\section{Moduln "uber der Weylalgebra} \subsection{Erste Eigenschaften der Weylalgebra} \begin{Bemerkungl} Es ist sinnvoll, bei der Entwicklung der Grundlagen mit einem beliebigem K"orper $K$ der Charakteristik Null zu arbeiten. Im weiteren Verlauf dieser Vorlesungen wird diese Allgemeinheit insbesondere bei der L"osung der Gelfand-Vermutung \ref{GeVer} ben"otigt, bei der man mit dem Funktionenk"orper $K=\DC(\lambda)$ arbeitet. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $K$ ein K"orper der Charakteristik $\op{char}(K)=0$. Die von den Multiplikationen\label{Weya} mit Variablen $x_i$ und den partiellen Ableitungen $\partial_i$ erzeugte $K$-Unterringalgebra der Endomorphismenalgebra des Polynomrings hei"st die {\bf $n$-te Weylalgebra}\index{Weylalgebra}\index{A@$A_n$ Weylalgebra} $$A_n=A_n(K)\pdef K\lfloor x_1, \ldots, x_n, \partial_1, \ldots, \partial_n \rfloor\subset \op{End}_{K} K [x_1, \ldots , x_n]$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konventionen zur Notation}] Es f"uhrt leicht zu Verwirrung, da"s in der im folgenden entwickelten Theorie die $x_i$ und allgemeinere Polynome mal als Elemente des Polynomrings $K [x_1, \ldots , x_n]$ aufgefa"st werden und dann wieder als Multiplikationsoperatoren, also gewisse Elemente des Endomorphismenrings $\op{End}_{K} K [x_1, \ldots , x_n]$ unseres Polynomrings. Beim Rechnen mit Differentialoperatoren begegnet man insbesondere der Schwierigkeit, da"s der Ausdruck $\partial_i Q$ sowohl interpretiert werden kann als das Polynom, das aus $Q$ durch partielles Ableiten nach der $i$-ten Variablen entsteht, als auch als der Differentialoperator \glqq multipliziere erst mit $Q$ und leite dann partiell ab\grqq. Ich werde der Konvention folgen, nach der algebraische Differentialoperatoren a priori stets in der Form \glqq in Schreibrichtung zuerst die polynomialen Koeffizienten, dann die Monome in den partiellen Ableitungen\grqq\ notiert werden, so da"s man bei umgekehrter Reihung vom Anwenden auf ein Polynom ausgehen kann. Ich deute durch Klammern an, wenn sich dieses Anwenden einer partiellen Ableitung nur auf einen Teil der rechts davon stehenden Symbole beziehen soll. Wenn ich besonders betonen will, da"s mit $Df$ das Anwenden eines Differentialoperators $D$ auf eine Funktion $f$ gemeint ist, so schreibe ich\index{\mid@$(D{\mid}f)$ Anwenden von Differentialoperator} $$(D|f)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Pr"asentation der Weylalgebra}] Gegeben ein K"orper $K$ der Charakteristik $\op{char}(K)=0$ und $n\in\DN$ gilt: \begin{enumerate} \item Die Differentialoperatoren $x^\alpha \partial^\beta$ f"ur Multiindizes $\alpha, \beta \in \mathbb N^n$ bilden eine $K$-Basis der $n$-ten Weylalgebra "uber $K$; \item Die $n$-te Weylalgebra kann beschrieben werden als die $K$-Ringalgebra, die erzeugt wird von den $2n$ Erzeugern $x_1, \ldots, x_n, \partial_1, \ldots, \partial_n$ mit den Relationen $[x_i,x_j]=0=[\partial_i,\partial_j]$ und $[\partial_i, x_j]=\delta_{ij}$ im Sinne von \eref{ErAA}{NAS}. \end{enumerate}\label{StrW} \end{Proposition} \begin{proof} In der Weylalgebra gelten sicher unsere Relationen $x_i x_j = x_j x_i$, $\partial_i \partial_j = \partial_j \partial_i$, $\partial_i x_j = x_j \partial_i$ f"ur $i \neq j$ und \begin{equation*} \partial_i x_i = x_i \partial_i +1 \end{equation*} Zum Beispiel pr"ufen wir die letzte Relation, indem wir f"ur jedes Polynom $P\in K [x_1, \ldots , x_n]$ die Identit"at $$\partial_i (x_iP) = x_i (\partial_i P) +P$$ nachweisen, und diese folgt aus der Produktregel. Es ist klar, da"s wir allein unter Zuhilfenahme obiger Relationen jedes Monom in den $x_i$ und $\partial_j$ als Linearkombination gewisser $x^\alpha \partial^\beta$ schreiben k"onnen. Folglich bilden diese $x^\alpha \partial^\beta$ ein Erzeugendensystem der Weylalgebra als $K$-Vektorraum, ja sogar ein Erzeugendensystem der in Teil 2 durch Erzeuger und Relationen erkl"arten $K$-Ringalgebra. Wenn wir f"ur dieses Erzeugendensystem der Weylalgebra die lineare Unabh"angigkeit zeigen, ist die Proposition bewiesen. Dazu gehen wir aus von einer verschwindenden Linearkombination $ 0 = \sum_{\alpha,\beta} c_{\alpha\beta} x^\alpha \partial^\beta $ alias \begin{equation*} 0 = \sum P_{\beta} \partial^\beta \end{equation*} mit Polynomen $P_\beta=\sum_\alpha c_{\alpha\beta} x^\alpha\in K[x]$. W"aren nicht alle $P_{\beta}$ Null, so g"abe es $\gamma$ maximal in der Produktordnung mit $P_{\gamma} \neq 0$. Wenden wir nun unsere Linearkombination auf $x^{\gamma}$ an, so ergibt sich $0=\gamma!P_{\gamma}$ im Widerspruch zu unserer Annahme. \end{proof} \begin{Beispiel} In der Weylalgebra in einer Variablen stellen wir $x\partial x \partial x$ in der Basis $(x^i \partial^j)_{i,j \in \mathbb N}$ aus der Proposition dar. Wir finden \begin{eqnarray*} x \partial x \partial x & = & x(x \partial +1) (x \partial +1)\\ &=& x(x \partial x \partial + 2 x \partial +1)\\ &=& x^2 (x \partial +1) \partial + 2 x^2 \partial +x\\ &=& x^3 \partial^2 + 3 x^2 \partial +x \end{eqnarray*} In diesem Beispiel ist auch der Beweis der linearen Unabh"angigkeit der der $x^i \partial^j$ besonders transparent: Gilt $\sum c_{ij} x^i \partial^j =0$ und w"aren nicht alle $c_{ij} = 0$, so k"onnten wir $k$ maximal finden derart, da"s nicht alle $c_{ik}$ verschwinden. Wenn wir aber dann unseren Differentialoperator auf $x^{k}$ anwenden, so k"ame $k! \sum c_{ik} x^j$ und nicht Null heraus. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Sei $K$ ein K"orper der Charakteristik Null und $P\in K [x_1, \ldots , x_n]$ ein Polynom. Die von den Multiplikationen mit Ringelementen und den partiellen Ableitungen $\partial_i$ erzeugte Unteralgebra der Endomorphismenalgebra des\label{lokW} lokalisierten Polynomrings nennen wir eine {\bf lokalisierte Weylalgebra}\index{Weylalgebra!lokalisierte} und notieren sie $$A_n\lfloor P^{-1}\rfloor\pdef K\lfloor x_1, \ldots, x_n, P^{-1},\partial_1, \ldots, \partial_n \rfloor\subset \op{End}_{K} K [x_1, \ldots , x_n, P^{-1}]$$ Man zeige, da"s $A_n\lfloor P^{-1}\rfloor$ "uber $K [x_1, \ldots , x_n, P^{-1}]$ ein freier Linksmodul und ein freier Rechtsmodul ist, jeweils mit den Monomen $\partial^\alpha$ in den partiellen Ableitungen als Basis. \end{Ubung} \subsection{Moduln "uber der Weylalgebra} \begin{Bemerkungl}[\textbf{$A_n$-Moduln und Differentialgleichungen}] Einige offensichtliche Moduln "uber der komplexen Weylalgebra $A_1 = \mathbb C \lfloor x, \partial\rfloor$ sind Funktionenr"aume wie etwa der Raum $F=\mathcal C^\infty (V)$ aller glatten komplexwertigen Funktionen auf einer beliebigen offenen Teilmenge $V \co \mathbb R$ oder der Raum $F=\mathcal O^{\op{an}} (U)$ aller holomorphen Funktionen auf einer offenen Teilmenge $U \co \mathbb C$. Gegeben eine Matrix von Differentialoperatoren $D \in {\op{Mat}} (r \times s; A_n)$ liefert die Rechtsmultiplikation mit $D$ einen Homomorphismus \begin{equation*} A^r_n \overset{\cdot D}{\rightarrow} A^s_n \end{equation*} von freien $A_n$-Linksmoduln, deren Elemente wir hierf"ur als Zeilenvektoren auffassen. Der Kokern $\op{cok}=\op{cok} (\cdot D)$ ist dann auch ein $A_n$-Linksmodul und f"ur jeden weiteren $A_n$-Modul $F$ liefert die exakte Sequenz \begin{equation*} A^r_n \overset{\cdot D}{\rightarrow} A^s_n \twoheadrightarrow \op{cok} \end{equation*} eine exakte Sequenz \begin{equation*} F^r \overset{D \cdot}{\leftarrow} F^s \hookleftarrow \op{Hom}_{A_{n}} (\op{cok},F) \end{equation*} In der letzten Sequenz haben wir dabei Elemente von $F^s, F^r$ als Spaltenmatrizen aufgefa"st. Denken wir uns $F$ als einen Raum von Funktionen, so erhalten wir mithin einen Isomorphismus \begin{equation*} \op{Hom}_{A_{n}} (\op{cok} , F) \sira \op{ker} ((D\cdot) : F^s \rightarrow F^r) \end{equation*} unseres Raums von Homomorphismen von $A_n$-Moduln mit dem Raum der L"osungen in $F^s$ des Systems von Differentialgleichungen $D$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Ist etwa $r = s= n =1$ und $D = \partial -1$, so erhalten wir speziell $\op{ker} (D : F \rightarrow F) = \{f \in F \mid \partial f = f\}$ und f"ur $F \pdef \mathcal C^\infty (\mathbb R)$ w"are die Funktion $\op{exp}$ eine $\mathbb C$-Basis des L"osungsraums. Dahingegen h"atte unsere Differentialgleichung keine L"osung in $F = \mathbb C [x]$. Das deutet an, wie man im Rahmen der Theorie der Differentialmoduln gewisse transzendente Funktion algebraisch behandeln kann: Indem man nicht mit den Funktionen selber rechnet, sondern mit den Differentialgleichungen, die besagte Funktion erf"ullen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Von einer Diracfunktion erzeugter $A_n$-Modul}] Sei $K$ ein K"orper der Charakteristik $\op{char}(K)=0$. Die Darstellung der Weylalgebra $A_n=A_n(K)$ durch Erzeuger und Relationen zeigt, da"s es einen Isomorphismus von Ringalgebren $A_n \sira A_n$ gibt mit $x_i \mapsto \partial_i$ und $\partial_i \mapsto -x_i$. Man nennt ihn auch den {\bf Fourier-Iso\-mor\-phis\-mus},\index{Fourier-Isomorphismus} da er, wie in \eref{KoDF}{AN3} erkl"art, von einigen Normalisierungen abgesehen die \glqq Konjugation von Differentialoperatoren auf Schwartzfunktionen mit der Fouriertransformation\grqq\ beschreibt. Indem wir die Operation mit diesem Isomorphismus zur"uckziehen, erhalten wir zu jedem $A_n$-Modul einen weiteren $A_n$-Modul. Zum Beispiel wird $$A_n/ (A_n \partial_1 + \ldots + A_n \partial_n) \cong K [x_1, \ldots x_n]$$ unter dem Fourier-Isomorphismus zu dem $A_n$-Modul $A_n / (A_n x_1 + \ldots + A_n x_n)$, der frei ist mit Basis $\overline 1$ "uber $K[\partial_1, \ldots, \partial_n]$ und den wir schlicht $K[\partial_1, \ldots , \partial_n]$ notieren. Er kann im Fall $K=\DC$ auch beschrieben werden als der Untermodul des Differentialmoduls $\mathcal C^{-\infty} (\mathbb R^n)$ der verallgemeinerten Funktionen auf $\mathbb R^n$, der erzeugt wird von der \glqq Dirac'schen $\delta$-Funktion am Ursprung\grqq. \end{Bemerkungl} %\subsection{Beispiele f"ur Moduln "uber der Weylalgebra} \begin{Beispiel}[\textbf{Irregul"are Singularit"at im Unendlichen}] "Uber der Weylalgebra $K \lfloor x,\partial\rfloor$ mag man f"ur jedes $\lambda \in K$ den Modul\label{exd} \begin{equation*} K [x]\op{e}^{\lambda x} \end{equation*} betrachten. Das Symbol ${\op{e}}^{\lambda x}$ ist hier nur als phantasievolle Bezeichnung f"ur einen Erzeuger dieses freien $K [x]$-Moduls zu verstehen, die andeutet, wie $\partial$ operieren soll. Formal-algebraisch k"onnen wir unseren Modul auch beschreiben als den Quotienten der Weylalgebra nach dem von $(\partial - \lambda)$ erzeugten Linksideal. Der Modulhomomorphismus $A_1\ra K[x]\op{e}^{\lambda x}$ mit $1\mapsto \op{e}^{\lambda x}$ ist in anderen Worten ein Kokern von $(\cdot(\partial - \lambda):A_1\ra A_1)$, und das Betrachten des Bildes unseres Erzeugers $\op{e}^{\lambda x}$ liefert f"ur jeden $A_1$-Modul $F$ einen nat"urlichen Isomorphismus $$\op{Hom}_{A_1}(K[x]\op{e}^{\lambda x},F) \sira \{f\in F\mid \partial f=\lambda f\}$$ Unsere Moduln $K[x]\op{e}^{\lambda x}$ werden sich f"ur $\lambda\neq 0$ sp"ater als die einfachsten Beispiele f"ur den Fall einer \glqq irregul"aren Singularit"at im Unendlichen\grqq\ erweisen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Analytifizierung der $A_1$-Moduln $\mathbb C [x]\op{e}^{\lambda x}$}] Man kann f"ur $U\co\DC$ auch die Algebra der Differentialoperatoren auf $U$ mit holomorphen alias analytischen Koeffizienten $A^{\op{an}}_1(U)\pdef\bigoplus_{i=0}^\infty\mathcal O^{\op{an}}(U)\partial^i$ einf"uhren. In diesem Zusammenhang verwendet man f"ur die Variable "ublicherweise den Buchstaben $z$. Man zeigt leicht, da"s die Erweiterung der Skalare $\mathcal O^{\op{an}}(U) \otimes_{\mathbb C [z]}$ in nat"urlicher Weise $A_1$-Moduln zu $A^{\op{an}}_1(U)$-Moduln macht. Im Fall $U=\DC$ hei"st diese Erweiterung der Skalare die \glqq Analytifizierung unseres $A_1$-Moduls\grqq. F"ur unseren oben betrachteten Modul $\mathbb C [x]\op{e}^{\lambda x}$ liefert das Auffassen des formalen Symbols $ \op{e}^{\lambda z}$ als holomorphe Funktion zusammen mit der Multiplikation $f\otimes g\mapsto fg$ f"ur alle $\lambda\in\DC$ einen Isomorphismus von $A^{\op{an}}_1(U)$-Moduln $$\mathcal O^{\op{an}}(U)\otimes_{\mathbb C [z]}\mathbb C [z]\op{e}^{\lambda z} \sira O^{\op{an}}(U)$$ Das gilt insbesondere auch im Fall $U=\DC$. Die Analytifizierungen unserer $A_1$-Moduln $\mathbb C [z]\op{e}^{\lambda z}$ h"angen also bis auf Isomorphismus von $\lambda$ gar nicht ab. Vor dem "Ubergang zur Analytifizierung sind unsere $A_1$-Moduln $\mathbb C [z]\op{e}^{\lambda z}$ jedoch paarweise nicht isomorph. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}[\textbf{Monodromie um den Ursprung}] "Uber der Weylalgebra $\mathbb C \lfloor x,\partial\rfloor$ mag man f"ur $\lambda \in \mathbb C$ auch den Modul $$\mathbb C [x,x^{-1}]x^\lambda$$ betrachten. Wieder ist das Symbol $x^\lambda$ nur eine phantasievolle Bezeichnung f"ur einen Erzeuger dieses freien $\mathbb C [x,x^{-1}]$-Moduls, die die korrekte Definition der $\partial$-Opera\-tion suggerieren mag. In diesem Fall kann unser Modul formal-algebraisch als Quotient der in \ref{lokW} eingef"uhrten lokalisierten Weylalgebra $\mathbb C \lfloor x, x^{-1}, \partial\rfloor=A_1\lfloor x^{-1}\rfloor$ nach dem von $x \partial - \lambda$ erzeugten Linksideal konstruiert werden.\label{Ehln} Mehr dazu in den "Ubungen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Analytifizierung von $\mathbb C [x,x^{-1}]x^\lambda$}] Der Modul aus dem vorhergehenden Beispiel \ref{Ehln} hat auch nach Analytifizierung alias Anwenden von $\mathcal O^{\op{an}} (\mathbb C^\times) \otimes_{\mathbb C [x,x^{-1}]}$ keine globalen flachen alias von $\partial$ annullierten Schnitte, es sei denn wir haben $\lambda \in \mathbb Z$, denn andernfalls werden die lokal definierten flachen Schnitte $z^\lambda = \op{exp} (\lambda \op{log} z)$ bei holomorpher Fortsetzung einmal rund um den Ursprung $\op{exp} (2 \pi {\op{i}} \lambda)$-fache von sich selber. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}[\textbf{Unipotente Monodromie um den Ursprung}] Man kann auch den $\DC\lfloor x, x^{-1}, \partial\rfloor$-Modul $$\mathbb C [x,x^{-1}] \oplus \mathbb C [x,x^{-1}](\log x)$$ betrachten, wieder mit $(\log x)$ als formalem Symbol. Er ist frei vom Rang $2$ "uber $\mathbb C [x,x^{-1}]$ und hat $\mathbb C [x,x^{-1}]$ als Untermodul. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Analytifizierung von $\mathbb C [x,x^{-1}]\oplus \mathbb C [x,x^{-1}](\log x)$}] Der Modul aus dem vorhergehenden Beispiel \ref{Ehln} hat auch nach Analytifizierung alias Anwenden von $\mathcal O^{\op{an}} (\mathbb C^\times) \otimes_{\mathbb C [x,x^{-1}]}$ au"ser den konstanten Funktionen keine globalen flachen alias von $\partial$ annullierten Schnitte. Er besitzt jedoch die lokal definierten flachen Schnitte $ \op{log} z$ f"ur beliebige Zweige des Logarithmus, die sich bei holomorpher Fortsetzung einmal rund um den Ursprung um die Addition von $2 \pi {\op{i}}$ "andern. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}[\textbf{Algebraische Zusammenh"ange auf der Gerade}] Sei $K$ ein K"orper der Charakteristik $\op{char}(K)=0$. Jeder $A_1$-Modul, der endlich erzeugt ist "uber $K[x]$ vom Rang Eins, ist isomorph zu genau einem der Moduln \begin{equation*} K[x] {\op{e}}^g \end{equation*} mit $g \in x K [x]$, die in der hoffentlich offensichtlichen Weise definiert sind. Formal k"onnen wir unsere Moduln beschreiben als die Quotienten $ A_1/ A_1 (\partial - g^\prime) $. Sie sind in der Weise zu verstehen, da"s auf dem Erzeuger ${\op{e}}^g$ unser $\partial$ wirkt durch $\partial : {\op{e}}^g \mapsto g^\prime {\op{e}}^g$. Zwischen zweien dieser Moduln mit verschiedenen $g$ gibt es keine Homomorphismen ungleich Null. In der Tat wird jeder solche Homomorphismus \begin{equation*} \varphi : K[x]{\op{e}}^g \rightarrow K [x] {\op{e}}^f \end{equation*} festgelegt durch $\varphi ({\op{e}}^g)$, das wir als $\varphi ({\op{e}}^g) = P {\op{e}}^f$ ansetzen d"urfen mit $P \in K[x]$. Die Bedingung $\varphi (\partial {\op{e}}^g) = \partial \varphi ({\op{e}}^g)$ liefert unmittelbar $g^\prime P {\op{e}}^f = P^\prime {\op{e}}^f + Pf^\prime {\op{e}}^f$ alias $P (g^\prime - f^\prime) = P^\prime$. Das hinwiederum ist nur m"oglich f"ur $P =0$ alias $\varphi = 0$ oder $g^\prime = f^\prime$ alias $g = f$ und $P$ konstant. Sobald wir unsere Moduln analytifizieren, werden sie jedoch paarweise isomorph. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Als $\mathbb C \lfloor x, x^{-1}, \partial\rfloor$-Moduln sind $\mathbb C [x,x^{-1}]x^\lambda$ und $\mathbb C [x,x^{-1}]x^\mu$ stets einfach und sind isomorph genau dann, wenn gilt $\lambda-\mu\in \DZ$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Als $\mathbb C \lfloor x, \partial\rfloor$-Modul ist $\mathbb C [x,x^{-1}]x^\lambda$ genau dann einfach, wenn gilt $\lambda\not\in \DZ$. In diesem Fall sind $\mathbb C [x,x^{-1}]x^\lambda$ und $\mathbb C [x,x^{-1}]x^\mu$ genau dann isomorph, wenn gilt $\lambda-\mu\in \DZ$. Weiter sind alle $\mathbb C [x,x^{-1}]x^n$ f"ur $n\geq 0$ paarweise isomorph und desgleichen alle $\mathbb C [x,x^{-1}]x^n$ f"ur $n< 0$. Alle haben die L"ange zwei und dieselben einfachen Subquotienten $\DC[x]$ und $\DC[\partial]$, aber in umgekehrter Reihenfolge. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Die Kategorie aller Moduln $M$ endlicher L"ange "uber der Weylalgebra $\mathbb C \lfloor z, \partial\rfloor$, in denen als einfache Subquotienten nur Kopien von $\mathbb C [z]$ und $\mathbb C [\partial]$ auftreten, ist "aquivalent zur Kategorie aller endlichdimensionalen komplexen Darstellungen des K"ochers \begin{displaymath} \xymatrix{ \bullet \ar @/^/ @{->}[r]^-a \ar @/_/ @{<-}[r]_-b & \bullet } \end{displaymath} mit $ab$ nilpotent. Genauer ist der Funktor, der $M$ das Diagramm \begin{equation*} \op{Hau} (z \partial; 0)\begin{array}{c} \overset{\partial}{\rightarrow}\\[-2ex] \underset{z}{\leftarrow} \end{array} \op{Hau} (\partial z; 0) \end{equation*} zuordnet, eine "Aquivalenz zwischen besagten Kategorien. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Weylalgebra-Moduln als Schmelzkategorie}] Sei $K$ ein K"orper. Gegeben $A_n(K)$-Moduln $M_1,\ldots,M_r,N$ erkl"aren wir eine\label{WMS} Verschmelzung $\varphi:M_1\curlyvee\ldots\curlyvee M_r\ra N$ als eine $K[x_1,\ldots, x_n]$-multilineare Abbildung mit der Eigenschaft, da"s f"ur alle $i$ gilt $$\partial_i\varphi(m_1,\ldots,m_r)= \varphi(\partial_i m_1,\ldots,m_r)+\ldots+\varphi( m_1,\ldots,\partial_im_r)$$ Insbesondere ist eine Leerverschmelzung ein Element $n\in N$ mit $\partial_i n=0\;\forall i$. Mit der offensichtlichen Multiverkn"upfung erhalten wir eine Schmelzkategorie mit universellen Verschmelzungen und internem Hom. Eine universelle Leerverschmelzung ist dann $\{\ast\}\ra K[x_1,\ldots, x_n]$ mit $\ast\mapsto 1$. Eine universelle Zweiverschmelzung ist die universelle Zweiverschmelzung der Schmelzkategorie der Moduln "uber unserem Polynomring $M\times N\ra M\otimes_{K[x_1,\ldots, x_n]} N$ mit der Struktur als $A_n$-Modul gegeben durch $$\partial_i(m\otimes n)\pdef (\partial_im)\otimes n+m\otimes(\partial_i n)$$ Ein Monoid-Objekt in der Schmelzkategorie der Moduln "uber der Weylalgebra $A_n(K)$ nennt man, zumindest im Fall $K=\bar K$, auch eine {\bf $\mathcal D$-Algebra auf der Variet"at $K^n$}.\index{D@$\mathcal D$-Algebra!auf $K^n$} \end{Ubunge} \subsection{Grundlegende Eigenschaften der Weylalgebra} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an den Formalismus filtrierter und graduierter Gruppen und Ringe aus \eref{FuG}{KAG}. Sei $K$ ein K"orper der Charakteristik $\op{char}(K)=0$.\label{AGFF} Die Weylalgebra $A_n$ "uber $K$ besitzt zwei nat"urliche Filtrierungen: \begin{enumerate} \item Die \defind{Bernstein-Filtrierung} erkl"art durch \begin{equation*} B^{\leq k} A_n \pdef \langle x^{\alpha} \partial^\beta \mid |\alpha| + |\beta| \leq k\rangle \end{equation*} \item Die \defind{geometrische Filtrierung} oder \defind{Filtrierung nach dem Grad eines Differentialoperators} erkl"art durch \begin{equation*} G^{\leq k} A_n \pdef \langle x^\alpha \partial^\beta \mid |\beta| \leq k\rangle \end{equation*} \end{enumerate} Beide Filtrierungen machen die Weylalgebra zu einem filtrierten Ring im Sinne von \eref{AFR}{KAG}, ja zu einer filtrierten $K$-Ringalgebra. Die Bernsteinfiltrierung hat den Vorteil, da"s ihre Subquotienten endlichdimensional sind. Die geometrische Filtrierung hat den Vorteil, da"s sie sich in nat"urlicher Weise auf unsere lokalisierten Weylalgebren $A_n\lfloor P^{-1}\rfloor$ fortsetzen l"a"st. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Assoziierte Graduierte der Weylalgebra}] F"ur die Bernsteinfiltrierung erhalten wir einen Isomorphismus\label{AGWW} \begin{equation*} K [x_i , y_i| 1\leq i \leq n] \;\sira \; \op{gr}_B A_n \end{equation*} mit $x_i \mapsto \bar{x}_i$ und $y_i \mapsto \bar{\partial}_i$. Hier steht links der Polynomring mit seiner "ublichen Graduierung, die durch $\op{grad} x_i = \op{grad} y_i =1$ festgelegt wird. F"ur die geometrische Filtrierung erhalten wir auch einen Isomorphismus \begin{equation*} K[x_i, y_i | 1 \leq i \leq n] \;\sira \; \op{gr}_G A_n \end{equation*} mit $x_i \mapsto \bar{x_i}$ und $y_i \mapsto \bar{\partial}_i$, aber diesmal steht links der Polynomring mit der Graduierung, die durch $\op{grad} x_i = 0$ und $\op{grad} y_i =1$ festgelegt wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Weylalgebra ist nach \eref{NTGR}{KAG} ein Integrit"atsring, da ihre assozierte Graduierte f"ur eine aussch"opfende Hausdorff'sche Filtrierung ein Integrit"atsring ist. Ebenso zeigt \eref{NoeG}{KAG}, da"s unsere Weylalgebra noethersch ist, da ihre assoziierte Graduierte f"ur eine aussch"opfende bei Null beginnende Filtrierung noethersch ist. F"ur beide Argumente k"onnen wir beide Filtrierungen gleicherma"sen verwenden. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Zentrum der Weylalgebra}] Das Zentrum der Weylalgebra besteht nur aus den Skalaren.\label{ZWW} \end{Proposition} \begin{proof} Ist $a\in A_n$ gegeben mit $[\partial_\nu,a]=0$ f"ur alle $\nu$, so folgt, da"s in einer Darstellung $a=\sum a_\beta \partial^\beta$ mit polynomialen Koeffizienten $a_\beta$ diese Koeffizienten alle konstant sein m"ussen, in Formeln $a\in K[\partial_1,\ldots,\partial_n]$. Dann folgt \glqq fourierdual\grqq\ aus $[x_\nu,a]=0$ f"ur alle $\nu$, da"s $a$ bereits selbst eine Konstante sein mu"s. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Einfachkeit der Weylalgebra}] Die Weylalgebra $A_n$ ist ein einfacher Ring, besitzt also keine echten von Null verschiedenen zweiseitigen Ideale. \end{Proposition} \begin{proof} Ist $I\subset A_n$ ein von Null verschiedenes Ideal $I\neq 0$, so gibt es ein kleinstes $k$ mit $B^{\leq k}\cap I\neq 0$ und dann in diesem Schnitt ein von Null verschiedenes\label{WeyE} Element $a\neq 0$. Im Fall $k=0$ folgt $I=A_n$ und wir sind fertig. Sonst bemerken wir $[\partial_\nu,a]\in B^{\leq k-1}\cap I$ und damit $[\partial_\nu,a]=0$ f"ur alle $\nu$. Ebenso folgern wir auch $[x_\nu,a]=0$ f"ur alle $\nu$. Zusammen folgt aber dann, da"s $a$ im Zentrum der Weylalgebra liegt und nach \ref{ZWW} doch konstant sein mu"s. \end{proof} \subsection{Bernsteindimension und Multiplizit"at} \begin{Satz}[\textbf{Bernsteindimension und Multiplizit"at}] Sei $K$ ein K"orper der Charakteristik $\op{char}(K)=0$. Seien $n\in\DN$ und $M$ ein endlich erzeugter $A_n$-Modul. \begin{enumerate} \item F"ur jeden endlichdimensionalen erzeugenden Untervektorraum $E\subset M$ gibt es ein Polynom $P=P_{M,E}\in\DQ[t]$ mit $\op{dim} \langle (B^{\leq i} A_n) E\rangle=P(i)$ f"ur $i\gg 0$; \item Der Grad und der Leitkoeffizient diese Polynoms $P$ h"angen nicht von der Wahl des endlichdimensionalen erzeugenden Untervektorraums $E\subset M$ ab. Wir nennen den Grad von $P$ die \emph{\bf Bernstein-Dimension von $M$}\index{Bernstein-Dimension} und notieren sie $\op{bdim}(M)$. \index{bdim@$\op{bdim}$ Bernstein-Dimension} \item Hat unser Polynom $P$ die Gestalt $a_d t^d+a_{d-1}t^{d-1}+\ldots+a_0$, so ist das Produkt $d!a_d$ eine nat"urliche Zahl. Wir nennen sie die \emph{\bf $d$-Multiplizit"at von $M$}\index{Multiplizit"at} und notieren sie $\op{mult}^d(M)$. \index{mult@$\op{mult}$ Multiplizit"at} Im Fall $d=\op{bdim}(M)\geq 0$ hei"st sie die \emph{\bf Multiplizit"at von $M$} und wir notieren sie $\op{mult}(M)$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Beispiel} Wir haben $\op{bdim} M = -\infty$ genau dann, wenn $M$ der Null\-modul ist. Wir haben $\op{bdim} M = 0$ genau dann, wenn $M$ nicht der Nullmodul, aber als Vektorraum endlichdimensional ist. Im letzteren Fall ist $\op{mult}(M)$ die Dimension von $M$ als Vektorraum und in beiden F"allen ist $\op{mult}^0(M)=\op{dim} M$ diese Dimension. Gegeben $d\geq 0$ und $M$ ein endlich erzeugter $A_n$-Modul mit $\op{bdim}( M)\leq d$ gilt allgemein $$\op{mult}^d(M)=0\;\;\IFF\;\; \op{bdim}( M)0$ sogar die Absch"atzung $\dim \Gamma^{\leq k} \leq (1+\varepsilon)((1+p) k)^n/n!$ f"ur $k\gg 0$. Wir folgern, da"s die Multiplizit"at unseres Moduls h"ochstens $(1+p)^n$ sein kann. \end{Bemerkungl} \subsection{Bernstein-Polynom und Gelfand-Vermutung} \index{Bernstein-Polynom} \begin{Satz}[\textbf{Bernstein}] Sei $K$ ein K"orper der Charakteristik $\op{char}(K)=0$. Gegeben ein Polynom $P \in K [X_1, \ldots, X_n]\backslash 0$ gibt es einen algebraischen Differentialoperator $B \in K(\lambda) \lfloor X_1, \ldots , X_n, \partial_1, \ldots , \partial_n\rfloor$ mit\label{BeDMx} \begin{equation*} B P^\lambda= P^{\lambda -1} \end{equation*} \end{Satz} \begin{proof} Wir w"ahlen den Grundk"orper $K (\lambda)$ und betrachten "uber der zugeh"origen Weylalgebra $A_n=A_n(K(\lambda))$ den Modul $K (\lambda) [X_1, \ldots, X_n, P^{-1}] P^\lambda$ aus \ref{BHOL}. Die Identit"at im Satz ist in diesem Modul zu verstehen, mit der abk"urzenden Notation $P^{\lambda +k}\pdef P^k P^\lambda$ aus \ref{BHOL}. Nach \ref{BHOL} handelt es sich um einen holonomen und mithin noetherschen Modul "uber unserer Weylalgebra. Die aufsteigende Folge der f"ur wachsende $k$ von $P^{\lambda-k} $ erzeugten Untermoduln wird folglich station"ar, und wir k"onnen f"ur hinreichend gro"ses $k$ einen Differentialoperator $A\in A_n(K(\lambda))$ finden mit $P^{\lambda-k-1} = A P^{\lambda-k}$. Substituieren von $\mu = \lambda-k$ liefert die gew"unschte Identit"at $ P^{\mu-1} = BP^{\mu} $. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Polynom $P \in K [X_1, \ldots, X_n]$ gibt es auch ein von Null verschiedenes Polynom $b \in K [\lambda]$ und einen \glqq in $\lambda$ polynomialen\grqq\ algebraischen Differentialoperator $C \in K \lfloor \lambda, X_1, \ldots , X_n, \partial_1, \ldots , \partial_n\rfloor$ mit\label{BeDM} \begin{equation*} b (\lambda) P^{\lambda} = C P^{\lambda+1} \end{equation*} Man folgert das m"uhelos aus Satz \ref{BeDMx} durch Substitution von $\lambda$ durch $\lambda+1$ und \glqq Wegmultiplizieren der Nenner\grqq\ mit einem normierten Polynom $b \in K [\lambda]$. Die Menge aller derartigen Polynome $b$ bildet offensichtlich ein Ideal im Polynomring $K[\lambda]$ und nach unseren Annahmen ist es nicht das Nullideal. Sein normierter Erzeuger hei"st das {\bf Bernstein-Polynom von $P$}.\index{Bernstein-Polynom} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Das Bernstein-Polynom eines nicht-konstanten Polynoms $P$ kann nicht konstant Eins sein, denn $P^{-1}$ kann dann nicht durch Anwenden eines algebraischen Differentialoperators aus $P$ entstehen.\label{NTBP} \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Sei nun $K=\DC$. Erzeugt $P$ das Verschwindungsideal einer glatten Hyperfl"ache, so gilt $\langle P, \partial_1 P, \dots, \partial_n P\rangle = \langle 1 \rangle$ alias eine Identit"at der Gestalt $Q_0 P + Q_1 (\partial_1 P) + \ldots + Q_n (\partial_n P)=1$ mit Polynomen $Q_i \in \mathbb C [X_1, \ldots, X_n]$. Das Anwenden von $Q_1 \partial_1 + \ldots + Q_n \partial_n$ auf $P^\lambda$ liefert $$\lambda (Q_1 (\partial_1 P) + \ldots + Q_n (\partial_n P)) P^{\lambda-1} =\lambda (1- Q_0 P) P^{\lambda -1} = \lambda P^{\lambda -1} - \lambda Q_0 P^\lambda$$ Das Anwenden von $C = Q_1 \partial_1 + \ldots + Q_n \partial_n + \lambda Q_0$ auf $P^\lambda$ liefert also $\lambda P^{\lambda -1}$ und wir k"onnen $b (\lambda) = \lambda$ nehmen. Das Bernsteinpolynom kann nach \ref{NTBP} nicht Eins sein, folglich mu"s es in diesem Fall $(\lambda +1)$ sein. \end{Beispiel} %% \begin{Beispiel} %% \emph{Noch durchsortieren!} %% Ist $ g\in \mathcal C_c (\mathbb R, \mathbb R)$ eine %% stetige Funktion mit kompaktem Tr"ager und %% $P \in C (\mathbb R, \mathbb R)$ stetig mit $P (t) > 0 \quad \forall %% t \in \op{supp} g,$ so ist %% \begin{equation*} %% z \mapsto \int^\infty_{-\infty} g (t) P (t)^z \op{dt} %% \end{equation*} %% nach \ref{VKd} eine holomorphe Funktion %% $\DC\ra\DC.$ %% \newline %% Sei $ g\in \mathcal C^\infty_c (\mathbb R, \mathbb R)$ eine %% glatte Funktion mit kompaktem Tr"ager und %% $P \in \mathbb R [X]$ ein Polynom mit $P (t) \geq 0 \quad \forall %% t \in \op{supp} g$. So l"a"st sich die a priori nur f"ur $\op{Re} z > 0$ %% definierte holomorphe Funktion %% \begin{equation*} %% z \mapsto \int^\infty_{-\infty} g (t) P (t)^z \op{dt} %% \end{equation*} %% meromorph auf ganz $\mathbb C$ fortsetzen. %% Gilt hier $P(t) > 0$ f"ur alle $ t\in \op{supp} (g)$, %% so ist unsere Funktion sogar wohldefiniert und holomorph auf ganz %% $\mathbb C$ nach \ref{VKd}. %% Hat jedoch $P$ Nullstellen im Tr"ager $\op{supp} (g)$, so kann der %% Integrand zwar f"ur $\op{Re} z > 0$ "uber einer stetigen Funktion von %% $t \in \mathbb R$ fortgesetzt werden, so da"s wir beim Integrieren wieder %% eine holomorphe Funktion zon $z$ erhalten, aber f"ur $\op{Re} z < 0$ %% gibt es Probleme. %% Diese k"onnen jedoch wie folgt gel"ost werden: Man finde ein %% Polynom $\sum a_{ijk} t^i z^k \partial_t^j$ derart, da"s %% das formale Loslassen auf $P (t)^z$ genau $b(z) P(t)^{z-1}$ liefert %% f"ur ein geeignetes Polynom $b (z)$. %% Man "uberlege sich, da"s f"ur $\op{Re} (z) > 1$ in der Tat gilt %% $\partial_t (P (t)^z) = z P^\prime (t) P(t)^{z-1}$ %% als da hei"st $\lim_{t\rightarrow a} \frac{P (t)^z}{(t-a)} =0$ %% im Fall $P (a) =0$. Das ist aber deshalb klar, da der Z"ahler betragsm"a"sig %% beschr"ankt werden kann durch eine Konstante bei etc. etc. %% \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{StT} F"ur alle $z \in \mathbb C$ mit positivem Realteil $\op{Re} z > 0$ l"a"st sich die Funktion $\mathbb R_{>0} \rightarrow \mathbb C$, $t \mapsto t^z$ durch die Vereinbarung $0^z =0$ stetig auf $\mathbb R_{\geq 0}$ fortsetzen, und dann nat"urlich auch durch Null stetig auf ganz $\DR.$ Wir notieren diese Fortsetzung $\pi_z:\DR\ra\DC$ und alternativ auch $$\pi_z:t\mapsto t^{+|z}$$ Ich denke mir dabei: Nimm erst den positiven Teil von $t$, und den dann hoch $z$. F"ur alle $z \in \mathbb C$ mit Realteil $\op{Re} z > 1$ ist diese Fortsetzung sogar eine differenzierbare Abbildung $\pi_z:\DR \rightarrow \mathbb C$ mit der Ableitung $t \mapsto z t^{+|(z-1)}$. In Formeln gilt f"ur $\op{Re} z > 1$ also $\pi_z'=z\pi_{z-1}$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Gelfand-Vermutung}] Seien $P \in \mathbb R[x_1, \ldots, x_n]$ ein Polynom und % $P^+ : \mathbb R^n $\varphi \in \mathcal C^\infty_! (\mathbb R^n)$ eine glatte komplexwertige Funktion mit kompaktem Tr"ager.\label{GeVer} So ist die \emph{\bf verallgemeinerte $\Gamma$-Funktion} $$\Gamma_{P,\varphi} :z \mapsto \int P (x)^{+|z} \varphi (x)\diff x$$ wohldefiniert und holomorph f"ur $\op{Re} z > 0$ und besitzt eine meromorphe Fortsetzung auf die ganze komplexe Zahlenebene $\mathbb C$.\index{Gelfand-Vermutung} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt allgemeiner und mit demselben Beweis f"ur jede Schwartzfunktion $\varphi$. Nehmen wir speziell $n=1$ und $P(x)=x$ und $\varphi$ eine beliebige Schwartzfunktion, die auf $[0,\infty)$ mit $x\mapsto\op{e}^{-x}$ "ubereinstimmt, so gilt $\Gamma_{P,\varphi}(z)=\Gamma(z+1)$ mit der "ublichen $\Gamma$-Funktion aus \eref{GaF}{FT1} auf der rechten Seite. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Dasselbe gilt noch allgemeiner und mit demselben Beweis auch f"ur jede Schwartzfunktion $\varphi$ und jede stetige Funktion $P^+ : \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R_{\geq 0}$, f"ur die es ein Polynom $P$ gibt mit der Eigenschaft $P^+ (x) > 0 \Rightarrow P^+ (x) = P(x)$. Die Funktion $P^+$ darf also etwa auch so gew"ahlt werden, da"s sie nur auf einer Zusammenhangskomponente der Positivstellenmenge eines reellen Polynoms mit diesem "ubereinstimmt und sonst identisch verschwindet. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Hat hier $P^+$ keine Nullstellen im Tr"ager von $\varphi,$ so definiert unser Integral nach \eref{VKdd}{FT1} und \eref{GKoc}{FT1} eine holomorphe Funktion auf der ganzen komplexen Zahlenebene $\DC.$ Ist etwas allgemeiner jede Nullstelle von $P^+$ auch Nullstelle von $\varphi,$ so gilt das immer noch und kann etwa gezeigt werden, indem wir $P^+$ durch den positiven Anteil von $P^+-\varepsilon$ ersetzen und $\varepsilon$ von oben gegen Null streben lassen. Gibt es jedoch Nullstellen $x$ von $P^+,$ an denen $\varphi$ nicht verschwindet, so ist der Integrand an diesen Stellen nur f"ur $\op{Re}z>0$ als stetige Funktion sinnvoll definiert, eben durch \ref{StT}, so da"s das Vertauschen komplexer Ableitungen mit Integralen \eref{VKdd}{FT1} und die Holomorphie von Grenzwerten von kompakt konvergenten Folgen holomorpher Funktionen\eref{GKoc}{FT1} nur Holomorphie f"ur $\op{Re}z>0$ liefern. Mit feineren Betrachtungen uneigentlicher Integrale kann man in speziellen Situationen auch noch etwas gr"o"sere Definitionsbereiche erhalten, so etwa im Fall der "ublichen $\Gamma$-Funktion aus \eref{GaF}{FT1} f"ur den Bereich, der in unserem Formalismus hier der Halbebene $\op{Re}z>-1$ entsprechen w"urde, und bis hierher sind die Algebraizit"ats-Eigenschaften von $P^+$ und die Differenzierbarkeits-Eigenschaften von $\varphi$ auch v"ollig unerheblich, Stetigkeit beziehungsweise Stetigkeit mit hinreichend schnellem Abfallen im Unendlichen w"urden v"ollig ausreichen. Um aber zus"atzlich die meromorphe Fortsetzbarkeit unserer nur f"ur $\op{Re}z>0$ definierten holomorphen Funktion zu erhalten, brauchen wir unsere st"arkeren Annahmen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Die Holomorphie unseres Integrals als Funktion von $z$ f"ur $\op{Re} z > 0$ folgt f"ur jede stetige Funktion $P^+: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R_{\geq 0}$ von h"ochstens polynomialem Wachstum mit dem Satz von Morera \eref{Mor}{FT1}. Nach dem Satz von Bernstein \ref{BeDM} gibt es ein normiertes Polynom $b \in \mathbb C [z]$ und einen algebraischen Differentialoperator $$C \in \mathbb C \lfloor z, X_1, \ldots , X_n, \partial_1, \ldots , \partial_n\rfloor$$ mit $ b (z) P^{z -1} = C P^z $ in $\mathbb C [ z, X_1, \ldots , X_n, P^{-1}]P^z$. Wir k"onnen diese Gleichung als Identit"at von komplexwertigen Funktionen auf der Menge der Positivstellen von $P$ verstehen. % Nun beachte man f"ur $\op{Re}z>1$ in den Notationen von % \ref{StT} die Identit"at % $$\partial_iP^{+|z}=\partial_i(\pi_z\circ P)=(\partial_iP)(z\pi_{z-1}\circ P) % =(\partial_iP)zP^{+|z-1}=(\partial_iP)zP^{-1}P^{+|z}$$ % von komplexwertigen Funktionen auf der Menge der Positivstellen % von $P$. F"ur $\op{Re}(z)$ gr"o"ser als der Grad unseres Differentialoperators folgt aus \ref{StT} sogar die entsprechende Differenzierbarkeit von $P^{+|z}=\pi_z\circ P$ als Funktion auf $\DR^n$. Stetigkeit beider Seiten liefert f"ur $\op{Re}(z)$ gr"o"ser als der Grad unseres Differentialoperators die Identit"at $$b (z) P^{+|z -1} = C (P^{+|z})=\sum_{i= 0}^mz^iC_i(P^{+|z})$$ von komplexwertigen Funktionen auf $\DR^n$, mit $C=\sum_{i= 0}^mz^iC_i$ der Entwicklung nach Potenzen von $z$ mit Differentialoperatoren $C_i\in \mathbb C \lfloor X_1, \ldots , X_n, \partial_1, \ldots , \partial_n\rfloor$. Durch Multiplikation mit $\varphi$ und Integrieren und das \glqq Her"uberschaffen der Differentialoperatoren $C_i$ auf $\varphi$ vermittels partieller Integrationen\grqq\ ergibt sich $$b(z)\Gamma_{P,\varphi}(z-1)=\sum_{i= 0}^mz^i\Gamma_{P,\tilde{C}_i\varphi}(z)$$ Genauer folgt das erst f"ur $\op{Re}(z)$ gr"o"ser als der Grad unseres Differentialoperators, aber dann mit dem Identit"atssatz auch auf der Halbebene $\op{Re}(z)>1.$ Hierbei ist $\tilde{C}_i$ der \glqq adjungierte\grqq\ Differentialoperator zu $C_i$, der durch das Her"uberschaffen von $C_i$ auf $\varphi$ vermittels partieller Integrationen entsteht. Jetzt k"onnen wir durch vollst"andige Induktion "uber $r$ zeigen, da"s sich alle verallgemeinerten $\Gamma$-Funktionen meromorph auf die Halbebene $\op{Re}(z)>-r$ fortsetzen lassen: Obige Identit"at liefert den Induktionsschritt. \end{proof} \subsection{Flache Zusammenh"ange} \begin{Satz}[\textbf{"Uber dem Funktionenring modulendliche Weylmoduln}] Sei $K$ ein K"orper der Charakteristik Null. Jeder $A_n$-Modul $M$, der als Modul "uber dem Polynomring $K[X_1, \ldots, X_n]$ endlich erzeugt ist, ist bereits lokal frei als Modul "uber besagtem\label{PEMW} Polynomring. \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Es ist sogar bekannt, da"s jeder endlich erzeugte lokal freie Modul "uber einem Polynomring bereits frei ist. Der Beweis ist aber nicht ganz einfach. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Gegeben\label{PEMWV} $P\in K[X_1, \ldots, X_n]$ gilt dasselbe mit demselben Beweis f"ur jeden Modul "uber der lokalisierten Weylalgebra $A_n \lfloor P^{-1}\rfloor$. Ist solch ein Modul endlich erzeugt "uber $K[X_1, \ldots, X_n, P^{-1}]$, so ist er "uber diesem Kring bereits lokal frei. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $x \in K^n$ ein Punkt und seien $s_1, \ldots, s_r \in M$ so gew"ahlt, da"s ihre Nebenklassen $\bar{s}_i$ eine $K$-Basis von $M/\frak{m}_x M$ bilden. So gibt es nach Nakayama \eref{LVN}{KAG} ein Polynom $P$ mit $P(x) \neq 0$ derart, da"s die $s_1, \ldots, s_r$ bereits $M[P^{-1}]$ als Modul "uber $K[X_1, \ldots, X_n, P^{-1}]$ erzeugen. Ich behaupte, da"s sie f"ur diese Lokalisierung sogar eine Basis bilden. Dazu m"ussen wir zeigen, da"s f"ur $g_1, \ldots, g_r \in K [X_1, \ldots, X_n, P^{-1}]$ aus \begin{equation*} g_1 s_1 + \ldots + g_r s_r =0 \end{equation*} bereits folgt $g_1 = \ldots = g_r =0$. Da die $\bar{s}_i$ eine Basis von $M/\frak{m}_x M$ bilden, folgt schon mal $g_1 (x) = \ldots = g_r (x) =0$. Wenden wir eine partielle Ableitung $\partial_\nu$ an, so folgt aber auch %\begin{equation*} $ \sum^n_{i=1} (\partial_\nu g_i) s_i + g_i (\partial_\nu s_i) =0 .$ %\end{equation*} Die induzierte Gleichung in $M/\frak{m}_x M$ lautet wegen $g_i (x) = 0 \; \forall i$ dann \begin{equation*} \sum^n_{i=1} ((\partial_\nu g_i) (x)) \bar{s}_i =0 \end{equation*} und zeigt $(\partial_\nu g_i)(x) =0$ f"ur alle $i$. "Ahnlich gilt f"ur jeden Multiindex $\alpha \in \mathbb N^n$ \begin{equation*} 0 = \partial^\alpha \left(\sum g_i s_i\right) = \sum (\partial^\alpha g_i) s_i + \sum_{\beta < \alpha} (\partial^\beta g_i) s_{\beta, i} \end{equation*} f"ur geeignete $s_{\beta,i} \in M[P^{-1}]$. Die induzierte Gleichung in $M/\frak{m}_{x} M$ liefert dann mit Induktion "uber den Betrag $|\alpha|$ unseres Multiindex $(\partial^\alpha g_i)(x) =0$ f"ur alle $i$. Da das f"ur alle Multiindizes $\alpha$ gilt, folgt $g_i = 0$ f"ur alle $i$. \end{proof} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Zusammenh"ange in der Differentialgeometrie}] Ich erinnere an den Begriff eines Zusammenhangs aus der Differentialgeometrie. \nichtfinal{\ref{ZshgV}} Gegeben eine glatte Mannigfaltigkeit $X$ und ein glattes Vektorb"undel $E$ auf $X$ versteht man darunter eine $\mathbb R$-bilineare Abbildung $ \mathcal S^\infty ({\op{T}}X) \times \mathcal S^\infty E \rightarrow \mathcal S^\infty E$, $ (\xi , \eta) \mapsto \nabla_\xi \eta $ mit der Eigenschaft, da"s f"ur alle glatten Funktionen $f \in \mathcal C^\infty_{\mathbb R} (M)$ gilt $ \nabla_{f\xi} (\eta) = f \nabla_\xi (\eta)$ und $\nabla_\xi (f\eta) = (\xi f)\eta+ f\nabla_\xi (\eta) $. Solch ein Zusammenhang hei"st \glqq flach\grqq, wenn f"ur beliebig glatte Vektorfelder $\xi, \zeta$ die Identit"at $$\nabla_{[\xi, \zeta]} = [\nabla_\xi, \nabla_{\zeta}]$$ von Endomorphismen von $\mathcal S^\infty E$ gilt. Gegeben ein glattes Vektorb"undel mit flachem Zusammenhang bilden die flachen, als da hei"st von allen Vektorfeldern annullierten lokalen Schnitte eine lokal konstante Garbe von endlichdimensionalen $\mathbb R$-Vektor\-r"au\-men auf $X$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Moduln "uber der Weylalgebra als flache Zusammenh"ange}] Ein Modul $M$ "uber der lokalisierten Weylalgebra $A_n \lfloor P^{-1}\rfloor$, der endlich erzeugt ist "uber $k[X_i, P^{-1}]$, ist nach \ref{PEMWV} bereits lokal frei "uber diesem Funktionenring und kann folglich als der \glqq Raum der algebraischen Schnitte eines algebraischen Vektorb"undels\grqq\ aufgefa"st werden. Die Operation der Vektorfelder versieht dies B"undel dann mit einem \glqq algebraischen flachen Zusammenhang\grqq. Ist der Grundk"orper $\mathbb C$, so bilden nach "Ubergang zur \glqq Analytifizierung\grqq\ die holomorphen flachen lokalen Schnitte dieses Zusammenhangs eine lokal konstante Garbe von endlichdimensionalen $\mathbb C$-Vektor\-r"au\-men. \end{Bemerkungl} \subsection{Charakteristische Variet"aten von Weylmoduln} \begin{Lemma}\label{RCH} Sei $A$ ein filtrierter Ring mit $A^{<0}=0$. Gegeben zwei \hyperref[GuFi]{gute Filtrierungen} $\Gamma^{\leq k} M$, $\Omega^{\leq k}M$ auf einem $A$-Modul $M$ und $g \in \op{Ann} ({\op{gr}}_\Gamma M)$ homogen gibt es $d \in \mathbb N$ mit $g^d \in \op{Ann} ({\op{gr}}_\Omega M)$. Ist $\op{gr}A$ kommutativ, so haben mithin $\op{Ann} ({\op{gr}}_\Gamma M)$ und $\op{Ann}( {\op{gr}}_\Omega M)$ dasselbe Radikal in $\op{gr}A$. \end{Lemma} \begin{proof} Sei $g\in \op{Ann} ({\op{gr}}_\Gamma M)$ homogen vom Grad $i$ und $a \in A^{\leq i}$ ein Repr"asentant. So gilt $a \Gamma^{\leq k} M \subset \Gamma^{\leq k + i -1} M$ f"ur alle $k$ und es folgt $a^{j} \Gamma^{\leq k} M \subset \Gamma^{\leq k + j i - j} M$ %$a^{2c +1} \Gamma^{\leq k} M \subset \Gamma^{\leq k + (2c +1) i - (2c +1)} M$ %f"ur alle $c \geq 0$. f"ur alle $j \geq 1$. Nach \ref{VGFF} k"onnen wir nun $c$ so gro"s w"ahlen, da"s gilt \begin{equation*} \Omega^{\leq k} M \subset \Gamma^{\leq k+c} M \subset \Omega^{\leq k + 2c} M \end{equation*} Dann folgt $ a^{2c +1} \Omega^{\leq k} M \subset \Gamma^{\leq k + c + (2c +1) i - (2c +1)} M \subset \Omega^{\leq k + (2c +1) i -1} M $ und daraus hinwiederum $a^{2c+1} \in \op{Ann} ({\op{gr}}_\Omega M)$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben $n\in\DN$ ist die assoziierte Graduierte der Weylalgebra zur geometrischen Filtrierung \ref{AGFF} eine affine $\DC$-Kringalgebra und in \ref{AGWW} konstruieren wir einen Isomorphismus $\DC[x_i,y_i\mid 1\leq i\leq n]\sira \op{gr}_GA_n$ von $\DC$-Ringalgebren. Er induziert auf den Maximalspektren nach \eref{MaxS}{KAG} Isomorphismen von affinen Variet"aten $$\op{Max}(\op{gr}_GA_n)\sira \op{Max}(\DC[x_i,y_i|1\leq i\leq n])\sira \DC^{2n}$$ Der letzte Isomorphismus ist dabei die Umkehrung des "ublichen Isomorphismus $X\sira \op{Max}\mathcal O(X), x\mapsto \op{ker}\delta_x$ im Fall der affinen Variet"at $X=\DC^{2n}$. Wir vereinbaren, da"s die Koordinaten dabei in der Reihenfolge $x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n$ verwendet werden. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein endlich erzeugter $A_n$-Modul $M$ erkl"aren wir die {\bf charakteristische Variet"at von $M$} als die Nullstellenmenge des Annullators des assoziierten Graduierten zu $M$ unter einer guten Filtrierung in Bezug auf die geometrische Filtrierung der Weylalgebra, in Formeln $$\op{Ch}(M)\pdef\mathcal Z(\op{Ann} (\op{gr}_\Gamma M))\As \op{Max}(\op{gr}_GA_n)\cong \DC^{2n}$$ f"ur eine und nach \ref{RCH} jede gute Filtrierung $\Gamma$ von $M$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die charakteristische Variet"at eines endlich erzeugten $A_n$-Moduls ist nach Konstruktion stabil unter \glqq Streckungen in den $y$-Koordinaten\grqq\ alias unter den Abbildungen $(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n)\mapsto (x_1,\ldots,x_n,\lambda y_1,\ldots\lambda y_n)$ f"ur alle $\lambda\in\DC$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Ein endlich erzeugter $A_n$-Modul $M$ hat als charakteristische Variet"at $\op{Ch} (M)$ die simultane Nullstellenmenge $\mathcal Z(y_1,\ldots,y_n)$ der $y$-Ko\-or\-di\-na\-ten genau dann, wenn er endlich erzeugt ist "uber $\mathbb C [x_1, \ldots, x_n]$. \end{Proposition} \begin{proof} Ist unser Modul endlich erzeugt "uber $\mathbb C [x_1, \ldots, x_n]$, so ist bereits die Ein-Schritt-Filtrierung eine gute Filtrierung und die charakteristische Variet"at ist wie behauptet. F"ur die R"uckrichtung erinnere ich $\op{gr}_G A_n = \mathbb C [x_1, \ldots x_n, y_1, \ldots , y_n]$ f"ur unsere Filtrierung nach dem Operatorgrad $G^{\leq j}A_n$. Das Verschwindungsideal des Nullschnitts ist $\langle y_1, \ldots, y_n \rangle$. Wir setzen $I = \op{Ann} (\op{gr} M)$. Gilt $\sqrt{I}=\langle y_1, \ldots, y_n \rangle$, so folgt $I \supset \langle y_1^N, \ldots, y_n^N\rangle$ f"ur $N \gg 0$. Unsere gute Filtrierung auf $M$ darf als $M^{\leq j} = (G^{\leq j} A_n ) M^{\leq 0}$ angenommen werden mit $\dim_{\DC} M^{\leq 0} < \infty$. Oben folgt $I \supset \langle y^\alpha \mid |\alpha| = n N\rangle$ und damit $\partial^\alpha M^{\leq 0} \in M^{\leq n N -1} $ f"ur $ |\alpha| = n N$. Das zeigt aber $M^{\leq n N} = M^{\leq n N -1}$ und damit stabilisiert unsere gute Filtrierung bei $M^{\leq n N -1}$. Das zeigt, da"s $M$ als $\mathbb C [x_1, \ldots x_n]$-Modul endlich erzeugt sein mu"s. \end{proof} \newpage \section{Differentialmoduln auf glatten Variet"aten} In diesem Abschnitt bezeichne, wenn nichts anderes explizit gesagt ist, $k=\bar k$ einen algebraisch abgeschlossenen K"orper der Charakteristik Null. \subsection{Differentialoperatoren auf glatten Variet"aten} \begin{Definition} Gegeben eine glatte algebraische $k$-Variet"at $X$ erkl"aren wir die Garbe $\mathcal D_X$ als die kleinste Untergarbe von $k$-Ringalgebren $$\mathcal D_X \subset \op{End}_{k} \mathcal O_X$$ der Garbe der $k$-linearen lokalen Endomorphismen der Strukturgarbe $\mathcal O_X$, die sowohl alle durch Funktionen $f\in \mathcal O_X (U)$ auf offenen Teilmengen gegebenen Multiplikationsoperatoren umfa"st als auch alle durch Vektorfelder $\xi\in \mathcal T_X (U)$ auf offenen Teilmengen gegebenen Derivationsoperatoren.\label{diffop} Die Schnitte von $\mathcal D_X$ hei"sen {\bf algebraische Differentialoperatoren}.\index{Differentialoperator!algebraischer} \end{Definition} \begin{Bemerkungw} Die Garbe der algebraischen Differentialoperatoren wird bei Grothendieck auch auf singul"aren Variet"aten und "uber Grundk"orpern beliebiger Charakteristik und sogar f"ur beliebige Schemata erkl"art. Die Definition lautet dann jedoch anders und es ist ein nichttrivialer Satz, da"s sie im Fall von glatten Variet"aten "uber algebraisch abgeschlossenen K"orpern der Charakteristik Null dasselbe liefert wie die vorgehende Definition. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokale Struktur der Garbe der Differentialoperatoren}] Gegeben eine glatte Variet"at $X$ gibt es an jeder Stelle $p\in X$ nach \eref{lrl}{KAG} ein regul"ares Parametersystem und nach dem Lemma von Nakayama dann auch auf einer offenen Umgebung $U \co X$ unseres Punktes $p$ eine Familie von regul"aren Funktionen $x_1, \ldots, x_n \in \mathcal O_X (U)$ derart, da"s die Differentiale $\diff x_1, \ldots, \diff x_n$ eine $\mathcal O_U$-Basis der Modulgarbe $\Omega^1_U$ der Kovektorfelder auf $U$ bilden. Wir nennen so eine Familie ein {\bf System von Pseudokoordinaten}.\index{Pseudokoordinaten}\label{PsKo} Die durch die Identit"at \begin{equation*} \diff f = (\partial_1 f) \diff x_1 + \ldots + (\partial_n f) \diff x_n \end{equation*} erkl"arten {\bf partiellen Ableitungen} $\partial_1, \ldots, \partial_n$ bilden dann offensichtlich eine $\mathcal O_U$-Basis der Modulgarbe $\mathcal T_U$ der Vektorfelder auf $U$. Ist $U$ zus"atzlich affin und zusammenh"angend, so liefert der Durchschnittssatz von Krull in der Form \eref{DSGe}{KAG} eine Einbettung $\mathcal O_X(U)\hra \mathcal O_X(U)^\wedge_p$ in die Vervollst"andigung und \eref{VgFF}{KAG} liefert einen Isomorphismus dieser Vervollst"andigung mit dem Potenzreihenring $k\llbracket x_1,\ldots,x_n\rrbracket$ in $n$ unabh"angigen Variablen derart, da"s sich die $\partial_i$ auf $\mathcal O_X(U)$ zu den offensichtlichen $\partial_i$ auf unserem Potenzreihenring fortsetzen. Insbesondere kommutieren die Vektorfelder $\partial_i$ paarweise auf $\mathcal O_X(U)$. Schlie"slich zeigt das Anwenden der Differentialoperatoren $\partial^\alpha$ f"ur Multiindizes $\alpha \in \mathbb N^n$ auf Monome $x^\beta$ wie im Fall der Weylalgebra beim Beweis von \ref{StrW} induktiv, da"s die $\partial^\alpha$ in diesem Fall und unter der Annahme eines Grundk"orpers der Charakteristik Null eine $\mathcal O_X(U)$-Basis von $\mathcal D_X(U)$ bilden, und zwar ebenso f"ur die Struktur als $\mathcal O_X(U)$-Linksmodul wie f"ur die Struktur als $\mathcal O_X(U)$-Rechtsmodul. In Formeln gilt f"ur eine glatte $k$-Variet"at also lokal $$\mathcal D_U=\bigoplus_{\alpha \in \mathbb N^n} \mathcal O_U\partial^\alpha =\bigoplus_{\alpha \in \mathbb N^n} \partial^\alpha\mathcal O_U$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Algebraischer de-Rham-Komplex}] Gegeben eine glatte Variet"at $X$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$ erinnern wir den $\mathcal O_X$-Modul der K"ahlerdifferentiale $\Omega_{X/k}$, den wir in diesem Kontext meist $\Omega_{X}^1$ notieren, und setzen $\Omega_{X}^r\pdef \bigwedge^r \Omega_{X}$ wie in \eref{autPo}{TS} \nichtfinal{(Vielleicht noch mehr dazu!)} und betrachten die superkommutative $\DZ$-graduierte $\mathcal O_X$-Ringalgebra $$\Omega^*_X\pdef \bigoplus_{r\geq 0} \Omega_{X}^r$$ Ich behaupte, da"s es genau eine graduierte $k$-Derivation vom Grad Eins $\diff: \Omega^*_X\ra \Omega^*_X$ gibt, in Formeln ${\op{d}} (\omega\wedge \eta)= \diff\omega\wedge \eta + (-1)^{|\omega|}\omega\wedge \diff \eta$, die f"ur alle $U\co X$ jeder Funktion $f\in\mathcal O_X(U)=\Omega^0_X(U)$ ihr Differential $\diff f\in \Omega_X^1(U)$ nach \eref{KdifS}{KAG} zuordnet und die Eigenschaft $\diff^2=0$ hat. Die Eindeutigkeit ist klar, weil ja f"ur affines $U$ die $f\diff g$ f"ur $f,g\in \mathcal O_X(U)$ nach \eref{erOM}{AAG} bereits die abelsche Gruppe der K"ahlerdifferentiale aufspannen. Um die Existenz zu zeigen, d"urfen wir annehmen, da"s $X$ affin ist und da"s es darauf ein System von Pseudokoordinaten $x_1,\ldots, x_n$ gibt. Dann bilden die $\diff x_I\pdef \diff x_{i_1}\wedge\ldots\wedge \diff x_{i_r}$ f"ur $I=\{i_1,\ldots,i_r\}\subset \{1,\ldots,n\}$ mit $|I|=r$ eine $\mathcal O_X(X)$-Basis von $\Omega^r_X(X)$ und wir erhalten ein m"ogliches $\diff$ durch die Vorschrift $$\diff : f\diff x_I\mapsto \diff f \wedge \diff x_I$$ Um $\diff^2=0$ zu zeigen, st"utze man sich auf die Erkenntnis \ref{PsKo}, da"s die durch die Identit"at $ \diff f = (\partial_1 f) \diff x_1 + \ldots + (\partial_n f) \diff x_n $ erkl"arten $\partial_i$ paarweise kommutierende Derivationen sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ringalgebren durch Erzeuger und Relationen}] Gegeben ein hier sogar beliebiger K"orper $k$ und ein $k$-Vektorraum $V$ erinnern wir an die Tensoralgebra ${\op{Ten}}V$ und die kanonische Einbettung $\op{can}:V\ra {\op{Ten}}(V)$ und ihre universelle Eigenschaft aus \eref{TeAl}{LA2}. Ist genauer $B$ eine $k$-Ringalgebra, so liefert das Vorschalten der kanonischen Einbettung eine Bijektion $$\op{Ralg}_k({\op{Ten}}(V),B)\sira \op{Mod}_k(V,B)$$ Das Urbild einer linearen Abbildung $\varphi$ unter dieser Bijektion notieren wir im folgenden $\hat{\varphi} : {\op{Ten}}( V) \ra B$.\label{EERE} Ist nun $A$ eine $k$-Ringalgebra und $V\subset A$ ein $k$-Untervektorraum und $R\subset {\op{Ten}}(V)$ eine Teilmenge derart, da"s die kanonische Abbildung ${\op{Ten}}(V)\ra A$ auf $R$ verschwindet und f"ur $\langle R\rangle \subset {\op{Ten}}(V)$ das von $R$ erzeugte beidseitige Ideal einen Isomorphismus $${\op{Ten}}(V)/\langle R\rangle\sira A$$ induziert, so sagen wir, die $k$-Ringalgebra $A$ sei {\bf erzeugt vom Teilraum $V$ mit den Relationen $R$}. In diesem Fall liefert die Restriktion auf $V$ f"ur jede $k$-Ringalgebra $B$ offensichtlich eine Bijektion $$\op{Ralg}_k(A,B)\sira \{ \varphi\in \op{Mod}_k(V,B)\mid \hat \varphi(r)=0\;\forall r\in R\}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Differentialoperatoren "uber Erzeuger und Relationen}] Gegeben eine glatte affine $k$-Variet"at $U$ mit einem System von Pseudokoordinaten kann die $k$-Ringalgebra $\mathcal D(U)$ der globalen Differentialoperatoren auf $U$ beschrieben werden als die $k$-Ringalgebra, die erzeugt wird vom $k$-Vektorraum $\mathcal O(U)\oplus \mathcal T(U)$ mit den Relationen\label{DERe} $$\begin{array}{rcl} f\otimes g&=&fg\\ f \otimes \xi&=& f\xi\\ \xi \otimes f&=&(\xi|f) + f\xi\\ \xi \otimes \zeta-\zeta \otimes \xi&=&[\xi,\zeta] \end{array}$$ f"ur alle $f,g\in \mathcal O(U)$ und $\xi,\zeta\in \mathcal T(U)$. Hier haben wir abk"urzend $f=(f,0)$ und $\xi=(0,\xi)$ f"ur die entsprechenden Elemente von $\mathcal O(U)\oplus \mathcal T(U)$ geschrieben, und mit $\otimes$ ist das Produkt in der freien $k$-Ringalgebra "uber dem $k$-Vektorraum $\mathcal O(U)\oplus \mathcal T(U)$ gemeint und mit $(\xi|f)$ die durch Anwenden des Vektorfelds $\xi$ auf die Funktion $f$ entstehende neue Funktion. Das folgt unmittelbar aus unserer lokalen Beschreibung des Rings der Differentialoperatoren in \ref{PsKo}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Differentialoperatoren auf glatten affinen Variet"aten}] Man kann zeigen, da"s die in \ref{DERe} gegebene Beschreibung des Rings der globalen Differentialoperatoren durch Erzeuger und Relationen f"ur eine beliebige glatte affine $k$-Variet"at $X$ richtig bleibt, auch wenn man also nicht die Existenz eines globalen Systems von Pseudokoordinaten fordert. Ich beschr"anke mich hier auf eine Beweisskizze, da die Aussage im weiteren Verlauf nicht ben"otigt wird. Es gilt, die Exaktheit der Sequenz $$R\ra \op{Ten}_k(\mathcal O(X)\oplus \mathcal T(X))\ra \mathcal D(X)\ra 0$$ von $\mathcal O(X)$-Linksmoduln nachzuweisen f"ur $R$ das von den behaupteten Relationen erzeugte zweiseitige Ideal. Es reicht daf"ur zu zeigen, da"s unsere Sequenz exakt wird nach Lokalisierung an allen Funktionen $s$, f"ur die es auf dem Komplement $X_s$ der Nullstellenmenge von $s$ ein System von Pseudokoordinaten gibt. Das aber folgt aus dem bereits behandelten Fall. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben eine glatte affine Variet"at $X$ und eine regul"are Funktion $g\in\mathcal O(X)$ wird der freie $\mathcal O(X)$-Modul $\mathcal O(X){\op{e}}^g$ "uber der einelementigen Menge ${\op{e}}^g$ zu einem $\mathcal D(X)$-Modul vermittels der durch die Vorschrift $$\xi {\op{e}}^g\pdef (\xi|g){\op{e}}^g$$ erkl"arten Operation von Vektorfeldern. Der Ausdruck ${\op{e}}^g$ hat hier nur formale Bedeutung als ein Symbol, das andeutet, durch welche Formeln Differentialoperatoren darauf wirken sollen. \end{Ubung} \subsection{Differentialmoduln als flache Zusammenh"ange} \begin{Bemerkungl} Ein {\bf Differentialmodul}\index{Differentialmodul} oder kurz {\bf $\cal{D}$-Modul}\index{DModul@$\cal{D}$-Modul} auf einer glatten $k$-Variet"at $X$ ist eine Modulgarbe "uber der Ringgarbe $\cal{D}_X$ der algebraischen Differentialoperatoren auf $X$ aus \ref{diffop}. Ein Differentialmodul hei"st {\bf quasikoh"arent}, wenn er zu einer quasikoh"arenten $\mathcal O_X$-Modulgarbe einschr"ankt. Die jeweiligen Kategorien notiere ich $$\op{Dmod}_{/X}\supset \op{Dmodqk}_{/X}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $X$ eine glatte $k$-Variet"at. Ein Differentialmodul $\cal{M} \in \op{Dmod}_{/X}$ auf $X$ ist insbesondere ein $\cal{O}_{X}$-Modul mit einem Morphismus von Garben von $k$-Vektorr"aumen $$\begin{array}{rccc} \nabla : &\cal{T}_{X} & \ra & \op{End} \cal{M}\\ &\xi & \mapsto & \nabla_{\xi } \end{array}$$ %mit der Notation $\op{End} \cal{M}=(\mathcal M{\Rrightarrow}\mathcal M)$ f"ur die Garbe der %Endomorphismen der Garbe von $\DC$-Vektorr"aumen $\mathcal M$ derart, da"s f"ur alle $U\co X$ und $f \in \cal{O}_{X}(U)$ und $ \xi ,\zeta \in \cal{T}_{X}(U)$ und $ m \in \cal{M}(U)$ die Vertr"aglichkeiten $$\begin{array}{ccl} f \nabla_{\xi } (m) & =& \nabla_{f\xi }(m )\\ \nabla_{\xi } (fm) &=& (\xi| f)m + f\nabla_{\xi }(m) \\ \left[ \nabla_{\xi }, \nabla_{\zeta }\right] &=& \nabla_{[\xi ,\zeta ]} \end{array}$$ erf"ullt sind. Eine $k$-lineare Abbildung $\nabla$, die den ersten beiden Bedingungen gen"ugt, hei"st ein {\bf Zusammenhang} \index{Zusammenhang!algebraischer} auf dem $\cal{O}_{X}$-Modul $\cal{M}$. Ist zus"atzlich die dritte Bedingung erf"ullt, so sprechen wir von einem {\bf flachen Zusammenhang}.\index{Zusammenhang!flacher algebraischer}\index{flach!Zusammenhang, algebraischer} Diese Begriffsbildungen sind analog zu den aus der Differentialgeometrie bekannten Begriffsbildungen, vergleiche \ref{ZshgV} und \ref{flZU}. Wie unsere Beschreibung \ref{DERe} von algebraischen Differentialoperatoren durch Erzeuger und Relationen zeigt, liefern die Einschr"ankungen der Struktur eines $\mathcal D_X$-Moduls auf regul"are Funktionen und regul"are Vektorfelder eine "Aquivalenz von Kategorien\label{dmzs} $$ \op{Dmod}_{/X} \;\;\sirra \;\;\left\{ \text{$\cal{O}_{X}$-Moduln mit flachem Zusammenhang}\right\} $$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensorprodukt von Differentialmoduln}] Gegeben Differentialmoduln $\cal{M}, \cal{N}$ auf einer glatten $k$-Variet"at $X$ k"onnen wir $\cal{M} \otimes_{\cal{O}_{X}} \cal{N}$ zu einem Differentialmodul machen, indem wir $\xi \in \cal{T}_{X}$ operieren lassen durch\label{TproD} $$\nabla_{\xi} (m \otimes n) = (\nabla_{\xi} m) \otimes n + m \otimes (\nabla_{\xi}n)$$ Eine ausgedehnte Rechnung zeigt in der Tat, da"s diese Vorschrift wohldefiniert ist und einen flachen Zusammenhang auf dem Tensorprodukt liefert, und nach \ref{dmzs} k"onnen wir diesen Zusammenhang dann wieder als eine Differentialmodulstruktur verstehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Beschreibung von Differentialmoduln in Pseudokoordinaten}] Gegeben eine glatte affine $k$-Variet"at $U$ mit einem System von Pseudokoordinaten $x_1, \ldots,x_n$ und zugeh"origen Vektorfeldern $\partial_1,\ldots,\partial_n$ ist ein $\mathcal D_U$-Modul $\mathcal M$ dasselbe wie ein $\mathcal O_U$-Modul $\mathcal M$ mit paarweise kommutierenden Endomorphismen $\partial_1, \ldots, \partial_n \in \op{Ab}_{/U} (\mathcal M)$ der abelschen Garbe $\mathcal M$ mit der zus"atzlichen Eigenschaft $$\partial_i (fm) = (\partial_i| f) m + f(\partial_i m)$$ f"ur alle $V\co U$, $f \in \mathcal O_U (V)$ und $ m \in \mathcal M (V)$. Weiter ist ein quasikoh"arenter $\mathcal D_U$-Modul dasselbe wie ein $\mathcal D(U)$-Modul und weiter auch dasselbe wie ein $\mathcal O(U)$-Modul $M$ mit paarweise kommutierenden Endomorphismen $\partial_1, \ldots, \partial_n \in \op{Ab} (M)$ der zugrundeliegenden abelschen Gruppe mit der Eigenschaft $$\partial_i (fm) = (\partial_i| f) m + f(\partial_i m)$$ f"ur alle $f \in \mathcal O (U)$ und $ m \in M$. Das alles folgt direkt aus dem Vorhergehenden. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben auf einer glatten Variet"at $X$ ein $\mathcal O_X$-Modul $\mathcal M$ mit Zusammenhang $\nabla$ und ein Vektorfeld $\xi$ und ein Punkt $x\in X$ und ein Schnitt $s\in\mathcal M(X)$ h"angt das Bild $\nabla_\xi(s)(x)\in \mathcal M_{/x}$ im geometrischen Halm nur von $s$ und dem Tangentialvektor $\xi(x)\in{\op{T}}_xX$ ab. Ich schlage f"ur dieses Element des geometrischen Halms die Notation $\nabla_v(s)\in \mathcal M_{/x}$ vor mit $v\in{\op{T}}_xX$. \end{Ubung} \subsection{Trennfaserung der Differentialmoduln} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kettenregel}] Gegeben ein Morphismus von glatten Variet"aten $\varphi:X\ra Y$ k"onnen wir eine Abbildung ${\op{T}} X \rightarrow X \times_Y {\op{T}}Y$ des Tangentialb"undels von $X$ in das zur"uckgeholte Tangentialb"undel von $Y$ angeben durch die Vorschrift $$(x, \xi) \mapsto (x, (\diff_x \varphi) (\xi))$$ Formal ist es jedoch bequemer, von dem durch das Zur"uckholen von Differentialformen \eref{KdifS}{KAG} gegebenen Homomorphismus $\varphi^{\ast}\Omega_Y\ra \Omega_X$ von $\mathcal O_X$-Moduln auszugehen, der in voller Allgemeinheit erkl"art werden kann, und ihn im glatten Fall zu dualisieren zu einem $\mathcal O_X$-Mo\-dul\-ho\-mo\-mor\-phis\-mus $\mathcal T_X\ra \varphi^{\ast}\mathcal T_Y $ von der Garbe der Schnitte des Tangentialb"undels von $X$ in die Garbe der Schnitte des zur"uckgeholten Tangentialb"undels von $Y$. Speziell erhalten wir so f"ur glatte affine Variet"aten einen Homomorphismus von $\mathcal O(X)$-Moduln\label{RGNm} $$\tilde\varphi: \mathcal T(X)\ra \mathcal O(X)\otimes_{\mathcal O(Y)}\mathcal T(Y)$$ Er kann dadurch charakterisiert werden, da"s aus $\tilde\varphi(\xi)= \sum_i f_i\otimes \xi_i$ f"ur alle $h\in \mathcal O(Y)$ folgt $$(\xi|h\circ \varphi)=\sum_i f_i((\xi_i|h)\circ\varphi)$$ Hier steht im wesentlichen die Kettenregel. Ist $y_1,\ldots, y_n$ ein System von \hyperref[PsKo]{Pseudokoordinaten} auf $Y$ und schreiben wir $\varphi_i\pdef y_i\circ \varphi $, so erh"alt unsere Formel die hoffentlich vertraute Gestalt $\tilde\varphi(\xi)=\sum (\xi|\varphi_i)\otimes \partial_i^y$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Inverse Bilder}] Gegeben $\varphi : X \rightarrow Y$ ein Morphismus von glatten affinen algebraischen $\DC$-Variet"aten und $ M$ ein $\mathcal D(Y)$-Modul gibt es auf dem zur"uckgeholten $\mathcal O(X)$-Modul\label{ibD} \begin{equation*} \mathcal O(X) \otimes_{\mathcal O(Y)} M \end{equation*} genau eine Erweiterung der $\mathcal O(X)$-Modulstruktur zu einer Struktur als $\mathcal D(X)$-Modul derart, da"s f"ur jedes Vektorfeld $\xi\in \mathcal T(X)$ mit $\tilde\varphi(\xi)= \sum_i f_i\otimes \xi_i$ wie in \ref{RGNm} gilt $$\xi(g\otimes m)=(\xi|g)\otimes m + \sum_i gf_i\otimes \xi_i m$$ \end{Satz} \begin{Bemerkunge} In der Differentialgeometrie scheint es mir anschaulich klar, da"s ein flacher Zusammenhang auf einem Vektorraumb"undel einen flachen Zusammenhang auf dem zur"uckgeholten B"undel induzieren sollte in der Weise, da"s flache Schnitte zu flachen Schnitten zur"uckgeholt werden. Das Zur"uckholen von Differentialmoduln ist eine algebraische Variante dieser Konstruktion. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Zun"achst einmal ist klar, da"s die rechte Seite nur von $\xi, g $ und $m$ und nicht von der Darstellung von $\tilde\varphi(\xi)$ als $\sum f_i \otimes \xi_i$ abh"angt. Unsere Abbildungsvorschrift in spe liefert also schon mal eine wohldefinierte Funktion der drei Variablen $\xi, g$ und $m$, deren Funktionswert wir $\xi (g \otimes m)$ notieren d"urfen. Als n"achstes pr"ufen wir f"ur diese Funktion und beliebiges $f \in \mathcal O (Y)$ die Identit"at \begin{equation*} \xi ( g f \otimes m) = \xi (g \otimes fm) \end{equation*} Hier haben wir, und das wird noch "ofter vorkommen, links $f\circ \varphi$ zu $f$ abgek"urzt. Ausgeschrieben behaupten wir also \begin{equation*} (\xi | g f) \otimes m + \sum_i g ff_i \otimes \xi_i m = (\xi | g) \otimes f m + \sum_i g f_i \otimes \xi_i (f m) \end{equation*} Das reduziert sich durch Anwenden der Leibnizregel und Weglassen gleicher Terme zur Behauptung \begin{equation*} g (\xi | f) \otimes m = \sum_i g f_i \otimes (\xi_i | f) m \end{equation*} Nun ist aber $\tilde\varphi(\xi)=\sum f_i \otimes \xi_i$ gerade dadurch erkl"art, da"s f"ur beliebiges $f \in \mathcal O (Y)$ im Ring $\mathcal O (X)$ gilt $(\xi | f) = \sum f_i \otimes (\xi_i | f) $. Da unsere Funktion von drei Variablen auch $\mathbb Z$-linear in $g$ und $m$ ist, liefert unsere Formel also f"ur jedes Vektorfeld $\xi \in \mathcal T (X)$ einen Endomorphismus des Vektorraums $\mathcal O (X) \otimes_{\mathcal O (Y)} M$. Um zu zeigen, da"s diese Homomorphismen die $\mathcal O (X)$-Wirkung zu einer Struktur als $\mathcal D (X)$-Modul erweitern, verwenden wir die Beschreibung \ref{DERe} von $\mathcal D (X)$ durch Erzeuger und Relationen und m"ussen pr"ufen, da"s die entsprechenden Relationen auch im Endomorphismenring des $k$-Vektorraums $\mathcal O (X) \otimes_{\mathcal O (Y)} M$ gelten. Die erste Relation ist unproblematisch. Die Zweite folgt daraus, da"s $\tilde\varphi$ eine $\mathcal O (X)$-lineare Abbildung ist. Die Dritte ist wieder unproblematisch. F"ur die Vierte rechnen wir fr"ohlich. Sei etwa $\tilde\varphi (\zeta) = \sum h_j \otimes \zeta_j$. So ergibt sich $\zeta \xi (g \otimes m)$ zu \begin{equation*} (\zeta | (\xi | g)) \otimes m+ \sum_j (\xi | g) h_j \otimes \zeta_j m+ \sum_i (\zeta | g f_i ) \otimes \xi_i m + \sum_{i,j} g f_i h_j \otimes \zeta_j \xi_i m \end{equation*} F"ur die Differenz $\zeta \xi (g \otimes m) - \xi \zeta (g \otimes m)$ ergibt sich der Ausdruck \begin{equation*} ([\zeta, \xi]| g) \otimes m +\sum_{i,j} g f_i h_j \otimes [\zeta_j, \xi_i] m + \sum_i (\zeta | f_i) \otimes \xi_i m - \sum_j (\xi | h_j) \otimes \zeta_j m \end{equation*} Andererseits gilt f"ur das Bild von $[\zeta, \xi]$ unter $\tilde\varphi$ die Darstellung \begin{equation*} \tilde\varphi ([\zeta, \xi]) = \sum_i (\zeta| f_i) \otimes \xi_i - \sum_j (\xi | h_j) \otimes \zeta_j + \sum_{i,j} f_i h_j \otimes [\zeta_j, \xi_i] \end{equation*} Man pr"uft das unschwer, indem man die f"ur beliebiges $f\in\mathcal O(Y)$ g"ultige Identit"at $(\zeta|(\xi|f))-(\xi|(\zeta|f))=([\zeta,\xi]|f)$ ausschreibt. Das beendet den Beweis. \end{proof} % \begin{proof} % von einem Homomorphismus $\mathcal T_X \rightarrow % \varphi^\ast \mathcal T_Y$ lokal freier $\mathcal O_X$-Moduln endlichen Ranges herkommt, der in lokalen % Koordinaten eben durch die Formel $\partial^x_i \mapsto \sum_j \frac{\partial (Y_j \circ \varphi)}{\partial % X_i} \otimes \partial^Y_j \text{ alias } \xi \mapsto \sum_j \xi (Y j \circ \varphi) \partial^Y_j$ % beschrieben wird. % Damit k"onnen sir unsere Wirkung von Vektorfeldern koordinatenfrei beschreiben, indem wir von dem % durch die $\mathcal D_Y$-Modulstruktur gegebenen Morphismus % \begin{equation*} % \mathcal T_Y \otimes_k \mathcal M \rightarrow \mathcal M % \end{equation*} % ausgehen, ihn zu $\varphi^\circ \mathcal T_Y \otimes_k \varphi^\circ \mathcal M \rightarrow \varphi^\circ % \mathcal M$ zur"uckziehen, dann Skalare erweitern zu % \begin{equation*} % \varphi^{(\ast)} \mathcal T_Y \otimes_k \varphi^\circ \mathcal M \rightarrow \varphi^{(\ast)} \mathcal M % \end{equation*} % und schlie"slich unsere kanonislche Abbildung $\mathcal T_X \rightarrow \varphi^{(\ast)} \mathcal T_Y$ % vorschalten, so da"s wir einen kanonischen Morphismus % $\mathcal T_X \otimes_k \varphi^\circ \mathcal M \rightarrow \varphi^{(\ast)} \mathcal M$ erhalten. % Von dort ausgehend erkl"aren wir dann % \begin{equation*} % \mathcal T_X \otimes_k \varphi^{(\ast)} \mathcal M \rightarrow \varphi^{(\ast)} \mathcal M % \end{equation*} % unschwer durch die Formel % \begin{equation*} % \xi \otimes ( g \otimes m) \mapsto (\xi g) \otimes m + g (\xi m) % \end{equation*} % und f"ur deren Wohldefiniertheit m"ussen wir nur pr"ufen, da"s $g( f \circ \varphi) \otimes m$ und % $g \otimes f m$ unter $\xi$ auf dasselbe gehen. % Nun, ersteres geht auf % \begin{equation*} % (\xi g) (f \circ \varphi) \otimes m + g \xi (f \circ \varphi) \otimes m + (g (f \circ \varphi)) (\xi m) % \end{equation*} % und letzteres auf $(\xi g) \otimes (f m) + g \otimes \xi (f m)$. % Nach unseren Definitionen haben wir aber in lokalen Koordianten % \begin{equation*} % \xi (fm ) = \sum \xi (Y j \circ \varphi) \partial^Y_j (f m) = \sum_j \xi (Y_j \circ \varphi) % (\partial^Y_j f) m + f \xi m % \end{equation*} % und $\xi (f \circ \varphi) = \sum \xi (Y_j \circ \varphi)((\partial^Y_j f) \circ \varphi)$ % und zusammen sehen wir, da"s das pa"st. % Mache das zun"achst nur f"ur affine Variet"aten! % \end{proof} % \begin{proof}\emph{Alt!} % Zun"achst einmal diskutiere ich die Unabh"angigkeit der Konstruktion von der Wahl der Koordinaten. % Dazu "uberlegen wir uns zun"achst, da"s die Abbildung $T X \rightarrow X x_Y TY$ gegeben durch % $(x, \xi) \mapsto (x, (d_x \varphi) (\xi))$ von einem Homomorphismus $\mathcal T_X \rightarrow % \varphi^\ast \mathcal T_Y$ lokal freier $\mathcal O_X$-Moduln endlichen Ranges herkommt, der in lokalen % Koordinaten eben durch die Formel $\partial^x_i \mapsto \sum_j \frac{\partial (Y_j \circ \varphi)}{\partial % X_i} \otimes \partial^Y_j \text{ alias } \xi \mapsto \sum_j \xi (Y j \circ \varphi) \partial^Y_j$ % beschrieben wird. % Damit k"onnen sir unsere Wirkung von Vektorfeldern koordinatenfrei beschreiben, indem wir von dem % durch die $\mathcal D_Y$-Modulstruktur gegebenen Morphismus % \begin{equation*} % \mathcal T_Y \otimes_k \mathcal M \rightarrow \mathcal M % \end{equation*} % ausgehen, ihn zu $\varphi^\circ \mathcal T_Y \otimes_k \varphi^\circ \mathcal M \rightarrow \varphi^\circ % \mathcal M$ zur"uckziehen, dann Skalare erweitern zu % \begin{equation*} % \varphi^{(\ast)} \mathcal T_Y \otimes_k \varphi^\circ \mathcal M \rightarrow \varphi^{(\ast)} \mathcal M % \end{equation*} % und schlie"slich unsere kanonislche Abbildung $\mathcal T_X \rightarrow \varphi^{(\ast)} \mathcal T_Y$ % vorschalten, so da"s wir einen kanonischen Morphismus % $\mathcal T_X \otimes_k \varphi^\circ \mathcal M \rightarrow \varphi^{(\ast)} \mathcal M$ erhalten. % Von dort ausgehend erkl"aren wir dann % \begin{equation*} % \mathcal T_X \otimes_k \varphi^{(\ast)} \mathcal M \rightarrow \varphi^{(\ast)} \mathcal M % \end{equation*} % unschwer durch die Formel % \begin{equation*} % \xi \otimes ( g \otimes m) \mapsto (\xi g) \otimes m + g (\xi m) % \end{equation*} % und f"ur deren Wohldefiniertheit m"ussen wir nur pr"ufen, da"s $g( f \circ \varphi) \otimes m$ und % $g \otimes f m$ unter $\xi$ auf dasselbe gehen. % Nun, ersteres geht auf % \begin{equation*} % (\xi g) (f \circ \varphi) \otimes m + g \xi (f \circ \varphi) \otimes m + (g (f \circ \varphi)) (\xi m) % \end{equation*} % und letzteres auf $(\xi g) \otimes (f m) + g \otimes \xi (f m)$. % Nach unseren Definitionen haben wir aber in lokalen Koordianten % \begin{equation*} % \xi (fm ) = \sum \xi (Y j \circ \varphi) \partial^Y_j (f m) = \sum_j \xi (Y_j \circ \varphi) % (\partial^Y_j f) m + f \xi m % \end{equation*} % und $\xi (f \circ \varphi) = \sum \xi (Y_j \circ \varphi)((\partial^Y_j f) \circ \varphi)$ % und zusammen sehen wir, da"s das pa"st. % Mache das zun"achst nur f"ur affine Variet"aten! % \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Transitivit"at inverser Bilder von Differentialmoduln}] Gegeben Morphismen $\varphi : X \rightarrow Y$ und $\psi : Y \rightarrow Z$ von glatten affinen algebraischen Variet"aten und ein $\mathcal D (Z)$-Modul $M$ ist der offensichtliche Isomorphismus\label{TRIB} auch ein Isomorphismus von $\mathcal D (X)$-Moduln \begin{equation*} \op{can} : \mathcal O (X) \otimes_{\mathcal O (Y)} (\mathcal O (Y) \otimes_{\mathcal O (Z)} M) \sira \mathcal O (X)\otimes_{\mathcal O (Z)} M \end{equation*} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Dieses Lemma wird uns erlauben, die Konstruktion des R"uckzugs im Fall affiner Variet"aten zu einer Konstruktion f"ur beliebige glatte Variet"aten zu verkleben. \end{Bemerkungl} \begin{proof} In der Tat, sei $\xi \in \mathcal T (X)$ ein Vektorfeld. Sei $\tilde\varphi (\xi) = \sum_i f_i \otimes \xi_i$ und $\psi_{\mathcal T} (\xi_i) = \sum_j h_j \otimes \xi_{ji}$. So pr"uft man durch Anwenden auf Funktionen $g \in \mathcal O (Z)$ unschwer die Identit"at $(\psi \circ \varphi)_{\mathcal T} (\xi) = \sum_{i,j} f_i (h_j\circ \varphi) \otimes \xi_{ji}$. Genauer erhalten wir \begin{equation*} (\xi |g \circ \psi \circ \varphi) = \sum_i f_i ((\xi_i | g \circ \psi) \circ \varphi) = \sum_{i,j} f_i \big(\big(h_j ((\xi_{ji} | g)\circ \psi)\big)\circ \varphi\big) \end{equation*} Damit aber pr"ufen wir aber ohne Schwierigkeiten \begin{equation*} \xi (\op{can} (1 \otimes (1 \otimes m))) = \op{can} (\xi (1 \otimes (1\otimes m))) \end{equation*} f"ur alle $m \in M$. Das reicht schon aus, um das Lemma zu zeigen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Morphismus von glatten Variet"aten $\varphi:X\ra Y$ und Differentialmoduln $\mathcal M$ auf $X$ sowie $\mathcal N$ auf $Y$ erkl"aren wir einen {\bf Opkomorphismus von Differentialmoduln} $$c:\mathcal M\ra \mathcal N$$ als einen Opkomorphismus von Funktionenmoduln mit der zus"atzlichen Eigenschaft, da"s gegeben $U\co X$ und $V\co Y$ mit $\varphi(U)\subset V$ sowie $\xi\in\mathcal T(U)$\label{DgfK} und $\xi_i\in \mathcal T(V)$ und $f_i\in \mathcal O(U)$ mit $(\xi|h\circ\varphi)=\sum f_i((\xi_i|h)\circ \varphi)\;\forall h\in \mathcal O(V)$ gilt $$\xi(c(s))=\sum f_ic(\xi_i(s))\;\forall s\in\mathcal N(V)$$ Wir verzichten an dieser Stelle darauf, zu pr"ufen, da"s die Verkn"upfung von Opkomorphismen wieder ein Opkomorphismus ist, un verweisen stattdessen auf den aallgemeineren Fall der Multiverkn"upfungen, den wir in \ref{muTrd} behandeln. Wir erhalten so Kategorien und Funktoren $$\op{Dmodqk}_{{\sslash}{\op{glVar}}}\subset \op{Dmod}_{{\sslash}{\op{glVar}}} \ra \op{glVar}$$ mit Opkomorphismen als Morphismen links und dem Vergessen des Differentialmoduls als Funktor in die Kategorie der glatten Variet"aten. Per definitionem sind die Fasern hier opponiert zu unseren "ublichen Kategorien von Dif\-fe\-ren\-tial\-mo\-duln, in Formeln $\op{Dmod}_{{\sslash}X} =\mathcal D_X\op{-Mod}^{\op{opp}}$ und $\op{Dmodqk}_{{\sslash}X} =\mathcal D_X\op{-Modqk}^{\op{opp}}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Quasikoh"arente Differentialmoduln als Faserung}] Sei $\varphi : X \rightarrow Y$ ein Morphismus von glatten Variet"aten und $\mathcal N \in \op{Dmodqk}_{/Y}$.\label{rQKd} So gibt es genau eine Erweiterung der Struktur auf dem R"uckzug \eref{RzMg}{KAG} von Funktionenmoduln $\varphi ^{\ast}\mathcal N$ zu einer Struktur als $\mathcal D_X$-Modul derart, da"s f"ur beliebige affine offene Teilmengen $U \co X$, $V \co Y$ mit $\varphi (U) \subset V$ die $\mathcal D (U)$-Operation auf $(\varphi ^{\ast} \mathcal N) (U)$ unter dem kanonischen Isomorphismus $$ \mathcal O (U) \otimes_{\mathcal O(V)} \mathcal N (V) \sira (\varphi ^{\ast} \mathcal N) (U) $$ unserer $\mathcal D (U)$-Operation aus unserer Diskussion des affinen Falls \ref{ibD} entspricht. Genauer mag man die Funktorialit"at im affinen Fall \ref{TRIB} verwenden, um zu pr"ufen, da"s sich unsere Konstruktion im affinen Fall zu einer Konstruktion im allgemeinen verkleben l"a"st. Es ist klar, da"s wir so einen kartesischen Lift von $X\ra Y$ f"ur unseren Funktor $ \op{Dmodqk}_{\sslash{\op{glVar}}}\ra \op{glVar}$ erhalten. Da"s eine Komposition von kartesischen Morphismen wieder kartesisch ist, folgt aus der entsprechenden Aussage f"ur quasikoh"arente Funktionenmoduln. So sehen wir, da"s unser Funktor auf den quasikoh"arenten Differentialmoduln in der Tat eine Faserung ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensorieren "uber Ringgarben}] Seien $X$ ein topologischer Raum und $\mathcal A$ eine Garbe von Ringen auf $X$ und $\mathcal M$ ein $\mathcal A$-Rechtsmodul und $\mathcal N$ ein $\mathcal A$-Linksmodul. Eine Verschmelzung von abelschen Pr"agarben $$\varphi: \mathcal M\curlyvee \mathcal N\ra \mathcal T$$ hei"st {\bf balanciert}, wenn f"ur jede offene Teilmenge $U\co X$ die induzierte Abbildung $\varphi:\mathcal M(U)\times \mathcal N(U)\ra \mathcal T(U)$ balanciert ist f"ur die Operation von $\mathcal A(U)$. Offensichtlich ist die Verschmelzung in die Pr"agarbe $U\mapsto \mathcal M(U)\otimes_{\mathcal A(U)} \mathcal N(U)$ eine universelle Pr"agarbenverschmelzung und die Verschmelzung in ihre Garbifizierung, die wir $\mathcal M\otimes_{\mathcal A}\mathcal N$ notieren, eine universelle Garbenverschmelzung. Den Halm der Tensorproduktgarbe bei $x\in X$ k"onnen wir auch als Kolimes der $\mathcal M(U)\otimes_{\mathcal A(V)} \mathcal N(U)$ "uber alle $U\co V\co X$ mit $x\in U$ beschreiben und mit \eref{tfcl}{TS} als Kolimes der $\mathcal M_x\otimes_{\mathcal A(V)} \mathcal N_x$ und mit \eref{dLt}{TS} folgt schlie"slich, da"s die offensichtlich Abbildung ein Isomorphismus\label{tmgrg} $$(\mathcal M\otimes_{\mathcal A}\mathcal N)_x\sira \mathcal M_x\otimes_{\mathcal A_x} \mathcal N_x$$ vom Halm des Tensorprodukts in das Tensorprodukt der Halme ist. Insbesondere liefern die Multiplikationen Isomorphismen $\mathcal A\otimes_{\mathcal A}\mathcal N\sira \mathcal N$ und $\mathcal M\otimes_{\mathcal A}\mathcal A\sira \mathcal M$. Ist $\mathcal B$ eine weitere Ringgarbe auf $X$ und $\mathcal M$ eine $\mathcal B$-$\mathcal A$-Bimodulgarbe im hoffentlich offensichtlichen Sinne, so wird $\mathcal M\otimes_{\mathcal A}\mathcal N$ in nat"urlicher Weise ein $\mathcal B$-Modul unter Verwendung der stabil universellen Eigenschaft der Garbifizierung \eref{AbpSm}{TSF}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Beliebige Differentialmoduln als Faserung}] Wir folgern nun, da"s auch f"ur beliebige Dif\-fe\-ren\-tial\-mo\-duln auf glatten Variet"aten mit unseren Opkomorphismen als Morphismen der verge"sliche Funktor\label{bdfj} $$ \op{Dmod}_{\sslash{\op{glVar}}}\ra \op{glVar}$$ in die Kategorie der glatten Variet"aten im Sinne von \eref{FasF}{TG} eine Faserung ist. Um das zu zeigen oder, gleichbedeutend, einen R"uckzug zu konstruieren, gehen wir aus vom von links und rechts $\mathcal O_Y$-quasikoh"arenten $\mathcal D_Y$-Bimodul $\mathcal D_Y$ und betrachten seinen R"uckzug $$\mathcal D_{X\ra Y}\pdef \varphi ^*\mathcal D_Y$$ mit seiner Struktur als $\mathcal D_X$-Modul aus der Behandlung des quasikoh"arenten Falls \ref{rQKd} und der offensichtlichen Struktur als $\varphi ^\dagger\mathcal D_Y$-Rechtsmodul mit der Notation $\varphi ^\dagger$ f"ur den R"uckzug abelscher Garben. Diese beiden Strukturen machen offensichtlich $\mathcal D_{X\ra Y}$ zu einer $\mathcal D_X$-$\varphi ^\dagger\mathcal D_Y$-Bi\-mo\-dul\-gar\-be. Nun "uberlegt man sich, da"s f"ur jeden $\mathcal D_Y$-Modul $\mathcal N$ der salopp gesprochen durch \glqq $1\otimes$\grqq\ gegebene Komorphismus von abelschen Garben $$\mathcal N\ra \varphi^\ast \mathcal N \pdef \mathcal D_{X\ra Y}\otimes_{\varphi ^\dagger\mathcal D_Y} \varphi ^\dagger\mathcal N$$ ein Komorphismus von Differentialmoduln ist und sogar als Opkomorphismus aufgefa"st kartesisch. Als $\mathcal O_X$-$\varphi ^\dagger\mathcal D_Y$-Bi\-mo\-dul\-gar\-be ist $\mathcal D_{X\ra Y}$ nach Konstruktion schlicht $\mathcal O_X\otimes_{\varphi^\dagger \mathcal O_Y}\varphi^\dagger \mathcal D_Y$. Das zeigt unter Verwendung von \ref{tmgrg}, da"s das Vergessen der Struktur als $\mathcal D_X$-Modul kartesische Opkomorphismen von Dif\-fe\-ren\-tial\-mo\-duln zu kartesischen Opkomorphismen von Funktionenmoduln macht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Differentialmoduln als Trennfaserung}] Unsere Faserung \ref{DgfK} entsteht durch Vergessen eines Teils der Struktur aus einer Trennfaserung, die wir nun beschreiben. Gegeben Morphismen $\varphi_i:X\ra Y_i$ von glatten Variet"aten f"ur $1\leq i\leq r$ und Differentialmoduln $\mathcal M$ auf $X$ sowie\label{DaT} $\mathcal N_i$ auf $Y_i$ erkl"aren wir eine {\bf Differentialmodultrennung}\index{Differentialmodultrennung} $$\tau: \mathcal M\ra \mathcal N_1\curlywedge \ldots\curlywedge N_r$$ "uber der Trennung $(\varphi_1,\ldots,\varphi_r)$ in der banalen Trennkategorie der glatten Variet"aten als eine Trennung von quasikoh"arenten Modulgarben im Sinne von \eref{trqk}{KAG} alias ein Datum bestehend aus $\DZ$-multilinearen Abbildungen $$\tau: \mathcal N_1(V_1)\times\ldots\times\mathcal N_r(V_r)\ra \mathcal M(U)$$ f"ur beliebige offene Teilmengen $U\co X$ und $V_i\co Y_i$ mit $\varphi_i(U)\subset V_i$, die jeweils in der entsprechenden Variable linear sind "uber $\mathcal O_{Y_i}(V_i)\ra \mathcal O_X(U)$, mit der zus"atzlichen Eigenschaft, da"s sie \glqq mit Ableitungen vertr"aglich\grqq\ sind in dem Sinne, da"s wenn $U$ und die $V_i$ sogar affin sind und $\xi\in \mathcal T(U)$ ein Vektorfeld ist und es gilt $\tilde \varphi_{i}(\xi)=\sum_\nu f_{i,\nu}\otimes \xi_{i,\nu}$ in $\mathcal O(U)\otimes_{\mathcal O(V_i)}\mathcal T(V_i)$ in unserer Notation aus \ref{RGNm}, da"s wir dann haben $$\xi(\tau(n_1,\ldots,n_r)) =\sum_{i=1}^r\sum_{\nu}f_{i,\nu}\tau(n_1,\ldots, \xi_{i,\nu}n_i,\ldots ,n_r)$$ f"ur alle $n_i\in \mathcal N_i(V_i)$. Insbesondere ist eine von $\mathcal M$ ausgehende Leertrennung dasselbe wie ein von allen Vektorfeldern annullierter globaler Schnitt des Differentialmoduls $\mathcal M$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Differentialmoduln als Trennkategorie}] Jede Multiverkn"upfung von Differentialmodultrennungen ist wieder eine Differentialmodultrennung und das Vergessen des Differentialmoduls liefert eine Trennfaserung $$ \op{Dmod}_{\sslash{\op{glVar}}}\ra \curlywedge{\op{glVar}}$$ unserer Trennkategorie der quasikoh"arenten Differentialmoduln in die banalen Trennkategorie der glatten Variet"aten. Des weiteren werden unter dem Vergessen der Struktur kartesische Differentialmodultrennungen zu kartesischen Funktionenmodultrennungen und wir erhalte insbesondere auch eine Trennfaserung $$ \op{Dmodqk}_{\sslash{\op{glVar}}}\ra \curlywedge{\op{glVar}}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Salopp gesprochen k"onnen wir also Differentialmoduln zur"uckziehen und miteinander tensorieren und diese Operationen vertauschen mit dem R"uckzug zu Funktionenmoduln. Im Fall von funktionenkoh"arenten Differentialmoduln besagt das unter anderem, da"s jeder flache Zusammenhang auf einem Vektorb"undel einen flachen Zusammenhang auf jedem zur"uckgezogenen Vektorb"undel induziert und da"s man gegeben Vektorb"undel mit flachen Zusammenh"angen einen flachen Zusammenhang auf derem Tensorprodukt erh"alt. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Um uns zu "uberzeugen, da"s jede Multiverkn"upfung von Dif\-fe\-ren\-tial\-mo\-dul\-tren\-nung\-en wieder eine Differentialmodultren\-nung ist, betrachten wir zur Vereinfachung nur eine Multiverkn"upfung von $\tau:\mathcal N(V)\times \mathcal L( W)\ra \mathcal M(U)$ mit $\kappa:\mathcal A(A)\times\mathcal B(B)\ra \mathcal N(V)$. Die zugeh"origen Morphismen von glatten affinen Variet"aten notieren wir $\varphi:U\ra V$ und $\psi:U\ra W$ sowie $\alpha:V\ra A$ und $\beta:V\ra B$. Der Einfachkeit halber nehmen wir weiter an, es gelte $\tilde\varphi(\xi)=f\otimes \zeta$ und $\tilde \psi(\xi)=g\otimes \theta$ und $\tilde\alpha(\zeta)= h\otimes \eta$ und $\tilde\beta(\zeta)= k\otimes \omega$ und schreiben mithin die an sich ben"otigten Summen nicht aus. Es folgt $(\alpha\circ \varphi)^\sim(\xi)= f(h\circ\varphi)\otimes \eta$ und $(\beta\circ \varphi)^\sim(\xi)= f(k\circ\varphi)\otimes \omega$. So finden wir f"ur die Vertr"aglichkeit der Mul\-ti\-ver\-kn"up\-fung\label{muTrd} mit Ableitungen die Bedingung $$ \begin{array}{l}\xi\big(\tau (\kappa(a,b),l)\big)=\\[2mm] \quad =f(h\circ\varphi)\big(\tau (\kappa( \eta a,b),l)\big)+ f(k\circ\varphi)\big(\tau (\kappa( a,\omega b),l)\big)+ g\big(\tau (\kappa( a, b),\theta l)\big) \end{array}$$ Andererseits impliziert die Vertr"aglichkeit der einzelnen Trennungen mit Ableitungen $\zeta\kappa(a,b)=h(\kappa(\eta a,b)) +k(\kappa( a,\omega b))$ und $$\begin{array}{lll} \xi\big(\tau (\kappa(a,b),l)\big)&=&f\big(\tau (\zeta\kappa(a,b),l)\big) +g\big(\tau (\kappa(a,b),\theta l)\big)\\[2mm] &=&f\big(\tau (h(\kappa(\eta a,b)) +k(\kappa( a,\omega b)),l)\big) +g\big(\tau (\kappa(a,b),\theta l)\big) \end{array} $$ und die $\mathcal O$-Multilinearit"at zeigt, da"s dann auch die Multiverkn"upfung unserer Trennungen vertr"aglich ist mit Ableitungen. Dieses pars-pro-toto m"oge ausreichen als Beweis daf"ur, da"s jede Multiverkn"upfung von Differentialmodultrennungen wieder eine Differentialmodultrennung ist. Es gilt als n"achstes, f"ur jede Trennung von glatten Variet"aten und beliebige Zielobjekte einen stark kartesischen Lift zu konstruieren. Nach \eref{WKBK}{TSF} reicht es, wenn wir f"ur Einstrennungen, Leertrennungen und Diagonalzweitrennungen jeweils kartesische Lifts konstruieren und zus"atzlich zeigen, da"s jede Multiverkn"upfung kartesischer Lifts wieder kartesisch ist. Den Fall der Einstrennungen haben wir bereits in \ref{rQKd} behandelt. Einen kartesischen Lift der von einer glatten Variet"at $X$ ausgehenden Leertrennung ist die Strukturgarbe $\mathcal O_X$ mit ihrer offensichtlichen Struktur als $\mathcal D_X$-Modul und dem globalen Schnitt $1\in\Gamma(\mathcal O_X)$, wie man unschwer pr"uft. Gegeben zwei Differentialmoduln $\mathcal M,\mathcal N$ auf einer glatten Variet"at $X$ pr"uft man auch unschwer, da"s ihr Tensorprodukt aus \ref{TproD} mit den offensichtlichen zus"atzlichen Daten ein kartesischer Lift der Zweitrennung $(\op{id},\op{id}):X\ra X\curlywedge X$ ist. Allgemeiner pr"uft man leicht, da"s \glqq die Differentialmodultrennung in das Tensorprodukt der R"uckz"uge\grqq\ kartesisch ist, und da"s die Multiverkn"upfung kartesischer Differentialmodultrennungen wieder kartesisch ist, folgt so aus dem bereits bekannten Fall von Funktionenmoduln. Die letzte Behauptung des Satzes folgt direkt aus den Konstruktionen. \end{proof} \subsection{Direkte Bilder und internes Hom} \begin{Theorem}[\textbf{Differentialmoduln als Trennfaserung mit Adjungierten}] Die Differentialmoduln bilden eine Trennfaserung mit Adjungierten im Sinne von \eref{TfAd}{TSF} "uber der banalen Trennkategorie glatten Variet"aten. Das interne Hom vertauscht mit dem R"uckzug auf eine offene Teilmenge \nichtfinal{(\'etalem R"uckzug?)} und Basiswechsel in kartesischen Diagrammen mit R"uckzug l"angs einer offenen Einbettung \nichtfinal{(\'etalen Abbildung?)} ist ein Isomorphismus. \end{Theorem} \begin{Theorem}[\textbf{Quasikoh"arente Differentialmoduln als Trennfaserung mit Adjungierten}] Die quasikoh"arenten Differentialmoduln bilden eine Trennfaserung mit Adjungierten im Sinne von \eref{TfAd}{TSF} "uber der banalen Trennkategorie glatten Variet"aten. Beschr"anken wir uns auf separierte Variet"aten, so vertauscht das interne Hom mit offenem R"uckzug \nichtfinal{(\'etalem R"uckzug?)} und Basiswechsel in kartesischen Diagrammen mit R"uckzug l"angs einer offenen Einbettung \nichtfinal{(\'etalen Abbildung?)} ist ein Isomorphismus. \end{Theorem} \begin{Bemerkungl} Man beachte, da"s unsere Adjungierten im quasikoh"arenten Fall im allgemeinen verschieden sind von den Adjungierten \glqq einfach so\grqq\ und da"s die direkten Bilder von Differentialmoduln im allgemeinen verschieden sind von den direkten Bildern von Funktionenmoduln. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir konstruieren im folgenden unsere Adjungierten im allgemeinen Fall in \ref{dBii} und \ref{iHoD} sowie im quasikoh"arenten Fall in \ref{adqkd}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensor-Hom-Adjunktion f"ur Modulgarben}] Sei $X$ ein topologischer Raum mit Ringgarben $\mathcal A, \mathcal B$ und $\mathcal D\in \mathcal A\op{-Mod-}\mathcal B$ eine Bimodulgarbe. Gegeben ein $\mathcal A$-Modul $\mathcal M$ und ein $\mathcal B$-Modul $\mathcal N$ erhalten wir aus \eref{AbpSm}{TSF} nat"urliche Bijektionen $$\op{pAb}_{/X}(\mathcal D\otimes^{\op{p}}\mathcal N,\mathcal M)\sira\op{pAb}_{/X}(\mathcal D\curlyvee\mathcal N,\mathcal M) \sila \op{pAb}_{/X}(\mathcal N,\mathcal D{\Rrightarrow}\mathcal M)$$ Man pr"uft unschwer, da"s sie Bijektionen $$\op{pAb}_{/(X,\mathcal A)}(\mathcal D\otimes^{\op{p}}_{\mathcal B}\mathcal N,\mathcal M)\sira\op{pAb}_{/(X,\mathcal A)}(\mathcal D\curlyvee_{\mathcal B}\mathcal N,\mathcal M) \sila \op{pAb}_{/(X,\mathcal B)}(\mathcal N,\mathcal D{\Rrightarrow}_{\!\mathcal A}\mathcal M)$$ induzieren mit den im folgenden erkl"arten Notationen. Links meinen wir Homomorphismen von Pr"agarben von $\mathcal A$-Moduln, in der Mitte $\mathcal B$-balancierte Verschmelzungen, die au"serdem in der ersten Variable $\mathcal A$-linear sind, und rechts Homomorphismen von Pr"agarben von $\mathcal B$-Moduln und die Untergarbe\label{tHga} $\mathcal D{\Rrightarrow}_{\!\mathcal A}\mathcal M\subset \mathcal D{\Rrightarrow}\mathcal M$ der mit $\mathcal A$ vertr"aglichen Garbenhomomorphismen, also $$(\mathcal D{\Rrightarrow}_{\!\mathcal A}\mathcal M)(U)\pdef \op{pAb}_{/(U,\mathcal A|_U)}(\mathcal D|_U,\mathcal M|_U)$$ mit ihrer offensichtlichen Struktur als $\mathcal B$-Modulgarbe. Garbifizierung liefert dann ein adjungiertes Paar $(\mathcal D\otimes_{\mathcal B},D{\Rrightarrow}_{\!\mathcal A})$ von Funktoren zwischen den Kategorien $\op{Mod}_{\mathcal B}$ und $\op{Mod}_{\mathcal A}$ der entsprechenden Modulgarben auf $X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $\varphi:X\ra Y$ ein Morphismus von glatten Variet"aten. Wir erinnern aus \ref{bdfj} den R"uckzug von Differentialmoduln $\varphi^*: \op{Dmod}_{/Y}\ra \op{Dmod}_{/X}$ gegeben durch $$\varphi^*\mathcal N= \mathcal D_{X\ra Y}\otimes_{\varphi^\dagger\mathcal D_Y}\varphi^\dagger\mathcal N$$ f"ur den in diesem Zusammenhang definierten $\mathcal D_X$-$\varphi^\dagger\mathcal D_Y$-Bimodul $\mathcal D_{X\ra Y}$. Mithilfe der Tensor-Hom-Adjunktion \ref{tHga} und \eref{bifgm}{KAG} finden wir unmittelbar einen Rechtsadjungierten $\varphi_*: \op{Dmod}_{/X}\ra \op{Dmod}_{/Y}$ gegeben durch\label{dBii} $$\varphi_*\mathcal M\pdef \varphi_\dagger (\mathcal D_{X\ra Y}{\Rrightarrow}_{\!\mathcal D_X}\mathcal M)$$ Man beachte, da"s er im Gegensatz zu $\varphi^*$ keineswegs die Quasikoh"arenz erhalten mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Internes Hom von Differentialmoduln}] Gegeben $\cal{M}, \cal{N}$ Differentialmoduln auf einer glatten $k$-Variet"at $X$ k"onnen wir $\cal{M} {\Rrightarrow}_{\cal{O}_{X}} \cal{N}$ zu einem Differentialmodul machen, indem wir $\xi \in \cal{T}_{X}$ operieren lassen durch\label{iHoD} $$\nabla_{\xi} h = \nabla_{\xi} h - h\nabla_{\xi} $$ Eine ausgedehnte Rechnung zeigt in der Tat, da"s diese Vorschrift wohldefiniert ist und einen flachen Zusammenhang auf der Homomorphismengarbe liefert, und nach \ref{dmzs} k"onnen wir diesen Zusammenhang dann wieder als eine Differentialmodulstruktur verstehen. Man beachte, da"s internes Hom im Gegensatz zum Tensorieren keineswegs die Quasikoh"arenz erhalten mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben eine glatte Variet"at $X$ besitzt der Einbettungsfunktor $\op{Dmodqk}_{/X}\hra \op{Dmod}_{/X}$ einen Rechtsadjungierten, den \emph{\bf Quasikoh"arentor}\index{Quasikoh"arentor!f"ur Differentialmoduln}\label{qkoD} $$\op{qk}=\op{qk}_{\mathcal D}:\op{Dmod}_{/X}\hra \op{Dmodqk}_{/X}$$ Er vertauscht mit dem R"uckzug von einer separierten glatten Variet"at auf eine offene Teilmenge derselben. \end{Lemma} \begin{proof} Wir erinnern aus \eref{Qkoh}{KAG} den Quasikoh"arentor f"ur Funktionenmoduln. Es ist klar, da"s dieselbe Konstruktion auch einen Quasikoh"arentor f"ur Differentialmoduln liefert. Das Vertauschen mit offenem R"uckzug folgt aus der entsprechenden Aussage \eref{rzqk}{KAG} f"ur Funktionenmoduln. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine glatte Variet"at $X$ erhalten wir im quasikoh"arenten Fall einen Rechtsadjungierten von $\otimes\mathcal M:\op{Dmodqk}_{/X}\ra \op{Dmodqk}_{/X}$ durch Nachschalten des Quasikoh"arentors \ref{qkoD} hinter das normale interne Hom $$(\mathcal M{\Rrightarrow}^{\op{qk}})=\op{qk}_{\mathcal D}(\mathcal M{\Rrightarrow})$$ Die Vertr"aglichkeit mit der Einschr"ankung auf eine offene Teilmenge im separierten Fall folgt aus der entsprechenden Aussage f"ur den Quasikoh"arentor. Gegeben $\varphi:X\ra Y$ ein Morphismus von glatten Variet"aten erhalten wir weiter durch Nachschalten des Quasikoh"arentors \ref{qkoD} hinter den normalen Vorschub einen Rechtsadjungierten $$\varphi^{\op{qk}}_*\pdef \op{qk}_{\mathcal D}\circ \varphi_*$$ des R"uckzugs $\varphi^*: \op{Dmodqk}_{/Y}\ra \op{Dmodqk}_{/X}$.\label{adqkd} Der behauptete Basiswechsel bei offenem R"uckzug in kartesischen Diagrammen separierter glatter Variet"aten folgt wie zuvor aus dem Vertauschen des Quasikoh"arentors mit offenem R"uckzug im Fall separierter Variet"aten. \end{Bemerkungl} \subsection{Differentialoperatoren auf affinen Gruppen} \begin{Bemerkungl} Im folgenden ben"otigen wir eine Variante unserer \glqq vertwisteten Monoidringe\grqq\ aus \eref{VTGR}{NAS} f"ur \glqq infinitesimale Gruppenoperationen\grqq, als da hei"st, f"ur Operationen von Liealgebren. Seien $k$ ein Kring, $A$ eine $k$-Ringalgebra, $\frak{g}$ eine $k$-Liealgebra und $\sigma:\frak{g} \ra \op{Der}_{k}A$ ein Liealgebrenhomomorphismus von $\frak{g}$ in die Liealgebra der $k$-linearen Derivationen von $A$. Wir sagen\label{ralie} dann auch, $(A,\mathfrak g,\sigma)$ sei eine {\bf Ringalgebra mit Lieoperation}.\index{Lieoperation!auf Ringalgebra} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben "uber einem Kring $k$ eine \hyperref[ralie]{Ringalgebra mit Lieoperation} $(A,\mathfrak g,\sigma)$ erkl"aren wir die Kategorie $$A\op{-Mod}_k^{(\mathfrak g,\sigma)}$$ der {\bf $\mathfrak g$-"aquivarianten $A$-Moduln}\index{Modul!"aquivarianter!f"ur Lieoperation} als die Kategorie aller Paare $(M,\tau)$, die bestehen aus einem $A$-Modul $M$ und einer $\mathfrak g$-Operation $\tau: \mathfrak g\ra \op{End}_k(M)$ auf dem $k$-Modul $M$ mit der Eigenschaft, da"s die Multiplikation mit Skalaren eine $\mathfrak g$-"aquivariante Abbildung $A\times M\ra M$ ist. In Formeln fordern wir also, da"s gilt $$X (am) = (X a) m + a (X m) \quad \forall X \in \frak{g}, a \in A, m \in M$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schmelzkategorie der "aquivarianten Moduln}] Gegeben eine \hyperref[ralie]{Kringalgebra mit Lieoperation} $(A,\mathfrak g,\sigma)$ "uber einem Kring $k$ erhalten wir auf $A\op{-Mod}_k^{(\mathfrak g,\sigma)}$ die Struktur einer Schmelzkategorie, indem wir Verschmelzungen erkl"aren als $A$-multilineare Abbildungen $\varphi:M_1\times \ldots\times M_r\ra N$ mit $$\varphi(Xm_1,m_2,\ldots,m_r)+\ldots + \varphi(m_1,m_2,\ldots,Xm_r)= X\varphi(m_1,m_2,\ldots,m_r)$$ f"ur alle $X\in\mathfrak g$ und $m_i\in M_i$. Diese Schmelzkategorie besitzt stark universelle Verschmelzungen und internes Hom, wie der mit der entsprechenden Terminologie vertraute Leser wird unschwer zeigen k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Vertwistete Einh"ullende}]\index{vertwistet!Einh"ullende} Seien $k$ ein Kring, $A$ eine $k$-Ring\-al\-ge\-bra, $\frak{g}$ eine Lie-Algebra "uber $k$ und $\frak{g} \ra \op{Der}_{k}A$ ein Liealgebrenhomomorphismus von\label{VtE} $\frak{g}$ in die Liealgebra der $k$-linearen Derivationen von $A$. So gibt es auf dem $k$-Modul $A \otimes_{k} {\op{U}}(\frak{g})$ genau eine Struktur als $k$-Ringalgebra derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item Die Abbildungen $A \ra A\otimes_{k}{\op{U}}(\frak{g})$, $a\mapsto a \otimes 1$ und ${\op{U}} (\frak{g}) \ra A \otimes_{k} {\op{U}}(\frak{g})$, $u\mapsto 1\otimes u$ sind beide Algebrenhomomorphismen; \item F"ur beliebige $a \in A$ und $X \in \frak{g}$ haben wir $$(1\otimes X) (a \otimes 1) = a \otimes X + X (a) \otimes 1$$ \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Ich schlage f"ur unsere vertwistete Einh"ullende die Notation $A \otimes_{k}^\sigma {\op{U}}(\frak{g})$ vor. Wir erhalten offensichtlich einen Isomorphismus von Kategorien $$(A \otimes_{k}^\sigma {\op{U}}(\frak{g}))\op{-Mod}\sira A\op{-Mod}_k^{(\mathfrak g,\sigma)}$$ zwischen der Kategorie der Moduln "uber unserer vertwisteten Einh"ullenden und der Kategorie der $\frak{g}$-"aquivarianten $A$-Moduln, indem wir die Operation der ver\-twisteten Einh"ullenden auf $A$ und $\mathfrak g$ einschr"anken. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Man kann das zum Beispiel einsehen, indem man die Algebrenhomomorphismen $$\begin{array}{lcll} \varphi :& A & \ra & \op{End}_{k} (A\otimes_{k} {\op{U}} (\frak{g}))\\ \psi : &{\op{U}} (\frak{g})& \ra &\op{End}_{k} (A \otimes_{k} {\op{U}} (\frak{g})) \end{array}$$ betrachtet, die induziert werden von der $A$-Operation auf dem ersten Faktor beziehungsweise der Tensordarstellung von $\frak{g}$ auf $A \otimes_{k} {\op{U}}(\frak{g})$ gegeben durch $X (a \otimes u) = X (a) \otimes u + a \otimes X u \; \forall X \in \frak{g}$, $a \in A$, $u\in {\op{U}} (\frak{g})$. Sie liefern eine lineare injektive Abbildung $$\begin{array}{ccc} A \otimes_{k} {\op{U}} (\frak{g}) & \ra &\op{End}_{k} (A \otimes_{k} {\op{U}}(\frak{g}))\\[2mm] a \otimes u& \mapsto & \varphi (a) \circ \psi (u) \end{array}$$ Jetzt mu"s man nur noch pr"ufen, da"s das Bild dieser Injektion eine Unteralgebra ist und da"s die so auf $A \otimes_{k} {\op{U}} (\frak{g})$ induzierte Algebrenstruktur unsere Bedingungen erf"ullt. Das sei dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Ubung} Gegeben eine affine algebraische Gruppe $G$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ der Charakteristik erhalten wir einen Ringalgebrenisomorphismus $$\mathcal O(G)\otimes^\sigma_k{\op{U}}(\mathfrak g)\sira\mathcal D(G)$$ durch die Realisierung $\mathfrak g\hra \mathcal D(G)$ als linksinvariante Vektorfelder mit $\sigma$ der Operation linksinvarianter Vektorfelder auf regul"aren Funktionen. Speziell erkennen wir so, da"s wir f"ur jeden Charakter $\chi:\mathfrak g\ra k$ unserer Liealgebra einen $\mathcal D(G)$-Modul\label{DMoG} $$\underline{G}_\chi\pdef \mathcal O(G)\otimes k_\chi$$ konstruieren k"onnen, indem wir als $\mathfrak g$-Operation die Tensordarstellung nehmen und als $\mathcal O(G)$-Operation die Multiplikation auf dem ersten Tensorfaktor. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine affine algebraische Gruppe $G$ und ein Charakter $\chi:\mathfrak g\ra k$ ihrer Liealgebra erinnere ich aus \ref{DMoG} den $\mathcal D(G)$-Modul $\underline{G}_\chi= \mathcal O(G)\otimes k_\chi$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben eine affine algebraische Gruppe $G$ und $\chi\in (\mathfrak g^*)^G$ ist der durch die Komultiplikation im Gruppenring gegebene $\mathcal O$-Opkomorphismus "uber der Multiplikation von $G$ sogar ein $\mathcal D$-Opkomorphismus $$\underline{G}_\chi\boxtimes \underline{G}_\chi\ra \underline{G}_\chi$$ und macht unser Objekt zu einem Monoid der dualen Schmelzkategorie. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Wir nennen $\underline{G}_\chi$ das {\bf Monodromiemonoid zu $\chi$}.\index{Monodromiemonoid} Unter einem {\bf $G$-$\chi$-mo\-no\-dro\-men Differentialmodul $\mathcal F$} verstehen wir dann einen Differentialmodul $\mathcal F$ zusammen mit einer Operation $\underline{G}_\chi\boxtimes\mathcal F\ra \mathcal F$ des Monodromiemonoids $\underline{G}_\chi$. Die Kategorie der $G$-$\chi$-mo\-no\-dro\-men Differentialmoduln auf einer glatten $G$-Variet"at $X$ notieren wir $$\op{Dmod}^\chi_{G{\ssearrow}X}$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sobald wir gezeigt haben, da"s unser $\mathcal O$-Op\-ko\-mor\-phis\-mus ein $\mathcal D$-Op\-ko\-mor\-phis\-mus, ist der Rest klar. Nehmen wir uns also $v,w\in\mathfrak g$ her. Linksinvariante Fortsetzung liefert bei $x,y\in G$ die Tangentialvektoren $\grave v_x=\diff_1(x\cdot)v$ beziehungsweise $\grave w_y=\diff_1(y\cdot)w$. Unter dem Differential der Multiplikation geht $(\grave v_x, \grave w_y)\in {\op{T}}_{(x,y)}(G\times G)$ auf $$\diff_1(xy\cdot)((\op{Ad}y)^{-1}(v)+w)\in {\op{T}}_{xy}G$$ Damit l"auft unsere Vertr"aglichkeitsbedingung auf die einigerma"sen banale Identit"at $\chi(v)+\chi(w)=\chi((\op{Ad}y)^{-1}(v)+w)$ hinaus. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Sei nun $G{\ssearrow}X$ eine glatte affine Variet"at mit der Operation einer affinen Gruppe und sei $\chi\in (\mathfrak g^*)^G$ ein $G$-invarianter Charakter. Gegeben ein $G$-$\chi$-monodromes Objekt $\mathcal F\in \op{Dmodqk}^\chi_{G{\ssearrow}X}$ haben wir eine Bijektion $$\op{Modqk}_{\sslash a}(\underline{G}\boxtimes\mathcal F,\mathcal F) \sira \op{Mod}_{/a^\sharp}(\mathcal F,\mathcal O(G)\otimes\mathcal F) $$ und unser erster Morphismus ist der Strukturmorphismus einer $G$-"aquivarianten $\mathcal O$-Modulgarbe genau dann, wenn unser rechter Morphismus im Sinne von \eref{RatD}{AAG} oder expliziter \eref{DRatj}{AAG} eine algebraische Darstellung von $G$ ist. Gegeben weiter $v\in\mathfrak g$ und $\acute v\in\mathcal T(G)$ das zugeh"orige rechtsinvariante Vektorfeld und irgendein Vektorfeld $\xi\in \mathcal T(X)$ betrachten wir das Vektorfeld $(\acute v,\xi)$ auf $G\times X$ und finden die Verwandtschaft $a:(\acute v,\xi)\leadsto v_X+\zeta$. \nichtfinal{ NACHHER KOMMT RAUS $G$-Operation auf $\Gamma\mathcal F$, $\mathcal D(X)\times\Gamma\mathcal F \ra \Gamma\mathcal F$ ist $G$-"aquivariant, Differential von abgeleiteter $\mathfrak g$-Operation und von $\mathfrak g$-Operation vie infinitesimale Automorphismen und $\mathcal D(X)$ stimmen bis auf $\chi$ "uberei.} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine affine algebraische Gruppe $G$ ist offensichtlich die Multiplikation $\mathcal O_G\otimes \mathcal O_G\ra \mathcal O_G$ f"ur alle $\chi,\xi\in (\mathfrak g^*)^G$ ein Isomorphismus $\underline G_\chi\otimes \underline G_\xi\sira \underline G_{\chi+\xi}$ von Differentialmoduln auf $G$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Monodrome Differentialmoduln auf Produkten}] Gegeben eine glatte Variet"at $X$ und eine affine algebraische Gruppe $G$ und ein invarianter Vektor $\chi$ der koadjungierten Darstellung liefert das Boxprodukt mit $\underline{G}_{\chi}$ eine "Aquivalenz $$\op{Dmodqk}_{/X}\sirra \op{Dmodqk}^\chi_{/G{\ssearrow}G\times X}$$ \end{Satz} \begin{proof} Im Fall $\chi=0$ folgt das bereits aus unseren allgemeinen "Uberlegungen zu "aquivarianten Objekten in \eref{Qeag}{TSF}. Im allgemeinen folgt es durch das zus"atzliche Nachschalten von $(\underline{G}_\chi\boxtimes\underline{X})\otimes$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schmelzkategorie der "aquivarianten Modulgarben}] Ist $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $X$ eine $k$-Variet"at und $\sigma:\frak{g} \ra \op{Der}_{k} \cal{O}_{X}$ ein Homomorphismus von Liealgebren, so erkl"aren wir in derselben Weise $\mathfrak g$-"aquivariante Garben von $\cal{O}_{X}$-Modulgarben und bilden die Garbe von $k$-Ring\-al\-ge\-bren $\cal{O}_{X} \otimes_{k}^\sigma {\op{U}} (\frak{g})$ auf $X$ und konstruieren eine "Aquivalenz zwischen der Schmelzkategorie ihrer Modulgarben und der Schmelzkategorie $\mathfrak g$-"aquivarianten $\cal{O}_{X}$-Mo\-dul\-gar\-ben. Beide Schmelzkategorien haben offensichlich stark universelle Verschmelzungen und internes Hom. \end{Bemerkungl} \subsection{Rechts- und Linksmoduln} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Geradenb"undel $\mathcal L$ auf einer glatten $k$-Variet"at $X$ k"onnen wir die Garbe von $k$-Ringalgebren \begin{equation*} \op{Diff} (\mathcal L) \pdef \mathcal L \otimes_{\mathcal O_{X}} \mathcal D_X \otimes_{\mathcal O_{X}} \mathcal L^{-1} \end{equation*} bilden zusammen mit dem offensichtlichen Homomorphismus $\mathcal O_X\hra \op{Diff} (\mathcal L) $ von Garben von $k$-Ringalgebren. Diese Struktur ist lokal, aber nicht notwendig global isomorph zu $\mathcal O_X\hra \mathcal D_X$. Genauer liefert jeder globale Schnitt ohne Nullstelle $\omega\in\mathcal L(X)$ einen Isomorphismus $\op{can}_\omega: \mathcal D_X \sira \op{Diff} (\mathcal L) $, $P\mapsto \omega P \omega^{-1}$ von $k$-Ringalgebren, der mit den jeweiligen Einbettungen von $\mathcal O_X$ vertr"aglich ist. Gegeben ein $\mathcal D_X$-Modul $\mathcal M$ l"a"st sich die Struktur von $\mathcal L \otimes_{\mathcal O_{X}} \mathcal M$ als $\mathcal O_X$-Modul offensichtlich zu einer Struktur als $\op{Diff} (\mathcal L)$-Modul fortsetzen. Gegeben ein $\mathcal D_X$-Rechtsmodul $\mathcal M$ l"a"st sich "ahnlich die Struktur von $\mathcal M \otimes_{\mathcal O_{X}} \mathcal L^{-1}$ als $\mathcal O_X$-Modul offensichtlich zu einer Struktur als $\op{Diff} (\mathcal L)$-Rechtsmodul fortsetzen. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Rechtsoperation auf Volumenformen}] Gegeben eine glatte Variet"at $X$ kann die Struktur als $\mathcal O_X$-Modul auf dem B"undel $\Omega_X$ der Volumenformen mithilfe der Lie-Ableitung zu einer Struktur als $\mathcal D_X$-Rechtsmodul erweitert werden durch die Vorschrift \begin{equation*} \omega \xi \pdef - \mathcal L_\xi \omega \end{equation*} f"ur alle Schnitte $\omega \in \Omega_X,$ $ \xi \in \mathcal T_X$ mit demselben Definitionsbereich. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Heuristisch mag man sich davon "uberzeugen, indem man bemerkt, da"s in der Differentialgeometrie der Raum der glatten Volumenformen mit kompaktem Tr"ager auf einer orientierten Manngfaltigkeit in nat"urlicher Weise in den Dualraum des Raums der glatten Funktionen eingebettet werden kann. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir m"ussen die Relationen aus \ref{DERe} pr"ufen. Die Erste ist unproblematisch. F"ur die anderen erinnern wir aus der Differentialgeometrie \ref{LabD} die Leibnizregel $\mathcal L_\xi (f\omega) =(\xi| f)\omega+f (\mathcal L_\xi \omega)$ sowie die Formel $\mathcal L_\xi = i_\xi \circ d + d \circ i_\xi$ f"ur die Lie-Ableitung von Differentialformen und speziell $\mathcal L_\xi \omega = d \circ i_\xi\omega$ f"ur Volumenformen, die wir hier auch als unsere Definition der Lie-Ableitung verstehen m"ogen. Ist $f$ eine regul"are Funktion, so finden wir speziell $\mathcal L_{f\xi}\omega=(\xi |f) \omega + f\mathcal L_{\xi}\omega$ "uber die Zwischenschritte\label{ReMoo} $$ \ldots=d(i_{f\xi}\omega)=d(fi_{\xi}\omega) = df\wedge i_{\xi}\omega + f\mathcal L_{\xi}\omega = (i_{\xi}df)\wedge \omega + f\mathcal L_{\xi}\omega = \ldots $$ Unsere zweite Relation aus \ref{DERe} l"auft nun auf die Formel $-\cal L_\xi(f\omega)=-\cal L_{f\xi}\omega$ hinaus, die unmittelbar aus der Leibniz-Regel und der vorhergehenden Rechnung folgt. Unsere dritte Relation l"auft auf die Formel $f(-\cal L_\xi\omega)=-\cal L_{f\xi}\omega + (\xi|f)\omega$ hinaus und folgt ebenso aus unserer obigen Identit"at. Die letzte Relation schlie"slich folgt aus der allgemeinen Eigenschaft $\mathcal L_\xi \mathcal L_{\zeta} - \mathcal L_{\zeta} \mathcal L_\xi = \mathcal L_{[\xi, \zeta]}$ der Lie-Ableitung. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Ubergang von Linksmoduln zu Rechtsmoduln}] In lokalen Pseudokoordinaten sehen wir leicht, da"s unsere Vorschrift die Garbe $\Omega_X$ der Volumenformen nicht nur zu einem $\mathcal D_X$-Rechtsmodul macht, sondern da"s beide Einbettungen der folgenden Ringe in die Endomorphismengarbe ${\op{End}}_{\mathbb C} \Omega_X$ sogar einen Isomorphismus\label{ReLiW} \begin{equation*} \mathcal D^{\op{opp}}_X \sira \Omega_X \otimes_{\mathcal O_{X}} \mathcal D_X \otimes_{\mathcal O_{X}} \Omega^{-1}_X \end{equation*} von Garben von Ringen induzieren. Damit ist klar, wie das Tensorieren mit dem B"undel der Volumenformen eine "Aquivalenz von Kategorien $$ \begin{array}{ccc} \mathcal D_X \op{-Mod} & \sira & \mathcal D^{\op{opp}}_{X} \op{-Mod}\\ \mathcal M & \mapsto & \Omega_X \otimes_{\mathcal O_{X}} \mathcal M \end{array} $$ liefert. Alternativ mag man den $\mathcal D_X^{\op{opp}}$-$ \mathcal D_X$-Bimodul $\Omega_X \otimes_{\mathcal O_{X}} \mathcal D_X$ bilden, bei dem die $\mathcal D_X^{\op{opp}}$-Wirkung wieder von obigem Isomorphismus herr"uhrt, nicht etwa von der Wirkung auf $\Omega_X$, das ja keineswegs ein $\mathcal D_X^{\op{opp}}$-$\mathcal O_X$-Bimodul ist, und die "Aquivalenz als das Tensorieren mit diesem Bimodul auffassen. Umgekehrt ist $ \mathcal D_X\otimes_{\mathcal O_{X}}\Omega^{-1}_X $ ein $\mathcal D_X $- $\mathcal D_X^{\op{opp}}$-Bimodul und die inverse "Aquivalenz ist das Tensorieren mit diesem Bimodul. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Besitzt speziell $\Omega_X$ einen globalen Schnitt $\omega$ ohne Nullstelle, so liefert dieser einen Isomorphismus $\op{can}_\omega : \mathcal D^{\op{opp}}_X \sira \mathcal D_X$, charakterisiert auf Vektorfeldern durch $\xi \mapsto \zeta + g$ mit $\xi^\circ (f \omega) = \omega (\zeta + g) \omega^{-1} f \omega= ((\zeta|f) + g f )\omega$ f"ur alle $f \in \mathcal O_X$. Die linke Seite wird unter unseren Definitionen zu \begin{equation*} \xi^\circ (f \omega) = - \mathcal L_\xi (f \omega) = - (\xi | f) \omega - f \mathcal L_\xi \omega = - (\xi | f) \omega - f d i_\xi \omega \end{equation*} Wir sollten folglich $\zeta=-\xi$ w"ahlen und $g=g_\xi$ erkl"aren durch $-d i_\xi \omega=g\omega$. Die Isomorphismen $\mathcal M \sira \Omega_X \otimes_{\mathcal O_{X}} \mathcal M$, $m \mapsto \omega \otimes m$ bilden dann eine Isotransformation zwischen den beiden Funktoren $\mathcal D_X \op{-Mod} \rightarrow \mathcal D^{\op{opp}}_X\op{-Mod}$, die einmal durch das Restringieren der Skalare mit $\op{can}_\omega$ und einmal durch $\Omega_X \otimes_{\mathcal O_{X}}$ gegeben werden. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} F"ur $X = \mathbb C^n$ k"onnen wir $\omega = \diff{x}_1 \wedge \ldots \wedge \diff{x}_n$ nehmen. F"ur $\xi = \partial_i$ ergibt sich dann $\partial_i^\circ (f \omega) = - (\partial_i | f) \omega$ und der zugeh"orige Isomorphismus $\op{can}_\omega:A_n^{\op{opp}} \sira A_n$ auf dem Niveau der Weylalgebren wird schlicht gegeben durch $x^\circ_i \mapsto x_i ,$ $\partial^\circ_i \mapsto - \partial_i$. Analoges gilt auch allgemeiner bei der Rechnung in lokalen Pseudokoordinaten. \end{Beispiel} \subsection{Vorschub unter affinen Immersionen} \begin{Bemerkungl} In diesem Abschnitt erkl"are ich direkte Bilder f"ur lokal abgeschlossene Immersionen von glatten affinen Variet"aten. Diese Konstruktion ist sehr viel einfacher als die Konstruktion direkter Bilder f"ur allgemeine Morphismen allgemeiner glatter Variet"aten, zu deren Verst"andnis der Leser gut mit der Begriffswelt der derivierten Kategorien vertraut sein mu"s. Andererseits hat die Konstruktion auch in dieser stark eingeschr"ankten Allgemeinheit bereits interessante Anwendungen, wie in \ref{??} und \ref{??} ausgef"uhrt werden soll. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $i : X \rightarrow Y$ eine lokal abgeschlossene Einbettung von glatten affinen Variet"aten. Wir gehen aus vom $\mathcal D (X)$-$\mathcal D (Y)$-Bimodul \begin{equation*} D_{X\rightarrow Y} \pdef \mathcal O (X) \otimes_{\mathcal O (Y)} \mathcal D (Y) \end{equation*} Wir erhalten ihn mit \ref{ibD} als inverses Bild des $\mathcal D (Y)$-Moduls $\mathcal D(Y)$. Er ist zyklisch als $\mathcal D(Y)$-Rechtsmodul mit Erzeuger $1\otimes 1$. Indem wir unsere Rechts-Links-Wandler \ref{ReLiW} darantensorieren, erhalten wir daraus einen $\mathcal D (Y)$-$\mathcal D (X)$-Bimodul \begin{equation*} D_{Y \leftarrow X} \pdef \Omega(X)\otimes_{\mathcal O(X)}D_{X\rightarrow Y}\otimes_{\mathcal O(Y)}\Omega(Y)^{-1} \end{equation*} Das {\bf direkte Bild} von $ M \in \mathcal D (X)\op{-Mod}$ wird dann erkl"art als der $\mathcal D (Y)$-Modul \begin{equation*} i_+ M := D_{Y\leftarrow X} \otimes_{\mathcal D (X)} M \end{equation*} \end{Definition} % \begin{Beispiel} % Betrachen wir als Einbettung $X\ra X$ das % \glqq Anh"angen von $r$ Nullen\grqq\ % $i : \DC^n \hookrightarrow \DC^{n+r}$, so ergibt % die Links- und Rechtsoperation von Differentialoperatoren % auf $1\otimes 1\in D_{X \rightarrow X}$ einen % Vektorraum-Isomorphismus % \begin{equation*} % A_n \otimes_{\mathbb C} \mathbb C [\partial_{n+1}, \ldots, \partial_{n+r}] \sira % D_{X \rightarrow X} % \end{equation*} % Umgekehrt erhalten wir in derselben Weise % durch Rechts- und Linksoperation von Differentialoperatoren % auf $\omega_X\otimes 1\otimes 1\otimes\omega_X$ % f"ur globale Volumenformen ohne Nullstellen $\omega_X,$ $\omega_X$ % auch einen Vektorraum-Isomorphismus % \begin{equation*} % \mathbb C [\partial_{n+1} , \ldots , \partial_{n+r}] \otimes_{\mathbb C} A_n \sira % D_{X \leftarrow X} % \end{equation*} % und folglich liefern Wahlen von $\omega_X$ und $\omega_X$ % einen funktoriellen % Isomorphismus % \begin{equation*} % \mathbb C [\partial_{n+1}, \ldots, \partial_{n+r}] \otimes_{\mathbb C} M \sira % i_+ M % \end{equation*} % f"ur jeden $A_n$-Modul $M$. In diesem Fall kann man nat"urlich schlicht mit % $\omega_X=\diff{y}_1 \wedge \ldots \wedge \diff{y}_n$ und mit % $\omega_X=\diff{x}_1 \wedge \ldots \wedge \diff{x}_{n+r}$ arbeiten. % \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Direkte Bilder in Koordinaten}] Ist $i : X \hookrightarrow Y$ eine abgeschlossene Einbettung glatter affiner Variet"aten und gibt es \hyperref[PsKo]{Pseudokoordinaten} $x_1, \ldots, x_{n+r}$ auf $Y$ mit $X = \{ x_{n+1} = \ldots = x_{n+r} = 0\}$, was lokal stets der Fall sein wird, so liefert die Links- und Rechtsoperation von Differentialoperatoren auf $1\otimes 1\in D_{X \rightarrow Y}$ einen Vektorraumisomorphismus\label{dbKO} \begin{equation*} \mathcal D(X) \otimes_{\mathbb C} \mathbb C [\partial_{n+1}, \ldots, \partial_{n+r}] \sira D_{X \rightarrow Y} \end{equation*} Unser $D_{X \rightarrow Y}$ ist dann also nicht nur zyklisch als $\mathcal D(Y)$-Rechtsmodul mit Erzeuger $1\otimes 1$, sondern auch frei als $\mathcal D(X)$-Modul, und unser $\mathcal D(Y)$-Erzeuger $1\otimes 1$ kann zu einer Basis "uber $\mathcal D(X)$ erg"anzt werden. Umgekehrt erhalten wir in derselben Weise durch Rechts- und Linksoperation von Differentialoperatoren auf $\omega_X\otimes 1\otimes 1\otimes\omega_Y^{-1}$ f"ur globale Volumenformen ohne Nullstellen $\omega_X,$ $\omega_Y$ auch einen Vektorraumisomorphismus \begin{equation*} \mathbb C [\partial_{n+1} , \ldots , \partial_{n+r}] \otimes_{\mathbb C} \mathcal D(X) \sira D_{Y \leftarrow X} \end{equation*} und "ahnlich wie bei der Definition von $D_{X \rightarrow Y}$ auch einen Vektorraum-Isomor\-phis\-mus $\mathcal D(Y) \otimes_{\mathcal O(Y)} \mathcal O(X) \sira D_{Y \leftarrow X}$. Wir k"onnen sogar schlicht mit $\omega_X=\diff{y}_1 \wedge \ldots \wedge \diff{y}_n$ und mit $\omega_Y=\diff{x}_1 \wedge \ldots \wedge \diff{x}_{n+r}$ arbeiten. In jedem Fall liefern Wahlen von $\omega_X$ und $\omega_Y$ einen funktoriellen Isomorphismus \begin{equation*} \mathbb C [\partial_{n+1}, \ldots, \partial_{n+r}] \otimes_{\mathbb C} M \sira i_+ M \end{equation*} f"ur jeden $\mathcal D(X)$-Modul $M$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Direktes Bild unter offener Einbettung}] Ist $i : X \hra Y$ eine offene Einbettung, so kann $i_+ M $ in nat"urlicher Weise identifiziert werden mit $M$ selber, versehen mit einer von $\mathcal O (X)$ zu $\mathcal O (Y)$ eingeschr"ankten Operation von Funktionen und einer entsprechend eingeschr"ankten Operation von Differentialoperatoren. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verkn"upfung direkter Bildfunktoren}] Sei $\varphi:X\ra Y$ ein Morphismus von glatten affinen Variet"aten. Das in \ref{ibD} erkl"arte Zur"uckholen von $\mathcal D(Y)$-Moduln zu $\mathcal D(X)$-Moduln ist nach \ref{RAT} ein rechtsexakter Funktor. Das zeigt, da"s die offensichtliche Abbildung f"ur jeden $\mathcal D(Y)$-Modul $M$ einen Isomorphismus von $\mathcal D(X)$-Moduln $$D_{X\ra Y}\otimes_{\mathcal D(Y)}M \sira \mathcal O(X)\otimes_{\mathcal O(Y)}M$$ induziert. Mit \ref{TRIB} liefert uns diese Erkenntnis f"ur jeden weiteren Morphismus von glatten affinen Variet"aten $\psi: Y\ra Z$ einen nat"urlichen Isomorphismus $$D_{X\ra Y}\otimes_{\mathcal D(Y)}D_{Y\ra Z}\sira D_{X\ra Z}$$ und f"ur jede Sequenz von drei Morphismen kommutiert das vom Leser an dieser Stelle zu erratende Quadrat. Die analogen Aussagen folgen erst f"ur die andersherum bepfeilten Bimoduln und dann f"ur unsere direkten Bilder unter lokal abgeschlossenen Einbettungen glatter affiner Variet"aten. \end{Bemerkungl} \subsection{Differentialmoduln mit vorgegebenem Tr"ager} \begin{Satz}[\textbf{Einbettungssatz von Kashiwara}] Gegeben eine abgeschlossene Einbettung von glatten affinen Variet"aten $i : Y \hookrightarrow X$ liefert das direkte Bild $i_+$ eine "Aquivalenz von Kategorien \label{KaEE}\begin{equation*} i_+ : \mathcal D (Y) \op{-Mod} \sirra \mathcal D (X) \op{-Mod}_Y \end{equation*} von $\mathcal D (Y) \op{-Mod}$ mit der vollen Unterkategorie derjenigen $\mathcal D (X)$-Moduln, bei denen jedes Element von einer Potenz des Verschwindungsideals $\mathcal I_X (Y) \subset \mathcal O (X)$ von $Y$ annulliert wird. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Geometrisch gesagt besteht $\mathcal D (X) \op{-Mod}_Y$ aus allen Differentialmoduln auf $X$, die als Garben abelscher Gruppen Tr"ager in $Y$ haben. Wir zeigen den Satz zun"achst f"ur die Einbettung des Ursprungs nach $\DC$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben ein Modul $N$ "uber der Weylalgebra $A_1 = \mathbb C \lfloor x,\partial\rfloor$, auf dem $x$\label{KMW} lokal nilpotent operiert, liefert die Multiplikation einen Isomorphismus \begin{equation*} \mathbb C [\partial] \otimes_{\mathbb C} (\op{ker} x) \sira N \end{equation*} \end{Lemma} \begin{proof} Das erledigt den Fall der Einbettung des Ursprungs nach $\DC$ beim Einbettungssatz von Kashiwara. Mir f"allt es aus rein psychologischen Gr"unden leichter, die folgende "aquivalente Aussage zu zeigen: Gegeben ein Modul $M$ "uber der Weylalgebra $A_1 = \mathbb C \lfloor x,\partial\rfloor$, auf dem $\partial$ lokal nilpotent operiert, liefert die Multiplikation einen Isomorphismus \begin{equation*} \mu:\mathbb C [x] \otimes_{\mathbb C} (\op{ker} \partial) \sira M \end{equation*} Man pr"uft leicht, da"s diese Abbildung ein Homomorphismus von $A_1$-Moduln ist, f"ur die von der Operation auf $\DC[x]$ herkommende $A_1$-Modulstruktur links. Um die Injektivit"at zu zeigen, argumentieren wir durch Widerspruch und w"ahlen andernfalls $k\pdef \sum^n_{i=0} x^i \otimes k_i\in\op{ker}\mu$ von Null verschieden mit $n$ kleinstm"oglich und insbesondere $k_n\neq 0$. W"are $n> 0$, so k"onnten wir $\partial$ anwenden und $\sum^n_{i=1} i x^{i-1} \otimes k_i$ l"age auch in $\op{ker}\mu$ im Widerspruch zu unseren Annahmen. Wir haben also $n =0$ und dann notwendig $k=k_0=0$ und das zeigt die Injektivit"at. Um die Surjektivit"at zu zeigen, betrachen wir f"ur jedes $a\in\DN$ den $A_1$-Modul $\mathbb C [x]^{\oplus a}$. Der Vektor $(1, x, \ldots, x^{a-1})$ ist ein Erzeuger dieses $A_1$-Moduls, denn in seinem Erzeugnis liegt f"ur jede Stelle ein Vektor der Gestalt $(0, \ldots, 0, 1, \ast, \ldots, \ast)$. Da nun $\partial^a$ unseren Vektor annulliert, erhalten wir eine Surjektion \begin{equation*} A_1 / A_1 \partial^a \twoheadrightarrow \mathbb C [x]^{\oplus a} \end{equation*} von $A_1$-Moduln. Da beide Seiten freie $\mathbb C [x]$-Moduln vom selben Rang sind, ist unsere Surjektion sogar eine Bijektion. Mithin wird f"ur jedes $a\in\DN$ der $A_1$-Modul $A_1 / A_1 \partial^a$ als $\mathbb C [x]$-Modul erzeugt von seinen von $\partial$ annullierten Vektoren. Das zeigt die Surjektivit"at und das Lemma. \end{proof} \begin{Lemma}\label{KMWm} Gegeben ein Modul $N$ "uber der Weylalgebra $A_n = \mathbb C \lfloor x_i,\partial_i\rfloor$, auf dem alle $x_i$ lokal nilpotent operieren, liefert die Multiplikation einen Isomorphismus \begin{equation*} \mathbb C [\partial_1,\ldots,\partial_n ] \otimes_{\mathbb C} (\op{ker} x_1\cap\ldots\cap \op{ker} x_n) \sira N \end{equation*} \end{Lemma} \begin{proof} Das ist schon der Fall der Einbettung des Ursprungs nach $\DC^n$ beim Einbettungssatz von Kashiwara. Das vorhergehende Lemma \ref{KMW} zeigt, da"s die Multiplikation einen Isomorphismus \begin{equation*} \mathbb C [\partial_n] \otimes_{\mathbb C} (\op{ker} x_n) \sira N \end{equation*} liefert. Jetzt ist jedoch $(\op{ker} x_n)$ ein $A_{n-1}$-Modul, auf dem alle verbleibenden $x_i$ lokal nilpotent operieren. Das Lemma folgt mit vollst"andiger Induktion. \end{proof} \begin{proof}[Beweis des Einbettungssatzes \ref{KaEE}] % Wir zeigen allgemeiner, da"s $i_+$ sogar % f"ur beliebiges $Z \As Y$ eine "Aquivalenz % \begin{equation*} % i_+ : \mathcal D (Y)\op{-Mod}_Z \sira % \mathcal D (X)\op{-Mod}_Z % \end{equation*} % liefert. % Zun"achst einmal gilt es zu zeigen, da"s $i_+ : \mathcal D (Y) % \op{-Mod}_Z \rightarrow \mathcal D (X) % \op{-Mod}$ tats"achlich in $\mathcal D (X) \op{-Mod}_Z$ landet. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s es Pseudokoordinaten $x_1, \ldots, x_{n+r} \in \mathcal O (X)$ gibt mit $Y = \{ x_{n+1} = \ldots = x_{n+r} = 0\}$. Dann liefert unsere Beschreibung \ref{dbKO} des direkten Bildes einen Isomorphismus $ \mathbb C [\partial_{n+1}, \ldots, \partial_{n+r}] \otimes_{\mathbb C} M \sira i_{+} M $. F"ur jedes Element des Verschwindungsideals $f \in \mathcal I (Y)$ und beliebiges $m\in M$ gilt $f^{r} (P (\partial) \otimes m)=0$ f"ur $r > \op{grad} P$. Damit liefert $i_{+}$ in der Tat einen Funktor \begin{equation*} i_+ : \mathcal D (Y) \op{-Mod} \rightarrow \mathcal D (X) \op{-Mod}_Y \end{equation*} Der Funktor $i_+ = D_{X \leftarrow Y} \otimes_{\mathcal D (Y)}$ hat nach \ref{BMA} den Rechtsadjungierten $$ \begin{array}{cccl} i^+ : &\mathcal D (X) \op{-Mod} & \rightarrow & \mathcal D (Y) \op{-Mod}\\ &N & \mapsto& \op{Hom}_{\mathcal D (X)} (D_{X \leftarrow Y} , N) \end{array} $$ Wenn wir zeigen k"onnen, da"s f"ur alle $M \in \mathcal D (Y)\op{-Mod}$ die Adjunktion einen Isomorphismus $M \sira i^+ i_+ M$ liefert, so ist unser Funktor schon mal volltreu. K"onnen wir zus"atzlich zeigen, da"s f"ur alle $N \in \mathcal D (X)\op{-Mod}_Y$ die Adjunktion einen Isomorphismus $i_+ i^+ N \sira N$ liefert, so ist unser Satz bewiesen. Wir erinnern dazu unsere Isomorphismen $ \mathbb C [\partial_{n+1} , \ldots , \partial_{n+r}] \otimes_{\mathbb C} \mathcal D(Y) \sira D_{X \leftarrow Y} $ und $i_+ M = \mathbb C [\partial_{n+1} , \ldots , \partial_{n+r}]\otimes_{\mathbb C} M$ aus \ref{dbKO}. Die kanonische Abbildung \begin{equation*} M \rightarrow \op{Hom}_{\mathcal D (X)} (D_{X \leftarrow Y}, D_{X \leftarrow Y} \otimes_{\mathcal D (Y)} M) \end{equation*} ist offensichtlich injektiv, denn $D_{X \leftarrow Y}$ ist als $\mathcal D (X)$-Modul erzeugt von einem Element $c$, das zu einer Basis als $\mathcal D (Y)$-Rechtsmodul erg"anzt werden kann. Unter den Abbildungen zu $m\in M$ geht dieser Erzeuger dann auf die paarweise verschiedenen Vektoren $c\otimes m$. % Wir erinnern dazu % unsere Isomorphismen % \begin{equation*} % \mathbb C [\partial_{n+1} , \ldots , \partial_{n+r}] \otimes_{\mathbb C} % \mathcal D(Y) \sira % D_{X \leftarrow Y} % \end{equation*} % $i_+ M = \mathbb C [\partial_{n+1} , \ldots , \partial_{n+r}]\otimes_{\mathbb C} % M$ aus \ref{dbKO} % und der Teilraum der von $Y_0$ annullierten Elemente % ist genau $\mathbb C \otimes_{\mathbb C} M$. Sie mu"s aber auch surjektiv sein, da die auf den von $x_{n+1},\ldots,x_{n+r}$ annullierten Vektoren induzierte Abbildung ein Homomorphismus von $\mathcal D (Y)$-Moduln $\mathbb C \otimes_{\mathbb C} \mathcal D (Y) \rightarrow \mathbb C \otimes_{\mathbb C} M$ ist, der nat"urlich durch das Produkt mit einem $m \in M$ entstehen mu"s. Zusammen folgt $M \sira i^+ i_+ M$. Nun gehen wir umgekehrt von $N \in \mathcal D (X)\op{-Mod}$ aus und betrachten die kanonische Abbildung $i_+ i^+ N \rightarrow N$. Unser durch die Rechts- und Linksoperation auf einem geeigneten Element $c \in D_{X \leftarrow Y}$ gegebener Isomorphismus $\mathcal D (X) \otimes_{\mathcal O (X)} \mathcal O (Y) \sira D_{X \leftarrow Y}$ aus \ref{dbKO} liefert einen Isomorphismen \begin{equation*} i^+ N \;\sira \; \op{Hom}_{\mathcal D (X)} (\mathcal D (X) \otimes_{\mathcal O (X)} \mathcal O (Y), N) \;\sira \; \op{Hom}_{\mathcal O (X)} (\mathcal O (Y), N) \end{equation*} "Ubersetzt in Koordinaten k"onnen wir so $i^+ N$ identifizieren mit dem Schnitt der Kerne der $ x_{n+k}$. Unsere Aufgabe ist zu zeigen, da"s f"ur jeden $\mathcal D (X)$-Modul $N$, in dem jedes Element von einer Potenz aller $x_{n+k}$ annulliert wird, die Multiplikation einen Isomorphismus \begin{equation*} \mathbb C [\partial_{n+1} ,\ldots,\partial_{n+r}] \otimes_{\mathbb C} \op{ker} (\op{ker} x_{n+1} \cap\ldots\cap \op{ker} x_{n+r}) \sira N \end{equation*} induziert. In dieser Form gilt die Aussage sogar f"ur beliebige Moduln $N$ "uber der Weylalgebra und wurde bereits als separates Lemma \ref{KMWm} bewiesen. \end{proof} \subsection{Involutivit"at der charakteristischen Variet"at} \begin{Definition} Sei $K$ ein Kring. Eine \defind{Poisson-Algebra "uber $K$} ist ein $K$-Modul $A$ mit einer Struktur $(a, b) \mapsto ab$ als $K$-Kringalgebra und einer Struktur $(a,b) \mapsto \{a,b\}$ als $K$-Liealgebra derart, da"s $\{a, \;\}$ stets eine Derivation in Bezug auf die Ringstruktur ist, da"s also f"ur alle $a,b, c \in A$ gilt \begin{equation*} \{a, bc\} = \{a,b\} c + b \{a,c\} \end{equation*} Eine Poisson-Algebra "uber $\mathbb Z$ nennen wir einen \defind{Poisson-Ring}. \end{Definition} \begin{Beispiel} Betrachten wir $\mathbb R^{2n}$ mit den Koordinaten $q_1, \ldots , q_n, p_1, \ldots , p_n$, so wird $A = \mathcal C^{\infty} (\mathbb R^{2n},{\mathbb R})$ eine Poissonalgebra mit der punktweisen Multiplikation und der Poissonklammer \begin{equation*} \{f, g\} := \sum^n_{i =1} \frac{\partial f}{\partial q_i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i} \end{equation*} Betrachten wir allgemeiner eine symplektische Mannigfaltigkeit $(M, \omega)$, so wird $\mathcal C^\infty (M,\DR)$ eine Poissonalgebra mit der Poissonklammer \begin{equation*} \{f, g\} \pdef \tilde \omega (df, dg) \end{equation*} f"ur $\tilde \omega : {\op{T}}^\ast M \times_M {\op{T}}^\ast M \rightarrow \mathbb R \times M$ die Abbildung, die aus $ \omega : {\op{T}} M \times_M {\op{T}} M \rightarrow \mathbb R \times M $ entsteht, indem man die Identifikation $\op{can}^2_\omega : {\op{T}} M \sira {\op{T}}^\ast M$ verwendet. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Ring $K$ verwenden wir im folgenden die allgemeine Konvention, nach der $K[\epsilon] \pdef K [{}^\prime \epsilon] / \langle \epsilon^2 \rangle$ den Ring der dualen Zahlen "uber $K$ bezeichnet. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{PKe} Seien $K$ ein K"orper und $A$ eine Ringalgebra "uber dem Ring $K[\epsilon]$ der dualen Zahlen. Ist $A$ frei als Modul "uber $K[\epsilon]$ und ist $A/\epsilon A$ kommutativ, so gibt es auf $A/\epsilon A$ genau eine Struktur als Poissonalgebra derart, da"s gilt \begin{equation*} \epsilon \{\bar a, \bar b\} = a b - b a \quad \forall a, b \in A \end{equation*} mit der Notation $\epsilon$ f"ur den von der Multiplikation mit $\epsilon$ induzierten Isomorphismus $ A/\epsilon A \sira \epsilon A$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Involutivit"at von Tr"agern}] Seien $K$ ein K"orper der Charakteristik Null, $A$ eine ringendliche Ringalgebra "uber dem Ring\label{InvT} $K[\epsilon]$ der dualen Zahlen und $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul. Sind $A$ und $M$ frei als $K[\epsilon]$-Moduln und ist $A/\epsilon A$ kommutativ, so ist das Radikal $\sqrt{\op{Ann}_{A/\epsilon A} (M/\epsilon M)}$ abgeschlossen unter der Poissonklammer auf $A/\epsilon A$ aus \ref{PKe}. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Das hier gegebene Argument habe ich in einem Buchentwurf von Victor Ginzburg kennengelernt, der es Friedrich Knop zuschreibt. Die Aussage selber wurde meines Wissens zuerst von Ofer Gabber bewiesen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir setzen $A/\epsilon A \defp \bar A$ und $M / \epsilon M \defp \bar M$. Nach \eref{FiSP}{KAG} besitzt $\bar M$ eine endliche Filtrierung \begin{equation*} 0 =\bar M^{ 0} \subset \ldots \subset \bar M^{ n} = \bar M \end{equation*} durch $\bar A$-Untermoduln mit $\bar M^{ i} / \bar M^{ i-1} \cong \bar A/\mathfrak p_i$ f"ur Primideale $\mathfrak p_1, \ldots , \mathfrak p_n \subset\bar A$. Dann haben wir nat"urlich $\sqrt{\op{Ann}_{\bar A} \bar M} = \mathfrak p_1 \cap \ldots \cap \mathfrak p_n$. Es reicht also, f"ur alle Primideale $\mathfrak p \in \{ \mathfrak p_1, \ldots , \mathfrak p_n\}$, die unter der Teilordnung dieser Menge nach Inklusion minimal sind, die Stabilit"at $\{\mathfrak p, \mathfrak p\} \subset \mathfrak p$ unter der Poissonklammer zeigen. Wir finden sicher ein Element $\bar x \in \bar A \backslash \mathfrak p$ mit $\bar x \in \mathfrak p_i$ falls $\mathfrak p_i \neq \mathfrak p$, und k"onnen sein Bild $\bar{\bar x}\in\bar A/\mathfrak p$ zu einer maximalen "uber $K$ algebraisch unabh"angigen Familie $\bar{\bar x} = \bar{\bar x}_1, \bar{\bar x}_2, \ldots , \bar{\bar x}_r$ in $\bar A / \mathfrak p$ erg"anzen. Seien $\bar x_1, \ldots , \bar x_r \in \bar A$ Urbilder der $\bar{\bar x}_i$ und $R = K[ \bar x_1, \ldots, \bar x_r]$ die von ihnen in $\bar A$ erzeugte $K$-Unterringalgebra. Aufgrund der Wahl von $\bar x$ liefert Lokalisierung $(\bar A / \mathfrak p_i)_{\bar x} = 0$ f"ur $\mathfrak p_i \neq \mathfrak p$. Andererseits ist $\op{Quot} (\bar A/\mathfrak p) / \op{Quot}( R)$ eine endliche K"orpererweiterung. Folglich finden wir $\bar g \in R \backslash 0$ mit $(\bar A / \mathfrak p)_{\bar g}$ frei von endlichem Rang $d$ "uber $R_{\bar g}$. Ersetzen wir $\bar g$ durch sein Produkt mit $\bar x$, so hat zus"atzlich der $\bar A_{\bar g}$-Modul $\bar M_{\bar g}$ eine endliche Filtrierung \begin{equation*} 0 = \bar M^{ 0}_{\bar g} \subset \bar M^{ 1}_{\bar g} \subset \ldots \subset \bar M^{ t}_{\bar g} = \bar M_{\bar g} \end{equation*} mit jeweils zu $(\bar A / \mathfrak p)_{\bar g}$ isomorphen Subquotienten. Wir finden dann $m_1, \ldots , m_{dt} \in M$ derart, da"s ihre Bilder $\bar m_i$ eine $R_{\bar g}$-Basis von $\bar M_{\bar g}$ bilden und da"s f"ur alle $a \in \mathfrak p$ die Matrix der Multiplikation $(a\cdot): \bar M_{\bar g}\ra \bar M_{\bar g}$ eine echte obere %untere Dreiecksmatrix ist. Der Rest des Beweises zerf"alt in den Beweis und die Anwendung des folgenden Lemmas. \begin{Lemma} Seien $K,A,M$ wie in \ref{InvT}. Seien $\bar g$ und die $m_i$ wie zuvor und $\bar a,\bar b\in\mathfrak p$ beliebig und $ g$, $ a$, $ b$ Urbilder dieser Elemente in $A$. Sei $\hat R\subset A$ die Menge der Urbilder von Elementen von $R$. So gibt es $\alpha,\beta,\delta\in\DN$ und $e_{ij}\in \hat R$ derart, da"s in $R$ gilt $\sum_i \bar e_{ii} = 0$ und da"s in $M$ gilt \begin{equation*} g^\delta [g^\alpha a, g^\beta b ] m_i = \epsilon \sum_j e_{ij} m_j \end{equation*} %\nichtfinal{Ich sehe nicht, da"s die Freiheit von $M$ "uber dem Ring der dualen % Zahlen in diesem Beweis irgendwo eingehen w"urde.} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis des Lemmas] F"ur hinreichend gro"ses $\alpha \in \mathbb N$ erhalten wir nach dem Vorhergehenden Identit"aten der Gestalt \begin{equation*} \bar g^\alpha \bar a \bar m _i= \sum _{i0\quad\forall\alpha\in R^+.$ 2. Wir wissen nun bereits, da"s der Funktor der globalen Schnitte exakt ist auf $\cal{D}_{\lambda}\op{-mod}^{\op{qc}}$. Es reicht also zu zeigen, da"s ein von Null verschiedenes $\cal{G}\in\cal{D}_{\lambda}\op{-mod}^{\op{qc}}$ auch von Null verschiedene globale Schnitte hat. Ist aber $\lambda$ regul"ar, so folgt mit "ahnlichen Argumenten wie eben, da"s die Surjektion $$\cal{G} \otimes_{\cal{O}_{X}} \cal{V}\sra \cal{G} (\nu)$$ spaltet, und da $\cal{G} (\nu)$ globale Schnitte hat f"ur hinreichend gro"ses $\nu,$ folgt dasselbe erst f"ur $\cal{G} \otimes_{\cal{O}_{X}} \cal{V}\cong \cal{G} \oplus \ldots \oplus \cal{G}$ und dann auch f"ur $\cal{G}.$ \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ich habe mich "uberzeugt, da"s unter Lokalisierung der Vermamodul $\Delta(-x\rho-\rho)=\Delta(xw_\circ \cdot\rho)$ dem Differentialmodul $j_!\underline{BxB/B}$ entspricht. Im Fall $x=e$ entspricht so der einfache Vermamodul der Ein-Punkt-Zelle, und die Vermamoduln mit nichtverschwindendem Quotienten in der parabolischen Kategorie zu einer Parabolischen $P$ sind die $\Delta(xw_\circ \cdot\rho)$ mit $x$ maximal in $W_Px$, was auch geometrisch richtig scheint. \end{Bemerkungl} \subsection{"Ubersetzungstabelle} Um das Studium der Literatur zu erleichtern, diskutieren wir hier den Zusammenhang unserer Notationen mit den Notationen in \cite{BeBe} und \cite{HMSW}. "Ubereinstimmung herrscht bei der Fahnenmannigfaltigkeit $X$, der absoluten Cartanschen $H$ mit ihrer Lie-Algebra $\frak{h}$, dem Wurzelsystem $R \subset \frak{h}^{\ast}$, und den "aquivarianten freien $\cal{O}_{X}$-Moduln $\cal{O}(\lambda)$ f"ur einen Charakter $\lambda$ von $H$. "Ubereinstimmung herrscht auch hinsichtlich der Frage, wann ein maximales Ideal im Zentrum der Einh"ullenden regul"ar zu nennen ist. Unterschiede bestehen in der Wahl des Harish-Chandra-Homomorphismus und der positiven Wurzeln, und infolge dessen haben auch die Begriffe dominant, antidominant und regul"ar f"ur Gewichte $\lambda \in \frak{h}^{\ast}$ in den verschiedenen Quellen verschiedene Bedeutungen. Die folgende Tabelle zeigt, wie dasselbe Objekt beziehungsweise dieselbe Eigenschaft in den verschiedenen Konventionen benannt werden. \vspace{0,5cm} \begin{tabular}{ccc}%\hline Dieser Aufsatz & \cite{BeBe} & \cite{HMSW}\\[4mm]%\hline $R^{+}$ &$ R^{+}$ & $-\Sigma^{+}$ \\ %\hline $\rho$ & $\rho$ & $-\rho$ \\ %\hline $\xi (\lambda)$ & $\sigma (\lambda + \rho)$ & $\gamma (\lambda)$\\ %\hline $\cal{D}$ & $\tilde{\cal{D}}$ &$\cal{D}_{\frak{h}}$ \\ %\hline $\cal{D}_{\lambda}$ & $\cal{D}_{\lambda +\rho}$ & $\cal{D}_{\lambda - \rho} = \cal{D}_{X;\lambda}$ \\ %\hline $\cal{D}_{\lambda -\rho}$ & $\cal{D}_{\lambda}$ & $\cal{D}_{\lambda}$ \\ %\hline $\lambda$ dominant & $\lambda + \rho$ dominant & $\lambda - \rho$ antidominant \\ %\hline $\lambda - \rho$ dominant & $\lambda$ dominant & $\lambda$ antidominant \\ %\hline $\lambda - \rho$ regul"ar & $\lambda$ regul"ar & $\lambda$ regul"ar\\ %\hline $\lambda$ regul"ar & $\lambda + \rho$ regul"ar & $\lambda -\rho$ regul"ar \\ %\hline $\cal{D}_{X} = \cal{D}_{0}$ & $\cal{D}_{X}=\cal{D}_{\rho}$ & $\cal{D}_{X} = \cal{D}_{-\rho}$ \\ %\hline \end{tabular} \subsection{Noch zu tun} "Aquivariante $\cal{O}_{X}$-Moduln, Operation der Lie-Algebra auf Schnitten "uber offenen Teilmengen, Operation der Gruppe auf globalen Schnitten, direkte Bilder und Urbilder f"ur "aquivariante Morphismen, Einschr"ankungen der Gruppenoperation. $$ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c}\text{$G$-"Aquivariante} \\ \text{$\cal{O}_{G/B}$-Moduln} \end{array}\right\} & \overset{\sim}{\ra} & \left\{ \begin{array}{c} \text{rationale Darstellungen}\\ \text{von $B$} \end{array}\right\} \end{array}$$ Unter dieser "Aquivalenz werden endlichdimensionale Darstellungen von $G$ auf der rechten Seite zu freien $\cal{O}_{G/B}$-Moduln von endlichem Rang auf der linken Seite. Lokalisierung aller Vermamoduln. Und noch viel mehr! \subsection{Satz von Lynch}\index{Lynch} \begin{Bemerkungl} Sei $\frak{g}=\bigoplus_{i\in\DZ}\frak{g}_i$ eine reduktive komplexe Lie-Algebra mit einer $\DZ$-Graduierung. Ist $\eta:\frak{g}_{>0}\ra\DC$ ein Charakter derart, da"s es eine invariante symmetrische Form $B$ auf $\frak{g}$ und ein $y\in \frak{g}_{<0}$ gibt mit $\op{ker}(\op{ad}y)\cap \frak{g}_{>0}=0$ und $\eta(x)=B(x,y)\;\forall x.$ So ist der Funktor $\frak{g}\op{-Mod}_\DC\ra \op{Mod}_\DC$ der $\frak{g}_{>0}$-$\chi$-Invarianten $\op{Hom}^{\frak{g_{>0}}}(\DC_\chi,\;)$ exakt. In anderen Worten haben wir also f"ur alle Darstellungen $V$ von $\frak{g}$ bereits $${\op{H}}^1(\frak{g}_{>0};V\otimes\DC_{-\eta})=0$$ Das behauptete zumindest Wallach in seinem Vortrag zu Kraft's Sechzigstem. Ich w"urde es gerne geometrisch mithilfe von Lokalisierung verstehen. \end{Bemerkungl} \section{Beilinson-Bernstein-Lokalisierung} \subsection{Kolloquiumsvortrag zur Lokalisierung} \begin{Bemerkungl}\label{efg} Sei $\frak g$ eine reduktive komplexe Liealgebra, etwa $\frak{g} = \frak{gl}(n;\mathbb C)$. Sei ${\op{U}} (\frak{g})$ ihre universelle Einh"ullende, $Z \subset {\op{U}} (\frak{g}) $ das Zentrum und $Z^+ = \op{Ann}_Z \mathbb C \subset Z$ der zentrale Annullator der Einsdarstellung. F"ur $\frak{g} = \frak{sl} (2;\mathbb C)$ w"are etwa $Z = \mathbb C [\Omega]$ ein Polynomring mit $\Omega = 4 fe + h (h+2)$ dem Casimiroperator, wo wir die Basis \begin{displaymath} e = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix},\quad h= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix},\quad f = \begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix} \end{displaymath} von $\frak{sl} (2; \mathbb C)$ verwenden, und wir h"atten $Z^+ = \Omega \mathbb C [\Omega]$. Wir konzentrieren uns heute auf die Lokalisierung von Darstellungen von $\frak{g}$ mit trivialem zentralem Charakter alias Moduln dem Quotienten ${\op{U}} (\frak{g}) / Z^+ {\op{U}}(\frak{g})$ nach dem von $Z^+$ erzeugten Ideal. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $X$ die Fahnenmannigfaltigkeit zu $\frak{g}$, formal die Variet"at aller \glqq Borel'schen Unteralgebren\grqq\ von $\frak{g}$. Ist $G$ eine zusammenh"angende algebraische Gruppe mit Liealgebra $\op{Lie} G = \frak{g}$, so ist die Fahnenmannigfaltigkeit ein homogener Raum $X = G/B$ f"ur $ B \subset G$ eine Borel'sche Untergruppe. F"ur $G = \op{SL} (n;\mathbb C)$ h"atten wir speziell \begin{equation*} X = \{ \mathbb C^n = V^n \supset V^{n-1} \supset \ldots \supset V^0 =0 \mid \op{dim}_{\mathbb C} V^i =i\} = G/ B \end{equation*} mit $B$ der Gruppe der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Satz "uber die Lokalisierung von Darstellungen behauptet nun eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} \Gamma:\mathcal D_X \op{-mod}^{\op{qc}}\;\sirra \; {\op{U}}(\frak{g}) / Z^+ {\op{U}} (\frak{g}) \op{-mod} \end{equation*} unserer speziellen Kategorie von Darstellungen mit der Kategorie der sogenannten \glqq $\mathcal D$-Moduln auf der Fahnenmannigfaltigkeit\grqq. Das $\mathcal D$ steht hier f"ur die Garbe $\mathcal D_X$ der algebraischen Differentialoperation auf $X,$ und ein Differentialmodul ist per definitionem eine Garbe von $\mathcal D_X$-Moduln, die quasikoh"arent ist als Garbe von Moduln "uber der Garbe der regul"aren Funktionen $\mathcal O_X \subset \mathcal D_X$. Unter Garben verstehen wir hier Garben f"ur die Zariski-Topologie. Wie "ublich bezeichnen wir mit $\Gamma\cal{F}$ die globalen Schnitte einer Garbe $\cal F.$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Formal ist f"ur jede komplexe nichtsingul"are algebraische Variet"at $X$ die Garbe von $\mathbb C$-Ringalgebren $\mathcal D_X$ erkl"art als die kleinste Untergarbe $\mathcal D_X \subset \op{End}_{\DC} \mathcal O_X$ der Garbe der komplexlinearen Endomorphismen der Strukturgarbe $\mathcal O_X$, die stabil ist unter Produkten von Schnitten und die sowohl alle auf offenen Teilmengen definierten Funktionen $\mathcal O_X (U)$---aufgefa"st als Multiplika\-tions\-operatoren---als auch alle auf offenen Teilmengen definierten Vektorfelder $\mathcal T_X (U)$---aufgefa"st als Derivationsoperatoren---umfa"st. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Konkret ist die Algebra der globalen algebraischen Differentialoperatoren auf $\DC^n$ die {\bf Weylalgebra}\index{Weylalgebra} \begin{equation*} \Gamma (\mathcal D_{\DC^n}) = \mathbb C \{ X_1, \ldots, X_n, \partial_1, \ldots, \partial_n \} \end{equation*} alias die von den Multiplikationen mit Variablen $X_i$ und den partiellen Ableitungen $\partial_i$ erzeugte Unteralgebra der Endomorphismenalgebra des Polynomrings $\op{End}_{\mathbb C} \mathbb C [X_1, \ldots , X_n]$, die auch beschrieben werden kann als die assoziative unit"are $\DC$-Algebra mit den $2n$ Erzeugern $X_1, \ldots, X_n, \partial_1, \ldots, \partial_n$ und den Relationen $[X_i,X_j]=0=[\partial_i,\partial_j]$ und $[\partial_i, X_j]=\delta_{ij}.$ Der Funktor der globalen Schnitte definiert dann eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} \Gamma :\mathcal D_{\mathbb C^{n}}\op{-mod}^{\op{qc}}\; \sira\; \mathbb C \{X_1, \ldots , X_n, \partial_1, \ldots, \partial_n\} \op{-mod} \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Weiter liefert f"ur jede glatte $G$-Variet"at $G \looparrowright X$ die Ableitung der Operation einen Homomorphismus von Liealgebren $\frak{g} = \op{Lie} G \rightarrow \Gamma (\mathcal T_X)$ der Lie-Algebra unserer Gruppe in die Lie-Algebra der globalen Vektorfelder auf $X$ und damit einen $\mathbb C$-linearen Ringhomomorphismus ${\op{U}} (\frak{g}) \rightarrow \Gamma (\mathcal D_X)$ von der Einh"ullenden in die globalen Differentialoperatoren. Im Fall unserer halbeinfachen Liealgebra $\frak{g}$ und ihrer Fahnenmannigfaltigkeit $X$ induziert dieser Ringhomomorphismus nun sogar einen Isomorphismus \begin{equation*} {\op{U}} (\frak{g}) / Z^+ {\op{U}}(\frak{g}) \sira \Gamma (\mathcal D_X) \end{equation*} mithilfe dessen die globalen Schnitte jedes $\mathcal D_X$-Moduls als ${\op{U}} (\frak{g})/Z^+ {\op{U}}(\frak{g})$-Modul aufgefa"st werden k"onnen. Das ist die Zuordnung, von der der Lokalisierungssatz behauptet, sie sei eine "Aquivalenz von Kategorien. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir wollen im folgenden dieser "Aquivalenz im Spezialfall $\frak{g} = \frak{sl} (2; \mathbb C)$ etwas bei der Arbeit zusehen. In diesem Fall k"onnen wir ja die Fahnenmannigfaltigkeit $X = \mathbb P^1 \mathbb C$ "uberdecken durch die beiden offenen affinen Teilmengen $\mathbb C = \mathbb P^1 \mathbb C \backslash \{ \infty\} $ und $\mathbb C = \mathbb P^1 \mathbb C \backslash \{ 0\}$ und unsere projektive Gerade ist sozusagen zusammengeklebt aus zwei Kopien $(\mathbb C, z)$ und $(\mathbb C , w)$ von $\mathbb C$, die l"angs $\mathbb C^\times$ gem"a"s der Vorschrift $z = w^{-1}$ zu identifizieren sind. Einen Differentialmodul $M$ auf $\mathbb P^1 \mathbb C$ anzugeben bedeutet nichts anderes, als je einen Modul $M_0 \in \mathbb C \{w, \partial_w\}\op{-mod}$ und $M_\infty \in \mathbb C \{z, \partial_z\}\op{-mod}$ anzugeben nebst einer Identifikation $$M_0[w^{-1}] \sira M_\infty [z^{-1}]$$ der jeweiligen Lokalisierungen "uber $\mathbb C \{w, w^{-1}, \partial_w\} \cong \mathbb C \{z, z^{-1}, \partial_z\}$ in hoffentlich offensichtlicher Weise. Die Basisvektoren $e, h, f$ unserer Lie-Algebra $\frak{sl} (2; \mathbb C)$ aus \ref{efg} entsprechen dann den Vektorfeldern $z^2\partial_z, 2z \partial_z, \partial_z$. Verkleben wir $\mathbb C [w]$ mit $\mathbb C [z]$, so erhalten wir die Strukturgarbe $\mathcal O_{\mathbb P^1}$ mit globalen Schnitten $\Gamma (\mathcal O_{\mathbb P^1}) = \mathbb C$ der Einsdarstellung. Auch im allgemeinen haben wir nat"urlich $ \Gamma:\mathcal O_X \mapsto \mathbb C$ und $ \Gamma:\mathcal D_X \mapsto {\op{U}}(\frak{g})/{\op{U}}(\frak{g}) Z^+ $ hatten wir bereits erw"ahnt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Auf dem $\mathbb C \{z, \partial_z\}$-Modul $\mathbb C [\partial_z]\cong \mathbb C \{z, \partial_z\} / \mathbb C \{z, \partial_z\} z$ operiert $z$ nilpotent, wir haben folglich $(\mathbb C [\partial_z]) [z^{-1}] =0$. Verkleben mit dem Nullmodul von $\mathbb C \{w, \partial_w\}$ liefert einen Differentialmodul auf $\mathbb P^1 \mathbb C$, der eine Wolkenkratzergarbe bei $0 \in \mathbb P^1 \mathbb C$ ist und dort \glqq aus der Dirac'schen $\delta$-Funktion und ihren Ableitungen besteht\grqq. Seine globalen Schnitte bilden einen einfachen Vermamodul. Allgemeiner haben wir f"ur $x \in X$ stets \begin{equation*} \Gamma:\mathcal D_X / \mathcal D_X \mathfrak{m}_x\; \mapsto\; {\op{U}} (\frak{g}) \otimes_{{\op{U}}(\frak{b}_x)} \bigwedge^{\op{max}} (\frak{g}/\frak{b}_x) \end{equation*} f"ur $\frak{b}_x \subset \frak{g}$ die Borel'sche Unteralgebra, die dem Punkt $x \in X$ entspricht, alias die Liealgebra der Isotopiegruppe $G_x \subset G$ des Punktes $x \in X$. Hier meint $\mathfrak m_x$ das Ideal der bei $x \in X$ verschwindenden Funktionen und $\mathcal D_X/\mathcal D_X \mathfrak m_x$ ist eine Wolkenkratzergarbe bei $x$ bestehend aus der Dirac'schen $\delta$-Funktion $\delta_x$ und ihren iterierten partiellen Ableitungen in alle Richtungen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Verkleben wir $\mathbb C [z]$ mit dem $\mathbb C \{ w, \partial_w\}$-Modul $\mathbb C [w,w^{-1}]$, so erhalten wir den $\mathcal D$-Modul $i_\ast \mathcal O_{\mathbb C}$ f"ur $i : \mathbb C \hookrightarrow \mathbb P^1 \mathbb C$ die Einbettung der $z$-Kopie von $\DC$. Seine Schnitte k"onnen aufgefa"st werden als meromorphe Funktionen auf $\mathbb P^1 \mathbb C$ ohne Pole au"serhalb von $\infty$, als globale Schnitte erhalten wir $\mathbb C [z]$, das \glqq Kategorie-$\mathcal O$-duale\grqq\ eines Vermamoduls mit h"ochstem Gewicht Null. Er enth"alt die Einsdarstellung $\DC$ als Untermodul. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wollen wir einen Vermamodul erhalten, so m"ussen wir auf $\mathbb C [w, w^{-1}]$ eine neue Struktur als $\mathbb C \{w, \partial_w\}$-Modul einf"uhren, die wir etwa mit $\ast$ notieren, indem wir die Wirkung der Multiplikation mit $w$ definieren durch $w\ast w^i=w^{i+1}$ f"ur $i\neq -1$ aber $w\ast w^{-1}=0$ und die Wirkung von $\partial_w$ durch $\partial_w\ast w^i=iw^{i-1}$ f"ur $i\neq 0$ aber $\partial_w \ast w^0=w^{-1}.$ Mit dieser Operation wird der Raum $\mathbb C [w,w^{-1}]$ wieder ein $\mathbb C \{w, \partial_w\}$-Modul $\mathbb C [w,w^{-1}]^\sim.$ Seine Lokalisierung $(\mathbb C [w,w^{-1}]^\sim)[w^{-1}]$ auf das Komplement von $w=0$ ist $\mathbb C [w,w^{-1}]$ und die kanonische Abbildung \begin{equation*} \mathbb C [w,w^{-1}]^\sim \rightarrow \mathbb C [w, w^{-1}] \end{equation*} in die Lokalisierung macht alle negativen $w$-Potenzen zu Null und bildet alle nichtnegativen $w$-Potenzen auf sich selber ab. Verkleben wir nun mit $\mathbb C [z]$, so erhalten wir einen Differentialmodul mit globalen Schnitten allen \emph{falsch} $w^{-n} \in \mathbb C [w,w^{-1}]^\sim$ mit $n \geq 0$ und man erkennt, da"s wir hier einen Vermamodul vor uns haben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Allgemein beachte man die Bruhat-Zerlegung $G = \coprod_{w \in W} Bw B.$ F"ur $G = \op{GL}(n; \mathbb C)$ und $B$ die oberen Dreiecksmatrizen spezialisiert sie zur Zerlegung $\op{GL} (n;\mathbb C) = \coprod_{w \in \mathcal S_n} B w B$ mit $\mathcal S_n$ den Permutationen alias Permuta\-tions\-matrizen. Sie f"uhrt zu einer Zerlegung \begin{equation*} X = \coprod_{w \in W} B w B/B = \coprod_{w \in W} X (w) \end{equation*} deren St"ucke als Variet"aten isomorph sind zu $\mathbb C^{l(w)}$ f"ur $l(w)$ die L"ange von $w$, etwa zur Zahl der Fehlst"ande der Permutation $w$ im Fall $\op{GL} (n;\mathbb C)$. Eines dieser St"ucke ist eine offene Teilmenge $X (w_\circ) \co X$, die sogenannte dicke Zelle. Gegeben $w \in W$ konstruieren wir nun einen Differentialmodul $i_+ \mathcal O_X (w)$ wie folgt: Wir suchen zun"achst $ g \in G$ und vertikale Isomorphismen derart, da"s ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X (w) \ar@{^{(}->}[r] & g X (w_\circ) \ar@{^{(}->}^j[r] & X\\ \mathbb C^l \ar[u]^\wr \ar@{^{(}->}[r] & \ar[u]^\wr\mathbb C^n & } \end{displaymath} entsteht mit dem Anf"ugen von Nullen als Abbildung in der unteren Horizontale. Dann betrachten wir auf $\mathbb C^n$ den Differentialmodul $\mathbb C [x_1, \ldots, x_l, \partial_{l+1}, \ldots, \partial_n]$ f"ur $n = \op{dim}_{\mathbb C} X$ in hoffentlich offensichtlicher Weise und setzen \begin{equation*} i_+ \mathcal O_{X(w)} = j_\ast \mathbb C [x_1, \ldots, x_l, \partial_{l+1}, \ldots, \partial_n] \end{equation*} Die Frage der Existenz einer Verschiebung $g $ mit den geforderten Eigenschaften und die Frage der Wohldefiniertheit von $i_+ \mathcal O_{X (w)}$ klammern wir hier aus. Man kann zeigen, da"s $\Gamma (i_+ \mathcal O_{X(w)}) = \mathbb C [x_1, \ldots, x_l, \partial_{l+1}, \ldots, \partial_n]$ als ${\op{U}} (\frak{g}) / Z^+ {\op{U}} (\frak{g})$-Modul das Kategorie-$\mathcal O$-duale eines Verma-Moduls mit h"ochstem Gewicht $-w \rho - \rho$ ist, f"ur $\rho$ die Halbsumme der positiven Wurzeln. Im Spezialfall $w =1$ ist $X (1) = \{x\}$ ein Punkt und $i_+ \mathcal O_{X(1)} = \mathcal D_X / \mathcal D_{x} \mathfrak m_x$ der bereits betrachtete Wolkenkratzer mit einem einfachen Vermamodul als Raum von globalen Schnitten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Von der Darstellungstheorie her besonders interessant sind einfache unit"are Darstellungen reeller reduktiver Lie-Gruppen $G = G_{\mathbb R}$. Das Bilden der $K_{\mathbb R}$-endlichen Vektoren f"ur $K_{\mathbb R} \subset G_{\mathbb R}$ eine maximale kompakte Untergruppe liefert eine Einbettung \begin{equation*} \{ \text{Einfache unit"are Darstellung von } G_{\mathbb R}\} \hookrightarrow \{\text{Einfache $\mathfrak g$-$K$-Moduln}\} \end{equation*} f"ur $\frak{g} = \op{Lie}_{\mathbb C} (G_{\mathbb R})$ die komplexifizierte Liealgebra und $K = (K_{\mathbb R})_{\mathbb C}$ die Komplexifizierung von $K_{\mathbb R}$ zu einer komplexen algebraischen Gruppe. Unter einem $\frak{g}$-$K$-Modul versteht man hier eine abstrakte-algebraische Darstellung $V$ der Liealgebra $\frak{g}$ mitsamt einer lokal endlichen algebraischen $K$-Operation derart, da"s die Wirkung $\frak{g} \times V \rightarrow V$ eine $K$-"aquivariante Abbildung ist und das Differential der $K$-Operation mit der Wirkung von $\op{Lie} K \subset \frak{g}$ "ubereinstimmt. Unsere Lokalisierung f"uhrt nun auch zu einer "Aquivalenz \begin{displaymath} \Gamma:\{K\text{-"aquivariante } \cal{D}_X\text{-Moduln}\} \;\sira\; \left\{\begin{array}{c} \text{$\frak{g}$-$K$-Moduln},\\ \text{ die von $Z^+$ annulliert werden}\end{array}\right\} \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wie auch immer die $K$-"aquivarianten $\mathcal D_X$-Moduln genau definiert seien, k"onnen wir die einfachen Objekte dieser Kategorie leicht und explizit parametrisieren durch die Menge $\op{Par} (X,K) = \{ (Y, \tau) \mid Y \subset X $ ist eine $K$-Bahn und $\tau$ ein irreduzibles komplexes $K$-"aquivariantes lokales System auf $Y \}$. In anderen Worten ist also $\tau$ eine irreduzible komplexe Darstellung der Komponentengruppe $K_y / K^\circ_y$ der Standgruppe $K_y$ eines beliebig aber fest gew"ahlten Punktes $y \in Y$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Zu $\tau$ bildet man nun ein Vektorb"undel mit flachem Zusammenhang $\mathcal L (\tau)$ auf $Y$, mithilfe des flachen Zusammenhangs bilden seine algebraischen Schnitte einen $\mathcal D_Y$-Modul $\mathcal L (\tau)$, und dessen direktes Bild im Sinne von Differentialmoduln unter $i : Y \hookrightarrow X$ ist ein $K$-"aquivarianter $\mathcal D_X$-Modul $\mathcal M_\pi = i_+ \mathcal L (\tau)$, das sogenannte Standardobjekt zu $\pi = (Y,\tau) \in \op{Par}$. Dieses Standardobjekt schlie"slich hat genau ein einfaches Unterobjekt $\mathcal L_\pi \subset \mathcal M_\pi$ und so parametrisiert $\op{Par} (X, K)$ die einfachen Objekte unserer Kategorie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Als n"achstes stellt sich die Frage nach dem Charakter von $\Gamma (\mathcal L_\pi)$. Die Charaktere der Standardobjekte $\Gamma (\mathcal M_\pi)$ sind nicht schwer zu berechnen, so da"s es reicht, wenn wir die Jordan-H"older-Multiplizit"aten $[\mathcal M_\pi : \mathcal L_\varphi]$ finden. Mithilfe der Riemann-Hilbert-Korrespondenz kann diese Frage "ubersetzt werden in eine Frage nach der Struktur des Schnittkohomologiekomplexes $\mathcal I \mathcal C_{\pi} = \mathcal I \mathcal C (\overline{Y}, \tau)$ von $\overline{Y}$ mit getwisteten Koeffizienten $\tau$, und zwar gilt f"ur die inverse Matrix \begin{equation*} [\mathcal L_\pi : \mathcal M_{\varphi}] = \sum{{ (-1)^i}} \; [\mathcal H^i \mathcal I \mathcal C_\pi |_Z : \sigma] \end{equation*} f"ur $\varphi = (Z,\sigma) \in \op{Par}$. F"ur die Berechnung der Zahlen auf der rechten Seite schlie"slich existiert ein expliziter Algorithmus nach Kazhdan-Lusztig und Lusztig-Vogan. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Zum Beispiel betrachten wir $G_{\mathbb R} = \op{SL} (2; \mathbb R) \supset K_{\mathbb R} = \op{SO} (2)$. Auf $X = \mathbb P^1 \mathbb C$ operiert $K = \mathbb C^\times$ mit den drei Bahnen Nordpol $N$, S"udpol $S$ und Rest $Y$. Auf dem Rest ist die Standgruppe $K_y = \{\pm 1\}$ und wir haben folglich ein triviales und ein nichttriviales lokal konstantes System, etwa $\tau$ und $\nu$, womit wir finden \begin{equation*} \op{Par} (X, K) = \{ (N, \op{triv}), (S, \op{triv}), (Y,\tau) , (Y, \nu)\} \end{equation*} Diese parametrisieren in der Reihenfolge die holomorphe und die antiholomorphe diskrete Serie mit trivialem zentralem Charakter, die Einsdarstellung $\mathbb C$ und die ungerade irreduzible Hauptserie mit trivialem zentralem Charakter. \end{Bemerkungl} \section{Versuch zu Picard-Vessiot} \subsection{Grundlagen} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern die Schmelzkategorie der differentiellen abelschen Gruppen \eref{dABg}{TSK}. Ihre Monoide hei"sen differentielle Ringe, ihre Abmonoide differentielle Kringe. Ein differentieller Kring, der bei Vergessen des Differentials ein K"orper wird, hei"st ein differentieller K"orper. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine differentielle Kringalgebra $A$ "uber einem differentiellen Kring $R$ ist ein differentieller Kring $A$ mit einem Morphismus $R\ra A$. Die freie differentielle $R$-Kringalgebra "uber einer Menge kann konstruiert werden als der Polynomring ist den von den Elementen dieser Menge indizierten Variablen und deren formalen Ableitungen mit einem offensichtlichen Differential. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir arbeiten mit einem differentiellen K"orper $(k,\partial)$ der Charakteristik Null, dessen Konstantenk"orper $C\pdef \op{ker}\partial$ algebraisch abgeschlossen ist. Ist $k$ zus"atzlich k"orperendlich vom Treanszendenzgrad Eins "uber $C$, so ist $k$ nach \eref{FKKn}{KAG} isomorph zum K"orper $\mathcal M(X)$ der rationalen Funktionen auf einer irreduziblen glatten eindimensionalen $C$-Variet"at $X$ alias algebraischen Kurve und $\partial$ bedeutet geometrisch etwa nach \eref{VgV}{AAG} ein von Null verschiedenes rationales Vektorfeld auf unserer Kurve $X$. Rational soll hier wie im Fall rationaler Funktionen bedeuten, da"s unser Vektorfeld \glqq Polstellen\grqq\ haben darf, da"s es sich also formal um eine "Aquivalenzklasse von auf nichtleeren offenen Teilmengen definierten Vektorfeldern handelt. Im Fall $C=\DC$ haben wir f"ur unsere differentiellen K"orper die Beispielklasse $$(\mathcal M(X),\partial)$$ mit $X$ einer vollst"andigen zusammenh"angenden riemannschen Fl"ache, $\mathcal M(X)$ dem K"orper ihrer meromorphen Funktionen und $\partial$ einem von Null verschiedenen rationalen Vektorfeld. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Allgemeiner $X$ irreduzible algebraische Variet"at "uber $C$ mit rationalem Vektorfeld $\partial$, das nur konstante Funktionen annulliert. Also wohl infinitesimal "aquivariantes B"undel f"ur das komische Gruppenschema, das auf der Variet"at operiert. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Wir betrachten den Kringisomorphismus $\varphi:\DC[x,y]\sira \DC[x,\op{e}^x]\subset \mathcal O(\DC)^{\op{an}}$ und die Verwandtschaft von Derivationen $\varphi:\partial_x+ y\partial_y\leadsto \partial_x$. Die analytische Funktion $f(x,y)\pdef y/{\op{e}}^x$ auf $\DC^2$ wird von dieser Derivation annulliert. Es gibt jedoch keine nichtkonstante rationale Funktion $g\in\DC(x,y)$, die von dieser Derivation annulliert wird. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Sei $X$ eine glatte Kurve mit von Null verschiedenem Vektorfeld $\partial$. Ein endlichdimensionaler differentieller $(\mathcal M(X),\partial)$-Modul ist geometrisch ein Vektorb"undel mit Zusammenhang auf einer dichten offenen Teilmenge von $X$. Genauer liefert das Bilden der rationalen Schnitte eine "Aquivalenz von Kategorien $$\left\{\begin{array}{c} \text{Vektorb"undel mit Zusammenhang}\\ \text{auf dichten offenen Teilmengen von $X$,}\\ \text{"Aquivalenzklassen von flachen}\\ \text{B"undelmorphismen auf dichten offenen}\\ \text{Teilmengen als Morphismen} \end{array}\right\}\sirra \left\{\begin{array}{c}\text{endlichdimensionale}\\ \text{differentielle}\\\text{$(\mathcal M(X),\partial)$-Moduln} \end{array}\right\} $$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein endlichdimensionaler differentieller Modul $M$ "uber einem differentiellen K"orper $k$ erhalten wir einen $C$-Vektorraum als den Kern des Differentials $\partial: M\ra M$. Er hei"st der {\bf L"osungsraum von $M$}\index{L"osungsraum} und ist geometrisch der Raum der flachen rationalen Schnitte. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Arbeiten wir analytisch, so ist Monodromie der einzige Grund, aus dem der Raum der globalen L"osungen kleinere Dimension haben kann, als es der Rang des Vektorb"undels erlaubt. Arbeiten wir algebraisch, so k"onnen analytische L"osungen fehlen, weil sie eben nicht algebraisch sind. So hat $f'=af$ auf $\DC$ nur f"ur $a=0$ eine von Null verschiedene algebraische L"osung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $X$ eine komplexe Kurve mit von Null verschiedenem rationalen Vektorfeld $\partial$ und sei $M$ ein endlichdimensionaler $(\mathcal M(X),\partial)$-Modul alias ein rationales B"undel mit Zusammenhang. Wir w"ahlen eine Basis alias eine Trivialisierung unseres B"undels auf einer offenen dichten Teilmenge, hier noch als Zariski-offen alias koendlich zu verstehen. Darin w"ahlen wir eine zusammenziehbare analytisch offene Teilmenge $U$. Analytische L"osungen auf $U$ entsprechen unter der Trivialisierung $n$-Tupeln von komplexwertigen analytischen Funktionen auf $U$. Die {\bf Picard-Vessiot-Erweiterung} ist der im K"orper $\mathcal M^{\op{an}}(U)$ der meromorphen Funktionen auf $U$ von diesen analytischen Funktionen und den Restriktionen der rationalen Funktionen $\mathcal M(X)$ erzeugte Teilk"orper. Er h"angt von Wahlen ab, ist aber eindeutig bis auf nicht-eindeutigen Isomorphismus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein $k$-Vektorraum $M$ und eine Basis $\mathcal A$ von $M$ liefert die Restriktion eine Bijektion $$\{\partial:M\ra M\mid \partial \text{ macht $M$ zu einem differentiellen $k$-Modul}\}\sira \op{Ens}(\mathcal A, M)$$ Ist $\mathcal A=(v_1,\ldots,v_n)$ eine angeordnete Basis, so k"onnen wir unser Differential beschreiben durch die Matrix $_{\mathcal A}[\partial]'_{\mathcal A}$ mit den $-_{\mathcal A}[\partial v_i]$ als Spalten. Der kleine Strich soll uns daran erinnern, da"s diese Matrix nicht als Matrix einer linearen Abbildung mi"sverstanden werden darf. Bezeichnet einmal $A$ diese Matrix, so gilt in Spaltenmatrizen von Vektoren die Identit"at $$(\partial\vec v_1, \ldots, \partial\vec v_n)^\top=-A^\top (\vec v_1, \ldots, \vec v_n)^\top$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Insbesondere ist eine Struktur als differentieller Modul auf $k^n$ festgelegt und festlegbar durch die Matrix $A\in \op{Mat}(n;k)$ mit den $-\partial {\op{e}}_i$ als Spalten. Ein Vektor $\vec y=(y_1,\ldots,y_n)^\top\in k^n$ liegt genau dann im L"osungsraum dieses differentiellen Moduls $(k^n,\partial_A)$, wenn gilt $\partial\vec y-A\vec y=0$ alias $\partial{\vec y}=A\vec y$. Hier liegt auch der Grund f"ur die absonderliche Konvention beim Bilden der Matrix. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben zwei angeordnete Basen $\mathcal A=(\vec v_1,\ldots,\vec v_n)$ und $\mathcal B=(\vec w_1,\ldots,\vec w_n)$ eines differentiellen $k$-Moduls $M$ betrachten wir die Basiswechselmatrix $T={_{\mathcal B}}[\op{id}]_{\mathcal A}$ mit Spalten ${_{\mathcal B}}[\vec v_i]$ alias $\vec v_i=\sum t_{ji}\vec w_j$ oder in Spaltenmatrizen mit Vektoren als Eintr"agen geschrieben $$(\vec v_1, \ldots, \vec v_n)^\top=T^\top(\vec w_1, \ldots, \vec w_n)^\top$$ Darauf wenden wir das Differential an und erhalten $$(\partial\vec v_1, \ldots, \partial\vec v_n)^\top=T'^\top(\vec w_1, \ldots, \vec w_n)^\top + T^\top(\partial\vec w_1, \ldots, \partial\vec w_n)^\top$$ $$-A^\top(\vec v_1, \ldots, \vec v_n)^\top=T'^\top (T^{-1})^\top(\vec v_1, \ldots, \vec v_n)^\top - T^\top B^\top (T^{-1})^\top(\vec v_1, \ldots, \vec v_n)^\top$$ Durch Weglassen der Vektorenspalte und Transponieren erhalten wir schlie"slich die Umrechnung $A=T^{-1}BT -T^{-1}T'$ zwischen den Matrizen $A\pdef {_{\mathcal A}}[\partial]'_{\mathcal A}$ und $B\pdef {_{\mathcal B}}[\partial]'_{\mathcal B}$ unseres Differentials in Bezug auf die beiden angeordneten Basen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Man zeigt, da"s der L"osungsraum eines $n$-dimensionalen differentiellen $k$-Moduls h"ochstens die $C$-Dimension $n$ hat. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Versuch: K"orperendliche Erweiterung von differentiellem K"orper mit denselben Konstanten. \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXDM" %%% End: