\section{Mannigfaltigkeiten in euklidischen R"aumen}
\subsection{Euklidische R"aume}
\begin{Bemerkungl}
  Ich will in diesem Text die Differentialgeometrie ohne die implizite
  Wahl einer festen
  L"angeneinheit entwickeln. 
  So wird bei uns etwa die L"ange einer
  Kurve nicht einfach eine reelle Zahl sein
  sondern  eine \glqq L"ange\grqq\ und die Kr"ummung einer Kurve
  entsprechend eine \glqq inverse L"ange\grqq. 
  Ich denke, da"s die M"uhen, die man bei diesem Zugang
  durch die Entwicklung der entsprechenden Begrifflichkeit auf sich nimmt, durch den gest"arkten Bezug zur Anschauung mehr als aufgewogen werden.
  Die M"uhen beginnen damit, da"s man zun"achst in die lineare Algebra zur"uckgehen mu"s um zu erkl"aren, was man unter einem euklidischen
  Vektorraum \glqq  ohne implizite
  Wahl einer festen
  L"angeneinheit\grqq\ zu verstehen hat. Da in der Axiomatik
  der euklidischen Ebene nach Euklid auch nie implizit L"angeneinheiten
  gew"ahlt wurden, nenne ich diese Struktur von der g"angigen Terminologie
  abweichend 
  schlicht einen \glqq euklidischen Vektorraum\grqq. Das Datum eines reellen
  Vektorraums mit Skalarprodukt nenne ich dahingegen einen
  \glqq Skalarproduktraum\grqq.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Unter einer {\bf euklidischen Struktur $S$ auf einem
  reellen Vektorraum $V$} verstehen wir eine "Aquivalenzklasse von
  Skalarprodukten, wobei zwei Skalarprodukte  genau dann als "aquivalent
  angesehen werden, wenn sie sich h"ochstens um Multiplikation
  mit einem positiven Skalar unterscheiden. 
  Einen reellen Vektorraum mit einer euklidischen Struktur nennen
  wir einen {\bf euklidischen Vektorraum}.\index{euklidisch!Vektorraum}
  Einen reellen affinen Raum mit einer euklidischen Struktur auf seinem
  Richtungsraums nennen\label{EurR} 
  wir einen {\bf euklidischen Raum}.\index{euklidisch!Raum}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Jedem 
  euklidischen  Vektorraum $V=(V,S)$ ordnen wir in \eref{Laenge}{LA2}
  seine {\bf L"angengerade} zu, einen eindimensionalen orientierten
  reellen Vektorraum $$\mathbb L=\mathbb L(V,S)$$ im Fall $V\neq 0$ und den Nullraum im Fall $V=0$. Im Fall des Nullraums ist insbesondere unsere
  L"angengerade keine Gerade, mit dieser terminologischen Inkonsistenz
  m"ussen wir leben. Die Elemente der L"angengerade nennen wir {\bf L"angen}.\index{L"angen} Wir konstruieren  eine ausgezeichnete Abbildung
  $V\ra \mathbb L_{\geq 0}, v\mapsto \|v\|$, die jedem Vektor
  seine {\bf L"ange}\index{L"ange!eines Vektors} 
  zuordnet, und dar"uber hinaus in \eref{kaSK}{LA2}
  eine ausgezeichnete symmetrische bilineare Abbildung
  $$\langle\;,\;\rangle:V\times V\ra \mathbb L^{\otimes 2}$$
  mit der Eigenschaft $\langle v,v\rangle=\|v\|^{2}$,  das
  {\bf kanonische Skalarprodukt}. 
  Unter der {\bf L"angengerade $\mathbb L(E)$ eines euklidischen Raums $E$} verstehen wir die L"an\-gen\-ge\-ra\-de seines Richtungsraums. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{L"angengerade eines Skalarproduktraums}] 
  Gegeben ein Skalarproduktraum $(V,s)$ gibt es genau einen
  Isomorphismus $\DR\sira \mathbb L$ mit $\sqrt{s(v,v)}\mapsto \|v\|$ f"ur alle
  Vektoren $v\in V$. Wir betrachten ihn als derart nat"urlich, da"s wir ihn im folgenden  als  Gleichheit notieren.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur L"angengerade und kanonisches Skalarprodukt}] 
  Im Fall des schmutzigen Raums unserer Anschauung sind die
  positiven Elemente unserer L"angengerade  die
  \glqq physikalischen L"angeneinheiten\grqq. Das kanonische Skalarprodukt
  $\langle v,w\rangle$
  kann man geometrisch beschreiben, indem man eine Ebene w"ahlt, die $v$ und $w$  enth"alt, sowie
  eine Orientierung dieser Ebene, und dann $v$
  in dieser orientierten Ebene im negativen Drehsinn
  um einen rechten Winkel dreht und dann
  das von dem so gedrehten ersten Vektor $v'$ und dem  zweiten Vektor $w$
  bestimmte
  orientierte Fl"achenelement \eref{oFI}{LA2} betrachtet, in Formeln $$\langle v,w\rangle\pdef \omega(v',w)\in \mathbb L^{\otimes 2}$$ 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} Mehr dazu wird  in meinen
  Vorlesungen "uber lineare Algebra ausgef"uhrt. In meinen Vorlesungen "uber
  Elementargeometrie gebe ich sogar eine vollst"andige Axiomatik f"ur
  die euklidische Ebene im Rahmen der Inzidenzgeometrie, die 
  die zweidimensionalen euklidischen R"aume im Sinne der in \ref{EurR} gegebenen
  Definition beschreibt. 
\end{Bemerkungl}
\subsection{Kr"ummung von Kurven}
\nichtfinal{Sollte vielleicht sorgf"altiger Geschwindigkeit und Ableitung
  unterscheiden $\dot\gamma, \gamma'$ und die Parameter der Kurven anpassen?
Sollten nach der Bogenl"ange parametrisierte Kurven Abbildungen $\mathbb L\supset I\ra E$ sein?}  







\begin{Definition}
  Gegeben ein endlichdimensionaler euklidischer Raum $E$
  mit L"angengerade $\mathbb L$ und
eine %\hyperref[glatt]{glatte eindimensionale Untermannigfaltigkeit} alias 
glatte Kurve
$K \subset E$ im Sinne einer
glatten eindimensionalen %Untermannigfaltigkeit oder sogar
Eckfaltigkeit 
und ein Punkt $p\in K$ 
 erkl"art man 
die {\bf Kr"ummung\index{Kr"ummung!einer Kurve} 
  der Kurve $K$ bei  $p$}, eine nichtnegative inverse L"ange $\kappa_p\in
(\mathbb L^{-1})_{\geq 0}$,
als den Quotienten
\begin{equation*}
\kappa_p=\kappa_p(K) \pdef \frac{\|\ddot{\gamma}  (b)\|}{\;\|\dot{\gamma} (b)\|^2}
\end{equation*}
bei einer und jeder 
Parametrisierung von $K$ mit konstanter absoluter
Geschwindigkeit 
in einer Umgebung von $p$, 
in Formeln
f"ur $\gamma : W \rightarrow K$ eine und jede Karte mit 
$\gamma (b)=p$ und mit
$\|\dot{\gamma} (t)\|$ unabh"angig von 
$t \in W$. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine weitere Parametrisierung
 $\varphi$ in einer Umgebung von $p$ mit konstanter absoluter Geschwindigkeit 
haben wir offensichtlich 
$\varphi(t)=\gamma(a+c t)$ f"ur ein festes $a\in \DR$ und  festes
$c\in \DR^\times$. Das zeigt, da"s unsere Kr"ummung wie behauptet nicht von
der Parametrisierung abh"angt. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Kr"ummung eines Kreises}] 
Ein Kreis $K$ mit Radius $r$ hat an jeder Stelle die
Kr"ummung $\kappa = 1/r$.
F"ur eine beliebige Kurve mag man sich die 
Kr"ummung an einer Stelle veranschaulichen
als das Inverse des Radius derjenigen Kreislinie, 
die sie in einer Umgebung von besagter
Stelle \glqq am besten approximiert\grqq, wie  Proposition  
\ref{KBK} pr"azisiert. Man beachte, da"s im ebenen Fall 
unsere Kurve
diesen \defind{Schmiegekreis} im allgemeinen am Ber"uhrpunkt 
schneiden wird, wie  Beispiel \ref{KGKr} deutlich macht.\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
  Eine stetig differenzierbare Abbildung eines mehrpunktigen reellen Intervalls
  $I$ in einen reellen Raum, deren Differential nirgends verschwindet, nennt man auch einen {\bf regul"aren Weg}\index{Weg!regul"arer}\index{regul"ar!Weg}
  oder in einer
  anderen Terminologie eine \glqq regul"are Kurve\grqq. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Fall eines Skalarproduktraums}] 
  Im Fall eines endlichdimensionalen von Null verschiedenen 
  Skalarproduktraums $E$ verf"ugen wir "uber
  eine ausgezeichnete L"angeneinheit alias einen
  ausgezeichneten Isomorphismus $\DR\sira \mathbb L(E)$ und
  damit einen ausgezeichneten Isomorphismus $\op{can}:\DR\sira \mathbb L(E)^{-1}$. Die Kr"ummung
  einer Kurve $K\subset E$ an einer Stelle $p\in K$ wird dann im
  Fall einer Parametrisierung $\gamma$ mit $\|\dot\gamma(t)\|=1\;\forall t$ 
  gegeben durch die  reelle Zahl 
  $$\kappa_p=\|\ddot{\gamma}(p)\|$$
\end{Bemerkungl}
\nichtfinal{\begin{Bemerkunge}[\textbf{Kr"ummung als Eigenbeschleunigung}] 
So noch Quatsch!  Gegeben eine Kurve in einem pr"apseudoeuklidischen Raum $K\subset E$
  vereinbaren wir dieselbe Definition  f"ur ihre Kr"ummung an jeder Stelle $p\in K$, an der unsere pr"apseudoeuklidische Struktur
  auf dem Tangentialraum ${\op{T}}_pK$ nicht zu Null einschr"ankt. Im
  pr"apseudoeuklidischen Fall kann unsere  Kr"ummung auch negativ sein. Im 
  Fall der  Raumzeit $E$ der speziellen Relativit"atstheorie 
versteht man eine Kurve $K\subset E$, deren  Tangentialr"aume von  zeitartigen
Vektoren erzeugt werden, als Beschreibung eines bewegten Teilchens.
In diesem Fall hei"st das Negative der
Kr"ummung  die {\bf Eigenbeschleunigung}.\index{Eigenbeschleunigung} 
\end{Bemerkunge}}



\begin{Proposition}[\textbf{Kr"ummung bei beliebiger Parametrisierung}]
Gegeben  
eine Karte $\gamma: I\ra K$ einer Kurve $K$ in einem
endlichdimensionalen euklidischen Raum $E$
wird deren Kr"ummung gegeben durch\label{KBK}  
\begin{equation*}
\kappa = \frac{\sqrt{\| \ddot{\gamma}\|^{2} - \langle \dot{\gamma}, 
\ddot{\gamma}
\rangle^{2} / \|\dot{\gamma} \|^{2}}}{\| \dot{\gamma} \|^{2}}
\end{equation*}  
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
Die Kr"ummung der Bahnkurve eines Teilchens
 an einer Stelle h"angt also nur von seiner Geschwindigkeit und  Beschleunigung an 
 der vorgegebenen Stelle ab und stimmt in Worten ausgedr"uckt
 "uberein mit der L"ange der 
orthogonalen Projektion des Beschleunigungsvektors
auf die zum Geschwindigkeitsvektor senkrechte
Hyperebene, geteilt durch das Quadrat der absoluten Geschwindigkeit.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Man erinnere sich, da"s gegeben Vektoren $v,w$ in einem 
euklidischen Vektorraum 
mit $v\neq 0$ die orthogonale Projektion  $p$ 
von $w$ auf $\DR v$ gegeben wird durch $p=(\langle v, w \rangle/\|v\|^2)v$.
F"ur die orthogonale Projektion $r$ 
von $w$ auf die zu $\DR v$ orthogonale Hyperebene gilt dann $w=p+r$ und
$p$ steht senkrecht auf $r$, in Formeln $\langle p, r \rangle=0$.
Nach Pythagoras haben wir  folglich 
$$\|r\|^2=\|w\|^2-\|p\|^2=\|w\|^2-\langle v, w \rangle^2/\|v\|^2$$
und das interpretiert den Z"ahler unserer Formel. Ist unser
euklidischer Vektorraum dreidimensional und w"ahlen wir
eine Orientierung, so k"onnen wir die Kr"ummung unserer Kurve auch
mithilfe des kanonischen Kreuzprodukts \eref{KRA}{LA2} ausdr"ucken als
$$\|\ddot{\gamma}\times \dot{\gamma}\|/\|\dot{\gamma}\|^3$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Es mag hilfreich sein, sich die Bedeutung der Formel \ref{KBK}
f"ur die Kr"um\-mung einer Bahnkurve
an einigen Umparametrisierungen qualitativ 
klarzumachen. Durchlaufen wir etwa unsere
Kurve mit der doppelten Geschwindigkeit, so erhalten wir
die vierfache Beschleunigung,
aber im Bruch f"ur die Kr"ummung "andert sich nichts.
Fahren wir nicht mit konstanter Geschwindigkeit, sondern
\glqq geben kr"aftig Gas, w"ahrend wir durch unseren Punkt fahren\grqq, so
"andert sich der Beschleunigungsvektor um einen an die Kurve 
tangentialen Anteil und  im Bruch f"ur die Kr"ummung "andert sich 
wieder nichts.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
  Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s
  unnser Raum ein Skalarproduktraum ist. Nat"urlich
  finden wir  auch eine Parametrisierung nach der Bogenl"ange
  $\bar{\gamma} : W \rightarrow K$ mit demselben Bild 
$\bar{\gamma} ( W)=\gamma(I)$. Wir notieren die
  jeweiligen Parameter $t \in I$ und $\tau \in W$ und k"urzen die Ableitungen
  nach $t$ beziehungsweise $\tau$ ab als $\dot{\gamma} (t) $ beziehungsweise
  $\bar{\gamma}^\prime (\tau)$. Analog notieren wir
  die jeweiligen h"oheren Ableitungen.
  Nat"urlich ist auch $t$ eine Funktion von
  $\tau$ und umgekehrt, so da"s wir etwa haben
$t^\prime = \frac{\diff t}{\diff \tau} $ und $ \bar{\gamma} = \gamma \circ t$.
Um die Notation nicht zu "uberladen, k"urzen wir auch 
meist $\dot{\gamma} \circ t=\dot{\gamma}$ und 
$\ddot{\gamma} \circ t=\ddot{\gamma}$ ab.
Die Kettenregel liefert nun
\begin{eqnarray*}
\bar{\gamma}^\prime & = & \dot{\gamma} \cdot t^\prime\\
\bar{\gamma}''  & = & \ddot{\gamma} \cdot (t^\prime)^2 + \dot{\gamma}
\cdot t^{\prime\prime}
\end{eqnarray*}
Weil $\bar{\gamma}$ nach der Bogenl"ange parametrisiert ist, gilt  $1 = \|
\bar{\gamma}'\|^2=\| \dot{\gamma}\|^2 \cdot (t^\prime)^2$. Durch Ableiten
erhalten wir daraus
$
0 = 2 \langle \dot{\gamma},\ddot{\gamma}\rangle \cdot (t^\prime)^3 +
\| \dot{\gamma}\|^2\cdot 2 t^\prime t^{\prime\prime}
$
und damit $\|\dot{\gamma}\| \cdot t^{\prime\prime}= -\langle \dot{\gamma},
\ddot{\gamma}\rangle / \|\dot{\gamma}\|^3$. Setzen wir diese Erkenntnisse 
zusammen, so ergibt sich f"ur das Quadrat der Kr"ummung die Darstellung
\begin{equation*}
\| \bar{\gamma}^{\prime\prime}\|^2 = \frac{\|\ddot{\gamma}\|^{2}}
{\|\dot{\gamma}\|^{4}} - \frac{2\langle \ddot{\gamma}, 
\dot{\gamma} \rangle^{2}}
{\|\dot{\gamma}\|^{6}} + \frac{\langle \dot{\gamma}, \ddot{\gamma}\rangle^{2}}
{\| \dot{\gamma}\|^{6}}
\end{equation*}
Ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel, so ergibt sich genau die 
oben behauptete Formel.
\end{proof}

\subsection{Orientierte Kr"ummung ebener Kurven}
\begin{Bemerkungl}
Wir k"urzen im folgenden Tensorpotenzen der L"angengerade
  mit $\mathbb L^{n}\pdef \mathbb L^{\otimes n}$ ab.
Wie in \eref{kSpa}{LA2} erkl"aren wir 
  im $n$-dimensionalen Fall weiter   {\bf kanonische Volumenform}\index{Volumenform!kanonische}  $\omega:V^{\otimes n}\ra
  \op{or}_\DR(V)\otimes \mathbb L^{ n}$\label{kVF} 
  mit $v_1\otimes \ldots\otimes v_n\mapsto \varepsilon \otimes \|v_1\|\otimes \ldots\otimes\| v_n\|$ f"ur jede angeordnete Basis $v_1, \ldots, v_n$  der Orientierung $\varepsilon$ aus paarweise orthogonalen Vektoren.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Sei $K\subset E$ eine Kurve in einer euklidischen Ebene.
  Gegeben eine Orientierung $\varepsilon\in \op{or}(
  ({\op{T}}_pK)^\perp)$  der Gerade der zu unserer Kurve
  bei $p$ orthogonalen Richtungsvektoren
erkl"aren wir
die {\bf orientierte Kr"ummung\index{Kr"ummung!orientierte!einer Kurve} 
der Kurve $K$ bei  $p$}, eine inverse L"ange, als
\begin{equation*}
\kappa^{\varepsilon} _p \pdef \omega(\dot{\gamma} (b),\ddot{\gamma}  (b))/\|\dot{\gamma} (b)\|^3
\end{equation*}
f"ur $\gamma : W \rightarrow K$ ein- und jede Karte mit 
$\gamma (b)=p$ und
$\|\dot{\gamma} (\tau)\| $ unabh"angig von 
$\tau \in W$
und $\omega$ die kanonische Volumenform mit Werten in $\mathbb L^{2}$ aus \ref{kVF} in Bezug auf diejenige Orientierung
von $\vec E$, die 
durch die angeordnete Basis  $(\dot\gamma(b),v)$
f"ur $v\in({\op{T}}_pK)^\perp_{>0}$ gegeben wird.
Sie m"ogen zur "Ubung zeigen, da"s unsere orientierte Kr"ummung damit wohldefiniert ist und da"s 
der Betrag der orientierten Kr"ummung gerade die Kr"ummung aus
der vorherigen Definition ist. 
\end{Bemerkungl}




\begin{Beispiel}[\textbf{Orientierte Kr"ummung eines Kreises}] 
Ein Kreis $K$ mit Radius $r$ hat an jeder Stelle die
orientierte Kr"um\-mung $\kappa = 1/r$ in Bezug auf diejenige Orientierung von
$({\op{T}}_pK)^\perp$, f"ur die der Richtungsvektor
von $p$ zum Zentrum des Kreises positiv ist.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Orientierte Kr"ummung orientierter ebener Kurven}] 
  Gegeben $K\subset E$ eine
  Kurve in einer euklidischen Ebene und  eine Orientierung unserer Kurve
  sowie eine Orientierung unserer euklidischen Ebene 
  k"onnen wir f"ur alle $p\in K$
  eine Orientierung
  von $({\op{T}}_pK)^\perp$ dadurch festlegen, da"s in der offensichtlichen kurzen exakten
  Sequenz ${\op{T}}_pK\hra \vec E \sra ({\op{T}}_pK)^\perp$
  unsere drei Orientierungen vertr"aglich sind im Sinne von \eref{orQ}{LA1}.
  Diese Festlegung ist gemeint, wenn wir von der orientierten
  Kr"ummung einer orientierten Kurve in einer orientierten euklidischen Ebene reden.
\end{Bemerkungl}


\begin{Beispiel}[\textbf{Kr"ummung eines Graphen an einer kritischen Stelle}] 
  Gegeben $I \subset \Bbb{R}$ ein mehrpunktiges Intervall
  und $g: I \rightarrow \Bbb{R}$ 
glatt und $p \in I$ eine kritische\label{KGKr}  
Stelle $g'(p) =0$ hat der Graph $\Gamma (g)$ 
von $g$ bei $(p, g(p))$
in Bezug auf die Standardorientierung von $\DR^2$ und die
durch die Parametrisierung $x\mapsto (x,g(x)$ gegebene Orientierung
von $\Gamma$ die orientierte Kr"ummung
\begin{equation*}
\kappa_{(p, g(p))}(\Gamma(g))  = g'' (p)
\end{equation*}
Um das zu sehen, \nichtfinal{Noch Orientierungen beachten!}
m"ussen wir nur  unsere 
Proposition \ref{KBK}  auf $\gamma(t)=(t,g(t))$ mit
$\dot{\gamma}(t)=(1,\dot{g}(t))$ und $\ddot{\gamma}(t)=(0,\ddot{g}(t))$
anwenden. 
Nun ist weiter  die Kreislinie mit Radius $r > 0$ und 
Zentrum im Ursprung lokal um $(0,r)$
der Graph der Funktion 
\begin{equation*}
q : x \mapsto r \sqrt{1-x^2/r^2}
\end{equation*}
Die  Ableitungen dieser Funktion ergeben sich zu
\begin{equation*}
\dot{q} (x) = \frac{-2 x r}{r^2} \cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2/r^2}}\;\;\; 
\text{ und }
\;\;\;
\ddot{q} (0) = - r.
\end{equation*}
Wenn wir der Einfachkeit halber $0\in I$ und $p=(0,r)=(0, g(0))$ 
annehmen, so ist unser Kreis also Schmiegekreis genau dann, wenn
gilt $\ddot{g}(0)=\ddot{q} (0)$ alias $(g-q)\spddot(0)=0$. Damit wird die
Taylorentwicklung der Funktion $(g-q)$ im allgemeinen mit einem
Term dritter Ordnung beginnen, es gilt also etwa
$$(g-q)(x)=ax^3+x^3\varepsilon(x)$$ f"ur $\varepsilon$ stetig bei
Null mit Funktionswert Null, und haben wir hier $a\neq 0$, so
wechselt $(g-q)(x)$ offensichtlich  bei $x=0$ sein Vorzeichen.
\end{Beispiel}


  
\begin{Satz}[\textbf{Ebene Kurven mit vorgegebener orientierter Kr"ummung}] 
 Gegeben ein mehrpunktiges Intervall $I \subset \mathbb R$ und eine stetig differenzierbare
Funktion $\kappa  : I \rightarrow \mathbb R$ und $p, v \in \mathbb C$ mit $|v| =1$
sowie $a \in I$ gibt es genau eine zweimal differenzierbare Abbildung $\gamma : I \rightarrow \mathbb C$
mit Anfangswert $\gamma (a) = p$, Anfangsgeschwindigkeit
$ \gamma^\prime (a) = v$, Absolutgeschwindigkeit  $| \gamma^\prime (t) | =1 \; \forall t \in I$
und der vorgeschriebenen orientierten Kr"ummung
\begin{equation*}
 \gamma^{\prime\prime} (t) = {\op{i}} \kappa  (t) \gamma^\prime (t) \quad \forall t \in I
\end{equation*}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Anschaulich ist das evident. Wenn ein Autofahrer mit vorgegebener 
konstanter absoluter 
  Geschwindigkeit auf einem Fu"sballplatz herumfahren soll und
wir geben Startpunkt und Startrichtung vor und sagen auch, wie stark er das Lenkrad zu
gegebener Zeit eingeschlagen soll, dann ist seine Fahrt damit
vollst"andig festgelegt.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
  Nach \eref{EXPp}{AN2} besitzt unsere 
Differentialgleichung f"ur $\gamma'$ genau eine
L"osung mit dem vorgegebenen Anfangswert $ \gamma^\prime (a) = v$ und da 
f"ur alle $t\in I$ gilt $\gamma^{\prime\prime} (t) \perp \gamma^\prime (t)$,
folgt  $|\gamma'(t)|=1$ f"ur alle $t$. F"ur dies $\gamma'$ gibt es dann
hinwiederum nach dem vektorwertigen
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
\eref{VHSS}{AN2} genau ein $\gamma$ mit Anfangswert $\gamma(a)=p$. 
\end{proof}



\subsection{Kr"ummung von Fl"achen im Raum}
\nichtfinal{NOCH AN NEUE DEFINITION EUKLIDISCHER RAUM ANPASSEN!} 
\begin{Definition}[\textbf{Schnittkr"ummung}]
Gegeben eine Fl"ache $M$ in einem dreidimensionalen 
euklidischen Raum $E$ mit L"angengerade $\mathbb L$ und ein Punkt
$p\in M$ und eine
an die Fl"ache in $p$ tangentiale Gerade
alias eine Ursprungsgerade
im Tangentialraum $G \subset {\op{T}}_p M$   betrachte
man die Ebene 
\begin{equation*}
 G^{+}\pdef p + ({\op{T}}_p M)^\perp + G
\end{equation*}
Sie entsteht  aus der Verschiebung der bei $p$ auf unserer Fl"ache senkrecht
stehenden Geraden $p + ({\op{T}}_pM)^\perp$ 
 mit 
Vektoren aus $G$. Man
folgert aus \eref{SUM}{AN2}, da"s es in $M$ eine Umgebung $U$ von $p$ gibt, f"ur
die $U \cap  G^{+}$ eine Kurve ist.
Die Kr"ummung dieser Kurve an der Stelle $p$ 
hei"st die
{\bf absolute Schnittkr"ummung}\index{Schnittkr"ummung!absolute} 
\begin{equation*}
\kappa_p (M,G) =\kappa_p (G) \pdef \kappa_p (U \cap G^{+})
\end{equation*}
von $M$ bei $p$ l"angs $G$. 
Geben wir bei $p$ zus"atzlich eine Orientierung $\varepsilon$ 
von $({\op{T}}_p M)^\perp$  vor, so  erkl"aren wir die {\bf orientierte Schnittkr"ummung} durch 
$$\kappa_p^\varepsilon (M,G) =\kappa_p^\varepsilon (G)  \pdef  \kappa_p^\varepsilon(U \cap G^{+})$$
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Geben wir auf $E$ eine feste Orientierung vor,
  so bestimmt jede Orientierung von ${\op{T}}_p M$
  eine Orientierung von $({\op{T}}_p M)^\perp$ durch die
  Vorschrift, da"s das Hintereinanderschreiben jeweils
  positiv orientierter angeordneter Basen eine positiv
  orientierte angeordnete Basis von $\vec E$ liefern soll. 
  Arbeiten wir mit Einheiten $L$ wie in \ref{KREE},
 so nimmt diese Schnittkr"ummung offensichtlich 
Werte im Dualraum $L^\top$ des L"angenraums 
an.
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}[\textbf{Zweite Fundamentalform}]
Gegeben eine Fl"ache $M$ in einem dreidimensionalen 
euklidischen Raum $E$, ein Punkt $p \in M$
und eine Orientierung von $({\op{T}}_p M)^\perp$ 
 gibt es genau eine symmetrische 
Bilinearform $\kappa_p$ auf dem Tangentialraum ${\op{T}}_p M$ 
mit der Eigenschaft, da"s f"ur jeden
Einheitsvektor $v \in {\op{T}}_p M$ gilt
\begin{equation*}
\kappa_p (v,v) = \kappa_p (\DR v)
\end{equation*}
mit $\kappa_p (\DR v)$ der Schnittkr"ummung in 
Bezug auf die Gerade $G= \DR v$ und die gegebene Orientierung von $({\op{T}}_p M)^\perp$.
\end{Proposition}
\begin{Definition}
Diese symmetrische Bilinearform $\kappa_p$ hei"st 
die \defind{zweite Fundamentalform}\index{Fundamentalform!zweite}
unserer Fl"ache an der vorgegebenen Stelle mit Bezug auf 
die gew"ahlte Orientierung von $({\op{T}}_p M)^\perp$. Unter der
\defnoind{ersten 
Fundamentalform}\index{erste Fundamentalform}\index{Fundamentalform!erste}
versteht man das vom Skalarprodukt auf $\vec{E}$ induzierte 
Skalarprodukt auf dem Tangentialraum ${\op{T}}_pM$.
\end{Definition}

  \begin{Proposition}[\textbf{Untermannigfaltigkeiten als Graphen}]
    Gegeben ein endlichdimensionaler  reeller euklidischer Raum $X$ und eine
\label{UaG} 
    Untermannigfaltigkeit $M \subset X$ und ein Punkt $p \in M$ gilt:
    \begin{enumerate}
    \item  Es gibt ein Paar $(U,\varphi)$ bestehend aus einer Umgebung $U
      \co {\op{T}}_p M$ des Ursprungs im Tangentialraum und einer glatten
      Abbildung $\varphi : U \rightarrow ({\op{T}}_p M)^\perp$ in sein
      orthogonales Komplement derart, da"s gilt $\varphi (0) =0$ und $p + v+
      \varphi (v) \in M$ f"ur alle $v \in U$.  
\item  Ist $(U^\prime ,
      \varphi^\prime)$ ein weiteres derartiges Paar, so existiert eine offene
      Umgebung $U^{\prime\prime} \subset (U \cap U^\prime)$ des Ursprungs 
im Tangentialraum mit
      $\varphi| U^{\prime\prime} = \varphi^\prime| U^{\prime\prime}$.
    \end{enumerate}
  \end{Proposition}
  \begin{proof}
    Das alles folgt unmittelbar aus dem Satz "uber implizite Funktionen.
  \end{proof}

\begin{Bemerkungl}Ist speziell $M$ eine
  Hyperfl"ache in einem euklidischen Raum und w"ahlen wir auf der Gerade $({\op{T}}_pM)^\perp$ 
eine Orientierung
  und bezeichnen mit $N_p\in({\op{T}}_pM)^\perp$ den positiv orientierten Vektor 
der L"ange Eins, so
  finden wir nach \ref{UaG}  ein Paar $(U,\varphi)$
mit  $U\co {\op{T}}_pM$ einer Umgebung des Ursprungs
und 
$ \varphi : U \rightarrow \mathbb R$  glatt mit 
 $$p + v+
   \varphi (v) N_p \in M\quad\forall v \in U $$ 
Sicher hat
  $ \varphi$ hat beim Ursprung eine kritische Stelle.  Die unser 
$
  \varphi$ beim Ursprung im Sinne der Taylorentwicklung am besten approximierende 
quadratische Form $q : {\op{T}}_p
  M \rightarrow \mathbb R$  h"angt nach dem
  zweiten Teil unserer Proposition \ref{UaG} 
 nur von $M$ und der Orientierung auf $({\op{T}}_pM)^\perp$ 
 ab und nicht von der Wahl von 
$(U,\varphi)$.
   Ihre Eigenwerte im Sinne von \eref{HaTTn}{LA2} hei"sen die
  {\bf Hauptkr"ummungen}\index{Hauptkr"ummungen!einer Hyperfl"ache} 
unserer Hyperfl"ache bei $p$ in Bezug auf die
  gegebene Orientierung von $({\op{T}}_p M)^\perp$.
\index{Kr"ummung!Hauptkr"ummungen}
\end{Bemerkungl}


 \begin{Definition}\label{QuFon}
%Ich erinnere und verallgemeinere \eref{QuFo}{LA2}.
    Gegeben ein K"orper $k$ und ein $k$-Vektorraum $V$ 
und ein eindimensionaler $k$-Vektorraum $L$ verstehen wir unter
    einer {\bf quadratischen Form auf
$V$\index{quadratische Form!mit Werten in $L$}
mit Werten in $L$}  eine Abbildung
    \begin{equation*}
      q : V \rightarrow L
    \end{equation*}
    mit der Eigenschaft, da"s es eine bilineare
    Abbildung $b:V\times V\ra L$ gibt mit $q (v) = b(v,v)$
    f"ur alle $v\in V$.
  \end{Definition}


\begin{Bemerkungl}
  In nochmals anderen Worten sagt unsere Proposition,
da"s die Abbildung, die jedem Tangentialvektor der L"ange Eins die
Schnittkr"ummung in der
entsprechenden Richtung zuordnet, die Restriktion auf den Einheitskreis einer
quadratischen Form auf dem Tangentialraum sein mu"s.
Die Bedeutung dieser quadratischen Form wird im folgenden Beweis besonders
deutlich werden: Es ist eben die quadratische Form $q:{\op{T}}_pM\ra\DR$,
f"ur die \glqq das Bild der Abbildung $v\mapsto p+v +q(v)N_p$ unsere
Mannigfaltigkeit
lokal um $p$ am besten approximiert\grqq. Im Fall eines
euklidischen Raums mit Einheiten  wird insbesondere $q$ eine
quadratische Form $q:{\op{T}}_pM\ra ({\op{T}}_pM)^\perp$ werden,
die nach Wahl einer Orientierung von $({\op{T}}_pM)^\perp$ auch als eine
quadratische Form  $q:{\op{T}}_pM\ra L$ verstanden werden kann.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Die Hauptkr"ummungsrichtungen und Hauptkr"ummungen sollten nun vielleicht
am "ubersichtlichsten 
f"ur diese quadratische Form im Sinne von \eref{HaTTn}{LA2} verstanden
werden. Im Fall mit Einheiten liegen die Hauptkr"ummungen in $L^\top$
und die Gau"skr"ummung geh"ort zu $L^{-2}$.
Das gef"allt mir besser als die nachfolgende Diskussion 
mithilfe der sogenannten \glqq Weingarten-Abbildung\grqq, f"ur die ich keine
anschauliche Interpretation kenne.
\end{Bemerkungl}


\begin{proof}
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir 
$E=\DR^3$ und $p=0$ annehmen. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir 
weiter annehmen, da"s unser Normalenvektor bei $p$ der dritte Vektor 
$N_p = \op{e}_3$ der Standardbasis des $\mathbb{R}^3$ ist. 
Dann mu"s unsere Fl"ache lokal um $p$ ein Graph sein, es gibt
also eine Umgebung der Null
$W \co \mathbb{R}^2$ und $\varphi : W \rightarrow \mathbb{R}$ glatt mit 
\begin{equation*}
\Gamma(\varphi) = \{ (x,y, \varphi (x,y)) \mid (x,y) \in W\} \subset M 
\end{equation*}
Die halbe Hesse-Matrix $\frac{1}{2} H(f)$ definiert dann nach \ref{KGKr} ein 
Skalarprodukt mit den gesuchten Eigenschaften auf 
$\mathbb{R}^2 = {\op{T}}_p M$.
\end{proof}




\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein dreidimensionaler euklidischer
  Raum $E$, eine glatte 
Fl"ache $M \subset E$, ein Punkt $p \in M$ und 
ein Normaleneinheitsvektor $N_p \in ({\op{T}}_p
  M)^\perp$ haben wir auf dem Tangentialraum ${\op{T}}_p M$ sowohl unser
  Skalarprodukt $g= g_p$ als auch unsere zweite Fundamentalform $\kappa =
  \kappa_p$ zur Verf"ugung.  
Es gibt also eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung $S_p \in
  \op{End} ({\op{T}}_p M)$ mit
\begin{equation*}
\kappa_p (v, w) = g_p (v, S_p w)
\end{equation*}
f"ur alle $v, w \in {\op{T}}_p M$.  Sie hei"st die
\defind{Weingarten-Abbildung} und ist offensichtlich selbstadjungiert in Bezug
auf $g_p$.  Die Eigenwerte der Weingarten-Abbildung hei"sen die
\defind{Hauptkr"ummungen}, und wenn diese Eigenwerte 
verschieden sind, hei"sen die
zugeh"origen Eigenr"aume die \defind{Hauptkr"ummungsrichtungen}.  
Die halbe Spur
der Weingarten-Abbildung alias der Durchschnitt der Hauptkr"ummungen hei"st
die \defind{mittlere Kr"ummung} unserer Fl"ache 
und die Determinante der Weingarten-Abbildung alias
das Produkt der beiden 
Hauptkr"ummungen ihre \defind{Gau"s'sche Kr"ummung}.  Letztere
h"angt im "ubrigen noch nicht einmal 
von der Wahl eines Einheitsnormalenvektors  ab.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Gr"o"sen der inneren Geometrie}]
Denken wir uns unsere Fl"ache als ein Gebilde aus einem  biegbaren
aber nicht dehnbaren Blech, so k"onnen manche Fl"achen im Raum 
durch Verbiegen ineinander "uberf"uhrt werden: Zum Beispiel k"onnen wir
ein plattes Blech zu einem St"uck der Oberfl"ache eines Zylinders 
verbiegen oder auch zu einer Eist"ute, jedoch nicht zu einem
St"uck der Kugeloberfl"ache. In anderen Worten  ist es  nicht m"oglich,
f"ur St"ucke der Erdoberfl"ache Karten anzufertigen, die 
\glqq l"angentreu\grqq\  sind. Genauer wird das aus dem sogenannten 
\glqq theorema egregium\grqq, dem \glqq k"ostlichen Theorem\grqq\  von Gau"s
 folgen, nach dem sich 
beim Verbiegen von Blechen im Sinne der
vorhergehenden Diskussion ihre Gau"s'sche 
Kr"ummung nicht "andert. 
Man nennt deshalb  die Gau"s'sche 
Kr"ummung auch eine Invariante der \glqq inneren Geometrie\grqq\  unserer Fl"ache.
Im Gegensatz dazu sind die beiden Hauptkr"ummungen keine 
Invarianten der inneren Geometrie: In der Tat sind ja etwa bei einem
St"uck der Oberfl"ache eines Zylinders nicht beide  Hauptkr"ummungen Null,
bei einem platten Blech aber doch.
Da nun aber die Kugeloberfl"ache 
konstante positive Gau"s'sche 
Kr"ummung hat, ein plattes Blech dahingegen konstante verschwindende 
Gau"s'sche 
Kr"ummung, k"onnen wir dann folgern, da"s diese beiden Fl"achen auch lokal
nicht durch Verbiegen ineinander zu "uberf"uhren  sind.
Das Vorzeichen der Gau"s'schen Kr"ummung einer in den euklidischen Raum 
eingebetteten Fl"ache kann man wie folgt verstehen:
Versuchen wir, ein Papier auf unsere Fl"ache aufzukleben, so wird es
sich im Fall positiver Gau"s'scher Kr"ummung in Falten 
legen wie 
beim Verpacken eines Fu"sballs, 
oder es wird im Fall negativer Gau"s'scher
Kr"ummung rei"sen, etwa beim Tapezieren des Gipsmodells einer
Pa"sh"ohe. Nur im Fall verschwindender Gau"s'scher Kr"ummung 
l"a"st sich unser Papier glatt aufkleben, etwa auf eine Eist"ute oder
auf einen Zylinder.
Man hat mir berichtet, eine Firma, die Windschutzscheiben herstellte,
hatte das Problem, da"s die Scheiben beim Erhitzen und Verbiegen in eine
gewisse Form sehr oft barsten. Ein dort als
Praktikand t"atiger           Student der Mathematik erkl"arte 
seinen Arbeitgebern 
dann, da"s sie besser nicht versuchen sollten, flaches Glas in eine
Fl"ache mit zu weit von Null abweichender Gau"s'scher Kr"ummung zu verbiegen.
\end{Bemerkungl}
\subsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung} Ist $(W,\varphi)$ eine Karte einer Fl"ache 
$M \subset {\mathbb R}^{3}$ und $q \in W$ ein Punkt und 
$N_{\varphi(q)}$ ein Normalenvektor bei $\varphi(q)$ 
auf $M$, so entspricht die zugeh"orige zweite Fundamentalform 
auf ${\op{T}}_{p}M$ unter $\diff_{q}\varphi$ der Bilinearfrom 
auf ${\mathbb R}^{2}$, die gegeben wird durch die symmetrische Matrix
\[ \left(\begin{array}{cc} \langle \varphi_{xx}(q), 
N_{\varphi(q)}\rangle  & \langle \varphi_{yx}(q), 
N_{\varphi(q)}\rangle \\ \langle \varphi_{xy}(q), 
N_{\varphi(q)}\rangle  & \langle \varphi_{yy}(q), 
N_{\varphi(q)}\rangle \end{array} \right) \]
der Skalarprodukte der partiellen Ableitungen von 
$\varphi$ mit dem gew"ahlten Normaleneinheitsvektor.
\end{Ubung}

\subsection{Geod"aten}
Ich sollte Geod"aten in eingebetteten Mannigfaltigkeiten
diskutieren. Hier w"urde ich gerne die Metrik erkl"aren als
Infimum der Wegl"angen von stetigen Wegen, die ganz in unserer
Mannigfaltigkeit verlaufen, wobei Wegl"angen wie in der
Analysis erkl"art werden als Supremum der L"angen eingeschriebener
Polygonz"uge. Es w"are dann zu zeigen, da"s die Differenz
zwischen geod"atischem Abstand
auf der Untermannigfaltigkeit und euklidischem Abstand im umgebenden
Raum geteilt durch den euklidischen Abstand auf Kompakta gleichm"a"sig gegen Null gehen. Dann m"u"ste folgen, da"s man an die L"ange stetiger
Kurven in unserer Untermannigfaltigkeit auch durch st"uckweise Geod"aten bei
sehr feiner Unterteilung beliebig nah drankommt.
Die Dreiecksungleichung f"ur den geod"atischen Abstand zeigt dann erst, da"s
es eine Geod"ate gibt, die den k"urzesten Abstand liefert, und weiter,
da"s kein anderer stetiger Weg diesen k"urzesten Abstand liefert. 

\subsection{Paralleltransport im eingebetteten Fall}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildParT}\\[4mm]
\noindent
Diese Abbildung stellt eine noch recht schlechte Approximation des 
Paralleltransports eines Tangentialvektors l"angs eines Weges
innerhalb einer eindimensionalen
Untermannigfaltigkeit der Ebene dar. Im Grenzwert wird 
der parallel transportierte Vektor schlicht der Tangentialvektor derselben
L"ange \glqq in derselben Richtung l"angs der Kurve\grqq\  werden.
\end{figure}
\begin{Bemerkungl}\label{parTT}
Gegeben ein  \hyperref[isoM]{reeller euklidischer Raum} $E$, eine  
\hyperref[glatt]{glatte} 
\hyperref[MFoR]{Untermannigfaltigkeit}  $M \subset E$, 
ein \hyperref[Weg]{Weg} $\gamma : [a,b]\rightarrow M$  
und ein \hyperref[TaBu]{Tangentialvektor} $w_{[a]} \in {\op{T}}_{\gamma(a)} M$ 
definieren wir f"ur jede
Unterteilung $a = a_0 \leq a_1 \leq
\ldots \leq a_r =b$ 
ausgehend von $w_0 \pdef w_{[a]} $  induktiv
\begin{displaymath}
\begin{array}{cccl}
w_i& \pdef & &\left(\begin{array}{c}
\text{die orthogonale Projektion von}\\
w_{i-1} \in {\op{T}}_{\gamma  (a_{i-1})} M \subset \vec{E} \text{ auf } 
{\op{T}}_{\gamma (a_i)}M
\end{array}\right)
\end{array}
\end{displaymath}
Anschaulich gesprochen verschieben wir also unser $w_0$ 
parallel im Raum $E$ das erste 
Wegst"uck nach $\gamma (a_1)$, projizieren  dort 
orthogonal auf den 
Tangentialraum, verschieben dann weiter
parallel im Raum $E$ 
nach $\gamma (a_2)$, projizieren wieder, und so weiter, 
bis wir bei $\gamma (b)$ oder genauer
im dortigen Tangentialraum ${\op{T}}_{\gamma (b)} M$ angekommen sind.
Falls  nun diese Vektoren $w_r\in {\op{T}}_{\gamma (b)} M$ bei 
\glqq wachsender Feinheit der Unterteilung gegen einen Vektor 
$w_{[b]}\in {\op{T}}_{\gamma (b)} M$ konvergieren\grqq\  oder genauer:
Falls es 
einen Vektor $w_{[b]}\in {\op{T}}_{\gamma (b)} M$ gibt 
mit der Eigenschaft, da"s 
zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta>0$ existiert derart,
da"s bei jeder Unterteilung einer Feinheit $< \delta$ gilt
$\|w_r-w_{[b]}\|<\varepsilon$, so sagen wir,
der Vektor $w_{[b]}\in {\op{T}}_{\gamma(b)} M$ entstehe durch
{\bf Paralleltransport l"angs des Weges $\gamma$} aus dem Vektor 
$w_{[a]}\in {\op{T}}_{\gamma(a)} M$.\index{Paralleltransport}
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}
 Gegeben ein  reeller 
euklidischer Raum $E$, eine glatte Untermannigfaltigkeit 
$M \subset E$  und\label{parL}
eine stetige Abbildung $\gamma:I\ra M$ von einem
mehrpunktigen Intervall $I\subset\DR$ nach $M$ 
hei"st ein Lift 
$$\tilde{\gamma}: I\ra {\op{T}}M$$ 
von $\gamma$ in das \hyperref[DTBE]{Tangentialb\"undel}
{\bf parallel l"angs $\gamma$},\index{parallel!l"angs glattem Weg}
 wenn f"ur beliebige $a\leq b$ aus $I$ 
der Vektor $\tilde{\gamma}(b)\in {\op{T}}_{\gamma(b)}M$
durch Paralleltransport l"angs $\gamma$ aus dem Vektor
$\tilde{\gamma}(a)\in {\op{T}}_{\gamma(a)}M$ entsteht.
\end{Definition}

\begin{Bemerkunge}
  Die euklidische Struktur  geht bei diesen 
Definitionen  nur insofern ein, als wir wissen m"ussen,
welche Vektoren zueinander orthogonal sind. \nichtfinal{An die neue Definition
  eines euklidischen Raums anpassen!}
Insbesondere k"onnen wir Parallelit"at allgemeiner auch dann noch
  definieren, wenn auf dem Richtungsraum $\vec E$ unseres Raums $E$ nur ein
  \glqq Skalarprodukt in Einheiten\grqq\  im Sinne von \eref{Ske}{LA2} 
gegeben ist, insbesondere also
f"ur unsere euklidischen Bewegungsr"aume aus \eref{BeGr}{LA2}.
\end{Bemerkunge}
\begin{Satz}[\textbf{"uber den Paralleltransport}]
Seien gegeben ein  reeller 
euklidischer Raum $E$, eine glatte Untermannigfaltigkeit 
$M \subset E$  und\label{EPLi}
eine glatte Abbildung $\gamma:\DR\supset I\ra M$ von einem
mehrpunktigen Intervall $I$ nach $M$. So gilt:
\begin{enumerate}
\item Es gibt es f"ur jedes $a\in I$ und jeden Tangentialvektor $v\in
  {\op{T}}_{\gamma(a)}M$ genau einen parallelen Lift $\tilde{\gamma}: I\ra
  {\op{T}}M$ von $\gamma$ mit $\tilde{\gamma}(a)=v$, und dieser Lift ist glatt;
\item Ein glatter Lift
  $\tilde{\gamma}: I\ra {\op{T}}M$ von $\gamma$ in das Tangentialb"undel
  ist parallel l"angs $\gamma$\label{ICP} 
genau dann, wenn f"ur die Verkn"upfung
  unseres Lifts $\tilde{\gamma}$ mit der Komposition $j:{\op{T}}M \hra M \times
  \vec{E}\sra \vec{E}$ von Einbettung und Projektion gilt
$$(j\circ \tilde{\gamma})'(t) 
\perp {\op{T}}_{\gamma(t)}M\qquad \forall t\in I$$
\end{enumerate}
Des weiteren ist in dieser Situation
der Paralleltransport l"angs eines glatten Weges
stets eine orthogonale lineare Abbildung zwischen 
den beteiligten Tangentialr"aumen.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
 Meist wird  die infinitesimale Charakterisierung 
von Parallelit"at aus dem zweiten Teil dieses Satzes 
gleich als die Definition derselben gew"ahlt.
Dann kann man einerseits schneller voranschreiten, da weniger bewiesen 
werden mu"s, andererseits aber kann  auch der Kontakt zur Anschauung 
schneller verlorengehen. Der vorhergehende  Satz
gilt entsprechend, wenn man statt 
der Glattheit von  $\gamma$ und $\tilde{\gamma}$ nur die stetige
Differenzierbarkeit fordert. Der Beweis bleibt derselbe.
Man sieht so, da"s der Paralleltransport sogar l"angs st"uckweise 
stetig differenzierbarer Wege sinnvoll definiert ist.
\end{Bemerkungl}



\begin{proof}[Beweis]
  F"ur den Beweis dieses Satzes gehen wir wie folgt vor: 
Zun"achst einmal vereinbaren wir die Bezeichnung 
\glqq infinitesimal parallel\grqq\  
f"ur solche Lifts, die die Bedingung \ref{EPLi}.\ref{ICP} des Satzes erf"ullen.
  Offensichtlich bilden die infinitesimal parallelen Lifts unter der
punktweisen Addition und Multiplikation mit Skalaren einen Untervektorraum
im Raum aller Lifts von $\gamma$. Weiter ist f"ur jeden infinitesimal 
parallelen Lift
$\tilde{\gamma}$ die L"ange konstant, denn wir haben
$$\frac{\diff}{\diff t}\|\tilde{\gamma}(t)\|^2=
\frac{\diff}{\diff t}\langle j\circ \tilde{\gamma}(t),
j\circ\tilde{\gamma}(t)\rangle=2\langle (j\circ \tilde{\gamma})'(t),
j\circ\tilde{\gamma}(t)\rangle=0$$
Die Parallelverschiebungen \glqq im  Sinne infinitesimaler Lifts\grqq\  liefern also
lineare Abbildungen zwischen den beteiligten Tangentialr"aumen,
die  L"angen
erhalten, und die nach \eref{OGA}{LA2} folglich orthogonal sind.
Damit folgt die letzte Aussage aus den beiden anderen.
Als n"achstes zeigen wir, da"s 
infinitesimal parallele Lifts zu beliebigen Anfangswerten 
existieren und eindeutig sind, und anschlie"send, da"s 
jeder infinitesimal parallele Lift auch
im Sinne von \ref{parL} parallel ist. Damit ist dann der Satz
vollst"andig bewiesen.
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $I$ offen annehmen.
 Wir betrachten nun das 
\glqq mit $\gamma$ zur"uckgeholte Tangentialb"undel\grqq\ 
\begin{equation*}
\gamma^\ast ({\op{T}}M) \pdef \{ (t,v) \in I \times \vec{E} \mid v 
\in {\op{T}}_{\gamma (t)} M\}
\end{equation*} 
Es ist eine  glatte
 Untermannigfaltigkeit von 
$\DR\times \vec{E}$. 
Bezeichne
$ \op{pr}_p:\vec E\sra {\op{T}_p}M$ f"ur  $p\in M$ jeweils die orthogonale
Projektion. Indem wir an jeder Stelle $t$ die zweite Komponente 
orthogonal auf ${\op{T}}_{\gamma(t)}M$ projizieren, 
erhalten wir eine glatte Abbildung
$$
\begin{array}{cccc}
\op{pr}:&I\times \vec{E}& \sra & \gamma^\ast ({\op{T}}M)\\[2mm]
&(t,v)&\mapsto&(t,\op{pr}_{\gamma(t)}(v))
\end{array}$$
Auf $\gamma^\ast ({\op{T}}M) $ 
erkl"aren wir nun ein glattes Vektorfeld $\zeta$, indem
wir f"ur jedes $(t,v) \in {\op{T}}M$ den Tangentialvektor 
$(\partial_t,0) \in {\op{T}}_{(t,v)} (I\times  \vec{E})$ 
betrachten und sein Bild unter dem Differential von 
$\op{pr}$ nehmen, in Formeln
\begin{equation*}
\mathcal \zeta_{(t,v)} = (\diff_{(t,v)} \op{pr}) (\partial_t,0)
\end{equation*}
Das so entstehende Vektorfeld $\zeta$ auf 
$\gamma^\ast ({\op{T}}M)$ hat  die Eigenschaft,
da"s  ein  Lift $\tilde{\gamma}$ von 
$\gamma$ infinitesimal parallel ist genau dann, wenn
\begin{equation*}
\check{\gamma} \pdef (\op{id}, \tilde{\gamma}): 
I \rightarrow \gamma^\ast ({\op{T}}M)
\end{equation*}
eine Integralkurve des Vektorfeldes $\zeta$ ist. In der Tat haben wir
\begin{equation*}
\check{\gamma}^\prime (t) = (\partial_t, (j \circ \tilde{\gamma})^\prime (t))
\end{equation*}
Da aber nun der Kern des Differentials der Projektion 
$(\diff_{(t,v)} \op{pr}) : \mathbb R \times \vec{E}
\rightarrow \mathbb R \times {\op{T}}_{\gamma (t)} M$ 
sich gerade zu
$0\times({\op{T}}_{\gamma (t)} M)^\perp$ ergibt, 
ist in der Tat $\tilde \gamma $ infinitesimal parallel genau dann, wenn
$\check \gamma$ eine Integralkurve von $\zeta $ ist.
Offensichtlich ist weiter die Summe je zwei infinitesimal paralleler 
Lifts $\tilde \gamma$, $\hat \gamma$
von $\gamma$ wieder infinitesimal parallel und f"ur 
$\lambda \in \mathbb R$ ist mit $\tilde \gamma$ auch
$\lambda \tilde \gamma$ infinitesimal parallel.
Daraus k"onnen wir folgern, da"s f"ur 
jede Trivalisierung $\gamma^\ast ({\op{T}}M) \overset{\sim}{\rightarrow}
I \times \mathbb R^d$ des zur"uckgeholten Tangentialb"undels 
als glattes Vektorraumb"undel unser
Vektorfeld $\zeta $ verwandt ist zu einem Vektorfeld der 
Gestalt $(t,v) \mapsto (1, (A(t))(v))$
mit $A : I \rightarrow \op{End} (\mathbb R^d)$ einer glatten Abbildung. 
Das infinitesimal parallele Liften bedeutet also das L"osen
einer homogenen linearen Differentialgleichung, und 
damit folgt die Existenz und Eindeutigkeit von \glqq im infinitesimalen
Sinne parallelen Lifts\grqq\    aus dem
Existenz-und Eindeutigkeitssatz \eref{LLDa}{AN3} f"ur L"osungen 
 homogener linearer Differentialgleichungen.
Wir zeigen nun noch, da"s infinitesimal parallele Lifts 
auch in der Tat parallel im Sinne von \ref{parL} sind. 
Seien dazu $a\leq b$ in $I$ und $w_{[a]}\in {\op{T}}_{\gamma(a)}M$ 
fest gew"ahlt.
Sicher finden wir eine obere Schranke $B$ f"ur die Normen $\| \zeta_{(t,v)}
\|$ der Vektoren unseres Vektorfelds $\zeta$ auf dem Kompaktum
$K=\{ (t,v) \in \gamma^\ast ({\op{T}}M) 
\mid t\in [a, b], \;\| v\|  \leq \|w_{[a]}\|\}$,
wobei die Normen in $\vec E$ beziehungsweise in $\DR \times  \vec E$ zu verstehen 
sind, im letzteren Fall 
als Produktnorm. F"ur jeden infinitesimal 
parallelen Lift $\tilde \gamma$ von $\gamma$, 
dessen Werte in $\vec E$
h"ochstens dieselbe Norm  haben wie $w_{[a]}$, gilt 
nach dem Schrankensatz \eref{SchrS}{AN1}
f"ur $a \leq t \leq s \leq b$ also schon mal
\begin{equation*}
\| (t, \tilde \gamma (t)) - (s, \tilde \gamma (s))\| \leq B (t-s)
\end{equation*}
in der Produktnorm auf $\mathbb R \times \vec E$. 
F"ur jedes $\varepsilon > 0$ gibt es weiter ein $\delta > 0$ mit
\begin{equation*}
\| (t,v) - (s, w) \| \leq \delta \;\;\Rightarrow\;\; \| \zeta_{(t,v)} - \zeta_{(s,w)}\|
\leq \varepsilon
\end{equation*}
f"ur alle $(t,v), (s,w) \in K$.
W"ahlen wir also $\eta_1$ mit $0<\eta_1 < \delta/B$, 
so folgt aus $|s-t| < \eta_1$ und jeden
infinitesimal parallelen Lift $\tilde \gamma$, dessen Werte h"ochstens 
dieselbe L"ange wie $w_{[a]}$
haben, zun"achst
\begin{equation*}
\| (t, \tilde \gamma (t)) - (s, \tilde \gamma (s)) \| < \delta
\end{equation*}
und dann mit dem Schrankensatz \eref{SchrS}{AN2} sogar
\begin{equation*}
\| (t, \tilde \gamma (t)) + (s-t) \zeta_{(t, \tilde \gamma (t))} -
(s, \tilde \gamma (s)) \| \leq (s-t) \varepsilon
\end{equation*}
Andererseits betrachten wir unsere faserweise orthogonale Projektion
\begin{equation*}
\op{pr} : I \times \vec E \rightarrow \gamma^\ast ({\op{T}}M)
\end{equation*}
Sie ist glatt, und es gibt f"ur alle
$\varepsilon > 0$ ein $\eta_2>0$ derart, da"s die 
Geschwindigkeit aller Wege der Gestalt $t \mapsto \op{pr} (t,v)$ f"ur
$\|v\| \leq \|w_{[a]}\|$ sich auf einem Intervall einer L"ange $\leq \eta_2$
im Betrag h"ochstens um $\varepsilon$ "andert.
Nach dem Schrankensatz \eref{SchrS}{AN1} oder auch dem 
Mittelwertsatz in mehreren Ver"anderlichen
\eref{MWS}{AN1} folgt dann f"ur $0\leq s-t \leq \eta_2$ und $\| v\| \leq \| w_{[a]}\|$ mit
$\xi_{(t,v)} $ der Geschwindigkeit von $\op{pr} (t,v)$ leicht
\begin{equation*}
\| \op{pr} (t,v) + (s-t) \xi_{(t,v)} - \op{pr}(s,v) \| \leq  (s-t)\varepsilon
\end{equation*}
F"ur $(t,v) \in \gamma^\ast ({\op{T}}M)$ gilt nun aber per 
definitionem $\xi_{(t,v)} = \zeta_{(t,v)}$.
Gegeben $\varepsilon > 0$ finden wir also $\eta > 0$ 
derart, da"s aus $0 \leq s-t \leq \eta$ und
$v \in {\op{T}}_{\gamma (t)} M$ mit $\|v\| \leq \| w_{[a]}\|$ folgt
\begin{equation*}
\| (s,\pi_{s,t}(v)) -\op{pr} (s,v) \| \leq 2 (s-t) \varepsilon
\end{equation*}
f"ur $\pi_{s,t} : {\op{T}}_{\gamma (t)} M \rightarrow {\op{T}}_{\gamma (s)} M$
der Paralleltransport im infinitesimalen Sinne. 
Da nun Vektoren unter orthogonalen 
Projektionen nicht l"anger
werden k"onnen, ergeben sich f"ur jede Unterteilung des
Intervalls $[a,b]$ einer 
Schrittweite $\leq \eta$ die Absch"atzungen
\begin{equation*}
\|w_{[a]}\| = \|w_0\| \geq \| w_1\| \geq \ldots \geq \|w_r\|
\end{equation*}
und 
\begin{equation*}
\| \pi_{a_{i},a_{i+1}} (w_i) - w_{i+1} \| \leq 2 (a_{i+1} -a_i) \varepsilon
\end{equation*}
Wenn wir nun  diese letzteren Ungleichungen aufaddieren und 
beachten, da"s sich die Abst"ande
von Tangentialvektoren bei Paralleltransport 
im infinitesimalen Sinne nicht "andern, 
folgt schlie"slich
\begin{equation*}
\| \pi_{b,a} (w_{[a]}) - w_r\| \leq 2 (b-a) \varepsilon
\end{equation*}
f"ur alle Unterteilungen einer Schrittweite $\leq \eta$.
Damit ist also der Paralleltransport im infinitesimalen Sinne in der 
Tat ein Paralleltransport im Sinne unserer urspr"unglichen Definition
\ref{parTT} und der Satz ist bewiesen.
\end{proof}














\subsection{Anschauliche kovariante Ableitung} 
\begin{Definition}
Gegeben ein %endlichdimensionaler reeller 
euklidischer Raum $E$, eine glatte Untermannigfaltigkeit 
$M \subset E$,  ein\label{KovA} 
Tangentialvektor $v \in {\op{T}}_p M$ und ein  glattes Vektorfeld 
$\eta : M \rightarrow {\op{T}}M$ erkl"aren wir die
{\bf anschauliche kovariante Ableitung $\nabla_{\!v} \eta\in {\op{T}}_p M$
des Vektorfelds $\eta$ bei $p$ in 
Richtung $v$}\index{kovariante Ableitung!anschauliche}
durch die Formel
\begin{equation*}
\nabla_{\!v} \eta \pdef \op{pr}_p({\op{D}}_v(j\circ \eta))
\end{equation*}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Ich will die vorstehende Definition noch etwas erl"autern.
Zun"achst interpretiert  man das Vektorfeld 
$\eta$ mithilfe der Komposition $j$ von
Einbettung und Projektion ${\op{T}}M \hra M \times \vec{E}\sra \vec{E}$ 
als eine Abbildung $(j\circ \eta):M\ra \vec{E};$ dann 
betrachtet man die Richtungsableitung \eref{RiAA}{ML} 
dieser vektorwertigen Abbildung in
der Richtung $v$, in Formeln also den Vektor 
${\op{D}}_v(j\circ \eta)=(\diff_p (j \circ \eta))(v)\in \vec{E};$
und schlie"slich 
projiziert man den so entstandenen
Vektor ${\op{D}}_v(j\circ \eta)\in \vec{E}$ orthogonal auf 
${\op{T}}_pM \subset  \vec{E}$ vermittels 
$\op{pr}_p : \vec{E} \rightarrow {\op{T}}_p M$. 
\end{Bemerkungl}








\begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauliche kovariante Ableitung und Paralleltransport}] Seien $E$ ein %endlichdimensionaler reeller 
euklidischer Raum und $M \subset E$ eine glatte Untermannigfaltigkeit. 
Wir diskutieren nun die Beziehung zwischen Paralleltransport \ref{EPLi} und 
kovarianter Ableitung. 
Sei  
 $\gamma:(-\varepsilon,\varepsilon) \ra M$ ein glatter Weg mit $\gamma(0)=p$ 
und mit\label{ParKo}
Geschwindigkeit $\gamma'(0)=v$ bei $p$. 
Mithilfe von Paralleltransport l"angs $\gamma$ identifiziere man 
f"ur alle $t\in (-\varepsilon,\varepsilon)$ 
den Tangentialraum  ${\op{T}}_{\gamma(t)}M$
mit ${\op{T}}_{p}M$. Mithilfe dieser Identifikationen
machen wir die Restriktion 
 $\eta\circ \gamma:(-\varepsilon,\varepsilon)\ra {\op{T}}M$
unseres Vektorfeldes $\eta$ auf unseren Weg zu einer
Abbildung $h:(-\varepsilon,\varepsilon)\ra {\op{T}}_{p}M$. 
Die Ableitung dieser
Abbildung bei $t=0$ ist dann unsere kovariante Ableitung,
in Formeln
$$h'(0)=\nabla_v\eta$$
Insbesondere ist also ein glattes 
Vektorfeld $\eta$ genau dann parallel l"angs einer glatten
Abbildung $\gamma:I\ra M$ von einem mehrpunktigen Intervall $I$ nach $M$ 
alias ist $\eta\circ \gamma$ ein paralleler Lift 
von $\gamma$, wenn gilt
$$\nabla_{\gamma'(t)}\eta=0\quad\forall t\in I$$
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Formale Eigenschaften der anschaulichen  kovarianten Ableitung}]
Unsere kovariante Ableitung von Vektorfeldern
hat offensichtlich die folgenden
formalen Eigenschaften:\label{feKA} 
\begin{enumerate}
\item
F"ur festes $p$ ist $\nabla_v \eta$ "uber $\mathbb R$
bilinear in $v$ und $\eta$;
\item
F"ur festes $v$ und festes $p$ und eine glatte Funktion $f \in \mathcal 
C^\infty_{\mathbb R} (M)$ gilt die Leibniz-Regel
\begin{equation*}
\nabla_v (f \eta) = (\diff _p f)(v) \cdot \eta + f( \nabla_v \eta)
\end{equation*}
\item
F"ur festes $\eta$ h"angt $\nabla_v \eta \in {\op{T}}M$ glatt
von $v \in {\op{T}}M$ ab. Ist also in Formeln $\xi$ ein weiteres glattes
Vektorfeld, so ist auch
$
\nabla_\xi \eta : p \mapsto \nabla_{\xi (p)}  \eta
$
ein glattes Vektorfeld.
\end{enumerate}
Auf diese Weise liefert unsere kovariante Ableitung
eine Vorschrift, die je zwei glatten Vektorfeldern 
$\xi, \eta : M \rightarrow
{\op{T}}M$ ein drittes glattes Vektorfeld $\nabla_\xi (\eta)$ zugeordnet.
Unsere Eigenschaften von oben liefern dann, da"s 
$\nabla_\xi (\eta)$ in $\mathbb R$-bilinearer
Weise von $\xi$ und $\eta$ abh"angt und da"s f"ur 
jede glatte Funktion $f$ gilt
$$\begin{array}{cll}
\nabla_{f\xi }(\eta) &=& f\nabla_\xi (\eta)\\
\nabla_\xi (f\eta) &=& \xi (f)\cdot \eta + f\nabla_\xi (\eta)
\end{array}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Anschaulich bedeutet $\nabla_\xi \eta = 0$ im Lichte 
von \ref{ParKo}, da"s 
$\eta$ \glqq entlang der Flu"slinien von
$\xi$ parallel ist\grqq. W"are etwa $\xi$ ein glattes 
Vektorfeld auf der als Globus gedachten Sph"are, das nur
an den Polen verschwindet und sonst tangential zu den 
Breitengraden ist, so w"urde
$\nabla_{\xi} \eta =0$ genau f"ur diejenigen 
glatten Vektorfelder $\eta$ gelten, die
invariant sind unter allen Rotationen, die die Pole festhalten.
\end{Bemerkungl}

\subsection{Christoffel-Symbole}
\begin{Bemerkungl}
  Sei $E$ ein euklidischer Raum mit Skalarprodukt $\langle\;,\;\rangle$. Seien 
  $M \subset E$ eine 
$n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit und
$
 \varphi : W \rightarrow M
$
mit $W \co \mathbb R^n$ eine Karte von $M$.
Es bezeichne $\bar \partial_i$ das Vektorfeld auf $\varphi (W) \co M$, das unter
$\varphi$ verwandt ist zum Vektorfeld $\partial_i$ auf $W \co \mathbb R^n$.
Als \defind{Christoffel-Symbole} bezeichnet man diejenigen
 reellwertigen Funktionen
$\Gamma_{ij}^k : \varphi (W) \rightarrow \mathbb R$, 
die die kovariante Ableitung\index{G@$\Gamma_{ij}^k$ Christoffen-Symbole} 
\ref{KovA} beschreiben vermittels der Vorschrift
\begin{equation*}
 \nabla_{\bar\partial_i} \bar \partial_j = \sum_k \Gamma^k_{ij} \bar\partial_k
\end{equation*}
Vielfach macht man hier in der Notation 
keinen Unterschied zwischen $\Gamma^k_{ij}$ und $\Gamma^k_{ij} \circ 
\varphi : W \rightarrow \mathbb R$ und auch keinen Unterschied
 zwischen $\bar \partial_i$
und $\partial_i$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Berechnung der Christoffel-Symbole}] 
 Seien $E$ ein euklidischer Raum, $M \subset E$ eine Untermannigfaltigkeit,
 $\varphi : W \rightarrow M$\label{BCL} 
eine Karte  mit $W \co \mathbb R^n$
und $\sum g_{ij} \diff x_i \otimes \diff x_j$ derjenige $2$-Tensor 
auf $W$, der unter $\varphi : W \rightarrow  E$ zum
konstanten $2$-Tensor der euklidischen Metrik verwandt ist.
Bezeichne $g^{kl}:W \rightarrow \mathbb R$ die Eintr"age der
Inversen zur symmetrischen Matrix der $g_{ij}$.
So werden die
Chris\-toffelsymbole gegeben durch die Formel
\begin{equation*}
 \Gamma^k_{ij} \circ \varphi = \frac{1}{2} \sum_l g^{kl} (\partial_i g_{jl} + \partial_j g_{il} - \partial_l
g_{ij})
\end{equation*}
\end{Satz}
\begin{proof}
 Bezeichne wieder $\bar \partial_i$ diejenigen
 Vektorfelder auf $\varphi (W) \co M$, die unter $\varphi$ zu den
Standardfeldern $\partial_i$ auf $W  \co \mathbb R^n$ verwandt sind.
Wir k"onnen unsere  $\bar \partial_i$ als Funktionen 
$\bar \partial_i : \varphi (W) \rightarrow \vec E$ auffassen
und setzen
\begin{equation*}
 \tilde\partial_i := \bar \partial_i \circ \varphi : W \rightarrow \vec E
\end{equation*}
Insbesondere haben wir dann $g_{ij} = \langle \tilde \partial_i , \tilde \partial_j \rangle$ an jeder Stelle
$x \in W$.
Weiter gilt per definitionem
$
 \langle \sum_l g^{kl}\tilde\partial_l, \tilde\partial_j \rangle = \delta_{kj}
.$ 
Nun gilt per definitionem $( \nabla_{\bar \partial_i} \bar \partial_i)\circ \varphi
=\partial_i \tilde \partial_j + R$ f"ur eine Funktion $R : W \rightarrow \vec E$
mit $R (x) \perp {\op{T}}_{\varphi (x)} M$ f"ur alle $x \in W$.
Weiter haben wir $\tilde\partial_j = \partial_j \varphi$ f"ur $\varphi : W
\rightarrow E$. Es  folgt 
\begin{equation*}
\partial_i \tilde \partial_j
=\partial_i \partial_j \varphi = \partial_j \partial_i \varphi = \partial_j \tilde \partial_i
\end{equation*}
und insbesondere $\Gamma^k_{ij} = \Gamma^k_{ji}$.
Schlie"slich gilt, wieder per definitionem,
\begin{equation*}
 \partial_i \tilde\partial_j + R = \sum (\Gamma^k_{ij} \circ \varphi ) \tilde\partial_k
\end{equation*}
Durch Paaren mit $\sum_l g^{kl} \tilde\partial_l$ erhalten wir unmittelbar
\begin{equation*}
 \sum_l g^{kl} \langle \tilde\partial_l, \partial_i \tilde\partial_j \rangle = \Gamma_{ij}^k \circ \varphi
\end{equation*}
Nun zeigt die oben besprochene Symmetrie schon mal $\langle \tilde \partial_l, \partial_i \tilde\partial_j \rangle
=\langle \tilde\partial_l, \partial_j \tilde\partial_i\rangle$.
Andererseits zeigt die Produktregel
\begin{displaymath}
 \begin{array}{lllll}
  \partial_i g_{jl}& = &\partial_i \langle \tilde\partial_j, \tilde\partial_l\rangle &=&
\langle \partial_i \tilde\partial_j, \tilde\partial_l \rangle + \langle \tilde\partial_j, \partial_i \tilde\partial_l \rangle\\
\partial_j g_{il}& = &\partial_j \langle \tilde\partial_i, \tilde\partial_l\rangle &=&
\langle \partial_j \tilde\partial_i, \tilde\partial_l \rangle + \langle \tilde\partial_i, \partial_j \tilde\partial_l \rangle\\
\partial_l g_{ij}& = &\partial_l \langle \tilde\partial_i, \tilde\partial_j\rangle &=&
\langle \partial_l \tilde\partial_i, \tilde\partial_j \rangle + \langle \tilde\partial_i, \partial_l \tilde\partial_j \rangle\\
& && = & \langle \partial_i \tilde\partial_l, \tilde\partial_j \rangle + \langle \tilde\partial_i, \partial_j \tilde\partial_l \rangle
 \end{array}
\end{displaymath}
Daraus folgt die Formel im Satz nun ohne weitere Schwierigkeiten.
\end{proof}

\newpage
\section{Pseudoriemannsche Mannigfaltigkeiten} 
\subsection{Abstrakte kovariante Ableitungen}
\begin{Bemerkungl}
  Ich erinnere an die Begrifflichkeit abstrakter Mannigfaltigkeiten  und Eckfaltigkeiten \eref{glM}{ML} und
  glatter Vektorb"undel \eref{DVB}{ML}
  und insbesondere an das Tangentialb"undel ${\op{T}}M$ aus \eref{Tgfd}{ML}.
 Den Raum der glatten Schnitte eines
  Vektorb"undels $E$ auf $M$ notieren wir
  $\mathcal S^\infty(E)=\mathcal S^\infty(M,E)$.
  \index{S@$\mathcal S^\infty(E)$ glatte Schnitte des B"undels $E$}
  Unsere Formeln aus \ref{feKA} f"ur
  die kovariante Ableitung auf Untermannigfaltigkeiten
  euklidischer R"aume machen wir nun zu einer Definition und
  erweitern sie gleichzeitig vom Fall des Tangentialb"undels auf den
  Fall allgemeiner Vektorb"undel.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
  Seien $M$ eine Mannigfaltigkeit oder allgemeiner Eckfaltigkeit
  und $\pi:E\sra M$ ein glattes
  Vektorb"undel auf $M$.
  Unter einer
  {\bf abstrakten kovarianten Ableitung  $\nabla$ in $E$}\index{kovariante Ableitung!abstrakte} verstehen wir eine
  $\DR$-bilineare Abbildung\label{akA} 
  $$\begin{array}{cccc}
    \nabla:& \mathcal S^\infty({\op{T}}M)\times\mathcal S^\infty(E)&\ra& \mathcal S^\infty(E)\\
    & (\;\xi\;,\;\eta\;)&\mapsto& \nabla_\xi (\eta)
  \end{array}$$
mit der Eigenschaft, da"s f"ur
jede glatte Funktion $f:M\ra\DR$ gilt
$$\begin{array}{cll}
\nabla_{f\xi }(\eta) &=& f\nabla_\xi (\eta)\\
\nabla_\xi (f\eta) &=& \xi (f)\cdot \eta + f\nabla_\xi (\eta)
\end{array}$$
  Im Fall $\nabla_\xi\eta=0$ sagen wir, unser Schnitt $\eta$ sei
  {\bf parallel in Richtung des Vektorfelds $\xi$} f"ur unsere kovariante Ableitung $\nabla$. Einen Schnitt, der parallel ist f"ur jedes glatte Vektorfeld,
  nennen wir {\bf horizontal}.\index{horizontal!f"ur Zusammenhang}
  Eine abstrakte kovariante Ableitung im Tangentialb"undel
$E={\op{T}}M$
hei"st eine {\bf abstrakte kovariante Ableitung auf
  $M$}. 
\end{Definition}

\begin{Bemerkungw}
  Im weiteren Verlauf werden wir
  f"ur eine Liegruppe $G$ und eine Mannigfaltigkeit $M$
  ein {\bf $G$-Hauptfaserb"undel} erkl"aren als eine glatte $G$-"aqui\-va\-ri\-an\-te
  Abbildung $\pi: P\ra M$ von einer Mannigfaltigkeit mit
  $G$-Operation nach $M$, die lokal in $M$ isomorph ist zur Projektion
  $M\times G\sra M$, und einen {\bf Zusammenhang in $P$} als eine glatte
  $G$-"aquivariante Spaltung des von $\diff\pi$ induzierten
  B"undelmorphismus ${\op{T}}P\ra P\times_M{\op{T}}M$.
  Dann konstruieren wir eine Bijektion zwischen der Menge der
  abstrakten kovarianten Ableitungen in einem $n$-dimensionalen
  Vektorb"undel $E$ und
  der Menge der Zusammenh"ange des zugeh"origen Rahmenb"undels
  $\op{Hom}(\DR^n, E)$, das seinerseits in nat"urlicher Weise ein $\op{GL}(n;\DR)$-Hauptfaserb"undel ist.
  Wir werden sehen, da"s eine abstrakte kovariante Ableitung in $E$ im wesentlichen dasselbe ist wie  ein Zusammenhang im Rahmenb"undel von $E$.
  Dieser Zugang zu der Begriffswelt der  Zusammenh"ange und kovarianten
  Ableitungen 
  scheint mir geometrischer aber technisch schwieriger,
  weshalb ich mich zun"achst auf abstrakte kovariante Ableitungen beschr"anken
  will. Das hat nun allerdings den Nachteil, da"s die im folgenden
  gezeigten Lokalit"atsaussagen auf den ersten Blick verbl"uffend
  wirken und einen Beweis ben"otigen, wohingegen sie in der
  geometrischen Interpretation einfach nur offensichtlich sind.
\end{Bemerkungw}

\begin{Beispiel}[\textbf{Kovariante Ableitung in Koordinaten}] 
  Wir betrachten als Mannigfaltigkeit eine offene
  Teilmenge $M\co\DR^n$ und darauf als Vektorb"undel das triviale 
  B"undel $E\pdef \DR^r\times M$.
  Bezeichne $\eta_1,\ldots,\eta_r$ die Schnitte von $E$, die als
  Wert konstant
  den jeweiligen Vektor der Standardbasis annehmen.
  Jede abstrakte kovariante Ableitung  $\nabla$ in $E$ liefert  glatte Funktionen $\Gamma_{i\rho }^\kappa :M\ra\DR$ durch die Vorschrift
  $$\nabla_{\partial_i}\eta_\rho =\sum_\kappa \Gamma_{i\rho }^\kappa \eta_\kappa $$
  Diese Funktionen hei"sen die
  {\bf Christoffel-Symbole}.\index{Christoffel-Symbole}
  Weiter ist umgekehrt auch klar, da"s jede Vorgabe einer derartigen Familie
  glatter Funktionen von genau einer abstrakten kovarianten
  Ableitung in $E$ herkommt. Analoges gilt f"ur
  eckig berandete Teilmengen $M\subset \DR^n$.
\end{Beispiel}



\begin{Lemma}[\textbf{Lokalit"at abstrakter
      kovarianter Ableitungen}]
  Seien $(M,p)$ eine bepunktete\label{lokV} 
  Eckfaltigkeit und $\pi:E\sra M$ ein glattes
  Vektorb"undel auf $M$ und $\nabla$ eine abstrakte kovariante Ableitung in $E$. So gibt es eine    $\DR$-bilineare Abbildung
  $$\begin{array}{cccc}
    \nabla:& {\op{T}}_pM\times\mathcal S^\infty(E)&\ra&  E_p\\
    & (\;v\;,\;\eta\;)&\mapsto& \nabla_v (\eta)
  \end{array}$$
mit $\nabla_v\eta=
  \nabla_\xi(\eta)_p$ f"ur ein und jedes
glatte Vektorfeld $\xi$ mit $\xi_p=v$. Des weiteren gilt
$\nabla_v\eta=0$, wann immer unser Schnitt $\eta$ auf einer 
Untereckfaltigkeit $N\subset M$ verschwindet mit
$p\in N$ und $v\in{\op{T}}_pN$.\label{LokN}
\end{Lemma}
\begin{proof}
   Verschwindet $\eta$ in einer Umgebung von $p$, so gibt
  es eine glatte Funktion $f$, die auf einer Umgebung von $p$
  verschwindet und f"ur die gilt $f\eta=\eta$. So folgt, da"s
  auch $\nabla_\xi (\eta)$ in einer Umgebung von $p$ verschwinden
  mu"s. Analoges erhalten wir  f"ur $\xi$.
  Zus"atzlich finden wir glatte Vektorfelder $\partial_i$,
  deren Werte an jeder Stelle in einer Umgebung von $p$ 
  eine Basis des Tangentialraums bilden,
  und dazu glatte Funktionen
  $f_i$ mit $\xi=f_1\partial_1+\ldots+f_n\partial_n$ in einer
  Umgebung von $p$. Aus $\xi_p=0$ folgt dann erst 
  $f_1(p)=\ldots=f_n(p)=0$ und schlie"slich $\nabla_\xi(\eta)_p=0$.
  Gibt es schlie"slich
  lokale Koordinaten $x_i$ um $p$ mit
  $v=\partial_1$ bei $p$ derart, da"s $\eta$ auf der Kurve  $x_2=\ldots=x_n=0$ verschwindet, und w"ahlen  wir
  Schnitte $\eta_1,\ldots,\eta_r$ von $E$, die an jeder Stelle
  $x$ in einer Umgebung von $p$ eine Basis der Faser $E_x$ bilden,
  und schreiben $\eta=g_1\eta_1+\ldots+g_r\eta_r$
  in einer Umgebung von $p$, so folgt erst
  $g_\rho (p)=(\partial_1g_\rho )(p)=0$ f"ur $1\leq \rho \leq r$ und
  dann $\nabla_v(\eta)_p=0$ wie behauptet.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kovariante Ableitung in lokalen Koordinaten}] 
   Sei  $\pi:E\sra M$ ein glattes
  Vektorb"undel auf  einer 
  Eckfaltigkeit $M$ und sei $\nabla$ eine abstrakte kovariante Ableitung in $E$. Unsere Aussagen zur Lokalit"at \ref{LokN}  bedeuten unter anderem,
  da"s es f"ur jede offene Teilmenge $U\co M$ genau eine
  kovariante Ableitung $\nabla$ im eingeschr"ankten B"undel  $E|_U=\pi^{-1}(U)$
  gibt mit $\nabla_\xi(\eta)|_U=\nabla_{\xi|_U}(\eta|_U)$ f"ur alle
  glatten Vektorfelder $\xi$ auf $M$ und alle glatten Schnitte $\eta$ von $E$.
  Gegeben ein System von Koordinaten $x_1,\ldots,x_n:U\ra\DR$
  und ein System von glatten
  Schnitten $\eta_1,\ldots,\eta_r$ von $E$ auf $U$, deren Werte an jedem Punkt
  $p\in U$ eine Basis der Faser $E_p$ bilden, liefert unsere kovariante
  Ableitung glatte Funktionen $\Gamma_{i\rho }^\kappa :U\ra\DR$ durch die Vorschrift
  $$\nabla_{\partial_i}\eta_\rho =\sum_\kappa \Gamma_{i\rho }^\kappa \eta_\kappa $$
  Diese Funktionen hei"sen die
  {\bf Christoffel-Symbole}.\index{Christoffel-Symbole}
  Weiter ist umgekehrt auch klar, da"s jede Vorgabe einer derartigen Familie
  glatter Funktionen von genau einem Zusammenhang in $E|_U$ herkommt. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Verkleben kovarianter Ableitungen}]
  Gegeben eine offene "Uberdeckung $\mathcal U$ einer Eckfaltigkeit $X$ und
  ein Vektorb"undel $E$ auf $X$ und kovariante Ableitungen
  $\nabla^U$ in $E|_U$ f"ur alle $U\in\mathcal U$ mit
  $\nabla^U|_{U\cap V}=\nabla^V|_{U\cap V}$ f"ur alle $U,V\in \mathcal U$
  gibt es genau eine kovariante Ableitung $\nabla$ in $E$ mit
  $\nabla|_{U}=\nabla^U$ f"ur alle $U\in \mathcal U$.
  Das folgt unmittelbar aus der eben gegebenen Beschreibung in lokalen Koordinaten.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Verwandtschaft von Schnitten}]
  Sei $(g,\tilde g):(X,E)\ra (Y,F)$ ein Morphismus von glatten
  Vektorb"undeln auf Eckfaltigkeiten wie in \eref{Vekb}{ML}.
  Schnitte $\rho:X\ra E$ und $\sigma:Y\ra F$ unserer B"undel hei"sen
  {\bf $(g,\tilde g)$-verwandt}\index{verwandt!Schnitte in B"undeln}  und wir
  schreiben $(g,\tilde g):\rho\leadsto \sigma$, wenn gilt
  $\tilde g\circ \rho=\sigma\circ g$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
 Unter einer glatten Abbildung
  $g:X\ra Y$ verwandte Vektorfelder  sind per definitionem
   $(g,\diff g)$-verwandte Schnitte der Tangentialb"undel.
\end{Beispiel}
  \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verwandtschaft kovarianter Ableitungen}]
Gegeben ein Morphismus von glatten
Vektorb"undeln auf Eckfaltigkeiten  $(g,\tilde g):(X,E)\ra (Y,F)$
hei"sen kovariante Ableitungen $\nabla^E$ und $\nabla^F$ in unseren jeweiligen
  B"undeln  {\bf $(g,\tilde g)$-verwandt}\index{verwandt!kovariante Ableitungen} und wir schreiben
  $(g,\tilde g):\nabla^E\leadsto \nabla^F$, 
  wenn f"ur beliebige verwandte Vektorfelder $g:\xi\leadsto \zeta$ und
  verwandte Schnitte $(g,\tilde g):\eta\leadsto \vartheta$
  gilt
  $$(g,\tilde g):\nabla^E_\xi\eta\leadsto \nabla^F_\zeta\vartheta
  $$
  "Aquivalent ist die Bedingung
  $\tilde g:\nabla^E_v\eta\mapsto \nabla^F_w\vartheta
  $ f"ur beliebige $x\in X$ und $v\in {\op{T}}_xX$ und
  $\diff_xg:v\mapsto w$ und verwandte Schnitte $(g,\tilde g):\eta\leadsto \vartheta$.
  \end{Bemerkungl}
  \begin{Bemerkungl}[\textbf{R"uckzug von Vektorb"undeln}] 
    Ich erinnere aus \ref{Vekb} die Kategorie Vektorb"undel auf
    Eckfaltigkeiten. Der Funktor $\op{Vekb}\ra\op{Eckf}$, der
    von einem Vektorb"undel auf einer Eckfaltigkeit
    das Vektorb"undel vergi"st, ist ein Faserfunktor im Sinne von
    \eref{FasF}{TG}. 
    Ein Morphismus  von glatten
    Vektorb"undeln auf Eckfaltigkeiten  $(g,\tilde g):(X,E)\ra (Y,F)$
    ist  kartesisch im Sinne von \eref{kaMo}{TG} genau dann,
    wenn f"ur alle $x\in X$ die  Abbildung $\tilde g$
    ein Isomorphismus $\tilde g:E_x\sira F_{g(x)}$ auf den Halmen induziert.
    Das zur"uckgezogene Vektorb"undel kann konstruiert werden als
    das Faserprodukt $ X\times_Y F$ mit seiner von $X\times F$ induzierten
    Struktur als Eckfaltigkeit und der Projektion auf die zweite
    Komponente als $\tilde g$. Man notiert das zur"uckgezogene B"undel auch
    $g^\ast F$.\index{)6ast@$f^*$ R"uckzug!von Vektorb"undel} 
  \end{Bemerkungl}
  \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zur"uckgeholte kovariante Ableitung}]
    Gegeben ein kartesischer Morphismus  von glatten
    Vektorb"undeln auf Eckfaltigkeiten  $(g,\tilde g):(X,E)\ra (Y,F)$
    und eine kovariante Ableitung $\nabla^F$ in $F$ gibt es genau
    eine dazu verwandte  kovariante Ableitung $\nabla^E$ in $E$,
    die {\bf zur"uckgeholte  kovariante Ableitung}
    auf dem zur"uckgeholten B"undel.
    NOCH NICHT GEZEIGT! LOKALIT"AT IST SPEZIALFALL!
  \end{Bemerkungl}
    


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Horizontale Schnitte auf mehrpunktigen Intervallen}]
  Gegeben ein Vektorb"undel $E$ mit Zusammenhang $\nabla$
  auf einem mehrpunktigen Intervall $I\co\DR$ geht durch jeden Punkt
  unseres Vektorb"undels genau ein horizontaler Schnitt.
  Ist in der Tat  ein System von glatten
  Schnitten $\eta_1,\ldots,\eta_r$ von $E$ auf $I$ gegeben,
  deren Werte an jedem Punkt
  $p\in I$ eine Basis der Faser $E_p$ bilden,
  und w"ahlen wir als einzige Koordinate  die Einbettung $t:I\ra\DR$,
  so ist ein Schnitt $\eta(t)=f_1(t)\eta_1+\ldots + f_r(t)\eta_r$ genau
  dann horizontal, wenn gilt $\nabla_\partial \eta=0$ f"ur $\partial=\partial_t$
  das offensichtliche Vektorfeld auf $I$.
  Diese Gleichung erh"alt mit unseren Christoffelsymbolen,
  bei denen ich den Index f"ur die Koordinate weglasse, weil es ja eh nur eine
  Koordinate gibt, die Gestalt\label{hzt} 
   $$
    \nabla_{\!\partial}\eta=\sum_\rho \nabla_{\!\partial} f_\rho (t)\eta_\rho =\sum_\rho f_\rho '(t)\eta_\rho  +  \sum_{\rho ,\kappa }f_\rho (t)\Gamma_{\rho }^\kappa (t)\eta_\kappa 
  $$
  Unsere Horizontalit"atsbedingung bedeutet also, da"s die Koeffizientenfunktionen $f_\rho $ unseres
  Schnitts $\eta$ das System von 
  linearen Differentialgleichungen $$f_\kappa '(t)=- \sum_{\rho }\Gamma_{\rho }^\kappa (t)\;f_\rho (t)$$
  erf"ullen. Da so ein System nach \eref{LLDa}{AN2}
  zu jedem Anfangswert genau eine globale L"osung
  besitzt, geht also, wenn die zugrundeliegende Eckfaltigkeit ein mehrpunktiges
  Intervall ist, durch jeden Punkt unseres Vektorb"undels genau ein horizontaler Schnitt. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Restriktion kovarianter Ableitungen}]
    Seien $M$ eine\label{ResZZ} 
  Eckfaltigkeit und $\pi:E\sra M$ ein glattes
  Vektorb"undel auf $M$ und $\nabla$ eine abstrakte kovariante Ableitung in $E$.
  So gibt es f"ur jede Untermannigfaltigkeit $N\subset M$
  genau eine abstrakte kovariante Ableitung $\bar \nabla$ im eingeschr"ankten Vektorb"undel  $\pi^{-1}(N)$ auf $N$
  mit $$(\nabla_v \eta)|_N=\bar \nabla_{v} (\eta|_N)$$
  f"ur jeden Punkt $p\in N$ und jeden Tangentialvektor
  $v\in{\op{T}}_pN$ und jeden glatten Schnitt $\eta$ von
  $E$ in einer offenen Umgebung $U\co M$ von $p$. All das
  folgt unmittelbar, indem man den Zusammenhang  durch
  an unsere Untermannigfaltigkeit angepa"ste Koordinaten
  beschreibt. Die Christoffel-Symbole des eingeschr"ankten
  Zusammenhangs sind dann die Einschr"ankungen derjenigen Christoffelsymbole
  des urspr"unglichen Zusammenhangs, bei denen die Indizes zu den
  Koordinaten  der Untermannigfaltigkeit geh"oren.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungw}
  Im weiteren Verlauf werden wir noch allgemeiner den
  R"uckzug eines Zusammenhangs unter einer beliebigen glatten Abbildung erkl"aren,
  aber alles zu seiner Zeit.
\end{Bemerkungw}





% \begin{Bemerkungl}
%    Sei $\pi:E\sra M$ ein glattes
%   Vektorb"undel auf  einer 
%   Mannigfaltigkeit $M$ und sei $\nabla$ eine abstrakte kovariante Ableitung in $E$.
%   Gegeben eine glatte Abbildung $\gamma:I\ra M$ von einem mehrpunktigen reellen Intervall nach $M$ mit nirgends verschwindender
%   Geschwindigkeit hei"st ein Lift $\tilde\gamma:I\ra E$ {\bf parallel in Bezug auf $\nabla$},\index{parallel!Schnitt unter kovarianter Ableitung}
%   wenn er glatt ist und wenn
%   f"ur alle inneren Punkte $t$ von $I$ mit $\gamma'(t)\neq 0$ gilt
%   $$\nabla_{\gamma'(t)}\tilde\gamma=0$$
%   Diese Bedingung ist sinnvoll, da nach der letzten Aussage
%   des Lokalit"atslemmas \ref{lokV} der Wert
%   $\nabla_{\gamma'(t)}\tilde\gamma$ nicht davon abh"angt, wie wir
%   $\tilde \gamma$ von einem auf einem kleinen Kurvenst"uck
%   $K\pdef\gamma(t-\varepsilon,t+\varepsilon)$   
%   definierten Schnitt zu einem auf einer offenen Umgebung von
%   $\gamma(t)$ in $M$ definierten Schnitt ausdehnen.
% \end{Bemerkungl}
% \begin{Bemerkungw}
%   Sobald wir den R"uckzug von Zusammenh"angen unter glatten
%   Abbildungen eingef"uhrt haben, k"onnen wir ganz allgemein
%   f"ur beliebige glatte Wege 
% \end{Bemerkungw}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Horizontale Schnitte der Restriktion auf ein Kurvenst"uck}] 
   Sei $\pi:E\sra M$ ein glattes
  Vektorb"undel auf  einer 
  Eckfaltigkeit $M$ und sei $\nabla$ eine abstrakte kovariante Ableitung in $E$.  Seien weiter $I$ ein offenes reelles Intervall
  und $\gamma:I\ra M$ eine glatte Abbildung
  mit nirgends verschwindender Ableitung
  und ein Hom"oomorphismus auf ihr Bild. Sei   
 $U\co M$ offen mit $\gamma(I)\subset U$ und sei  $x_1,\ldots, x_n:U\ra\DR$
  ein System von lokalen Koordinaten sowie
   $\eta_1,\ldots,\eta_r$  ein System von glatten
  Schnitten von $E$ auf $U$, deren Werte an jedem Punkt
  $p\in U$ eine Basis der Faser $E_p$ bilden, und seien $\Gamma_{i\rho }^\kappa $
  die Christoffel-Symbole.
Wir betrachten auf $N\pdef \gamma(I)$ die  Koordinate $t$, die unter
$\gamma$ der Einbettung $I\hra\DR$ entspricht, und bezeichnen
mit $\partial$ das zugeh"orige Vektorfeld auf $N$.
F"ur $\gamma_i\pdef x_i\circ \gamma$
finden wir  $\partial=\sum\gamma_i'(t)\partial_i$ in ${\op{T}}_{\gamma(t)}N\subset{\op{T}}_{\gamma(t)}M$.   
Die Christoffelsymbole $\bar \Gamma_\rho ^\kappa $ des eingeschr"ankten
Zusammenhangs $\bar\nabla$ ergeben sich  aus der Gleichung
$$\sum_\kappa \bar \Gamma_\rho ^\kappa  \eta_\kappa =\bar \nabla_\partial \eta_\rho = \sum_i\gamma_i'(t)\nabla_{\partial_i} \eta_\rho =
\sum_{i,\rho }\gamma_i'(t)\Gamma_{i\rho }^\kappa  \eta_\kappa $$
zu $\bar \Gamma_\rho ^\kappa =\sum_{i}\gamma_i'(t)\Gamma_{i\rho }^\kappa $.
  Machen wir f"ur einen horizontalen Schnitt
  "uber $N\pdef \gamma(I)$ des eingeschr"ankten
  Zusammenhangs den Ansatz $\tilde\gamma(t)=\sum_\rho \tilde\gamma_\rho (t)\eta_\rho $ 
  f"ur glatte Funktionen $\tilde\gamma_\rho :I\ra \DR$,  so finden wir mit \ref{hzt} als Horizontalit"atsbedingung\label{PaKo} 
  $$\tilde\gamma_\kappa '(t)
  =- \sum_{\rho }\bar\Gamma_{\rho }^\kappa (\gamma(t))\;\tilde\gamma_\rho (t)=
-\sum_{i,\rho }\gamma_i'(t)\Gamma_{i\rho }^\kappa (\gamma(t))\;\tilde\gamma_\rho (t)$$
 Wir sehen so mit
  \eref{LLDa}{AN2}, da"s es zu jedem Anfangswert alias jedem
  vorgegebenen $t_0\in I$ und $e\in E_{\gamma(t_0)}$ genau einen parallelen Lift
  $\tilde\gamma$ gibt mit $\tilde\gamma(t_0)=e$, und da"s die
  Parallelverschiebung f"ur beliebige $s,t\in I$ Vektorraumisomorphismen zwischen den Fasern
  $E_{\gamma(t)}\sira E_{\gamma(s)}$ induziert.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungw}
  Wenn wir in obiger Gleichungszeile die Mitte weglassen,
  erhalten wir eine sinnvolle Horizontalit"atsbedingung 
  f"ur glatte Lifts einer beliebigen glatten Abbildung eines mehrpunktigen
  reellen Intervalls in eine Eckfaltigkeit mit Vektorb"undel und
  kovarianter Ableitung darin. Wir nehmen diese Bedingung
  von nun an als unsere Definition von Parallelverschiebung
  l"angs eines Weges in Bezug auf eine kovariante Ableitung.
  \end{Bemerkungw}
\subsection{Konstruktionen mit Vektorb"undeln}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vektorb"undel als Schmelzkategorie}] 
   Ich erinnere an den Begriff einer Schmelzkategorie
  \eref{Multik}{TS}. Gegeben Vektorb"undel $E_1,
  \ldots, E_r,F$ auf einer Eckfaltigkeit
  $M$  versteht  man unter einer {\bf Verschmelzung von
    Vektorb"undeln}\index{Verschmelzung!von
    Vektorb"undeln} eine glatte Abbildung
  $$E_1\times_M
  \ldots\times_M E_r\ra F$$
  "uber $M$, die faserweise $\DR$-multilinear ist.
  Die Notation links meint Tupel mit demselben Bild in $M$, die
  Struktur als Eckfaltigkeit ist die vom Produkt induzierte,
und  mit einer Abbildung  "uber $M$ ist gemeint, da"s Fasern in Fasern
  "uber demselben Punkt "ubergehen sollen.
Eine Leerverschmelzung nach $F$ verstehen wir 
als einen glatten Schnitt von $F$.
  Die Menge aller derartigen Verschmelzungen notieren wir
   $\op{Vekb}_M(E_1\curlyvee
  \ldots\curlyvee E_r,F)$.
  Es ist klar, wie wir solche Verschmelzungen multiverkn"upfen und da"s wir
  so eine Schmelzkategorie erhalten. Es ist weiter klar, da"s diese
  Schmelzkategorie universelle Verschmelzungen und Multihom hat.
  Universell sind die offensichtlichen  Verschmelzungen 
   $$E_1\times_M
  \ldots\times_M E_r\ra E_1\otimes
  \ldots\otimes E_r$$
  in ein Vektorb"undel, dessen Faser bei $p\in M$
  als das Tensorprodukt der
  Faser der $E_i$ bei $p$ erkl"art werden und dessen Stuktur als
  glatte Mannigfaltigkeit durch das \glqq Tensorprodukt von
  B"undelkarten der Faktoren\grqq\ erkl"art wird "uber offenen
  Teilmengen, auf denen alle Faktoren trivialisierbar sind.
 Eine universelle Leerverschmelzung in $\op{Vekb}_M$ ist insbesondere
 der konstante Schnitt Eins des trivialen B"undels $\DR\times M$.
 Jede Verschmelzung von Vektorb"undeln induziert
eine Multiabbildung auf den Schnitten 
 durch 
 \glqq Vorschalten der jeweiligen Leerverschmelzungen\grqq.
 Im Fall einer  universellen Verschmelzung notieren wir diese
 Multiabbildung auf den Schnitten 
   $(e_1,\ldots,e_r)\mapsto e_1\otimes\ldots\otimes e_r$.
 Ein Multihom konstruiert man "ahnlich wie eine universelle
 Verschmelzung, indem man das faserweise
  Multihom von Vektorr"aumen zu einem B"undel verklebt. 
  Unsere Schmelzkategorie der Vektorb"undel hat zus"atzlich die
  Eigenschaft, aus starren Objekten im Sinne von \eref{starr}{TS}
  zu bestehen. Das bedeutet insbesondere, da"s f"ur jedes Objekt
  $E$ der Funktor $\otimes E$ beidseitig adjungiert ist zu  $\otimes E^\ast$. 
\end{Bemerkungl}

 
 

\begin{Bemerkungl}
Seien ${f_i}:X\ra {Y_i}$  glatte Abbildungen von Eckfaltigkeiten,
indiziert durch $1\leq i\leq n $.
Seien weiter 
$ F\in \op{Vekb}_{X}$ und $ G_i\in \op{Vekb}_{Y_i}$ 
Vektorb"undel.\label{gakof} 
 Eine {\bf Trennung 
  $\phi: F\ra G_1\curlywedge\ldots \curlywedge
 G_n $ "uber dem 
Tupel $(f_1,\ldots,f_n)$}\index{Trennung!von Vektorb"undeln}
von Morphismen in $\op{Eckf}$ ist
eine Vorschrift $\phi$, die jedem Punkt $p\in X$ 
 eine multilineare 
Abbildung 
$$  (G_1)_{f_1(p)}\times\ldots\times (G_n)_{f_n(p)}\ra  F_p$$ so zuordnet,
da"s die induzierte Abbildung $X\times_{(Y_1\times\ldots\times Y_n)}(G_1\times\ldots\times G_n)\ra F$ glatt ist. Hier sei es dem Leser
"uberlassen zu pr"ufen, da"s der Ausgangsraum mit seiner offensichtlichen
Struktur als $\DR$-geringter Raum eine Eckfaltigkeit ist.
Die Kategorie der Vektorb"undel auf 
Eckfaltigkeiten
wird so eine  Trennkategorie und
der Funktor des Vergessens des B"undels ein Trennfunktor
in die banale Trennkategorie zur Kategorie $\op{Eckf}$. Dieser Trennfunktor ist
sogar eine Trennfaserung. Kartesisch sind darunter diejenigen Trennungen,
die f"ur alle $p$ Isomorphismen 
$$  (G_1)_{f_1(p)}\otimes\ldots\otimes (G_n)_{f_n(p)}\sira  F_p$$
induzieren. Salopp gesagt ist mithin der R"uckzug eines Wortes von
Vektorb"undeln das Tensorprodukt der R"uckz"uge der einzelnen B"undel.
Der zu dieser Trennfaserung geh"orige Faserfunktor ist 
faseropponiert im Sinne von \eref{fop}{TG} zum
anschaulichen Faserfunktor

\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiele}
Die Faser unseres Schmelzfunktors "uber einer Eckfaltigkeit $X$ ist
die Schmelzkategorie $\op{Vekb}_X$ der Vektorb"undel auf $X$.
 Eine Leerverschmelzung nach $(F,X)$
 ist ein glatter Schnitt von $F$.
 Eine Einsverschmelzung $(G,Y)\ra (F,X)$ "uber einem Morphismus
$f^\circ:Y\ra X$ in $\op{Eckf}^{\op{opp}}$
zu einer glatten Abbildung $f:X\ra Y$ ist
eine glatte und faserweise $\DR$-lineare Abbildung
$G\times_YX\ra F$ "uber $X$. Das Vorschalten der Leerverschmelzung
macht aus so jeder Einsverschmelzung eine Abbildung
$\mathcal S^\infty(Y,G)\ra \mathcal S^\infty(X,F)$.
"Ahnlich macht das Vorschalten von Leerverschmelzungen
 aus  jeder Verschmelzung  $\phi: G^1\curlyvee\ldots \curlyvee
 G^n\ra  F$ wie oben eine multilineare Abbildung
 $$\mathcal S^\infty(Y_1,G^1)\times\ldots\times \mathcal S^\infty(Y_n,G^n)\ra
\mathcal S^\infty(X,F)$$
\end{Beispiele}




\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung} In der Schmelzkategorie der Vektorb"undel auf einer
  Eckfaltigkeit existieren alle symmetrischen Potenzen \eref{SyPOT}{TS}
  und die Fasern des  B"undels ${\op{S}}^rE$ sind isomorph
(KANONISCH ETC ABER WIE?)
 zu 
  den symmetrischen Potenzen ${\op{S}}^r(E_p)$ der Fasern von $E$.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Gegeben Vektorb"undel $E,F$ auf einer Eckfaltigkeit
  $M$ zeige man, da"s die offensichtliche Abbildung
  eine Bijektion
  $$\op{Vekb}_M(E,F)\sira \op{Hom}_{\mathcal C^\infty(M)}(\mathcal S^\infty(E),
  \mathcal S^\infty(F))$$
  zwischen der Menge der Homomorphismen von Vektorb"undeln
  von $E$ nach $F$ und der Menge der Homomorphismen
  zwischen den $\mathcal C^\infty(M)$-Moduln ihrer globalen Schnitte
  induziert. Allgemeiner  zeige man, da"s die offensichtliche Abbildung
 auch eine Bijektion\label{MLNN} 
  $$\op{Vekb}_M(E_1\curlyvee
  \ldots\curlyvee E_r,F)\sira \op{Mod}_{\mathcal C^\infty(M)}(\mathcal S^\infty(E_1)\curlyvee
  \ldots\curlyvee S^\infty( E_r),
  \mathcal S^\infty(F))$$ zwischen der Menge der Verschmelzungen
  von Vektorb"undeln
   und der Menge der $\mathcal C^\infty(M)$-multilinearen Abbildungen
  zwischen den $\mathcal C^\infty(M)$-Moduln ihrer globalen Schnitte
  induziert. Hinweis: Beim Beweis von \ref{lokV} haben wir
  implizit die erste Aussage gezeigt im Spezialfall
  $E={\op{T}}M$ und $F$ ein beliebiges B"undel mit
  Zusammenhang und die $\mathcal C^\infty(M)$-lineare Abbildung
  $\mathcal S^\infty( {\op{T}}M)\ra \mathcal S^\infty(F)$
  gegeben durch 
  $\xi\mapsto \nabla_\xi(\eta)$ f"ur festes $\eta\in \mathcal S^\infty(F)$.
\end{Ubung}
\subsection{Levi-Civita-Ableitung}
\begin{Bemerkungl}
  Ich fixiere f"ur die Diskussion von
  \glqq Riemann'schen Mannigfaltigkeiten\grqq\ 
  und ihren Varianten einen orientierten eindimensionalen
  reellen Vektorraum $$\mathbb L$$ und nenne ihn die
  {\bf L"angengerade}.\index{L\"angengerade!in der Differentialgeometrie}
  Meine Hoffnung ist, die
  Theorie durch das Einf"uhren von L"angeneinheiten anschaulicher und
  transparenter zu machen. Dieses Vorgehen ist jedoch un"ublich. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
   Sei $M$ eine
   Eckfaltigkeit. Eine Vorgabe einer symmetrischen
   $\mathbb L^{\otimes 2}$-wertigen
  Bilinearform $$g_p: {\op{T}}_pM\times{\op{T}}_pM\ra \mathbb L^{\otimes 2}$$ auf jedem Tangentialraum,
  die glatt vom  Basispunkt $p$ abh"angt, hei"st eine
  {\bf pr"ariemannsche Metrik}\index{pr"ariemannsch!Metrik}
auf unserer Eckfaltigkeit. Ist unsere Bilinearform an jeder Stelle nichtausgeartet, so sprechen wir von einer 
{\bf pseudoriemannschen Metrik},\index{pseudoriemannsch!Metrik} 
und ist sie an jeder Stelle positiv definit, von einer 
{\bf riemannschen Metrik}.\index{riemannsch!Metrik} 
Ein Paar $(M,g)$ aus einer Eckfaltigkeit  beziehungsweise Mannigfaltigkeit
mit einer
pr"ariemannschen beziehungsweise
pseudoriemannschen beziehungsweise riemannschen Metrik hei"st eine
{\bf pr"ariemannsche}\index{pr\"ariemannsch!Eckfaltigkeit}\index{Eckfaltigkeit!pr\"ariemannsche}  beziehungsweise {\bf pseudoriemannsche}\index{pseudoriemannsch!Eckfaltigkeit}\index{Eckfaltigkeit!pseudoriemannsche} 
beziehungsweise {\bf riemannsche Eckfaltigkeit}\index{riemannsch!Eckfaltigkeit} 
\index{Eckfaltigkeit!riemannsche} 
beziehungsweise Mannigfaltigkeit.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Formal ist damit eine pr"ariemannsche Metrik auf einer
  Eckfaltigkeit $M$ ein glatter Schnitt
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiele}
  Jeder euklidische Raum $E$  wird 
  eine riemannsche Mannigfaltigkeit durch
  den R"uckzug des Skalarprodukts auf $\vec E$ mit
  den nat"urlichen Identifikationen
  ${\op{T}}_pE\sira \vec E$.
   Jede Untermannigfaltigkeit
   einer riemannschen Mannigfaltigkeit
   wird eine riemannsche Mannigfaltigkeit
   durch die Restriktionen des Skalarprodukts auf die Tangentialr"aume der Untermannigfaltigkeit.
   Insbesondere wird so jede Untermannigfaltigkeit eines
   euklidischen Raums in nat"urlicher Weise
   eine riemannsche Mannigfaltigkeit.
\end{Beispiele}
\begin{Bemerkungl}
  Ich erinnere daran, da"s wir unter einer abstrakten kovarianten Ableitung,
  wenn wir kein Vektorb"undel spezifizieren, eine abstrakte kovariante
  Ableitung im Tangentialb"undel verstehen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}
 Auf jeder \hyperref[rMgf]{pseudoriemannschen 
 Mannigfaltigkeit} $(M,g)$ gibt es
 genau eine \hyperref[akA]{abstrakte kovariante Ableitung} 
  $\nabla={^g\nabla}$ derart, da"s f"ur alle  glatten Vektorfelder $\xi ,\eta,\lambda$
  auf $M$ die beiden Identit"aten 
  $$
  \begin{array}{rcl}
    \xi g(\eta,\lambda)&=&
    g(\nabla_\xi\eta,\lambda)+g(\eta,\nabla_\xi\lambda)\\[2mm]
    0&=&\nabla_\xi\eta-\nabla_\eta\xi-[\xi,\eta]
  \end{array}$$
gelten. Sie hei"st die\label{LCA} 
\emph{\bf Levi-Civita-Ableitung}.\index{Levi-Civita-Ableitung} 
\end{Satz}
\begin{Beispiel}
  Der folgende Beweis zusammen mit \ref{BCL} zeigt, da"s
  die Levi-Civita-Ableitung im eingebetteten Fall genau unsere
  anschauliche 
  kovariante Ableitung aus \ref{feKA} ist.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
  Die abstrakte kovariante Ableitung aus dem Satz wird sich als  die
  kovariante Ableitung zum sogenannten
  {\bf Levi-Civita-Zusammenhang}\index{Levi-Civita-Zusammenhang}
 erweisen.
  Die erste Identit"at in der Definition besagt salopp gesagt,
  da"s \glqq die zu unserer kovarianten Ableitung geh"orige
  Parallelverschiebung die Metrik $g$ invariant l"a"st\grqq. Die zweite Identit"at in der Definition besagt in Worten, da"s unsere
  kovariante Ableitung \glqq windungsfrei\grqq\ ist. Die
  anschauliche Bedeutung dieser letzten Bedingung diskutieren wir
  im Abschnitt \ref{WIN}.
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}
  Wir beginnen mit der Eindeutigkeit.
  Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit
  annehmen, da"s $M\co \DR^n$ eine offene Teilmenge ist
  und da"s unser Zusammenhang gegeben wird durch Christoffel-Symbole als 
  \begin{equation*}
 \nabla_{\partial_i}  \partial_j = \sum_k \Gamma^k_{ij} \partial_k
  \end{equation*}
  Die Windungsfreiheit impliziert dann wegen $[\partial_i,\partial_j]=0$
  die Identit"at
  $\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$ f"ur alle $i,j,k$.
  Die Invarianz der Metrik unter Parallelverschiebung 
  impliziert  ihrerseits die Identit"at
  $$\partial_i g_{jl}=\sum_k \Gamma^k_{ij} g_{kl} +\sum_k \Gamma^k_{il} g_{jk} $$
  Eine kurze Rechnung zeigt, da"s aus diesen beiden Identit"aten
  die Formel
  $$\mathbin{\Gamma^k_{ij}}  = \frac{1}{2} \sum_l g^{kl} (\partial_i g_{jl} + \partial_j g_{il} - \partial_l
  g_{ij})$$
  folgt, die wir im eingebetteten Fall
  bereits aus  \ref{BCL} kennen.
  Das zeigt die Eindeutigkeit. 
  Umgekehrt liefern die so erkl"arten Christoffel-Symbole
  eine abstrakte kovariante Ableitung, und erf"ullt eine
   abstrakte kovariante Ableitung
   die definierenden Gleichungen von Levi-Civita f"ur
   beliebige Basisfelder $\partial_i,\partial_j, \partial_k$,
   so erf"ullt sie sie f"ur alle glatten Felder. 
   Die Symmetrie  $\mathbin{\Gamma^k_{ij}}  = \mathbin{\Gamma^k_{ji}}$ unserer durch obige Formel
   gegebenen Christoffel-Symbole ist nun
   offensichtlich, folglich liefern sie
   einen windungsfreien Zusammenhang.
   Ebenso pr"uft man leicht, da"s
   die erste Gleichung erf"ullt ist und somit 
   \glqq die zu unserer kovarianten Ableitung geh"orige
  Parallelverschiebung die Metrik $g$ invariant l"a"st\grqq.
\end{proof}
\begin{Definition}
  Eine {\bf Geod"ate}\index{Geod"ate}
  auf einer pseudoriemannschen Mannigfaltigkeit $M$ ist eine
  glatte Abbildung $\gamma:I\ra M$
  von einem mehrpunktigen reellen Intervall $I$ 
  nach $M$, die ihren Tangentialvektor parallel transportiert.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Im Fall einer Untermannigfaltigkeit $M\subset E$ eines
  euklidischen Raums ist also eine glatte Kurve $\gamma:I\ra M$
  genau dann eine  Geod"ate, wenn gilt
  $\ddot{\gamma}(t)\perp {\op{T}}_{\gamma(t)}M$ f"ur alle $t\in I$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  In lokalen Koordinaten $x_i$ ist unsere Bedingung an eine
   Geod"ate nach\label{pinvc} 
  \ref{PaKo} gleichbedeutend zum
  System
  $$\gamma_k''(t)=- \sum_{i,j}\gamma_i'(t)\gamma_j'(t)\Gamma_{ij}^k(\gamma(t))$$
  von Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Wir k"onnen es auch als
  ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung auffassen
  alias die Abbildung $t\mapsto \gamma'(t)$ als Integralkurve eines
  Vektorfelds auf dem Tangentialb"undel
  und sehen so mit dem allgemeinen Satz zu L"osungen gew"ohnlicher
  Differentialgleichungen 
  \eref{PiLin}{AN2} oder besser seiner Variante \eref{PiLin}{ML}, da"s es
  durch jeden Startpunkt zu jeder dort vorgegebenen Geschwindigkeit genau
  eine gr"o"ste Geod"ate gibt und da"s diese als Definitionsbereich ein
  offenes Intervall hat.
  Weiter wird jede Geod"ate mit konstanter Geschwindigkeit
  durchlaufen. Sind wir im riemannschen Fall und
  bleibt eine gr"o"ste Geod"ate innerhalb eines Kompaktums unserer
  Mannigfaltigkeit, so bleibt die zugeh"orige Abbildung in das
  Tangentialb"undel auch innerhalb eines Kompaktums ihres Tangentialb"undels
  und unsere gr"o"ste Geod"ate hat nach \eref{PiLin}{ML} 
  ganz $\DR$ als Definitionsbereich.
\end{Bemerkungl}




\subsection{Windung einer kovarianten Ableitung}\label{WIN} 
\begin{Bemerkungl}
  Seien $M$ eine Mannigfaltigkeit und $\nabla$ eine kovariante Ableitung 
alias ein Zusammenhang auf ihrem
  Tangentialb"undel.  Die {\bf Windung}\index{Windung!von Zusammenhang} 
oder auch {\bf Torsion}\index{Torsion!von Zusammenhang} von 
  $\nabla$ ist definiert als die eindeutig bestimmte $2$-Form ${\op{T}}$ auf $M$ mit
  Werten im Tangentialb"undel gegeben durch\label{Torsc} 
  \begin{equation*}
    {\op{T}} (X,Y)=\nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y] 
  \end{equation*}
  f"ur beliebige glatte Vektorfelder $X,Y$.  Sie existiert nach
  \eref{MLNN}{ML}, da die rechte Seite
  antisymmetrisch und $\mathcal C^\infty_\DR (M)$-bilinear ist in $X$ und $Y$.
Die Antisymmetrie ist dabei offensichtlich. 
Um die Bilinearit"at zu pr"ufen, rechnen wir f"ur 
$f \in \mathcal C^\infty_{\mathbb R} (M)$ kurz
  \begin{eqnarray*}
    {\op{T}}(fX,Y) &= &\nabla_{fX} Y - \nabla_Y fX - [fX,Y]\\
    &=&f\nabla_X Y - f\nabla_Y X - (Yf)X - f[X,Y] + (Yf)X\\
    & = &f{\op{T}} (X,Y)
  \end{eqnarray*}
In lokalen Koordinaten erhalten wir mit unseren Christoffelsymbolen
f"ur die Windung
die Darstellung $ {\op{T}} (\partial_i,\partial_j)=\sum_k(\Gamma_{ij}^k-\Gamma_{ji}^k)$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauliche Bedeutung der Windung}] 
  Um die anschauliche Bedeutung der Windung herauszuarbeiten, w"ahlen wir einen
  Punkt $p \in M$ und zwei Tangentialvektoren $X,Y \in {\op{T}}_p M$.  Es
  gilt, aus diesen Daten
einen dritten Tangentialvektor ${\op{T}} (X,Y)$ zu konstruieren.  Gegeben ein
  beliebiger Tangentialvektor $Z \in {\op{T}}_p M$ notieren wir  $\gamma_Z$
  die f"ur kleine Zeiten $t \in (-\varepsilon, \varepsilon)$ 
wohldefinierte Geod"ate
  mit $\gamma_Z (0) = p$ und $\gamma^\prime_Z (0) = Z$. Weiter vereinbaren wir
  f"ur den Rest dieser Argumentation, da"s die Schreibweise
  \begin{equation*}
    (p,X,Y) \overset{Z,t}{\longrightarrow} (q,V,W)
  \end{equation*}
  bedeuten m"oge, da"s f"ur unsere Geod"ate $\gamma_Z$ gilt $\gamma_Z (t) =
  q$ und da"s $V, W \in {\op{T}}_q M$ aus $X,Y$ durch
  Parallelverschiebung l"angs der Geod"ate $\gamma_Z$ hervorgehen.  Jetzt
  erkl"are ich f"ur betragsm"a"sig kleines $t$ einen Punkt $p_4 = p_4 (t) \in
  M$ als das Ende des geod"atischen Polygonzugs, der in unserer eben
  eingef"uhrten Notation beschrieben werden kann durch die Formeln
  \begin{displaymath}
    \xymatrix{
      (p,X,Y) \ar[r]^-{X,t} & (p_1, X_1, Y_1) \ar[dd]^-{Y_1, t}\\
      (p_4, X_4, Y_4) & \\
      (p_3, X_3, Y_3)\ar[u]_-{Y_3, -t} & \ar[l]_-{X_2 , -t} (p_2, X_2, Y_2)
    }
  \end{displaymath}
  Ich behaupte, da"s dann im eingebetteten Fall oder im allgemeinen mit unserer
  Notation \eref{gHO}{ML} f"ur spezielle h"ohere Ableitungen gilt
  \begin{equation*}
    2 {\op{T}} (X,Y) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t^2} (p_4 (t) - p)
  \end{equation*}
  Die Windung mi"st also salopp gesprochen, inwieweit sich die obigen
  geod"atischen Polygonz"uge schlie"sen.  Um das zu beweisen, betrachten wir
  allgemeiner f"ur betragsm"a"sig kleine $(r,s,t,u)$ den Punkt $p_4 = \Phi
  (r,s, t, u)$, der gegeben wird als das Ende eines etwas allgemeineren
  geod"atischen Polygonzugs, genauer durch die Beziehungen
  \begin{displaymath}
    \xymatrix{
      (p, X, Y) \ar[r]^-{X,r} & (p_1, X_1, Y_1)\ar[dd]^-{Y_1, s}\\
      (p_4, X_4, Y_4) & \\
      (p_3, X_3, Y_3) \ar[u]_-{Y_3,-u} & \ar[l]_-{X_2, -t} (p_2, X_2, Y_2)
    }
  \end{displaymath}
  Dann ist $\varphi(t)\pdef \Phi
  (t,t,t,t)$ genau unser Punkt $p_4(t)$ von vorhin.
 Unser $\Phi$ ist sicher glatt.  F"ur das weitere d"urfen wir
  ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit unsere Mannigfaltigkeit als offene
  Teilmenge eines $\mathbb R^n$  und  zus"atzlich $p = 0$
  annehmen.  Die partiellen Ableitungen von $\Phi$ bei $(0,0,0,0)$ ergeben
  sich unmittelbar zu $ \Phi_r = X, \Phi_s = Y, \Phi_t = - X$ und $ \Phi_u =
  -Y$ und so folgt schon mal $\varphi^\prime (0) = 0$.  Um nun $\varphi''(0)$
  zu berechnen, gilt es, alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von
  $\Phi$ am Ursprung zu bestimmen.  Sicher haben wir $\Phi (r,0,t,0) = \Phi
  (r-t, 0,0,0)=\Phi ( 0,0,t-r,0)$ und folglich $ \Phi_{rr} = -\Phi_{rt} =
  -\Phi_{tr}=\Phi_{tt} $ und diese tragen folglich in der Summe nicht zu
  $\varphi'' (0)$ bei.  "Ahnlich finden wir $ \Phi_{ss} = -\Phi_{su} =
  -\Phi_{us}=\Phi_{uu} $ und diese tragen in der Summe ebensowenig zu
  $\varphi'' (0)$ bei.  Die Gleichung f"ur den Paralleltransport 
aus \ref{pinvc} liefert mit
  den Christoffel-Symbolen und oberen Indizes f"ur die Eintr"age von
  $n$-Tupeln, also mit der Notation $X=(X^1,\ldots,X^n)$, die
  Identit"aten
  \begin{equation*}
    \Phi^k_{rs} = \Phi^k_{tu} =- \sum_{i,j} Y^i X^j \Gamma^k_{ij}\quad\quad
    \Phi^k_{st} =\Phi^k_{ru} =\sum_{i,j} X^i Y^j \Gamma^k_{ij}
  \end{equation*}
  Dann aber ergibt Rechnung bis zu zweiter Ordnung
  \begin{equation*}
    \lim_{t\ra 0} \frac{1}{t^2}(\varphi(t)-p) = 
    \Phi_{rs} + \Phi_{st} + \Phi_{tu} + \Phi_{ru}
  \end{equation*}
  Die $k$-te Koordinate dieses Vektors ergibt sich zu $2\sum_{i,j} X^i Y^j
  \left( \Gamma^k_{ij}-\Gamma^k_{ji}\right)$ und ist damit nach \ref{Torsc} in
  der Tat das Doppelte der $k$-ten Komponente des Torsionsvektors ${\op{T}}(X,Y)$.
\end{Bemerkungl}




\subsection{Kr"ummungstensor}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kr"ummungstensor einer kovarianten Ableitung}]
  Gegeben ein glattes Vektorb"undel
$E \rightarrow M$ auf einer glatten Mannigfaltigkeit 
$M$ und darauf eine kovariante Ableitung
$(\xi, \eta )  \mapsto  \nabla_\xi (\eta)$ im Sinne von 
\ref{akA} f"ur glatte Vektorfelder $\xi$ und glatte Schnitte $\eta$ 
unseres B"undels betrachte man die   Abbildung\label{nKKKA} 
$$\begin{array}{cccl}
  R:& \mathcal S^\infty ({\op{T}}M) \times \mathcal S^\infty ({\op{T}}M)\times \mathcal S^\infty E&\ra &
  \mathcal S^\infty E\\
&(\;\xi\;,\;\zeta\;, \;\eta\;)&\mapsto &\nabla_\xi\nabla_\zeta\eta-
\nabla_\zeta\nabla_\xi\eta -\nabla_{[\xi,\zeta]}\eta
\end{array}
$$
Diese Abbildung ist  $\mathcal C^\infty(M)$-multilinear,
wie man unschwer nachrechnet. 
Offensichtlich ist  sie auch alternierend in den beiden ersten Variablen.
Nach \ref{MLNN} entspricht sie folglich einer Zweiform $R=R_\nabla$ mit Werten im 
Endomorphismenb"undel von $E$ alias einem Schnitt des B"undels
$\bigwedge^2{\op{T}}^\ast M\otimes \op{End}(E)$. Diese Zweiform hei"st der
{\bf Kr"ummungstensor}\index{Kr"ummungstensor} unserer kovarianten Ableitung.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Im Fall der \hyperref[LCA]{Levi-Civita-Ableitung}
  einer riemannschen oder  pseudoriemannschen
  Mannigfaltigkeit hei"st unser Kr"um\-mungs\-ten\-sor
  der
  {\bf Rie\-mann'sche Kr"um\-mungs\-ten\-sor}.\index{Kr"ummungstensor!Riemann'scher}\index{Riemann'scher Kr"ummungstensor} Daher r"uhrt  die Notation $R$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungw}
  Eine kovariante Ableitung hei"st\label{flZU} 
  {\bf flach},\index{flach!kovariante Ableitung} wenn ihr Kr"ummungstensor
  verschwindet. Wir werden auf diesen Begriff noch zur"uckkommen.
\end{Bemerkungw}
\begin{Bemerkungl}
  In lokalen Koordinaten erhalten wir f"ur den Kr"ummungstensor unmittelbar 
  $R(\partial_i,\partial_j)\eta_\kappa=\sum R_{ij\kappa}^\lambda\eta_\lambda$
  mit
  $$ R_{ij\kappa}^\lambda=\partial_i\Gamma_{j\kappa}^\lambda-\partial_j\Gamma_{i\kappa}^\lambda +\sum_\rho \Gamma_{j\kappa}^\rho\Gamma_{i\rho}^\lambda -\sum_\rho \Gamma_{i\kappa}^\rho\Gamma_{j\rho}^\lambda$$
  f"ur eine lokale Trivialisierung unseres B"undels durch gewisse
  Schnitte $\eta_\rho$ und die zugeh"origen Christoffelsymbole der
  kovarianten Ableitung.  Im Fall der Levi-Civita-Ableitung
  spezialisieren diese Formeln zu
  $R(\partial_i,\partial_j)\partial_k=\sum R_{ijk}^l\partial_l$ mit
    $$ R_{ijk}^l=\partial_i\Gamma_{jk}^l-\partial_j\Gamma_{ik}^l +\sum_a \Gamma_{jk}^a\Gamma_{ia}^l -\sum_a \Gamma_{ik}^a\Gamma_{ja}^l$$
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauliche Bedeutung des Kr"ummungstensors}]
Die vorstehend gegebene Definition der Kr"ummung ist zwar formal elegant, aber die Bedeutung dieses Begriffs
scheint mir in dem im folgenden vorgestellten alternativen Zugang 
deutlicher  hervorzutreten.
 Seien  $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit und
$E\ra X$ ein glattes  Vektor\-b"un\-del auf $X$.
Gegeben ein Punkt $x\in X$, zwei glatte kommutierende Vektorfelder 
$\eta,\xi$ in einer Umgebung von $x$  und ein kleines 
 $t>0$ betrachten wir den st"uckweise glatten Weg
$\gamma=\gamma(\eta,\xi;t)$ in $X$, der bei $x$ beginnt, 
f"ur die Zeit $t$ der Flu"slinie von\label{nKZHF} 
$\eta$ folgt, dann f"ur dieselbe Zeit $t$ der Flu"slinie von
$\xi$, dann wieder f"ur die Zeit $t$ der Flu"slinie von
$-\eta$, und schlie"slich f"ur die Zeit $t$ der Flu"slinie von
$-\xi$. Da wir unsere Vektorfelder kommutierend angenommen haben, endet dieser Weg 
nach \ref{KoVez}  wieder bei seinem Ausgangspunkt $x$.
Ist zus"atzlich eine kovariante Ableitung in $E$ gegeben, so liefert
der horizontale Lift von $\gamma$  einen
Automorphismus der Faser $E_x\ra E_x$,
also ein Element $h(\eta,\xi;t)\in \op{GL}(E_x)$. 
Ich behaupte, da"s die Abbildung $t\mapsto h(\eta,\xi;t)$
bei $t=0$ verschwindende Ableitung $h'(\eta,\xi;0)=0$ hat, 
so da"s nach  \ref{gHO} ihre zweite Ableitung ein wohlbestimmter
Endomorphismus
$h''(\eta,\xi;0)\in \op{End}(E_x)$ ist. Ich behaupte weiter,
da"s dieser Endomorpismus
nur von den Tangentialvektoren $\eta_x,\xi_x\in {\op{T}}_xX$
abh"angt und da"s wir so   eine alternierende $\DR$-bilineare Abbildung 
$${\op{T}}_xX\times {\op{T}}_xX \ra \op{End}(E_x)$$
erhalten. Ich behaupte zu guter Letzt, da"s diese Abbildung
das Doppelte des in \ref{nKKKA} eingef"uhrten  Kr"ummungstensors an der Stelle $x$ ist. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
Um die Behauptungen aus der vorhergehenden Bemerkung \ref{nKZHF} 
 zu zeigen, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen,
da"s gilt $\eta_x\neq 0\neq \xi_x$. Dann d"urfen wir nach \ref{KKV} ohne  
Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s unsere
Mannigfaltigkeit $X=\DR^{2+n}$ ist, 
da"s unser Punkt der Ursprung $x=0$ ist,
da"s unsere Vektorfelder gerade die ersten beiden Koordinatenfelder 
$\eta=\partial_1$ und $\xi=\partial_2$ sind, da"s unser Vektorb"undel
das triviale B"undel $E=\DR^{2+n}\times \DR^r$ ist
und da"s unsere kovariante Ableitung  gegeben wird 
durch
$$\nabla_{\partial_i}\eta_\rho =\sum \Gamma_{i\rho }^\kappa \eta_\kappa $$
f"ur $\eta_1,\ldots,\eta_r$ die konstanten Schnitte mit Werten $\op{e}_1,\ldots,\op{e}_r\in\DR^r$.
Der Buchstabe $x$ ist frei geworden und darf nun neu eine
Koordinate bezeichnen.
Wir betrachten  f"ur betragsm"a"sig kleine  $x,y,u,v$ 
den Automorphismus $\Phi(x,y,u,v)\in \op{GL}(\DR^r)$,
 der gegeben wird durch horizontale Verschiebung erst um $x$ in Richtung 
der ersten Koordinatenachse, dann um $y$ in Richtung der zweiten 
Koordinatenachse,
dann um $-u$ in Richtung der ersten Koordinatenachse, 
und schlie"slich um $-v$ in Richtung der zweiten Koordinatenachse.
Wir k"urzen unsere Abbildung $g(\eta,\xi;t)$ aus
\ref{nKZHF} ab mit  $h(t)=h(\eta,\xi;t)$. Um im folgenden partielle Ableitungen zu bestimmen, fassen wir unsere Abbildungen auf als
Abbildungen in den reellen Vektorraum $\op{End}(\DR^r)$.
Per definitionem gilt 
$h(t)= \Phi
(t,t,t,t)$. Unser $\Phi$ ist sicher glatt.
Wir finden $\Phi(x,0,u,0)=\Phi(x-u,0,0,0)$ und
$\Phi(0,y,0,v)=\Phi(0,y-v,0,0)$, folglich verschwindet $h'(t)$
bei $t=0$.
Weiter ist $h''(0)$ die Summe der sechzehn gemischten partiellen
Ableitungen von $\Phi$ an der Stelle $0^4$ und
unsere Formeln zeigen $\Phi_{xx}+\Phi_{xu}+\Phi_{ux}+\Phi_{uu}=0$ bei
$0^4$ und ebenso $\Phi_{yy}+\Phi_{yv}+\Phi_{vy}+\Phi_{vv}=0$ bei
$0^4$. Indem wir die Trivialisierung unseres B"undels geeignet w"ahlen,
d"urfen wir sogar $\Phi(x,y,0,0)=\op{id}$ annehmen und damit auch 
$\Phi(0,0,u,v)=\op{id}$ und $\Phi(x,0,0,v)=\op{id}$. Unter dieser
zus"atzlichen Annahme erhalten wir also 
$$h''(0)=2\Phi_{yu}(0^4)$$
Um das nun in Beziehung zu unseren Christoffelsymbolen zu setzen
beachten wir, da"s nach Annahme gilt $\Phi
(0,y,0,0)=\op{id}$. Aus der Horizontalit"atsbedingung \ref{PaKo} folgt
dann $\Phi
(0,y,u,0)(\op{e}_\lambda )=\sum_\kappa  f_{\lambda \kappa }(y,u) \op{e}_\kappa $ f"ur Funktionen $f_{\lambda \kappa }(y,u)$,
die nach unserer  Horizontalit"atsbedingung \ref{PaKo} f"ur alle $y$ die
Differentialgleichung 
$$\partial_uf_{\lambda \kappa }(y,u)=
-\sum_{\rho }\Gamma_{1\rho }^\kappa (-u,y,0^n)\;f_{\lambda \rho }(y,u)$$
erf"ullen  mit den Anfangswerten
$f_{\lambda \kappa }(y,0)=\delta_{\lambda \kappa }$. So finden wir dann
$$\Phi_{yu}(0^4)
(\op{e}_\lambda )=\sum_\kappa  (\partial_y\partial_uf_{\lambda \kappa })(0,0) \op{e}_\kappa =
-\sum_{\kappa }(\partial_2\Gamma_{1\lambda }^\kappa) (0^{2+n})\op{e}_\kappa $$
Andererseits
haben wir mit unseren speziellen Wahlen $\Gamma_{2\rho}^\kappa=\delta_{\rho,\kappa}$,
weil ja unsere Basisschnitte $\eta_\rho$ horizontal sind f"ur $\partial_2$,
und $\Gamma_{1\rho}^\kappa(x,0,0^n)=\delta_{\rho,\kappa}$, weil ja unsere Basisschnitte $\eta_\rho$ horizontal sind f"ur $\partial_1$
l"angs der ersten Koordinatenachse. 
Damit liefert die Definition des Kr"ummungstensors \ref{nKKKA} ebenfalls
$$R(\partial_1,\partial_2)(\op{e}_\lambda)=
-\sum_\kappa(\partial_2\Gamma_{1\lambda }^\kappa) (0^{2+n})\op{e}_\kappa$$
Das aber war gerade unsere Behauptung.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Schiefsymmetrien des  Kr"ummungstensors einer Metrik}] 
  Gegeben ein mehrpunktiges reelles Intervall $I$ und
  ein endlichdimensionaler Vektorraum $V$ mit
  einer Bilinearform $g$ und eine 
  glatte Kurve $h:I\ra \op{End}(V)$ mit
  $h(0)=\op{id}$ und $h'(0)=0$
  und $g(h(t)v,h(t)w)=g(v,w)\;\forall v,w\in V$ gilt
  $$g(h''(0)v,w)+g(v,h''(0)w)=0\quad\forall v,w\in V$$
  Das rechnet man unschwer nach. F"ur den Kr"ummungstensor $R$
  einer pseudoriemannschen Mannigfaltigkeit $(M,g)$ liefert das
  im Lichte unserer anschaulichen Beschreibung \ref{nKZHF} des
  Kr"ummungstensors die Identit"at
  $$g(R(u,z)v,w)+g(v,R(u,z)w)=0\quad\forall v,w,u,z\in {\op{T}}_xM,\; x\in M$$
  Schreiben wir in lokalen Koordinaten 
  $R_{ijkl}\pdef g(R(\partial_i,\partial_j)\partial_k, \partial_l)$, so bedeutet diese Identit"at die Schiefsymmetrie
  $R_{ijkl}=-R_{ijlk}$ bei Vertauschung der beiden hinteren
  Indizes. Dazu erinnern wir an
  die Schiefsymmetrie
  $R_{ijkl}=-R_{jikl}$ bei Vertauschung der beiden vorderen
  Indizes, die sich direkt aus der Definition ergibt. Koordinatenfrei gesagt
  ist unser Kr"ummungstensor nicht nur ein Schnitt des B"undels
  $\bigwedge^2{\op{T}}^\ast M\otimes \op{End}(E)$, des ist die Schiefsymmetrie
  in den beiden vorderen Indizes, je zwei Tangentialvektoren vorne wird hinten
  auch noch ein Endomorphismus des Tangentialraums zugeordnet, der zum
  Einstangentialraum der othogonalen Gruppe des Tandentialraums geh"ort, das
  ist die Schiefsymmetrie
  in den beiden hinteren Indizes.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Aus der Torsionsfreiheit des 
Kr"ummungstensors einer Metrik folgt leicht die
sogenannte {\bf erste Bianchi-Identit"at} 
 $$R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0$$
In der Tat verwandelt sie sich durch Einsetzen und zweimaliges
Anwenden der Torsionsfreiheit  direkt in die Jacobi-Identit"at.
In Koordinaten ausgedr"uckt besagt sie
$R_{ijkl}+R_{jkil}+R_{kijl}=0$ bei zyklischer Vertauschung der ersten drei
Indizes.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Aus dem Vorhergehenden folgt die Symmetrie
  $R_{ijkl}=R_{klij}$. F"ur diese Rechnung lassen wir das $R$ weg und
  finden durch alternierendes Anwenden der ersten Bianchi-Identit"at
  und der Antisymmetrien und eine Addition von Null
  $$\begin{array}{lll}
ijkl&=&-jkil-kijl\\&=&\;\;jkli+kilj\\&=&-klji-ljki-ilkj-lkij+0\\&=&2klij+ljik+iljk+jilk-jilk\\&=&2klij-jilk\\&=&2klij-ijkl
  \end{array}
  $$
  Die Behauptung folgt unmittelbar.
\end{Bemerkungl}










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