\section{Tagebuch Analysis 3 WS 23/24}
Es handelt sich um eine vierst"undige Vorlesung zur Analysis 3, also 4$\times$45
Minuten Vorlesung, mit 2 Stunden "Ubungen.  
\begin{enumerate}
\item[17.10] Alternierende Formen und Dachprodukt \eref{MAD}{AN2}.
  Differentialformen h"oheren Grades definiert und anmoderiert.
\item[19.10] Differentialformen h"oheren Grades \eref{GHB}{AN2}. Orientierung \eref{OrM}{AN2}. Beginn Integration
  von Differentialformen \eref{IiIt}{AN2}.
\item[24.10] Integration
  von Differentialformen \eref{IiIt}{AN2}. Anschauung, Beispielrechnung,
  Beweis Eindeutigkeit, Beweisskizze Existenz. Noch nicht F"alle kleiner
  Dimension oder Kodimension. 
\item[26.10]  H"ohere Ableitungen ohne Koordinaten. "Au"sere Ableitung
  von Differentialformen.
\item[31.10] Randfaltigkeiten.
  Bei den Beweisen zu Randkarten skizzenhaft geblieben. 
  Integralsatz von Stokes \eref{ASI}{AN2}.
  Satz von Gau"s anmoderiert. 
\item[2.11] 
   Integration \eref{diIkf}{AN2} von Differentialformen "uber Fastfaltigkeiten  kleiner
   Dimension oder Kodimension, insbesondere Flu"s als Integral einer Differentialform \eref{HyFl}{AN2}. Nochmal Gau"s \eref{SvG}{AN2}. Green'sche Formel. Ursprüngliche Fassung des
   Satzes von Stokes. Fassung f"ur Eckfaltigkeiten. Homotopieinvarianz
   des Wegintegrals geschlossener Kovektorfelder.
\item[7.11] Von nun an arbeiten wir mit dem Skriptum f"ur Analysis 3. Mengenalgebren, $\sigma$-Algebren, Borelmengen, Me"sr"aume, Ma"se.
Charakterisierung des Lebesgue-Ma"ses. Unm"oglichkeit eines
translationsinvariaten Ma"ses auf der Potenzmenge der reellen Zahlengeraden,
das dem Einheitsintervall das Ma"s Eins zuordnet. Also Abschnitt \eref{MaMa}{AN3}
Ma"sr"aume und Ma"se. Noch nicht Erzeugung von Topologie. 
 \item[9.11] Pr"ama"se, Konstruktion des Pr"ama"ses zum Lebesguema"s
und zu Stieljes-Ma"sen auf der reellen Geraden.
Ma"sfortsetzungssatz und Beschreibung der
kanonischen Fortsetzung noch ohne Beweis. Also Beginn von Abschnitt \eref{KLR}{AN3}.
Gekommen bis Konstruktion "au"serer Ma"se \eref{LHha}{AN3}.
\item[14.11] Weiter mit Ausdehnen von Pr"ama"s zu "au"serem Ma"s  \eref{LHh}{AN3} bis zum Ende von Abschnitt \eref{KLR}{AN3}.
\item[16.11] Vervollst"andigung von Ma"sr"aumen. 
Beginn Me"sbarkeit. Hole erzeugte Topologie nach! Summen und Produkte 
me"sbarer Funktionen. Erste Aussage von \eref{MG3}{AN3} noch bewiesen.  
\item[21.11]
  Punktweise Grenzwerte me"sbarer Funktionen ab \eref{MG3}{AN3}. Definition des 
  Integrals me"sbarer nichtnegativer reeller Stufenfunktionen und des
  Integrals me"sbarer  Funktionen nach $[0,\infty]$. Satz "uber monotone Konvergenz. Additivit"at des Integrals mit Lemma \eref{MM}{AN3} und dessen Beweis. 
\item[23.11]
  Restriktion von Ma"sen \eref{ResMM}{AN3}, Integrale "uber Restriktionen
  \eref{IresM}{AN3}.  Integrierbare Funktionen, dominierte Konvergenz. Produktma"s \eref{PrMa}{AN3}. 
  
\item[28.11] Integration auf Produktr"aumen: Positiver Fubini
  bis Integral als Fl"ache unter
  dem Graphen \eref{IFG}{AN3} einschlie"slich.

\item[30.11]  Integration auf Produktr"aumen: Fubini. Dann Regularit"at von
  Borelma"sen. Insbesondere auch Beschreibung des von einem Mengensystem
  erzeugten Mengenrings nachholen. Beim Beweis der Regularit"at von
  Borelma"sen bis zum Punkt gekommen, da"s jede Menge
aus $\mathcal Q$  Schnitt eine absteigenden Folge
offener Mengen mit kompaktem Abschluß ist. 
\item[5.12] Regularit"at von
  Borelma"sen beenden. Transformationsformel. Bildma"s, Integral "uber Bildma"s.
Produkt von Ma"s mit me"sbarer nichtnegativer Funktion. 
Regularit"at von Borelma"sen auf offenen Teilmengen des
$\DR^n$. Fl"ache unter der Glockenkurve. Fl"achenma"s noch ohne Beweis und  R"uckw"artskompatibilit"at zur Integration kompakt getragener stetiger
Funktionen mit Beweis.
\item[7.12] Fl"achenma"s Beweis. R"uckw"artskompatibilit"at zum Lebesgue-Ma"s. Zwiebelformel, aber ohne die entscheidende Rechnung.  
\item[12.12] Integrierbarkeit und Integral vektorwertiger, insbesondere
  komplexwertiger Funktionen.  R"aume integrierbarer Funktionen, fast "uberall definierte Funktionen.
  Fourierreihe als Isomorphismus von Hilbertr"aumen noch ohne Beweis.
  Raum der ${\op{L}}^p$-Funktionen. Noch nicht $p=\infty$ behandelt.
  Young'sche Ungleichung und andere fundamentale Ungleichung bewiesen. 
\item[14.12]
 Die $\|\;\|_p$-Norm ist eine Norm. Die ${\op{L}}^p$-R"aume
 sind vollst"andig. Beginn von Stone-Weierstra"s \eref{SW}{AN2}.
\item[19.12] Ich werde vertreten: Hilbert\-r"aume, Hilbertbasen nach
  \eref{HRHB}{AN3} 
  folgende. 
\item[21.12] Approximationssatz von Stone-Weierstra"s \eref{SW}{AN2}
  mit Beweis. Unterschiede
  zur Taylorenwicklung betonen, insbesondere Fragen der Eindeutigkeit
  und Beziehung zur Fourierreihe. Am Schlu"s Formulierung f"ur Fouriergruppen
  als Skizze. 




\item[21.12]  Ich meine, das war bewiesen: Die differenzierbaren Funktionen mit kompakten
Tr"ager auf einer offenen Teilmenge der $\DR^n$ liegen 
dicht in den ${\op{L}}^p$
Funktionen f"ur $p < \infty$. Konvergenz 
der Fourier-Reihe in ${\op{L}}^2([0,2\pi])$.

\item[9.1]  Produkttopologie wiederholen. Fouriergruppen.
  Gruppenwege und  Charaktere, inbesondere Charaktere der
  Kreisgruppe und der Zahlengerade. Definition, Existenz und Eindeutigkeit der
Haarma"se auf Fouriergruppen bewiesen. 
\item[11.1] Die Charaktere bilden eine Hilbertbasis des 
Raums der quadratintegrierbaren Funktionen auf einer
kompakten Fouriergruppe f"ur das normierte Haarma"s.
Orthogonale Projektionen in Hilbertr"aumen.
  
\item[16.1] Ivan vertritt mich. Definition und erste Eigenschaften der  Fouriertransformation nach \eref{fdee}{AN3}.
\item[18.1] Ivan vertritt mich. Poisson-Formel \eref{PoiSS}{AN3},
  Beziehung zur Fourierreihe \eref{PoSFc}{FT1}, Inversionsformel \eref{IVFO}{AN3},
  Fouriertransformation quadratintegrierbarer Funktionen \eref{FouqI}{AN3},
  Vertr"aglichkeit der Fouriertransformation auf $\op{L}^1$ und $\op{L}^2$
  nach \eref{IGS}{AN3}. Definition und Eigenschaften von $\op{L}^{\op{loc}}_{\mathcal S}$
  fehlen noch.
\item[23.1] Lokal integrierbare Funktionen \eref{loci}{AN3} bis Berechnung der Fouriertransformierten einer quadratintegierbaren Funktion \eref{BFst}{AN3}.
  Dann Fouriertransformation ohne Koordinaten \eref{ArMa}{AN3}.
  Charakterpaarung und Fouriertransformation komplexer Ma"se. 
\item[25.1]
  Gew"ohnliche Fouriertransformation ist injektiv auf Ma"sen \eref{InFo}{AN3}.
  Abtastsatz \eref{Abtt}{AN3}. Vielleicht Beginn der Diskussion der
  Topologie der Charaktergruppe.
\item[30.1]  Topologie der Charaktergruppe. Nat"urlichkeit der Fouriertransformation. Beispiele.  
\item[1.2]  Faltung von Ma"sen und Funktionen. Assoziativit"at. Verhalten unter Fouriertransformation. 
\item[6.2] Beweis zentraler Grenzwertsatz beendet. Als Ausblick Wellengleichungen
  in den Dimensionen Eins und Drei diskutiert.
\item[8.2] Ausblick: Unit"are Darstellungen von $(\DR,+)$, selbstadjungierte Operatoren und Fouriertransformation.
\end{enumerate}


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