\section{Underivierter Drei-Funktoren-Kalk"ul}  

\subsection{Multilineare Algebra f"ur Garben}
\begin{Bemerkungl}
  Ich erinnere an Schmelzkategorien \eref{MuC}{TS}, universelle Verschmelzungen 
  \eref{mkk}{TS} und Multihom \eref{Muhom}{TS}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Abelsche Garben  als Schmelzkategorie}]
Gegeben ein topologischer Raum $X$ 
k"onnen wir die Kategorie $\op{Ab}_{/X}$ aller abelschen Garben auf $X$ zu einer
\hyperref[]{Schmelzkategorie} machen, indem wir f"ur $r\geq 0$  
eine Verschmelzung $$\phi\in \op{Ab}_{/X}({\mathcal G}_1\curlyvee\ldots \curlyvee
{\mathcal G}_r,\mathcal F)$$ 
erkl"aren als 
eine Vorschrift $\phi$, die jeder
 offenen Teilmenge $U\co X$
 eine multilineare 
Abbildung 
$ \mathcal G_1(U)\times\ldots\times\mathcal G_r(U)\ra \mathcal F(U)$
 so zuordnet,
da"s f"ur  $V\co U$ 
das Diagramm
$$\begin{array}{ccc}
\mathcal G_1(U)\times\ldots\times\mathcal G_r(U)&
\ra &\cal{F}(U)\\
\da&&\da\\
\mathcal G_1(V)\times\ldots\times\mathcal G_r(V)&\ra &\cal{F}(V)
\end{array}$$
mit den Restriktionen in den Vertikalen 
und $\phi$ in den Horizontalen kommutiert. Eine Nullverschmelzung
in eine abelsche Garbe $\mathcal F$ ist  insbesondere ein globaler
Schnitt von $\mathcal F$. 
Die Multiverkn"upfungen sind  die Offensichtlichen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
  In analoger Weise erkl"aren wir f"ur einen beliebigen Kring
$k$ die Schmelzkategorie $k\op{-Mod}_{/X}$ der Garben von $k$-Moduln auf
unserem topologischen Raum $X$.
In analoger Weise erkl"aren wir auch 
 Schmelzkategorien von Pr"agarben.
\end{Bemerkunge}
\begin{Proposition}
  Die Schmelzkategorie $\op{Ab}_{/X}$ der abelschen Garben auf einem
  topologischen\label{TeHoAd} 
  Raum $X$ hat universelle Verschmelzungen und Multihom.
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
Gegeben ein Kring $k$ gilt dasselbe  mit einem analogen Beweis  f"ur  die Schmelzkategorie $k\op{-Mod}_{/X}$ der Garben von $k$-Moduln auf
 $X$.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
  Eine universelle Verschmelzung von abelschen Garben
${\mathcal G}_1,\ldots ,
  {\mathcal G}_r$ erhalten wir als die Garbifizierung der Pr"agarbe
  $U\mapsto {\mathcal G}_1(U)\otimes\ldots \otimes
  {\mathcal G}_r(U)$. Diese Garbe hei"st die {\bf Tensorproduktgarbe}\index{Tensorproduktgarbe} und
 wird $${\mathcal G}_1\otimes\ldots \otimes
  {\mathcal G}_r$$ notiert.
  Eine universelle Nullverschmelzung ist insbesondere
  gegeben durch die konstante Garbe $\DZ_X$ mit dem
  ausgezeichneten globalen Schnitt $1\in\DZ_X(X)$. Ein Multihom
  $({\mathcal G}_1\curlyvee\ldots \curlyvee
  {\mathcal G}_r)\Rrightarrow{\mathcal F}$ k"onnen wir konstruieren als
  diejenige abelsche Garbe, die jedem $U\co X$ die Gruppe $\op{Ab}_{/U}({\mathcal G}_1|_U\curlyvee\ldots \curlyvee
  {\mathcal G}_r|_U,\mathcal F|_U)$ aller Verschmelzungen der
 auf $U$ eingeschr"ankten Garben zuordnet.
  All diese Behauptungen sind leicht
  einzusehen.
\end{proof}
% \begin{proof}
%   Nach  unserem allgemeinen Kriterium \eref{DarsK}{TS}
%   f"ur die Darstellbarkeit einer Schmelzkategorie reicht es zu zeigen,
%   da"s unsere  Schmelzkategorie ein Einsobjekt hat, da"s sie internes Hom hat,
%   und da"s es f"ur jedes Paar von Objekten einen universellen Verschmelzung gibt.
%  Ein \hyperref[Eino]{Einsobjekt} ist die konstante Garbe $\DZ_X$.
%   Genauer ist der
 %  $0$-Morphismus $\kappa$ nach $\DZ_X$ gegeben durch
 %  $\kappa:\ast\mapsto 1\in \DZ_X(U)$
% f"ur alle $U\co X$ ein universeller $0$-Morphismus.  
% Einen universellen  Verschmelzung zu zwei Garben $\mathcal F, \mathcal G$
% erhalten wir, indem wir die {\bf Tensorproduktgarbe}\index{Tensorproduktgarbe} 
% $$\mathcal{F} \otimes \mathcal{G}$$ erkl"aren  
% als die Garbifizierung der Pr"agarbe
% $
% U \mapsto \mathcal{F} (U) \otimes \mathcal{G} (U)
% $ und den offensichtlichen Multimophismus
% $\mathcal F\curlyvee \mathcal G\ra  \mathcal F\otimes \mathcal G$
% betrachten. Ein internes Hom  k"onnen wir erhalten mithilfe der
% {\bf Homomorphismengarbe}\index{Homomorphismengarbe}
% \index{)4@$\Rrightarrow$ Homomorphismengarbe}
% $$
% \op{Hom} (\mathcal{F},\mathcal{G})  =
% (\mathcal{F} \Rrightarrow \mathcal{G})
% $$
% Diese abelsche Garbe  wird erkl"art
% durch die Vorschrift\index{Hom@$\op{Hom}_k$ Homomorphismengarbe} 
% $
% U \mapsto \op{Ab}_{/U} (\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U)
% $.
% Schnitte "uber $U\co X$ der Homomorphismengarbe 
% sind also in Worten Homomorphismen zwischen 
% den auf $U$ eingeschr"ankten Garben.
% Der Leser mag zur "Ubung pr"ufen, da"s diese
% Zuordnung  in der Tat eine 
% Garbe ist und mit der offensichtlichen Addition
% sogar eine abelsche Garbe.
% Die zur Definition eines internen Hom-Funktors geh"origen Isomorphismen
% \begin{displaymath}
% \op{Ab}_{/X} (\mathcal{E},\mathcal{F} 
% \Rrightarrow \mathcal{G}) \;\overset{\sim}{\rightarrow}\;
% \op{Ab}_{/X}  (\mathcal{E} \curlyvee \mathcal{F}, \mathcal{G})
% \end{displaymath}
% erkl"aren wir dabei, indem wir einem $\alpha : \mathcal{E} 
% \rightarrow (\mathcal{F} {\Rrightarrow}\mathcal{G})$
% den Verschmelzung $\tilde{\alpha}: \mathcal{E} 
% \curlyvee \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{G}$ zuordnen
% mit $\tilde{\alpha}: \mathcal{E}(U)
% \times \mathcal{F}(U) \rightarrow \mathcal{G}(U)$ f"ur $U\co X$
% gegeben durch 
% $\tilde{\alpha}:(s , t) \mapsto (\alpha (s))(t)$, und umgekehrt jedem
% $\gamma : \mathcal{E} \curlyvee \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{G}$
% das $\hat{\gamma} : \mathcal{E} 
% \rightarrow (\mathcal{F} {\Rrightarrow} \mathcal{G})$ mit
% $\hat{\gamma} : \mathcal{E} (U)\ra \op{Ab}_{/U} (\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U)$
% gegeben durch 
% $\hat{\gamma} :s  \mapsto (t \mapsto \gamma (s|_V, t))$
% f"ur $t\in \mathcal{F}(V)$ mit $V\co U$.
% \end{proof}

\begin{Beispiel}[\textbf{Notwendigkeit der Garbifizierung beim Tensorprodukt}] 
Wir betrachten auf dem Kreisring $X=S^1$ die nichtkonstante aber 
lokal konstante Garbe $\mathcal F$ von
abelschen Gruppen vom Rang Eins. Ihr Tensorprodukt $\mathcal F\otimes_\DZ\mathcal F$  mit sich selbst
 ist isomorph zur 
 konstanten Garbe mit Faser $\DZ$ 
und hat von Null verschiedene  globale Schnitte,
obwohl die Faktoren $\mathcal F$ selbst
keine von Null verschiedenen  globalen Schnitte
haben. 
\end{Beispiel}
\subsection{Relative multilineare Algebra f"ur Garben}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben abelsche Garben $\mathcal F,\mathcal G$ auf einem
  topologischen Raum $X$ liefert
  die Vertr"aglichkeit von Tensorprodukt und Kolimes
 f"ur jeden Punkt $x\in X$   nat"urliche Isomorphismen 
$$\mathcal F_x\otimes \mathcal G_x\sira (\mathcal F\otimes \mathcal G)_x$$
 zwischen dem Tensorprodukt der Halme und den Halmen des Tensorprodukts.
 Etwas allgemeiner erh"alt man in derselben Weise f"ur jede stetige
 Abbildung $f:W\ra X$ 
 nat"urliche Isomorphismen\label{zuTRG} 
$$f^*\mathcal F\otimes f^*\mathcal G\sira f^*(\mathcal F\otimes \mathcal G)$$
 Um die Vertr"aglichkeiten von Tensorprodukten und R"uckholfunktoren
in ihrer Gesamtheit koh"arent darstellen zu k"onnen, 
f"uhre ich im folgenden die Sprache der Schmelzkofaserungen ein.
  Ich erinnere an den Begriff einer Schmelzkategorie aus \eref{Multik}{TS}
  und an die Wortkategorie  $\mathscr M^{\curlyvee}$
  einer Schmelzkategorie $\mathscr M$.
Ich erinnere weiter an den Begriff eines Schmelzfunktors \eref{MulF}{TS}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
  Gegeben ein Schmelzfunktor $p:\mathscr M\ra \mathscr N$
  hei"st eine Verschmelzung in der Ausgangsschmelzkategorie {\bf $p$-kartesisch}, {\bf stark $p$-kartesisch},\index{kartesisch!Verschmelzung}
  {\bf $p$-kokartesisch}\index{kokartesisch!Verschmelzung}
  oder {\bf stark $p$-kokartesisch},\label{skok}  wenn der zugeh"orige Morphismus in
  der Wortkategorie f"ur den induzierten Funktor  $p^{\curlyvee}:\mathscr M^{\curlyvee}\ra 
  \mathscr N^{\curlyvee}$
  die entsprechende  Eigenschaft hat.
\end{Definition}
\begin{Definition}
 Ein Schmelzfunktor $p:\mathscr M\ra \mathscr N$ hei"st eine {\bf Schmelzkofaserung},\index{Schmelzkofaserung}\label{MuKoFa} 
 wenn der von unserem Schmelzfunktor auf den Wortkategorien induzierte Funktor $p^{\curlyvee}:\mathscr M^{\curlyvee}\ra 
 \mathscr N^{\curlyvee}$ eine \hyperref[kokaf]{Kofaserung} ist.
\end{Definition}


\begin{Beispiel}
Nach \eref{TeSK}{TS} gibt eine terminale Schmelzkategorie, 
bestehend aus einem einzigen 
Objekt und
einelementigen Mengen von Verschmelzungen. 
Die in Bezug auf den einzigen Schmelzfunktor von einer Schmelzkategorie 
in die terminale Schmelzkategorie kokartesischen Verschmelzungen
sind genau unsere universellen Verschmelzungen aus \eref{mkk}{TS}.
Eine Schmelzkategorie hat stark universelle Verschmelzungen im Sinne von \eref{smkk}{TS}
genau dann, wenn der einzige von ihr ausgehende Schmelzfunktor
in die terminale Schmelzkategorie eine
\hyperref[MKof]{Schmelzkofaserung} ist. 
\end{Beispiel}



\begin{Bemerkungl}
Seien ${f_i}:X\ra {Y_i}$  stetige Abbildungen,
indiziert durch $1\leq i\leq n $ mit $n\geq 0$.
Seien weiter 
$\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ und ${\mathcal G}_i\in \op{Ab}_{/{Y_i}}$ 
 abelsche Garben.\label{gakof} 
 Eine {\bf Verschmelzung %fr"uher Multikomorphismus 
 $\phi:{\mathcal G}_1\curlyvee\ldots \curlyvee
{\mathcal G}_n\ra \mathcal F$  "uber dem 
Tupel $(f_1^\circ,\ldots,f_n^\circ)$}\index{Verschmelzung!von abelschen Garben}
 ist
eine Vorschrift $\phi$, die jeder
Familie von offenen Teilmengen $V_i\co Y_i$ 
und jeder offenen Teilmenge $U\co X$ mit
$f_i(U)\subset V_i\;\forall i$ 
 eine multilineare 
Abbildung 
$$ \mathcal G_1(V_1)\times\ldots\times\mathcal G_n(V_n)\ra \mathcal F(U)$$ so zuordnet,
da"s f"ur alle $V'_i\co V_i\co Y_i$ und $U'\co U$ mit $f_i(U')\subset V'_i\;\forall i$
das Diagramm
$$\begin{array}{ccc}
\mathcal G_1(V_1)\times\ldots\times\mathcal G_n(V_n)&
\ra &\cal{F}(U)\\
\da&&\da\\
\mathcal G_1(V'_1)\times\ldots\times\mathcal G_n(V'_n)&\ra &\cal{F}(U')
\end{array}$$
mit den Restriktionen in den Vertikalen 
und $\phi$ in den Horizontalen kommutiert. 
Die Kategorie der abelschen  Garben auf 
topologischen R"aumen 
wird so eine  Schmelzkategorie und
der Funktor des Vergessens der  Garbe ein Schmelzfunktor
in die banale Schmelzkategorie zur Kategorie $\op{Top}^{\op{opp}}$.
Wir notieren diese Schmelzkategorie
$\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}^{\op{opp}}$, weil ihre einfachen
Morphismen Komorphismen im Sinne von \ref{pfpg} sind
und damit opponiert zu der ebendort $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}$
notierten Kategorie mit Opkomorphismen "uber stetigen Abbildungen als
Morphismen. Die Faser unseres Schmelzfunktors "uber einem Raum $X$ ist die  Kategorie
$\op{Ab}_{\sslash X}^{\op{opp}}=\op{Ab}_{/ X}$ der
abelschen Garben auf $X$ ist. 
Analoges gilt f"ur Pr"agarben.
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}
  Der Schmelzfunktor des Vergessens der Garben
  $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}^{\op{opp}}\ra \op{Top}^{\op{opp}}$ ist
  eine Schmelzkofaserung.\label{MFoll}%\label{MFol} 
\end{Satz}



\begin{proof}
F"ur stetige Abbildungen $f_i:X\ra Y_i$ und $\mathcal G_i\in\op{Ab}_{/Y_i}$ 
ist per definitionem  die Verschmelzung
"uber $(f_1^\circ, \ldots, f_n^\circ)$ in
diejenige Garbe $\mathcal F$ kokartesisch, die durch Garbifizierung aus der 
Pr"agarbe $$U\mapsto \op{colf}_{f_i(U)\subset V_i\co Y_i}\mathcal G_1(V_1)\otimes\ldots
\otimes \mathcal G_r(V_r)$$
f"ur $U\co X$ entsteht. Da aber das Tensorprodukt mit Kolimites vertauscht
und der offensichtliche Morphismus von der
 Garbifizierung eines Pr"agarbentensorprodukts von Pr"agarben
zum Garbentensorprodukt der Garbifizierungen unserer Pr"agarben 
stets ein Isomorphismus
ist,
erhalten wir einen nat"urlichen Isomorphismus
$$\mathcal F\sira f_1^*\mathcal G_1\otimes\ldots\otimes f_n^*\mathcal G_n$$
Jetzt gilt es noch zu zeigen, da"s die Verkn"upfung kokartesischer
Morphismen kokartesisch ist, da"s also f"ur $g_{ij}:Y_i\ra Z_{ij}$
und $\mathcal H_{ij}\in \op{Ab}_{/Z_{ij}}$ f"ur $1\leq j\leq n_i$ die
von der kokartesischen Eigenschaft herr"uhrenden Morphismen
Isomorphismen
$$\bigotimes_{i,j}(f_ig_{ij})^*\mathcal H_{ij} \sira \bigotimes_{i=1}^n f_i^*\left(\bigotimes_{i=1}^{n_i} g_{ij}^*\mathcal H_{ij}\right)$$
sind. Das pr"uft man leicht auf den Halmen.
Genauer folgt es aus der Erkenntnis, da"s der Halm eines Tensorprodukts
das Tensorprodukt der Halme ist und der Halm der zur"uckgeholten Garbe an einem
Punkt der Halm der urspr"unglichen Garbe an seinem Bildpunkt.
\end{proof}
\subsection{Umschreiben auf Trennkategorien} 
\begin{Bemerkungl}
  Im folgenden will ich es vermeiden, mit der opponierten Kategorie der
  topologischen R"aume zu arbeiten. Deshalb f"uhre
ich nun das Konzept einer  \glqq Trennkategorie\grqq\ ein.
Fritz H"ormann verwendet stattdessen die Bezeichnung als \glqq Opmultikategorie\grqq.\index{Opmultikategorie} 
Dies Konzept unterscheidet sich vom
Konzept einer Schmelzkategorie einzig und allein in der Notation.
Genauer erhalten wir eine eineindeutige Entsprechung zwischen
Schmelzkategorien und Trennkategorien,
indem wir zu den Opponierten der jeweiligen Wortkategorien "ubergehen.  
 \end{Bemerkungl}

\begin{Definition} Eine {\bf Trennkategorie} 
ist ein Datum bestehend aus:\label{MuoC} 
\begin{enumerate}\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
\item Einer Menge $\mathcal M$ von \defind{Objekten};
\item Einer Kategorie $\mathcal M^{\curlywedge}$ mit den
  \hyperref[efam]{Worten} aus
  Objekten von $\mathcal M$ als neuen Objekten, der
  {\bf Wortkategorie}\index{Wortkategorie} unserer Trennkategorie.
  Ich notiere Worte in diesem Kontext $A_1\curlywedge \ldots\curlywedge A_r$
  und notiere das leere Wort $\curlywedge$;
\item
 Einem Funktor
  $\mathcal M^{\curlywedge}\ra\op{Ens}^{\op{opp}}$, dem {\bf Indexfunktor},\index{Indexfunktor}
 der jedem Wort $A$ seine \hyperref[efam]{Indexmenge} $\bar A$ 
 zuordnet
und jedem Morphismus $f:A\ra B$ eine Abbildung $\bar f:\bar B\ra\bar A$
der zugeh"origen Indexmengen in der Gegenrichtung.
Gegeben $\varphi:\bar B\ra\bar A$ setzen wir dann 
$$\mathcal M^{\curlywedge}_\varphi(A,B)\pdef \{f\in
\mathcal M^{\curlywedge}(A,B)\mid\bar f=\varphi\}$$
\item
F"ur alle Worte $A,B\in \mathcal M^{\curlywedge}$ und jede Indexabbildung 
$\varphi:\bar B\ra\bar A$ einer Bijektion, der
{\bf Zerlegungsbijektion}\index{Zerlegungsbijektion} 
$$\mathcal M^{\curlywedge}_\varphi(A,B)\sira \prod_{i\in\bar A}
\mathcal M^{\curlywedge}(A_i,B|_{\varphi^{-1}(i)})$$
Wir notieren sie $f\mapsto ({f_i })$ und ihre\label{ZMki} 
Inverse
$ ({ f_1},\ldots,{ f_r})\mapsto (\varphi,{ f_1}\curlywedge\ldots\curlywedge{ f_r})$. Die eingeschr"ankte Familie $B|_{\varphi^{-1}(i)}$ ist dabei mit der
induzierten Anordnung zu verstehen. 
\end{enumerate}
Solch ein Datum nennen wir
eine {\bf Trennkategorie}\index{Trennkategorie}
%oder gleichbedeutend eine
%
wenn die
 Zerlegungsbijektionen in der im folgenden ausgef"uhrten Weise
 \glqq mit den Verkn"upfungen vertr"aglich\grqq\ sind. Um diese Bedingung
 auszuschreiben, vereinbaren wir
 f"ur  $f\in \mathcal M^{\curlywedge}(A,B)$ und eine Teilmenge $E\subset \bar A$
 die Notation
 $f_E\in \mathcal M^{\curlywedge}(A|_E,B|_{\bar f^{-1}E})$ f"ur den Morphismus,
 der unter der Zerlegungsbijektion auf das Tupel $(f_i)_{i\in E}$
 abgebildet wird. 
 Mit der Vertr"aglichkeit von Verkn"upfung und Zerlegung
 meinen wir in dieser Notation, da"s f"ur beliebige $A,B,C\in\mathcal M^{\curlywedge}$, $h\in \mathcal M^{\curlywedge}(B,C)$,
$f\in \mathcal M^{\curlywedge}(A,B)$
 und $E\subset \bar A$ gilt
 $${ (h\circ f)_E}= { h_{\bar f^{-1}E}}\circ { f}_E$$
 Diejenigen Morphismen der Wortkategorie einer Trennkategorie, die
 von einem Wort mit genau einem Buchstaben ausgehen, nennen wir
 {\bf Trennungen}.\index{Trennung} Je nachdem, in ein Wort mit wieviel Buchstaben
 solch eine Trennung geht, sprechen wir von einer \defind{Nulltrennung}, einer
 \defind{Einstrennung} und allgemein einer {\bf $r$-Trennung}.\index{Trennung!$r$-Trennung}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Einen Morphismus der Wortkategorie einer Trennkategorie mit monoton
  wachsender Indexabbildung, der unter der Zerlegungsbijektion
  der angeordneten Familie $(f_1,\ldots,f_r)$ von Trennungen
  entspricht, notieren wir $f_1\curlywedge\ldots\curlywedge f_r$.
  Einen Morphismus der Wortkategorie einer Trennkategorie mit einer Permutation
  $\sigma$ als zugeh"origer Indexabbildung in die Gegenrichtung, der aus Identit"aten besteht, notieren wir
  $\sigma^{-1}$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Zu jeder Trennkategorie $\mathcal M$ erhalten wir eine
  gew"ohnliche Kategorie mit den Einstrennungen als Morphismen.
  Wir nennen sie die zugeh"orige
  {\bf einfache Kategorie}\index{einfache Kategorie!zu Trennkategorie} und
  notieren sie entweder $\mathcal M$ oder
  ${\op{E}}(\mathcal M)$.\index{${\op{E}}(\mathcal M)$ einfache Kategorie!zu Trennkategorie $\mathcal M$} Die Einstrennungen einer
  Trennkategorie nennen wir auch im allgemeinen ihre
  {\bf Morphismen}.\index{Morphismus!von Trennkategorie} 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Jede Kategorie $\mathcal C$ wird eine Trennkategorie mit
  Tupeln von Morphismen $f_i:X\ra Y_i$ als Trennungen
  $\mathcal C^\curlywedge(X,Y_1\curlywedge \ldots\curlywedge Y_r)$.
  Wir nennen
  diese Trennkategorie  die {\bf banale Trennkategorie
    zu $\mathcal C$}\index{Trennkategorie!banale} und notieren sie
  $\curlywedge\mathcal C$.\index{L@$\curlywedge\mathcal C$
    banale Trennkategorie
    zu $\mathcal C$}
\end{Beispiel}
\begin{Definition}
  Ein {\bf Trennfunktor}\label{oMulF}\index{Trennfunktor} 
$p :\mathcal M\ra \mathcal N$ 
von einer Trennkategorie in eine weitere Trennkategorie ist ein Datum bestehend 
aus einer
Abbildung $p $ der Objektmengen nebst  Abbildungen
$$p :\mathcal M(A,B_1\curlywedge\ldots\curlywedge B_r)\ra \mathcal N(p A,p B_1\curlywedge\ldots\curlywedge p B_r)$$ zwischen den entsprechenden Mengen von
Trennungen, die 
vertr"aglich sind mit unseren Multiverkn"upfungen.  
Ein Trennfunktor induziert in offensichtlicher Weise einen Funktor
$p ^{\curlywedge}:\mathcal M^{\curlywedge}\ra \mathcal N^{\curlywedge}$
auf den Wortkategorien  der jeweiligen Trennkategorien.
Er hei"st eine {\bf Trennfaserung},\index{Trennfaserung} wenn
der zugeh"orige Funktor auf den Wortkategorien ein Faserfunktor ist.
\end{Definition}
\begin{Definition}
  Gegeben ein Trennfunktor $p:\mathcal M\ra \mathcal N$
  hei"st eine Trennung in der Ausgangstrennkategorie {\bf $p$-kartesisch}, {\bf stark $p$-kartesisch},\index{kartesisch!Verschmelzung}
  {\bf $p$-kokartesisch}\index{kokartesisch!Verschmelzung}
  oder {\bf stark $p$-kokartesisch}, wenn der zugeh"orige Morphismus in
  der Wortkategorie f"ur den induzierten Funktor  $p^{\curlywedge}:\mathcal M^{\curlywedge}\ra 
  \mathcal N^{\curlywedge}$
  die entsprechende  Eigenschaft hat.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
  Durch "Ubergang zu den jeweiligen opponierten Kategorien
  liefert unsere Schmelzkofaserung   $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}^{\op{opp}}\ra \op{Top}^{\op{opp}}$ des Vergessens der Garben aus \ref{MFoll} 
 eine Trennfaserung $$\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$$
  in die banale Trennkategorie der topologischen R"aume.\label{MFolo}
  Wir nennen sie die {\bf Garbentrennfaserung}.\index{Garbentrennfaserung}
 Ihre Trennungen nennen wir {\bf Trennungen von abelschen Garben} oder
  {\bf Multiopkomorphismen}\index{Multiopkomorphismus} von abelschen Garben.
  Gew"ohnungsbed"urftig an dieser Struktur ist, da"s die einfachen 
  Kategorien der
  Fasern opponiert sind zu den "ublichen Kategorien von Garben.
  Insbesondere haben wir
  nat"urliche Bijektionen
  $\op{Ab}_{\sslash X}(\mathcal F,f^*\mathcal G)\sira\op{Ab}_{\sslash Y}(f_*\mathcal F,\mathcal G)$ und $\op{Ab}_{\sslash X}(\mathcal E{\Rrightarrow} \mathcal F,\mathcal G)\sira\op{Ab}_{\sslash X}(\mathcal F,\mathcal E\otimes\mathcal G)$.
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeit von Tensorprodukt und Zur"uckholen}]
 Die Vertr"aglichkeit \ref{zuTRG} des Tensorprodukts mit
 dem Zur"uckholen ist eine Konsequenz allgemeiner
Aussagen zu  Trennfaserungen "uber
banalen Trennkategorien,\label{VTRP}
wie hier ausgef"uhrt werden soll.
Gegeben eine Kategorie $\mathscr B$ gilt ja f"ur jeden 
Morphismus $f:X\ra Y$ in
der zugeh"origen  banalen Trennkategorie 
die Gleichheit
$$(\op{id}_Y,\op{id}_Y)\circ f=(f,f)=(f\curlywedge f)\circ(\op{id}_X,\op{id}_X)$$
von Zweitrennungen $X\ra Y\curlywedge Y$.
Die Behauptung folgt, indem wir  den kartesischen Lift 
von $(f,f)$
nach $\mathcal F\curlywedge \mathcal G$ auf die beiden entsprechenden
 Weisen als 
 Verkn"upfung kartesischer Lifts realisieren.
 Wir finden so einen nat"urlichen Isomorphismus
 $$f^* (\mathcal F\otimes\mathcal G)\sira (f^* \mathcal F)\otimes (f^*\mathcal G)$$
Im Spezialfall unserer  Garbentrennfaserung
 spezialisiert diese Konstruktion zum
 nat"urlichen Isomorphismus zwischen einem zur"uckgeholten Tensorprodukt und
 dem Tensorprodukt der zur"uckgeholten Garben, oder vielmehr dem durch dessen Inversen gegebenen Opkomorphismus.
 \end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine "uber einer banalen Trennkategorie
  trenngefaserte
  Trennkategorie $\mathscr C$ und ein Morphismus $f:X\ra Y$ in der Basis
  und $\mathcal E\in \mathscr C_Y$
  betrachten wir die Funktoren $\mathscr C_Y\ra \mathscr C_X$
  gegeben durch
  $\mathcal F\mapsto f^*\mathcal F\mapsto f^*\mathcal E\otimes_X f^*\mathcal F$ und $\mathcal F\mapsto \mathcal E \otimes_Y \mathcal F\mapsto f^*(\mathcal E \otimes_Y \mathcal F)$.
  Unsere Strukturen beinhalten einen nat"urlichen Isomorphismus
  zwischen diesen Funktoren. Dieser Isomorphismus hinwiederum induziert
  einen Isomorphismus zwischen ihren Linksadjungierten, wenn diese
denn  existieren, und in jedem Fall zwischen ihren partiellen Linksadjungierten.
Haben insbesondere die Opponierten
der Fasern unserer Trennfaserung
internes Hom
  und hat $f^*$ einen Linksadjungierten $f_*$, so erhalten
  wir mithin
  f"ur $\mathcal G\in \mathscr C_Y$ nat"urliche Isomorphismen\label{ngtR} 
  $$f_*(f^*\mathcal E{\Rrightarrow} \mathcal G)\;\sira\; \mathcal E{\Rrightarrow} (f_*\mathcal G)$$
  Im Spezialfall der Garbentrennfaserung und in klassischer Notation spezialiert
  das zu einem 
  kanonischen Isomorphismus
$$f_\ast\op{Hom}(f^\ast\mathcal E, \mathcal F)\sira
  \op{Hom}(\mathcal E,f_\ast \mathcal F)$$
  in der zur Kategorie der abelschen Garben auf $X$ opponierten
  Kategorie, aber dann durch Invertieren nat"urlich auch einen
  kanonischen Isomorphismus von abelschen Garben.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}\label{fui}  
  Gegeben sei eine "uber einer banalen Trennkategorie
  trenngefaserte
  Trennkategorie $\mathscr C$ und ein Morphismus $f:X\ra Y$ in der Basis.
  "Ubung \eref{fIH}{TS} 
liefert f"ur
je zwei Objekte $\mathcal F,\mathcal G$, f"ur die die fraglichen internen Hom-Objekte existieren,
einen nat"urlichen Morphismus
 $$(f^*\mathcal F{\Rrightarrow} f^*\mathcal G)\ra f^*(\mathcal F{\Rrightarrow} \mathcal G)$$
 Er mu"s kein Isomorphismus sein.
 %Wie die Erweiterung der Skalare $\op{Mod}_\DZ\ra \op{Mod}_\DQ$ 
%und das Beispiel \eref{lokMO}{KAG} zeigen, mu"s er im allgemeinen kein
%Isomorphismus sein. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Sicher macht $f^*$ starre Objekte im Sinne von \eref{starr}{TS} zu starren Objekten und wir haben
  f"ur starres $\mathcal F$ einen nat"urlichen Isomorphismus
  $f^*(\mathcal F^\vee)\sira (f^*\mathcal F)^\vee$.
  Im Fall eines starren Objekts $\mathcal F$ haben wir also
  in \ref{fui} doch einen Isomorphismus, da wir besagten Morphismus
  hoffentlich doch wohl schreiben k"onnen als die Verkn"upfung von
  Isomorphismen
  $$f^*(\mathcal F{\Rrightarrow} \mathcal G)
  \sira f^*(\mathcal F^\vee\otimes \mathcal G) \sira f^*(\mathcal F^\vee)\otimes f^*\mathcal G\sira
   (f^*\mathcal F)^\vee\otimes f^*\mathcal G\sira
  (f^*\mathcal F{\Rrightarrow} f^*\mathcal G)$$
  Hier mu"s nat"urlich noch gepr"uft werden, da"s das alles kommutiert.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Haben insbesondere alle Fasern einer vorgegebenen
  Trennfaserung internes Hom
  und hat $f^*$ einen Linksadjungierten $f_*$, so erhalten wir  speziell f"ur starres $\mathcal F$, indem wir
  unsere nat"urlichen Isomorphismen \ref{ngtR} zu
  $\mathcal E\pdef \mathcal F^\vee$ spezialisieren, nat"urliche Isomorphismen 
  $$f_*(f^*\mathcal F\otimes \mathcal G)\;\sira\; \mathcal F\otimes (f_*\mathcal G)$$
  Im Fall einer abelschen Garbe $\mathcal F$ auf einem topologischen Raum,
  die lokal frei ist von endlichem Rang, spezialisieren sie zu nat"urlichen Isomorphismen\label{PrFFO}  $$f_\ast(f^*\mathcal F\otimes \mathcal G)\;\sira\; \mathcal F\otimes (f_\ast\mathcal G)$$
  in der opponierten Kategorie zur Kategorie der abelschen Garben auf $Y$ und dann durch Invertieren nat"urlich auch nat"urlichen
  Isomorphismen von abelschen Garben.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
   Gegeben eine "uber einer banalen Trennkategorie $\mathscr B$
  trenngefaserte
  Trennkategorie $\mathscr C$
  und in $\mathscr B$ zu zwei Objekten $X,Y$ ein Produkt
  $P\pdef X\times Y$ mit zugeh"origen Morphismen $\op{pr}_X:P\ra X$ und 
   $\op{pr}_Y:P\ra Y$ sowie $\mathcal F\in \mathscr C_X$
und $\mathcal G\in \mathscr C_Y$ setzen wir\index{$\boxtimes$!in Opmultifaserung}
$$\mathcal F\boxtimes \mathcal G\pdef (\op{pr}_X)^*\mathcal F\otimes
(\op{pr}_Y)^*\mathcal G$$
Gibt es speziell das Produkt $X\times X$ und ist
$\Delta:X\ra X\times X$ die Diagonale, so erhalten wir
einen nat"urlichen Isomorphismus $\Delta^* (\mathcal F\boxtimes \mathcal G)\sira  \mathcal F\otimes \mathcal G$.
\end{Bemerkungl}


\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}  Sei $p:\mathcal M\ra \mathcal N$ ein Schmelzfunktor.
Man zeige, da"s ein Morphismus $(f,\phi_1\curlyvee\ldots\curlyvee \phi_{r})$
in $\mathcal M^{\curlyvee}$  genau dann 
$p^{\curlyvee}$-kokartesisch ist, wenn alle $\phi_i$ jeweils f"ur sich genommen 
$p^{\curlyvee}$-kokartesisch sind. Analoges gilt f"ur Trennfunktoren.
\end{Ubung}

\subsection{Lokal eigentlicher Basiswechsel}
\begin{Bemerkungl}
  Ich erinnere nun an die Kofaserung $$\op{Ab}^{!}_{\sslash \op{Top}^{\op{s}}}\ra \op{Top}^{\op{s}}$$
 aus \ref{eigKOF} "uber topologischen R"aumen
  mit nur separierten Abbildungen
  durch abelschen Garben mit nur eigentlichen Opkomorphismen.
  Im folgenden f"uhren wir \glqq lokal eigentliche\grqq\ Abbildungen
  zwischen topologischen R"aumen ein und zeigen in \ref{MRekO}, da"s
  der \glqq Multir"uckzug\grqq\  unter einer beliebigen Trennung
  topologischer R"aume Tupel eigentlich-ko\-kar\-te\-si\-scher  Opkomorphismen
 von flachen Garben  "uber lokal eigentlichen separierten Abbildungen zu einem  eigentlich-ko\-kar\-te\-si\-schen  Opkomorphismus von flachen Garben 
 "uber einer lokal eigentlichen separierten Abbildung macht.
 Der Beweis dieser Aussage bildet den Schlu"spunkt
 unserer Diskussion des underivierten Drei-Funktoren-Kalk"uls.
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}
Eine stetige Abbildung
$f :X \ra Y$ topologischer R"aume hei"se  
{\bf lokal eigentlich},\index{lokal eigentlich}\index{eigentlich!lokal}
 wenn es f"ur jeden Punkt $x \in X$ und jede
Umgebung $U$ von $x$\label{LEAm} 
Umgebungen $A\subset U$ von $x$ und $V\subset Y$
von $f(x)$ gibt derart, da"s gilt $f(A) \subset V$ 
und da"s $f: A \ra V$ eigentlich
ist.
\end{Definition}

  \begin{Beispiele}
    Eine Einbettung $i:X\hra Y$ %alias  initiale Injektion 
von topologischen R"aumen\label{etle} 
ist lokal eigentlich genau dann, wenn ihr Bild lokal
    abgeschlossen ist. Jede \'etale Abbildung ist lokal eigentlich. 
\label{lepp} 
Die konstante Abbildung von einem Raum auf
    einen Punkt ist lokal eigentlich genau dann, wenn der fragliche Raum lokal
    kompakt ist.
\end{Beispiele}



% \begin{Bemerkungl}\label{OfF}
% Sei $f : X \rightarrow Y$ eigentlich.
% Gegeben $Z \As X$ und $W \co X$ ist $\{x \in Y \mid (f^{-1} (x) \cap Z)
% \subset   W  \}$ offen in $Y$, denn f"ur $K \As X$ das
% Komplement von $W$ ist das Komplement unserer Menge genau $f(Z \cap K)$.
% \end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{OfF}
Sei $f : X \rightarrow Y$ stetig.
Gegeben $Z \subset X$ mit $f : Z \rightarrow Y$
eigentlich und $U \co X$ ist $\{y \in Y \mid (f^{-1} (y) \cap Z)
\subset  U  \}$ offen in $Y$, denn f"ur $K \As X$ das
Komplement von $U$ ist das Komplement unserer Menge genau $f(Z \cap K)$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}
  Jede  eigentliche und separierte Abbildung ist
lokal eigentlich.
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
Das ist das relative Analogon  der Tatsache,
da"s jeder kompakte Hausdorffraum lokal kompakt ist.
\end{Bemerkungl}

  \begin{proof}
    Sei $f : X \rightarrow Y$ unsere eigentliche und separierte
Abbildung.   Gegeben $x \in X$ mit einer offenen
    Umgebung $U \co X$ betrachten wir $Z \pdef X \backslash U$.  
Wir setzen $y \pdef f(x)$.
     F"ur jeden Punkt
$z \in f^{-1} (y) \cap Z$ gibt es eine offene Umgebung
    $W_z \co X$ von $z$ und eine offene Umgebung $ B_z \co U$ von $x$ mit $W_z
    \cap B_z = \emptyset$.  Endlich viele solche $W_z$ "uberdecken das
    Kompaktum $f^{-1} (y) \cap Z$. Ist $W$ ihre Vereinigung und $B$ der
    Schnitt der zugeh"origen $B_z$, so gilt $x \in B \co U \co X$, $(f^{-1}
    (y) \cap Z) \subset W \co X$ und $B \cap W = \emptyset$.  Nach \ref{OfF}
    finden wir eine offene Umgebung $V \co Y$ von $y$ mit $(f^{-1} (V) \cap Z)
    \subset  W$.  Der Abschlu"s $A$ von $B \cap f^{-1} (V)$ in
    $f^{-1} (V)$ trifft also $f^{-1} (V) \cap Z$ nicht und ist folglich eine
    in $U$ enthaltene Umgebung von $x$ derart, da"s $f: A \rightarrow V$
    eigentlich ist.
  \end{proof}


\begin{Lemma}
  \label{locp}
  Seien $g \colon Z \ra X$ und 
$f \colon X \ra Y$ stetig. Ist $f \circ g$
  lokal eigentlich und $f$  separiert, so ist bereits
   $g$ lokal eigentlich.
\end{Lemma}


\begin{proof}
  Sei $W \subset Z$ eine Umgebung von $z \in Z$.
  Ist $f \circ g$  lokal eigentlich, so gibt es Umgebungen
  $A \subset W$ von $z$ und $V$ von $f(g(z))$ derart, da"s $f \circ g$
  eine eigentliche Abbildung $A \ra V$ induziert.
  Diese Abbildung faktorisiert als
  \begin{equation*}
    A \xrightarrow{g'} f^{-1}(V) \xrightarrow{f'} V
  \end{equation*}
  Hier werden $g'$ und $f'$ jeweils $g$ und $f$ induziert.
  Da $f'$  separiert ist nach \eref{ESAA}{TM},
  zeigt \eref{SaA}{TM}, da"s
  $g'\colon A \ra f^{-1}(V)$ eigentlich ist.
  Das zeigt, da"s $g$ lokal eigentlich ist.
\end{proof}

\begin{Korollar}
  \label{c:loc}
  Jede stetige Abbildung $g\colon Z \ra X$ 
  von einem lokal kompakten
  Hausdorffraum $Z$ in einen Hausdorffraum $X$ ist separiert und
  lokal eigentlich. 
\end{Korollar}

\begin{proof}
  Da $Z$  lokal kompakt ist und $X$ Hausdorff, mu"s $g$ 
  lokal eigentlich sein nach 
  \ref{locp}. Da $Z$ Hausdorff ist, ist 
  $g$  separiert.
  \end{proof}

\begin{Lemma}[\textbf{Lokale Eigentlichkeit ist stabil unter Basiswechsel}] 
  Ist in einem kartesischen Diagramm einer der urspr"unglichen Pfeile lokal
  eigentlich, so auch der gegen"uberliegende Pfeil\label{LSB}
 aus dem Faserprodukt.
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Wir schreiben unser kartesisches Diagramm aus als
$$\xymatrix{\kart 
  T \ar[r]^{q}\ar[d]_{g} & X\ar[d]^{f}\\
  Z \ar[r]^{p} & Y }$$
Wir nehmen $f$ lokal eigentlich an und wollen dasselbe f"ur $g$ zeigen.
Sei also $t\in T$ gegeben mit einer Umgebung $S\subset T$.
Wir k"onnen, indem wir $S$ notfalls verkleinern, ohne Beschr"ankung der
Allgemeinheit annehmen, da"s es 
eine Umgebung $V\subset X$ von $q(t)$ und eine
Umgebung $W\subset Z$ von $g(t)$ gibt derart, da"s gilt $g(S)\subset W$ und 
$q(S)\subset V$ und da"s auch das Diagramm von Teilr"aumen
$$\xymatrix{\kart
  S \ar[r]^{q}\ar[d]_{g} & V\ar[d]^{f}\\
  W \ar[r]^{p} & Y }$$
kartesisch ist. 
Dann finden wir eine Umgebung $A\subset V$ von $q(t)$
und eine Umgebung $U\subset Y$ von $f(q(t))$ derart, da"s 
$f:A\ra U$ eigentlich ist. Dasselbe folgt f"ur den durch Basiswechsel
entstehenden
Morphismus $g:q^{-1}(A)\ra p^{-1}(U)$. 
\end{proof}


% \begin{Bemerkungl}\emph{(Tr"aumerei)} 
% Sei $f:Y\ra X$ separiert (?) und lokal eigentlich.
% Versehe $Y\sqcup X$ mit der Topologie, f"ur die abgeschlossen sind:
% Alle abgeschlossenen Teilmengen von $X$, und alle Mengen $A\sqcup B$ f"ur
% $A\As Y$ und $B\pdef\{y\in X\mid A\cap f^{-1}(y)\text{ ist nicht kompakt}\}$.
%  Ist das eine Topologie? Ist $ p:Y\sqcup X\ra X$ eigentlich?
% Ist $Y\hra Y\sqcup X$ eine offene Einbettung und $X\hra Y\sqcup X$
% eine abgeschlossene Einbettung? Gibt es "uberhaupt eine Topologie auf 
% $Y\sqcup X$ mit diesen Eigenschaften? Und gilt ein Analogon zum Satz von 
% Tychonov f"ur eigentliche Abbildungen?
% \end{Bemerkungl}


\begin{Satz}[\textbf{Vereigentlichung}]
  F"ur jede stetige Abbildung\label{VerEE} $f : X \rightarrow Y$ gilt:
  \begin{enumerate}
  \item
    Die Mengen $U \sqcup V$ mit $U \co X$
    und $V \co Y$ und $f : f^{-1} (V) \backslash U \rightarrow V$ eigentlich bilden  eine Topologie auf der disjunkten Vereinigung $X \sqcup Y$;
  \item Die Abbildung   $\bar f \pdef (f,\op{id}_Y): X \sqcup Y \rightarrow Y$ ist eigentlich in Bezug auf diese Topologie.
  \end{enumerate}
\end{Satz}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ notieren wir
  $X\sqcup Y$ mit seiner Topologie aus dem Satz  $X {\vec\sqcup}_f Y$\index{${\vec\sqcup}$ Vereigentlichung}
    oder abk"urzend $X {\vec\sqcup} Y$ und nennen $\bar f : X {\vec\sqcup} Y \rightarrow Y$ die {\bf Vereigentlichung von $f$}.\index{Vereigentlichung} Ist $Y$ ein Punkt, so spezialisiert
  unsere Vereigentlichung zur Ein-Punkt-Kompaktifizierung.
  Offensichtlich ist die Einbettung von $X$ nach $X {\vec\sqcup} Y$ eine offene Einbettung und die Einbettung von $Y$ nach $X {\vec\sqcup} Y$ eine abgeschlossene Einbettung.
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}
1.  Sei eine Familie $(U_i \sqcup V_i)_{i \in I}$ solcher Mengen
  gegeben. So ist $U := \bigcup U_i$ offen in $X$
  und $f : f^{-1} (V_i) \backslash
U \rightarrow V_i$ ist eigentlich als Verkn"upfung der abgeschlossenen Einbettung $f^{-1} (V_i) \backslash U \rightarrow
f^{-1} (V_i) \backslash U_i$ mit der eigentlichen Abbildung $f : f^{-1} (V_i) \backslash U_i \rightarrow V_i$.
Da Eigentlichkeit lokal ist in der Basis, ist dann f"ur $V := \bigcup V_i$ auch $f: f^{-1} (V) \backslash U \rightarrow V$
eigentlich.
Seien andererseits $(U_1 \sqcup V_1)$ und $(U_2 \sqcup V_2)$ gegeben. Mit $f^{-1} (V_1) \backslash U_1 \rightarrow V_1$ ist
auch $f: f^{-1} (V_1 \cap V_2) \backslash U_1 \rightarrow V_1 \cap V_2$
eigentlich als Basiswechsel einer eigentlichen Abbildung.
Dasselbe gilt f"ur $f: f^{-1} (V_1 \cap V_2) \backslash U_2 \rightarrow V_1 \cap V_2$ und
mit \eref{VUAa}{TM} folgt die Eigentlichkeit von $f: f^{-1} (V_1 \cap V_2) \backslash (U_1\cap U_2) \rightarrow V_1 \cap V_2$.
\\[2mm]\noindent
2. Offensichtlich ist $\bar f:=(f, \op{id}_Y) : X {\vec\sqcup}_f Y \rightarrow Y$ stetig.
Diese Abbildung ist sogar abgeschlossen, denn wir haben
\begin{equation*}
\bar f (X {\vec\sqcup}Y \backslash U {\vec\sqcup} V) = Y \backslash V \cup f( X \backslash U)
= Y \backslash V \cup f ( f^{-1} (V) \backslash U)
\end{equation*}
Gegeben ein weiterer topologischer Raum $Z$ zeigen wir nun, da"s  die offensichtliche Bijektion eine stetige Abbildung
\begin{equation*}
(X \times Z) {\vec\sqcup} (Y \times Z) \rightarrow (X {\vec\sqcup} Y) \times Z
\end{equation*}
ist. In der Tat, gegeben $U \sqcup V \co X {\vec\sqcup} Y$ und $W \co Z$ gilt es zu zeigen $(f \times \op{id}_Z) : f^{-1} (V \times W)
\backslash (U \times W) \rightarrow V \times W$ eigentlich. Das aber folgt aus der Eigentlichkeit von $f : f^{-1} (V) \backslash U \rightarrow
V$ durch Basiswechsel. Um nun zu zeigen, da"s $\bar f$ eigentlich ist,
 betrachten wir f"ur einen weiteren Raum $Z$ die Komposition $$(X {\vec\sqcup} Y) \times Z \rightarrow (X \times Z)
{\vec\sqcup} (Y \times Z) \rightarrow Y \times Z$$ und m"ussen nur bemerken, da"s die Erste dieser Abbildungen abgeschlossen ist
als Inverse unserer stetigen Bijektion, die wir gerade
hergeleitet hatten, und da"s die Zweite abgeschlossen ist nach unserer Vor"uberlegung vom Beginn des Beweises des zweiten Teils.
\end{proof}

\begin{Satz}
Die Vereigentlichung einer lokal eigentlichen separierten Abbildung ist separiert.\label{VerLE} 
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Das ist ein relatives Analogon der Tatsache, da"s die Einpunktkompaktifizierung
  eines lokal kompakten Hausdorffraums Hausdorff ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Sei $f : X \rightarrow Y$ unsere lokal eigentliche separierte Abbildung. Es gilt zu zeigen, da"s $\bar f : X {\vec\sqcup} Y
\rightarrow Y$ separiert ist, da"s also je zwei verschiedene Punkte aus
ein- und derselben Faser disjunkte Umgebungen haben. Der einzig
nichttriviale Fall betrifft Punkte $\op{in}_X (x)$, $\op{in}_Y (y)$ mit $f (x) = y$.
Nach Annahme gibt es eine offene Umgebung $ V \co Y $ von $y$ und eine Umgebung $A \subset X$ von $x$ mit
$f (A) \subset V$ und $f : A \rightarrow V$ eigentlich.
Dann ist die Verkn"upfung $A \rightarrow f^{-1} (V) \rightarrow V$ eigentlich. Da $f^{-1} (V) \rightarrow V$ separiert ist,
mu"s auch $A \rightarrow f^{-1} (V)$ eigentlich sein und wir finden $A \As f^{-1} (V)$.
Bilden wir also $U := f^{-1} (V) \backslash A$, so ist $U \sqcup V$ eine Umgebung von $\op{in}_Y (y)$ in $X {\vec\sqcup} Y$
und disjunkt zur Umgebung $\op{in}_X (A)$ von $\op{in}_X (x)$.
\end{proof}


\begin{Satz}[\textbf{Lokal eigentlicher Basiswechsel}]
Sei $p\circ g=f\circ q$
ein kartesisches Quadrat  von topologischen R"aumen
mit\label{BaWeax} 
separierten lokal eigentlichen Vertikalen $f,g$.
Sei  $\tilde p\circ \tilde g=\tilde f\circ \tilde q$
ein kommutatives Diagramm von Opkomorphismen abelscher Garben "uber unserem
kartesischen Quadrat 
mit $\tilde p, \tilde q$ kartesisch. Ist dann
$\tilde f$ \hyperref[EDBiAx]{eigentlich-kokartesisch}, so 
ist auch $\tilde g$ eigentlich-kokartesisch.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  In anderen Worten besagt unser Satz, da"s
  der Basiswechsel $p^{\ast} f_{\ast}  \RA
g_{\ast} q^{\ast} $ unter den  genannten
  Voraussetzungen eine
  Isotransformation
$$p^{\ast} f_{!}  \overset{\sim}{\RA} 
  g_{!}\; q^{\ast} $$
  auf den jeweiligen Unterobjekten induziert.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
  Nach \ref{VerLE} und \ref{frtg} ist eine stetige Abbildung genau
  dann separiert lokal eigentlich, wenn sie sich als Verkn"upfung einer
  offenen Einbettung gefolgt von einer 
  separierten eigentlichen Abbildung  schreiben l"a"st.
  Nach der Kofaserungseigenschaft eigentlicher Bilder im Fall
  separierter Abbildungen \ref{eigKOF} reicht es also, 
  unsere Aussage f"ur $f$ separiert eigentlich und
  f"ur $f$ eine offene Einbettung zu zeigen. Im ersten Fall
  ist das eigentlicher Basiswechsel \ref{EBWA}. Im zweiten Fall der Ausdehnung durch Null ist die Behauptung auch schnell gepr"uft.
\end{proof}

\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}\label{Elll}
Seien $f : X \ra Y$ stetig und $\cal{V} \subset \cal{P} (Y)$ eine
offene "Uberdeckung von $Y$. Genau dann ist $f$ lokal eigentlich, wenn
die induzierten Abbildungen $f^{-1}(V) \ra V$ lokal eigentlich
sind f"ur
alle $V \in \cal{V}$.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Jede Verkn"upfung von lokal eigentlichen Abbildungen ist lokal eigentlich.
  Eine stetige Abbildung ist genau dann lokal eigentlich und separiert, wenn
  sie sich als Verkn"upfung einer offenen Einbettung gefolgt von einer
  separierten eigentlichen Abbildung darstellen l"a"st.\label{frtg} 
\end{Ubung}


\subsection{Kompakte Schnitte und Kolimiten}
\begin{Lemma}[\textbf{Filtrierende Kolimiten und kompakte Schnitte}]
Das Bilden der Schnitte mit kompaktem Tr"ager 
f"ur abelsche Garben auf einem lokal kompakten Hausdorffraum 
vertauscht mit\label{VTDLa}  
filtrierenden Kolimiten
von abelschen Garben, in Formeln \begin{displaymath}
\op{colf} \left(\Gamma_{!} \mathcal{F}_i \right)
\;\sira\; \Gamma_{!}
\left(\op{colf} \mathcal{F}_i\right)
\end{displaymath}
\end{Lemma}
\begin{Bemerkunge}
Eine verwandte Aussage wird in \ref{VTDLb}  diskutiert.
\end{Bemerkunge}

\begin{Beispiel}
  Gegeben $K\subset X$ kompakt notieren wir $\Gamma_K(X;\mathcal{F})$ die
  Menge der globalen Schnitte $s\in \Gamma(X;\mathcal F)$ mit Tr"ager
  $\op{supp}(s)\subset K$. Der Funktor
  $
     \Gamma_{K}
  $
  vertauscht 
auch auf lokal kompakten Hausdorffr"aumen 
keineswegs mit
filtrierenden Kolimiten. Als Gegenbeispiel mag man
den direkten Limes der $a_{i(*)}\DZ_{[0,1/i]}$ betrachten f"ur
$a_{i}:[0,1/i]\hra \DR$ die Einbettungen und die offensichtlichen 
Epimorphismen von abelschen Garben als Systemmorphismen.
\end{Beispiel}


\begin{Beispiel}
  Ist $X$ ein unendlicher diskreter Raum, so ist der Raum der
globalen Schnitte des Koprodukts aller Wolkenkratzergarben
$\DZ_{(x)}$ f"ur $x\in X$  gr"o"ser als das Koprodukt
der R"aume der globalen Schnitte der Summanden. Der Funktor der globalen
 Schnitte  vertauscht mithin 
auch auf lokal kompakten Hausdorffr"aumen keineswegs mit
filtrierenden Kolimiten. 
\end{Beispiel}


\begin{proof}[Beweis]
  Die Injektivit"at ben"otigt keinerlei Annahmen und war
  auch bereits "Ubung \ref{glfg}. Wir f"uhren das Argument nocheinmal aus.
  Sicher ist der Kolimes eines Systems 
von abelschen Garben   die Garbifizierung
des Kolimes in der Kategorie der abelschen 
Pr"agarben.
Um im Lemma die Injektivit"at zu zeigen, beginnen wir mit einem Schnitt 
$s\in \Gamma_{!}(X; \mathcal{F}_i )$ f"ur ein vorgegebenes $i\in I$. 
Geht er rechts nach Null, 
so gibt es f"ur jeden Punkt $x\in X$ nach
der Transitivit"at von Kolimiten \eref{coco}{TS} eine offene Umgebung
$U(x)$ und einen Index $i(x)$
 mit $s\mapsto 0 \in  \mathcal{F}_{i(x)}
(U(x))$. 
Endlich viele $U(x)$ "uberdecken $\op{supp}(s)$, ein $i$ ist gr"o"ser als alle
beteiligten
$i(x)$, und dann gilt offensichtlich $s\mapsto 0 \in  \mathcal{F}_{i}
(X)$. Das zeigt die Injektivit"at. 
Um die Surjektivit"at zu zeigen, ziehen wir uns zun"achst auf den Fall
$X$ kompakt zur"uck.
%  Bezeichne $\bar X$ die Einpunktkompaktifizierung
%  und $b:X\hra \br X$ die Einbettung und $a:\{*\}\hra X$ die
%  Einbettung des einpunktigen Komplements.
%  So erhalten wir f"ur jede abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $X$ eine
%  linksexakte Sequenz $b_!\mathcal F\hra b_*\mathcal F\ra a_*a^*b_*\mathcal F$
%  und damit eine linksexakte Sequenz
%  $$\Gamma_!\mathcal F\hra \Gamma\mathcal F\ra \Gamma a^*b_*\mathcal F$$
%  Sie bleibt linksexakt unter filtrierenden Kolimites und diese
%  vertauschen mit den linksadjungierten Funktoren $a^*$ und $b_*$ 
 Sei dazu ein Schnitt  $s\in \Gamma_{!}(X;
 \op{colf} \mathcal{F}_i)$ gegeben. 
 Wir finden $U\subset X$ offen mit kompaktem Abschlu"s und 
 $\op{supp}(s)\subset U$. 
 Finden wir
 ein $j$ und ein $\tilde s\in \Gamma(\bar U; \mathcal{F}_j)$ mit $\tilde s\mapsto s|\bar U$, 
 so folgt unmittelbar $\tilde s|\partial\bar U 
 \mapsto 0\in  \Gamma(\partial \bar U;
 \op{colf} \mathcal{F}_i)$ und nach dem bereits bewiesenen
 $\tilde s|\partial \bar U \mapsto 0\in  \Gamma(\partial \bar U;
 \mathcal{F}_l)$ f"ur geeignetes $l\geq j$.
 Also l"a"st sich  das Bild $\hat s\in \Gamma( \bar U;
 \mathcal{F}_l)$
 von $\tilde s$ durch Null fortsetzen zu einem Schnitt 
 $\hat s\in \Gamma_{!}( X;
 \mathcal{F}_l)$ mit $\hat s\mapsto s$, und das war gerade zu zeigen.
Wir d"urfen also $X$ kompakt annehmen. 
Gegeben ein Schnitt  $s\in \Gamma(X;
\op{colf} \mathcal{F}_i)$ 
gibt es f"ur jeden Punkt $x\in X$ eine Umgebung $U(x)$ 
und einen Index $i(x)$ und einen Schnitt $\tilde s(x)\in
\mathcal{F}_{i(x)}(U(x))$
mit $s(x)\mapsto s|U(x)$. 
Wir d"urfen unsere $U(x)$ kompakt annehmen.
Weiter gibt es $E\subset X$ endlich derart, da"s die $U(x)$ mit
$x\in E$ bereits $X$ "uberdecken. W"ahlen wir $j$ hinreichend gro"s,
so k"onnen wir nach der bereits bewiesenen Injektivit"at annehmen,
da"s f"ur alle $x,y\in E$ die Bilder von $\tilde s(x)$ und $\tilde s(y)$
in $ \mathcal{F}_{j}(U(x)\cap U(y))$ "ubereinstimmen. Dann aber verkleben sie
zu einem globalen Schnitt, und der repr"asentiert das gesuchte Urbild unseres
Schnittes  $s$. 
\end{proof}






\begin{Lemma}\label{VTVT}
Das eigentliche direkte Bild von abelschen Garben unter separierten
lokal eigentlichen Abbildungen vertauscht mit filtrierenden
Kolimites.
\end{Lemma}

\begin{proof}[Beweis]
Sei $f: X \ra Y$ separiert und lokal 
eigentlich.
Wir behaupten, da"s f"ur jedes 
gerichtete System von abelschen Garben auf $Y$
die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus
\begin{displaymath}
\op{colf} \left( f_{!} \mathcal{F}_i\right)
\overset{\sim}{\rightarrow} f_{!} \left(\op{colf} \mathcal{F}_i\right)
\end{displaymath}
liefert.
Da das Zur"uckholen mit Kolimites vertauscht, 
k"onnen wir uns mit Basiswechsel \ref{BaWeax}
auf den Fall eines einpunktigen Raums $Y$ zur"uckziehen 
und m"ussen also nur f"ur jeden
lokal kompakten Hausdorffraum zeigen, da"s das 
Bilden der Schnitte mit kompaktem Tr"ager
mit filtrierenden Kolimites vertauscht. 
Das aber wissen wir aus \ref{VTDLa}. 
\end{proof}
%  \begin{Satz*}[\textbf{Verdierdualit"at f"ur \'etale separierte Abbildungen}]
%  Gegeben eine \'etale separierte Abbildung $f : X \rightarrow Y$ gibt es genau eine Adjunktion $(f_!, f^\ast)$ zwischen den jeweiligen Funktoren zwischen Kategorien von abelschen Garben,
%  die kommutative Diagramme\label{exet} 
%  \begin{displaymath}
%  \xymatrix{
%  \op{Ab}_{/X }(\mathcal F, f^\ast \mathcal G)\ar[d] \ar[r]^-{\sim} & \op{Ab}_{/Y }(f_! \mathcal F, \mathcal G) \ar[d]\\
%  \underset{x \in f^{-1} (y)}{\prod} \op{Ab}(\mathcal F_x, \mathcal G_y) \ar[r]^-\sim & \op{Ab} ((f_! \mathcal F)_y, \mathcal G_y)
%  }
%  \end{displaymath}
%  liefert mit dem vom lokal
%  eigentlichen Basiswechsel herr"uhrenden Isomorphismus $(f_! \mathcal F)_y \sira
%  \bigoplus_{f(x) = y} \mathcal F_x$ als Ursprung der unteren Horizontale.
%  \end{Satz*}


%  \begin{proof}
 %   Es ist klar, da"s unsere Abbildungsvorschrift eine Bijektion induziert zwischen den jeweiligen Mengen von
%    nicht notwendig stetigen Abbildungen
%  \'etaler R"aume, die faserweise Gruppenhomomorphismen sind. Es gilt nur noch zeigen, da"s sich darunter die stetigen
%  Abbildungen entsprechen.
%  Gegeben $\bar{\mathcal F} \rightarrow \overline{f^\ast \mathcal G}$ stetig und ein Element $s \in (f_! \mathcal F)_y$
%  gibt es $x_1, \ldots , x_r \in f^{-1} (y)$ und Schnitte $s_i \in \mathcal F_{x_i}$, deren Summe unserem $s$ entspricht.
%  Wir finden paarweise disjunkte offene Umgebungen $U_i \co X$ der $x_i$, die alle hom"oomorph auf dieselbe offene Umgebung
%  $V \co Y$ von $y$ abgebildet werden und so, da"s $s_i$ jeweils von einem Schnitt $s_i \in \mathcal F (U_i) $ herkommt.
%  Die Summe der $s_i$ entspricht unserem $s$ auf einer eventuell noch kleineren Umgebung $V \co Y$ von $y$.
%  Auf diese Umgebung eingeschr"ankt geht dann $s$ in einen stetigen Schnitt von $\bar{\mathcal G}$ "uber. F"ur die
%  umgekehrte Implikation argumentiert man analog.
%  \end{proof}

% \begin{Bemerkungl}
%  Hier eine Variante des Lemmas \ref{exet} in etwas anderer Notation.
%  Diese m"ussen noch
%  zusammengef"uhrt werden.
% \end{Bemerkungl}
\begin{Satz*}[\textbf{Verdierdualit"at f"ur  separierte \'etale Abbildungen}]
F"ur jede separierte \'etale  Abbildung $f:X\ra Y$
ist das eigentliche direkte Bild ein exakter Funktor
$f_{!}:\op{Ab}_{/X}\ra\op{Ab}_{/Y}$ und es gibt genau
eine Adjunktion $(f_!,f^*)$,\label{lfad}
deren Koeinheit $f_!f^*\mathcal G\ra \mathcal G$
unter der Restriktion auf eine beliebige Faser
und lokal eigentlichem Basiswechsel der
Summation $\bigoplus_{x\in f^{-1}(y)}\mathcal G_y\ra \mathcal G_y$
entspricht.
\end{Satz*}
\begin{Bemerkungl}
  Dieser Satz verallgemeinert
  unserer Adjunktion $(j_!,j^\ast)$ aus \ref{AdInbb} f"ur offene
  Einbettungen $j$.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Wir zeigen zun"achst, da"s $f_{!}$ exakt ist.
Jede \'etale Abbildung ist lokal eigentlich, wie bereits in \ref{etle}
erw"ahnt. 
Mit eigentlichem Basiswechsel \ref{BaWeax} k"onnen wir uns auf
den Fall zur"uckziehen, da"s $Y$ aus einem einzigen Punkt besteht. 
Dann tr"agt $X$ die diskrete Topologie und die Exaktheit von
$f_{!}$ folgt.
Jetzt 
konstruieren wir nat"urliche Abbildungen 
$$\op{\acute{e}t}(f_{!}f^{\ast}\mathcal G)\ra \op{\acute{e}t}\mathcal G$$
faserweise als die Summationen 
$\bigoplus_{x\in f^{-1}(y)}\mathcal G_y\ra \mathcal G_y$. Um zu
zeigen, da"s sie auch stetig sind, reicht es zu zeigen, da"s stetige
Schnitte zu stetigen Schnitten werden. Ist aber 
$s\in (f_{!}f^{\ast}\mathcal G)(V)\subset (f^{\ast}\mathcal G)(f^{-1}(V))$
ein stetiger Schnitt von $f^{\ast}\mathcal G$ mit "uber $U$ eigentlichem
Tr"ager $\op{supp}(s)$ und ist $y\in V$ ein Punkt, so 
besteht  $f^{-1}(y)\cap\op{supp}(s)$ aus endlich 
vielen Punkten $x_1,\ldots, x_n$. 
Diese haben paarweise disjunkte offene Umgebungen 
$U_1,\ldots,U_n$, die jeweils hom"omorph auf eine offene Umgebung 
$U\co V$ von $y$ abgebildet werden. Dann hat $\op{supp}(s)\backslash (U_1\cup
\ldots\cup U_n)$ unter $f$ ein in $V$ abgeschlossenes Bild und dieses
Bild enth"alt nicht den Punkt $y$ und damit auch nicht eine ganze
in $U$ enthaltene offene Umgebung $W$ von $y$. Dann ist aber klar, da"s das
Bild unseres Schnittes $s$ stetig sein mu"s auf $W$. 
Damit haben wir nat"urliche Abbildungen 
$f_{!}f^{\ast}\mathcal G\ra \mathcal G$ konstruiert 
und es bleibt nur noch zu zeigen, da"s sie f"ur jede abelsche Garbe 
$\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ Bijektionen
$$\op{Ab}_{/X}(\mathcal F, f^{\ast}\mathcal G)\sira \op{Ab}_{/Y}(f_{!}\mathcal F,\mathcal G)$$
induzieren. Das ist aber klar im Fall
$\mathcal F=j_{!}\DZ_U$ f"ur $U\co X$ eine offene Teilmenge, die unter
$f$ hom"oomorph auf eine offene Teilmenge von $Y$ abgebildet wird,
und da jede abelsche Garbe auf $X$ Quotient einer direkten Summe
derartiger Garben ist und damit auch eine zwei-Schritt-Aufl"osung
durch derartige Summen besitzt, folgt der allgemeine Fall 
aus dem Vertauschen von direkten Summen mit
eigentlichen
direkten Bildern \ref{VTVT}.
\end{proof}
\subsection{Projektionsformel} 
\begin{Proposition}[\textbf{Tensorprodukt und Schnitte mit kompaktem Tr"ager}]
Seien $X$ ein lokal kompakter Hausdorffraum und\label{TSko} 
 $\mathcal F$ eine abelsche Garbe auf $X$
und  $ G$ eine  flache abelsche Gruppe.
So ist die nat"urliche Abbildung  
 ein Isomorphismus
\begin{equation*}
 \Gamma_{!} \mathcal F \otimes  G \sira 
\Gamma_{!} (\mathcal F \otimes  G)
\end{equation*}
Ist zus"atzlich $\mathcal F$ \hyperref[komW]{kompaktweich},
so auch $\mathcal F \otimes  G$. 
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
  Analoges gilt mit demselben Beweis f"ur Garben von Moduln.\label{TSkoM} 
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
  Ich gebe ein Gegenbeispiel im Fall, da"s $ G$ nicht flach ist.  Ist
  etwa $\pi : S^1 \rightarrow \op{pt}$ die Projektion und $\mathcal F$ das
  nichtkonstante lokale System auf $S^1$, das halmweise
  frei ist "uber $\DZ$  von Rang Eins, so ist $\mathcal F
  \otimes_\mathbb Z \mathbb Z / 2 \mathbb Z$ konstant mit $\Gamma_! (\mathcal
  F \otimes_{\mathbb Z} \mathbb Z/ 2 \mathbb Z) \cong \mathbb Z/ 2 \mathbb Z$,
  aber wir haben $\Gamma_! \mathcal F = 0$.
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}
 Ist in der Situation der Proposition $K \subset X$ ein Kompaktum und bezeichnet
$\Gamma_K$ Schnitte mit Tr"ager in $K$, so mu"s unser Isomorphismus keineswegs Isomorphismen
$\Gamma_K \mathcal F \otimes G \overset{\sim}{\rightarrow} \Gamma_K (\mathcal F \otimes G)$
induzieren. Ein Gegenbeispiel liefert der flache $\mathbb Z$-Modul $G=\mathbb Q$ und die
abelsche Garbe
\begin{equation*}
 \mathcal F = \prod^\infty_{n=1} i_{n\ast}(\mathbb Z / n \mathbb Z)_{[0,1/n]}
\end{equation*}
f"ur $i_n : [0,1/n] \hookrightarrow \mathbb R$ die Einbettungen.
Die Garbe $\mathcal F \otimes_{\mathbb Z} \mathbb Q$ hat nur im Ursprung einen von Null
verschiedenen Halm, aber die Garbe $\mathcal F$ hat keine von Null verschiedenen Schnitte mit dem 
Ursprung als Tr"ager.
\end{Beispiel}



\begin{proof} Wir beginnen mit der Injektivit"at.
Gegeben ein Element $s \in \Gamma_! \mathcal F \otimes G$ mit $ s \mapsto 0$
 besitzt jeder Punkt $x \in X$ eine Umgebung $U (x)$ mit $s \mapsto 0 \in \mathcal F
(U (x)) \otimes G$. Schreiben wir $s = \sum s_\nu \otimes g_\nu$, so 
"uberdecken endlich viele $U_1, \ldots , U_r$ dieser $U (x)$  die Tr"ager aller
$s_\nu$.
Nehmen wir als $U_0$ das Komplement der Vereinigung dieser Tr"ager, so 
liefert das Einschr"anken eine Injektion
\begin{equation*}
 \Gamma_{!}\mathcal F \hookrightarrow \prod^r_{i =0} \mathcal F (U_i)
\end{equation*}
Sie bleibt eine Injektion nach dem Tensorieren mit unserem flachen $G$,
und das zeigt die
Injektivit"at.
Um die Surjektivit"at zu zeigen, ziehen wir uns zun"achst auf den Fall von kompaktem $X$ zur"uck.
Gegeben $s \in \Gamma (\mathcal F \otimes G)$ mit Tr"ager in einem Kompaktum
$K$ finden wir 
stets $U\co X$ offen mit $K\subset U$ und $\bar U$ kompakt. 
Ist der Fall von kompaktem $X$ bekannt, so finden wir schon mal
ein Urbild $\tilde s \in \Gamma (\bar U; \mathcal F) \otimes G$
 von $s | \bar U$ und wegen der bereits bewiesenen 
Injektivit"at gilt $\tilde s \mapsto 0 \in \Gamma
(\partial \bar U ; \mathcal F) \otimes G$.
Da $G$ flach ist, kommt  damit $\tilde s$ von $\op{ker} (\Gamma (\bar U; \mathcal F) \rightarrow \Gamma (\partial
\bar U; \mathcal F)) \otimes G$ her und wir finden  durch Ausdehnen durch Null auf dem ersten Tensorfaktor das
gesuchte Urbild von $s$ in $\Gamma_{!} (X; \mathcal F) \otimes G$.
Wir d"urfen also in der Tat ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $X$ kompakt
annehmen.
Sei nun also $X$ kompakt und $s \in \Gamma (\mathcal F \otimes G)$.
So gibt es eine endliche "Uberdeckung $X = U_1 \cup \ldots \cup U_r$ durch Kompakta und $\tilde s_i \in \mathcal F
(U_i) \otimes G$ mit $\tilde s_i \mapsto s| U_i$. Wegen der bereits bewiesenen Injektivit"at haben $\tilde s_i$ und
$\tilde s_j$ dasselbe Bild in $\mathcal F (U_i \cap U_j) \otimes G$.
Die exakte Sequenz
\begin{equation*}
0\ra  \mathcal F (X) \rightarrow \prod \mathcal F (U_i) \rightarrow \prod \mathcal F (U_i \cap U_j)
\end{equation*}
bleibt aber exakt unter dem Tensorieren mit $G$ und erlaubt das Verkleben der $\tilde s_i$ zum
gesuchten Urbild
$\tilde s \in \mathcal F (X) \otimes G$ von $s$.
Um die letzte Aussage zu zeigen, erinnern wir f"ur $K\subset X$ kompakt
aus \ref{KWA}, da"s f"ur kompaktweiches $\mathcal F$ die Restriktion 
sogar eine Surjektion $\Gamma_!\mathcal F\sra \Gamma(K;\mathcal F)$ liefert.
Tensorieren mit $G$ und Anwenden unseres Resultats mit $K$ statt $X$ liefert
$$\Gamma_!\mathcal F\otimes G\sra \Gamma(K;\mathcal F)\otimes G
\sira \Gamma(K;\mathcal F\otimes G)$$
Da diese Verkn"upfung "uber $\Gamma_!(\mathcal F\otimes G)$ faktorisiert, mu"s
auch diese Gruppe surjektiv auf $\Gamma(K;\mathcal F\otimes G)$
abgebildet werden.
\end{proof}



\begin{Bemerkungl}\label{NatT} 
   Gegeben eine stetige Abbildung $\pi : X \rightarrow Y$ 
und eine abelsche Garbe $\mathcal G$
auf $Y$ und eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $X$ 
erhalten wir durch Adjunktion einen nat"urlichen Homomorphismus
\begin{equation*}
 \pi_{\ast} \mathcal F \otimes \mathcal G \rightarrow 
\pi_{\ast} (\mathcal F \otimes \pi^{\ast} \mathcal G)
\end{equation*}
aus der Komposition
$
 \pi^{\ast} ( \pi_{\ast}\mathcal F \otimes \mathcal G) \sira
\pi^{\ast}\pi_{\ast} \mathcal F \otimes \pi^{\ast} \mathcal G\ra 
\mathcal F \otimes \pi^{\ast} \mathcal G
$ des Inversen zur Vertr"aglichkeit \ref{zuTRG} 
von Zur"uckholen und Tensorprodukt mit einem aus der Adjunktion entstehenden
nat"urlichen Morphismus.
Da"s der fragliche Homomorphismus im allgemeinen kein Isomorphismus sein kann,
zeigt bereits das Beispiel der konstanten Abbildung von einer unendlichen
Menge
auf einen Punkt.   
Unser nat"urlicher Homomorphismus induziert weiter offensichtlich
einen nat"urlichen Homomorphismus
\begin{equation*}
 (\pi_{!} \mathcal F) \otimes \mathcal G \rightarrow 
\pi_{!} (\mathcal F \otimes \pi^{\ast} \mathcal G)
\end{equation*}
auf den eigentlichen Bildern im Sinne von \ref{EDBiAx}.
Analoges gilt f"ur Garben von Moduln.
\end{Bemerkungl}

%\begin{Bemerkungl}
%  Eine abelsche Garbe hei"st {\bf flach}\index{flach!abelsche Garbe}, wenn das Tensorieren mit unserer Garbe ein exakter Funktor ist alias
%wenn alle ihre Halme flache abelsche Gruppen sind.  
%Eine Garbe von Moduln "uber einem Ring $k$ hei"st {\bf flach}\index{flach!abelsche Garbe}, wenn das Tensorieren mit unserer Garbe ein exakter Funktor ist alias
%wenn alle ihre Halme flache $k$-Moduln sind. 
%\end{Bemerkungl}


  \begin{Definition}\label{relkwx} 
Gegeben eine stetige Abbildung nennen wir eine 
abelsche Garbe auf ihrem Definitionsbereich
{\bf relativ kompaktweich},\index{relativ kompaktweich}
\index{kompaktweich!relativ} wenn ihre Einschr"ankung
auf jede Faser unserer Abbildung kompaktweich ist.
Hei"st unsere Abbildung  $f$, so sprechen wir 
von einer
{\bf $f$-kompaktweichen} Garbe.\index{kompaktweich!$f$-kompaktweich}
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
  Diese Definition steht bisher noch genauso in
  \ref{relkw}. Eines dieser Vorkommen sollte
  im Endprodukt weggelassen werden.
  Unser Begriff scheint nur im Fall von separierten lokal eigentlichen
  Abbildungen $f$ n"utzlich zu sein. In diesem Fall zeigen wir in
  \ref{teL}, da"s jede $f$-kompaktweiche Garbe $f_!$-azyklisch ist.
  Die im folgenden gezeigten Zusatzaussagen "uber
  die Erhaltung der Eigenschaft \glqq relativ kompaktweich\grqq\
  unter verschiedenen R"uckz"ugen werden sich bei der Konstruktion
  des vollen derivierten Formalismus als  hilfreich erweisen.
\end{Bemerkungl}



\begin{Korollar}[\textbf{Projektionsformel\index{Projektionsformel}}]
Seien $\pi: X \ra Y$ eine separierte lokal eigentliche Abbildung
 und
 $\mathcal G\in\op{Ab}_{/Y}$ 
sowie $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ abelsche Garben.\label{ProFor} 
Ist $\mathcal G$ flach, so induziert die nat"urliche Abbildung  
aus \ref{NatT} einen Isomorphismus
\begin{equation*}
( \pi_{!} \mathcal F) \otimes \mathcal G \sira
\pi_{!} (\mathcal F \otimes \pi^{\ast} \mathcal G)
\end{equation*}
Ist zus"atzlich $\mathcal F$ relativ kompaktweich, 
so ist auch $\mathcal F \otimes  \pi^{\ast}\mathcal  G$ relativ kompaktweich. 
\end{Korollar}
\begin{Bemerkungl}
  Analoges gilt f"ur Garben von Moduln.
\end{Bemerkungl}




  \begin{proof}
Wir d"urfen  uns mit lokal eigentlichem
Basiswechsel \ref{BaWeax} auf den Fall
    zur"uckziehen, da"s $Y$ ein Punkt ist. 
In diesem Fall haben wir die Aussagen bereits als
 \ref{TSko} bewiesen.
  \end{proof}



\subsection{R"uckzug eigentlicher Opkomorphismen}
\begin{Bemerkungl}  Wir nennen eine Menge $R$ von Morphismen
  einer Kategorie $\mathscr B$
  {\bf r"uckzugstabil},\index{r"uckzugstabil}\label{Rzst} 
  wenn das  Faserprodukt f"ur alle Winkel mit einem $R$-Morphismus
  existiert und  in jedem kartesischen Quadrat mit
  einem  $R$-Morphismus im Ausgangswinkel der
  gegen"uberliegende Morphismus aus dem Faserprodukt auch  wieder ein $R$-Morphismus ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
 Sei  $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Faserung und
 sei in der Basis $\mathscr B$ ein ausgezeichnetes r"uckzugstabiles multiplikatives  System $R$ gegeben. Unter einem {\bf faserr"uckzugstabilen multiplikativen
    System $S$  "uber $R$}\index{faserr"uckzugstabil!"uber anderem System}
  verstehen wir ein  multiplikatives
  System $S$ in $\mathscr C$ "uber $R$ mit der Eigenschaft,
   da"s f"ur jede Hochhebung nach $\mathscr C$ eines kartesischen Quadrats in $\mathscr B$ mit $R$-Pfeilen nach unten
zu einem kommutativen Quadrat\label{KKFuux} 
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
\ar[d]& \ar[l] \ar@{-->}[d] \\
&\ar[l]}
  \end{displaymath}
in $\mathscr C$ mit den Pfeilen nach links kartesisch und dem durchgezogenen Pfeil nach unten einem $S$-Morphismus
auch der induzierte gestrichelte Pfeil
nach unten ein $S$-Morphismus ist.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}[\textbf{R"uckzug eigentlicher Opkomorphismen}]
In unserer Garben\-opbifaserung
$\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \ref{GaKoFa} bilden
die eigentlichen Opkomorphismen "uber stetigen Abbildungen
nach
\ref{ReOp} ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives System.\label{ReO} 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{R"uckzug eigentlich-kokartesischer Opkomorphismen}]
 Wir betrachten  unsere Garben\-opbifaserung\label{RekO} 
$\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \ref{GaKoFa}. In der Kategorie der topologischen R"aume bilden die
  lokal eigentlichen separierten Abbildungen nach \ref{LSB} 
ein r"uckzugstabiles multiplikatives System.
Dar"uber bilden dann die eigentlich-kokartesischen Opkomorphismen
nach lokal eigentlichem Basiswechsel \ref{BaWeax}
ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives System.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
  In der Wortkategorie $\mathscr B^{\curlywedge}$ der
  banalen Trennkategorie einer Kategorie $\mathscr B$ notieren wir
  $\mathscr B^{\shortparallel}$\index{)6@$\shortparallel$} die Menge aller
  Morphismen mit der Identit"at als Indexabbildung. Hat $\mathscr B$
  endliche Faserprodukte, so ist $\mathscr B^{\shortparallel}$ r"uckzugstabil in $\mathscr B^{\curlywedge}$. Eine allgemeinere
  Aussage zeigen wir als Lemma \ref{rzST}.
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}[\textbf{Multir"uckzug eigentlicher Opkomorphismen}]
Unter dem Faserfunktor
  $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}^\curlywedge\ra \op{Top}^\curlywedge$
 auf den Wortkategorien der Gar\-bentrennfaserung bilden die\label{MReO} 
 Tupel eigentlicher Opkomorphismen ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives\label{jhtr} 
 System "uber $\op{Top}^\shortparallel$.
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
Das faserr"uckzugstabile multiplikative System aller Tupel eigentlicher Opkomorphismen aus dem vorhergehenden Lemma notieren
  wir $\op{Ab}^{!\shortparallel}_{\sslash \op{Top}}$.
\end{Bemerkungl}


% \begin{proof}
%   Jeder Morphismus der Wortkategorie
%   einer banalen Trennkategorie  entsteht durch Komposition und
%   das \glqq Zusammenfassen zu Tupeln\grqq\ aus
%   Nulltrennungen, Einstrennungen, Zweitrennungen
%   der Gestalt $(\op{id},\op{id}):X\ra X\curlywedge X$ und Permutationen.
%   Es reicht also zu zeigen, da"s der R"uckzug von Tupeln
%   eigentlicher Opkomorphismen mit jedem Morphismus dieser vier Typen wieder
%   ein eigentlicher Opkomorphismus ist. Im Fall von Einstrennungen ist das
%   unsere "Ubung \ref{ReOp}. Im Fall einer Permutation  ist das
%   eh klar. Im Fall einer Nulltrennung ist es die
%   einigerma"sen banale Erkenntnis, da"s f"ur jeden topologischen Raum $X$
%   der identische Opkomorphismus $\DZ_X\ra \DZ_X$ "uber
%   $\op{id}:X\ra X$ eigentlich ist alias da"s die nat"urliche Einbettung
%   eine Gleichheit $\op{id}_!\DZ_X=\op{id}_*\DZ_X$ ist.
%   Im Fall einer Zwei\-trennung
%   der Gestalt $(\op{id},\op{id}):X\ra X\curlywedge X$
%   "uberlegt man sich, da"s es ausreicht, die Stabilit"at unter R"uckzug auf den
%   Fasern in kartesischen Diagrammen "uber Winkeln zu zeigen,
%   deren andere Ausgangskante die Gestalt
%   $(\op{id}\curlywedge f): X\curlywedge T\ra X\curlywedge X$ hat f"ur $f:T\ra X$ stetig.   Genauer zeigt das  folgende Diagramm, wie man
%   den R"uckzug von $(f\curlywedge g): Z\curlywedge Y\ra  X\curlywedge X$
%   unter $(\op{id},\op{id}):X\ra X\curlywedge X$
 %  erhalten kann durch Vertupeln und Komposition aus einem
%   R"uckzug unter einer Einstrennung (2) und zwei R"uckz"ugen (1), (3)
%   dieser speziellen Art.
% \begin{displaymath}
% \xymatrix{
% Z\ar[d] & \ar[l] \ar[d]^-{(2)}Z\times_{X} Y & Y\ar[d] & \ar@/_1pc/[ll]\ar[l] Z \times_{X} Y \ar[d]^-{(3)}\\
% X\ar[d] & \ar[l] Y & Y\ar[d] &\ar@/_1pc/[ll]
% \ar@/^1pc/[lll]
% \ar[l] Y \ar[d]^-{(1)}\\
% X & & X &\ar@/^1pc/[lll]\ar[l] X\\
% }
% \end{displaymath}

% \vspace{6mm}\noindent
% Damit l"auft unsere Behauptung auf 
% den Nachweis hinaus,
%   da"s f"ur jede stetige Abbildung $f:T\ra X$ und jeden
%   eigentlichen Opkomorphismus $\varphi:\mathcal E\ra \mathcal F$ "uber
%   $f$ und jede abelsche Garbe $\mathcal G$ auf $X$  auch der induzierte Opkomorphismus
%   $f^\ast \mathcal G\otimes \mathcal E\ra \mathcal G\otimes \mathcal F$
%   "uber $f$ eigentlich ist.
%   Das hinwiederum l"auft auf den Nachweis hinaus,
%    da"s der Garbenhomomorphismus
%   $\mathcal G\otimes \mathcal F\ra f_\ast (f^\ast \mathcal G\otimes \mathcal E)$,
%  der f"ur $V\co X$ und
%   $r\in \mathcal G(V)$ und $t\in \mathcal F(V)$ gegeben wird durch
%  $r\otimes t\mapsto r\otimes \varphi(t)$, "uber $f_! (f^\ast \mathcal G\otimes \mathcal E)$ faktorisiert.
%  Da nun die Bildgarbe von den
%   $ r\otimes \varphi(t)$ erzeugt wird, reicht es zu zeigen,
 %  da"s diese Tensoren zu $f_! (f^\ast \mathcal G\otimes \mathcal E)$ geh"oren.
%   Es ist aber klar, da"s der Tr"ager in $f^{-1}(V)$ dieses Tensors eine abgeschlossene
%   Teilmenge von $\op{supp}(\varphi(t))$
 %  ist und folglich auch eigentlich nach $V$ abgebildet wird.
% \end{proof}
\begin{proof}
  Jeder Morphismus der Wortkategorie
  der banalen Trennkategorie zu einer Kategorie mit endlichen Produkten entsteht durch Komposition und
  das \glqq Zusammenfassen zu Tupeln\grqq\ aus
  Nulltrennungen, Einstrennungen, Zweitrennungen
  der Gestalt der beiden Projektionen $(\op{pr}_X,\op{pr}_Y):X\times Y\ra X\curlywedge Y$ aus einem Produkt, die wir
  {\bf Projektions-Zweitrennungen}\index{Projektions-Zweitrennung}
  nennen, und Permutationen.
  Es reicht also zu zeigen, da"s der R"uckzug von Tupeln
  eigentlicher Opkomorphismen mit jedem Morphismus dieser vier Typen wieder
  ein eigentlicher Opkomorphismus ist. Im Fall von Einstrennungen ist das
  unsere "Ubung \ref{ReOp}. Im Fall einer Permuta\-tion  ist das
  eh klar. Im Fall einer Nulltrennung ist es die
  einigerma"sen banale Erkenntnis, da"s f"ur jeden topologischen Raum $X$
  der identische Opkomorphismus $\DZ_X\ra \DZ_X$ "uber
  $\op{id}:X\ra X$ eigentlich ist alias da"s die nat"urliche Einbettung
  eine Gleichheit $\op{id}_!\DZ_X=\op{id}_*\DZ_X$ ist.
  Im Fall einer Projektions-Zwei\-trennung  l"auft unsere Behauptung auf 
den Nachweis hinaus,
da"s f"ur beliebige stetige Abbildungen $f:X'\ra X$ und
$g:Y'\ra Y$ sowie je ein
eigentlicher Opkomorphismus $\phi:\mathcal F'\ra \mathcal F$ "uber $f$ 
und $\psi:\mathcal F'\ra \mathcal F$
"uber
$g$
auch der induzierte Opkomorphismus $\mathcal F'\boxtimes \mathcal G'\ra \mathcal F\boxtimes \mathcal G$ "uber $f\times g:X'\times Y'\ra X\times Y$ eigentlich ist. Es reicht, das f"ur $g=\op{id}$ und $\psi=\op{id}$ zu zeigen
alias zu zeigen, da"s f"ur eine beliebige stetige Abbildung $f:X'\ra X$ und
einen
eigentlichen Opkomorphismus $\phi:\mathcal E\ra \mathcal F$ "uber $f$ 
und einen beliebigen weiteren Raum $Y$ mit einer abelschen Garbe $\mathcal G$ 
auch der induzierte Opkomorphismus $\mathcal E\boxtimes \mathcal G\ra \mathcal F\boxtimes \mathcal G$ "uber $f\times {\op{id}}:X'\times Y\ra X\times Y$ eigentlich ist.
Das 
hinwiederum folgt mit verschiedenen Umbenennungen und
einer ersten Anwendung der G"ultigkeit unserer Behauptung f"ur Einstrennungen, wenn wir zeigen k"onnen, da"s f"ur jede stetige Abbildung
$h:P\ra Q$ und jeden eigentlichen Opkomorphismus $\varphi:\mathcal A\ra\mathcal B$ "uber $h$ 
und jede abelsche Garbe $\mathcal C\in\op{Ab}_{/Q}$  auch der induzierte Opkomorphismus
  $\mathcal A\otimes h^\ast \mathcal C\ra\mathcal B \otimes \mathcal C$
  "uber $h$ eigentlich ist.
  Das seinerseits l"auft auf den Nachweis hinaus,
   da"s der Garbenhomomorphismus
  $\mathcal B\otimes \mathcal C\ra h_\ast (\mathcal A\otimes h^\ast \mathcal C)$,
 der f"ur $V\co Q$ und $b\in \mathcal B(V)$ und
  $c\in \mathcal C(V)$   gegeben wird durch
 $b\otimes c\mapsto \varphi(b)\otimes c$, "uber $h_! (\mathcal A\otimes h^\ast \mathcal C)$ faktorisiert.
 Da nun die Bildgarbe von den
  $ \varphi(b)\otimes c$ erzeugt wird, reicht es zu zeigen,
  da"s diese Tensoren zu $h_! (\mathcal A\otimes h^\ast \mathcal C)$ geh"oren.
  Es ist aber klar, da"s der Tr"ager in $h^{-1}(V)$ unseres Tensors $ \varphi(b)\otimes c$ eine abgeschlossene
  Teilmenge von $\op{supp}(\varphi(b))$
  ist und folglich auch eigentlich nach $V$ abgebildet wird.
\end{proof}

\begin{Lemma}
  Gegeben ein \hyperref[Rzst]{r\"{u}ckzugstabiles} multiplikatives System
  $\mathscr B^!$
  in einer Kategorie $\mathscr B$ mit endlichen Produkten,
  dessen Morphismen wir im folgenden als
  !-Morphismen ansprechen,
  ist auch das System $\mathscr B^{\shortparallel!}$ aller
   Tupel von !-Morphismen mit der Identit"at als Indexabbildung ein
  r"uckzugstabiles multiplikatives System in der Wortkategorie 
  $\mathscr B^\curlywedge$ der banalen Trennkategorie zu
  $\mathscr B$.\label{rzST} 
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
 Das  System
aller Morphismen
einer Kategorie $\mathscr B$ ist genau dann r"uckzugstabil,
wenn unsere Kategorie endliche Faserprodukte hat.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}  Jeder Morphismus der Wortkategorie
  einer banalen Trennkategorie mit endlichen Produkten entsteht
  wie bereits beim Beweis von \ref{jhtr} erw"ahnt durch Komposition und
  das \glqq Zusammenfassen zu Tupeln\grqq\ aus
  Nulltrennungen, Einstrennungen, Projektions-Zweitrennungen
   und Permutationen.  Es reicht also zu zeigen, da"s der R"uckzug
   eines Tupels von $!$-Morphismen mit jedem Morphismus dieser vier Typen wieder
   ein $!$-Morphismus ist. Im Fall von Einstrennungen ist das
   unsere Annahme. Im Fall einer Permutation  ist das
   eh klar. Im Fall einer Nulltrennung ist es die Aussage, da"s
   alle Identit"aten $!$-Morphismen sind, was bei uns Teil der Definition eines 
  \hyperref[RmSM]{multiplikativen Systems} ist.
   Im Fall einer Projektions-Zwei\-trennung
    $(\op{pr}_X,\op{pr}_Y):X\times Y\ra X\curlywedge Y$
   "uberlegt man sich, da"s wir nur zeigen m"ussen, da"s f"ur
   jeden $!$-Morphismus $f:X'\ra X$ auch  $f\times\op{id}: X'\times Y\ra X\times Y$ ein $!$-Morphismus ist. Das aber folgt unmittelbar aus
   unseren Annahmen.
\end{proof}

\begin{Lemma}[\textbf{Multir"uckzug eigentlich-kokartesischer Opkomorphismen}]
  In dem auf %torsionsfreie alias
  Tupel flacher Garben eingeschr"ankten Faserfunktor
  $$\op{flAb}_{\sslash \op{Top}}^\curlywedge\ra \op{Top}^\curlywedge$$
  zwischen den Wortkategorien  unserer Garbentrennfaserung\label{MRekO}
 bilden die
 Tupel ei\-gent\-lich-ko\-kar\-te\-si\-scher Opkomorphismen "uber dem r"uckzugstabilen multiplikativen System $\op{Top}^{\shortparallel\op{les}}$ aller Tupel von lokal eigentlichen separierten
 Abbildungen ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives\label{Jhtr} 
 System.
\end{Lemma}

\begin{proof}
  Wir argumentieren wie beim Beweis unseres Lemmas zum Multir"uckzug
  eigentlicher Opkomorphismen \ref{MReO}.
  Es reicht wieder zu zeigen, da"s der R"uckzug von Tupeln
  eigentlich-kokartesischer Opkomorphismen
  flacher Garben "uber lokal eigentlichen separierten Abbildungen mit jeder Nulltrennung, Einstrennung, Projektions-Zweitrennung und Permutation wieder
  ein eigentlich-kokartesischer Opkomorphismus ist.
  Im Fall einer Einstrennung ist das
  lokal eigentlicher Basiswechsel  \ref{BaWeax}.
  Im Fall einer Permutation  ist das
  eh klar. Im Fall einer Nulltrennung ist es die
  einigerma"sen banale Erkenntnis, da"s f"ur jeden topologischen Raum $X$
  der identische Opkomorphismus $\DZ_X\ra \DZ_X$ "uber der Identit"at 
  $\op{id}:X\ra X$ stets eigentlich-kokartesisch ist.
  Im Fall einer Projektions-Zweitrennung ziehen wir uns wie beim Beweis
  unseres Lemmas zum Multir"uckzug
  eigentlicher Opkomorphismen \ref{MReO} darauf zur"uck, zu zeigen, 
 da"s f"ur jede lokal eigentliche separierte  Abbildung
$h:P\ra Q$ und jeden eigentlich-kokartesischen Opkomorphismus $\varphi:\mathcal A\ra\mathcal B$ "uber $h$ 
und jede flache abelsche Garbe $\mathcal C\in\op{Ab}_{/Q}$  auch der induzierte Opkomorphismus
  $\mathcal A\otimes h^\ast \mathcal C\ra \mathcal B\otimes \mathcal C$
  "uber $h$ eigentlich-kokartesisch ist.
  Das hinwiederum l"auft auf den Nachweis hinaus,
   da"s der aus \ref{MReO} entstehende Garbenhomomorphismus
   ein Isomorphismus $h_! \mathcal A\otimes  \mathcal C
   \sira h_! (\mathcal A\otimes h^\ast \mathcal C)$  ist, und 
das schlie"slich ist genau die Aussage der Projektionsformel \ref{ProFor}.
\end{proof}

\newpage

\section{Derivierter Drei-Funktoren-Kalk"ul}

\subsection{Lokalisierung von Kofaserungen}
\begin{Bemerkungl}
  Ich erinnere daran, da"s sich nach \ref{KaBr} bei der Lokalisierung einer
  Kategorie nach einem Rechtsoresystem $S$ die Morphismen der
  Lokalisierung als "Aquivalenzklassen von Rechtsbr"uchen
  $f\circ s^{-1}$ mit $s\in S$ beschreiben lassen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition} Sei   $p:\mathscr C\ra \mathscr B$  ein Funktor.
  Unter einem
  {\bf faserweisen Links\-oresystem  in $\mathscr C$} 
  verstehen\index{Linksoresystem!faserweises} wir ein multiplikatives System $S$ in $\mathscr C$, das
  "uber den Identit"aten
  der Basis  liegt und die Eigenschaft hat,
  da"s f"ur alle $X\in\mathscr B$
  die Menge $S_X$ der $S$-Morphismen "uber $\op{id}_X$ ein Linksoresystem
  der Faser $\mathscr C_X$ ist.\label{fORE}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Man beachte, da"s der Zusatz \glqq faserweise\grqq\
  die Bedingung 
  \glqq Linksoresystem\grqq\ 
  abschw"acht.
 Will ich
   besonders betonen,
   da"s der Begriff \glqq Linksoresystem\grqq\ nicht nur faserweise gemeint ist,  so spreche ich von einem
   {\bf globalen Links\-oresystem}.\index{Linksoresystem!globales}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Analog erkl"aren wir  {\bf faserweise 
    Rechts\-oresysteme}\index{Rechtsoresystem!faserweises}
 und 
 {\bf faserweise  
   Oresysteme}.\index{Oresystem!faserweises}
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisierung einer Faser als Faser der
  Lokalisierung}]
  Sei ein Funktor  $p:\mathscr C\ra \mathscr B$ gegeben und sei 
  $S$ ein globales Rechtsoresystem in $\mathscr C$ "uber den Identit"aten\label{FFL} 
  von $\mathscr B$.
  Gegeben $X\in\mathscr B$ ist die Menge  $S_X$
  der $S$-Morphismen "uber
  $\op{id}_X$ dann offensichtlich ein Rechtsoresystem
  in der Faser $\mathscr C_X$ und f"ur den  auf der Lokalisierung induzierten Funktor
  $p_S: S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B$
  sind die offensichtlichen Funktoren  Isomorphismen
  $$S_X^{-1}\mathscr C_{X}\sira (S^{-1}\mathscr C)_X$$
  zwischen der Lokalisierung der Faser und der Faser der Lokalisierung.
Das folgt direkt aus der Interpretation der Morphismen der
  Lokalisierung als "Aquivalenzklassen von Br"uchen und gilt
  ganz genauso auch f"ur Linksoresysteme.
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}
Gegeben Funktoren  $F:\mathscr C\ra \mathscr B$ und
$G:\mathscr D\ra \mathscr B$ bezeichne
$$\mathscr C\times_{\mathscr B}\mathscr D$$
das Faserprodukt in der Kategorie $\op{Cat}$
der Kategorien.\index{Faserprodukt!von Kategorien}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Explizit k"onnen wir das Faserprodukt
$\mathscr C\times_{\mathscr B}\mathscr D$
als Unterkategorie der Produktkategorie konstruieren wie folgt:
Als Objekte nehmen wir  Paare $(C,D)\in \mathscr C\times\mathscr D$  mit $F(C)=G(D)$ und als
Morphismen $(C,D)\ra (C',D')$  Paare $(u,v)$ von Morphismen
mit
$F(u)=G(v)$. Je nach Kontext verwenden wir f"ur dies
Faserprodukt auch die Notation $\mathscr C_{\mathscr D}$ und
nennen 
$\mathscr C_{\mathscr D}\ra \mathscr D$  den
{\bf zur"uckgezogenen Funktor}.\index{R"uckzug!von Funktor}
Im Fall der durch ein Objekt $X\in\mathscr B$ gegebenen Einbettung
$\op{cat}\vra \mathscr B$ der terminalen Kategorie spezialisiert
$\mathscr C_{\op{cat}}$ zu unserer Faser $\mathscr C_{X}$.
\end{Bemerkungl}


  \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisierung und R"uckzug}]
   Sei ein Funktor  $p:\mathscr C\ra \mathscr B$ gegeben und sei 
  $S$ ein globales Rechtsoresystem in $\mathscr C$ "uber den Identit"aten\label{FFLn} 
  von $\mathscr B$. Gegeben ein Funktor $\mathscr U\ra \mathscr B$
   sind die
   offensichtlichen Funktoren  Isomorphismen
  $$S_{\mathscr U}^{-1}\mathscr C_{\mathscr U}\sira (S^{-1}\mathscr C)_\mathscr U$$
   zwischen der Lokalisierung des \hyperref[resKK]{R\"{u}ckzugs} und dem  R"uckzug der Lokalisierung mit der Notation $S_{\mathscr U}$ f"ur das Urbild von
   $S$ unter $\mathscr C_{\mathscr U}\ra\mathscr C$.
  Auch das folgt direkt aus der Interpretation der Morphismen der
  Lokalisierung als "Aquivalenzklassen von Br"uchen und gilt
  ganz genauso auch f"ur Linksoresysteme. %Geprueft am 25.9.17
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{R"uckzug erh"alt Faserungen und Kofaserungen}]
  Seien Funktoren  $\mathscr C\ra \mathscr B$ und
  $\mathscr D\ra \mathscr B$ gegeben.
  Ist ein Morphismus $u$ in $\mathscr C$
  kartesisch beziehungsweise
  kokartesisch f"ur  $\mathscr C\ra \mathscr B$, so ist auch jeder Morphismus der Gestalt $(u,v)$
  im Faserprodukt kartesisch beziehungsweise
  kokartesisch f"ur  $\mathscr C_{\mathscr D}\ra \mathscr D$.  Ist $\mathscr C\ra \mathscr B$ eine Faserung
  beziehungweise Kofaserung und
  $\mathscr D\ra \mathscr B$ ein beliebiger Funktor, so ist auch
  $\mathscr C_{\mathscr D}\ra \mathscr D$ eine Faserung
  beziehungweise Kofaserung. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Lokalisierung einer Kofaserung nach
    einem  Linksoresystem}]%Geprueft am 25.9.17 
  Seien  $p:\mathscr C\ra \mathscr B$  ein Kofaserfunktor
  und $S$ ein globales Linksoresystem in $\mathscr C$ "uber den Identit"aten
  der Basis.
  So ist auch\label{KofLr}  der auf der Lokalisierung induzierte
  Funktor ein Kofaserfunktor
  $$p_S:S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B$$
  und jeder kokartesische Morphismus
  in $\mathscr C$ bleibt kokartesisch in $S^{-1}\mathscr C$.
\end{Satz}
\begin{proof}
  Um das zu zeigen
  beachten wir f"ur jeden Morphismus $f:X\ra Y$
  in der Basis sowie Objekte $\mathcal F$ "uber $X$ und
  $\mathcal G$ "uber $Y$ die nat"urlichen Isomorphismen
$$\xymatrix{
 (S^{-1}\mathscr C)_f(\mathcal F,\mathcal G) \ar[d]^{\wr} & (S^{-1}\mathscr C)_Y(f_\dagger \mathcal F,\mathcal G) \\
\op{colf}_{\mathcal G\stackrel{S}{\ra}\mathcal G'}\mathscr C_f(\mathcal F,\mathcal G') \ar[r]^-{\sim} &  \op{colf}_{\mathcal G\stackrel{S}{\ra}\mathcal G'}\mathscr C_Y(f_\dagger\mathcal F,\mathcal G')\ar[u]_\wr }$$
   Der Satz folgt.
\end{proof}










\begin{Lemma}[\textbf{Faserweise Linksoresysteme als globale Linksoresysteme}] 
  Seien $p:\mathscr C\ra\mathscr B$ eine Kofaserung und
  $S$ ein faserweises %ges"attigtes
  Linksoresystem in $\mathscr C$.
  K"onnen wir f"ur jeden Morphismus der Basis einen
  direkten Bildfunktor
  w"ahlen, der  $S$ stabilisiert,
  so ist $S$ sogar ein globales Links\-oresystem in $\mathscr C$.\label{KriLO}
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisierung nach faserweisem Linksoresystem}]
  In der Situation von Lemma
  \ref{KriLO} k"onnen wir insbesondere unsere Proposition \ref{KofLr} anwenden und erhalten durch Lokalisieren
  wieder eine Kofaserung
  $p_S:S^{-1}\mathscr C\ra\mathscr B$ mit der Eigenschaft,
  da"s kokartesische Morphismen in $\mathscr C$ kokartesisch  bleiben in $S^{-1}\mathscr C$.\label{KriLO1}
\end{Bemerkungl}
  

  \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisierung nach faserweisem Rechtsoresystem}]
  Ist   $p:\mathscr C\ra\mathscr B$ eine Faserung und
  $S$ ein faserweises Rechtsoresystem in
  $\mathscr C$. K"onnen wir f"ur jeden Morphismus der Basis einen R"uckholfunktor
 w"ahlen, der unser faserweises
  Rechtsoresystem $S$ stabilisiert, 
  so ist $S$ ein Rechtsoresystem in $\mathscr C$ und
  wir  erhalten durch Lokalisieren
  wieder eine Faserung
  $p_S:S^{-1}\mathscr C\ra\mathscr B$
  mit der Eigenschaft, da"s kartesische Morphismen in $\mathscr C$ kartesisch bleiben in $S^{-1}\mathscr C$. Das ist  die duale Form der Aussagen  \ref{KriLO} und \ref{KriLO1}.
\end{Bemerkungl}
  \begin{proof}
    Jeder Rechtsbruch l"a"st sich zu einem Linksbruch umschreiben,
    das zeigt das Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\mathcal F \ar[r] & f_\dagger \mathcal F \ar@{-->}[r] & \mathcal G^\prime\\
\mathcal F^\prime \ar@/_1pc/[rr]\ar[r]\ar[u]^-{S} & f_\dagger \mathcal F^\prime \ar[r] \ar[u]^-{S}& \mathcal G \ar@{-->}[u]^-{S}
}
\end{displaymath}
zeigt.
Je zwei Morphismen, die durch Vorschalten eines
$S$-Morphismus egalisiert werden, k"onnen auch durch Nachschalten
eines $S$-Morphismus egalisiert werden, das zeigt das
Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
  \mathcal F \ar@/^1,5pc/[rr]  \ar@/^1pc/[rr] \ar[r] & f_\dagger {\mathcal {F}}  \ar@<-.2ex>[r] \ar@<.2ex>[r]
  %\ar@2{->}[r]
  & \mathcal G \ar@{-->}[d]_-{S}\\
\mathcal F^\prime \ar[r]\ar[u]^-{S} & f_\dagger \mathcal F^\prime \ar[u]^-{S}& \mathcal G' 
} 
\end{displaymath}
Das Lemma ist bewiesen.
  \end{proof}

\subsection{Die derivierte Garbenopkofaserung}\label{GaOPKO}




\begin{Bemerkungl}
  Wir erinnern aus \ref{GaKoFa} die Bifaserung $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$, die wir dort die 
  Garbenopkofaserung genannt hatten und deren Fasern $\op{Ab}_{\sslash X}$
  opponiert sind zu den "ublichen Kategorien $\op{Ab}_{/ X}$ der
  abelschen Garben auf $X$. Dazu bilden
  wir in hoffentlich offensichtlicher Weise  Funktoren
  $\op{Ket}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}$ und
  $\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}$ mit Fasern
  $\op{Ket}(\op{Ab}_{\sslash X})$ beziehungsweise
 $\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash X})$.
  Der Erste
  ist offensichtlich ein Faserfunktor mit den auf Komplexen induzierten
  Funktoren $f^\ast$ als R"uckholfunktoren.
  F"ur den Zweiten gilt dasselbe, denn gegeben $f:X\ra Y$ stetig und $\mathcal F\in\op{Ket}(\op{Ab}_{\sslash X})$
    sowie $\mathcal G\in\op{Ket}(\op{Ab}_{\sslash Y})$ erhalten wir
     ja offensichtlich sogar einen Isomorphismus
      $$\op{Ab}_{\sslash X}(\mathcal F,f^\ast \mathcal G)\sira
      \op{Ab}_{\sslash f}(\mathcal F, \mathcal G)$$
      von in hoffentlich offensichtlicher Weise
      erkl"arten Komplexen abelscher Gruppen und damit
      auch einen Isomorphismus auf deren nullter Kohomologie.
       In Bezug auf den Faserfunktor
       $\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}$
       bilden nun die Quasiisomorphismen "uber den Identit"aten der Basis
       ein faserweises Oresystem, das unter allen R"uckholfunktoren stabil ist. Nach \ref{KriLO} ist
       es damit sogar ein Rechtsoresystem in $\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})$ und wenn wir danach lokalisieren, erhalten wir nach \ref{KofLr} einen Faserfunktor\label{fdsmm}
       $$\op{Der}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}$$
       mit Fasern $\op{Der}(\op{Ab}_{\sslash X})$
       und R"uckholfunktoren $f^*$. Wir nennen ihn die
       {\bf derivierte Garbenopkofaserung}.\index{Garbenopkofaserung!derivierte}
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Sei $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung.
  Der R"uckholfunktor der Faserung durch Homotopiekomplexe 
       $f^*=f^*_{\op{Hot}}:\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash Y})\ra \op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash X})$
       hat  den Linksadjungierten 
       $f_*=f_*^{\op{Hot}}:\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash X})\ra
       \op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash Y})$.
       Der R"uckholfunktor der derivierten Garbenopkofaserung
       ist nach unseren "Uberlegungen in \ref{FFL} der Rechtsderivierte $$f^*_{\op{Der}}={\op{R}}(Qf^*_{\op{Hot}})={\op{R}}f^*:\op{Der}(\op{Ab}_{\sslash Y})\ra \op{Der}(\op{Ab}_{\sslash X})$$
       Das $Q$ bezeichnet hier den Funktor von der Homotopiekategorie in die derivierte Kategorie, von dem wir in \ref{HdFoI} bereits vereinbart hatten, da"s
       er im vorliegenden Kontext zusammen mit $\op{Hot}$
       auch aus der Notation weggelassen werden darf.
       Dessen Linksadjungierter ist dann nach \ref{stKK}, wo immer
       er existiert, ein direkter Bildfunktor unserer Faserung,
       und der Transportmorphismus dorthin ist immer noch nach
       \ref{stKK} sogar stark kokartesisch. Nach \ref{AdJD} ist
       nun  der Derivierte ${\op{L}}(Qf_*^{\op{Hot}}):\op{Der}(\op{Ab}_{\sslash X})\dashrightarrow \op{Der}(\op{Ab}_{\sslash Y})$
       solch ein Linksadjungierter, wo immer dieser Derivierte
       in unserem zahmen Sinne existiert.
       Man kann zeigen, da"s das immer der Fall ist, aber dazu mu"s
       man sich etwas qu"alen, vergleiche \ref{AUGK}. Unser Derivierter existiert jedoch offensichtlich
       auf $\op{Der}^-(\op{Ab}_{\sslash X})$ und ist per definitionem
       schlicht der opponierte Funktor zum Rechtsderivierten ${\op{R}}f_*:\op{Der}^+(\op{Ab}_{/ X})\ra \op{Der}^+(\op{Ab}_{/ Y})$, den man ja durch injektive Aufl"osungen 
       berechnen kann.
       So erhalten wir, da"s unser Funktor
       eine Bifaserung
       $$\op{Der}^{-}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}$$
       induziert mit Fasern $\op{Der}^{+}(\op{Ab}_{/ X})^{\op{opp}}$, direkten Bildfunktoren $({\op{R}}f_*)^{\op{opp}}$
       und R"uckholfunktoren $({\op{L}}f^*)^{\op{opp}}$.
       Wir verwenden im weiteren meist die Abk"urzungen
       $$f_\ast\pdef {\op{R}}f_*:\op{Der}^{+}(\op{Ab}_{/ X})\ra \op{Der}^{+}(\op{Ab}_{/ Y})$$ $$f^\ast\pdef {\op{L}}f^*:\op{Der}^{+}(\op{Ab}_{/ Y})\ra \op{Der}^{+}(\op{Ab}_{/ X})$$ und haben damit die ersten Zwei der sechs Funktoren des Sechs-Funktor-For\-ma\-lis\-mus in Gestalt eines
       adjungierten Paars $(f^*, f_*)$
       konstruiert und deren Beziehungen untereinander beschrieben.
\end{Bemerkungl}


\subsection{Lokalisierung durch Linksanpassung} 
\begin{Definition} Sei   $\mathscr C\ra \mathscr B$  ein Kofaserfunktor.
  Unter einer {\bf vollen Unterkofaserung}\index{Unterkofaserung!volle}
  verstehen wir eine volle Unterkategorie  $\mathscr D\subset \mathscr C$ derart, da"s wir f"ur jeden Morphismus der Basis\label{voUK} 
  einen  direkten Bildfunktor  unserer  Kofaserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ w"ahlen k"onnen, der $\mathscr D$ stabilisiert.
\end{Definition}


\begin{Definition} Seien   $\mathscr C\ra \mathscr B$  ein Kofaserfunktor
  und $S$ ein faserweises Rechtsoresystem in $\mathscr C$. 
  Eine \hyperref[voUK]{volle Unterkofaserung} $\mathscr D\subset \mathscr C$
  hei"se eine
  {\bf Linksanpassung f"ur $S$},\index{Linksanpassung}\label{RAP}
  wenn (1) die Menge $T$ aller $S$-Morphismen aus $\mathscr D$ ein
  faserweises Oresystem %fr"uher mal: Rechtsoresystem
  in $\mathscr D$ bildet,
  wenn (2) direkte Bildfunktoren $f_\dagger$ so gew"ahlt werden k"onnen,
  da"s sie unsere Menge
   $T$ stabilisieren, und wenn  es (3) f"ur jedes
  $C\in \mathscr C$ einen $S$-Morphismus $D\ra C$ gibt mit $D\in \mathscr D$.
\end{Definition}



\begin{Satz}[\textbf{Lokalisierung durch Linksanpassung}]
 Seien   $p:\mathscr C\ra \mathscr B$  ein Kofaserfunktor und
 $S$ ein faserweises Rechtsoresystem in $\mathscr C$.\label{LRAn} 
 Gibt es eine  \hyperref[RAP]{Linksanpassung}
 $\mathscr D\subset \mathscr C$
  f"ur $S$, so gilt:
  \begin{enumerate}
  \item
    Der offensichtliche Funktor $S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B$
    ist
    eine Kofaserung;
  \item
    Die Einbettungen liefern Isomorphismen $S_{\mathscr U}^{-1}\mathscr C_{\mathscr U}\sira (S^{-1}\mathscr C)_{\mathscr U}$ f"ur jeden Funktor $\mathscr U\ra \mathscr B$ in die Basis;
  \item
    F"ur
    jeden Morphismus $f:X\ra Y$  der Basis
    ist jedes Objekt von $\mathscr D_X$ als
    Objekt von $\mathscr C_X$ linksentfaltet
    in Bezug auf $S_X$ f"ur den direkten Bildfunktor gefolgt von der Lokalisierung 
   $Qf_\dagger: \mathscr C_X\ra S_Y^{-1}\mathscr C_Y$;
\item
Genau dann ist $E\in \mathscr C_X$ ein $Qf_\dagger$-linksentfaltetes Objekt,
  wenn der Transportmorphismus $E\ra f_\dagger E$
   in der Lokalisierung $S^{-1}\mathscr C$  kokartesisch bleibt.
  \end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Direkte Bilder als derivierte Funktoren}]
  Betrachten wir in der Situation des Satzes
  einen Morphismus $f:X\ra Y$ in der Basis und\label{dBdF}  
  eine $Qf_\dagger$-Entfaltung $E\ra C$ von $C\in\mathscr C_X$,
  k"urzen ${\op{L}}(Qf_\dagger)={^{\op{L}}\!f_\dagger}$ ab,
  bilden das kommutative Diagramm
  $$\xymatrix{
 E \ar[d]^{S}\ar[r] & f_\dagger E\ar[d]&{^{\op{L}}\!f_\dagger}E\ar[l]_\sim\ar[d]^\wr \\
 C \ar[r] & f_\dagger C&{^{\op{L}}\!f_\dagger}C\ar[l]}$$
  und lassen darin $f_\dagger C$ weg, so ist die
  Komposition in $S^{-1}\mathscr C$ der
  restlichen Morphismen nach unserem Satz ein kokartesischer
  Morphismus $$C\ra{^{\op{L}}\!f_\dagger}C$$ in Bezug auf die Kofaserung $S^{-1}\mathscr C\ra\mathscr B$. In der Tat ist sie eine Komposition von Isomorphismen "uber Identit"aten mit dem nach Teil 4
  unseres Satzes kokartesischen Morphismus dazwischen.
\end{Bemerkungl}








\begin{proof}
  Zun"achst einmal folgt (3) direkt aus der Definition
  einer Linksanpasssung.
  Bezeichne nun $T$ die Menge der $S$-Morphismen in $\mathscr D$.
  Wir bemerken  zun"achst, da"s $T$ nach
\ref{KriLO} ein globales  Linksoresystem ist.
Weiter bemerken wir, da"s 
  nach \ref{KriLO1} der induzierte Funktor $T^{-1}\mathscr D\ra \mathscr B$   ein Kofaserfunktor ist
  und  da"s die kokartesischen Morphismen
  aus $\mathscr D$ kokartesisch bleiben in der Lokalisierung.
  Schlie"slich  induziert nach \ref{FFL}
  die Einbettung f"ur alle $X\in\mathscr B$ einen Isomorphismus
  $T_X^{-1}\mathscr D_{X}\sira (T^{-1}\mathscr D)_X$
  und nach \ref{LUK}  sind die
  auf den Lokalisierungen der Fasern induzierten  Funktoren "Aquivalenzen  
  $T_X^{-1}\mathscr D_{X}\sirra S_X^{-1}\mathscr C_{X}$.
Wir behaupten nun, da"s der offensichtliche Funktor 
  eine "Aquivalenz
  $$T^{-1}\mathscr D\sirra S^{-1}\mathscr C$$
  ist und zeigen zun"achst, wie aus dieser
  Erkenntnis die restlichen Aussagen folgen.
  Mit $T^{-1}\mathscr D\ra\mathscr B$ ist dann auch
  $S^{-1}\mathscr C\ra\mathscr B$ eine Kofaserung, was Teil (1) unseres Satzes zeigt.
  Um (2) zu zeigen, betrachten wir das kommutative Funktordiagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
  T^{-1}_{\mathscr U}\mathscr D_{\mathscr U}\ar[r]^-\sim\ar[d]^{\wr\wr}&
  (T^{-1}\mathscr D)_{\mathscr U}\ar[d]^{\wr\wr}\\
   S^{-1}_{\mathscr U}\mathscr C_{\mathscr U}\ar[r]&
  (S^{-1}\mathscr C)_{\mathscr U}
} 
\end{displaymath}
Der obere Isomorphismus kommt von \ref{FFLn} her,
die rechte "Aquivalenz von der noch zu zeigenden
"Aquivalenz $T^{-1}\mathscr D\sirra S^{-1}\mathscr C$, und
die linke "Aquivalenz  von derselben noch zu zeigenden "Aquivalenz
im Fall der Linksanpassung
$\mathscr D_{\mathscr U}\subset \mathscr C_{\mathscr U}$.
Um (4) abzuleiten, 
 w"ahlen wir 
  einen $S$-Morphismus $D\ra E$ mit $D\in\mathscr D_X$
  und betrachen mit einer $\mathscr D$ stabilisierenden
  Wahl von $f_\dagger$ das kommutative Diagramm
  $$\xymatrix{
    D \ar[d]^{S}\ar[r] & f_\dagger D\ar[d]%&{^{\op{L}}\!f_\dagger}D\ar[l]_\sim\ar[d]^\wr
    \\
    E \ar[r] & f_\dagger E%&{^{\op{L}}\!f_\dagger}E\ar[l]_\sim
  }$$
  Da nach (3) nun $D\ra f_\dagger D$ kokartesisch ist f"ur
  $T^{-1}\mathscr D\ra\mathscr B$, ist
  f"ur $Qf_\dagger$-entfaltetes $E$ auch die untere Horizontale
  kokartesisch f"ur
  $T^{-1}\mathscr D\ra\mathscr B$. Bleibt umgekehrt die untere Horizontale
  kokartesisch f"ur
  $T^{-1}\mathscr D\ra\mathscr B$, so ist die rechte Vertikale ein
  Isomorphismus in $S_Y^{-1}\mathscr C_Y$ f"ur alle $S$-Morphismen
  $D\ra E$ mit $D\in\mathscr D$, und dann ist
  $E$ in der Tat entfaltet wie behauptet, und so folgt (4).
 Es bleibt also nur noch zu zeigen,
  da"s der offensichtliche Funktor
  $$T^{-1}\mathscr D\ra S^{-1}\mathscr C$$
  eine "Aquivalenz ist.
  Dazu konstruieren wir im folgenden 
  einen quasiinversen Funktor und
  w"ahlen in einem ersten Schritt
  f"ur jedes $X\in\mathscr B$ und jedes
  $C\in \mathscr C_X$ ein
  Objekt $D=D(C)\in \mathscr D_X$ zusammen mit einem $S$-Morphismus
  $D\ra C$. Gegeben $f:X\ra X'$ und
  dar"uber ein Morphismus $\varphi:C\ra C'$ in
  $\mathscr C$ erkl"aren wir weiter einen Morphismus $\tilde \varphi:D\ra D'$
  "uber $f$ in $T^{-1}\mathscr D$ durch das Diagramm
 \begin{displaymath}
      \xymatrix{
        &&f_\dagger D \ar@{-->}[dr]\ar[ddr]&\\
D \ar[d]^S\ar[rru] &&&D'\ar[d]^S\\
C \ar[rrr] &&&C'
}
    \end{displaymath}
 Die durchgezogenen Pfeile bedeuten Morphismen in $\mathscr C$,
 der gestrichelte Pfeil dahingegen einen Morphismus in $T_{X'}^{-1}\mathscr D_{X'}$, der durch das
  Kommutieren des rechten Dreiecks in $S_{X'}^{-1}\mathscr C_{X'}$ festgelegt wird.
  Jetzt pr"ufen wir, da"s die Vorschrift $C\mapsto D(C),\varphi\mapsto\tilde\varphi$ ein Funktor
  $\mathscr C\ra T^{-1}\mathscr D$
  ist. Dazu betrachten wir
  einen weiteren Morphismus $g:X'\ra X''$ und dar"uber $\psi:C'\ra C''$ und bilden das Diagramm
    \begin{displaymath}
      \xymatrix{
        &&&&g_\dagger f_\dagger D\ar@{-->}[dr]\ar@/_2pc/[dddrr]&&\\
        &&f_\dagger D\ar[rru] \ar@{-->}[dr]\ar[ddr]&&&g_\dagger D' \ar@{-->}[rd]\ar[ddr]&\\
D \ar[d]^S\ar[rru] &&&D'\ar[d]^S\ar[rru]&&&D''\ar[d]^S\\
C \ar[rrr] &&&C'\ar[rrr]&&&C''
}
    \end{displaymath}
    Dessen obere Raute entstehe durch Anwenden des Funktors
    $g_\dagger:T_{X'}^{-1}\mathscr D_{X'}\ra T_{X''}^{-1}\mathscr D_{X''}$
    auf $f_\dagger D\dashrightarrow D'$ und verwendet unsere Erkenntnis vom Beginn des Beweises, da"s $T^{-1}\mathscr D\ra\mathscr B$ eine Kofaserung ist. Man mu"s nun zeigen,
    da"s der lange gekr"ummte Pfeil, wenn er durch die universelle Eigenschaft
    direkter Bilder erkl"art wird, auch das Dreieck
    rechts von ihm in $S_{X''}^{-1}\mathscr C_{X''}$ zum Kommutieren bringt.
    Das folgt aber, da wir nach unseren Annahmen $f_\dagger D\dashrightarrow D'$
    so als Bruch schreiben k"onnen, da"s im Diagramm 
    \begin{displaymath}
      \xymatrix{
        f_\dagger D\ar[ddr] \ar@{-->}[dr]&\tilde D\ar[l]_-{T}\ar[d]\\
&D'\ar[d]^S\\
&C'
}  \end{displaymath}
      die durchgezogenen Pfeile  ein kommutatives Diagramm  in $\mathscr C$
      bilden und $\tilde D$ zu $\mathscr D$ geh"ort.
      Auf dieses Diagramm k"onnen wir nun $g_\dagger$ anwenden und
      unten $g_\dagger C'\ra C''$ nachschalten und so folgt die behauptete
      Kommutativit"at des Dreicks mit dem gebogenen Pfeil als Kante. 
    Das zeigt hinwiederum, da"s unsere
    Vorschrift in der Tat ein Funktor $\mathscr C\ra T^{-1}\mathscr D$ ist.
    Offensichtlich induziert er einen Funktor $S^{-1}\mathscr C\ra T^{-1}\mathscr D$,
    und man sieht ohne weitere Schwierigkeiten,
     da"s dieser Funktor der gesuchte Quasiinverse
     ist.
\end{proof}



\begin{Bemerkungl} 
  Wir betrachten im folgenden die Kategorien
  $[n]$ mit der Objektmenge $[n]\pdef \{0,1,\ldots,n\}$
  und je einem Morphismus $i\ra j$ falls $i\leq j$.
  Gegeben ein  ein Kofaserfunktor $\mathscr C\ra \mathscr B$\label{LRAA} 
  und ein \hyperref[saet]{ges\"attigtes} \hyperref[fORE]{faserweises  Rechtsoresystem}  $S$ in $\mathscr C$ sagen wir, unser Kofaserfunktor besitze {\bf lokal Linksanpassungen f"ur $S$},\index{Linksanpassung!lokal} wenn
  f"ur jeden Funktor
  $[3]\ra \mathscr B$ unserer Kategorie $[3]$ in die
  Basis der R"uckzug
  $\mathscr C_{[3]}\ra [3]$
  in Bezug auf das induzierte faserweise Rechtsoresystem eine
  \hyperref[RAP]{Linksanpassung} besitzt. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Lokalisierung durch lokale Linksanpassungen}]
  Seien   $\mathscr C\ra \mathscr B$  ein Kofaserfunktor\label{LRaV} 
  und $S$ ein \hyperref[saet]{ges\"attigtes} \hyperref[fORE]{faserweises  Rechtsoresystem} in $\mathscr C$. Besitzt unser Kofaserfunktor
  \hyperref[LRAA]{lokal Linksanpassungen f\"ur $S$}, 
  so gilt:
  \begin{enumerate}
  \item
    Der offensichtliche Funktor $S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B$
    ist
    eine Kofaserung;
  \item
    Die Einbettungen liefern Isomorphismen $S_{\mathscr U}^{-1}\mathscr C_{\mathscr U}\sira (S^{-1}\mathscr C)_{\mathscr U}$ f"ur jeden Funktor $\mathscr U\ra \mathscr B$ in die Basis;
  \item
    F"ur
    jeden Morphismus $f:X\ra Y$ in der Basis besitzt
    jedes Objekt von $\mathscr C_X$ eine $S_X$-Linksentfaltung 
    f"ur den direkten Bildfunktor gefolgt von der Lokalisierung 
   $Qf_\dagger: \mathscr C_X\ra S_Y^{-1}\mathscr C_Y$;
\item
Genau dann ist $E\in \mathscr C_X$ ein $Qf_\dagger$-entfaltetes Objekt,
  wenn der Transportmorphismus $E\ra f_\dagger E$
   in der Lokalisierung $S^{-1}\mathscr C$  kokartesisch bleibt.
  \end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Der letzte Punkt liefert wie in \ref{dBdF} ausgef"uhrt
  eine Identifikation zwischen den direkten Bildern
  der Kofaserung 
  $S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B$ und den Linksderivierten
  der direkten Bilder der Kofaserung 
  $\mathscr C\ra \mathscr B$. Eine Linksanpassung des R"uckzugs $\mathscr C_{[3]}\ra [3]$ nennen wir in diesem Kontext auch eine
  {\bf lokale Linksanpassung}.\index{Linksanpassung!lokale}
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
  Teil (3) folgt  aus der
  Existenz einer Linksanpassung f"ur den R"uckzug
  unserer Kofaserung unter dem Funktor $[1]\ra \mathscr B$,
  der den Morphismus  $(0\ra 1)$ auf $f$  abbildet.
  F"ur das Folgende denken wir uns mit der "ublichen abgek"urzten Notation
  Linksderivierte $({^{\op{L}}}\!f_\dagger,\tau)$ der
  Funktoren $Qf_\dagger$ fest gew"ahlt.
  Gegeben Morphismen $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$ in der Basis
  betrachten wir weiter den Funktor $[2]\ra \mathscr B$,
  der den Morphismus  $(0\ra 1)$ auf $f$  abbildet
  und den Morphismus  $(1\ra 2)$ auf $g$.
  Indem wir unseren Satz \ref{LRAn} "uber
  Lokalisierung durch Linksanpassung
  auf den  R"uckzug mit diesem Funktor anwenden, erhalten wir
  ausgezeichnete Isotransformationen
  $c(g,f):{^{\op{L}}}\!g_\dagger\circ {^{\op{L}}}\!f_\dagger
  \siRa {^{\op{L}}}(g\circ f)_\dagger$. Indem wir
  weiter unseren Satz \ref{LRAn} "uber
  Lokalisierung durch Linksanpassung
  auf den  R"uckzug mit geeigneten Funktoren $[3]\ra\mathscr B$
  anwenden, folgern wir, da"s die Daten der Kategorien $S^{-1}_X\mathscr C_X$,
  Funktoren ${^{\op{L}}}\!f_\dagger$ und Identifikationen $c(g,f)$ im
  Sinne von \ref{GefKa} eine Kategorienkofaserung "uber $\mathscr B$
  bilden. Zu dieser
 Kategorienkofaserung
  k"onnen  wir, wie in \ref{Kjh} ausgef"uhrt wird,
  einen Kofaserfunktor konstruieren, den wir
  $$[S^{-1}]\mathscr C\ra \mathscr B$$
  notieren. In Formeln haben wir $([S^{-1}]\mathscr C)_f(C,C')\pdef
  (S^{-1}_Y\mathscr C_Y)({^{\op{L}}}\!f_\dagger C,C')$.
  Wir erhalten einen Funktor $\mathscr C\ra [S^{-1}]\mathscr C$,
  indem wir einem Morphismus in $\mathscr C_f(C,C')$
  den zugeh"origen Morphismus in $\mathscr C_Y(f_\dagger C,C')$
  zuordnen und  den kanonischen Morphismus
  ${^{\op{L}}}\!f_\dagger C\ra f_\dagger C$ aus $S_Y^{-1}\mathscr C_Y$ vorschalten.
  Unter unserem Funktor werden Morphismen aus $S$ zu Isomorphismen, folglich induziert er einen Funktor
  $$S^{-1}\mathscr C\ra [S^{-1}]\mathscr C$$
  Alle Aussagen unseres Satzes folgen, sobald wir zeigen k"onnen,
  da"s dieser Funktor eine "Aquivalenz oder, wegen der
  Bijektivit"at auf Objekten gleichbedeutend, ein
  Isomorphismus von Kategorien ist. Die Surjektivit"at auf Morphismenr"aumen
  scheint mir offensichtlich.
  Um  die Injektivit"at auf Morphismenr"aumen
  zu zeigen, konstruieren wir einen Funktor
  $[S^{-1}]\mathscr C\ra S^{-1}\mathscr C$ derart,
  da"s das Nachschalten dieses Funktors den Identit"atsfunktor liefert.
  Nun, einen Morphismus ${^{\op{L}}}\!f_\dagger C\ra C'$ in $S_Y^{-1}\mathscr C_Y$
  anzugeben bedeutet,  eine $Qf_\dagger$-Entfaltung $D\ra C$
  anzugeben sowie einen $S_Y^{-1}\mathscr C_Y$-Morphismus $f_\dagger D\ra C'$.
  Zu diesen Daten erhalten wir,  da die fraglichen Entfaltungen  nach \ref{ProOG} aufgrund unserer S"attigungsannahme selbst
  ein Pro-Objekt bilden, einen wohlbestimmten Morphismus in $S^{-1}\mathscr C$
  als die Komposition
  $$C\stackrel{S }{\leftarrow} D\ra f_\dagger D\ra C'$$
  Der nach links weisende Pfeil ist dabei zu invertieren.
  Es bleibt zu zeigen, da"s diese Abbildungsvorschrift
  mit Verkn"upfungen vertr"aglich ist.
  Sei dazu $g:Y\ra Z$ wie zuvor und $[2]\ra \mathscr B$ der
  Funktor mit $(0\ra 1)\mapsto f$ und $(1\ra 2)\mapsto g$.
  Die Existenz einer Linksanpassung
  f"ur den R"uckzug $\mathscr C_{[2]}\ra [2]$
  bedeutet, da"s wir f"ur jedes Objekt  $C\in \mathscr C_X$ einen
  $S_X$-Morphismus $D\ra C$ finden k"onnen derart, da"s
  $D$ in Bezug auf $S_X$ sowohl f"ur $Qf_\dagger$ als auch f"ur $Q(gf)_\dagger$-linksentfaltet
  ist und da"s  zus"atzlich
  $f_\dagger D$ seinerseits  $S_Y$-$Qg_\dagger$-linksentfaltet ist.
  Es bedeutet weiter, da"s
  auch jedes Objekt von $\mathscr C_Y$ eine
  $S_Y$-$Qg_\dagger$-Linksentfaltung besitzt.
  Jeden Morphismus ${^{\op{L}}}\!f_\dagger C\ra C'$ in $S_Y^{-1}\mathscr C_Y$
  k"onnen wir mithin darstellen als Bruch
  $f_\dagger D\leftarrow D_1\ra C'$
  mit $D$ wie eben und $D_1$ seinerseits $S_Y$-$Qg_\dagger$-linksentfaltet.
  Jeden Morphismus ${^{\op{L}}}\!g_\dagger C'\ra C''$ in $S_Z^{-1}\mathscr C_Z$
  k"onnen wir weiter darstellen als Bruch
  $g_\dagger D'\leftarrow D_1'\ra C''$
  mit $D'$ auch $S_Y$-$Qg_\dagger$-linksentfaltet. Indem wir
  den ersten Bruch entsprechend erweitern, d"urfen wir
  sogar annehmen, da"s es unser Morphismus $D_1\ra C'$ "uber
  unseren Morphismus $D'\ra C'$ faktorisiert. So erhalten wir
  ein kommutatives Diagramm
   \begin{displaymath}
      \xymatrix{
        &&&&g_\dagger f_\dagger D&&\\
        &&f_\dagger D\ar[rru]&&g_\dagger D_1 \ar[u]^S\ar[r]&g_\dagger D' &\\
D \ar[d]^S\ar[rru] &&D_1\ar[dr]\ar[r]\ar[u]^S\ar[rru]& D'\ar[d]^S\ar[rru]&&D'_1\ar[dr]\ar[u]^S&\\
C  &&&C'&&&C''
}
   \end{displaymath}
   Es beschreibt die Verkn"upfung in $[S^{-1}]\mathscr C$ und
   zeigt, da"s unsere Abbildungsvorschrift auf Morphismen ein Funktor
   nach $S^{-1}\mathscr C$ ist.
\end{proof}


\subsection{Deriviertes Tensorprodukt abelscher Garben}\label{DerTE} 

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Schmelzkategorien von Komplexen}] 
  Gegeben eine \hyperref[adSM]{additive Schmelzkategorie} $\mathscr M$
  erkl"aren wir die Struktur einer Schmelzkategorie auf der Kategorie 
$\op{Ket}(\mathscr M)$ der Komplexe in der zugrundeliegenden einfachen Kategorie analog wie im Fall von
  Moduln in \eref{MKmM}{TS}. Eine Nullverschmelzung 
 in einen Komplex\label{SKKo} 
 $C^*$ ist insbesondere ein Nullzykel des Komplexes der
 Nullverschmelzungen in die Objekte von $C^*$ alias ein
 Element von $\mathcal Z^0\mathscr M(\curlyvee, C^*)$.
 Besitzt unsere Schmelzkategorie $\mathscr M$ stark universelle Verschmelzungen, so auch
 die Schmelzkategorien $\op{Ket}^+(\mathscr M)$ und $\op{Ket}^-(\mathscr M)$,
 und universelle Zweiverschmelzungen landen in einem Komplex, der
 analog zum Tensorprodukt zweier Komplexe von abelschen Gruppen konstruiert
 wird. Besitzt unsere Schmelzkategorie $\mathscr M$ zus"atzlich abz"ahlbare
 Koprodukte, so zeigt man in derselben Weise, da"s auch ganz
 $\op{Ket}(\mathscr M)$ stark universelle Verschmelzungen besitzt.
 Besitzt unsere Schmelzkategorie $\mathscr M$ internes Hom,
 so zeigt man analog, da"s da"s auch 
 $\op{Ket}^{\op{b}}(\mathscr M)$ internes Hom besitzt.
 Besitzt unsere Schmelzkategorie zus"atzlich abz"ahlbare
 Produkte, so zeigt man wieder in derselben Weise, da"s auch ganz
 $\op{Ket}(\mathscr M)$ internes Hom besitzt.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Schmelzkategorien von Homotopiekomplexen}] Gegeben eine \hyperref[adSM]{additive Schmelzkategorie} $\mathscr M$
  erkl"aren wir die Struktur einer Schmelzkategorie auf der Kategorie 
$\op{Hot}(\mathscr M)$ ihrer Homotopiekomplexe analog wie im Fall von
  Moduln in \eref{MhmM}{TS}. Eine Nullverschmelzung 
 in einen Komplex
 $C^*$ ist in diesem Fall ein Element der nullten
 Kohomologie des Komplexes der\label{Muik} 
 Nullverschmelzungen in die Objekte von $C^*$ alias ein
 Element von $\mathcal H^0\mathscr M(\curlyvee, C^*)$.
 Die Aussagen aus unserer Diskussion von $\op{Ket}(\mathscr M)$
 in \ref{SKKo} "uber \hyperref[smkk]{stark universelle Verschmelzungen} und internes Hom gelten analog.
 \end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Speziell erhalten wir so f"ur jeden topologischen Raum $X$
   Schmelzkategorien
  $\op{Ket}(\op{Ab}_{/X})$ und 
  $\op{Hot}(\op{Ab}_{/X})$ mit stark universellen Verschmelzungen und
  internem Hom.
  In $\op{Ket}(\op{Ab}_{/X})$ sind die Nullverschmelzungen in einen
  Komplex die Nullzykel des Komplexes der globalen Schnitte,
  in $\op{Hot}(\op{Ab}_{/X})$ die Elemente der nullten Kohomologie  des Komplexes der globalen Schnitte. Das Einsobjekt ist jeweils die konstante Garbe $\DZ_X$
  mit ihrem ausgezeichneten globalen Schnitt $1$  beziehungsweise 
  dessen Kohomologieklasse als ausgezeichneter Nullverschmelzung.
\end{Bemerkungl}

 \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisierung von Schmelzkategorien}]
    Seien $\mathscr M $ eine \hyperref[MuC]{Schmelzkategorie}
 und $S$ eine Menge 
von Einsverschmelzungen in
    $\mathscr M $.  Im folgenden konstruieren wir ein Paar
    $(\mathscr M_{S},\op{can})$ bestehend aus einer Schmelzkategorie $\mathscr M _{S}$
    mitsamt einem Schmelzfunktor $\op{can}: \mathscr M  \ra \mathscr M _{S}$ derart, da"s
    gilt:\label{lokKM} 
    \begin{enumerate}
    \item Jede Einsverschmelzung aus $S$ wird unter $\op{can}$ invertierbar in
      $\mathscr M _{S};$
    \item Ist $F: \mathscr M  \ra \mathscr N$ ein Schmelzfunktor, 
unter dem alle Einsverschmelzungen
      aus $S$ invertierbar werden, so gibt es genau einen Schmelzfunktor
      $\tilde{F} : \mathscr M _{S} \ra \mathscr N$ mit $F = \tilde{F} \circ
      \op{can}$.
    \end{enumerate}
    Nat"urlich ist ein derartiges Paar in der "ublichen Weise eindeutig bis
    auf eindeutigen Isomorphismus. Wir erlauben uns deshalb 
den bestimmten Artikel und nennen $(\mathscr M _{S},\op{can})$
die {\bf Lokalisierung von $\mathscr M $ an
  $S$}.\index{Lokalisierung!einer Schmelzkategorie} Im n"achsten Unterpunkt
wird erkl"art, warum  solch eine Lokalisierung stets existiert.
Je nach Kontext verwenden wir daf"ur auch die
alternative Notation $\mathscr M _{S}=S^{-1}\mathscr M$. 
  \end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Konstruktion der Lokalisierung}] 
Um die Lokalisierung einer Schmelzkategorie $\mathscr M$
an einer Menge $S$ von Einsverschmelzungen zu konstruieren, 
betrachten wir in der zugeh"origen Wortkategorie
$\mathscr M^\curlyvee$ die Menge 
$S^\shortparallel$ aller Morphismen der Gestalt
$(\op{id},s_1\curlyvee\ldots\curlyvee s_r)$ mit $s_1,\ldots, s_r\in S$,
bilden im Sinne von \ref{EAdLl} die Lokalisierung
$\mathscr M^\curlyvee_{S^\shortparallel}$ der Wortkategorie, und erkl"aren Verschmelzungen in
$\mathscr M_{S}$ als Morphismen in dieser Lokalisierung zu Worten mit einem Buchstaben. 
Die Multiverkn"upfung, der Indexfunktor, die Zerlegungsbijektion und der Schmelzfunktor
$\mathscr M\ra \mathscr M_{S}$ mit
der geforderten universellen Eigenschaft sind die Offensichtlichen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  In derselben Weise und formal durch "Ubergang zur opponierten Kategorie
  erkl"aren wir auch die Lokalisierung einer Trennkategorie
  an einer Menge $S$ von Einstrennungen.
\end{Bemerkungl}

% \begin{Bemerkungl}
%   Nach  \ref{AKdK} ist f"ur jede abelsche Kategorie $\mathcal A$ der
%   offensichtliche Funktor eine "Aquivalenz von Kategorien
%  $$\op{Ket}(\mathcal A)_{\op{qis}}\sirra \op{Hot}(\mathcal A)_{\op{qis}}$$
%   zwischen der Lokalisierung der Kategorie der Komplexe nach Quasiisomorphismen
%   und der Lokalisierung der Homotopiekategorie nach Quasiisomorphismen.
%  \end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Derivierte Kategorie  als Schmelzkategorie}] 
  Gegeben ein topologischer Raum  $X$\label{DeKaM} 
  ist der offensichtliche Funktor von der derivierten Kategorie der Kategorie der abelschen Garben auf $X$ in die  einfache Kategorie der  Lokalisierung der Schmelzkategorie
  der Homotopiekomplexe abelscher Garben auf $X$ nach Quasiisomorphismen ein Isomorphismus von Kategorien   $$\op{Der}(\op{Ab}_{/X})=({\op{E}}\op{Hot}(\op{Ab}_{/X}))_{\op{qis}}
  \sira {\op{E}}(\op{Hot}(\op{Ab}_{/X})_{\op{qis}})$$
 Des weiteren  besitzt unsere lokalisierte Schmelzkategorie $\op{Hot}(\op{Ab}_{/X})_{\op{qis}}$
  stark universelle Verschmelzungen und jede universelle Verschmelzung in $\op{Hot}(\op{Ab}_{/X})$ zwischen Komplexen flacher
  abelscher Garben bleibt darin universell.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kohomologie als Raum von Nullverschmelzungen}]
  Mithilfe des Isomorphismus aus unserem Satz
  versehen wir $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ selbst
  mit der Struktur einer Schmelzkategorie und notieren diese  Schmelzkategorie $\op{Der}_{/X}$.
  Da die konstante Garbe $\DZ_X$ flach ist, bleibt der universelle
  Nullverschmelzung  in den  Homotopiekomplex $\DZ_X[0]$, der durch
  die Wahl der $1$ als ausgezeichnetem globalen Schnitt bestimmt wird,
  nach unserem Satz  universell in $\op{Der}_{/X}$. Mithilfe von
  \ref{hDM} erhalten wir so f"ur jeden Komplex $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ von abelschen Garben auf $X$ nat"urliche Isomorphismen
  $$\op{Der}_{/X}(\curlyvee, \mathcal F)\sira {\op{H}}^0(X;\mathcal F)$$
  zwischen der Menge der Nullverschmelzungen nach $\mathcal F$ in unserer
  neuen Schmelzkategorie $\op{Der}_{/X}$ und der $0$-ten Kohomologie von $X$ mit
  Koeffizienten in $\mathcal F$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Unser Satz zeigt, da"s der durch die Struktur einer
  Schmelzkategorie auf $\op{Der}_{/X}$ gegebene
  Tensorfunktor gerade das derivierte Tensorprodukt $\otimes^{\op{L}}$ ist.
  Er liefert, was man in einer anderen Terminologie die
  \glqq Struktur  auf $\op{Der}_{/X}$ einer symmetrischen monoidalen Kategorie\grqq\ nennen w"urde.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Analoges gilt mit demselben Beweis f"ur Garben von Moduln
  "uber einem beliebigen Kring endlicher Torsionsdimension.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
  Wir wenden unseren Satz \ref{LKVV} "uber Lokalisierung durch Linksanpassung
  an auf den Indexfunktor $p:\op{Hot}(\op{Ab}_{/X})^\curlyvee\ra \{\llbracket 0\rrbracket, \llbracket 1\rrbracket,\llbracket 2\rrbracket,\ldots\}$.
  Er ist ein Kofaserfunktor, da die
  fraglichen Homotopiekomplexe nach \ref{Muik} stark universelle Verschmelzungen
  haben. Darin bilden die Tupel von Quasiisomorphismen "uber Identit"aten
  nach \ref{KTQu} ein \hyperref[fORE]{faserweises  Oresystem}.
  F"ur dieses faserweise Oresystem der Quasiisomorphismen ist nun
  die Unterkategorie $\op{Hot}(\op{flAb}_{/X})^\curlyvee$ der
  Worte in Homotopiekomplexen flacher abelscher Garben eine
  \hyperref[RAP]{Linksanpassung}, denn
die  Tupel von Quasiisomorphismen "uber Identit"aten
bilden darin immer noch  nach \ref{KTQu} ein \hyperref[fORE]{faserweises  Oresystem}, 
  das Tensorprodukt macht aus flachen Garben flache Garben, das Tensorprodukt von Quasiisomorphismen
  zwischen Komplexen flacher abelscher
  Garben ist wieder ein Quasiisomorphismus, und nach \ref{UGTR} finden wir f"ur jeden Komplex abelscher Garben
  einen Quasiisomorphismus von einem Komplex flacher abelscher Garben
  dorthin.
\end{proof}



% \begin{Bemerkungl}
%  Eine Menge\label{MMLO} $S$ von $1$-Multimorphismen einer Schmelzkategorie %$\mathscr M$
 % hei"st
%  ein {\bf Multi-Links-Oresystem}, wenn die zugeh"orige Menge
%  $S^\curlyvee$ ein \hyperref[MuSy]{Linksoresystem}
%  in $\mathscr M^\curlyvee$ ist.
%\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Damit haben wir den N"achsten  der sechs Funktoren eines
  Sechs-Funktor-Formalismus konstruiert und f"ur jeden topologischen Raum $X$ 
  eine Schmelzkategorie $\op{Der}_{/X}$ mit stark universellen Verschmelzungen und dem zugeh"origen
  Funktor $\otimes$ erhalten, den man auch oft $\otimes^{\op{L}}$ notiert.
  Die Existenz des  zugeh"origen internen Hom-Funktors kann
   zumindest auf geeignet beschr"ankten derivierten  Kategorien
   unschwer durch injektive Aufl"osung gezeigt werden.
\end{Bemerkungl}



\subsection{R"uckzug und Tensorprodukt}\label{RueckT} 

  
\begin{Bemerkungl}
  Wir erinnern  aus \ref{MFolo} die  Garbentrennfaserung  
  $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$.
  Indem wir erst zu Komplexen und dann zu Homotopiekomplexen "ubergehen,
  erhalten wir in offensichtlicher Weise  weitere Trennfaserungen, f"ur die ich
  die Notationen $\op{Ket}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}$ und 
  $\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}$ verwende.
Die Lokalisierung letzterer Trennkategorie
  nach allen denjenigen Einstrennungen "uber Identit"aten, die  Quasiisomorphismen sind, notiere ich\label{DERN} 
  $\op{Der}_{\sslash \op{Top}}\pdef \op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})_{\op{qis}}$.
  Wir erhalten so einen
  Trennfunktor\index{Der@$\op{Der}_{\sslash \op{Top}}$|main}
  $$\op{Der}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$$
  Seine
  Faser  "uber einem topologischen Raum $X$ notiere ich
  $\op{Der}_{\sslash X}$.\index{Der@$\op{Der}_{\sslash X}$|main}
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Vertr"aglichkeiten von R"uckzug und Tensorprodukt}] 
  \begin{enumerate}
    \item Unser Trennfunktor
      $\op{Der}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \ref{DERN} ist eine Trennfaserung;
    \item
      Jede  f"ur  $\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}$ kartesische Trennung zwischen Komplexen flacher
      abelscher Garben liefert eine  f"ur  $\op{Der}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$ kartesische Trennung;
    \item
      F"ur jeden topologischen Raum $X$ ist der offensichtliche Funktor
      ein Isomorphismus 
      $\op{Der}(\op{Ab}_{\sslash X})\sira \op{Der}_{\sslash X}$ zwischen der
      Lokalisierung der Faser und der Faser der Lokalisierung.
  \end{enumerate}
   \label{VRT}   
\end{Satz}

\begin{Bemerkungl}
  Unser Satz  liefert unter anderem, was man in einer anderen Terminologie die
  \glqq Struktur eines symmetrischen monoidalen Funktors\grqq\ 
  f"ur den R"uckholfunktor $f^*:\op{Der}_{/Y}\ra \op{Der}_{/X}$
  zu einer stetigen Abbildung  $f:X\ra Y$ nennen w"urde. Er gilt analog
  f"ur Garben von Moduln "uber einem beliebigen Kring endlicher Torsionsdimension.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Analoges gilt mit demselben Beweis f"ur die einseitig
  oder beideitig beschr"ankten Komplexe und die zugeh"origen
  derivierten Kategorien.\label{VRTm}
\end{Bemerkungl}
  \begin{proof}
  Wir wenden unseren Satz \ref{LRAn} zur Lokalisierung durch Linksanpassung
  oder genauer den daraus durch "Ubergang zu den opponierten Kategorien entstehenden Satz zur Lokalisierung durch Rechtsanpassung an auf den auf den Wortkategorien induzierten Funktor $$\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})^\curlywedge\ra \op{Top}^\curlywedge$$
  Er ist ein Faserfunktor. Genauer ist f"ur stetige Abbildungen $f_i:X\ra Y_i$ und $\mathcal G_i\in\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash Y_i})$ 
 die tautologische Trennung
$$ f_1^*\mathcal G_1\otimes\ldots\otimes f_n^*\mathcal G_n\ra \mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge\mathcal G_n$$
"uber $(f_1, \ldots, f_n)$ 
 kartesisch.
 Wie beim Beweis des Spezialfalls \ref{DeKaM}, nur jetzt in der
 opponierten Situation, bilden die Tupel von Quasiisomorphismen "uber Identit"aten
  nach \ref{KTQu} ein \hyperref[fORE]{faserweises Linksoresystem}, ja sogar ein faserweises
  Oresystem.
  F"ur dieses faserweise Linksoresystem der Quasiisomorphismen ist nun
  wie beim Beweis des Spezialfalls \ref{DeKaM} die Unterkategorie
 $\op{Hot}(\op{flAb}_{\sslash \op{Top}})^\curlywedge$ der
  Worte in Homotopiekomplexen flacher abelscher Garben "uber topologischen R"aumen eine
  \hyperref[RAP]{Rechtsanpassung},
  denn  Tensorprodukt
  wie R"uckzug machen aus flachen Garben flache Garben,  Tensorprodukt wie R"uckzug von Quasiisomorphismen
  zwischen Komplexen flacher abelscher
  Garben sind wieder Quasiisomorphismen, und nach \ref{UGTR} finden wir f"ur jeden Komplex abelscher Garben
  einen Quasiisomorphismus von einem Komplex flacher abelscher Garben
  dorthin, der dann in der opponierten Kategorie entsprechend von
  dort ausgeht.
  \end{proof}
\subsubsection{"Ubungen}
\begin{Ubung}
 Man folgere man
  mithilfe von \ref{TGgg} und \ref{HGgg}, da"s
  die derivierte Kategorie  $\op{Der}(\op{Ab})$ der Kategorie der
  abelschen Gruppen eine  Schmelzkategorie mit stark universellen Verschmelzungen und internem Hom ist.
  Etwas allgemeiner folgere man, da"s f"ur jeden Kring $k$ endlicher
  homologischer Dimension 
  die derivierte Kategorie  $\op{Der}(k\op{-Mod})$  eine  Schmelzkategorie  mit stark universellen Verschmelzungen und internem Hom ist. Hinweis: Das Tensorprodukt von
  Komplexen freier Moduln ist wieder ein Komplex freier Moduln.  Das Tensorprodukt von
  Komplexen projektiver Moduln ist wieder ein Komplex projektiver Moduln.  
\end{Ubung}




 \subsection{Derivierte eigentliche Bilder}

    \begin{Bemerkungl}\label{HoTTm} 
      Wir beginnen mit der Konstruktion eines Funktors
      $$\op{Hot}\left(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{s}}}\right)\ra
      \op{Top}^{\op{s}}$$
       Als
      Zielkategorie nehmen wir die Kategorie $\op{Top}^{\op{s}}$ aller
      topologischen R"aume mit  nur  separierten
      Abbildungen
      als Morphismen. Als Objekte der Ausgangskategorie
      nehmen wir alle Komplexe von  abelschen Garben
      auf unseren topologischen R"aumen. Als Morphismen der Ausgangskategorie
      "uber einer  separierten
      Abbildung $f$ schlie"slich nehmen wir Homotopieklassen von eigentlichen
      Opkomorphismen "uber $f$.
      Unser Funktor ist ein Kofaserfunktor mit dem
      komponentenweisen eigentlichen direkten Bild $f_{!}$ eines
      Komplexes als direktem Bildfunktor, wie man unschwer aus der
      analogen Aussage \ref{eigKOF} f"ur einfache abelsche Garben folgert.
      Schr"anken wir unseren Kofaserfunktor ein auf
      die Kategorie $\op{Top}^{\op{les}}$ der topologischen R"aume mit
      nur lokal eigentlichen separierten Abbildungen in der Basis
      und betrachten nur entsprechend beschr"ankte Komplexe, so erhalten wir
      eine  Kofaserung
       $$\op{Hot}^-\left(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}\right)\ra
      \op{Top}^{\op{les}}$$
      Die Lokalisierung der Ausgangskategorie an allen
      Quasiisomorphismen "uber Identit"aten in der Basis
      notieren wir $\op{Der}^{-!}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}\pdef \op{Hot}^-(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}})_{\op{qis}}$ und erhalten so einen
      Funktor\label{DERNk} 
      $$\op{Der}^{-!}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}\ra \op{Top}^{\op{les}}$$
    \end{Bemerkungl}


\begin{Satz}[\textbf{Beschr"ankte derivierte eigentliche Garbenkofaserung}] 
  \begin{enumerate}
    \item Unser Funktor
      $\op{Der}^{-!}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}\ra \op{Top}^{\op{les}}$ aus \ref{DERNku} ist eine Kofaserung;
    \item
      Jeder  f"ur  $\op{Hot}^-(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}})\ra \op{Top}^{\op{les}}$ kokartesische Morphismus, der von einem Komplex 
      kompaktweicher abelscher Garben ausgeht, liefert einen
      f"ur  $\op{Der}^{-!}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}\ra \op{Top}^{\op{les}}$ kokartesischen Morphismus;
    \item
      F"ur jeden topologischen Raum $X$ ist der offensichtliche Funktor
      ein Isomorphismus 
      $\op{Der}^-(\op{Ab}_{\sslash X})\sira \op{Der}^{-!}_{\sslash X}$ zwischen der
      Lokalisierung der Faser und der Faser der Lokalisierung.
  \end{enumerate}
   \label{VRTeb}   
\end{Satz}

   \begin{Bemerkungl}
Beschr"anken wir uns in der Basis auf die Unterkategorie
       $\op{Top}^{\op{lesb}}\subset \op{Top}^{\op{les}}$
       mit nur denjenigen lokal eigentlichen separierten Abbildungen $f$
       als Morphismen, f"ur die das eigentliche Bild
       $f_{!}$ beschr"ankte
       homologische Dimension hat, so gilt Analoges f"ur
       die unbeschr"ankten derivierten Kategorien.
       Die Morphismen $f$ mit dieser Eigenschaft nennen wir
       auch die {\bf lesb-Morphismen}.\index{lesb-Morphismus} 
       Man beachte, da"s wir hier implizit bereits \ref{VRTeb}
       verwenden, um zu zeigen, da"s die Verkn"upfung von
       zwei lesb-Morphismen wieder ein lesb-Morphismus ist und somit
       $\op{Top}^{\op{lesb}}$ wirklich eine Unterkategorie von $\op{Top}^{\op{les}}$.
       Um unsere analogen Aussagen genauer zu formulieren,
       vereinbaren wir f"ur die Lokalisierung der entsprechenden Homotopiekategorie
        nach allen
        Quasiisomorphismen "uber
        Identit"aten in der Basis 
        die Notation 
        $\op{Der}^{!}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}\pdef
        \op{Hot}(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}})_{\op{qis}}$
        und erhalten so einen
      Funktor\label{DERNku} 
      $$\op{Der}^{!}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}\ra \op{Top}^{\op{lesb}}$$
    \end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Unbeschr"ankte derivierte eigentliche Garbenkofaserung}] 
  \begin{enumerate}
    \item Unser Funktor
      $\op{Der}^{!}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}\ra \op{Top}^{\op{lesb}}$ aus \ref{DERNku} ist eine Kofaserung;
    \item
      Jeder  f"ur  $\op{Hot}(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}})\ra \op{Top}^{\op{lesb}}$ kokartesische Morphismus, der von einem Komplex 
      kompaktweicher abelscher Garben ausgeht, liefert einen
      f"ur  $\op{Der}^{!}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}\ra \op{Top}^{\op{lesb}}$ kokartesischen Morphismus;
    \item
      F"ur jeden topologischen Raum $X$ ist der offensichtliche Funktor
      ein Isomorphismus 
      $\op{Der}(\op{Ab}_{\sslash X})\sira \op{Der}^{!}_{\sslash X}$ zwischen der
      Lokalisierung der Faser und der Faser der Lokalisierung.
  \end{enumerate}
   \label{VRTebu}   
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Die beschr"ankte Variante dieser beiden S"atze erweist sich insbesondere als
  hilfreich, wenn es gilt, die Voraussetzungen f"ur die
  unbeschr"ankte Variante zu pr"ufen. 
  Der Beweis beider  S"atze braucht einige Vorbereitungen und wird erst gegen
  Ende dieses Abschnitts gegeben.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{relkw} 
Gegeben eine lokal eigentliche separierte Abbildung hei"se eine 
abelsche Garbe auf ihrem Definitionsbereich
\defnoind{relativ kompaktweich},\index{relativ kompaktweich}
\index{kompaktweich!relativ} wenn ihre Einschr"ankung
auf jede Faser unserer Abbildung \hyperref[komW]{kompaktweich} ist.
Hei"st unsere Abbildung  $f$, so sprechen wir 
von einer
{\bf $f$-kompaktweichen} Garbe.\index{kompaktweich!$f$-kompaktweich}
\end{Definition}






\begin{Lemma}\label{teL}
 Gegeben eine  lokal eigentliche separierte Abbildung 
$f$ ist jede  $f$-kompaktweiche abelsche Garbe 
$f_{!}$-azyklisch.
\end{Lemma}
\begin{proof}
Seien $f:Y\ra X$ unsere Abbildung und 
$\cal{F}\hra \cal{I}^\lhd$ eine injektive Aufl"osung unserer 
relativ kompaktweichen Garbe. Es gilt zu zeigen, da"s 
$f_{!}\cal{F}\hra f_{!}\cal{I}^\lhd$ ein exakter Komplex
von Garben auf $X$ ist. Daf"ur m"ussen wir nur die Exaktheit auf 
den Halmen an allen Punkten $x\in X$ pr"ufen. 
Mit Basiswechsel \ref{BaWeax} 
reicht es dazu sicher, wenn wir f"ur $i=i_x$ die Inklusion 
der Faser $f^{-1}(x)$ die Exaktheit von 
$\Gamma_!(i^{\ast}\cal{F})\hra \Gamma_!(i^{\ast}\cal{I}^\lhd)$
zeigen. Das folgt jedoch formal mit 
\ref{KwA} oder auch explizit mit \ref{LIKT}, da 
$i^{\ast}\cal{F}\hra i^{\ast}\cal{I}^\lhd$ eine exakte
Sequenz kompaktweicher Garben auf $f^{-1}(x)$  ist.
\end{proof}

 
 

\begin{Lemma}\label{BKWe}
 Sei $f : X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung 
von lokal kompakten Hausdorffr"aumen.
Ist $\mathcal F \in \op{Ab}_{/X}$ kompaktweich, 
so ist auch $f_{!} \mathcal F \in \op{Ab}_{/Y}$
kompaktweich.
\end{Lemma}
\begin{proof}
 F"ur $K \subset Y$ kompakt ist $f^{-1} (K) \subset X$ abgeschlossen.
Nach \ref{KWA} induziert also das Einschr"anken eine Surjektion
auf den Schnitten mit kompaktem Tr"ager $\Gamma_! (X;\mathcal F) \twoheadrightarrow \Gamma_!(f^{-1} (K);\mathcal F)$.
Die linke Seite k"onnen wir nach \ref{eigKOF} identifizieren mit $\Gamma_! (Y; f_{!}\mathcal F)$.
Die rechte Seite k"onnen wir ebenfalls mit \ref{eigKOF} und Basiswechsel \ref{BaWeax} im
Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{\kart
f^{-1}(K) \ar[d]^-{g}\ar[r]^-{j} &X \ar[d]^-{f}\\
K \ar[r]^-i & Y
}
\end{displaymath}
umschreiben zu
\begin{equation*}
 \Gamma_!(f^{-1} (K);\mathcal F) \sira \Gamma_!g_{!} j^{\ast} \mathcal F \sira
 \Gamma_! i^{\ast} f_{!} \mathcal F = \Gamma_! (K; f_{!} \mathcal F)
\end{equation*}
Die von unserer Surjektion $\Gamma_! (X ; \mathcal F) \twoheadrightarrow
\Gamma_! (f^{-1} (K); \mathcal F)$ unter diesen Identifikationen induzierte Abbildung
$
 \Gamma_! (Y; f_{!} \mathcal F) \twoheadrightarrow \Gamma_! (K; f_{!} \mathcal F)
$
ist aber genau die Restriktion von Schnitten. Folglich ist auch diese surjektiv.
\end{proof}










\begin{Bemerkungl}
   Eine  Garbe auf einem topologischen Raum $X$,
   deren Einschr"ankung auf jeden relativ Hausdorff'schen
   lokal kompakten Teilraum kompaktweich ist,
   hei"se {\bf schwach kompaktweich}.\index{kompaktweich!schwach}
   Jede kompaktweiche Garbe ist schwach kompaktweich, und jede
   schwach kompaktweiche Garbe ist relativ kompaktweich\label{skw} 
   in Bezug auf jede lokal eigentliche separierte Abbildung. 
 \end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}
 Das eigentliche
   Bild jeder schwach kompaktweichen abelschen Garbe
   unter einer lokal eigentlichen separierten Abbildung ist
   wieder schwach kompaktweich.\label{dibisk} 
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Sei $f:X\ra Y$ unsere Abbildung und $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$
  unsere schwach kompaktweiche abelsche Garbe.
  Gegeben eine relativ Hausdorff'sche lokal
  kompakte Teilmenge $L\subset Y$
bilden wir das kartesische Diagramm 
\begin{displaymath}
 \xymatrix{\kart
f^{-1}(L) \ar[d]^-{g}\ar[r]^-{j} &X \ar[d]^-{f}\\
L \ar[r]^-i & Y
}
\end{displaymath}
Es gilt zu zeigen, da"s $i^*f_{!}\mathcal F$ kompaktweich ist.
Nach Basiswechsel \ref{BaWeax} k"onnen wir
gleichbedeutend zeigen, da"s $g_{!}j^*\mathcal F$ kompaktweich ist. Nach \eref{SRH}{TM} ist $j$ auch die Einbettung einer
relativ Hausdorff'schen Teilmenge und nach \ref{frtg} und
\ref{lepp} ist $f^{-1}(L)$ auch lokal kompakt. 
Da wir $\mathcal F$ schwach kompaktweich vorausgesetzt hatten,
ist also  $j^*\mathcal F$ kompaktweich,
und dann mu"s nach \ref{BKWe} auch $g_{!}j^*\mathcal F$ kompaktweich sein.
\end{proof}


\begin{proof}[Beweis von Satz \ref{VRTeb}]
Wir erinnern unsere Kofaserung
      $$\op{Hot}^-\left(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}\right)\ra
      \op{Top}^{\op{les}}$$
      mit dem  $f_{!}$ eines
      Komplexes als direktem Bild. Ich erinnere daran, da"s
      bei uns die Fasern im Fall der mit $\sslash$
      notierten Kategorien  opponiert sind zu den "ublichen
      Kategorien von Garben.
     Die Ausgangskategorie unseres Funktors 
    hatten wir nach dem faserweisen Rechtsoresystem aller Quasiisomorphismen
      "uber Identit"aten lokalisiert. Dazu bilden nun die Komplexe
      \hyperref[skw]{schwach kompaktweicher}
      abelscher Garben  
       eine Linksanpassung
       im Sinne von \ref{RAP}.
       In der Tat sind diese Komplexe nach \ref{dibisk}
       stabil unter eigentlichen direkten Bildern und
       bilden folglich eine Unterkofaserung. Weiter
       sind alle injektiven, ja alle welken abelschen Garben
       kompaktweich und damit a forteriori schwach kompaktweich
       nach \ref{WKW}, so da"s jeder gegen die Differentiale
       beschr"ankte Komplex von abelschen Garben einen
       Quasiisomorphismus zu einem gegen die Differentiale
       beschr"ankte Komplex von schwach kompaktweichen Garben
       besitzt. Entsprechendes folgt in der opponierten
       Kategorie der Kategorie abelscher Garben. Und schlie"slich
       ist jede schwach kompaktweiche abelsche Garbe
       auf einem Raum $X$ auch $f$-kompaktweich f"ur jede lokal eigentliche separierte Abbildung $f:X\ra Y$ und damit $f_{!}$-azyklisch nach  \ref{teL}, so da"s der Funktor $f_{!}$
       Quasiisomorphismen zwischen entsprechend beschr"ankten
       Komplexen schwach kompaktweicher abelscher Garben zu
       Quasiisomorphismen macht.
     Die entsprechend beschr"ankten Komplexe
      schwach kompaktweicher
      abelscher Garben  bilden also in der Tat
      eine Linksanpassung wie behauptet.
      % Andererseits bilden die Quasiisomorphismen "uber Identit"aten
    %  darin auch ein faserweises Linksoresystem und dann nach \ref{KriLO} sogar ein globales Linksoresystem.
      Damit folgt unser Satz \ref{VRTeb} "uber die beschr"ankte eigentliche Garbenkofaserung  aus
      unserem Satz \ref{LRAn} "uber die Lokalisierung einer Kofaserung
      durch Linksanpassung.
\end{proof}
 \begin{proof}[Beweis von Satz \ref{VRTebu}]
Wir erinnern unsere Kofaserung
      $$\op{Hot}\left(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}\right)\ra
      \op{Top}^{\op{lesb}}$$
      mit dem  $f_{!}$ eines
      Komplexes als direktem Bild.
      Es gilt, die Ausgangskategorie an allen Quasiisomorphismen "uber
      Identit"aten der Basis zu lokalisieren. Wir leiten unseren
      Satz \ref{VRTebu} "uber
      die unbeschr"ankte derivierte eigentliche Garbenkofaserung
       aus dem Satz \ref{LRaV} "uber die Lokalisierung
       durch lokale Linksanpassung her.
       Seien dazu $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$ und $h:Z\ra W$ lokal eigentlich separiert.
       Gegeben eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $X$, die
       azyklisch ist f"ur $f_{!}$ und $(gf)_{!}$, ist
       nach \ref{VRTeb} auch $f_{!}\mathcal F$ azyklisch f"ur $g_{!}$.
       Eine lokale Linksanpassung in Bezug auf den durch $f,g,h$ gegebenen
       Funktor $[3]\ra \op{Top}^{\op{lesb}}$ bilden nun
       die Komplexe von
       abelschen Garben auf $X$, die azyklisch sind f"ur $f_{!}$, $(gf)_{!}$
       und $(hgf)_{!}$ zusammen mit den Komplexen von
       abelschen Garben auf $Y$, die azyklisch sind f"ur $g_{!}$
       und $(hg)_{!}$, und den Komplexen von
       $h_{!}$-azyklischen abelschen Garben auf $Z$ und allen Komplexen von
       abelschen Garben auf $W$. Diese Behauptung hinwiederum
       folgt unmittelbar aus unserem Satz \ref{UbDe} "uber das
       unbeschr"ankte Derivieren homologisch endlicher Funktoren.
 \end{proof}


 \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notation f"ur derivierte eigentliche Bilder}]
   Im folgenden m"ussen wir unterscheiden  zwischen
    dem underivierten eigentlichen Bild abelscher Garben 
    und dem derivierten eigentlichen Bild. Dazu f"uhren wir die neue Notation
    $f_{(!)}$\index{$f_{(~!)}$ underiviertes eigentliches Bild}  f"ur das underivierte eigentliche Bild ein, das
    wir bisher stets $f_!$ notiert hatten.\label{UDkl}
    Die Notation $$f_!\mathcal F$$
    dahingegen meint von nun an das direkte Bild eines
    Komplexes abelscher Garben in Bezug auf eine unserer beiden
    eigentlichen Garbenkofaserungen 
    $$\op{Der}^{-!}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}\ra \op{Top}^{\op{les}}\quad\text{ oder
    }\quad\op{Der}^{!}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}\ra \op{Top}^{\op{lesb}}.$$
    Da nach unseren S"atzen
    die Einschr"ankung $\op{Der}^{-!}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}\ra \op{Top}^{\op{lesb}}$ unserer ersten Kofaserung auf die
    Basis der Zweiten eine volle Unterkofaserung ist,
    m"ussen wir dabei keine Doppeldeutigkeiten f"urchten.
    Als direkte Bilder einer Kofaserung werden unsere
    $f_!$ unter anderem  mit ausgezeichneten Isotransformationen
    $$g_!f_!\siRa (gf)_!$$ f"ur entsprechend verkn"upfbare Morphismen $f,g$
    geliefert.
    Gegeben $f:X\ra Y$ lokal eigentlich separiert
    beinhalten unsere S"atze eine Isotransformation
    $f_!\siRa {\op{R}}f_{(!)}$ von Funktoren
    $\op{Der}^{+}(\op{Ab}_{/X})\ra \op{Der}^{+}(\op{Ab}_{/Y})$
    beziehungsweise von Funktoren
    $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})\ra \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$
    im homologisch beschr"ankten Fall. Das wurde bereits
    in \ref{dBdF} in gro"ser Allgemeinheit ausgef"uhrt,
    wo der Formalismus allerdings
    der Situation mit opponierten Kategorien von Garben in den Fasern
    angepa"st war und deshalb von linksderivierten Funktoren die Rede ist.
  \end{Bemerkungl}

 \begin{Lemma}
Gegeben $f:X\ra Y$ lokal eigentlich separiert
    ist eine abelsche Garbe $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$
   azyklisch f"ur $f_{(!)}$ genau dann, wenn ihre Restriktion  auf jede Faser $\Gamma_!$-azyklisch ist.\label{azyeb} 
 \end{Lemma}
 \begin{proof}
   Lokal eigentlicher Basiswechsel \ref{BaWeax}
   liefert nat"urliche Isomorphismen
   $(f_{(!)}\mathcal F)_y\sira \Gamma_!(\mathcal F|X_y)$
   f"ur alle $y\in Y$ mit der Notation $X_y\pdef f^{-1}(y)$
   f"ur die Faser. Um die h"oheren Derivierten
   von $f_{(!)}$ zu berechnen, d"urfen wir eine beliebige
   kompaktweiche Aufl"osung nehmen. Deren Restriktion auf
   $X_y$ ist aber eine kompaktweiche und damit
   $\Gamma_!$-azyklische Aufl"osung von $\mathcal F|X_y$.
   So erhalten wir nat"urliche Isomorphismen
   $({\op{R}}^qf_{(!)}\mathcal F)_y\sira {\op{R}}^q\Gamma_!(\mathcal F|X_y)$
   und unser Lemma folgt aus der Erkenntnis, da"s eine
   abelsche Garbe genau dann Null ist, wenn alle ihre Halme verschwinden. 
 \end{proof}


\subsection{Austausch und Zwei-Funktor-Formalismus}
\begin{Bemerkungl}
  Im folgenden soll
  die Beziehung zwischen derivierten eigentlichen Bildern
  und Multir"uckzug ausgearbeitet werden.
  Wir beginnen damit, daf"ur einen begrifflichen
  Rahmen zu zimmern.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{AlKnu}
  Unter einer  {\bf Austauschsituation}\index{Austauschsituation}
  verstehen wir eine Vorgabe von Daten $$(\mathscr C\stackrel{p}{\ra} \mathscr B\supset \mathscr B^!\stackrel{q}{\leftarrow} \mathscr C^!, \mathscr B^{\op{e}},i)$$
  bestehend aus einer Kategorie $\mathscr B$,
  der {\bf Basiskategorie} oder
  {\bf Basis},\index{Basis!einer Austauschsituation} 
  und  darin zwei ausgezeichneten
  \hyperref[Rzst]{r\"{u}ckzugstabilen} \hyperref[RmSM]{multiplikativen Systemen} $\mathscr B^{!}\supset \mathscr B^{\op{e}}$,
 die beide alle Isomorphismen enthalten und 
 deren Morphismen wir {\bf !-Morphismen}\index{Morphismus@!-Morphismus} und
  {\bf e-Morphismen}\index{e-Morphismus} nennen.
Weiter geh"oren zu unseren Daten ein Faserfunktor
  $p:\mathscr C\ra \mathscr B$ 
  und ein weiterer Funktor $q:\mathscr C^!\ra \mathscr B^!$, der
  von einer Kategorie $\mathscr C^!$
  mit denselben Objekten wie $\mathscr C$ ausgeht und dieselbe Abbildung auf Objekten induziert wie $p$.
   Die R"uckholfunktoren
  unserer Faserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ notieren wir $f^*$ f"ur
  $f:X\ra Y$ ein Morphismus in $\mathscr B$.
  Schlie"slich geh"ort zu unseren Daten noch ein Isomorphismus von Kategorien
  $$i:\mathscr C^!|\mathscr B^{\op{e}}\sira
  \mathscr C|\mathscr B^{\op{e}}$$
 zwischen den entsprechenden Urbildkategorien,
  der mit den jeweiligen Funktoren nach $\mathscr B^{\op{e}}$
  kommutiert. Wir behandeln diesen Isomorphismus  im folgenden in der Notation
  meist als eine Gleichheit und reden dann vereinfachend von einem
  Austauschdatum $(\mathscr C\stackrel{p}{\ra} \mathscr B\supset \mathscr B^!\stackrel{q}{\leftarrow} \mathscr C^!, \mathscr B^{\op{e}})$.
\end{Definition}

\begin{Beispiel}
  Die Kategorie $\mathscr B=\mathscr B^!=\op{Top}$ als Basis
  bildet mit $\mathscr B^{\op{e}}= \op{Top}^{\op{e}}$ der Unterkategorie mit
  nur  eigentlichen Morphismen 
  und dem Faserfunktor
  $p:\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$
  unserer Garbenbifaserung \ref{GaKoFa} sowie
  seiner Restriktion $q:\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \ref{eigK} auf eigentliche Opkomorphismen
  eine  Austauschsituation.\label{ATTo} Diese Situation
  weist die Besonderheit auf, da"s  $q$ aus $p$ durch Restriktion  hervorgeht.
Das wird uns dabei helfen,
  in dieser Situation sogenannte
  \glqq Austauschdaten\grqq\ zu konstruieren.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine \hyperref[AlKnu]{Austauschsituation} $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^!\leftarrow \mathscr C^!, \mathscr B^{\op{e}})$
  verstehen wir unter einem
  {\bf R"uckholquadrat}\index{R"uckholquadrat}
  ein Diagramm
  \begin{displaymath}
 \xymatrix{
\ar@{-->}[d]& \ar@{..>}[l] \ar@{-->}[d] \\
&\ar@{..>}[l]}
  \end{displaymath}
  %\begin{displaymath}
% \xymatrix{
%& \ar@{..>}[dl] \ar@{-->}[dr] &\\
%\ar@{-->}[dr] & &\ar@{..>}[dl]\\
%&&
%}
 % \end{displaymath}
"uber einem kartesischen Quadrat in
der Basis  $\mathscr B$  mit Objekten von $\mathscr C$ an den Ecken und
  $p$-kartesischen
  $\mathscr C$-Morphismen als gepunktelten Pfeilen 
  und $\mathscr C^!$-Morphismen als gestrichelten Pfeilen, so da"s insbesondere
  die Bilder der
  gestrichelten Pfeile in unserem kartesischen Quadrat in
der Basis  $\mathscr B$ auch $!$-Morphismen sein m"ussen.
  Die gepunktelt gezeichneten Kanten nenne ich die
  {\bf R"uckholkanten}\index{R"uckholkante} unseres
  R"uckholquadrats, die linke gestrichelte Kante seine  {\bf Ausgangskante}.\index{Ausgangskante} Wir zeichnen
  auch in Zukunft $\mathscr C$-Morphismen
  als gepunktelte Pfeile,  $\mathscr C^!$-Morphismen
  als gestrichelte Pfeile und $\mathscr C^{\op{e}}$-Morphismen
  als durchgezogene Pfeile. Man beachte, da"s es nicht sinnvoll ist, die
  Kommutativit"at unseres Diagramms zu fordern,
  da sich  $\mathscr C^!$-Morphismen und $\mathscr C$-Morphismen
  im allgemeinen nicht verkn"upfen lassen. Die
  Gesamtheit aller R"uckholquadrate "uber einem vorgegebenen kartesischen
  Quadrat in der Basis bildet   selbst
  eine Kategorie, da ja nach Annahme  $\mathscr C$-Morphismen und $\mathscr C^!$-Morphismen "uber
  Identit"aten, ja sogar "uber beliebigen e-Morphismen der Basis "ubereinstimmen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Unter einem 
  {\bf Austauschdatum}\index{Austauschdatum} zu einer Austauschsituation  $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^!\leftarrow \mathscr C^!, \mathscr B^{\op{e}})$ verstehen wir 
  eine Menge von ausgezeichneten R"uckholquadraten,
  genannt {\bf Austauschquadraten},\index{Austauschquadrat}
  mit den folgenden Eigenschaften:
  \begin{enumerate}
  \item
    Jedes \glqq partielle R"uckholquadrat, bei dem nur der zur"uckgeholte
    $\mathscr C^!$-Mor\-phis\-mus fehlt\grqq, wie die graphische Darstellung 
  \begin{displaymath}
 \xymatrix{
\ar@{-->}[d]& \ar@{..>}[l]  \\
&\ar@{..>}[l]}
  \end{displaymath}
  andeuten soll, bei der aber  der zur"uckgeholte
  $!$-Morphismus in der Basis durchaus vorhanden ist, 
  l"a"st sich auf genau eine
  Weise zu einem  Austauschquadrat erg"anzen;
\item
  Unter beiden Arten des Aneinandersetzens l"angs gleicher
  Kanten mit der Komposition in den
  neu entstehenden Kanten wird aus zwei
  Austauschquadraten wieder ein  Austauschquadrat;
\item
  Ein  R"uckholquadrat "uber einem
   Quadrat mit e-Morphismen auf gegen"uberliegenden Kanten ist genau dann ein Austauschquadrat,
  wenn es unter dem  Isomorphismus
  $\mathscr C^!|\mathscr B^{\op{e}}\sira
  \mathscr C|\mathscr B^{\op{e}}$ einem  kommutativen Quadrat
  in $\mathscr C$ beziehungsweise $\mathscr C^!$ entspricht.
  \end{enumerate}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Jeder Morphismus zwischen den Ausgangskanten zweier Austauschqaudrate
  l"a"st sich nach unseren Annahmen auf genau eine Weise zu einem
   Morphismus zwischen den beiden Austauschquadraten fortsetzen.
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}
  Eine Austauschsituation  $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^!\leftarrow \mathscr C^!, \mathscr B^{\op{e}})$
  hei"se {\bf kokartesisch},\index{kokartesisch!Austauschsituation}
wenn $\mathscr C^!\ra \mathscr B^!$
eine Kofaserung ist. Das direkte Bild zu einem !-Morphismus $f$ 
notieren wir dann $f_!$ und
 erhalten speziell eine Bifaserung "uber $\mathscr B^{\op{e}}$ und damit
 f"ur jeden e-Morphismus $f$ eine Adjunktion $(f_!,f^*)$.\label{adEDB} 
Wenn sie auf den Leser
   \glqq falschrum\grqq\ wirkt, mag das daran liegen, da"s
   im topologischen Fall 
   die Fasern unserer Funktoren
   opponiert sind zu den "ublichen Kategorien von Garben.
   In einer kokartesischen Austauschsituation
   nennen wir ein Austauschdatum 
{\bf kokartesisch},\index{Austauschdatum!kokartesisches}
wenn in jedem Austauschquadrat mit einer kokartesischen Ausgangskante
auch die zur"uckgeholte Kante kokartesisch ist. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein kokartesisches Austauschdatum und ein
  kartesisches Diagramm $hf=gk$ mit !-Morphismen $h,k$ in der Basis
  erhalten wir einen Isomorphismus von Funktoren\label{eaBA} 
  $$k_!f^*\siRa g^*h_!$$
  als \glqq denjenigen Isomorpismus, der zusammen mit den Transportmorphismen
  ein Austauschquadrat liefert\grqq. Wir nennen ihn den
  {\bf eigentlichen  Basiswechsel}\index{Basiswechsel!eigentlicher abstrakter} zu unserem kokartesischen  Austauschdatum.
  Sind $h,k$ beide e-Morphismen, so stimmt er nach unserer
  dritten Annahme mit dem
  allgemeinen Basiswechsel \ref{BaWW} der durch unsere kokartesische Austauschsituation
  auf $\mathscr B^{\op{e}}$ gegebenen Bifaserung  "uberein. 
\end{Bemerkungl}
  
% \begin{Bemerkungl}
% Ein R"uckholquadrat in einer kokartesischen Austauschsituation hei"se {\bf kokartesisch},\index{kokartesisch!R"uckholquadrat}
% wenn seine beiden \glqq nicht-R"uckholkanten\grqq\  kokartesisch sind. 
% Ein kokartesisches Austauschdatum wird durch seine kokartesischen
% Austauschquadrate bereits eindeutig festgelegt, und jede Vorgabe 
% einer Menge kokartesischer R"uckholquadrate, die die
% obigen Bedingungen 1-3 entsprechend erf"ullen, kommt  von
% einem kokartesischen Austauschdatum her. NEIN, BRAUCHT ZUSAETZLICHE
% BEDINGUNGEN AN KOKARTESISCHE RUECKHOLQUADRATE!
% \end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Austauschdaten durch Kommutativit"at}]
 Seien  $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Faserung
  "uber einer Kategorie  $\mathscr B$ mit r"uckzugstabilem multiplikativen
  System $\mathscr B^!$ und sei $\mathscr C^!$ ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives
  System  "uber $\mathscr B^!$ im Sinne von \ref{KKFuux}.
  Sei weiter $\mathscr B^{\op{e}}\subset \mathscr B^!$ ein r"uckzugstabiles multiplikatives Teilsystem derart, da"s "uber Morphismen aus
  $\mathscr B^{\op{e}}$ alle $\mathscr C$-Morphismen
  bereits $\mathscr C^!$-Morphismen sind. So ist
  $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^!\leftarrow \mathscr C^!, \mathscr B^{\op{e}})$ eine
  Austauschsituation und die kommutativen R"uckholquadrate bilden
  darin ein Austauschdatum. Ist zus"atzlich der restringierte Funktor $p:\mathscr C^!\ra \mathscr B^!$
  eine Kofaserung und bilden deren kokartesische Morphismen auch
  ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives
  System  "uber $\mathscr B^!$, so ist besagtes Austauschdatum
  sogar kokartesisch.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Austauschdaten in topologischen Austauschsituationen}]
  In unserer Austauschsituation
  $(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset\op{Top}\leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}},
  \op{Top}^{\op{e}})$ aus \ref{ATTo} bilden die in $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}$
  kommutierenden R"uckholquadrate ein Austauschdatum, da nach \ref{ReO}
  der R"uckzug eines eigentlichen Opkomorphismus stets wieder eigentlich ist.
  Bezeichnen wir mit $\op{Top}^{\op{es}}\subset \op{Top}^{\op{les}}$ die Kategorie der topologischen R"aume
  mit nur eigentlichen separierten beziehungsweise lokal eigentlichen separierten Abbildungen als
  Morphismen, so ist mit $$\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}\pdef \op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}}|\op{Top}^{\op{les}}$$
  auch $(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}},
  \op{Top}^{\op{es}})$ eine Austauschsituation.
  Darin bilden die  in $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}$
  kommutierenden R"uckholquadrate\label{AtA}  sogar ein kokartesisches Austauschdatum, da nach \ref{ReO} 
  der R"uckzug eines eigentlich-ko\-kar\-te\-si\-schen Opkomorphismus
  "uber einer lokal eigentlichen separierten Abbildung stets wieder eigentlich-kokartesisch ist.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Transformation vom eigentlichen Bild zum "ublichen Bild}] 
  Gegeben eine kokartesische Austauschsituation   $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^!\leftarrow \mathscr C^!, \mathscr B^{\op{e}})$
  mit  einem kokartesischen Austauschdatum
  erhalten wir f"ur jeden !-Morphismus $f:X\ra Y$, 
  f"ur den $\Delta=\Delta_f:X\ra X\times_Y X$ ein e-Morphismus ist, 
  eine Transformation $\op{id}\RA f^*f_!$
mithilfe des kartesischen Quadrats
   \begin{displaymath}
     \xymatrix{ 
& \ar[dl]X\times_Y X\ar[dr]  &\\
X\ar[dr] & &X\ar[dl]\\
&Y&
}
   \end{displaymath}
 in der Basis  als die Komposition
   $\op{id}\siRa\op{pr}_{2!}\Delta_!\Delta^\ast \op{pr}_{1}^\ast\RA \op{pr}_{2!}\op{pr}_{1}^\ast \siRa f^*f_!$
 unter Ausn"utzen von eigentlichem
   abstrakten Basiswechsel
   \ref{eaBA} und der
   Adjunktion $(\Delta_!,\Delta^\ast)$ aus \ref{adEDB}.
   Besitzt $f^*$ einen Linksadjungierten, so erhalten wir
   auf diese Weise eine
   nat"urliche Transformation $f_*\RA f_!$. Sie wirkt nur \glqq falschrum\grqq,
   bis wir uns daran erinnern, da"s die Fasern bei unseren
   typischen Anwendungen
   ja opponierte Kategorien von Garben sind.
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Austauschdaten durch Lokalisierung}]
   Sei  eine
  \hyperref[adEDB]{kokartesische Austauschsituation}
  $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^!\leftarrow \mathscr C^!, \mathscr B^{\op{e}})$ gegeben.\label{AdLo} 
  \begin{enumerate}
    \item
Sei $S$ ein ges"attigtes
  faserweises Oresystem in $\mathscr C$, das stabil ist unter den
  R"uckz"ugen der Faserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ und f"ur das
   die Kofaserung
   $\mathscr C^!\ra \mathscr B^!$ \hyperref[LRAA]{lokal Linksanpassungen}
   besitzt. So ist 
   $(S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^!\leftarrow S^{-1}\mathscr C^!, \mathscr B^{\op{e}})$
wieder eine kokartesische Austauschsituation in nat"urlicher Weise;
 \item
Sei zus"atzlich in unserer urspr"unglichen  Austauschsituation
ein \hyperref[adEDB]{kokartesisches Austauschdatum} gegeben derart, da"s f"ur jedes kokartesische Austauschquadrat,
   dessen Ausgangskante in der
  Lokalisierung $S^{-1}\mathscr C^!\ra \mathscr B^!$
  kokartesisch bleibt, auch die gegen"uberliegende Kante
   in der Lokalisierung 
   kokartesisch bleibt. So gibt es genau ein Austauschdatum in der
   lokalisierten Austauschsitution, das alle die auf diese Weise  entstehenden
   R"uckholquadrate  enth"alt;
 \item
   Das durch diese Eigenschaft charakterisierte Austauschdatum
   in der lokalisierten Austauschsituation
    ist auch selbst wieder kokartesisch.
  \end{enumerate}
\end{Satz}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vereinfachtes Pr"ufen der Bedingungen des obigen Satzes}] 
  Gegeben ein Morphismus $f:X\ra Y$ in $\mathscr B^!$
  bleibt ein kokartesischer Morphismus $\mathcal F\ra f_!\mathcal F$
  genau dann kokartesisch in der Lokalisierung,\label{VPOS} 
  wenn $\mathcal F$ ein $S_X$-entfaltetes Objekt ist
  f"ur den Funktor $Qf_!:\mathscr C_X\ra S_Y^{-1}\mathscr C_Y$.
  Das folgt unmittelbar aus \ref{LRaV}. Es reicht also zu pr"ufen,
  da"s der R"uckzug unter $p$
  jedes $S_X$-$Qf_!$-entfalteten Objekts
  seinerseits ein $S_Z$-$Qg_!$-entfaltetes Objekt ist f"ur
  $p:Z\ra X$. Daf"ur hinwiederum reicht es zu zeigen,
  da"s wir f"ur jedes Objekt $\mathcal F\in \mathscr C_X$
  einen $S_X$-Morphismus $\mathcal G\ra  \mathcal F$ finden k"onnen
  derart, da"s sowohl $\mathcal G$ ein $S_X$-$Qf_!$-entfaltetes Objekt ist als auch $p^*\mathcal G$ ein $S_Z$-$Qg_!$-entfaltetes Objekt.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel} Unsere kokartesische Austauschsituation 
$(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}},
  \op{Top}^{\op{es}})$ aus \ref{AtA} mit dem durch Kommutativit"at
  konstruierten kokartesischen Austauschdatum liefert
  in offensichtlicher Weise
  eine kokartesische Austauschsituationen mit kokartesischem Austauschdatum
$$(\op{Hot}^\sharp(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Hot}^\sharp(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}),
  \op{Top}^{\op{es}})$$
  f"ur $\sharp$ eine der vier "ublichen Beschr"ankungsbedingungen.
  Im Fall von $\op{Hot}^-$ k"onnen wir es nach Quasiisomorphismen lokalisieren,
  da wir die  Linksanpassung durch Komplexe schwach kompaktweicher
  Garben zur Verf"ugung haben und da nach \ref{azyeb}
  in  einem kartesischen Diagramm $fp=qg$ topologischer R"aume
  mit lokal eigentlichen separierten Abbildungen $f,g$ der R"uckzug
  jeder $Qf_{(!)}$-azyklischen Garbe unter $p$ eine $Qg_{(!)}$-azyklische
  Garbe ist und wir das vereinfachte Kriterium vom
  Ende von \ref{VPOS} anwenden k"onnen. So erhalten wir ein kokartesisches Austaschdatum zur
  kokartesischen Austauschsituation 
$$(\op{Der}^-_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Der}^{-!}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}},
  \op{Top}^{\op{es}})$$
  Weiter erhalten wir  in offensichtlicher Weise
  eine kokartesische Austauschsituationen mit kokartesischem Austauschdatum
$$(\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Hot}(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}),
  \op{Top}^{\op{esb}})$$
  und k"onnen es wie zuvor nach Quasiisomorphismen lokalisieren,
  da wir lokale Linksanpassungen zur Verf"ugung haben und damit
  genauso argumentieren d"urfen. So erhalten wir ein kokartesisches Austaschdatum zur
  kokartesischen Austauschsituation 
$$(\op{Der}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Der}^{!}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}},
  \op{Top}^{\op{esb}})$$
  Nach Konstruktion sind die Austauschquadrate zu Ausgangskanten
  aus $\op{Der}^{-!}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}$ in diesen beiden
  Situationen dieselben.
\end{Beispiel}



\begin{proof}
  1. Wir wissen aus \ref{LRaV} und im Fall der Existenz einer \glqq
  globalen\grqq\ Linksanpassung sogar bereits aus \ref{LRAn}, da"s
  der Funktor $S^{-1}\mathscr C^!\ra \mathscr B^!$ eine Kofaserung
  ist und da"s der offensichtliche Funktor ein  Isomorphismus von
  Kategorien $S^{-1}_{\mathscr B^{\op{e}}}\mathscr C^!_{\mathscr B^{\op{e}}}\sira (S^{-1}\mathscr C^!)_{\mathscr B^{\op{e}}}$ ist.
Wir wissen aus \ref{LRAn} und sogar bereits aus
  \ref{FFL} und \ref{KriLO1}, da"s der Funktor $S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B$ eine Faserung ist  und da"s der offensichtliche Funktor ein   Isomorphismus von
  Kategorien $S^{-1}_{\mathscr B^{\op{e}}}\mathscr C_{\mathscr B^{\op{e}}}\sira (S^{-1}\mathscr C)_{\mathscr B^{\op{e}}}$ ist.
  Das zeigt die erste Aussage.\\[2mm]\noindent
  2.
 Da"s es h"ochstens ein derartiges Austauschdatum gibt, ist klar:
  Seine Austauschquadrate m"ussen genau alle R"uckholquadrate sein,
  die isomorph sind zu R"uckholquadraten, die man erh"alt, indem man
  an ein R"uckholquadrat der in Teil 2 unseres  Satzes
  beschriebenen Art unten noch
  ein kommutatives R"uckholquadrat "uber einem kartesischen Diagramm
  in der Basis mit Identit"aten als $!$-Morphismen anf"ugt.
  Explizit besteht unser Austauschdatum in spe
  mithin aus allen R"uckholquadraten, die
  isomorph sind zu Randquadraten von Diagrammen
  der Gestalt
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
\mathcal F \ar[d] &  p^\ast\mathcal F \ar[l] \ar[d]\\
f_{!}\mathcal F\ar[d] & q^* f_{!}\mathcal F\ar[l] \ar[d] \\
\mathcal G& q^* \mathcal G\ar[l]}
\end{displaymath}
mit  als
oberen Quadrat einem Austauschquadrat des urspr"unglichen
Austauschdatums mit $\mathcal F$ entfaltet f"ur $Qf_!$ 
 und  als unterem Quadrat einem
 kommutativen R"uckholquadrat in der Lokalisierung mit Morphismen
 "uber Identit"aten in den Vertikalen.
Jetzt "uberlegen wir uns,
da"s die so gegebene Menge von R"uckholquadraten, die wir vorerst
unsere \glqq hoffnungsvollen R"uckholquadrate\grqq\ nennen, auch wirklich ein
Austauschdatum, ja sogar ein kokartesisches Austauschdatum bildet.
Um zu sehen, da"s jede Ausgangskante zu einem hoffnungsvollen R"uckholquadrat
erg"anzt werden kann, erinnern wir aus \ref{LRaV},
da"s es f"ur jeden $!$-Morphismus $f:X\ra Y$ in der
Basis und jedes $\mathcal E\in \mathscr C_X$ eine
$S_X$-Linksentfaltung $\mathcal F\ra \mathcal E$ f"ur $Qf_!$ gibt und da"s 
der Transportmorphismus $\mathcal F\ra f_!\mathcal F$ sowohl
f"ur $\mathscr C^!\ra \mathscr B^!$ als auch f"ur
$S^{-1}\mathscr C^!\ra \mathscr B^!$ kokartesisch ist.
Jede Ausgangskante  kann mithin zu einem hoffnungsvollen
R"uckholquadrat erg"anzt werden.
Nach Annahme induziert weiter ein
$S$-Morphismus $\mathcal F\ra \mathcal F'$
zwischen Objekten von $\mathcal C_X$, bei denen die Transportmorphismen
zu ihren $f_!$-Bildern in der Lokalisierung kokartesisch bleiben,
stets $S$-Morphismen an allen
anderen Ecken unseres Diagramms
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
\mathcal F \ar[d] &  p^\ast\mathcal F \ar[l] \ar[d]\\
f_{!}\mathcal F & q^* f_{!}\mathcal F\ar[l] }
\end{displaymath}
Das zeigt, da"s die Gesamtheit  unserer hoffnungvollen R"uckholquadrate  schon einmal die erste Eigenschaft  eines Austauschdatums, ja eines
kokartesischen Austauschdatums erf"ullt.
Da"s das Verkleben  hoffnungvoller R"uckholquadrate
l"angs vertikaler Kanten stets wieder ein
hoffnungvolles R"uckholquadrat liefert,
ist offensichtlich. Weiter ist klar, da"s
wenn zwei R"uckholkanten eines  hoffnungvollen R"uckholquadrats
Identit"aten "uber Identit"aten der Basis sind, da"s dann die
beiden anderen Kanten "ubereinstimmen.
Um die zweite Bedingung an ein Austauschdatum zu pr"ufen, m"ussen
wir also nur noch zeigen, da"s auch
das Verkleben hoffnungvoller R"uckholquadrate l"angs R"uckholkanten stets wieder ein hoffnungvolle R"uckholquadrate
liefert. Wir d"urfen uns dabei auf den Fall beschr"anken, da"s wir ein
kokartesisches hoffnungsvolles R"uckholquadrat unten ankleben,
das bereits selbst von der in Teil 2 unseres Satzes beschriebenen Gestalt ist.
Wir argumentieren anhand des Diagramms
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
&&\mathcal F \ar[d] &&&  p^\ast\mathcal F \ar[lll] \ar[d]\\
  && f_{!}\mathcal F\ar[ddd] &&& q^* f_{!}\mathcal F\ar[lll] \ar[ddd]\\
  &\mathcal E\ar[dl]\ar[ddd]\ar[ur]^-{S}&&& q^*\mathcal E\ar[dl]\ar[ddd]\ar[ur]^-{S}\ar[lll]\ar[ddd]&\\
\mathcal G\ar[ddd]&&&q^*\mathcal G\ar[lll]\ar[ddd]&&\\
&& g_{!}f_{!}\mathcal F &&& r^* g_{!}f_{!}\mathcal F\ar[lll]\\
  &g_{!}\mathcal E\ar[dl]\ar[ur]^-{S}&&&r^* g_{!}\mathcal E\ar[dl]\ar[ur]^-{S}\ar[lll]&\\
g_{!}\mathcal G&&&r^*g_{!}\mathcal G\ar[lll]&&
 }
\end{displaymath}
Hier d"urfen wir nach unseren Annahmen
$\mathcal E,\mathcal F,\mathcal G$ so w"ahlen, da"s alle
vertikalen Pfeile auf der linken Seite  unseres Diagramms
kokartesisch bleiben in der Lokalisierung. Nach Annahme folgt
dasselbe f"ur alle vertikalen Pfeile auf der rechten Seite  unseres Diagramms.
Die Kommutativit"at unseres Diagramms  zeigt dann, da"s auch das "Ubereinandersetzen hoffnungsvoller R"uckholquadrate
wieder ein hoffnungsvolles R"uckholquadrat liefert.
 Unsere hoffnungsvollen R"uckholquadrate erf"ullen mithin
auch die zweite Eigenschaft, die wir von einem Multiaustauschdatum
fordern. Die letzte Eigenschaft folgt direkt aus unseren Definitionen.
\end{proof}
\subsection{Multiaustausch und Drei-Funktor-Formalismus}
%\begin{Beispiel}
%Man nehme $\op{Hot}^-(\op{flAb}_{\sslash\op{Top}})\ra \op{Top}$
%  oder die Trennfaserungsvariante als Faserung.
%  Das aber erst im Multiaustauschregime. Vorerst
%  ist das mit flach noch nicht n"otig.
%\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
  Seien $\mathscr T$ eine
  Kategorie mit endlichen Produkten und $ \mathscr T^!\supset \mathscr T^{\op{e}}$ darin 
  zwei r"uckzugstabile multiplikative Systeme von Morphismen.
  Seien $\mathscr G$ eine Trennkategorie und  $\mathscr G\ra \mathscr T$ eine \hyperref[oMulF]{Trennfaserung} in die banale Trennkategorie zu $\mathscr T$.
  Sei $\mathscr G^!$ eine weitere Kategorie mit denselben Objekten wie
  $\mathscr G$ und sei $\mathscr G^!\ra \mathscr T^!$ ein gew"ohnlicher Funktor.
   Sei schlie"slich ein Isomorphismus von Kategorien
  $$i:\mathscr G^!|\mathscr T^{\op{e}}\sira
  \mathscr G|\mathscr T^{\op{e}}$$
  gegeben zwischen den entsprechend eingeschr"ankten Kategorien,
  der mit den jeweiligen Funktoren nach $\mathscr T^{\op{e}}$
  kommutiert. Rechts meinen wir hier implizit die unserer Trennkategorie
  $\mathscr G$ zugrundeliegende
  einfache Kategorie. Wir behandeln unseren Isomorphismus im folgenden in der Notation
  meist als Gleichheit und nennen
  unsere Daten $(\mathscr G\ra \mathscr T\supset \mathscr T^!\leftarrow \mathscr G^!, \mathscr T^{\op{e}})$ eine
  {\bf Multiaustauschsituation}.\index{Multiaustauschsituation}
  Jede  Multiaustauschsituation induziert eine Austauschsituation
  $$(\mathscr G^\curlywedge\ra \mathscr T^\curlywedge\supset \mathscr T^{\shortparallel !}\leftarrow \mathscr G^{\shortparallel !}, \mathscr T^{\shortparallel \op{e}})$$
  auf den Wortkategorien, bei der die $!$-Morphismen und
  e-Morphismen in der Basis genau alle
  Tupel mit der Identit"at als Indexabbildung
  von Morphismen unserer  Unterkategorien 
  $\mathscr T^{ !}\supset  \mathscr T^{ \op{e}}$ sind und
  die $\mathscr G^{\shortparallel !}$-Morphismen in der Faser
  Tupel von
  $\mathscr G^!$-Morphismen.
  In  einer Multiaustauschsituation erkl"aren wir ein
  {\bf Multiaustauschdatum}\index{Multiaustauschdatum}
  als ein Austauschdatum f"ur die auf den Wortkategorien induzierte
  Austauschsituation mit der Zusatzeigenschaft, da"s  ein R"uckholquadrat
  genau dann ein Austauschquadrat ist, wenn es unter der
  entsprechenden Zerlegungsbijektion
  zu einem Tupel von Austauschquadraten wird.
  Ein Austauschquadrat der Wortkategorie mit einem
  Einstupel von Morphismen als zur"uckgeholter Kante
  nennen wir dann ein
  {\bf Multiaustauschquadrat}\index{Multiaustauschquadrat}
  unserer Multiaustauschsituation.
  Ist zus"atzlich $\mathscr G^!\ra \mathscr T^!$
  eine Kofaserung, so sprechen wir von einer
  {\bf kokartesischen Multiaustauschsituation}.\index{Multiaustauschsituation!kokartesische} In einer kokartesischen Multiaustauschsituation
  nennen wir ein Multiaustauschdatum
  {\bf kokartesisch},\index{Multiaustauschdatum!kokartesisches} 
 wenn in jedem Austauschquadrat mit einem Tupel 
  ko\-kar\-te\-si\-scher Ausgangskanten auch die
  zur"uckgeholte gegen"uberliegende Kante
  ein Tupel ko\-kar\-te\-sischer Morphismen ist.
\end{Bemerkungl}



\begin{Beispiel}[\textbf{Multiaustauschdatum f"ur $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}$}]
  Die "ublichen Daten
  bilden   eine Multiaustauschsituation $(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}\leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}},
  \op{Top}^{\op{e}})$ mit der Garbentrennfaserung als erstem Pfeil, da nach \ref{MReO} der Multir"uckzug
  eines Tupels  eigentlicher Opkomorphismen stets wieder
  eigentlich ist. Die kommutativen R"uckholquadrate der Wortkategorie bilden
  darin offensichtlich ein Multiaustauschdatum. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Kokartesisches
      Multiaustauschdatum f"ur $\op{flAb}_{\sslash \op{Top}}$}]
Die Daten
  $(\op{flAb}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{flAb}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}},
  \op{Top}^{\op{es}})$
  bilden mit der Garbentrennfaserung als erstem Pfeil  eine kokartesische Multiaustauschsituation, da\label{KOKI} 
  nach \ref{eigKOF}
  der Funktor $\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}\ra \op{Top}^{\op{les}}$ eine Kofaserung ist und da das
  eigentliche direkte Bild \ref{EDBiAx} einer flachen abelschen Garbe wieder flach alias torsionsfrei ist.
 Die kommutativen R"uckholquadrate der Wortkategorie
  bilden
  in diesem Fall sogar ein kokartesisches Multiaustauschdatum,
   da nach \ref{MRekO} 
   der Multir"uckzug  eigentlich-kokartesischer Opkomorphismen von flachen
   abelschen Garben 
  "uber  lokal eigentlichen separierten Abbildungen stets wieder eigentlich-ko\-kar\-te\-sisch ist.
\end{Beispiel}


\begin{Satz}[\textbf{Multiaustauschdaten durch Lokalisierung}]
   Sei  eine
  \hyperref[adEDB]{kokartesische Multiaustauschsituation}
  $(\mathscr G\ra \mathscr T\supset \mathscr T^!\leftarrow \mathscr G^!, \mathscr T^{\op{e}})$ gegeben.\label{MAdLo} 
  \begin{enumerate}
    \item
Sei $S$ ein ges"attigtes
  faserweises Oresystem in $\mathscr G$, das stabil ist unter den
  Multir"uckz"ugen der Trennfaserung $\mathscr G\ra \mathscr T$
  und f"ur das
   die Kofaserung
   $\mathscr G^!\ra \mathscr T^!$ \hyperref[LRAA]{lokal Linksanpassungen}
   besitzt. So liefert \hyperref[lokKM]{Lokalisieren}  
eine kokartesische Multiaustauschsituation  $(S^{-1}\mathscr G\ra \mathscr T\supset \mathscr T^!\leftarrow S^{-1}\mathscr G^!, \mathscr T^{\op{e}})$ in nat"urlicher Weise;
\item
Sei zus"atzlich in unserer urspr"unglichen  Multiaustauschsituation
ein \hyperref[adEDB]{kokartesisches Multiaustauschdatum} gegeben derart, da"s f"ur jedes kokartesische Multiaustauschquadrat,
dessen Ausgangskanten
in der
  Lokalisierung $S^{-1}\mathscr C^!\ra \mathscr B^!$
  kokartesisch bleiben, auch die zur"uckgezogene
  Kante
    in der
  Lokalisierung  kokartesisch bleibt. So gibt es genau ein Multiaustauschdatum in der
   lokalisierten Multiaustauschsitution, das alle die auf diese Weise  entstehenden
   R"uckholquadrate  enth"alt;
 \item
   Das durch diese Eigenschaft charakterisierte Multiaustauschdatum
   in der lokalisierten Multiaustauschsituation
    ist auch selbst wieder kokartesisch.
  \end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{proof}
  Das alles folgt unmittelbar, indem wir auf die zu
  zu unserer Multiaustauschsituation geh"orige Austauschsituation
  $$(\mathscr G^\curlywedge\ra \mathscr T^\curlywedge\supset \mathscr T^{\shortparallel !}\leftarrow \mathscr G^{\shortparallel !}, \mathscr T^{\shortparallel \op{e}})$$
  auf den Wortkategorien unseren Satz
  \ref{AdLo} "uber die Lokalisierung von Austauschdaten anwenden.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vereinfachtes Pr"ufen der Bedingungen des obigen Satzes}]
  Wie bereits beim Beweis von Lemma \ref{jhtr} erw"ahnt, entsteht
  jeder Morphismus der Wortkategorie
  einer banalen Trennkategorie mit endlichen Produkten durch Komposition und
  das \glqq Zusammenfassen zu Tupeln\grqq\ aus
  Nulltrennungen, Einstrennungen, Projektions-Zweitrennungen
  und Permutationen. Es reicht also, die Bedingung in
  Teil 2 des obigen Satzes f"ur
  alle Multiaustauschquadrate "uber denjenigen kartesischen Quadraten
  der Wortkategorie $\mathscr T^\curlywedge$ zu pr"ufen,
  bei denen die Horizontalen Nulltrennungen, Einstrennungen oder Projektions-Zweitrennungen sind. Und schlie"slich k"onnen wir uns
  im Fall von Projektions-Zweitrennungen sogar auf den Fall
  beschr"anken, da"s von den beiden Ausgangskanten eine
  eine Identit"at ist, und zwar in der Basis und in der Faser.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}[\textbf{Kokartesisches
      Multiaustauschdatum f"ur $\op{Der}^-_{\sslash \op{Top}}$}]
  Unsere kokartesische Multiaustauschsituation mit
 kokartesischem\label{KMDER} 
  Multiaustauschdatum 
  $(\op{flAb}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{flAb}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}},
  \op{Top}^{\op{es}})$
  aus \ref{KOKI} liefert in offensichtlicher Weise
  kokartesische Multiaustauschsituationen mit
 kokartesischen
  Multiaustauschdaten
   $$(\op{Hot}^\sharp(\op{flAb}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Hot}^\sharp(\op{flAb}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}),
  \op{Top}^{\op{es}})$$
  f"ur $\sharp$ eine der vier "ublichen Beschr"ankungsbedingungen. 
  Wir zeigen in \ref{lats} und \ref{kamu},
  da"s sich diese Situation
im Fall $\op{Hot}^-$ 
  im Sinne  unseres Satzes
  \ref{MAdLo} nach allen Quasiisomorphismen lokalisieren l"a"st.
  Wegen der "Aquivalenz $$\op{Hot}^+(\op{flAb}_{/X})_{\op{qis}}\sirra
  \op{Hot}^+(\op{Ab}_{/X})_{\op{qis}}=\op{Der}^+(\op{Ab}_{/X})$$
  oder gleichbedeutend $\op{Hot}^-(\op{flAb}_{\sslash X})_{\op{qis}}\sirra
  \op{Der}^-(\op{Ab}_{\sslash X})$ aus \ref{LUK} erhalten wir so eine
  Multiaustauschsituation, deren Fasern nat"urlich
  "aquivalent sind zu der derivierten Kategorien
  $\op{Der}^-(\op{Ab}_{\sslash X})$. Die durch unsere Lokalisierung
  entstehende kokartesische Multiaustauschsituation mit kokartesischem Multiaustauschdatum notieren wir 
 $$(\op{Der}^{-}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}
 \supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow
 \op{Der}^{-!}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}, \op{Top}^{\op{es}})$$
Unser kokartesisches Multiaustauschdatum beinhaltet
  ausgezeichnete Isomorphismen $$q^*f_!\mathcal F\sira g_!p^* \mathcal F$$
  f"ur jedes kartesische Diagramm $fp=qg$ von topologischen R"aumen
  mit $f,g$ lokal eigentlich separiert und $\mathcal F\in \op{Der}^+(\op{Ab}_{/X})$ einem Komplex abelscher Garben auf dem
   Ausgangsraum  $X$ von $f$. Sie hei"sen
  die Isomorphismen des {\bf derivierten lokal eigentlichen
    Basiswechsels}.  Unser kokartesisches Multiaustauschdatum beinhaltet
  des weiteren ausgezeichnete Isomorphismen $$f_!(\mathcal F\otimes f^\ast\mathcal G) \sira \mathcal F\otimes f_!\mathcal G$$
  f"ur  $f$ lokal eigentlich separiert und $\mathcal F\in \op{Der}^+(\op{Ab}_{/Y})$  einem Komplex abelscher Garben auf dem
     Zielraum $Y$ von $f$. Sie hei"sen
  die Isomorphismen der {\bf Projek\-tionsformel}. Unser kokartesisches Multiaustauschdatum beinhaltet aber zus"atzlich eine Vielzahl von Vertr"aglichkeiten dieser ausgezeichneten Isomorphismen untereinander und
  mit von den zugrundeliegenden Faserungen und Kofaserungen
  herr"uhrenden ausgezeichneten Isomorphismen, die
  in der Literatur selten thematisiert
  werden.\label{koubM}
\end{Beispiel}


 
\begin{Bemerkungl}\label{DGKoS}
Sei $\cal{F}$ eine abelsche Garbe auf einem
Raum $X$.
Die \defnoind{Garbe der unstetigen Schnitte von 
$\cal{F}$}\index{Garbe der unstetigen Schnitte} ist die
Garbe ${\op{G}} \cal{F},$ die jeder offenen Teilmenge $
 U
\co X
$ das Produkt der Halme von $\cal{F}$ an allen Punkten  $x\in U$ zuordnet, 
in Formeln
$$({\op{G}}\cal{F})(U) = \prod_{x\in U} \cal{F}_{x}$$ 
mit den offensichtlichen Restriktionsabbildungen.
Wir haben eine kanonische Injektion $\cal{F}
\hookrightarrow {\op{G}}\cal{F}$ gegeben durch $s \mapsto
(s_{x})_{x \in U}$ f"ur $s \in \cal{F}(U)$. Gleichbedeutend k"onnen wir
die Identit"at als stetige Abbildung $\delta:X^{\op{disk}}\ra X$ von der mit
der diskreten Topologie versehenen Menge $X$ in den topologischen Raum $X$
betrachten. Die  kanonische Injektion faktorisiert dann in
die Einheit der Adjunktion und einen Isomorphismus als 
$\mathcal F\ra \delta_{(*)}\delta^{(*)}\mathcal F\sira {\op{G}}\mathcal F$.  
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Die 
{\bf Godement-Aufl"osung von}\index{Godement-Aufl"osung} 
$\cal{F}$ ist der exakte
Komplex von abelschen Garben
$\cal{F} \hookrightarrow {\op{G}}^{0}\cal{F} \ra {\op{G}}^{1}\cal{F}
\ra \ldots$ ,
den wir nach \ref{AEXa} erhalten durch die Vorschrift
$$\begin{array}{lll}
{\op{G}}^{0}\cal{F} &\pdef &{\op{G}}\cal{F}\\[2mm]
{\op{G}}^{1}\cal{F} &\pdef &
{\op{G}} (\op{cok} (\cal{F} \ra {\op{G}} \cal{F}))
\text{ und dann
induktiv}\\[2mm]
{\op{G}}^{i}\cal{F}& \pdef &{\op{G}} (\op{cok} (
{\op{G}}^{i-2}\cal{F} \ra {\op{G}}^{i-1}\cal{F})) \text{ f"ur }
i\geq 2;\end{array}$$
Jeder Morphismus von abelschen Garben $\cal{F} \ra \cal{F}^{\prime}$ liefert
in offensichtlicher Weise einen Morphismus ${\op{G}} \cal{F} \ra
{\op{G}}\cal{F}^{\prime}$ zwischen den zugeh"origen Garben unstetiger
Schnitte, und dann induktiv einen Morphismus von Komplexen von Garben
${\op{G}}^{\ast}\cal{F} \ra {\op{G}}^{\ast} \cal{F}^{\prime}$.
Diese Zuordnung ist funktoriell.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
Die Schnitte 
unserer \glqq Garbe der unstetigen Schnitte\grqq\  ${\op{G}}\cal{F}$
sind nur "uber offenen Teilmengen unstetige
Schnitte in den \'etalen Raum der urspr"unglichen Garbe.
Die Halme der Garbe der unstetigen Schnitte einer Garbe
sind im allgemeinen sehr viel gr"o"ser als die Halme der
urspr"unglichen Garbe.
\end{Bemerkungl}







\begin{Lemma}
  Gegeben eine flache abelsche Garbe $\mathcal{F}$ besteht auch ihre
  Godementaufl"osung aus flachen Garben.\label{ZFe}
\end{Lemma}
\begin{proof}
Im Fall abelscher Gruppen ist flach "aquivalent zu torsionsfrei, 
und diese Eigenschaft ist
stabil unter Produkten und filtrierenden Kolimites.
Daraus folgt, da"s mit $\mathcal{F}$ auch die Garbe seiner nicht notwendig stetigen Schnitte
${\op{G}}\mathcal{F}$ flache Halme hat. Da die von der Einbettung
$\mathcal{F} \hookrightarrow {\op{G}} \mathcal{F}$ 
auf den Halmen induzierten Einbettungen $\mathcal{F}_x
\hookrightarrow ( \mathcal{F})_x$ s"amtlich spalten, 
hat auch der Kokern flache
Halme. Das Lemma folgt induktiv.
\end{proof}

\begin{Definition}
   Unter einer {\bf flachwelken}\index{flachwelk} abelschen Garbe
  verstehen wir eine abelsche Garbe, die flach und welk ist.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorielle flachwelke Aufl"osung}]
  Seien $X$ ein topologischer Raum
  und $\mathcal F$ ein
  gegen die Pfeile beschr"ankter Komplex flacher abelscher Garben
  auf $X$.\label{wefl} Bilden wir den Doppelkomplex der
  Godementaufl"osungen der Garben unserers Komplexes und dazu den
  Totalkomplex, so erhalten wir einen Quasiisomorphismus
  $\mathcal F\qri\mathcal G\mathcal F$ in einen gegen die Pfeile beschr"ankten Komplex flachwelker abelscher Garben, und diese Konstruktion ist funktoriell
  in $\mathcal F$.
\end{Bemerkungl}




\begin{Lemma}
  Die Komplexe
  $\op{Hot}^-(\op{kwflAb}_{\sslash \op{Top}})$  schwach kompaktweicher flacher Garben bilden eine
  \hyperref[RAP]{Linksanpassung} 
  f"ur die Kofaserung\label{lats}  
  $$\op{Hot}^-(\op{flAb}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}})\ra \op{Top}^{\op{les}}$$
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Die
  Bedingung \glqq schwach kompaktweich\grqq\   bleibt  nach \ref{dibisk} unter eigentlichen
  direkten Bildern mit lokal eigentlichen separierten Abbildungen
  erhalten, folglich liegt
  schon einmal
  eine Unterkofaserung vor.
  Die Quasiisomorphismen bilden weiter ein 
  Oresystem in $\op{Hot}^-(\op{kwflAb}_{\sslash X})$, das gilt
    allgemein f"ur die Homotopiekategorie jeder unter
    endlichen Koprodukten stabilen vollen Unterkategorie
    einer abelschen Kategorie, und die eigentlichen direkten Bildfunktoren
    erhalten Quasiisomorphismen zwischen Komplexen aus $\op{Hot}^-(\op{kwflAb}_{\sslash X})$, da alle Eintr"age dieser Komplexe
      entsprechend azyklisch sind. Um schlie"slich zu zeigen, da"s
      es zu jedem Objekt von $\op{Hot}^-(\op{flAb}_{\sslash X})$
        einen Quasiisomorphismus von einem Objekt von
        $\op{Hot}^-(\op{kwflAb}_{\sslash X})$ gibt, k"onnen wir
          unsere auf der Godement-Konstruktion
          beruhende flachwelke Aufl"osung \ref{wefl} verwenden.
\end{proof}


\begin{Lemma} F"ur ein kokartesisches Austauschquadrat in unserem Multiaustauschdatum zu $(\op{Hot}^-(\op{flAb}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Hot}^-(\op{flAb}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}),
  \op{Top}^{\op{es}})$, dessen R"uckholkanten in der Basis
  eine Nulltrennung, eine Einstrennung oder eine\label{kamu} 
  Projektions-Zweitrennung sind und dessen Ausgangskanten
  in der Lokalisierung kokartesisch bleiben, bleibt auch die
  zur"uckgeholte Kante in der Lokalisierung kokartesisch.
\end{Lemma}

\begin{proof}
  Im Fall einer Nulltrennung ist das klar.
  Den Fall einer Einstrennung haben wir bereits in
  \ref{KMDER} behandelt. Es bleibt, den Fall einer
  Projektions-Zwei\-tren\-nung zu behandeln, in dem eine
  der Ausgangskanten eine Identit"at ist. Mit
  unseren Vereinfachungen aus
  \ref{VPOS} reicht es zu pr"ufen,
  da"s f"ur $f:X\ra Y$ eine lokal eigentliche separierte
  Abbildung und $\mathcal F\in \op{kwflAb}_{/X}$ eine schwach kompaktweiche
  flache  abelsche Garbe auf $X$ und
  $Z$ ein weiterer topologischer Raum und
  $\mathcal G\in \op{flAb}_{/Z}$
  eine flache abelsche Garbe auf $Z$
  die Garbe $\mathcal F\boxtimes \mathcal G$
  auf $X\times Z$ azyklisch ist f"ur $Q(f\times {\op{id}})_!$.
  Aufgrund von lokal eigentlichem Basiswechsel \ref{BaWeax}
  reicht es zu zeigen, da"s die Einschr"ankungen von $\mathcal F\boxtimes \mathcal G$ auf alle Fasern unserer Abbildung alias
  die Garben $(\mathcal F|X_y)\otimes \mathcal G_z$ ihrerseits
  $\Gamma_!$-azyklisch sind f"ur alle $z\in Z$ und $y\in Y$,
  mit $X_y\pdef f^{-1}(y)$ der Faser von $\mathcal F$ und
  $\mathcal G_z$ dem Halm von $\mathcal G$.  Nach Annahme ist aber
  $X_y$ lokal kompakt Hausdorff und
  $\mathcal F|X_y$ kompaktweich und damit folgt
  unsere Behauptung aus \ref{TSko}.
\end{proof}



\begin{Korollar}
  Gegeben eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $\DR^n$ gilt
  ${\op{H}}_!^q(\DR^n;\mathcal F)=0$ f"ur $q>n$. Dasselbe folgt
  f"ur jede abelsche Garbe auf einer lokal abgeschlossenen
  Teilmenge des $\DR^n$.
\end{Korollar}
\begin{proof}
  Den Fall $n=1$ hatten wir bereits in \ref{GKK} behandelt.
  Gegeben ein beliebiger topologischer Raum $X$ und eine
  abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $X\times \DR$ zeigt
  lokal eigentlicher Basiswechsel dann
  $\mathcal H^q(\op{pr}_{X!}\mathcal F)=0$ f"ur $q\neq 0,1$.
  Das Korollar folgt induktiv mit Spektralsequenzargumenten.
  Die zweite Aussage folgt, weil $i_{(!)}$ f"ur $i$
  die Einbettung einer lokal abgeschlossenen
  Teilmenge exkat ist.
\end{proof}









\begin{Beispiel}[\textbf{Kokartesische
      Multiaustauschsituation f"ur $\op{Der}_{\sslash  \op{Top}}$}]  Unsere
  kokartesische Multiaustauschsituation aus \ref{KOKI}
  k"onnen wir einschr"anken zu einer kokartesischen Multiaustauschsituation
  $$(\op{flAb}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{flAb}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}},
  \op{Top}^{\op{esb}})$$
und die  kommutativen R"uckholquadrate der Wortkategorie
bilden darin wieder ein kokartesisches Multiaustauschdatum und induzieren
ein kokartesisches Multiaustauschdatum in der zugeh"origen
 kokartesischen Multiaustauschsituation
  $$(\op{Hot}(\op{flAb}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Hot}(\op{flAb}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}),
  \op{Top}^{\op{esb}})$$
  auf den unbeschr"ankten Homotopiekategorien.
  Wir zeigen nun, da"s sich diese Daten auch nach Quasiisomorphismen
  lokalisieren lassen.
  Wie beim Beweis von \ref{VRTebu} erhalten  wir  lokale Linksanpassungen,
  indem wir gradweise Godement-Aufl"osungen betrachten und
  diese hinreichend sp"at durch den immer noch flachen
  und entsprechend $(!)$-azyklischen Kokern abschneiden und
  dann zum  Totalkomplex "ubergehen, vergleiche \ref{UbDe}.
  Da"s der R"uckzug "uber kartesischen Diagrammen
  von $(!)$-entfalteten flachen Garben wieder $(!)$-entfaltet ist,
  wissen wir bereits. In unserer Situation gilt es nun zus"atzlich noch
  unbeschr"ankte
  Komplexe nach dem R"uckzug zu tensorieren. Wir m"ussen also
  zus"atzlich wissen, da"s auch abz"ahlbare Koprodukte
  $(!)$-entfalteter Garben wieder $(!)$-entfaltet sind. Das folgt jedoch leicht daraus, da"s Koprodukte exakter Garbensequenzen wieder exakt sind
  und da"s eigentliche direkte Bilder
  nach \ref{VTVT} mit Koprodukten vertauschen.
  So erhalten wir ein kokartesisches Multiaustauschdatum f"ur die
  kokartesische Multiaustauschsituation\label{kobeM}
 $$(\op{Der}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}
 \supset \op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow
 \op{Der}^{!}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}, \op{Top}^{\op{esb}})$$
\end{Beispiel}


\subsection{Erg"anzungen f"ur Modulgarben} %(NOCH DURCHSEHEN)
\begin{Bemerkungl}
  Unsere S"atze zum derivierten Multiaustausch \ref{kobeM}
  und \ref{koubM} gelten analog und mit analogen Beweisen f"ur
  Garben von Moduln "uber einem festen noetherschen Kring 
  endlicher Torsionsdimension. Im unbeschr"ankten Fall k"onnen wir
  dann sogar alle diejenigen eigentlichen separierten
  beziehungsweise lokal eigentlichen separierten Abbildungen $f$
  als $!$-Morphismen zulassen, f"ur die $f_{(!)}$ endliche
  homologische Dimension hat, wenn wir es auf die abelsche
  Kategorie der entsprechenden Modulgarben einschr"anken. Im Folgenden
  erkl"are ich, was in dieser Allgemeinheit zus"atzlich ben"otigt wird.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein Kring $k$ nennen wir eine Garbe von $k$-Moduln
  auch eine $k$-Garbe.
  Eine $k$-Garbe hei"st {\bf flach} oder ausf"uhrlicher
  {\bf $k$-flach},\index{flach!$k$-flach, Garbe} wenn
  alle ihre Halme flache $k$-Moduln sind. Wir k"urzen $\otimes_k=\otimes$ ab.
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}
  Sei $k$ ein Kring von endlicher Torsionsdimension.
  Ist $\mathcal F$ eine $k$-flache kompaktweiche %$\Gamma_!$-azyklische
  $k$-Garbe auf einem
  lokal kompakten Hausdorffraum $X$, so ist 
  $\Gamma_!\mathcal F$ ein flacher $k$-Modul\label{Gdsa}
  und die offensichtliche Abbildung ist f"ur jeden $k$-Modul $G$
  ein Isomorphismus $$\Gamma_!\mathcal F\otimes G\sira \Gamma_!(\mathcal F\otimes G)$$
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
  Im wesentlichen dasselbe Argument funktioniert, wenn
  wir statt endlicher Torsionsdimension  fordern,
  da"s der Funktor  $\Gamma_!: k\op{-Mod}_{/X}\ra k\op{-Mod}$ von endlicher homologischer Dimension sein soll. Wir m"ussen dann nur beim Beweis
  mit einer unbeschr"ankten $k$-flachen Aufl"osung von $G$ arbeiten und uns 
 auf
  \ref{EHD} statt auf
  \ref{EHDN} st"utzen.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Nach Annahme finden wir eine  Aufl"osung endlicher
  L"ange von $G$ durch flache $k$-Moduln  $G_d\hra \ldots \ra G_1\ra G_0\sra G$.
  Sie f"uhrt zu einer exakten Sequenz
  $$\mathcal F\otimes G_d\hra \ldots \ra\mathcal F\otimes G_1\ra \mathcal F\otimes G_0\sra \mathcal F\otimes G$$
  von abelschen Garben auf $X$. Nach \ref{TSkoM} wissen wir von allen Garben
  dieser Sequenz mit Ausnahme der Letzten, da"s sie kompaktweich und damit $\Gamma_!$-azyklisch sein m"ussen. Nach \ref{EHDN} ist dann auch die letzte  Garbe unseres
  Komplexes 
$\Gamma_!$-azyklisch
  und im kommutativen Diagramm
  $$\xymatrix{\Gamma_!\mathcal F\otimes G_d\ar[r]\ar[d]^\wr&\;\ldots\;\ar[r]& \Gamma_!\mathcal F\otimes G_1\ar[r]\ar[d]^\wr& \Gamma_!\mathcal F\otimes G_0\ar@{->>}[r]\ar[d]^\wr& \Gamma_!\mathcal F\otimes G\ar[d]\\
   \Gamma_!(\mathcal F\otimes G_d)\ar@{^(->}[r]&\;\ldots\;\ar[r]& \Gamma_!(\mathcal F\otimes G_1)\ar[r]& \Gamma_!(\mathcal F\otimes G_0)\ar@{->>}[r]& \Gamma_!(\mathcal F\otimes G)
   }$$
  folgt wieder mit \ref{EHDN} die Exaktheit der unteren Horizontale. Die
  linken vertikalen Isomorphismen  folgen  aus  \ref{TSkoM}
  und zusammen folgt, da"s auch die  Vertikale ganz rechts
  ein Isomorphismus
  $\Gamma_!\mathcal F\otimes G\sira \Gamma_!(\mathcal F\otimes G)$ sein mu"s.
  Als Funktor von $G$ macht hier die rechte Seite offensichtlich Injektionen
  zu Injektionen, und dasselbe folgt dann f"ur die linke Seite.
\end{proof}
\begin{Lemma}
  Sei $k$ ein Kring von endlicher Torsionsdimension.
  Ist $f:X\ra Y$ eine lokal eigentliche separierte Abbildung und
 $\mathcal F$ eine $k$-flache $f$-kompaktweiche $k$-Garbe auf $X$, so ist 
auch   $f_{(!)}\mathcal F$ eine $k$-flache $k$-Garbe.
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Das folgt unmittelbar mit lokal eigentlichen
  Basiswechsel \ref{BaWeax} aus dem vorhergehenden Lemma \ref{Gdsa}.
\end{proof}





\begin{Lemma}
  "Uber einem noetherschen Ring ist ein beliebiges Produkt flacher
  Moduln wieder flach.\label{PFMo}
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Da das Tensorprodukt mit Kolimiten vertauscht und jeder Modul
  der filtrierende Kolimes seiner endlich erzeugten Untermoduln ist
  und filtrierende Kolimiten von exakten Sequenzen abelscher Gruppen exakt sind,
  reicht es zu zeigen, da"s das Tensorprodukt mit einem Produkt flacher
  Moduln jeden injektiven Homomorphismus zwischen endlich erzeugten Moduln
  zu einer Injektion macht. Das folgt, da beliebige Produkte mit
  dem Tensorprodukt mit endlich erzeugten
  freien und dann auch mit dem Tensorprodukt
  mit endlich pr"asentierten Moduln kommutieren, und da jeder endlich erzeugte
  Modul "uber einem noetherschen Ring endlich pr"asentiert ist.
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Flachwelke Aufl"osung von Modulgarben}]
    Jede $k$-flache Garbe von $k$-Moduln "uber einem noetherschen
      Ring $k$ kann derart in eine
  $k$-welkflache Garbe eingebettet werden,
  da"s der Kokern wieder $k$-flach ist.
  In der Tat gelingt das sogar in funktorieller Weise mit
  der Godement-Konstruktion \ref{DGKoS}, die wegen
  \ref{PFMo} im Fall von Moduln "uber einem noetherschen Ring
  wieder eine flache Garbe liefert.
\end{Bemerkungl}




  
\begin{Bemerkunge}
  Ist $k$ ein noetherscher
  Ring endlicher Torsionsdimension und $\mathcal F$ eine
  flache Garbe von $k$-Moduln auf einem topologischen Raum $X$, die azyklisch ist f"ur den
  Funktor der globalen Schnitte, so ist auch $\Gamma \mathcal F$ flach.
In der Tat ist  unter den gegebenen Voraussetzungen
die Godementaufl"osung
eine exakte Sequenz $$\Gamma \mathcal F\hra\Gamma {\op{G}}\mathcal F
\ra \Gamma {\op{G}}^2\mathcal F\ra\ldots$$
und deren Eintr"age  sind mit Ausnahme des Ersten alle flach nach \ref{PFMo}. Dann aber
mu"s nach \ref{EHD} auch $\Gamma \mathcal F$ flach  sein. 
\end{Bemerkunge}

\newpage


\section{Zweimultikategorielles}


\subsection{Angereicherte Kategorien}

\begin{Definition}
  Sei $\cal{S}$ eine monotone Schmelzkategorie im Sinne
  von \eref{moMU}{TS}.
Eine {\bf in $\cal S$ angereicherte Kategorie}
\index{angereichert!Kategorie} ${\cal C}$ 
\index{Kategorie!angereicherte}
ist ein Datum bestehend  aus\label{Kaatc}
\begin{enumerate}\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
\item
einer Menge von \defnoind{Objekten}\index{Objekt} $\op{Ob} {\cal C}$;
\item
einem {\bf Morphismenobjekt}\index{Morphismenobjekt} 
${{\cal C}}(X,Y)\in\mathcal S$
f\"{u}r je zwei Objekte
$X,Y \in \op{Ob} {\cal C}$;
\item
eine Zweiverschmelzung
$m: {\cal C} (X,Y) \curlyvee {\cal C} (Y,Z) \ra
{\cal C} (X,Z)$ f\"{u}r je drei Objekte $X,Y,Z\in {\cal C}$,
genannt die
{\bf Verkn\"{u}pfung},
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\end{enumerate}
derart, da"s folgende Axiome erf\"{u}llt sind:
\begin{enumerate}
\item Die Verkn"upfung ist {\bf assoziativ}
  im Sinne der Gleichheit
  $m\circ (m\curlyvee \op{id})=m\circ (\op{id}\curlyvee m)$
  von Dreiverschmelzungen
  $${\cal C} (X,Y) \curlyvee {\cal C} (Y,Z) \curlyvee {\cal C} (Z,W)
  \ra {\cal C} (X,W)$$
\item
F\"{u}r jedes Objekt $X$ gibt es 
eine Nullverschmelzung $\op{id}_X: \curlyvee \ra 
{\cal C} (X,X)$
in das Endomorphismenobjekt von $X$  derart,
da"s f"ur je zwei Objekte $X,Y$ im Morphismenobjekt $\mathcal C(X,Y)$ 
 gilt  $$m\circ (\op{id}_X\curlyvee \op{id}_{\mathcal C(X,Y)})=\op{id}_{\mathcal C(X,Y)}=m\circ (\op{id}_{\mathcal C(X,Y)}\curlyvee \op{id}_Y)$$
%\begin{displaymath}
%\xymatrix{
%I \otimes \mathcal C (X,Y)\ar[r]^-{l}\ar[d]_{t_X \otimes \op{id}} &
%\mathcal C (X,Y) \ar[d]^-{\op{id}}\\
%\mathcal C (X,X) \otimes \mathcal C (X,Y) \ar[r]^-{m} &
%\mathcal C (X,Y)
%}
%\hspace{5mm}
%\xymatrix{
%\mathcal C (Y,X) \otimes I \ar[r]^-{r}\ar[d]_-{\op{id} \otimes t_X} &
%\mathcal C (Y,X)\ar[d]^-{\op{id}}\\
%\mathcal C (Y,X) \otimes \mathcal C (X,X)\ar[r]^-m &\mathcal C (Y,X)
%}
%\end{displaymath}
\end{enumerate}
 Die "ublichen Argumente zeigen,
da"s es f"ur jedes $X$ 
h"ochstens eine derartige Nullverschmelzung geben kann.
Wir nennen sie die {\bf Identit"at auf $X$}.
\end{Definition}


\begin{Beispiele}
Eine Kategorie angereichert in Mengen ist eine  gew"ohnliche
Kategorie.
  Eine Kategorie angereichert in abelschen Gruppen ist 
\glqq dasselbe\grqq\  wie eine Kategorie mit additiver Struktur
im Sinne von \ref{adS}.
Eine  Kategorie mit nur genau einem Objekt angereichert in einer
monotonen Schmelzkategorie ist ein Monoidobjekt unserer Schmelzkategorie im
Sinne von \eref{MonoMul}{TS}. Eine Kategorie angereichert in 
der Schmelzkategorie der Moduln "uber einem kommutativen Ring $k$ ist eine
$k$-Kategorie im Sinne von \ref{kKa}.
\end{Beispiele}

\begin{Definition}\label{ZwKa}
  Eine Kategorie angereichert in der kartesischen
  Schmelzkategorie $\op{Cat}$ der
  Kategorien im Sinne von \eref{kpmk}{TS} hei"st eine {\bf Zweikategorie}\index{Zweikategorie!strikte}
  oder
  genauer eine {\bf strikte Zweikategorie}.
 In einer Zweikategorie gibt es also nicht nur Morphismen 
zwischen Objekten, sondern auch
f"ur je zwei feste Objekte  Morphismen zwischen 
den Elementen der zugeh"origen Morphismenr"aume.
Diese hei"sen dann die {\bf Zweimorphismen}\index{Zweimorphismus}
unserer Zweikategorie. Ein typisches Beispiel ist die Kategorie
$\op{Cat}$ selber, mit Kategorien als Objekten, 
Funktoren als Morphismen, und Transformationen als Zweimorphismen.
\end{Definition}



\begin{Definition}
  Seien $\mathcal C, \mathcal D$ zwei in derselben monotonen
  Schmelzkategorie $\mathcal S$ angereicherte Kategorien.
  Ein {\bf angereicherter Funktor}\index{angereichert!Funktor}\index{Funktor!angereicherter}
  $F: \mathcal C \rightarrow \mathcal D$ ist ein
Datum bestehend aus:
\begin{enumerate}
\item Einer Abbildung $F : \op{Ob} \mathcal C \rightarrow \op{Ob} \mathcal D$
auf Objekten;
\item
F"ur je zwei Objekte $X,Y \in \op{Ob}\mathcal C$ einem 
Morphismus $F_{X,Y} : \mathcal C (X,Y) \rightarrow
\mathcal D (FX, FY)$ in  $\mathcal S$.
\end{enumerate}
Von diesem Datum wird gefordert,
da"s f"ur alle $X$ gilt $F_{X,X}\circ \op{id}_X=\op{id}_{FX}$ 
und da"s f"ur alle $X,Y, Z$
im Raum der
Zweiverschmelzungen 
$\mathcal C (X,Y) \curlyvee \mathcal C (Y,Z)\ra \mathcal D (FX,FZ)$
gilt
$m\circ (F_{X,Y}\curlyvee F_{Y,Z})= F_{X,Z}\circ m$.
% kommutiert
% \begin{displaymath}
% \begin{array}{ccccc}
% \mathcal C (X,Y) &\otimes & \mathcal C (Y,Z) &\rightarrow&\mathcal C (X,Z) \\
% & \downarrow & & & \downarrow\\
% \mathcal D (X,Y) &\otimes & \mathcal D (Y,Z)  & \rightarrow &
% \mathcal D (X,Z)
% \end{array}
% \end{displaymath}
\end{Definition}


\begin{Beispiel}
Im Fall von Kategorien angereichert in abelschen Gruppen ist
solch ein Funktor 
\glqq dasselbe\grqq\  wie ein Funktor, der Gruppenhomomorphismen auf 
allen
Morphismenr"aumen induziert. 
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkunge}
  Im Fall der kartesischen  Schmelzkategorie der Kategorien
  hei"sen  unsere angereicherten Funktoren auch
  {\bf Zweifunktoren} oder genauer
  {\bf strikte Zweifunktoren}.\index{Zweifunktor!strikter}  
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkunge}
  Fordern wir bei der Definition nur die Vorgabe von
  Automorphismen $c_{X,Y,Z}$ mit  $c_{X,Y,Z}\circ
  m\circ (F_{X,Y}\curlyvee F_{Y,Z})= F_{X,Z}\circ m$ und
  zwischen diesen hinwiederum geeignete Vetr"aglichkeiten,
  so erhalten wir die Definition eines {\bf laxen angereicherten Funktors}
  und im Fall der kartesischen  Schmelzkategorie der Kategorien
  die Definition eines laxen Zweifunktors alias Pseudofunktors. 
\end{Bemerkunge}






\subsection{Kofaserungen "uber Korrespondenzen}
\begin{Bemerkungl}
Gegeben eine Kategorie $\mathscr B$ erkl"aren wir die Kategorie $\op{Kor} (\mathscr B)=\hat{\mathscr B}$ der
{\bf Korrespondenzen in $\mathscr B$}\index{Korrespondenzen}\index{Kor@$\op{Kor} (\mathscr B)$ Korrespondenzen in $\mathscr B$} als die Pfadkategorie des K"ochers,  der aus dem unserer
Kategorie zugrundeliegenden K"ocher entsteht, wenn
wir zu jedem Pfeil noch einen Pfeil in der
Gegenrichtung erg"anzen. Ein Morphismus von $X$ nach $Y$ in $\op{Kor} (\mathscr B)$ ist also
etwa ein Diagramm der Gestalt
\begin{equation*}
X = X_0 \overset{f_0}{\rightarrow} X_1 \overset{g_1}{\leftarrow} X_2 \overset{g_2}{\leftarrow} X_3 \overset{f_3}{\rightarrow}
X_4  = Y
\end{equation*}
mit $X_i \in \mathscr B$ und $f_i, g_i$ Morphismen in $\mathscr B$.
Wir vereinbaren, da"s ein Pfeil in der Gegenrichtung mit einem Querstrich notiert wird. Unsere obige Korrespondenz $k\in \hat{\mathscr B}(X,Y)$ etwa ist in dieser Notation
die Verkn"upfung
$k=f_3\bar g_2\bar g_1 f_0$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Kategorie der Korrespondenzen als Zweikategorie}]
  Gegeben eine Kategorie $\mathscr B$ mit  endlichen Faserprodukten
  machen wir
  unsere Kategorie $\hat{\mathscr B}$ von Korrespondenzen
  zu einer Zweikategorie wie folgt:
  Gegeben Objekte $X,Y\in\mathscr B$ existiert ja unter unserer Annahme
  f"ur jede Korrespondenz $k\in \hat{\mathscr B}(X,Y)$ der Limes in Gestalt eines kommutativen Diagramms
  wie etwa
\begin{displaymath}
\xymatrix{
 & &&  K \ar[dll]_{k_X}\ar[dl] \ar[d] \ar[dr] \ar[drr]^{k_Y} &&\\
X\ar@{=}[r] & X_0 \ar[r] & X_1 & \ar[l] X_2 & \ar[l] X_3 \ar[r] & X_4  &\ar@{=}[l]Y
}
\end{displaymath}
 F"ur beliebig vorgegebene 
  Korrespondenzen $k, l \in \hat{\mathscr B}(X, Y)$ erkl"aren  wir nun einen
  Zweimorphismus $k \Rightarrow l$
  als einen Morphismus $K \rightarrow L$ der
  zugeh"origen Limesobjekte, f"ur den das Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
&K \ar[d] \ar[ddl] \ar[ddr] &\\
&L\ar[dl]\ar[dr]&\\
X && Y
}
\end{displaymath}
kommutiert. Weiter machen wir 
die Komposition von Korrespondenzen zu einem Funktor
durch die Vorschrift
\begin{displaymath}
\xymatrix{& & K''\ar[dl]\ar[dr] \ar@{-->}[d]& &\\
&K \ar[d] \ar[ddl] \ar[ddr] & L''\ar[dl]\ar[dr] &K' \ar[d] \ar[ddl] \ar[ddr] &\\
&L\ar[dl]\ar[dr]& &L'\ar[dl]\ar[dr]&\\
X && Y && Z
}
\end{displaymath}
mit dem gestrichelten induzierten Pfeil\label{KaZ} 
als dem Zweimorphismus zwischen der Verkn"upfung, 
der von den beiden vorgegebenen  Zweimorphismen zwischen den
jeweils verkn"upften Korrespondenzen herkommt. In diesem Diagramm
ist $L''\pdef L\times_Y L'$ und $K''\pdef K\times_Y K'$ zu verstehen.
Insbesondere bedeutet unser Limes-Diagramm
f"ur unsere Korrespondenz $k$ von oben einen Isomorphismus von Korrespondenzen 
$k_Y \bar k_X\siRa k$.
Der Leser sei dadurch ermutigt,  
sich Korrespondenzen als \glqq D"acher\grqq\ zu denken und die Komposition solcher D"acher als das \glqq Bilden eines Oberdachs durch
R"uckzug\grqq. Problematisch ist dabei jedoch die Assoziativit"at der Komposition von Morphismen,  weshalb ich den oben beschriebenen
Zugang vorgezogen habe.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Variante zur Zweikategorie der Korrespondenzen}]
  Gegeben allgemeiner $\mathscr B\supset \mathscr B^!\supset \mathscr B^{\op{e}}$ eine
  Kategorie mit zwei r"uckzugstabilen multiplikativen Systemen, die alle
  Isomorphismen enthalten, erkl"aren wir analog die Zweikategorie
  $\op{Kor}^{!,{\op{e}}}(\mathscr B)$.  Ein Morphismus von $X$ nach $Y$ in $\op{Kor}^{!,{\op{e}}} (\mathscr B)$  ist\label{NKor} 
etwa ein Diagramm der Gestalt
\begin{equation*}
X = X_0 \overset{f_0}{\rightarrow} X_1 \overset{g_1}{\leftarrow} X_2 \overset{g_2}{\leftarrow} X_3 \overset{f_3}{\rightarrow}
X_4  = Y
\end{equation*}
mit $X_i \in \mathscr B$ und $g_i$ Morphismen in $\mathscr B$
und $f_i$ Morphismen in $\mathscr B^!$. Als Zweimorphismen
zwischen unseren Korrespondenzen lassen wir dabei nur e-Morphismen zu.
\end{Bemerkungl}


  

\begin{Bemerkungl}
  Ist  $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Faserung
  "uber einer Kategorie mit endlichen Faserprodukten und
  $k\in \hat{\mathscr B}(X,Y)$ eine Korrespondenz in der Basis
  und sind $\mathcal F \in \mathscr C_X$ und
$\mathcal G \in \mathscr C_Y$ Objekte der jeweiligen Fasern, so erkl"aren wir einen  {\bf Morphismus von $\mathcal F$ nach
$\mathcal G$ "uber der Korrespondenz 
  $k$} als einen Morphismus  nach $\mathcal G$ "uber $k_Y$ des R"uckzugs von $\mathcal F$ l"angs $k_X$ und setzen in Formeln
$$\op{Kor} (\mathscr C / \mathscr B)_k (\mathcal F, \mathcal G)= \widehat{\mathscr C}_k (\mathcal F, \mathcal G) \pdef \mathscr C_{k_Y} (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)= \mathscr C_{K} (k_X^\dagger \mathcal F, k_Y^\dagger \mathcal G)$$
Die Verkn"upfung dieser Morphismen ist die Offensichtliche. Wir erhalten so eine Kategorie $\op{Kor} (\mathscr C / \mathscr B)=\widehat{\mathscr C}$ und einen 
Funktor\label{lpk}
$$\hat p:\widehat{\mathscr C} \rightarrow \hat{\mathscr B}$$
Man beachte  den Unterschied zwischen breitem und spitzen Dach,
 unser $\widehat{\mathscr C}$ ist ja keineswegs die
 Kategorie der Korrespondenzen von ${\mathscr C}$.
 Offensichtlich ist ein Morphismus in $\widehat{\mathscr C}_k (\mathcal F, \mathcal G)$ kokartesisch f"ur $\hat p$ genau dann, wenn er als Morphismus in
 $\mathscr C_{k_Y} (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)$ kokartesisch ist f"ur $p$. 
 "Ahnlich wie $\hat{\mathscr B}$  machen wir auch $\widehat{\mathscr C}$ zu einer Zweikategorie und $\hat p$ zu einem Zweifunktor,
 indem wir einen Zweimorphismus "uber
einem Zweimorphismus $k\RA l$ erkl"aren als eine Hochhebung
des zugeh"origen  Morphismus $K\ra L$, die die offensichtlichen
Diagramme zum Kommutieren bringt, und den Effekt der
Verkn"upfung auf Zweimorphismen auch in der offensichtlichen Weise
erkl"aren. Man beachte, da"s unser Zweifunktor $\hat p$ injektiv ist auf Zweimorphismen.
\end{Bemerkungl}







%  \begin{Bemerkunge}
%  Wenn wir es noch genauer nehmen wollen, k"onnen wir einen %  Morphismus von $\mathcal F$ nach $\mathcal G$ "uber einer Korrespondenz $k$ noch sorgf"altiger
%  erkl"aren als ein
%  Datum, das jedem Limesdiagramm $(K,k_X,\ldots,k_Y)$ zu $k$ einen Morphismus in $\mathscr C_{k_Y} (k_X^\dagger  \mathcal F, \mathcal G)$ so zuordnet, da"s
%  f"ur den einem weiteren Limesdiagramm $(L, l_X, \ldots , l_Y)$ zugeordneten Morphismus und $i : L \sira K$ den eindeutigen
%  Isomorphismus von Limites das Diagramm
%  \begin{displaymath}
%  \xymatrix{
%  & k_X^\dagger \mathcal F\ar[dl] \ar[dr] &\\
%  \mathcal F & & \mathcal G\\
%  & l_X^\dagger \mathcal F \ar[uu]^{\tilde \imath} \ar[ur] \ar[ul]
%  }
%  \end{displaymath}
%  kommutiert mit dem eindeutigen vertikalen Isomorphismus $\tilde \imath$ "uber $i$, der das linke Dreieck zum Kommutieren bringt.\label{lpk} Ich denke aber,
%  diese Genauigkeit ist "ubertrieben, da wir uns ja eh schon vor langem  darauf geeinigt haben, bis auf eindeutigen Isomorphismus wohlbestimmte Dinge
%  mit einem bestimmten Artikel zu versehen und
%  sie grammatikalisch als eindeutig bestimmte Dinge zu behandeln.
%   \end{Bemerkunge}

\begin{Beispiel}
Wir betrachten die  Garbenopkofaserung
  $\op{Ens}_{\sslash\op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \ref{GaKoFa}.
 Die Morphismen "uber einer Korrespondenz $k$ 
 spezialisieren darin  zu Elementen von 
  $\op{Ens}_{\sslash k_Y} (k_X^\ast \mathcal F, \mathcal G)$ alias
  $\op{Ens}_{/ Y} (\mathcal G,k_{Y\ast} k_X^\ast \mathcal F)$ alias
 $\op{Ens}_{/ K} (k_{Y}^\ast\mathcal G, k_X^\ast \mathcal F)$.\label{moue} 
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Stark kokartesische Morphismen "uber Korrespondenzen}] 
  Seien $\mathscr B$ eine Kategorie mit endlichen Faserprodukten,  $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Faserung,
  $k\in \hat{\mathscr B}(X,Y)$ eine Korrepondenz
  und $\varphi\in \widehat{\mathscr C}_{k} (\mathcal F, \mathcal G)$
  ein Morphismus "uber $k$. So ist offensichtlich
  $\varphi$ stark  $\hat p$-kokartesisch,\label{stkka} 
wenn $\varphi\in \mathscr C_{k_Y} (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)$
faserr"uckzugstabil stark $p$-kokartesisch ist in dem Sinne,
da"s f"ur jedes kartesische Quadrat in $\mathscr B$ mit $k_Y$ als einem
Ausgangspfeil der R"uckzug von $\varphi$ auf den $k_Y$
gegen"uberliegenden Pfeil
 stark $p$-kokartesisch ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Kofaserungen "uber Korrespondenzen}]
  Ist  $\mathscr B$ eine Kategorie mit endlichen Faserprodukten und  $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Bifaserung derart, da"s jeder R"uckzug eines
  kokartesischen Morphismus "uber einem kartesischen Diagramm wieder
  kokartesisch ist, so ist 
 unser in \ref{lpk} erkl"arter Funktor
\begin{equation*}
\hat p:\widehat{\mathscr C } \rightarrow \hat{\mathscr B}
\end{equation*}
eine Kofaserung und die kokartesischen Morphismen dieser
Kofaserung "uber einer Korrespondenz
$k\in \hat{\mathscr B}(X,Y)$  sind genau  die  kokartesischen Morphismen aus
$\mathscr C_{k_Y} (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)$. In der Tat sind
ja unter unserer Annahme alle $p$-kokartesischen Morphismen bereits stark
$p$-kokartesisch, und so folgt unsere Aussage aus \ref{stkk}.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkunge}
 Unsere Kofaserung  $\hat p$
sollte wohl eine  Kofaserung von Zweikategorien im Sinne von \cite{Buckley} sein, aber das habe ich nicht gepr"uft.
\end{Bemerkunge}
\begin{Beispiel}
Schr"anken wir die  Bifaserung
  $\op{Ens}_{\sslash\op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \ref{GaKoFa}
 ein auf die volle
  Unterkategorie $\op{Topkh}$ der kompakten Hausdorffr"aume, so
  erhalten wir aufgrund von eigentlichem Basiswechsel \ref{EBWA}  eine Kofaserung "uber der Kategorie der Korrespondenzen in $\op{Topkh}$
  mit $k_\dagger=(k_{Y*}k_X^*)^{\op{opp}}$ als direktem Bildfunktor f"ur eine Korrespondenz $k$ von $X$ nach $Y$.
\end{Beispiel}
% \begin{proof}
%   Da"s die fraglichen Morphismen kokartesisch sind, gilt wie zuvor
%   erw"ahnt sogar ohne  Voraussetzungen "uber Basiswechsel.
%   Es bleibt zu zeigen, da"s die
% Verkn"upfung kokartesischer Morphismen wieder kokartesisch ist.
% Die geforderte Basiswechseleigenschaft bedeutet aber gerade, da"s f"ur jede % Hochhebung eine kartesischen Quadrats in $\mathscr B$
% zu einem kommutativen Quadrat
% \begin{displaymath}
% \xymatrix{
% &{} \ar[dl]\ar@{-->}[dr]&\\
% \ar[dr]& &\ar[dl]\\
% & {}&\\
% }
% \end{displaymath}
% in $\mathscr C$ mit den Pfeilen nach links kartesisch und dem durchgezogenen Pfeil nach rechts kokartesisch auch der gestrichelte Pfeil
% nach rechts kokartesisch ist.
% Salopp gesprochen bedeutet unsere Basiswechseleigenschaft also, da"s jeder R"uckzug eines kokartesischen Morphismus wieder
% kokartesisch ist. Damit wird offensichtlich, da"s die Verkn"upfung kokartesischer Morphismen in Bezug auf unseren Funktor
% $\hat p:\widehat{\mathscr C } \rightarrow \hat{\mathscr B}$
% wieder kokartesisch sein mu"s.
% \end{proof}

\subsection{Kofaserungen zu Austauschdaten} 
\begin{Bemerkungl}
  Sei 
$(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^!\leftarrow \mathscr C^!,\mathscr B^{\op{e}},i)$
eine \hyperref[AlKnu]{Austauschsituation} mit einem Austauschdatum.
Wir betrachten wie in \ref{NKor}
die Zweikategorie $\op{Kor}^{!,{\op{e}}}(\mathscr B)$
aller !-Korrespondenzen mit e-Morphismen als Zweimorphismen und
konstruieren einen Zweifunktor
$$\widehat{\mathscr C}\pdef \op{Kor}^{!,{\op{e}}}(\mathscr C/\mathscr B)\ra
\op{Kor}^{!,{\op{e}}}(\mathscr B)=\hat{\mathscr B}$$
Als Objekte der Ausgangskategorie $\widehat{\mathscr C}$ nehmen wir 
die Objekte von $\mathscr C$.
Als Morphismenmenge
"uber einer Korrespondenz $k:X\ra Y$
mit zugeh"origen $k_X:K\ra X$ und $k_Y:K\ra Y$ nehmen wir
$$\widehat{\mathscr C}_k(\mathcal F,\mathcal G)\pdef \mathscr C^!_{k_Y}(k_X^* \mathcal F,\mathcal G)$$
Gegeben eine weitere Korrespondenz $h:Y\ra Z$ und
Morphismen $\phi\in \widehat{\mathscr C}_k(\mathcal F,\mathcal G)$
und $\psi\in \widehat{\mathscr C}_h(\mathcal G,\mathcal E)$
erkl"aren wir die Verkn"upfung 
$$\psi\circ \phi\in \widehat{\mathscr C}_{h\circ k}(\mathcal F,\mathcal E)$$
mithilfe des Austauschquadrats zum kartesischen Quadrat
 \begin{displaymath}
\xymatrix{
K\ar[d] & K\times_Y H \ar[d]\ar[l]\\
Y& H\ar[l] 
}
\end{displaymath}
 in der Basis zur Ausgangskante $\phi$. Bezeichnet genauer
 $\tilde\phi$ die zur"uckgeholte Kante, so setzen wir
 $\psi\circ \phi\pdef \psi\circ \tilde\phi$.
 Die Assoziativit"at dieser Verkn"upfung folgt aus unserer
 Annahme, da"s das Verkleben von Austauschaqudraten l"angs
 gleicher Kanten stets wieder ein
 Austauschquadrat ist. Da"s das Vorschalten und das Nachschalten
 einer Identit"at Morphismen in $\widehat{\mathscr C}$ unver"andert l"a"st,
 folgt aus der Tatsache, da"s bei einem Austauschquadrat, in dem zwei gegen"uberliegende
 Kanten Identit"aten sind, die beiden anderen Kanten "ubereinstimmen. Das hinwiederum folgt aus unserer dritten Bedingung an Austauschquadrate, da
 nach Annahme
 alle Identit"aten e-Morphismen sind. Jetzt geht es noch um die
 Zweimorphismen in
 $\widehat{\mathscr C}$.
 Gegeben  Morphismen $\psi,\phi\in \widehat{\mathscr C}(\mathcal F,\mathcal G)$
 "uber Korrespondenzen $k,l:X\ra Y$ und
 ein Zweimorphismus $\alpha:K\RA L$ zwischen unseren Korrespondenzen alias
ein  e-Morphismus $\alpha:K\ra L$ mit $l_X\alpha=k_X$ und  $l_Y\alpha=k_Y$ 
verstehen wir unter einem {\bf Zweimorphismus $\dot\alpha:\phi\RA\psi$
  "uber $\alpha$} einen Morphismus
$\dot\alpha\in \mathscr C_{\alpha}(k_X^*\mathcal F,l_X^*\mathcal F)$
mit $\kappa_l \dot\alpha =\kappa_k$ in $\mathscr C_{k_X}(k_X^*\mathcal F, \mathcal F)$
f"ur $\kappa_k:k_X^*\mathcal F\ra  \mathcal F$ und $\kappa_l:l_X^*\mathcal F\ra  \mathcal F$  die jeweiligen Transportmorphismen und mit $\psi \dot\alpha =\phi$ in $\mathscr C^!_{k_Y}(k_X^*\mathcal F, \mathcal G)$.
Nach \ref{stkk} ist klar, da"s dann $\dot\alpha$ kartesisch
sein mu"s.
Weiter ist klar,
wie wir diese Zweimorphismen zu verkn"upfen haben, und da"s
 $\widehat{\mathscr C}(\mathcal F,\mathcal G)$ so eine Kategorie wird und der
 offensichtliche Funktor ein Faserfunktor
$$\widehat{\mathscr C}(\mathcal F,\mathcal G)\ra \hat{\mathscr B}(X,Y)$$
 Um den Effekt der Verkn"upfung
 $\widehat{\mathscr C}(\mathcal F,\mathcal G)\times\widehat{\mathscr C}(\mathcal G,\mathcal E)\ra  \widehat{\mathscr C}(\mathcal F,\mathcal E)$
 auf Paaren von Zweimorphismen zu erkl"aren, gehen wir aus von der Darstellung der Verkn"upfung von Zweimorphismen von Korrespondenzen der Basis im Diagramm
 \begin{displaymath}
  \xymatrix{&& && K''\ar[dl]\ar[dr]^{\bar\alpha} \ar[dd]&& &&\\
   && &H\ar@{..>}[dl]\ar[dr]^{\ddot\alpha}& &H'\ar@{-->}[dr]^{{\bar\psi}}\ar[dl]& && \\
&&K \ar[d]^{\dot\alpha} \ar@{..>}[ddll] \ar@{-->}[ddrr]^\phi && L''\ar@{..>}[dll]\ar@{-->}[drr]^-<<<<<{\tilde\psi} &&K' \ar[d]^{\dot\beta} \ar@{..>}[ddll] \ar@{-->}[ddrr]^{\phi'} &&\\
&&L\ar@{..>}[dll]\ar@{-->}[drr]^-<<<<<<{\psi}&& &&L'\ar@{..>}[dll]\ar@{-->}[drr]^-<<<<{\psi'}&&\\
X &&&& Y &&&& Z
}
 \end{displaymath}
 Darin sind $L'',H,H',K''$ jeweils die Faserprodukte
 der \glqq darunterliegenden kleinen schiefen Quadrate\grqq.
 Die griechischen Buchstaben stehen f"ur !-Morphismen zwischen Objekten der Fasern. Die nach links weisenden Pfeile sind alle
 Transportmorphismen f"ur $*$-R"uckz"uge.
 Der !-Morphismus $\tilde\psi$ entsteht als zur"uckgezogene Kante
 im Austauschquadrat mit der Ausgangskante $\psi$.
 Gegeben seien nun Zweimorphismen $\dot\alpha$ "uber $\alpha:K\ra L$ und
 $\dot\beta$ "uber $\beta:K'\ra L'$. Wir bilden
 $\ddot\alpha$ durch R"uckzug aus $\dot\alpha$ und diese
 beiden Kanten geh"oren dann nach unseren Annahmen auch zu
 einem Austauschquadrat. Damit sind auch $\phi$ und $\tilde\psi\ddot\alpha$
 gegen"uberliegende Kanten eines Austauschquadrats. Weiter konstruieren wir
 $\bar\alpha$ und ${\bar\psi}$ durch R"uckzug, wobei
 wir beachten, da"s
 $\dot\beta$ kartesisch sein mu"s. Damit ist dann schlie"slich klar, da"s
 auch $\phi$ und ${\bar\psi}\bar\alpha$ gegen"uberliegende Kanten eines
 Austauschquadrats sind. So erkl"aren wir den Effekt der Verkn"upfung
 in $\widehat{\mathscr C}$ auf Paaren von Zweimorphismen. Und jetzt gilt es noch
 zu pr"ufen, da"s $\widehat{\mathscr C}$ mit diesen Gesetzen
 wirklich eine Zweikategorie wird, da"s also unsere Regeln Funktoren
 $\widehat{\mathscr C}(\mathcal F,\mathcal G)\times\widehat{\mathscr C}(\mathcal G,\mathcal E)\ra  \widehat{\mathscr C}(\mathcal F,\mathcal E)$
 liefern und da"s f"ur diese Funktoren die Assoziativit"at gilt
 und Identit"aten existieren. Das soll mir mal ein Student machen und ebenso
 aufschreiben, wie man wieder zur"uck kommt.
\end{Bemerkungl}
\subsection{Weiteres zu Kofaserungen "uber Korrespondenzen} 
\begin{Bemerkungl}
  Seien nun $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Faserung
  "uber einer Kategorie  $\mathscr B$ mit endlichen Faserprodukten und
  sei  in $\mathscr C$  ein multiplikatives System $S$ gegeben,
  das {\bf faserr"uckzugstabil}\index{faserr"uckzugstabil} ist in dem Sinne,
 da"s f"ur jede Hochhebung nach $\mathscr C$ eines kartesischen Quadrats in $\mathscr B$ 
zu einem kommutativen Quadrat\label{KKFu} 
\begin{displaymath}
\xymatrix{
&{} \ar[dl]\ar@{-->}[dr]&\\
\ar[dr]& &\ar[dl]\\
& {}&\\
}
\end{displaymath}
in $\mathscr C$ mit den Pfeilen nach links kartesisch und dem durchgezogenen Pfeil nach rechts einem $S$-Morphismus
auch der induzierte gestrichelte Pfeil
nach rechts ein $S$-Morphismus ist.
Gegeben $X,Y\in\mathscr B$ sowie $\mathcal F \in \mathscr C_X$ und
$\mathcal G \in \mathscr C_Y$ erkl"aren wir in dieser Situation
die Menge der {\bf $S$-Morphismen von $\mathcal F$ nach
$\mathcal G$ "uber einer Korrespondenz 
$k\in \hat{\mathscr B}(X,Y)$} als $$ \op{Kor}^S (\mathscr C / \mathscr B)_k (\mathcal F, \mathcal G)=\widehat{\mathscr C}^S_k (\mathcal F, \mathcal G)\pdef \mathscr C_{k_Y}^S (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)$$
mit der Notation $\mathscr C^S$ f"ur $S$-Morphismen in
$\mathscr C$. 
Wir erhalten so eine Unterkategorie
$\widehat{\mathscr C}^S\subset \widehat{\mathscr C}$ mit denselben
Objekten, die wir  mit der induzierten Struktur einer
Zweikategorie versehen.
Ein Morphismus in $\widehat{\mathscr C}^S_k (\mathcal F, \mathcal G)$ ist offensichtlich genau dann kokartesisch f"ur
$\hat p^S: \widehat{\mathscr C}^S\ra \hat{\mathscr B}$, wenn
er als Element von $\mathscr C_{k_Y}^S (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)$ 
kokartesisch  ist f"ur
$ p^S: \mathscr C^S\ra \mathscr B$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
  Im Fall der  Garbenopkofaserung $\op{Ab}_{\sslash\op{Top}}\ra \op{Top}$
  bilden nach \ref{ReOp}
  die eigentlichen Opkomorphismen aus \ref{eigK} ein
  faserr"uckzugstabiles multiplikatives System, das wir im folgenden mit ! andeuten. F"ur
   die Kategorie der topologischen R"aume mit
  Korrespondenzen als Morphismen verwenden wir die
  Notation ${\Toph}$.\index{Top@${\Toph}$ Korrespondenzkategorie topologischer R"aume} In diesen Notationen liefern unsere Konstruktionen
  einen Funktor\label{AlgF} 
  $$\op{Ab}_{\sslash \Toph}^!\ra \Toph$$
  Die Morphismen "uber einer Korrespondenz $k\in \Toph(X,Y)$ 
 spezialisieren in diesem Fall  zu Elementen von 
  $\op{Ab}_{\sslash k_Y}^! (k_X^\ast \mathcal F, \mathcal G)$ alias
 $\op{Ab}_{/ Y} (\mathcal G,k_{Y!} k_X^\ast \mathcal F)$, und
 die direkten Bilder sind die Funktoren $( k_{Y!} k_X^\ast)^{\op{opp}}$.
\end{Beispiel}
















%Jetzt: Kofaserungsfall.

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben 
  eine Kategorie $\mathscr B$ mit einem
  \hyperref[RmSM]{multiplikativen System} 
  $R$ erkl"aren wir die Kategorie
  $\op{Kor}^R (\mathscr B)=\hat{\mathscr B}^R$ der
           {\bf $R$-Korresponden\-zen in $\mathscr B$}\index{Korrespondenzen}\index{Kor@$\op{Kor}^R (\mathscr B)$ $R$-Korrespondenzen in $\mathscr B$} als die Pfadkategorie des K"ochers, der
aus dem unserer
Kategorie zugrundeliegenden K"ocher entsteht, indem wir erst zu jedem Pfeil einen Pfeil in der
Gegenrichtung erg"anzen, und dann von den urspr"unglichen Pfeilen alle
 weglassen, die nicht zu $R$-Morphismen  geh"oren.
Ein Morphismus von $X$ nach $Y$ in $\hat{\mathscr B}^R$
ist also
etwa ein Diagramm der Gestalt
\begin{equation*}
X = X_0 \overset{f_0}{\rightarrow} X_1 \overset{g_1}{\leftarrow} X_2 \overset{g_2}{\leftarrow} X_3 \overset{f_3}{\rightarrow}
X_4  = Y
\end{equation*}
mit $X_i \in \mathscr B$ 
und $f_i, g_i$ Morphismen in $\mathscr B$ derart, da"s die
$f_i$ sogar $R$-Morphismen sind. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  In unseren ersten Anwendungen wird
  $\mathscr B$ die Kategorie der topologischen R"aume
    $\mathscr B=\op{Top}$ sein
  mit den separierten %\hyperref[LEAm]{lokal eigentlichen}
  Abbildungen als $R$-Morphismen.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
  Wir nennen ein multiplikatives System $R$ in einer Kategorie $\mathscr B$
  {\bf r"uckzugstabil},\index{r"uckzugstabil}
  wenn das  Faserprodukt f"ur alle Winkel mit einem $R$-Morphismus
  existiert und  der R"uckzug unseres $R$-Morphismus darin  wieder ein $R$-Morphismus ist.
  Gegeben solch ein r"uckzugstabiles multiplikatives System $R$ existiert f"ur jede $R$-Korrespondenz $k\in\hat{\mathscr B}^R(X,Y)$
  der Limes in Gestalt eines kommutativen Diagramms
\begin{displaymath}
\xymatrix{
 & &&  K \ar[dll]_{k_X}\ar[dl] \ar[d] \ar[dr] \ar[drr]^{k_Y} &&\\
X\ar@{=}[r] & X_0 \ar[r] & X_1 & \ar[l] X_2 & \ar[l] X_3 \ar[r] & X_4  &\ar@{=}[l]Y
}
\end{displaymath}
mit $k_Y$ einem $R$-Morphismus.
"Ahnlich wie in  \ref{KaZ} versehen wir dann auch  die Kategorie der
$R$-Korrespondenzen  $\hat{\mathscr B}^R$ mit
der Struktur einer Zweikategorie, wobei wir allerdings in der dortigen Notation
ausgedr"uckt
nur $R$-Morphismen $K\ra L$ als Morphismen von $R$-Korrespondenzen zulassen.
Unser Diagramm beschreibt dann wieder einen Isomorphismus $k_Y\bar k_X\siRa k$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Sei nun $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Faserung
  "uber einer Kategorie  $\mathscr B$ mit r"uckzugstabilem multiplikativen
  System $R$. Unter einem {\bf faserr"uckzugstabilen multiplikativen
    System $S$  "uber $R$}\index{faserr"uckzugstabil!"uber anderem System}
  verstehen wir ein  multiplikatives
  System $S$ in $\mathscr C$ "uber $R$ mit der Eigenschaft,
   da"s f"ur jede Hochhebung nach $\mathscr C$ eines kartesischen Quadrats in $\mathscr B$ mit $R$-Pfeilen nach rechts
zu einem kommutativen Quadrat\label{KKFuu}%vergleiche\label{KKFuux 
\begin{displaymath}
\xymatrix{
&{} \ar[dl]\ar@{-->}[dr]&\\
\ar[dr]& &\ar[dl]\\
& {}&\\
}
\end{displaymath}
in $\mathscr C$ mit den Pfeilen nach links kartesisch und dem durchgezogenen Pfeil nach rechts einem $S$-Morphismus
auch der induzierte gestrichelte Pfeil
nach rechts ein $S$-Morphismus ist.
Gegeben $X,Y\in\mathscr B$ sowie $\mathcal F \in \mathscr C_X$ und
$\mathcal G \in \mathscr C_Y$ erkl"aren wir in dieser Situation
die Menge der {\bf $S$-Morphismen von $\mathcal F$ nach
$\mathcal G$ "uber einer $R$-Korrespondenz 
$k\in \hat{\mathscr B}^R(X,Y)$} als $$ \op{Kor}^{S/R} (\mathscr C / \mathscr B)_k (\mathcal F, \mathcal G)=\widehat{\mathscr C}^{S/R}_k (\mathcal F, \mathcal G)\pdef \mathscr C_{k_Y}^S (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)$$
mit der Notation $\mathscr C^S$ f"ur $S$-Morphismen in
$\mathscr C$. 
Wir erhalten so einen Funktor
$$\hat p^{S/R}:\widehat{\mathscr C}^{S/R}\ra \hat{\mathscr B}^{R}$$
Analog wie zuvor versehen wir $\widehat{\mathscr C}^{S/R}$ mit der
Struktur einer Zweikategorie und machen $\hat p^{S/R}$ zu einem Zweifunktor,
der injektiv ist auf Zweimorphismen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kokartesische Morphismen "uber Korrespondenzen}] 
   Seien  $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Faserung
  und $R$ ein r"uckzugstabiles multiplikatives
  System in $\mathscr B$ und $S$ ein   multiplikatives
    System in $\mathscr C$, das  faserr"uckzugstabil ist  "uber $R$.  
Ein Morphismus in $\widehat{\mathscr C}^{S/R}_k (\mathcal F, \mathcal G)$ ist offensichtlich genau dann kokartesisch f"ur unseren Funktor  
$\hat p^{S/R}: \widehat{\mathscr C}^{S/R}\ra \hat{\mathscr B}^R$, wenn
er als Element von $\mathscr C_{k_Y}^S (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)$ 
kokartesisch  ist f"ur den von $p$ induzierten  Funktor
$ p^{S/R}: \mathscr C^S\ra \mathscr B^R$ zwischen den jeweiligen Unterkategorien mit den ausgezeichneten multiplikativen Systemen als Morphismenmengen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Stark kokartesische Morphismen "uber Korrespondenzen}] 
   Seien  $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Faserung
  und $R$ ein r"uckzugstabiles multiplikatives\label{stkko} 
  System in $\mathscr B$ und $S$ ein   multiplikatives
    System in $\mathscr C$, das  faserr"uckzugstabil ist  "uber $R$.  Ein Morphismus  $\varphi\in\widehat{\mathscr C}^{S/R}_k (\mathcal F, \mathcal G)$ ist stark kokartesisch f"ur unseren Funktor 
$\hat p^{S/R}: \widehat{\mathscr C}^{S/R}\ra \hat{\mathscr B}^R$, wenn
er als Element von $\mathscr C_{k_Y}^S (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)$ 
faserr"uckzugstabil stark kokartesisch ist f"ur den von $p$ induzierten  Funktor
$ p^{S/R}: \mathscr C^S\ra \mathscr B^R$ in dem Sinne,
da"s f"ur jedes kartesische Quadrat in $\mathscr B$ mit $k_Y$ als einem
Ausgangspfeil der R"uckzug von $\varphi$ auf den $k_Y$ gegen"uberliegenden Pfeil auch
 stark kokartesisch ist f"ur $p^{S/R}$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
  Wir gehen aus von  dem  in \ref{AlgF} betrachteten Funktor
  $$\op{Ab}^!_{\sslash\Toph}\ra \Toph$$
  In der Kategorie der topologischen R"aume  betrachten wir das
  multiplikative System $R$ der
  separierten stetigen Abbildungen.
  Die zugeh"origen Korrespondenzen
  nennen wir {\bf separiert},\index{separiert!Korrespondenz} 
  verwenden f"ur die Kategorie der topologischen R"aume mit
  separierten Korrespondenzen als Morphismen die Notation
  ${\Toph}^{\op{s}}$\index{Tops@${\Toph}^{\op{s}}$ separierte Korrespondenzkategorie topologischer R"aume} 
  und betrachten den eingeschr"ankten 
  Funktor
  $$\op{Ab}^!_{\sslash {\Toph}^{\op{s}}}\ra {\Toph}^{\op{s}}$$
   Nach \ref{eigKOF} ist nun $\op{Ab}_{\sslash\op{Tops}}^!\ra \op{Tops}$
  eine Kofaserung und nach lokal eigentlichem Basiswechsel \ref{BaWeax}
  bleiben die eigentlich-kokartesischen Opkomorphismen "uber lokal eigentlichen
  separierten Abbildungen  eigentlich-kokartesisch unter
  beliebigem R"uckzug.
  Eine Korrespondenz  von topologischen R"aumen $k\in \Toph(X,Y)$ mit
  lokal eigentlichem separierten $k_Y$ nennen wir eine
  {\bf lokal eigentliche separierte Korrespondenz}\index{Korrespondenz!lokal eigentliche separierte} oder  abk"urzend
  {\bf les-Korrespondenz}\index{les-Korrespondenz} und notieren die zugeh"orige
  Kategorie ${\Toph}^{\op{les}}$.
Nach \ref{stkko} sind 
Morphismen "uber einer les-Korrespondenz $k=k_y \bar k_X$, die
einem 
eigentlich-kokartesischen Morphismus "uber $k_Y$ aus dem $k_X$-R"uckzug entsprechen,   stets stark kokartesisch in Bezug auf unseren
 eingeschr"ankten
Funktor
$\op{Ab}^!_{\sslash {\Toph}^{\op{s}}}\ra {\Toph}^{\op{s}}$. Insbesondere
erhalten   wir durch weiteres Einschr"anken auf
lokal eigentliche separierte Korrespondenzen eine Kofaserung
$$\op{Ab}^!_{\sslash {\Toph}^{\op{les}}}\ra {\Toph}^{\op{les}}$$
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl} ALT Gegeben eine  Kategorie $\mathscr T$ verwenden wir im weiteren die Notation\index{$^\curlyvee\mathscr T$!Morphismenbaumkategorie} 
  $$^\curlyvee\!\mathscr T\pdef ((\mathscr T^{\op{opp}})^\curlyvee)^{\op{opp}}$$
  f"ur die opponierte Kategorie der banalen Schmelzkategorie
  von $\mathscr T^{\op{opp}}$ und nennen $^\curlyvee\!\mathscr T$ die {\bf Trennkategorie zu $\mathscr T$}.\index{Trennkategorie}
   Die Objekte von $^\curlyvee\!\mathscr T$ sind Worte aus
  Objekten von $\mathscr T$, ein Morphismus in $^\curlyvee\!\mathscr T$
  von $X_1\curlyvee\ldots \curlyvee X_n$
  nach $Y_1\curlyvee\ldots \curlyvee Y_m$ ist ein Datum bestehend
  aus einer
  Abbildung $\alpha:\llbracket m\rrbracket\ra \llbracket n\rrbracket$
  und Morphismen $X_{\alpha(j)}\ra Y_j$. Die Verkn"upfung von Morphismen in $^\curlyvee\!\mathscr T$  ist
  die Offensichtliche. Die Abbildung $\alpha$ nennen wir die
  {\bf Indexabbildung}\index{Indexabbildung!in Trennkategorie}
  unseres Morphismus der Trennkategorie. Wir notieren so einen
  Morphismus $(\alpha^\circ, f_1\curlyvee\ldots\curlyvee f_n)$ statt
  formal korrekter $(\alpha, f_1^\circ\curlyvee\ldots\curlyvee f_n^\circ)^\circ$. Die $f_i$ sind dabei ihrerseits Tupel von
  Morphismen aus $\mathscr T(X_i,Y_j)$ indiziert durch $j\in \alpha^{-1}(i)$.
  Ist hier $\alpha$ monoton wachsend und surjektiv, so lassen wir es auch gerne
  aus der Notation weg. BILD!
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine Kategorie $\mathscr T$ mit endlichen Faserprodukten
  bilden die Morphismen in der Verzweigungkategorie $^\curlyvee\!\mathscr T$ mit einer Identit"at als
  Indexabbildung, die sich also salopp gesprochen \glqq weder verzweigen
  noch "uberkreuzen\grqq, ein r"uckzugstabiles multiplikatives System $R$. Die zugeh"orige Zweikategorie von $R$-Kor\-res\-pon\-den\-zen notieren wir
  $$^\curlyvee\!\hat{\mathscr T}^\shortparallel$$
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine Kategorie $\mathscr T$ mit endlichen Faserprodukten
  ist unsere Zweikategorie $^\curlyvee\!\hat{\mathscr T}^\shortparallel$
  die Wortkategorie einer Multizweikategorie in offensichtlicher Weise.
  Diese Multizweikategorie nennen wir die
  {\bf Multizweikategorie der Multikorrespondenzen in $\mathscr T$} und
  notieren sie $\mathscr T^{\op{cor}}$.\index{cor@$\mathscr T^{\op{cor}}$ Multikorrespondenzen in $\mathscr T$}\index{Multikorrespondenz} 
  Es gibt darin f"ur jeden Verschmelzung
  $k\in \mathscr T^{\op{cor}}(X_1\curlyvee\ldots\curlyvee X_n, Y)$
  einen nat"urlichen
  ausgezeichneten Isomorphismus von einem
  Verschmelzung der Gestalt $f\bar g$ mit
  $g=(g_1,\ldots,g_n)$ einem Tupel von Morphismen $g_i\in\mathscr T(K,X_i)$ und  $f\in\mathscr T(K,Y)$ f"ur ein Objekt $K$, das man als Limes
  eines geeigneten Diagramms konstruieren mag.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Wir erinnern nun aus \ref{MFoll}
  unseren Multifunktor des Vergessens der Garben
  $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}^{\op{opp}}\ra \op{Top}^{\op{opp}}$,
  eine Schmelzkofaserung "uber der banalen Schmelzkategorie zu
  $\op{Top}^{\op{opp}}$. Er liefert eine Kofaserung
  der zugeh"origen Wortkategorien und eine Faserung ihrer opponierten
  Kategorien alias eine Faserung
  $$^\curlyvee\!\!\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra {^\curlyvee\!\op{Top}}$$
  "uber der Trennkategorie topologischer R"aume.
  Die Objekte von $^\curlyvee\!\!\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}$
  "uber einem Wort aus topologischen R"aumen
  sind Worte aus abelschen Garben "uber den jeweiligen R"aumen
  und die Morphismen sind Tupel von Multiopkomorphismen alias opponierten
  Multikomorphismen "uber unseren Tupeln von stetigen Abbildungen, die
  die jeweiligen Morphismen der Trennkategorie bilden.
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}
 Bez"uglich der Faserung
  $^\curlyvee\!\!\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra {^\curlyvee\!\op{Top}}$
 bilden die Tupel eigentlicher Opkomorphismen "uber Morphismen mit der
 Identit"at als Indexabbildung ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives
 System.\label{rzst}
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}\label{allFK} 
  Unsere allgemeine Konstruktion \ref{KKFuu} liefert damit einen
  Zweifunktor zu unseren speziellen Korrespondenzen, den wir
  $$^\curlyvee\!\!\op{Ab}_{\sslash \Toph}^!\ra
  {^\curlyvee{\Toph}^\shortparallel}$$
    notieren. Gegeben so eine Korrespondenz $k\in {^\curlyvee\!{\Toph}^\shortparallel(X_1\curlyvee\ldots\curlyvee X_r,Y)}$
      alias ein Raum $K$ mit stetigen Abbildungen $g_i:K\ra X_i$ und $f:K\ra Y$
      ist ein Morphismus "uber $k$ von $\mathcal F_1\curlyvee\ldots\curlyvee \mathcal F_r$ nach $\mathcal G$ ein
      eigentlicher Opkomorphismus in $\op{Ab}_{\sslash f}^!(g_1^\ast \mathcal F_1\otimes\ldots\otimes g_r^\ast \mathcal F_r, \mathcal G)$ alias ein
      Garbenhomomorphismus in  $\op{Ab}_{/Y}(\mathcal G, f_!(g_1^\ast \mathcal F_1\otimes\ldots\otimes g_r^\ast \mathcal F_r))$. Die Funktoren
      $$F_1\curlyvee\ldots\curlyvee \mathcal F_r\mapsto  f_!(g_1^\ast \mathcal F_1\otimes\ldots\otimes g_r^\ast \mathcal F_r)$$ sind direkte
      Bilder f"ur unseren Funktor. Im weiteren werden wir insbesondere
      die Frage diskutieren, unter welchen zus"atzlichen Annahmen die Transportmorphismen zu unseren direkten Bildern
      stark kokartesisch werden nach Einschr"anken unseres
      Funktors auf \glqq separierte Multikorrespondenzen\grqq.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
  Jeder Morphismus  der Trennkategorie entsteht durch Komposition und
  das \glqq Zusammenfassen zu Tupeln\grqq\ aus
  einfachen Morphismen, Morphismen zum leeren Wort, Permutationen
  und Morphismen
  der Gestalt $(\op{id},\op{id}):X\ra X\curlyvee X$.
  Es reicht also zu zeigen, da"s der R"uckzug von Tupeln
  eigentlicher Opkomorphismen mit jedem Morphismus dieser vier Typen wieder
  ein eigentlicher Opkomorphismus ist. Im Fall einfacher Morphismen ist das
  unsere "Ubung \ref{ReOp}. Im Fall einer Permutation  ist das
  eh klar. Im Fall eines Morphismus zum leeren Wort ist es die
  einigerma"sen banale Erkenntnis, da"s f"ur jeden topologischen Raum $X$
  der identische Opkomorphismus $\DZ_X\ra \DZ_X$ "uber
  $\op{id}:X\ra X$ eigentlich ist alias da"s die nat"urliche Einbettung
  eine Gleichheit $\op{id}_!\DZ_X=\op{id}_*\DZ_X$ ist.
  Im Fall eines Morphismus
  der Gestalt $(\op{id},\op{id}):X\ra X\curlyvee X$
  "uberlegt man sich, da"s es ausreicht, die Stabilit"at unter R"uckzug auf den
  Fasern in kartesischen Diagrammen "uber Winkeln zu zeigen,
  deren andere Ausgangskante die Gestalt
  $(\op{id}\curlyvee f): X\curlyvee T\ra X\curlyvee X$ hat f"ur $f:T\ra X$ stetig.   Genauer zeigt das  folgende Diagramm, wie man
  den R"uckzug von $(f\curlyvee g): Z\curlyvee Y\ra  X\curlyvee X$
  unter $(\op{id},\op{id}):X\ra X\curlyvee X$
  erhalten kann durch Vertupeln und Komposition aus einem
  R"uckzug unter einem einfachen Morphismus (2) und zwei R"uckz"ugen (1), (3)
  dieser speziellen Art.
\begin{displaymath}
\xymatrix{
Z\ar[d] & \ar[l] \ar[d]^-{(2)}Z\times_{X} Y & Y\ar[d] & \ar@/_1pc/[ll]\ar[l] Z \times_{X} Y \ar[d]^-{(3)}\\
X\ar[d] & \ar[l] Y & Y\ar[d] &\ar@/_1pc/[ll]
\ar@/^1pc/[lll]
\ar[l] Y \ar[d]^-{(1)}\\
X & & X &\ar@/^1pc/[lll]\ar[l] X\\
}
\end{displaymath}

\vspace{6mm}\noindent
Damit l"auft unsere Behauptung darauf 
 hinaus zu zeigen,
  da"s f"ur jede stetige Abbildung $f:T\ra X$ und jeden
  eigentlichen Opkomorphismus $\varphi:\mathcal E\ra \mathcal F$ "uber
  $f$ und jede abelsche Garbe $\mathcal G$ auf $X$  auch der induzierte Opkomorphismus
  $f^\ast \mathcal G\otimes \mathcal E\ra \mathcal G\otimes \mathcal F$
  "uber $f$ eigentlich ist.
  Das hinwiederum l"auft darauf hinaus,
  zu zeigen, da"s der Garbenhomomorphismus
  $\mathcal G\otimes \mathcal F\ra f_\ast (f^\ast \mathcal G\otimes \mathcal E)$,
 der f"ur $V\co X$ und
  $r\in \mathcal G(V)$ und $t\in \mathcal F(V)$ gegeben wird durch
 $r\otimes t\mapsto r\otimes \varphi(t)$, "uber $f_! (f^\ast \mathcal G\otimes \mathcal E)$ faktorisiert.
 Da nun die Bildgarbe von den
  $ r\otimes \varphi(t)$ erzeugt wird, reicht es zu zeigen,
  da"s diese Tensoren zu $f_! (f^\ast \mathcal G\otimes \mathcal E)$ geh"oren.
  Es ist aber klar, da"s der Tr"ager in $f^{-1}(V)$ dieses Tensors eine abgeschlossene
  Teilmenge von $\op{supp}(\varphi(t))$
  ist und folglich auch eigentlich nach $V$ abgebildet wird.
\end{proof}


\begin{Bemerkungl} Gegeben eine Kategorie $\mathscr T$
  mit einem r"uckzugstabilen multiplikativen System
  $R$ erhalten wir  ein r"uckzugstabiles multiplikatives System
  $^\curlyvee\! R$ in der Trennkategorie $^\curlyvee\!\mathscr T$ als das System aller Tupel von $R$-Morphismen mit einer Bijektion als zugrundeliegender Indexabbildung.\label{spezK} 
  Jeder Morphismus in $^\curlyvee\! R$ ist dann nat"urlich eine Komposition von
  Morphismen in $^\curlyvee\! R$, die als Tupel von Morphismen h"ochstens an
  einer Stelle einen von der Identit"at verschiedenen Eintrag haben.
\end{Bemerkungl}

%SOLLTE DAS UNDERIVIERT NUR F"UR K"ORPERKOEFFIZIENTEN MACHEN!
%ODER GINGE ES MIT TORSIONSFREIEN ABELSCHEN GARBEN?
\begin{Bemerkungl}  Ich nenne eine abelsche Garbe
    {\bf torsionsfrei},\index{torsionsfrei!abelsche Garbe} wenn alle Halme oder gleichbedeutend alle Gruppen von Schnitten "uber offenen Teilmengen torsionsfrei sind.
    Der R"uckzug, das Tensorprodukt ebenso wie eigentliche direkte Bilder
    von torsionsfreien Garben sind offensichtlich wieder torsionsfrei. 
    Die vollen Unterkategorien der bisher im Zusammenhang mit
    abelschen Garben betrachteten Kategorien,
    bei denen wir als Objekte nur
    torsionsfreie abelsche Garben zulassen, notieren wir
    $\op{tfAb}$ mit entsprechenden Erg"anzungen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Wir gehen aus von  dem  in \ref{allFK} betrachteten Funktor
  $$^\curlyvee\!\!\op{Ab}_{\sslash \Toph}^!\ra
  {^\curlyvee{\Toph}^\shortparallel}$$
  In der Kategorie der topologischen R"aume  betrachten wir das
  multiplikative System $R$ der
  separierten stetigen Abbildungen,
  verwenden f"ur die dazu im Sinne von \ref{spezK} gebildete Kategorie
  von Korrespondenzen die Notation
${^\curlyvee{\Toph}^{\op{s}}}$ 
  und betrachten den eingeschr"ankten 
  Funktor
  $$^\curlyvee\!\!\op{Ab}_{\sslash \Toph^{\op{s}}}^!\ra
  {^\curlyvee{\Toph}^{\op{s}}}$$
    Ich behaupte nun, da"s in Bezug auf den so eingeschr"ankten Funktor der
    durch \ref{allFK} gegebene Transportmorphismus 
 $$F_1\curlyvee\ldots\curlyvee \mathcal F_r\ra  f_!(g_1^\ast \mathcal F_1\otimes\ldots\otimes g_r^\ast \mathcal F_r)$$
    "uber einer separierten Korrespondenz $f\bar g$ stark kokartesisch ist,
    wenn $f$ zus"atzlich lokal eigentlich ist und die $\mathcal F_i$
    torsionsfreie abelsche Garben sind.
  Um das zu zeigen, erinnern wir zun"achst, da"s eigentlich-kokartesische Opkomorphismen
    auch stark eigentlich-kokartesisch sind, sobald wir uns auf separierte
    stetige Abbildungen einschr"anken.
    Jetzt m"ussen wir  nach
    \ref{stkko} nur noch zeigen, da"s gegeben
    $f_i:X_i\ra Y_i$ f"ur $1\leq i\leq n$ lokal eigentlich separiert
    und $\varphi_i:\mathcal F_i\ra \mathcal G_i$ dar"uber eigentlich-kokartesische Opkomorphismen torsionsfreier Garben
    und $g_i:Z\ra Y_i$ stetig 
    auch der auf dem R"uckzug induzierte eigentliche Opkomorphismus torsionsfreier Garben
    $$\tilde g_1^\ast\mathcal F_1\otimes \ldots \otimes\tilde g_n^\ast\mathcal F_n
    \ra  g_1^\ast\mathcal G_1\otimes \ldots \otimes g_n^\ast\mathcal G_n$$
    eigentlich-kokartesisch ist. Dieser Opkomorphismus ist dabei
    zu verstehen "uber der stetigen, ja lokal eigentlichen separierten
    Abbildung von Limes $L$ des Diagramms $X_i\ra Y_i\leftarrow Z$ aus
    $(2n+1)$ topologischen R"aumen und
    $\tilde g_i:L\ra X_i$ bezeichnen die induzierten Abbildungen.
    Wie zuvor "uberlegt man
    sich, da"s es ausreicht, das  zu pr"ufen im Fall
    $n=0$, im Fall $n=1$, und im Fall  $n=2$ mit
    $g_1=g_2=f_1=\op{id}$ und $\varphi_1=\op{id}$.
    Im Fall $n=0$ ist das die Aussage, da"s die Identit"at "uber der Identit"at
    eigentlich-kokartesisch ist.  Im Fall $n=1$ ist es lokal eigentlicher
    Basiswechsel \ref{BaWeax}.  Im Fall $n=2$ entpuppt es sich schlie"slich als
    die sogenannte  Projektionsformel \ref{ProFor}, die wir im
    Anschlu"s beweisen.
\end{Beispiel}






\newpage
\section{Der Formalismus der sechs Funktoren}


\subsection{"Alteres zu Korrespondenzen}

\begin{Bemerkungl}
  ACHTUNG AUF $R$ und $S$, nicht alles ge"andert!
  Seien nun $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Faserung
  "uber einer Kategorie  $\mathscr B$ mit r"uckzugstabilem multiplikativen
  System $R$ und
sei auch in $\mathscr C$  ein multiplikatives System  $S$ gegeben,
 das die
Eigenschaft hat, da"s 
f"ur die vollen Unterkategorien  $\mathscr B^S,\mathscr C^S$ mit
nur den $S$-Morphismen als Morphismen unser $p$ eine Kofaserung
$p^S : \mathscr C^S \rightarrow \mathscr B^S$ induziert.
Wir sagen dann, $p$ sei eine {\bf $S$-Bifaserung}, nennen die zu
$S$-Morphismen geh"origen
direkten Bilder die {\bf $S$-Bilder}\index{Bild!$S$-Bild} und notieren
$f_\ddagger$ den Funktor des $S$-Bildes unter einem $S$-Morphismus $f$.
Gegeben $X,Y\in\mathscr B$ sowie $\mathcal F \in \mathscr C_X$ und
$\mathcal G \in \mathscr C_Y$ erkl"aren wir in dieser Situation
die Menge der {\bf $S$-Morphismen von $\mathcal F$ nach
$\mathcal G$ "uber einer $S$-Korrespondenz 
$k\in \hat{\mathscr B}^S(X,Y)$} als $$ \op{Kor}^S (\mathscr C / \mathscr B)_k (\mathcal F, \mathcal G)=\widehat{\mathscr C}^S_k (\mathcal F, \mathcal G)\pdef \mathscr C_{k_Y}^S (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)$$
Die Verkn"upfung solcher $S$-Morphismen
gelingt unter der Voraussetzung, da"s f"ur jede Hochhebung eines kartesischen Quadrats in $\mathscr B$ mit $S$-Morphismen nach rechts
zu einem kommutativen Quadrat\label{KKFu} 
\begin{displaymath}
\xymatrix{
&{} \ar[dl]\ar@{-->}[dr]&\\
\ar[dr]& &\ar[dl]\\
& {}&\\
}
\end{displaymath}
in $\mathscr C$ mit den Pfeilen nach links kartesisch und dem durchgezogenen Pfeil nach rechts einem $S$-Morphismus
auch der induzierte gestrichelte Pfeil
nach rechts ein $S$-Morphismus ist.
Wir erhalten dann eine Kategorie $\op{Kor}^S (\mathscr C / \mathscr B)=\widehat{\mathscr C}^S$ und einen\label{lpkS} 
Funktor $\hat p^S:\widehat{\mathscr C}^S \rightarrow \hat{\mathscr B}^S$.
"Ahnlich
wie in \ref{KaZ} 
machen wir auch $\widehat{\mathscr C}^S$ zu einer Zweikategorie, indem wir in der dortigen Notation einen Zweimorphismus "uber
einem  vorgegebenen Zweimorphismus $k\RA l$ erkl"aren
als einen $S$-Lift des zugeh"origen $S$-Morphismus $K\ra L$, der
die offensichtlichen Diagramme zum Kommutieren bringt, und den Effekt der Verkn"upfung auf Zweimorphismen in der
offensichtlichen Weise erkl"aren.
Unsere Kofaserung wird dann sogar
ein Zweifunktor, der treu ist auf Zweimorphismen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Kofaserungen "uber $S$-Korrespondenzen}] 
  Seien $(\mathscr B,S)$ eine Kategorie mit einem r"uckzugstabilen
  multiplikativen System, $(\mathscr C,S)$ eine weitere Kategorie mit
multiplikativem System und $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$
eine  $S$-Bifaserung.\label{kaSS} 
Ist zus"atzlich der R"uckzug von $S$-kokartesischen  Morphismen aus $\mathscr C$ zu $S$-kartesischen Quadraten in der Basis 
wieder $S$-kokartesisch, so ist unser in \ref{lpkS} erkl"arter Funktor
\begin{equation*}
\hat p^S:\widehat{\mathscr C}^S \rightarrow \hat{\mathscr B}^S
\end{equation*}
eine Kofaserung und deren kokartesische Morphismen "uber einer $S$-Korrespon\-denz
$k\in\hat{\mathscr B}^S(X,Y)$ sind die  $S$-kokartesischen Morphismen aus
$\mathscr C_{k_Y}^S (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)$.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Der Zweifunktor $\hat p^S$ aus unserem Satz
sollte wohl eine  Kofaserung von Zweikategorien im Sinne von \cite{Buckley} sein, aber das habe ich nicht gepr"uft.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Da"s die fraglichen Morphismen kokartesisch sind, scheint mir offensichtlich. Es bleibt zu zeigen, da"s die
Verkn"upfung kokartesischer Morphismen wieder kokartesisch ist.
Das aber folgt aus unserer Forderung, da"s der R"uckzug von $S$-kokartesischen  Morphismen aus $\mathscr C$ zu $S$-kartesischen Quadraten in der Basis 
wieder $S$-kokartesisch sein soll.
\end{proof}
\begin{Beispiel}
  Man mag als Basis $\mathscr B$ die Kategorie $\mathscr B=\op{Top}$ der
  topologischen R"aume nehmen, als $S$-Morphismen die
  separierten lokal eigentlichen Abbildungen,
  als Faserfunktor die 
 \hyperref[GaKoFa]{Garbenopkofaserung}
$\op{Ab}_{\sslash\op{Top}}\ra \op{Top}$
und als $S$-Morphismen von Garben "uber einer separierten lokal eigentlichen Abbildung $f:X\ra Y$ die \hyperref[eigK]{eigentlichen 
  Opkomorphismen} von abelschen Garben $\mathcal F\ra \mathcal G$ im Sinne
unserer Definition \ref{eigK}.
Dann entsprechen
 die $S$-Morphismen "uber
einer $S$-Korrespondenz $k$ eineindeutig den Morphismen aus
$\op{Ab}_{/ Y} (\mathcal G,k_{Y!} k_X^\ast \mathcal F)$ und die zus"atzliche
Bedingung in \ref{kaSS} zum R"uckzug von $S$-kokartesischen Morphismen "uber kartesischen $S$-Quadraten entpuppt sich als  eigentlicher Basiswechsel \ref{BaWeax}.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
  Gegeben eine  Kategorie $\mathscr T$ verwenden wir die Notation\index{$\mathscr T^\curlywedge$!Morphismenbaumkategorie} 
  $$\mathscr T^\curlywedge\pdef ((\mathscr T^{\op{opp}})^\curlyvee)^{\op{opp}}$$
  Man mag $\mathscr T^\curlywedge$  als  \glqq Kategorie verzweigender Morphismen\grqq\ verstehen: Objekte sind Worte aus
  Objekten von $\mathscr T$, Morphismen Tupel stetiger Abbildungen,
  und zwar genau
  eine zu jedem Buchstaben des Zielworts, die jeweils von einem beliebigen
  Buchstaben des Ausgangsworts ausgehen darf. Wir nennen sie {\bf $\curlywedge$-Mor\-phis\-men}.\index{Morphismus!$\curlywedge$-Morphismus}
  Man mag nun ausgehen vom Opponierten 
  $$\op{flAb}_{\sslash \op{Top}}^\curlywedge\ra \op{Top}^\curlywedge$$
  des im Beweis von  \ref{VRT} betrachteten Kofaserfunktors
  als Faserfunktor, den wir zus"atzlich auf die Unterkategorie der
  flachen Garben eingeschr"ankt haben. 
  Als r"uckzugstabiles multiplikatives von $S$-Mor\-phis\-men
  in der Basis nehme man alle Tupel von
separierten lokal eigentlichen Abbildungen
"uber der Identit"at als Indexabbildung.
Als $S$-Morphismen von Garben "uber einem solchen Tupel von  separierten lokal eigentlichen Abbildungen schlie"slich betrachte man Tupel von  \hyperref[eigK]{eigentlichen 
  Opkomorphismen} von abelschen Garben $\mathcal F\ra \mathcal G$ im Sinne
unserer Definition \ref{eigK}.
Dann entsprechen zum Beispiel 
 die $S$-Morphismen "uber
 einer $S$-Korrespondenz vom Wort
 $X_1\curlyvee X_2$ nach $Y$ der Gestalt  $f\;\overline{(g_1, g_2)}$
 mit $f:K\ra Y$ separiert lokal eigentlich und $g_\nu:K\ra X_\nu$ stetig
 eineindeutig den Morphismen aus
$$\op{Ab}_{/Y} (\mathcal G,f_{!}( g_1^\ast \mathcal F_1\otimes g_2^\ast \mathcal F_2) )$$ Wenn wir die zus"atzliche
 Bedingung in \ref{kaSS} zum R"uckzug von $S$-ko\-kar\-te\-si\-schen Morphismen "uber kartesischen $S$-Quadraten pr"ufen zwei komponierbare Morphismen $g,g'$ als
 Nicht-$S$-Pfeile im Ausgangswinkel, so gilt sie auch
 f"ur deren Komposition $gg'$. Es reicht folglich, diese Bedingung zu pr"ufen
 f"ur den Nicht-$S$-Pfeil $g$  im Ausgangswinkel
 (1) ein $\curlywedge$-Morphismus ins leere Wort, (2) ein einfacher Morphismus und
 (3) ein verzweigender $\curlywedge$-Morphismus der Gestalt $(\op{id},\op{id})$.
 Im ersten Fall ist nichts zu zeigen. Im zweiten Fall entpuppt sich unsere
 Bedingung als eigentlicher Basiswechsel \ref{BaWeax}. 
 Im dritten Fall k"onnen wir zus"atzlich annehmen, da"s unser
 $S$-Morphismus die Gestalt $(f\curlyvee \op{id})$ hat mit
 $f$ separiert lokal eigentlich, und dann entpuppt sich  unsere
 Bedingung als die Projektionsformel \ref{ProFor}. 
\end{Beispiel}



\subsection{Ab hier unfertig!}

{\underline {Verfeinerung (?):}}  Exchange wie Deligne.


\begin{Bemerkungl} Gegeben eine Kategorie $\mathcal B$ konstruieren
  wir eine neue Kategorie $\mathcal B^\curlywedge$ wie folgt:
  Objekte sind Worte von Objekten aus $\mathcal B$. Ein Morphismus
  von einem Wort $(X_1,\ldots,X_n)$ in ein Wort $(Y_1,\ldots,Y_m)$
  ist ein Datum bestehend aus einer Abbildung
  $f:\llbracket m\rrbracket \ra \llbracket n\rrbracket$ und einem
  Morphismus $\varphi_j:X_{f(j)}\ra Y_j$ f"ur alle $j$. Die Verkn"upfung von
  Morphismen ist die Offensichtliche. Die Abbildung $f$ nennen wir die
  unserem Morphismus zugrundeliegende
  {\bf Indexabbildung}.\index{Indexabbildung} Jeder Morphismus in
  $\mathcal B^\curlywedge$ ist eine Komposition von Tupeln von Abbildungen mit
  der Identit"at als zugrundeliegender Indexabbildung und Tupeln von
  Identit"atsabbildungen, bei denen alle Fasern der zugeh"origen Indexabbildung
  h"ochstens zwei Elemente haben.\label{vkmm}  
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Alternativ kann $\mathcal B^\curlywedge$ beschrieben werden als die
  opponierte Kategorie zur Wortkategorie der opponierten Kategorie von
  $\mathcal B$, in Formeln $\mathcal B^\curlywedge=((\mathcal B^{\op{opp}})^\curlyvee)^{\op{opp}}$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Gegeben eine Kategorie $\mathcal B$
  mit einem r"uckzugstabilen multiplikativen System
  $S$ erhalten wir offensichtlich ein r"uckzugstabiles multiplikatives System
  $S^\curlywedge$ in $\mathcal B^\curlywedge$ als das System aller Tupel von $S$-Morphismen mit einer Bijektion als zugrundeliegender Indexabbildung.
  Jeder Morphismus in $S^\curlywedge$ ist eine Komposition von
  Morphismen in $S^\curlywedge$, die als Tupel stetiger Abbildung h"ochstens an
  einer Stelle einen von der Identit"at verschiedenen Eintrag haben.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}\label{GaFF} 
  Jetzt spezialisieren wir unsere vorherigen "Uberlegungen zum
  Fall der Kategorie
  $\mathscr B\pdef \op{Top}^\curlywedge$ mit $S$ dem multiplikativen System aller
  Tupel von separierten lokal eigentlichen Abbildungen mit einer
  Bijektion als zugrundeliegender Indexabbildung.
  Als unseren Faserfunktor $p:\mathscr C\ra \mathscr B$ nehmen wir
  den von unserer Multikofaserung \ref{MFoll} auf den opponierten
  Kategorien induzierten Funktor $$p:\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}^{\op{opp}}
  \ra \op{Top}^\curlywedge$$ Ein Objekt "uber einem Wort aus topologischen
  R"aumen ist also ein Wort aus abelschen Garben auf den jeweiligen
  R"aumen und ein Morphismus "uber einem Tupel stetiger Abbildungen
  ein Tupel von \hyperref[gakof]{Multikomorphismen} in die Gegenrichtung.
  Die Faser unseres Faserfunktors "uber einem Wort
  ist insbesondere das Produkt der
  Opponierten der Kategorien abelscher Garben auf seinen Buchstaben.
  Schlie"slich erkl"aren wir einen $S$-Morphismus in $\mathscr C=\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}^{\op{opp}}$
  als ein Tupel eigentlicher Komorphismen "uber einem $S$-Morphismus in
  $\op{Top}^\curlywedge$. Dann ist $p$ auch eine $S$-Kofaserung.
  Um zu erreichen, da"s die $S$-Morphismen in $\mathscr C$ r"uckzugstabil sind,
  also die letzte Bedingung in \ref{kaSS}, m"ussen wir uns auf die Unterkategorie $\mathscr C=\op{flAb}_{\sslash \op{Top}}^{\op{opp}}$
  der flachen abelschen Garben einschr"anken. Nach \ref{vkmm} brauchen wir
  nur den R"uckzug zu untersuchen f"ur beliebige Morphismen zur Indexabbildung $\llbracket 1\rrbracket\sira \llbracket 1\rrbracket$,
  f"ur leere Abbildungstupel zur Indexabbildung $\llbracket 0\rrbracket\hra \llbracket 1\rrbracket$, und f"ur Tupel $(\op{id},\op{id})$ zur Indexabbildung $\llbracket 2\rrbracket\sra \llbracket 1\rrbracket$.
  Weiter m"ussen wir in letzterem Fall nur den R"uckzug "uber einem Tupel
  der Gestalt $(f,\op{id})$ zur Indexabbildung $\op{id}:\llbracket 2\rrbracket\sira \llbracket 2\rrbracket$ untersuchen. 
\end{Bemerkungl}

Das ist eigentlicher Basiswechsel, eine mir unbekannte Formel, und
die Projektionsformel.





\begin{Bemerkungl}
  Sei $(\mathscr B,S)$ eine Kategorie mit einem r"uckzugstabilen
  multiplikativen System.
Seien $(\mathscr C,S)$ eine weitere Kategorie mit
multiplikativem System und $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$
eine Faserung, die auch eine $S$-Kofaserung ist,\label{kaDS} 
und sei der R"uckzug
von $S$-Morphismen aus $\mathscr C$ "uber $S$-kartesischen Diagrammen der Basis $\mathscr B$ stets
wieder ein $S$-Morphismus.
So hatten wir in \ref{KKFu} einen Funktor
\begin{equation*}
\op{Kor}^S (\mathscr C /\mathscr B) \rightarrow \op{Kor}^S (\mathscr B)
\end{equation*}
konstruiert, dessen Fasern mit den Fasern von
$p:\mathscr C^S\ra \mathscr B^S$ "ubereinstimmen.
Nun nehmen wir zu"atzlich an, da"s  in $\mathscr C$ alle Morphismen "uber Identit"aten aus
der Basis $\mathscr B$ bereits $S$-Morphismen sind.
Weiter nehmen wir  zus"atzlich an, da"s  in $\mathscr C$  ein
ges"attigtes Rechtsoresystem $Q$ gegeben ist, das aus gewissen Morphismen "uber
Identit"aten in $\mathscr B$ besteht,
so da"s f"ur $gt=sh$ mit kartesischen Morphismen $g,h$ in $\mathscr C$
gilt $s\in Q\RA t\in Q$.
Bezeichne  $Q_Z$ die
Morphismen aus $Q$ "uber der Identit"at von $Z\in\mathscr B$.
Wir 
erkl"aren wir nun einen Funktor
\begin{equation*}
Q^{-1}\op{Kor}^S (\mathscr C /\mathscr B) \rightarrow \op{Kor}^S (\mathscr B)
\end{equation*}
mit Fasern 
$Q_X^{-1}\mathscr C_X$  den lokalisierten Fasern von $p$ wie folgt:
Gegeben $\mathcal F\in \mathscr C_X$ bilden wir in $\mathscr C_X$
das Pro-Objekt $\mathcal F^-$ aller $Q$-Morphismen alias
 $Q_X$-Morphismen nach $\mathcal F$.
Gegeben eine $S$-Korrespondenz $k=(k_X,K,k_Y)$ in der Basis
bilden wir dazu in  $\mathscr C_K$ erst das Pro-Objekt $k_X^\dagger(\mathcal F^-)$
und dann das Pro-Objekt $(k_X^\dagger(\mathcal F^-))^-$ aller $Q_K$-Morphismen
in Objekte von $k_X^\dagger(\mathcal F^-)$, 
das nach unseren
Annahmen zum
Pro-Objekt $(k_X^\dagger\mathcal F)^-$  aller $Q_K$-Morphismen
nach $k_X^\dagger\mathcal F$ kanonisch isomorph ist. Gegeben $\mathcal G\in\mathscr C_Y$ erkl"aren wir dann einen Morphismus "uber $k$
als einen \glqq $S$-Morphismus $k_X^\dagger(\mathcal F^-)^-\ra \mathcal G^-$
"uber $k_Y$\grqq\ alias genauer und in Formeln "ahnlich wie in \ref{MPOk}
als ein Element von
$$
\op{limf}_{\mathcal B\ra \mathcal G} \op{colf}_{\mathcal A} \mathscr C^S_{k_Y}( \mathcal A,\mathcal B)$$
mit dem Limes  "uber alle $Q_Y$-Morphismen $\mathcal B\ra \mathcal G$
und dem Kolimes  "uber alle $Q_K$-Morphismen $\mathcal A$
aus unserem System $k_X^\dagger(\mathcal F^-)^-$.

BIS HIER ETW SORTIERT.
Jetzt: Komposition klar, gibt Kategorie.
Dann: Falls $\mathscr C^S\ra \mathscr B^S$ Kofaserung und
R"uckzug $S$-kokartesischer Morphismen zu $S$-kartesischen Quadraten in
der Basis $S$-kokartesisch, und $S$-Bilder zahm linksderivierbar, sogar
Kofaserung "uber $S$-Korrespondenzen.


deren kokartesische Morphismen "uber einer $S$-Korrespon\-denz
$k$ von $X$ nach $Y$ gerade die  $S$-kokartesischen Morphismen aus
$\mathscr C_{k_Y}^S (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)$ sind.


\begin{equation*}
Q^{-1}\op{Kor}^S (\mathscr C /\mathscr B) \rightarrow \op{Kor}^S (\mathscr B)
\end{equation*}
wie folgt:  
\end{Bemerkungl}
 und  da"s f"ur jeden $S$-Morphismus
$f:X\ra Y$ die Funktoren der $S$-Bilder
$f_\ddagger:\mathscr C_X\ra \mathscr C_Y$ zahm linksderivierbar sind
zu Funktoren $${\op{L}}f_\ddagger:Q^{-1}_X\mathscr C_X\ra Q^{-1}_Y\mathscr C_Y$$
f"ur
So konstruieren wir einen Funktor

\begin{Beispiel}
Wir betrachten wie in \ref{GaFF} die Kategorie
  $\mathscr B\pdef \op{Top}^\curlywedge$ mit $S$ dem multiplikativen System aller
  Tupel von separierten lokal eigentlichen Abbildungen mit einer
  Bijektion als zugrundeliegender Indexabbildung.
  Als unseren Faserfunktor $p:\mathscr C\ra \mathscr B$ nehmen wir
  den von unserer Multikofaserung \ref{MFoll} auf den opponierten
  beschr"ankten Kategorien von Komplexen induzierten Funktor $$p:(\op{Ket}^+(\op{flAb}_{\sslash \op{Top}}))^{\op{opp}}
  \ra \op{Top}^\curlywedge$$
  Als $S$-Morphismen nehmen wir wie in \ref{GaFF} Tupel von eigentlichen
  Komorphismen, nur eben Komorphismen von Komplexen. Als $Q$ nehmen wir Tupel von Quasiisomorphismen. Die erste Eigenschaft ist erf"ullt,
  da f"ur Quasiisomorphismen $\mathcal F_1\qri \mathcal F'_1$ und
  $\mathcal F_2\qri \mathcal F'_2$ von Komplexen flacher Garben auch der
  induzierte Morphismus ein Quasiisomorphismus
  $g^\ast_1 \mathcal F_1\otimes g^\ast_2\mathcal F_2\qri g^\ast_1 \mathcal F'_1\otimes g^\ast_2\mathcal F'_2$ ist. Die zweite Eigenschaft ist erf"ullt,
  da f"ur $f:X\ra Y$ separiert lokal eigentlich  der Funktor $f_!:\op{Ket}^+(\op{flAb}_{/X})\ra \op{Ket}^+(\op{flAb}_{/Y})_{\op{qis}}\sirra \op{Der}^+(\op{Ab}_{/Y})$ einen zahmen Rechtsderivierten besitzt.
  In unserer obigen Situation geht es um die entsprechenden opponierten
  Kategorien,  deshalb entspricht diese Tatsache dort der Existenz des zahmen
  Linksderivierten.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
  Statt mit beschr"ankten Komplexen zu arbeiten, k"onnten wir uns auch
  in der Basis $\op{Top}^\curlywedge$ auf das  multiplikative System  $S$ aller
  Tupel von separierten lokal eigentlichen Abbildungen mit einer
  Bijektion als zugrundeliegender Indexabbildung einschr"anken,
  bei denen die eigentlichen direkten Bilder endliche homologische
  Dimension haben. Mit etwas mehr Mut zur Mengenlehre kann man sogar ohne diese
  Bedingung und mit unbeschr"ankten Komplexen arbeiten, aber das will ich vorerst nicht weiter diskutieren.
\end{Beispiel}

\subsection{Austausch}

  \begin{Bemerkungl}
    Gegeben  ein kokartesisches Austauschdatum erhalten wir einen Zweifunktor,
    f"ur eigentliche Morphismen von Korrespondenzen
    als Zweimorphismen. Diagonale eigentlich ...
  \end{Bemerkungl}

  \begin{Bemerkungl}
    Ich will das anwenden auf derivierte Kategorien
    von abelschen Garben "uber topologischen R"aumen,
    mit eigentlichen und nichteigentlichen
    Opkomorphismen, wo die nichteigentlichen sogar
    Multi sein d"urfen. Ausgezeichnete R"uckholquadrate
    underiviert sind einfach R"uckholquadrate, die kommutieren.
    Allgemeine sind die, die von kommutierenden
    R"uckholquadraten von Komplexen schwach kompaktweicher Garben herkommen. Sollte besser
    mit Kettenkomplexen arbeiten, nicht mit deren Homotopiekategorie.
     Um Tensorprodukte auch im Boot zu haben, von 
    Komplexen schwach kompaktweicher flacher Garben.
  \end{Bemerkungl}


 
\newpage

\section{"Alteres}
\subsection{Derivierte direkte und inverse Bilder}
\begin{Bemerkungl}
  Sei $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung.
  Das inverse Bild beziehungsweise das direkte Bild von abelschen Garben
  oder auch von Garben von Mengen notiere ich statt $f^\ast, f_\ast$ 
  von nun an\index{)6@$(f^{(\ast)},f_{(\ast)})$ Urbild und Bild
    abelscher Garben}
  $$\begin{array}{l}
  f^{(\ast)}:\op{Ab}_{/Y}\ra \op{Ab}_{/X}\\[2mm]
 f_{(\ast)}:\op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}_{/Y}
  \end{array}
  $$ 
   Die Notation $(f^{\ast},f_\ast)$ verwenden wir dahingegen von nun
  an f"ur die entsprechenden derivierten Funktoren
  $$\begin{array}{l}
    f^{\ast}\pdef {\op{L}}f^{(\ast)}:\op{Der}(\op{Ab}_{/Y})\ra
  \op{Der}(\op{Ab}_{/X})\\[2mm]
 f_\ast\pdef {\op{R}} f_{(\ast)}:\op{Der}(\op{Ab}_{/X})_{f_{(\ast)}}\ra
  \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})
  \end{array}
  $$
  Hierbei ist das derivierte direkte Bild 
  auf der vollen Unterkategorie der $f_{(\ast)}$-ent\-falt\-ba\-ren Komplexe
  zu verstehen und ist dort nach \ref{AddF} partiell rechtsadjungiert zum
  derivierten inversen Bild. Dar"uber hinaus
  haben wir $\op{Der}^+(\op{Ab}_{/X})\subset\op{Der}(\op{Ab}_{/X})_{f_{(\ast)}}$.
  Die von den  Identifikationen
  $$c(g,f): g^{(\ast)} \circ f^{(\ast)}\stackrel{\sim}{\RA} (f \circ
  g)^{(\ast)} $$ der Garbenfaserung oder gleichbedeutend der
  Garbenopfaserung induzierten  Iso\-trans\-formationen
  $c=c(g,f): g^{\ast} \circ f^{\ast}\stackrel{\sim}{\RA} (f \circ
    g)^{\ast} $ sind dann offensichtlich
    die Identifikationen einer Kategorienfaserung $\op{Der}(\op{Ab})$
    "uber $\op{Top}$ im Sinne von \ref{GefKa} mit $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$
    als Faser "uber $X$.  Wir nennen den zugeh"origen Opfunktor
    $\op{Kof}(\op{Der}(\op{Ab})^{\op{opp}})^{\op{opp}}\ra\op{Top}$
    die {\bf derivierte Garbenopfaserung}.
    Sie hat $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ als Faser "uber $X$. Nach Konstruktion
    sind unsere Identifikationen Morphismen von $\DZ$-Funktoren.
    Nach \ref{stKK} haben wir f"ur ein kommutatives Diagramm
    topologischer R"aume
    \begin{displaymath}
\xymatrix{
W \ar[d]_q\ar[r]^g &Z \ar[d]^p\\
X \ar[r]_f &Y
}
    \end{displaymath}
    und $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/Z})$ einen Basiswechselmorphismus
    \begin{equation*} f^* p_* \mathcal{F}\rightarrow  q_* g^* \mathcal{F}
\end{equation*}
    in $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$, wenn denn
    $p_* \mathcal{F}$ und $q_* g^* \mathcal{F}$
    definiert sind, wenn also $\mathcal{F}$ entfaltbar ist f"ur $p_*$
    und $ g^* \mathcal{F}$ entfaltbar f"ur $q_*$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Derivierter eigentlicher Basiswechsel}]
  Ist $fq=pg$ ein kartesisches Quadrat topologischer R"aume
  mit eigentlichen und separierten Vertikalen $q,p$ und ist
  $\mathcal{F}$ entfaltbar ist f"ur $p_*$
  und $ g^* \mathcal{F}$ entfaltbar f"ur $q_*$, so ist der Basiswechsel
  ein Isomorphismus $$f^* p_* \mathcal{F}\sira  q_* g^* \mathcal{F}$$
\end{Satz}

\begin{proof}
  Sollte aus \ref{EBWA} folgen, mit relativ kompaktweichen Aufl"osungen. 
\end{proof}



\subsection{Funktoren f"ur Einbettungen}
\emph{Eine hoffentlich bessere Version ist \ref{ELOK}.} 




\begin{Proposition}[\textbf{Ausdehnung durch Null}]\index{Ausdehnung durch Null}
Ist $f: Y \hookrightarrow X$ eine lokal abgeschlossene Einbettung
und $\cal{F}$
eine abelsche Garbe auf $Y$, so ist im \'etalen Raum
$\overline{f_{(\ast)}\cal{F}}$ der Bildgarbe die Vereinigung aller Halme
"uber Punkten von
$f(Y)$ mit dem Bild des Nullschnitts\label{Adehn} 
 auch ein \'etaler Raum  "uber $X$ und definiert 
eine
abelsche Untergarbe
$$f_{(!)} \cal{F} \subset f_{(\ast)} \cal{F}$$
\end{Proposition}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildfF}\\[4mm]
\noindent 
Die 
Ausdehnung durch Null und das direkte Bild der konstanten Garbe $\cal{F}$
mit Halm $\DZ/2\DZ$ unter der offenen Einbettung $f:\DR^\times\hra \DR$.
Dargestellt sind zwei R"aume, bei denen die Garbe der stetigen Schnitte 
der offensichtlichen vertikalen Projektion auf die waagerechte Gerade
gerade 
$f_{(!)}\cal{F}$ bzw.\ $f_{(*)}\cal{F}$ sind.\index{)7@$f_{({~!})}$ Ausdehnung
  durch Null} 
Im ersten Fall ist diese vertikale Projektion  \'{e}tale
und wir sehen den  \'{e}talen Raum der Ausdehnung durch Null. 
Im zweiten Fall ist die vertikale Projektion jedoch nicht \'{e}tale,
der \'{e}tale Raum des direkten Bildes ist eben nicht Hausdorff und deshalb
schwer graphisch darzustellen. Man erkennt jedoch gut, da"s der Halm 
am Ursprung der Garbe $f_{(*)}\cal{F}$ aus genau vier Elementen besteht: 
Kommt von unten bleibt unten, kommt von oben bleibt unten, 
kommt von unten geht nach oben, kommt von oben geht wieder nach oben. 
\end{figure}

\begin{Bemerkungl}
Ist  $f: Y \hookrightarrow X$ die Einbettung
einer lokal abgeschlossenen Teilmenge und $\cal{F} \in \op{Ab}_{/Y}$ 
eine abelsche
Garbe auf $Y$, so hat $f_{(!)}\cal{F}$ auf $Y$ dieselben Halme
wie $f_{(\ast)}\cal{F}$
und  nach \ref{AdIc} damit auch dieselben Halme
wie $\cal{F}$. Au"serhalb von $Y$ jedoch verschwinden alle Halme der
Garbe $f_{(!)} \cal{F}$, die deshalb  die
{\bf Ausdehnung von $\cal{F}$ 
durch Null}\index{Ausdehnung durch Null} hei"st. Bredon \cite{Bre}
notiert die Ausdehnung durch Null 
$\cal{F}^X$.\index{)6@$\cal{F}^X$ Ausdehnung von durch Null}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Man kann umgekehrt zeigen, da"s f"ur 
$f:Y\hra X$ eine beliebige 
Einbettung und $\cal{F}$ eine konstante nichttriviale
Garbe auf $Y$ der in der Proposition betrachtete Teilraum
von $\overline{f_{(\ast)}\cal{F}}$ genau dann \'etale ist "uber $X$, wenn
$f$ lokal abgeschlossen ist. F"ur mehr dazu vergleiche \cite{God}.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Ist $f$ abgeschlossen, so ist unser Teilraum der ganze \'etale Raum
von $f_{(\ast)} \cal{F}$, also ist nichts zu
zeigen und
wir haben  $f_{(!)} \cal{F} = f_{(\ast)} \cal{F}$. 
Ist $f$ offen, so ist der fragliche Teilraum offen in
$\overline{f_{(\ast)}\cal{F}}$ und die Proposition ist wieder offensichtlich.
Im allgemeinen schreiben wir $f= i \circ j$ 
als Verkn"upfung von Einbettungen mit $i$ abgeschlossen und $j$ offen
und betrachten die Untergarbe
$i_{(\ast)} j_{(!)} \cal{F} \subset i_{(\ast)}j_{(\ast)} \cal{F} =
f_{(\ast)} \cal{F}$.
Ihr \'etaler Raum ist offensichtlich genau die fragliche Teilmenge von
$\overline{f_{(\ast)} \cal{F}}$ und das zeigt die Proposition.
\end{proof}






\begin{Bemerkungl}[\textbf{Transitivit"at eigentlicher Bilder}] 
Gegeben $Z \overset{g}{\ra} Y \overset{f}{\ra} X$ lokal 
abgeschlossene Einbettungen
und $\cal{F} \in \op{Ab}_{/Z}$ eine abelsche Garbe auf $Z$ haben wir
$$f_{(!)} (g_{(!)}\cal{F}) = (f \circ g)_{(!)} \cal{F}$$
In der Tat sind beide Seiten  Untergarben 
von $ f_{(\ast)}
\left(g_{(\ast)} \cal{F}\right)=(f\circ g)_{(\ast)} \cal{F} $ 
mit denselben Halmen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Ist $f: Y \hookrightarrow X$ eine lokal abgeschlossene Einbettung
und $\mathcal F\in\op{Ab}_{/Y}$,
so k"onnen die Schnitte von $f_{(!)}\mathcal F$ "uber $U\co X$
beschrieben werden als $$(f_{(!)}\mathcal F)(U)=
\{s\in \mathcal F(f^{-1}(U))\mid \op{supp}s\ra U
\text{ ist eigentlich}\}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Proposition}
Ist $f: Y \hookrightarrow X$ eine lokal abgeschlossene Einbettung, so
besitzt die Ausdehnung durch Null $f_{(!)} : \op{Ab}_{/ Y} \ra \op{Ab}_{/X}$
einen Linksadjungierten\label{SMT}
$$ f^{(!)} : \op{Ab}_{/X} \ra \op{Ab}_{/ Y}$$
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
  Im Beweis konstruieren wir  f"ur jede offene Einbettung $f$ sogar eine
ausgezeichnete Adjunktion $(f_{(!)}, f^{(*)})$.\label{agAD}  
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Es reicht, das f"ur Einbettungen von offenen und 
von abgeschlossenen Teilmengen zu
zeigen. 
Offensichtlich induziert f"ur jede lokal abgeschlossene Einbettung $f$ unsere 
Transformation $f_{(!)}\RA f_{(\ast)}$
"Aquivalenzen $f^{(\ast)}f_{(!)}\overset{\sim}{\RA}f^{(\ast)} f_{(\ast)} 
\overset{\sim}{\RA} \op{id}$ und damit ein kartesisches Diagramm
$$\xymatrix{
\bar{\cal{F}} \ar[r]\ar[d] & \overline{f_{(!)}\cal{F}}\ar[d]\\
Y \ar[r]^{f} &X
}$$
Ist $f$ offen, so ist auch die obere Horizontale eine offene Einbettung und 
$\overline{f_{(!)}\cal{F}}$ ist "uberdeckt durch das offene Bild von
$\bar{\cal{F}}$ und den offenen Nullschnitt. Mit \eref{aff}{AN1} 
folgt, da"s $f^{(\ast)}$ Isomorphismen $\op{Ab}_{/X} (f_{(!)}\cal{F}, \cal{G})
\overset{\sim}{\ra} \op{Ab}_{/Y}(\cal{F}, f^{(\ast)}\cal{G})$ induziert,
so da"s wir 
sogar eine Adjunktion
$(f_{(!)}, f^{(\ast)})$ erhalten und  schlicht $f^{(!)} = f^{(\ast)}$
nehmen k"onnen.
Ist andererseits 
$f$ eine abgeschlosssene Einbettung und $j: U \hookrightarrow X$ das offene
Komplement von $f(Y)$, so betrachten wir 
$$f^{(!)} \cal{G} = f^{(\ast)} \op{ker} 
(\cal{G} \ra j_{(\ast)} j^{(\ast)} \cal{G})$$
Jeder Morphismus $f_{(\ast)} \cal{F} \ra \cal{G}$ wird ja sicher von
$j^{(\ast)}$ anulliert und faktorisiert folglich "uber
$\cal{K} = \op{ker} (\cal{G} \ra j_{(\ast)} j^{(\ast)}\cal{\cal{G}})$.
Dieser Kern hat aber Tr"ager in $f(Y)$. So erhalten  wir
den ersten Isomorphismus der Sequenz
$$
\op{Ab}_{/X} (f_{(\ast)}\cal{F}, \cal{G}) \overset{\sim}{\ra} \op{Ab}_{/X}
(f_{(\ast)}\cal{F}, \cal{K})
\overset{\sim}{\ra} \op{Ab}_{/Y} (\cal{F},f^{(\ast)}\cal{K})
$$
Der zweite Isomorphismus kommt aus \ref{AIA}.
Das konstruiert  den rechtsadjungierten Funktor im Fall einer 
abgeschlossenen Einbettung.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Injektive Garben sind welk}] 
Wir geben ein alternatives Argument f"ur unsere Erkenntnis vom
Beginn des Beweises f"ur \ref{UZT}, da"s\label{InWe}  
jede injektive Garbe welk ist. Ist $\cal{I}$ eine
injektive Garbe auf einem topologischen Raum $X$ und $j:U\hra X$
die Einbettung einer offenen Teilmenge, so liefert die Einbettung
$j_{(!)}\DZ_U\hra\DZ_X$ eine Surjektion
$\op{Ab}_{/X}(\DZ_X, \cal{I})\sra 
\op{Ab}_{/X}(j_{(!)}\DZ_U, \cal{I})$, die wir wegen
unserer Isotransformation $j^{(!)}\siRa j^{(\ast)}$ 
umschreiben k"onnen zu einer Surjektion 
$\Gamma(X;\cal{I})\sra \Gamma(U;\cal{I})$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  F"ur jede abgeschlossene Einbettung $f$ 
liefern die kanonischen Einbettungen 
eine Isotransformation $f_{(!)} \siRa f_{(\ast)}$. 
  F"ur jede lokal abgeschlossene Einbettung $f$ 
erhalten wir eine Transformation $f^{(!)} \RA f^{(\ast)}$, 
indem wir auf die durch die Adjunktionen gegebene Transformation
$f_{(!)}f^{(!)} \RA \op{id}\RA f_{(\ast)}f^{(\ast)}$ 
den Funktor $f^{(\ast)}$ anwenden und 
die "Aquivalenzen $f^{(\ast)}f_{(!)}\overset{\sim}{\RA}f^{(\ast)} f_{(\ast)} 
\overset{\sim}{\RA} \op{id}$ ben"utzen.
F"ur jede
  offene Einbettung $f$ ist diese Transformation
unsere Isotransformation  $f^{(!)} \siRa f^{(\ast)}$
aus \ref{agAD}. 
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildYUV}\\[4mm]
\noindent Graphische Darstellung von $X,Y,U,V$ aus der
Definition der Garbe der lokalen Schnitte $\Gamma_Y\cal{F}$ 
f"ur $Y$ ein 
offenes Geradensegment und $\cal{F}$ eine abelsche Garbe auf
der Ebene $X$.
\end{figure}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktoren zu lokal
    abgeschlossener Teilmenge}]  
F"ur $Y\subset X$ eine lokal abgeschlossene\label{KaFuu} 
Teilmenge erhalten wir damit insgesamt vier Funktoren 
von $\op{Ab}_{/X}$ zu sich selber, die wir im folgenden
der Reihe nach diskutieren. Sei $\cal{G}$ eine abelsche Garbe auf $X$
und bezeichne $i:Y\hra X$ die Einbettung.
\begin{description}
\item
[$i_{(\ast)}i^{(\ast)}\cal{G}$] hat meines Wissens keinen besonderen Namen.
Sogar f"ur $Y\subset X$ nicht notwendig lokal abgeschlossen lassen sich
die Schnitte dieser Garbe "uber $U\co X$ offen 
beschreiben als $(i_{(\ast)}i^{(\ast)}\cal{G})(U)
=\cal{G}(U\cap Y)$ mit der Notation von
\ref{EsRg} f"ur Schnitte einer Garbe 
"uber beliebigen, nicht notwendig offenen Teilmengen rechts.
\item[$i_{(!)}i^{(!)}\cal{G}$]
hat keinen Namen, ist jedoch, was man a priori  
die \glqq Garbe der Schnitte von $\cal{G}$ mit Tr"ager in
      $Y$\grqq\  w"urde nennen wollen:
    F"ur jede offene Teilmenge
    $U\co X$ haben wir ja
    $(i_{(!)}i^{(!)} \cal{G})(U) 
= \left\{ s \in \cal{G} (U) \mid \op{supp}s\subset
      Y\right\}$. 
    \item[$i_{(\ast)}i^{(!)}\cal{G}$] hei"st 
  die {\bf Garbe der Schnitte von
    $\cal{G}$ mit Tr"ager in $Y$}\index{Garbe!der Schnitte mit Tr"ager in Teilmenge} und wird oft 
  $i_{(\ast)}i^{(!)}\cal{G}=\Gamma_Y\cal{G}$
  notiert. 
Mir gef"allt diese Terminologie nur m"assig.
F"ur abgeschlossenes $Y\As X$ erhalten wir zwar so die
Garbe der Schnitte von $\cal{G}$ mit Tr"ager in $Y$, im allgemeinen jedoch
sind die Schnitte  dieser Garbe
$\Gamma_Y\cal{G}$\index{G@$\Gamma_Y$ Schnitte mit Tr"ager in $Y$}
"uber einer offenen Menge $U$ keineswegs diejenigen Schnitte
$s\in \cal{G}(U)$, 
deren Tr"ager  in $Y$ enthalten ist.
Vielmehr sind  die Schnitte von $\Gamma_Y\cal{G}$ "uber einer
offenen Menge $U$ 
kanonisch isomorph zu den Schnitten
von $\cal{G}$ "uber $V$ mit Tr"ager in $Y\cap U$ f"ur eine
und jede offene Teilmenge $V\co X$ derart, da"s
$Y\cap U$  abgeschlossen ist in $V$. Um das einzusehen, schreibe man unsere
Einbettung als Verkn"upfung einer abgeschlossenen Einbettung gefolgt von
 einer
offenen Einbettung. F"ur $Y\As X$ abgeschlossen f"allt das mit
$i_{(!)}i^{(!)}\cal{G}$ zusammen, f"ur $Y\co X$ offen mit
$i_{(\ast)}i^{(\ast)}\cal{G}$.
\item[$i_{(!)}i^{(\ast)}\cal{G}$] wird meist $\cal{G}_Y$
  notiert.\index{$\cal{G}_Y$ bei Garben}
Ich wei"s nicht, wie diese Garbe in Worten genannt wird. 
Spaltenstein benutzt die Notation $\cal{G}_{Y\subset X}$, die mir fast
noch besser gef"allt. F"ur $Y\As X$ abgeschlossen f"allt das mit
$i_{(\ast)}i^{(\ast)}\cal{G}$ zusammen, f"ur $Y\co X$ offen mit
$i_{(!)}i^{(!)}\cal{G}$.
\end{description}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Bei einer Komposition unserer Funktoren 
in der anderen Richtung erh"alt man stets 
die urspr"ungliche Garbe zur"uck: F"ur $i^{(\ast)}i_{(!)}$ und 
$i^{(\ast)}i_{(\ast)}$ ist das eh klar, damit folgt es 
f"ur offene Einbettungen auch bei $i^{(!)}i_{(!)}$ und 
$i^{(!)}i_{(\ast)}$ und da jede lokal abgeschlossene Einbettung 
die Komposition einer offenen mit einer abgeschlossenen
Einbettung ist, brauchen wir nur noch die letzten beiden 
F"alle im Fall einer abgeschlossenen Einbettung betrachten, 
in denen sie sofort aus der expliziten Beschreibung des
Funktors $i^{(!)}$ im Beweis von \ref{SMT} folgen.
Formaler liefert nach \ref{AdIc} sogar f"ur eine beliebige Einbettung 
die Adjunktionstransformation eine Isotransformation
$ i^{(\ast)}i_{(\ast)}\overset{\sim}{\RA} \op{id}$ und nach \ref{EQK} 
liefert im Fall einer  lokal abgeschlossenen Einbettung 
die Adjunktionstransformation 
auch eine Isotransformation $\op{id}\overset{\sim}{\RA} i^{(!)}i_{(!)}$.
Die beiden verbleibenden Isotransformationen kann man formal 
auch verstehen als 
einen Spezialfall des 
in \ref{BaWe} diskutierten  Basiswechsels.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{BaWEE}
Sind $Y$ und $Z$ beide lokal abgeschlossen, so folgt 
$(\cal{G}_Y)_Z=\cal{G}_{(Y\cap Z)}$. Das wird zum Beispiel aus
dem  allgemeinen
Basiswechsel \ref{BaWe} folgen, man kann es aber 
auch explizit einsehen.
\end{Bemerkungl}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
Seien $\mathcal F,\mathcal I\in\op{Ab}_{/X}$ abelsche Garben auf einem
topologischen Raum.  
Ist $\mathcal I$  injektiv, so ist  die 
Hom-Garbe $\op{Hom}(\mathcal F,\mathcal I)\in\op{Ab}_{/X}$ welk. \label{Hiw} 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{FUE}
F"ur jede lokal abgeschlossene Einbettung $f$ ist $f_{(!)}$ exakt
und volltreu
und $f^{(!)}$ linksexakt.  
\end{Ubung}




\subsection{Derivierte Funktoren f"ur Einbettungen} 

  \begin{Bemerkungl}
    F"ur jede lokal abgeschlossene Einbettung $f$ sind $f^{(*)}, f_{(!)}$
    exakte Funktoren und $f_{(*)}, f^{(!)}$ linksexakte Funktoren,
    vergleiche  \ref{FUE}. 
Wir bezeichnen die Linksderivierten der ersten beiden Funktoren mit 
 $f^{*}, f_{!}$ und die Rechtsderivierten der beiden letzten Funktoren
mit $f_{*}, f^{!}$.
Unsere Adjunktionen $(f^{(*)}, f_{(*)})$ und $(f_{(!)}, f^{(!)})$
induzieren nach 
\ref{AddF} partielle 
Adjunktionen $(f^{*}, f_{*})$ und $(f_{!}, f^{!})$
zwischen den entsprechenden derivierten Funktoren auf den
gegen die Pfeile beschr"ankten derivierten Kategorien.
  \end{Bemerkungl}
 

\begin{Proposition}[\textbf{Gysin-Sequenzen}]
Seien $\cal{F} \in \op{Der}^{+}(\op{Ab}_{/X})$ ein gegen die Pfeile\label{KuEG}
beschr"ankter Komplex
abelscher Garben auf einem Raum
$X$ und $X =U\amalg Y$ eine Zerlegung von $X$ 
in eine offene Teilmenge $U$ und ihr
abgeschlossenes Komplement $Y$. So lassen sich 
die Adjunktionsabbildungen zu den
Einbettungen $i: Y \hookrightarrow X$ und 
$j: U \hookrightarrow X$ auf genau eine Weise 
durch Morphismen vom Grad Eins erg"anzen zu
ausgezeichneten Dreiecken
$$\begin{array}{ccccccc}
j_{!}j^{!} \cal{F} &\ra & \cal{F}&\ra 
& i_{\ast}i^{\ast} \cal{F}&\overset{[1]}{\ra}\\
i_{!}i^{!}\cal{F}&\ra &\cal{F}&\ra 
& j_{\ast}j^{\ast}\cal{F} &\overset{[1]}{\ra}
\end{array}$$
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
Das erste Dreieck
werden wir im folgenden sogar in der vollen derivierten Kategorie
f"ur beliebiges $\cal{F} \in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ herleiten.
Das zweite Dreieck erhalten wir auch in voller Allgemeinheit mit
den Argumenten des folgenden Beweises, wenn wir
die Erkenntnis \ref{AUGK} benutzen, da"s jeder Komplexe von Garben
eine homotopieinjektive Aufl"osung durch einen Komplex aus injektiven Garben besitzt.
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}[Beweis]
Offensichtlich liefern f"ur jede abelsche Garbe $\cal{F} \in \op{Ab}_{/X}$ die 
Adjunktionsmorphismen eine kurze exakte Sequenz
$$j_{(!)}j^{(!)} \cal{F}\hookrightarrow \cal{F} 
\twoheadrightarrow i_{(\ast)}i^{(\ast)} \cal{F}$$
Betrachten wir diese kurzen exakten Sequenzen f"ur 
Komplexe von Garben und beachten, da"s unsere Funktoren soweit
alle exakt sind, so erhalten wir mit \ref{Kzu} 
f"ur alle $\cal{F} \in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ sogar ausgezeichnete Dreiecke
$$j_{!}j^{!}\cal{F} \ra \cal{F} \ra i_{\ast}i^{\ast} 
\cal{F} \overset{[1]}{\ra}$$
in $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$.
Der dritte Pfeil $i_{\ast}i^{\ast}\cal{F} \ra j_{!}j^{!}\cal{F}[1]$
 wird hier nach \ref{EDPn}
bereits durch die beiden anderen festgelegt,
da ja aus $i^{\ast}j_{!}=0$ und einer Adjunktion
folgt   $\op{Der}_{\op{Ab}/X}(j_{!}j^{!}\cal{F}[1],i_{\ast}i^{\ast}
\cal{F})=0$.  
Damit ist das erste Dreieck hergeleitet.
Per definitionem 
liefern f"ur jede abelsche Garbe $\cal{F} \in \op{Ab}_{/X}$ die 
Adjunktionsmorphismen auch eine linksexakte Sequenz
$$i_{(!)}i^{(!)} \cal{F}\hookrightarrow \cal{F} 
\rightarrow j_{(\ast)}j^{(\ast)} \cal{F}$$
Man erkennt, da"s sie f"ur welkes $\cal{F}$ sogar
exakt ist, und folgert  "ahnlich wie zuvor
die  Existenz und Eindeutigkeit des zweiten Dreiecks,
erst einmal nur f"ur  $\mathcal F\in \op{Der}^+(\op{Ab}_{/X})$, mit
\ref{AUGK} aber auch im allgemeinen.
\end{proof}
\emph{Es w"are sch"on, wenn man die ganzen Formeln aus 
Kashiwara-Schapira als Basiswechsel schreiben k"onnte.}


\begin{Bemerkungl}
Ist $X$ parakompakt und $i : Y \hookrightarrow X$ 
eine lokal abgeschlossene Teilmenge
und $\mathcal{F}$ eine weiche Garbe auf $X$, 
so ist auch $\mathcal{F}_Y = i_! i^\ast \mathcal{F}$
eine weiche Garbe auf $X$.
Wegen \ref{BaWEE} brauchen wir das nur f"ur offene 
und abgeschlossene Einbettungen
zu zeigen. Im ersten Fall $Y \co X$ liefert jeder 
Schnitt von $\mathcal{F}_Y$ "uber
$A \As X$ nat"urlich einen Schnitt von $\mathcal{F}$ 
"uber $A$, den wir durch Null
auf $A \cup (X/Y)$ fortsetzen k"onnen.
Da $\mathcal{F}$ weich ist, k"onnen wir ihn weiter 
fortsetzen auf $X$, und diese
Fortsetzung landet schon in $\mathcal{F}_Y$ nach Konstruktion.
Im zweiten Fall $Y \As X$ betrachten wir sein offenes 
Komplement, die erste kurze exakte
Sequenz aus dem Beweis von \ref{KuEG} und Lemma \ref{wei} 
und sind fertig unter
Verwendung des ersten Falls.
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Gysin-Sequenz als lange exakte Kohomologiesequenz}] 
 Gegeben  ein erblich parakompakter 
lokal zusammenziehbarer topologischer Raum $X$ 
und eine Zerlegung $ X=U\sqcup Y$ in eine offene Teilmenge
 und 
deren Komplement und $i : Y \hookrightarrow X$ sowie
$j : U \hookrightarrow X$ die Einbettungen
konstruieren wir nun kanonische Isomorphismen
\begin{equation*}
 \tau : {\op{H}}^q_{\op{sing}} (X, U ) 
\overset{\sim}{\rightarrow} {\op{H}}^q (Y; i^! \mathbb Z_X)
\end{equation*}
zwischen der relativen singul"aren Kohomologie und der
Garbenkohomologie von $Y$ mit Koeffizienten in 
der exzeptionell zur"uckgeholten konstanten Garbe $i^! \mathbb Z_X$.
Dazu erinnern wir an den Komplex 
$\mathcal S^\ast_X$ der lokalen singul"aren Koketten.
Mit unserer Erkenntnis \ref{weSK}, da"s die Garben der 
lokalen singul"aren Koketten auf erblich
parakompakten R"aumen welk sind,
erhalten wir eine kurze exakte Sequenz
\begin{equation*}
 i_{(!)} i^{(!)} \mathcal S^\ast_X \hookrightarrow 
\mathcal S_X^\ast \twoheadrightarrow j_{(\ast)}j^{(\ast)}
\mathcal S^\ast_X
\end{equation*}
 von Komplexen von Garben auf $X$.
Wieder da besagte Garben welk sind, erhalten wir die 
Exaktheit der oberen Zeile im Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
\Gamma (i_{(!)}i^{(!)} \mathcal S^\ast_X) \ar@{^{(}->}[r] 
& \Gamma \mathcal S^\ast_X \ar@{->>}[r] & \Gamma
(j_{(\ast)} j^{(\ast)} \mathcal S^\ast_X)\\
{\op{S}}^\ast (X,U)\ar@{-->}[u] \ar@{^{(}->}[r] 
& {\op{S}}^\ast X \ar[u] \ar@{->>}[r]&  {\op{S}}^\ast U \ar[u]
}
\end{displaymath}
Der rechte vertikale Pfeil kommt dabei von der nat"urlichen Identifikation
\begin{equation*}
\Gamma (j_{(\ast)} j^{(\ast)} \mathcal S_X^\ast) 
= \Gamma (j^{(\ast)} \mathcal S^\ast_X) \overset{\sim}{\rightarrow}
\Gamma (\mathcal S_U^*)
\end{equation*}
her und der linke vertikale Pfeil ist die auf den Kernen induzierte Abbildung.
Nun sind aber die beiden rechten Vertikalen Quasiisomorphismen nach \ref{SiKo}
 und dasselbe folgt f"ur die linke Vertikale.
Mit den so erkl"arten Isomorphismen
\begin{equation*}
 {\op{H}}^\ast_{\op{sing}} (X,U) \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{H}}^\ast (X; i_! i^! \mathbb Z_X)
\end{equation*}
kommutiert dann zus"atzlich das Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{\scriptstyle 
\ldots \rightarrow {\op{H}}^q_{\op{sing}} (X,U) \ar[r] \ar[d]^-\wr 
&\scriptstyle  {\op{H}}^q_{\op{sing}} X\ar[r]\ar[d]_-\wr 
&\scriptstyle  {\op{H}}^q_{\op{sing}} U\ar[r]
\ar[d]_-\wr &\scriptstyle {\op{H}}^{q+1}_{\op{sing}} (X,U) 
\rightarrow \ldots \ar[d]_-\wr\\\scriptstyle 
\ldots \rightarrow  {\op{H}}^q (X;i_!i^! \mathbb Z_X) \ar[r] 
& \scriptstyle {\op{H}}^q (X; \mathbb Z_X) \ar[r] 
&\scriptstyle  {\op{H}}^q (U; j_\ast j^\ast \mathbb Z_X)
\ar[r] &\scriptstyle  {\op{H}}^{q+1} (X; i_!i^! \mathbb Z_X) 
\rightarrow \ldots
}
\end{displaymath}
In diesem Sinne ist also unsere Gysin-Sequenz 
ein garbentheoretisches Analogon der
langen exakten Kohomologiesequenz aus der singul"aren Kohomologietheorie.
\end{Bemerkungl}





\begin{Bemerkungl}
Gegeben $Y \As X$ eine abgeschlossene Teilmenge 
mag man die volle Unterkategorie
$\op{Der}_Y (\op{Ab}_{/X}) \subset \op{Der} (\op{Ab}_{/X})$ aller Komplexe 
$\mathcal{F}$ betrachten, deren Kohomologie 
$\mathcal{H}^q \mathcal{F}$ aus Garben
mit Tr"agern in $Y$ besteht.
Ich behaupte, da"s das direkte Bild eine "Aquivalenz
\begin{equation*}
i_\ast : \op{Der} (\op{Ab}_{/Y}) 
\overset{\sim}{\rightarrow}\op{Der}_Y (\op{Ab}_{/X})
\end{equation*}
induziert.
Da die Adjunktionstransformation ein Isomorphismus 
$i^\ast i_\ast \overset{\sim}{\rightarrow}\op{id}$
ist, mu"s unser Funktor $i_\ast$ nach \ref{EQK} volltreu sein.
Da die Restriktion $j^\ast = j^!$ auf das Komplement 
$U$ von $Y$ alle Komplexe
aus $\op{Der}_Y (\op{Ab}_{/X})$ auf Null wirft, folgt 
aus der ersten unserer Gysinsequenzen bereits
$\mathcal{F} \overset{\sim}{\rightarrow} i_\ast 
i^\ast \mathcal{F}$ f"ur $\mathcal{F} \in \op{Der}_Y
(\op{Ab}_{/X})$.
\end{Bemerkungl}

\subsection{Garben auf Simplizialkomplexen}
\begin{Bemerkungl}
  Ich arbeite mit der in \eref{SKk}{TF} eingef"uhrten Terminologie.
Seien $\mathcal K$ ein  Simplizialkomplex und $|\mathcal K|$
sein Polyeder und
\begin{equation*}
p :  |\mathcal K| \rightarrow \mathcal K
\end{equation*}
seine {\bf Indikatorabbildung},\index{Indikatorabbildung}
die jedem Punkt denjenigen Simplex zuordnet,
in dessen offenem Inneren er liegt. Die Faser "uber $\sigma$ notieren wir
$|\sigma|^\circ\pdef p^{-1}(\sigma)$ und nennen sie den
{\bf geometrischen offenen Simplex zu $\sigma$}.\index{Simplex!geometrischer offener} 
Wir versehen die Menge $\mathcal K$ der Simplizes
mit der Finaltopologie. Sie kann
auch als die Ordnungstopologie beschrieben werden,
 in der Teilmengen  genau dann abgeschlossen sind,
wenn sie mit einem Element auch jedes Kleinere enthalten.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Seien $\mathcal K$ ein Simplizialkomplex und $p :  |\mathcal K| \rightarrow \mathcal K$ seine Indikatorabbildung. Nach "Ubung \ref{AdI}
  "uber finales Zur"uckholen bei zusammenh"angenden Fasern
  ist f"ur jede Garbe $\mathcal G\in \op{Ens}_{/\mathcal K}$ die Einheit
  der Adjunktion ein Isomorphismus $\mathcal G\sira p_\ast p^\ast \mathcal G$.
  Folglich ist das Zur"uckholen $p^\ast$ ein volltreuer Funktor.  Garben auf geordneten Mengen diskutieren wir in
  gro"ser Allgemeinheit in \ref{GOTo}. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}[\textbf{Simplizial konstante Garben auf Simplizialkomplexen}] 
Seien $\mathcal K$ ein Simplizialkomplex und $p :  |\mathcal K| \rightarrow \mathcal K$ seine Indikatorabbildung.  F"ur eine Garbe $\mathcal F\in\op{Ens}_{/|\mathcal K|}$ sind dann\label{skom} 
  gleichbedeutend:
  \begin{enumerate}
  \item
    Die Garbe  $\mathcal F$ geh"ort
    zum wesentlichen Bild des R"uckholfunktors $p^\ast$;
  \item
Die Koeinheit der Adjunktion  liefert einen Isomorphismus
$p^\ast p_\ast\mathcal F\sira  \mathcal F$;
\item
 Unsere Garbe ist
   \emph{\bf simplizial konstant},\index{simplizial konstant!Garbe}\index{Garbe!simplizial konstante}
  als da hei"st, ihre
 Restriktion auf jeden geometrischen offenen Simplex
  ist konstant.
  \end{enumerate}
\end{Lemma}
  \begin{proof}  
    1$\IFF$2 folgt aus  allgemeinen Resultaten \eref{AduA}{TF}
    "uber adjungierte Funktoren.
Um die "Aquivalenz mit 3 zu zeigen, m"ussen wir weiter ausholen.
   Sicher besitzt jeder
  Punkt $\sigma\in \mathcal K$ eine kleinste offene Umgebung,
  n"amlich die Menge $\op{u}(\sigma)\pdef\{\kappa\mid \kappa\supset \sigma\}$.
  F"ur $\mathcal G\in \op{Ens}_{/\mathcal K}$ liefert das Bilden des Halms mithin
 eine Bijektion  $\mathcal G(\op{u}(\sigma))\sira\mathcal G_\sigma$.  
  Das Urbild von $\op{u}(\sigma)$ unter der Indikatorabbildung
  hei"st der {\bf offene Stern zu $\sigma$}\index{offener Stern}\index{Stern, offener} und wird notiert als
  $$\op{St}(\sigma)=\op{U}(\sigma)\pdef p^{-1}(\op{u}(\sigma))$$
  Gegeben $x\in |\mathcal K|$ mit $p(x)=\sigma$ haben wir also
  nat"urliche Isomorphismen 
  $$(p^\ast p_\ast\mathcal F)_x\sira (p_\ast\mathcal F)_\sigma\sira
  (p_\ast\mathcal F)(\op{u}(\sigma))\sira \mathcal F(\op{U}(\sigma))$$
  vermittels unserer Beschreibung der Halme einer zur"uckgezogenen Garbe,
  der Definition des Halms und der Definition der Bildgarbe.
  Sie zeigen die "Aquivalenz von 1 und 2 zu folgender  Bedingung
 
{\em
\begin{enumerate}
\item[4.] F"ur jeden Simplex $\sigma$ und
  jedes $x\in |\sigma|^\circ$  liefert die Restriktion eine Bijektion
  $\mathcal F(\op{U}(\sigma))\sira \mathcal F_x$.
\end{enumerate}}
\noindent
Damit bleibt nur noch 3$\IFF$4 zu zeigen. Hier ist 4$\RA$3 offensichtlich und uns bleibt 
3$\RA$4. Es ist offensichtlich, da"s f"ur eine Garbe $\mathcal F$, deren Restriktion auf jeden geometrischen offenen
Simplex $| \eta |^\circ$ mit $\eta \supset \sigma$ konstant ist, die Restriktion Injektionen
\begin{equation*}
\mathcal F ({\op{U}} (\sigma)) \hookrightarrow \mathcal F_x
\end{equation*}
induziert f"ur alle $x \in | \sigma |^\circ$.
Um zu zeigen, da"s sie auch Surjektionen induziert, beschr"anken wir uns zun"achst auf den Fall eines
endlichen Simplizialkomplexes $\mathcal K$.
Dann k"onnen wir eine stetige $\mathbb R$-Operation auf ${\op{U}} (\sigma)$ erkl"aren, die
${\op{U}} (\sigma)$ f"ur $t \rightarrow \infty$ auf den einzigen Fixpunkt $x$ zusammenzieht, auf deren Bahnen unsere
Garbe $\mathcal F$ jeweils konstant ist, und die topologisch frei ist auf ${\op{U}} (\sigma) \backslash x$.
Jedes Element $s \in \mathcal F_x$ des Halms l"a"st sich weiter auf eine Umgebung $U$ ausdehnen und wir finden
in jeder Umgebung $U$ von $x$ eine Teilmenge $L$ derart, da"s die $\mathbb R$-Operation einen Hom"oomorphismus
$\mathbb R \times L \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{U}} (\sigma) \backslash x$ induziert und da"s $\mathbb R_{\geq 0} 
\times L$ ganz nach $U$ abgebildet wird.
Schr"anken wir dann $s$ auf $L$ ein und dehnen es mithilfe von \ref{FKGa} auf ${\op{U}} (\sigma)\backslash x$ aus, so
verkebt es mit dem Halm $s \in \mathcal F_x$ zu einem stetigen Schnitt auf ganz ${\op{U}}(\sigma)$ und die Behauptung
ist bewiesen im Fall eines endlichen Simplizialkomplexes.
Den allgemeinen Fall folgern wir leicht mit
den Resultaten aus \ref{VKS}.
  \end{proof}








\begin{Bemerkungl}[\textbf{Garben auf Kolimites topologischer R"aume}] 
Seien $X$ ein topologischer Raum und $Y \As X$ eine abgeschlossene Teilmenge und $i: Y \hookrightarrow X$
die Einbettung. Gegeben eine Garbe $\mathcal F \in \op{Ens}_{/ X}$ setzen wir $\mathcal F_Y \pdef i_\ast i^\ast \mathcal F$.
Ist nun $\mathcal A \subset \mathcal P (X)$ ein filtrierendes System abgeschlossener Teilmengen mit $X = \op{colf}_{ Y \in \mathcal A} Y$,
so ist der offensichtliche Morphismus ein Isomorphismus
\begin{equation*}
\mathcal F \sira \op{limf}_{Y \in \mathcal A} \mathcal F_Y
\end{equation*}
In der Tat haben wir f"ur $U \co X$ per definitionem $\mathcal F_Y (U) = \{ s : Y \cap U \rightarrow \bar{\mathcal F} \mid 
p \circ s = i\}$ f"ur $i : Y \cap U \hookrightarrow X$ die Einbettung und
$\bar {\mathcal F}$ der \'etale Raum von
$\mathcal F$.
Eine vertr"agliche Familie solcher $s_Y \in \mathcal F_Y (U)$ verklebt dann nach der Definition der Finaltopologie
zu einem stetigen Schnitt $U \rightarrow
\bar{\mathcal F}$.\label{VKS}
\end{Bemerkungl}


\subsection{Abelsche Garben auf Simplizialkomplexen} 



\begin{Satz}[\textbf{Simplizialgarben und die derivierte Kategorie}]
  Gegeben ein lokal endlicher Simplizialkomplex $\mathcal K$  mit
  Indikatorabbildung $p :  |\mathcal K| \rightarrow \mathcal K$
  liefert
  f"ur alle $\mathcal F \in \op{Der}^+ (\op{Ab}_{/\mathcal K})$
  die Einheit der Adjunktion\label{skGn}  
einen Isomorphismus
\begin{equation*}
\mathcal F \overset{\sim}{\rightarrow} p_\ast p^\ast \mathcal F
\end{equation*}
\end{Satz}
\begin{proof}
  %Wegen $p_{(\ast)} = \mathcal H^0 p_\ast$ und $p^{(\ast)} = p^\ast$ folgt die erste Behauptung aus der zweiten.
  Mit offenem Basiswechsel ziehen wir uns m"uhelos auf den
  Fall eines endlichen Simplizialkomplexes zur"uck. 
Sei $\mathcal K = \mathcal K_{\leq n}$.
Bezeichne $i : \mathcal K_{<n} \hookrightarrow \mathcal K$ die abgeschlossene Einbettung und
$j: \mathcal K_n \hookrightarrow \mathcal K$ die offene Einbettung des Komplements. Wir erhalten ein
ausgezeichnetes Dreieck
$$i_! i^! \mathcal F \rightarrow \mathcal F \rightarrow j_\ast j^\ast \mathcal F \overset{[1]}{\rightarrow}$$ 
Es reicht zu zeigen, da"s unsere Einheit der Adjunktion Isomorphismen f"ur $i_! i^! \mathcal F$ und $j_\ast
j^\ast \mathcal F$ induziert.
F"ur $i_! i^! \mathcal F$ folgt das mit Induktion "uber die Dimension unseres Simplizialkomplexes.
Statt $j_\ast j^\ast \mathcal F$ reicht es, $u_\ast G$ zu behandeln, f"ur $u : \sigma \hookrightarrow \mathcal K$
die Einbettung eines Punktes $\sigma \in \mathcal K_n \subset \mathcal K$ und $G$ eine abelsche Garbe auf
diesem Punkt alias eine abelsche Gruppe. In der Tat folgt es dann f"ur beschr"ankte Komplexe von abelschen Gruppen und damit folgt in jedem Grad, da"s die Einheit der Adjunktion einen Isomorphismus auf der Kohomologie induziert.
Nun ist das underivierte direkte Bild
$u_{(\ast)} G$ die konstante Garbe $G$ auf dem Abschlu"s $\bar\sigma$ von $\sigma$, fortgesetzt durch Null auf ganz $\mathcal K$.
Insbesondere ist $u_{(\ast)}$ exakt und folglich gilt $u_{(\ast)} = u_\ast$.
Es gilt also f"ur den aus dem Abschlu"s eines einzigen Simplex bestehenden Simplizialkomplex $\mathcal K = \bar{\sigma},
|\mathcal K| = \Delta_n$ und eine konstante Garbe $G_{\bar \sigma}$ zu zeigen $G_{\bar \sigma} \sira
p_\ast p^\ast G_{\bar \sigma}$ unter der Einheit der Adjunktion.
Nat"urlich ist $p^\ast G_{\bar \sigma}$ schlicht die konstante Garbe $G_{|\bar \sigma|}$.
Nach \ref{RHF} kann $\mathcal H^q p_\ast G_{|\bar \sigma|}$ beschrieben werden als Garbifizierung der
Pr"agarbe, deren Schnitte "uber einer offenen Menge $U \co \bar \sigma$ durch die Garbenkohomologie ${\op{H}}^q (p^{-1} (U); G)$ gegeben werden.
Alle diese $p^{-1} (U)$ f"ur $U \neq \emptyset$ sind jedoch zusammenziehbar und nach \ref{HIGK} gilt folglich
$
{\op{H}}^q (p^{-1} (U); G) = G \text{ f"ur } q = 0$ und
Null sonst. So erhalten wir die gew"unschten Isomorphismen
$G_{\bar \sigma} \sira p_\ast p^\ast G_{\bar \sigma}$.
\end{proof}

\begin{Satz}[\textbf{Derivierte Kategorie eines Simplizialkomplexes}]
  Gegeben ein lokal endlicher Simplizialkomplex $\mathcal K$  mit
  Indikatorabbildung $p :  |\mathcal K| \rightarrow \mathcal K$
  und  ein Komplex $\mathcal F \in \op{Der}^+ (\op{Ab}_{/|\mathcal K|})$
  von abelschen Garben auf seiner geometrischen Realisierung 
  sind gleichbedeutend:\label{skGnd}  
  \begin{enumerate}
  \item
    Die Koeinheit der Adjunktion liefert
einen Isomorphismus
$
p^\ast p_\ast \mathcal F \sira  \mathcal F
$;
\item
  Unser Komplex $\mathcal F$ liegt im wesentlichen Bild des nach
  \ref{skGn} volltreuen Funktors $p^\ast:\op{Der}^+ (\op{Ab}_{/\mathcal K})
  \ra \op{Der}^+ (\op{Ab}_{/|\mathcal K|})$;
\item
  Alle Kohomologiegarben $\mathcal H^q\mathcal F$ unseres Komplexes
  sind \hyperref[skom]{simplizial konstant}.
  \end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{proof}
    1$\IFF$2 folgt aus  allgemeinen Resultaten \eref{AduA}{TF}
    "uber adjungierte Funktoren und 2$\RA$3 ist eh klar.
Wir zeigen noch 3$\RA$1. Es reicht, das f"ur beschr"ankte Komplexe zu zeigen.  
Da unser wesentliches Bild eine volle triangulierte Unterkategorie
ist, reicht es sogar, das f"ur in einem Grad konzentrierte Komplexe
zu zeigen. Diesen Fall haben wir jedoch bereits in \ref{skom} erledigt.
\end{proof}


\subsection{Homotopieflache Aufl"osungen}
\begin{Definition}
  Sei $k$ ein Ring. Ein Komplex $\mathcal F\in k\op{-Mod}_{/X}$ 
von Garben von $k$-Moduln
"uber einem topologischen Raum $X$ hei"st 
{\bf homotopieflach}\index{homotopieflach} 
genau dann, wenn f"ur jeden azyklischen Komplex 
$\mathcal G\in (\op{Mod-}k)_{/X}$ von $k$-Rechtsmoduln der Komplex 
von abelschen Garben $\mathcal G\otimes_k\mathcal F$ azyklisch ist. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Offensichtlich ist im Fall eines kommutativen Rings $k$ 
das Tensorprodukt zweier homotopieflacher Komplexe 
wieder homotopieflach. Offensichtlich ist ein Komplex 
$\mathcal F\in k\op{-Mod}_{/X}$ genau dann homotopieflach,
wenn an jeder Stelle $x\in X$ der
 Halmkomplex $\mathcal F_x\in k\op{-Mod}$ homotopieflach ist.  
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Existenz homotopieflacher Aufl"osungen}]
 Gegeben ein Ring $k$ und ein topologischer Raum $X$ 
existiert f"ur jeden Komplex $\mathcal F\in k\op{-Mod}_{/X}$ 
ein Quasiisomorphismus $\mathcal P\qri \mathcal F$ mit 
$\mathcal P\in k\op{-Mod}_{/X}$ homotopieflach.
\end{Satz}
\begin{proof}
  Zun"achst einmal ist $k_{U\subset X}$ f"ur jede offene Teilmenge $U\co X$
flach 
als Garbe von $k$-Moduln auf $X$. Nach \ref{KaAA} vertauscht das Bilden des Halms als
ein linksadjungierter Funktor mit dem Bilden von Kolimites von Garben.
Nach \ref{EDLG} sind filtrierende Kolimites exakter Sequenzen von
Gruppen wieder exakt. Damit sind 
also auch filtrierende Kolimites exakter Sequenzen von
abelschen Garben wieder exakt. Nach \ref{KaAA} 
vertauscht auch das Bilden des Tensorprodukts von Garben als
ein linksadjungierter Funktor mit dem Bilden von Kolimites von Garben.
Jeder filtrierende Kolimes von homotopieflachen Komplexen von Garben ist also
auch selbst homotopieflach. Jetzt weiter wie Spaltenstein! 
\end{proof}



\begin{Lemma}[\textbf{Filtrierende Kolimiten kompaktweicher Garben}] 
Auf
einem lokal kompakten Hausdorffraum $X$  ist
jeder filtrierende Kolimes kompaktweicher\label{LKWG}  
Garben wieder kompaktweich. 
\end{Lemma}
\begin{proof}
 Sei
  $(\mathcal F_i)_{i\in I}$ ein filtrierendes System kompaktweicher
  Garben auf $X$.  Nach \eref{KaAA}{TS} vertauschen Kolimiten mit dem R"uckzug
  von Garben.  Ist $u:K\hra X$ die Einbettung einer kompakten Teilmenge, so
  ist also der offensichtliche Morphismus ein Isomorphismus $\op{colf}
  u^{(*)}\mathcal{F}_i\sira u^{(*)}\op{colf} \mathcal{F}_i$ und \ref{VTDLa}
  liefert uns einen Isomorphismus
$$\op{colf} \Gamma(K;\mathcal{F}_i)\sira \Gamma(K;\op{colf} \mathcal{F}_i)$$
Jeder Schnitt $t$ rechts ist also das Bild eines Schnitts $s\in
\Gamma(K;\mathcal{F}_i)$ f"ur ein $i\in I$.  Da $\mathcal{F}_i$ kompaktweich
ist, mu"s er von einem globalen Schnitt $\tilde s\in \Gamma(X;\mathcal{F}_i)$
herkommen, und dieser globale Schnitt $\tilde s$ hinwiederum liefert einen
globalen Schnitt $\tilde t\in \Gamma(X;\op{colf} \mathcal{F}_i)$, der unser
$t$ fortsetzt.
\end{proof}
\begin{Satz}[\textbf{Kompakte Kohomologie und filtrierende Kolimiten}]
Das Bilden der kompakten Kohomologie auf
lokal kompakten Hausdorffr"aumen\label{VTDL}  
vertauscht mit filtrierenden Kolimiten. 
\end{Satz}

\begin{proof}
Wir k"onnen  kompakte Kohomologie   nach
\ref{KwA} mit kompaktweichen Aufl"osungen berechnen. 
Ist $(\mathcal F_\alpha)_{\alpha\in A}$ ein
filtrierendes direktes System abelscher Garben 
auf $X$, so bilden die
jeweiligen Godement-Aufl"osungen 
 $\mathcal F_\alpha\hra \mathcal G^\ast \mathcal F_\alpha$ ein
filtrierendes direktes System
kompaktweicher Aufl"osungen, und dessen Kolimes 
 ist nach \ref{LKWG}  auch eine kompaktweiche Aufl"osung
$$\op{colf} \mathcal F_\alpha\hra \op{colf} \mathcal G^\ast 
\mathcal F_\alpha$$ Das Bilden der globalen Schnitte
mit
kompaktem Tr"ager $\Gamma_!$ vertauscht jedoch  nach \ref{VTDLa} mit
filtrierenden Kolimiten und die Behauptung folgt.
\end{proof}
\subsubsection{"Ubungen}
\begin{Ubung}
 Gegeben eine offene "Uberdeckung $X=\bigcup_{i\in I}U_i$ 
eines topologischen Raums setzten wir $U_J=\bigcup_{i\in J}U_i$
f"ur jede Teilmenge $J\subset I$ und bezeichnen die Einbettung 
mit $u_J:U_J\hra X$. 
Gegeben  eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $X$ ist dann die
offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus
$$\op{colf}_{|J|<\infty}u_{J!}u_J^\ast \mathcal F\sira \mathcal F$$
Der Kolimes ist wie angedeutet "uber alle endlichen Teilmengen
$J\subset I$ zu verstehen. Es folgt mit \ref{???}, da"s die
Garbenkohomologie einer Mannigfaltigkeit auch ohne irgendwelche
Annahmen an ihre Parakompaktheit in hohen Graden verschwindet,
ich glaube wohl ab Zwei oberhalb der Dimension. 
\end{Ubung}


\subsection{Korrespondenzen}
\begin{Bemerkungl}
  Unter einem {\bf Kowinkel}\index{Kowinkel} in einer Kategorie
  verstehen wir wie in \eref{puou}{TF} ein Quintupel $(X,K,Y,p,q)$ 
bestehend aus
  drei Objekten $(X,K,Y)$ und zwei Morphismen $p:K\ra X$ und $q:K\ra Y$.
Wir nennen solch eine Struktur auch einen {\bf Kowinkel
von $X$ nach $Y$}.
Unter einer {\bf Korrespondenz\index{Korrespondenz} von $X$ nach $Y$} 
verstehen wir eine "Aquivalenzklasse von Kowinkeln von $X$ nach $Y$
unter der "Aquivalenzrelation, unter der $(X,K,Y,p,q)$ genau dann zu
$(X,K',Y,p',q')$ "aquivalent ist, wenn es einen Isomorphismus 
$\varphi:K\sira K'$ gibt mit $p=p'\varphi$ und $q=q'\varphi$. 
Wir notieren eine Korrespondenz gerne $[X,K,Y,p,q]$ oder $[X,K,Y]$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}]
  Dieser Begriff einer Korrespondenz ist etwas allgemeiner, als
er in der Literatur "ublicherweise gefa"st wird: Oft beschr"ankt man sich 
etwa im Fall topologischer R"aume auf Teilr"aume des Produkts
$K\subset X\times Y$ oder im Fall algebraischer Variet"aten auf 
Untervariet"aten $K\subset X\times Y$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
 Gegeben eine Kategorie
 mit Faserprodukten $\mathcal C$ definieren wir die {\bf Komposition 
zweier Korrespondenzen} $[X,K,Y]$ und $[Y,L,Z]$  
in der hoffentlich offensichtlichen Weise als die
 Korrespondenz $$[X,K\times_YL,Z]$$
Auf diese Weise erhalten wir 
eine Kategorie
$$\mathcal C_{\op{korr}}$$
mit denselben Objekten wie $\mathcal C$ und  
Korrespondenzen als Morphismen.
Weiter erhalten wir einen treuen Funktor 
$\mathcal C\ra \mathcal C_{\op{korr}}$,
indem wir auf Objekten
die  Identit"at  nehmen und 
jedem Morphismus $f:X\ra Y$  die Korrespondenz 
$[X,X,Y,\op{id},f]$ zuordnen.
Gegeben eine Menge $M$ 
von Morphismen von $\mathcal C$, die stabil ist unter
Basiswechsel und 
Verkn"upfung und die alle Identit"aten enth"alt, 
k"onnen wir auch die Unterkategorie $\mathcal C_M\subset  \mathcal C_{\op{korr}}$
aller {\bf $M$-Korrespondenzen}\index{Korrespondenz!$M$-Korrespondenz} 
bilden, bei der als Morphismen nur Klassen $[X,K,Y,p,q]$ mit $p:K\ra X$ aus
$M$ zugelassen werden.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Eine Korrespondenz von topologischen R"aumen $[X,K,Y,p,q]$ mit
  $p:K\ra X$ lokal eigentlich separiert hei"st eine {\bf lokal
    eigentliche separierte Korrespondenz} oder kurz {\bf
    les-Korrespondenz}.\index{les-Korrespondenz}\index{Korrespondenz!les-Korrespondenz} 
Die \hyperref[bkmk]{banale Multikategorie} der topologischen R"aume mit
lokal eigentlichen separierten Korrespondenzen als Morphismen notieren
wir $\op{Top}_{\op{les}}$.  
  Gegeben lokal eigentliche separierte Korrespondenzen
 $[X,W_i,X_i,g_i,f_i]$ 
  und flache Garben 
$\mathcal F \in \op{Ab}_{/X}$ sowie $\mathcal F_i \in \op{Ab}_{/X_i}$
  definieren wir die Menge der {\bf Multikomorphismen "uber
unseren Korrespondenzen} 
  als die Menge
  \begin{equation*}
    \op{Ab}_{/X} (g_{1!} f^\ast_1 \mathcal F_1 \otimes \ldots \otimes g_{r!} f^\ast_r \mathcal F_r, \mathcal F) = \op{Ab}_{/X} (g_! (f^\ast_1
    \mathcal F_1 \underset{X}{\boxtimes} \ldots \underset{X}{\boxtimes} f^\ast_r \mathcal F_r ), \mathcal F)
  \end{equation*}
  f"ur $g : W_1 \times_X W_2 \times_X \ldots \times_X W_r
  \rightarrow X$ die offensichtliche Abbildung aus dem Faserprodukt.
Diese Menge h"angt zwar von den f"ur unsere Korrespondenzen 
gew"ahlten Repr"asentanten ab, ist aber ein Funktor auf
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}\emph{Alter Schrott?}
Um die Komposition zu erkl"aren, geht nun aus von einer 
durch $i,j$ indizierten Familie
von Diagrammen
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
&& \ar[dl]_-{h_{ij}} V_{ij} \ar[dr]^-{{\tilde{g}_{ij}}} &&\\
&\ar[dl]_-{f_{ij}} W_{ij}\ar[dr]^-{g_{ij}}&& \ar[dl]_-{f_i} W_i \ar[dr]^-{g_i} &\\
X_{ij} && X_i && X
}
\end{displaymath}
bei der die Faserprodukte $V_{ij}$ bereits gebildet sind.
Dann bilde man die Faserprodukte $W_{i[j]} \pdef \prod_{j} (W_{ij} \rightarrow X_i)$ "uber $X_i$
und $V_{i[j]} \pdef \prod_{j} (V_{ij} \rightarrow W_i)$ "uber $W_i$ und erh"alt eine durch $i$ indizierte 
Familie
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
&& \ar[dl]_-{h_{i[j]}} V_{i[j]} \ar[dr]^-{{\tilde{g}_{i[j]}}} &&\\
&\ar[dl]_-{\hat{f}_{ij}} W_{i[j]}\ar[dr]^-{g_{i[j]}}&& \ar[dl]_-{f_i} W_i \ar[dr] &\\
X_{ij} && X_i && X
}
\end{displaymath}
sozusagen als erste Etage dar"uber mit Morphismen in die untere Etage f"ur alle $j$. Zu guter Letzt
betrachte man dann
\begin{equation*}
 W_{[i]} \pdef \prod_{i} (W_i \rightarrow X)
\end{equation*}
und $V_{[i[j]]} \pdef \prod_{i} (V_{i[j]} \rightarrow X)$ und erh"alt in der dritten Etage ein 
einziges Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
&& \ar[dl]_-{\hat{f}_{i[j]}} V_{[i[j]]} \ar[dr]&&\\
&\ar[dl]_-{\hat{f}_{ij}} W_{i[j]}\ar[dr]^-{g_{i[j]}}&& \ar[dl]_-{\hat{f}_i} W_{[i]} \ar[dr] &\\
X_{ij} && X_i && X
}
\end{displaymath}
\end{Bemerkungl}
Ein Verschmelzung $\varphi_i : \underset{j}{\curlyvee} F_{ij} \rightarrow F_i$ ist ein Morphismus
\begin{equation*}
 \varphi_i : g_{i[j] !} (\underset{j}{\otimes} \hat{f}_{ig}^\ast F_{ij}) \rightarrow F_i .
\end{equation*}
Ein Verschmelzung $\varphi : \underset{i}{\curlyvee} F_i \rightarrow F$ ist ebenso ein Morphismus $\varphi_i: g_{[i]!} 
\underset{i}{\otimes} f^\ast_i F_i) \rightarrow F.$
Nun liefern unsere


Gegeben stetige Abbildungen $f : X \rightarrow Z$ und $g : Y \rightarrow Z$ und abelsche Garben
$\mathcal F \in \op{Ab}/X$ und $\mathcal G \in \op{Ab}/Y$ erkl"aren wir eine abelsche Garbe 
$\mathcal F \boxtimes_Z  \mathcal G$ auf $X x_Z Y$ durch
\begin{equation*}
 \mathcal F \boxtimes_Z \mathcal G := \op{pr}_X^{(\ast)} \mathcal F \otimes \op{pr}_Y^{(\ast)} \mathcal G
\end{equation*}
f"ur $\op{pr}_X : X \times_Z Y \rightarrow X$ und 
$\op{pr}_Y : X \times_Z Y \rightarrow Y$ die Projektionen.
Sind $f$ und $g$ lokal eigentlich separiert und $\mathcal F$ und $\mathcal G$ flach, so erhalten wir mit
$h: X \times_Z Y \rightarrow Z$ einen nat"urlichen Isomorphismus
\begin{equation*}
 h_{(!)} (\mathcal F \boxtimes_Z \mathcal G) \overset{\sim}{\rightarrow} f_{(!)} \mathcal F \otimes g_{(!)} \mathcal 
 G
\end{equation*}
mithilfe des kartesischen Diagramms
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
& \ar[dl]_-{\op{pr}_X} X x_Z Y \ar[dr]^-{\op{pr}_Y} &\\
X\ar[dr]^-f & &\ar[dl]_-g Y\\
&Z&
}
\end{displaymath}
und 
\begin{eqnarray*}
 h_{(!)} (\mathcal F \boxtimes_Z \mathcal G) & =& h_{(!)} (\op{pr}_X^{(\ast)} \mathcal F \otimes \op{pr}_Y^{(\ast)} \mathcal G)\\
&\overset{\sim}{\rightarrow} & f_{(!)}\op{pr}_{X(!)} (\op{pr}_X^{(\ast)} \mathcal F \otimes \op{pr}_Y^{(\ast)} \mathcal F)\\
&\overset{\sim}{\rightarrow} & f_{(!)}(\mathcal F \otimes \op{pr}_{X(!)} \op{pr}_Y^{(\ast)} \mathcal G)\\
&\overset{\sim}{\rightarrow} & f_{(!)} (\mathcal F \otimes f^{(\ast)} g_{(!)} \mathcal G)\\
&\overset{\sim}{\rightarrow} & f_{(!)} f_{(!)} \mathcal F \otimes g_{(!)} \mathcal G
\end{eqnarray*}
nach Projektionsformel und Basiswechsel.

Um die Multiverkn"upfungen zu erkl"aren, betrachten wir weitere $\op{les-}$Korrespondenzen
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
& \ar[dl]_-{f_{ij}} W_{ij} \ar[dr]^-{g_{ij}}\\
X_{ij} && X_i
}
\end{displaymath}
und flache $\mathcal F_{ij} \in \op{Ab}/X_{ij}$ und Elemente
\begin{equation*}
 \varphi_i \in \op{Ab}/X_i (\overline{g}_{i!} (f^\ast_{i1} \mathcal F_{i1} \underset{X_{i}}{\boxtimes} \ldots \underset{X_{i}}{\boxtimes}
f^\ast_{ir} \mathcal F_{ir}), \mathcal F_i)
\end{equation*}
und wollen die Multiverkn"upfung 
$\varphi \circ (\varphi_1, \ldots , \varphi_r)$ bestimmen.
Die Verkn"upfung unserer Korrespondenzen geschieht ja durch das Bilden der Faserprodukte
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
&& \ar[dl]_-{h_{ij}} V_{ij} \ar[dr]^-{\tilde{g}_{ij}}&&\\
&\ar[dl]_-{f_{ij}} W_{ij}\ar[dr]^-{g_{ij}}&& \ar[dl]_-{f_i} W_{i} \ar[dr]^-{g_i} &\\
X_{ij} && X_i && X
}
\end{displaymath}
Nun beachte man, dass man $f^\ast_i \overline{g}_{i!} = \tilde{g}_{i!} \tilde{f}_{i}^\ast$ basiswechseln kann im Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
&\ar[dl]_-{\tilde{f}_{i}}V_i \times_{W_{i}} \ldots \times_{W_{i}} V_{ir} \ar[dr]^-{\tilde{g}_{i}}\\
W_{i1} \times_{X_i} \ldots \times_{X_{i}} W_{ir}\ar[dr]^-{\overline{g}_{i}} && \ar[dl]_-{f_{i}}W_i\\
&X_i & 
}
\end{displaymath}
Jetzt wird mir die Sache schon etwas zu komplex und ich muss die Notation vereinfachen. Das Ziel ist es dann, sich zum Pr"ufen
der Assoziativit"at auf Objekte der Gestalt $\iota_! \underline U$ einzuschr"anken, f"ur die das alles recht explizit zu sehen ist.



\subsection{Ziel: Schnittpaarung}
\begin{Satz}
Seien in einer orientierten Mannigfaltigkeit 
$M$ orientierte Untermannigfaltigkeiten
$Y,Z$ gegeben mit $Y$ abgeschlossen und $Z$ kompakt.
Schneiden sich $Y$ und $Z$ transversal, so gilt f"ur ihre Fundamentalzykel
\begin{equation*}
 \omega_Y \cdot \omega_Z = \omega_{Y \cap Z}
\end{equation*}
f"ur unsere Schnittpaarung
\begin{equation*}
 {\op{H}}^!_{n-q} M \times {\op{H}}_{n-p} M \rightarrow {\op{H}}_{n-(p+q)} M
\end{equation*}
bei $n=\op{dim} M, q = \op{dim} Y$ und $p = \op{dim} Z$.
\emph{Warum will ich eigentlich $Z$ kompakt fordern? Warum nicht
einfach} \begin{equation*}
 {\op{H}}^!_{n-q} M \times {\op{H}}^!_{n-p} M \rightarrow {\op{H}}^!_{n-(p+q)} M
\end{equation*}
\end{Satz}
\begin{proof}[Skizze]
 Seien $i : Y \hookrightarrow M$ und $j : Z \hookrightarrow M$ die Inklusionen.
Wir fassen unsere Homologieklassen auf als 
Morphismen $i_! \underline{Y} \rightarrow
\underline{M}$ und $j_! \underline Z \rightarrow \underline M$ oder auch
$\underline Y \rightarrow i^! \underline M$, 
$\underline Z \rightarrow j^! \underline M$.
Da das homologisch immer nur in einem Grad lebt, 
k"onnen wir lokal sehen, was passiert,
und verkleben.
\end{proof}


\subsection{Wiederfinden der klassischen Theorie}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kohomologie}] 
Wir arbeiten mit Koeffizienten in einem festen Kring $k$ von endlicher homologischer Dimension.
Der einpunktige topologische Raum hei"st top, die konstante Garbe $k$ darauf hei"st $\underline{\op{top}}$.
Gegeben ein topologischer Raum $X$ haben wir
\begin{equation*}
{\op{H}}^q (X;k)_{\op{garb}} = \mathcal H^q \op{fin}_{X\ast} \op{fin}^\ast_X \underline{\op{top}}
\end{equation*}
Der {\bf R"uckzug} unter einer stetigen Abbildung $f : X \rightarrow Y$ kommt von der Adjunktionstransformation
$\op{id} \Rightarrow f_\ast f^\ast$ her, die uns ja einen Morphismus
$$
\xymatrix{
\mathcal H^q \op{fin}_{Y\ast} \op{fin}^{\ast}_Y \underline{\op{top}} \ar@{=}[d]\ar[r] &\mathcal H^q \op{fin}_{Y\ast} f_\ast f^\ast \op{fin}^\ast_Y
\underline{\op{top}} \ar[r]^\sim &\mathcal H^q \op{fin}_{X \ast} \op{fin}_X^\ast \underline{\op{top}}\ar@{=}[d]\\
{\op{H}}^q (Y;k)_{\op{garb}} \ar[rr]& &{\op{H}}^q (X;k)_{\op{garb}}
}
$$
liefert. Um das {\bf cup-Produkt} zu erkl"aren, mag man von dem kanonischen Morphismus
\begin{equation*}
\op{fin}^\ast (\op{fin}_\ast \mathcal F \otimes \op{fin}_\ast \mathcal F) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{fin}^\ast \op{fin}_\ast
\mathcal F \otimes \op{fin}^\ast \op{fin}_\ast \mathcal G \rightarrow \mathcal F \otimes \mathcal G
\end{equation*}
ausgehen, von dem man durch Adjunktion zu einem kanonischen Morphismus
\begin{equation*}
\op{fin}_\ast \mathcal F \otimes \op{fin}_\ast \mathcal F \rightarrow \op{fin}_\ast (\mathcal F \otimes \mathcal G)
\end{equation*}
gelangt.
Spezialisiert man hier zu $\mathcal F = \mathcal G = \op{fin}^\ast \underline{\op{top}}$ und beachtet die kanonischen
Isomorphismen $\underline{\op{top}} \otimes \underline{\op{top}} \overset{\sim}{\rightarrow} \underline{\op{top}}$ und
$\op{fin}^\ast \underline{\op{top}} \otimes \op{fin}^\ast \underline{\op{top}} 
\overset{\sim}{\rightarrow} \op{fin}^\ast \underline{\op{top}}$, so erhalten wir mit $\underline{X} := \op{fin}^\ast \underline{\op{top}}$
kanonische Morphismen $\op{fin}_\ast \underline X \otimes \op{fin}_\ast \underline X \rightarrow \op{fin}_\ast \underline X$.
Zusammen mit den nat"urlichen Abbildungen
\begin{equation*}
\mathcal H^p \mathcal F \otimes \mathcal H^q \mathcal G \rightarrow \mathcal H^{p+q} (\mathcal F \otimes \mathcal G)
\end{equation*}
erhalten wir dann schlie"slich das cup-Produkt
\begin{equation*}
{\op{H}}^p (X; k) \otimes {\op{H}}^q (X;k) \rightarrow {\op{H}}^{p+q} (X;k)
\end{equation*}
in der Garbenkohomologie.
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kompakte Kohomologie}] 
Sei $X$ ein lokal kompakter Hausdorffraum. Die kompakte Kohomologie von $X$ ist
\begin{equation*}
{\op{H}}_!^q (X; k)_{\op{garb}} := \mathcal H^q \op{fin}_{X!} \op{fin}^\ast_X \underline{\op{top}}
\end{equation*}
Gegeben $f: X \rightarrow Y$ eine abgeschlossene Einbettung oder allgemeiner eine eigentliche
Abbildung von lokal kompakten Hausdorfr"aumen erhalten wir wegen $f_! = f_\ast$ aus
dem Adjunktionsmorphismus $\op{id}\Rightarrow f_\ast f^\ast$ den abgeschlossenen oder allgemeiner
{\bf eigentlichen R"uckzug}
$$
\xymatrix{
\mathcal H^q \op{fin}_{Y!} \op{fin}^{\ast}_Y \underline{\op{top}} \ar@{=}[d]\ar[r] &\mathcal H^q \op{fin}_{Y !} f_! f^\ast \op{fin}^\ast_Y
\underline{\op{top}} \ar[r]&\mathcal H^q \op{fin}_{X !} \op{fin}_X^\ast \underline{\op{top}}\ar@{=}[d]\\
{\op{H}}^q_! (Y;k) \ar[rr]& &{\op{H}}^q_! (X;k)
}
$$
Gegeben $f : X \rightarrow Y$ eine offene Einbettung oder allgemeiner eine \'etale Abbildung von lokal kompakten
Hausdorffr"aumen erhalten wir dahingegen wegen $f^! = f^\ast$ aus dem Adjunktionsmorphismus $f_! f^! \Rightarrow \op{id}$
die {\bf Ausdehnung durch Null}
 oder allgemeiner {\bf Summation "uber die Fasern}
$$
\xymatrix{
\mathcal H^q \op{fin}_{X!} \op{fin}^{\ast}_X \underline{\op{top}} \ar@{=}[d]\ar[r] &\mathcal H^q \op{fin}_{Y!} f_! f^\ast \op{fin}^\ast_Y
\underline{\op{top}} \ar[r] &\mathcal H^q \op{fin}_{Y !} \op{fin}_Y^\ast \underline{\op{top}}\ar@{=}[d]\\
{\op{H}}^q_! (X;k) \ar[rr]& &{\op{H}}^q_! (Y;k)
}
$$
Ist allgemeiner $f$ glatt von der relativen Dimenison $d$ und sind die Fasern in vertr"aglicher Weise orientiert, so erhalten
wir eine Isotransformation $f^! \overset{\sim}{\Rightarrow} f^\ast [d]$ und dieselbe Konstruktion liefert Homomorphismen
\begin{equation*}
{\op{H}}^q_! (X ; k) \rightarrow {\op{H}}_!^{q-d} (Y;k)
\end{equation*}
Sie hei"sen die {\bf Integration "uber die Fasern}.
\end{Bemerkungl}





\begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokal endliche Homologie}] 
Die lokal endliche Homologie von $X$ erhalten wir als
\begin{equation*}
{\op{H}}^!_q (X;k)_{\op{garb}} = \mathcal H^{-q} \op{fin}_{X\ast} \op{fin}_X^! \underline{\op{top}}
\end{equation*}
Gegeben eine abgeschlossene Einbettung oder allgemeiner eine eigentliche Abbildung $f : X \rightarrow Y$ erhalten wir
das {\bf eigentliche direkte Bild} f"ur die lokal endliche Homologie 
aus der Adjunktionstransformation
$f_!f^!\RA\op{id}$ wegen $f_! = f_\ast $ als die Komposition
$$
\xymatrix{
\mathcal H^{-q }\op{fin}_{X\ast} \op{fin}^{!}_X \underline{\op{top}} \ar@{=}[d]\ar[r]^-\sim &\mathcal H^{-q }\op{fin}_{Y\ast} f_\ast f^! \op{fin}^!_Y
\underline{\op{top}} \ar[r] &\mathcal H^{-q} \op{fin}_{Y\ast} \op{fin}_Y^! \underline{\op{top}}\ar@{=}[d]\\
{\op{H}}^!_q (X;k) \ar[rr]& &{\op{H}}^!_q(Y;k)
}
$$
Gegeben eine offene Einbettung oder allgemeiner eine \'etale Abbildung $f$ erhalten wir den {\bf \'etalen R"uckzug} 
auf der lokal endlichen Homologie aus der Adjunktionstransformation
$\op{id}\RA f_\ast f^\ast$ wegen $f^! = f^\ast$ als die Komposition
$$
\xymatrix{
\mathcal H^{-q }\op{fin}_{Y\ast} \op{fin}^{!}_Y \underline{\op{top}} \ar@{=}[d]\ar[r] &\mathcal H^{-q }\op{fin}_{Y\ast} f_\ast f^! \op{fin}^!_Y
\underline{\op{top}} \ar[r] &\mathcal H^{-q} \op{fin}_{X\ast} \op{fin}_X^! \underline{\op{top}}\ar@{=}[d]\\
{\op{H}}^!_q (Y;k) \ar[rr]& &{\op{H}}^!_q(X;k)
}
$$
Ist allgemeiner $f$ glatt von der Faserdimension mit vertr"aglich orientierten Fasern, so da"s wir einen Isomorphismus $f^! \overset{\sim}{\Rightarrow} f^\ast [d]$ erhalten, so ergibt sich in derselben Weise f"ur die lokal endliche Homologie der {\bf glatte R"uckzug}
\begin{equation*}
{\op{H}}^!_q (Y;k) \rightarrow {\op{H}}^!_{q+d} (X;k)
\end{equation*}
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Homologie}] 
Die Homologie eines Raumes $X$ schlie"slich wird in der 
Sprache der Garbenkohomologie beschrieben als
\begin{equation*}
{\op{H}}_q (X;k) = \mathcal H^{-q} \op{fin}_{X!} \op{fin}^!_X \underline{\op{top}}
\end{equation*}
Das {\bf Bild} unter einer stetigen Abbildung $f : X \rightarrow Y$ ergibt sich mit der Adjunk\-tions\-transformation
$f_! f^! \Rightarrow \op{id}$ als die Komposition
$$
\xymatrix{
\mathcal H^{-q }\op{fin}_{X!} \op{fin}^{!}_X \underline{\op{top}} \ar@{=}[d]\ar[r]^-{\sim} &\mathcal H^{-q }\op{fin}_{Y!} f_! f^! \op{fin}^!_Y
\underline{\op{top}} \ar[r]&\mathcal H^{-q} \op{fin}_{Y!} \op{fin}_Y^! \underline{\op{top}}\ar@{=}[d]\\
{\op{H}}_q (X;k) \ar[rr]& &{\op{H}}_q(Y;k)
}
$$
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
Ist $M$ eine orientierte glatte $n$-Mannigfaltigkeit, so haben wir einen nat"urlichen Isomorphismus
$\op{fin}^!_M \overset{\sim}{\Rightarrow} \op{fin}^\ast_M [n]$.
Der davon induzierte Isomorphismus
$$
\xymatrix{
\mathcal H^{q}\op{fin}_{M!} \op{fin}^{\ast}_M \underline{\op{top}} \ar@{=}[d]\ar[r]^-{\sim} &\mathcal H^{q-n}\op{fin}_{M!} \op{fin}_{M}^!
\underline{\op{top}} \ar@{=}[d]\\
{\op{H}}^q_!(M;k) \ar[r]&{\op{H}}_{n-q}(M;k)
}
$$
ist der Isomorphismus  der {\bf Poincar\'e-Dualit"at} aus \eref{COr}{TS}.
\end{Bemerkungl}

\section*{Garbenkohomologie von Simplizialkomplexen}
\begin{Bemerkungl}
  Sei $(E, \mathcal K)$ ein endlicher Simplizialkomplex \ref{SKk} und $\Delta (\mathcal K)$
sein Polyeder \ref{PolS}.
Wir erkl"aren die schwach konstruktible beschr"ankte derivierte Kategorie
\begin{equation*}
\op{Der}^{\op{b}}_{\op{sk}} (\op{Ab}_{/ \Delta (\mathcal K)}) \subset \op{Der}^{\op{b}} (\op{Ab}_{/ \Delta (\mathcal K)})
\end{equation*}
als die volle Unterkategorie aller Komplexe $\mathcal F$ derart, dass f"ur jede Einbettung $j_\sigma : \Delta (\sigma)^\circ  \hookrightarrow
\Delta (\mathcal K)$ des Inneren eines Simplex die Garben $\mathcal H^q j_\sigma^\ast \mathcal F$ konstant sind.
Sie ist trianguliert, da auf jedem offenen Simplex $\Delta (\sigma)^\circ$
die Komplexe mit konstanten Kohomologiegarben eine triangulierte
Unterkategorie der Komplexe aller Garben bilden.
Sie ist weiter das triangulierte Erzeugnis der $i_{\sigma \ast} \op{fin}^\ast A [0]$ f"ur alle
abelschen Gruppen $A$ und $i_\sigma : \Delta (\sigma) \hookrightarrow \Delta (\mathcal K)$ die Einbettung der abgeschlossenen Simplizes, da
f"ur jede abelsche Garbe $\mathcal F$, in deren Tr"ager $\Delta (\sigma)$
ein maximaler Simplex ist, alle Kohomologiegarben des Abbildungskegels "uber
$\mathcal F\ra i_{\sigma\ast}i_{\sigma}^*\mathcal F$ einen um $\Delta (\sigma)^\circ$ verkleinerten Tr"ager haben.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} Sei $(E, \mathcal K)$ ein endlicher Simplizialkomplex.
  Bezeichne $\mathcal K_{\geq 0}$ die Menge aller nichtleeren Simplizes und
  $p : \Delta (\mathcal K) \rightarrow \mathcal{K}_{\geq 0}$ die Abbildung mit der Faser
$\Delta (\sigma)^\circ $ "uber $\sigma$.
Wir nennen $p$ den {\bf Simplexanzeiger}.\index{Simplexanzeiger} 
Wir versehen $\mathcal K_{\geq 0}$ mit der Quotiententopologie alias der Ordnungstopologie zu der durch opponierte Inklusion
gegebenen Ordnung auf $\mathcal K_{\geq 0}$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Garben auf angeordneten Mengen und Simplizialkomplexen}] 
Sie $\mathcal K$ ein endlicher Simplizialkomplex und $\Delta (\mathcal K)$ sein Polyeder und $p : \Delta (\mathcal K) \rightarrow 
\mathcal K_{\geq 0}$ der Simplexanzeiger.
So ist der R"uckzug eine "Aquivalenz der derivierten Kategorie von Garben auf
der angeordneten Menge der nichtleeren Simplizes mit der schwach konstruktiblen derivierten Kategorie
$$p^\ast:\op{Der}^{\op{b}} (\op{Ab}_{/ \mathcal K_{\geq 0}})\sirra
\op{Der}^{\op{b}}_{\op{sk}} (\op{Ab}_{/ \Delta (\mathcal K)})$$
\end{Satz}
\begin{proof}
  Zun"achst zeigen wir, da"s unser R"uckzug
  volltreu ist, da"s also f"ur jeden Komplex $\mathcal F \in \op{Der}^{\op{b}} (\op{Ab}_{/ \mathcal K_{\geq 0}})$ die Einheit der Adjunktion einen Isomorphismus
\begin{equation*}
\mathcal F \overset{\sim}{\rightarrow} p_\ast p^\ast \mathcal F
\end{equation*}
liefert.
Da die konstanten Garben auf $p (\Delta (\sigma))$ f"ur $\sigma \in \mathcal K_{\geq 0}$ die  triangulierte Kategorie
$ \op{Der}^{\op{b}} (\op{Ab}_{/ \mathcal K_{\geq 0}})$
erzeugen, m"ussen wir das nur f"ur Garben $\mathcal F = i_\ast \op{fin}^\ast A [0]$ zeigen mit $i : p (\Delta (\sigma)) \hookrightarrow
\mathcal K_{\geq 0}$ der Einbettung.
Wegen Basiswechsel f"ur abgeschlossene Einbettungen \ref{??} reicht es, den Fall zu betrachten, dass unser Simplizialkomplex ein voller
Simplex ist und $\mathcal F$ eine konstante Garbe.
Nun hat aber jeder Punkt von $ (\Delta (\sigma))$ eine kleinste offene Umgebung und deren Urbild im Polyeder $\Delta (\sigma)$
ist zusammenziehbar.
Nach \ref{HIGK} ist die Kohomologie dieser Urbilder mit konstanten Koeffizienten also die Koeffizientengruppe im Grad Null und
verschwindet in h"oheren Graden. Mit der Beschreibung \ref{RHF} der h"oheren derivierten Bildgarben folgt der Satz.
\end{proof}
\begin{Satz}
Das wesentliche Bild unseres volltreuen Funktors $p^\ast$ ist die schwach konstruktible beschr"ankte derivierte Kategorie
$\op{Der}^{\op{b}}_{\op{sk}} (\op{Ab}/\Delta (\mathcal K))$.
\end{Satz}
\begin{proof}
Man pr"uft induktiv, dass diese Kategorie von den $i_{\sigma \ast} \op{fin}^\ast A [0] = p^\ast i_\ast \op{fin}^\ast A [0]$
trianguliert erzeugt wird.
\end{proof}


\newpage




\section{Tensorprodukt von Garben}

\subsection{Exzeptionelles direktes Bild}
Ich schlage vor, zur Definition des exzeptionellen Bildes
wie folgt vorzugehen: Zun"achst hat f"ur jede offene Einbettung
$j:X\hra Y$ der Funktor $j^\ast:\op{Ab}_{/Y}\ra \op{Ab}_{/X}$ einen
Linksadjungierten $j_!: \op{Ab}_{/Y}\ra \op{Ab}_{/X}$. Man beschreibt ihn
als die Ausdehnung durch Null.
Nun haben wir f"ur jede (?!) stetige Abbildung $f:X\ra Y$ 
eine Topologie auf $X\sqcup Y$ so erkl"art, da"s
$X$ mit $\op{in}_X$ offen einbettet, $Y$  mit $\op{in}_Y$
abgeschlossen einbettet und
$(f,\op{id}_Y):X\sqcup Y\ra Y$ eigentlich ist.
Dann setze man
$$f_!\pdef (f,\op{id}_Y)_*\circ \op{in}_{X!}$$
 

\subsection{Reste zu eigentlichen Bildern}


\begin{Definition}
 Gegeben eine stetige Abbildung $f : Y \rightarrow X$ bezeichnen wir den Rechtsderivierten 
$
{\op{R}} f_{(!)} : \op{Der}^+
(\op{Ab}_{/ Y}) \rightarrow \op{Der}^+ (\op{Ab}_{/X})
$
des eigentlichen
 direkten Bildfunktors $f_{(!)} : \op{Ab}_{/Y} \rightarrow \op{Ab}_{/X}$
mit
\begin{equation*}
 f_{!} \pdef {\op{R}}f_{(!)}
\end{equation*}
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}\label{dSK}
  Gegeben eine separierte lokal eigentliche Abbildung $f$ 
sind beliebige filtrierende Kolimiten von $f$-kompaktweichen Garben wieder
    $f$-kom\-paktweich.  
In der Tat kommutiert das Bilden filtrierender Kolimiten mit dem
Zur"uckholen, und nach 
 \ref{LKWG} ist jeder filtrierende Kolimes von
    kompaktweichen Garben auf einem lokal kompakten Hausdorffraum 
kompaktweich.
\end{Bemerkungl}





\begin{Satz}[\textbf{Iterierte derivierte eigentliche Bilder}]
 Gegeben lokal eigentliche separierte Abbildungen $g : Z \rightarrow Y$ und $f : Y \rightarrow X$
ist die von unserer Isotransformation $f_{(!)} \circ g_{(!)} \siRa (f \circ g)_{(!)}$ aus \ref{DBE}
nach \ref{DTrr} herkommende Transformation eine Isotransformation\label{ideb} 
\begin{equation*}
 (f \circ g)_! \overset{\sim}{\Rightarrow} f_! \circ g_!
\end{equation*}
\end{Satz}
\begin{proof}
 Nach \ref{GsPP} reicht es zu zeigen, dass unser Funktor $g_{(!)}$ alle injektiven Objekte
zu $f_{(!)}$-azyklischen Objekten macht.
Nach \ref{ikww} ist jede injektive abelsche Garbe $\mathcal I \in i \op{Ab}_{/Z}$ schon
mal $(f \circ g)$-kompaktweich.
Nach \ref{EDKW} ist dann auch $g_{(!)} \mathcal I$ eine $f$-kompaktweiche Garbe auf $Y$.
Damit aber ist sie $f_{(!)}$-azyklisch nach \ref{teL}.
\end{proof}


\subsection{Reste zu Linksanpassung}

 So ist $S\pdef T\cap \mathscr C$
 ein globales Linksoresystem in $\mathscr C$ und der
 offensichtliche Funktor ist eine "Aquivalenz\label{LKVV} 
 $$S^{-1}\mathscr C\sirra T^{-1}\mathscr D$$

%\begin{Bemerkungl}
%  Ist $S$ faserweise Ore, so ist es notwendig global  Linksore nach
%  \ref{KriLO}. Ich guck mal, ob ein Fall vorkommt, indem wir
%  anders sehen k"onnen, da"s $S$ Rechtsore oder Linksore ist.
%  Im Rechtsorefall bedeuten unsere Bedingungen unter anderem, da"s
%  $S$  im Sinne von \ref{KofRO} ein kofaservertr"agliches Rechtsoresystem in der Kofaserung
%  $p:\mathscr C\ra \mathscr B$ ist.
%\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} WOHIN?
  Insbesondere ist in der Situation des Satzes
  auch $p_T: T^{-1}\mathscr D\ra \mathscr B$
  eine Kofaserung, weil wir das ja f"ur $p_S: S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B$
  %im Linksorefall
  bereits aus \ref{KofLr}  wissen.
  %und im Rechtsorefall  bereits  aus
  %\ref{KofL}.
Weiter sind f"ur jedes Objekt $X\in\mathscr B$ der Basis 
  die offensichtlichen Funktoren  Isomorphismen 
 $T_X^{-1}\mathscr D_X\sira (T^{-1}\mathscr D)_X$ zwischen der
  Lokalisierung der Faser und der Faser der Lokalisierung,
  ja sogar f"ur jede Unterkategorie $\mathscr U\subset \mathscr B$ der Basis 
sind  die offensichtlichen Funktoren   Isomorphismen 
 $$T_{\mathscr U}^{-1}\mathscr D_{\mathscr U}\sira (T^{-1}\mathscr D)_{\mathscr U}$$ zwischen der
  Lokalisierung des R"uckzugs  und dem R"uckzug der Lokalisierung.
  In der Tat folgt aus unserem Satz, wenn wir ihn auch auf die
  zur"uckgezogene Kofaserung anwenden,
     da"s im kommutativen funktoriellen Diagramm\label{LEEL}  
   \begin{displaymath}
\xymatrix{
  S^{-1}_{\mathscr U}\mathscr C_{\mathscr U}\ar[rr]\ar[d]&&(S^{-1}\mathscr C)_{\mathscr U}\ar[d]\\
T^{-1}_{\mathscr U}\mathscr D_{\mathscr U} \ar[rr]&&(T^{-1}\mathscr D)_{\mathscr U}
}
      \end{displaymath}
   die linke Vertikale und die rechte Vertikale  "Aquivalenzen sind.
   F"ur die obere Horizontale wissen wir das bereits aus
\ref{FFL}, und so
    folgt es dann f"ur
    die untere Horizontale. Da sie jedoch per definitionem
    eine Bijektion auf den Objekten induziert, mu"s sie
    damit sogar ein Isomorphismus von Kategorien sein.
\end{Bemerkungl}





\subsection{Multikofaserungen}










\begin{Satz}[\textbf{Multikofaserungskriterium}]
 Ein Multifunktor $p:\mathcal M\ra \mathcal B$ 
in eine banale Multikategorie
ist genau dann eine Multikofaserung, wenn er die folgenden vier Bedingungen
erf"ullt:\label{Mkfk} 
\begin{enumerate}
\item\label{Mkfk1} 
Auf den zugeh"origen einfachen
 Kategorien ist der zugeh"orige Funktor eine
Kofaserung;
\item\label{Mkfk2} 
Die Fasern $\mathcal M_X$ "uber Objekten $X\in\mathcal B$, 
verstanden als Multikategorien mit Multimorphismen 
"uber Tupeln von $\op{id}_X$
als Multimorphismen,  
sind 
darstellbare Multikategorien im Sinne von \eref{dsmk}{TS}; %mit internem Hom \eref{intHH}{TS}
\item\label{Mkfk3} 
Gegeben $p$-kokartesische Morphismen $\kappa_i:A_i\ra B_i$ in $\mathcal M$
f"ur $1\leq i\leq r$ mit $r\geq 0$ 
 mit $pB_i=X$ f"ur alle $i$ und
ein universeller Verschmelzung 
$u\in \mathcal M_X(B_1\curlyvee\ldots \curlyvee B_r,
T)$ ist die Multiverkn"upfung
$u\circ (\kappa_1\curlyvee\ldots \curlyvee \kappa_r)\in 
\mathcal M(A_1\curlyvee\ldots \curlyvee A_r,
T)$ auch $p$-kokartesisch.
\item\label{Mkfk4} 
F"ur jeden $p$-kokartesischen Morphismus $\kappa:B\ra C$
in $\mathcal M$ und jedes $r\geq 0$ und jedes Wort
$(A_1,\ldots,A_r)$ von Objekten von $\mathcal M$ und jeden 
 Verschmelzung 
$g\in \mathcal B(pA_1\curlyvee\ldots\curlyvee pA_r, pB)$
liefert das Nachschalten von $\kappa$ eine Bijektion
$$\mathcal M_g(A_1\curlyvee\ldots\curlyvee A_r, B)
\sira \mathcal M_{p(\kappa)\circ g}(A_1\curlyvee\ldots\curlyvee A_r, C)
  $$ 
\end{enumerate}
\end{Satz}

\begin{proof} NOCH NICHT GUT, 4 SCHEINT BLOEDSINN!
Da"s im Fall einer Multikofaserung alle obigen Eigenschaften erf"ullt
sind, scheint mir offensichtlich. Wir zeigen im folgenden, 
da"s die obigen Eigenschaften daf"ur auch hinreichende Bedingungen  sind.
Um in der Notation n"aher an den typischen Anwendungen zu bleiben, 
setzen wir $\mathcal T=\mathcal B^{\op{opp}}$, so da"s wir  uns dabei 
die Kategorie der topologischen R"aume denken k"onnen. 
Sei $f:X\ra Y$ ein Morphismus
in $\mathcal T$ und 
$f^\circ:Y\ra X$ der zugeh"orige  Morphismus
in $\mathcal B$.
Gegeben $\mathcal G\in \mathcal M_Y$ bezeichne dann 
 $\mathcal G\ra f^\ast \mathcal G $ den kokartesischen Lift von $f^\circ$
mit seinem Transportmorphismus  und  gegeben $\mathcal F\in \mathcal M_X$ ist
bezeichne $f_\ast\mathcal F\ra  \mathcal F $ den kartesischen Lift von $f^\circ$
mit seinem Transportmorphismus. 
Im Fall der Garben spezialisieren diese Transportmorphismen zu 
gewissen nat"urlichen Komorphismen von Garben.
Unsere dritte Annahme liefert, da"s gegeben Morphismen $f_i:Y\ra Z_i$ 
in $\mathcal T$ und Objekte $A_i$ "uber $Z_i$ der 
Verschmelzung in 
$\mathcal M(A_1\curlyvee\ldots \curlyvee A_r,f_1^\ast
A_1\otimes_Y \ldots \otimes_Y f_r^\ast A_r)$ kokartesisch ist, den
wir erhalten als die Multiverkn"upfung der Transportmorphismen 
mit dem universellen Verschmelzung in der Multikategorie $\mathcal M_Y$.
Also hat unter unseren ersten drei Annahmen schon einmal jeder 
Verschmelzung einen kokartesischen Lift. Um zu zeigen, da"s auch 
jede Multiverkn"upfung
kokartesischer Morphismen wieder kokartesisch ist,
f"uhren wir eine neue Terminologie ein und
 nennen einen  Verschmelzung 
$\kappa\in\mathcal M(B_1\curlyvee\ldots\curlyvee B_r,T)$
{\bf stark $p$-kokartesisch},\index{stark 
kokartesisch}\index{kokartesisch!stark} 
 wenn f"ur jedes $s\geq 0$ und beliebige 
 weitere Objekte
$W_1,\ldots, W_s,$ $U\in\mathcal M$ und einen beliebigen passenden 
Verschmelzung $g=(g_0,\ldots,g_s)$ in $\mathcal B$ das Vorschalten von 
$\kappa\curlyvee\op{id}\curlyvee\ldots\curlyvee\op{id}$ eine Bijektion 
$$\mathcal M_{g}(T\curlyvee W_1\curlyvee\ldots\curlyvee W_s,U)
\sira  \mathcal M_{g\circ(p(\kappa)\curlyvee\op{id}\curlyvee\ldots\curlyvee \op{id})}(B_1\curlyvee\ldots\curlyvee B_r\curlyvee W_1\curlyvee\ldots\curlyvee W_s,U)$$
induziert.
Offensichtlich ist jeder stark kokartesische Verschmelzung 
kokartesisch.
Sicher ist auch jede Multiverkn"upfung stark kokartesischer
Multimorphismen  wieder stark kokartesisch.
Es reicht also zu zeigen, da"s 
unsere kokartesischen Morphismen von eben sogar stark kokartesisch sind.
Das l"auft darauf hinaus, zu zeigen, da"s 
f"ur $W\pdef g_1^\ast W_1\otimes_X\ldots\otimes_X g_s^\ast W_s$
der offensichtliche Morphismus
einen Isomorphismus 
$$g_0^\ast f_1^\ast
A_1\otimes_X \ldots \otimes_X g_0^\ast f_r^\ast A_r\otimes_X W
\sira 
g_0^\ast(f_1^\ast
A_1\otimes_Y \ldots \otimes_Y f_r^\ast A_r)\otimes_X W$$
induziert. 
Hier k"onnen wir das $\otimes_X W$ auch weglassen und die 
Aussage entpuppt sich  als eine Umformulierung unserer
vierten Annahme.
Der Satz folgt.
\end{proof}







\subsection{Wohin?} 



\emph{Das folgende sollte in der Allgemeinheit einer
 Multikofaserung formuliert werden.}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Direkte Bilder und Tensorprodukt}] 
 Wir erhalten einen nat"urlichen Homomorphismus\label{DiBiTe} 
$$
 f_{(\ast)} \mathcal M \otimes f_{(\ast)} \mathcal N \rightarrow f_{(\ast)}(\mathcal M \otimes \mathcal N)
$$
aus den  Morphismen $
 \mathcal F \otimes \mathcal G \rightarrow f_{(\ast)} (f^{(\ast)} \mathcal F \otimes f^{(\ast)} \mathcal G)$, indem wir 
einsetzen und den von den Adjunktionsmorphismen $f^{(\ast)}f_{(\ast)} \mathcal M\ra
\mathcal M$ und $f^{(\ast)}f_{(\ast)} \mathcal N\ra
\mathcal N$ induzierten Morphismus nachschalten.
 Wir erhalten eine explizite Beschreibung
mithilfe der Abbildungen
$
 \mathcal F (f^{-1} (U)) \otimes \mathcal F (f^{-1} (U)) \rightarrow (\mathcal F \otimes \mathcal G)(f^{-1} (U))
$
und der universellen Eigenschaft der Garbifizierung.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Cup-Produkt}]\emph{(Sp"ater!)}
 Gegeben ein topologischer Raum $X$ und
$\mathcal M,\mathcal N\in \op{Der}^{\op{b}}(\op{Ab}_{/X})$ 
erhalten wir  nat"urliche Homomorphismen\label{Dicup} 
$$
 {\op{H}}^p(X; \mathcal M) \otimes {\op{H}}^q(X; \mathcal N)
\ra   {\op{H}}^{p+q}(X; \mathcal M \otimes \mathcal N)
$$
durch Spezialisierung der derivierten Form von
\ref{DiBiTe} auf die finale Abbildung $f=\op{fin}$ 
und Vorschalten von \ref{??}.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Externes Produkt}] 
 Gegeben R"aume $X,Y$ und ein Kring $k$\index{externes Produkt} 
und Garben von 
$k$-Moduln $\mathcal F \in k\op{-Mod}_{/X}, \mathcal G \in
k\op{-Mod}_{/ Y}$ erkl"aren wir ihr 
{\bf externes Produkt}\index{Produkt!externes}\index{x@$\boxtimes$
externes Produkt} 
$\mathcal F \boxtimes \mathcal G = \mathcal F \boxtimes_k \mathcal G$
als die Garbe $$\mathcal F \boxtimes_k 
\mathcal G\pdef \op{pr}^{(\ast)}_X \mathcal F 
\otimes_k \op{pr}_Y^{(\ast)} \mathcal G$$ auf $X \times Y$.
Die Vertr"aglichkeit von R"uckzug und Tensorprodukt liefert
im Fall $X=Y$ einen Isomorphismus 
$$\Delta^{(\ast)} (\mathcal F \boxtimes_k 
\mathcal G)\sira
\mathcal F \otimes_k 
\mathcal G$$
f"ur $\Delta:X\ra X\times X$ die diagonale Einbettung, als die
Verkn"upfung von Isomorphismen 
$\Delta^{(\ast)} (\mathcal F \boxtimes_k 
\mathcal G)\sira(\Delta^{(\ast)} \op{pr}^{(\ast)}_1 \mathcal F) 
\otimes_k (\Delta^{(\ast)}\op{pr}_2^{(\ast)} \mathcal G)\sira
\mathcal F \otimes_k 
\mathcal G$ unter 
Beachtung von $\op{pr}_1\Delta=\op{id}_X=\op{pr}_2\Delta$. 
In diesem Sinne kann also das Tensorprodukt aus dem externen
Produkt zur"uckgewonnen werden. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}[\textbf{Externes Produkt und direktes Bild}]
 Gegeben R"aume $X,Y$ und ein Kring $k$ und Garben von 
$k$-Moduln $\mathcal F \in k\op{-Mod}_{/X}, \mathcal G \in
k\op{-Mod}_{/ Y}$ und\label{etDB} 
 stetige Abbildungen $f : X \rightarrow X^\prime$ und 
$g : Y \rightarrow Y^\prime$ erhalten wir nat"urliche Morphismen
$$
 f_{(\ast)} \mathcal F \;\boxtimes\; 
g_{(\ast)} \mathcal G \rightarrow (f \times g)_{(\ast)} 
(\mathcal F \;\boxtimes\; \mathcal G)
$$
als Kom\-po\-si\-tion von Basiswechsel \ref{BaWW} 
und unseren nat"urlichen Homomorphismen von eben, genauer als
die Verkn"upfung von nat"urlichen Morphismen 
$$\begin{array}{llll}
 f_{(\ast)} \mathcal F \boxtimes g_{(\ast)} \mathcal G &=& \op{pr}^{(\ast)}_{X^\prime} f_{(\ast)} \mathcal F \otimes \op{pr}_{Y^\prime}^{(\ast)} g_{(\ast)} \mathcal G&\\[2mm]
&\rightarrow & (f \times g)_{(\ast)} \op{pr}_X^{(\ast)} \mathcal F \otimes (f \times g)_{(\ast)} \op{pr}_Y^{(\ast)} \mathcal G&\text{nach }\ref{BaWW}\\[2mm]
&\rightarrow & (f \times g)_{(\ast)} (\op{pr}_X^{(\ast)} \mathcal F \otimes \op{pr}_Y^{(\ast)} \mathcal G)&\text{nach }\ref{DiBiTe}\\[2mm]
&=& (f \times g)_{(\ast)} (\mathcal F \boxtimes \mathcal G)
\end{array}$$
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertauschen von 
externem Produkt und eigentlichem Bild}]  
  Ich erwarte, da"s es unproblematisch ist, f"ur das externe Produkt zu zeigen,
m"oglicherweise unter geeigneten Flachheitsannahmen, da"s der
nat"urliche Morphismus aus \ref{etDB} 
f"ur $f,g$ lokal eigentlich separiert einen Isomorphismus 
$$f_{(!)} \mathcal F \boxtimes g_{(!)} \mathcal G 
\sira  (f \times g)_{(!)} (\mathcal F \boxtimes \mathcal G)$$
induziert. Speziell sollte das stimmen f"ur $f,g$ abgeschlossene
Einbettungen $i,j$, f"ur die wir unsere Formel dann sogar vereinfachen
k"onnen zu  $$i_{(\ast)} \mathcal F \boxtimes j_{(\ast)} \mathcal G 
\sira  (i \times j)_{(\ast)} (\mathcal F \boxtimes \mathcal G)$$
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertauschen von externem Produkt und direktem Bild}]  
Gegeben $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung
und $Z$ ein offenlokal zusammenh"angender Raum
und $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ beliebig und $\mathcal G\in\op{Ab}_{/Z}$
lokal konstant und frei von endlichem Rang ist der kanonische 
Morphismus aus \ref{etDB} ein Isomorphismus\label{ueKF} 
$$(f_{(\ast)} \mathcal F) \boxtimes  \mathcal G 
\sira  (f \times \op{id}_Z)_{(\ast)} (\mathcal F \boxtimes \mathcal G)$$
Analoges gilt mit Koeffizienten. 
Um es zu beweisen, mag man sich auf den Fall zur"uckziehen, da"s $Z$ 
zusammenh"angend ist und $\mathcal G$ konstant und frei von endlichem Rang,
ja  vom  Rang Eins. In diesem Fall erweist sich unsere 
Behauptung als derselbe Spezialfall von gefasertem Basiswechsel,
auf den wir uns bereits beim Beweis des gefaserten Basiswechsels
\ref{GFBW} zur"uckgezogen hatten. 
\end{Bemerkungl}



















\subsection{Multik"ocher und Multikategorien*}
\begin{Definition}
Ein {\bf Multik"ocher} ist ein Datum bestehend aus einer
Menge $E$ von {\bf Ecken}\index{Ecke!von Multik"ocher} und einer
Menge $P$ von {\bf Multipfeilen}\index{Multipfeil} mitsamt einer 
Abbildung $P\ra \DN$, die jedem Multipfeil seine {\bf Vielfachheit} 
zuordnet und f"ur deren Faser "uber $r\in\DN$ wir die
Notation $P_r$ verwenden, sowie  einer Abbildung $e:P\ra E$, die
jedem Multipfeil seinen {\bf Endpunkt}\index{Endpunkt!von Multipfeil} 
zuordnet, sowie f"ur jedes $r$ durchnummerierte  
Abbildungen  $a_1,\ldots,a_r:P_r\ra E$, die
jedem Multipfeil der Vielfachheit 
$r$ der Reihe nach seine $r$ 
{\bf Anfangspunkte}\index{Anfangspunkt!von Multipfeil} 
zuordnen. Es ist dabei durchaus erlaubt, da"s 
Anfangspunkte gleich sind, in Formeln $a_i(p)=a_j(p)$ f"ur
$i\neq j$. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
 Die Gesamtheit aller 
Multik"ocher bildet in offensichtlicher Weise
eine Kategorie $\op{MCar}$.\index{MCar@$\op{MCar}$ Kategorie der Multik"ocher} 
 Die Gesamtheit aller Multikategorien  bildet ebenfalls
eine Kategorie $\op{MCat}$\index{MCat@$\op{MCat}$ 
Kategorie der Multikategorien} mit \hyperref[MulF]{Multifunktoren} 
als Morphismen.
Das Vergessen der Verkn"upfung liefert einen offensichtlichen Funktor
$$\op{MCat}\ra \op{MCar}$$
Wir konstruieren im folgenden dazu analog zur Konstruktion der
Pfadktegorie eines K"ochers  
\ref{Pfad} einen Linksadjungierten.
Das braucht jedoch einige Vorbereitungen.
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[p]
  \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBaSt}
\\ \noindent Graphische Darstellung der Baumstruktur
$\{214131, 214132, 214133, 2142, 2143210, 214322, 2144, 22110\}$.
Wir notieren hier Tupel ohne Klammern und Kommata und nutzen 
dabei den
Umstand, da"s in diesem Beispiel keine mehrstelligen  Eintr"age
auftreten. Die Beschreibung  als Menge von Tupeln dient nur
der Begriffskl"arung, wir werden Baumstrukturen von nun an
meist durch einen bezeichneten Graphen wie oben angeben. 
\end{figure}
\begin{Definition}
Eine \defind{Baumstruktur} ist eine endliche Menge 
$B$ von endlichen Tupeln nat"urlicher
Zahlen mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item Alle Tupel ungerader L"ange aus $B$ enden mit $0$, 
und die Null kann nur als letzter Eintrag eines
Tupels ungerader L"ange auftreten;
\item Stimmen zwei Tupel aus $B$ f"ur ein $n \geq 0$ in ihren ersten $2n$ Eintr"agen "uberein,
so sind sie entweder gleich von der L"ange $2n$ oder haben beide eine L"ange $> 2n$ und stimmen auch in den 
ersten $(2n+1)$ Eintr"agen "uberein;
\item Hat ein Tupel aus $B$ mindestens die L"ange $2n$ f"ur $n \geq 1$, so ist der $2n$-te Eintrag h"ochstens
so gro"s wie der $(2n -1 )$-te Eintrag;
\item Kommt f"ur ein $n \geq 0$ ein Tupel 
$(a_0, a_1, \ldots , a_{2n})$ 
als Anfangsst"uck eines Tupels aus $B$ vor,
so kommen auch alle Tupel $(a_0, a_1, \ldots, a_{2n}, b)$ mit $1 \leq b \leq a_{2n}$ als Anfangsst"ucke von 
Tupeln aus $B$ vor;
\item Unsere Menge $B$ von Tupeln ist nicht leer, sie darf aber
als einziges Tupel das leere Tupel $()$ enthalten.
\end{enumerate}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Die Menge aller Tupel, die als Anfangsst"ucke von Tupeln einer
gegebenen Baumstruktur vorkommen, nennen wir die Menge aller
{\bf Anfangsst"ucke} unserer Baumstruktur.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Unter einem {\bf Multipfad} in einem Multik"ocher 
verstehen wir ein Datum bestehend aus einer Baumstruktur,
einer Anordnung auf der Menge ihrer
geraden Tupel, sowie einer Abbildung, die jedem ihrer geraden
Anfangsst"ucke eine Ecke zuordnet und jedem ihrer 
ungeraden Anfangsst"ucke einen $r$-Multipfeil 
f"ur $r$ sein Ende von den 
Ecken zu den Anfangsst"ucken
$(\ldots zr1),\ldots,(\ldots zrr)$ in die Ecke zum
Anfangsst"uck $(\ldots z)$. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Ich hoffe, da"s es nun offensichtlich ist, wie 
wir durch \glqq Aneinanderh"angen von Multipfaden 
und Ineinanderschachteln der
Anordnungen\grqq\  
zu einem gegebenen Multik"ocher 
eine Multikategorie konstruieren k"onnen,
deren Objekte die Ecken unseres Multik"ochers sind
und deren Multimorphismen seine Multipfade.
Wir nennen sie die {\bf Multipfadkategorie}\index{Multipfadkategorie} unseres Multik"ochers.
Die Identit"aten der Multipfadkategorie geh"oren 
hierbei zu Multipfaden
"uber der trivialen Baumstruktur ${()}$, von denen es f"ur jede 
Ecke genau einen gibt. 
\end{Bemerkungl}


\subsection{"Ubersicht, ALT}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine Kategorie $\mathscr T$ und darin Objekte
  $X_0,\ldots, X_n$ mit $n\geq 0$ verstehen wir unter einer  {\bf Multikorrespondenz}\index{Multikorrespondenz} vom Tupel $X_1,\ldots, X_n$
  nach $X_0$ ein Diagramm 
  bestehend aus einem weiteren  Objekt $K$ mit je einem Morphismus
  zu allen $X_i$.
  Jede Kategorie $\mathscr T$ mit endlichen Faserprodukten
  w"urden wir gerne zu einer Multikategorie machen mit Multikorrespondenzen
  als Multimorphismen, aber das scheitert wie schon bei einfachen Korrespondenzen an der Schwierigkeit, eine strikt assoziative Verkn"upfung
  einzuf"uhren. Wir \glqq striktifizieren\grqq\ deshalb
  diese Struktur, wie im folgenden ausgef"uhrt wird.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
  Eine {\bf Zweimultikategorie}\index{Zweimultikategorie} ist
  eine Multikategorie zusammen mit einer Anreicherung
  ihrer Wortkategorie
  zu einer Zweikategorie derart, da"s 
  der Indexfunktor zu einem Zweifunktor in
  die Zweikategorie $\op{Ens}$ mit nur Identit"aten als Zweimorphismen
  erweitert werden kann, 
und mit einer Erweiterung ihrer Zerlegungsbijektionen
  zu Funktoren, von denen wir zus"atzlich fordern,
  da"s sie Isomorphismen von Kategorien sein sollen. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Die Bedingung, da"s der Indexfunktor zu einem Zweifunktor
  erweitert werden kann, bedeutet schlicht, da"s es nur Zweimorphismen
  geben soll zwischen Morphismen, die in derselben Faser des Indexfunktors liegen. Einen Zweimultifunktor zwischen  Zweimultikategorien erkl"aren wir
  in der offensichtlichen Weise.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine Kategorie $\mathscr T$ 
  und Objekte $X_0,X_1,\ldots,X_n\in \mathscr T$ mit $n\geq 0$ 
  erkl"aren wir
  die {\bf Menge der Multimorphismen}
  $$\mathscr T(X_1\curlyvee \ldots\curlyvee X_n, X_0)$$
  als die Menge aller  endlichen
  Diagramme in $\mathscr T$ mit Knoten $X_0,X_1,\ldots,X_m$ f"ur $m\geq n$. Das Zusammensetzen derartiger Diagramme ist, wenn wir dabei mit etwas Sorgfalt
  \glqq Umnummerieren durch Dazwischenschieben\grqq, in dem Sinne strikt assoziativ, da"s $\mathscr T$ darunter
  zu einer Multikategorie wird, die wir auch $\mathscr T$
  notieren.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine Kategorie $\mathscr T$ mit endlichen Faserprodukten
machen wir nun unsere Multikategorie  $\mathscr T$ von eben
zu einer Zweimultikategorie, indem wir Zweimorphismen
  erkl"aren als Morphismen zwischen den Limites der jeweiligen Diagramme,
  die vertr"aglich sind mit den Morphismen zu allen $X_i$.
  Insbesondere ist  jeder Verschmelzung isomorph zu einer Multikorrespondenz.\index{Multikorrespondenz}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
 Eine
 Multikorrespondenz von topologischen R"aumen nennen wir
 {\bf separiert},\index{separiert!Multikorrespondenz} wenn die
 Abbildung in das Zielobjekt separiert ist. Einen
 Verschmelzung von topologischen R"aumen nennen wir
 {\bf separiert},\index{separiert!Multikorrespondenz} wenn er
 isomorph ist zu einer separierten Multikorrespondenz. Jede Multiverkn"upfung
 separierter Multimorphismen ist separiert und wir erhalten so eine
 Zweimultikategorie $\op{Top}^{\op{s}}$.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Wir konstruieren im folgenden  eine Zweimultikategorie $\op{Ab}^!_{\sslash\op{Top}^{\op{s}}}$ mit
   abelschen Garben auf topologischen R"aumen
   als Objekten sowie einen Zweimultifunktor
   $$\op{Ab}^!_{\sslash\op{Top}^{\op{s}}}\ra \op{Top}^{\op{s}}$$
   von dieser Zweimultikategorie in die Zweimultikategorie der topologischen
   R"aume, der injektiv ist auf Zweimorphismen.
  Der R"uckzug $g^\ast$ und das Tensorprodukt $\otimes$ von abelschen Garben
   sowie die eigentlichen  Bilder $f_!$ von torsionsfreien abelschen Garben 
   l"angs separierter lokal eigentlicher Abbildungen
  k"onnen alle 
   mithilfe dieses Funktors beschrieben
   werden als 
   direkte Bilder mit stark kokartesischen Transportmorphismen. 
   Diese Erkenntnis fa"st eine Vielzahl von
   Vertr"aglichkeiten zwischen diesen drei Funktoren
   zusammen.
    \end{Bemerkungl}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AAGARB"
%%% End: