\section{Allgemeine Bilinearformen} \subsection{Fundamentalmatrix} \begin{Definition}\label{BIFO} Gegeben ein K"orper $K$ und ein $K$-Vektorraum $V$ erinnern wir daran, da"s wir in \ref{GEV} bilineare Abbildungen $b : V \times V \rightarrow K$ in den Grundk"orper auch {\bf Bilinearformen auf $V$}\index{Bilinearformen} genannt hatten. Die Menge aller Bilinearformen auf einem $K$-Vektorraum $V$ notieren wir\index{Bil@$\op{Bil}$ Bilinearformen} \begin{equation*} \op{Bil}_K (V) = \op{Bil}(V) \end{equation*} Sie bilden einen Untervektorraum im Vektorraum $\op{Ens} (V\times V, K)$ aller Abbildungen von $V \times V$ nach $K$. In der alternativen in \eref{bili}{LA1} eingef"uhrten Notation h"atten wir $\op{Bil}_K (V) =\op{Hom}^{(2)}(V\times V,K)$. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Fundamentalmatrix einer Bilinearform auf $K^n$}] Gegeben ein K"or\-per $K$ und eine nat"urliche Zahl $n \in \DN$ erhalten wir eine Bijektion $$ \begin{array}{cccc} {\op{F}}:&\op{Bil} (K^n) & \overset{\sim}{\rightarrow} & \op{Mat}(n ;K)\\ &b & \mapsto & [b] \end{array} $$ dadurch, da"s wir jeder Bilinearform $b$ ihre \emph{\bf Fundamentalmatrix} ${\op{F}}(b)\pdef [b]$\index{Fundamentalmatrix}\index{F@${\op{F}}(b)$ Fundamentalmatrix}\linebreak zuordnen, deren Eintr"age die Werte unserer Bilinearform auf Paaren von Vektoren der Standardbasis sind, in Formeln $[b]_{ij} \pdef b ({\op{e}}_i, {\op{e}}_j)$. Die Umkehrabbildung ist $F \mapsto b_F$ mit $b_F (v,w) = v^\ttop F w$. \end{Satz} \begin{proof} Die erste Aussage folgt unmittelbar aus "Ubung \eref{bilB}{LA1}, nach der eine bilineare Abbildung festgelegt und festlegbar ist durch ihre Werte auf Paaren von Basisvektoren. Um unsere Beschreibung der Umkehrabbildung zu pr"ufen, reicht es aus, f"ur jede Matrix $F$ die Identit"at $[b_F] = F$ alias $b_F ({\op{e}}_i, {\op{e}}_j) = F_{ij} \; \forall i,j$ zu zeigen. Das hinwiederum folgt unmittelbar aus $b_F ({\op{e}}_i, {\op{e}}_j) = F_{ij}= {\op{e}}^\ttop _i F {\op{e}}_j$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Fundamentalmatrix einer Bilinearform im Abstrakten}] Gegeben ein endlichdimensionaler Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $K$ erhalten wir f"ur jede angeordnete Basis $\mathcal A = (v_1, \ldots, v_n)$ von $V$ eine Bijektion\label{FBVa} $$ \begin{array}{cccc} {\op{F}}_{\mathcal A}:&\op{Bil} (V) &\overset{\sim}{\rightarrow} & \op{Mat}(n;K)\\ &b & \mapsto & [b]=[b]_{\mathcal A,\mathcal A} \end{array} $$ dadurch, da"s wir jeder Bilinearform $b$ ihre \emph{\bf Fundamentalmatrix}\index{Fundamentalmatrix} $\op{F}_{\mathcal A} (b)\pdef [b]$ \linebreak bez"uglich unserer Basis $\mathcal A$ zuordnen vermittels der Vorschrift $[b]_{ij} = b (v_i, v_j)$. \end{Satz} \begin{proof} Das folgt wieder unmittelbar aus der Erkenntnis \eref{bilB}{LA1}, da"s eine bilineare Abbildung festgelegt und festlegbar ist durch ihre Werte auf Paaren von Basisvektoren. \end{proof} %\begin{Bemerkungl} %Die Umkehrabbildung kann in diesem Fall %beschrieben werden durch die Abbildungsvorschrift %$F \mapsto b_F$ mit %\begin{equation*} %b_F (v,w) = {}_{\mathcal A} [v]^\ttop \circ F\circ {}_{\mathcal A}[w] %\end{equation*} %\end{Bemerkungl} %\begin{proof} %Die erste Aussage folgt wieder unmittelbar aus der Erkenntnis %\eref{bilB}{LA1}, %da"s eine bilineare Abbildung festgelegt und festlegbar ist durch ihre %Werte auf Paaren von Basisvektoren. %F"ur die zweite Aussage zeigen wir nun zur Abwechslung einmal $b_{{\op{F}}(b)} =b %$ alias $b_{{\op{F}}(b)} (v,w) = b (v,w)$ f"ur alle $v,w$. %Dazu m"ussen wir ja nur zeigen $b_{{\op{F}} (b)} (v_i,v_j) %= b(v_i,v_j)$ f"ur alle $i,j$ alias %\begin{equation*} %{}_{\mathcal A} [v_i]^\ttop\circ {\op{F}}_{\mathcal A} (b)\circ {}_{\mathcal A} [v_j] = ({\op{F}}_{\mathcal A} %(b))_{ij} %\end{equation*} %Das ist jedoch klar wegen ${}_{\mathcal A} [v_i] = {\op{e}}_i$. %\end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationsfragen}] Die Notation $[b]_{\mathcal A,\mathcal A}$ f"ur die darstellende Matrix hat den Vorteil, da"s sie sich als Spezialisierung eines noch allgemeineren Falls verstehen l"a"st. Wir k"onnen etwa f"ur Vektorr"aume $U,V$ mit angeordneten Basen $\mathcal A=(u_1,\ldots,u_n)$ und $ \mathcal B=(v_1,\ldots,v_m)$ eine bilineare Abbildung $b:U\times V\ra K$ beschreiben durch eine $(n\times m)$-Matrix $[b]=[b]_{\mathcal A,\mathcal B}$ mit Eintr"agen $[b]_{ij}=b(u_i,v_j)$. Ist noch allgemeiner $b:U\times V\ra W$ eine bilineare Abbildung in einen weiteren Vektorraum und sind $\mathcal A,\mathcal B,\mathcal C$ Basen unserer R"aume, so erhalten wir eine Abbildung $${}_{\mathcal C}[b]_{\mathcal A,\mathcal B}=[b]:\mathcal A\times \mathcal B\times \mathcal C\ra K$$ durch die Vorschrift, da"s $[b](u_i,v_j,w_k)$ der Koeffizient von $w_k$ bei einer Darstellung des Vektors $b(u_i,v_j)\in W$ in der Basis $\mathcal C=\{w_1,\ldots,w_l\}$ von $W$ sein m"oge. Da sich solch ein \glqq Zahlenw"urfel\grqq\ alias \glqq r"aumliche Matrix\grqq\ eh schlecht hinschreiben l"a"st, hilft die Wahl einer Anordnung der Basen auch nicht mehr weiter und ich bin zu einer Darstellung "ubergegangen, die die Wahl derartiger Anordnungen nicht ben"otigt. Unsere urspr"ungliche Fundamentalmatrix wird in dieser Notation der Spezialfall $$[b]_{\mathcal A,\mathcal A}={_{\mathcal S(1)}[b]_{\mathcal A,\mathcal A}}$$ f"ur $\mathcal S(1)$ die Standardbasis von $K$. Wie es noch allgemeiner geht, besprechen wir in \ref{MuMatt}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wenn man viel zu rechnen hat, mag es praktisch sein, Matrizen von Bilinearformen als $[b]_{ij}$ zu indizieren und Matrizen von linearen Abbildungen zur Unterscheidung anders als zuvor ${^k}[f]_{j}$ und Skalare systematisch von rechts an Vektoren zu schreiben, also $f(\vec{v}_j)=\sum_k\vec{w}_k\;\!{^k}[f]_{j}$ f"ur $f:V\ra W$ und entsprechende Basen sowie $b(\vec{v}_i,\vec{v}_j)=[b]_{ij}$ und f"ur allgemeinere bilineare Abbildungen $b:U\times V\ra W$ entsprechend $$b(\vec{u}_i,\vec{v}_j)=\sum_k \vec{w}_k \;\!{^k}[b]_{ij}$$ F"ur eine lineare Abbildung $f:W\ra X$ erg"abe sich dann etwa die angenehm "ubersichtliche Formel $^l[f\circ b]_{ij}=\sum _k {^l[f]_k} {^k[b]_{ij}}$. Die Darstellung eines Vektors $v\in V$ w"are $v=\sum \vec v_j\;\!{^j[v]}$ und die lineare Abbildung $b(\,,v)$ mit $u\mapsto b(u,v)$ h"atte die Matrix $^k[b(\,,v)]_i=\sum_j{^k[b]_{ij}}{^j[v]}$. Die Darstellung einer Linearform $\lambda:U\ra K$ schlie"slich w"are der Zeilenvektor mit Eintr"agen $[\lambda]_i=\lambda(\vec u_i)$ und das Auswerten auf $u=\sum \vec{u}_j \;\!{^j}[u]$ w"are $\lambda(u)=\sum [\lambda]_i\;\!{^i[u]}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Fundamentalmatrizen symmetrischer Bilinearformen}] Eine Bilinearform ist symmetrisch genau dann, wenn ihre Fundamentalmatrix bez"uglich einer gegebenen Basis symmetrisch ist. Ist also in Formeln $V$ ein $K$-Vektorraum und $\mathcal B$ eine angeordnete Basis von $V$ und $b : V\times V\rightarrow K$ eine Bilinearform, so gilt \begin{equation*} b \text{ symmetrisch} \;\;\;\Leftrightarrow\;\;\; {\op{F}}_{\mathcal B} (b) \text{ symmetrisch } \end{equation*} In der Tat, ist $(v_1, \ldots , v_n)$ unsere angeordnete Basis, so gilt f"ur symmetrisches $b$ ja $b (v_i,v_j) = b(v_j, v_i)$ und damit die Identit"at $F_{ij} = F_{ji}$ f"ur die Eintr"age $F_{ij} = b (v_i, v_j)$ der Fundamentalmatrix $F = {\op{F}}_{\mathcal B} (b)$. Bezeichnet ganz allgemein $\tau:V\times V\sira V\times V$ das Vertauschen $\tau:(v,w)\mapsto (w,v)$, so haben wir f"ur jede Bilinearform $b$ offensichtlich die Identit"at ${\op{F}}_{\mathcal B} (b\circ \tau)={\op{F}}_{\mathcal B} (b)^\ttop$. Ist also die Fundamentalmatrix symmetrisch, in Formeln ${\op{F}}_{\mathcal B} (b)^\ttop={\op{F}}_{\mathcal B} (b)$, so folgt mit \ref{FBVa} sofort $b\circ \tau= b$ alias $b$ symmetrisch. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Fundamentalmatrizen alternierender Bilinearformen}] Eine Bilinearform ist alternierend genau dann, wenn ihre Fundamentalmatrix bez"uglich einer gegebenen Basis antisymmetrisch ist und auf der Diagonale verschwindet. Wir nennen derartige quadratische Matrizen auch {\bf alternierend}.\index{alternierend!Matrix}\label{altMa} \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Fundamentalmatrix und Basiswechsel}] Gegeben ein K"orper $K$ und ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum $V$ mit zwei angeordneten Basen $\mathcal A, \mathcal B$ gilt zwischen den\label{FuB} Fundamentalmatrizen einer Bilinearform $b\in\op{Bil}(V)$ in Bezug auf unsere beiden Basen die Beziehung \begin{equation*} {}_{\mathcal A}[\op{id}]_{\mathcal B}^\ttop \circ {\op{F}}_{\mathcal A} (b)\circ {}_{\mathcal A}[\op{id}]_{\mathcal B} = {\op{F}}_{\mathcal B} (b) \end{equation*} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Man berechnet also in Worten gesagt die Fundamentalmatrix einer Bilinearform bez"uglich einer Basis aus ihrer Fundamentalmatrix bez"uglich einer anderen Basis, indem man von rechts die Basiswechselmatrix dranmultipliziert und von links ihre Transponierte. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Gegeben $v,w \in V$ gilt \begin{eqnarray*} b(v,w) &=&{}_{\mathcal B}[v]^\ttop \circ {\op{F}}_{\mathcal B} (b)\circ {}_{\mathcal B}[w]\\[3mm] b(v,w) &=& {}_{\mathcal A}[v]^\ttop \circ {\op{F}}_{\mathcal A} (b) \circ {}_{\mathcal A}[w]\\[2mm] &=&\left({}_{\mathcal A} [\op{id}]_{\mathcal B} \circ {}_{\mathcal B}[v] \right)^\ttop \circ {\op{F}}_{\mathcal A} (b)\circ {}_{\mathcal A}[\op{id}]_{\mathcal B} \circ {}_{\mathcal B} [w]\\[2mm] &=&{}_{\mathcal B}[v]^\ttop \circ {}_{\mathcal A}[\op{id}]_{\mathcal B}^\ttop \circ {\op{F}}_{\mathcal A} (b) \circ {}_{\mathcal A}[\op{id}]_{\mathcal B} \circ {}_{\mathcal B}[w] % &=&{}_{\mathcal B}[v]^\ttop \circ \left({}_{\mathcal A}[\op{id}]_{\mathcal B}^\ttop % \circ {\op{F}}_{\mathcal A} (b) \circ {}_{\mathcal A}[\op{id}]_{\mathcal B}\right) \circ % {}_{\mathcal B}[w] \end{eqnarray*} Gilt f"ur Matrizen $F, G\in \op{Mat}(n\times m;K)$ jedoch $v^\ttop F w =v^\ttop G w$ f"ur alle Spaltenvektoren $v\in K^n$, $w\in K^m$, so folgt durch Einsetzen der Vektoren der Standardbasis $F=G$. Damit liefern unsere Gleichungen die gew"unschte Identit"at ${}_{\mathcal A}[\op{id}]_{\mathcal B}^\ttop \circ {\op{F}}_{\mathcal A} (b)\circ {}_{\mathcal A}[\op{id}]_{\mathcal B} = {\op{F}}_{\mathcal B} (b)$. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Seien $K$ ein K"orper oder allgemeiner ein Kring und $r\geq 0$ eine nat"urliche Zahl und $M_1,\ldots, M_r,N$ Mengen. Wir setzen\label{MuMatt} $$\op{Mat}_K(M_1\curlyvee\ldots\curlyvee M_r,N)\pdef \left\{ \begin{array}{c}\text{Abbildungen}\\ T: M_1\times\ldots\times M_r\times N\ra K\\ \text{derart, da"s es f"ur beliebige }m_1,\ldots, m_r\\ \text{h"ochstens endlich viele $n$ gibt mit}\\ \text{mit }T(m_1,\ldots,m_r,n)\neq 0 \end{array} \right\} $$ und nennen derartige Abbildungen {\bf Multimatrizen}.\index{Multimatrix} Gegeben $K$-Vektor\-r"aume $V_1$, \dots, $V_r$, $W$ mit Basen $\mathcal A_1,\ldots,\mathcal A_r,\mathcal B$ erhalten wir dann eine Bijektion $$\op{Hom}_K(V_1\curlyvee\ldots\curlyvee V_r,W)\sira \op{Mat}_K(\mathcal A_1\curlyvee\ldots\curlyvee \mathcal A_r,\mathcal B)$$ durch die Vorschrift $f\mapsto [f]$ mit der Multimatrix $[f]={_\mathcal B}[f]_{\mathcal A_1,\ldots, \mathcal A_r}$ gegeben durch $$f(v_1,v_2,\ldots,v_r)=\sum_{w\in \mathcal B}[f](v_1,v_2,\ldots,v_r,w)\;w$$ f"ur beliebige Tupel $(v_1,v_2,\ldots,v_r)\in \mathcal A_1\times\ldots\times \mathcal A_r$ von Basisvektoren. All unsere bisherigen Matrixbildungen ordnen sich dieser allgemeinen Konvention unter. In der "ublichen Weise hinschreiben lassen sich unsere Multimatrizen aber nur in wenigen Spezialf"allen: \begin{enumerate} \item Im Fall einer linearen Abbildung zwischen endlichdimensionalen R"aumen und nach Wahl einer Anordnung auf beiden Basen, das sind dann unsere Matrizen ${_{\mathcal B}}[f]_{\mathcal A}$ linearer Abbildungen. Im Spezialfall einer Abbildung in den Grundk"orper mit seiner Standardbasis $\mathcal S(1)$ erhalten wir unsere Darstellung ${_{\mathcal S(1)}}[f]_{\mathcal A}=[f]_{\mathcal A}$ einer Linearform als Zeilenmatrix; \item Im Fall einer bilinearen Abbildung in den Grundk"orper $b:V_1\times V_2\ra K$ von endlichdimensionalen R"aumen und nach Wahl einer Anordnung auf beiden Basen, das sind dann Matrizen ${_{\mathcal S(1)}}[b]_{\mathcal A_1,\mathcal A_2}$ mit der Konvention f"ur die Zeilen und Spalten, da"s sie als $[b]_{i,j}\pdef [b](v_i,w_j,1)$ dargestellt werden sollen. Im Spezialfall $V_1=V_2=V$ und $\mathcal A_1=\mathcal A_2=\mathcal A$ erhalten wir dann unsere Fundamentalmatrix ${\op{F}}_{\mathcal A}(b)={_{\mathcal S(1)}}[b]_{\mathcal A,\mathcal A}=[b]_{\mathcal A,\mathcal A}$; \item Im Fall einer $0$-linearen Abbildung in einen endlichdimensionalen Vektorraum $V$ mit angeordneter Basis $\mathcal B$ erhalten wir unsere Darstellung ${_{\mathcal B}}[v]$ eines Vektors $v\in V$ als Spaltenmatrix. \end{enumerate} \end{Bemerkunge} \subsection{Hauptachsentransformation} \begin{Definition}\label{QuFo} Gegeben ein K"orper $K$ und ein $K$-Vektorraum $V$ versteht man unter einer {\bf homogenen quadratischen Form auf} $V$\index{quadratische Form!homogene}\index{Form!quadratische homogene} oder kurz {\bf quadratischen Form} eine Abbildung $ q : V \rightarrow K $ derart, da"s es eine Bilinearform $b$ auf $V$ gibt mit $q(v)=b(v,v)$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein K"orper $K$ hei"st eine quadratische Form auf dem $K^n$ auch eine {\bf quadratische Form "uber $K$ in $n$ Variablen}. Eine quadratische Form "uber $\DQ$ in drei Variablen w"are etwa $x^2+6xy+zx-13z^2$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Quadratische Formen und kritische Stellen}] In der Analysis, etwa in \eref{MMMV}{AN2}, k"onnen Sie lernen, wie man eine hinreichend differenzierbare Funktion $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ etwa um den Ursprung bis zu zweiter Ordnung approximieren kann durch eine polynomiale Funktion vom Totalgrad h"ochstens Zwei alias die Summe einer Konstanten mit einer Linearform und einer quadratischen Form. Ist die fragliche Linearform Null alias hat der Graph unserer Funktion am Ursprung eine horizontale Tangentialebene alias hat unsere Funktion am Ursprung eine \glqq kritische Stelle\grqq, so wird sie dort bis zur Ordnung Zwei approximiert durch die fragliche quadratische Form plus die Konstante. So f"uhrt uns das Studium von Funktionen mehrerer Ver"anderlichen in der Umgebung ihrer kritischen Stellen ganz nat"urlich auf das Studium quadratischer Formen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Quadratische Formen und symmetrische Bilinearformen}] Ist die Charakteristik des Grundk"orpers $K$ ungleich Zwei, so liefert f"ur jeden $K$-Vektor\-raum $V$ die Vorschrift \glqq werte auf zweimal demselben Vektor aus\grqq\ eine\label{QqS} Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c}\text{symmetrische Bilinearformen} \\ \text{auf dem Vektorraum $V$} \end{array}\right\} & \sira & \left\{\begin{array}{c}\text{quadratische} \\ \text{Formen auf $V$} \end{array}\right\}\\[5mm] a &\mapsto & (v\mapsto a(v,v)) \end{array}$$ In der Tat liefern dann die Bilinearform $b$ und die symmetrische Bilinearform $a$ mit $a(v,w)\pdef \big(b(v,w)+b(w,v)\big)/2$ dieselbe quadratische Form, mithin ist unsere Abbildung surjektiv. Weiter wird die symmetrische Bilinearform $a$ durch $q$ eindeutig bestimmt vermittels der Relation $2a(v,w)=q(v+w)-q(v)-q(w)$, mithin ist unsere Abbildung auch injektiv. Wir nennen "uber einem K"orper einer Charakteristik ungleich Zwei eine quadratische Form {\bf nichtausgeartet},\index{nichtausgeartet!quadratische Form} wenn die zugeh"orige symmetrische Bilinearform nichtausgeartet ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bilinearformen und lineare Abbildungen}] "Ubung \eref{BLH}{LA1} liefert uns f"ur jeden Vektorraum $V$ einen Isomorphismus\label{BilLx} $$ \begin{array}{ccc} \op{Bil} (V) &\sira& \op{Hom} (V,V^\ttop)\\ a &\mapsto &\hat a \end{array} $$ zwischen dem Raum der Bilinearformen auf $V$ und dem Raum der linearen Abbildungen von $V$ in seinen Dualraum $V^\ttop$, gegeben durch die Abbildungsvorschrift $a \mapsto \hat a$ mit $\hat a : w \mapsto a( \;,w)$ alias $(\hat a (w))(v) = a (v,w)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bilinearformen und selbstadjungierte Endomorphismen}] Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Skalarproduktraum $E$ erhalten wir eine nat"urliche Bijektion\label{yuz} $$\begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c}\text{selbstadjungierte} \\ \text{ Endomorphismen von $E$} \end{array}\right\} & \sira & \left\{\begin{array}{c}\text{symmetrische} \\ \text{ Bilinearformen auf $E$} \end{array}\right\} \\[5mm] f&\mapsto&(a: (v,w)\mapsto \langle f(v),w\rangle)\end{array}$$ Bezeichnet in der Tat $s$ unser Skalarprodukt, so ist unser $\hat s$ aus \ref{BilLx} offensichtlich eine Injektion und damit ein Isomorphismus $\hat s:E\sira E^\ttop$. Gegeben eine weitere Bilinearform $a$ k"onnen wir den Endomorphismus $f\pdef \hat s^{-1}\circ\hat a $ von $E$ bilden und erhalten so eine Bijektion $\op{Bil}(E)\sira \op{End}E$. Formal wird $f$ charakterisiert durch die Formel $\langle f(v),w\rangle=a(v,w)$ f"ur alle $w$. Insbesondere ist der Endomorphismus $f$ genau dann selbstadjungiert, wenn die Bilinearform $a$ symmetrisch ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Hauptachsentransformation abstrakt}] Gegeben eine quadratische Form $q:E\ra\DR$ auf einem endlichdimensionalen reellen Skalarproduktraum $E$ gibt es stets eine Orthonormalbasis $\vec v_1,\ldots ,\vec v_n$ von $E$ und Skalare $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{R}$ mit\label{HaTT} \begin{equation*} q(y_1\vec v_1+ \ldots + y_n\vec v_n)= \lambda_1 y^2_1 + \ldots + \lambda_n y^2_n\quad\forall y_1,\ldots,y_n\in\DR \end{equation*} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Den Spezialfall $E=\DR^n$ mit dem Standardskalarprodukt hatten wir bereits in \ref{HaTTm} diskutiert. Die von den $\vec{v}_i$ erzeugten Geraden nennen wir wieder ein System von {\bf Hauptachsen}\index{Hauptachse!von quadratischer Form!auf Skalarproduktraum} f"ur unsere\label{HaTTR} quadratische Form $q$. Beim Beweis wird sich wieder herausstellen, da"s die Multimenge der $\lambda_i$ durch unsere quadratische Form eindeutig bestimmt ist. Wir nennen sie die Multimenge der {\bf Eigenwerte}\index{Eigenwert!von quadratischer Form!auf Skalarproduktraum} unserer quadratischen Form. Weiter wird sich herausstellen, da"s die von den Hauptachsen zu einem festen Eigenwert erzeugten Teilr"aume eindeutig bestimmt sind. Wir nennen sie die {\bf Eigenr"aume}\index{Eigenraum!von quadratischer Form!auf Skalarproduktraum} unserer quadratischen Form. Sowohl die Hauptachsen als auch die Eigenwerte h"angen hierbei von dem auf dem zugrundeliegenden Vektorraum gew"ahlten Skalarprodukt ab. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Hauptachsentransformation f"ur euklidische Vektorr"aume}] Gegeben eine quadratische Form $q$ auf einem endlichdimensionalen euklidischen Vektorraum $V$ mit L"angengerade $\mathbb L$ gibt es stets eine Zerlegung in paarweise orthogonale Teilr"aume $V=V_1\oplus\ldots\oplus V_r$ und $\lambda_1,\ldots,\lambda_r\in\mathbb L^{-2}$ mit $$q(v_1+\ldots + v_r)=\lambda_1\|v_1\|^2+\ldots +\lambda_r\|v_r\|^2$$ f"ur beliebige $v_i\in V_i$. Gilt au"serdem $\lambda_1>\ldots>\lambda_r$ und $V_i\neq 0\;\forall i$, so werden die $V_i$ und die $\lambda_i$ durch unsere quadratische Form $q$ bereits eindeutig festgelegt und wir nennen wieder die $V_i$ die {\bf Eigenr"aume} und die $\lambda_i$ die {\bf Eigenwerte} unserer quadratischen Form auf unserem euklidischen Vektorraum und die Dimensionen der $V_i$ die {\bf Vielfachheiten} der jeweiligen Eigenwerte. Diese Umformulierung von \ref{HaTT} wird Ihnen leicht fallen, sobald Sie sich mit dem entsprechenden Formalismus vertraut gemacht haben. Er wird etwa in \ref{BfT} erkl"art.\label{EREW} \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Erster Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, $E$ sei der $\DR^n$ mit seinem Standardskalarprodukt. In diesem Fall hatten wir den Satz bereits als \ref{HaTTm} bewiesen. Allerdings war der dort gegebene Beweis in meinen Augen zu sehr von Koordinaten abh"angig, um transparent zu sein. Ich gebe deshalb hier noch einen zweiten Beweis, der mir nat"urlicher scheint. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] In diesem Beweis notieren wir Vektoren wieder ohne Pfeil. Nach \ref{QqS} finden wir zu unserer quadratischen Form $q$ eine symmetrische Bilinearform $a$ mit $q(v)=a(v,v)\;\forall v\in E$, und nach \ref{yuz} finden wir zu $a$ weiter einen selbstadjungierten Endomorphismus $f$ von $E$ mit $a(v,w)=\langle f(v),w\rangle\;\forall v,w\in E$. Der Spektralsatz \ref{SSM} liefert uns dann eine Orthonormalbasis $ v_1,\ldots, v_n$ von $E$ aus Eigenvektoren von $f$, so da"s also gilt $f( v_i)=\lambda_i v_i$ f"ur geeignete $\lambda_i\in\DR$. Unser Satz folgt unmittelbar. \end{proof} \subsection{Klassifikation symmetrischer Bilinearformen} \begin{Bemerkungl}\label{KlaS} Unter einer {\bf Klassifikation}\index{Klassifikation} einer gewissen Art von mathematischen Strukturen versteht man im allgemeinen die Angabe einer Liste von \glqq Standardstrukturen\grqq\ derart, da"s jede Struktur der vorgegebenen Art zu genau einer der Strukturen besagter Liste \glqq isomorph\grqq\ ist. Oft sind derartige Listen sehr schwer anzugeben, und man ist schon froh, wenn man eine Liste von \glqq Standardstrukturen\grqq\ angeben kann derart, da"s jede Struktur der vorgegebenen Art zu mindestens einer der Strukturen besagter Liste \glqq isomorph\grqq\ ist. Meist wird in der Darstellung das jeweilige Konzept von Isomorphie nicht explizit gemacht und mu"s vom Leser erraten werden. In der Sprache der Kategorientheorie \ref{Laspp} k"onnen wir das viel genauer sagen: Eine Klassifikation der Objekte einer Kategorie bedeutet die Angabe eines Repr"asentantensystems f"ur die Isomorphieklassen von Objekten unserer Kategorie. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Klassifikation endlich erzeugter Vektorr"aume}] F"ur die Struktur eines endlich erzeugten Vektorraums "uber einem vorgegebenen K"orper $K$ bilden die Vektorr"aume $K^n$ f"ur $n\in \DN$ eine solche Liste, denn jeder endlich erzeugte $K$-Vektorraum ist isomorph zu genau einem $K^n$. Man sagt deshalb auch, die endlich erzeugten Vektorr"aume seien \glqq klassifiziert durch ihre Dimension\grqq. "Ahnlich und noch einfacher werden die endlichen Mengen klassifiziert durch ihre Kardinalit"at. "Ahnlich aber schwieriger werden die endlich erzeugten reellen oder komplexen Skalarproduktr"aume klassifiziert durch ihre Dimension. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Klassifikation endlicher Gruppen}] Die Klassifikation endlicher Gruppen haben wir in \eref{TerHo}{GR} begonnen: Bis auf Isomorphie gibt es nur je eine Gruppe $G$ der Kardinalit"aten $|G|=1,2,3$. Dahingegen gibt es bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen der Kardinalit"at Vier. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Klassifikation linearer Abbildungen}] Lineare Abbildungen zwischen endlich erzeugten Vektorr"aumen werden \glqq klassifiziert durch die Dimensionen der beteiligten Vektorr"aume und den Rang der Abbildung\grqq. Nennen wir genauer lineare Abbildungen $f:V\ra W$ und $f':V'\ra W'$ \glqq isomorph\grqq, wenn es Vektorraumisomorphismen $\phi:V\sira V'$ und $\psi:W\sira W'$ gibt mit $\psi f=f'\phi$, so da"s also das Diagramm $$ \xymatrix{ V \ar[d]^-{\phi}_-\wr \ar[r]^f &W\ar[d]^-\psi_-\wr \\ V^\prime \ar[r]^{f'} & W'} $$ kommutiert, so ist jede lineare Abbildung isomorph zu genau einer linearen Abbildung $K^n\ra K^m$ mit einer Matrix in Smith-Normalform nach \eref{SNF}{LA1}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Klassifikation der symmetrischer Bilinearformen}] Im folgenden sollen grundlegende Resultate zur Klassifikation symmetrischer Bilinearformen "uber einem vorgegebenen K"orper $K$ vorgestellt werden. Klassifiziert werden sollen genauer Paare $(V,a)$ bestehend aus einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$ mit einer symmetrischen Bilinearform $a:V\times V\ra K$, wobei zwei derartige Paare $(V,a)$ und $(V',a')$ isomorph hei"sen, wenn es einen Vektorraumisomorphismus $\varphi:V\sira V'$ gibt mit $a(v,w)=a'(\varphi(v),\varphi(w))$ f"ur alle $v,w\in V$. Eine derartige Klassifikation ist eng mit der Struktur des K"orpers verkn"upft und im allgemeinen schwierig. Wir geben zumindest im Fall eines algebraisch abgeschlossenen K"orpers einer Charakteristik ungleich Zwei in \ref{KAAG} sowie im Fall $K=\DR$ in \ref{SyTr} Klassifikationen an. Die Klassifikation im Fall $K=\DQ$ ist ein interessantes Problem der Zahlentheorie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Physikalische Motivation}] In der speziellen Relativit"atstheorie\label{PhyM} modelliert man die Welt, in der wir leben, als einen vierdimensionalen reellen affinen Raum $X$ aller \glqq Raum-Zeit-Punkte\grqq\ alias \glqq Ereignisse\grqq. W"ahlen wir ein r"aumliches Koordinatensystem und einen Beginn der Zeitrechnung und eine Zeiteinheit, so k"onnen wir $X$ mit dem $\DR^4$ identifizieren und jedes Ereignis wird spezifiziert durch eine Zeitkoordinate und drei Raumkoordinaten, also durch ein Viertupel von reellen Zahlen $(t,x,y,z)$. Das Licht breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus. Genau dann wird also eine Explosion am Raumzeitpunkt $p=(t,x,y,z)$ gesehen bei $p'=(t',x',y',z')$, wenn gilt $$t'\geq t \quad\text{ und }\quad c^2(t'-t)^2-(x'-x)^2-(y'-y)^2 -(z'-z)^2=0$$ f"ur $c$ die Lichtgeschwindigkeit. Betrachten wir auf dem Raum $\DR^4$ die sogenannte \defind{Lorentzmetrik} alias die symmetrische Bilinearform $l$ mit der Fundamentalmatrix $ \op{diag} (c^2,-1,-1, -1) $, so kann die Zweite unserer Bedingungen auch umgeschrieben werden zur Bedingung $l(\vec v,\vec v)=0$ f"ur $\vec v=p'-p$. Wenn Sie bereits die Definition einer Metrik kennen, seien Sie gewarnt, da"s diese Lorentzmetrik im Sinne der in der Mathematik "ublichen Terminologie keine Metrik ist. Nun vergessen wir wieder unsere Koordinaten und modellieren die Welt, in der wir leben, als einen vierdimensionalen reellen affinen Raum $X$ mitsamt einer symmetrischen Bilinearform \begin{equation*} l : \vec{X} \times \vec X \rightarrow \mathbb R \end{equation*} auf seinem Richtungsraum. Wir fordern, da"s deren Fundamentalmatrix bez"uglich mindestens einer Basis die oben angegebene Gestalt hat und da"s sie die Ausbreitung des Lichts in der Weise beschreibt, da"s $l (\vec v, \vec v) =0$ gleichbedeutend ist dazu, da"s eine Explosion am Raumzeitpunkt $p \in X$ entweder bei $p + \vec v$ oder bei $p-\vec v$ gesehen werden kann. Manchmal nennt man die Menge $\{\vec v\mid l (\vec v, \vec v) =0\}$ auch den {\bf Lichtkegel}\index{Lichtkegel} und seine Elemente {\bf lichtartige Vektoren}.\index{lichtartige Vektoren} Wir werden sp"ater zeigen, da"s jede weitere symmetrische Bilinearform $l'$ mit der Eigenschaft $l' (\vec v, \vec v) =0\;\IFF\; l (\vec v, \vec v) =0$ bereits ein Vielfaches von $l$ sein mu"s. Die Wahl eines m"oglichen $l$ bedeutet die Wahl einer L"angeneinheit oder gleichbedeutend einer Zeiteinheit in der speziellen Relativit"atstheorie. Das ist jedoch nicht, was an dieser Stelle diskutiert werden soll. Wir stellen uns die viel einfachere Frage, ob unsere Bilinearform nicht etwa bez"uglich einer anderen Basis zum Beispiel $\op{diag} (1,1,1, -1)$ als Fundamentalmatrix haben k"onnte. Das geht nun zwar nicht, aber wir wollen eben unter anderem verstehen, warum es nicht geht, und entwickeln dazu die Anf"ange der allgemeinen Theorie der symmetrischen Bilinearformen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Klassifikation quadratischer Formen}] In Charakteristik ungleich Zwei ist nach \ref{QqS} die Klassifikation symmetrischer Bilinearformen gleichbedeutend zur Klassifikation quadratischer Formen. Genauer meinen wir hier die Klassifikation von Paaren $(V,q)$ bestehend aus einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$ mit einer quadratischen Form $q:V\ra K$, wobei zwei derartige Paare $(V,q)$ und $(V',q')$ isomorph hei"sen m"ogen, wenn es einen Vektorraumisomorphismus $\varphi:V\sira V'$ gibt mit $q(v)=q'(\varphi(v))$ f"ur alle $v\in V$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Klassifikation quadratischer Formen auf der reellen Ebene}] "Uber dem K"orper $K=\DR$ kann\label{ATSy} jede quadratische Form in zwei Variablen durch linearen Koordinatenwechsel in genau eine der folgenden f"unf Formen "uberf"uhrt werden: Den \glqq parabolischen Topf\grqq\ $x^2+y^2$, die \glqq Sattelfl"ache\grqq\ $x^2-y^2$, den \glqq umgest"ulpten parabolischen Topf\grqq\ $-x^2-y^2$, das \glqq Tal\grqq\ $x^2$, das \glqq umgest"ulpte Tal\grqq\ $-x^2$ und die \glqq Ebene\grqq\ $0$. Formal sagt uns das der Tr"agheitssatz von Sylvester \ref{SyTr}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Klassifikation quadratischer Formen auf der komplexen Ebene}] "Uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $K$ kann\label{ATSxy} jede quadratische Form in zwei Variablen durch linearen Koordinatenwechsel in genau eine der folgenden drei Formen "uberf"uhrt werden: Das Produkt linear unabh"angiger Linearformen $xy$, das Quadrat einer von Null verschiedenen Linearform $x^2$, und die Nullform $0$. In der Tat hat unsere Form Gestalt $ax^2+ bxy+cy^2 $ mit $a,b,c\in K$. Ist $a\neq 0$, so setzen wir $y=1$, faktorisieren das so entstehende Polynom in einer Variablen, und finden uns in einem der beiden ersten F"alle wieder. Ist $c\neq 0$, so machen wir es analog. Der Fall $a=c=0$ ist eh einfach. Dasselbe gilt allgemeiner mit demselben Beweis, wenn das Quadrieren eine Surjektion $K\sra K$ ist und $K$ nicht die Charakteristik Zwei hat. % Formal folgt es auch aus der Klassifikation quadratischer % Formen "uber algebraisch abgeschlossenen K"orpern einer Charakteristik % ungleich Zwei % \ref{KAAG} zusammen mit der Erkenntnis $(z+{\op{i}}w)(z-{\op{i}}w)=z^2+w^2$, % die zeigt, da"s die Summe der Quadrate zweier % verschiedener Koordinatenfunktionen auch als das Produkt % zweier verschiedener Koordinatenfunktionen % dargestellt werden kann. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Klassifikation quadratischer Formen auf Skalarproduktr"aumen}] Lassen wir nur orthogonale Koordinatenwechsel zu, so kann jede quadratische Form auf $\DR^2$ in genau eine Form der Gestalt $\lambda x^2 +\mu y^2$ "uberf"uhrt werden mit $\lambda\leq \mu$ reell: Das sagt uns der Satz "uber die Hauptachsentransformation \ref{HaTT}, der auch seinerseits ein Klassifikationsproblem l"ost: Die Klassifikation quadratischer Formen auf endlichdimensionalen reellen Skalarproduktr"aumen. Hier sind die zu klassifizierenden Strukturen Tripel $(V,s,q)$ mit $V$ einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum, $s:V\times V\ra\DR$ einem Skalarprodukt und $q:V\ra\DR$ einer quadratischen Form. Zwei derartige Tripel $(V,s,q)$ und $(V',s',q')$ hei"sen isomorph, wenn es einen Vektorraumisomorphismus $\varphi:V\sira V'$ gibt mit $s(v,w)=s'(\varphi(v),\varphi(w))$ und $q(v)=q'(\varphi(v))$ f"ur alle $v,w\in V$. Die Klassifikation derartiger Tripel leistet also wie gesagt der Satz "uber die Hauptachsentransformation \ref{HaTT}. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Existenz einer Orthogonalbasis}] Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum "uber einem K"orper $K$ mit $\op{char}K\neq 2$.\label{ExO} So gibt es f"ur jede symmetrische Bilinearform $a$ auf $V$ eine \emph{\bf Orthogonalbasis}\index{Orthogonalbasis} alias eine Basis $\mathcal B = (v_1, \ldots, v_n)$ von $V$ mit \begin{equation*} i\neq j \;\;\Rightarrow \;\;a(v_i, v_j) = 0 \end{equation*} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Wortbestandteil \glqq orthogonal\grqq\ m"oge Sie nicht dazu verleiten, sich hier f"ur $b$ ein Skalarprodukt vorzustellen. Dieser Fall wurde eh bereits durch \ref{ONBB} erledigt. Sie m"ogen stattdessen etwa an die Nullform $b=0$ denken oder an die Lorentzmetrik \ref{PhyM}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Gilt f"ur jeden Vektor $v \in V$ bereits $a(v,v) =0$, so folgt $2a (v,w) = a(v+w, v+w) - a(v,v) - a(w,w) =0$ f"ur alle $v,w$. Wegen $2\neq 0$ in $K$ folgt $a =0$ und jede Basis ist orthogonal. Sonst gibt es einen Vektor $v_1 \in V$ mit $a (v_1, v_1) \neq 0$. Dann ist $$ \begin{array}{cccc} \varphi :& V &\rightarrow &K\\ &w &\mapsto & a (v_1,w) \end{array} $$ eine lineare Abbildung mit $v_1 \not\in \op{ker} \varphi$. Aus Dimensionsgr"unden gilt sicher $Kv_1 \oplus \op{ker} \varphi =V$. Mit Induktion "uber die Dimension d"urfen wir annehmen, da"s $\op{ker} \varphi$ eine Orthogonalbasis $(v_2, \ldots, v_n)$ besitzt. Dann ist aber $(v_1, v_2, \ldots, v_n)$ eine Orthogonalbasis von $V$. \end{proof} \begin{Definition} Ist $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum und $b$ eine Bilinearform auf $V$, so erkl"aren wir den {\bf Rang}\index{Rang!einer Bilinearform} von $b$ als den Rang einer Fundamentalmatrix \begin{equation*} \op{rg}(b) = \op{rg} {\op{F}}_{\mathcal B} (b) \end{equation*} in Bezug auf eine und jede angeordnete Basis $\mathcal B$ von $V$. Nach unserer Formel \ref{FuB} f"ur die Umrechnung zwischen den Fundamentalmatrizen zu verschiedenen Basen h"angt diese Zahl in der Tat nicht von der Basis $\mathcal B$ ab. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Klassifikation komplexer quadratischer Formen}] Ist $K$ ein K"orper einer Charakteristik $\op{char} K \neq 2$ und ist das Quadrieren $x \mapsto x^2$ eine Surjektion $K \twoheadrightarrow K$ und ist $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform, so k"onnen wir die im Satz \ref{ExO} gefundene Orthogonalbasis offensichtlich sogar\label{KAAG} dahingehend ab"andern, da"s die Fundamentalmatrix die Gestalt $\op{diag} (1, \ldots, 1, 0, \ldots , 0)$ hat. Die Zahl der Einsen ist hierbei wohldefiniert als der Rang unserer Bilinearform. Insbesondere werden also komplexe quadratische Formen klassifiziert durch ihren Rang und die Dimension des zugrundeliegenden Vektorraums. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Bilinearform auf einem Vektorraum $V$ hei"st {\bf nichtausgeartet},\index{nichtausgeartet!Bilinearform} wenn\index{Bilinearform!nichtausgeartete} es f"ur jedes $v\in V\backslash 0$ ein $w\in W$ gibt mit $b(v,w)\neq 0$ und umgekehrt auch f"ur jedes $w\in W\backslash 0$ ein $v\in V$\label{NAPPc} mit $b(v,w)\neq 0$. Andernfalls hei"st unsere Bilinearform {\bf ausgeartet}.\index{ausgeartet!Bilinearform} \end{Definition} \begin{Definition} Gegeben ein K"orper $K$ und ein $K$-Vektorraum $V$ und eine Bilinearform $b: V \times V \rightarrow K$ erkl"aren wir den \defind{Ausartungsraum} alias das {\bf Radikal\index{Radikal!einer Bilinearform} von $V$} als den Untervektorraum \begin{equation*} \op{rad} b \pdef \{ v \in V \mid b (w,v) = 0 \quad \forall w \in V\} \end{equation*} Wir werden dieses Konzept im wesentlichen nur f"ur symmetrische oder alternierende Bilinearformen verwenden und verzichten deshalb darauf, unseren Ausartungsraum feiner \glqq Rechtsausartungsraum\grqq\ zu nennen und zus"atzlich noch einen \glqq Linksausartungsraum\grqq\ einzuf"uhren. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Rang und Dimension des Radikals}] Der Rang und die Dimension des Radikals einer Bilinearform $b$ auf einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$ sind verkn"upft durch die Beziehung \begin{equation*} \op{rg} (b) + \op{dim}(\op{rad} (b)) = \op{dim} V \end{equation*} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Eine Bilinearform auf einem endlichdimensionalen Vektorraum ist insbesondere genau dann nichtausgeartet, wenn sie maximalen Rang hat. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ist $\mathcal B$ eine angeordnete Basis von $V$, so k"onnen wir ${\op{F}}_{\mathcal B} (b)$ auch verstehen als die Matrix der Abbildung $ \hat b : V \rightarrow V^\ttop, $ die jedem $w \in V$ die Linearform \glqq paare mit $w$ unter $b$\grqq\ alias $(\hat b(w))(v)\pdef b(v,w)$ zuordnet. Genauer und in Formeln haben wir $$ {}_{\mathcal B^{\ttop}}[\hat b]_{\mathcal B} = {\op{F}}_{\mathcal B} (b) $$ In der Tat, setzen wir $\mathcal B=(v_1,\ldots, v_n)$ und machen den Ansatz $\hat b(v_i)=a_{1i}v_1^\ttop +\ldots +a_{ni}v_n^\ttop$, so liefert das Auswerten der Linearformen auf beiden Seiten dieser Gleichung auf dem Basisvektor $v_j$ die Identit"at $b(v_i, v_j)=(\hat b(v_j))(v_i)=a_{ij}$ und damit die Gleichheit aller Eintr"age unserer beiden Matrizen. Insbesondere gilt $\op{rg} (b) =\op{rg} (\hat{b})= \dim (\op{im} \hat{b})$. Wegen $\op{rad} (b) = \op{ker} (\hat b)$ folgt unsere Identit"at damit aus der Dimensionsformel \eref{DiFo}{LA1}, angewandt auf die lineare Abbildung $ \hat b : V \rightarrow V^\ttop $. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Die Identit"at $ {}_{\mathcal B^{\ttop}}[\hat b]_{\mathcal B} = {\op{F}}_{\mathcal B} (b) $ aus dem vorhergehenden Beweis liefert auch einen zweiten Zugang zu unserer Formel \ref{FuB} "uber das Verhalten der Fundamentalmatrix unter Basiswechsel: Wir rechnen einfach $$ {\op{F}}_{\mathcal B} (b) ={}_{\mathcal B^{\ttop}}[\hat b]_{\mathcal B} = {}_{\mathcal B^{\ttop}}[\op{id}]_{\mathcal A^{\ttop}}\circ {}_{\mathcal A^{\ttop}}[\hat b]_{\mathcal A} \circ {}_{\mathcal A}[\op{id}]_{\mathcal B} =({}_{\mathcal A}[\op{id}]_{\mathcal B})^{\ttop}\circ {\op{F}}_{\mathcal A} (b) \circ {}_{\mathcal A}[\op{id}]_{\mathcal B} $$ unter Verwendung unserer Formel \eref{MdA}{LA1} f"ur die Matrix der transponierten Abbildung. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Bilinearformen und lineare Abbildungen}] "Ubung \eref{BLH}{LA1} liefert uns wie in \ref{BilLx}\label{BilL} f"ur jeden Vektorraum $V$ einen kanonischen Isomorphismus $$ \begin{array}{ccc} \op{Bil} (V) &\overset{\sim}{\rightarrow}& \op{Hom} (V,V^\ttop)\\ b &\mapsto &\hat b \end{array} $$ zwischen dem Raum der Bilinearformen auf $V$ und dem Raum der linearen Abbildungen von $V$ in seinen Dualraum $V^\ttop$, gegeben durch die Abbildungsvorschrift $b \mapsto \hat b$ mit $\hat b : w \mapsto b( \;,w)$ alias $(\hat b (w))(v) = b (v,w)$. In \eref{syasy}{AN2} verwende ich die alternative Notation $\hat b=\op{can}_b^2$ und betrachte zus"atzlich auch noch $\op{can}_b^1:V\ra V^\ttop$ gegeben durch $v\mapsto b(v,\;)$. \end{Bemerkunge} \begin{Definition} Eine quadratische Form $q:V\ra\DR$ auf einem reellen Vektorraum $V$ hei"st \begin{enumerate} \item \defind{positiv definit}, wenn gilt $v \neq 0\Rightarrow q(v) > 0 $; \item \defind{positiv semidefinit}, wenn gilt $q(v) \geq 0 \quad \forall v \in V$; \item \defind{negativ definit}, wenn gilt $v\neq 0\RA q(v) < 0$; \item \defind{negativ semidefinit}, wenn gilt $q(v) \leq 0 \quad \forall v \in V$; \item \defind{indefinit}, wenn es $v,w \in V$ gibt mit $q(v) > 0$ und $q(w) < 0$. \end{enumerate} Dieselben Bezeichnungen verwendet man auch f"ur reelle symmetrische Matrizen $A\in {\op{Mat}} ( n;\DR)$, wenn die zugeh"orige quadratische Form $q_A:\DR^n\ra \DR$ gegeben durch $q_A(v)=v^\ttop A v$ die entsprechende Eigenschaft hat. Allgemeiner verwenden wir sie auch im Fall eines beliebigen angeordneten Grundk"orpers. Positive definite Matrizen kennen wir bereits aus \ref{hpos} im Fall von reellen symmetrischen und, "uber die hier diskutierte Terminologie hinausgehend, im Fall von komplexen hermiteschen Matrizen. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Pr"ufen von Definitheitseigenschaften}] Um die Definitheitseigenschaften einer reellen symmetrischen quadratischen Matrix zu bestimmen, bringt man sie am\label{TesPD} einfachsten durch Basiswechsel in Diagonalgestalt, wie im Beweis von \ref{ExO} erkl"art. Bei kleineren Matrizen kann auch das Hauptminoren-Kriterium \ref{HuKr} schnell zum Ziel f"uhren. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Sylvester'scher Tr"agheitssatz}] Gegeben\index{Sylvester!Tr"agheitssatz} ein\index{Tr"agheitssatz!Sylvester'scher} endlichdimensionaler $\DR$-Vektorraum $V$ mit einer\label{SyTr} symmetrischen Bilinearform $a$ gibt es stets eine angeordnete Basis $\mathcal B = (v_1, \ldots, v_n)$, in der die Fundamentalmatrix von $a$ die Gestalt \begin{equation*} {\op{F}}_{\mathcal B}(a)=\op{diag} (1, \ldots, 1, -1, \ldots, -1, 0, \ldots, 0) \end{equation*} annimmt. Die Zahl der Einsen, Minus-Einsen und Nullen wird hierbei durch besagte Bilinearform bereits eindeutig festgelegt. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die Differenz zwischen der Zahl der Minus-Einsen und der Zahl der Einsen hei"st in diesem Kontext die \defind{Signatur} unserer symmetrischen Bilinearform. Ich nenne das Tripel $(p,m,n)$ aus der Zahl der Einsen, der Minus-Einsen und der Nullen den {\bf Typ}\index{Typ!von reeller quadratischer Form} unserer quadratischen Form.\label{Typ} Die Signatur ist dann $p-m$ und der Rang $p+m$. Das Supremum "uber die Dimensionen aller \glqq negativ definiten\grqq\ Teilr"aume, also das $m$, nennt man den {\bf Index}\index{Index!von Bilinearform} unserer Bilinearform. Er ist auch im Fall unendlichdimensionaler Vektorr"aume "uber einem angeordneten K"orper mit einer symmetrischen Bilinearform noch sinnvoll definiert, kann aber dann den Wert $\infty$ annehmen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Die Existenz einer Basis mit den geforderten Eigenschaften folgt unmittelbar aus der Existenz einer Orthogonalbasis \ref{ExO}, indem wir deren Vektoren mit geeigneten Skalaren multiplizieren. Die Zahl der Nullen ist wohlbestimmt als die Dimension des Radikals $V_0$. Ich behaupte, da"s die Zahl der Einsen beziehungsweise Minus-Einsen beschrieben werden kann als die jeweils maximal m"ogliche Dimension f"ur einen Teilraum, auf dem unsere Bilinearform positiv definit beziehungsweise negativ definit ist. Sind in der Tat $V_+ \subset V$ und $V_- \subset V$ Teilr"aume der maximal m"oglichen Dimension mit dieser Eigenschaft, ja sogar irgendwelche Teilr"aume mit dieser Eigenschaft, so folgt $V_- \cap V_0 =0$ und $V_+ \cap (V_- \oplus V_0) =0$ und damit $$\op{dim} V_+ + \op{dim} V_- + \op{dim} V_0 \leq \op{dim} V$$ F"ur jede Orthogonalbasis $ B$ bezeichne nun $ B_+$, $ B_-$ und $ B_0$ die Teilmenge derjenigen Basisvektoren, deren Paarung mit sich selber eine positive Zahl beziehungsweise eine negative Zahl beziehungsweise Null ergibt. So haben wir nat"urlich $$| B_+|+| B_-|+| B_0| = \op{dim} V$$ Da aber wegen der Maximalit"at von $V_\pm$ offensichtlich gilt $| B_\pm|\leq \op{dim} V_\pm$ und da $| B_0|\leq \op{dim} V_0$ eh klar ist, mu"s bei diesen letzten Ungleichungen "uberall Gleichheit gelten. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Hauptminoren-Kriterium f"ur positive Definitheit}\index{Hauptminoren-Kriterium}] Eine reelle symmetrische $(n\times n)$-Matrix ist positiv definit genau dann, wenn f"ur alle $l\leq n$ die\label{HuKr} quadratische Untermatrix, die man durch Wegstreichen der letzten $l$ Spalten und der untersten $l$ Zeilen erh"alt, eine positive Determinante hat. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Unser Kriterium wird auch als {\bf Hurwitz-Kriterium}\index{Hurwitz-Kriterium} zitiert. Es gilt mit demselben Beweis auch f"ur Matrizen mit Eintr"agen in einem beliebigen angeordneten K"orper. Die naheliegende Verallgemeinerung mit positiv semidefinit und nichtnegativen Determinanten gilt nicht, wie schon das Beispiel der Diagonalmatrix $\op{diag}(0,-1)$ zeigt. Weitere Definitheitskriterien speziell f"ur Matrizen mit nichtnegativen Eintr"agen au"serhalb der Diagonalen findet man in \eref{EGSP}{SPW}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} W"ahlen wir eine Orthogonalbasis der zu unserer Matrix geh"origen symmetrischen Bilinearform auf $\DR^n$, so hat die Determinante der zugeh"origen diagonalen Fundamentalmatrix nach unserer Transformationsformel \ref{FuB} f"ur die Fundamentalmatrizen zu verschiedenen Basen dasselbe Vorzeichen wie die Determinante unserer Ausgangsmatrix. Ist also unsere Ausgangsmatrix nicht positiv definit und hat positive Determinante, so existiert ein zweidimensionaler Teilraum, auf dem sie negativ definit ist. Dieser Teilraum schneidet die Hyperebene $(\DR^{n-1}\times 0)\subset \DR^n$ nach dem Dimensionssatz \eref{D2S}{LA1} nicht nur in Null. Ist also unsere Ausgangsmatrix nicht positiv definit und hat positive Determinante, so ist die quadratische Untermatrix, die man durch Wegstreichen der letzten Spalte und der untersten Zeile erh"alt, nicht positiv definit. Eine offensichtliche Induktion beendet den Beweis. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Satz "uber Hauptachsentransformationen, Variante}] Gegeben ein endlichdimensionaler $\DR$-Vektorraum mit zwei \label{HATj} symmetrischen Bilinearformen, von denen die Erste ein Skalarprodukt ist, besitzt unser Vektorraum eine Basis, die sowohl orthonormal ist f"ur die erste als auch orthogonal f"ur die zweite Bilinearform. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ist also in Formeln $V$ unser endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $s$ ein Skalarprodukt auf $V$ und $a$ eine weitere symmetrische Bilinearform, so besitzt $V$ eine Basis $(v_1, \ldots, v_n)$ mit $s (v_i, v_j) = \delta_{ij}$ und $a(v_i, v_j) =0$ f"ur $i \neq j$. Dieselbe Aussage gilt mit demselben Beweis auch f"ur endlichdimensionale komplexe Vektorr"aume mit zwei \label{HATjc} hermiteschen Bilinearformen, von denen die erste ein Skalarprodukt ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Das ist nur eine Umformulierung des Satzes "uber Hauptachsentransformationen \ref{HaTT}. Es ist aber schneller, den Beweis zu wiederholen. Wir finden nach \ref{yuz} einen bez"uglich unseres Skalarprodukts $s$ selbstadjungierten Endomorphismus $A$ von $V$ mit $$a(v,w)=s(Av,w)\;\;\forall v,w\in V$$ Nach dem Spektralsatz \ref{SSM} besitzt $V$ eine Orthonormalbasis $v_1,\ldots, v_n$ in Bezug auf $s$ aus Eigenvektoren von $A$. Sie leistet das Gew"unschte. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Singul"arwertzerlegung}] Gegeben eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen reellen oder komplexen Skalarproduktr"aumen gibt es\label{SIWE} stets eine Orthonormalbasis des Definitionsbereichs, die auf eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren des Wertebereichs abgebildet wird. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} In geeigneten Orthonormalbasen ist die Matrix unserer Abbildung mithin eine Diagonalmatrix mit nichtnegativen Eintr"agen auf der Diagonalen. Diese Eintr"age sind wohldefiniert als die Quadratwurzeln der Eigenwerte des Produkts unserer Abbildung mit ihrer Adjungierten. Sie hei"sen die {\bf Singul"arwerte}\index{Singul"arwert!einer Abbildung} unserer Abbildung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Singul"arwertzerlegung verallgemeinert unsere Polarzerlegungen von Automorphismen \ref{PZC} und Endomorphismen \ref{UNGn}: Wir erhalten genauer eine Polarzerlegung aus einer Singul"arwertzerlegung, indem wir \glqq zun"achst die Vektoren unserer Orthonormalbasis mit einer positiv semidefiniten Abbildung auf die L"ange ihrer Bilder strecken oder stauchen, und die so auf die richtige L"ange gebrachten Vektoren durch eine Drehung in die richtigen Richtungen bringen\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In der Sprache der Matrizen ausgedr"uckt besagt unser Korollar, da"s es f"ur jede reelle beziehungsweise komplexe Matrix $A$ orthogonale beziehungsweise unit"are quadratische Matrizen $C,K$ gibt derart, da"s $CAK=D$ diagonal ist mit nichtnegativen Eintr"agen. Diese Eintr"age sind dann wieder wohldefiniert und hei"sen die {\bf Singul"arwerte}\index{Singul"arwert!einer Matrix} unserer Matrix. Die Darstellung als Produkt $A=C^{-1}DK^{-1}$ schlie"slich hei"st eine {\bf Singul"arwertzerlegung}\index{Singul"arwertzerlegung} unserer Matrix $A$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $f:V\ra W$ unsere Abbildung. Wir betrachten auf $V$ zus"atzlich zum Skalarprodukt $s=s_V$ die positiv semidefinite symmetrische beziehungsweise hermitesche Bilinearform $a(u,v)\pdef s_W(f(u),f(v))$. Die vorhergehenden Varianten \ref{HATj} und \ref{HATjc} des Satzes "uber Hauptachsentransformationen liefern dann unmittelbar die Behauptung. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Gram'sche Determinante und Volumen}] Gegeben ein reeller Skalarproduktraum $V$ mit Vektoren $v_1,\ldots,v_n$ hei"st die quadratische Matrix mit den Skalarprodukten $\langle v_i,v_j\rangle$ als Eintr"agen auch die {\bf Gram'sche Matrix}\index{Gram'sche Matrix} unserer Vektoren und ihre Determinante die {\bf Gram'sche Determinante}.\index{Gram'sche Determinante} Bilden unsere Vektoren eine Basis, so ist die Gram'sche Matrix die Fundamentalmatrix unseres Skalarprodukts bez"uglich dieser Basis. Sind die Vektoren $v_1,\ldots,v_n$ linear abh"angig, so ist die Gram'sche Determinante offensichtlich Null. Sind sie linear unabh"angig, so mag man die Wurzel der Gram'schen Determinante in der schmutzigen Anschauung als das \glqq Volumen des von den Vektoren $v_1,\ldots,v_n$ in ihrem Erzeugnis aufgespannten Parallelpipeds\grqq\ verstehen. Sei in der Tat ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $V=\DR^n$ mit seinem Standardskalarprodukt. F"ur die Matrix $M\pdef(v_1|\ldots|v_n)$ mit unseren Vektoren in den Spalten bedeutet dann, wie bereits in \eref{AnDet}{LA1} diskutiert, in der schmutzigen Anschauung $|\op{det}M|$ das Volumen unseres Parallelpipeds. Unsere Gram'sche Matrix aber ist in diesem Fall gerade das Produkt $M^\ttop M$ und dessen Determinante ergibt sich zu $\det(M^\ttop M)=(\det M)^2$ wie behauptet. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{pode} Ist $s$ ein Skalarprodukt auf einem Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper und $v_1,\ldots, v_n$ eine endliche Familie von Vektoren von $V$, so ist die Matrix $(s(v_i,v_j))_{ij}$ positiv semidefinit. Es reicht hierf"ur sogar, die Bilinearform $s$ symmetrisch und positiv semidefinit anzunehmen. Hinweis: Man betrachte den Beweis von Satz \ref{SIWE} zur Singul"arwertzerlegung. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Unter einer {\bf bilinearen Paarung}\index{Paarung!bilineare} von zwei Vektorr"aumen $V,W$ "uber demselben Grundk"orper $K$ versteht man eine bilineare Abbildung $b:V\times W\ra K$. Solch eine Paarung hei"st {\bf nichtausgeartet},\index{nichtausgeartet!Paarung} \index{Paarung!nichtausgeartete} wenn es f"ur jedes $v\in V\backslash 0$ ein $w\in W$ gibt mit $b(v,w)\neq 0$ und umgekehrt auch f"ur jedes $w\in W\backslash 0$ ein $v\in V$\label{NAPP} mit $b(v,w)\neq 0$. Andernfalls hei"st unsere Paarung {\bf ausgeartet}.\index{ausgeartet!Paarung} Man zeige das {\bf Lemma von Mackey}:\index{Mackey!Lemma von} Gegeben eine nichtausgeartete Paarung $b:V\times W\ra K$ zwischen zwei Vektorr"aumen $V,W$ unendlicher Dimension mit abz"ahlbarer Basis gibt es stets eine Basis $(v_n)_{n\in\DN}$ von $V$ und eine Basis $(w_n)_{n\in\DN}$ von $W$ derart, da"s gilt $b(v_i,w_j)=\delta_{ij}$. Hinweis: Man beginne mit zwei beliebigen Basen und wechsle geeignet Basen. %Die Erzeugnisse der ersten $n$ Basisvektoren % mag man $V_{\leq n}$ bzw. $W_{\leq n}$ notieren. Dann gibt es % zu $n$ jeweils ein $m$ mit $b:V_{\leq n}\hra W_{\leq m}^\ttop$ und % umgekehrt. usw. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Gegeben zwei Vektorr"aume $V,W$ mit einer bilinearen Paarung $b:V\times W\ra K$ und eine Teilmenge $T\subset W$ setzen wir ganz allgemein $$T^\perp\pdef\{v\in V\mid b(v,t)=0\quad \forall t\in T\}$$ und nennen $T^\perp$ wie in \ref{ORE} den {\bf Orthogonalraum von $U$}.\index{)6perp@$T^\perp$ Orthogonalraum von $T$} Gegeben zwei Vektorr"aume $V,W$ mit einer nichtausgearteten Paarung $b:V\times W\ra K$ und ein Untervektorraum $U\subset W$ zeige man f"ur die Dimension des Orthogonalraums $U^\perp$ von $U$ die Formel $\op{dim}U+\op{dim}U^\perp =\op{dim}V$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Restriktionen reeller quadratischer Formen}] Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer quadratischen Form alias symmetrischen Bilinearform $s$ und sei $U \subset V$ ein Untervektorraum der Kodimension $\op{codim} (U \subset V) =1$. Sei $(V,s)$ vom Typ $(p,m,n)$ in der Terminologie aus \ref{Typ}. % , Orthogonalbasis $\mathcal B$ von $V$ mit $F_{\mathcal B} (s) = \op{diag} (1, \ldots, % 1, -1, \ldots , -1, 0, \ldots , 0)S$ mit $p$ Einsen, $m$ minus-Einsen und $n$ Nullen. So gibt es f"ur den Typ von $U$ nur die vier Alternativen $(p-1, m,n), (p, m-1, n), (p, m, n-1)$ und $(p-1, m-1, n+1)$. Des weiteren werden von diesen Alternativen alle, die keine negativen Eintr"age haben, auch tats"achlich realisiert. Hinweis: Am einfachsten ist der Fall $U^\bot + U = V$. Sonst gilt $V^\bot \subset U^\bot \subset U$ und man unterscheidet die F"alle $V^\bot = U^\bot$ und $V^\bot \neq U^\bot$. Im zweiten Fall w"ahlt man $v \in V \backslash U$ beliebig und findet $w \in U^\bot$ mit $s (v, w) \neq 0$. Dann ist die Form nichtausgeartet auf $\langle v, w\rangle $ und das orthogonale Komplement $\langle v, w\rangle^\bot$ dieser Ebene ist auch ein Vektorraumkomplement und der Fall ist erledigt. Im ersten Fall kann man zu $U/U^\bot \subset V/U^\bot $ "ubergehen. Da dann die Form auf $U/U^\bot$ nicht ausgeartet ist, ist wieder das orthogonale Komplement ein Vektorraumkomplement und das\label{vUii} Argument ist schnell fertig. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Signatur auf Subquotienten}] Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer nichtausgearteten quadratischen Form alias symmetrischen Bilinearform $s$ und sei $S \subset V$ ein Untervektorraum, auf dem die Restriktion unserer Bilinearform verschwindet. So hat die auf $S^\perp/S$ induzierte Form dieselbe Signatur wie die urspr"ungliche Form. Hinweis: Man mag sich mit Induktion auf den Fall $\op{dim}S=1$ zur"uckziehen und diesen Fall auf die vorhergehende "Ubung \ref{vUii} zur"uckf"uhren. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s im Raum aller invertierbaren symmetrischen reellen quadratischen Matrizen zwei Matrizen genau dann zu derselben Wegzusammenhangskomponente geh"oren, wenn sie denselben Typ im Sinne von \ref{Typ} haben. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Gegeben zwei verschiedene Punkte der Ebene $p,q\in \DR^2$ und eine positive Zahl $b<\|p-q\|$ zeige man, da"s die Punkte $r\in \DR^2$ mit $\|r-p\|-\|r-q\|=b$ einen Hyperbelast bilden, als da hei"st, da"s die Menge dieser Punkte unter einer geeigneten Bewegung in die Menge der L"osungen mit positiver $x$-Koordinate eines Gleichungssystems der Gestalt $ x^2-\mu y^2 =c$ mit $\mu,c$ positiv "ubergeht. Gegeben zwei verschiedene Punkte der Ebene $p,q\in \DR^2$ und eine positive Zahl $a>\|p-q\|$ zeige man weiter, da"s die Punkte $r\in \DR^2$ mit $\|r-p\|+\|r-q\|=a$ eine Ellipse bilden, als da hei"st, da"s die Menge dieser Punkte unter einer geeigneten Bewegung in die Menge der L"osungen eines Gleichungssystems der Gestalt $ x^2+\mu y^2 =c$ mit $\mu,c$ positiv "ubergeht. So erstellen "ubrigends G"artner elliptische Beete: Sie rammen zwei Pfl"ocke ein, legen um diese eine Seilschlaufe und fahren mit einem dritten Pflock in der Schlaufe um diese beiden Pfl"ocke herum, soweit au"sen wie m"oglich. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Inhomogene quadratische Formen}] Man zeige: Gegeben eine Polynomfunktion vom Grad h"ochstens Zwei mit Koeffizienten in einem K"orper $K$ mit $\op{char}K\neq 2$, also eine Abbildung $q:K^n\sira K$ der Gestalt $$q(x_1,\ldots, x_n)=\sum_{i\leq j}c_{ij}x_ix_j + \sum_{i}b_{i}x_i +a$$ gibt es entweder einen Automorphismus von affinen R"aumen $D:K^n\ra K^n$ mit $$(q \circ D)(y_1, \ldots , y_n)=\lambda_1y_1^2 + \ldots + \lambda_ny_n^2+ c$$ oder einen Automorphismus von affinen R"aumen $D:K^n\ra K^n$ mit $$(q \circ D)(y_1, \ldots , y_n)=\lambda_1y_1^2 + \ldots + \lambda_{n-1}y_{n-1}^2+ y_{n}$$ f"ur geeignete $\lambda_i,c\in K$. Hier k"onnen wir sogar erreichen, da"s alle $\lambda_i$ in einem vorgegebenen Repr"asentantensystem des Quotienten $K^\times/(K^\times)^2$ disjunkt vereinigt mit der Null liegen, im Fall $K=\DR$ also etwa in $\{-1,0,1\}$ oder im Fall eines algebraisch abgeschlossenen K"orpers in $\{0,1\}$.\label{GBHN} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Klassifikation inhomogener quadratischer Formen}] Gegeben ein K"orper $K$ und ein affiner Raum $E$ "uber $K$ verstehen wir unter einer {\bf inhomogenen quadratischen Form auf $E$}\index{quadratische Form!inhomogene} eine Abbildung $ Q : E \rightarrow K$, die sich schreiben l"a"st in der Gestalt $Q (p+\vec v) = q(\vec v) + a(p+\vec v)$ mit $q:\vec E\ra K$ einer quadratischen Form auf $\vec E$ und $a :E\ra K$ affin. Man diskutiere die Klassifikation inhomogener quadratischer Formen auf endlichdimensionalen affinen R"aumen "uber den K"orpern $\DR$ und $\DC$. Hinweis: \ref{GBHN}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Klassifikation von Geradenpaaren im Raum}] Man zeige, da"s die m"oglichen Vorgaben bestehend aus einem ungeordneten Paar von Geraden in einem dreidimensionalen affinen Raum "uber einem festen K"orper in genau vier Isomorphieklassen zerfallen. In der Schule lernt man diese man "ublicherweise als \glqq gleich, parallel, sich schneidend und windschief\grqq\ kennen. \end{Ubung} \subsection{Satz von Witt*} \begin{Bemerkungl} Seien $(V,a)$ und $(W,b)$ Vektorr"aume mit symmetrischen Bilinearformen. Eine lineare Abbildung $f:V\ra W$ hei"st {\bf isometrisch},\index{isometrisch! lineare Abbildung} wenn gilt $$a(u,v)=b(f(u),f(v))\quad\forall u,v\in V$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{von Witt}] Seien $K$ ein K"orper einer Charakteristik $\op{char} K \neq 2$ und $V$ ein $K$-Vektor\-raum endlicher Dimension und $b : V \times V \rightarrow K$\label{SvW} eine\index{Witt, Satz von} nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform. Ist $U \subset V$ ein Untervektorraum und $\varphi : U \hra V$ eine isometrische Injektion, so gibt es eine Fortsetzung von $\varphi$ zu einem isometrischen Isomorphismus $ \varphi : V \sira V$. \end{Satz} \begin{Beispiel} Ist etwa der $\DR^4$ versehen mit der Lorentzmetrik, so k"onnen je zwei von Null verschiedene lichtartige Vektoren ineinander "uberf"uhrt werden durch einen Automorphismus, der die Lorentzmetrik erh"alt. \end{Beispiel} \begin{proof} Es reicht, die Existenz einer Fortsetzung von $\varphi$ auf einen echt gr"o"seren Teilraum nachzuweisen. Wir unterscheiden zwei F"alle. \\[2mm]\noindent \emph{Fall 1}: Die Einschr"ankung $b : U \times U \rightarrow K$ unserer Form ist ausgeartet. Dann gibt es $u \in U \backslash 0$ mit $b (u, v) = 0 \quad\forall v \in U$. Wir suchen zun"achst ein $u_1 \in V$ mit $b(u,u_1) =1$ und finden es, da $b$ auf $V$ nicht ausgeartet ist. Indem wir notfalls $u_1$ durch $u_1 + \lambda u$ mit $\lambda \in K$ ersetzen, d"urfen wir $b (u_1, u_1) =0$ annehmen, und nach Annahme gilt $u_1\not\in U$. Ebenso finden wir $u_2 \in V$ mit $b(u_2, \varphi (v)) = b (u_1, v)$ f"ur alle $v \in U$, ja sogar f"ur alle $v \in V$. Wieder k"onnen wir, indem wir notfalls $u_2$ durch $u_2 + \mu \varphi (u)$ ersetzen, $b (u_2, u_2) = 0$ annehmen. Dann aber k"onnen wir $\varphi$ ausdehnen auf $ U + \langle u_1 \rangle$ durch die Vorschrift $\varphi (u_1) = u_2$. Das erledigt den Fall, da"s $b$ auf $U$ ausgeartet ist. \\[2mm]\noindent \emph{Fall 2}: Die Einschr"ankung von $b$ auf $U$ ist nichtausgeartet. In diesem Fall argumentieren wir mit Induktion "uber $\op{dim}_KU$. F"ur die Induktionsbasis sei $U = \langle u \rangle$ eindimensional. Dann gilt also $b (u,u) \neq 0$ und ebenso $b (\varphi (u), \varphi (u)) \neq 0$. G"alte $b (u + \varphi (u), u + \varphi (u)) = 0 = b (u-\varphi (u), u - \varphi (u))$, so folgte $2 b (u,u) + 2b (u, \varphi (u)) =0= 2b (u,u) - 2b (u,\varphi (u))$ und damit $4b(u,u) =0$ alias $b (u,u) = 0$. Da das nicht sein kann, d"urfen wir, indem wir notfalls $\varphi$ durch $-\varphi$ ersetzen, f"ur $v \pdef u - \varphi (u)$ annehmen, da"s gilt $b (v,v) \neq 0$. Dann betrachten wir die lineare Abbildung $s = s_v$ mit $s (v) = - v$ und $s (w) = w \quad \forall w \in v^\perp$. Sie ist isometrisch und hat die Eigenschaft $s : u + \varphi (u) \mapsto u + \varphi (u)$ und $s : u - \varphi (u) \mapsto \varphi (u)-u$ und folglich $s : u \mapsto \varphi (u)$. Diese Abbildung dehnt folglich $\varphi$ sogar orthogonal auf ganz $V$ aus. F"ur den Induktionsschritt sei $\dim_K U >1$. Dann k"onnen wir sicher $U = W \oplus W^\perp_U$ zerlegen mit $W \neq 0 \neq W^\perp_U$, wobei mit $W^\perp_U$ der Orthogonalraum in $U$ gemeint ist. Zu unserem $\varphi : U \hookrightarrow V$ gibt es nach Induktionsannahme einen mit der Bilinarform vertr"aglichen Automorphismus $s : V \overset{\sim}{\rightarrow} V$ mit $s | W = \varphi | W$. Also ist $s^{-1} \circ \varphi : U \hookrightarrow V$ die Identit"at auf $W$ und seine Restriktion zu einer Einbettung $W^\perp_U \hookrightarrow W^\perp$ l"a"st sich wieder nach Induktion zu einem isometrischen Isomorphismus $t : W^\perp \overset{\sim}{\rightarrow} W^\perp$ ausdehnen. Dann ist $(\op{id}_W \oplus t) : V \overset{\sim}{\rightarrow} V$ eine Ausdehnung von $s^{-1} \circ \varphi$ und damit $s \circ (\op{id}_W \oplus t)$ die gesuchte Ausdehnung von $\varphi$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Variante des Satzes von Witt f"ur ausgeartete Bilinearformen}] Man gebe ein Gegenbeispiel zum Satz von Witt im Fall einer ausgearteten symmetrischen Bilinearform. Man zeige andererseits, da"s die Aussage des Satzes weiter gilt, wenn wir ausgeartete Bilinearformen $b$ erlauben, daf"ur aber zus"atzlich $U\cap\op{rad}(b)=\varphi(U)\cap \op{rad}(b)=0$ fordern.\label{SvWA} \end{Ubung} \subsection{Alternierende Bilinearformen} \begin{Bemerkungl} Man erinnere aus \eref{aLT}{LA1}, da"s eine Bilinearform {\bf alternierend} hei"st, wenn Null herauskommt, sobald wir zweimal denselben Vektor einsetzen. Ich kann f"ur dieses Konzept leider keine Anschauung anbieten. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Klassifikation alternierender Bilinearformen}] Gegeben ein endlichdimensionaler Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $K$ und eine alternierende Bilinearform $\omega : V \times V \rightarrow K$ besitzt $V$ stets eine angeordnete Basis $\mathcal B$, bez"uglich derer die Fundamentalmatrix von $\omega$ die Gestalt \label{KaBn}%\label{KaB} \begin{displaymath} {\op{F}}_{\mathcal B}(\omega)=\left( \begin{array}{cccccc} \boxed{ \begin{matrix} 0 &-1\\ 1 & 0 \end{matrix}} & & & & &\\ & \ddots&& & \\ &&\boxed{ \begin{matrix} 0 &-1\\ 1 & 0 \end{matrix}} & &&\\ && &0 &&\\ & & & & \ddots &\\ &&&&&0 \end{array} \right) \end{displaymath} hat. Die Zahl der Zweierbl"ocke h"angt hierbei nicht von der Wahl der Basis ab. \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Eine Variante f"ur freie abelsche Gruppen mit alternierender nicht ausgearteter Bilinearform wird in \eref{GSY}{KAG} bewiesen. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Ist unsere Form nicht Null, so finden wir $v,w \in V$ mit $\omega (v,w) \neq 0$. Durch Multiplikation von $v$ mit einem Skalar erreichen wir sogar $\omega (v,w) =1$ und damit $\omega (w,v) =-1$. Diese beiden Vektoren $v,w$ k"onnen wir schon einmal als die ersten beiden Vektoren unserer Basis in spe festhalten. Wir betrachten nun die Linearformen $\omega (v, \;) : V \rightarrow K$ und $\omega (w, \;) : V \rightarrow K$. Sie sind beide nicht Null und ihre Kerne sind verschieden, genauer liegt $v$ im Kern der ersten, nicht aber der zweiten Abbildung und $w$ im Kern der Zweiten, nicht aber der Ersten. F"ur den Schnitt \begin{equation*} S =\{ u \in V \mid \omega (v,u) = 0 = \omega (w,u)\} \end{equation*} haben wir also $\op{dim} S = \op{dim} V -2$ und $(K v \oplus Kw) \cap S =0$. Aus Dimensionsgr"unden folgt \begin{equation*} V = (Kv \oplus Kw) \oplus S \end{equation*} und eine offensichtliche Induktion "uber die Dimension beendet den Beweis der Existenz. Die Zahl der Nullen nach den Zweierk"astchen kann beschrieben werden als die Dimension des Radikals unserer Bilinearform und ist deshalb ebenso wie die Zahl der Zweierk"astchen von der Wahl der Basis unabh"angig. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Eine im Sinne von \ref{NAPP} nichtausgeartete alternierende Bilinearform hei"st auch eine \defind{symplektische Form}, und ein mit einer symplektischen Form versehener Vektorraum hei"st ein \defind{symplektischer Vektorraum}. Symplektische Vektorr"aume spielen in der Hamilton'schen Mechanik eine wichtige Rolle. Nach \ref{KaBn} ist die Dimension eines endlichdimensionalen symplektischen Vektorraums stets gerade. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{syV} In einem endlichdimensionalen symplektischen Vektorraum k"onnen je zwei von Null verschiedene Vektoren durch einen die symplektische Form erhaltenden Automorphismus ineinander "uberf"uhrt werden. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$ "uber einem K"orper der Charakteristik Zwei existiert stets eine Zerlegung in paarweise orthogonale Teilr"aume $V=V_d\oplus V_a$ derart, da"s die Restriktion auf $V_d$ eine Orthogonalbasis besitzt und die Restriktion auf $V_a$ alternierend ist. Man zeige durch ein dreidimensionales Beispiel, da"s selbst im Fall nichtausgearteter Formen die Dimensionen von $V_d$ und $V_a$ durch unsere Bilinearform keineswegs eindeutig festgelegt werden. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Gegeben eine alternierende Bilinearform $\omega$ auf einem Vektorraum $V$ der Dimension $2n$ zeige man, da"s man eine alternierende $(2n)$-Multilinearform $\omega^{\wedge n}$ auf $V$ erkl"aren kann durch die Vorschrift\label{omhn} $$\omega^{\wedge n}(v_1,\ldots,v_{2n})\pdef \sum_{\sigma\in R}\op{sgn}(\sigma)\omega(v_{\sigma(1)},v_{\sigma(2)})\ldots \omega(v_{\sigma(2n-1)},v_{\sigma(2n)}) $$ mit $R\subset \mathcal S_{2n}$ der Menge aller Permutationen von $\{1,\ldots,2n\}$ mit den Eigenschaften $\sigma(2i-1)<\sigma(2i)$ f"ur alle $i$ und $\sigma(1)<\sigma(3)<\ldots<\sigma(2n-1)$. F"ur $g\in\op{GL}(V)$ zeige man $(\omega\circ (g\times g))^{\wedge n}= (\op{det}g)\omega^{\wedge n}$. Weiter zeige man, da"s f"ur $\omega$ eine symplektische Form die Multilinearform $\omega^{\wedge n}$ von Null verschieden ist. Sobald Sie einmal mit dem Dachprodukt $\wedge$ in der "au"seren Algebra $\bigwedge V^\ast$ vertraut sind, k"onnen Sie $\omega^{\wedge n}$ auch als die $n$-te Potenz $\omega^{\wedge n}=\omega\wedge \ldots\wedge\omega$ in der "au"seren Algebra verstehen, daher die Notation. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Sei $K$ ein K"orper. Gegeben eine \hyperref[Pfaff]{alternierende} Matrix $A\in \op{Mat}(2n;K)$ alias eine Matrix mit $A=-A^\ttop$ und mit Nullen auf der Diagonale erkl"aren wir ihre {\bf Pfaff'sche Determinante}\index{Pfaff'sche Determinante} $\op{Pf}(A)$\label{Pfaff} mithilfe ihrer alternierenden Bilinearform $\omega_A(v,w)\pdef v^\ttop\! A w$ und der zugeh"origen Multilinearform $\omega_A^{\wedge n}$ aus \ref{omhn} durch die Identit"at $$\omega_A^{\wedge n}=\op{Pf}(A)\op{det}$$ im eindimensionalen Raum $\op{Alt}^{2n}(K^{2n})$ aller Multilinearformen auf dem $K^{2n}$. F"ur $B\in\op{Mat}(2n;K)$ folgere man $$\op{Pf}(B^\ttop\! A B)=(\op{det}B)\op{Pf}(A)$$ Weiter zeige man $\op{Pf}(S)=1$ f"ur $S\in\op{Mat}(2n;K)$ die blockdiagonale Matrix mit $n$ Bl"ocken ${{(^{\;\;0}_{-1} }\; {^1_0})}$ und folgere, da"s das Quadrat der Paff'schen Determinante die "ubliche Determinante ist, in Formeln $$\op{Pf}(A)^{2}=\op{det}(A)$$ \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Gegeben ein symplektischer Vektorraum $(V,\omega)$ hei"st ein Vektorraumautomorphismus $g:V\sira V$ {\bf symplektisch},\index{symplektisch!Vektorraumautomorphismus} wenn gilt $\omega(gv,gw)=\omega(v,w)\;\forall v,w\in V$. Man zeige, da"s jeder symplektische Automorphismus $g$ eines endlichdimensionalen symplektischen Vektorraums die Determinante $\op{det}(g)=1$ hat. Hinweis: \ref{omhn}. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Gegeben ein Vektorraum $V$ erhalten wir eine symplektische Form $\omega$ auf $V\oplus V^\ast$ durch die Vorschrift\label{ksyFo} $$\omega((v,\phi),(w,\psi))\pdef \phi(w)-\psi(v)$$ \end{Ubunge} \subsection{Relativistische Raumzeit*}\label{RRZ} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erinnerungen zu klassischem Raum und klassischer Zeit}] In der Modellierung von Zeit und Raum f"ur die Belange der Newton'schen Mechanik in \ref{RRN} oder \ref{Moo} haben wir erst\label{gDRZn} einmal ignoriert, da"s die Erde sich um sich selber dreht und dabei gleichzeitig um die Sonne rast, die sich hinwiederum mit unvorstellbarer Geschwindigkeit um das Zentrum der Milchstra"se bewegt, und so weiter, und sind schlicht von einem dreidimensionalen affinen Raum ausgegangen, von dessen Punkten man einige ganz explizit als Kirchturmspitzen, Zimmerecken und dergleichen angeben kann. Dann haben wir eine Gruppe von \glqq Bewegungen\grqq\ unseres Raums postuliert und verwendet, um den eindimensionalen Raum der L"angen einzuf"uhren, in dem das Pariser Urmeter eine Basis auszeichnet. Zus"atzlich haben wir einen orientierten eindimensionalen affinen Raum aller \glqq Zeitpunkte\grqq\ postuliert und in dessen Richtungsraum die Basis \glqq Sekunde\grqq\ mithilfe von Tag und ausgezeichnet. In diesem Rahmen ist dann schon klar, was gemeint ist, wenn wir sagen, die Lichtgeschwindigkeit betrage so in etwa $300\;000$ Kilometer pro Sekunde. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation f"ur relativistische Raumzeit}] Sobald wir jedoch dies alles nicht mehr ignorieren, ist es pl"otzlich gar nicht mehr so klar: Es gibt dann sozusagen gar keinen \glqq festen Raum\grqq\ mehr, in dem unsere Lichtgeschwindigkeit konstant sein k"onnte, sondern \glqq alles ist relativ\grqq. Denken wir uns etwa zwei Raketen, die in entgegengesetzter Richtung aneinander vorbeifliegen, und einen Lichtstrahl, der in Richtung der einen Rakete zwischen ihnen hindurchsaust. M"u"ste in diesem Fall nicht von den beiden Besatzungen f"ur diesen Lichtstrahl eine unterschiedliche Geschwindigkeit gemessen werden? Statt im weiteren stets von \glqq Rakete Eins\grqq\ und \glqq Rakete Zwei\grqq\ zu reden, denken wir uns der Klarheit der Darstellung halber lieber den einen Beobachter in einem sehr langen Zug und nennen ihn den Schaffner, und denken uns den anderen Beobachter auf einem Bahnhof, durch den der besagte Zug f"ahrt, und nennen ihn den Bahnhofsvorsteher. Der Schaffner mi"st seinen Zug sorgf"altig aus und setzt sich genau in die Mitte. Gerade zu dem Zeitpunkt, zu dem sich Schaffner und Bahnhofsvorsteher gegen"uberstehen, sehen beide auch noch die Vorder- und die R"ucklichter des Zuges aufleuchten. Daraus ziehen sie jedoch unterschiedliche Schl"usse. Der Schaffner sagt: Na klar, die sind gleichzeitig angegangen. Der Bahnhofsvorsteher dahingegen meint: Als diese Lampen ihr Licht ausgesandt haben, das ist ja nun eine kleine Weile her, war die Lokomotive noch n"aher am Bahnhof als der Schlu"swagen, folglich m"ussen die Lichter des Schlu"swagens etwas fr"uher angegangen sein, damit ihr Licht dennoch meine Augen zur selben Zeit erreichen konnte wie das Licht aus den Lampen der Lokomotive. Wer hat aber denn nun recht? Unmittelbar w"urde man wohl erst einmal sagen: Der Bahnhofsvorsteher hat recht, denn er bewegt sich nicht; Dann aber erinnert man sich, da"s ja auch der Bahnhof selbst durchs Weltall rast und da"s es sich auch um unsere zwei Raketen handeln k"onnte, und dann f"allt uns die Entscheidung m"oglicherweise schon nicht mehr so leicht, wer von beiden denn nun recht hat. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUhr}\\[4mm] \noindent Dies Bild zeigt eine ruhende und eine bewegte \glqq Lichtuhr\grqq, bestehend aus zwei Spiegeln und einem Z"ahler, der z"ahlt, wie oft ein Lichtstrahl dazwischen hin- und hersaust. Offensichtlich scheint die bewegte Lichtuhr langsamer zu gehen als die Zeit im im Koordinatensystem der ruhenden Lichtuhr. Hier m"ussen wir uns denken, da"s im ruhenden Koordinatensystem ganz viele Lichtuhren aufgestellt und synchronisiert wurden wie oben schematisch dargestellt. Der Beobachter im bewegten System wird jedoch einwenden, da"s von seinem Gesichtspunkt aus diese ganzen Uhren keineswegs synchron gehen. \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Das Konzept einer absoluten Zeit mu"s aufgegeben werden}] Die \glqq Relativit"atstheorie\grqq\ l"ost\label{SSB} diesen Widerspruch wie folgt auf: Beide haben recht und wir m"ussen unsere Vorstellung von einer \glqq absoluten Zeit\grqq\ aufgeben. Was f"ur den einen Beobachter gleichzeitig ist, ist es f"ur den anderen noch lange nicht! Pr"aziser modelliert man in der Relativit"atstheorie Raum und Zeit gemeinsam als eine Menge von \glqq Raum-Zeit-Punkten\grqq\ oder \glqq Ereignissen\grqq. Das Aufleuchten eines Vorderlichts unseres Zuges etwa w"are solch ein Ereignis, oder auch das Aufleuchten eines R"ucklichts. Jeder unserer beiden Beobachter ordnet jedem derartigen Ereignis in einer Weise, die wir noch ausf"uhrlich diskutieren werden, vier reelle Zahlen zu: Drei Raumkoordinaten und eine Zeitkoordinate. Und in unserem speziellen Fall w"urde eben der Schaffner den beiden fraglichen Aufleucht-Ereignissen dieselbe Zeitkoordinate zuordnen, der Bahnhofsvorsteher dahingegen verschiedene Zeitkoordinaten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{L"angenkontraktion}] Das hat hinwiederum auch f"ur die L"angenmessung Konsequenzen: Der Bahnhofsvorsteher w"urde ja wohl vern"unftigerweise die L"ange des Zuges erkl"aren, indem er gleichzeitig in seinem Sinne die\label{LeKO} Ortskoordinaten von Lokomotive und Schlu"swagen bestimmt und die Differenz bildet. Er wird dabei eine k"urzere L"ange erhalten als der Schaffner, der seinerseits behaupten w"urde, der Bahnhofsvorsteher habe etwas fr"uher den Ort der Lokomotive bestimmt und erst etwas sp"ater den Ort des Schlu"swagens. Wie ist es aber nun um die Breite des Zuges bestellt? Nun, beide messen in der Tat dieselbe Breite f"ur unseren Zug, was die absonderliche Konsequenz hat, da"s der Bahnhofsvorsteher mit vollem Recht behaupten wird, ein Zollstock, mit dem der Schaffner die Breite des Zuges gemessen hat, verk"urze sich, wenn der Schaffner ihn nun in Richtung des Zuges dreht, um damit die L"ange des Zuges auszumessen. Man mache sich jedoch auch bewu"st, da"s ein Zollstock ja genau genommen aus einer gro"sen Menge von Atomen besteht, deren wechselseitige Position durch elektromagnetische Kr"afte bestimmt wird, also in gewisser Weise durch den Austausch von Lichtsignalen. Nach diesen informellen Vor"uberlegungen beginnen wir nun mit der pr"azisen Formulierung. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildRel}\\[4mm] \noindent Diese Bilder stellen die Sichtweisen des Bahnhofsvorstehers und des Schaffners in \ref{SSB} dar. Beide benutzen Einheiten, in denen die Lichtgeschwindigkeit Eins ist. Die Lichtbewegung ist jeweils gestrichelt eingetragen. Im linken Schaubild hat der Bahnhofsvorsteher Ort gegen Zeit aufgetragen von R"ucklicht, Schaffner und Vorderlicht, wobei seine Zeitachse senkrecht nach oben zeigt und seine Ortsachse waagerecht nach rechts. Der Zug f"ahrt halbe Lichtgeschwindigkeit, und die Zackenlinie durch die beiden \glqq Lampen-gehen-an-Punkte\grqq\ besteht aus Ereignissen, denen der Schaffner allen dieselbe Zeitkoordinate geben w"urde, sagen wir die Zeitkoordinate Null. Das rechte Schaubild hat der Schaffner gezeichnet. % Um ihre Ma"sst"abe zu vergleichen, k"onnen sie zum Beispiel vereinbaren, % da"s der Abstand zwischen den Gleisen alias die Breite des Zuges % ihre gemeinsame L"angeneinheit ist. % Wenn wir stattdessen in einer Welt einer Raumdimension % bleiben wollen, gelingt es alternativ mit folgendem Trick: Beide w"ahlen ihre Orts- und Zeitkoordinaten $(x (p), t(p))\in \DR^2$ f"ur den Bahnhofsvorsteher beziehungsweise $(x^\prime (p), t^\prime (p))\in \DR^2$ f"ur den Schaffner eines Ereignisses $p$ derart, da"s f"ur je zwei Ereignisse $p,q$ gilt \begin{equation*} \left(x(p) - x(q)\right)^2 - \left(t(p) - t(q)\right)^2 = \left(x^\prime (p) - x^\prime (q)\right)^2 - \left(t^\prime (p) - t^\prime(q)\right)^2 \end{equation*} Sie finden so die Umrechnung $x^\prime = (\sqrt{1+b^2}) x + bt$ und $t^\prime = bx + (\sqrt{1 + b^2}) t + 4/\sqrt{3}$ %\begin{eqnarray*} %\\ %t^\prime &=& bx + (\sqrt{1 + b^2}) t %\end{eqnarray*} mit $b = -\sqrt{1/3}$. %Man beachte, da"s die horizontale Linie im Bild des Schaffners %nicht alle Ereignisse zur Schaffner-Zeit Null darstellt, sondern vielmehr %alle Ereignisse zur Schaffner-Zeit %der beiden Lampen-gehen-an-Ereignisse. %Die Koordinatenachse %der Ortskoordinaten des Schaffners l"auft dazu parallel durch %den Ursprung, bei dem Schaffner, Bahnhofsvorsteher und die beiden %Lichtstrahlen zusammentreffen. Wie Sie sehen, scheint dem Schaffner sein Zug um den Faktor $2/\sqrt{3}$ l"anger als dem Bahnhofsvorsteher. \end{figure} \begin{Bemerkungl} In der \defind{Relativit"atstheorie} modelliert man Raum und Zeit zusammen als eine Menge \begin{displaymath} X \end{displaymath} Deren Elemente hei"sen \defind{Raum-Zeit-Punkte} oder auch \defind{Ereignisse}. Die Menge $X$ selbst nennt man die \defind{Raumzeit}. Die Bewegung einer Fliege etwa wird durch eine Teilmenge von $X$ beschrieben. Ort und Zeit einer Klausur wird beschrieben durch ein Element von $X$ oder, da eine Klausur ja eine Weile dauert und in einem nicht ganz kleinen H"orsaal stattfindet, vielleicht auch durch eine Teilmenge von $X$. Die Ausbreitung des Lichts modellieren wir durch eine Teilmenge \begin{displaymath} \mathcal{L}^+ \subset X^2 \end{displaymath} Wir denken uns diese Teilmenge in der schmutzigen Anschauung als die Menge aller Paare von Raum-Zeit-Punkten $(p,q) \in X^2$ derart, da"s eine am Raum-Zeitpunkt $p$ stattfindende Explosion am Raum-Zeitpunkt $q$ gesehen w"urde. Wir sagen dann, $q$ liege {\bf kausal lichtartig zu $p$}.\index{lichtartig!kausal} Um mathematische Pr"azision zu erreichen, vereinbaren wir explizit $(p,p)\in\mathcal{L}^+\;\forall p\in X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In der \defind{speziellen Relativit"atstheorie} nimmt man zus"atzlich an, da"s $X$ so mit der Struktur eines vierdimensionalen reellen affinen Raums versehen werden kann, da"s die folgenden beiden Vertr"aglichkeiten zwischen $\mathcal L^+$ und dieser Struktur gelten: Erstens soll $\mathcal{L}^+$ stabil sein unter der diagonalen Operation des Richtungsraums $\vec{X}$ auf $X^2$. Liegt also $q$ kausal lichtartig zu $p$, so soll auch $q+v$ kausal lichtartig zu $p+v$ liegen f"ur jeden Richungsvektor $v\in\vec{X} $. Zweitens soll die Menge der {\bf kausal lichtartigen Vektoren} $$\vec{\mathcal{L}}^+ \pdef\{v \in \vec{X} \mid (p,p +v) \in \mathcal{L}^+\;\forall p\in X\}$$ die \glqq H"alfte einer Quadrik vom Typ $(1,1,1,-1) $\grqq\ sein, es soll also in Formeln linear unabh"angige Linearformen $x,y,z,t :\vec{X} \rightarrow \Bbb{R}$ geben mit \begin{eqnarray*} \vec{\mathcal{L}}^+ =\{ v \in \vec{X} \mid x(v)^2 + y(v)^2 + z (v)^2 - t(v)^2 =0,\; t(v) \geq 0\} \end{eqnarray*} Einen Vektor, der entweder selbst kausal lichtartig ist oder dessen Negatives kausal lichtartig ist, hei"st {\bf lichtartig}.\index{lichtartig} Die Elemente der konvexen H"ulle der Menge der kausal lichtartigen Vektoren nennt man dann {\bf kausal}\index{kausal}, ihre Negativen {\bf antikausal}\index{antikausal}, die weder kausalen noch antikausalen Vektoren {\bf raumartig}\index{raumartig!Vektor} und die weder raumartigen noch lichtartigen Vektoren {\bf zeitartig}.\index{zeitartig!Vektor} In unserer Terminologie ist also der Nullvektor weder raumartig noch zeitartig. Die Bezeichnung als \glqq kausaler Vektor\grqq\ soll das fundamentale Postulat zum Ausdruck bringen, da"s ein Ereignis nur Ereignisse beeinflussen kann, die von ihm aus durch die Addition derartiger Vektoren erreichbar sind, da"s also \glqq keine Wirkung schneller als mit Lichtgeschwindigkeit ausge"ubt werden kann\grqq. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Der Schaffner will den Zollstock in einen Gulli werfen}] Nehmen wir in \ref{LeKO} einmal an, der Zollstock des Schaffners sei etwas l"anger als der Durchmesser eines offenen Gullis auf dem Bahnhof. Der Schaffner streckt den Arm aus dem Fenster und l"a"st den Zollstock genau zum richtigen Zeitpunkt genau waagerecht runterfallen. Pa"st er dann dank L"angenkontraktion doch durch die "Offnung des Gullis, oder eben nicht? Wie beschreibt der Bahnhofsvorsteher, was er sieht? %Hinweis: Bahnhofsvorsteher: Genau waagerecht war das aber nicht! \end{Ubung} \subsection{Relativistische L"angeneinheiten*} \begin{Bemerkungl} Die Papierebene haben wir in \ref{HMAn} als Kongruenzebene durch die Angabe einer ausgezeichneten Gruppe von Kongruenzen modelliert und haben gesehen, wie dieses Datum eine euklidische Struktur \ref{Eukl} auf dem Richtungsraum liefert und damit nach \ref{Laenge} eine Gerade von L"angeneinheiten. F"ur den Anschauungsraum der klassischen Mechanik kann man genauso vorgehen, vergleiche \ref{MAn}. Im Fall des Raumzeit gehen wir stattdessen davon aus, da"s wir in ihrem Richtungsraum den Lichtkegel kennen, und zeigen im folgenden, wie man davon ausgehend eine \glqq pseudoeuklidische Struktur\grqq\ erkl"aren kann, aus der wir dann ein Gerade von \glqq relativistischen L"angeneinheiten\grqq\ konstruieren. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Bestimmung quadratischer Formen aus ihren Nullstellen}] Haben zwei nichtausgeartete indefinite \hyperref[QuFo]{quadratische Formen} auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum dieselben Nullstellen,\label{DTF} so sind sie linear abh"angig alias gleich bis auf eine multiplikative Konstante. \end{Lemma} \begin{proof} Sicher reicht es zu zeigen, da"s jede quadratische Form $q:\DR^n\ra\DR$, die f"ur $0n$ als positiv auszeichnet. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Der Richtungsraum der \glqq Raumzeit der speziellen Relativit"atstheorie\grqq\ tr"agt eine nach \ref{DTF} durch den Lichtkegel wohlbestimmte pseudoeuklidische Struktur $S$.\label{psEUS} Gegeben $s\in S$ vom Typ $(3,1)$ gilt f"ur einen Richtungsvektor $v$ ganz allgemein $$\begin{array}{lll} s(v,v)>0&\IFF&v \text{ ist raumartig}\\ s(v,v)=0&\IFF&v \text{ ist lichtartig}\\ s(v,v)<0&\IFF&v \text{ ist zeitartig} \end{array}$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein bilinear strukturierter Vektorraum $(V,S)$ erkl"aren wir seine {\bf L"angengerade}\index{L"angengerade} $\mathbb L=\mathbb L(V,S)$ wie im euklidischen Fall als die Betragswurzel \ref{Betw} aus dem Dualraum von $S$, in Formeln $$\mathbb L(V,S)\pdef \sqrt{|S^\ttop|}$$ Die L"angengerade ist also ein orientierter eindimensionaler reeller Vektorraum. Wie im euklidischen Fall erkl"aren wir die {\bf L"ange}\index{L"ange}\label{Laengep} $$\|\;\|:V\ra\mathbb L$$ durch die Vorschrift $\|v\|\pdef \sqrt{|\lambda_v|}$ f"ur $\lambda_v:S\ra \DR$ gegeben durch $s\mapsto s(v,v)$ und haben $\|\alpha v\|=|\alpha| \|v\|\;\forall\alpha\in\DR$. F"ur jede strukturvertr"agliche Abbildung $f:V\ra W$ von bilinear strukturierten Vektorr"aumen gibt es genau eine lineare Abbildung $\mathbb L(f):\mathbb L(V)\ra\mathbb L(W)$ mit $\|v\|\mapsto\|f(v)\|\;\forall v\in V$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die positiven Elemente der L"angengerade des Richtungsraums der Raumzeit der speziellen Relativit"atstheorie hei"sen {\bf relativistische Zeiteinheiten}\index{Zeiteinheit!relativistische} oder gleichbedeutend {\bf relativistische L"angeneinheiten}.\index{L\"angeneinheit!relativistische} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Einen linearen Automorphismus eines bilinear strukturierten Vektorraums $(V,S)$ nennen wir {\bf orthogonal},\index{orthogonal} wenn er jede Bilinearform $s\in S$ erh"alt. Die Gruppe aller orthogonalen Automorphismen eines von $(V,S)$ nennen wir seine {\bf orthogonale Gruppe} und notieren sie $${\op{O}}(V)={\op{O}}(V,S)$$ Ist $V$ dar"uber hinaus endlichdimensional, so erkl"aren wir weiter seine {\bf spezielle orthogonale Gruppe} $${\op{SO}}(V)={\op{SO}}(V,S)$$ als die Untergruppe ${\op{SO}}(V)\subset {\op{O}}(V)$ aller orientierungserhaltenden orthogonalen Automorphismen von $V$. Im Fall einer pseudoeuklidischen Struktur haben offensichtlich alle Elemente von ${\op{O}}(V)$ bereits die Determinante $\pm 1$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein reeller affiner Raum $E$ mit einer bilinearen Struktur auf seinem Richtungsraum nennen wir diejenigen Affinit"aten, deren Richtungsanteil orthogonal ist, die {\bf orthogonalen Affinit"aten}.\index{orthogonal!Affinit"at} Die Gruppe aller orthogonalen Affinit"aten notieren wir $\op{O}_{\op{aff}}(E)$\index{O@$\op{O}_{\op{aff}}(E)$ orthogonalaffine Gruppe} und nennen sie die {\bf orthogonalaffine Gruppe}.\index{orthogonalaffine Gruppe} Diejenigen Affinit"aten, deren Richtungsanteil eine lineare "Ahnlichkeit ist, nennen wir {\bf "Ahnlichkeiten}.\index{"Ahnlichkeit} Die Gruppe der "Ahnlichkeiten notieren wir $\op{GO}_{\op{aff}}(E)$.\index{GO@$\op{GO}_{\op{aff}}(E)$ "Ahnlichkeiten} \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben der Vektorraum $V=\DR^2$ mit der symmetrischen Bilinearform $\langle (x_1,x_2),(y_1,y_2)\rangle=x_1y_2+ x_2y_1$ zeige man, da"s die orthogonale Gruppe $\op{O}(V)$ beschrieben werden kann als $$\begin{array}{rcl} \op{O}(V) &=& \left.\left\{ \begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a^{-1} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 &a\\a^{-1} &0 \end{pmatrix} \right| a\in\DR^\times \right\} \end{array}$$ Man verwendet vielfach die Notation $\DR^{p+q}$ f"ur den Vektorraum $\DR^{p+q}$ mit der symmetrischen Bilinearform zur Fundamentalmatrix $\op{diag}({\op{I}}_p,-{\op{I}}_q)$ und\label{Opq} die Notation $\op{O}(p,q)\pdef \op{O}(\DR^{p+q})$. Man zeige, da"s die eben beschriebene Gruppe $\op{O}(V)$ isomorph ist zu $\op{O}(1,1)$. Man mag die ersteren Elemente oben \glqq hyperbolische Rotationen\grqq\ nennen und die letzteren Elemente \glqq hyperbolische Spiegelungen\grqq. \end{Ubung} \subsection{Affine Struktur durch Lichtkegel*} \begin{Satz}[\textbf{Alexandroff}] \index{Alexandroff, Satz von} Auf einer Menge $X$ mit einer Relation $\cal{L}^+\subset X^2$ existiert h"ochstens eine Struktur als reeller affiner Raum der Dimension $\op{dim}_\DR X=4$ derart, da"s\label{Alexx} es linear unabh"angige Linearformen $x,y,z,t$ auf dem zugeh"origen Richtungsraum $\vec X$ gibt mit $$\mathcal L^+=\{(p,p+v)\mid v\in\vec{X}\text{ mit } x(v)^2 + y(v)^2 + z (v)^2 - t(v)^2 =0\text{ und } t(v) \geq 0 \}$$ \end{Satz} \begin{proof} Das folgt unmittelbar aus der anschlie"senden Proposition \ref{PAer}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Dieser Satz sagt uns, da"s in der speziellen Relativit"atstheorie die Struktur der Raumzeit als reeller affiner Raum bereits durch die Vorgabe der Lichtkegel eindeutig bestimmt ist. Eine analoge Aussage f"ur die klassische Mechanik ist Satz \eref{IAGe}{LA1}, nach dem die Struktur des Raums der klassischen Mechanik als reeller affiner Raum bereits durch die Vorgabe der Sichtlinien eindeutig bestimmt ist. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Man betrachte auf $X\pdef\DR^4$ die Relation $$\mathcal{L}^+\pdef\{ (p,p+ (x,y,z,t)^\ttop) \in X^2 \mid x^2 + y^2 + z^2 - t^2 =0,\; t \geq 0\}$$ Alle Bijektionen $\phi:X\sira X$, die diese Relation festhalten, die also in Formeln die Eigenschaft\label{PAer} $(\phi\times \phi)(\mathcal{L}^+)=\mathcal{L}^+$ haben, sind affin. \end{Proposition} %Das wird in \cite{BenzLT} ausgef"uhrt. \begin{proof} Wir gehen in mehreren Schritten vor. \\[2mm]\noindent 1. Geraden mit lichtartigem Richtungsvektor k"onnen allein mithilfe der Daten $(X,\mathcal{L}^+)$ beschrieben werden als die maximalen Teilmengen $L\subset X$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur alle $p,q\in L$ gilt $(p,q)\in \cal{L}^+$ oder $(q,p)\in \cal{L}^+$. Unsere Bijek\-tion $\phi$ "uberf"uhrt folglich Geraden mit lichtartigem Richtungsvektor in ebensolche. \\[2mm]\noindent 2. Gegeben ein Ereignis $p \in X$ bezeichne $\mathcal L^+_p \pdef \{ x \in X \mid (p,x) \in \mathcal L^+\}$ den \glqq vom Ereignis $p$ ausgehenden Lichtkegel\grqq\ und $\mathcal L_p^- \pdef \{ x \in X \mid (x,p) \in \mathcal L^+\}$ den \glqq beim Ereignis $p$ endenden inversen Lichtkegel\grqq\, und $$\mathcal L_p \pdef \mathcal L^+_p \cup \mathcal L^-_p $$ den \glqq beidseitigen Lichtkegel zu $p$\grqq. Von einem Punkt $p$ ausgehende Lichtstrahlen k"onnen allein mithilfe der Daten $(X,\mathcal{L}^+)$ beschrieben werden als Schnitte des von $p$ ausgehenden Lichtkegels mit durch $p$ laufenden Geraden mit lichtartigem Richtungsvektor. Bei einem Punkt $p$ ankommende Lichtstrahlen k"onnen ebenso allein mithilfe der Daten $(X,\mathcal{L}^+)$ beschrieben werden als Schnitte des bei $p$ endenden inversen Lichtkegels mit durch $p$ laufenden Geraden mit lichtartigem Richtungsvektor. \\[2mm]\noindent 3. Auf der Raumzeit $X$ betrachten wir die kleinste transitive und reflexive Relation $\mathcal{K}^+$ im Sinne von \eref{REE}{AN1}, die die Relation $\mathcal{L}^+$ umfa"st. Explizit haben wir also $(p,q) \in \mathcal{K}^+$ genau dann, wenn es eine Sequenz $p = p_0, p_1, \ldots, p_n=q$ von Ereignissen gibt mit $(p_{i-1},p_i) \in \mathcal{L}^+$ f"ur $i =1, \ldots, n$. Es scheint mir klar, da"s $(p,q)\in \mathcal K^+$ gleichbedeutend ist dazu, da"s $q-p$ kausal ist. Wann also $q$ kausal zu $p$ liegt oder umgekehrt, ist auch bereits durch die Daten $(X,\mathcal{L}^+)$ festgelegt. Wann weder das eine noch das andere gilt, wann also $p$ raumartig zu $q$ liegt, ist mithin auch bereits durch die Daten $(X,\mathcal{L}^+)$ festgelegt. \\[2mm]\noindent 4. Wir zeigen nun, da"s auch Geraden mit raumartigem Richtungsvektor allein mithilfe der Daten $(X,\mathcal{L}^+)$ beschrieben werden k"onnen. Gegeben zwei verschiedene Punkte $p, q \in X$ mit raumartigem Verbindungsvektor $q-p$ setzen wir dazu \begin{equation*} N (p,q) \pdef \{ r \in X \mid \mathcal L_p \cap \mathcal L_q \cap \mathcal L_r = \emptyset\} \end{equation*} In der anschlie"senden Bemerkung \ref{Npq} geben wir eine explizite Beschreibung dieser Menge $N (p,q)$. Sie zeigt, da"s ein Punkt $r \in X \backslash \{p, q\}$ genau dann auf der Geraden durch $p$ und $q$ liegt, wenn gilt $r \in N (p,q)$ und wenn es zus"atzlich weder einen von $r$ ausgehenden noch einen bei $r$ ankommenden Lichtstrahl gibt, der ganz in $N (p,q)$ enthalten ist. Das zeigt, da"s auch Geraden mit raumartigem Richtungsvektor allein mithilfe der Daten $(X,\mathcal{L}^+)$ beschrieben werden k"onnen. \\[2mm]\noindent 5. Zu je zwei Geraden mit raumartigem Richtungsvektor, die sich in genau einem Punkt $p$ treffen, bildet nun die Vereinigung aller raumartigen Geraden, die unsere beiden vorgegebenen Geraden in verschiedenen Punkten treffen, zusammen mit $p$ eine affine Ebene in $X$, und wir erhalten so alle affinen Ebenen in $X$. Also macht unsere Bijektion $\phi$ affine Ebenen zu affinen Ebenen und damit beliebige affine Geraden alias Schnitte verschiedener affiner Ebenen mit mindestens zwei Punkten zu affinen Geraden. Dann aber mu"s unsere Abbildung nach \eref{IAGe}{LA1} bereits affin sein. \end{proof} % Auf der Raumzeit $X$ betrachten wir weiter die % kleinste transitive und reflexive Relation % $\mathcal{K}^+$ im Sinne von \eref{REE}{AN1}, % die die Relation $\mathcal{L}^+$ umfa"st. % Genau dann gilt % $(p,q) \in \mathcal{K}^+$ % $q$ zu $p$ kausal liegt. Auch diese Relation h"angt also nur von $\mathcal % L^+$ ab. % Sind Ereignisse $p,q$ gegeben derart, da"s weder $p$ % kausal liegt zu $q$ noch $q$ kausal zu $p$, so sagen % wir, die Ereignisse liegen \defind{raumartig} zueinander. % Insbesondere ist das durch die Vorgabe von $\mathcal L^+$ bereits % bestimmt. % \begin{Lemma} % Sind $p \neq q$ zwei zueinander raumartige Ereignisse in $X$, so liegt $r \in X \backslash \{p,q\}$ genau % dann auf der Geraden durch $p$ und $q$, wenn gilt % \begin{equation*} % r \in N (p,q) \text{ und } \mathcal L_r \cap N (p,q) = \emptyset. % \end{equation*} % \end{Lemma} \begin{Bemerkungl}\label{Npq} Hier holen wir die explizite Beschreibung der Menge $N (p,q)$ nach, die im vorhergehenden Beweis ben"otigt wurde. Gegeben $r \in X \backslash \{p,q\}$ sind wir in genau einem der folgenden F"alle: \\[2mm]\noindent 1. $r$ liegt auf einer Gerade mit $p$ und $q$. Dann gilt offensichtlich $r \in N (p,q);$ \\[2mm]\noindent 2. $r$ spannt mit $p$ und $q$ eine affine Ebene auf, deren von Null verschiedene Richtungsvektoren s"amtlich raumartig sind. Dann gilt offensichtlich $r \not\in N (p,q);$ \\[2mm]\noindent 3. $r$ spannt mit $p$ und $q$ eine affine Ebene auf, auf deren Richtungsraum unsere Bilinearform ausgeartet ist. F"ur derartige $r$ gilt $r \in N (p,q) \Leftrightarrow r \in \mathcal L_p \cup \mathcal L_q$. Um das zu sehen, m"ussen wir etwas rechnen. Da unsere Fragestellung unter Streckungen invariant ist, d"urfen wir nach der Variante \eref{SvWA}{LA2} des Satzes von Witt ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $p=(0,0,0,0), q = (2,0,0,0)$ und $r = (x, 0, t, t)$ annehmen mit $t \neq 0$. Dann ist $r \in N(p,q)$ gleichbedeutend zur Unl"osbarkeit des Gleichungssystems \begin{displaymath} \begin{array}{rrr} \lambda^2 + \mu^2 + \nu^2 - \tau^2 & =& 0\\ (\lambda - 2)^2 + \mu^2 + \nu^2 - \tau^2 &=&0\\ (\lambda - x)^2 + \mu^2 + (\nu - t)^2 - (\tau - t)^2 &=& 0 \end{array} \end{displaymath} Durch Subtraktion der obersten Gleichung von den beiden anderen erhalten wir das "aquivalente System \begin{displaymath} \begin{array}{rrr} \lambda^2 + \mu^2 +\nu^2 - \tau^2 & =& 0\\ \lambda &=&1\\ x^2 - 2 \lambda x + t^2 -2\nu t - t^2 + 2 \tau t & =& 0 \end{array} \end{displaymath} und weiter das "aquivalente System \begin{displaymath} \begin{array}{rrl} 1 + \mu^2 + (\nu + \tau) (\nu - \tau) &=&0\\ x^2 - 2x &= & 2 t (\nu - \tau) \end{array} \end{displaymath} und schlie"slich das "aquivalente System \begin{equation*} 1 + \mu^2 + (\nu + \tau) (x^2 - 2 x) / 2t =0 \end{equation*} Dies System aber ist unl"osbar f"ur $x^2 - 2x = 0$ und l"osbar sonst, was genau unserer Behauptung entspricht. \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildTAUn}\\[4mm] \noindent BlahBlah \end{Bild} \\[2mm]\noindent 4. $r$ spannt mit $p$ und $q$ eine affine Ebene auf, auf deren Richtungsraum unsere Bilinearform indefinit ist. In diesem Fall zeigen wir \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} r \in N (p,q) & \Leftrightarrow & \begin{array}[t]{l} r \text{ liegt raumartig zum einen und kausal oder}\\ \text{antikausal zum anderen unserer beiden Punkte } p, q,\\ \text{liegt jedoch mit keinem der beiden auf einer Lichtgerade.} \end{array}\end{array} \end{displaymath} Der Nachweis geschieht wieder durch Rechnung. Diesmal d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $p = (0,0,0,0), q = (2, 0,0,0)$ und $r = (x, 0,0,t)$ mit $ t \neq 0$ annehmen. Dann ist $r \in N (p,q)$ "aquivalent zur Unl"osbarkeit des Gleichungssystems \begin{displaymath} \begin{array}{rrr} \lambda^2 + \mu^2 + \nu^2 - \tau^2 & =& 0\\ (\lambda - 2)^2 + \mu^2 + \nu^2 - \tau^2 & =& 0\\ (\lambda - x)^2 + \mu^2 + \nu^2 - (\tau - t)^2 &=& 0 \end{array} \end{displaymath} Wie zuvor gelangen wir durch Subtraktion der ersten Gleichungen von den anderen zum "aquivalenten Gleichungssystem \begin{displaymath} \begin{array}{rrr} 1 + \mu^2 + \nu^2 - \tau^2 & = &0\\ x^2 - 2x + 2 \tau t - t^2 &=&0 \end{array} \end{displaymath} Die zweite Gleichung liefert $\tau = (t^2 + 2x - x^2) /2 t$ und das System ist genau dann l"osbar wenn f"ur dies $\tau = \tau (x,t)$ gilt $\tau^2 \geq 1$. Suchen wir die $(x,t) \in \mathbb R^2$ mit $t \neq 0$ und $\tau (x,t) =1$, so ergibt sich \begin{equation*} 2 (t-x) = (t-x)(t+x) \end{equation*} alias $t = x$ oder $t = 2-x$. Suchen wir die $(x,t) \in \mathbb R^2$ mit $t \neq 0$ und $\tau (x,t) = -1$, so ergibt sich analog \begin{equation*} -2 (t +x) = (t-x) (t+x) \end{equation*} alias $t = -x$ oder $t = x -2$. Wir erhalten auf diese Weise nebenstehendes Bild f"ur die Stellen, an denen $\tau$ den Wert Eins beziehungsweise Minus Eins annimmt. Es folgt, da"s $\tau^2$ in den offenen schraffierten Bereichen kleiner ist als Eins, so da"s wir dort keine L"osungen haben. Ebenso folgt, da"s $\tau^2$ in allen "ubrigen Bereichen gr"o"ser als Eins ist, so da"s wir dort L"osungen haben. Keine L"osungen finden wir also genau dann, wenn $r$ strikt raumartig zu einem unserer Punkte $p,q$ und strikt zeitartig zum anderen liegt. \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXLA2" %%% End: