\section{Verschwindungss"atze mit Anwendungen} \subsection{Garbenazyklische Morphismen} \begin{Proposition} Gegeben ein topologischer Raum $Y$ und ein Komplex von abelschen Garben $\mathcal F\in\op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ ist f"ur die Projektion $\pi:Y\times [0,1]\sra Y$ die Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus\label{Aei} $$\mathcal F\sira \pi_*\pi^*\mathcal F$$ \end{Proposition} \nichtfinal{Wie soll ich es mit Universen halten? Wenn nichts extra dasteht, ist alles wie $\op{Ab}, \op{Ens}$ etc in einem festen Universum $\mathfrak U$ mit $\mathbb N\in \mathfrak U$ zu verstehen? Ich mu"s noch "uberlegen, warum meist nur Forderungen an Morphismen gestellt werden, und eigentlich nie Kardinalit"atsforderungen.} \begin{proof} F"ur jede Garbe $\mathcal F\in \op{Ens}_{/Y}$ liefert die Einheit der Adjunktion einen Isomorphismus $\mathcal F\sira \pi_{(\ast)}\pi^{(\ast)}\mathcal F$, denn nach \eref{AdI}{TG} gilt das f"ur jede finale Abbildung $\pi$ mit zusammenh"angenden Fasern. Ich erinnere hier daran, da"s in unseren Konventionen der leere topologische Raum nicht zusammenh"angend ist. Wir folgern, da"s auch f"ur alle Komplexe $\mathcal F\in\op{Hot}(\op{Ab}_{/Y})$ die Einheit der Adjunktion einen Isomorphismus $\mathcal F\sira \pi_{(\ast)}\pi^{(\ast)}\mathcal F$ liefert. Nun hat nach eigentlichem Basiswechsel \eref{OEBA}{TG} und unseren Erkenntnissen \eref{KGI}{TG} zur Garbenkohomologie von Teilmengen der Zahlengeraden der Vorschub $\pi_{(\ast)}: \op{Ab}_{/Y\times [0,1]}\ra \op{Ab}_{/Y}$ eine homologische Dimension kleinergleich Eins und insbesondere endliche homologische Dimension. Unsere Erkenntnisse \eref{UbDe}{TD} zum Derivieren homologisch endlicher Funktoren zeigen dann, da"s jeder Komplex $\mathcal A$ von $\pi_{(\ast)}$-rechtsazyklischen abelschen Garben bereits $\pi_{(\ast)}$-quis\-rechts\-ent\-fal\-tet ist, da"s also f"ur solch einen Komplex $\mathcal A$ der nat"urliche Morphismus in der derivierten Kategorie ein Isomorphismus $Q\pi_{(\ast)}\mathcal A\sira \pi_{\ast}\mathcal A$ ist. Nach \eref{kohod}{TG} und \eref{KGI}{TG} wissen wir weiter, da"s das Zur"uckholen $\pi^{(\ast)}:\op{Ab}_{/Y}\ra \op{Ab}_{/Y\times [0,1]}$ jede Garbe zu einer $\pi_{(\ast)}$-rechts\-azyk\-li\-schen Garbe macht und wieder nach \eref{UbDe}{TD} damit jeden Komplex von abelschen Garben zu einem $\pi_{(\ast)}$-quis\-rechts\-ent\-fal\-te\-ten Komplex. Das schlie"slich zeigt die Behauptung. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Es reicht zu zeigen, da"s die Einheit der Adjunktion f"ur alle $y\in Y$ einen Isomorphismus $\op{em}_y^*\mathcal F\sira \op{em}_y^*\pi_*\pi^*\mathcal F$ induziert. Mit eigentlichem Basiswechsel \ref{DEU} und der Vertr"aglichkeit \eref{trPP}{TG} von Adjunktion und Basiswechsel reicht es also, die Proposition in dem Fall zu zeigen, da"s $Y$ der einpunktige Raum ist. Nach \eref{KGI}{TG} verschwindet auf reellen Intervallen die Garbenkohomologie jeder abelschen Garbe im Grad $>1$ und die Garbenkohomologie jeder konstanten abelschen Garbe im Grad $\geq 1$. Die Behauptung folgt so mit unseren Erkenntnissen \eref{UbDe}{TD} zum Derivieren homologisch endlicher Funktoren. \end{proof} \begin{Definition}\label{azy} Eine stetige Abbildung topologischer R"aume $f:X\ra Y$ hei"se {\bf garbenazyklisch},\index{garbenazyklisch!stetige Abbildung} wenn f"ur jeden Komplex $\cal{F} \in \op{Der} (\op{Ab}_{/Y})$ die Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus $$\cal{F} \sira f_{\ast}f^{\ast}\cal{F}$$ ist. Sie hei"se {\bf basisfest garbenazyklisch}\index{basisfest!garbenazyklisch}\index{garbenazyklisch!basisfest} oder kurz {\bf bagazyklisch},\index{bagazyklisch} wenn sie unter jedem Basiswechsel eine garbenazyklische Abbildung liefert, wenn also in Formeln f"ur jede stetige Abbildung $S\ra Y$ die induzierte Abbildung $X\times _Y S\ra S$ garbenazyklisch ist. Ein topologischer Raum $X$ hei"se {\bf garbenazyklisch}\index{garbenazyklisch!topologischer Raum} beziehungsweise {\bf basisfest garbenazyklisch} oder kurz {\bf bagazyklisch}, wenn die konstante Abbildung $X\ra\op{top}$ die entsprechende Eigenschaft hat. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Jede garbenazyklische Abbildung ist offensichtlich schwach garben\-azyk\-lisch im Sinne unserer Definition \eref{sGaz}{TG}, der R"uckzug induziert also Isomorphismen auf der Kohomologie mit Koeffizienten in einer beliebigen abelschen Gruppe. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} Jeder zusammenziehbare Raum ist bagazyklisch.\label{zgsaf} Allgemeiner ist jeder zu einem bagazyklischen Raum homotopie"aquivalente Raum bagazyklisch. \end{Satz} \begin{proof} Wir gehen in mehreren Schritten vor. \\[2mm]\noindent 1. Jeder Funktor $F:\op{Top}\ra \mathcal C$ von der Kategorie der topologischen R"aume in eine weitere Kategorie, der f"ur einen beliebigen Raum $X$ die Projektion $\op{pr}:X\times[0,1]\ra X$ zu einem Isomorphismus $$F(\op{pr}):F(X\times[0,1])\sira F(X)$$ macht, faktorisiert "uber die Homotopiekategorie. In der Tat, gegeben $t\in [0,1]$ bezeichne $i_t:X\ra X\times [0,1]$ die Abbildung $x\mapsto (x,t)$. Sicher gilt $\op{pr}\circ i_t=\op{id}_X$ f"ur alle $t$, also $F(\op{pr})\circ F(i_t)=\op{id}_{FX}$ und nach unserer Annahme ist $F(i_t)=F(\op{pr})^{-1}$ unabh"angig von $t\in [0,1]$. Gegeben $f,g:X\ra Y$ und $H:X\times [0,1]\ra Y$ mit $f=H\circ i_0$ und $g=H\circ i_1$ haben wir also $F(f)=F(g)$. \\[2mm]\noindent 2. Gegeben ein topologischer Raum $S$ und $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/S})$ betrachten wir den Funktor $$F=F_ {S,\mathcal G}: \op{Top}\ra \op{Der}(\op{Ab}_{/S})^{\op{opp}}$$ gegeben auf Objekten durch $F(X)\pdef a_{*}a^*\mathcal G$ f"ur $a:X\times S\ra S$ die Projektion und auf Morphismen f"ur $f:X\ra Y$ stetig und mit der Notation $b:Y\times S\ra S$ f"ur die Projektion und $f\pdef (f\times\op{id}_S):X \times S\ra Y\times S$ als die Komposition $$F(f)^\circ: b_{*}b^* \mathcal G \ra b_{*}f_{*}f^*b^* \mathcal G \sira a_{*}a^* \mathcal G$$ der durch die Einheit der Adjunktion und Identifikationen gegebenen Morphismen. Nach \ref{Aei} induziert $F$ einen Isomorphismus $F(\op{pr}): F(X\times [0,1])\sira F(X)$ und faktorisiert folglich nach Schritt 1 "uber die Homotopiekategorie. \\[2mm]\noindent 3. Ein Raum $X$ ist per definitionem bagazyklisch genau dann, wenn $F_{S,\mathcal G}(\op{fin}_X)$ ein Isomorphismus ist f"ur alle $S,\mathcal G$ wie oben, mit der Notation $\op{fin}_X:X\ra\op{pt}$ f"ur die konstante Abbildung auf den Einpunktraum. Da alle $F_{S,\mathcal G}$ nach Schritt 2 "uber die Homotopiekategorie faktorisieren, mu"s jeder zu einem bagazyklischen Raum homotopie"aquivalente Raum auch selbst wieder bagazyklisch sein. Da der Einpunktraum offensichtlich bagazyklisch ist, mu"s damit auch jeder zusammenziehbare Raum bagazyklisch sein. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Permanenzeigenschaften garben- und bagazyklischer Abbildungen}] Jede Verkn"upfung garbenazyklischer Abbildungen ist garbenazyklisch.\label{AZFcn} Ist $g\circ f$ garben\-azyklisch und $f$ garben\-azyklisch, so ist auch $g$ garben\-azyklisch. % nach \ref{BNA}. Ist $f:X\ra Y$ stetig und besitzt $Y$ eine "Uberdeckung durch offene Teilmengen $U\co Y$ derart, da"s $f:f^{-1}(U)\ra U$ jeweils garben\-azyklisch ist, so ist schon $f:X\ra Y$ selbst garben\-azyklisch. Insbesondere ist jedes Faserb"undel mit garbenazyklischer Faser garbenazyklisch. Diesselben Permanenzeigenschaften folgen f"ur bagazyklische Abbildungen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $f : X \ra Y$ stetig. Wir sagen, ein Komplex von abelschen Garben $\cal{F}\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ {\bf kommt her von} $Y$, wenn es $\cal{G} \in \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ gibt mit $\cal{F} \cong f^{\ast} \cal{G}$. \end{Definition} \begin{Lemma}\label{kh} Seien $f: X \ra Y$ garbenazyklisch und $\cal{F} \in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$. So sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item Das Objekt $\cal{F}$ kommt her von $Y$; \item Die Koeinheit der Adjunktion liefert einen Isomorphismus $f^{\ast} f_{\ast} \cal{F} \sira \cal{F}$; \item Es gibt eine offene "Uberdeckung $\cal{U}\subset \cal{P}(Y)$ von $Y$ derart, da"s f"ur alle $U\in \cal{U}$ die Einschr"ankung $\cal{F}|_{f^{-1}(U)}$ von $U$ herkommt. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die Definition garbenazyklischer Abbildungen und formale Eigenschaften adjungierter Funktoren nach \eref{FADJj}{TF} liefern 1 $\Leftrightarrow $ 2. Formulieren wir 3 um vermittels dieser Erkenntnis, so erhalten wir auch 2 $\Leftrightarrow $ 3. \end{proof} %\subsubsection*{"Ubungen} %\subsubsection*{"Ubungen} \subsection{K"unnethformeln der Garbenkohomologie} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Allgemeine Resultate f"ur Trennfaserungen}] Gegeben seien eine \hyperref[TrnF]{Trennfaserung} $\mathscr G\ra\curlywedge\mathscr T$ zu einer banalen Trennkategorie und in der Basis ein kartesisches Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X\times_Z Y \ar[d]_-{\op{pr}_X}\ar[r]^-{\op{pr}_Y}\ar[rd]^c &Y \ar[d]^-b\\ X \ar[r]^-{a} & Z } \end{displaymath} und Objekte $\mathcal F\in \mathscr G_{/X}$ und $\mathcal G\in \mathscr G_{/Y}$ liefert \ref{fuiBPn} ganz allgemein einen Morphismus $$ a_* \mathcal F\otimes b_*\mathcal G\ra c_* (\mathcal F\boxtimes_Z \mathcal G)$$ Gegeben eine Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ mit voller Trennverflechtung derart, da"s $a,b,c$ Schreimorphismen sind, liefert \ref{VexPn} sogar einen Isomorphismus $$ a_! \mathcal F\otimes b_!\mathcal G\sira c_! (\mathcal F\boxtimes_Z \mathcal G)$$ Hat unsere Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion sogar Adjungierte, so finden wir auch Isomorphismen $$a_!\mathcal F{\Rrightarrow} b_*\mathcal G \sira c_*(\op{pr}_X^*\mathcal F{\Rrightarrow} \op{pr}_Y^!\mathcal G)$$ als das Inverse der Komposition $$\begin{array}{llll} c_*(\op{pr}_X^*\mathcal F{\Rrightarrow} \op{pr}_Y^!\mathcal G)&\sira & b_*\op{pr}_{Y*}(\op{pr}_X^*\mathcal F{\Rrightarrow} \op{pr}_Y^!\mathcal G)&\text{mit einer Identifikation,}\\ &\sira & b_*(\op{pr}_{Y!}\op{pr}_X^*\mathcal F{\Rrightarrow} \mathcal G)&\text{mit Verdierdualit"at \ref{rVDe},}\\ &\sira & b_*(b^*a_!\mathcal F{\Rrightarrow} \mathcal G)&\text{mit Basiswechsel,}\\ &\sira & a_!\mathcal F{\Rrightarrow} b_*\mathcal G&\text{mit \ref{ngtR}.} \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im folgenden interessieren wir uns f"ur st"arkere Aussagen im speziellen Fall der Garben von $k$-Moduln f"ur einen festen Kring $k$ auf topologischen R"aumen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ hei"se {\bf garbengut},\index{garbengut!Abbildung} wenn jede Umgebung von $x\in X$ so zu einer offenen Umgebung $U\co X$ verkleinert werden kann, da"s es $V\co Y$ gibt mit und $f(U)\subset V$ und $f:U\ra V$ bagazyklisch. \end{Definition} \begin{Beispiel} Jede offene Einbettung ist garbengut. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Ein topologischer Raum hei"se {\bf garbengut!Raum}, wenn die konstante Abbildung von unserem Raum auf den Einpunktraum garbengut ist. Ein topologischer Raum ist per definitionem garbengut genau dann, wenn er offenlokal bagazyklisch ist. Jeder offenlokal zusammenziehbare Raum ist garbengut, da nach \ref{zgsaf} jeder zusammenziehbare Raum bagazyklisch ist. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die geometrische Realisierung $\Delta (\cal{K})$ eines\label{LZSz} Simplizialkomplexes $(E,\cal{K})$ ist stets offenlokal zusammenziehbar: Jede Umgebung eines jeden Punktes kann in anderen Worten einer offenen zusammenziehbaren Umgebung desselben Punktes verkleinert werden. Insbesondere ist jede komplexe algebraische Variet"at mit ihrer analytischen Topologie offenlokal zusammenziehbar, denn nach \cite{HiPo} ist jede algebraische Teilmenge eines $\DC^n$ hom"oomorph zur geometrischen Realisierung eines Simplizialkomplexes. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Es ist leicht zu sehen, da"s die Verkn"upfung garbenguter Abbildungen stets wieder garbengut ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Garbeng"ute ist lokal in der Basis}] Es ist leicht zu sehen, da"s eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ genau dann garbengut ist, wenn $Y$ ein "Uberdeckung durch offene Teilmengen $B\co Y$ besitzt derart, da"s $f:f^{-1}(B)\ra B$ jeweils garbengut ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{R"uckzug garbenguter Abbildungen}] In einem kartesischen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X\times_YZ\ar[d]_-{g}\ar[r]^-{q} & X \ar[d]^-f\\ Z \ar[r]^-{p} & Y } \end{displaymath} mit $p$ garbengut ist auch $q$ garbengut. Sei in der Tat $(x,z)\in X\times_YZ$ gegeben. Jede Umgebung von $(x,z)$ kann verkleinert werden zu einer Umgebung der Gestalt $A\times_YC$ mit $A\co X$ und $C\co Z$ derart, da"s es $B\co Y$ gibt mit $p(C)\subset B$ und\label{rzGG} $p:C\ra B$ bagazyklisch. Wir d"urfen zus"atzlich $f(A)\subset B$ annehmen und dann entsteht $A \times_YC\ra A$ durch Basiswechsel aus $f:C\ra B$ und ist folglich auch bagazyklisch. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die Lokalit"at in der Basis zusammen mit der Stabilit"at unter R"uckzug zeigen, da"s jedes Faserb"undel mit garbenguter Faser garbengut ist. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Garbenguter Basiswechsel}] Sind in einem kartesischen Diagramm von topologischen R"aumen $f q=p g$ die Horizontalen\label{DGFBW} $p,q$ garbengut, so ist der Basiswechsel auf den derivierten Kategorien von abelschen Garben eine Isotransformation $$p^{\ast} f_{\ast} \siRa g_{\ast} q^{\ast} $$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} In \eref{DGF}{TG} hatten wir eine Variante \index{(dort "uberarbeiten!)} diskutiert, die ohne derivierte Kategorien auskommt und stattdessen eine Aussage "uber die Folge der h"oheren derivierten Funktoren macht. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Gegeben $\mathcal F\in\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ reicht es nach unserem Verschwindungskriterium \ref{VersKK} zu zeigen, da"s jeder Punkt aus dem Definitionsbereich von $p$ ein Fundamentalsystem von offenen Umgebungen hat derart, da"s f"ur $j$ die Einbettung der fraglichen Umgebungen unser Morphismus einen Isomorphismus $$\op{fin}_*j^*p^{\ast} f_{\ast} \mathcal F\sira \op{fin}_*j^*g_{\ast} q^{\ast} \mathcal F$$ induziert, f"ur $\op{fin}$ die konstante Abbildung auf den Einpunktraum. Da wir $p$ garbengut angenommen haben, finden wir ein Fundamentalsystem von offenen Umgebungen $U\co Z$ und zugeh"orige $V\co Y$ mit $p(U)\subset V$ und $p:U\ra V$ bagazyklisch. So k"onnen wir uns darauf zur"uckziehen, im Fall eines kartesischen Diagramms mit bagazyklischen Horizontalen $p,q$ zu zeigen, da"s der Basiswechsel Isomorphismen $$p_*p^{\ast} f_{\ast} \mathcal F\sira p_*g_{\ast} q^{\ast} \mathcal F$$ induziert. Das ist aber klar, da ja gilt $p_*g_{\ast}=f_*q_*$ und da nach Annahme die Einheiten der Adjunktion Isomorphismen $\op{id}\siRa p_*p^*$ und $\op{id}\siRa q_*q^*$ sind. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Garbenguter R"uckzug von internem Hom}] Gegeben eine garbengute Abbildung $f:X\ra Y$ ist f"ur alle $\mathcal E,\mathcal G\in\op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ der nat"urliche Morphismus aus \ref{fuiH} ein Isomorphismus\label{OLHo} $$f^*(\mathcal E{\Rrightarrow}\mathcal G)\sira(f^*\mathcal E{\Rrightarrow}f^*\mathcal G) $$ \end{Proposition} \nichtfinal{Hier ist wichtig, da"s der Koeffizientenring sich nicht "andert. Andernfalls braucht man mindestens gewisse Endlichkeitsbedingungen an die beteiligte Kringerweiterung, vielleicht da"s $A$ ein endlich erzeugter projektiver $B$-Modul ist.} \begin{proof} Ich erinnere daran, da"s nach \ref{vRiH} offener R"uckzug mit internem Hom vertauscht. Mit dem Verschwindungskriterium \ref{VersKK} k"onnen wir uns auf den Nachweis beschr"anken, da"s f"ur $f:X\ra Y$ bagazyklisch der obige Morphismus einen Isomorphismus $f_*f^*(\mathcal E{\Rrightarrow}\mathcal G)\sira f_*(f^*\mathcal E{\Rrightarrow}f^*\mathcal G) $ induziert. Da jedoch die Einheit der Adjunktion in diesem Fall eine Isotransformation $\op{id}\siRa f_* f^*$ ist, reicht es zu zeigen, da"s das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ f_*f^*(\mathcal E{\Rrightarrow}\mathcal G) \ar[r] & f_*(f^*\mathcal E{\Rrightarrow}f^*\mathcal G)\\ (\mathcal E{\Rrightarrow}\mathcal G) \ar[r]^-\sim \ar[u]^\wr& (\mathcal E{\Rrightarrow}f_*f^*\mathcal G)\ar[u]^\wr } \end{displaymath} kommutiert mit der rechten Vertikale aus \ref{ngtR}. Um das zu sehen, d"urfen wir die Adjunktion anwenden und statt beiden $f_*$ in der oberen Horizontale vor beide Ausdr"ucke der unteren Horizontale ein $f^*$ davorschreiben. Dann steht in der linken Vertikale die Identit"at und die Kommutativit"at folgt aus der Definition der beteiligten Morphismen. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Vorschub und externes Produkt}] Seien $S$ garbengut und\label{SrpV} $f:X\ra Y$ stetig und $k$ ein Kring. Seien zus"atzlich $\mathcal E\in \op{Der}(\op{Ab}_{/(S,k)})$ starr und $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/(Y,k)})$ beliebig. So ist der Morphismus aus \ref{fuiBP} ein Isomorphismus $$\mathcal E\boxtimes f_*\mathcal F\sira (\op{id}\times f)_*(\mathcal E\boxtimes \mathcal F)$$ \end{Korollar} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vorschub und relatives externes Produkt}] Ist allgemeiner $S\ra Z$ garbengut und $Y\ra Z$ stetig, so ist genauso der Morphismus aus \ref{fuiBP} ein Isomorphismus $$\mathcal E\boxtimes_Z f_*\mathcal F\sira (\op{id}\times f)_*(\mathcal E\boxtimes_Z \mathcal F)$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir notieren $\op{pr}_{A,B}:A\times B\ra B$ und $\op{pr}_{B,A}:A\times B\ra A$ die Projektionen und faktorisieren den in \ref{fuiBP} gegebenen Morphismus als die Komposition von Isomorphismen $$\begin{array}{llll} \mathcal E\boxtimes f_*\mathcal F&=& \op{pr}_{Y,S}^*\mathcal E\otimes \op{pr}_{S,Y}^* f_*\mathcal F&\text{per definitionem,}\\ &\sira& \op{pr}_{Y,S}^*\mathcal E\otimes (\op{id}\times f)_*\op{pr}_{S,X}^*\mathcal F&\text{Basiswechsel \ref{DGFBW},}\\ &\sira& (\op{id}\times f)_*\big( (\op{id}\times f)^*\op{pr}_{Y,S}^*\mathcal E\otimes\op{pr}_{S,X}^*\mathcal F\big)&\text{mit Starrheit \ref{fui},}\\ &\sira& (\op{id}\times f)_*( \op{pr}_{X,S}^*\mathcal E\otimes\op{pr}_{S,X}^*\mathcal F)&\text{mit Identifikation,}\\ &=& (\op{id}\times f)_*( \mathcal E\boxtimes \mathcal F)&\text{per definitionem.}\\ \end{array}$$ Genauer verwenden wir garbenguten Basiswechsel \ref{DGFBW} und die starre Projektionsformel \ref{fui}. Da"s die im Beweis gegebene Komposition in der Tat mit dem in \ref{fuiBP} angegebenen Morphismus zusammenf"allt, mag einmal ein Student pr"ufen. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Zweifacher Vorschub und externes Produkt}] Gegeben seien stetige Abbildungen $f_1:X_1\ra Y_1$ und $f_2:X_2\ra Y_2$ mit $X_1,Y_2$ garbengut und $k$ ein Kring. So ist f"ur $\mathcal F_i\in \op{Der}(\op{Ab}_{/(Y_i,k)})$ mit $\mathcal F_1$ starr und $f_{2*}\mathcal F_2$ starr der Morphismus aus \ref{fuiBP} ein Isomorphismus\label{zfexV} $$f_{1*}\mathcal F_1\boxtimes f_{2*}\mathcal F_2\sira (f_1\times f_2)_*(\mathcal F_1\boxtimes \mathcal F_2)$$ \end{Korollar} \begin{proof} Man wende das vorhergehende Korollar \ref{SrpV} zweimal an. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zweifacher Vorschub und relatives externes Produkt}] Gegeben stetige Abbildungen $f_1:X_1\ra Y_1$ und $f_2:X_2\ra Y_2$ "uber einem festen Raum $Z$ mit $X_1\ra Z$ und $Y_2\ra Z$ garbengut und $k$ ein Kring ist f"ur $\mathcal F_i\in \op{Der}(\op{Ab}_{/(Y_i,k)})$ mit $\mathcal F_1$ starr und $f_{2*}\mathcal F_2$ starr mit demselben Argument wie beim Beweis von \ref{zfexV} der Morphismus aus \ref{fuiBP} ein Isomorphismus\label{zfexVv} $$f_{1*}\mathcal F_1\boxtimes_Z f_{2*}\mathcal F_2\sira (f_1\times f_2)_*(\mathcal F_1\boxtimes_Z \mathcal F_2)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Kohomologie eines Produkts}] Seien $X,Y$ topologische R"aume und $k$ ein Kring. Bezeichne $a:X\ra\op{pt}$ und $b:Y\ra\op{pt}$ und $c:X\times Y\ra \op{pt}$ die konstanten Abbildungen. Wir nehmen an, $X$ sei garbengut und $b_*\underline{Y}$ sei starr.\label{KohP} So ist der Morphismus aus \ref{fuiBP} ein Isomorphismus $$a_*\underline{X}\otimes b_*\underline{Y} \sira c_*(\underline{X\times Y})$$ \end{Korollar} \begin{proof} Wir wenden das vorhergehende Korollar \ref{zfex} an mit $X_1=X$ und $X_2=Y$ und $Y_1=Y_2$ der Einpunktraum. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Relative K"unnethformel}] Seien $a:X\ra Z$ garbengut und $b:Y\ra Z$ stetig und $c:X\times_Z Y\ra Z$ die offensichtliche Abbildung und $k$ ein Kring. Ist zus"atzlich $b_*\underline{Y}$ starr, so ist der Morphismus aus \ref{fuiBP} ein Isomorphismus $$a_*\underline{X}\otimes_Z b_*\underline{Y} \sira c_*(\underline{X\times_Z Y})$$ \end{Bemerkungl} %\nichtfinal{Nochmal durchsehen, da ist manches doppelt!} % Wenn wir gar keine Starrheitsannahmen machen, erhalten wir nur noch mit \ref{ngtR} und gefasertem Basiswechsel Isomorphismen % $$c_*(\op{pr}_{X}^*\mathcal F{\Rrightarrow} \op{pr}_{Y}^*\mathcal G) % \sira % a_*(\mathcal F{\Rrightarrow} \op{pr}_{X*}\op{pr}_{Y}^*\mathcal G) % \sira % a_*(\mathcal F{\Rrightarrow} a^*b_*\mathcal G) % $$ \begin{Bemerkungl} F"ur beliebige topologische R"aume $X,Y$ und jeden Kring $k$ liefert der R"uckzug auf der Kohomologie einen Ringhomomorphismus $${\op{H}}^*(X;k)\bar{\otimes} {\op{H}}^*(Y;k)\ra {\op{H}}^*(X\times Y;k)$$ mit $(u,v)\mapsto u\times v \pdef\op{pr}_X^*(u)\cup \op{pr}_Y^*(v)$. Hier meint $\bar{\otimes}$ das f"ur Monoidobjekte der Schmelzkatgorie der supergraduierten $k$-Moduln zu verstehende Tensorprodukt \eref{stMMx}{TSK}, also das "ubliche Tensorprodukt von graduierten $k$-Moduln Gruppen mit einer Vorzeichenregel f"ur der Multiplikation von zwei Tensoren. Dieser Ringhomomorphismus hei"st das {\bf Kreuzprodukt der Garbenkohomologie}.\index{Kreuzprodukt!der Garbenkohomologie} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{K"unnethformel der Garbenkohomologie}] Seien $X,Y$ topologische R"aume und $k$ ein Kring. Ist $X$ garbengut und sind alle ${\op{H}}^q( Y)$ projektive $k$-Moduln, so konstruieren wir im folgenden Beweis einen Isomorphismus $$\bigoplus_{p+q=n}{\op{H}}^p(X;{\op{H}}^q(Y;k))\sira {\op{H}}^n(X\times Y;k)$$ Sind zus"atzlich alle ${\op{H}}^q( Y;k)$ endlich erzeugt, so induziert das Kreuzprodukt der Kohomologie Isomorphismen\label{KuFEF} $$\bigoplus_{p+q=n}{\op{H}}^p(X;k)\otimes_k {\op{H}}^q( Y;k)\sira {\op{H}}^n(X\times Y;k)$$ \end{Satz} \begin{proof} Garbenguter Basiswechsel \ref{DGFBW} im kartesischen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X\times Y \ar[d]_-{\op{pr}_X}\ar[r]^-{\op{pr}_Y} &Y \ar[d]^-b\\ X \ar[r]^-{a} & \op{top} } \end{displaymath} liefert einen Isomorphismus $a^*b_*\underline{Y}\sira \op{pr}_{X*}\op{pr}_{Y}^*\underline{Y}$ und so einen Isomorphismus $a_*a^*b_*\underline{Y}\sira \op{fin}_{*}\underline{X\times Y}$. Sind alle ${\op{H}}^q(Y;k)$ projektive $k$-Moduln, so gibt es nach \eref{KpH}{TD} genau einen Morphismus $s:\mathcal H b_*\underline{Y}\ra b_*\underline{Y}$ in der derivierten Kategorie derart, da"s $\mathcal H s:\mathcal H\mathcal H b_*\underline{Y}\ra \mathcal H b_*\underline{Y}$ der offensichtliche Isomorphismus ist, und dieser Morphismus ist offensichtlich selber ein Isomorphismus $$s:\mathcal H b_*\underline{Y}\sira b_*\underline{Y}$$ Nach \eref{PderKi}{TD} ist $a^*b_*\underline{Y}$ das Produkt der $[-q]a^*{\op{H}}^q(Y;k)$. Als Rechtsadjungierter macht $a_*$ Produkte zu Produkten. Da Produkte in derivierten Modulkategorien nach \eref{PrDeM}{TD} gliedweise berechnet werden k"onnen und mit dem Bilden der Homologie vertauschen, folgen die Isomorphismen des Satzes. Eine Kohomologieklasse $\beta\in {\op{H}}^r(Y;k)$ entspricht einem Morphismus $\beta: \underline{Y}\ra [r]\underline{Y}$. Indem wir seinen Effekt unter unseren Konstruktionen verfolgen, erhalten wir auch ohne irgendwelche Annahmen an $X$ die rechte H"alfte eines kommutativen Diagramms $$\begin{array}{ccccc} {\op{H}}^p(X;k)\otimes_k{\op{H}}^q(Y;k)&\ra&{\op{H}}^p(X;{\op{H}}^q(Y;k))&\ra& {\op{H}}^{p+q}(X\times Y;k)\\[1mm] \da \op{id}\otimes(\cup\beta)&& \da \cup\beta&&\da \cup\op{pr}_Y^*\beta\\[1mm] {\op{H}}^p(X;k)\otimes_k{\op{H}}^{q+r}(Y;k)&\ra&{\op{H}}^p(X;{\op{H}}^{q+r}(Y;k))&\ra& {\op{H}}^{p+q+r}(X\times Y;k) \end{array}$$ Das linke Quadrat entsteht aus dem Morphismus $$a_*\underline{X}\otimes \mathcal F\ra a_*(\underline{X}\otimes a^* \mathcal F)\sira a_* a^*\mathcal F$$ nach \ref{fuiHS}, indem wir zu $\mathcal F$ zu $[0]{\op{H}}^q(Y;k)$ spezialisieren und $\mathcal H^p$ anwenden und den Morphismus \ref{gHsf} vom Tensorprodukt der Homologien zur Homologie des Tensorprodukts vorschalten. Indem wir die Bilder von $\alpha\otimes 1$ verfolgen, erkennen wir, da"s die Kompositionen in den Horizontalen das Kreuzprodukt der Kohomologie sein m"ussen. Ist ${\op{H}}^q(Y;k)$ endlich erzeugt projektiv, so ist es starr und flach und die eben konstruierten Morphismen erweisen sich als Isomorphismen nach der starren Projektionsformel \ref{fui} und der $\otimes$-Entfaltetheit flacher Objekte und der zweite Teil des Satzes folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir k"onnen die zweite Aussage auch direkt aus dem in \ref{KohP} konstruierten Isomorphismus $a_*\underline{X}\otimes b_*\underline{Y} \sira c_*(\underline{X\times Y})$ ableiten. Unter den gegebenen Annahmen haben wir n"amlich, wie im vorhergehenden Beweis ausgef"uhrt, einen expliziten Isomorphismus $$\textstyle\bigoplus_q [-q]{\op{H}}^q(Y;k)\sira b_*\underline{Y}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Varianten zur K"unnethformel}] Fordern wir keine speziellen Eigenschaften von $X$, fordern aber weiter die Projektivit"at aller ${\op{H}}^q(Y;k)$, so liefern die Konstruktionen unseres Beweises Morphismen $\bigoplus_{p+q=n}{\op{H}}^p(X;{\op{H}}^q(Y;k))\ra {\op{H}}^n(X\times Y;k)$, die aber im allgemeinen keine Isomorphismen mehr zu sein brauchen. Fordern wir andererseits $X$ garbengut und fordern keine speziellen Eigenschaften von $Y$, fordern aber, da"s unser Koeffizientenkring $k$ erblich sein soll, so liefern die Konstruktionen unseres Beweises zusammen mit \eref{DKHa}{TD} weiter die Existenz von Isomorphismen\label{VarKK} $$\textstyle\bigoplus_{p+q=n}{\op{H}}^p(X;{\op{H}}^q(Y;k))\sira {\op{H}}^n(X\times Y;k)$$ Wir k"onnen aber ohne zus"atzliche Wahlen keinen derartigen Isomorphismus auszeichnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Aus \ref{KuFd} mag man zum Vergleich die K"unnethformel f"ur die kompakte Kohomologie erinnern. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Nullte Garbenkohomologie eines Produkts}] Im Fall $n=0$ liefert die Konstruktion der konstanten Garbe $k$ Isomorphismen ${\op{H}}^0(X;k)\sira \op{Top}(X,k)$ f"ur jede diskrete Gruppe $k$ und $\op{Top}(X,k)$ die Menge der stetigen Abbildungen von $X$ nach $k$. In diesem Fall liefert unser Satz unter gewissen Zusatzannahmen, die sich in diesem Fall auch noch als "uberfl"ussig erweisen, die vom Exponentialgesetz nach Lemma \ref{topEV} induzierten Abbildungen $$\op{Top}(X,\op{Top}(Y,k))\ra \op{Top}(X\times Y,k)$$ Wir zeigen in \ref{topEV}, da"s unsere Abbildungen f"ur lokal zusammenh"angendes $X$ sogar bijektiv sind. In dem Fall schlie"slich, da"s $X$ nur endliche viele Zusammenhangskomponenten hat, liefert $\boxtimes$ offensichtlich einen Isomorphismus $$\op{Top}(X,k)\otimes_k\op{Top}(Y,k)\sira \op{Top}(X\times Y,k)$$ \end{Beispiel} \begin{Lemma}[\textbf{Variante zum topologischen Exponentialgesetz}] Gegeben topologische R"aume $X,Y,D$ mit $D$ diskret induziert das Exponentialgesetz f"ur Mengen eine Abbildung $\op{Top}(X,\op{Top}(Y,D))\ra \op{Top}(X\times Y,D)$. Ist $X$ lokal zusammenh"angend, so ist unsere Abbildung eine Bijektion\label{topEV} $$\op{Top}(X,\op{Top}(Y,D))\sira \op{Top}(X\times Y,D)$$ \end{Lemma} \begin{proof} Sei $F:X\ra \op{Top}(Y,D)$ stetig und $f:X\times Y\ra D$ das Bild von $F$. Nach Annahme besitzt jedes $x\in X$ eine Umgebung $U$, auf der $F$ konstant ist. Nach Annahme besitzt jedes $y\in Y$ eine Umgebung $V$, auf der $F(x)$ konstant ist. Dann ist auch $(x',y')\mapsto (F(x'))(y')=f(x',y')$ konstant auf $U\times V$ und damit $f$ stetig f"ur die Produkttopologie. Ist umgekehrt $f:X\times Y\ra D$ stetig, so gibt es f"ur alle $(x,y)\in X\times Y$ Umgebungen $U_{(x,y)}\subset X$ von $x$ und $V_{(x,y)}\subset Y$ von $y$ derart, da"s $f$ konstant ist auf $U_{(x,y)}\times V_{(x,y)}$. Gibt es eine zusammenh"angende Umgebung $U_x$ von $x$, so mu"s $f$ sogar konstant sein auf $U_{x}\times V_{(x,y)}$ alias $f(x',y)=f(x,y)\;\forall x'\in U_x$ und $y\in Y$. Das hinwiederum zeigt, da"s auch $F:x\mapsto (y\mapsto f(x,y))$ lokal konstant sein mu"s. \end{proof} \begin{Satz*}[\textbf{Leray-Hirsch}] Gegeben $X\ra Y$ ein Faserb"undel\index{Leray-Hirsch}\label{LeHi} "uber einem garbenguten Raum und $k$ ein Kring und $c_1,\ldots, c_n\in {\op{H}}^{*}(X;k)$ homogene Klassen, deren R"uckz"uge f"ur alle $y\in Y$ eine Basis der Kohomologie $ {\op{H}}^{*}(X_y;k)$ der Faser bilden, bilden $c_1,\ldots, c_n$ auch eine Basis von ${\op{H}}^{*}(X;k)$ als ${\op{H}}^{*}(Y;k)$-Modul. \end{Satz*} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $p:X\ra Y$ die Projektion. Eine Klasse $c\in {\op{H}}^{q}(X;k)$ k"onnen wir nach \eref{GTH}{TD} auffassen als einen Morphismus $c : p^{\ast} \underline{Y} \ra \underline{X}[q]$ in der derivierten Kategorie der Garben von $k$-Moduln auf $X$. Die Zeilenmatrix $(c_1, \ldots , c_n)$ liefert so einen Homomorphismus $$\textstyle \bigoplus^{n}_{i=1} \underline{Y} [-q(i)] \ra p_{\ast} \underline{X}$$ Unser Satz folgt, wenn wir nachweisen, da"s er ein Quasiisomorphismus ist. Dazu d"urfen wir aber unser Faserb"undel als trivial annehmen und dann folgt die Behauptung aus garbengutem Basiswechsel \ref{DGFBW}. \end{proof} \begin{Satz*}[\textbf{Leray-Hirsch, Variante}] Gegeben $X\ra Y$ ein Faserb"undel\index{Leray-Hirsch!Variante} "uber einem garbenguten Raum und $k$ ein Kring und $s\in\DN$ und homogene Kohomologieklassen $c_i\in {\op{H}}^{q(i)}(X;k)$ f"ur $i=1,\ldots,n$, deren R"uckz"uge\label{LeHiV} f"ur alle $y\in Y$ eine Basis der abgeschnittenen Kohomologie $ {\op{H}}^{\leq s}(X_y;k)$ der Faser bilden, induziert die durch Multiplikation mit $c_1,\ldots, c_n$ gegebene Abbildung in allen Graden $\leq s$ einen Isomorphismus $$\textstyle\bigoplus_{i=1}^n{\op{H}}^{*}(Y;k)[-q(i)] \ra {\op{H}}^{*}(X;k)$$ \end{Satz*} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $p:X\ra Y$ die Projektion. Eine Klasse $c\in {\op{H}}^{q}(X;k)$ k"onnen wir nach \eref{GTH}{TD} auffassen als einen Morphismus $c : p^{\ast} \underline{Y} \ra \underline{X}[q]$ in der derivierten Kategorie der abelschen Garben auf $X$. Die Zeilenmatrix $(c_1, \ldots , c_n)$ liefert so einen Homomorphismus $$\textstyle \bigoplus^{n}_{i=1} \underline{Y} [-q(i)] \ra \tau^{\leq s}p_{\ast} \underline{X}$$ Unser Satz folgt, wenn wir nachweisen, da"s er ein Quasiisomorphismus ist. Dazu d"urfen wir aber unser Faserb"undel als trivial annehmen und dann folgt die Behauptung aus garbengutem Basiswechsel \ref{DGFBW}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir nennen einen Morphismus $f:(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$ von gekringten R"aumen {\bf flach}, wenn f"ur alle $x\in X$ der Halm $\mathcal A_x$ ein flacher $\mathcal B_{f(x)}$-Modul ist. Wir nennen ihn {\bf starr},\index{starr!Morphismus gekringter R"aume} wenn $\mathcal A$ starr ist in der Schmelzkategorie $\op{Der}_{(X,f^*\mathcal B)}$. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Ab hier auf garbengut umschreiben!} \begin{Satz}[\defind{Derivierter gefaserter Basiswechsel in gekringten R"aumen}] Sind in einem kartesischen Diagramm von gekringten R"aumen $f q=p g$ die Horizontalen\label{DGFBWgk} $p,q$ starr und garbengut und sind die Vertikalen flach, so ist der Basiswechsel auf den derivierten Kategorien von Modulgarben eine Isotransformation $$p^{\ast} f_{\ast} \siRa g_{\ast} q^{\ast} $$ \end{Satz} \begin{proof} Wir bemerken zun"achst, da"s jeder Morphismus $(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$ von gekringten R"aumen faktorisiert als $(X,\mathcal A)\ra (X,f^*\mathcal B)\ra (Y,\mathcal B)$. Jedes kartesische Quadrat von gekringten R"aumen l"a"st sich mithin erhalten als Verklebung der vier kartesischen Quadrate \begin{displaymath} \xymatrix{ (W,g^*\mathcal C\otimes_{v^*\mathcal B}q^*\mathcal A)\ar[r]\ar[d] & (W,q^*\mathcal A)\ar[d]\ar[r]^q & (X,\mathcal A) \ar[d] \\ (W,g^*\mathcal C)\ar[d]^g\ar[r] & (W,v^*\mathcal B)\ar[d]^g\ar[r]^q & (X,f^*\mathcal B) \ar[d]_f\\ (Z,\mathcal C)\ar[r] & (Z,p^*\mathcal B)\ar[r]^p & (Y,\mathcal B) } \end{displaymath} Hier schreiben wir $v=pg=fq$ und die Sternchen meinen R"uckz"uge von Kringgarben. Es reicht also, f"ur jedes dieser vier kartesischen Quadrate zu pr"ufen, da"s der Basiswechsel f"ur Modulgarben ein Isomorphismus ist. Im Quadrat oben links geht es nur um Beziehungen zwischen Restriktion und Erweiterung von Skalaren, da folgt die Behauptung aus der Voraussetzung der Flachheit der $\mathcal A_x$ "uber $\mathcal B_{f(x)}$, die dazu f"uhrt, da"s jeder quisflache Komplex von $\mathcal A$-Modulgarben zu einem quisflachen Komplex von $\mathcal B$-Modulgarben restringiert. Im Quadrat oben rechts werden nur Kringoperationen zur"uckgezogen und die Behauptung ist klar. Im Quadrat unten rechts steht unser gew"ohnlicher garbenguter Basiswechsel f"ur abelsche Garben, die zus"atzliche Struktur als Modulgarben ist irrelevant nach \ref{VeVS}. Im Quadrat unten links schlie"slich k"onnen wir die starre Projektionsformel \ref{fui} anwenden. \end{proof} \newpage \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Wir diskutieren \ref{VarKK} noch etwas weiter. Gegeben topologische R"aume $X,Y$ mit $X$ garbengut und ein erblicher Kring $k$ betrachten wir zum zum Komplex $B\pdef b_*\underline{Y}$ von $k$-Moduln das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ &[-q]\mathcal H^{q}B\ar[dl]^-{[1]}_0&&[-(q+1)]\mathcal H^{q+1}B\ar[dl]^-{[1]}_0&\\ \ldots \tau^{\leq q-1}B\ar[rr]&&\tau^{\leq q}B\ar[rr]\ar[ul] &&\tau^{\leq q+1}B\ar[ul]\ldots } \end{displaymath} betrachten. Die Morphismen vom Grad Eins der ausgezeichneten Dreicke verschwinden wie angedeutet nach \eref{DKHa}{TD}, da wir $k$ erblich angenommen haben. Alle Morphismen der unteren Horizontalen sind also spaltende Einbettungen in der additiven Kategorie $\op{Der}(\op{Mod}_k)$. Wenden wir auf dieses Diagramm $\mathcal H^n a_*a^*$ an, so erhalten wir eine gradweise unkanonisch spaltende Filtrierung von $\mathcal H^n a_*a^* b_*\underline{Y}={\op{H}}^n(X\times Y;k)$ und einen kanonischen Isomorphismus $$\op{gr}{\op{H}}^n(X\times Y:k)\ra \bigoplus_{p+q=n}{\op{H}}^p( X;{\op{H}}^q(Y;k))$$ Es ist eine gute "Ubung zu zeigen, da"s unsere Filtrierung den Kohomologiering des Produkts zu einem filtrierten Ring macht und da"s unser kanonischer Isomorphismus ein Ringhomomorphismus wird, wenn wir die Multiplikation rechts erkl"aren, indem wir das Produkt $${\op{H}}^p( X;K)\times {\op{H}}^q( X;L)\ra {\op{H}}^{p+q}( X;K\otimes L)$$ aus \ref{cpKO} mit $K={\op{H}}^k(Y)$ und $L={\op{H}}^l(Y)$ anwenden und den Effekt des Cup-Produkts ${\op{H}}^k(Y)\otimes {\op{H}}^l(Y)\ra {\op{H}}^{k+l}(Y)$ nachschalten. \end{Ubung} \subsection{Gysinsequenz f"ur Sph"arenb"undel} \nichtfinal{Hier sinnvoll?} \begin{Bemerkungl} Gegeben $n\geq 1$ und $U\co \DR^{n+1}$ der offene Einheitsball liefern die Lokalisierungssequenz der kompakten Kohomologie \eref{LokSS}{TG} und die Beschreibung \eref{kkRn}{TG} der kompakten Kohomologie von $\DR^{n+1}$ und $U$ als lokale Kohomologie in Bezug auf einen beliebigen Punkt eine Folge von Isomorphismen $${\op{H}}^n_!(S^n)\sira{\op{H}}^{n+1}_!(U)\sira{\op{H}}^{n+1}_!(\DR^{n+1})$$ Das Urbild unseres ausgezeichneten Erzeugers aus \eref{ausGe}{TG} ganz rechts nehmen wir als unseren ausgezeichneten Erzeuger von ${\op{H}}^n_!(S^n)$. Die nat"urlichen Isomorphismen ${\op{H}}^n_{\{x\}}(S^n)\sira {\op{H}}^n_!(S^n)$ liefern dann eine Orientierung auf $S^n$, die wir unsere {\bf ausgezeichnete Orientierung} nennen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einem {\bf Sph"arenb"undel}\index{Sph"arenb"undel} auf einem topologischen Raum $X$ versteht man ein \hyperref[FaBue]{Faserb\"undel} $\pi:E\ra X$ mit einer Sph"are $S^n$ als Faser. Unter einer {\bf Orientierung} eines \index{Orientierung!von Sph"arenb"undel} Sph"arenb"undels einer Faserdimension $\geq 1$ versteht man die Vorgabe einer \hyperref[orGG]{Orientierung} im Sinne von \eref{orGG}{TG} auf jeder Faser derart, da"s es einen \hyperref[FaBue]{B\"undelatlas} gibt, unter dessen \hyperref[FaBue]{B\"undelkarten} $U\times S^n\ra E$ diese Orientierung stets unserer ausgezeichneten Orientierung auf $S^n$ entspricht. Ein Sph"arenb"undel, das mindestens eine Orientierung besitzt, hei"st {\bf orientierbar}.\index{orientierbar!Sph"arenb"undel} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Gysin-Sequenz}] Gegeben $\pi:E\ra X$ ein orientierbares Sph"arenb"undel einer Faserdimension $n\geq 1$ gibt es eine Klasse $c\in{\op{H}}^{n+1}(X)$ und eine lange exakte Sequenz der Gestalt\label{GySo} $$\ldots\ra{\op{H}}^q(X)\ra {\op{H}}^q(E)\ra {\op{H}}^{q-n}(X) \ra {\op{H}}^{q+1}(X)\ra\ldots$$ mit dem Zur"uckholen als erstem Morphismus und dem \hyperref[GTH]{cup-Produkt} $c\;\cup $ als drittem Morphismus. \end{Satz} \begin{Bemerkungw} \nichtfinal{Pa"st hier nicht!} Wenn der folgende Beweis noch etwas unbeholfen wirkt, so ist das durchaus in meinem Sinne. Er soll n"amlich unter anderem die Sprache der \glqq derivierten Funktoren ${\op{R}}\pi_\ast:\op{Der}(\op{Ab}_{/E})\ra\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$\grqq\ motivieren, die wir im kommenden Abschnitt \ref{DerfF} einf"uhren und in der er einfacher zu formulieren sein wird, vergleiche \ref{GySon}. Im folgenden Beweis werden wir sogar zu jeder Orientierung unseres Sph"arenb"undels eine Klasse $c$ wie im Satz konstruieren und sie die \glqq Eulerklasse\grqq\ unseres orientierten Sph"arenb"undels nennen. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Sei $\DZ_E\hra \mathcal I^\lhd$ eine injektive Aufl"osung. Wir haben also nat"urliche Isomorphismen ${\op{R}}^q\pi_*\DZ_E \sira \mathcal H^q\pi_*\mathcal I^\lhd$. Da unsere Sph"aren zusammenh"angend sind, liefert die Einheit Adjunktion $(\pi^*,\pi_*)$ den ersten Isomorphismus einer Sequenz von nat"urlichen Isomorphismen $$\DZ_X\sira \pi_*\pi^*\DZ_X\sira \pi_*\DZ_E$$ Derivierter eigentlicher Basiswechsel \eref{OEBA}{TG} im kartesischen Diagramm bestehend aus $U\times S^n$ mit den Projektionen auf die Faktoren und den einpunktigen Raum zeigt weiter, da"s ${\op{R}}^n\pi_*\DZ_E$ lokal isomorph ist zu $\DZ_X$ und da"s gilt ${\op{R}}^q\pi_*\DZ_E=0$ f"ur $q\neq 0,n$. Der Kokern des Monomorphismus $[0]\DZ_X \hra \pi_*\mathcal I^\lhd$ von Garbenkomplexen hat also eine einzige von Null verschiedene Kohomologie und ist nach \ref{vtre} folglich isomorph in $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ zum Objekt $[-n]({\op{R}}^n\pi_*\DZ_E)$. Unsere Erkenntnisse \ref{Absch} zu Abschneidefunktoren liefern so ein ausgezeichnetes Dreieck $$\DZ_X\;\ra \;\pi_*\mathcal I^\lhd \;\ra\; [-n]({\op{R}}^n\pi_*\DZ_E) \;\ra\; [1]\DZ_X$$ in $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$. Es liefert nach \ref{Hhn} eine lange exakte Sequenz f"ur die Morphismen von $\DZ_X$ und seinen Verschiebungen in die Objekte unseres ausgezeichneten Dreiecks. Um diese Morphismen nach $\pi_*\mathcal I^\lhd$ zu berechnen, bemerken wir, da"s dieser Komplex aus injektiven Garben besteht. Nach \ref{DEIA} oder noch expliziter nach dem Ende seines Beweises und der Adjunktion $(\pi^*,\pi_*)$ liefern die offensichtlichen Abbildungen also Bijektionen \begin{displaymath} \xymatrix{\op{Der}_{\op{Ab}_{/X}}([q]\DZ_X,\pi_*\mathcal I^\lhd)&\op{Der}_{\op{Ab}_{/E}}([q]\DZ_E,\DZ_E)\ar[r]^-{\sim}&{\op{H}}^q(E)\\ \op{Hot}_{\op{Ab}_{/X}}([q]\DZ_X,\pi_*\mathcal I^\lhd)\ar[u]^{\wr}\ar[r]^{\sim} & \op{Hot}_{\op{Ab}_{/E}}([q]\pi^*\DZ_X,\mathcal I^\lhd)\ar[u]^{\wr}&} \end{displaymath} So erhalten wir eine lange exakte Sequenz $$\ldots\ra{\op{H}}^q(X)\ra {\op{H}}^q(E)\ra {\op{H}}^{q-n}(X;{\op{R}}^n\pi_*\DZ_E) \ra {\op{H}}^{q+1}(X)\ra\ldots$$ mit dem Zur"uckholen auf der Kohmologie als erster Abbildung. Ist unser B"undel orientierbar und w"ahlen wir eine Orientierung, so liefert diese Wahl einen Isomorphismus ${\op{R}}^n\pi_*\DZ_E\sira \DZ_X$ mit der konstanten Garbe auf $X$ und wir erhalten unsere Gysin-Sequenz. Die Konstruktion zeigt, da"s die dritte Abbildung darin das cup-Produkt $c\;\!\cup$ mit derjenigen Klasse in $c\in {\op{H}}^{n+1}(X)$ ist, die durch den entsprechenden Morphismus $[-n]\DZ_X\ra [1]\DZ_X$ in der derivierten Kategorie $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ aus dem ersten ausgezeichneten Dreieck bestimmt wird. Sie hei"st die {\bf Eulerklasse}\index{Eulerklasse} unseres orientierten Sph"arenb"undels. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Nocheinmal die Gysin-Sequenz}] Gegeben $\pi:E\ra X$ ein orientiertes Sph"arenb"undel einer Faserdimension $n\geq 1$ zeigen wir wie zu Beginn des Beweises in \ref{GySo}, da"s das ausgezeichnete Dreieck "uber der Einheit der derivierten Adjunktion $(\pi^*,\pi_*)$ die Gestalt\label{GySon} $$\DZ_X\ra \pi_*\pi^*\DZ_X\ra \DZ_X[-n]\stackrel{[1]}{\ra}$$ hat. Dr"ucken wir es deriviert herunter unter der konstanten Abbildung $c_X:X\ra\op{top}$ und verwenden unsere Isotransformation $ c_{X*}\pi_*\siRa c_{E*}$ aus \ref{IDVo}, so liefert es ein ausgezeichnetes Dreieck $$c_{X*}\DZ_X\ra c_{E*}\DZ_E\ra c_{X*}\DZ_X[-n]\stackrel{[1]}{\ra}$$ in $\op{Der}(\op{Ab})$. Wenn wir dazu die lange exakte Kohomologiesequenz bilden, steht unsere Gysinsequenz auch schon da. \end{Beispiel} \begin{Satz} Der R"uckzug unter der Einbettung der komplexen Diagonalmatrizen in die unit"are Gruppe ${\op{T}}(n)\hra {\op{U}}(n)$ induziert einen Isomorphismus\label{RchK} $${\op{H}}^*_{{{\op{U}}}(n)}(\op{top})\sira {\op{H}}^*_{{{\op{T}}}(n)}(\op{top})^{\mathcal S_n}$$ \end{Satz} \begin{proof} Den fraglichen Ringhomomorphismus hatten wir bereits in \ref{AQU} hergeleitet und diskutiert. Um zu zeigen, da"s er ein Isomorphismus ist, betrachten wir das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{{\op{T}}(n)\ar[rr]\ar[d]&&{\op{U}}(n)\ar[d]\\ {\op{T}}(n;\DC)\ar[r]&{\op{B}}(n;\DC)\ar[r]&{\op{GL}}(n;\DC)} \end{displaymath} mit ${\op{T}}(n;\DC)$ der Gruppe aller komplexen invertierbaren Diagonalmatrizen und ${\op{B}}(n;\DC)$ der Gruppe aller komplexen invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen und erhalten so ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{{\op{H}}^*_{{\op{T}}(n)}(\op{top})&&{\op{H}}^*_{{\op{U}}(n)}(\op{top})\ar[ll]\\ {\op{H}}^*_{{\op{T}}(n;\DC)}(\op{top})\ar[u]^\wr&{\op{H}}^*_{{\op{B}}(n;\DC)}(\op{top})\ar[l]_-\sim&{\op{H}}^*_{{\op{GL}}(n;\DC)}(\op{top})\ar[u]^\wr\ar[l]} \end{displaymath} mit den Isomorphismen nach \eref{EaeK}{TG} f"ur alle Einbettungen, bei denen der Quotient zusammenziehbar ist, was f"ur ${\op{U}}(n)\subset {\op{GL}}(n;\DC)$ etwa aus der Polarzerlegung folgt. Nun setzen wir $B\pdef{\op{B}}(n;\DC)$ und $G\pdef{\op{GL}}(n;\DC)$. Nach dem im Anschlu"s bewiesenen Lemma \ref{LeCV} reicht es zu zeigen, da"s ${\op{H}}^*_{B}(\op{top})$ ein freier Modul vom Rang $n!$ "uber ${\op{H}}^*_{G}(\op{top})$ ist. F"ur die Milnor-Konstruktion $E\pdef {\op{E}}G$ ist nun $$\pi: E/B\sra E/G$$ ein Faserb"undel mit der Fahnenmannigfaltigkeit $G/B$ als Faser. Aus \eref{BruZ}{LA2} erinnern wir die Bruhat-Zerlegung $$G/B = \coprod_{w \in \cal{S}_n} B w B/B$$ in die $B$-Bahnen. Aus \eref{BrOA}{TM} folgt, da"s jede $B$-Bahn offen ist in ihrem Abschlu"s. Da die Bahnen selbst nach \eref{RutT}{TM} hom"oomorph sind zu $\DC^{l(w)}$ und da die Fahnenmannigfaltigkeit nach \eref{FahM}{TM} kompakt ist, folgt mit der Lokalisierungssequenz der kompakten Kohomologie \eref{LokSS}{TG} unmittelbar $${\op{H}}^{2q}(G/B)\cong \bigoplus_{l(w)=q}\DZ$$ und ${\op{H}}^{2q+1}(G/B)=0$ f"ur alle $q$. Insbesondere ist ${\op{H}}^{*}(G/B)$ in den geraden Graden konzentriert und seine totale Kohomologie ist frei "uber $\DZ$ vom Rang $n!$. Derivierter eigentlicher Basiswechsel \eref{OEBA}{TG} zeigt ${\op{R}}^{2q+1}\pi_* \DZ_{E/B}=0$ f"ur alle $q$ und da"s ${\op{R}}^{2q}\pi_* \DZ_{E/B}$ lokal isomorph ist zu $\bigoplus_{l(w)=q}\DZ_{E/G}$. Da $G$ zusammenh"angend ist, hat $E/G$ nach dem Spezialfall \eref{FFas}{TF} der langen exakten Homotopiesequenz triviale Fundamentalgruppe. Da $E/G$ nach \eref{MiKok}{TG} auch lokal zusammenziehbar ist, ist $E/G$ nach \eref{wetr}{TF} "uberlagerungstrivial und jede lokal konstante Garbe darauf ist konstant. Das zeigt, da"s ${\op{R}}^{2q}\pi_* \DZ_{E/B}$ sogar global isomorph ist zu $\bigoplus_{l(w)=q}\DZ_{E/G}$. Da wir nach \ref{KkuG} bereits wissen, da"s die ungerade Kohomologie von $E/G$ verschwindet, liefert \ref{ExtK} einen unkanonischen Isomorphismus $$\pi_*\DZ_{E/B}\sira \bigoplus_{w\in\mathcal S_n}[-2l(w)]\DZ_{E/G}$$ in der derivierten Kategorie $\op{Der}(\op{Ab}_{E/G})$. So folgt unmittelbar, da"s ${\op{H}}^*(E/B)$ "uber ${\op{H}}^*(E/G)$ ein freier Modul vom Rang $n!$ ist. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ich h"atte gerne, da"s mir mal ein Student in einer Bachelorarbeit durchsortiert, bis auf welche Torsion das bei anderen Gruppen genauso geht. Es geht dabei in etwa darum, die Arbeit \glqq Invariants des groupes de Weyl et torsion\grqq\ von Michel Demazure in die hier verwendete Sprache zu "ubersetzen. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Seien $C$ ein kommutativer Integrit"atsbereich und $W$ eine endliche Gruppe von Automorphismen von $C$ und $A\subset C^W$ ein Teilring des Invariantenrings derart, da"s $C$ als $A$-Modul von $\leq|W|$ Elementen erzeugt wird. So gilt $A=C^W$ und $C$ ist frei "uber $C^W$ vom Rang $|W|$.\label{LeCV} \end{Lemma} \begin{proof} Da wir jeden Bruch so erweitern k"onnen, da"s sein Nenner $W$-invariant ist, ist jedes Erzeugendensystem des $C^W$-Moduls $C$ auch ein Erzeugendensystem des $\op{Quot}(C^W)$-Vektorraums $\op{Quot}(C)$ und wir haben $\op{Quot}(C^W)\sira (\op{Quot}C)^W$, vergleiche \eref{PIU}{AL}. Nach unserem Satz \eref{ZH}{AL} "uber Galoiserweiterungen durch Gruppenoperationen ist andererseits $\op{Quot}(C)$ ein $(\op{Quot}C)^W$-Vek\-tor\-raum der Dimension $|W|$. H"atten wir nun $A\neq C^W$, so w"are unser Erzeugendensystem von $C$ "uber $A$ ein linear abh"angiges Erzeugendensystem von $C$ als $C^W$-Modul und damit ein linear abh"angiges Erzeugendensystem von $\op{Quot}(C)$ als $(\op{Quot}C)^W$-Vektorraum. Das steht jedoch im Widerspruch zu unserer Erkenntnis, da"s dieser Vektorraum die Dimension $|W|$ haben mu"s. So folgt $A=C^W$. In derselben Weise folgt, da"s unser Erzeugendensystem frei gewesen sein mu"s und genau $|W|$ Elemente hatte. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kohomologieringe der komplex projektiven R"aume}] Die Kohomologiegruppen der komplex projektiven R"aume kennen wir bereits aus \eref{KGrP}{TG}.\label{KRPa} Hier berechnen wir nun ihren Kohomologiering. Wir betrachten dazu die Sph"are $E=S^{2a+1}\subset \DC^{a+1}$ und das $S^1$-B"undel $\pi:S^{2a+1}\ra \DP^a\DC$. Es ist offensichtlich orientierbar und beide m"oglichen Wahlen einer Orientierung liefern uns eine Klasse $c\in {\op{H}}^{2}(\DP^a\DC)$ derart, da"s die Multiplikation mit dieser Klasse Isomorphismen $${\op{H}}^{0}(\DP^a\DC) \sira {\op{H}}^{2}(\DP^a\DC)\sira \ldots \sira {\op{H}}^{2a}(\DP^a\DC)$$ induziert und ebenso Isomorphismen $$0={\op{H}}^{-1}(\DP^a\DC) \sira {\op{H}}^{1}(\DP^a\DC)\sira \ldots \sira {\op{H}}^{2a-1}(\DP^a\DC)$$ Insgesamt erhalten wir so einen Isomorphismus $\DZ[c]/\langle c^{a+1}\rangle\sira {\op{H}}^{*}(\DP^a\DC)$ mit $c$ homogen vom Grad Zwei. Die beiden m"oglichen Wahlen der Orientierung f"uhren dabei zu zwei Erzeugern, von denen der eine das Negative des anderen ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Kohomologie klassifizierender R"aume: Kreisgruppe}] Sei $E$ ein zusammenziehbarer oder auch nur schwach garbenazyklischer Raum mit einer topologisch freien Operation der Kreisgruppe $S^1$. So ist die Projektion $E\ra E/S^1$ ein orientierbares Sph"arenb"undel und jede Wahl einer Orientierung der Kreislinie $S^1$ liefert eine damit vertr"agliche Orientierung unseres Sph"arenb"undels. F"ur die zugeh"orige Eulerklasse\label{KKKl} $c\in {\op{H}}^{2}(E/S^1)$ liefert die Multiplikation mit $c$ Isomorphismen $$\DZ\sira{\op{H}}^{0}(E/S^1) \sira {\op{H}}^{2}(E/S^1)\sira {\op{H}}^{4}(E/S^1)\sira\ldots $$ und ebenso Isomorphismen $$0={\op{H}}^{-1}(E/S^1) \sira {\op{H}}^{1}(E/S^1)\sira {\op{H}}^{3}(E/S^1)\sira \ldots $$ Insgesamt erhalten wir so einen Isomorphismus $\DZ['c]\sira {\op{H}}^{\ast}_{S^1}(\op{top})$ von graduierten Ringen mit $c$ homogen vom Grad Zwei. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Kohomologie klassifizierender R"aume: Spingruppe}] Sei $E$ ein zusammenziehbarer oder auch nur schwach garbenazyklischer Raum mit einer topologisch freien Operation der Spingruppe $\op{SU}(2)$. Wir wissen aus \eref{QDR}{LA2}, da"s diese Gruppe hom"oomorph ist zur Sph"are $S^3$. Dieselbe Argumentation wie f"ur die Kreisgruppe liefert dann einen Isomorphismus $\DZ['d]\sira {\op{H}}^{\ast}_{\op{SU}(2)}(\op{top})$ von graduierten Ringen mit $d$ homogen vom Grad Vier und eindeutig bestimmt als eine Eulerklasse durch die Wahl einer %topologischen Orientierung der Spingruppe. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Kohomologie klassifizierender R"aume: unit"are Gruppen}] Die Kohomologie ${\op{H}}^{*}_{{\op{U}}(n)}(\op{top})$ des klassifizierenden Raums der unit"aren Gruppe ${\op{U}}(n)$ ist ein Polynomring in Erzeugern\label{KkuG} $a_1,a_2,\ldots,a_n$ mit $\op{grad}(a_i)=2i$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir stehen hier vor der Schwierigkeit, da"s wir die graduierte Kommutativit"at des garbentheoretischen Kohomologierings erst in \eref{KoGK}{TSF} zeigen. F"ur den Kohomologiering des mit Hilfe der Milnor-Konstruktion konstruierten klassifizierenden Raums\label{gko} ${\op{B}}G$ einer offenlokal zusammenziehbaren Gruppe $G$ k"onnen wir diese graduierte Kommutativit"at aber bereits aus unseren Vergleichss"atzen mit der singul"aren Kohomologie \ref{AICP} unter Verwendung von \eref{MiKok}{TG} ableiten. \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungl} % Beim Beweis sehen wir zus"atzlich, wie f"ur % ${{\op{U}}}(n)\subset \op{GL}(n;\DC)$ die Wahl einer Orientierung auf $\DC$ % dazu genutzt werden kann, die Erzeuger eindeutig festzulegen. % Allerdings greifen wir dabei streng genommen der Entwicklung der Theorie vor und verwenden bereits das externe Produkt der lokalen Kohomologie % \ref{expl}, um aus topologischen Orientierungen zweier Mannifaltigkeiten eine topologische Orientierung ihres Produkts zu machen. %\end{Bemerkungl} \begin{proof} Der Fall $n=0$ ist unproblematisch und wir nehmen $n\geq 1$ an und behandeln den Fall $n=1$ der Kreisgruppe gleich nocheinmal mit. Wir bemerken zun"achst, da"s ${\op{U}}(n-1)$ topologisch frei auf ${\op{U}}(n)$ operiert, wenn wir es etwa durch $A\mapsto \op{diag}(1,A)$ einbetten. Das ist leicht explizit zu sehen und gilt auch sehr viel allgemeiner f"ur abgeschlossene Untergruppen von Liegruppen, wie etwa in \eref{QuKo}{ML} ausgef"uhrt wird. Bezeichne nun $E\pdef {\op{E}}{\op{U}}(n)$ die Milnorkonstruktion. Dann ist $E/{\op{U}}(n-1)\sra E/{\op{U}}(n)$ eine Faserung mit Faser ${\op{U}}(n)/{\op{U}}(n-1)\cong S^{2n-1}\subset \DC^n$. Man sieht leicht, da"s sie orientierbar ist. % mit der im Sinne von \ref{orES} von der %Orientierung von $\DC^n$ induzierten Orientierung auf den Fasern. Da die Basis dieser Faserung mit einer Induktion "uber $n$ keine ungerade Kohomologie hat, folgern wir aus der Gysinsequenz, da"s die Multiplikation mit der zugeh"origen Eulerklasse $a_n\in {\op{H}}^{2n}(E/{\op{U}}(n))$ und das Zur"uckholen f"ur alle $q$ kurze exakte Sequenzen $${\op{H}}^{q}(E/{\op{U}}(n))\hra{\op{H}}^{q+2n}(E/{\op{U}}(n))\sra {\op{H}}^{q+2n}(E/{\op{U}}(n-1))$$ liefern. Das zeigt die Behauptung. \end{proof} %\label{GySe} \begin{Bemerkungw} Auch die K"unnethformeln sind in der Garbenkohomologie nicht so einfach zu haben und wir zeigen die hier ben"otigten Formeln rein garbenkohomologisch erst in \eref{KuFEF}{TSF}. Mit unseren Vergleichss"atzen zur singul"aren Kohomologie liefern aber auch nach der K"unnethformel \eref{KFK}{TS} der singul"aren Kohomologie die R"uckz"uge \eref{zAEQ}{TG} unter den Projektionen zusammen mit dem cup-Produkt\label{KueFF} f"ur je zwei Liegruppen $G,H$ derart, da"s alle Kohomologiegruppen ${\op{H}}^q({\op{B}}G)$ der ersten freie endlich erzeugte abelsche Gruppen sind, einen Isomorphismus $${\op{H}}^*_G(\op{top})\bar{\otimes} {\op{H}}^*_H(\op{top})\sira {\op{H}}^*_{G\times H}(\op{top})$$ Gegeben ein Torus ${\op{T}}(n)\pdef (S^1)^n$ folgt aus dem Fall $n=1$ nach \ref{KKKl} und unserer Vorbemerkung \ref{gko}, da"s f"ur jede Wahl eines Erzeugers $z\in {\op{H}}^2_{S^1}(\op{top})$ dessen R"uckz"uge unter den Projektionen unseres Produkts auf seine Faktoren Klassen $z_1,\ldots,z_n\in {\op{H}}^2_{{\op{T}}(n)}(\op{top})$ liefern mit $$\DZ['z_1,\ldots,z_n]\sira {\op{H}}^*_{{\op{T}}(n)}(\op{top})$$ Aus \eref{OiA}{TG} folgt, da"s das Zur"uckholen\label{AQU} ${\op{H}}^*_{{{\op{U}}}(n)}(\op{top})\ra {\op{H}}^*_{{\op{T}}(n)}(\op{top})$ unter der Einbettung ${\op{T}}(n) \hra{{\op{U}}}(n)$ als Diagonalmatrizen in den Invarianten unter der symmetrischen Gruppe landet. In \ref{RchK} zeigen wir, da"s diese Abbildung einen Isomorphismus $${\op{H}}^*_{{{\op{U}}}(n)}(\op{top})\sira \DZ['z_1,\ldots,z_n]^{\mathcal S_n}$$ mit dem Ring der symmetrischen Polynome liefert. %In \ref{??} zeigen wir %zus"atzlich, da"s darunter bei geeignet spezifizierten Orientierungen der %jeweiligen Sph"arenb"undel %unser $a_i$ auf das $i$-te elementarsymmetrische Polynom in den $z_i$ %abgebildet wird. \end{Bemerkungw} \subsection{Charakteristische Klassen und Produkte} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivariante Kohomologie als Trennfunktor}] Bezeichne $\op{Topog}$\index{Topog@$\op{Topog}$ R"aume mit Gruppenoperation} die Kategorie der topologischen R"aume mit Operation einer topologischen Gruppe. Aus dem nicht-"aquivarianten Fall \ref{gGKSF} folgt unmittelbar, da"s auch die "aquivariante Kohomologie $(G{\ssearrow}X)\mapsto {\op{H}}^*_G(X)$ aus \eref{zAEQ}{TG} einen Trennfunktor $${\op{H}}^*:\curlywedge{\op{Topog}}\ra \op{sgAb}^{\op{opp}}$$ liefert, dessen Effekt auf Trennungen durch das \glqq Produkt der R"uckz"uge\grqq\ gegeben wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Charakteristischer Homomorphismus}] Gegeben $G$ eine topologische Gruppe und $X$ ein topologischer Raum und $E$ ein $G$-Torsor auf $X$ erinnere ich daran, wie wir in \eref{mcK}{TG} den charakteristischen Homomorphismus $${\op{C}}_E:{\op{H}}^*_G(\op{top})\ra {\op{H}}^*(X)$$ erkl"art hatten als die Komposition\label{MuCK} ${\op{H}}^*_G(\op{top})\ra {\op{H}}^*_G(E)\sira {\op{H}}^*(X)$ des "aquivarianten Zur"uckholens l"angs der konstanten Abbildung mit dem Inversen des Quotientenisomorphismus ${\op{H}}^*(X)\sira {\op{H}}^*_G(E)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Charakteristische Klassen und Produkt}] Gegeben $X$ ein topologischer Raum und topologische Gruppen $G,H$ und auf $X$ sowohl ein $G$-Torsor $E$ als auch ein $H$-Torsor $F$ ist $E\times_X F$ ein $(G\times H)$-Torsor in offensichtlicher Weise und wir erhalten in $\op{Topog}$ ein kommutatives Diagramm\label{ckp} $$\begin{array}{ccccc} G{\ssearrow}{\op{top}}&\leftarrow & G{\ssearrow}E&\ra& 1{\ssearrow}X\\[2mm] \ua &&\ua&&\|\\[2mm] (G\times H){\ssearrow}{\op{top}}&\leftarrow & (G\times H){\ssearrow}(E\times_XF)&\ra& 1{\ssearrow}X \\[2mm] \da &&\da&&\|\\[2mm] H{\ssearrow}{\op{top}}&\leftarrow & H{\ssearrow}F&\ra& 1{\ssearrow}X \end{array} $$ Wenden wir darauf "aquivariante Kohomologie an, so folgt die Kommutativit"at des Diagramms $$\begin{array}{ccc} {\op{H}}^*_G(\op{top})\bar\otimes {\op{H}}^*_H(\op{top})&\ra&{\op{H}}^*(X)\bar\otimes {\op{H}}^*(X)\\ \da&&\da\\ {\op{H}}^*_{G\times H}(\op{top})&\ra&{\op{H}}^*(X) \end{array}$$ mit den durch R"uckzug und Produkt gegebenen Vertikalen und den durch unsere charakteristischen Homomorphismen gegebenen Horizontalen. In Formeln ausgedr"uckt gilt also ${\op{C}}_E(a){\op{C}}_F(b)={\op{C}}_{E\times F}(a\times b)$ mit der Notation $a\times b\pdef \op{pr}_1^*(a)\op{pr}_2^*(b)$ f"ur den Effekt der linken Vertikale. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kohomologieringe klassifizierender R"aume und Produkte}] Jede Liegruppe $G$ ist offenlokal zusammenziehbar und dasselbe folgt mit \eref{MiKok}{TG} f"ur die Milnorkonstruktion ${\op{E}}G$ und den klassifizierenden Raum ${\op{B}}G$. Gegeben Liegruppen $G,H$ derart, da"s alle Kohomologiegruppen ${\op{H}}^q({\op{B}}G)$ der ersten freie endlich erzeugte abelsche Gruppen sind, liefert das Kreuzprodukt der Kohomologie nach der K"unnethformel \ref{KuFEF} einen Isomorphismus\label{KKPr} $${\op{H}}^*_G(\op{top})\bar{\otimes} {\op{H}}^*_H(\op{top})\sira {\op{H}}^*_{G\times H}(\op{top})$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Chern'sche Klassen}] Gegeben ein Torus ${\op{T}}(n)\pdef (S^1)^n$ liefern nach \ref{KKPr} f"ur jede Wahl eines Erzeugers $z\in {\op{H}}^2_{S^1}(\op{top})$ dessen R"uckz"uge unter den Projektionen unseres Torus auf seine Faktoren Klassen $z_1,\ldots,z_n\in {\op{H}}^2_{{\op{T}}(n)}(\op{top})$ mit $$\DZ['z_1,\ldots,z_n]\sira {\op{H}}^*_{{\op{T}}(n)}(\op{top})$$ Nach \ref{RchK} liefert weiter der R"uckzug unter der Einbettung ${\op{T}}(n) \hra{{\op{U}}}(n)$ der Diagonalmatrizen in die unit"aren Matrizen einen Isomorphismus ${\op{H}}^*_{{{\op{U}}}(n)}(\op{top})\sira {\op{H}}^*_{{{\op{T}}}(n)}(\op{top})^{\mathcal S_n}$. Insgesamt erhalten wir so einen Isomorphismus $$\DZ['z_1,\ldots,z_n]^{\mathcal S_n} \sira {\op{H}}^*_{{{\op{U}}}(n)}(\op{top}) $$ Ebenso erhalten wir auch f"ur die entsprechenden komplexen Gruppen Isomorphismen $\DZ['z_1,\ldots,z_n]\sira {\op{H}}^*_{{\op{T}}(n;\DC)}(\op{top})$ und $$\DZ['z_1,\ldots,z_n]^{\mathcal S_n}\sira{\op{H}}^*_{{{\op{GL}}}(n;\DC)}(\op{top})$$ Nach \eref{SyP}{AL} haben wir nun $\DZ['z_1,\ldots,z_n]^{\mathcal S_n}=\DZ['s_1,s_2,\ldots,s_n]$ f"ur $s_q$ das $q$-te elementarsymmetrische Polynom in den $z_i$. Dies Polynom $s_q$ ist homogen vom Grad $q$ in den $z_i$ und bereits sein Bild $c_q\in {\op{H}}^*_{{{\op{GL}}}(n;\DC)}(\op{top})$ unter dem obigen Isomorphismus hei"st manchmal die\label{ChKl} {\bf $q$-te Chern'sche Klasse}. Gegeben ein ${\op{GL}}(n;\DC)$-Hauptfaserb"undel $E$ auf einem Raum $X$ erkl"art man dann seine {\bf $q$-te Chern'sche Klasse}\index{Chern'sche Klasse} durch die Vorschrift $$c_q(E)\pdef {\op{C}}_E(c_q)\in {\op{H}}^{2q}(X)$$ f"ur ${\op{C}}_E:{\op{H}}^*_{{{\op{GL}}}(n;\DC)}(\op{top})\ra {\op{H}}^{*}(X)$ den \hyperref[MuCK]{charakteristischen Homomorphismus}. Die Chern'schen Klassen eines komplexen Vektorb"undels $V$ werden schlie"slich erkl"art als $c_q(V)\pdef c_q(E)$ mit $E=E_V$ dem zugeh"origen $\op{GL}(n;\DC)$-Torsor alias dem Rahmenb"undel von $V$ mit den Fasern $\op{Hom}_\DC(\DC^n,V_x)$ und der hoffentlich offensichlichen Topologie. %aus \eref{VTZZ}{FeldZus}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein $n$-dimensionales komplexes Vektorb"undel $V$ auf einem Raum $X$ vereinbaren wir $c_0(V)\pdef 1$ und erkl"aren die {\bf totale Chern'sche Klasse}\index{Chern'sche Klasse!totale}\index{c@$c_*(V)$ totale Chern'sche Klasse} $c_*(V)\in{\op{H}}^*(X)$ von $V$ durch die Vorschrift $$c_*(V)\pdef c_0(V)+c_1(V)+c_2(V)+\ldots+c_n(V)\in{\op{H}}^*(X)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} F"ur die totale Chern'schen Klasse der direkten Summe von zwei komplexen Vektorb"undeln gilt im Kohomologiering der Basis die \emph{\bf Whitney'sche Summenformel}\index{Whitney!Summenformel} $$c_*(V\oplus W)=c_*(V)c_*(W)$$ \end{Lemma} \begin{proof} Die elementarsymmetrischen Polynome $s_q\in\DZ[z_1,\ldots,z_n]^{\mathcal S_n}$ k"onnen charakterisiert werden durch die Identit"at $$(1+z_1)(1+z_2)\ldots(1+z_n)=1+s_1+s_2+\ldots +s_n$$ zusammen mit der Eigenschaft, da"s $s_q$ homogen ist vom Grad $q$. Erkl"aren wir unseren Ausdruck als das \glqq totale symmetrische Polynom\grqq\ $s_*(z_1,\ldots,z_n)$, so gilt f"ur $l+m= n$ mithin $s_*(z_1,\ldots,z_n)=s_*(z_1,\ldots,z_l)s_*(z_{l+1},\ldots,z_n)$. Sei nun $X$ die Basis unserer B"undel. Bezeichnet $D$ das Rahmenb"undel von $V\oplus W$, so haben wir per definitionem $s_*(z_1,\ldots,z_n)\mapsto c_*(V\oplus W)$ unter der Komposition $$\DZ['z_1,\ldots,z_n]^{\mathcal S_n}\stackrel{\sim}{\longrightarrow}{\op{H}}^*_{{{\op{GL}}}(n;\DC)}(\op{top}) \stackrel{{\op{C}}_D}{\longrightarrow}{\op{H}}^*(X)$$ Jetzt betrachten wir f"ur $l+m=n$ das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {{\op{T}}}(l;\DC)\ar[r] & {{\op{GL}}}(l;\DC)\\ {{\op{T}}}(l;\DC)\times {{\op{T}}}(m;\DC)\ar[d]\ar[u]\ar[r] & {{\op{GL}}}(l;\DC)\times {{\op{GL}}}(m;\DC) \ar[u]\ar[d]^\phi\\ {{\op{T}}}(n;\DC) \ar[r] & {{\op{GL}}}(n;\DC) } \end{displaymath} mit den jeweiligen Projektionen als Pfeile nach oben und dem \glqq Zusammenblocken\grqq\ $\phi:(A,B)\mapsto\op{diag}(A,B)$ als Pfeile nach unten. Zus"atzlich betrachten nocheinmal dasselbe Diagramm mit $m$ statt $l$ in der oberen Horizontale. Gehen wir zu den Kohomologieringen der jeweiligen klassifizierenden R"aume "uber, so ergibt sich ein weiteres kommutatives Diagramm, das mit unseren ausgezeichneten Isomorphismen isomorph wird zum Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \DZ[z_1,\ldots,z_l]\ar[d] & \DZ[z_1,\ldots,z_l]^{\mathcal S_l}\ar[d]\ar[l]\\ \DZ[z_1,\ldots,z_l]\otimes \DZ[w_{1},\ldots, w_m] & \DZ[z_1,\ldots,z_l]^{\mathcal S_l}\otimes \DZ[w_{1},\ldots, w_m]^{\mathcal S_m}\ar[l]\\ \DZ[z_1,\ldots z_n] \ar[u] &\DZ[z_1,\ldots z_n]^{\mathcal S_n}\ar[l]\ar[u] } \end{displaymath} mit der Umbenennung von $z_{l+1},\ldots, z_n$ zu $w_1,\ldots, w_m$ bei beiden Pfeilen nach oben. Im analogen Fall mit $m$ statt $l$ gilt Analoges. Sind nun $E,F$ die Rahmenb"undel von $V$ und $W$, so haben wir offensichtlich $D\cong \phi_*(E\times F)$ und damit \begin{displaymath}\begin{array}{llll} c_*(V\oplus W)&=&{\op{C}}_{D}(s_*(z_1,\ldots,z_n))&\text{per definitionem}\\[1mm] &=&{\op{C}}_{\phi_*(E\times F)}(s_*(z_1,\ldots,z_l)s_*(z_{l+1},\ldots,z_n))&\text{nach vorigem}\\[1mm] &=&{\op{C}}_{E\times F}(s_*(z_1,\ldots,z_l)\times s_*(w_{1},\ldots,w_m))&\text{nach \eref{ckg}{TG}}\\[1mm] &=&{\op{C}}_{E}(s_*(z_1,\ldots,z_l)){\op{C}}_{ F} (s_*(w_{1},\ldots,w_m))&\text{nach \ref{ckp}}\\[1mm] &=&c_*(V)c_*(W)&\text{per definitionem.} \end{array} \qedhere\end{displaymath} \end{proof} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Stiefel-Whitney-Klassen}] Nun arbeiten wir mit Koeffizienten in $\mathbb F_2=\DZ/2\DZ$ und mit reellen Gruppen. Dann liefert explizite Rechnung einen Isomorphimus $\mathbb F_2['x_1,\ldots,x_n]\sira {\op{H}}^*_{{\op{T}}(n;\DR)}(\op{top};\mathbb F_2)$ mit Variablen vom Grad Eins und R"uckzug liefert wieder $\mathbb F_2['x_1,\ldots,x_n]^{\mathcal S_n}\sira {\op{H}}^*_{{\op{GL}}(n;\DR)}(\op{top};\mathbb F_2)$, da dieselbe Ar\-gu\-men\-ta\-tion wie zuvor zeigt, da"s sich zwischendrin homologisch nichts wegk"urzen kann, sonst br"auchte ${\op{H}}^*_{{\op{T}}(n;\DR)}(\op{top};\mathbb F_2)$ als Modul "uber ${\op{H}}^*_{{\op{GL}}(n;\DR)}(\op{top};\mathbb F_2)$ zu viele Erzeuger. Dann wiederholt man alle Argumente. Das Bild des $q$-ten elementarysmmetrischen Polynoms $s_q$ in ${\op{H}}^q_{{\op{GL}}(n;\DR)}(\op{top};\mathbb F_2)$ hei"st in diesem Fall die {\bf $q$-te Stiefel-Whitney-Klasse}.\label{SWKl} Ebenso kann man im Fall ${\op{GL}}(n;\mathbb H)$ vorgehen, in dem wir die sogenannten {\bf Pontrjagin-Klassen}\index{Pontrjagin-Klasse} mit $\DZ$-Koeffizienten in allen durch Vier teilbaren Graden erhalten. \end{Bemerkungw} \newpage NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN \section{Anwendungen und Vergleichss"atze} \subsection{Anwendung auf Mannigfaltigkeiten} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s wir eine $n$-Mannigfaltigkeit erkl"art hatten als einen Hausdorffraum, der lokal hom"oomorph ist zu $\DR^n$. Zus"atzliche Voraussetzungen wie abz"ahlbar basiert oder parakompakt fordern wir explizit, wenn sie gebraucht werden. Wir erkl"aren eine {\bf Filtrierfaltigkeit}\index{Filtrierfaltigkeit} oder genauer {\bf $n$-Filtrierfaltigkeit} nach \eref{kkkV}{TG} als einen lokal kompakten Hausdorffraum $X$,\label{dFiV} der eine Filtrierung $$X=X^{{\leq n}}\supset X^{{\leq n-1}}\supset\ldots\supset X^{{\leq 0}} \supset \emptyset =X^{{\leq -1}}=X^{{\leq -2}}=\ldots$$ durch abgeschlossene Teilmengen besitzt derart, da"s $X^{{\leq q}}\backslash X^{{\leq q-1}}$ jeweils eine $q$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit ist. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Filtrierfaltigkeiten sind lesb}] Gegeben eine $n$-Filtrierfaltigkeit $M$ besitzt jede abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $M$ eine Aufl"osung $\mathcal F\hra \mathcal G_0\ra\ldots \ra\mathcal G_{n-1}\sra \mathcal K_{n}$ der L"ange $n$ durch kompaktweiche Garben $G_0,\ldots,\mathcal G_{n-1}, \mathcal K_{n}$,\label{kwAm} ja jede von einer Filtrierfaltigkeit ausgehende stetige Abbildung in einen Hausdorffraum ist lesb. \end{Lemma} \begin{proof} Bezeichne $\mathcal K_i\subset \mathcal G_i$ die Kerne in einer beliebigen Aufl"osung durch kompaktweiche Garben und insbesondere $\mathcal K_0=\mathcal F$. Die Randoperatoren der entsprechenden langen exakten Sequenzen liefern f"ur alle $U\co M$ Isomorphismen $${\op{H}}_!^1(U;\mathcal K_{n}) \sira {\op{H}}_!^2(U;\mathcal K_{n-1})\sira \ldots\sira {\op{H}}_!^{n+1}(U;\mathcal F)$$ Nach \eref{kkkV}{TG} ist die Gruppe ganz rechts Null. Wir folgern ${\op{H}}_!^1(U;\mathcal K_{n})=0$ f"ur alle $U\co M$ und nach "Ubung \eref{kwil}{TG} ist damit $\mathcal K_{n}$ kompaktweich. \end{proof} \begin{Lemma} Auf einem abz"ahlbar basierten lokal kompakten Hausdorffraum sind alle kompaktweichen abelschen Garben weich.\label{kww} \end{Lemma} \begin{proof} Sei $X$ unser Raum. Wir finden eine "Uberdeckung von $X$ durch eine aufsteigende Folge $K_0\subset K_1\subset\ldots$ von Kompakta derart, da"s sogar gilt $K_i\subset K_{i+1}^\circ$ f"ur alle $i$. Seien nun $\mathcal F$ unsere kompaktweiche Garbe und $Z\As X$ abgeschlossen und $s\in \Gamma(Z;\mathcal F)$ ein Schnitt "uber $Z$. Sicher k"onnen wir $s|(K_0\cap Z)$ zu einem globalen Schnitt mit kompaktem Tr"ager $g_0\in\Gamma_!(X;\mathcal F)$ ausdehnen. Dann k"onnen wir den Nullschnitt auf $K_0$ mit dem Schnitt $(s-g_0)$ auf $K_1\cap Z$ verkleben zu einem Schnitt $s_1$ auf $K_0\cup (K_1\cap Z)$ und k"onnen diesen ausdehnen zu einem globalen Schnitt mit kompaktem Tr"ager $g_1\in\Gamma_!(X;\mathcal F)$. Dann gilt $s=g_0+g_1$ auf $K_1\cap Z$ und $g_1=0$ auf $K_0$. Dann k"onnen wir den Nullschnitt auf $K_1$ mit dem Schnitt $s-g_0-g_1$ auf $K_2\cap Z$ verkleben zu einem Schnitt $s_2$ auf $K_1\cup (K_2\cap Z)$ und k"onnen diesen ausdehnen zu einem globalen Schnitt mit kompaktem Tr"ager $g_2\in\Gamma_!(X;\mathcal F)$. Dann gilt $s=g_0+g_1+g_2$ auf $K_2\cap Z$ und $g_2=0$ auf $K_1$. So machen wir immer weiter. Da alle $g_{i+1}$ jeweils auf $K_i$ verschwinden und kompakten Tr"ager haben, ist die Summe $\tilde s\pdef \sum_{i=0}^\infty g_i$ ein sinnvoll definierter globaler Schnitt $\tilde s\in \Gamma(X;\mathcal F)$. Nach Konstruktion setzt er unseren Schnitt $s$ fort. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Kohomologie oberhalb der Dimension}] Gegeben eine abz"ahlbar basierte $n$-Filtrierfaltigkeit $M$ und eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $M$ gilt\label{phqnk} $$q>n\;\;\RA \;\;{\op{H}}^q(M;\mathcal F)=0$$ \end{Proposition} \begin{proof} Nach \ref{kwAm} besitzt $\mathcal F$ eine kompaktweiche Aufl"osung der L"ange $n$. Nach \ref{kww} besteht sie aus weichen Garben. Nach \eref{waz}{TG} sind weiche Garben $\Gamma$-azyklisch auf parakompakten R"aumen. Nach \eref{KrPar}{TG} schlie"slich ist $M$ parakompakt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokale Kohomologie oberhalb der Dimension plus Eins}] Gegeben eine abz"ahlbar basierte $n$-Filtrierfaltigkeit und eine abgeschlossene Teilmenge $C\As M$ folgt aus dem Verschwinden der Kohomologie oberhalb der Dimension \ref{phqnk} mit der langen exakten Sequenz der lokalen Kohomologie \eref{LEslk}{TG} sofort\label{hKab} $$q>n+1\;\RA \;{\op{H}}^q_C(M;\mathcal F)=0$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben eine abz"ahlbar basierte $n$-Filtrierfaltigkeit $M$ besitzt jede abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $M$ eine Aufl"osung $\mathcal F\hra \mathcal G_0\ra\ldots \ra\mathcal G_{n}\sra \mathcal K_{n+1}$ der L"ange $n+1$ durch welke Garben $\mathcal G_0,\ldots,\mathcal G_{n},\mathcal K_{n+1}$.\label{wAm} \end{Lemma} \begin{proof} Bezeichne $\mathcal K_i\subset \mathcal G_i$ die Kerne in einer beliebigen Aufl"osung durch welke Garben. Die Randoperatoren der entsprechenden langen exakten Sequenzen liefern f"ur alle $C\As M$ Isomorphismen $${\op{H}}_C^1(M;\mathcal K_{n+1}) \sira {\op{H}}_C^2(M;\mathcal K_{n})\sira \ldots\sira {\op{H}}_C^{n+2}(M;\mathcal F)$$ Nach \ref{hKab} ist die Gruppe ganz rechts Null. Wir folgern ${\op{H}}_C^1(M;\mathcal K_{n+1})=0$ f"ur alle $C\As M$ und nach der langen exakten Sequenz der lokalen Kohomologie \eref{LEslk}{TG} ist damit $\mathcal K_{n+1}$ welk. \end{proof} \begin{Proposition} Gegeben eine $n$-Filtrierfaltigkeit $M$ und $i:C\hra M$ die Einbettung einer lokal abgeschlossenen Teilmenge hat $i^{(!)}$ endliche homologische Rechtsdimension $\leq n+1$.\label{hRdz} \end{Proposition} \begin{proof} Es reicht zu zeigen, da"s f"ur jede abz"ahlbar basierte offene Teilmenge $U\co M$ mit $C\cap U\As U$ der Funktor $i^{(!)}$ f"ur $i: (C\cap U)\hra U$ endliche homologische Rechtsdimension $\leq n+1$ hat. Nach \eref{rzwU}{TG} k"onnen seine Rechtsderivierten jedoch mit welken Aufl"osungen berechnet werden. So folgt die Proposition aus Lemma \ref{wAm}. \end{proof} \begin{Lemma} F"ur die konstante Abbildung $c:E\ra \op{top}$ eines endlichdimensionalen reellen affinen Raums auf einen Punkt und alle $G\in \op{Der}(\op{Ab})$ induziert die Einheit der Adjunktion $(c_!,c^!)$ einen Isomorphismus\label{esL} $$c_*c^*G\sira c_*c^!c_!c^*G$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungw} In \ref{qret} zeigen wir st"arker, da"s die Einheit der Adjunktion $(c_!,c^!)$ sogar einen Isomorphismus $c^*G\sira c^!c_!c^*G$ induziert. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Wir wissen aus \eref{kkRn}{TG}, da"s $c_!\DZ_E$ in $\op{Der}(\op{Ab})$ eine Einheit im Sinne von \eref{EIIp}{TSK} ist. Wir wissen aus \ref{kwAm}, da"s $E$ lesb ist, so da"s uns f"ur $c$ die Projektionsformel auf der vollen derivierten Kategorie zur Verf"ugung steht. Die Isomorphismen $c_!c^*G\sira c_!(\DZ_E\otimes c^*G) \sira (c_!\DZ_E)\otimes G$ zum Tensorprodukt mit dem Einsobjekt gefolgt vom Isomorphismus der Projektionsformel \ref{ProjFF} in der voll verflochtenen Trennaustauschsituation der derivierten Modulgarben \ref{tzGG} zeigen damit, da"s $c_!c^*$ eine "Aquivalenz von Kategorien ist. Dasselbe gilt f"ur den adjungierten Funktor $c_*c^!$. Also ist die Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus $G\sira c_*c^!c_!c^*G$. Dieser Isomorphismus faktorisiert als $G\ra c_*c^*G\ra c_*c^!c_!c^*G$ mit den von den Einheiten der Adjunktionen $(c^*,c_*)$ und $(c_!,c^!)$ herr"uhrenden Morphismen. Der erste dieser Morphismen ist ein Isomorphismus nach \ref{zgsaf}. Also ist auch der zweite dieser Morphismen ein Isomorphismus. \end{proof} \begin{Lemma} F"ur $i: \op{top}\hra E$ die Einbettung eines Punktes in einen endlichdimensionalen reellen affinen Raum und $c:E\ra \op{top}$ die konstante Abbildung und $ G\in \op{Der}(\op{Ab})$ beliebig induziert die Koeinheit der Adjunktion einen Isomorphismus\label{kDdh} $$c_!i_!i^!c^*G\sira c_!c^*G$$ \end{Lemma} \begin{proof} Ist $G$ ein in einem einzigen homologischen Grad konzentrierter Komplex, so hatten wir das bereits in \ref{kioM} in anderen Notationen und unter der Annahme $\op{dim}E\geq 1$ bewiesen. Im Fall $\op{dim}E=0$ ist die Behauptung eh trivial. Damit ist die Proposition bewiesen f"ur den Fall, da"s $G$ in einem Grad konzentriert ist. Mit d\'evissage folgt sie sofort f"ur $G\in \op{Der}^{\op{b}}(\op{Ab})$. Nun bilden beide Seiten $\op{Der}^{\geq r}(\op{Ab})$ in sich selber ab und $\op{Der}^{\leq r}(\op{Ab})$ in $\op{Der}^{\leq r+n+1}(\op{Ab})$ beziehungsweise st"arker $\op{Der}^{\leq r+n}(\op{Ab})$ wegen \ref{hRdz} beziehungsweise \eref{phq}{TG} und unseren Erkenntnissen \eref{UbDe}{TD} zum Derivieren homologisch rechtsendlicher Funktoren. Die zu festem $q$ von unserem Morphismus auf $\mathcal H^q$ induzierte Abbildung "andert sich also nicht, wenn wir erst zu $\tau^{\leq q}G$ und dann zu $\tau^{\geq q-n-1}\tau^{\leq q}G$ "ubergehen. Mithin ist sie f"ur alle $q$ und alle $G$ ein Isomorphismus. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben $j:D\hra E$ die Einbettung einer offenen konvexen nichtleeren Teilmenge in einen endlichdimensionalen reellen affinen Raum und $c:E\ra\op{top}$ die konstante Abbildung und $G\in \op{Der}(\op{Ab})$ induziert die Koeinheit der Adjunktion einen Isomorphismus\label{qrjt} $$c_!j_!j^!c^*G\sira c_!c^*G$$ \end{Lemma} \begin{proof} Sei $i:\op{top}\ra D$ die Einbettung eines Punktes. Wir betrachten die Komposition $c_!j_!i_!i^!j^!c^*G\ra c_!j_!j^!c^*G\ra c_!c^*G$ mit den durch Koeinheiten der Adjunktionen gegebenen Morphismen. Wegen $j^!=j^*$ und \ref{kDdh} ist hier der erste Morphismus ein Isomorphismus. Mit einer zweiten Anwendung von \ref{kDdh} ist auch die Verkn"upfung ein Isomorphismus. Das Lemma folgt. \end{proof} \begin{Proposition} F"ur die konstante Abbildung $c:E\ra \op{top}$ eines endlichdimensionalen reellen affinen Raums auf einen Punkt und alle $G\in \op{Der}(\op{Ab})$ induziert die Einheit der Adjunktion $(c_!,c^!)$ einen Isomorphismus\label{qret} $$c^*G\sira c^!c_!c^*G$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} Eine relative Version dieser Aussage zeigen wir in \ref{rzGG}. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}\label{KIGl} F"ur $G=\DZ$ und $\op{dim}E=n$ liefert uns das insbesondere einen Isomorphismus $\underline{E}\sira c^! {\op{H}}_!^n(E)[-n]$ und damit $\underline{E}\otimes {\op{H}}_!^n(E)^*[n]\sira \omega_E $. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach dem Verschwindungskriterium \ref{VersKK} reicht es zu zeigen, da"s f"ur jede Einbettung $j:D\hra E$ einer nichtleeren konvexen offenen Teilmenge unser Morphismus einen Isomorphismus $c_*j_*j^! c^* G\sira c_*j_*j^!c^!c_! c^* G$ liefert. Nach \eref{KompADs}{TG} f"allt nun aber der von der Einheit der Adjunktion induzierte Morphismus $j^! \RA j^!c^!c_!$ zusammen mit der aus Einheiten und Koeinheiten von Adjunktionen gebildeten Komposition $$j^!\RA (cj)^! (cj)_! j^!\siRa j^!c^! c_!j_! j^!\RA j^!c^! c_!$$ Wir wissen aus \ref{qrjt}, da"s hier die Koeinheit der Adjunktion einen Isomorphismus $c_!j_!j^! c^* G\sira c_! c^* G$ liefert. Das bedeutet, da"s der dritte dieser Pfeile einen Isomorphismus liefert, wenn wir ihn auf $c^*G$ anwenden. Die ganze Komposition liefert also einen Isomorphismus auf $c^*G$ bei Nachschalten von $c_*j_*$ genau dann, wenn ihr erster Pfeil das tut. Das aber ist gerade die Aussage von Lemma \ref{esL} angewandt auf $cj$. \end{proof} % \begin{proof} % Nach dem Verschwindungskriterium \ref{VersKK} % reicht es zu zeigen, da"s unsere Einheit der Adjunktion % f"ur jede konvexe offene Teilmenge $D\co E$ mit der Einbettung % $j:D\hra E$ Isomorphismen $c_*j_*j^! c^* G\sira c_*j_*j^!c^!c_! c^* G$ liefert. % Sie m"ogen in \ref{isOOK} pr"ufen, da"s in dieser Situation % die Koeinheit der Adjunktion einen Isomorphismus % $c_!j_!j^! c^* G\sira c_! c^* G$ liefert. F"ur $G$ eine abelsche % Gruppe wissen wir das bereits aus \eref{lkkk}{TG}. % Nach \eref{KompADs}{TG} f"allt nun aber der von der % Einheit der Adjunktion induzierte Morphismus $j^! \RA j^!c^!c_!$ zusammen % mit der aus Einheit und Koeinheit von Adjunktionen % gebildeten Komposition $$j^!\RA (cj)^! (cj)_! j^!\siRa j^!c^! c_!j_! j^!\RA j^!c^! c_!$$ Wir wissen nach dem Vorhergehenden bereits, da"s der letzte dieser Pfeile einen Isomorphismus % liefert, wenn wir ihn auf $c^*G$ anwenden. % Der erste Pfeil liefert also unter $c_*j_*$ % einen Isomorphismus auf $c^*G$ genau dann, % wenn die Komposition einen Isomorphismus auf $c^*G$ liefert. %Da $D$ hom"oomorph ist zu $E$, reicht es also zu zeigen, da"s %f"ur $c$ selber die Adjunktion einen Isomorphismus % $$c_*c^* G\sira c_*c^!c_!c^*G$$ % induziert. % Die Projektionsformel liefert % Isomorphismen $c_!c^*G\sira c_!(\DZ_E\otimes c^*G)\sira (c_!\DZ_E)\otimes G$. %% Sie zeigen, da"s $c_!c^*$ eine "Aquivalenz von Kategorien ist. % Dasselbe gilt f"ur den adjungierten Funktor $c_*c^!$ und zeigt, da"s % die Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus % $G\sira c_*c^!c_!c^*G$ ist. Andererseits zeigt \ref{zgsaf}, da"s % die Einheit der Adjunktion $(c^*,c_*)$ einen Isomorphismus % $G\sira c_*c^*G$ liefert. Zusammen folgt wie gew"unscht, da"s die % Einheit der Adjunktion $(c_!,c^!)$ einen Isomorphismus % $c_*c^*G\sira c_*c^!c_!c^*G$ induziert. %\end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Dualisierende Garbe einer Mannigfaltigkeit}] Gegeben eine $n$-Mannigfaltigkeit $M$ konstruieren wir einen Isomorphismus,\label{dGmg} den {\bf Dua\-li\-sie\-rungs\-iso\-mor\-phis\-mus}\index{Dualisierungsisomorphismus}\index{p@${\op{p}}_M$ Dualisierungsisomorphismus} $${\op{p}}_M:\omega_M\sira \op{or}_M[n]$$ ihrer dualisierenden Garbe %\nichtfinal{(Notationskonflikt zum Fundamentalzykel, den sollte ich $[M]$ notieren)} mit der Orientierungsgarbe aus \eref{orGG}{TG}, verschoben in das Negative der Dimension. Dazu gehen wir von der Erkenntnis aus, da"s $\omega_M[-n]$ nach \ref{KIGl} eine gew"ohnliche Garbe ist, und betrachten weiter f"ur $U\co M$ hom"oomorph zu $\DR^n$ den Isomorphismus $(\omega_M[-n])(U)\sira {\op{H}}_!^n(U;\DZ)^\ast$ aus \ref{KIGl}. So erhalten wir einen Isomorphismus der Restriktionen beider Garben auf die durch die fraglichen Mengen $U$ gegebene Basis der Topologie. Unsere verallgemeinerte Garbifizierung aus \eref{MGTk}{TG} zeigt dann, da"s er von genau einem Isomorphismus der urspr"unglichen Garben herkommen mu"s. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Dualisierende Garbe einer Randfaltigkeit}] Gegeben eine $n$-Randfaltigkeit $M$ und $i:\partial M\hra M$ die abgeschlossene Einbettung ihres Randes und $j:M^\circ\hra M$ die offene Einbettung seines Komplements betrachten wir das ausgezeichnete Dreieck $i_!i^!\omega_M\ra \omega_M\ra j_*j^*\omega_M\ra[1]$. Wir k"onnen es umschreiben zu einem ausgezeichneten Dreieck $i_\ast \omega_{\partial M}\ra \omega_M\ra j_*\omega_{M^\circ}\ra[1]$ und folgern die Beschreibung $\omega_M=\op{Keg}(j_*{\op{or}}_{M^\circ}\ra i_\ast \DZ_{\partial M})[n-1]$ der dualisierenden Garbe unserer Randfaltigkeit $M$ als verschobener Kegel eines Morphismus von Garben $j_*{\op{or}}_{M^\circ}\ra i_\ast \DZ_{\partial M}$. Nun wird der Leser etwa durch Einschr"ankung auf den Fall eines Halbraums unschwer zeigen k"onnen, da"s der fragliche Morphismus unter $i^\ast$ ein Isomorphismus wird. So folgt $i^*\omega_M=0$ und das ausgezeichnete Dreieck $j_!j^!\omega_M\ra \omega_M\ra i_*i^*\omega_M\ra[1]$ liefert damit einen Isomorphismus $$j_!{\op{or}}_{M^\circ}[n]\sira \omega_M$$ Dasselbe gilt auch f"ur Eckfaltigkeiten, die sich ja topologisch nicht von Randfaltigkeiten unterscheiden. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben eine lokal konstante abelsche Garbe $\mathcal F$ mit endlich erzeugten Halmen auf einer Mannigfaltigkeit $X$ ist der kanonische Morphismus ein Isomorphismus\label{BidF} $$\mathcal F\sira \mathbb D_X\mathbb D_X\mathcal F$$ \end{Ubung} \subsection{Mannigfaltiger Eigr"uckzug} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein topologischer Raum $Y$ und ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum $E$ der Dimension $d\pdef\op{dim}E$ und die Projektion $c:E\times Y\ra Y$ erhalten wir mit Basiswechsel und \eref{kkRn}{TG} Isomorphismen\label{thl} $$c_!\DZ_{E\times Y}%\sira c_!c^*\DZ_{Y} \sira c_!\op{pr}_E^*\DZ_{E}\sira \op{pr}_Y^* \op{fin}_!\DZ_{E}\sira \op{pr}_Y^* ({\op{H}}_!^d(E))[-d]\cong \DZ_{Y}[-d]$$ Der letzte dieser Isomorphismen ist unkanonisch. Es geht uns aber an dieser Stelle nur um die Erkenntnis, da"s alle unsere Objekte Einheiten von $\op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ sind. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben ein topologischer Raum $Y$ und ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum $E$ ist f"ur die Projektion $c:E\times Y\ra Y$ und beliebiges $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ die Einheit der Adjunktion stets ein\label{rzGG} Isomorphismus $$c^*\mathcal G\sira c^!c_!c^*\mathcal G$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Wir wissen aus der Projektionsformel, da"s $c_!c^*$ isomorph ist zum Funktor $(c_!\DZ_{E\times Y})\otimes $ und mit \ref{thl} weiter zum Funktor $\DZ_{ Y}[-d]\otimes$. Das Lemma liefert uns damit die Existenz eines Isomorphismus $c^!\DZ_Y\cong \DZ_{E\times Y}[d]$ f"ur $d=\op{dim}E$\label{erzk} und sogar einen expliziten Isomorphismus $c^!\DZ_Y\sira \DZ_{E\times Y}[d]\otimes {\op{H}}_!^d(E)^*$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach dem Verschwindungskriterium \ref{VersKV} reicht es zu zeigen, da"s unsere Einheit der Adjunktion f"ur jede nichtleere konvexe offene Teilmenge $D\co E$ und die zugeh"orige Einbettung $j:D\times Y\hra E\times Y$ Isomorphismen $c_*j_*j^*c^*\mathcal G\sira c_*j_*j^*c^!c_!c^*\mathcal G$ liefert. Hierf"ur k"onnen wir die im Fall eines einpunktigen Raums $Y$ in \ref{qret} gegebene Argumentation kopieren, sobald wir zeigen k"onnen, da"s auch in dieser Situation die Koeinheit der Adjunktion einen Isomorphismus $$c_!j_!j^! c^* \mathcal G\sira c_! c^* \mathcal G$$ liefert. Das aber d"urfen wir halmweise an jedem Punkt $y\in Y$ pr"ufen und mit Basiswechsel folgt es so aus der bereits beim Beweis von \ref{qret} gezeigten Aussage im Fall eines einpunktigen Raums $Y$. Jetzt kann die Argumentation wie in \ref{qret} weiterlaufen. Da $D$ hom"oomorph ist zu $E$, reicht es zu zeigen, da"s unsere Abbildung f"ur alle $Y$ einen Isomorphismus $c_*c^*\mathcal G\sira c_*c^!c_!c^*\mathcal G$ induziert. Wir wissen aber aus der Projektionsformel, da"s $c_!c^*$ isomorph ist zum Funktor $(c_!\DZ_{E\times Y})\otimes $ und damit nach \ref{thl} eine "Aquivalenz von Kategorien. Also ist auch der adjungierte Funktor $c_*c^!$ eine "Aquivalenz von Kategorien und die Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus $\mathcal G\sira c_*c^!c_!c^*\mathcal G$. Da"s andererseits auch die Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus $\mathcal G\sira c_*c^*\mathcal G$ ist, wissen wir bereits aus \ref{zgsaf}. Das Lemma folgt. \end{proof} \begin{Proposition} Gegeben ein topologischer Raum $Y$ und ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum $E$ ist f"ur die Projektion $c:E\times Y\ra Y$ und beliebiges $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ die Koeinheit der Adjunktion stets ein\label{rzlG} Isomorphismus $$ c_!c^!\mathcal G\sira \mathcal G$$ \end{Proposition} \begin{proof} Aus dem vorherigen Lemma wissen wir, da"s die Einheit der Adjunktion einen Isomorphismus $c^*\mathcal G\sira c^!c_!c^*\mathcal G$ liefert. Aus der Dreiecksidentit"at wissen wir, da"s die Komposition $c_!c^*\mathcal G\sira c_!c^!c_!c^*\mathcal G\ra c_!c^*\mathcal G$ mit dem von der Koeinheit der Adjunktion induzierten zweiten Morphismus die Identit"at ist. Also induziert die Koeinheit der Adjunktion stets einen Isomorphismus $c_!c^!c_!c^*\mathcal G\sira c_!c^*\mathcal G$. Wie beim vorigen Beweis bemerkt wissen aber aus der Projektionsformel, da"s $c_!c^*$ isomorph ist zum Funktor $(c_!\DZ_{E\times Y})\otimes $ und damit nach \ref{thl} eine "Aquivalenz von Kategorien. \end{proof} \begin{Definition} Eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ hei"st {\bf mannigfaltig von der relativen Dimension $d$}\index{mannigfaltig!stetige Abbildung} oder kurz {\bf $d$-mannigfaltig}, wenn sie separiert ist und es f"ur jeden Punkt $x\in X$ ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ V\times\DR^d\;\ar[d] \ar@{^{(}->}[r] &X\ar[d]^f\\ V\; \ar@{^{(}->}[r] & Y } \end{displaymath} gibt mit offenen Einbettungen in den Horizontalen und $x$ im Bild der oberen Horizontale. Sie hei"st {\bf mannigfaltig}, wenn es $d\in\DN$ gibt derart, da"s unsere Abbildung $d$-mannigfaltig ist. \end{Definition} \begin{Beispiel} Eine $0$-mannigfaltige Abbildung ist dasselbe wie eine separierte \'etale Abbildung. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Offensichtlich ist jede mannigfaltige Abbildung les und f"ur eine $d$-man\-nig\-fal\-ti\-ge Abbildung ist jede ihrer Fasern eine $d$-Mannig\-faltigkeit. Nach dem Verschwinden hoher kompakter Kohomologie bei Mannigfaltigkeiten \eref{phq}{TG} und les-Basiswechsel ist also jede mannigfaltige Abbildung lesb. Nach \ref{erzk} ist f"ur $f:X\ra Y$ eine $d$-mannigfaltige Abbildung der Komplex $f^!\DZ_Y[-d]$ eine abelsche Garbe auf $X$, die lokal frei ist vom Rang Eins. Wir nennen sie die {\bf relative Orientierungsgarbe}\index{Orientierungsgarbe!relative}\label{roG} und notieren sie $$\op{or}_f=\op{or}_{X/Y}\pdef f^!\DZ_Y[-d]$$ Ist die relative Orientierungsgarbe isomorph zur konstanten Garbe $\DZ_X$, so nennen wir unsere mannigfaltige Abbildung {\bf orientierbar}\index{orientierbar!mannigfaltige Abbildung} und die Wahl eines Isomorphismus $\op{or}_f\sira \DZ_X$ alias $f^!\DZ_Y\sira \DZ_X[d]$ eine {\bf Orientierung von $f$}.\index{Orientierung!von mannigfaltiger Abbildung} F"ur jede $0$-man\-nig\-fal\-ti\-ge alias separierte \'etale Abbildung haben wir in \ref{etsep} bereits eine ausgezeichnete Orientierung angegeben. Ist $Y$ ein Einpunktraum, so entspricht sie derjenigen Orientierung auf einer $0$-Mannigfaltigkeit alias diskreten Menge, die jedem Punkt die Orientierung $+1$ zuweist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Schreir"uckzug unter mannigfaltigen Abbildungen}] Im Fall einer mannigfaltigen Abbildung $f:X\ra Y$ induziert unser Morphismus aus \ref{fter} f"ur alle $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ Isomorphismen\label{glRZ} $$f^!\DZ_Y\otimes f^*\mathcal G\sira f^! \mathcal G$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir haben in \ref{fMru} diskutiert, warum dieser Morphismus im Fall einer trennverflochtenen Trennaustauschsituation f"ur starres $\mathcal G$ stets ein Isomorphismus ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Gegenbeispiel zur R"uckzug-Schreir"uckzug-Formel}] F"ur die Einbettung $f:\op{pt}\ra Y$ des Ursprungs in die reelle Zahlengerade $Y\pdef \DR$ und $\mathcal G=\prod_{n}\DZ_{(-1/n,1/n)\subset\DR}$ das Produkt der Ausdehnungen durch Null auf immer kleineren offenen Intervallen um den Ursprung, so ist $f^!\mathcal G$ ein abz"ahlbares Produkt von Kopien von $\DZ[-1]$, da $f^!$ mit Produkten vertr"aglich ist, aber $f^!\underline{Y}\otimes f^*\mathcal G$ ist eine abz"ahlbare Summe von Kopien von $\DZ[-1]$. In diesem Fall haben wir also $f^!\underline{Y}\otimes f^*\mathcal G\not\cong f^!\mathcal G$. \end{Beispiel} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s unsere mannigfaltige Abbildung $f$ die Projektion $c:E\times Y\ra Y$ ist f"ur einen endlichdimensionalen reellen affinen Raum $E$. In diesem Fall ist schon mal die Koeinheit der Adjunktion ein Isomorphismus $c_!c^!\DZ_Y\sira \DZ_Y$ nach \ref{rzlG}. Wir k"onnen also von einem Isomorphismus $$c_!(c^!\DZ_Y\otimes c^*\mathcal G)\sira c_!c^!\DZ_Y\otimes \mathcal G\sira \DZ_Y\otimes \mathcal G\sira\mathcal G$$ ausgehen und m"ussen zeigen, da"s er unter der Adjunktion einem Isomorphismus $c^!\DZ_Y\otimes c^*\mathcal G\sira c^!\mathcal G$ entspricht. Nach \ref{erzk} ist $c^!\DZ_Y\cong \DZ_{E\times y}[d]$ und nach \ref{rzGG} gibt es folglich $\mathcal E$ mit $c^!\mathcal E\cong (c^!\DZ_Y\otimes c^*\mathcal G)$, denn die rechte Seite liegt damit im wesentlichen Bild von $c^*$. Jeder Isomorphismus $c_!(c^!\mathcal E)\sira \mathcal G$ entspricht aber in der Tat unter der Adjunktion einem Isomorphismus $c^!\mathcal E\sira c^!\mathcal G$, denn wir k"onnen die von der Ajunktion induzierte Abbildung verstehen als die Komposition $$(c^!\mathcal E)\ra c^!c_!(c^!\mathcal E)\sira c^! \mathcal G$$ mit dem von der Einheit der Adjunktion induzierten Morphismus links und dieser linke Morphismus ist ein Isomorphismus, da die Komposition $c^!\mathcal E\ra c^!c_!c^!\mathcal E\ra c^!\mathcal E$ die Identit"at ist nach den Dreiecksidentit"aten und die Koeinheit der Adjunktion ein Isomorphismus $c_!c^!\mathcal E\sira \mathcal E$ nach \ref{rzlG}. \end{proof} \newpage \nichtfinal{\begin{Proposition}[\textbf{Schreir"uckzug und externes Produkt}] Gegeben seien lesb-R"aume $X,Y$. Wir nehmen an, da"s $X,Y$ und $X\times Y$ starre dualisierende Garben haben und da"s jeder Punkt eine offene Umgebung bagazyklisch? homologisch auch bagazyklisch? starren dualisierenden Garben und der Eigenschaft, da"s ist der Morphismus aus \ref{SruB} f"ur alle $\mathcal F\in \op{Der}_{/Y}$ und $\mathcal G\in \op{Der}_{/Z}$ ein Isomorphismus $$ f^!\mathcal F \boxtimes g^! \mathcal G\sira (f \times g)^{! } (\mathcal F \boxtimes \mathcal G) $$ Soll jedenfalls f"ur Variet"aten erf"ullt sein! \end{Proposition} } \begin{proof} Gegeben $(x,y)\in X\times Y$ finden wir nach Annahme eine bagazyklische und basazyklische offene Umgebung $U\co X$ von $x$ und $V\co Y$ von $y$. Da ein Morphismus der derivierten Kategorie abelscher Garben, der auf den Halmen Isomorphismen induziert, bereits ein Isomorphismus sein mu"s, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $X$ und $Y$ selber bereits bagazyklisch und basazyklisch sind. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Schreir"uckzug und externes Produkt}] Gegeben mannigfaltige Abbildungen $f:X\ra Y$ und $g:W\ra Z$ ist der Morphismus aus \ref{SruB} f"ur alle $\mathcal F\in \op{Der}_{/Y}$ und $\mathcal G\in \op{Der}_{/Z}$ ein Isomorphismus $$ f^!\mathcal F \boxtimes g^! \mathcal G\sira (f \times g)^{! } (\mathcal F \boxtimes \mathcal G) $$ \end{Korollar} \begin{proof} Es reicht zu zeigen, da"s unser Morphismus unter Einschr"ankung auf die Teilmengen einer offenen "Uberdeckung von $X\times Y$ Isomorphismen induziert. So ziehen wir uns auf den Fall zur"uck, da"s $f:\DR^m\times Y\ra Y$ und $g:\DR^n\times Z\ra Z$ jeweils die Projektionen sind. Nach \ref{roG} ist $f^!\DZ_Y$ bis auf eine Gradverschiebung isomorph zur konstanten Garbe und nach \ref{glRZ} folgt $f^!\cong f^*[m]$ und ebenso $g^!\cong g^*[n]$ und $(f\times g)^!\cong (f\times g)^*[m+n]$. Da $f\times g$ garbenazyklisch ist nach \ref{zgsaf}, gibt es also schon mal ein Objekt $\mathcal H$ mit $(f\times g)^!\mathcal H \cong f^!\mathcal F \boxtimes g^! \mathcal G$. Das hinwiederum bedeutet, da nach \ref{rzlG} die Koeinheit der Adjunktion in diesem Fall eine Isotransformation $(f\times g)_!(f\times g)^!\siRa \op{id}$ ist, da"s wir nur zeigen m"ussen, da"s unser Morphismus unter $(f\times g)_!$ ein Isomorphismus $$(f\times g)_!( f^!\mathcal F \boxtimes g^! \mathcal G)\sira (f\times g)_!(f \times g)^{! } (\mathcal F \boxtimes \mathcal G) $$ wird. Der Schreivorschub kommutiert jedoch nach \ref{VexP} mit dem Boxprodukt und die Behauptung folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einheiten in Trennaustauschsituationen}] Sei eine voll trennverflochtene Trennaustauschsituation $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ mit einem finalen Objekt der Basis $\op{pt}\in \mathscr T$ gegeben. F"ur eine Einheit $u\in\mathscr G_{/{\op{pt}}}$ und $X\in\mathscr T$ und $\mathcal F\in \mathscr G_{/X}$ vereinbaren wir die abk"urzende Notation $$\mathcal F[u]\pdef (\op{fin}_X^*u)\otimes \mathcal F$$ und erhalten Isomorphismen $f_!(\mathcal F [u])\sira (f_!\mathcal F) [u]$ und $f^*(\mathcal G [u])\sira (f^*\mathcal G) [u]$ und $(\mathcal F\otimes\mathcal G)[u]\sira \mathcal F\otimes(\mathcal G[u])$ mit einer Vielzahl von Vertr"aglichkeiten, die wir nicht ausschreiben. Existieren die Adjungierten, so m"ussen sie genauso mit $[u]$ vertauschen, da wir $u$ als Einheit angenommen haben. Wir erhalten so Isomorphismen $f^!(\mathcal G [u])\sira (f^!\mathcal G) [u]$ und $f_*(\mathcal F [u])\sira (f_*\mathcal F) [u]$ und $$(\mathcal F[-u]{\Rrightarrow}\mathcal G)\sira(\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G)[u]\sira (\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G[u])$$ mit der Notation $[-u]$ f"ur die inverse Einheit und einer noch viel gr"o"seren Zahl von Vertr"aglichkeiten. Wir schreiben sie genausowenig aus, da sie bei Bedarf leicht aus der Axiomatik einer Trennverflechtung abgeleitet werden k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abstrakte Orientierungen}] Sei $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ eine Trennaustauschsituation mit voller Trennverflechtung und Adjungierten und finalem Objekt $\op{pt}$ der Basis. Wir nennen einen Morphismus der Basis $f:X\ra Y$ {\bf orientierbar}, wenn er ein Schreimorphismus ist und es eine Einheit $u\in \mathscr G_{/{\op{pt}}}$ gibt mit $f^!\underline{Y}\cong \underline{X}[u]$. Eine Wahl eines derartigen Isomorphismus $\omega:f^!\underline{Y}\sira \underline{X}[u]$ nennen wir eine {\bf $[u]$-Orientierung von $f$} und notieren so ein Datum $$(f;u)=(f;u,\omega):X\ra Y$$ Gegeben ein weiterer orientierter Schreimorphismus $(g;v):Y\ra Z$ erhalten wir eine $[u+v]$-Orientierung von $g f$ in offensichtlicher Weise, die {\bf Verkn"upfungsorientierung}.\index{Verkn"upfungsorientierung} Ist umgekehrt $gf$ eine Komposition von zwei Schreimorphismen und sind eine $[v]$-Orientierung auf $g$ sowie eine $[w]$-Orientierung auf $gf$ gegeben, so erhalten wir aus der Komposition\label{abOR} $f^!\underline{Y}[v]\sila f^!g^!\underline{Z}\sira (gf)^!\underline{Z} \sira \underline{X}[w]$ eine $[w-v]$-Orientierung auf $f$. Wir nennen sie die {\bf relative Orientierung von $f$}.\index{Orientierung eines Schreimorphismus!relative} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Orientierung f"ur Abbildungen von Mannigfaltigkeiten}] Zum Beispiel erh"alt jede stetige Abbildung $f:X\ra Y$ von orientierten Mannigfaltigkeiten der Dimensionen $\op{dim}X=m$ und $\op{dim}Y=n$ eine $[m-n]$-Orientierung, indem wir die vorhergehenden "Uberlegungen in der voll verflochtenen Trennaustauschsituation \ref{tzGG} auf $Z=\op{top}$ und die Einheiten $\DZ[d]\in\op{Der}(\op{Ab}_{/{\op{top}}})$ f"ur $d\in\DZ$ anwenden. In der Tat gilt f"ur $a:X\ra \op{pt}$ und $b:Y\ra \op{pt}$ ja $fb=a$ und f"ur $a$ und $b$ liefert die jeweilige Orientierung \ref{dGmg} Isomorphismen $a^!\underline{\op{pt}}\sira \underline{X}[m]$ und $b^!\underline{\op{pt}}\sira\underline{Y}[n]$. \end{Beispiel} \subsection{Sucht noch seinen Platz} \begin{Proposition}[\textbf{Schreir"uckzug und Basiswechsel}] Seien $S$ offenlokal bag\-azyk\-lisch und $f:X\ra Y$ lesb. Bezeichne $\op{pr}_X:S\times X\ra X$ beziehungsweise $\op{pr}_Y:S\times Y\ra Y$ die Projektionen. So ist die Transformation aus \ref{FleB} alias \ref{Erii} eine Isotransformation\label{rzT} $$\op{pr}_X^* f^!\siRa ( \op{id}\times f)^! \op{pr}_Y^*$$ \end{Proposition} \begin{proof} Gegeben $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ reicht es nach dem Verschwindungskriterium \ref{VersKV} zu zeigen, da"s f"ur jede Einbettung $j:U\hra S$ einer bagazyklischen offenen Teilmenge unsere Transformation einen Isomorphismus $$ (\op{pr}_{X})_*(j\times\op{id})^* \op{pr}_X^* f^!\mathcal G\sira (\op{pr}_{X})_* (j \times \op{id})^* ( \op{id}\times f)^! \op{pr}_Y^*\mathcal G$$ induziert. Das l"auft darauf hinaus zu zeigen, wenn wir kurzerhand $S$ statt $U$ schreiben um die bisherige Notation verwenden zu k"onnen, da"s f"ur $S$ bagazyklisch unsere Transformation einen Isomorphismus $$ (\op{pr}_{X})_* \op{pr}_X^* f^!\mathcal G\sira (\op{pr}_{X})_* ( \op{id}\times f)^! \op{pr}_Y^*\mathcal G$$ induziert. Dieser Morphismus pa"st jedoch in ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ (\op{pr}_{X})_* \op{pr}_X^* f^!\mathcal G \ar[r] & (\op{pr}_{X})_* (\op{id}\times f)^! \op{pr}_Y^*\mathcal G \\ f^!\mathcal G \ar[r]^-\sim\ar[u]_\wr &f^! (\op{pr}_{Y})_*\op{pr}_Y^*\mathcal G\ar[u]_\wr } \end{displaymath} mit Koeinheiten der Adjunktion ausgehend von links unten, die wegen $S$ bagazyklisch Isomorphismen sind, und einem adjungierten Basiswechsel in der rechten Vertikale, der vom selben Basiswechsel herkommt wie die obere Horizontale. \end{proof} \newpage \begin{Proposition}[\textbf{Schreir"uckzug und garbenguter Basiswechsel NEU}] Sei $pg=fq$ ein kartesisches Diagramm topologischer R"aume mit $f,g$ lesb und $p,q$ garbengut. So ist die Transformation aus \ref{FleB} alias \ref{Erii} eine Isotransformation\label{rzT} $$q^* f^!\siRa g^! p^*$$ \end{Proposition} \begin{proof} Wir arbeiten mit dem kartesischen Quadrat \begin{displaymath} \xymatrix{ X\times_YZ \ar[d]^g\ar[r]^q & X \ar[d]^f\\ Z\ar[r]^p &Y } \end{displaymath} Gegeben $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ reicht es nach dem Verschwindungskriterium \ref{VersKV} zu zeigen, da"s jeder Punkt $w\in X\times_YZ$ ein Fundamentalsystem von offenen Umgebungen $U$ hat derart, da"s f"ur $j$ die Einbettung der fraglichen Umgebung unser Morphismus einen Isomorphismus $$\op{fin}_* j^*q^* f^!\mathcal G\siRa \op{fin}_* j^* g^! p^*\mathcal G$$ induziert. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die Lokalit"at in der Basis zusammen mit der Stabilit"at unter R"uckzug zeigen, da"s jedes Faserb"undel mit garbenguter Faser garbengut ist. \end{Beispiel} \begin{proof} Gegeben $\mathcal F\in\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ reicht es nach unserem Verschwindungskriterium \ref{VersKK} zu zeigen, da"s jeder Punkt aus dem Definitionsbereich von $p$ ein Fundamentalsystem von offenen Umgebungen hat derart, da"s f"ur $j$ die Einbettung der fraglichen Umgebungen unser Morphismus einen Isomorphismus $$\op{fin}_*j^*p^{\ast} f_{\ast} \mathcal F\sira \op{fin}_*j^*g_{\ast} q^{\ast} \mathcal F$$ induziert, f"ur $\op{fin}$ die konstante Abbildung auf den Einpunktraum. Da wir $p$ garbengut angenommen haben, finden wir ein Fundamentalsystem von offenen Umgebungen $U\co Z$ und zugeh"orige $V\co Y$ mit $p(U)\subset V$ und $p:U\ra V$ bagazyklisch. So k"onnen wir uns darauf zur"uckziehen, im Fall eines kartesischen Diagramms mit bagazyklischen Horizontalen $p,q$ zu zeigen, da"s der Basiswechsel Isomorphismen $$p_*p^{\ast} f_{\ast} \mathcal F\sira p_*g_{\ast} q^{\ast} \mathcal F$$ induziert. Das ist aber klar, da ja gilt $p_*g_{\ast}=f_*q_*$ und da nach Annahme die Einheiten der Adjunktion Isomorphismen $\op{id}\siRa p_*p^*$ und $\op{id}\siRa q_*q^*$ sind. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Garbenguter R"uckzug von internem Hom}] Gegeben eine garbengute Abbildung $f:X\ra Y$ ist f"ur alle $\mathcal E,\mathcal G\in\op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ der nat"urliche Morphismus aus \ref{fuiH} ein Isomorphismus\label{OLHo} $$f^*(\mathcal E{\Rrightarrow}\mathcal G)\sira(f^*\mathcal E{\Rrightarrow}f^*\mathcal G) $$ \end{Proposition} \nichtfinal{Hier ist wichtig, da"s der Koeffizientenring sich nicht "andert. Andernfalls braucht man mindestens gewisse Endlichkeitsbedingungen an die beteiligte Kringerweiterung, vielleicht da"s $A$ ein endlich erzeugter projektiver $B$-Modul ist.} \begin{proof} Ich erinnere daran, da"s nach \ref{vRiH} offener R"uckzug mit internem Hom vertauscht. Mit dem Verschwindungskriterium \ref{VersKK} k"onnen wir uns auf den Nachweis beschr"anken, da"s f"ur $f:X\ra Y$ bagazyklisch der obige Morphismus einen Isomorphismus $f_*f^*(\mathcal E{\Rrightarrow}\mathcal G)\sira f_*(f^*\mathcal E{\Rrightarrow}f^*\mathcal G) $ induziert. Da jedoch die Einheit der Adjunktion in diesem Fall eine Isotransformation $\op{id}\siRa f_* f^*$ ist, reicht es zu zeigen, da"s das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ f_*f^*(\mathcal E{\Rrightarrow}\mathcal G) \ar[r] & f_*(f^*\mathcal E{\Rrightarrow}f^*\mathcal G)\\ (\mathcal E{\Rrightarrow}\mathcal G) \ar[r]^-\sim \ar[u]^\wr& (\mathcal E{\Rrightarrow}f_*f^*\mathcal G)\ar[u]^\wr } \end{displaymath} kommutiert mit der rechten Vertikale aus \ref{ngtR}. Um das zu sehen, d"urfen wir die Adjunktion anwenden und statt beiden $f_*$ in der oberen Horizontale vor beide Ausdr"ucke der unteren Horizontale ein $f^*$ davorschreiben. Dann steht in der linken Vertikale die Identit"at und die Kommutativit"at folgt aus der Definition der beteiligten Morphismen. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Vorschub und externes Produkt}] Seien $S$ garbengut und\label{SrpV} $f:X\ra Y$ stetig und $k$ ein Kring. Seien zus"atzlich $\mathcal E\in \op{Der}(\op{Ab}_{/(S,k)})$ starr und $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/(Y,k)})$ beliebig. So ist der Morphismus aus \ref{fuiBP} ein Isomorphismus $$\mathcal E\boxtimes f_*\mathcal F\sira (\op{id}\times f)_*(\mathcal E\boxtimes \mathcal F)$$ \end{Korollar} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vorschub und relatives externes Produkt}] Ist allgemeiner $S\ra Z$ garbengut und $Y\ra Z$ stetig, so ist genauso der Morphismus aus \ref{fuiBP} ein Isomorphismus $$\mathcal E\boxtimes_Z f_*\mathcal F\sira (\op{id}\times f)_*(\mathcal E\boxtimes_Z \mathcal F)$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir notieren $\op{pr}_{A,B}:A\times B\ra B$ und $\op{pr}_{B,A}:A\times B\ra A$ die Projektionen und faktorisieren den in \ref{fuiBP} gegebenen Morphismus als die Komposition von Isomorphismen $$\begin{array}{llll} \mathcal E\boxtimes f_*\mathcal F&=& \op{pr}_{Y,S}^*\mathcal E\otimes \op{pr}_{S,Y}^* f_*\mathcal F&\text{per definitionem,}\\ &\sira& \op{pr}_{Y,S}^*\mathcal E\otimes (\op{id}\times f)_*\op{pr}_{S,X}^*\mathcal F&\text{Basiswechsel \ref{DGFBW},}\\ &\sira& (\op{id}\times f)_*\big( (\op{id}\times f)^*\op{pr}_{Y,S}^*\mathcal E\otimes\op{pr}_{S,X}^*\mathcal F\big)&\text{mit Starrheit \ref{fui},}\\ &\sira& (\op{id}\times f)_*( \op{pr}_{X,S}^*\mathcal E\otimes\op{pr}_{S,X}^*\mathcal F)&\text{mit Identifikation,}\\ &=& (\op{id}\times f)_*( \mathcal E\boxtimes \mathcal F)&\text{per definitionem.}\\ \end{array}$$ Genauer verwenden wir garbenguten Basiswechsel \ref{DGFBW} und die starre Projektionsformel \ref{fui}. Da"s die im Beweis gegebene Komposition in der Tat mit dem in \ref{fuiBP} angegebenen Morphismus zusammenf"allt, mag einmal ein Student pr"ufen. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Zweifacher Vorschub und externes Produkt}] Gegeben seien stetige Abbildungen $f_1:X_1\ra Y_1$ und $f_2:X_2\ra Y_2$ mit $X_1,Y_2$ garbengut und $k$ ein Kring. So ist f"ur $\mathcal F_i\in \op{Der}(\op{Ab}_{/(Y_i,k)})$ mit $\mathcal F_1$ starr und $f_{2*}\mathcal F_2$ starr der Morphismus aus \ref{fuiBP} ein Isomorphismus\label{zfexV} $$f_{1*}\mathcal F_1\boxtimes f_{2*}\mathcal F_2\sira (f_1\times f_2)_*(\mathcal F_1\boxtimes \mathcal F_2)$$ \end{Korollar} \begin{proof} Man wende das vorhergehende Korollar \ref{SrpV} zweimal an. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zweifacher Vorschub und relatives externes Produkt}] Gegeben stetige Abbildungen $f_1:X_1\ra Y_1$ und $f_2:X_2\ra Y_2$ "uber einem festen Raum $Z$ mit $X_1\ra Z$ und $Y_2\ra Z$ garbengut und $k$ ein Kring ist f"ur $\mathcal F_i\in \op{Der}(\op{Ab}_{/(Y_i,k)})$ mit $\mathcal F_1$ starr und $f_{2*}\mathcal F_2$ starr mit demselben Argument wie beim Beweis von \ref{zfexV} der Morphismus aus \ref{fuiBP} ein Isomorphismus\label{zfexVv} $$f_{1*}\mathcal F_1\boxtimes_Z f_{2*}\mathcal F_2\sira (f_1\times f_2)_*(\mathcal F_1\boxtimes_Z \mathcal F_2)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Kohomologie eines Produkts}] Seien $X,Y$ topologische R"aume und $k$ ein Kring. Bezeichne $a:X\ra\op{pt}$ und $b:Y\ra\op{pt}$ und $c:X\times Y\ra \op{pt}$ die konstanten Abbildungen. Wir nehmen an, $X$ sei garbengut und $b_*\underline{Y}$ sei starr.\label{KohP} So ist der Morphismus aus \ref{fuiBP} ein Isomorphismus $$a_*\underline{X}\otimes b_*\underline{Y} \sira c_*(\underline{X\times Y})$$ \end{Korollar} \begin{proof} Wir wenden das vorhergehende Korollar \ref{zfex} an mit $X_1=X$ und $X_2=Y$ und $Y_1=Y_2$ der Einpunktraum. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Relative K"unnethformel}] Seien $a:X\ra Z$ garbengut und $b:Y\ra Z$ stetig und $c:X\times_Z Y\ra Z$ die offensichtliche Abbildung und $k$ ein Kring. Ist zus"atzlich $b_*\underline{Y}$ starr, so ist der Morphismus aus \ref{fuiBP} ein Isomorphismus $$a_*\underline{X}\otimes_Z b_*\underline{Y} \sira c_*(\underline{X\times_Z Y})$$ \end{Bemerkungl} %\nichtfinal{Nochmal durchsehen, da ist manches doppelt!} % Wenn wir gar keine Starrheitsannahmen machen, erhalten wir nur noch mit \ref{ngtR} und gefasertem Basiswechsel Isomorphismen % $$c_*(\op{pr}_{X}^*\mathcal F{\Rrightarrow} \op{pr}_{Y}^*\mathcal G) % \sira % a_*(\mathcal F{\Rrightarrow} \op{pr}_{X*}\op{pr}_{Y}^*\mathcal G) % \sira % a_*(\mathcal F{\Rrightarrow} a^*b_*\mathcal G) % $$ \begin{Bemerkungl} F"ur beliebige topologische R"aume $X,Y$ und jeden Kring $k$ liefert der R"uckzug auf der Kohomologie einen Ringhomomorphismus $${\op{H}}^*(X;k)\bar{\otimes} {\op{H}}^*(Y;k)\ra {\op{H}}^*(X\times Y;k)$$ mit $(u,v)\mapsto u\times v \pdef\op{pr}_X^*(u)\cup \op{pr}_Y^*(v)$. Hier meint $\bar{\otimes}$ das f"ur Monoidobjekte der Schmelzkatgorie der supergraduierten $k$-Moduln zu verstehende Tensorprodukt \eref{stMMx}{TSK}, also das "ubliche Tensorprodukt von graduierten $k$-Moduln Gruppen mit einer Vorzeichenregel f"ur der Multiplikation von zwei Tensoren. Dieser Ringhomomorphismus hei"st das {\bf Kreuzprodukt der Garbenkohomologie}.\index{Kreuzprodukt!der Garbenkohomologie} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{K"unnethformel der Garbenkohomologie}] Seien $X,Y$ topologische R"aume und $k$ ein Kring. Ist $X$ garbengut und sind alle ${\op{H}}^q( Y)$ projektive $k$-Moduln, so konstruieren wir im folgenden Beweis einen Isomorphismus $$\bigoplus_{p+q=n}{\op{H}}^p(X;{\op{H}}^q(Y;k))\sira {\op{H}}^n(X\times Y;k)$$ Sind zus"atzlich alle ${\op{H}}^q( Y;k)$ endlich erzeugt, so induziert das Kreuzprodukt der Kohomologie Isomorphismen\label{KuFEF} $$\bigoplus_{p+q=n}{\op{H}}^p(X;k)\otimes_k {\op{H}}^q( Y;k)\sira {\op{H}}^n(X\times Y;k)$$ \end{Satz} \begin{proof} Garbenguter Basiswechsel \ref{DGFBW} im kartesischen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X\times Y \ar[d]_-{\op{pr}_X}\ar[r]^-{\op{pr}_Y} &Y \ar[d]^-b\\ X \ar[r]^-{a} & \op{top} } \end{displaymath} liefert einen Isomorphismus $a^*b_*\underline{Y}\sira \op{pr}_{X*}\op{pr}_{Y}^*\underline{Y}$ und so einen Isomorphismus $a_*a^*b_*\underline{Y}\sira \op{fin}_{*}\underline{X\times Y}$. Sind alle ${\op{H}}^q(Y;k)$ projektive $k$-Moduln, so gibt es nach \eref{KpH}{TD} genau einen Morphismus $s:\mathcal H b_*\underline{Y}\ra b_*\underline{Y}$ in der derivierten Kategorie derart, da"s $\mathcal H s:\mathcal H\mathcal H b_*\underline{Y}\ra \mathcal H b_*\underline{Y}$ der offensichtliche Isomorphismus ist, und dieser Morphismus ist offensichtlich selber ein Isomorphismus $$s:\mathcal H b_*\underline{Y}\sira b_*\underline{Y}$$ Nach \eref{PderKi}{TD} ist $a^*b_*\underline{Y}$ das Produkt der $[-q]a^*{\op{H}}^q(Y;k)$. Als Rechtsadjungierter macht $a_*$ Produkte zu Produkten. Da Produkte in derivierten Modulkategorien nach \eref{PrDeM}{TD} gliedweise berechnet werden k"onnen und mit dem Bilden der Homologie vertauschen, folgen die Isomorphismen des Satzes. Eine Kohomologieklasse $\beta\in {\op{H}}^r(Y;k)$ entspricht einem Morphismus $\beta: \underline{Y}\ra [r]\underline{Y}$. Indem wir seinen Effekt unter unseren Konstruktionen verfolgen, erhalten wir auch ohne irgendwelche Annahmen an $X$ die rechte H"alfte eines kommutativen Diagramms $$\begin{array}{ccccc} {\op{H}}^p(X;k)\otimes_k{\op{H}}^q(Y;k)&\ra&{\op{H}}^p(X;{\op{H}}^q(Y;k))&\ra& {\op{H}}^{p+q}(X\times Y;k)\\[1mm] \da \op{id}\otimes(\cup\beta)&& \da \cup\beta&&\da \cup\op{pr}_Y^*\beta\\[1mm] {\op{H}}^p(X;k)\otimes_k{\op{H}}^{q+r}(Y;k)&\ra&{\op{H}}^p(X;{\op{H}}^{q+r}(Y;k))&\ra& {\op{H}}^{p+q+r}(X\times Y;k) \end{array}$$ Das linke Quadrat entsteht aus dem Morphismus $$a_*\underline{X}\otimes \mathcal F\ra a_*(\underline{X}\otimes a^* \mathcal F)\sira a_* a^*\mathcal F$$ nach \ref{fuiHS}, indem wir zu $\mathcal F$ zu $[0]{\op{H}}^q(Y;k)$ spezialisieren und $\mathcal H^p$ anwenden und den Morphismus \ref{gHsf} vom Tensorprodukt der Homologien zur Homologie des Tensorprodukts vorschalten. Indem wir die Bilder von $\alpha\otimes 1$ verfolgen, erkennen wir, da"s die Kompositionen in den Horizontalen das Kreuzprodukt der Kohomologie sein m"ussen. Ist ${\op{H}}^q(Y;k)$ endlich erzeugt projektiv, so ist es starr und flach und die eben konstruierten Morphismen erweisen sich als Isomorphismen nach der starren Projektionsformel \ref{fui} und der $\otimes$-Entfaltetheit flacher Objekte und der zweite Teil des Satzes folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir k"onnen die zweite Aussage auch direkt aus dem in \ref{KohP} konstruierten Isomorphismus $a_*\underline{X}\otimes b_*\underline{Y} \sira c_*(\underline{X\times Y})$ ableiten. Unter den gegebenen Annahmen haben wir n"amlich, wie im vorhergehenden Beweis ausgef"uhrt, einen expliziten Isomorphismus $$\textstyle\bigoplus_q [-q]{\op{H}}^q(Y;k)\sira b_*\underline{Y}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Varianten zur K"unnethformel}] Fordern wir keine speziellen Eigenschaften von $X$, fordern aber weiter die Projektivit"at aller ${\op{H}}^q(Y;k)$, so liefern die Konstruktionen unseres Beweises Morphismen $\bigoplus_{p+q=n}{\op{H}}^p(X;{\op{H}}^q(Y;k))\ra {\op{H}}^n(X\times Y;k)$, die aber im allgemeinen keine Isomorphismen mehr zu sein brauchen. Fordern wir andererseits $X$ garbengut und fordern keine speziellen Eigenschaften von $Y$, fordern aber, da"s unser Koeffizientenkring $k$ erblich sein soll, so liefern die Konstruktionen unseres Beweises zusammen mit \eref{DKHa}{TD} weiter die Existenz von Isomorphismen\label{VarKK} $$\textstyle\bigoplus_{p+q=n}{\op{H}}^p(X;{\op{H}}^q(Y;k))\sira {\op{H}}^n(X\times Y;k)$$ Wir k"onnen aber ohne zus"atzliche Wahlen keinen derartigen Isomorphismus auszeichnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Aus \ref{KuFd} mag man zum Vergleich die K"unnethformel f"ur die kompakte Kohomologie erinnern. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Nullte Garbenkohomologie eines Produkts}] Im Fall $n=0$ liefert die Konstruktion der konstanten Garbe $k$ Isomorphismen ${\op{H}}^0(X;k)\sira \op{Top}(X,k)$ f"ur jede diskrete Gruppe $k$ und $\op{Top}(X,k)$ die Menge der stetigen Abbildungen von $X$ nach $k$. In diesem Fall liefert unser Satz unter gewissen Zusatzannahmen, die sich in diesem Fall auch noch als "uberfl"ussig erweisen, die vom Exponentialgesetz nach Lemma \ref{topEV} induzierten Abbildungen $$\op{Top}(X,\op{Top}(Y,k))\ra \op{Top}(X\times Y,k)$$ Wir zeigen in \ref{topEV}, da"s unsere Abbildungen f"ur lokal zusammenh"angendes $X$ sogar bijektiv sind. In dem Fall schlie"slich, da"s $X$ nur endliche viele Zusammenhangskomponenten hat, liefert $\boxtimes$ offensichtlich einen Isomorphismus $$\op{Top}(X,k)\otimes_k\op{Top}(Y,k)\sira \op{Top}(X\times Y,k)$$ \end{Beispiel} \begin{Lemma}[\textbf{Variante zum topologischen Exponentialgesetz}] Gegeben topologische R"aume $X,Y,D$ mit $D$ diskret induziert das Exponentialgesetz f"ur Mengen eine Abbildung $\op{Top}(X,\op{Top}(Y,D))\ra \op{Top}(X\times Y,D)$. Ist $X$ lokal zusammenh"angend, so ist unsere Abbildung eine Bijektion\label{topEV} $$\op{Top}(X,\op{Top}(Y,D))\sira \op{Top}(X\times Y,D)$$ \end{Lemma} \begin{proof} Sei $F:X\ra \op{Top}(Y,D)$ stetig und $f:X\times Y\ra D$ das Bild von $F$. Nach Annahme besitzt jedes $x\in X$ eine Umgebung $U$, auf der $F$ konstant ist. Nach Annahme besitzt jedes $y\in Y$ eine Umgebung $V$, auf der $F(x)$ konstant ist. Dann ist auch $(x',y')\mapsto (F(x'))(y')=f(x',y')$ konstant auf $U\times V$ und damit $f$ stetig f"ur die Produkttopologie. Ist umgekehrt $f:X\times Y\ra D$ stetig, so gibt es f"ur alle $(x,y)\in X\times Y$ Umgebungen $U_{(x,y)}\subset X$ von $x$ und $V_{(x,y)}\subset Y$ von $y$ derart, da"s $f$ konstant ist auf $U_{(x,y)}\times V_{(x,y)}$. Gibt es eine zusammenh"angende Umgebung $U_x$ von $x$, so mu"s $f$ sogar konstant sein auf $U_{x}\times V_{(x,y)}$ alias $f(x',y)=f(x,y)\;\forall x'\in U_x$ und $y\in Y$. Das hinwiederum zeigt, da"s auch $F:x\mapsto (y\mapsto f(x,y))$ lokal konstant sein mu"s. \end{proof} \begin{Satz*}[\textbf{Leray-Hirsch}] Gegeben $X\ra Y$ ein Faserb"undel\index{Leray-Hirsch}\label{LeHi} "uber einem garbenguten Raum und $k$ ein Kring und $c_1,\ldots, c_n\in {\op{H}}^{*}(X;k)$ homogene Klassen, deren R"uckz"uge f"ur alle $y\in Y$ eine Basis der Kohomologie $ {\op{H}}^{*}(X_y;k)$ der Faser bilden, bilden $c_1,\ldots, c_n$ auch eine Basis von ${\op{H}}^{*}(X;k)$ als ${\op{H}}^{*}(Y;k)$-Modul. \end{Satz*} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $p:X\ra Y$ die Projektion. Eine Klasse $c\in {\op{H}}^{q}(X;k)$ k"onnen wir nach \eref{GTH}{TD} auffassen als einen Morphismus $c : p^{\ast} \underline{Y} \ra \underline{X}[q]$ in der derivierten Kategorie der Garben von $k$-Moduln auf $X$. Die Zeilenmatrix $(c_1, \ldots , c_n)$ liefert so einen Homomorphismus $$\textstyle \bigoplus^{n}_{i=1} \underline{Y} [-q(i)] \ra p_{\ast} \underline{X}$$ Unser Satz folgt, wenn wir nachweisen, da"s er ein Quasiisomorphismus ist. Dazu d"urfen wir aber unser Faserb"undel als trivial annehmen und dann folgt die Behauptung aus garbengutem Basiswechsel \ref{DGFBW}. \end{proof} \begin{Satz*}[\textbf{Leray-Hirsch, Variante}] Gegeben $X\ra Y$ ein Faserb"undel\index{Leray-Hirsch!Variante} "uber einem garbenguten Raum und $k$ ein Kring und $s\in\DN$ und homogene Kohomologieklassen $c_i\in {\op{H}}^{q(i)}(X;k)$ f"ur $i=1,\ldots,n$, deren R"uckz"uge\label{LeHiV} f"ur alle $y\in Y$ eine Basis der abgeschnittenen Kohomologie $ {\op{H}}^{\leq s}(X_y;k)$ der Faser bilden, induziert die durch Multiplikation mit $c_1,\ldots, c_n$ gegebene Abbildung in allen Graden $\leq s$ einen Isomorphismus $$\textstyle\bigoplus_{i=1}^n{\op{H}}^{*}(Y;k)[-q(i)] \ra {\op{H}}^{*}(X;k)$$ \end{Satz*} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $p:X\ra Y$ die Projektion. Eine Klasse $c\in {\op{H}}^{q}(X;k)$ k"onnen wir nach \eref{GTH}{TD} auffassen als einen Morphismus $c : p^{\ast} \underline{Y} \ra \underline{X}[q]$ in der derivierten Kategorie der abelschen Garben auf $X$. Die Zeilenmatrix $(c_1, \ldots , c_n)$ liefert so einen Homomorphismus $$\textstyle \bigoplus^{n}_{i=1} \underline{Y} [-q(i)] \ra \tau^{\leq s}p_{\ast} \underline{X}$$ Unser Satz folgt, wenn wir nachweisen, da"s er ein Quasiisomorphismus ist. Dazu d"urfen wir aber unser Faserb"undel als trivial annehmen und dann folgt die Behauptung aus garbengutem Basiswechsel \ref{DGFBW}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir nennen einen Morphismus $f:(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$ von gekringten R"aumen {\bf flach}, wenn f"ur alle $x\in X$ der Halm $\mathcal A_x$ ein flacher $\mathcal B_{f(x)}$-Modul ist. Wir nennen ihn {\bf starr},\index{starr!Morphismus gekringter R"aume} wenn $\mathcal A$ starr ist in der Schmelzkategorie $\op{Der}_{(X,f^*\mathcal B)}$. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Ab hier auf garbengut umschreiben!} \begin{Satz}[\defind{Derivierter gefaserter Basiswechsel in gekringten R"aumen}] Sind in einem kartesischen Diagramm von gekringten R"aumen $f q=p g$ die Horizontalen\label{DGFBWgk} $p,q$ starr und garbengut und sind die Vertikalen flach, so ist der Basiswechsel auf den derivierten Kategorien von Modulgarben eine Isotransformation $$p^{\ast} f_{\ast} \siRa g_{\ast} q^{\ast} $$ \end{Satz} \begin{proof} Wir bemerken zun"achst, da"s jeder Morphismus $(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$ von gekringten R"aumen faktorisiert als $(X,\mathcal A)\ra (X,f^*\mathcal B)\ra (Y,\mathcal B)$. Jedes kartesische Quadrat von gekringten R"aumen l"a"st sich mithin erhalten als Verklebung der vier kartesischen Quadrate \begin{displaymath} \xymatrix{ (W,g^*\mathcal C\otimes_{v^*\mathcal B}q^*\mathcal A)\ar[r]\ar[d] & (W,q^*\mathcal A)\ar[d]\ar[r]^q & (X,\mathcal A) \ar[d] \\ (W,g^*\mathcal C)\ar[d]^g\ar[r] & (W,v^*\mathcal B)\ar[d]^g\ar[r]^q & (X,f^*\mathcal B) \ar[d]_f\\ (Z,\mathcal C)\ar[r] & (Z,p^*\mathcal B)\ar[r]^p & (Y,\mathcal B) } \end{displaymath} Hier schreiben wir $v=pg=fq$ und die Sternchen meinen R"uckz"uge von Kringgarben. Es reicht also, f"ur jedes dieser vier kartesischen Quadrate zu pr"ufen, da"s der Basiswechsel f"ur Modulgarben ein Isomorphismus ist. Im Quadrat oben links geht es nur um Beziehungen zwischen Restriktion und Erweiterung von Skalaren, da folgt die Behauptung aus der Voraussetzung der Flachheit der $\mathcal A_x$ "uber $\mathcal B_{f(x)}$, die dazu f"uhrt, da"s jeder quisflache Komplex von $\mathcal A$-Modulgarben zu einem quisflachen Komplex von $\mathcal B$-Modulgarben restringiert. Im Quadrat oben rechts werden nur Kringoperationen zur"uckgezogen und die Behauptung ist klar. Im Quadrat unten rechts steht unser gew"ohnlicher garbenguter Basiswechsel f"ur abelsche Garben, die zus"atzliche Struktur als Modulgarben ist irrelevant nach \ref{VeVS}. Im Quadrat unten links schlie"slich k"onnen wir die starre Projektionsformel \ref{fui} anwenden. \end{proof} \newpage \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Wir diskutieren \ref{VarKK} noch etwas weiter. Gegeben topologische R"aume $X,Y$ mit $X$ garbengut und ein erblicher Kring $k$ betrachten wir zum zum Komplex $B\pdef b_*\underline{Y}$ von $k$-Moduln das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ &[-q]\mathcal H^{q}B\ar[dl]^-{[1]}_0&&[-(q+1)]\mathcal H^{q+1}B\ar[dl]^-{[1]}_0&\\ \ldots \tau^{\leq q-1}B\ar[rr]&&\tau^{\leq q}B\ar[rr]\ar[ul] &&\tau^{\leq q+1}B\ar[ul]\ldots } \end{displaymath} betrachten. Die Morphismen vom Grad Eins der ausgezeichneten Dreicke verschwinden wie angedeutet nach \eref{DKHa}{TD}, da wir $k$ erblich angenommen haben. Alle Morphismen der unteren Horizontalen sind also spaltende Einbettungen in der additiven Kategorie $\op{Der}(\op{Mod}_k)$. Wenden wir auf dieses Diagramm $\mathcal H^n a_*a^*$ an, so erhalten wir eine gradweise unkanonisch spaltende Filtrierung von $\mathcal H^n a_*a^* b_*\underline{Y}={\op{H}}^n(X\times Y;k)$ und einen kanonischen Isomorphismus $$\op{gr}{\op{H}}^n(X\times Y:k)\ra \bigoplus_{p+q=n}{\op{H}}^p( X;{\op{H}}^q(Y;k))$$ Es ist eine gute "Ubung zu zeigen, da"s unsere Filtrierung den Kohomologiering des Produkts zu einem filtrierten Ring macht und da"s unser kanonischer Isomorphismus ein Ringhomomorphismus wird, wenn wir die Multiplikation rechts erkl"aren, indem wir das Produkt $${\op{H}}^p( X;K)\times {\op{H}}^q( X;L)\ra {\op{H}}^{p+q}( X;K\otimes L)$$ aus \ref{cpKO} mit $K={\op{H}}^k(Y)$ und $L={\op{H}}^l(Y)$ anwenden und den Effekt des Cup-Produkts ${\op{H}}^k(Y)\otimes {\op{H}}^l(Y)\ra {\op{H}}^{k+l}(Y)$ nachschalten. \end{Ubung} \subsection{Gysinsequenz f"ur Sph"arenb"undel} \nichtfinal{Hier sinnvoll?} \begin{Bemerkungl} Gegeben $n\geq 1$ und $U\co \DR^{n+1}$ der offene Einheitsball liefern die Lokalisierungssequenz der kompakten Kohomologie \eref{LokSS}{TG} und die Beschreibung \eref{kkRn}{TG} der kompakten Kohomologie von $\DR^{n+1}$ und $U$ als lokale Kohomologie in Bezug auf einen beliebigen Punkt eine Folge von Isomorphismen $${\op{H}}^n_!(S^n)\sira{\op{H}}^{n+1}_!(U)\sira{\op{H}}^{n+1}_!(\DR^{n+1})$$ Das Urbild unseres ausgezeichneten Erzeugers aus \eref{ausGe}{TG} ganz rechts nehmen wir als unseren ausgezeichneten Erzeuger von ${\op{H}}^n_!(S^n)$. Die nat"urlichen Isomorphismen ${\op{H}}^n_{\{x\}}(S^n)\sira {\op{H}}^n_!(S^n)$ liefern dann eine Orientierung auf $S^n$, die wir unsere {\bf ausgezeichnete Orientierung} nennen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einem {\bf Sph"arenb"undel}\index{Sph"arenb"undel} auf einem topologischen Raum $X$ versteht man ein \hyperref[FaBue]{Faserb\"undel} $\pi:E\ra X$ mit einer Sph"are $S^n$ als Faser. Unter einer {\bf Orientierung} eines \index{Orientierung!von Sph"arenb"undel} Sph"arenb"undels einer Faserdimension $\geq 1$ versteht man die Vorgabe einer \hyperref[orGG]{Orientierung} im Sinne von \eref{orGG}{TG} auf jeder Faser derart, da"s es einen \hyperref[FaBue]{B\"undelatlas} gibt, unter dessen \hyperref[FaBue]{B\"undelkarten} $U\times S^n\ra E$ diese Orientierung stets unserer ausgezeichneten Orientierung auf $S^n$ entspricht. Ein Sph"arenb"undel, das mindestens eine Orientierung besitzt, hei"st {\bf orientierbar}.\index{orientierbar!Sph"arenb"undel} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Gysin-Sequenz}] Gegeben $\pi:E\ra X$ ein orientierbares Sph"arenb"undel einer Faserdimension $n\geq 1$ gibt es eine Klasse $c\in{\op{H}}^{n+1}(X)$ und eine lange exakte Sequenz der Gestalt\label{GySo} $$\ldots\ra{\op{H}}^q(X)\ra {\op{H}}^q(E)\ra {\op{H}}^{q-n}(X) \ra {\op{H}}^{q+1}(X)\ra\ldots$$ mit dem Zur"uckholen als erstem Morphismus und dem \hyperref[GTH]{cup-Produkt} $c\;\cup $ als drittem Morphismus. \end{Satz} \begin{Bemerkungw} \nichtfinal{Pa"st hier nicht!} Wenn der folgende Beweis noch etwas unbeholfen wirkt, so ist das durchaus in meinem Sinne. Er soll n"amlich unter anderem die Sprache der \glqq derivierten Funktoren ${\op{R}}\pi_\ast:\op{Der}(\op{Ab}_{/E})\ra\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$\grqq\ motivieren, die wir im kommenden Abschnitt \ref{DerfF} einf"uhren und in der er einfacher zu formulieren sein wird, vergleiche \ref{GySon}. Im folgenden Beweis werden wir sogar zu jeder Orientierung unseres Sph"arenb"undels eine Klasse $c$ wie im Satz konstruieren und sie die \glqq Eulerklasse\grqq\ unseres orientierten Sph"arenb"undels nennen. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Sei $\DZ_E\hra \mathcal I^\lhd$ eine injektive Aufl"osung. Wir haben also nat"urliche Isomorphismen ${\op{R}}^q\pi_*\DZ_E \sira \mathcal H^q\pi_*\mathcal I^\lhd$. Da unsere Sph"aren zusammenh"angend sind, liefert die Einheit Adjunktion $(\pi^*,\pi_*)$ den ersten Isomorphismus einer Sequenz von nat"urlichen Isomorphismen $$\DZ_X\sira \pi_*\pi^*\DZ_X\sira \pi_*\DZ_E$$ Derivierter eigentlicher Basiswechsel \eref{OEBA}{TG} im kartesischen Diagramm bestehend aus $U\times S^n$ mit den Projektionen auf die Faktoren und den einpunktigen Raum zeigt weiter, da"s ${\op{R}}^n\pi_*\DZ_E$ lokal isomorph ist zu $\DZ_X$ und da"s gilt ${\op{R}}^q\pi_*\DZ_E=0$ f"ur $q\neq 0,n$. Der Kokern des Monomorphismus $[0]\DZ_X \hra \pi_*\mathcal I^\lhd$ von Garbenkomplexen hat also eine einzige von Null verschiedene Kohomologie und ist nach \ref{vtre} folglich isomorph in $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ zum Objekt $[-n]({\op{R}}^n\pi_*\DZ_E)$. Unsere Erkenntnisse \ref{Absch} zu Abschneidefunktoren liefern so ein ausgezeichnetes Dreieck $$\DZ_X\;\ra \;\pi_*\mathcal I^\lhd \;\ra\; [-n]({\op{R}}^n\pi_*\DZ_E) \;\ra\; [1]\DZ_X$$ in $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$. Es liefert nach \ref{Hhn} eine lange exakte Sequenz f"ur die Morphismen von $\DZ_X$ und seinen Verschiebungen in die Objekte unseres ausgezeichneten Dreiecks. Um diese Morphismen nach $\pi_*\mathcal I^\lhd$ zu berechnen, bemerken wir, da"s dieser Komplex aus injektiven Garben besteht. Nach \ref{DEIA} oder noch expliziter nach dem Ende seines Beweises und der Adjunktion $(\pi^*,\pi_*)$ liefern die offensichtlichen Abbildungen also Bijektionen \begin{displaymath} \xymatrix{\op{Der}_{\op{Ab}_{/X}}([q]\DZ_X,\pi_*\mathcal I^\lhd)&\op{Der}_{\op{Ab}_{/E}}([q]\DZ_E,\DZ_E)\ar[r]^-{\sim}&{\op{H}}^q(E)\\ \op{Hot}_{\op{Ab}_{/X}}([q]\DZ_X,\pi_*\mathcal I^\lhd)\ar[u]^{\wr}\ar[r]^{\sim} & \op{Hot}_{\op{Ab}_{/E}}([q]\pi^*\DZ_X,\mathcal I^\lhd)\ar[u]^{\wr}&} \end{displaymath} So erhalten wir eine lange exakte Sequenz $$\ldots\ra{\op{H}}^q(X)\ra {\op{H}}^q(E)\ra {\op{H}}^{q-n}(X;{\op{R}}^n\pi_*\DZ_E) \ra {\op{H}}^{q+1}(X)\ra\ldots$$ mit dem Zur"uckholen auf der Kohmologie als erster Abbildung. Ist unser B"undel orientierbar und w"ahlen wir eine Orientierung, so liefert diese Wahl einen Isomorphismus ${\op{R}}^n\pi_*\DZ_E\sira \DZ_X$ mit der konstanten Garbe auf $X$ und wir erhalten unsere Gysin-Sequenz. Die Konstruktion zeigt, da"s die dritte Abbildung darin das cup-Produkt $c\;\!\cup$ mit derjenigen Klasse in $c\in {\op{H}}^{n+1}(X)$ ist, die durch den entsprechenden Morphismus $[-n]\DZ_X\ra [1]\DZ_X$ in der derivierten Kategorie $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ aus dem ersten ausgezeichneten Dreieck bestimmt wird. Sie hei"st die {\bf Eulerklasse}\index{Eulerklasse} unseres orientierten Sph"arenb"undels. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Nocheinmal die Gysin-Sequenz}] Gegeben $\pi:E\ra X$ ein orientiertes Sph"arenb"undel einer Faserdimension $n\geq 1$ zeigen wir wie zu Beginn des Beweises in \ref{GySo}, da"s das ausgezeichnete Dreieck "uber der Einheit der derivierten Adjunktion $(\pi^*,\pi_*)$ die Gestalt\label{GySon} $$\DZ_X\ra \pi_*\pi^*\DZ_X\ra \DZ_X[-n]\stackrel{[1]}{\ra}$$ hat. Dr"ucken wir es deriviert herunter unter der konstanten Abbildung $c_X:X\ra\op{top}$ und verwenden unsere Isotransformation $ c_{X*}\pi_*\siRa c_{E*}$ aus \ref{IDVo}, so liefert es ein ausgezeichnetes Dreieck $$c_{X*}\DZ_X\ra c_{E*}\DZ_E\ra c_{X*}\DZ_X[-n]\stackrel{[1]}{\ra}$$ in $\op{Der}(\op{Ab})$. Wenn wir dazu die lange exakte Kohomologiesequenz bilden, steht unsere Gysinsequenz auch schon da. \end{Beispiel} \begin{Satz} Der R"uckzug unter der Einbettung der komplexen Diagonalmatrizen in die unit"are Gruppe ${\op{T}}(n)\hra {\op{U}}(n)$ induziert einen Isomorphismus\label{RchK} $${\op{H}}^*_{{{\op{U}}}(n)}(\op{top})\sira {\op{H}}^*_{{{\op{T}}}(n)}(\op{top})^{\mathcal S_n}$$ \end{Satz} \begin{proof} Den fraglichen Ringhomomorphismus hatten wir bereits in \ref{AQU} hergeleitet und diskutiert. Um zu zeigen, da"s er ein Isomorphismus ist, betrachten wir das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{{\op{T}}(n)\ar[rr]\ar[d]&&{\op{U}}(n)\ar[d]\\ {\op{T}}(n;\DC)\ar[r]&{\op{B}}(n;\DC)\ar[r]&{\op{GL}}(n;\DC)} \end{displaymath} mit ${\op{T}}(n;\DC)$ der Gruppe aller komplexen invertierbaren Diagonalmatrizen und ${\op{B}}(n;\DC)$ der Gruppe aller komplexen invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen und erhalten so ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{{\op{H}}^*_{{\op{T}}(n)}(\op{top})&&{\op{H}}^*_{{\op{U}}(n)}(\op{top})\ar[ll]\\ {\op{H}}^*_{{\op{T}}(n;\DC)}(\op{top})\ar[u]^\wr&{\op{H}}^*_{{\op{B}}(n;\DC)}(\op{top})\ar[l]_-\sim&{\op{H}}^*_{{\op{GL}}(n;\DC)}(\op{top})\ar[u]^\wr\ar[l]} \end{displaymath} mit den Isomorphismen nach \eref{EaeK}{TG} f"ur alle Einbettungen, bei denen der Quotient zusammenziehbar ist, was f"ur ${\op{U}}(n)\subset {\op{GL}}(n;\DC)$ etwa aus der Polarzerlegung folgt. Nun setzen wir $B\pdef{\op{B}}(n;\DC)$ und $G\pdef{\op{GL}}(n;\DC)$. Nach dem im Anschlu"s bewiesenen Lemma \ref{LeCV} reicht es zu zeigen, da"s ${\op{H}}^*_{B}(\op{top})$ ein freier Modul vom Rang $n!$ "uber ${\op{H}}^*_{G}(\op{top})$ ist. F"ur die Milnor-Konstruktion $E\pdef {\op{E}}G$ ist nun $$\pi: E/B\sra E/G$$ ein Faserb"undel mit der Fahnenmannigfaltigkeit $G/B$ als Faser. Aus \eref{BruZ}{LA2} erinnern wir die Bruhat-Zerlegung $$G/B = \coprod_{w \in \cal{S}_n} B w B/B$$ in die $B$-Bahnen. Aus \eref{BrOA}{TM} folgt, da"s jede $B$-Bahn offen ist in ihrem Abschlu"s. Da die Bahnen selbst nach \eref{RutT}{TM} hom"oomorph sind zu $\DC^{l(w)}$ und da die Fahnenmannigfaltigkeit nach \eref{FahM}{TM} kompakt ist, folgt mit der Lokalisierungssequenz der kompakten Kohomologie \eref{LokSS}{TG} unmittelbar $${\op{H}}^{2q}(G/B)\cong \bigoplus_{l(w)=q}\DZ$$ und ${\op{H}}^{2q+1}(G/B)=0$ f"ur alle $q$. Insbesondere ist ${\op{H}}^{*}(G/B)$ in den geraden Graden konzentriert und seine totale Kohomologie ist frei "uber $\DZ$ vom Rang $n!$. Derivierter eigentlicher Basiswechsel \eref{OEBA}{TG} zeigt ${\op{R}}^{2q+1}\pi_* \DZ_{E/B}=0$ f"ur alle $q$ und da"s ${\op{R}}^{2q}\pi_* \DZ_{E/B}$ lokal isomorph ist zu $\bigoplus_{l(w)=q}\DZ_{E/G}$. Da $G$ zusammenh"angend ist, hat $E/G$ nach dem Spezialfall \eref{FFas}{TF} der langen exakten Homotopiesequenz triviale Fundamentalgruppe. Da $E/G$ nach \eref{MiKok}{TG} auch lokal zusammenziehbar ist, ist $E/G$ nach \eref{wetr}{TF} "uberlagerungstrivial und jede lokal konstante Garbe darauf ist konstant. Das zeigt, da"s ${\op{R}}^{2q}\pi_* \DZ_{E/B}$ sogar global isomorph ist zu $\bigoplus_{l(w)=q}\DZ_{E/G}$. Da wir nach \ref{KkuG} bereits wissen, da"s die ungerade Kohomologie von $E/G$ verschwindet, liefert \ref{ExtK} einen unkanonischen Isomorphismus $$\pi_*\DZ_{E/B}\sira \bigoplus_{w\in\mathcal S_n}[-2l(w)]\DZ_{E/G}$$ in der derivierten Kategorie $\op{Der}(\op{Ab}_{E/G})$. So folgt unmittelbar, da"s ${\op{H}}^*(E/B)$ "uber ${\op{H}}^*(E/G)$ ein freier Modul vom Rang $n!$ ist. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ich h"atte gerne, da"s mir mal ein Student in einer Bachelorarbeit durchsortiert, bis auf welche Torsion das bei anderen Gruppen genauso geht. Es geht dabei in etwa darum, die Arbeit \glqq Invariants des groupes de Weyl et torsion\grqq\ von Michel Demazure in die hier verwendete Sprache zu "ubersetzen. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Seien $C$ ein kommutativer Integrit"atsbereich und $W$ eine endliche Gruppe von Automorphismen von $C$ und $A\subset C^W$ ein Teilring des Invariantenrings derart, da"s $C$ als $A$-Modul von $\leq|W|$ Elementen erzeugt wird. So gilt $A=C^W$ und $C$ ist frei "uber $C^W$ vom Rang $|W|$.\label{LeCV} \end{Lemma} \begin{proof} Da wir jeden Bruch so erweitern k"onnen, da"s sein Nenner $W$-invariant ist, ist jedes Erzeugendensystem des $C^W$-Moduls $C$ auch ein Erzeugendensystem des $\op{Quot}(C^W)$-Vektorraums $\op{Quot}(C)$ und wir haben $\op{Quot}(C^W)\sira (\op{Quot}C)^W$, vergleiche \eref{PIU}{AL}. Nach unserem Satz \eref{ZH}{AL} "uber Galoiserweiterungen durch Gruppenoperationen ist andererseits $\op{Quot}(C)$ ein $(\op{Quot}C)^W$-Vek\-tor\-raum der Dimension $|W|$. H"atten wir nun $A\neq C^W$, so w"are unser Erzeugendensystem von $C$ "uber $A$ ein linear abh"angiges Erzeugendensystem von $C$ als $C^W$-Modul und damit ein linear abh"angiges Erzeugendensystem von $\op{Quot}(C)$ als $(\op{Quot}C)^W$-Vektorraum. Das steht jedoch im Widerspruch zu unserer Erkenntnis, da"s dieser Vektorraum die Dimension $|W|$ haben mu"s. So folgt $A=C^W$. In derselben Weise folgt, da"s unser Erzeugendensystem frei gewesen sein mu"s und genau $|W|$ Elemente hatte. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kohomologieringe der komplex projektiven R"aume}] Die Kohomologiegruppen der komplex projektiven R"aume kennen wir bereits aus \eref{KGrP}{TG}.\label{KRPa} Hier berechnen wir nun ihren Kohomologiering. Wir betrachten dazu die Sph"are $E=S^{2a+1}\subset \DC^{a+1}$ und das $S^1$-B"undel $\pi:S^{2a+1}\ra \DP^a\DC$. Es ist offensichtlich orientierbar und beide m"oglichen Wahlen einer Orientierung liefern uns eine Klasse $c\in {\op{H}}^{2}(\DP^a\DC)$ derart, da"s die Multiplikation mit dieser Klasse Isomorphismen $${\op{H}}^{0}(\DP^a\DC) \sira {\op{H}}^{2}(\DP^a\DC)\sira \ldots \sira {\op{H}}^{2a}(\DP^a\DC)$$ induziert und ebenso Isomorphismen $$0={\op{H}}^{-1}(\DP^a\DC) \sira {\op{H}}^{1}(\DP^a\DC)\sira \ldots \sira {\op{H}}^{2a-1}(\DP^a\DC)$$ Insgesamt erhalten wir so einen Isomorphismus $\DZ[c]/\langle c^{a+1}\rangle\sira {\op{H}}^{*}(\DP^a\DC)$ mit $c$ homogen vom Grad Zwei. Die beiden m"oglichen Wahlen der Orientierung f"uhren dabei zu zwei Erzeugern, von denen der eine das Negative des anderen ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Kohomologie klassifizierender R"aume: Kreisgruppe}] Sei $E$ ein zusammenziehbarer oder auch nur schwach garbenazyklischer Raum mit einer topologisch freien Operation der Kreisgruppe $S^1$. So ist die Projektion $E\ra E/S^1$ ein orientierbares Sph"arenb"undel und jede Wahl einer Orientierung der Kreislinie $S^1$ liefert eine damit vertr"agliche Orientierung unseres Sph"arenb"undels. F"ur die zugeh"orige Eulerklasse\label{KKKl} $c\in {\op{H}}^{2}(E/S^1)$ liefert die Multiplikation mit $c$ Isomorphismen $$\DZ\sira{\op{H}}^{0}(E/S^1) \sira {\op{H}}^{2}(E/S^1)\sira {\op{H}}^{4}(E/S^1)\sira\ldots $$ und ebenso Isomorphismen $$0={\op{H}}^{-1}(E/S^1) \sira {\op{H}}^{1}(E/S^1)\sira {\op{H}}^{3}(E/S^1)\sira \ldots $$ Insgesamt erhalten wir so einen Isomorphismus $\DZ['c]\sira {\op{H}}^{\ast}_{S^1}(\op{top})$ von graduierten Ringen mit $c$ homogen vom Grad Zwei. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Kohomologie klassifizierender R"aume: Spingruppe}] Sei $E$ ein zusammenziehbarer oder auch nur schwach garbenazyklischer Raum mit einer topologisch freien Operation der Spingruppe $\op{SU}(2)$. Wir wissen aus \eref{QDR}{LA2}, da"s diese Gruppe hom"oomorph ist zur Sph"are $S^3$. Dieselbe Argumentation wie f"ur die Kreisgruppe liefert dann einen Isomorphismus $\DZ['d]\sira {\op{H}}^{\ast}_{\op{SU}(2)}(\op{top})$ von graduierten Ringen mit $d$ homogen vom Grad Vier und eindeutig bestimmt als eine Eulerklasse durch die Wahl einer %topologischen Orientierung der Spingruppe. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Kohomologie klassifizierender R"aume: unit"are Gruppen}] Die Kohomologie ${\op{H}}^{*}_{{\op{U}}(n)}(\op{top})$ des klassifizierenden Raums der unit"aren Gruppe ${\op{U}}(n)$ ist ein Polynomring in Erzeugern\label{KkuG} $a_1,a_2,\ldots,a_n$ mit $\op{grad}(a_i)=2i$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir stehen hier vor der Schwierigkeit, da"s wir die graduierte Kommutativit"at des garbentheoretischen Kohomologierings erst in \eref{KoGK}{TSF} zeigen. F"ur den Kohomologiering des mit Hilfe der Milnor-Konstruktion konstruierten klassifizierenden Raums\label{gko} ${\op{B}}G$ einer offenlokal zusammenziehbaren Gruppe $G$ k"onnen wir diese graduierte Kommutativit"at aber bereits aus unseren Vergleichss"atzen mit der singul"aren Kohomologie \ref{AICP} unter Verwendung von \eref{MiKok}{TG} ableiten. \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungl} % Beim Beweis sehen wir zus"atzlich, wie f"ur % ${{\op{U}}}(n)\subset \op{GL}(n;\DC)$ die Wahl einer Orientierung auf $\DC$ % dazu genutzt werden kann, die Erzeuger eindeutig festzulegen. % Allerdings greifen wir dabei streng genommen der Entwicklung der Theorie vor und verwenden bereits das externe Produkt der lokalen Kohomologie % \ref{expl}, um aus topologischen Orientierungen zweier Mannifaltigkeiten eine topologische Orientierung ihres Produkts zu machen. %\end{Bemerkungl} \begin{proof} Der Fall $n=0$ ist unproblematisch und wir nehmen $n\geq 1$ an und behandeln den Fall $n=1$ der Kreisgruppe gleich nocheinmal mit. Wir bemerken zun"achst, da"s ${\op{U}}(n-1)$ topologisch frei auf ${\op{U}}(n)$ operiert, wenn wir es etwa durch $A\mapsto \op{diag}(1,A)$ einbetten. Das ist leicht explizit zu sehen und gilt auch sehr viel allgemeiner f"ur abgeschlossene Untergruppen von Liegruppen, wie etwa in \eref{QuKo}{ML} ausgef"uhrt wird. Bezeichne nun $E\pdef {\op{E}}{\op{U}}(n)$ die Milnorkonstruktion. Dann ist $E/{\op{U}}(n-1)\sra E/{\op{U}}(n)$ eine Faserung mit Faser ${\op{U}}(n)/{\op{U}}(n-1)\cong S^{2n-1}\subset \DC^n$. Man sieht leicht, da"s sie orientierbar ist. % mit der im Sinne von \ref{orES} von der %Orientierung von $\DC^n$ induzierten Orientierung auf den Fasern. Da die Basis dieser Faserung mit einer Induktion "uber $n$ keine ungerade Kohomologie hat, folgern wir aus der Gysinsequenz, da"s die Multiplikation mit der zugeh"origen Eulerklasse $a_n\in {\op{H}}^{2n}(E/{\op{U}}(n))$ und das Zur"uckholen f"ur alle $q$ kurze exakte Sequenzen $${\op{H}}^{q}(E/{\op{U}}(n))\hra{\op{H}}^{q+2n}(E/{\op{U}}(n))\sra {\op{H}}^{q+2n}(E/{\op{U}}(n-1))$$ liefern. Das zeigt die Behauptung. \end{proof} %\label{GySe} \begin{Bemerkungw} Auch die K"unnethformeln sind in der Garbenkohomologie nicht so einfach zu haben und wir zeigen die hier ben"otigten Formeln rein garbenkohomologisch erst in \eref{KuFEF}{TSF}. Mit unseren Vergleichss"atzen zur singul"aren Kohomologie liefern aber auch nach der K"unnethformel \eref{KFK}{TS} der singul"aren Kohomologie die R"uckz"uge \eref{zAEQ}{TG} unter den Projektionen zusammen mit dem cup-Produkt\label{KueFF} f"ur je zwei Liegruppen $G,H$ derart, da"s alle Kohomologiegruppen ${\op{H}}^q({\op{B}}G)$ der ersten freie endlich erzeugte abelsche Gruppen sind, einen Isomorphismus $${\op{H}}^*_G(\op{top})\bar{\otimes} {\op{H}}^*_H(\op{top})\sira {\op{H}}^*_{G\times H}(\op{top})$$ Gegeben ein Torus ${\op{T}}(n)\pdef (S^1)^n$ folgt aus dem Fall $n=1$ nach \ref{KKKl} und unserer Vorbemerkung \ref{gko}, da"s f"ur jede Wahl eines Erzeugers $z\in {\op{H}}^2_{S^1}(\op{top})$ dessen R"uckz"uge unter den Projektionen unseres Produkts auf seine Faktoren Klassen $z_1,\ldots,z_n\in {\op{H}}^2_{{\op{T}}(n)}(\op{top})$ liefern mit $$\DZ['z_1,\ldots,z_n]\sira {\op{H}}^*_{{\op{T}}(n)}(\op{top})$$ Aus \eref{OiA}{TG} folgt, da"s das Zur"uckholen\label{AQU} ${\op{H}}^*_{{{\op{U}}}(n)}(\op{top})\ra {\op{H}}^*_{{\op{T}}(n)}(\op{top})$ unter der Einbettung ${\op{T}}(n) \hra{{\op{U}}}(n)$ als Diagonalmatrizen in den Invarianten unter der symmetrischen Gruppe landet. In \ref{RchK} zeigen wir, da"s diese Abbildung einen Isomorphismus $${\op{H}}^*_{{{\op{U}}}(n)}(\op{top})\sira \DZ['z_1,\ldots,z_n]^{\mathcal S_n}$$ mit dem Ring der symmetrischen Polynome liefert. %In \ref{??} zeigen wir %zus"atzlich, da"s darunter bei geeignet spezifizierten Orientierungen der %jeweiligen Sph"arenb"undel %unser $a_i$ auf das $i$-te elementarsymmetrische Polynom in den $z_i$ %abgebildet wird. \end{Bemerkungw} \subsection{Charakteristische Klassen und Produkte} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivariante Kohomologie als Trennfunktor}] Bezeichne $\op{Topog}$\index{Topog@$\op{Topog}$ R"aume mit Gruppenoperation} die Kategorie der topologischen R"aume mit Operation einer topologischen Gruppe. Aus dem nicht-"aquivarianten Fall \ref{gGKSF} folgt unmittelbar, da"s auch die "aquivariante Kohomologie $(G{\ssearrow}X)\mapsto {\op{H}}^*_G(X)$ aus \eref{zAEQ}{TG} einen Trennfunktor $${\op{H}}^*:\curlywedge{\op{Topog}}\ra \op{sgAb}^{\op{opp}}$$ liefert, dessen Effekt auf Trennungen durch das \glqq Produkt der R"uckz"uge\grqq\ gegeben wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Charakteristischer Homomorphismus}] Gegeben $G$ eine topologische Gruppe und $X$ ein topologischer Raum und $E$ ein $G$-Torsor auf $X$ erinnere ich daran, wie wir in \eref{mcK}{TG} den charakteristischen Homomorphismus $${\op{C}}_E:{\op{H}}^*_G(\op{top})\ra {\op{H}}^*(X)$$ erkl"art hatten als die Komposition\label{MuCK} ${\op{H}}^*_G(\op{top})\ra {\op{H}}^*_G(E)\sira {\op{H}}^*(X)$ des "aquivarianten Zur"uckholens l"angs der konstanten Abbildung mit dem Inversen des Quotientenisomorphismus ${\op{H}}^*(X)\sira {\op{H}}^*_G(E)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Charakteristische Klassen und Produkt}] Gegeben $X$ ein topologischer Raum und topologische Gruppen $G,H$ und auf $X$ sowohl ein $G$-Torsor $E$ als auch ein $H$-Torsor $F$ ist $E\times_X F$ ein $(G\times H)$-Torsor in offensichtlicher Weise und wir erhalten in $\op{Topog}$ ein kommutatives Diagramm\label{ckp} $$\begin{array}{ccccc} G{\ssearrow}{\op{top}}&\leftarrow & G{\ssearrow}E&\ra& 1{\ssearrow}X\\[2mm] \ua &&\ua&&\|\\[2mm] (G\times H){\ssearrow}{\op{top}}&\leftarrow & (G\times H){\ssearrow}(E\times_XF)&\ra& 1{\ssearrow}X \\[2mm] \da &&\da&&\|\\[2mm] H{\ssearrow}{\op{top}}&\leftarrow & H{\ssearrow}F&\ra& 1{\ssearrow}X \end{array} $$ Wenden wir darauf "aquivariante Kohomologie an, so folgt die Kommutativit"at des Diagramms $$\begin{array}{ccc} {\op{H}}^*_G(\op{top})\bar\otimes {\op{H}}^*_H(\op{top})&\ra&{\op{H}}^*(X)\bar\otimes {\op{H}}^*(X)\\ \da&&\da\\ {\op{H}}^*_{G\times H}(\op{top})&\ra&{\op{H}}^*(X) \end{array}$$ mit den durch R"uckzug und Produkt gegebenen Vertikalen und den durch unsere charakteristischen Homomorphismen gegebenen Horizontalen. In Formeln ausgedr"uckt gilt also ${\op{C}}_E(a){\op{C}}_F(b)={\op{C}}_{E\times F}(a\times b)$ mit der Notation $a\times b\pdef \op{pr}_1^*(a)\op{pr}_2^*(b)$ f"ur den Effekt der linken Vertikale. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kohomologieringe klassifizierender R"aume und Produkte}] Jede Liegruppe $G$ ist offenlokal zusammenziehbar und dasselbe folgt mit \eref{MiKok}{TG} f"ur die Milnorkonstruktion ${\op{E}}G$ und den klassifizierenden Raum ${\op{B}}G$. Gegeben Liegruppen $G,H$ derart, da"s alle Kohomologiegruppen ${\op{H}}^q({\op{B}}G)$ der ersten freie endlich erzeugte abelsche Gruppen sind, liefert das Kreuzprodukt der Kohomologie nach der K"unnethformel \ref{KuFEF} einen Isomorphismus\label{KKPr} $${\op{H}}^*_G(\op{top})\bar{\otimes} {\op{H}}^*_H(\op{top})\sira {\op{H}}^*_{G\times H}(\op{top})$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Chern'sche Klassen}] Gegeben ein Torus ${\op{T}}(n)\pdef (S^1)^n$ liefern nach \ref{KKPr} f"ur jede Wahl eines Erzeugers $z\in {\op{H}}^2_{S^1}(\op{top})$ dessen R"uckz"uge unter den Projektionen unseres Torus auf seine Faktoren Klassen $z_1,\ldots,z_n\in {\op{H}}^2_{{\op{T}}(n)}(\op{top})$ mit $$\DZ['z_1,\ldots,z_n]\sira {\op{H}}^*_{{\op{T}}(n)}(\op{top})$$ Nach \ref{RchK} liefert weiter der R"uckzug unter der Einbettung ${\op{T}}(n) \hra{{\op{U}}}(n)$ der Diagonalmatrizen in die unit"aren Matrizen einen Isomorphismus ${\op{H}}^*_{{{\op{U}}}(n)}(\op{top})\sira {\op{H}}^*_{{{\op{T}}}(n)}(\op{top})^{\mathcal S_n}$. Insgesamt erhalten wir so einen Isomorphismus $$\DZ['z_1,\ldots,z_n]^{\mathcal S_n} \sira {\op{H}}^*_{{{\op{U}}}(n)}(\op{top}) $$ Ebenso erhalten wir auch f"ur die entsprechenden komplexen Gruppen Isomorphismen $\DZ['z_1,\ldots,z_n]\sira {\op{H}}^*_{{\op{T}}(n;\DC)}(\op{top})$ und $$\DZ['z_1,\ldots,z_n]^{\mathcal S_n}\sira{\op{H}}^*_{{{\op{GL}}}(n;\DC)}(\op{top})$$ Nach \eref{SyP}{AL} haben wir nun $\DZ['z_1,\ldots,z_n]^{\mathcal S_n}=\DZ['s_1,s_2,\ldots,s_n]$ f"ur $s_q$ das $q$-te elementarsymmetrische Polynom in den $z_i$. Dies Polynom $s_q$ ist homogen vom Grad $q$ in den $z_i$ und bereits sein Bild $c_q\in {\op{H}}^*_{{{\op{GL}}}(n;\DC)}(\op{top})$ unter dem obigen Isomorphismus hei"st manchmal die\label{ChKl} {\bf $q$-te Chern'sche Klasse}. Gegeben ein ${\op{GL}}(n;\DC)$-Hauptfaserb"undel $E$ auf einem Raum $X$ erkl"art man dann seine {\bf $q$-te Chern'sche Klasse}\index{Chern'sche Klasse} durch die Vorschrift $$c_q(E)\pdef {\op{C}}_E(c_q)\in {\op{H}}^{2q}(X)$$ f"ur ${\op{C}}_E:{\op{H}}^*_{{{\op{GL}}}(n;\DC)}(\op{top})\ra {\op{H}}^{*}(X)$ den \hyperref[MuCK]{charakteristischen Homomorphismus}. Die Chern'schen Klassen eines komplexen Vektorb"undels $V$ werden schlie"slich erkl"art als $c_q(V)\pdef c_q(E)$ mit $E=E_V$ dem zugeh"origen $\op{GL}(n;\DC)$-Torsor alias dem Rahmenb"undel von $V$ mit den Fasern $\op{Hom}_\DC(\DC^n,V_x)$ und der hoffentlich offensichlichen Topologie. %aus \eref{VTZZ}{FeldZus}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein $n$-dimensionales komplexes Vektorb"undel $V$ auf einem Raum $X$ vereinbaren wir $c_0(V)\pdef 1$ und erkl"aren die {\bf totale Chern'sche Klasse}\index{Chern'sche Klasse!totale}\index{c@$c_*(V)$ totale Chern'sche Klasse} $c_*(V)\in{\op{H}}^*(X)$ von $V$ durch die Vorschrift $$c_*(V)\pdef c_0(V)+c_1(V)+c_2(V)+\ldots+c_n(V)\in{\op{H}}^*(X)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} F"ur die totale Chern'schen Klasse der direkten Summe von zwei komplexen Vektorb"undeln gilt im Kohomologiering der Basis die \emph{\bf Whitney'sche Summenformel}\index{Whitney!Summenformel} $$c_*(V\oplus W)=c_*(V)c_*(W)$$ \end{Lemma} \begin{proof} Die elementarsymmetrischen Polynome $s_q\in\DZ[z_1,\ldots,z_n]^{\mathcal S_n}$ k"onnen charakterisiert werden durch die Identit"at $$(1+z_1)(1+z_2)\ldots(1+z_n)=1+s_1+s_2+\ldots +s_n$$ zusammen mit der Eigenschaft, da"s $s_q$ homogen ist vom Grad $q$. Erkl"aren wir unseren Ausdruck als das \glqq totale symmetrische Polynom\grqq\ $s_*(z_1,\ldots,z_n)$, so gilt f"ur $l+m= n$ mithin $s_*(z_1,\ldots,z_n)=s_*(z_1,\ldots,z_l)s_*(z_{l+1},\ldots,z_n)$. Sei nun $X$ die Basis unserer B"undel. Bezeichnet $D$ das Rahmenb"undel von $V\oplus W$, so haben wir per definitionem $s_*(z_1,\ldots,z_n)\mapsto c_*(V\oplus W)$ unter der Komposition $$\DZ['z_1,\ldots,z_n]^{\mathcal S_n}\stackrel{\sim}{\longrightarrow}{\op{H}}^*_{{{\op{GL}}}(n;\DC)}(\op{top}) \stackrel{{\op{C}}_D}{\longrightarrow}{\op{H}}^*(X)$$ Jetzt betrachten wir f"ur $l+m=n$ das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {{\op{T}}}(l;\DC)\ar[r] & {{\op{GL}}}(l;\DC)\\ {{\op{T}}}(l;\DC)\times {{\op{T}}}(m;\DC)\ar[d]\ar[u]\ar[r] & {{\op{GL}}}(l;\DC)\times {{\op{GL}}}(m;\DC) \ar[u]\ar[d]^\phi\\ {{\op{T}}}(n;\DC) \ar[r] & {{\op{GL}}}(n;\DC) } \end{displaymath} mit den jeweiligen Projektionen als Pfeile nach oben und dem \glqq Zusammenblocken\grqq\ $\phi:(A,B)\mapsto\op{diag}(A,B)$ als Pfeile nach unten. Zus"atzlich betrachten nocheinmal dasselbe Diagramm mit $m$ statt $l$ in der oberen Horizontale. Gehen wir zu den Kohomologieringen der jeweiligen klassifizierenden R"aume "uber, so ergibt sich ein weiteres kommutatives Diagramm, das mit unseren ausgezeichneten Isomorphismen isomorph wird zum Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \DZ[z_1,\ldots,z_l]\ar[d] & \DZ[z_1,\ldots,z_l]^{\mathcal S_l}\ar[d]\ar[l]\\ \DZ[z_1,\ldots,z_l]\otimes \DZ[w_{1},\ldots, w_m] & \DZ[z_1,\ldots,z_l]^{\mathcal S_l}\otimes \DZ[w_{1},\ldots, w_m]^{\mathcal S_m}\ar[l]\\ \DZ[z_1,\ldots z_n] \ar[u] &\DZ[z_1,\ldots z_n]^{\mathcal S_n}\ar[l]\ar[u] } \end{displaymath} mit der Umbenennung von $z_{l+1},\ldots, z_n$ zu $w_1,\ldots, w_m$ bei beiden Pfeilen nach oben. Im analogen Fall mit $m$ statt $l$ gilt Analoges. Sind nun $E,F$ die Rahmenb"undel von $V$ und $W$, so haben wir offensichtlich $D\cong \phi_*(E\times F)$ und damit \begin{displaymath}\begin{array}{llll} c_*(V\oplus W)&=&{\op{C}}_{D}(s_*(z_1,\ldots,z_n))&\text{per definitionem}\\[1mm] &=&{\op{C}}_{\phi_*(E\times F)}(s_*(z_1,\ldots,z_l)s_*(z_{l+1},\ldots,z_n))&\text{nach vorigem}\\[1mm] &=&{\op{C}}_{E\times F}(s_*(z_1,\ldots,z_l)\times s_*(w_{1},\ldots,w_m))&\text{nach \eref{ckg}{TG}}\\[1mm] &=&{\op{C}}_{E}(s_*(z_1,\ldots,z_l)){\op{C}}_{ F} (s_*(w_{1},\ldots,w_m))&\text{nach \ref{ckp}}\\[1mm] &=&c_*(V)c_*(W)&\text{per definitionem.} \end{array} \qedhere\end{displaymath} \end{proof} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Stiefel-Whitney-Klassen}] Nun arbeiten wir mit Koeffizienten in $\mathbb F_2=\DZ/2\DZ$ und mit reellen Gruppen. Dann liefert explizite Rechnung einen Isomorphimus $\mathbb F_2['x_1,\ldots,x_n]\sira {\op{H}}^*_{{\op{T}}(n;\DR)}(\op{top};\mathbb F_2)$ mit Variablen vom Grad Eins und R"uckzug liefert wieder $\mathbb F_2['x_1,\ldots,x_n]^{\mathcal S_n}\sira {\op{H}}^*_{{\op{GL}}(n;\DR)}(\op{top};\mathbb F_2)$, da dieselbe Ar\-gu\-men\-ta\-tion wie zuvor zeigt, da"s sich zwischendrin homologisch nichts wegk"urzen kann, sonst br"auchte ${\op{H}}^*_{{\op{T}}(n;\DR)}(\op{top};\mathbb F_2)$ als Modul "uber ${\op{H}}^*_{{\op{GL}}(n;\DR)}(\op{top};\mathbb F_2)$ zu viele Erzeuger. Dann wiederholt man alle Argumente. Das Bild des $q$-ten elementarysmmetrischen Polynoms $s_q$ in ${\op{H}}^q_{{\op{GL}}(n;\DR)}(\op{top};\mathbb F_2)$ hei"st in diesem Fall die {\bf $q$-te Stiefel-Whitney-Klasse}.\label{SWKl} Ebenso kann man im Fall ${\op{GL}}(n;\mathbb H)$ vorgehen, in dem wir die sogenannten {\bf Pontrjagin-Klassen}\index{Pontrjagin-Klasse} mit $\DZ$-Koeffizienten in allen durch Vier teilbaren Graden erhalten. \end{Bemerkungw} \newpage MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM \section{Anwendungen und Vergleichss"atze} \subsection{Anwendung auf Mannigfaltigkeiten} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s wir eine $n$-Mannigfaltigkeit erkl"art hatten als einen Hausdorffraum, der lokal hom"oomorph ist zu $\DR^n$. Zus"atzliche Voraussetzungen wie abz"ahlbar basiert oder parakompakt fordern wir explizit, wenn sie gebraucht werden. Wir erkl"aren eine {\bf Filtrierfaltigkeit}\index{Filtrierfaltigkeit} oder genauer {\bf $n$-Filtrierfaltigkeit} nach \eref{kkkV}{TG} als einen lokal kompakten Hausdorffraum $X$,\label{dFiV} der eine Filtrierung $$X=X^{{\leq n}}\supset X^{{\leq n-1}}\supset\ldots\supset X^{{\leq 0}} \supset \emptyset =X^{{\leq -1}}=X^{{\leq -2}}=\ldots$$ durch abgeschlossene Teilmengen besitzt derart, da"s $X^{{\leq q}}\backslash X^{{\leq q-1}}$ jeweils eine $q$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit ist. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Filtrierfaltigkeiten sind lesb}] Gegeben eine $n$-Filtrierfaltigkeit $M$ besitzt jede abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $M$ eine Aufl"osung $\mathcal F\hra \mathcal G_0\ra\ldots \ra\mathcal G_{n-1}\sra \mathcal K_{n}$ der L"ange $n$ durch kompaktweiche Garben $G_0,\ldots,\mathcal G_{n-1}, \mathcal K_{n}$,\label{kwAm} ja jede von einer Filtrierfaltigkeit ausgehende stetige Abbildung in einen Hausdorffraum ist lesb. \end{Lemma} \begin{proof} Bezeichne $\mathcal K_i\subset \mathcal G_i$ die Kerne in einer beliebigen Aufl"osung durch kompaktweiche Garben und insbesondere $\mathcal K_0=\mathcal F$. Die Randoperatoren der entsprechenden langen exakten Sequenzen liefern f"ur alle $U\co M$ Isomorphismen $${\op{H}}_!^1(U;\mathcal K_{n}) \sira {\op{H}}_!^2(U;\mathcal K_{n-1})\sira \ldots\sira {\op{H}}_!^{n+1}(U;\mathcal F)$$ Nach \eref{kkkV}{TG} ist die Gruppe ganz rechts Null. Wir folgern ${\op{H}}_!^1(U;\mathcal K_{n})=0$ f"ur alle $U\co M$ und nach "Ubung \eref{kwil}{TG} ist damit $\mathcal K_{n}$ kompaktweich. \end{proof} \begin{Lemma} Auf einem abz"ahlbar basierten lokal kompakten Hausdorffraum sind alle kompaktweichen abelschen Garben weich.\label{kww} \end{Lemma} \begin{proof} Sei $X$ unser Raum. Wir finden eine "Uberdeckung von $X$ durch eine aufsteigende Folge $K_0\subset K_1\subset\ldots$ von Kompakta derart, da"s sogar gilt $K_i\subset K_{i+1}^\circ$ f"ur alle $i$. Seien nun $\mathcal F$ unsere kompaktweiche Garbe und $Z\As X$ abgeschlossen und $s\in \Gamma(Z;\mathcal F)$ ein Schnitt "uber $Z$. Sicher k"onnen wir $s|(K_0\cap Z)$ zu einem globalen Schnitt mit kompaktem Tr"ager $g_0\in\Gamma_!(X;\mathcal F)$ ausdehnen. Dann k"onnen wir den Nullschnitt auf $K_0$ mit dem Schnitt $(s-g_0)$ auf $K_1\cap Z$ verkleben zu einem Schnitt $s_1$ auf $K_0\cup (K_1\cap Z)$ und k"onnen diesen ausdehnen zu einem globalen Schnitt mit kompaktem Tr"ager $g_1\in\Gamma_!(X;\mathcal F)$. Dann gilt $s=g_0+g_1$ auf $K_1\cap Z$ und $g_1=0$ auf $K_0$. Dann k"onnen wir den Nullschnitt auf $K_1$ mit dem Schnitt $s-g_0-g_1$ auf $K_2\cap Z$ verkleben zu einem Schnitt $s_2$ auf $K_1\cup (K_2\cap Z)$ und k"onnen diesen ausdehnen zu einem globalen Schnitt mit kompaktem Tr"ager $g_2\in\Gamma_!(X;\mathcal F)$. Dann gilt $s=g_0+g_1+g_2$ auf $K_2\cap Z$ und $g_2=0$ auf $K_1$. So machen wir immer weiter. Da alle $g_{i+1}$ jeweils auf $K_i$ verschwinden und kompakten Tr"ager haben, ist die Summe $\tilde s\pdef \sum_{i=0}^\infty g_i$ ein sinnvoll definierter globaler Schnitt $\tilde s\in \Gamma(X;\mathcal F)$. Nach Konstruktion setzt er unseren Schnitt $s$ fort. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Kohomologie oberhalb der Dimension}] Gegeben eine abz"ahlbar basierte $n$-Filtrierfaltigkeit $M$ und eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $M$ gilt\label{phqnk} $$q>n\;\;\RA \;\;{\op{H}}^q(M;\mathcal F)=0$$ \end{Proposition} \begin{proof} Nach \ref{kwAm} besitzt $\mathcal F$ eine kompaktweiche Aufl"osung der L"ange $n$. Nach \ref{kww} besteht sie aus weichen Garben. Nach \eref{waz}{TG} sind weiche Garben $\Gamma$-azyklisch auf parakompakten R"aumen. Nach \eref{KrPar}{TG} schlie"slich ist $M$ parakompakt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokale Kohomologie oberhalb der Dimension plus Eins}] Gegeben eine abz"ahlbar basierte $n$-Filtrierfaltigkeit und eine abgeschlossene Teilmenge $C\As M$ folgt aus dem Verschwinden der Kohomologie oberhalb der Dimension \ref{phqnk} mit der langen exakten Sequenz der lokalen Kohomologie \eref{LEslk}{TG} sofort\label{hKab} $$q>n+1\;\RA \;{\op{H}}^q_C(M;\mathcal F)=0$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben eine abz"ahlbar basierte $n$-Filtrierfaltigkeit $M$ besitzt jede abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $M$ eine Aufl"osung $\mathcal F\hra \mathcal G_0\ra\ldots \ra\mathcal G_{n}\sra \mathcal K_{n+1}$ der L"ange $n+1$ durch welke Garben $\mathcal G_0,\ldots,\mathcal G_{n},\mathcal K_{n+1}$.\label{wAm} \end{Lemma} \begin{proof} Bezeichne $\mathcal K_i\subset \mathcal G_i$ die Kerne in einer beliebigen Aufl"osung durch welke Garben. Die Randoperatoren der entsprechenden langen exakten Sequenzen liefern f"ur alle $C\As M$ Isomorphismen $${\op{H}}_C^1(M;\mathcal K_{n+1}) \sira {\op{H}}_C^2(M;\mathcal K_{n})\sira \ldots\sira {\op{H}}_C^{n+2}(M;\mathcal F)$$ Nach \ref{hKab} ist die Gruppe ganz rechts Null. Wir folgern ${\op{H}}_C^1(M;\mathcal K_{n+1})=0$ f"ur alle $C\As M$ und nach der langen exakten Sequenz der lokalen Kohomologie \eref{LEslk}{TG} ist damit $\mathcal K_{n+1}$ welk. \end{proof} \begin{Proposition} Gegeben eine $n$-Filtrierfaltigkeit $M$ und $i:C\hra M$ die Einbettung einer lokal abgeschlossenen Teilmenge hat $i^{(!)}$ endliche homologische Rechtsdimension $\leq n+1$.\label{hRdz} \end{Proposition} \begin{proof} Es reicht zu zeigen, da"s f"ur jede abz"ahlbar basierte offene Teilmenge $U\co M$ mit $C\cap U\As U$ der Funktor $i^{(!)}$ f"ur $i: (C\cap U)\hra U$ endliche homologische Rechtsdimension $\leq n+1$ hat. Nach \eref{rzwU}{TG} k"onnen seine Rechtsderivierten jedoch mit welken Aufl"osungen berechnet werden. So folgt die Proposition aus Lemma \ref{wAm}. \end{proof} \begin{Lemma} F"ur die konstante Abbildung $c:E\ra \op{top}$ eines endlichdimensionalen reellen affinen Raums auf einen Punkt und alle $G\in \op{Der}(\op{Ab})$ induziert die Einheit der Adjunktion $(c_!,c^!)$ einen Isomorphismus\label{esL} $$c_*c^*G\sira c_*c^!c_!c^*G$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungw} In \ref{qret} zeigen wir st"arker, da"s die Einheit der Adjunktion $(c_!,c^!)$ sogar einen Isomorphismus $c^*G\sira c^!c_!c^*G$ induziert. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Wir wissen aus \eref{kkRn}{TG}, da"s $c_!\DZ_E$ in $\op{Der}(\op{Ab})$ eine Einheit im Sinne von \eref{EIIp}{TSK} ist. Wir wissen aus \ref{kwAm}, da"s $E$ lesb ist, so da"s uns f"ur $c$ die Projektionsformel auf der vollen derivierten Kategorie zur Verf"ugung steht. Die Isomorphismen $c_!c^*G\sira c_!(\DZ_E\otimes c^*G) \sira (c_!\DZ_E)\otimes G$ zum Tensorprodukt mit dem Einsobjekt gefolgt vom Isomorphismus der Projektionsformel \ref{ProjFF} in der voll verflochtenen Trennaustauschsituation der derivierten Modulgarben \ref{tzGG} zeigen damit, da"s $c_!c^*$ eine "Aquivalenz von Kategorien ist. Dasselbe gilt f"ur den adjungierten Funktor $c_*c^!$. Also ist die Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus $G\sira c_*c^!c_!c^*G$. Dieser Isomorphismus faktorisiert als $G\ra c_*c^*G\ra c_*c^!c_!c^*G$ mit den von den Einheiten der Adjunktionen $(c^*,c_*)$ und $(c_!,c^!)$ herr"uhrenden Morphismen. Der erste dieser Morphismen ist ein Isomorphismus nach \ref{zgsaf}. Also ist auch der zweite dieser Morphismen ein Isomorphismus. \end{proof} \begin{Lemma} F"ur $i: \op{top}\hra E$ die Einbettung eines Punktes in einen endlichdimensionalen reellen affinen Raum und $c:E\ra \op{top}$ die konstante Abbildung und $ G\in \op{Der}(\op{Ab})$ beliebig induziert die Koeinheit der Adjunktion einen Isomorphismus\label{kDdh} $$c_!i_!i^!c^*G\sira c_!c^*G$$ \end{Lemma} \begin{proof} Ist $G$ ein in einem einzigen homologischen Grad konzentrierter Komplex, so hatten wir das bereits in \ref{kioM} in anderen Notationen und unter der Annahme $\op{dim}E\geq 1$ bewiesen. Im Fall $\op{dim}E=0$ ist die Behauptung eh trivial. Damit ist die Proposition bewiesen f"ur den Fall, da"s $G$ in einem Grad konzentriert ist. Mit d\'evissage folgt sie sofort f"ur $G\in \op{Der}^{\op{b}}(\op{Ab})$. Nun bilden beide Seiten $\op{Der}^{\geq r}(\op{Ab})$ in sich selber ab und $\op{Der}^{\leq r}(\op{Ab})$ in $\op{Der}^{\leq r+n+1}(\op{Ab})$ beziehungsweise st"arker $\op{Der}^{\leq r+n}(\op{Ab})$ wegen \ref{hRdz} beziehungsweise \eref{phq}{TG} und unseren Erkenntnissen \eref{UbDe}{TD} zum Derivieren homologisch rechtsendlicher Funktoren. Die zu festem $q$ von unserem Morphismus auf $\mathcal H^q$ induzierte Abbildung "andert sich also nicht, wenn wir erst zu $\tau^{\leq q}G$ und dann zu $\tau^{\geq q-n-1}\tau^{\leq q}G$ "ubergehen. Mithin ist sie f"ur alle $q$ und alle $G$ ein Isomorphismus. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben $j:D\hra E$ die Einbettung einer offenen konvexen nichtleeren Teilmenge in einen endlichdimensionalen reellen affinen Raum und $c:E\ra\op{top}$ die konstante Abbildung und $G\in \op{Der}(\op{Ab})$ induziert die Koeinheit der Adjunktion einen Isomorphismus\label{qrjt} $$c_!j_!j^!c^*G\sira c_!c^*G$$ \end{Lemma} \begin{proof} Sei $i:\op{top}\ra D$ die Einbettung eines Punktes. Wir betrachten die Komposition $c_!j_!i_!i^!j^!c^*G\ra c_!j_!j^!c^*G\ra c_!c^*G$ mit den durch Koeinheiten der Adjunktionen gegebenen Morphismen. Wegen $j^!=j^*$ und \ref{kDdh} ist hier der erste Morphismus ein Isomorphismus. Mit einer zweiten Anwendung von \ref{kDdh} ist auch die Verkn"upfung ein Isomorphismus. Das Lemma folgt. \end{proof} \begin{Proposition} F"ur die konstante Abbildung $c:E\ra \op{top}$ eines endlichdimensionalen reellen affinen Raums auf einen Punkt und alle $G\in \op{Der}(\op{Ab})$ induziert die Einheit der Adjunktion $(c_!,c^!)$ einen Isomorphismus\label{qret} $$c^*G\sira c^!c_!c^*G$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} Eine relative Version dieser Aussage zeigen wir in \ref{rzGG}. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}\label{KIGl} F"ur $G=\DZ$ und $\op{dim}E=n$ liefert uns das insbesondere einen Isomorphismus $\underline{E}\sira c^! {\op{H}}_!^n(E)[-n]$ und damit $\underline{E}\otimes {\op{H}}_!^n(E)^*[n]\sira \omega_E $. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach dem Verschwindungskriterium \ref{VersKK} reicht es zu zeigen, da"s f"ur jede Einbettung $j:D\hra E$ einer nichtleeren konvexen offenen Teilmenge unser Morphismus einen Isomorphismus $c_*j_*j^! c^* G\sira c_*j_*j^!c^!c_! c^* G$ liefert. Nach \eref{KompADs}{TG} f"allt nun aber der von der Einheit der Adjunktion induzierte Morphismus $j^! \RA j^!c^!c_!$ zusammen mit der aus Einheiten und Koeinheiten von Adjunktionen gebildeten Komposition $$j^!\RA (cj)^! (cj)_! j^!\siRa j^!c^! c_!j_! j^!\RA j^!c^! c_!$$ Wir wissen aus \ref{qrjt}, da"s hier die Koeinheit der Adjunktion einen Isomorphismus $c_!j_!j^! c^* G\sira c_! c^* G$ liefert. Das bedeutet, da"s der dritte dieser Pfeile einen Isomorphismus liefert, wenn wir ihn auf $c^*G$ anwenden. Die ganze Komposition liefert also einen Isomorphismus auf $c^*G$ bei Nachschalten von $c_*j_*$ genau dann, wenn ihr erster Pfeil das tut. Das aber ist gerade die Aussage von Lemma \ref{esL} angewandt auf $cj$. \end{proof} % \begin{proof} % Nach dem Verschwindungskriterium \ref{VersKK} % reicht es zu zeigen, da"s unsere Einheit der Adjunktion % f"ur jede konvexe offene Teilmenge $D\co E$ mit der Einbettung % $j:D\hra E$ Isomorphismen $c_*j_*j^! c^* G\sira c_*j_*j^!c^!c_! c^* G$ liefert. % Sie m"ogen in \ref{isOOK} pr"ufen, da"s in dieser Situation % die Koeinheit der Adjunktion einen Isomorphismus % $c_!j_!j^! c^* G\sira c_! c^* G$ liefert. F"ur $G$ eine abelsche % Gruppe wissen wir das bereits aus \eref{lkkk}{TG}. % Nach \eref{KompADs}{TG} f"allt nun aber der von der % Einheit der Adjunktion induzierte Morphismus $j^! \RA j^!c^!c_!$ zusammen % mit der aus Einheit und Koeinheit von Adjunktionen % gebildeten Komposition $$j^!\RA (cj)^! (cj)_! j^!\siRa j^!c^! c_!j_! j^!\RA j^!c^! c_!$$ Wir wissen nach dem Vorhergehenden bereits, da"s der letzte dieser Pfeile einen Isomorphismus % liefert, wenn wir ihn auf $c^*G$ anwenden. % Der erste Pfeil liefert also unter $c_*j_*$ % einen Isomorphismus auf $c^*G$ genau dann, % wenn die Komposition einen Isomorphismus auf $c^*G$ liefert. %Da $D$ hom"oomorph ist zu $E$, reicht es also zu zeigen, da"s %f"ur $c$ selber die Adjunktion einen Isomorphismus % $$c_*c^* G\sira c_*c^!c_!c^*G$$ % induziert. % Die Projektionsformel liefert % Isomorphismen $c_!c^*G\sira c_!(\DZ_E\otimes c^*G)\sira (c_!\DZ_E)\otimes G$. %% Sie zeigen, da"s $c_!c^*$ eine "Aquivalenz von Kategorien ist. % Dasselbe gilt f"ur den adjungierten Funktor $c_*c^!$ und zeigt, da"s % die Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus % $G\sira c_*c^!c_!c^*G$ ist. Andererseits zeigt \ref{zgsaf}, da"s % die Einheit der Adjunktion $(c^*,c_*)$ einen Isomorphismus % $G\sira c_*c^*G$ liefert. Zusammen folgt wie gew"unscht, da"s die % Einheit der Adjunktion $(c_!,c^!)$ einen Isomorphismus % $c_*c^*G\sira c_*c^!c_!c^*G$ induziert. %\end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Dualisierende Garbe einer Mannigfaltigkeit}] Gegeben eine $n$-Mannigfaltigkeit $M$ konstruieren wir einen Isomorphismus,\label{dGmg} den {\bf Dua\-li\-sie\-rungs\-iso\-mor\-phis\-mus}\index{Dualisierungsisomorphismus}\index{p@${\op{p}}_M$ Dualisierungsisomorphismus} $${\op{p}}_M:\omega_M\sira \op{or}_M[n]$$ ihrer dualisierenden Garbe %\nichtfinal{(Notationskonflikt zum Fundamentalzykel, den sollte ich $[M]$ notieren)} mit der Orientierungsgarbe aus \eref{orGG}{TG}, verschoben in das Negative der Dimension. Dazu gehen wir von der Erkenntnis aus, da"s $\omega_M[-n]$ nach \ref{KIGl} eine gew"ohnliche Garbe ist, und betrachten weiter f"ur $U\co M$ hom"oomorph zu $\DR^n$ den Isomorphismus $(\omega_M[-n])(U)\sira {\op{H}}_!^n(U;\DZ)^\ast$ aus \ref{KIGl}. So erhalten wir einen Isomorphismus der Restriktionen beider Garben auf die durch die fraglichen Mengen $U$ gegebene Basis der Topologie. Unsere verallgemeinerte Garbifizierung aus \eref{MGTk}{TG} zeigt dann, da"s er von genau einem Isomorphismus der urspr"unglichen Garben herkommen mu"s. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Dualisierende Garbe einer Randfaltigkeit}] Gegeben eine $n$-Randfaltigkeit $M$ und $i:\partial M\hra M$ die abgeschlossene Einbettung ihres Randes und $j:M^\circ\hra M$ die offene Einbettung seines Komplements betrachten wir das ausgezeichnete Dreieck $i_!i^!\omega_M\ra \omega_M\ra j_*j^*\omega_M\ra[1]$. Wir k"onnen es umschreiben zu einem ausgezeichneten Dreieck $i_\ast \omega_{\partial M}\ra \omega_M\ra j_*\omega_{M^\circ}\ra[1]$ und folgern die Beschreibung $\omega_M=\op{Keg}(j_*{\op{or}}_{M^\circ}\ra i_\ast \DZ_{\partial M})[n-1]$ der dualisierenden Garbe unserer Randfaltigkeit $M$ als verschobener Kegel eines Morphismus von Garben $j_*{\op{or}}_{M^\circ}\ra i_\ast \DZ_{\partial M}$. Nun wird der Leser etwa durch Einschr"ankung auf den Fall eines Halbraums unschwer zeigen k"onnen, da"s der fragliche Morphismus unter $i^\ast$ ein Isomorphismus wird. So folgt $i^*\omega_M=0$ und das ausgezeichnete Dreieck $j_!j^!\omega_M\ra \omega_M\ra i_*i^*\omega_M\ra[1]$ liefert damit einen Isomorphismus $$j_!{\op{or}}_{M^\circ}[n]\sira \omega_M$$ Dasselbe gilt auch f"ur Eckfaltigkeiten, die sich ja topologisch nicht von Randfaltigkeiten unterscheiden. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben eine lokal konstante abelsche Garbe $\mathcal F$ mit endlich erzeugten Halmen auf einer Mannigfaltigkeit $X$ ist der kanonische Morphismus ein Isomorphismus\label{BidF} $$\mathcal F\sira \mathbb D_X\mathbb D_X\mathcal F$$ \end{Ubung} \subsection{Mannigfaltiger Eigr"uckzug} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein topologischer Raum $Y$ und ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum $E$ der Dimension $d\pdef\op{dim}E$ und die Projektion $c:E\times Y\ra Y$ erhalten wir mit Basiswechsel und \eref{kkRn}{TG} Isomorphismen\label{thl} $$c_!\DZ_{E\times Y}%\sira c_!c^*\DZ_{Y} \sira c_!\op{pr}_E^*\DZ_{E}\sira \op{pr}_Y^* \op{fin}_!\DZ_{E}\sira \op{pr}_Y^* ({\op{H}}_!^d(E))[-d]\cong \DZ_{Y}[-d]$$ Der letzte dieser Isomorphismen ist unkanonisch. Es geht uns aber an dieser Stelle nur um die Erkenntnis, da"s alle unsere Objekte Einheiten von $\op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ sind. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben ein topologischer Raum $Y$ und ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum $E$ ist f"ur die Projektion $c:E\times Y\ra Y$ und beliebiges $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ die Einheit der Adjunktion stets ein\label{rzGG} Isomorphismus $$c^*\mathcal G\sira c^!c_!c^*\mathcal G$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Wir wissen aus der Projektionsformel, da"s $c_!c^*$ isomorph ist zum Funktor $(c_!\DZ_{E\times Y})\otimes $ und mit \ref{thl} weiter zum Funktor $\DZ_{ Y}[-d]\otimes$. Das Lemma liefert uns damit die Existenz eines Isomorphismus $c^!\DZ_Y\cong \DZ_{E\times Y}[d]$ f"ur $d=\op{dim}E$\label{erzk} und sogar einen expliziten Isomorphismus $c^!\DZ_Y\sira \DZ_{E\times Y}[d]\otimes {\op{H}}_!^d(E)^*$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach dem Verschwindungskriterium \ref{VersKV} reicht es zu zeigen, da"s unsere Einheit der Adjunktion f"ur jede nichtleere konvexe offene Teilmenge $D\co E$ und die zugeh"orige Einbettung $j:D\times Y\hra E\times Y$ Isomorphismen $c_*j_*j^*c^*\mathcal G\sira c_*j_*j^*c^!c_!c^*\mathcal G$ liefert. Hierf"ur k"onnen wir die im Fall eines einpunktigen Raums $Y$ in \ref{qret} gegebene Argumentation kopieren, sobald wir zeigen k"onnen, da"s auch in dieser Situation die Koeinheit der Adjunktion einen Isomorphismus $$c_!j_!j^! c^* \mathcal G\sira c_! c^* \mathcal G$$ liefert. Das aber d"urfen wir halmweise an jedem Punkt $y\in Y$ pr"ufen und mit Basiswechsel folgt es so aus der bereits beim Beweis von \ref{qret} gezeigten Aussage im Fall eines einpunktigen Raums $Y$. Jetzt kann die Argumentation wie in \ref{qret} weiterlaufen. Da $D$ hom"oomorph ist zu $E$, reicht es zu zeigen, da"s unsere Abbildung f"ur alle $Y$ einen Isomorphismus $c_*c^*\mathcal G\sira c_*c^!c_!c^*\mathcal G$ induziert. Wir wissen aber aus der Projektionsformel, da"s $c_!c^*$ isomorph ist zum Funktor $(c_!\DZ_{E\times Y})\otimes $ und damit nach \ref{thl} eine "Aquivalenz von Kategorien. Also ist auch der adjungierte Funktor $c_*c^!$ eine "Aquivalenz von Kategorien und die Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus $\mathcal G\sira c_*c^!c_!c^*\mathcal G$. Da"s andererseits auch die Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus $\mathcal G\sira c_*c^*\mathcal G$ ist, wissen wir bereits aus \ref{zgsaf}. Das Lemma folgt. \end{proof} \begin{Proposition} Gegeben ein topologischer Raum $Y$ und ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum $E$ ist f"ur die Projektion $c:E\times Y\ra Y$ und beliebiges $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ die Koeinheit der Adjunktion stets ein\label{rzlG} Isomorphismus $$ c_!c^!\mathcal G\sira \mathcal G$$ \end{Proposition} \begin{proof} Aus dem vorherigen Lemma wissen wir, da"s die Einheit der Adjunktion einen Isomorphismus $c^*\mathcal G\sira c^!c_!c^*\mathcal G$ liefert. Aus der Dreiecksidentit"at wissen wir, da"s die Komposition $c_!c^*\mathcal G\sira c_!c^!c_!c^*\mathcal G\ra c_!c^*\mathcal G$ mit dem von der Koeinheit der Adjunktion induzierten zweiten Morphismus die Identit"at ist. Also induziert die Koeinheit der Adjunktion stets einen Isomorphismus $c_!c^!c_!c^*\mathcal G\sira c_!c^*\mathcal G$. Wie beim vorigen Beweis bemerkt wissen aber aus der Projektionsformel, da"s $c_!c^*$ isomorph ist zum Funktor $(c_!\DZ_{E\times Y})\otimes $ und damit nach \ref{thl} eine "Aquivalenz von Kategorien. \end{proof} \begin{Definition} Eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ hei"st {\bf mannigfaltig von der relativen Dimension $d$}\index{mannigfaltig!stetige Abbildung} oder kurz {\bf $d$-mannigfaltig}, wenn sie separiert ist und es f"ur jeden Punkt $x\in X$ ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ V\times\DR^d\;\ar[d] \ar@{^{(}->}[r] &X\ar[d]^f\\ V\; \ar@{^{(}->}[r] & Y } \end{displaymath} gibt mit offenen Einbettungen in den Horizontalen und $x$ im Bild der oberen Horizontale. Sie hei"st {\bf mannigfaltig}, wenn es $d\in\DN$ gibt derart, da"s unsere Abbildung $d$-mannigfaltig ist. \end{Definition} \begin{Beispiel} Eine $0$-mannigfaltige Abbildung ist dasselbe wie eine separierte \'etale Abbildung. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Offensichtlich ist jede mannigfaltige Abbildung les und f"ur eine $d$-man\-nig\-fal\-ti\-ge Abbildung ist jede ihrer Fasern eine $d$-Mannig\-faltigkeit. Nach dem Verschwinden hoher kompakter Kohomologie bei Mannigfaltigkeiten \eref{phq}{TG} und les-Basiswechsel ist also jede mannigfaltige Abbildung lesb. Nach \ref{erzk} ist f"ur $f:X\ra Y$ eine $d$-mannigfaltige Abbildung der Komplex $f^!\DZ_Y[-d]$ eine abelsche Garbe auf $X$, die lokal frei ist vom Rang Eins. Wir nennen sie die {\bf relative Orientierungsgarbe}\index{Orientierungsgarbe!relative}\label{roG} und notieren sie $$\op{or}_f=\op{or}_{X/Y}\pdef f^!\DZ_Y[-d]$$ Ist die relative Orientierungsgarbe isomorph zur konstanten Garbe $\DZ_X$, so nennen wir unsere mannigfaltige Abbildung {\bf orientierbar}\index{orientierbar!mannigfaltige Abbildung} und die Wahl eines Isomorphismus $\op{or}_f\sira \DZ_X$ alias $f^!\DZ_Y\sira \DZ_X[d]$ eine {\bf Orientierung von $f$}.\index{Orientierung!von mannigfaltiger Abbildung} F"ur jede $0$-man\-nig\-fal\-ti\-ge alias separierte \'etale Abbildung haben wir in \ref{etsep} bereits eine ausgezeichnete Orientierung angegeben. Ist $Y$ ein Einpunktraum, so entspricht sie derjenigen Orientierung auf einer $0$-Mannigfaltigkeit alias diskreten Menge, die jedem Punkt die Orientierung $+1$ zuweist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Schreir"uckzug unter mannigfaltigen Abbildungen}] Im Fall einer mannigfaltigen Abbildung $f:X\ra Y$ induziert unser Morphismus aus \ref{fter} f"ur alle $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ Isomorphismen\label{glRZ} $$f^!\DZ_Y\otimes f^*\mathcal G\sira f^! \mathcal G$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir haben in \ref{fMru} diskutiert, warum dieser Morphismus im Fall einer trennverflochtenen Trennaustauschsituation f"ur starres $\mathcal G$ stets ein Isomorphismus ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Gegenbeispiel zur R"uckzug-Schreir"uckzug-Formel}] F"ur die Einbettung $f:\op{pt}\ra Y$ des Ursprungs in die reelle Zahlengerade $Y\pdef \DR$ und $\mathcal G=\prod_{n}\DZ_{(-1/n,1/n)\subset\DR}$ das Produkt der Ausdehnungen durch Null auf immer kleineren offenen Intervallen um den Ursprung, so ist $f^!\mathcal G$ ein abz"ahlbares Produkt von Kopien von $\DZ[-1]$, da $f^!$ mit Produkten vertr"aglich ist, aber $f^!\underline{Y}\otimes f^*\mathcal G$ ist eine abz"ahlbare Summe von Kopien von $\DZ[-1]$. In diesem Fall haben wir also $f^!\underline{Y}\otimes f^*\mathcal G\not\cong f^!\mathcal G$. \end{Beispiel} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s unsere mannigfaltige Abbildung $f$ die Projektion $c:E\times Y\ra Y$ ist f"ur einen endlichdimensionalen reellen affinen Raum $E$. In diesem Fall ist schon mal die Koeinheit der Adjunktion ein Isomorphismus $c_!c^!\DZ_Y\sira \DZ_Y$ nach \ref{rzlG}. Wir k"onnen also von einem Isomorphismus $$c_!(c^!\DZ_Y\otimes c^*\mathcal G)\sira c_!c^!\DZ_Y\otimes \mathcal G\sira \DZ_Y\otimes \mathcal G\sira\mathcal G$$ ausgehen und m"ussen zeigen, da"s er unter der Adjunktion einem Isomorphismus $c^!\DZ_Y\otimes c^*\mathcal G\sira c^!\mathcal G$ entspricht. Nach \ref{erzk} ist $c^!\DZ_Y\cong \DZ_{E\times y}[d]$ und nach \ref{rzGG} gibt es folglich $\mathcal E$ mit $c^!\mathcal E\cong (c^!\DZ_Y\otimes c^*\mathcal G)$, denn die rechte Seite liegt damit im wesentlichen Bild von $c^*$. Jeder Isomorphismus $c_!(c^!\mathcal E)\sira \mathcal G$ entspricht aber in der Tat unter der Adjunktion einem Isomorphismus $c^!\mathcal E\sira c^!\mathcal G$, denn wir k"onnen die von der Ajunktion induzierte Abbildung verstehen als die Komposition $$(c^!\mathcal E)\ra c^!c_!(c^!\mathcal E)\sira c^! \mathcal G$$ mit dem von der Einheit der Adjunktion induzierten Morphismus links und dieser linke Morphismus ist ein Isomorphismus, da die Komposition $c^!\mathcal E\ra c^!c_!c^!\mathcal E\ra c^!\mathcal E$ die Identit"at ist nach den Dreiecksidentit"aten und die Koeinheit der Adjunktion ein Isomorphismus $c_!c^!\mathcal E\sira \mathcal E$ nach \ref{rzlG}. \end{proof} \newpage \nichtfinal{\begin{Proposition}[\textbf{Schreir"uckzug und externes Produkt}] Gegeben seien lesb-R"aume $X,Y$. Wir nehmen an, da"s $X,Y$ und $X\times Y$ starre dualisierende Garben haben und da"s jeder Punkt eine offene Umgebung bagazyklisch? homologisch auch bagazyklisch? starren dualisierenden Garben und der Eigenschaft, da"s ist der Morphismus aus \ref{SruB} f"ur alle $\mathcal F\in \op{Der}_{/Y}$ und $\mathcal G\in \op{Der}_{/Z}$ ein Isomorphismus $$ f^!\mathcal F \boxtimes g^! \mathcal G\sira (f \times g)^{! } (\mathcal F \boxtimes \mathcal G) $$ Soll jedenfalls f"ur Variet"aten erf"ullt sein! \end{Proposition} } \begin{proof} Gegeben $(x,y)\in X\times Y$ finden wir nach Annahme eine bagazyklische und basazyklische offene Umgebung $U\co X$ von $x$ und $V\co Y$ von $y$. Da ein Morphismus der derivierten Kategorie abelscher Garben, der auf den Halmen Isomorphismen induziert, bereits ein Isomorphismus sein mu"s, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $X$ und $Y$ selber bereits bagazyklisch und basazyklisch sind. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Schreir"uckzug und externes Produkt}] Gegeben mannigfaltige Abbildungen $f:X\ra Y$ und $g:W\ra Z$ ist der Morphismus aus \ref{SruB} f"ur alle $\mathcal F\in \op{Der}_{/Y}$ und $\mathcal G\in \op{Der}_{/Z}$ ein Isomorphismus $$ f^!\mathcal F \boxtimes g^! \mathcal G\sira (f \times g)^{! } (\mathcal F \boxtimes \mathcal G) $$ \end{Korollar} \begin{proof} Es reicht zu zeigen, da"s unser Morphismus unter Einschr"ankung auf die Teilmengen einer offenen "Uberdeckung von $X\times Y$ Isomorphismen induziert. So ziehen wir uns auf den Fall zur"uck, da"s $f:\DR^m\times Y\ra Y$ und $g:\DR^n\times Z\ra Z$ jeweils die Projektionen sind. Nach \ref{roG} ist $f^!\DZ_Y$ bis auf eine Gradverschiebung isomorph zur konstanten Garbe und nach \ref{glRZ} folgt $f^!\cong f^*[m]$ und ebenso $g^!\cong g^*[n]$ und $(f\times g)^!\cong (f\times g)^*[m+n]$. Da $f\times g$ garbenazyklisch ist nach \ref{zgsaf}, gibt es also schon mal ein Objekt $\mathcal H$ mit $(f\times g)^!\mathcal H \cong f^!\mathcal F \boxtimes g^! \mathcal G$. Das hinwiederum bedeutet, da nach \ref{rzlG} die Koeinheit der Adjunktion in diesem Fall eine Isotransformation $(f\times g)_!(f\times g)^!\siRa \op{id}$ ist, da"s wir nur zeigen m"ussen, da"s unser Morphismus unter $(f\times g)_!$ ein Isomorphismus $$(f\times g)_!( f^!\mathcal F \boxtimes g^! \mathcal G)\sira (f\times g)_!(f \times g)^{! } (\mathcal F \boxtimes \mathcal G) $$ wird. Der Schreivorschub kommutiert jedoch nach \ref{VexP} mit dem Boxprodukt und die Behauptung folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einheiten in Trennaustauschsituationen}] Sei eine voll trennverflochtene Trennaustauschsituation $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ mit einem finalen Objekt der Basis $\op{pt}\in \mathscr T$ gegeben. F"ur eine Einheit $u\in\mathscr G_{/{\op{pt}}}$ und $X\in\mathscr T$ und $\mathcal F\in \mathscr G_{/X}$ vereinbaren wir die abk"urzende Notation $$\mathcal F[u]\pdef (\op{fin}_X^*u)\otimes \mathcal F$$ und erhalten Isomorphismen $f_!(\mathcal F [u])\sira (f_!\mathcal F) [u]$ und $f^*(\mathcal G [u])\sira (f^*\mathcal G) [u]$ und $(\mathcal F\otimes\mathcal G)[u]\sira \mathcal F\otimes(\mathcal G[u])$ mit einer Vielzahl von Vertr"aglichkeiten, die wir nicht ausschreiben. Existieren die Adjungierten, so m"ussen sie genauso mit $[u]$ vertauschen, da wir $u$ als Einheit angenommen haben. Wir erhalten so Isomorphismen $f^!(\mathcal G [u])\sira (f^!\mathcal G) [u]$ und $f_*(\mathcal F [u])\sira (f_*\mathcal F) [u]$ und $$(\mathcal F[-u]{\Rrightarrow}\mathcal G)\sira(\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G)[u]\sira (\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G[u])$$ mit der Notation $[-u]$ f"ur die inverse Einheit und einer noch viel gr"o"seren Zahl von Vertr"aglichkeiten. Wir schreiben sie genausowenig aus, da sie bei Bedarf leicht aus der Axiomatik einer Trennverflechtung abgeleitet werden k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abstrakte Orientierungen}] Sei $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ eine Trennaustauschsituation mit voller Trennverflechtung und Adjungierten und finalem Objekt $\op{pt}$ der Basis. Wir nennen einen Morphismus der Basis $f:X\ra Y$ {\bf orientierbar}, wenn er ein Schreimorphismus ist und es eine Einheit $u\in \mathscr G_{/{\op{pt}}}$ gibt mit $f^!\underline{Y}\cong \underline{X}[u]$. Eine Wahl eines derartigen Isomorphismus $\omega:f^!\underline{Y}\sira \underline{X}[u]$ nennen wir eine {\bf $[u]$-Orientierung von $f$} und notieren so ein Datum $$(f;u)=(f;u,\omega):X\ra Y$$ Gegeben ein weiterer orientierter Schreimorphismus $(g;v):Y\ra Z$ erhalten wir eine $[u+v]$-Orientierung von $g f$ in offensichtlicher Weise, die {\bf Verkn"upfungsorientierung}.\index{Verkn"upfungsorientierung} Ist umgekehrt $gf$ eine Komposition von zwei Schreimorphismen und sind eine $[v]$-Orientierung auf $g$ sowie eine $[w]$-Orientierung auf $gf$ gegeben, so erhalten wir aus der Komposition\label{abOR} $f^!\underline{Y}[v]\sila f^!g^!\underline{Z}\sira (gf)^!\underline{Z} \sira \underline{X}[w]$ eine $[w-v]$-Orientierung auf $f$. Wir nennen sie die {\bf relative Orientierung von $f$}.\index{Orientierung eines Schreimorphismus!relative} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Orientierung f"ur Abbildungen von Mannigfaltigkeiten}] Zum Beispiel erh"alt jede stetige Abbildung $f:X\ra Y$ von orientierten Mannigfaltigkeiten der Dimensionen $\op{dim}X=m$ und $\op{dim}Y=n$ eine $[m-n]$-Orientierung, indem wir die vorhergehenden "Uberlegungen in der voll verflochtenen Trennaustauschsituation \ref{tzGG} auf $Z=\op{top}$ und die Einheiten $\DZ[d]\in\op{Der}(\op{Ab}_{/{\op{top}}})$ f"ur $d\in\DZ$ anwenden. In der Tat gilt f"ur $a:X\ra \op{pt}$ und $b:Y\ra \op{pt}$ ja $fb=a$ und f"ur $a$ und $b$ liefert die jeweilige Orientierung \ref{dGmg} Isomorphismen $a^!\underline{\op{pt}}\sira \underline{X}[m]$ und $b^!\underline{\op{pt}}\sira\underline{Y}[n]$. \end{Beispiel} \subsection{Sucht noch seinen Platz} \begin{Proposition}[\textbf{Schreir"uckzug und Basiswechsel}] Seien $S$ offenlokal bag\-azyk\-lisch und $f:X\ra Y$ lesb. Bezeichne $\op{pr}_X:S\times X\ra X$ beziehungsweise $\op{pr}_Y:S\times Y\ra Y$ die Projektionen. So ist die Transformation aus \ref{FleB} alias \ref{Erii} eine Isotransformation\label{rzT} $$\op{pr}_X^* f^!\siRa ( \op{id}\times f)^! \op{pr}_Y^*$$ \end{Proposition} \begin{proof} Gegeben $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ reicht es nach dem Verschwindungskriterium \ref{VersKV} zu zeigen, da"s f"ur jede Einbettung $j:U\hra S$ einer bagazyklischen offenen Teilmenge unsere Transformation einen Isomorphismus $$ (\op{pr}_{X})_*(j\times\op{id})^* \op{pr}_X^* f^!\mathcal G\sira (\op{pr}_{X})_* (j \times \op{id})^* ( \op{id}\times f)^! \op{pr}_Y^*\mathcal G$$ induziert. Das l"auft darauf hinaus zu zeigen, wenn wir kurzerhand $S$ statt $U$ schreiben um die bisherige Notation verwenden zu k"onnen, da"s f"ur $S$ bagazyklisch unsere Transformation einen Isomorphismus $$ (\op{pr}_{X})_* \op{pr}_X^* f^!\mathcal G\sira (\op{pr}_{X})_* ( \op{id}\times f)^! \op{pr}_Y^*\mathcal G$$ induziert. Dieser Morphismus pa"st jedoch in ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ (\op{pr}_{X})_* \op{pr}_X^* f^!\mathcal G \ar[r] & (\op{pr}_{X})_* (\op{id}\times f)^! \op{pr}_Y^*\mathcal G \\ f^!\mathcal G \ar[r]^-\sim\ar[u]_\wr &f^! (\op{pr}_{Y})_*\op{pr}_Y^*\mathcal G\ar[u]_\wr } \end{displaymath} mit Koeinheiten der Adjunktion ausgehend von links unten, die wegen $S$ bagazyklisch Isomorphismen sind, und einem adjungierten Basiswechsel in der rechten Vertikale, der vom selben Basiswechsel herkommt wie die obere Horizontale. \end{proof} \newpage \begin{Proposition}[\textbf{Schreir"uckzug und garbenguter Basiswechsel NEU}] Sei $pg=fq$ ein kartesisches Diagramm topologischer R"aume mit $f,g$ lesb und $p,q$ garbengut. So ist die Transformation aus \ref{FleB} alias \ref{Erii} eine Isotransformation\label{rzT} $$q^* f^!\siRa g^! p^*$$ \end{Proposition} \begin{proof} Wir arbeiten mit dem kartesischen Quadrat \begin{displaymath} \xymatrix{ W \ar[d]^g\ar[r]^q & X \ar[d]^f\\ Z\ar[r]^p &Y } \end{displaymath} Gegeben $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ reicht es nach dem Verschwindungskriterium \ref{VersKV} zu zeigen, da"s jeder Punkt $w\in W$ ein Fundamentalsystem von offenen Umgebungen $U$ hat derart, da"s f"ur $j$ die Einbettung der fraglichen Umgebung unser Morphismus einen Isomorphismus $$\op{fin}_* j^*q^* f^!\mathcal G\siRa \op{fin}_* j^* g^! p^*\mathcal G$$ induziert. Jede Umgebung von $w$ l"a"st sich nun wie beim Beweis von \ref{rzGG} verkleinern zu einer offenen Umgebung der Gestalt $C\times_YA$ mit $A\co X$ und $C\co Z$ Jede Umgebung von $w$ l"a"st sich nun verkleinern zu einer offenen Umgebung der Gestalt $C\times_YA$ mit $A\co X$ und $C\co Z$ f"ur jede Einbettung $j:U\hra S$ einer bagazyklischen offenen Teilmenge unsere Transformation einen Isomorphismus $$ (\op{pr}_{X})_*(j\times\op{id})^* \op{pr}_X^* f^!\mathcal G\sira (\op{pr}_{X})_* (j \times \op{id})^* ( \op{id}\times f)^! \op{pr}_Y^*\mathcal G$$ induziert. Das l"auft darauf hinaus zu zeigen, wenn wir kurzerhand $S$ statt $U$ schreiben um die bisherige Notation verwenden zu k"onnen, da"s f"ur $S$ bagazyklisch unsere Transformation einen Isomorphismus $$ (\op{pr}_{X})_* \op{pr}_X^* f^!\mathcal G\sira (\op{pr}_{X})_* ( \op{id}\times f)^! \op{pr}_Y^*\mathcal G$$ induziert. Dieser Morphismus pa"st jedoch in ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ (\op{pr}_{X})_* \op{pr}_X^* f^!\mathcal G \ar[r] & (\op{pr}_{X})_* (\op{id}\times f)^! \op{pr}_Y^*\mathcal G \\ f^!\mathcal G \ar[r]^-\sim\ar[u]_\wr &f^! (\op{pr}_{Y})_*\op{pr}_Y^*\mathcal G\ar[u]_\wr } \end{displaymath} mit Koeinheiten der Adjunktion ausgehend von links unten, die wegen $S$ bagazyklisch Isomorphismen sind, und einem adjungierten Basiswechsel in der rechten Vertikale, der vom selben Basiswechsel herkommt wie die obere Horizontale. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Schreir"uckzug und externes Produkt}] Seien $S$ offenlokal bag\-azyk\-lisch und\label{Srp} $f:X\ra Y$ lesb. Sind zus"atzlich $\mathcal E\in \op{Der}(\op{Ab}_{/S})$ und $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ beide starr, so ist der Morphismus aus \ref{SruB} ein Isomorphismus $$\mathcal E\boxtimes f^!\mathcal G\sira (\op{id}\times f)^!(\mathcal E\boxtimes \mathcal G)$$ \end{Korollar} \begin{proof} Wir notieren $\op{pr}_{A,B}:A\times B\ra B$ und $\op{pr}_{B,A}:A\times B\ra A$ die Projektionen. Die Starrheit von $\mathcal G$ und "Ubung \ref{fMru} mit Satz \ref{rzT} in der Mitte liefern Isomorphismen $$ (\op{id}{\times} f)^!\underline{S{\times} Y} \otimes (\op{id}{\times} f)^*\op{pr}_{S,Y}^*\mathcal G\sira (\op{id}\times f)^!\op{pr}_{S,Y}^*\mathcal G \sila \op{pr}_{S,X}^* f^! \mathcal G $$ Da tensorieren wir nun $\op{pr}_{X,S}^*\mathcal E$ davor. Vorne schreiben wir es um mit der Identifikation $\op{pr}_{X,S}^*\mathcal E\sira (\op{id}{\times} f)^*\op{pr}_{Y,S}^*\mathcal E$ und erhalten Isomorphismen $$ (\op{id}{\times} f)^!\underline{S{\times} Y} \otimes (\op{id}{\times} f)^*(\mathcal E\boxtimes\mathcal G)\sira \op{pr}_{X,S}^*\mathcal E\otimes (\op{id}\times f)^!\op{pr}_{S,Y}^*\mathcal G \sila \mathcal E\boxtimes f^! \mathcal G $$ Schlie"slich ist nach Annahme $\mathcal E$ starr, also auch $\mathcal E\boxtimes\mathcal G$, und indem wir die linke Seite mit "Ubung \ref{fMru} zur"uckverwandeln ergibt sich die Behauptung bis auf die Aussage, da"s der im Beweis konstruierte Isomorphismus in der Tat mit dem in \ref{SruB} angegebenen Morphismus zusammenf"allt. Diese Pr"ufung m"ochte ich einem Studenten "uberlassen. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Zweifacher Schreir"uckzug und externes Produkt}] Seien $f_1:X_1\ra Y_1$ und $f_2:X_2\ra Y_2$ lesb und $X_1,Y_2$ offenlokal bagazyklisch und $f_2^!\underline{Y_2}$ starr. So ist f"ur $\mathcal G_i\in \op{Der}(\op{Ab}_{/Y_i})$ starr der Morphismus aus \ref{SruB} ein Isomorphismus\label{zfex} $$f_1^!\mathcal G_1\boxtimes f_2^!\mathcal G_2\sira (f_1\times f_2)^!(\mathcal G_1\boxtimes \mathcal G_2)$$ \end{Korollar} \begin{proof} Man wende das vorhergehende Korollar \ref{Srp} zweimal an. Die Starrheit von $f_2^!\underline{Y_2}$ wird ben"otigt, um die Starrheit von $f_2^!\mathcal G_2$ zu zeigen, mit der dann die zweite Anwendung gelingt. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Dualisierende Garbe eines Produkts}] Seien $X,Y$ lesb-R"aume. Wir nehmen an, da"s $Y$ eine starre dualisierende Garbe hat und offenlokal bagazyklisch ist. So ist der Morphismus aus \ref{SruB} ein Isomorphismus $$ \omega_X \boxtimes \omega_Y\sira \omega_{X\times Y}$$ \end{Korollar} \begin{proof} Wir wenden das vorhergehende Korollar \ref{zfex} an mit $X_1=X$ und $X_2=Y$ und $Y_1=Y_2$ der Einpunktraum. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Verschwindung durch Dualit"at auf Mannigfaltigkeiten}] Gegeben eine Mannigfaltigkeit $X$ gilt f"ur jeden Komplex abelscher Garben $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ die Implikation\label{vkMF} $$(\mathcal F{\Rrightarrow}\underline{X})=0\;\RA\; \mathcal F=0$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt mit Koeffizienten "uber jedem Kring, in dem es f"ur den Einpunktraum gilt, insbesondere Koeffizienten in Hauptidealringen und K"orpern, vergleiche \ref{dABGb}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Seien $x\in X$ ein Punkt und $i_x:\op{pt}\hra X$ seine Einbettung und $d$ die Dimension von $X$. Wir finden $$\begin{array}{llll} (\mathcal F{\Rrightarrow}\underline{X})=0&\RA& i_{x}^!(\mathcal F{\Rrightarrow}\underline{X})=0&\\ &\RA&(i_{x}^*\mathcal F{\Rrightarrow}i_{x}^!\underline{X})=0&\text{mit \ref{rVDe},}\\ &\RA&(i_{x}^*\mathcal F{\Rrightarrow}\underline{\op{pt}})=0&\text{wegen $i_{x}^!\underline{X}\cong \underline{\op{pt}}[-d]$,}\\ &\RA&i_{x}^*\mathcal F=0&\text{mit \ref{dABG}.} \end{array}$$ Da das nun f"ur alle $x\in X$ gilt, mu"s jeder Repr"asentant von $\mathcal F$ ein halmweise exakter Komplex sein, also ein exakter Komplex, was zu zeigen war. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Verschwindung durch Dualit"at auf Filtrierfaltigkeiten}] Gegeben eine \hyperref[dFiV]{Filtrierfaltigkeit} $X$ gilt f"ur jeden Komplex abelscher Garben $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ die Implikation\label{VdDf} $$\mathbb D_X\mathcal F=0\;\RA\; \mathcal F=0$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt mit Koeffizienten "uber jedem Kring, falls es f"ur den Einpunktraum gilt, insbesondere Koeffizienten in Hauptidealringen und K"orpern, vergleiche \ref{dABGb}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir argumentieren durch Induktion "uber die Dimension und nehmen an, es sei $n\geq 0$ gegeben und das Lemma sei bereits bewiesen f"ur $(n-1)$-Filtrierfaltigkeiten. Im Fall $n=0$ ist das die leere Menge und in dem Fall ist es klar. Im allgemeinen finden wir eine Zerlegung $X=U\sqcup Z$ mit $U\co X$ einer $n$-Mannigfaltigkeit und $Z\As X$ einer $(n-1)$-Filtrierfaltigkeit. Bezeichne $j:U\hra X$ und $i:Z\hra X$ die Einbettungen. Da $\omega_U$ bis auf Gradverschiebung lokal isomorph ist zu $\underline{U}$ und da nach \ref{gVRT} das interne Hom mit offenem R"uckzug vertauscht, folgt aus dem Verschwindungskriterium f"ur Mannigfaltigkeiten \ref{vkMF} bereits $j^*\mathcal F=0$ alias $j^!\mathcal F=0$ und das Gysin-Dreieck liefert einen Isomorphismus $\mathcal F\sira i_*i^*\mathcal F$. Nun gilt $i_*=i_!$ und mit relativer Verdierdualit"at \ref{rVDe} $$0=(\mathcal F{\Rrightarrow}\omega_X)= (i_!i^*\mathcal F{\Rrightarrow}\omega_X)= i_*(i^*\mathcal F{\Rrightarrow}i^!\omega_X)=i_*(i^*\mathcal F{\Rrightarrow}\omega_Z)$$ Anwenden von $i^*$ impliziert $(i^*\mathcal F{\Rrightarrow}\omega_Z)=0$ und die Induktionsannahme zeigt $i^*\mathcal F=0$ und zusammen $\mathcal F=0$ wie gew"unscht. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Verschwindungskriterium auf Filtrierfaltigkeiten}] Seien $X$ eine \hyperref[dFiV]{Filtrierfaltigkeit} und $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ ein Komplex abelscher Garben auf $X$. Besitzt jeder Punkt $x\in X$ ein konfinales System offener Umgebungen $U\co X$ mit $c_!j^*\mathcal F=0$ f"ur $j:U\hra X$ die Einbettung und $c:U\ra \op{pt}$ die konstante Abbildung, so folgt\label{VeFi} $$\mathcal F=0$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt mit Koeffizienten "uber jedem Kring, falls es f"ur den Einpunktraum gilt, insbesondere also mit Koeffizienten in Hauptidealringen und K"orpern, vergleiche \ref{dABGb}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wegen $\mathbb D c_!\cong c_*\mathbb D$ und $\mathbb D j^*\cong j^!\mathbb D\cong j^*\mathbb D$ folgt aus dem Verschwindungskriterium \ref{VersKK} bereits $\mathbb D\mathcal F=0$ sogar f"ur jeden lesb-Raum. Da $X$ eine Filtrierfaltigkeit ist, folgt aus der Verschwindung durch Dualit"at \ref{VdDf} weiter $\mathcal F=0$. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Verschwindung auf Produkt mit Filtrierfaltigkeit}] Seien $X$ eine \hyperref[dFiV]{Filtrierfaltigkeit}, $Y$ ein topologischer Raum und $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X\times Y})$. Besitzt jeder Punkt $x\in X$ ein konfinales System offener Umgebungen $U\co X$ mit $\op{pr}_!(j\times\op{id})^*\mathcal F=0$ f"ur $j:U\hra X$ die Einbettung und\label{VPF} $\op{pr}:U\times Y\ra Y$ die Projektion, so folgt $$\mathcal F=0$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt mit Koeffizienten "uber jedem Kring, falls es f"ur den Einpunktraum gilt, insbesondere also mit Koeffizienten in Hauptidealringen und K"or\-pern, vergleiche \ref{dABGb}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Gegeben $y\in Y$ und $i_y:\op{pt}\ra Y$ die zugeh"orige Einbettung haben wir ein kartesisches Diagramm $$\begin{array}{ccc} X&\ra &X\times Y\\ \da&&\da\\ \op{pt}&\ra& Y \end{array}$$ mit $i_y$ in der unteren Horizontale, dessen obere Horizontale wir $h_y$ notieren. Mit Basiswechsel und dem in \ref{VeFi} behandelten Fall des Einpunktraums $Y$ zeigen unsere Annahmen $h_y^*\mathcal F=0$. Da das f"ur alle $y\in Y$ gilt, folgt $\mathcal F=0$. \end{proof} \begin{Proposition} Gegeben eine offenlokal basazyklische Filtrierfaltigkeit $X$ und ein beliebiger Raum $Y$ und $\op{pr}_Y:X\times Y\ra Y$ die Projektion ist f"ur alle $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ der Morphismus aus \ref{fter} ein Isomorphismus $$\op{avf}:\op{pr}_Y^!\underline{Y}\otimes \op{pr}_Y^*\mathcal G\sira \op{pr}_Y^!\mathcal G$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt mit Koeffizienten "uber jedem Kring, falls es f"ur den Einpunktraum gilt, insbesondere also mit Koeffizienten in Hauptidealringen und K"or\-pern, vergleiche \ref{dABGb}. \nichtfinal{Sollte f"ur starres $\mathcal G$ eh immer gelten?} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach \ref{VPF} und unseren Annahmen reicht es zu zeigen, da"s f"ur $X$ bas\-azyk\-lisch der fragliche Morphismus einen Isomorphismus $$\op{pr}_{Y!}(\op{pr}_Y^!\underline{Y}\otimes \op{pr}_Y^*\mathcal G)\sira \op{pr}_{Y!}\op{pr}_Y^!\mathcal G$$ induziert. Nach Annahme liefert aber die Koeinheit der Adjunktion einen Isomorphismus $\op{pr}_{Y!}\op{pr}_Y^!\mathcal G\sira \mathcal G$ und die linke Seite k"onnen wir mit der Projektionsformel umschreiben zu $(\op{pr}_{Y!}\op{pr}_Y^!\underline{Y})\otimes \mathcal G$ und weiter zu $\underline{Y}\otimes \mathcal G$ und schlie"slich zu $\mathcal G$. Der Leser mag pr"ufen, da"s unter diesen Isomorphismen der urspr"ungliche Morphismus der Identit"at auf $\mathcal G$ entspricht. \end{proof} \subsection{Schreiazyklische Morphismen} \begin{Definition}\label{azyS} Eine lesb-Abbildung topologischer R"aume $f:X\ra Y$ hei"se {\bf schreiazyklisch},\index{schreiazyklisch!stetige Abbildung} wenn f"ur jeden Komplex $\cal{F} \in \op{Der} (\op{Ab}_{/Y})$ die Koeinheit der Adjunktion ein Isomorphismus $$f_!f^!\cal{F} \sira \cal{F}$$ ist. Sie hei"se {\bf basisfest schreiazyklisch}\index{basisfest!schreiazyklisch}\index{schreiazyklisch!basisfest} oder kurz {\bf basazyklisch},\index{basazyklisch} wenn sie unter jedem Basiswechsel eine schreiazyklische Abbildung liefert, wenn also in Formeln f"ur jede stetige Abbildung $Z\ra Y$ die induzierte Abbildung $X\times _Y Z\ra Z$ schreiazyklisch ist. Ein topologischer Raum $X$ hei"se {\bf schreiazyklisch}\index{schreiazyklisch!topologischer Raum} beziehungsweise {\bf basisfest schreiazyklisch} oder kurz {\bf basazyklisch}, wenn die konstante Abbildung $X\ra\op{top}$ die entsprechende Eigenschaft hat. \end{Definition} \begin{Beispiel} Der $\DR^n$ ist basazyklisch f"ur alle $n\in\DN$ nach \ref{rzlG}.\label{rnBa} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Wir nennen zwei lesb-Abbildungen $f,g:X\ra Y$ {\bf lesb-homotop}, wenn es eine lesb-Abbildung $H:X\times \DR\ra Y$ gibt mit $f=H\circ i_0$ und $g=H\circ i_1$. Aus lesb-homotopen Abbildungen werden durch Vorschalten ebenso wie durch Nachschalten einer lesb-Abbildung stets wieder lesb-homotope Abbildungen. Wir k"onnen so die Kategorie $\op{Hot}^{\op{lesb}}$ bilden mit topologischen R"aumen als Objekten und lesb-Abbildungen bis auf Homotopie als Morphismen. Ein Raum hei"se {\bf lesb-zusammenziehbar}, wenn er in dieser Kategorie isomorph ist zum Einpunktraum. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern aus \ref{kwAm}, da"s jede stetige Abbildung einer Filtrierfaltigkeit in einen Hausdorffraum lesb ist. Eine Filtrierfaltigkeit ist insbesondere lesb-zu\-sam\-men\-zieh\-bar genau dann, wenn sie zusammenziehbar ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} Jeder lesb-zusammenziehbare Raum basazyklisch.\label{zgsaS} \end{Satz} \begin{proof} Gegeben ein topologischer Raum $S$ und $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/S})$ liefert der Formalismus aus dem Beweis \ref{zgsaf} einen Funktor auf der Kategorie $\op{Top}^{\op{lesb}}_S$ mit lesb-Morphismen $a:A\ra S$ als Objekten und lesb-Morphismen "uber $S$ als Morphismen, den wir $${\op{H}}^S(\;\;;\mathcal G): \op{Top}_S^{\op{lesb}}\ra \op{Der}(\op{Ab}_{/S})$$ notieren. Explizit setzen wir ${\op{H}}^S(A;\mathcal G)\pdef a_!a^! \mathcal G$ und f"ur $b:B\ra S$ ein weiteres Objekt und $f:A\ra B$ ein Morphismus nehmen wir als Vorschub die Komposition $$f_\sharp:\op{a}_{!}a^!\mathcal G\sira \op{b}_{!}f_!f^!b^!\mathcal G \ra\op{b}_{!}b^!\mathcal G$$ von durch Identifikationen und Koeinheit der Adjunktion gegebenen Morphismen. Unsere Erkenntnisse \ref{rnBa} zeigen, da"s f"ur einen Raum $A\in \op{Top}_S^\op{lesb}$ "uber $S$ die Projektion $\pi:A\times\DR\sra A$ eine lesb-Abbildung ist und der \glqq relative Vorschub\grqq\ stets ein Isomorphismus $$\pi_\sharp: {\op{H}}^S(A\times \DR;\mathcal G)\sira {\op{H}}^S(A;\mathcal G)$$ F"ur $i_t:A\hra A\times \DR$ die durch das Dahinterschreiben von $t\in \DR$ gegebene Abbildung folgt daraus wegen $\pi_\sharp\circ i_{t\sharp} =\op{id}$, da"s sie gar nicht von $t$ abh"angt. Das k"onnen wir insbesondere f"ur jeden lesb-Raum $X$ auf $A\pdef X\times S$ anwenden. Sind also lesb-Abbildungen $f,g:X\ra Y$ von lesb-R"aumen lesb-homotop, so finden wir $$(f\times {\op{id}})_\sharp=(g\times {\op{id}})_\sharp: {\op{H}}^S(X\times S;\mathcal G)\ra {\op{H}}^S(Y\times S;\mathcal G)$$ Jede lesb-Homotopie"aquivalenz $f:Y\ra Z$ induziert folglich einen Isomorphismus $(f\times {\op{id}})_\sharp: {\op{H}}^S(Y\times S;\mathcal G)\sira {\op{H}}^S(Z\times S;\mathcal G)$. Ist insbesondere $Z$ ein lesb-zusammenziehbarer Raum, so ist der relative Vorschub zur Projektion $c:Z\times S\ra S$ ein Isomorphismus $c_\sharp: {\op{H}}^S(Z\times S;\mathcal G)\sira {\op{H}}^S( S;\mathcal G)$ alias die Koeinheit der Adjunktion ein Isomorphismus $c_!c^!\mathcal G\sira \mathcal G$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Permanenzeigenschaften schrei- und basazyklischer Abbildungen}] Jede Verkn"upfung schreiazyklischer Abbildungen ist schreiazyklisch.\label{ZFcn} Ist $g\circ f$ schrei\-azyklisch und $f$ schrei\-azyklisch, so ist auch $g$ schrei\-azyklisch. % nach \ref{BNA}. Ist $f:X\ra Y$ stetig und besitzt $Y$ eine "Uberdeckung durch offene Teilmengen $U\co Y$ derart, da"s $f:f^{-1}(U)\ra U$ jeweils schrei\-azyklisch ist, so ist schon $f:X\ra Y$ selbst schrei\-azyklisch. Insbesondere ist jedes Faserb"undel mit schreiazyklischer Faser schreiazyklisch. Diesselben Permanenzeigenschaften folgen f"ur basazyklische Abbildungen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $f : X \ra Y$ eine lesb-Abbildung. Wir sagen, ein Komplex von abelschen Garben $\cal{F}\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ {\bf kommt schreiend her von} $Y$, wenn es $\cal{G} \in \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ gibt mit $\cal{F} \cong f^{!} \cal{G}$. \end{Definition} \begin{Lemma}\label{kh} Seien $f: X \ra Y$ schreiazyklisch und $\cal{F} \in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$. So sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item Das Objekt $\cal{F}$ kommt schreiend her von $Y$; \item Die Einheit der Adjunktion liefert einen Isomorphismus $\mathcal F\sira f^{!} f_{!} \cal{F}$; \item Es gibt eine offene "Uberdeckung $\cal{U}\subset \cal{P}(Y)$ von $Y$ derart, da"s f"ur alle $U\in \cal{U}$ die Einschr"ankung $\cal{F}|_{f^{-1}(U)}$ schreiend von $U$ herkommt. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die Definition garbenazyklischer Abbildungen und formale Eigenschaften adjungierter Funktoren nach \eref{FADJj}{TF} liefern 1 $\Leftrightarrow $ 2. Formulieren wir 3 um vermittels dieser Erkenntnis, so erhalten wir auch 2 $\Leftrightarrow $ 3. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Die Verkn"upfung von zwei mannigfaltigen Abbildungen ist wieder eine mannigfaltige Abbildung. Ist in einem kartesischen Diagramm von topologischen R"aumen eine Ausgangskante $d$-mannigfaltig, so auch die gegen"uberliegende Kante aus dem Faserprodukt. \end{Ubung} \begin{Ubung} (Ich habe diese "Ubung noch nicht gemacht.) Ist $fp=qg$ ein erlaubtes Basisquadrat einer voll trennverflochtetenen Trennaustauschsituation mit finalem Objekt in der Basis und ist $f$ orientierbar, so ist auch $g$ orientierbar und die Transformation aus \ref{FleB} ist eine Isotransformation\label{OrZue} $$p^*f^!\siRa g^!q^*$$ Insbesondere induziert jede $[u]$-Orientierung von $f$ eine $[u]$-Orientierung von $g$. Wir nennen sie die {\bf zur"uckgezogene Orientierung}.\index{Orientierung!zur"uckgezogene} \end{Ubung} \subsection{Homologien und ihre Funktorialit"aten} \begin{Bemerkungl} Seien $X$ lesb und $c\pdef \op{fin}_X:X\ra\op{top}$ die konstante Abbildung. Unsere Vergleichs\-isomorphismen zur\label{kIkX} singul"aren Homologie und Kohomologie, die wir im Anschlu"s in \ref{VgSs} besprechen, motivieren uns zu den Definitionen $$\begin{array}{lllllll} {\op{H}}_q(X)_{\op{garb}}&\pdef& \mathcal H^{-q}c_!c^!\DZ_{\op{top}}&&{\op{H}}^q(X)_{\op{garb}}&\pdef& \mathcal H^{q}c_*c^*\DZ_{\op{top}}\\[3mm] {\op{H}}^!_q(X)_{\op{garb}}&\pdef& \mathcal H^{-q}c_*c^!\DZ_{\op{top}}&& {\op{H}}^q_!(X)_{\op{garb}}&\pdef& \mathcal H^{q}c_!c^*\DZ_{\op{top}}\end{array}$$ Wir nennen diese Gruppen die {\bf garbentheoretische Homologie},\index{H@${\op{H}}_q(X)_{\op{garb}}$ garbentheoretische Homologie} {\bf Kohomologie}, {\bf lokalendliche Homologie}\index{H@${\op{H}}_q^{~!}(X)_{\op{garb}}$ garbentheoretische lokalendliche Homologie} und {\bf kompakte Kohomologie}. Analoge Definitionen ${\op{H}}_q(X;G)_{\op{garb}}\pdef \mathcal H^{-q}c_!c^! G_{\op{top}}$ und dergleichen vereinbaren wir f"ur den Fall einer abelschen Gruppe $G$. Wenn wir den Zusatz $\op{garb}$ weglassen, gilt es aus dem Kontext zu erschlie"sen, was genau gemeint ist. Gegeben weiter eine offene Teilmenge $U\co X$ bezeichne $i: A\hra X$ die Einbettung ihres Komplements und $a=\op{fin}_A:A\ra\op{top}$ die konstante Abbildung. In dieser Situation motivieren die Ver\-gleichs\-iso\-mor\-phis\-men zur singul"aren Homologie und Kohomologie, die wir im Anschlu"s in \ref{VgSs} besprechen, uns zu den Definitionen $$\begin{array}{ccc} {\op{H}}_q(X,U)_{\op{garb}}\pdef\mathcal H^{-q}a_!i^*c^!\DZ_{\op{top}} && {\op{H}}^q(X,U)_{\op{garb}}={\op{H}}_A^q(X)\pdef\mathcal H^{q}a_*i^!c^*\DZ_{\op{top}} \end{array} $$ Wir nennen sie die {\bf relative garbentheoretische Homologie} und die {\bf relative garbentheoretische Kohomologie} alias {\bf lokale Kohomologie}. \nichtfinal{Auch beachten: Habe im Singul"aren Funktoren der !-Theorien von * in ! umnotiert.} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die wesentlichen Funktorialit"aten dieser sechs Theorien fa"st die folgende Tabelle zusammen, mit der etwas ungw"ohnlichen Notation ${\op{H}}^A_q\pdef {\op{H}}_q(X,U)$ f"ur die relative Homologie. \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{center} \begin{tabular}{l|c|l|c|l} &Vorschub&&R"uckzug&\\ \hline ${\op{H}}_q^A$&beliebig &${\op{H}}_qf$&gar nicht&\\ \hline ${\op{H}}_q$&beliebig&${\op{H}}_qf$&orientiert eigentlich &$[f;d]_q$\\ \hline ${\op{H}}_q^!$&eigentlich&${\op{H}}^!_qf$&orientiert &$[f;d]^!_q$\\ \hline ${\op{H}}^q_!$& orientiert&$[f;d]^q_!$&eigentlich&${\op{H}}_!^qf$\\ \hline ${\op{H}}^q$&orientiert eigentlich &$[f;d]^q$&beliebig&${\op{H}}^qf$\\ \hline ${\op{H}}^q_A$&gar nicht& &beliebig&${\op{H}}^qf$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \renewcommand{\arraystretch}{1} Die Gruppenhomomorphismen $[f;d]_!^q$ und $[f;d]^q$ hei"sen die {\bf Integration "uber die Fasern},\index{Integration "uber die Fasern} weil sie im Fall glatter mannigfaltiger Abbildungen von parakompakten Mannigfaltigkeiten f"ur die Garbenkohomologie mit reellen Koeffizienten in der de-Rham-Kohomologie durch die partielle Integration von Differentialformen "uber Fasern beschrieben werden k"onnen. Die Gruppenhomomorphismen $[f;d]_q$ und $[f;d]^!_q$ mag man {\bf relative Fundamentalzykel}\index{Fundamentalzykel!relativer} nennen, weil sie im Fall der konstanten Abbildung $f:M\ra \op{top}$ einer orientierten Mannigfaltigkeit auf einen Punkt den kanonischen Erzeuger $\delta\in {\op{H}}_0(\op{top})={\op{H}}^!_0(\op{top})$ auf den Fundamentalzykel von $M$ abbilden, in Formeln $[f;d]_0(\delta)=[M]$ beziehungsweise $[f;d]^!_0(\delta)=[M]^!$ f"ur $d=\op{dim} M$. Mehr dazu wird im Anschlu"s diskutiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion weiterer Verallgemeinerungen}] Die beiden Kohomologien aus \ref{kIkX} sind sogar f"ur beliebige topologische R"aume sinnvoll definiert, aber die kompakte Kohomologie hat nur im Fall lokal kompakter Hausdorffr"aume gute Eigenschaften. Unsere Isomorphismen aus \ref{rVDe} induzieren f"ur jeden lesb-Raum $X$ und $c:X\ra \op{top}$ die konstante Abbildung einen Isomorphismus $\mathbb D c_!c^*\DZ_{\op{top}}\sira c_*c^!\DZ_{\op{top}}$ und dann mit dem abstrakten universellen Koeffiziententheorem \eref{AuKo}{TD} f"ur jede abelsche Gruppe $G$ kurze exakte und unnat"urlich spaltende Sequenzen\label{DWAR} $$\op{Ext}({\op{H}}_!^{q+1}X,G)\hra {\op{H}}^!_{q}(X;G)\sra \op{Hom}({\op{H}}_!^{q}X,G)$$ Die lokalendliche Homologie kann man sogar f"ur beliebige topologische R"aume sinnvoll definieren als $${\op{H}}^!_q(X)_{\op{garb}}\pdef \mathcal H^{-q}\mathbb D c_!c^*\DZ_{\op{top}}$$ Auch sie hat jedoch nur im Fall lokal kompakter Hausdorffr"aume gute Eigenschaften. F"ur die garbentheoretische Homologie kenne ich keine sinnvolle Verallgemeinerung "uber den Fall von lesb-R"aumen hinaus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vergleichsisomorphismen zur singul"aren Theorie}] Um die obigen Definitionen zu motivieren und mit Anschauung zu f"ullen, diskutiere ich Ver\-gleichs\-iso\-mor\-phis\-men zur singul"aren Theorie.\label{VgSs} \begin{description} \item[Kohomologie:] Einen Vergleichsisomorphismus ${\op{H}}^q(X)_{\op{garb}}\sira {\op{H}}^q(X)_{\op{sing}}$ haben wir bereits in \eref{SKG}{TG} f"ur jeden lokal singul"arazyklischen Raum konstruiert; \item[Kompakte Kohomologie:] Einen Isomorphismus ${\op{H}}^q_!(X)_{\op{garb}}\sira {\op{H}}^q_!(X)_{\op{sing}}$ haben wir bereits in \eref{SKHx}{TG} f"ur jeden lokal singul"arazyklischen lokal kompakten Hausdorffraum konstruiert; \item[Relative Kohomologie:] Gegeben seien ein lokal singul"arazyklischer Raum $X$ mit $i: A \hookrightarrow X$ der Einbettung einer abgeschlossenen Teilmenge und $a$ der konstanten Abbildungen von $A$ auf den einpunktigen Raum. Aus \eref{lklsk}{TG} kennen wir den zweiten Isomorphismus der Sequenz $$\mathcal H^q a_*i^!c^*\DZ_{\op{top}}\sira {\op{H}}^q_A(X)_{\op{garb}}\sira {\op{H}}^q(X,X\backslash A)_{\op{sing}}$$ Den ersten dieser Isomorphismen kennen wir aus \ref{IuEG} f"ur eine beliebige abgeschlossene Teilmenge eines beliebigen topologischen Raums. \end{description} Wir vereinbaren, da"s ein topologischer Raum $X$ {\bf polyeder"ahnlich}\index{polyeder"ahnlich} hei"st, wenn er lokal kompakt ist und es es darin eine konfinale Folge von Kompakta $K_0\subset K_{1}\subset\ldots\subset X$ gibt derart, da"s die relative singul"are Homologie ${\op{H}}_q(X,X\backslash K_n)_{\op{sing}}$ f"ur alle $q$ und $n$ endlich erzeugt ist.\label{pola} \begin{description} \item[Homologie:] Einen Isomorphismus ${\op{H}}_q(X)_{\op{garb}}\sira {\op{H}}_q(X)_{\op{sing}}$ konstruieren wir in \ref{VdHh} f"ur jeden lokal singul"arazyklischen lokal polyeder"ahnlichen lesb-Raum; \item[Lokalendliche Homologie:] Einen Isomorphismus ${\op{H}}^!_q(X)_{\op{garb}}\sira {\op{H}}^!_q(X)_{\op{sing}}$ konstruieren wir ebenfalls in \ref{VdHh} f"ur jeden lokal singul"arazyklischen lokal polyeder"ahnlichen und abz"ahlbar basierten lesb-Raum mit der zus"atzlichen Eigenschaft, da"s der Funktor der globalen Schnitte $\Gamma:\op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}$ endliche homologische Dimension hat. \item[Relative Homologie:] Gegeben $X$ ein lokal singul"arazyklischer lokal po\-ly\-e\-der\-"ahn\-li\-cher lesb-Raum und $i:A\hra X$ die Einbettung einer abgeschlossenen Teilmenge und $c:X\ra\op{top}$ sowie $a:A\ra\op{top}$ die jeweils einzige Abbildung konstruieren wir in \ref{VdHhr} einen Isomorphismus $$\mathcal H^{-q}a_!i^*c^!\DZ_{\op{top}}= \mathbb H_!^{-q}(A;\omega_X)\sira {\op{H}}_q(X,X\backslash A;\DZ)_{\op{sing}}$$ \end{description} \nichtfinal{Hier fehlt noch die Diskussion der langen exakten Sequenzen und der Funktorialit"aten der relativen Theorie einerseits im abstrakten und andererseits ihre Vertr"aglichkeit im Vergleich der Theorien.} F"ur die reduzierten Theorien liefern unsere Isomorphismen der nichtreduzierten Theorien unmittelbar Isomorphismen $$\begin{array}{lll} \tilde{\mathrm{H}}_q(X)_{\op{sing}}&\sira& \mathcal H^{-q}(\op{Keg}(c_!c^!\DZ_{\op{top}}\ra\DZ_{\op{top}})[-1])\\[1mm] \tilde{\mathrm{H}}^q(X)_{\op{sing}}&\sira& \mathcal H^{q}(\op{Keg}(\DZ_{\op{top}}\ra c_*c^*\DZ_{\op{top}})) \end{array}$$ Die Abbildungskegel darin sind "uber der Koeinheit beziehungsweise Einheit der jeweiligen Adjunktion zu verstehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Mit \ref{phqnk} ist klar, da"s jede abz"ahlbar basierte Mannigfaltigkeit alle f"ur unsere Vergleichss"atze geforderten Eigenschaften hat. Es ist auch klar, da"s die Realisierung $X=\Delta(\mathcal K)$ eines abz"ahlbaren lokal endlichen endlichdimensionalen Simplizialkomplexes $\mathcal K$ alle f"ur unsere Vergleichss"atze geforderten Eigenschaften hat. Man sollte noch einen Beweis daf"ur ausschreiben, da"s die Menge der komplexen Punkte einer separierten komplexen Variet"at mit ihrer analytischen Topologie alle f"ur unsere Vergleichss"atze geforderten Eigenschaften hat. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein lesb-Raum $X$ liefert die Koeinheit der Adjunktion einen Homomorphismus, die {\bf Augmentation}\index{Augmentation} $$\varepsilon:{\op{H}}_0(X)\ra \DZ$$ beziehungsweise $\varepsilon:{\op{H}}_0(X;G)\ra G$. In der singul"aren Theorie ist der entsprechende Homomorphismus die von der Augmentation \eref{AUG}{TS} induzierte Abbildung, daher die Terminologie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Universelle Koeffiziententheoreme der Garbenkohomologie}] Universelle Koeffiziententheoreme sind in der Garbenhomologie im Gegensatz zur singul"aren Homologie kompliziert und ben"otigen starke Annahmen.\label{UKGK} F"ur jede Mannigfaltigkeit $X$ liefert Satz \ref{glRZ} angewandt auf die konstante Abbildung $c:X\ra\op{top}$ f"ur jede abelsche Gruppe $G$ einen Isomorphismus $ c^!\DZ_{\op{top}}\otimes c^*G_{\op{top}}\sira c^!G_{\op{top}}$. Die Projektionsformel macht daraus einen Isomorphismus $ c_!c^!\DZ_{\op{top}}\otimes G_{\op{top}}\sira c_!c^!G_{\op{top}}$. Mit \eref{HTPKl}{TD} erhalten wir so f"ur jede Mannigfaltigkeit nat"urliche und unnat"urlich spaltende kurze exakte Sequenzen $$\op{H}_{q} (X) \otimes G\hra \op{H}_{q} (X;G)\sra \op{H}_{q-1} (X) \ast G$$ in der Garbenhomologie. Weiter ist f"ur Mannigfaltigkeiten $c^!\DZ_{\op{top}}$ starr und nach \ref{dGmg} sogar eine Einheit der Schmelzkategorie $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ und wir erhalten mit relativer Verdierdualit"at \ref{rVDe} und der vorhergehenden Beschreibung von $c^!G_{\op{top}}$ in vereinfachter Notation Isomorphismen $$(c_!c^!\DZ{\Rrightarrow} G)\sira c_*(c^!\DZ{\Rrightarrow} c^!G)\sira c_*\big((c^!\DZ)^\ast\otimes (c^!\DZ)\otimes c^*G\big)\sira c_* c^*G$$ Mit dem abstrakten universellen Koeffiziententheorem \eref{AuKo}{TD} erhalten wir so wie in \eref{UKh}{TS} f"ur jede abelsche Gruppe $G$ und jede Mannigfaltigkeit $X$ auch f"ur die Garbenhomologie und -kohomologie nat"urliche und unnat"urlich spaltende kurze exakte Sequenzen $$\op{Ext} ({\op{H}}_{q-1}X,G) \hookrightarrow {\op{H}}^{q}(X;G) \twoheadrightarrow \op{Hom} ({\op{H}}_{q}X,G)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im folgenden besprechen wir einige Funktorialit"aten, die aus der Verdierdualit"at abgeleitet werden k"onnen, ohne da"s sie darin explizit vorkommt. Das Prinzip ist immer dasselbe. Gegeben eine $d$-mannigfaltige Abbildung $f:X\ra Y$ erinnern wir aus \ref{roG} die lokal zur konstanten Garbe $\DZ_X$ isomorphe relative Orientierungsgarbe $\op{or}_f\pdef f^!\DZ_Y[-d]$. F"ur sie liefert Satz \ref{glRZ}\label{dimdiff} Isomorphismen $$f^!\mathcal F \sira \op{or}_f[d] \otimes f^\ast\mathcal F $$ Im Spezialfall einer $0$-mannigfaltigen alias \'etalen separierten Abbildung liefert \ref{ERaE} sogar eine Isotransformation $f^! \siRa f^\ast$ alias einen Isomorphismus $\op{or}_f\sira \DZ_X$. Im allgemeinen hei"st eine mannigfaltige Abbildung $f$ {\bf orientierbar},\index{orientierbar!mannigfaltige Abbildung} wenn es einen derartigen Isomorphismus gibt. Die Wahl eines derartigen Isomorphismus hei"st dann eine {\bf Orientierung}\index{Orientierung!von mannigfaltiger Abbildung} unserer Abbildung $f$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"aten der Kohomologie}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ und die konstante Abbildung $a:X\ra\op{pt}$ haben wir \begin{equation*} {\op{H}}^q X = \mathcal H^q a_{\ast} a^\ast \underline{\op{pt}} \end{equation*} Das {\bf Zur"uckholen} ${\op{H}}^q f : {\op{H}}^q Y \rightarrow {\op{H}}^q X$ auf der Garbenkohomologie unter einer stetigen Abbildung $f : X \rightarrow Y$ k"onnen wir beschreiben, indem wir mit der Notation $b:Y\ra \op{pt}$ f"ur die konstante Abbildung von der Komposition $$b_{\ast} b^{\ast} \RA b_{\ast} f_\ast f^\ast b^\ast \siRa a_{\ast} a^\ast $$ mit den durch die Einheit der Adjunktion $\op{id} \RA f_\ast f^\ast$ und entsprechende Identifikationen gegebenen Morphismen ausgehen, das auf $\underline{\op{pt}}$ anwenden und davon $\mathcal H^q$ nehmen. In der de-Rham-Theorie kann es nach \eref{FuDr}{TG} durch das Zur"uckholen glatter Differentialformen beschrieben werden. Gegeben eine eigentliche $[d]$-orientierte Abbildung $(f;d):X\ra Y$ mit nicht explizit notierter Orientierung $f^!\underline{Y}\sira \underline{X}[d]$ beachten wir andererseits, da"s \ref{fter} einen Morphismus $f^!\underline{Y}\otimes f^*b^*\underline{\op{pt}}\ra f^!b^*\underline{\op{pt}}$ liefert und zusammen mit der Orientierung einen Morphismus $$ f^*b^*\underline{\op{pt}}[d]\ra f^!b^*\underline{\op{pt}}$$ Er ist nach \ref{fMru} sogar ein Isomorphismus, aber das ist vorerst nicht von Belang. Nun betrachen wir f"ur $f$ eigentlich $[d]$-orientiert die Komposition $$ a_{*} a^{\ast} \underline{\op{pt}} \sira b_{*} f_* f^* b^\ast\underline{\op{pt}} \ra b_{*} f_! f^!b^*\underline{\op{pt}}[-d] \ra b_{*} b^\ast \underline{\op{pt}}[-d]$$ aus Identifikationen gefolgt von einem von der Eigentlichkeit $f_!\siRa f_*$ und der Orientierung herr"uhrenden Morphismus gefolgt von der Koeinheit der Adjunktion $f_!f^!\RA \op{id}$. Das Anwenden von $\mathcal H^q$ auf diesen Morphismus liefert dann den {\bf eigentlichen orientierten Vorschub} $[f;d]^q:{\op{H}}^q X\rightarrow {\op{H}}^{q-d} Y$. Ist $f$ separiert und \'etale, so haben wir in \ref{ERaE} eine Isotransformation $f^!\siRa f^*$ angegeben und damit eine $[0]$-Orientierung von $f$. Ist $f$ zus"atzlich eigentlich, so hat es endliche Fasern und der zugeh"orige Vorschub $[f;0]^q:{\op{H}}^q X\rightarrow {\op{H}}^{q} Y$ ist die {\bf Summation "uber die Fasern}. Ist $f$ eigentlich und $d$-mannigfaltig, so hei"st der zugeh"orige Vorschub die {\bf Integration "uber die Fasern}, da er in der de-Rham-Theorie durch Integration "uber die Fasern %im Sinne von \ref{intFF} berechnet werden kann. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ausblick in gr"o"sere Abstraktion}] Wir erkennen, da"s fast die gesamte Konstruktion auch f"ur $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ eine beliebige voll verflochtene Trennaustauschsituation mit Adjungierten und mit finalem Objekt $\op{pt}$ in der Basis funktioniert. Mit $${\op{H}}^*_*X\pdef a_*a^*\underline{\op{pt}} \in \mathscr G_{/\op{pt}}$$ liefert genauer in derselben Weise jeder Morphismus $f:X\ra Y$ einen R"uckzug ${\op{H}}^*_*f:{\op{H}}^*_*Y\ra {\op{H}}^*_*X$ und jeder eigentliche $[u]$-orientierte Morphismus einen Vorschub $[f;u]:{\op{H}}^*_*X\ra {\op{H}}^*_*Y[-u]$. Darauf kann man dann je nach Lust und Laune noch weitere Funktoren von $\mathscr G_{/\op{pt}}$ wohin auch immer anwenden, wie etwa im zuvor besprochenen Fall $\mathcal H^q:\op{Der}(\op{Ab}_{/{\op{pt}}})\ra \op{Ab}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"aten der kompakten Kohomologie}] Sei $X$ ein lokal kompakter Hausdorffraum. Die kompakte Kohomologie von $X$ ist \begin{equation*} {\op{H}}_!^q (X)= \mathcal H^q a_! a^\ast \underline{\op{pt}} \end{equation*} Gegeben $f: X \rightarrow Y$ eine abgeschlossene Einbettung oder allgemeiner eine eigentliche Abbildung von lokal kompakten Hausdorffr"aumen erhalten wir Morphismen $$ b_{!} b^{\ast} \underline{\op{pt}} \ra b_{ !} f_* f^\ast b^\ast\underline{\op{pt}}\sira b_{ !} f_! f^\ast b^\ast\underline{\op{pt}} \sira a_{!} a^\ast\underline{\op{pt}} $$ aus der Einheit der Adjunktion $\op{id}\Rightarrow f_\ast f^\ast$, der Isotransformation $f_! \sira f_\ast$ und offensichtlichen Identifikationen. Durch Anwenden von $\mathcal H^q$ entsteht daraus das {\bf abgeschlossene} oder allgemeiner das {\bf eigentliche Zur"uckholen} $$ {\op{H}}^q_!f: {\op{H}}^q_! (Y) \ra {\op{H}}^q_! (X) $$ In der de-Rham-Theorie kann es nach \eref{FuKKd}{TG} durch das Zur"uckholen glatter kompakt getragener Differentialformen beschrieben werden. Gegeben eine $d$-orientierte Abbildung $(f;d):X\ra Y$ von lokal kompakten Hausdorffr"aumen betrachten wir die Morphismen $$ a_{!} a^{\ast} \underline{\op{pt}} \sira b_{!} f_! f^\ast b^\ast\underline{\op{pt}} \ra b_{!} f_! f^! b^\ast\underline{\op{pt}}[-d]\ra b_{!} b^\ast \underline{\op{pt}}[-d]$$ gegeben durch Identifikationen, die $[d]$-Orientierung von $f$ und die Koeinheit der Adjunktion $f_! f^!\RA\op{id}$. Durch Anwenden von $\mathcal H^q$ erhalten wir einen Gruppenhomomorphismus \begin{equation*} [f;d]^q_!:{\op{H}}^q_! (X ) \rightarrow {\op{H}}_!^{q-d} (Y) \end{equation*} F"ur $f$ eine offene Einbettung hei"st er die {\bf Ausdehnung durch Null}. F"ur $f$ \'etale separiert hei"st er die {\bf Summation "uber die Fasern}. F"ur $f$ eine orientierte $d$-mannigfaltige Abbildung hei"st er die {\bf Integration "uber die Fasern}, da er in der de-Rham-Theorie durch Integration "uber die Fasern %im Sinne von \ref{intFF} berechnet werden kann. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ausblick in gr"o"sere Abstraktion}] Wir erkennen, da"s fast die gesamte Konstruktion auch f"ur $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ eine beliebige voll verflochtene Trennaustauschsituation mit Adjungierten und mit finalem Objekt $\op{pt}$ in der Basis funktioniert. Wir nehmen dazu $X,Y$ als Schreiobjekte an und setzen $${\op{H}}^*_!X\pdef a_!a^*\underline{\op{pt}} \in \mathscr G_{/\op{pt}}$$ Jeder Eigmorphismus $f:X\ra Y$ liefert einen R"uckzug ${\op{H}}^*_!f:{\op{H}}^*_!Y\ra {\op{H}}^*_!X$ und jeder $[u]$-orientierte Morphismus einen Vorschub $[f;u]_!:{\op{H}}^*_!X\ra {\op{H}}^*_!Y[-u]$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"aten der lokalendlichen Homologie}] Sei $X$ ein lesb-Raum. Die lokalendliche Homologie von $X$ erhalten wir als \begin{equation*} {\op{H}}_q^! (X) = \mathcal H^{-q} a_{*} a^! \underline{\op{pt}} \end{equation*} Gegeben eine abgeschlossene Einbettung oder allgemeiner eine eigentliche lesb-Abbildung $f : X \rightarrow Y$ in einen weiteren derartigen Raum betrachten wir die Komposition $$a_{\ast} a^{!} \underline{\op{pt}} \sira b_{\ast} f_\ast f^! b^!\underline{\op{pt}}\sira b_{\ast} f_! f^! b^!\underline{\op{pt}}\ra b_{\ast} b^! \underline{\op{pt}}$$ von Morphismen gegeben durch Identifikationen, der Isotransformation $f_! \siRa f_\ast $ f"ur eigentliches $f$ und Koeinheit der Adjunktion $f_!f^!\RA\op{id}$. Durch Anwenden von $\mathcal H^{-q}$ erhalten wir den {\bf eigentlichen Vorschub}\index{Vorschub!eigentlicher} f"ur die lokalendliche Homologie $$ {\op{H}}^!_qf:{\op{H}}^!_q (X) \ra {\op{H}}^!_q(Y) $$ Ist $f$ eine $[d]$-orientierte Abbildung, so liefert die $[d]$-Orientierung von $f$ nach \ref{fter} einen Morphismus $ f^*b^!\underline{\op{pt}}[d]\ra f^!b^!\underline{\op{pt}}$. Wir betrachten nun die Verkn"upfung $$b_{\ast} b^{!} \underline{\op{pt}} \ra b_{\ast} f_\ast f^* b^! \underline{\op{pt}}\sira b_{\ast} f_\ast f^! b^! \underline{\op{pt}}[-d]\ra a_{\ast} a^! \underline{\op{pt}}[-d]$$ von Morphismen gegeben durch die Einheit der Adjunktion $ \op{id}\RA f_\ast f^*$, die $[d]$-Ori\-en\-tie\-rung von $f$ und Identifikationen. Wenden wir darauf $\mathcal H^{-q}$ an, so ergibt sich f"ur die lokalendliche Homologie das {\bf mannigfaltige Zur"uckholen} $$[f;d]_q^!:{\op{H}}^!_q (Y) \ra{\op{H}}^!_{q+d}(X)$$ Spezialf"alle sind insbesondere das offene Zur"uckholen und allgemeiner das \'etale Zur"uckholen $[f;0]_q^!:{\op{H}}^!_q (Y) \ra{\op{H}}^!_{q}(X)$ f"ur $f$ \'etale separiert. Ist allgemeiner $f$ eine $d$-mannigfaltige orientierte Abbildung und $A\As Y$ eine orientierte Mannigfaltigkeit, so bildet das mannigfaltige Zur"uckholen das Bild $[A]^!\in {\op{H}}^!_q (Y)$ des Fundamentalzykels von $A$ auf das Bild $[f^{-1}(A)]^!\in {\op{H}}^!_{q+d} (X)$ des Fundamentalzykels von $f^{-1}(A)$ ab, das wir dazu mit der durch die Orientierungen von $f$ und $A$ bestimmten Verkn"upfungsorientierung \ref{abOR} zu versehen haben, vergleiche \ref{kUi}. In Formeln haben wir also \begin{equation*} [f;d]^!:[A]^! \mapsto [f^{-1}(A)]^! \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ausblick in gr"o"sere Abstraktion}] Wir erkennen, da"s fast die gesamte Konstruktion auch f"ur $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ eine beliebige voll verflochtene Trennaustauschsituation mit Adjungierten und mit finalem Objekt $\op{pt}$ in der Basis funktioniert. Wir nehmen dazu $X,Y$ als Schreiobjekte an und setzen $${\op{H}}^!_*X\pdef a_*a^!\underline{\op{pt}} \in \mathscr G_{/\op{pt}}$$ Jeder Eigmorphismus $f:X\ra Y$ liefert einen Vorschub ${\op{H}}^!_*f:{\op{H}}^!_*X\ra {\op{H}}^!_*Y$ und jeder $[u]$-orientierte Morphismus einen R"uckzug $[f;u]^!:{\op{H}}^!_*Y\ra {\op{H}}^!_*X[-u]$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"aten der Homologie}] Sei $X$ ein lesb-Raum. Die Homologie von $X$ erhalten wir als \begin{equation*} {\op{H}}_q (X) = \mathcal H^{-q} a_{!} a^! \underline{\op{pt}} \end{equation*} Gegeben eine lesb-Abbildung $f : X \rightarrow Y$ in einen weiteren derartigen Raum betrachten wir die Komposition $$a_{!} a^{!} \underline{\op{pt}} \sira b_{!} f_! f^! b^!\underline{\op{pt}}\ra b_{!} b^! \underline{\op{pt}}$$ von Morphismen gegeben durch Identifikationen und die Koeinheit der Adjunktion $f_!f^!\RA\op{id}$. Durch Anwenden von $\mathcal H^{-q}$ erhalten wir den {\bf Vorschub}\index{Vorschub!der Garbenhomologie} f"ur die Homologie $$ {\op{H}}_qf:{\op{H}}_q (X) \ra {\op{H}}_q(Y) $$ Ist $f$ eine $[d]$-orientierte Abbildung, so liefert die $[d]$-Orientierung von $f$ nach \ref{fter} einen Morphismus $ f^*b^!\underline{\op{pt}}[d]\sira f^!b^!\underline{\op{pt}}$. Wir betrachten nun f"ur $f$ $[d]$-orientiert eigentlich die Verkn"upfung $$b_{!} b^{!} \underline{\op{pt}} \ra b_{!} f_\ast f^* b^! \underline{\op{pt}}\sira b_{!} f_! f^! b^! \underline{\op{pt}}[-d]\ra a_{!} a^! \underline{\op{pt}}[-d]$$ von Morphismen gegeben durch die Einheit der Adjunktion $ \op{id}\RA f_\ast f^*$, die $[d]$-Ori\-en\-tie\-rung von $f$ zusammen mit $f_!\siRa f_*$ und Identifikationen. Wenden wir darauf $\mathcal H^{-q}$ an, so ergibt sich f"ur die Homologie das {\bf orientierte eigentliche Zur"uckholen} $$[f;d]_q:{\op{H}}_q (Y) \ra{\op{H}}_{q+d}(X)$$ Spezialf"alle sind insbesondere das Zur"uckholen auf eine "Uberlagerung mit endlichen Fasern $[f;0]_q:{\op{H}}_q (Y) \ra{\op{H}}_{q}(X)$. Ist allgemeiner $f$ eine $d$-mannigfaltige orientierte Abbildung und $A\As Y$ eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit, so bildet das mannigfaltige eigentliche Zur"uckholen das Bild $[A]\in {\op{H}}_q (Y)$ des Fundamentalzykels von $A$ auf das Bild $[f^{-1}(A)]\in {\op{H}}_{q+d} (X)$ des Fundamentalzykels von $f^{-1}(A)$ ab, das wir dazu mit der durch die Orientierungen von $f$ und $A$ bestimmten Verkn"upfungsorientierung \ref{abOR} zu versehen haben, vergleiche \ref{kUi}. In Formeln haben wir also \begin{equation*} [f;d]:[A] \mapsto [f^{-1}(A)] \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ausblick in gr"o"sere Abstraktion}] Wir erkennen, da"s fast die gesamte Konstruktion auch f"ur $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ eine beliebige voll verflochtene Trennaustauschsituation mit Adjungierten und mit finalem Objekt $\op{pt}$ in der Basis funktioniert. Wir nehmen dazu $X,Y$ als Schreiobjekte an und setzen $${\op{H}}^!_!X\pdef a_!a^!\underline{\op{pt}} \in \mathscr G_{/\op{pt}}$$ Jeder Schreimorphismus $f:X\ra Y$ liefert einen Vorschub ${\op{H}}^!_!f:{\op{H}}^!_!X\ra {\op{H}}^!_!Y$ und jeder $[u]$-orientierte Eigmorphismus einen R"uckzug $[f,u]:{\op{H}}^!_!Y\ra {\op{H}}^!_!X[-u]$. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} (Ich habe sie noch nicht gemacht.) Gegeben ein kartesisches Quadrat\label{kUi} \begin{displaymath} \xymatrix{ W \ar[d]_g\ar[r]^p &X \ar[d]^f\\ Z \ar[r]^q &Y } \end{displaymath} alias $fp=qg$ von lesb-R"aumen mit $d$-mannigfaltigem orientiertem $f$ und der zur"uckgezogenen Orientierung \ref{OrZue} auf $g$ und $p,q$ eigentliche lesb-Abbildungen kommutiert das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{H}}_{n+d}^!W \ar[r] &{\op{H}}_{n+d}^!X \\ {\op{H}}_n^!Z \ar[u]\ar[r] &{\op{H}}_n^!Y\ar[u] } \end{displaymath} mit dem mannigfaltigen Zur"uckholen in den Vertikalen und dem eigentlichen Vorschieben in den Horizontalen. Ebenso kommutiert das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{H}}^{n}_!W \ar[d] &{\op{H}}^{n}_!X\ar[l] \ar[d]\\ {\op{H}}^{n-d}_!Z &{\op{H}}^{n-d}_!Y\ar[l] } \end{displaymath} mit dem eigentlichen Zur"uckholen in den Horizontalen und der Integration "uber die Fasern in den Vertikalen. \end{Ubung} \begin{Ubung} (Ich habe sie noch nicht gemacht.) Gegeben ein kartesisches Quadrat\label{kUii} \begin{displaymath} \xymatrix{ W \ar[d]_g\ar[r]^p &X \ar[d]^f\\ Z \ar[r]^q &Y } \end{displaymath} alias $fp=qg$ von lesb-R"aumen mit eigentlichem $d$-mannigfaltigen orientierten $f$ und der zur"uckgezogenen Orientierung \ref{OrZue} auf $g$ und $p,q$ kommutiert das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{H}}_{n+d}W \ar[r] &{\op{H}}_{n+d}X \\ {\op{H}}_nZ \ar[u]\ar[r] &{\op{H}}_nY\ar[u] } \end{displaymath} mit dem eigentlichen mannigfaltigen Zur"uckholen in den Vertikalen und dem Vorschieben in den Horizontalen. Ebenso kommutiert das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{H}}^{n}W \ar[d] &{\op{H}}^{n}X\ar[l] \ar[d]\\ {\op{H}}^{n-d}Z &{\op{H}}^{n-d}Y\ar[l] } \end{displaymath} mit dem Zur"uckholen in den Horizontalen und der Integration "uber die Fasern in den Vertikalen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben $X=U\cup Z$ ein lokal kompakter Hausdorffraum mit einer Zerlegung in eine offene und eine abgeschlossene Teilmenge konstruiere man die lange exakte Sequenz der lokalendlichen Homologie $$\ldots\ra {\op{H}}^!_q(Z)\ra {\op{H}}^!_q(X)\ra {\op{H}}^!_q(U)\ra {\op{H}}^!_{q-1}(Z) \ra\ldots$$ \end{Ubung} \subsection{Schnittpaarung und Poincar\'edualit"at} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Dualisierte Poincar\'e-Isomorphismen}] Gegeben eine orientierbare Man\-nig\-fal\-tig\-keit $X$ der Dimension $m$ erinnern wir aus \nichtfinal{\ref{dGmg}}, da"s wir eine Orientierung von $X$ auffassen k"onnen als einen Isomorphismus $a^!\underline{\op{pt}}\sira \underline{X}[m]$ f"ur $a:X\ra\op{pt}$ die konstante Abbildung. Wenden wir darauf $\mathcal H^{-q}a_*$ an, so erhalten wir einen Isomorphismus\label{PiOOn} $$\op{P}^!=\op{P}_X^!=\op{P}_{\vec X}^!:{\op{H}}_{q}^!X\sira {\op{H}}^{m-q}X$$ Wir nennen ihn den {\bf dualisierten Poin\-ca\-r\'e-\-Iso\-mor\-phis\-mus}, da\index{P@$\op{P}_X^{~!}$ dualisierter Poin\-ca\-r\'e-\-Iso\-mor\-phis\-mus} da er im Fall von K"orperkoeffizienten durch "Ubergang zur transponierten Abbildung auf den Dualr"aumen und Vertauschen von $q$ mit $m-q$ aus dem gew"ohnlichen Poincar\'e-Iso\-mor\-phis\-mus entsteht. Nebenbei sei bemerkt, da"s man den gew"ohnlichen {\bf Poincar\'e-Iso\-mor\-phis\-mus} $\op{P}_X:{\op{H}}_{q}X\sira {\op{H}}^{m-q}_!X$ in derselben Weise erhalten kann, wenn man oben $\mathcal H^{-q}a_!$ statt $\mathcal H^{-q}a_*$ anwendet. Ein Student mag mir ausschreiben, warum er unter den Vergleichsisomorphismen \ref{VdHh} und \ref{siKO} unserem Poin\-ca\-r\'e-Iso\-mor\-phis\-mus der singul"aren Homologietheorie \eref{PsI}{TS} entspricht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir m"ussen die lokalendliche Homologie ${\op{H}}_{q}^!X$ oben links im garbentheoretischen Sinne verstehen. Die meiner Anschauung besser zug"angliche lo\-kal\-end\-li\-che singul"are Homologie stimmt nicht f"ur allgemeine Mannigfaltigkeiten, aber nach \ref{VdHh} und \ref{phqnk} doch zumindest f"ur abz"ahlbar basierte Mannigfaltigkeiten mit der lokalendlichen garbentheoretischen Homologie "uberein. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine orientierte $m$-Mannigfaltigkeit $X$ erkl"aren wir das {\bf Schnittprodukt}\index{Schnittprodukt} oder genauer {\bf cup-Schnittprodukt}\index{Schnittprodukt!cup-Schnittprodukt} als die vom cup-Pro\-dukt der Kohomologie $\cup:{\op{H}}^{p}X\times{\op{H}}^{q}X \ra {\op{H}}^{p+q}X$ unter den dualisierten Poincar\'e-Isomorphismen induzierte bilineare Abbildung $${\op{H}}_{m-p}^!X\times{\op{H}}_{m-q}^!X \ra {\op{H}}_{m-p-q}^!X$$ Wir notieren unser Schnittprodukt $(\alpha,\beta)\mapsto \alpha\cdot\beta$. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Geometrische Bedeutung des Schnittprodukts}] Seien $X$ eine orientierte $m$-Mannigfaltigkeit und $A,B\As X$ orientierte abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten, die sich transversal schneiden. Versehen wir $A\cap B$ mit der Schnittorientierung, so gilt f"ur ihre Fundamentalzykel $$[A]^!\cdot [B]^!=[A\cap B]^!$$ \end{Satz} \begin{proof} Die Pr"azisierung und der Beweis dieses Satzes werden den gr"o"sten Teil dieses Abschnitts einnehmen. Eine Untermannigfaltigkeit ist in unserer rein topologischen Situation eine abgeschlossene Teilmenge, die mit der induzierten Topologie ihrerseits eine Mannigfaltigkeit ist. Den Fundamentalzykel erkl"aren wir in \ref{iPD} und erhalten insbesondere $[\emptyset]^!=0$. In \ref{VSES} k"onnen wir bereits zeigen, da"s zumindest gilt $A\cap B=\emptyset \RA [A]^!\cdot [B]^!=0$. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Funktorialit"at der dualisierten Poincar\'e-Isomorphismen}] Gegeben eine eigentliche Abbildung $f:X\ra Y$ von orientierten Mannigfaltigkeiten der Dimensionen $m,n$ erhalten wir ein kommutatives Diagramm\label{FGH} \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{H}}_{q}^!X \ar[d]_{{\op{H}}_{q}^!f}\ar[r]^-{\op{P}^!_X}_-\sim & {\op{H}}^{m-q}X \ar[d]^{[f;n-m]}\\ {\op{H}}_{q}^!Y \ar[r]^-{\op{P}^!_Y}_-\sim & {\op{H}}^{n-q}Y } \end{displaymath} mit dem eigentlichen orientierten Vorschub auf der Kohomologie in der rechten Vertikale, zu verstehen in Bezug auf die relative Orientierung von $f$. \end{Lemma} \begin{proof} Wir gehen von der Definition der relativen Orientierung von $f$ in \ref{abOR} aus, die gegeben wird als die rechte Vertikale im kommutativen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ a^! \ar[d]\ar[r] & a^*[m] \ar[d]\\ f^!b^! \ar[r] & f^!b^*[n] } \end{displaymath} mit den durch die Orientierungen von $a$ und $b$ gegebenen Horizontalen. Der "Ubersichtlichkeit halber haben wir darauf verzichtet, alles auf $\underline{\op{pt}}$ anzuwenden. Wenden wir darauf die Komposition $a_*\ra b_*f_*\ra b_*f_!$ an, entsteht ein kommutatives Diagramm aus zwei aufeinandergestellten W"urfeln. Betrachten wir das kommutative Quadrat, das durch Anwenden der Koeinheit der Adjunktion $f_!f^!\ra \op{id}$ auf die Orientierung $b^! \ra b^*[n]$ entsteht, wenden darauf $b_*$ an und kleben das noch passend an den zweiten W"urfel an, so steht es auch schon da. \end{proof} \begin{Bemerkungl} F"ur den Fall, da"s unsere eigentliche Abbildung aus \ref{FGH} die Einbettung $i:A\ra X$ einer orientierten abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit $A\As X$ der Kodimension $p$ in eine orientierte $m$-Mannigfaltigkeit $X$ ist, vereinbaren wir f"ur die Bilder von $1\in {\op{H}}^0X$ unter den verschiedenen Pfeilen unseres Diagramms und ihren Inversen die Notationen\label{iPD} \begin{displaymath} \xymatrix{ [A]^!\in {\op{H}}_{m-p}^!A \ar[d]_{{\op{H}}^!_{m-p}i}\ar[r]^-{\op{P}^!_A}_-\sim & {\op{H}}^{0}A\ni 1 \ar[d]^{[i;p]^0}\\ [A]^!\in {\op{H}}_{m-p}^!X \ar[r]^-{\op{P}^!_X}_-\sim & {\op{H}}^{p}X\ni \tau_A } \end{displaymath} Wir nennen $[A]^!$ den {\bf Fundamentalzykel}\index{Fundamentalzykel} von $A$ und $\tau_A$ den {\bf Fundamentalkozykel} von $A$ in $X$.\index{Fundamentalkozykel} Insbesondere ist f"ur jede orientierte Mannigfaltigkeit $X$ also der Fundamentalzykel $[X]^!$ ein neutrales Element f"ur das Schnittprodukt auf der lo\-kal\-end\-li\-chen Homologie ${\op{H}}^!(X)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur Fundamentalzykel und Fundamentalkozykel}] Ist $A$ abz"ahlbar basiert oder st"arker kompakt, so entspricht er unter unseren Vergleichsisomorphismen mit der singul"aren Homologie dem Fundamentalzykel aus \eref{FuBM}{TS} beziehungsweise \eref{FUZY}{TS}. Man mag sich den Fundamentalkozykel von $A$ in $X$ salopp gesprochen denken als ein Etwas, das jedem Zykel in $X$ komplement"arer Dimension seine Schnittmultiplizit"at mit $A$ zuordnet. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $A\As X$ ein topologischer Raum mit einer abgeschlossenen Teilmenge mit Einbettungsabbildung $i:A\hra X$ und $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ und $a:X\ra\op{pt}$ erinnern wir aus \ref{IuEG} den Isomorphismus $$\mathcal H^p (ai)_*i^!\cal F\sira {\op{H}}^p_A(X;\mathcal F)$$ Im Rahmen der sechs Funktoren nehmen wir die linke Seite direkt als Definition der rechten Seite. In jedem Fall liefern unsere Konstruktionen Isomorphismen $$\op{Der}_{/X}(i_!\DZ_A[-p],\cal F)\sira\op{Der}_{/A}(\DZ_A,i^!\cal F[p])\sira {\op{H}}^p_A(X;\mathcal F)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Fundamentalkozykel als Element der lokalen Kohomologie}] Seien weiter $A\As X$ eine abgeschlossene orientierte Untermannigfaltigkeit einer orientierten Mannigfaltigkeit der Kodimension $p$ und $i:A\hra X$ die Einbettung. Der orientierte eigentliche Vorschub unter $i$ ist, wie in \ref{FGH} erkl"art, der Effekt einer Verkn"upfung\label{loKO} $$i_*\underline{A}\sira i_!\underline{A}\sira i_!i^!\underline{X}[p]\ra \underline{X}[p]$$ von Homomorphismen in $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ auf der Hyperkohomologie. Nach \ref{IuEG} haben wir $\mathbb H^q(X; i_!i^!\underline{X}[p])={\op{H}}_A^{p+q}(X)$. Unser orientierter eigentlicher Vorschub unter $i$ faktorisiert mithin "uber die lokale Kohomologie als $${\op{H}}^qA\sira {\op{H}}_A^{p+q}(X)\ra {\op{H}}^{p+q}(X)$$ Wir nennen das Bild unter dieser Faktorisierung von $1\in {\op{H}}^0A$ den {\bf lokalen Fundamentalkozykel}\index{Fundamentalkozykel!lokaler} und notieren ihn wie den urspr"unglichen Fundamentalkozykel $$\tau_A\in {\op{H}}_A^{p}(X)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Fall einer einpunktigen Untermannigfaltigkeit}] Gegeben eine orientierte $m$-Mannigfaltigkeit $X$ und $x\in X$ ein Punkt und $A\pdef\{x\}$ die einpunktige Untermannigfaltigkeit mit der positiven Orientierung ist der lokale Fundamentalkozykel $\tau_A\in {\op{H}}_{A}^m(X)={\op{H}}^m(X, X\backslash x)$ dasjenige Element, das unter der Kroneckerpaarung mit der lokalen Orientierung in $ {\op{H}}_m(X, X\backslash x)$ zu $1$ paart. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Cup-Produkt der lokalen Kohomologie}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ und Einbettungen abgeschlossener Teilmengen $i:A\hra X$ sowie $j:B\hra X$ und die Einbettung ihres Schnitts $k:A\cap B\hra X$ haben wir einen offensichtlichen Isomorphismus\label{clK} $$k_!\underline{A\cap B}\sira i_!\underline{A}\otimes j_!\underline{B}$$ Wir diskutieren im Anschlu"s in \ref{aNt}, wie er aus den sechs Funktoren gebildet werden kann. Er induziert eine bilineare Abbildung $${\op{H}}_A^p(X)\times {\op{H}}_B^q(X)\ra {\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(X)$$ durch die Vorschrift $(\alpha,\beta)\mapsto \alpha\otimes \beta$ in der Interpretation der lokalen Kohomologieklassen als Morphismen $\alpha: i_!\underline{A}\ra \underline{X}[p]$ und $\beta: j_!\underline{B}\ra \underline{X}[q]$ der derivierten Kategorie $\op{Der}_{/X}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ausdehnung durch Null und Tensorieren}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ und Einbettungen lokal abgeschlossener Teilmengen $i:A\hra X$ sowie $j:B\hra X$ und Objekte $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/A})$ sowie $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/B})$ liefert ganz allgemein Flechtbasiswechsel im kartesischen Diagramm\label{aNt} \begin{displaymath} \xymatrix{ A\cap B \ar[r] \ar[d]_k & A\curlywedge B \ar[d]^{i\curlywedge j}\\ X\ar[r]& X\curlywedge X} \end{displaymath} der Trennkategorie mit den Notationen $k:A\cap B\hra X$ und $h:A\cap B\hra A$ und $l:A\cap B\hra B$ f"ur die jeweiligen Einbettungen einen Isomorphismus $$k_!(h^*\mathcal F\otimes l^*\mathcal G)\sira i_!\mathcal F\otimes j_!\mathcal G$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verschwinden von cup-Produkten}] Gegeben seien ein topologischer Raum $X$ und abgeschlossene Teilmengen $A\As X$ sowie $B\As X$. In "Ubung \ref{Fuca} werden Sie die Funktorialit"at der lokalen Kohomologie diskutieren und werden insbesondere sehen, da"s unser cup-Produkt der lokalen Kohomologie das gew"ohnliche cup-Produkt verallgemeinert. Wir erhalten also mit den bekannten Vertikalen ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccc} {\op{H}}_A^p(X)\times {\op{H}}_B^q(X)&\ra& {\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(X)\\ \da&&\da\\ {\op{H}}^p(X)\times {\op{H}}^q(X)&\ra& {\op{H}}^{p+q}(X) \end{array} $$ Das Analogon dieser Abbildung in der singul"aren Kohomologie kennen wir bereits aus \eref{RKS}{TSK}, allerdings hei"st unsere lokale Kohomologie dort die relative Kohomologie ${\op{H}}^p(X, X\backslash A)$. In jedem Fall gilt ${\op{H}}_{\emptyset}^{n}(X)=0$ f"ur alle $n$. Das bedeutet insbesondere f"ur Elemente $\alpha,\beta$ des Kohomologierings, die von Elementen der lokalen Kohomologie in Bezug auf abgeschlossene Teilmengen $A,B$ mit leerem Schnitt $A\cap B=\emptyset$ herkommen, auch im vollen Kohomologiering von $X$ das Verschwinden des cup-Produkts $$\alpha\cup \beta =0$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Verschwindende Schnittprodukte und erzwungene Schnitte}] Gegeben eine orientierte Mannigfaltigkeit\label{VSES} $X$ und orientierte abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten $A,B\As X$ gilt $$A\cap B=\emptyset\;\RA\;[A]^!\cdot [B]^!=0$$ In der Tat ist das Verschwinden des Schnittprodukts per definitionem gleichbedeutend zum Verschwinden des cup-Produkts $\tau_A\cup\tau_B=0$ und das folgt im Fall $A\cap B=\emptyset$ aus \ref{clK}, da unsere Fundamentalkozykel nach \ref{loKO} bereits von der jeweiligen lokalen Kohomologie herkommen. Umgekehrt gilt dann nat"urlich auch $$[A]^!\cdot [B]^!\neq 0\;\RA\;A\cap B\neq \emptyset$$ In Worten wird also durch das Nichtverschwinden des Schnittprodukts bereits die Existenz von Schnittpunkten erzwungen. Bei dieser Argumentation f"allt einem die Notation schon fast auf die F"u"se. Es bezeichnet darin $A\cap B$ einen Schnitt von Mengen, $\tau_A\cup\tau_B$ jedoch ein cup-Produkt von Kohomologieklassen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Beschreibung der lokalen Kohomologie mit Lokalgarben}] Gegeben $A\As X$ eine abgeschlossenene Teilmenge in einem topologischen Raum mit ihrer Einbettungsabbildung $i:A\hra X$ erinnern wir aus \ref{IuEG} die Isomorphismen ${\op{H}}^q_A(X)\sira \mathbb H^q(X;i_*i^!\underline{X})$. Wir nennen $$\mathcal L_A=\mathcal L_{A\subset X}\pdef i_*i^!\underline{X}$$ die {\bf Lokalgarbe von $A$ in $X$}\index{Lokalgarbe} und erhalten Isomorphismen\label{lokHo} ${\op{H}}^q_A(X)\sira \mathbb H^q(X;\mathcal L_A)$. Der Isomorphismus der relativen Verdierdualit"at \ref{rVDe} liefert f"ur $A\As X$ und $i:A\hra X$ die Einbettung eine Beschreibung der Lokalgarbe als Homgarbe $$\mathcal L_A=i_*i^!\underline{X}\sira (i_!\underline{A}{\Rrightarrow} \underline{X})$$ Gegeben $u:U\hra X$ die Einbettung einer offenen Teilmenge liefert die relative Verdierdualit"at \ref{rVDe} zusammen mit dem durch \ref{OffR} gegebenen Isomorphismus $u^!\siRa u^*$ Isomorphismen $u^*\mathcal L_{A\subset X}\sira \mathcal L_{(A\cap U)\subset U}$. Wir nennen sie die {\bf Lokalit"at der Lokalgarbe}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Beschreibung des cup-Produkts mit Lokalgarben}] Seien $X$ ein topologischer Raum, $A,B\As X$ abgeschlossene Teilmengen, $i,j$ deren Einbettungsabbildungen und $k:A\cap B\hra X$ die Einbettung ihres Schnitts. Unter diesen Annahmen liefert unser Isomorphismus $ k_!\underline{A\cap B}\sira i_!\underline{A}\otimes j_!\underline{B}$ aus \ref{clK} unter $(\;{\Rrightarrow}\underline{X})$ einen Morphismus\label{CPL} $$\mathcal L_A\otimes \mathcal L_B\ra \mathcal L_{A\cap B}$$ vom derivierten Tensorprodukt der Lokalgarben in die Lokalgarbe des Schnitts. Wir nennen sie die {\bf Lokalgarbenpaarung}.\index{Lokalgarbenpaarung} Das zugeh"orige cup-Produkt mit Koeffizienten pa"st dann, und hier mu"s ordentlich mit den sechs Funktoren gearbeitet werden, in ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccc} {\op{H}}_A^p(X)\times {\op{H}}_B^q(X)&\ra& {\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(X)\\[1mm] \da\wr&&\wr\da\\[1mm] \mathbb H^p(X;\mathcal L_A)\times\mathbb H^q(X;\mathcal L_B)&\ra& \mathbb H^{p+q}(X;\mathcal L_{A\cap B}) \end{array} $$ mit den Isomorphismen aus \ref{lokHo} in den Vertikalen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalit"at der Lokalgarbenpaarung}] Seien $X$ ein topologischer Raum und $A,B\As X$ abgeschlossene Teilmengen. F"ur $U\co X$ mit Einbettungsabbildung $u:U\hra X$ erhalten wir ein kommutatives Diagramm\label{LokP} $$\begin{array}{ccc} u^*\mathcal L_A\otimes u^*\mathcal L_B&\ra& u^*\mathcal L_{A\cap B}\\ \da\wr&&\wr\da\\ \mathcal L_{A\cap U}\otimes \mathcal L_{B\cap U}&\ra & \mathcal L_{A\cap B\cap U} \end{array}$$ mit den Vertikalen aus \ref{lokHo} und der zur"uckgezogenen Lokalgarbenpaarung beziehungsweise der Lokalgarbenpaarung der eingeschr"ankten Situation in den Horizontalen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Lokalgarbe einer Untermannigaltigkeit}] Gegeben $A\As X$ eine orientierte Mannigfaltigkeit mit einer orientierten abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit der Kodimension $p$ und Einbettung $i$ ist die relative Orientierung der Einbettung ein Isomorphismus $i^!\underline{X}\sira \underline{A}[-p]$. Er kann in unserer neuen Terminologie interpretiert werden als Beschreibung der Lokalgarbe durch einen Isomorphismus\label{liko} $$i_*\underline{A}[-p]\sira \mathcal L_{A\subset X}$$ Lassen wir unsere Orientierbarkeitsannahmen fallen, so ist nach der Lokalit"at der Lokalgarbe \ref{lokHo} zumindest $\mathcal L_{A\subset X}[p]$ eine echte Garbe und lokal isomorph zum Vorschub der konstanten Garbe $i_*\underline{A}$. Nehmen wir nur $X$ orientiert an, so liefert umgekehrt jede Trivialisierung der Lokalgarbe $i_*\underline{A}\sira \mathcal L_{A\subset X}[p]$ eine Orientierung von $A$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schnittprodukt und lokale Schnittmultiplizit"aten}] Seien $X$ eine orientierbare $n$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit und $A,B\As X$ abgeschlossene Teilmengen, die ihrerseits orientierbare Mannigfaltigkeiten der Kodimensionen $p,q$ sind. Zus"atzlich nehmen wir an, da"s auch ihr Schnitt $A\cap B$ eine Mannigfaltigkeit der Kodimension $p+q$ in $X$ sein m"oge. W"ahlen wir jeweils Orientierungen auf $X,A$ und $B$, so wird unter diesen Wahlen unsere Lokalgarbenpaarung $\mathcal L_A\otimes \mathcal L_B\ra \mathcal L_{A\cap B}$ aus \ref{CPL} f"ur $i,j,k$ die jeweiligen Einbettungen mit den Isomorphismen aus \ref{liko} zu einem Morphismus $$i_*\underline{A}[-p]\otimes j_*\underline{B}[-q] \ra \mathcal L_{A\cap B}$$ Nach Wegk"urzen der Graduierungsverschiebungen und Vorschalten des Inversen des offensichtlichen Isomorphismus $i_*\underline{A}\otimes j_*\underline{B}\sira k_*\underline{A\cap B}$ erhalten wir einen Morphismus $k_*\underline{A\cap B} \ra \mathcal L_{A\cap B}[p+q]$ und unter der Adjunktion $(k^*, k_*)$ wegen $k^* k_*\siRa \op{id}$ einen globalen Schnitt von $k^*\mathcal L_{A\cap B}[p+q]$. Jede Zusammenhangskomponente von $A\cap B$, auf der dieser Schnitt nicht verschwindet, mu"s eine triviale Lokalgarbe haben und somit orientierbar sein nach \ref{liko}. Nehmen wir nun der Einfachkeit halber $A\cap B$ orientiert an, so wird unser Schnitt unter Nachschalten des durch die Orientierung gegebenen Isomorphismus $k^*\mathcal L_{A\cap B}[p+q]\sira \underline{A\cap B}$ zu einer lokal konstanten Funktion $$S=S_{X;A,B}:A\cap B\ra\DZ$$ Den Wert unserer Funktion an einer Stelle $x\in A\cap B$ nennen wir die {\bf lokale Schnittmultiplizit"at}\index{Schnittmultiplizit"at!lokale} und finden damit f"ur das cup-Pro\-dukt der Fundamentalkozykel in ${\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(X)$ alias das Schnittprodukt der Fundamentalzykel unter der zus"atzlichen Annahme, da"s der Schnitt $A\cap B$ nur endlich viele Zusammenhangskomponenten hat, die Darstellung\label{SvUm} $$\tau_A\cup \tau_B=\sum_{Z\in\op{Zus}(A\cap B)} S_{X;A,B}(Z)\tau_Z\quad\text{alias}\quad [A]^!\cdot [B]^!=\sum_{Z\in\op{Zus}(A\cap B)} S_{X;A,B}(Z)[Z]^!$$ als Summe "uber die Zusammenhangskomponenten $Z$ von $A\cap B$. Hat der Schnitt unendlich viele Zusammenhangskomponenten, so gilt das immer noch, wenn wir die unendliche Summe im Sinne der Tr"agerzerlegung \eref{tzLOK}{TG} der lokalen Kohomologie als ein Tupel interpretieren. Ist weiter $U\co X$ eine offene Teilmenge, so haben wir nach der Lokalit"at der Lokalgarbenpaarung \ref{LokP} zus"atzlich $$S_{U;A\cap U,B\cap U}=S_{X;A,B}|_{A\cap B\cap U}$$ Unsere lokale Schnittmultiplizit"at an einer Stelle $x\in A\cap B$ "andert sich also nicht, wenn wir $X$ durch eine offene Umgebung $U\co X$ von $x$ ersetzen. Lassen wir die Annahme fallen, da"s $A\cap B$ orientierbar sein soll, so liefern unsere Argumente feiner f"ur jeden Punkt $x\in A\cap B$ mit einer offenen Umgebung $U\co X$, f"ur die $A\cap B\cap U$ orientierbar ist und die Schnittmultiplizit"at bei $x$ nicht Null in Bezug auf eine lokale Orientierung, da"s f"ur so einen Punkt $x$ seine Zusammenhangskomponente $Z\subset A\cap B$ orientierbar sein mu"s. Au"serdem liefern unsere Argumente, da"s wir nichtorientierbare Zusammenhangskomponenten des Schnitts in unserer Formel ignorieren d"urfen. \nichtfinal{Argumentiere auch, da"s Schnitte ignoriert werden d"urfen, die zu kleine Dimension haben.} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Jetzt diskutieren wir erst einmal Schnitte von Kurven in der Ebene und eine Variante unseres Schnittprodukts, bei der eine der zu schneidenden Untermannigfaltigkeiten als kompakt angenommen wird. Im anschlie"senden Abschnitt diskutieren wir in \ref{??} die Vertr"aglichkeit unserer Schnittprodukte mit Produkten von Mannigfaltigkeiten und folgern im Fall von \glqq transversalem Schnitt\grqq, da"s unsere Schnittmultiplizit"aten $\pm 1$ sind mit einem durch die Orientierungen beschriebenen Vorzeichen. \end{Bemerkungw} \begin{Lemma} Gegeben eine abgeschlossene zusammenh"angende nichtkompakte Einsmannigfaltigkeit $Z\As \DR^2$ besteht ihr Komplement aus zwei Komponenten, deren h"ohere Garbenkohomologie jeweils verschwindet.\label{VGb} \end{Lemma} \begin{proof}[Erster Beweis] Alexanderdualit"at \eref{ADu}{TG}. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Wir schreiben $X\pdef \DR^2$ und $U\pdef X\backslash Z$ und notieren $i,j$ die Einbettungen von $Z,U$. Nach \eref{KlEDab}{TM} gilt $Z\cong \DR$. Das ausgezeichnete Dreieck $i_!i^!\DZ_X\ra\DZ_X\ra j_*j^*\DZ_X\ra[1]$ aus \ref{KuEG} liefert wegen $i^!\DZ_X\cong \op{or}_{Z\subset X}[-1]\cong \DZ_Z[-1]$ nach \ref{liko} eine kurze exakte Sequenz $${\op{H}}^0(X)\hra {\op{H}}^0(U)\sra {\op{H}}^0(Z)$$ und wir sehen, da"s $U$ genau zwei Zusammenhangskomponenten hat. Die anderen ${\op{H}}^q(U)$ sind in einer exakten Sequenz zwischen Nullen eingequetscht und m"ussen folglich verschwinden. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Lokale Schnittmultiplizit"at von Kurven in der Ebene}] Seien $A,B\As \DR^2$ abgeschlossene nichtkompakte zusammenh"angende Einsmannigfaltigkeiten in der Ebene $X\pdef \DR^2$, die sich in genau einem Punkt $p\in X$ schneiden. Trifft jede Komponente von $X\backslash A$ jede Komponente von $X\backslash B$, so liefert das cup-Produkt der lokalen Kohomologie einen Isomorphismus $${\op{H}}_A^1(X)\otimes {\op{H}}_B^1(X)\sira {\op{H}}_{\{p\}}^{2}(X)$$ Andernfalls ist diese Abbildung Null.\label{szke} Insbesondere ist unter den gegebenen Voraussetzungen die lokale Schnittmultiplizit"at unserer beiden ebenen Kurven bei beliebiger Wahl der Orientierungen stets $\pm 1$ im ersten Fall und Null im zweiten Fall. \end{Proposition} \begin{proof} Bezeichne % $a:A\hra X$ die Einbettung und $U\pdef X\backslash A$ das Komplement von $A$. Nach \ref{VGb} hat $U$ genau zwei Komponenten $U_1,U_2$ und deren h"ohere Garbenkohomologie verschwindet. Unsere allgemeine Erkenntnis \eref{exSEQ}{TG} liefert eine kurze exakte Sequenz $$\DZ_{U\subset X}\hra \DZ_X \sra \DZ_{A\subset X}$$ von abelschen Garben auf $X$ und zeigt, wenn wir dazu die lange exakte Sequenz der Morphismen in die $\DZ_X[q]$ bilden, schon einmal ${\op{H}}_A^q(X)\cong \DZ$ f"ur $q=1$ und Null sonst. In anderen Worten liefert %f"ur $u:U\hra X$ die Einbettung unsere kurze exakte Sequenz einen Quasiisomorphismus $(\DZ_{U\subset X}\ra \DZ_X[0])\qri \DZ_{A\subset X}[0]$, der nach der Beschreibung von $\op{Ext}^q(\DZ_{U\subset X},\mathcal F)$ aus \eref{extUJ}{TG} und dem Vergleich von Morphismen in $\op{Hot}$ und $\op{Der}$ aus \eref{vbho}{TD} eine Bijektion $$\op{Hot}_{\op{Ab}_{/X}}\!\big((\DZ_{U\subset X}\ra \DZ_X[0]),\DZ_X[1]\big)\sira \op{Der}_{\op{Ab}_{/X}}(\DZ_{A\subset X},\DZ_X[1])$$ induziert. Das Symbol $[0]$ verwenden wir hier, um bei einem Komplex den Term im Grad Null anzuzeigen. Wir erhalten offensichtlich einen Erzeuger von $$\op{Hot}_{\op{Ab}_{/X}}\!\big((\DZ_{U\subset X}\ra \DZ_X[0]),\DZ_X[1]\big)= \mathcal H^0%\op{Hom}_{\op{Ab}_{/X}} \big((\DZ_{U\subset X}\ra \DZ_X[0]){\Rrightarrow}_{\op{Hot}}\DZ_X[1]\big)$$ durch einen Morphismus $\DZ_{U\subset X}\ra \DZ_X$, der unter der offensichtlichen Zerlegung $\DZ_{U_1\subset X}\oplus \DZ_{U_2\subset X}\sira \DZ_{U\subset X}$ zu einem Erzeuger des Raums der Morphismen $\DZ_{U_1\subset X}\ra\DZ_X$ beziehungsweise zum Nullmorphismus $\DZ_{U_2\subset X}\ra\DZ_X$ einschr"ankt. Ebenso hat auch $V\pdef X\backslash B$ genau zwei Komponenten $V_1,V_2$. Nach \eref{jkAK}{TG} hat weiter das Komplement von $A\cup B$ genau vier Komponenten. Sind alle Schnitte $U_i\cap V_j$ nicht leer, so m"ussen diese Schnitte genau unsere vier Komponenten sein. W"ahlt man nun analog einen Repr"asentanten in der Homotopiekategorie f"ur einen Erzeuger der lokalen Kohomologie ${\op{H}}_B^1(X)$ und bildet das Tensorprodukt in der Homotopiekategorie, so kann man wieder in der Homotopiekategorie unschwer pr"ufen, da"s wir einen Repr"asentanten eines Erzeugers von ${\op{H}}_{\{p\}}^2(X)$ erhalten. Andernfalls haben wir nach eventueller Umnummerierung ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $U_1\cap V_1=\emptyset$ und dann ist das cup-Produkt der entsprechenden Erzeuger in der Homotopiekategorie in der Tat der Nullmorphismus. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Schnitte in einem Torus}] Seien $A,B\As T\pdef S^1\times S^1$ die zwei Kreislinien $S^1\times\{1\}$ und $\{1\}\times S^1$ im Torus $T$. Sie schneiden sich in genau einem Punkt, n"amlich dem Punkt $p\pdef (1,1)$, und ihre Schnittmultiplizit"at ist dort nach der lokalen Beschreibung \ref{szke} offensichtlich $\pm 1$ mit einem von den gew"ahlten Orientierungen abh"angigem Vorzeichen. Wir finden so $$[A]^!\cdot [B]^!=\pm[p]^!\neq 0$$ Das bedeutet unter anderem, da"s f"ur beliebige abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten $X,Y\As T$ mit $[X]^!=[A]^!$ und $[Y]^!=[B]^!$ ebenso gilt $[X]^!\cdot [Y]^!\neq 0$ und damit insbesondere $X\cap Y\neq \emptyset$. Wir k"onnen also salopp gesprochen durch Verbiegen und Verschieben unserer beiden Kreislinien $A$ und $B$ niemals erreichen, da"s sie zueinander disjunkt werden. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Schnitte in der Ebene}] Seien $A,B\As X\pdef \DR^2$ die beiden Koordinatenachsen. Sie schneiden sich in genau einem Punkt, n"amlich dem Ursprung $p\pdef (0,0)$, und ihre Schnittmultiplizit"at ist dort nach der lokalen Beschreibung \ref{szke} offensichtlich $\pm 1$ mit einem von den gew"ahlten Orientierungen abh"angigen Vorzeichen. Wir finden so wieder $$[A]^!\cdot [B]^!=\pm[p]^!$$ Das ist jedoch weniger interessant, da in der lokalendlichen Homologie alle beteiligten Klassen Null sind. Wir k"onnen auch durch Verbiegen und Verschieben von $A$ und $B$ leicht erreichen, da"s diese beiden Untermannigfaltigkeiten zueinander disjunkt werden, aber das f"uhrt aufgrund des Verschwindens all unserer Klassen nicht zum Widerspruch. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Schnitte in der punktierten Ebene}] Seien $A,B\As X\pdef \DR^2\backslash 0$ der Diagonalstrahl $\{(t,t)\mid t>0\}$ und die halbe Parabel $\{(x,y)\mid y=x^2, x>0\}$. Sie schneiden sich in genau einem Punkt, n"amlich dem Punkt $p\pdef (1,1)$, und ihre Schnittmultiplizit"at dort ist nach der lokalen Beschreibung \ref{szke} offensichtlich $\pm 1$ mit einem von den gew"ahlten Orientierungen abh"angigem Vorzeichen. Wir finden so wieder $$[A]^!\cdot [B]^!=\pm[p]^!$$ Das ist jedoch weniger interessant, da in diesem Fall die Klasse $[p]^!$ eines jeden Punktes Null ist in der lokalendlichen Homologie. Wir k"onnen durch Verbiegen und Verschieben von $A$ und $B$ auch leicht erreichen, da"s unsere beiden Untermannigfaltigkeiten zueinander disjunkt werden, aber das f"uhrt nicht zum Widerspruch. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Schnitte in der punktierten Ebene, halbkompakte Variante}] Seien $A,B\As X\pdef \DR^2\backslash 0$ der Einheitskreis und die positive $x$-Achse. In diesem Fall gilt bereits $[A]^!=0$ und die Identit"at $$[A]^!\cdot [B]^!=\pm[p]^!$$ liefert erst recht keine interessanten Aussagen. Es ist jedoch nicht klar, ob wir durch Verbiegen und Verschieben von $A$ und $B$ erreichen k"onnen, da"s unsere beiden Untermannigfaltigkeiten zueinander disjunkt werden. In der Tat ist das unm"oglich und folgt aus der Variante $[A]\cdot [B]^!=\pm[p]\neq 0$ unserer Formel, die im Fall von kompaktem $A$ in der gew"ohnlichen Homologie gilt und deren Diskussion wir uns jetzt zuwenden. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine orientierte $m$-Mannigfaltigkeit $X$ definieren nun wir wie bereits in \eref{SnPoo}{TS} angek"undigt das {\bf cap-Schnittprodukt}\index{Schnittprodukt!cap-Schnittprodukt} als die von der Modulstruktur ${\op{H}}_!^{p}X\times{\op{H}}^{q}X \ra {\op{H}}_!^{p+q}X$ nach \ref{KpKM} unter den Poincar\'e-Isomorphismen und dualisierten Poincar\'e-Isomorphismen nach \ref{PiOOn} induzierte bilineare Abbildung $${\op{H}}_{m-p}X\times{\op{H}}_{m-q}^!X \ra {\op{H}}_{m-p-q}X$$ Wir notieren sie $(\alpha,\beta)\mapsto \alpha\cdot\beta$ und machen also in der Notation keinen Unterschied zum cup-Schnittprodukt. Gegeben ein topologischer Raum $X$ und abgeschlossene Teilmengen $A\As X$ sowie $B\As X$ mit $A$ kompakt erhalten mit den bekannten Vertikalen in diesem Fall "ahnlich wie zuvor ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccc} {\op{H}}_A^p(X)\times {\op{H}}_B^q(X)&\ra& {\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(X)\\ \da&&\da\\ {\op{H}}_!^p(X)\times {\op{H}}^q(X)&\ra& {\op{H}}_!^{p+q}(X) \end{array} $$ mit der durch die Struktur der kompakten Kohomologie als Modul "uber dem Kohomologiering nach \ref{KpKM} gegebenen unteren Horizontale. %\nichtfinal{Das mag ein Student einmal %den sechs Funktoren entnehmen.} Bezeichne f"ur $A$ kompakt nun $\tau_{!A}\in {\op{H}}^p_!(X)$ das Bild des Fundamentalkozykels $\tau_A\in {\op{H}}^p_A(X)$. Wir finden dann f"ur $A$ kompakt unter denselben Annahmen wie in \ref{SvUm} und mit denselben lokalen Schnittmultiplizit"aten die Identit"at $$\tau_{!A}\cup \tau_B=\sum_{Z\in\op{Zus}(A\cap B)} S_{X;A,B}(Z)\tau_{!Z}\quad\text{alias}\quad [A]\cdot [B]^!=\sum_{Z\in\op{Zus}(A\cap B)} S_{X;A,B}(Z)[Z]$$ in der kompakten Kohomologie beziehungsweise der Homologie von $X$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Schnitte in der punktierten Ebene, halbkompakte Variante}] Seien $A,B\As X\pdef \DR^2\backslash 0$ der Einheitskreis und die positive $x$-Achse. Da $A$ kompakt ist, k"onnen wir das cap-Schnittprodukt betrachten und erhalten die Identit"at $$[A]\cdot [B]^!=\pm[p]\neq 0$$ in der gew"ohnlichen Homologie ${\op{H}}_0(\DR^2\backslash 0)$. Es folgt sowohl $[A]\neq 0$ in ${\op{H}}_1(\DR^2\backslash 0)$ als auch $[B]^!\neq 0$ in ${\op{H}}_1^!(\DR^2\backslash 0)$ und insbesondere folgt, da"s wir salopp gesprochen durch Verbiegen und Verschieben von $A$ und $B$ nicht erreichen k"onnen, da"s unsere beiden Untermannigfaltigkeiten zueinander disjunkt werden. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine orientierte $n$-Mannigfaltigkeit $X$ liefert unser \hyperref[SnPr]{cap-Schnitt\-pro\-dukt} gefolgt von der Augmentation $\varepsilon:{\op{H}}_{0}(X)\ra\DZ$ eine bilineare Abbildung,\index{)8a@$\odot$ Schnittpaarung} die {\bf Schnittpaarung}\index{Schnittpaarung}\label{SchnPaa} $$\begin{array}{ccc}{\op{H}}_{q}(X)\times {\op{H}}^!_{n-q}(X)&\ra& \DZ\\ (\;\alpha\;,\;\beta\;)&\mapsto&\alpha\odot\beta \end{array} $$ gegeben in Formeln durch $\alpha\odot\beta\pdef \varepsilon(\alpha\cdot\beta)$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Eigenschaften der Schnittpaarung}] Gegeben eine orientierte $n$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit $X$ induziert die Schnittpaarung ${\op{H}}_{q}(X)\times {\op{H}}^!_{n-q}(X)\ra \DZ$ stets eine Surjektion ${\op{H}}^!_{n-q}(X)\sra \op{Hom}({\op{H}}_{q}(X),\DZ)$ und im Fall von freiem ${\op{H}}_{q-1}(X)$ ist diese Surjektion\label{EdS} sogar ein Isomorphismus $${\op{H}}^!_{n-q}(X)\sira \op{Hom}({\op{H}}_{q}(X),\DZ)$$ \end{Satz} \begin{proof} Schalten wir unserer cap-Schnittpaarung im zweiten Eintrag den Inversen des dualisierten Poin\-car\'e-Isomorphismus ${\op{P}}^!:{\op{H}}_{n-q}^!(X)\sira {\op{H}}^{q}(X)$ vor, so erhalten wir \nichtfinal{(warum?)} die Kroneckerpaarung ${\op{H}}_{q}(X)\times{\op{H}}^{q}(X) \ra \DZ$. Nach dem universellen Koeffiziententheorem \ref{UKGK} haben wir jedoch eine kurze exakte Sequenz \begin{displaymath}\op{Ext}({\op{H}}_{q-1}(X), \DZ)\hra {\op{H}}^{q}(X)\sra \op{Hom}({\op{H}}_{q}(X), \DZ)\qedhere \end{displaymath} \end{proof} \begin{Bemerkungl} Analoges gilt mit Koeffizienten in einem beliebigen noetherschen Kring endlicher homologischer Dimension. Im Fall eines Krings der Charakteristik Zwei brauchen wir noch nicht einmal irgendwelche Orientierbarkeiten vorauszusetzen. Mit Koeffizienten in einem K"orper $k$ etwa ist die totale Homologie immer frei und dann induziert unsere Schnittpaarung einen Isomorphismus $${\op{H}}_{n-q}^!(X;k)\sira \op{Hom}_k({\op{H}}_{q}(X;k), k)$$ und im Fall eines K"orpers der Charakteristik Zwei brauchen wir noch nicht einmal $X$ orientiert vorauszusetzen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Ebene ohne abgeschlossene diskrete Teilmenge}] Im Fall der Zweimannigfaltigkeit $X\pdef \DC\backslash \DZ$ ist die erste Homologie ${\op{H}}_{1}(X)$ eine freie abelsche Gruppe mit kleinen Zykeln um die ganzen Zahlen als Repr"asentanten einer Basis, denn schreiben wir unseren Raum als aufsteigende Vereinigung immer gr"o"serer offener Teilmengen, so ist die Homologie der Kolimes. Weiter ist ${\op{H}}_{0}(X)\cong\DZ$ frei und nach \ref{EdS} liefert damit die Schnittpaarung einen Isomorphismus ${\op{H}}_{1}^!(X)\sira \op{Hom}({\op{H}}_{1}(X),\DZ)$. Folglich ist ${\op{H}}_{1}^!(X)$ isomorph zu einem Produkt von abz"ahlbar vielen Kopien von $\DZ$ und man erh"alt Repr"asentanten f"ur die Elemente der ersten lokalendlichen Homologie zum Beispiel, indem man die Fundamentalzykel von vertikalen Halbgeraden betrachtet, die von Punkten $n\in\DZ$ nach oben ins Unendliche laufen, und von ihnen geeignet definierte \glqq unendliche Linearkombinationen\grqq\ nimmt. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Funktorialit"at des cup-Produkts der lokalen Kohomologie}] F"ur eine beliebige stetige Abbildung $f:X\ra Y$ und $C,D\As Y$ mit der Eigenschaft $f^{-1}(C)\subset A$ und $f^{-1}(D)\subset B$ erhalten wir f"ur das cup-Produkt der lokalen Kohomologie \ref{clK} ein kommutatives Diagramm\label{Fuca} $$\begin{array}{ccc} {\op{H}}_C^p(Y)\times {\op{H}}_D^q(Y)&\ra& {\op{H}}_{C\cap D}^{p+q}(Y)\\ \da&&\da\\ {\op{H}}_A^p(X)\times {\op{H}}_B^q(X)&\ra& {\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(X) \end{array} $$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Fundamentalkozykel einer Untervariet"at}] \nichtfinal{Als Fundamentalzykel formulieren, das ist anschaulicher!} Seien $X$ eine $n$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit und $A\As X$ eine abgeschlossene Teilmenge, die eine Filtrierung der Gestalt $$A=A^{{\leq a}}\supset A^{{\leq a-1}}\supset\ldots\supset A^{{\leq 0}}\supset \emptyset =A^{{\leq -1}}$$ durch abgeschlossene Teilmengen $(A^{\leq n})_{n\in\DZ}$ besitzt derart, da"s das Komplement $A^{{\leq q}}\backslash A^{{\leq q-1}}$ jeweils eine $q$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit ist.\label{kkkVn} Man zeige $\mathcal H^p\mathcal L_{A^{\leq q}}=0$ f"ur $p+q}[r]^-u \ar[d]^{f_B}& A\ar@{^{(}->}[r]^i&X\ar[d]^{f}\\ B \ar@{^{(}->}[rr]^j &&Y } \end{displaymath} als die Komposition $$c_{B*}j^!\mathcal G\ra c_{B*}j^!f_*\mathcal F \sira c_{B*}f_{B*}u^!i^!\mathcal F\sira c_{A*}u_*u^!i^!\mathcal F\sira c_{A*}u_!u^!i^!\mathcal F\sira c_{A*}i^!\mathcal F$$ eines von $\phi$ induzierten Morphismus mit Basiswechsel, der Isotransformation $u_!\siRa u_*$ und der Koeinheit der Adjunktion. Man zeige, da"s dieser Morphismus $\phi^\circledast$ im Fall von gew"ohnlichen abelschen Garben $\mathcal F,\mathcal G$ unser Zur"uckholen auf der lokalen Kohomologie aus \eref{ZHKoXn}{TG} induziert, in Formeln also die Kommutativit"at des Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{\mathcal H^q c_{B*}j^!\cal G \ar[r]^-\sim \ar[d]^{\phi^\circledast}& {\op{H}}^q_B(Y;\mathcal G)\ar[d]\\ \mathcal H^q c_{A*}i^!\cal F \ar[r]^-\sim & {\op{H}}^q_A(X;\mathcal F) } \end{displaymath} Man zeige weiter f"ur verkn"upfbare Komorphismen $ \phi^\circledast\circ \psi^\circledast=(\psi\circ\phi)^\circledast$ und der Vollst"andigkeit halber auch $\op{id}^\circledast=\op{id}$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Vorschub der relativen Homologie mit sechs Funktoren}] Sind in den Notationen der vorhergehenden "Ubung \ref{ZLKsf} alle beteiligten topologischen R"aume \hyperref[lesb]{lesb}, so konstruiert man in derselben Weise f"ur jeden Morphismus $\varphi: f_!\mathcal F\ra \mathcal G$ in $\op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ einen Morphismus\label{Vrh} $$\varphi_\circledast :c_{A!}i^*\mathcal F \ra c_{B!}j^*\mathcal G$$ in $\op{Der}(\op{Ab})$ oder ganz pedantisch $\op{Der}(\op{Ab}_{/{\op{top}}})$ und zeigt $ \psi_\circledast\circ \varphi_\circledast=(\psi\circ\varphi)_\circledast$ und der Vollst"andigkeit halber auch $\op{id}_\circledast=\op{id}$. Man beachte, da"s ein Morphismus $\varphi: f_!\mathcal F\ra \mathcal G$ nicht einem eigentlichen Opkomorphismus entspricht. \end{Ubung} \begin{Beispiel} Ist $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung von Mannigfaltigkeiten derselben Dimension $n$ mit diskreten Fasern, so ist $f_{(!)}$ nach eigentlichem Basiswechsel ein exakter Funktor und induziert einen Morphismus $f_!\omega_X\ra \omega_Y$ oder auch einfacher einen Morphismus $\varphi:f_!\op{or}_X\ra \op{or}_Y$. Gegeben $A\As X$ und $B\As Y$ mit $f^{-1}(B)\subset A$ entspricht die zugeh"orige Abbildung $\varphi_\circledast:\Gamma_!(A;\op{or}_X)\ra \Gamma_!(B;\op{or}_Y)$ unter unserem Isomorphismus \eref{HHM}{TS} dem Vorschub $${\op{H}}_n(X,X\backslash A)\ra {\op{H}}_n(Y,Y\backslash B)$$ Das ist seinerseits ein Spe\-zial\-fall der Nat"urlichkeit des Ver\-gleichs\-iso\-mor\-phis\-mus der relativen Homologie \ref{NatVR}. \end{Beispiel} \begin{Proposition}[\textbf{Freiheit der Homologie bei Mannigfaltigkeiten}] Gegeben eine abz"ahlbar basierte orientierbare $m$-Mannigfaltigkeit $X$ is ${\op{H}}_{m-1}X$ eine freie abelsche Gruppe.\label{FrH} \nichtfinal{Vielleicht verlegen zu Koeffizienten, braucht Vergleichss"atze.} \end{Proposition} \begin{proof} Es reicht, das f"ur $X$ zusammenh"angend zu zeigen. F"ur $X$ kompakt wissen wir es bereits aus \eref{fhm}{TS}. Es reicht also, es f"ur $X$ zusammenh"angend nichtkompakt zu zeigen. In dem Fall haben wir ${\op{H}}_0^!(X;G)=0$ f"ur jede abelsche Gruppe $G$ nach \eref{VnlH}{TS} und damit ${\op{H}}^m(X;G)=0$ nach den dualisierten Poincar\'e-Isomorphismen \ref{PiOOn} mit Koeffizienten $G$ und damit $\op{Ext}({\op{H}}_{m-1}X,G)=0$ f"ur jede abelsche Gruppe $G$ nach dem universellen Koeffiziententheorem der Kohomologie \eref{UKh}{TS}. Die Proposition folgt. \end{proof} \subsection{Schnitte in Produkten} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokale Schnittmultiplizit"aten bei transversalem Schnitt}] Seien $X$ eine orientierte $n$-Mannigfaltigkeit und $A,B\As X$ abgeschlossene orientierte Untermannigfaltigkeiten der Kodimensionen $p,q$ derart, die sich {\bf transversal schneiden} \index{transversaler Schnitt} in dem Sinne,\label{trvS} da"s jeder Punkt $x\in A\cap B$ eine offene Umgebung $U\co X$ besitzt mitsamt einem Hom"oomorphismus $U\sira E$ zu einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum, unter dem $A\cap U$ und $B\cap U$ bijektiv auf Untervektorr"aume der Kodimensionen $p$ beziehungsweise $q$ abgebildet werden, die zusammen $E$ erzeugen. Wir nennen solch einen Hom"oomorphismus eine {\bf Schnittpl"attung}.\index{Schnittpl"attung} Unter diesen Annahmen ist auch $A\cap B$ eine Mannigfaltigkeit und nach der Lokalit"at der Lokalgarbe \ref{lokHo} und ihrer Beschreibung im orientierten Fall \ref{loki} ist $\mathcal L_{A\cap B}[p+q]$ eine echte Garbe und zumindest lokal isomorph zum Vorschub der konstanten Garbe auf dem Schnitt $k_*\underline{A\cap B}$. Unsere Lokalgarbenpaarung induziert nun und wir k"onnen darauf die {\bf Schnitt\-ori\-en\-tie\-rung}\index{Schnittorientierung} erkl"aren durch die Vorschrift, da"s sie unter jeder Schnittpl"attung der Schnittorientierung entspricht, wie wir sie in \ref{Snno} im Fall von Untervektorr"aumen eingef"uhrt haben. Mit dieser Schnittorientierung auf $A\cap B$ gilt dann mit derselben Argumentation\label{cpS} in der lokalendlichen Homologie von $X$ die Identit"at $$[A]^!\cdot [B]^!=[A\cap B]^!=\sum_{Z\in \op{Zus}(A\cap B)} [Z]^!$$ In Worten ist also im Fall eines transversalen Schnitts das Schnittprodukt der Fundamentalzykel der Fundamentalzykel des Schnitts. Ebenso erhalten wir im Fall von kompaktem $A$ zus"atzlich in der gew"ohnlichen Homologie die feinere Identit"at $$[A]\cdot [B]^!=[A\cap B]=\sum_{Z\in \op{Zus}(A\cap B)} [Z]$$ \end{Bemerkungl} Gegeben abgeschlossene orientierte sich transversal schneidende Untermannigfaltigkeiten $A,B\As X$ der Dimensionen $q$, $n-q$ mit $A$ kompakt liefert \ref{SnPr} insbesondere die Formel $$[A]\odot [B]^!=\varepsilon( [A\cap B])$$ Hier ist $A\cap B$ eine endliche Menge alias kompakte Nullmannigfaltigkeit und die Schnittorientierung darauf ist eine Abbildung $\eta:A\cap B\ra \{1,-1\}$ und die Augmentation des zugeh"origen Fundamentalzykels ergibt sich zu $$\varepsilon( [A\cap B])=\sum_{x\in A\cap B}\eta(x)$$ \subsection{Schnittpaarung und Poincar\'edualit"at, ERWEITERT} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Starke dualisierte Poincar\'e-Isomorphismen}] Seien $i:A\hra X$ die Einbettung einer abgeschlossenen Teilmenge einer $m$-dimensionalen Mannigfaltigkeit und $G$ eine abelsche Gruppe und $a:A\ra \op{top}$ sowie $c:X\ra \op{top}$ die konstanten Abbildungen. Unter diesen Annahmen haben wir in der Garbenkohomologie Isomorphismen $$\begin{array}{llll} {\op{H}}_q^!(A;G)&=&\mathcal H^{-q}a_*a^!G_{\op{top}}&\text{nach Definition \ref{kIkX}}\\[1mm] &\sira& \mathcal H^{-q}a_*i^!c^!G_{\op{top}}&\text{mit $c\circ i=a$,}\\[1mm] &\sira& \mathcal H^{-q}a_*i^!\op{or}_X(G)[m]&\text{mit \ref{dGmg},}\\[1mm] &\sira& {\op{H}}_A^{m-q}(X;\op{or}_X(G))&\text{mit \ref{IuEG}.} \end{array} $$ Ist zus"atzlich $X$ orientierbar und ein Isomorphismus $G_X\sira \op{or}_X(G)$ alias eine Orientierung ausgezeichnet, so k"onnen wir das nach \ref{VgSs} verl"angern zu einem Isomorphismus, der\label{SPD} {\bf starken dualisierten Poincar\'e-Dualit"at}\index{Poincar\'e-Dualit"at!starke dualisierte} $$ {\op{H}}_q^!(A;G)_{\op{garb}}\sira {\op{H}}^{m-q}_A(X;G)_{\op{garb}}\sira {\op{H}}^{m-q}(X,X\backslash A;G)_{\op{sing}}$$ Ist $A$ auch noch kompakt, so haben wir zus"atzlich ${\op{H}}_q(A;G)_{\op{garb}}\sira {\op{H}}_q^!(A;G)_{\op{garb}}$. Im Fall $A=X$ erhalten wir die dualisierten Poincar\'e-Isomorphismen aus \ref{PiOO}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Starke Poincar\'e-Isomorphismen}] Seien $i:A\hra X$ die Einbettung einer abgeschlossenen Teilmenge einer $m$-dimensionalen Mannigfaltigkeit und $G$ eine abelsche Gruppe und $a:A\ra \op{top}$ sowie $c:X\ra \op{top}$ die konstanten Abbildungen. Unter diesen Annahmen haben wir in der Garbenkohomologie nat"urliche Isomorphismen $$\begin{array}{llll} {\op{H}}^q_!(A;\op{or}_X(G))&=&\mathcal H^{q}a_!i^*\op{or}_X(G)&\text{nach den Definitionen,}\\[1mm] &\sira& \mathcal H^{q}a_!i^*c^!G_{\op{top}}[-n]&\text{mit \ref{dGmg},}\\[1mm] &\sira& {\op{H}}_{n-q}(X,X\backslash A;G)_{\op{sing}}&\text{mit \ref{pola}. } \end{array} $$ Im Fall $A=X$ erhalten wir unsere Poincar\'e-Isomorphismen aus \ref{PiOO}.\label{SP} \nichtfinal{Ich sollte vielleicht besser die Poincare-Isomorphismen immer von der Homologie,wo alles noch anschaulich ist, in die Kohomologie gehen lassen.} Im Fall $X=\DR^n$ erhalten wir die Alexander-Dualit"at aus \eref{ADu}{TG}. %\label{allgJ} Gegeben eine $n$-Mannigfaltigkeit $X$ mit einer abgeschlossenen Teilmenge $A\As X$ konstruieren wir in \eref{VdHhr}{TSF} diesmal nur der Einfachkeit der Notation halber ohne Koeffizienten sogar ein kommutatives Diagramm von langen exakten Sequenzen $$\begin{array}{cccccccc} \ldots\ra&{ {\op{H}}^{q}_{!} (X\backslash A;\op{or}_X)}& {\ra} &{ {\op{H}}^{q}_{!} (X;\op{or}_X)} &{\ra} & { {\op{H}}^{q}_{!} (A;\op{or}_X)}&\ra\ldots \\ &{\downarrow\wr} & &{\downarrow\wr} & & {\downarrow\wr} & \\ \ldots\ra& {{\op{H}}_{n-q}(X\backslash A)}& {\ra }&{ {\op{H}}_{n-q}X} & {\ra }& {{\op{H}}_{n-q}(X,X\backslash A)}& \ra\ldots \end{array}$$ mit den gew"ohnlichen Poincar\'e-Isomorphismen in den beiden linken Vertikalen und dem starken Poincar\'e-Isomorphismus in der rechten Vertikalen. Im Fall $q=0$ spezialisiert er zu unserem Satz \eref{HHM}{TS} "uber hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten. Ebenso unmittelbar erhalten wir Proposition \eref{FP}{TS} "uber das Verschwinden der reduzierten Homologie des Komplements $S^n\backslash A$ eines Hyperkubus $A$ in einer Sph"are. Der R"uckzug liefert ja offensichtlich Surjektionen $ {\op{H}}^{q}_{!} S^n \sra {\op{H}}^{q}_{!} A$ f"ur alle $q,n$ und diese sind Isomorphismen im Fall $q\neq n$ und haben im Fall $q=n$ als Kern eine freie abelsche Gruppe vom Rang Eins. Es folgt $ {\op{H}}_{q}(S^n\backslash A)=0$ f"ur $q\neq 0$ und $ {\op{H}}_{0}(S^n\backslash A)\cong \DZ$ und folglich $ \tilde{\op{H}}_{q}(S^n\backslash A)=0$ f"ur alle $q$. \end{Bemerkungl} \subsection{Wohin damit?} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Trennkategorien von Raumpaaren}] Um unseren Trennfunktor der relativen singul"aren Kohomologie relativ zu einer offenen Teilmenge $${\op{H}}^*_{\op{sing}}:\op{Top}^{\co}\ra \op{sgAb}^{\op{opp}}$$ aus \eref{RKS}{TSK} in der Garbenkohomologie wiederzufinden, f"uhren wir eine Variante $\op{Top}^{\lAs}$ unserer Trennkategorie $\op{Top}^{\co}$ aus \eref{SdRA}{TSK} ein. Objekte sind Paare $(X,A)$ mit $A\As X$. Trennungen $(X,A)\ra (Y_1,B_1)\curlywedge\ldots\curlywedge (Y_r,B_r) $ sind Tupel von stetigen Abbildungen $f_i:X\ra Y_i$ mit $A\supset f_1^{-1}(B_1)\cap\ldots\cap f_r^{-1}(B_r)$. Das Bilden des Komplements $(X,U)\mapsto (X,X\backslash U)$ ist dann ein Isomorphismus von Trennkategorien $$\op{Top}^{\co}\sira \op{Top}^{\lAs}$$ Wir drehen in der Notation das Inklusionszeichen um, weil $\op{Top}^{\lAs}$ im Gegensatz zu $\op{Top}^{\co}$ keine volle Untertrennkategorie der in \eref{SdRA}{TSK} erkl"arten Trennkategorie $\op{Top}^{\subset}$ der Raumpaare ist, sondern vielmehr eine volle Untertrennkategorie ihrer in offensichtlicher Weise erkl"arten Variante $\op{Top}^{\supset}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokale Kohomologie als Hyperkohomologie der Lokalgarbe}] Unsere Beschreibung \eref{LKE}{TG} der lokalen Kohomologie als Erweiterungsgruppe zusammen mit der Beschreibung \ref{ExqHq} einer Erweiterungsgruppe als die Hyperkohomologie des entsprechenden Homkomplexes liefern f"ur $A\As X$ abgeschlossen und $i:A\hra X$ die Einbettung Isomorphismen\label{LKH} $${\op{H}}_A^q(X;\DZ)\sira \op{Ext}^q_{\op{Ab}_{/X}}(\DZ_{A\subset X},\DZ_X)\sira\mathbb H^q(X;\DZ_{A\subset X}^\vee)$$ Wir vereinbaren die Notation $\mathcal L_{A\subset X}\pdef \DZ_{A\subset X}^\vee$, nennen diesen Komplex die {\bf Lokalgarbe von $A$ in $X$}\index{Lokalgarbe} und erhalten Isomorphismen $${\op{H}}_A^q(X;\DZ)\sira\mathbb H^q(X;\mathcal L_{A\subset X})$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern die Garbenoptrennfaserung $\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$ aus \ref{SaGg} und betrachten die dazu oppinverse Trennfaserung nach \ref{fdoTF} und notieren sie $$\op{Ab}_{/{\op{Top}}}\pdef (\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}})^{\op{otf}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$$ Trennungen $\mathcal F\ra \mathcal G_1\curlywedge\ldots \curlywedge\mathcal G_r$ in $\op{Ab}_{/{\op{Top}}}$ "uber einer Trennung $(f_1,\ldots,f_r):X\ra Y_1\curlywedge\ldots \curlywedge Y_r$ in $\curlywedge{\op{Top}}$ sind per definitionem Homomorphismen $ \mathcal F\ra f_1^*\mathcal G_1\otimes \ldots\otimes f_r^*\mathcal G_r$ in $\op{Ab}_{/X}$. Wir betrachten nun den Trennfunktor $ {\op{Top}^{\lAs}}\ra \op{Ab}_{/{\op{Top}}}$ mit $(X,A)\mapsto \DZ_X$. Die Bilder der Trennungen in der Basis unter diesem Trennfunktor steigen ab zu Trennungen zwischen den Quotienten $$\DZ_{A\subset X}\pdef i_*\DZ_A= i_*i^*\DZ_X$$ der Garben $\DZ_X$ mit $i:A\hra X$ der Einbettung und wir erhalten so einen weiteren Trennfunktor $ {\op{Top}^{\lAs}}\ra \op{Ab}_{/{\op{Top}}}$ mit $(X,A)\mapsto \DZ_{A\subset X}$. Die zugeh"origen Morphismen\label{KIZ} $$\DZ_{A\subset X}\ra f_1^*\DZ_{B_1\subset Y_1}\otimes \ldots\otimes f_r^*\DZ_{B_r\subset Y_r}$$ sind dieselben in $\op{Ab}_{/X}$ und $\op{Der}_{/X}$, da alle beteiligten Garben freie Halme haben, und wir erhalten so einen Trennfunktor $ {\op{Top}^{\lAs}}\ra (\op{Der}_{\sslash{\op{Top}}})^{\op{otf}}$. Wir erinnern nun unsere Lokalgarben $$\mathcal L_{A\subset X}\pdef (\DZ_{A\subset X})^\vee=(\DZ_{A\subset X}{\Rrightarrow} \DZ_X)\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$$ aus \ref{LKH}. Dualisieren wir unseren Morphismus von eben und schalten davor die nat"urlichen Morphismen \eref{duo1}{TSK} vom Tensorprodukt der Dualen zum Dualen des Tensorprodukts und die nat"urlichen Morphismen \ref{fuiD} vom R"uckzug des Dualen zum Dualen des R"uckzugs, so erhalten wir in $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ einen Morphismus $$ f_1^*\mathcal L_{B_1\subset Y_1}\otimes \ldots\otimes f_r^*\mathcal L_{B_r\subset Y_r}\ra \mathcal L_{A\subset X} $$ alias eine Trennung $\mathcal L_{A\subset X}\ra \mathcal L_{B_1\subset Y_1}\curlywedge \ldots\curlywedge\mathcal L_{B_r\subset Y_r}$ in $\op{Der}_{\sslash{\op{Top}}}$. Wir erhalten so einigerma"sen offensichtlich einen Trennfunktor $ {\op{Top}^{\lAs}}\ra\op{Der}_{\sslash{\op{Top}}}$. Formal und in der angemessenen Allgemeinheit steht das in \ref{HTUI}. Durch Nachschalten von $\mathbb H$ und unsere Isomorphismen ${\op{H}}_A^q(X)\sira\mathbb H^q(X;\mathcal L_{A\subset X})$ nach \ref{LKH} erhalten wir daraus einen Trennfunktor\label{tlk} $$\op{Top}^{\lAs}\ra \op{sgAb}^{\op{opp}}$$ mit $(X,A)\mapsto {\op{H}}^*_A(X)$. Wir nennen ihn den {\bf Trennfunktor der lokalen Kohomologie}. Sein Analogon in der singul"aren Theorie kennen bereits aus \eref{RKS}{TSK}. Er beinhaltet das {\bf cup-Produkt der lokalen Kohomologie}\index{cup-Produkt!der lokalen Kohomologie} $$\cup: {\op{H}}^*_A(X)\otimes {\op{H}}^*_B(X) \ra {\op{H}}^*_{A\cap B}(X)$$ und die bereits aus \eref{ZHKoXn}{TG} bekannten R"uckz"uge ${\op{H}}^*f:{\op{H}}^*_B(Y)\ra {\op{H}}^*_A(X)$ f"ur $f:X\ra Y$ stetig mit $A\supset f^{-1}(B)$ sowie das {\bf externe Produkt der lokalen Kohomologie} \index{)x@$\times$ externes Produkt!der lokalen Kohomologie}\index{externes Produkt!der lokalen Kohomologie} $$\times: {\op{H}}_A^p(X)\times {\op{H}}_B^q(Y)\ra {\op{H}}_{A\times B}^{p+q}(X\times Y)$$ Er beinhaltet au"serdem verschiedene Vertr"aglichkeiten zwischen diesen Konstruktionen. Quasi per definitionem ist ${\op{H}}^*_{X}(X)={\op{H}}^*(X)$ die "ubliche Garbenkohomologie und wir haben ${\op{H}}^*_{\emptyset}(X)=0$. Das zeigt zum Beispiel, da"s das cup-Produkt von zwei Klassen in ${\op{H}}^*(X)$ verschwinden mu"s, wenn unsere Klassen von lokalen Kohomologiegruppen ${\op{H}}_A^p(X)$ und $ {\op{H}}_B^q(X)$ herkommen mit $A\cap B=\emptyset$. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{\begin{Bemerkungw} Damit das zu irgendwas nutze ist, m"ussen wir Lokalgarben bestimmen k"onnen. \end{Bemerkungw}} \nichtfinal{SOLL WEG! } \begin{Bemerkungl} Nach \eref{lkkk}{TG} haben wir f"ur jeden topologischen Raum $X$ nat"urliche Isomorphismen $\op{colf}_K{\op{H}}^q_{K}(X;\mathcal F)\sira {\op{H}}^q_{!}(X;\mathcal F)$ mit dem Kolimes "uber alle abgeschlossenen Kompakta $K\As X$. Insbesondere macht unser cup-Produkt der lokalen Kohomologie die kompakte Kohomologie von $X$ zu einem Modul "uber dem Kohomologiering. Wir notieren auch diese Operation $\cup$ und bezeichnen die zugeh"orige Abbildung\label{cupk} ${\op{H}}^p(X)\times {\op{H}}^q_{!}(X)\ra {\op{H}}^{p+q}_{!}(X)$ als {\bf cup-Produkt}.\index{cup-Produkt!Operation auf kompakter Kohomologie} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im Formalismus der zwei Funktoren liefert f"ur jeden topologischen Raum $X$ und alle $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ der ausgezeichnete Isomorphismus $\mathcal F\otimes\DZ_X\sira\mathcal F$ Morphismen $\op{Der}_{/X}(\DZ_X,\DZ_X[q])\ra \op{Der}_{/X}(\mathcal F,\mathcal F[q])$ und so eine Operation von ${\op{H}}^\ast X$ auf $\mathbb H^\ast (X;\mathcal F)$ und $\mathbb H^\ast_! (X;\mathcal F)$. \nichtfinal{Eigenschaften aus den drei Funktoren. Cap-Produkt.} \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Unser Schmelzfunktor der topologischen Orientierungsmenge $$\op{or}^{\op{top}}:(\curlyvee{\op{Modf}}_\DR)^\times\ra \op{Par}$$ aus \eref{TOS}{TSK} vom banalen Schmelzgruppoid der endlichdimensionalen reellen Vektorr"aume in die Schmelzkategorie der erweiterten Parit"aten, der jedem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ die Parit"at seiner Dimension erweitert um die Menge der beiden Erzeuger der totalen relativen singul"aren Homologie ${\op{H}}(V,V\backslash 0)$ zuordnet, ist isomorph durch "Ubergang zur jeweiligen Koordinatenfunktion gefolgt von den Isomorphismen ${\op{H}}^*(V,V\backslash 0)\sira {\op{H}}_{\{0\}}^*(V)\sira {\op{H}}_!^*(V)$ aus \eref{lklsk}{TG} und \eref{lkkk}{TG} zum vielleicht noch nat"urlicheren Schmelzfunktor, der $V$ die Parit"at seiner Dimension erweitert um die Menge der beiden Erzeuger von ${\op{H}}_!^*(V)$ zuordnet. Von nun an betrachten wir diesen Schmelzfunktor als unsere \glqq Hauptinkarnation\grqq\ der {\bf topologischen Orientierungmenge}\index{Orientierungmenge!topologische} und nennen die Menge der beiden Erzeuger von ${\op{H}}_!^*(V)$ im folgenden oft k"urzer die {\bf Orientierungsmenge} $\op{or}^{\op{top}}(V)$\index{ortop@$\op{or}^{\op{top}}(V)$ Orientierungsmenge von $V$} eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums $V$. Wir erkl"aren ein ausgezeichnetes Element $$\tau\in \op{or}^{\op{top}}(\DR)$$ alias einen ausgezeichneten Erzeuger $\tau\in {\op{H}}^1_!(\DR)$\label{ausE} als dasjenige Element, das unter der Komposition von nat"urlichen Isomorphismen von Garbenkohomologien ${\op{H}}^0(\DR\backslash 0)/{\op{H}}^0(\DR)\sira {\op{H}}^1_{\{0\}}(\DR)\sira {\op{H}}^1_!(\DR)$ herkommt vom Schnitt mit Wert Eins auf $\DR_{>0}$ und Wert Null auf $\DR_{<0}$ der konstanten Garbe $\DZ$ auf $\DR\backslash 0$. Das ist auch genau unser $\tau^1$ aus \eref{ausGe}{TG}. Wenn ich richtig gerechnet habe, ist das auch das Bild unseres ausgezeichneten Erzeugers $\tau\in {\op{H}}_1(\DR,\DR\backslash 0)$ aus \eref{TOS}{TS} unter den obigen nat"urlichen Isomorphismen und dem Anwenden des Vergleichsisomorphismus von der singul"aren Kohomologie zur Garbenkohomologie. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben topologische R"aume $X,Y$ zusammen mit der Einbettung $i:A\hra X$ einer abgeschlossenen Teilmenge liefert jeder Morphismus $\alpha:i_!\DZ_A\ra \DZ_X[p]$ durch R"uckzug l"angs der Projektion einen Morphismus $\alpha_Y:i_!\DZ_{A\times Y}\ra \DZ_{X\times Y}[p]$. Ist $j:B\hra Y$ auch eine abgeschlossene Teilmenge, so liefern die Konstruktionen aus \ref{clK} angewandt auf $\alpha_Y$ und $\beta_X$ eine Abbildung\label{expl} $${\op{H}}_A^p(X)\times {\op{H}}_B^q(Y)\ra {\op{H}}_{A\times B}^{p+q}(X\times Y)$$ Wir nennen sie das {\bf externe Produkt der lokalen Kohomologie} und notieren unsere Abbildung\index{)x@$\times$ externes Produkt!der lokalen Kohomologie} $\times$.\index{externes Produkt!der lokalen Kohomologie} Im Fall $A=X$ und $B=Y$ spezialisiert sie zum Kreuzprodukt der Garbenkohomologie \ref{GKSF} und im Fall $X=Y$ erhalten wir durch Nachschalten des R"uckzugs auf die Diagonale unser Cup-Produkt der lokalen Kohomologie \ref{clK}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben topologische R"aume mit abgeschlossenen Teilmengen $A,B\As X$ und $C,D\As Y$ zeige man die Kommutativit"at bis auf das Vorzeichen $(-1)^{qr}$ des Diagramms\label{hsrt} $$ \begin{array}{ccc}{\op{H}}_{A}^p(X)\times {\op{H}}_{B}^q(X)\times {\op{H}}_{C}^r(Y)\times {\op{H}}_{D}^s(Y) &\ra& {\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(X)\times {\op{H}}_{C\cap D}^{r+s}(Y)\\ \da&&\da\\ {\op{H}}_{A\times C}^{p+r}(X\times Y)\times{\op{H}}_{B\times D}^{q+s}(X\times Y) &\ra& {\op{H}}_{(A\cap B)\times(C\cap D)}^{p+q+r+s}(X\times Y) \end{array} $$ aus externen und internen Produkten der lokalen Kohomologie. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $E$ und Teilr"aume $A,B\subset E$ der Kodimensionen $p,q$ mit $A+B=E$\label{cuplo} liefert das cup-Produkt der lokalen Kohomologie einen Isomorphismus $$ {\op{H}}_A^p(E)\otimes {\op{H}}_B^q(E)\sira {\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(E)$$ Hinweis: Man ziehe sich mit Hilfe von "Ubung \ref{hsrt} auf den Fall $\op{dim}E=1$ zur"uck. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben endlichdimensionale reelle Vektorr"aume $A\subset E$ mit jeweils einer topologischen Orientierung erkl"aren wir wie in \eref{QOR}{TS} oder \eref{orQ}{LA1} die Quotientenorientierung auf dem Quotienten $E/A$. F"ur $p=\op{codim}(A\subset E)$ liefert der zugeh"orige Erzeuger von\label{QOUZ} ${\op{H}}^p_{!}(E/A)$ durch "Ubergang unter ${\op{H}}^p_{!}(E/A)\sila {\op{H}}^p_{\{0\}}(E/A)$ und R"uckzug dann einen ausgezeichneten Erzeuger von ${\op{H}}^p_{A}(E)$. Wir nennen ihn den {\bf durch die Ori\-en\-tie\-run\-gen von $A$ und $E$ bestimmten Erzeuger}. F"ur $A=\DR^{n-p}\times 0^{p}\subset E=\DR^n$ mit den Standardorientierungen $\tau^{\times (n-p)}$ beziehungsweise $\tau^{\times n}$ entspricht die Quotientenorientierung unter dem hoffentlich offensichtlichen Isomorphismus $E/A\sira \DR^{p}$ der durch $\tau^{\times p}$ gegebenen Standardorientierung auf $\DR^{p}$ und unser ausgezeichneter Erzeuger von ${\op{H}}^p_{A}(E)$ ergibt sich zu $1^{\times(n- p)}\times \tau^{\times p}$ f"ur $1\in{\op{H}}^0_{\DR}(\DR)={\op{H}}^0(\DR)$ der Standarderzeuger. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein endlichdimensionaler orientierter reeller Vektorraum $E$ und darin ein angeordnetes Paar $(A,B)$ aus zwei orientierten Teilr"aumen $A,B\subset E$ mit $A+B=E$ erkl"aren wir auf ihrem Schnitt $A\cap B$ die {\bf Schnittorientierung}\index{Schnittorientierung} dadurch, da"s wir die Quotientenorientierung aus $E/A$ aus \eref{orQ}{LA1} vermittels des Isomorphismus $B/(A\cap B)\sira E/A$ auf den Definitionsbereich dieses Isomorphismus "ubertragen und dann in Bezug auf die kurze exakte Sequenz $$A\cap B\hra B\sra B/(A\cap B)$$ die im Sinne von \eref{orQ}{LA1} mit den beiden auf dem zweiten und dritten Raum bereits gegebenen Orientierungen vertr"agliche Orientierung auf $A\cap B$ w"ahlen.\label{Snno} Ist etwa $E=\DR^n$ und sind $A= \DR^{n-p}\times 0^p$ sowie $B= 0^q\times\DR^{n-q}$ jeweils mit den Stan\-dard\-ori\-en\-tie\-run\-gen versehen, so ist die Schnittorientierung die Standardorientierung auf $0^{q}\times\DR^{n-p-q}\times 0^{p}$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Schnittorientierung und Geometrie}] Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $E$ und Teilr"aume $A,B\subset E$ der Kodimensionen $p,q$ mit $A+B=E$ und liefern Orientierungen auf $A,B$ und $E$ nach \ref{QOUZ} ausgezeichnete Erzeuger von ${\op{H}}_A^p(E)$ und ${\op{H}}_B^q(E)$ und somit als deren cup-Produkt einen ausgezeichneten Erzeuger von ${\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(E)$, der seinerseits zu einer ausgezeichneten Orientierung von $A\cap B$ geh"ort. Wir behaupten, da"s das genau die Schnittorientierung aus \ref{Snno} ist. Diese Behauptung m"ussen wir nur in gen"ugend Beispielen pr"ufen. Ist $E=\DR^n$ und sind $A= \DR^{n-p}\times 0^p$ sowie $B= 0^q\times\DR^{n-q}$ jeweils mit den Standardorientierungen versehen, so werden unsere Erzeuger nach \ref{QOUZ} gegeben durch $1^{\times (n-p)}\times \tau^{\times p}$ sowie $(-1)^{q(n-q)}\tau^{\times q}\times 1^{\times (n-q)}$ und wir erhalten nach \ref{hsrt} als Produkt $$(-1)^{q(n-q)}(-1)^{pq}\;\tau^{\times q}\times 1^{\times (n-p-q)}\times \tau^{\times p}$$ Zur Standardorientierung von $A\cap B=0^{q}\times\DR^{n-p-q}\times 0^{p}$ geh"ort andererseits nach \ref{QOUZ} der Erzeuger $(-1)^{q(n-p-q)}\tau^{\times q}\times 1^{\times (n-p-q)}\times \tau^{\times p}$ der lokalen Kohomologie, und der stimmt mit dem eben berechneten Produkt "uberein. Das aber war gerade zu zeigen.\label{cAnE} \end{Ubung} \subsection{Vergleich mit der singul"aren Theorie}\label{vsH} \nichtfinal{Wo Vergleich mit de Rham? Mit verallgemeinerten Funktionen als Koeffizienten?} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Singul"are Kohomologie als Hyperkohomologie}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ besteht sein \hyperref[SKHK]{Kogrenzkomplex} $\mathcal G_X^*$ aus welken Garben und ist offensichtlich beschr"ankt gegen die Pfeile. Die offensichtlichen Quasiisomorphismen ${\op{S}}^\ast X \;\qri\; \mathbb D_{\op{Ket}}({{\op{S}}}X) \;\qli\; \mathbb D_{\op{Ket}}({{\op{G}}}X) $ liefern mithin Isomorphismen\label{sghj} $$\op{H}^q(X)_{\op{sing}}\sira \mathbb H^q(X;\mathcal G_X^*)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Singul"are Kohomologie als Garbenkohomologie}] Gegeben ein lokal singul"arazyklischer topologischer Raum $X$ induziert die Augmentation einen Quasiisomorphismus $\DZ_X\qri \mathcal G_X^*$. Die Isomorphismen aus \ref{sghj} liefern f"ur lokal singul"arazyklisches $X$ mithin Isomorphismen\label{SKG} $$\op{H}^q(X)_{\op{sing}}\sira \op{H}^q(X;\DZ_X)$$ zwischen der singul"aren Kohomologie und der Garbenkohomologie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Relative singul"are Kohomologie als Hyperkohomologie}] Gegeben ein topologischer Raum mit einer offenen Teilmene $U\co X$ betrachten wir das kommutative Diagramm $$\begin{array}{ccccc} {\op{S}}^\ast X &\qri& \mathbb D_{\op{Ket}}({{\op{S}}}X) &\qli& \mathbb D_{\op{Ket}}({{\op{G}}}X)\\ \da&&\da&&\da\\ {\op{S}}^\ast U &\qri& \mathbb D_{\op{Ket}}({{\op{S}}}U) &\qli& \mathbb D_{\op{Ket}}({{\op{G}}}U) \end{array} $$ mit vertikalen Surjektionen und horizontalen Quasiisomorphismen. F"ur $C\pdef X\backslash U$ erhalten wir auf den Kernen der Vertikalen eine Sequenz von Quasiisomorphismen\label{rekq} $$ {\op{S}}^\ast (X,X\backslash C) \;\qri \;\mathbb D_{\op{Ket}}({{\op{S}}}(X,X\backslash C)) \;\qli\; \Gamma_C\mathcal G^*_X$$ Durch "Ubergang zur Kohomologie erhalten wir, da welke Garben nach \eref{wazz}{TG} entfaltet sind f"ur $\Gamma_C$, Isomorphismen $$\op{H}^q(X,X\backslash C)_{\op{sing}}\sira \hyperref[hkmt]{\mathbb H^q_C}(X;\mathcal G_X^*)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Relative singul"are Kohomologie als Garbenkohomologie}] Gegeben ein lokal singul"arazyklischer topologischer Raum $X$ induziert die Aug\-men\-ta\-tion einen Quasiisomorphismus $\DZ_X\qri \mathcal G_X^*$. Die Isomorphismen aus \ref{rekq} liefern f"ur $C\As X$ mithin Isomorphismen $$\op{H}^q(X,X\backslash C)_{\op{sing}}\sira \op{H}^q_C(X;\DZ_X)$$ zwischen der relativen singul"aren Kohomologie und der Garbenkohomologie mit Tr"ager in $C$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Singul"are kompakte Kohomologie als Hyperkohomologie}] Gegeben ein Hausdorffraum $X$ ist jedes Kompaktum $K\subset X$ abgeschlossen und durch "Ubergang zum filtrierenden Kolimes "uber alle Kompakta in \ref{rekq} erhalten wir Quasiisomorphismen $$ {\op{S}}^\ast_! X \;\qri \;\op{colf}_K\mathbb D_{\op{Ket}}({{\op{S}}}(X,X\backslash K)) \;\qli\; \Gamma_!\mathcal G^*_X$$ Die Exaktheit filtrierender Kolimites zeigt mit \eref{wazz}{TG} auch, da"s welke Garben auf Hausdorffr"aumen $\Gamma_!$-entfaltet sind. Unsere Quasiisomorphismen induzieren also f"ur jeden Hausdorffraum $X$ einen Isomorphismus $$\op{H}^q_!(X)_{\op{sing}}\sira \mathbb H^q_!(X;\mathcal G_X^*)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Singul"are kompakte Kohomologie als Garbenkohomologie}] Gegeben ein lokal singul"arazyklischer topologischer Raum $X$ induziert die Augmentation einen Quasiisomorphismus $\DZ_X\qri \mathcal G_X^*$. Ist unser Raum zus"atzlich Hausdorff, so liefern die Isomorphismen aus \ref{rekq} mithin einen Isomorphismus\label{siKO} $$\op{H}^q_!(X)_{\op{sing}}\sira \op{H}^q_!(X;\DZ_X)$$ zwischen der singul"aren kompakten Kohomologie und der kompakten Garbenkohomologie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Um Vergleichsisomorphismen zwischen der singul"aren Homologie und ihren garbenkohomologischen Analoga zu konstruieren, holen wir weiter aus und konstruieren eine Realisierung der dualisierenden Garbe als \glqq Grenzkomplex\grqq. Gegeben ein Raumpaar $(X,A)$ erkl"aren wir zun"achst den Komplex der {\bf relativen Grenzketten}\index{Grenzketten!relative} ${\op{G}}(X,A)$ in Verallgemeinerung von \eref{GrKe}{TG} als den Kolimes in Bezug auf die Unterteilungsoperatoren $${\op{G}}(X,A)\pdef\colf\big({\op{S}}(X,A)\stackrel{{\op{U}}}{\ra}{\op{S}}(X,A) \stackrel{{\op{U}}}{\ra}\ldots\big)$$ %Wie in \ref{flaG} sind auch alle ${\op{G}}(X,A)$ flach. Die Exaktheit filtrierender Kolimites liefert eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen $${\op{G}}(A)\hra{\op{G}}(X)\sra{\op{G}}(X,A)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defind{Ausschneidung f"ur Grenzketten}] Seien $(X,A)$ ein Raumpaar und $L\subset A$ eine Teilmenge, deren Abschlu"s\label{Aschg} im Inneren von $A$ liegt, in Formeln $\bar L\subset A^\circ$. So liefert die Einbettung $(X{\backslash} L, A{\backslash} L) \hookrightarrow (X,A)$ Isomorphismen auf den Komplexen von relativen Grenzketten $${{\op{G}}}(X{\backslash} L,A{\backslash} L) \sira {{\op{G}}} (X,A)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ein Vorteil der Grenzketten besteht darin, da"s die Ausschneidungsisomorphismen hier bereits auf Kettenniveau existieren und nicht erst in der Homologie. Die Arbeit mit Grenzketten ben"otigt jedoch mehr Kenntnisse in homologischer Algebra, da ich nicht wei"s, ob sie einen Komplex von freien abelschen Gruppen bilden. Ich erwarte eher das Gegenteil. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wie beim Beweis der Ausschneidung \eref{Asch}{TS} betrachten wir die "Uberdeckung $X = A \cup (X{\backslash} L)$, geben ihr den Namen $\cal{V}$ und bilden ein kommutatives Diagramm von Kettenkomplexen der Gestalt $$\begin{array}{ccccc} {{\op{S}}}(A{\backslash} L) & \hookrightarrow & {{\op{S}}}A \oplus {{\op{S}}}(X{\backslash} L) & \twoheadrightarrow & {{\op{S}}}^{\cal{V}}X\\ \downarrow & & \downarrow & &\downarrow \\ {{\op{S}}}(X{\backslash} L) & \hookrightarrow & {{\op{S}}}X \oplus {{\op{S}}}(X{\backslash} L) & \twoheadrightarrow &{{\op{S}}}X\\ \downarrow & &\downarrow & &\downarrow \\ {{\op{S}}} (X {\backslash} L, A{\backslash} L) & \ra & {{\op{S}}}(X,A) & \ra & {{\op{S}}}X / {{\op{S}}}^{\cal{V}}X \end{array}$$ Hier ist zu verstehen, da"s die beiden oberen horizontalen Inklusionen die \glqq diagonalen\grqq\ Einbettungen $z \mapsto (z,z)$ sein sollen, und die folgenden Surjektionen die Differenzen $(x,y) \mapsto x-y$. Nach dem Neunerlemma ist die untere Horizontale dann auch exakt. Jetzt gehen wir zum filtrierenden Kolimes unter den Unterteilungsoperatoren "uber und m"ussen nur zeigen, da"s dieser Kolimes bei ${{\op{S}}}X / {{\op{S}}}^{\cal{V}}X$ verschwindet. Das aber haben wir bereits in \eref{uztrP}{TG} gezeigt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{BMLLnd} F"ur jeden topologischen Raum $X$ erkl"aren wir in Anlehnung an \eref{BMLL}{TS} den Komplex der {\bf lokalendlichen Grenzketten} als den inversen Limes "uber alle Kompakta $K \subset X$ der Grenzketten relativ zu ihrem Komplement \begin{equation*} {{\op{G}}}^! X \pdef \limf_K {{\op{G}}} (X,X \backslash K) \end{equation*} % Mit den ${{\op{G}}} (X,X \backslash K)$ sind auch alle ${{\op{G}}}^! X$ torsionsfrei alias flach. Gegeben ein Haus\-dorff\-raum mit einer offenen Teilmenge $ U\co X$ induzieren die Ausschneidungsisomorphismen ${{\op{G}}} (U,U \backslash K)\sira {{\op{G}}} (X,X \backslash K)$ f"ur Grenzketten im Fall $K\subset U$ kompakt, die wir in \ref{Aschg} hergeleitet hatten, Homomorphismen $ {{\op{G}}}^! X \ra {{\op{G}}}^! U$ vom \glqq l"angeren Limes zum k"urzeren Limes\grqq. Wir nennen sie die {\bf Restriktionsabbildungen}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Unter einer {\bf lokalen Pr"agarbe}\index{lokal!Pr"agarbe}\index{Pr"agarbe!lokale} auf einem topologischen Raum $X$ verstehen wir eine Pr"agarbe von Mengen $\cal{C}$ derart, da"s f"ur jede Familie $\cal{U}$ von offenen Teilmengen von $X$ mit Vereinigung $V=\bigcup_{U\in \cal{U}}U$ die Restriktionsabbildungen eine Injektion $$\cal{C} (V) \hookrightarrow \prod_{U\in \cal{U}} \cal{C} (U)$$ liefern, da"s also \glqq Schnitte durch ihre Einschr"ankungen auf die Mengen einer offenen "Uberdeckung bereits eindeutig festgelegt werden\grqq. Setzen wir $\cal{U} = \emptyset$, so erkennen wir insbesondere, da"s f"ur jede abelsche lokale Pr"agarbe gilt $\cal{C} (\emptyset) = 0$. \end{Definition} \begin{Proposition}[\textbf{Lokalendliche Grenzketten als Garbe}] Auf einem lokal kompakten Hausdorffraum $X$ bilden f"ur jedes $q$ die lokalendlichen Grenzketten $U\mapsto {{\op{G}}}^!_q(U)$ f"ur $U\co X$ mit den in \ref{BMLLnd} erkl"arten Restriktionsabbildungen eine Garbe. \end{Proposition} \begin{proof} Wir beginnen mit endlich vielen offenen Teilmengen $V_1,\ldots, V_r$ eines beliebigen Raums $X$ und bilden die in folgender Darstellung vertikal notierte kurze exakte Sequenz von Komplexen $$\begin{array}{cccccc} {{\op{S}}}\left(\bigcap V_i\right)&\hra& \bigoplus_{i}{{\op{S}}}V_i&\ra &\bigoplus_{i