\section{Tagebuch Analysis 2 SS 23}
Es handelt sich um eine vierst"undige Vorlesung zur Analysis 2, also 4$\times$45
Minuten Vorlesung, mit 2 Stunden "Ubungen. 
\begin{enumerate}
\item[17.4] Metrische R"aume und normierte Vektorr"aume, insbesondere
  "Aquivalenz von Normen. 
\item[19.4] Topologische R"aume und Grenzwerte.
\item[24.4] Abgeschlossene Mengen. Vollst"andigkeit. Partielle Ableitungen und Gradient. Affine R"aume.
\item[26.4] Differential. Kettenregel in mehreren Ver"anderlichen noch
  ohne Beweis.
\item[3.5]  Beweis der  Kettenregel in mehreren Ver"anderlichen. Differenzierbarkeit bei Stetigkeit der partiellen Ableitungen \ref{PTD}. Integration "uber Quader \ref{IntQQ}.  Vertauschbarkeit der partiellen
  Ableitungen. Nicht Vertauschbarkeit einer partiellen Ableitung mit dem
  Integral. 
\item[8.5]  Taylorreihe und Rechnen mit Approximationen.
\item[10.5] Maxima und Minima in mehreren Ver"anderlichen. Umkehrsatz formuliert. Banach'scher Fixpunktsatz bewiesen. 
\item[15.5] Umkehrsatz f"ur stetige Abbildungen \ref{VHBa}.
  Beweis des Umkehrsatzes f"ur $\mathcal C^1$-Abbildungen. Mannigfaltigkeiten  in reellen R"aumen. Noch nicht Beweis f"ur Mannigfaltigkeiten als Urbilder. 
\item[17.5] Beweis f"ur Mannigfaltigkeiten als Urbilder.
  Tangentialraum. Implizite Funktionen
  geometrisch. Fassung in Koordinaten noch nicht bewiesen. 
\item[22.5] Implizite Funktionen in Koordinaten. Karten und Koordinatensysteme.
            
\item[24.5] Lokale Extrema auf Mannigfaltigkeiten, ohne hinreichendes Kriterium. Transformationsformel angegeben, Beweis versprochen
  f"ur nach der Pfingspause. Definition der Kompaktheit f"ur topologische R"aume,
  "uberdeckungskompakt ist gleichbedeutend zu folgenkompakt f"ur metrische R"aume.
\item[5.6] 
  Beweis Transformationsformel.
\item[7.6] Jedes Kompaktum in einem Hausdorffraum ist abgeschlossen \ref{HKA}. Ausdehnen durch Null von Funktionen mit kompaktem Tr"ager.
  Integration "uber Mannigfaltigkeiten.  
\item[12.6] Integrationskarten, Integration "uber Fastfaltigkeiten.
  Ich habe den Beweis des Satzes "uber die Integration
  "uber Fastfaltigkeiten nur kurz skizziert und insbesondere die
  Minkowskidimension und ihre Bedeutung darin nicht diskutiert.
  Ich habe stattdessen den Beweis des Satzes "uber die Integration
  "uber Mannigfaltigkeiten mit Sorgfalt zu Ende gebracht.
  Danach die Fl"ache der
  Einheitskreisscheibe und die Kugeloberfl"ache berechnet. 
\item[14.6] Gew"ohnliche Differentialgleichungen, Grundlagen.
  Bis zur Aussage des Satzes von Picard-Lindel"of \ref{PiLi} und
  dem Gegenbeispiel \ref{NEIK} gekommen. 
\item[19.6] Gew"ohnliche Differentialgleichungen, Beispiele.
  Differentielle Ungleichungen und Lemma von Gronwall. Vielleicht
  Integration
  vektorwertiger Funktionen.
\item[21.6]Existenz und Eindeutigkeit von L"osungen. Gekommen bis zum Nachweis
  im lokalen Existenz- und Eindeutigkeitssatz, da"s $F-\op{id}$ kontrahierend ist.  
\item[26.6]Picard-Lindel"of fertig. Auch die Variante f"ur lokal partiell lipschitzstetige zeitabh"angige Felder besprochen.
 Zur Abh"angigkeit der L"osung 
 vom Anfangswert habe ich nur die Aussage \ref{ALAW} besprochen, aber
 den Beweis nicht gegeben. 
\item[28.6] Lineare Differentialgleichungen, homogener und inhomogener Fall.
  Skizze zum Beweis der Glattheit des Flusses. 
\item[3.7] Vektorfelder und Kovektorfelder, Verwandtschaften auch von Funktionen und Wegen. Vertr"aglichkeiten der Verwandtschaft mit Produkten und Summen und Differential und Paaren von Vektorfeldern mit Kovektorfeldern.
  Eindeutige R"uckw"artsverwandte von Kovektorfeldern und Funktionen.
  Noch  R"uckw"artsverwandte berechnen im Fall von Polarkoordinaten. 
\item[5.7] R"uckw"artsverwandte berechnen an Beispielen. Wegintegrale.
\item[10.7] Invarianz des Wegintegrals unter Umparametrisierung.
  Integration rationaler Funktionen "uber ebene Quadriken.
  Wegzusammenhang, Wegzusammenhangskomponenten. Funktionen mit Differential Null
  sind  konstant auf Wegzusammenhangskomponenten. 
\item[12.7] Wegintegrale "uber geschlossene Wege verschwinden genau dann,
  wenn unser Kovektorfeld das Differential einer Funktion ist.
  Homotope und zusammenziehbare Wege. Geschlossene Kovektorfelder.
\item[17.7] Wegintegrale "uber geschlossene Kovektorfelder,
  liefern dasselbe f"ur homotope Wege, Umkehrung. Neuer Beweis f"ur den
  Fundamentalsatz der Algebra.
\item[19.7] Grundlegendes zu Fourierreihen. Satz von Stone-Weierstra"s
  angenommen, Konvergenz im quadratischen Mittel und gleichm"a"sige
  Konvergenz f"ur stetig differenzierbare periodische Funktionen gefolgert. 


  

  
\end{enumerate}

%\item[14.6] Vektorfelder und Kovektorfelder.
%\item[19.6] Verwandtschaft.
%\item[21.6]  Wegintegrale.
%\item[26.6] Wegintegrale.
%\item[28.6] Felder mit Potential, Wegzusammenhang, Homotopie von Wegen.
%\item[3.7] Wegintegrale "uber geschlossene Felder.
  
%\item[14.6] Vorspann zur Transformationsformel.
%\item[19.6] Transformationsformel.
%\item[21.6] Integration "uber Mannigfaltigkeiten. 
%\item[26.6] Integration "uber Fastfaltigkeiten, Beispiele. 


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