\section{Tagebuch  WS 22/23}
Es handelte sich um eine vierst"undige Vorlesung Analysis 1, also 4$\times$45
Minuten Vorlesung, mit 2 Stunden "Ubungen.
\begin{enumerate}
\item[18.10] Vollst"andige Induktion und bimonische Formel \ref{ErFa}. Mengen \ref{Menga}. Leere Menge noch nicht eingef"uhrt.
\item[19.10]  Kardinalit"at. Leere Menge. Teilmengen \ref{Tma}. Potenzmenge. Mengenoperationen \ref{Mopa}. Abbildungen \ref{AnBa}.
  Identit"at, Konstanten und konstante Abbildungen.
\item[25.10] Injektiv, surjektiv, bijektiv.  Verkn"upfung von Abbildungen \ref{KkAa}. Umkehrabbildung. Mengen mit Verkn"upfung \ref{MVka}. Assoziativ, kommutativ, neutrales Element, Monoid.  Iterierte Verkn"upfung, Regeln.  Invertierbare Elemente, Gruppe, negativ iterierte Ver\-kn"up\-fung, Regeln.
\item[26.10]  
  Homomorphismen. K"orper im Sinne der Algebra \ref{kloia}.
  Morphismus $(\DZ,+,\cdot)$ zu jedem K"orper. Das noch fertig diskutieren.
  Noch nicht:
  Homomorphismen oder Isomorphismen von K"orpern.
\item[2.11]  Homomorphismen von K"orpern und Ringen. Der eindeutige Ringhomomorphismus von $\DZ$ in einen beliebigen Ring.
  Rationale Wurzeln \ref{QQWE}.  Ordnungen und Teilordnungen \ref{OM},
  angeordnete Ringe und K"orper, Supremum und Infimum, Charakterisierung der
  reelen Zahlen. Noch nicht Isomorphismen von K"orpern oder Ringen. Noch
  nicht Intervall.
\item[8.11]  Die reellen Zahlen \ref{ReZ}, Konstruktion und Eindeutigkeit.  Noch nicht: Rationale und reelle Zahlen im Vergleich \ref{ReRq}.
\item[9.11]   Kurze Diskussion der Eindeutigkeit von $\DR$.
  Rationale und reelle Zahlen im Vergleich \ref{ReRq}. 
  Intervalle und Umgebungen \ref{InUm}.  Beginn der
  Diskussion der Stetigkeit \ref{steT}. Stetigkeit der Addition bisher nur graphisch.
\item[15.11]
   Stetigkeit der Addition nochmal formal. Konstante Funktionen sind stetig, Einbettungen sind stetig. 
  Stetig meint stetig bei jedem Punkt. Stetigkeit von Multiplikation, Verkn"upfung. Komponentenweise Stetigkeit.  Zwischendrin Anschauung f"ur Abbildungen $\DR^m\ra\DR^n$.
  Folgerungen. Im wesentlichen
  Abschnitt \ref{steT}.  Epsilon-Delta-Charakterisierung der
  Stetigkeit.
\item[16.11]  Lokalit"at der Stetigkeit. Zwischenwertsatz \ref{ZWS}. Stetigkeit monotoner Surjektionen
  auf Intervalle \ref{SUn}. Umkehrfunktionen, Wurzeln. Kreiszahl \ref{DP}.
\item[22.11]  Grenzwerte \ref{UER}. H"aufungspunkte,
  Eindeutigkeit sttiger Fortsetzung, Definition des Grenzwerts, Charakterisierung f"ur Folgenkonvergenz, auch $\varepsilon$-$N$-Kriterium.
  Lokalit"at, Vertauschen mit Anwenden stetiger Funktionen, speziell auch f"ur
  Folgen. Konvergenz von Teilfolgen. 
\item[23.11]  Grenzwert als komponentenweiser Grenzwert,
  Grenzwerte fertig \ref{UER}.
  Bis Bolzano-Weierstra"s \ref{HB}. 
\item[29.11] Konvergenz von Reihen \ref{GVR}. Absolute Konvergenz. Cauchy-Folgen und deren
  Konvergenz.
  Majorantenkriterium, Quotientenkriterium, Konvergenz der
  Exponentialreihe. Umordnungssatz. 
   \item[30.11]   Wachstum und Zerfall \ref{Exp}. Logarithmus und allgemeine Potenzen \ref{loAP}.
\item[6.12]  Komplexe Zahlen \ref{AKoZa} und komplexe Exponentialfunktion \ref{eC}. 
\item[7.12] Stetige Gruppenwege in der Kreisgruppe.   Trigonometrische Funktionen \ref{eC}.
\item[13.12]  Nocheinmal Grenzwerte und
  Stetigkeit wiederholen. Quader \ref{Qudd} einf"uhren. Epsilon-Delta-Kriterium
  \ref{ede} beweisen. Folgenkonvergenzkriterium \ref{LSc} beweisen.
  Zeit lassen. 
 Stetige Funktionen auf Kompakta \ref{STK}. Fundamentalsatz der Algebra.
\item[14.12] Gleichm"a"sige Stetigkeit auf Kompakta.  Integration stetiger Funktionen \ref{IsF}. 
\item[20.12]   Ableitung \ref{Ablei}. Ableitungsregeln \ref{Abre}.
  Lemma \ref{e1x} weggelassen, das die Existenz einer beliebig differenzierbaren zeigt, die Null ist f"ur $x\leq 0$ und positiv f"ur $x>0$.
  Ableitung des Arcussinus besprochen, Ableitung des Arcustangens weggelassen.
\item[21.12] Differenzierbarkeit von Umkehrfunktion \ref{AU} bewiesen. Folgerungen aus Eigenschaften der Ableitung \ref{FoEA}. Brechungsgesetz weggelassen.
\item[10.1]  Hospital \ref{RHo}. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung \ref{HSS}. Substitutionsregel, erste Beispiele. 
\item[11.1]   Partielle Integration \ref{IntR}. Beweis der
  Irrationalit"at von $\pi$ weggelassen. Hyperbolische Funktionen \ref{HytF}. $\int\sqrt{1+t^2}$. Integration rationaler Funktionen
  begonnen.  $\int 1/(1-t^2)$. Integral $\int 1/(1+t^2)$ noch unfertig.
\item[17.1] Integration rationaler Funktionen \ref{IRFu}, Zugang "uber komplexe Partialbruchentwicklung. Integration rationaler Ausdr"ucke in anderen Funktionenpaaren weggelassen. Potenzreihen und Konvergenzradius. Punktweise und gleichm"a"sige Konvergenz. Gleichm"a"sige Konvergenz bei Potenzreihen
  noch nicht fertig diskutiert \ref{FuPo}.
\item[18.1]   Gleichm"a"sige Konvergenz bei Potenzreihen
   fertig diskutiert. Gliedweise Ableitung und Integration von Potenzreihen \ref{FuPo}.
  Binomische Reihe. Beispiele. Noch nicht Beispiel mit Berechnung h"oherer Ableitungen.
\item[24.1] Beispiel mit Berechnung h"oherer Ableitungen.  Taylorreihe \ref{TE} und ihre Restglieder.
\item[25.1]  Rechnen mit Approximationen \ref{ReMiA}.  Abelscher Grenzwertsatz \ref{AbGr}.  Bogenl"ange und Geschwindigkeit \ref{BOLLn} begonnen.  Geschwindigkeitsvektor eingef"uhrt. Bogenl"ange eingef"uhrt. Bogenl"ange als Integral der
  Geschwindigkeit. Noch nicht Unabh"angigkeit der Bogenl"ange von der
  Parametrisierung.
\item[31.1]   Schrankensatz. Bogenl"ange als Integral der
  Geschwindigkeit mit Beweis. H"angende Kette. 
\item[1.2]  Systeme von linearen Differentialgleichungen. Schwingungsgleichung
  und ihr L"osung. Noch nicht der Fall einer mehrfachen Nullstelle. 
\item[7.2]  Differentialgleichungen h"oherer Ordnung \ref{DHG}.
  Methode der Variation der Konstanten \ref{IHD}. Resonanzkatastrophe.
\item[8.2] Axiomatik der euklidischen Ebene, fasteuklidische Ebenen,
  hyperbolische Ebene \eref{IzGG}{EL} folgende. Nicht pr"ufungsrelevant.
  Kontrastiert die \glqq klassische Axiomatik\grqq\ des Euklid, in
  der die Ebene durch geometrisch sinnvolle Axiome modelliert wird,
  mit der
  \glqq modernen Axiomatik\grqq, in der die Zahlengerade durch
  algebraisch sinnvolle Axiome modelliert wird.
\end{enumerate}



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