\section{Die reellen Zahlen} \subsection{Rationale Wurzeln rationaler Zahlen} \begin{Satz}\label{QQWE} Es gibt keine rationale Zahl $x\in \DQ$ mit $x^{2}=2$. \end{Satz} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0006} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth} \centering Die Diagonal im Einheitsquadrat hat eine irrational L"ange. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} Dieser Satz erkl"art, warum wir uns mit den rationalen Zahlen nicht zufrieden geben. In der Tat suchen wir nach einem Zahlbereich, in dem jeder \glqq anschaulichen L"ange\grqq, wie zum Beispiel der L"ange der Diagonale eines Quadrats der Kantenl"ange Eins, auch tats"achlich eine Zahl entspricht. Wir zeigen in \ref{qW}, da"s im Zahlbereich der reellen Zahlen immerhin aus allen nichtnegativen Zahlen Quadratwurzeln gezogen werden k"onnen, und diskutieren in \ref{DP}, wie sich sogar unsere anschauliche Vorstellung von der L"ange des Einheitskreises zur Definition einer reellen Zahl pr"azisieren l"a"st. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Erster Beweis] Setzen wir die in \eref{EPFE}{LA1} bewiesene Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung als bekannt voraus, so folgt unmittelbar, da"s das Quadrat eines unk"urzbaren Bruches mit Nenner $\neq \pm 1$ wieder ein unk"urzbarer Bruch mit Nenner $\neq \pm 1$ sein mu"s. F"ur eine rationale Zahl $x\in\DQ$ folgt aus $x\not\in \DZ$ also $x^2\not\in \DZ$. % Aus $x\in\DQ\backslash \DZ$ folgt also % $x^2\in\DQ\backslash\DZ$. G"abe es mithin eine rationale Zahl $x\in\DQ$ mit $x^2=2,$ so m"u"ste $x$ bereits selbst eine ganze Zahl sein. Offensichtlich gibt es jedoch keine ganze Zahl $x\in\DZ$ mit $x^2=2$. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Ohne die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung als bekannt vorauszusetzen k"onnen wir in unserer speziellen Situation auch elementarer mit dem Primfaktor $2$ durch Widerspruch argumentieren: Nehmen wir an, wir f"anden ganze Zahlen $p,q \in \DZ$ mit $q \neq 0$ derart, da"s $x=p/q$ ein unk"urzbarer Bruch w"are mit $x^{2}=2$. Es folgte $p^{2}=2q^{2},$ also $p^{2}$ gerade, also $p$ gerade, also $p^{2}$ durch $4$ teilbar, also $q^{2}$ gerade, also $q$ gerade. Dann w"are unser Bruch aber doch k"urzbar gewesen, n"amlich durch $2$. \end{proof} \subsection{Angeordnete K"orper} \begin{Definition}\label{REE} Eine {\bf Relation}\index{Relation!auf einer Menge} $T$ auf einer Menge $X$ ist eine Teilmenge $T \subset X \times X$ des kartesischen Produkts von $X$ mit sich selbst, also eine Menge von Paaren von Elementen von $X$. Statt $(x,y)\in T$ schreiben wir in diesem Zusammenhang meist $xTy$. \end{Definition} \begin{Definition} Eine Relation $T$ auf einer Menge $X$ hei"st eine {\bf Ordnungsrelation}\index{Ordnungsrelation} oder eine {\bf Teilordnung}\index{Teilordnung} oder eine {\bf partielle Ordnung},\index{Ordnung!partielle}\index{partiell!Ordnung} wenn f"ur alle $x,y,z\in X$ gilt: \begin{enumerate} \item {\bf Transitivit"at:}\index{transitiv!Relation} $(x Ty$ und $yT z) \Rightarrow x Tz$; \item {\bf Antisymmetrie:}\index{antisymmetrisch!Relation} $(xTy $ und $y T x) \Rightarrow x = y;$ \item {\bf Reflexivit"at:}\index{reflexiv!Relation} $xTx$ f"ur alle $x\in X$. \end{enumerate} Eine Teilordnung hei"st eine \defind{Ordnung} oder \defind{Anordnung}, wenn wir zus"atzlich haben \begin{enumerate} \item[4.] {\bf Totalit"at:}\index{Totalit"at!f"ur Relation} F"ur alle $x,y \in X$ gilt $x Ty \text{ oder }y T x$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In der Literatur hei"st eine Teilordnung auch eine {\bf Halbordnung}\index{Halbordnung@{\it Halbordnung}} oder kurz eine \glqq Ordnung\grqq.\index{Ordnung!{\it f"ur Teilordnung}} Wir verstehen jedoch unter einer Ordnung stets eine Ordnungsrelation, die auch die Eigenschaft der Totalit"at besitzt. Auf Englisch benutzt man f"ur eine teilgeordnete Menge alias \glqq partially ordered set\grqq\ gerne die Abk"urzung \defind{poset}. Eine Ordnung in unserem Sinne hei"st in der Literatur auch eine {\bf totale Ordnung}\index{Ordnung!totale} oder eine {\bf lineare Ordnung}.\index{Ordnung!lineare} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben teilgeordnete Mengen $(X,\leq)$ und $(Y,\leq)$ versteht man unter einem {\bf Ordnungshomomorphismus} eine Abbildung $\varphi:X\ra Y$ mit $a\leq b\RA \varphi(a)\leq\varphi(b)$. In dieser Situation mu"s ein bjektiver Homomorphismus keineswegs ein Isomorphismus sein, als da hei"st, seine Umkehrabbildung mu"s\label{htM} keineswegs wieder ein Ordnungshomomorphismus sein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Allgemeiner versteht man unter einer {\bf Relation\index{Relation!zwischen zwei Mengen} $T$ zwischen einer Menge $X$ und einer Menge $Y$} eine Teilmenge $T\subset X\times Y$. In diesem Sinne sind dann auch unsere Abbildungen aus \ref{DFAa} spezielle Relationen. In Teilen der Literatur hei"sen derartige Relationen auch \glqq Korrespondenzen\grqq.\index{Korrespondenz} Noch allgemeiner betrachtet man\label{AlRep} auch f"ur $n\geq 0$ und Mengen $X_1,\ldots, X_n$ Teilmengen $T\subset X_1\times\ldots\times X_n$ und nennt sie {\bf $n$-stellige Relationen},\index{Relation!mehrstellige} aber das ist f"ur uns vorerst noch nicht relevant. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationen zu teilgeordneten Mengen}] Bei einer Ordnungsrelation $T$ schreiben wir stets $x \leq y$ statt $xTy$ und statt $x\leq y$ schreiben wir dann oft auch $y\geq x$.\index{)8c@$\geq$, $>$, $\leq $, $<$ bei Ordnungsrelation} Weiter k"urzt man ($x\leq y$ und $x\neq y$) ab mit $xy$. Auf jeder angeordneten Menge definieren wir Verkn"upfungen $\op{max}$\index{max@$\op{max}$} und $\op{min}$\index{min@$\op{min}$} in offensichtlicher Verallgemeinerung von \ref{Verka}. \end{Bemerkungl} \label{AnKoe} \begin{Definition} Ein {\bf angeordneter Kring}\index{Kring!angeordneter} ist ein Kring $(R,+,\cdot)$ mit einer\index{angeordnet!Ring} Anordnung $\leq$ derart, da"s f"ur beliebige Elemente $x,y,z\in R$ gilt:\label{AKoo} \begin{enumerate} \item $x \geq y \;\Rightarrow\; x + z \geq y + z$; \item $(x \geq 0 $ und $y\geq 0) \;\Rightarrow\; xy \geq 0$. \end{enumerate} Eine Anordnung eines Krings mit diesen Eigenschaften nennen wir eine {\bf Kringanordnung}.\index{Kringanordnung} Die Elemente $x\in R$ mit $x>0$ beziehungsweise $x<0$ nennen wir \defind{positiv} beziehungsweise \defind{negativ}. Die Elemente mit $x\geq 0$ beziehungsweise $x\leq 0$ nennen wir \defind{nichtnegativ} beziehungsweise \defind{nichtpositiv}. Ein {\bf angeordneter K"orper} ist ein K"orper mit einer Kringanordnung. \end{Definition} \begin{Beispiel} Der Ring $\DZ$ der ganzen Zahlen ist mit seiner "ublichen Anordnung ein angeordneter Kring. Der K"orper $\DQ$ der rationalen Zahlen ist mit seiner "ublichen Anordnung ein angeordneter K"orper. Dasselbe wird auch f"ur den K"orper $\DR$ der\label{ARI} \glqq reellen Zahlen\grqq\ gelten, den wir demn"achst einf"uhren. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigenschaften angeordneter Kringe}] Wir listen einige Tatsachen auf, die in beliebigen angeordneten Kringen $R$ gelten.\label{Lak} \begin{enumerate} \item $(x \leq y \text{ und } a \leq b) \Rightarrow (x+a \leq y+b)$ In der Tat folgt aus den Annahmen $x + a \leq y +a \leq y + b$. \item $(x\leq y \text{ und } a \geq 0) \Rightarrow (a x \leq a y )$ In der Tat folgt $0\leq y-x,$ also $0\leq a (y-x)=ay - ax$ und damit dann $a x \leq ay$. \item $(0 \leq x \leq y \text { und } 0\leq a \leq b) \Rightarrow (0\leq x a \leq yb)$\label{kMu} In der Tat erhalten wir $0 \leq x a \leq ya \leq yb$. \item $(x \leq y )\Rightarrow (-y \leq -x)$ Das folgt durch Addition von $(-y-x)$ auf beiden Seiten. \item $(x \geq y \text{ und } a\leq 0) \Rightarrow (ax \leq ay)$ In der Tat folgern wir $x \geq y \Rightarrow (-a)x \geq (-a)y \Rightarrow ax \leq ay$. \item $x^{2}\geq 0$ In der Tat ist $x^{2}=(-x)^{2}$ und wir haben $x \geq 0 \Leftrightarrow (-x) \leq 0$. \item $1 \geq 0$ In der Tat gilt $1=1^2$. \item $(x \geq 0 \text{ und $x$ invertierbar})\Rightarrow (x^{-1}\geq 0)$ Das folgt durch Multiplikation mit $(x^{-1})^{2}$. \item $(0\leq x \leq y \text{ und $x,y$ invertierbar})\Rightarrow (0 \leq y^{-1}\leq x^{-1})$ Das folgt durch Multiplikation mit $y^{-1}x^{-1}$.\qedhere \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einbettung von $\DZ$ in angeordnete Kringe}] Schreiben wir zur besonderen Betonung wieder $0_R$ und $1_R$, so gelten nach\label{CAb} dem vorhergehenden in jedem angeordneten Kring $R$ mit $0_R\neq 1_R$ die Ungleichungen $$\ldots < (-1_{R})+ (-1_{R}) < (-1_{R})<0_{R}<1_{R}<1_{R}+1_{R} < \ldots $$ Insbesondere folgt aus $m1_{R}=n1_{R}$ f"ur $m,n \in \DZ$ schon $m =n$. Unser eindeutig bestimmter Ringhomomorphismus $\DZ\ra R,m\mapsto m1_R$ ist in diesem Fall mithin eine Injektion $$\DZ\hra R$$ und diese Injektion ist zus"atzlich auch ein Ordnungshomomorphismus. Das Bild dieser Injektion k"onnte einen eigenen Namen kriegen, zum Beispiel $\DZ_R$, aber wir k"urzen unsere Notation ab, bezeichnen dieses Bild auch mit $\DZ$ und schreiben k"urzer $m$ statt $m1_R$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einbettung von $\DQ$ in angeordnete K"orper}] Ist $K$ ein angeordneter K"orper, so erhalten wir einen K"orperhomomorphismus $\DQ\ra K$ durch die Vorschrift $m/n\mapsto m1_K/n1_K$. Es ist leicht zu sehen, da"s er der einzige K"orperhomomorphismus $\DQ\ra K$ ist. Wie jeder K"orperhomomorphismus ist auch er eine Injektion $$\DQ\hra K$$ und man pr"uft leicht, da"s auch diese Injektion ein Ordnungshomomorphismus ist. Wir k"onnten diese Injektion zum Beispiel $q\mapsto q_K$ notieren, sind aber etwas nachl"assig, bezeichnen das Bild unserer Injektion $\DQ\ra K$ meist kurzerhand mit demselben Buchstaben $\DQ$ statt genauer $\DQ_K$ und h"angen auch den Elementen von $\DQ$ meist keinen Index an, wenn wir eigentlich ihr Bild in $K$ meinen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} F"ur jeden angeordneten Kring $R$ definieren wir eine Abbildung $R \ra R,$ $x \mapsto |x|,$ genannt der {\bf Absolutbetrag}\index{Absolutbetrag} oder k"urzer {\bf Betrag},\index{Betrag}\index{)5@${\mid}\;{\mid}$ Absolutbetrag} durch die Vorschrift\label{AbsB} $$|x|\pdef\left\{\begin{array}{rl} x &\text{falls } x\geq 0; \\ -x &\text{falls } x<0. \end{array}\right.$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigenschaften des Absolutbetrags}] Wir listen einige Eigenschaften des Absolutbetrags auf. Der Beweis der ersten f"unf sei dem Leser "uberlassen. \begin{enumerate} \item $ x\leq |x|$ \item $|x| =0 \Leftrightarrow x =0$ \item $|{-}x| = |x|$ \item $|x y| = |x| |y|$ \item $|x^{-1}|=|x|^{-1}$ f"ur $x$ invertierbar. \item Es gilt die sogenannte {\bf Dreiecksungleichung}\index{Dreiecksungleichung!f"ur Absolutbetrag eines angeordneten K"orpers} $$|x +y|\leq |x| + |y| \quad \forall x,y\in R$$ In Worten ist also der Betrag einer Summe stets kleinergleich der Summe der Betr"age der Summanden. In der Tat gilt ja $x+y \leq |x| + |y|$ und ebenso auch $-(x+y)\leq |x|+|y|$. Unsere Ungleichung hei"st deshalb Dreiecksungleichung, weil sie in einem allgemeineren Kontext sagt, da"s in einem Dreieck zwei Seiten zusammen stets l"anger sind als die Dritte. \item $\left ||a|-|b|\right| \leq |a+b| \quad \forall a,b \in R$. \noindent In der Tat folgt aus der Dreiecksungleichung $|a| =|(a+b) +(-b)| \leq |a+b| +|-b| = |a +b|+|b|,$ also $|a|-|b| \leq |a +b|$. Ebenso folgert man aber auch $|b|-|a| \leq |a+b|$. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Unter einer {\bf angeordneten abelschen Gruppe} versteht man eine abelsche Gruppe $(A,+)$ mit einer Anordnung $\leq$ derart, da"s f"ur beliebige Elemente $x,y,z\in A$ gilt\label{AKoog} $$x \geq y \;\Rightarrow\; x + z \geq y + z$$ Alle in diesem Abchnitt f"ur angeordnete Kringe bewiesenen Aussagen, in denen die multiplikative Struktur keine Rolle spielt, gelten genauso f"ur angeordnete abelsche Gruppen. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{unGG} In jedem angeordneten K"orper gilt: \begin{enumerate} \item Aus $|x-a|\leq \eta$ und $|y-b|\leq\eta$ folgt $|(x+y)-(a+b)|\leq 2\eta$; \item Aus $|x-a|\leq\eta\leq 1$ und $|y-b|\leq\eta\leq 1$ folgt $|xy - ab| \leq \eta (|b|+1+|a|)$; \item Aus $|y-b|\leq \eta \leq |b|/2$ und $b\neq 0$ folgt $y\neq 0$ und $\left| {1}/{y} - {1}/{b}\right| \leq {2\eta}/{|b|^{2}}$. \end{enumerate} \end{Ubung} \begin{Ubunge} In jedem angeordneten Ring gilt f"ur $x\geq -1$ und $n\in\DN$ die sogenannte \defind{Bernoulli-Ungleichung} $(1+x)^n\geq 1+nx$. Hinweis: Vollst"andige Induktion. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Seien $K$ ein angeordneter K"orper und $I\subset K$ ein \hyperref[Inter]{Intervall}, in Formeln $(x g$. \item Ein Element $k \in Y$ hei"st ein {\bf kleinstes Element}\index{kleinstes!Element}, wenn gilt $k \leq y \; \forall y\in Y$. Ein Element $k \in Y$ hei"st ein {\bf minimales Element}\index{minimales!Element}, wenn es kein $y\in Y$ gibt mit $y < k$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.1\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0005} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.8\textwidth} \centering Eine teilgeordnete Menge mit zwei minimalen und einem maximalen Element, die weder ein kleinstes noch ein gr"o"stes Element besitzt. Die Darstellung ist in der Weise zu verstehen, da"s die fetten Punkte die Elemente unserer Menge bedeuten und da"s ein Element gr"o"ser ist als ein anderers genau dann, wenn es von diesem \glqq durch einen aufsteigenden Weg erreicht werden kann\grqq. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} Jede teilgeordnete Menge besitzt h"ochstens ein gr"o"s\-tes und h"ochstens ein kleinstes Element. Wir d"urfen deshalb den bestimmten Artikel verwenden und von {\bf dem} gr"o"sten beziehungsweise kleinsten Element reden. Besitzt eine teilgeordnete Menge ein gr"o"s\-tes beziehungsweise ein kleinstes Element, so ist dies auch ihr einziges maximales beziehungsweise minimales Element. Im allgemeinen kann es jedoch maximale beziehungsweise minimale Elemente in gro"ser Zahl geben, zumindest dann, wenn unsere Teilordnung keine Anordnung ist. Es kann auch durchaus passieren, da"s es "uberhaupt kein minimales oder maximales Element gibt, und zwar selbst dann, wenn unsere teilgeordnete Menge nicht die leere Menge ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $(X,\leq)$ eine teilgeordnete Menge und $Y\subset X$ eine Teilmenge. \begin{enumerate} \item Ein Element $o \in X$ hei"st eine {\bf obere Schranke} \index{Schranke!obere} von $Y$ in $X$, wenn gilt $o \geq y \; \forall y \in Y$. \item Ein Element $u \in X$ hei"st eine {\bf untere Schranke}\index{Schranke!untere} von $Y$ in $X$, wenn gilt $u \leq y \; \forall y \in Y$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Definition} Seien $(X, \leq)$ eine teilgeordnete Menge und $Y\subset X$ eine Teilmenge. \begin{enumerate} \item Ein Element $s \in X$ hei"st die {\bf kleinste obere Schranke} oder lateinischer das\index{Schranke!kleinste obere} {\bf Supremum}\index{Supremum}\index{sup@$\op{sup}$, Supremum} von $Y$ in $X$, wenn $s$ das kleinste Element ist in der Menge $\{o \in X \mid o \text{ ist obere Schranke von } Y\}$. Wir schreiben dann $s = \sup Y = \sup_X Y$. \item Ein Element $i \in X$ hei"st die {\bf gr"o"ste untere Schranke} oder\index{Schranke!gr"o"ste untere} lateinischer das {\bf Infimum}\index{Infimum}\index{inf@$\op{inf}$, Infimum} von $Y$ in $X$, wenn $i$ das gr"o"ste Element ist in der Menge $\{u \in X \mid u \text{ ist untere Schranke von } Y\}$. Wir schreiben dann $i = \inf Y= \inf_X Y$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildinfi}\\[4mm] \noindent Die Menge $Y=\{1/n\mid n\in\DN_{\geq 1}\}$ besitzt in $\DQ$ eine gr"o"ste untere Schranke, n"amlich die Null, in Formeln $\op{inf}Y=0$. Sie besitzt in $\DQ$ auch eine kleinste obere Schranke, n"amlich die Eins, in Formeln $\op{sup}Y=1$. \end{Bild} \begin{Beispiel} Die Teilmenge $Y=\{q\in\DQ\mid q<1\}\subset \DQ$ hat kein gr"o"stes Element, besitzt jedoch in $\DQ$ eine kleinste obere Schranke, n"amlich $\op{sup}Y=1$. Die Teilmenge $Z=\{q\in\DQ\mid q\leq 1\}\subset \DQ$ hat ein gr"o"stes Element, n"amlich die $1$, und das ist dann nat"urlich auch gleichzeitig ihre kleinste obere Schranke in $\DQ$, also haben wir auch $\op{sup}Z=1$. Die Teilmenge $Y=\{q\in\DQ\mid q<1\}\subset \DQ$ hat in $\DQ$ keine untere Schranke und dann nat"urlich erst recht keine gr"o"ste untere Schranke. \end{Beispiel} \begin{Beispielg} Auf der Potenzmenge einer beliebigen Menge ist die Inklusionsrelation eine Teilordnung. Bez"uglich dieser Teilordnung ist die Vereinigungsmenge im Sinne von \eref{VSMS}{LA1} eines Mengensystems sein Supremum und die Schnittmenge sein Infimum. \end{Beispielg} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{sQr} Die Menge $\{x\in\DQ\mid x^2\leq 2\}$ besitzt in $\DQ$ keine gr"o"ste untere Schranke. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $X$ eine teilgeordnete Menge. Besitzt eine Teilmenge $Y\subset X$ ein gr"o"stes Element $g \in Y$, so gilt $g = \sup Y$. Besitzt eine Teilmenge $Y\subset X$ ein kleinstes Element $k \in Y$, so gilt $k = \inf Y$. Sind Teilmengen $Z\subset Y\subset X$ gegeben und besitzen $Z$ und $Y$ ein Supremum in $X$, so gilt $\sup Z\leq \sup Y$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Teilordnungen und Verbandsstrukturen}] Erkl"aren wir auf einer teilgeordneten Menge $B$, in der jede zweielementige Teilmenge ein Supremum und ein Infimum hat, die beiden Verkn"upfungen $\vee$ und $\wedge$ durch $a\vee b\pdef \op{sup}\{a,b\}$ und $a\wedge b\pdef \op{inf}\{a,b\}$, so erhalten wir einen\label{Ubbv} Verband im Sinne von \eref{Verband}{GR}. Erkl"aren wir umgekehrt auf einem Verband $(B,\vee,\wedge)$ eine Relation $R$ durch $aRb$ genau dann, wenn $a\vee b=b$ oder gleichbedeutend $a=a\wedge b$, so ist $R$ ein Teilordnung und jede zweielementige Teilmenge hat ein Supremum und ein Infimum. Schlie"slich sind diese beiden Konstruktionen zueinander inverse Bijektionen zwischen Verbandsstrukturen und Teilordnungen mit der fraglichen Eigenschaft auf jeder festen Menge $B$. \end{Ubunge} \subsection{Reelle Zahlen}\label{ReZ} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Geometrische und algorithmische Zahlbegriffe}] Der folgende Satz \ref{ER} enth"alt die Charakterisierung eines gewissen angeordneten K"orpers von \glqq reellen Zahlen\grqq, auf der wir die Analysis aufbauen werden. Dieser K"orper bildet einen wesentlichen Teil des Begriffsgeb"audes, das es uns erm"oglicht, unsere geometrischen Vorstellungen in der heute gebr"auchlichen aus den Symbolen der Mengenlehre aufgebauten Sprache der h"oheren Mathematik wiederzufinden. Bereits im vierten Jahrhundert vor Christus erkl"arte der griechische Mathematiker Eudoxos eine \glqq Zahl\grqq\ als das \glqq Verh"altnis zweier L"angen\grqq\ und gab damit eine geometrische Beschreibung dessen, was wir heute \glqq positive reelle Zahlen\grqq\ nennen w"urden. Die logischen Feinheiten der Beziehung dieses \glqq geometrischen\grqq\ Zahlbegriffs zum \glqq algorithmischen\grqq\ Zahlbegriff, der vom Proze"s des Z"ahlens herkommt, wurden erst nach und nach verstanden. Den folgenden Satz \ref{ER} und seinen Beweis mag man als den Schlu"spunkt dieser Entwicklung ansehen. Der Zwischenwertsatz \ref{ZWS} und st"arker der Satz "uber die Gruppenwege in der Kreisgruppe \ref{EplOO} und seine Beziehung zu Winkelma"sen \eref{WinM}{LA2} illustrieren, wie gut die bei diesem Beweis im Reich der abstrakten Logik und Mengenlehre konstruierten reellen Zahlen unsere geometrische Anschauung modellieren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Beweis der Existenz eines angordneten K"orpers mit den im folgenden Satz \ref{ER} pr"azisierten Eigenschaften ist f"ur das weitere Verst"andnis der Vorlesung belanglos. Ich gebe hier nur eine Beweisskizze, als da hei"st einen Beweis f"ur h"ohere Semester, um Sie zu "uberzeugen, da"s wir nicht w"ahrend des n"achsten halben Jahres Folgerungen ziehen aus Grundannahmen, die "uberhaupt nie erf"ullt sind. Ich rate dazu, bei der ersten Lekt"ure auf das genauere Studium des Existenzbeweises zu verzichten, der sich bis \ref{IQQ} hinzieht. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Charakterisierung der reellen Zahlen}] \begin{enumerate} \item Es gibt an\-ge\-ord\-ne\-te K"orper $(\DR, +,\cdot , \leq)$ derart, da"s in der angeordneten Menge $\DR$ \label{11} jede nichtleere Teilmenge mit einer unteren Schranke auch eine gr"o"ste untere Schranke besitzt; \item\label{22h} Solch ein angeordneter K"orper ist im wesentlichen eindeutig bestimmt. Ist genauer $(\DR ^{\prime}, +, \cdot, \leq)$ ein weiterer derartiger angeordneter K"orper, so gibt es genau einen K"orperisomorphismus $\varphi : \DR \sira \DR ^{\prime}$ und f"ur diesen K"orper\-isomorphismus gilt zus"atzlich $\al \leq \beta \Leftrightarrow \varphi (\al) \leq \varphi (\beta)$. \end{enumerate} \label{ER}\end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{AB} Durch Multiplikation mit $(-1)$ sehen wir, da"s die im Satz formulierte \glqq Infimumseigenschaft\grqq\ im Fall eines angeordneten K"orpers gleichbedeutend ist zur {\bf Supremumseigenschaft}, da"s jede nichtleere Teilmenge mit einer oberen Schranke auch eine kleinste obere Schranke besitzt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die im Satz gegebene Charakterisierung trifft auf den angeordneten K"orper der rationalen Zahlen nicht zu. Zum Beispiel wissen wir nach \ref{sQr}, da"s die Menge $\{x\in\DQ\mid x^2\leq 2\}$ in $\DQ$ keine gr"o"ste untere Schranke besitzt. Sie ist jedoch nicht leer und besitzt in $\DQ$ durchaus untere Schranken, nur eben keine gr"o"ste. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis von \ref{ER}.\ref{11}] Wir konstruieren einen derartigen K"orper $\DR=\DR_{\op{D}}$ als eine Menge $\DR\subset \cal{P}(\DQ)$ von Teilmengen der Menge $\DQ$ aller rationalen Zahlen, $$\begin{array}{ccc} \DR & \pdef & {\left\{ \al \subset \DQ \left| \begin{array}{l} \text{$\al$ ist nicht leer,}\\ \text{$\al$ hat eine untere Schranke,}\\ \text{$\al$ hat kein kleinstes Element,}\\ \al \text{ enth"alt mit $x$ auch jedes $y> x$.}\end{array}\right. \right\}} \end{array}$$ Man nennt solch ein $\al$ einen {\bf Dedekind'schen Schnitt} \index{Dedekind'scher Schnitt} und bezeichnet die so konstruierte Menge $\DR$ als das \glqq Dedekind'sche Modell der reellen Zahlen\grqq. Auf unserer Menge $\DR $ von Teilmengen von $\DQ$ ist die Inklusionsrelation eine Anordnung und wir schreiben $\al \leq \beta$ statt $\al \supset \beta$. Ist $Y \subset \DR $ eine nichtleere Teilmenge mit unterer Schranke, so liegt offensichtlich auch die Vereinigung $$\bigcup_{\al \in Y} \al=\{q\in\DQ\mid \text{Es gibt }\alpha\in Y\text{ mit }q\in \alpha\}$$ aller Teilmengen aus $Y$ in $\DR $ und ist das Infimum von $Y$. \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0027} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Zum Infimum in $\DR$ \end{minipage} \end{figure} Damit haben wir bereits eine angeordnete Menge mit der geforderten Eigenschaft konstruiert. Wir m"ussen darauf nur noch eine Addition und eine Multiplikation erkl"aren derart, da"s unsere Struktur zu einem angeordneten K"orper wird. Die Addition ist unproblematisch: Wir setzen $$\al + \beta \pdef \{ x + y\mid x \in \al, \;y \in \beta \}$$ und pr"ufen m"uhelos, da"s aus $\al, \beta \in \DR $ schon folgt $\al + \beta \in \DR $, da"s $\DR $ so zu einer kommutativen Gruppe wird mit neutralem Element $0_{\DR } = \{x \in \DQ\mid x > 0\},$ und da"s gilt $\al \leq \beta \Rightarrow \al + \gamma \leq \beta + \gamma$ f"ur alle $\al ,\beta, \gamma \in \DR $. Das Negative zu $\alpha$ kann man etwa erhalten, indem man die Menge $\{y\in\DQ\mid y+x>0\;\forall x\in \alpha\}$ betrachtet und ihr f"ur den Fall, da"s sie ein kleinstes Element haben sollte, das noch wegnimmt. Wir erlauben uns nun die Abk"urzung $0_{\DR }=0$. Die Multiplikation positiver Elemente ist ebenfalls unproblematisch: F"ur $\al, \beta \in \DR $ mit $\al > 0,$ $\beta >0$ setzen wir $$\al \beta \pdef\{ xy \mid x \in \al, \; y \in \beta \}$$ und pr"ufen m"uhelos, da"s aus $\al, \beta \in \DR _{>0}$ schon folgt $\al \beta \in \DR _{>0}$ und da"s $\DR _{>0}$ so zu einer kommutativen Gruppe mit neutralem Element $1_{\DR } = \{ x \in \DQ \mid x > 1\}$ wird. Das Distributivgesetz in $\DQ$ impliziert mit diesen Definitionen auch sofort die Regel $$\al (\beta +\gamma) = \al \beta + \al \gamma$$ f"ur alle $\al, \beta , \gamma \in \DR _{>0}$. Um unsere Multiplikation so auf ganz $\DR $ auszudehnen, da"s $\DR $ ein angeordneter K"orper wird, verwenden wir das anschlie"sende technische Lemma \ref{TLl}. Eine Beweisskizze f"ur die in Teil 2 behauptete Eindeutigkeit geben wir zu Ende dieses Abschnitts. \end{proof} \begin{Lemma}\label{TLl} Sei $(R,+)$ eine kommutative Gruppe mit einer Anordnung $\leq$ derart, da"s gilt $\al \leq\beta \Rightarrow \al + \gamma \leq \beta +\gamma \;\; \forall \al , \beta , \gamma \in R$. Sei auf $R_{>0}$ eine Verkn"upfung $(\al, \beta ) \mapsto\al \cdot\beta= \al \beta$ gegeben, die $R_{>0}$ zu einem kommutativen Monoid macht. Es gelte au"serdem die Regel $$\al (\beta +\gamma)= \al \beta +\al \gamma \quad \forall \al , \beta, \gamma \in R_{>0}$$ So gibt es genau eine Fortsetzung unserer Verkn"upfung $(\al, \beta) \mapsto \al \beta$ zu einer Verkn"upfung auf ganz $R$ derart, da"s $(R,+,\cdot)$ ein Kring wird, und f"ur diesen Kring ist $\leq$ eine Kringanordnung. War $(R_{>0},\cdot)$ eine Gruppe, ist unser Kring $R$ sogar ein K"orper. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wenn die Fortsetzung unserer Multiplikation auf ganz $R$ das Distributivgesetz erf"ullen soll, m"ussen wir notwendig setzen $$\al \beta \pdef \left\{ \begin{array}{cl} 0 & \al = 0 \text{ oder } \beta =0;\\ -((-\al)\beta) & \al <0,\; \beta >0;\\ -(\al (-\beta)) & \al >0,\; \beta <0;\\ (-\al)(-\beta) & \al < 0,\;\beta <0. \end{array} \right. $$ Es gilt nun, f"ur diese Multiplikation Kommutativit"at und die Ringaxiome nachzuweisen. Unsere Multiplikation auf $R$ ist offensichtlich kommutativ und assoziativ und macht $R \backslash \{0\}$ zu einem Monoid. Wir m"ussen also nur noch das Distributivgesetz $$\al (\beta+\gamma) = \al \beta +\al \gamma \quad \forall \al, \beta , \gamma \in R$$ nachweisen. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir hierbei $\al > 0$ und $\beta + \gamma >0$ annehmen. Die einzigen nicht offensichtlichen F"alle sind dann $\beta >0,$ $\gamma < 0$ beziehungsweise $\beta <0,$ $\gamma >0$. Sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $\beta >0,$ $\gamma <0$. Nach unseren Annahmen gilt ja die Regel $$\al \beta = \al ((\beta +\gamma) + (-\gamma)) = \al (\beta +\gamma) + \al (-\gamma)$$ und daraus folgt sofort $\al (\beta +\gamma)= \al \beta +\al \gamma $ auch in diesem letzten Fall. \end{proof} \begin{Definition}\label{DRZ} Wir w"ahlen f"ur den weiteren Verlauf der Vorlesung einen festen angeordneten K"orper $(\DR ,+,\cdot, \leq)$, der die Supremumseigenschaft hat, erlauben uns wegen der in \ref{ER}.\ref{22h} formulierten \glqq Eindeutigkeit bis auf eindeutigen Isomorphismus\grqq\ den bestimmten Artikel, und nennen ihn\index{R@$\DR$ reelle Zahlen} {\bf den K"orper $\DR $ der reellen Zahlen}\index{reelle Zahl}.\index{Zahl!reelle} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{aa} Ein angeordneter K"orper hei"st {\bf archimedisch angeordnet}\index{archimedisch!angeordnet}, wenn es zu jedem Element $x$ des K"orpers eine nat"urliche Zahl $n\in\DN$ gibt mit $n >x$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Archimedizit"at der reellen Zahlen}] Die nat"urlichen Zahlen besitzen keine obere Schranke in den reellen Zahlen, als da hei"st, f"ur alle $x \in \DR $\label{ArA} gibt es ein $n \in \DN$ mit $n> x$. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir argumentieren durch Widerspruch. H"atte die Teilmenge $\DN \subset \DR $ eine obere Schranke, so h"atte sie nach \ref{AB} auch eine kleinste obere Schranke $a$. Dann w"are aber $a-1(a-1)$. Es folgte $(n+1)>a,$ und bereits $a$ selbst w"are keine obere Schranke von $\DN$ gewesen. \end{proof} \begin{Korollar}\label{Kop} \begin{enumerate} \item Die ganzen Zahlen besitzen keine untere Schranke in den reellen Zahlen; \item F"ur jede positive reelle Zahl $\varepsilon > 0$ gibt es eine positive nat"urliche Zahl $n \geq 1$ mit $0 < \frac{1}{n} < \varepsilon $; \item Es gilt $0=\op{inf}_\DR\left\{\frac{1}{n}\mid n\in \DN_{\geq 1}\right\}$; \item Zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen liegt stets noch eine rationale Zahl, in Formeln: Gegeben $x< y$ in $\DR $ gibt es $r \in \DQ$ mit $x1/\varepsilon $. Die dritte Aussage folgt unmittelbar aus der zweiten. Um die vierte Aussage zu zeigen, suchen wir zun"achst $n \in \DN,$ $n\geq 1$ mit $0 < \frac{1}{n} < y -x,$ also $1 < ny-nx,$ das hei"st $1+n x b_1$. Wir finden nach Annahme ein $r\geq 1$ mit $b_r\neq 9$. Bezeichne $\alpha,\beta\in\DR$ die durch unsere beiden Dezimalausdr"ucke dargestellten reellen Zahlen. Dann gilt offensichtlich \begin{displaymath}\alpha\geq \frac{a_1}{10} > \frac{a_1}{10} - \frac{1}{10^r}\geq \beta\qedhere \end{displaymath} \end{proof} \begin{proof}[Beweisskizze f"ur \ref{ER}.\ref{22h}] Wir gehen von der Bijektion zwischen einem beliebigen angeordneten K"orper $\DR$ mit der Supremumseigenschaft und der Menge aller \glqq Dezimalausdr"ucken ohne Neunerperiode\grqq\ aus \ref{DzoN} aus. verwendet zusammen mit der in den "Ubungen \ref{ABC}, \ref{ABD} und \ref{ABc} gegebenen Beschreibung von Addition und Multiplikation von Dezimalausdr"ucken. Dieser Beweis ist zwar vom h"oheren Standpunkt aus nicht besonders geschickt oder nat"urlich, aber daf"ur vielleicht vom Schulstoff aus besser zug"anglich. Ein Zugang \glqq vom h"oheren Standpunkt\grqq\ wird in "Ubung \ref{EnR} skizziert. Da"s jeder K"orperhomomorphismus zwischen zwei K"orpern $\DR, \DR'$ mit der Supremumseigenschaft die Anordnung erhalten mu"s, wird in \ref{QWE} klar werden, wo wir zeigen, da"s f"ur jeden angeordneten K"orper $\DR$ mit der Supremumseigenschaft die nichtnegativen Elemente genau alle Quadrate sind, in Formeln $\DR_{\geq 0}=\{x^2\mid x\in\DR\}$. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Es ist durchaus m"oglich, die Menge $D$ aller \glqq Dezimalausdr"ucke\grqq\ ohne jegliche Identifizierungen zu betrachten. Wenn wir diese Menge $D$ mit der Struktur einer angeordneten Menge zu versehen, ist auch durchaus die Supremumseigenschaft erf"ullt. Es ist jedoch nicht m"oglich, diese angeordnete Menge zu einem angeordneten K"orper zu machen. Der naive Ansatz scheitert daran, da"s nicht klar ist, wie man mit den eventuell unendlich vielen "Ubertr"agen bei der Addition und Multiplikation umgehen soll. Da"s "uberhaupt jeder Ansatz zum Scheitern verurteilt ist, erkennt man etwa daran, da"s es in $D$ Elemente gibt mit $d=\op{sup}_DX\RA d\in X$ f"ur Teilmengen $X\subset D$, wie etwa $d\pdef 1,0000\ldots$, und andere Elemente wie etwa $d=0,99999\ldots$, f"ur die diese Implikation nicht gilt. F"ur jeden angeordneten K"orper $K$ mu"s jedoch die Addition eines beliebigen Elements $k\in K$ ein Ordnungsisomorphismus $(k+):K\sira K$ sein. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s es f"ur je zwei nichtleere Teilmengen $M,N\subset \DR$ mit $x\leq y$ f"ur alle $x\in M$ und $y\in N$ stets ein $a\in \DR$ gibt mit $x\leq a\leq y$ f"ur alle $x\in M$ und $y\in N$. Man zeige weiter, da"s diese Bedingung an eine angeordnete Menge sogar gleichbedeutend ist zur Forderung, jede nichtleere Teilmenge mit einer unteren Schranke m"oge auch eine gr"o"ste untere Schranke besitzen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{IQQ} Bezeichne $\DR=\DR_{\op{D}}$ das Dedekind'sche Modell der reellen Zahlen. Man zeige, da"s die durch die Struktur eines angeordneten K"orpers auf $\DR$ nach \ref{CAb} definierte Injektion $\DQ\hra \DR$ auch beschrieben werden kann durch die Vorschrift $p\mapsto p_\DR\pdef\{q\in\DQ\mid q>p\}$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Summe nichtnegativer Zahlen in Dezimaldarstellung}] Seien $X$ und $Y$ nichtleere nach oben beschr"ankte Teilmengen von $\DR $. Mit der Notation $X+Y\subset \DR $ f"ur\label{ABC} die Menge $\{x+y\mid x\in X,\; y\in Y\}$ zeige man $\sup(X+Y)=\sup X + \sup Y$. Damit ist klar, wie man zu zwei durch Dezimalausdr"ucke dargestellten nichtnegativen reellen Zahlen einen Dezimalausdruck f"ur ihre Summe bestimmen kann: Man betrachtet die Menge $S$ aller Summen endlicher Teilausdr"ucke und nimmt den lexikographisch gr"o"sten Dezimalausdruck, dessen s"amtliche Anfangsst"ucke mit Anfangsst"ucken von Dezimalausdr"ucken aus unserer Menge $S$ "ubereinstimmen. Da der "Ubertrag beim Addieren jeweils h"ochstens Eins sein kann, ist an jeder Stelle, an der nicht zwei Neuner "ubereinanderstehen, schon klar, welche Ziffer in unserem Dezimalausdruck f"ur die Summe an der Stelle davor stehen mu"s. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Differenz nichtnegativer Zahlen in Dezimaldarstellung}] Man "uberlegt sich, da"s man sich mit \ref{ABC} darauf zur"uckziehen kann zu erkl"aren, wie man f"ur jede durch einen Dezimalausdruck\label{ABD} $a$ mit einer Null vor dem Komma gegebene reelle Zahl $\alpha$ einen Dezimalausdruck f"ur $\beta\pdef 1-\alpha$ bestimmt. Sind aber $a_1,a_2,\ldots $ die Nachkommastellen unseres Dezimalausdrucks $a$, so sind die Ziffern $b_i$ gegeben durch $a_i+b_i=9$ nach \ref{ABC} offensichtlich Nachkommastellen, die zusammen mit einer Null vor dem Komma einen Dezimalausdruck f"ur $\beta$ bilden. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Produkt in Dezimaldarstellung}] Seien $X$ und $Y$ nichtleere nach oben beschr"ankte Teilmengen von $\DR_{>0} $. Mit der Notation $XY\subset \DR $ f"ur\label{ABc} die Menge $\{xy\mid x\in X,\; y\in Y\}$ zeige man $\sup(XY)=(\sup X)(\sup Y)$. Damit ist "ahnlich wie in \ref{ABC} klar, wie man zu je zwei durch Dezimalausdr"ucke dargestellten reellen Zahlen einen Dezimalausdruck f"ur ihr Produkt bestimmen kann. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[F"ur h"ohere Semester] Man zeige die in \ref{ER}.\ref{22h} behauptete Eindeutigkeit der reellen Zahlen bis auf eindeutigen Isomorphismus. Hinweis: Die gesuchte Bijektion\label{EnR} $\varphi$ kann zum Beispiel konstruiert werden durch die Vorschrift $\varphi(\al)=\inf\{q_{\DR '}\mid q\in\DQ, q_\DR >\al\}$. Man zeige allgemeiner auch, da"s jeder K"orperhomomorphismus $\DR\ra\DR$ die Identit"at ist. Hinweis: Nach \ref{QWE} sind die nichtnegativen reellen Zahlen genau die Quadrate, jeder K"orperhomomorphismus $\DR\ra\DR$ erh"alt also die Anordnung. Andererseits aber mu"s er auf $\DQ$ die Identit"at sein. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[F"ur h"ohere Semester] Gegeben ein archimedisch angeordneter K"orper $k$ gibt es genau einen ordnungserhaltenden K"orperhomomorphismus $k\ra\DR$. Hinweis: "Ahnlich wie \ref{EnR}, das man umgekehrt aus diesem Resultat ableiten kann, sobald man wei"s, da"s es zu jeder positiven reellen Zahl eine Quadratwurzel gibt. \end{Ubunge} \subsection{Rationale und reelle Zahlen im Vergleich} \label{ReRq} \begin{Definition} Eine Menge hei"st \defind{abz"ahlbar}, wenn es eine Bijektion unserer Menge mit einer Teilmenge der Menge $\DN$ aller nat"urlichen Zahlen gibt. Gleichbedeutend k"onnen wir auch fordern, da"s unsere Menge entweder leer ist oder es eine Surjektion von $\DN$ darauf gibt. Eine Menge hei"st \defind{abz"ahlbar unendlich}, wenn sie abz"ahlbar aber nicht endlich ist. Eine Menge hei"st \defind{"uberabz"ahlbar}, wenn sie nicht abz"ahlbar ist. \end{Definition} \begin{Satz} \begin{enumerate} \item Es gibt eine Bijektion $\DN \sira \DQ$, in Worten: Die Menge der rationalen Zahlen ist {\bf\em abz"ahlbar unendlich};\index{abz"ahlbar unendlich} \item Es gibt keine Surjektion $\DN \sra \Bbb{R}$, in Worten: Die Menge der reellen Zahlen ist {\bf\em "uberabz"ahlbar}\index{"uberabz"ahlbar}. \end{enumerate}\label{QR} \end{Satz} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZZ} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering $\DN\times\DN$ ist abz"ahlbar und damit auch allgemeiner das Produkt von je zwei und dann auch von endlich vielen abz"ahlbaren Mengen. \end{minipage} \end{figure} \begin{proof}[Beweis] 1. F"ur jede nat"urliche Zahl $N$ gibt es nur endlich viele Br"uche $p/q \in \DQ$ mit $p,q \in \DZ$, $ q\neq 0$ und $|p| \leq N$, $|q| \leq N$. Wir beginnen unser Abz"ahlen von $\DQ$ mit den Br"uchen f"ur $N = 1$, dann nehmen wir die Br"uche hinzu mit $N=2$, und indem wir so weitermachen z"ahlen wir ganz $\DQ$ ab. \\[2mm]\noindent 2. Hierzu verwenden wir das {\bf Cantor'sche Diagonalverfahren}.\index{Cantor'sches Diagonalverfahren} Man beachte zu\-n"achst, da"s ein unendlicher Dezimalbruch, in dem die Ziffern Null und Neun nicht vorkommen, nur dann dieselbe reelle Zahl darstellt wie ein beliebiger anderer unendlicher Dezimalbruch, wenn die beiden in jeder Stelle "ubereinstimmen. Wir betrachten nun eine beliebige Abbildung $\DN_{\geq 1} \ra \Bbb{R}$, $i \mapsto r_{i}$, und zeigen, da"s sie keine Surjektion sein kann. Wir schreiben dazu jedes $r_{i}$ als unendlichen Dezimalbruch. Dann finden wir einen unendlichen Dezimalbruch $r$, bei dem die Ziffern Null und Neun nicht vorkommen und so, da"s $r$ f"ur an der $i$-ten Stelle nach dem Komma verschieden ist von $r_{i}$. Dies $r$ ist dann verschieden von allen $r_{i}$ und unsere Abbildung $i\mapsto r_{i}$ kann keine Surjektion gewesen sein. \end{proof} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildCaD} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration zum Cantor'schen Diagonalverfahren. "Ahnlich zeigt man, da"s die Menge $\op{Ens}(\DN,E)$ aller Abbildungen von $\DN$ in eine Menge $E$ mit mindestens zwei Elementen nicht abz"ahlbar ist. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkung} Man kann sich fragen, ob jede Teilmenge der reellen Zahlen entweder abz"ahlbar ist oder in Bijektion zu den reellen Zahlen selber. Die schon auf Cantor zur"uckgehende Vermutung, das k"onnte gelten, ist bekannt als die \defind{Kontinuumshypothese}. Sie wurde 1963 von Paul Cohen in sehr merkw"urdiger Weise gekl"art: Er zeigte, da"s unsere Frage in dem axiomatischen Rahmen, in dem man die Mengenlehre "ublicherweise formalisiert, nicht entscheidbar ist. Cohen wurde f"ur diese Leistung auf dem internationalen Mathematikerkongress 1966 mit der Fields-Medaille ausgezeichnet. Die Kontinuumshypothese ist "ubrigends die erste Frage einer ber"uhmten Liste von 23 Fragestellungen, den sogenannten \defnoind{Hilbert'schen Problemen},\index{Hilbert'sche Probleme}\index{Hilbert'sche Probleme!Nummer 1} die David Hilbert in seiner Ansprache auf dem internationalen Mathematikerkongress 1900 in Paris vorstellte in seinem Bem"uhen, \glqq aus verschiedenen mathematischen Disziplinen einzelne bestimmte Probleme zu nennen, von deren Behandlung eine F"orderung der Wissenschaft sich erwarten l"a"st\grqq. \end{Bemerkung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXAN1" %%% End: