\section{Triangulierte und derivierte Kategorien} \subsection{Abbildungskegel in Homotopiekategorien}\label{AD} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an \eref{VerKo}{TS}, wo wir f"ur einen Komplex $X=(X^n, d_X^n)$ mit $d^n_X:X^n\ra X^{n+1}$ den Komplex $[1]X$ definiert hatten, indem wir den Komplex um Eins gegen die Richtung der Pfeile verschieben, in Formeln $([1]X)^n\pdef X^{n+1}$, und die Randoperatoren mit\label{VerHo} Minuszeichen versehen, in Formeln $$d_{[1]X}^n\pdef -d_X^{n+1}$$ Jede Kettenabbildung $u:X\ra Y$ liefert in offensichtlicher Weise eine Kettenabbildung $u:[1]X\ra {[1]Y}$, hier f"ugen wir keine Vorzeichen ein. Im Fall eines Komplexes $X$ von abelschen Gruppen haben wir schlicht $[1]X=\DZ[1]\otimes X$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{ADI} Seien $\cal{I}$ eine additive Kategorie und $\op{Hot}_{\cal{I}}$ die Homotopiekategorie der Komplexe in $\cal{I}$. \begin{enumerate} \item Ein \defnoind{Dreieck in $\op{Hot}_{\mathcal I}$}\index{Dreieck} ist die Vorgabe von Objekten und Morphismen der Gestalt $$X \overset{u}{\ra} Y \overset{v}{\ra} Z \overset{w}{\ra} {[1]X}$$ \item Ein \defnoind{Morphismus von einem Dreieck in ein weiteres Dreieck} ist ein Tripel von Morphismen $(f,g, h)$ derart, da"s das folgende Diagramm mit unseren beiden Dreiecken in den Zeilen kommutiert: $$\begin{CD} X @>>> Y @>>> Z @>>> [1]X\\ @V{f}VV @V{g}VV @V{h}VV @V{[1]f}VV\\ X^{\prime} @>>> Y^{\prime} @>>> Z^{\prime} @>>>[1] X^{\prime} \end{CD}$$ \item Ein Dreieck in $\op{Hot}_{\mathcal I}$ hei"st ein {\bf ausgezeichnetes Dreieck},\index{ausgezeichnet!Dreieck} \index{Dreieck!ausgezeichnetes} englisch {\bf distinguished triangle},\index{distinguished triangle}\index{triangle!distinguished} franz"osisch {\bf triangle distingu\'{e}},\index{triangle!distingu\'{e}} wenn es isomorph ist zu einem Dreieck der Gestalt $$X \overset{u}{\ra} Y \ra {\op{K}}(u) \ra {[1]X}$$ mit $u$ einer Kettenabbildung, ${\op{K}}(u)$ dem \hyperref[AABK]{Abbildungskegel} von $u$, gegeben durch ${\op{K}}(u)^n\pdef X^{n+1}\oplus Y^n$ mit $\partial_{\op{K}}:(x,y)\mapsto (-\partial_X(x), u(x)+\partial_Y(y))$ und als weiteren Morphismen der offensichtlichen Injektion und Projektion $Y \ra {\op{K}}(u) \ra {[1]X}$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Beziehung zwischen dem hier eingef"uhrten algebraischen Abbildungskegel und dem topologischen Abbildungskegel aus \eref{Kf}{TS} diskutieren wir in \eref{BTAK}{TS}. Kurz gesagt konstruieren wir dort f"ur jede stetige Abbildung $f:Z\ra X$ eine ausgezeichnete funktorielle Homotopie"aquivalenz $$\tilde{\op{S}}(\op{K}(f))\sira \op{Keg}(\tilde{\op{S}}f)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $\mathcal I$ eine additive Kategorie. Unsere Konstruktion des Abbildungskegels liefert einen Funktor von der Kategorie $\op{Ket}_{\mathcal I}^\da$ der Morphismen von Komplexen in die Kategorie der Dreiecke in $\op{Hot}_{\mathcal I}$, ja sogar in die analog definierte Kategorie der Dreiecke in $\op{Ket}_{\mathcal I}$.\label{DrHO} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein Dreieck, das zu einem ausgezeichneten Dreieck wird, wenn wir alle drei Morphismen durch ihre Negativen ersetzen, hei"st \defind{antiausgezeichnet}. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Drehen von ausgezeichneten Dreiecken}] Sei $\cal{I}$ eine additive Kategorie. Ist $X \overset{u}{\ra} Y \ra Z \ra {[1]X}$ ein ausgezeichnetes Dreieck in $\op{Hot}_{\mathcal I}$,\label{DrD} so ist auch $Y \ra Z \ra {[1]X}\overset{-u}{\ra} {[1]Y}$ ein ausgezeichnetes Dreieck in $\op{Hot}_{\mathcal I}$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit hat unser erstes Dreieck die Gestalt $$X \overset{u}{\ra} Y \overset{\al}{\ra} {\op{K}}(u) \overset{\beta}{\ra} {[1]X}$$ mit $\al, \beta$ den kanonischen Abbildungen. Es gilt also, eine Homotopie"aquivalenz $\psi: K (\al) \overset{\sim}{\ra} {[1]X}$ anzugeben derart, da"s kommutiert $$\begin{array}{ccccccc} Y& \overset{\al}{\ra} & {\op{K}}(u) &\ra& {\op{K}}(\al)& \ra & {[1]Y}\\ \| & &\| & &\psi \downarrow & & \| \\ Y & \overset{\al}{\ra} & {\op{K}}(u)& \ra & {[1]X} & \overset{-u}{\ra} & {[1]Y} \end{array}$$ Per definitionem haben wir ${\op{K}}(\al)^{n} = Y^{n+1} \oplus {\op{K}}(u)^{n} = Y^{n+1} \oplus X^{n+1}\oplus Y^{n}$ und der Randoperator wird gegeben durch die Matrix $$\partial_{{\op{K}}(\al)} = \left( \begin{array}{cc} -\partial_{Y} & 0\\ \al &\partial_{{\op{K}}(u)} \end{array}\right) = \left( \begin{array}{ccc}-\partial_{Y} & 0 &0\\ 0 & -\partial_{X} &0 \\ \op{id} & u& \partial_{Y} \end{array}\right) $$ Wir nehmen nun $\psi =(0,\op{id}, 0)$ und erhalten offensichtlich eine Kettenabbildung derart, da"s das mittlere Quadrat kommutiert. In die andere Richtung nehmen wir $\phi = (-u, \op{id}, 0)^{\top} : [1]X \ra {\op{K}}(\al)$ und erkennen, da"s $\phi$ eine Kettenabbildung ist und da"s mit $\phi$ nach oben statt $\psi$ nach unten das rechte Quadrat kommutiert. Offensichtlich gilt $\psi \phi = \op{id}$ auf ${[1]X}$. Wir haben gewonnen, wenn wir die Homotopie $\phi \psi \simeq \op{id}$ zeigen. Dazu mu"s man nur pr"ufen, da"s f"ur $$s= \left( \begin{array}{ccc} 0&0&\op{id} \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{array}\right) : {\op{K}} (\al)^{n+1} \ra {\op{K}}(\al)^{n}$$ die Gleichung $\partial s + s\partial = \op{id} - \phi\psi$ erf"ullt ist. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Morphismen von Dreiecken}] Sei $\cal{I}$ eine additive Kategorie. Gegeben ein kommutatives Diagramm in $\op{Hot}_{\mathcal I}$ der Gestalt\label{MB} \begin{displaymath} \xymatrix{ X \ar[r]\ar[d]_f &Y \ar[r]\ar[d]_g & Z \ar[r] &{[1]X}\ar[d]_{f}\\ \hat{X}\ar[r] &\hat{Y}\ar[r] & \hat{Z}\ar[r]& [1]\hat{X} } \end{displaymath} mit ausgezeichneten Dreiecken als Zeilen gibt es ein $h : Z \ra \hat{Z} $ derart, da"s $(f,g,h)$ ein Morphismus von Dreiecken wird. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Dieses $h$ ist im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. Unter geeigneten Zusatzannahmen gilt das aber doch, vergleiche \ref{Eh}. In "Ubung \ref{Isoad} d"urfen Sie zeigen, da"s mit $f$ und $g$ auch $h$ ein Isomorphismus sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s beide Dreiecke die Standarddreiecke f"ur $u$ beziehungsweise $\hat{u}$ sind mit $Z = {\op{K}}(u)$ und $\hat{Z} = {\op{K}} (\hat{u})$. Sei $s^{n} : X^{n} \ra \hat{Y}^{ n-1}$ eine Homotopie, die die Kommutativit"at des ersten Quadrats liefert, also $s d + ds = gu - \hat{u} f$. Wir behaupten, da"s $$h = \left( \begin{array}{cc} f & 0 \\ s&g \end{array}\right) : {\op{K}}(u) \ra {\op{K}}(\hat{u})$$ eine Kettenabbildung ist und da"s mit diesem $h$ die beiden anderen Quadrate sogar kommutieren, ohne da"s man zu Homotopieklassen "ubergehen mu"s. Diese Rechnung "uberlassen wir dem Leser. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine abelsche Kategorie $\cal{A}$ liefert das Bilden der Kohomologie eines Komplexes Funktoren $\cal{H}^i:\op{Hot}_{\cal{A}}\ra \cal{A}$ und wir haben $\cal{H}^{0}([i] X ) = \cal{H}^{i}X$ f"ur beliebiges $X\in \op{Hot}_{\cal{A}}$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Kohomologiesequenz eines ausgezeichneten Dreiecks}] Ist\index{Homologiesequenz!eines ausgezeichneten Dreiecks} $\cal{A}$ eine abelsche Kategorie und $X \ra Y \ra Z \ra {[1]X}$ ein ausgezeichnetes Dreieck in $\op{Hot}_{\cal{A}}$, so erhalten wir mit den nat"urlichen Abbildungen eine\label{HAD} lange exakte Sequenz auf der Kohomologie $$\ldots \ra \cal{H}^{q-1}Z \ra \cal{H}^{q}X \ra \cal{H}^{q}Y \ra \cal{H}^{q}Z \ra \cal{H}^{q+1}X \ra \ldots$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Da wir nach \ref{DrD} Dreiecke drehen k"onnen, reicht es, die Exaktheit von $\cal{H}^{0} Y \ra \cal{H}^{0} Z \ra \cal{H}^{0}[1]X $ zu zeigen. Dazu d"urfen wir ausgehen von einem Dreieck der Gestalt $X\overset{u}{\ra} Y \ra {\op{K}}(u) \ra {[1]X}$, und dann haben wir schlicht einen Ausschnitt der langen exakten Kohomologiesequenz zur kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen $Y \hookrightarrow {\op{K}} (u) \twoheadrightarrow {[1]X}$ vor uns. \end{proof} \subsection{Triangulierte Kategorien} %Am 15.11.2005 für gut befunden. \begin{Definition} Eine \defnoind{$\DZ$-Kategorie}\index{Z-Kategorie@$\DZ$-Kategorie} ist eine Kategorie $\cal{A}$ mitsamt einem Automorphismus $[1] : \cal{A} \sira \cal{A}$.\label{ZKAT} Mit Automorphismus meine ich einen Isomorphismus der Kategorie zu sich selbst, nicht etwa blo"s eine "Aquivalenz von Kategorien. \end{Definition} \begin{Bemerkungw} Es gibt durchaus relevante Situationen, in denen man die hier entwickelten Begriffsbildungen auf den Fall erweitern mu"s, da"s unsere Verschiebung $[1] : \cal{A} \ra \cal{A}$ nur eine "Aquivalenz von Kategorien ist. Allgemeiner wird man auch Kategorien mit einer Operation allgemeinerer Gruppen erkl"aren wollen. Das alles weckt jedoch Elefanten der Notation, die ich lieber schlafen lasse. %Da passiert fast nichts, nur $[-1]$ ist halt nur noch bis auf %eindeutigen Isomorphismus definiert. Gehe nochmal durch! Hmm, %zum Beispiel gilt nicht mehr [-1]\circ[1]=Identit"at und so. \end{Bemerkungw} \begin{Definition} Unter einem \defind{Dreieck} in einer $\DZ$-Kategorie versteht man ein Diagramm der Gestalt $X \overset{u}{\ra} Y \overset{v}{\ra} Z \overset{w}{\ra} [1] X$, das suggestiver aber weniger pr"azise geschrieben werden mag als \begin{displaymath} \xymatrix{ X \ar[rr] & &Y\ar[dl]\\ &Z \ar[ul]^{[1]} } \end{displaymath} Wir notieren Dreiecke abk"urzend $X \ra Y \ra Z \ra[1] $. Ein \defind{Morphismus von Dreiecken} wird definiert wie im Fall der Homotopiekategorie einer additiven Kategorie in \ref{ADI}. \end{Definition} \begin{Definition}\label{DtrK} Eine {\bf triangulierte Kategorie}\index{trianguliert!Kategorie} ist eine\index{Kategorie!triangulierte} \hyperref[abK]{additive} \hyperref[ZKAT]{$\DZ$-Kate\-go\-rie} mitsamt einer Vorschrift, die unter allen Dreiecken unserer $\DZ$-Kategorie gewisse Dreiecke auszeichnet derart, da"s die folgenden merkw"urdigen durch den Fall \ref{AD} der Homotopiekategorien motivierten Axiome erf"ullt sind: \begin{enumerate} \item Jedes Dreieck, das isomorph ist zu einem ausgezeichneten Dreieck, ist auch selbst ein ausgezeichnetes Dreieck; \item F"ur jedes Objekt $X$ ist das Dreieck $X \overset{\op{id}}{\ra} X \ra 0 \ra [1] X$ ausgezeichnet; \item Jeder Morphismus $X \ra Y$ unserer Kategorie kann in ein ausgezeichnetes Dreieck $X \ra Y \ra Z \ra [1] X$ eingebettet werden. Es wird sich sp"ater herausstellen, da"s hier $Z$ eindeutig ist bis auf nicht-eindeutigen Isomorphismus, vergleiche das anschlie"sende Axiom \ref{DtrK5}. Wir g"onnen ihm dennoch einen bestimmten Artikel und nennen $Z$ in Erinnerung an \ref{ADI} auch im allgemeinen den \defnoind{Abbildungskegel}\index{Abbildungskegel!in triangulierter Kategorie} "uber dem Morphismus $X \ra Y$; \item Ein Dreieck $X \overset{u}{\ra} Y \ra Z \ra [1] X$ ist ausgezeichnet genau dann, wenn das \glqq gedrehte\grqq\ Dreieck $Y \ra Z \ra [1] X \overset{-u}{\ra} [1]Y$ ausgezeichnet ist; \item\label{DtrK5} Gegeben ein Diagramm mit ausgezeichneten Dreiecken in den Horizontalen und einem kommutativen Quadrat links $$ \xymatrix{ X\ar[r] \ar[d]_f &Y \ar[d]_g \ar[r] & Z \ar[r] &[1]X\ar[d]_{[1]f}\\ X^{\prime} \ar[r] & Y^{\prime} \ar[r] &Z^{\prime} \ar[r] &[1]X^{\prime} } $$ gibt es einen Morphismus $h: Z \ra Z^{\prime}$ derart, da"s die beiden dadurch in der Mitte und rechts entstehenden Quadrate kommutieren. Von diesem Morphismus $h$ wird nur die Existenz und nicht die Eindeutigkeit gefordert; \item(\defind{Oktaederaxiom}) Gegeben ausgezeichnete Dreiecke $$ \xymatrix{ X \ar[r]^f & Y \ar[r] &Z^{\prime} \ar[r] &[1] X\\ Y \ar[r]^g & Z \ar[r] &X^{\prime} \ar[r] & [1]Y\\ X \ar[r]^{g\circ f} & Z \ar[r] & Y^{\prime} \ar[r] & [1] X }$$ gibt es ein ausgezeichnetes Dreieck $Z^{\prime} \ra Y^{\prime} \ra X^{\prime} \ra [1]Z^{\prime}$ derart, da"s im nebenstehenden Oktaeder die beiden Quadrate im Schnitt mit senkrechten Ebenen kommutieren, die vier \glqq zyklischen\grqq\ Dreiecke ausgezeichnete Dreiecke sind, und die vier anderen Dreiecke kommutieren. \end{enumerate} Die ausgezeichneten Dreiecke einer triangulierten Kategorie hei"sen, nun, eben\index{Dreieck!ausgezeichnetes} {\bf ausgezeichnete Dreiecke}.\index{ausgezeichnet!Dreieck} Eingef"uhrt wurden sie urspr"unglich auf Franz"osisch als {\bf triangles distingu\'{e}s}. Auf Englisch nennt man sie {\bf distinguished triangles}. \index{distinguished!triangle}\index{triangle!distinguished} \index{triangle!distingu\'{e}}\index{distingu\'{e}!triangle} \end{Definition} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.5\textheight]{SkriptenBilder/BildOkt}\\[4mm] \noindent Die Struktur der Pfeile soll den Aufbau eines solchen Oktaeders %\label{OVk} verdeutlichen: Man beginnt mit zwei verkn"upfbaren Morphismen und ihrer Komposition, dargestellt durch durchgehende Pfeile zwischen $X,$ $Y$ und $Z$. Jeden dieser Morphismen erg"anzt man zu einem ausgezeichneten Dreieck, angedeutet durch die gestrichelten Pfeile. Und dann fordert man die Existenz von gepunkteten Pfeilen, die die drei eben konstruierten Objekte zu einem vierten ausgezeichneten Dreieck verbinden, die drei anderen so entstehenden Dreiecke zum Kommutieren bringen (was den horizontalen gepunkteten Pfeil im "ubrigen bereits eindeutig festlegt), und die beiden in Schnitten unseres Oktaeders mit geeigneten senkrechten Ebenen entstehenden Quadrate zum Kommutieren bringen. Von zwei gegen"uberliegenden Fl"achen ist also stets eine ein kommutatives Diagramm und die andere ein ausgezeichnetes Dreieck. Unser Oktaederdiagramm hat weitaus weniger Symmetrien als ein echter Oktaeder, genauer ist die Symmetriegruppe eine zyklische Gruppe der Ordnung vier, erzeugt vom Drehen um die senkrechte Achse um einen rechten Winkel gefolgt vom Vertauschen der oberen und der unteren Ecke. \end{figure} \begin{Bemerkungw} Der Definition einer triangulierten Kategorie haftet etwas K"unstliches an und sie ist es auch. Ich hoffe aber, Sie im folgenden davon zu "uberzeugen, da"s diese Begriffsbildung f"ur viele Argumentationen dennoch ein geschickter Rahmen ist. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Motivation f"ur das Oktaederaxiom}] In \ref{leHO} werden wir jeder abelschen Kategorie eine triangulierte Kategorie $\op{Der}(\mathcal A)$ zuordnen sowie einen Funktor $\op{Ket}(\mathcal A)\ra \op{Der}(\mathcal A)$. In \ref{Kzu} werden wir weiter einen Funktor von der Kategorie der kurzen exakten Sequenzen in $\op{Ket}(\mathcal A)$ zur Kategorie der ausgezeichneten Dreiecke in $\op{Der}(\mathcal A)$ konstruieren. Gegeben $X\hra Y\hra Z$ injektive Kettenabbildungen erhalten wir nun offensichtlich eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen $$Y/X\hra Z/X\sra Z/Y$$ oder diagrammatisch $$ \xymatrix{ & & Y/X\ar@{^(->}[dr] & & \\ & Y \ar@{^(->}[dr]\ar@{->>}[ur]& & Z/X\ar@{->>}[ddr]&\\ & & Z \ar@{->>}[ur]\ar@{->>}[drr]&& \\ X\ar@{^(->}[uur] \ar@{^(->}[urr] & &&&Z/Y\\ }$$ Es entspricht einem Oktaeder in $\op{Der}(\mathcal A)$ und mag die Axiomatik motivieren. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Jede triangulierte Kategorie liefert eine weitere triangulierte Kategorie, wenn man statt der ausgezeichneten Dreiecken die sogenannten {\bf antiausgezeichneten Dreiecke}\index{antiausgezeichnet!Dreieck} auszeichnet, die aus ausgezeichneten Dreiecken durch das "Andern des Vorzeichens aller drei Morphismen entstehen. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildOKD} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Noch eine andere Darstellung eines Oktaeders \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} Wir notieren Oktaeder oft vereinfacht in der Form $$ \xymatrix{ & & Z^{\prime}\ar[dr] & & \\ & Y \ar[dr]\ar[ur]& & Y^{\prime}\ar[ddr]&\\ & & Z \ar[ur]\ar[drr]&& \\ X\ar[uur] \ar[urr] & &&&X^{\prime}\\ }$$ In dieser Gestalt sind alle vier ausgezeichneten Dreiecke als leidlich gerade Pfeilsequenzen erkennbar, einige kommutative Dreiecke und ein kommutatives Quadrat sind jedoch nicht sichtbar. Eine andere Darstellung ist \begin{displaymath} \xymatrix{ X \ar[r]\ar@{=}[d] &Y \ar[r]\ar[d] & Z^\prime\ar[r]\ar[d] &[1]X \ar@{=}[d]\\ X\ar[r]\ar[d] &Z \ar[r]\ar@{=}[d] &Y^{\prime} \ar[r]\ar[d] &[1]X\ar[d]\\ Y \ar[r]\ar[d] &Z\ar[r]\ar[d] &X^{\prime}\ar[r]\ar@{=}[d] &[1]Y\ar[d]\\ Z'\ar[r] &Y^{\prime}\ar[r] &X^{\prime} \ar[r] &[1]Z^{\prime} } \end{displaymath} mit einigen Identit"aten in den Vertikalen, kommutativen Quadraten und ausgezeichneten Dreiecken als Zeilen. In dieser Darstellung sehen wir alle Information unseres Oktaeders: Alle vier ausgezeichneten Dreiecke als Zeilen, alle vier kommutativen Dreiecke als Quadrate mit einer ist-gleich-Seite, davon eines sogar doppelt, und beide kommutativen Quadrate, davon eines sogar doppelt. Als letzte Variante gebe ich \vspace{1cm} \begin{displaymath} \xymatrix{ X\ar[dr]\ar@/^1,2cm/[rr] & &Z\ar[dr]\ar@/^1,2cm/[rr] & &X^{\prime}\ar[dr] \ar@/^1,2cm/[rr] &&[1]Z^{\prime}\\ & Y\ar[ur]\ar[dr] &&Y^{\prime}\ar[ur]\ar[dr] && [1]Y \ar[ur]\ar@{-->}[dr]&\\ \ar@{-->}[ur]\ar@{-->}@/_1,2cm/[rr]&& Z^{\prime}\ar[ur] \ar@/_1,2cm/[rr]& & [1]X\ar[ur]\ar@{-->}@/_1,2cm/[rr] & &[1]Z\\ } \end{displaymath} \vspace{1cm} \noindent Dies Diagramm soll man sich periodisch nach rechts und links fortgesetzt denken. Alle vier ausgezeichneten Dreiecke sind hier gut als eckenlose Wege erkennbar, und die vier kommutativen Dreiecke ebenso wie die beiden kommutativen Vierecke sind gleichfalls gut zu sehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Aus \eref{EaS}{TG} folgt, da"s jeder Isomorphismus von additiven Kategorien additiv ist. Insbesondere brauchen wir die Additivit"at des Funktors $[1]$ einer triangulierten Kategorie nicht extra zu fordern. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Komposition von Morphismen in einem Dreieck}] In einem ausgezeichneten Dreieck ist die Komposition von je zwei aufeinanderfolgenden Morphismen Null. In der Tat gibt es f"ur jedes ausgezeichnete Dreieck $X\ra Y\ra Z\ra $ notwendig einen Morphismus von Dreiecken nach $0\ra Z\ra Z\ra$ der Gestalt $(?,v,\op{id})$ mit $v:Y\ra Z$ dem zweiten Morphismus unseres Ausgangsdreiecks. Folglich ist $(0,v,\op{id})$ ein Morphismus von Dreiecken, und damit gilt $v\circ u=0$ f"ur $u:X\ra Y$ den ersten Morphismus unseres Ausgangsdreiecks. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{Hhn} Ist $\cal{T}$ eine triangulierte Kategorie und $X \ra Y \ra Z \ra {[1]X}$ darin ein ausgezeichnetes Dreieck, so bilden f"ur jedes Objekt $W \in\cal{T}$ die Morphismen nach $W$ eine lange exakte Sequenz von abelschen Gruppen $$\ldots \leftarrow \cal{T}(X,W) \leftarrow \cal{T}(Y,W) \leftarrow \cal{T}(Z,W) \leftarrow \cal{T}({[1]X},W) \leftarrow \ldots $$ Dasselbe gilt dual auch f"ur die Morphismen von $W$ in die Objekte unseres ausgezeichneten Dreiecks. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] In einem ausgezeichneten Dreieck ist die Komposition zweier aufeinanderfolgender Morphismen stets null, also ist unsere lange Sequenz schon einmal ein Komplex. Andererseits ist $0 \ra W \sira W \ra [1]0$ stets ein ausgezeichnetes Dreieck. Wir k"onnen also nach \ref{MB} ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccccccc} X &\ra & Y & \ra &Z&\ra& {[1]X}\\ \downarrow & &\downarrow & & &&\\ 0 & \ra & W &\sira& W & \ra &0 \end{array}$$ stets kommutativ erg"anzen, und das zeigt die Exaktheit unseres Komplexes bei $\mathcal T (Y,W)$. Drehen von Dreiecken nach \ref{DrD} liefert den Rest. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{Isoad} Sind bei einem Tripel von Morphismen, die zusammen einen Morphismus von ausgezeichneten Dreiecken bilden, zwei der Morphismen Isomorphismen, so auch der Dritte. Hinweis: Lange exakte Sequenzen \ref{Hhn} und F"unferlemma und Yoneda-Lemma. Man beachte, da"s wir dazu das Oktaederaxiom nicht ben"otigen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Morphismen von ausgezeichneten Dreiecken, Eindeutigkeit}] Sei $\cal T$ eine triangulierte Kategorie. Gegeben ein kommutatives Diagramm mit\label{Ehn} ausgezeichneten Dreiecken in den Horizontalen $$\begin{array}{ccccccc} X &\ra &Y& \ra & Z& \ra & {[1]X}\\ \downarrow & & \downarrow & & & & \downarrow\\ X^{\prime}&\ra & Y^{\prime}&\ra & Z^{\prime}&\ra & [1]X^{\prime} \end{array}$$ gibt es nach Annahme einen Morphismus $Z \ra Z^{\prime}$, der es kommutativ vervollst"andigt. Man zeige, da"s sowohl unter der Annahme ${\cal T} ({[1]X}, Z^{\prime})=0$ als auch unter der Annahme ${\cal T} (Z, Y^{\prime})=0$ dieser Morphismus $Z \ra Z^{\prime}$ sogar eindeutig bestimmt ist. Im Spezialfall von Homotopiekategorien war das \ref{Eh}. Hinweis: Dieser Morphismus $Z \ra Z^{\prime}$ ist sogar bereits dadurch eindeutig bestimmt, da"s er das linke beziehungsweise das rechte durch ihn neu entstehende Quadrat zum Kommutieren bringt. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Morphismen in ausgezeichneten Dreiecken, Eindeutigkeit}] Sei $\cal T$ eine triangulierte Kategorie.\label{EDPn} Gibt es zu einem Morphismus aus einem ausgezeichneten Dreieck keinen von Null verschiedenen Morphismus in die Gegenrichtung, so wird der fragliche Morphismus bereits durch die beiden anderen eindeutig festgelegt. Sind also in Formeln $X \overset{u}{\ra} Y \overset{v}{\ra} Z \overset{r,s}{\lra} {[1]X}$ ausgezeichnete Dreiecke f"ur zwei Morphismen $r,s : Z \ra {[1]X}$ und gilt ${\cal T} ({[1]X},Z)=0$, so folgt $r =s$. Im Spezialfall von Homotopiekategorien war das \ref{EDP}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Wenn man in einem ausgezeichneten Dreieck bei zwei Morphismen das Vorzeichen "andert, entsteht wieder ein ausgezeichnetes Dreieck. \end{Ubung} \begin{Ubung} Die opponierte Kategorie einer triangulierten Kategorie $\mathcal T$ ist mit der entgegengesetzten homologischen Verschiebung $[1]_{{\mathcal T}^{\op{opp}}}\pdef [-1]_{\mathcal T}^{\op{opp}}$ und \glqq denselben\grqq\ ausgezeichneten Dreiecken versehen auch eine triangulierte Kategorie. Sie hei"st die {\bf opponierte triangulierte Kategorie}. \index{opponiert!triangulierte Kategorie} \index{trianguliert!Kategorie, opponierte} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Summen und Produkte von Dreiecken}] Man zeige, da"s die direkte Summe von zwei ausgezeichneten Dreiecken $(X,Y,Z)$ und $(X',Y',Z')$ wieder ein ausgezeichnetes Dreieck ist. Hinweis: Man betrachte den Abbildungskegel $K$ "uber $X\oplus X'\ra Y\oplus Y'$ und konstruiere Morphismen $Z\ra K$ und $Z'\ra K$ und zeige mit Yonedalemma, F"unferlemma und \ref{Hhn}, da"s sie einen Isomorphismus $Z\oplus Z'\sira K$ liefern. Analoges gilt mit demselben Argument f"ur beliebige Summen und Produkte. Man beachte aber, da"s der Funktor von der Kategorie der Komplexe einer abelschen Kategorie in ihre Homotopiekategorie im allgemeinen keineswegs mit beliebigen Summen oder Produkten vertr"aglich sein mu"s. \end{Ubung} \subsection{Triangulierung von Homotopiekategorien} \begin{Satz}[\textbf{Homotopiekategorien als triangulierte Kategorien}] F"ur jede additive Kategorie $\mathcal{I}$ ist ihre Homotopiekategorie $\op{Hot} (\mathcal{I})$ mit ihrer durch Verschiebung und Negativieren der Differentiale \ref{VerHo} erkl"arten $\DZ$-Operation und den in \ref{ADI} durch Abbildungskegel erkl"arten ausgezeichneten Dreiecken eine triangulierte Kategorie.\label{Hottr} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Alle Axiome mit Ausnahme des Oktaederaxioms sind entweder offensichtlich erf"ullt oder werden in \ref{AD} bewiesen. Um auch noch das Oktaederaxiom zu pr"ufen, reicht es zu zeigen, da"s f"ur Morphismen von Komplexen $X \overset{f}{\ra} Y \overset{g}{\ra} Z$ die Sequenz \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Keg}(f) \ar[r]^u &\op{Keg}(g\circ f) \ar[r]^v & \op{Keg}(g) \ar[r]^w & [1]\op{Keg}(f) } \end{displaymath} ein ausgezeichnetes Dreieck ist, wenn diese Komplexe und Morphismen gegeben werden durch \begin{displaymath} \xymatrix{X^{n+1} \oplus Y^n \ar[r]^{{1\, 0\choose 0\, g}} \ar[d]^{{-\partial\, 0\choose \;\;f \, \partial}} & X^{n+1}\oplus Z^n \ar[d]^{{-\partial \, \;\;0\choose \;g\circ f \,\; \partial}} \ar[r]^{{f\, 0 \choose 0\, 1}} & Y^{n+1}\oplus Z \ar[r]^{{0\, 0 \choose 1\, 0}} \ar[d]^{{-\partial\, 0 \choose \;\;g\; \partial}}& X^{n+2}\oplus Y^{n+1}\ar[d]^{{\;\partial \;\;0\choose -f \, -\partial}}\\ X^{n+2}\oplus Y^{n+1} \ar[r]_{{1\, 0\choose 0 \, g}} & X^{n+2}\oplus Z^{n+1} \ar[r]_{{f\, 0\choose 1\, 1}} & Y^{n+2} \oplus Z^{n+1} \ar[r]_{{0\,0\choose 1\,0}} & X^{n+3} \oplus y^{n+2} } \end{displaymath} Hier und im Folgenden verwenden wir unsere Konvention \eref{SVK}{KAG}, nach der Elemente von direkten Summen als Spaltenmatrizen aufgefa"st werden, mit den vorne stehenden Komponenten oben, und Morphismen zwischen direkten Summen durch Matrizen von Homomorphismen zwischen den Summanden, die durch Matrixmultiplikation von links operieren. Um zu zeigen, da"s dies Dreieck ausgezeichnet ist, gilt es, eine Homotopie"aquivalenz $h:\op{Keg}(g) \overset{\sim}{\ra} \op{Keg}(u)$ anzugeben derart, da"s \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Keg}(g \circ f) \ar[r]^v \ar@{=}[d] & \op{Keg}(g) \ar[r]^w\ar[d]_h & [1]\op{Keg}(f) \ar@{=}[d]\\ \op{Keg}(g \circ f) \ar[r] & \op{Keg}(u) \ar[r] & [1] \op{Keg}(f) } \end{displaymath} in der Homotopiekategorie kommutiert. Nun haben wir ja $$\op{Keg}(u)^n = X^{n+2} \oplus Y^{n+1} \oplus X^{n+1} \oplus Z^n$$ mit Randoperator $$\begin{pmatrix} \partial & 0& 0&0\\ f & -\partial & 0& 0\\ 1 & 0 & -\partial &0\\ 0 & g & g\circ f & \partial \end{pmatrix} $$ und es reicht zu zeigen, da"s die Marix \begin{displaymath} \begin{pmatrix} 0&0\\ 1& 0\\ 0 &0\\ 0&1 \end{pmatrix} : Y^{n+1} \oplus Z^n \ra X^{n+2} \oplus Y^{n+1}\oplus X^{n+1} \oplus Z^n \end{displaymath} eine Homotopie"aquivalenz $h$ mit den gew"unschten Eigenschaften liefert. Explizite Rechnung zeigt, da"s sie eine Kettenabbildung definiert und das rechte Quadrat unseres Diagramms der sechs Komplexe von eben zum Kommutieren bringt. Definieren wir eine Abbildung in die Gegenrichtung $k : \op{Keg}(u) \ra \op{Keg}(g)$ durch die Matrix \begin{displaymath} \begin{pmatrix} 0 &1& f&0\\ 0& 0& 0& 1 \end{pmatrix} : X^{n+2}\oplus Y^{n+1} \oplus X^{n+1}\oplus Z^n \ra Y^{n+1} \oplus Z^{n} \end{displaymath} so erhalten wir auch eine Kettenabbildung, von der klar ist, da"s sie das linke Quadrat mit umgekehrtem Mittelpfeil zum Kommutieren bringt. Weiter gilt offensichtlich $k \circ h = \op{id}$, so da"s nur zu zeigen bleibt, da"s $h \circ k$ homotop ist zur Identit"at auf $\op{Keg}(u)$. Solch eine Homotopie wird jedoch gegeben durch die Matrix \begin{align*} \begin{pmatrix} 0 &0&1 &0\\ 0 &0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\\[-\normalbaselineskip]\tag*{\qedhere} \end{align*} \end{proof} %\begin{displaymath} %\begin{pmatrix} %0 &0&1 &0\\ %0 &0&0&0\\ %0&0&0&0\\ %0&0&0&0 %\end{pmatrix} %\qedhere\end{displaymath} \begin{Bemerkunge} Wir haben hier genau genommen nicht nur das Oktaederaxiom im Fall der Homotopiekategorie einer additiven Kategorie nachgewiesen, sondern sogar darin einen Funktor von der Kategorie aller Paare von verkn"upfbaren Morphismen in die Kategorie aller Oktaeder konstruiert, der dar"uberhinaus vertr"aglich ist mit unseren funktoriellen Abbildungskegeln aus \ref{DrHO} in einer Weise, die hier nicht ausbuchstabiert werden soll. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Unter einem {\bf internen Automorphismus}\index{Automorphismus!interner!von Schmelzkategorie} einer Schmelzkategorie $\mathscr M$ mit Einsobjekt $\mathbb I$ verstehen wir einen Automorphismus $\alpha: \mathscr M\sira \mathscr M$ der zugrundeliegenden einfachen Kategorie, der in $\op{Cat}(\mathscr M,\mathscr M)$ isomorph ist zu einem Funktor der Gestalt $E\otimes$ f"ur eine \hyperref[EIIp]{Einheit} $E$. Ein Datum $(E,\iota)$ bestehend aus einer Einheit $E$ und einer Isotransformation $\iota:\alpha\siRa (E\otimes)$ nennen wir dann eine {\bf Realisierung} unseres internen Automorphismus.\label{intA} Solch eine Realisierung entspricht eineindeutig einem Paar $(E,\tau)$ bestehend aus einer Einheit und einem Isomorphismus $\tau:\alpha(\mathbb I)\sira E$, indem wir $(E,\alpha)$ das Paar $(E,\tau)$ zuordnen mit $\tau$ der Komposition $\alpha(\mathbb I)\sira E\otimes \mathbb I\sira E$. Insbesondere ist so eine Realisierung eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus und jede Realisierung liefert f"ur stabil universell verschmelzbare Objekte $M,N$ dieselben Isomorphismen $$\alpha(M\otimes N)\sira \alpha(M)\otimes N\sira M\otimes \alpha(N)$$ Unter einem {\bf Signumsautomorphismus}\index{Signumsautomorphismus} einer\label{intAS} Schmelzkategorie mit Vorzeichen verstehen wir einen internen Automorphismus derart, da"s die zugeh"orige Einheit $E$ eine \hyperref[sgnE]{Signumseinheit}\index{Signumseinheit} ist, da"s also auf $E\otimes E$ die Vertauschung das Negative der Identit"at ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Interne triangulierte Struktur einer Schmelzkategorie}] Eine Struktur von triangulierter Kategorie auf der einfachen Kategorie einer Schmelz\-ka\-te\-go\-rie mit stabil universellen Verschmelzungen und internem Hom hei"se eine {\bf interne triangulierte Struktur},\index{intern!triangulierte Struktur auf Schmelzkategorie} wenn\label{itSS} der zugeh"orige Automorphismus $[1]$ ein \hyperref[intAS]{Sig\-nums\-au\-to\-mor\-phis\-mus} ist und wenn au"serdem f"ur jedes ausgezeichnete Dreieck $L\ra M\ra N\ra [1]L$ und jedes Objekt $K$ auch die drei Dreiecke $$\begin{array}{ccccccr} L\otimes K&\ra& M\otimes K&\ra &N\otimes K&\ra& [1](L\otimes K)\\[2mm] K{\Rrightarrow} L&\ra& K{\Rrightarrow} M&\ra& K{\Rrightarrow} N&\ra& [1](K{\Rrightarrow} L)\\[2mm] L{\Rrightarrow} K&\leftarrow & M{\Rrightarrow} K&\leftarrow & N{\Rrightarrow} K&\leftarrow & [-1](L{\Rrightarrow} K) \end{array} $$ ausgezeichnete Dreiecke sind. Bei der Konstruktion des jeweiligen letzen Morphismus haben wir hier stillschweigend Isomorphismen $([1]L)\otimes K\sira [1](L\otimes K)$ und dergleichen verwendet, die daher r"uhren, da"s unser Automorphismus $[1]$ intern ist. %Ich hoffe, da ist nicht irgendwas antiausgezeichnet... \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die in \ref{Hottr} eingef"uhrte Struktur als triangulierte Kategorie auf der Kategorie der Homotopiekomplexe $\op{Hot}=\op{Hot}(\op{Ab})$ ist offensichtlich intern f"ur die in \eref{MhmM}{TSK} erkl"arte Struktur als Schmelzkategorie. \nichtfinal{Das steht irgendwie in \eref{HKA}{TS}, aber diese "Ubung ist unsch"on und unangemessen dort.} \end{Beispiel} \begin{Theorem}[\textbf{Kurze exakte Sequenzen als ausgezeichnete Dreiecke}] Sei $\cal{A}$ eine abelsche Kategorie mit genug Injektiven und ${i}\cal{A}\subset\cal{A}$ die Kategorie aller\label{ESAa} injektiven Objekte von %Vorher\label{ESA} $\cal{A}$. Man betrachte die Kategorie $\op{Hot}^{0+}({i}\cal{A}) \pdef\{ X \in \op{Hot}({i}\cal{A}) \mid X^q=0 $ falls $ q< 0$ und $\cal{H}^{q}X=0 $ falls $ q\neq 0\}$. So gilt: \begin{enumerate} \item Das Bilden der nullten Kohomologie induziert eine "Aquivalenz von Kategorien $\cal{H}^0:\op{Hot}^{0+}({i}\cal{A}) \sirra \cal{A}$; \item Das Bilden der nullten Kohomologie induziert eine "Aquivalenz von Kategorien $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{ausgezeichnete Dreiecke}\\ X \ra Y \ra Z \ra {[1]X}\\ \text{in }\op{Hot}({i}\cal{A})\text{ mit } X,Y,Z \in\op{Hot}^{0+}({i}\cal{A}) \end{array} \right\} & \sirra & \left\{ \begin{array}{c} \text{kurze exakte}\\ \text{Sequenzen in $\cal{A}$} \end{array} \right\} \end{array}$$ \end{enumerate} \end{Theorem} \begin{Bemerkungw} Wir werden wir dieses Resultat in einer besseren Terminologie in \ref{KESA} wiederfinden. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Der erste Teil folgt sofort aus dem Hauptlemma der homologischen Algebra \eref{IaU}{TG}. F"ur den Rest des Beweises f"uhren wir eine bequeme Terminologie ein und nennen die im Satz beschriebenen ausgezeichneten Dreiecke von $\op{Hot}({i}\cal{A})$ \glqq speziell\grqq. Die Homologiesequenz \ref{HAD} zeigt, da"s $\cal{H}^{0}$ aus jedem unserer speziellen ausgezeichneten Dreiecke eine kurze exakte Sequenz macht. Nach Teil 1 liefert also $\cal{H}^0$ schon mal einen treuen Funktor von unserer Kategorie von speziellen ausgezeichneten Dreiecken in die Kategorie der kurzen exakten Sequenzen aus $\cal{A}$. Als n"achstes zeigen wir, da"s unser Funktor surjektiv ist auf Isomorphieklassen von Objekten. Hierzu m"ussen wir uns daran erinnern, da"s wir in \eref{EDF}{TG} gezeigt hatten, da"s in einer abelschen Kategorie mit genug Injektiven jede kurze exakte Sequenz $A\hra B\sra C$ isomorph ist zum Kernkomplex eines Doppelkomplexes aus injektiven Objekten mit in positiven Graden exakten Spalten und kurzen exakten Zeilen. Da diese notwendig spalten, hat unser Doppelkomplex die Gestalt $$\begin{array}{ccccc} \ua&&\ua&&\ua\\ I^{2}&\hra &I^2\oplus J^2&\sra&J^2\\ \ua&&\ua&&\ua\\ I^1&\hra &I^1\oplus J^1&\sra&J^1\\ \ua&&\ua&&\ua\\ I^0&\hra &I^0\oplus J^0&\sra&J^0\\ \ua&&\ua&&\ua\\ A&\hookrightarrow &B &\twoheadrightarrow &C \end{array}$$ Die mittlere Vertikale ist folglich der Abbildungskegel ${\op{K}}(u)$ einer Kettenabbildung $u:[-1]J\ra I$ und das ausgezeichnete Dreieck $[-1]J\ra I\ra {\op{K}}(u)\ra J$ liefert mit Drehen ein ausgezeichnetes Dreieck $I\ra {\op{K}}(u)\ra J\ra [1]I$. Jetzt m"ussen wir noch zeigen, da"s unser Funktor $\mathcal H^0$ volltreu ist. Seien dazu zwei spezielle ausgezeichnete Dreiecke $(X,Y,Z)$ und $(X^{\prime},Y^{\prime},Z^{\prime})$ gegeben. Jeder Morphismus der zugeh"origen kurzen exakten Sequenzen liefert ein Diagramm $$\begin{array}{ccccccc} X& \ra &Y& \ra &Z & \ra & {[1]X}\\[2mm] f\downarrow\;\;& & g\downarrow\;\; & & h \downarrow \;\;& & f\downarrow \\[2mm] X^{\prime} &\ra & Y^{\prime} & \ra & Z^{\prime} &\ra& [1]X^{\prime} \end{array}$$ mit der Eigenschaft, da"s darin die beiden linken Quadrate kommutieren. Nun beachten wir $$\op{Hot} ({[1]X},Z^{\prime})=0$$ nach dem Lemma \eref{IaU}{TG} "uber injektive Aufl"osungen und folgern aus \ref{Hhn} die Injektivit"at von $\op{Hot} (Z,Z^{\prime}) \ra \op{Hot} (Y,Z^{\prime})$. In anderen Worten ist unser Morphismus $h : Z \ra Z^{\prime}$ der einzige Morphismus von $Z$ nach $Z^{\prime}$, der das mittlere Quadrat zum Kommutieren bringt. Andererseits gibt es aber nach \ref{MB} einen Morphismus von $Z$ nach $Z^{\prime}$, der alle drei Quadrate zum Kommutieren bringt. Damit ist klar, da"s $(f,g,h)$ schon ein Morphismus von Dreiecken sein mu"s. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{Eh} Gegeben ein kommutatives Diagramm mit ausgezeichneten Dreiecken in den Horizontalen $$\begin{array}{ccccccc} X &\ra &Y& \ra & Z& \ra & {[1]X}\\ \downarrow & & \downarrow & & & & \downarrow\\ X^{\prime}&\ra & Y^{\prime}&\ra & Z^{\prime}&\ra & [1]X^{\prime} \end{array}$$ gibt es nach \ref{MB} einen Morphismus $Z \ra Z^{\prime}$, der es kommutativ vervollst"andigt. Man zeige, da"s unter der Annahme $\op{Hot}_{\cal{I}} ({[1]X}, Z^{\prime})=0$ dieser Morphismus $Z \ra Z^{\prime}$ sogar eindeutig bestimmt ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{EDP} Gibt es zu einem Morphismus aus einem ausgezeichneten Dreieck keinen von Null verschiedenen Morphismus in die Gegenrichtung, so wird der fragliche Morphismus bereits durch die beiden anderen eindeutig festgelegt. Sind also in Formeln $X \overset{u}{\ra} Y \overset{v}{\ra} Z \overset{r,s}{\lra} {[1]X}$ ausgezeichnete Dreiecke f"ur zwei Morphismen $r,s : Z \ra {[1]X}$ und gilt $\op{Hot}_{\cal{I}} ({[1]X},Z)=0$, so folgt $r =s$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{qiHO} Ist $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie und $M\qri N$ ein Quasiisomorphismus von Komplexen in $\op{Ket}_{\mathcal A}$ und $P$ ein Komplex projektiver Objekte von $\mathcal A$, der in Richtung der Differentiale beschr"ankt ist, so ist auch die auf den $\op{Hom}$-Komplexen induzierte Abbildung ein Quasiisomorphismus $$\op{Hom}_{\mathcal A}(P,M)\qri \op{Hom}_{\mathcal A}(P,N)$$ Man folgere f"ur eine abelsche Kategorie $\mathcal A$ mit genug Projektiven und genug Injektiven kanonische Isomorphismen\label{rlExt} $\op{lExt}_q^{\mathcal A}(M,N)\sira \op{Ext}^q_{\mathcal A}(M,N)$. Hinweis: Man erg"anze unseren Quasiisomorphismus zu einem ausgezeichneten Dreieck $M\qri N\ra K\ra$ in $\op{Hot}_{\mathcal A}$ und beachte, da"s dann $K$ exakt ist. Mit dem Hauptlemma der homologischen Algebra \eref{HLHA}{TS} folgt $\op{Hot}_{\mathcal A}([q]P,K)=0$ f"ur alle $q$ und \nichtfinal{wegen ?? ist dann der Hom-Komplex $\op{Hom}_{\mathcal A}(P,K)$ exakt und} mit der langen exakten Sequenz \ref{Hhn} folgt die Behauptung. Noch st"arkere Aussagen in dieser Richtung enth"alt die Interpretation \eref{ErAM}{TD} von $\op{Ext}$ und dem a priori anders definierten $\op{lExt}$ als dieselben Morphismenr"aume in der derivierten Kategorie. \end{Ubung} \begin{Ubung} In einer Schmelzkategorie mit stabil universellen Verschmelzungen und interner triangulierter Struktur bilden die starren Objekte stets eine volle triangulierte Unterkategorie. Hinweis: \eref{sIh}{TSK}. Insbesondere besteht die vom Eins\-ob\-jekt erzeugte volle triangulierte Unterkategorie $\langle\mathbb I\rangle_\Delta$ stets aus starren Objekten.\label{stri} \end{Ubung} \subsection{Triangulierte Funktoren} \begin{Bemerkungl} Ein {\bf $\DZ$-Funktor}\index{Z-Funktor@$\DZ$-Funktor} $F: \cal{A} \ra \cal{B}$ von $\DZ$-Kategorien\label{Zfu} ist definiert als ein Paar $(F,u)$ bestehend aus einem Funktor $F$ nebst einer Isotransformation $u: [1] \circ F \siRa F \circ [1]$, die die \defnoind{$\DZ$-Struktur}\index{Z-Struktur@$\DZ$-Struktur} unseres $\DZ$-Funktors hei"sen m"oge. Die Verkn"upfung von $\DZ$-Funktoren sei definiert durch $(F,u)\circ (G,v)=(F\circ G, uG\circ Fv)$. Sie ist assoziativ. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine $\DZ$-Struktur $u$ eines Funktors wie eben ist auch ihr Negatives $(-u)$ eine $\DZ$-Struktur f"ur denselben Funktor. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Menge aller $\DZ$-Funktoren von einer $\DZ$-Kate\-gorie $\mathcal A$ in eine $\DZ$-Kate\-gorie $\mathcal B$ notieren wir $\op{Cat}^\DZ(\mathcal A,\mathcal B)$. \nichtfinal{N"otig? Gegeben ein Universum $\mathfrak U$ wie in \eref{KatKa}{LA2} bezeichne $\mathfrak U\!\op{Cat}^\DZ$ die Kategorie aller $\DZ$-Kategorien, deren zugrundeliegende Kategorie eine $\mathfrak U$-Kategorie ist. Als Morphismen von $\mathfrak U\!\op{Cat}^\DZ$ nehmen wir unsere $\DZ$-Funktoren.} \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{vvT} Eine {\bf $\DZ$-vertr"agliche}\index{$\DZ$-vertr"aglich!Transformation} oder kurz {\bf vertr"agliche Transformation}\index{vertr"aglich!Transformation von $\DZ$-Funktoren} $ (F,u) \RA (G,v)$ zwischen\index{Transformation!vertr"agliche!von $\DZ$-Funktoren} $\DZ$-Funktoren ist eine Transformation $\tau : F\RA G,$ die mit den jeweiligen $\DZ$-Strukturen vertr"aglich ist in dem Sinne, da"s das Diagramm von Transformationen \begin{displaymath} \xymatrix{ [1]\circ F \ar@{=>}[r]^{u}\ar@{=>}[d]_{[1] \tau} & F \circ[1] \ar@{=>}[d]^{\tau [1]}\\ [1]\circ G \ar@{=>}[r]^{v} &G \circ [1] } \end{displaymath} kommutiert. Jede Verkn"upfung vertr"aglicher Transformationen ist wieder ver\-tr"ag\-lich und die Menge $\op{Cat}^\DZ(\mathcal A,\mathcal B)$ wird mit diesen Transformationen als Morphismen eine Kategorie. Wir notieren die Menge der vertr"aglichen Transformationen $$ \op{Cat}^\DZ(\mathcal A,\mathcal B)(F,G)$$ oder abk"urzend $\op{Trans}^{\DZ} (F,G)$.\index{Trans@$\op{Trans}^{\DZ}$ vertr"agliche Transformationen} Eine Adjunktion $(L,R)$ von $\DZ$-Funktoren nennen wir eine \defind{vertr"agliche Adjunktion}, wenn die zugeh"origen Transformationen $\op{Id} \RA RL$ und $LR \RA \op{Id}$ vertr"aglich sind. Gegeben eine Adjunktion zwischen Funktoren zwischen zwei $\DZ$-Kategorien existiert f"ur jede $\DZ$-Struktur auf einem der beiden genau eine $\DZ$-Struktur auf dem anderen derart, da"s die Adjunktion mit diesen $\DZ$-Strukturen vertr"aglich ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungw} Man kann auch allgemeiner f"ur eine beliebige Gruppe $\Gamma$ den Begriff einer $\Gamma$-Kategorie und eines $\Gamma$-Funktors und einer vertr"aglichen Transformation und einer vertr"aglichen Adjunktion von $\Gamma$-Funktoren einf"uhren. Das will ich hier nicht weiter verfolgen. \end{Bemerkungw} \begin{Definition} Ein {\bf triangulierter Funktor}\index{trianguliert!Funktor} von einer triangulierten Kategorie in eine weitere ist ein additiver\label{triF} \hyperref[Zfu]{$\DZ$-Funktor}, der ausgezeichnete Dreiecke zu ausgezeichneten Dreiecken macht. \end{Definition} \begin{Definition} Eine Menge von Objekten einer triangulierten Kategorie hei"st ein {\bf trianguliertes System},\index{trianguliert!System} wenn\index{System!trianguliertes}\label{VerdSt} gilt: \begin{enumerate} \item Das Nullobjekt geh"ort zu unserer Menge; \item Mit je zwei Objekten eines ausgezeichneten Dreiecks geh"ort auch das Dritte zu unserer Menge. \end{enumerate} Ein trianguliertes System, das mit jedem Objekt auch alle seine direkten Summanden enth"alt, nennen wir ein \defind{Verdiersystem}.\label{VerdS} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Nach der Definition einer triangulierten Kategorie \ref{DtrK} haben wir f"ur jedes Objekt $X$ ein ausgezeichnetes Dreieck $(X,0,[1]X)$ und jeder Isomorphismus $X\sira Y$ pa"st in ein ausgezeichnetes Dreieck $(X,Y,0)$. Folglich geh"oren zu einem gegebenen triangulierten System mit einem Objekt $X$ auch alle $[n]X$ und alle zu $X$ isomorphen Objekte. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Kashiwara und Schapira verwenden in \cite{KS} die Bezeichnung \defind{Nullsystem} f"ur das, was ich ein trianguliertes System nenne. Der Terminologie von Kashiwara und Schapira folge ich nicht, da ich derartige Systeme keineswegs nur betrachten will, um sie wegzuteilen. Die Bezeichnung als \glqq Verdiersystem\grqq\ ist nicht "ublich. Verdier selbst benutzt die Bezeichnung {\bf souscat\'egorie \'epaisse}\index{epaisse@\'epaisse!souscat\'egorie}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Verstehen wir ein trianguliertes System als volle Unterkategorie, so erbt es in nat"urlicher Weise die Struktur einer triangulierten Kategorie. Diejenigen Objekte, die von einem triangulierten Funktor zu Null gemacht werden, bilden offensichtlich sogar ein Verdiersystem. Das kleinste triangulierte System beziehungsweise Verdiersystem, das eine vorgegebene Menge von Objekten umfa"st, bezeichnen wir als das {\bf von dieser Menge erzeugte\index{erzeugt!Verdiersystem} triangulierte System} beziehungsweise {\bf Verdiersystem}. Das von einer Menge von Objekten $\cal{N}$ erzeugte triangulierte System notieren wir $\langle\cal{N}\rangle=\langle\cal{N}\rangle_\Delta=\langle_!\cal{N}\rangle_\Delta$. Hier verwenden wir einen unteren Index $\Delta$, wenn wir betonen wollen, da"s das triangulierte Erzeugnis gemeint ist, und in Anlehnung an unsere Vereinbarung aus \eref{NfE}{AL} das untere Ausrufezeichen, wenn wir betonen wollen, da"s das Symbol in der Klammer nicht einen einzelnen Erzeuger meint, sondern ein ganzes System von Erzeugern. Besteht $\cal{N}$ aus einem einzigen Objekt $N$, so schreiben wir auch k"urzer $\langle N\rangle$ oder $\langle N\rangle_\Delta$.\index{)5>@$\langle\;\rangle=\langle\;\rangle_\Delta$ trianguliertes Erzeugnis} F"ur das von was auch immer erzeugte Verdiersystem verwenden wir analog die Notation $\langle\;\rangle_{\Delta\ominus}$. \index{)5>@$\langle\;\rangle=\langle\;\rangle_{\Delta\ominus}$ Verdier-Erzeugnis} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} In der Homotopiekategorie der Kategorie der Vektorr"aume "uber einem K"orper $k$ besteht das von $k^2$ erzeugte Verdiersystem aus allen in beide Richtungen beschr"ankten Komplexen mit endlichdimensionalen Eintr"agen. Das von $k^2$ erzeugte triangulierte System enth"alt jedoch nur beschr"ankte Komplexe mit endlichdimensionalen Eintr"agen und gerader Eulercharakteristik, wir haben also $\langle k^2\rangle_{\Delta}\neq\langle k^2\rangle_{\Delta\ominus}$. \end{Beispiel} \begin{Proposition}[\textbf{Volltreuheit triangulierter Funktoren}] Ist ein triangulierter Funktor $F:\mathcal T\ra \mathcal S$ volltreu auf einer vollen unter allen Verschiebungen $[n]$ stabilen %am 9.10 erg"anzt Unterkategorie $\mathcal A\subset \mathcal T$, so ist er auch volltreu auf dem von dieser\label{VTTr} Unterkategorie erzeugten Verdiersystem $\langle\mathcal A\rangle_{\Delta,\ominus}$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Das Anwenden dieser Erkenntnis bezeichnet man oft als {\bf d\'{e}vissage}\index{devissage@d\'{e}vissage}, franz"osisch f"ur \glqq Aufschrauben\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Gegeben $Y\in \mathcal T$ bilden die Mengen von Objekten $$\mathcal T_Y\pdef\{X\in \mathcal T\mid \mathcal T(X, Y[n]) \sira \mathcal S(FX, FY[n])\;\forall n\}$$ $$_Y\mathcal T\pdef\{Z\in \mathcal T\mid \mathcal T(Y[n],Z) \sira \mathcal S(FY[n], FZ)\;\forall n\}$$ Verdiersysteme in $\mathcal T$ aufgrund der langen exakten Sequenzen \ref{Hhn} und dem F"unferlemma, wie Sie als "Ubung \ref{VDShh} ausschreiben m"ogen. Unsere Annahme an $\mathcal A$ liest sich in diesen Notationen als $\mathcal A\subset{_B\mathcal T}\cap \mathcal T_B\;\forall B\in \mathcal A$. Sie impliziert somit $\langle \mathcal A\rangle_{\Delta,\ominus} \subset{_B\mathcal T}\cap \mathcal T_B\;\forall B\in \mathcal A$. Das hinwiederum zeigt unmittelbar $\mathcal A\subset{_C\mathcal T}\cap \mathcal T_C\; \forall C\in \langle \mathcal A\rangle_{\Delta,\ominus}$ und damit $\langle \mathcal A\rangle_{\Delta,\ominus}\subset{_C\mathcal T}\cap \mathcal T_C\; \forall C\in \langle \mathcal A\rangle_{\Delta,\ominus}$. Das schlie"slich war genau unsere Behauptung. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kriterium f"ur triangulierte "Aquivalenzen}] Ist ein triangulierter Funktor $F:\mathcal T\ra \mathcal S$ von triangulierten Kategorien volltreu auf einer vollen\label{VTTrv} unter allen Verschiebungen $[n]$ stabilen %am 9.10 erg"anzt Unterkategorie $\mathcal A\subset \mathcal T$, so induziert er eine "Aquivalenz $$F: \langle \mathcal A\rangle_{\Delta}\sirra \langle F\mathcal A\rangle_{\Delta} $$ In der Tat ist unser Funktor volltreu nach \ref{VTTr} und folglich ist sein Bild wieder ein trianguliertes System. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{egtt} Ist ein triangulierter Funktor eine "Aquivalenz von Kategorien, so ist auch jeder dazu quasiinverse Funktor trianguliert. In anderen Worten kann man unter keinen Umst"anden in einer triangulierten Kategorie noch zus"atzliche Dreiecke auszeichnen derart, da"s man wieder eine triangulierte Kategorie erh"alt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man betrachte den Funktor $\mathbb D$, der jedem Komplex $C$ von abelschen Gruppen seinen dualen Komplex $\mathbb D C\pdef C^\ast$ im Sinne von \eref{dD}{TG} zuordnet, und versehe ihn mit der $\DZ$-Struktur, die durch diejenigen Morphismen $[1]\mathbb D C\sira \mathbb D [1]C$ erkl"art wird, die auf der Komponente vom Grad $n$ beider Komplexe das $(-1)^n$-fache der offensichtlichen Identifikation sind. Mit dieser $\DZ$-Struk\-tur ist $\mathbb D$ ein triangulierter Funktor $$\mathbb D:\op{Hot}_{\op{Ab}}\ra \op{Hot}_{\op{Ab}}^{\op{opp}}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein triangulierter Funktor $F:\mathcal T\ra \mathcal S$ und $Y\in \mathcal T$ bilden die Objekte $X\in \mathcal T$ mit $\mathcal T(X,[q]Y)\sira \mathcal S(FX,F[q]Y)$ f"ur alle $q\in\DZ$ ein Verdiersystem in $\mathcal T$.\label{VDShh} \end{Ubung} \subsection{Quotienten triangulierter Kategorien} \begin{Bemerkungl} Seien $\cal{T}$ eine \hyperref[DtrK]{triangulierte Kategorie} und $\cal{N}$ eine Menge von Objekten von $\cal{T}$. Im folgenden konstruieren wir ein Paar $(\cal{T}/\cal{N},\op{can})$ bestehend aus einer triangulierten Kategorie $\cal{T}/\cal{N}$ und einem \hyperref[triF]{triangulierten Funktor} $\op{can}: \cal{T} \ra \cal{T}/\cal{N}$ derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item Jedes Objekt aus $\cal{N}$ wird unter $\op{can}$ zu Null in $\cal{T}/\cal{N};$ \item Ist $\cal{D}$ eine weitere triangulierte Kategorie und $F: \cal{T} \ra \cal{D}$ ein triangulierter Funktor, der alle Objekte aus $\cal{N}$ zu Null macht, so gibt es genau einen triangulierten Funktor $\tilde{F} : \cal{T}/\cal{N} \ra \cal{D}$ mit $F = \tilde{F} \circ \op{can}$. \end{enumerate} Ein derartiges Paar ist in der "ublichen Weise eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus. Wir nennen es den {\bf trianguierten Quotienten von $\cal{T}$ nach $\cal{N}$}.\index{triangulierter Quotient} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $\cal{T}$ eine \hyperref[DtrK]{triangulierte Kategorie} und $\cal{N}$ eine Menge von Objekten von $\cal{T}$. Ist $F:\cal{T}\ra\cal{D}$ ein triangulierter Funktor in eine weitere triangulierte Kategorie, der die Objekte aus $\cal{N}$ zu Null macht und f"ur den der induzierte Funktor eine "Aquivalenz von Kategorien $\tilde{F}:\cal{T}/\cal{N}\sirra \cal{D}$ ist, so nenne ich $F$ einen {\bf Quo\-tien\-ten\-funk\-tor} oder genauer, wenn ich Verwechslungen mit Quotientenfunktoren im Kontext abelscher Kategorien vermeiden will, einen {\bf triangulierten Quotientenfunktor}.\index{Quotientenfunktor!triangulierter} Man erinnere, da"s nach \ref{egtt} in diesem Fall jeder Quasiinverse zu unserer "Aquivalenz auch trianguliert ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Triangulierter Quotient nach trianguliertem System}] Seien $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie und $\mathcal{K} \subset \mathcal{T}$ ein \hyperref[VerdSt]{trianguliertes System}.\label{KTQu} So gilt: \begin{enumerate} \item Die Menge $S (\mathcal{K})$\index{S(K)@$S (\mathcal{K})$ Morphismen mit Kegel in $\mathcal K$} aller Morphismen mit Kegel in $\mathcal{K}$ ist ein \hyperref[MuSy]{Oresystem}; \item Die an $S(\mathcal{K})$ \hyperref[EAdLl]{lokalisierte Kategorie} $\mathcal{T}_{S(\mathcal{K})}$ wird eine triangulierte Kategorie, wenn wir sie mit der von $\mathcal{T}$ induzierten $\DZ$-Operation $[1]$ versehen und als ausgezeichnete Dreiecke alle Dreiecke nehmen, die isomorph sind zu Bildern ausgezeichneter Dreiecke von $\mathcal{T}$; \item Der Funktor $Q:\mathcal{T} \ra \mathcal{T}_{S(\mathcal{K})}$ ist ein triangulierter Quotient von $\mathcal{T}$ nach $\mathcal{K}$. Die davon annullierten Objekte sind genau alle direkten Summanden von Objekten von $\mathcal{K}$ und die davon zu Isomorphismen gemachten Morphismen genau alle Morphismen mit Abbildungskegel in derartigen Summanden, die mithin sogar ein \hyperref[saet]{ges\"{a}ttigtes} Oresystem bilden. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Triangulierte Quotienten durch Lokalisierung}] Mit diesem Satz ist auch klar, da"s f"ur jede Menge von Objekten $\mathcal N$ einer triangulierten Kategorie $\mathcal T$ der triangulierte Quotient $\mathcal T/\mathcal N$\label{OOO} existiert: Man wendet eben die Konstruktion aus dem Satz an auf das von dieser Menge erzeugte triangulierte System $\langle \mathcal N\rangle_{\Delta}$ und setzt also in Formeln $$\mathcal T/\mathcal N \pdef \mathcal T_{S(\langle \mathcal N\rangle_{\Delta})}$$ Zus"atzlich zeigt unser Satz dann, da"s die von $\op{can}:\mathcal T\ra \mathcal T/\mathcal N$ zu Null gemachten Objekte genau die Objekte des von $\mathcal N$ erzeugten Verdiersystems sind und da"s dieses Verdiersystem aus allen direkten Summanden des von $\mathcal N$ erzeugten triangulierten Systems besteht. \end{Bemerkungl} \begin{proof} 1. Da"s unser System $S\pdef S (\mathcal{K})$ stabil ist unter Verkn"upfung, folgt sofort aus dem Oktaederaxiom. Da"s sich jeder Winkel \begin{displaymath} \xymatrix{ & X\ar[d]^s\\ Y\ar[r]^f &Z } \end{displaymath} mit $s \in S$ erg"anzen l"a"st zu einem kommutativen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar[r]^g \ar[d]_t & X \ar[d]^s\\ Y \ar[r]^f &Z } \end{displaymath} mit $t \in S$ folgt auch aus dem Oktaederaxiom, indem man n"amlich erst das Dreieck $X \rightarrow Z \rightarrow N \rightarrow$ "uber $s$ bildet und damit den Oktaeder zur Komposition $Y \rightarrow Z \rightarrow N$. Dessen untere Ecke, also die dritte Ecke des Dreiecks "uber der Komposition, ist dann das gesuchte $W$. Sind schlie"slich $f, g : X \ra Y$ gegeben und $s \in S$ und $sf = sg$, also $s \circ (f-g)=0$, so betrachten wir das ausgezeichnete Dreieck "uber $s$ und folgern mit \ref{Hhn} die Existenz von $h : X \ra W$ mit $(f-g) =r \circ h$. \begin{displaymath} \xymatrix{ V\ar@{..>}[r]^t & X \ar@{-->}[dl]_h\ar[d]^{f-g}&&\\ W\ar@{..>}[u]^{[1]} \ar[r]^r & Y \ar[r]^{s} & Z \ar[r]^{[1]}& } \end{displaymath} Bilden wir nun, wie durch die gepunkteten Pfeile angedeutet, das ausgezeichnete Dreieck "uber $h$, so haben wir $t \in S$ und $(f-g) \circ t=0$. Damit haben wir gezeigt, da"s unser System linksore ist im Sinne von \ref{RmS}. \nichtfinal{Sollte rechtsore vorziehen! Unsere Devise war \glqq rechts vor links\grqq!} Da"s es auch rechtsore sein mu"s, folgt durch "Ubergang zur opponierten Kategorie. \\[2mm]\noindent 2. Nach \ref{LAdK} ist unsere lokalisierte Kategorie $\mathcal{T}_{S}$ additiv und der kanonische Funktor $\mathcal{T}\ra \mathcal{T}_{S}$ desgleichen. Die $\DZ$-Operation geht ohne Schwierigkeiten auf die Lokalisierung "uber. Es bleibt, die Axiome f"ur ausgezeichnete Dreiecke zu pr"ufen. Das G"ultigkeit des ersten Axioms $(X,X,0)$ ist offensichtlich. Da jeder Morphismus von $\mathcal{T}_{S}$ isomorph ist zum Bild eines Morphismus von $\mathcal{T}$, l"a"st sich auch jeder Morphismus von $\mathcal{T}_{S}$ in ein ausgezeichnetes Dreieck einbetten. Auch das Drehen von Dreiecken ist unproblematisch. Wir zeigen nun das Axiom zur Existenz einer Erg"anzung zu einem Morphismus ausgezeichneter Dreiecke. Wir d"urfen dazu nach \ref{lkQ} ausgehen von einem kommutativen Diagramm $$ \xymatrix{ X\ar[r] &Y \ar[r] & Z \ar[r] &[1]X\\ A\ar[r] \ar[d]\ar@{..>}[u] &B \ar[d]\ar@{..>}[u] \ar[r] & C\ar@{-->}[u]\ar@{-->}[d] \ar[r] &[1]A\ar[d]\ar@{..>}[u]\\ X^{\prime} \ar[r] & Y^{\prime} \ar[r] &Z^{\prime} \ar[r] &[1]X^{\prime} } $$ in $\mathcal T$ mit ausgezeichneten Dreiecken aus $\mathcal T$ in den Horizontalen, in denen die gepunktelten Pfeile Morphismen aus $S$ sind und wir die gestrichelten Pfeile nach dem entsprechenden Axiom in $\mathcal T$ dazu finden k"onnen. Nach \ref{123N} geh"ort dann der gestrichelte Pfeil nach oben auch zu $S$ und das Erg"anzungsaxiom folgt f"ur die lokalisierte Kategorie. Das Oktaederaxiom folgt wieder ohne weitere Schwierigkeiten daraus, da"s jedes kommutative Dreieck in $\mathcal T_S$ isomorph ist zum Bild eines kommutativen Dreiecks in $\mathcal T$. \\[2mm]\noindent 3. Die universelle Eigenschaft scheint mir evident. Geht ein Objekt unter dem Quotientenfunktor nach Null, so mu"s die Identit"at darauf zur Nullabbildung werden. Schreiben wir diese Bedingung in der Kategorie der Br"uche, so impliziert sie leicht, da"s unser Objekt direkter Summand eines Objekts von $\cal{K}$ sein mu"s. \end{proof} \begin{Lemma} Sei $\mathcal K \subset \mathcal T$ ein trianguliertes System in einer triangulierten Kategorie. Haben bei einem Morphismus von ausgezeichneten Dreiecken zwei der Objektmorphismen Kegel\label{123N} in $\mathcal K$, so auch der Dritte. \end{Lemma} \begin{proof} Wir argumentieren anhand des Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ &X \ar[r]\ar[d] \ar[dr] & Y \ar[d] \ar[r] & Z \ar[dr]\ar@{-->}[dd]\ar[rr]^-{[1]} &&\\ &X^\prime \ar[d] \ar[r] &Y' \ar[dd]\ar[dr]\ar[rr] & &Z^\prime \ar@/^1pc/@{..>}[dl]\ar[r]^-{[1]} &\\ &\ar@{..>}[l]^{[1]} \mathcal K & &W\ar@{..>}[ll]\ar@/^1pc/@{-->}[dl] \ar[dr]^-{[1]} && \\ && \ar@{-->}[l]^-{[1]}\mathcal K \ar[d]^-{[1]}& &&\\ && & &&} \end{displaymath} Hierin haben wir durch zweimaliges Anwenden des Oktaederaxioms auf die beiden Kompositionen im Rechteck oben links die beiden gestrichelt beziehungsweise gepunktelt gezeichneten ausgezeichneten Dreiecke erhalten und sehen so, da"s sowohl $Z \rightarrow W$ als auch $Z^\prime \rightarrow W$ Kegel in $\mathcal K$ haben. Mit nochmaligem Anwenden des Oktaederaxioms auf die Komposition $Z\ra Z'\ra W$ folgt dann, da"s auch $Z \rightarrow Z^\prime$ Kegel in $\mathcal K$ hat. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Entfaltung f"ur triangulierte Quotienten}] Gegeben eine triangulierte Kategorie $\mathcal{T}$ und darin eine Menge von Objekten $\mathcal{N}$ und ein Objekt $I\in \mathcal T$ sind gleichbedeutend:\label{Vinj} \begin{enumerate} \item Das Objekt $I$ ist $Q$-rechtsentfaltet f"ur $Q:\mathcal{T}\ra \mathcal{T}/\mathcal N$; \item Das Objekt $I$ ist $S$-rechtsentfaltet f"ur $S\pdef S(\langle \mathcal N\rangle_\Delta)$ das System aller Morphismen von $\mathcal T$ mit Kegel im von $\mathcal N$ erzeugten triangulierten System; \item Das Objekt $I$ ist $S$-rechtsentfaltet f"ur $S\pdef S(\langle \mathcal N\rangle_{\Delta\ominus})$ das System aller Morphismen von $\mathcal T$ mit Kegel im von $\mathcal N$ erzeugten Verdiersystem; \item Es gilt $\mathcal T(N[q],I)=0$ f"ur alle $N\in\mathcal N$ und $q\in\DZ$. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof} Nach der Beschreibung \ref{OOO} triangulierter Quotienten haben wir Isomorphismen von Kategorien $\mathcal{T}_{S(\langle \mathcal N\rangle_\Delta)}\sira \mathcal{T}_{S(\langle \mathcal N\rangle_{\Delta\ominus})}\sira\mathcal{T}/\mathcal N$. Das zeigt die "Aquivalenz der ersten drei Bedingungen an ein Objekt $I\in \mathcal T$. Nun erinnern wir aus \ref{AdLl}, da"s gegeben eine Menge $S$ von Morphismen einer Kategorie $\mathcal T$ ein Objekt $I\in \mathcal T$ rechtsentfaltet ist f"ur $S$ genau dann, wenn jeder $S$-Morphismus $X\ra Y$ eine Bijektion $\mathcal T(Y,I)\sira \mathcal T(X,I)$ induziert. Die letzte Bedingung folgt aus der zweiten Bedingung, da $0\ra N[q]$ f"ur alle $N\in \mathcal N$ Kegel in $\langle \mathcal N\rangle_\Delta$ hat, also einen Isomorphismus $\mathcal T(N[q],I)\sira \mathcal T(0,I)$ induzieren mu"s, wenn die zweite Bedingung erf"ullt ist. Gilt umgekehrt die letzte Bedingung, so folgt erst $\mathcal T(K,I)=0\;\forall K\in \langle \mathcal N\rangle_\Delta$ und dann folgt f"ur jeden Morphismus $X\ra Y$ mit Abbildungskegel $K$ in $\langle \mathcal N\rangle_\Delta$, da"s er einen Isomorphismus $\mathcal T(Y,I)\sira \mathcal T(X,I)$ induzieren mu"s nach der langen exakten Homsequenz f"ur triangulierte Kategorien. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{Vinjb} Gegeben eine triangulierte Kategorie $\mathcal{T}$ und darin eine Menge von Objekten $\mathcal{N}$ setzen wir $$\mathcal{N}^\perp\pdef \{I \in \mathcal{T} \mid \mathcal{T} (N,I) = 0 \; \forall N \in \mathcal{N}\}$$ und bezeichnen die Objekte von $\mathcal N^\perp$ als {\bf $\mathcal N$-rechtsentfaltet}.\index{rechtsentfaltet!$\mathcal N$-rechtsentfaltet} \index{)6perp@$\mathcal N^\perp$ rechtsentfaltete Objekte} Offensichtlich ist $\mathcal{N}^{\perp}$ stets ein \hyperref[VerdS]{Verdiersystem} und nach \ref{Vinj} besteht es genau aus den $S(\langle \mathcal N\rangle_{\Delta})$-rechtsentfalteten Objekten im Sinne von \ref{loki}. Insbesondere induziert der Quotientenfunktor\label{LAdQ} nach \ref{loki} einen volltreuen Funktor $\mathcal{N}^{\perp}\vra \mathcal{T}/\mathcal{N}$ und dessen essentielles Bild besteht aus denjenigen Objekten des Quotienten, auf denen der partielle Rechtsadjungierte des Quotientenfunktors existiert. Opponiert setzen wir $^\perp\mathcal{N}\pdef \{P \in \mathcal{T} \mid \mathcal{T} (P,N) = 0 \; \forall N \in \mathcal{N}\}$ und bezeichnen die Objekte von $^\perp\mathcal N$ als {\bf $\mathcal N$-linksentfaltet} und erhalten die opponierten Aussagen.\index{linksentfaltet!$\mathcal N$-linksentfaltet} \index{)6perp@$\mathcal N^\perp$ linksentfaltete Objekte}\index{)6perp@$^\perp\mathcal N$ linksentfaltete Objekte} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine triangulierte Kategorie\label{LireE} $\mathcal{T}$ und darin eine Menge von Objekten $\mathcal{N}$ ist offensichtlich das Produkt einer Familie $\mathcal{N}$-rechtsentfalteter Objekte, wenn es existiert, wieder $\mathcal{N}$-rechtsentfaltet. Dasselbe gilt allgemeiner f"ur Limites $\mathcal{N}$-rechtsentfalteter Objekte. Opponiert sind Kolimites $\mathcal{N}$-linksentfalteter Objekte wieder $\mathcal{N}$-linksentfaltet. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Triangulierte "Aquivalenz durch Adjunktion}] Gegeben $F:\mathcal T\ra \mathcal D$ ein triangulierter Funktor ist $\mathcal N\pdef \{N\in \mathcal T\mid F(N)=0\}$ ein Verdiersystem. Besitzt $F$ einen volltreuen Rechtsadjungierten $R$ oder einen volltreuen Linksadjungierten, so ist $F$ ein Lokalisierungsfunktor nach \ref{vtal} und induziert folglich eine "Aquivalenz $\mathcal T_S\sirra \mathcal D$ f"ur das System $S$ aller Morphismen in $\mathcal T$, die unter $F$ zu Isomorphismen werden alias die Abbildungskegel in $\mathcal N$ haben. Folglich induziert $F$, wenn er einen volltreuen Adjungierten besitzt, eine triangulierte "Aquivalenz\label{TAA} $$\mathcal T/\mathcal N\sirra \mathcal D$$ \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Seien $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie und $\mathcal{K} \subset \mathcal{T}$ ein trianguliertes System. Man zeige:\label{NMQT} Genau dann wird ein Morphismus $\varphi: X\ra Y$ von $\mathcal T$ unter $Q:\mathcal T\ra \mathcal T/\mathcal K$ der Nullmorphismus, wenn er "uber ein Objekt von $\mathcal K$ faktorisiert. Hinweis: Zun"achst zeige man, da"s $Q(\varphi)=0$ gleichbedeutend dazu ist, da"s es $\psi:Z\ra X$ mit Abbildungskegel in $\mathcal K$ gibt, f"ur das gilt $\varphi\circ \psi =0$. Dann betrachte man das Oktaederaxiom f"ur diese Verkn"upfung. \end{Ubung} \subsection{Derivierte Kategorien} \begin{Definition}\label{leHO} Gegeben eine abelsche Kategorie $\mathcal{A}$ bezeichnen wir den Ver\-dier\-quo\-tien\-ten im Sinne von \ref{KTQu} der zugeh"origen Homotopiekategorie nach dem Verdiersystem aller exakten Komplexe mit \begin{displaymath} \op{Der}_\mathcal{A} =\op{Der} (\mathcal{A})\index{Der} \pdef \op{Hot} (\mathcal{A}) / (\text{exakte Komplexe}) \end{displaymath} und nennen diese triangulierte Kategorie die \defind{derivierte Kategorie} {\bf von} $\mathcal{A}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Nach der in \ref{KTQu} gegebenen Konstruktion ist die derivierte Kategorie einer abelschen Kategorie die Lokalisierung ihrer Homotopiekategorie nach allen Quasiisomorphismen alias Morphismen, die Isomorphismen auf allen Homologieobjekten induzieren. Die universelle Eigenschaft der Lokalisierung liefert uns folglich Funktoren $$\cal{H}^i: \op{Der}(\mathcal{A}) \ra\cal{A}$$ mit der Eigenschaft, da"s jedes ausgezeichnete Dreieck eine lange exakte Sequenz liefert und da"s ein Morphismus ein Isomorphismus ist genau dann, wenn er Isomorphismen auf allen $\cal{H}^i$ induziert. Morphismen in der derivierten Kategorie notiere ich manchmal $\ra_{\op{Der}}$\index{)44@$\ra_{\op{Der}}$ Morphismus in $\op{Der}$} und Isomorphismen $\sira_{\op{Der}}$.\index{)44@$\sira_{\op{Der}}$ Isomorphismus in $\op{Der}$} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Ring $A$ und ein Universum $\mathfrak U$ mit $A\in \mathfrak U$ verwenden wir auch die abk"urzenden Notationen $\op{Der}_{A}\pdef\op{Der}(A\op{-Mod})$\index{Der@$\op{Der}_{A}=\op{Der}(A\op{-Mod})$} und $\op{Der}_{-A}\pdef\op{Der}(\op{Mod-}A)$ f"ur die derivierten Kategorien der entsprechenden Kategorien von $A$-Moduln aus unserem Universum, das wir oft nicht explizit notieren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ausgezeichnetes Dreieck zu Sequenz von Komplexen}] Gegeben eine kurze exakte Sequenz\label{Kzu} $$X \overset{f}{\hra} Y \overset{g}{\twoheadrightarrow} Z$$ von Komplexen in einer abelschen Kategorie $\cal{A}$ betrachten wir in $\op{Ket}(\mathcal A)$ das Diagramm $$\begin{array}{ccccccccc} X & \ra &Y &\ra & \op{Keg}(f) & \ra & [1]X\\ \| & &\| & &\downarrow & &\|\\ X & \ra & Y& \ra & Z & \ra^?&[1]X\\ \downarrow & &\| & &\| & &\da\\ {[-1]}\op{Keg}(g) & \ra & Y& \ra & Z &\ra &\op{Keg}(g) \end{array}$$ mit dritter oberer Vertikale $(0,g)$ und unterer erster Vertikale $(f,0)^\top$. Man erkennt, da"s diese Vertikalen Quasiisomorphismen sind. Zum Beispiel betrachten wir f"ur die dritte Vertikale die lange exakte Homologiesequenz der kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen $\op{Keg}(\op{id}_{X}) \hookrightarrow \op{Keg}(f) \twoheadrightarrow Z$ und pr"ufen, da"s die Homologie von $\op{Keg}(\op{id}_{X})$ verschwindet. Man erkennt weiter, da"s die linken und mittleren Quadrate kommutieren, wohingegen das rechte Rechteck in der Homotopiekategorie kommutiert vermittels der Homotopie $\op{Keg}(f)^n=Y^n\oplus X^{n+1}\sra Y^n\hra Z^{n-1}\oplus Y^{n}=\op{Keg}(g)^{n-1}$. Es gibt also in der derivierten Kategorie genau einen Morphismus $Z\ra [1]X$, der das obere und gleichbedeutend das untere Quadrat rechts zum Kommutieren bringt. Das so entstehende ausgezeichnete Dreieck $$X \overset{f}{\hra} Y \overset{g}{\twoheadrightarrow} Z \ra [1]X$$ nennen wir das {\bf ausgezeichnete Dreieck unserer kurzen exakten Sequenz von Komplexen}. Diese Konstruktion liefert sogar einen Funktor von der Kategorie der kurzen exakten Sequenzen von Komplexen in die Kategorie der ausgezeichneten Dreiecke der derivierten Kategorie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ausgezeichnetes Dreieck zu kurzer exakter Sequenz}] Gegeben eine kurze exakte Sequenz $A\hra B\sra C$ in einer abelschen Kategorie $\mathcal A$ gibt es genau einen Morphismus $C\ra [1]A$, der sie zu einem ausgezeichneten Dreieck der derivierten Kategorie erg"anzt. Hier folgt die Existenz aus \ref{Kzu} und die Eindeutigkeit aus "Ubung \ref{EDPn} und genau genommen verwenden wir im Vorgriff auch die Erkenntnis\label{adkes} \ref{Absch}, die insbeondere $\op{Der}_{\mathcal A}([1]A,C)=0$ impliziert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine abelsche Kategorie $\mathcal A$ nennen wir die in Bezug auf das Oresystem der Quasiisomorphismen in $\op{Hot}_{\mathcal A}$ im Sinne von \ref{loki} rechtsentfalteten Komplexe {\bf quisrechtsentfaltet}.\index{quisrechtsentfaltet} Per definitionem\label{qref} ist ein Komplex $I\in \op{Hot}_{\mathcal A}$ quisrechtsentfaltet genau dann, wenn f"ur jeden weiteren Komplex $X$ die Morphismen nach $I$ dieselben sind in der Homotopiekategorie und der derivierten Kategorie, in Formeln $$Q:\op{Hot}_{\mathcal A}(X,I)\sira \op{Der}_{\mathcal A}(QX,QI)$$ Nach \ref{AdLl} ist gleichbedeutend, da"s jeder Quasiisomorphismus $X\qri Y$ eine Bijektion $\op{Hot}_{\mathcal A}(Y,I)\sira \op{Hot}_{\mathcal A}(X,I)$ induziert, und nach \ref{Vinj} ist auch gleichbedeutend, da"s f"ur jeden exakten Komplex $N$ gilt $\op{Hot}_{\mathcal A}(N,I)=0$. Analog erkl"aren wir {\bf quislinksentfaltete Komplexe}\index{quislinksentfaltet} und zeigen daf"ur analoge Charakterisierungen. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Quisrechtsentfaltete Komplexe aus Injektiven}] Gegeben eine abelsche Kategorie $\mathcal A$ ist jeder gegen die Pfeile beschr"ankte Komplex aus injektiven Objekten quisrechtsentfaltet. Des weiteren ist jeder Komplex aus injektiven Objekten mit verschwindendem Differential quisrechtsentfaltet.\label{DEIAa} \end{Proposition} \begin{proof} Quasiisomorphismen sind ja genau die Morphismen der Homotopiekategorie mit exaktem Abbildungskegel. Nach \ref{LAdQ} ist also $I$ quisrechtsentfaltet genau dann, wenn f"ur jeden exakten Komplex $N$ gilt $\op{Hot}_{\mathcal A}(N,I)=0$. Das folgt jedoch f"ur jeden gegen die Pfeile beschr"ankten Komplex injektiver Objekte aus dem Hauptlemma der homologischen Algebra \eref{IaU}{TG}. Einen beliebigen Komplex mit verschwindendem Differential k"onnen wir nach \eref{pinHO}{TG} als Produkt in der Homotopiekategorie auffassen und Produkte von quisrechtsentfalteten Komplexen sind nach \ref{LireE} wieder quisrechtsentfaltet. Alternativ sieht man auch leicht ein, da"s sich jeder Quasiisomorphismus $I\qri Y$ von einem Komplex injektiver Objekte mit verschwindendem Differential zu einem weiteren Komplex so durch $Y\ra I$ verl"angern l"a"st, da"s die Verkn"upfung die Identit"at auf $I$ ist. Daraus folgt die Behauptung dann auch direkt. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine additive Kategorie $\mathcal{I}$ betrachten wir in der triangulierten Kategorie $\op{Hot}(\mathcal{I})$ das Verdiersystem \index{Hot@$\op{Hot}$!$\op{Hot}^+$} $ \op{Hot}^+ (\mathcal{I}) $ aller gegen die Pfeile beschr"ankten Komplexe. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Derivierte Kategorie und Komplexe von Injektiven}] Seien $ \mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie und $i\mathcal{A}$ die volle additive Unterkategorie ihrer injektiven Objekte. So restringiert der Quotientenfunktor $Q:\op{Hot}(\mathcal{A})\ra \op{Der}(\mathcal A)$ zu einem volltreuen Funktor\label{DEIA} $$\op{Hot}^+(i\mathcal{A})\vra \op{Der}(\mathcal A)$$ \end{Korollar} \begin{proof} Das gilt sogar allgemeiner f"ur die volle Unterkategorie aller quisrechtsentfalteten Komplexe der Homotopiekategorie. \end{proof} \begin{Bemerkungw} Wir zeigen in \ref{DkhD}, da"s gegeben eine abelsche Kategorie $\mathcal A$ endlicher homologischer Dimension mit genug Injektiven jeder Komplex aus injektiven Objekten quisrechtsentfaltet ist und da"s die Lokalisierung eine "Aquivalenz $\op{Hot}({\op{i}}\mathcal A)\sirra \op{Der}(\mathcal A)$ induziert.\label{IjkU} \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erweiterungen als Morphismen}] Gegeben $A,B$ Objekte einer abelschen Kategorie $\mathcal A$ mit genug Injektiven erhalten wir durch die Wahl einer injektiven Aufl"osung $B\hra I^\lhd$ und die in der Mitte durch \ref{DEIA} und sonst in offensichtlicher Weise gegebenen Isomorphismen $$\mathcal H^q\mathcal A(A,I^\lhd)\sira \op{Hot}_{\mathcal A}(A,[q]I^\lhd) \sira \op{Der}_{\mathcal A}(A,[q]I^\lhd)\sira \op{Der}_{\mathcal A}(A,[q]B)$$ eine Bijektion\label{ErAM} $\op{Ext}_{\mathcal A}^q(A,B)\sira \op{Der}_{\mathcal A}(A,[q]B)$. Man pr"uft auch leicht, da"s sie unabh"angig ist von der Wahl der injektiven Aufl"osung von $B$. Hat opponiert $\mathcal A$ genug Projektive, so erhalten wir in derselben Weise mit unseren durch projektive Aufl"osung des ersten Eintrags erkl"arten $\op{lExt}$ aus \eref{ExtL}{TG} Bijektionen $\op{lExt}^{\mathcal A}_q(A,B)\sira \op{Der}_{\mathcal A}(A,[q]B)$. F"ur allgemeines $\mathcal A$ vereinbaren wir von nun an den entsprechenden Morphismenraum in der derivierten Kategorie als Definition der Ext-Gruppe und setzen also in Formeln\index{Ext@$\op{Ext}_{\mathcal A}^q(A,B)$ Erweiterungen!ohne genug Injektive} $$\op{Ext}_{\mathcal A}^q(A,B)\pdef \op{Der}_{\mathcal A}(A,[q]B)$$ Die Verkn"upfung von Morphismen hei"st in diesem Fall das {\bf Yoneda-Produkt}\index{Yoneda-Produkt} $$\op{Ext}_{\mathcal A}^p(A,B)\times \op{Ext}_{\mathcal A}^q(B,C)\ra \op{Ext}_{\mathcal A}^{p+q}(A,C)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erweiterungen und Zentrum}] Gegeben eine abelsche Kategorie $\mathcal A$ und eine Selbsttransformation des Identit"atfunktors $z:\op{Id}_{\mathcal A}\RA \op{Id}_{\mathcal A}$ und $A,B\in \mathcal A$ gilt f"ur die zugeh"origen Endomorphismen $z_A,z_B$ und jede Erweiterung $f\in \op{Ext}_{\mathcal A}^q(A,B)$ die Identit"at $z_B\circ f = f\circ z_A$ f"ur das Yonedaprodukt. In der Tat gilt unsere Identit"at offensichtlich in der Homotopiekategorie, ja sogar in der Kategorie der Komplexe,\label{DeZe} und sie folgt direkt f"ur die derivierte Kategorie. Das verallgemeinert unsere Erkenntnisse im Fall von Modulkategorien aus \eref{ExZe}{TG}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Aus \ref{Absch} wird folgen, da"s auch f"ur eine allgemeine abelsche Kategorie $\mathcal A$ und beliebige $A,B\in\mathcal A$ gilt $\op{Der}_{\mathcal A}(A,[q]B)=0$ f"ur $q<0$. In \ref{vtre} zeigen wir, da"s auch in dieser Allgemeinheit der offensichtliche Morphismus ein Isomorphismus $\cal{A} (A,B)\sira \op{Der}_{\mathcal A} (A,B)$ ist. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Selbsterweiterungen}] Gegeben ein Objekt $M\in\mathcal A$ einer abelschen Kategorie bilden seine Selbsterweiterungen mit der Komposition von Morpismen der derivierten Kategorie als Multiplikation einen graduierten Ring $$\op{Ext}_{\mathcal A}^*(M)\pdef\bigoplus\op{Ext}_{\mathcal A}^q(M,M)=\bigoplus\op{Der}_{\mathcal A}(M,[q]M)$$ Wir nennen ihn den {\bf Ring der Selbsterweiterungen von $M$}.\index{Selbsterweiterungen} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Der Kohomologiering}] Ist speziell $X$ ein topologischer Raum und bezeichnet $\op{Ab}_{/X}$ wie in \eref{DAg}{TG} die Kategorie der abelschen Garben auf $X$, so liefert\label{GTH} f"ur alle $ \cal{F}\in \op{Ab}_{/X}$ das Auswerten auf dem konstanten Schnitt $1\in \Gamma(\DZ_X)$ einen Isomorphismus $ \op{Ab}_{/X} (\Bbb{Z}_{X}, \cal{F}) \sira\Gamma \cal{F} $. Wir folgern Isomorphismen $\op{H}^{q}(X;\cal{F})={\op{R}}^q\Gamma(\mathcal F)\sira{\op{R}}^q(\op{Ab}_{/X} (\Bbb{Z}_{X},\;))(\mathcal F)= \op{Ext}^q_{\op{Ab}_{/X}} (\Bbb{Z}_{X}, \cal{F})\sira \op{Der}_{\op{Ab}_{/X}} (\Bbb{Z}_{X}, [q]\cal{F})$ nach der Definition \eref{GDF}{TG} der Garbenkohomologie als derivierter Funktor, der Definition der Ext-Gruppen in abelschen Kategorien mit genug Injektiven \eref{ExtA}{TG} und der Interpretation dieser Ext-Gruppen als Morphismen in der derivierten Kategorie \ref{ErAM}. Insbesondere erhalten wir so Isomorphismen\label{hDM} von abelschen Gruppen $$\op{H}^{\ast}(X;\Bbb{Z}_{X})\sira \op{Ext}^*_{\op{Ab}_{/X}} (\Bbb{Z}_{X})\sira \bigoplus\op{Der}_{\op{Ab}_{/X}}(\Bbb{Z}_{X},[q]\Bbb{Z}_{X})$$ Auf diese Weise erh"alt die Garbenkohomologie eines topologischen Raums die Struktur eines graduierten Rings. Wir nennen ihn den\index{Kohomologiering!garbentheoretischer} \defnoind{garbentheoretischen Kohomologiering},\index{garbentheoretischer Kohomologiering} um ihn vom singul"aren Kohomologiering aus \eref{SiK}{TS} zu unterscheiden. Seine Multiplikation hei"st weiter das {\bf cup-Produkt}\index{cup-Produkt!garbentheoretisches} oder auch das {\bf Yoneda-Produkt}.\index{Yoneda-Produkt!garbentheoretisches} Vermittels der Verkn"upfung in der derivierten Kategorie von $\op{Ab}_{/X}$ erh"alt die Kohomologie jeder abelschen Garbe die Struktur eines graduierten Rechtsmoduls "uber dem garbentheoretischen Kohomologiering. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Graduierte Kommutativit"at des Kohomologierings}] Die graduierte Kommutativit"at des garbentheoretischen Kohomologierings eines topologischen Raums $X$ zeigen wir erst in \eref{KoGK}{TSF}. Wir leiten sie aus der Existenz eines derivierten Tensorprodukts abelscher Garben oder genauer der Struktur einer Schmelzkategorie auf $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ ab. Dazu m"ussen wir jedoch noch tiefer in die homologische Algebra einsteigen und sowohl das Derivieren von Funktoren in mehreren Variablen erkl"aren als auch das Linksderivieren auf Situationen verallgemeinern, in denen es nicht genug projektive Objekte gibt. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Triangulierte Funktoren zu exakten Funktoren}] Jeder additive Funktor $F:\mathcal A\ra\mathcal B$ induziert einen triangulierten Funktor $\op{Hot}_F:\op{Hot}_{\mathcal A}\ra \op{Hot}_{\mathcal B}$ in nat"urlicher Weise. Sind $\mathcal A$ und $\mathcal B$ abelsch und ist $F$ exakt, so macht $\op{Hot}_F$ exakte Komplexe zu exakten Komplexen\label{DeF} und induziert folglich einen triangulierten Funktor $$\op{Der}_F:\op{Der}_{\mathcal A}\ra \op{Der}_{\mathcal B}$$ auf den derivierten Kategorien. Dieser Funktor hinwiederum induziert f"ur jedes Objekt $M\in \mathcal A$ einen Homomorphismus von graduierten Ringen $$\op{Ext}^*_{\mathcal A}(M)\ra \op{Ext}^*_{\mathcal B}(FM)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Triangulierte Funktoren zu additiven Funktoren}] Gegeben ein additiver Funktor $F:\mathcal A\ra\mathcal B$ zwischen abelschen Kategorien kann man auch dann, wenn er nicht exakt ist, in vielen F"allen immer noch sinnvoll zwei triangulierte Funktoren ${\op{R}}F,{\op{L}}F:\op{Der}_{\mathcal A}\ra \op{Der}_{\mathcal B}$ auf den derivierten Kategorien erkl"aren, seinen \glqq Rechtsderivierten\grqq\ und seinen \glqq Linksderivierten\grqq. Im allgemeinen sind das aber nur noch partiell definierte triangulierte Funktoren. Mehr dazu wird in \ref{HdFoI} diskutiert. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at des Kohomologierings}] Speziell erhalten wir f"ur jede stetige Abbildung $f:X\ra Y$ nach \ref{DeF} mit dem exakten R"uckzug $f^*:\op{Ab}_{/Y}\ra \op{Ab}_{/X}$ und dem offensichtlichen Isomorphismus $f^*\DZ_Y\sira \DZ_X$ einen\label{GHT} Ringhomomorphismus $${\op{H}}^*(Y;\DZ_Y)\ra {\op{H}}^*(X;f^*\DZ_Y)\sira {\op{H}}^*(X;\DZ_X)$$ Der Leser mag zur "Ubung zeigen, da"s dieser Ringhomomorphismus mit unserem Zur"uckholen auf der Kohomologie aus \eref{ZHKoX}{TG} "ubereinstimmt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kohomologie eines Komplexes als Morphismenraum}] Gegeben ein Ring $R$ und ein Komplex $L\in \op{Hot}(R\op{-Mod})$ erhalten wir speziell mit \eref{HHKK}{TS} und der opponierten Aussage zu \ref{DEIA} kanonische Isomorphismen\label{H00} von $R$-Moduln $$\mathcal H^qL\sira \op{Hot}_{R}([-q]R, L)\sira \op{Der}_{R}([-q]R, L)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Totale Homologie}] Gegeben eine abelsche Kategorie $\mathcal A$ betrachten wir die Funktoren $\mathcal Z, \mathcal B, \mathcal H:\op{Ket}_{\mathcal A}\ra \op{Ket}_{\mathcal A}$, die jedem Komplex $(X^q)$ den Komplex seiner Zykel, Bilder, oder Homologieobjekte $(\mathcal H^qX)$ mit verschwindenden Differentialen zuordnen. Wir haben kurze exakte Sequenzen von Komplexen $\mathcal Z X\hra X\sra [1]\mathcal BX$ und $\mathcal B X\hra \mathcal Z X\sra \mathcal HX$. Hat bereits $X$ selbst verschwindende Differentiale, so liefern sie Isomorphismen $X\sila \mathcal Z X\sira \mathcal H X$.\label{tHO} \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Komplexe mit projektiver Homologie}] Gegeben eine abelsche Kategorie $\mathcal A$ ist der offensichtliche Funktor von der Kategorie aller Komplexe mit projektiven Eintr"agen und verschwindendem Differential in die derivierte Kategorie ein volltreuer Funktor\label{KpH} $$\op{Ket}^{d=0}({\op{p}}\mathcal A)\vra \op{Der}(\mathcal A)$$ und induziert eine "Aquivalenz mit der vollen Unterkategorie aller Komplexe $X$ der derivierten Kategorie mit $\mathcal H^qX$ projektiv f"ur alle $q$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Analoges gilt f"ur Injektive. Ich habe hier die Projektiven vorgezogen, weil mir das Arbeiten mit Zykeln alias den Kernen der Differentiale leichter f"allt als das Arbeiten mit den Kokernen der Differentiale. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Unser Funktor ist volltreu, da der offensichtliche Funktor ein Isomorphismus $\op{Ket}^{d=0}(\mathcal A)\sirra \op{Hot}^{d=0}(\mathcal A)$ ist und da nach \ref{DEIAa} angewandt auf die opponierte Kategorie Komplexe aus projektiven Objekten mit verschwindendem Differential stets quislinksentfaltet sind. Gegeben ein Komplex $X\in \op{Ket}(\mathcal A)$ mit $\mathcal H^qX$ projektiv f"ur alle $q$ gibt einen Morphismus $s:\mathcal HX\ra X$ in $\op{Ket}(\mathcal A)$ derart, da"s $\mathcal Hs: \mathcal H\mathcal H X\ra \mathcal HX$ invers ist zum offensichtlichen Isomorphismus $\mathcal HX\sira \mathcal H\mathcal H X$ aus \ref{tHO}. In der Tat k"onnen wir in diesem Fall die Surjektion $\mathcal Z^qX\sra \mathcal H^q X$ der Zykel auf die Homologie spalten. Dar"uberhinaus ist $s$ in der Homotopiekategorie eindeutig bestimmt. Sind in der Tat $s_1,s_2$ zwei Spaltungen, so landet $s_1-s_2$ in den Bildern und faktorisiert mithin als $s_1-s_2:\mathcal H^qX\ra \mathcal B^q X$ und dieser Morphismus besitzt einen Lift $\delta: \mathcal H^qX\ra X^{q-1}$ mit $s_1-s_2=d\delta$. Schlie"slich ist $s$ ein Quasiisomorphismus, induziert also einen Isomorphismus in der derivierten Kategorie. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{gldim} Gegeben eine abelsche Kategorie $\mathcal A$ hei"st das Supremum \begin{equation*} \op{hdim} (\mathcal A) \pdef \op{sup} \{ i \mid \exists M, N \in \mathcal A \text{ mit } \op{Ext}_{\mathcal A}^{i} (M,N) \neq 0\} \end{equation*} die {\bf homologische Dimension von $\mathcal A$}. \index{homologische Dimension}\index{Dimension!homologische!einer Kategorie} \index{hdim@$\op{hdim}$ homologische Dimension} Im Fall $ \op{hdim} (\mathcal A)<\infty$ sagen wir auch, unsere abelsche Kategorie habe {\bf endliche homologische Dimension}.\index{homologische Dimension!endliche} Homologische Dimension $-\infty$ haben genau die {\bf Nullkategorien},\index{Nullkategorie} als da hei"st, diejenigen abelschen Kategorien, bei denen alle Objekte Nullobjekte sind. Homologische Dimension $\leq 0$ haben genau diejenigen abelschen Kategorien, bei denen alle kurzen exakten Sequenzen spalten. Derartige Kategorien hei"sen {\bf halbeinfach}.\index{halbeinfach!abelsche Kategorie} Abelsche Kategorien einer homologischen Dimension $\leq 1$ bezeichnet man auch als {\bf erbliche Kategorien},\index{erblich!abelsche Kategorie} da sich bei ihnen die Eigenschaft der Projektivit"at auf Untermoduln vererbt. Diese Terminologie ist allerdings gef"ahrlich, denn es gibt durchaus abelsche Kategorien, die nicht von homologischer Dimension $\leq 1$ sind, bei denen sich aber dennoch die Eigenschaft der Projektivit"at auf Untermoduln vererbt, etwa weil sie au"ser der Null gar keine projektiven Objekte besitzen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Derivierte Kategorien halbeinfacher Kategorien}] Gegeben eine halbeinfache Kategorie $\mathcal A$ ist jedes Objekt projektiv und nach \ref{KpH} ist der offensichtliche Funktor eine "Aquivalenz von Kategorien $$\op{Ket}^{d=0}(\mathcal A)\sirra \op{Der}(\mathcal A)$$ Insbesondere gilt das f"ur die Kategorie der Vektorr"aume "uber einem K"orper. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Derivierte Kategorien und homologische Dimension}] Gegeben eine abelsche Kategorie $\mathcal A$ endlicher homologischer Dimension mit genug Projektiven\label{DkhD} sind alle Komplexe aus Projektiven quislinksentfaltet und zu jedem Komplex gibt es einen Quasiismorphismus von einem Komplex von Projektiven und die Lokalisierung liefert eine "Aquivalenz von Kategorien $$\op{Hot}({\op{p}}\mathcal A)\sirra \op{Der}(\mathcal A)$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Insbesondere gilt das f"ur die Kategorie der abelschen Gruppen $\mathcal A=\op{Ab}$ und allgemeiner f"ur die Kategorie der Moduln "uber einem Hauptidealring. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach \eref{AEPK}{TG} gibt es unter unseren Annahmen zu jedem Komplex einen Quasiisomorphismus von einem Komplex projektiver Objekte. Nach der Entfaltung durch Spaltung aus "Ubung \ref{urenx} m"ussen wir damit nur noch zeigen, da"s jeder Quasiisomorphismus in $\op{Hot}({\op{p}}\mathcal A)$ ein Isomorphismus ist. Jeder Quasiisomorphismus in $\op{Hot}({\op{p}}\mathcal A)$ hat aber als Abbildungskegel einen exakten Komplex aus projektiven Objekten. Die Zykel solch eines Komplexes m"ussen selbst projektiv sein, da sie der Beginn eines exakten Komplexes aus projektiven Objekten sind und wir endliche homologische Dimension angenommen hatten. Damit folgt leicht, da"s unser Abbildungskegel nullhomotop sein mu"s, so da"s jeder Quasiisomorphismus in $\op{Hot}({\op{p}}\mathcal A)$ bereits ein Isomorphismus ist. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Quislinksentfaltung beschr"ankter Komplexe}] Besitzt eine abelsche Kategorie $\mathcal A$ endliche homologische Dimension $\leq d$ und genug Projektive, so besitzt jeder Komplex $X\in \op{Hot}_{\mathcal A}^{\geq n}$ eine Quislinksentfaltung in $\op{Hot}_{\mathcal A}^{\geq n-d}$. In der Tat finden wir nach \ref{DkhD} einen Quasiisomorphismus $P\qri X$ f"ur einen Komplex $P$ aus Projektiven und $P$ ist exakt in den Graden $}^-{\sim}[dr] & \\ \mathcal{A}\;\; \ar@{^{(}->}^-{\sim}[r] &\op{Der}^{(\op{b})} (\mathcal{A})\;\;\; \ar@{^{(}->}^-{\sim}[ur] \ar@{^{(}->}^-{\sim}[dr]& &\op{Der}(\mathcal{A})& \\ & &\op{Der}^{(-)} (\mathcal{A}) \ar@{^{(}->}^-{\sim}[ur] } \end{displaymath} Des weiteren ist ein Komplex im $\op{Der}(\mathcal{A})$ isomorph zum Bild eines Objekts unter einer unserer Einbettungen genau dann, wenn seine Kohomologie nach oben beschr"ankt beziehungsweise nach unten beschr"ankt beziehungsweise beschr"ankt beziehungsweise nur im Grad Null konzentriert ist. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir verwenden die Abschneidefunktoren, wie sie in \ref{Absc} eingef"uhrt werden. Um zu zeigen, da"s $\op{Der}^{(-)} (\mathcal{A}) \ra \op{Der} (\mathcal{A})$ volltreu ist, wenden wir unser allgemeines Resultat \ref{LUK} zu volltreuen Funktoren zwischen Lokalisierungen an. Ist $s : X \ra Y$ ein Quasiisomorphismus mit $Y \in \op{Hot}^- (\mathcal{A})$, so ist f"ur hinreichend gro"ses $n$ der Morphismus $h : \tau^{\leq n} X \ra X$ ein Quasiisomorphismus und leistet das Gew"unschte. Die anderen F"alle mit Ausnahme der Einbettung von $\mathcal{A}$ behandelt man "ahnlich. Im Fall der Einbettung von $\mathcal{A}$ zeigt der Funktor $\cal{H}^0$, da"s sie treu ist. Ist andererseits $X$ ein Komplex, dessen Kohomologie nur im Grad Null lebt, so liefern die Quasiisomorphismen $X \qri \tau^{\geq 0} X \qli \tau^{\leq 0} \tau^{\geq 0} X$ einen Isomorphismus $X \sira_{\op{Der}} \cal{H}^0 X$ in der derivierten Kategorie, wo wir $\cal{H}^0 X$ als im Grad Null konzentrierten Komplex auffassen. Also ist jeder Komplex mit trivialer Kohomologie au"serhalb von Null in der derivierten Kategorie isomorph zu seiner Kohomologie. Damit gilt es nur noch zu zeigen, da"s die Einbettung $\mathcal{A} \ra \op{Der} (\mathcal{A})$ surjektiv ist auf Morphismen. Dazu stellen wir f"ur $A,B \in \mathcal{A}$ einen Morphismus als Bruch $A \qli X \ra B$ in der Homotopiekategorie dar mit $A \qli X$ einem Quasiisomorphismus. Wenden wir nun die Abschneidefunktoren in der Homotopiekategorie auf unseren Bruch an, so erhalten wir einen Bruch $ A \qli \tau^{\leq 0} \tau^{\geq 0} X \ra B ,$ der offensichtlich denselben Morphismus darstellt. Nun steht jedoch links ein echter Isomorphismus und wir sind fertig. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abschneidefunktoren}] Gegeben ein\index{Abschneidefunktoren} Komplex $X = (X^n, d^n) $ in einer abelschen Kategorie erkl"aren wir f"ur alle\label{Absc} $n\in\DZ$ die Komplexe $$ \begin{array}{lccccccccc} \tau^{\leq n} X\hspace{10mm}& \ldots \ra& X^{n-1} &\ra& \op{ker}d^n &\ra& 0 &\ra& 0&\ra \ldots\\ \tau^{< n+1} X\hspace{10mm}& \ldots \ra& X^{n-1}&\ra& X^{n} &\ra& \op{im}d^{n} &\ra& 0 &\ra \ldots\\ \tau^{> n} X\hspace{10mm}& \ldots \ra& 0 &\ra& \op{im}d^{n} &\ra& X^{n+1}&\ra& X^{n+2} &\ra \ldots\\ \tau^{\geq n+1} X\hspace{10mm}& \ldots \ra& 0 &\ra& 0 &\ra& \op{cok}d^{n} &\ra& X^{n+2} &\ra \ldots \end{array} $$ Der Buchstabe $\tau$ steht f"ur\index{t@$\tau^{\leq n},\tau^{< n},\tau^{\geq n},\tau^{> n}$ Abschneidefunktoren} englisch \glqq truncated\grqq\ oder franz"osisch \glqq tronqu\'{e}\grqq. Wir haben ein offensichtliches kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen und Quasiisomorphismen in den Vertikalen \begin{displaymath} \xymatrix{ \tau^{< n +1} X \ar@^{{(}->}[r] & X \ar@{->>}[r] & \tau^{\geq n +1} X \\ \tau^{\leq n} X \ar[u] \ar@^{{(}->}[r] &X \ar@{=}[u] \ar@{->>}[r] & \tau^{>n} X \ar[u] } \end{displaymath} Sicher gilt $\cal{H}^i (\tau^{\leq n } X)=\cal{H}^i (\tau^{< n +1} X) =0$ f"ur $i >n $ und die offensichtlichen Morphismen $\tau^{\leq n} X \ra \tau^{< n +1} X\ra X$ induzieren f"ur $i \leq n$ Isomorphismen auf den $i$-ten Kohomologiegruppen. Der offensichtliche Morphismus ist also stets ein Quasiisomorphismus $\tau^{\leq n} X \qri\tau^{< n+1} X$, und verschwinden alle $\cal{H}^iX$ f"ur $i>n$, so sind die offensichtlichen Morphismen Quasiisomorphismen $\tau^{\leq n} X \qri\tau^{< n+1} X \qri X$. Analoges gilt f"ur das andere Abschneiden. Offensichtlich machen alle diese Abschneidefunktoren homotope Abbildungen zu homotopen Abbildungen %\nichtfinal{(echt wahr? Ja!)} und Quasiisomorphismen zu Quasiisomorphismen und induzieren folglich Abschneidefunktoren sowohl auf der Homotopiekategorie als auch auf der derivierten Kategorie. Wir verwenden f"ur diese induzierten Funktoren dieselbe Notation und erhalten ein funktorielles Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \tau^{\leq n}\tau^{\geq n}X \ar[r] &\tau^{\geq n}X & \\ [-n]\mathcal H^nX\ar[d]^\wr\ar[u]_\wr& &X \ar[ul]\\ \tau^{\geq n}\tau^{\leq n}X &\tau^{\leq n}X \ar[ur]\ar[l]& } \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{AgDe} Gegeben eine abelsche Kategorie $\mathcal{A}$ setzen wir $$\begin{array}{ccl} \op{Der}^{\leq n} _{\mathcal A} &\pdef & \{ X \in \op{Der} _{\mathcal A} \mid \cal{H}^i X =0 \text{ f"ur } i > n\}\\[2mm] \op{Der}^{\geq n} _{\mathcal A} & \pdef & \{ X \in \op{Der} _{\mathcal A} \mid \cal{H}^i X =0 \text{ f"ur } i < n\} \end{array}$$ Offensichtlich gilt $\op{Der}^{\leq n} _{\mathcal A} \subset \op{Der}^{\leq n+1} _{\mathcal A} $ und $ \op{Der}^{\geq n}_{\mathcal A} \supset \op{Der}^{\geq n+1} _{\mathcal A}$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{"uber Abschneidefunktoren}] Gegeben $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie und $n\in \Bbb{Z}$ haben wir:\label{Absch} \begin{enumerate} \item F"ur alle $X \in \op{Der}^{\leq n}_{\mathcal A}$ und $Y \in \op{Der}^{\geq n+1} _{\mathcal A}$ gilt $ \op{Der}_{\mathcal{A}} (X,Y)=0 $; \item Die Einbettung $i^{\leq n} :\op{Der}^{\leq n} _{\mathcal A} \rightarrow \op{Der} _{\mathcal A}$ besitzt stets einen Rechtsadjungierten $\tau^{\leq n} : \op{Der} _{\mathcal A} \rightarrow \op{Der}^{\leq n} _{\mathcal A}$; \item Die Einbettung $i^{\geq n}:\op{Der}^{\geq n} _{\mathcal A} \rightarrow \op{Der}_{\mathcal A}$ besitzt stets einen Linksadjungierten $\tau^{\geq n} : \op{Der} _{\mathcal A} \rightarrow \op{Der}^{\geq n} _{\mathcal A}$; \item Die Einheit beziehungsweise Koeinheit zu diesen Adjunktionen lassen sich f"ur jedes $X \in \op{Der} _{\mathcal A}$ auf genau eine Weise erg"anzen zu einem ausgezeichneten Dreieck \begin{displaymath} \tau^{\leq n} X \ra X \rightarrow \tau^{\geq n+1} X \rightarrow [1] \tau^{\leq n} X \end{displaymath} und dieses Dreieck ist funktoriell in $X$. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Jeder Morphismus aus $\op{Der}_{\cal{A}}(X, Y)$ l"a"st sich nat"urlich darstellen als ein Bruch $X \qli Z \rightarrow Y$ von Morphismen in $\op{Hot} _{\mathcal A}$ mit einem Quasiisomorphismus $Z \qri X$. Unter der Annahme $X\in \op{Der}^{\leq n}(\cal{A})$ k"onnen wir diesen Bruch erweitern durch den Quasiisomorphismus $\tau^{\leq n} Z \qri Z$. Unter der Annahme $Y\in \op{Der}^{\geq n+1}(\cal{A})$ d"urfen wir weiter aufgrund des Quasiisomorphismus $Y \qri \tau^{\leq n+1}Y$ annehmen, da"s $Y$ durch einen Komplex dargestellt wird, der Null ist in Graden $\leq n$. Die erste Aussage folgt nun wegen $\op{Hot}_{\mathcal{A}} (\tau^{\leq n} Z,Y)=0,$ es gibt ja noch nicht einmal von Null verschiedene Kettenabbildungen zwischen diesen beiden Komplexen. Wir erhalten mit den Abschneidefunktoren aus \ref{Absc} nun offensichtlich eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen $\tau^{\leq n} X\hra X\sra X/\tau^{\leq n} X$ nebst einem offensichtlichen Quasiisomorphismus $X/\tau^{\leq n} X\qri \tau^{\geq n+1} X$ und so mit \ref{Kzu} ein ausgezeichnetes Dreieck $$\tau^{\leq n} X\ra X \ra \tau^{\geq n+1} X\ra [1]\tau^{\leq n} X$$ in der derivierten Kategorie $\op{Der}(\cal{A})$. Die Eindeutigkeit des dritten Morphismus folgt mit \ref{EDPn} aus Teil 1. Um nun die erste Adjunktion zu zeigen, m"ussen wir f"ur $X \in \op{Der}_{\mathcal A}$ und $Y \in \op{Der}^{\leq n} _{\mathcal A} $ zeigen $ \op{Der}_{\mathcal{A}} (Y,\tau^{\leq n}X) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Der}_{\mathcal{A}} (Y,X)$. Das folgt jedoch sofort aus den bereits bewiesenen Teilen. Die andere Adjunktion zeigt man genauso. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erweiterungen vom Grad Eins}] Sei $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie. Wie im Fall abelscher Gruppen \eref{EeXt}{TS} konstruiert man auch im allgemeinen\label{EGNE} eine Bijektion zwischen $\op{Ext}_{\mathcal A}^{1} (M,N)$ und der Menge aller Isomorphieklassen von kurzen exakten Sequenzen $N \hookrightarrow E \twoheadrightarrow M$ in $\cal{A}$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Derivierte Kategorien "uber injektive Aufl"osungen}] Gegeben eine abelsche Kategorie $\cal{A}$ mit genug Injektiven und $i\cal{A}\subset \cal{A}$\index{i@$i\cal{A}$ Injektive von $\mathcal A$} die Unterkategorie ihrer injektiven Objekte schr"ankt der Quotientenfunktor ein zu einer "Aquivalenz von triangulierten Kategorien\label{deia} $$Q:\op{Hot}^+(i\cal{A})\sirra \op{Der}^+(\cal{A})$$ \end{Satz} \begin{proof} Nach \ref{DEIA} ist unser Funktor volltreu. Nach \eref{AEPK}{TG} f"ur Freunde von Spektralsequenzargumenten oder alternativ nach \ref{EIA} f"ur Freunde index"armerer Argumente ist jeder gegen die Pfeile beschr"ankte Komplex quasiisomorph zu einem gegen die Pfeile beschr"ankten Komplex von injektiven Objekten. Der Satz folgt. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Rechtsentfaltung durch Komplexe injektiver Objekte}] Ist $\cal{A}$ eine abelsche Kategorie mit genug Injektiven, so existiert f"ur jeden Komplex $A^{\ast} \in \op{Hot}^{\geq 0}( \cal{A})$ ein Quasiisomorphismus $A^{\ast} \qri I^{\ast}$ zu einem Komplex von Injektiven $I^{\ast} \in \op{Hot}^{\geq 0}(i{\cal{A}})$.\label{EIA} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Wir konstruieren $I^{\ast}$ induktiv mit der Zusatzeigenschaft, da"s jeweils Monomorphismen zwischen den Kokernen der Randoperatoren induziert werden. Sind wir schon bei $$\begin{array}{ccccccc} \ldots & \overset{d}{\ra} &A^{p} &\ra & A^{p+1}& \ra & \ldots\\ & &\downarrow & & & & \\ \ldots & \overset{d}{\ra} & I^{p}& & & & \end{array}$$ angekommen in einer Weise, da"s Isomorphismen $\cal{H}^qA\sira \cal{H}^qI$ induziert werden f"ur $q0$, so ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus\label{MdeK} $$\op{Hot}_{\mathcal A}(A,Y)\sira \op{Der}_{\mathcal A}(A,Y)$$ Wir k"onnen also in gewisser Weise auch \glqq Morphismen in der derivierten Kategorie mit Aufl"osungen aus entfalteten Objekten berechnen\grqq, nur da"s wir im Fall von Komplexen statt von Aufl"osungen lieber von Entfaltungen reden. Hinweis: Indem wir einen Quasiisomorphismus $Y\qri I$ in einen Komplex $I\in \op{Hot}^+(i{\mathcal A})$ w"ahlen und den Abbildungskegel als neues $Y$ betrachten, d"urfen wir $Y$ exakt annehmen und m"ussen unter dieser zus"atzlichen Annahme $\op{Hot}_{\mathcal A}(A,Y)=0$ zeigen. \end{Ubung} \begin{Bemerkungw} Demn"achst werden wir diese "Ubung auch aus allgemeiner Theorie herleiten k"onnen: Nach \ref{DAZOt} ist $Y$ rechtsentfaltet f"ur $\op{Hot}_{\mathcal A}(A,\;)$ und damit haben wir $ \big(\op{Hot}_{\mathcal A}(A,\;)\big)(Y)\sira \big({\op{R}}\op{Hot}_{\mathcal A}(A,\;)\big)(Y)\sira \op{Der}_{\mathcal A}(A,Y)$ mit dem zweiten Isomorphismus nach \ref{DYF}. \end{Bemerkungw} \begin{Ubung} Seien $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie und $Y\in\op{Der}_{\mathcal A}$ und $n\in\DZ$.\label{KriA} Man zeige: Genau dann gilt $Y\in \op{Der}^{\geq n}_{\mathcal A}$, wenn gilt $\op{Der}_{\mathcal A}(X,Y)=0$ f"ur alle $X\in \op{Der}_{\mathcal A}^{\leq n-1}$. Man formuliere und zeige auch die duale Aussage. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man zeige: Gegeben eine additive Kategorie $\mathcal I$ mit spaltenden Idempotenten liefert die Einbettung der mit Grad Null endenden Komplexe $\op{Hot}^{\leq 0} (\mathcal{I})\subset \op{Hot}^+ (\mathcal{I})$ eine "Aquivalenz mit der Kategorie aller mit den Pfeilen beschr"ankten Komplexe $T$ mit $\op{Hot}(I[0], T[n])=0$ f"ur alle $n>0$ und alle $I\in\mathcal I$. Ebenso liefert die Einbettung der mit Grad Null beginnenden Komplexe $\op{Hot}^{\geq 0} (\mathcal{I})\subset \op{Hot}^- (\mathcal{I})$ eine "Aquivalenz mit der Kategorie aller gegen die Pfeile beschr"ankten Komplexe $T$ mit $\op{Hot}( T[n],I[0])=0$ f"ur alle $n<0$ und alle $I\in\mathcal I$. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Ausgezeichnete Dreiecke als kurze exakte Sequenzen}] Gegeben eine abelsche Kategorie $\cal{A}$ liefert\label{KESA} der Funktor $\cal{H}^0$ eine "Aquivalenz zwischen der Kategorie der ausgezeichneten Dreiecke $X\ra Y\ra Z\ra[1]$ in $\op{Der}(\cal{A})$, bei denen die Objekte zum Bild von $\cal{A}$ geh"oren, und der Kategorie der kurzen exakten Sequenzen in $\cal{A}$. Ein quasiinverser Funktor kann wie in \ref{Kzu} konstruiert werden. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine abelsche Kategorie $\mathcal A$ und ein ausgezeichnetes Dreieck $X\ra Y\ra Z\ra[1]$ in $\op{Der}_{\mathcal A}$ mit $\tau^{\leq 0}Y\sira Y$ erhalten wir mit den offensichtlichen Morphismen ein ausgezeichnetes Dreieck\label{BDRi} $\tau^{\leq 1}X\ra Y\ra \tau^{\leq 0}Z\ra[1]$. Ebenso erhalten wir unter der Annahme $Y\sira \tau^{\geq 0}Y$ mit den offensichtlichen Morphismen ein ausgezeichnetes Dreieck $\tau^{\geq 0}X\ra Y\ra \tau^{\geq -1}Z\ra[1]$. Hinweis: F"unferlemma. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein linksnoetherscher Ring $A$ liefert die Einbettung einen volltreuen Funktor $\op{Der}^-(A{\op{-modf}}) \vra \op{Der}^-(A{\op{-mod}})$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein $\DN$-graduierter Ring $A$ mit halbeinfacher Nullkomponente $A^0$ und allen $A^n$ von endlicher L"ange als $A^0$-Linksmoduln liefert die Einbettung Kategorie der graduierten Moduln endlicher L"ange einen volltreuen Funktor $\op{Der}^{\op{b}}(A{\op{-modfl}}^\DZ) \vra \op{Der}^{\op{b}}(A{\op{-modf}}^\DZ)$. Hinweis: Man verwende das Kriterium \ref{LUK} f"ur die volltreue Einbettung von Ore-Lokalisierungen und das \glqq Abschneiden oberhalb eines geeigneten Grades\grqq. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Vergleich von Morphismen in $\op{Hot}$ und $\op{Der}$}] Gegeben eine abelsche Kategorie $\mathcal A$ und darin zwei beschr"ankte Komplexe $X,Y$, zwischen deren Objekten es keine h"oheren Erweiterungen gibt, in Formeln $\op{Ext}^q(X^n,Y^m)=0$ falls $q>0$ f"ur alle $n,m$, induziert die offensichtliche Abbildung eine Bijektion\label{vbho} $$\op{Hot}_{\mathcal A}(X,Y)\sira \op{Der}_{\mathcal A}(X,Y)$$ Hinweis: Man verwende \ref{VDShh} und unsere volltreue Einbettung von $\mathcal A$ in seine derivierte Kategorie. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ExtK} Sei $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie derart, da"s gilt $\op{Ext}^i_{\mathcal A}(A,B)=0$ f"ur beliebige $A,B\in\mathcal A$ bei ungeradem $i\geq 3$. Ist $X\in \op{Der}^{\op{b}}(\mathcal A)$ ein Komplex mit $\mathcal H^q X=0$ f"ur ungerades $q$, so k"onnen wir Isomorphismen $$X\sira \bigoplus_q [-q]\mathcal H^q X$$ finden, die auf $\mathcal H^q$ die offensichtlichen Isomorphismen induzieren. Sie sind allerdings nicht eindeutig bestimmt. \end{Ubung} \subsection{Vergleich verschiedener Kohomologieringe*} \label{GTKR} \begin{Bemerkungl} Gegeben $\cal{I}$ eine additive Kategorie und $I^{\ast}, J^{\ast} \in \op{Ket}_{\cal{I}}$ Komplexe in $\cal{I}$ bilden wir den Komplex von abelschen Gruppen $\op{Hom}_{\cal{I}} (I^{\ast}, J^{\ast})$ analog wie in \eref{HHKK}{TS}. Speziell wird $\op{End}_{\cal{I}} (I^{\ast})$ unter der Verkn"upfung von Morphismen ein dg-Ring. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Abstrakte Interpretation des cup-Produkts}] Gegeben ein lokal sin\-gu\-l"ar\-azy\-kli\-scher Raum $X$ ist unser Vergleichsisomorphismus\label{AICP} aus \eref{SKG}{TG} ein Ring\-iso\-mor\-phis\-mus $$\op{H}^{\ast}_{\op{sing}}(X) \sira \op{H}^{\ast}_{\op{garb}}(X)$$ zwischen dem singul"aren Kohomologiering und dem in \ref{hDM} eingef"uhrten garbentheoretischen Kohomologiering. \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{BBBbx} Wir f"uhren zun"achst eine geeignete Terminologie ein. Unter einem {\bf Quasiisomorphismus}\index{Quasiisomorphismus!von dg-Ringen} von einem dg-Ring $A$ zu einem dg-Ring $B$ verstehen wir einen Homomorphismus von dg-Ringen, der einen Isomorphismus auf der Homologie induziert. Unter einem \defind{Morphismenbimodul} von einem dg-Ring $A$ zu einem dg-Ring $B$ verstehen wir ein Paar $(M,c)$ bestehend aus einem $A$-$B$-dg-Bimodul $M$ nebst einem freien Erzeuger $c\in \cal{H}^0M$ von $\cal{H}M$ als $\cal{H}B$-Rechtsmodul. Wir sagen dann auch, $c$ sei eine \defind{Quasibasis} des $B$-dg-Rechtsmoduls $M$. Ist zus"atzlich $c$ auch ein freier Erzeuger von $\cal{H}M$ als $\cal{H}A$-Linksmodul, so nennen wir unseren Morphismenbimodul $(M,c)$ einen {\bf Isobimodul}.\index{Isobimodul von dg-Ringen} Jeder Morphismenbimodul zwischen dg-Ringen liefert einen Homomorphismus zwischen ihren Kohomologieringen, der dadurch charakterisiert werden kann, da"s $a\mapsto b$ gleichbedeutend ist zu $ac=cb$. Ist unser Morphismenbimodul ein Isobimodul, so ist besagter Homomorphismus sogar ein Isomorphismus. Jeder Quasiisomorphismus liefert einen Isobimodul in offensichtlicher Weise. Was an dieser Stelle noch fehlt, ist eine wie auch immer geartete Verkn"upfung von Morphismenbimoduln, und diese ist im allgemeinen auch nicht unproblematisch. \nichtfinal{Im Fall von dg-Ringen, die torsionsfrei sind "uber $\DZ$, wird mehr dazu in \ref{qasr} diskutiert.} \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis von \ref{AICP}] Wir w"ahlen eine injektive Aufl"osung $\Bbb{Z}_{X} \hra \cal{I}^{\ast}$ der konstanten Garbe $\DZ_X$ und faktorisieren sie mithilfe der Existenz und Eindeutigkeit von Homotopielifts \eref{EEHL}{TG} "uber die Aufl"osung durch die Garben der lokalen singul"aren Koketten $\Bbb{Z}_{X} \hookrightarrow \cal{S}^{\ast}_{X}$ als $\Bbb{Z}_{X} \hookrightarrow \cal{S}^{\ast}_{X}\ra \cal{I}^{\ast}$. Nach \ref{BBBbx} reicht es zu zeigen, da"s unsere Faktorisierung $\cal{S}^{\ast}_{X} \ra \cal{I}^{\ast}$ eine Quasibasis des Komplexes $$ \cal{S}^{\ast}_{X}{\Rrightarrow} \cal{I}^{\ast}$$ ist, und zwar sowohl f"ur die Linksoperation von $\op{End} \cal{I}^{\ast}$ als auch f"ur die Rechtsoperation von ${\op{S}}^{\ast}X$, die vom dg-Ring-Homomorphismus ${\op{S}}^{\ast}X \ra \op{End} \cal{S}^{\ast}_X$, $ c \mapsto c\!\;\cup$ mit dem cup-Produkt auf Ketten aus \eref{Excap}{TSK} induziert wird. Der erste Teil dieser Behauptung folgt mit der Existenz und Eindeutigkeit von Homotopielifts \eref{EEHL}{TG} aus dem Quasiisomorphismus $\cal{S}^{\ast}_{X} \qri \cal{I}^{\ast}$. F"ur den zweiten Teil betrachten wir das kommutative Diagramm von Komplexen $$\begin{array}{ccc} {\op{S}}^{\ast}X & = &{\op{S}}^{\ast}X \\ \downarrow & & \downarrow \\ \cal{S}^{\ast}_{X} {\Rrightarrow} \cal{S}^{\ast}_{X} & & \Bbb{Z}_{X}{\Rrightarrow} \cal{S}_{X}^{\ast} \\ \downarrow & & \downarrow \\ \cal{S}^{\ast}_{X}{\Rrightarrow} \cal{I}^{\ast} & \ra & \Bbb{Z}_{X}{\Rrightarrow} \cal{I}^{\ast} \end{array}$$ Hier ist die obere linke Vertikale durch $c \mapsto c\;\! \cup$ gegeben und die anderen Pfeile sind hoffentlich selbsterkl"arend. Nach unserem Vergleichssatz \eref{SKG}{TG} ist die Komposition in der rechten Vertikale ein Quasiisomorphismus. Nach der Existenz und Eindeutigkeit von Homotopielifts \eref{EEHL}{TG} ist auch die unterste Horizontale ein Quasiisomorphismus. Folglich ist auch die Verkn"ufung in der linken Vertikalen ein Quasiisomorphismus. Des weiteren haben alle Komplexe der linken Vertikale nat"urliche Strukturen als dg-Rechtsmoduln "uber ${\op{S}}^{\ast}X$ und die Morphismen sind mit diesen Strukturen vertr"aglich. Das zeigt den zweiten Teil der Behauptung. Auf diese Weise vermittelt also unser dg-Bimodul in der Tat einen Isomorphismus zwischen den beiden fraglichen Kohomologieringen. Es ist dann nicht schwer zu sehen, da"s dieser Isomorphismus "ubereinstimmt mit dem in \eref{SKG}{TG} konstruierten Vergleichsisomorphismus. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Sei $X$ eine parakompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\cal{H}^{\ast}(\Omega^{\ast}(X))$ der Kohomologiering der differentiellen graduierten Algebra $\Omega^{\ast} (X)$ der Differentialformen auf $X$. Man zeige, da"s der Vergleichsisomorphismus von der de-Rham-Kohomologie zur Garbenkohomologie ein Ringhomomorphismus ist f"ur die durch das Dachprodukt gegebene Ringstruktur auf der de-Rham-Ko\-ho\-mo\-lo\-gie und dem Yoneda-Produkt auf der Garbenkohomologie. Hinweis: Man orientiere sich am Beweis der entsprechenden Aussage \eref{AICP}{TD} f"ur die singul"are Kohomologie. \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXTD" %%% End: