\section{Oberfl"ache und Volumen} \subsection{"Uberdeckungen kompakter metrischer R"aume} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUb} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Eine "Uberdeckung eines Quadrats durch vier Kreisscheiben \end{minipage} \end{figure} \begin{Definition} Eine \defind{"Uberdeckung} einer Menge $X$ ist ein System $\cal{U}\subset\cal{P}(X)$ von Teilmengen mit Vereinigung $X=\bigcup_{U\in\cal{U}} U$. Unter einer \defind{Teil"uberdeckung} einer "Uberdeckung $\cal{U}$ versteht man ein Teilsystem $\cal{V}\subset \cal{U}$, das auch selbst bereits eine "Uberdeckung ist. \end{Definition} \begin{Definition} Eine {\bf offene "Uberdeckung}\index{offene "Uberdeckung} eines topologischen Raums ist eine "Uberdeckung, die aus offenen Teilmengen besteht. \end{Definition} \begin{Definition} % \eref{DeKom}{ML}: Ein topologischer Raum hei"st {\bf kompakt}\index{kompakt!topologischer Raum} und manchmal ausf"uhrlicher {\bf "uberdeckungskompakt},\index{"uberdeckungskompakt} wenn jede offene "Uberdeckung unseres Raums\label{koTO} eine endliche Teil"uberdeckung besitzt. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Nennen wir einen topologischen Raum kompakt, so meinen wir a priori "uberdeckungskompakt. Hausdorffr"aume mit der Eigenschaft, da"s jede Folge eine konvergente Teilfolge besitzt, hei"sen dahingegen \defind{folgenkompakt}.\label{foKO} In der franz"osischen Literatur ist eine abweichende Terminologie "ublich, in der unsere "uberdeckungskompakten topologischen R"aume \glqq quasikompakt\grqq\ genannt werden\index{quasikompakt} und in der diejenigen R"aume \glqq kompakt\grqq\ hei"sen, die wir \glqq "uberdeckungskompakt und Hausdorff\grqq\ nennen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Kompaktheit und offene Mengen}] Ein metrischer Raum ist folgenkompakt genau dann, wenn\label{KO} er "uberdeckungskompakt ist. \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Beispiele f"ur einen folgenkompakten aber nicht "uberdeckungskompakten Hausdorffraum finden Sie in \eref{GFKl}{TM} oder \eref{FKNU}{AL}. Ein Beispiel f"ur einen "uberdeckungskompakten aber nicht folgenkompakten Haus\-dorff\-raum ist der \glqq Einheitsball des topologischen Dualraums mit der schwach-*-To\-po\-lo\-gie der stetigen beschr"ankten Abbildungen $\DR\ra\DR$ in Bezug auf die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz\grqq. \nichtfinal{vergleiche \eref{GFBV}{WB}.} Besitzt in einem "uberdeckungskompakten topologischen Raum jeder Punkt eine \glqq abz"ahlbare Umgebungsbasis\grqq, so ist er auch folgenkompakt mit demselben Argument, wie wir es im Beweis des Satzes verwenden. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis von Satz \ref{KO}] Sei $X$ ein metrischer Raum. Ist $X$ nicht folgenkompakt, so finden wir in $X$ eine Folge ohne konvergente Teilfolge. Dann besitzt jeder Punkt von $X$ eine offene Umgebung, die nur endlich viele Folgenglieder enth"alt, und diese offenen Umgebungen bilden eine offene "Uberdeckung von $X$ ohne endliche Teil"uberdeckung. Das zeigt die eine Richtung. Den Beweis der anderen Richtung beginnen wir mit einem Lemma, das auch f"ur sich genommen oft hilfreich ist. \begin{Lemma}[\textbf{"Uberdeckungssatz von Lebesgue}] Ist $X$ ein folgenkompakter metrischer Raum und $\cal{U}$ eine offene "Uberdeckung\label{UbL} von $X$, so gibt es $\varepsilon > 0$ derart, da"s f"ur alle Punkte $x\in X$ der $\varepsilon$-Ball $\op{B}(x;\varepsilon)$ ganz in einer der "uberdeckenden offenen Mengen $U\in\cal{U}$ enthalten ist. \end{Lemma} \begin{proof}[Erster Beweis] G"abe es kein solches $\varepsilon > 0$, so k"onnten wir f"ur jedes $n\in\DN_{\geq 1}$ einen Punkt $x_n\in X$ finden derart, da"s $\op{B}(x_n;1/n)$ in keinem $U\in\cal{U}$ enthalten w"are. Durch "Ubergang zu einer Teilfolge k"onnten wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit zus"atzlich annehmen, da"s die Folge der $x_n$ konvergiert, etwa gegen $x\in X$. Nun finden wir jedoch ein $U\in\cal{U}$ mit $x\in U$ und dazu $\rho>0$ mit $\op{B}(x;\rho)\subset U$ und dazu $N$ mit $d(x_N,x)<\rho/2$ und $1/N<\rho/2$, und dann g"alte $\op{B}(x_N;1/N)\subset\op{B}(x_N;\rho/2)\subset\op{B}(x;\rho)\subset U$ im Widerspruch zur Wahl der $x_n$. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Man betrachte die Funktion $f:X\ra\DR_{>0}$ gegeben durch die Vorschrift $$f(x)\pdef\op{sup}\{r\leq 1\mid \text{Es gibt $U\in\cal{U}$ mit $\op{B}(x;r)\subset U$}\}$$ Die Dreiecksungleichung liefert $|f(x)-f(y)|\leq d(x,y)$, insbesondere ist $f$ stetig. Sicher d"urfen wir $X\neq \emptyset$ annehmen. Dann nimmt $f$ nach \ref{MmM} sein Minimum an und jede positive Zahl echt unterhalb dieses Minimums ist ein m"ogliches $\varepsilon$. \end{proof} \noindent Um die andere Implikation im Satz zu zeigen, seien nun $X$ folgenkompakt und $\cal{U}$ eine offene "Uberdeckung von $X$. Es gilt zu zeigen, da"s sie eine endliche Teil"uberdeckung besitzt. W"ahlen wir zu unserer "Uberdeckung $\cal{U}$ ein $\varepsilon$ wie im "Uberdeckungssatz \ref{UbL}, so reicht es auch zu zeigen, da"s es eine endliche Teilmenge $E \subset X$ gibt mit $$X = \bigcup_{x \in E} \op{B}(x;\varepsilon)$$ In der Tat liegt ja der $\varepsilon$-Ball $\op{B}(x;\varepsilon)$ um ein beliebiges $x \in X$ nach Wahl von $\varepsilon$ schon in einem der $U\in\cal{U}$. G"abe es aber f"ur ein $\varepsilon > 0$ keine endliche "Uberdeckung von $X$ durch $\varepsilon$-B"alle, so k"onnten wir induktiv eine Folge $(x_{n})_{n \in \DN}$ konstruieren mit $x_{n}\not\in \bigcup_{0\leq\nu < n} \op{B}(x_{\nu};\varepsilon)$ f"ur alle $n$, also $d(x_{n},x_{m}) \geq \varepsilon$ f"ur $n \neq m$, und diese Folge k"onnte keine konvergente Teilfolge haben im Widerspruch zur Annahme. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Sei $X$ eine Menge. Unter einer {\bf "Uberdeckung einer Teilmenge}\index{"Uberdeckung!einer Teilmenge} $Y\subset X$ durch Teilmengen von $X$ versteht man ein Mengensystem $\cal{U}\subset\cal{P}(X)$ mit $Y\subset\bigcup_{U\in\cal{U}} U$. Nach unseren Definitionen ist eine Teilmenge $Y$ eines topologischen Raums $X$ kompakt f"ur die induzierte Topologie genau dann, wenn jede "Uberdeckung von $Y$ durch offene Teilmengen von $X$ eine endliche Teil"uberdeckung besitzt. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{HKA} In einem Hausdorffraum ist jedes Kompaktum abgeschlossen. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Ausf"uhrlicher gesagt ist also eine Teilmenge eines Hausdorffraums, die mit der induzierten Topologie "uberdeckungskompakt ist, notwendig eine abgeschlossene Teilmenge. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $K\subset X$ unser Kompaktum in unserem Hausdorffraum. Es gilt zu zeigen, da"s $X\backslash K$ offen ist in $X$. Gegeben $p\in X\backslash K$ gilt es also, eine Umgebung von $p$ zu finden, die $K$ nicht trifft. F"ur jedes $q\in K$ finden wir nach Annahme $V_q$ offen um $p$ und $U_q$ offen um $q$ mit $V_q\cap U_q=\emptyset$. Die $U_q$ "uberdecken $K$, also gibt es $E\subset K$ endlich mit $K\subset \bigcup_{q\in E}U_q$. Dann ist $V\pdef \bigcap_{q\in E}V_q$ die gesuchte Umgebung von $p$, die $K$ nicht trifft. \end{proof} \begin{Lemma}\label{aAKo} Eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raums ist stets kompakt. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $X$ unser kompakter Raum und $A\As X$ abgeschlossen. Ist $\cal{U}$ ein System von offenen Teilmengen von $X$, deren Vereinigung $A$ umfa"st, so schlie"sen wir $$\begin{array}{lcl} A\subset\bigcup_{U\in \cal{U}}U&\Rightarrow&X=(X\backslash A)\cup\bigcup_{U\in \cal{U}}U \\ & \Rightarrow& X= (X\backslash A)\cup U_{{1}}\cup \ldots \cup U_{{k}} \\ & \Rightarrow & A\subset U_{{1}} \cup \ldots \cup U_{{k}} \end{array}$$ f\"{u}r geeignete $U_1, \ldots ,U_k\in \cal{U}$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Endliche Vereinigungen von Kompakta}] Besitzt ein topologischer Raum eine endliche "Uberdeckung durch kompakte Teilmengen, so ist er bereits selbst kompakt.\label{evK} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Nichtleere Schnitte in Kompakta}] %anderes {ESA} zu ausgez. Dreiecke in {ESAa} umbenannt. Man zeige: Ein topologischer Raum $X$ ist kompakt genau dann, wenn f\"{u}r jedes System $\cal{A}\subset\cal{P}(X)$ von abgeschlossenen Teilmengen von\label{Skoa} $X$ mit nichtleeren endlichen Schnitten auch der gesamte Schnitt nicht leer ist, in Formeln\label{aESA} $\bigcap_{A\in \cal{A}} A \neq \emptyset$. \end{Ubung} %\begin{Ubung} \nichtfinal{Entsorgen!} %Ist in einem kompakten topologischen Raum $X$ ein System abgeschlossener %Teilmengen $\cal{K}\subset \cal{P}(X)$ mit %leerem Schnitt $\bigcap_{K\in\cal{K}} K=\emptyset$ gegeben, %so gibt es bereits ein %endliches Teilsystem $\cal{E}\subset \cal{K}$ mit leerem Schnitt %$\bigcap_{K\in \cal{E}} K=\emptyset$. %\end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Satz\index{Dini, Satz von} von Dini}] Eine monoton wachsende Folge stetiger reellwertiger Funktionen auf einem kompakten Raum,\label{Dini} die punktweise gegen eine stetige Funktion konvergiert, konvergiert sogar gleichm"a"sig. Hinweis: \ref{Skoa}. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Bilder von Kompakta}] Man zeige, da"s das Bild eines kompakten topologischen Raums unter einer stetigen Abbildung kompakt ist f"ur die Spurtopologie. Insbesondere ist jede stetige reellwertige Funktion auf einem kompakten topologischen Raum beschr"ankt.\label{BiKom} \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{RABB} Gegeben ein topologischer Raum $X$ mit einer offenen "Uberdeckung $\mathcal U$ zeige man: Eine Teilmenge $Y$ unseres Raums ist genau dann abgeschlossen, wenn sie mit jeder Teilmenge unserer "Uberdeckung abgeschlossenen Schnitt hat, in Formeln $$Y\As X\;\;\IFF \;\; (Y\cap U)\As U\;\forall U\in\mathcal U$$ Die fraglichen Schnitte sollen hierbei abgeschlossen sein in $U$, nicht in $X$. \end{Ubunge} \subsection{Transformationsformel} \begin{Definition} Seien $X$ ein topologischer Raum und $f:X\ra A$ eine Abbildung in eine Menge mit ausgezeichnetem Element $0\in A$.\label{Trae} Der {\bf Tr"ager\index{Tr"ager!einer Funktion} von $f$} ist die kleinste abgeschlossene Teilmenge von $X$, au"serhalb derer die Funktion den Wert $0$ annimmt. Man notiert ihn $$\op{supp} f\pdef\overline{f^{-1}(A \backslash 0 )}$$ f"ur englisch und franz"osisch \defind{support}.\index{supp@$\op{supp}$ Tr"ager} \end{Definition} \begin{Definition} Sei $X$ ein topologischer Raum. Die Menge aller stetigen Funktionen $f:X\ra \Bbb{R}$ mit kompaktem Tr"ager bezeichnet man mit ${\cal{C}}_{\op{c}}(X,\Bbb{R})$\index{C@$\cal{C}_{\op{c}}(X,\Bbb{R})$ {\it stetige Funktionen mit kompaktem Tr"ager}}\index{C@$\cal{C}_{~!}(X,\Bbb{R})$ stetige Funktionen mit kompaktem Tr"ager} und wir in diesem Skript mit $${\cal{C}}_!(X,\Bbb{R})$$ Ich ziehe letztere Notation vor, weil sie besser zur "ublichen Notation des \glqq eigentlichen Vorschubs\grqq\ pa"st. Sie ist jedoch un"ublich. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein topologischer Raum $X$ ist die Menge $\cal{C}_{~!}(X,\Bbb{R})$ aller stetigen Funktionen mit kompaktem Tr"ager ein Untervektorraum des $\DR$-Vektorraums aller reellwertigen Funktionen auf $X$. Das folgt unmittelbar aus "Ubung \ref{evK}, nach der endliche Vereinigungen von Kompakta wieder kompakt sind, und aus "Ubung \ref{SPSto}, nach der Summen und Produkte stetiger reellwertiger Funktionen wieder stetig sind. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Fortsetzung durch Null}] Gegeben eine offene Teilmenge eines Hausdorffraums $U\co X$ und eine stetige Funktion auf $U$ mit kompaktem Tr"ager $f\in\mathcal C_!(U, \DR)$ ist ihre Fortsetzung durch Null eine stetige Funktion $\tilde f:X\ra \DR$.\label{SFDN} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Nat"urlich hat $\tilde f$ dann auch kompakten Tr"ager. Bezeichnet $i:U\hra X$ die Einbettung, so verwenden wir in der Situation des Lemmas f"ur die Fortsetzung durch Null $f\mapsto \tilde f$ die Notation $$i_!:\mathcal C_!(U, \DR)\ra \mathcal C_!(X, \DR)$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach \ref{HKA} ist jedes Kompaktum in einem Hausdorffraum abgeschlossen. Bezeichnet ${\op{supp}}_Uf$ den Tr"ager von $f:U\ra\DR$, so gilt also ${\op{supp}}_Uf\As X$. Damit ist $X=U\cup(X\backslash {\op{supp}}_Uf)$ eine offene "Uberdeckung von $X$. Da $\tilde f$ auf beiden "uberdeckenden offenen Mengen stetig ist, ist es wegen der Lokalit"at der Stetigkeit \ref{stLE} stetig auf ganz $X$. \end{proof} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUQS} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration zur Definition des Integrals stetiger Funktionen mit kompaktem Tr"ager \ref{DISK}. %\ref{DISKc} Man pr"uft ohne Schwierigkeiten, da"s die Wahl des kompakten Quaders hier keine Rolle spielt, solange er nur den Tr"ager unserer Funktion umfa"st. Im Bild kommen unter vielen anderen etwa die beiden Quader $Q$ und $Q'$ in Frage. \end{minipage} \end{figure} \begin{Definition}\label{DISK} Gegeben $U\co \DR^n$ eine offene Teilmenge und $f\in \mathcal C_!(U;\DR)$ eine stetige Funktion mit kompaktem Tr"ager auf $U$ definieren wir das {\bf Integral $\int_U f$ von $f$ "uber $U$}, indem wir $f$ durch Null zu einer stetigen Funktion mit kompaktem Tr"ager auf $\DR^n$ fortsetzen und diese Fortsetzung integrieren "uber irgendeinen kompakten Quader, der ihren Tr"ager umfa"st. F"ur unser Integral vereinbaren wir die Notationen $$\int_U f =\int_U f(x_1,\dots,x_n)\diff x_1\ldots\diff x_n= \int_U f(x)\diff^n x $$ \end{Definition} %\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] %Die Notation $\diff^n x$ ist insofern ungl"ucklich, als wir %auch die konkurrierende Notation $\diff_p^n f$ f"ur h"ohere Ableitungen in %mehreren Ver"anderlichen verwenden. Was im Einzelfall gemeint ist, %mu"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen. %\end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das so definierte Integral ist offensichtlich linear, $\int f+g = \int f+ \int g$ und $\int \lambda f= \lambda \int f$ f"ur $\lambda \in \Bbb{R}$, sowie monoton, als da hei"st $f\leq g \Rightarrow \int f\leq \int g$. Insbesondere folgt wie im Fall einer Ver"anderlichen $|\int f| \leq\int |f|$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Transformationsformel}]\index{Transformationsformel!bei kompaktem Tr"ager} Seien $U,V \co \Bbb{R}^{n}$ offene Teilmengen und $\phi : U \sira V$ ein ${\cal{C}}^{1}$-Diffeo\-mor\-phismus.\label{TF} Bezeichne $|\! \det \tiff \phi |$ die Abbildung $U\ra\DR$, $p\mapsto |\! \det \tiff_p \phi |$. So gilt f"ur jede stetige Funktion auf $V$ mit kompaktem Tr"ager $f\in\mathcal C_!( V,\Bbb{R})$ die Identit"at $$\int_V f = \int_U (f \circ \phi ) \; |\! \det \tiff \phi |$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Es tut mir leid, da"s $f$ vorher immer eine Funktion auf $U$ bezeichnet hat und in der Transformationsformel pl"otzlich eine Funktion auf $V$ bezeichnet. Diese Inkonsistenz m"ussen wir in Kauf nehmen, um eine noch gravierendere Inkonsistenz mit unserer bisherigen Notation der Integration durch Substitution in einer Variablen zu vermeiden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Im Rahmen der Lebesgue'schen Integrationstheorie folgern wir in \eref{TFL}{AN3} eine weitgehende Verallgemeinerung dieses Satzes. Eine bescheidenere f"ur viele Rechnungen ausreichende Verallgemeinerung liefern die S"atze des folgenden Abschnitts, insbesondere Satz \ref{IUMac} zur Integration mit Integrationskarten. \end{Bemerkungw} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.2\textheight]{SkriptenBilder/BildTraF}\\[4mm] \noindent Illustration zur Transformationsformel, insbesondere zu Beispiel \ref{BTR}. Das Integral einer Funktion $f$ "uber das rechte Kuchenst"uck kann angen"ahert werden, indem wir die angedeutete Unterteilung des Integrationsbereichs betrachten, in jedem der unterteilenden St"ucke den Funktionswert an einer Stelle mit der Fl"ache des entsprechenden St"ucks multiplizieren, und diese Produkte aufsummieren. Unter der Polarkoordinatenabbildung $P$ entspricht nun die Unterteilung unseres Kuchenst"ucks einer Unterteilung unseres Quadrats, und die Fl"ache des Bildes eines Unterquadrats ist in etwa der Betrag der Funktionaldeterminante $|{\op{det}}\tiff P|$ an einer Stelle unseres Unterquadrats multipliziert mit der Fl"ache besagten Unterquadrats. So w"are etwa die Fl"ache des schraffierten Teils im Kuchenst"uck rechts etwas weniger als halb so gro"s wie die Fl"ache des schraffierten Unterquadrats links, und $|{\op{det}}\tiff P|=r$ nimmt auf unserem Unterquadrat Werte zwischen $1/4$ und $1/2$ an. Es wird also in etwa dasselbe herauskommen, wenn wir von der Funktion $(f\circ P)|{\op{det}}\tiff P|$ auf unserem Quadrat in jedem der Unterquadrate den Funktionswert an einer Stelle mit der Fl"ache des entsprechenden Unterquadrats multiplizieren, und diese Produkte aufsummieren. Im Grenz"ubergang f"ur immer feinere Unterteilungen kommt dann sogar nicht nur in etwa, sondern ganz genau dasselbe heraus. Das ist die anschauliche Bedeutung der Transformationsformel. \end{Bild} \begin{Beispiele} Ist $\phi:\DR^n\ra\DR^n$ eine abstandserhaltende Abbildung, also nach \eref{KrIa}{LA2} die Verkn"upfung einer orthogonalen Abbildung mit einer Translation, so liefert die Transformationsformel f"ur jede stetige Funktion mit kompaktem Tr"ager $f:\DR^n\ra\DR$ die Identit"at $\int f=\int f\circ \phi$. Ist $\phi:\DR^2\ra\DR^2$ die Streckung um den Faktor $2$, so liefert die Transformationsformel die Identit"at $\int f=4 \int f\circ \phi$. Beide Aussagen sollten auch anschaulich unmittelbar einleuchten. \end{Beispiele} \begin{Beispiel}\label{BTR} Wir betrachten die Polarkoordinatenabbildung \begin{displaymath} \begin{array}{cccl} P :& \Bbb{R}_{>0} \times (-\pi,\pi) & \overset{\sim}{\rightarrow} & \Bbb{R}^2 \backslash \text{(abgeschlossene negative $x$-Achse)}\\ &(r\; , \; \varphi)^\top & \mapsto & (r \cos \varphi, r \sin \varphi)^\top \end{array} \end{displaymath} Hier lasse man sich nicht dadurch verwirren, da"s die Klammern $(\;,\;)$ einmal ein offenes Intervall und dann wieder Elemente kartesischer Produkte andeuten, die wir anschlie"send noch zu Spaltenvektoren transponieren. Das Differential der Polarkoordinatenabbildung wird gegeben durch die Jacobi-Matrix \begin{displaymath} \tiff P =\tiff_{(r,\varphi)} P = {\cos \varphi \; - r \sin \varphi \choose \sin \varphi \;\;\;\;\; r \cos \varphi} \end{displaymath} mit der Determinante $\op{det} \tiff P =r$. Beim Bilden des Betrages "andert sich nichts und wir erhalten \begin{displaymath} \int_{\DR^2} f (x,y) \diff x \diff y = \int_{-\pi}^\pi\int_0^\infty f (P(r,\varphi))\; r \diff r \diff \varphi \end{displaymath} f"ur stetige Funktionen auf $\DR^2$ mit kompaktem Tr"ager, der dar"uber hinaus nicht die abgeschlossene negative $x$-Achse treffen darf. Oft schreibt man kurz $f(r,\varphi)$ statt $f (P (r,\varphi))$ in der Erwartung, da"s schon aus der blo"sen Bezeichnung der Koordinaten klar wird, was genau gemeint ist. So ergibt sich dann eine Formel f"ur die Transformation eines Integrals auf Polarkoordinaten, die man als $$\diff x \diff y = r \diff r \diff \varphi$$ abk"urzen mag. Leider erhalten wir besagte Formel vorerst nur f"ur sehr spezielle Funktionen. In der Praxis ist deshalb unser Satz kaum anwendbar. F"ur die Praxis brauchbare Varianten formulieren und zeigen wir in \ref{PoLK} und \eref{TFL}{AN3}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{AnDe} Gegeben $U \co \Bbb{R}^{n}$ offen und $\phi : U \ra \Bbb{R}^{n}$ differenzierbar nennt man $\det \tiff \phi$ die {\bf Funktionaldeterminante}\index{Funktionaldeterminante} {\bf von} $\phi$. Bevor wir den Satz beweisen, wollen wir versuchen, ihn mit Anschauung zu f"ullen. Wir beschr"anken uns dazu auf den Fall $n=2$. Zun"achst ist hoffentlich anschaulich klar, da"s es f"ur jede lineare Abbildung $L:\DR^2\ra\DR^2$ eine reelle Konstante $c(L)\geq 0$ gibt derart, da"s \glqq das Bild unter $L$ eines Fl"achenst"ucks $U$ der Fl"ache $\op{vol}(U)$ die Fl"ache $\op{vol}(LU)=c(L)\op{vol}(U)$ hat\grqq. Unsere Transformationsformel enth"alt nun, wenn man sie ohne R"ucksicht auf die Bedingungen des Satzes mutig auf die konstante Funktion $f=1$ auf $U$ anwendet und $\phi =L$ linear annimmt, die Erkenntnis $$c(L)=|\! \det L|$$ Das sieht man auch anschaulich leicht ein: Zun"achst sollte anschaulich klar sein, da"s \glqq eine Scherung die Fl"ache nicht "andert\grqq\ und \glqq die Streckung einer Achse die Fl"ache genau durch Multiplikation mit dem Betrag des Streckfaktors "andert\grqq, so da"s also unsere Erkenntnis anschaulich klar ist f"ur lineare Abbildungen $L$ mit Matrizen der Gestalt $$\left(\begin{array}{cc} 1 &a\\ 0 & 1 \end{array} \right), \; \left(\begin{array}{cc} a &0\\ 0 & 1 \end{array} \right), \; \left(\begin{array}{cc} 1 &0\\ 0 & a \end{array} \right), \; \left(\begin{array}{cc} 1 &0\\ a & 1 \end{array} \right)$$ Anschaulich klar ist weiter $c(L\circ M)=c(L)c(M)$ und nach der Multiplikationsformel f"ur Determinanten haben wir auch $|\! \det L\circ M|= |\! \det L|\;|\! \det M|$. So rechtfertigen wir dann unsere Erkenntnis $c(L)=|\! \det L|$ im allgemeinen. Mehr dazu mag man in \eref{AnDet}{LA1} nachlesen. Das Integral von $f$ erhalten wir nun im Grenzwert, wenn wir $V$ in lauter kleine Fl"achenst"ucke $V_i$ zerlegen und die Produkte der Fl"achen dieser Fl"achenst"ucke mit einem Funktionswert an einem Punkt $y_i\in V_i$ des jeweiligen Fl"achenst"uck aufsummieren, in Formeln $$\int_V f\simeq \sum f(y_i)\op{vol}(V_i)$$ Wir betrachten nun die Urbilder $x_i=\phi ^{-1}(y_i)$ unserer Punkte $y_i$ und die Zerlegung von $U$ durch die Urbilder $U_i=\phi ^{-1}(V_i)$ unserer kleinen Fl"achenst"ucke $V_i$. Bei $x_i$ wird $\phi $ bis auf Verschiebung gut approximiert durch $\tiff_{x_i}\phi $, deshalb haben die Bilder $\phi (U_i)=V_i$ dieser Fl"achenst"ucke $U_i$ in etwa die Fl"ache $\op{vol}(V_i)\simeq |\!\det\tiff_{x_i}\phi |\op{vol}(U_i)$ und wir folgern $$\int_V\! f\simeq \sum f(y_i)\op{vol}(V_i) \simeq \sum (f\circ \phi )(x_i)\;|\!\det\tiff_{x_i}\phi |\op{vol}(U_i) \simeq \int_U \!(f \circ \phi ) \; |\! \det \tiff \phi |$$ Das beendet unsere anschauliche aber doch recht vage Argumentation und wir kommen nach einem Beispiel zum eigentlichen Beweis. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir zeigen den Satz durch vollst"andige Induktion "uber $n$. Der Fall $n=0$ ist unproblematisch und wir behandeln gleich den Fall $n=1$. Nach \eref{VMi}{AN1} kann jede offene Teilmenge $U\co\DR$ als disjunkte Vereinigung von offenen Intervallen $U_i$ geschrieben werden. Deren Bilder in $V$ sind wieder Intervalle nach dem Zwischenwertsatz und offen nach dem Umkehrsatz \ref{UKA}. % angewandt auf $\phi ^{-1}:V\sira U$ und \ref{ROf}. Unsere Funktion $f$ verschwindet au"serhalb von endlich vielen der $\phi (U_i)$, da ihr Tr"ager nach Annahme kompakt ist. Wir k"onnen folglich ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $U$ und $V$ bereits offene Intervalle sind. Wir finden dann sicher ein mehrpunktiges kompaktes Intervall $[c,d]\subset V$, das den Tr"ager von $f$ umfa"st. Die Substitutionsregel \eref{IdS}{AN1} liefert nun $$\int_c^d f(y)\diff y=\int_a^b f(\phi (x))\phi '(x)\diff x$$ f"ur $a,b\in U$ mit $\phi (a)=c$ und $\phi (b)=d$. Da $\phi $ ein $\cal{C}^1$-Diffeomorphismus sein soll, ist $\phi '$ stetig mit $\phi '\neq 0$ auf $U$. Wir folgern, da"s auf $U$ entweder gilt $\phi '>0$ oder aber $\phi '<0$. Im ersten Fall haben wir $ab$ und $|\phi '|=-\phi '$ und die beiden dadurch entstehenden Vorzeichen heben sich weg alias $$\int_U (f\circ \phi ) \; |\! \det \tiff \phi | = \int_b^a f(\phi (x))|\phi '(x)|\diff x =\int_a^b f(\phi (x))\phi '(x)\diff x$$ und wir sind wieder fertig. Damit ist der Fall $n=1$ erledigt. Nehmen wir nun also an, wir h"atten $n\geq 2$ und der Satz sei f"ur Integration im $\Bbb{R}^{n-1}$ schon bewiesen. Wir gehen dann in mehreren Schritten vor. \begin{figure}[htb] \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUcVc} \centering Illustration zum Beweis der Transformationsformel \end{figure} \\[2mm]\noindent 1. L"a"st $\phi $ die erste Koordinate unver"andert, in Formeln $\phi _1(x_1,\ldots,x_n)=x_1$, so folgt unsere Transformationsformel aus der Induktionsvoraussetzung. Um das zu sehen, betrachten wir f"ur festes $c\in\DR$ die Einbettung $i_c:\DR^{n-1}\hra \DR^{n}$ gegeben durch $(x_2,\ldots, x_n)\mapsto (c,x_2,\ldots, x_n)$, setzen $U_c\pdef i_c^{-1}(U)$ sowie $V_c\pdef i_c^{-1}(V)$ und betrachten den induzierten $\mathcal C^{1}$-Diffeomorphismus $\phi_c:U_c\ra V_c$, der durch die Identit"at $i_c\circ \phi_c=\phi\circ i_c$ charakterisiert wird. Unsere Erkenntnisse "uber die Determinante von Block-unteren Dreiecksmatrizen zeigen $$|\det \tiff _{(x_{2}, \ldots, x_{n})} \phi _{c} | = | \det \tiff _{(c,x_{2},\ldots, x_{n})} \phi |$$ F"ur $f_{c}\pdef f\circ i_c:V_c\ra\DR$ alias $f_{c}(x_{2},\ldots, x_{n})=f(c,x_{2},\ldots, x_{n})$ erhalten wir also nach der Induktionsvoraussetzung $$\begin{array}{ccl} \int f_{c} &= &\int (f_{c}\circ \phi _{c}) \; |\! \det \tiff \phi _{c}| \\[2mm] &= & \int (f\circ \phi ) (c,x_{2},\ldots, x_{n}) \;|\! \det \tiff _{(c,x_{2},\ldots, x_{n})} \phi | \end{array}$$ Integrieren wir diese Gleichung "uber alle $c$, so ergibt sich die Transformationsformel f"ur unseren $\mathcal C^{1}$-Diffeomorphismus $\phi $. \\[2mm]\noindent 2. Sind $W \overset{\psi }{\ra} U \overset{\phi }{\ra} V$ zwei ${\cal{C}}^{1}$-Diffeomorphismen zwischen offenen Teilmengen des $\Bbb{R}^{n}$ und gilt unsere Transformationsformel f"ur $\phi $ und $\psi $, so gilt sie auch f"ur $\phi \circ \psi $. In der Tat erhalten wir $$ \begin{array}{ccl} \int f &=& \int (f\circ \phi ) \;|\!\det \tiff \phi |\\ &= & \int (f\circ \phi \circ \psi ) (|\!\det \tiff \phi |\circ \psi ) \;|\!\det \tiff \psi |\\ &=&\int (f\circ \phi \circ \psi ) \;|\!\det \tiff (\phi \circ \psi )| \end{array}$$ Hier gilt die erste Zeile nach der Transformationsformel f"ur $\phi $ angewandt auf die Funktion $f$, die zweite nach der Transformationsformel f"ur $\psi $ angewandt auf die Funktion $(f\circ \phi ) |\det \tiff \phi |$ und die dritte nach der Kettenregel $$\tiff _p (\phi \circ \psi )= \tiff _{\psi (p)} \phi \circ \tiff _p \psi $$ f"ur $p\in W$ mit der Multiplikationsformel $\det(AB)=(\det A)( \det B)$ f"ur Determinanten. \\[2mm]\noindent 3. F"ur $\phi $ eine Vertauschung der Koordinaten gilt unsere Formel. In der Tat ist so ein $\phi $ ja linear mit $|\!\det \tiff \phi |=1$ und wir wissen bereits nach \ref{VI}, da"s es bei Mehrfachintegralen nicht auf die Reihenfolge ankommt. \\[2mm]\noindent 4. Ist eine Komponente von $\phi $ eine Koordinate auf $U$, haben wir also in Formeln $\phi _{i}(x_{1}, \ldots, x_{n})=x_{j}$ f"ur geeignete $i$ und $j$, so gilt unsere Formel. In der Tat finden wir dann eine Darstellung $\phi = \psi \circ \varphi \circ \chi$ derart, da"s $\varphi$ die erste Koordinate unver"andert l"a"st und $\psi ,\chi$ Koordinatenvertauschungen sind. F"ur $\varphi$ gilt dann unser Satz nach Schritt 1, f"ur $\psi $ und $\chi$ nach Schritt 3, und damit f"ur $\phi $ nach Schritt 2. \\[2mm]\noindent 5. Jeder Punkt $p\in U$ besitzt eine offene Umgebung $U_{p}$ derart, da"s unsere Transformationsformel gilt f"ur die Restriktion von $\phi $ auf $U_{p}$. In der Tat finden wir zun"achst ein $i$ derart, da"s gilt $\frac{\partial \phi _{i}}{\partial x_{1}} (p) \neq 0$, und dann gibt es nach dem Umkehrsatz eine offene Umgebung $U_{p}$ von $p$ derart, da"s die Abbildung $$\begin{array}{cccl} \psi :& U &\ra &\Bbb{R}^{n}\\ &(x_{1},\ldots, x_{n}) &\mapsto &(\phi _{i}(x_{1},\ldots, x_{n}) , x_{2} ,\ldots, x_{n}) \end{array}$$ einen ${\cal{C}}^{1}$-Diffeomorphismus von $U_{p}$ auf eine offene Teilmenge $ W_{p}\pdef \psi (U_{p})\co\Bbb{R}^{n}$ induziert. Wir bezeichnen das Bild von $U_{p}$ unter $\phi $ mit $V_{p}\pdef \phi (U_{p})\co\Bbb{R}^{n}$ und erhalten ein kommutatives Diagramm von ${\cal{C}}^{1}$-Diffeomorphismen \begin{displaymath} \xymatrix{ U_p \ar[rr]^{\psi }_\sim\ar[dr]_\phi^\sim & & W_p \ar[dl]^{\phi \psi ^{-1}}_\sim\\ &V_p& } \end{displaymath} Die $i$-te Komponente der Abbildung $\phi \psi ^{-1}$ ist dann die erste Koordinate $$(\phi \psi ^{-1})_{i} \;(y_{1},\ldots ,y_{n})=y_{1}$$ F"ur beide Abbildungen $\psi $ und $(\phi \psi ^{-1})$ gilt also nach Schritt 4 unsere Transformationsformel, mithin gilt sie nach Schritt 2 auch f"ur ihre Verkn"upfung, als da hei"st f"ur die Restriktion $\phi : U_{p}\sira V_{p}$ von $\phi $ auf $U_{p}$. Hier ist im "ubrigen die Stelle im Beweis, die uns daran hindert, unsere Induktion mit dem Trivialfall $n=0$ zu beginnen: Im Fall $n=1$ k"onnen wir n"amlich Schritt 4 auf $\psi$ nicht anwenden, da in diesem Fall keine Komponente von $\psi$ eine Koordinate w"are. \\[2mm]\noindent 6. Wir behandeln nun den allgemeinen Fall. Sei $f\in\mathcal C_!(V,\DR)$ eine stetige Funktion mit kompaktem Tr"ager. F"ur $p\in U$ w"ahlen wir $U_p$ wie in Schritt 5 und setzen wieder $V_{p} = \phi (U_{p})$. Da $(\op{supp} f)$ kompakt ist, finden wir eine endliche Teilmenge $E\subset U$ mit $(\op{supp} f) \subset \bigcup_{p\in E} V_{p}$. Jetzt benutzen wir das im Anschlu"s formulierte und bewiesene technische Lemma \ref{TEL} zur \glqq Teilung der Eins\grqq, w"ahlen f"ur unsere endliche "Uberdeckung von $(\op{supp} f)$ durch die $V_p$ mit $p\in E$ eine angepa"ste Teilung der Eins $\al_p$ und schreiben $$f= \sum_{p\in E} \al_p f$$ Die Summanden $\al_p f$ sind dann stetig mit kompaktem in $V_{p}$ enthaltenen Tr"ager. Nach der Wahl der $V_{p}$ haben wir nun $\int \al_p f=\int ((\al_p f)\circ \phi )\;|\!\det \tiff \phi |$ f"ur alle $p\in E$. Addieren wir diese Gleichungen, so ergibt sich wie gew"unscht \begin{equation*} \int f=\int (f\circ \phi )\;|\!\det\tiff \phi |\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Teilung der Eins}]% Manche Verweise sollten auf {TELe} Tietze. Sind $K \subset \DR^n$ kompakt und $V_{1},\ldots , V_{r} \co \DR^n$ offen mit $K \subset \bigcup V_{i}$, so gibt es stetige Funktionen $\al_{i} : \DR^n \ra [0,1]$\label{TEL} mit kompaktem, jeweils in $V_{i}$ enthaltenen Tr"ager $\alpha_i\in\mathcal C_!(V_i,[0,1])$ derart, da"s gilt $$\sum^{r}_{i=1} \al_{i} (x) =1 \quad \forall x \in K$$ \end{Lemma} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildTeiE}\\[4mm] \noindent Illustration einer Teilung der Eins im Fall einer "Uberdeckung eines kompakten Intervalls $K\subset \DR$ durch zwei offene Teilmengen. \end{Bild} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildTeiB}\\[4mm] \noindent Illustration einiger Mengen, die bei unserer Konstruktion einer Teilung der Eins eine Rolle spielen, im Fall einer "Uberdeckung eines kompakten Quaders $K\subset \DR^2$ durch zwei offene Teilmengen. \end{Bild} \begin{Bemerkungl} Eine derartige Familie von Funktionen $\al_i$ hei"st eine an die gegebene "Uberdeckung von $K$ angepa"ste {\bf Teilung der Eins}\index{Teilung der Eins}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir w"ahlen f"ur jedes $x \in K$ ein $j(x)$ mit $x \in V_{j(x)}$ und eine stetige Funktion $\varphi_{x} : \DR^n \ra [ 0,\infty)$ mit kompaktem, in $V_{j(x)}$ enthaltenem Tr"ager, die bei $x$ nicht verschwindet, in Formeln $\varphi_{x} (x) > 0$. Die $N_{x} \pdef \varphi^{-1}_{x} (\DR_{> 0})$ sind dann offen in $\Bbb{R}^{n}$ und "uberdecken $K$ und wir haben $\overline{N}_x\subset V_{j(x)}$. Da $K$ kompakt ist, finden wir $E \subset K$ endlich mit $K \subset \bigcup_{x \in E} N_{x}$. Dann bilden wir $$ \psi \pdef \sum_{x\in E} \varphi_{x}$$ Diese Funktion ist stetig auf ganz $\DR^n$, nimmt auf $N \pdef \bigcup_{x \in E} N_{x}$ positive Werte an, und verschwindet au"serhalb von $N$. Nun betrachten wir f"ur jedes $x \in E$ auf der offenen Menge $N$ die stetige Funktion $\psi_{x} = \varphi_{x}/\psi$. Nat"urlich gilt $\sum_{x \in E} \psi_{x} (z) =1$ nicht nur f"ur alle $z \in K$, sondern sogar f"ur alle $z \in N$, und $\psi_{x}$ verschwindet au"serhalb von $N_x$. Als n"achstes konstruieren wir eine stetige Funktion $\beta :\Bbb{R}^{n} \ra [0,1]$, die auf $K$ konstant Eins ist und deren Tr"ager in $N$ enthalten ist. Ist zum Beispiel $m$ das Minimum von $\psi$ auf $K$, so erhalten wir ein m"ogliches $\beta$, indem wir setzen $\beta = h \circ \psi$ f"ur $h : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$ eine stetige Funktion mit $h|_{[ m,\infty)} =1$ und $h|_{( -\infty, m/2]} =0$. Dann setzen wir schlie"slich $$\al_{i} \pdef \sum_{j(x)=i} \beta\psi_{x}$$ Diese Funktionen sind zwar a priori nur auf $N$ definiert, aber da $\DR^n$ durch $N$ und das Komplement des Tr"agers von $\beta$ "uberdeckt wird, lassen sie sich stetig durch Null auf ganz $\DR^n$ fortsetzen, und diese Fortsetzungen haben dann offensichtlich die gew"unschten Eigenschaften. \end{proof} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Glatte Teilung der Eins}] Im vorherigen Lemma k"onnen die Funktionen $\alpha_i$ sogar {\bf glatt},\index{glatt!Funktion} als da hei"st beliebig gemischt partiell differenzierbar gew"ahlt werden.\label{TELg} Um das zu sehen, sind nur wenige Zusatz"uberlegungen von N"oten. Aus \eref{e1x}{AN1} kennen wir ja eine glatte Funktion $f: \DR\ra\DR$, die auf der negativen Halbgeraden verschwindet und auf der echt positiven Halbgeraden positiv ist. Dann ist das Produkt $f(t)f(1-t)$ eine von Null verschiedene nichtnegative glatte Funktion mit kompaktem Tr"ager auf $\DR$. Man erh"alt von Null verschiedene nichtnegative glatte Funktionen mit kompaktem Tr"ager auf $\DR^n$, indem man von Null verschiedene nichtnegative glatte Funktionen mit kompaktem Tr"ager in den einzelnen Koordinaten nimmt und das Produkt bildet. So sehen wir, da"s die $\varphi_{x}$ im vorhergehenden Beweis sogar glatt gew"ahlt werden k"onnen. Damit sind dann auch $ \psi $ und die $\psi_{x}$ glatt. W"ahlen wir zus"atzlich die Funktion $h$ glatt, bis auf Reskalierung k"onnte man f"ur $h$ etwa das Integral einer von Null verschiedenen nichtnegativen glatten Funktion mit kompaktem Tr"ager nehmen, so liefert die Konstruktion aus dem vorhergehenden Beweis sogar eine glatte Teilung der Eins. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{TKKo} Man zeige, da"s die Funktionaldeterminante der Kugelkoordinatenabbildung $K$ aus \ref{KuKo} gegeben wird durch $\op{det}\tiff K=r^2\sin \vartheta$. Salopp gesprochen transformieren sich also Volumenintegrale in Kugelkoordinaten vermittels der Regel $$\diff x\diff y\diff z =r^2\sin \vartheta \;\diff r\diff\varphi\diff\vartheta$$ \end{Ubung} %\begin{Ubung} %Seien $Q\subset\DR^n$ ein kompakter Quader und $A\As Q$ %eine abgeschlossene Teilmenge und $f:Q\ra\DR_{\geq 0}$ stetig mit %$f|_A=0$. So gilt\label{GTRZ} %$$\int_Q f=\op{sup}_\alpha \int_Q\alpha f$$ %mit dem Supremum "uber alle stetigen %$\alpha:Q\ra[0,1]$ mit $(\op{supp}\alpha)\cap A=\emptyset$. %\end{Ubung} \subsection{Integration "uber Mannigfaltigkeiten} \begin{Satz}[\textbf{Integration "uber Mannigfaltigkeiten}] F"ur jede $k$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit $M\subset \DR^n$ gibt es genau eine $\DR$-lineare Abbildung\label{IUMa} $$\int_M:\cal{C}_!(M,\DR)\ra\DR$$ derart, da"s f"ur jede \hyperref[Karte]{Karte} $\varphi:W\ra M$ und jede Funktion $f\in \cal{C}_!(M,\DR)$ mit Tr"ager im Bild besagter Karte $\op{supp}f\subset \varphi(W)$ gilt $$\int_M f=\int_{W} f(\varphi(x)) \sqrt{\det \;(\tiff _{x}\varphi)^{\top}\;\! (\tiff _{x}\varphi)}\;\diff^{k}x$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} F"ur unser Integral einer Funktion $f$ mit kompaktem Tr"ager "uber eine Mannigfaltigkeit $M\subset \DR^n$ findet man in der Literatur auch die Notationen $$\int_M f=\int_M f\;\diff \sigma=\int_M f\;\diff {\op{S}}= \int_M f\;\diff {\op{o}}=\int_M f\;\diff {\op{O}}=\int_M f\;\diff {\op{vol}}$$ Sie appellieren an unsere Anschauung f"ur den zwei- oder dreidimensionalen Fall, $\sigma$ und $\op{S}$ stehen f"ur \glqq surface\grqq\ und $\op{o}$ und $\op{O}$ f"ur \glqq Oberfl"ache\grqq\ und $\op{vol}$ f"ur \glqq Volumen\grqq. Die obige Konstruktion wird auch als {\bf Fl"achenintegral}\index{Fl"achenintegral} bezeichnet. Im Spezialfall $k=n$ einer $n$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit in $\DR^n$ alias einer offenen Teilmenge erhalten wir unser Integral $\int_Mf(x)\diff^n x$ aus \ref{DISK} zur"uck. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einordnung des vorstehenden Integralbegriffs}] Die hier und im folgenden entwickelte Integrationstheorie ist insofern n"utzlich, als sie korrekte Definitionen und vollst"andige Beweise bis hin zum Satz von Stokes erlaubt. Sie erlaubt auch eine formale Rechtfertigung vieler expliziter Rechnungen, ist im Vergleich zur Lebesgue'schen Integrationstheorie \eref{MaInm}{AN3} aber dennoch recht unbeholfen. Bevor ich den obigen Satz beweise, will ich erst einmal versuchen, ihn zu motivieren und den darin erkl"arten Integralbegriff mit Anschauung zu f"ullen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Bezug unseres Fl"achenintegrals zum Kurvenintegral}] Ist $\varphi:[a,b]\ra\Bbb{R}^n$ injektiv und stetig differenzierbar mit nirgends verschwindender Ableitung $\varphi'(t)\neq 0\;\forall t$, so ist das Bild $M\pdef \varphi(a,b)$ eine $1$-Mannigfaltigkeit und\label{KIin} das Integral einer Funktion $f\in \mathcal C_!(M;\DR)$ "uber $M$ ist genau das Kurvenintegral der durch Null auf $\varphi([a,b])$ fortgesetzten Funktion $f$ l"angs der Kurve $\varphi$ im Sinne von \eref{KI}{AN1}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{vOL} Hat $M$ die Dimension $k$, so haben wir $\tiff _{x}\varphi\in\op{Mat}(n\times k;\DR)$ und das Produkt $(\tiff _{x}\varphi)^{\top}\;\! (\tiff _{x}\varphi)$ dieser Matrix mit ihrer Transponierten ist folglich eine $(k\times k)$-Matrix. Diese sogenannte {\bf Gram'sche Matrix}\index{Gram'sche Matrix} kann aufgefa"st werden als die Matrix aller Skalarprodukte zwischen Spaltenvektoren von $\tiff _{x}\varphi$. Sie ist nach \eref{pode}{LA2} insbesondere positiv semidefinit und hat damit eine nichtnegative Determinante. Gegeben eine nicht notwendig quadratische Matrix $V$ mit Spaltenvektoren $v_{1}, \ldots, v_{k}\in\Bbb{R}^n$ definieren wir ganz allgemein eine reelle Zahl $$\op{vol}V=\op{vol}(v_{1}|\ldots | v_{k})\pdef \sqrt{\det (V^{\top}\; V)}= \sqrt{\det (\langle v_{i},v_{j}\rangle)}$$ und\index{vol@$\op{vol}(v_{1}{\mid}\ldots {\mid} v_{k})$ %$k$-dimensionales Volumen} nennen sie das {\bf $k$-dimensionale Volumen}\index{Volumen} des von den Vektoren $v_{i}$ aufgespannten Parallelpipeds. Die Wurzel aus der Determinante der Gram'schen Matrix k"onnen wir mit dieser Notation auch k"urzer schreiben als $$\sqrt{\det \;(\tiff _{x}\varphi)^{\top}\;\! (\tiff _{x}\varphi)}=\op{vol}(\tiff_x\varphi)$$ Im Fall $k=1$ ist das eindimensionale Volumen eines Vektors nach dieser Definition schlicht seine L"ange. Im Fall $k=2$ bedeutet das zweidimensionale Volumen eines Paars von Vektoren $v,w$ die Fl"ache des von ihnen aufgespannten Parallelogramms mit den Ecken $0,v,w$ und $v+w$. Um die Bezeichnung \glqq Volumen\grqq\ f"ur die Zahl $\op{vol} (v_{1}|\ldots |v_{k})$ im Allgemeinen zu rechtfertigen, beachten wir: \begin{enumerate} % \item % Es gilt $\op{vol} (R v_{1}| \ldots |R v_{k}) % = \op{vol} (v_{1}| \ldots| v_{k})$ f"ur eine beliebige % orthogonale Abbildung $R$. \item Es %gilt % $\op{vol}(v_{1}|\ldots| v_{k}) = 1$ f"ur $v_{1}, \ldots , v_{k} $ ein % Orthonormalsystem; Allgemeiner gilt $\op{vol}(v_0|v_{1}|\ldots| v_{k}) = \op{vol}(v_{1}|\ldots| v_{k})$ falls $v_0$ die L"ange $1$ hat und senkrecht steht auf allen anderen $v_i$. \item Im Fall $k=n$ haben wir $\op{vol}(v_{1}| \ldots | v_{n})= |\det(v_{1}| \ldots | v_{n})|$. In der Tat, bezeichnet $V$ die in diesem Fall quadratische Matrix mit Spalten $v_i$, so gilt nach dem Multiplikationssatz f"ur Determinanten $\op{det}(V^\top V)=(\op{det}V)^2$. \end{enumerate} Auf diese Weise kann unsere anschauliche Interpretation der Zahl $\op{vol} (v_{1}|\ldots |v_{k})$ heuristisch auf unsere anschauliche Interpretation der Determinante in \ref{AnDe} und \eref{AnDet}{LA1} zur"uckgef"uhrt werden: Die Fl"ache eines Parallelogramms im Raum sollte eben das Volumen des K"orpers sein, der entsteht, man besagtes Parallelogramm \glqq zu einem Toast der Dicke Eins verdickt\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir wollen nun auch unsere Definition des Integrals anschaulich rechtfertigen. Sei dazu $Q \pdef [a,b] \times [c,d]$ ein kompaktes Rechteck und $\varphi:Q\ra \DR^n$ eine stetig differenzierbare Abbildung und $f: \varphi(Q) \ra \Bbb{R}$ stetig. Wir betrachten f"ur $r \geq 1$ die "aquidistanten Unterteilungen $ a = a_{0} < a_{1} < \ldots < a_{r} = b$, $ c = c_{0} < c_{1} < \ldots < c_{r} = d $ der Kanten von $Q$ und bezeichnen mit $q_{i,j}=(a_{i},c_{j})$ die Gitterpunkte im so gegebenen Raster auf $Q$. Bezeichne weiter $p_{i,j} =\varphi(q_{i,j})$ die Bilder dieser Gitterpunkte unter $\varphi$. Damit definieren wir die $r$-te {\bf Riemannsumme}\index{Riemannsumme!f"ur Funktion auf Mannigfaltigkeit} $S^{r}_{\varphi} (f)$ durch die Formel $$S^{r}_{\varphi} (f) = \sum^{r-1}_{i,j =0} f(p_{i,j}) \op{vol} (p_{i+1,j} - p_{i,j}| \;p_{i,j+1} - p_{i,j})$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Seien $Q\subset \DR^{2}$ ein kompaktes Rechteck und $\varphi:Q\ra \DR^{n}$ eine stetig differenzierbare Abbildung.\label{RSIn} So gilt f"ur jede stetige Funktion $f:\varphi(Q)\ra\Bbb{R}$ mit unseren eben definierten Riemannsummen $$\int_{Q} f(\varphi(x))\op{vol}(\tiff_x\varphi)\diff^{2}x = \lim_{r \ra \infty} S^{r}_{\varphi} (f)$$ \end{Lemma} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.7\textheight]{SkriptenBilder/BildFi}\\[4mm] \noindent Die gepunktelten Pfeile stellen die Vektoren $p_{3,0}-p_{2,0}$ und $p_{2,1}-p_{2,0}$ dar, die Fl"ache des durch sie bestimmten Parallelogramms geht in die Riemannsumme $S_M^3$ ein. Die durchgezogenen Pfeile stellen die Vektoren $\varphi_x(q_{2,0})$ und $\varphi_y(q_{2,0})$ dar, die Fl"ache des durch sie bestimmten Parallelogramms geht entsprechend in die Riemannsumme $S_Q^3$ ein. Beim "Ubergang zu immer feineren Rastern kommen wir zum selben Grenzwert, wie im Beweis von \ref{RSIn} ausgef"uhrt wird. \end{figure} \begin{Bemerkunge} Eine vielleicht noch anschaulichere Variante liefert der Mittelwert von Riemannsummen $(S^{r}_{\varphi} (f)+ S^{r}_{\varphi\circ(-1)} (f))/2$ mit $\varphi\circ(-1):(-Q)\ra \DR^{n}$ gegeben durch $x\mapsto \varphi(-x)$. Dieser Mittelwert ist n"amlich genau die Summe $$\sum_{i,j=0}^{r-1}f(p_{i,j})\Delta(p_{i,j},p_{i+1,j},p_{i,j+1})+ \sum_{i,j=1}^{r}f(p_{i,j})\Delta(p_{i,j},p_{i-1,j},p_{i,j-1}) $$ mit der Notation $\Delta(p,t,s)$ f"ur die Fl"ache des Dreiecks mit Ecken $p,t,s\in\DR^{n}$. Aus unserem Lemma folgt unmittelbar, da"s auch dieser Mittelwert von Riemannsummen gegen das Integral strebt. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Um Indizes zu vermeiden bezeichnen wir die Koordinaten auf $\Bbb{R}^2$ mit $x,y$ und schreiben $\varphi_x,\varphi_y$ f"ur die Spaltenvektoren der Jacobi-Matrix von $\varphi$. Die linke Seite ist per definitionem das Integral $\int_{Q} (f\circ \varphi) \;\op{vol} (\varphi_x|\varphi_y)$. Dies Integral k"onnen wir nach \ref{IVQp} schreiben als den Grenzwert f"ur $r\ra \infty$ gewisser Riemannsummen, die wir der "Ubersichtlichkeit halber mit $T^r=T^r_{\varphi}(f)$ abk"urzen wollen mit $T$ wie \glqq tangential\grqq\ und die gegeben werden durch $$ T^r= \sum^{r-1}_{i,j=0} f(\varphi(q_{i,j})) \;\op{vol} \left(\varphi_x({q_{i,j}}) | \varphi_y({q_{i,j}})\right) \; \frac{\op{vol} Q}{ r^{2}}$$ f"ur $\op{vol} Q $ die Fl"ache unseres Rechtecks $Q$ und damit $(\op{vol} Q) /r^{2} $ die Fl"ache der kleinen rechteckigen Felder $Q_{i,j} = [a_{i},a_{i+1}]\times [c_{j},c_{j+1}]$. Nun ist $\varphi_x$ gleichm"a"sig stetig auf dem Kompaktum $Q$. F"ur alle $\varepsilon >0$ gibt es also ein $R>0$ derart, da"s gilt $\left\|\varphi_x(p) - \varphi_x(q)\right\|\leq \varepsilon$, wann immer $p$ und $q$ im selben kleinen rechteckigen Feld f"ur eine Unterteilung mit $r\geq R$ liegen. Jetzt erkl"aren wir die Vektoren $\varepsilon_{i,j}(r)$ durch die Identit"at $$p_{i+1,j}-p_{i,j} =\frac{b-a}{r}\left(\varphi_x({q_{i,j}}) +\varepsilon_{i,j}(r)\right)$$ Mit dem Schrankensatz \eref{MWSn}{AN1} folgt unter der Voraussetzung $r\geq R$ die Absch"atzung $\| \varepsilon_{i,j}(r)\|\leq\varepsilon$. Eine analoge Absch"atzung erhalten wir f"ur $p_{i,j+1}-p_{i,j}$. Jetzt setzen wir diese Darstellungen in $S^r$ ein und "uberlassen es dem Leser, hieraus zu folgern, da"s gilt $$\lim_{r\ra\infty}(S^r-T^r)=0$$ Da aber die Folge $T^r$ nach \ref{IVQp} gegen unser Integral $\int_Q$ im Lemma konvergiert, mu"s dasselbe auch f"ur die Folge $S^{r}$ gelten. \end{proof} \begin{proof}[Beweis f"ur Satz \ref{IUMa}, Integration "uber Mannigfaltigkeiten] Wir zeigen zun"achst die Ein\-deu\-tig\-keit. Der Tr"ager $ \op{supp} f$ unserer Funktion $f$ besitzt als Kompaktum eine endliche "Uberdeckung durch Bilder von Karten $(W_i,\varphi_i)$. Nach \ref{TEL} existiert eine an diese "Uberdeckung von $ \op{supp} f$ angepa"ste Teilung der Eins $\alpha_i$. Dann gilt $f=\sum_i \alpha_if$, und da unsere Bedingung bereits die Integrale der Summanden festlegt, legt die ebenfalls geforderte Linearit"at auch das Integral von $f$ fest und wir haben notwendig $$\int_Mf=\sum_i\int_M\alpha_if=\sum_i \int_{W_i} \left((\alpha_if)\circ \varphi_i\right)(x) \op{vol}(\tiff _{x}\varphi_i)\diff ^{k}x$$ Als n"achstes zeigen wir, da"s die rechte Seite nicht von den getroffenen Wahlen abh"angt. Sei also eine weitere endliche offene "Uberdeckung von $\op{supp} f$ durch die Bilder endlich vieler Karten $(V_j,\psi_j)$ gegeben sowie eine daran angepa"ste Teilung der Eins $\beta_j$. Wir behaupten die Gleichheit $$\sum_i \int_{W_i} ((\alpha_if)\circ \varphi_i)(x) \op{vol}(\tiff _{x}\varphi_i)\diff ^{k}x = \sum_j \int_{V_j} ((\beta_jf)\circ \psi_j)(x) \op{vol}(\tiff _{x}\psi_j) \diff^kx $$ Sie ist aufgrund der Linearit"at all dieser Integrale "aquivalent zur Gleichheit $$\sum_{i,j} \int_{W_i} ((\beta_j\alpha_if)\circ \varphi_i)(x) \op{vol}(\tiff _{x}\varphi_i)\diff ^{k}x =\sum_{i,j} \int_{V_j} ((\beta_j\alpha_if)\circ \psi_j)(x) \op{vol}(\tiff _{x}\psi_j) \diff^kx $$ und folgt, wenn wir die Gleichheit aller Summanden zeigen. Hier haben nun die Funktionen $\beta_j\alpha_if$ Tr"ager im Schnitt $\varphi_i(W_i)\cap \psi_j(V_j)$. Wir k"onnen also die Indizes weglassen und m"ussen nur f"ur jede Funktion $h\in \mathcal C_!(M,\DR)$, deren Tr"ager im Bild zweier Karten $(W,\varphi)$ und $(V,\psi)$ liegt, die Identit"at $$ \int_W h (\varphi(x)) \op{vol}(\tiff_{x}\varphi)\diff^{k}x = \int_V h(\psi(x)) \op{vol}(\tiff_{x}\psi) \diff^kx $$ zeigen. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $\varphi(W)=\psi(V)$ annehmen. Der Kartenwechsel ist nach \ref{KaWe} ein Diffeomorphismus $\kappa\pdef\psi^{-1}\circ \varphi: W\sira V$ mit $\psi\circ \kappa=\varphi: W\ra M$. Es folgt $f(\varphi(x))=f(\psi(\kappa(x)))$ und $\tiff _{x}\varphi = \tiff _{\kappa(x)} \psi \circ \tiff _{x} \kappa$. Wir erhalten mit der Multiplikativit"at der Determinante also $$ \op{vol}(\tiff _{x}\varphi)= |\det \tiff _{x} \kappa| \op{vol}(\tiff _{\kappa(x)}\psi) $$ und folgern die behauptete Gleichheit der Integrale aus der Transformationsformel, angewandt auf die Funktion $h\circ \psi$. Damit haben wir gezeigt, da"s jede "Uberdeckung des Tr"agers unserer Funktion $f$ durch Bilder von Karten und jede zugeh"orige Teilung der Eins in der Formel oben dieselbe Summe liefert, die wir damit als unser $\int_M f$ erkl"aren k"onnen. Da"s die so erkl"arte Abbildung $f\mapsto \int_M f$ dann auch $\DR$-linear ist und die geforderte Eigenschaft f"ur Funktionen mit Tr"ager im Bild einer Karte hat, folgt unmittelbar. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Sind $M\subset \DR^m$ sowie $N\subset \DR^n$ Mannigfaltigkeiten und $f:M\ra\DR$ sowie $g:N\ra \DR$ kompakt getragene stetige Funktionen, so ist auch die Funktion $f\boxtimes g: M\times N\ra\DR$ kompakt getragen und stetig und es gilt $$\int_{M\times N}f\boxtimes g=\left(\int_{M}f\right)\left(\int_{ N} g\right)$$ \end{Ubung} \subsection{Minkowskidimension} \begin{Bemerkungl} Wir verwenden die Minkowskidimension nur als Hilfsmittel zum Nachweis der Unabh"angigkeit des Integrals von den bei seiner Berechnung verwendeten Integrationskarten im Kontext der Integration "uber Mannigfaltigkeiten und die etwas allgemeineren Fastfaltigkeiten. Sie ist aber auch unabh"angig von dieser Anwendung ein interessantes Konzept und insbesondere f"ur das Studium sogenannter Fraktale relevant. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein metrischer Raum $X$ und $\rho>0$ bezeichne $N_\rho(X)$ die Zahl der offenen B"alle vom Radius $\rho$, die man mindestens braucht, um $X$ zu "uberdecken. Das Infimum aller $k\in \DR$ mit $$\op{lim}_{\rho\ra 0}\rho^kN_\rho(X)=0$$ hei"st die {\bf Minkowski-Dimension von $X$}. Wir notieren sie $\op{mdim}(X)$.\label{dMid} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele}[\textbf{Minkowskidimension kompakter Quader und ihrer R"ander}] F"ur die Minkowskidimension eines kompakten Quaders $Q\subset \DR^n$ mit nichtleerem Inneren $Q^\circ\neq \emptyset$ erhalten wir $\op{mdim}(Q)=n$. F"ur seinen Rand erhalten wir\label{mdiR} dahingegen $\op{mdim}(\partial Q)0$ bezeichne $Q_\varepsilon$ die Menge aller Punkte von $Q$, die zum Komplement von $Q$ einen Abstand $\leq\varepsilon$ haben. Wir zeigen die Absch"atzung $$\op{mdim}(S\cap Q_\varepsilon)0$$ Per definitionem haben wir $S=\varphi^{-1}(\psi(\partial P))$. Nach \ref{mdiR} hat $\partial P$ Minkowskidimension $0$ finden wir zusammenfassend $$\begin{array}{lll} \op{mdim}(\partial P)0$ zu zeigen $$\int_{Q_\varepsilon} g = \sup\left.\left\{\int_{Q_\varepsilon} \beta g\;\;\right|\;\; \beta\in \mathcal C_!(Q_\varepsilon^\circ\cap U,[0,1])\right\}$$ Das aber folgt unmittelbar aus dem anschlie"senden Lemma \ref{mdiI}, angewandt auf $K$ einen der Quader, aus denen $Q_\varepsilon$ besteht, mit $R\pdef (S\cap K)\cup \partial K$. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Minkowskidimension und Integral}] Seien $K\subset \DR^k$ ein kompakter Quader und\label{mdiI} $g:K\ra \DR_{\geq 0}$ eine nichtnegative stetige Funktion. Hat $R\subset K$ Minkowskidimension $\op{mdim}(R)0$ eine endliche "Uberdeckung $R\subset W_1\cup\ldots\cup W_r$ durch kompakte W"urfel in $\DR^k$ mit einer festen gemeinsamen Kantenl"ange und Gesamtvolumen $\sum_{i=1}^r\op{vol}(W_i)<\varepsilon$. Wir k"onnen sicher jeden dieser W"urfel vergr"o"sern zu einem offenen W"urfel $U_i\supset W_i$ derart, da"s gilt $\sum_{i=1}^r\op{vol}(U_i)<2\varepsilon$. Dann bilden $U\pdef \bigcup U_i$ und $V\pdef \DR^k\backslash \bigcup W_i$ eine offene "Uberdeckung von $\DR^k$ und f"ur $h\in \mathcal C_!(U;\DR_{\geq 0})$ gilt offensichtlich $\int h\leq 2\varepsilon\op{sup}h$. Andererseits gibt es nach unseren Erkenntnissen zur Teilung der Eins \ref{TEL} Funktionen $\alpha\in \mathcal C_!(U;[0,1])$ und $\beta\in \mathcal C_!(V;[0,1])$ mit $\alpha(x)+\beta(x)=1\;\forall x\in K$. Wir finden so $$\int_K g=\int_K \alpha g + \int_K \beta g$$ mit $\int_K \alpha g\leq 2\varepsilon (\op{sup}g)$ und $(\op{supp}\beta)\cap R=\emptyset$. Das zeigt die Behauptung. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Integration "uber Fastfaltigkeiten in euklidischen R"aumen}] Gegeben ein endlichdimensionaler euklidischer Raum\label{ImE} mit L"angengerade $\mathbb L$ im Sinne von \eref{euAR}{LA2} liefern die analogen Definitionen f"ur jedes $k$-Tupel von Vektoren $v_1,\ldots, v_k$ ein Element $$\op{vol}(v_1,\ldots, v_k) =\sqrt{\op{det}(s(v_i,v_j))}\in \mathbb L^{\otimes k}$$ Weiter liefern die analogen Definitionen f"ur jede $k$-Fastfaltigkeit $M\subset X$ ein Integral $$\int_M:\cal{C}_!(M,\DR)\ra \mathbb L^{\otimes k}$$ Die {\bf Fl"ache}\index{Fl"ache} einer kompakten Fastfaltigkeit $M\subset X$ erkl"aren wir wieder als das Integral der konstanten Funktion Eins und erhalten so ein Element $\int_M1\in \mathbb L^{\otimes k}$. So gesehen messen sich also auch in der Mathematik \glqq L"angen in Metern, Fl"achen in Quadratmetern und Volumen in Kubikmetern\grqq. Betrachten wir noch allgemeiner Funktionen mit Werten in einem Banachraum $V$, so wird unser Integral noch allgemeiner zu einer Abbildung $\int_M:\cal{C}_!(M,V)\ra \mathbb L^{\otimes k}\otimes V$. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Sind $M\subset \DR^m$ sowie $N\subset \DR^n$ Fastfaltigkeiten und $f:M\ra\DR$ sowie $g:N\ra \DR$ kompakt getragene stetige Funktionen, so ist auch $M\times N\subset \DR^{m+n}$ eine Fastfaltigkeit und $f\boxtimes g: M\times N\ra\DR$ eine kompakt getragene stetige Funktion und es gilt $$\int_{M\times N}f\boxtimes g=\left(\int_{M}f\right)\left(\int_{ N} g\right)$$ \end{Ubung} \subsection{Explizite Berechnung einiger Integrale} \begin{Beispiel}[\textbf{Integration "uber eine Kreislinie}] Gegeben $R>0$ ist die Kreislinie $S\pdef \{(x,y)\mid x^2 +y^2=R\}$ eine kompakte Einsmannigfaltigkeit in $\DR^2$. Die Abbildung\label{PoLKn} $[0,2\pi]\ra S$ mit $ \varphi\mapsto (R \cos \varphi, R \sin \varphi)$ ist eine surjektive \hyperref[MFEmx]{Integra\-tionskarte} von $S$. Gegeben $f:S\ra \DR$ stetig zeigt unser Satz \ref{IUMac} zur Integration "uber Fastfaltigkeiten folglich $$\int_S f=\int_0^{2\pi} f(R \cos \varphi, R \sin \varphi)R\diff\varphi$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{"Ubergang zu Polarkoordinaten, Variante}] Gegeben $R>0$ ist die Kreisscheibe $D\pdef \{(x,y)\mid x^2 +y^2\leq R\}$ eine kompakte $2$-Fastfaltigkeit in $\DR^2$ und die Polarkoordinatenabbildung\label{PoLK} $P:[0,R]\times[0,2\pi]\ra D$ gegeben durch $P:(r , \varphi)^\top\mapsto (r \cos \varphi, r \sin \varphi)^\top$ ist eine surjektive Integrationskarte von $D$. Gegeben $f:D\ra \DR$ stetig zeigt unser Satz \ref{IUMac} zur Integration "uber Fastfaltigkeiten folglich $$\int_D f=\int_Q f\circ P \;|\tiff P|=\int_0^{2\pi} \int_0^R f(r \cos \varphi, r \sin \varphi)r\diff r\diff\varphi$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Oberfl"ache der Einheitskugel}] Die Kugelschale $$S^{2}\pdef\{(x,y,z)\in\DR^{3}\mid x^2+y^2+z^2=1\}$$ ist eine kompakte Mannigfaltigkeit und unser Satz \ref{IUMa} ordnet ihr eine Zahl $\int_{S^{2}}1$ zu, die wir als ihre Oberfl"ache interpretieren.\label{OEEKn} Um sie zu berechnen, wenden wir unseren Satz \ref{IUMac} zur Integration "uber Fastfaltigkeiten an auf die surjektive Integrationskarte aus einer Variante der Kugelkoordinaten $$\begin{array}{rccl} K : &[ -\pi/2, \pi/2]\times [ -\pi, \pi] &\ra &\;\;S^2\\& (\theta\;\;,\;\;\varphi)\;\;\;&\mapsto & ( \cos \theta \cos \varphi,\cos \theta \sin \varphi, \sin \theta) \end{array}$$ Die Jacobi-Matrix ergibt sich zu $$\tiff K =\left( \begin{array}{cc} -\sin \theta \cos \varphi& -\cos \theta \sin \varphi\\ -\sin \theta\sin \varphi & \;\;\cos \theta\cos \varphi \\ \cos \theta & 0\end{array} \right) $$ und wir erhalten als Gram'sche Matrix $$(\tiff K)^{\top} (\tiff K) = \left(\begin{array}{cc} 1 &0\\ 0 & \cos^{2} \theta \end{array} \right)$$ Die Wurzel aus der Determinante der Gram'schen Matrix ergibt sich damit zu $\cos \theta$ und wir folgern f"ur jede stetige Funktion $f:S^2\ra\DR$ die Formel $$ \int_{S^2} f = \int^{\pi}_{-\pi} \int^{\pi/2}_{-\pi/2} f( \cos \theta \cos \varphi,\cos \theta \sin \varphi, \sin \theta )\cos \theta\;\diff \theta \diff \varphi$$ Wenden wir unsere Formel auf die konstante Funktion Eins an, so erhalten wir f"ur die Oberfl"ache der Einheitskugel das Ergebnis $$\int_{S^{2}} 1= \int^{\pi}_{-\pi} \int^{\pi/2}_{-\pi/2} \cos \theta\;\diff \theta \diff \varphi= 4\pi$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Schwerpunkt einer Halbkugel}] Wir berechnen die H"ohe des Schwerpunkts der massiven Halbkugel $H \pdef\{(x,y,z)\in \Bbb{R}^3 \mid x^2 + y^2+z^2 \leq 1$ und $ z \geq 0\}$. Per definitionem ist das diejenige Zahl $h \in \Bbb{R}$, f"ur die gilt $\int_H (z -h) =0$, so da"s wir unter Zuhilfenahme von \ref{KuVo} erhalten \begin{displaymath} h \frac{2\pi}{3} =h\int_H 1 = \int_H z \end{displaymath} Durch "Ubergang zu Kugelkoordinaten \ref{TKKo} folgt \begin{eqnarray*} \int_H z &= &\int_0^{\pi/2} \int_0^{2\pi} \int_0^{1} (r\cos \varphi) r^2 \sin (\varphi) \diff r\diff \varphi \diff \varphi\\ &=& 2\pi \left( \int_0^1 r^3 \diff r\right) \left( \int_0^{\pi/2} \cos (\varphi) \sin (\varphi) \diff\varphi\right)\\ &=& 2\pi \cdot \left(\frac{1}{4}\right) \cdot \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \sin (2\varphi) \diff\varphi =\frac{\pi}{4}\cdot \left.\frac{-\cos (2\varphi)}{2} \right|^{\pi/2}_{0} = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*} womit sich die H"ohe des Schwerpunkts ergibt zu $h = 3/8$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Tr"agheitsmoment der Einheitskugel}] Wir integrieren die Funktion $x^2+y^2 $ "uber die Einheitskugel $K \pdef \{(x,y,z) \mid x^2 + y^2 + z^2 \leq 1\}$. Physikalisch Gebildete erkennen, da"s wir hier im wesentlichen das Tr"agheitsmoment der Einheitskugel um die $z$-Achse berechnen, aber das spielt in unserer Rechnung keine Rolle. Durch "Ubergang zu Kugelkoordinaten \ref{TKKo} und mit \eref{sin3}{AN1} erhalten wir \begin{eqnarray*} \int_K x^2+y^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int^1_0 r^4 \sin^3( \varphi) \diff r \diff \varphi\diff\varphi = \frac{8\pi}{15} \end{eqnarray*} \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} Es sollte wohl irgendwann einmal gezeigt werden, da"s mit der in \eref{GaF}{FT1} definierten Interpolation $\Gamma:\DR_{>0}\ra\DR$ der Zuordnung $n\mapsto (n-1)!$ und der Konvention $x!\pdef\Gamma(x+1)$ gilt $$(\text{Volumen der Einheitskugel im }\DR^n)= \frac{\pi^{n/2}}{(n/2)!}$$ Diese Formel kann mithilfe der Funktionalgleichung $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ aus \eref{GaF}{FT1} und der Erkenntnis $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ aus \eref{ga12}{FT1} auch leicht in eine etwas weniger elegante Formel umgeschrieben werden, in der die $\Gamma$-Funktion nicht mehr auftritt. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\index{Kugelvolumen}\label{KuVo} Man zeige, da"s die Einheitskugel in $\DR^3$ das Volumen $4\pi/3$ hat. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man berechne das Integral der Funktion $(xyz)^2$ "uber die Einheits\-sph"are in $\DR^3$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Oberfl"ache eines Rotationsk"orpers}] Sei $I\subset\DR$ ein mehrpunktiges kompaktes Intervall\label{OFR} und $f:I\ra (0,\infty)$ stetig differenzierbar. Man zeige, da"s die {\bf Mantelfl"ache}\index{Mantelfl"ache} $M\pdef \{(x,y,z)\in\DR^3\mid z\in I,\; x^2+y^2= (f(z))^2\}$ eine kompakte $2$-Fast\-fal\-tig\-keit in $\DR^3$ ist mit der Fl"ache $$\int_M1=2\pi \int_I f(z)\sqrt{1+(f'(z))^2}\diff z$$ Die anschauliche Bedeutung unserer Formel f"ur die Oberfl"ache eines Rotationsk"orpers erkennt man, wenn man unsere Rotationsfl"ache durch eine Vereinigung von d"unnen B"andern der Gestalt \glqq oberer R"ander von Eiswaffeln\grqq\ approximiert. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Volumen eines Rotationsk"orpers}] Sei $I\subset\DR$ ein mehrpunktiges kompaktes Intervall\label{VOR} und $f:I\ra (0,\infty)$ stetig differenzierbar. Man zeige, da"s der {\bf Rotationsk"orper}\index{Rotationsk"orper} $M=\{(x,y,z)\in\DR^3\mid z\in I, x^2+y^2\leq (f(z))^2\}$ eine kompakte $3$-Fast\-fal\-tig\-keit in $\DR^3$ ist mit dem Volumen $$\int_M1=\pi \int_I f(z)^2\diff z$$ Die anschauliche Bedeutung unserer Formel f"ur das Volumen eines Rotationsk"orpers erkennt man, wenn man unseren Rotationsk"orper durch eine Vereinigung von d"unnen Scheiben approximiert. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine kompakte $k$-Fastfaltigkeit $M\subset\DR^n$ und $A\in{\op{O}}(n)$ zeige man $$\int_M1=\int_{A(M)}1$$ Insbesondere und in Worten bleibt also beim Drehen und Verschieben von Fl"achen im Raum ihre Oberfl"ache unver"andert. \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXAN2" %%% End: