\section{Anwendungen und Vergleichss"atze}


\subsection{Garbengute Abbildungen}
\begin{Proposition}
  Gegeben ein topologischer Raum $Y$ und   ein Komplex von abelschen Garben $\mathcal F\in\op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$  ist f"ur  die Projektion
  $\pi:Y\times [0,1]\sra Y$   die
  Einheit der Adjunktion 
  ein Isomorphismus\label{Aei} 
  $$\mathcal F\sira \pi_*\pi^*\mathcal F$$
\end{Proposition}

\begin{proof}
 F"ur jede  Garbe
 $\mathcal F\in \op{Ens}_{/Y}$ liefert die Einheit der Adjunktion einen
 Isomorphismus
 $\mathcal F\sira \pi_{(\ast)}\pi^{(\ast)}\mathcal F$, denn
 nach \eref{AdI}{TG} gilt das f"ur jede finale Abbildung $\pi$
 mit zusammenh"angenden Fasern. Ich erinnere daf"ur daran, da"s in unseren
 Konventionen der leere topologische Raum nicht zusammenh"angend ist.
 Wir folgern, da"s auch f"ur
  alle Komplexe $\mathcal F\in\op{Hot}(\op{Ab}_{/Y})$ die Einheit der  Adjunktion einen Isomorphismus
  $\mathcal F\sira \pi_{(\ast)}\pi^{(\ast)}\mathcal F$ liefert.
  Nun hat  nach eigentlichem Basiswechsel \eref{OEBA}{TG} und unseren Erkenntnissen \eref{KGI}{TG} zur Garbenkohomologie von Teilmengen der Zahlengeraden
  der Vorschub $\pi_{(\ast)}: \op{Ab}_{/Y\times [0,1]}\ra \op{Ab}_{/Y}$ eine
  homologische Dimension kleinergleich
  Eins und insbesondere endliche homologische Dimension.
 Unsere Erkenntnisse \eref{UbDe}{TD} zum Derivieren homologisch endlicher Funktoren zeigen dann,  da"s jeder Komplex $\mathcal A$ von $\pi_{(\ast)}$-rechtsazyklischen 
  abelschen Garben bereits $\pi_{(\ast)}$-quis\-rechts\-ent\-fal\-tet ist,
  da"s also f"ur solch einen Komplex $\mathcal A$
  der nat"urliche Morphismus in der derivierten Kategorie
 ein Isomorphismus
 $Q\pi_{(\ast)}\mathcal A\sira \pi_{\ast}\mathcal A$ ist.
    Nach \eref{kohod}{TG} und \eref{KGI}{TG} wissen wir weiter, da"s
  das Zur"uckholen $\pi^{(\ast)}:\op{Ab}_{/Y}\ra \op{Ab}_{/Y\times [0,1]}$
  jede Garbe zu einer $\pi_{(\ast)}$-rechts\-azyk\-li\-schen Garbe macht und wieder
  nach
  \eref{UbDe}{TD}  damit jeden Komplex von abelschen Garben zu einem $\pi_{(\ast)}$-quis\-rechts\-ent\-fal\-te\-ten Komplex.
  Das schlie"slich zeigt die Behauptung.
\end{proof}

\begin{proof}[Zweiter Beweis]
 Es reicht zu zeigen, da"s die Einheit der Adjunktion f"ur alle $y\in Y$
  einen Isomorphismus $\op{em}_y^*\mathcal F\sira \op{em}_y^*\pi_*\pi^*\mathcal F$ induziert. Mit eigentlichem Basiswechsel
\eref{DEU}{TSF} und der Vertr"aglichkeit \eref{trPP}{TG} von Adjunktion und Basiswechsel 
  reicht es also,
  die Proposition in dem Fall zu zeigen, 
  da"s $Y$ der einpunktige Raum ist. Nach \eref{KGI}{TG} verschwindet auf
  reellen Intervallen die Garbenkohomologie jeder abelschen Garbe im Grad $>1$
  und die Garbenkohomologie jeder konstanten abelschen Garbe im Grad $\geq 1$.
  Die Behauptung folgt so mit unseren Erkenntnissen \eref{UbDe}{TD}
  zum Derivieren
  homologisch endlicher Funktoren. 
\end{proof}
  
\begin{Definition}\label{azy}
Eine stetige Abbildung topologischer R"aume 
$f:X\ra Y$ hei"se
{\bf garbenazyklisch},\index{garbenazyklisch!stetige Abbildung} 
wenn f"ur  jeden
Komplex 
$\cal{F} \in \op{Der} (\op{Ab}_{/Y})$
die Einheit der Adjunktion
 ein  Isomorphismus 
$$\cal{F} \sira 
f_{\ast}f^{\ast}\cal{F}$$
ist. Sie hei"se  
{\bf basisfest  
garbenazyklisch}\index{basisfest!garbenazyklisch}\index{garbenazyklisch!basisfest} oder kurz {\bf bagazyklisch},\index{bagazyklisch} 
wenn sie unter jedem Basiswechsel eine 
garbenazyklische Abbildung liefert, wenn also in Formeln
f"ur jede stetige Abbildung 
$S\ra Y$ die induzierte Abbildung 
$X\times _Y S\ra S$ garbenazyklisch ist.
Ein topologischer Raum $X$ hei"se 
{\bf garbenazyklisch}\index{garbenazyklisch!topologischer Raum}
beziehungsweise {\bf basisfest  
garbenazyklisch} oder kurz {\bf bagazyklisch},
wenn die konstante Abbildung $X\ra\op{top}$ die entsprechende 
Eigenschaft hat.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
Jede garbenazyklische Abbildung ist
offensichtlich schwach garben\-azyk\-lisch im Sinne von 
\eref{sGaz}{TG}, der R"uckzug induziert also Isomorphismen auf der Kohomologie
mit Koeffizienten in einer beliebigen abelschen Gruppe. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Satz}[\textbf{Zusammenziehbar impliziert bagazyklisch}]
  Jeder zusammenziehbare Raum ist bagazyklisch.\label{zgsaf}
  Allgemeiner ist jeder zu einem bagazyklischen Raum homotopie"aquivalente
  Raum  bagazyklisch. 
\end{Satz}


\begin{proof} Wir gehen in mehreren Schritten vor.
  \\[2mm]\noindent 1. 
  Jeder Funktor
  $F:\op{Top}\ra \mathcal C$ von der Kategorie der topologischen R"aume
  in eine weitere Kategorie, der
  f"ur einen beliebigen Raum $X$ die Projektion $\op{pr}:X\times[0,1]\ra X$
  zu einem Isomorphismus  $$F(\op{pr}):F(X\times[0,1])\sira F(X)$$ macht,
  faktorisiert "uber die Homotopiekategorie. In der Tat, gegeben $t\in [0,1]$
  bezeichne
  $i_t:X\ra X\times [0,1]$ die Abbildung $x\mapsto (x,t)$.
  Sicher gilt $\op{pr}\circ i_t=\op{id}_X$ f"ur alle $t$, also
  $F(\op{pr})\circ F(i_t)=\op{id}_{FX}$ und nach unserer Annahme ist
  $F(i_t)=F(\op{pr})^{-1}$ unabh"angig von $t\in [0,1]$.
  Gegeben $f,g:X\ra Y$ und $H:X\times [0,1]\ra Y$ mit $f=H\circ i_0$ und
  $g=H\circ i_1$ haben wir also $F(f)=F(g)$. 
    \\[2mm]\noindent 2. 
    Gegeben ein topologischer Raum $S$ und
    $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/S})$ betrachten wir  den Funktor
    $$F=F_ {S,\mathcal G}:
    \op{Top}\ra \op{Der}(\op{Ab}_{/S})^{\op{opp}}$$ gegeben auf Objekten durch
    $F(X)\pdef a_{*}a^*\mathcal G$ f"ur $a:X\times S\ra S$ die Projektion  
    und auf Morphismen f"ur $f:X\ra Y$ stetig und mit der Notation
    $b:Y\times S\ra S$
    f"ur die Projektion und $f\pdef (f\times\op{id}_S):X \times S\ra Y\times S$ als die Komposition
    $$F(f)^\circ: b_{*}b^* \mathcal G \ra b_{*}f_{*}f^*b^* \mathcal G
    \sira a_{*}a^* \mathcal G$$
    der durch die Einheit der Adjunktion und
    Identifikationen gegebenen Morphismen. 
    Nach \ref{Aei} induziert $F$  einen 
    Isomorphismus $F(\op{pr}): F(X\times [0,1])\sira F(X)$
    und faktorisiert  folglich nach Schritt 1 
    "uber die Homotopiekategorie.
    \\[2mm]\noindent 3.
    Ein Raum $X$ ist per definitionem bagazyklisch genau dann, wenn
    $F_{S,\mathcal G}(\op{fin}_X)$ ein Isomorphismus ist
    f"ur alle $S,\mathcal G$ wie oben, mit der Notation
    $\op{fin}_X:X\ra\op{top}$ f"ur
    die konstante Abbildung auf den Einpunktraum.
    Da alle $F_{S,\mathcal G}$ nach Schritt 2 "uber die Homotopiekategorie
    faktorisieren, mu"s jeder zu einem bagazyklischen Raum homotopie"aquivalente
    Raum auch selbst wieder bagazyklisch sein.
    Da der Einpunktraum offensichtlich
    bagazyklisch ist, mu"s damit auch  jeder  zusammenziehbare Raum
    bagazyklisch sein. 
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Permanenzeigenschaften garben- und bagazyklischer Abbildungen}]
Jede Verkn"upfung garbenazyklischer Abbildungen ist garbenazyklisch.\label{AZFcn} 
Ist $g\circ f$ garben\-azyklisch und $f$ 
garben\-azyklisch, so ist auch $g$ garben\-azyklisch. % nach \ref{BNA}.
Ist 
$f:X\ra Y$ stetig und besitzt $Y$ eine "Uberdeckung 
durch offene Teilmengen $U\co Y$ derart, da"s $f:f^{-1}(U)\ra U$ 
jeweils garben\-azyklisch ist, so ist schon $f:X\ra Y$ selbst garben\-azyklisch. Insbesondere
ist jedes Faserb"undel mit garbenazyklischer Faser garbenazyklisch.
Diesselben Permanenzeigenschaften folgen f"ur bagazyklische Abbildungen.
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}
Sei $f : X \ra Y$ stetig. Wir sagen, ein Komplex von abelschen Garben 
$\cal{F}\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ {\bf kommt her
  von} $Y$, wenn es 
$\cal{G} \in \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ gibt mit $\cal{F} \cong
  f^{\ast} \cal{G}$.
\end{Definition}
\begin{Lemma}\label{kh}
Seien $f: X \ra Y$ garbenazyklisch und $\cal{F} \in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$.
So sind gleichbedeutend: \nichtfinal{(eine Variante habe ich in {khs} umbenannt)}
\begin{enumerate}
\item
Das der Komplex $\cal{F}$ kommt her von $Y$;
\item
Die Koeinheit der Adjunktion liefert einen Isomorphismus
$f^{\ast} f_{\ast} \cal{F} \sira \cal{F}$;
\item
Es gibt eine offene "Uberdeckung $\cal{U}\subset \cal{P}(Y)$ von $Y$ derart,
da"s f"ur alle $U\in \cal{U}$ die Einschr"ankung 
$\cal{F}|_{f^{-1}(U)}$ von $U$ herkommt.
\end{enumerate}
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Die Definition garbenazyklischer Abbildungen und formale Eigenschaften
adjungierter Funktoren nach \eref{FADJj}{TF} liefern 1 $\Leftrightarrow $ 2.
Formulieren wir 3 um vermittels dieser Erkenntnis, so erhalten wir
auch
2 $\Leftrightarrow $ 3.
\end{proof}
%\subsubsection*{"Ubungen} 

%\subsubsection*{"Ubungen} 








\begin{Definition}
  Eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ hei"se
 {\bf garbengut},\index{garbengut!Abbildung}
  wenn jede Umgebung von $x\in X$ so zu einer offenen Umgebung $U\co X$
  verkleinert werden kann,  da"s es $V\co Y$ gibt mit\label{gagu} 
  und $f(U)\subset V$ und  $f:U\ra V$
  bagazyklisch. 
\end{Definition}
\begin{Beispiel} Jede offene Einbettung ist garbengut. 
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}
  Ein topologischer Raum hei"se  {\bf garbengut},\index{garbengut!Raum} wenn die
  konstante Abbildung von unserem Raum zum Einpunktraum garbengut ist.
  Ein topologischer Raum ist per definitionem
  garbengut genau dann, wenn er offenlokal bagazyklisch ist.
  Jeder offenlokal zusammenziehbare Raum ist garbengut, da nach \ref{zgsaf}
  jeder
  zusammenziehbare Raum bagazyklisch ist.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel} 
Die geometrische Realisierung  $\Delta (\cal{K})$ eines\label{LZSz} 
Simplizialkomplexes $(E,\cal{K})$ ist stets offenlokal zusammenziehbar: 
Jede Umgebung eines jeden Punktes kann in anderen Worten
einer offenen zusammenziehbaren Umgebung desselben Punktes verkleinert werden.
Insbesondere ist jede komplexe algebraische Variet"at mit 
ihrer analytischen Topologie offenlokal zusammenziehbar und damit garbengut,
denn nach 
\cite{HiPo} ist jede algebraische Teilmenge eines $\DC^n$ hom"oomorph
zur geometrischen Realisierung eines Simplizialkomplexes.
\end{Beispiel}





\begin{Bemerkungl}[\textbf{Permanenzeigenschaften garbenguter Abbildungen}]
Es ist leicht zu sehen, da"s die Verkn"upfung garbenguter
  Abbildungen stets wieder garbengut ist.  Es ist leicht zu sehen, da"s
  eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ genau dann garbengut ist,
  wenn $Y$ eine "Uberdeckung durch offene Teilmengen $B\co Y$ besitzt derart,
  da"s $f:f^{-1}(B)\ra B$ jeweils garbengut ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{R"uckzug  garbenguter Abbildungen}]
  In einem kartesischen  Diagramm 
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
X\times_YZ\ar[d]_-{g}\ar[r]^-{q} & X \ar[d]^-f\\
Z  \ar[r]^-{p} & Y
}
\end{displaymath}
mit $p$ garbengut ist auch $q$ garbengut. Sei
in der Tat  $(x,z)\in X\times_YZ$ gegeben.
Jede Umgebung von $(x,z)$ kann verkleinert werden zu einer Umgebung
der Gestalt $A\times_YC$ mit $A\co X$ und $C\co Z$ derart, da"s es
$B\co Y$ gibt mit  $p(C)\subset B$ und\label{rzgg} 
$p:C\ra B$ bagazyklisch. Wir d"urfen zus"atzlich $f(A)\subset B$
annehmen und dann entsteht $A \times_YC\ra A$ durch Basiswechsel aus
$f:C\ra B$ und ist folglich auch bagazyklisch. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Garbengute Faserb"undel}]
  Die Lokalit"at in der Basis zusammen mit der Stabilit"at
  unter R"uckzug zeigen, da"s jedes Faserb"undel mit garbenguter Faser
  garbengut ist.
\end{Beispiel}



\begin{Satz}[\textbf{Garbenguter Basiswechsel}]
  Sind in einem kartesischen  Diagramm von topologischen R"aumen
$f q=p g$ 
die Horizontalen\label{DGFBW} $p,q$ 
garbengut, so ist der Basiswechsel auf den
 derivierten Kategorien von abelschen 
Garben eine  Isotransformation
$$p^{\ast} f_{\ast} \siRa g_{\ast} q^{\ast} $$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  In \eref{DGF}{TG} hatten wir eine Variante \index{(dort "uberarbeiten!)} 
  diskutiert, die ohne derivierte Kategorien auskommt und stattdessen eine
  Aussage "uber die Folge der h"oheren derivierten Funktoren macht. 
\end{Bemerkungl}


\begin{proof}
Gegeben $\mathcal F\in\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ reicht es nach unserem  Verschwindungskriterium \eref{VersKK}{TSF} 
zu zeigen, da"s jeder Punkt aus dem Definitionsbereich von $p$ ein Fundamentalsystem von offenen Umgebungen hat derart, da"s 
f"ur $j$ die Einbettung  der fraglichen Umgebungen
unser Morphismus einen Isomorphismus 
$$\op{fin}_*j^*p^{\ast} f_{\ast} \mathcal F\sira \op{fin}_*j^*g_{\ast} q^{\ast} \mathcal F$$
induziert, f"ur $\op{fin}$ die konstante Abbildung auf den Einpunktraum.
Da wir $p$ garbengut angenommen haben, finden wir  ein
Fundamentalsystem von offenen Umgebungen $U\co Z$ und zugeh"orige
$V\co Y$ mit $p(U)\subset V$ und $p:U\ra V$ bagazyklisch.
So  k"onnen wir uns darauf zur"uckziehen, im  Fall eines 
kartesischen Diagramms 
mit bagazyklischen Horizontalen $p,q$  zu zeigen,
da"s der Basiswechsel Isomorphismen $$p_*p^{\ast} f_{\ast} \mathcal F\sira p_*g_{\ast} q^{\ast} \mathcal F$$ induziert. Das ist aber klar, da ja gilt
$p_*g_{\ast}=f_*q_*$ und da 
nach Annahme  die Einheiten der
Adjunktion Isomorphismen $\op{id}\siRa p_*p^*$ und
$\op{id}\siRa q_*q^*$ sind.
\end{proof}

\begin{Proposition}[\textbf{Garbenguter R"uckzug von internem Hom}]
  Gegeben eine  garbengute Abbildung
  $f:X\ra Y$ ist f"ur alle $\mathcal E,\mathcal G\in\op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ der
  nat"urliche Morphismus aus \eref{fuiH}{TSF} ein Isomorphismus\label{OLHo}
  $$f^*(\mathcal E{\Rrightarrow}\mathcal G)\sira(f^*\mathcal E{\Rrightarrow}f^*\mathcal G) $$
\end{Proposition}
%\nichtfinal{Hier ist wichtig, da"s der Koeffizientenring sich nicht "andert.
%  Andernfalls braucht man mindestens gewisse Endlichkeitsbedingungen an die
%  beteiligte Kringerweiterung, vielleicht da"s $A$ ein endlich erzeugter
%  projektiver $B$-Modul ist.}
\begin{proof}
 Ich erinnere daran, da"s nach \eref{vRiH}{TSF} offener R"uckzug mit internem Hom vertauscht.  Mit dem Verschwindungskriterium 
  \eref{VersKK}{TSF} k"onnen wir uns auf den Nachweis beschr"anken, da"s
  f"ur $f:X\ra Y$ bagazyklisch der obige Morphismus einen Isomorphismus
   $f_*f^*(\mathcal E{\Rrightarrow}\mathcal G)\sira f_*(f^*\mathcal E{\Rrightarrow}f^*\mathcal G) $
  induziert. Da jedoch die Einheit der Adjunktion in diesem Fall eine
  Isotransformation $\op{id}\siRa f_* f^*$ ist, reicht es zu zeigen, da"s das
  Diagramm
  \begin{displaymath}
\xymatrix{
f_*f^*(\mathcal E{\Rrightarrow}\mathcal G)  \ar[r] & f_*(f^*\mathcal E{\Rrightarrow}f^*\mathcal G)\\
(\mathcal E{\Rrightarrow}\mathcal G) \ar[r]^-\sim \ar[u]^\wr& (\mathcal E{\Rrightarrow}f_*f^*\mathcal G)\ar[u]^\wr
}
  \end{displaymath}
  kommutiert mit der rechten Vertikale aus \eref{ngtR}{TSF}. Um das zu sehen, d"urfen wir die Adjunktion anwenden und
  statt beiden  $f_*$ in der oberen Horizontale
  vor beide Ausdr"ucke der unteren Horizontale ein $f^*$
  davorschreiben. Dann steht in der linken Vertikale die Identit"at und
  die Kommutativit"at folgt aus der Definition der beteiligten Morphismen.
\end{proof}


\begin{Proposition}[\textbf{Schreir"uckzug und garbenguter Basiswechsel}]
  Gegeben ein kartesisches Diagramm topologischer R"aume  $pg=fq$ 
  mit $f,g$ lesb und $p,q$ garbengut und $k$ ein Kring 
  ist die Transformation aus \eref{FleB}{TSF} alias \eref{Erii}{TSF} 
  eine Isotransformation\label{rzT} 
  $$q^* f^!\siRa  g^! p^*$$
\end{Proposition}

\begin{proof} Wir arbeiten mit dem kartesischen Quadrat 
   \begin{displaymath}
\xymatrix{
  X\times_Y Z\ar[d]^g\ar[r]^-q & X \ar[d]^f\\
  Z\ar[r]^p &Y
}
    \end{displaymath}
 Gegeben $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/(Y,k)})$ reicht es 
 nach dem Verschwindungskriterium \eref{VersKK}{TSF}  zu zeigen,
  da"s jeder Punkt $(x,z)\in X\times_Y Z $ ein Fundamentalsystem von offenen
  Umgebungen $U$ hat derart, da"s f"ur $j$ die Einbettung der
  fraglichen Umgebung unser Morphismus einen Isomorphismus
   $$\op{fin}_* j^*q^* f^!\mathcal G\sira \op{fin}_* j^* g^! p^*\mathcal G$$
  induziert. Jede Umgebung von $(x,z)$ l"a"st sich nun wie beim Beweis von
  \ref{rzgg} verkleinern zu einer
  offenen Umgebung der Gestalt $A\times_YC$ mit $A\co X$ und $C\co Z$ 
  und der Eigenschaft, da"s es $B\co Y$ gibt mit $p(C)\subset B$ und
  $p:C\ra B$ bagazyklisch und zus"atzlich $f(A)\subset B$, so da"s
  gilt $A\times_YC=A\times_BC$ und da"s auch $q:A\times_YC\ra A$
  bagazyklisch ist.
  So ziehen wir uns darauf zur"uck zu zeigen, da"s in derselben
  Situation wie oben mit $p,q$ bagazyklisch unsere Transformation einen
  Isomorphismus 
   $$\op{fin}_* q^* f^!\mathcal G\sira \op{fin}_*  g^! p^*\mathcal G$$
  induziert. Es reicht zu zeigen, da"s sie einen Isomorphismus
  $q_* q^* f^!\mathcal G\sira q_*  g^! p^*\mathcal G$ induziert.
 Dieser Morphismus pa"st jedoch in ein kommutatives Diagramm
    \begin{displaymath}
\xymatrix{
q_* q^* f^!\mathcal G \ar[r] &q_*  g^! p^*\mathcal G \\ f^!\mathcal G 
 \ar[r]^-\sim\ar[u]_\wr &f^! p_*p^*\mathcal G\ar[u]_\wr
}
    \end{displaymath}
    mit Koeinheiten der Adjunktion ausgehend von links unten,
    die wegen $p,q$ bag\-azyk\-lisch Isomorphismen sind, und einem
    adjungierten  Basiswechsel in der rechten Vertikale, der vom selben
    Basiswechsel herkommt wie die obere Horizontale. 
\end{proof}

\subsection{K"unnethformeln der Garbenkohomologie}

\begin{Satz}[\textbf{Kohomologie eines Produkts}]
  Seien $X,Y$ topologische R"aume und $k$ ein Kring.
  Bezeichne  $a:X\ra\op{top}$ und   
  $b:Y\ra\op{top}$ und $c:X\times Y\ra \op{top}$
  die konstanten Abbildungen.
  Wir nehmen an, $X$ 
  sei garbengut und $b_*\underline{Y}$
  sei starr.\label{KohP}  
     So 
   ist der Morphismus aus \eref{fuiBP}{TSF}  ein Isomorphismus
   $$a_*\underline{X}\otimes b_*\underline{Y}
   \sira
   c_*(\underline{X\times Y})$$
\end{Satz}
\begin{proof}
Garbenguter Basiswechsel \ref{DGFBW}   im kartesischen Diagramm 
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
X\times Y \ar[d]_-{\op{pr}_X}\ar[r]^-{\op{pr}_Y} &Y \ar[d]^-b\\
 X  \ar[r]^-{a} & \op{top}
}
\end{displaymath}
liefert einen Isomorphismus $a^*b_*\underline{Y}\sira
\op{pr}_{X*}\op{pr}_{Y}^*\underline{Y}$ und so einen Isomorphismus
$a_*a^*b_*\underline{Y}\sira c_{*}(\underline{X\times Y})$.
Die Tensoreinheit und die starre Projektionsformel \eref{fui}{TSF} liefern
Isomorphismen $a_*a^*b_*\underline{Y}\sila a_*(\underline{X}\otimes
a^*b_*\underline{Y})\sira  a_*\underline{X}\otimes
b_*\underline{Y}$. Da"s deren Verkn"upfung genau der Morphismus aus
\eref{fuiBP}{TSF} ist, mag einmal ein Student ausschreiben. 
\end{proof}
\begin{proof}[Zweiter Beweis]
  Wir wenden das nachfolgende Korollar \ref{zfexV} an mit $X_1=X$ und $X_2=Y$
  und $Y_1=Y_2=\op{top}$ der Einpunktraum.
\end{proof}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kohomologie eines Faserprodukts}]
  Seien   $a:X\ra Z$ garbengut und 
  $b:Y\ra Z$ stetig und  $c:X\times_Z Y\ra Z$ 
  die offensichtliche Abbildung und $k$ ein Kring.
  Ist zus"atzlich $b_*\underline{Y}$
   starr,  so 
   ist mit demselben Argument
   wie beim Beweis von \ref{KohP}
   der Morphismus aus \eref{fuiBP}{TSF}  ein Isomorphismus
   $$a_*\underline{X}\otimes_Z b_*\underline{Y}
   \sira
   c_*(\underline{X\times_Z Y})$$
\end{Bemerkungl}

%\nichtfinal{Nochmal durchsehen, da ist manches doppelt!} 

% Wenn wir gar keine Starrheitsannahmen machen, erhalten wir nur noch mit \ref{ngtR} und gefasertem Basiswechsel  Isomorphismen
% $$c_*(\op{pr}_{X}^*\mathcal F{\Rrightarrow} \op{pr}_{Y}^*\mathcal G)
% \sira
% a_*(\mathcal F{\Rrightarrow} \op{pr}_{X*}\op{pr}_{Y}^*\mathcal G)
% \sira 
% a_*(\mathcal F{\Rrightarrow} a^*b_*\mathcal G)
% $$

\begin{Bemerkungl}
  F"ur beliebige topologische R"aume $X,Y$ und jeden Kring $k$
  liefert der R"uckzug
  auf der Kohomologie
  einen Ringhomomorphismus
  $${\op{H}}^*(X;k)\bar{\otimes} {\op{H}}^*(Y;k)\ra {\op{H}}^*(X\times Y;k)$$
mit $(u,v)\mapsto u\times v \pdef\op{pr}_X^*(u)\cup  \op{pr}_Y^*(v)$.
Hier meint $\bar{\otimes}$ 
 das f"ur Monoidobjekte der Schmelzkatgorie
 der supergraduierten $k$-Moduln zu
 verstehende Tensorprodukt \eref{stMMx}{TSK},
 also das "ubliche Tensorprodukt von graduierten $k$-Moduln
 Gruppen mit einer Vorzeichenregel f"ur
 der Multiplikation von zwei Tensoren. Dieser Ringhomomorphismus hei"st
 das {\bf Kreuzprodukt der Garbenkohomologie}.\index{Kreuzprodukt!der Garbenkohomologie}
\end{Bemerkungl}




\begin{Satz}[\textbf{K"unnethformel der Garbenkohomologie}]
  Seien $X,Y$ topologische R"aume und $k$ ein Kring.
  Ist $X$ garbengut und
  sind alle ${\op{H}}^q( Y)$ projektive $k$-Moduln,
  so konstruieren wir im folgenden Beweis einen Isomorphismus
  $$\bigoplus_{p+q=n}{\op{H}}^p(X;{\op{H}}^q(Y;k))\sira {\op{H}}^n(X\times Y;k)$$
    Sind zus"atzlich alle ${\op{H}}^q( Y;k)$ endlich erzeugt, so induziert das
    Kreuzprodukt der Kohomologie Isomorphismen\label{KuFEF}
$$\bigoplus_{p+q=n}{\op{H}}^p(X;k)\otimes_k {\op{H}}^q( Y;k)\sira {\op{H}}^n(X\times Y;k)$$
\end{Satz}




\begin{proof}
Garbenguter Basiswechsel \ref{DGFBW}   im kartesischen Diagramm 
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
X\times Y \ar[d]_-{\op{pr}_X}\ar[r]^-{\op{pr}_Y} &Y \ar[d]^-b\\
 X  \ar[r]^-{a} & \op{top}
}
\end{displaymath}
liefert einen Isomorphismus $a^*b_*\underline{Y}\sira \op{pr}_{X*}\op{pr}_{Y}^*\underline{Y}$ und so einen Isomorphismus
$a_*a^*b_*\underline{Y}\sira \op{fin}_{*}\underline{X\times Y}$. 
  Sind alle ${\op{H}}^q(Y;k)$ projektive $k$-Moduln,
  so gibt es nach \eref{KpH}{TD}
  genau einen Morphismus
  $s:\mathcal H b_*\underline{Y}\ra b_*\underline{Y}$  in der derivierten Kategorie derart, da"s
  $\mathcal H s:\mathcal H\mathcal H b_*\underline{Y}\ra \mathcal H b_*\underline{Y}$ der offensichtliche Isomorphismus ist, und dieser Morphismus
  ist
  offensichtlich selber ein Isomorphismus
  $$s:\mathcal H b_*\underline{Y}\sira b_*\underline{Y}$$
  Nach \eref{PderKi}{TD} ist $a^*b_*\underline{Y}$ das Produkt der
  $[-q]a^*{\op{H}}^q(Y;k)$. Als Rechtsadjungierter macht $a_*$ Produkte zu
  Produkten. Da Produkte in derivierten Modulkategorien nach \eref{PrDeM}{TD}  gliedweise berechnet werden k"onnen und mit dem Bilden der Homologie vertauschen,
  folgen die Isomorphismen des Satzes. Eine Kohomologieklasse
  $\beta\in {\op{H}}^r(Y;k)$ entspricht einem
  Morphismus $\beta: \underline{Y}\ra [r]\underline{Y}$. Indem
  wir seinen Effekt unter unseren Konstruktionen verfolgen, erhalten wir
  auch ohne irgendwelche Annahmen an $X$ die rechte H"alfte
  eines kommutativen Diagramms
  $$\begin{array}{ccccc} {\op{H}}^p(X;k)\otimes_k{\op{H}}^q(Y;k)&\ra&{\op{H}}^p(X;{\op{H}}^q(Y;k))&\ra& {\op{H}}^{p+q}(X\times Y;k)\\[1mm]
   \da \op{id}\otimes(\cup\beta)&& \da  \cup\beta&&\da \cup\op{pr}_Y^*\beta\\[1mm]
{\op{H}}^p(X;k)\otimes_k{\op{H}}^{q+r}(Y;k)&\ra&{\op{H}}^p(X;{\op{H}}^{q+r}(Y;k))&\ra& {\op{H}}^{p+q+r}(X\times Y;k)   
  \end{array}$$
Das linke Quadrat entsteht aus dem  Morphismus  
$$a_*\underline{X}\otimes  \mathcal F\ra a_*(\underline{X}\otimes a^* \mathcal F)\sira a_*  a^*\mathcal F$$  nach \eref{fuiHS}{TSF}, 
indem wir zu $\mathcal F$ zu $[0]{\op{H}}^q(Y;k)$ spezialisieren
und $\mathcal H^p$
anwenden und den  Morphismus \eref{gHsf}{TSF}
vom Tensorprodukt der Homologien zur Homologie des
Tensorprodukts vorschalten. Indem wir die Bilder von
$\alpha\otimes 1$ verfolgen, erkennen wir, da"s die Kompositionen in den
Horizontalen das Kreuzprodukt der Kohomologie
sein m"ussen. Ist ${\op{H}}^q(Y;k)$ endlich erzeugt projektiv, so ist es
starr und flach und die eben konstruierten Morphismen erweisen sich als
Isomorphismen nach der starren Projektionsformel \eref{fui}{TSF}  
und der $\otimes$-Entfaltetheit flacher Objekte und der
zweite Teil des Satzes folgt.
\end{proof}




\begin{Bemerkungl}
  Wir k"onnen die zweite Aussage auch direkt aus 
 dem in  \ref{KohP} konstruierten Isomorphismus
   $a_*\underline{X}\otimes b_*\underline{Y}
   \sira
   c_*(\underline{X\times Y})$
   ableiten, wenn zus"atzlich fast alle ${\op{H}}^q(Y;k)$ verschwinden.
   Dann n"amlich haben wir,
   wie im vorhergehenden Beweis ausgef"uhrt, einen Isomorphismus 
   $\textstyle\bigoplus_q [-q]{\op{H}}^q(Y;k)\sira  b_*\underline{Y}$ und 
   $b_*\underline{Y}$ ist starr. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Varianten zur K"unnethformel}] 
  Fordern wir keine speziellen Eigenschaften von $X$, fordern aber weiter
  die Projektivit"at aller ${\op{H}}^q(Y;k)$, so liefern die Konstruktionen
  unseres Beweises 
  Morphismen $$\bigoplus_{p+q=n}{\op{H}}^p(X;{\op{H}}^q(Y;k))\ra {\op{H}}^n(X\times Y;k)$$ Sie brauchen aber im allgemeinen keine Isomorphismen mehr
   zu sein.
  Fordern wir andererseits $X$ garbengut und fordern keine speziellen Eigenschaften von $Y$, fordern aber, da"s unser Koeffizientenkring $k$ erblich sein soll, so liefern die Konstruktionen
  unseres Beweises zusammen mit \eref{DKHa}{TD}   
  weiter die Existenz von Isomorphismen\label{VarKK}
  $$\textstyle\bigoplus_{p+q=n}{\op{H}}^p(X;{\op{H}}^q(Y;k))\sira {\op{H}}^n(X\times Y;k)$$
Wir k"onnen aber ohne zus"atzliche Wahlen keinen derartigen Isomorphismus
auszeichnen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Aus \eref{KuFd}{TSF},  \eref{KueFx}{TSF}  mag man zum Vergleich
  die  K"unnethformel
  f"ur die kompakte Kohomologie
  $a_!\underline{X}\otimes b_!\underline{Y}\sira
  c_!(\underline{X\times Y})$ erinnern, die im Fall eines Koeffizientenrings
  endlicher Torsionsdimension
  f"ur beliebige lokal kompakte Hausdorffr"aume gilt.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Nullte Garbenkohomologie eines Produkts}] 
  Im Fall $n=0$ liefert die Konstruktion der konstanten Garbe $k$
  Isomorphismen ${\op{H}}^0(X;k)\sira \op{Top}(X,k)$ f"ur jede diskrete
  Gruppe $k$ und $\op{Top}(X,k)$ die Menge der
  stetigen Abbildungen von $X$ nach $k$.
  In diesem Fall liefert unser Satz unter gewissen Zusatzannahmen, die sich in
  diesem Fall auch noch als "uberfl"ussig erweisen, die vom Exponentialgesetz
  nach Lemma \ref{topEV} induzierten Abbildungen
  $$\op{Top}(X,\op{Top}(Y,k))\ra \op{Top}(X\times Y,k)$$
  Wir zeigen in \ref{topEV}, da"s unsere Abbildungen
  f"ur lokal zusammenh"angendes $X$ sogar 
  bijektiv sind. In dem Fall schlie"slich,
  da"s $X$ nur endliche viele Zusammenhangskomponenten hat,
  liefert $\boxtimes$ offensichtlich einen Isomorphismus
  $$\op{Top}(X,k)\otimes_k\op{Top}(Y,k)\sira \op{Top}(X\times Y,k)$$
\end{Beispiel}
\begin{Lemma}[\textbf{Variante zum topologischen Exponentialgesetz}]
  Gegeben topologische R"aume $X,Y,D$ mit $D$ diskret induziert das
  Exponentialgesetz f"ur Mengen eine Abbildung
  $\op{Top}(X,\op{Top}(Y,D))\ra \op{Top}(X\times Y,D)$. 
  Ist $X$ lokal zusammenh"angend, so ist unsere Abbildung eine
  Bijektion\label{topEV} 
  $$\op{Top}(X,\op{Top}(Y,D))\sira \op{Top}(X\times Y,D)$$ 
\end{Lemma}
\begin{proof} Sei $F:X\ra \op{Top}(Y,D)$ stetig und $f:X\times Y\ra D$
  das Bild von $F$. Nach Annahme besitzt jedes 
  $x\in X$ eine Umgebung $U$, auf der $F$ konstant ist. Nach Annahme besitzt
  jedes $y\in Y$ eine Umgebung $V$, auf der $F(x)$ konstant ist. Dann ist
  auch $(x',y')\mapsto (F(x'))(y')=f(x',y')$ konstant auf $U\times V$ und
  damit $f$ stetig f"ur die Produkttopologie.
  Ist umgekehrt $f:X\times Y\ra D$ stetig, so gibt es f"ur alle
  $(x,y)\in X\times Y$ Umgebungen $U_{(x,y)}\subset X$
  von $x$ und  $V_{(x,y)}\subset Y$ von $y$ derart,
  da"s $f$ konstant ist auf $U_{(x,y)}\times V_{(x,y)}$.
  Gibt es eine zusammenh"angende Umgebung $U_x$ von $x$, so mu"s $f$ sogar
  konstant sein auf $U_{x}\times V_{(x,y)}$ alias
  $f(x',y)=f(x,y)\;\forall x'\in U_x$ und $y\in Y$. Das hinwiederum zeigt,
  da"s auch $F:x\mapsto (y\mapsto f(x,y))$ lokal konstant sein mu"s.  
\end{proof}










\begin{Satz*}[\textbf{Leray-Hirsch}]
  Gegeben $X\ra Y$ ein Faserb"undel\index{Leray-Hirsch}\label{LeHi} "uber
  einem garbenguten Raum und $k$ ein Kring  und $c_1,\ldots, c_n\in  {\op{H}}^{*}(X;k)$ homogene Klassen, deren R"uckz"uge
f"ur alle $y\in Y$ eine Basis der Kohomologie $ {\op{H}}^{*}(X_y;k)$ der Faser bilden, bilden  $c_1,\ldots, c_n$ auch eine Basis von
${\op{H}}^{*}(X;k)$ als ${\op{H}}^{*}(Y;k)$-Modul.
\end{Satz*}

\begin{proof}[Beweis]
Bezeichne $p:X\ra Y$ die Projektion.
Eine Klasse $c\in {\op{H}}^{q}(X;k)$ k"onnen wir nach \eref{GTH}{TD} 
auffassen als einen  Morphismus 
$c : p^{\ast} \underline{Y} \ra \underline{X}[q]$
in der derivierten
Kategorie der  Garben von $k$-Moduln
auf $X$. Die Zeilenmatrix $(c_1, \ldots , c_n)$
liefert so einen Homomorphismus
$$\textstyle \bigoplus^{n}_{i=1} \underline{Y} [-q(i)] \ra p_{\ast}
\underline{X}$$
Unser Satz folgt, wenn wir nachweisen, da"s er ein Quasiisomorphismus ist.
Dazu d"urfen wir aber unser Faserb"undel als trivial annehmen  
und dann folgt
die Behauptung aus garbengutem Basiswechsel \ref{DGFBW}.
\end{proof}

\begin{Satz*}[\textbf{Leray-Hirsch, Variante}]
  Gegeben $X\ra Y$ ein Faserb"undel\index{Leray-Hirsch!Variante} "uber einem
  garbenguten Raum und $k$ ein Kring
  und $s\in\DN$ und homogene Kohomologieklassen $c_i\in  {\op{H}}^{q(i)}(X;k)$ f"ur $i=1,\ldots,n$, deren R"uckz"uge\label{LeHiV} 
f"ur alle $y\in Y$ eine Basis der abgeschnittenen
Kohomologie $ {\op{H}}^{\leq s}(X_y;k)$ der Faser bilden,
induziert die durch Multiplikation mit 
$c_1,\ldots, c_n$ gegebene Abbildung  in allen Graden $\leq s$ einen Isomorphismus
$$\textstyle\bigoplus_{i=1}^n{\op{H}}^{*}(Y;k)[-q(i)] \ra {\op{H}}^{*}(X;k)$$ 
\end{Satz*}

\begin{proof}[Beweis]
Bezeichne $p:X\ra Y$ die Projektion.
Eine Klasse $c\in {\op{H}}^{q}(X;k)$ k"onnen wir nach \eref{GTH}{TD} 
auffassen als einen  Morphismus 
$c : p^{\ast} \underline{Y} \ra  \underline{X}[q]$
in der derivierten
Kategorie der abelschen Garben auf $X$. Die Zeilenmatrix $(c_1, \ldots , c_n)$
liefert so einen Homomorphismus
$$\textstyle \bigoplus^{n}_{i=1} \underline{Y} [-q(i)] \ra \tau^{\leq s}p_{\ast} \underline{X}$$
Unser Satz folgt, wenn wir nachweisen, da"s er ein Quasiisomorphismus ist.
Dazu d"urfen wir aber unser Faserb"undel als trivial annehmen  
und dann folgt
die Behauptung aus garbengutem Basiswechsel \ref{DGFBW}.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
  Wir nennen einen Morphismus $f:(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$ von gekringten R"aumen {\bf flach}, wenn f"ur alle $x\in X$ der Halm
  $\mathcal A_x$ ein flacher $\mathcal B_{f(x)}$-Modul ist.
  Wir nennen ihn {\bf starr},\index{starr!Morphismus gekringter R"aume}
  wenn $\mathcal A$ starr ist in der Schmelzkategorie
  $\op{Der}_{(X,f^*\mathcal B)}$. 
\end{Bemerkungl}




\begin{Satz}[\defind{Derivierter gefaserter 
Basiswechsel in gekringten R"aumen}]
  Sind in einem kartesischen  Diagramm von gekringten R"aumen
$f q=p g$ 
die Horizontalen\label{DGFBWgk} $p,q$ starr und 
garbengut und sind die Vertikalen flach,
so ist der Basiswechsel auf den
 derivierten Kategorien von Modulgarben eine  Isotransformation
$$p^{\ast} f_{\ast} \siRa g_{\ast} q^{\ast} $$
\end{Satz}

\begin{proof}
 Wir bemerken zun"achst, da"s jeder Morphismus $(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$ von gekringten R"aumen
  faktorisiert als $(X,\mathcal A)\ra (X,f^*\mathcal B)\ra (Y,\mathcal B)$.
  Jedes kartesische Quadrat von gekringten R"aumen
  l"a"st sich  mithin erhalten als Verklebung
  der vier kartesischen Quadrate
  \begin{displaymath}
 \xymatrix{
   (W,g^*\mathcal C\otimes_{v^*\mathcal B}q^*\mathcal A)\ar[r]\ar[d] &  (W,q^*\mathcal A)\ar[d]\ar[r]^q  &   (X,\mathcal A) \ar[d]
   \\
   (W,g^*\mathcal C)\ar[d]^g\ar[r]   & (W,v^*\mathcal B)\ar[d]^g\ar[r]^q &   (X,f^*\mathcal B) \ar[d]_f\\
 (Z,\mathcal C)\ar[r]  & (Z,p^*\mathcal B)\ar[r]^p  &  (Y,\mathcal B) }
  \end{displaymath}
  Hier schreiben wir  $v=pg=fq$ und
die Sternchen meinen  R"uckz"uge von Kringgarben. 
  Es reicht also, f"ur jedes dieser vier
  kartesischen Quadrate zu pr"ufen, da"s der Basiswechsel
  f"ur Modulgarben
  ein Isomorphismus ist.  Im Quadrat oben links geht es nur
  um Beziehungen zwischen Restriktion und Erweiterung von Skalaren, 
 da folgt die Behauptung aus der Voraussetzung der Flachheit der $\mathcal A_x$ "uber  $\mathcal B_{f(x)}$, die dazu f"uhrt, da"s jeder quisflache
  Komplex von $\mathcal A$-Modulgarben zu einem  quisflachen
  Komplex von $\mathcal B$-Modulgarben restringiert.
  Im Quadrat oben rechts werden nur Kringoperationen zur"uckgezogen und
  die Behauptung ist  klar.  Im Quadrat unten rechts steht unser gew"ohnlicher
  garbenguter Basiswechsel f"ur abelsche Garben \ref{DGFBW},
  die zus"atzliche Struktur als
  Modulgarben ist irrelevant  nach \eref{VeVS}{TSF}.
  Im Quadrat unten links schlie"slich k"onnen wir die
  starre Projektionsformel \eref{fui}{TSF} anwenden.
 \end{proof}



\begin{Satz}[\textbf{Vorschub und Boxprodukt}]
     Seien $S$ ein garbenguter Raum und\label{SrpV} 
  $f:X\ra Y$ stetig und $k$ ein Kring.
     Seien zus"atzlich  $\mathcal E\in \op{Der}(\op{Ab}_{/(S,k)})$ starr und
     $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/(Y,k)})$ beliebig.  So ist 
     der Morphismus aus \eref{fuiBP}{TSF}  ein Isomorphismus
     $$\mathcal E\boxtimes f_*\mathcal F\sira
     (\op{id}\times f)_*(\mathcal E\boxtimes \mathcal F)$$
\end{Satz}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vorschub und relatives Boxprodukt}]
  Ist allgemeiner $S\ra Z$ garbengut und  $Y\ra Z$ stetig und sonst alles
  wie zuvor, so ist
  mit demselben Beweis 
  der Morphismus aus \eref{fuiBP}{TSF}  ein Isomorphismus
  $$\mathcal E\boxtimes_Z f_*\mathcal F\sira
     (\op{id}\times f)_*(\mathcal E\boxtimes_Z \mathcal F)$$
\end{Bemerkungl}
 
\begin{proof}  Wir notieren $\op{pr}_{A,B}:A\times B\ra B$ und
  $\op{pr}_{B,A}:A\times B\ra A$ die Projektionen und faktorisieren
  den in \eref{fuiBP}{TSF}
  gegebenen Morphismus als die Komposition von Isomorphismen 
  $$\begin{array}{llll}
    \mathcal E\boxtimes f_*\mathcal F&=& \op{pr}_{Y,S}^*\mathcal E\otimes \op{pr}_{S,Y}^* f_*\mathcal F&\text{per definitionem,}\\
    &\sira& \op{pr}_{Y,S}^*\mathcal E\otimes (\op{id}\times f)_*\op{pr}_{S,X}^*\mathcal F&\text{mit Basiswechsel,}\\
    &\sira& (\op{id}\times f)_*\big( (\op{id}\times f)^*\op{pr}_{Y,S}^*\mathcal E\otimes\op{pr}_{S,X}^*\mathcal F\big)&\text{mit Starrheit,}\\
    &\sira& (\op{id}\times f)_*( \op{pr}_{X,S}^*\mathcal E\otimes\op{pr}_{S,X}^*\mathcal F)&\text{mit Identifikation,}\\
    &=& (\op{id}\times f)_*( \mathcal E\boxtimes \mathcal F)&\text{per definitionem.}\\
  \end{array}$$
  Genauer verwenden wir garbenguten Basiswechsel \ref{DGFBW} 
  und die starre Projektionsformel \eref{fui}{TSF}. 
Da"s die im Beweis gegebene Komposition 
in der Tat mit dem in \eref{fuiBP}{TSF}
angegebenen Morphismus zusammenf"allt, 
 mag einmal ein  Student pr"ufen. 
\end{proof}



\begin{Korollar}[\textbf{Zweifacher Vorschub und Boxprodukt}]
  Gegeben seien stetige Abbildungen
  $f_1:X_1\ra Y_1$ und $f_2:X_2\ra Y_2$ mit 
  $X_1,Y_2$ garbengut und $k$ ein Kring. 
  So ist f"ur   $\mathcal F_i\in \op{Der}(\op{Ab}_{/(X_i,k)})$ mit
  $\mathcal F_1$ starr
  und $f_{2*}\mathcal F_2$ starr
     der Morphismus aus \eref{fuiBP}{TSF}  ein Isomorphismus\label{zfexV} 
     $$f_{1*}\mathcal F_1\boxtimes f_{2*}\mathcal F_2\sira
     (f_1\times f_2)_*(\mathcal F_1\boxtimes \mathcal F_2)$$
\end{Korollar}
\begin{proof}
  Man wende das vorhergehende Korollar \ref{SrpV} zweimal an.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Zweifacher Vorschub und relatives  Boxprodukt}]
   Gegeben  stetige Abbildungen
  $f_1:X_1\ra Y_1$ und $f_2:X_2\ra Y_2$ "uber einem festen Raum $Z$ mit 
   $X_1\ra Z$ und $Y_2\ra Z$ garbengut und $k$ ein Kring  ist f"ur
   $\mathcal F_i\in \op{Der}(\op{Ab}_{/(X_i,k)})$ mit
   $\mathcal F_1$ starr
   und $f_{2*}\mathcal F_2$ starr mit demselben Argument
   wie beim Beweis von \ref{zfexV} der Morphismus aus \eref{fuiBP}{TSF} 
   ein Isomorphismus\label{zfexVv} 
     $$f_{1*}\mathcal F_1\boxtimes_Z f_{2*}\mathcal F_2\sira
     (f_1\times f_2)_*(\mathcal F_1\boxtimes_Z \mathcal F_2)$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Einfache Vertr"aglichkeiten von Boxprodukten}]
  Ich will in diesem Zusammenhang nocheinmal daran erinnern,
  welche Vertr"aglichkeiten mit Boxprodukten allgemein gelten
  und einfach zu haben sind.
  Gegeben eine banale Trennfaserung $\mathscr G\ra\curlywedge\mathscr T$
  und Morphismen  
    $f_1:X_1\ra Y_1$ und $f_2:X_2\ra Y_2$
    "uber einem festen Objekt $Z$ der Basis 
     erhalten wir  f"ur
   $\mathcal G_i\in \mathscr G_{/Y_i}$ 
     nach \eref{extTr}{TSF}
     in voller Allgemeinheit, wenn die Faserprodukte
     existieren, einen Isomorphismus\label{fgtI}  
     $$ (f_1\times f_2)^*(\mathcal G_1\boxtimes_Z \mathcal G_2)\sira
    f_{1}^*\mathcal G_1\boxtimes_Z f_{2}^*\mathcal G_2$$ 
    Gegeben  eine  Trennaustauschsituation
    $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek
    \leftarrow\mathscr G^\shriek,  \mathscr T^{\op{e}})$ mit
    voller Trennverflechtung
    erhalten wir "ahnlich nach \eref{VexP}{TSF},
    wenn die Faserprodukte existieren
    und $f_1,f_2$ und $f_1\times_Z f_2$  Schreimorphismen sind,
      f"ur $\mathcal F_i\in \mathscr G_{/X_i}$ einen Isomorphismus  
     $$ f_{1!}\mathcal F_1\boxtimes_Z f_{2!}\mathcal F_2 \sira
    (f_1\times f_2)_!(\mathcal F_1\boxtimes_Z \mathcal F_2)$$
\end{Bemerkungl}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung} Wir diskutieren
    \ref{VarKK} noch etwas weiter. 
  Gegeben  topologische R"aume $X,Y$ mit $X$ garbengut
  und ein erblicher
  Kring $k$ betrachten wir zum 
zum Komplex $B\pdef b_*\underline{Y}$ von $k$-Moduln das Diagramm
\begin{displaymath}
  \xymatrix{
   &[-q]\mathcal H^{q}B\ar[dl]^-{[1]}_0&&[-(q+1)]\mathcal H^{q+1}B\ar[dl]^-{[1]}_0&\\
   \ldots \tau^{\leq q-1}B\ar[rr]&&\tau^{\leq q}B\ar[rr]\ar[ul]
    &&\tau^{\leq q+1}B\ar[ul]\ldots
}
\end{displaymath}
betrachten. Die Morphismen vom Grad Eins der ausgezeichneten Dreicke verschwinden wie
angedeutet nach \eref{DKHa}{TD}, da wir $k$ erblich angenommen haben.
Alle Morphismen der unteren Horizontalen sind also spaltende Einbettungen
in der additiven Kategorie $\op{Der}(\op{Mod}_k)$.
Wenden wir auf dieses Diagramm $\mathcal H^n a_*a^*$ an, so erhalten wir eine
gradweise unkanonisch spaltende Filtrierung von
$\mathcal H^n a_*a^* b_*\underline{Y}={\op{H}}^n(X\times Y;k)$
und einen kanonischen Isomorphismus 
$$\op{gr}{\op{H}}^n(X\times Y:k)\ra \bigoplus_{p+q=n}{\op{H}}^p( X;{\op{H}}^q(Y;k))$$
Es ist eine gute "Ubung zu zeigen, da"s unsere Filtrierung
den Kohomologiering  des Produkts
zu einem filtrierten Ring macht und da"s unser
kanonischer Isomorphismus ein Ringhomomorphismus wird, wenn wir
die Multiplikation rechts erkl"aren, indem wir das
Produkt $${\op{H}}^p( X;K)\times {\op{H}}^q( X;L)\ra {\op{H}}^{p+q}( X;K\otimes L)$$
aus \eref{cpKO}{TSF} mit $K={\op{H}}^k(Y)$ und $L={\op{H}}^l(Y)$  anwenden
und den Effekt des Cup-Produkts ${\op{H}}^k(Y)\otimes {\op{H}}^l(Y)\ra {\op{H}}^{k+l}(Y)$
nachschalten.
\end{Ubung}


\subsection{Schreiazyklisches}
\begin{Definition}\label{azyS}
Eine lesb-Abbildung topologischer R"aume 
$f:X\ra Y$ hei"se
{\bf schreiazyklisch},\index{schreiazyklisch!stetige Abbildung} 
wenn f"ur  jeden
Komplex 
$\cal{F} \in \op{Der} (\op{Ab}_{/Y})$
die Koeinheit der Adjunktion
 ein  Isomorphismus 
$$f_!f^!\cal{F} \sira 
\cal{F}$$
ist. Sie hei"se  
{\bf basisfest  
schreiazyklisch}\index{basisfest!schreiazyklisch}\index{schreiazyklisch!basisfest} oder kurz {\bf basazyklisch},\index{basazyklisch} 
wenn sie unter jedem Basiswechsel eine 
schreiazyklische Abbildung liefert, wenn also in Formeln
f"ur jede stetige Abbildung 
$Z\ra Y$ die induzierte Abbildung 
$X\times _Y Z\ra Z$ schreiazyklisch ist.
Ein topologischer Raum $X$ hei"se 
{\bf schreiazyklisch}\index{schreiazyklisch!topologischer Raum}
beziehungsweise {\bf basisfest  
schreiazyklisch} oder kurz {\bf basazyklisch},
wenn die konstante Abbildung $X\ra\op{pt}$ die entsprechende 
Eigenschaft hat.
\end{Definition}

\nichtfinal{\begin{Beispiel}
  Der $\DR^n$ ist basazyklisch f"ur alle $n\in\DN$ nach \ref{rzlG}.\label{rnBa} 
\end{Beispiel}}

\begin{Bemerkungl}
  Wir nennen zwei lesb-Abbildungen $f,g:X\ra Y$ {\bf lesb-homotop},
  wenn es eine lesb-Abbildung $H:X\times \DR\ra Y$ gibt mit
  $f=H\circ i_0$ und $g=H\circ i_1$.
  Aus lesb-homotopen Abbildungen werden durch Vorschalten ebenso wie
  durch Nachschalten einer lesb-Abbildung  
  stets wieder lesb-homotope Abbildungen.
  Wir k"onnen so die Kategorie $\op{Hot}^{\op{lesb}}$ bilden mit
  topologischen R"aumen als Objekten und lesb-Abbildungen bis auf Homotopie
  als Morphismen. Ein Raum hei"se  {\bf lesb-zusammenziehbar}, wenn er
  in dieser Kategorie isomorph ist zum Einpunktraum. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Wir erinnern aus \ref{kwAm}, da"s jede stetige Abbildung
   einer Filtrierfaltigkeit in einen Hausdorffraum lesb ist. Eine
  Filtrierfaltigkeit ist insbesondere lesb-zu\-sam\-men\-zieh\-bar genau dann,
  wenn sie zusammenziehbar ist. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Satz}
  Jeder  lesb-zusammenziehbare Raum  basazyklisch.\label{zgsaS}
\end{Satz}
\begin{proof}
  Gegeben ein topologischer Raum $S$ und 
  $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/S})$ 
  liefert der Formalismus aus dem Beweis \ref{zgsaf}
  einen Funktor auf der Kategorie
  $\op{Top}^{\op{lesb}}_S$ mit lesb-Morphismen $a:A\ra S$ als Objekten
  und lesb-Morphismen "uber $S$ als Morphismen, 
   den wir
   $${\op{H}}^S(\;\;;\mathcal G):
   \op{Top}_S^{\op{lesb}}\ra \op{Der}(\op{Ab}_{/S})$$
   notieren.
   Explizit setzen wir ${\op{H}}^S(A;\mathcal G)\pdef a_!a^! \mathcal G$
   und f"ur $b:B\ra S$ ein weiteres Objekt und $f:A\ra B$ ein Morphismus
   nehmen wir als Vorschub die Komposition 
   $$f_\sharp:\op{a}_{!}a^!\mathcal G\sira \op{b}_{!}f_!f^!b^!\mathcal G
   \ra\op{b}_{!}b^!\mathcal G$$ von durch  Identifikationen
   und Koeinheit der Adjunktion gegebenen Morphismen.
   Unsere Erkenntnisse \ref{rnBa} zeigen, da"s
  f"ur einen Raum $A\in \op{Top}_S^{\op{lesb}}$ "uber $S$ die Projektion
  $\pi:A\times\DR\sra A$ eine lesb-Abbildung ist
  und der \glqq relative Vorschub\grqq\ stets ein
  Isomorphismus
  $$\pi_\sharp:
  {\op{H}}^S(A\times \DR;\mathcal G)\sira {\op{H}}^S(A;\mathcal G)$$
   F"ur $i_t:A\hra A\times \DR$ die durch das
  Dahinterschreiben von $t\in \DR$ gegebene Abbildung folgt
  daraus wegen $\pi_\sharp\circ i_{t\sharp} =\op{id}$, da"s sie gar nicht von $t$
  abh"angt. Das k"onnen wir insbesondere f"ur jeden lesb-Raum $X$
  auf $A\pdef X\times S$ anwenden.
  Sind also lesb-Abbildungen $f,g:X\ra Y$ von lesb-R"aumen
   lesb-homotop,
  so finden wir 
  $$(f\times {\op{id}})_\sharp=(g\times {\op{id}})_\sharp:
  {\op{H}}^S(X\times S;\mathcal G)\ra {\op{H}}^S(Y\times S;\mathcal G)$$
  Jede lesb-Homotopie"aquivalenz $f:Y\ra Z$ induziert folglich
  einen Isomorphismus 
$(f\times {\op{id}})_\sharp:
  {\op{H}}^S(Y\times S;\mathcal G)\sira {\op{H}}^S(Z\times S;\mathcal G)$.
  Ist insbesondere $Z$ ein lesb-zusammenziehbarer Raum,
  so ist der relative Vorschub
  zur Projektion $c:Z\times S\ra S$ ein Isomorphismus
$c_\sharp:
  {\op{H}}^S(Z\times S;\mathcal G)\sira {\op{H}}^S( S;\mathcal G)$
  alias die Koeinheit der Adjunktion ein Isomorphismus
  $c_!c^!\mathcal G\sira \mathcal G$. 
\end{proof}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Permanenzeigenschaften schrei- und basazyklischer Abbildungen}]
Jede Verkn"upfung schreiazyklischer Abbildungen ist schreiazyklisch.\label{ZFcn} Ist $g\circ f$ schrei\-azyklisch und $f$ 
schrei\-azyklisch,
so ist auch $g$ schrei\-azyklisch. % nach \ref{BNA}.
Ist 
$f:X\ra Y$ stetig und besitzt $Y$ eine "Uberdeckung 
durch offene Teilmengen $U\co Y$ derart, da"s $f:f^{-1}(U)\ra U$ 
jeweils schrei\-azyklisch ist, so ist schon $f:X\ra Y$ selbst schrei\-azyklisch. Insbesondere
ist jedes Faserb"undel mit schreiazyklischer Faser schreiazyklisch.
Diesselben Permanenzeigenschaften folgen f"ur basazyklische Abbildungen.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Einen lesb-Raum, der sowohl bagazyklisch als auch basazyklisch ist,
  nennen wir {\bf basbagazyklisch}.\index{basbagazyklisch} Nach \ref{zgsaf} und
  \ref{zgsaS} ist jeder zusammenziehbare lesb-Raum basbagazyklisch.   
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Komplexe Variet"aten sind offenlokal basbagazyklisch}] 
Jede komplexe algebraische Variet"at ist mit 
ihrer analytischen Topologie offenlokal zusammenziehbar nach
\ref{LZSz} und im wesentlichen nach  
\cite{HiPo}.  Jede separierte komplexe algebraische Variet"at ist andererseits
eine Filtrierfaltigkeit und insbesondere ein lesb-Raum. Insbesondere ist jede
separierte komplexe algebraische Variet"at mit ihrer analytischen Topologie
ein offenlokal basbagazyklischer lesb-Raum.
\end{Beispiel}



\begin{Definition}
  Sei $f : X \ra Y$ eine lesb-Abbildung.
  Wir sagen, ein Komplex von abelschen Garben 
$\cal{F}\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ {\bf kommt schreiend her
  von} $Y$, wenn es 
$\cal{G} \in \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ gibt mit $\cal{F} \cong
  f^{!} \cal{G}$.
\end{Definition}
\begin{Lemma}\label{khs} %war \label{kh}
Seien $f: X \ra Y$ schreiazyklisch und $\cal{F} \in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$.
So sind gleichbedeutend:
\begin{enumerate}
\item
Das  Objekt $\cal{F}$ kommt schreiend her von $Y$;
\item
Die Einheit der Adjunktion liefert einen Isomorphismus
$\mathcal F\sira f^{!} f_{!} \cal{F}$;
\item
Es gibt eine offene "Uberdeckung $\cal{U}\subset \cal{P}(Y)$ von $Y$ derart,
da"s f"ur alle $U\in \cal{U}$ die Einschr"ankung 
$\cal{F}|_{f^{-1}(U)}$ schreiend von $U$ herkommt.
\end{enumerate}
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Die Definition schreiazyklischer Abbildungen und formale Eigenschaften
adjungierter Funktoren nach \eref{FADJj}{TF} liefern 1 $\Leftrightarrow $ 2.
Formulieren wir 3 um vermittels dieser Erkenntnis, so erhalten wir
auch
2 $\Leftrightarrow $ 3.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben $f:X\ra Y$ ein schreiazylisch
   und $\mathcal F,\mathcal  G\in
  \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ Garbenkomplexe ist ein Morphismus 
  $\varphi: f^!\mathcal F\ra f^!\mathcal  G$ offensichtlich
  genau dann ein Isomorphismus,\label{kshe} 
  wenn er einen Isomorphismus
  $f_!\varphi:f_! f^!\mathcal F\sira f_! f^!\mathcal  G$ induziert.
\end{Bemerkungl}
  





\subsection{Anwendung auf Mannigfaltigkeiten}
\begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s wir eine $n$-Mannigfaltigkeit
  erkl"art hatten als einen Hausdorffraum, der lokal hom"oomorph ist zu
  $\DR^n$. Zus"atzliche Voraussetzungen wie abz"ahlbar basiert oder parakompakt
  fordern wir explizit, wenn sie gebraucht werden.  Wir erkl"aren eine
  {\bf Filtrierfaltigkeit}\index{Filtrierfaltigkeit} oder genauer
  {\bf $n$-Filtrierfaltigkeit} nach \eref{kkkV}{TG}
  als einen lokal kompakten Hausdorffraum $X$,\label{dFiV} der eine Filtrierung
 $$X=X^{{\leq n}}\supset X^{{\leq n-1}}\supset\ldots\supset X^{{\leq 0}}
 \supset \emptyset =X^{{\leq -1}}=X^{{\leq -2}}=\ldots$$ durch abgeschlossene
 Teilmengen besitzt derart, da"s $X^{{\leq q}}\backslash X^{{\leq q-1}}$
 jeweils eine $q$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit ist. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}[\textbf{Filtrierfaltigkeiten sind lesb}]
  Gegeben eine $n$-Filtrierfaltigkeit $M$ besitzt jede
  abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $M$ eine Aufl"osung
  $\mathcal F\hra \mathcal G_0\ra\ldots \ra\mathcal G_{n-1}\sra \mathcal K_{n}$
  der L"ange $n$ durch kompaktweiche Garben $G_0,\ldots,\mathcal G_{n-1}, \mathcal K_{n}$,\label{kwAm}   
  ja jede von
  einer Filtrierfaltigkeit ausgehende stetige Abbildung in einen Hausdorffraum
  ist lesb. 
\end{Lemma}
\begin{proof} Bezeichne $\mathcal K_i\subset \mathcal G_i$ die Kerne in einer
  beliebigen Aufl"osung durch kompaktweiche Garben und insbesondere
  $\mathcal K_0=\mathcal F$. Die Randoperatoren
  der entsprechenden
  langen exakten
  Sequenzen liefern f"ur alle $U\co M$ Isomorphismen $${\op{H}}_!^1(U;\mathcal K_{n}) \sira {\op{H}}_!^2(U;\mathcal K_{n-1})\sira \ldots\sira {\op{H}}_!^{n+1}(U;\mathcal F)$$
  Nach  \eref{kkkV}{TG}
  ist die Gruppe  ganz rechts Null. Wir folgern
  ${\op{H}}_!^1(U;\mathcal K_{n})=0$ f"ur alle $U\co M$ und nach "Ubung \eref{kwil}{TG}
  ist damit $\mathcal K_{n}$ kompaktweich. 
\end{proof}

\begin{Lemma}
Auf einem abz"ahlbar basierten lokal kompakten Hausdorffraum sind alle 
kompaktweichen abelschen Garben weich.\label{kww} 
\end{Lemma}
\begin{proof} 
Sei $X$ unser Raum. Wir finden eine "Uberdeckung von $X$ durch eine 
aufsteigende Folge $K_0\subset K_1\subset\ldots$ von Kompakta derart,
da"s sogar gilt 
$K_i\subset K_{i+1}^\circ$ f"ur alle $i$. Seien nun $\mathcal F$ unsere
kompaktweiche Garbe und $Z\As X$ abgeschlossen und 
$s\in \Gamma(Z;\mathcal F)$ ein Schnitt "uber $Z$.
Sicher k"onnen wir $s|(K_0\cap Z)$ zu einem globalen Schnitt
mit kompaktem Tr"ager $g_0\in\Gamma_!(X;\mathcal F)$ ausdehnen.
Dann k"onnen wir 
den Nullschnitt auf $K_0$ mit dem Schnitt 
$(s-g_0)$ auf $K_1\cap Z$ verkleben zu einem Schnitt
$s_1$ auf $K_0\cup (K_1\cap Z)$ und k"onnen diesen ausdehnen 
zu einem globalen Schnitt
mit kompaktem Tr"ager $g_1\in\Gamma_!(X;\mathcal F)$.
Dann gilt $s=g_0+g_1$ auf $K_1\cap Z$ und $g_1=0$ auf $K_0$.
Dann k"onnen wir 
den Nullschnitt auf $K_1$ mit dem Schnitt 
$s-g_0-g_1$ auf $K_2\cap Z$ verkleben
zu einem Schnitt
$s_2$ auf $K_1\cup (K_2\cap Z)$ und k"onnen diesen ausdehnen 
zu einem globalen Schnitt
mit kompaktem Tr"ager $g_2\in\Gamma_!(X;\mathcal F)$.
Dann gilt $s=g_0+g_1+g_2$ auf $K_2\cap Z$ und $g_2=0$ auf $K_1$.
So machen wir immer weiter. Da alle $g_{i+1}$ jeweils auf $K_i$ verschwinden
und kompakten Tr"ager haben, ist die Summe
$\tilde s\pdef \sum_{i=0}^\infty g_i$ ein sinnvoll definierter globaler Schnitt 
$\tilde s\in \Gamma(X;\mathcal F)$. Nach Konstruktion setzt er unseren 
Schnitt $s$ fort.
\end{proof}

\begin{Proposition}[\textbf{Kohomologie oberhalb der Dimension}] 
  Gegeben eine abz"ahlbar basierte $n$-Filtrierfaltigkeit $M$ und
  eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $M$ gilt\label{phqnk}
  $$q>n\;\;\RA \;\;{\op{H}}^q(M;\mathcal F)=0$$
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl} Ich w"u"ste gerne, ob die Alexandroff'sche Halbgerade
  nichtverschwindende
  Garbenkohomologie oberhalb ihrer Dimension hat. Vielleicht kann mir das
  einmal ein Student untersuchen.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
  Nach \ref{kwAm} besitzt $\mathcal F$ eine kompaktweiche Aufl"osung der
  L"ange $n$. Nach \ref{kww} besteht sie 
  aus weichen Garben. Nach
  \eref{waz}{TG} sind weiche Garben $\Gamma$-azyklisch
  auf parakompakten R"aumen.
  Nach \eref{KrPar}{TG} schlie"slich ist $M$ parakompakt. 
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokale Kohomologie oberhalb der Dimension plus Eins}]
  Gegeben eine abz"ahlbar basierte $n$-Filtrierfaltigkeit und eine abgeschlossene Teilmenge   $C\As M$
  folgt aus dem Verschwinden der Kohomologie oberhalb der Dimension \ref{phqnk} mit der langen exakten Sequenz der lokalen Kohomologie \eref{LEslk}{TG}
  sofort\label{hKab} 
  $$q>n+1\;\RA \;{\op{H}}^q_C(M;\mathcal F)=0$$  
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma} Gegeben eine abz"ahlbar basierte $n$-Filtrierfaltigkeit
  $M$ besitzt jede
  abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $M$ eine Aufl"osung
  $\mathcal F\hra \mathcal G_0\ra\ldots \ra\mathcal G_{n}\sra \mathcal K_{n+1}$
  der L"ange $n+1$ durch welke Garben
  $\mathcal G_0,\ldots,\mathcal G_{n},\mathcal K_{n+1}$.\label{wAm}  
\end{Lemma}
\begin{proof} Bezeichne $\mathcal K_i\subset \mathcal G_i$ die Kerne in einer
  beliebigen Aufl"osung durch welke Garben. Die Randoperatoren
  der entsprechenden
  langen exakten
  Sequenzen liefern f"ur alle $C\As M$ Isomorphismen $${\op{H}}_C^1(M;\mathcal K_{n+1}) \sira {\op{H}}_C^2(M;\mathcal K_{n})\sira \ldots\sira {\op{H}}_C^{n+2}(M;\mathcal F)$$
  Nach \ref{hKab} ist die Gruppe  ganz rechts Null. Wir folgern
  ${\op{H}}_C^1(M;\mathcal K_{n+1})=0$ f"ur alle $C\As M$ und nach der langen exakten Sequenz der lokalen Kohomologie \eref{LEslk}{TG}  ist damit $\mathcal K_{n+1}$ welk. 
\end{proof}
\begin{Proposition}
  Gegeben eine  $n$-Filtrierfaltigkeit $M$ und $i:C\hra M$ die Einbettung
  einer lokal abgeschlossenen Teilmenge hat $i^{(!)}$ endliche
  homologische Rechtsdimension $\leq n+1$.\label{hRdz}  
\end{Proposition}
\begin{proof} Es reicht zu zeigen, da"s f"ur jede abz"ahlbar basierte offene Teilmenge
  $U\co M$ mit $C\cap U\As U$ der Funktor $i^{(!)}$ f"ur $i: (C\cap U)\hra  U$
  endliche
  homologische Rechtsdimension $\leq n+1$ hat. Nach \eref{rzwU}{TG}
  k"onnen seine Rechtsderivierten jedoch mit welken Aufl"osungen berechnet werden. So folgt die Proposition aus Lemma \ref{wAm}.
\end{proof}
\begin{Proposition} Die Kategorie der abelschen Garben auf einer abz"ahlbar
  basierten $m$-Mannigfaltigkeit hat eine homologische
  Dimension $\leq 3m+2$.
\end{Proposition}
\begin{proof} Wir erinnern den Isomorphismus 
$ c_*(\op{pr}_X^*\mathcal F{\Rrightarrow} \op{pr}_Y^!\mathcal G)\sira a_!\mathcal F{\Rrightarrow}  b_*\mathcal G
  $ aus \eref{KvTk}{TSF}, den wir auf den Fall abelscher
  Garben $\mathcal F,\mathcal G$  auf Mannigfaltigkeiten
  $X,Y$ mit $a, b,c$ den konstanten Abbildungen von
  $X,Y,X\times Y$ auf den Einpunktraum 
  spezialisieren.
  Sind $m,n$ die Dimensionen von $X,Y$, so folgt 
  $a_!\mathcal F\in \op{Der}^{[0,m]}(\op{Ab})$ aus \ref{kwAm} 
    und $b_* \mathcal G\in \op{Der}^{[0,n]}(\op{Ab})$ aus \ref{phqnk}
      unter der zus"atzlichen Annahme $Y$ abz"ahlbar basiert und, da
        $\op{Ab}$ die homologische Dimension Eins hat, erhalten wir 
      $(a_!\mathcal F{\Rrightarrow}
      b_*\mathcal G)\in \op{Der}^{[-m,n+1]}(\op{Ab})$.   
      Wir finden also
      $$ c_*(\op{pr}_X^*\mathcal F{\Rrightarrow} \op{pr}_Y^!\mathcal G)\in \op{Der}^{[-m,n+1]}(\op{Ab})$$
      Das k"onnen wir auf alle offenen B"alle $U\co X$ und $V\co Y$ anwenden
      und finden so sogar ohne Abz"ahlbarkeitsannahmen an $Y$ 
      mit der Beschreibung der h"oheren Vorsch"ube \eref{RHFu}{TSF}  die Absch"atzung 
      $$ (\op{pr}_X^*\mathcal F{\Rrightarrow} \op{pr}_Y^!\mathcal G)\in \op{Der}^{[-m,n+1]}(\op{Ab}_{/X\times Y})$$
      Jetzt spezialisieren wir zu $X=Y$ und betrachten die diagonale
      Einbettung $\Delta$ und finden   mit \ref{hRdz} f"ur $X$ abz"ahlbar basiert
      $$ \Delta^!(\op{pr}_1^*\mathcal F{\Rrightarrow} \op{pr}_2^!\mathcal G)\in \op{Der}^{[-m,3m+2]}(\op{Ab}_{/X})$$
      Nun beachten wir den Isomorphismus 
      $ \Delta^!(\op{pr}_1^*\mathcal F{\Rrightarrow} \op{pr}_2^!\mathcal G)\sira
      (\mathcal F{\Rrightarrow} \mathcal G)$ nach \eref{rVDe}{TSF} und finden,
      da $a_*\Delta^!={\op{R}}(a_{(*)}\Delta^{(!)})$,
      vergleiche \eref{lkei}{TSF},
      nach \ref{hKab} bereits
      homologische Dimension $\leq 2m+1$ hat, sogar 
      $$a_*(\mathcal F{\Rrightarrow} \mathcal G)\in \op{Der}^{[-m,3m+2]}(\op{Ab})$$
      Andererseits erinnern wir die Isomorphismen
      $$\begin{array}{llll}
        \op{Ext}^q_{\op{Ab}/X}(\mathcal F,\mathcal G)&\sira&\op{Der}_{/X}(\mathcal F,\mathcal G[q])&\text{nach \eref{ErAM}{TD},}\\
        &\sira&\op{Der}_{/X}(\curlyvee,\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G[q])&\text{nach \eref{MorEk}{TSK},}\\
         &\sira&\mathbb H^0(X;\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G[q])&\text{nach \eref{KoLe}{TSF},}\\
 &\sira&\mathcal H^q(a_*(\mathcal F{\Rrightarrow} \mathcal G))&\text{per definitionem.}
      \end{array}$$
      So sehen wir, da"s unsere  Erweiterungsgruppen verschwinden f"ur
      $q>3m+2$. 
\end{proof}
  \begin{Lemma}
    F"ur die konstante Abbildung
  $c:E\ra \op{top}$ eines endlichdimensionalen reellen affinen Raums
  auf einen Punkt und alle $G\in \op{Der}(\op{Ab})$ induziert die Einheit der Adjunktion $(c_!,c^!)$  einen Isomorphismus\label{esL} 
  $$c_*c^*G\sira c_*c^!c_!c^*G$$  
  \end{Lemma}
  \begin{Bemerkungw} In \ref{qret} zeigen wir st"arker, da"s  die Einheit der Adjunktion $(c_!,c^!)$ sogar einen Isomorphismus 
  $c^*G\sira c^!c_!c^*G$ induziert.
  \end{Bemerkungw}
  \begin{proof}
    Wir wissen aus \eref{kkRn}{TG},
    da"s $c_!\DZ_E$ in $\op{Der}(\op{Ab})$ eine Einheit
    im Sinne von \eref{EIIp}{TSK} ist. Wir wissen aus \ref{kwAm} \nichtfinal{(erzeuge Referenz nur f"ur Mannigfaltigkeiten)}, da"s $E$ lesb ist, so da"s uns f"ur $c$ die Projektionsformel auf der vollen derivierten Kategorie zur Verf"ugung steht.  
    Die Isomorphismen $c_!c^*G\sira c_!(\DZ_E\otimes c^*G)
    \sira (c_!\DZ_E)\otimes G$ zum Tensorprodukt mit dem Einsobjekt gefolgt
    vom Isomorphismus  der Projektionsformel \eref{ProjFF}{TSF} in der
    voll verflochtenen Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion der derivierten
    Modulgarben \eref{tzGG}{TSF} zeigen damit,
    da"s $c_!c^*$ eine "Aquivalenz von Kategorien ist.
  Dasselbe gilt f"ur den adjungierten Funktor $c_*c^!$. Also ist
  die Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus
  $G\sira c_*c^!c_!c^*G$. Dieser Isomorphismus  faktorisiert 
  als $G\ra c_*c^*G\ra c_*c^!c_!c^*G$ mit den von den Einheiten der
  Adjunktionen $(c^*,c_*)$ und $(c_!,c^!)$ herr"uhrenden Morphismen.
  Der erste dieser Morphismen ist ein Isomorphismus nach \ref{zgsaf}.
  Also ist auch der zweite  dieser Morphismen ein Isomorphismus.
  \end{proof}





  
  \begin{Lemma}
    F"ur $i: \op{top}\hra E$ die Einbettung eines  Punktes
    in einen endlichdimensionalen reellen affinen Raum und
    $c:E\ra \op{top}$ die konstante Abbildung und
    $ G\in \op{Der}(\op{Ab})$ beliebig induziert die Koeinheit der Adjunktion
    einen Isomorphismus\label{kDdh} 
    $$c_!i_!i^!c^*G\sira c_!c^*G$$
  \end{Lemma}
  \begin{proof} Ist $G$ ein in einem einzigen homologischen
    Grad konzentrierter Komplex, so hatten wir
  das bereits in \eref{kioM}{TSF} in anderen Notationen und unter der Annahme $\op{dim}E\geq 1$ bewiesen. Im Fall $\op{dim}E=0$ ist die Behauptung eh klar. Damit ist die Proposition bewiesen f"ur den Fall, da"s $G$ in einem
  Grad konzentriert ist. Mit d\'evissage folgt sie sofort
  f"ur $G\in \op{Der}^{\op{b}}(\op{Ab})$.
  Nun bilden beide Seiten $\op{Der}^{\geq r}(\op{Ab})$
  in sich selber ab
  und  $\op{Der}^{\leq r}(\op{Ab})$ in $\op{Der}^{\leq r+n+1}(\op{Ab})$
   beziehungsweise st"arker  $\op{Der}^{\leq r+n}(\op{Ab})$  wegen \ref{hRdz} 
   beziehungsweise \eref{phq}{TG} und unseren Erkenntnissen \eref{UbDe}{TD}
   zum Derivieren homologisch rechtsendlicher Funktoren. 
   Die zu festem $q$ von unserem Morphismus auf $\mathcal H^q$ induzierte
   Abbildung "andert sich also nicht, wenn wir erst zu $\tau^{\leq q}G$ und dann zu $\tau^{\geq q-n-1}\tau^{\leq q}G$ "ubergehen. Mithin ist sie 
   f"ur alle $q$ und alle $G$ ein Isomorphismus.
  \end{proof}



\begin{Lemma}
  Gegeben  $j:D\hra E$ die Einbettung einer offenen konvexen nichtleeren
  Teilmenge in einen endlichdimensionalen reellen affinen Raum
  und $c:E\ra\op{top}$ die konstante Abbildung  und  $G\in \op{Der}(\op{Ab})$ induziert die Koeinheit der Adjunktion einen Isomorphismus\label{qrjt} 
  $$c_!j_!j^!c^*G\sira c_!c^*G$$  
\end{Lemma}
\begin{proof} Sei $i:\op{top}\ra D$ die Einbettung eines Punktes.
  Wir betrachten  die Komposition $c_!j_!i_!i^!j^!c^*G\ra c_!j_!j^!c^*G\ra c_!c^*G$ mit den durch Koeinheiten der Adjunktionen gegebenen Morphismen.
  Wegen $j^!=j^*$ und \ref{kDdh} ist hier der erste Morphismus
  ein Isomorphismus. Mit einer zweiten Anwendung von \ref{kDdh} ist
  auch die Verkn"upfung ein Isomorphismus. Das Lemma folgt.
\end{proof}
  \begin{Proposition}
   F"ur die konstante Abbildung
  $c:E\ra \op{top}$ eines endlichdimensionalen reellen affinen Raums
  auf einen Punkt und alle $G\in \op{Der}(\op{Ab})$ induziert die Einheit der Adjunktion $(c_!,c^!)$  einen Isomorphismus\label{qret} 
  $$c^*G\sira c^!c_!c^*G$$  
  \end{Proposition}
  \begin{Bemerkungw} Eine relative Version dieser Aussage zeigen wir in \ref{rzGG}.
  \end{Bemerkungw}
\begin{Bemerkungl}\label{KIGl}
  F"ur $G=\DZ$ und $\op{dim}E=n$ liefert uns das  insbesondere
  einen Isomorphismus  
  $\underline{E}\sira c^! {\op{H}}_!^n(E)[-n]$ und damit $\underline{E}\otimes {\op{H}}_!^n(E)^*[n]\sira \omega_E $.
\end{Bemerkungl}

 \begin{proof}
 Nach dem Verschwindungskriterium \eref{VersKK}{TSF}  
  reicht es zu zeigen, da"s 
  f"ur jede Einbettung  $j:D\hra E$ einer nichtleeren konvexen offenen Teilmenge
  unser Morphismus einen Isomorphismus
  $c_*j_*j^! c^* G\sira c_*j_*j^!c^!c_! c^* G$ liefert.
  Nach \eref{KompADs}{TG} f"allt nun aber der von der
  Einheit der Adjunktion induzierte Morphismus $j^! \RA j^!c^!c_!$ zusammen
  mit der aus  Einheiten und Koeinheiten von Adjunktionen
  gebildeten Komposition $$j^!\RA (cj)^! (cj)_! j^!\siRa j^!c^! c_!j_! j^!\RA j^!c^! c_!$$
Wir wissen aus  \ref{qrjt}, da"s  hier 
  die Koeinheit der Adjunktion einen Isomorphismus
  $c_!j_!j^! c^* G\sira c_! c^* G$ liefert.
  Das bedeutet, da"s der dritte dieser Pfeile einen Isomorphismus
  liefert, wenn wir ihn auf $c^*G$ anwenden.
  Die ganze Komposition liefert also einen Isomorphismus
  auf $c^*G$ bei Nachschalten von $c_*j_*$ genau dann, wenn ihr
  erster Pfeil das tut. Das aber ist gerade die Aussage von Lemma \ref{esL}
  angewandt auf $cj$.  
 \end{proof}
% \begin{proof}
% Nach dem Verschwindungskriterium \ref{VersKK} 
%  reicht es zu zeigen, da"s unsere Einheit der Adjunktion
%  f"ur jede konvexe offene Teilmenge $D\co E$ mit der Einbettung 
%  $j:D\hra E$ Isomorphismen $c_*j_*j^! c^* G\sira c_*j_*j^!c^!c_! c^* G$ liefert.
%  Sie m"ogen in \ref{isOOK} pr"ufen, da"s  in dieser Situation
%  die Koeinheit der Adjunktion einen Isomorphismus
%  $c_!j_!j^! c^* G\sira c_! c^* G$ liefert. F"ur $G$ eine abelsche
%  Gruppe wissen wir das bereits aus \eref{lkkk}{TG}.
%  Nach \eref{KompADs}{TG} f"allt nun aber der von der
%  Einheit der Adjunktion induzierte Morphismus $j^! \RA j^!c^!c_!$ zusammen
%  mit der aus  Einheit und Koeinheit von Adjunktionen
%  gebildeten Komposition $$j^!\RA (cj)^! (cj)_! j^!\siRa j^!c^! c_!j_! j^!\RA j^!c^! c_!$$ Wir wissen nach dem Vorhergehenden bereits, da"s der letzte dieser Pfeile einen Isomorphismus
%  liefert, wenn wir ihn auf $c^*G$ anwenden.
%  Der erste Pfeil liefert also unter $c_*j_*$
%  einen Isomorphismus auf  $c^*G$ genau dann,
%  wenn die Komposition einen Isomorphismus auf  $c^*G$ liefert.
%Da $D$ hom"oomorph ist zu $E$, reicht es also zu zeigen, da"s 
%f"ur $c$ selber die Adjunktion  einen Isomorphismus
%  $$c_*c^* G\sira c_*c^!c_!c^*G$$
%  induziert.
%  Die Projektionsformel liefert
%  Isomorphismen $c_!c^*G\sira c_!(\DZ_E\otimes c^*G)\sira (c_!\DZ_E)\otimes G$.
%%  Sie zeigen, da"s $c_!c^*$ eine "Aquivalenz von Kategorien ist.
%  Dasselbe gilt f"ur den adjungierten Funktor $c_*c^!$ und zeigt, da"s
%  die Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus
%  $G\sira c_*c^!c_!c^*G$ ist. Andererseits zeigt \ref{zgsaf}, da"s
%  die Einheit der Adjunktion $(c^*,c_*)$  einen Isomorphismus 
%  $G\sira c_*c^*G$ liefert. Zusammen folgt wie gew"unscht, da"s die
 % Einheit der Adjunktion $(c_!,c^!)$ einen Isomorphismus
 % $c_*c^*G\sira c_*c^!c_!c^*G$ induziert.  
%\end{proof}



\begin{Beispiel}[\textbf{Dualisierende Garbe einer Mannigfaltigkeit}] 
  Gegeben eine $n$-Mannigfaltigkeit $M$
  konstruieren wir\label{dGmg} den {\bf Dua\-li\-sie\-rungs\-iso\-mor\-phis\-mus}\index{Dualisierungsisomorphismus}\index{p@${\op{p}}_M$ Dualisierungsisomorphismus}
  $${\op{p}}_M:\omega_M\sira \op{or}_M[n]$$
  ihrer dualisierenden Garbe %\nichtfinal{(Notationskonflikt zum Fundamentalzykel, den sollte ich $[M]$ notieren)}
  mit der 
  Orientierungsgarbe aus \eref{orGG}{TG}, verschoben in das Negative der Dimension.
  Dazu gehen wir von der Erkenntnis  \ref{KIGl}  aus, da"s $\omega_M[-n]$
   eine gew"ohnliche Garbe ist, und
betrachten f"ur $U\co M$ hom"oomorph
  zu $\DR^n$ den  Isomorphismus
  $(\omega_M[-n])(U)\sira {\op{H}}_!^n(U;\DZ)^\ast$ aus \ref{KIGl}.
  So erhalten wir einen Isomorphismus der
  Restriktionen beider Garben zu Pr"agarben
  auf der durch die fraglichen Mengen $U$ gegebene Basis der Topologie im Sinne von \eref{mwPG}{KAG}. Unsere verallgemeinerte Garbifizierung
  aus \eref{MGTk}{KAG} 
  zeigt dann, da"s er von genau einem Isomorphismus der urspr"unglichen
  Garben herkommen mu"s.
\end{Beispiel}


    


\begin{Beispiel}[\textbf{Dualisierende Garbe einer Randfaltigkeit}] 
  Gegeben eine $n$-Randfaltigkeit $M$ und $i:\partial M\hra M$
  die abgeschlossene Einbettung ihres Randes und $j:M^\circ\hra M$
  die offene Einbettung seines Komplements betrachten wir
  das ausgezeichnete Dreieck
  $i_!i^!\omega_M\ra \omega_M\ra j_*j^*\omega_M\ra[1]$.
  Wir k"onnen es umschreiben zu einem ausgezeichneten Dreieck
  $i_\ast \omega_{\partial M}\ra \omega_M\ra j_*\omega_{M^\circ}\ra[1]$
  und folgern die Beschreibung
  $\omega_M=\op{Keg}(j_*{\op{or}}_{M^\circ}\ra i_\ast \DZ_{\partial M})[n-1]$
  der dualisierenden Garbe unserer Randfaltigkeit $M$ als
  verschobener Kegel eines
  Morphismus von Garben $j_*{\op{or}}_{M^\circ}\ra i_\ast \DZ_{\partial M}$.
  Nun wird der Leser etwa durch Einschr"ankung auf den Fall eines
  Halbraums unschwer zeigen k"onnen, da"s der fragliche Morphismus unter
  $i^\ast$ ein Isomorphismus wird. So folgt $i^*\omega_M=0$ und 
  das  ausgezeichnete Dreieck
  $j_!j^!\omega_M\ra \omega_M\ra i_*i^*\omega_M\ra[1]$ liefert damit einen
  Isomorphismus 
  $$j_!{\op{or}}_{M^\circ}[n]\sira \omega_M$$
  Dasselbe gilt auch f"ur Eckfaltigkeiten, die   sich ja topologisch
  nicht von Randfaltigkeiten unterscheiden.\label{dGR} 
\end{Beispiel}


\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}[\textbf{Funktorialit"at des Dualisierungsisomorphismus}]
  Man zeige, da"s gegeben eine \'etale Abbildung
  $f:M\ra N$ von glatten $n$-Mannigfaltigkeiten das Diagramm
  $$\xymatrix{ f^!\omega_N\ar[r]^{f^!p_N}\ar[d]&f^*\op{or}_N[n]\ar[d]\\
    \omega_M\ar[r]^{p_M}&\op{or}_M[n]}$$
  mit den in \ref{dGmg} gegebenen Horizontalen
  kommutiert unter Verwendung der Identifikation $f^!\siRa f^*$ aus \ref{??}
  in der oberen Horizontale und der rechten Vertikale, die induziert
  wird vom \'etalen Vorschub
  $f_!: {\op{H}}_!^n(U;\DZ) \sira {\op{H}}_!^n(f(U);\DZ)$ f"ur alle
  $U\co M$ hom"oomorph zu $\DR^n$ mit $f:U\ra f(U)$ ein Hom"oomorphismus.
\end{Ubung}


\subsection{Mannigfaltiger Schreir"uckzug}

\begin{Bemerkungl}
Gegeben ein topologischer Raum  $Y$ und ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum $E$ der Dimension  $d\pdef\op{dim}E$ und die Projektion
  $c:E\times Y\ra Y$ erhalten wir mit Basiswechsel und \eref{kkRn}{TG}  Isomorphismen\label{thl} 
$$c_!\DZ_{E\times Y}%\sira c_!c^*\DZ_{Y}
\sira c_!\op{pr}_E^*\DZ_{E}\sira
\op{pr}_Y^* \op{fin}_!\DZ_{E}\sira \op{pr}_Y^*  ({\op{H}}_!^d(E))[-d]\cong \DZ_{Y}[-d]$$
Der letzte dieser Isomorphismen ist unkanonisch. Es geht uns aber
an dieser Stelle
nur um die Erkenntnis,
da"s alle unsere Objekte Einheiten von $\op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$  sind. 
 \end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}
  Gegeben ein topologischer Raum  $Y$  und
  ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum $E$
  ist f"ur die Projektion
  $c:E\times Y\ra Y$  und beliebiges $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$
   die Einheit der Adjunktion  ein\label{rzGG} 
  Isomorphismus $$c^*\mathcal G\sira c^!c_!c^*\mathcal G$$
\end{Lemma}


\begin{Bemerkungl}
 Wir wissen aus der Projektionsformel, da"s
 $c_!c^*$ isomorph ist zum Funktor $(c_!\DZ_{E\times Y})\otimes $ und
 mit \ref{thl} weiter zum Funktor $\DZ_{ Y}[-d]\otimes$.
 Das Lemma liefert uns damit die Existenz eines
 Isomorphismus   $c^!\DZ_Y\cong \DZ_{E\times Y}[d]$
  f"ur $d=\op{dim}E$\label{erzk}  und  sogar  einen expliziten
  Isomorphismus $c^!\DZ_Y\sira \DZ_{E\times Y}[d]\otimes {\op{H}}_!^d(E)^*$.
\end{Bemerkungl} 
\begin{proof}
  Nach dem Verschwindungskriterium \eref{VersKV}{TSF} 
  reicht es zu zeigen, da"s unsere Einheit der Adjunktion
  f"ur jede nichtleere konvexe offene Teilmenge
  $D\co E$  und die zugeh"orige Einbettung
  $j:D\times Y\hra E\times Y$ 
  Isomorphismen $c_*j_*j^*c^*\mathcal G\sira
  c_*j_*j^*c^!c_!c^*\mathcal G$ liefert.
  Hierf"ur k"onnen wir die im Fall eines
  einpunktigen Raums $Y$ in \ref{qret} gegebene
  Argumentation kopieren,
  sobald wir zeigen k"onnen, da"s
auch  in dieser Situation
  die Koeinheit der Adjunktion einen Isomorphismus
  $$c_!j_!j^! c^* \mathcal G\sira c_! c^* \mathcal G$$ liefert.
  Das aber d"urfen wir halmweise an jedem Punkt $y\in Y$
  pr"ufen und mit Basiswechsel folgt es so aus der bereits beim Beweis von \ref{qret} gezeigten Aussage im Fall eines einpunktigen Raums $Y$.
  Jetzt kann die Argumentation wie in \ref{qret}
  weiterlaufen. Da $D$ hom"oomorph ist zu $E$, 
   reicht es zu zeigen, da"s unsere 
  Abbildung f"ur alle $Y$
  einen Isomorphismus $c_*c^*\mathcal G\sira c_*c^!c_!c^*\mathcal G$
  induziert.
  Wir wissen aber aus der Projektionsformel, da"s
  $c_!c^*$ isomorph ist zum Funktor $(c_!\DZ_{E\times Y})\otimes $ und damit
  nach \ref{thl}
  eine "Aquivalenz von Kategorien. Also ist auch der adjungierte Funktor
  $c_*c^!$ eine "Aquivalenz von Kategorien und die
  Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus
  $\mathcal G\sira c_*c^!c_!c^*\mathcal G$. Da"s andererseits auch die
  Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus
  $\mathcal G\sira c_*c^*\mathcal G$ ist, wissen wir bereits aus
  \ref{zgsaf}. Das Lemma folgt.
\end{proof}
\begin{Proposition}
  Gegeben ein topologischer Raum  $Y$  und
  ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum $E$
  ist f"ur die Projektion
  $c:E\times Y\ra Y$  und beliebiges $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$
   die Koeinheit der Adjunktion stets ein\label{rzlG} 
  Isomorphismus $$ c_!c^!\mathcal G\sira \mathcal G$$
\end{Proposition}
\begin{proof}
  Aus dem vorherigen Lemma wissen wir, da"s die Einheit der
  Adjunktion einen Isomorphismus $c^*\mathcal G\sira c^!c_!c^*\mathcal G$ liefert. Aus der Dreiecksidentit"at wissen wir, da"s
  die Komposition  $c_!c^*\mathcal G\sira c_!c^!c_!c^*\mathcal G\ra  c_!c^*\mathcal G$ mit dem von der Koeinheit der Adjunktion induzierten zweiten
  Morphismus die Identit"at ist. Also induziert die Koeinheit  der Adjunktion
  stets einen Isomorphismus  $c_!c^!c_!c^*\mathcal G\sira  c_!c^*\mathcal G$. 
  Wie beim vorigen Beweis bemerkt wissen aber aus der Projektionsformel, da"s
  $c_!c^*$ isomorph ist zum Funktor $(c_!\DZ_{E\times Y})\otimes $ und damit
  nach \ref{thl}
  eine "Aquivalenz von Kategorien.
\end{proof}
\begin{Definition}
  Eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ hei"st
  {\bf mannigfaltig von der relativen Dimension $d$}\index{mannigfaltig!stetige Abbildung} oder kurz {\bf $d$-mannigfaltig},
  wenn sie separiert ist und
  es f"ur jeden Punkt $x\in X$ ein kommutatives Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
V\times\DR^d\;\ar[d] \ar@{^{(}->}[r] &X\ar[d]^f\\
V\; \ar@{^{(}->}[r] & Y
}
\end{displaymath}
gibt mit offenen Einbettungen in den Horizontalen und $x$ im Bild
der oberen Horizontale. Sie hei"st {\bf mannigfaltig}, wenn es $d\in\DN$ gibt
derart, da"s unsere Abbildung $d$-mannigfaltig ist.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
  Eine $0$-mannigfaltige Abbildung ist dasselbe wie eine
  separierte \'etale Abbildung.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
  Offensichtlich ist jede mannigfaltige Abbildung les 
  und  f"ur eine  $d$-man\-nig\-fal\-ti\-ge Abbildung ist
  jede ihrer Fasern eine $d$-Mannig\-faltigkeit.
  Nach dem Verschwinden hoher kompakter Kohomologie
  bei Mannigfaltigkeiten \eref{phq}{TG} und 
  les-Basiswechsel ist also jede mannigfaltige Abbildung
  lesb. Nach \ref{erzk} ist f"ur  $f:X\ra Y$ eine $d$-mannigfaltige
  Abbildung der Komplex
  $f^!\DZ_Y[-d]$ eine abelsche Garbe auf $X$, die lokal frei ist vom
  Rang Eins. Wir nennen sie die {\bf relative Orientierungsgarbe}\index{Orientierungsgarbe!relative}\label{roG}
  und notieren sie
  $$\op{or}_f=\op{or}_{X/Y}\pdef f^!\DZ_Y[-d]$$
  Ist die relative Orientierungsgarbe isomorph zur konstanten Garbe $\DZ_X$,
  so nennen wir unsere mannigfaltige Abbildung {\bf orientierbar}\index{orientierbar!mannigfaltige Abbildung} und
  die Wahl eines Isomorphismus $\op{or}_f\sira \DZ_X$ alias
  $f^!\DZ_Y\sira \DZ_X[d]$ 
  eine {\bf Orientierung von $f$}.\index{Orientierung!von mannigfaltiger Abbildung} F"ur jede $0$-man\-nig\-fal\-ti\-ge
  alias separierte \'etale Abbildung
  haben wir bereits in \eref{etsep}{TSF} eine
  Orientierung ausgezeichnet. Ist $Y$ ein Einpunktraum, so
  entspricht sie derjenigen Orientierung auf einer $0$-Mannigfaltigkeit alias
  diskreten Menge, die jedem Punkt die Orientierung $+1$ zuweist. 
\end{Bemerkungl}











\begin{Satz}[\textbf{Schreir"uckzug unter mannigfaltigen Abbildungen}]
  Im Fall einer
  mannigfaltigen Abbildung $f:X\ra Y$ induziert unser  Morphismus aus 
  \eref{fter}{TSF} f"ur alle $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$
  Isomorphismen\label{glRZ}
  $$f^!\DZ_Y\otimes f^*\mathcal G\sira f^! \mathcal G$$
 \end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  \nichtfinal{Chaos!}
  Nehmen wir $Y$ lesb an und $S$ eine Mannigfaltigkeit
  und $X=S\times Y$, so finden wir $$\omega_{S\times Y}=\op{pr}_Y^!\omega_Y=\op{pr}_Y^!\DZ_Y\otimes \op{pr}_Y^*\omega_Y=
  \op{pr}_S^*\omega_S\otimes \op{pr}_Y^*\omega_Y=\omega_S\boxtimes \omega_Y$$
  Die Mitte kann aus \ref{rzT} gefolgert werden. Induktiv sollte nun f"ur
  $S$ die Realisierung eines endlichen Simplizialkomplexes folgen, da"s das
  auch ein Isomorphismus ist. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} Wir haben in \eref{fMru}{TSF} diskutiert, warum dieser
   Morphismus im Fall einer trennverflochtenen
  Trennaustauschsituation f"ur starres $\mathcal G$ stets ein Isomorphismus
  ist. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Gegenbeispiel zur R"uckzug-Schreir"uckzug-Formel}]
 F"ur die Einbettung  $f:\op{pt}\ra Y$  des Ursprungs
  in die reelle Zahlengerade $Y\pdef \DR$ und $\mathcal G=\prod_{n}\DZ_{(-1/n,1/n)\subset\DR}$ das Produkt der Ausdehnungen durch Null auf immer
  kleineren offenen Intervallen um den Ursprung, so ist $f^!\mathcal G$
  ein abz"ahlbares
  Produkt von Kopien von $\DZ[-1]$, da $f^!$ mit Produkten vertr"aglich ist,
  aber  $f^!\underline{Y}\otimes f^*\mathcal G$ ist eine abz"ahlbare Summe
  von Kopien von $\DZ[-1]$. In diesem Fall haben wir also
  $f^!\underline{Y}\otimes f^*\mathcal G\not\cong f^!\mathcal G$. 
\end{Beispiel}
 \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit
  d"urfen wir annehmen, da"s unsere mannigfaltige Abbildung $f$ die Projektion
  $c:E\times Y\ra Y$ ist f"ur einen endlichdimensionalen reellen affinen
  Raum $E$.  In diesem Fall ist schon mal die Koeinheit der
  Adjunktion ein Isomorphismus $c_!c^!\DZ_Y\sira \DZ_Y$ nach \ref{rzlG}. 
  Wir k"onnen also, indem wir die in \eref{fter}{TSF} gegebene
  Konstruktion eines Morphismus $f^!\mathcal F\otimes f^*\mathcal G\ra f^!(\mathcal F\otimes\mathcal G)$ erinnern, von
  einem Isomorphismus $$c_!(c^!\DZ_Y\otimes c^*\mathcal G)\sira c_!c^!\DZ_Y\otimes \mathcal G\sira \DZ_Y\otimes \mathcal G\sira\mathcal G$$
  ausgehen und m"ussen zeigen, da"s er unter 
  der Adjunktion  einem Isomorphismus
  $c^!\DZ_Y\otimes c^*\mathcal G\sira c^!\mathcal G$ entspricht.
  Nach \ref{erzk} ist $c^!\DZ_Y\cong \DZ_{E\times y}[d]$ und nach \ref{rzGG}
  gibt es folglich $\mathcal E$ mit
  $c^!\mathcal E\cong (c^!\DZ_Y\otimes c^*\mathcal G)$, denn die rechte Seite
  liegt damit im wesentlichen Bild von $c^*$. 
  Jeder Isomorphismus $c_!(c^!\mathcal E)\sira \mathcal G$ entspricht aber
  in der Tat unter der Adjunktion einem Isomorphismus  $c^!\mathcal E\sira c^!\mathcal G$, denn wir k"onnen die von der Ajunktion induzierte
  Abbildung verstehen als die Komposition
  $$(c^!\mathcal E)\ra c^!c_!(c^!\mathcal E)\sira c^! \mathcal G$$
  mit dem von der Einheit der Adjunktion induzierten  
  Morphismus links und dieser linke Morphismus ist ein Isomorphismus, da die
  Komposition $c^!\mathcal E\ra c^!c_!c^!\mathcal E\ra c^!\mathcal E$
  die Identit"at ist nach den Dreiecksidentit"aten und
  die Koeinheit der Adjunktion ein Isomorphismus
  $c_!c^!\mathcal E\sira \mathcal E$ nach \ref{rzlG}. 
 \end{proof}

 
 \begin{Korollar}[\textbf{Schreir"uckzug und externes Produkt}]
   Gegeben mannigfaltige Abbildungen $f:X\ra Y$ und $g:W\ra Z$
   ist der Morphismus aus \eref{SruB}{TSF}
   f"ur alle $\mathcal F\in \op{Der}_{/Y}$ und
   $\mathcal G\in \op{Der}_{/Z}$ ein Isomorphismus
   $$ f^!\mathcal F \boxtimes g^! \mathcal G\sira
   (f \times g)^{! } (\mathcal F \boxtimes \mathcal G) 
   $$
 \end{Korollar}
 \begin{Bemerkungl} Aus \ref{zfex} erhalten wir diese Folgerung nur,
   wenn wir zus"atzlich $\mathcal F$ und $\mathcal G$ starr annehmen. 
 \end{Bemerkungl}
 \begin{proof}
   Es reicht zu zeigen, da"s unser Morphismus unter Einschr"ankung auf
   die Teilmengen einer offenen "Uberdeckung von $X\times Y$
   Isomorphismen induziert. So ziehen wir uns auf den Fall zur"uck,
   da"s $f:\DR^m\times Y\ra Y$ und $g:\DR^n\times Z\ra Z$ jeweils
   die Projektionen sind. Nach \ref{roG} ist $f^!\DZ_Y$
   bis auf eine Gradverschiebung isomorph zur konstanten Garbe und
   nach \ref{glRZ} folgt $f^!\cong f^*[m]$ und ebenso  $g^!\cong g^*[n]$
   und  $(f\times g)^!\cong (f\times g)^*[m+n]$.
   Da $f\times g$ garbenazyklisch ist nach  \ref{zgsaf}, gibt es also schon mal
   ein Objekt  $\mathcal H$ mit  $(f\times g)^!\mathcal H \cong f^!\mathcal F \boxtimes g^! \mathcal G$.
   Das hinwiederum bedeutet, da nach \ref{rzlG} die Koeinheit der
   Adjunktion in diesem Fall eine Isotransformation
   $(f\times g)_!(f\times g)^!\siRa \op{id}$ ist,
   da"s wir nur zeigen m"ussen, da"s unser Morphismus unter $(f\times g)_!$
   ein Isomorphismus
   $$(f\times g)_!( f^!\mathcal F \boxtimes g^! \mathcal G)\sira
   (f\times g)_!(f \times g)^{! } (\mathcal F \boxtimes \mathcal G) 
   $$
   wird. Der Schreivorschub kommutiert jedoch nach \eref{VexP}{TSF} mit dem
   Boxprodukt und die Behauptung folgt. 
 \end{proof}
 
 \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einheiten in Trennaustauschsituationen}]
   Sei
  eine voll trennverflochtene Trennaustauschsituation  $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset
  \mathscr T^\shriek \leftarrow
  \mathscr G^\shriek,  \mathscr T^{\op{e}})$ mit
  einem finalen Objekt der Basis $\op{pt}\in \mathscr T$ gegeben. 
  F"ur  eine Einheit $u\in\mathscr G_{/{\op{pt}}}$ 
  und $X\in\mathscr T$ und $\mathcal F\in \mathscr G_{/X}$ vereinbaren wir
   die  abk"urzende Notation 
   $$\mathcal F[u]\pdef (\op{fin}_X^*u)\otimes \mathcal F$$
   und erhalten Isomorphismen $f_!(\mathcal F [u])\sira (f_!\mathcal F) [u]$
   und  $f^*(\mathcal G [u])\sira (f^*\mathcal G) [u]$ und
   $(\mathcal F\otimes\mathcal G)[u]\sira \mathcal F\otimes(\mathcal G[u])$
   mit einer Vielzahl von Vertr"aglichkeiten, die wir nicht ausschreiben.
   Existieren die Adjungierten, so m"ussen sie genauso mit $[u]$
   vertauschen, da wir $u$ als
   Einheit angenommen haben. Wir erhalten so Isomorphismen
   $f^!(\mathcal G [u])\sira (f^!\mathcal G) [u]$ und
   $f_*(\mathcal F [u])\sira (f_*\mathcal F) [u]$ und 
$$(\mathcal F[-u]{\Rrightarrow}\mathcal G)\sira(\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G)[u]\sira (\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G[u])$$
   mit der Notation $[-u]$ f"ur die inverse Einheit und   einer
   noch viel gr"o"seren Zahl von Vertr"aglichkeiten. Wir schreiben sie 
   genausowenig aus, da sie bei Bedarf leicht aus der Axiomatik
  einer Trennverflechtung  abgeleitet werden k"onnen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Abstrakte Orientierungen}] Sei 
   $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow
  \mathscr G^\shriek,  \mathscr T^{\op{e}})$ eine Trennaustauschsituation
  mit voller Trennverflechtung und Adjungierten und finalem Objekt $\op{pt}$
  der Basis. Wir nennen einen
  Morphismus der Basis $f:X\ra Y$ {\bf orientierbar},
  wenn er ein Schreimorphismus ist und es eine
  Einheit $u\in \mathscr G_{/{\op{pt}}}$ gibt mit 
  $f^!\underline{Y}\cong \underline{X}[u]$.
  Eine Wahl eines derartigen
  Isomorphismus $\omega:f^!\underline{Y}\sira \underline{X}[u]$
  nennen wir eine {\bf $[u]$-Orientierung von $f$} und notieren so ein
  Datum $$(f;u)=(f;u,\omega):X\ra Y$$
  Gegeben ein weiterer orientierter Schreimorphismus
  $(g;v):Y\ra Z$ 
  erhalten wir eine $[u+v]$-Orientierung von $g f$ in offensichtlicher
  Weise, die {\bf Verkn"upfungsorientierung}.\index{Verkn"upfungsorientierung}  Ist umgekehrt $gf$ eine
  Komposition von zwei Schreimorphismen und sind eine $[v]$-Orientierung
  auf $g$ sowie eine $[w]$-Orientierung auf $gf$ gegeben, so erhalten wir
   aus der Komposition\label{abOR} 
  $f^!\underline{Y}[v]\sila f^!g^!\underline{Z}\sira  (gf)^!\underline{Z}
   \sira \underline{X}[w]$ eine $[w-v]$-Orientierung auf $f$.
   Wir nennen sie die {\bf relative Orientierung von $f$}.\index{Orientierung eines Schreimorphismus!relative}
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Orientierung f"ur
      Abbildungen von Mannigfaltigkeiten}]
Zum Beispiel erh"alt jede stetige Abbildung $f:X\ra Y$
von orientierten Mannigfaltigkeiten der Dimensionen
$\op{dim}X=m$ und $\op{dim}Y=n$ eine
  $[m-n]$-Orientierung,  indem wir die vorhergehenden "Uberlegungen
  in der voll verflochtenen Trennaustauschsituation \eref{tzGG}{TSF}  
  auf $Z=\op{top}$ und die Einheiten $\DZ[d]\in\op{Der}(\op{Ab}_{/{\op{top}}})$
  f"ur $d\in\DZ$ anwenden. In der Tat gilt f"ur 
  $a:X\ra \op{pt}$ und $b:Y\ra \op{pt}$ die konstanten Abbildungen
  sicher $fb=a$ und f"ur $a$ und $b$
  liefert die jeweilige Orientierung
  \ref{dGmg} Isomorphismen $a^!\underline{\op{pt}}\sira
  \underline{X}[m]$ und   $b^!\underline{\op{pt}}\sira\underline{Y}[n]$. 
\end{Beispiel}

\subsection{Homologien und ihre Funktorialit"aten}
\begin{Bemerkungl}
Seien  $k$ ein Kring  und $X$ lesb und 
$a\pdef \op{fin}_X:X\ra\op{top}$ die konstante Abbildung.
Unsere Vergleichs\-isomorphismen
zur\label{kIkX} singul"aren Homologie und Kohomologie, die
wir im Anschlu"s in \ref{VgSs} besprechen, 
 motivieren uns zu den Definitionen
$$\begin{array}{lllllll}
  {\op{H}}_q(X;k)_{\op{garb}}&\pdef& \mathcal H^{-q}a_!a^!\underline{\op{pt}}&&{\op{H}}^q(X;k)_{\op{garb}}&\pdef& \mathcal H^{q}a_*a^*\underline{\op{pt}}\\[3mm]
   {\op{H}}^!_q(X;k)_{\op{garb}}&\pdef& \mathcal H^{-q}a_*a^!\underline{\op{pt}}&&
   {\op{H}}^q_!(X;k)_{\op{garb}}&\pdef& \mathcal H^{q}a_!a^*\underline{\op{pt}}\end{array}$$
Wir nennen diese  $k$-Moduln die {\bf garbentheoretische Homologie},\index{H@${\op{H}}_q(X)_{\op{garb}}$ garbentheoretische Homologie}
{\bf  Kohomologie}, {\bf lokalendliche Homologie}\index{H@${\op{H}}_q^{~!}(X)_{\op{garb}}$ garbentheoretische lokalendliche Homologie} und {\bf kompakte Kohomologie}. Analoge Definitionen ${\op{H}}_q(X;M)_{\op{garb}}\pdef
\mathcal H^{-q}a_!a^! M_{\op{top}}$ und dergleichen  
vereinbaren wir f"ur den Fall  eines $k$-Moduls $M$.
Wenn wir den Zusatz $\op{garb}$ weglassen, gilt es aus dem
Kontext zu erschlie"sen, was genau gemeint ist.
Gegeben weiter eine offene Teilmenge $U\co X$ bezeichne $i: Z\hra X$ die Einbettung ihres Komplements
und  $c=\op{fin}_Z:Z\ra\op{top}$ die konstante Abbildung.
In dieser Situation motivieren die Ver\-gleichs\-iso\-mor\-phis\-men
zur singul"aren Homologie und Kohomologie, die
wir im Anschlu"s in \ref{VgSs} besprechen, 
 uns zu den Definitionen
 $$\begin{array}{ccc} {\op{H}}_q(X,U;k)_{\op{garb}}\pdef\mathcal H^{-q}c_!i^*a^!\underline{\op{pt}} &&  {\op{H}}^q(X,U;k)_{\op{garb}}={\op{H}}_Z^q(X;k)\pdef\mathcal H^{q}c_*i^!a^*\underline{\op{pt}}
 \end{array}
 $$
 Wir nennen sie die {\bf relative garbentheoretische Homologie} und die
  {\bf relative garbentheoretische Kohomologie} alias {\bf lokale Kohomologie}. 
  \nichtfinal{Auch beachten: Habe
im Singul"aren Funktoren der !-Theorien von * in ! umnotiert.}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} Die wesentlichen Funktorialit"aten dieser sechs Theorien
  und die im folgenden daf"ur verwendeten Notationen fa"st die
  folgende Tabelle zusammen, mit der etwas ungw"ohnlichen Notation
  ${\op{H}}^Z_q\pdef {\op{H}}_q(X,U)$ f"ur die relative Homologie.
 \renewcommand{\arraystretch}{1.5}  \begin{center}
  \begin{tabular}{l|c|l|c|l}
    &Vorschub&&R"uckzug&\\
    \hline
    ${\op{H}}_q^Z$&beliebig &${\op{H}}_qf$&gar nicht&\\
    \hline
    ${\op{H}}_q$&beliebig&${\op{H}}_qf$&orientiert eigentlich &$[f;d]_q$\\
    \hline
    ${\op{H}}_q^!$&eigentlich&${\op{H}}^!_qf$&orientiert &$[f;d]^!_q$\\
  \hline
  ${\op{H}}^q_!$& orientiert&$[f;d]^q_!$&eigentlich&${\op{H}}_!^qf$\\
     \hline
    ${\op{H}}^q$&orientiert eigentlich &$[f;d]^q$&beliebig&${\op{H}}^qf$\\
  \hline ${\op{H}}^q_Z$&gar nicht& &beliebig&${\op{H}}^qf$\\
  \hline
  \end{tabular}
  \end{center}
 \renewcommand{\arraystretch}{1}
 Die Gruppenhomomorphismen $[f;d]_!^q$ und $[f;d]^q$ hei"sen die
 {\bf Integration "uber die Fasern},\index{Integration "uber die Fasern}
 weil sie im Fall glatter
 mannigfaltiger Abbildungen von parakompakten
 Mannigfaltigkeiten f"ur die Garbenkohomologie
 mit reellen Koeffizienten
 in der de-Rham-Kohomologie durch die partielle
 Integration von Differentialformen "uber Fasern beschrieben werden k"onnen.
  Die Gruppenhomomorphismen $[f;d]_q$ und $[f;d]^!_q$ mag man 
 {\bf relative Fundamentalzykel}\index{Fundamentalzykel!relativer}
 nennen, weil sie im Fall der konstanten Abbildung $f:M\ra \op{top}$ einer
 orientierten Mannigfaltigkeit auf einen Punkt den kanonischen Erzeuger
 $\delta\in {\op{H}}_0(\op{top})={\op{H}}^!_0(\op{top})$
 auf den Fundamentalzykel von $M$
 abbilden, in Formeln $[f;d]_0(\delta)=[M]$ beziehungsweise $[f;d]^!_0(\delta)=[M]^!$. 
 Mehr dazu wird im Anschlu"s diskutiert.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion weiterer Verallgemeinerungen}]
  Die beiden Kohomologien aus \ref{kIkX}
  sind sogar f"ur beliebige topologische R"aume sinnvoll definiert,
aber die kompakte Kohomologie hat nur im Fall lokal kompakter Hausdorffr"aume
gute Eigenschaften.  Die lokalendliche Homologie
kann man sogar f"ur beliebige topologische  R"aume definieren als
${\op{H}}^!_q(X;k)_{\op{garb}}\pdef  \mathcal H^{-q}\mathbb D a_!a^*\underline{\op{pt}}$
Auch sie hat jedoch nur im Fall lokal kompakter Hausdorffr"aume
gute Eigenschaften. F"ur die garbentheoretische Homologie kenne ich keine sinnvolle Verallgemeinerung "uber den Fall von lesb-R"aumen hinaus.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kronecker-Dualit"aten}]
 Unsere  Isomorphismen aus \eref{VerDu}{TSF}
 induzieren f"ur jeden Kring $k$ und jeden
 lesb-Raum $X$ mit $a:X\ra \op{pt}$ der
  konstanten Abbildung  einen Isomorphismus
  $$ a_*a^! \underline{\op{pt}}\sira \mathbb D a_!a^*\underline{\op{pt}}$$
  Er liefert insbesondere einen Morphismus
  $ a_*a^!\underline{\op{pt}}\otimes a_!a^*\underline{\op{pt}}\ra \underline{\op{pt}}$ und damit $k$-bilineare Abbildungen
  $ \mathcal H^{-q}a_*a^!\underline{\op{pt}}\times \mathcal H^{q}a_!a^*\underline{\op{pt}}\ra k$ alias
   $$ {\op{H}}_q^!(X;k)\times  {\op{H}}^q_!(X;k)\ra k$$
  Sie sind eine Variante der Kroneckerpaarungen. Ist $k$ ein K"orper,
  so zeigt unser urspr"unglicher Isomorphismus
  $ a_*a^! \underline{\op{pt}}\sira \mathbb D a_!a^*\underline{\op{pt}}$,
  da"s die Kroneckerpaarung
  Isomorphismen  ${\op{H}}_q^!(X;k)\sira  {\op{H}}^q_!(X;k)^*$ zwischen der
  lokalendlichen Homologie und dem Dualraum der kompakten Kohomologie
  induziert. Ist allgemeiner $M$ ein $k$-Modul, so erhalten wir  
  einen  Isomorphismus $ a_*a^! \mathbb D M_{\op{pt}}\sira
  \mathbb D a_!a^* M_{\op{pt}}$ und daraus im Fall eines
  K"orpers $k$ Isomorphismen
  ${\op{H}}_q^!(X;M^*)\sira  {\op{H}}^q_!(X;M)^*$.
    Im Fall $k=\DZ$ erhalten wir "ahnlich 
   mit dem abstrakten universellen Koeffiziententheorem
  \eref{AuKo}{TD} f"ur jede freie abelsche Gruppe $M$
  kurze exakte und unnat"urlich spaltende Sequenzen\label{DWAR} 
  $$\op{Ext}({\op{H}}_!^{q+1}(X;M),\DZ)\hra
  {\op{H}}^!_{q}(X;M^*)\sra \op{Hom}({\op{H}}_!^{q}(X;M),\DZ)$$
  Analoges gilt im Fall eines erblichen Koeffizientenrings $k$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vergleichsisomorphismen zur singul"aren Theorie}] 
  Um die obigen Definitionen zu motivieren und mit Anschauung zu
  f"ullen,
  diskutiere ich  Ver\-gleichs\-iso\-mor\-phis\-men zur singul"aren Theorie.\label{VgSs} 
  \begin{description}
  \item[Kohomologie:]
    Einen Vergleichsisomorphismus  ${\op{H}}^q(X)_{\op{garb}}\sira {\op{H}}^q(X)_{\op{sing}}$ haben wir bereits in \eref{SIKOGA}{TG} f"ur jeden
    lokal singul"arazyklischen Raum konstruiert;
    \item[Kompakte Kohomologie:] Einen Isomorphismus  ${\op{H}}^q_!(X)_{\op{garb}}\sira {\op{H}}^q_!(X)_{\op{sing}}$ haben wir bereits in \eref{SKHx}{TG} f"ur jeden
      lokal singul"arazyklischen lokal kompakten Hausdorffraum konstruiert;
 \item[Relative Kohomologie:]     
   Gegeben seien ein lokal singul"arazyklischer Raum $X$
   mit  $i: A \hookrightarrow X$ der Einbettung einer
abgeschlossenen Teilmenge und $a$ der konstanten Abbildungen von $A$ auf den einpunktigen Raum.  Aus  \eref{lklsk}{TG} kennen wir 
den zweiten  Isomorphismus der Sequenz
$$\mathcal H^q a_*i^!c^*\DZ_{\op{top}}\sira {\op{H}}^q_A(X)_{\op{garb}}\sira {\op{H}}^q(X,X\backslash A)_{\op{sing}}$$
Den ersten dieser Isomorphismen kennen wir aus \eref{IuEG}{TSF} f"ur eine beliebige abgeschlossene Teilmenge eines beliebigen topologischen Raums.
  \end{description}
Wir vereinbaren, da"s ein topologischer Raum $X$ 
{\bf polyeder"ahnlich}\index{polyeder"ahnlich} hei"st, 
wenn er lokal kompakt ist und es es darin eine konfinale Folge 
von Kompakta $K_0\subset K_{1}\subset\ldots\subset X$ gibt derart, da"s 
die relative singul"are Homologie ${\op{H}}_q(X,X\backslash K_n)_{\op{sing}}$ f"ur alle $q$ und $n$ 
endlich erzeugt ist.\label{pola} 
  \begin{description}  \item[Homologie:]
    Einen Isomorphismus  ${\op{H}}_q(X)_{\op{garb}}\sira {\op{H}}_q(X)_{\op{sing}}$ konstruieren wir in \ref{VdHh} f"ur jeden  lokal singul"arazyklischen lokal polyeder"ahnlichen
     lesb-Raum;
   \item[Lokalendliche Homologie:]
 Einen Isomorphismus  ${\op{H}}^!_q(X)_{\op{garb}}\sira {\op{H}}^!_q(X)_{\op{sing}}$ konstruieren wir ebenfalls in \ref{VdHh} f"ur jeden  lokal singul"arazyklischen lokal polyeder"ahnlichen und 
 abz"ahlbar basierten lesb-Raum mit der zus"atzlichen Eigenschaft, da"s der Funktor der
 globalen Schnitte 
 $\Gamma:\op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}$ endliche homologische Dimension hat.
 \item[Relative Homologie:]
Gegeben $X$ ein lokal singul"arazyklischer lokal po\-ly\-e\-der\-"ahn\-li\-cher
lesb-Raum und $i:A\hra X$ die Einbettung
einer abgeschlossenen Teilmenge und $c:X\ra\op{top}$ sowie $a:A\ra\op{top}$
die jeweils  einzige Abbildung konstruieren wir in \ref{VdHhr}
einen Isomorphismus   
$$\mathcal H^{-q}a_!i^*c^!\DZ_{\op{top}}=
\mathbb H_!^{-q}(A;\omega_X)\sira 
        {\op{H}}_q(X,X\backslash A;\DZ)_{\op{sing}}$$
  \end{description}
  \nichtfinal{Hier fehlt noch die Diskussion der langen exakten Sequenzen und
    der Funktorialit"aten der relativen Theorie einerseits im abstrakten und
    andererseits ihre Vertr"aglichkeit im Vergleich der Theorien.}
  F"ur die reduzierten Theorien liefern
  unsere  Isomorphismen der nichtreduzierten Theorien
  unmittelbar
 Isomorphismen $$\begin{array}{lll}
   \tilde{\mathrm{H}}_q(X)_{\op{sing}}&\sira& \mathcal H^{-q}(\op{Keg}(c_!c^!\DZ_{\op{top}}\ra\DZ_{\op{top}})[-1])\\[1mm] \tilde{\mathrm{H}}^q(X)_{\op{sing}}&\sira& \mathcal H^{q}(\op{Keg}(\DZ_{\op{top}}\ra c_*c^*\DZ_{\op{top}}))
 \end{array}$$
 Die
Abbildungskegel darin sind "uber der Koeinheit beziehungsweise Einheit der
jeweiligen Adjunktion zu verstehen.
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkunge}
   Mit \ref{phqnk} ist klar, da"s jede abz"ahlbar basierte Mannigfaltigkeit
   alle f"ur unsere Vergleichss"atze geforderten Eigenschaften hat.
   Es ist auch klar, da"s die Realisierung $X=\Delta(\mathcal K)$
  eines abz"ahlbaren lokal endlichen
  endlichdimensionalen Simplizialkomplexes $\mathcal K$ alle
  f"ur unsere Vergleichss"atze geforderten Eigenschaften hat.
  Man sollte noch einen Beweis daf"ur ausschreiben, da"s
   die Menge der komplexen Punkte einer separierten
  komplexen Variet"at mit ihrer analytischen Topologie  alle
  f"ur unsere Vergleichss"atze geforderten Eigenschaften hat.
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein lesb-Raum $X$ liefert die Koeinheit der Adjunktion einen
   Homomorphismus, die {\bf Augmentation}\index{Augmentation} $$\varepsilon:{\op{H}}_0(X)\ra \DZ$$ beziehungsweise
  $\varepsilon:{\op{H}}_0(X;G)\ra G$. In der singul"aren Theorie
  ist der entsprechende Homomorphismus die von der  Augmentation
  \eref{AUG}{TS} induzierte Abbildung, daher die Terminologie.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Universelle Koeffiziententheoreme der Garbenkohomologie}]
  Universelle Koeffiziententheoreme sind in der Garbenhomologie
  im Gegensatz zur singul"aren Homologie kompliziert und ben"otigen
  starke Annahmen.\label{UKGK}
 F"ur jede Mannigfaltigkeit $X$ liefert Satz \ref{glRZ}
angewandt auf  die konstante Abbildung $c:X\ra\op{top}$ f"ur jede abelsche Gruppe $G$
  einen Isomorphismus
  $ c^!\DZ_{\op{top}}\otimes c^*G_{\op{top}}\sira c^!G_{\op{top}}$. Die
  Projektionsformel macht daraus einen Isomorphismus
  $ c_!c^!\DZ_{\op{top}}\otimes G_{\op{top}}\sira c_!c^!G_{\op{top}}$.
  Mit \eref{HTPKl}{TD} erhalten wir so f"ur jede Mannigfaltigkeit nat"urliche und unnat"urlich spaltende
  kurze exakte Sequenzen
  $$\op{H}_{q} (X) \otimes  G\hra \op{H}_{q} (X;G)\sra  \op{H}_{q-1} (X) \ast  G$$
  in der Garbenhomologie. Weiter ist f"ur Mannigfaltigkeiten $c^!\DZ_{\op{top}}$
  starr und nach \ref{dGmg}
  sogar eine Einheit der Schmelzkategorie $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$
  und wir erhalten mit relativer Verdierdualit"at \eref{rVDe}{TSF}  und der
  vorhergehenden Beschreibung von $c^!G_{\op{top}}$ 
   in vereinfachter Notation  Isomorphismen 
  $$(c_!c^!\DZ{\Rrightarrow} G)\sira
  c_*(c^!\DZ{\Rrightarrow} c^!G)\sira
  c_*\big((c^!\DZ)^\ast\otimes (c^!\DZ)\otimes c^*G\big)\sira c_* c^*G$$
  Mit dem abstrakten universellen Koeffiziententheorem  \eref{AuKo}{TD}
  erhalten wir so wie in \eref{UKh}{TS} f"ur jede abelsche Gruppe $G$
  und jede Mannigfaltigkeit $X$ auch f"ur die Garbenhomologie und -kohomologie
  nat"urliche und unnat"urlich spaltende kurze exakte Sequenzen 
   $$\op{Ext} ({\op{H}}_{q-1}X,G) \hookrightarrow {\op{H}}^{q}(X;G) \twoheadrightarrow \op{Hom}
({\op{H}}_{q}X,G)$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Im folgenden besprechen wir einige Funktorialit"aten,
  die aus der Verdierdualit"at abgeleitet werden k"onnen,
  ohne da"s sie darin explizit vorkommt.
 Das Prinzip ist immer dasselbe.
  Gegeben  eine $d$-mannigfaltige 
  Abbildung $f:X\ra Y$ erinnern wir aus
  \ref{roG} die lokal zur konstanten Garbe $\DZ_X$
  isomorphe relative Orientierungsgarbe $\op{or}_f\pdef f^!\DZ_Y[-d]$.
F"ur sie liefert Satz \ref{glRZ}\label{dimdiff} 
 Isomorphismen $$f^!\mathcal F \sira  \op{or}_f[d] \otimes f^\ast\mathcal F $$
Im Spezialfall einer $0$-mannigfaltigen alias
\'etalen separierten Abbildung haben wir in \eref{ERaE}{TSF} 
eine 
Isotransformation $f^! \siRa f^\ast$ alias einen
Isomorphismus $\op{or}_f\sira \DZ_X$ angegeben. Im allgemeinen
hei"st eine mannigfaltige Abbildung
$f$ {\bf orientierbar},\index{orientierbar!mannigfaltige Abbildung} wenn es einen derartigen
Isomorphismus gibt. Die Wahl eines  derartigen
Isomorphismus oder "aquivalent einer Isotransformation $f^!\siRa f^*[d]$
hei"st dann
eine {\bf Orientierung}\index{Orientierung!von mannigfaltiger Abbildung}
oder genauer {\bf $[d]$-Orientierung} unserer Abbildung $f$. Die
$[0]$-Orientierung einer \'etalen separierten Abbildung,
die durch die Isotransformation $f^! \siRa f^*$ aus
\eref{ERaE}{TSF} gegeben wird, 
nennen wir ihre {\bf positive Orientierung}.\index{positive Orientierung!von \'etaler separierter Abbildung}\label{PPOO}\index{Orientierung!positive!von \'etaler separierter Abbildung}  
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"aten der Kohomologie}] 
  Gegeben ein topologischer Raum $X$ und die konstante Abbildung
  $a:X\ra\op{pt}$ haben wir
\begin{equation*}
{\op{H}}^q X = \mathcal H^q a_{\ast} a^\ast  \underline{\op{pt}}
\end{equation*}
Das {\bf Zur"uckholen} ${\op{H}}^q f : {\op{H}}^q Y \rightarrow {\op{H}}^q X$
auf der Garbenkohomologie unter einer stetigen Abbildung $f : X \rightarrow Y$
 k"onnen wir beschreiben,
indem wir mit der Notation $b:Y\ra \op{pt}$ f"ur die konstante Abbildung
von der Komposition
$$b_{\ast} b^{\ast}  \RA  b_{\ast} f_\ast f^\ast b^\ast
 \siRa  a_{\ast} a^\ast  $$
mit den durch die  Einheit der Adjunktion
$\op{id} \RA f_\ast f^\ast$ und entsprechende Identifikationen
gegebenen Morphismen ausgehen, das auf $\underline{\op{pt}}$ anwenden
  und davon $\mathcal H^q$ nehmen. 
In der de-Rham-Theorie kann es nach \eref{FuDr}{TG}
durch das
Zur"uckholen glatter Differentialformen beschrieben werden.
Gegeben  eine eigentliche  $[d]$-orientierte
Abbildung $(f;d):X\ra Y$ mit nicht explizit notierter Orientierung
$f^!\underline{Y}\sira \underline{X}[d]$ beachten wir andererseits,
da"s
\eref{fter}{TSF} einen Morphismus
$f^!\underline{Y}\otimes f^*b^*\underline{\op{pt}}\ra
f^!b^*\underline{\op{pt}}$ liefert und zusammen mit der
Orientierung einen Morphismus
$$ f^*b^*\underline{\op{pt}}[d]\ra  f^!b^*\underline{\op{pt}}$$
Er ist nach \eref{fMru}{TSF} sogar ein Isomorphismus, aber das ist vorerst
 nicht von Belang. 
 Nun betrachen wir f"ur $f$ eigentlich $[d]$-orientiert die Komposition 
$$
 a_{*} a^{\ast} \underline{\op{pt}} \sira  b_{*} f_* f^* b^\ast\underline{\op{pt}}
 \ra  b_{*} f_!  f^!b^*\underline{\op{pt}}[-d] \ra b_{*} b^\ast \underline{\op{pt}}[-d]$$
 aus Identifikationen gefolgt von einem von der Eigentlichkeit $f_!\siRa f_*$
 und der Orientierung herr"uhrenden Morphismus gefolgt von der
 Koeinheit der Adjunktion $f_!f^!\RA \op{id}$. Das Anwenden von $\mathcal H^q$
 auf diesen Morphismus liefert dann den  {\bf eigentlichen orientierten Vorschub}
 $[f;d]^q:{\op{H}}^q X\rightarrow {\op{H}}^{q-d} Y$.
 Ist $f$ separiert \'etale eigentlich, so hat es endliche Fasern,
 und versehen wir er mit der positiven Orientierung \ref{PPOO}, so hei"st 
 der zugeh"orige eigentliche orientierte 
 Vorschub $[f;0]^q:{\op{H}}^q X\rightarrow {\op{H}}^{q} Y$  die {\bf Summation "uber die Fasern}. 
 Ist $f$ eigentlich und $d$-mannigfaltig, so hei"st der zugeh"orige Vorschub die
   {\bf Integration "uber die Fasern}, da er
in der de-Rham-Theorie durch  Integration "uber die Fasern
%im Sinne von \ref{intFF}
einer $q$-Form zu einer $(q-d)$-Form berechnet werden kann.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Ausblick in gr"o"sere Abstraktion}]
  Wir erkennen,
  da"s fast die gesamte Konstruktion auch f"ur
  $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow
  \mathscr G^\shriek,  \mathscr T^{\op{e}})$ eine beliebige voll
  verflochtene Trennaustauschsituation \nichtfinal{(Warum Trenn? was soll
    voll hei"sen? Hei"st das jetzt vielleicht kartesisch reguliert oder so?
    Weiter hinten auch abkl"aren!} 
 mit Adjungierten und mit finalem Objekt $\op{pt}$ in
 der Basis funktioniert. Mit
 $${\op{H}}^*_*X\pdef a_*a^*\underline{\op{pt}} \in \mathscr G_{/\op{pt}}$$
  liefert genauer in derselben Weise jeder Morphismus $f:X\ra Y$ einen R"uckzug 
 ${\op{H}}^*_*f:{\op{H}}^*_*Y\ra {\op{H}}^*_*X$ und jeder eigentliche
 $[u]$-orientierte Morphismus einen Vorschub
 $[f;u]:{\op{H}}^*_*X\ra {\op{H}}^*_*Y[-u]$. Darauf kann man dann
 je nach Lust und Laune noch weitere Funktoren von
 $\mathscr G_{/\op{pt}}$ wohin auch immer anwenden, wie etwa im
 zuvor besprochenen Fall $\mathcal H^q:\op{Der}(\op{Ab}_{/{\op{pt}}})\ra \op{Ab}$.
 \end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"aten der kompakten Kohomologie}] 
Sei $X$ ein lokal kompakter Hausdorffraum. Die kompakte Kohomologie von $X$ ist
\begin{equation*}
{\op{H}}_!^q (X)= \mathcal H^q a_! a^\ast \underline{\op{pt}}
\end{equation*}
Gegeben $f: X \rightarrow Y$ eine abgeschlossene Einbettung oder allgemeiner eine eigentliche
Abbildung von lokal kompakten Hausdorffr"aumen erhalten wir
Morphismen
$$ b_{!} b^{\ast} \underline{\op{pt}} \ra  b_{ !} f_* f^\ast b^\ast\underline{\op{pt}}\sira  b_{ !} f_! f^\ast b^\ast\underline{\op{pt}}
\sira  a_{!} a^\ast\underline{\op{pt}} $$
 aus
 der Einheit der Adjunktion $\op{id}\Rightarrow f_\ast f^\ast$, der Isotransformation  $f_! \sira f_\ast$ und offensichtlichen Identifikationen.
 Durch Anwenden von $\mathcal H^q$ entsteht daraus 
das {\bf abgeschlossene}  oder allgemeiner das
{\bf eigentliche Zur"uckholen}
$$
{\op{H}}^q_!f:
{\op{H}}^q_! (Y) \ra {\op{H}}^q_! (X)
$$
In der de-Rham-Theorie kann es nach \eref{FuKKd}{TG} 
durch das
Zur"uckholen glatter kompakt getragener Differentialformen beschrieben werden.
Gegeben eine  $d$-orientierte
Abbildung $(f;d):X\ra Y$ von lokal kompakten Hausdorffr"aumen
betrachten wir die Morphismen
$$
a_{!} a^{\ast} \underline{\op{pt}} \sira  b_{!} f_! f^\ast b^\ast\underline{\op{pt}}
\ra  b_{!} f_! f^! b^\ast\underline{\op{pt}}[-d]\ra b_{!} b^\ast \underline{\op{pt}}[-d]$$
gegeben durch Identifikationen, die $[d]$-Orientierung von $f$ und
die Koeinheit der Adjunktion $f_! f^!\RA\op{id}$. 
Durch Anwenden von $\mathcal H^q$ erhalten wir einen  Gruppenhomomorphismus 
\begin{equation*}
[f;d]^q_!:{\op{H}}^q_! (X ) \rightarrow {\op{H}}_!^{q-d} (Y)
\end{equation*}
F"ur $f$ eine offene Einbettung hei"st er die {\bf Ausdehnung durch Null}. 
F"ur $f$ \'etale separiert hei"st er die {\bf Summation "uber die Fasern}.
F"ur $f$ eine orientierte $d$-mannigfaltige Abbildung 
 hei"st er die {\bf Integration "uber die Fasern}, da er
in der de-Rham-Theorie durch  Integration "uber die Fasern
%im Sinne von \ref{intFF}
berechnet werden kann. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Ausblick in gr"o"sere Abstraktion}]
  Wir erkennen,
  da"s fast die gesamte Konstruktion auch f"ur
  $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow
  \mathscr G^\shriek,  \mathscr T^{\op{e}})$ eine beliebige voll
  verflochtene Trennaustauschsituation  mit Adjungierten und 
 mit finalem Objekt $\op{pt}$ in
 der Basis funktioniert. Wir nehmen dazu $X,Y$ als Schreiobjekte an und setzen
 $${\op{H}}^*_!X\pdef a_!a^*\underline{\op{pt}} \in \mathscr G_{/\op{pt}}$$
 Jeder  Eigmorphismus $f:X\ra Y$ liefert  einen R"uckzug 
 ${\op{H}}^*_!f:{\op{H}}^*_!Y\ra {\op{H}}^*_!X$ und jeder 
 $[u]$-orientierte Morphismus einen Vorschub
 $[f;u]_!:{\op{H}}^*_!X\ra {\op{H}}^*_!Y[-u]$.
 \end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"aten der lokalendlichen Homologie}] 
Sei $X$ ein lesb-Raum. Die lokalendliche Homologie von $X$ erhalten wir als
\begin{equation*}
{\op{H}}_q^! (X) = \mathcal H^{-q} a_{*} a^! \underline{\op{pt}}
\end{equation*}
Gegeben eine abgeschlossene Einbettung oder allgemeiner eine eigentliche
lesb-Abbildung $f : X \rightarrow Y$ in einen weiteren derartigen Raum betrachten wir
die Komposition  
$$a_{\ast} a^{!} \underline{\op{pt}} \sira
b_{\ast} f_\ast f^! b^!\underline{\op{pt}}\sira
b_{\ast} f_! f^! b^!\underline{\op{pt}}\ra 
 b_{\ast} b^! \underline{\op{pt}}$$
von Morphismen gegeben durch Identifikationen, 
der Isotransformation $f_! \siRa f_\ast $ f"ur
eigentliches $f$ und 
 Koeinheit der Adjunktion
 $f_!f^!\RA\op{id}$. Durch Anwenden von $\mathcal H^{-q}$  
erhalten wir den {\bf eigentlichen Vorschub}\index{Vorschub!eigentlicher}
f"ur die lokalendliche Homologie
 $$
{\op{H}}^!_qf:{\op{H}}^!_q (X) \ra {\op{H}}^!_q(Y)
$$
Ist  $f$ eine $[d]$-orientierte Abbildung,
so liefert die $[d]$-Orientierung von $f$  nach \eref{fter}{TSF}  
einen  Morphismus $ f^*b^!\underline{\op{pt}}[d]\ra  f^!b^!\underline{\op{pt}}$.
Wir betrachten nun die Verkn"upfung
$$b_{\ast} b^{!} \underline{\op{pt}} \ra b_{\ast} f_\ast f^* b^!
\underline{\op{pt}}\sira  b_{\ast} f_\ast f^! b^!
\underline{\op{pt}}[-d]\ra  a_{\ast} a^! \underline{\op{pt}}[-d]$$
von Morphismen gegeben durch  die Einheit der Adjunktion $  \op{id}\RA f_\ast f^*$,
 die $[d]$-Ori\-en\-tie\-rung von $f$ und Identifikationen. 
Wenden wir darauf $\mathcal H^{-q}$ an, 
so ergibt sich  f"ur die lokalendliche Homologie
das {\bf mannigfaltige Zur"uckholen}
$$[f;d]_q^!:{\op{H}}^!_q (Y) \ra{\op{H}}^!_{q+d}(X)$$
Spezialf"alle sind insbesondere das offene Zur"uckholen und allgemeiner das
\'etale Zur"uckholen $[f;0]_q^!:{\op{H}}^!_q (Y) \ra{\op{H}}^!_{q}(X)$
f"ur $f$ \'etale separiert. 
Ist allgemeiner $f$ eine $d$-mannigfaltige orientierte Abbildung
und
$A\As Y$ eine orientierte Mannigfaltigkeit, so bildet
das  mannigfaltige Zur"uckholen
 das Bild $[A]^!\in {\op{H}}^!_q (Y)$ des  Fundamentalzykels von $A$
auf das Bild $[f^{-1}(A)]^!\in {\op{H}}^!_{q+d} (X)$ des  Fundamentalzykels
von $f^{-1}(A)$ ab, das wir
dazu mit der  durch die Orientierungen von $f$ und $A$ bestimmten Verkn"upfungsorientierung \ref{abOR} zu versehen haben, vergleiche \ref{kUi}. In Formeln haben wir also \begin{equation*}
[f;d]^!:[A]^! \mapsto [f^{-1}(A)]^! 
\end{equation*}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Ausblick in gr"o"sere Abstraktion}]
  Wir erkennen,
  da"s fast die gesamte Konstruktion auch f"ur
  $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow
  \mathscr G^\shriek,  \mathscr T^{\op{e}})$ eine beliebige voll
  verflochtene Trennaustauschsituation  mit Adjungierten und 
 mit finalem Objekt $\op{pt}$ in
 der Basis funktioniert. Wir nehmen dazu $X,Y$ als Schreiobjekte an und setzen
 $${\op{H}}^!_*X\pdef a_*a^!\underline{\op{pt}} \in \mathscr G_{/\op{pt}}$$
 Jeder  Eigmorphismus $f:X\ra Y$ liefert einen Vorschub  
 ${\op{H}}^!_*f:{\op{H}}^!_*X\ra {\op{H}}^!_*Y$ und jeder 
 $[u]$-orientierte Morphismus einen R"uckzug
 $[f;u]^!:{\op{H}}^!_*Y\ra {\op{H}}^!_*X[-u]$.
 \end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"aten der  Homologie}] 
Sei $X$ ein lesb-Raum. Die  Homologie von $X$ erhalten wir als
\begin{equation*}
{\op{H}}_q (X) = \mathcal H^{-q} a_{!} a^! \underline{\op{pt}}
\end{equation*}
Gegeben eine 
lesb-Abbildung $f : X \rightarrow Y$ in einen weiteren derartigen Raum betrachten wir
die Komposition  
$$a_{!} a^{!} \underline{\op{pt}} \sira
b_{!} f_! f^! b^!\underline{\op{pt}}\ra 
 b_{!} b^! \underline{\op{pt}}$$
von Morphismen gegeben durch Identifikationen und 
die Koeinheit der Adjunktion
 $f_!f^!\RA\op{id}$. Durch Anwenden von $\mathcal H^{-q}$  
erhalten wir den {\bf Vorschub}\index{Vorschub!der Garbenhomologie}
f"ur die  Homologie
 $$
{\op{H}}_qf:{\op{H}}_q (X) \ra {\op{H}}_q(Y)
$$
Ist  $f$ eine $[d]$-orientierte Abbildung,
so liefert die $[d]$-Orientierung von $f$  nach \eref{fter}{TSF}  
einen  Morphismus $ f^*b^!\underline{\op{pt}}[d]\sira  f^!b^!\underline{\op{pt}}$. 
Wir betrachten nun f"ur $f$  $[d]$-orientiert eigentlich die Verkn"upfung
$$b_{!} b^{!} \underline{\op{pt}} \ra b_{!} f_\ast f^* b^!
\underline{\op{pt}}\sira  b_{!} f_! f^! b^!
\underline{\op{pt}}[-d]\ra  a_{!} a^! \underline{\op{pt}}[-d]$$
von Morphismen gegeben durch  die Einheit der Adjunktion $  \op{id}\RA f_\ast f^*$,
die $[d]$-Ori\-en\-tie\-rung von $f$ zusammen mit $f_!\siRa f_*$
und Identifikationen. 
Wenden wir darauf $\mathcal H^{-q}$ an, 
so ergibt sich  f"ur die Homologie
das {\bf orientierte eigentliche Zur"uckholen}
$$[f;d]_q:{\op{H}}_q (Y) \ra{\op{H}}_{q+d}(X)$$
Spezialf"alle sind insbesondere das  Zur"uckholen
auf eine "Uberlagerung mit endlichen Fasern
$[f;0]_q:{\op{H}}_q (Y) \ra{\op{H}}_{q}(X)$. 
Ist allgemeiner $f$ eine $d$-mannigfaltige orientierte Abbildung
und
$A\As Y$ eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit, so bildet
das  mannigfaltige eigentliche Zur"uckholen
 das Bild $[A]\in {\op{H}}_q (Y)$ des  Fundamentalzykels von $A$
auf das Bild $[f^{-1}(A)]\in {\op{H}}_{q+d} (X)$ des  Fundamentalzykels
von $f^{-1}(A)$ ab, das wir
dazu mit der  durch die Orientierungen von $f$ und $A$ bestimmten Verkn"upfungsorientierung \ref{abOR} zu versehen haben, vergleiche \ref{kUi}. In Formeln haben wir also \begin{equation*}
[f;d]:[A] \mapsto [f^{-1}(A)] 
\end{equation*}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Ausblick in gr"o"sere Abstraktion}]
  Wir erkennen,
  da"s fast die gesamte Konstruktion auch f"ur
  $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow
  \mathscr G^\shriek,  \mathscr T^{\op{e}})$ eine beliebige voll
  verflochtene Trennaustauschsituation  mit Adjungierten und 
 mit finalem Objekt $\op{pt}$ in
 der Basis funktioniert. Wir nehmen dazu $X,Y$ als Schreiobjekte an und setzen
 $${\op{H}}^!_!X\pdef a_!a^!\underline{\op{pt}} \in \mathscr G_{/\op{pt}}$$
 Jeder  Schreimorphismus $f:X\ra Y$ liefert einen Vorschub  
 ${\op{H}}^!_!f:{\op{H}}^!_!X\ra {\op{H}}^!_!Y$ und jeder 
 $[u]$-orientierte Eigmorphismus einen R"uckzug
 $[f,u]:{\op{H}}^!_!Y\ra {\op{H}}^!_!X[-u]$.
 \end{Bemerkungl}



\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
(Ich habe sie noch nicht gemacht.)  Gegeben ein kartesisches Quadrat\label{kUi} 
  \begin{displaymath}
\xymatrix{
W \ar[d]_g\ar[r]^p &X \ar[d]^f\\
Z \ar[r]^q &Y
}
\end{displaymath}
alias  $fp=qg$ von lesb-R"aumen mit $d$-mannigfaltigem orientiertem $f$ und
  der zur"uckgezogenen Orientierung \ref{OrZue} auf $g$
  und $p,q$ eigentliche lesb-Abbildungen  kommutiert
  das Diagramm
  \begin{displaymath}
\xymatrix{
{\op{H}}_{n+d}^!W \ar[r] &{\op{H}}_{n+d}^!X \\
{\op{H}}_n^!Z \ar[u]\ar[r] &{\op{H}}_n^!Y\ar[u]
}
  \end{displaymath}
  mit dem mannigfaltigen Zur"uckholen in den Vertikalen und
  dem eigentlichen Vorschieben in den Horizontalen. Ebenso kommutiert
  das Diagramm
  \begin{displaymath}
\xymatrix{
{\op{H}}^{n}_!W \ar[d] &{\op{H}}^{n}_!X\ar[l] \ar[d]\\
{\op{H}}^{n-d}_!Z  &{\op{H}}^{n-d}_!Y\ar[l]
}
  \end{displaymath}
  mit dem eigentlichen Zur"uckholen in den Horizontalen
  und der Integration "uber die Fasern in den Vertikalen.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  (Ich habe sie noch nicht gemacht.)  Gegeben ein kartesisches
  Quadrat\label{kUii}
  \begin{displaymath}
\xymatrix{
W \ar[d]_g\ar[r]^p &X \ar[d]^f\\
Z \ar[r]^q &Y
}
\end{displaymath}
alias  $fp=qg$ von lesb-R"aumen mit eigentlichem $d$-mannigfaltigen  orientierten $f$ und
  der zur"uckgezogenen Orientierung \ref{OrZue} auf $g$
  kommutiert
  das Diagramm
  \begin{displaymath}
\xymatrix{
{\op{H}}_{n+d}W \ar[r] &{\op{H}}_{n+d}X \\
{\op{H}}_nZ \ar[u]\ar[r] &{\op{H}}_nY\ar[u]
}
  \end{displaymath}
  mit dem eigentlichen mannigfaltigen Zur"uckholen in den Vertikalen und
  dem  Vorschieben in den Horizontalen. Ebenso kommutiert
  das Diagramm
  \begin{displaymath}
\xymatrix{
{\op{H}}^{n}W \ar[d] &{\op{H}}^{n}X\ar[l] \ar[d]\\
{\op{H}}^{n-d}Z  &{\op{H}}^{n-d}Y\ar[l]
}
  \end{displaymath}
  mit dem  Zur"uckholen in den Horizontalen
  und der Integration "uber die Fasern in den Vertikalen. Dasselbe mu"s
  allgemeiner gelten f"ur Schmelzr"uckzug gegeben ein kartesisches
  Quadrat
  \begin{displaymath}
\xymatrix{
W \ar[d]_g\ar[r]^-p &X_1\curlyvee\ldots \curlyvee X_r \ar[d]^{f_1\curlyvee\ldots\curlyvee f_r}\\
Z \ar[r]^-q &Y_1\curlyvee\ldots \curlyvee Y_r
}
\end{displaymath}
von lesb-R"aumen mit eigentlichen $d_i$-mannigfaltigen  orientierten $f_i$ und
der zur"uckgezogenen Orientierung \ref{OrZue} auf $g$, die auch noch zu
definieren ist. Das ist aber doch wohl, was die
Assoziativit"at der kohomologischen Hall-Algebren
liefert.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
  Gegeben $X=U\sqcup Z$ ein lokal kompakter Hausdorffraum mit einer
  Zerlegung in eine offene und eine abgeschlossene Teilmenge
  konstruiere man die lange exakte Sequenz der lokalendlichen Homologie
  $$\ldots\ra {\op{H}}^!_q(Z)\ra {\op{H}}^!_q(X)\ra {\op{H}}^!_q(U)\ra {\op{H}}^!_{q-1}(Z)
  \ra\ldots$$
\end{Ubung}

\subsection{Schnittpaarung und Poincar\'edualit"at}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Dualisierte Poincar\'e-Isomorphismen}]
  Gegeben  eine orientierbare $m$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit
  $X$ erinnern wir aus \nichtfinal{\ref{dGmg}},
  da"s wir eine Orientierung von $X$ auffassen
  k"onnen als einen Isomorphismus
  $a^!\underline{\op{pt}}\sira \underline{X}[m]$
  f"ur $a:X\ra\op{pt}$ die konstante Abbildung. Wenden wir darauf
  $\mathcal H^{-q}a_*$ an, so erhalten wir einen Isomorphismen\label{PiOOn} 
   $$\op{P}^!=\op{P}_X^!=\op{P}_{\vec X}^!:{\op{H}}_{q}^!X\sira {\op{H}}^{m-q}X$$
     Wir nennen sie die {\bf dualisierten Poin\-ca\-r\'e-\-Iso\-mor\-phis\-men}, da\index{P@$\op{P}_X^{~!}$ dualisierter Poin\-ca\-r\'e-\-Iso\-mor\-phis\-mus}
  sie im Fall von K"orperkoeffizienten durch "Ubergang zur transponierten
  Abbildung auf den Dualr"aumen und Vertauschen von $q$ mit $m-q$ aus dem
  gew"ohnlichen Poincar\'e-Iso\-mor\-phis\-men entstehen.  Die
  gew"ohnlichen {\bf Poincar\'e-Iso\-mor\-phis\-men} 
  $$\op{P}_X:{\op{H}}_{q}X\sira {\op{H}}^{m-q}_!X$$
  erh"alt man in der Garbenkohomologie,  indem man
  oben $\mathcal H^{-q}a_!$
  statt $\mathcal H^{-q}a_*$ anwendet. 
  Ein Student mag mir ausschreiben, warum diese
  Poincar\'e-Iso\-mor\-phis\-men  der Garbenkohomologie unter den
  Vergleichsisomorphismen \ref{VdHh} und \ref{siKO}
  unseren Poin\-ca\-r\'e-Iso\-mor\-phis\-men 
  aus der singul"aren Homologietheorie aus  \eref{PsI}{TS} entsprechen.
\end{Bemerkungl}
 
\begin{Bemerkungl}
  Wir m"ussen  die
  lokalendliche Homologie ${\op{H}}_{q}^!X$ bei den
  dualisierten Poin\-ca\-r\'e-Iso\-mor\-phis\-men im
  garbentheoretischen Sinne verstehen.
  Die meiner Anschauung besser zug"angliche lo\-kal\-end\-li\-che
  singul"are Homologie
  stimmt nicht f"ur allgemeine Mannigfaltigkeiten, aber nach
 \ref{VdHh} und \ref{phqnk}
  doch zumindest f"ur abz"ahlbar basierte Mannigfaltigkeiten
  mit der lokalendlichen  garbentheoretischen Homologie "uberein.
 \end{Bemerkungl}


\begin{Definition} Gegeben eine orientierte $m$-Mannigfaltigkeit $X$
 erkl"aren wir 
  das {\bf Schnittprodukt}\index{Schnittprodukt} oder genauer
  {\bf cup-Schnittprodukt}\index{Schnittprodukt!cup-Schnittprodukt}
  als die vom  cup-Pro\-dukt der Kohomologie
  $\cup:{\op{H}}^{p}X\times{\op{H}}^{q}X \ra {\op{H}}^{p+q}X$ unter den dualisierten Poincar\'e-Isomorphismen induzierte 
  bilineare Abbildung\label{cuSp} 
  $${\op{H}}_{m-p}^!X\times{\op{H}}_{m-q}^!X \ra {\op{H}}_{m-p-q}^!X$$
  Wir notieren unser Schnittprodukt $(\alpha,\beta)\mapsto \alpha\cdot\beta$.
\end{Definition}


\begin{Satz}[\textbf{Geometrische Bedeutung des Schnittprodukts}]
  Seien $X$ eine orientierte $m$-Mannigfaltigkeit und $A,B\As X$
  orientierte abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten, die sich transversal
  schneiden. Versehen wir $A\cap B$ mit der im Laufe des Beweises
  eingef"uhrten Schnittorientierung, so gilt
  f"ur ihre Fundamentalzykel 
  $$[A]^!\cdot [B]^!=[A\cap B]^!$$
\end{Satz}
\begin{proof} Die Pr"azisierung und der Beweis dieses Satzes werden
  den gr"o"sten Teil dieses Abschnitts einnehmen. Eine abgeschlossene
  Untermannigfaltigkeit
  ist in unserer rein topologischen Situation eine abgeschlossene Teilmenge,
  die eben mit ihrer induzierten Topologie eine Mannigfaltigkeit ist.
  Den Fundamentalzykel erkl"aren wir in \ref{iPD} und erhalten insbesondere
  $[\emptyset]^!=0$.
  In \ref{VSES} k"onnen wir bereits
  zeigen, da"s zumindest gilt
  $A\cap B=\emptyset \RA [A]^!\cdot [B]^!=0$.
\end{proof}




\begin{Lemma}[\textbf{Funktorialit"at der dualisierten Poincar\'e-Isomorphismen}] 
  Gegeben eine eigentliche Abbildung $f:X\ra Y$ von
  orientierten Mannigfaltigkeiten der Dimensionen $m,n$ erhalten wir
  ein kommutatives Diagramm\label{FGH} 
\begin{displaymath}
\xymatrix{
 {\op{H}}_{q}^!X \ar[d]_{{\op{H}}_{q}^!f}\ar[r]^-{\op{P}^!_X}_-\sim & {\op{H}}^{m-q}X \ar[d]^{[f;n-m]}\\
 {\op{H}}_{q}^!Y \ar[r]^-{\op{P}^!_Y}_-\sim & {\op{H}}^{n-q}Y
}
\end{displaymath}
mit dem eigentlichen orientierten Vorschub auf der Kohomologie in der
rechten Vertikale, zu verstehen in Bezug auf
die relative Orientierung von $f$.
\end{Lemma}
\begin{proof}
Wir
gehen  von der Definition
der relativen Orientierung von $f$ in \ref{abOR} aus,
die gegeben wird als die rechte Vertikale im 
kommutativen Diagramm \begin{displaymath}
\xymatrix{
a^! \ar[d]\ar[r] & a^*[m] \ar[d]\\
f^!b^! \ar[r] & f^!b^*[n]
}
\end{displaymath}
mit $a:X\ra\op{pt}$ und $b:Y\ra\op{pt}$ den konstanten Abbildungen
und den durch die Orientierungen von $a$ und $b$ gegebenen Horizontalen. Der "Ubersichtlichkeit halber habe ich hier darauf verzichtet, die Anwendung auf
$\underline{\op{pt}}$ zu notieren.
Wenden wir auf dies Diagramm
die Komposition $a_*\ra b_*f_*\ra b_*f_!$ an, so entsteht
ein kommutatives Diagramm aus zwei aufeinandergestellten W"urfeln. 
Betrachten wir das kommutative  Quadrat, das durch Anwenden
der Koeinheit der Adjunktion $f_!f^!\ra \op{id}$
auf die Orientierung $b^! \ra b^*[n]$ entsteht, wenden darauf $b_*$ an
und kleben das noch passend an den zweiten W"urfel an, 
so steht das Lemma auch schon da. 
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}
  F"ur den Fall, da"s unsere eigentliche Abbildung aus \ref{FGH} die 
  Einbettung $i:A\ra X$ einer orientierten abgeschlossenen
  Untermannigfaltigkeit $A\As X$
  der Kodimension $p$
  in eine orientierte $m$-Mannigfaltigkeit $X$ ist,
  vereinbaren wir f"ur die Bilder von $1\in {\op{H}}^0A$
  unter den verschiedenen Pfeilen unseres Diagramms und ihren Inversen die
  Notationen\label{iPD} 
  \begin{displaymath}
\xymatrix{
[A]^!\in  {\op{H}}_{m-p}^!A \ar[d]_{{\op{H}}^!_{m-p}i}\ar[r]^-{\op{P}^!_A}_-\sim &  {\op{H}}^{0}A\ni 1 \ar[d]^{[i;p]^0}\\
[A]^!\in  {\op{H}}_{m-p}^!X \ar[r]^-{\op{P}^!_X}_-\sim & {\op{H}}^{p}X\ni \tau_A
}
  \end{displaymath}
  Wir nennen $[A]^!$ den {\bf Fundamentalzykel}\index{Fundamentalzykel}
 von $A$  und $\tau_A$ den
 {\bf Fundamentalkozykel} von $A$ in $X$.\index{Fundamentalkozykel}
 Per definitionem ist f"ur jede orientierte Mannigfaltigkeit $X$
 also der Fundamentalzykel $[X]^!$ ein neutrales Element
 f"ur das Schnittprodukt \ref{cuSp} auf der lo\-kal\-end\-li\-chen Homologie ${\op{H}}^!(X)$. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur Fundamentalzykel und Fundamentalkozykel}]
Ist $A$ abz"ahlbar basiert oder st"arker
  kompakt, so entspricht der aus \ref{iPD} unter unseren
  Vergleichsisomorphismen mit der singul"aren Homologie
  dem Fundamentalzykel aus \eref{FuBM}{TS} beziehungsweise
  \eref{FUZY}{TS}.  Den Fundamentalkozykel von $A$ in $X$
andererseits  mag man sich salopp gesprochen denken als ein Etwas, das jedem
  Zykel in $X$  komplement"arer Dimension seine
  Schnittmultiplizit"at mit $A$ zuordnet.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} Gegeben ein topologischer Raum mit einer
  abgeschlossenen Teilmenge $A\As X$ und Einbettungsabbildung $i:A\hra X$
  und $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ und $a:X\ra\op{pt}$ 
  erinnern wir aus \eref{IuEG}{TSF} den Isomorphismus
  $$\mathcal H^p (ai)_*i^!\cal F\sira {\op{H}}^p_A(X;\mathcal F)$$
  Im Rahmen der sechs Funktoren nehmen wir die linke Seite
  direkt als Definition
  der rechten Seite. In jedem Fall liefern unsere Konstruktionen
   Isomorphismen
  $$\op{Der}_{/X}(i_!\DZ_A[-p],\cal F)\sira\op{Der}_{/A}(\DZ_A,i^!\cal F[p])\sira  {\op{H}}^p_A(X;\mathcal F)$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Fundamentalkozykel als
      Element der lokalen Kohomologie}]
  Seien nun wieder $A\As X$ eine abgeschlossene
  orientierte Untermannigfaltigkeit einer orientierten Mannigfaltigkeit
  der Kodimension $p$ und $i:A\hra X$
  die Einbettung. Der orientierte eigentliche Vorschub unter $i$
  ist,  wie in \ref{FGH} erkl"art, der Effekt  auf der Hyperkohomologie
  einer Verkn"upfung\label{loKO}  $$i_*\underline{A}\sira
  i_!\underline{A}\sira i_!i^!\underline{X}[p]\ra \underline{X}[p]$$
in $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$.  
Nach \eref{IuEG}{TSF} haben wir
$\mathbb H^q(X; i_!i^!\underline{X}[p])={\op{H}}_A^{p+q}(X)$.
Unser orientierter eigentlicher Vorschub unter $i$ faktorisiert mithin
"uber die lokale Kohomologie als
$${\op{H}}^qA\sira {\op{H}}_A^{p+q}(X)\ra {\op{H}}^{p+q}(X)$$
Wir nennen das Bild  von $1\in {\op{H}}^0A$ unter dieser Faktorisierung  den
{\bf lokalen Fundamentalkozykel} und\index{Fundamentalkozykel!lokaler} notieren
ihn wie den urspr"unglichen Fundamentalkozykel 
$$\tau_A\in {\op{H}}_A^{p}(X)$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Fall einer einpunktigen Untermannigfaltigkeit}] 
  Gegeben eine orientierte $m$-Mannigfaltigkeit $X$ und $x\in X$
  ein Punkt und $A\pdef\{x\}$ die einpunktige Untermannigfaltigkeit mit ihrer
  positiven Orientierung ist der lokale Fundamentalkozykel $\tau_A\in {\op{H}}_{A}^m(X)={\op{H}}^m(X, X\backslash x)$
  dasjenige Element, das unter der Kroneckerpaarung mit der
  lokalen Orientierung in $ {\op{H}}_m(X, X\backslash x)$ zu $1$ paart.
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Cup-Produkt der lokalen Kohomologie}]
  Gegeben ein topologischer Raum $X$  und Einbettungen abgeschlossener Teilmengen $i:A\hra X$ sowie $j:B\hra X$ und die Einbettung ihres Schnitts
  $k:A\cap B\hra X$
  haben wir einen offensichtlichen Isomorphismus\label{clK} 
  $$k_!\underline{A\cap B}\sira
  i_!\underline{A}\otimes j_!\underline{B}$$
  Wir diskutieren im Anschlu"s in \ref{aNt}, wie er aus den sechs Funktoren
  gebildet werden kann. 
  Er induziert  eine bilineare Abbildung 
  $${\op{H}}_A^p(X)\times {\op{H}}_B^q(X)\ra {\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(X)$$
  durch die Vorschrift $(\alpha,\beta)\mapsto \alpha\otimes \beta$
  in der Interpretation der lokalen Kohomologieklassen
  als Morphismen $\alpha: i_!\underline{A}\ra \underline{X}[p]$ und
  $\beta: j_!\underline{B}\ra \underline{X}[q]$
der derivierten Kategorie $\op{Der}_{/X}$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Ausdehnung durch Null und Tensorieren}]
  Gegeben ein topologischer Raum $X$  und Einbettungen lokal abgeschlossener Teilmengen $i:A\hra X$ sowie $j:B\hra X$
 und Objekte $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/A})$ sowie 
 $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/B})$  liefert ganz allgemein Flechtbasiswechsel im kartesischen Diagramm\label{aNt} \begin{displaymath}
 \xymatrix{
A\cap B  \ar[r] \ar[d]_k & A\curlywedge B \ar[d]^{i\curlywedge j}\\
X\ar[r]& X\curlywedge X}
  \end{displaymath}
 der Trennkategorie  mit den Notationen  $k:A\cap B\hra X$ und  $h:A\cap B\hra A$ und  $l:A\cap B\hra B$ f"ur die jeweiligen Einbettungen
einen  Isomorphismus $$k_!(h^*\mathcal F\otimes l^*\mathcal G)\sira
 i_!\mathcal F\otimes j_!\mathcal G$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Verschwinden von cup-Produkten}] 
  Gegeben seien ein topologischer Raum $X$ und abgeschlossene
  Teilmengen $A\As X$ sowie $B\As X$. In "Ubung \ref{Fuca} werden Sie die Funktorialit"at der lokalen Kohomologie diskutieren 
 und werden insbesondere sehen, da"s unser cup-Produkt der lokalen Kohomologie 
 das gew"ohnliche cup-Produkt verallgemeinert. Wir erhalten also
 mit den bekannten Vertikalen ein kommutatives Diagramm  
 $$\begin{array}{ccc}
   {\op{H}}_A^p(X)\times {\op{H}}_B^q(X)&\ra& {\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(X)\\
   \da&&\da\\
   {\op{H}}^p(X)\times {\op{H}}^q(X)&\ra& {\op{H}}^{p+q}(X)
 \end{array}
 $$
Das Analogon dieser Abbildung in der singul"aren Kohomologie
kennen wir bereits aus \eref{RKS}{TSK}, allerdings
hei"st unsere lokale Kohomologie dort
die relative Kohomologie ${\op{H}}^p(X, X\backslash A)$. 
In jedem Fall gilt  ${\op{H}}_{\emptyset}^{n}(X)=0$ f"ur alle $n$.
Das bedeutet insbesondere f"ur Elemente $\alpha,\beta$ des Kohomologierings, die
von Elementen der lokalen Kohomologie in Bezug auf abgeschlossene Teilmengen
$A,B$ mit leerem Schnitt $A\cap B=\emptyset$ herkommen, auch im vollen
Kohomologiering von $X$ das Verschwinden des cup-Produkts 
$$\alpha\cup \beta =0$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}[\textbf{Verschwindende Schnittprodukte
      und erzwungene Schnitte}] 
  Gegeben eine orientierte Mannigfaltigkeit\label{VSES} 
  $X$ und orientierte abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten $A,B\As X$
  gilt $$A\cap B=\emptyset\;\RA\;[A]^!\cdot [B]^!=0$$ In der Tat ist das
  Verschwinden des Schnittprodukts  per definitionem gleichbedeutend zum
  Verschwinden des cup-Produkts $\tau_A\cup\tau_B=0$ und das folgt im Fall $A\cap B=\emptyset$ 
  aus \ref{clK}, da unsere Fundamentalkozykel nach \ref{loKO} bereits von der
  jeweiligen lokalen Kohomologie herkommen. Umgekehrt gilt dann nat"urlich auch
  $$[A]^!\cdot [B]^!\neq 0\;\RA\;A\cap B\neq \emptyset$$
  In Worten wird also durch das Nichtverschwinden des Schnittprodukts bereits die Existenz von Schnittpunkten erzwungen. 
  Bei dieser Argumentation
  f"allt einem die Notation schon fast auf die F"u"se.
  Es bezeichnet darin $A\cap B$
  einen Schnitt von Mengen, $\tau_A\cup\tau_B$ jedoch ein cup-Produkt von
  Kohomologieklassen. 
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Beschreibung der lokalen Kohomologie mit Lokalgarben}]
  Gegeben  $A\As X$ eine
 abgeschlossenene Teilmenge in  einem topologischen Raum
 mit ihrer Einbettungsabbildung $i:A\hra X$ erinnern wir aus \eref{IuEG}{TSF}
 die Isomorphismen ${\op{H}}^q_A(X)\sira \mathbb H^q(X;i_*i^!\underline{X})$.
 Wir nennen
 $$\mathcal L_A=\mathcal L_{A\subset X}\pdef i_*i^!\underline{X}$$
  die {\bf Lokalgarbe von $A$ in $X$}\index{Lokalgarbe}
  und erhalten Isomorphismen\label{lokHo}  ${\op{H}}^q_A(X)\sira \mathbb H^q(X;\mathcal L_A)$.
 Der Isomorphismus der relativen Verdierdualit"at  \eref{rVDe}{TSF}  
  liefert  f"ur $A\As X$ und $i:A\hra X$ die Einbettung eine Beschreibung der Lokalgarbe als Homgarbe  $$\mathcal L_A=i_*i^!\underline{X}\sira (i_!\underline{A}{\Rrightarrow} \underline{X})$$  Gegeben 
  $u:U\hra X$ die Einbettung einer 
      offenen
     Teilmenge liefert die relative Verdierdualit"at
     \eref{rVDe}{TSF} zusammen mit dem durch  \eref{OffR}{TSF} gegebenen
     Isomorphismus $u^!\siRa u^*$  
     Isomorphismen $u^*\mathcal L_{A\subset X}\sira \mathcal L_{(A\cap U)\subset U}$.
     Wir nennen sie die {\bf Lokalit"at der Lokalgarbe}. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Beschreibung des cup-Produkts mit Lokalgarben}]
  Seien $X$ ein topologischer Raum, $A,B\As X$ abgeschlossene Teilmengen,  $i,j$ deren Einbettungsabbildungen und $k:A\cap B\hra X$ die Einbettung ihres
  Schnitts. 
Unter diesen Annahmen  liefert unser Isomorphismus $ k_!\underline{A\cap B}\sira i_!\underline{A}\otimes j_!\underline{B}$  aus \ref{clK} unter $(\;{\Rrightarrow}\underline{X})$ einen
    Morphismus\label{CPL} 
   $$\mathcal L_A\otimes \mathcal L_B\ra \mathcal L_{A\cap B}$$
   vom derivierten Tensorprodukt der Lokalgarben in die
   Lokalgarbe des Schnitts. Wir nennen sie die
   {\bf Lokalgarbenpaarung}.\index{Lokalgarbenpaarung}
 Das zugeh"orige cup-Produkt mit Koeffizienten
 pa"st dann, und hier mu"s ordentlich mit den sechs Funktoren gearbeitet
 werden, in ein kommutatives Diagramm 
 $$\begin{array}{ccc}
  {\op{H}}_A^p(X)\times {\op{H}}_B^q(X)&\ra& {\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(X)\\[1mm]
   \da\wr&&\wr\da\\[1mm] 
  \mathbb H^p(X;\mathcal L_A)\times\mathbb H^q(X;\mathcal L_B)&\ra&
\mathbb H^{p+q}(X;\mathcal L_{A\cap B}) \end{array}
   $$
   mit den Isomorphismen aus \ref{lokHo} in den Vertikalen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalit"at der Lokalgarbenpaarung}] 
     Seien $X$ ein topologischer Raum und $A,B\As X$ abgeschlossene Teilmengen. 
   F"ur $U\co X$ mit Einbettungsabbildung $u:U\hra X$
    erhalten wir  ein
     kommutatives Diagramm\label{LokP} 
     $$\begin{array}{ccc}
       u^*\mathcal L_A\otimes u^*\mathcal L_B&\ra& u^*\mathcal L_{A\cap B}\\
       \da\wr&&\wr\da\\
       \mathcal L_{A\cap U}\otimes \mathcal L_{B\cap U}&\ra
       & \mathcal L_{A\cap B\cap U}
     \end{array}$$
     mit den Vertikalen aus \ref{lokHo} und der zur"uckgezogenen Lokalgarbenpaarung beziehungsweise der Lokalgarbenpaarung der eingeschr"ankten Situation in den
     Horizontalen. 
\end{Bemerkungl}



 









\begin{Beispiel}[\textbf{Lokalgarbe einer Untermannigaltigkeit}]
 Gegeben $A\As X$ eine orientierte Mannigfaltigkeit mit einer orientierten
 abgeschlossenen
 Untermannigfaltigkeit der Kodimension $p$ und Einbettung $i$
 ist die relative Orientierung der Einbettung 
 ein Isomorphismus $i^!\underline{X}\sira \underline{A}[-p]$.
 Er kann in unserer neuen Terminologie interpretiert werden  als 
 Beschreibung der Lokalgarbe durch einen Isomorphismus\label{liko}  
 $$i_*\underline{A}[-p]\sira \mathcal L_{A\subset X}$$
 Lassen wir unsere Orientierbarkeitsannahmen fallen, so ist nach der
 Lokalit"at der Lokalgarbe \ref{lokHo} zumindest $\mathcal L_{A\subset X}[p]$
 eine echte Garbe und  lokal isomorph zum Vorschub der konstanten Garbe
 $i_*\underline{A}$. Nehmen wir nur $X$ orientiert an,
 so liefert umgekehrt jede
 Trivialisierung der Lokalgarbe $i_*\underline{A}\sira \mathcal L_{A\subset X}[p]$
 eine Orientierung von $A$.
 \end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Schnittprodukt und lokale Schnittmultiplizit"aten}] 
  Seien  $X$ eine orientierbare $n$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit
  und $A,B\As X$  abgeschlossene Teilmengen,
  die ihrerseits orientierbare Mannigfaltigkeiten der
  Kodimensionen $p,q$ sind. Zus"atzlich nehmen wir  an,
  da"s auch ihr Schnitt $A\cap B$ eine  Mannigfaltigkeit
  der Kodimension $p+q$ in $X$ sein m"oge. W"ahlen wir jeweils Orientierungen
  auf $X,A$ und $B$, 
  so wird unter diesen Wahlen  unsere Lokalgarbenpaarung 
  $\mathcal L_A\otimes \mathcal L_B\ra \mathcal L_{A\cap B}$
  aus \ref{CPL} f"ur $i,j,k$ die jeweiligen Einbettungen mit den Isomorphismen aus \ref{liko} 
  zu einem  Morphismus
  $$i_*\underline{A}[-p]\otimes j_*\underline{B}[-q] \ra \mathcal L_{A\cap B}$$
  Nach Wegk"urzen der Graduierungsverschiebungen und Vorschalten des
  Inversen des offensichtlichen Isomorphismus $i_*\underline{A}\otimes j_*\underline{B}\sira k_*\underline{A\cap B}$ erhalten wir 
  einen Morphismus
  $k_*\underline{A\cap B} \ra \mathcal L_{A\cap B}[p+q]$ und unter der Adjunktion
  $(k^*, k_*)$ wegen $k^* k_*\siRa \op{id}$ einen
  globalen Schnitt von $k^*\mathcal L_{A\cap B}[p+q]$.
  Jede 
  Zusammenhangskomponente von $A\cap B$, auf der dieser Schnitt
  nicht verschwindet, mu"s eine triviale Lokalgarbe haben und somit
  orientierbar sein nach \ref{liko}. Nehmen wir nun der Einfachkeit halber
  $A\cap B$ orientiert an, so wird unser Schnitt unter Nachschalten des
  durch die Orientierung gegebenen Isomorphismus
  $k^*\mathcal L_{A\cap B}[p+q]\sira \underline{A\cap B}$
  zu einer 
  lokal konstanten Funktion $$S=S_{X;A,B}:A\cap B\ra\DZ$$
 Den Wert unserer Funktion an einer
  Stelle $x\in A\cap B$ nennen  wir die
  {\bf lokale Schnittmultiplizit"at}\index{Schnittmultiplizit"at!lokale}
  und finden damit f"ur das cup-Pro\-dukt der
  Fundamentalkozykel in ${\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(X)$ alias das Schnittprodukt   der Fundamentalzykel unter der zus"atzlichen Annahme, da"s der
  Schnitt $A\cap B$ nur endlich viele Zusammenhangskomponenten hat, 
  die Darstellung\label{SvUm} 
  $$\tau_A\cup \tau_B=\sum_{Z\in\op{Zus}(A\cap B)} S_{X;A,B}(Z)\tau_Z\quad\text{alias}\quad [A]^!\cdot [B]^!=\sum_{Z\in\op{Zus}(A\cap B)}  S_{X;A,B}(Z)[Z]^!$$
  als Summe "uber die Zusammenhangskomponenten
  $Z$ von $A\cap B$. Hat der Schnitt unendlich
  viele Zusammenhangskomponenten, so gilt das immer noch, wenn wir
  die unendliche Summe im Sinne der Tr"agerzerlegung \eref{tzLOK}{TG} der
  lokalen Kohomologie als ein Tupel interpretieren. 
  Ist weiter $U\co X$ eine offene Teilmenge, so haben wir nach der Lokalit"at
  der Lokalgarbenpaarung \ref{LokP} zus"atzlich
  $$S_{U;A\cap U,B\cap U}=S_{X;A,B}|_{A\cap B\cap U}$$
  Unsere lokale Schnittmultiplizit"at an einer Stelle $x\in A\cap B$
  "andert sich also nicht, wenn wir $X$ durch eine offene Umgebung $U\co X$
  von $x$
  ersetzen.
  Lassen wir die Annahme fallen, da"s $A\cap B$ orientierbar sein soll,
  so liefern unsere Argumente feiner f"ur jeden Punkt $x\in A\cap B$
  mit einer offenen Umgebung $U\co X$, f"ur die $A\cap B\cap U$ orientierbar
  ist und  die Schnittmultiplizit"at bei $x$ nicht Null in Bezug auf eine
   lokale Orientierung,  da"s f"ur so einen Punkt $x$ 
   seine Zusammenhangskomponente $Z\subset A\cap B$ orientierbar sein mu"s.
   Au"serdem liefern unsere Argumente, da"s wir nichtorientierbare
   Zusammenhangskomponenten des Schnitts in unserer Formel ignorieren d"urfen.
   \nichtfinal{Argumentiere auch, da"s Schnitte ignoriert werden d"urfen, die
     zu kleine Dimension haben.}
\end{Bemerkungl}


 
\begin{Bemerkungw} Jetzt diskutieren wir erst einmal Schnitte von
  Kurven in der
  Ebene und eine Variante unseres Schnittprodukts,
  bei der eine der zu schneidenden Untermannigfaltigkeiten
  als kompakt
  angenommen wird. Im anschlie"senden Abschnitt  diskutieren wir in  \ref{??}
  die Vertr"aglichkeit unserer
  Schnittprodukte mit Produkten  von Mannigfaltigkeiten und
  folgern im Fall von
  \glqq transversalem Schnitt\grqq, da"s
  unsere Schnittmultiplizit"aten $\pm 1$ sind mit einem durch die
  Orientierungen beschriebenen Vorzeichen.
\end{Bemerkungw}
\begin{Lemma}
  Gegeben eine abgeschlossene zusammenh"angende nichtkompakte
  Einsmannigfaltigkeit $Z\As \DR^2$ besteht ihr Komplement aus
  zwei Komponenten, deren h"ohere
  Garbenkohomologie jeweils verschwindet.\label{VGb} 
\end{Lemma}
\begin{proof}[Erster Beweis] Alexanderdualit"at \eref{ADu}{TG}. 
\end{proof}
\begin{proof}[Zweiter Beweis] Wir schreiben
  $X\pdef \DR^2$ und  $U\pdef X\backslash Z$
  und notieren $i,j$ die Einbettungen von $Z,U$.
  Nach \eref{KlEDab}{TM} gilt  $Z\cong \DR$. 
  Das ausgezeichnete Dreieck $i_!i^!\DZ_X\ra\DZ_X\ra j_*j^*\DZ_X\ra[1]$
  aus \eref{KuEG}{TSF}
  liefert wegen $i^!\DZ_X\cong \op{or}_{Z\subset X}[-1]\cong \DZ_Z[-1]$
  nach \ref{liko}  eine kurze exakte Sequenz
  $${\op{H}}^0(X)\hra {\op{H}}^0(U)\sra {\op{H}}^0(Z)$$
  und wir sehen, da"s
  $U$ genau zwei Zusammenhangskomponenten hat.
  Die anderen ${\op{H}}^q(U)$ sind in einer exakten Sequenz zwischen Nullen
  eingequetscht und m"ussen folglich verschwinden.
 \end{proof}


  \begin{Proposition}[\textbf{Lokale Schnittmultiplizit"at von Kurven in der Ebene}]
    Seien $A,B\As \DR^2$  abgeschlossene nichtkompakte
   zusammenh"angende Einsmannigfaltigkeiten in der Ebene $X\pdef \DR^2$,
    die   sich
    in genau einem Punkt $p\in X$ schneiden. Trifft jede Komponente von
    $X\backslash A$ jede Komponente von
    $X\backslash B$, 
  so liefert das cup-Produkt der lokalen Kohomologie einen Isomorphismus
     $${\op{H}}_A^1(X)\otimes {\op{H}}_B^1(X)\sira {\op{H}}_{\{p\}}^{2}(X)$$
Andernfalls ist diese Abbildung Null.\label{szke}  Insbesondere ist unter den gegebenen Voraussetzungen die lokale Schnittmultiplizit"at unserer beiden ebenen Kurven bei beliebiger Wahl der
    Orientierungen stets $\pm 1$ im ersten Fall und Null im zweiten Fall.
  \end{Proposition}
  \begin{proof}
    Bezeichne
    % $a:A\hra X$ die Einbettung und 
     $U\pdef X\backslash A$ das Komplement von $A$. Nach \ref{VGb} hat $U$ genau zwei Komponenten $U_1,U_2$ und deren h"ohere Garbenkohomologie verschwindet. Unsere allgemeine Erkenntnis \eref{exSEQ}{TG}  liefert 
  eine kurze exakte Sequenz
  $$\DZ_{U\subset X}\hra \DZ_X \sra \DZ_{A\subset X}$$
  von abelschen Garben auf $X$ und zeigt, wenn
  wir dazu die lange exakte Sequenz der Morphismen
  in die $\DZ_X[q]$ bilden, schon einmal ${\op{H}}_A^q(X)\cong \DZ$
  f"ur $q=1$
  und Null sonst.
  In anderen Worten liefert %f"ur $u:U\hra X$ die Einbettung
  unsere kurze exakte Sequenz
  einen Quasiisomorphismus
  $(\DZ_{U\subset X}\ra \DZ_X[0])\qri \DZ_{A\subset X}[0]$, der
  nach der Beschreibung von $\op{Ext}^q(\DZ_{U\subset X},\mathcal F)$ aus
  \eref{extUJ}{TG} und
  dem Vergleich von Morphismen in $\op{Hot}$ und
  $\op{Der}$ aus \eref{vbho}{TD} eine Bijektion
  $$\op{Hot}_{\op{Ab}_{/X}}\!\big((\DZ_{U\subset X}\ra \DZ_X[0]),\DZ_X[1]\big)\sira
  \op{Der}_{\op{Ab}_{/X}}(\DZ_{A\subset X},\DZ_X[1])$$
  induziert. Das Symbol $[0]$ verwenden wir hier, um bei einem
  Komplex den Term im Grad Null anzuzeigen.
 Wir erhalten offensichtlich einen Erzeuger von
  $$\op{Hot}_{\op{Ab}_{/X}}\!\big((\DZ_{U\subset X}\ra \DZ_X[0]),\DZ_X[1]\big)=
  \mathcal H^0%\op{Hom}_{\op{Ab}_{/X}}
  \big((\DZ_{U\subset X}\ra \DZ_X[0]){\Rrightarrow}_{\op{Hot}}\DZ_X[1]\big)$$
  durch einen Morphismus $\DZ_{U\subset X}\ra \DZ_X$, der 
  unter der offensichtlichen Zerlegung $\DZ_{U_1\subset X}\oplus \DZ_{U_2\subset X}\sira \DZ_{U\subset X}$
  zu einem Erzeuger des Raums der Morphismen $\DZ_{U_1\subset X}\ra\DZ_X$
  beziehungsweise zum Nullmorphismus $\DZ_{U_2\subset X}\ra\DZ_X$ einschr"ankt.
  Ebenso hat auch $V\pdef X\backslash B$ genau zwei Komponenten $V_1,V_2$.
  Nach \eref{jkAK}{TG} hat weiter das Komplement von $A\cup B$
  genau vier Komponenten.
   Sind alle Schnitte $U_i\cap V_j$ nicht leer, so m"ussen diese Schnitte genau unsere vier Komponenten  sein. W"ahlt man nun  analog einen Repr"asentanten
  in der Homotopiekategorie f"ur einen Erzeuger
  der lokalen Kohomologie ${\op{H}}_B^1(X)$ und bildet das Tensorprodukt
  in der Homotopiekategorie, so kann man wieder in der  Homotopiekategorie
  unschwer pr"ufen, da"s wir einen Repr"asentanten eines Erzeugers von
  ${\op{H}}_{\{p\}}^2(X)$ erhalten. 
Andernfalls haben wir nach eventueller
  Umnummerierung ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit
  $U_1\cap V_1=\emptyset$ und dann ist das cup-Produkt der entsprechenden
  Erzeuger in der Homotopiekategorie in der Tat der Nullmorphismus.
  \end{proof}

  \begin{Beispiel}[\textbf{Schnitte in einem Torus}] 
    Seien $A,B\As T\pdef S^1\times S^1$ die zwei
    Kreislinien $S^1\times\{1\}$ und $\{1\}\times S^1$
    im Torus $T$. Sie schneiden sich in genau einem Punkt,
    n"amlich dem Punkt $p\pdef (1,1)$,
    und ihre Schnittmultiplizit"at ist dort nach der lokalen Beschreibung \ref{szke} offensichtlich $\pm 1$ mit einem von den gew"ahlten Orientierungen abh"angigem
    Vorzeichen. Wir finden so
    $$[A]^!\cdot [B]^!=\pm[p]^!\neq 0$$
    Das  bedeutet unter anderem, da"s f"ur beliebige
    abgeschlossene  Untermannigfaltigkeiten  $X,Y\As T$ mit
    $[X]^!=[A]^!$ und $[Y]^!=[B]^!$ ebenso gilt
    $[X]^!\cdot [Y]^!\neq 0$ und damit insbesondere $X\cap Y\neq \emptyset$.
    Wir k"onnen also salopp gesprochen durch
    Verbiegen und Verschieben unserer beiden
    Kreislinien $A$ und $B$ niemals erreichen,
    da"s sie zueinander disjunkt werden. 
  \end{Beispiel}
 \begin{Beispiel}[\textbf{Schnitte in der Ebene}] 
   Seien $A,B\As X\pdef \DR^2$ die beiden Koordinatenachsen.
   Sie schneiden sich in genau einem Punkt,
    n"amlich dem Ursprung $p\pdef (0,0)$, 
    und ihre Schnittmultiplizit"at ist dort nach der
    lokalen Beschreibung \ref{szke} offensichtlich $\pm 1$ mit einem von den
    gew"ahlten Orientierungen abh"angigen
    Vorzeichen. Wir finden so wieder 
    $$[A]^!\cdot [B]^!=\pm[p]^!$$
    Das ist jedoch  weniger interessant, da  in der lokalendlichen
    Homologie alle
     beteiligten Klassen Null sind. Wir k"onnen auch durch
    Verbiegen und Verschieben von $A$ und $B$  leicht erreichen,
    da"s diese beiden Untermannigfaltigkeiten zueinander disjunkt werden,
    aber das f"uhrt aufgrund des Verschwindens all unserer Klassen nicht zum Widerspruch.
  \end{Beispiel}
 \begin{Beispiel}[\textbf{Schnitte in der punktierten Ebene}] 
   Seien $A,B\As X\pdef \DR^2\backslash 0$
   der Diagonalstrahl $\{(t,t)\mid t>0\}$ und die halbe Parabel
   $\{(x,y)\mid y=x^2, x>0\}$. 
   Sie schneiden sich in genau einem Punkt,
    n"amlich dem Punkt $p\pdef (1,1)$, 
    und ihre Schnittmultiplizit"at dort ist nach der lokalen Beschreibung \ref{szke} offensichtlich $\pm 1$ mit einem von den gew"ahlten Orientierungen abh"angigem
    Vorzeichen. Wir finden so wieder 
    $$[A]^!\cdot [B]^!=\pm[p]^!$$ Das ist jedoch  weniger interessant, da
    in diesem Fall die  Klasse $[p]^!$ eines jeden Punktes Null ist in der lokalendlichen Homologie.  Wir k"onnen   durch
    Verbiegen und Verschieben von $A$ und $B$ auch leicht erreichen,
    da"s unsere beiden Untermannigfaltigkeiten zueinander disjunkt werden,
    aber das f"uhrt nicht zum Widerspruch.
  \end{Beispiel}
   \begin{Beispiel}[\textbf{Schnitte in der punktierten Ebene, halbkompakte Variante}] 
   Seien $A,B\As X\pdef \DR^2\backslash 0$
    der Einheitskreis und die positive $x$-Achse. 
    In diesem Fall gilt bereits  $[A]^!=0$ und die Identit"at  
    $$[A]^!\cdot [B]^!=\pm[p]^!$$
    liefert erst recht keine interessanten Aussagen.
   Es ist jedoch nicht klar, ob wir durch
    Verbiegen und Verschieben von $A$ und $B$  erreichen k"onnen,
    da"s unsere beiden Untermannigfaltigkeiten zueinander disjunkt werden.
    In der Tat ist das unm"oglich und folgt aus der Variante  $[A]\cdot [B]^!=\pm[p]\neq 0$ unserer Formel, die  im Fall von kompaktem $A$ 
    in der gew"ohnlichen Homologie gilt und deren Diskussion wir uns
    jetzt zuwenden. 
   \end{Beispiel}


\begin{Bemerkungl} Gegeben eine orientierte $m$-Mannigfaltigkeit $X$
  definieren nun wir wie bereits in \eref{SnPoo}{TS} angek"undigt
  das
  {\bf cap-Schnittprodukt}\index{Schnittprodukt!cap-Schnittprodukt}
  als die von der Modulstruktur  ${\op{H}}_!^{p}X\times{\op{H}}^{q}X \ra {\op{H}}_!^{p+q}X$  nach \ref{KpKM} unter den  Poincar\'e-Isomorphismen und dualisierten Poincar\'e-Isomorphismen  \ref{PiOOn}  induzierte 
  bilineare Abbildung
  $${\op{H}}_{m-p}X\times{\op{H}}_{m-q}^!X \ra {\op{H}}_{m-p-q}X$$
  Wir notieren sie  $(\alpha,\beta)\mapsto \alpha\cdot\beta$ und machen also
  in der Notation keinen Unterschied zum cup-Schnittprodukt.
 Gegeben ein topologischer Raum $X$ und abgeschlossene
  Teilmengen $A\As X$ sowie $B\As X$ mit $A$ kompakt  erhalten
  mit den bekannten Vertikalen in diesem Fall "ahnlich wie zuvor
  ein kommutatives Diagramm  
 $$\begin{array}{ccc}
   {\op{H}}_A^p(X)\times {\op{H}}_B^q(X)&\ra& {\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(X)\\
   \da&&\da\\
   {\op{H}}_!^p(X)\times {\op{H}}^q(X)&\ra& {\op{H}}_!^{p+q}(X)
 \end{array}
 $$
  mit der durch die Struktur der kompakten Kohomologie als Modul
 "uber dem Kohomologiering nach \ref{KpKM} gegebenen unteren Horizontale. 
  %\nichtfinal{Das mag ein Student einmal
  %den sechs Funktoren entnehmen.}
  Bezeichne f"ur $A$ kompakt nun $\tau_{!A}\in  {\op{H}}^p_!(X)$ das Bild
  des Fundamentalkozykels $\tau_A\in {\op{H}}^p_A(X)$. 
  Wir finden dann f"ur $A$ kompakt unter denselben Annahmen wie in \ref{SvUm}
  und mit denselben lokalen Schnittmultiplizit"aten die Identit"at  
  $$\tau_{!A}\cup \tau_B=\sum_{Z\in\op{Zus}(A\cap B)} S_{X;A,B}(Z)\tau_{!Z}\quad\text{alias}\quad [A]\cdot [B]^!=\sum_{Z\in\op{Zus}(A\cap B)} S_{X;A,B}(Z)[Z]$$
  in der kompakten Kohomologie beziehungsweise der Homologie von $X$. 
\end{Bemerkungl}
  \begin{Beispiel}[\textbf{Schnitte in der punktierten Ebene, halbkompakte Variante}] 
   Seien $A,B\As X\pdef \DR^2\backslash 0$
    der Einheitskreis und die positive $x$-Achse. 
    Da $A$ kompakt ist, k"onnen wir das cap-Schnittprodukt betrachten und erhalten die Identit"at  
    $$[A]\cdot [B]^!=\pm[p]\neq 0$$
    in der gew"ohnlichen Homologie ${\op{H}}_0(\DR^2\backslash 0)$.  
    Es folgt sowohl $[A]\neq 0$ in  ${\op{H}}_1(\DR^2\backslash 0)$ als
    auch $[B]^!\neq 0$ in  ${\op{H}}_1^!(\DR^2\backslash 0)$ und
    insbesondere folgt, da"s wir salopp gesprochen  durch
    Verbiegen und Verschieben von $A$ und $B$ nicht  erreichen k"onnen,
    da"s unsere beiden Untermannigfaltigkeiten zueinander disjunkt werden. 
  \end{Beispiel}





\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine orientierte $n$-Mannigfaltigkeit $X$
  liefert unser \hyperref[SnPr]{cap-Schnitt\-pro\-dukt} 
  gefolgt von der Augmentation $\varepsilon:{\op{H}}_{0}(X)\ra\DZ$ 
  eine bilineare Abbildung,\index{)8a@$\odot$ Schnittpaarung} die {\bf Schnittpaarung}\index{Schnittpaarung}\label{SchnPaa} 
  $$\begin{array}{ccc}{\op{H}}_{q}(X)\times  {\op{H}}^!_{n-q}(X)&\ra& \DZ\\
    (\;\alpha\;,\;\beta\;)&\mapsto&\alpha\odot\beta
  \end{array}
  $$
  gegeben in Formeln durch $\alpha\odot\beta\pdef \varepsilon(\alpha\cdot\beta)$. 
 \end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Eigenschaften der Schnittpaarung}]  
  Gegeben eine orientierte $n$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit $X$ induziert
  die Schnittpaarung ${\op{H}}_{q}(X)\times  {\op{H}}^!_{n-q}(X)\ra \DZ$ stets
  eine Surjektion ${\op{H}}^!_{n-q}(X)\sra \op{Hom}({\op{H}}_{q}(X),\DZ)$ und
  im Fall von freiem ${\op{H}}_{q-1}(X)$ ist diese Surjektion\label{EdS} 
  sogar ein Isomorphismus
  $${\op{H}}^!_{n-q}(X)\sira \op{Hom}({\op{H}}_{q}(X),\DZ)$$
\end{Satz}

\begin{proof}
 Schalten wir unserer cap-Schnittpaarung 
im zweiten Eintrag  den Inversen des dualisierten Poin\-car\'e-Isomorphismus
  ${\op{P}}^!:{\op{H}}_{n-q}^!(X)\sira {\op{H}}^{q}(X)$
vor, so erhalten wir \nichtfinal{(warum?)} die Kroneckerpaarung ${\op{H}}_{q}(X)\times{\op{H}}^{q}(X) \ra \DZ$.
Nach
  dem universellen Koeffiziententheorem \ref{UKGK}
  haben wir jedoch eine kurze exakte Sequenz 
  \begin{displaymath}\op{Ext}({\op{H}}_{q-1}(X), \DZ)\hra {\op{H}}^{q}(X)\sra \op{Hom}({\op{H}}_{q}(X), \DZ)\qedhere
  \end{displaymath}
\end{proof}





\begin{Bemerkungl}
Analoges gilt mit Koeffizienten in einem beliebigen noetherschen Kring endlicher homologischer Dimension. Im Fall eines
Krings der Charakteristik Zwei brauchen wir noch nicht einmal
irgendwelche Orientierbarkeiten vorauszusetzen.
Mit Koeffizienten in einem K"orper $k$ etwa 
ist die totale Homologie immer frei und dann 
induziert  unsere Schnittpaarung einen Isomorphismus
$${\op{H}}_{n-q}^!(X;k)\sira \op{Hom}_k({\op{H}}_{q}(X;k), k)$$
und im Fall eines K"orpers der Charakteristik Zwei 
brauchen wir noch nicht einmal $X$ orientiert vorauszusetzen.
\end{Bemerkungl}




\begin{Beispiel}[\textbf{Ebene ohne abgeschlossene diskrete Teilmenge}] 
  Im Fall der Zweimannigfaltigkeit $X\pdef \DC\backslash \DZ$
  ist die erste Homologie
  ${\op{H}}_{1}(X)$ eine freie abelsche Gruppe mit kleinen Zykeln
  um die ganzen Zahlen als Repr"asentanten einer Basis, denn schreiben wir
  unseren Raum als aufsteigende Vereinigung immer gr"o"serer offener Teilmengen,
  so ist die Homologie der Kolimes.
  Weiter ist ${\op{H}}_{0}(X)\cong\DZ$ frei und nach \ref{EdS} liefert damit die Schnittpaarung einen Isomorphismus
${\op{H}}_{1}^!(X)\sira \op{Hom}({\op{H}}_{1}(X),\DZ)$. 
  Folglich 
  ist ${\op{H}}_{1}^!(X)$ isomorph zu einem Produkt von abz"ahlbar vielen
  Kopien von $\DZ$ und man erh"alt Repr"asentanten f"ur die
  Elemente der ersten
  lokalendlichen Homologie zum Beispiel,
  indem man die Fundamentalzykel von vertikalen Halbgeraden
  betrachtet, die von Punkten $n\in\DZ$ nach oben ins Unendliche laufen,
  und von ihnen geeignet definierte \glqq unendliche Linearkombinationen\grqq\
 nimmt.
\end{Beispiel}





 \subsubsection*{"Ubungen}


\begin{Ubung}[\textbf{Funktorialit"at des cup-Produkts der lokalen Kohomologie}]
 F"ur eine beliebige
 stetige Abbildung $f:X\ra Y$ und 
 $C,D\As  Y$ mit der Eigenschaft $f^{-1}(C)\subset A$ und
 $f^{-1}(D)\subset B$ erhalten wir f"ur das cup-Produkt der lokalen Kohomologie \ref{clK} ein
 kommutatives Diagramm\label{Fuca} 
 $$\begin{array}{ccc}
   {\op{H}}_C^p(Y)\times {\op{H}}_D^q(Y)&\ra& {\op{H}}_{C\cap D}^{p+q}(Y)\\
   \da&&\da\\
   {\op{H}}_A^p(X)\times {\op{H}}_B^q(X)&\ra& {\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(X)
 \end{array}
 $$
\end{Ubung}

 


\begin{Ubung}[\textbf{Fundamentalkozykel einer Untervariet"at}]
  \nichtfinal{Als Fundamentalzykel formulieren, das ist anschaulicher!}
  Seien $X$ eine $n$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit
  und $A\As X$ eine abgeschlossene Teilmenge, die  eine Filtrierung der Gestalt 
  $$A=A^{{\leq a}}\supset A^{{\leq a-1}}\supset\ldots\supset A^{{\leq 0}}\supset \emptyset =A^{{\leq -1}}$$ durch abgeschlossene Teilmengen $(A^{\leq n})_{n\in\DZ}$ besitzt derart, da"s das Komplement $A^{{\leq q}}\backslash A^{{\leq q-1}}$
  jeweils eine $q$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit ist.\label{kkkVn} 
Man zeige $\mathcal H^p\mathcal L_{A^{\leq q}}=0$ f"ur $p+q<n$  und zeige
unter der zus"atzlichen Annahme,
da"s sogar 
$A^\circ\pdef A\backslash  A^{{\leq a-2}}$ eine $a$-Mannigfaltigkeit ist,  da"s der nat"urliche Morphismus 
  einen Isomorphismus 
  $$\mathcal H^{n-a}\mathcal L_{A}
  \sira \mathcal H^{n-a}\mathcal L_{A^\circ}$$
  liefert. Sind schlie"slich Orientierungen auf $X$ und
  $A^\circ$ gew"ahlt, so erh"alt man weiter wie in \eref{Fukoz}{TSF}
  ausgezeichnete Isomorphismen
  $\mathcal L_{A^\circ}\sira j_*\DZ_{A^\circ}[a-n]$ f"ur $j:A^\circ \hra X$ die
  Einbettung und damit einen ausgezeichneten globalen Schnitt
  $1\in \Gamma\mathcal H^{n-a}\mathcal L_{A^\circ}$ und dann auch
  in $\Gamma\mathcal H^{n-a}\mathcal L_{A}$. Weil wir bereits wissen,
  da"s gilt $\mathcal H^{q}\mathcal L_{A}=0$ f"ur $q<n-a$, ist die
  offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus 
$\Gamma\mathcal H^{n-a}\mathcal L_{A}\sira  \mathbb H^{n-a}(X;\mathcal L_{A})$
  und wir erhalten ein ausgezeichnetes Element der lokalen Kohomologie,
  das wir wieder den {\bf Fundamentalkozykel von $A$ in $X$} nennen
  und\index{Fundamentalkozykel!von Untervariet"at}\label{Fukozy}
   $$\tau_A=\tau_{A\subset X}\in {\op{H}}^{n-a}_A(X)$$
  notieren. Er h"angt von den gew"ahlten Orientierungen ab.
  Man zeigt unschwer, da"s er im Fall einer Mannigfaltigkeit $A$
  mit dem Fundamentalkozykel aus \ref{Fukoz} "ubereinstimmt und da"s
  f"ur $U\co X$ offen und $u:U\hra X$ die Einbettung
  in ${\op{H}}^{n-a}_{A\cap U}(U)$ gilt $u^\ast \tau_A=\tau_{A\cap U}$.
  Ein typisches Beispiel f"ur eine  Situation der hier beschriebenen Art
  ist der Fall einer glatten komplexen algebraischen Variet"at $V$ mit einer
  abgeschlossenen Untervariet"at $W\As V$ und den 
  zugeh"origen topologischen R"aumen  $ W(\DC)\As V(\DC)$ mit der analytischen Topologie als $A\As X$, vergleiche \eref{kkkV}{TG}.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Berechnung lokaler Schnittmultiplizit"aten}] 
  Seien 
  $A,B$ abgeschlossene Teilmengen von $ X\pdef \DR^n$ und $a,b\in \DN$ und 
  $\tau_A\in {\op{H}}^{n-a}_{A}(X)$ sowie 
  $\tau_B\in {\op{H}}^{n-b}_{B}(X)$ lokale Kohomologieklassen.
  Wir nehmen an, der Schnitt $A\cap B=\{x\}$ sei ein
  einziger Punkt, und wollen $\tau_A\cup \tau_B\in {\op{H}}^{n}_{x}(X)$
  bestimmen. Gegeben eine kompakte Kugel $K\subset X$ mit 
  $x\in K$ ist der R"uckzug ein Isomorphismus ${\op{H}}^{n}_{x}(X)\sira {\op{H}}^{n}_{K}(X)$. Wir k"onnen damit $\tau_A$  ersetzen durch sein Bild in
  ${\op{H}}^{n-a}_{A\cup K}(X)$ und 
  $\tau_B$ durch sein Bild in ${\op{H}}^{n-b}_{B\cup K}(X)$.
  Die Homotopieinvarianz der lokalen Kohomologie \eref{HIRHg}{TG}
  zeigt nun, da"s jede Abbildung $\varphi:(X,K)\ra (X,K)$, die
  als Abbildung von Raumpaaren homotop ist zur Identit"at im Sinne
  von \eref{HIRH}{TS} und die au"serhalb von $K$ die Identit"at ist,
  die Klasse $\tau_B\in {\op{H}}^{n-b}_{B\cup K}(X)$ festh"alt.
  Diese Klasse ist damit auch das Bild von  $\varphi^*(\tau_B)\in
  {\op{H}}^{n-b}_{\varphi^{-1}(B)}(X)$. Bei geschickter Wahl von $\varphi$
  kann nun $$\tau_A\cup \varphi^*(\tau_B)\in {\op{H}}^{n}_{K}(X)$$ leichter zu berechnen sein. Wenn
  wir etwa ein $\varphi$  finden k"onnen, f"ur das gilt $A\cap \varphi^{-1}(B)=\emptyset$, 
  so folgern wir sofort $\tau_A\cup \tau_B=\tau_A\cup \varphi^*(\tau_B)=0$.
  Im Fall der Fundamentalkozykel von Untervariet"aten und "ahnlich
  gelagerten F"allen 
  wie in
  \ref{Fukozy} dahingegen gilt es salopp gesprochen, mit $\varphi$ \glqq unser $B$ ein
  bi"schen zu verschieben, so da"s aus dem einem Schnittpunkt $x$ mehrere
  Schnittpunkte mit transversalem Schnitt werden, und diese Schnittpunkte
  m"ussen wir dann nach \ref{cpS} nur noch mit
  geeigneten Vorzeichen z"ahlen\grqq. Im Fall von Untervariet"aten
  einer glatten komplexen Variet"at  wei"s man sogar zus"atzlich, da"s dann
  alle diese Vorzeichen $+1$ sein m"ussen. 
\end{Ubung}


\begin{Ubung}[\textbf{Zur"uckholen der lokalen Kohomologie mit sechs Funktoren}]
    Gegeben  $A\As X$ eine abgeschlossene Teilmenge eines
    topologischen Raums
    und $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ 
    und $i:A\hra X$ die Einbettung und $c=c_A:A\ra \op{top}$ die konstante Abbildung haben wir is \ref{IuEG} einen 
     Isomorphismus $$\mathcal H^q c_{A*}i^!\cal F\sira {\op{H}}^q_A(X;\mathcal F)$$ konstruiert. 
    Gegeben $B\As Y$ eine weitere abgeschlossene Teilmenge eines
    topologischen Raums und $j:B\hra Y$ die Einbettung $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung mit $f^{-1}(B)\subset A$ und $\phi: \mathcal F\ra \mathcal G$ ein Morphismus
    in $\op{Der}_{{\sslash}f}(\mathcal F,\mathcal G)$ alias ein Morphismus
    $\mathcal G\ra f_*\mathcal F$ in $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$
    konstruieren wir einen
    Morphismus\index{)6@$\phi^\circledast$!Zur"uckholen von Schnitten}\label{ZLKsf}
    $$\phi^\circledast :c_{B*}j^!\mathcal G \ra c_{A*}i^!\mathcal F$$
    in $\op{Der}(\op{Ab})$  oder ganz pedantisch
    $\op{Der}(\op{Ab}_{/{\op{top}}})$  unter Betrachtung des Diagramms
    \begin{displaymath}
 \xymatrix{
f^{-1}(B) \ar@{^{(}->}[r]^-u \ar[d]^{f_B}& A\ar@{^{(}->}[r]^i&X\ar[d]^{f}\\
B \ar@{^{(}->}[rr]^j &&Y
}
    \end{displaymath}
    als die Komposition
    $$c_{B*}j^!\mathcal G\ra c_{B*}j^!f_*\mathcal F
    \sira c_{B*}f_{B*}u^!i^!\mathcal F\sira c_{A*}u_*u^!i^!\mathcal F\sira
    c_{A*}u_!u^!i^!\mathcal F\sira c_{A*}i^!\mathcal F$$
    eines von $\phi$ induzierten Morphismus mit Basiswechsel,
    der Isotransformation $u_!\siRa u_*$ und der Koeinheit der Adjunktion.
    Man zeige, da"s dieser Morphismus $\phi^\circledast$
    im Fall von gew"ohnlichen abelschen Garben
    $\mathcal F,\mathcal G$ unser Zur"uckholen  auf der lokalen Kohomologie
    aus \eref{ZHKoXn}{TG} induziert, in Formeln also die Kommutativit"at
    des Diagramms
      \begin{displaymath}
 \xymatrix{\mathcal H^q c_{B*}j^!\cal G
 \ar[r]^-\sim \ar[d]^{\phi^\circledast}& {\op{H}}^q_B(Y;\mathcal G)\ar[d]\\
\mathcal H^q c_{A*}i^!\cal F
 \ar[r]^-\sim & {\op{H}}^q_A(X;\mathcal F)
}
      \end{displaymath}
      Man zeige weiter f"ur verkn"upfbare Komorphismen $ \phi^\circledast\circ \psi^\circledast=(\psi\circ\phi)^\circledast$ und der
      Vollst"andigkeit halber auch $\op{id}^\circledast=\op{id}$. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Vorschub der relativen Homologie mit sechs Funktoren}]
  Sind in den Notationen der vorhergehenden "Ubung \ref{ZLKsf} alle beteiligten topologischen
  R"aume \hyperref[lesb]{lesb}, so konstruiert man in derselben
  Weise f"ur jeden Morphismus $\varphi: f_!\mathcal F\ra \mathcal G$ in $\op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ einen Morphismus\label{Vrh} 
$$\varphi_\circledast :c_{A!}i^*\mathcal F \ra c_{B!}j^*\mathcal G$$
    in $\op{Der}(\op{Ab})$  oder ganz pedantisch
    $\op{Der}(\op{Ab}_{/{\op{top}}})$ und zeigt 
$ \psi_\circledast\circ \varphi_\circledast=(\psi\circ\varphi)_\circledast$ und der
    Vollst"andigkeit halber auch $\op{id}_\circledast=\op{id}$.
    Man beachte, da"s ein
    Morphismus $\varphi: f_!\mathcal F\ra \mathcal G$ \emph{nicht} einem eigentlichen Opkomorphismus
    entspricht. 
\end{Ubung}
\begin{Beispiel}
    Ist $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung von Mannigfaltigkeiten derselben
    Dimension $n$ mit diskreten Fasern, so ist $f_{(!)}$  nach
    eigentlichem Basiswechsel ein exakter Funktor und induziert einen
    Morphismus $f_!\omega_X\ra \omega_Y$ oder auch einfacher einen
    Morphismus
    $\varphi:f_!\op{or}_X\ra \op{or}_Y$. Gegeben $A\As X$ und $B\As Y$
    mit $f^{-1}(B)\subset A$ entspricht die zugeh"orige Abbildung
    $\varphi_\circledast:\Gamma_!(A;\op{or}_X)\ra \Gamma_!(B;\op{or}_Y)$
    unter unserem Isomorphismus \eref{HHM}{TS} dem Vorschub
    $${\op{H}}_n(X,X\backslash A)\ra {\op{H}}_n(Y,Y\backslash B)$$ Das
    ist seinerseits ein Spe\-zial\-fall der
    Nat"urlichkeit des Ver\-gleichs\-iso\-mor\-phis\-mus der relativen Homologie
    \ref{NatVR}.
  \end{Beispiel}





\begin{Proposition}[\textbf{Freiheit der Homologie bei Mannigfaltigkeiten}]
  Gegeben eine abz"ahlbar basierte orientierbare $m$-Mannigfaltigkeit $X$
  is ${\op{H}}_{m-1}X$ eine freie abelsche Gruppe.\label{FrH}
  \nichtfinal{Vielleicht verlegen zu Koeffizienten, braucht Vergleichss"atze.} 
\end{Proposition}
\begin{proof}
  Es reicht, das f"ur $X$ zusammenh"angend zu zeigen.
  F"ur $X$ kompakt wissen wir es bereits aus \eref{fhm}{TS}.
  Es reicht also, es f"ur $X$ zusammenh"angend nichtkompakt zu zeigen.
  In dem Fall haben wir ${\op{H}}_0^!(X;G)=0$ f"ur jede abelsche Gruppe $G$
  nach \eref{VnlH}{TS} und damit  ${\op{H}}^m(X;G)=0$ nach den dualisierten
  Poincar\'e-Isomorphismen \ref{PiOOn} mit Koeffizienten $G$ und damit
  $\op{Ext}({\op{H}}_{m-1}X,G)=0$  f"ur jede abelsche Gruppe $G$ nach dem universellen Koeffiziententheorem der Kohomologie \eref{UKh}{TS}. Die Proposition folgt. 
\end{proof}

\subsection{Schnitte in Produkten}

 
 \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokale Schnittmultiplizit"aten bei transversalem Schnitt}] 
    Seien $X$ eine orientierte $n$-Mannigfaltigkeit
    und $A,B\As X$  abgeschlossene
    orientierte Untermannigfaltigkeiten der Kodimensionen $p,q$ derart,
     die sich
     {\bf transversal schneiden} \index{transversaler Schnitt}
     in dem Sinne,\label{trvS} 
 da"s jeder Punkt $x\in A\cap B$
    eine offene Umgebung $U\co X$ besitzt mitsamt einem Hom"oomorphismus
    $U\sira E$ zu
    einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum,
    unter dem $A\cap U$ und $B\cap U$ bijektiv auf Untervektorr"aume der
    Kodimensionen $p$ beziehungsweise $q$ abgebildet werden, die zusammen
    $E$ erzeugen. Wir nennen solch einen Hom"oomorphismus
    eine {\bf Schnittpl"attung}.\index{Schnittpl"attung}
    Unter diesen Annahmen
    ist auch $A\cap B$ eine Mannigfaltigkeit und nach 
    der Lokalit"at der Lokalgarbe \ref{lokHo} und ihrer Beschreibung im
    orientierten Fall \ref{loki} 
    ist $\mathcal L_{A\cap B}[p+q]$ eine echte Garbe
    und zumindest lokal isomorph zum Vorschub der 
    konstanten Garbe auf dem Schnitt $k_*\underline{A\cap B}$. 
    Unsere Lokalgarbenpaarung induziert nun
    
    und wir
    k"onnen 
    darauf die
    {\bf Schnitt\-ori\-en\-tie\-rung}\index{Schnittorientierung}
    erkl"aren durch die Vorschrift, da"s sie unter jeder
    Schnittpl"attung der Schnittorientierung entspricht, wie wir
    sie in \ref{Snno} im Fall von Untervektorr"aumen eingef"uhrt haben.
    Mit dieser Schnittorientierung auf $A\cap B$ gilt dann
    mit derselben Argumentation\label{cpS}
    in der lokalendlichen Homologie von $X$ die Identit"at 
    $$[A]^!\cdot [B]^!=[A\cap B]^!=\sum_{Z\in \op{Zus}(A\cap B)} [Z]^!$$
    In Worten  ist also im Fall eines transversalen Schnitts das
  Schnittprodukt der Fundamentalzykel
  der Fundamentalzykel
  des Schnitts. Ebenso erhalten wir im Fall von kompaktem $A$ zus"atzlich
  in der gew"ohnlichen Homologie die
  feinere Identit"at
  $$[A]\cdot [B]^!=[A\cap B]=\sum_{Z\in \op{Zus}(A\cap B)} [Z]$$
\end{Bemerkungl}
  \begin{Bemerkungl} 
 Gegeben abgeschlossene orientierte sich transversal schneidende Untermannigfaltigkeiten $A,B\As X$ der Dimensionen $q$, $n-q$
  mit $A$ kompakt liefert \ref{SnPr}  insbesondere
  die Formel $$[A]\odot [B]^!=\varepsilon( [A\cap B])$$
  Hier ist $A\cap B$ eine endliche Menge alias kompakte Nullmannigfaltigkeit und die Schnittorientierung
  darauf ist eine Abbildung $\eta:A\cap B\ra \{1,-1\}$ und die Augmentation
  des zugeh"origen Fundamentalzykels ergibt sich zu 
  $$\varepsilon( [A\cap B])=\sum_{x\in A\cap B}\eta(x)$$
  \end{Bemerkungl}
\subsection{Schnittpaarung und Poincar\'edualit"at, ERWEITERT}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Starke dualisierte Poincar\'e-Isomorphismen}]
Seien  $i:A\hra X$ die Einbettung einer abgeschlossenen Teilmenge einer $m$-dimensionalen
  Mannigfaltigkeit   und $G$ eine abelsche Gruppe
  und $a:A\ra \op{top}$ sowie $c:X\ra \op{top}$ die konstanten Abbildungen.
  Unter diesen Annahmen
  haben wir in der Garbenkohomologie Isomorphismen
  $$\begin{array}{llll}
    {\op{H}}_q^!(A;G)&=&\mathcal H^{-q}a_*a^!G_{\op{top}}&\text{nach Definition \ref{kIkX}}\\[1mm]
    &\sira&
    \mathcal H^{-q}a_*i^!c^!G_{\op{top}}&\text{mit $c\circ i=a$,}\\[1mm]
    &\sira& \mathcal H^{-q}a_*i^!\op{or}_X(G)[m]&\text{mit \ref{dGmg},}\\[1mm]
    &\sira& {\op{H}}_A^{m-q}(X;\op{or}_X(G))&\text{mit \ref{IuEG}.}
  \end{array}
  $$
  Ist zus"atzlich $X$ orientierbar und 
  ein Isomorphismus $G_X\sira \op{or}_X(G)$ alias eine Orientierung  ausgezeichnet,
  so k"onnen wir das nach \ref{VgSs} verl"angern zu einem Isomorphismus,
  der\label{SPD}
  {\bf starken dualisierten Poincar\'e-Dualit"at}\index{Poincar\'e-Dualit"at!starke dualisierte}
  $$ {\op{H}}_q^!(A;G)_{\op{garb}}\sira  {\op{H}}^{m-q}_A(X;G)_{\op{garb}}\sira  {\op{H}}^{m-q}(X,X\backslash A;G)_{\op{sing}}$$
  Ist $A$ auch noch kompakt, so haben wir zus"atzlich  ${\op{H}}_q(A;G)_{\op{garb}}\sira {\op{H}}_q^!(A;G)_{\op{garb}}$.
  Im Fall $A=X$ erhalten wir die dualisierten
  Poincar\'e-Isomorphismen aus \ref{PiOO}. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Starke  Poincar\'e-Isomorphismen}]
Seien  $i:A\hra X$ die Einbettung einer abgeschlossenen Teilmenge einer $m$-dimensionalen
  Mannigfaltigkeit   und $G$ eine abelsche Gruppe
  und $a:A\ra \op{top}$ sowie $c:X\ra \op{top}$ die konstanten Abbildungen.
  Unter diesen Annahmen
  haben wir in der Garbenkohomologie nat"urliche Isomorphismen
  $$\begin{array}{llll}
    {\op{H}}^q_!(A;\op{or}_X(G))&=&\mathcal H^{q}a_!i^*\op{or}_X(G)&\text{nach den Definitionen,}\\[1mm]
    &\sira&
    \mathcal H^{q}a_!i^*c^!G_{\op{top}}[-n]&\text{mit \ref{dGmg},}\\[1mm]
    &\sira& {\op{H}}_{n-q}(X,X\backslash A;G)_{\op{sing}}&\text{mit  \ref{pola}.
    }
  \end{array}
  $$
 Im Fall $A=X$ erhalten wir unsere
 Poincar\'e-Isomorphismen aus \ref{PiOO}.\label{SP}
 \nichtfinal{Ich sollte vielleicht besser
   die Poincare-Isomorphismen immer von der
   Homologie,wo alles noch anschaulich ist, in die Kohomologie gehen lassen.}
Im Fall $X=\DR^n$ erhalten wir die Alexander-Dualit"at aus \eref{ADu}{TG}.
%\label{allgJ} 
  Gegeben eine $n$-Mannigfaltigkeit $X$ mit einer abgeschlossenen
  Teilmenge $A\As X$ konstruieren wir in \eref{VdHhr}{TSF} diesmal nur der Einfachkeit der Notation halber ohne Koeffizienten sogar
  ein kommutatives Diagramm von langen exakten Sequenzen
  $$\begin{array}{cccccccc}
 \ldots\ra&{ {\op{H}}^{q}_{!} (X\backslash A;\op{or}_X)}& {\ra}
&{ {\op{H}}^{q}_{!} (X;\op{or}_X)} &{\ra} &
{ {\op{H}}^{q}_{!} (A;\op{or}_X)}&\ra\ldots \\
&{\downarrow\wr} & &{\downarrow\wr} & &
{\downarrow\wr} &  \\
 \ldots\ra& {{\op{H}}_{n-q}(X\backslash A)}& {\ra
}&{ {\op{H}}_{n-q}X} &
 {\ra }&
{{\op{H}}_{n-q}(X,X\backslash A)}&
\ra\ldots
  \end{array}$$
  mit den gew"ohnlichen Poincar\'e-Isomorphismen
  in den beiden linken Vertikalen und dem starken Poincar\'e-Isomorphismus
  in der rechten Vertikalen.
  Im Fall $q=0$ spezialisiert er zu unserem Satz
  \eref{HHM}{TS} "uber hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten.
  Ebenso unmittelbar erhalten wir
  Proposition \eref{FP}{TS} "uber das Verschwinden der reduzierten Homologie
  des Komplements $S^n\backslash A$ eines Hyperkubus $A$ in einer Sph"are.
  Der R"uckzug liefert ja
  offensichtlich Surjektionen $ {\op{H}}^{q}_{!} S^n \sra {\op{H}}^{q}_{!} A$
  f"ur alle $q,n$ und diese sind Isomorphismen im Fall $q\neq n$ und
  haben im Fall $q=n$ als Kern eine freie abelsche Gruppe vom Rang Eins.
Es folgt  $ {\op{H}}_{q}(S^n\backslash A)=0$ f"ur $q\neq 0$ und 
$ {\op{H}}_{0}(S^n\backslash A)\cong \DZ$
und folglich $ \tilde{\op{H}}_{q}(S^n\backslash A)=0$ f"ur  alle $q$.
\end{Bemerkungl}










\subsection{Wohin damit?} 

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Trennkategorien von Raumpaaren}]
  Um  unseren  Trennfunktor der  relativen singul"aren Kohomologie
  relativ zu einer offenen Teilmenge
  $${\op{H}}^*_{\op{sing}}:\op{Top}^{\co}\ra \op{sgAb}^{\op{opp}}$$
  aus \eref{RKS}{TSK} in der Garbenkohomologie wiederzufinden,
    f"uhren wir  eine Variante $\op{Top}^{\lAs}$ unserer
    Trennkategorie $\op{Top}^{\co}$ aus \eref{SdRA}{TSK} ein. Objekte sind Paare $(X,A)$ mit
    $A\As X$. Trennungen 
 $(X,A)\ra (Y_1,B_1)\curlywedge\ldots\curlywedge (Y_r,B_r) $ sind 
   Tupel von  stetigen Abbildungen $f_i:X\ra Y_i$ 
   mit  $A\supset f_1^{-1}(B_1)\cap\ldots\cap f_r^{-1}(B_r)$.
  Das Bilden des Komplements
   $(X,U)\mapsto (X,X\backslash U)$ ist dann ein Isomorphismus
  von Trennkategorien $$\op{Top}^{\co}\sira \op{Top}^{\lAs}$$
  Wir drehen in der Notation das Inklusionszeichen um,
  weil $\op{Top}^{\lAs}$ im Gegensatz zu $\op{Top}^{\co}$ keine
  volle Untertrennkategorie der in \eref{SdRA}{TSK} erkl"arten
  Trennkategorie $\op{Top}^{\subset}$ der Raumpaare ist, sondern vielmehr
  eine
  volle Untertrennkategorie ihrer in offensichtlicher Weise erkl"arten Variante $\op{Top}^{\supset}$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokale Kohomologie als Hyperkohomologie der Lokalgarbe}]
   Unsere Beschreibung \eref{LKE}{TG} der lokalen Kohomologie
  als Erweiterungsgruppe zusammen mit der Beschreibung \ref{ExqHq}
  einer Erweiterungsgruppe als
  die  Hyperkohomologie des entsprechenden Homkomplexes liefern
  f"ur $A\As X$ abgeschlossen und $i:A\hra X$ die
    Einbettung  Isomorphismen\label{LKH} 
    $${\op{H}}_A^q(X;\DZ)\sira \op{Ext}^q_{\op{Ab}_{/X}}(\DZ_{A\subset X},\DZ_X)\sira\mathbb H^q(X;\DZ_{A\subset X}^\vee)$$  
    Wir vereinbaren  die Notation $\mathcal L_{A\subset X}\pdef \DZ_{A\subset X}^\vee$, nennen diesen Komplex die {\bf Lokalgarbe von $A$ in $X$}\index{Lokalgarbe}
    und
      erhalten Isomorphismen
       $${\op{H}}_A^q(X;\DZ)\sira\mathbb H^q(X;\mathcal L_{A\subset X})$$
  \end{Bemerkungl}
 
\begin{Bemerkungl}
 Wir erinnern die Opgarbentrennfaserung
 $\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$ aus \ref{SaGg} und
 betrachten die dazu oppinverse Trennfaserung nach \ref{fdoTF} und notieren sie $$\op{Ab}_{/{\op{Top}}}\pdef (\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}})^{\op{otf}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$$
 Trennungen $\mathcal F\ra \mathcal G_1\curlywedge\ldots \curlywedge\mathcal G_r$ in $\op{Ab}_{/{\op{Top}}}$ "uber einer Trennung $(f_1,\ldots,f_r):X\ra Y_1\curlywedge\ldots \curlywedge Y_r$
in $\curlywedge{\op{Top}}$  sind per definitionem
  Homomorphismen
  $ \mathcal F\ra f_1^*\mathcal G_1\otimes  \ldots\otimes f_r^*\mathcal G_r$
  in $\op{Ab}_{/X}$.
  Wir betrachten nun den Trennfunktor
 $ {\op{Top}^{\lAs}}\ra \op{Ab}_{/{\op{Top}}}$
 mit $(X,A)\mapsto \DZ_X$. 
  Die Bilder der Trennungen in der Basis unter diesem Trennfunktor  steigen ab zu Trennungen zwischen den
  Quotienten $$\DZ_{A\subset X}\pdef i_*\DZ_A= i_*i^*\DZ_X$$ der Garben $\DZ_X$ mit $i:A\hra X$ der Einbettung und wir erhalten so einen
  weiteren Trennfunktor  $ {\op{Top}^{\lAs}}\ra \op{Ab}_{/{\op{Top}}}$ mit $(X,A)\mapsto \DZ_{A\subset X}$. Die zugeh"origen Morphismen\label{KIZ} 
  $$\DZ_{A\subset X}\ra f_1^*\DZ_{B_1\subset Y_1}\otimes \ldots\otimes f_r^*\DZ_{B_r\subset Y_r}$$
  sind dieselben in $\op{Ab}_{/X}$ und $\op{Der}_{/X}$, da alle beteiligten
  Garben freie Halme haben, und wir erhalten so  einen Trennfunktor
  $ {\op{Top}^{\lAs}}\ra  (\op{Der}_{\sslash{\op{Top}}})^{\op{otf}}$.
  Wir erinnern  nun  unsere Lokalgarben 
  $$\mathcal L_{A\subset X}\pdef (\DZ_{A\subset X})^\vee=(\DZ_{A\subset X}{\Rrightarrow} \DZ_X)\in 
  \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$$
  aus \ref{LKH}.
  Dualisieren wir unseren Morphismus von eben und
  schalten davor die nat"urlichen Morphismen \eref{duo1}{TSK} vom Tensorprodukt der Dualen zum Dualen des Tensorprodukts und die  nat"urlichen Morphismen
  \ref{fuiD} vom R"uckzug des Dualen zum Dualen des R"uckzugs, so erhalten wir
  in $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ einen Morphismus 
 $$ f_1^*\mathcal L_{B_1\subset Y_1}\otimes \ldots\otimes f_r^*\mathcal L_{B_r\subset Y_r}\ra \mathcal L_{A\subset X} $$
alias eine Trennung $\mathcal L_{A\subset X}\ra \mathcal L_{B_1\subset Y_1}\curlywedge \ldots\curlywedge\mathcal L_{B_r\subset Y_r}$ in 
  $\op{Der}_{\sslash{\op{Top}}}$.
Wir erhalten so einigerma"sen offensichtlich  einen Trennfunktor $ {\op{Top}^{\lAs}}\ra\op{Der}_{\sslash{\op{Top}}}$.  Formal und in der
angemessenen Allgemeinheit steht das in 
\ref{HTUI}. 
Durch Nachschalten von $\mathbb H$ und unsere Isomorphismen
${\op{H}}_A^q(X)\sira\mathbb H^q(X;\mathcal L_{A\subset X})$  nach \ref{LKH} 
erhalten wir daraus einen Trennfunktor\label{tlk}  
 $$\op{Top}^{\lAs}\ra \op{sgAb}^{\op{opp}}$$ mit $(X,A)\mapsto {\op{H}}^*_A(X)$.
 Wir nennen ihn den {\bf Trennfunktor der lokalen Kohomologie}.
 Sein Analogon  in der singul"aren Theorie  kennen bereits aus \eref{RKS}{TSK}.
 Er  beinhaltet das {\bf cup-Produkt der lokalen Kohomologie}\index{cup-Produkt!der lokalen Kohomologie} $$\cup: {\op{H}}^*_A(X)\otimes {\op{H}}^*_B(X)
 \ra {\op{H}}^*_{A\cap B}(X)$$ und die bereits aus \eref{ZHKoXn}{TG}
 bekannten R"uckz"uge ${\op{H}}^*f:{\op{H}}^*_B(Y)\ra {\op{H}}^*_A(X)$ f"ur $f:X\ra Y$ stetig mit $A\supset f^{-1}(B)$
   sowie das  {\bf externe Produkt der lokalen Kohomologie} \index{)x@$\times$ externes Produkt!der lokalen Kohomologie}\index{externes Produkt!der lokalen Kohomologie}  $$\times: {\op{H}}_A^p(X)\times {\op{H}}_B^q(Y)\ra {\op{H}}_{A\times B}^{p+q}(X\times Y)$$ Er beinhaltet au"serdem 
verschiedene Vertr"aglichkeiten zwischen diesen Konstruktionen. Quasi per definitionem ist
   ${\op{H}}^*_{X}(X)={\op{H}}^*(X)$ die "ubliche Garbenkohomologie und   wir haben ${\op{H}}^*_{\emptyset}(X)=0$.
Das zeigt zum Beispiel, da"s das cup-Produkt von
zwei  Klassen in ${\op{H}}^*(X)$ verschwinden mu"s, wenn unsere
 Klassen von lokalen
 Kohomologiegruppen ${\op{H}}_A^p(X)$ und $ {\op{H}}_B^q(X)$
 herkommen mit $A\cap B=\emptyset$.
\end{Bemerkungl}

\nichtfinal{\begin{Bemerkungw}
  Damit das zu irgendwas nutze ist, m"ussen wir Lokalgarben bestimmen
  k"onnen.
\end{Bemerkungw}}






\nichtfinal{SOLL WEG!
}

\begin{Bemerkungl}
  Nach \eref{lkkk}{TG} haben wir f"ur jeden topologischen Raum $X$ nat"urliche Isomorphismen $\op{colf}_K{\op{H}}^q_{K}(X;\mathcal F)\sira 
  {\op{H}}^q_{!}(X;\mathcal F)$ mit dem Kolimes "uber alle abgeschlossenen
  Kompakta $K\As X$. Insbesondere macht unser cup-Produkt der
  lokalen Kohomologie die kompakte Kohomologie von $X$ zu einem Modul
  "uber dem Kohomologiering. Wir notieren auch diese Operation $\cup$ und
  bezeichnen die zugeh"orige Abbildung\label{cupk}  
  ${\op{H}}^p(X)\times {\op{H}}^q_{!}(X)\ra {\op{H}}^{p+q}_{!}(X)$
  als {\bf cup-Produkt}.\index{cup-Produkt!Operation auf kompakter Kohomologie}
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Im Formalismus der zwei Funktoren liefert
  f"ur jeden topologischen Raum $X$ und alle
  $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$
  der ausgezeichnete Isomorphismus $\mathcal F\otimes\DZ_X\sira\mathcal F$
  Morphismen $\op{Der}_{/X}(\DZ_X,\DZ_X[q])\ra \op{Der}_{/X}(\mathcal F,\mathcal F[q])$ und so eine Operation von ${\op{H}}^\ast X$ auf $\mathbb H^\ast (X;\mathcal F)$ und $\mathbb H^\ast_! (X;\mathcal F)$. \nichtfinal{Eigenschaften
    aus den drei Funktoren. Cap-Produkt.} 
\end{Bemerkungl}





 



\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
Unser Schmelzfunktor der topologischen Orientierungsmenge 
$$\op{or}^{\op{top}}:(\curlyvee{\op{Modf}}_\DR)^\times\ra \op{Par}$$
aus \eref{TOS}{TSK} vom banalen Schmelzgruppoid der endlichdimensionalen
reellen Vektorr"aume in die Schmelzkategorie  der erweiterten Parit"aten,
der jedem endlichdimensionalen
reellen Vektorraum $V$ die Parit"at
seiner Dimension erweitert um die Menge der beiden
Erzeuger der totalen relativen
singul"aren Homologie ${\op{H}}(V,V\backslash 0)$ zuordnet, 
ist isomorph durch "Ubergang zur jeweiligen Koordinatenfunktion
gefolgt von den 
Isomorphismen ${\op{H}}^*(V,V\backslash 0)\sira {\op{H}}_{\{0\}}^*(V)\sira {\op{H}}_!^*(V)$
aus \eref{lklsk}{TG} und \eref{lkkk}{TG} zum vielleicht noch nat"urlicheren
Schmelzfunktor, der $V$ die Parit"at seiner Dimension erweitert um die Menge der beiden
Erzeuger von ${\op{H}}_!^*(V)$ zuordnet.
Von nun an betrachten wir diesen Schmelzfunktor als unsere \glqq Hauptinkarnation\grqq\
der {\bf topologischen Orientierungmenge}\index{Orientierungmenge!topologische}
und nennen die  Menge der beiden
Erzeuger von ${\op{H}}_!^*(V)$ im folgenden oft k"urzer die
{\bf Orientierungsmenge} $\op{or}^{\op{top}}(V)$\index{ortop@$\op{or}^{\op{top}}(V)$ Orientierungsmenge von $V$} eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums $V$.
Wir erkl"aren ein ausgezeichnetes Element
$$\tau\in \op{or}^{\op{top}}(\DR)$$
alias einen ausgezeichneten Erzeuger $\tau\in {\op{H}}^1_!(\DR)$\label{ausE}  
als dasjenige Element, das unter der Komposition
von nat"urlichen Isomorphismen von Garbenkohomologien 
${\op{H}}^0(\DR\backslash 0)/{\op{H}}^0(\DR)\sira {\op{H}}^1_{\{0\}}(\DR)\sira {\op{H}}^1_!(\DR)$
herkommt vom Schnitt mit Wert Eins auf $\DR_{>0}$ und Wert Null
auf $\DR_{<0}$ der konstanten Garbe $\DZ$ auf $\DR\backslash 0$.
Das ist auch genau unser $\tau^1$ aus \eref{ausGe}{TG}.
Wenn ich richtig gerechnet habe, ist das auch das 
Bild unseres ausgezeichneten Erzeugers
$\tau\in {\op{H}}_1(\DR,\DR\backslash 0)$ aus \eref{TOS}{TS} unter den
obigen nat"urlichen Isomorphismen und dem
Anwenden des Vergleichsisomorphismus von der singul"aren
Kohomologie zur Garbenkohomologie. 
\end{Ubung}
 

    \begin{Ubung}
    Gegeben  topologische R"aume $X,Y$ zusammen mit der Einbettung  $i:A\hra X$ einer  abgeschlossenen Teilmenge
     liefert jeder Morphismus
    $\alpha:i_!\DZ_A\ra \DZ_X[p]$ 
    durch R"uckzug l"angs der Projektion einen Morphismus
    $\alpha_Y:i_!\DZ_{A\times Y}\ra \DZ_{X\times Y}[p]$. 
    Ist $j:B\hra Y$ auch eine  abgeschlossene Teilmenge, so liefern
    die Konstruktionen aus \ref{clK} angewandt auf
    $\alpha_Y$ und $\beta_X$ eine Abbildung\label{expl}
 $${\op{H}}_A^p(X)\times {\op{H}}_B^q(Y)\ra {\op{H}}_{A\times B}^{p+q}(X\times Y)$$
 Wir nennen sie das
 {\bf externe Produkt der lokalen Kohomologie}
 und notieren unsere Abbildung\index{)x@$\times$ externes Produkt!der lokalen Kohomologie} $\times$.\index{externes Produkt!der lokalen Kohomologie} Im Fall $A=X$ und $B=Y$
 spezialisiert sie zum  Kreuzprodukt der Garbenkohomologie \ref{GKSF}
 und im Fall $X=Y$ erhalten wir durch Nachschalten des R"uckzugs auf
 die Diagonale unser Cup-Produkt der lokalen Kohomologie \ref{clK}.
  \end{Ubung}

  \begin{Ubung}
    Gegeben topologische R"aume mit abgeschlossenen
    Teilmengen $A,B\As X$ und $C,D\As Y$
    zeige man die Kommutativit"at bis auf das Vorzeichen $(-1)^{qr}$ des Diagramms\label{hsrt} 
    $$
    \begin{array}{ccc}{\op{H}}_{A}^p(X)\times {\op{H}}_{B}^q(X)\times
{\op{H}}_{C}^r(Y)\times {\op{H}}_{D}^s(Y)
&\ra& {\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(X)\times {\op{H}}_{C\cap D}^{r+s}(Y)\\
\da&&\da\\
{\op{H}}_{A\times C}^{p+r}(X\times Y)\times{\op{H}}_{B\times D}^{q+s}(X\times Y)
&\ra& {\op{H}}_{(A\cap B)\times(C\cap D)}^{p+q+r+s}(X\times Y)
    \end{array}
    $$
    aus externen und internen Produkten der lokalen Kohomologie.
  \end{Ubung}


  \begin{Ubung} 
    Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum
    $E$ und Teilr"aume $A,B\subset E$ der Kodimensionen $p,q$
    mit $A+B=E$\label{cuplo}
    liefert das cup-Produkt der lokalen Kohomologie
    einen Isomorphismus
    $$ {\op{H}}_A^p(E)\otimes {\op{H}}_B^q(E)\sira {\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(E)$$
    Hinweis: Man ziehe sich mit Hilfe von "Ubung \ref{hsrt} 
    auf den Fall $\op{dim}E=1$ zur"uck.
  \end{Ubung}
  \begin{Ubung}
    Gegeben endlichdimensionale reelle Vektorr"aume
    $A\subset E$ mit jeweils einer topologischen Orientierung
    erkl"aren wir wie in  \eref{QOR}{TS} oder \eref{orQ}{LA1} die Quotientenorientierung
    auf dem Quotienten
    $E/A$. F"ur $p=\op{codim}(A\subset E)$
    liefert der zugeh"orige Erzeuger von\label{QOUZ} ${\op{H}}^p_{!}(E/A)$ durch "Ubergang unter
    ${\op{H}}^p_{!}(E/A)\sila {\op{H}}^p_{\{0\}}(E/A)$
     und R"uckzug dann einen ausgezeichneten
     Erzeuger von ${\op{H}}^p_{A}(E)$. Wir nennen ihn den
     {\bf durch die Ori\-en\-tie\-run\-gen von $A$ und $E$ bestimmten Erzeuger}. F"ur $A=\DR^{n-p}\times 0^{p}\subset E=\DR^n$
     mit den Standardorientierungen $\tau^{\times (n-p)}$ beziehungsweise 
     $\tau^{\times n}$ entspricht  die Quotientenorientierung
   unter dem hoffentlich offensichtlichen Isomorphismus $E/A\sira \DR^{p}$  der  durch
   $\tau^{\times p}$ gegebenen Standardorientierung auf $\DR^{p}$
   und unser ausgezeichneter
   Erzeuger von ${\op{H}}^p_{A}(E)$ ergibt sich zu
   $1^{\times(n- p)}\times \tau^{\times p}$ f"ur $1\in{\op{H}}^0_{\DR}(\DR)={\op{H}}^0(\DR)$ der Standarderzeuger.
  \end{Ubung}
 \begin{Ubung}
   Gegeben ein endlichdimensionaler orientierter reeller Vektorraum $E$
   und darin ein angeordnetes Paar $(A,B)$ aus 
   zwei orientierten Teilr"aumen $A,B\subset E$ mit $A+B=E$ erkl"aren wir
   auf ihrem Schnitt $A\cap B$ die {\bf Schnittorientierung}\index{Schnittorientierung}
 dadurch, da"s wir die Quotientenorientierung aus $E/A$ aus \eref{orQ}{LA1}
 vermittels des Isomorphismus  $B/(A\cap B)\sira E/A$ auf den Definitionsbereich dieses Isomorphismus "ubertragen und dann in Bezug auf die
  kurze exakte Sequenz 
    $$A\cap B\hra B\sra B/(A\cap B)$$ die im Sinne von 
  \eref{orQ}{LA1} mit den beiden auf dem zweiten und dritten Raum bereits
  gegebenen
    Orientierungen vertr"agliche Orientierung auf  $A\cap B$ w"ahlen.\label{Snno} 
  Ist etwa 
    $E=\DR^n$ und sind $A= \DR^{n-p}\times 0^p$ sowie
  $B=  0^q\times\DR^{n-q}$ jeweils mit den Stan\-dard\-ori\-en\-tie\-run\-gen versehen,
  so ist die Schnittorientierung die Standardorientierung auf 
  $0^{q}\times\DR^{n-p-q}\times 0^{p}$.
 \end{Ubung}



  
  \begin{Ubung}[\textbf{Schnittorientierung und Geometrie}] 
    Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum
    $E$ und Teilr"aume $A,B\subset E$ der Kodimensionen $p,q$
    mit $A+B=E$ und liefern Orientierungen
    auf $A,B$ und $E$ nach \ref{QOUZ}
    ausgezeichnete Erzeuger von ${\op{H}}_A^p(E)$
    und ${\op{H}}_B^q(E)$ und somit als deren cup-Produkt einen  ausgezeichneten Erzeuger von ${\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(E)$, der seinerseits
    zu einer ausgezeichneten Orientierung von
    $A\cap B$ geh"ort.
   Wir behaupten, da"s das genau die Schnittorientierung aus \ref{Snno} ist.
    Diese Behauptung m"ussen wir nur in gen"ugend Beispielen pr"ufen.
    Ist
    $E=\DR^n$ und sind $A= \DR^{n-p}\times 0^p$ sowie
    $B=  0^q\times\DR^{n-q}$ jeweils mit den Standardorientierungen versehen,
    so werden unsere Erzeuger nach \ref{QOUZ} gegeben durch 
    $1^{\times (n-p)}\times \tau^{\times p}$ sowie
    $(-1)^{q(n-q)}\tau^{\times q}\times 1^{\times (n-q)}$ und wir erhalten nach \ref{hsrt} als
    Produkt 
    $$(-1)^{q(n-q)}(-1)^{pq}\;\tau^{\times q}\times 1^{\times (n-p-q)}\times \tau^{\times p}$$
 Zur Standardorientierung von
 $A\cap B=0^{q}\times\DR^{n-p-q}\times 0^{p}$ geh"ort
 andererseits nach \ref{QOUZ} der Erzeuger
 $(-1)^{q(n-p-q)}\tau^{\times q}\times 1^{\times (n-p-q)}\times \tau^{\times p}$
 der lokalen Kohomologie, und der stimmt mit dem eben berechneten
 Produkt "uberein. Das aber war gerade zu zeigen.\label{cAnE}
  \end{Ubung}








\subsection{Vergleich mit der singul"aren Theorie}\label{vsH}
 
\nichtfinal{Wo Vergleich mit de Rham? Mit verallgemeinerten
  Funktionen als Koeffizienten?} 
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Singul"are Kohomologie als Hyperkohomologie}]
  Gegeben ein topologischer Raum $X$ besteht sein
  \hyperref[SKHK]{Kogrenzkomplex} 
  $\mathcal G_X^*$ aus welken Garben und ist offensichtlich beschr"ankt gegen die Pfeile. Die offensichtlichen 
 Quasiisomorphismen
${\op{S}}^\ast X
\;\qri\; \mathbb D_{\op{Ket}}({{\op{S}}}X)
\;\qli\; \mathbb D_{\op{Ket}}({{\op{G}}}X)
$ liefern mithin Isomorphismen\label{sghj} 
$$\op{H}^q(X)_{\op{sing}}\sira \mathbb H^q(X;\mathcal G_X^*)$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Singul"are Kohomologie als Garbenkohomologie}]
  Gegeben ein lokal singul"arazyklischer topologischer Raum $X$
  induziert die Augmentation einen Quasiisomorphismus  
  $\DZ_X\qri \mathcal G_X^*$. Die Isomorphismen aus
  \ref{sghj}
  liefern  f"ur  lokal singul"arazyklisches $X$   mithin Isomorphismen\label{SKG} 
  $$\op{H}^q(X)_{\op{sing}}\sira \op{H}^q(X;\DZ_X)$$
  zwischen der singul"aren Kohomologie und der  Garbenkohomologie. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Relative singul"are Kohomologie als Hyperkohomologie}]
  Gegeben  ein topologischer Raum mit einer
  offenen Teilmene  $U\co X$ betrachten wir das kommutative Diagramm
  $$\begin{array}{ccccc}
    {\op{S}}^\ast X
&\qri& \mathbb D_{\op{Ket}}({{\op{S}}}X)
    &\qli& \mathbb D_{\op{Ket}}({{\op{G}}}X)\\
    \da&&\da&&\da\\
    {\op{S}}^\ast U
&\qri& \mathbb D_{\op{Ket}}({{\op{S}}}U)
    &\qli& \mathbb D_{\op{Ket}}({{\op{G}}}U) 
  \end{array}
  $$
  mit vertikalen Surjektionen und horizontalen Quasiisomorphismen.
  F"ur $C\pdef X\backslash U$ erhalten wir auf den Kernen der Vertikalen eine
  Sequenz von Quasiisomorphismen\label{rekq} 
  $$ {\op{S}}^\ast (X,X\backslash C)
\;\qri \;\mathbb D_{\op{Ket}}({{\op{S}}}(X,X\backslash C))
\;\qli\; \Gamma_C\mathcal G^*_X$$
Durch "Ubergang zur Kohomologie erhalten wir, da welke Garben nach \eref{wazz}{TG} 
entfaltet sind f"ur $\Gamma_C$,  Isomorphismen 
$$\op{H}^q(X,X\backslash C)_{\op{sing}}\sira \hyperref[hkmt]{\mathbb H^q_C}(X;\mathcal G_X^*)$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Relative singul"are Kohomologie als Garbenkohomologie}]
  Gegeben ein lokal singul"arazyklischer topologischer Raum $X$
  induziert die Aug\-men\-ta\-tion einen Quasiisomorphismus  
  $\DZ_X\qri \mathcal G_X^*$. Die Isomorphismen aus
 \ref{rekq}  liefern  f"ur  $C\As X$ mithin Isomorphismen
  $$\op{H}^q(X,X\backslash C)_{\op{sing}}\sira \op{H}^q_C(X;\DZ_X)$$
  zwischen der relativen
  singul"aren Kohomologie und der  Garbenkohomologie mit Tr"ager in $C$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Singul"are kompakte
      Kohomologie als Hyperkohomologie}]
  Gegeben ein Hausdorffraum $X$ ist jedes Kompaktum $K\subset X$ abgeschlossen
  und durch "Ubergang zum filtrierenden Kolimes "uber alle Kompakta
  in \ref{rekq} erhalten wir Quasiisomorphismen 
 $$ {\op{S}}^\ast_! X
\;\qri \;\op{colf}_K\mathbb D_{\op{Ket}}({{\op{S}}}(X,X\backslash K))
\;\qli\; \Gamma_!\mathcal G^*_X$$
Die Exaktheit filtrierender Kolimites zeigt mit \eref{wazz}{TG} auch, da"s welke Garben auf Hausdorffr"aumen $\Gamma_!$-entfaltet sind. Unsere Quasiisomorphismen induzieren also f"ur jeden Hausdorffraum $X$ einen  Isomorphismus
$$\op{H}^q_!(X)_{\op{sing}}\sira \mathbb H^q_!(X;\mathcal G_X^*)$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Singul"are kompakte Kohomologie als Garbenkohomologie}]
  Gegeben ein lokal singul"arazyklischer 
  topologischer Raum $X$
  induziert die Augmentation einen Quasiisomorphismus  
  $\DZ_X\qri \mathcal G_X^*$. Ist unser Raum zus"atzlich  Hausdorff,
   so liefern die Isomorphismen aus \ref{rekq} 
    mithin einen Isomorphismus\label{siKO}
  $$\op{H}^q_!(X)_{\op{sing}}\sira \op{H}^q_!(X;\DZ_X)$$
  zwischen der singul"aren kompakten Kohomologie und der
  kompakten Garbenkohomologie. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} Um Vergleichsisomorphismen zwischen der singul"aren
  Homologie und ihren garbenkohomologischen Analoga zu konstruieren, holen
  wir weiter aus und konstruieren
   eine  Realisierung der dualisierenden Garbe als \glqq Grenzkomplex\grqq.
Gegeben ein Raumpaar $(X,A)$ erkl"aren wir zun"achst den Komplex der {\bf relativen Grenzketten}\index{Grenzketten!relative} 
${\op{G}}(X,A)$  in Verallgemeinerung von
\eref{GrKe}{TG} als den Kolimes in Bezug auf die Unterteilungsoperatoren
$${\op{G}}(X,A)\pdef\colf\big({\op{S}}(X,A)\stackrel{{\op{U}}}{\ra}{\op{S}}(X,A)
\stackrel{{\op{U}}}{\ra}\ldots\big)$$
%Wie in \ref{flaG} sind auch alle ${\op{G}}(X,A)$ flach.
Die Exaktheit filtrierender Kolimites liefert eine kurze exakte Sequenz
von Kettenkomplexen
$${\op{G}}(A)\hra{\op{G}}(X)\sra{\op{G}}(X,A)$$
\end{Bemerkungl}
 
\begin{Satz}[\defind{Ausschneidung f"ur Grenzketten}]
Seien $(X,A)$ ein Raumpaar und $L\subset A$ eine 
Teilmenge, deren Abschlu"s\label{Aschg} 
im Inneren von $A$ liegt, in Formeln $\bar L\subset A^\circ$. 
So liefert die Einbettung $(X{\backslash} L, A{\backslash} L) 
\hookrightarrow (X,A)$ Isomorphismen
auf den Komplexen von relativen Grenzketten 
$${{\op{G}}}(X{\backslash} L,A{\backslash} L) \sira {{\op{G}}} (X,A)$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Ein Vorteil der Grenzketten besteht  darin, da"s die
Ausschneidungsisomorphismen hier bereits auf Kettenniveau 
existieren und nicht erst 
in der Homologie. Die Arbeit mit Grenzketten ben"otigt jedoch mehr
Kenntnisse in homologischer Algebra, da ich nicht wei"s,
ob sie einen Komplex von freien 
abelschen Gruppen bilden. Ich erwarte eher das Gegenteil.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Wie beim Beweis der Ausschneidung \eref{Asch}{TS}
 betrachten wir die "Uberdeckung $X = A \cup (X{\backslash} L)$,  geben ihr den
Namen $\cal{V}$ und bilden ein kommutatives Diagramm von
Kettenkomplexen der Gestalt
$$\begin{array}{ccccc}
{{\op{S}}}(A{\backslash} L) & \hookrightarrow 
& {{\op{S}}}A \oplus {{\op{S}}}(X{\backslash} L) & \twoheadrightarrow &
{{\op{S}}}^{\cal{V}}X\\
\downarrow & & \downarrow & &\downarrow \\
{{\op{S}}}(X{\backslash} L) & \hookrightarrow & {{\op{S}}}X \oplus {{\op{S}}}(X{\backslash} L) & \twoheadrightarrow
&{{\op{S}}}X\\
\downarrow & &\downarrow & &\downarrow \\
{{\op{S}}} (X {\backslash} L, A{\backslash} L) & \ra & {{\op{S}}}(X,A) & \ra & {{\op{S}}}X / {{\op{S}}}^{\cal{V}}X
\end{array}$$
Hier ist zu verstehen, da"s 
 die beiden oberen horizontalen Inklusionen die \glqq diagonalen\grqq\ 
Einbettungen $z \mapsto (z,z)$ sein sollen, und die folgenden
Surjektionen die Differenzen $(x,y) \mapsto x-y$. 
Nach dem Neunerlemma ist die untere Horizontale dann auch exakt.
Jetzt gehen wir zum filtrierenden Kolimes unter den Unterteilungsoperatoren "uber
und m"ussen nur zeigen, da"s dieser Kolimes bei ${{\op{S}}}X / {{\op{S}}}^{\cal{V}}X$
verschwindet. Das aber haben wir  bereits in
\eref{uztrP}{TG} gezeigt.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}\label{BMLLnd}
  F"ur jeden topologischen Raum $X$ erkl"aren wir in Anlehnung
an \eref{BMLL}{TS} den Komplex der {\bf lokalendlichen Grenzketten}
als den inversen Limes "uber alle Kompakta $K \subset X$ 
der Grenzketten relativ zu ihrem 
Komplement
  \begin{equation*} {{\op{G}}}^! X \pdef 
\limf_K
    {{\op{G}}} (X,X \backslash K)
  \end{equation*}
  % Mit den ${{\op{G}}} (X,X \backslash K)$ sind auch alle ${{\op{G}}}^! X$ torsionsfrei alias flach.
  Gegeben ein
Haus\-dorff\-raum mit einer offenen Teilmenge  $ U\co  X$
induzieren die Ausschneidungsisomorphismen 
 ${{\op{G}}} (U,U \backslash K)\sira {{\op{G}}} (X,X \backslash K)$
 f"ur Grenzketten im Fall $K\subset U$ kompakt, die wir in \ref{Aschg} hergeleitet hatten, Homomorphismen 
 $ {{\op{G}}}^! X \ra  {{\op{G}}}^! U$ vom \glqq l"angeren  Limes zum
 k"urzeren  Limes\grqq. Wir nennen sie  die
 {\bf Restriktionsabbildungen}.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
  Unter einer
  {\bf lokalen Pr"agarbe}\index{lokal!Pr"agarbe}\index{Pr"agarbe!lokale}
  auf einem topologischen Raum
  $X$ verstehen wir eine Pr"agarbe von Mengen $\cal{C}$ derart, da"s f"ur jede
  Familie $\cal{U}$ von offenen Teilmengen von $X$ mit Vereinigung
  $V=\bigcup_{U\in \cal{U}}U$ die Restriktionsabbildungen eine Injektion
$$\cal{C} (V) \hookrightarrow  \prod_{U\in \cal{U}} \cal{C} (U)$$
liefern, da"s also \glqq Schnitte durch ihre Einschr"ankungen auf die Mengen einer
offenen "Uberdeckung bereits eindeutig festgelegt werden\grqq.  Setzen wir
$\cal{U} = \emptyset$, so erkennen wir insbesondere, da"s f"ur jede abelsche
lokale Pr"agarbe gilt $\cal{C} (\emptyset) = 0$.
\end{Definition}
\begin{Proposition}[\textbf{Lokalendliche Grenzketten als Garbe}]
Auf einem lokal kompakten Hausdorffraum $X$ bilden f"ur jedes $q$
die lokalendlichen Grenzketten $U\mapsto {{\op{G}}}^!_q(U)$ f"ur $U\co X$ mit den in
\ref{BMLLnd} erkl"arten Restriktionsabbildungen 
 eine Garbe.
\end{Proposition}

\begin{proof}
 Wir beginnen  mit endlich vielen offenen Teilmengen 
$V_1,\ldots, V_r$ eines beliebigen Raums $X$ und bilden die 
in folgender Darstellung vertikal notierte 
kurze exakte Sequenz von
Komplexen 
$$\begin{array}{cccccc}
{{\op{S}}}\left(\bigcap V_i\right)&\hra& \bigoplus_{i}{{\op{S}}}V_i&\ra &\bigoplus_{i<j}{{\op{S}}}^{\mathcal V}(V_i\cup V_j)&\ra\ldots\\ %\ra &\prod_{i<j<k}{{\op{S}}}(V_i\cup V_j\cup V_k)&
\da&&\da&&\da&\\
{{\op{S}}}X&\hra& \bigoplus_{i}{{\op{S}}}X&\ra &\bigoplus_{i<j}{{\op{S}}}X&\ra\ldots\\
\da&&\da&&\da&\\
{{\op{S}}}(X,\bigcap V_i)&\hra& \bigoplus_{i}{{\op{S}}}(X,V_i)&\ra &\bigoplus_{i<j}{{\op{S}}}X/{{\op{S}}}^{\mathcal V}(V_i\cup V_j)&\ra\ldots\end{array}$$
%&\prod_{i<j<k}{{\op{S}}}X&\ra
mit der Notation $\mathcal V$ f"ur die "Uberdeckung durch die $V_i$ und ${{\op{S}}}^{\mathcal V}$ die entsprechenden 
feinen Ketten. Beide oberen Zeilen sind exakt, also gilt dasselbe auch f"ur die 
untere Zeile. Gegeben ein offene "Uberdeckung $\mathcal V$ einer Teilmenge 
$A\subset X$ zeigt nun die kurze exakte Sequenz 
${{\op{S}}}A/{{\op{S}}}^{\mathcal V}A
\hra {{\op{S}}}X/{{\op{S}}}^{\mathcal V}A
\sra {{\op{S}}}X/{{\op{S}}}A$ mit \eref{uztrP}{TG},
da"s die zweite Abbildung  im Kolimes 
unter iterierter Unterteilung
zu einem Isomorphismus $\colf {{\op{S}}}X/{{\op{S}}}^{\mathcal V}A
\sira \colf {{\op{S}}}X/{{\op{S}}}A$ wird. So erhalten wir aus der 
Exaktheit der unteren Zeile unseres Diagramms im Kolimes unter iterierter Unterteilung
die Exaktheit der Sequenz von relativen Grenzketten
$$\textstyle {{\op{G}}}\left(X,\bigcap V_i\right)\hra \bigoplus_{i}{{\op{G}}}(X,V_i)\ra 
\bigoplus_{i<j}{{\op{G}}}(X,V_i\cup V_j)\ra\ldots$$
Sei nun $X$ Hausdorff. Gegeben endlich viele Kompakta
 $K_1,\ldots, K_r\subset X$ mit
Vereinigung $K$ folgt, da"s wir mit den nat"urlichen
Abbildungen eine linksexakte Sequenz
$$\textstyle {{\op{G}}}(X,X\backslash K)\hra \bigoplus_{i}{{\op{G}}}(X,X\backslash K_i)
\ra \bigoplus_{i<j}{{\op{G}}}(X,X\backslash (K_i\cap K_j))$$
erhalten. 
Sei nun $X=\bigcup_{U\in\mathcal U}U$ eine offene "Uberdeckung. 
Ist  $a\in {{\op{G}}}^!X$ von Null verschieden,
so gibt es $K\subset X$ kompakt derart, da"s das Bild von $a$
in  ${{\op{G}}}(X,X\backslash  K)$ nicht Null ist. 
Weiter gibt es $U_1,\ldots, U_r\in \mathcal U$, die $K$ "uberdecken,
und nach \eref{DEWW}{TS} gibt es f"ur $X$ lokal kompakt auch Kompakta
$K_i\subset U_i$ mit Vereinigungsmenge $K$. 
Nach unserer linksexakten Sequenz  kann $a$ auch nicht in allen 
${{\op{G}}}(U_i,U_i\backslash  K_i)\sira {{\op{G}}}(X,X\backslash  K_i)$
auf Null abgebildet werden, also erst recht nicht in allen 
$ {{\op{G}}}^!U_i$. Das zeigt bereits, da"s die Pr"agarbe der
lokalendlichen Grenzketten lokal ist. 
Nun gilt es noch, eine Familie von zusammenpassenden 
$a_U\in {{\op{G}}}^!U$ f"ur $U\in\mathcal U$ zu einem
$a\in {{\op{G}}}^!X$ zu verkleben. Sie l"a"st  sich aber nach
dem Vorhergehenden f"ur jedes Kompaktum $K\subset X$ 
jeweils auf genau eine Weise zu einem Element von 
${{\op{G}}}(X,X\backslash  K)$ verkleben und diese Elemente bilden 
dann zusammen die gesuchte Verklebung im inversen Limes.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Umindizierung der Grenzkettengarben}]
Die Garbe der lokalendlichen Grenzketten vom Grad $q$ 
auf einem lokal kompakten Hausdorffraum $X$\label{UIgG}  
nenne ich die 
{\bf $q$-te Grenzkettengarbe}\index{Grenzkettengarbe} $${\mathcal{G}}^!_{q,X}: U\mapsto {{\op{G}}}^!_q(U)$$
Das Differential geht dabei vom Grad $q$ zum Grad $q-1$ und die Grade
werden als untere Indizes notiert. Es ist f"ur das folgende g"unstiger,
die Grade als obere Indizes zu notieren und mit $(-1)$ zu multiplizieren, also ${\mathcal{G}}^{q,!}_{X}\pdef {\mathcal{G}}^!_{-q,X}$ zu setzen.  
So erhalten wir einen Komplex mit Differentialen in Richtung wachsender
oberer Indizes, der aus dem Negativen 
kommt und im Grad Null endet.
Den Komplex dieser Garben nenne ich den 
{\bf Komplex der Grenzkettengarben} oder kurz den {\bf Grenzkomplex}\index{Grenzkomplex} 
und notiere ihn $${\mathcal{G}}^!_X$$
Unsere Konstruktionen liefern f"ur jede offene Einbettung $j:U\hra X$ einen
 Isomorphismus ${\mathcal{G}}^!_U\sira j^{(*)}{\mathcal{G}}^!_X$.
%\nichtfinal{und f"ur jede eigentliche Abbildung $f:X\ra Y$ von lokal kompakten
%Hausdorffr"aumen einen ausgezeichneten
%Morphismus $f_{(*)}{\mathcal{G}}^!_X\ra {\mathcal{G}}^!_Y$.}
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}
Die Grenzkettengarben  lokal kompakter Hausdorffr"aume sind 
kompaktweich.\label{lGkw} 
\end{Lemma}
\begin{proof}
Jeder Schnitt einer abelschen Garbe auf einem relativ Hausdorffschen Kompaktum 
$K\subset X$ l"a"st sich auf eine offene Umgebung $U\co X$ 
desselben fortsetzen. Wir finden ein Kompaktum $L$ mit $K\subset L^\circ\subset L\subset U$ und unsere Fortsetzung liefert ein $s\in {\op{G}}(U,U\backslash L)$,
f"ur das wir einen Repr"asentanten $\tilde s\in {\op{G}}U$ finden.
Dieser hinwiederum liefert uns dann die gew"unschte globale Fortsetzung
unseres auf $K$ definierten Schnittes.
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalendliche singul"are Homologie 
      durch  Grenzketten}]
  Ich erinnere an die lokalendliche Homologie aus \eref{DBMo}{TS}.
Gegeben ein abz"ahlbar basierter
lokal kompakter Hausdorffraum $X$ k"onnen wir in der Menge aller
seiner Kompakta eine konfinale Folge alias ein konfinales
abz"ahlbares Teilsystem finden. Nach \eref{QIL}{TS} induzieren dann
 die offensichtlichen
nat"urlichen Kettenabbildungen ${{\op{S}}}^! X\ra {{\op{G}}}^! X$ 
 auf der Homologie Isomorphismen\label{BMKl} 
 $${\op{H}}^!_q (X)_{\op{sing}}=\mathcal H_q{{\op{S}}}^! X\sira\mathcal H_q {{\op{G}}}^! X$$
%und diese sind vertr"aglich mit dem Vorschub unter eigentlichen Abbildungen
% aus \eref{VoLE}{TS} links und aus \ref{BMLLn} rechts.
 Um \eref{QIL}{TS}
 anzuwenden zu d"urfen, bemerken wir, da"s f"ur Kompakta $K\subset L\subset X$
 die nat"urlichen Abbildungen Surjektionen 
 ${\op{S}}_q(X,X\backslash L)\sra  {\op{S}}_q(X,X\backslash K)$ und dann
 auch Surjektionen 
 ${\op{G}}_q(X,X\backslash L)\sra  {\op{G}}_q(X,X\backslash K)$ liefern.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Offener R"uckzug der lokalendlichen singul"aren Homologie}]
 Gegeben $j:U\hra Y$ eine offene Einbettung abz"ahlbar basierter
 lokal kompakter Hausdorffr"aume induzieren die Restriktionsabbildungen
 \ref{BMLLnd} f"ur lokalendliche Grenzketten vermittels der in
 \ref{BMKl} erkl"arten Isomorphismen Abbildungen,\label{ofrz}
 den  {\bf offenen R"uckzug}\index{R"uckzug!offener!der singul"aren $!$-Homologie}
 $${\op{H}}^!_q (X)_{\op{sing}}\ra {\op{H}}^!_q (U)_{\op{sing}}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalendliche singul"are Homologie als Hyperkohomologie}]
  Gegeben ein abz"ahlbar basierter
  lokal kompakter Hausdorffraum $X$ mit\label{HBMk} 
  $\Gamma:\op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}$ von endlicher homologischer Dimension
  konstruieren wir nun einen Isomorphismus 
$${\op{H}}^!_{q}(X)_{\op{sing}}\sira\mathbb H^{-q}(X;\mathcal G^!_X)$$
  zwischen seiner singul"aren lokalendlichen Ho\-mo\-lo\-gie
  und der Hyperkohomologie des Grenzkomplexes.
Wir erinnern dazu den Isomorphismus
${\op{H}}^!_q (X)_{\op{sing}}\sira\mathcal H^{-q} \Gamma(X;\mathcal G^!_X)$ 
aus \ref{BMKl}. Da der Grenzkomplex $\mathcal G^!_X$  nach 
\ref{lGkw} aus kompaktweichen und damit  nach \ref{kww} sogar aus weichen
Garben besteht, liefert die Annahme  endlicher 
homologischer Dimension mit \eref{UbDe}{TD} \nichtfinal{(dort Bedingung jedes Objekt quisrechtsentfaltbar erg"anzt, nochmal pr"ufen!)} einen Isomorphismus 
$\mathcal H^{-q} \Gamma(X;\mathcal G^!_X)\sira \mathbb H^{-q} (X;\mathcal G^!_X)$. Der gesuchte Isomorphismus ergibt sich als deren Verkn"upfung.
Ist zus"atzlich $j:U\hra X$ eine offene Einbettung mit $j_*:\op{Ab}_{/U}\ra \op{Ab}_{/X}$ von endlicher homologischer Dimension, so kommutiert
offensichtlich das Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
{\op{H}}_q^!(X)_{\op{sing}} \ar[d]\ar[r] &\mathbb H^{-q}(X;\mathcal G^!_X) \ar[d]\\
{\op{H}}_q^!(U)_{\op{sing}} \ar[r] &\mathbb H^{-q}(U;\mathcal G^!_U)
}
 \end{displaymath}
mit den von unseren Vergleichsisomorphismen induzierten Horizontalen und
dem offenen R"uckzug \ref{ofrz} in der linken Vertikale und der
vom Isomorphismus $\mathcal G^!_U\sira j^{*}\mathcal G^!_X$ aus \ref{UIgG} vermittels der Sequenz von
ansonsten offensichtlichen Morphismen in der derivierten Kategorie 
$$\op{fin}_{X*}\mathcal G^!_X\ra \op{fin}_{X*}j_*j^*\mathcal G^!_X\ra \op{fin}_{X*}j_*\mathcal G^!_U\sira \op{fin}_{U*}\mathcal G^!_U$$
durch Anwenden von $\mathcal H^q$ induzierten
rechten Vertikalen.
\end{Bemerkungl}





\begin{Lemma}[\textbf{Kompakte Schnitte von Grenzkettengarben}]
Gegeben ein  lokal kompakter Hausdorffraum $X$ liefern die offensichtlichen 
Abbildungen einen Isomorphismus\label{KoSE} 
$${\op{G}}X\sira \Gamma_!(X;\mathcal{G}^!_X)$$ 
zwischen dem Komplex seiner Grenzketten und dem Komplex der Schnitte mit 
kompaktem Tr"ager seiner Grenzkettengarben.
%\nichtfinal{Dar"uber hinaus passen
%diese Isomorphismen 
%f"ur jede offene Einbettung $j:U\hra X$ und jede eigentliche Abbildung
%$f:X\ra Y$ in 
%kommutative Diagramme
%  \begin{displaymath}
%\xymatrix{
%{\op{G}}(U) \ar[d]\ar[r] &\Gamma_!(U;\mathcal{G}^!_U)\ar[r]&\Gamma_!(U;j^*\mathcal{G}^!_X) \ar[d]\\
%{\op{G}}(X) \ar[rr] &&\Gamma_!(X;\mathcal{G}^!_X)
%}
%  \end{displaymath}
% \begin{displaymath}
%\xymatrix{
%{\op{G}}(X) \ar[d]\ar[r] &\Gamma_!(X;\mathcal{G}^!_X)\ar[r]&\Gamma_!(Y;f_{(*)}\mathcal{G}^!_X) \ar[d]\\
%{\op{G}}(Y) \ar[rr] &&\Gamma_!(Y;\mathcal{G}^!_Y)
%}
 % \end{displaymath}
% mit  von unseren Morphismen ${\mathcal{G}}^!_U\sira j^*{\mathcal{G}}^!_X$ beziehungsweise  $ f_{(*)}{\mathcal{G}}^!_X\ra {\mathcal{G}}^!_Y$ aus \ref{UIgG} induzierten oder offensichtlichen Morphismen. }
\end{Lemma}

\begin{proof}
  Die Injektivit"at unserer Abbildung
  %\nichtfinal{und die behaupteten Vetr"aglichkeiten}
  scheint mir offensichtlich.
Es bleibt, deren Surjektivit"at zu zeigen. 
Ein Schnitt $s\in \Gamma(X;\mathcal{G}^!_X)$ mit Tr"ager in einem
Kompaktum  $L\subset X$ 
ist nun per definitionem eine vertr"agliche Familie von Elementen
$s_K\in {\op{G}}(X,X\backslash K)$ f"ur $K\subset X$ kompakt mit
$s_K=0$ falls $K\cap L=\emptyset$. F"ur unser $L$ 
finden wir nun sicher $A,B,C\subset X$ kompakt
mit $L\subset A^\circ\subset A\subset B^\circ \subset B\subset C^\circ$ und dann f"ur unser $s$ einen
Repr"asentanten $\tilde s_C\in {\op{G}}(X)$ von 
$s_C\in {\op{G}}(X,X\backslash C)$.
Da nun gilt $\tilde s_C\mapsto s_R=0$ 
f"ur 
$R\pdef B\backslash A^\circ$, finden wir eine Darstellung
 $\tilde s_C=t+r$ mit $t\in  {\op{G}}(A^\circ)$ und 
$r\in {\op{G}}(X\backslash B)$.
Es reicht nun zu zeigen, da"s gilt
$t\mapsto s_K$ f"ur alle $K\subset X$ kompakt. 
Das ist richtig f"ur $K=K_1\subset B^\circ$ nach Konstruktion.
Es  ist auch richtig f"ur $K=K_2$ mit der Eigenschaft $K\cap A=\emptyset$,
dann liefern beide Seiten eben Null. Gilt es f"ur Kompakta $K_1$ und $K_2$,
so folgt es f"ur deren Vereinigung wegen der kurzen exakten Sequenz
$${\op{G}}(X,X\backslash(K_1\cup K_2))\hra{\op{G}}(X,X\backslash K_1)
\oplus{\op{G}}(X,X\backslash K_2)\sra {\op{G}}(X,X\backslash(K_1\cap K_2))$$
Da sich aber nun jedes Kompaktum $K\subset X$ schreiben l"a"st als
$K_1\cup K_2$ mit $K_1\subset B^\circ$ und $K_2\subset X\backslash A$,
folgt die Behauptung. 
\end{proof}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Singul"are  Homologie
als Hyperkohomologie}]
Gegeben ein lesb-Raum $X$  
konstruieren wir nun einen  Isomorphismus\label{HkH} 
$${\op{H}}_{q}(X)_{\op{sing}}\sira\mathbb H_!^{-q}(X;\mathcal G^!_X)$$
zwischen seiner singul"aren Homologie
und der kompakten Hyperkohomologie seines Grenzkomplexes.
Wir finden Isomorphismen 
$${\op{G}}X\sira_{\op{Ket}}\Gamma_!(X;\mathcal G^!_X)\sira_{\op{Ket}} \op{fin}_{X,(!)}\mathcal G^!_X\sira_{\op{Der}} \op{fin}_{X,!}\mathcal G^!_X$$
mit Lemma \ref{KoSE}  und unseren Erkenntnissen
zum unbeschr"ankten Derivieren linksexakter Funktoren endlicher 
homologischer Dimension \eref{UbDe}{TD} \nichtfinal{(dort Bedingung jedes Objekt quisrechtsentfaltbar erg"anzt, nochmal pr"ufen!)}. Wenden wir darauf $\mathcal H^{-q}$ an,
so ergibt sich der gesuchte Isomorphismus.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Morphismen aus Schreivorsch"uben kompaktweicher Garben}] 
   Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ von lokal kompakten Hausdorffr"aumen und eine kompaktweiche Garbe $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$
   ist auch $f_{(!)}\mathcal F$ kompaktweich nach \eref{BKWe}{TSF} und f"ur $V\co Y$
   liefert Basiswechsel \eref{BaWeax}{TG}\label{eikop} einen  Isomorphismus  $\Gamma_!(V;f_{(!)}\mathcal F)
   \sira \Gamma_!(f^{-1}(V);\mathcal F)$. Ein Morphismus
   $\varphi: f_{(!)}\mathcal F\ra \mathcal G$ in eine Garbe $\mathcal G\in \op{Ab}_{/Y}$
   ist also nach \eref{Snc}{TG} dasselbe wie die Vorgabe einer
   Familie von Gruppenhomomorphismen
   $$\varphi_V:\Gamma_!(f^{-1}(V);\mathcal F)\ra \Gamma_!(V;\mathcal G)$$
   f"ur $V\co Y$, die vertr"aglich sind mit den Ausdehnungen durch Null.
   Man beachte, da"s wir hier nicht unsere eigentlichen
   Opkomorphismen alias Schreimorphismen
   "uber $f$ aus \eref{VeigK}{TG} beschreiben, die ja vielmehr Garbenhomomorphismen $\mathcal G\ra f_{(!)}\mathcal F$ 
   entsprechen. Ein Student mag pr"ufen, da"s wir f"ur kompaktweiche
   Garben auf lokal kompakten Hausdorffr"aumen die oppinvertierte
   Kofaserung zur Schreikofaserung beschrieben haben, die wir im Fall
   \'etaler separierter Morphismen bereits in \eref{doKp}{TG}
   mit der Garbenfaserung
   identifiziert hatten. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Grenzkomplexvorschub}]
  Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ von lokal kompakten
  Hausdorffr"aumen erkl"aren wir einen ausgezeichneten Morphismus
  von Komplexen\index{gkv@$\op{gkv}$ Grenzkomplexvorschub} 
  $$\op{gkv}=\op{gkv}_f: f_{(!)}\mathcal G_X^!\ra \mathcal G_Y^!$$
  durch die Vorschrift, da"s er unter der Beschreibung von Morphismen
  durch kompakte Schnitte aus \ref{eikop}
 und der Beschreibung der kompakten Schnitte unserer Grenzkettengarben aus \ref{KoSE} der Gesamtheit der offensichtlichen 
 Abbildungen ${\op{G}}(f^{-1}(V))\ra {\op{G}}(V)$ f"ur $V\co Y$ entspricht.
 Wir nennen diesen Morphismus
 den {\bf Grenzkomplexvorschub}.\index{Grenzkomplexvorschub} 
  Sind unsere R"aume zus"atzlich homologisch kompaktendlich oder ist auch nur $f_{(!)}$ von endlicher homologischer Dimension,
  so induziert unser Morphismus einen Morphismus\label{vgig}  $$\op{gkv}=\op{gkv}_f: f_{!}\mathcal G_X^!\ra_{\op{Der}} \mathcal G_Y^!$$
  Ist $f$ eine offene Einbettung, so pr"uft man leicht, da"s das genau der
  Morphismus ist, der unter der Adjunktion unserem Isomorphismus
  $\mathcal G_X^!\sira f^{(*)} \mathcal G_Y^!$ aus \ref{UIgG} entspricht.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Nat"urlichkeit des Homologie-Hyperkohomologie-Vergleichs}]
Gegeben  eine stetige Abbildung  $f:X\ra Y$ von lokal kompakten
homologisch kompaktendlichen  Hausdorffr"aumen erhalten wir ein kommutatives Diagramm
  $$
  \begin{array}{ccccccc}{\op{G}}(X)&\sira_{\op{Ket}}&\Gamma_!(X;\mathcal G^!_X)&\sira_{\op{Ket}}& \op{fin}_{X,(!)}\mathcal G^!_X&\sira_{\op{Der}} &\op{fin}_{X,!}\mathcal G^!_X\\
    &&&&\da\wr&&\da\wr\\
    \da&&&&\op{fin}_{Y,(!)}f_{(!)}\mathcal G^!_X&\sira_{\op{Der}} &\op{fin}_{Y,!}f_!\mathcal G^!_X\\
    &&&&\da&&\da\\
  {\op{G}}(Y)&\sira_{\op{Ket}}&\Gamma_!(Y;\mathcal G^!_Y)&\sira_{\op{Ket}}& \op{fin}_{Y,(!)}\mathcal G^!_Y&\sira_{\op{Der}} &\op{fin}_{Y,!}\mathcal G^!_Y  
  \end{array}
  $$
  mit von unserem Grenzkomplexvorschub $\op{gkv}$ aus \ref{vgig} induzierten  Vertikalen im Quadrat unten rechts
  und der offensichtlichen Vertikale links.   Unter unserem Isomorphismus \ref{HkH} entspricht also der Vorschub auf der
  singul"aren Homologie dem von $\op{gkv}$ auf der
  Hyperkohomologie des Grenzkomplexes induzierten Morphismus und
  wir erhalten die Kommutativit"at der Diagramme\label{natVH}
  \begin{displaymath}
    \begin{array}{ccc}
      {\op{H}}_{q}(X)_{\op{sing}}&\sira &\mathbb H^{-q}_!(X;\mathcal G_X^!)\\
      \da&&\da\\
      {\op{H}}_{q}(Y)_{\op{sing}}&\sira &\mathbb H^{-q}_!(Y;\mathcal G_Y^!)
    \end{array}
  \end{displaymath}
  mit unseren Vergleichsisomorphismen in den Horizontalen und
  dem Vorschub auf der Homologie in der linken Vertikalen und der
  von unserem Grenzkomplexvorschub $\op{gkv}$ aus \ref{vgig} induzierten rechten Vertikale. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Nat"urlichkeit des $!$-Homologie-Hyperkohomologie-Vergleichs}]  Gegeben  $f:X\ra Y$ eine eigentliche lesb-Abbildung
  von abz"ahlbar basierten
  lokal kompakten Hausdorffr"aumen mit $\Gamma:\op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}$ und
  $\Gamma:\op{Ab}_{/Y}\ra \op{Ab}$
  von endlicher homologischer Dimension  kommutiert das
  Diagramm
 \begin{displaymath}
    \begin{array}{ccc}
      {\op{H}}_{q}^!(X)_{\op{sing}}&\sira &\mathbb H^{-q}(X;\mathcal G_X^!)\\
      \da&&\da\\
      {\op{H}}_{q}^!(Y)_{\op{sing}}&\sira &\mathbb H^{-q}(Y;\mathcal G_Y^!)
    \end{array}
  \end{displaymath}
 mit unseren Vergleichsisomorphismen \ref{HBMk} in den
 Horizontalen und dem eigentlichen Vorschub der singul"aren Theorie \eref{VoLE}{TS} in der linken
 Vertikalen und der vom Grenzkomplexvorschub $\op{gkv}: f_!\mathcal G_X^!\ra \mathcal G_Y^!$ vermittels
 der Identifikation $f_!\sira f_*$ von der Komposition 
  $\op{fin}_{X*}\mathcal G_X^!\sira  \op{fin}_{Y*}f_*\mathcal G_X^! 
 \ra \op{fin}_{Y*}\mathcal G_Y^!$
 induzierten rechten Vertikale. Das folgt ziemlich direkt aus den
 Definitionen und soll hier nicht weiter ausgearbeitet werden.\label{nnh} 
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Verdierdual des Grenzkomplexes}]
  Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ bilden  unsere Grenzkettengarben nach \ref{lGkw}
  einen Komplex $\mathcal G^!_X$ 
  kompaktweicher Garben. Ist unser Raum sogar lesb, so liefert \ref{VeDDx} einen Isomorphismus
  zwischen dem Garbenkomplex mit den Schnittkomplexen
  $\mathbb D_{\op{Ket}}\Gamma_!(U;\mathcal G^!_X)$ und dem
  Verdierdual des Grenzkomplexes, nach \ref{KoSE} also einen Isomorphismus\label{VdGg} 
  $$d_X:\mathbb D_X \mathcal G^!_X\sira_{\op{Der}} \mathcal G^*_X$$
  Ich behaupte f"ur diese Isomorphismen und jede stetige Abbildung $f:X\ra Y$ von lesb-R"aumen die Kommutativit"at in der derivierten
  Kategorie des Diagramms
  \begin{displaymath}
\xymatrix{
\mathbb D_Y
    \mathcal G^!_Y \ar[rr]^-{d_Y}_-\sim\ar[d]_{{\mathbb D}\op{gkv}} &&\mathcal G^*_Y\ar[d] \\
\mathbb D_Y f_!\mathcal G^!_X \ar[r]^-\sim &f_*\mathbb D_X \mathcal G^!_X\ar[r]^-{f_*d_X}_-\sim&f_*\mathcal G^*_X
}
  \end{displaymath}
  mit den hoffentlich offensichtlichen "ubrigen Pfeilen und insbesondere
  der durch R"uckzug von Koketten gegebenen rechten Vertikale. 
  Das folgt unmittelbar aus der durch \ref{vdvt} gegebenen
  Beschreibung des Isomorphismus unten links %oben rechts
  und den Definitionen.
  Dualisieren wir unser Diagramm und erg"anzen
  es geeignet, so ergibt sich ein kommutatives Diagramm
   \begin{displaymath}
\xymatrix{
 \mathcal G^!_Y \ar[r]^{\op{ev}} &\mathbb D_Y^2
    \mathcal G^!_Y  &&\mathbb D_Y\mathcal G^*_Y\ar[ll]_-{\mathbb D d_Y}^-\sim \\
   & \mathbb D_Y^2 f_!\mathcal G^!_X \ar[u]^{{\mathbb D}^2\op{gkv}} &\mathbb D_Yf_*\mathbb D_X \mathcal G^!_X\ar[l]_-\sim&\mathbb D_Yf_*\mathcal G^*_X\ar[u]\ar[l]_-{\mathbb D f_*d_X}^-\sim\\
    f_!\mathcal G^!_X\ar[rr]^{f_!\op{ev}}\ar[ur]^{\op{ev}}\ar[uu]^{\op{gkv}}&&
f_!\mathbb D_X^2\mathcal G^!_X\ar[u]&f_!\mathbb D_X\mathcal G^*_X\ar[u]\ar[l]_-{f_!\mathbb D d_X}^-\sim}
  \end{displaymath}
 Sind zus"atzlich $X$ und $Y$ lokal singul"arazyklisch, so liefern die Augmentationen Isomorphismen $a_X:\DZ_X\sira_{\op{Der}}\mathcal G^*_X$ und 
 $a_Y\DZ_Y\sira_{\op{Der}}\mathcal G^*_Y$
 und der Morphismus der rechten Vertikale
  entspricht darunter der Verkn"upfung
  $\DZ_Y\ra f_*f^*\DZ_Y\sira f_*\DZ_X$ der Einheit der Adjunktion mit dem nat"urlichen Isomorphismus. Mit \ref{adjDD} sehen wir, da"s die rechte Vertikale
  in unserem Diagramm unter unseren Isomorphismus dem Morphismus
  $f_!\omega_X\ra \omega_Y$ entspricht, den wir als die Komposition 
  $f_!\omega_X\sira f_!f^!\omega_Y\ra \omega_Y$ erhalten mit
  der Koeinheit der Adjunktion an zweiter Stelle und dem Bild unter
  $f_!$ des nat"urlichen Morphismus $\omega_X=\op{fin}_X^!\DZ_{\op{top}}\sira
  f^!(\op{fin}_Y^!\DZ_{\op{top}})=f^!\omega_Y$ an erster Stelle. Wir erhalten mit unseren Morphismen dann also ein kommutatives Diagramm
     \begin{displaymath}
\xymatrix{
 \mathcal G^!_Y \ar[r] & \omega_Y\\
f_!\mathcal G^!_X\ar[u]^{\op{gkv}}\ar[r]&f_!\omega_X\ar[u]
   }
     \end{displaymath}
     mit $g_Y\pdef (\mathbb D_Y (a_Y))^{-1}\circ(\mathbb D_Y (d_Y))^{-1}\circ  \op{ev}: \mathcal G^!_Y\ra \omega_Y$ in der oberen Horizontalen
     und $f_!g_X$  in der
     unteren Horizontalen.
 \end{Bemerkungl}



\begin{Proposition}[\textbf{Bidual des Grenzkomplexes}]
  Gegeben ein  lokal \hyperref[pola]{polyeder\"ahnlicher} 
lesb-Raum $X$
ist der Grenzkomplex $\mathcal{G}^!_X$
verdierselbstdual, die kanonische Abbildung ist also ein
Isomorphismus
$$\mathcal{G}^!_X\sira_{\op{Der}}\mathbb D_X \mathbb D_X \mathcal{G}^!_X$$
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
  Insbesondere ist dann der zum Schlu"s von \ref{VdGg}
  betrachtete Morphismus ein
  Isomorphismus $g_X: \mathcal{G}^!_X\sira \omega_X$ zwischen dem Grenzkomplex
  und der dualisierenden Garbe.\label{iggd} 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Wir k"urzen im folgenden stets $\mathbb D=\mathbb D_{\op{Ket}}$ ab. Unser Komplex von Grenzkokettengarben hat "uber $U\co X$
die Schnitte 
$\mathcal{G}_X^*(U)=\mathbb D{\op{G}}U$. 
Gegeben ein Kompaktum $K\subset U$ 
liefert die kurze exakte Sequenz der relativen Grenzketten 
${{\op{G}}}(U\backslash  K)\hra{{\op{G}}}(U)
\sra {{\op{G}}}(U,U\backslash  K) $
eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen
$$\mathbb D{{\op{G}}}(U,U\backslash  K)\hra\mathbb D{{\op{G}}}(U)
\sra \mathbb D{{\op{G}}}(U\backslash  K) $$
Im Kolimes "uber alle Kompakta $K\subset U$  ergeben sich daraus 
 Isomorphismen
 $\colf_K\mathbb D{{\op{G}}}(U,U\backslash  K)\sira\Gamma_!(U;\mathcal{G}_U^*)$ und dann durch Dualisieren
  $$
\mathbb D\Gamma_!(U;\mathcal{G}_X^*)\sira\textstyle \limf_K\mathbb D\mathbb D{{\op{G}}}(U,U\backslash  K)
$$
In \ref{DGKKO} haben wir unter den Bedingungen des Satzes einen
ausgezeichneten Isomorphismus 
der dualisierenden Garbe mit dem durch die Schnittkomplexe auf der
rechten Seite gegebenen Garbenkomplex konstruiert.
Andererseits gibt es f"ur jede offene Teilmenge $U\co X$ einen nat"urlichen
Morphismus
$$\mathcal G^!_X(U)=\textstyle\limf_K{{\op{G}}}(U,U\backslash  K)
\ra \limf_K\mathbb D\mathbb D{{\op{G}}}(U,U\backslash  K)$$
Um den Beweis zu beenden m"ussen wir nur zeigen,
da"s jeder Punkt eine offene Umgebung $U$ besitzt,
f"ur die er ein Quasiisomorphismus ist.
Wir zeigen das sogar f"ur jede polyeder"ahnliche offene Teilmenge $U\co X$. Dann gibt es ja eine konfinale Folge von Kompakta von $K_n\subset U$ 
mit ${\op{H}}_q(U,U\backslash K_n)$ endlich erzeugt f"ur alle
$q,n$. Damit sind aber die nat"urlichen
 Abbildungen Quasiisomorphismen
${{\op{G}}}(U,U\backslash  K_n)\qri \mathbb D\mathbb D{{\op{G}}}(U,U\backslash  K_n)$
und dann liefern sie nach \eref{QIL}{TS} auch im inversen Limes
 Quasiisomorphismen.
\end{proof}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Singul"are Homologien als Garbenkohomologien}] 
  F"ur jeden lokal po\-ly\-eder\-"ahn\-li\-chen
lokal singul"arazyklischen
lesb-Raum $X$ liefert unsere Beschreibung \ref{HkH} der Homologie als kompakte Hyperkohomologie des Grenzkomplexes zusammen mit dem Isomorphismus \ref{iggd} zwischen dem Grenzkomplex
und der dualisierenden Garbe einen
 Isomorphismus\label{VdHh} 
$$\op{H}_q(X)_{\op{sing}}\sira \op{H}_q(X)_{\op{garb}}$$
Ist $X$ dar"uberhinaus abz"ahlbar basiert und $\Gamma:\op{Ab}_{/X}\ra\op{Ab}$ von endlicher homologischer Dimension, so
liefert unsere Beschreibung \ref{HBMk}  der Homologie als  Hyperkohomologie des Grenzkomplexes analog einen
 Isomorphismus
$$\op{H}_q^!(X)_{\op{sing}}\sira \op{H}^!_q(X)_{\op{garb}}$$
Aus dem zum Schlu"s von \ref{VdGg} gefundenen kommutativen Diagramm
folgt mit \ref{natVH} beziehungsweise \ref{nnh}
beziehungsweise \ref{HBMk}  schlie"slich die
Vertr"aglichkeit dieser Vergleichsisomorphismen mit dem Vorschub
der Homologie, dem eigentlichen Vorschub der lokalendlichen
Homologie sowie dem offenen R"uckzug  der lokalendlichen
Homologie. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Gegenbeispiel f"ur einen Vergleichssatz}]
  Die lange Gerade $A$ alias Alexandroff'schen Halbgerade
  ohne Anfangspunkt \eref{AlHg}{AL} ist eine nicht abz"ahlbar basierte
  zusammenh"angende nichtkompakte orientierbare
  Einsmannigfaltigkeit. Nach \eref{ZykAH}{AL} verschwindet ihre erste
  lokalendliche Homologie mit beliebigen Koeffizienten
  ${\op{H}}^!_1(A;\DQ)_{\op{sing}}=0$. Andererseits kennen wir
  bereits nach \eref{KKMa}{TG} um einen
  Isomorphismus
  ${\op{H}}_!^1(A;\DQ)_{\op{garb}}\cong \DQ$
  und
  folglich gilt ${\op{H}}^!_1(A;\DQ)_{\op{garb}}\cong \DQ$ f"ur die
  lokalendliche Garbenhomologie,  die n"amlich nach 
  \ref{DWAR} f"ur K"orperkoeffizienten der Dualraum der
  kompakten Kohomologie ist. In diesem Fall ist also
  die lokalendliche singul"are Homologie verschieden von der
  lokalendlichen Garbenhomologie. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Relative singul"are Homologie als Garbenkohomologie}] 
Seien $X$ ein  lokal polyeder"ahnlicher
lokal singul"arazyklischer
lesb-Raum 
und $j:U\hra X$ die Einbettung einer offenen Teilmenge und
$i:A\hra X$ die Einbettung ihres Komplements.\label{VdHhr} Wir erhalten mit
der Einheit und der Koeinheit der Adjunktion nach \eref{exSEQ}{TG} 
eine kurze exakte Sequenz
$$j_!j^!\mathcal G^!_X\hra \mathcal G^!_X \sra i_*i^*\mathcal G^!_X$$
von Garbenkomplexen und nach \eref{WKW}{TG} und \eref{LIKT}{TG} bestehen sie
alle aus kompaktweichen abelschen Garben.  
Nach \eref{LIKT}{TG} bilden dann die kompakten globalen Schnitte eine
kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen und mit \ref{KoSE} erhalten wir
ein kommutatives Diagramm
$$\begin{array}{ccccc}
   {\op{G}}U&\hra&{\op{G}}X&\sra&{\op{G}}(X,U)\\
  \da\wr&&\da\wr&&\da\wr\\
 \Gamma_!\mathcal G^!_U&\hra& \Gamma_!\mathcal G^!_X &\sra& \Gamma_!i^*\mathcal G^!_X
\end{array}$$
Die letzte Vertikale liefert zusammen mit dem Isomorphismus
 vom Grenzkomplex in die dualisierende Garbe \ref{iggd}
einen ausgezeichneten Isomorphismus
$$\mathbb H_!^{-q}(A;\omega_X)\sira {\op{H}}_q(X,X\backslash A)_{\op{sing}}$$
Der Rest des Diagramms zeigt dann auch noch, da"s die lange exakte Homologiesequenz
darunter der langen exakten Hyperkohomologiesequenz des ersten ausgezeichneten
Dreiecks nach \ref{KuEG} der dualisierenden Garbe $\omega_X$ zur gegebenen Zerlegung von $X$
in eine offene und eine abgeschlossene Teilmenge entspricht. Wir haben also
mit unseren Vergleichsisomorphismen zur singul"aren Homologie in den Vertikalen
ein kommutatives Diagramm
$$\begin{array}{ccccccccc}
 \ldots\ra& \mathbb H_!^{-q}j_!j^!\omega_X&\ra& \mathbb H_!^{-q}\omega_X &\ra&\mathbb H_!^{-q} i_*i^*\omega_X&\ra&\mathbb H_!^{-q+1}j_!j^!\omega_X&\ra\ldots \\
  &\da\wr&&\da\wr&&\da\wr&&\da\wr&\\
 \ldots\ra& {\op{H}}_qU&\ra&{\op{H}}_qX&\ra&{\op{H}}_q(X,U)&\ra&{\op{H}}_{q-1}U&\ra\ldots
\end{array}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Nat"urlichkeit des Vergleichsisomorphismus nach ${\op{H}}_q(X,A)$}] 
  Wir erinnern \ref{Vrh}.\label{NatVR} 
  Seien $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung von lesb-R"aumen sowie  
  $A\As X, B\As Y$  abgeschlossene Teilmengen
  mit $f^{-1}(B)\subset A$.
Gegeben  $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ und 
$\mathcal G\in \op{Ab}_{/Y}$ und ein Morphismus
$\varphi: f_!\mathcal F\ra \mathcal G$ in $\op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$
hatten wir dort einen ausgezeichneten Morphismus $\varphi_\circledast$
konstruiert, der
unter $\mathcal H^{-q}$ ausgezeichnete Morphismen 
$$\varphi_\circledast :\mathbb H^{-q}_!(A;\mathcal F) \ra \mathbb H^{-q}_!(B;\mathcal G)$$
liefert. Spezialisieren wir ihn zu dem aus dem offensichtlichen Isomorphismus
$\omega_X\sira f^!\omega_Y$ hervorgehenden Morphismus $f_!\omega_X\ra \omega_Y$,
so sollten wir unter den zus"atzlichen Annahmen an $X$ und $Y$ aus \ref{VdHhr} mit unseren Vergleichsisomorphismen in den Horizontalen und dem Vorschub auf der
singul"aren Homologie in der rechten Vertikalen ein kommutatives Diagramm
$$
\begin{array}{ccc}
  \mathbb H_!^{-q}(A;\omega_X)&\sira &{\op{H}}_q(X,X\backslash A)_{\op{sing}}\\
  \da&&\da\\
  \mathbb H_!^{-q}(B;\omega_Y)&\sira &{\op{H}}_q(Y,Y\backslash B)_{\op{sing}}
\end{array}
$$ erhalten. Ich w"urde mich freuen, wenn ein Student mir das einmal
ausarbeiten k"onnte. \nichtfinal{Master!} 
\end{Bemerkungl}
\newpage
\section{Garben auf Simplizialkomplexen}





\subsection{Garben auf Simplizialkomplexen}
\begin{Bemerkungl}
  Ich arbeite mit der in \eref{SKk}{TF} eingef"uhrten Terminologie.
Seien $\mathcal K$ ein  Simplizialkomplex und $|\mathcal K|$
seine Realisierung und
\begin{equation*}
p :  |\mathcal K| \rightarrow \mathcal K
\end{equation*}
seine {\bf Indikatorabbildung},\index{Indikatorabbildung}
die jedem Punkt denjenigen Simplex zuordnet,
in dessen offenem Inneren er liegt. Die Faser "uber $\sigma$ notieren wir
$|\sigma|^\circ\pdef p^{-1}(\sigma)$ und nennen sie den
{\bf geometrischen offenen Simplex zu $\sigma$}.\index{Simplex!geometrischer offener} 
Wir versehen die Menge $\mathcal K$ der Simplizes
mit der Finaltopologie. Sie kann
auch als die Ordnungstopologie beschrieben werden,
 in der Teilmengen  genau dann abgeschlossen sind,
wenn sie mit einem Element auch jedes Kleinere enthalten.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Seien $\mathcal K$ ein Simplizialkomplex und $p :  |\mathcal K| \rightarrow \mathcal K$ seine Indikatorabbildung. Nach "Ubung \eref{AdI}{TG}
  "uber finales Zur"uckholen bei zusammenh"angenden Fasern
  ist f"ur jede Garbe $\mathcal G\in \op{Ens}_{/\mathcal K}$ die Einheit
  der Adjunktion ein Isomorphismus $\mathcal G\sira p_\ast p^\ast \mathcal G$.
  Folglich ist das Zur"uckholen $p^\ast$ ein volltreuer Funktor.  Garben auf teilgeordneten Mengen diskutieren wir in
  gro"ser Allgemeinheit in \eref{GOTo}{TG}. 
\end{Bemerkungl}
%HIER MU"S MAN SICH NOCH AUF NICHTLEERE SIMPLIZES BESCHR"ANKEN, DENN SONST
%SIND DIE FASERN NICHT ZUSAMMENH"ANGEND. NEE, BEI MEINER DEFINITION
%SIND SIMPLIZES NIE LEER.
\begin{Lemma}[\textbf{Simplizial konstante Garben auf Simplizialkomplexen}] 
Seien $\mathcal K$ ein Simplizialkomplex und $p :  |\mathcal K| \rightarrow \mathcal K$ seine Indikatorabbildung.  F"ur eine Garbe $\mathcal F\in\op{Ens}_{/|\mathcal K|}$ sind dann\label{skom} 
  gleichbedeutend:
  \begin{enumerate}
  \item
    Die Garbe  $\mathcal F$ geh"ort
    zum essentiellen Bild des R"uckholfunktors $p^\ast$;
  \item
Die Koeinheit der Adjunktion  liefert einen Isomorphismus
$p^\ast p_\ast\mathcal F\sira  \mathcal F$;
\item
 Unsere Garbe ist
   \emph{\bf simplizial konstant},\index{simplizial konstant!Garbe}\index{Garbe!simplizial konstante}
  als da hei"st, ihre
 Restriktion auf jeden geometrischen offenen Simplex
  ist konstant.
  \end{enumerate}
\end{Lemma}
  \begin{proof}  
    1$\IFF$2 folgt aus  allgemeinen Resultaten \eref{AduA}{TF}
    "uber adjungierte Funktoren.
Um die "Aquivalenz mit 3 zu zeigen, m"ussen wir weiter ausholen.
   Sicher besitzt jeder
  Punkt $\sigma\in \mathcal K$ eine kleinste offene Umgebung,
  n"amlich die Menge $\op{u}(\sigma)\pdef\{\kappa\mid \kappa\supset \sigma\}$.
  F"ur $\mathcal G\in \op{Ens}_{/\mathcal K}$ liefert das Bilden des Halms mithin
 eine Bijektion  $\mathcal G(\op{u}(\sigma))\sira\mathcal G_\sigma$.  
  Das Urbild von $\op{u}(\sigma)$ unter der Indikatorabbildung
  hei"st der {\bf offene Stern zu $\sigma$}\index{offener Stern}\index{Stern, offener} und wird notiert als
  $$\op{St}(\sigma)=\op{U}(\sigma)\pdef p^{-1}(\op{u}(\sigma))$$
  Gegeben $x\in |\mathcal K|$ mit $p(x)=\sigma$ haben wir also
  nat"urliche Isomorphismen 
  $$(p^\ast p_\ast\mathcal F)_x\sira (p_\ast\mathcal F)_\sigma\sira
  (p_\ast\mathcal F)(\op{u}(\sigma))\sira \mathcal F(\op{U}(\sigma))$$
  vermittels unserer Beschreibung der Halme einer zur"uckgezogenen Garbe,
  der Definition des Halms und der Definition der Bildgarbe.
  Sie zeigen die "Aquivalenz von 1 und 2 zu folgender  Bedingung
 
{\em
\begin{enumerate}
\item[4.] F"ur jeden Simplex $\sigma$ und
  jedes $x\in |\sigma|^\circ=p^{-1}(\sigma)$  liefert die Restriktion eine Bijektion
  $\mathcal F(\op{U}(\sigma))\sira \mathcal F_x$.
\end{enumerate}}
\noindent
Damit bleibt nur noch 3$\IFF$4 zu zeigen. Hier ist 4$\RA$3 offensichtlich
nach \eref{KoGa}{TG} und uns bleibt 
3$\RA$4. Es ist offensichtlich, da"s f"ur eine Garbe $\mathcal F$, deren Restriktion auf jeden geometrischen offenen
Simplex $| \eta |^\circ$ mit $\eta \supset \sigma$ konstant ist, die Restriktion Injektionen
\begin{equation*}
\mathcal F ({\op{U}} (\sigma)) \hookrightarrow \mathcal F_x
\end{equation*}
induziert f"ur alle $x \in | \sigma |^\circ$.
Um zu zeigen, da"s sie auch Surjektionen induziert, beschr"anken wir uns zun"achst auf den Fall eines
endlichen Simplizialkomplexes $\mathcal K$.
Dann k"onnen wir eine stetige $\mathbb R$-Operation auf ${\op{U}} (\sigma)$ erkl"aren, die
${\op{U}} (\sigma)$ f"ur $t \rightarrow \infty$ auf den einzigen Fixpunkt $x$ zusammenzieht, auf deren Bahnen unsere
Garbe $\mathcal F$ jeweils konstant ist, und die topologisch frei ist auf ${\op{U}} (\sigma) \backslash x$.
Jedes Element $s \in \mathcal F_x$ des Halms l"a"st sich weiter auf eine Umgebung $U$ ausdehnen und wir finden
in jeder Umgebung $U$ von $x$ eine Teilmenge $L$ derart, da"s die $\mathbb R$-Operation einen Hom"oomorphismus
$\mathbb R \times L \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{U}} (\sigma) \backslash x$ induziert und da"s $\mathbb R_{\geq 0} 
\times L$ ganz nach $U$ abgebildet wird.
Schr"anken wir dann $s$ auf $L$ ein und dehnen es mithilfe von \eref{FKGa}{TG} auf ${\op{U}} (\sigma)\backslash x$ aus, so
verkebt es mit dem Halm $s \in \mathcal F_x$ zu einem stetigen Schnitt auf ganz ${\op{U}}(\sigma)$ und die Behauptung
ist bewiesen im Fall eines endlichen Simplizialkomplexes.
Den allgemeinen Fall folgern wir leicht mit
den Resultaten aus der anschlie"senden Bemerkung \ref{VKS}.
  \end{proof}








\begin{Bemerkungl}[\textbf{Garben auf Kolimites topologischer R"aume}] 
Seien $X$ ein topologischer Raum und $Z \As X$ eine abgeschlossene Teilmenge und $i: Z \hookrightarrow X$
die Einbettung. Gegeben eine Garbe $\mathcal F \in \op{Ens}_{/ X}$ setzen wir $\mathcal F_Z \pdef i_\ast i^\ast \mathcal F$.
Ist nun $\mathcal A \subset \mathcal P (X)$ ein filtrierendes System abgeschlossener Teilmengen mit $X = \op{colf}_{ Z \in \mathcal A} Z$,
so ist der offensichtliche Morphismus ein Isomorphismus
\begin{equation*}
\mathcal F \sira \op{limf}_{Z \in \mathcal A} \mathcal F_Z
\end{equation*}
In der Tat haben wir f"ur $U \co X$ per definitionem $\mathcal F_Z (U) = \{ s : Z \cap U \rightarrow \bar{\mathcal F} \mid 
p \circ s = i\}$ f"ur $i : Z \cap U \hookrightarrow X$ die Einbettung und
$\bar {\mathcal F}$ der \'etale Raum von
$\mathcal F$.
Eine vertr"agliche Familie solcher $s_Z \in \mathcal F_Z (U)$ verklebt dann nach der Definition der Finaltopologie
zu einem stetigen Schnitt $U \rightarrow
\bar{\mathcal F}$.\label{VKS}
\end{Bemerkungl}


\subsection{Abelsche Garben auf Simplizialkomplexen} 

\begin{Satz}[\textbf{Simplizialgarben und die derivierte Kategorie}]
  Gegeben ein lokal endlicher Simplizialkomplex $\mathcal K$  mit
  Indikatorabbildung $p :  |\mathcal K| \rightarrow \mathcal K$
  liefert
  f"ur alle $\mathcal F \in \op{Der} (\op{Ab}_{/\mathcal K})$
  die Einheit der Adjunktion\label{skGn}  
einen Isomorphismus
\begin{equation*}
\mathcal F \sira p_\ast p^\ast \mathcal F
\end{equation*}
In der Terminologie aus \ref{azy} ist $p$ also garbenazyklisch. 
Insbesondere ist der R"uckzug $p^*$ ein volltreuer Funktor. 
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl} Ich erwarte, da"s das sogar f"ur einen beliebigen Simplizialkomplex stimmt. Es sollte mit der "aquivarianten derivierten Kategorie zu zeigen sein in "ahnlicher Weise wie f"ur Mengengarben im vorhergehenden Abschnitt.
\nichtfinal{Mir ist kein einfaches Argument eingefallen.} 
\end{Bemerkungl}




\begin{proof}
  %Wegen $p_{(\ast)} = \mathcal H^0 p_\ast$ und $p^{(\ast)} = p^\ast$ folgt die erste Behauptung aus der zweiten.
  Mit offenem Basiswechsel ziehen wir uns m"uhelos auf den
  Fall eines endlichen Simplizialkomplexes zur"uck. 
Sei $\mathcal K = \mathcal K_{\leq n}$.
Bezeichne $i : \mathcal K_{<n} \hookrightarrow \mathcal K$ die abgeschlossene Einbettung und
$j: \mathcal K_n \hookrightarrow \mathcal K$ die offene Einbettung des Komplements. Wir erhalten in der derivierten Kategorie der abelschen Garben
auf der angeodneten Menge $\mathcal K$ mit ihrer Ordnungstopologie  ein
ausgezeichnetes Dreieck
$$i_! i^! \mathcal F \rightarrow \mathcal F \rightarrow j_\ast j^\ast \mathcal F \overset{[1]}{\rightarrow}$$ 
Es reicht zu zeigen, da"s unsere Einheit der Adjunktion $\op{id}\RA p_*p^*$
Isomorphismen f"ur $i_! i^! \mathcal F$ und $j_\ast
j^\ast \mathcal F$ induziert.
F"ur $i_! i^! \mathcal F$ folgt das mit Induktion "uber die Dimension unseres Simplizialkomplexes.
Statt f"ur $j_\ast j^\ast \mathcal F$ reicht es,
f"ur jeden Komplex $\mathcal G\in   \op{Der}(\op{Ab}_{/\op{pt}})$
und  $e : \op{pt} \hookrightarrow \mathcal K$
die Einbettung eines Punktes mit Bild
$\sigma \in \mathcal K_n \subset \mathcal K$
zu zeigen, da"s die Einheit der Adjunktion einen Isomorphismus
$e_*\mathcal G\sira p_*p^*e_*\mathcal G$ induziert.
Aus \eref{Vspp}{TG} wissen wir, da"s $e_*$ ein exakter Funktor ist und da"s
$e_*\mathcal G$ isomorph ist zu $f_* c^*\mathcal G$ f"ur $\mathcal Z$ der Abschlu"s
von $\{\sigma\}$ und $c:\mathcal Z\ra\op{pt}$ die konstante Abbildung und
$f:\mathcal Z\hra \mathcal K$ die Einbettung.
Explizit ist $\mathcal Z$ die endliche Menge bestehend aus $\sigma$ und seinen
Teilsimplizes. Nun ist $|\mathcal Z|\pdef p^{-1}\mathcal Z$ ein voller
abgeschlossener Simplex in $|\mathcal K|$ und bezeichnet $g$ seine Einbettung
und $q:|\mathcal Z|\ra \mathcal Z$ den Simplexanzeiger, so liefert 
Basiswechsel einen Isomorphismus
$p^* f_* c^*\mathcal G\sira  g_* q^* c^*\mathcal G$ und wir k"onnen uns darauf
zur"uckziehen zu zeigen, da"s die Einheit der Adjunktion einen
Isomorphismus
$$ c^*\mathcal G\sira q_*q^*c^*\mathcal G$$ liefert.
Nun hat jeder Punkt von $\tau\in \mathcal Z$
eine kleinste offene Umgebung $\mathcal U_\tau$
und der Halm einer Garbe bei $\tau$
stimmt mit ihren globalen Schnitten auf $\mathcal U_\tau$ "uberein. Bezeichnet
$j_\tau:\mathcal U_\tau\hra \mathcal Z$ die Einbettung  und
$c_\tau:\mathcal U_\tau\hra \op{top}$ die konstante Abbildung,
so reicht es nach dem Verschwindungskriterium \ref{VersKK} also zu
zeigen, da"s die Einheit der Adjunktion 
Isomorphismen
$c_{\tau *}j_\tau^* c^*\mathcal G\sira c_{\tau *}j_\tau^*  q_*q^*c^*\mathcal G$
liefert.
Mit offenem Basiswechsel ziehen wir uns darauf zur"uck zu zeigen, da"s
f"ur $q_\tau: q^{-1}(\mathcal U_\tau)\ra \mathcal U_\tau$ 
die
Einheit der Adjunktion 
Isomorphismen
$$c_{\tau *}c_\tau^*\mathcal G\sira c_{\tau *}  q_{\tau *}q_\tau^*c_\tau^*\mathcal G$$
liefert. Dazu zeigen wir, da"s in der Sequenz 
$\mathcal G\ra c_{\tau *}c_\tau^*\mathcal G\ra c_{\tau *}  q_{\tau *}q_\tau^*c_\tau^*\mathcal G$
sowohl die erste Abbildung als auch die Komposition ein Isomorphismus ist. 
F"ur die Komposition gilt es nach \ref{zgsaf}, da  $q^{-1}(\mathcal U_\tau)$
zusammenziehbar ist. F"ur die erste Abbildung gilt es, da
$\mathcal U_\tau$ die kleinste Umgebung von $\tau$ ist und somit der
Funktor der globalen Schnitte mit dem Bilden des Halms bei $\tau$
zusammenf"allt in einer in \eref{GlSG}{TG} genauer beschriebenen Weise. 
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kohomologisch simplizial konstante Garbenkomplexe}]
  Gegeben ein lokal endlicher Simplizialkomplex $\mathcal K$
  geh"ort $\mathcal F\in \op{Der}^{\op{b}}(\op{Ab}_{/|\mathcal K|})$ zum
  wesentlichen Bild des R"uckzugs
  $$p^*: \op{Der}^{\op{b}}(\op{Ab}_{/\mathcal K})\vra
  \op{Der}^{\op{b}}(\op{Ab}_{/|\mathcal K|})$$ genau dann,
  wenn alle $\mathcal H^q \mathcal F$
  simplizial konstant sind im Sinne von \ref{skom}, wenn also ihre
  Einschr"ankung auf jeden geometrischen offenen Simplex konstant ist.
  In der Tat ist diese Bedingung offensichtlich notwendig. Sie ist aber
  auch hinreichend, was man mit Induktion "uber die Zahl
  der von Null verschiedenen  $\mathcal H^q \mathcal F$ folgert mit der durch
  den in \ref{skom} behandelten Fall gew"ohnlicher Garben
  gegebenen Induktionsbasis.
  Wir nennen die Objekte aus unserem wesentlichen Bild
  {\bf kohomologisch simplizial
    konstant} und notieren die volle Unterkategorie dieser Komplexe $$\op{Der}^{\op{b}}_{\op{sk}}(\op{Ab}_{/|\mathcal K|})\subset \op{Der}^{\op{b}}(\op{Ab}_{/|\mathcal K|})$$
  \nichtfinal{Ich h"atte das gerne viel allgemeiner.}
\end{Bemerkungl}
\nichtfinal{\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kohomologisch simplizial konstante Garbenkomplexe}]
  Gegeben ein lokal endlicher Simplizialkomplex $\mathcal K$
  geh"ort $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/|\mathcal K|})$ zum
  wesentlichen Bild des R"uckzugs
  $$p^*: \op{Der}(\op{Ab}_{/\mathcal K})\vra
  \op{Der}(\op{Ab}_{/|\mathcal K|})$$ genau dann,
  wenn alle $\mathcal H^q \mathcal F$
  simplizial konstant sind im Sinne von \ref{skom}, wenn also ihre
  Einschr"ankung auf jeden geometrischen offenen Simplex konstant ist.
  In der Tat ist diese Bedingung offensichtlich notwendig. Sie ist aber
  auch hinreichend.
  Um das zu sehen  Induktion "uber Dimension?
 , was man mit Induktion "uber die Zahl
  der von Null verschiedenen  $\mathcal H^q \mathcal F$ folgert mit der durch
  den in \ref{skom} behandelten Fall gew"ohnlicher Garben
  gegebenen Induktionsbasis.
  Wir nennen die Objekte aus unserem wesentlichen Bild
  {\bf kohomologisch simplizial
    konstant} und notieren die volle Unterkategorie dieser Komplexe $$\op{Der}^{\op{b}}_{\op{sk}}(\op{Ab}_{/|\mathcal K|})\subset \op{Der}^{\op{b}}(\op{Ab}_{/|\mathcal K|})$$
\end{Bemerkungl}}


\begin{Bemerkungl}
  Sei $\mathcal K$ ein lokal endlicher Simplizialkomplex, also ein Simplizialkomplex im Sinne von \eref{SKk}{TF}, bei dem jede Ecke nur zu endlich vielen
  Simplizes geh"ort. Wir nehmen zus"atzlich an, da"s $\mathcal K$ beschr"ankte
  Dimension hat. So ist die  Realisierung $|\mathcal K|$ unseres
  Simplizialkomplexes eine
  Filtrierfaltigkeit und insbesondere ein lesb-Raum.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Seien $\mathcal K$ ein endlicher Simplizialkomplex  und $k$ noetherscher
  Kring. Eine Garbe von $k$-Moduln
  auf $|\mathcal K|$ hei"st {\bf  simplizial konstruierbar},\index{konstruierbar!simplizial} wenn ihre Einschr"ankung auf jeden offenen vollen
  Simplex $|s|^\circ$ f"ur $s\in\mathcal K$
  konstant ist mit endlich erzeugter Faser.
  Wir notieren die Kategorie dieser Garben
  $$\op{Ab}_{/|\mathcal K|,\op{sk}}\subset \op{Ab}_{/|\mathcal K|}$$
  und schreiben $|\mathcal K|=(|\mathcal K|,k)$ aus,
  wenn wir den Koeffizientenring mit
  notieren wollen. Sie ist eine volle abelsche Unterkategorie
  von $\op{Ab}_{/|\mathcal K|}$ und stabil unter dem Bilden von
  Kernen, Kokernen und Erweiterungen.
\end{Bemerkungl}



\begin{Proposition}[\textbf{Bidualit"at f"ur simplizial konstruierbare Garben}]
   Seien $\mathcal K$ ein endlicher Simplizialkomplex  und $k$ ein noetherscher
   Kring endlicher homologischer Dimension. So enth"alt die volle triangulierte Unterkategorie 
   $$\op{Der}_{\op{sk}}^{\op{b}}(\op{Ab}_{/|\mathcal K|})\subset \op{Der}(\op{Ab}_{/|\mathcal K|})$$
   aller Komplexe mit beschr"ankter Kohomologie und simplizial konstruierbaren
   Kohomologiegarben die Tensoreinheit  und ist\label{Bidu} 
   stabil unter
   $\otimes$, unter $ {\Rrightarrow}$ und unter der
   Verdierdualit"at $\mathbb D$.
   Dar"uberhinaus ist
   f"ur jeden Komplex
   $\mathcal F\in \op{Der}_{\op{sk}}^{\op{b}}(\op{Ab}_{/|\mathcal K|})$ der Auswertungshomomorphismus ein Isomorphismus
   $$\mathcal F\sira \mathbb D\mathbb D\mathcal F$$
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl} In diesem Fall spezialisieren unsere Isomorphismen
  aus \ref{VerDu} also zu Isomorphismen 
 $$(\mathbb D\mathcal E{\Rrightarrow}\mathbb D\mathcal F)
\sila\mathbb D(\mathcal F\otimes\mathbb D\mathcal E)\sira
(\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal E)$$
Hierf"ur brauchen wir sogar nur $\mathcal E\sira \mathbb D\mathbb D\mathcal E$
unter dem Auswertungshomomorphismus und keinerlei Annahmen an $\mathcal F$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Sinnhaftigkeit der Verdierdualit"at}]  
  Wie in \eref{JKUI}{TG} im wesentlichen
  besprochen ist f"ur $j:(0,1)\hra [0,1]$ die
  Koeinheit der Adjunktion f"ur jede konstante abelsche Garbe
  $\mathcal G$ auf $[0,1]$ ein Isomorphismus $\mathcal G\sira j_*j^*\mathcal G$
  in der derivierten Kategorie. F"ur $i:\{0,1\}\hra [0,1]$ die Einbettung
  des abgeschlossenen Komplements haben wir also $i_!i^!\mathcal G=0$ und
  a forteriori $i^!\mathcal G=0$. Das hinwiederum zeigt mit relativer
  Verdierdualit"at $$(i_!\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G)\cong i_*(\mathcal F{\Rrightarrow}i^!\mathcal G)=0$$
  f"ur jede abelsche Garbe $\mathcal F$ auf der zweielementigen Menge der
  beiden Endpunkte unseres Intervalls. In der Schmelzkategorie
  $\op{Der}(\op{Ab}_{/[0,1]})$ ist mithin das Dual eines Wolkenkratzers auf
  einem jeden der beiden Endpunkte Null und das Bidual eines Wolkenkratzers ist
  keineswegs wieder er selber. Die Verdierdualit"at hat also in diesem Fall
   viel bessere
  Eigenschaften als die naive Dualit"at. 
\end{Beispiel}
\begin{proof} Die Tensoreinheit ist offensichtlich
  simplizial konstruierbar. 
  Die Stabilit"at unter $\otimes$ ist ebenso offensichtlich, da das derivierte
  Tensorprodukt mit der Einschr"ankung vertauscht. 
  Wir k"urzen f"ur das weitere $X\pdef |\mathcal K|$ ab.
  Gegeben $\mathcal F\in \op{Der}_{\op{sk}}^{\op{b}}(\op{Ab}_{/|\mathcal K|})$
  und $j:U\hra X$ die offene Einbettung eines offenen vollen
  Simplex $U=|s|^\circ$
  maximaler Dimension hat $\op{Keg}(j_!j^!\mathcal F\ra\mathcal F)$ Tr"ager
  in einem echten Unterkomplex. Induktiv sehen wir so, da"s die Objekte
  $i_!\underline V$ f"ur $i:V\hra X$ die Einbettung offener voller Simplizes
  $V=|t|^\circ$ f"ur beliebiges $t\in\mathcal K$ die triangulierte Kategorie
  $\op{Der}_{\op{sk}}^{\op{b}}(\op{Ab}_{/|\mathcal K|})$ als Verdiersystem erzeugen.
   Ebenso sehen wir, da"s die Objekte
  $i_*\underline V$ die triangulierte Kategorie
   $\op{Der}_{\op{sk}}^{\op{b}}(\op{Ab}_{/|\mathcal K|})$ als Verdiersystem erzeugen,
   sobald wir zumindest gepr"uft haben, da"s sie "uberhaupt zu dieser Kategorie
   geh"oren. Dazu reicht es zu zeigen, da"s  $i_*\underline V$ die konstante
   Garbe auf dem vollen Simplex $|t|=\bar V$ ist, ausgedehnt durch Null.
   In Formeln ist f"ur $u:V\hra \bar V$ die Einheit der Adjunktion ein
   Isomorphismus $\underline{\bar V}\sira u_*u^*\underline{\bar V}$ und
   f"ur $\bar\imath: \underline{\bar V}\hra X$ die Einbettung mit $i=\bar\imath
   u$ erhalten wir
   $$\bar\imath_*\underline{\bar V}\sira \bar\imath_*u_*u^*\underline{\bar V}
\sira i_* \underline{V}$$
   Wir "uberlassen dem Leser diese Verallgemeinerung von \eref{JKUI}{TG} zur "Ubung.   
   F"ur diese Erzeuger finden wir nun, da"s 
   $$(i_!\underline V){\Rrightarrow} (j_*\underline U)\;\cong\; i_*(\underline{U}{\Rrightarrow}i^!j_*\underline{V})$$ wieder simplizial
   konstruktibel ist. Es folgt, da"s
   unsere Unterkategorie stabil ist unter ${\Rrightarrow}$. 
   Um die Stabilit"at unter Verdierdualit"at zu zeigen, m"ussen
   wir nur $\mathbb D(i_!\underline{V})$ als simplizial konstruktibel
   erkennen, f"ur $i:V\pdef |t|^\circ \hra |\mathcal K|$ wie oben.
   Wir finden Isomorphismen 
   $$\mathbb D(i_!\underline{V})\sira i_*(\mathbb D\underline{V})\cong
   i_*(\underline{V}[\op{dim}V])$$
   nach der Beschreibung der dualisierenden Garbe der Mannifaltigkeit $V$.
   Letzteres
   Objekt haben wir jedoch bereits als  simplizial konstruktibel erkannt.
   Schlie"slich m"ussen wir noch zeigen, da"s der Auswertungsmorphismus
   f"ur unsere Erzeuger $i_!\underline{V}$ ein Isomorphismus
   $$i_!\underline{V}\sira \mathbb D\mathbb D(i_!\underline{V})$$
   ist. Sobald wir zeigen k"onnen, da"s es "uberhaupt einen Isomorphismus
   zwischen diesen Objekten gibt, sind wir fertig, denn da"s unser
   Auswertungsmorphismus
   einen Isomorphismus der Einschr"ankungen auf die Mannigfaltigkeit
   $V$ induziert ist eh klar.
   Nun erinnern wir zun"achst
   $\mathbb D(i_!\underline{V})\cong i_*\underline{V}[\op{dim}V]\cong
   \bar\imath_*\underline{\bar V}[\op{dim}V]$ f"ur $\bar\imath:\bar V\hra |\mathcal K|$
   die Einbettung des vollen Simplex.
   Andererseits ist $V$ eine Randfaltigkeit und  nach \ref{dGR} ist ihre
   dualisierende Garbe isomorph zur dualisierenden Garbe des regul"aren Teils
   ausgedehnt durch Null und wir finden f"ur $u:V\hra \bar V$
   einen Isomorphismus $\omega_{{\bar V}}\cong u_! \underline{V}[\op{dim}V]$.
   So erhalten wir schlie"slich
   $$\begin{array}[b]{llll}
     \mathbb D\mathbb D(i_!\underline{V})&\cong& \mathbb D\bar\imath_*\underline{\bar V}[\op{dim}V]&\text{nach dem vorhergehenden,}\\
     &\cong& \mathbb D\bar\imath_!\underline{\bar V}[\op{dim}V]&\text{da $\bar V$ abgeschlossen ist,}\\
     &\cong& \bar\imath_*\mathbb D\underline{\bar V}[\op{dim}V]&\text{wegen
       $\mathbb D\bar\imath_!\cong \bar\imath_*\mathbb D$,}\\
     &\cong& \bar\imath_*(\underline{\bar V}{\Rrightarrow} u_! \underline{V})&\text{nach der Beschreibung von $\omega_{{\bar V}}$,}\\
     &\cong& \bar\imath_* u_! \underline{V}&\text{weil $\underline{\bar V}$ das Einsobjekt ist,}\\
     &\cong& i_! \underline{V}& \text{da $i=\bar\imath u$ und $\bar\imath_*=\bar\imath_!$.}\end{array}\qedhere$$
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Die dualisierende Garbe ist selten starr}] 
  Sei $X$ die Realisierung eines endlichen Simplizialkomplexes
  und $\omega_X$ die dualisierende Garbe mit Koeffizienten in einem
  noetherschen Kring endlicher homologischer Dimension.
  Offensichtlich $\mathbb D \underline{X}\cong \omega_X$ und Bidualit"at
  impliziert damit
  $\mathbb D\omega_X\cong\underline{X}$. W"are $\omega_X$ starr, so m"uste
  es einen Isomorphismus
  $$(\omega_X{\Rrightarrow}\omega_X)\sira \omega_X^\vee \otimes\omega_X$$
  geben. Das ist jedoch bereits f"ur das Geradensegment $X=[0,1]$ unm"oglich,
  es sei denn der Koeffizientenring ist der Nullring, 
  denn die linke Seite ist die Tensoreinheit und die rechte Seite eine
  Ausdehnung durch Null eines Komplexes auf dem offenen Segment $(0,1)$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition} Seien $\mathcal K$ ein endlicher Simplizialkomplex
  und $Y\pdef |\mathcal K|$ seine geometrische Realisierung  
  und $S$ ein 
  lesb-Raum, der eine  "Uberdeckung durch
  offene basazyklische Teilmengen besitzt, und $k$ ein noetherscher Kring endlicher homologischer
  Dimension. So ist f"ur jeden simplizial konstruierbaren Komplex
  $\mathcal G\in \op{Der}_{\op{sk}}^{\op{b}}(\op{Ab}_{/Y})$ und die
  Projektion $f:S\times Y\ra Y$ der in
  \ref{fter} konstruierte Morphismus ein Isomorphismus\label{TeRuF}  
  $$f^!\underline{Y}\otimes f^*\mathcal G\sira f^! \mathcal G$$
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
  Das gelingt auch f"ur einen
  offenlokal basbagazyklischen lesb-Raum $S$ einen beliebigen noetherschen
  Kring $k$ 
  und beliebiges $Y$ und $\mathcal G$, vergleiche \ref{??}.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
  Es reicht, das f"ur die Garben $\mathcal G=\bar\imath_*\underline{\bar V}$
  zu zeigen f"ur
  $\bar\imath:\bar V \hra Y$ die Einbettung eines vollen Simplex. Diese Einbettung
  ist abgeschlossen, wir haben also $\bar\imath_*=\bar\imath_!$. Nun betrachten wir das
  kartesische Diagramm
   \begin{displaymath}
\xymatrix{
S\times \bar V \ar[r]^{\op{id}\times \bar\imath}\ar[d]^g & S\times Y \ar[d]^f\\
\bar V \ar[r]^{\bar\imath} &  Y 
}
   \end{displaymath}
   Wir erhalten Isomorphismen
  $$\begin{array}[b]{llll}
     f^!\bar\imath_*\underline{\bar V}&\sira &(\op{id}\times \bar\imath)_*g^!\underline{\bar V}&\text{mit Basiswechsel,}\\
     &\sira& (\op{id}\times \bar\imath)_*g^!c^*\underline{\op{pt}}&\text{f"ur $c:\bar V\ra {\op{pt}}$,}\\
  &\sira&  (\op{id}\times \bar\imath)_*\op{pr}_S^*\omega_S   &\text{wegen
       $c$ garbengut und \ref{rzT},}\\
     &\sira&  (\op{id}\times \bar\imath)_*(\omega_S \boxtimes \underline{\bar V})  &\text{per definitionem,}\\
     &\sira&  \omega_S \boxtimes \bar\imath_*\underline{\bar V}  &\text{wegen \eref{VexP}{TSF} und $\bar\imath_*=\bar\imath_!$.}
   \end{array}$$
 Andererseits erhalten wir  Isomorphismen
  $$\begin{array}[b]{llll}
   f^*\bar\imath_*\underline{\bar V}&\sira &(\op{id}\times \bar\imath)_*g^*\underline{\bar V}&\text{mit Basiswechsel wegen $\bar V\As Y$,}\\
   &\sira& (\op{id}\times \bar\imath)_*(\underline{S}\boxtimes\underline{\bar V})
   &\text{per definitionem}\\
   &\sira& \underline{S}\boxtimes \bar\imath_*\underline{\bar V}
   &\text{wegen \eref{VexP}{TSF} und $\bar\imath_*=\bar\imath_!$.}\end{array}$$
 Schlie"slich erhalten wir Isomorphismen
 $$\begin{array}[b]{llll}
   f^!\underline{Y}&\sira &f^!b^*\underline{\op{pt}}&\text{f"ur $b:Y\ra{\op{pt}}$,}\\
   &\sira &\op{pr}_S^*\omega_S&\text{wegen $b$ garbengut und \ref{rzT},}\\
   &\sira &\omega_S\boxtimes \underline{Y}&\text{per definitionem.}
 \end{array}$$
 Nach unseren Erkenntnissen \eref{faiBP}{TSF} "uber das Tensorieren von
 Boxprodukten erhalten wir daraus unmittelbar einen
 Isomorphismus
$$f^!\underline{Y}\otimes  f^*\bar\imath_*\underline{\bar V}\sira f^!\bar\imath_*\underline{\bar V}
$$
 Wir wollen aber nicht irgendeinen Isomorphismus,
 sondern wir wollen zeigen, da"s der Morphismus aus \eref{fter}{TSF}
 ein Isomorphismus ist. Ich zweifle nicht daran, da"s man zeigen kann,
 da"s der hier konstruierte Isomorphismus mit dem Morphismus aus \eref{fter}{TSF}
 "ubereinstimmt, aber das ist vermutlich nicht ganz leicht auszuschreiben und
 ich will es einem Studenten "uberlassen. Stattdessen gebe ich ein anderes Argument. Sicher besitzt $Y$ eine "Uberdeckung durch basazyklische offene Teilmengen
 $U\co Y$. Bezeichne $j:U\hra Y$ die Einbettung. Es reicht zu zeigen, da"s
 der Morphismus aus \eref{fter}{TSF} f"ur diese Isomorphismen 
$$(\op{id}\times j)^*(f^!\underline{Y}\otimes  f^*\bar\imath_*\underline{\bar V})\sira (\op{id}\times j)^*f^!\bar\imath_*\underline{\bar V}
 $$
 induziert. Das k"onnen wir umschreiben mit
 $g\pdef (\op{id}\times j)\circ f:S\times U\ra S$ und m"ussen zeigen,
 da"s der Morphismus aus \eref{fter}{TSF} f"ur derartige $g$ ein Isomorphismus
 $$g^!\underline{Y}\otimes  g^*\bar\imath_*\underline{\bar V}\ra g^!\bar\imath_*\underline{\bar V}
 $$
 ist. Nach unseren Vor"uberlegungen kommen aber auch hier beide
 Seiten schreiend her von $Y$. Es reicht deshalb nach \ref{kshe}
 zu zeigen, da"s
 unser Morphismus einen Isomorphismus $$g_!(g^!\underline{Y}\otimes  g^*\bar\imath_*\underline{\bar V})\sira g_!g^!\bar\imath_*\underline{\bar V}
 $$
 induziert. Wir wissen aber aus der Konstruktion in \eref{fter}{TSF},
 da"s er einen Isomorphismus liefert, wenn wir die Koeinheit der
 Adjunktion  $g_!g^!\bar\imath_*\underline{\bar V}\ra \bar\imath_*\underline{\bar V}$
 nachschalten, und da diese  Koeinheit der
 Adjunktion nach Annahme auch ein Isomorphismus ist, folgt die Behauptung. 
\end{proof}

\begin{Satz}[\textbf{Dualisierende Garbe eines Produkts}]
  Sind $X,Y$ topologische Realisierungen  endlicher Simplizialkomplexe
  und arbeiten wir mit Koeffizienten in einem noetherschen Kring $k$
  endlicher homologischer Dimension, so ist der in \eref{SruB}{TSF}
  konstruierte Morphismus ein Isomorphismus\label{dGpN} 
   $$ \omega_X \boxtimes \omega_Y\sira
   \omega_{X\times Y}$$
\end{Satz}
\begin{proof} 
Seien $a:X\ra \op{pt}$ und $b:Y\ra\op{pt}$ die konstanten Abbildungen.
Wir erhalten Isomorphismen
$$\begin{array}{llll}
  \op{pr}_X^*\omega_X&\sira &\op{pr}_X^*a^!\underline{\op{pt}}&\text{per definitionem,}\\
  &\sira &\op{pr}_Y^!b^*\underline{\op{pt}}&\text{nach \ref{rzT} wegen $b$ garbengut,}\\
 &\sira &\op{pr}_Y^!\underline{Y}&\text{per definitionem.}
\end{array}$$
Wir erhalten weiter Isomorphismen
$$\begin{array}{llll}
  \omega_{X\times Y}&\sira &\op{pr}_Y^!\omega_Y&\text{mit einer Identifikation,}
  \\
  &\sira &\op{pr}_Y^!\underline{Y}\otimes \op{pr}_Y^*\omega_Y&\text{wegen \ref{TeRuF} und $\omega_Y$ simplizial konstruierbar,}\\
  &\sira &\op{pr}_X^*\omega_X\otimes \op{pr}_Y^*\omega_Y&\text{nach dem Anfang des Beweises,}\\
 &\sira &\omega_X \boxtimes \omega_Y&\text{per definitionem.}
\end{array}$$
Da"s diese Komposition in der Tat mit dem durch \eref{SruB}{TSF} gegebenen
Morphismus "ubereinstimmt, soll mir einmal ein Student ausschreiben. 
\end{proof}

\begin{Proposition}[\textbf{Internes Hom und externes Produkt}]
  Gegeben endliche Simplizialkomplexe $\mathcal K, \mathcal L$
  mit geometrischen Realisierungen $X\pdef|\mathcal K|, Y\pdef |\mathcal L|$
  und ein noetherscher Kring $k$ endlicher homologischer Dimension
  und simplizial konstruierbare Komplexe
  $\mathcal F_1,\mathcal F_2\in \op{Der}_{\op{sk}}^{\op{b}}(\op{Ab}_{/X})$ sowie  
  $\mathcal G_1,\mathcal G_2\in \op{Der}_{\op{sk}}^{\op{b}}(\op{Ab}_{/Y})$ ist der
  Morphismus aus \eref{fuiIHo2}{TSF} ein Isomorphismus\label{iHeP} 
   $$(\mathcal F_1{\Rrightarrow}\mathcal F_2)\boxtimes
  (\mathcal G_1{\Rrightarrow}\mathcal G_2)\sira 
  (\mathcal F_1\boxtimes \mathcal G_1){\Rrightarrow}
  (\mathcal F_2\boxtimes \mathcal G_2)$$
\end{Proposition}

\begin{proof}
  Gegeben ein Simplex $s$ von $\mathcal K$ betrachten wir seine
  geometrische Realisierung $|s|\As X$ und darin das Komplement der echten
  Untersimplizes $V\pdef |s|^\circ \co |s|$ und die Einbettung $i:V\hra X$
  und verwenden die abk"urzenden Notationen
  $$s_*\pdef i_*\underline V\quad\text{und}\quad s_!\pdef i_!\underline V$$ f"ur die jeweiligen
  Vorsch"ube der konstanten Garben. 
  Wir wissen bereits aus dem Beweis der Bidualit"at \ref{Bidu},
  da"s sowohl die $s_!$ als auch die $s_*$ f"ur $s\in\mathcal K$ 
  das Verdiersystem $\op{Der}_{\op{sk}}^{\op{b}}(\op{Ab}_{/X})\subset
  \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ erzeugen.
  Es reicht also aus zu zeigen, da"s unsere Morphismen
  f"ur beliebige $s,t\in \mathcal K$ und $q,p\in \mathcal L$  
  zu Isomorphismen
   $$(s_!{\Rrightarrow}t_*)\boxtimes
 (p_!{\Rrightarrow}q_*) \sira 
  (s_!\boxtimes p_!){\Rrightarrow}
  (s_*\boxtimes  p_*)$$ 
  spezialisieren. F"ur $s\neq t$ oder $p\neq q$ zeigt die Adjunktionsformel
  f"ur internes Hom \eref{ngtR}{TSF} und
  leerer Basiswechsel \eref{VlB}{TSF}, da"s beide Seiten verschwinden.
  Es gilt  also nur noch, den Fall $s=t$ und $p=q$ zu behandeln.
  In diesem Fall k"onnen wir die linke Seite mit denselben Argumenten
  zu $s_*\boxtimes p_*$ umformen.  Auf der
  rechten Seite liefert das Vertauschen
  \eref{VexP}{TSF} von Boxprodukt und Schreivorschub einen Isomorphismus
  $s_!\boxtimes p_!\sira (i\times j)_!\underline{V{\times} W}$ mit $i,V$ wie
  oben und $j,W$ analog f"ur den Simplex $p$. Andererseits finden wir
  mit denselben Notationen wie beim Beweis des Dualit"atssatzes 
  $$\begin{array}{llll}
    s_*\boxtimes p_*&\cong&i_* \underline{ V}\boxtimes j_* \underline{ W}&\text{per definitionem,}\\
    &\cong& \bar\imath_* \underline{\bar V}\boxtimes \bar\jmath_* \underline{\bar W}&\text{wegen $\bar\imath_* \underline{\bar V}\cong i_*\underline{ V}$ und
      $\bar\jmath_* \underline{\bar W}\cong j_*\underline{ W}$,}\\
     &\cong& (\bar\imath\times\bar\jmath)_* \underline{\bar V\times \bar W}&\text{wegen $\bar\imath,\bar\jmath_*$ abgeschlossen und \eref{VexP}{TSF},}\\
     &\cong& (i\times j)_* \underline{ V\times  W}&\text{analog zu $\bar\imath_* \underline{\bar V}\cong i_*\underline{ V}$.}\\
  \end{array}$$
  So k"onnen wir die rechte Seite umformen zu
  $(i\times j)_!\underline{V{\times} W}{\Rrightarrow} (i\times j)_* \underline{ V{\times } W}$ und sehen mit relativer Verdierdualit"at, da"s sie auch isomorph
  ist zu $s_*\boxtimes p_*$. Damit reicht es zu zeigen, da"s unser
  Homomorphismus oben unter Restriktion auf $V\times W$ einen Isomorphismus
  induziert, und das ist leicht zu sehen. 
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Boxprodukt und Verdierdualit"at}]
  Gegeben lesb-R"aume $X,Y$ und ein Kring $k$ 
  und  Garbenkomplexe $\mathcal F,\mathcal G$
  erhalten wir Morphismen
  $$\begin{array}{llll}
    \mathbb D \mathcal F\boxtimes \mathbb D \mathcal G&\sira & ( \mathcal F{\Rrightarrow}\omega_X)\boxtimes( \mathcal G{\Rrightarrow}\omega_Y)&\text{per definitionem,}\\&\ra & ( \mathcal F\boxtimes \mathcal G){\Rrightarrow}(\omega_X\boxtimes\omega_Y)&\text{nach \eref{fuiIHo2}{TSF},}\\&\ra & ( \mathcal F\boxtimes \mathcal G){\Rrightarrow}(\omega_{X\times Y})&\text{mit $\omega_X\boxtimes \omega_Y\ra \omega_{X\times Y}$ aus \eref{SruB}{TSF},}\\&\sira & \mathbb D( \mathcal F\boxtimes \mathcal G)&\text{per definitionem.}\\
  \end{array}$$
     Gegeben endliche Simplizialkomplexe $\mathcal K, \mathcal L$
  mit geometrischen Realisierungen $X\pdef|\mathcal K|, Y\pdef |\mathcal L|$
  und ein noetherscher Kring $k$ endlicher homologischer Dimension
  und simplizial konstruierbare Komplexe
  $\mathcal F\in \op{Der}_{\op{sk}}^{\op{b}}(\op{Ab}_{/X})$ sowie  
  $\mathcal G\in \op{Der}_{\op{sk}}^{\op{b}}(\op{Ab}_{/Y})$ ist dieser
  Morphismus
  ein Isomorphismus
 $$\mathbb D \mathcal F\boxtimes \mathbb D \mathcal G
   \sira \mathbb D (\mathcal F\boxtimes  \mathcal G)$$ 
   In der Tat ist dann  der Morphismus aus \eref{fuiIHo2}{TSF} der Vertr"aglichkeit
   von internem Hom und Boxprodukt 
   ein Isomorphismus nach \ref{iHeP} und der in \ref{Bidu} gezeigten
   simplizialen Konstruierbarkeit der dualisierenden Garben. 
  Weiter ist der in  \eref{SruB}{TSF} konstruierte Morphismus nach \ref{dGpN}
  unter den gegebenen Voraussetzungen
  ein Isomorphismus  $\omega_X\boxtimes \omega_Y\sira \omega_{X\times Y}$. 
\end{Bemerkungl}

\nichtfinal{Ich will mich bei Fragen der Konstruierbarkeit auf
  "aquivariante Situationen mit endlich vielen Bahnen
  beschr"anken. Gegeben $G\acts X$ eine Variet"at
  mit Operation und eine dichte Bahn $U\co X$
  und darauf ein lokal konstantes System $\mathcal L$
  k"onnen wir dann die Fasern von $(U\subset X)_*\mathcal L$
  bei $p\in X$ beschr"anken, indem wir eine Triangulierung um $p$
  w"ahlen und mit simplizialer Konstruierbarkeit argumentieren.
  "Ahnlich sollte man mit anderen Konstruierbarkeitsfragen
  in diesem Kontext umgehen k"onnen.}
  


\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Ubung}
  Gegeben eine garbenazyklische Abbildung $f:X\ra Y$ induziert der
  Isomorphismus $f_*(\mathcal F{\Rrightarrow}f^*\mathcal G)\sira
  (f_*\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G)$ aus \ref{??} einen Isomorphismus
  $$ f_*(f^*\mathcal E{\Rrightarrow}f^*\mathcal G)\sira
  (\mathcal E{\Rrightarrow}\mathcal G)$$
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Gegeben eine lokal konstante abelsche Garbe $\mathcal F$
   mit endlich erzeugten Halmen auf einer Mannigfaltigkeit $X$
  ist der kanonische Morphismus ein Isomorphismus\label{BidF}
  $$\mathcal F\sira \mathbb D_X\mathbb D_X\mathcal F$$
\end{Ubung}


\subsection{Konstruierbare Garben auf komplexen Variet"aten}

\nichtfinal{UNFERTIG. Ich will mich auf "Aquivariantes konzentrieren!} 

\begin{Bemerkungl} Ich erinnere an die Kategorien der Variet"aten
und Pr"avariet"aten  "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ nach \eref{DeVah}{KAG}.
  Gegeben eine $\DC$-Pr"avariet"at $X=(X,\mathcal O)$
  erkl"aren wir in \eref{Anay}{KAG} ihre Analytifizierung
  $X^{\op{an}}=(X^{\op{an}},\mathcal O^{\op{an}})$ und zeigen, da"s
  sie genau dann Hausdorff ist, wenn $X$ eine Variet"at
  ist. Die Analytifizierung ist ein Funktor von der Kategorie der
  $\DC$-Pr"avariet"aten in die Kategorie der topologischen R"aume,
  der vertr"aglich ist mit endlichen Faserprodukten. Er macht
  abgeschlossene Einbettungen zu abgeschlossenen Einbettungen,
  offene Einbettungen zu offenen Einbettungen und eigentliche Morphismen
  zu eigentlichen Abbildungen,
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine  $\DC$-Variet"at $X$ und ein noetherscher
  Kring $k$ nennen wir eine Garbe von $k$-Moduln auf $X^{\op{an}}$
  {\bf algebraisch konstruierbar},\index{konstruierbar!algebraisch} wenn
  $X$ eine endliche Filtrierung durch abgeschlossene Untervariet"aten
  besitzt derart, da"s unsere Garbe jeweils lokal konstant ist mit endlich
  erzeugten Fasern 
  auf dem Komplement einer Untervariet"at unserer Filtrierung in der
  n"achsten. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Operationen f"ur konstruierbare Garben}]
  Sei $k$ ein noetherscher Kring endlicher homologischer
  Dimension.
  \begin{enumerate}
  \item Gegeben eine  $\DC$-Variet"at $X$
  bilden die $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/(X^{\op{an}},k)})$
  mit algebraisch konstruierbaren Homologiegarben,
  von denen dazu fast alle verschwinden,  
  eine volle
  triangulierte Unterkategorie $$\op{Der}_{\op{ak}}(X;k)\subset \op{Der}(\op{Ab}_{/(X^{\op{an}},k)})$$
  der \emph{\bf algebraisch konstruierbaren Komplexe};
  \item 
  Die Unterkategorie $\op{Der}_{\op{ak}}(X;k)$ der algebraisch konstruierbaren Komplexe ist  stabil  unter $\otimes$ und
  ${\Rrightarrow}$ und enth"alt die konstante Garbe $\underline{X}$;
\item Jeder Morphismus $f:X\ra Y$ von
  separierten $\DC$-Variet"aten liefert eine lesb-Abbildung
  $X^{\op{an}}\ra Y^{\op{an}}$ und die Funktoren $f_*, f_!, f^*, f^!$ 
  machen konstruierbare Garbenkomplexe zu konstruierbaren Garbenkomplexen.
  Insbesondere ist auch die dualisierende Garbe einer  Variet"at
  konstruierbar und das Verdierduale eines konstruierbaren Komplexes ist konstruierbar;
\item
  F"ur jeden algebraisch konstruierbaren Garbenkomplex $\mathcal F$ ist der
  Auswertungsmorphismus in sein Verdierbiduales ein Isomorphismus
  $\mathcal F\sira \mathbb D\mathbb D \mathcal F$;
\item
  Gegeben zwei  Variet"aten $X_1, X_2$ und darauf
  algebraisch konstruierbare Komplexe
  $\mathcal F_1, \mathcal F_2$ ist auch  $\mathcal F_1\boxtimes \mathcal F_2$
  konstruierbar;
\item
  Alle sechs Funktoren vertauschen in dieser Situation mit dem Boxprodukt.
  Seien genauer $f_1:X_1\ra Y_1$ und  $f_2:X_2\ra Y_2$ Morphismen von
  Variet"aten. So erhalten wir f"ur konstruierbare Komplexe
  Isomorphismen wie folgt: 
  %$$\begin{array}{llll}
   % f_{1!}\mathcal F_1$$
    
  \end{enumerate}
\end{Satz}



%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXTSS"
%%% End: