\section{Zweimultikategorielles}



\subsection{Kofaserungen "uber Korrespondenzen}
\begin{Bemerkungl}
Gegeben eine Kategorie $\mathscr B$ erkl"aren wir die Kategorie $\op{Kor} (\mathscr B)=\hat{\mathscr B}$ der
{\bf Korrespondenzen in $\mathscr B$}\index{Korrespondenzen}\index{Kor@$\op{Kor} (\mathscr B)$ Korrespondenzen in $\mathscr B$} als die Pfadkategorie des K"ochers,  der aus dem unserer
Kategorie zugrundeliegenden K"ocher entsteht, wenn
wir zu jedem Pfeil noch einen Pfeil in der
Gegenrichtung erg"anzen. Ein Morphismus von $X$ nach $Y$ in $\op{Kor} (\mathscr B)$ ist also
etwa ein Diagramm der Gestalt
\begin{equation*}
X = X_0 \overset{f_0}{\rightarrow} X_1 \overset{g_1}{\leftarrow} X_2 \overset{g_2}{\leftarrow} X_3 \overset{f_3}{\rightarrow}
X_4  = Y
\end{equation*}
mit $X_i \in \mathscr B$ und $f_i, g_i$ Morphismen in $\mathscr B$.
Wir vereinbaren, da"s ein Pfeil in der Gegenrichtung mit einem Querstrich notiert wird. Unsere obige Korrespondenz $k\in \hat{\mathscr B}(X,Y)$ etwa ist in dieser Notation
die Verkn"upfung
$k=f_3\bar g_2\bar g_1 f_0$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Kategorie der Korrespondenzen als Zweikategorie}]
  Gegeben eine Kategorie $\mathscr B$ mit  endlichen Faserprodukten
  machen wir
  unsere Kategorie $\hat{\mathscr B}$ von Korrespondenzen
  zu einer Zweikategorie wie folgt:
  Gegeben Objekte $X,Y\in\mathscr B$ existiert ja unter unserer Annahme
  f"ur jede Korrespondenz $k\in \hat{\mathscr B}(X,Y)$ der Limes in Gestalt eines kommutativen Diagramms
  wie etwa
\begin{displaymath}
\xymatrix{
 & &&  K \ar[dll]_{k_X}\ar[dl] \ar[d] \ar[dr] \ar[drr]^{k_Y} &&\\
X\ar@{=}[r] & X_0 \ar[r] & X_1 & \ar[l] X_2 & \ar[l] X_3 \ar[r] & X_4  &\ar@{=}[l]Y
}
\end{displaymath}
 F"ur beliebig vorgegebene 
  Korrespondenzen $k, l \in \hat{\mathscr B}(X, Y)$ erkl"aren  wir nun einen
  Zweimorphismus $k \Rightarrow l$
  als einen Morphismus $K \rightarrow L$ der
  zugeh"origen Limesobjekte, f"ur den das Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
&K \ar[d] \ar[ddl] \ar[ddr] &\\
&L\ar[dl]\ar[dr]&\\
X && Y
}
\end{displaymath}
kommutiert. Weiter machen wir 
die Komposition von Korrespondenzen zu einem Funktor
durch die Vorschrift
\begin{displaymath}
\xymatrix{& & K''\ar[dl]\ar[dr] \ar@{-->}[d]& &\\
&K \ar[d] \ar[ddl] \ar[ddr] & L''\ar[dl]\ar[dr] &K' \ar[d] \ar[ddl] \ar[ddr] &\\
&L\ar[dl]\ar[dr]& &L'\ar[dl]\ar[dr]&\\
X && Y && Z
}
\end{displaymath}
mit dem gestrichelten induzierten Pfeil\label{KaZ} 
als dem Zweimorphismus zwischen der Verkn"upfung, 
der von den beiden vorgegebenen  Zweimorphismen zwischen den
jeweils verkn"upften Korrespondenzen herkommt. In diesem Diagramm
ist $L''\pdef L\times_Y L'$ und $K''\pdef K\times_Y K'$ zu verstehen.
Insbesondere bedeutet unser Limes-Diagramm
f"ur unsere Korrespondenz $k$ von oben einen Isomorphismus von Korrespondenzen 
$k_Y \bar k_X\siRa k$.
Der Leser sei dadurch ermutigt,  
sich Korrespondenzen als \glqq D"acher\grqq\ zu denken und die Komposition solcher D"acher als das \glqq Bilden eines Oberdachs durch
R"uckzug\grqq. Problematisch ist dabei jedoch die Assoziativit"at der Komposition von Morphismen,  weshalb ich den oben beschriebenen
Zugang vorgezogen habe.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Variante zur Zweikategorie der Korrespondenzen}]
  Gegeben allgemeiner $\mathscr B\supset \mathscr B^!\supset \mathscr B^{\op{e}}$ eine
  Kategorie mit zwei r"uckzugstabilen multiplikativen Systemen, die alle
  Isomorphismen enthalten, erkl"aren wir analog die Zweikategorie
  $\op{Kor}^{!,{\op{e}}}(\mathscr B)$.  Ein Morphismus von $X$ nach $Y$ in $\op{Kor}^{!,{\op{e}}} (\mathscr B)$  ist\label{NKor} 
etwa ein Diagramm der Gestalt
\begin{equation*}
X = X_0 \overset{f_0}{\rightarrow} X_1 \overset{g_1}{\leftarrow} X_2 \overset{g_2}{\leftarrow} X_3 \overset{f_3}{\rightarrow}
X_4  = Y
\end{equation*}
mit $X_i \in \mathscr B$ und $g_i$ Morphismen in $\mathscr B$
und $f_i$ Morphismen in $\mathscr B^!$. Als Zweimorphismen
zwischen unseren Korrespondenzen lassen wir dabei nur e-Morphismen zu.
\end{Bemerkungl}


  

\begin{Bemerkungl}
  Ist  $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Faserung
  "uber einer Kategorie mit endlichen Faserprodukten und
  $k\in \hat{\mathscr B}(X,Y)$ eine Korrespondenz in der Basis
  und sind $\mathcal F \in \mathscr C_X$ und
$\mathcal G \in \mathscr C_Y$ Objekte der jeweiligen Fasern, so erkl"aren wir einen  {\bf Morphismus von $\mathcal F$ nach
$\mathcal G$ "uber der Korrespondenz 
  $k$} als einen Morphismus  nach $\mathcal G$ "uber $k_Y$ des R"uckzugs von $\mathcal F$ l"angs $k_X$ und setzen in Formeln
$$\op{Kor} (\mathscr C / \mathscr B)_k (\mathcal F, \mathcal G)= \widehat{\mathscr C}_k (\mathcal F, \mathcal G) \pdef \mathscr C_{k_Y} (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)= \mathscr C_{K} (k_X^\dagger \mathcal F, k_Y^\dagger \mathcal G)$$
Die Verkn"upfung dieser Morphismen ist die Offensichtliche. Wir erhalten so eine Kategorie $\op{Kor} (\mathscr C / \mathscr B)=\widehat{\mathscr C}$ und einen 
Funktor\label{lpk}
$$\hat p:\widehat{\mathscr C} \rightarrow \hat{\mathscr B}$$
Man beachte  den Unterschied zwischen breitem und spitzen Dach,
 unser $\widehat{\mathscr C}$ ist ja keineswegs die
 Kategorie der Korrespondenzen von ${\mathscr C}$.
 Offensichtlich ist ein Morphismus in $\widehat{\mathscr C}_k (\mathcal F, \mathcal G)$ kokartesisch f"ur $\hat p$ genau dann, wenn er als Morphismus in
 $\mathscr C_{k_Y} (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)$ kokartesisch ist f"ur $p$. 
 "Ahnlich wie $\hat{\mathscr B}$  machen wir auch $\widehat{\mathscr C}$ zu einer Zweikategorie und $\hat p$ zu einem Zweifunktor,
 indem wir einen Zweimorphismus "uber
einem Zweimorphismus $k\RA l$ erkl"aren als eine Hochhebung
des zugeh"origen  Morphismus $K\ra L$, die die offensichtlichen
Diagramme zum Kommutieren bringt, und den Effekt der
Verkn"upfung auf Zweimorphismen auch in der offensichtlichen Weise
erkl"aren. Man beachte, da"s unser Zweifunktor $\hat p$ injektiv ist auf Zweimorphismen.
\end{Bemerkungl}







%  \begin{Bemerkunge}
%  Wenn wir es noch genauer nehmen wollen, k"onnen wir einen %  Morphismus von $\mathcal F$ nach $\mathcal G$ "uber einer Korrespondenz $k$ noch sorgf"altiger
%  erkl"aren als ein
%  Datum, das jedem Limesdiagramm $(K,k_X,\ldots,k_Y)$ zu $k$ einen Morphismus in $\mathscr C_{k_Y} (k_X^\dagger  \mathcal F, \mathcal G)$ so zuordnet, da"s
%  f"ur den einem weiteren Limesdiagramm $(L, l_X, \ldots , l_Y)$ zugeordneten Morphismus und $i : L \sira K$ den eindeutigen
%  Isomorphismus von Limites das Diagramm
%  \begin{displaymath}
%  \xymatrix{
%  & k_X^\dagger \mathcal F\ar[dl] \ar[dr] &\\
%  \mathcal F & & \mathcal G\\
%  & l_X^\dagger \mathcal F \ar[uu]^{\tilde \imath} \ar[ur] \ar[ul]
%  }
%  \end{displaymath}
%  kommutiert mit dem eindeutigen vertikalen Isomorphismus $\tilde \imath$ "uber $i$, der das linke Dreieck zum Kommutieren bringt.\label{lpk} Ich denke aber,
%  diese Genauigkeit ist "ubertrieben, da wir uns ja eh schon vor langem  darauf geeinigt haben, bis auf eindeutigen Isomorphismus wohlbestimmte Dinge
%  mit einem bestimmten Artikel zu versehen und
%  sie grammatikalisch als eindeutig bestimmte Dinge zu behandeln.
%   \end{Bemerkunge}

\begin{Beispiel}
Wir betrachten die  Garbenopfaserung
  $\op{Ens}_{\sslash\op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \ref{GaKoFa}.
 Die Morphismen "uber einer Korrespondenz $k$ 
 spezialisieren darin  zu Elementen von 
  $\op{Ens}_{\sslash k_Y} (k_X^\ast \mathcal F, \mathcal G)$ alias
  $\op{Ens}_{/ Y} (\mathcal G,k_{Y\ast} k_X^\ast \mathcal F)$ alias
 $\op{Ens}_{/ K} (k_{Y}^\ast\mathcal G, k_X^\ast \mathcal F)$.\label{moue} 
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Stark kokartesische Morphismen "uber Korrespondenzen}] 
  Seien $\mathscr B$ eine Kategorie mit endlichen Faserprodukten,  $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Faserung,
  $k\in \hat{\mathscr B}(X,Y)$ eine Korrepondenz
  und $\varphi\in \widehat{\mathscr C}_{k} (\mathcal F, \mathcal G)$
  ein Morphismus "uber $k$. So ist offensichtlich
  $\varphi$ stark  $\hat p$-kokartesisch,\label{stkka} 
wenn $\varphi\in \mathscr C_{k_Y} (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)$
faserr"uckzugstabil stark $p$-kokartesisch ist in dem Sinne,
da"s f"ur jedes kartesische Quadrat in $\mathscr B$ mit $k_Y$ als einem
Ausgangspfeil der R"uckzug von $\varphi$ auf den $k_Y$
gegen"uberliegenden Pfeil
 stark $p$-kokartesisch ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Kofaserungen "uber Korrespondenzen}]
  Ist  $\mathscr B$ eine Kategorie mit endlichen Faserprodukten und  $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Bifaserung derart, da"s jeder R"uckzug eines
  kokartesischen Morphismus "uber einem kartesischen Diagramm wieder
  kokartesisch ist, so ist 
 unser in \ref{lpk} erkl"arter Funktor
\begin{equation*}
\hat p:\widehat{\mathscr C } \rightarrow \hat{\mathscr B}
\end{equation*}
eine Kofaserung und die kokartesischen Morphismen dieser
Kofaserung "uber einer Korrespondenz
$k\in \hat{\mathscr B}(X,Y)$  sind genau  die  kokartesischen Morphismen aus
$\mathscr C_{k_Y} (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)$. In der Tat sind
ja unter unserer Annahme alle $p$-kokartesischen Morphismen bereits stark
$p$-kokartesisch, und so folgt unsere Aussage aus \ref{stkk}.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkunge}
 Unsere Kofaserung  $\hat p$
sollte wohl eine  Kofaserung von Zweikategorien im Sinne von \cite{Buckley} sein, aber das habe ich nicht gepr"uft.
\end{Bemerkunge}
\begin{Beispiel}
Schr"anken wir die  Bifaserung
  $\op{Ens}_{\sslash\op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \ref{GaKoFa}
 ein auf die volle
  Unterkategorie $\op{Topkh}$ der kompakten Hausdorffr"aume, so
  erhalten wir aufgrund von eigentlichem Basiswechsel \ref{EBWA}  eine Kofaserung "uber der Kategorie der Korrespondenzen in $\op{Topkh}$
  mit $k_\dagger=(k_{Y*}k_X^*)^{\op{opp}}$ als direktem Bildfunktor f"ur eine Korrespondenz $k$ von $X$ nach $Y$.
\end{Beispiel}
% \begin{proof}
%   Da"s die fraglichen Morphismen kokartesisch sind, gilt wie zuvor
%   erw"ahnt sogar ohne  Voraussetzungen "uber Basiswechsel.
%   Es bleibt zu zeigen, da"s die
% Verkn"upfung kokartesischer Morphismen wieder kokartesisch ist.
% Die geforderte Basiswechseleigenschaft bedeutet aber gerade, da"s f"ur jede % Hochhebung eine kartesischen Quadrats in $\mathscr B$
% zu einem kommutativen Quadrat
% \begin{displaymath}
% \xymatrix{
% &{} \ar[dl]\ar@{-->}[dr]&\\
% \ar[dr]& &\ar[dl]\\
% & {}&\\
% }
% \end{displaymath}
% in $\mathscr C$ mit den Pfeilen nach links kartesisch und dem durchgezogenen Pfeil nach rechts kokartesisch auch der gestrichelte Pfeil
% nach rechts kokartesisch ist.
% Salopp gesprochen bedeutet unsere Basiswechseleigenschaft also, da"s jeder R"uckzug eines kokartesischen Morphismus wieder
% kokartesisch ist. Damit wird offensichtlich, da"s die Verkn"upfung kokartesischer Morphismen in Bezug auf unseren Funktor
% $\hat p:\widehat{\mathscr C } \rightarrow \hat{\mathscr B}$
% wieder kokartesisch sein mu"s.
% \end{proof}

\subsection{Kofaserungen zu Austauschdaten} 
\begin{Bemerkungl}
  Sei 
$(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^!\leftarrow \mathscr C^!,\mathscr B^{\op{e}},i)$
eine \hyperref[AlKnu]{Austauschsituation} mit einem Austauschdatum.
Wir betrachten wie in \ref{NKor}
die Zweikategorie $\op{Kor}^{!,{\op{e}}}(\mathscr B)$
aller !-Korrespondenzen mit e-Morphismen als Zweimorphismen und
konstruieren einen Zweifunktor
$$\widehat{\mathscr C}\pdef \op{Kor}^{!,{\op{e}}}(\mathscr C/\mathscr B)\ra
\op{Kor}^{!,{\op{e}}}(\mathscr B)=\hat{\mathscr B}$$
Als Objekte der Ausgangskategorie $\widehat{\mathscr C}$ nehmen wir 
die Objekte von $\mathscr C$.
Als Morphismenmenge
"uber einer Korrespondenz $k:X\ra Y$
mit zugeh"origen $k_X:K\ra X$ und $k_Y:K\ra Y$ nehmen wir
$$\widehat{\mathscr C}_k(\mathcal F,\mathcal G)\pdef \mathscr C^!_{k_Y}(k_X^* \mathcal F,\mathcal G)$$
Gegeben eine weitere Korrespondenz $h:Y\ra Z$ und
Morphismen $\phi\in \widehat{\mathscr C}_k(\mathcal F,\mathcal G)$
und $\psi\in \widehat{\mathscr C}_h(\mathcal G,\mathcal E)$
erkl"aren wir die Verkn"upfung 
$$\psi\circ \phi\in \widehat{\mathscr C}_{h\circ k}(\mathcal F,\mathcal E)$$
mithilfe des Austauschquadrats zum kartesischen Quadrat
 \begin{displaymath}
\xymatrix{
K\ar[d] & K\times_Y H \ar[d]\ar[l]\\
Y& H\ar[l] 
}
\end{displaymath}
 in der Basis zur Ausgangskante $\phi$. Bezeichnet genauer
 $\tilde\phi$ die zur"uckgeholte Kante, so setzen wir
 $\psi\circ \phi\pdef \psi\circ \tilde\phi$.
 Die Assoziativit"at dieser Verkn"upfung folgt aus unserer
 Annahme, da"s das Verkleben von Austauschaqudraten l"angs
 gleicher Kanten stets wieder ein
 Austauschquadrat ist. Da"s das Vorschalten und das Nachschalten
 einer Identit"at Morphismen in $\widehat{\mathscr C}$ unver"andert l"a"st,
 folgt aus der Tatsache, da"s bei einem Austauschquadrat, in dem zwei gegen"uberliegende
 Kanten Identit"aten sind, die beiden anderen Kanten "ubereinstimmen. Das hinwiederum folgt aus unserer dritten Bedingung an Austauschquadrate, da
 nach Annahme
 alle Identit"aten e-Morphismen sind. Jetzt geht es noch um die
 Zweimorphismen in
 $\widehat{\mathscr C}$.
 Gegeben  Morphismen $\psi,\phi\in \widehat{\mathscr C}(\mathcal F,\mathcal G)$
 "uber Korrespondenzen $k,l:X\ra Y$ und
 ein Zweimorphismus $\alpha:K\RA L$ zwischen unseren Korrespondenzen alias
ein  e-Morphismus $\alpha:K\ra L$ mit $l_X\alpha=k_X$ und  $l_Y\alpha=k_Y$ 
verstehen wir unter einem {\bf Zweimorphismus $\dot\alpha:\phi\RA\psi$
  "uber $\alpha$} einen Morphismus
$\dot\alpha\in \mathscr C_{\alpha}(k_X^*\mathcal F,l_X^*\mathcal F)$
mit $\kappa_l \dot\alpha =\kappa_k$ in $\mathscr C_{k_X}(k_X^*\mathcal F, \mathcal F)$
f"ur $\kappa_k:k_X^*\mathcal F\ra  \mathcal F$ und $\kappa_l:l_X^*\mathcal F\ra  \mathcal F$  die jeweiligen Transportmorphismen und mit $\psi \dot\alpha =\phi$ in $\mathscr C^!_{k_Y}(k_X^*\mathcal F, \mathcal G)$.
Nach \ref{stkk} ist klar, da"s dann $\dot\alpha$ kartesisch
sein mu"s.
Weiter ist klar,
wie wir diese Zweimorphismen zu verkn"upfen haben, und da"s
 $\widehat{\mathscr C}(\mathcal F,\mathcal G)$ so eine Kategorie wird und der
 offensichtliche Funktor ein Faserfunktor
$$\widehat{\mathscr C}(\mathcal F,\mathcal G)\ra \hat{\mathscr B}(X,Y)$$
 Um den Effekt der Verkn"upfung
 $\widehat{\mathscr C}(\mathcal F,\mathcal G)\times\widehat{\mathscr C}(\mathcal G,\mathcal E)\ra  \widehat{\mathscr C}(\mathcal F,\mathcal E)$
 auf Paaren von Zweimorphismen zu erkl"aren, gehen wir aus von der Darstellung der Verkn"upfung von Zweimorphismen von Korrespondenzen der Basis im Diagramm
 \begin{displaymath}
  \xymatrix{&& && K''\ar[dl]\ar[dr]^{\bar\alpha} \ar[dd]&& &&\\
   && &H\ar@{..>}[dl]\ar[dr]^{\ddot\alpha}& &H'\ar@{-->}[dr]^{{\bar\psi}}\ar[dl]& && \\
&&K \ar[d]^{\dot\alpha} \ar@{..>}[ddll] \ar@{-->}[ddrr]^\phi && L''\ar@{..>}[dll]\ar@{-->}[drr]^-<<<<<{\tilde\psi} &&K' \ar[d]^{\dot\beta} \ar@{..>}[ddll] \ar@{-->}[ddrr]^{\phi'} &&\\
&&L\ar@{..>}[dll]\ar@{-->}[drr]^-<<<<<<{\psi}&& &&L'\ar@{..>}[dll]\ar@{-->}[drr]^-<<<<{\psi'}&&\\
X &&&& Y &&&& Z
}
 \end{displaymath}
 Darin sind $L'',H,H',K''$ jeweils die Faserprodukte
 der \glqq darunterliegenden kleinen schiefen Quadrate\grqq.
 Die griechischen Buchstaben stehen f"ur !-Morphismen zwischen Objekten der Fasern. Die nach links weisenden Pfeile sind alle
 Transportmorphismen f"ur $*$-R"uckz"uge.
 Der !-Morphismus $\tilde\psi$ entsteht als zur"uckgezogene Kante
 im Austauschquadrat mit der Ausgangskante $\psi$.
 Gegeben seien nun Zweimorphismen $\dot\alpha$ "uber $\alpha:K\ra L$ und
 $\dot\beta$ "uber $\beta:K'\ra L'$. Wir bilden
 $\ddot\alpha$ durch R"uckzug aus $\dot\alpha$ und diese
 beiden Kanten geh"oren dann nach unseren Annahmen auch zu
 einem Austauschquadrat. Damit sind auch $\phi$ und $\tilde\psi\ddot\alpha$
 gegen"uberliegende Kanten eines Austauschquadrats. Weiter konstruieren wir
 $\bar\alpha$ und ${\bar\psi}$ durch R"uckzug, wobei
 wir beachten, da"s
 $\dot\beta$ kartesisch sein mu"s. Damit ist dann schlie"slich klar, da"s
 auch $\phi$ und ${\bar\psi}\bar\alpha$ gegen"uberliegende Kanten eines
 Austauschquadrats sind. So erkl"aren wir den Effekt der Verkn"upfung
 in $\widehat{\mathscr C}$ auf Paaren von Zweimorphismen. Und jetzt gilt es noch
 zu pr"ufen, da"s $\widehat{\mathscr C}$ mit diesen Gesetzen
 wirklich eine Zweikategorie wird, da"s also unsere Regeln Funktoren
 $\widehat{\mathscr C}(\mathcal F,\mathcal G)\times\widehat{\mathscr C}(\mathcal G,\mathcal E)\ra  \widehat{\mathscr C}(\mathcal F,\mathcal E)$
 liefern und da"s f"ur diese Funktoren die Assoziativit"at gilt
 und Identit"aten existieren. Das soll mir mal ein Student machen und ebenso
 aufschreiben, wie man wieder zur"uck kommt.
\end{Bemerkungl}
\subsection{Weiteres zu Kofaserungen "uber Korrespondenzen} 
\begin{Bemerkungl}
  Seien nun $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Faserung
  "uber einer Kategorie  $\mathscr B$ mit endlichen Faserprodukten und
  sei  in $\mathscr C$  ein multiplikatives System $S$ gegeben,
  das {\bf faserr"uckzugstabil}\index{faserr"uckzugstabil} ist in dem Sinne,
 da"s f"ur jede Hochhebung nach $\mathscr C$ eines kartesischen Quadrats in $\mathscr B$ 
zu einem kommutativen Quadrat\label{KKFu} 
\begin{displaymath}
\xymatrix{
&{} \ar[dl]\ar@{-->}[dr]&\\
\ar[dr]& &\ar[dl]\\
& {}&\\
}
\end{displaymath}
in $\mathscr C$ mit den Pfeilen nach links kartesisch und dem durchgezogenen Pfeil nach rechts einem $S$-Morphismus
auch der induzierte gestrichelte Pfeil
nach rechts ein $S$-Morphismus ist.
Gegeben $X,Y\in\mathscr B$ sowie $\mathcal F \in \mathscr C_X$ und
$\mathcal G \in \mathscr C_Y$ erkl"aren wir in dieser Situation
die Menge der {\bf $S$-Morphismen von $\mathcal F$ nach
$\mathcal G$ "uber einer Korrespondenz 
$k\in \hat{\mathscr B}(X,Y)$} als $$ \op{Kor}^S (\mathscr C / \mathscr B)_k (\mathcal F, \mathcal G)=\widehat{\mathscr C}^S_k (\mathcal F, \mathcal G)\pdef \mathscr C_{k_Y}^S (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)$$
mit der Notation $\mathscr C^S$ f"ur $S$-Morphismen in
$\mathscr C$. 
Wir erhalten so eine Unterkategorie
$\widehat{\mathscr C}^S\subset \widehat{\mathscr C}$ mit denselben
Objekten, die wir  mit der induzierten Struktur einer
Zweikategorie versehen.
Ein Morphismus in $\widehat{\mathscr C}^S_k (\mathcal F, \mathcal G)$ ist offensichtlich genau dann kokartesisch f"ur
$\hat p^S: \widehat{\mathscr C}^S\ra \hat{\mathscr B}$, wenn
er als Element von $\mathscr C_{k_Y}^S (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)$ 
kokartesisch  ist f"ur
$ p^S: \mathscr C^S\ra \mathscr B$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
  Im Fall der  Garbenopfaserung $\op{Ab}_{\sslash\op{Top}}\ra \op{Top}$
  bilden nach \ref{ReOp}
  die eigentlichen Opkomorphismen aus \ref{eigK} ein
  faserr"uckzugstabiles multiplikatives System, das wir im folgenden mit ! andeuten. F"ur
   die Kategorie der topologischen R"aume mit
  Korrespondenzen als Morphismen verwenden wir die
  Notation ${\Toph}$.\index{Top@${\Toph}$ Korrespondenzkategorie topologischer R"aume} In diesen Notationen liefern unsere Konstruktionen
  einen Funktor\label{AlgF} 
  $$\op{Ab}_{\sslash \Toph}^!\ra \Toph$$
  Die Morphismen "uber einer Korrespondenz $k\in \Toph(X,Y)$ 
 spezialisieren in diesem Fall  zu Elementen von 
  $\op{Ab}_{\sslash k_Y}^! (k_X^\ast \mathcal F, \mathcal G)$ alias
 $\op{Ab}_{/ Y} (\mathcal G,k_{Y!} k_X^\ast \mathcal F)$, und
 die direkten Bilder sind die Funktoren $( k_{Y!} k_X^\ast)^{\op{opp}}$.
\end{Beispiel}
















%Jetzt: Kofaserungsfall.

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben 
  eine Kategorie $\mathscr B$ mit einem
  \hyperref[RmSM]{multiplikativen System} 
  $R$ erkl"aren wir die Kategorie
  $\op{Kor}^R (\mathscr B)=\hat{\mathscr B}^R$ der
           {\bf $R$-Korresponden\-zen in $\mathscr B$}\index{Korrespondenzen}\index{Kor@$\op{Kor}^R (\mathscr B)$ $R$-Korrespondenzen in $\mathscr B$} als die Pfadkategorie des K"ochers, der
aus dem unserer
Kategorie zugrundeliegenden K"ocher entsteht, indem wir erst zu jedem Pfeil einen Pfeil in der
Gegenrichtung erg"anzen, und dann von den urspr"unglichen Pfeilen alle
 weglassen, die nicht zu $R$-Morphismen  geh"oren.
Ein Morphismus von $X$ nach $Y$ in $\hat{\mathscr B}^R$
ist also
etwa ein Diagramm der Gestalt
\begin{equation*}
X = X_0 \overset{f_0}{\rightarrow} X_1 \overset{g_1}{\leftarrow} X_2 \overset{g_2}{\leftarrow} X_3 \overset{f_3}{\rightarrow}
X_4  = Y
\end{equation*}
mit $X_i \in \mathscr B$ 
und $f_i, g_i$ Morphismen in $\mathscr B$ derart, da"s die
$f_i$ sogar $R$-Morphismen sind. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  In unseren ersten Anwendungen wird
  $\mathscr B$ die Kategorie der topologischen R"aume
    $\mathscr B=\op{Top}$ sein
  mit den separierten %\hyperref[LEAm]{lokal eigentlichen}
  Abbildungen als $R$-Morphismen.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
  Wir nennen ein multiplikatives System $R$ in einer Kategorie $\mathscr B$
  {\bf r"uckzugstabil},\index{r"uckzugstabil}
  wenn das  Faserprodukt f"ur alle Winkel mit einem $R$-Morphismus
  existiert und  der R"uckzug unseres $R$-Morphismus darin  wieder ein $R$-Morphismus ist.
  Gegeben solch ein r"uckzugstabiles multiplikatives System $R$ existiert f"ur jede $R$-Korrespondenz $k\in\hat{\mathscr B}^R(X,Y)$
  der Limes in Gestalt eines kommutativen Diagramms
\begin{displaymath}
\xymatrix{
 & &&  K \ar[dll]_{k_X}\ar[dl] \ar[d] \ar[dr] \ar[drr]^{k_Y} &&\\
X\ar@{=}[r] & X_0 \ar[r] & X_1 & \ar[l] X_2 & \ar[l] X_3 \ar[r] & X_4  &\ar@{=}[l]Y
}
\end{displaymath}
mit $k_Y$ einem $R$-Morphismus.
"Ahnlich wie in  \ref{KaZ} versehen wir dann auch  die Kategorie der
$R$-Korrespondenzen  $\hat{\mathscr B}^R$ mit
der Struktur einer Zweikategorie, wobei wir allerdings in der dortigen Notation
ausgedr"uckt
nur $R$-Morphismen $K\ra L$ als Morphismen von $R$-Korrespondenzen zulassen.
Unser Diagramm beschreibt dann wieder einen Isomorphismus $k_Y\bar k_X\siRa k$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Sei nun $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Faserung
  "uber einer Kategorie  $\mathscr B$ mit r"uckzugstabilem multiplikativen
  System $R$. Unter einem {\bf faserr"uckzugstabilen multiplikativen
    System $S$  "uber $R$}\index{faserr"uckzugstabil!"uber anderem System}
  verstehen wir ein  multiplikatives
  System $S$ in $\mathscr C$ "uber $R$ mit der Eigenschaft,
   da"s f"ur jede Hochhebung nach $\mathscr C$ eines kartesischen Quadrats in $\mathscr B$ mit $R$-Pfeilen nach rechts
zu einem kommutativen Quadrat\label{KKFuu}%vergleiche\label{KKFuux 
\begin{displaymath}
\xymatrix{
&{} \ar[dl]\ar@{-->}[dr]&\\
\ar[dr]& &\ar[dl]\\
& {}&\\
}
\end{displaymath}
in $\mathscr C$ mit den Pfeilen nach links kartesisch und dem durchgezogenen Pfeil nach rechts einem $S$-Morphismus
auch der induzierte gestrichelte Pfeil
nach rechts ein $S$-Morphismus ist.
Gegeben $X,Y\in\mathscr B$ sowie $\mathcal F \in \mathscr C_X$ und
$\mathcal G \in \mathscr C_Y$ erkl"aren wir in dieser Situation
die Menge der {\bf $S$-Morphismen von $\mathcal F$ nach
$\mathcal G$ "uber einer $R$-Korrespondenz 
$k\in \hat{\mathscr B}^R(X,Y)$} als $$ \op{Kor}^{S/R} (\mathscr C / \mathscr B)_k (\mathcal F, \mathcal G)=\widehat{\mathscr C}^{S/R}_k (\mathcal F, \mathcal G)\pdef \mathscr C_{k_Y}^S (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)$$
mit der Notation $\mathscr C^S$ f"ur $S$-Morphismen in
$\mathscr C$. 
Wir erhalten so einen Funktor
$$\hat p^{S/R}:\widehat{\mathscr C}^{S/R}\ra \hat{\mathscr B}^{R}$$
Analog wie zuvor versehen wir $\widehat{\mathscr C}^{S/R}$ mit der
Struktur einer Zweikategorie und machen $\hat p^{S/R}$ zu einem Zweifunktor,
der injektiv ist auf Zweimorphismen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kokartesische Morphismen "uber Korrespondenzen}] 
   Seien  $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Faserung
  und $R$ ein r"uckzugstabiles multiplikatives
  System in $\mathscr B$ und $S$ ein   multiplikatives
    System in $\mathscr C$, das  faserr"uckzugstabil ist  "uber $R$.  
Ein Morphismus in $\widehat{\mathscr C}^{S/R}_k (\mathcal F, \mathcal G)$ ist offensichtlich genau dann kokartesisch f"ur unseren Funktor  
$\hat p^{S/R}: \widehat{\mathscr C}^{S/R}\ra \hat{\mathscr B}^R$, wenn
er als Element von $\mathscr C_{k_Y}^S (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)$ 
kokartesisch  ist f"ur den von $p$ induzierten  Funktor
$ p^{S/R}: \mathscr C^S\ra \mathscr B^R$ zwischen den jeweiligen Unterkategorien mit den ausgezeichneten multiplikativen Systemen als Morphismenmengen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Stark kokartesische Morphismen "uber Korrespondenzen}] 
   Seien  $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Faserung
  und $R$ ein r"uckzugstabiles multiplikatives\label{stkko} 
  System in $\mathscr B$ und $S$ ein   multiplikatives
    System in $\mathscr C$, das  faserr"uckzugstabil ist  "uber $R$.  Ein Morphismus  $\varphi\in\widehat{\mathscr C}^{S/R}_k (\mathcal F, \mathcal G)$ ist stark kokartesisch f"ur unseren Funktor 
$\hat p^{S/R}: \widehat{\mathscr C}^{S/R}\ra \hat{\mathscr B}^R$, wenn
er als Element von $\mathscr C_{k_Y}^S (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)$ 
faserr"uckzugstabil stark kokartesisch ist f"ur den von $p$ induzierten  Funktor
$ p^{S/R}: \mathscr C^S\ra \mathscr B^R$ in dem Sinne,
da"s f"ur jedes kartesische Quadrat in $\mathscr B$ mit $k_Y$ als einem
Ausgangspfeil der R"uckzug von $\varphi$ auf den $k_Y$ gegen"uberliegenden Pfeil auch
 stark kokartesisch ist f"ur $p^{S/R}$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
  Wir gehen aus von  dem  in \ref{AlgF} betrachteten Funktor
  $$\op{Ab}^!_{\sslash\Toph}\ra \Toph$$
  In der Kategorie der topologischen R"aume  betrachten wir das
  multiplikative System $R$ der
  separierten stetigen Abbildungen.
  Die zugeh"origen Korrespondenzen
  nennen wir {\bf separiert},\index{separiert!Korrespondenz} 
  verwenden f"ur die Kategorie der topologischen R"aume mit
  separierten Korrespondenzen als Morphismen die Notation
  ${\Toph}^{\op{s}}$\index{Tops@${\Toph}^{\op{s}}$ separierte Korrespondenzkategorie topologischer R"aume} 
  und betrachten den eingeschr"ankten 
  Funktor
  $$\op{Ab}^!_{\sslash {\Toph}^{\op{s}}}\ra {\Toph}^{\op{s}}$$
   Nach \ref{eiPL} ist nun $\op{Ab}_{\sslash\op{Tops}}^!\ra \op{Tops}$
  eine Kofaserung und nach lokal eigentlichem Basiswechsel \ref{BaWeax}
  bleiben die eigkokartesischen Opkomorphismen "uber lokal eigentlichen
  separierten Abbildungen  eigkokartesisch unter
  beliebigem R"uckzug.
  Eine Korrespondenz  von topologischen R"aumen $k\in \Toph(X,Y)$ mit
  lokal eigentlichem separierten $k_Y$ nennen wir eine
  {\bf lokal eigentliche separierte Korrespondenz}\index{Korrespondenz!lokal eigentliche separierte} oder  abk"urzend
  {\bf les-Korrespondenz}\index{les-Korrespondenz} und notieren die zugeh"orige
  Kategorie ${\Toph}^{\op{les}}$.
Nach \ref{stkko} sind 
Morphismen "uber einer les-Korrespondenz $k=k_y \bar k_X$, die
einem 
eigkokartesischen Morphismus "uber $k_Y$ aus dem $k_X$-R"uckzug entsprechen,   stets stark kokartesisch in Bezug auf unseren
 eingeschr"ankten
Funktor
$\op{Ab}^!_{\sslash {\Toph}^{\op{s}}}\ra {\Toph}^{\op{s}}$. Insbesondere
erhalten   wir durch weiteres Einschr"anken auf
lokal eigentliche separierte Korrespondenzen eine Kofaserung
$$\op{Ab}^!_{\sslash {\Toph}^{\op{les}}}\ra {\Toph}^{\op{les}}$$
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl} ALT Gegeben eine  Kategorie $\mathscr T$ verwenden wir im weiteren die Notation\index{)6@$^\curlyvee\mathscr T$ Morphismenbaumkategorie} 
  $$^\curlyvee\!\mathscr T\pdef ((\mathscr T^{\op{opp}})^\curlyvee)^{\op{opp}}$$
  f"ur die opponierte Kategorie der banalen Schmelzkategorie
  von $\mathscr T^{\op{opp}}$ und nennen $^\curlyvee\!\mathscr T$ die {\bf Trennkategorie zu $\mathscr T$}.\index{Trennkategorie}
   Die Objekte von $^\curlyvee\!\mathscr T$ sind Worte aus
  Objekten von $\mathscr T$, ein Morphismus in $^\curlyvee\!\mathscr T$
  von $X_1\curlyvee\ldots \curlyvee X_n$
  nach $Y_1\curlyvee\ldots \curlyvee Y_m$ ist ein Datum bestehend
  aus einer
  Abbildung $\alpha:\llbracket m\rrbracket\ra \llbracket n\rrbracket$
  und Morphismen $X_{\alpha(j)}\ra Y_j$. Die Verkn"upfung von Morphismen in $^\curlyvee\!\mathscr T$  ist
  die Offensichtliche. Die Abbildung $\alpha$ nennen wir die
  {\bf Indexabbildung}\index{Indexabbildung!in Trennkategorie}
  unseres Morphismus der Trennkategorie. Wir notieren so einen
  Morphismus $(\alpha^\circ, f_1\curlyvee\ldots\curlyvee f_n)$ statt
  formal korrekter $(\alpha, f_1^\circ\curlyvee\ldots\curlyvee f_n^\circ)^\circ$. Die $f_i$ sind dabei ihrerseits Tupel von
  Morphismen aus $\mathscr T(X_i,Y_j)$ indiziert durch $j\in \alpha^{-1}(i)$.
  Ist hier $\alpha$ monoton wachsend und surjektiv, so lassen wir es auch gerne
  aus der Notation weg. BILD!
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine Kategorie $\mathscr T$ mit endlichen Faserprodukten
  bilden die Morphismen in der Verzweigungkategorie $^\curlyvee\!\mathscr T$ mit einer Identit"at als
  Indexabbildung, die sich also salopp gesprochen \glqq weder verzweigen
  noch "uberkreuzen\grqq, ein r"uckzugstabiles multiplikatives System $R$. Die zugeh"orige Zweikategorie von $R$-Kor\-res\-pon\-den\-zen notieren wir
  $$^\curlyvee\!\hat{\mathscr T}^\shortparallel$$
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine Kategorie $\mathscr T$ mit endlichen Faserprodukten
  ist unsere Zweikategorie $^\curlyvee\!\hat{\mathscr T}^\shortparallel$
  die Wortkategorie einer Multizweikategorie in offensichtlicher Weise.
  Diese Multizweikategorie nennen wir die
  {\bf Multizweikategorie der Multikorrespondenzen in $\mathscr T$} und
  notieren sie $\mathscr T^{\op{cor}}$.\index{cor@$\mathscr T^{\op{cor}}$ Multikorrespondenzen in $\mathscr T$}\index{Multikorrespondenz} 
  Es gibt darin f"ur jeden Verschmelzung
  $k\in \mathscr T^{\op{cor}}(X_1\curlyvee\ldots\curlyvee X_n, Y)$
  einen nat"urlichen
  ausgezeichneten Isomorphismus von einem
  Verschmelzung der Gestalt $f\bar g$ mit
  $g=(g_1,\ldots,g_n)$ einem Tupel von Morphismen $g_i\in\mathscr T(K,X_i)$ und  $f\in\mathscr T(K,Y)$ f"ur ein Objekt $K$, das man als Limes
  eines geeigneten Diagramms konstruieren mag.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Wir erinnern nun aus \ref{MFoll}
  unseren Multifunktor des Vergessens der Garben
  $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}^{\op{opp}}\ra \op{Top}^{\op{opp}}$,
  eine Schmelzkofaserung "uber der banalen Schmelzkategorie zu
  $\op{Top}^{\op{opp}}$. Er liefert eine Kofaserung
  der zugeh"origen Wortkategorien und eine Faserung ihrer opponierten
  Kategorien alias eine Faserung
  $$^\curlyvee\!\!\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra {^\curlyvee\!\op{Top}}$$
  "uber der Trennkategorie topologischer R"aume.
  Die Objekte von $^\curlyvee\!\!\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}$
  "uber einem Wort aus topologischen R"aumen
  sind Worte aus abelschen Garben "uber den jeweiligen R"aumen
  und die Morphismen sind Tupel von Multiopkomorphismen alias opponierten
  Multikomorphismen "uber unseren Tupeln von stetigen Abbildungen, die
  die jeweiligen Morphismen der Trennkategorie bilden.
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}
 Bez"uglich der Faserung
  $^\curlyvee\!\!\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra {^\curlyvee\!\op{Top}}$
 bilden die Tupel eigentlicher Opkomorphismen "uber Morphismen mit der
 Identit"at als Indexabbildung ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives
 System.\label{rzst}
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}\label{allFK} 
  Unsere allgemeine Konstruktion \ref{KKFuu} liefert damit einen
  Zweifunktor zu unseren speziellen Korrespondenzen, den wir
  $$^\curlyvee\!\!\op{Ab}_{\sslash \Toph}^!\ra
  {^\curlyvee{\Toph}^\shortparallel}$$
    notieren. Gegeben so eine Korrespondenz $k\in {^\curlyvee\!{\Toph}^\shortparallel(X_1\curlyvee\ldots\curlyvee X_r,Y)}$
      alias ein Raum $K$ mit stetigen Abbildungen $g_i:K\ra X_i$ und $f:K\ra Y$
      ist ein Morphismus "uber $k$ von $\mathcal F_1\curlyvee\ldots\curlyvee \mathcal F_r$ nach $\mathcal G$ ein
      eigentlicher Opkomorphismus in $\op{Ab}_{\sslash f}^!(g_1^\ast \mathcal F_1\otimes\ldots\otimes g_r^\ast \mathcal F_r, \mathcal G)$ alias ein
      Garbenhomomorphismus in  $\op{Ab}_{/Y}(\mathcal G, f_!(g_1^\ast \mathcal F_1\otimes\ldots\otimes g_r^\ast \mathcal F_r))$. Die Funktoren
      $$F_1\curlyvee\ldots\curlyvee \mathcal F_r\mapsto  f_!(g_1^\ast \mathcal F_1\otimes\ldots\otimes g_r^\ast \mathcal F_r)$$ sind direkte
      Bilder f"ur unseren Funktor. Im weiteren werden wir insbesondere
      die Frage diskutieren, unter welchen zus"atzlichen Annahmen die Transportmorphismen zu unseren direkten Bildern
      stark kokartesisch werden nach Einschr"anken unseres
      Funktors auf \glqq separierte Multikorrespondenzen\grqq.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
  Jeder Morphismus  der Trennkategorie entsteht durch Komposition und
  das \glqq Zusammenfassen zu Tupeln\grqq\ aus
  einfachen Morphismen, Morphismen zum leeren Wort, Permutationen
  und Morphismen
  der Gestalt $(\op{id},\op{id}):X\ra X\curlyvee X$.
  Es reicht also zu zeigen, da"s der R"uckzug von Tupeln
  eigentlicher Opkomorphismen mit jedem Morphismus dieser vier Typen wieder
  ein eigentlicher Opkomorphismus ist. Im Fall einfacher Morphismen ist das
  unsere "Ubung \ref{ReOp}. Im Fall einer Permutation  ist das
  eh klar. Im Fall eines Morphismus zum leeren Wort ist es die
  einigerma"sen banale Erkenntnis, da"s f"ur jeden topologischen Raum $X$
  der identische Opkomorphismus $\DZ_X\ra \DZ_X$ "uber
  $\op{id}:X\ra X$ eigentlich ist alias da"s die nat"urliche Einbettung
  eine Gleichheit $\op{id}_!\DZ_X=\op{id}_*\DZ_X$ ist.
  Im Fall eines Morphismus
  der Gestalt $(\op{id},\op{id}):X\ra X\curlyvee X$
  "uberlegt man sich, da"s es ausreicht, die Stabilit"at unter R"uckzug auf den
  Fasern in kartesischen Diagrammen "uber Winkeln zu zeigen,
  deren andere Ausgangskante die Gestalt
  $(\op{id}\curlyvee f): X\curlyvee T\ra X\curlyvee X$ hat f"ur $f:T\ra X$ stetig.   Genauer zeigt das  folgende Diagramm, wie man
  den R"uckzug von $(f\curlyvee g): Z\curlyvee Y\ra  X\curlyvee X$
  unter $(\op{id},\op{id}):X\ra X\curlyvee X$
  erhalten kann durch Vertupeln und Komposition aus einem
  R"uckzug unter einem einfachen Morphismus (2) und zwei R"uckz"ugen (1), (3)
  dieser speziellen Art.
\begin{displaymath}
\xymatrix{
Z\ar[d] & \ar[l] \ar[d]^-{(2)}Z\times_{X} Y & Y\ar[d] & \ar@/_1pc/[ll]\ar[l] Z \times_{X} Y \ar[d]^-{(3)}\\
X\ar[d] & \ar[l] Y & Y\ar[d] &\ar@/_1pc/[ll]
\ar@/^1pc/[lll]
\ar[l] Y \ar[d]^-{(1)}\\
X & & X &\ar@/^1pc/[lll]\ar[l] X\\
}
\end{displaymath}

\vspace{6mm}\noindent
Damit l"auft unsere Behauptung darauf 
 hinaus zu zeigen,
  da"s f"ur jede stetige Abbildung $f:T\ra X$ und jeden
  eigentlichen Opkomorphismus $\varphi:\mathcal E\ra \mathcal F$ "uber
  $f$ und jede abelsche Garbe $\mathcal G$ auf $X$  auch der induzierte Opkomorphismus
  $f^\ast \mathcal G\otimes \mathcal E\ra \mathcal G\otimes \mathcal F$
  "uber $f$ eigentlich ist.
  Das hinwiederum l"auft darauf hinaus,
  zu zeigen, da"s der Garbenhomomorphismus
  $\mathcal G\otimes \mathcal F\ra f_\ast (f^\ast \mathcal G\otimes \mathcal E)$,
 der f"ur $V\co X$ und
  $r\in \mathcal G(V)$ und $t\in \mathcal F(V)$ gegeben wird durch
 $r\otimes t\mapsto r\otimes \varphi(t)$, "uber $f_! (f^\ast \mathcal G\otimes \mathcal E)$ faktorisiert.
 Da nun die Bildgarbe von den
  $ r\otimes \varphi(t)$ erzeugt wird, reicht es zu zeigen,
  da"s diese Tensoren zu $f_! (f^\ast \mathcal G\otimes \mathcal E)$ geh"oren.
  Es ist aber klar, da"s der Tr"ager in $f^{-1}(V)$ dieses Tensors eine abgeschlossene
  Teilmenge von $\op{supp}(\varphi(t))$
  ist und folglich auch eigentlich nach $V$ abgebildet wird.
\end{proof}


\begin{Bemerkungl} Gegeben eine Kategorie $\mathscr T$
  mit einem r"uckzugstabilen multiplikativen System
  $R$ erhalten wir  ein r"uckzugstabiles multiplikatives System
  $^\curlyvee\! R$ in der Trennkategorie $^\curlyvee\!\mathscr T$ als das System aller Tupel von $R$-Morphismen mit einer Bijektion als zugrundeliegender Indexabbildung.\label{spezK} 
  Jeder Morphismus in $^\curlyvee\! R$ ist dann nat"urlich eine Komposition von
  Morphismen in $^\curlyvee\! R$, die als Tupel von Morphismen h"ochstens an
  einer Stelle einen von der Identit"at verschiedenen Eintrag haben.
\end{Bemerkungl}

%SOLLTE DAS UNDERIVIERT NUR F"UR K"ORPERKOEFFIZIENTEN MACHEN!
%ODER GINGE ES MIT TORSIONSFREIEN ABELSCHEN GARBEN?
\begin{Bemerkungl}  Ich nenne eine abelsche Garbe
    {\bf torsionsfrei},\index{torsionsfrei!abelsche Garbe} wenn alle Halme oder gleichbedeutend alle Gruppen von Schnitten "uber offenen Teilmengen torsionsfrei sind.
    Der R"uckzug, das Tensorprodukt ebenso wie eigentliche direkte Bilder
    von torsionsfreien Garben sind offensichtlich wieder torsionsfrei. 
    Die vollen Unterkategorien der bisher im Zusammenhang mit
    abelschen Garben betrachteten Kategorien,
    bei denen wir als Objekte nur
    torsionsfreie abelsche Garben zulassen, notieren wir
    $\op{tfAb}$ mit entsprechenden Erg"anzungen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Wir gehen aus von  dem  in \ref{allFK} betrachteten Funktor
  $$^\curlyvee\!\!\op{Ab}_{\sslash \Toph}^!\ra
  {^\curlyvee{\Toph}^\shortparallel}$$
  In der Kategorie der topologischen R"aume  betrachten wir das
  multiplikative System $R$ der
  separierten stetigen Abbildungen,
  verwenden f"ur die dazu im Sinne von \ref{spezK} gebildete Kategorie
  von Korrespondenzen die Notation
${^\curlyvee{\Toph}^{\op{s}}}$ 
  und betrachten den eingeschr"ankten 
  Funktor
  $$^\curlyvee\!\!\op{Ab}_{\sslash \Toph^{\op{s}}}^!\ra
  {^\curlyvee{\Toph}^{\op{s}}}$$
    Ich behaupte nun, da"s in Bezug auf den so eingeschr"ankten Funktor der
    durch \ref{allFK} gegebene Transportmorphismus 
 $$F_1\curlyvee\ldots\curlyvee \mathcal F_r\ra  f_!(g_1^\ast \mathcal F_1\otimes\ldots\otimes g_r^\ast \mathcal F_r)$$
    "uber einer separierten Korrespondenz $f\bar g$ stark kokartesisch ist,
    wenn $f$ zus"atzlich lokal eigentlich ist und die $\mathcal F_i$
    torsionsfreie abelsche Garben sind.
  Um das zu zeigen, erinnern wir zun"achst, da"s eigkokartesische Opkomorphismen
    auch stark kokartesisch sind, sobald wir uns auf separierte
    stetige Abbildungen einschr"anken.
    Jetzt m"ussen wir  nach
    \ref{stkko} nur noch zeigen, da"s gegeben
    $f_i:X_i\ra Y_i$ f"ur $1\leq i\leq n$ lokal eigentlich separiert
    und $\varphi_i:\mathcal F_i\ra \mathcal G_i$ dar"uber eigkokartesische Opkomorphismen torsionsfreier Garben
    und $g_i:Z\ra Y_i$ stetig 
    auch der auf dem R"uckzug induzierte eigentliche Opkomorphismus torsionsfreier Garben
    $$\tilde g_1^\ast\mathcal F_1\otimes \ldots \otimes\tilde g_n^\ast\mathcal F_n
    \ra  g_1^\ast\mathcal G_1\otimes \ldots \otimes g_n^\ast\mathcal G_n$$
    eigkokartesisch ist. Dieser Opkomorphismus ist dabei
    zu verstehen "uber der stetigen, ja lokal eigentlichen separierten
    Abbildung von Limes $L$ des Diagramms $X_i\ra Y_i\leftarrow Z$ aus
    $(2n+1)$ topologischen R"aumen und
    $\tilde g_i:L\ra X_i$ bezeichnen die induzierten Abbildungen.
    Wie zuvor "uberlegt man
    sich, da"s es ausreicht, das  zu pr"ufen im Fall
    $n=0$, im Fall $n=1$, und im Fall  $n=2$ mit
    $g_1=g_2=f_1=\op{id}$ und $\varphi_1=\op{id}$.
    Im Fall $n=0$ ist das die Aussage, da"s die Identit"at "uber der Identit"at
    eigkokartesisch ist.  Im Fall $n=1$ ist es lokal eigentlicher
    Basiswechsel \ref{BaWeax}.  Im Fall $n=2$ entpuppt es sich schlie"slich als
    die sogenannte  Projektionsformel \ref{ProFor}, die wir im
    Anschlu"s beweisen.
\end{Beispiel}






\newpage
\section{Der Formalismus der sechs Funktoren}



\subsection{Poincar\'e-Dualit"at (Versuch)}







\begin{Bemerkunge}\label{OKLJ} 
  Wenn ich mich nicht irgendwie verhampelt habe, erhalten wir
  andererseits aus \eref{starrH}{TS} f"ur starres $\mathcal F$ 
in $\op{Der}^+ (\op{Ab}_{/X})$  nat"urliche Isomorphismen
$$
\op{Hom} (f^\ast \mathcal F , f^\ast \mathcal E) \sira
f^\ast \op{Hom} (\mathcal F, \mathcal E)
$$
Koppeln wir das mit der Beschreibung in  3.4.6 Kashiwara-Shapira 
$\op{Hom} (\mathcal F, \mathcal E)=\DD(\DD\mathcal E\otimes \mathcal F)$
unter Konstruierbarkeitsannahmen, so ergibt sich mit etwas Mut
$$\DD(\DD f^\ast \mathcal E\otimes f^\ast \mathcal F)=f^\ast \DD(\DD\mathcal E\otimes \mathcal F)$$
$$\DD( f^! \DD\mathcal E\otimes f^\ast \mathcal F)=\DD f^!(\DD\mathcal E\otimes \mathcal F) $$
$$ f^! \DD\mathcal E\otimes f^\ast \mathcal F= f^!(\DD\mathcal E\otimes \mathcal F) $$
$$ f^! \mathcal G\otimes f^\ast \mathcal F= f^!(\mathcal G\otimes \mathcal F) $$
\end{Bemerkunge}


\begin{Proposition}\label{wIh}  
  Sei  $M$ ein lokal kompakter  Hausdorffraum derart, da"s der Funktor
  $\Gamma_!:\op{Ab}_{/M}\ra \op{Ab}$ endliche homologische Dimension hat.
  Gegeben eine kompaktweiche Garbe $\mathcal I\in  \op{Ab}_{/M}$
  und eine abelsche Gruppe $G$ ist dann die Vorschrift $$\Gamma^!_G\mathcal I:U\mapsto \op{Hom}_\DZ(\Gamma_!(U;\mathcal I),G)$$
  auch  eine abelsche Garbe auf $M$, und f"ur injektives $G$ ist diese
  Garbe sogar welk.
\end{Proposition}


\begin{proof}
  Gegeben eine Familie $(U_\nu)$ von offenen Teilmengen mit Vereinigung
  $V$ haben wir, wie man unschwer auf den Halmen pr"uft, in der
  der Notation $\mathcal I_{V\subset M}\pdef j_!j^*\mathcal I$ aus
  \ref{IUGG} 
  eine rechtsexakte Garbensequenz
  $$\ldots \ra\bigoplus \mathcal I_{(U_\nu\cap U_\mu)\subset M}\ra \bigoplus  \mathcal I_{U_\nu\subset M}
  \sra \mathcal I_{V\subset M}$$
  Ist $\mathcal I$ kompaktweich, so
  sind auch alle $\mathcal I_{U\subset M}$ kompaktweich
  und unsere Sequenz besteht aus $\Gamma_!$-azyklischen Garben.
  Damit bleibt sie wegen der homologischen
  Endlichkeit von $\Gamma_!$ 
 nach \ref{EHD} unter $\Gamma_!$ 
 und da dieser Funktor   nach \ref{glfg}  mit filtrierenden Kolimites vertr"aglich ist, erhalten wir so eine exakte Sequenz
  $$\ldots\ra\bigoplus \Gamma_!(U_\nu\cap U_\mu;\mathcal I)\ra \bigoplus \Gamma_!(U_\nu;\mathcal I)
  \sra \Gamma_!(V;\mathcal I)$$
  Wenden wir darauf den kontravarianten
  Funktor $ \op{Hom}_\DZ(\;,G)$ an,
  so erhalten wir eine linksexakte Sequenz
  $$\prod (\Gamma_G^!\mathcal I)(U_\nu\cap U_\mu)\leftarrow \prod  (\Gamma_G^!\mathcal I)(U_\nu)
  \hla (\Gamma_G^!\mathcal I)(V)$$
  Sie beinhaltet die Garbeneigenschaft von $\Gamma_G^!\mathcal I$.
  Da"s unsere Garbe f"ur injektives $G$ sogar welk ist, ist offensichtlich.
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine $n$-Mannigfaltigkeit $M$ finden wir nach \ref{kwil}
 und \ref{ehdn} und \ref{phq} eine 
 kompaktweiche Aufl"osung
 $$\DZ_M\hra \mathcal I^0\ra\ldots\sra \mathcal I^n$$ der konstanten Garbe,
  indem wir irgendeine kompaktweiche Aufl"osung  abschneiden.
  Gegeben solch eine 
  kompaktweiche Aufl"osung konstruieren wir nun nat"urliche Isomorphismen
  $$\mathcal H^{-q}\mathbb D \Gamma_!(M;\mathcal I^\lhd)\sira
  {\op{H}}^{n-q}(M;\op{or}_M)$$
  F"ur $U\co M$ haben wir nun nat"urliche Isomorphismen 
  ${\op{H}}^q_!(U;\DZ)\sira \mathcal H^q\Gamma_!(\mathcal I_{U\subset M}^\lhd)$.
  F"ur $U$ hom"oomorph zu $\DR^n$ ist
  der Komplex $\mathbb D \Gamma_!(\mathcal I_{U\subset M}^\lhd)$
  also exakt au"ser im Grad $-n$ und dort ist seine Kohomologie
  nat"urlich isomorph zu $\op{or}_M(U)$. Nun ist dieser
  Komplex der Komplex der Schnitte "uber $U$ des
  Garbenkomplexes $\Gamma_{\DQ\ra\DQ/\DZ}^!\mathcal I^\lhd$, den
  wir als Abbildungskegel von
  $[-1]\Gamma_{\DQ}^!\mathcal I^\lhd \ra[-1]\Gamma_{\DQ/\DZ}^!\mathcal I^\lhd$
  erhalten.
  Folglich k"onnen wir unseren Komplex in nat"urlicher Weise
  als Aufl"osung
$$\op{or}_M\hra [-n]\Gamma_{\DQ\ra\DQ/\DZ}^!\mathcal I^\lhd$$
der Orientierungsgarbe verstehen, und  nach \ref{wIh} ist er
sogar eine welke Aufl"osung. Unsere nat"urlichen Isomorphismen entstehen,
indem wir die Garbenkohomologie der Orientierungsgarbe mithilfe
dieser welken Aufl"osung berechnen.
\end{Bemerkungl}



\subsection{"Alteres zu Korrespondenzen}

\begin{Bemerkungl}
  ACHTUNG AUF $R$ und $S$, nicht alles ge"andert!
  Seien nun $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Faserung
  "uber einer Kategorie  $\mathscr B$ mit r"uckzugstabilem multiplikativen
  System $R$ und
sei auch in $\mathscr C$  ein multiplikatives System  $S$ gegeben,
 das die
Eigenschaft hat, da"s 
f"ur die vollen Unterkategorien  $\mathscr B^S,\mathscr C^S$ mit
nur den $S$-Morphismen als Morphismen unser $p$ eine Kofaserung
$p^S : \mathscr C^S \rightarrow \mathscr B^S$ induziert.
Wir sagen dann, $p$ sei eine {\bf $S$-Bifaserung}, nennen die zu
$S$-Morphismen geh"origen
direkten Bilder die {\bf $S$-Bilder}\index{Bild!$S$-Bild} und notieren
$f_\ddagger$ den Funktor des $S$-Bildes unter einem $S$-Morphismus $f$.
Gegeben $X,Y\in\mathscr B$ sowie $\mathcal F \in \mathscr C_X$ und
$\mathcal G \in \mathscr C_Y$ erkl"aren wir in dieser Situation
die Menge der {\bf $S$-Morphismen von $\mathcal F$ nach
$\mathcal G$ "uber einer $S$-Korrespondenz 
$k\in \hat{\mathscr B}^S(X,Y)$} als $$ \op{Kor}^S (\mathscr C / \mathscr B)_k (\mathcal F, \mathcal G)=\widehat{\mathscr C}^S_k (\mathcal F, \mathcal G)\pdef \mathscr C_{k_Y}^S (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)$$
Die Verkn"upfung solcher $S$-Morphismen
gelingt unter der Voraussetzung, da"s f"ur jede Hochhebung eines kartesischen Quadrats in $\mathscr B$ mit $S$-Morphismen nach rechts
zu einem kommutativen Quadrat\label{KKFu} 
\begin{displaymath}
\xymatrix{
&{} \ar[dl]\ar@{-->}[dr]&\\
\ar[dr]& &\ar[dl]\\
& {}&\\
}
\end{displaymath}
in $\mathscr C$ mit den Pfeilen nach links kartesisch und dem durchgezogenen Pfeil nach rechts einem $S$-Morphismus
auch der induzierte gestrichelte Pfeil
nach rechts ein $S$-Morphismus ist.
Wir erhalten dann eine Kategorie $\op{Kor}^S (\mathscr C / \mathscr B)=\widehat{\mathscr C}^S$ und einen\label{lpkS} 
Funktor $\hat p^S:\widehat{\mathscr C}^S \rightarrow \hat{\mathscr B}^S$.
"Ahnlich
wie in \ref{KaZ} 
machen wir auch $\widehat{\mathscr C}^S$ zu einer Zweikategorie, indem wir in der dortigen Notation einen Zweimorphismus "uber
einem  vorgegebenen Zweimorphismus $k\RA l$ erkl"aren
als einen $S$-Lift des zugeh"origen $S$-Morphismus $K\ra L$, der
die offensichtlichen Diagramme zum Kommutieren bringt, und den Effekt der Verkn"upfung auf Zweimorphismen in der
offensichtlichen Weise erkl"aren.
Unsere Kofaserung wird dann sogar
ein Zweifunktor, der treu ist auf Zweimorphismen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Kofaserungen "uber $S$-Korrespondenzen}] 
  Seien $(\mathscr B,S)$ eine Kategorie mit einem r"uckzugstabilen
  multiplikativen System, $(\mathscr C,S)$ eine weitere Kategorie mit
multiplikativem System und $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$
eine  $S$-Bifaserung.\label{kaSS} 
Ist zus"atzlich der R"uckzug von $S$-kokartesischen  Morphismen aus $\mathscr C$ zu $S$-kartesischen Quadraten in der Basis 
wieder $S$-kokartesisch, so ist unser in \ref{lpkS} erkl"arter Funktor
\begin{equation*}
\hat p^S:\widehat{\mathscr C}^S \rightarrow \hat{\mathscr B}^S
\end{equation*}
eine Kofaserung und deren kokartesische Morphismen "uber einer $S$-Korrespon\-denz
$k\in\hat{\mathscr B}^S(X,Y)$ sind die  $S$-kokartesischen Morphismen aus
$\mathscr C_{k_Y}^S (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)$.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Der Zweifunktor $\hat p^S$ aus unserem Satz
sollte wohl eine  Kofaserung von Zweikategorien im Sinne von \cite{Buckley} sein, aber das habe ich nicht gepr"uft.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Da"s die fraglichen Morphismen kokartesisch sind, scheint mir offensichtlich. Es bleibt zu zeigen, da"s die
Verkn"upfung kokartesischer Morphismen wieder kokartesisch ist.
Das aber folgt aus unserer Forderung, da"s der R"uckzug von $S$-kokartesischen  Morphismen aus $\mathscr C$ zu $S$-kartesischen Quadraten in der Basis 
wieder $S$-kokartesisch sein soll.
\end{proof}
\begin{Beispiel}
  Man mag als Basis $\mathscr B$ die Kategorie $\mathscr B=\op{Top}$ der
  topologischen R"aume nehmen, als $S$-Morphismen die
  separierten lokal eigentlichen Abbildungen,
  als Faserfunktor die 
 \hyperref[GaKoFa]{Garbenopfaserung}
$\op{Ab}_{\sslash\op{Top}}\ra \op{Top}$
und als $S$-Morphismen von Garben "uber einer separierten lokal eigentlichen Abbildung $f:X\ra Y$ die \hyperref[eigK]{eigentlichen 
  Opkomorphismen} von abelschen Garben $\mathcal F\ra \mathcal G$ im Sinne
unserer Definition \ref{eigK}.
Dann entsprechen
 die $S$-Morphismen "uber
einer $S$-Korrespondenz $k$ eineindeutig den Morphismen aus
$\op{Ab}_{/ Y} (\mathcal G,k_{Y!} k_X^\ast \mathcal F)$ und die zus"atzliche
Bedingung in \ref{kaSS} zum R"uckzug von $S$-kokartesischen Morphismen "uber kartesischen $S$-Quadraten entpuppt sich als  eigentlicher Basiswechsel \ref{BaWeax}.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
  Gegeben eine  Kategorie $\mathscr T$ verwenden wir die Notation\index{)6@$\mathscr T^\curlywedge$ Morphismenbaumkategorie} 
  $$\mathscr T^\curlywedge\pdef ((\mathscr T^{\op{opp}})^\curlyvee)^{\op{opp}}$$
  Man mag $\mathscr T^\curlywedge$  als  \glqq Kategorie verzweigender Morphismen\grqq\ verstehen: Objekte sind Worte aus
  Objekten von $\mathscr T$, Morphismen Tupel stetiger Abbildungen,
  und zwar genau
  eine zu jedem Buchstaben des Zielworts, die jeweils von einem beliebigen
  Buchstaben des Ausgangsworts ausgehen darf. Wir nennen sie {\bf $\curlywedge$-Mor\-phis\-men}.\index{Morphismus!$\curlywedge$-Morphismus}
  Man mag nun ausgehen vom Opponierten 
  $$\op{flAb}_{\sslash \op{Top}}^\curlywedge\ra \op{Top}^\curlywedge$$
  des im Beweis von  \ref{VRT} betrachteten Kofaserfunktors
  als Faserfunktor, den wir zus"atzlich auf die Unterkategorie der
  flachen Garben eingeschr"ankt haben. 
  Als r"uckzugstabiles multiplikatives von $S$-Mor\-phis\-men
  in der Basis nehme man alle Tupel von
separierten lokal eigentlichen Abbildungen
"uber der Identit"at als Indexabbildung.
Als $S$-Morphismen von Garben "uber einem solchen Tupel von  separierten lokal eigentlichen Abbildungen schlie"slich betrachte man Tupel von  \hyperref[eigK]{eigentlichen 
  Opkomorphismen} von abelschen Garben $\mathcal F\ra \mathcal G$ im Sinne
unserer Definition \ref{eigK}.
Dann entsprechen zum Beispiel 
 die $S$-Morphismen "uber
 einer $S$-Korrespondenz vom Wort
 $X_1\curlyvee X_2$ nach $Y$ der Gestalt  $f\;\overline{(g_1, g_2)}$
 mit $f:K\ra Y$ separiert lokal eigentlich und $g_\nu:K\ra X_\nu$ stetig
 eineindeutig den Morphismen aus
$$\op{Ab}_{/Y} (\mathcal G,f_{!}( g_1^\ast \mathcal F_1\otimes g_2^\ast \mathcal F_2) )$$ Wenn wir die zus"atzliche
 Bedingung in \ref{kaSS} zum R"uckzug von $S$-ko\-kar\-te\-si\-schen Morphismen "uber kartesischen $S$-Quadraten pr"ufen zwei komponierbare Morphismen $g,g'$ als
 Nicht-$S$-Pfeile im Ausgangswinkel, so gilt sie auch
 f"ur deren Komposition $gg'$. Es reicht folglich, diese Bedingung zu pr"ufen
 f"ur den Nicht-$S$-Pfeil $g$  im Ausgangswinkel
 (1) ein $\curlywedge$-Morphismus ins leere Wort, (2) ein einfacher Morphismus und
 (3) ein verzweigender $\curlywedge$-Morphismus der Gestalt $(\op{id},\op{id})$.
 Im ersten Fall ist nichts zu zeigen. Im zweiten Fall entpuppt sich unsere
 Bedingung als eigentlicher Basiswechsel \ref{BaWeax}. 
 Im dritten Fall k"onnen wir zus"atzlich annehmen, da"s unser
 $S$-Morphismus die Gestalt $(f\curlyvee \op{id})$ hat mit
 $f$ separiert lokal eigentlich, und dann entpuppt sich  unsere
 Bedingung als die Projektionsformel \ref{ProFor}. 
\end{Beispiel}



\subsection{Ab hier unfertig!}

{\underline {Verfeinerung (?):}}  Exchange wie Deligne.


\begin{Bemerkungl} Gegeben eine Kategorie $\mathcal B$ konstruieren
  wir eine neue Kategorie $\mathcal B^\curlywedge$ wie folgt:
  Objekte sind Worte von Objekten aus $\mathcal B$. Ein Morphismus
  von einem Wort $(X_1,\ldots,X_n)$ in ein Wort $(Y_1,\ldots,Y_m)$
  ist ein Datum bestehend aus einer Abbildung
  $f:\llbracket m\rrbracket \ra \llbracket n\rrbracket$ und einem
  Morphismus $\varphi_j:X_{f(j)}\ra Y_j$ f"ur alle $j$. Die Verkn"upfung von
  Morphismen ist die Offensichtliche. Die Abbildung $f$ nennen wir die
  unserem Morphismus zugrundeliegende
  {\bf Indexabbildung}.\index{Indexabbildung} Jeder Morphismus in
  $\mathcal B^\curlywedge$ ist eine Komposition von Tupeln von Abbildungen mit
  der Identit"at als zugrundeliegender Indexabbildung und Tupeln von
  Identit"atsabbildungen, bei denen alle Fasern der zugeh"origen Indexabbildung
  h"ochstens zwei Elemente haben.\label{vkmm}  
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Alternativ kann $\mathcal B^\curlywedge$ beschrieben werden als die
  opponierte Kategorie zur Wortkategorie der opponierten Kategorie von
  $\mathcal B$, in Formeln $\mathcal B^\curlywedge=((\mathcal B^{\op{opp}})^\curlyvee)^{\op{opp}}$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Gegeben eine Kategorie $\mathcal B$
  mit einem r"uckzugstabilen multiplikativen System
  $S$ erhalten wir offensichtlich ein r"uckzugstabiles multiplikatives System
  $S^\curlywedge$ in $\mathcal B^\curlywedge$ als das System aller Tupel von $S$-Morphismen mit einer Bijektion als zugrundeliegender Indexabbildung.
  Jeder Morphismus in $S^\curlywedge$ ist eine Komposition von
  Morphismen in $S^\curlywedge$, die als Tupel stetiger Abbildung h"ochstens an
  einer Stelle einen von der Identit"at verschiedenen Eintrag haben.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}\label{GaFF} 
  Jetzt spezialisieren wir unsere vorherigen "Uberlegungen zum
  Fall der Kategorie
  $\mathscr B\pdef \op{Top}^\curlywedge$ mit $S$ dem multiplikativen System aller
  Tupel von separierten lokal eigentlichen Abbildungen mit einer
  Bijektion als zugrundeliegender Indexabbildung.
  Als unseren Faserfunktor $p:\mathscr C\ra \mathscr B$ nehmen wir
  den von unserer Multikofaserung \ref{MFoll} auf den opponierten
  Kategorien induzierten Funktor $$p:\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}^{\op{opp}}
  \ra \op{Top}^\curlywedge$$ Ein Objekt "uber einem Wort aus topologischen
  R"aumen ist also ein Wort aus abelschen Garben auf den jeweiligen
  R"aumen und ein Morphismus "uber einem Tupel stetiger Abbildungen
  ein Tupel von \hyperref[gakof]{Multikomorphismen} in die Gegenrichtung.
  Die Faser unseres Faserfunktors "uber einem Wort
  ist insbesondere das Produkt der
  Opponierten der Kategorien abelscher Garben auf seinen Buchstaben.
  Schlie"slich erkl"aren wir einen $S$-Morphismus in $\mathscr C=\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}^{\op{opp}}$
  als ein Tupel eigentlicher Komorphismen "uber einem $S$-Morphismus in
  $\op{Top}^\curlywedge$. Dann ist $p$ auch eine $S$-Kofaserung.
  Um zu erreichen, da"s die $S$-Morphismen in $\mathscr C$ r"uckzugstabil sind,
  also die letzte Bedingung in \ref{kaSS}, m"ussen wir uns auf die Unterkategorie $\mathscr C=\op{flAb}_{\sslash \op{Top}}^{\op{opp}}$
  der flachen abelschen Garben einschr"anken. Nach \ref{vkmm} brauchen wir
  nur den R"uckzug zu untersuchen f"ur beliebige Morphismen zur Indexabbildung $\llbracket 1\rrbracket\sira \llbracket 1\rrbracket$,
  f"ur leere Abbildungstupel zur Indexabbildung $\llbracket 0\rrbracket\hra \llbracket 1\rrbracket$, und f"ur Tupel $(\op{id},\op{id})$ zur Indexabbildung $\llbracket 2\rrbracket\sra \llbracket 1\rrbracket$.
  Weiter m"ussen wir in letzterem Fall nur den R"uckzug "uber einem Tupel
  der Gestalt $(f,\op{id})$ zur Indexabbildung $\op{id}:\llbracket 2\rrbracket\sira \llbracket 2\rrbracket$ untersuchen. 
\end{Bemerkungl}

Das ist eigentlicher Basiswechsel, eine mir unbekannte Formel, und
die Projektionsformel.





\begin{Bemerkungl}
  Sei $(\mathscr B,S)$ eine Kategorie mit einem r"uckzugstabilen
  multiplikativen System.
Seien $(\mathscr C,S)$ eine weitere Kategorie mit
multiplikativem System und $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$
eine Faserung, die auch eine $S$-Kofaserung ist,\label{kaDS} 
und sei der R"uckzug
von $S$-Morphismen aus $\mathscr C$ "uber $S$-kartesischen Diagrammen der Basis $\mathscr B$ stets
wieder ein $S$-Morphismus.
So hatten wir in \ref{KKFu} einen Funktor
\begin{equation*}
\op{Kor}^S (\mathscr C /\mathscr B) \rightarrow \op{Kor}^S (\mathscr B)
\end{equation*}
konstruiert, dessen Fasern mit den Fasern von
$p:\mathscr C^S\ra \mathscr B^S$ "ubereinstimmen.
Nun nehmen wir zu"atzlich an, da"s  in $\mathscr C$ alle Morphismen "uber Identit"aten aus
der Basis $\mathscr B$ bereits $S$-Morphismen sind.
Weiter nehmen wir  zus"atzlich an, da"s  in $\mathscr C$  ein
ges"attigtes Rechtsoresystem $Q$ gegeben ist, das aus gewissen Morphismen "uber
Identit"aten in $\mathscr B$ besteht,
so da"s f"ur $gt=sh$ mit kartesischen Morphismen $g,h$ in $\mathscr C$
gilt $s\in Q\RA t\in Q$.
Bezeichne  $Q_Z$ die
Morphismen aus $Q$ "uber der Identit"at von $Z\in\mathscr B$.
Wir 
erkl"aren wir nun einen Funktor
\begin{equation*}
Q^{-1}\op{Kor}^S (\mathscr C /\mathscr B) \rightarrow \op{Kor}^S (\mathscr B)
\end{equation*}
mit Fasern 
$Q_X^{-1}\mathscr C_X$  den lokalisierten Fasern von $p$ wie folgt:
Gegeben $\mathcal F\in \mathscr C_X$ bilden wir in $\mathscr C_X$
das Pro-Objekt $\mathcal F^-$ aller $Q$-Morphismen alias
 $Q_X$-Morphismen nach $\mathcal F$.
Gegeben eine $S$-Korrespondenz $k=(k_X,K,k_Y)$ in der Basis
bilden wir dazu in  $\mathscr C_K$ erst das Pro-Objekt $k_X^\dagger(\mathcal F^-)$
und dann das Pro-Objekt $(k_X^\dagger(\mathcal F^-))^-$ aller $Q_K$-Morphismen
in Objekte von $k_X^\dagger(\mathcal F^-)$, 
das nach unseren
Annahmen zum
Pro-Objekt $(k_X^\dagger\mathcal F)^-$  aller $Q_K$-Morphismen
nach $k_X^\dagger\mathcal F$ kanonisch isomorph ist. Gegeben $\mathcal G\in\mathscr C_Y$ erkl"aren wir dann einen Morphismus "uber $k$
als einen \glqq $S$-Morphismus $k_X^\dagger(\mathcal F^-)^-\ra \mathcal G^-$
"uber $k_Y$\grqq\ alias genauer und in Formeln "ahnlich wie in \ref{MPOk}
als ein Element von
$$
\op{limf}_{\mathcal B\ra \mathcal G} \op{colf}_{\mathcal A} \mathscr C^S_{k_Y}( \mathcal A,\mathcal B)$$
mit dem Limes  "uber alle $Q_Y$-Morphismen $\mathcal B\ra \mathcal G$
und dem Kolimes  "uber alle $Q_K$-Morphismen $\mathcal A$
aus unserem System $k_X^\dagger(\mathcal F^-)^-$.

BIS HIER ETW SORTIERT.
Jetzt: Komposition klar, gibt Kategorie.
Dann: Falls $\mathscr C^S\ra \mathscr B^S$ Kofaserung und
R"uckzug $S$-kokartesischer Morphismen zu $S$-kartesischen Quadraten in
der Basis $S$-kokartesisch, und $S$-Bilder zahm linksderivierbar, sogar
Kofaserung "uber $S$-Korrespondenzen.


deren kokartesische Morphismen "uber einer $S$-Korrespon\-denz
$k$ von $X$ nach $Y$ gerade die  $S$-kokartesischen Morphismen aus
$\mathscr C_{k_Y}^S (k_X^\dagger \mathcal F, \mathcal G)$ sind.


\begin{equation*}
Q^{-1}\op{Kor}^S (\mathscr C /\mathscr B) \rightarrow \op{Kor}^S (\mathscr B)
\end{equation*}
wie folgt:  
\end{Bemerkungl}
 und  da"s f"ur jeden $S$-Morphismus
$f:X\ra Y$ die Funktoren der $S$-Bilder
$f_\ddagger:\mathscr C_X\ra \mathscr C_Y$ zahm linksderivierbar sind
zu Funktoren $${\op{L}}f_\ddagger:Q^{-1}_X\mathscr C_X\ra Q^{-1}_Y\mathscr C_Y$$
f"ur
So konstruieren wir einen Funktor

\begin{Beispiel}
Wir betrachten wie in \ref{GaFF} die Kategorie
  $\mathscr B\pdef \op{Top}^\curlywedge$ mit $S$ dem multiplikativen System aller
  Tupel von separierten lokal eigentlichen Abbildungen mit einer
  Bijektion als zugrundeliegender Indexabbildung.
  Als unseren Faserfunktor $p:\mathscr C\ra \mathscr B$ nehmen wir
  den von unserer Multikofaserung \ref{MFoll} auf den opponierten
  beschr"ankten Kategorien von Komplexen induzierten Funktor $$p:(\op{Ket}^+(\op{flAb}_{\sslash \op{Top}}))^{\op{opp}}
  \ra \op{Top}^\curlywedge$$
  Als $S$-Morphismen nehmen wir wie in \ref{GaFF} Tupel von eigentlichen
  Komorphismen, nur eben Komorphismen von Komplexen. Als $Q$ nehmen wir Tupel von Quasiisomorphismen. Die erste Eigenschaft ist erf"ullt,
  da f"ur Quasiisomorphismen $\mathcal F_1\qri \mathcal F'_1$ und
  $\mathcal F_2\qri \mathcal F'_2$ von Komplexen flacher Garben auch der
  induzierte Morphismus ein Quasiisomorphismus
  $g^\ast_1 \mathcal F_1\otimes g^\ast_2\mathcal F_2\qri g^\ast_1 \mathcal F'_1\otimes g^\ast_2\mathcal F'_2$ ist. Die zweite Eigenschaft ist erf"ullt,
  da f"ur $f:X\ra Y$ separiert lokal eigentlich  der Funktor $f_!:\op{Ket}^+(\op{flAb}_{/X})\ra \op{Ket}^+(\op{flAb}_{/Y})_{\op{qis}}\sirra \op{Der}^+(\op{Ab}_{/Y})$ einen zahmen Rechtsderivierten besitzt.
  In unserer obigen Situation geht es um die entsprechenden opponierten
  Kategorien,  deshalb entspricht diese Tatsache dort der Existenz des zahmen
  Linksderivierten.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
  Statt mit beschr"ankten Komplexen zu arbeiten, k"onnten wir uns auch
  in der Basis $\op{Top}^\curlywedge$ auf das  multiplikative System  $S$ aller
  Tupel von separierten lokal eigentlichen Abbildungen mit einer
  Bijektion als zugrundeliegender Indexabbildung einschr"anken,
  bei denen die eigentlichen direkten Bilder endliche homologische
  Dimension haben. Mit etwas mehr Mut zur Mengenlehre kann man sogar ohne diese
  Bedingung und mit unbeschr"ankten Komplexen arbeiten, aber das will ich vorerst nicht weiter diskutieren.
\end{Beispiel}

\subsection{Austausch}

  \begin{Bemerkungl}
    Gegeben  ein kokartesisches Austauschdatum erhalten wir einen Zweifunktor,
    f"ur eigentliche Morphismen von Korrespondenzen
    als Zweimorphismen. Diagonale eigentlich ...
  \end{Bemerkungl}

  \begin{Bemerkungl}
    Ich will das anwenden auf derivierte Kategorien
    von abelschen Garben "uber topologischen R"aumen,
    mit eigentlichen und nichteigentlichen
    Opkomorphismen, wo die nichteigentlichen sogar
    Multi sein d"urfen. Ausgezeichnete R"uckholquadrate
    underiviert sind einfach R"uckholquadrate, die kommutieren.
    Allgemeine sind die, die von kommutierenden
    R"uckholquadraten von Komplexen schwach kompaktweicher Garben herkommen. Sollte besser
    mit Kettenkomplexen arbeiten, nicht mit deren Homotopiekategorie.
     Um Tensorprodukte auch im Boot zu haben, von 
    Komplexen schwach kompaktweicher flacher Garben.
  \end{Bemerkungl}


 
\newpage

\section{"Alteres}




\subsection{Derivierte Funktoren f"ur Einbettungen} 


\emph{Es w"are sch"on, wenn man die ganzen Formeln aus 
Kashiwara-Schapira als Basiswechsel schreiben k"onnte.}


\begin{Bemerkungl}
Ist $X$ parakompakt und $i : Y \hookrightarrow X$ 
eine lokal abgeschlossene Teilmenge
und $\mathcal{F}$ eine weiche Garbe auf $X$, 
so ist auch $\mathcal{F}_Y = i_! i^\ast \mathcal{F}$
eine weiche Garbe auf $X$.
Wegen \ref{BaWEE} brauchen wir das nur f"ur offene 
und abgeschlossene Einbettungen
zu zeigen. Im ersten Fall $Y \co X$ liefert jeder 
Schnitt von $\mathcal{F}_Y$ "uber
$A \As X$ nat"urlich einen Schnitt von $\mathcal{F}$ 
"uber $A$, den wir durch Null
auf $A \cup (X/Y)$ fortsetzen k"onnen.
Da $\mathcal{F}$ weich ist, k"onnen wir ihn weiter 
fortsetzen auf $X$, und diese
Fortsetzung landet schon in $\mathcal{F}_Y$ nach Konstruktion.
Im zweiten Fall $Y \As X$ betrachten wir sein offenes 
Komplement, die erste kurze exakte
Sequenz aus dem Beweis von \ref{KuEG} und Lemma \ref{wei} 
und sind fertig unter
Verwendung des ersten Falls.
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Gysin-Sequenz als lange exakte Kohomologiesequenz}] 
 Gegeben  ein erblich parakompakter 
lokal zusammenziehbarer topologischer Raum $X$ 
und eine Zerlegung $ X=U\sqcup Y$ in eine offene Teilmenge
 und 
deren Komplement und $i : Y \hookrightarrow X$ sowie
$j : U \hookrightarrow X$ die Einbettungen
konstruieren wir nun kanonische Isomorphismen
\begin{equation*}
 \tau : {\op{H}}^q_{\op{sing}} (X, U ) 
\overset{\sim}{\rightarrow} {\op{H}}^q (Y; i^! \mathbb Z_X)
\end{equation*}
zwischen der relativen singul"aren Kohomologie und der
Garbenkohomologie von $Y$ mit Koeffizienten in 
der exzeptionell zur"uckgeholten konstanten Garbe $i^! \mathbb Z_X$.
Dazu erinnern wir an den Komplex 
$\mathcal S^\ast_X$ der lokalen singul"aren Koketten.
Mit unserer Erkenntnis \ref{weSK}, da"s die Garben der 
lokalen singul"aren Koketten auf erblich
parakompakten R"aumen welk sind,
erhalten wir eine kurze exakte Sequenz
\begin{equation*}
 i_{(!)} i^{(!)} \mathcal S^\ast_X \hookrightarrow 
\mathcal S_X^\ast \twoheadrightarrow j_{(\ast)}j^{(\ast)}
\mathcal S^\ast_X
\end{equation*}
 von Komplexen von Garben auf $X$.
Wieder da besagte Garben welk sind, erhalten wir die 
Exaktheit der oberen Zeile im Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
\Gamma (i_{(!)}i^{(!)} \mathcal S^\ast_X) \ar@{^{(}->}[r] 
& \Gamma \mathcal S^\ast_X \ar@{->>}[r] & \Gamma
(j_{(\ast)} j^{(\ast)} \mathcal S^\ast_X)\\
{\op{S}}^\ast (X,U)\ar@{-->}[u] \ar@{^{(}->}[r] 
& {\op{S}}^\ast X \ar[u] \ar@{->>}[r]&  {\op{S}}^\ast U \ar[u]
}
\end{displaymath}
Der rechte vertikale Pfeil kommt dabei von der nat"urlichen Identifikation
\begin{equation*}
\Gamma (j_{(\ast)} j^{(\ast)} \mathcal S_X^\ast) 
= \Gamma (j^{(\ast)} \mathcal S^\ast_X) \overset{\sim}{\rightarrow}
\Gamma (\mathcal S_U^*)
\end{equation*}
her und der linke vertikale Pfeil ist die auf den Kernen induzierte Abbildung.
Nun sind aber die beiden rechten Vertikalen Quasiisomorphismen nach \ref{SiKo}
 und dasselbe folgt f"ur die linke Vertikale.
Mit den so erkl"arten Isomorphismen
\begin{equation*}
 {\op{H}}^\ast_{\op{sing}} (X,U) \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{H}}^\ast (X; i_! i^! \mathbb Z_X)
\end{equation*}
kommutiert dann zus"atzlich das Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{\scriptstyle 
\ldots \rightarrow {\op{H}}^q_{\op{sing}} (X,U) \ar[r] \ar[d]^-\wr 
&\scriptstyle  {\op{H}}^q_{\op{sing}} X\ar[r]\ar[d]_-\wr 
&\scriptstyle  {\op{H}}^q_{\op{sing}} U\ar[r]
\ar[d]_-\wr &\scriptstyle {\op{H}}^{q+1}_{\op{sing}} (X,U) 
\rightarrow \ldots \ar[d]_-\wr\\\scriptstyle 
\ldots \rightarrow  {\op{H}}^q (X;i_!i^! \mathbb Z_X) \ar[r] 
& \scriptstyle {\op{H}}^q (X; \mathbb Z_X) \ar[r] 
&\scriptstyle  {\op{H}}^q (U; j_\ast j^\ast \mathbb Z_X)
\ar[r] &\scriptstyle  {\op{H}}^{q+1} (X; i_!i^! \mathbb Z_X) 
\rightarrow \ldots
}
\end{displaymath}
In diesem Sinne ist also unsere Gysin-Sequenz 
ein garbentheoretisches Analogon der
langen exakten Kohomologiesequenz aus der singul"aren Kohomologietheorie.
\end{Bemerkungl}




\subsection{Reste zu Simplizialgarben}
\begin{proof} REST VON ALTEM BEWEIS VON \eref{skGn}{TSF}. 
$u_\ast G$ zu behandeln, f"ur und $G$ eine abelsche Garbe auf
diesem Punkt alias eine abelsche Gruppe. In der Tat folgt es dann f"ur beschr"ankte Komplexe von abelschen Gruppen und damit folgt in jedem Grad, da"s die Einheit der Adjunktion einen Isomorphismus auf der Kohomologie induziert.
Nun ist das underivierte direkte Bild
$u_{(\ast)} G$ die konstante Garbe $G$ auf dem Abschlu"s $\bar\sigma$ von $\sigma$, fortgesetzt durch Null auf ganz $\mathcal K$.
Insbesondere ist $u_{(\ast)}$ exakt und folglich gilt $u_{(\ast)} = u_\ast$.
Es gilt also f"ur den aus dem Abschlu"s eines einzigen Simplex bestehenden Simplizialkomplex $\mathcal K = \bar{\sigma},
|\mathcal K| = \Delta_n$ und eine konstante Garbe $G_{\bar \sigma}$ zu zeigen $G_{\bar \sigma} \sira
p_\ast p^\ast G_{\bar \sigma}$ unter der Einheit der Adjunktion.
Nat"urlich ist $p^\ast G_{\bar \sigma}$ schlicht die konstante Garbe $G_{|\bar \sigma|}$.
Nach \ref{RHF} kann $\mathcal H^q p_\ast G_{|\bar \sigma|}$ beschrieben werden als Garbifizierung der
Pr"agarbe, deren Schnitte "uber einer offenen Menge $U \co \bar \sigma$ durch die Garbenkohomologie ${\op{H}}^q (p^{-1} (U); G)$ gegeben werden.
Alle diese $p^{-1} (U)$ f"ur $U \neq \emptyset$ sind jedoch zusammenziehbar und nach \ref{HIGK} gilt folglich
$
{\op{H}}^q (p^{-1} (U); G) = G \text{ f"ur } q = 0$ und
Null sonst. So erhalten wir die gew"unschten Isomorphismen
$G_{\bar \sigma} \sira p_\ast p^\ast G_{\bar \sigma}$.
\end{proof}

\begin{Satz}[\textbf{Derivierte Kategorie eines Simplizialkomplexes}]
  Gegeben ein lokal endlicher Simplizialkomplex $\mathcal K$  mit
  Indikatorabbildung $p :  |\mathcal K| \rightarrow \mathcal K$
  und  ein Komplex $\mathcal F \in \op{Der}^+ (\op{Ab}_{/|\mathcal K|})$
  von abelschen Garben auf seiner geometrischen Realisierung 
  sind gleichbedeutend:\label{skGnd}  
  \begin{enumerate}
  \item
    Die Koeinheit der Adjunktion liefert
einen Isomorphismus
$
p^\ast p_\ast \mathcal F \sira  \mathcal F
$;
\item
  Unser Komplex $\mathcal F$ liegt im essentiellen Bild des nach
  \ref{skGn} volltreuen Funktors $p^\ast:\op{Der}^+ (\op{Ab}_{/\mathcal K})
  \ra \op{Der}^+ (\op{Ab}_{/|\mathcal K|})$;
\item
  Alle Kohomologiegarben $\mathcal H^q\mathcal F$ unseres Komplexes
  sind \hyperref[skom]{simplizial konstant}.
  \end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{proof}
    1$\IFF$2 folgt aus  allgemeinen Resultaten \eref{AduA}{TF}
    "uber adjungierte Funktoren und 2$\RA$3 ist eh klar.
Wir zeigen noch 3$\RA$1. Es reicht, das f"ur beschr"ankte Komplexe zu zeigen.  
Da unser essentielles Bild eine volle triangulierte Unterkategorie
ist, reicht es sogar, das f"ur in einem Grad konzentrierte Komplexe
zu zeigen. Diesen Fall haben wir jedoch bereits in \ref{skom} erledigt.
\end{proof}

\subsection{Garbenkohomologie von Simplizialkomplexen}
\begin{Bemerkungl}
  Sei $(E, \mathcal K)$ ein endlicher Simplizialkomplex \ref{SKk} und $\Delta (\mathcal K)$
seine geometrische Realisierung \ref{PolS}.
Wir erkl"aren die schwach konstruktible beschr"ankte derivierte Kategorie
\begin{equation*}
\op{Der}^{\op{b}}_{\op{sk}} (\op{Ab}_{/ \Delta (\mathcal K)}) \subset \op{Der}^{\op{b}} (\op{Ab}_{/ \Delta (\mathcal K)})
\end{equation*}
als die volle Unterkategorie aller Komplexe $\mathcal F$ derart, dass f"ur jede Einbettung $j_\sigma : \Delta (\sigma)^\circ  \hookrightarrow
\Delta (\mathcal K)$ des Inneren eines Simplex die Garben $\mathcal H^q j_\sigma^\ast \mathcal F$ konstant sind.
Sie ist trianguliert, da auf jedem offenen Simplex $\Delta (\sigma)^\circ$
die Komplexe mit konstanten Kohomologiegarben eine triangulierte
Unterkategorie der Komplexe aller Garben bilden.
Sie ist weiter das triangulierte Erzeugnis der $i_{\sigma \ast} \op{fin}^\ast A [0]$ f"ur alle
abelschen Gruppen $A$ und $i_\sigma : \Delta (\sigma) \hookrightarrow \Delta (\mathcal K)$ die Einbettung der abgeschlossenen Simplizes, da
f"ur jede abelsche Garbe $\mathcal F$, in deren Tr"ager $\Delta (\sigma)$
ein maximaler Simplex ist, alle Kohomologiegarben des Abbildungskegels "uber
$\mathcal F\ra i_{\sigma\ast}i_{\sigma}^*\mathcal F$ einen um $\Delta (\sigma)^\circ$ verkleinerten Tr"ager haben.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} Sei $(E, \mathcal K)$ ein endlicher Simplizialkomplex.
  Bezeichne $\mathcal K_{\geq 0}$ die Menge aller nichtleeren Simplizes und
  $p : \Delta (\mathcal K) \rightarrow \mathcal{K}_{\geq 0}$ die Abbildung mit der Faser
$\Delta (\sigma)^\circ $ "uber $\sigma$.
Wir nennen $p$ den {\bf Simplexanzeiger}.\index{Simplexanzeiger} 
Wir versehen $\mathcal K_{\geq 0}$ mit der Quotiententopologie alias der Ordnungstopologie zu der durch opponierte Inklusion
gegebenen Ordnung auf $\mathcal K_{\geq 0}$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Garben auf angeordneten Mengen und Simplizialkomplexen}] 
Seien $\mathcal K$ ein endlicher Simplizialkomplex und $\Delta (\mathcal K)$ seine geometrische Realisierung und $p : \Delta (\mathcal K) \rightarrow 
\mathcal K_{\geq 0}$ der Simplexanzeiger.
So ist der R"uckzug eine "Aquivalenz der derivierten Kategorie von Garben auf
der angeordneten Menge der nichtleeren Simplizes mit der schwach konstruktiblen derivierten Kategorie
$$p^\ast:\op{Der}^{\op{b}} (\op{Ab}_{/ \mathcal K_{\geq 0}})\sirra
\op{Der}^{\op{b}}_{\op{sk}} (\op{Ab}_{/ \Delta (\mathcal K)})$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  \ref{skGnd} ist st"arker und in einer etwas anderen Terminologie formuliert.
Das gilt es zu vereinigen.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
  Zun"achst zeigen wir, da"s unser R"uckzug
  volltreu ist, da"s also f"ur jeden Komplex $\mathcal F \in \op{Der}^{\op{b}} (\op{Ab}_{/ \mathcal K_{\geq 0}})$ die Einheit der Adjunktion einen Isomorphismus
\begin{equation*}
\mathcal F \overset{\sim}{\rightarrow} p_\ast p^\ast \mathcal F
\end{equation*}
liefert.
Da die konstanten Garben auf $p (\Delta (\sigma))$ f"ur $\sigma \in \mathcal K_{\geq 0}$ die  triangulierte Kategorie
$ \op{Der}^{\op{b}} (\op{Ab}_{/ \mathcal K_{\geq 0}})$
erzeugen, m"ussen wir das nur f"ur Garben $\mathcal F = i_\ast \op{fin}^\ast A [0]$ zeigen mit $i : p (\Delta (\sigma)) \hookrightarrow
\mathcal K_{\geq 0}$ der Einbettung.
Wegen Basiswechsel f"ur abgeschlossene Einbettungen \ref{??} reicht es, den Fall zu betrachten, dass unser Simplizialkomplex ein voller
Simplex ist und $\mathcal F$ eine konstante Garbe.
Nun hat aber jeder Punkt von $ (\Delta (\sigma))$ eine kleinste offene Umgebung und deren Urbild im Polyeder $\Delta (\sigma)$
ist zusammenziehbar.
Nach \ref{HIGK} ist die Kohomologie dieser Urbilder mit konstanten Koeffizienten also die Koeffizientengruppe im Grad Null und
verschwindet in h"oheren Graden. Mit der Beschreibung \ref{RHF} der h"oheren derivierten Bildgarben folgt der Satz.
\end{proof}
\begin{Satz}
Das essentielle Bild unseres volltreuen Funktors $p^\ast$ ist die schwach konstruktible beschr"ankte derivierte Kategorie
$\op{Der}^{\op{b}}_{\op{sk}} (\op{Ab}/\Delta (\mathcal K))$.
\end{Satz}
\begin{proof}
Man pr"uft induktiv, dass diese Kategorie von den $i_{\sigma \ast} \op{fin}^\ast A [0] = p^\ast i_\ast \op{fin}^\ast A [0]$
trianguliert erzeugt wird.
\end{proof}

\subsection{Noch Unfertig} 




\begin{Bemerkung}
Mit \ref{emfi} zeigt derselbe Beweis wie von \ref{skGn}, da"s f"ur jeden topologischen Raum $X$ und $p : |\mathcal K| \times X \rightarrow \mathcal K_{\geq 0}
\times X$ und die Finaltopologie auf dem Wertebereich gilt $\mathcal F \sira p_\ast p^\ast \mathcal F \quad
\forall \mathcal F \in \op{Der}^+ (\op{Ab} \mid (\mathcal K_{\geq 0} \times X)).$
\end{Bemerkung}
\begin{Ubung}
Seien $X,Z$ topologische R"aume und $z \in Z$ ein dichter Punkt.
Wir betrachten $\op{em} : z \hookrightarrow Z$ und $\op{fin} : Z \rightarrow z$ und behaupten, dass
die offensichtliche Isotransformation \label{emfi}
\begin{equation*}
\op{em}^\ast_X \op{fin}^\ast_X \overset{\sim}{\Rightarrow} \op{id}
\end{equation*}
eine Isotransformation $\op{fin}^\ast_X \overset{\sim}{\Rightarrow} \op{em}_{X \ast}$
induziert, mit $\op{em}_X = \op{em} \times \op{id}_X : z \times X \hookrightarrow Z \times X$ 
und $\op{fin}_X = \op{fin} \times \op{id}_X : Z \times X \rightarrow z \times X$. \nichtfinal{Ist nun \eref{FDB}{TG}.}
\end{Ubung}
\begin{Satz}
Sei $\mathcal K$ ein Simplizialkomplex und $X$ ein topologischer Raum. So erhalten wir eine "Aquivalenz von Kategorien
\begin{equation*}
\op{Ab} / (\mathcal K_{\geq 0} \times X) \overset{\approx}{\longrightarrow} \op{Cat} (\mathcal K_{\geq 0},
\op{Ab} / X)
\end{equation*}
durch die Vorschrift $\mathcal F \mapsto (\mathcal F_\sigma)_{\sigma \in \mathcal K_{\geq 0}}$
mit $\mathcal F_\sigma$ der Restriktion von $\mathcal F$ unter $\op{em}_\sigma : x \mapsto (\sigma , x)$
und $\mathcal F_\tau \rightarrow \mathcal F_\sigma$ f"ur $\tau < \sigma$ gegeben durch die Erkenntnis, dass
f"ur $U \co X$ die kleinste offene Obermenge von $\{\tau \} \times U$ existiert und $(\geq \tau) \times U$ ist und folglich
$\{\sigma\} \times U$ umfasst.
\end{Satz}
\begin{proof}
Der Schnitt von $(\geq \tau)$ und $(\geq \sigma)$ ist entweder ein $(\geq \eta) $ oder leer.
Die $(\geq \tau) \times U$ f"ur $\tau \in \mathcal K_{\geq 0}$ und $U \co X$ bilden also ein schnittstabiles System
offener Mengen.
Jeder Funktor $F : \mathcal K_{\geq 0} \rightarrow \op{Ab} /X$ liefert eine Pr"agarbe auf $\mathcal K_{\geq 0} \times X$,
mit $(\geq \tau) \times U \mapsto (F (\tau)) (U)$ und so weiter.
\end{proof}



\begin{Bemerkung}\emph{(N"otig? Noch sortieren!)} 
Ist speziell $\mathcal K$ ein Simplizialkomplex und $\mathcal F$ eine Garbe auf $\mathcal K$, so haben wir
$\mathcal F \sira \op{limf}_{\mathcal L} \mathcal F_{\mathcal L}$ mit
dem Limes "uber alle endlichen Teilkomplexe $\mathcal L \subset \mathcal K$.
Weiter liefert eigentlicher Basiswechsel \ref{EBWA} nat"urliche
Isomorphismen $p^\ast i_\ast\siRa |i|_\ast p^\ast$ f"ur $i:\mathcal L\hra \mathcal K$ und $|i|:|\mathcal L|\hra |\mathcal K|$
die abgeschlossenen Einbettungen. 
Dann folgt $$p^\ast \mathcal F \sira \underset{\mathcal L}{\op{limf}} (p^\ast \mathcal F)_{|\mathcal L|} \sira
\underset{\mathcal L}{\op{limf}}( p^\ast (\mathcal F_{\mathcal L}))$$ und wegen des Vertauschens des Rechtsadjungierten $p_\ast$ mit
$\op{limf} $ schlie"slich
\begin{equation*}
\mathcal F \overset{\sim}{\rightarrow} p_\ast p^\ast \mathcal F
\end{equation*}
f"ur alle Garben (abelsche Garben?) auf $\mathcal K$, auch wenn ihr Tr"ager (?) nicht in einem endlichen Teilkomplex enthalten ist.
\end{Bemerkung}

\subsection{Homotopieflache Aufl"osungen}
\begin{Definition}
  Sei $k$ ein Ring. Ein Komplex $\mathcal F\in k\op{-Mod}_{/X}$ 
von Garben von $k$-Moduln
"uber einem topologischen Raum $X$ hei"st 
{\bf homotopieflach}\index{homotopieflach!Komplex von Modulgarben!fester Ring} 
genau dann, wenn f"ur jeden azyklischen Komplex 
$\mathcal G\in (\op{Mod-}k)_{/X}$ von $k$-Rechtsmoduln der Komplex 
von abelschen Garben $\mathcal G\otimes_k\mathcal F$ azyklisch ist. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Offensichtlich ist im Fall eines kommutativen Rings $k$ 
das Tensorprodukt zweier homotopieflacher Komplexe 
wieder homotopieflach. Offensichtlich ist ein Komplex 
$\mathcal F\in k\op{-Mod}_{/X}$ genau dann homotopieflach,
wenn an jeder Stelle $x\in X$ der
 Halmkomplex $\mathcal F_x\in k\op{-Mod}$ homotopieflach ist.  
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Existenz homotopieflacher Aufl"osungen}]
 Gegeben ein Ring $k$ und ein topologischer Raum $X$ 
existiert f"ur jeden Komplex $\mathcal F\in k\op{-Mod}_{/X}$ 
ein Quasiisomorphismus $\mathcal P\qri \mathcal F$ mit 
$\mathcal P\in k\op{-Mod}_{/X}$ homotopieflach.
\end{Satz}
\begin{proof}
  Zun"achst einmal ist $k_{U\subset X}$ f"ur jede offene Teilmenge $U\co X$
flach 
als Garbe von $k$-Moduln auf $X$. Nach \ref{KaAA} vertauscht das Bilden des Halms als
ein linksadjungierter Funktor mit dem Bilden von Kolimites von Garben.
Nach \ref{EDLG} sind filtrierende Kolimites exakter Sequenzen von
Gruppen wieder exakt. Damit sind 
also auch filtrierende Kolimites exakter Sequenzen von
abelschen Garben wieder exakt. Nach \ref{KaAA} 
vertauscht auch das Bilden des Tensorprodukts von Garben als
ein linksadjungierter Funktor mit dem Bilden von Kolimites von Garben.
Jeder filtrierende Kolimes von homotopieflachen Komplexen von Garben ist also
auch selbst homotopieflach. Jetzt weiter wie Spaltenstein! 
\end{proof}




\begin{Satz}[\textbf{Kompakte Kohomologie und filtrierende Kolimiten}]
Das Bilden der kompakten Kohomologie auf
lokal kompakten Hausdorffr"aumen\label{VTDL}  
vertauscht mit filtrierenden Kolimiten. 
\end{Satz}

\begin{proof}
Wir k"onnen  kompakte Kohomologie   nach
\ref{KwA} mit kompaktweichen Aufl"osungen berechnen. 
Ist $(\mathcal F_\alpha)_{\alpha\in A}$ ein
filtrierendes direktes System abelscher Garben 
auf $X$, so bilden die
jeweiligen Godement-Aufl"osungen 
 $\mathcal F_\alpha\hra \mathcal G^\ast \mathcal F_\alpha$ ein
filtrierendes direktes System
kompaktweicher Aufl"osungen, und dessen Kolimes 
 ist nach \ref{LKWG}  auch eine kompaktweiche Aufl"osung
$$\op{colf} \mathcal F_\alpha\hra \op{colf} \mathcal G^\ast 
\mathcal F_\alpha$$ Das Bilden der globalen Schnitte
mit
kompaktem Tr"ager $\Gamma_!$ vertauscht jedoch  nach \ref{VTDLa} mit
filtrierenden Kolimiten und die Behauptung folgt.
\end{proof}
\subsubsection{"Ubungen}
\begin{Ubung}
 Gegeben eine offene "Uberdeckung $X=\bigcup_{i\in I}U_i$ 
eines topologischen Raums setzten wir $U_J=\bigcup_{i\in J}U_i$
f"ur jede Teilmenge $J\subset I$ und bezeichnen die Einbettung 
mit $u_J:U_J\hra X$. 
Gegeben  eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $X$ ist dann die
offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus
$$\op{colf}_{|J|<\infty}u_{J!}u_J^\ast \mathcal F\sira \mathcal F$$
Der Kolimes ist wie angedeutet "uber alle endlichen Teilmengen
$J\subset I$ zu verstehen. Es folgt mit \ref{???}, da"s die
Garbenkohomologie einer Mannigfaltigkeit auch ohne irgendwelche
Annahmen an ihre Parakompaktheit in hohen Graden verschwindet,
ich glaube wohl ab Zwei oberhalb der Dimension. 
\end{Ubung}


\subsection{Korrespondenzen}
\begin{Bemerkungl}
  Unter einem {\bf Kowinkel}\index{Kowinkel} in einer Kategorie
  verstehen wir wie in \eref{puou}{TF} ein Quintupel $(X,K,Y,p,q)$ 
bestehend aus
  drei Objekten $(X,K,Y)$ und zwei Morphismen $p:K\ra X$ und $q:K\ra Y$.
Wir nennen solch eine Struktur auch einen {\bf Kowinkel
von $X$ nach $Y$}.
Unter einer {\bf Korrespondenz\index{Korrespondenz} von $X$ nach $Y$} 
verstehen wir eine "Aquivalenzklasse von Kowinkeln von $X$ nach $Y$
unter der "Aquivalenzrelation, unter der $(X,K,Y,p,q)$ genau dann zu
$(X,K',Y,p',q')$ "aquivalent ist, wenn es einen Isomorphismus 
$\varphi:K\sira K'$ gibt mit $p=p'\varphi$ und $q=q'\varphi$. 
Wir notieren eine Korrespondenz gerne $[X,K,Y,p,q]$ oder $[X,K,Y]$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}]
  Dieser Begriff einer Korrespondenz ist etwas allgemeiner, als
er in der Literatur "ublicherweise gefa"st wird: Oft beschr"ankt man sich 
etwa im Fall topologischer R"aume auf Teilr"aume des Produkts
$K\subset X\times Y$ oder im Fall algebraischer Variet"aten auf 
Untervariet"aten $K\subset X\times Y$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
 Gegeben eine Kategorie
 mit Faserprodukten $\mathcal C$ definieren wir die {\bf Komposition 
zweier Korrespondenzen} $[X,K,Y]$ und $[Y,L,Z]$  
in der hoffentlich offensichtlichen Weise als die
 Korrespondenz $$[X,K\times_YL,Z]$$
Auf diese Weise erhalten wir 
eine Kategorie
$$\mathcal C_{\op{korr}}$$
mit denselben Objekten wie $\mathcal C$ und  
Korrespondenzen als Morphismen.
Weiter erhalten wir einen treuen Funktor 
$\mathcal C\ra \mathcal C_{\op{korr}}$,
indem wir auf Objekten
die  Identit"at  nehmen und 
jedem Morphismus $f:X\ra Y$  die Korrespondenz 
$[X,X,Y,\op{id},f]$ zuordnen.
Gegeben eine Menge $M$ 
von Morphismen von $\mathcal C$, die stabil ist unter
Basiswechsel und 
Verkn"upfung und die alle Identit"aten enth"alt, 
k"onnen wir auch die Unterkategorie $\mathcal C_M\subset  \mathcal C_{\op{korr}}$
aller {\bf $M$-Korrespondenzen}\index{Korrespondenz!$M$-Korrespondenz} 
bilden, bei der als Morphismen nur Klassen $[X,K,Y,p,q]$ mit $p:K\ra X$ aus
$M$ zugelassen werden.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Eine Korrespondenz von topologischen R"aumen $[X,K,Y,p,q]$ mit
  $p:K\ra X$ lokal eigentlich separiert hei"st eine {\bf lokal
    eigentliche separierte Korrespondenz} oder kurz {\bf
    les-Korrespondenz}.\index{les-Korrespondenz}\index{Korrespondenz!les-Korrespondenz} 
Die \hyperref[bkmk]{banale Multikategorie} der topologischen R"aume mit
lokal eigentlichen separierten Korrespondenzen als Morphismen notieren
wir $\op{Top}_{\op{les}}$.  
  Gegeben lokal eigentliche separierte Korrespondenzen
 $[X,W_i,X_i,g_i,f_i]$ 
  und flache Garben 
$\mathcal F \in \op{Ab}_{/X}$ sowie $\mathcal F_i \in \op{Ab}_{/X_i}$
  definieren wir die Menge der {\bf Multikomorphismen "uber
unseren Korrespondenzen} 
  als die Menge
  \begin{equation*}
    \op{Ab}_{/X} (g_{1!} f^\ast_1 \mathcal F_1 \otimes \ldots \otimes g_{r!} f^\ast_r \mathcal F_r, \mathcal F) = \op{Ab}_{/X} (g_! (f^\ast_1
    \mathcal F_1 \underset{X}{\boxtimes} \ldots \underset{X}{\boxtimes} f^\ast_r \mathcal F_r ), \mathcal F)
  \end{equation*}
  f"ur $g : W_1 \times_X W_2 \times_X \ldots \times_X W_r
  \rightarrow X$ die offensichtliche Abbildung aus dem Faserprodukt.
Diese Menge h"angt zwar von den f"ur unsere Korrespondenzen 
gew"ahlten Repr"asentanten ab, ist aber ein Funktor auf
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}\emph{Alter Schrott?}
Um die Komposition zu erkl"aren, geht nun aus von einer 
durch $i,j$ indizierten Familie
von Diagrammen
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
&& \ar[dl]_-{h_{ij}} V_{ij} \ar[dr]^-{{\tilde{g}_{ij}}} &&\\
&\ar[dl]_-{f_{ij}} W_{ij}\ar[dr]^-{g_{ij}}&& \ar[dl]_-{f_i} W_i \ar[dr]^-{g_i} &\\
X_{ij} && X_i && X
}
\end{displaymath}
bei der die Faserprodukte $V_{ij}$ bereits gebildet sind.
Dann bilde man die Faserprodukte $W_{i[j]} \pdef \prod_{j} (W_{ij} \rightarrow X_i)$ "uber $X_i$
und $V_{i[j]} \pdef \prod_{j} (V_{ij} \rightarrow W_i)$ "uber $W_i$ und erh"alt eine durch $i$ indizierte 
Familie
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
&& \ar[dl]_-{h_{i[j]}} V_{i[j]} \ar[dr]^-{{\tilde{g}_{i[j]}}} &&\\
&\ar[dl]_-{\hat{f}_{ij}} W_{i[j]}\ar[dr]^-{g_{i[j]}}&& \ar[dl]_-{f_i} W_i \ar[dr] &\\
X_{ij} && X_i && X
}
\end{displaymath}
sozusagen als erste Etage dar"uber mit Morphismen in die untere Etage f"ur alle $j$. Zu guter Letzt
betrachte man dann
\begin{equation*}
 W_{[i]} \pdef \prod_{i} (W_i \rightarrow X)
\end{equation*}
und $V_{[i[j]]} \pdef \prod_{i} (V_{i[j]} \rightarrow X)$ und erh"alt in der dritten Etage ein 
einziges Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
&& \ar[dl]_-{\hat{f}_{i[j]}} V_{[i[j]]} \ar[dr]&&\\
&\ar[dl]_-{\hat{f}_{ij}} W_{i[j]}\ar[dr]^-{g_{i[j]}}&& \ar[dl]_-{\hat{f}_i} W_{[i]} \ar[dr] &\\
X_{ij} && X_i && X
}
\end{displaymath}
\end{Bemerkungl}
Ein Verschmelzung $\varphi_i : \underset{j}{\curlyvee} F_{ij} \rightarrow F_i$ ist ein Morphismus
\begin{equation*}
 \varphi_i : g_{i[j] !} (\underset{j}{\otimes} \hat{f}_{ig}^\ast F_{ij}) \rightarrow F_i .
\end{equation*}
Ein Verschmelzung $\varphi : \underset{i}{\curlyvee} F_i \rightarrow F$ ist ebenso ein Morphismus $\varphi_i: g_{[i]!} 
\underset{i}{\otimes} f^\ast_i F_i) \rightarrow F.$
Nun liefern unsere


Gegeben stetige Abbildungen $f : X \rightarrow Z$ und $g : Y \rightarrow Z$ und abelsche Garben
$\mathcal F \in \op{Ab}/X$ und $\mathcal G \in \op{Ab}/Y$ erkl"aren wir eine abelsche Garbe 
$\mathcal F \boxtimes_Z  \mathcal G$ auf $X x_Z Y$ durch
\begin{equation*}
 \mathcal F \boxtimes_Z \mathcal G := \op{pr}_X^{(\ast)} \mathcal F \otimes \op{pr}_Y^{(\ast)} \mathcal G
\end{equation*}
f"ur $\op{pr}_X : X \times_Z Y \rightarrow X$ und 
$\op{pr}_Y : X \times_Z Y \rightarrow Y$ die Projektionen.
Sind $f$ und $g$ lokal eigentlich separiert und $\mathcal F$ und $\mathcal G$ flach, so erhalten wir mit
$h: X \times_Z Y \rightarrow Z$ einen nat"urlichen Isomorphismus
\begin{equation*}
 h_{(!)} (\mathcal F \boxtimes_Z \mathcal G) \overset{\sim}{\rightarrow} f_{(!)} \mathcal F \otimes g_{(!)} \mathcal 
 G
\end{equation*}
mithilfe des kartesischen Diagramms
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
& \ar[dl]_-{\op{pr}_X} X x_Z Y \ar[dr]^-{\op{pr}_Y} &\\
X\ar[dr]^-f & &\ar[dl]_-g Y\\
&Z&
}
\end{displaymath}
und 
\begin{eqnarray*}
 h_{(!)} (\mathcal F \boxtimes_Z \mathcal G) & =& h_{(!)} (\op{pr}_X^{(\ast)} \mathcal F \otimes \op{pr}_Y^{(\ast)} \mathcal G)\\
&\overset{\sim}{\rightarrow} & f_{(!)}\op{pr}_{X(!)} (\op{pr}_X^{(\ast)} \mathcal F \otimes \op{pr}_Y^{(\ast)} \mathcal F)\\
&\overset{\sim}{\rightarrow} & f_{(!)}(\mathcal F \otimes \op{pr}_{X(!)} \op{pr}_Y^{(\ast)} \mathcal G)\\
&\overset{\sim}{\rightarrow} & f_{(!)} (\mathcal F \otimes f^{(\ast)} g_{(!)} \mathcal G)\\
&\overset{\sim}{\rightarrow} & f_{(!)} f_{(!)} \mathcal F \otimes g_{(!)} \mathcal G
\end{eqnarray*}
nach Projektionsformel und Basiswechsel.

Um die Multiverkn"upfungen zu erkl"aren, betrachten wir weitere $\op{les-}$Korrespondenzen
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
& \ar[dl]_-{f_{ij}} W_{ij} \ar[dr]^-{g_{ij}}\\
X_{ij} && X_i
}
\end{displaymath}
und flache $\mathcal F_{ij} \in \op{Ab}/X_{ij}$ und Elemente
\begin{equation*}
 \varphi_i \in \op{Ab}/X_i (\overline{g}_{i!} (f^\ast_{i1} \mathcal F_{i1} \underset{X_{i}}{\boxtimes} \ldots \underset{X_{i}}{\boxtimes}
f^\ast_{ir} \mathcal F_{ir}), \mathcal F_i)
\end{equation*}
und wollen die Multiverkn"upfung 
$\varphi \circ (\varphi_1, \ldots , \varphi_r)$ bestimmen.
Die Verkn"upfung unserer Korrespondenzen geschieht ja durch das Bilden der Faserprodukte
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
&& \ar[dl]_-{h_{ij}} V_{ij} \ar[dr]^-{\tilde{g}_{ij}}&&\\
&\ar[dl]_-{f_{ij}} W_{ij}\ar[dr]^-{g_{ij}}&& \ar[dl]_-{f_i} W_{i} \ar[dr]^-{g_i} &\\
X_{ij} && X_i && X
}
\end{displaymath}
Nun beachte man, dass man $f^\ast_i \overline{g}_{i!} = \tilde{g}_{i!} \tilde{f}_{i}^\ast$ basiswechseln kann im Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
&\ar[dl]_-{\tilde{f}_{i}}V_i \times_{W_{i}} \ldots \times_{W_{i}} V_{ir} \ar[dr]^-{\tilde{g}_{i}}\\
W_{i1} \times_{X_i} \ldots \times_{X_{i}} W_{ir}\ar[dr]^-{\overline{g}_{i}} && \ar[dl]_-{f_{i}}W_i\\
&X_i & 
}
\end{displaymath}
Jetzt wird mir die Sache schon etwas zu komplex und ich muss die Notation vereinfachen. Das Ziel ist es dann, sich zum Pr"ufen
der Assoziativit"at auf Objekte der Gestalt $\iota_! \underline U$ einzuschr"anken, f"ur die das alles recht explizit zu sehen ist.





\newpage




\section{Tensorprodukt von Garben}

\subsection{Exzeptionelles direktes Bild}
Ich schlage vor, zur Definition des exzeptionellen Bildes
wie folgt vorzugehen: Zun"achst hat f"ur jede offene Einbettung
$j:X\hra Y$ der Funktor $j^\ast:\op{Ab}_{/Y}\ra \op{Ab}_{/X}$ einen
Linksadjungierten $j_!: \op{Ab}_{/Y}\ra \op{Ab}_{/X}$. Man beschreibt ihn
als die Ausdehnung durch Null.
Nun haben wir f"ur jede (?!) stetige Abbildung $f:X\ra Y$ 
eine Topologie auf $X\sqcup Y$ so erkl"art, da"s
$X$ mit $\op{in}_X$ offen einbettet, $Y$  mit $\op{in}_Y$
abgeschlossen einbettet und
$(f,\op{id}_Y):X\sqcup Y\ra Y$ eigentlich ist.
Dann setze man
$$f_!\pdef (f,\op{id}_Y)_*\circ \op{in}_{X!}$$


\subsection{Reste zu Linksanpassung}

 So ist $S\pdef T\cap \mathscr C$
 ein globales Linksoresystem in $\mathscr C$ und der
 offensichtliche Funktor ist eine "Aquivalenz\label{LKVV} 
 $$S^{-1}\mathscr C\sirra T^{-1}\mathscr D$$

%\begin{Bemerkungl}
%  Ist $S$ faserweise Ore, so ist es notwendig global  Linksore nach
%  \ref{KriLO}. Ich guck mal, ob ein Fall vorkommt, indem wir
%  anders sehen k"onnen, da"s $S$ Rechtsore oder Linksore ist.
%  Im Rechtsorefall bedeuten unsere Bedingungen unter anderem, da"s
%  $S$  im Sinne von \ref{KofRO} ein kofaservertr"agliches Rechtsoresystem in der Kofaserung
%  $p:\mathscr C\ra \mathscr B$ ist.
%\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} WOHIN?
  Insbesondere ist in der Situation des Satzes
  auch $p_T: T^{-1}\mathscr D\ra \mathscr B$
  eine Kofaserung, weil wir das ja f"ur $p_S: S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B$
  %im Linksorefall
  bereits aus \ref{KofLr}  wissen.
  %und im Rechtsorefall  bereits  aus
  %\ref{KofL}.
Weiter sind f"ur jedes Objekt $X\in\mathscr B$ der Basis 
  die offensichtlichen Funktoren  Isomorphismen 
 $T_X^{-1}\mathscr D_X\sira (T^{-1}\mathscr D)_X$ zwischen der
  Lokalisierung der Faser und der Faser der Lokalisierung,
  ja sogar f"ur jede Unterkategorie $\mathscr U\subset \mathscr B$ der Basis 
sind  die offensichtlichen Funktoren   Isomorphismen 
 $$T_{\mathscr U}^{-1}\mathscr D_{\mathscr U}\sira (T^{-1}\mathscr D)_{\mathscr U}$$ zwischen der
  Lokalisierung des R"uckzugs  und dem R"uckzug der Lokalisierung.
  In der Tat folgt aus unserem Satz, wenn wir ihn auch auf die
  zur"uckgezogene Kofaserung anwenden,
     da"s im kommutativen funktoriellen Diagramm\label{LEEL}  
   \begin{displaymath}
\xymatrix{
  S^{-1}_{\mathscr U}\mathscr C_{\mathscr U}\ar[rr]\ar[d]&&(S^{-1}\mathscr C)_{\mathscr U}\ar[d]\\
T^{-1}_{\mathscr U}\mathscr D_{\mathscr U} \ar[rr]&&(T^{-1}\mathscr D)_{\mathscr U}
}
      \end{displaymath}
   die linke Vertikale und die rechte Vertikale  "Aquivalenzen sind.
   F"ur die obere Horizontale wissen wir das bereits aus
\ref{FFL}, und so
    folgt es dann f"ur
    die untere Horizontale. Da sie jedoch per definitionem
    eine Bijektion auf den Objekten induziert, mu"s sie
    damit sogar ein Isomorphismus von Kategorien sein.
\end{Bemerkungl}





\subsection{Multikofaserungen}










\begin{Satz}[\textbf{Multikofaserungskriterium}]
 Ein Multifunktor $p:\mathcal M\ra \mathcal B$ 
in eine banale Multikategorie
ist genau dann eine Multikofaserung, wenn er die folgenden vier Bedingungen
erf"ullt:\label{Mkfk} 
\begin{enumerate}
\item\label{Mkfk1} 
Auf den zugeh"origen einfachen
 Kategorien ist der zugeh"orige Funktor eine
Kofaserung;
\item\label{Mkfk2} 
Die Fasern $\mathcal M_X$ "uber Objekten $X\in\mathcal B$, 
verstanden als Multikategorien mit Multimorphismen 
"uber Tupeln von $\op{id}_X$
als Multimorphismen,  
sind 
darstellbare Multikategorien im Sinne von \eref{dsmk}{TS}; %mit internem Hom \eref{intHH}{TS}
\item\label{Mkfk3} 
Gegeben $p$-kokartesische Morphismen $\kappa_i:A_i\ra B_i$ in $\mathcal M$
f"ur $1\leq i\leq r$ mit $r\geq 0$ 
 mit $pB_i=X$ f"ur alle $i$ und
ein universeller Verschmelzung 
$u\in \mathcal M_X(B_1\curlyvee\ldots \curlyvee B_r,
T)$ ist die Multiverkn"upfung
$u\circ (\kappa_1\curlyvee\ldots \curlyvee \kappa_r)\in 
\mathcal M(A_1\curlyvee\ldots \curlyvee A_r,
T)$ auch $p$-kokartesisch.
\item\label{Mkfk4} 
F"ur jeden $p$-kokartesischen Morphismus $\kappa:B\ra C$
in $\mathcal M$ und jedes $r\geq 0$ und jedes Wort
$(A_1,\ldots,A_r)$ von Objekten von $\mathcal M$ und jeden 
 Verschmelzung 
$g\in \mathcal B(pA_1\curlyvee\ldots\curlyvee pA_r, pB)$
liefert das Nachschalten von $\kappa$ eine Bijektion
$$\mathcal M_g(A_1\curlyvee\ldots\curlyvee A_r, B)
\sira \mathcal M_{p(\kappa)\circ g}(A_1\curlyvee\ldots\curlyvee A_r, C)
  $$ 
\end{enumerate}
\end{Satz}

\begin{proof} NOCH NICHT GUT, 4 SCHEINT BLOEDSINN!
Da"s im Fall einer Multikofaserung alle obigen Eigenschaften erf"ullt
sind, scheint mir offensichtlich. Wir zeigen im folgenden, 
da"s die obigen Eigenschaften daf"ur auch hinreichende Bedingungen  sind.
Um in der Notation n"aher an den typischen Anwendungen zu bleiben, 
setzen wir $\mathcal T=\mathcal B^{\op{opp}}$, so da"s wir  uns dabei 
die Kategorie der topologischen R"aume denken k"onnen. 
Sei $f:X\ra Y$ ein Morphismus
in $\mathcal T$ und 
$f^\circ:Y\ra X$ der zugeh"orige  Morphismus
in $\mathcal B$.
Gegeben $\mathcal G\in \mathcal M_Y$ bezeichne dann 
 $\mathcal G\ra f^\ast \mathcal G $ den kokartesischen Lift von $f^\circ$
mit seinem Transportmorphismus  und  gegeben $\mathcal F\in \mathcal M_X$ ist
bezeichne $f_\ast\mathcal F\ra  \mathcal F $ den kartesischen Lift von $f^\circ$
mit seinem Transportmorphismus. 
Im Fall der Garben spezialisieren diese Transportmorphismen zu 
gewissen nat"urlichen Komorphismen von Garben.
Unsere dritte Annahme liefert, da"s gegeben Morphismen $f_i:Y\ra Z_i$ 
in $\mathcal T$ und Objekte $A_i$ "uber $Z_i$ der 
Verschmelzung in 
$\mathcal M(A_1\curlyvee\ldots \curlyvee A_r,f_1^\ast
A_1\otimes_Y \ldots \otimes_Y f_r^\ast A_r)$ kokartesisch ist, den
wir erhalten als die Multiverkn"upfung der Transportmorphismen 
mit dem universellen Verschmelzung in der Multikategorie $\mathcal M_Y$.
Also hat unter unseren ersten drei Annahmen schon einmal jeder 
Verschmelzung einen kokartesischen Lift. Um zu zeigen, da"s auch 
jede Multiverkn"upfung
kokartesischer Morphismen wieder kokartesisch ist,
f"uhren wir eine neue Terminologie ein und
 nennen einen  Verschmelzung 
$\kappa\in\mathcal M(B_1\curlyvee\ldots\curlyvee B_r,T)$
{\bf stark $p$-kokartesisch},\index{stark 
kokartesisch}\index{kokartesisch!stark} 
 wenn f"ur jedes $s\geq 0$ und beliebige 
 weitere Objekte
$W_1,\ldots, W_s,$ $U\in\mathcal M$ und einen beliebigen passenden 
Verschmelzung $g=(g_0,\ldots,g_s)$ in $\mathcal B$ das Vorschalten von 
$\kappa\curlyvee\op{id}\curlyvee\ldots\curlyvee\op{id}$ eine Bijektion 
$$\mathcal M_{g}(T\curlyvee W_1\curlyvee\ldots\curlyvee W_s,U)
\sira  \mathcal M_{g\circ(p(\kappa)\curlyvee\op{id}\curlyvee\ldots\curlyvee \op{id})}(B_1\curlyvee\ldots\curlyvee B_r\curlyvee W_1\curlyvee\ldots\curlyvee W_s,U)$$
induziert.
Offensichtlich ist jeder stark kokartesische Verschmelzung 
kokartesisch.
Sicher ist auch jede Multiverkn"upfung stark kokartesischer
Multimorphismen  wieder stark kokartesisch.
Es reicht also zu zeigen, da"s 
unsere kokartesischen Morphismen von eben sogar stark kokartesisch sind.
Das l"auft darauf hinaus, zu zeigen, da"s 
f"ur $W\pdef g_1^\ast W_1\otimes_X\ldots\otimes_X g_s^\ast W_s$
der offensichtliche Morphismus
einen Isomorphismus 
$$g_0^\ast f_1^\ast
A_1\otimes_X \ldots \otimes_X g_0^\ast f_r^\ast A_r\otimes_X W
\sira 
g_0^\ast(f_1^\ast
A_1\otimes_Y \ldots \otimes_Y f_r^\ast A_r)\otimes_X W$$
induziert. 
Hier k"onnen wir das $\otimes_X W$ auch weglassen und die 
Aussage entpuppt sich  als eine Umformulierung unserer
vierten Annahme.
Der Satz folgt.
\end{proof}







\subsection{Vertr"aglichkeiten externer Produkte} 



\emph{Das folgende sollte in der Allgemeinheit einer
 Multikofaserung formuliert werden.}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Cup-Produkt}]\emph{(Sp"ater!)}
 Gegeben ein topologischer Raum $X$ und
$\mathcal M,\mathcal N\in \op{Der}^{\op{b}}(\op{Ab}_{/X})$ 
erhalten wir  nat"urliche Homomorphismen\label{Dicup} 
$$
 {\op{H}}^p(X; \mathcal M) \otimes {\op{H}}^q(X; \mathcal N)
\ra   {\op{H}}^{p+q}(X; \mathcal M \otimes \mathcal N)
$$
durch Spezialisierung der derivierten Form von
\ref{DiBiTe} auf die finale Abbildung $f=\op{fin}$ 
und Vorschalten von \ref{??}.
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertauschen von externem Produkt und direktem Bild}]  
Gegeben $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung
und $Z$ ein offenlokal zusammenh"angender Raum
und $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ beliebig und $\mathcal G\in\op{Ab}_{/Z}$
lokal konstant und frei von endlichem Rang ist der kanonische 
Morphismus aus \ref{etDB} ein Isomorphismus\label{ueKF} 
$$(f_{(\ast)} \mathcal F) \boxtimes  \mathcal G 
\sira  (f \times \op{id}_Z)_{(\ast)} (\mathcal F \boxtimes \mathcal G)$$
Analoges gilt mit Koeffizienten. 
Um es zu beweisen, mag man sich auf den Fall zur"uckziehen, da"s $Z$ 
zusammenh"angend ist und $\mathcal G$ konstant und frei von endlichem Rang,
ja  vom  Rang Eins. In diesem Fall erweist sich unsere 
Behauptung als derselbe Spezialfall von gefasertem Basiswechsel,
auf den wir uns bereits beim Beweis des gefaserten Basiswechsels
\ref{GFBW} zur"uckgezogen hatten. 
\end{Bemerkungl}



















\subsection{Multik"ocher und Multikategorien*}
\begin{Definition}
Ein {\bf Multik"ocher} ist ein Datum bestehend aus einer
Menge $E$ von {\bf Ecken}\index{Ecke!von Multik"ocher} und einer
Menge $P$ von {\bf Multipfeilen}\index{Multipfeil} mitsamt einer 
Abbildung $P\ra \DN$, die jedem Multipfeil seine {\bf Vielfachheit} 
zuordnet und f"ur deren Faser "uber $r\in\DN$ wir die
Notation $P_r$ verwenden, sowie  einer Abbildung $e:P\ra E$, die
jedem Multipfeil seinen {\bf Endpunkt}\index{Endpunkt!von Multipfeil} 
zuordnet, sowie f"ur jedes $r$ durchnummerierte  
Abbildungen  $a_1,\ldots,a_r:P_r\ra E$, die
jedem Multipfeil der Vielfachheit 
$r$ der Reihe nach seine $r$ 
{\bf Anfangspunkte}\index{Anfangspunkt!von Multipfeil} 
zuordnen. Es ist dabei durchaus erlaubt, da"s 
Anfangspunkte gleich sind, in Formeln $a_i(p)=a_j(p)$ f"ur
$i\neq j$. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
 Die Gesamtheit aller 
Multik"ocher bildet in offensichtlicher Weise
eine Kategorie $\op{MCar}$.\index{MCar@$\op{MCar}$ Kategorie der Multik"ocher} 
 Die Gesamtheit aller Multikategorien  bildet ebenfalls
eine Kategorie $\op{MCat}$\index{MCat@$\op{MCat}$ 
Kategorie der Multikategorien} mit \hyperref[MulF]{Multifunktoren} 
als Morphismen.
Das Vergessen der Verkn"upfung liefert einen offensichtlichen Funktor
$$\op{MCat}\ra \op{MCar}$$
Wir konstruieren im folgenden dazu analog zur Konstruktion der
Pfadktegorie eines K"ochers  
\ref{Pfad} einen Linksadjungierten.
Das braucht jedoch einige Vorbereitungen.
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[p]
  \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBaSt}
\\ \noindent Graphische Darstellung der Baumstruktur
$\{214131, 214132, 214133, 2142, 2143210, 214322, 2144, 22110\}$.
Wir notieren hier Tupel ohne Klammern und Kommata und nutzen 
dabei den
Umstand, da"s in diesem Beispiel keine mehrstelligen  Eintr"age
auftreten. Die Beschreibung  als Menge von Tupeln dient nur
der Begriffskl"arung, wir werden Baumstrukturen von nun an
meist durch einen bezeichneten Graphen wie oben angeben. 
\end{figure}
\begin{Definition}
Eine \defind{Baumstruktur} ist eine endliche Menge 
$B$ von endlichen Tupeln nat"urlicher
Zahlen mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item Alle Tupel ungerader L"ange aus $B$ enden mit $0$, 
und die Null kann nur als letzter Eintrag eines
Tupels ungerader L"ange auftreten;
\item Stimmen zwei Tupel aus $B$ f"ur ein $n \geq 0$ in ihren ersten $2n$ Eintr"agen "uberein,
so sind sie entweder gleich von der L"ange $2n$ oder haben beide eine L"ange $> 2n$ und stimmen auch in den 
ersten $(2n+1)$ Eintr"agen "uberein;
\item Hat ein Tupel aus $B$ mindestens die L"ange $2n$ f"ur $n \geq 1$, so ist der $2n$-te Eintrag h"ochstens
so gro"s wie der $(2n -1 )$-te Eintrag;
\item Kommt f"ur ein $n \geq 0$ ein Tupel 
$(a_0, a_1, \ldots , a_{2n})$ 
als Anfangsst"uck eines Tupels aus $B$ vor,
so kommen auch alle Tupel $(a_0, a_1, \ldots, a_{2n}, b)$ mit $1 \leq b \leq a_{2n}$ als Anfangsst"ucke von 
Tupeln aus $B$ vor;
\item Unsere Menge $B$ von Tupeln ist nicht leer, sie darf aber
als einziges Tupel das leere Tupel $()$ enthalten.
\end{enumerate}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Die Menge aller Tupel, die als Anfangsst"ucke von Tupeln einer
gegebenen Baumstruktur vorkommen, nennen wir die Menge aller
{\bf Anfangsst"ucke} unserer Baumstruktur.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Unter einem {\bf Multipfad} in einem Multik"ocher 
verstehen wir ein Datum bestehend aus einer Baumstruktur,
einer Anordnung auf der Menge ihrer
geraden Tupel, sowie einer Abbildung, die jedem ihrer geraden
Anfangsst"ucke eine Ecke zuordnet und jedem ihrer 
ungeraden Anfangsst"ucke einen $r$-Multipfeil 
f"ur $r$ sein Ende von den 
Ecken zu den Anfangsst"ucken
$(\ldots zr1),\ldots,(\ldots zrr)$ in die Ecke zum
Anfangsst"uck $(\ldots z)$. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Ich hoffe, da"s es nun offensichtlich ist, wie 
wir durch \glqq Aneinanderh"angen von Multipfaden 
und Ineinanderschachteln der
Anordnungen\grqq\  
zu einem gegebenen Multik"ocher 
eine Multikategorie konstruieren k"onnen,
deren Objekte die Ecken unseres Multik"ochers sind
und deren Multimorphismen seine Multipfade.
Wir nennen sie die {\bf Multipfadkategorie}\index{Multipfadkategorie} unseres Multik"ochers.
Die Identit"aten der Multipfadkategorie geh"oren 
hierbei zu Multipfaden
"uber der trivialen Baumstruktur ${()}$, von denen es f"ur jede 
Ecke genau einen gibt. 
\end{Bemerkungl}


\subsection{"Ubersicht, ALT}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine Kategorie $\mathscr T$ und darin Objekte
  $X_0,\ldots, X_n$ mit $n\geq 0$ verstehen wir unter einer  {\bf Multikorrespondenz}\index{Multikorrespondenz} vom Tupel $X_1,\ldots, X_n$
  nach $X_0$ ein Diagramm 
  bestehend aus einem weiteren  Objekt $K$ mit je einem Morphismus
  zu allen $X_i$.
  Jede Kategorie $\mathscr T$ mit endlichen Faserprodukten
  w"urden wir gerne zu einer Multikategorie machen mit Multikorrespondenzen
  als Multimorphismen, aber das scheitert wie schon bei einfachen Korrespondenzen an der Schwierigkeit, eine strikt assoziative Verkn"upfung
  einzuf"uhren. Wir \glqq striktifizieren\grqq\ deshalb
  diese Struktur, wie im folgenden ausgef"uhrt wird.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
  Eine {\bf Zweimultikategorie}\index{Zweimultikategorie} ist
  eine Multikategorie zusammen mit einer Anreicherung
  ihrer Wortkategorie
  zu einer Zweikategorie derart, da"s 
  der Indexfunktor zu einem Zweifunktor in
  die Zweikategorie $\op{Ens}$ mit nur Identit"aten als Zweimorphismen
  erweitert werden kann, 
und mit einer Erweiterung ihrer Zerlegungsbijektionen
  zu Funktoren, von denen wir zus"atzlich fordern,
  da"s sie Isomorphismen von Kategorien sein sollen. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Die Bedingung, da"s der Indexfunktor zu einem Zweifunktor
  erweitert werden kann, bedeutet schlicht, da"s es nur Zweimorphismen
  geben soll zwischen Morphismen, die in derselben Faser des Indexfunktors liegen. Einen Zweimultifunktor zwischen  Zweimultikategorien erkl"aren wir
  in der offensichtlichen Weise.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine Kategorie $\mathscr T$ 
  und Objekte $X_0,X_1,\ldots,X_n\in \mathscr T$ mit $n\geq 0$ 
  erkl"aren wir
  die {\bf Menge der Multimorphismen}
  $$\mathscr T(X_1\curlyvee \ldots\curlyvee X_n, X_0)$$
  als die Menge aller  endlichen
  Diagramme in $\mathscr T$ mit Knoten $X_0,X_1,\ldots,X_m$ f"ur $m\geq n$. Das Zusammensetzen derartiger Diagramme ist, wenn wir dabei mit etwas Sorgfalt
  \glqq Umnummerieren durch Dazwischenschieben\grqq, in dem Sinne strikt assoziativ, da"s $\mathscr T$ darunter
  zu einer Multikategorie wird, die wir auch $\mathscr T$
  notieren.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine Kategorie $\mathscr T$ mit endlichen Faserprodukten
machen wir nun unsere Multikategorie  $\mathscr T$ von eben
zu einer Zweimultikategorie, indem wir Zweimorphismen
  erkl"aren als Morphismen zwischen den Limites der jeweiligen Diagramme,
  die vertr"aglich sind mit den Morphismen zu allen $X_i$.
  Insbesondere ist  jeder Verschmelzung isomorph zu einer Multikorrespondenz.\index{Multikorrespondenz}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
 Eine
 Multikorrespondenz von topologischen R"aumen nennen wir
 {\bf separiert},\index{separiert!Multikorrespondenz} wenn die
 Abbildung in das Zielobjekt separiert ist. Einen
 Verschmelzung von topologischen R"aumen nennen wir
 {\bf separiert},\index{separiert!Multikorrespondenz} wenn er
 isomorph ist zu einer separierten Multikorrespondenz. Jede Multiverkn"upfung
 separierter Multimorphismen ist separiert und wir erhalten so eine
 Zweimultikategorie $\op{Top}^{\op{s}}$.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Wir konstruieren im folgenden  eine Zweimultikategorie $\op{Ab}^!_{\sslash\op{Top}^{\op{s}}}$ mit
   abelschen Garben auf topologischen R"aumen
   als Objekten sowie einen Zweimultifunktor
   $$\op{Ab}^!_{\sslash\op{Top}^{\op{s}}}\ra \op{Top}^{\op{s}}$$
   von dieser Zweimultikategorie in die Zweimultikategorie der topologischen
   R"aume, der injektiv ist auf Zweimorphismen.
  Der R"uckzug $g^\ast$ und das Tensorprodukt $\otimes$ von abelschen Garben
   sowie die eigentlichen  Bilder $f_!$ von torsionsfreien abelschen Garben 
   l"angs separierter lokal eigentlicher Abbildungen
  k"onnen alle 
   mithilfe dieses Funktors beschrieben
   werden als 
   direkte Bilder mit stark kokartesischen Transportmorphismen. 
   Diese Erkenntnis fa"st eine Vielzahl von
   Vertr"aglichkeiten zwischen diesen drei Funktoren
   zusammen.
    \end{Bemerkungl}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXTOP"
%%% End: