\section{Derivierte Kategorien und dg-Ringoide*} \subsection{Ringoide und ihre Moduln} \begin{Definition} Ein {\bf Ringoid}\index{Ringoid} ist ein Paar $(R,I)$ bestehend aus einer assoziativen $\DZ$-Algebra $R$ und einer ausgezeichneten Menge $I\subset R$ von\label{ringoid} Idempotenten derart, da"s f"ur $i,j\in I$ gilt $i\neq j\RA ij=0$ und da"s gilt $R=\sum_{i,j\in I} iRj$. \end{Definition} \nichtfinal{Vielleicht besser $A$ statt $R$! In gewisser Weise w"are es besser, mit einer ausgezeichneten Familie von Idempotenten zu arbeiten, also einer weiteren Menge $I$ und einer Abbildung $I\ra R$ so da"s etcetc. Dann wird die Beziehung zu Ab-Kategorien enger und diese bl"ode Forderung von h"ochstens einem Nullobjekt f"allt weg.} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ringoide und $\op{Ab}$-Kategorien}] Gegeben ein Ringoid $(R,I)$ erkl"aren wir seine {\bf Ringoidkategorie} $[R,I]$,\index{Ringoidkategorie} eine Kategorie mit additiver Struktur alias $\op{Ab}$-Kategorie, indem wir $I$ als Menge der Objekte nehmen und $iRj$ als die abelsche Gruppe der Morphismen von $j$ nach $i$. Wir erhalten so eine $\op{Ab}$-Kategorie mit h"ochstens einem Nullobjekt. Gegeben eine $\op{Ab}$-Kategorie $\mathcal T$ erhalten\label{RRAb} wir andererseits ein Ringoid $(\op{R}(\mathcal T),\op{I}(\mathcal T))$, indem wir $$\op{R}(\mathcal T)\pdef \bigoplus_{X,Y\in\mathcal T }\mathcal T(X,Y)$$ setzen sowie $\op{I}(\mathcal T)\pdef\{i_X\mid X\in \mathcal T\}$ f"ur $i_X$ das Tupel mit $\op{id}_X$ an der Stelle mit Index $(X,X)$ und Null an allen anderen Stellen. Der offensichtliche $\op{Ab}$-Funktor $\mathcal T\ra [\op{R}(\mathcal T),\op{I}(\mathcal T)]$ induziert stets einen Isomorphismus $\mathcal T_{/0}\sira [\op{R}(\mathcal T),\op{I}(\mathcal T)]$ f"ur $\mathcal T_{/0}$ die $\op{Ab}$-Kategorie ist, die aus $\mathcal T$ entsteht, wenn wir alle Nullobjekte, soweit es solche "uberhaupt gibt, zu einem einzigen Objekt identifizieren. Umgekehrt erhalten wir stets einen offensichtlichen Isomorphismus $(\op{R}[R,I],\op{I}[R,I])\sira (R,I)$ von Ringoiden. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein {\bf Ringoidmodul}\index{Ringoidmodul} "uber einem Ringoid $(R,I)$ ist ein \hyperref[Asmo]{$R$-As\-so\-zia\-tiv\-mo\-dul} $M$ derart, da"s gilt $M=\sum_{i\in I} iM$. Analog erkl"aren wir {\bf Ringoidrechtsmoduln}.\index{Ringoidrechtsmodul} Diese bilden abelsche Kategorien $\op{RMod}_{R}$ und $\op{RMod}_{-R}$.\index{RMod@$\op{RMod}$ Ringoidmodul} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} In der Terminologie dieses Textes sind alle Ringe unit"ar und auf allen Moduln operiert die Eins als Identit"at. Ein \glqq nichtunit"arer Ring\grqq\ hei"st bei uns eine \glqq assoziative $\DZ$-Algebra\grqq\ oder ein \glqq Assoziativobjekt der Schmelzkategorie $\op{Ab}$\grqq\ und die \glqq nichtunit"aren Moduln\grqq\ "uber einem Assoziativobjekt hei"sen \glqq Assoziativmoduln\grqq.\label{Asmo} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ringoidkategorie als Teil der Ringoidmodulkategorie}] Gegeben ein Ringoid $(R,I)$ erhalten wir einen volltreuen $\op{Ab}$-Funktor $$[R,I]\vra \op{RMod}_{-R}$$ von der Ringoidkategorie in die Kategorie der Rechtsmoduln unseres Ringoids durch $i\mapsto iR$ auf Objekten und $jRi\sira \op{Hom}_{-R}(iR,jR)$ durch Multiplikation von links auf Morphismen.\label{vtab} Diese volltreue Einbettung ist der Grund, aus dem wir im folgenden Rechtsmoduln bevorzugen. Im Fall $|I|=1$ spezialisiert das zur wohlbekannten Bijektion $R\sira \op{Hom}_{-R}(R,R)$ durch Linksmultiplikation mit Umkehrabbildung $\varphi\mapsto \varphi(1)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ringoidmoduln als Funktoren auf der Ringoidkategorie}] Gegeben ein Ringoid $(R,I)$ erhalten wir zu jedem Ringoidmodul $M$ einen $\op{Ab}$-Funktor $[M]: [R,I]\ra \op{Ab}$ durch $i\mapsto iM$. Gegeben eine $\op{Ab}$-Kategorie $\mathcal T$ und ein $\op{Ab}$-Funktor $F: \mathcal T\ra \op{Ab}$ erhalten wir einen Ringoidmodul $$\op{M}(F)\pdef \bigoplus_{X\in\mathcal T}F(X)$$ "uber dem Ringoid $\op{R}(\mathcal T)$. Diese beiden Konstruktionen sind zueinander quasiinverse Isomorphismen von Kategorien zwischen $\op{RMod}_R$ und $\op{Cat}^{\op{Ab}}([M,I],\op{Ab})$, in Worten der Kategorie der mit den jeweiligen additiven Strukturen vertr"aglichen Funktoren $[M,I]\ra\op{Ab}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ubiquit"at der freien endlich erzeugten Ringoidmoduln}] Gegeben $\mathcal C\supset \mathcal T$ eine $\op{Ab}$-Kategorie mit einer vollen Unterkategorie betrachten wir das Ringoid $R\pdef \op{R}(\mathcal T)$ nach \ref{RRAb} und erhalten einen $\op{Ab}$-Funktor $$\mathcal C\ra \op{RMod}_{-R}$$ durch die Vorschrift $X\mapsto \bigoplus_{T\in\mathcal T}\mathcal C(T,X)$. Jedes Objekt $T\in\mathcal T$ wird dabei auf auf $i_TR$ abgebildet mit $i_T\in R$ dem zu $T$ geh"origen Idempotenten. Nach \ref{vtab} ist unser Funktor volltreu auf $\mathcal T$, wir haben also in Formeln $\mathcal T\vra \op{RMod}_{-R}$. Ist $\mathcal C$ additiv, so folgern wir eine "Aquivalenz\label{frRio} $$\langle \mathcal T\rangle_{\oplus}\sirra \op{RFrei}_{-R}$$ f"ur $\op{RFrei}_{-R}\pdef\langle iR\mid i\in I\rangle_{\oplus}\subset \op{RMod}_{-R}$\index{RFrei@$\op{RFrei}_{-R}$ freie endlich erzeugte Ringoidmoduln} die volle Unterkategorie aller endlichen direkten Summen von Objekten $iR$ mit $i\in I$. Wir nennen sie {\bf freie Ringoidmoduln}\index{frei!Ringoidmodul} oder ausf"uhrlicher {\bf freie endlich erzeugte Ringoidmoduln}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben Ringoide $(A,I)$ und $(B,J)$ ist ein {\bf Ringoidbimodul}\index{Ringoidbimodul} eine abelsche Gruppe $X$ mit einer Struktur als $A$-Ringoidmodul und einer Struktur als $B$-Ringoidrechtsmodul derart, da"s gilt $(ax)b=a(xb)\;\forall a\in A, b\in B, x\in X$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktoren zu Ringoidbimoduln}] Gegeben ein $A$-$B$-Ringoidbimodul $X$ konstruieren wir ein adjungiertes Paar von Funktoren\label{tbimo} $$(X\otimes_B, X{\Rrightarrow}_{\!A})\nichtfinal{\quad (X\otimes_B, \op{RiHom}_A(X,\;))}$$ zwischen $\op{RMod}_B$ und $\op{RMod}_A$. Dazu gehen wir von der Tensor-Hom-Adjunktion in der Gestalt \eref{THAa}{KAG} aus, also vom Fall $A=\DZ$. Wir hatten sie erhalten als die Komposition $$\op{Ab}(X\otimes_B M,N)\sira \op{Bal}_B (X\times M,N)\sila \op{Hom}_B(M,\op{Hom}_\DZ(X,N))$$ von $\op{Ab}$-Isomorphismen, wobei die Wirkung von $b\in B$ auf $\op{Hom}_\DZ(X,N)$ durch Vorschalten von $(\cdot b):X\ra X$ zu verstehen ist. Sie schr"ankt ein zu einer Bijektion $$\op{Hom}_A(X\otimes_B M,N)\sira \op{Hom}_B(M,\op{Hom}_A(X,N))$$ Da"s in unserer Situation $X\otimes_B M$ ein $A$-Ringoidmodul ist, erkennt man unschwer sogar f"ur einen beliebigen $B$-Assoziativmodul $M$, vergleiche \eref{spkt}{KAG}. Dahingegen mu"s $\op{Hom}_A(X,N)$ im allgemeinen kein $B$-Ringoidmodul sein. Alles pa"st aber mit $$(X{\Rrightarrow}_{\!A}N)\nichtfinal{\op{RiHom}_A(X,N)}\pdef \sum_{j\in J}j\op{Hom}_A(X,N)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Skalarerweiterung bei Ringoidmoduln}] Seien $(A,I)$ und $(B,J)$ Ringoide und $\varphi:A\ra B$ ein Homomorphismus von $\DZ$-Algebren, der eine Surjektion $\varphi:I\sqcup\{0\}\sra J\sqcup\{0\}$ induziert. So wird $B$ ein $B$-$A$-Ringoidbimodul f"ur Operation durch Linksmultiplikation von $B$ und die Rechtsoperation von $A$ gegeben durch Multiplikation von rechts mit dem Bild unter $\varphi$ und wir erhalten einen Funktor, die {\bf Skalarerweiterung} $$B\otimes_A: \op{RMod}_A\ra \op{RMod}_B$$ Weiter erhalten wir in dieser Situation einen Isomorphismus\label{ndgt} $B\otimes_A Ai\sira B\varphi(i)$ durch die Abbildung $b\otimes a\mapsto b\varphi(a)$. Das folgt aus allgemeinen Resultaten zum Tensorieren "uber nichtunit"aren Ringen bei vielen Idempotenten, vergleiche \eref{TvI}{KAG}. Insbesondere induziert unsere Skalarerweiterung einen Funktor $$B\otimes_A: \op{RFrei}_A\ra \op{RFrei}_B$$ \end{Bemerkungl} \nichtfinal{ \begin{Bemerkungl}Verallgemeinerungsversuch: Seien $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie und $(R,I)$ ein Ringoid alias eine $\op{Ab}$-Kategorie. Gegeben ein $\op{Ab}$-Funktor $\varphi:R\ra\mathcal A$ erhalten wir einen linksexakten Funktor $$\op{res}_\varphi: \mathcal A \ra \op{RMod-}R$$ gegeben auf Objekten durch $A\mapsto \sum_{i\in I}(\mathcal A(\varphi(i),A))$. In anderen Formeln haben wir also $A\mapsto M$ mit $Mi\pdef \mathcal A(\varphi(i),A)$. Dieser Funktor verallgemeinert den in \eref{TAO}{KAG} beschriebenen Funktor vom Fall von Ringen auf den Fall von Ringoiden. Seinen partiellen Linksadjungierten notieren wir $\otimes_R \mathcal A$. Er ist definiert auf $iR$ und nimmt dort den Wert $\varphi(i)$ an. \end{Bemerkungl}} \subsection{Differentielle graduierte Ringoide und Moduln} \nichtfinal{Notationsideen. $\mathcal I$ additive Kategorie. $\op{Ket}_{\mathcal I}$ die Kategorie der Komplexe in $\mathcal I$. $\op{Ket}^{\op{dg}}_{\mathcal I}$ die dg-Kategorie der Komplexe in $\mathcal I$. Wir haben dann durch Umstrukturieren $\op{Ket}_{\mathcal I}=\mathcal Z^0(\op{Ket}^{\op{dg}}_{\mathcal I})$ und $\op{Hot}_{\mathcal I}=\mathcal H^0(\op{Ket}^{\op{dg}}_{\mathcal I})$.} \begin{Bemerkungl} Die Schmelzkategorie der differentiellen graduierten abelschen Gruppen mit den entsprechenden multilinearen Abbildungen als Verschmelzungen notieren wir $\op{dgAb}$. Eine $\op{dgAb}$-Kategorie nennen wir kurz eine dg-Kategorie. Das interne Hom der Schmelzkategorie $\op{dgAb}$ alias den Homomorphismenkomplex notieren wir im folgenden ${\Rrightarrow}_{\op{dgAb}}$ oder kurz ${\Rrightarrow}$. \nichtfinal{Ich sollte immer $\op{dg}$ oder immer $\op{dgAb}$ schreiben oder neue Terminologie erfinden. Das ist ganz vorne nach \eref{anpp}{TS} auch noch im Umbau.}\label{dgetc} \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein {\bf differentielles graduiertes Ringoid} oder\index{Ringoid!differentielles graduiertes} {\bf dg-Ringoid}\index{dg-Ringoid} ist\index{differentiell!graduiertes Ringoid} ein Paar $(A,I)$ bestehend aus einem Assoziativobjekt $A\in \op{dgAb}$ zusammen mit einer\label{dgRRn} ausgezeichneten Menge von Idempotenten $I\subset \mathcal Z^0R$ derart, da"s f"ur $i,j\in I$ gilt $i\neq j\RA ij=0$ und da"s gilt $A=\sum_{i,j\in I} iAj$. \nichtfinal{Ich will Ringoide immer $A,B$ nennen.} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{dg-Ringoide und dg-Kategorien}] Gegeben ein dg-Ringoid $(R,I)$ erhalten wir eine dg-Kategorie $[R,I]^{\op{dg}}$ mit h"ochstens einem Nullobjekt, seine {\bf dg-Ringoidkategorie},\index{dg-Ringoidkategorie} indem wir $I$ als Menge der Objekte nehmen und $iRj$ als die differentielle abelsche Gruppe der Morphismen von $j$ nach $i$. Gegeben eine dg-Kategorie $\mathcal T$\label{dgRAb} erhalten wir ein dg-Ringoid $(\op{R}(\mathcal T),\op{I}(\mathcal T))$, indem wir $$\op{R}(\mathcal T)\pdef \bigoplus_{X,Y\in\mathcal T }\mathcal T(X,Y)$$ setzen und $\op{I}(\mathcal T)\pdef\{i_X\mid X\in \mathcal T\}$ f"ur $i_X$ das Tupel mit $\op{id}_X$ an der Stelle mit Index $(X,X)$ und Null an allen anderen Stellen. Diese beiden Konstruktionen sind salopp gesprochen invers zueinander, aber wir f"uhren das nicht in voller Pr"azision aus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Einen {\bf dg-Ringoidmodul}\index{dg-Ringoidmodul} "uber einem dg-Ringoid $(R,I)$ erkl"aren wir als einen $R$-$\op{dgAb}$-Assoziativmodul $M$ mit $M=\sum_{i\in I} iM$. Analog erkl"aren wir einen {\bf dg-Ringoidrechtsmodul}.\index{dg-Ringoidrechtsmodul} Diese bilden, wie im folgenden ausgef"uhrt werden soll, dg-Kategorien $\op{RMod}_{R}^{\op{dg}}$ beziehungsweise $\op{RMod}_{-R}^{\op{dg}}$\index{RModdg@$\op{RMod}^{\op{dg}}$ dg-Ringoidmoduln}. Wir beginnen unsere Diskussion mit Rechtsmoduln. Gegeben dg-Rechtsmoduln $M,N$ nehmen wir als Morphismenobjekte die Unterkomplexe $$\op{RMod}_{-R}^{\op{dg}}(M,N)\subset (M{\Rrightarrow}N)$$ aus allen $f\in (M{\Rrightarrow}N)^n$ mit $f\circ (\cdot r)= (\cdot r)\circ f$ f"ur alle homogenen $r\in R$. Um zu pr"ufen, da"s wir so wirklich Unterkomplexe erhalten, beschreiben wir sie alternativ als den Egalisator der beiden Morphismen $(M{\Rrightarrow}N)\ra ((M\otimes R){\Rrightarrow}N)$ gegeben durch (1) das Vorschalten der Operation $M\otimes R\ra M$ und (2) das Darantensorieren der Identit"at auf $R$ gefolgt vom Nachschalten der Operation $N\otimes R\ra N$. Im Fall von Linksmoduln nehmen wir als Morphismenobjekte die Unterkomplexe $$\op{RMod}_{R}^{\op{dg}}(M,N)\subset (M{\Rrightarrow}N)$$ aus allen $f\in (M{\Rrightarrow}N)^n$ mit $f\circ (r\cdot)=(-1)^{|f||r|} (r\cdot)\circ f$ f"ur alle homogenen $r\in R$ mit der "ublichen Konvention $|f|=n$. Um zu pr"ufen, da"s wir so wirklich einen Unterkomplex erhalten, beschreiben wir ihn analog als den Egalisator der beiden Morphismen $(M{\Rrightarrow}N)\ra ((R\otimes M){\Rrightarrow}N)$ gegeben durch das Vorschalten der Operation $R\otimes M\ra M$ und das Darantensorieren der Identit"at auf $R$ gefolgt vom Nachschalten der Operation $R\otimes N\ra N$ und erinnern die Vorzeichenregel \eref{VZhet}{TSK} f"ur das Tensorieren von internem Hom. \nichtfinal{W"are $M{\Rrightarrow}_RN$ beziehungsweise $M{\Rrightarrow}_{-R}N$ eine gute Notation?} % Wir rechnen nach, da"s $df$ dann dieselbe Bedingung erf"ullt, so da"s %wir wirklich einen Unterkomplex definiert haben. % Wir m"ussen also zeigen % $(df)\circ (\cdot r)=(\cdot r)\circ(df)$. % Per definitionem gilt $(df)=\partial f - (-1)^{|f|}f \partial$ und % in jedem dg-Ringoidrechtsmodul % gilt andererseits $\partial (m r)=(\partial m)r + (-1)^{|m|}m (\partial r)$ % mit der Notation $\partial$ f"ur das Differential auf $R,M,N$. % Und jetzt rechnen wir eben tapfer % $$\begin{array}{lll} % (df)(mr)&=&\partial (f (mr)) - (-1)^{|f|}f (\partial (mr))\\[2mm] % &=&\partial ((f m)r) - (-1)^{|f|}f ((\partial m)r) - (-1)^{|f|+|m|}(f (m(\partial r))\\[2mm] % &=&(\partial (f m))r +(-1)^{|f|+|m|}(f m)(\partial r)\\[1mm] % &&- (-1)^{|f|}(f (\partial m))r - (-1)^{|f|+|m|}(f m)(\partial r)\\[2mm] % &=& ((df)m)r % \end{array} % $$ % Wir rechnen nach, da"s $df$ dann dieselbe Bedingung erf"ullt, so da"s % wir wirklich einen Unterkomplex definiert haben. Wir m"ussen also zeigen % $(df)\circ (r\cdot)=(-1)^{(|f|+1)|r|}(r\cdot)\circ(df)$. % Per definitionem gilt $(df)=\partial f - (-1)^{|f|}f \partial$ und % in jedem dg-Ringoidmodul gilt andererseits $\partial (r\cdot)=(\partial(r)\cdot) + (-1)^{|r|}(r\cdot) \partial$ % mit der Notation $\partial$ f"ur das Differential auf $R,M,N$. % Und jetzt rechnen wir noch tapferer % $$\begin{array}{lll} % (df)\circ (r\cdot)&=&\partial f (r\cdot) - (-1)^{|f|}f \partial (r\cdot)\\[2mm] % &=&(-1)^{|f||r|}\partial (r\cdot) f - (-1)^{|f|}f (\partial(r)\cdot) % - (-1)^{|f|+|r|}f(r\cdot) \partial\\[2mm] % &=&(-1)^{|f||r|} (\partial(r)\cdot) f %+ (-1)^{|f||r|+|r|} (r\cdot)\partial f\\[1mm] % && - (-1)^{|f|}(-1)^{|f|(|r|+1)} (\partial(r)\cdot)f %- (-1)^{|f|+|r|}(-1)^{|f||r|}(r\cdot) f \partial\\[2mm] %&=&(-1)^{(|f|+1)|r|}\big( (r\cdot)\partial f- (-1)^{|f|}(r\cdot) f \partial\big)\\[2mm] %&=&(-1)^{(|f|+1)|r|}(r\cdot)\circ (df) % \end{array} % $$ %\nichtfinal{N"otig? Wir erhalten die Kategorie der dg-Moduln mit ihrer additiven Struktur durch % Umstrukturierung im Sinne von \eref{Umstr}{TS} mit dem Schmelzfunktor % $\mathcal Z^0:\op{dgAb}\ra \op{Ab}$, in Formeln % $\op{dgRMod}_{R}=\mathcal Z^0(\op{dgRMod}_{R}^{\op{dg}})$. % Analoges gilt f"ur Rechtsmoduln.} % Der besseren "Uberichtlichkeit halber % vereinbaren wir f"ur % die Mor\-phis\-men\-ob\-jek\-te im Fall von Links- beziehungweise Rechtsringoidmoduln % die abk"urzenden Notationen\index{)4@$\Rrightarrow_R$ Hom-Komplex!bei dg-Ringoidmoduln} $$(M{\Rrightarrow}_RN)\pdef\op{RMod}_{R}^{\op{dg}}(M,N)\text{ sowie }(M{\Rrightarrow}_{-R}N)\pdef\op{RMod}_{-R}^{\op{dg}}(M,N).$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{dg-Ringoidkategorie als Teil der dg-Ringoidmodulkategorie}] Gegeben ein dg-Ringoid $(R,I)$ erhalten wir einen \hyperref[anS]{volltreuen $\op{dgAb}$-Funk\-tor}\label{vtdg} $$[R,I]^{\op{dg}}\vra \op{RMod}_{-R}^{\op{dg}}$$ von der einer dg-Ringoidkategorie \ref{dgRAb} in die Kategorie seiner dg-Rechtsmoduln durch $i\mapsto iR$ auf Objekten und $jRi\sira \op{RMod}_{-R}^{\op{dg}}(iR,jR)$ durch Multiplikation von links auf Morphismen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{dg-Ringoidmoduln als dg-Funktoren auf der dg-Ringoidkategorie}] Gegeben ein dg-Ringoid $(R,I)$ erhalten wir zu jedem dg-Ringoidmodul $M$ einen $\op{dgAb}$-Funktor $[M]: [R,I]^{\op{dg}}\ra \op{dgAb}$ durch $i\mapsto iM$. Gegeben eine $\op{dgAb}$-Kategorie $\mathcal T$ und ein $\op{dgAb}$-Funktor $F: \mathcal T\ra \op{dgAb}$ erhalten wir einen dg-Ringoidmodul $$\op{M}(F)\pdef \bigoplus_{X\in\mathcal T}F(X)$$ Diese beiden Konstruktionen sind zueinander quasiinverse "Aquivalenzen von dg-Kategorien zwischen $\op{RMod}_R^{\op{dg}}$ und $\op{Cat}^{\op{dgAb}}([M,I]^{\op{dg}},\op{dgAb})$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Homotopiekategorie der dg-Moduln}] Die Umstrukturierung der dg-Ka\-te\-go\-rie der dg-Ring\-oid\-mo\-duln "uber einem dg-Ringoid $(A,I)$ mit dem Schmelzfunktor $\mathcal H^0:\op{dgAb}\ra\op{Ab}$ bezeichnen wir mit $\op{RHot}_A\pdef \mathcal H^0(\op{RMod}_{A}^{\op{dg}})$\index{RHot@$\op{RHot}$} und setzen also $$\op{RHot}_A(M,N)\pdef \mathcal H^0(\op{RMod}_A^{\op{dg}}(M,N))$$ f"ur dg-Ringoidmoduln $M,N$ "uber $A$. Ebenso erkl"aren wir "uber einem dg-Ringoid $A$ auch die Homotopiekategorie der dg-Ringoidrechtsmoduln $\op{RHot}_{-A}$. Darauf ebenso wie bei Linksmoduln ist das Verschieben von Komplexen mit dem Negativmachen der Differentiale\label{dgrMV} $M\mapsto [1]M$ aus \eref{VerKo}{TS} eine $\DZ$-Operation. Die Homotopiekategorie $\op{RHot}_{-A}$ aller dg-Rechts\-ring\-oid\-mo\-duln "uber einem dg-Ring\-oid $A$ wird eine triangulierte Kategorie, wenn wir sie mit der von $\op{RMod}_{-A}$ induzierten $\DZ$-Ope\-ra\-tion versehen und diejenigen Dreiecke auszeichnen, die isomorph sind zu Dreiecken der Gestalt \begin{displaymath} M \overset{f}{\rightarrow} N \ra \op{Keg}(f) \ra [1]M \end{displaymath} mit $\op{Keg}(f)$ dem Abbildungskegel, den wir mit seiner offensichtlichen Struktur als dg-Rechtsringoidmodul versehen. Um die Axiome einer triangulierten Kategorie zu pr"ufen, m"ussen wir \glqq nur\grqq\ den Beweis von Satz \ref{Hottr} durchgehen und pr"ufen, da"s alle Kettenabbildungen und Homotopien daraus unter unseren zus"atzlichen Voraussetzungen mit der Rechtsoperation von $A$ vertr"aglich sind. F"ur Linksmoduln gilt Entsprechendes.\label{dglMV} Hier erkl"aren wir die $\DZ$-Operation, indem wir von unserer $\DZ$-Operation $M\mapsto [1]M$ auf Komplexen aus \eref{VerKo}{TS} ausgehen und die $A$-Operation erkl"aren durch die Vorschrift $$a([1]m)\pdef (-1)^{|a|} [1](am)$$ f"ur homogene $a\in A$. Das Vorzeichen ist n"otig, damit unser $[1]M$ aus \eref{VerKo}{TS} mit seinem negativ gemachten Differential wieder ein dg-Modul ist. Weiter m"ussen wir auf dem Abbildungskegel die nicht ganz so offensichtliche $A$-Operation betrachten, bei der ein homogenes $a\in A$ in den Notationen von \eref{AABK}{TS} durch die Diagonalmatrix $\op{diag}((-1)^{|a|}a,a)$ operiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Ich habe davon Abstand genommen, die zuvor erkl"arten Konstruktionen in einen noch gr"o"seren Rahmen zu stellen, weil ich erstens nicht so genau wei"s, wie das zu machen w"are, und zweitens f"urchte, da"s ein noch gr"o"serer Rahmen das in dieser Darstellung entwickelte Bild erdr"ucken k"onnte. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Fassen wir ein Ringoid $(A,I)$ als dg-Ringoid auf, indem wir es mit der trivialen Graduierung $A=A^0$ und dem Differential $d=0$ versehen, so erhalten wir $\op{RHot}_A=\op{Hot}(\op{RMod}_A)$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Kategorie von Komplexen als dg-Kategorie}] Gegeben eine $\op{Ab}$-Kategorie $\mathcal P$ bilden die Komplexe $\op{Ket}_{\mathcal P}$ eine \hyperref[dgRR]{dg-Kategorie} in offensichtlicher Weise. Wir notieren diese dg-Kategorie\index{Ketdg@$\op{Ket}_{\mathcal P}^{\op{dg}}$ dg-Kategorie der Komplexe} $\op{Ket}_{\mathcal P}^{\op{dg}}$. Die urspr"ungliche $\op{Ab}$-Kategorie der Komplexe erhalten wir daraus zur"uck durch Umstrukturieren \eref{Umstr}{TSK} mit dem Schmelzfunktor $\mathcal Z^0:\op{dgAb}\ra \op{Ab}$ der Nullzykel, in Formeln $\op{Ket}_{\mathcal P}=\mathcal Z^0(\op{Ket}_{\mathcal P}^{\op{dg}})$. Die Homotopiekategorie mit ihrer additiven Struktur erhalten wir "ahnlich durch Umstrukturieren \eref{Umstr}{TSK} mit dem Schmelzfunktor $\mathcal H^0:\op{dgAb}\ra \op{Ab}$ der nullten Homologie, in Formeln $\op{Hot}_{\mathcal P}=\mathcal H^0(\op{Ket}_{\mathcal P}^{\op{dg}})$. % Der besseren "Uberichtlichkeit halber % vereinbaren wir f"ur % die Morphismenobjekte alias Morphismenkomplexe % die abk"urzende Notation\index{)4@$\Rrightarrow_{\mathcal P}$ Morphismenkomplex!von Komplexen in $\mathcal P$} $(X{\Rrightarrow}_{\mathcal P}Y)\pdef\op{Ket}_{\mathcal P}^{\op{dg}}(X,Y)$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine $\op{Ab}$-Kategorie $\mathcal P$ und eine volle Unterkategorie $\mathcal T\subset \op{Ket}_{\mathcal P}$ bezeichnen wir mit $\mathcal T^{\op{dg}}\subset \op{Ket}_{\mathcal P}^{\op{dg}}$ die volle dg-Unterkategorie mit denselben Objekten und betrachten das zugeh"orige dg-Ringoid $R\pdef \op{R}(\mathcal T^{\op{dg}})$ nach \ref{dgRAb} und erhalten einen dg-Funktor $\op{Ket}_{\mathcal P}^{\op{dg}}\ra \op{Rmod}_{-R}^{\op{dg}}$ durch die Vorschrift $$X\mapsto \bigoplus_{T\in\mathcal T}\op{Ket}_{\mathcal P}^{\op{dg}}(T,X)$$ Jedes Objekt $X\in\mathcal T$ wird dabei auf auf $i_XR$ abgebildet mit $i_X\in R$ dem zu $X$ geh"origen Idempotenten. Nach \ref{vtdg} ist unser dg-Funktor volltreu auf $\mathcal T^{\op{dg}}$, wir haben also in Formeln $$\mathcal T^{\op{dg}}\vra \op{RMod}_{-R}^{\op{dg}}$$ Umstrukturieren unseres dg-Funktors $\op{Ket}_{\mathcal P}^{\op{dg}}\ra \op{Rmod}_{-R}^{\op{dg}}$ mit $\mathcal H^0$ liefert einen $\op{Ab}$-Funktor\label{vgah} $$\op{Hot}_{\mathcal P}\ra \op{RHot}_{-R}$$ Ist $\mathcal P$ additiv, so ist er sogar trianguliert, denn nach einer Variante von \eref{HKA}{TS} wissen wir, da"s das \glqq Bilden des Hom-Komplexes\grqq\ f"ur alle $Z\in \op{Ket}_{\mathcal P} $ ein triangulierter Funktor $\op{Ket}_{\mathcal P}^{\op{dg}}(Z,\;):\op{Hot}_{\mathcal P}\ra \op{Hot}$ ist. Daraus folgt unsere Behauptung dann ohne gro"se M"uhe. Weiter ist unser Funktor auch volltreu auf der vollen Unterkategorie $\mathcal T^{\op{hot}}\pdef\mathcal H^0(\mathcal T^{\op{dg}})\subset \op{Hot}_{\mathcal P}$ der Homotopiekategorie mit Objekten $\mathcal T$, in Formeln $\mathcal T^{\op{hot}}\vra \op{RHot}_{-R}$ mit $X\mapsto i_XR$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein dg-Ringoid $(R,I)$ betrachten wir in der zugeh"origen Homotopiekategorie $\op{RHot}_R$ die von allen $Ri$ mit $i\in I$ erzeugte triangulierte Unterkategorie und notieren sie $$\op{RFrot}_R\pdef \langle Ri\mid i\in I\rangle_\Delta\subset \op{RHot}_R$$ Ihre Objekte nennen wir {\bf homotopiefreie endlich erzeugte dg-Ringoidmoduln}.\index{homotopiefrei!dg-Ringoidmodul} In derselben Weise erkl"aren wir die triangulierte Kategorie der\index{homotopiefrei!dg-Ringoidrechtsmodul} {\bf homotopiefreien dg-Ringo\-id\-rechts\-mo\-duln}\label{hgtfp} $$\op{RFrot}_{-R}\pdef \langle iR\mid i\in I\rangle_\Delta\subset \op{RHot}_{-R}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Fassen wir ein Ringoid $(A,I)$ als dg-Ringoid auf, indem wir es mit der trivialen Graduierung $A=A^0$ und dem Differential $d=0$ versehen, so erhalten wir $\op{RFrot}_A=\op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_A)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ubiquit"at der homotopiefreien dg-Ringoidmoduln}] Gegeben eine additive Kategorie $\mathcal P$ und eine volle Unterkategorie $\mathcal T\subset \op{Ket}_{\mathcal P}$ und die volle dg-Unterkategorie $\mathcal T^{\op{dg}}\subset \op{Ket}_{\mathcal P}^{\op{dg}}$ mit denselben Objekten und das zugeh"orige dg-Ringoid $R\pdef \op{R}(\mathcal T^{\op{dg}})$ nach \ref{dgRAb} induziert unser Funktor $\op{Hot}_{\mathcal P}\ra \op{RHot}_{-R}$ aus \ref{vgah}, der ja wie oben erw"ahnt volltreu ist auf der Unterkategorie $\mathcal T^{\op{hot}}$ mit Objektmenge $\mathcal T$, vermittels d\'evissage \ref{VTTr} eine "Aquivalenz von triangulierten Kategorien\label{Uhtf} $$\langle_!\mathcal T\rangle_\Delta^{\op{Hot}}\sirra \op{RFrot}_{-R}$$ Die linke Seite meint hier die von den Objekten von $\mathcal T$ in $\op{Hot}_{\mathcal P}$ erzeugte triangulierte Unterkategorie. Ein Objekt $T\in \mathcal T$ wird dabei auf den dg-$R$-Rechtsmodul $i_TR$ abgebildet. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Beschreibung triangulierter Erzeugnisse in Homotopiekategorien}] Sei $\mathcal P$ eine additive Kategorie. Gegeben Komplexe $X_\alpha=(X_\alpha^n)_{n\in\DZ}$ in $\op{Ket}_{\mathcal P}$ indiziert durch $1\leq\alpha\leq a$ finden wir, da"s die iterierten Abbildungskegel gegeben durch $K_{a+1}=0$ und $K_\alpha\pdef\op{K}(f_\alpha: [-1]X_\alpha\ra K_{\alpha+1})$ f"ur beliebige Kettenabbildungen $f_\alpha$ beschrieben werden k"onnen als die Komplexe mit homogenen Anteilen\label{bte} $$K_\alpha^n=X_\alpha^{n}\oplus X_{\alpha+1}^{n}\oplus \ldots \oplus X_{a}^{n}$$ und mit Differentialen $d^n:K_\alpha^n\ra K_\alpha^{n+1}$ in Bezug auf die Darstellung unserer direkten Summen als Spaltenvektoren gegeben durch untere Dreiecksmatrizen wie etwa \begin{displaymath} d^n=\left( \begin{array}{ccc} \partial^n &0 &0 \\ *&\partial^n &0 \\ *&*&\partial^n \\ \end{array} \right) \end{displaymath} im Fall von drei Summanden mit den Differentialen der $X_\beta$ f"ur $\alpha\leq \beta\leq a$ auf der Diagonalen und beliebige $X_\beta^n\ra X_\gamma^{n+1}$ f"ur $\alpha\leq \beta<\gamma\leq a$ unterhalb der Diagonalen mit der einzigen Ma"sgabe, da"s stets gilt $d^{n+1}\circ d^n=0$. Gegeben zwei derartige iterierte Abbildungskegel $K,L$ und eine Kettenabbildung $f:[-1]K\ra L$ ist auch $\op{Keg}([-1]K\ra L)$ wieder von derselben Gestalt. Damit haben wir eine Beschreibung aller Objekte in der von einer Menge von Komplexen erzeugten triangulierten Unterkategorie von $\op{Hot}_{\mathcal P}$ gewonnen. Die Verschiebungen $[-1]$ sind hierbei unerheblich und dienten nur dem Zweck, die Diagonale von Vorzeichen zu befreien. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Beschreibung homotopiefreier dg-Ringoidmoduln}] Sei $(R,I)$ ein dg-Ringoid. Alle homotopiefreien dg-Ring\-oid\-rechts\-mo\-duln sind isomorph zu dg-Ring\-oid\-rechts\-mo\-duln der Gestalt $M= [\nu_1]i_1 R\oplus[\nu_2]i_2 R\oplus \ldots \oplus[\nu_a]i_a R$ als $R$-Rechtsmoduln f"ur beliebig vorgegebene $\nu_\alpha\in \DZ$ und $i_\alpha\in I$ und $1\leq\alpha\leq a$ mit homogenen Anteilen $$ M^n = i_1 R^{n+\nu_1}\oplus i_2 R^{n+\nu_2}\oplus \ldots \oplus i_a R^{n+\nu_a}$$ mit einem Differential $d:M^n\ra M^{n+1}$ in Gestalt des Davormultiplizierens einer unteren Dreiecksmatrix wie etwa \begin{displaymath} d=\left( \begin{array}{ccc} (-1)^{\nu_1}\partial &0 &0 \\ *&(-1)^{\nu_2}\partial &0 \\ *&*&(-1)^{\nu_3}\partial \\ \end{array} \right) \end{displaymath} im Fall von drei Summanden, mit Eintr"agen $(-1)^{\nu_\alpha}\partial_R$ an der $\alpha$-Stelle auf der Diagonalen und Eintr"agen aus $(i_\beta R i_\gamma)^{\nu_\beta-\nu_\gamma +1}$ homogen vom Grad $\nu_\beta-\nu_\gamma+1$ f"ur $\beta<\gamma$ als Matrixeintrag $d_{\gamma\beta}$ an den entsprechenden Stellen unterhalb der Diagonalen. Wieder ist die einzige zus"atzliche Einschr"ankung an die Eintr"age unserer Matrix $d^2=0$. Das sieht man genauso wie bei der in \ref{bte} ausgef"uhrten Variante.\label{htFF} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Von dg-Ringoidmoduln zu Komplexen}] Gegeben eine additive Kategorie $\mathcal P$ und eine volle Unterkategorie $\mathcal T\subset \op{Ket}_{\mathcal P}$ und das zugeh"orige dg-Ringoid $R\pdef \op{R}(\mathcal T^{\op{dg}})$ k"onnen wir nun auch ein Quasiinverses der "Aquivalenz von triangulierten Kategorien $\langle_!\mathcal T\rangle_\Delta^{\op{Hot}}\sirra \op{RFrot}_{-R}$ nach unserer dg-Ubiquit"at \ref{Uhtf} explizit angeben. Geh"oren etwa die ausgezeichneten Idempotenten $i_1, i_2, i_3$ zu den Komplexen $T_1, T_2, T_3\in \mathcal T$, so w"urde unserem Beispielobjekt aus \ref{htFF} der Komplex $K$ mit homogenen Anteilen $K^n=T_1^{n+\nu_1} \oplus T_2^{n+\nu_2}\oplus T_3^{n+\nu_3}$ zugeordnet und mit dem durch die Matrix\label{RiKo} \begin{displaymath} d=\left( \begin{array}{ccc} (-1)^{\nu_1}\partial_1 &0 &0 \\ *&(-1)^{\nu_2}\partial_2 &0 \\ *&*&(-1)^{\nu_3}\partial_3 \\ \end{array} \right) \end{displaymath} beschriebenen Differential, wobei nun $\partial_i$ das Differential von $T_i$ meint und wir erinnern, da"s jedes Element $\ast\in (i_\beta R i_\gamma)^{\nu_\beta-\nu_\gamma +1}$ f"ur eine ganze Familie von $\mathcal P$-Mor\-phis\-men $T_\gamma^{n+\nu_\gamma} \ra T_\beta^{n+\nu_\beta+1}$ steht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Homotopiefreie dg-Ringoidmoduln spezieller dg-Ringoide}] Sei nun speziell $(H,I)$ ein dg-Ringoid, das konzentriert ist im Grad Null, so da"s insbesondere auch sein Differential verschwindet. Ist dann in \ref{htFF} sagen wir $\nu_\gamma$ kleinstm"oglich unter allen $\nu_\alpha$, so mu"s die $\gamma$-Zeile der das Differential beschreibenden Matrix verschwinden und wir erhalten wieder eine obere Dreiecksmatrix, wenn wir erst die $\gamma$-Zeile nach ganz oben schieben und dann die $\gamma$-Spalte nach ganz vorn. So sehen wir, da"s wir jeden homotopiefreien $H$-dg-Ringoidrechtsmodul auch darstellen k"onnen nach dem in \ref{htFF} beschriebenen Schema mit der zus"atzlichen Eigenschaft $\nu_1\leq \ldots \leq \nu_a$ und da"s dabei das Differential durch eine Block-untere Dreiecksmatrix gegeben wird mit der durch die Gleichheiten zwischen unseren $\nu_\alpha$ gegebenen Blockstruktur und von Null verschiedenen Eintr"agen nur auf der ersten unteren Block-Nebendiagonalen, wie etwa die Matrix $$\left(\begin{matrix}0 & 0 &0&0\\ *& 0 &0&0\\ *& 0 &0&0\\ 0& *& *&0 \end{matrix}\right)$$ im Fall $\nu_1<\nu_2=\nu_3<\nu_4$, wobei die Sternchen nur dann alle von Null verschieden sein k"onnen, wenn $<$ jedes mal ein Wachsen um Eins bedeutet. Das alles illustriert nocheinmal unsere Identit"at $\op{RFrot}_{-H}=\op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-H})$ aus \ref{hgtfp}, die Nebendiagonalbl"ocke links entspechen den Differentialen des Komplexes rechts. Ist etwas allgemeiner $(Z,I)$ ein dg-Ringoid, das konzentriert ist in nichtpositiven Graden, so k"onnen wir immer noch zu $\nu_1\leq \ldots \leq \nu_a$ umsortieren, aber die Differentiale sind nun Block-untere Dreiecksmatrizen mit Diagonalmatrizen mit von Null verschiedenen Eintr"agen $\pm\partial$ auf der Blockdiagonalen und Eintr"agen von immer negativeren Graden in den tieferen Block-Nebendiagonalen, also etwa $$\left(\begin{matrix}\partial & 0 &0&0\\ *^0& -\partial &0&0\\ *^0& 0 &-\partial&0\\ *^{-1}& *^0& *^0&\partial \end{matrix}\right)$$ im Fall $(\nu_1, \nu_2,\nu_3,\nu_4)=(2,3,3,4)$ mit oberen Indizes an den Sternchen, um die Grade der entsprechenden Elemente von $Z$ anzudeuten. \end{Bemerkungl} \subsection{Kippen, Realisierung, Gewichtskomplex} \begin{Definition} Gegeben dg-Ringoide $(A,I)$ und $(B,J)$ erkl"aren wir einen {\bf dg-Ringoid\-bimodul}\index{dg-Ringoidbimodul} als eine dg-Gruppe $X$ mit einer Struktur als $A$-dg-Ringoid\-modul und einer Struktur als $B$-dg-Ringoid\-rechts\-modul derart, da"s gilt $(ax)b=a(xb)\;\forall a\in A, b\in B, x\in X$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein $A$-$B$-dg-Ringoidbimodul $X$ erhalten wir einen dg-Funktor $$\otimes_AX: \op{RMod}_{-A}^{\op{dg}}\ra \op{RMod}_{-B}^{\op{dg}}$$ in recht offensichtlicher Weise durch Erg"anzung des in \ref{tbimo} diskutierten Funktors um Graduierung und Differential. \nichtfinal{Vielleicht hilft eine Interpretation als Koegalisator von zwei Morphismen $(M\otimes A\otimes X)\ra (M\otimes X)$ im allgemeinen.} Auf die Diskussion des Rechtsadjungierten verzichten wir vorerst, das mag einmal ein Student ausarbeiten. Unser Funktor induziert auf den Homotopiekategorien einen triangulierten Funktor\label{trFsk} $$\otimes_AX: \op{RHot}_{-A}\ra \op{RHot}_{-B}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Skalarerweiterung bei dg-Ringoidmoduln}] Seien $(A,I)$ und $(B,J)$ dg-Ringoide und $\varphi:A\ra B$ ein Homomorphismus von $\op{dgAb}$-Magmas, der eine Surjektion $\varphi:I\sqcup\{0\}\sra J\sqcup\{0\}$ induziert. So wird $B$ ein $A$-$B$-dg-Ringoidbimodul f"ur die offensichtliche Rechtsoperation von $B$ und die Linksoperation von $A$ gegeben durch Multiplikation mit dem Bild unter $\varphi$ und wir erhalten mit \ref{trFsk} einen triangulierten Funktor, die {\bf Skalarerweiterung} $$\otimes_AB: \op{RHot}_{-A}\ra \op{RHot}_{-B}$$ Weiter erhalten wir in dieser Situation einen Isomorphismus $iA\otimes_A B\sira \varphi(i)B$ durch die Abbildung $a\otimes b\mapsto \varphi(a)b$. Das folgt aus der bereits in \ref{ndgt} besprochenen analogen Aussage in der \glqq nicht-dg-Situation\grqq, die wir dort f"ur Linksmoduln ausformuliert hatten. Insbesondere induziert unsere Skalarerweiterung einen triangulierten Funktor $$\otimes_AB:\op{RFrot}_{-A}\ra \op{RFrot}_{-B}$$ In der in \ref{htFF} besprochenen Beschreibung der homotopiefreien Rechtsmoduln bedeutet die Skalarerweiterung das Anwenden von $\varphi$ auf alle Matrixeintr"age unterhalb der Diagonalen und das Ersetzen der Differentiale von $A$ durch die Differentiale von $B$. Ist zus"atzlich $\varphi$ ein Quasiisomorphismus, so ist unsere Erweiterung der Skalare volltreu auf der vollen Unterkategorie aller $iA$ mit $i\in I$ und mit d\'evissage auch auf ihrem triangulierten Erzeugnis und induziert mithin eine "Aquivalenz von triangulierten Kategorien\label{Skadg} $$\otimes_AB:\op{RFrot}_{-A}\sirra \op{RFrot}_{-B}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Realisierung, Gewichtskomplex und Kippen im Abstrakten}] Gegeben ein dg-Ringoid $(R,I)$ haben wir stets Morphismen von $\op{dgAb}$-Magmas $$\mathcal H^0R\;\leftarrow\; (\mathcal Z^0R\oplus R^{<0})\;\ra\; R$$ Zeichnen wir in der Mitte dieselbe Menge $I$ von Idempotenten aus wie in $R$ und in $\mathcal H^0R$ deren Bilder, so sind alle drei $\op{dgAb}$-Magmas Ringoide und unsere Ska\-lar\-er\-wei\-te\-run\-gen aus \ref{Skadg} liefern triangulierte Funktoren $$\op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-\mathcal H^0R})=\op{RFrot}_{-\mathcal H^0R}\;\leftarrow\; \op{RFrot}_{-\mathcal Z^0R\oplus R^{<0}} \;\ra\; \op{RFrot}_{-R}$$ Jetzt unterscheiden wir drei F"alle.\label{RGK} \\[2mm]\noindent(1) Gilt $n<0\RA \mathcal H^nR=0$, so ist der erste unserer Morphismen ein Quasiisomorphismus und die Skalarerweiterung liefert nach \ref{Skadg} eine "Aquivalenz $\op{RFrot}_{-\mathcal H^0R} \silla \op{RFrot}_{-\mathcal Z^0R\oplus R^{<0}}$. Durch Invertieren dieser "Aquivalenz erhalten wir einen triangulierten Funktor, den {\bf abstrakten Realisierungsfunktor} $$ \op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-\mathcal H^0R})\ra \op{RFrot}_{-R} $$ (2) Gilt $n>0\RA \mathcal H^nR=0$, so ist der zweite unserer Morphismen ein Quasiisomorphismus und die Skalarerweiterung liefert nach \ref{Skadg} eine "Aquivalenz $\op{RFrot}_{-\mathcal Z^0R\oplus R^{<0}}\sirra \op{RFrot}_{-R}$. Durch Invertieren dieser "Aquivalenz erhalten wir einen triangulierten Funktor, den {\bf abstrakten Gewichtskomplexfunktor} $$\op{RFrot}_{-R} \ra \op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-\mathcal H^0R})$$ (3) Gilt $n\neq 0\RA \mathcal H^nR=0$, so werden die beiden zuvor besprochenen Funktoren zueinander quasiinverse "Aquivalenzen von triangulierten Kategorien und wir erhalten die {\bf abstrakte Kipp"aquivalenz} $$\op{RFrot}_{-R} \sirra \op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-\mathcal H^0R})$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Realisierung, Gewichtskomplex und Kippen f"ur Komplexe}] Seien $\mathcal P$ eine additive Kategorie und $\mathcal T\subset \op{Ket}_{\mathcal P}$ eine Menge von Komplexen und $R\pdef \op{R}(\mathcal T^{\op{dg}})$ das zugeh"orige dg-Ringoid.\label{ebKa} In diesem Fall liefert unsere Ubiquit"at \ref{frRio} eine "Aquivalenz $\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Hot}}\sirra \op{RFrei}_{-\mathcal H^0R}$ f"ur $\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Hot}}\subset \op{Hot}_{\mathcal P}$ die von $\mathcal T$ in $\op{Hot}_{\mathcal P}$ erzeugte additive Unterkategorie und zusammen mit der dg-Ubiquit"at \ref{Uhtf} als rechter Vertikale erhalten wir ein Diagramm triangulierter Funktoren $$\begin{array}{ccccc} \op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-\mathcal H^0R})&\leftarrow& \op{RFrot}_{-\mathcal Z^0R\oplus R^{<0}}&\ra &\op{RFrot}_{-R}\\ \ua{\scriptstyle \wr\wr}&&&&\ua{\scriptstyle \wr\wr}\\ \op{Hot}^{\op{b}}(\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Hot}}) &&&&\langle_! \mathcal T\rangle_{\Delta}^{\op{Hot}} \end{array} $$ Auch hier unterscheiden wir drei F"alle.\label{RGKk} \\[2mm]\noindent(1) Gilt $n<0\RA \op{Hot}_{\mathcal P}(X,[n]Y)=0$ f"ur beliebige $X,Y\in \mathcal T$, so erhalten wir $n<0\RA\mathcal H^nR=0$ und damit einen triangulierten {\bf Realisierungsfunktor} $$\op{Hot}^{\op{b}}(\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Hot}}) \;\ra \;\langle_! \mathcal T\rangle_{\Delta}^{\op{Hot}}$$ \noindent(2) Gilt $n>0\RA \op{Hot}_{\mathcal P}(X,[n]Y)=0$ f"ur beliebige $X,Y\in \mathcal T$, so erhalten wir $n>0\RA\mathcal H^nR=0$ und damit einen triangulierten {\bf Gewichtskomplexfunktor} $$\langle_! \mathcal T\rangle_{\Delta}^{\op{Hot}} \;\ra\; \op{Hot}^{\op{b}}(\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Hot}})$$ \noindent(3) Gilt $n\neq 0\RA \op{Hot}_{\mathcal P}(X,[n]Y)=0$ f"ur beliebige $X,Y\in \mathcal T$, so erhalten wir $n\neq 0\RA\mathcal H^nR=0$ und unsere beiden triangulierten Funktoren werden zu quasiinversen "Aquivalenzen, den {\bf Kipp"aquivalenzen} $$\langle_! \mathcal T\rangle_{\Delta}^{\op{Hot}} \;\sirla\; \op{Hot}^{\op{b}}(\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Hot}}) \;\sirla\;\op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-\mathcal H^0R})$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{EAZv} Sei $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie. Eine Menge von Komplexen $\mathcal{T}\subset \op{Ket}_{\mathcal{A}}$ hei"se \defind{quisendentfaltet}, wenn f"ur alle $T,T^{\prime} \in \mathcal{T}$ und alle $n\in\DZ$ die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus \begin{displaymath} \op{Hot}_{\mathcal{A}} (T,[n]T^{\prime} ) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Der}_{\mathcal{A}} (T,[n]T^{\prime}) \end{displaymath} zwischen Morphismen in der Homotopiekategorie und Morphismen in der derivierten Kategorie liefert. \end{Definition} \begin{Beispiele} Das von einer quisendentfalteten Menge von Komplexen erzeugte Verdiersystem ist offensichtlich auch selbst wieder quisendentfaltet. Die Mengen aller gegen die Pfeile beschr"ankten Komplexe injektiver Objekte und aller mit den Pfeilen beschr"ankten Komplexe projektiver Objekte sind quisendentfaltet. Allgemeiner sind die Mengen aller quisrechtsentfalteten Komplexe nach \ref{hiKo} und aller analog definierten quislinksentfalteten Komplexe beide quisendentfaltet. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Triangulierte Erzeugnisse quisendentfalteter Komplexmengen}] Seien $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie und $\mathcal T \subset \op{Ket}_{\mathcal{A}}$ eine quisendentfaltete Menge von Komplexen. So induziert nach d\'evissage der Lokalisierungsfunktor eine "Aquivalenz von triangulierten Kategorien\label{TEK} $$\langle_!\mathcal T\rangle_\Delta^{\op{Hot}}\sirra \langle_!\mathcal T\rangle_\Delta^{\op{Der}}$$ zwischen ihren jeweiligen triangulierten Erzegnissen in der Homotopiekategorie $\op{Hot}_{\mathcal A}$ und in der derivierten Kategorie $\op{Der}_{\mathcal A}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Realisierung als verallgemeinerter Totalkomplex}] Seien $\mathcal P$ eine additive Kategorie und $\mathcal T\subset \op{Ket}_{\mathcal P}$ eine Menge von Komplexen\label{ebKaa} mit $n<0\RA \op{Hot}_{\mathcal P}(X,[n]Y)=0$ f"ur beliebige $X,Y\in \mathcal T$. Wir wollen den Realisierungsfunktor $\op{Hot}^{\op{b}}(\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Hot}}) \ra \langle_! \mathcal T\rangle_{\Delta}^{\op{Hot}}$ expliziter beschreiben. Sei also $R\pdef \op{R}(\mathcal T^{\op{dg}})$ das zuheh"orige dg-Ringoid, f"ur das folglich gilt $n<0\RA\mathcal H^nR=0$. Wir hatten unseren Realisierungsfunktor definiert als die Komposition $$\begin{array}{ccccc} \op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-\mathcal H^0R})&\silla& \op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-\mathcal Z^0R\oplus R^{<0}})&\ra &\op{RFrot}_{-R}\\ \ua{\scriptstyle \wr\wr}&&&&\da{\scriptstyle \wr\wr}\\ \op{Hot}^{\op{b}}(\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Hot}}) &&&&\langle_! \mathcal T\rangle_{\Delta}^{\op{Hot}} \end{array} $$ Mithilfe unserer expliziten Formeln \ref{RiKo} wollen wir die Komposition unserer Funktoren nun expliziter beschreiben. Das Ausgangsobjekt $T\in\op{Hot}^{\op{b}}(\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Hot}})$ ist ein beschr"ankter Komplex $ h_p: T^p\ra T^{p+1} $ aus Objekten der Homotopiekategorie $T^p\in \langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Hot}}\subset \op{Hot}_{\mathcal P}$. Diese sind ihrerseits Komplexe $\partial: T^{p,q}\ra T^{p,q+1}$ aus Objekten von $\mathcal P$. Wir denken uns das ganze Datum notiert in der Form eines Doppelkomplexes mit dem Komplex $T^p$ in der Vertikalen bei $p$. Im Gegensatz zu einem richtigen Doppelkomplex haben wir aber in den Horizontalen keine richtigen Morphismen $T^{p,q}\ra T^{p+1,q}$, sondern nur Homotopieklassen von Kettenabbildungen $T^{p,*}\ra T^{p+1,*}$ derart, da"s die Verkn"upfung $ h^{p+1}\circ h^p$ stets nullhomotop ist. Unsere Theorie sagt nun, da"s wir Repr"asentanten $u_1^p$ unserer Homotopieklassen $h^p$ bestehend aus Morphismen $u_1^{p,q}:T^{p,q}\ra T^{p+1,q} $, ja aus Kettenabbildungen $u_1^{p,*}:T^{p,*}\ra T^{p+1,*} $ sowie weitere Morphismen $u_r^{p,q}: T^{p,q}\ra T^{p+r,q-r+1}$ f"ur $r\geq 2$ so finden k"onnen, da"s der \glqq verallgemeinerte Totalkomplex\grqq\ mit homogenen Anteilen $$K^n\pdef \bigoplus_{p+q=n}T^{p,q}$$ und Randoperatoren $K^n\ra K^{n+1}$ gegeben durch $(-1)^p\partial+ \sum_{r\geq 1} u_r^{p,q}$ in der Tat ein Komplex ist. Unsere Theorie sagt au"serdem, da"s der so entstehende Komplex in der Homotopiekategorie $K\in\langle_! \mathcal T\rangle_{\Delta}^{\op{Hot}}$ von den getroffenen Wahlen unabh"angig ist bis auf eindeutigen Isomorphismus und das Bild unseres Ausgangsobjekts beschreibt. Ich will nun nicht bis ins Letzte ausschreiben, wie unter unserer neuen Interpretation des Realisierungsfunktors allgemeine Morphismen abgebildet werden, aber in manchen F"allen ist das auch direkt klar, n"amlich etwa dann, wenn wir beide Objekte durch echte Doppelkomplexe repr"asentieren k"onnen und den fraglichen Morphismus durch einen Morphismus von Doppelkomplexen, dann n"amlich ist sein Bild schlicht der induzierte Morphismus auf dem Totalkomplex. In Formeln ist also zumindest die Komposition $$\op{Ket}^{\op{b}}(\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Ket}}) \;\ra\;\op{Hot}^{\op{b}}(\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Hot}})\;\ra\;\langle_! \mathcal T\rangle_{\Delta}^{\op{Hot}}$$ der Totalkomplexfunktor, wo $\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Ket}}\subset \op{Ket}_{\mathcal P}$ die von $\mathcal T$ in $\op{Ket}_{\mathcal P}$ erzeugte additive Unterkategorie bezeichnet. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Realisierungsfunktor f"ur perverse Garben}] Hier will ich erkl"aren, wie man den Realisierungsfunktor aus \cite{BBD} als Anwendung unseres abstrakten Realisierungsfunktors verstehen kann. Sei $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie mit genug Injektiven und sei auf $\op{Der}_{\mathcal A}^{\op{+}}$ alias $\op{Hot}_{i{\mathcal A}}^+$ eine Abschneidestruktur gegeben. Das Herz der Abschneidestruktur notiere ich $\mathcal C\subset \op{Hot}_{i{\mathcal A}}^+$ und unser Realisierungsfunktor \ref{ebKa} spezialisiert zu einem triangulierten Funktor $$\op{Hot}^{\op{b}}(\mathcal C)\ra \op{Hot}^+_{i{\mathcal A}} $$ Gegeben ein beschr"ankter exakter Komplex $(T^*,\partial)$ in einer abelschen Kategorie $\mathcal C$ haben wir nun kurze exakte Sequenzen $\mathcal Z^p(T)\hra T^p\sra \mathcal Z^{p+1}(T)$ und die R"ander $T^p\ra T^{p+1}$ sind die Verkn"upfungen $$T^p\sra \mathcal Z^{p+1}(T)\hra T^{p+1}$$ Kurze exakte Sequenzen von perversen Garben sind jedoch dasselbe wie ausgezeichnete Dreiecke ohne den Morphismus vom Grad Eins und sind folglich f"ur in $\op{Hot}_{i{\mathcal A}}^+$ vorgegebenes Anfangs- und Endobjekt isomorph mit der Identit"at vorne und hinten zu einer kurzen exakten Sequenz in $\op{Ket}_{\mathcal A}^+$ bestehend aus Objekten von $\mathcal C\subset \op{Hot}_{i{\mathcal A}}^+$. So finden wir von jedem exakten Komplex in $\op{Hot}^{\op{b}}(\mathcal C)$ einen Isomorphismus zu einem weiteren Objekt von $\op{Hot}^{\op{b}}(\mathcal C)$, das durch einen Komplex in $\op{Ket}^{\op{b}}(\op{Ket}_{i{\mathcal A}}^+)$ alias einen echten Doppelkomplex repr"asentiert wird, der dar"uber hinaus exakte Zeilen hat, also ein exakter Komplex von Komplexen ist. Dann ist aber auch sein Totalkomplex exakt und wir finden mit \ref{ebKaa}, da"s unser Funktor "uber einen triangulierten Funktor $$\op{Der}^{\op{b}}(\mathcal C)\ra \op{Hot}^+_{i{\mathcal A}}$$ faktorisiert. Dieser Funktor ist offensichtlich auf $\mathcal C$ eingeschr"ankt die Einbettung $\mathcal C\vra \op{Hot}^+_{i{\mathcal A}}$. Das ist im Grunde dieselbe Konstruktion wie in \cite{BBD}, ich habe sie nur in einem anderen Dialekt ausformuliert. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Sei $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie mit genug Projektiven und sei $\mathcal S\subset \op{Der}_{\mathcal A}^-$ eine Menge von Objekten mit $$n\neq 0\RA \op{Der}_{\mathcal A}(X,Y[n])=0\;\forall X,Y\in \mathcal S$$ Wir sagen dann auch, $\mathcal S$ sei eine Menge von {\bf paarweise nicht erweiternden} Objekten.\index{paarweise nicht erweiternd} Sei $H\pdef {\op{R}}(\mathcal S)$ das Ringoid der vollen Unterkategorie $\mathcal S\subset \op{Der}_{\mathcal A}$ im Sinne von \ref{RRAb}. So liefert die Kipp"aquivalenz \ref{RGKk} zusammen mit der Wahl einer projektiven Aufl"osung $\tilde X\in \op{Hot}_{{\op{p}}\mathcal A}^-$ f"ur jeder $X\in\mathcal S$ eine Kette von "Aquivalenzen von triangulierten Kategorien\label{pnE} $$\langle_! \mathcal S\rangle_\Delta^{\op{Der}}\;\silla\; \langle \tilde X\mid X\in \mathcal S\rangle_\Delta^{\op{Hot}}\;\sirra\; \op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-H})$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Wir betrachten einen $K$-Vektorraum $V$ und dessen symmetrische Algebra $S\pdef {\op{S}}V$ mit ihrer offensichtlichen $\DZ$-Graduierung sowie die abelsche Kategorie $\mathcal A\pdef \op{Mod}_S^\DZ$ der $\DZ$-graduierten $S$-Moduln und deren derivierte Kategorie $\op{Der}(\op{Mod}_S^\DZ)$. Darin bilden die Ein-Objekt-Komplexe $K(i)[i]$, die sowohl in der homologischen Graduierung als auch in der internen Graduierung im Grad $i$ konzentriert sind, eine Menge von paarweise nichterweiternden Objekten. Man erkennt das zum Beispiel am Beweis der Formel \ref{SESV} f"ur die Erweiterungen, die auch zeigt, wie man Erweiterungen in $\op{Mod}_S^\DZ$ bestimmen kann. Wir erhalten so Isomorphismen $\op{Alt}^{j-i}(V)\sira\op{Der}(\op{Mod}_S^\DZ)(K(i)[i], K(j)[j])=1_jH1_i$ f"ur unser Erweiterungsringoid $H$ aus \ref{pnE} mit der neuen Notation $1_j=i_X$ f"ur den Idempotenten in $H$ zum Objekt $K(j)[j]=X$. In diesem Fall erh"alt man zus"atzlich einen Isomorphismus $$\op{RMod}_{-H}\sirra \op{Mod}_{\op{Alt}(V)}^\DZ$$ dadurch, da"s man jedem Ringoidmodul $M$ den graduierten Modul mit $M1_i$ als homogenen Anteil im Grad $i$ zuordnet, und folgert insbesondere eine "Aquivalenz von $\op{RFrei}_{-H}$ mit der Kategorie der graduiert freien endlich erzeugten graduierten $\op{Alt}(V)$-Moduln. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Die Mutter aller Koszul-Dualit"aten}] Sei $V$ ein Vektorraum "uber einem K"orper $K$. Der Koszulkomplex aus \eref{KKKF}{TG} ist ein bigraduierter $K$-Vektorraum mit homogenen Anteilen ${\op{S}}^iV\otimes \bigwedge^jV$ und einem Differential $d$ vom Bigrad $(1,-1)$, das die $(i,j)$-Kom\-po\-nen\-te in die $(i+1,j-1)$-Komponente schiebt. Dar"uberhinaus kommutiert unser Differential mit der Linksoperation von ${\op{S}}V$ und der Rechtsoperation von $\op{Alt}(V)$ durch das cap-Produkt von rechts, wie wir bereits in \ref{SESV} diskutiert hatten. Bisher hatten wir $j$ als den \glqq homologischen Grad\grqq\ betrachtet und diese Struktur als eine Linksaufl"osung des im internen Grad Null graduierten ${\op{S}}V$-Moduls $K$ durch den Komplex der graduiert freien ${\op{S}}V$-Moduln ${\op{S}}^iV\otimes \bigwedge^jV$ aufgefa"st, wo eigentlich der homologische Index $j$ nach unten geh"orte, da das Differential ihn erniedrigt. Wir k"onnen aber auch $i$ als den \glqq homologischen Grad\grqq\ betrachten und erhalten dann eine Rechtsaufl"osung des graduierten $\op{Alt}(V)$-Rechtsmoduls $K$ konzentriert im internen Grad Null durch den Komplex der graduiert freien $\op{Alt}(V)$-Rechtsmoduln ${\op{S}}^iV\otimes \bigwedge V$. Unter der Annahme $\op{dim}V<\infty$ sind diese Rechtsmoduln injektiv und unsere Aufl"osung liefert einen Isomorphismus $${\op{S}}V\sira \op{Ext}^*_{-\op{Alt}(V)}(K,K)$$ und f"ur die Kategorie $\mathcal B\pdef \op{Mod}_{-\op{Alt}V}^\DZ$ der $\DZ$-graduierten $(\op{Alt}V)$-Rechtsmoduln folgern wir wieder, da"s die Ein-Objekt-Komplexe $K(i)[i]\in \op{Der}_{\mathcal B}$, die sowohl in der homologischen Graduierung wie in der internen Graduierung im Grad $i$ konzentriert sind, eine Menge von paarweise nichterweiternden Objekten bilden. In diesem Fall erh"alt man analog wie zuvor einen Isomorphismus $$\op{RMod}_{-H}\sirra \op{Mod}_{-{\op{S}}V}^\DZ$$ und folgert insbesondere eine "Aquivalenz von $\op{RFrei}_{-H}$ mit der Kategorie der graduiert freien endlich erzeugten graduierten ${\op{S}}V$-Rechtsmoduln und so eine triangulierte "Aquivalenz $\op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-H})\sirra \op{Der}^{\op{b}}(\op{Modf}^\DZ_{-{\op{S}}V})$. Andererseits ist das triangulierte Erzeugnis unserer Menge von paarweise nichterweiternden Objekten gerade $\op{Der}^{\op{b}}(\op{Modf}^\DZ_{-{\op{Alt}}V})$. Zusammenfassend spezialisiert \ref{pnE} in unserem Fall also zu einer "Aquivalenz von triangulierten Kategorien $$\op{Der}^{\op{b}}(\op{Modf}^\DZ_{-{\op{Alt}}V})\;\sirra\; \op{Der}^{\op{b}}(\op{Modf}^\DZ_{-{\op{S}}V})$$ \nichtfinal{Nochmal sorgf"altig Rechts-Links-Moduln sortieren. Kategorie der graduiert freien endlich erzeugten graduierten ${\op{S}}V$-Rechtsmoduln vielleicht eine Notation g"onnen. $\op{Frei}_R^\DZ$ w"urde gut zu $\op{RFrei}_R$ passen.} \end{Beispiel} \section{WICHTIG: Derivierte Funktoren f"ur dg-Moduln*} Unser Ziel ist hier, im Kontext der derivierten Kategorien von dg-Moduln die Existenz derivierter Funktoren zu zeigen. Die Rolle der injektiven Aufl"osungen in abelschen Kategorien "ubernehmen hierbei die sogenannten \glqq homotopie\-injektiven Aufl"osungen\grqq, die wir in \ref{HoPr} diskutieren. Da unsere dg-Ringe, wie sie zum Beispiel in \ref{Kdg} entstehen, keineswegs nur in positiven Graden leben m"ussen, ben"otigen wir dazu weitergehende Resultate "uber Spektralsequenzen. Wir diskutieren diese im folgenden Abschnitt. \emph{Vorsicht: Perfekte Kategorie umdefiniert von \glqq Verdiersystem erzeugt von ...\grqq\ zu \glqq trianguliertes System erzeugt von ...\grqq. Sollte im Koszul-Teil einige "Anderungen notwendig machen.} \subsection{Aufl"osungen von dg-Moduln}\label{HoPr} \begin{Bemerkungl}\nichtfinal{Wohin?} Wir nennen einen dg-Modul {\bf exakt},\index{exakt!dg-Modul} wenn der zugrundeliegende Komplex exakt ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{dgHoPro} Sei $A$ ein dg-Ring. Ein dg-Modul $P\in \op{dgMod-}A$ hei"st \defind{homotopieprojektiv}, wenn gilt $\op{dgHot}_A (P,N) = 0$ f"ur jeden exakten dg-Modul $N$ "uber $A$. Ein dg-Modul $I\in \op{dgMod-}A$ hei"st \defind{homotopieinjektiv}, wenn f"ur jeden exakten dg-Modul $N$ "uber $A$ gilt $\op{dgHot}_A (N,I) =0$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Spaltenstein \cite{Spa} verwendet, motiviert durch die allgemein "ubliche Notation K f"ur Homotopiekategorien, die alternativen Bezeichnungen \defind{K-projektiv} und \defind{K-injektiv}. Keller \cite{Kel} verwendet die im Rahmen von Quillen's Theorie der \glqq closed model categories\grqq\ "ublichen Bezeichnungen \defind{cofibrant} und \defind{fibrant}. Viele Autoren aus der Topologie benutzen auch die Terminologie \defind{semifree}, vergleiche zum Beispiel \cite{HaAT}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gleichbedeutend k"onnen wir auch fordern, da"s die Komplexe von abelschen Gruppen $\op{Mod}_{-A}^{\op{dg}} (P,N)$ beziehungsweise $\op{Mod}_{-A}^{\op{dg}} (N,I)$ exakt sind. Unter einer homotopieprojektiven Linksaufl"osung von $M \in \op{dgMod-A}$ verstehen wir ein homotopieprojektives $P \in \op{dgMod-}A$ mitsamt einem Quasiisomorphismus $P\qri M$. Analog definieren wir homotopieinjektive Rechtsaufl"osungen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} "Uber jedem dg-Ring $A$ ist $A$ selbst ein homotopieprojektiver dg-Modul. \end{Beispiel} \begin{Satz}\label{HIP} Jeder dg-Modul "uber einem dg-Ring besitzt eine homotopieprojektive Linksaufl"osung und eine homotopieinjektive Rechtsaufl"osung. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dies Resultat scheint auf Bernhard Keller \cite{Kel} zur"uckzugehen, findet sich aber auch unabh"angig in \cite{HaAT}, Seite 835 folgende, wo es als \glqq wohlbekannt\grqq\ zitiert und ein Beweis skizziert wird. Uns wird der Beweis eine Weile besch"aftigen. Wir beginnen mit dem Fall, da"s unser dg-Ring im Grad Null konzentriert ist. In diesem Fall ist ja ein dg-Modul schlicht ein Komplex von Moduln und wir behandeln in diesem Zusammenhang gleich etwas allgemeiner auch den Fall von Komplexen in geeigneten abelschen Kategorien. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{Qii} In der Kategorie der Moduln "uber einem Ring gibt es f"ur jeden Komplex einen gradweise injektiven Quasiisomorphismus in einen homotopieinjektiven Komplex und einen gradweise surjektiven Quasiisomorphismus von einem homotopieprojektiven Komplex. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Bis auf die Aussagen zu den gradweisen Eigenschaften haben wir das bereits in \ref{hLL} und \ref{hRR} gezeigt. \end{Bemerkungl} \begin{proof}%[Beweis von \ref{Qii}] Wir betrachten das Produkttotal $T$ einer simultanen injektiven Aufl"osung im Sinne von \ref{siA}. Zun"achst erweitern wir unsere simultane injektive Aufl"osung, indem wir den urspr"unglichen Komplex als Zeile unten anf"ugen. Der so entstehende Doppelkomplex hat exakte Spalten, und sogar die Kerne der Kettenabbildungen zwischen den Spaltenkomplexen sind exakt. Deshalb ist mit \ref{TK} auch das Produkttotal exakt, wenn wir in einer Kategorie von Moduln arbeiten. Also ist mit der langen exakten Homologiesequenz die Abbildung unseres Komplexes in das Produkttotal einer simultanen injektiven Aufl"osung ein Quasiisomorphismus. Um zu sehen, da"s unser Produkttotal homotopieinjektiv ist, schreiben wir es als inversen Limes des inversen Systems der Totalkomplexe zu denjenigen Quotientenkomplexen des Doppelkomplexes $I^{p,q},$ die in der $p$-ten Spalte nur noch $J^{p+1,q}$ stehen haben und links davon nur noch Nullen. Dieses inverse System besteht aus homotopieinjektiven Komplexen und alle Morphismen sind gradweise spaltende Surjektionen. Damit folgt dann nach \ref{SbSbn}, da"s auch sein inverser Limes homotopieinjektiv ist. Die dualen Argumente liefern den ebenfalls gesuchten gradweise surjektiven Quasiisomorphismus von einem homotopieprojektiven Komplex. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{HIP}] Sei $\varphi : A \ra B$ ein Homomorphismus von dg-Ringen. Der Restriktonsfunktor $ \op{res}^A_B : B\op{-dgMod} \ra A\op{-dgMod} $ hat nach \ref{VanAd} und den Argumenten aus \ref{InK} den Rechtsadjungierten $ \op{ind}^B_A : M \mapsto \op{Hom}_A (B,M) $ und den Linksadjungierten $ \op{prod}^B_A: M \mapsto B \otimes_A M. $ Da das Einschr"anken $\op{res}^A_B$ exakte Komplexe zu exakten Komplexen macht, ist f"ur jeden homotopieprojektiven $A$-dg-Modul $P$ der produzierte $B$-dg-Modul auch homotopieprojektiv, und f"ur jeden homotopieinjektiven $A$-dg-Modul $I$ ist der induzierte $B$-dg-Modul auch homotopieinjektiv. Jeder $A$-dg-Modul $M$ kann damit als Quotient eines homotopieprojektiven $A$-dg-Moduls $Q$ geschrieben werden, indem wir zuerst mit \ref{Qii} einen surjektiven Quasiisomorphismus $P \twoheadrightarrow \op{res}_A^\DZ M$ von einer homotopieprojektiven differentiellen graduierten abelschen Gruppe $P$ auf $M$ finden und dann die Komposition \begin{displaymath} Q=\op{prod}^A_{\Bbb{Z}} P \twoheadrightarrow \op{prod}^A_{\Bbb{Z}} \op{res}^{\Bbb{Z}}_{A} M \twoheadrightarrow M \end{displaymath} betrachten. Diese Surjektion $Q \twoheadrightarrow M$ induziert auch auf der Homologie noch eine Surjektion $\cal{H}Q \twoheadrightarrow \cal{H}M,$ jede Komologieklasse in $\cal{H}M$ kommt ja her von der Kohomologieklasse eines Zykels $z\in P$ und dann auch von der Kohomologieklasse des Zykels $1\otimes z\in Q.$ Formal liefert das Tensorieren mit der Eins eine Kettenabbildung $P\ra Q,$ deren Komposition mit $Q\ra M$ unser urspr"unglicher Quasiisomorphismus ist. Benennen wir nun $Q$ in $Q_0$ und $M$ in $M_0$ um und iterieren diese Konstruktion, indem wir im $i$-ten Schritt $M_{i}=\op{ker}(Q_{i-1}\ra M_{i-1})$ setzen und einen surjektiven und auf der Kohomologie surjektiven Homomorphismus $Q_i\sra M_i$ von einem homotopieprojektiven $A$-dg-Modul $Q_i$ w"ahlen, so finden wir f"ur jeden $A$-dg-Modul $M$ eine Aufl"osung \begin{displaymath} \ldots \ra Q_1 \ra Q_0 \twoheadrightarrow M \end{displaymath} durch homotopieprojektive $A$-dg-Moduln, die auch auf der Kohomologie noch eine exakte Sequenz $\ldots \ra \cal{H}Q_1 \ra \cal{H}Q_0 \twoheadrightarrow \cal{H}M$ induziert. Machen wir hier die unteren Indizes negativ und schreiben sie als zweiten Index nach oben, so erhalten wir einen Doppelkomplex $Q^{p,q}$ von abelschen Gruppen in der unteren Halbebene, dessen Zeilen jeweils homotopieprojektive $A$-dg-Moduln sind. Nach Konstruktion sind alle Spalten des durch eine oberste Zeile $M$ erg"anzten Doppelkomplexes exakt und sogar die Spalten aus seiner Zeilenkohomologie sind exakt. Nach \ref{TK}.\ref{TK2} ist also auch das Summentotal dieses erg"anzten Doppelkomplexes exakt und wir erhalten einen Quasiisomorphismus vom Summentotal des urspr"unglichen Doppelkomplex $Q^{p,q}$ nach $M.$ Dieses Summentotal ist nun auch in offensichtlicher Weise ein $A$-dg-Modul und der eben konstruierte Quasiisomorphismus ist ein Homomorphismus von $A$-dg-Moduln. Wir m"ussen also nur noch zeigen, da"s das Summentotal unseres Doppelkomplexes $Q^{p,q}$ ein homotopieprojektiver $A$-dg-Modul ist. Bilden wir das Summentotal von nur endlich vielen Zeilen, so folgt das induktiv daraus, da"s bei einem ausgezeichneten Dreieck mit zwei homotopieprojektiven Ecken auch die dritte Ecke homotopieprojektiv ist. Das gesamte Summentotal ist demnach der direkte Limes eines direkten Systems homotopieprojektiver $A$-dg-Moduln mit injektiven und gradweise spaltenden Morphismen. Mit \ref{GWH} folgt dann, da"s das Summentotal auch selbst homotopieprojektiv ist und die Existenz homotopieprojektiver Linksaufl"osungen ist bewiesen. Der Beweis der Existenz homotopieinjektiver Rechtsaufl"osungen l"auft analog. Zun"achst l"a"st sich $M$ in einen homotopieinjektiven $A$-dg-Modul $J$ einbetten, indem wir zuerst "uber $\Bbb{Z}$ mit \ref{Qii} eine homotopieinjektive Einbettung $\op{res}^{\Bbb{Z}}_A M \hookrightarrow I$ w"ahlen und dann die Komposition \begin{displaymath} M\hookrightarrow \op{ind}^A_{\Bbb{Z}} \op{res}^{\Bbb{Z}}_A M \hookrightarrow \op{ind}^A_{\Bbb{Z}} I \end{displaymath} betrachten. Wieder induziert die Injektion $M\hra J$ auch auf der Kohomologie Injektionen $\cal{H}M\hra \cal{H}J,$ da ja die Verkn"upfung von $M\hra J$ mit dem Auswerten an Eins $J\ra I$ gerade unser urspr"unglicher Quasiisomorphismus $M\ra I$ ist. Wieder bilden wir induktiv einen Doppelkomplex, nun in der oberen Halbebene, und sein Produkttotal wird dann die gesuchte homotopie\-injektive Linksaufl"osung. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Gegeben ein dg-Ring $A$ hei"st ein dg-Modul $M$ "uber $A$ {\bf homotopieflach}\index{homotopieflach!dg-Modul} oder auch {\bf K-flach}\index{K-flach}, wenn f"ur jeden exakten dg-Rechtsmodul $N$ "uber $A$ der in \ref{dgTen} erkl"arte\label{TFKl} Komplex von abelschen Gruppen $N\otimes_A M$ exakt ist. Im Fall eines im Grad Null konzentrierten Hauptidealrings $A$ ist jeder Komplex $M$ von torsionsfreien $A$-Moduln homotopieflach: Um das zu sehen, schreibe man $M$ als Kolimes der Unterkomplexe $$\ldots\ra 0\ra M_{-n}\ra\ldots\ra M_n\ra \mathcal Z_{n+1}M\ra 0\ra\ldots$$ und verwendet, da"s das Tensorprodukt mit Kolimites vertauscht. \end{Bemerkunge} \begin{Proposition}\label{qasr} Seien $A,B, C$ dg-Ringe mit $A,C$ torsionsfrei "uber $\DZ$. Gibt es einen Isobimodul von $A$ nach $B$ und einen Isobimodul von $B$ nach $C$, so gibt es auch einen Isobimodul von $A$ nach $C$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt, wenn wir statt "uber $\DZ$ allgemeiner "uber einem beliebigen aber festen Hauptidealring arbeiten, oder mit homotopieflachen dg-Ringen "uber einem beliebigen Kring. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach \ref{TFKl} ist unser dg-Ring $A$ als Komplex von abelschen Gruppen homotopieflach "uber $\DZ$. Nach \ref{TenTe} schr"ankt also jeder "uber $A\otimes_\DZ B^{\op{opp}}$ homotopie\-flache Bimodul $P$ zu einem homotopieflachen $B$-Rechtsmodul ein. Ist nun $(X,c)$ ein Isobimodul von $A$ nach $B$ im Sinne von \ref{BBBb}, so existiert nach \ref{HIP} eine homotopieprojektive Linksaufl"osung $P\sra X$ des $A\otimes_\DZ B^{\op{opp}}$-Bimoduls $X$ und unser $c\in \mathcal H^0X$ entspricht darunter einem $c\in \mathcal H^0P$. Nat"urlich ist $(P,c)$ immer noch ein Isobimodul von $A$ nach $B$ und nach dem Vorhergehenden ist $P$ au"serdem homotopieflach als $B$-dg-Rechtsmodul. Ist nun weiter $(Y,d)$ ein Isobimodul von $B$ nach $C$, so finden wir ebenso eine homotopieprojektive Linksaufl"osung $Q\sra X$ des $B\otimes_\DZ C^{\op{opp}}$-Bimoduls $Y$ und unser $d\in \mathcal H^0Y$ entspricht darunter einem $d\in \mathcal H^0Q$ und $Q$ ist ein homotopieflacher $B$-dg-Modul. Ich behaupte nun, da"s $(P\otimes_B Q, c\otimes d)$ ein Isobimodul von $A$ nach $C$ ist, mit der Abk"urung $c\otimes d\pdef [\hat c\otimes \hat d]$. In der Tat, seien $\hat c\in \mathcal Z^0P$ und $\hat d\in \mathcal Z^0Q$ Repr"asentanten unserer Kohomologieklassen. Nach Annahme liefert das Davormultiplizieren von $\hat c$ einen Quasiisomorphismus $(\hat c\cdot): B\qri P$ und dann nat"urlich auch einen Quasiisomorphismus $Q=B\otimes_BQ \qri P\otimes_BQ$ mit $d\mapsto c\otimes d$. Folglich liefert das Davormultiplizieren von $c\otimes d$ einen Quasiisomorphismus $C\sira P\otimes_BQ$. Ebenso zeigt man, da"s das Dahintermultiplizieren von $c\otimes d$ einen Quasiisomorphismus $A\sira P\otimes_BQ$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Jedem Raum $X$ mag man nun den "uber $\DZ$ torsionsfreien dg-Ring $\Gamma(\mathcal S_X^\ast)$ der lokalen Koketten zuordnen, und im lokal singul"ar-azyklischen Fall berechnet er die Garbenkohomologie. Jetzt hoffe ich auf Quasiisomorphismen $S^\ast(X)\otimes_\DZ S^\ast(Y) \qri \Gamma(\mathcal S_{X\times Y}^\ast)$. \end{Bemerkungl} \label{BBBb} \begin{Lemma} Gegeben ein dg-Ring $A$ gibt es stets einen Quasiisomorphismus $B \qri A$ von dg-Ringen mit $B$ torsionsfrei "uber $\mathbb Z$. \label{TFAdg} \end{Lemma} \begin{proof} %Ich habe das vom Stacks-Projekt gelernt. Gegeben eine Familie $S = (S_n)_{n \in \mathbb Z}$ von Mengen bildet man leicht den freien graduierten Ring $\mathbb Z \lfloor S \rfloor$ mit Erzeugern $S$ oder genauer Erzeugern $S_n$ im Grad $n$. Jede Familie von Abbildungen $\varphi_n : S_n \rightarrow \mathcal Z^n A$ liefert einen graduierten Ringhomomorphismus $\mathbb Z \lfloor S \rfloor \rightarrow \mathcal Z A$. F"ur $C_0 \pdef (\mathbb Z \lfloor S \rfloor, d = 0)$ liefert das einen Homomorphismus von dgRingen $C_0 \rightarrow A$, und wir k"onnen leicht $S_n$ und $\varphi_n$ so w"ahlen, da"s er eine Surjektion $\mathcal H C_0 \twoheadrightarrow \mathcal H A$ induziert. Nun zeigen wir, wie sich jeder Homomorphismus von dg-Ringen $C \rightarrow A$ mit $\mathcal H C \twoheadrightarrow \mathcal H A$ surjektiv und $C$ frei "uber $\mathbb Z$ so faktorisieren l"a"st als $C \rightarrow C^\prime \rightarrow A$, da"s auch $C^\prime$ frei ist "uber $\mathbb Z$ und da"s gilt \begin{equation*} \op{ker} (\mathcal H C \rightarrow \mathcal H A) = \op{ker} (\mathcal H C \rightarrow \mathcal H C^\prime) \end{equation*} Danach brauchen wir nur noch $C_1 \pdef C_0^\prime$ und induktiv $C_{n+1} \pdef C^\prime_n$ zu setzen und $B \pdef \op{colf} C_n$ l"ost unsere Aufgabe. Um $C^\prime$ zu konstruieren, erinnern wir die Konstruktion \eref{frk}{NAS} des freien Rings "uber einer Menge unter einem vorgegebenen Ring. Diese Konstruktion kann man offensichtlich analog auch im Fall eines graduierten Rings $C$ und einer durch $\DZ$ indizierten Familie $S = (S_n)_{n \in \mathbb Z}$ von Mengen durchf"uhren. Ist zus"atzlich $C$ ein dg-Ring und sind Abbildungen $\varphi_n : S_n \rightarrow \mathcal Z^{n+1} C$ gegeben, so k"onnen wir das Differential auf $C$ auf unseren freien graduierten Ring $C |S\rfloor$ unter $C$ in der Weise fortsetzen, da"s gilt $ds = \varphi_n (s) \; \forall s \in S_n$. Es ist nun leicht, ein m"ogliches $C^\prime$ als solch ein $C |S\rfloor$ zu konstruieren. \end{proof} \subsection{Derivierte Funktoren zu dg-Bimoduln} \begin{Definition}\label{DGTX} Gegeben dg-Ringe $A,B $ und ein $A$-$B$-dg-Bimodul $X$ haben wir ein nach \eref{VanAd}{TS} adjungiertes Paar von nach \ref{trFF} triangulierten Funktoren \begin{displaymath} \xymatrix{ &\op{dgHot}_{-A} \ar@<1ex>[r]^{\otimes_{A} X }& \op{dgHot}_{-{B}}\ar@<1ex>[l]^{ \op{Hom}_{-{B}} (X, \;)} } \end{displaymath} Wir definieren nun den Funktor \begin{displaymath} \otimes^{\op{L}}_A X : \op{dgDer}_{-A} \ra \op{dgDer}_{-B} \end{displaymath} als die finale Linksapproximation im Sinne von \ref{KiA} \nichtfinal{(Besser unseren neuen Deligne-Derivierten, ist aber hier dasselbe!)} an die Verkn"upfung von Funktoren $\op{dgHot}_{-A} \ra \op{dgHot}_{-B} \ra \op{dgDer}_{-B},$ was wir graphisch andeuten durch das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{dgHot}_{-A}\ar[dd] \ar[rr]^{\otimes_{A} X} & &\op{dgHot}_{-B}\ar[dd]\\ % & \quad\ar@{=>}[ur]&\\ & &\\ \op{dgDer}_{-A} \ar@{=>}[uurr] \ar@{-->}[rr]^{\otimes^{\op{L}}_{A}X} & & \op{dgDer}_{-B}\\ %\ar@{-->}[rr]^(.4){\otimes^{\op{L}}_{A}X} & & \op{dgDer}_{-B}\\ } \end{displaymath} Diese finale Linksapproximation existiert, da ja nach \ref{HIP} jeder dg-Modul eine homotopieprojektive Linksaufl"osung besitzt, was nach \ref{LAdQ} bedeutet, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms einen triangulierten Linksadjungierten besitzt, der eben gerade durch das Bilden solcher Linksaufl"osungen konstruiert werden kann. Dann erhalten wir nach \ref{HTAF} eine finale Linksapproximation ganz explizit durch die Vorschrift $M\otimes^{\op{L}}_A X = P \otimes_A X$ f"ur eine jeweils willk"urlich gew"ahlte homotopieprojektive Linksaufl"osung $P \ra M$ von $M$. Analog definieren wir den Funktor \begin{displaymath} R\op{Hom}_{-B} (X, \;)\nichtfinal{=(X{\Rrightarrow}_{-B}\;)} : \op{dgDer}_{-B} \ra \op{dgDer}_{-A} \end{displaymath} als initale Rechtsapproximation, diagrammatisch \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{dgHot}_{-B}\ar[dd] \ar[rr]^(.4){\op{Hom}_{-B}(X,\;)} & %&\quad\ar@{=>}[dl]\op{dgHot}_{-A}\ar[dd]\\ &\op{dgHot}_{-A}\ar[dd]\ar@{=>}[ddll]\\ & &\\ \op{dgDer}_{-B} \ar@{-->}[rr]^{R\op{Hom}_{-B}(X,\;)} & & \op{dgDer}_{-A}\\ } \end{displaymath} und auf Objekten haben wir kanonisch $R\op{Hom}_{-B} (X, N) = \op{Hom}_{-B} (X,I)$ f"ur eine und jede homotopieinjektive Rechtsaufl"osung $N \ra I$ von $N.$ \end{Definition} \begin{Satz}\label{adTH} Gegeben dg-Ringe $A,B$ liefert jeder $A$-$B$-dg-Bimodul $X$ ein Paar von adjungierten Funktoren zwischen den zugeh"origen derivierten Kategorien \begin{displaymath} \xymatrix{ &\op{dgDer}_{-A}\; \ar@<1ex>[r]^{\otimes^{\op{L}}_{{A}} X }& \;\op{dgDer}_{-{B}}\ar@<1ex>[l]^{R \op{Hom}_{-{B}} (X, \;)} } \end{displaymath} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Auf dem Niveau der Homotopiekategorien von dg-Moduln haben wir eine Adjunktion $(\;\otimes_{{A}} X, \op{Hom}_{-{B}} (X, \;))$ bereits in \eref{VanAd}{TS} etabliert. Sind im allgemeinen $M\in \op{dgMod}_{-A}$ und $N\in \op{dgMod}_{-B}$ gegeben, so w"ahlen wir mit \ref{HIP} eine homotopieprojektive Rechtsaufl"osung $P\ra M$ und eine homotopieinjektive Linksaufl"osung $N\hra I$ und erhalten nach \ref{DGTX} kanonische Isomorphismen $P\otimes_AX\sira M\otimes_A^{\op{L}}X$ und $R \op{Hom}_{-{B}} (X, N)\sira \op{Hom}_{-{B}} (X, I)$ und dann weiter kanonische Isomorphismen \begin{equation*} \begin{array}[b]{lll} \op{dgDer}_{-B}(M\otimes_A^{\op{L}}X,N)&\sira& \op{dgHot}_{-B}(P\otimes_AX,I)\\[2mm] &\sira& \op{dgHot}_{-A}(P,\op{Hom}_{-{B}} (X, I))\\[2mm] &\sira&\op{dgDer}_{-A}(M,R\op{Hom}_{-{B}} (X,N)) \end{array} \qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Bemerkunge}\label{BDDSdg} Gegeben dg-Ringe $A,B$ und ein $A$-$B$-dg-Bimodul $X$ wird $X^\ast\pdef \op{Hom}_A(X,A)$ stets ein $B$-$A$-dg-Bimodul vermittels der Rechtsoperation von $a\in A$ durch Nachschalten der Rechtsmultiplikation, $fa\pdef (\cdot a)\circ f$ f"ur jeden Homomorphismus $f$, vergleiche \ref{BDDS} im Fall gew"ohnlicher Ringe. Wir erhalten dann nat"urliche Homomorphismen $X^\ast \otimes_A N\ra \op{Hom}_{A}(X,N)$. Unter der zus"atzlichen Annahme, da"s $X$ als $A$-dg-Modul isomorph ist zu einer direkten Summe von endlich vielen eventuell im Grad verschobenen Kopien von $A$, sind das sogar Isomorphismen $$X^\ast \otimes_A N\sira \op{Hom}_{A}(X,N)$$ und liefern eine Isotransformation $X^\ast \otimes_A^{\op{L}}\siRa R\op{Hom}_{A}(X,\;)$ von Funktoren $$A\op{-dgDer}\ra B\op{-dgDer}$$ In dieser speziellen Situation ist also $X^\ast \otimes_A^{\op{L}}$ rechtsadjungiert zu $X \otimes_B^{\op{L}}$. \end{Bemerkunge} \begin{Definition}\label{DGTXb} Gegeben dg-Ringe $A,B $ und ein $B$-$A$-dg-Bimodul $X$ erhalten wir nach \ref{trFF} auch einen triangulierten Funktor durch die Konstruktion \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{dgHot}_{-A}^{\op{opp}} \ar[rr]^{ \op{Hom}_{-{A}} (\;, X)}&& \op{dgHot}_{-{B}} } \end{displaymath} zusammen mit einer geeigneten $\DZ$-Struktur. Wir definieren nun den Funktor \begin{displaymath} R\op{Hom}^{\op{opp}}_{-{A}} (\;, X) : \op{dgDer}_{-A} \ra \op{dgDer}_{-B} \end{displaymath} als die finale Rechtssapproximation im Sinne von \ref{KiA} an die Verkn"upfung von Funktoren $\op{dgHot}^{\op{opp}}_{-A} \ra \op{dgHot}_{-B} \ra \op{dgDer}_{-B},$ was wir graphisch andeuten durch das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{dgHot}^{\op{opp}}_{-A}\ar[dd] \ar[rr]^{ \op{Hom}_{-{A}} (\;, X)} & &\op{dgHot}_{-B}\ar[dd]\ar@{=>}[ddll] \\ % & \quad\ar@{=>}[ur]&\\ & &\\ \op{dgDer}^{\op{opp}}_{-A} \ar@{-->}[rr]^{ R\op{Hom}_{-{A}} (\;, X)} & & \op{dgDer}_{-B}\\ } \end{displaymath} Diese finale Rechtsapproximation existiert, da ja nach \ref{HIP} jeder dg-Modul eine homotopieprojektive Linksaufl"osung besitzt, was nach \ref{LAdQ} bedeutet, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms einen triangulierten Rechtsadjungierten besitzt, der eben gerade durch das Bilden solcher Linksaufl"osungen konstruiert werden kann, die ja in der opponierten Kategorie Rechtsaufl"osungen werden. Dann erhalten wir nach \ref{HTAF} eine finale Rechtsapproximation ganz explizit durch die Vorschrift $\op{RHom}_{-{A}} (M, X)= \op{Hom}_{-{A}} (P, X) $ f"ur eine jeweils willk"urlich gew"ahlte homotopieprojektive Linksaufl"osung $P \ra M$ von $M$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Nat"urlich mu"s man nun etwas aufpassen, da wir $R\op{Hom}$ doppelt definiert haben, einmal durch homotopie-injektive Aufl"osung des zweiten Eintrags und hier nun ein zweites Mal durch homotopie-projektive Aufl"osung des ersten Eintrags. Darauf kommt es aber in Zweifelsf"allen gar nicht an, da dann eh auch vorne und hinten gleichzeitig aufl"osen k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{NHTl} Seien $\mathcal A$ eine artinsche Kategorie und $P_1, \ldots, P_r \in \op{Ket}^{\op{b}} (\mathcal A)$ beziehungsweise $I_1, \ldots, I_s \in \op{Ket}^{\op{b}} (\mathcal A)$ Komplexe von Projekiven beziehungsweise Injektiven, die jeweils $\op{Der}^{\op{b}} (\mathcal A)$ trianguliert erzeugen. Sei $P = \oplus^r_{i=1} P_i$ und $E = \op{End}_{\mathcal A} (P)$ der zugeh"orige dg-Ring mit $\Lambda \subset E$ den Projektoren. Sei $I = \oplus^s_{j=1} I_j$ und $F = \op{End}_{\mathcal A} (I)$ der zugh"orige dg-Ring mit $\Omega \subset F$ den Projektoren. So konstruieren wir eine Isotransformation wie im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Der}^{\op{b}} (\mathcal A) \ar@{=}[rr]\ar[d]_-{\op{Hom}_{\mathcal A} (\;, I)} ^-{\wr} && \op{Der}^{\op{b}} (\mathcal A) \ar@{=>}[dll]_-{\sim}\ar[d]_-{\wr}^-{\op{Hom}_{\mathcal A} (P, \;)}\\ \op{dgFrei}^{\op{opp}}_{(F;\Omega)} \ar[rr]^-{\op{RHom}_{F}(\;, X)} && \op{dgFrei}_{-(E;\Lambda)} } \end{displaymath} angedeutet, f"ur $X$ den $F$-$E$-dg-Bimodul $\op{Hom}_{\mathcal A}(P,I)$. A priori sollten wir zur Konstruktion rechts zun"achst ganz $\op{dgDer}_{-E}$ nehmen und die Aussage aus \ref{PIAA} folgern. Da aber $\op{dgFrei}_{-(E;\Lambda)}$ das Bild der rechten Vertikale ist, landet auch die untere Horizontale notwendig bereits dort. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}\label{QuA} Gegeben eine Quasi"aquivalenz $(X,c)$ zwischen dg-Ringen $A$ und $B$ im Sinne von \ref{BBBb} induziert das in \ref{adTH} eingef"uhrte adjungierte Paar eine "Aquivalenz zwischen den von ${A}$ beziehungsweise ${B}$ in $\op{dgDer}_{-{A}}$ beziehungsweise $\op{dgDer}_{-{B}}$ erzeugten triangulierten Systemen $$\op{dgFrei}_{-{A}}\;\sirra \;\op{dgFrei}_{-{B}}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Diese "Aquivalenz h"angt von unserer Wahl einer Klasse $c$ demnach gar nicht ab. Eine solche Wahl liefert uns jedoch zus"atzlich einen Isomorphismus zwischen $B$ und dem Bild von $A$, wie aus dem gleich folgenden Beweis hervorgeht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Quasi"aquivalenzen k"onnen in gewisser Weise invertiert werden, wenn wir geeignete Zusatzannahmen stellen, wie zum Beispiel, da"s $A,B$ und $X$ vertr"agliche Strukturen als Vektorraum "uber einem festen Grund\-k"orper $k$ haben. Unter diesen Umst"anden bleibt n"amlich eine homotopieprojektive Aufl"osung $\tilde{X} \rightarrow X $ von $X$ als dg-Modul "uber $A\otimes_k B^{\op{opp}}$ homotopieprojektiv sowohl bei Restriktion auf $A$ als auch bei Restriktion auf $B^{\op{opp}}$, da die entsprechenden Induktionsfunktionen exakte dg-Moduln zu exakten dg-Moduln machen wegen der Homotopieprojektivit"at von $A$ beziehungsweise $B^{\op{opp}}$ "uber $k$. Dann kann man den $B$-$A$-dg-Bimodul \begin{displaymath} X^\vee = \op{Hom}_A (\tilde{X},A) \end{displaymath} betrachten. Nat"urlich ist mit $c \in \cal{H}^0X$ auch sein Urbild $\tilde{c} \in \cal{H}^0 \tilde{X}$ eine Quasibasis des $A$-dg-Moduls $\tilde{X},$ und weil $\tilde{X}$ dar"uber hinaus homotopieprojektiv ist "uber $A$, induziert $A \rightarrow \tilde{X},$ $a\mapsto a\tilde{c}$ f"ur jeden Repr"asentanten $\tilde{c} \in Z^0\tilde{X}$ einen Quasiisomorphismus $X^\vee \rightarrow \op{Hom}_A (A,A) \cong A$ von dg-Rechtsmoduln "uber $A$, der seinerseits eine Quasibasis $c^\vee \in \cal{H}^0 X^\vee$ liefert. Betrachten wir andererseits $B \rightarrow X^\vee$, $b \mapsto bc^\vee$ f"ur irgendeinen Repr"asentanten $c^{\vee}$ von $c^\vee$, so reicht es sicher, wenn wir f"ur $\alpha\in \cal{H}A$ und $\beta\in \cal{H}B$ aus $\alpha c=c\beta $ in $\cal{H}X$ die Gleichung $\beta c^\vee=c^\vee\alpha$ in $\cal{H}X^\vee$ folgern. Jetzt erinnern wir an \ref{HHKK} und erhalten m"uhelos eine kanonische Abbildung $\cal{H}X^{\vee} =\cal{H}(\op{Hom}_A (\tilde{X},A)) \rightarrow \op{Hom}_{\cal{H}A} (\cal{H}\tilde{X},\cal{H}A)$, die in unserem Fall ein Isomorphismus sein mu"s. Das zeigt, was wir brauchen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter "ahnlichen Zusatzannahmen k"onnen wir auch Quasi"aquivalenzen verkn"upfen. Nun sollte man ja wohl zeigen, da"s $X$ verkn"upft mit $X^\vee$ die Identit"at ist und da"s die Verkn"upfung assoziativ ist etc. In anderer Richtung w"urde ich gerne wissen, ob jeder dg-Ring quasiisomorph ist zu einem "uber $\DZ$ homotopieprojektiven dg-Ring, so da"s man die in der vorherigen Bemerkung\label{quaV} ben"otigten Zusatzannahmen im wesentlichen wieder stornieren k"onnte. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Bezeichnet $(T,R)$ unser adjungieres Paar, so reicht es nachzuweisen, da"s die Adjunktionsmorphismen $A \ra R T A$ und $T R B \ra B$ Isomorphismen sind und da"s dar"uber hinaus $TA$ isomorph ist zu ${B}.$ Wir beginnen mit der Diskussion des Isomorphismus $A\overset{\sim}{\ra} RTA$. Sicher ist ja $A$ selbst homotopieprojektiv. Nach den Definitionen gilt es, eine homotopieinjektive Aufl"osung $\varphi : A \otimes_{A} X \ra I$ von $B$-dg-Rechtsmoduln zu w"ahlen und zu zeigen, da"s die zugeh"orige Kettenabbildung $A \ra \op{Hom}_{-B} (X,I)$ Quasiisomorphismus ist. Sicher k"onnen wir $\varphi$ auch als einen Homomorphismus von $B$-dg-Rechtsmoduln $X \ra I$ auffassen. W"ahlen wir zus"atzlich einen Nullzykel $c\in X,$ der unsere Klasse $c$ repr"asentiert, und betrachten den Homomorphismus $B \ra X$, $b \mapsto cb$, so ergibt sich ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ A \ar[ddr] \ar[ddrr]\ar[drrr]\ar[drr]\\ & &\op{Hom}_{-B} (X,X) \ar[d] \ar[r] &\op{Hom}_{-B}(X,I)\ar[d]^{\op{qi}}\\ &X& \ar[l]_-{\sim} \op{Hom}_{-B} (B,X) \ar[r]^{\op{qi}} &\op{Hom}_{-B} (B,I) }\end{displaymath} bei dem wie angedeutet einige Pfeile Quasiisomorphismen sind, da $I$ homotopieinjektiv ist und $B$ homotopieprojektiv, jeweils als $B$-dg-Rechtsmoduln, und bei dem unsere Kettenabbildungen von $A$ aus gegeben werden durch die bereits gegebene Vorschrift sowie $A \ra \op{Hom}_{-B} (X,X), a \mapsto (a\cdot)$ und $A \ra \op{Hom}_{-B}(B,X)$, $a\mapsto (b \mapsto acb)$ und $A \ra X$, $a \mapsto ac$. Da diese letzte Abbildung ein Quasiisomorphismus ist nach Annahme, mu"s auch die erste Abbildung bereits ein Quasiisomorphismus gewesen sein, und das zeigt den gew"unschten Isomorphismus $A \overset{\sim}{\ra} RTA$. "Ahnlich entsteht der Morphismus $TRB \ra B$, indem wir eine homotopieinjektive Rechtsaufl"osung $B \ra J$ von $B$ als $B$-dg-Rechtsmodul und eine homotopieprojektive Linksaufl"osung $P \ra \op{Hom}_{-B} (X,J)$ von $A$-dg-Rechtsmoduln w"ahlen und "ubergehen zur adjungierten Kettenabbildung $ P \otimes_{A} X \ra J. $ Es gilt zu zeigen, da"s diese Abbildung ein Quasiisomorphismus ist. Das Argument ist eine Art Verdoppelung des eben gegebenen. Wir betrachten das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ P\otimes_{A} A \ar[d]_{\op{qi}} \ar[r]^{\op{qi}} & P \otimes_A X \ar[d]\ar[dr]\\ \op{Hom}_{-B}(X,J) \otimes_A A \ar[r] \ar[d]_{\wr} & \op{Hom}_{-B} (X,J) \otimes_A X \ar[r] &J\\ \op{Hom}_{-B} (X,J)\ar[urr] \ar[r]_{\op{qi}} &\op{Hom}_{-B} (B,J)\ar[ur] } \end{displaymath}\\[4mm] Unsere Kettenabbildung $P \otimes_A X \ra J$ entspricht der Auswertungsabbildung in der mittleren H"ohe rechts, dem Auswerten auf $c \in Z^{0} X$ unten links und dem Auswerten auf $1 \in B$ unten rechts und ist folglich in der Tat ein Quasiisomorphismus. Schlie"slich definiert $c \in Z^{0} X$ einen Quasiisomorphismus $ B\ra TA =X$ vermittels $b \mapsto cb,$ und das beendet den Beweis. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Perfekte Kategorie zur de-Rham-Algebra}] Gegeben eine %zusammenh"angende parakompakte\label{pkDR} glatte Man\-nig\-faltigkeit $X$ ist das von der konstanten Garbe $\Bbb{R}_X$ erzeugte triangulierte System $\langle \Bbb{R}_X\rangle_\Delta \subset\op{Der} (\Bbb{R}\op{-Mod}_{/X})$ "aquivalent zur %opponierten der freien triangulierten Kategorie zum dg-Ring $\Omega^{\ast} (X)$ der globalen Differentialformen auf $X$, in der Notation aus \eref{hgtfp}{TD} und in Formeln \begin{displaymath} \langle \Bbb{R}_X\rangle_\Delta \cong \op{Frot}_{-\Omega^{\ast}(X)} \end{displaymath} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Das steht im wesentlichen in \cite{BeLu} 12.1.2. Die Argumentation mit Bimoduln ist jedoch anders als die dort gegebene Darstellung. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Notation: F"ur $\mathcal A$ eine Ringgarbe, $\op{Ket}_{\mathcal A}^{\op{dg}}\pdef \op{Ket}_{\mathcal A\op{-Mod}}^{\op{dg}}$ die dg-Kategorie zur additiven Kategorie der $\mathcal A$-Modulgarben.} \begin{Bemerkungl} Statt der Aufl"osung durch den de-Rham-Komplex $\DR_X\hra \Omega_X^*$ im Fall einer Mannigfaltigkeit k"onnen wir mit einem beliebigen topologischen Raum $X$ arbeiten und statt mit $\DR$ mit einem beliebigen Kring $k$ und irgendeinen Quasiisomorphismus $k_X\qri \mathcal C_X^*$ in ein Ringobjekt der Schmelzkategorie der Komplexe von $k_X$-Moduln mit $1\mapsto 1$ auf globalen Schnitten nehmen derart, da"s die $\mathcal C_X^i$ s"amtlich $\Gamma$-rechtsazyklisch sind und verschwinden f"ur $i<0$ oder allgemeiner derart, da"s der Komplex $\mathcal C_X^*$ selbst $\Gamma$-quisrechtsentfaltet ist. Dann liefern dieselben Argumente eine $E$-$\Gamma(\mathcal C_X^*)$-Quasi"aquivalenz $\op{Ket}^{\op{dg}}_{k_X} (\mathcal C^{*},\mathcal I^{*})$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] W"ahlen wir irgendeine injektive Aufl"osung $\Bbb{R}_X \hookrightarrow \mathcal I^{*}$ von $\Bbb{R}_X$ in der abelschen Kategorie $\Bbb{R}\op{-Mod}_{/X}$ der Garben von reellen Vektorr"aumen auf $X$ und betrachten den dg-Ring $E \pdef \op{Ket}^{\op{dg}}_{\Bbb{R}_X} (\mathcal I^{*})$, \nichtfinal{(pa"st vielleicht zur Notation in \eref{Uhtf}{TD})} so liefert \eref{Kdg}{TD} eine triangulierte "Aquivalenz $ \langle \Bbb{R}_X \rangle_\Delta \sirra \op{Frot}_{-E} $. Nach dem Hauptlemma der homologischen Algebra \eref{IaU}{TG} faktorisiert unsere injektive Aufl"osung "uber den Komplex der Garben von Differentialformen $\Omega^{\ast}_{X}$, sagen wir als $ \Bbb{R}_X \ra \Omega^{\ast}_{X} \overset{c}{\ra} \mathcal I^{*} $. Nun betrachten wir das kommutative Diagramm von Komplexen reeller Vektorr"aume \begin{displaymath} \xymatrix{ \Omega^{\ast} (X)\ar[d] \ar@{=}[r] & \Omega ^{\ast}(X)\ar[d]^\wr\\ \op{Ket}^{\op{dg}}_{\Bbb{R}_X} (\Omega_{X}^{\ast}, \Omega^{\ast}_{X}) \ar[d]& \op{Ket}^{\op{dg}}_{\Bbb{R}_X} (\Bbb{R}_X, \Omega^{\ast}_{X})\ar[d]^{\op{qis}}\\ \op{Ket}^{\op{dg}}_{\Bbb{R}_X} (\Omega^\ast_X, \mathcal I^\ast) \ar[r]^{\op{qis}} & \op{Ket}^{\op{dg}}_{\Bbb{R}_X}(\Bbb{R}_X, \mathcal I^\ast) } \end{displaymath} wo die obere linke Vertikale durch $\omega \mapsto \omega \wedge$ erkl"art ist und sich die anderen Pfeile hoffentlich selbst erkl"aren. Per definitionem ist die obere rechte Vertikale ein Isomorphismus. Nach dem Vergleichssatz zwischen der de-Rham-Kohomologie und der Garbenkohomologie \eref{dRGK}{TG} ist die untere rechte Vertikale ein Quasiisomorphismus. Nach \eref{DEIAa}{TD} ist die untere Horizontale ein Quasiisomorphismus. Folglich ist die Verkn"upfung in der linken Vertikalen ein Quasiisomorphismus, als da hei"st, der Nullzykel $c$ ist eine Quasibasis des $\Omega^{\ast} (X)$-dg-Rechtsmoduls $C =\op{Ket}^{\op{dg}}_{\DR_X} (\Omega^{\ast}_{X}, \mathcal I^\ast)$. Nach \eref{DEIAa}{TD} ist derselbe Nullzykel $c$ jedoch auch eine Quasibasis dieses Komplexes als $E$-dg-Linksmodul. Folglich ist $(C,c)$ eine Quasi"aquivalenz und liefert nach \ref{QuA} eine triangulierte "Aquivalenz \begin{displaymath} \op{Frot}_{-E} \sirra\op{Frot}_{-\Omega^{\ast}(X)} \qedhere\end{displaymath} \end{proof} \begin{Bemerkunge}\label{PDFo} Nach \cite{DGMS} ist f"ur jede kompakte K"ahler-Variet"at die de-Rham-Algebra als dg-Ring formal, also insbesondere quasi-"aquivalent zu ihrer Kohomologie mit Differential Null. In anderen Worten ist die triangulierte Kategorie $\langle_! \DC_X \rangle_\Delta\subset \op{Der}(\DC\op{-Mod}_{/X})$ "aquivalent zu $\op{H}^\ast(X;\DC)\op{-dgFrei}.$ Kann man f"ur einige Fahnenmannigfaltigkeiten oder partielle Fahnenmannigfaltigkeiten "uber $\DC$ vielleicht dasselbe mit ganzzahligen Koeffizienten $A=\DZ$ zeigen oder vielleicht Koeffizienten in einer geeigneten Lokalisierung $A=\DZ[n^{-1}],$ da"s also f"ur solche $A$ f"ur $\langle_! A_X \rangle_\Delta\subset \op{Der}(A\op{-Mod}_{/X})$ auch gilt $$\langle_! A_X \rangle_\Delta\cong \op{H}^\ast(X;A)\op{-dgFrei}$$ \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Derivieren als Tensorprodukt}] Ist $F: \mathcal{A}\ra \mathcal{B}$ ein rechtsexakter Funktor zwischen abelschen Kategorien mit genug\label{derTT} Projektiven und sind $P^\ast\in \op{Hot}^-(p\cal{A})$ und $Q^\ast\in \op{Hot}^-(p\cal{B})$ mit den Pfeilen beschr"ankte Komplexe von Projektiven und liegt $FP^\ast$ in dem von $Q^\ast$ in $\op{Der}^-(\cal{B})$ erzeugten triangulierten System, so existiert zum Diagramm von Kategorien und Funktoren \begin{displaymath} \xymatrix{ \langle_! P^\ast \rangle_\Delta \ar[d]^\wr \ar[rr]^{\op{L}\!F} & &\langle_! Q^\ast \rangle_\Delta \ar[d]^\wr\\ \op{dgFrei-}\op{End}(P^\ast)\ar@{=>}[urr]^\sim \ar[rr] && \op{dgFrei-}\op{End}(Q^\ast) } \end{displaymath} mit dem Funktor $ \otimes^{\op{L}}_{\op{End}(P^\ast)}\op{Hom}(Q^{\ast}, FP^{\ast}) $ in der unteren Horizontalen sowie eine Isotransformation der durch einen Doppelpfeil angedeuteten Art, und im Beweis werden wir sogar eine wohlbestimmte derartige Isotransformation konstruieren. \end{Satz} \begin{proof} Seien zun"achst $\mathcal{A},$ $ \mathcal{B}$ additive Kategorien und $F : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ ein additiver Funktor. Gegeben $P^\ast \in \op{Ket}(\mathcal{A})$ und $Q^\ast \in \op{Ket} (\mathcal{B})$ mit Endomorphismenkomplexen $R=\op{End}_\cal{A}(P^\ast)$ und $S=\op{End}_\cal{B}(Q^\ast)$ und dem $R$-$S$-dg-Bimodul $H=\op{Hom}_\cal{B}(Q^\ast,FP^\ast)$ betrachten wir die durch Doppelpfeile im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Hot} (\mathcal{A})\ar[dd]_{\op{Hom} (P^\ast,\; )}\ar[rr]^F & &\op{Hot}(\mathcal{B})\ar[dd]^{\op{Hom} (Q^\ast, \; )}\\ & &\\ \op{dgHot-}R \ar[dd]\ar[rr]_{ \otimes_{ R}H}\ar@{=>}[uurr]& &\op{dgHot-}S\ar[dd]\\ & &\\ \op{dgDer-}R \ar@{=>}[uurr]\ar[rr]_{ \otimes^{\op{L}\!}_{R}H}& & \op{dgDer-}S } \end{displaymath} angedeuteten Transformationen, wobei der obere Doppelpfeil die Transformation $$ \begin{array}{ccc} \op{Hom} (P^\ast, A^\ast) \otimes_{\op{End}(P^\ast)} \op{Hom} (Q^\ast, FP^{\ast}) & \rightarrow & \op{Hom} (P^\ast, FA^\ast)\\[2mm] f \;\;\; \otimes \;\;\; g & \mapsto & F(f)\circ g \end{array} $$ meint und der untere die Transformation aus der Definition des Linksderivierten. Sind $\mathcal{A}$ und $ \mathcal{B}$ kleine abelsche Kategorien mit genug Projektiven und schr"anken wir uns in der oberen Zeile auf gegen die Pfeile beschr"ankte Komplexe ein und nehmen auch $P^\ast, Q^\ast$ als mit den Pfeilen beschr"ankte Komplexe von Projektiven an, so erhalten wir weitere Transformationen, wie in folgendem Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Der}^- (\mathcal{A})\ar@/_3pc/[ddd]^-{\Rightarrow}\ar[rr]^{\op{L}\!F} & &\op{Der}^- (\mathcal{B})\ar@/^3pc/[ddd]_-{\Rightarrow}\\ \op{Hot}^- (p\mathcal{A})\ar@{=>}[urr] \ar[u]_{\wr} \ar[rr]^F \ar[dd]& &\op{Hot}^-(\mathcal{B})\ar[u]\ar[dd]\\ & &\\ \op{dgDer-}R\ar@{=>}[uurr] \ar[rr]_{\otimes_R^{\op{L}} H } & & \op{dgDer-}S } \end{displaymath} durch Doppelpfeile angedeutet. Hierbei kommt der obere schr"age Doppelpfeil von der Definition des linksderivierten Funktors her, der untere ist die Komposition der beiden Transformationen aus dem vorhergehenden Diagramm, und die beiden horizontalen Doppelpfeile meinen die offensichtlichen Isomorphismen von Funktoren. Durch Komposition dieser Transformationen erhalten wir dann schlie"slich eine Transformation \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Der}^- (\mathcal{A}) \ar[d]\ar[rr]^{\op{L}\!F} &&\op{Der}^- (\mathcal{B}) \ar[d]\\ \op{dgDer-}R \ar@{=>}[urr] \ar[rr]_{\otimes_R^{\op{L}}H } && \op{dgDer-}S } \end{displaymath} wie durch den Doppelpfeil angedeutet. F"ur $P^\ast$ selbst liefert diese Transformation offensichtlich einen Isomorphismus \begin{equation*} \op{End} (P^\ast)\otimes^{\op{L}}_{\op{End}(P^\ast)} \op{Hom} (Q^\ast, FP^\ast) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Hom} (Q^\ast, FP^\ast) \end{equation*} und dasselbe gilt mithin f"ur das von $P^\ast$ erzeugte trianguliertes System. Liegt also $F P^\ast$ im von $Q^\ast$ erzeugten trianguliertes System, so definiert unsere Transformation eine Isotransformation von Funktoren \begin{displaymath} \xymatrix{ \langle_! P^\ast \rangle_\Delta \ar[d]^\wr \ar[rr]^{\op{L}\!F} & &\langle_! Q^\ast \rangle_\Delta \ar[d]^\wr\\ \op{dgFrei-}\op{End}(P^\ast) \ar@{=>}[urr]^\sim \ar[rr]_{ \otimes^{\op{L}}_{\op{End}(P^\ast)}H} && \op{dgFrei-}\op{End}(Q^\ast) } \end{displaymath} wie durch den Doppelpfeil angedeutet. \end{proof} \begin{Proposition} Seien $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie und $T \in \op{Ket}_{\mathcal{A}}$ ein\label{HVTneu} nichtnegativ erweiternder Komplex. Sei weiter $c:P\qri T$ eine homotopieprojektive Linksaufl"osung von $T$ und es gelte $\op{Hot}_{\mathcal A}(P,[n]P)=0$ f"ur $n\neq 0$. So gibt es eine Isotransformation, die das Diagramm $$\begin{array}{ccccc} \op{Hot}^{\op{b}}(\langle T\rangle_\oplus^{\op{Hot}})&\ra& \op{Hot}_{\mathcal A} &\ra& \op{Der}_{\mathcal A}\\ \da&&&&\|\\ \op{Hot}^{\op{b}}(\langle P\rangle_\oplus^{\op{Hot}})&\ra&\op{Hot}_{\mathcal A} &\ra&\op{Der}_{\mathcal A} \end{array} $$ mit den zu $T$ und $P$ geh"origen Doppelkomplexfunktoren nach \ref{HVTdr} in den Horizontalen und dem von der Lokalisierung induzierten Funktor in der linken Vertikalen kommutieren l"a"st. \end{Proposition} \begin{proof} Wir konstruieren im Beweis sogar eine derartige Isotransformation und beginnen mit dem folgenden Diagramm. $$\begin{array}{ccccccccc} \op{dgFrei-} H &\stackrel{\approx}{\leftarrow}& \op{dgFrei-}Z &\ra& \op{dgFrei-}E&\stackrel{\approx}{\leftarrow}& \langle T\rangle_\Delta^{\op{Hot}}&\stackrel{\sim}{\hra}& \op{Hot}_{\mathcal A}\\ \da\otimes_H H_X&&\da\otimes_Z Z_X&&\da\otimes_E X&& \da&&\da\\ \op{dgFrei^{\op{Der}}-}\tilde H &\stackrel{\approx}{\ra}& \op{dgFrei^{\op{Der}}-}\tilde Z &\stackrel{\approx}{\leftarrow}& \op{dgFrei^{\op{Der}}-}\tilde E&\stackrel{\approx}{\leftarrow}& \langle P\rangle_\Delta^{\op{Der}}&\stackrel{\sim}{\hra}& \op{Der}_{\mathcal A}\\ \ua\vapprox&&\ua\vapprox&&\ua\vapprox&&\ua\vapprox&&\ua\\ \op{dgFrei-}\tilde H &\stackrel{\approx}{\leftarrow}& \op{dgFrei-}\tilde Z &\ra& \op{dgFrei-}\tilde E&\stackrel{\approx}{\leftarrow}& \langle P\rangle_\Delta^{\op{Hot}}&\stackrel{\sim}{\hra}& \op{Hot}_{\mathcal A} \end{array} $$ Hier bezeichnet $E\pdef \op{End}_{\mathcal{A}} T$ und $\tilde E\pdef \op{End}_{\mathcal{A}} P$ die Endomorphismenkomplexe mit ihrer nat"urlichen Struktur als dg-Ring. Die volltreue Einbettung $\langle P\rangle_\Delta^{\op{Hot}}\stackrel{\sim}{\hra}\op{Der}_{\mathcal A}$ kommt von der Endazyklizit"at \ref{EAZ} von $P$ her. Die Kategorie $\langle T\rangle_\Delta^{\op{Hot}}$ landet im essentiellen Bild dieser volltreuen Einbettung, so erhalten wir bis auf eindeutigen Isomorphismus den von rechts aus gesehen zweiten oberen vertikalen Funktor. Dann beachten wir, da"s $\op{Hom}_{\mathcal A}(P,\;):\op{Hot}_{\mathcal A} \ra \op{dgHot-}\tilde E$ zu einem Funktor $\op{Hom}_{\mathcal A}(P,\;):\op{Der}_{\mathcal A} \ra \op{dgDer-}\tilde E$ absteigt, der $P$ nach $\tilde E$ schickt und eine "Aquivalenz $\langle P\rangle_\Delta^{\op{Der}}\sirra \op{dgFrei^{\op{Der}}-}\tilde E$ induziert. Hier soll der obere Index $\op{Der}$ andeuten, da"s das triangulierte Erzeugnis von $\tilde E$ in $\op{dgDer-}\tilde E$ und nicht in $\op{dgHot-}\tilde E$ zu bilden ist, aber nat"urlich induziert der Lokalisierungsfunktor f"ur jeden dg-Ring $R$ eine triangulierte "Aquivalenz $\op{dgFrei-}R\sirra \op{dgFrei^{\op{Der}}-}R$, so da"s es gar nicht n"otig w"are, so genau zu sein. Das ist also der zweite Funktor von rechts in der mittleren Horizontale. Jetzt betrachten wir den $E$-$\tilde E$-dg-Bimodul $X\pdef\op{Hom}_{\mathcal A}(P,T)$. Nach unseren Annahmen ist $\mathcal H X$ ein freier $\mathcal H \tilde E$-Rechtsmodul mit Basis $[c]\in \mathcal H^0 X$, deshalb landet $\otimes_E X$ tats"achlich in $\op{dgFrei^{\op{Der}}-}\tilde E$. Mit \ref{NatTRi} sollte nun klar sein, wie wir Isotransformationen anzugeben haben, die die vier rechten Quadrate f"ullen. Machen wir uns also an die linke H"alfte unseres Diagramms. Wir bilden dazu erst einmal den $Z$-$\tilde Z$-dg-Bimodul $Z_X\pdef\mathcal Z^0X\oplus X^{<0}$. Nach unseren Annahmen ist die Einbettung ein Quasiisomorphismus $Z_X\qri X$ von $Z$-$\tilde Z$-dg-Bimoduln. Schlie"slich setzen wir $H_X\pdef\mathcal H^0X$ und nach unseren Annahmen ist die Quotientenabbildung ein Quasiisomorphismus $Z_X\qri H_X$ von $Z$-$\tilde Z$-dg-Bimoduln. In der mittleren Horizontale sind die beiden linken Pfeile Restriktion von Skalaren, in der oberen und unteren Horizontale dahingegen Erweiterung von Skalaren. Nun ist es mit \ref{QuA} nicht schwer, Isotransformationen anzugeben, die die vier zugeh"origen Quadrate f"ullen. Damit haben wir unser Diagramm vollst"andig mit Isotransformationen gef"ullt. Nun ist unser Bimodul $H_X$ schlicht $\tilde H=\op{Der}(P,P)=\op{Hot}(P,P)$ mit der $H$-Linksoperation gegeben durch den Ringhomomorphismus $H=\op{Hot}(T,T)\ra \op{Der}(T,T)\sira \op{Der}(P,P)=\tilde H$. Alles in allem erhalten wir so eine Isotransformation, die das rechte Rechteck $$\begin{array}{ccccc} \op{Hot}^{\op{b}}(\langle T\rangle_\oplus^{\op{Hot}}))&\ra&\op{dgFrei-} H &\ra& \op{Der}_{\mathcal A}\\ \da&&\da\otimes_H \tilde H&&\|\\ \op{Hot}^{\op{b}}(\langle P\rangle_\oplus^{\op{Hot}}))&\ra&\op{dgFrei-} \tilde H &\ra&\op{Der}_{\mathcal A} \end{array} $$ mit den faktorisierten Doppelkomplexfunktoren in den Horizontalen f"ullt. Der Funktor in der linken Vertikale kommt schlicht von $\langle T\rangle_\oplus^{\op{Hot}}\ra \langle T\rangle_\oplus^{\op{Der}}=\langle P\rangle_\oplus^{\op{Der}}= \langle P\rangle_\oplus^{\op{Hot}}$ her, und eine Isotransformation, die das linke Rechteck f"ullt, ist leicht anzugeben. \end{proof} \begin{Satz} Seien $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ ein additiver Funktor zwischen abelschen Kategorien und $T\in \op{Ket}_{\mathcal A}$ ein nichtnegativ erweiternder $F$-entfalteter Komplex, dessen Bild $FT$ ein nichtnegativ erweiternder Komplex in $\op{Ket}_{\mathcal B}$ ist. Sei $P\qri FT$ eine homotopieprojektive Linksaufl"osung und es gelte $\op{Hot}(P,[n]P)=0$ f"ur $n\neq 0$. So kommutiert das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Hot}^{\op{b}}(\langle T\rangle_\oplus^{\op{Hot}})\ar[d] \ar[r] & \op{Der}_{\mathcal A}\ar[d]^{{\op{L}}F}\ar@{=>}[dl]_{\sim}\\ \op{Hot}^{\op{b}}(\langle P\rangle_\oplus^{\op{Der}}) \ar[r] & \op{Der}_{\mathcal B}} \end{displaymath} mit unseren Doppelkomplexfunktoren \ref{HVTdr} in den Horizontalen und der von $\langle T\rangle_\oplus^{\op{Hot}}\ra \langle FT\rangle_\oplus^{\op{Hot}}\ra \langle FT\rangle_\oplus^{\op{Der}}= \langle P\rangle_\oplus^{\op{Der}}$ induzierten linken Vertikalen und einer Iso\-transformation, die im Beweis konstruiert wird. \end{Satz} \begin{proof} Wir betrachten das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Hot}^{\op{b}}(\langle T\rangle_\oplus^{\op{Hot}})\ar[d]^{F} \ar[r] & \langle T\rangle_\Delta^{\op{Hot}}\ar[d]^{F}\ar[r] &\op{Der}_{\mathcal A}\ar[d]^{{\op{L}}F} \\ \op{Hot}^{\op{b}}(\langle FT\rangle_\oplus^{\op{Hot}}) \ar[r]\ar[d] & \langle FT\rangle_\Delta^{\op{Hot}}\ar[r] &\op{Der}_{\mathcal B}\ar@{=}[d]\\ \op{Hot}^{\op{b}}(\langle P\rangle_\oplus^{\op{Hot}}) \ar[r] & \op{Hot}_{\mathcal B}\ar[r] &\op{Der}_{\mathcal B}} \end{displaymath} und f"ullen es mit Isotransformationen. Die Isotransformation oben links kommt von \ref{HotVT} her, die Isotransformation oben rechts von unserer Annahme, da"s $T$ entfaltet sein soll f"ur $F$, die Isotransformation unten von \ref{HVTneu} und unseren Annahmen. \end{proof} \subsection{Versuch zu periodischen derivierten Kategorien} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein dg-Ring oder allgemeiner ein dg-Ringoid $A$ und eine \glqq Periode\grqq\ $p\geq 1$ setzen wir $$A\op{-dgDer}_{[p]}\pdef A[u,u^{-1}]\op{-dgDer}$$ f"ur $u$ vom Grad $p$ mit $du=0$. Jeder Quasiisomorphismus $A\qri B$ induziert einen Quasiisomorphismus $A[u,u^{-1}]\qri B[u,u^{-1}]$ und so eine "Aquivalenz von triangulierten Kategorien. Dasselbe gilt f"ur Quasi"aquivalenzen, die bei uns durch geeignete dg-Bimoduln vermittelt werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Jeden dg-Ring oder allgemeiner jedes dg-Ringoid $A$ k"onnen wir \glqq periodisieren\grqq\ zu einer gegebenen geraden Periode $p\geq 2$, indem wir die {\bf Periodisierung}\index{Periodisierung} $\tilde A$ erkl"aren durch $$_i\tilde A_j^n\pdef \bigoplus_{k\in\DZ} {_i A_j^{n+kp}}$$ Ist unser dg-Ringoid \glqq lokal von unten beschr"ankt\grqq, gibt es also f"ur je zwei Objekte $i,j$ ein $N\in\DZ$ mit $_i A_j^n=0$ falls $n