe Fouriertransformierte, 
wenn sie  "ubereinstimmen. Damit folgt die Gleichheit von Ma"sen
$$(\overline{Pf})g\mu = \bar{f} (Pg)\mu$$
Wir w"ahlen nun $g \in \cal{L}^{2}$ Borelme"sbar
und quadratintegrierbar 
mit $g( y ) > 0$ f"ur alle
$ y\in W  $ und setzen $\varphi ( y  ) =
{(Pg)( y  )}/g( y  )$. Dann folgt aus unserer Gleichheit von
Ma"sen mit \ref{NFNM} die Gleichheit 
$(Pf)( y  ) = \varphi ( y  ) f( y  ) $ f"ur fast alle
$ y  $.
Da aber gilt $P^{2} =P$, nimmt $\varphi ( y  )$ fast "uberall nur die
Werte $0$ und $1$ an. Also gibt es eine Borelmenge $E \subset W$
 mit $P f = [E] f$. Nun gilt aber $f = [E] f
\Leftrightarrow f \in {\op{L}}^{2} (E)$ und es
folgt $M= {\op{L}}^{2} (E)$.
\end{proof}












\subsection{Faltung von Ma"sen und Funktionen*}\label{FaMa}
\begin{Definition}
[\textbf{Faltung von Ma"sen mit stetigen Funktionen}]
  Ist $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,\label{FMSF}
 $\mu\in \op{M}(V)$ ein
  komplexes Ma"s auf $V$ und $f:V\ra\DC$ stetig und beschr"ankt, so erkl"aren
  wir eine weitere stetige beschr"ankte Funktion $\mu\ast f$ auf $V$ durch die
  Vorschrift
  $$(\mu\ast f)(x)\pdef\int f(x-y)\;\mu\langle y\rangle$$
  Es reicht hier, die
  Stetigkeit der Funktion $\mu\ast f$ 
im Fall positiver endlicher Ma"se $\mu$ zu zeigen, in dem sie
  leicht aus dem Satz "uber dominierte Konvergenz folgt.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}[\textbf{Faltung mit Diracma"sen}] 
Ist $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,
 $E\subset V$ eine endliche Teilmenge und $\mu=\sum_{y\in E}a_y\delta_y$ eine 
Linearkombination 
von Diracma"sen mit komplexen Koeffizienten, so haben wir
$$\mu\ast f=\sum_{y\in E}a_y(\tau_y f)$$
f"ur $\tau_y f$ die um $y$ verschobene Funktion gegeben durch
$(\tau_y f)(x)=f(x-y)$. "Ahnliches gilt allgemeiner f"ur
abz"ahlbare Linearkominationen von Diracma"sen mit einer 
absolut konvergenten Familie von Koeffizienten.
\end{Beispiel}


\begin{Lemma}[\textbf{Faltung von Ma"sen mit $\op{L}^p$-Funktionen}]
Seien $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,\label{FMSFp}
$\mu\in \op{M}(V;[0,\infty))$ ein endliches Ma"s auf $V$ und
$f:V\ra\DC$ eine $\op{L}^p$-Funktion
 in Bezug auf ein 
Haar-Ma"s $\lambda$  f"ur $1\leq p<\infty$. So ist die Funktion 
$y\mapsto f(x-y)$ f"ur alle $x\in V$ au"serhalb einer
$\lambda$-Nullmenge integrierbar in Bezug auf $\mu$ und die
fast "uberall definierte Funktion 
$$x\mapsto \int f(x-y)\;\mu\langle y\rangle$$
ist wieder eine $\op{L}^p$-Funktion. Sie hei"st die
\emph{\bf Faltung $ (\mu\ast f)(x)$ des Ma"ses $\mu$ mit der Funktion $f$}
und erf"ullt die Absch"atzung $\|\mu\ast f\|_p\leq 
\mu(V)\| f\|_p$.
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
Wir erkl"aren die Faltung von beliebigen 
komplexen Ma"sen mit $\op{L}^p$-Funk\-tio\-nen
$\op{M}(V)\times \op{L}^p(V)\ra \op{L}^p(V)$, $(\mu,f)\mapsto \mu\ast f$
dann durch lineare Fortsetzung. Im R"uckblick wird sich die Konvolution
von Ma"sen mit stetigen Funktionen
oder auch mit $\op{L}^p$-Funktionen 
als  Spezialfall der allgemeinen Konstruktion
einer \glqq Operation von Ma"sen auf Darstellungen\grqq\  erweisen,
wie sie in \ref{OMD} in einem anderen Spezialfall \nichtfinal{und
in \ref{OMDn} in vergleichsweise gro"ser Allgemeinheit} 
diskutiert wird.
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSche}\\[4mm]
\noindent 
Ein Quader $Q$ und sein Bild $S(Q)$ 
unter der Scherung $S:\DR^2\ra \DR^2$ gegeben
durch $(x,y)\mapsto (x-y,y)$. Berechnen wir die 
Ma"se unter $\lambda\boxtimes\mu$ f"ur $\lambda$ ein
Haarma"s und $\mu$ ein beliebiges $\sigma$-endliches Ma"s, indem
wir erst horizontal nach $x$ und dann vertikal
nach $y$ integrieren, so erkennen
wir unmittelbar, da"s  $Q$ und $S(Q)$ dasselbe Ma"s haben.
\end{figure}
\begin{proof}
Der Satz von Fubini zeigt, da"s f"ur
  jedes Haar-Ma"s $\lambda$ das Produktma"s $\lambda\boxtimes \mu$ 
unter der Scherung $S:V\times V\ra V\times V$,
  $(x,y)\mapsto (x-y,y)$ 
invariant ist, in Formeln $S:\lambda\boxtimes \mu\leadsto
\lambda\boxtimes \mu$. Wir behandeln nun zun"achst den Fall $p=1$.
F"ur $f\in \op{L}^1(V;\lambda)$ bilden wir die Funktion 
$(f\circ \op{pr}_1):(x,y)\mapsto f(x)$ und nach Fubini gilt
$$(f\circ \op{pr}_1)\in \op{L}^1(V\times V;\lambda\boxtimes \mu)$$ 
Daraus folgt, da"s auch  $(f\circ\op{pr}_1\circ S):(x,y)\mapsto
  f(x-y)$ integrierbar ist unter dem Produktma"s, und der Satz von 
Fubini zeigt dann
  die Behauptung.  
Im Fall von beliebigem $p$ k"onnen wir 
ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $f$ nichtnegativ annehmen.
Dann k"onnen wir
unsere bis hier gewonnenen
Erkenntnisse
auf die Funktion $f^p$ anwenden und erhalten so, da"s 
$y\mapsto
  f(x-y)^p$ f"ur  alle $x$ 
au"serhalb einer $\lambda$-Nullmenge
nach  $\mu\langle y\rangle$
integriert werden kann.
% und da"s diese Integrale eine
%nach $\lambda\langle x\rangle$ integrierbare Funktion $F(x)$ mit
%Integral $\mu(V)\|f\|_p^p$ liefern.
 Bemerkung \ref{HoU} aus dem Kontext der H"olderungleichung 
angewandt auf die Funktion $h_x(y)= f(x-y)$ aus $\op{L}^p(V;\mu)$
und die konstante Funktion 1 aus $\op{L}^q(V;\mu)$ 
zeigt dann, 
da"s f"ur alle $x$ au"serhalb 
derselben $\lambda$-Nullmenge die Funktion 
$h_x$  nach  $\mu\langle y\rangle$
integrierbar ist. Bezeichnen wir dies Integral
wie im Satz mit $(\mu\ast f)(x)$, so zeigt die H"olderungleichung  \ref{HoU}
 weiter
$$|(\mu\ast f)(x)|\leq \|h_x\|_1\leq \|1\|_q\|h_x\|_p$$
f"ur alle $x$ au"serhalb 
unserer $\lambda$-Nullmenge. 
Schreiben wir andererseits $f$ als punktweisen Grenzwert einer monoton
wachsenden Folge nichtnegativer integrierbarer Funktionen, 
so zeigt der bereits behandelte Fall $p=1$ auch, da"s 
$x\mapsto (\mu\ast f)(x)$ als fast "uberall definierte Funktion 
me"sbar sein mu"s.
Bilden wir nun auf beiden Seiten die $p$-te Potenz und integrieren
"uber $\lambda \langle x\rangle$, so ergibt sich
wegen $\|1\|_q=\mu(V)^{1/q}$ sofort
$$
\begin{array}{lll}
\int |(\mu\ast f)(x)|^p\;\lambda\langle x\rangle
&\leq & \mu(V)^{p/q}\left(\int |f(x-y)|^p\;
(\lambda\boxtimes \mu)\langle x,y\rangle
\right)\\[2mm]
&=&
\mu(V)^{1+p/q}\|f\|_p^p =\mu(V)^p\|f\|_p^p 
\end{array}
$$
und damit ist $\mu\ast f$ wieder eine $\op{L}^p$-Funktion mit
$\|\mu\ast f\|_p\leq \mu(V)\|f\|_p $.
\end{proof}








\begin{Bemerkungl}[\textbf{Faltung von integrierbaren Funktionen}]
Sei $\lambda$ ein Haar-Ma"s auf  einem endlichdimensionalen
reellen Vektorraum $V$.
Gegeben integrierbare Funktionen $f,g\in \op{L}^1(V;\lambda)$  
erkl"aren wir  ihre 
\defind{Faltung}, eine weitere integrierbare Funktion, durch die Vorschrift
$$f\ast_\lambda g\pdef (f\lambda)\ast g$$
oder explizit $(f\ast_\lambda g)(x)=\int g(x-y)f(y)\lambda\langle y \rangle$.
Die durch Multiplikation mit dem Ma"s $\lambda$ nach \ref{NFNM} induzierte
Einbettung
$\op{L}^1(V;\lambda)\hra \op{M}(V)$
ist nach  \ref{FFFM} vertr"aglich mit den jeweiligen 
Konvolutionen, in Formeln  $$(f\ast_\lambda g)\lambda
=(f\lambda)\ast (g\lambda)$$
Insbesondere ist also auch die Faltung $\ast_\lambda$ von integrierbaren
Funktionen assoziativ und kommutativ.
Unsere mathematisch standardisierte Fouriertransformation aus \ref{FouD} vertr"agt sich jedoch 
nicht so gut mit der Faltung von Funktionen
wie die abstrakte Fouriertransformation mit der Faltung von Ma"sen,
genauer gilt f"ur integrierbare Funktionen $f,g$ auf $\DR^n$ 
und Faltung in Bezug auf das Lebesgue-Ma"s die 
Formel
$$(f\ast g)^\wedge= (2\pi)^{n/2}(f^\wedge\cdot  g^\wedge)$$ 
Der Vorfaktor r"uhrt daher, da"s
 wir ja die mathematisch standardisierte Fouriertransformierte einer Funktion 
$f\in \op{L}^1(\DR^n;\diff^n x)$ 
erkl"art hatten
als die Fouriertransformierte des Ma"ses $(2\pi)^{-n/2}f\diff^n x$.
In diesem Zusammenhang erweist sich die in \ref{BSD} erw"ahnte 
stochastisch standardisierte Fouriertransformation als g"unstiger, 
die jedoch hinwiederum in \ref{EFou} 
 Komplikationen verursacht.
\end{Bemerkungl}






\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}
Sind $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, 
$\mu,\nu\in \op{M}(V)$  komplexe Ma"se auf $V$ und
$f:V\ra\DC$ stetig und beschr"ankt, so gilt
$$\mu\ast(\nu\ast f)=(\mu\ast\nu)\ast f$$
\end{Ubung}


\begin{Ubung}\label{FFFM}
Gegeben ein Haarma"s $\lambda$ auf einem endlichdimensionalen
reellen Vektorraum $V$ und $f\in \op{L}^1(V;\lambda)$ zeige man 
f"ur jedes weitere komplexe Ma"s $\mu\in \op{M}(V)$ die
Gleichheit von Ma"sen
 $(\mu\ast f)\lambda=\mu\ast (f\lambda)$.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{StAb}  
F"ur die f"ur $v>0$ um den Faktor 
$\sqrt{v}$ verzerrten und  auf Integral Eins normierten
Gauss'schen Glockenkurven $G_{v} (x) \pdef \frac{1}{\sqrt{2\pi v}} \exp
(-x^{2}/2v)$  wird die Faltung in Bezug auf das Lebesguema"s 
gegeben durch 
$$G_{u} \ast G_{v} = G_{u+v}$$
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
  Man pr"ufe f"ur die Standard-Normalverteilung 
$\mu=  \op{e}^{-x^{2}/2} \diff x/\sqrt{2\pi}$ die Formel
$\int x^2 \mu \langle x \rangle = 1$. Weiter pr"ufe man 
f"ur das $G_v$ aus \ref{StAb} auch die Formel
$\int x^2 G_v(x) \diff x  = v$. 
  In der Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie hat also eine 
reelle Zufallsvariable mit der Verteilung  $G_v(x) \diff x$ 
Varianz $v$ und Standardabweichung $\sqrt{v}$.
\end{Ubung}

\subsection{Topologie der Charaktergruppe*}
\begin{Bemerkungl}
  \nichtfinal{Haben wir schon nach \ref{AuCP}, wenn man die Beispiele glaubt.
  Also Beispiele nach vorne schieben!}
  In diesem Abschnitt soll besprochen werden, warum und
inwiefern 
es zu jeder Fouriergruppe im wesentlichen nur genau eine
\hyperref[exPA]{Charakterpaarung} gibt.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{KOTv}
Gegeben topologische R"aume $X,Y$ bezeichne $\op{Top}
(X,Y)$\index{Top@$\op{Top}(X,Y)$   stetige Abbildungen} 
die
Menge aller stetigen Abbildungen von $X$ nach $Y$.
Gegeben Teilmengen $K \subset X$ und $U\subset Y$ bezeichne $$\cal{O} (K,U)
\subset \op{Top} (X,Y)$$ die Menge aller stetigen
Abbildungen $f:X\ra Y$ mit $f(K)
\subset U$.
Die  auf $\op{Top} (X,Y)$
von den Mengen $\cal{O} (K,U)$ f"ur $K\subset X$ kompakt und
$U \co Y$ offen erzeugte Topologie hei"st
die \defind{kompakt-offene Topologie}. 
Wir denken uns 
R"aume stetiger Abbildungen 
im Zweifelsfall
stets mit dieser Topologie versehen und verwenden f"ur  
den so entstehenden topologischen Raum
die  Notation
$$\cal{C}(X,Y)\index{C@$\cal{C}(X,Y)$ Raum stetiger Abbildungen}$$
\end{Definition}

  

\begin{Lemma}[\textbf{Funktorialit"aten der kompaktoffenen Topologie}]
    Gegeben stetige Abbildungen $f:X'\ra X$ und $g:Y\ra Y'$ sind auch die
    induzierten Abbildungen $(\circ f):\cal{C}(X,Y)\ra \cal{C}(X',Y)$ und
    $(g\circ):\cal{C}(X,Y)\ra \cal{C}(X,Y')$ stetig.\label{FkT} 
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Die erste Behauptung folgt aus
$(\circ f)^{-1}\mathcal O(K',U)=\mathcal O(f(K'),U)$, da 
das Bild $f(K')$ eines Kompaktums $K'$ nach \ref{aBKo} 
wieder kompakt ist.
    Die zweite Behauptung folgt aus
$(g\circ)^{-1}\mathcal O(K,U')=\mathcal O(K,g^{-1}(U'))$, 
da das Urbild $g^{-1}(U')$ einer offenen Menge $U'$ wieder 
offen ist.
\end{proof}
\begin{figure}[p]
  \centering
   \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildXK}\\[4mm]
\noindent
Illustration zum Beweis von Satz \ref{TKLb}. Das Bild kommt von
dem Beweis des Spezialfalls \eref{PII}{AN1}. Das $p$ im Bild 
hei"st in unserem Beweis $x$, das $\eta$ im Bild ist so gew"ahlt, da"s der
$\eta$-Ball um $x$ alias $p$ in $V$ enthalten w"are.
\end{figure}
\begin{Satz}[{\bf Schwaches Exponentialgesetz\index{Exponentialgesetz!schwaches topologisches}}] 
  Gegeben  topologische R"aume  $X,Y,Z$ und 
  eine stetige Abbildung  $f:X\times Y\ra Z$
ist auch die induzierte Abbildung 
$F: X\ra\mathcal C(Y,Z)$ stetig.\label{TKLb} Ist $Y$ lokal kompakt, so erhalten wir auf diese Weise eine Bijektion
$$\op{Top}(X\times Y,Z)\sira \op{Top}(X,\mathcal C(Y,Z))$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl} Eine Variante f"ur diskretes $Z$ diskutieren wir in
  \eref{topEV}{TSF}.
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}
Gegeben $K\subset Y$ kompakt und $W\co Z$ offen und $x\in X$ mit
$F(x)\in \mathcal O(K,W)$ gilt es, eine Umgebung $U\co X$ von $x$ zu finden
mit $F(U)\subset \mathcal O(K,W)$, denn dann ist $F^{-1}(\mathcal O(K,W))$ offen und damit $F$ nach \ref{KMt} stetig.
Nun sagen unsere Annahmen $f(x\times K)\subset W$. 
F"ur jedes $y\in K$ gibt es nach der Definition der Produkttopologie 
eine Umgebung $U_y\co X$ von $x$ und 
eine Umgebung $V_y\co Y$ von $y$ mit $f(U_y\times V_y)\subset W$.  
Endlich viele der $V_y$ "uberdecken das Kompaktum $K$, sagen wir
die $V_y$ f"ur $y\in E$ mit $E\subset K$ endlich. 
Dann ist $U\pdef\bigcap_{y\in E}U_y$ die gesuchte Umgebung $U$ von $x$.
Sei nun umgekehrt $F: X \ra \cal{C} (Y,Z)$ stetig und sei $f
: X \times Y \ra Z$ die induzierte Abbildung.
Es gilt zu zeigen, da"s $f$ stetig ist an jeder Stelle
$(x,y) \in X \times Y$.
Sei also $W\co Z$ eine offene Umgebung von $f (x,y) =
(F(x))(y)$. Nach Annahme 
ist $F(x) :Y\ra Z$ stetig und $Y$ lokal
kompakt, folglich gibt es eine kompakte Umgebung $K$ von $y$ mit
$(F(x))(K)
\subset W$ alias $F(x) \in \cal{O} (K,W)$.
Da nun auch die Abbildung
$F:X\ra\mathcal C(Y,Z)$  stetig ist bei $x$, 
gibt es dann auch eine Umgebung $U\subset X$ von $x$ 
mit $F(U)
\subset \cal{O} (K,W)$, also mit $f (U\times K) \subset W$.
Damit ist $U \times K$ die gesuchte Umgebung von $(x,y)$, die
unter $f$ nach $W$ abgebildet wird.
\end{proof}

\begin{Korollar}
Gegeben  topologische R"aume $X,Y,Z$ 
mit $X$ lokal kompakt liefert die offensichtliche stetige Abbildung
einen Hom"oomorphismus\label{KTtc} %\label{KT} 
$$\cal{C}(X,Y\times Z)\sira \cal{C}(X,Y)\times\cal{C}(X,Z)$$
\end{Korollar}
\begin{Bemerkungw}
In kategorieller Sprache ausgedr"uckt besagt unser Korollar, da"s der 
Funktor
$\cal{C}(X,\;) : \op{Top} \ra \op{Top}$
vertr"aglich ist  mit Produkten. 
\end{Bemerkungw}

\begin{proof}[Beweis]
  Es reicht zu zeigen, da"s f"ur jeden topologischen Raum $T$ unsere
  stetige Abbildung eine Bijektion
  $$\op{Top}\big(T,\cal{C}(X,Y\times Z)\big)\sira \op{Top}\big(T,\cal{C}(X,Y)\times\cal{C}(X,Z)\big)$$
  induziert. Mit dem Exponentialgesetz \ref{TKLb}
  folgt das, wenn wir zeigen, da"s die offensichtliche 
  Abbildung eine Bijektion
  $$\op{Top}(T\times X,Y\times Z)\sira      \op{Top}(T\times X,Y)\times\op{Top}(T\times X,Z)$$
  induziert. Das aber ist klar. 
\end{proof}
%\begin{Bemerkungw}  
%Wir werden in \eref{TKL}{TM} zeigen, da"s wir so f"ur  $X$ und $Y$ lokal kompakt
%einen Hom"oomorphismus
%$ \cal{C}(X\times Y,Z) \sira \cal{C}
%%(X,\cal{C}(Y,Z))$ erhalten. Diese Aussage nennen wir dann 
%%das  \glqq Exponentialgesetz\grqq.
%\end{Bemerkungw}
\begin{Korollar*}[\textbf{Starkes Exponentialgesetz}] 
Gegeben  $X$ und $Y$ lokal kompakt
ist die Bijektion des  Exponentialgesetzes ein Hom"oomorphismus
$$ \cal{C}(X\times Y,Z) \sira \cal{C}
(X,\cal{C}(Y,Z))$$ 
\end{Korollar*}
\begin{proof} Es reicht zu zeigen, da"s unsere Bijektion f"ur jeden topologischen Raum $T$ eine Bijektion
  $$\op{Top}\big(T, \cal{C}(X\times Y,Z)\big) \sira \op{Top}\big(T, \cal{C}
  (X,\cal{C}(Y,Z))\big)$$
  induziert. Da Produkte von Kompakta nach "Ubung  \ref{PrKoo}
  kompakt sind und da sich die induzierte Topologie nach \ref{Ptio} mit der
  Produkttopologie vertr"agt, ist auch $X\times Y$ lokal kompakt.
  Nach dem  Exponentialgesetz \ref{TKLb} k"onnen wir also beide
  Seiten in vertr"aglicher Weise identifizieren mit $\op{Top}(T\times X\times Y,Z)$. 
\end{proof}

\begin{Korollar}
  Die Schmelzkategorie  der Fouriergruppen hat internes Hom.\label{SFiH}
\end{Korollar}
\begin{proof}
  Seien $B,Z$ Fouriergruppen.
  Wir versehen die Menge aller stetigen Gruppenhomomorphismen
  $\op{AbTop}(B,Z)\subset\mathcal C(B,Z)$ mit der
  kompaktoffenen Topologie und erhalten nach \ref{NNGru} eine
  topologische Gruppe $B{\Rrightarrow}^?Z$, von der wir zeigen wollen, da"s sie
  das fragliche interne Hom realisiert. Gegeben weitere Fouriergruppen
  $A_1,\ldots, A_s$ induziert die Bijektion
  $$\op{Top}(A_1\times\ldots\times A_s, \mathcal C(B,Z))\sira \op{Top}(A_1\times\ldots\times A_s\times B,Z)$$
  aus dem Exponentialgesetz \ref{TKLb} eine Bijektion 
  $$\op{AbTop}(A_1\times\ldots\times A_s, B{\Rrightarrow}^?Z)\sira \op{AbTop}(A_1\times\ldots\times A_s\times B,Z)$$
  Wir sind also fertig, sobald wir zeigen, da"s die abelsche topologische Gruppe  $B{\Rrightarrow}^?Z$
  auch selbst wieder eine Fouriergruppe ist. Dazu m"ussen wir nur unsere
  F"alle $\DR,S^1,\DZ$ und $\DZ/m\DZ$ jeweils f"ur $B$ und $Z$ durchgehen
  und in allen sechzehn F"allen pr"ufen, da"s es pa"st.  
\end{proof}

\begin{Lemma}
  Gegeben ein lokal kompakter topologischer Raum $X$
  und eine topologische Gruppe
$S$ ist auch $\mathcal C(X,S)$ mit seiner kompaktoffenen Topologie eine topologische Gruppe.\label{NNGru} 
\end{Lemma}
\begin{proof}
Die Verkn"upfung von $\mathcal C(X,S)$ 
ist stetig als die Komposition
$$\mathcal C(X,S)\times \mathcal C(X,S)\sira 
\mathcal C(X,S\times S)\ra \mathcal C(X,S)$$
unserer Produktvertr"aglichkeit \ref{KTtc} mit dem Nachschalten
der  stetigen Ver\-kn"up\-fung $S\times S\ra S$. Die Inversenbildung ist stetig als das Nachschalten der Inversenbildung in $S$.
\end{proof}
\begin{Beispiel}[{\bf Topologie der Charaktergruppe}] 
Gegeben eine lokal kompakte topologische Gruppe $G$ wird
ihre Charaktergruppe $$\hat G=\mathfrak X(G)\subset 
\mathcal C(G,S^1)$$ mit der von der kompaktoffenen
Topologie induzierten Topologie als Untergruppe 
einer topologischen Gruppe nach "Ubung \ref{Ugtg} selbst eine topologische Gruppe. Wir denken uns die Charaktergruppe
einer lokal kompakten topologischen
Gruppe von nun an stets mit dieser Topologie versehen. 
Jeder stetige 
Gruppenhomomorphismus $\varphi:G\ra H$ in eine weitere lokal kompakte  topologische Gruppe
induziert nach \ref{FkT}
durch Vorschalten einen  stetigen\label{ToCha}  
Gruppenhomomorphismus $\hat \varphi:\hat H\ra \hat G$ alias
$\mathfrak X(\varphi):\mathfrak X(H)\ra \mathfrak X(G)$ 
in die Gegenrichtung auf den Charaktergruppen.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[{\bf Charaktergruppe von $\DR$}] 
Die durch $(x,y)\mapsto \op{exp}({\op{i}}xy)$ gegebene 
 Charakterpaarung $\DR\times\DR\ra S^1$ 
induziert einen Hom"oomorphismus
$$\DR\sira \mathfrak X(\DR)$$
In der Tat ist diese Abbildung bijektiv aufgrund 
unserer Beschreibung \ref{GHrc} der Einparameteruntergruppen 
der Kreisgruppe. Sie ist stetig nach dem schwachen Exponentialgesetz
\ref{TKLb}, da die urspr"ungliche 
Abbildung $\DR\times\DR\ra S^1$ stetig war. Schlie"slich ist 
das Bild des offenen Intervalls $(-a,a)$ die offene Menge
$\mathcal O([-\pi/2a, \pi/2a], (\op{Re}(z)>0))$ aller Abbildungen, die 
besagtes Kompaktum in die 
offene Halbebene $ \{z\mid \op{Re}(z)>0\}$ abbilden.
Durch Verschieben sehen wir, da"s  alle offenen Intervalle $c+(-a,a)=(c-a,c+a)$
auf offene Mengen abgebildet werden.
Damit ist unsere Abbildung auch offen. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[{\bf Charaktergruppe von $S^1$}] 
  Ganz allgemein ist die Topologie auf der Charaktergruppe jeder kompakten Hausdorffgruppe $K$, die ja stets lokal kompakt sein mu"s
  nach \ref{lKH}, die
diskrete Topologie. In der Tat besteht die offene Teilmenge
$\mathfrak X(K)\cap \mathcal O(K, (\op{Re}(z)>0))$
nur aus dem neutralen Element, denn unsere Halbebene umfa"st keine
nichttriviale Untergruppe von $S^1$. Die Charakterpaarung  $ S^1\times \DZ\ra S^1$ gegeben durch\label{chs} 
$(z,n)\mapsto z^n$ liefert mithin  einen Hom"oomorphismus 
$$\DZ\sira \mathfrak X(S^1)$$
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[{\bf Charaktergruppe von $\DZ$}] Die durch
$(z,n)\mapsto z^n$ gegebene  Charakterpaarung $ S^1\times \DZ\ra S^1$  liefert einen Hom"oomorphismus 
$$S^1\sira \mathfrak X(\DZ)$$
  Die Stetigkeit ist wieder klar. Andererseits ist $\mathfrak X(\DZ)$
  Hausdorff, ja $\mathcal C(X, Y)$ ist f"ur $Y$ Hausdorff offensichtlich
  stets auch Hausdorff.  
  Unsere stetige Abbildung $S^1\sira \mathfrak X(\DZ)$ bildet nun
  Kompakta auf Kompakta ab und damit  auch abgeschlossene Mengen 
auf abgeschlossene Mengen und ist folglich ein Hom"oomorphismus. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[{\bf Charaktergruppen endlicher Gruppen}] 
  Die Charaktergruppe einer endlichen Gruppe ist diskret als
  Charaktergruppe einer kompakten Hausdorffgruppe, vergleiche \ref{chs},
  und ist offensichtlich endlich, da jedes Element endliche Ordnung hat und
  unter einem Gruppenhomomorphismus nach $S^1$ nur auf die endlich vielen entsprechenden Einheitswurzeln abgebildet werden kann.
\end{Beispiel}
\begin{Lemma}[{\bf Produktvertr"aglichkeit der Charaktergruppe}] 
Gegeben lokal kompakte Hausdorffgruppen $G,H$ ist die vom R"uckzug l"angs der Einbettungen
$\op{in}_G : G \rightarrow G \times H, g \mapsto (g,1)$ und $\op{in}_H : H \rightarrow G \times H, h \mapsto (1,h)$ induzierte
Abbildung ein Hom"oomorphismus\label{PrVei} 
\begin{equation*}
(\frak{X}(\op{in}_G), \frak{X} (\op{in}_H)) : \frak{X} (G \times H) \sira \frak{X} (G) \times \frak{X} (H)
\end{equation*}
\end{Lemma}

\begin{proof}
Sie haben bereits in
\ref{CvP} gepr"uft, da"s diese Abbildung bijektiv ist. 
Die Stetigkeit folgt aus der Stetigkeit von
$\frak{X}(\op{in}_G)$ und $ \frak{X} (\op{in}_H)$.
Andererseits betrachten wir die stetigen Abbildungen 
$\frak{X} (\op{pr}_G) : \frak{X} (G) \rightarrow \frak{X} (G \times H)$ und
$\frak{X} (\op{pr}_H) : \frak{X} (H) \rightarrow \frak{X} (G \times H)$.
Die Abbildung $$(+)\circ (\frak{X} (\op{pr}_G) \times\frak{X}(\op{pr}_H)) : \frak{X} (G) \times \frak{X} (H) \rightarrow 
\frak{X} (G \times H)$$ ist dann stetig als Verkn"upfung stetiger Abbildungen.
Man sieht aber leicht, da"s sie zur
Abbildung aus unserem Lemma invers ist.
\end{proof}
%\begin{Bemerkungw}
%%  In der Sprache der Kategorientheorie \eref{VerPr}{LA2}
%  ausgedr"uckt ist also
%  der Funktor $\mathfrak X:\op{GrpTop}\ra \op{AbTop}^{\op{opp}}$
%  von der Kategorie der topologischen Gruppen in die
%  Opponierte der Kategorie der abelschen topologischen Gruppen
%  vertr"aglich mit Produkten. Man vergleiche auch \eref{ASDe}{TG},
%  wonach Produkte und Koprodukte in der additiven Kategorie $\op{AbTop}$ zusammenfallen.
%\end{Bemerkungw}



\begin{Satz}[{\bf Pontrjagin-Dualit"at f"ur Fouriergruppen}] 
Gegeben eine Fouriergruppe $G$ ist auch ihre 
Charaktergruppe $\hat G=\mathfrak X( G)$ eine Fouriergruppe,  
das Auswerten induziert eine  Charakterpaarung\label{PDFou} 
$a: G\times \mathfrak X( G)\ra S^1$
und die zugeh"orige Abbildung ist ein Isomorphismus von topologischen Gruppen
$$ G\sira   \mathfrak X(\mathfrak X( G))$$
\end{Satz}
\begin{proof} F"ur $G$ die reelle Zahlengerade, die Kreisgruppe oder eine
diskrete zyklische Gruppe hatten wir das schon in den 
vorangehenden Beispielen gesehen. Der Fall einer beliebigen 
Fouriergruppe folgt dann aus der 
Produktvertr"aglichkeit der Charaktergruppe \ref{PrVei}.
\end{proof}

\begin{Bemerkungw} Der vorhergehende Satz gilt allgemeiner
  f"ur lokal kompakte abelsche Hausdorffgruppen an Stelle unserer  Fouriergruppen, aber die Beweise werden dann m"uhsamer. 
\end{Bemerkungw}



\begin{Satz}[\textbf{Eindeutigkeit von Charakterpaarungen}] 
 Ist $ G\times X\ra S^1$ eine  Charakterpaarung von Fouriergruppen, 
so ist die davon induzierte Bijektion ein Hom"oomorphismus 
 $ X\sira  \mathfrak X( G)$.
\end{Satz}
\begin{proof}
  Ist   $ G\times X\ra S^1$ eine   Charakterpaarung von Fouriergruppen,
so folgt die Stetigkeit der induzierten Bijektion $X\sira \mathfrak X( G)$
 aus dem schwachen Exponentialgesetz \ref{TKLb}.
Als stetiger bijektiver Homomorphismus von Fouriergruppen 
mu"s unsere Abbildung dann nach dem anschlie"senden Lemma
\ref{stbF} ein Hom"oomorphismus sein. 
\end{proof}
\begin{Lemma} 
Jeder stetige bijektive Homomorphismus
$\varphi:G\ra H$ von\label{stbF} 
Fouriergruppen ist bereits ein Hom"oomorphismus.
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
  Dieses Lemma ist f"ur lokal kompakte Hausdorffgruppen nicht mehr richtig.
  Zum Beispiel ist der stetige Gruppenhomomorphismus $\DR^{\delta}\ra \DR$
  von $\DR$ mit der diskreten Topologie nach $\DR$ mit seiner "ublichen Topologie kein Hom"oomorphismus.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Jeder stetige Homomorphismus bildet
die Zusammenhangskomponente der Eins alias die {\bf Einskomponente}\index{Einskomponente}  $G^\circ \subset G$ in die Einskomponente  $H^\circ \subset H$ ab.
Diese Einskomponenten sind
offene Untergruppen und isomorph zu topologischen Gruppen
der Gestalt $\DR^a\times (S^1)^b$. Wir finden nach dem, was wir schon wissen,
eine Erg"anzung der von $\varphi$ induzierten Abbildung
$\varphi^\circ: G^\circ\ra H^\circ$ zu einem
kommutativen Diagramm von stetigen Gruppenhomomorphismen
\begin{displaymath}
\xymatrix{\DR^m\ar@{->>}[d]\ar[r]&\DR^n\ar@{->>}[d]\\
G^\circ\ar[r]^-{\varphi^\circ}&H^\circ}
\end{displaymath}
mit offenen Surjektionen mit abz"ahlbarem  Kern in den Vertikalen und einer $\DR$-linearen Abbildung als oberer Horizontale. Ist $\varphi$
injektiv, so mu"s diese $\DR$-lineare Abbildung abz"ahlbaren Kern haben, also injektiv sein.
Ist $\varphi$ surjektiv, so mu"s $H^\circ/\varphi^\circ(G^\circ)$
abz"ahlbar sein, da $G/G^\circ$ f"ur eine Fouriergruppe $G$
stets abz"ahlbar ist. 
Also  mu"s unsere $\DR$-lineare Abbildung dann  surjektiv sein. Ist $\varphi$ bijektiv, so mu"s sie mithin
bijektiv und insbesondere offen sein. Dann aber ist auch $\varphi:G^\circ\ra H^\circ$ und schlie"slich $\varphi:G\ra H$ selbst offen, 
also ein Hom"oomorphismus. 
\end{proof}

\subsubsection*{"Ubungen}

% \begin{proof}
%  Im Fall $V=\DR$ folgt die Behauptung unmittelbar aus 
% unserer Beschreibung \ref{GHrc} der Einparameteruntergruppen von $\DC^\times$.
% Gilt die Behauptung f"ur zwei endlichdimensionale 
% reelle Vektorr"aume $V_1$ und $V_2$, so nach "Ubung \ref{CvP} "uber
% Charaktere von Produkten 
% auch f"ur $V_1\times V_2$. Damit gilt sie dann im allgemeinen.
% \end{proof}
\begin{Ubung}[{\bf Nichtunit"are Charaktergruppe}] 
  Gegeben eine lokal kompakte Hausdorffgruppe $G$ erkl"aren wir ihre
  {\bf nichtunit"are Charaktergruppe} als die Gruppe
  $$\mathfrak X_{\op{nu}}(G)\pdef \op{GrpTop}(G,\DC^\times)$$
aller  stetigen Gruppenhomomorphismen nach $\DC^\times$. 
Man zeige, da"s  $\mathfrak X_{\op{nu}}(G) \subset 
\mathcal C(G,\DC^\times)$ mit der von der kompaktoffenen
Topologie induzierten Topologie 
eine topologische Gruppe ist und da"s jeder stetige 
Gruppenhomomorphismus $\varphi:G\ra H$ 
durch Vorschalten einen  stetigen\label{ToCha}  
Gruppenhomomorphismus in die Gegenrichtung  $\hat \varphi:\mathfrak  X_{\op{nu}}(H)\ra \mathfrak X_{\op{nu}}(G) $ induziert.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[{\bf Nichtunit"are Charaktergruppe von $\DR$}] 
Die  Abbildung $\DR\times\DC\ra \DC^\times$ 
gegeben durch $(x,y)\mapsto \op{exp}({\op{i}}xy)$ 
induziert einen Hom"oomorphismus
$$\DC\sira \mathfrak X_{\op{nu}}(\DR)$$
\end{Ubung}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXAN3"
%%% End: