\section{Stetigkeit in abstrakten R"aumen}

\subsection{Metrische R"aume}
\begin{Definition}\label{SSMetrik}
Unter einer \defind{Metrik} $d$  auf einer
Menge $X$ versteht man eine Abbildung $d:X\times X\ra\DR_{\geq 0}$ derart, da\ss\
f\"{u}r alle $x,y,z \in X$ gilt: \begin{enumerate}
\item $d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$
\item $d(x,y)=d(y,x)$
\item
$d(x,y)\leq d(x,z)+ d(z,y)$ 
\end{enumerate}
Ein \defind{metrischer Raum} ist ein Paar $X=(X,d)$ bestehend aus
einer Menge $X$
und einer Metrik $d$ auf $X$. 
\end{Definition}


\begin{Beispiel}
Der Buchstabe $d$ steht in diesem 
Zusammenhang  f"ur \glqq Distanz\grqq.
Auf  $\Bbb{R}^n$ liefert der "ubliche  {\bf Skalarproduktabstand}
$$d(x,y)\pdef\sqrt{(x_1-y_1)^2+\ldots  (x_n-y_n)^2}$$ eine Metrik.
Die Ungleichung aus der Definition einer Metrik
wird in diesem Beispiel in \eref{ENNo}{LA2} formal bewiesen und
bedeutet  anschaulich, da"s in einem
Dreieck mit Seitenl"angen $a,b,c$ stets gilt $a\leq b+c$.  Sie hei"st
deshalb auch im allgemeinen die 
{\bf Dreiecksungleichung}\index{Dreiecksungleichung!bei metrischen R"aumen}.
\end{Beispiel}

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDrei}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Illustration zur Dreiecksungleichung
\end{minipage}
\end{figure}



\begin{Beispiel}\label{SSBAB}
Auf dem $\Bbb{R}^n$ ist auch der {\bf
Betragsabstand}\index{Betragsabstand}
$$d(x,y)=\sup_{1\leq i\leq n}|x_i-y_i|$$
eine Metrik. Wenn nichts anderes gesagt ist,
fassen wir den $\Bbb{R}^n$ stets auf als
einen metrischen Raum mit dem Betragsabstand als
Metrik. Diese Metrik ist zwar weniger
anschaulich als der
Skalarproduktabstand,  l"a"st sich aber einfacher handhaben.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Jede Teilmenge eines metrischen Raums ist  mit der {\bf induzierten
Metrik}\index{induzierte Metrik}
selbst ein metrischer
Raum.
\end{Beispiel}
\begin{Definition}
Sei $X$ ein metrischer Raum. F\"{u}r $x\in X$ und
$\varepsilon >0$
setzen wir
$$\op{B}(x;\varepsilon)\pdef \{z\in X\mid d(x,z)<\varepsilon \}$$
Diese Menge hei"st der {\bf $\varepsilon$-Ball}\index{Ball} um $x$ 
oder\index{B@$\op{B}(x;\varepsilon)$ Ball in metrischem Raum} auch die 
{\bf $\varepsilon$-Kugel}\index{Kugel} um $x$
oder
auch die 
{\bf $\varepsilon$-Umgebung}\index{Umgebung!$\varepsilon$-Umgebung}
von $x$. 
\end{Definition}

  \begin{Beispiel}
   F"ur den
    Skalarproduktabstand im $\DR^3$ ist der 
Ball um $x$ mit Radius $\varepsilon$
 anschaulich   tats"achlich ein Ball. F"ur den 
 Betragsabstand ist $\op{B}(x;\varepsilon)$ dahingegen der
 $\varepsilon$-Quader mit Mittelpunkt $x$ 
und Seitenl"ange $2\varepsilon$ aus \eref{Qudd}{AN1}.  
\end{Beispiel}
\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBall}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
B"alle in der Ebene f"ur den Betragsabstand und den Skalarproduktabstand
\end{minipage}
\end{figure}









\begin{Definition}[\textbf{Stetigkeit bei metrischen R"aumen}]
Eine Abbildung von metrischen\label{SSAZUm} 
R"aumen  $f:X\ra Y$ hei"st {\bf stetig im Punkt 
$p\in X$}, wenn 
es f"ur jedes $\varepsilon > 0$ 
ein $ \delta =\delta_\varepsilon> 0$ gibt mit
$f(\op{B}(p;\delta))\subset  \op{B}(f(p);\varepsilon)$. 
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
Erste Beispiele f"ur stetige Abbildungen sind
Einbettungen von einem Teilraum oder konstante Abbildungen.
In diesen F"allen tut es
 $\delta=\varepsilon$.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{R"uckw"artskompatibilit"at der metrischen Stetigkeit}]                                         
  Eine Abbildung $f:\DR^m\supset D\ra\DR^n$ ist 
  nach dem $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium \eref{ede}{AN1} stetig im hier
  gegebenen Sinne in Bezug auf den Betragsabstand \ref{SSBAB} genau dann,
  wenn sie stetig \label{SSRkms}  ist im Sinne unserer bisherigen Definition \eref{DeSt}{AN1}.
 \end{Beispiel}

\begin{Lemma}[\textbf{Verkn"upfung stetiger Abbildungen}]
  Sind $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$ Abbildungen metrischer R"aume und ist
  $f$ stetig bei $p\in X$ und $g$ stetig bei $f(p)$, so ist
  $g\circ f$ stetig bei $p$.
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Gegeben $\varepsilon>0$ finden wir $\eta>0$ mit $g({\op{B}}(f(p);\eta))\subset {\op{B}}(g(f(p));\epsilon)$. F"ur dieses
  $\eta$ finden wir $\delta>0$ mit $f({\op{B}}(p;\delta))\subset {\op{B}}(f(p);\eta)$ und f"ur dieses $\delta$ gilt dann auch 
$g(f({\op{B}}(p;\delta)))\subset{\op{B}}(g(f(p));\epsilon)$.
\end{proof}









\begin{Definition}\label{SSPrMe}
Gegeben metrische R"aume $(X_i,d_i)$ f"ur $1\leq i\leq n$ machen wir ihr
Produkt $X=X_{1}\times  \ldots \times  X_{n}$ zu einem metrischen Raum
durch die {\bf Produktmetrik}\index{Produktmetrik}
$$d(x,y)\pdef \sup_{1\leq i\leq n} d_i(x_i, y_i)$$
f"ur $x=(x_1,\ldots, x_n)$ und $y=(y_1,\ldots, y_n)$.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
Der Betragsabstand auf $\Bbb{R}^{n+m}$ ist
die Produktmetrik zu den Betragsabst"anden auf $\Bbb{R}^{n}$ und
$\Bbb{R}^{m}$.   
\end{Beispiel}




\begin{Proposition}[\textbf{Komponentenregel}]
Seien $Z$ und $X_1,\ldots,X_n$ metrische R"aume 
und 
$f_i:Z\ra X_i$ Abbildungen.\label{SSSKo} 
Genau dann ist die Abbildung
$f=(f_1,\ldots, f_n):Z\ra X_1\times\ldots\times X_n$ 
stetig bei $p\in Z$, wenn alle $f_i$ dort stetig sind. 
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
Wenden wir diese Proposition auf $\op{id}:X_1\times\ldots\times X_n\ra X_1\times\ldots\times X_n$ an, so ergibt sich, da"s alle 
Projek\-tions\-abbildungen $\op{pr}_i:X_1\times\ldots\times X_n\ra X_i$
stetig sein m"ussen.\label{SSBKom}   
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Da die Projektionen $\op{pr}_i$ Abst"ande zwischen Punkten
nie vergr"o"sern, k"on\-nen wir ihre Stetigkeit direkt zeigen,
indem \glqq wir jeweils $\delta=\varepsilon$ nehmen\grqq.
Ist $f$ stetig, so sind folglich 
auch die $f_i=\op{pr}_i\circ f$ stetig als Verkn"upfungen stetiger
Abbildungen. Sind umgekehrt alle $f_i$ stetig in $p$,  so gibt es f"ur jedes
$\varepsilon >0$ gewisse $\delta_i$ mit
$d(p,z)<\delta_i\RA d_i(f_i(p),f_i(z))<\varepsilon$.
Nehmen wir $\delta=\inf\delta_i$,  so gilt 
$$d(p,z)<\delta\RA d(f(p),f(z))<\varepsilon$$
und das ist gleichbedeutend zu 
$f(\op{B}(p;\delta))\subset \op{B}(f(p);\varepsilon)$. 
\end{proof}

\begin{Beispiel}
Eine 
Abbildung $f=(f_1,\ldots,f_n):X\ra\DR^n$ von einem metrischen Raum $X$
in den $\DR^n$ ist  genau dann stetig,
wenn alle ihre Komponenten $f_i: X\ra\DR$ stetig sind.
\end{Beispiel}


\begin{Korollar}[\textbf{Summen und Produkte stetiger Abbildungen sind stetig}] 
Ist $X$ ein metrischer Raum und sind $f,g$ stetige 
Abbildungen $X\ra\Bbb{R}$,   so
sind auch $f+g$ und $fg$ stetige Abbildungen $X\ra \Bbb{R}$.\label{SPS}  
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir schreiben $f+g$ beziehungsweise $fg$ als die Verkn"upfung der nach
  der Komponentenregel \ref{SSSKo}
stetigen Abbildung $X\ra\Bbb{R}^2$,  $x\mapsto (f(x),g(x))$ mit der nach
\eref{stadd}{AN1}
 beziehungsweise \eref{stmult}{AN1} stetigen Addition  beziehungsweise 
Multiplikation $\op{add},\op{mult}:\Bbb{R}^2\ra\Bbb{R}$. 
\end{proof}
\begin{Definition}\label{BeAb}
Ein metrischer Raum  hei"st 
{\bf beschr"ankt}\index{beschr"ankt!metrischer Raum},
wenn es f"ur die m"oglichen Abst"ande zwischen
Punkten unseres Raums eine reelle obere Schranke gibt.
Eine Abbildung in einen  metrischen Raum  hei"st 
{\bf beschr"ankt}\index{beschr"ankt!Abbildung},
wenn ihr Bild beschr"ankt ist.
\end{Definition}

\subsubsection*{"Ubungen}







\begin{Ubung}
Ist $(X,d)$ ein metrischer Raum, so ist die Metrik
stetig als Abbildung $d:X\times X\ra\DR$. Ist  $A\subset X$ eine nichtleere Teilmenge eines metrischen Raums,\label{SSdAa}
so ist auch die Abbildung $d_A:X\ra\Bbb{R}$ gegeben durch
$d_A(x)\pdef\inf\{d(x,a)\mid a\in A\}$ stetig. Alternativ verwenden
wir f"ur diese Abbildung auch die Notation  $d(x,A)=d_A(x)$.\label{SSdA}  
\end{Ubung}
\begin{Ubung} Wir versehen 
den K"orper der komplexen Zahlen 
$\DC$ mit der Metrik
$d(z,w)=|z-w|$.  
Man zeige, da"s das in der Tat eine Metrik ist. Man zeige weiter, da"s
die Addition und die Multiplikation stetige Abbildungen
$\DC\times\DC\ra\DC$ sind und das Bilden des Inversen
eine stetige Abbildung $\DC^\times \ra \DC^\times$. 
\end{Ubung}
 \begin{Ubunge}
Man zeige, da"s    das Invertieren von Matrizen eine stetige Abbildung
 $\op{GL}(n;\DC)\ra \op{GL}(n;\DC)$ ist. Hinweis: 
Cramer'sche Regel \eref{CraRe}{LA1}.
 \end{Ubunge}

 \begin{Ubung}\label{SSESDl}
Sei $f:X\ra Y$  eine Abbildung von metrischen R"aumen,
die Abst"ande nicht verkleinert, in Formeln
$d(f(x),f(z))\geq d(x,z)\;\forall x,z\in X$. Man zeige,
da"s $f$ injektiv ist und $f^{-1}:f(X)\ra X$ stetig.
 \end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{SSlSte}
Jede lineare Abbildung $f:\DR^k\ra\DR^n$ ist  stetig. 
Jede multilineare Abbildung $f:\DR^{k(1)}\times\ldots\times 
\DR^{k(r)}\ra\DR^n$ ist  stetig.
 \end{Ubung}

\subsection{Normierte Vektorr"aume}


\begin{Definition}\label{SSDN}
Sei $V$ ein reeller  Vektorraum. Eine {\bf
Norm\index{Norm!auf reellem Vektorraum}
auf $V$} ist eine Abbildung
$
\|\;\;\| :V \ra \Bbb{R}_{\geq 0},  
v  \mapsto  \| v \|
$
derart, da"s gilt:
\begin{enumerate}
\item $\| \lambda v\| = |\lambda | \cdot \| v \|
\quad \forall v \in V, \lambda \in \Bbb{R} $
\item $ \| v \| =0 \Leftrightarrow v=0$
\item $ \| v + w\| \leq \| v \| + \|
w \| \quad \forall v,w \in V$ 
\end{enumerate}
Unter einem {\bf normierten Vektorraum}\index{normiert!Vektorraum} versteht
man ein Paar $(V,\|\;\|)$ bestehend aus einem Vektorraum $V$
und einer Norm $\|\;\|$ auf $V$.
\end{Definition}










\begin{Beispiel}
Mit $v\mapsto \|v\|$ ist f"ur jedes
$\al >0$ auch $v\mapsto \al \|v\| $ eine Norm.  Auf dem Nullraum gibt es nur eine Norm, die eben den Nullvektor
auf Null wirft.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}\label{SSEuNN}
Auf dem $\Bbb{R}^n$   definiert man die {\bf Skalarproduktnorm}
eines Vektors $v=(v_1,\ldots ,v_n)$ durch
$\| v \| =\| v \|_2= \sqrt{\langle v,v\rangle} = \sqrt{v^{2}_{1}+\ldots
+ v^{2}_{n}}$.  Wie man formal zeigt, da"s das tats"achlich eine Norm ist,
wird in \eref{ENNo}{LA2} diskutiert.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}\label{SSSupN}
Auf dem
$\Bbb{R}^{n}$  f"ur $n>0$
 definiert man die {\bf Maximumsnorm}\index{Maximumsnorm}
von $v=(v_1,\ldots ,v_n)$ durch
$| v| = \| v\|_{\infty} = \max (|v_{1}|,\ldots ,
|v_{n}|)$. 
\end{Beispiel}
 \begin{Beispiel} Auf dem Raum $V=\op{Ens}^{\op{b}}(D,\DR)$ aller beschr"ankten 
reellwertigen Funktionen 
auf einer Menge $D$   erkl"aren wir die {\bf
Supremumsnorm}\index{Supremumsnorm},
gegeben f"ur $D\neq \emptyset$ durch\label{SupN} 
 $$\| f\|_{\infty}
\pdef\sup \{|f(x)| \mid x\in D\}$$ und
im Fall $D=\emptyset$ als die einzig m"ogliche Norm auf dem
Nullraum.
Im Fall einer endlichen Menge $D$ mit $n$ Punkten 
erhalten wir unsere Maximumsnorm auf dem $\Bbb{R}^n$  als
Spezialfall der Supremumsnorm.
 \end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
Jeder normierte Vektorraum
wird ein metrischer Raum vermittels der {\bf durch 
die Norm induzierten Metrik}\index{Metrik!zu Norm} $$d(v,w)\pdef \|v-w\|$$
Zum Beispiel geh"ort unser Betragsabstand auf dem $\Bbb{R}^n$ zur Maximumsnorm.
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Stetigkeit linearer Abbildungen}]
Eine lineare Abbildung 
zwischen  normierten Vek\-tor\-r"aumen\label{SSSLA}  
$f: V\ra W$ ist stetig genau dann, wenn es eine Konstante $C\geq 0$ gibt mit
$$\|f(v)\|\leq C \|v\| \quad \forall v \in V$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungw}
Wir werden in \ref{SSStg} sehen,
da"s lineare Abbildungen
zwischen  endlichdimensionalen
normierten reellen Vektorr"aumen stets 
stetig sind.
Daraus wird folgen, da"s lineare Abbildungen
von einem   endlichdimensionalen
normierten reellen Vektorraum in einen beliebigen
weiteren normierten reellen Vektorraum stets 
stetig sind, da sie ja endlichdimensionales Bild haben.
\end{Bemerkungw}
 \begin{proof}[Beweis]
Ist $f$ stetig, so gibt es $\delta >0$ mit
$\|v-0\| \leq\delta\Rightarrow\|f(v)-f(0)\|\leq 1$. 
Setzen wir $C=1/\delta$,  so folgt
$\|f(v)\|\leq C \|v\| $ zun"achst f"ur alle Vektoren $v$ der Norm 
$\|v\|=\delta$
und dann durch Multiplikation mit Skalaren f"ur alle $v\in V$. 
Gibt es umgekehrt ein $C>0$ mit $\|f(v)\|\leq C \|v\| \quad \forall v \in V$, 
so finden wir f"ur alle $\varepsilon
>0$ ein $\delta\pdef \varepsilon/C > 0$ so da"s gilt
\begin{equation*}
\|v-w\| \leq\delta\;\;\Rightarrow\;\;\|f(v)-f(w)\| = \|f(v-w)\| \leq C \delta
= \varepsilon\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}


\begin{Definition}
Zwei Normen $\|\;\|_1,  \|\;\|_2$ auf einem reellen Vektorraum $V$ hei"sen
{\bf "aquivalent}\index{"aquivalent!Normen}, wenn es  positive
Konstanten
$c,C > 0$ gibt mit
$$\|v\|_1 \leq C \|v\|_2 \;\text{ und } \; \|v\|_2 \leq c\|v\|_1 \quad \forall v \in V.$$
\end{Definition}

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAQN}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Illustration zur "Aquivalenz von Normen am Beispiel der 
Betragsnorm und der Skalarproduktnorm auf dem $\DR^2$. 
\end{minipage}
\end{figure}



\begin{Satz}[\textbf{"Aquivalenz von Normen}]
Auf einem  endlichdimensionalen
reellen Vektorraum sind je zwei Normen "aquivalent.\label{SSAQN}
\end{Satz}

\nichtfinal{Sollte das doch in die Analysis 1? Alle Verweise gehen dorthin!} 

\begin{proof}[Beweis]
Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen,
da"s $V$ der $\Bbb{R}^n$ ist mit $n\geq 1$ und da"s eine unserer Normen
die Maximumsnorm $\|v\|_\infty$ ist. Sei  $\|\;\|$ eine zweite Norm.
Bezeichnet ${\op{e}}_{1}, \ldots, {\op{e}}_{n}$ die Standardbasis des $\Bbb{R}^{n}$
und ist 
$v = v_{1}{\op{e}}_{1} + \ldots + v_{n}{\op{e}}_{n}$,  so
haben wir
$$\begin{array}{lll}
\|v\| &=& \|v_{1}{\op{e}}_{1}+ \ldots
+v_{n}{\op{e}}_{n}\| \\&\leq& |v_{1}| \cdot \|{\op{e}}_{1}\| + \ldots +|v_{n}|\cdot
\|{\op{e}}_{n}\| \\&\leq& \|v\|_\infty\cdot C\end{array}$$ mit $C = \|{\op{e}}_{1}\| + \ldots + \|{\op{e}}_{n}\|$ und damit die eine Ungleichung. 
Wir folgern, da"s $\| \;\| : \Bbb{R}^{n}\ra \Bbb{R}$
stetig ist im in \eref{DeSt}{AN1} erkl"arten Sinne nach dem $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium \eref{ede}{AN1}, denn f"ur alle
$\varepsilon >0$ folgt aus $\|x-y\|_\infty<{\varepsilon}/{C}$ bereits 
$|\|x\| - \|y\| | \leq \|x-y\| < \varepsilon$. 
Nun ist aber die Oberfl"ache
$$F \pdef \{v\in \Bbb{R}^{n} \mid \|v\|_\infty =1\}$$
 des Hyperkubus kompakt
 im Sinne von \eref{Komp}{AN1}, etwa als endliche Vereinigung \eref{evK}{AN1} kompakter
 Quader \eref{KoQ}{AN1}.  Wegen $n\geq 1$ gilt auch $F\neq \emptyset$.  Nach \eref{Mm}{AN1} 
nimmt folglich die Funktion $\|\;\|$ auf $F$ ein Minimum $a$ an.
Da die Oberfl"ache $F$ unseres Hyperkubus
nicht den Nullvektor enth"alt, ist dies Minimum notwendig
positiv, in Formeln $a>0$. 
Wir folgern zun"achst  $\|v\|_\infty=1 \leq a^{-1}\|v\|$ f"ur alle
$v \in F$. 
Dann gilt aber nat"urlich auch
$|\lambda v|_\infty \leq a^{-1}\|\lambda v\|$ f"ur alle $ \lambda \in \Bbb{R}$ und
$v \in F$,  also $ |w|_\infty \leq a^{-1}\|w\| \; \forall w \in \Bbb{R}^{n}$
und erhalten  die andere Ungleichung mit  $c\pdef a^{-1}$. 
\end{proof}
\begin{Korollar}\label{SSStg} 
Jede lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen normierten
reellen Vektorr"aumen ist stetig.
\end{Korollar}
\begin{proof}
Jeder Isomorphismus zwischen endlichdimensionalen normierten
reellen Vektorr"aumen ist stetig nach dem Satz "uber die "Aquivalenz von 
Normen \ref{SSAQN} und dem Kriterium f"ur die Stetigkeit linearer
Abbildungen \ref{SSSLA}. So k"onnen wir uns beim Beweis des Korollars auf
den Fall linearer Abbildungen $\DR^{n}\ra \DR^{m}$ zur"uckziehen, in dem die
Stetigkeit m"uhelos aus Analysis 1 folgt.
\end{proof}

\begin{Definition}\label{SSOPN}
Ist $f: V\ra W$ eine stetige lineare Abbildung normierter Vektorr"aume, so
hei"st die kleinstm"ogliche Konstante $C\geq 0$ wie in \ref{SSSLA} auch die
{\bf Operatornorm}\index{Operatornorm} $\|f\|$ von $f$,  in Formeln
$$\|f\|\pdef \sup \{\|f(v)\|\mid \|v\| \leq 1\}$$
\end{Definition}





\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
  Gegeben ein normierter Vektorraum $V$ sind die Addition
  $V\times V\ra V$ und die Multiplikation mit Skalaren\label{nadt} 
  $\DR\times V\ra V$ stetig. Au"serdem ist auch die Norm $\|\;\|:V\ra\DR$ stetig.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{SSOPn}
Man zeige: Der Raum $\cal{B} (V,W)$ aller stetigen linearen Abbildungen 
zwischen normierten Vektorr"aumen $V,W$  
ist ein Untervektorraum im Raum $\op{Hom} (V,W)$ aller linearen
Abbildungen von $V$ nach $W$  und
die in \ref{SSOPN} eingef"uhrte Abbildung $f \mapsto \|f\|$ ist eine Norm
auf $\cal{B} (V,W)$.  Gegeben ein weiterer normierter Vektorraum $U$ und
stetige lineare Abbildungen $g:U\ra V$ und $f:V\ra W$ gilt
$\|f\circ g\|\leq \|f\|\| g\|$. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
 Man zeige:  F"ur je zwei Vektoren $v,w$ eines normierten Vektorraums gilt  
$\|v+w\|\geq|\|v\|-\|w\||$. 
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
 Man zeige: Gegeben ein normierter Vektorraum $V$ ist jeder
 Ball in $V$ konvex, als da hei"st, mit je zwei Punkten geh"ort auch das
 ganze sie verbindende Geradensegment zu unserem Ball.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{SML}
Seien $U$,  $V$,  $W$ normierte Vektorr"aume.
Eine bilineare Abbildung $F:U\times V\ra W$  ist stetig genau dann,
wenn es eine Konstante $C>0$ gibt mit $\|F(u,v)\|\leq C\|u\| \|v\|$. 
Man formuliere und beweise die analoge Aussage auch
f"ur multilineare Abbildungen.
\end{Ubung}

\subsection{Topologische R"aume}\label{SSToRa}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation}]
  Die Begrifflichkeit der topologischen R"aume bildet einen
  geschickten Rahmen f"ur die Untersuchung von Stetigkeit und Grenzwerten
  sowohl f"ur Abbildungen $f:\bar\DR^m\supset D\ra \bar\DR^n$ als auch
  f"ur unsere Abbildungen zwischen metrischen R"aumen. Diese Begrifflichkeit
  erweist sich auch
  in vielen weiteren Kontexten als geschickter Rahmen
  und durchdringt die gesamte Mathematik.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Gegeben eine Menge $X$ bilden wir 
die Menge $\cal{P}(X)$ aller Teilmengen von
$X$, die {\bf Potenzmenge von $X$}. 
Weil es mich  verwirrt, "uber
Mengen von Mengen zu reden,  nenne ich wie in \eref{VSMS}{LA1}  Teilmengen
von $\cal{P}(X)$ lieber \defnoind{Systeme von Teilmengen von $X$}
\index{System von Teilmengen} und
spreche im folgenden von \defnoind{Teilsystemen}, \index{Teilsystem}
wenn ich Teilmengen solcher
Mengensysteme meine.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Gegeben eine Familie $(X_i)_{i\in I}$ von Teilmengen einer 
Menge $X$ im Sinne von \eref{FamilieA}{AN1} erkl"art  man ihren 
{\bf Schnitt}\index{Schnitt!von Mengenfamilie}\index{)9cap@$\cap$ Schnitt!$\bigcap$ von Mengenfamilie}  
und ihre {\bf Vereinigung}\index{Vereinigung!von Mengenfamilie}  
\index{)ucup@$\cup$ Vereinigung!$\bigcup$ von Mengenfamilie} 
durch die  Vorschriften\label{SSSVMF} 
$$\begin{array}{lllll}
\bigcap_{i\in I}X_i&=&\bigcap^X_{i\in I}X_i&\pdef&\{ x\in X\mid \text{F"ur alle } 
i\in I\text{ gilt } x\in X_i\}\\[2mm]
\bigcup_{i\in I}X_i&=&\bigcup^X_{i\in I}X_i&\pdef&\{ x\in X\mid \text{Es existiert ein } 
i\in I\text{ mit } x\in X_i\}
\end{array}$$
Der obere Index $X$ wird meist weggelassen. Er ist nur relevant, wenn wir
den Schnitt "uber die leere Familie von Teilmengen von $X$ betrachten, der $X$ selber ist. 
\end{Definition}








\begin{Definition}\label{SSDTRS}
  Eine {\bf Topologie\index{Topologie|main} 
 ${\cal T}$ auf einer Menge $X$} ist ein System von
  Teilmengen ${\cal T} \subset {\cal P} (X)$,  das stabil ist unter 
dem Bilden von endlichen
  Schnitten und beliebigen Vereinigungen.  
Ein {\bf topologischer Raum}\index{topologischer Raum|main} ist
  ein Paar $(X,{\cal T})$ bestehend aus einer Menge mit einer Topologie.
  Statt $V \in {\cal T}$ schreiben wir meist 
$$V\co X$$
und\index{)c@$\co$ offen in!topologischem Raum|main}  
nennen $V$ eine
  {\bf offene Teilmenge von}\index{offen!in topologischem Raum|main} $X$.  
Die Notation $\co$ ist in der Literatur un"ublich.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  In Formeln ausgedr"uckt fordern wir von einer Topologie $\mathcal T$ also:
\begin{enumerate}
\item 
$V_1,\ldots,V_n\in \cal{T}\RA V_1\cap\ldots\cap V_n\in \cal{T}$
f"ur $n\geq 0$ und insbesondere auch  $X\in \cal{T}$ als der Spezialfall 
$n=0$.  Gleichbedeutend dazu sind  die
beiden Forderungen $X\in \cal{T}$ sowie $V,W\in \cal{T}\RA V\cap W\in \cal{T};$
\item 
$\cal{V}\subset{\cal T}\RA\bigcup_{V\in\cal{V}}V\in {\cal T}$ und 
damit insbesondere auch $\emptyset\in{\cal T}$,  da  ja
das leere Mengensystem $\cal{V}=\emptyset$ in jedem 
Mengensystem enthalten ist. 
\end{enumerate}
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
 Auf $\bar\DR^n$ erkl"aren wir die {\bf nat"urliche Topologie}\index{Topologie!nat"urliche!auf $\bar\DR^n$} durch die Vorschrift,
  da"s genau die Mengen offen sein sollen, die f"ur jeden ihrer Punkte\label{NaTr} 
  einen Quader um diesen Punkt im Sinne von \eref{eU}{AN1} umfassen. In diesen Topologien  ist $(a,\infty]$ offen in $\bar\DR$ und  $(a,\infty]\times (b,\infty]$ offen in $\bar\DR^2$ f"ur alle
        $a,b\in\bar\DR$. 
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}
Auf einem metrischen Raum $X$
 wird  die {\bf metrische Topologie}\index{Topologie!metrische} erkl"art durch die Vorschrift,
  da"s genau die Mengen offen sein sollen, die mit jedem ihrer Punkte
  auch einen ganzen Ball um diesen Punkt umfassen. In Formeln haben wir also
  $U\co X$ genau dann, wenn gilt $\big(\forall x\in U \;\exists \varepsilon >0$ mit
  ${\op{B}}(x;\varepsilon)\subset U\big)$. 
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{B"alle sind offen}]
  In der metrischen Topologie
  ist jeder Ball eine offene Teilmenge $${\op{B}}(p;r)\co X$$
  In der Tat gibt es f"ur jedes $x\in {\op{B}}(p;r)$
  ein $\varepsilon >0$ mit $d(p,x)+\varepsilon\leq r$ und dann
  folgt ${\op{B}}(x;\varepsilon)\subset{\op{B}}(p;r)$ aus der Dreiecksungleichung.\label{Baeo} 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
 Auf jedem endlichdimensionalen reellen
  Vektorraum $V$  erkl"aren wir\label{RAVe}  
  die {\bf nat"urliche Topologie}\index{Topologie!nat"urliche}
  als die metrische Topologie  der zu einer  Norm gebildeten Metrik.
   Aus dem Satz "uber die "Aquivalenz von Normen \ref{SSAQN} folgt,
   da"s diese Topologie von der gew"ahlten Norm gar nicht abh"angt.
\end{Beispiel}

\begin{Definition}\label{SSUTRr}
  Seien $X$ ein topologischer Raum
und $p\in  X$ ein Punkt. Eine Teilmenge $U\subset X$ hei\ss t eine
{\bf Umgebung\index{Umgebung!in topologischem Raum}
von $p$  in $X$}, wenn es eine offene Menge $V \co
 X$ gibt mit
 $p \in V \subset U$.
\end{Definition}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{R"uckw"artskompatibilit"at des Umgebungsbegriffs}]
  Die Umgebungen von Punkten  $p\in \bar\DR^n$ in Bezug auf die\label{SSrkuI}
   nat"urliche Topologie sind dieselben wie unsere Umgebungen aus \eref{eU}{AN1}.
  In der Tat umfa"st jede \glqq topologische\grqq\ Umgebung von
  $p$ eine offene Menge um $p$ und damit eine Quaderumgebung von $p$.
  Also ist jede \glqq topologische\grqq\ Umgebung von $p$ auch eine \glqq Analysis-1-Umgebung\grqq\ von $p$. Umgekehrt umfa"st jede  \glqq Analysis-1-Umgebung\grqq\ von $p$ per definitionem
  eine Quaderumgebung von $p$ und diese kann offensichtlich verkleinert werden
  zu einer offenen Quaderumgebung von $p$. Also ist jede \glqq Analysis-1-Umgebung\grqq\  von $p$ auch eine \glqq topologische\grqq\
  Umgebung von $p$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{SSMstT}
Eine Abbildung $f:X\ra Y$ zwischen topologischen
R"aumen hei\ss t {\bf stetig im Punkt} 
$p\in X$,
wenn
es f"ur jede Umgebung $U$ von $f(p)$  
eine Umgebung $U'$ von $p$ gibt mit
$f(U')\subset U$.   Eine Abbildung zwischen topologischen
R"aumen hei\ss t {\bf stetig},\index{stetig!f"ur topologische R"aume|main} 
 wenn sie stetig ist in
jedem Punkt.
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{R"uckw"artskompatibilit"at zur Stetigkeit im Fall von $\bar{\DR}^n$}]
Eine Abbildung 
$ \bar{\DR}^m\ra \bar{\DR}^n$ ist
topologisch stetig f"ur die nat"urlichen Topologien im Sinne der obigen Definition \ref{SSMstT}
genau dann, wenn sie  stetig ist im Sinne unserer  
Definition  \eref{DeSt}{AN1}. Das folgt unmittelbar aus der R"uckw"artskompatibilit"at
des Umgebungsbegriffs \ref{SSrkuI}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}[\textbf{R"uckw"artskompatibilit"at zur metrischen Stetigkeit}]
Eine Abbildung von metrischen R"aumen 
$f:X\ra Y$ ist
metrisch stetig bei $p\in X$ genau dann, wenn sie bei $p$ 
topologisch stetig ist
f"ur die metrische Topologie. 
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Weil in der metrischen Topologie alle B"alle offen sind nach \ref{Baeo},
  ist eine Umgebung eines Punktes $p$ in der metrischen Topologie
  dasselbe wie eine Teilmenge, die f"ur  ein $\varepsilon>0$ 
  den Ball ${\op{B}}(p;\varepsilon)$  umfa"st. Das Lemma folgt. 
\end{proof}

 \begin{Satz}[\textbf{Verkn"upfung stetiger Abbildungen}]
Jede Verkn"upfung von  stetigen Abbildungen ist
stetig. Sind genauer  $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$ Abbildungen 
zwischen topologischen R"aumen und ist $p\in X$ ein Punkt und 
$f$ stetig bei $p$ und $g$ stetig bei $f(p)$,  so ist\label{SSVSA} 
$(g\circ f)$ stetig bei $p$.  
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Ist  $g$ stetig bei $f(p)$,  so finden wir f"ur 
jede Umgebung $U$ von $g(f(p))$ eine Umgebung $U'$ von $f(p)$ mit
$g(U')\subset U$.  
Ist zus"atzlich 
$f$ stetig ist bei $p$,  finden wir f"ur diese Umgebung $U'$ von $f(p)$ 
weiter eine Umgebung 
$U'' $ von $p$ mit $f(U'')\subset U'$.  Damit haben
wir aber auch eine Umgebung $U'' $ von $p$ gefunden mit 
$(g\circ f)(U'')\subset U$. 
\end{proof}

\begin{Definition}\label{SSIDT}
  Gegeben eine Teilmenge  $D\subset X$ eines topologischen Raums $X$
  erkl\"{a}rt man die {\bf auf $D$ induzierte
    Topologie}\index{induzierte Topologie|main}\index{Topologie!induzierte|main} oder
    {\bf Spurtopologie}\index{Spurtopologie|main} 
durch die Vorschrift\label{SSOfOn}
$$W
\co D \;\;\Leftrightarrow\;\; \exists V \co X\text{ mit }W = V \cap D.$$ 
In Worten ist
also eine Teilmenge von $D$ offen f"ur die induzierte 
Topologie genau dann,
wenn sie der Schnitt von $D$ mit einer offenen Teilmenge von $X$ ist. 
\label{SSInnn}
Ab jetzt fassen wir stillschweigend jede Teilmenge $D$ eines topologischen
Raums $X$ als topologischen Raum mit der induzierten
Topologie auf.\label{SSDiTM}
\end{Definition}

\begin{Beispiel} Die nat"urliche Topologie auf $\bar\DR^n$ aus \ref{NaTr}
  induziert die nat"urliche Topologie auf $\DR^n$ aus \ref{RAVe}.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}\label{SSInTT}
Es ist klar, da"s das in \ref{SSInnn} beschriebene 
Mengensystem auf einer Teilmenge eines topologischen Raums 
in der Tat eine Topologie auf besagter
Teilmenge liefert und da"s die Einbettungsabbildung stetig ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Wenn wir eine Menge  einfach nur \glqq offen\grqq\  
 nennen,
so in der Hoffnung, dem
Leser sei klar, in Bezug auf welchen gr"o"seren
Raum $X$  dies \glqq offen\grqq\   gemeint ist. 
Ist $X$ ein topologischer Raum und sind $M\subset D\subset X$ Teilmengen,
so meint  $M\co D$,  da"s $M$ 
offen ist als Teilmenge des Raums $D$ mit seiner induzierten Topologie.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{R"uckw"artskompatibilit"at zur Stetigkeit im Fall von $\bar\DR^m\supset D$}]
  Eine Abbildung $f:\bar\DR^m\supset D\ra \bar\DR^n$ ist stetig
  im Sinne unserer Definition \eref{DeSt}{AN1} genau dann, wenn die Abbildung
  $f:D\ra \bar\DR^n$ stetig ist f"ur die auf $D$ induzierte Topologie.
  Das folgt direkt aus den Definitionen. 
\end{Beispiel}


\begin{Lemma}[\textbf{Universelle Eigenschaft der induzierten Topologie}]
  Seien $f:X\ra Y$ eine Abbildung zwischen topologischen R"aumen,
 $Z\subset Y$ eine Teilmenge mit $f(X)\subset Z$ und $p\in X$ ein Punkt. 
Genau dann ist $f:X\ra Y$ stetig bei $p$, wenn die induzierte 
Abbildung $f:X\ra Z$ stetig ist bei $p$ f"ur die auf $Z$ induzierte
Topologie. 
\end{Lemma}
\begin{proof} Es ist klar, da"s die Umgebungen $U_Z\subset Z$ eines Punktes $q\in Z$ in Bezug auf die induzierte Topologie genau die
  Schnitte $U_Y\cap Z$ mit $Z$ von Umgebungen $U_Y\subset Y$ von $q\in Y$ sind. Genau dann gibt es also f"ur jede Umgebung $U_Y$ von $f(p)\in Y$ eine Umgebung $U'\subset X$ von $p$ mit $f(U')\subset U_Y$, wenn es  f"ur jede Umgebung $U_Z$ von $f(p)\in Z$ eine Umgebung $U'\subset X$ von $p$ gibt mit $f(U')\subset U_Z$. 
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}
  Wir leiten unsere Aussage \eref{VSte}{AN1} "uber die Stetigkeit der Ver\-kn"up\-fung
  auch noch aus den obigen Aussagen ab.
  Gegeben $f:\bar\DR^m\supset D\ra\bar\DR^n$ stetig bei $p\in D$ und
  $g:\bar\DR^n\supset E\ra\bar\DR^l$ mit $f(D)\subset E$ stetig bei $f(p)$
  ist ja nach der universellen Eigenschaft der induzierten Topologie auch
  $f:D\ra E$ stetig bei $p$. Da nach Annahme $g:E\ra \bar\DR^l$
  stetig ist bei $f(p)$, folgt die Stetigkeit der Verkn"upfung nach
  \eref{VSte}{AN1} aus der Stetigkeit der Verkn"upfung nach \ref{SSVSA}.
\end{Bemerkungl}





\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}\label{EZOT}
In einem normierten reellen Vektorraum ist jede nichtleere offene Teilmenge
bereits ein Erzeugendensystem im Sinne der linearen Algebra.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft}]
  Eine Abbildung $f:X\ra Y$ von topologischen R"aumen ist stetig
  bei $p\in X$ genau dann, wenn es eine Umgebung $V\subset X$ von $p$
  gibt mit $f|_V:V\ra Y$ stetig bei $p$.\label{stLE} 
\end{Ubung}
 \begin{Ubung} Gegeben ein topologischer Raum $X$ und $B\subset D\co X$
  zeige man $B\co D  \;\IFF\; B\co X$.
 \end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Summen und Produkte stetiger Abbildungen sind stetig}] 
Ist $X$ ein topologischer Raum und sind $f,g$ stetige 
Abbildungen $X\ra\Bbb{R}$,   so
sind auch $f+g$ und $fg$ stetige Abbildungen $X\ra \Bbb{R}$. Hinweis: Man
mag sich am Fall metrischer R"aume \ref{SPS} orientieren.\label{SPSto}  
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{De Morgan'sche Regeln f"ur Mengenfamilien}] 
Gegeben eine Familie $(X_i)_{i\in I}$ von Teilmengen einer Menge $X$ gilt\label{dmM}  
$$X\backslash  \bigcap_{i\in I} X_i= \bigcup_{i\in I}(X\backslash X_i)\qquad\qquad X\backslash  \bigcup_{i\in I} X_i= \bigcap_{i\in I}(X\backslash X_i)$$
\end{Ubung}

\subsection{Grenzwerte in topologischen R"aumen}
 \begin{Bemerkungl}
 Ein Punkt eines topologischen Raums $X$ hei"st ein 
 {\bf H"aufungspunkt von $X$},\index{H"aufungspunkt!von topologischem Raum} 
  wenn
 jede seiner\label{SSHuT}   
 Umgebungen auch noch andere Punkte unseres Raums enth"alt.
 Das ist gleichbedeutend dazu, da"s die nur aus unserem Punkt bestehende
 Teilmenge nicht offen ist. Man mag gleichbedeutend von
 einem {\bf nichtoffenen Punkt} reden.\index{nichtoffen!Punkt} 
 \end{Bemerkungl}






\begin{Bemerkungl}
Gegeben ein topologischer Raum $T$ mit einer Teilmenge $ X\subset T$
nennen wir ein Element $t\in T$ einen
{\bf H"aufungspunkt zu $X$} oder ausf"uhrlicher einen
{\bf H"aufungspunkt zu $X$ in $T$},
wenn er im Sinne unserer Definition  \ref{SSHuT} ein H"aufungspunkt des Raums $X\cup\{t\}$ mit seiner induzierten Topologie  ist.
\end{Bemerkungl}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% HIER NICHT MEHR OK

\begin{Bemerkungl}
  Ein topologischer Raum hei"st {\bf Haus\-dorff} oder
  ein \defind{Hausdorff-Raum}, wenn in ihm 
je zwei verschiedene
Punkte   disjunkte Umgebungen besitzen. Zum Beispiel ist jeder metrische Raum
 mit seiner metrischen Topologie offensichtlich ein Hausdorffraum. 
\end{Bemerkungl}


\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHauR}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
In einem Hausdorffraum haben je zwei verschiedene Punkte disjunkte 
Umgebungen. 
\end{minipage}
\end{figure}


\begin{Satz}[\textbf{Eindeutigkeit  stetiger Fortsetzungen in H"aufungspunkten}]
  Seien $X,Y$ topologische R"aume,
   $p\in X$ ein H"aufungspunkt
und $f: X\backslash p \ra Y$ eine Abbildung. Ist $Y$ Hausdorff,
so gibt es h"ochstens eine Fortsetzung von $f$ zu
einer Abbildung $\tilde f:X\ra Y$, die stetig ist bei $p$.\label{SSESFa}
\end{Satz}



\begin{proof}
  W"are sonst $\hat f$ eine weitere bei $p$ stetige Fortsetzung mit
  $\hat f(p)\neq \tilde f(p)$, so f"anden wir disjunkte Umgebungen
  $\hat V$ und $\tilde V$ dieser beiden Bildpunkte  und dazu
  Umgebungen $\hat U$ und $\tilde U$ von $p$ mit
  $\hat f(\hat U)\subset \hat V$ und
  $\tilde f(\tilde U)\subset \tilde V$.
  Daraus folgte aber
  $$ f(\hat U\cap \tilde U \backslash p)\;\subset \;\hat V\cap  \tilde V=\emptyset$$
  im Widerspruch dazu, da"s die Umgebung $\hat U\cap \tilde U $ von $p$
  nicht nur
  aus unserem H"aufungspunkt $p$ selbst bestehen darf.
\end{proof}


\begin{Definition}%\label{GeFu}
  Seien $X,Y$ topologische R"aume mit $Y$ Hausdorff.
  Seien weiter $p\in X$ ein H"aufungspunkt
  und $f: X\backslash p \ra Y$ eine Abbildung.
  Sei schlie"slich $b\in Y$ ein 
Punkt.
Wir sagen, 
{\bf $f(x)$ strebt gegen $b$ f"ur $x\ra p$} und schreiben\label{SSGeFuA}
$$\lim_{x\ra p} f(x) = b$$
als Abk"urzung f"ur die Aussage, da"s  
\index{lim@$\lim_{x\ra p}$ Grenzwert von Abbildung}
die Fortsetzung von $f$ zu $\tilde f:X\ra Y$ durch
$\tilde f(p)\pdef b$ stetig ist bei $p$. In diesem Fall nennen wir $b$
den
{\bf Grenzwert}\index{Grenzwert!von Funktion} oder lateinisierend
{\bf Limes}\index{Limes!von Funktion} 
der Funktion $f$ f"ur $x\ra p$. Nach der Eindeutigkeit stetiger Fortsetzungen \ref{SSESFa} ist dieser
Grenzwert eindeutig bestimmt, wenn er existiert.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
  Salopp gesprochen verh"alt es sich demnach so, da"s eine
  Abbildung in einen Hausdorffraum mit 
einer einpunktigen Definitionsl"ucke\label{SSGSSv}  
an einem H"aufungspunkt ihres Definitionsbereichs 
 auf h"ochstens eine Weise stetig in diese 
Defini\-tionsl"ucke hinein  fortgesetzt werden kann. 
Der Wert  dieser an besagter Stelle
 stetigen Fortsetzung hei"st dann der Grenzwert
unserer Abbildung an besagter Stelle.
\end{Bemerkungl}





















\begin{Bemerkungl}\label{SSGFMt}
  Insbesondere gilt f"ur 
   eine Folge $\DN\ra Y$,  $n\mapsto y_n$ in einem Hausdorffraum
   $Y$ und  einen Punkt $b \in Y$ in unserer neuen Notation 
$$\lim_{n\ra \infty} y_{n} =b$$
genau dann,  wenn jede Umgebung von  $b$ fast alle Glieder unserer Folge 
enth"alt.
Wir sagen dann auch, die Folge $y_n$ {\bf strebt gegen $b$}
oder {\bf konvergiert gegen $b$} und nennen $b$  einen {\bf Grenzwert 
der Folge}.\index{lim@$\lim_{n\ra\infty}$ Grenzwert von Folge!in 
Hausdorffraum} 
 Gleichbedeutend k"onnen wir 
ebensogut fordern, da"s 
jede offene Menge, die  $b$ enth"alt, auch fast alle Glieder unserer Folge 
enth"alt. 
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Grenzwerte von Verkn"upfungen}]
Wie in \eref{GWSt}{AN1} ausgef"uhrt  vertauschen Limites mit dem Nachschalten stetiger Funktionen,  "andern sich nicht beim Vorschalten einer stetigen Funktion\label{SSKFOm} 
und  lassen sich iterieren. Das folgt genau
wie in \eref{GWSt}{AN1} direkt aus der
hinreichenden Bedingung \ref{SSVSA} f"ur die Stetigkeit einer
Verkn"upfung an einem vorgegebenen Punkt. 
\end{Bemerkungl} 


 

% \begin{Bemerkungl}[\textbf{Spezialf"alle des allgemeinen Grenzwertbegriffs}]
% Die vorstehende  
% Definition verallgemeinert alle bisher betrachteten Grenzwertbegriffe:  
% Den Grenzwertbegriff\label{GrAA} 
% f"ur Folgen in den erweiterten reellen Zahlen 
% \ref{SSGDK}, 
% f"ur
% Abbildungen zwischen Teilmengen
% der erweiterten reellen Zahlen \ref{SSGeFu}, 
% f"ur Folgen in metrischen R"aumen 
% \ref{SSGFM}, und 
% f"ur Folgen in topologischen R"aumen \ref{SSGFMt}.
% Der Fall von Folgen ist jeweils 
% der Speziallfall, in dem wir  $X=\DN\amalg\{\infty\}$ mit der
% von $\bar{\DR}$ induzierten Topologie 
% versehen und darin den H"aufungspunkt
% $p=\infty$ betrachten. Ich  habe den topologischen Raum bei der 
% Definition der Folgenkonvergenz  \ref{SSGFMt} nur deshalb etwas
% ungew"ohnlich  mit $Y$ bezeichnet, um 
% deutlich zu machen,
% inwiefern es sich dabei um einem Spezialfall 
% unseres allgemeinen Grenzwertbegriffs \ref{SSGeFuA} handelt.
% \end{Bemerkungl}
  \begin{Bemerkungw}
 Um von hier an durchgehend  mit topologischen R"aumen 
arbeiten zu k"onnen, m"u"sten wir  
erkl"aren, wie  das Produkt zweier 
topologischer R"aume mit einer Topologie zu versehen ist,  
und allerhand Eigenschaften wie etwa das
Analogon der Komponentenregel
pr"ufen. Das  vermeide ich vorerst  
und diskutiere es erst in
\eref{ProTo}{AN3}.
\end{Bemerkungw}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{SSGKom}
    Konvergiert eine Folge von stetigen 
Funktionen von einem topologischen Raum in einen 
metrischen Raum  gleichm"a"sig, so ist auch die Grenzfunktion
    stetig. Hinweis: Man kopiere den Beweis von \eref{GLS}{AN1}.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Genau dann ist $p$ H"aufungspunkt des metrischen Raums $X$,  wenn es eine Folge
$x_{n}$ in $X\backslash p$ gibt mit $\lim_{n\ra \infty} x_{n} =p$. 
\end{Ubung}




\begin{Ubung}\label{SSGGGP}
Seien $X$  ein topologischer Raum, $p\in
X$ ein H"aufungspunkt
und $f_i: X\backslash p \ra Y_i$  Abbildungen in metrische R"aume 
f"ur $1\leq i\leq n$.  Sei $Y=Y_1\times \ldots\times Y_n$ das Produkt und
$f=(f_1,\ldots, f_n):X\ra Y$.  
So  ist $\lim_{x\ra p} f(x) = b$ f"ur $b=(b_1,\ldots, b_n)$ 
gleichbedeutend zu $\lim_{x\ra p} f_i(x) = b_i\;\forall i$. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Grenzwert durch Einquetschen}]\index{Einquetschen!Grenzwert durch}
Gegeben $X$ ein  topologischer 
Raum, $p\in X$ ein H"aufungspunkt und $f,g,h : X\backslash p  \ra \bar{\DR}$ 
Funktionen mit der Eigenschaft 
$f(x)\leq g(x)\leq h(x)\;\forall x\in X\backslash p $\label{SSBL24}  
 folgt aus $\lim_{x\ra p}f(x) =b= \lim_{x\ra p}h(x)$ bereits 
$\lim_{x\ra p}g(x) = b$. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Abstandskriterium f"ur Grenzwerte in metrischen R"aumen}] 
Gegeben eine Abbildung $f$ in einen metrischen Raum 
mit Metrik $d$ gilt $$\lim_{x\ra p} f(x) = y\;\IFF\; 
\lim_{x\ra p} d(f(x),y)=0$$ Man mu"s f"ur einen Beweis der R"uckrichtung auf die Definitionen zur"uckgehen.  
\end{Ubung}

\subsection{Abgeschlossene Teilmengen}
\begin{Satz}[\textbf{Stetigkeit und Urbilder offener Mengen}]
    Eine Abbildung zwischen topologischen R"aumen\label{SATR} 
ist stetig genau dann, wenn das Urbild
    jeder offenen Menge  offen ist.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl} In diesem Beweis verwenden wir zum
  ersten Mal unsere von einem topologischen Raum geforderte Eigenschaft,
  da"s eine beliebige Vereinigung offener Mengen wieder offen sein soll.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Sei $f:X\ra Y$ stetig an jeder Stelle $p\in X$.  Gegeben $U\co Y$ offen
ist $U$ Umgebung eines jeden seiner Punkte.
Folglich gibt es f"ur jede Stelle $p\in f^{-1}(U)$ eine Umgebung
$U'_p$ mit $f(U'_p)\subset U$.  Diese $U'_p$ k"onnen sogar offen gew"ahlt
werden und damit ist $f^{-1}(U)$ offen als die Vereinigung aller $U'_p$
mit $p\in f^{-1}(U)$. Sei umgekehrt das Urbild jeder offenen Menge offen 
und sei  $p\in X$ gegeben und $U$ eine Umgebung von $f(p)$.
So gibt es $V\co Y$ mit $f(p)\in V\subset U$  und dann ist
$U'\pdef f^{-1}(V)$ eine Umgebung von $p$ mit
$f(U')\subset U$.  Ist also das Urbild jeder offenen Menge offen, so
ist unsere Abbildung auch stetig an jeder Stelle $p$. 
\end{proof}
\begin{Bemerkunge}\label{SVW}
Entwickelt man die Theorie der topologischen R"aume ab initio,
so wird man in der Regel die  im vorhergehenden Satz
enthaltene Charakterisierung wegen ihrer gro"sen
Eleganz gleich als Definition der Stetigkeit  nehmen. 
Da"s die Verkn"upfung stetiger Abbildungen stetig ist, kann man
von dieser Definition ausgehend sehr leicht und direkt einsehen,
indem man beachtet, da"s aus $f:X \ra Y$ und  $g:Y\ra Z$ stetig folgt $V
\co
 Z \Rightarrow
 g^{-1}(V)
\co Y
\Rightarrow f^{-1}(g^{-1}(V))
\co
X$. 
Da nun gilt $f^{-1}(g^{-1}(V))= (g \circ f)^{-1}(V)$,  ist damit auch
$(g\circ f)$ stetig.
\end{Bemerkunge}

\begin{Korollar}[\textbf{Stetigkeit von Umkehrabbildungen}] Eine bijektive Abbildung $f:X\ra Y$ von topologischen R"aumen
  hat eine stetige Umkehrabbildung genau dann, wenn das Bild jeder offenen Menge offen ist.
\end{Korollar}
\begin{proof} Das folgt unmittelbar aus Satz \ref{SATR} "uber Stetigkeit
  und Urbilder offener Mengen.
\end{proof}

\begin{Definition}
Eine Teilmenge $M$ eines topologischen Raums $X$ hei\ss t 
\defnoind{abgeschlossen}\index{abgeschlossen!topologisch|main}
oder pr"aziser {\bf abgeschlossen in $X$}  und wir schreiben in
Formeln 
$M \As X$,\index{)c@$\As$ abgeschlossen in!topologischem Raum|main} 
 wenn ihr Komplement $X\backslash M$ offen ist.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}\label{ADFh}
Wenn wir eine Menge  einfach nur \glqq abgeschlossen\grqq\  nennen,
so in der Hoffnung, dem
Leser sei klar, in Bezug auf welchen gr"o"seren
Raum $X$  dies  \glqq abgeschlossen\grqq\  gemeint ist. 
Ist $X$ ein topologischer Raum und sind $M\subset D\subset X$ Teilmengen,
so meint $M\As D$, da"s $M$ abgeschlossen  
ist als Teilmenge des Raums $D$ mit seiner induzierten Topologie \ref{SSIDT}.
\end{Bemerkungl}






\begin{Satz}[\textbf{Abgeschlossene Teilmengen metrischer R"aume}]
Eine Teilmenge $M$ eines metrischen Raums $X$ ist abgeschlossen
genau
dann, wenn jeder Punkt $x\in X$, der Grenzwert einer Folge aus $M$ ist,
bereits selbst zu $M$ geh"ort. 
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}  Wir nennen die zweite Bedingung in unserem Satz {\bf folgenabgeschlossen} und
  nennen die Bedingung, da"s das Komplement offen sein soll,
  ausf"uhrlicher {\bf topologisch abgeschlossen}.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Ist $M$ nicht topologisch abgeschlossen, so ist $X\backslash M$ nicht offen 
und es gibt einen Punkt $x \in X\backslash M$  derart, da"s f"ur alle
$n\geq 1$ der Ball $\op{B}(x;1/n)$ nicht in $X\backslash M$ enthalten ist.
W"ahlen wir jeweils $a_n\in \op{B}(p;1/n)\cap M$, so gilt $\lim_{n\ra\infty}a_n=x$ und $x\not\in M$ und damit ist $M$ auch nicht folgenabgeschlossen. Ist umgekehrt $M$ nicht folgenabgeschlossen, so gibt es
eine Folge  $a_n$ in $M$ und $x\in X$ mit $\lim_{n\ra\infty}a_n=x\not\in M$.
 Dann
kann es aber kein $\varepsilon >0$ geben 
mit $\op{B}(x;\varepsilon) \subset X\backslash M$,
da jeder dieser B"alle fast alle $a_n$ enth"alt. Also
ist $X \backslash M$ auch nicht offen und $M$ nicht topologisch abgeschlossen.
\end{proof}
\begin{Lemma}\label{VA}
Jede endliche Vereinigung und  beliebige Schnitte abgeschlossener
Mengen sind abgeschlossen.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Das folgt mit der Definition einer Topologie sofort aus der in "Ubung \ref{dmM} behandelten   
de Morgan'schen
  Regel 
\begin{displaymath} X\backslash  \bigcap_{M\in \cal{M}} M= \bigcup_{M\in \cal{M}}(X\backslash M)\qedhere
\end{displaymath}
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}
  F"ur jede Teilmenge $M\subset X$ eines topologischen Raums gibt
  es eine kleinste abgeschlossene Teilmenge von $X$, die $M$ umfa"st, n"amlich
  den Schnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von $X$, die $M$ umfassen.
  Diese Teilmenge hei"st der {\bf Abschlu"s von $M$ in $X$}.\index{Abschlu"s}
  Man verwendet daf"ur die beiden Notationen $\bar M=\op{Cl}_X(M)$ mit $\op{Cl}$ f"ur \glqq closure\grqq.
\end{Bemerkungl}


\begin{Satz}[\textbf{Stetigkeit und Urbilder abgeschlossener Mengen}]
    Eine Abbildung zwischen topologischen R"aumen\label{SaATR} 
ist stetig genau dann, wenn das Urbild
    jeder abgeschlossenen Menge  abgeschlossen ist.
\end{Satz}
\begin{proof} Das folgt sofort aus der entsprechenden Aussage \ref{SATR}
  f"ur offene
  Mengen und der Gleichheit $X\backslash f^{-1}(M) =f^{-1}(Y\backslash M)$
  f"ur jede Abbildung $f:X\ra Y$ und jede Teilmenge $M\subset Y$.  
\end{proof}



\begin{Proposition}[\textbf{Verkleben stetiger Abbildungen}] 
  Sei $f:X\ra Y$ eine Abbildung topologischer R\"{a}ume und
  sei $X$ \"{u}berdeckt von endlich vielen abgeschlossenen
Teilmengen  $X =
A_{1}\cup\ldots \cup A_{n}$ mit 
$A_{i} \As X$. 
Sind die Einschr"ankungen $f|_{A_{i}}$ stetig  f\"{u}r alle
$i$, so ist $f$ stetig.\label{AbgSM}
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl} Die analoge Aussage gilt auch f"ur offene Teilmengen und
  sogar im Fall einer beliebigen "Uberdeckung durch offene Teilmengen, denn
  Stetigkeit ist nach \ref{stLE} eine lokale Eigenschaft.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Nach \ref{SaATR} mu"s nur gezeigt werden, da"s f"ur jede
abgeschlossene Teilmenge $B\As Y$ von $Y$ ihr Urbild $f^{-1}(B)$ abgeschlossen
ist in $X$.  Nun gilt  aber
$f^{-1}(B)=f_1^{-1}(B)\cup\ldots\cup f_n^{-1}(B)$ 
und  $f_i^{-1}(B)\As A_i$ nach Annahme
und wegen $A_i\As X$ folgt mit "Ubung \ref{ABAB} bereits $f_i^{-1}(B)\As X$.
Damit schlie"slich folgt $f^{-1}(B)\As X$, da jede endlich Vereinigung
abgeschlossener Mengen abgeschlossen ist. 
\end{proof}
\begin{Definition}
Ein metrischer Raum $K$ hei"st 
{\bf kompakt}\index{kompakt!metrischer Raum}
oder ausf"uhrlicher {\bf folgenkompakt}\index{folgenkompakt!metrischer Raum} und als Substantiv ein {\bf Kompaktum},\index{Kompaktum} wenn 
jede Folge in $K$ eine Teilfolge besitzt, die gegen einen Punkt aus $K$
konvergiert.\index{Kompaktum}\label{foka}  
\end{Definition}
\begin{Bemerkungw}
Der Begriff der \glqq Kompaktheit\grqq\ ist f"ur weite Teile der
Mathematik grundlegend. Sie werden in \ref{koTO} sehen, wie er 
im Fall allgemeiner \glqq topologischer R"aume\grqq\ 
 in die beiden Begriffe
\glqq folgenkompakt\grqq\ und \glqq "uberdeckungskompakt\grqq\ 
aufspaltet. Sie werden auch sehen,
 da"s es letzterer Begriff ist, der weiter
tr"agt und zu \glqq kompakt\grqq\ abgek"urzt wird, obwohl 
ersterer Begriff die nat"urlichere Verallgemeinerung unserer
obigen Definition scheint. Aber alles zu seiner Zeit!
\end{Bemerkungw}

\begin{Theorem}[\textbf{Heine-Borel}]
  Eine Teilmenge $K\subset \DR^n$ ist kompakt genau dann, wenn
  sie abgeschlossen und beschr"ankt ist.\label{HeBo} 
\end{Theorem}
\begin{proof}
  Wir wissen bereits aus \eref{KoQ}{AN1}, da"s $[-M,M]^n$ kompakt ist. 
  Eine abgeschlossene Teilmenge $K\As [-M,M]^n$ mu"s dann auch kompakt
  sein, denn jede Folge in $K$ mu"s eine in $[-M,M]^n$ konvergierende
  Teilfolge haben, da diese Menge bereits als kompakt bekannt ist, und
  der Grenzwert dieser Teilfolge mu"s dann sogar in $K$ liegen, weil
  wir $K$ als abgeschlossen angenommen hatten.
  Also ist jede abgeschlossene beschr"ankte Teilmenge kompakt.
  Ist umgekehrt $K\subset \DR^n$ nicht beschr"ankt, so nimmt die stetige
  Funktion $x\mapsto |x|$ darauf kein Maximum an und $K$ kann nicht
  kompakt sein nach \eref{Mm}{AN1}. Ist schlie"slich $K$ nicht abgeschlossen
  in $\DR^n$,
  so gibt es eine Folge in $K$, die gegen einen Punkt von $\DR^n\backslash K$
  konvergiert, und jede ihrer Teilfolgen mu"s gegen denselben Punkt konvergieren und keine gegen einen Punkt von $K$. Also kann $K$ auch nicht kompakt sein.
\end{proof}

\begin{Korollar}
  Eine Teilmenge $K\subset X$ eines endlichdimensionalen normierten
  reellen Raums ist kompakt genau dann, wenn
  sie abgeschlossen und beschr"ankt ist.\label{Koed} 
\end{Korollar}
\begin{proof} Das folgt aus Heine-Borel \ref{HeBo} mit dem Satz "uber die "Aquivalenz von Normen
  \ref{SSAQN}.
\end{proof}







\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}[\textbf{Abschl"usse in metrischen R"aumen}] 
  Gegeben $A\subset X$ eine Teilmenge in einem metrischen Raum
  besteht ihr Abschlu"s $\bar A=\op{Cl}_X(A)$ genau aus allen Punkten von $X$,
  die Grenzwerte von Folgen in $A$ sind. Hinweis: Gilt $x^i=\lim a_n^i$ und
  $x=\lim x^i$, so gilt auch $x=\lim a_i^i$.\label{AAA}  
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Extremwerte auf Kompakta}]
  Jede stetige Funktion $f:K \ra \bar{\DR}$ auf einem nichtleeren folgenkompakten
  metrischen Raum 
  $K$ nimmt das 
Supremum und das Infimum der Menge 
ihrer Funktionswerte als Funktionswert an. Hinweis: Man kopiere \eref{Mm}{AN1}.\label{MmM}  
\end{Ubung}




\begin{Ubung}
  Gegeben ein topologischer Raum $X$ und $B\subset D\subset X$
  haben wir $B\As D  \;\IFF\; \exists A\As X \text{ mit }B=A\cap D$.
  Gegeben ein topologischer\label{ABAB} Raum $X$ und $B\subset D\As X$
  haben wir $B\As D  \;\IFF\; B\As X$.
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}\label{FRo}
Man zeige, da"s man auf dem Raum $\op{Ens}(\DN,\{W,Z\})$ aller 
Folgen in der zweielementigen Menge  $ \{W,Z\}$ eine Metrik erkl"aren
kann durch die Vorschrift $d(\omega,\eta)= 2^{-n}$ f"ur $n\in\DN$ die kleinste
Zahl mit $\omega(n)\neq \eta(n)$, beziehungsweise $d(\omega,\eta)= 0$ falls 
$\omega=\eta$.  Man zeige weiter, da"s der so gebildete 
metrische Raum kompakt ist. Nebenbei bemerkt denke ich
bei $W$ an \glqq Wappen\grqq\ 
und bei $Z$ an \glqq Zahl\grqq\  und bei der "Ubung an Anwendungen in der 
Wahrscheinlichkeitstheorie.
\end{Ubunge}


\begin{Ubunge}\label{dK}
Seien $(X,d)$ ein metrischer Raum, $K\subset X$ kompakt und
$A\subset X$ abgeschlossen mit
$A\cap K=\emptyset$.  So gibt es $\delta>0$ mit
$d(x,y)\geq\delta$ f\"{u}r alle $x\in A$,  $y\in K$. Hinweis: \ref{SSdA}.
\end{Ubunge}

\subsection{Vollst"andige metrische R"aume}

\begin{Bemerkungl} Eine Folge $(x_n)$ in einem metrischen Raum
  hei"st eine {\bf Cauchy-Folge},\index{Cauchy-Folge!in metrischem Raum}
  wenn es f"ur alle $\varepsilon >0$ ein $N=N_\varepsilon$ gibt mit
  $n,m\geq N \RA d(x_n,x_m)<\varepsilon$. Ein metrischer Raum hei"st
  {\bf vollst"andig},\index{vollst"andig!metrischer Raum} wenn darin jede
  Cauchy-Folge einen Grenzwert hat.\label{vmR} 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Die Zahlengerade $\DR$ ist vollst"andig nach \eref{CFB}{AN1}. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
  Gegeben vollst"andige metrische R"aume $X,Y$  ist
  auch ihr Produkt $X\times Y$ vollst"andig. Das sollen Sie zur
  "Ubung selbst zeigen. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
  Der $\DR^n$ ist vollst"andig. Jeder endlichdimensionale
  normierte Vektorraum ist vollst"andig nach dem Satz
  \ref{SSAQN} "uber die "Aquivalenz von Normen. 
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
  Da jede abgeschlossene Teilmenge eines metrischen Raums folgenabgeschlossen
  ist, ist jede abgeschlossene Teilmenge eines vollst"andigen metrischen Raums auch selbst ein vollst"andiger metrischer Raum.\label{SSABVV}
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl} Ein vollst"andiger normierter Vektorraum hei"st ein {\bf Banach-Raum}.\index{Banachraum} 
\end{Bemerkungl}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
  Gegeben vollst"andige metrische R"aume $X,Y$  ist
  auch ihr Produkt $X\times Y$ vollst"andig.\label{PrVo}  
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{VRnn}
Jeder kompakte metrische Raum ist vollst"andig. Jede vollst"andige
Teilmenge eines metrischen Raums ist abgeschlossen.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}\label{BRH}
Seien $V,W$ normierte Vektorr"aume.   
Ist $W$ vollst"andig, so ist auch der Raum $\cal{B} (V,W)$ 
der stetigen  linearen Abbildungen
von $V$ nach $W$ aus
  \ref{SSOPn} vollst"andig.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{VSuN}
Ist $V$ ein Banachraum und $D$ eine Menge,
so ist auch der Vektorraum $\op{Ens}^{\op{b}}(D, V)$ aus \ref{SupN}
aller beschr"ankten Abbildungen von $D$ nach $V$ mit seiner Supremumsnorm
$\|\;\|_\infty$ vollst"andig. Das brauchen wir beim Beweis von Picard-Lindel"of. 
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{GSFo} Eine Abbildung $f:X\ra Y$ von metrischen R"aumen hei"st {\bf gleichm"a"sig stetig},\index{gleichm"a"sig stetig!metrische R"aume}
  wenn es f"ur jedes $\varepsilon>0$ ein $\delta>0$ gibt mit
  $d(x,x_1)<\delta\RA d(f(x),f(x_1))<\varepsilon$. Man zeige, 
da"s jede gleichm"a"sig stetige Abbildung $f:A\ra Y$
von einer Teilmenge $A$ eines metrischen Raums $X$ 
in einen vollst"andigen metrischen Raum $Y$ auf genau eine Weise 
zu einer stetigen Abbildung $\bar{A}\ra Y$ 
auf den Abschlu"s von $A$ in $X$ fortgesetzt werden kann.
%Vergleiche auch \eref{ADM}{AN3}.
\end{Ubung}
\begin{Scholium}
  Wir werden die
  Aussage der vorhergehenden "Ubung in dieser Vorlesung
  erst bei der Behandlung von gew"ohnlichen Differentialgleichungen verwenden. Sie ist  bei der Diskussion von Hilbertr"aumen wesentlich. 
\end{Scholium}

\begin{Ubung}[\textbf{Invertieren stetiger Endomorphismen}]
  F"ur $V$  einen normierten Vektorraum
  setzen wir\label{IsE} $$\cal{B} (V)\pdef \cal{B} (V,V)$$
 Man zeige: Gegeben ein Banachraum $V$ und $h\in \cal{B} (V)$ ein stetiger
 Endomorphismus von $V$ einer Operatornorm $\|h\|<1$ konvergiert die
 Folge der Partialsummen der geometrischen Reihe $\sum_{n=0}^\infty h^n$
 und der Grenzwert ist invers zu $\op{id}_V-h$. Insbesondere sind alle
 $f\in \cal{B} (V)$ mit $\|f-\op{id}_V\|<1$ stetig invertierbar.
 Man zeige weiter, da"s die Menge $\cal{B} (V)^\times \subset \cal{B} (V)$
 der stetig invertierbaren stetigen Endomorphismen offen ist und das Invertieren
 eine stetige Abbildung
 $$\op{inv}:\cal{B} (V)^\times \ra \cal{B} (V)^\times$$
\end{Ubung}
\begin{Scholium}
Die
Aussage der vorhergehenden "Ubung brauchen wir in dieser Vorlesung
nur, um beim Umkehrsatz im Fall von Banachr"aumen unendlicher Dimension zu zeigen, da"s die Umkehrabbildung auch stetig differenzierbar ist. 
\end{Scholium}

  




\begin{Ubunge}[\textbf{Exponential von Endomorphismen}] 
  Man zeige: Gegeben ein Banachraum $V$ und $f\in \cal{B} (V)$ ein stetiger
  Endomorphismus von $V$ konvergiert die Folge der Partialsummen der
  Exponentialreihe $\sum_{k=0}^\infty f^k$ und liefert
  eine stetige Abbildung\label{ExBR} 
  $$\op{exp}: \cal{B} (V)\ra \cal{B} (V)$$
  Wir haben $\op{exp}(0)=\op{id}_V$ und gegeben $f,g$ mit $fg=gf$ gilt $\op{exp}(f+g)=(\op{exp}f)(\op{exp}g)$.
  Gegeben ein weiterer Banachraum $W$ und $\varphi:V\ra W$ stetig
  und $h\in \cal{B} (W)$ mit $h\varphi=\varphi f$ gilt
  $(\op{exp}h)\varphi=\varphi (\op{exp}f)$.  Die Exponentialfunktion von
  Matrizen aus \eref{exM}{AN1} ist ein Spezialfall, aber ich finde die
  Darstellung im Rahmen von Banachr"aumen viel transparenter als dieses
  Koordinatengekruschtel aus Analysis 1. 
\end{Ubunge}
  














%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXAN2"
%%% End: