\section{Steinbruch-Halde}




\subsection{Gliederung der Darstellungstheorie}
\begin{Bemerkungl}
  Eine Darstellung einer Gruppe $G$ ist ein Paar $(V,\rho)$ bestehend aus
  einem Vektorraum und einem Gruppenhomomorphismus $\rho : G \rightarrow
  \op{GL} (V)$. Ist  der Vektorraum definiert "uber einem K"orper positiver
    Charakteristik, so spricht man von einer 
{\bf modularen 
Darstellung}.\index{modular!Darstellung}\index{Darstellung!modulare}
Oft tragen die Gruppe oder der Vektorraum hier noch
zus"atzliche Strukturen und  von besagtem Gruppenhomomorphismus wird
eine gewisse Vertr"aglichkeit mit diesen Strukturen gefordert. 
Die am meisten untersuchten F"alle diskutiere ich im folgenden
etwas ausf"uhrlicher.
\end{Bemerkungl}
  
\begin{Bemerkungl}
Ist $G$ eine topologische Gruppe und unser 
Vektorraum ein topologischer
    Vektorraum "uber einem topologischen K"orper und ist zus"atzlich die durch
    $\rho$ definierte Abbildung $G \times V \rightarrow V$ stetig, so spricht
    man von einer 
{\bf stetigen Darstellung}.\index{stetig!Darstellung}\index{Darstellung!stetige}  Besonders wichtig ist
    die Variante der 
{\bf unit"aren 
Darstellung},\index{unit"ar!Darstellung}\index{Darstellung!unit"are} 
bei der die Gruppe durch
    unit"are Automorphismen stetig auf einem Hilbertraum operiert. 
\end{Bemerkungl}
  
\begin{Bemerkungl} Ist
     $G$ eine algebraische Gruppe und $V$ definiert "uber
    demselben K"orper wie $G$ und ist $V$ Vereinigung von endlichdimensionalen
   unter  $G$ 
stabilen Teilr"aumen $U$, f"ur die jeweils die von $\rho$ definierte
    Abbildung $G \times U \rightarrow U$ algebraisch ist, so hei"st $\rho$
    eine {\bf rationale 
Darstellung}.\index{Darstellung!rationale}\index{rational!Darstellung}
\end{Bemerkungl}
  
\begin{Bemerkungl}
In allen diesen Situationen sind die Grundfragen dieselben, und zwar:
\begin{enumerate}
\item Wie sehen die irreduziblen Darstellungen aus, also diejenigen von
Null verschiedenen Darstellungen, in denen es au"ser dem Nullraum keine 
echten, im topologischen Fall keine 
echten abgeschlossenen, unter der Gruppenoperation invarianten Teilr"aume gibt?
\item Wie kann eine allgemeine Darstellung im Prinzip 
aus irreduziblen Darstellungen
aufgebaut werden?
\item
Wie sind gewisse \glqq nat"urlich gegebene\grqq\  
Darstellungen aus irreduziblen Darstellungen
aufgebaut?
\end{enumerate}
\end{Bemerkungl}
  
\begin{Bemerkungl}
Die Antworten h"angen wesentlich von der betrachteten Gruppe ab. F"ur diesen
groben "Uberblick sortieren wir unsere Gruppen wie folgt:
\begin{center}
    \vspace{0,5cm}
  \begin{tabular}{r|l|l|}
     & abelsch & nichtabelsch\\ \hline
    endliche abstrakte Gruppen& & \\\hline
    unendliche abstrakte Gruppen& & \\ \hline\hline
    kompakte topologische Gruppen & & \\\hline
    nichtkompakte topologische Gruppen & & \\ \hline
  \end{tabular}

\vspace{0,5cm}
  \begin{tabular}{l|l|l|}
    abstrakte Gruppen & abelsch & nichtabelsch\\ \hline
    endlich & & \\\hline
    unendlich & & \\ \hline
  \end{tabular}

  \vspace{0,5cm}
  \begin{tabular}{l|l|l|}
    topologische Gruppen & abelsch & nichtabelsch\\ \hline
    kompakt & & \\\hline
    nichtkompakt & & \\ \hline
  \end{tabular}

  \vspace{0,5cm}
  \begin{tabular}{l|l|l|l|l|}
    algebraische Gruppen & abelsch & aufl"osbar & reduktiv & beliebig\\ \hline
    Charakteristik Null & & & &\\\hline
    positive Charakteristik & & & &\\ \hline
  \end{tabular}
\end{center}


\end{Bemerkungl}







\subsection{L"osungen von "Ubungen}
\begin{enumerate}
\item
Die Abbildungen $\tilde{f}$ und $\hat{f}$ der 
Kugelkoordinaten und zylindrischen
Koordinaten liefern Diffeomorphismen
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccccccccc}
\tilde{g} &:&(0,\infty) &\times & (-\pi,\pi) &\times & (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})
&\overset{\sim}{\longrightarrow} & \Bbb{R}^3\backslash H\\
& & (r, & &\varphi , & & v) &\mapsto &  (r\cos \varphi \cos \vartheta, r\sin \varphi \cos
\vartheta, r \sin \vartheta)\\
\hat{g}&:&(0,\infty)&\times & (-\pi,\pi)&\times & \Bbb{R} &\overset{\sim}{\longrightarrow} &
\Bbb{R}^3 \backslash H \\
& & (r, & & \varphi , & & z) &\mapsto & (r \cos \varphi, r \sin \varphi, z)
\end{array}
\end{displaymath}
mit $H$ der Halbebene
$H=\{    (x,y,z) \mid x \leq 0, y+ 0\}$.
Die erste Formel ergibt sich wegen $\tilde{f} = f \circ \tilde{g}$ aus der
Transformationsformel, da wir nach ?? die Funktionaldeterminante der Kugelkoordinatenabbildung
bereits kennen, sie ist gegeben durch 
$\det d \tilde{g} = r^2 \cos \vartheta$.
Bei $\hat{g}$ finden wir als Jacobi-Matrix
\begin{displaymath}
\begin{pmatrix} \cos \varphi & -r \sin \varphi & 0\\
\sin \varphi & r \cos \varphi & 0 \\
0 & & 1
\end{pmatrix}
\end{displaymath}
mit Determinante $| \det d_{(r,\varphi,z)} \hat{g}| =r$
und wegen $\hat{f} = f \circ \hat{g}$ folgt so auch die zweite
Gleichung aus der Transformationsformel.
F"ur Teil (c) brauchen wir nur bemerken, da"s gilt $d_p A =A$ an jeder
Stelle $p$ und folglich $|\det d A| = |\det A|$ konstant ist.
Damti folgt er wieder aus der Transformationsformel.
\item
\begin{enumerate}
\item
Sicher definiert $F$ ganz allgemein eine Abbildung $F : \Bbb{C} \backslash 1 \rightarrow
\Bbb{C}$.
Weiter haben wir f"ur $w,z \in \Bbb{C}$ mit $z \neq 1$ sicher 
\begin{eqnarray*}
F(z) =w & \Leftrightarrow &(z-1) w = - i(z+1)\\
&\Leftrightarrow & zw + zi = w -i\\
& \Leftrightarrow & w \neq -i \text{ und } z \frac{w-i}{w+i}
\end{eqnarray*}
So erkennen wir, da"s $F$ eine Bijektion $F : \Bbb{C} \backslash 1 \overset{\sim}
{\longrightarrow} \Bbb{C} \backslash -i$
induziert mit Umkehrabbildung $G : w \mapsto \frac{w-i}{w+i}$.
Weiter gilt $|G(w)|^2 = \frac{w-i}{w+i} \cdot
\frac{\overline{w}+i}{\overline{w}-i} =
\frac{|w|^2+i (w - \overline{w}) +1}{|w|^2 - i (w-\overline{w}) +1}
=\frac{|w|^2 + 1 - 2 Im w}{|w|^2 + 1 + 2 Im w}$
und das ist $<1$ genau dann, wenn $Im w$ positiv ist.
Folglich induzieren $F$ und $G$ zueinander inverse Bijektionen $U \overset{\sim}
{\longrightarrow} V$.
\item
Schreiben wir $w = u + iv$ f"ur Elemente von $V$, so gilt
\begin{eqnarray*}
F(x+iy)& = &-i \frac{x +iy+1}{x+iy-1} \\
&= &-i \frac{(x+iy+1)(x-iy-1)}{(x-1)^2 +y^2}\\
& =&\frac{-i (x^2 +y^2 = 2iy -1)}{(x-1)^2 + y^2}\\
&=&\frac{-2y}{(x-1)^2 + y^2} + i \frac{1-x^2 -y^2}{(x-1)^2 +y^2}\\
&=& u (x,y) + iv (x,y)
\end{eqnarray*}
Die Jacobi-Matrix ergibt sich also zu
\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{ll}
\frac{+4 (x-1)y}{((x-1)^2+y^2)^2} \qquad \frac{-2 (x-1)^2+2y^2}{((x-1)^2 +y^2)^2}& \\[2ex]
\frac{-2x ((x-1)^2 +y^2) - (1-x^2-y^2) 2(x-1)}{\ldots} & /\\
& \frac{-2y ((x-1)^2+y^2) - 2y (1-x^2-Y^2)}{\ldots}
\end{array} \right)
\end{displaymath}
und nach einiger Vereinfachung
\begin{displaymath}
2 ((x-1)^2+y^2)^{-2} \left(\begin{array}{ll}
2(x-1)y & y^2 - (x-1)^2\\[2ex]
y^2 - (x-1)^2 & 2 (x-1)y
\end{array} \right)
\end{displaymath}
und die Funktionaldeterminante wird
\begin{displaymath}
4 ((x-1)^2 + y^2 )^{-4} (4(x-1)^2 y^2 - (y^2 -(x-1)^2)^2) = 4((x-1)^2 +y^2 )^{-2}
\end{displaymath}
Wir erhalten mit der Transformationsformel nun
\begin{eqnarray*}
\int_{V} \frac{f(u,v)}{v^2} du dv &=& \int_{u} \frac{f(F(x,y))}{\left( \frac{1-x^2-y^2}{(x-1)^2 +y^2}\right)}
\frac{4}{((x-1)^2 +y^2)^2} dx dy\\
& =& \int_{u}  \frac{f(F(x,y))}{(1-x^2-y^2)^2} dx dy
\end{eqnarray*}
wie behauptet.

\end{enumerate}
Ich habe ein etwas schlechtes Gewissen, sie durch diese furchtbaren Rechnungen
zu jagen. Die inversen Bijektionen $F$ und $G$ sind Spezialf"alle sogenannter
\glqq M"obius-Transformationen\grqq\  und k"onnen sehr anschaulich verstanden werden.
Die Funktionaldeterminante findet man einfacher, wenn man wei"s, da"s f"ur $a \in
\Bbb{C}$ die lineare Abbildung $(a\cdot) : \Bbb{C} \rightarrow \Bbb{C}$ als
Endomorphismus des $\Bbb{R}$-Vektorraums $\Bbb{C}$ die Determinante $|a|^2$ hat.
Die beste lineare Approximation an $F : z \mapsto -i \frac{z+1}{z-1}$ bei $z$ ist
ja sicher die Multiplikation mit
\begin{displaymath}
F^\prime (z) = -i \frac{(z-1)-(z+1)}{(z-1)^2} = \frac{2i}{(z-1)^2}
\end{displaymath}
und wegen $d_z F = (F^\prime (z)\cdot)$
ergibt sich
\begin{displaymath}
|\det dF| = |F^\prime (z)|^2 = \frac{4}{|z-1|^4} = \frac{4}{((x-1)^2 + y^2)^2}
\end{displaymath}
was doch etwas weniger Rechenaufwand erfordert.
\end{enumerate}

\subsection{Zur "Uberlagerung von Mannigfaltigkeiten}
\begin{Bemerkungl}\emph{(Wohl sp"ater, bei "Uberlagerungstheorie)}
Ist $\psi : Y \rightarrow X$ eine 
stetige Abbildung topologischer R"aume und tr"agt
$X$ die Struktur eines $k$-geringten Raums, so erkl"aren wir die
\defind{relative initale Struktur} eines 
$k$-geringten Raums auf $Y$ als die kleinste
Struktur, f"ur die $\psi$ ein Morphismus ist und die die vorgegebene Topologie
auf $Y$ umfa"st.
Diese Struktur ist also \glqq initial relativ zur vorgegebenen Topologie auf $Y$\grqq.
Ihre Existenz ist evident, ebenso ihre universelle Eigenschaft:
F"ur jedes kommutative Diagramm aus stetigen Abbildungen
\begin{displaymath}
\xymatrix{
Z \ar[rr] \ar[dr]& &X \\
 &Y \ar[ur] &
}
\end{displaymath}
mit $Z \rightarrow X$ einem Morphismus $k$-geringter R"aume ist auch
$Z \rightarrow Y$ ein Morphismus $k$-geringter R"aume.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
Ist $\psi : Y \rightarrow X$ eine \'etale Abbildung und $Y$ ein
Hausdorffraum und $X$ eine $\cal{M}$-Mannigfaltigkeit, 
so macht die relative initiale
Struktur auch $Y$ zu einer $\cal{M}$-Mannigfaltigkeit.
\end{Beispiel}
\subsection{Zu Riemann'schen Fl"achen}

\begin{Bemerkungl}\label{OEDi}
Die Operation einer diskreten Gruppe $G$ auf einem lokal kompakten Raum $X$
ist eigentlich genau dann, wenn f"ur je zwei Kompakta $K, L \subset X$
die Menge aller $g \in G$ mit $K \cap g L \neq \emptyset$ endlich
ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Proposition}
Ist $X$ eine Riemann'sche Fl"ache mit einer holomorphen eigentlichen
Operation einer diskreten Gruppe $G$, so ist auch der Bahnenraum $X/G$ mit
seiner finalen Struktur eines $\Bbb{C}$-geringten Raums 
eine Riemann'sche Fl"ache.
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Der Bahnenraum ist Hausdorff nach \ref{QuoE}, da die Operation eigentlich ist.
Weiter folgt aus dieser Annahme mit \ref{OEDi}, da"s jeder Punkt $x \in X$ 
eine endliche Standgruppe
$G_x$ hat und eine offene Umgebung 
$U$ mit $g \not\in G_x \Rightarrow U \cap g U =
\emptyset$.
Sicher k"onnen wir $U$ sogar als $G_x$-stabil annehmen.
W"ahlen  wir darauf nun mithilfe von \ref{??} eine $G_x$-invariante
Riemann'sche Metrik und betrachten bez"uglich dieser Metrik f"ur
hinreichend kleines $\epsilon > 0$ den Ball um $x$ mit Radius
$\epsilon$, so k"onnen wir nach \ref{??} dar"uber hinaus sogar
$U$  zusammenh"angend schleifenf"ullend  und sogar biholomorph zu einer echten offenen
Teilmenge von $\DC$ annehmen.
Dann ist $U$ 
nach dem Riemann'schen Abbildungssatz \eref{RASa}{FT1} biholomorph
zur offenen Einheitsscheibe, und nach \ref{??} finden wir 
sogar eine biholomorphe 
Identifikation, unter der $x$ dem Ursprung entspricht.
Die Wirkungen von den Elementen der $G_x$ m"ussen dann nach \ref{??} Drehungen
entsprechen, und die Behauptung folgt damit aus \ref{QDr}.
\end{proof}
\begin{Ubung}\label{QDr}
F"ur $n\neq 0$ ist die Abbildung $\Bbb{C} \rightarrow \Bbb{C}$,
$z \mapsto z^n$ final f"ur die holomorphe Struktur eines $\Bbb{C}$-geringten
Raums auf $\Bbb{C}$.
\end{Ubung}

\begin{Bemerkungl}
Die einzigen fixpunktfreien Automorphismen der Riemann'schen
Fl"ache $\DC$ sind die Translationen. Insbesondere kann $\DC$ 
nur f"ur Riemann'sche Fl"achen mit abelscher Fundamentalgruppe
der Totalraum einer universellen "Uberlagerung sein.
Nehmen wir aus $\DC$ zwei Punkte heraus, so ist die
universelle "Uberlagerung der dadurch entstehenden Riemann'schen Fl"ache
folglich biholomorph zur offenen Einheitskreisscheibe.
F"ur jede holomorphe Funktion $\DC\ra\DC,$
 die mehr als einen Wert nicht
annimmt, liefert also der Liftungssatz \ref{LEZ}
eine holomorphe Funktion mit Werten
in der offenen Einheitskreisscheibe. Diese mu"s konstant sein nach
dem Satz von Liouville \eref{Liou}{FT1}, 
und das 
liefert den {\bf Satz von Picard},\index{Picard!Satz von} nach dem
jede nichtkonstante holomorphe Funktion $\DC\ra\DC$ alle komplexen 
Zahlen mit h"ochstens einer Ausnahme als Werte annehmen mu"s.
\end{Bemerkungl}




\subsection{Alte Beweise}
% \begin{Bemerkungl}
% So korrekt dieser Beweis ist, vermittelt er doch wenig Einsicht.
% Wir wollen deshalb zumindest f"ur $A \co \Bbb{R}^{2}$ eine offene
% Kreisscheibe noch einen alternativen Beweis f"ur $4 \Rightarrow 1$
% geben. Hierbei arbeiten wir unkanonisch, der kanonische
% Formalismus wird erst im Zusammenhang mit der Verallgemeinerung
% dieser Argumente zum \glqq Satz von Stokes\grqq\  entwickelt.
% \end{Bemerkungl}











% \begin{Definition}\label{sraa}
% Sei $A \co \Bbb{R}^{2}$ eine offene Teilmenge und $v: A \ra \Bbb{R}^{2}$
% ein stetig differenzierbares Vektorfeld. So definieren wir die
% {\bf Wirbeldichte}\index{Wirbeldichte} oder {\bf (skalare)
% Rotation}\index{skalare Rotation}
% $\op{rot} v: A\ra\Bbb{R}$ von $v$ durch die
% Formel
% $$\op{rot} v = \frac{\partial v_{2}}{\partial x_{1}} - \frac{\partial
% v_{1}}{\partial x_{2}}$$
% \end{Definition}

% \begin{Lemma}\label{srq}
% Sei $A \co \Bbb{R}^{2}$ offen, $Q = [a,b]\times [c,d] \subset A$ ein
% kompaktes Rechteck und $v : A \ra \Bbb{R}^{2}$ ein stetig
% differenzierbares Vektorfeld.
% F"ur $\gamma$ den offensichtlichen st"uckweise differenzierbaren
% Weg, der im Gegenuhrzeigersinn einmal den Rand von $Q$
% durchl"auft, gilt die Formel
% $$\int_{\gamma} v = \int_{Q} \op{rot} v$$
% \end{Lemma}
% \begin{proof}[Beweis]
% Wir rechnen
% $$
% \begin{array}[b]{rclcl}
% \int_{\gamma}v &=&\int^{b}_{a}v_{1}
% (t,c)-v_{1}(t,d) \diff t &+& \int^{d}_{c}
% v_{2}(b,t)-v_{2}(a,t)\diff t\\[2mm]
% \int_{Q} \op{rot} v &=& \int^{b}_{a}\int^{d}_{c}
% \frac{\partial v_{1}}{\partial x_{2}} \diff x_{2} \diff x_{1} &-&
% \int^{d}_{c}\int^{b}_{a} \frac{\partial v_{2}}{\partial
% x_{1}} \diff x_{1}\diff x_{2}
% \end{array}\qedhere$$
% \end{proof}
% \begin{proof}[Anschaulicher
% Beweis von {\em \ref{RP}}$\;(4\Rightarrow 1)$  f"ur $A \co \Bbb{R}^{2}$ eine 
% Kreisscheibe]$ $\\
% Ist  $v : A \ra \Bbb{R}^{2}$ ein stetiges
% Vektorfeld und $p \in A$ fest gew"ahlt, so betrachten wir f"ur $x
% \in A$ den Weg $ \gamma_{x}^{\ulcorner}$ von $p$ nach $x$, der
% sich aus dem vertikalen Geradensegment $[(p_{1},p_{2}),(p_{1},x_{2})]$
% und dem horizontalen Geradensegment $[(p_{1},x_{2}), (x_{1},x_{2})]$ 
% zusammensetzt, und definieren
% die Funktion $f^{\ulcorner}:A \ra \Bbb{R}$ durch die Vorschrift
% $$f^{\ulcorner} (x) = \int_{\gamma_{x}^{\ulcorner}} v$$
% Aus der Definition folgt sofort $\frac{\partial
% f^{\ulcorner}}{\partial x_{1}} = v_{1}$. Ebenso k"onnen wir aber
% auch, indem wir die Rollen  von $x_{1}$ und $x_{2}$ vertauschen,
% den Weg $\gamma^{\lrcorner}_{x}$ von $p$ nach $x$ betrachten,
% der erst horizontal und dann vertikal l"auft. Setzen wir analog
% $f^{\lrcorner} (x) = \int_{\gamma^{\lrcorner}_{x}} v$, so
% folgt $\frac{\partial f^{\lrcorner}}{\partial x_{2}} = v_{2}$.
% Da nun aber gilt
% $$f^{\lrcorner} (x) - f^{\ulcorner}(x) = \pm \int_{Q} \op{rot} v$$
% f"ur $Q$ das achsenparallele Rechteck mit diametral
% gegen"uberliegenden Ecken $p$ und $x$, folgt aus $\op{rot} v =0$ schon
% $f^{\lrcorner} = f^{\ulcorner}$, und diese Funktion
% $f=f^{\lrcorner} = f^{\ulcorner}$ hat dann offensichtlich das
% Vektorfeld $v$
% als Gradienten.  
% \end{proof}



% \begin{proof}[Alter Beweis f"ur den Zusammenhang von
% partieller und totaler Differenzierbarkeit]
% Wir zeigen das zun"achst nur f"ur $m=1$, der allgemeine Fall folgt
% dann aus der anschlie"senden Proposition \ref{kd}, genauer aus der auf diese
% Proposition
% folgenden Bemerkung \ref{KD}.

% Sei also $f: U\ra
% \Bbb{R}$ gegeben mit stetigen partiellen Ableitungen, und sei $p\in U$ ein Punkt.
% Ist $h \in \Bbb{R}^{n}$ hinreichend klein, so liegen alle Punkte
% $p_{0} = p$, $p_{1} = p_{0}+h_{1}\op{e}_{1}$, $p_{2}=p_{1}+h_{2}\op{e}_{2}$,
% $\ldots$ bis zu $p_{n} = p_{n-1}+h_{n}\op{e}_{n} = p+h$ mitsamt den
% sie verbindenden Geradensegmenten in $U$. Mit dem Mittelwertsatz
% erhalten wir
% $$f(p_{i}) -f(p_{i-1}) = \frac{\partial f}{\partial x_{i}}
% {(\zeta_{i})} \;h_{i}$$
% f"ur ein geeignetes $\zeta_{i}=\zeta_i(h)$ auf dem Geradensegment
% von $p_{i-1}$ nach $p_{i}$, also
% $|p-\zeta_{i}{(h)}| \leq |h|$ in der Maximumsnorm.
% Schreiben wir unsere Gleichungen um zu $$f(p_{i}) - f(p_{i-1}) = \frac{\partial
% f}{\partial x_{i}} (p) \cdot h_{i} + \left( \frac{\partial
% f}{\partial x_{i}} (\zeta_{i}) - \frac{\partial
% f}{\partial x_{i}}(p)\right) h_{i}$$ und summieren diese Gleichungen
% f"ur $1\leq i\leq n$, so ergibt sich $$f(p+h) - f(p) = \sum
% \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(p) \cdot h_{i}
% +\text{Rest$(h)$.}\hspace{1.8cm}$$
% Nach der zweiten Definition der Differenzierbarkeit \ref{Dif2}
% m"ussen wir nun f"ur unseren $\text{Rest$(h)$}$ nur noch nachweisen,
% da"s gilt
% $\lim_{h\ra 0} { \text{Rest$(h)$} }/{|h|} = 0$.
% In der Tat gibt es f"ur jedes $\varepsilon > 0$ ein $\delta >0$
% derart,  da"s gilt $$|\zeta-p| < \delta \RA\left\{ \left| \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (\zeta) - \frac{\partial
% f}{\partial x_{i}}(p)
% \right| <\varepsilon\text{ f"ur alle }i\right\}$$
% Nun folgt aus $| h| < \delta$ aber erst recht
% $|\zeta_{i}(h)-p|<\delta$ und dann $| \text{Rest$(h)$}|/{|h|} < n \varepsilon$
% f"ur $h\neq 0$, da ja f"ur $h\neq 0$ stets gilt $|h_{i}|/{|h|}\leq 1$.
% Damit haben wir gezeigt
% $ \lim_{h\ra 0} \text{Rest$(h)$}/{|h|} = 0$
% und der Satz ist bewiesen.
% \end{proof}


% \subsection{Dasselbe ohne Koordinaten}
% Sei $(v_{k})_{k\in \DN}$ eine Folge von Vektoren in einem
% normierten Vektorraum. Der Ausdruck
% $\sum^{\infty}_{k=0} v_{k}$ bezeichnet die Folge der {\bf
% Partialsummen}\index{Partialsumme}
% $s_{n}=\sum^{n}_{k=0} a_{k}$ und, falls diese Folge der
% Partialsummen konvergiert, auch ihren Grenzwert $\lim_{n\ra \infty} s_{n}=s$.
% Wir sagen dann auch, die {\bf Reihe} $\sum^{\infty}_{k=0} v_{k}$ 
% {\bf konvergiere gegen}\index{konvergiert gegen} $s$. Die $v_k$ hei"sen die
% {\bf Reihenglieder}\index{Reihenglieder}.
% \begin{Definition}
% Eine Reihe
% $\sum^{\infty}_{k=0} v_{k}$ in einem normierten Vektorraum 
% hei"st \defnoind{absolut konvergent}\index{absolut konvergente Reihe!in  normiertem Vektorraum} genau dann,
% wenn die Reihe von reellen Zahlen $\sum^{\infty}_{k=0} \|v_{k}\|$
% konvergiert.
% \end{Definition}
% \begin{Definition}
% Ein \defind{Banach-Raum} ist ein  normierter Vektorraum,
% der vollst"andig ist f"ur die zur Norm geh"orige Metrik.
% \end{Definition}
% \begin{Beispiele}
% Ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum ist f"ur jede Norm
% ein Banach-Raum. Der Raum der stetigen linearen Abbildungen
% ${\cal{B}}(V,W)$ von einem beliebigen normierten Vektorraum in 
% einen Banachraum ist ein Banachraum unter der Operatornorm,
% wie man zur "Ubung nachpr"ufen mag.
% \end{Beispiele}
% \begin{Satz}
% Jede absolut konvergente Reihe in einem Banach-Raum konvergiert.
% \end{Satz}
% \begin{proof}[Beweis]
% Man zeigt wie im Beweis von \ref{??}, da"s die Folge der Partialsummen
% eine Cauchy-Folge ist.
% \end{proof}
% Ist nun $W$ ein Banachraum und $A:W\ra W$ eine stetige lineare
% Abbildung, so konvergiert die Reihe $\sum^{\infty}_{k =0} \frac{1}{k !}A^{k}$
% absolut in ${\cal{B}}(W,W)$ und definiert mithin eine 
% stetige lineare Abbildung $\op{exp}A:W\ra W$. Die Aussagen 
% der "Ubungen \ref{U5} gelten analog, und genau wie in \ref{Aex}
% erkennt man, da"s die Abbildung $\DR\ra {\cal{B}}(W,W)$,
% $t\mapsto \op{exp}tA$ differenzierbar ist mit Ableitung
% $t\mapsto (\op{exp}tA)A$. Dann zeigt man genau wie zuvor,
% da"s es f"ur alle $c\in W$ genau eine Abbildung $\varphi:\DR\ra W$
% gibt mit $\varphi(0)=c$ und $\varphi'(t)=A\varphi(t)$, n"amlich
% $\varphi(t)=(\op{exp}tA) c$.

\subsection{Versuch Differentialform auf beliebiger Mannigfaltigkeit}
Soviel zur Anschauung unseres Integralbegriffs.
Jetzt bauen wir den allgemeinen Formalismus auf.
Betrachten wir nocheinmal unsere Proposition \ref{EA}, so sehen
wir, da"s $\int_{M}\omega$ schon durch die Kenntnis der
$\varphi^{\ast}\omega$ f"ur alle Karten $\varphi$ von $M$
eindeutig festgelegt wird.
Die $(\varphi^{\ast}\omega)_{x}$ hinwiederum h"angen aber per
definitionem nur davon ab, welche Werte $\omega_{\varphi(x)}$ auf
$p$-Tupeln von Vektoren des Tangentialraums ${\op{T}}_{\varphi (x)}M$
annimmt.
Das f"uhrt uns zu folgender
\begin{Definition}
Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $M \subset
V$ eine eingebettete $n$-Mannigfaltigkeit.
Eine {\bf $p$-Form $\omega$ auf $M$} ist eine Vorschrift $x
\mapsto \omega_{x}$, die jedem Punkt $x \in M$ eine alternierende
$p$-Multilinearform $\omega_{x} \in \op{Alt}^{p}({\op{T}}_{x}M)$ auf dem
Tangentialraum ${\op{T}}_{x}M$ an $M$ in $x$ zuordnet.
\end{Definition}
Gegeben eine Karte $(W, \varphi)$ von $M$ und eine $p$-Form
$\omega$ auf $M$ definieren wir dann eine $p$-Form $\varphi^{\ast}
\omega$ auf $W \co \Bbb{R}^{n}$ wie zuvor durch $$(\varphi^{\ast}\omega)_{x}
= (d_{x}\varphi)^{t}(\omega_{\varphi (x)})$$ wo wir nun
$d_{x}\varphi$ als eine Abbildung $d_{x}\varphi : \Bbb{R}^{n} \ra
{\op{T}}_{\varphi (x)} M$ auffassen.
Sind $(W_{\al}, \varphi_{\al})$ und $(W_{\beta}, \varphi_{\beta})$
zwei Karten und $\varphi_{\al\beta} : W_{\beta \al} \ra W_{\al
\beta}$ der Kartenwechsel, so haben wir nat"urlich
$\varphi_{\al\beta}^{\ast} (\varphi^{\ast}_{\al} \omega ) =
\varphi^{\ast}_{\beta} \omega$ auf $W_{\beta\al}$.
Ist umgekehrt f"ur jede Karte $(W_{\al},\varphi_{\al})$
einer Karten"uberdeckung von $M$
eine $p$-Form $\omega_{\al}$ auf
$W_{\al}$ gegeben derart, da"s gilt $\varphi_{\beta\al}^{\ast}
(\omega_{\al}) = \omega_{\beta}$ auf $W_{\beta\al}$ f"ur je zwei
Karten $(W_{\al},\varphi_{\al})$ und $(W_{\beta},
\varphi_{\beta})$ unserer "Uberdeckung, so gibt es offensichtlich
genau eine
$p$-Form $\omega$ auf $M$ mit $\varphi_{\al}^{\ast} \omega =
\omega_{\al}$ f"ur alle $\al$.
\begin{Beispiel}
Um eine $2$-Form auf der Kugelschale $M = S^{2}$ anzugeben,
k"onnen wir wie folgt vorgehen:
Wir betrachten den Nordpol $n^{+} = (0,0,1)$ und die Abbildung
$$\psi_{+} : S^{2}\backslash n^{+} \ra \Bbb{R}^{2}$$
die jedem Punkt $a \in S^{2}\backslash n^{+}$
den Schnittpunkt der Geraden durch
$a$ und $n^{+}$ mit der $xy$-Ebene $\Bbb{R}^2\times\{0\}$ zuordnet.
Die inverse Abbildung $\varphi_{+} = (\psi_{+})^{-1}$ ist schon mal
eine Karte, analog konstruieren wir auch eine Karte $\varphi_{-}$
f"ur das Komplement des S"udpols $(0,0,-1)$.

Der Kartenwechsel ergibt sich mit etwas Rechnen als die Abbildung
$$\begin{array}{rcl}
\varphi = \varphi_{-+}: \Bbb{R}^{2} \backslash 0& \ra& \Bbb{R}^{2}
\backslash 0\\
(x,y) & \mapsto & \frac{1}{x^{2}+y^{2}} (x,y)
\end{array}$$
Eine 2-Form auf $\Bbb{R}^{2}$ hat die Gestalt $f dx \wedge dy$ f"ur
eine wohlbestimmte Funktion $f: \Bbb{R}^{2} \ra \Bbb{R}$.
Holen wir sie zur"uck mit unserem Kartenwechsel, so ergibt sich
$$\begin{array}{rcl}
\varphi^{\ast} (f dx \wedge dy) &=& (f \circ \varphi)
d(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}) \wedge d  (\frac{y}{x^{2}+y^{2}})\\[2mm]
 &=& -\frac{f\circ \varphi}{(x^{2}+y^{2})^{2}} dx
 \wedge dy
\end{array}$$
Eine 2-Form auf der Kugelschale $S^{2}$ anzugeben bedeutet also
nichts anderes, als zwei Funktionen $f_{\pm} : \Bbb{R}^{2} \ra \Bbb{R}$
anzugeben mit $$f_{+} (x,y)= - \frac{1}{(x^{2}+y^{2})^{2}} f_{-}
(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, \frac{y}{x^{2}+y^{2}})$$ f"ur so ein
Funktionenpaar gibt es eben genau eine 2-Form $\omega$ auf $S^{2}$
mit $\varphi^{\ast}_{\pm} \omega = f_{\pm} dx \wedge dy$.
\end{Beispiel}
Jetzt wollen wir schlie"slich in einem letzten Schritt unsere
Mannigfaltigkeiten von ihren Einbettungen befreien.
\begin{Definition}
Eine $n$-Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorffraum $M$ mitsamt einer
Familie $(W_{\al}, \varphi_{\al})$ von Paaren bestehend aus einer
offenen Teilmenge $W_{\al} \co \Bbb{R}^{n}$ und einer Abbildung
$\varphi_{\al} : W_{\al} \ra M$, den {\bf Definitionskarten von
$M$}\index{Definitionskarte}, derart, da"s gilt:
\begin{enumerate}
\item
Die Abbildungen $\varphi_{\al}$ sind offene stetige Injektionen.
\item
Die Kartenwechsel $\varphi^{-1}_{\beta} \circ \varphi_{\al} =
\varphi_{\beta \al} : W_{\al\beta} \ra W_{\beta\al}$ f"ur $W_{\al
\beta} = \varphi^{-1}_{\al} (\varphi_{\beta}(W_{\beta}))$ sind
$C^{\infty}$-Abbildungen.
\end{enumerate}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
In der Literatur werden oft zus"atzliche Bedingenen an die
Topologie einer Mannigfaltigkeit gestellt, meist Parakompaktheit
oder Separabilit"at.
Wir werden solche Zusatzbedingungen stets explizit erw"ahnen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Eine $p$-Form $\omega$ auf einer Mannigfaltigkeit $M$ ist eine
Familie $\omega_{\al}$ von $p$-Formen auf den Definitionskarten
$W_{\al}$ derart, da"s f"ur alle Kartenwechsel gilt
$\omega_{\beta} = \varphi^{\ast}_{\al\beta} \omega_{\al}$.
Eine $p$-Form $\omega$ hei"st stetig, differenzierbar,
$C^{\infty}$ etc.\ genau dann, wenn alle $\omega_{\al}$ es sind.
\end{Definition}
Wir bezeichnen mit $\Omega^{p} (M)$ den Raum aller
$C^{\infty}$-$p$-Formen auf $M$ und mit $\Omega^{p}_{C} (M)$ den
Unterraum aller beliebig oft differenzierbaren $p$-Formen mit
kompaktem Tr"ager.
\begin{Satz}
Definition Integral.
\end{Satz}


\subsection{Integration "uber Fasern}
\begin{Definition}
  Sei $f:X \rightarrow Y$ eine Submersion von glatten Mannigfaltigkeiten im
  Sinne von \eref{Submdg}{ML} und $\omega \in \Omega^p (X)$ eine stetige $p$-Form
  derart, da"s $f: (\op{supp} \omega) \rightarrow Y$ eigentlich ist. Seien
  weiter $X$ und $Y$ orientiert. Wir nehmen zus"atzlich an,
da"s der Grad $p$ unserer Differentialform mindestens die
  Faserdimension 
 $c= \dim X - \dim Y$ ist.  So
  k"onnen wir f"ur $q = p - c$ eine stetige $q$-Form $\int_f
  \omega$ auf $Y$ erkl"aren wie folgt: Gegeben $y \in Y$ und
  Tangentialvektoren $v_1, \ldots, v_q \in {\op{T}}_y Y$ 
und $x \in f^{-1} (y)$ und
  $w_1, \ldots, w_c \in {\op{T}}_x f^{-1} (y)$ setzen wir
  \begin{equation*}
    \omega [v_1, \ldots , v_q ](w_1, \ldots, w_c) 
\pdef \omega (w_1, \ldots, w_c , \tilde{v}_1, \ldots,
    \tilde{v}_q)
  \end{equation*}
  f"ur beliebige $\tilde v_1, \ldots, \tilde v_q 
\in {\op{T}}_x X$ mit $\diff_x f: \tilde
  v_i \mapsto v_i$. Die linke Seite ist wohldefiniert, 
da sich andere Lifts $\hat
  v_i \in {\op{T}}_x X$ von unseren ausgew"ahlten Lifts $v_i$  nur um Vektoren 
unterscheiden, die tangential
  an die Faser sind, in Formeln 
$\hat v_i - \tilde v_i \in {\op{T}}_x f^{-1} (y)$, so
  da"s $w_1, \ldots, w_c, (\hat v_i - \tilde v_i)$ stets linear abh"angig sein
  mu"s.  Damit ist f"ur alle $v_1, \ldots, v_q \in {\op{T}}_y Y$ 
unser $\omega[v_1,
    \ldots, v_q]$ eine wohldefinierte 
stetige $ c$-Form auf der Faser, die von $v_1, \ldots,
  v_q$ in alternierender und multilinearer Weise abh"angt, 
und wir k"onnen das {\bf Integral von $\omega$ "uber die Fasern von $f$}\index{Integral!"uber die Fasern} $\int_f
  \omega$ erkl"aren durch
  \begin{equation*}
    \left( \int_f \omega\right) (v_1, \ldots, v_q) 
= \int_{f^{-1} (y)} \omega[v_1,\ldots,v_q]
  \end{equation*}
  wobei $f^{-1} (y)$ mit der durch die Orientierungen von $X$ und $Y$ gegebenen
  Orientierung versehen wird. \emph{Das ist leider noch schwammig, ich habe
    "uber
die guten Vorzeichenwahlen noch nicht nachgedacht.}
Speziell erhalten wir so auf den kompakt getragenen Formen eine Abbildung\label{intFF}  
$$\int_f:\Omega^p_!(X)\ra \Omega^{p-c}_!(Y)$$
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}
Jetzt mu"s nat"urlich gezeigt werden, da"s f"ur Submersionen
 $f: X \rightarrow Y$ und $g: Y \rightarrow Z$
von orientierten Mannigfaltigkeiten gilt
$$\int_g \left(\int_f \omega\right) = \int_{g \circ f} \omega$$
Des weiteren mu"s gezeigt werden, da"s 
gegeben ein kartesisches Diagramm $f\circ g=h\circ k$
von glatten Mannigfaltigkeiten mit Submersionen 
$f,k$ stets gilt
$$h^\ast \left(\int_f \omega\right)=\int_k (g^\ast \omega)$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}
  Das Integral der auf dem Raum der 
invertierbaren komplexen quadratischen Matrizen mit $(n+1)$ Zeilen und Spalten
bis auf Vorzeichen erkl"arten komplexwertigen Differentialform 
$ \pm(\op{det})^{-(n+1)}dz_{00} \wedge \ldots \wedge dz_{nn}$ 
"uber die unit"are Gruppe ${\op{U}}(n+1)$ hat bis auf Vorzeichen den Wert  
$$\prod_{\nu=0}^{n}\frac{(2\pi{\op{i}})^{\nu+1}}{\nu!}=
\pm
  \int_{{\op{U}}(n+1)} 
(\op{det})^{-(n+1)} dz_{00} \wedge \ldots \wedge dz_{nn}$$
\end{Proposition}

\begin{proof}
%  Unser Ziel ist die Berechnung
%   des Integrals der komplexwertigen Differentialform $C_{n+1} = \pm
%   \int_{{\op{U}}(n+1)} (\op{det})^{-(n+1)} dz_{00} \wedge \ldots \wedge dz_{nn}$
 Wir rechnen im Diagramm
  \begin{displaymath}
    \xymatrix{
      A \ar@{|->}[r] & \op{diag}(1,A)&  \\%(z_0, \ldots, z_n)\ar@{=}[d]\\
      {\op{U}} (n) \ar@{^{(}->}[r] & {\op{U}} (n+1) \ar[r]\ar[d]^-p 
& \mathbb C^{n +1}\owns (x_0 + {\op{i}}y_0, \ldots, x_n +
      {\op{i}}y_n) \\
      &S^{2 n+1} \ar@{^{(}->}[r] 
&\mathbb R^{2n+2}\ar[u]^-\wr \owns (x_0,y_0, \ldots, x_n,y_n)\ar@{|->}[u]
    }
  \end{displaymath}
  mit der linken Vertikale $p$ gegeben durch das Anwenden auf 
den ersten Vektor der Standardbasis $ \vec{a}_0 =
  (1,0, \ldots, 0)^\top $ $\in \mathbb R^{2n+2}$.  
  Dazu integrieren wir zun"achst "uber die Fasern von $p$ und dann "uber die
  Sph"are.  Wir w"ahlen als Basis des Tangentialraums an $S^{2n+1}$ in
  $\vec a_0$ die anderen Vektoren 
der Standardbasis und notieren sie 
$\vec b_0, \vec a_1, \vec b_1, \ldots, \vec a_n,
  \vec b_n$.  Als Urbilder im Tangentialraum 
${\op{T}}_E {\op{U}}(n+1)$ f"ur diese Vektoren
  kommen beliebige hermitesche Matrizen $A_\nu$ f"ur $1 \leq \nu
  \leq n$ und $B_\nu$ f"ur $0 \leq \nu \leq n$ in Frage mit $A_\nu \vec a_0 =
  \vec a_n$ und $B_\nu\vec a_0 = \vec b_\nu$.  Als einfache Wahl bieten sich
 f"ur $\nu \geq 1$
die komplexen Matrizen $A_\nu = E_{\nu 0} - E_{0\nu}$ und $B_\nu = {\op{i}}E_{\nu
    0} + {\op{i}} E_{0\nu}$   sowie $B_0 = {\op{i}} E_{00}$ an.  Hier
  verwende ich die "ubliche Notation f"ur die Standardbasis des 
Matrizenrings, habe jedoch die
  erste Zeile und Spalte jeweils 
mit Null indiziert.  Es scheint mir nun einfacher,
unsere integrierte
  Differentialform zun"achst einmal 
auszuwerten auf den Vektoren 
$( \vec a_{\nu} - {\op{i}}\vec b_\nu)/2$,  $( \vec a_\nu + {\op{i}} \vec b_\nu)/2$ 
  und ${\op{i}}\vec b_0$ des komplexifizierten Tangentialraums
${\op{T}}^{\mathbb C}_{\vec a_{0}} S^{2n +1}$.
M"ogliche Urbilder sind dann die Vektoren
   $E_{\nu 0}$,
   $-E_{0\nu}$
  und  $-E_{00}$ des komplexifizierten
  Tangentialraums ${\op{T}}^{\mathbb C}_{E} {\op{U}}(n+1)$, der 
kanonisch isomorph ist zu ${\op{T}}_{E} {\op{GL}}(n+1;\DC)$.
Verj"ungen alias partielles Auswerten 
gegen diese Vektoren des komplexifizierten Tangentialraums der Faser 
beim neutralen Element 
 liefert dann am neutralen Element 
die Form
$\pm dz_{11} \wedge
  \ldots \wedge dz_{nn}$.  Sei das Integral der zugeh"origen invarianten
  komplexwertigen Differentialform auf 
${\op{U}}(n)$ etwa $\pm C_n$ und bekannt als Induktionsvoraussetzung.  
Nun finden wir leicht
  $
    ( \vec a_\nu - {\op{i}} \vec b_\nu) \wedge ( \vec a_\nu + {\op{i}} \vec b_\nu) = 2{\op{i}}\vec a_\nu
    \wedge \vec b_\nu
  $
  und damit ist $$\pm( \vec b_0 \wedge \vec a_1\wedge \vec b_1 \wedge \ldots
    \wedge \vec a_n \wedge \vec b_\nu ) 
    {\op{i}}^{n+1}2^{-n}$$ 
das Dachprodukt aller Vektoren unserer neuen Basis
  von ${\op{T}}^{\mathbb C}_{\vec a_{0}} S^{2n+1}$.  Integrieren wir 
$(\det)^{-(n+1)}dz_{00}
  \wedge \ldots \wedge dz_{nn} $ "uber die Faser, so
  ergibt sich mithin $\pm C_n$ mal eine invariante komplexwertige
  Differentialform auf $S^{2n+1}$, die das Dachprodukt unserer neuen Vektoren
  auf $\pm 1$ wirft und das Dachprodukt $\vec b_0 \wedge \vec a_1 \wedge \vec
  b_1 \wedge \ldots \wedge \vec a_n \wedge \vec b_n$ folglich auf
  $\pm {\op{i}}^{n+1}2^{n}$, womit wir insgesamt die Beziehung
  \begin{equation*}
    \pm C_{n+1} = 
{\op{i}}^{n+1}2^{n}C_n (\text{Oberfl"ache der Kugel } S^{2n+1}) 
  \end{equation*}
folgern. Das Volumen der Kugel vom Radius $r$ im $\mathbb R^{2(n+1)}$ ist
bekanntlich ${\pi^{n+1}}r^{2(n+1)}/{(n+1)!} $ und die Oberfl"ache der
Einheitskugel $S^{2n+1}$ ist die Ableitung bei $r=1$ alias
${2\pi^{n+1}}/{n!}$, so da"s wir schlie"slich finden $\pm C_{n+1} = ((2\pi
{\op{i}})^{n+1}/n!) C_n$. Mit der explizit leicht zu
pr"ufenden Formel $C_1=2\pi{\op{i}}$ als Induktionsbasis ergibt sich 
dann schlie"slich unsere Proposition.
\end{proof}




\subsection{Etwas zur Lie-Theorie}
\begin{Satz}
Eine kompakte Lie-Gruppe operiere auf einer parakompakten Mannigfaltigkeit.
So ist die Menge der Fixpunkte eine eingebettete Untermannigfaltigkeit, deren
Komponenten allerdings unterschiedliche Dimensionen haben k"onnen.
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Da unsere Mannigfaltigkeit $X$ parakompakt ist, besitzt sie eine Riemann'sche
Metrik. Da unsere Lie-Gruppe $K$ kompakt ist, finden wir sogar eine invariante
Riemann'sche Metrik. F"ur $x \in X$ liefet die Exponentialabbildung einen
$K$-"aquivarianten Hom"oomorphismus von einem kleinen offenen Ball $B$ um den
Nullpunkt im Tangentialraum ${\op{T}}_{x}X$ auf eine offene Umgebung $U$ von $x$ in
$X$.
Er identifiziert also $B\cap ({\op{T}}_{x}X)^{K}$ mit $U \cap X^{K}$ und zeigt den
Satz.
\end{proof}

\begin{comment}
  \begin{Kommentar}
Gegeben ein endlichdimensionaler  reeller Raum $E$ 
und $X\co E$ 
     mag man statt $\vec{E}$ auch die Teile der symmetrischen Algebra 
$\bigoplus_{1\leq i\leq n}S^{i}\vec{E}$ betrachten und durch Paaren mit dem 
Beginn der Taylorentwicklung  R"aume \glqq h"oherer Differentiale\grqq\  
$T^{(n)}_xX\subset \mathcal{O}_{X,x}^\ast$ bilden. 
Auch diese gehen unter dem Vorschalten ineinander "uber, man erh"alt
nunmehr  jedoch polynomiale  Abbildungen  
$$\diff^{(n)}_x\varphi: T^{(n)}_xX\ra T^{(n)}_{\varphi (x)}Y$$
  \end{Kommentar}
\end{comment}
\begin{Bemerkungl}\emph{f"ur die F"alle mit Ecken, nicht hier!}
  Ist $X$ eine halboffene Teilmenge eines reellen affinen Raums $E$, so
  erkl"aren wir die entsprechende Richtungsableitung durch $({\op{D}}_v
  f)(x)=(\diff_x f)(v)$.
\end{Bemerkungl}


\subsection{Parametrisierte Minimalfl"achen nach Weierstra"s}
\begin{Bemerkungl}
Sei $U \co \Bbb{C}$ und sei $F:U \ra \Bbb{R}^3$ stetig differenzierbar.
Die Abbildung $F$ hei"st \defind{winkeltreu} 
genau dann, wenn an jeder Stelle von $U$
die partiellen Ableitungen 
$\frac{\partial F}{\partial x} $ und 
$\frac{\partial F}{\partial y}$ aufeinander
senkrecht stehen, dieselbe L"ange haben und nicht Null sind.
In der Notation der Wirtinger-Ableitung 
$$\partial F = \frac{\partial F}{\partial z}
= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial F}{\partial x} 
- \op{i} \frac{\partial F}{\partial y}
\right)$$ aus \ref{WiAb}
ist das "aquivalent zu der Forderung,
da"s die Funktion $\partial F : U \ra \Bbb{C}^3$ in der Quadrik
$Q = \{ (a,b,c) \in \Bbb{C}^3 \mid a^2 = b^2 + c^2= 0\}$
au"serhalb des Nullpunkts landen soll.
Nun liefert die durch \eref{PR}{AN1} motivierte Abbildungsvorschrift $(m,n) \mapsto
(m^2 -n^2 , \op{i} (m^2 + n^2), 2mn)$ eine Surjektion mit 
zweielementigen Fasern von
$\Bbb{C}^2 \backslash 0$ auf $Q \backslash 0$. Ist $U$ 
einfach zusammenh"angend,
so finden wir mithin $f,g : U \ra \Bbb{C}$ mit 
\begin{displaymath}
\partial F = ( g^2 - f^2 , \op{i} (g^2 + f^2 ) , 2gf)
\end{displaymath}
Ein Satz von Weierstra"s besagt nun, 
da"s f"ur eine derartige winkeltreue Abbildung
$F$ das Bild $F (U)$ eine Minimalfl"ache ist genau dann,
wenn $f$ und $g$ holomorph sind.
\end{Bemerkungl}








\subsection{Minimax-Theorem von von Neumann}
  \index{Minimax-Theorem} 

\begin{Bemerkungl}
Gegeben zwei Mengen $X,Y$ und eine Abbildung $f : X \times Y \rightarrow
\overline{\mathbb R}$ gilt sicher 
$$\begin{array}{rcrl}
\inf_{x \in X} f (x,b)& \leq &f (a,b) &
\forall a,  b\\
\sup_{y \in Y} \inf_{x \in X} f(x,y) &\leq & \sup_{y \in Y} f (a,y) & \forall a\\
\sup_{y \in Y} \inf_{x \in X} f (x,y) & \leq & \inf_{x \in X} \sup_{y \in Y} f (x,y)&
\end{array}$$
Im allgemeinen haben wir nat"urlich keine Gleichheit, etwa ist im Fall
$X =Y$ und $f (x,y) = \delta_{x,y}$ und $|X| > 1$ offensichtlich die linke
Seite Null und die rechte Seite Eins.
\end{Bemerkungl}




\subsection{Hilbert-Schmidt-Operatoren}


\begin{Bemerkungl}\label{TeHi}
Gegeben  Hilbertr"aume $V$ und $W$ wird
ihr \defind{Hilbertprodukt} $V\hat{\otimes} W$ definiert  als
die Vervollst"andigung ihres
\glqq algebraischen\grqq\  Tensorprodukts $V \otimes W$ in Bezug
auf das offensichtliche Skalarprodukt.
Ist also $(v_{i})_{i\in I}$ eine Hilbertbasis von $V$ 
und $ (w_{j})_{j \in  J}$ eine Hilbertbasis von
$W$, so bilden die $(v_{i}\otimes w_{j})_{(i,j) \in I \times J}$ 
eine Hilbertbasis
von $V \hat{\otimes} W$.  
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
F"ur $\sigma$-endliche Ma"sr"aume und 
mit unserer Definition des Produktma"ses \ref{PrMan} 
sogar f"ur beliebige Ma"sr"aume $(X,\mu)$ und $(Y,\nu)$
gilt dann, da"s
das "au"sere Produkt von Funktionen einen Isomorphismus von Hilbert\-r"aumen
$${\op{L}}^{2}(X;\mu) \hat{\otimes} {\op{L}}^{2} (Y;\nu) 
\overset{\sim}{\rightarrow} {\op{L}}^{2}(X\times Y; \mu \otimes \nu)$$
liefert: Offensichtlich ist ja das "au"sere Produkt von Funktionen schon 
einmal mit den 
Skalarprodukten vertr"aglich und wir erhalten so 
insbesondere eine injektive Abbildung ${\op{L}}^{2}(X;\mu)\otimes
{\op{L}}^{2} (Y;\nu) \ra {\op{L}}^{2}(X\times Y; \mu \otimes \nu)$, 
$f\otimes g\mapsto f\boxtimes g$,
von der nur noch gezeigt werden mu"s, da"s ihr
Bild dicht liegt.
Nun liegt aber das Erzeugnis der charakteristischen 
Funktionen von Mengen endlichen Ma"ses stets
dicht im Raum der quadratintegrierbaren Funktionen.
Jede Teilmenge endlichen Ma"ses von $X \times Y$ l"a"st sich 
einbetten in die Vereinigung
einer Folge paarweise disjunkter Quader mit in beiden 
Seiten endlichem Ma"s, deren
Gesamtma"s nur um ein Weniges gr"o"ser ist. Nehmen 
wir dann von dieser Folge nur ein hinreichend
langes Anfangsst"uck, so wird das Gesamtma"s wieder nur  um  
ein Geringes kleiner. So sehen
wir, das die fraglichen Produkte dicht liegen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Ubung}(Hinweis: \ref{IMT}.)
Gegeben eine Familie $(X_i, \mu_i)_{i\in I}$ von Ma"sr"aumen mit
disjunkter Vereinigung $(X,\mu)$ liefert die offensichtliche Abbildung
einen Isomorphismus von Hilbertr"aumen
\begin{equation*}
\widehat{\bigoplus}_{i \in I} {\op{L}}^2 (X_i ; \mu_i) 
\overset{\sim}{\rightarrow}
{\op{L}}^2 (X;\mu )
\end{equation*}
\end{Ubung}



\begin{Bemerkungl}\label{HSO}
Gegeben ein Hilbertr"aume $\mathcal H, \mathcal K$ 
liefert die Identifikation $\bar
{\mathcal H} \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal H^\ast$ 
des konjugierten Raums mit dem 
topologischen Dualraum  eine Injektion
$\mathcal K \otimes \bar{\mathcal H} \hra \mathcal B (\mathcal H,\mathcal K)$.
Man zeigt unschwer, da"s sie stetig ist f"ur das
offensichtliche Skalarprodukt auf dem
Tensorprodukt und die Operatornorm auf dem Raum der beschr"ankten
Operatoren, so da"s sie sich in eindeutiger Weise
stetig auf die Vervollst"andigung 
des Tensorprodukts fortsetzen l"a"st zu einer Abbildung
\begin{equation*}
\mathcal K \hat{\otimes} \bar{\mathcal H} \rightarrow \mathcal B
(\mathcal H,\mathcal K)
\end{equation*}
Die Operatoren im Bild dieser Abbildung 
hei"sen
{\bf Hilbert-Schmidt-Operatoren}.\index{Hilbert-Schmidt-Operator}  
Wir  behaupten nun, da"s unsere Fortsetzung auch
injektiv ist. 
Sei dazu $(v_i)_{i \in I}$ eine Hilbertbasis von $\mathcal H$
und $(w_j)_{j \in J}$ eine Hilbertbasis von $\mathcal K$.
Sicher bilden die $w_j \otimes \bar{v}_i$ eine Hilbertbasis von
$\mathcal K \hat{\otimes} \bar{\mathcal H}$. Jedem $\sum a_{ji}
(w_j \otimes \bar{v}_i)$ aus $\mathcal K \hat{\otimes} \bar{\mathcal H}$
k"onnen wir nun den Operator
$A$ zuordnen, der
$b = \sum b_i v_i$ auf $Ab = \sum_j (\sum_i a_{ji} b_i) w_j$ abbildet:
Die Cauchy-Schwartz'sche Ungleichung liefert erst
$|\sum_i a_{ji} b_i|^2 \leq \sum_i |a_{ji} b_i|^2 
\leq (\sum_i |a_{ji}|^2) (\sum_i |b_i|^2)$
und durch Summation "uber $j$ dann
\begin{equation*}
\sum_{i,j} |a_{ji} b_i|^2 \leq 
\left(\sum_{i,j} |a_{ji}|^2\right) \left(\sum_i |b_i|^2\right)
\end{equation*}
Folglich ist $Ab$ wirklich ein wohldefinierter Vektor 
von $\mathcal K$, und wir
erhalten zus"atzlich die Absch"atzung
\begin{equation*}
\| Ab \| \leq  \left( {\sum_{i,j} |a_{ji}|^2}\right)^{1/2}\| b\| 
\end{equation*}
Damit haben wir sogar eine explizite Beschreibung unserer stetigen Fortsetzung
erhalten, der man ihre Injektivit"at unmittelbar ansieht.
\end{Bemerkungl}

  \begin{Bemerkungl}
    Gegeben ein Hilbert-Schmidt-Operator $A$ bezeichnet man seine Norm als
    Element des Hilbertraums $\mathcal K \hat{\otimes} \bar{\mathcal H}$ auch
    mit $\|A\|_2$ oder $\|A\|_{\op{HS}}$ und nennt diese Norm die {\bf
      Hilbert-Schmidt-Norm}.\index{Hilbert-Schmidt-Norm} Das Ende des
    vorhergehenden Beweises liefert insbesondere die Absch"atzung $\|A\|\leq
    \|A\|_2$ der Operatornorm durch die Hilbert-Schmidt-Norm.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}\label{HSOk}
  Jeder Hilbert-Schmidt-Operator ist in der Operatornorm ein
Grenzwert einer Folge von Operatoren endlichen Ranges und ist damit
nach \ref{koAA} insbesondere
kompakt.
\end{Bemerkungl}














%% \begin{Proposition}
%% Gegeben ein 
%% beschr"ankter Operator $A : \mathcal H \rightarrow \mathcal H$ auf
%% einem Hilbertraum sind gleichbedeutend:
%% \begin{enumerate}
%% \item
%% Es gibt
%% eine Hilbertbasis
%% $ (v_i)_{i \in I}$  von $\mathcal H$ mit
%% $
%% \sum_{i \in I} \| A v_i\|^2 < \infty
%% $;
%% \item
%% Unser Operator ist ein Hilbert-Schmidt-Operator;
%% \item
%% F"ur jede Hilbertbasis
%% $ (v_i)_{i \in I}$ von $\mathcal H$ gilt
%% $
%% \sum_{i \in I} \| A v_i\|^2 < \infty
%% $.
%% \end{enumerate}
%% Die fragliche Summe ist dann das Quadrat der  Hilbert-Schmidt-Norm
%% unseres Operators.
%% \end{Proposition}
%% \begin{proof}
%% Das folgt alles daraus, da"s f"ur $ (v_i)_{i \in I}$
%% eine Hilbertbasis von $\mathcal H$ ja die
%% $ (v_i\otimes \bar{v}_j)_{i,j \in I}$ eine Hilbertbasis von
%% $\mathcal H \hat{\otimes} \bar{\mathcal H}$ bilden.
%% \end{proof}

\subsection{Spuren in Hilbertr"aumen}



%\emph{Unausgegoren. Werner kann es besser! Vielleicht jetzt nimmer?}





\begin{Definition}
% \emph{Wohin? Sollte eigentlich stimmen und sogar eine ganz elegante Definition
% sein!} 
Ein beschr"ankter Operator $A : \mathcal H \rightarrow \mathcal K$ 
zwischen 
zwei  Hilbertr"aumen hei"st {\bf spurbar}\index{spurbar} 
oder auch {\bf nuklear}\index{nuklear} 
\emph{(Ist das dasselbe? Was sagt Werner? Sagt er vielleicht Quatsch?)}
genau dann, 
wenn er kompakt ist und wenn der Ausgangsraum 
eine Hilbertbasis
$ (v_i)_{i \in I}$  besitzt  mit
$$
\sum_{i \in I} \| A v_i\| < \infty
$$
Ich f"urchte, diese Definition ist falsch. Man sollte fordern
$$
\sum_{i \in I} \langle\sqrt{A^* A} v_i,v_i\rangle < \infty
$$
oder sogar nur Operatoren auf einem Raum betrachten.
\end{Definition}
\begin{Bemerkunge}
Es ist hier eigentlich unn"otig, die Kompaktheit noch extra zu fordern,
denn sie folgt bereits 
aus unseren sonstigen Annahmen.
Ich habe diese Forderung nur deshalb mit zu unserer
Definition hinzugenommen, da man so f"ur die weitere 
Entwicklung der Theorie 
 nur die deutlich einfachere
Spektraltheorie kompakter
selbstadjungierter Operatoren  ben"otigt.
Um die Kompaktheit zu folgern, kann man so argumentieren:
 Ist $A$ nicht kompakt,
so ist auch $A^\ast A$  nicht kompakt, 
und man findet
unter Zuhilfenahme der Spektraltheorie dieses selbstadjungierten Operators
ein $\lambda>0$ derart, da"s das Anwenden 
des $\lambda$-fachen der charakteristischen Funktion
von $[\lambda,\infty)$ auf $A^\ast A$ einen Operator $B$ mit einem
unendlichdimensionalen Eigenraum zum Eigenwert $\lambda$ liefert,
der auf dem orthogonalen Komplement dieses Eigenraums verschwindet,
nebst einer Zerlegung $A^*A=B+T$ mit $T$ selbstadjungiert positiv semidefinit.
Dieses $B$ hinwiederum kann man  f"ur jedes $n\in\DN$ zerlegen als $B_n+R_n$ 
mit $R_n$ positiv definit und $B_n$ vom Rang $n$ mit den einzigen
Eigenwerten $0$ und $\lambda$.
Nach Konstruktion gilt nun 
% $\|Av\|^2=\langle Av,Av\rangle =\langle A^*Av, v\rangle=
% \langle |A|^2 v, v\rangle$
$$
(\sum_{i \in I} \| A v_i\|)^2 \geq\sum_{i \in I} \langle A^*A v_i, v_i\rangle
\geq \sum_{i \in I} \langle B v_i, v_i\rangle\geq 
\sum_{i \in I} \langle B_n v_i, v_i\rangle=n\lambda
$$ f"ur jede Hilbertbasis, wo wir uns bei der letzten Gleichung bereits auf 
den im folgenden bewiesenen Satz st"utzen. \emph{(Hier existiert noch eine alte
Version,
die wohl mal falsch korrigiert wurde, aber im Ganzen besser ist.)}
%  Ist $A$ nicht kompakt,
% so ist auch $| A|=\sqrt{A^\ast A}$  nicht kompakt, 
% und man findet
% unter Zuhilfenahme der Spektraltheorie des selbstadjungierten Operators
% $| A|$
% ein $\lambda>0$ derart, da"s das Anwenden 
% des $\lambda$-fachen der charakteristischen Funktion
% von $[\lambda,\infty)$ auf $| A|$ einen Operator $B$ mit einem
% unendlichdimensionalen Eigenraum zum Eigenwert $\lambda$ liefert,
% der auf dem orthogonalen Komplement dieses Eigenraums verschwindet.
% Dieses $B$ hinwiederum kann man  f"ur jedes $n\in\DN$ zerlegen als $B_n+R_n$ 
% mit $R_n$ positiv definit und $B_n$ vom Rang $n$ mit den einzigen
% Eigenwerten $0$ und $\lambda$.
% Nach Konstruktion gilt nun 
% % $\|Av\|^2=\langle Av,Av\rangle =\langle A^*Av, v\rangle=
% % \langle |A|^2 v, v\rangle$
% $$
% \sum_{i \in I} \| A v_i\| =\sum_{i \in I} \langle| A|^2 v_i, v_i\rangle^{1/2}
% \geq \sum_{i \in I} \langle B v_i, v_i\rangle\geq 
% \sum_{i \in I} \langle B_n v_i, v_i\rangle=n\lambda
% $$ f"ur jede Hilbertbasis, wo wir uns bei der letzten Gleichung bereits auf 
% den im folgenden bewiesenen Satz st"utzen.
\end{Bemerkunge}

% \begin{Definition}
% Ein  Operator $A : \mathcal H \rightarrow \mathcal H$ 
% auf einem  Hilbertraum hei"st {\bf spurbar}\index{spurbar} 
% genau dann, 
% wenn er kompakt ist und wenn f"ur eine Hilbertbasis $(v_i)_{i \in I}$
% von $\mathcal H$ gilt 
% $$\sum_{i\in I}\langle v_i,| A| v_i \rangle<\infty $$
% \end{Definition}
% \begin{Bemerkungl}
%   Die Kompaktheit folgt bereits aus unserer Bedingung, aber
% unter der Annahme der Kompaktheit kann der Betrag $| A|=\sqrt{A^\ast A}$
% unseres Operators leichter erkl"art werden, da man dazu dann nur die
% Spektraltheorie kompakter
% selbstadjungierter Operatoren  ben"otigt.
% \end{Bemerkungl}



% Es ist nicht offensichtlich, da"s die beiden hier
% gegebenen Definitionen "ubereinstimmen.
% Alternativ kann man
% argumentieren,
% da"s jeder spurbare Operator offensichtlich Hilbert-Schmidt ist im Sinne von 
% \ref{HSO} und damit kompakt nach \ref{HSOk}.

\begin{Satz}[\textbf{Spuren in Hilbertr"aumen}]
Gegeben ein spurbarer Operator 
$A $ auf\label{hzu} 
einem Hilbertraum $\mathcal H $
konvergiert f"ur jede Hilbertbasis $(v_i)_{i \in I}$
von $\mathcal H$ die Summe der $\langle v_i, A v_i \rangle$
gegen dieselbe Zahl 
\begin{equation*}
\op{tr}(A)\pdef \sum_{i \in I} \langle v_i, A v_i \rangle
\end{equation*}
  Diese Zahl $\op{tr}(A)\in \DC$
 hei"st dann die \emph{\bf Spur}\index{Spur!eines Operators} 
  unseres spurbaren Operators.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Insbesondere folgt durch Anwenden dieses Satzes
auf den Operator $|A|$ die Bedingung aus der Definition f"ur jede 
Hilbertbasis, sobald wir sie f"ur eine Hilbertbasis kennen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
Gegeben ein Operator 
$T: \mathcal H \rightarrow \mathcal H$ auf einem Hilbertraum
kann es durchaus passieren, da"s f"ur eine 
Hilbertbasis $(v_i)_{i \in I}$ die Summe
$\sum_{i\in I} \langle v_i, Tv_i\rangle$ konvergiert und da"s f"ur eine andere
Hilbertbasis dieselbe Summe 
divergiert. Zum Beispiel konvergiert unsere Summe f"ur die Standardbasis von
${\op{L}}^2 (\mathbb Z)$ und $T$ dem Verschieben alias die Basis $(z^n)$ von 
${\op{L}}^2 (S^1)$ und $T = (z \cdot)$.
W"ahlen wir allerdings eine hinreichend kleine 
Umgebung $U \co S^1$ des neutralen
Elements, so wird $(z \cdot): {\op{L}}^2 (U) \rightarrow {\op{L}}^2 (U)$ 
auf diesem unendlichdimenisonalen Teilraum  von der Identit"at
kaum abweichen, 
und f"ur jedes unendliche
Orthogonalsystem $(w_i)_{i\in I}$ dieses 
Raums wird $\sum \langle w_i, T w_i\rangle$
divergieren.
"Ahnlich sieht man, da"s f"ur einen selbstadjungierten Operator $T$ die Summe
$\sum_{i\in I} \langle v_i, Tv_i\rangle $ nur dann 
f"ur alle Hilbertbasen konvergieren
kann, wenn $T$ kompakt ist.
\end{Beispiel}

% Jeder Operator $A$ vom Rang Eins 
% hat die Gestalt $A: x\mapsto a\langle v,x\rangle w$ f"ur 
% Vektoren $v\in\mathcal H$ und $w\in\mathcal K$
% der L"ange Eins und $a\in \DR_{>0}$.
% Gegeben eine Hilbertbasis $(v_i)_{i\in I}$ von $\mathcal H$
%  gilt dann $A v_i = a\langle v,v_i\rangle w$
% und $\|A v_i\| = a|\langle v,v_i\rangle|$ und
% $$\sum_{i\in I} \|A v_i\|=a\sum_{i\in I}|\langle v,v_i\rangle|$$


\begin{proof}
Indem wir die Spektraltheorie kompakter Operatoren 
auf $A^\ast A$ anwenden, erkennen wir, da"s
jeder Operator endlichen Ranges spurbar ist. Wir zeigen
den Satz zun"achst einmal in diesem Fall.
Dazu  d"urfen wir sicher $A$ vom Rang Eins annehmen, 
etwa $(\op{im}A) = \mathbb C w$
mit $w \in \mathcal H \backslash 0$. Insbesondere gilt dann $A v_i = c_i w$ f"ur
geeignete $c_i \in \mathbb C$, und entwickeln wir $w = \sum \lambda_i v_i$, so
folgt $A w = \sum \lambda_i Av_i = \sum \lambda_i c_i w$.
F"ur die Spur $c$ von $A$ im Sinne der 
linearen Algebra nach \eref{tru}{LA1} haben wir per definitionem $Aw = cw$ und damit
$c \| w \|^2 = \langle w, A w \rangle = \sum \lambda_i c_i \| w \|^2$.
Andererseits finden wir aber auch $\langle v_i, A v_i \rangle = \langle
v_i, c_i w\rangle = c_i \lambda_i$, und das liefert unmittelbar die Behauptung.
Als n"achstes behandeln wir den Fall, da"s $A$ positiv semidefinit ist,
also selbstadjungiert mit $\langle v, Av\rangle \geq 0$ f"ur alle
$v\in\mathcal H$. 
In diesem Fall liefert der Spektralsatz f"ur
kompakte Operatoren \ref{SksO} eine Folge $(A_n)_{n \geq 0}$ von positiv
semidefiniten Operatoren endlichen Ranges 
mit $A_n\ra A$ in der Operatornorm 
und $A_{n+1} - A_n$ positiv semidefinit f"ur alle $n$.
F"ur je zwei Hilbertbasen $(v_i)_{i \in I}$ und $(w_j)_{j\in I}$ folgt dann mit
einer Anwendung des Satzes "uber monotone Konvergenz \eref{MKo}{AN3}
in einem trivialem Spezialfall
\begin{eqnarray*}
\sum \langle v_i, A v_i \rangle &=& \sum \lim_{n \rightarrow \infty} 
\langle v_i, A_n
v_i\rangle\\
&=& \lim_{n \rightarrow \infty} \sum \langle v_i, A_n v_i \rangle\\
&=&\lim_{n \rightarrow \infty} \sum \langle w_j, A_n w_j \rangle
\quad\text{wegen $\op{rk} A_n<\infty$}
  \\
&=& \sum \lim_{n \rightarrow \infty} \langle w_j, A_n w_j \rangle 
= \sum \langle w_j, A w_j \rangle
\end{eqnarray*}
Genau dann ist also die eine dieser Summen endlich, wenn es die andere ist,
und dann liefern sie beide dieselbe nichtnegative reelle Zahl.
Ist schlie"slich $A$ ein beliebiger spurbarer Operator,
so ziehen  wir die Spektraltheorie kompakter Operatoren
heran, um mit geringerem Aufwand als im allgemeinen Fall
die Polarzerlegung $A=D|A|$ im Sinne von \eref{PoZZ}{AN3} herzuleiten. 
Indem wir \glqq immer mehr Eigenr"aume von $A$ dazunehmen\grqq, 
 finden damit sogar eine Folge $A_n$ von Operatoren endlichen Ranges
derart, da"s gilt $A_n\ra A$ und $|A_n|\ra |A|$ in der Operatornorm 
und da"s zus"atzlich $|A_{n+1}|-|A_n|$ stets positiv semidefinit ist.
Mit $A$ ist per definitionem auch $|A|$ spurbar, und dieselbe 
Rechnung wie eben, in der wir nur statt dem Satz "uber
monotone Konvergenz den Satz "uber
dominierte Konvergenz \eref{DoKo}{AN3} in einem trivialen Spezialfall anwenden, zeigt
die Behauptung.
\end{proof}

\begin{Ubung}
Ist $A:\mathcal H\ra \mathcal K$ ein
beschr"ankter Operator zwischen Hilbertr"aumen und ist $A$ spurbar,
so sind auch der im Sinne von
\eref{kkVe}{LA2} komplex konjugierte Operator  $\bar{A}: 
\overline{\mathcal H}\ra\overline{\mathcal K}$  spurbar, und 
im Fall $\mathcal H= \mathcal K$ gilt 
$$\op{tr}(\bar{A})=\overline{\op{tr}(A)}$$
\end{Ubung}

  \begin{Proposition}
    Ist $A:\mathcal H\ra \mathcal K$ ein beschr"ankter Operator zwischen
    Hilbertr"aumen und ist $A$ spurbar, so ist auch der adjungierte Operator
    $A^\ast$ spurbar und im Fall $\mathcal H= \mathcal K$ gilt
$$\op{tr}(A^\ast)=\overline{\op{tr}(A)}$$
\end{Proposition}

  \begin{proof}
    Gegeben ein kompakter Operator $A: \mathcal H \rightarrow \mathcal
    H^\prime$ zwischen Hilbertr"aumen besitzt $\mathcal H $ eine Hilbertbasis
    $(v_\nu)_{\nu \in N}$ derart, da"s $(A v_\nu)_{\nu \in N}$ ein System
    paarweise orthogonaler Vektoren in $\mathcal H^\prime$ ist.  In der Tat
    ist sicher auch $A^\ast A$ kompakt, und eine Hilbertbasis von $\mathcal H
    $ aus Eigenvektoren dieses selbstadjungierten Operators leistet das
    Gew"unschte.  Setzen wir nun $\lambda_\nu = \| Av_\nu\|$, so bilden die
    $w_\nu := \lambda^{-1}_{\nu}Av_\nu$ f"ur die $\nu$ mit $\lambda_\nu\neq 0$
    eine Hilbertbasis von $\overline{(\op{im} A)} = (\op{ker} A^\ast)^\perp$
    mit $Av_\nu = \lambda_\nu w_\nu$ und $A^\ast w_\nu = \lambda_\nu v_\nu$.
    Erg"anzen wir diese $w_\nu$ zu einer Hilbertbasis von $\mathcal K$
und benutzen diese Hilbertbasen zum Testen der Spurbarkeit,
so sehen wir, da"s $A$ spurbar ist genau dann, wenn gilt
$\sum \lambda_\nu<\infty$, und da"s das weiter genau dann gilt, wenn
 $A^\ast$ spurbar ist. Die explizite Formel f"ur die Beziehung beider Spuren
folgt  unmittelbar aus den Definitionen.
  \end{proof}


  \begin{Bemerkung}
    Hier sollte nun die Spur von Konvolutionsoperatoren 
\ref{KoKo} diskutiert werden,
die ja wohl das Integral "uber die Diagonale sein mu"s. 
Damit zeige dann die Poisson'sche Summationsformel als zwei
Arten der Berechnung der Spur desselben Operators.  
  \end{Bemerkung}


\begin{Ubung}
  \emph{Ich hab sie nicht gemacht!}
Sind $A:\mathcal H\ra \mathcal K$ und $B:\mathcal K\ra \mathcal H$
beschr"ankte Operatoren zwischen Hilbertr"aumen und ist $A$ spurbar,
so sind auch $AB$ und $BA$ spurbar und es gilt 
$$\op{tr}(AB)=\op{tr}(BA)$$
\end{Ubung}


%%  Gegeben eine Hilbertbasis  $(v_i)_{i \in I}$ von $\mathcal H$ 
%% und eine Familie von Vektoren $(b_i)_{i \in I}$ mit
%% $\sum \|b_i\|^2=C<\infty$ k"onnen wir eine lineare Abbildung
%% $B:\mathcal H\ra \mathcal H$ erkl"aren durch die Vorschrift 
%% $v=\sum \lambda_i v_i\mapsto \sum \lambda_i b_i$. 
%% In der Tat folgt aus  der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung 
%% $\sum \|\lambda_i b_i\|
%% \leq \left(\sum |\lambda_i|^2\right)^{1/2} 
%% \sum\left(\| b_i\|^2\right)^{1/2}<\infty$, so da"s unsere lineare
%% Abbildung sogar stetig ist von einer durch $C$ beschr"ankten Operatornorm.
%% Nach \ref{SuFa} kann unsere Familie von Vektoren $(b_i)_{i \in I}$
%% nur auf h"ochstens abz"ahlbar vielen Indizes  von Null verschieden
%% sein, und diese Indizes d"urfen wir uns als $\DN$ denken.
%% Die zu den Anfangsst"ucken geh"orenden Operatoren $B_N$ 
%% sind dann von endlichem Rang und konvergieren in der Operatornorm gegen $B$.

% \begin{Bemerkungl}\label{UTHi}
% Ist $A : \mathcal H \rightarrow \mathcal H$ ein Operator \emph{von
% endlichem Rang} auf einem Hilbertraum und $(v_i)_{i \in I}$ eine 
% Hilbertbasis, so gilt
% \begin{equation*}
% \op{tr} A = \sum_{i \in I} \langle v_i, A v_i \rangle
% \end{equation*}
% in dem Sinne, da"s die Summe konvergiert in der in \ref{ABSB} ausformulierten
% Weise, und zwar gegen die Spur von $A$ aus \ref{tru}.
% Um das zu zeigen, d"urfen $A$ vom Rang Eins annehmen, 
% etwa $(\op{im}A) = \mathbb C w$
% mit $w \in \mathcal H \backslash 0$. Insbesondere gilt dann $A v_i = c_i w$ f"ur
% geeignete $c_i \in \mathbb C$, und entwickeln wir $w = \sum \lambda_i v_i$, so
% folgt $A w = \sum \lambda_i Av_i = \sum \lambda_i c_i w$.
% F"ur die Spur $c$ von $A$ haben wir per definitionem $Aw = cw$ und damit
% $c \| w \|^2 = \langle w, A w \rangle = \sum \lambda_i c_i \| w \|^2$.
% Andererseits finden wir aber auch $\langle v_i, A v_i \rangle = \langle
% v_i, c_i w\rangle = c_i \lambda_i$, und das liefert unmittelbar die Behauptung.
% \end{Bemerkungl}
% \begin{Bemerkungl}
% Ist allgemeiner $A$ positiv definit und kompakt, 
% so liefert der Spektralsatz f"ur
% kompakte Operatoren \ref{SksO} eine Folge $(A_n)_{n \geq 0}$ von positiv
% definiten Operatoren 
% mit $A_n\ra A$ in der Operatornorm 
% und $A_{n+1} - A_n$ positiv definit f"ur alle $n$.
% F"ur je zwei Hilbertbasen $(v_i)_{i \in I}$ und $(w_j)_{j\in I}$ folgt dann mit
% einer Anwendung des Satzes "uber monotone Konvergenz \ref{MKo} 
% in einem trivialem Spezialfall
% \begin{eqnarray*}
% \sum \langle v_i, A v_i \rangle &=& \sum \lim_{n \rightarrow \infty} 
% \langle v_i, A_n
% v_i\rangle\\
% &=& \lim_{n \rightarrow \infty} \sum \langle v_i, A_n v_i \rangle\\
% &=&\lim_{n \rightarrow \infty} \sum \langle w_j, A_n w_j \rangle
% \quad\text{nach \ref{UTHi}}
%   \\
% &=& \sum \lim_{n \rightarrow \infty} \langle w_j, A_n w_j \rangle \\
% &=& \sum \langle w_j, A w_j \rangle
% \end{eqnarray*}
% Wir nennen einen positiv definiten Operator spurbar genau dann, 
% wenn diese Summen
% endlich sind.
% \end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkunge}\label{hukk}
Ein beschr"ankter Operator $A : X \rightarrow Y$ 
zwischen 
normierten Vektorr"aumen hei"st
ganz allgemein  {\bf nuklear}\index{nuklear!Operator} 
genau dann, 
wenn es Folgen $f_n\in X^\ast$ und $y_n\in Y$ gibt mit 
$\sum \|f_n\| \| y_n\|<\infty$ derart, da"s f"ur alle $x\in X$ gilt  
$$
Ax=\sum_{n \in \DN} f_n(x) y_n
$$
  Sicher ist jeder nukleare Operator kompakt: In der Tat ist er der Grenzwert
  in der Operatortopologie einer Folge $A_n$ von Operatoren endlichen Ranges
 und  damit kompakt nach \ref{koAA}.
\end{Bemerkunge}

\subsection{Faserungskriterium von Ehresmann}
\begin{Satz}[\textbf{Faserungskriterium von Ehresmann}]\index{Ehresmann!Satz von}
Jede eigentliche Submersion von einer glatten Mannigfaltigkeit 
auf eine zusammenh"angende glatte  Mannigfaltigkeit  ist eine Faserung.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Wir brauchen f"ur diesen Satz nicht vorauszusetzen, da"s unsere
Submersion surjektiv ist. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Wir zeigen genauer, da"s es f"ur jede eigentliche Submersion
$p: X \rightarrow (-1,1)^n$ 
einen Diffeomorphismus $p^{-1}(0) \times (-1,1)^n \overset{\sim}
{\rightarrow} X$ "uber $(-1,1)^n$ gibt. Um das zu sehen, w"ahlt man mithilfe
einer Partition der Eins Liftungen der Standardvektorfelder $\partial_i$ auf
der Basis $(-1,1)^n$ 
zu Vektorfeldern auf $X$. Da $p$ eigentlich ist, sind die maximalen
Integralkurven dieser Felder stets auf offenen Intervallen der 
L"ange 2 definiert.
Bewegen wir $x \in p^{-1} (0)$ mit den Fl"ussen dieser Felder der Reihe nach in
die Fasern "uber $(t_1, 0, \ldots , 0)$, $(t_1, t_2, 0, \ldots, 0)$, 
$\ldots$, $(t_1, t_2, \ldots,
t_n)$, so erhalten wir den gesuchten Diffeomorphismus.
\end{proof}
\begin{Definition}
Eine \defind{Flachheitsstruktur} auf einem 
glatten $n$-dimen\-sio\-na\-len reellen Vektorb"undel
$E$ auf einer glatten Mannigfaltigkeit $X$ 
ist eine Untergarbe $\mathcal F \subset \mathcal C^\infty_{X,E}$
von reellen Vektorr"aumen in der Garbe seiner 
glatten Schnitte, die (1) lokal isomorph ist zur kontanten
Garbe $\mathbb R^n$ und f"ur die (2) 
die Multiplikation einen Garbenisomorphismus
$
\mathcal C^\infty_X \otimes_{\mathbb R} \mathcal F 
\overset{\sim}{\rightarrow}
\mathcal C_{X,E}^\infty
$
liefert.
\end{Definition}
\begin{Satz}[\textbf{Flache Zusammenh"ange und Flachheitsstrukturen}]
Sei $E$ ein glattes n-dimensionales reelles Vektorraumb"undel auf einer glatten
Mannigfaltigkeit $X$. Die Zuordnung, 
die jedem flachen Zusammenhang die Garbe seiner
flachen Schnitte zuordnet, liefert eine Bijektion
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{c} \text{flache Zusammenh"ange } 
\nabla \\ \text{auf dem B"undel 
} E \end{array}
\right\} & \overset{\sim}{\rightarrow} &
\left\{ \begin{array}{c} \text{Flachheitsstrukturen} 
\\ \mathcal F \subset \mathcal C_E^\infty
\end{array} \right\}
\end{eqnarray*}
\end{Satz}
\begin{proof}
Jeder Zusammenhang zeichnet gewisse 
Vektoren im Tangentialraum an den Totalraum $E$ unseres
B"undels als \glqq horizontal\grqq\  aus, und 
im Fall eines flachen Zusammenhangs bilden diese
horizontalen Vektoren eine involutive Distribution.
Ist $X$ eine offene Kreisscheibe, so geh"ort jeder Punkt von $E$ nach dem Satz
von Frobenius \ref{FroT} 
zu genau einer maximalen Integralmannigfaltigkeit dieser
Distribution, und diese wird von der 
B"undelprojektion diffeomorph auf $X$ abgebildet.
\end{proof}

\subsection{Tangentenumlaufzahl}
 \begin{Bild} 
\includegraphics[width=4cm]{SkriptenBilder/BildWegV}\hfill
\includegraphics[width=7cm]{SkriptenBilder/BildWegN}\\[4mm]
\noindent 
Dies Bild soll illustrieren, wie man sich durch das Einf"ugen
horizontaler St"ucke im Satz \ref{TUZ} "uber die Tangentenumlaufzahl
eingebetteter Wege auf den im Beweis zuerst 
betrachteten  Fall zur"uckziehen kann.
\end{Bild}
\begin{Bild} 
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildTUFZ}\\[4mm]
\noindent 
Illustration der Homotopien aus dem Beweis von \ref{TUZ}.
Links die Sekanten-Tangenten-Abbildung $\phi$ oder
genauer der  Definitionsbereich ihrer Einschr"ankung auf
das Quadrat $[0,P]^2$. Schraffiert eingezeichnet die Stellen, an
denen unsere Abbildung konstant Eins ist. Restriktion auf die gestrichelt
eingezeichnete Linie liefert den Weg $\varphi/\varepsilon$.
Rechts die \glqq Verbindungsvektorenabbildung\grqq\  $\psi$ oder
genauer der  Definitionsbereich ihrer Einschr"ankung auf
das Quadrat $[\varepsilon,P-\varepsilon]^2$.
\end{Bild}
\begin{Definition}
Gegeben eine stetig differenzierbare periodische Abbildung
$
\gamma : \mathbb R \rightarrow \mathbb C
$
mit Periode $P > 0$ und nirgends verschwindender Ableitung erkl"aren wir
ihre \defind{Tangentenumlaufzahl} als die Umlaufzahl des Weges
$
\gamma^\prime : [0,P] \rightarrow \mathbb C^\times
$
um den Ursprung.
\end{Definition}
\begin{Satz}[\textbf{Tangentenumlaufzahl eingebetteter Wege}]
Ist eine stetig differenzierbare periodische Abbildung
$
\gamma : \mathbb R \rightarrow \mathbb C
$
mit Periode $P > 0$ und nirgends verschwindender Ableitung
 injektiv auf $[0,P)$, so ist ihre
Tangentenumlaufzahl Eins oder minus Eins.\label{TUZ}
\end{Satz}

\begin{proof}
Wir behandeln zun"achst den Spezialfall, da"s unser Weg ganz in der
abgeschlossenen
oberen Halbebene verl"auft, in Formeln 
$\op{Im} \gamma (t) \geq 0$
f"ur alle $t \in \mathbb R$, und da"s es $\varepsilon \in (0, P/2)$ gibt mit
$\gamma (t) = t$ f"ur $|t| \leq 2 \varepsilon$.
Im Anschlu"s zeigen wir dann, wie man sich auf diesen Fall zur"uckziehen kann.
Zun"achst "uberlegt man sich,  da"s f"ur 
jede stetig differenzierbare Abbildung
$
\gamma : \mathbb R \rightarrow \mathbb C
$
 die 
\glqq Tangenten-Sekanten-Abbildung\grqq\ 
$$\begin{array}{cccl}
\phi :& \mathbb R^2 & \rightarrow &\;\;\mathbb C \\
&(s,t) & \mapsto & \left\{ \begin{array}{ll}
\frac{\gamma (s) - \gamma (t)}{s-t} & s \neq t;\\
{\scriptstyle \gamma^\prime (s) = \gamma^\prime (t)} & s = t,
\end{array} \right.
\end{array}$$
stetig ist, vergleiche auch \eref{USS}{AN1}.
Unter unseren Annahmen 
im Satz
landet besagte Abbildung  bereits in $\DC^\times$.
In unserem Spezialfall  gilt 
sogar zus"atzlich $\gamma^\prime (t) =1$ f"ur $|t| \leq \varepsilon$.
Damit hat $\gamma^\prime : [0, P] \rightarrow \mathbb C^\times $
dieselbe Umlaufzahl wie
$
\gamma^\prime : [\varepsilon, P] \rightarrow \mathbb C^\times, 
$
und dieser Weg ist aufgrund der Stetigkeit der Tangenten-Sekanten-Abbildung
homotop in $\mathbb C^\times $ zum Weg 
$\varphi : [ \varepsilon, P] \rightarrow \mathbb C^\times$ von Sekantenvektoren
\begin{equation*}
 \varphi (t) =
\gamma (t) - \gamma (t-\varepsilon)
\end{equation*}
Der Weg $\varphi$ hinwiederum ist konstant f"ur $t \in [P - \varepsilon, P]$,
so da"s das Einschr"anken auf das Intervall $[\varepsilon, P - \varepsilon]$
seine Umlaufzahl 
um den Ursprung nicht
"andert. Der so eingeschr"ankte Weg 
$\varphi$   ist nun seinerseits die Restriktion auf die Diagonale der Abbildung
$$\begin{array}{cccc}
\psi :& [\varepsilon, P - \varepsilon]^2 &\rightarrow&
\mathbb C \\
&(s, t) & \mapsto & \gamma (s) - \gamma (t -\varepsilon)
\end{array}$$
Auf dem Teil unseres Quadrats mit $s \geq t$, also dem Teil unter oder 
schlimmstenfalls auf
der Diagonale, landet diese Abbildung $\psi$ sogar in $\mathbb C^\times $.
Damit ist unser auf das Intervall 
 $ [\varepsilon, P -\varepsilon]$ eingeschr"ankte
Weg $\varphi$ in 
$\mathbb C^\times $ homotop zur
Verkn"upfung des Wegs $[\varepsilon,P -\varepsilon] 
\rightarrow \mathbb C^\times $, $ s \mapsto
\gamma (s)$ mit dem Weg $[\varepsilon, P - \varepsilon] 
\rightarrow  \mathbb C^\times $, $ t \mapsto
\gamma (-\varepsilon) - \gamma (t -\varepsilon)$.
In Worten ist $\varphi$ in 
$\mathbb C^\times $ homotop
zur Verkn"upfung eines Weges, der unter Vermeidung des
Ursprungs auf oder  oberhalb der reellen Achse 
von einem Punkt mit positivem Realteil zu einem Punkt mit 
negativem Realteil wandert, mit einem weiteren Weg, der in derselben Weise 
aber nun in der unteren Halbebene zur"uckwandert.
Nach \ref{ULZ1} hat damit $\varphi$ die Umlaufzahl 1 um den Ursprung.
Schlie"slich bleibt nur noch, von unserem Spezialfall auf den allgemeinen
Fall zu schlie"sen. Dazu w"ahlen wir unter den Punkten auf unserem Weg mit
maximalem beziehungsweise minimalen Imagin"arteile diejenigen mit maximalem Realteil, 
trennen unseren Weg an diesen beiden Stellen auf und f"ugen 
jeweils ein horizontales St"uck gleicher
und hinreichend gro"ser L"ange ein. Dabei "andert sich die Tangentenumlaufzahl
nicht, und wenn die eingef"ugten St"ucke nur gro"s genug sind, erhalten wir auch
wieder eine Einbettung.
\end{proof}



 \begin{Bild} 
\includegraphics[height=5cm]{SkriptenBilder/BildSekA}\\[4mm]
\noindent 
Der Weg der Tangenten ist homotop zum Weg gewisser Sekanten.
\end{Bild}
\begin{Bild} 
\includegraphics[height=5cm]{SkriptenBilder/BildOWH}
\end{Bild}
\begin{Bild} 
\includegraphics[height=5cm]{SkriptenBilder/BildVWH}\\[4mm]
\noindent 
Der Weg der Sekanten ist homotop zur Verkn"upfung der beiden  Wege 
\glqq bewege  die Pfeilspitze herum\grqq\  und dann \glqq bewege  das Pfeilende herum\grqq.
\end{Bild}


\newpage
\section{Unausgegorenes zum Lebesgue-Integral}
\subsection{Zu Ma"sen}
\begin{Lemma}
Sei $(X,\mathcal M)$ ein Me"sraum und
$\mathcal F$ eine Menge von Ma"sen auf $X$,
die \emph{\bf filtrierend} ist in dem Sinne, 
da"s es zu jeder endlichen Teilmenge\label{sffm} 
$\mathcal E\subset\mathcal F$  ein Ma"s $\mu\in \mathcal F$ gibt mit
$\mu\geq \nu\;\forall \nu\in \mathcal E$. So ist auch die Abbildung
$\gamma:\mathcal M\ra [0,\infty]$ ein Ma"s, die gegeben wird durch 
$$\gamma:M\mapsto \op{sup}\{\nu(M)\mid\nu\in\mathcal F\}$$
\end{Lemma}
\begin{proof}
Sei $M_n$ eine Folge von paarweise disjunkten me"sbaren Mengen
und $M$ ihre Vereinigung. 
F"ur alle $\nu\in\mathcal F$ gilt 
$\nu(M)=\sum \nu(M_n)\leq \sum \gamma(M_n)$ und folglich
$\gamma(M)\leq \sum \gamma(M_n)$. Die andere Ungleichung 
ist  f"ur $\gamma(M)=\infty$ evident. Andernfalls reicht es,
die Ungleichung 
 $ \sum_{n=1}^N \gamma(M_n)\leq \gamma(M)+\varepsilon$
 f"ur alle $\varepsilon >0$ und alle $N$ zu zeigen.
Aber wir finden nach Annahme stets ein $\mu\in\mathcal F$ 
mit $\gamma(M_n)\leq \mu(M_n)+\varepsilon/N$ f"ur $1\leq n\leq N$
und damit 
\begin{equation*} \sum_{n=1}^N \gamma(M_n)\;\;\leq\;\; 
\sum_{n=1}^N(\mu(M_n)+\varepsilon/N)\;\;\leq\;\; \mu(M)+\varepsilon\;\;\leq \;\;
\gamma(M)+\varepsilon
\qedhere\end{equation*}
\end{proof}

\begin{Lemma}
Seien $X$ ein Hausdorffraum und $\mu$
ein Ma"s auf der von seinen Kompakta erzeugten $\sigma$-Algebra.
So k"onnen wir $\mu$ zu einem topologischen Ma"s $\tilde\mu$
auf $X$ fortsetzen durch die Vorschrift
$$\tilde\mu(M)\pdef\sup_{K\subset X\text{ \emph{kompakt}}}\mu(M\cap K)$$
\end{Lemma}
\begin{proof}
Bezeichnet $i_K:K\hra X$ die Einbettung des Kompaktums $K$ und
$\mu_K$ die Restriktion von $\mu$ zu einem topologischen Ma"s auf $K$,
so bilden die Bildma"se $(i_K)_\ast\mu_K$ eine filtrierende 
Menge von topologischen Ma"sen auf $X$  im Sinne von \ref{sffm}
und unser $\tilde\mu$ ist deren
Supremum im Sinne von \ref{sffm}.
\end{proof}
Das sollte zu einem  Beweis des Rieszschen Darstellungssatzes
im nicht abz"ahlbar basierten Fall werden, aber das hat nicht funktioniert.
\subsection{Dichten}

\begin{Definition}\label{DefDi}\emph{Wohin?}
Unter einer \defind{Dichte} auf einer Mannigfaltigkeit 
verstehen wir ein Borelma"s, f"ur das das Bild einer 
Lebesgue-Nullmenge unter einer Karte stets  eine Nullmenge ist.
Unter einer \defind{Dichte} auf einer Mannigfaltigkeit 
verstehen wir eine
Vorschrift $D$, die jeder Karte $(W_{\alpha},
  \varphi_{\alpha})$ eine me"sbare Funktion 
$D_{\alpha} : W_{\alpha} \ra [0,\infty)$
  zuordnet derart, da"s f"ur alle Kartenwechsel $\varphi_{\beta\alpha}
  :W_{\alpha\beta} \ra W_{\beta\alpha}$ auf $W_{\alpha\beta}$ gilt
  $$D_{\alpha}=
  (D_{\beta} \circ \varphi_{\beta\alpha}) |\op{det} \diff \varphi_{\alpha
    \beta}| $$
Sind alle die Funktionen $D_{\alpha}$ stetig beziehungsweise positiv, so
sprechen wir von einer {\bf stetigen}\index{Dichte!stetige}
 beziehungsweise {\bf positiven Dichte}.\index{Dichte!positive}
\end{Definition}
\begin{Proposition}[\textbf{Ma"s zu einer Dichte}]\label{MaDic}
Gegeben eine Dichte  $D$ auf einer Mannigfaltigkeit $M$
gibt es
  genau ein topologisches Ma"s $\mu=\mu_D$ auf $M$
  derart, da"s f"ur jede Karte 
$(W_{\alpha}, \varphi_{\alpha})$
  und jede topologisch me"sbare Menge $A \subset \varphi_{\alpha} (W_{\alpha})$
  gilt
  $$\mu(A) = \int_{\varphi_{\alpha}^{-1}(A)} D_\alpha(x) \;\diff^{k}x$$
  Jede
  in $M$ enthaltene Mannigfaltigkeit echt kleinerer Dimension ist 
f"ur solch ein
  Ma"s eine Nullmenge und jede stetige Dichte liefert ein Borelma"s.
\end{Proposition}
\begin{Beispiel}
Auf jeder  Untermannigfaltigkeit eines $\DR^n$ erhalten wir eine
positive stetige Dichte, indem wir jeder Karte $(W_{\alpha}, \varphi_{\alpha})$
die Funktion $D_{\alpha}(x)=\op{vol}(\diff_x\varphi_{\alpha})$ auf $W_\alpha$
zuordnen. Das zu dieser Dichte geh"orige Ma"s ist dann genau unser 
Fl"achenma"s aus \eref{OFLM}{AN3}.
\end{Beispiel}
\begin{proof}
Sehr "ahnlich zum Beweis von \eref{OFLM}{AN3} und dem Leser "uberlassen.
\end{proof}




\subsection{Translationsinvariante Ma"se auf Produktr"aumen}
\emph{Das soll ganz woanders hin!}
\begin{Lemma}
Gegeben ein lokal kompakter separabler Hausdorffraum $X$ liefert das Bilden
des Produkts mit dem Lebesguema"s $\lambda$ eine Bijektion
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
\left\{\begin{array}{r}
 \text{Topologische Ma"se auf $X$,}\\
\text{die endlich sind auf Kompakta} \end{array}\right\} 
& \overset{\sim}{\rightarrow}&
\left\{\begin{array}{r}
\text{Topologische Ma"se auf $X\times \Bbb{R}$,}\\
\text{die endlich sind auf Kompakta}\\
\text{und invariant unter Translation}
\end{array}\right\}\\
\mu & \mapsto & \mu \otimes \lambda
\end{array}
\end{displaymath}

\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Sicher erhalten wir eine Linksinverse zur Abbildung aus dem Lemma, indem wir
jedem topologischen Ma"s $\pi$ auf $X \times \Bbb{R}$ das 
Ma"s $\bar{\pi}$ auf
$X$ zuordnen mit
\begin{displaymath}
\bar{\pi} (A) = \pi (A \times [0,1])
\end{displaymath}
f"ur alle topologisch me"sbaren $A \subset X$.
Wir sind fertig, wenn wir zeigen, da"s das auch eine 
Rechtsinverse ist, da"s also
f"ur jedes translationsinvariante topologische 
Ma"s $\pi$ auf $X \times \Bbb{R}$,
das endlich ist auf Kompakta, notwendig gilt 
$\pi = \bar{\pi} \otimes \lambda$.
Wegen der Eindeutigkeitsaussage im Erweiterungssatz 
von Hahn \eref{MHa}{AN3} reicht es,
f"ur alle topologisch me"sbaren $A \subset X$ und 
$B \subset \Bbb{R}$ die Gleichheit
$\pi (A\times B) = \bar{\pi} (A) \lambda (B)$ 
zu zeigen, wo
$0 \cdot \infty = \infty \cdot 0 = 0$ zu verstehen ist.
Es reicht sogar aus, das f"ur alle $A$ mit kompaktem Abschlu"s nachzuweisen.
Dann sind jedoch beide Seiten als Funktionen von $B$ 
translationsinvariante topologische
Ma"se auf $\Bbb{R}$, die endlich sind auf Kompakta.
Folglich sind sie Vielfache des
Lebesgue-Ma"ses und das
Lemma ergibt sich sofort.
\end{proof}


















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%%% End: