\section{Versuch f"ur Antonio}
\subsection{}
\begin{Bemerkungl}
Man besichtige  $(G\looparrowright X)$ eine Gruppe, 
die auf einer Variet"at operiert.
Sei $Y\subset X$ eine Untervariet"at, 
stabil unter  einer abgeschlossenen Untergruppe $H\subset G$.
Das balancierte Produkt $G\times_HX$ m"oge existieren.
Jetzt betrachte man das Diagramm
\begin{displaymath}
    \xymatrix{
&   (G\looparrowright (G \times_{H} Y))\ar[r]^{(\op{id},\tilde j)}    & (G\looparrowright (G \times_{H} X))\ar[dr]^{(\op{id},m)} & \\
   (H\looparrowright Y)\ar[r]^{(\op{id},j)}\ar[ur]^{(i,s)}&   (H\looparrowright X)\ar[rr]^{(i,\op{id})}\ar[ur]^{(i,s)}& 
& (G\looparrowright  X)
    }
  \end{displaymath}
Mithilfe von [SVW, 4.7] sollte folgen, da"s
$\op{Ind}_H^G(j_\ast \underline{Y})$ isomorph ist zum direkten 
Bild
$m_\ast \tilde j_\ast \left(\underline{G\times_HY}\right)$ und dann auch zum 
 direkten 
Bild $$i_\ast \tilde m_\ast\left(\underline{G\times_HY}\right)$$ f"ur
$i:Z\hra X$ die Einbettung irgendeiner $G$-stabilen Untervariet"at mit
$GY\subset Z$ und $\tilde m: G\times_HY\ra Z$ der Multiplikation.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Jetzt betrachten wir 
$G\supset B$ wie immer und Parabolische $P,Q$ "uber $B$.
Das Objekt $$\leftidx{_P}{\underline{P}}{_B}\star_B j_\ast \underline{BwB}\star_B\leftidx{_B}{\underline{Q}}{_Q}$$ f"ur $j:BwB\hra G$ die Einbettung 
kann man ganz gut verstehen. Nach [SVW, 13.3] ist das einfach
Induktion auf beiden Seiten, und die Bimodulinterpretation 
ist Restriktion von $\mathcal A_B$ zu $\mathcal A_P$ links und zu  
$\mathcal A_Q$ rechts. Nach unserer Vor"uberlegung im ersten Punkt
kann dieses Objekt auch beschrieben werden als
$$i_\ast \tilde m_\ast\left(\underline{P\times_B BwB\times_B Q}\right)$$
f"ur $\tilde m: P\times_B BwB\times_B Q\sra PwQ$ die Multiplikation
und $i: PwQ\hra G$ die Einbettung. 
Das sollte das Tensorprodukt der Kohomologie der Basis
$PwQ$ mit der nicht-"aquivarianten Kohomologie der Faser sein. 
Wir  haben auch schon einen 
nat"urlichen Morphismus $\underline{PwQ}\ra \tilde m_\ast \tilde m^\ast 
\underline{PwQ}$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Jetzt mal sehen, was die Faser von $\tilde m$ ist.
Ich rechne "uberschlagsm"a"sig unsorgf"altig. 
Wir schreiben $BwB=B\times_A B$ mit $A=B\cap wBw^{-1}$ und der
Einbettung einmal einfach so und einmal durch $\op{int}w$.
Dann ist $P\times_B BwB\times_B Q=P\times_A Q$. 
Andererseits ist $PwQ=P\times_CQ$ mit $C=P\cap wQw^{-1}$ und
entsprechenden komischen Einbettungen. Die Faser von
$\tilde m$ sollte also $C/A=(P\cap wQw^{-1})/(B\cap wBw^{-1})$ werden.
Ich w"urde also erwarten:
$${\op{H}}_{P\times Q}(i_\ast\underline{PwQ})\otimes {\op{H}}(C/A)\cong
{\op{H}}_{B\times B}(j_\ast\underline{BwB})$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Was hat die Faser wohl f"ur eine Kohomologie? 
Meine erste Sch"atzung w"are 
$\op{dim}{\op{H}}(C/A)=|W_P\cap wW_Qw^{-1}|$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Ich sollte nochmal in Geordies Dissertation nachgucken, was die
Standardbimoduln im singul"aren Fall sind. Nach diesem ganzen Getexte 
erwarte ich fast, die Bimodulantwort dort zu finden. Aber nicht
mehr heute abend! Jetzt schick ich es einfach mal ungeputzt, vielleicht
wei"st Du ja, welchen Spezialfall man sich sinnvollerweise vornehmen k"onnte.
\end{Bemerkungl}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AAAntonio"
%%% End: