\section{Faktorierte und derivierte Funktoren}\label{DerfF} Derivierte Funktoren wurden in einer Dissertation von Verdier eingef"uhrt, die er bei Grothendieck schrieb. Verdier erkl"art sie als eine Art von Kan-Erweiterungen. Ich ziehe den Zugang vor, den Deligne in SGA verfolgt. Beide Zug"ange f"uhren in typischen Situationen zu denselben derivierten Funktoren, sind jedoch grunds"atzlich verschieden. Bei der Definition von Verdier gilt es zu beachten, da"s man etwa im Fall eines linksexakten Funktors von abelschen Kategorien $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ zu unterscheiden hat zwischen derivierten Funktoren ${\op{R}}F: \op{Der}^+_{\mathcal A}\ra \op{Der}^+_{\mathcal B}$ und ${\op{R}}F: \op{Der}_{\mathcal A}\ra \op{Der}_{\mathcal B}$ und da"s diese, selbst wenn sie beide existieren sollten, keineswegs auf $\op{Der}^+_{\mathcal A}$ "ubereinstimmen m"ussen. Bei Deligne dahingegen haben wir es nur mit einem einzigen partiell definierten Funktor ${\op{R}}F: \op{Der}_{\mathcal A}\dashrightarrow \op{Der}_{\mathcal B}$ zu tun, den es zwar immer gibt, der aber eben nur partiell definiert ist. \subsection{Limites in Funktorkategorien} \begin{Bemerkungl} Man erinnere sich an Limites und Kolimites in Kategorien, wie sie in \eref{LKiL}{TS} eingef"uhrt wurden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Limites und Kolimites in Funktorkategorien}] Gegeben seien ein K"ocher $\mathcal I$ und Kategorien\label{KLPG} $ \mathcal A , \mathcal D$ und eine Darstellung $\mathcal I \rightarrow \op{Cat} (\mathcal A, \mathcal D)$, $i \mapsto F_i$. Existiert f"ur alle $A \in \mathcal A$ der Kolimes $\col F_i (A)$ in $\mathcal D$, so erhalten wir offensichtlich einen Kolimes der $F_i$ in $\op{Cat} (\mathcal A, \mathcal D)$ durch die Vorschrift $$(\col F_i) (A) \pdef \col (F_i (A))$$ Dasselbe gilt, wenn wir $\col $ durch $\lim $ ersetzen, was auch direkt durch "Ubergang zu den opponierten Strukturen gefolgert werden kann. \end{Bemerkungl} %ok, klar. \begin{Bemerkungl}[\textbf{Limites und Kolimites in Mengenfunktorkategorien}] Nach \ref{KLPG} existiert f"ur jede Kategorie $\mathcal A$ und jedes Mengensystem $\mathfrak U$ der Limes beziehungsweise der Kolimes in der Kategorie $\mathfrak U{\op{Ens}}^{\mathcal A}=\op{Cat}(\cal{A},\mathfrak U{\op{Ens}})$ f"ur jede Darstellung in $\mathfrak U{\op{Ens}}^{\mathcal A}$ eines K"ochers $\mathcal I$, wenn der Limes beziehungsweise der Kolimes f"ur alle Darstellungen unseres K"ochers $\mathcal I$ in $\mathfrak U{\op{Ens}}$ existieren. Nach \eref{LimM}{TS} beziehungsweise \eref{KolM}{TS} existieren sie dann auch f"ur jedes gr"o"sere Mengensystem $\mathfrak V\supset\mathfrak U$ in $\mathfrak V{\op{Ens}}^{\mathcal A}$ und bleiben dieselben. Ein hinreichendes Kriterium f"ur die Existenz ist, weiter nach \eref{LimM}{TS} beziehungsweise \eref{KolM}{TS}, da"s $\mathfrak U$ ein Universum ist und da"s die Punktmenge unseres K"ochers $\mathcal I$ zu $\mathfrak U$ geh"ort, da"s also $\mathcal I$ im Sinne von \ref{KatKat} ein $\mathfrak U_\in$-K"ocher ist.\label{pklK} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeit von Limites mit Ko-Yoneda-Einbettungen}] Seien $\mathfrak U$ ein Mengensystem und $\mathcal C$ eine $\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie und $\mathcal C\vra \mathcal C_{\mathfrak U}^\wedge\pdef\op{Cat}(\cal{C}^{\op{opp}},\mathfrak U\!\op{Ens})$ die Ko-Yo\-ne\-da-Ein\-bet\-tung $Y\mapsto (\hat{Y}:X\mapsto \mathcal C(X,Y))$. Existiert der Limes eines Systems $(Y_i)_{i\in\mathcal I}$ in $\mathcal C$, so liefert er auch einen Limes des Bildsystems in $\mathcal C^\wedge$, in Formeln\label{VLY} $$(\lim Y_i)^\wedge\sira \lim \hat Y_i$$ Beide Funktoren nehmen ja auf allen $X\in\mathcal C$ denselben Wert $\lim \mathcal C(X,Y_i)$ an. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeit von Kolimites mit Yoneda-Einbettungen}] Seien $\mathfrak U$ ein Mengensystem und $\mathcal C$ eine $\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie und $\mathcal C\vra \mathcal C_{\mathfrak U}^\vee\pdef\op{Cat}(\cal{C},\mathfrak U\!\op{Ens})^{\op{opp}}$ die Yoneda-Einbettung $X\mapsto (\check{X}:Y\mapsto \mathcal C(X,Y))$. Existiert der Kolimes eines Systems $(X_i)_{i\in\mathcal I}$ in $\mathcal C$, so liefert er auch einen Kolimes des Bildsystems in $\mathcal C^\vee$, in Formeln\label{VLYb} $$\col \check X_i\sira (\col X_i)^\vee$$ Beide Funktoren nehmen ja auf allen $Y\in\mathcal C$ denselben Wert $\col \mathcal C(X_i,Y)$ an. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Unvertr"aglichkeit von Kolimites mit Ko-Yoneda-Einbettungen}] Im Gegensatz zu den im vorigen Punkt behandelten F"allen mu"s, wenn der Kolimes $\col Y_i$ existiert, der nat"urliche Morphismus $$\col \hat Y_i\ra (\col Y_i)^\wedge$$ in $\mathcal C^\wedge$ dennoch kein Isomorphismus sein, als da hei"st, die nat"urliche Abbildung $\col \mathcal C(X, Y_i)\ra \mathcal C(X,\col Y_i)$ mu"s nicht f"ur alle Objekte $X$ eine Bijektion sein. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Unvertr"aglichkeit f"ur Kolimites bei Mengen}] Wir betrachten in der Kategorie $\op{Ens}$ der Mengen das System $$\{0\}\ra \{0,1\}\ra \{0,1,2\}\ra \ldots$$ mit dem Kolimes $\DN$ und pr"ufen, da"s der Kolimes in $\op{Ens}^\wedge$ beschrieben werden kann als der Funktor, der jeder Menge $X$ die Menge aller Abbildungen $X\ra\DN$ mit endlichem Bild zuordnet. Die nat"urliche Abbildung $$\op{col}(\{0,\ldots,n\}^\wedge) \ra (\op{col}\{0,\ldots,n\})^\wedge$$ ist mithin keine Bijektion. Mit \ref{ViU} zeigt das, da"s die Ko-Yoneda-Ein\-bet\-tung $\op{Ens}\vra \op{Ens}^\wedge$ nicht essentiell surjektiv ist. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Unvertr"aglichkeit f"ur Kolimites bei Vektorr"aumen}] In der Kategorie der Vektorr"aume ist jeder Raum $V$ der Kolimes des Systems aller seiner endlichdimensionalen Teilr"aume $Y_i\subset V$. Der Kolimes der Homomorphismenr"aume geht dann bijektiv auf den Raum der Homomorphismen endlichen Rangs und keineswegs bijektiv auf den Raum aller Homomorphismen. Ein vielleicht noch typischeres Gegenbeispiel ist der Fall direkter Summen von Vektorr"aumen. Die Identit"at auf einer direkten Summe mit unendlich vielen von Null verschiedenen Summanden landet keineswegs in einer endlichen Teilsumme. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Unvertr"aglichkeit von Limites mit Yoneda-Einbettungen}] Opponiert sind Limites im allgemeinen nicht vertr"aglich mit Yoneda-Einbettungen. Auch wenn der Limes $\op{lim}X_i$ existiert, mu"s der nat"urliche Morphismus $$ (\lim X_i)^\vee\ra \lim \check X_i$$ keineswegs ein Isomorphismus sein. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Unvertr"aglichkeit f"ur Limites bei Mengen}] Wir betrachten in der Kategorie $\op{Ens}$ der Mengen das System $$\ldots \ra M^3\ra M^2\ra M$$ f"ur irgendeine feste Menge $M$ mit den Abbildungen, die jeweils den letzten Eintrag eines Tupels weglassen. Sein Limes in $\op{Ens}$ ist die Menge $\op{Ens}(\DN,M)$ aller Folgen in $M$. Der Limes des Systems $\ldots \ra (M^3)^\vee \ra (M^2)^\vee \ra M^\vee $ von Mengenfunktoren in $\op{Ens}^\vee=\op{Cat}(\op{Ens},\op{Ens})^{\op{opp}}$ dahingegen ordnet jeder Menge $Y$ den Kolimes des Systems $\op{Ens}(M,Y)\ra \op{Ens}(M^2,Y)\ra \op{Ens}(M^3,Y) \ra\ldots$ zu alias die Menge aller Abbildungen $\op{Ens}(\DN,M)\ra Y$, die "uber eines der $M^n$ faktorisieren. In $\op{Ens}^\vee$ ist also die nat"urliche Abbildung $$(\op{lim}M^n)^\vee \ra \op{lim}(( M^n)^\vee)$$ keine Bijektion, wenn $M$ mindestens zwei Elemente hat. Mit \ref{ViU} zeigt das auch, da"s die Yoneda-Einbettung $\op{Ens}\vra \op{Ens}^\vee$ nicht essentiell surjektiv ist. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglicheit in der Unvertr"aglichkeit}] Wenn der Kolimes $\col \hat Y_i$ in $\mathcal C^\wedge$ existiert und wenn er zus"atzlich im essentiellen Bild der Ko-Yoneda-Ein\-bettung $\mathcal C\vra \mathcal C^\wedge$ liegt,\label{ViU} dann existiert auch der Kolimes $\col Y_i$ in $\mathcal C$ und der nat"urliche Morphismus ist in $\mathcal C^\wedge$ doch ein Isomorphismus $$\col \hat Y_i\sira (\col Y_i)^\wedge$$ Das folgt aus den in \eref{LvFu}{TS} besprochenen Aussagen zur Vertr"aglichkeit von Kolimites mit volltreuen Funktoren. Analoges gilt f"ur Limites. Wenn also der Limes $\lim \check X_i$ in $\mathcal C^\vee$ existiert und wenn er zus"atzlich im essentiellen Bild der Yoneda-Ein\-bettung $\mathcal C\vra \mathcal C^\vee$ liegt,\label{ViU} dann existiert auch der Limes $\lim X_i$ in $\mathcal C$ und der nat"urliche Morphismus ist in $\mathcal C^\vee$ doch ein Isomorphismus $$ (\lim X_i)^\vee\sira \lim \check X_i$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notation f"ur Kolimites und Limites in Funktorkategorien}] Ich verwende f"ur in der Kategorie $\mathcal C^\wedge$ zu verstehende Kolimites einer K"ocherdarstellung $(Y_i)_{i\in \mathcal I}$ in $\mathcal C$ die Notation\label{colh} \index{col@$\colh$ Kolimes in Funktorkategorie} $$\colh Y_i\pdef \op{col} \hat Y_i$$ und im filtrierenden Fall die Notation $\colhu$\index{colf@$\colh$ filtrierender Kolimes in Funktorkategorie} und spreche im filtrierenden Fall von einem {\bf Indkolimes}.\index{Indkolimes} Dual verwende ich die Notation $\limc$ \index{lim@$\limc$ Limes in Funktorkategorie} und im kofiltrierenden Fall die Notation $\limcu$\index{limf@$\limcu$ kofiltrierender Limes in Funktorkategorie} f"ur in der Kategorie $\cal{C}^\vee$ zu verstehende Limites. Im kofiltrierenden Fall spreche ich auch von einem {\bf Prolimes}.\index{Prolimes} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Alternative Notationen}] In der Literatur findet man vielfach statt $\colh$ die Notation ``$\varinjlim$''\index{lim@``$\varinjlim$''} mit Anf"uhrungsstrichlein\index{lim@$\limh$ Kolimes in Funktorkategorie} f"ur in der Kategorie $\mathcal C^\wedge$ zu verstehende Kolimites und statt $\limc$ die Notation ``$\varprojlim$''\index{lim@``$\varprojlim$''} f"ur in der Kategorie $\mathcal C^\vee$ zu verstehende Limites. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Morphismen von Limites von Mengenfunktoren}] Sei $(Y_j)$ ein \hyperref[Diagramm]{Diagramm} von Objekten einer Kategorie $\mathcal C$. Ein Morphismus eines Objekts $F\in \mathcal C^\vee$ in den Limes $\limc Y_j\pdef \lim \check Y_j$ ist per definitionem eine vertr"agliche Familie von Morphismen aus $\mathcal C^\vee(F,\check Y_j)$ alias ein Element von $\op{lim}_j \mathcal C^\vee(F,\check Y_j)$. Das Yoneda-Lemma \eref{YL}{LA2} liefert weiter eine Bijektion zwischen dieser Menge und $\op{lim}_j F(Y_j)$.\label{MPOk} Ist speziell $F=\limc X_\alpha$ auch der Limes eines Systems $(X_\alpha)$, so erhalten wir $F(Y)=\col_\alpha \mathcal C(X_\alpha,Y)$ und insgesamt eine Bijektion $$\mathcal C^\vee(\limc X_\alpha,\limc Y_j)\sira \op{lim}_j \op{col}_\alpha \mathcal C( X_\alpha,Y_j)$$ Im "ubrigen d"urfen Sie in "Ubung \ref{tautl} zeigen, da"s jedes Objekt von $\mathcal C^\vee$ zu einem Objekt der Gestalt $\limc X_\alpha$ isomorph ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einem {\bf Pro-Objekt}\index{Pro-Objekt} einer Kategorie $\mathcal C$ versteht man ein \hyperref[KfK]{kofiltrierendes System} von Objekten von $\mathcal C$ im Sinne von \eref{FiDe}{TS}. Gegeben Pro-Objekte $(X_\alpha )$ und $(Y_j)$ erkl"art man einen {\bf Morphismus von Pro-Objekten} als ein Element der Menge $$\limf_j \colf _\alpha \mathcal C( X_\alpha ,Y_j)$$ Um die Komposition von Morphismen von Pro-Objekten zu erkl"aren, bemerken wir, da"s ein Morphismus repr"asentiert werden kann durch eine mit $j$ indizierte Familie von Morphismen $X_{\alpha (j)}\ra Y_j$, die in der Weise vertr"aglich sind, da"s es f"ur jeden Systemmorphismus $k\ra j$ einen Index $\alpha =\alpha (j,k)$ mit Morphismen $\alpha \ra \alpha (j)$ und $\alpha \ra \alpha (k)$ gibt derart, da"s $X_{\alpha }\ra X_{\alpha (j)}\ra Y_j$ und $X_{\alpha }\ra X_{\alpha (k)}\ra Y_k\ra Y_j$ "ubereinstimmen. Weiter repr"asentiert eine zweite vertr"agliche Familie von Morphismen $X_{\tilde\alpha (j)}\ra Y_j$ genau dann denselben Morphismus von Pro-Objekten, wenn wir f"ur jedes $j$ einen Index $\hat\alpha (j)$ und Morphismen $\hat\alpha (j)\ra \alpha (j)$ und $\hat\alpha (j)\ra \tilde\alpha (j)$ so finden k"onnen, da"s die Kompositionen $X_{\hat\alpha (j)}\ra X_{\alpha (j)}\ra Y_j$ und $X_{\hat\alpha (j)}\ra X_{\tilde\alpha (j)}\ra Y_j$ "ubereinstimmen. Mit dieser Beschreibung von Morphismen scheint mir nun offensichtlich, wie Morphismen von Pro-Objekten zu komponieren sind.\label{MPOkk} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bedeutung der Pro- und Ind-Objekte}] Die Pro-Objekte einer Kategorie $\mathcal C$ bilden salopp gesprochen einen noch vergleichsweise gut zug"anglichen Teil der Kategorie $\mathcal C^\vee$ aller Mengenfunktoren. In ganz $\mathcal C^\vee$ haben zwar die Objekte und Morphismenmengen im wesentlichen dieselbe Beschreibung, aber ich kenne in dieser Allgemeineit keine vergleichbar "ubersichtliche Beschreibung f"ur die Ver\-kn"up\-fung von Morphismen. Der wesentliche Punkt ist, da"s Limites von Mengen noch eine ganz vern"unftige explizite Beschreibung haben als Teilmenge eines Produkts, vergleiche \eref{LimM}{TS}. Bei allgemeinen Kolimites von Mengen bricht jedoch die H"olle los, man mu"s eine disjunkte Vereinigung durch die von einer expliziten Relation erzeugte "Aquivalenzrelation teilen und f"ur diese "Aquivalenzrelation gibt es im allgemeinen keine handhabbare Beschreibung mehr. Im Fall von filtrierenden Kolimites gibt es diese handhabbare Beschreibung jedoch durchaus, vergleiche \eref{fdl}{TS}, und das machen wir uns im Fall der Pro-Objekte zu Nutze. Analoges gilt dual f"ur Ind-Objekte, wie wir sie gleich einf"uhren werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern aus \ref{KatKat} unsere Notationen f"ur in ihrer Gr"o"se beschr"ankte Kategorien. W"ahlen wir ein Universum $\mathfrak U$ und ist $\mathcal C$ eine $\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie und sind die Pro-Objekte $(X_i),(Y_j)$ aus $\mathcal C$ indiziert durch kofiltrierende $\mathfrak U_\in$-Kategorien, deren Punktmengen also Elemente von $\mathfrak U$ sind, deren Pfeilmengen aber keinen Beschr"ankungen unterliegen, so ist auch die Menge der Morphismen unserer Pro-Objekte ein Element von $\mathfrak U$. Beschr"anken wir uns der Einfachkeit halber auf $\mathfrak U_\in$-$\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorien, so bilden die dadurch indizierten Pro-Objekte von $\mathcal C$ eine $\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie\index{pro@$\op{pro}_{\mathfrak U}(\mathcal C)$ Pro-Objekte}\label{proU} $$\op{pro}_{\mathfrak U}(\mathcal C)$$ Wir w"ahlen eine $\mathfrak U_\in$-$\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie $\mathcal T$ mit nur einem Objekt und einem Morphismus und erhalten einen volltreuen Funktor $$\mathcal C\vra \op{pro}_{\mathfrak U}(\mathcal C)$$ durch die Vorschrift, die jedem Objekt das triviale durch $\mathcal T$ indizierte kofiltrierende System zuordnet. Nach dem vorhergehenden liefert die Vorschrift $(X_i)\mapsto \limcu_i X_i$ einen volltreuen Funktor $$\op{pro}_{\mathfrak U}(\mathcal C)\vra \mathcal C_{\mathfrak U}^\vee$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ind-Objekte und ihre Morphismen}] Ein {\bf Ind-Objekt}\index{Ind-Objekt} einer Kategorie $\mathcal C$ ist ein filtrierendes System $(X_i)$ in $\mathcal C$. Die Morphismen in ein weiteres Indobjekt $(Y_\beta)$ erkl"aren wir als Elemente der Menge\index{ind@$\op{ind}(\mathcal C)$ Ind-Objekte} $$\limf_i \colf _\beta \mathcal C( X_i,Y_\beta)$$ Gegeben ein Universum $\mathfrak U$ und eine $\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie $\mathcal C$ bilden dann die durch filtrierende $\mathfrak U_\in$-$\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorien indizierten Indobjekte eine $\mathfrak U_\in$-Kategorie $\op{ind}_{\mathfrak U}(\mathcal C)$ und wir erhalten volltreue Funktoren $$\mathcal C\vra \op{ind}_{\mathfrak U}(\mathcal C)\vra \mathcal C^\wedge_{\mathfrak U}$$ durch das Bilden des konstanten Systems zu einer beliebig aber fest gew"ahlten terminalen Indexkategorie $\mathcal T$ und die Konstruktion $(X_i)\mapsto \colhu _i X_i$.\label{indu} Jedes Element von $\colf_\beta \mathcal C( X_i,Y_\beta)$ wird repr"asentiert durch einen Morphismus $\varphi_i:X_i\ra Y_{\beta}$ f"ur ein $\beta$, das vom jeweiligen Element des Kolimes abh"angen wird. Dessen Bild im Kolimes notieren wir $\bar\varphi_i$. Ein Morphismus von Indobjekten ist dann eine vertr"agliche Familie derartiger $\bar\varphi_i$. Noch ausf"uhrlicher geschrieben wird jeder Morphismus von ind-Objekten repr"asentiert durch eine Familie von Morphismen $ X_i\ra Y_{\beta(i)}$ mit der Eigenschaft, da"s es f"ur jeden Morphismus $i\ra j$ ein $\beta$ und Morphismen $\beta(i)\ra \beta$ und $\beta(j)\ra \beta$ gibt mit $(X_i\ra Y_{\beta(i)}\ra Y_\beta)= (X_i\ra X_j\ra Y_{\beta(j)}\ra Y_\beta)$. Eine weitere Familie $ X_i\ra Y_{\tilde\beta(i)}$ schlie"slich repr"asentiert denselben Morphismus genau dann, wenn es f"ur alle $i$ jeweils ein $\hat\beta(i)$ und $\beta(i)\ra\hat\beta(i)$ und $ \tilde\beta(i)\ra\hat\beta(i)$ gibt mit $(X_i\ra Y_{\beta(i)}\ra Y_{\hat\beta(i)})=(X_i\ra Y_{\tilde\beta(i)}\ra Y_{\hat\beta(i)})$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein filtrierendes System $(C_i)$ in einer Kategorie $\mathcal C$ hei"st {\bf essentiell konstant}, wenn $\colhu C_i$ isomorph ist zu einem Objekt im Bild der volltreuen Einbettung $\mathcal C\vra \mathcal C^\wedge$ alias zu einem\index{essentiell konstant}\label{essK} Funktor der Gestalt $\hat D$ f"ur ein Objekt $D\in\mathcal C$. Dual hei"st ein kofiltrierendes System $(C_i)$ {\bf essentiell konstant}, wenn $\limcu C_i$ isomorph ist zu einem Objekt im Bild der volltreuen Einbettung $\mathcal C\vra \mathcal C^\vee$. \end{Definition} \newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Charakterisierung essentiell konstanter Systeme}] Im Fall eines essentiell konstanten filtrierenden Systems $(C_i)$ in einer Kategorie $\mathcal C$ ist nach der Vertr"aglichkeit in der Unvertr"aglichkeit \ref{ViU} der nat"urliche Morphismus ein Isomorphismus $$\colhu C_i\sira \colf C_i$$ Es gilt aber noch mehr. Schreiben wir die Bedingung\label{essk} \glqq essentiell konstant\grqq\ %im ersten Fall alias f"ur $\colhu$ aus, so entspricht zun"achst einmal ein Morphismus $\psi\in \mathcal C^\wedge(\colhu C_i,\hat D)$ einem vertr"aglichen System von Morphismen $\psi_i\in \mathcal C( C_i, D)$ und jeder Morphismus $\varphi\in \mathcal C^\wedge(\hat D, \colhu C_i)$ ist $\varphi=\bar \varphi_j$ f"ur ein $\varphi_j\in \mathcal C(D, C_j)$ und einen Index $j$. Die Bedingung $\psi\circ \varphi=\op{id}$ bedeutet dann schlicht $\psi_j\circ \varphi_j=\op{id}_D$ f"ur diesen einen Index $j$ und \eref{KrKo}{TS} zeigt nocheinmal, da"s f"ur das vertr"agliche System von Morphismen $\psi_i\in \mathcal C( C_i, D)$ unser $D$ der Kolimes des Systems der $C_i$ gewesen sein mu"s. Fordern wir au"ser $ \psi\circ\varphi=\op{id}$ zus"atzlich $\varphi\circ \psi=\op{id}$, so bedeutet das zus"atzlich die Forderung, da"s die vertr"agliche Familie von Morphismen $$C_i\stackrel{\psi_i}{\ra} D\stackrel{\varphi_j}{\ra}C_j$$ "aquivalent ist zur Identit"at auf $\colhu C_i$ alias der Familie $\op{id}:C_i\ra C_i$ f"ur alle $i$. Das hinwiederm bedeutet nach \ref{indu}, da"s es f"ur jedes $i$ ein $k\pdef \hat\beta(i)$ und Systemmorphismen $j\ra k$ und $i\ra k$ gibt mit $$(C_i\stackrel{\psi_i}{\ra} D\stackrel{\varphi_j}{\ra}C_j\ra C_{k}) =(C_i\ra C_{k})$$ %es f"ur jedes $a$ %Systemmorphismen $s_{kj}:j\ra k$ % und $s_{ka}:a\ra k$ gibt derart, da"s die Verkn"upfung %$$C_a\stackrel{\psi_a}{\ra} D\stackrel{\varphi_j}{\ra}C_j %\stackrel{s_{kj}}{\ra}C_k$$ %zusammenf"allt mit dem von $s_{ka}$ induzierten Morphismus %$C_a\ra C_k$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Irrelevante Systeme}] Sei $\mathcal C$ eine Kategorie, $(C_i)$ ein filtrierendes System in $\mathcal C$ und $0$ ein Index, der zu jedem anderen Index genau einen Systemmorphismus besitzt. So ist der offensichtliche Morphismus $\hat C_0\ra \colhu C_i$ genau dann ein Isomorphismus, wenn\label{esski} es ein vertr"agliches System von Morphismen $\psi_i:C_i\ra C_0$ gibt derart, da"s gilt $\psi_0=\op{id}$ und da"s es f"ur jedes $i$ einen Systemmorphismus $i\ra k$ gibt mit $$(C_i\stackrel{\psi_i}{\ra} C_0\ra C_{k}) =(C_i\ra C_{k})$$ Ein Beispiel w"are etwa in $\mathcal C\pdef \op{Ens}$ das System induziert "uber $i\in \DN$ mit $C_0\pdef \{0\}$ und $C_i\pdef \{0,1\}$ und allen Morphismen $C_i\ra C_j$ f"ur $i\leq j$ der konstanten Abbildung $0$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Das filtrierende System von $\DR$-Vektorr"aumen, indiziert durch $\DZ$ und mit irgendwelchen Vektorr"aumen an jeder Stelle und Nullmorphismen f"ur alle Morphismen ist essentiell konstant und isomorph zum durch das Nullobjekt dargestellten Funktor.\label{DaFUU} \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben ein Vektorraum $W$ ist der Funktor, der jedem weiteren Vektorraum $Z$ die Menge aller linearen Abbildungen endlichen Ranges von $Z$ nach $W$ zuordnet, ein Ind-Vektorraum, er kann n"amlich als der Kolimes der endlichdimensionalen Teilr"aume von $W$ in der Kategorie der kontravarianten Mengenfunktoren beschrieben werden. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben ein Vektorraum $V$ ist der Funktor, der jedem weiteren Vektorraum $Z$ die Menge aller linearen Abbildungen endlichen Ranges von $V$ nach $Z$ zuordnet, ein Pro-Vektorraum, er kann n"amlich als der Limes der endlichdimensionalen Quotienten von $V$ in der Opponierten zur Kategorie der Mengenfunktoren beschrieben werden. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Hinreichendes Kriterium f"ur essentiell konstante Systeme}] Sei $X:\mathcal I\ra \mathcal C$ ein filtrierendes System in einer Kategorie $\mathcal C$. Es gebe einen\label{HKEK} Index $i\in \mathcal I$ derart, da"s jeder von $i$ ausgehende Systemmorphismus $s:i\ra a$ in der Weise durch einen weiteren Systemmorphismus $t:a\ra j$ verl"angert werden kann, da"s die Verkn"upfung einen Isomorphismus $X(ts):X_i\sira X_j$ induziert. So ist der offensichtliche Morphismus ist ein Isomorphismus $$X_i\sira \op{colf}_j X_j$$ und ebenso ist durch Anwenden auf das System der $\hat X_i$ der offensichtliche Morphismus ein Isomorphismus $\hat X_i\sira \colhu_j X_j\pdef \op{colf}_j \hat X_j$. Da"s es auch andere essentiell konstante Systeme gibt, zeigt Beispiel \ref{esski}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Mengenfunktoren als Kolimites}] Seien $\mathcal C$ eine Kategorie und\label{tautl} $\mathcal C^\wedge\pdef\op{Cat}(\mathcal C^{\op{opp}},\op{Ens})$ und $C\mapsto \hat C$ die volltreue Ko-Yoneda-Einbettung $\mathcal C\vra \mathcal C^\wedge$. Gegeben $X\in \mathcal C^\wedge$ betrachten wir die volle Unterkategorie $\mathcal C_X\subset \mathcal C^\wedge_X$ aller Morphismen $\hat C\ra X$ mit $C\in \mathcal C$ und den Funktor $V:\mathcal C_X\ra \mathcal C^\wedge$, der den Morphismus nach $X$ vergi"st. So ist der nat"urliche Morphismus ein Isomorphismus $\colh_{\mathcal C_X}V\sira X$ oder anders notiert $$\colh_{\hat C\ra X} \hat C\;\sira\; X$$ Genauer liefert jeder Morphismus $\varphi:\colh_{\hat C\ra X} \hat C\ra Y$ mit $Y\in \mathcal C^\wedge$ f"ur beliebige $A,C\in \mathcal C$ und $\psi:\hat C\ra X$ eine Abbildung $\varphi(\psi,A):\hat C(A)\ra Y(A)$. Jedes $u\in X(A)$ entspricht nun einem $\hat u:\hat A\ra X$ und liefert so $\varphi(\hat u,A):\hat A(A)\ra Y(A)$. Die Abbildung $X(A)\ra Y(A)$ wird nun gegeben durch $u\mapsto \varphi(\hat u,A)(\op{id}_A)$. Den Rest mag der Leser selber machen. %Noch etwas im Chaos! ? \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Proendliche Mengen als topologische R"aume}] Man betrachte die Kategorie $\op{Ensf}$\index{Ensf@$\op{Ensf}$ Kategorie der endlichen Mengen} der endlichen Mengen und zeige, da"s unter der Interpretation endlicher Mengen als diskrete topologische R"aume das Bilden des Limes in der Kategorie der topologischen R"aume einen volltreuen Funktor $$\op{pro-}\op{Ensf}\vra \op{Top}$$ von der Kategorie der Pro-Objekte zu endlichen Mengen in die Kategorie der topologischen R"aume liefert. Allgemeiner zeige man, da"s wir in derselben Weise einen volltreuen Funktor $$\op{pro-}\op{Ens}\vra \op{Unif}$$ von der Kategorie der Pro-Objekte von Mengen in die Kategorie der uniformen R"aume mit gleichm"a"sig stetigen Abbildungen als Morphismen erhalten. \nichtfinal{Echt wahr?} \end{Ubung} \begin{Ubung} Man betrachte die Kategorie $\op{Grpf}$ der endlichen Gruppen und zeige, da"s nach dem Auffassen endlicher Gruppen als diskrete topologische Gruppen das Bilden des Limes in der Kategorie der topologischen Gruppen einen volltreuen Funktor $$\op{pro-}\op{Grpf}\vra \op{GrpTop}$$ von der Kategorie der Pro-Objekte in endlichen Gruppen in die Kategorie der topologischen Gruppen liefert. Die topologischen Gruppen im essentiellen Bild dieses Funktors hei"sen {\bf proendliche Gruppen}.\index{proendliche Gruppe} \index{Gruppe!proendliche} Sie k"onnen dadurch charakterisiert werden, da"s sie kompakt und Hausdorff sind und da"s das neutrale Element eine Umgebungsbasis aus offenen Normalteilern besitzt. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Erweiterung einer Kategorie um alle endlichen Produkte}] Seien $\mathfrak U$ ein Mengensystem und $\mathcal C$ eine $\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie. So erh"alt die Ko-Yo\-ne\-da-Ein\-bet\-tung $\mathcal C\vra \mathcal C^\wedge_{\mathfrak U}$ Produkte, wann immer diese existieren, und auch f"ur jedes gr"o"sere Mengensystem $\mathfrak V\supset \mathfrak U$ erh"alt die offensichtliche Einbettung $C^\wedge_{\mathfrak U}\vra C^\wedge_{\mathfrak V}$ Produkte, wann immer diese existieren. Hat $\mathfrak U$ endliche Produkte, so auch $\mathcal C^\wedge_{\mathfrak U}$.\label{KYPP} \end{Ubung} \subsection{Faktorierte %Derivierte Funktoren auf Ore-Lokalisierungen}\label{DFO} %ICH HABE MULTIPLIKATIVES SYSTEM UMDEFINIERT, %BRAUCHT NICHT ALLE ISOS: MUSS ICH JETZT HIER %GESAETTIGT SAGEN? \begin{Bemerkungl} Die Elemente einer ausgezeichneten Menge $S$ von Morphismen einer Kategorie nennen wir im folgenden {\bf $S$-Morphismen}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ore-Lokalisierung durch Ind-Objekte}] Seien $\cal{C}$ eine Kategorie und $S$ ein Rechtsoresystem von $\cal{C}$. In \ref{MoLL} haben wir eine Bijektion $$ \colf _{Y\stackrel{S}{\ra}B} \cal{C}(X,B) \sira \cal{C}_{S}(X,Y)$$ zwischen dem Morphismenraum $\cal{C}_S(X,Y)$ in der Lokalisierung und dem filtrierenden Kolimes %\emph{(Ist doch gar nicht filtrierend? Doch, ist ok!)} "uber das System aller $S$-Morphismen $Y\ra B$ aus $Y$ der Morphismenmengen $\cal{C}(X,B)$ konstruiert. In der Terminologie von \ref{MPOk} ist diese Menge weiter in nat"urlicher Bijektion zu\label{OLPO} $ \cal{C}^\wedge(X,Y^+)$ f"ur $$Y^+\pdef \colhu_{Y\stackrel{S}{\ra}B} B$$ mit dem filtrierenden Kolimes in der Funktorkategorie "uber das System $S^Y$ aller $S$-Morphismen $Y\ra B$. Damit aber induziert jeder $S$-Morphismus $t:X\ra A$, da wir die analoge Aussage in $\mathcal C_S$ ja bereits kennen, eine Bijektion $ \cal{C}^\wedge(A,Y^+)\sira \cal{C}^\wedge(X,Y^+)$. Gegeben ein Universum $\mathfrak U$ und eine $\mathfrak U_\in$-$\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie $\mathcal C$ mit Rechtsoresystem $S$ liefert die Vorschrift $Y\mapsto Y^+$ mithin, wieder nach \ref{MPOk}, einen volltreuen Funktor $$\mathcal C_S\vra\op{ind}_{\mathfrak U} (\cal{C})$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ore-Lokalisierung durch Pro-Objekte}] Gegeben ein Universum $\mathfrak U$ und eine $\mathfrak U_\in$-$\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie $\mathcal C$ mit Linksoresystem $S$ konstruiert man analog einen volltreuen Funktor\label{OLPOi} $\mathcal C_S\vra\op{pro}_{\mathfrak U}(\cal{C}), X\mapsto X^-$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $\mathfrak U$ ein Universum und $\mathcal C$ eine $\mathfrak U_\in$-$\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie. Gegeben ein Funktor $F : \mathcal{C} \ra \mathcal{D}$ und ein Rechtsoresystem $S$ von $\mathcal{C}$\label{urdv} erkl"aren wir den zugeh"origen {\bf Indrechtsfaktorierten}\index{Indrechtsfaktorierter} ${\op{R}}F$ als die\index{R@${\op{R}}F$ Indfaktorierter} Komposition $$\mathcal{C}_S\vra \op{ind}_{\mathfrak U}(\mathcal{C})\ra \op{ind}_{\mathfrak U}(\mathcal{D})$$ der volltreuen Einbettung aus \ref{OLPO} mit dem von $F$ auf Indobjekten induzierten Funktor. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Indrechtsfaktorierter auf Objekten}] Seien $\mathfrak U$ ein Universum und $\mathcal C$ eine $\mathfrak U_\in$-$\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie. Seien $F : \mathcal{C} \ra \mathcal{D}$ ein Funktor und $S$ ein Rechtsoresystem von $\mathcal{C}$. Auf Objekten wird unser Indrechtsfaktorierter gegeben durch die Vorschrift $$({\op{R}}F)(QY)\pdef \colhu_{Y\stackrel{S}{\ra}B} FB$$ Der \hyperref[colh]{Indkolimes} wird gebildet "uber die filtrierende Kategorie $S^Y$ aller $S$-Mor\-phis\-men $Y\ra B$ in $\mathcal C$. F"ur $Q:\mathcal C\ra \mathcal C_S$ die Lokalisierung und $V:\mathcal D\vra \op{ind}_{\mathfrak U}(\mathcal D)$ der volltreue Funktor der konstanten Systeme erh"alt man aus der Konstruktion eine Transformation\label{taU} $$\rho:V\circ F \RA {\op{R}}F\circ Q$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $F : \mathcal{C} \ra \mathcal{D}$ ein Funktor und $S$ ein Rechtsoresystem von Morphismen von $\mathcal{C}$. Ein Objekt $I\in \mathcal{C}$ hei"st {\bf $F$-$S$-rechtsentfaltet}\index{rechtsentfaltet}\label{entfaltet} oder {\bf rechtsentfaltet f"ur $F$ zu $S$}, wenn sich jeder $S$-Morphismus $ I\ra B$ so durch einen weiteren Mor\-phis\-mus $ B\ra J$ verl"angern l"a"st, da"s die Komposition ein $S$-Morphismus ist und unter $F$ einen\label{gfuU} Isomorphismus $FI\sira FJ$ induziert. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{R"uckw"artskompatibilit"at der Terminologie}] Sei $S$ ein Rechtsoresystem von Morphismen einer Kategorie $\mathcal{C}$. Nach \ref{urenx} ist ein Objekt $S$-rechtsentfaltet im Sinne von \ref{loki} genau dann, wenn es $\op{Id}$-$S$-rechtsentfaltet ist\label{Refz} f"ur den Identit"atsfunktor auf $\mathcal C$, und dann ist es auch $F$-$S$-rechts\-ent\-fal\-tet f"ur jeden Funktor $F : \mathcal{C} \ra \mathcal{D}$ in eine weitere Kategorie $\mathcal D$. Unsere $S$-rechtsentfalteten Objekte sind weiter genau die $Q$-rechtsentfalteten Objekte im Sinne von \ref{linkenA} f"ur den Quotientenfunktor $Q: \mathcal{C} \ra \mathcal{C}_S$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Inkompatibilit"aten der Terminologie}] Unsere $F$-$S$-rechts\-ent\-fal\-te\-ten Objekte hier stehen zu den $F$-rechtsentfalteten Objekten aus \ref{linkenA} in keiner direkten Beziehung, sie verallgemeinern vielmehr die $Q$-rechtsentfalteten Objekte und auch das nur im Fall der Lokalisierung $Q$ nach einem Rechtsoresystem. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Charakterisierung $F$-$S$-rechtsentfalteter Objekte}] Seien $F : \mathcal{C} \ra \mathcal{D}$ ein Funktor und $S$ ein Rechtsoresystem von Morphismen von $\mathcal{C}$. Ein Objekt $I\in \mathcal C$ ist $F$-$S$-rechtsentfaltet genau dann, wenn in der filtrierenden Kategorie $S^I$ der von $I$ ausgehenden $S$-Morphismen diejenigen $S$-Mor\-phis\-men $I\ra J$, die unter $F$ zu Isomorphismen werden, eine konfinale Unterkategorie bilden. Das ist nur eine Umformulierung der Definition. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein Objekt $I\in \mathcal{C}$ hei"st\label{gfuU} {\bf $F$-$S$-d\'eploy\'e \`a droite},\index{d\'eploy\'e}\label{entfaltet} wenn unsere Transformation aus \ref{taU} einen Isomorphismus $\rho_I:V(FI) \sira {\op{R}}F(QI)$ induziert. Diese Bedingung ist m"uhsamer in der Handhabung und f"ur unsere Zwecke reichen die $F$-$S$-rechtsentfalteten Objekte aus. Nach \ref{HKEK} ist jedes $F$-$S$-rechtsentfaltete Objekt auch $F$-$S$-d\'eploy\'e \`a droite. Ich bin selbst in der Praxis noch nie einem Objekt begegnet, das diese Eigenschaft gehabt h"atte ohne bereits rechtsentfaltet zu sein. \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Literatur}] % Seien $F : \mathcal{C} \ra \mathcal{D}$ ein % Funktor und $S$ ein %ges"attigtes % Rechtsoresystem von Morphismen %von $\mathcal{C}$. Deligne nennt noch allgemeiner ein Objekt % $I\in\mathcal{C}$ \index{d\'eploy\'e} % d\'eploy\'e \`a droite pour $F$ et $S$, wann immer % $\rho_I$ einen Isomorphismus % $\rho_I:VFI\sira {\op{R}}F(QI)$ liefert. % Ich will es vermeiden, in dieser Allgemeinheit zu arbeiten. Ich kenne auch keine Situation, in der sie einen zus"atzlichen Nutzen br"achte. % NEE, QUATSCH, DAS IST GENAU DASSELBE! %\end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $F : \mathcal{C} \ra \mathcal{D}$ ein Funktor und $S$ ein Rechtsoresystem von Morphismen von $\mathcal{C}$. Ein Objekt $Y\in \mathcal{C}$ hei"se {\bf $F$-$S$-rechtsentfaltbar},\index{rechtsentfaltbar} wenn es\label{efb} ein \hyperref[entfaltet]{$F$-$S$-rechtsentfaltetes} Objekt $I\in \mathcal{C}$ gibt mitsamt einem Morphismus $Y\ra I$, der in $\mathcal C_S$ ein Isomorphismus wird. So einen Morphismus nennen wir dann eine {\bf $F$-$S$-Rechtsentfaltung von} $Y$. Die vollen Unterkategorien der $F$-$S$-rechts\-ent\-fal\-te\-ten beziehungsweise $F$-$S$-rechts\-ent\-falt\-ba\-ren Objekte notieren wir $\mathcal C_{[F]}\subset \mathcal C_{F}\subset \mathcal C$ und die vollen Unterkategorien ihrer Bilder in der Lokalisierung entsprechend $\mathcal C_{S,[F]}\subset \mathcal C_{S,F}\subset \mathcal C_S$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Frage, inwieweit $\mathcal{C}_{[F]}\ra \mathcal{C}_{S,[F]}$ und $\mathcal{C}_F\ra \mathcal{C}_{S,F}$ im allgemeinen selbst wieder Lokalisierungsfunktoren sind, lassen wir unber"uhrt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $\mathcal C$ eine Kategorie mit Rechtsoresystem $S$. Wir hatten in \ref{Refz} gesehen, da"s die $\op{Id}$-$S$-rechtsentfalteten Objekte genau unsere $S$-rechtsentfalteten Objekte sind. Analog vereinbaren wir hier, da"s wir die $\op{Id}$-$S$-rechtsentfaltbaren Objekte kurz {\bf $S$-rechtsentfaltbar}\index{rechtsentfaltbar!$S$-rechtsentfaltbar} nennen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Rechtsfaktorierter}] Seien $F : \mathcal{C} \ra \mathcal{D}$ ein Funktor und $S$ ein Rechtsoresystem von Morphismen von $\mathcal{C}$. So gibt es bis auf eindeutigen Isomorphismus genau ein Paar $(R,\tau)$ bestehend aus einem Funktor $$R:\mathcal C_{S,F}\ra\mathcal{D}$$ und einer Transformation $\tau=\tau_F: F\RA RQ$ von Funktoren $\mathcal C_{F}\ra\mathcal{D}$ derart, da"s f"ur jedes $F$-$S$-rechtsentfaltete Objekt $I\in\mathcal C_{[F]}$ unsere Transformation einen Isomorphismus\label{zRD} $\tau_I=\tau_{F,I}: FI\sira R QI$ liefert. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Seien $F : \mathcal{C} \ra \mathcal{D}$ ein Funktor und $S$ ein Rechtsoresystem von Morphismen von $\mathcal{C}$. Das Paar $(R,\tau)$ aus unserem Satz hei"se der {\bf Rechtsfaktorierte von $F$} in Bezug auf $S$.\index{Rechtsfaktorierter} Wir notieren ihn ${\op{R}}F$ wie den Indrechtsfaktorierten, weil er im wesentlichen nur eine Einschr"ankung davon ist.\index{RF@${\op{R}}F$}\label{zRd} %Es wird sich beim Beweis des Satzes erweisen, da"s der zahme Rechtsfaktorierte % eine Einschr"ankung des %vollen Rechtsfaktorierten ist. Im weiteren %verstehen wir unter dem {\bf Rechtsfaktorierten von $F$} meist unseren %zahmen Rechtsfaktorierten und verwenden auch daf"ur die % Notation \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $F : \mathcal{C} \ra \mathcal{D}$ ein Funktor und $S$ ein Rechtsoresystem von Morphismen von $\mathcal{C}$. Ist $Y\ra I$ eine $F$-$S$-Rechtsentfaltung, so erhalten wir mit $\tau$ in den Horizontalen ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccc}FY&\ra& {\op{R}}F(QY)\\ \da&&\da\wr\\ FI&\sira &{\op{R}}F(QI) \end{array}$$ einen und daraus einen Isomorphismus ${\op{R}}F(QY)\sira FI$. Das zeigt, wie wir unsere rechtsfaktorierten Funktoren berechnen k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einschr"ankung von Rechtsfaktorierten}] Seien $F : \mathcal{C} \ra \mathcal{D}$ ein Funktor und $S$ ein Rechtsoresystem von Morphismen von $\mathcal{C}$. Ist in der Situation von Satz \ref{zRD} "uber den Rechtsfaktorierten eine volle Unterkategorie $\mathcal U\subset \mathcal C_{F}$ gegeben, in der jedes Objekt eine $F$-$S$-Rechtsentfaltung besitzt, so gibt es auch bis auf eindeutigen Isomorphismus genau ein Paar $(R,\tau)$ mit $R:Q(\mathcal U)\ra \mathcal D$ und $\tau:F\RA RQ$ derart, da"s $\tau_I$ f"ur alle\label{ErSj} $F$-$S$-rechts\-ent\-fal\-te\-ten Objekte $I$ von $\mathcal U$ ein Isomorphismus ist. Das folgt aus unserem Beweis des Satzes gleich mit. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Per definitionem macht der indrechtsfaktorierte Funktor $F$-$S$-rechts\-ent\-falt\-ba\-re Objekte zu essentiell konstanten Indobjekten. Bezeichnen wir nur f"ur diesen Beweis mit $\op{ind}_{\op{ek}}(\mathcal D)$ die Kategorie der essentiell konstanten Indobjekte, so schr"ankt der Indrechtsfaktorierte ${\op{R}}F$ aus \ref{urdv} demnach ein zum Funktor in der unteren Horizontale des Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{\mathcal C \ar[r]^-{Q}& \mathcal C_S \ar[r]^-{{\op{R}}F} & \op{ind}(\mathcal D)&\\ \mathcal C_F \ar[u]\ar[r]&\mathcal C_{S,F} \ar[u]\ar[r]^-{{\op{R}}F} & \op{ind}_{\op{ek}}(\mathcal D)\ar[u]& \mathcal D\ar[l]_-\approx^-V } \end{displaymath} und die Transformation $\rho:V\circ F \RA {\op{R}}F\circ Q$ von Funktoren $\mathcal C\ra\op{ind}(\mathcal D)$ aus \ref{taU} schr"ankt ein zu einer Transformation von Funktoren $\mathcal C_F\ra\op{ind}_{\op{ek}}(\mathcal D)$, die f"ur jedes $F$-$S$-rechtsentfaltete Objekt $I\in\mathcal C_{[F]}$ einen Isomorphismus $\rho_I: VFI\sira ({\op{R}}F)QI$ liefert. Wir erhalten also einen Rechtsfaktorierten $(R,\tau)$, indem wir f"ur die "Aquivalenz von Kategorien $V$ unten rechts ein Quasiinverses w"ahlen und es dem auf $\mathcal C_{S,F}$ eingeschr"ankten Indrechtsfaktorierten ${\op{R}}F$ sowie der eingeschr"ankten Transformation $\rho$ nachschalten. Um die Eindeutigkeit zu zeigen, nehmen wir nun an, $(R',\tau')$ sei ein weiteres m"ogliches Paar. Indem wir die "Aquivalenz $V:\mathcal D\sirra \op{ind}_{\op{ek}}(\mathcal D)$ nachschalten, m"ussen wir nur zeigen, da"s es genau eine Transformation $\kappa: VR'\RA {\op{R}}F$ gibt mit $\rho =\kappa Q\circ V\tau': VF\RA {\op{R}}F Q$ und da"s diese Transformation $\kappa$ eine Isotransformation ist. Das alles folgt aber unmittelbar aus unseren Annahmen und der Tatsache, da"s die Einbettung eine "Aquivalenz $ \mathcal C_{S,[F]}\sirra \mathcal C_{S,F}$ ist. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Blick hinter die Kulissen}] Seien $F : \mathcal{C} \ra \mathcal{D}$ ein Funktor und $S$ ein Rechtsoresystem von Morphismen von $\mathcal{C}$. Aus unserem Satz \ref{zRD} zum Rechtsfaktorierten folgt, da"s jeder $S$-Morphismus $s:I\ra J$ zwischen\label{BhK} $F$-$S$-rechts\-ent\-fal\-te\-ten Objekten unter $F$ ein Isomorphismus wird. Ich will nun zeigen, wie unsere Argumente in diesem speziellen Fall funktionieren, indem ich mit den entsprechenden Vereinfachungen nocheinmal eine unabh"angige Argumentation ausschreibe. Weil wir $I$ als $F$-$S$-rechtsentfaltet annehmen, gibt es $w:J\ra I_1$ mit $ws\in S$ und $F(ws)$ iso. Es folgt $F(w)F(s)$ iso. Wegen $S$ \hyperref[RmS]{rechts\-ore} und $ws\in S$ und ohne da"s wir $s\in S$ verwenden gibt es weiter $t:J\ra J_1$ und $v:I_1\ra J_1$ mit $t\in S$ und $v(ws)=ts$. Wegen rechtsore gibt es dann auch $u\in S$ mit $u(vw)=ut$. Aufgrund unserer Annahme, da"s $J$ ein $F$-$S$-rechtsentfaltetes Objekt ist, gibt es einen Morphismus $x$ mit $xut\in S$ und $F(xut)$ iso, also $F(xuvw)=F(xuv)F(w)$ iso. Da nun $F(w)$ sowohl durch Nachschalten wie durch Vorschalten geeigneter Morphismen zu einem Isomorphismus gemacht werden kann, ist $F(w)$ selber iso. Aus $F(w)F(s)$ iso und $F(w)$ iso folgt dann schlie"slich $F(s)$ iso wie gew"unscht. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{"Uberfl"ussiges Faktorieren}] Seien $F : \mathcal{C} \ra \mathcal{D}$ ein Funktor und $S$ ein Rechtsoresystem von $\mathcal{C}$.\label{urd} Sind in $\mathcal{C}$ alle Objekte $F$-$S$-rechtsentfaltet, so werden nach unserem Satz \ref{zRD} zum Rechtsfaktorieren oder auch nach \ref{BhK} alle Morphismen aus $S$ unter $F$ zu Isomorphismen und unser Funktor $F$ faktorisiert in eindeutiger Weise "uber $\mathcal{C}_S$ als $F=\tilde F\circ Q$. F"ur den rechtsfaktorierten Funktor $({\op{R}}F,\tau)$ ist dann $\tau$ eine Isotransformation $\tau: \tilde F\circ Q=F\siRa {\op{R}}F\circ Q$ und induziert nach der Volldichtigkeit von Lokalisierungsfunktoren \ref{VoTrz} eine Isotransformation $ \tilde F\siRa {\op{R}}F$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Literatur}] Seien $F : \mathcal{C} \ra \mathcal{D}$ ein Funktor und $S$ ein Rechtsoresystem von Morphismen von $\mathcal{C}$. Pierre Deligne nennt ein Objekt\label{Dede} $Y\in \mathcal{C}$ {\bf d\'erivable},\index{d\'erivable} wann immer das Indobjekt $({\op{R}}F)(Y)$ zum essentiellen Bild der volltreuen Einbettung $V:\mathcal D\vra \op{ind}(\mathcal D)$ geh"ort. Es w"are durchaus m"oglich, da"s ein Objekt d\'erivable w"are, ohne einen $S$-Morphismus zu einem Objekt zu besitzen, das in der entsprechenden Weise d\'eploy\'e \`a droite ist. Ich will vermeiden, in dieser Allgemeinheit zu arbeiten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Rechtsfaktorierte von Morphismenfunktoren}] Sei $ (\mathcal{C},S)$ eine Kategorie mit einem ausgezeichneten Rechts\-ore\-sys\-tem. Gegeben ein Objekt $X\in\mathcal C$ ordnet der Indrechtsfaktorierte\label{derHH} des Yonedafunktors $\check X\pdef\mathcal C(X,\;):\mathcal C\ra\op{Ens}$ einem Objekt $QY$ die Indmenge %\nichtfinal{(m"u"ste doch $\limc$? Nee!)} $$({\op{R}}\check X)(QY)=\colhu_{Y\stackrel{S}{\ra}B}\mathcal C(X,B)$$ zu. Ist der Yonedafunktor $\check X\pdef\mathcal C(X,\;):\mathcal C\ra\op{Ens}$ auf $Y\in \mathcal C$ rechtsentfaltbar f"ur $S$, ist also $Y$ ein $\check X$-$S$-rechtsentfaltbares Objekt, so ist diese Indmenge essentiell konstant und wir erhalten zusammen mit \ref{essk} und \ref{OLPO} Bijektionen $$({\op{R}}\check X)(QY)=\colhu_{Y\stackrel{S}{\ra}B}\mathcal C(X,B)\sira \colf_{Y\stackrel{S}{\ra}B}\mathcal C(X,B)\sira \mathcal C_S(QX,QY)$$ Der Rechtsfaktorierte\label{DYF} des Yonedafunktors ist mithin, wo immer er definiert ist, der Yonedafunktor der lokalisierten Kategorie. Ist $S$ ein Linksoresystem, so erhalten wir opponiert f"ur den Rechtsfaktorierten des Yonedafunktors $\hat Y\pdef\mathcal C(\;,Y):\mathcal C^{\op{opp}}\ra\op{Ens}$, sofern er auf einem Objekt $X\in\mathcal C^{\op{opp}}$ definiert ist, eine Bijektion $({\op{R}}\hat Y)(X)\sira \mathcal C_S(QX,QY)$. Ist $S$ sogar ein Oresystem, so ordnet der Indrechtsfaktorierte\label{derHH} des Morphismenfunktors $$\op{Mor}_{\mathcal C}\pdef \mathcal C(\;,\;):\mathcal C^{\op{opp}}\times \mathcal C\ra\op{Ens}$$ einem Paar $(QX,QY)$ die Indmenge $\colhu_{A\stackrel{S}{\ra}X,\;Y\stackrel{S}{\ra}B}\mathcal C(A,B)$ zu. Existiert hier der Rechtsfaktorierte bei $(QX,QY)$ oder ist diese Indmenge auch nur essentiell konstant alias ist $(X,Y)$ d\'erivable im Sinne von \ref{Dede}, so erhalten wir zusammen mit \ref{essk} und \ref{OLPO} Bijektionen $$({\op{R}}\op{Mor}_{\mathcal C})(QX,QY)= \colhu_{A\stackrel{S}{\ra}X,\;Y\stackrel{S}{\ra}B}\!\!\!\mathcal C(A,B)\sira \colf_{A\stackrel{S}{\ra}X,\;Y\stackrel{S}{\ra}B}\!\!\!\mathcal C(A,B)\sira \mathcal C_S(QX,QY)$$ Im Fall eines Oresystem beschreibt der Rechtsfaktorierte des Morphismenfunktors mithin, wo immer er definiert ist, die Morphismen in der lokalisierten Kategorie. Wie in \ref{tDF} ausgef"uhrt wird, verhalten sich die sogenannten \glqq initialen Rechtsapproximationen\grqq\ in diesem Kontext noch besser als die hier betrachteten faktorierten Funktoren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Faktorieren einer Verkn"upfung}] Seien $F : \mathcal{C} \ra \mathcal{D}$ ein Funktor und $S$ ein Rechtsoresystem von $\mathcal{C}$. Gegeben ein weiterer Funktor $G:\mathcal{D}\ra\mathcal E$ ist offensichtlich jedes $F$-$S$-rechtsentfaltete Objekt auch $GF$-$S$-rechtsentfaltet. Es gibt mithin nach \ref{ErSj} genau eine Transformation von Funktoren $\alpha: {\op{R}}(G F)|_{\mathcal C_{S,F}} \RA G\circ {\op{R}}F$ mit $(\alpha Q)\circ\tau_{GF}=(G\tau_F)$ und diese ist eine Isotransformation\label{DerEV} $${\op{R}}(G F)|_{\mathcal C_{S,F}} \siRa G\circ{\op{R}}F$$ Feinere Aussagen in dieser Richtung besprechen wir im Zusammenhang mit Grothendieck's Spektralsequenz in \ref{DerEVv}. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Rechtsfaktorierter des Identit"atsfunktors}] Gegeben eine Kategorie\label{UNIVR} mit Rechtsoresystem $ (\mathcal{C},S)$ ist der Rechtsfaktorierte ${\op{R}}{\op{Id}}:\mathcal C_{S,\op{Id}}\ra \mathcal C$ des Identit"atsfunktors ein maximaler partieller Rechtsadjungierter $R$ des Lokalisierungsfunktors $Q:\mathcal{C}\ra \mathcal{C}_S$ mit $\tau$ der Einheit der Adjunktion. \end{Proposition} \begin{proof} Nach \ref{Refz} besteht $\mathcal C_{[\op{Id}]}$ genau aus allen $S$-rechtsentfalteten Objekten von $\mathcal C$ im Sinne von \ref{loki} und nach \ref{loki} sind das genau alle Objekte $I\in \mathcal C$ derart, da"s der partielle Rechtsadjungierte $R$ von $Q$ bei $QI$ definiert ist und die Adjunktion einen Isomorphismus $I\sira RQI$ liefert. Auf allen Objekten von $\mathcal C_{S,[\op{Id}]}$ und damit auch auf allen Objekten von $\mathcal C_{S,\op{Id}}$ ist also der partielle Rechtsadjungierte definiert. Ist umgekehrt der partielle Rechtsadjungierte $R$ zu $Q$ bei $QY$ definiert, so ist $RQY$ nach \ref{AdLl} rechtsentfaltet und $\op{id}_{QY}$ entspricht unter der Adjunktion einem Morphismus $Y\ra RQY$, der unter $Q$ zu einem Isomorphismus wird. Mithin ist $Y$ ein $S$-$\op{Id}$-rechtsentfaltbares Objekt im Sinne von \ref{efb}. So sehen wir, da"s auch umgekehrt alle Objekte, auf denen der Rechtsadjungierte zu $Q$ definiert ist, zu $\mathcal C_{S,\op{Id}}$ geh"oren m"ussen. Also ist unser partieller Rechtsadjungierter ein Funktor $R: \mathcal C_{S,\op{Id}}\ra \mathcal C$ und die Einheit der Adjunktion ist eine Transformation $\varepsilon:{\op{Id}}\RA RQ$ mit $\varepsilon_I:I\sira RQI$ f"ur alle rechtsentfalteten Objekte $I$. Damit aber hat das Paar $(R,\varepsilon)$ die charakterisierende Eigenschaft, die den Rechtsfaktorierten der Identit"at $({\op{R}}{\op{Id}},\tau)$ festlegt bis auf eindeutigen Isomorphismus. \end{proof} \begin{Bemerkunge} In den Notationen des vorhergehenden Beweises ist nach \ref{AdLl} weiter $Q\tau_Y$ ein Isomorphismus. Nach \ref{IsoL} folgt daraus, wenn $S$ ein ges"attigtes Oresystem ist, sogar $\tau_Y\in S$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{$S$-rechtsentfaltet impliziert $G$-$S$-rechtsentfaltet}] Gegeben eine Kategorie $\mathcal{C}$ mit einem Rechtsoresystem $S$ sind die $S$-rechts\-ent\-fal\-te\-ten Objekte\label{UBVR} nach \ref{DerEV} notwendig $G$-$S$-rechtsentfaltet f"ur jeden Funktor $G:\mathcal C\ra \mathcal D$ und \ref{DerEV} liefert stets eine Isotransformation\label{DerEVs} $$\alpha: {\op{R}}G|_{\mathcal C_{S,\op{Id}}}={\op{R}}(G\circ \op{Id})|_{\mathcal C_{S,\op{Id}}} \siRa G\circ{\op{R}}{\op{Id}}\text{ mit }\alpha Q\circ\tau_G=G\tau_{\op{Id}}.$$ Nun wissen wir aus \ref{UNIVR}, da"s der Rechtsfaktorierte ${\op{R}}{\op{Id}}$ des Identit"atsfunktors gerade der maximale partielle Rechtsadjungierte $R$ des Lokalisierungsfunktors ist. Salopp gesprochen haben wir also ${\op{R}}G=G\circ R$ wo immer der partielle Rechtsadjungierte $R$ des Lokalisierungsfunktors definiert ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Faktorieren mit injektiven Aufl"osungen}] Gegeben $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie und $S$ das Rechtsoresystem der Quasiisomorphismen in $\mathcal C\pdef \op{Hot}_{\mathcal A}$ hatten wir bereits in \ref{qref} vereinbart, die $S$-rechtsentfalteten Komplexe {\bf quisrechtsentfaltet}\index{quisrechtsentfaltet} zu nennen. Ebenso vereinbaren wir hier, die $S$-rechts\-ent\-falt\-ba\-ren Komplexe {\bf quisrechtsentfaltbar}\index{quisrechtsentfaltbar} zu nennen. Zum Beispiel ist jeder\label{fIa} gegen die Pfeile beschr"ankte Komplex $I$ von injektiven Objekten von $\mathcal A$ nach \ref{DEIAa} quisrechtsentfaltet. Wenn $\mathcal A$ genug Injektive besitzt, ist demnach f"ur jedes $A\in \mathcal A$ der Komplex $A[0]$ quisrechtsentfaltbar. Betrachten wir nun eine weitere abelsche Kategorie $\mathcal B$ und einen additiven Funktor $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ und die Ver\-kn"up\-fung von Funktoren $$ Q\circ\op{Hot}(F) :\mathcal C=\op{Hot}_{\mathcal A}\ra \op{Hot}_{\mathcal B}\ra\op{Der}_{\mathcal B}$$ und hat $\mathcal A$ genug Injektive, so finden wir Isomorphismen $$({\op{R}}^iF)(A)\sira \mathcal H^i\big({\op{R}}( Q\circ\op{Hot}(F))(A[0])\big)$$ Sie zeigen die Beziehung unserer h"oheren derivierten Funktoren aus \eref{DefDe}{TG} zu den hier erkl"arten faktorierten Funktoren. Wir k"urzen in diesem Kontext meist ${\op{R}}( Q\circ\op{Hot}(F))$ zu ${\op{R}}F$ ab und nennen diesen Funktor den {\bf Rechtsderivierten von $F$}.\index{Rechtsderivierter Funktor} Im "ubrigen gibt es, wenn $\mathcal A$ genug Injektive besitzt, nach \eref{AEPK}{TG} oder alternativ \ref{EIA} sogar von jedem Komplex in $\op{Hot}^+({\mathcal A})$ einen Quasiisomorphismus zu einem Komplex in $\op{Hot}^+(i{\mathcal A})$ aus injektiven Objekten. Jeder Komplex in $\op{Hot}^+({\mathcal A})$ ist mithin quisrechtsentfaltbar. Wir schreiben in diesem Kontext meist kurz {\bf $F$-quisrechtsentfaltet}\index{quisrechtsentfaltet!$F$-quisrechtsentfaltet} und {\bf $F$-quisrechtsentfaltbar}\index{quisrechtsentfaltbar!$F$-quisrechtsentfaltbar} statt $(Q\circ \op{Hot}(F))$-quis\-rechts\-ent\-fal\-tet beziehungsweise $(Q\circ \op{Hot}(F))$-quisrechtsentfaltbar. Ein Vorteil der Begrifflichkeit der $F$-quis\-rechts\-ent\-falt\-ba\-ren Komplexe liegt darin, da"s wir damit, auch ohne die Existenz von genug injektiven Objekten vorauszusetzen, derivierte Funktoren erkl"aren und untersuchen k"onnen. Das verwenden wir in der opponierten Situation im weiteren zum Beispiel, um auf der derivierten Kategorie der abelschen Garben auf einem topologischen Raum ein Tensorprodukt zu erkl"aren, obwohl es in der Kategorie der abelschen Garben auf einem vorgegebenen Raum im allgemeinen keineswegs genug Projektive gibt. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Gegeben opponiert $F : \mathcal{C} \ra \mathcal{D}$ ein Funktor und $S$ ein Linksoresystem von Morphismen von $\mathcal{C}$ erkl"aren wir den zugeh"origen {\bf Prolinksfaktorierten von $F$}\index{Prolinksfaktorierter} als den Funktor\index{L@${\op{L}}F$ Prolinksfaktorierter} ${\op{L}}F:\mathcal{C}_S\ra \op{pro}(\mathcal{D})$ von der Lokalisierung von $\mathcal C$ in die Kategorie der pro-Objekte von $\mathcal D$ gegeben durch $$({\op{L}}F)(X)\pdef \limcu_{A\stackrel{S}{\ra}X} FA$$ Der Limes ist dabei zu verstehen "uber die kofiltrierende Kategorie $S_X$ aller $S$-Mor\-phis\-men $A\ra X$ in $\mathcal C$. Wir haben $({\op{L}}F)^{\op{opp}}={\op{R}}(F^{\op{opp}}):\mathcal{C}_S^{\op{opp}}\ra \op{ind}(\mathcal{D}^{\op{opp}})=(\op{pro}(\mathcal{D}))^{\op{opp}}$. Alle f"ur rechts erkl"arten Begriffe und Aussagen "ubertragen sich unmittelbar auf links. Insbesondere erkl"aren wir die vollen Unterkategorien $\mathcal C_{[F]}\subset \mathcal C_{F}\subset \mathcal C$ der {\bf $F$-$S$-linksentfalteten} beziehungsweise {\bf $F$-$S$-linksentfaltbaren Objekte} und die vollen Unterkategorien $$\mathcal C_{S,[F]}\subset \mathcal C_{S,F}\subset \mathcal C_S$$ in der Lokalisierung mit deren Bildern als Objekten und verzichten darauf, eine Notation einzuf"uhren, die in diesem Kontext den Unterschied zwischen rechts und links zum Ausdruck bringt. Weiter erkl"aren wir den {\bf Linksfaktorierten}\index{Linksfaktorierter}\label{zLD} als das bis auf eindeutigen Isomorphismus eindeutig bestimmte Paar $({\op{L}}F,\sigma)$ bestehend aus einem Funktor ${\op{L}}F:\mathcal C_{S,F}\ra \mathcal D$ und einer Transformation $$\sigma: {\op{L}}F\circ Q\RA F$$ in $\op{Cat}(\mathcal C_{F},\mathcal D)$, die f"ur $F$-$S$-linksentfaltetes $P$ alias $P\in \mathcal C_{[F]}$ einen Isomorphismus $\sigma_P: ({\op{L}}F)(P)\sira FP$ liefert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Rechtsfaktorierter und Linksfaktorierter}] Seien $F : \mathcal{C} \ra \mathcal{D}$ ein Funktor und $S$ ein Oresystem von Morphismen\label{RdLd} von $\mathcal{C}$. F"ur die Objekte $X$, die sowohl linksentfaltbar als auch rechtsentfaltbar sind, liefern unsere Definitionen nat"urliche Morphismen $({\op{L}}F)QX\ra FX \ra ({\op{R}}F)QX$ in $\mathcal D$. F"ur Objekte $X$, die sowohl $F$-$S$-linksentfaltet als auch $F$-$S$-rechtsentfaltet sind, sind diese Morphismen sogar Isomorphismen. Sind alle Objekte von $\mathcal C$ sowohl $F$-$S$-rechtsentfaltet als auch $F$-$S$-linksentfaltet, so erhalten wir auf diese Weise Isotransformationen ${\op{L}}F\circ Q\siRa F\siRa {\op{R}}F\circ Q$. Insbesondere macht dann $F$ Morphismen aus $S$ zu Isomorphismen und faktorisiert folglich als $F=\tilde F\circ Q$. Da jeder Lokalisierungsfunktor nach \ref{VoTrz} volldicht ist, kommen unsere Isotransformationen also her von wohlbestimmten Isotransformationen $${\op{L}}F\siRa\tilde F\siRa {\op{R}}F$$ Die rechte dieser Isotransformation wurde bereits in \ref{urd} diskutiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Adjunktion von faktorierten Funktoren}] Seien adjungierte Funktoren $F : \mathcal C \rightarrow \mathcal D$ und $G : \mathcal D \rightarrow \mathcal C$ gegeben und\label{AdJD} seien $S$ ein Linksoresystem in $\mathcal C$ und $T$ ein Rechtsoresystem in $\mathcal D$. So erhalten wir nat"urliche Bijektionen \begin{displaymath} \xymatrix{ (\mathcal C_S)^\wedge (X, {\op{R}}(QG)Y) & (\mathcal D_T)^\vee ({\op{L}} (QF) X, Y)\\ \colf _{Y \stackrel{T}{\rightarrow} I}\mathcal C_S (X, QGI) \ar[u]_\wr & \colf _{P \stackrel{S}{\rightarrow} X}\mathcal D_T (QFP,Y)\ar[u]_\wr\\ \colf _{Y \stackrel{T}{\rightarrow} I,\; P \stackrel{S}{\rightarrow} X}\mathcal C (P, GI) \ar[u]_\wr \ar[r]^-\sim & \colf _{P \stackrel{S}{\rightarrow} X,\; Y \stackrel{T}{\rightarrow} I}\mathcal D (FP,I) \ar[u]_\wr\\ } \end{displaymath} Hier bezeichnet $Q : \mathcal C \rightarrow \mathcal C_S$ und $Q : \mathcal D \rightarrow \mathcal D_T$ die jeweilige Lokalisierung. Sind speziell das ind-Objekt ${\op{R}} (QG) Y $ und das pro-Objekt ${\op{L}} (QF) X$ essentiell konstant, so erhalten wir eine nat"urliche Bijektion \begin{equation*} \mathcal C_S (X, {\op{R}}(QG)Y) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal D_T ({\op{L}} (QF) X, Y) \end{equation*} Sind etwa alle Objekte von $\mathcal C$ bereits $QF$-$S$-linksentfaltbar, so ist ${\op{R}} (QG)$ der partielle Rechtsadjungierte zu ${\op{L}} (QF)$ auf allen $QG$-$T$-rechtsentfaltbaren Objekten von $\mathcal D$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Die obigen Aussagen zur Adjunktion von Prolinksfaktorierten und Indrechtsfaktorierten sind f"ur die \glqq Kan-Erweiterungen\grqq, die auch oft betrachtet werden und die wir in \ref{tDF} behandeln, in dieser Allgemeinheit nicht mehr richtig. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s wir in \eref{pdef}{TF} einen partiell definierten Funktor als einen auf einer vollen Unterkategorie definierten Funktor erkl"art hatten. Gegeben Kategorien $\mathcal A,\mathcal B$ und partiell definierte Funktoren $L:\mathcal A\dashrightarrow \mathcal B$ und $R:\mathcal B\dashrightarrow \mathcal A$ verstehe ich unter einer {\bf partiellen Adjunktion}\index{partiell!Adjunktion}\index{Adjunktion!partielle} $(L,R)$ eine Isotransformation $$\alpha_{A,B}:\mathcal B(LA,B)\sira \mathcal A(A,RB)$$ von Funktoren $\mathcal A_L\times\mathcal B_R\ra \op{Ens}$ vom Produkt der Definitionsbereiche unserer jeweiligen Funktoren. In dieser Terminologie induziert also mit den Notationen der vorherigen Bemerkung \ref{AdJD} jede Adjunktion $(F,G)$ von Funktoren zwischen Kategorien mit ausgezeichneten Links- beziehungsweise Rechts-Oresystemen eine partielle Adjunktion der faktorierten Funktoren\label{padDF} $({\op{L}}(QF),{\op{R}}(QG))$. \end{Bemerkungl} \subsubsection{"Ubungen} \begin{Ubung} Seien $F : \mathcal{C} \ra \mathcal{D}$ ein Funktor und $S$ ein Rechtsoresystem von Morphismen von $\mathcal{C}$. Induziert eine $F$-$S$-Rechtsentfaltung $Y\ra I$ von $Y\in\mathcal C$ einen Isomorphismus $FY\sira FI$, so ist $Y$ bereits $F$-$S$-rechtsentfaltet.\label{kreo} \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $F : \mathcal{C} \ra \mathcal{D}$ ein Funktor und $S$ ein Rechtsoresystem von Morphismen von $\mathcal{C}$. Gegeben sei eine Menge $\mathcal I\subset \mathcal C$ von Objekten derart, da"s (1) jedes Objekt $Y\in \mathcal C$ einen $S$-Morphismus zu einem Objekt $I\in \mathcal I$ besitzt und da"s (2) jeder $S$-Morphismus zwischen Objekten aus $\mathcal I$ unter $F$ ein Isomorphismus wird. So besteht $\mathcal I$ aus $F$-$S$-rechtsentfalteten Objekten.\label{kreso} \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $(\mathcal C,S)$ und $(\mathcal D,T)$ Kategorien mit Morphismenmengen. Ist $I\in \mathcal C$ rechtsentfaltet f"ur $S$ und $J\in \mathcal D$ rechtsentfaltet f"ur $T$, so ist $(I,J)\in \mathcal C\times \mathcal D$ rechtsentfaltet f"ur $S\times T$.\label{uniET} \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $F:\mathcal C\ra \mathcal D$ ein Funktor und $S$ ein Rechtsoresystem in $\mathcal C$. Besitzt $Y\in\mathcal C$ eine $F$-$S$-Rechtsentfaltung, so auch jedes weitere Objekt $Z\in \mathcal C$ mit $QY\cong QZ$ in $\mathcal C_S$.\label{ProNN} Hinweis: Ich erinnere die Definition: Eine $F$-$S$-Rechtsentfaltung \ref{efb} ist ein Morphismus zu einem entfalteten Objekt, der in der Lokalisierung ein Isomorphismus wird. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $F:\mathcal C\ra \mathcal D$ ein Funktor und $S$ ein Rechts\-ore\-sys\-tem in $\mathcal C$. Gegeben ein $F$-$S$-rechtsentfaltbares Objekt $X\in\mathcal C$ bilden die entsprechenden Entfaltungen $X\ra I$ ein Ind-Objekt. Hinweis: Jeder Morphismus der lokalisierten Kategorie kann als Rechtsbruch geschrieben werden. Zwei Morphismen $f,g$ in $\mathcal C$ werden nach \ref{ghto} gleich in der Lokalisierung genau dann, wenn es $s\in S$ gibt mit $sf=sg$.\label{ProOG} Diese "Ubung wird gebraucht bei der Diskussion der Lokalisierung von Kofaserfunktoren durch lokale Linksanpassung \eref{LRAn2}{TSF}. \end{Ubung} \subsection{Faktorieren "uber triangulierte Quotienten} \begin{Bemerkungl}\label{iA} Gegeben eine triangulierte Kategorie $ \mathcal{T}$ und ein trianguliertes System $\mathcal{V} \subset \mathcal{T}$ ist nach \ref{KTQu} das System $S=S_{\mathcal V}$ aller Morphismen mit Kegel in $\mathcal V$ ein Oresystem und wir haben per definitionem $\mathcal{T}_S =\mathcal{T}/\mathcal V$. Nach \ref{Vinj} sind die $S$-rechtsentfalteten Objekte genau die Objekte\label{IjHU} unseres Verdiersystems $ \mathcal V^\perp$ aller Objekte $I\in \mathcal T$ mit $\mathcal T(V,I)=0$ f"ur alle $V\in\mathcal V$, also unsere $\mathcal V$-rechtsentfalteten Onjekte aus \ref{Vinjb}. Statt $S$-rechtsentfaltbar sagen wir in diesem Kontext auch {\bf $\mathcal V$-rechts\-ent\-falt\-bar}. Ebenso sagen wir f"ur einen Funktor $F:\mathcal T\ra \mathcal D$ statt $F$-$S$-rechtsentfaltet beziehungsweise $F$-$S$-rechtsentfaltbar in diesem Kontext {\bf $F$-$\mathcal V$-rechts\-ent\-fal\-tet} beziehungsweise {\bf $F$-$\mathcal V$-rechts\-ent\-falt\-bar}. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Rechtsfaktorierter eines triangulierten Funktors}] Gegeben ein \hyperref[triF]{triangulierter Funktor} $F: \mathcal T \rightarrow \mathcal D$ und ein trianguliertes System $\mathcal V \subset \mathcal T$ gilt:\label{RddF} \begin{enumerate} \item Die $F$-$\mathcal V$-rechtsentfalteten Objekte von $\mathcal T$ bilden eine volle triangulierte Unterkategorie $\mathcal T_{[F]}\subset \mathcal T$; \item Die $F$-$\mathcal V$-rechtsentfaltbaren Objekte von $\mathcal T$ und ihre Bilder bilden jeweils volle triangulierte Unterkategorien $\mathcal T_{F}\subset \mathcal T$ und $(\mathcal T/\mathcal V)_{F}\subset \mathcal T/\mathcal V$; \item Der \hyperref[zRD]{rechtsfaktorierte Funktor} ${\op{R}}F$ von $F$ besitzt genau eine $\DZ$-Struk\-tur, f"ur die $\tau:F\RA ({\op{R}}F) Q$ eine vertr"agliche Transformation von $\DZ$-Funktoren ist, und mit dieser $\DZ$-Struktur ist er ein triangulierter Funktor $${\op{R}}F:(\mathcal T/\mathcal V)_{F}\ra \mathcal D$$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Einen Morphismus mit Abbildungskegel in $\mathcal V$ nennen wir im folgenden kurz einen {\bf $\mathcal V$-Morphismus}. Zun"achst zeigen wir, da"s die $F$-$\mathcal V$-rechtsentfalteten oder kurz entfalteten Objekte eine volle triangulierte Unterkategorie $\mathcal T_{[F]}\subset\mathcal T$ bilden. Dazu argumentieren wir anhand des kommutativen Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ A \ar[d]_-{\mathcal V} \ar[r] & B \ar[d]_-{\mathcal V}^-{1} \ar[r] & C \ar[r]^-{[1]}\ar[d]_-{\mathcal V}^-{2}&\\ X\ar@{=}[d] \ar[r]_-{1} & Y\ar[d]_-{\mathcal V}^-{3} \ar[r]_-{2} & Z \ar[d]_-{\mathcal V}^-{4} \ar[r]^-{[1]} _-{2}& \\ X \ar[d]_-{\mathcal V}^-{6}\ar[r]_-{3} & Y^\prime \ar@{=}[d] \ar[r]_-{4} & Z^\prime \ar[d]_-{\mathcal V}^-{5} \ar[r]^-{[1]}_-{4}&\\ X^{\prime\prime} \ar[r]_-{6} & Y^\prime \ar[r]_-{5} & Z^{\prime\prime} \ar[r]_-{6}^-{[1]} & } \end{displaymath} Wir gehen aus von einem ausgezeichneten Dreieck in der obersten Horizontale, in dem wir $B$ und $C$ als entfaltet annehmen, und von einem beliebigen $\mathcal V$-Morphismus $A \rightarrow X$. Da nach \ref{KTQu} die $\mathcal V$-Morphismen ein Oresystem bilden, k"onnen wir in einem ersten Schritt (1) den Kowinkel oben links so kommutativ erg"anzen, da"s wie angedeutet auch $B\ra Y$ ein $\mathcal V$-Morphismus ist. Dann vervollst"andigen wir in Schritt (2) die zweite Horizontale zu einem ausgezeichneten Dreieck und erg"anzen die beiden linken Vertikalen zu einem Morphismus von ausgezeichneten Dreiecken durch einen Morphismus $C \rightarrow Z$, dessen Kegel nach \ref{123N} wie angedeutet in $\mathcal V$ liegen mu"s. In Schritt (3) w"ahlen wir $Y \rightarrow Y^\prime$ mit Kegel in $\mathcal V$ so, da"s die Komposition $FB \rightarrow FY \rightarrow FY^\prime$ ein Isomorphismus ist. In Schritt (4) erg"anzen wir wieder zu einem Morphismus von ausgezeichneten Dreiecken. In Schritt (5) w"ahlen wir $Z^\prime \rightarrow Z^{\prime\prime}$ mit Kegel in $\mathcal V$ so, da"s die Komposition $FC \rightarrow FZ \rightarrow FZ^\prime \rightarrow FZ^{\prime\prime}$ ein Isomorphismus ist. In Schritt (6) erg"anzen wir ein letztes Mal zu einem Morphismus von ausgezeichneten Dreiecken. Lassen wir nun $F$ auf das ganze Diagramm los, so werden beide Kompositionen der mittleren und rechten Vertikalen Isomorphismen, also auch die Komposition in der linken Vertikale. Das zeigt Teil 1. Nun zeigen wir, da"s auch die $F$-$\mathcal V$-rechtsentfaltbaren oder kurz entfaltbaren Objekte eine volle triangulierte Unterkategorie $\mathcal T_{F}\subset\mathcal T$ bilden. Wir gehen aus von einem ausgezeichneten Dreieck, in dem wir $B$ und $C$ als entfaltbar annehmen, und argumentieren anhand des kommutativen Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ A \ar@{=}[d] \ar[r] & B \ar[d]_-{\mathcal V}^-{1} \ar[r] & C \ar[r]^-{[1]}\ar[d]_-{\mathcal V}^-{2}&\\ A\ar[d]_-{\mathcal V}^-{4} \ar[r]_-{1} & X\ar@{=}[d] \ar[r]_-{2} & Y \ar[d]_-{\mathcal V}^-{3} \ar[r]^-{[1]}_-{2} & \\ Z \ar[r]_-{4} & X\ar[r]_-{3} & Y^\prime \ar[r]_-{4}^-{[1]} & } \end{displaymath} Hier w"ahlen wir im Schritt (1) eine Entfaltung von $B$, bilden im Schritt (2) das ausgezeichnete Dreieck, w"ahlen in Schritt (3) mithilfe von \ref{ProNN} eine Entfaltung von $Y$ und bilden in Schritt (4) wieder das Dreieck. Nach dem bereits Bewiesenen besteht dann das unterste Dreieck aus entfalteten Objekten und wir sehen, da"s $\mathcal T_F\subset\mathcal T$ eine volle triangulierte Unterkategorie ist. F"ur $\mathcal V_{[F]}\pdef \mathcal T_{[F]}\cap \mathcal V$ ist nun der offensichtliche triangulierte Funktor $\mathcal T_{[F]}/\mathcal V_{[F]}\ra \mathcal T/\mathcal V$ volltreu nach dem allgemeinen Resultat \ref{LUK} "uber Orelokalisierung und volltreue Einbettungen. Unser Funktor liefert folglich eine "Aquivalenz $$E:\mathcal T_{[F]}/\mathcal V_{[F]}\sirra (\mathcal T/\mathcal V)_F$$ mit der vollen Unterkategorie aller derjenigen Objekte von $\mathcal T/\mathcal V$, die in $\mathcal T$ entfaltbar sind, und insbesondere ist diese volle Unterkategorie von $\mathcal T/\mathcal V$ auch trianguliert und Teil 2 ist bewiesen. Nun zeigen zeigen wir $F(X)=0$ f"ur alle $X\in\mathcal V_{[F]}$. Per definitionem ist f"ur $X\in \mathcal V$ ja der Nullmorphismus $X\ra 0$ ein $\mathcal V$-Morphismus, und ist $X$ zus"atzlich entfaltet, so mu"s er sich verl"angern lassen durch einen Morphismus $0\ra Y$ derart, da"s die Komposition einen Isomorphismus $FX\sira FY$ liefert. Das ist aber offensichtlich nur m"oglich, wenn bereits gilt $FX=0$. So folgt in der Tat $F(X)=0$ f"ur alle $X\in\mathcal V_{[F]}$. Die Einschr"ankung von $F$ auf $\mathcal T_{[F]}\subset \mathcal T$ faktorisiert mithin "uber einen triangulierten Funktor $\bar F:\mathcal T_{[F]}/\mathcal V_{[F]}\ra \mathcal D$. Jede Wahl eines Quasiinversen $U$ der "Aquivalenz $E$ liefert so einen triangulierten Funktor $$R\pdef \bar F U:(\mathcal T/\mathcal V)_F\ra \mathcal D$$ nebst einer vertr"aglichen Transformation $\tau:F\RA RQ$ von Funktoren $\mathcal T_F\ra \mathcal D$, die zusammen die charakterisierende Eigenschaft eines Rechtsfaktorierten aus \ref{zRD} haben. %mu"s nun vertr"aglich sein %aufgrund ihrer Eindeutigkeit und Die Eindeutigkeit des Paares $(R,\tau)$ bis auf eindeutigen Isomorphismus zeigt auch, da"s die $\DZ$-Struktur auf $R$ durch die Bedingungen im Satz bereits eindeutig festgelegt wird. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Uberfl"ussiges Faktorieren}] Seien $F: \mathcal T \rightarrow \mathcal D$ ein \hyperref[triF]{triangulierter Funktor} und $\mathcal V \subset \mathcal T$ ein trianguliertes System. Ist jedes Objekt von $\mathcal T$ rechtsentfaltet f"ur $(F,\mathcal V)$, so faktorisiert $F$ "uber $\tilde F:\mathcal T/\mathcal V\ra \mathcal D$ und unser $\tau$ ist eine Isotransformation $\tau:\tilde F Q=F\siRa {\op{R}}F Q$ und induziert eine Isotransformation $\tilde F\siRa {\op{R}}F $. Diese Erkenntnis ist ein Spezialfall von "uberfl"ussigem Faktorieren f"ur Rechtsoresysteme nach \ref{urd}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Rechtsfaktorierte und Linksfaktorierte}] Seien $F: \mathcal T \rightarrow \mathcal D$ ein \hyperref[triF]{triangulierter Funktor} und $\mathcal V \subset \mathcal T$ ein trianguliertes System. Ist jedes Objekt von $\mathcal T$ sowohl $F$-$\mathcal V$-rechtsentfaltet wie $F$-$\mathcal V$-linksentfaltet, so induzieren die nat"urlichen Transformationen aus der Definition Isotransformationen ${\op{L}}F\circ Q\siRa F\siRa {\op{R}}F\circ Q$. Damit annulliert $F$ alle Objekte aus $\cal V$ und faktorisiert "uber $\mathcal T/\mathcal V$ als $F=\tilde F Q$ und unsere Isotransformationen kommen her von eindeutig bestimmten Isotransformationen $${\op{L}}F\siRa \tilde F\siRa {\op{R}}F$$ Das alles spezialisiert \ref{RdLd} und folgt auch unmittelbar aus unserem Satz \ref{RddF} zum Rechtsfaktorierten eines triangulierten Funktors.\label{RdLdT} \end{Bemerkungl} \subsection{Derivierte Funktoren} \begin{Bemerkungl} Sei $F : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ ein additiver Funktor zwischen abelschen Kategorien. Den rechtsfaktorierten Funktor zur Verkn"upfung $$Q\circ\op{Hot}(F): \op{Hot} (\mathcal{A}) \rightarrow \op{Hot} (\mathcal{B} )\rightarrow \op{Der} (\mathcal{B}) $$ in Bezug auf das ges"attigte Oresystem $S$ der Quasiisomorphismen alias das Verdiersystem der exakten Komplexe von $\op{Hot} (\mathcal{A})$ nennen wir den {\bf rechtsderivierten Funktor zu}\index{derivierter Funktor ${\op{R}}F$} $F$ und notieren ihn vereinfachend\index{R@${\op{R}}F$ Rechtsderivierter von $F$} ${\op{R}}F\pdef {\op{R}}(Q\circ\op{Hot}(F))$. Unser rechtsderivierter Funktor zu $F$ ist also ein triangulierter Funktor\label{DRF} $${\op{R}}F: \op{Der} (\mathcal{A})_F\ra \op{Der} (\mathcal{B})$$ mit der vereinfachten Notation $\op{Der} (\mathcal{A})_F\pdef \op{Der} (\mathcal{A})_{Q\circ\op{Hot}(F)}$ f"ur die nach \ref{RddF} volle triangulierte Unterkategorie der $(Q\circ\op{Hot}(F))$-$S$-rechts\-ent\-falt\-ba\-ren Objekte, die wir in diesem Kontext abk"urzend {\bf $F$-quisrechtsentfaltbar}\index{quisrechtsentfaltbar!$F$-quisrechtsentfaltbar} nennen. Wir sagen in diesem Kontext auch einfacher {\bf $F$-quisrechtsentfaltet} statt\index{quisrechtsentfaltet!Objekt} \glqq $(Q\circ\op{Hot}(F))$-$S$-rechts\-ent\-fal\-tet\grqq\ und notieren die Kategorie aller $F$-quisrechtsentfalteten Komplexe $\op{Hot} (\mathcal{A})_{[F]}$ beziehungsweise $\op{Der} (\mathcal{A})_{[F]}$ je nachdem, ob wir sie als Objekte der Homotopiekategorie oder der derivierten Kategorie betrachten. In der Homotopiekategorie bilden die $F$-quisrechtsentfalteten Komplexe nach \ref{RddF} stets eine volle triangulierte Unterkategorie. Ganz genau ist dann unser Rechtsderivierter nach \ref{zRD} das bis auf eindeutige Isotransformation eindeutig bestimmte Paar $({\op{R}}F,\tau)$ aus besagtem triangulierten Funktor und einer Transformation $\tau:Q\circ (\op{Hot}F)\RA{\op{R}}F\circ Q$, die f"ur alle $F$-quisrechtsentfalteten Komplexe $Y$ einen Isomorphismus $\tau_Y:FY\sira ({\op{R}}F)Y$ in $\op{Der} (\mathcal{B})$ liefert. \end{Bemerkungl} % Die quisrechtsentfalteten Komplexe %einer Homotopiekategorie nennen wir %{\bf homotopieinjektiv},\index{ homotopieinjektiv} % die quislinksentfalteten Komplexe % {\bf homotopieprojektiv}.\index{ homotopieprojektiv} % \nichtfinal{Echt so viel Terminologie? Eigentlich ist homotopieinjektiv % und homotopieprojektiv weniger gut.} \begin{Bemerkungl} Sei $F : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ ein additiver Funktor zwischen abelschen Kategorien. Die volle Unterkategorie aller Objekte $A\in \mathcal{A}$ derart, da"s $A[0]$ ein $F$-quis\-rechts\-ent\-falt\-ba\-rer Komplex ist, notieren wir $\mathcal A_F$ und nennen diese Objekte die {\bf $F$-quis\-rechts\-ent\-falt\-ba\-ren Objekte von $\mathcal A$}.\index{quisrechtsentfaltbar!in abelscher Kategorie} Die {\bf h"oheren derivierten Funktoren\index{derivierter Funktor ${\op{R}}^qF$} von $F$} erkl"aren wir dann als die Funktoren \label{HdFoI} $${\op{R}}^qF:\mathcal A_F\ra\mathcal B$$ gegeben durch $({\op{R}}^qF):A\mapsto \mathcal H^q({\op{R}}F (A[0]))$. Schlie"slich nennen wir $A\in \mathcal A$ ein {\bf $F$-rechtsazyklisches Objekt},\index{rechtsazyklisch!Objekt} wenn $A[0]$ ein $F$-quis\-rechts\-ent\-fal\-te\-ter Komplex ist. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[{\bf Rechtsderivieren erh"alt Positivit"at}] Gegeben $F : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ ein additiver Funktor zwischen abelschen Kategorien und $X\in \op{Der} (\mathcal{A})_F$ ein $F$-quisrechtsentfaltbarer Komplex\label{RDEP} gilt $$X\in \op{Der}^{\geq n} (\mathcal{A})\quad\RA\quad {\op{R}}F(X)\in \op{Der}^{\geq n} (\mathcal{B})$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Insbesondere induziert die Adjunktion $(\tau^{\geq n}, i^{\geq n})$, wenn $ \tau^{\geq n}X$ auch $F$-quisrechtsentfaltbar ist, einen Morphismus $\tau^{\geq n}{\op{R}}F (X)\ra{\op{R}}F ( \tau^{\geq n}X)$. Des weiteren verschwinden unsere ${\op{R}}^qF$ f"ur $q< 0$ auch in der Allgemeinheit unserer Definition \ref{HdFoI}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach Annahme gibt es einen Quasiisomorphismus $X\qri Y$ zu einem $F$-quisrechtsentfalteten Komplex $Y\in\op{Hot}(\mathcal A)$. Dann ist f"ur $Y$ der nat"urliche Morphismus ein Quasiisomorphismus $Y\qri \tau^{\geq n}Y$ und mu"s sich so durch einen Morphismus $\tau^{\geq n}Y\ra Z$ fortsetzen lassen, da"s die Komposition ein Quasiisomorphismus ist und einen Quasiisomorphismus $FY\qri FZ$ induziert. Es folgt $\mathcal H^i{\op{R}}F(X)=\mathcal H^iFY=0$ f"ur $i0$ und unser festes $Y$. \end{Bemerkungl} % \eref{deEXT}{TS}, \eref{EE}{TG}, \eref{Ext}{TG}, \eref{FueV}{TG}, \eref{ExtL}{TG}, % \eref{ExtA}{TG}, \ref{rlExt}, \ref{ErAM}, % Gegeben also noch spezieller eine abelsche Kategorie $\mathcal A$ und %$X,Y\in \mathcal A$ derart, da"s $Y[0]$ f"ur den %additiven Funktor $\op{Hom}_{\mathcal A}(X,\;):\mathcal A\ra \op{Ab}$ %quisrechtsentfaltbar ist, insbesondere wenn $\mathcal A$ genug Injektive hat, % so erhalten wir mit \ref{Derev} %Isomorphismen von abelschen Gruppen % $$\op{Ext}^q_{\mathcal A}(X,Y)\sira \op{Der}_{\mathcal A}(X[0],Y[q])$$ %Nehmen wir opponiert an, da"s $X[0]$ f"ur den % additiven Funktor $\op{Hom}_{\mathcal A}(\;,Y[0]):\mathcal A\ra \op{Ab}^{\op{opp}}$ %quislinksentfaltbar ist, erhalten wir mit \ref{Derev} %Isomorphismen von abelschen Gruppen %$$\op{Ext}^q_{\mathcal A}(X,Y)\sira \op{Der}_{\mathcal A}(X[-q],Y[0])$$ %Nehmen wir schlie"slich an, da"s der Rechtsfaktorisierte in Bezug auf % Quasiisomorphismen von $(Q\circ \op{HHom}_{\mathcal A}): % \op{Hot}_{\mathcal A}^{\op{opp}}\times % \op{Hot}_{\mathcal A}\ra \op{Der}(\op{Ab})$ bei $(X[0],Y[0])$ definiert ist, % etwa wenn $\mathcal A$ genug Injektive und Projektive besitzt, so % erhalten wir mit %\ref{DerRH} Isomorphismen von abelschen Gruppen %$$\mathcal H^q\op{RHHom}_{\mathcal A}(X[0],Y[0])\sira \op{Der}_{\mathcal A}(X[0],Y[q])$$ %Im allgemeinen halte ich daf"ur, die Definition % abelsche Gruppe $\op{Der}_{\mathcal A}(X[0],Y[q])$ nicht mehr als derivierten % Funktor beschreiben %\end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Derivieren exakter Funktoren}] Gegeben ein exakter Funktor $F : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ zwischen abelschen Kategorien ist jeder Komplex sowohl quis\-rechts\-ent\-fal\-tet als auch quis\-links\-ent\-fal\-tet f"ur $F$ und wie in \ref{RdLdT} besprochen erhalten wir in diesem Fall Isotransformationen $${\op{L}}F\siRa (Q\circ \op{Hot}(F))^\sim \siRa {\op{R}}F$$ zwischen dem linksderivierten Funktor, dem von $Q\circ\op{Hot}(F)$ vermittels der universellen Eigenschaft der Lokalisierung auf den derivierten Kategorien induzierten Funktor und dem rechtsderivierten Funktor. Wir notieren $(Q\circ \op{Hot}(F))^\sim$ in diesem Fall schlicht\label{DexF} $$F: \op{Der}(\mathcal{A}) \rightarrow \op{Der}(\mathcal{B})$$ F"ur diesen Funktor gilt $F( \op{Der}^{\geq n}(\mathcal{A}))\subset \op{Der}^{\geq n}(\mathcal{B}), F( \op{Der}^{\leq n}(\mathcal{A}))\subset \op{Der}^{\leq n}(\mathcal{B})$ und die Adjunktionen geben Isomorphismen $\tau^{\geq n}F\siRa F\tau^{\geq n}, F\tau^{\leq n}\siRa \tau^{\leq n}F$, die zusammen Isomorpismen $F\mathcal H^{n}\siRa \mathcal H^{ n}F$ liefern. \end{Beispiel} \begin{Scholium} Das Derivieren exakter Funktoren ist ein Extremfall der hier vorgestellten Theorie, in dem der derivierte Funktor global existiert, ohne da"s man irgendwelche Annahmen "uber die Existenz von Entfaltungen machen mu"s. Ein anderer Extremfall ist das Derivieren durch gegen die Differentiale beschr"ankte injektive Aufl"osungen, das f"ur jeden beliebigen additiven Funktor gelingt, aber eben nur als partiell definierter Funktor. Ein wichtiger weniger extremer Fall ist das derivierte Tensorieren von Garben, auf das wir noch zur"uckkommen werden. \end{Scholium} \begin{Korollar}[{\bf Rechtsderivieren und Abschneiden}] Gegeben $F : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ ein additiver Funktor zwischen abelschen Kategorien und $X\in \op{Der} (\mathcal{A})_F$ ein $F$-quisrechtsentfaltbarer Komplex\label{RDeP} mit $\tau^{\leq n}X$ auch $F$-quisrechtsentfaltbar induziert $\tau^{\leq n}X\ra X$ einen Isomorphismus $$\tau^{\leq n} {\op{R}}F(\tau^{\leq n}X)\sira \tau^{\leq n} {\op{R}}F(X)$$ \end{Korollar} \begin{proof} Wir betrachten das ausgezeichnete Dreieck $\tau^{\leq n}X\ra X\ra \tau^{> n}X\ra[1]$. Seine lange exakte Kohomologiesequenz zeigt, da"s wir nur $\mathcal H^i {\op{R}}F\tau^{> n}X=0$ f"ur $i\leq n$ zu zeigen brauchen. Das folgt jedoch daraus, da"s nach \ref{RDEP} Rechtsderivieren Positivit"at erh"alt. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Nullter Rechtsderivierter eines linksexakten Funktors}] Gegeben ein linksexakter Funktor $F : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ zwischen abelschen Kategorien liefert die kanonische Transformation $F\RA ({\op{R}}F)Q$ f"ur jedes $F$-quis\-rechts\-ent\-falt\-ba\-re Objekt $A\in \mathcal{A}_F$ einen Isomorphismus\label{ndlf} $$FA\sira {\op{R}}^0F(A)$$ \end{Proposition} \begin{proof} Ist $A[0]\qri Y$ eine $F$-Quisrechtsentfaltung, so ist $Y\qri \tau^{\geq 0}Y$ ein Quasiisomorphismus und $\tau^{\geq 0}Y$ besitzt nach \ref{ProNN} seinerseits eine $F$-Quis\-rechts\-ent\-fal\-tung $\tau^{\geq 0}Y\ra Z$. Nun betrachten wir die Sequenz $$ FA\ra \mathcal H^0FY\ra \mathcal H^0F\tau^{\geq 0}Y\ra \mathcal H^0FZ$$ Die linksexakte Sequenz $A\hra Y^0/(\op{im}d)\ra Y^1$ zeigt nach Anwenden von $F$, da"s die Komposition der beiden linken Morphismen dieser Sequenz ein Isomorphismus ist. Die Komposition der beiden rechten Morphismen ist ein Isomorphismus nach Konstruktion. Damit m"ussen dann alle drei Morphismen Isomorphismen sein. Der erste Isomorphismus ist aber gerade der Isomorphismus, den wir in der Proposition behauptet hatten. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Entfaltung durch Komplexe azyklischer Objekte}] Gegeben ein additiver Funktor $F : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ zwischen abelschen Kategorien ist ein $F$-quisrechtsentfaltbarer Komplex\label{DAZOt} $X\in\op{Hot}^+_{\mathcal{A}}$ aus $F$-rechtsazyklischen Objekten bereits $F$-quisrechtsentfaltet. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Besitzt $\mathcal A$ genug Injektive, so ist nach \ref{fIa} jeder Komplex $X\in\op{Hot}^+_{\mathcal{A}}$ f"ur jeden additiven Funktor $F$ quisrechtsentfaltbar. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Jeder Komplex aus $F$-rechtsazyklischen Objekten von $\mathcal{A}$ mit nur endlich vielen von Null verschiedenen Eintr"agen ist $F$-quisrechtsentfaltet, da die $F$-quisrechtsentfalteten Komplexe nach \ref{RddF} stets eine volle triangulierte Unterkategorie der Homotopiekategorie bilden. F"ur $n\geq 0$ ist also der ab der $(n+1)$-ten Stelle durch Null fortgesetzte Komplex $X^{\leq n}$ quisrechtsentfaltet f"ur $F$. Das ausgezeichnete Dreieck $X\ra X^{\leq n}\ra Z\ra[1]$ besteht mithin aus $F$-quis\-rechts\-ent\-falt\-ba\-ren Komplexen und wir erhalten ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccccccc} QF(X)&\ra& QF(X^{\leq n})&\ra& QF(Z)&\ra&[1]\\ \da&&\da\wr&&\da&&\\ {\op{R}}F(X)&\ra& {\op{R}}F(X^{\leq n})&\ra& {\op{R}}F(Z)&\ra&[1] \end{array} $$ Nach \ref{RDEP} folgt aus $Z\in \op{Der}^{\geq n}(\mathcal A)$ bereits ${\op{R}}F(Z)\in \op{Der}^{\geq n}(\mathcal B)$. Im linken Quadrat werden also nach Anwenden von $\mathcal H^q$ f"ur $q}[dl]& \op{Hot}^+ (\mathcal{C}) \ar[d]\ar@{=>}[dl] \\ \op{Der}^+(\mathcal{A}) \ar[r]_{{\op{R}}F}& \op{Der}^+(\mathcal{B}) \ar[r]_{{\op{R}}G}& \op{Der}^+ (\mathcal{C}) } \end{displaymath} Es liefert eine Transformation $\eta: Q \circ G \circ F\RA {\op{R}}G \circ {\op{R}}F \circ Q$ mit der Notation $Q$ f"ur alle Lokalisierungsfunktoren in den Vertikalen. Macht unser Funktor $F$ injektive Objekte zu $G$-rechtsazyklischen Objekten, so ist nach unseren Erkenntnissen \ref{DAZOt} zum Derivieren mit Aufl"osungen durch azyklische Objekte $\eta_I$ f"ur jeden Komplex $I\in\op{Hot}^+(i\mathcal A)$ ein Isomorphismus. Also hat das Paar $({\op{R}}G \circ {\op{R}}F,\eta)$ die charakterisierende Eigenschaft f"ur einen eingeschr"ankten Rechtsderivierten von $QGF$ nach \ref{ErSj} und wir erhalten f"ur die entsprechenden Funktoren $\op{Der}^+(\mathcal{A})\ra \op{Der}^+ (\mathcal{C})$ eine Isotransformation \begin{equation*} {\op{R}}(G \circ F) \siRa {\op{R}}G \circ {\op{R}}F \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verkn"upfung faktorierter Funktoren}] Die oben gegebene Argumentation funktioniert auch in der Allgemeinheit von Ore-Lokalisierungen. Seien genauer $F : \mathcal{C} \ra \mathcal{D}$ sowie $H:\mathcal{D}\ra \mathcal{E}$ Funktoren. Seien $S$ ein Rechtsoresystem von $\mathcal{C}$ und $T$ ein Rechtsoresystem von $\mathcal{D}$. Die durch die faktorierten Funktoren von $QF$ und $H$ gegebenen Daten fassen wir zusammen in den Diagrammen\label{DerEVv} \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{C}_{QF} \ar[d] \ar[rr]^F && \mathcal{D}\ar[d]\ar@{=>}[dll]&\mathcal{D}_H\ar[d]\ar[rr]^H&& \mathcal{E} \ar@{=}[d]\ar@{=>}[dll] \\ \mathcal{C}_{S,QF} \ar[rr]_{{\op{R}}(QF)}&& \mathcal{D}_{T} &\mathcal{D}_{T,H} \ar[rr]_{{\op{R}}H}&& \mathcal{E} } \end{displaymath} Gegeben eine volle Unterkategorie $\mathcal U\subset \mathcal{C}_{QF}$ mit $F(\mathcal U)\subset \mathcal{D}_{H}$, die mit jedem Objekt auch eine $QF$-Entfaltung des besagten Objekts enth"alt, k"onnen wir das entsprechend eingeschr"ankte erste Diagramm mit dem zweiten zusammenf"ugen zu einem Diagramm der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{U} \ar[d] \ar[rr]^F && \mathcal{D}_H\ar[d]\ar[rr]^H\ar@{=>}[dll]&& \mathcal{E} \ar@{=}[d]\ar@{=>}[dll] \\ Q(\mathcal{U}) \ar[rr]_{{\op{R}}(QF)}&& \mathcal{D}_{T,H} \ar[rr]_{{\op{R}}H}&& \mathcal{E} } \end{displaymath} und erhalten so insbesondere eine Transformation $$\eta: HF\RA {\op{R}}H \circ {\op{R}}(QF) \circ Q$$ Gibt es nun f"ur jedes Objekt $A\in \mathcal U$ einen $S$-Morphismus $A\ra X$ in ein Objekt $X\in \mathcal U$, der sowohl eine $HF$-$S$-Rechts\-ent\-fal\-tung als auch eine $F$-$S$-Rechts\-ent\-fal\-tung ist und f"ur den $F(X)$ seinerseits $H$-$T$-rechtsentfaltet ist, so hat das Paar $({\op{R}}H \circ {\op{R}}(QF), \eta)$ die in \ref{ErSj} beschriebene charakterisierende Eigenschaft f"ur den auf $Q(\mathcal U)$ eingeschr"ankten faktorierten Funktor $({\op{R}}(HF),\tau)$ und wir erhalten so in $\op{Cat}(Q(\mathcal U),\mathcal E)$ eine Isotransformation $${\op{R}}(HF)\siRa {\op{R}}H \circ {\op{R}}(QF)$$ Um Grothendieck's Spektralsequenz in der zuvor gegebenen Form abzuleiten gilt es, f"ur $F$ den Funktor $\op{Hot}(F)$ und f"ur $H$ den Funktor $Q\circ \op{Hot}(G)$ zu nehmen. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man pr"ufe, da"s %Vorzeichen? die lange exakte Sequenz der h"oheren derivierten Funktoren aus \eref{EDF}{TG} "ubereinstimmt mit der langen exakten Sequenz aus \ref{LeSS}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Besitzt ein additiver Funktor von abelschen Kategorien $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ einen exakten Linksadjungierten, so macht $\op{Hot}(F)$ quisrechtsentfaltete Komplexe zu quisrechtsentfalteten Komplexen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine lokal abgeschlossene Einbettung $b:X\ra Z$ und eine beliebige stetige Abbildung $f:X\ra Y$ ist die Transformation aus \ref{GsPP} eine Isotransformation $\op{R}(f_*b^!)\siRa {\op{R}}f_*\circ {\op{R}} b^!$ von Funktoren $\op{Der}^+(\op{Ab}_{/Z})\ra \op{Der}^+(\op{Ab}_{/Y})$. Allgemeiner ist in dieser Situation f"ur jeden additiven Funktor $F:\op{Ab}_{/X}\ra \mathcal B$ in eine abelsche Kategorie mit genug Injektiven die Transformation aus \ref{GsPP} eine Isotransformation\label{lkoi} $$\op{R}(F\circ b^!)\siRa {\op{R}}F\circ {\op{R}} b^!$$ von Funktoren $\op{Der}^+(\op{Ab}_{/Z})\ra \op{Der}^+(\mathcal B)$. "Ahnliche Aussagen werden wir in \eref{lkei}{TSF} auch auf unbeschr"ankten derivierten Kategorien erhalten. \end{Ubung} \subsection{Derivierte Funktoren und Kohomologie} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Derivierte Funktoren und Spektralsequenzen}] Gegeben eine abelsche Kategorie $\mathcal B$ mit genug Injektiven und ein additiver Funktor $F:\mathcal B\ra \mathcal C$ und ein gegen die Differentiale beschr"ankter Komplex $B\in \op{Der}^+(\mathcal B)$ konstruieren wir wie in \eref{KSSEx}{TG} eine konvergierende $E_2$-Spektralsequenz \[ ({\op{R}}^qF)({\mathcal H}^pB) \Rightarrow {\mathcal H}^n({\op{R}}F)( B) \] Genauer liefern unsere Konstruktionen ein Konvergenzdatum, dessen Filtrierung auf $\mathcal H^n({\op{R}}F)(B)$ beschrieben werden als die Filtrierung durch die Bilder der Kohomologien $\mathcal H^n({\op{R}}F)(\tau^{\leq p}B)$ der abgeschnittenen Komplexe. Wenn wir die Rollen von $p$ und $q$ vertauschen, erhalten wir in derselben Weise f"ur einen beliebigen gegen die Differentiale beschr"ankten Komplex $B \in {\op{Ket}}^+({\mathcal B})$ eine konvergierende $E_1$-Spektralsequenz $$({\op{R}}^pF)(B^q)\Rightarrow {\mathcal H}^n({\op{R}}F)( B)$$ Genauer liefern unsere Konstruktionen ein Konvergenzdatum, dessen Filtrierung auf $\mathcal H^n({\op{R}}F)(B)$ beschrieben werden kann als die Filtrierung durch die Bilder der Kohomologie der Teilkomplexe $\mathcal H^n({\op{R}}F)(B^{\geq q})$, bei denen wir alle $B^{i}$ mit $iN$. Das Infimum "uber alle m"oglichen derartigen Schranken $N$ hei"st dann die {\bf homologische Rechtsdimension}\index{Rechtsdimension!homologische} unseres Funktors. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Analog definieren wir {\bf homologisch linksendlich} und {\bf homologische Linksdimension}. Meist spricht man k"urzer von {\bf homologisch endlichen} Funktoren und ihrer {\bf homologischen Dimension} und der Leser mu"s aus dem Kontext erschlie"sen, ob das nun von links oder von rechts gemeint sein soll. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Der Nullfunktor hat die homologische Rechtsdimension $-\infty$. Ein linksexakter Funktor ist homologisch rechtsendlich von der homologischen Dimension Null genau dann, wenn er exakt aber nicht der Nullfunktor ist. Gegeben ein Intervall $I\subset \DR$ ist der Funktor der globalen Schnitte $\Gamma:\op{Ab}_{/I}\ra \op{Ab}$ nach \eref{KGI}{TG} homologisch rechtsendlich von der homologischen Dimension $-\infty$ f"ur $I=\emptyset$, von der homologischen Dimension Null f"ur $I$ einpunktig und von der homologischen Dimension Eins f"ur $I$ mehrpunktig. \end{Beispiele} \begin{Satz}[\textbf{Unbeschr"anktes Derivieren homologisch endlicher Funktoren}] Gegeben ein additiver Funktor $F :\mathcal A \rightarrow \mathcal B$ einer endlichen homologischen Rechtsdimension $\leq d$ zwischen abelschen Kategorien derart, da"s %jedes Objekt %$A\in\mathcal A$ %\nichtfinal{(am 28.2.23 erg"anzt)} %quis\-rechts\-ent\-falt\-bar ist f"ur $F$ und sich jedes Objekt in ein \hyperref[HdFoI]{$F$-rechtsazyklisches} Objekt von $\mathcal A$ einbetten l"a"st, gilt:\label{UbDe} \begin{enumerate} \item Es gibt von jedem Komplex einen Quasiisomorphismus zu einem Komplex von $F$-rechtsazyklischen Objekten; \item F"ur einen Komplex aus $\op{Ket}_{\mathcal A}^{\leq n}$ finden wir sogar einen Quasiisomorphismus zu einem Komplex von $F$-rechtsazyklischen Objekten aus $\op{Ket}_{\mathcal A}^{\leq n+d}$; \item Jeder Komplex von $F$-rechtsazyklischen Objekten ist $F$-quisrechtsentfaltet; \item Der derivierte Funktor ${\op{R}}F$ ist auf jedem Komplex definiert und wir erhalten so einen triangulierten Funktor ${\op{R}}F:\op{Der}(\mathcal A)\ra \op{Der}(\mathcal B)$; \item Der derivierte Funktor ${\op{R}}F$ bildet die Unterkategorie $\op{Der}^{\leq n}(\mathcal A)$ in die Unterkategorie $\op{Der}^{\leq n+d}(\mathcal B)$ ab. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s wir bei der Definition eines additiven Funktors $F:\mathcal A\ra\mathcal B$ endlicher homologischer Rechtsdimension zwischen abelschen Kategorien \ref{KWAUe} stets mit gefordert hatten, da"s jedes Objekt der Ausgangskategorie $\mathcal A$ eine $F$-Quis\-rechts\-ent\-fal\-tung durch einen Komplex von Objekten von $\mathcal A$ besitzen soll. Das ist insbesondere eine implizite Voraussetzung f"ur den vorhergehenden Satz. Sie ist zum Beispiel erf"ullt, wenn $\mathcal A$ genug Injektive hat. Zusammen mit der Bedingung ${\op{R}}^qF (A)=0$ f"ur alle $A\in\mathcal A$ und $q>d$ reicht das dann schon aus, um ${\op{R}}F$ auf nach beiden Seiten unbeschr"ankten Komplexen aus $\mathcal A$ erkl"aren zu k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Da"s Rechtsderivieren Positivit"at erh"alt, da"s also ${\op{R}}F$ die Unterkategorie $\op{Der}^{\geq n}(\mathcal A)$ in die Unterkategorie $\op{Der}^{\geq n}(\mathcal B)$ abbildet, wissen wir bereits in gr"o"serer Allgemeinheit aus \ref{RDEP}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{UGTR} Der Satz gilt analog und mit demselben Beweis f"ur Familien $F=(F_i)_{i\in I}$ linksexakter Funktoren, die sogar in verschiedenen abelschen Kategorien landen d"urfen, also $F_i:\mathcal A\ra\mathcal B_i$. Wir m"ussen dazu nur vereinbaren, da"s \glqq $F$-rechtsazyklisch\grqq\ zu verstehen ist als \glqq $F_i$-rechtsazyklisch f"ur alle $i$\grqq\ und m"ussen die homologische Endlichkeitsbedingung dahingehend verstehen, da"s es eine Schranke $N$ gibt, die die homologische Rechtsdimension aller unserer Funktoren $F_i$ beschr"ankt. Formal mag man das auch folgern, indem man die Aussage des Satzes auf den Funktor $F=(F_i):\mathcal A\ra\prod \mathcal B_i$ anwendet. \end{Bemerkungl} %\nichtfinal{\begin{proof} %Nach \ref{UbDe} gibt es f"ur jeden Komplex $X$ von $k$-Moduln einen %Quasiisomorphismus $P\qri X$, der von einem Komplex von %projektiven Moduln ausgeht. Es gilt zu zeigen, da"s f"ur jeden %Quasiisomorphismus $Q\qri P$, der ebenfalls von einem Komplex von %projektiven Moduln ausgeht, und jeden beliebigen Komplex $Y$ %die induzierte Abbildung ein Quasiisomorphismus %$$\op{Hom}_k(P,Y)\qri \op{Hom}_k(Q,Y)$$ ist. %Indem wir zum Kegel $C$ "uber $Q\ra P$ "ubergehen und erinnern, da"s nach %\eref{HKA}{TS} der Homkomplex von einem Kegel in einen weiteren Komplex %der Kegel der auf den Homkomplexen induzierten Kettenabbildung ist, %m"ussen wir nur zeigen, da"s f"ur jeden exakten Komplex $C$ %projektiver Moduln auch der Komplex $\op{Hom}_k(C,Y)$ exakt ist. %Er ist nun das Produkttotal des Doppelkomplexes $\op{Hom}_k(C^{-p},Y^q)$ %und nach \ref{UbDe} ist darin f"ur jedes $q$ die entsprechende Zeile exakt %und auch die Bilder der Zeilenkomplexe sind exakt. Mithin ist auch das %Produkttotal exakt % nach \ref{TK}. In der anderen Variablen argumentieren wir analog. %\end{proof}} \begin{Bemerkungl}[\textbf{R"uckschau}] Besitzt eine abelsche Kategorie $\mathcal A$ endliche homologische Dimension $\leq d$ und genug Injektive, so besitzt jeder Komplex in $\op{Hot}_{\mathcal A}$ eine Quisrechts\-ent\-fal\-tung und jeder Komplex in $\op{Hot}_{\mathcal A}^{\leq n}$ eine Quisrechtsentfaltung in $\op{Hot}_{\mathcal A}^{\leq n+d}$\label{UGTRn} und jeder Komplex von Injektiven ist quisrechtsentfaltet. Wir wissen das bereits aus \ref{DkhD} und \ref{QLbK}. Man k"onnte es auch zeigen, indem man \ref{UGTR} auf die Familie aller $\mathcal A(A,\;)$ anwendet. %Ein alternatives Argument geben wir in \ref{xqr}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach \eref{ECaR}{TG} finden wir stets eine Car\-tan-Ei\-len\-berg-Oben\-auf\-l"o\-sung $(I^{p,q})$ von $(X^p)$ durch $F$-rechtsazyklische Objekte. Ist $d$ mindestens die homologische Rechtsdimension von $F$, so ist $\op{ker}\delta^d: I^{p,d} \ra I^{p,d+1}$ bereits selbst $F$-rechtsazyklisch. Indem wir $I^{p,d}$ jeweils durch diesen Kern ersetzen, finden wir einen Doppelkomplex $J^{p,d}$ aus $F$-rechtsazyklischen Objekten in der oberen Halbebene mit Nullzeilen f"ur $q>d$, dessen Spalten bei $q\neq 0$ exakt sind, sowie einen Isomorphismus von $X$ zu seinem horizontalen Kernkomplex bei $q=0$. Nach \eref{kSDR}{TG} induziert dann die Einbettung des horizontalen Kernkomplexes einen Quasiisomorphismus $X\sira \op{tot} J^{p,q}$. Das zeigt die Teile 1\&2. %\begin{proof} %Sei $X=(X^n,d)$ ein Komplex in $\mathcal A$. Wir w"ahlen Injektionen %in rechts\-azyk\-li\-sche Objekte $i^n:X^n\hra Z^n$. Die Injektionen %$(i^n,i^{n+1}d)^\top :X^n\hra Z^n\oplus Z^{n+1}$ bilden eine %Kettenabbildung, wenn wir als Differential rechts die %Abbildung $(z^n,z^{n+1})\mapsto (z^{n+1},0)$ nehmen. %Indem wir den Kokern unserer Kettenabbildung betrachten, erhalten wir eine %kurze exakte Sequenz von Komplexen %$$X\hra T\sra Q$$ %mit $T^n=Z^n\oplus Z^{n+1}$. %F"ur den Fortgang des Beweises der ersten beiden Teile gebe ich zwei Varianten. %Man mag einerseits induktiv eine exakte Sequenz von Komplexen %$$X\hra T^{0*}\ra T^{1*}\ra\ldots\ra T^{d*}\sra Q^{d*}$$ %konstruieren, in der alle $T^{ij}$ und dann nach einer Variante von %\eref{ehdn}{TG} auch alle $Q^{dj}$ %im Kokern des letzten Morphismus $F$-rechtsazyklisch sind. %Dann geht $X$ nach \eref{DKBAn}{TG} quasiisomorph in den Totalkomplex %dieses Doppelkomplexes und die Teile 1\&2 sind gezeigt. %Man mag andererseits f"ur den Beweis der ersten beiden Teile %in der Homotopiekategorie das ausgezeichnete Dreieck % $\op{Keg}(T\ra Q)\ra [1]T\ra [1]Q$ betrachten. Dann ist klar, da"s der %offensichtliche Morphismus $[1]X\ra [1]T$ "uber einen Morphismus %$[1]X\ra \op{Keg}(T\ra Q)$ faktorisiert, dessen %Kegel in der derivierten Kategorie Null wird, da er nach dem Oktaederaxiom %und \ref{Kzu} der Kegel "uber der Identit"at auf $[1]Q$ ist. %Ist nun $r>0$ fest und %verschwinden alle ${\op{R}}^iF(X^n)$ f"ur alle $i> r$ und alle $n$, %so verschwinden f"ur $Y\pdef\op{Keg}(T\ra Q)$ %nach der langen exakten Sequenz unsere %${\op{R}}^iF(Y^n)$ f"ur alle $i\geq r$ und alle $n$. %Induktiv folgen auch auf diesem Weg die Teile 1\&2. Um Teil 3 zu zeigen, sei $Z$ ein Komplex von $F$-rechtsazyklischen Objekten und $Z\qri X$ ein Quasiisomorphismus. Nach Teil 1 k"onnen wir ihn verl"angern durch einen Quasiisomorphismus $X\qri Y$ in einen weiteren Komplex von $F$-rechtsazyklischen Objekten. Es gilt zu zeigen, da"s die Komposition einen Quasiisomorphismus $FZ\qri FY$ induziert. Es gilt durch "Ubergang zum Abbildungskegel in der Homotopiekategorie $K\pdef\op{Keg}(Z\ra Y)$ gleichbedeutend zu zeigen, da"s f"ur jeden exakten Komplex $K$ aus $F$-rechtsazyklischen Objekten auch $FK$ exakt ist. Nun ist $\op{ker}d^n\hra K^n\ra K^{n+1}\ra\ldots$ f"ur jedes $n$ ein Quasiisomorphismus des nach Annahme $F$-quisrechtsentfaltbaren Objekts $\op{ker}d^n$ zu einem Komplex in $\op{Hot}^+_{\mathcal{A}}$ aus $F$-rechtsazyklischen Objekten, der nach \ref{ProNN} dann auch $F$-quisrechtsentfaltbar sein mu"s. Mit dem Derivieren durch azyklische Aufl"osungen \ref{DAZOt} folgt f"ur $q>0$ sofort $\mathcal H^{n+q} FK={\op{R}}^{q}F(\op{ker}(d^n))$. Diese Objekte verschwinden jedoch f"ur $q$ oberhalb der homologischen Dimension von $F$. Da das f"ur alle $n$ gilt, mu"s $FK$ ein exakter Komplex sein. Teil 4 folgt sofort aus 1 und 3. Teil 5 folgt sofort aus 2 und 3. \end{proof} \begin{Beispiel}\label{jgda} % noch in \ref{BGGa} Der Komplex von freien $\Bbb{Z} / 4\Bbb{Z}$-Moduln \begin{displaymath} \ldots \ra \Bbb{Z}/4\Bbb{Z} \overset{2\cdot}{\rightarrow} \Bbb{Z}/4\Bbb{Z} \overset{2\cdot}{\rightarrow} \Bbb{Z}/4\Bbb{Z} \ra \ldots \end{displaymath} ist exakt und damit isomorph zum Nullkomplex in $\op{Der}( \Bbb{Z}/4\Bbb{Z} \op{-Mod})$. Er ist aber im Gegensatz zum Nullkomplex nicht entfaltet f"ur den Funktor $\otimes \DZ/2\DZ$, obwohl er aus projektiven Moduln besteht. Das widerspricht unserem Satz nicht, denn der Funktor $\otimes \DZ/2\DZ$ ist auf der Kategorie aller $\DZ/4\DZ$-Moduln nicht von endlicher homologischer Dimension. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Sei $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie mit genug Injektiven und endlicher \hyperref[gldim]{homologischer Dimension} $\op{hdim}\mathcal A0.$ Dann folgt $\partial c_0=0$ und nach Annahme finden wir $d_{0} \in A^{-1,0}$ mit $\partial d_{0} = c_{0}.$ Es folgt $$ \partial c_{-1} =\delta c_{0} = \delta \partial d_{0} = \partial \delta d_{0},$$ also $\partial (\delta d_{0}-c_{-1}) =0.$ Also gibt es $d_{-1} \in A^{-2,1}$ mit $\partial d_{-1} = \delta d_{0} -c_{-1}$ alias $c_{-1} = \delta d_{0} - \partial d_{-1}.$ Indem wir so \glqq die Treppe heraufgehen\grqq\ finden wir eine Folge $ (\ldots,d_{-1},d_{0},0,0, \ldots )$ wie gew"unscht und der Fall des Produktsummentotals ist erledigt. Jetzt diskutieren wir den Fall des Summentotals. Sind die Kerne der Morphismen zwischen den Zeilenkomplexen exakt, so k"onnen wir das bereits Bewiesene anwenden auf die Teilkomplexe $T^{*,\leq q}$ unseres Doppelkomplexes, die entstehen durch Ersetzen einer Zeile durch den Kernkomplex zum Morphismus in die dar"uberliegende Zeile und Ersetzen der h"oheren Zeilen durch Null. Das Summentotal ist dann exakt als der filtrierende Kolimes der Summentotale dieser Teilkomplexe, die in dem von uns bereits behandelten Rahmen liegen. Jetzt behandeln wir den Fall des Produkttotals. Sind die Bilder der Morphismen zwischen den Zeilenkomplexen exakt, so k"onnen wir die bereits gewonnene Erkenntnis anwenden auf die Quotienten $Q^{*,\geq q}$ unseres Doppelkomplexes, die entstehen durch Ersetzen einer Zeile durch den Bildkomplex des Morphismus in die n"achsth"ohere Zeile und Ersetzen aller Zeilen darunter durch Null. Das Produkttotal ist dann exakt nach \eref{AzAg}{TS} als der Limes "uber das surjektive inverse System der Produkttotale dieser Quotientenkomplexe. Wenden wir diese letzte Erkenntnis wiederum auf das Produkttotal unserer Teilkomplexe $T^{*,\leq q}$ an und gehen zum Kolimes "uber, so ergibt sich auch die Behauptung f"ur das Summenprodukttotal. \end{proof} \begin{Lemma*} Sei ein Doppelkomplex von abelschen Gruppen gegeben.\label{TK2} Sind seine Zeilen und zus"atzlich auch noch die Zeilen aus der Kohomologie der Spaltenkomplexe alle exakt, so ist auch das Summenprodukttotal exakt. \end{Lemma*} \begin{Bemerkungl} Der Punkt bei diesem Lemma ist, da"s die hier gegebene Bedingung f"ur die Exaktheit des Summenprodukttotals etwas schw"acher ist als die in \ref{TK} angegebene Bedingung. Mir ist aber keine konkrete Situation bewu"st, in der dies Lemma gebraucht w"urde. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir beginnen wie beim Beweis von \ref{TK}. Wie oben erkl"art, k"onnen wir auch hier wieder ausgehen von einer Familie $\ldots, c_{-1}, c_{0}, c_{1}, c_{2}, \ldots$ mit $c_{i} \in A^{i,-i}$ und $ c_{i} =0$ f"ur $i\ll 0$ sowie $\partial c_{i} = \delta c_{i+1}$ f"ur alle $i.$ Der Einfachkeit halber nehmen wir f"ur die weitere Argumentation an, es g"alte bereits $ c_{i} =0$ f"ur $i<0.$ Wir beginnen unsere Argumentation mit der Erkenntnis $\delta c_0 =0.$ Wegen $\partial c_0 = \delta c_1$ geht der $\delta$-Zykel $c_0$ unter $\partial$ auf die Null der $\delta$-Kohomologie, also gibt es einen $\delta$-Zykel $z_{-1}\in A^{-1,0}$ und $e_0 \in A^{0,-1}$ mit $\partial z_{-1}+ \delta e_0 =c_0$. Dann haben wir $\delta (c_1 - \partial e_0)=0$ und $\partial (c_1-\partial e_0) = \delta c_2$, also ist $c_1 - \partial e_0$ ein $\delta$-Zykel, dessen $\delta$-Kohomologieklasse unter $\partial$ nach Null geht, also ist er bis auf einen $\delta$-Rand das $\partial$-Bild eines $\delta$-Zykels. Mithin gilt \begin{displaymath} c_1 - \partial e_0 = \partial z_{0} + \delta e_1 \end{displaymath} f"ur einen $\delta$-Zykel $z_0 \in A^{0,-1}$ und $e_1 \in A^{1,-2}$. Wir haben also \begin{displaymath} \begin{array}{llcl} &\delta(z_{-1}+0)&=& 0\\ \partial (z_{-1}+0) + &\delta (z_0+e_0) &=& c_0\\ \partial(z_0+e_0)& &=& c_1 - \delta e_1 \end{array} \end{displaymath} Nun folgt $\delta (c_2-\partial e_1)= \partial (c_1 - \delta e_1) = \partial^2 (z_0+e_0) = 0,$ womit $c_2 - \partial e_1$ ein $\delta$-Zykel ist, der wegen $\partial (c_2-\partial e_1) = \delta c_3$ bis auf $\delta$-Rand von einem $\delta$-Zykel $z_1 \in A^{1,-2}$ herkommt, also $c_2 -\partial e_1 = \partial z_1 + \delta e_2$. Wir haben also \begin{displaymath} \begin{array}{lcl} \partial (z_0+e_0) +\delta (z_1+e_1) &=& c_1\\ \partial (z_1+e_1) &=& c_2 - \delta e_2 \end{array} \end{displaymath} Indem wir so \glqq die Treppe heruntergehen\grqq\ finden wir auch hier wieder eine Folge $(\ldots,0,z_{-1},z_0+e_0,z_1+e_1,\ldots)$ wie gew"unscht. \end{proof} \subsection{Derivieren von Tensor und Hom} \nichtfinal{Nochmal genau durchgehen. M"ude ge"andert.} \begin{Bemerkungl} Ein {\bf Tripelkomplex}\index{Tripelkomplex} $A$ ist eine $\DZ^3$-graduierte abelsche Gruppe $A^{p,q,r}$ mit paarweise kommutierenden Differentialen $\partial_1, \partial_2,\partial_3$, die jeweils \glqq ihren Grad\grqq\ um Eins erh"ohen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das {\bf Summentotal eines Tripelkomplexes $A$}\index{Summentotal!eines Tripelkomplexes} ist der Komplex $\op{tot}^\oplus(A)$ mit homogenen Komponenten $$\op{tot}^\oplus(A)^n\pdef \bigoplus_{p+q+r=n}A^{p,q,r}$$ und Differential $d(a)\pdef\partial_1a+(-1)^p\partial_2a + (-1)^{p+q}\partial_3a$ f"ur $a\in A^{p,q,r}$. Analog erkl"aren wir das {\bf Produkttotal}.\index{Produkttotal!eines Tripelkomplexes} Beide Konstruktionen h"angen von der Reihenfolge der Indizes ab. % in "ahnlicher Weise, wie wir es bei %Doppelkomplexen in \eref{ReiDo}{TG} diskutiert hatten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im Fall eines Doppelkomplexes $A^{p,q}$ haben wir viel mit seinen \glqq Zeilenkomplexen\grqq\ und \glqq Spaltenkomplexen\grqq\ gearbeitet und sind dabei implizit von der Vorstellung ausgegangen, da"s der Doppelkomplex auf dem Papier mit nach rechts wachsenden $p$-Indizes und nach oben wachsenden $q$-Indizes darsgestellt wurde. Im Fall eines Tripelkomplexes wird die Sache schwieriger und wir reden stattdessen von den $p$-Zeilen, $q$-Zeilen und $r$-Zeilen eines Tripelkomplexes. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Iterative Berechnung von Totalkomplexen}] Summentotal und Produkttotal eines Tripelkomplexes $A$ k"onnen iterativ berechnet werden. Genauer sind in hoffentlich selbsterkl"arender Notation die offensichtlichen Morphismen Isomorphismen $$\op{tot}^\oplus(\op{tot}^\oplus_{q,r}(A))\sila \op{tot}^\oplus(A)\sira \op{tot}^\oplus(\op{tot}^\oplus_{p,q}(A))$$ $$\op{tot}^\pi(\op{tot}^\pi_{q,r}(A))\sira \op{tot}^\pi(A)\sila \op{tot}^\pi(\op{tot}^\pi_{p,q}(A))$$ \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Gegeben $I=(I^{p,q})_{q\geq 0}$ ein Doppelkomplex in der oberen Halbebene mit maximal spaltenden Zeilen aus Injektiven einer abelschen Kategorie $\mathcal A$ ist sein Produkttotal, wenn es existiert, quisrechtsentfaltet.\label{tothi} \end{Proposition} \begin{proof} Wir m"ussen zeigen, da"s f"ur jeden exakten Komplex $N\in \op{Ket}_{\mathcal A}$ gilt $\op{Hot}_{\mathcal A}(N,\op{tot}^\pi(I))=0$. Wir zeigen sogar, da"s alle Homologiegruppen aller Hom-Kom\-ple\-xe $\op{Hom}_{\mathcal A}(N,\op{tot}^\pi(I))$ verschwinden, da"s diese Komplexe also exakt sind. Wegen $\op{Hot}=\mathcal H^0{\op{Hom}}$ folgt daraus die Behauptung. Nun k"onnen wir so einen Hom-Komplex beschreiben als das Produkttotal des Tripelkomplexes der abelschen Gruppen $\mathcal A(N^r, I^{p,q})$ mit drittem Differential $\partial_3f\pdef (-f\circ d_N)$ und den offensichtlichen ersten beiden Differentialen und erhalten so $$\op{Hom}_{\mathcal A}(N,\op{tot}^\pi(I))\cong\op{tot}^\pi (\mathcal A(N^r, I^{p,q}))\cong \op{tot}^\pi \big(\op{tot}^\pi_{p,r} (\mathcal A(N^r, I^{p,q}))\big)$$ Nun hat der Tripelkomplex $\mathcal A(N^r, I^{p,q})$ exakte $r$-Zeilen, da $N$ ein exakter Komplex ist und die $I^{p,q}$ injektiv sind. Weiter sind die $r$-Kernkomplexe der $p$-Dif\-fe\-ren\-tia\-le zwischen den $r$-Zeilen exakt, da $I^{p,q}$ maximal spaltende Zeilen alias $p$-Zeilen hat. Nach \ref{TK} ist also das partielle Produkttotal $\op{tot}^\pi_{p,r} (\mathcal A(N^r, I^{p,q}))$ exakt f"ur alle $q$. Dann ist aber wieder nach \ref{TK} auch $\op{tot}^\pi \big(\op{tot}^\pi_{p,r} (\mathcal A(N^r, I^{p,q}))\big)$ exakt als Produktsummentotal eines Doppelkomplexes mit exakten Zeilen, genauer in hoffentlich selbsterkl"arender Terminologie exakten $(r+p)$-Zeilen, mit dem das Produkttotal wegen unserer Einschr"ankung $q\geq 0$ an die $q$-Zeilen alias Spalten "ubereinstimmt. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben $P=(P^{p,q})_{q\leq 0}$ ein Doppelkomplex in der unteren Halbebene mit maximal spaltenden Zeilen aus Projektiven einer abelschen Kategorie $\mathcal A$ ist sein Summentotal, wenn es denn existiert, quislinksentfaltet.\label{tothp} Das folgt unmittelbar, indem wir \ref{tothi} auf die opponierte Kategorie anwenden. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Quisrechtsentfaltung von Modulkomplexen}] Jeder Komplex von Moduln besitzt eine Quisrechtsentfaltung. \label{hpri} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt mit demselben Beweis f"ur jede abelsche Kategorie mit genug Injektiven und einem konservativen exakten Funktor in die Kategorie der abelschen Gruppen, der mit abz"ahlbaren Produkten vertauscht. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $A=(A^p)_{p\in \DZ}$ unser Komplex. Nach \eref{CAEE}{TG} besitzt $A$ eine Cartan-Eilenberg-Obenaufl"osung durch Injektive $(I^{p,q})_{q\geq 0}$. Wir zeigen genauer, da"s ihr Produkttotal stets eine Quisrechtsaufl"osung von $A$ ist. Zun"achst einmal ist $A$ der horizontale Kernkomplex unseres Doppelkomplexes, dessen Spalten durch die Erg"anzung dieses horizontalen Kernkomplexes exakt werden. Zus"atzlich sind bei dem so erg"anzten Doppelkomplex auch die Kerne der Morphismen zwischen den Spaltenkomplexen exakt. Nach \ref{TK} ist dann auch das Produkttotal des erg"anzten Doppelkomplexes exakt. Daraus folgt sofort, da"s die Einbettung des horizontalen Kernkomplexes ein Quasiisomorphismus $A\qri \op{tot}^\pi(I^{p,q})$ ist. Dieser Totalkomplex ist damit nach \ref{tothi} die gesuchte Quisrechtsentfaltung. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Quislinksentfaltung von Modulkomplexen}] Jeder Komplex von Moduln besitzt eine Quislinksentfaltung.\label{hprl} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt mit demselben Beweis f"ur jede abelsche Kategorie mit genug Projektiven und einem konservativen exakten Funktor in die Kategorie der abelschen Gruppen, der mit abz"ahlbaren Koprodukten vertauscht. In dieser Allgemeinheit folgt es direkt durch Anwenden der entsprechenden Bemerkung im Kontext der Konstruktion von Quisrechtsentfaltungen \ref{hpri} auf die opponierte abelsche Kategorie. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $A=(A^p)_{p\in \DZ}$ unser Komplex. Nach \eref{ECaR}{TG} besitzt er eine Cartan-Eilenberg-Untenaufl"osung durch Projektive $(P^{p,q})_{q\leq 0}$. Wir zeigen genauer, da"s ihr Summentotal eine Quislinksentfaltung unseres Komplexes $A$ ist. Zu\-n"achst ist $A$ der horizontale Kokernkomplex unseres Doppelkomplexes und die Spalten unseres Doppelkomplexes werden durch die Erg"anzung dieses Kokernkomplexes exakt. Zus"atzlich sind bei dem so erg"anzten Doppelkomplex auch die Kerne der Morphismen zwischen den Spaltenkomplexen exakt. Nach \ref{TK} ist dann auch das Summentotal des erg"anzten Doppelkomplexes exakt. Es folgt, da"s die Surjektion auf den horizontalen Kokernkomplexes ein Quasiisomorphismus $\op{tot}^\oplus(P^{p,q})\qri A$ ist. Dieser Totalkomplex ist nach \ref{tothp} die gesuchte Quislinksentfaltung. \end{proof} \begin{Definition} Ein Komplex von Moduln hei"st {\bf quisflach},\index{quisflach!Komplex von Moduln} wenn das Da\-ran\-ten\-so\-rie\-ren eines exakten Komplexes von Rechtsmoduln "uber demselben Ring stets einen exakten Komplex liefert.\label{dquf} Analog f"ur Komplexe von Rechtsmoduln. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gleichbedeutend ist durch "Ubergang zum Abbildungskegel die Bedingung, da"s das Darantensorieren unseres Komplexes Quasiisomorphismen zu Quasiisomorphismen macht.\label{qflg} Ein Komplex $F$ von $k$-Rechtsmoduln ist also quisflach genau dann, wenn $Q (F\otimes_k): \op{Hot}(k\op{-Mod})\ra \op{Der}(\op{Ab})$ bereits "uber $\op{Der}(k\op{-Mod})$ faktorisiert, so da"s $Q(F\otimes_k)$ einen global definierten Linksfaktorierten hat und der zugeh"orige Morphismus f"ur alle $X$ ein Isomorphismus $$\sigma:{\op{L}}\big(Q(F\otimes_k)\big)(QX)\sira Q(F\otimes_kX)$$ ist. Wenn ein Komplex $P$ von Rechtsmoduln quislinksentfaltet ist, impliziert das dahingegen nach \ref{UBVR}, da"s er $G$-quislinksentfaltet ist f"ur jeden Funktor $G$, insbesondere f"ur die Funktoren $G=Q(\otimes_k X): \op{Hot}(\op{Mod-}k)\ra \op{Der}(\op{Ab})$, und da"s mithin der Linksfaktorierte ${\op{L}}(Q(\otimes_k X))$ bei $QP$ definiert ist und der nat"urliche Morphismus aus der Definition \ref{zLD} f"ur alle $X$ einen Isomorphismus $$\sigma: {\op{L}}\big(Q(\otimes_k X)\big)(QP)\sira Q(P\otimes_k X)$$ liefert. Wir zeigen in \ref{EqL} die Existenz quisflacher Linksaufl"osungen. Insbesondere besitzt jeder quislinksentfaltete Komplex eine quisflache Linksaufl"osung und diese wieder eine Linksentfaltung. Die Komposition mu"s in der Homotopiekategorie ein Isomorphismus sein, folglich ist jeder quislinksentfaltete Komplex ein direkter Summand eines quisflachen Komplexes und mithin auch selber quisflach. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Gegeben $k$ ein Ring und $F=(F^{p,q})_{q\leq 0}$ ein Doppelkomplex in der unteren Halbebene mit maximal spaltenden Zeilen aus flachen $k$-Moduln ist sein Summentotal quisflach.\label{qflo} \end{Proposition} \begin{proof} Gegeben $N$ ein exakter Komplex von Rechtsmoduln gilt es zu zeigen, da"s $ \op{tot}^\oplus(N^r\otimes_kF^{p,q})$ exakt ist. Da alle $F^{p,q}$ flach sind, sind in unserem Tripelkomplex alle $r$-Zeilen exakt. Da die $p$-Zeilen von $F^{p,q}$ maximal spalten, sind auch die Bilder der $p$-Morphismen zwischen $r$-Zeilen exakt. Damit ist nach \ref{TK} das Summentotal $\op{tot}^\oplus_{p,r}(N^r\otimes_kF^{p,q})$ exakt f"ur alle $q$. Das partielle Summentotal $\op{tot}^\oplus_{p,r}(N^r\otimes_kF^{p,q})$ des Tripelkomplexes ist also ein Doppelkomplex mit exakten $(p+r)$-Zeilen, dessen Spalten alias $q$-Zeilen verschwinden f"ur $q>0$. Damit ist sein Produktsummentotal exakt nach \ref{TK} und f"allt zusammen mit dem Summentotal. Dieses ist also auch exakt und ist ja gerade der Tensorkomplex. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Existenz quisflacher Linksaufl"osungen}] Gegeben ein Ring $k$ gibt es f"ur jeden Komplex $X$ von $k$-Moduln einen Quasiisomorphismus $F\qri X$ von einem quisflachen Komplex $F$ nach $X$.\label{EqL} \end{Satz} \begin{proof} Nach \eref{ECaR}{TG} besitzt er eine Cartan-Eilenberg-Untenaufl"osung durch flache Moduln. Das Summentotal einer derartigen Car\-tan-Ei\-le\-nberg-Un\-ten\-auf\-l"o\-sung ist quisflach nach \ref{qflo} und geht quasiisomorph nach $X$ mit demselben Argument wie bei der Konstruktion einer Quislinksentfaltung \ref{hprl}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Die {\bf Torsionsdimension}\index{Torsionsdimension} eines Rings $k$ wird erkl"art als das Supremum aller $q\in\DN$ derart, da"s es einen $k$-Rechtsmodul $M$ und einen $k$-Linksmodul $N$ gibt mit $\op{Tor}_q^k(M,N)\neq 0$. Wir sagen, ein Ring $k$ habe {\bf endliche Torsionsdimension},\index{endlich!Torsionsdimension} wenn\label{TorD} %\label{Torsionsdimension} seine Torsionsdimension nicht $\infty$ ist. Der Nullring hat Torsionsdimension $-\infty$ und hat in unseren Konventionen insbesondere endliche Torsionsdimension. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Beispiele f"ur quisflache Komplexe}] Jeder in Richtung der Differentiale beschr"ankte Komplex von flachen Moduln ist quisflach. "Uber einem Ring endlicher Torsionsdimension ist jeder Komplex flacher Moduln quisflach. \label{ften}\end{Proposition} \begin{Beispiel}\label{EApo} Jeder Komplex von tor\-sions\-frei\-en abelschen Gruppen ist quisflach, da ja abelsche Gruppen flach sind genau dann, wenn sie torsionsfrei sind, und da $\DZ$ die Torsionsdimension Eins hat, da ja jeder Untermodul eines torsionsfreien Moduls offensichtlich wieder torsionsfrei ist. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Der Komplex $X$ von freien $\Bbb{Z} / 4\Bbb{Z}$-Moduln \begin{displaymath} \ldots \ra \Bbb{Z}/4\Bbb{Z} \overset{2\cdot}{\rightarrow} \Bbb{Z}/4\Bbb{Z} \overset{2\cdot}{\rightarrow} \Bbb{Z}/4\Bbb{Z} \ra \ldots \end{displaymath} aus \ref{jgda} ist nicht quisflach in $\op{Hot}( \Bbb{Z}/4\Bbb{Z} \op{-Mod})$. Das wird aus Proposition \ref{TGgg} folgen, denn $0\ra X$ ist ein Quasiisomorphisms, bleibt aber kein Quasiisomorphismus unter $\otimes_{\Bbb{Z}/4\Bbb{Z}}(\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}[0])$. \end{Beispiel} \begin{proof} Gegeben ein in Richtung der Differentiale beschr"ankter Komplex $F$ von flachen Moduln und ein exakter Komplex $N$ von Rechtsmoduln hat der Doppelkomplex $N^p\otimes_k F^q$ exakte $p$-Zeilen und sein Produktsummentotal ist exakt nach \ref{TK} und f"allt wegen der Beschr"ankungen der Indizes mit dem Summentotal zusammen, ist also der Tensorkomplex. Gegeben im Fall endlicher Torsionsdimension ein beliebiger Komplex $F$ von flachen Moduln finden wir nach \ref{hprl} einen Quasiisomorphismus $P\qri F$ mit $P$ einem quislinksentfalteten und damit nach \ref{EApo} quisflachen Komplex, von dem wir au"serdem annehmen k"onnen, da"s er aus projektiven und insbesondere flachen Moduln besteht. Dann ist $\op{Keg}(P\ra F)$ ein Komplex von flachen Moduln und ist nach \ref{UbDe} f"ur jeden $k$-Rechtsmodul $M$ entfaltet in Bezug auf den Funktor $M\otimes_k$. Da der Kegel aber auch exakt ist, mu"s $M\otimes_k\op{Keg}(P\ra F)$ exakt sein f"ur alle $M$. F"ur jeden Komplex $X$ von Rechtsmoduln hat also $X^q\otimes_k\op{Keg}(P\ra F)^p$ exakte $p$-Zeilen und auch die Kerne der Morphismen zwischen den $p$-Zeilen sind exakt. Damit ist nach \ref{TK} das Summentotal alias der Tensorkomplex exakt und unser urspr"unglicher Quasiisomorphismus induziert einen Quasiisomorphismus $X\otimes_k P\qri X\otimes_kF$. Insbesondere ist mit $P$ auch $F$ quisflach. \end{proof} %Der Ring $\DZ$ hat Torsionsdimension Eins. %Im Fall eines Rings endlicher Torsionsdimension %sind sogar alle Paare von Komplexen, von denen einer % aus flachen Moduln besteht, % bereits entfaltet f"ur $(Q\circ\otimes_k)$. Man zeigt das wie zuvor, % nur da"s man \ref{ftene} statt \ref{ften} verwendet. %\begin{Lemma} % Ist $k$ ein Ring endlicher Torsionsdimension, so ist f"ur $F\in \op{Ket}(\op{Mod-}k)$ ein exakter Komplex von flachen Moduln und $Y\in \op{Ket}(k\op{-Mod})$ beliebig auch $F\otimes_kY$ exakt.\label{ftene} %\end{Lemma} %\begin{proof} % Der Tensorkomplex % ist per definitionem das Summentotal des %Doppelkomplexes $F^p\otimes_k Y^q$. %Nun sind nach \ref{UbDe} %die Zeilenkomplexe dieses Doppelkomplexes f"ur jedes $q$ exakt %und dasselbe gilt f"ur die Bilder der Kettenabbildungen zwischen den %Zeilenkomplexen. Also ist nach \ref{TK} das Summentotal %alias der Tensorkomplex exakt. %\end{proof} %\begin{Lemma} % Sei $k$ ein Ring. Gegeben $N\in \op{Ket}^-(\op{Mod-}k)$ ein exakter mit % den Differentialen beschr"ankter Komplex von flachen Moduln und $Y\in %\op{Ket}(k\op{-Mod})$ beliebig ist auch $N\otimes_kY$ exakt. %\end{Lemma} %\begin{proof} % Der Tensorkomplex % ist per definitionem das Summentotal des %Doppelkomplexes $N^p\otimes_k Y^q$. %Nun sind %die Zeilenkomplexe dieses Doppelkomplexes f"ur jedes $q$ exakt, %da ihre Kohomologie die Torsion des Nullmoduls mit $Y^q$ berechnet, %und dasselbe gilt f"ur die Bilder der Kettenabbildungen zwischen den %Zeilenkomplexen. Also ist nach \ref{TK} das Summentotal %alias der Tensorproduktkomplex exakt. %\end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Deriviertes Tensorprodukt}] Gegeben ein Ring $k$ gilt:\label{TGgg} \begin{enumerate} \item Der Funktor $(Q\circ \otimes_k):\op{Hot}(\op{Mod-}k)\times \op{Hot}(k\op{-Mod})\ra \op{Der}(\op{Ab})$ besitzt einen Linksfaktorierten in Bezug auf das Oresystem $S\times S$ aller Paare von Quasiisomorphismen, das \emph{\bf derivierte Tensorprodukt} $$\otimes_k^{\op{L}}:\op{Der}(\op{Mod-}k)\times \op{Der}(k\op{-Mod})\ra \op{Der}(\op{Ab})$$ \item Alle Paare $(F,G)$ mit $F$ und $G$ quisflach sind linksentfaltet f"ur $(Q\circ\otimes_k)$ und besagtes Oresystem. Wir nennen solche Paare abk"urzend \emph{\bf biquislinksentfaltet f"ur $(Q\circ\otimes_k)$};\index{biquislinksentfaltet} \item Sogar alle Paare von Komplexen $(X,Y)$ mit $X$ oder $Y$ quisflach sind biquislinksentfaltet f"ur $(Q\circ\otimes_k)$; \item Gegeben $X\in \op{Hot}(\op{Mod-}k)$ ist jeder quisflache Komplex $G\in \op{Hot}(k\op{-Mod})$ quislinksentfaltet f"ur den Funktor $Q\circ (X\otimes_k ):\op{Hot}(k\op{-Mod})\ra \op{Der}(\op{Ab})$ des einseitigen Tensorierens. Analoges gilt f"ur den anderen Tensorfaktor; \item Der Funktor $Q\circ (X\otimes_k )$ des einseitigen Tensorierens besitzt ebenfalls einen Linksfaktorierten ${\op{L}}(X\otimes_k):\op{Der}(k\op{-Mod})\ra \op{Der}(\op{Ab})$ und der nat"urliche Morphismus vom gr"o"seren Limes zum kleineren Limes ist ein Isomorphismus $$X\otimes_k^{\op{L}} Y\sira ({\op{L}}(X\otimes_k))(Y)$$ Analoges gilt f"ur den anderen Tensorfaktor. \end{enumerate} \label{hflex} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Terminologie f"ur derivierte Funktoren in mehreren Variablen}] Gegeben abelsche Kategorien $\mathcal A_1,\ldots,\mathcal A_r,\mathcal B$ und ein {\bf multiadditiver Funktor}\label{Tma} $$T:\mathcal A_1\times\ldots\times \mathcal A_r\ra \mathcal B$$ alias ein Funktor auf der Produktkategorie, der additiv ist in jeder Variablen, konstruieren wir in der offensichtlichen Weise einen Funktor $$\op{Hot}(T):\op{Hot}(\mathcal A_1)\times\ldots\times \op{Hot}(\mathcal A_r)\ra \op{Hot}(\mathcal B)$$ Auf der linken Seite bilden alle Tupel von Quasiisomorphismen ein Oresystem $S$. Den $S$-Rechtsfaktorierten von $(Q\circ \op{Hot}(T))$ nennen wir in dieser Situation wieder den {\bf Rechtsderivierten von $T$}\index{Rechtsderiviert!in mehreren Variablen} und notieren ihn $${\op{R}}T: \big(\op{Der}(\mathcal A_1)\times\ldots\times \op{Der}(\mathcal A_r) \big)_T\ra \op{Der}(\mathcal B)$$ Der untere Index $T$ k"urzt hier $(Q\circ \op{Hot}(T))$ ab und steht f"ur die volle Unterkategorie aller $(Q\circ \op{Hot}(T))$-$S$-rechtsentfaltbaren Tupel von Objekten, die wir in diesem Kontext auch k"urzer {\bf $T$-quisrechtsentfaltet} oder {\bf multiquisrechtsentfaltet f"ur $T$}\index{multiquisrechtsentfaltet} nennen. In derselben Weise erkl"aren wir den {\bf Linksderivierten von $T$}. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Nochmal in Ruhe durchgehen.} \begin{proof} 1. Jeder Komplex von Moduln besitzt nach \ref{hprl} eine Quislinksentfaltung und das zeigt bereits die erste Aussage. \\[2mm]\noindent 2. Jeder Komplex von Ringmoduln besitzt nach \ref{EqL} eine quisflache Linksaufl"osung. Jedes Paar von Quasiisomorphismen $(X,Y)\ra (F,G)$ k"onnen wir insbesondere verl"angern durch ein Paar von Quasiisomorphismen $(F',G')\ra (X,Y)$ mit $F',G'$ quisflach. Wir m"ussen dann nur zeigen, da"s f"ur $(F,G)$ auch beide quisflach die Komposition einen Quasiisomorphismus $F'\otimes_kG'\qri F\otimes_k G$ induziert. Nun k"onnen wir diese Komposition faktorisieren als $$F'\otimes_kG'\ra F\otimes_k G'\ra F\otimes_k G$$ Der Kegel "uber dem ersten Morphismus ist $\op{Keg}(F'\ra F)\otimes_k G'$ und exakt, da $\op{Keg}(F'\ra F)$ exakt ist und $G'$ quisflach, also ist der erste Morphismus unserer Sequenz ein Quasiisomorphismus. Analog sehen wir, da"s der zweite Morphismus auch ein Quasiisomorphismus sein mu"s. \\[2mm]\noindent 3. Gegeben ein Paar $(F,Y)$ mit $F$ quisflach finden wir einen Quasiisomorphismus $G\qri Y$ mit $G$ ebenfalls quisflach. Dann ist einerseits $(F,G)\ra (F,Y)$ eine Quislinksentfaltung f"ur $Q\circ\otimes_k$ nach Teil 2 und andererseits $F\otimes _kG \ra F\otimes_k Y$ ein Quasiisomorphismus aufgrund der Exaktheit des Abbildungskegels $F\otimes_k\op{Keg}(G \ra Y)$ und das zeigt die Behauptung. \\[2mm]\noindent 4. Jeder Quasiisomorphismus $Y\qri G$ l"a"st sich verl"angern durch einen Quasiisomorphismus $G'\qri Y$ mit $G'$ quisflach. Nach Teil 3 liefert dann das Darantensorieren von einem beliebigen Komplex $X$ einen Quasiisomorphismus $X\otimes_k G'\qri X\otimes_k G$. Mehr war nicht zu zeigen. \\[2mm]\noindent 5. Die vierte Aussage folgt unmittelbar aus den beiden vorhergehenden Aussagen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Jeder quislinksentfaltete Komplex $P$ von $k$-Moduln ist quisflach. In der Tat gilt f"ur jeden exakten Komplex $N$ von $k$-Rechtsmoduln $QN=0$ und damit $N\otimes^{\op{L}}P=0$ und damit nach \ref{hflex} auch $({\op{L}}(N\otimes))(P)=0$ und damit wegen $P$ quislinksentfaltet $Q(N\otimes P)=0$ und so $N\otimes P$ exakt. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition*}[\textbf{Deriviertes Tensorprodukt mit azyklischem Komplex}] Gegeben $k$ ein Ring, $C$ ein $k$-Rechtsmodul und $F=(F^{p,q})_{q\leq 0}$ ein Doppelkomplex in der unteren Halbebene mit maximal spaltenden Zeilen aus $(C\otimes_k)$-azyklischen $k$-Moduln ist sein Summentotal $(C\otimes_k)$-quislinksentfaltet.\label{qfloV} \end{Proposition*} \begin{Bemerkungl} Diese Proposition ben"otigen wir bei der Diskussion von Basiswechsel f"ur Moduln und Modulgarben. Sie sollte noch mehr Varianten haben, die Aussagen von der Art machen, da"s Paare von Komplexen $(X,Y)$ biquislinksentfaltet sind f"ur $\otimes_k$, wenn ihre Eintr"age untereinander keine h"oheren Torsionsgruppen haben und Beschr"ankungsbedingungen oder Spaltungsbedingungen oder endliche Torsionsdimension vorausgesetzt werden. Dem mag einmal ein Student nachgehen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir argumentieren "ahnlich wie beim Beweis von \ref{qflo}. Gegeben $L^\rhd$ eine flache Linksaufl"osung von $C$ und $$N\pdef \op{Keg}(L^\rhd \ra [0]C)$$ der Abbildungskegel zeigen wir, da"s $ \op{tot}^\oplus(N^r\otimes_kF^{p,q})$ exakt ist. Da alle $F^{p,q}$ nach Annahme $(C\otimes_k)$-azyklisch sind, mu"s der $r$-Komplex $L^r\otimes_k F^{p,q}$ exakt sein bei $r\neq 0$ und bei $r=0$ die Kohomologie $C\otimes_kF^{p,q}$ haben. Der $r$-Komplex $N^r\otimes_k F^{p,q}$ ist mithin exakt. Also sind in unserem Tripelkomplex alle $r$-Zeilen exakt. Da die $p$-Zeilen von $F^{p,q}$ maximal spalten, sind auch die Bilder der $p$-Morphismen zwischen $r$-Zeilen exakt. Damit ist nach \ref{TK} das Summentotal $\op{tot}^\oplus_{p,r}(N^r\otimes_kF^{p,q})$ exakt f"ur alle $q$. Das partielle Summentotal $\op{tot}^\oplus_{p,r}(N^r\otimes_kF^{p,q})$ des Tripelkomplexes ist also ein Doppelkomplex mit exakten $(p+r)$-Zeilen, dessen Spalten alias $q$-Zeilen verschwinden f"ur $q>0$. Damit ist sein Produktsummentotal exakt nach \ref{TK} und f"allt zusammen mit dem Summentotal. Dieses ist also auch exakt und ist ja gerade der Tensorkomplex. Wir folgern, da"s $L^\rhd \ra [0]C$ einen Quasiisomorphismus $$L^\rhd \otimes_k\op{tot}^\oplus(F^{p,q}) \qri C\otimes_k\op{tot}^\oplus(F^{p,q}) $$ induziert. Von der linken Seite wissen wir jedoch bereits nach \ref{TGgg}, da"s sie auch das derivierte Tensorprodukt liefert. Das zeigt die Behauptung. \end{proof} \begin{Bemerkungw} Wir erinnern den Schmelzfunktor $\mathcal H: \op{Hot}(\op{Ab})\ra \op{sgAb}$ der totalen Homologie aus \eref{juzt}{TSK}. In \eref{dERab}{TSF} versehen wir $\op{Der}(\op{Ab})$ mit der Struktur einer Schmelzkategorie mit interner triangulierter Struktur und zeigen in \eref{gHsf}{TSF}, da"s der Schmelzfunktor der Homologie eindeutig "uber einen Schmelzfunktor $\mathcal H: \op{Der}(\op{Ab})\ra \op{sgAb}$ faktorisiert. In \eref{dERk}{TSF} f"uhren wir das analog f"ur Moduln "uber einem Kring $k$ aus und in \eref{KoLe}{TSF} f"ur Modulgarben "uber einer Kringgarbe. \end{Bemerkungw} \begin{Proposition} Gegeben ein Ring $k$ gilt:\label{HGgg} \begin{enumerate} \item Der Funktor $Q\circ \op{Hom}_k:\op{Hot}(k\op{-Mod})^{\op{opp}}\times \op{Hot}(k\op{-Mod})\ra \op{Der}(\op{Ab})$ besitzt einen Rechtsfaktorierten, den \emph{\bf derivierten Homomorphismenkomplex} $$\op{RHom}_k:\op{Der}(k\op{-Mod})^{\op{opp}}\times \op{Der}(k\op{-Mod})\ra \op{Der}(\op{Ab})$$ \item Gegeben ein Komplex von $k$-Moduln $X\in \op{Hot}(k\op{-Mod})$ besitzt der Funktor $Q\circ \op{Hom}_k(X,\;):\op{Hot}(k\op{-Mod})\ra \op{Der}(\op{Ab})$ ebenfalls einen Rechtsfaktorierten ${\op{R}}(\op{Hom}_k(X,\;)):\op{Der}(k\op{-Mod})\ra \op{Der}(\op{Ab})$ und der nat"urliche Morphismus vom kleineren Kolimes zum gr"o"seren Kolimes ist ein Isomorphismus $${\op{R}}(\op{Hom}_k(X,\;))( Y)\sira \op{RHom}_k(X,Y)$$ \item Gegeben ein Komplex von $k$-Moduln $Y\in \op{Hot}(k\op{-Mod})$ besitzt der Funktor $Q\circ \op{Hom}_k(\;,Y):\op{Hot}(k\op{-Mod})^{\op{opp}}\ra \op{Der}(\op{Ab})$ ebenfalls einen Rechtsfaktorierten ${\op{R}}(\op{Hom}_k(\;,Y)):\op{Der}(k\op{-Mod})^{\op{opp}}\ra \op{Der}(\op{Ab})$ und der nat"urliche Morphismus vom kleineren Kolimes zum gr"o"seren Kolimes ist ein Isomorphismus $${\op{R}}(\op{Hom}_k(\;,Y))( X)\sira \op{RHom}_k(X,Y)$$ \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s f"ur jeden Ring alle in der Richtung gegen die Differentiale beschr"ankten Komplexe aus injektiven Moduln quisrechtsentfaltet sind und alle in Richtung der Differentiale beschr"ankten Komplexe aus projektiven Moduln quislinksentfaltet. Ich erinnere daran, da"s f"ur einen Ring endlicher homologischer Dimension nach \ref{UGTRn} alle Komplexe aus injektiven Moduln quisrechtsentfaltet sind und alle Komplexe aus projektiven Moduln quislinksentfaltet. Ich erinnere auch noch an die in \ref{DerRH} und \ref{Derev} f"ur jede abelsche Kategorie $\mathcal A$ hergeleiteten Isomorphismen $\mathcal H^0\op{RHom}_{\mathcal A}(X,Y)\sira \op{Der}_{\mathcal A}(X,Y)$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Jeder Komplex von Moduln besitzt nach \ref{hprl} eine Quislinksentfaltung und nach \ref{hpri} eine Quisrechtsentfaltung und das zeigt bereits die erste Aussage. F"ur Teil 2 gilt es zu zeigen, da"s $(X,Y)$ bereits quisquisrechtsentfaltet ist f"ur $(Q\circ \op{Hom}_k)$, wenn $Y$ quisrechtsentfaltet ist. Mit denselben Argumenten wie beim Tensorprodukt reicht es zu zeigen, da"s $\op{Hom}_k(E,Y)$ exakt ist f"ur $Y$ quis\-rechts\-ent\-fal\-tet und $E$ exakt. Das haben wir aber bereits beim Beweis von \ref{tothi} in gr"o"serer Allgemeinheit gesehen f"ur $Y$ das Produkttotal einer Cartan-Eilenberg-Aufl"osung durch Injektive und nach \ref{hpri} ist jeder quisrechtsentfaltete Komplex von $k$-Moduln homotopie"aquivalent zu so einem Produkttotal. F"ur Teil 3 gilt es zu zeigen, da"s $(X,Y)$ bereits quisquisrechtsentfaltet ist f"ur $(Q\circ \op{Hom}_k)$, wenn $X$ quislinksentfaltet ist. Mit denselben Argumenten wie beim Tensorprodukt reicht es zu zeigen, da"s $\op{Hom}_k(X,E)$ exakt ist f"ur $X$ quislinksentfaltet und $E$ exakt. Das geht genau wie in Teil 2, aber diesmal schreiben wir es genauer aus. Nach \ref{hprl} und seinem Beweis d"urfen wir annehmen, da"s $X=\op{tot}^\oplus(P^{p,q})$ das Summentotal der Cartan-Eilenberg-Aufl"osung durch Projektive $(P^{p,q})_{q\leq 0}$ eines beliebig vorgegebenen Komplexes ist. Mithin ist $\op{Hom}_k(X,E)$ das Produkttotal des Tripelkomplexes $\op{tot}^\pi\op{Hom}_k(P^{p,q},E^r)$. Da die $P^{p,q}$ projektive Moduln sind, hat unser Tripelkomplex exakte $r$-Komplexe. Da die $p$-Komplexe $P^{p,q}$ sogar maximal spaltende Komplexe projektiver Moduln sind, sind auch die Kerne der $p$-Differentiale zwischen den $r$-Komplexen exakt. Nach \ref{TK} ist also das partielle Produkttotal $\op{tot}^\pi_{p,r} (\op{Hom}_k(P^{p,q}, E^r))$ exakt f"ur alle $q$. Dann ist aber wieder nach \ref{TK} auch $\op{tot}^\pi \big(\op{tot}^\pi_{p,r}(\op{Hom}_k(P^{p,q}, E^r))\big)$ exakt als Produktsummentotal eines Doppelkomplexes mit exakten Zeilen, mit dem das Produkttotal wegen unserer Einschr"ankung $q\leq 0$ "ubereinstimmt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{adJTH} F"ur jeden Ring $k$ und $X\in\op{Der}(k\op{-Mod})$ ist ${\op{L}}(\otimes_k X):\op{Der}(k\op{-Mod})\ra \op{Der}(\op{Ab})$ linksadjungiert zu $\op{RHom}_\DZ(X,\;)$. Das folgt aus unseren allgemeinen Erkentnissen \ref{AdJD} zu Adjunktionen faktorierter Funktoren. F"ur jeden Kring $k$ und $X\in\op{Der}(k\op{-Mod})$ ist analog ${\op{L}}(\otimes_k X):\op{Der}(k\op{-Mod})\ra \op{Der}(k\op{-Mod})$ linksadjungiert zu $\op{RHom}_k(X,\;)$. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Ist das folgende hier n"otig? Wo soll es hin? Bezug zu \eref{SPmk}{TG}?} \begin{Bemerkunge} Allgemeiner und formaler erkl"aren wir f"ur jede endliche Menge $I$ einen {\bf $I$-Multikomplex} als eine $\DZ^I$-graduierte abelsche Gruppe mit Gruppenhomomorphismen $\partial_i=\partial_i^\alpha: A^\alpha\ra A^{\alpha+\op{e}_i}$ f"ur $i\in I$, $\alpha\in \DZ^I$ derart, da"s gilt $\partial_i\partial_j=\partial_j\partial_i\;\forall i,j$ und $\partial_i^2=0\;\forall i$. Oft arbeiten wir mit $I=\{1,2,\ldots,l\}$ und schreiben\label{SpMK} $\alpha$ als Zeilenvektor $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_l)$ und lassen die Klammern beim oberen Index auch noch weg, also $A^\alpha=A^{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_l}$. Die Menge $I\pdef\{1,2,\ldots,l\}$ hat im Gegensatz zu einer beliebigen endlichen Menge $I$ eine ausgezeichnete Anordnung und es gilt im folgenden, deren implizite Verwendung zu vermeiden. Unseren Doppelkomplex verstehen wir als einen $\{1,2\}$-Multikomplex. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Gegeben ein $I$-Multikomplex $A$ erkl"aren wir f"ur jede Anordnung $\omega$ von $I$ den zugeh"origen Totalkomplex $T=\op{Tot}_\omega(A)$ mit $$T^n=\bigoplus_{p+q+\ldots+r+s=n}A^{p,q,\ldots,r,s}$$ und mit dem Differential $\partial_1 +(-1)^p\partial_2 +\ldots +(-1)^{p+q+\ldots+r}\partial_l$ im Fall $I=\{1,\ldots,l\}$ mit der "ublichen Anordnung und analog im allgemeinen. Ist $\eta$ eine andere Anordnung auf $I$, so liefert die Multiplikation mit dem \glqq Signum der auf den ungeraden Eintr"agen induzierten Umordnung\grqq\ auf den Komponenten einen Isomorphismus $\op{Tot}_\omega(A)\sira \op{Tot}_\eta(A)$.\label{ReiDo} \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein $I$-Multikomplex $A$ betrachten wir allgemeiner f"ur jede Teilmenge $J\subset I$\label{tMk} und jedes $\beta\in \DZ^{I\backslash J}$ den {\bf $J$-Teilmultikomplex} mit Differentialen $\partial_i$ f"ur $i\in J$ und zu $\beta$ fixierten Indizes f"ur $i\not\in J$. Als Notation schlage ich $A^{p,q=5}$ vor f"ur den Zeilenkomplex in H"ohe $q=5$ eines Doppelkomplexes $A^{p,q}$ und $A^{p=3,q}$ f"ur seinen Spaltenkomplex mit $p=3$. Andererseits bilden f"ur festes $i\in I$ die Kerne und Bilder von $\partial_i$ Untermultikomplexe und die Kokerne und Bilder von $\partial_i$ Quotientenmultikomplexe unseres urspr"unglichen $I$-Multikomplexes und wir erhalten so $I$-Multikomplexe mit verschwindendem $\partial_i$. Der senkrechte Kernkomplex ist in dieser Terminologie einer der $\{2\}$-Teilkomplexe des Doppelkomplexes $\op{ker}\partial_1$, genauer der Teilkomplex $(\op{ker}\partial_1)^{p=0,q}$. \nichtfinal{(Gute Notation? Mu"s sich noch bew"ahren! Bisher hatte ich nur $p$-Zeilen.)} \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Abstrakte K"unnethformel}] Gegeben Komplexe von abelschen Gruppen $C,D\in\op{Der}(\op{Ab})$ konstruiere man nat"urliche unnat"urlich spaltende kurze exakte Sequenzen\label{HTPKl} $$\bigoplus_{p+q=n}\mathcal H^p C\otimes \mathcal H^q D \;\hra\; \mathcal H^n(C\otimes^{\op{L}} D)\;\sra\; \bigoplus_{p+q=n+1}\mathcal H^p C\ast \mathcal H^q D$$ Hinweis: Man wiederhole die Definitionen und erinnere den Beweis den K"unneth\-formel \eref{kueF}{TS}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Abstraktes universelles Koeffiziententheorem}] Gegeben $X\in \op{Der}(\op{Ab})$ und eine abelsche Gruppe $G$ konstruiere man nat"urliche und unnat"urlich spaltende kurze exakte Sequenzen\label{AuKo} $$ \op{Ext}(\mathcal H^{1}(X),G)\hra \mathcal H^{0}(X{\Rrightarrow}G[0])\sra \op{Hom}(\mathcal H^{0}(X),G)$$ Hinweis: Man w"ahle eine injektive zwei-Schritt-Aufl"osung von $G$, betrachte diese kurze exakte Sequenz als ausgezeichnetes Dreieck, wende $X{\Rrightarrow}$ an, und bilde die lange exakte Homologiesequenz. Nach \ref{DKHa} wissen wir zus"atzlich, da"s jedes Objekt $X\in\op{Der}(\op{Ab})$ unkanonisch isomorph ist zu seiner totalen Kohomologie. \end{Ubung} \subsection{Produkte und Koprodukte in derivierten Kategorien} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkte und Koprodukte in Homotopiekategorien}] Ich erinnere an "Ubung \eref{pinHO}{TG}. Seien $\mathcal A$ eine Kategorie mit additiver Struktur und $(C_i)_{i\in I}$ eine Familie von Komplexen $(C_i^q,d)$ aus $\op{Ket}_{\mathcal A}$. Existiert f"ur jedes $q$ das Produkt $\prod_{i\in I} C_i^q$ in $\mathcal A$, so ist der aus diesen Produkten gebildete Komplex nicht nur in $\op{Ket}_{\mathcal A}$, sondern auch in\label{pinHOc} $\op{Hot}_{\mathcal A}$ das Produkt der $C_i$. Analoges gilt f"ur Koprodukte, entweder mit einem analogen Beweis oder formal durch "Ubergang zur opponierten Kategorie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Limites und Kolimites in Homotopiekategorien}] F"ur Limites und Kolimites sind mir die zu \ref{pinHOc} analogen Aussagen nicht klar. Das Problem liegt darin, da"s zwar das Bilden von Produkten abelscher Gruppen exakt ist, das Bilden von Limites abelscher Gruppen jedoch im allgemeinen nicht mehr. \end{Bemerkunge} \begin{Proposition}[\textbf{Produkte und Koprodukte in derivierten Kategorien}] Sei $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie.\label{PderKc} \begin{enumerate} \item Ist $(C_i)_{i\in I}$ eine Familie quisrechtsentfalteter Komplexe aus $\op{Ket}_{\mathcal A}$ und existiert jeweils das Produkt der $C_i^q$ in $\mathcal A$, so liefert der Komplex der gliedweisen Produkte ein Produkt der $C_i$ in $\op{Ket}_{\mathcal A},\op{Hot}_{\mathcal A}$ und $\op{Der}_{\mathcal A}$; \item Besitzt jedes Objekt von $\op{Hot}_{\mathcal A}$ eine Quisrechtsentfaltung und ist $(D_i)_{i\in I}$ eine Familie von Komplexen aus $\op{Ket}_{\mathcal A}$ und existiert jeweils das Koprodukt der $D_i^q$ in $\mathcal A$, so liefert der Komplex der gliedweisen Koprodukte ein Koprodukt der $D_i$ in $\op{Ket}_{\mathcal A},\op{Hot}_{\mathcal A}$ und $\op{Der}_{\mathcal A}$; \item Weitere Aussagen derselben Art erhalten wir durch das Anwenden obiger Aussagen auf $\mathcal A^{\op{opp}}$. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Limites und Kolimites in derivierten Kategorien}] Die Frage allgemeinerer Limites und Kolimites in derivierten Kategorien behandeln wir hier nicht weiter. Die im gleich folgenden Beweis gegebene Argumentation direkt zu verallgemeinern scheitert daran, da"s \ref{pinHOc} nicht in der n"otigen Allgemeinheit gezeigt wurde. \end{Bemerkunge} \begin{proof} 1. Wir wissen bereits aus \ref{pinHOc}, da"s der Komplex der gliedweisen Produkte ein Produkt in der Homotopiekategorie $\op{Hot}_{\mathcal A}$ ist. Nach \ref{LireE} ist weiter jeder Limes in $\op{Hot}_{\mathcal A}$ von quisrechtsentfalteten Komplexen\index{Produkt!in derivierter Kategorie} wieder quisrechtsentfaltet. Damit folgt die Behauptung aus unseren allgemeinen Erkenntnissen \ref{vtKLl} "uber Limites rechtsentfalteter Objekte in Lokalisierungen. \\[2mm]\noindent 2. Wir wissen bereits aus \ref{pinHOc}, da"s der Komplex der gliedweisen Koprodukte ein Koprodukt in der Homotopiekategorie $\op{Hot}_{\mathcal A}$ ist. Unter unseren Annahmen besitzt weiter der Lokalisierungsfunktor $\op{Hot}_{\mathcal A}\ra \op{Der}_{\mathcal A}$ einen Rechtsadjungierten und vertauscht folglich mit Kolimites und insbesondere mit Koprodukten. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ist $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie und besitzt jedes Objekt von $\op{Hot}_{\mathcal A}$ eine Quisrechtsentfaltung und hat $\mathcal A$ alle $I$-Produkte und alle $I$-Koprodukte, so gilt dasselbe f"ur $\op{Der}_\mathcal A$. Das alles folgt leicht aus unserer Proposition \ref{PderKc}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Spezielle Produkte in derivierten Kategorien}] Ist $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie mit genug Injektiven und sind $\mathcal F_n\in \op{Hot}^{\geq n}(\mathcal A)$ gegeben f"ur $n\geq 0$, so ist das gliedweise Produkt der $\mathcal F_n$ auch das Produkt in der derivierten Kategorie. In der Tat finden wir Quasiisomorphismen $\mathcal F_n\qri \mathcal I_n$ mit $\mathcal I_n\in \op{Hot}^{\geq n}({\op{i}}\mathcal A)$ und diese sind Quisrechtsentfaltungen und diese Quasiisomorphismen induzieren einen Quasiisomorphismus vom gliedweisen Produkt der $\mathcal F_n$ in das gliedweise Produkt der $\mathcal I_n$, das seinerseits nach \ref{PderKc} ein Produkt in $\op{Der}(\mathcal A)$ ist. Die Besonderheit dieser Situation liegt darin, da"s in diesem speziellen Fall \glqq bei der Konstruktion der gliedweisen Produkte nur endliche Produkte in $\mathcal A$ zu betrachten sind\grqq. So kann man in dieser speziellen Situation Fragen der Exaktheit unendlicher Produkte aus dem Weg gehen.\label{PderKi} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkte und Koprodukte derivierter Moduln}] Gegeben seien ein Ring $A$ und ein Universum $\mathfrak U$. Existieren f"ur eine Menge $I$ alle $I$-Koprodukte in der Kategorie der $A$-Moduln $\mathfrak U\!\op{Mod}_A$, so existieren auch alle $I$-Koprodukte in den Kategorien $\mathfrak U\!\op{Ket}(\op{Mod}_A)$, $\mathfrak U\!\op{Hot}(\op{Mod}_A)$, $\mathfrak U\!\op{Der}(\op{Mod}_A)$ und stimmen "uberein mit den offensichtlichen gliedweisen Koprodukten. Das folgt mit dem zweiten Teil unserer Proposition \ref{PderKc} aus der Existenz von Quisrechtsentfaltungen \ref{hpri} beliebiger Homotopiekomplexe in unserer abelschen Kategorie. Dasselbe gilt f"ur Produkte und folgt mit dem zweiten Teil und dritten unserer Proposition \ref{PderKc} aus der Existenz von Quislinksentfaltungen \ref{hprl} beliebiger Homotopiekomplexe in unserer abelschen Kategorie.\label{PrDeM} \end{Bemerkungl} \subsection{Universelle derivierte Funktoren*} \label{tDF} \begin{Definition}\label{iAr} Seien $Q:\mathcal{A} \ra \mathcal{B}$ und $F : \mathcal{A} \ra \mathcal{C}$ Funktoren. Unter einer {\bf Rechtsapproximation an $F$ durch $Q$}\index{Rechtsapproximation} verstehen wir ein Paar $(G,\sigma)$ bestehend aus einem Funktor $G: \mathcal{B} \ra \mathcal{C}$ nebst einer Transformation $\sigma : F \Rightarrow G Q$, im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{A} \ar[rr]^{F} \ar[dr]_{Q} &\ar@2{->}[d]_{\sigma} &\mathcal{C}\\ & \mathcal{B} \ar[ur]_{G}& } \end{displaymath} Unter einer \defnoind{initialen Rechtsapproximation} verstehen wir eine Rechtsapproximation $(\bar{F} ,\tau)$ derart, da"s f"ur alle Funktoren $G : \mathcal{B} \ra \mathcal{C}$ die Abbildung $\alpha \mapsto (\alpha Q) \circ \tau$ eine Bijektion \begin{displaymath} \mathcal C^{\mathcal B} (\bar{F}, G) \sira \mathcal C^{\mathcal A} (F, G Q) \end{displaymath} zwischen den entsprechenden R"aumen von Transformationen induziert. Eine ini\-tiale Rechtsapproximation hei"st auch eine {\bf Rechts-Kan-Erweiterung}\index{Kan-Erweiterung} nach dem Mathematiker Daniel Kan. \end{Definition} \begin{Beispiel} Ist $Q$ \hyperref[EGLoN]{volldicht}, so ist jedes $(\bar{F} ,\tau)$ mit $\tau$ einer Isotransformation $\tau:F\siRa \bar F Q$ eine initiale Rechtsapproximation.\label{TDER} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit initialer Rechtsapproximationen}] Verstehen wir die Gesamtheit aller Rechtsapproximationen an $F$ durch $Q$ in geeigneter\label{AdRDr} Weise als eine Kategorie, so ist eine initiale Rechtsapproximation ein initiales Objekt dieser Kategorie. So weit will ich jedoch nicht gehen, da es mir auch so schon klar scheint, da"s eine initiale Rechtsapproximation eindeutig ist bis auf eindeutigen Isomorphismus, falls sie denn existiert. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Initiale Rechtsapproximation durch Rechtsadjungierte}] Gegeben Funktoren $Q:\mathcal{A} \ra \mathcal{B}$ und $F : \mathcal{A} \ra \mathcal{C}$ mag man die Definition einer Rechtsapproximation an $F$ durch $Q$ umformulieren als die Aussage, da"s ein partieller Linksadjungierter des durch Vorschalten von $Q$ erkl"arten Funktors $$(\circ Q): \mathcal C^{\mathcal B} \ra \mathcal C^{\mathcal A}$$ bei $F$ existiert und dort den Wert $\bar F$ annimmt. Besitzt nun $Q$ selber einen Rechtsadjungierten $R$, so bilden nach \eref{adjFK}{TF} auch die auf den Funktorkategorien induzierten Funktoren ein adjungiertes Paar $((\circ R),(\circ Q))$ und "uberhaupt jeder Funktor $F$ besitzt eine initiale Rechtsapproximation durch $Q$, n"amlich den Funktor $FR$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Die entsprechenden Konzepte nach "Ubergang zu den opponierten Kategorien hei"sen {\bf Linksapproximation}\index{Linksapproximation} und {\bf finale Linksapproximation}\index{Linksapproximation!finale} alias {\bf Links-Kan-Erweiterung}.\index{Kan-Erweiterung} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Approximationen bei Lokalisierungen}]\label{iArt} Seien $\mathcal{A}$ eine Kategorie, $S$ eine Menge von Morphismen von $\mathcal A$ und $F : \mathcal{A} \ra \mathcal{C}$ ein Funktor. Eine initiale Rechtsapproximation $(\bar F,\tau)$ an den Funktor $F$ durch den Lokalisierungsfunktor $Q:\mathcal{A}\ra \mathcal{A}_S$ %nennen wir einen {\bf universellen Rechtsderivierter} oder kurz %{\bf Rechtsderivierter von $F$}.\index{Rechtsderivierter!universeller} notieren wir\index{R@${_{\op{a}}\hspace{-4pt}\op{R}}F$ initiale Rechtsapproximation} $\bar F={_{\op{a}}\hspace{-4pt}\op{R}}F$ und eine finale Linksapproximation ${_{\op{a}}\!\!\op{L}}F$. \index{Linksapproximation!finale} \index{L@${_{\op{a}}\hspace{-4pt}\op{L}}F$ finale Linksapproximation} In der Literatur hei"sen vielfach diese Approximationen oder vielmehr gewisse Spezialisierungen zu Situationen im Zusammenhang mit triangulierten oder noch spezieller derivierten Kategorien die \glqq derivierten Funktoren\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Fakorisiert $F$ bereits selbst durch die Lokalisierung, gibt es also ein Paar $(\bar F,\tau)$ mit $\tau$ einer Isotransformation, so ist nach \ref{TDER} sowohl dies Paar eine initiale Rechtsapproximation als auch das Paar $(\bar F,\tau^{-1})$ ein finale Linksapproximation. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Seien $\mathcal{A}$ eine Kategorie, $S$ ein Rechtsoresystem von Morphismen von $\mathcal A$ und $F : \mathcal{A} \ra \mathcal{C}$ ein Funktor. Landet der Indrechtsfaktorierte von $F$ aus \ref{urdv} in der vollen Unterkategorie der essentiell konstanten Indobjekte, so liefert er unter Nachschalten eines Quasiinversen der "Aquivalenz von $\mathcal{C}$ und der Kategorie seiner essentiell konstanten Indobjekte auch eine initiale Rechtsapproximation von $F$. Analoges gilt mit Links. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Initiale Rechtsapproximation eines Yoneda-Funktors}] Seien $\mathcal A$ eine Kategorie, $S$ eine Menge von Morphismen in $\mathcal A$ und $Q : \mathcal A\rightarrow \mathcal A_{S}$ der Lokalisierungsfunktor. Sei $\mathfrak U$ ein Mengensystem derart, da"s $\mathcal A$ und $\mathcal A_S$ beide \hyperref[KatKa]{$\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorien} sind. F"ur $X \in \mathcal A$ ist dann der Yoneda-Funktor $\check{X}_S \pdef \mathcal A_S (X,\;)$ mit der offensichtlichen Transformation\label{TDYo} $\tau:\mathcal A (X, \;) \Rightarrow \mathcal A_S (X, \;)$ die initiale Rechtsapproximation des Yoneda-Funktors $\check{X} := \mathcal A (X, \;) : \mathcal A \rightarrow \mathfrak U{ \op{Ens}}$, im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{A} \ar[rr]^{\check X} \ar[dr]_{Q} &\ar@2{->}[d]_{\tau} &\mathfrak{U}{\op{Ens}}\\ & \mathcal{A}_S \ar[ur]_{\check X_S}& } \end{displaymath} \end{Lemma} \begin{proof} Gegeben ein Funktor $G : \mathcal A_S \rightarrow \mathfrak U {\op{Ens}}$ und eine Transformation $\alpha : \check{X} \Rightarrow GQ$ konstruieren eine Transformation $\alpha_S : \check X_S \Rightarrow G$ wie folgt: Morphismen in $\mathcal A_S$ sind ja nach \ref{EAdLl} "Aquivalenzklassen von Wegen in der Wegekategorie des K"ochers. So ein Weg ist eine Folge \begin{equation*} X = Z_0 \leftrightarrow Z_1 \leftrightarrow \ldots \leftrightarrow Z_n = Y \end{equation*} mit jedem Doppelpfeil entweder einem Morphismus $Z_{i-1} \rightarrow Z_i$ oder einem Morphismus $Z_i \rightarrow Z_{i-1}$ aus $S$. Unserer Transformation $\alpha$ f"uhrt dann zu kommutativen Diagrammen \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal A (X,Z_0)\ar[d] \ar@{<->}[r] & \mathcal A(X,Z_1) \ar[d] \ar@{<->}[r]& \ldots \ar@{<->}[r] & \mathcal A(X,Z_n)\ar[d] \\ G(Z_0) \ar@{<->}[r]& G(Z_1) \ar@{<->}[r] & \ldots \ar@{<->}[r] & G(Z_n) } \end{displaymath} Da $GQ$ Morphismen aus $S$ zu Isomorphismen macht, sind in der unteren Horizontale alle Morphismen von rechts nach links Bijektionen. Jeder Weg liefert so eine Abbildung $G (X) \rightarrow G (Y)$. Man pr"uft leicht, da"s "aquivalente Wege dieselbe Abbildung liefern, so da"s unser $\alpha$ uns wohlbestimmte Abbildungen \begin{equation*} \mathcal A_S (X,Y) \rightarrow \op{Ens} (G (X), G(Y)) \end{equation*} liefert, die bei festem $X$ sogar eine Transformation der entsprechenden Funktoren $\mathcal A_S \rightarrow \op{Ens}$ bilden. Betrachten wir schlie"slich in $G(X)$ das Element $\alpha (\op{id}_X)$, so liefert das Anwenden auf dies Element f"ur unser festes $X$ nat"urliche Abbildungen $\op{Ens}( G(X), G(Y)) \rightarrow G(Y)$ und wir erhalten insgesamt eine Transformation $\alpha_S : \check X_S \Rightarrow G$. Man pr"uft leicht, da"s die Abbildung $\alpha\mapsto \alpha_S$ invers ist zur Abbildung $$\op{Cat}(\mathcal A_S,\mathfrak U {\op{Ens}})(\check X_S,G) \ra\op{Cat}(\mathcal A,\mathfrak U {\op{Ens}})(\check X,GQ)$$ gegeben durch die Abbildungsvorschrift $\beta\mapsto (\beta Q)\circ \tau$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Sei $\mathfrak U$ ein Mengensystem. F"ur jede \hyperref[KatKa]{$\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie} $\mathcal A$ betrachten wir den {\bf Morphismenfunktor}\index{Morphismenfunktor} gegeben durch $\op{Mor}_{\cal A}: (X,Y)\mapsto \mathcal A(X,Y)$. Das ist also ein Funktor $$\op{Mor}_{\cal A}:\mathcal A^{\op{opp}}\times \mathcal A \ra\mathfrak{U}{\op{Ens}}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Initiale Rechtsapproximation des Morphismenfunktors}] Seien $\mathcal A$ eine Kategorie und $S$ eine Menge von Morphismen in $\mathcal A$. Sei $\mathfrak U$ ein Mengensystem derart, da"s $\mathcal A$ und $\mathcal A_S$ beide \hyperref[KatKa]{$\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorien} sind. %im Sinne von \eref{KatKa}{LA2}. So besitzt der Morphismenfunktor $\op{Mor}_{\cal A}: (X,Y)\mapsto \mathcal A(X,Y)$ als initiale Rechtsapproximation den Morphismenfunktor\label{TDMm} $\op{Mor}_{\cal A_S}:(X,Y)\mapsto \mathcal A_S(X,Y)$ mit der offensichtlichen Transformation, im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal A^{\op{opp}}\times \mathcal A \ar[rr]^{\op{Mor}_{\cal A}} \ar[dr]_{Q} &\ar@2{->}[d]_{\tau} &\mathfrak{U}{\op{Ens}}\\ & \mathcal{A}_S^{\op{opp}}\times\mathcal{A}_S \ar[ur]_{\op{Mor}_{\cal A_S}}& } \end{displaymath} \end{Lemma} \begin{proof} Gegeben ein Funktor $G:\mathcal{A}_S^{\op{opp}}\times\mathcal{A}_S \ra \mathfrak{U}{\op{Ens}}$ und eine Transformation $\alpha:\op{Mor}_{\cal A}\RA GQ$ konstruieren wir wie beim Beweis von \ref{TDYo} eine Transformation $\alpha_S:\op{Mor}_{\cal A_S}\RA G$ und zeigen, da"s sie invers ist zur zur Abbildung $$\op{Cat}(\mathcal{A}_S^{\op{opp}}\times\mathcal A_S,\mathfrak U {\op{Ens}})(\op{Mor}_{\cal A_S},G) \ra\op{Cat}(\mathcal{A}^{\op{opp}}\times\mathcal A,\mathfrak U {\op{Ens}})(\op{Mor}_{\cal A},GQ)$$ gegeben durch die Abbildungsvorschrift $\beta\mapsto (\beta Q)\circ \tau$. \end{proof} \begin{Beispiel} Sei $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie. Wir wenden die vorhergehenden "Uberlegungen an auf den Morphismenfunktor der Homotopiekategorie $$ \begin{array}{cccc} \op{Mor}_{\op{Hot}}:&\op{Hot}_{\mathcal A}^{\op{opp}} \times \op{Hot}_{\mathcal A} &\rightarrow & \op{Ab} \\&(A,D) &\mapsto& \op{Hot}_{\mathcal A} (A,D) \end{array} $$ und die Lokalisierung nach Quasiisomorphismen in unseren Homotopiekategorien. Die initiale Rechtsapproximation unseres Morphismenfunktors ist mithin nach \ref{TDMm}, genauer einer offensichtlichen Variante f"ur Kategorien mit additiver Struktur, der Morphismenfunktor der derivierten Kategorie $\op{Der}_{\mathcal A}$, in Formeln $${_{\op{a}}\!\!\op{R}}\op{Mor}_{\op{Hot}}=\op{Mor}_{\op{Der}} :\op{Der}_{\mathcal A}^{\op{opp}} \times \op{Der}_{\mathcal A} \rightarrow \op{Ab}$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Komposition von initialen Rechtsapproximationen}] In diesem Abschnitt k"urzen wir ${_{\op{a}}\!\!\op{R}}$ zu $\op{R}$ ab. Seien $(\mathcal A,S)$ und $(\mathcal B,T)$ Kategorien mit Mengen von Morphismen und bezeichne\label{KRFkk} $Q:\mathcal B\ra \mathcal B_T$ die Lokalisierung. Seien $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ und $G:\mathcal B\ra\mathcal D$ Funktoren. Wir nehmen an, da"s $GF$ eine initiale Rechtsapproximation ${\op{R}}(GF): \mathcal A_S\ra \mathcal D$ besitzt, da"s $QF$ eine initiale Rechtsapproximation ${\op{R}}(QF): \mathcal A_S\ra \mathcal B_T $ besitzt, und da"s $G$ eine initiale Rechtsapproximation ${\op{R}}G: \mathcal B_T\ra \mathcal D$ besitzt. Die universelle Eigenschaft zeigt dann, da"s es f"ur diese initialen Rechtsapproximationen genau eine Transformation \begin{equation*} {\op{R}}(G \circ F) \Rightarrow {\op{R}}G \circ {\op{R}}(QF) \end{equation*} gibt derart, da"s unter dem Vorschalten der Lokalisierung $ P : \mathcal A \rightarrow \mathcal A_S $ ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ G \circ F \ar@{=>}[r]\ar@{=}[d] & {\op{R}} (G \circ F) \circ P\ar@{=>}[d]\\ G \circ F \ar@{=>}[r] & {\op{R}}G \circ {\op{R}} (Q F) \circ P } \end{displaymath} entsteht mit einer unteren Horizontale, deren Definition der Leser aus dem folgenden Diagramm ablesen mag. \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal A \ar[r]^P \ar[d]_F& \mathcal A_S\ar[d]^-{{\op{R}} (QF)}\ar@/^1,6cm/[dd]^{{\op{R}} (G\circ F)}\\ \mathcal B \ar@{=>}[ur] \ar[r]^-Q\ar[d]_G & \mathcal B_T \ar[d]^-{{\op{R}}G}\\ \mathcal D\ar@{=>}[ur] \ar@{=}[r] & \mathcal D } \end{displaymath} Der gekr"ummte Pfeil in diesem Diagramm ist formal betrachtet irrelevant. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konstruktion von initialen Rechtsapproximationen}] Seien $\mathcal{A}$ eine Kategorie, $S$ eine Menge von Morphismen von $\mathcal A$ und $F : \mathcal{A} \ra \mathcal{C}$ ein Funktor. Manchmal erh"alt man eine initiale Rechtsapproximation wie folgt: Man sucht ein Paar $(E,\tau)$ bestehend aus einem Funktor $E:\mathcal A\ra \mathcal A$ nebst einer Transformation $\tau:\op{Id}\RA E$ mit folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item F"ur alle $X\in\mathcal A$ ist $Q\tau_X$ ein Isomorphismus $Q\tau_X:QX\sira QEX$; \item Jeder Morphismus $s:X\ra Y$ in $S$ liefert unter $FE$ einen Isomorphismus $FEs:FEX\sira FEY$. \end{enumerate} So ein Paar $(E,\tau)$ hei"st eine {\bf an $F$ angepa"ste Ersetzung}.\index{Ersetzung} Es gibt daf"ur nach der universellen Eigenschaft der Lokalisierung genau einen Funktor $\bar F:\mathcal{A}_S\ra \mathcal C$ mit $\bar F Q=FE$. Ich behaupte, da"s dieser Funktor $\bar F$ zusammen mit der durch $\tau$ induzierten Transformation $F\RA FE=\bar F Q$ eine initiale Rechtsapproximation an $F$ durch $Q$ ist. Wir verwenden im folgenden die exponentielle Schreibweise $\op{Cat}(\mathcal A,\mathcal C)=\mathcal C^{\mathcal A}$ f"ur Funktorkategorien. Nun erhalten wir f"ur jeden Funktor $G:\mathcal{A}_S\ra \mathcal C$ Abbildungen $$\mathcal C^{\mathcal{A}_S}(\bar F,G)\ra \mathcal C^{\mathcal{A}}(\bar FQ,GQ)=\mathcal C^{\mathcal{A}}( FE,GQ) \ra \mathcal C^{\mathcal{A}}( F,GQ)$$ Die erste ist eine Bijektion nach unserer Erkenntnis \ref{VoTrz}, da"s jeder Lokalisierungsfunktor volldicht ist. Wir m"ussen also nur noch zeigen, da"s auch die letzte eine Bijektion ist. Das aber folgt daraus, da"s jede Transformation $\eta:F\RA GQ$ ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ FX \ar[d]_{\eta_X}\ar[r]^{F\tau_X} & FEX \ar[d]^{\eta_{EX}}\\ GQX \ar[r]^{GQ\tau_X}_{\sim} & GQEX } \end{displaymath} liefert, in dem die untere Horizontale nach unseren Annahmen, wie im Diagramm bereits angedeutet, ein Isomorphismus ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Finale Linksapproximation des Kokern-Funktors}] In diesem Abschnitt k"urzen wir ${_{\op{a}}\!\!\op{L}}$ zu $\op{L}$ ab. Sei $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie. Bezeichne $\mathcal A^{\rightarrow}$ die Kategorie aller Darstellungen des K"ochers $\rightarrow$ mit zwei Ecken und einem sie verbindenden Pfeil in $\mathcal A$. Wir bestimmen die finale Linksapproximation des Funktors $\op{cok} : \mathcal A^{\rightarrow} \rightarrow \mathcal A$ oder genauer des induzierten Funktors $\op{cok} : \op{Ket} (\mathcal A^\rightarrow) \rightarrow \op{Der} (\mathcal A)$. Hier ist implizit zu verstehen, da"s wir an Quasiisomorphismen lokalisieren wollen, der Derivierte wird also die Gestalt \begin{equation*} {\op{L}} \op{cok} : \op{Der} (\mathcal A^\rightarrow) \rightarrow \op{Der} (\mathcal A) \end{equation*} haben. Nun finden wir von jedem Objekt $\alpha : X \rightarrow Y$ aus $\op{Ket} (\mathcal A^\rightarrow)$ einen Quasiisomorphismus zu einem Objekt $\alpha^\prime : X^\prime \rightarrow Y^\prime$ mit $\alpha^\prime$ injektiv. Betrachten wir in der Tat den Simplex $\Delta_1$ mit zwei Ecken und die Einbettungen $k_0, k_1 : \Delta_0 \rightarrow \Delta_1$ der beiden Ecken alias die Kantenabbildungen aus \eref{Kabb}{TS}, indiziert durch die jeweils nicht erwischte Ecke, so erhalten wir auf den zugeh"origen Simplizialketten Homotopie"aquivalenzen \begin{equation*} {\op{S}} \Delta_0 \stackrel{k_0}{\rightarrow} {\op{S}} \Delta_1 \stackrel{k_1}{\leftarrow} {\op{S}} \Delta_0 \end{equation*} Ausgeschrieben sind diese Homotopie"aquivalenzen die Morphismen \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathbb Z \ar^-{ 0\choose 1}[rr] & &\mathbb Z^2 & &\ar [ll]_-{1\choose 0} \mathbb Z\\ \\ 0\ar[uu] \ar[rr] & &\mathbb Z \ar_{ 1 \choose -1 }[uu] & &\ar[ll] 0 \ar[uu] } \end{displaymath} von senkrecht zu lesenden Komplexen, bei denen alle nicht ausgeschriebenen Gruppen verschwinden und die obere Horizontale in Grad Null sitzt und wir mit oberen Indizes indizieren, so da"s die untere Horizontale im Grad $(-1)$ sitzt. Andererseits betrachten wir den von der konstanten Abbildung auf den Simplizialketten induzierten Morphismus ${\op{S}} \Delta_1\stackrel{a_0}{\rightarrow} {\op{S}} \Delta_0$. Nun bilden wir durch sukzessive Pushouts in $\op{Ket} (\mathcal A)$ das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ & X \ar[d]_{k_{1}}\ar[rr]^-\alpha & &Y\ar[d]^\iota\\ X\ar[r]^-{k_0} & {\op{S}} \Delta_1 \otimes_{\mathbb Z} X \ar[d]_{a_{0}}\ar[rr]^-c & &\op{Zyl} (\alpha)\ar[d]^-p\\ &X \ar[rr]^-\alpha && Y } \end{displaymath} Sicher gilt $p \iota = \op{id}_Y$. Der erste Pushout hei"st der \defind{Zylinder} von $\alpha$, da er in der analogen topologischen Situation tats"achlich durch Aufkleben des Zylinders $\Delta_1 \times X $ auf die Bodenplatte $Y$ vermittels der Abbildung $\alpha$ entst"unde. In der topologischen Situation ist auch anschaulich klar, da"s $p$ und $\iota$ zueinander homotopieinvers sind. In der algebraischen Situation pr"ufen wir das explizit. Wir schreiben dazu den Zylinder aus als $\op{Zyl} (\alpha) = Y \oplus X \oplus [1]X $ mit Differential \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} d& = & \begin{pmatrix} d_Y & 0 & \alpha\\ 0 & d_X & -\op{id} \\ 0 & 0 & -d_X \end{pmatrix} \end{array} \end{displaymath} Dann ist $\iota$ schlicht die Einbettung von $Y$ als erster Summand, also die Spaltenmatrix $\iota=(\op{id}, 0,0)^\top$. Dahingegen ist $p$ die Zeilenmatrix $p=(\op{id}_Y, \alpha, 0)$. % Die Komposition % wird folglich beschrieben durch die Matrix % \begin{displaymath} % \begin{array}{ccc} % \iota p& = & \begin{pmatrix} % \op{id}_Y& \alpha & 0\\ % 0 & 0 & 0 \\ % 0 & 0 & 0\end{pmatrix} % \end{array} % \end{displaymath} Es gilt nun, die Differenz $$\iota p -\op{id} = \begin{pmatrix} 0 & \alpha & 0\\ 0 & -\op{id}_X &0\\ 0&0&-\op{id}_{[1]X} \end{pmatrix}$$ in der Form $d \delta + \delta d$ zu schreiben. Um das zu leisten, betrachten wir zun"achst die Komposition $ {\op{S}} \Delta_1 \overset{a_0}{\rightarrow} {\op{S}} \Delta_0 \overset{k_1}{\rightarrow} {\op{S}} \Delta_1 $ alias \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathbb{Z}^2 \ar[rr]^-{1\;1\choose 0\;0} &&\mathbb{Z}^2\\ \\ \mathbb{Z}\ar[uu]_-{ 1\choose -1} \ar[rr]^-0 & & \mathbb{Z}\ar[uu]_-{ 1\choose -1} } \end{displaymath} Hier notieren wir wieder senkrecht gedachte und nur zum Teil ausgeschriebene Komplexe. In diesem Fall sollten wir ja eine Homotopie zur Identit"at erhalten durch den Prismenoperator $\delta : \mathbb Z^2 \rightarrow \mathbb Z$ gegeben durch die Zeilenmatrix $(0,1)$. In der Tat pr"uft man m"uhelos die Identit"aten % \begin{displaymath} % \begin{array}{ccccc} % {1 \choose -1 }(0,1) & =& { 0 \;\;\; 1\choose 0 %\;-{1}} &= &{ 1 \;1\choose 0\;0 } % -{ 1 \;0\choose 0\;1 }\\ % (0,1) { 1\choose -1} & = & (-1)& = & (0)-(1) % \end{array} % \end{displaymath} \begin{displaymath} {1 \choose -1 }(0,1) = { 0 \;\;\; 1\choose 0 \;{-1}} ={ 1 \;1\choose 0\;0 } -{ 1 \;0\choose 0\;1 }\text{ und } (0,1) { 1\choose -1} = (-1) = (0)-(1). \end{displaymath} Das Tensorieren dieser Homotopie mit der Identit"at auf $X$ liefert eine L"osung unseres Problems im Fall $\alpha = \op{id}_X$ der Form \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \delta & = & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 &\op{id}_X & 0 \end{pmatrix} \end{array} \end{displaymath} Wir pr"ufen nun leicht, da"s dieselbe Formel auch f"ur allgemeines $\alpha$ die gesuchte Homotopie liefert. Also ist $p : \op{Zyl} (\alpha) \rightarrow Y$ in der Tat eine Homotopie"aquivalenz. So erhalten wir ein kommutatives Quadrat \begin{displaymath} \xymatrix{ X\ar@{=}[d] \ar@{^{(}->}[r] &\op{Zyl} (\alpha)\ar[d]^p\\ X \ar[r]^-\alpha & Y } \end{displaymath} in $\op{Ket} (\mathcal{A})$ mit Homotopie"aquivalenzen in den Vertikalen. Das ist in $\op{Ket} (\mathcal A^{\rightarrow})$ ein Morphismus der oberen Horizontale zur unteren Horizontale und ist sogar ein Quasiisomorphismus, wenn auch keine Homotopie"aquivalenz. Jedoch ist diese Konstruktion funktoriell und liefert uns einen an $\op{cok}$ angepa"sten Ersetzungsfunktor im Sinne von \ref{iArt}, denn in der Tat induziert jeder Quasiisomorphismus in $\op{Ket} (\mathcal A^{\rightarrow})$ zwischen durch injektive Kettenabbildungen beschriebenen Objekten einen Quasiisomorphismus zwischen ihren Kokernkomplexen nach der langen exakten Homologiesequenz und dem F"unferlemma. So folgt \begin{equation*} {\op{L}} \op{cok} (X \overset{\alpha}{\rightarrow} Y) = \op{cok} (X \rightarrow \op{Zyl} (\alpha)) = \left(Y \oplus[1] X , \begin{pmatrix} d_Y &\alpha \\ 0 & -d_X \end{pmatrix}\right) \end{equation*} Salopp gesprochen ist also die finale Linksapproximation des Kokernfunktors der Abbildungskegelfunktor. \end{Beispiel} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXTD" %%% End: