\section{Unbefriedigende Versuche} \subsection{Darstellungen in Hilbertr"aumen} \begin{Satz} Seien $G$ eine kompakte Hausdorffgruppe und $\mathcal H$ ein Hilbertraum und $G\times \mathcal H\ra \mathcal H$ eine stetige Operation durch lineare Abbildungen. So existiert eine Familie von endlichdimensionalen $G$-stabilen paarweise orthogonalen Teilr"aumen $\mathcal H_i\subset \mathcal H$, die irreduzibel sind als Darstellungen von $G$ und deren Summe dicht ist in $\mathcal H$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Integration vektorwertiger Funktionen, Variante}] Gegeben $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $\mu$ ein komplexes Radon-Ma"s auf $X$, ja ein beliebiger kompakter topologischer Raum $X$ mit\label{IVFFkn} einer f"ur die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz stetigen Linearform $\mu:\cal{C}(X) \ra \Bbb{C}$, gibt es f"ur jeden Hilbertraum $\mathcal H$ genau eine lineare Abbildung $$\mu=\mu_{\mathcal H}:\cal{C}(X,\mathcal H) \ra \mathcal H$$ mit der Eigenschaft $\langle\mu_{\mathcal H}(f),v\rangle=\mu$ f"ur alle stetigen Funktionen $f:X\ra V$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}\emph{Wohin?}\label{DiSUU} Ist $V$ eine unit"are Darstellung einer kompakten abz"ahlbar basierten topologischen Gruppe $K$, so sind die $e_\lambda V$ f"ur $\lambda \in \hat{K}$ abgeschlossene $K$-invariante Teilr"aume, die paarweise aufeinander senkrecht stehen und deren Summe dicht liegt. \end{Satz} \subsection{Funktionen auf kompakten Matrix-Liegruppen} \emph{Wohin?} \begin{Lemma} Gegeben eine kompakte Matrix-Liegruppe liegen die Matrixkoeffizienten der reellen stetigen endlichdimensionalen Darstellungen dicht im Raum aller stetigen reellwertigen Funktionen auf unserer Gruppe in Bezug auf die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das folgt sofort aus dem Satz von Stone-Weierstra"s \eref{SW}{AN2}, da ja die darstellenden Funktionen eine Unterringalgebra von $\cal{C}(G;\DR)$ bilden, die die Punkte trennen mu"s, da schon die Matrixkoeffizienten der definierenden Darstellung unserer Matrix-Liegruppe die Punkte trennen. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben eine kompakte Matrix-Liegruppe liegen die Matrixkoeffizienten der komplexen stetigen endlichdimensionalen Darstellungen dicht im Raum aller stetigen komplexwertigen Funktionen auf unserer Gruppe in Bezug auf die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das folgt sofort aus dem Satz von Stone-Weierstra"s f"ur komplexwertige Funktionen \eref{SWC}{AN2}, da ja die darstellenden Funktionen eine unter komplexer Konjugation stabile Unterringalgebra von $\cal{C}(G)$ bilden, die die Punkte trennt. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Orthonormalit"atsrelationen f"ur Matrixkoeffizienten}] Sei $G$ eine kompakte Matrix-Liegruppe.\label{OrRe} Bilden die $\rho^{\lambda} : G \ra \op{U}(d^\lambda)$ ein Re\-pr"a\-sentantensystem f"ur die Isomorphieklassen stetiger einfacher unit"a\-rer Darstellungen von $G$, so bilden die renormalisierten Matrixkoeffizienten $\sqrt{d^\lambda} \;\rho^{\lambda}_{ij}$ eine Hilbert-Basis von $\op{L}^{2}(G)$. \end{Satz} \begin{proof} \end{proof} \begin{Lemma}\label{MKMK} Ist $G\subset \op{GL}(n;\DR)$ eine kompakte Untergruppe, so sind die Matrixkoeffizienten von $G$ genau die Restriktionen von Polynomen in den Matrixeintr"agen. \end{Lemma} \begin{proof} Das gilt sowohl f"ur Matrixkoeffizienten reeller Darstellungen und Polynome mit reellen Koeffizienten wie f"ur Matrixkoeffizienten komplexer Darstellungen und Polynome mit komplexen Koeffizienten. Beide F"alle sind offensichtlich "aquivalent und wir konzentrieren uns der Einfachkeit halber auf den komplexen Fall. Die fraglichen Restriktionen liegen dicht in $\cal{C}(G)$ nach Stone-Weierstra"s \eref{SWC}{AN2} und sie bilden offensichtlich einen Teilraum im Raum aller komplexen Matrixkoeffizienten von $G$, der stabil ist unter allen Rechts- und Linkstranslationen. Dieser Teilraum ist also eine Summe von R"aumen von Matrixkoeffizienten einfacher Darstellungen, und w"urde hier eine einfache Darstellung fehlen, so k"onnte unser Teilraum wegen der Orthogonalit"atsrelationen \ref{OrRe} nicht dicht sein. \end{proof} \begin{Beispiel} F"ur $G=S^{1}$ erhalten wir als Spezialfall die S"atze \ref{??} aus der Theorie der Fouriereihen. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Orthonormalit"atsrelationen f"ur Charaktere}] Die irreduziblen Charaktere einer kompakten Matrix-Liegruppe liegen in Bezug auf die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz dicht im Raum der stetigen Klassenfunktionen und bilden eine Hilbertbasis des Raums der quadratintegrierbaren Klassenfunktionen. \end{Satz} \begin{proof} Die Abbildung $P : \cal{C} (G) \ra \cal{C} (G)$ mit $(Pf)(x) = \int f (g^{-1}x g) dg$ ist eine Projektion auf den Raum der Klassenfunktionen und ist stetig f"ur die $\op{sup}$-Norm. Folglich liegen die Projektionen der Matrixkoeffizienten dicht im Raum der Klassenfunktionen. Die Projektion eines Matrixkoeffizienten einer irreduziblen Darstellung ist jedoch ein Vielfaches ihres Charakters. \emph{Noch vervollst"andigen} \end{proof} \subsection{Konvolution auf topologischen Gruppen} \begin{Definition} Unter einem Ma"s auf einem topologischen Raum verstehen wir, wenn nichts anderes explizit gesagt wird, stets ein Ma"s auf der $\sigma$-Algebra der topologisch me"sbaren Teilmengen. Wollen wir das besonders betonen, so sprechen wir von einem \defnoind{topologischen Ma"s}.\index{Ma"s!topologisches}\index{topologisch!Ma"s} Die komplexen Ma"se auf einem topologischen Raum $X$ notieren wir wie in \eref{ArMa}{AN3} $${\op{M}}(X)$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Bei der Diskussion von Ma"sen auf Produkten topologischer R"aume steht man im allgemeinen vor dem Problem, da"s nicht alle offenen Mengen des Produkts zur Produkt-$\sigma$-Algebra geh"oren m"ussen. Ein topologischer Raum hei"st nach \eref{sep}{AN3} abz"ahlbar basiert, wenn er eine abz"ahlbare Basis der Topologie besitzt. F"ur abz"ahlbar basierte R"aume geh"oren offensichtlich alle offenen Mengen des Produkts zur Produkt-$\sigma$-Algebra. Sind $X$ und $Y$ abz"ahlbar basierte topologische R"aume, so liefert das Bilden des Produktma"ses demnach mithilfe von \eref{PKM}{AN3} eine bilineare Abbildung $$ \op{M}(X) \times \op{M}(Y) \ra \op{M}(X \times Y) $$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{FaMaG} Gegeben eine abz"ahlbar basierte topologische Gruppe $G$ erkl"aren wir in Verallgemeinerung von \eref{KonM}{AN3} die {\bf Faltung}\index{Faltung!von Ma"sen!auf topologischer Gruppe} oder {\bf Konvolution}\index{Konvolution!von Ma"sen!auf topologischer Gruppe} {\bf von Ma"sen} $$\begin{array}{ccc} \op{M}(G) \times \op{M}(G) &\ra & \op{M}(G)\\ (\mu \;,\; \nu) &\mapsto & \mu \ast\nu \end{array}$$ dadurch, da"s sie einem Paar von Ma"sen $(\mu , \nu)$ das Bild $\mu\ast\nu = m_{\ast} (\mu \boxtimes \nu)$ des Produktma"ses $\mu \boxtimes \nu$ auf $G\times G$ unter der Multiplikation $m : G \times G \ra G$ zuordnet. Auf diese Weise wird $\op{M}(G)$ ein Ring, und wir k"onnen den Gruppenring $\Bbb{C} G $ darin als Teilring einbetten, indem wir jedem $g\in G$ das Dirac-Ma"s bei $g$ zuordnen. Die Assoziativit"at unserer Konvolution zeigt man wie in \eref{BLKo}{AN3}. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Arbeitet man mit lokal kompakten Gruppen, so kann man die Forderung \glqq abz"ahlbar basiert\grqq\ umgehen und die Theorie f"ur beliebige lokal kompakte Gruppen entwickeln auf der Basis von sogenannten \glqq Radon-Ma"sen\grqq, als da hei"st geeigneten Linearformen auf dem Raum der stetigen Funktionen mit kompaktem Tr"ager. Das bringt jedoch zus"atzliche Komplikationen mit sich und f"ur unsere Ziele ist diese Allgemeinheit auch nicht wichtig. \end{Bemerkunge} \begin{Definition} [\textbf{Faltung von Ma"sen mit stetigen Funktionen}] Ist $G$ eine abz"ahlbar basierte topologische Gruppe,\label{FMSFg} $\mu\in \op{M}(G)$ ein komplexes Ma"s auf $G$ und $f:G\ra\DC$ stetig und beschr"ankt, so erkl"aren wir eine weitere stetige beschr"ankte Funktion $\mu\ast f$ auf $G$ durch die Vorschrift $$(\mu\ast f)(x)=\int f(y^{-1}x)\;\mu\langle y\rangle$$ Es reicht hier, die Stetigkeit im Fall nichtnegativer endlicher Ma"se $\mu$ zu zeigen, in dem sie aus dem Satz "uber dominierte Konvergenz folgt: F"ur Funktionen auf abz"ahlbar basierten topologischen R"aumen impliziert n"amlich nach \eref{AZUn}{ML} die Folgen\-stetigkeit bereits die Stetigkeit. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Die Beschr"anktheit von $f$ ist hier wichtig, um die Konvergenz des Integrals zu sichern. Man kann Ma"se auch \glqq von rechts\grqq\ an Funktionen falten, dazu betrachte man $( f\ast\mu)(x)=\int f(xy)\;\mu\langle y\rangle$. Ich will das hier nicht weiter verfolgen, alle diese Konstruktionen werden sich sp"ater eh als Spezialf"alle der \glqq Wirkung von Ma"sen auf Darstellungen\grqq\ erweisen. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel} Ist $E\subset G$ endlich und $\mu=\sum_{y\in E}a_y\delta_y$ eine Linearkombination von Diracma"sen mit komplexen Koeffizienten, so haben wir $$\mu\ast f=\sum_{y\in E}a_y \acute{y}f$$ "Ahnliches gilt allgemeiner f"ur abz"ahlbare Linearkominationen von Diracma"sen mit einer absolut konvergenten Familie von Koeffizienten. \end{Beispiel} \begin{Ubung} Sind $G$ eine abz"ahlbar basierte topologische Gruppe, $\mu,\nu\in \op{M}(G)$ komplexe Ma"se auf $G$ und $f:G\ra\DC$ stetig und beschr"ankt, so gilt $$\mu\ast(\nu\ast f)=(\mu\ast\nu)\ast f$$ \end{Ubung} \begin{Lemma}[\textbf{Faltung von Ma"sen mit $\op{L}^p$-Funktionen}] Sei $G$ eine abz"ahlbar basierte topologische Gruppe,\label{FMSFpg} $\mu\in \op{M}(G;[0,\infty))$ ein nichtnegatives endliches Ma"s auf $G$ und $f:G\ra\DC$ eine $\op{L}^p$-Funktion f"ur $1\leq p<\infty$ in Bezug auf ein linksinvariantes nichtnegatives $\sigma$-endliches Ma"s $\lambda$. So ist die Funktion $y\mapsto f(y^{-1}x)$ f"ur alle $x\in G$ au"serhalb einer $\lambda$-Nullmenge integrierbar in Bezug auf $\mu$, die fast "uberall definierte Funktion $\mu\ast f$ gegeben durch $$ (\mu\ast f)(x)=\int f(y^{-1}x)\;\mu\langle y\rangle$$ ist wieder eine $\op{L}^p$-Funktion und es gilt $\|\mu\ast f\|_p\leq \mu(G)\| f\|_p$. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Wir erkl"aren dann die Faltung von komplexen Ma"sen mit $\op{L}^p$-Funktionen $\op{M}(G)\times \op{L}^p(G;\lambda)\ra \op{L}^p(G;\lambda)$, $(\mu,f)\mapsto \mu\ast f$ durch lineare Fortsetzung. Das Lemma ist eine direkte Verallgemeinerung der entsprechenden Aussage \eref{FMSFp}{AN3} aus der Theorie der Fouriertransformationen und ihr Beweis ist eine Kopie, bei der ich nur $V$ durch $G$ und $x-y$ durch $y^{-1}x$ zu ersetzen hatte. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Der Satz von Fubini zeigt, da"s f"ur jedes Haar-Ma"s $\lambda$ das Produktma"s $\lambda\boxtimes \mu$ unter der Scherung $S:G\times G\ra G\times G$, $(x,y)\mapsto (y^{-1}x,y)$ invariant ist. Wir behandeln nun zun"achst den Fall $p=1$. F"ur $f\in \op{L}^1(G;\lambda)$ bilden wir die Funktion $(f\circ \op{pr}_1):(x,y)\mapsto f(x)$ und nach Fubini gilt $$(f\circ \op{pr}_1)\in \op{L}^1(G\times G;\lambda\boxtimes \mu)$$ Daraus folgt, da"s auch $(f\circ\op{pr}_1\circ S):(x,y)\mapsto f(y^{-1}x)$ integrierbar ist unter dem Produktma"s, und der Satz von Fubini zeigt dann die Behauptung. Im Fall von beliebigem $p$ k"onnen wir unsere bis hier gewonnenen Erkenntnisse auf die Funktion $|f|^p$ anwenden und erhalten so, da"s $y\mapsto |f(y^{-1}x)|^p$ f"ur alle $x$ au"serhalb einer $\lambda$-Nullmenge nach $\mu\langle y\rangle$ integriert werden kann. % und da"s diese Integrale eine %nach $\lambda\langle x\rangle$ integrierbare Funktion $F(x)$ mit %Integral $\mu(G)\|f\|_p^p$ liefern. Bemerkung \eref{HoU}{AN3} aus dem Kontext der H"olderungleichung angewandt auf die Funktion $h_x(y)= f(y^{-1}x)$ aus $\op{L}^p(G;\mu)$ und die konstante Funktion 1 aus $\op{L}^q(G;\mu)$ zeigt dann, da"s f"ur alle $x$ au"serhalb derselben $\lambda$-Nullmenge $h_x$ nach $\mu\langle y\rangle$ integrierbar ist. Bezeichnen wir dies Integral wie im Satz mit $(\mu\ast f)(x)$, so zeigt die H"olderungleichung \eref{HoU}{AN3} weiter $$|(\mu\ast f)(x)|\leq \|h_x\|_1\leq \|1\|_q\|h_x\|_p$$ f"ur alle $x$ au"serhalb unserer $\lambda$-Nullmenge. Bilden wir auf beiden Seiten die $p$-te Potenz und integrieren "uber $\lambda \langle x\rangle$, so ergibt sich $$\|\mu\ast f\|_p^p\leq \mu(G)^{p/q}\left(\int |f(y^{-1}x)|^p \;\lambda\boxtimes \mu \right)= \mu(G)^{1+p/q}\|f\|_p^p =\mu(G)^p\|f\|_p^p \qedhere$$ \end{proof} \begin{Ubung}\label{FFFMg} Gegeben ein linksinvariantes nichtnegatives $\sigma$-endliches Ma"s $\mu$ auf einer abz"ahlbar basierten topologischen Gruppe $G$ und $f\in \op{L}^1(G;\mu)$ zeige man f"ur jedes weitere komplexe Ma"s $\lambda\in \op{M}(G)$ die Gleichheit von Ma"sen $(\lambda\ast f)\mu=\lambda\ast (f\mu)$. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Faltung von integrierbaren Funktionen}] Gegeben eine abz"ahlbar basierte kompakte Hausdorff'sche topologische Gruppe $G$ mit normiertem Haar-Ma"s $\mu$ und integrierbare Funktionen $h\in \op{L}^1(G;\mu)$, $f\in \op{L}^p(G;\mu)$ f"ur $p\in[1,\infty)$ erkl"aren wir ihre Faltung $h\ast f\in \op{L}^p(G;\mu)$ als das Daranfalten im Sinne von \ref{FMSFpg} des Ma"ses $h\mu$, in Formeln $h\ast f=(h\mu)\ast f$. Ausgeschrieben gilt also fast "uberall $$ (h\ast f)(x)=\int h(y)f(y^{-1}x)\;\mu\langle y\rangle$$ und \ref{FMSFpg} liefert die Absch"atzung $\|h\ast f\|_p\leq \|h\|_1\| f\|_p$. In derselben Weise erhalten wir nach \ref{FMSFg} auch f"ur $f\in {\cal C}(G)$ stetig eine stetige Funktion $h\ast f=(h\mu)\ast f$ mitsamt der Absch"atzung $\|h\ast f\|_\infty\leq \|h\|_1\| f\|_\infty$. Die durch Multiplikation mit dem Ma"s $\mu$ nach \eref{NFNM}{AN3} induzierte Einbettung $\op{L}^1(G;\mu)\hra \op{M}(G)$ ist nach \ref{FFFMg} vertr"aglich mit den jeweiligen Faltungen, in Formeln $$(f\ast g)\mu =(f\mu)\ast (g\mu)$$ Insbesondere ist also auch die Faltung von integrierbaren Funktionen assoziativ. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben unit"are Charaktere $\chi,\zeta$ auf der Kreislinie $S^1$ gilt $\chi\ast \chi=\chi$ und $\chi\ast \zeta=0$ falls $\chi\neq \zeta$. Was sind f"ur $h:S^1\ra \DC$ stetig die Eigenwerte und Eigenr"aume von $(h\ast):\op{L}^2(S^1)\ra \op{L}^2(S^1)$? \end{Ubung} \subsection{Restbest"ande} \begin{Satz}[\textbf{Ma"se auf Quotienten}] Gegeben eine lokal kompakte Hausdorffgruppe $G$ und eine abgeschlossene Untergruppe $H\As G$, beide uni\-modular, sowie Haar-Ma"se $\mu_G $ auf $G$ und $\mu_H $ auf $H,$ gibt es genau ein Radonma"s $\mu_{G/H}$ auf $G/H$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur alle $f\in \mathcal C_!(G)$ gilt $$ \int f(x) \mu_G \langle x \rangle =\int_{G/H} \quad \left( \int_H f(xy) \mu_H \langle y \rangle \right) \mu_{G/H} \langle x H\rangle $$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Sicher gibt es eine kompakte Umgebung $V\subset G$ des neutralen Elements. Dann ist $K\pdef (V^{-1}\op{supp}f)\cap H$ ein Kompaktum von $H$ und alle Funktionen $y\mapsto f(xy)$ mit $x\in V$ haben Tr"ager in $K$. Nach \ref{NiFu} ist nun unser Radonma"s $\mu_H$ stetig auf $\mathcal C_K(H,\DR)$ f"ur die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz. Nach \ref{glstu} ist weiter $f$ gleichm"a"sig stetig, f"ur alle $\varepsilon>0$ gibt es also eine Umgebung $U$ des neutralen Elements mit $|f(xy)-f(y)|<\varepsilon$ f"ur alle $x\in U$ und $y\in H$. Wenn $U\subset V$ annehmen etc. etc. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Noch nicht ausgearbeitet. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Ein {\bf Gitter}\index{Gitter!in topologischer Gruppe} in einer unimodularen lokal kompakten Hausdorff'schen Gruppe ist eine diskrete Untergruppe mit der Eigenschaft, da"s der Quotient danach endliches Volumen hat. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Im Fall einer \'etalen Abbildung von abz"ahlbar basierten R"aumen $\phi : X \rightarrow Y$ gibt es zu jedem topologischen Ma"s $\mu$ auf $Y$ genau ein topologisches Ma"s $\nu$ auf $X$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur jede offene Teilmenge $U \co X$, die von $\phi $ hom"oomorph auf eine offene Teilmenge $\phi (U) \co Y$ abgebildet wird, gilt \begin{equation*} \phi : \nu|_{U} \rightsquigarrow \mu|_{\phi (U)} \end{equation*} Mir ist nicht klar, wie das sinnvoll zu notieren ist. Vielleicht $\nu = \phi^!\mu$? \end{Bemerkunge} \begin{Definition} Ein \defind{komplexes Radon-Ma"s} auf einem topologischen Raum ist eine Abbildung von der $\sigma$-Algebra aller Borel-Mengen in die komplexen Zahlen, die sich als endliche Linearkombination mit komplexen Koeffizienten von endlichen positiven Radon-Ma"sen darstellen l"a"st. Wir bezeichnen den $\DC$-Vektor\-raum aller komplexen Radon-Ma"se auf einem topologischen Raum $X$ mit $\op{M}(X).$ \end{Definition} \begin{Lemma} Gegeben ein Radon-Ma"s auf einem lokal kompakten Hausdorffraum gibt es eine gr"o"ste offene Teilmenge vom Ma"s Null. Ihr Komplement hei"st der {\bf\em Tr"ager}\index{Tr"ager!eines Ma"ses} des Ma"ses. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Es gilt zu zeigen, da"s die Vereinigung aller offenen Teilmengen vom Ma"s Null auch Ma"s Null hat. Sonst enthielte sie jedoch wegen der inneren Regularit"at ein Kompaktum von echt positivem Ma"s, und dies Kompaktum m"usste eine endliche "Uberdeckung besitzen durch offene Mengen vom Ma"s Null. Widerspruch! \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben ein komplexes Radon-Ma"s auf einem lokal kompakten Hausdorffraum gibt es eine gr"o"ste offene Teilmenge derart, da"s jede darin enthaltene Borel-me"sbare Teilmenge Ma"s Null hat. Ihr Komplement hei"st wieder der {\bf\em Tr"ager}\index{Tr"ager!eines komplexen Ma"ses} des Ma"ses. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Es gilt zu zeigen, da"s die Vereinigung aller offenen Teilmengen mit besagter Eigenschaft auch besagte Eigenschaft hat. Sonst enthielte diese Vereinigung jedoch eine Borel-me"sbare Teilmenge mit einem von Null verschiedenen Ma"s, und dann auch ein Kompaktum mit einem von Null verschiedenen Ma"s, und das bes"a"se eine endliche Partition in Teilmengen vom Ma"s Null. Widerspruch! \end{proof} \begin{Lemma}\label{FRM} Jede mit der Addition und der Multiplikation mit nichtnegativen reellen Zahlen vertr"agliche Abbildung vom Raum der endlichen positiven Radon-Ma"se auf einem topologischen Raum in einen komplexen Vektorraum l"a"st sich auf genau eine Weise fortsetzen zu einer komplexlinearen Abbildung vom Raum aller komplexen Radon-Ma"se in besagten komplexen Vektorraum. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das ist klar. \end{proof} \subsection{Radon-Ma"se, ALT} \emph{Kommt von woanders, vielleicht hier geeignet einbauen} \begin{Definition} (WAS IST DA FALSCH? ENUMERATE KOMISCH AB HIER!) \begin{enumerate} \item Ein Borelma"s hei"st \defnoind{lokal endlich},\index{lokal endlich!Borelma"s} wenn jeder Punkt eine offene Umgebung von endlichem Ma"s besitzt. \item Ein Borelma"s hei"st \defnoind{von innen regul"ar},\index{regul"ar!von innen, Borelma"s} wenn das Ma"s jeder Borelmenge das Supremum ist "uber die Ma"se aller in ihr enthaltenen Kompakta. Ein Borelma"s hei"st \defnoind{von au"sen regul"ar},\index{regul"ar!von au"sen, Borelma"s} wenn das Ma"s jeder Borelmenge das Infimum ist "uber die Ma"se aller sie enthaltenden offenen Mengen. Ein Borelma"s hei"st \defnoind{regul"ar},\index{regul"ar!Borelma"s} wenn es von innen und au"sen regul"ar ist. \item Ein \defnoind{Radon-Ma"s}\index{positiv!Radonma"s} oder genauer ein \defnoind{positives Radon-Ma"s}\index{positiv!Radonma"s} auf einem topologischen Raum ist ein lokal endliches von innen regul"ares Borelma"s. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Manche Autoren wie z.B.\ \cite{Halmos} verwenden die Begriffe \glqq Borelmenge\grqq\ und \glqq Borelma"s\grqq\ in einer leicht anderen Bedeutung. Ich halte mich an \cite{Bauer}. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben ein Radon-Ma"s auf einem topologischen Raum gibt es eine gr"o"ste offene Teilmenge vom Ma"s Null. Ihr Komplement hei"st der {\bf\em Tr"ager}\index{Tr"ager!eines Radonma"ses} des Ma"ses. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Es gilt zu zeigen, da"s die Vereinigung aller offenen Teilmengen vom Ma"s Null auch Ma"s Null hat. Sonst enthielte sie jedoch wegen der inneren Regularit"at ein Kompaktum von echt positivem Ma"s, und dies Kompaktum m"usste eine endliche "Uberdeckung besitzen durch offene Mengen vom Ma"s Null. Widerspruch! \end{proof} \begin{Bemerkunge} Gegeben eine abz"ahlbar basierte lokal kompakte Hausdorffgruppe $G$ und ein kompakter homogener Raum $X$ von $G$ mit invariantem Ma"s kann man "ahnlich zeigen, da"s ${\op{L}}^2(X)$ eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen von $G$ mit endlichen Vielfachheiten ist. Wieder kommt das daher, da"s die Konvolutionen mit reellen stetigen kompakt getragenen symmetrischen Funktionen auf $G$ kompakte Operatoren liefern. Mehr dazu in \cite{GGP}. Es sollte auch allgemeiner gelten: F"ur von endlichdimensionalen unit"aren Darstellungen unit"ar induzierte, von einer Untergruppe, die topologisch frei wirkt mit kompaktem Quotienten. \end{Bemerkunge} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXALLES" %%% End: