\section{Abelsche Kategorien} \subsection{Projektive Decken} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf abelschen Kategorie} darf und sollte der mit der abstrakten Definition \eref{abK}{TG} nicht vertraute Leser stets eine {\bf eingebettete abelsche Kategorie} verstehen, als da hei"st eine volle Unterkategorie der Kategorie aller Moduln "uber einem fest vorgegebenen Ring, die stabil ist unter dem Bilden von Subquotienten und endlichen direkten Summen. Die Begriffe {\bf Epimorphismus} oder kurz {\bf epi} und {\bf Monomorphismus} oder kurz {\bf mono} aus der allgemeinen Begriffswelt abelscher Kategorien spezialisieren dann zu surjektiven beziehungsweise injektiven Modulhomomorphismen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Ist $A$ ein Ring, so ist die Kategorie aller $A$-Moduln oder genauer aller $A$-Moduln in einem vorgegebenen Universum eine abelsche Kategorie. Sind $A\supset B$ Ringe, so ist die Kategorie aller $A$-Moduln, die halbeinfach sind "uber $B$, eine abelsche Kategorie. Dasselbe gilt f"ur die Kategorie aller $A$-Moduln, die "uber $B$ halbeinfach und von endlicher L"ange sind. \end{Beispiele} \begin{Definition} Ein Objekt einer abelschen Kategorie hei"st {\bf einfach},\index{einfach!Objekt} wenn es nicht null ist und jeder Morphismus zu unserem Objekt entweder epi oder null ist. Gleichbedeutend k"onnen wir dual auch fordern, da"s unser Objekt nicht null ist und jeder Morphismus aus unserem Objekt entweder mono oder null ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{JHA} Der Satz von Jordan-H"older \ref{NJHM} gilt a forteriori auch f"ur jede eingebettete abelsche Kategorie. Nach "Ubung \eref{JHAm}{TG} gilt er sogar f"ur jede abelsche Kategorie. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Objekt $M$ einer Kategorie hei"st {\bf unzerlegbar},\index{unzerlegbar!Objekt} wenn $M$ nicht final ist und es keine zwei nicht finalen Objekte $W_{1},W_{2}$ gibt mit $M\cong W_{1} \times W_{2}$. \end{Definition} \begin{Beispiel} Die unzerlegbaren Ojekte in der Kategorie der Darstellungen eines Monoids "uber einem vorgegebenen Ring $k$ sind genau unsere unzerlegbaren Darstellungen im Sinne von \ref{unzD}. \end{Beispiel} \begin{Definition} Ein Objekt $P$ in einer abelschen Kategorie $\mathcal A$ hei"st {\bf projektiv},\index{projektiv!Objekt} wenn der Funktor $\mathcal A(P,\;):\mathcal A\ra\op{Ab}$ exakt ist. \end{Definition} \begin{Definition} Ein Objekt $I$ in einer abelschen Kategorie $\mathcal A$ hei"st {\bf injektiv},\index{injektiv!Objekt} wenn der Funktor $\mathcal A(\;,I):\mathcal A\ra\op{Ab}^{\op{opp}}$ exakt ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungw} Projektive Moduln werden in \eref{proMo}{TS} folgende diskutiert, injektive Moduln in \eref{injM}{TS} folgende. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungw} Der Rahmen abstrakter abelscher Kategorien hat den Vorteil, da"s die opponierte Kategorie einer abelschen Kategorie stets wieder abelsch ist. Die projektiven Objekte einer abelschen Kategorie sind dann genau die injektiven Objekte der opponierten Kategorie. \end{Bemerkungw} \begin{Definition} Seien $\cal{A}$ eine abelsche Kategorie und $A \in \cal{A}$ ein Objekt. \begin{enumerate} \item Ein Morphismus $\eta : P \twoheadrightarrow A$ hei"st ein \defnoind{wesentlicher Epimorphismus},\index{wesentlich!Epimorphismus} wenn er ein Epimorphismus ist und wenn f"ur beliebige Morphismen $f: Q \ra P$ gilt ($\eta \circ f$ epi) $\RA$ ($f$ epi). Gleichbedeutend ist die Forderung, da"s zwar $P$ selbst surjektiv auf $A$ geht, da"s aber kein echtes Unterobjekt von $P$ surjektiv auf $A$ geht; \item Eine \defind{projektive Decke} des Objekts $A$ ist ein Paar $(P,\eta)$ bestehend aus einem projektiven Objekt $P\in \cal{A}$ und einem wesentlichen Epimorphismus $\eta : P \twoheadrightarrow A$. \end{enumerate} Dual erkl"art man \defnoind{wesentliche Monomorphismen}\index{wesentlich!Monomorphismus} und {\bf injektive H"ullen}.\index{H"ulle!injektive} \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{Wesentliche Monomorphismen von Moduln}] Ein Untermodul $M\subset I$ ist genau dann wesentlich, wenn er mit jedem weiteren von Null verschiedenen Untermodul $U\subset I$ mindestens ein von Null verschiedenes Element gemeinsam hat, wenn also jedes von Null verschiedene Element von $I$ durch Davormultiplizieren eines Ringelements zu einem von Null verschiedenen Element von $M$ gemacht werden kann. In \ref{InjH} zeigen wir, da"s jeder Modul eine bis auf nichteindeutigen Isomorphismus eindeutig bestimmte injektive H"ulle besitzt. Dahingegen mu"s, wie in \ref{EprD} erkl"art wird, keineswegs jeder Modul eine projektive Decke besitzen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Wesentliche Epimorphismen von Moduln}] Ist $\cal{A}$ eine Kategorie von Moduln, die mit einem Modul auch alle seine Untermoduln enth"alt, so ist ein Epimorphismus $P \twoheadrightarrow M$ wesentlich genau dann, wenn beliebige Urbilder der Elemente eines Erzeugendensystems von $M$ bereits $P$ erzeugen. Zum Beispiel ist das Auswerten bei $t=0$ ein wesentlicher Epimorphismus $\DC\llbracket t\rrbracket \sra \DC$ von Moduln "uber dem Ring der formalen Potenzreihen $\DC\llbracket t\rrbracket $. Dahingegen ist das Auswerten bei $t=0$ kein wesentlicher Epimorphismus $\DC[t]\sra \DC$ von $\DC[t]$-Moduln. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Ist $R$ ein lokaler Kring mit maximalem Ideal $\frak m$, so ist nach dem Lemma von Nakayama \eref{LKLo}{KAG} oder auch \ref{nkLvN} f"ur jeden endlich erzeugten $R$-Modul $M$ die kanonische Surjektion $M\sra M/\frak m M$ ein wesentlicher Epimorphismus von $R$-Moduln. \end{Beispiel} \begin{Proposition}[\textbf{Eindeutigkeit projektiver Decken}] Sind $\cal{A}$ eine abelsche Kategorie und $A \in \cal{A}$ ein\label{EPD} Objekt und $(P,\eta)$ sowie $(P^{\prime}, \eta^{\prime})$ projektive Decken von $A$, so gibt es einen Homomorphismus $i: P \ra P^{\prime} $ mit $\eta = \eta^{\prime} \circ i$ und jeder solche Homomorphismus ist ein Isomorphismus $$i: P \sira P^{\prime} $$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Dual sind auch injektive H"ullen, wenn sie denn existieren, eindeutig bis auf nichteindeutigen Isomorphismus. Wie bereits angek"undigt zeigen wir in \ref{InjH}, da"s injektive H"ullen im Fall von Modulkategorien stets existieren. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Injektive H"ulle des trivialen $\DC[t]$-Moduls $\DC$}] Die offensichtliche Einbettung $\DC[t]/t\DC[t]\hra \DC[t,t^{-1}]/t\DC[t]$ ist ein wesentlicher Monomorphismus von $\DC[t]$-Moduln. Als Abbildung von Vektorr"aumen kann sie identifiziert werden mit der Einbettung $\DC\hra \DC[t^{-1}]$. Aus \eref{Uckk}{TS} wissen wir zus"atzlich, da"s dieser $\DC[t]$-Modul injektiv ist. Damit haben wir die injektive H"ulle des trivialen $\DC[t]$-Moduls $\DC$ gefunden. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Der besseren "Ubersichtlichkeit halber stelle ich die Objekte und Morphismen der Proposition nocheinmal graphisch dar. Die Proposition behauptet die Existenz eines Isomorphismus $i$ im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ P\ar@{-->}[rr]^i \ar@{->>}[dr]_{\eta} & & P^{\prime} \ar@{->>}[dl]^{\eta^{\prime}}\\ & A& \\ } \end{displaymath} Da $\eta'$ ein Epimorphismus ist und $P$ projektiv, gibt es $i: P \ra P^{\prime}$ mit $\eta^{\prime} \circ i = \eta$. Da $\eta$ ein Epimorphismus ist und $\eta^{\prime}$ wesentlich, ist $i$ ein Epimorphismus. Da $P^{\prime}$ projektiv ist, mu"s $i$ spalten. Bezeichnet $i^{\prime}: P^{\prime} \ra P$ eine Spaltung, also $i\circ i'=\op{id}$, so haben wir offensichtlich $\eta \circ i^{\prime} = \eta^{\prime}$. Da $\eta$ wesentlich ist, mu"s mithin auch $i^{\prime}$ ein Epimorphismus sein. Damit sind $i$ und $i'$ zueinander inverse Isomorphismen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Im Allgemeinen ist der Isomorphismus $i:P\sira P'$ aus Proposition \ref{EPD} keineswegs eindeutig bestimmt. Motiviert durch die Proposition erlauben wir uns dennoch den bestimmten Artikel und sprechen von \emph{der} projektiven Decke eines Objekts in einer abelschen Kategorie, wenn eine solche existiert. Manchmal meinen wir damit auch nur das Objekt $P$ statt dem Paar $(P,\eta)$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Unzerlegbarkeit projektiver Decken einfacher Objekte}] Ist $L$ ein einfaches Objekt in einer abelschen Kategorie und $P \twoheadrightarrow L$ ein wesentlicher Epimorphismus, so ist $P$ unzerlegbar.\label{UPD} Insbesondere ist die projektive Decke eines einfachen Objekts stets unzerlegbar. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Ist $ P^{\prime} \oplus P^{\prime\prime}\sira P$ eine Zerlegung, so haben wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $P^{\prime} \twoheadrightarrow L$ und damit $P^{\prime} \twoheadrightarrow P$, also $P^{\prime\prime} =0$. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Der triviale $\DC[t]$-Modul $\DC$ besitzt keine projektive Decke}] Die offensichtliche Surjektion $\DC[t]\sra \DC[t]/t\DC[t]=\DC$ ist kein\label{EprD} wesentlicher Epimorphismus von $\DC[t]$-Moduln. G"abe es eine projektive Decke $P\sra \DC$, so m"u"ste $P$ also ein echter direkter Summand von $\DC[t]$ sein. Der $\DC[t]$-Modul $\DC[t]$ ist aber unzerlegbar. \end{Beispiel} \begin{Proposition}[\textbf{Fitting-Zerlegung}] Gegeben ein Objekt $M$ endlicher L"ange in einer abelschen Kategorie und ein Endomorphismus\label{FiZe} $f\in\op{End}(M)$ h"angen\index{Fitting-Zerlegung!in abelschen Kategorien} f"ur hinreichend gro"ses $n\gg 0$ die Unterobjekte $\op{ker} f^{n}$ und $\op{im} f^{n}$ nicht von $n$ ab und ihre Einbettungen liefern eine Zerlegung $$(\op{ker} f^{n}) \oplus (\op{im}f^{n})\sira M $$ \end{Proposition} \begin{Beispiel} Im Fall eines Endomorphismus $f$ eines endlichdimensionalen Vektorraums "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper ist die Fittingzerlegung die Zerlegung in den Hauptraum zum Eigenwert Null und die direkte Summe der "ubrigen Hauptr"aume. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] F"ur beliebige Morphismen $h$ nach $M$ und $g$ von $M$ erhalten wir in offensichtlicher Weise ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{im} h \ar@{->>}[d] \ar@{^{(}->}[r] & M \ar@{->>}[d]\\ \op{im} (g \circ h) \ar@{^{(}->}[r]& \op{im} g } \end{displaymath} mit vertikalen Epimorphismen induziert von $g$ und horizontalen Monomorphismen gegeben durch die offensichtlichen Einbettungen. Ist $f$ ein Endomorphismus von $M$ und hat $M$ endliche L"ange, so haben auch die Bilder aller $ f^{n}$ endliche L"ange nach \ref{JHA} und diese L"angen bilden eine monoton fallende Folge. Mithin gibt es eine Stelle $n$, ab der diese L"angen konstant werden. Nun erinnern wir daran, da"s Monomorphismen und ebenso Epimorphismen zwischen Objekten gleicher endlicher L"ange notwendig Isomorphismen sein m"ussen. Nehmen wir in unserem Diagramm $h = g = f^{n}$, so erhalten wir demnach ein kommutatives Diagramm der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{im} f^{n}\ar[d]_-\wr \ar@{^{(}->}[r]&M \ar@{->>}[d]\\ \op{im} f^{2n} \ar[r]^-\sim & \op{im} f^{n} } \end{displaymath} mit durch $f^n$ induzierten Vertikalen, das offensichtlich eine Spaltung $s$ unserer Surjektion $f^n:M \twoheadrightarrow \op{im} f^{n}$ mit Bild $\op{im}s=\op{im} f^{n}$ liefert. \end{proof} %\begin{Bemerkungl} % Diese Terminologie ist un"ublich. Sie ist dadurch motiviert, da"s nach %\eref{laln}{KAG} die Kategorie der endlich erzeugten Linksmoduln "uber einem %linksartinschen Ring in diesem Sinne eine artinsche Kategorie ist. %Andere Autoren verstehen aber unter einer artinschen Kategorie eine %abelsche Kategorie, in der jedes Objekt die %absteigende Kettenbedingung erf"ullt. Vielleicht w"are es besser, %unsere artinschen Kategorien in \glqq l"angenendliche Kategorien\grqq\ %umzubenennen. %\end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Einfache Quotienten unzerlegbarer Projektiver}] Gegeben ein unzerlegbares projektives Objekt $P$ endlicher L"ange in einer abelschen Kategorie und Epimorphismen auf einfache Objekte\label{EQ} $a:P\sra L$ sowie $b:P\sra M$ existiert genau ein Isomorphismus $i:L\sira M$ mit $b=i\circ a$. \end{Proposition} \begin{proof} Sei $i:K\hra P$ der Kern von $a$. Gilt $bi\neq 0$, so ist $bi$ ein Epimorphismus und es gibt folglich $\alpha:P\ra K$ mit $bi\alpha=b:P\sra M$. Dann kann $i\alpha$ nicht nilpotent sein und mu"s aufgrund der Fittingzerlegung ein Isomorphismus sein im Widerspruch dazu, da"s $i$ kein Epimorphismus ist. Es folgt $bi=0$ und damit induziert $a$ einen Epi und a forteriori einen Isomorphisms $i:L\sira M$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein wesentlicher Epimorphismus $P\sra L$ auf ein einfaches Objekt einer abelschen Kategorie $\mathcal A$ besteht der Kern der durch Nachschalten der Projektion gegebenen Abbildung $\mathcal A(P,P)\ra \mathcal A(P,L)$ aus allen Nicht\-epi\-mor\-phis\-men.\label{diEJ} Ist $P$ projektiv von endlicher L"ange, so induziert das Vorschalten des besagten Epimorphismus nach \ref{EQ} weiter eine Bijektion $\mathcal A(L,L)\sira \mathcal A(P,L)$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Kriterium f"ur projektive Decken}] Ist $P$ ein projektives Objekt endlicher L"ange einer abelschen Kategorie und $\eta : P \twoheadrightarrow M$ ein Epimorphismus derart, da"s kein echter direkter Summand von $P$ surjektiv\label{KPD} auf $M$ geht, so ist unser Epimorphismus eine projektive Decke. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Die Bedingung, da"s $P$ endliche L"ange hat, ist hierbei wesentlich. In der Tat geben wir in \ref{EprD} einen Epimorphismus eines unzerlegbaren projektiven $\DC[T]$-Moduls auf einen einfachen $\DC[T]$-Modul an, der keine projektive Decke ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ist $f: U \ra P$ ein Morphismus mit $\eta \circ f$ epi, so finden wir wegen der Projektivit"at von $P$ einen Morphismus $s: P \ra U$ mit $(\eta \circ f) \circ s = \eta$. Betrachten wir nun die Fittingzerlegung von $P$ f"ur $(f\circ s)$, so ist f"ur hinreichend gro"ses $n$ das Bild von $(f\circ s)^{n}$ ein Summand von $P$, der auch schon surjektiv auf $M$ geht. Solch ein Summand mu"s aber nach Annahme $P$ selbst sein und es folgt $f$ epi, als da hei"st, $\eta$ ist wesentlich wie gew"unscht. \end{proof} \begin{Definition} Eine abelsche Kategorie, in der jedes Objekt endliche L"ange hat, nennen wir eine {\bf l"angenendliche Kategorie}.\index{l"angenendlich!abelsche Kategorie} \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Unzerlegbare Projektive in l"angenendlichen Kategorien}] In einer l"angenendlichen Kategorie mit gen"ugend projektiven\label{UQ} Objekten besitzt jedes Objekt eine projektive Decke, je zwei einfache Quotienten eines unzerlegbaren projektiven Objekts sind isomorph, und wir erhalten so zueinander inverse Bijektionen $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c}\text{Einfache Objekte,}\\ \text{bis auf Isomorphismus}\end{array} \right\}& \overset{\sim}{\leftrightarrow} & \left\{ \begin{array}{c}\text{Unzerlegbare projektive Objekte,}\\ \text{bis auf Isomorphismus}\end{array}\right\}\\[5mm] L & \mapsto & (\text{die projektive Decke von $L$})\\ (\text{der einfache Quotient von $P$})& \leftmapsto & P \end{array}$$ \end{Satz} \begin{proof} Nach Annahme ist jedes einfache Objekt Quotient eines Projektiven und dann auch eines unzerlegbaren Projektiven. Der mu"s nach \ref{KPD}, da er nach Annahme endliche L"ange hat, seine projektive Decke sein. Umgekehrt kann ein unzerlegbares projektives Objekt endlicher L"ange nach \ref{EQ} bis auf Isomorphismus nur einen einfachen Quotienten haben. \end{proof} \begin{Satz*}[\textbf{Injektive H"ullen}] Jeder Modul "uber einem Ring besitzt eine injektive H"ulle\index{H"ulle!injektive} und diese ist eindeutig bis auf nichteindeutigen Isomorphismus.\label{InjH} \end{Satz*} \begin{proof} Die Eindeutigkeit folgt sofort aus \ref{EPD}, angewandt auf die opponierte Kategorie zur Kategorie der Moduln "uber unserem Ring. Um die Existenz zu zeigen, erinnern wir zun"achst aus \eref{EIM}{TG}, da"s wir jeden Modul $M$ in einen injektiven Modul $I$ einbetten k"onnen. Dann finden wir mit dem Zorn'schen Lemma unter allen Untermoduln $U\subset I$ mit $M\subset U\subset I$ und $M$ wesentlich in $U$ einen maximalen Untermodul $J=U_{\op{max}}$. Weiter finden wir mit dem Zorn'schen Lemma in $I$ auch einen Untermodul $V_{\op{max}}$, der maximal ist unter allen Untermoduln, die $U_{\op{max}}$ nur in Null treffen. Dann ist $U_{\op{max}}\hra I/V_{\op{max}}$ auch ein essentieller Monomorphismus. Nun k"onnen wir die Einbettung $U_{\op{max}}\hra I$ zu einem Homomorphismus $I/V_{\op{max}}\ra I$ fortsetzen, dessen Bild auch essentiell "uber $U_{\op{max}}$ sein mu"s und folglich mit $U_{\op{max}}$ zusammenf"allt. Mithin spaltet $U_{\op{max}}\hra I/V_{\op{max}}$ und dann spaltet auch $U_{\op{max}}\hra I$ und $U_{\op{max}}$ ist injektiv. \end{proof} \begin{Bemerkungw} Wir zeigen in \eref{injMP}{TG}, da"s gegeben ein K"orper $K$ die Einbettung $K\hra K[T_1^{-1},\ldots, T_r^{-1}]$ eine injektive H"ulle des Augmentationsmoduls $K$ "uber dem Polynomring $K[T_1,\ldots, T_r]$ ist. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge} Sei $M$ ein Objekt einer abelschen Kategorie und $f$ ein Endomorphismus von $M$. Man zeige: Ist $M$ {\bf artinsch},\index{artinsch!Objekt} wird also jede absteigende Folge von Unterobjekten von $M$ station"ar, so gilt immer noch $M=\op{ker} f^{n}+\op{im} f^{n}$ f"ur $n\gg 0$. Ist $M$ {\bf noethersch},\index{noethersch!Objekt} wird also jede aufsteigende Folge von Unterobjekten von $M$ station"ar, so gilt immer noch $0=\op{ker} f^{n}\cap\op{im} f^{n}$ f"ur $n\gg 0$. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Jeder von Null verschiedene Quotient eines unzerlegbaren projektiven Objekts endlicher L"ange ist unzerlegbar. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ein Objekt einer abelschen Kategorie hei"st {\bf halbeinfach},\index{halbeinfach!in abelscher Kategorie} wenn es isomorph ist zu einem Koprodukt einfacher Objekte. Man erinnere den Begriff eines Unterobjekts und zeige, da"s jedes Objekt $M$ endlicher L"ange in einer abelschen Kategorie ein gr"o"stes halbeinfaches Unterobjekt besitzt. Es hei"st der {\bf Sockel von $M$}\index{Sockel} und wird notiert als\index{soc@$\op{soc}(M)$ Sockel}\label{Sockel} $$\op{soc}(M)$$ Jeder Quotient und jedes Unterobjekt eines halbeinfachen Objekts endlicher L"ange sind halbeinfach. Wenn man sich nicht auf Objekte endlicher L"ange beschr"ankt, gelten analoge Aussagen, aber man mu"s dabei mehr Sorgfalt in Fragen der Mengenlehre walten lassen. \end{Ubung} \subsection{Zerlegungen in unzerlegbare Objekte} \begin{Lemma} Jeder noethersche und ebenso jeder artinsche Modul l"a"st sich schreiben als eine endliche direkte Summe unzerlegbarer Untermoduln. \end{Lemma} \begin{proof} Nur f"ur diesen Beweis bezeichne $\mathcal Z$ das System aller derjenigen Untermoduln unseres Moduls $M$, die sich als eine endliche direkte Summe unzerlegbarer Untermoduln schreiben lassen. Ist nun $M = M_0 \oplus N_0$ eine Zerlegung mit $M_0 \not\in \mathcal Z$, so finden wir auch eine Zerlegung $M =M_1 \oplus N_1$ mit $M_1 \not\in \mathcal Z$ und $M_1\subsetneq M_0$ und $N_1 \supsetneq N_0$. In der Tat gilt nach Annahme $M_0\not\in \mathcal Z$, also ist $M_0$ weder Null noch unzerlegbar. Unser Modul $M_0$ l"a"st sich demnach nichttrivial zerlegen als $M_0 = M_0^\prime \oplus M^{\prime\prime}_0$. Aus $M_0 \not\in \mathcal Z$ folgt dann $M^\prime_0 \not\in \mathcal Z$ oder $M^{\prime\prime}_0 \not\in \mathcal Z$. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $M^\prime_0 \not\in \mathcal Z$ annehmen. Dann erhalten wir f"ur $M$ die Zerlegungen $$M = M_0 \oplus N_0 = M^\prime_0 \oplus M^{\prime\prime}_0 \oplus N_0 = M_1 \oplus N_1$$ mit $ M_1\pdef M^\prime_0 \not\in \mathcal Z$ und $M_1\subsetneq M_0$ und $N_1 \pdef M_0^{\prime\prime} \oplus N_0 \supsetneq N_0$. Jede Zerlegung $M = M_0 \oplus N_0$ mit $M_0 \not\in \mathcal Z$ f"uhrt in dieser Weise zu einer nicht stagnierenden aufstegenden Kette von Untermoduln $N_0 \subsetneq N_1 \subsetneq \ldots$ und damit zum Widerspruch zur Annahme $M$ noethersch sowie zu einer nicht stagnierenden absteigenden Kette von Untermoduln $M_0 \supsetneq M_1 \supsetneq \ldots$ und damit zum Widerspruch zur Annahme $M$ artinsch. G"alte aber $M\not \in \mathcal Z$, so h"atte es die Zerlegung $M=M\oplus 0=M_0 \oplus N_0$ mit $M_0\not \in \mathcal Z$. Dieser Widerspruch beendet den Beweis. \end{proof} \begin{Definition} Ein Ring hei"st {\bf lokal},\index{lokal!Ring|main}\index{Ring!lokaler|main} wenn\label{LoRiN} %auch \eref{LoRi}{KAG} seine Nichteinheiten ein Ideal bilden. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir reden oft von einem lokalen Ring $(A,\mathfrak m)$ und meinen dann mit $\mathfrak m$ das Ideal der Nichteinheiten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Charakterisierung lokaler Ringe durch maximale Ideale}] Ein Ring, der genau ein maximales beidseitiges Ideal hat, mu"s nicht lokal sein. Ein Gegenbeispiel ist der Ring der komplexen $(2\times 2)$-Matrizen. Ein kommutativer Ring jedoch ist genau dann lokal, wenn er genau ein maximales beidseitiges Ideal hat. In diesem Fall ist nat"urlich auch jedes Linksideal oder Rechtsideal ein beidseitiges Ideal. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Der Nullring ist nicht lokal, denn die leere Menge ist kein Ideal. Die abgeschnittenen Polynomringe $k[T]/\langle T^n\rangle$ "uber einem K"orper $k$ sind lokal. Der Potenzreihenring $k\llbracket T\rrbracket$ "uber einem K"orper $k$ ist lokal und f"ur sein maximales Ideal $\mathfrak m$ gilt $\mathfrak m^n\neq 0\;\forall n$. Der in hoffentlich selbsterkl"arender Weise konstruierte Ring $$\bigcup_{q\in \DN_{\geq 1}} k\llbracket T^{(1/q)}\rrbracket$$ "uber einem K"orper $k$ ist lokal und f"ur sein maximales Ideal $\mathfrak m$ gilt $\mathfrak m^2=\mathfrak m\neq 0$. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} In einem lokalen Ring ist das Ideal der Nichteinheiten das gr"o"ste echte Linksideal und das gr"o"ste echte Rechtsideal. In einem lokalen Ring ist die Summe aus einer Nichteinheit und einer Einheit offensichtlich stets eine Einheit. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Charakterisierungen lokaler Ringe}] Gegeben ein Ring $R$ sind gleichbedeutend:\label{ChLR} \begin{enumerate} \item Unser Ring ist lokal; \item Unser Ring hat genau ein maximales Linksideal; \item Unser Ring hat genau ein maximales Rechtsideal; \item Der Quotient $R/{\op{Jac}}(R)$ nach dem Jacobsonradikal ist ein Schiefk"orper; \item Das Jacobsonradikal ist ein maximales Linksideal; \item Das Jacobsonradikal ist ein maximales Rechtsideal. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof} 1$\RA$2\&3. Bilden die Nichteinheiten ein echtes Ideal, so mu"s dies bereits das maximale Linksideal sein, denn jedes Element au"serhalb erzeugt als Linksideal bereits den ganzen Ring. \\[2mm]\noindent 2$\RA$4 Gibt es in $R$ nur ein maximales Linksideal, so mu"s dies Linksideal bereits das Jacobsonradikal sein und damit der Annulator jedes Elements jedes einfachen Moduls. Damit ist jeder einfache Modul isomorph zu $R/\op{Jac}(R)$ und der Quotientenring $R/\op{Jac}(R)$ ist ein einfacher Modul "uber sich selbst und damit nach der Theorie halbeinfacher Ringe \ref{HEDi} ein Schiefk"orper. \\[2mm]\noindent 4$\RA$6\&5. Jeder einfache Rechtsmodul wird nach \ref{JRA} annulliert von $\op{Jac}(R)$ und ist damit isomorph zum Rechtsmodul $R/\op{Jac}(R)$ und damit ist $\op{Jac}(R)$ das einzige maximale Rechtsideal. \\[2mm]\noindent 5$\RA$2. Ist das Jacobsonradikal ein maximales Linksideal, so ist es offensichtlich das einzige maximale Linksideal. \\[2mm]\noindent 6\&5$\RA$1. G"abe es eine Nichteinheit $x\in R\backslash \op{Jac}(R)$, so h"atte $x$ kein Linksinverses oder kein Rechtsinverses. Gibt es ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit kein $r\in R$ mit $rx=1$, so ist $Rx$ ein echtes Linksideal und l"a"st sich nach Zorn vergr"o"sern zu einem maximalen echten Linksideal, das nicht in $\op{Jac}(R)$ enthalten w"are im Widerspruch zu unseren Annahmen. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Endomorphismen unzerlegbarer Objekte}] Gegeben ein unzerlegbares Objekt $M$ endlicher L"ange in einer abelschen Kategorie ist\label{EUO} jeder Endomorphismus von $M$ entweder ein Automorphismus oder nilpotent und die nilpotenten Elemente von $\op{End}(M)$ bilden ein Ideal des Endomorphismenrings. Insbesondere ist $\op{End}(M)$ lokal. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Ich wei"s in dieser Allgemeinheit nicht, ob das maximale Ideal unseres lokalen Rings $\op{End}(M)$ nilpotent sein mu"s. Ich wei"s auch nicht, ob $\op{End}(M)$ von endlicher L"ange sein mu"s als Linksmodul oder Rechtsmodul "uber sich selber. Ist jedoch der Endomorphismenring $R\pdef \op{End}(M)$ eines unzerlegbaren Objekts $M$ endlicher L"ange von endlicher L"ange als Linksmodul oder Rechtsmodul "uber sich selber, so mu"s sein maximales Ideal $\mathfrak m\subset R$, von dem wir ja wissen, da"s es mit dem Jacobsonradikal "ubereinstimmt, nilpotent sein nach der Variante \ref{nkLvN} des Lemmas von Nakayama. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Gegeben ein projektives Objekt $P$ endlicher L"ange in einer abelschen Kategorie hat sein Endomorphismenring $\op{End}(P)$ endliche Rechtsl"ange. Ein Beweis wird im Beweis von \ref{AMA} gegeben. Gegeben ein injektives Objekt $I$ endlicher L"ange in einer abelschen Kategorie hat sein Endomorphismenring $\op{End}(I)$ analog endliche Linksl"ange. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] H"atten wir einen Endomorphismus, der weder nilpotent noch ein Automorphismus ist, so w"are die zugeh"orige Fittingzerlegung \ref{FiZe} eine nichttriviale Zerlegung unseres Objekts. Das zeigt die erste Behauptung. Insbesondere ist das Produkt von einem beliebigen Endomorphismus mit einem Nilpotenten in beiden m"oglichen Reihenfolgen stets wieder nilpotent, da es ja nicht epi beziehungsweise mono und damit kein Automorphismus sein kann. Es ist weiter klar, da"s f"ur $N$ nilpotent $1-N$ ein Isomorphismus ist mit Inversem $1+N+N^2+\ldots$. Folglich ist auch allgemeiner die Summe eines Automorphismus $u$ mit einem nilpotenten Endomorphismus $N$ ein Automorphismus, da sie sich ja als $(u+N)=u(1-(-u)^{-1}N)$ schreiben l"a"st und da $(-u)^{-1}N$ nilpotent sein mu"s nach unserer Vor"uberlegung. Damit ist dann aber notwendig die Summe von zwei Nilpotenten wieder nilpotent und diese bilden ein Ideal. Es folgt, da"s der Restklassenring ein Schiefk"orper sein mu"s. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Alle Aussagen, die wir f"ur einen Ring und sein Jacobsonradikal in \ref{nkLvN} folgende gezeigt haben, gelten a forteriori f"ur jeden lokalen Ring $(R,\mathfrak m)$ mit seinem maximalen Ideal $\mathfrak m$. Insbesondere folgt f"ur einen endlich erzeugten $R$-Modul $M$ aus $\mathfrak m M=M$ bereits $M=0$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Man kann zeigen, da"s ein Ring genau dann endliche Linksl"ange hat, wenn er artinsch ist als Linksmodul "uber sich selber. Einen Beweis findet man in \cite{JaSe}. \end{Bemerkunge} \begin{Proposition}[\textbf{Lokalit"atskriterium}] Ein Ring $E$ endlicher Linksl"ange mit genau zwei Idempotenten ist lokal.\label{loKK} \end{Proposition} \begin{proof} Die Multiplikation von rechts liefert f"ur jeden Ring $E$ einen Isomorphismus $E^{\op{opp}}\sira \op{End}_E E$ und unser $E$ ist nach Annahme ein unzerlegbarer $E$-Modul endlicher L"ange. Also ist $E^{\op{opp}}$ lokal nach \ref{EUO} und dann ist offensichtlich auch $E$ lokal. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Struktur von Endomorphismenringen}] Seien $M_1,\ldots, M_n$ unzerlegbare Objekte einer abelschen Kategorie mit Endomorphismenringen von endlicher Linksl"ange. So gilt:\label{Endk} \begin{enumerate} \item Im Endomorphismenring $R\pdef \op{End}(M_1\oplus\ldots\oplus M_n)$ ihrer direkten Summe bilden die Matrizen aus Nichtisomorphismen ein nilpotentes Ideal $J$; \item Sind die $M_i$ paarweise nicht isomorph und $\mathfrak m_i\subset \op{End}(M_i)$ die Ideale der Nichtautomorphismen, so induziert die diagonale Einbettung $\op{End}(M_1)\times\ldots\times \op{End}(M_n)\hra R$ einen Isomorphismus $$\op{End}(M_1)/\mathfrak m_1\times\ldots\times \op{End}(M_n)/\mathfrak m_n\sira R/J$$ \item Sind die $M_i$ paarweise nicht isomorph und bezeichnet $K_i\pdef \op{End}(M_i)/\mathfrak m_i$ den nach \ref{EUO} zugeh"origen Schiefk"orper und betrachten wir allgemeiner $R\pdef \op{End}(M_1^{\oplus r_1}\oplus\ldots\oplus M_n^{\oplus r_n})$, so induziert die diagonale Einbettung $\op{End}(M_1^{\oplus r_1})\times\ldots\times \op{End}(M_n^{\oplus r_n})\hra R$ einen Isomorphismus $$\op{Mat}(r_1;K_1)\times\ldots\times \op{Mat}(r_n;K_n)\sira R/J$$ \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Struktur von Ringen endlicher Linksl"ange}] Gegeben ein Ring $E$ endlicher Linksl"ange zeigt der durch Multiplikation von rechts gegebene Isomorphismus $E^{\op{opp}}\sira \op{End}_E E$, da"s wir unsere Proposition auf $E^{\op{opp}}$ anwenden k"onnen mit $E=M_1\oplus\ldots\oplus M_n$ einer Zerlegung des $E$-Moduls $E$ in unzerlegbare Summanden. Insbesondere hat $E^{\op{opp}}$ und damit auch $E$ selbst ein maximales nilpotentes Ideal und der zugeh"orige Restklassenring ist halbeinfach. In diesem Fall bilden die endlich erzeugten $E$-Moduln eine l"angenendliche Kategorie und die $M_i$ sind deren unzerlegbare Projektive, die in der Zerlegung von $E$ mit gewissen positiven Vielfachheiten auftauchen k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In den Notationen der Proposition ist $J$ das \hyperref[JacRn]{Jacobsonradikal} von $R$ und die $K_i$ beziehungsweise die $K_i^{r_i}$ bilden ein Repr"asentantensystem f"ur die Isomorphieklassen einfacher $R$-Moduln. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} In \eref{Morr}{KAG} konstruieren wir ganz allgemein eine "Aquivalenz zwischen den Modulkategorien unserer Endomorphismenringe aus Teil 2 und Teil 3, die sich ihrerseits als ein Spezialfall der sogenannten \glqq Morita-"Aquivalenz\grqq\ erhalten l"a"st. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Wir identifizieren Endomorphismen $f$ der direkten Summe mit Matrizen $(f_{ij})$ von Homomorphismen. Sind keine der Eintr"age $f_{ij}$ Isomorphismen, so liegen alle Produkte $f_{ri}f_{ik}\ldots f_{lr}$ von Matrixeintr"agen mit einer Kette von Indizes, die bei $r$ beginnt und bei $r$ endet, im nach \ref{loKK} nilpotenten Ideal $\mathfrak m_r\subset \op{End}M_r$ der Nichtautomorphismen, denn w"are so eine Verkn"upfung ein Automorphismus von $M_r$, so m"u"ste $f_{lr}$ eine spaltende Einbettung sein. F"ur $l\pdef \op{max}(\op{L"ange}M_r)$ kommt in jeder Kette von Indizes der L"ange $nl$ mindestens ein Index $l$-mal vor. Es folgt $J^{nl}=0$. Die weiteren Behauptungen der Proposition folgen daraus unmittelbar. \end{proof} \begin{Beispiel} Der Endomorphismenring der abelschen Gruppe $\DZ\oplus \DQ$ ist isomorph zum Teilring von $\op{Mat}(2;\DQ)$ aller Matrizen $A$ mit Eintr"agen $A_{11}\in\DZ$ und $A_{21}=0$. Er ist von endlicher Rechtsl"ange, aber nicht von endlicher Linksl"ange. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Krull-Schmidt}]\index{Krull-Schmidt}\label{KruS} Ist $M$ ein Modul endlicher L"ange "uber einem Ring und sind $M \cong M_1 \oplus \ldots \oplus M_r$ sowie $M \cong N_1 \oplus \ldots \oplus N_s$ zwei Zerlegungen von $M$ in eine direkte Summe von unzerlegbaren Moduln, so gilt $r=s$ und es gibt eine Permutation $\sigma \in \mathcal{S}_r$ mit $M_i \cong N_{\sigma (i)} $ f"ur $1 \leq i \leq r$. \end{Satz} \begin{Satz}[\textbf{Allgemeiner Krull-Schmidt}] Ist $M$ ein Objekt einer additiven %abelschen Kategorie und sind $M \cong M_1 \oplus \ldots \oplus M_r$ sowie $M \cong N_1 \oplus \ldots \oplus N_s$ zwei Zerlegungen von $M$ in eine direkte Summe von unzerlegbaren Objekten derart, da"s alle $M_i$ einen lokalen Endomorphismenring haben, so gilt $r=s$ und es gibt eine Permutation $\sigma \in \mathcal{S}_r$ mit $M_i \cong N_{\sigma (i)} $ f"ur $1 \leq i \leq r$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die zweite Variante ist in verschiedener Hinsicht allgemeiner: Erstens verallgemeinern wir von Modulkategorien auf beliebige additive %abelsche Kategorien, und zweitens fordern wir %wir statt endlicher L"ange nur die Lokalit"at der Endomorphismenringe der $M_i$. Das folgt in abelschen Kategorien unter der Voraussetzung endlicher L"ange nach \ref{EUO} aus der Unzerlegbarkeit. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] F"ur diese S"atze ist auch die Bezeichnung \glqq Krull-Remak-Schmidt\grqq\ gebr"auchlich, die sich jedoch inhaltlich schwer rechtfertigen l"a"st. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Ein nicht in Unzerlegbare zerlegbarer Modul}] Ist $V$ ein Vektorraum unendlicher Dimension, so ist sein Endomorphismenring $E$ als Linksmodul "uber sich selber keine direkte Summe von unzerlegbaren Untermoduln.\label{GBSP} In der Tat erhalten wir eine Bijektion zwischen Untervektorr"aumen $W\subset V$ und direkten Summanden $F\subset E$ vermittels der Vorschrift $W\mapsto \op{Hom}(W,V)$, und die unzerlegbaren direkten Summanden von $E$ entsprechen so genau den Geraden in $V$. Die Summe aller unzerlegbaren direkten Summanden von $E$ liefert aber nicht ganz $E$, sondern nur den Untermodul aller Endomorphismen von endlichem Rang. Im "Ubrigen gilt auch $E\cong E^n$ als $E$-Linksmodul f"ur alle $n\geq 1$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} Man beachte, da"s durchaus auch unter anderen Voraussetzungen die Eindeutigkeit einer Zerlegung in Unzerlegbare im Sinne des Satzes von Krull-Schmidt gezeigt werden kann. Insbesondere erw"ahne ich die Wohlbestimmtheit des Ranges f"ur freie Moduln "uber von Null verschiedenen kommutativen Ringen \eref{ABTR}{KAG}, die im Fall eines unzerlegbaren Ringes eine analoge Aussage liefert, und die Klassifikation endlich erzeugter Moduln "uber Hauptidealringen \eref{NFF}{KAG}. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Wir schreiben die Identit"at auf $M$ als Matrix $(f_{ij})$ mit $f_{ij}: M_j \ra N_i$ und ebenso als Matrix $(g_{ji})$ mit $g_{ji}: N_i \ra M_j$. Im Endomorphismenring von $M_1$ gilt dann $$\op{id} = g_{11} f_{11} + g_{12} f_{21} + \ldots + g_{1s} f_{s1}$$ Wegen der Lokalit"at des Endomorphismenrings von $M_1$ mu"s hier einer der Summanden eine Einheit sein, sagen wir der Erste. Dann ist aber $f_{11}$ eine spaltende Injektion und wegen der Unzerlegbarkeit von $N_1$ ein Isomorphismus. Durch geeignete Spaltenumformungen k"onnen wir nun alle anderen Eintr"age in der ersten Zeile der Matrix der $(f_{ij})$ zum Verschwinden bringen und durch geeignete Zeilenumformungen alle anderen Eintr"age in der ersten Spalte. Das bedeutet in anderen Worten: Bewegen wir die Zerlegung von $M$ in die $M_j$ mit einem geeigneten Automorphismus von $M$, so k"onnen wir erreichen, da"s gilt $M_1 = N_1$ und $M_2\oplus\ldots\oplus M_r=N_2\oplus\ldots\oplus N_s$. Von da aus kommen wir dann mit einer offensichtlichen Induktion ans Ziel. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Jede endlichdimensionale Ringalgebra $A$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ ist als $A$-Linksmodul isomorph zur direkten Summe $$A\cong \bigoplus_{L\in \op{irr}(A\op{-Mod})} (P_L)^{\oplus\op{dim}L}$$ der projektiven Decken $P_L$ ihrer einfachen Moduln $L$, genommen jeweils mit der Vielfachheit $\op{dim}_kL$. \end{Ubung} \subsection{Blockzerlegung} \begin{Bemerkungl} Gegeben Kategorien $(\cal{A}_{i})_{i\in I}$ definieren wir ihr {\bf Produkt}\index{Produkt!von Kategorien} als diejenige Kategorie $\prod_{i\in I} \cal{A}_{i}$, deren Objekte Tupel von\label{ZDSK} Objekten aus den jeweiligen Kategorien sind und deren Morphismen entsprechend Tupel von Morphismen sind mit der offensichtlichen Verkn"upfung. Darin betrachten wir die volle Unterkategorie $\bigoplus \cal{A}_{i} \subset \prod \cal{A}_{i}$ bestehend aus allen Tupeln von Objekten, die nur an endlich vielen Stellen nicht ein Nullobjekt alias initial und final sind. Wir nennen diese Kategorie die {\bf direkte Summe}\index{direkte Summe!von Kategorien} der Kategorien $\cal{A}_{i}$, aber das darf nicht als ein Koprodukt mi"sverstanden werden und ist "uberhaupt keine besonders nat"urliche Konstruktion. Sind schlie"slich alle $\cal{A}_{i}$ volle Unterkategorien einer festen Kategorie $\cal{A}$ mit endlichen Koprodukten, so schreiben wir kurz $$\cal{A} = \bigoplus_{i \in I} \cal{A}_{i}$$ f"ur die Aussage, da"s der durch das Bilden von Koprodukten gegebene Funktor von rechts nach links eine "Aquivalenz von Kategorien ist. Betrachten wir in dieser Situation den Einbettungsfunktor $\op{in}_i:\mathcal A_i\ra \mathcal A$, der Nullobjekte an den anderen Stellen erg"anzt, und den Projektionsfunktor $\op{pr}_i: \mathcal A\ra \mathcal A_i$, so erhalten wir in offensichtlicher Weise Adjunktionen $(\op{in}_i,\op{pr}_i)$ sowie $(\op{pr}_i,\op{in}_i)$. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Blockzerlegung l"angenendlicher Kategorien}] Seien $\cal{A}$ eine l"an\-gen\-end\-li\-che Kategorie und $\sim$ die "Aquivalenzrelation auf ${\op{irr}}\cal{A}$, die erzeugt wird von der Relation, f"ur die gilt $L\sim N$ genau dann, wenn es nichtspaltende Erweiterungen $N\hra E\sra L$ von $L$ durch $N$ gibt. Betrachten wir f"ur jede Teilmenge $\Omega\subset \op{irr}\cal{A}$ die Unterkategorie $\cal{A}_\Omega$ aller Objekte, deren s"amtliche einfachen Subquotienten zu $\Omega$ geh"oren, so haben wir eine "Aquivalenz von Kategorien $$\bigoplus_{\Omega\in {\op{irr}}\cal{A}/{\sim}} \cal{A}_{\Omega}\sirra \cal{A}$$ mit der direkten Summe "uber alle "Aquivalenzklassen $\Omega$ in ${\op{irr}}\cal{A}$. Diese Summanden $\cal{A}_\Omega$ k"onnen ihrerseits nicht weiter als direkte Summen zerlegt werden und hei"sen die {\bf Bl"ocke von $\mathcal A$}. \index{Block!einer l"angenendlichen Kategorie} \end{Ubung} \subsection{Grothendieck-Gruppen} \begin{Definition} Ist $\cal{A}$ eine abelsche Kategorie, so erkl"aren wir die \defind{Grothendieckgruppe} $[\cal{A}]$ von $\cal{A}$ als die freie abelsche Gruppe $\Bbb{Z}\cal{A}$ "uber den Objekten modulo den Relationen $A = A^{\prime} + A^{\prime\prime}$ wann immer es in $\cal{A}$ eine kurze exakte Sequenz $A^{\prime} \hookrightarrow A \twoheadrightarrow A^{\prime\prime}$ gibt, in Formeln $$[\cal{A}] = \Bbb{Z} \cal{A} / \langle A - A^{\prime} -A^{\prime\prime} \mid \text{Es gibt eine kurze exakte Sequenz } A^{\prime}\hookrightarrow A \twoheadrightarrow A^{\prime\prime} \rangle$$ Jedes Objekt $A \in \cal{A}$ liefert ein Element $[A] \in [\cal{A}]$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist $G$ eine abelsche Gruppe und $\lambda : \cal{A} \ra G$ eine beliebige {\bf additive Abbildung},\index{additiv!Abbildung} was bedeuten soll, da"s gilt $\lambda (A) = \lambda (A^{\prime})+ \lambda (A^{\prime\prime})$ f"ur jede kurze exakte Sequenz $A^{\prime} \hookrightarrow A \twoheadrightarrow A^{\prime\prime}$, so gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus $\tilde{\lambda} : [\cal{A}] \ra G$ mit $ \tilde{\lambda} [A] = \lambda (A)$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{IAB} F"ur jede l"angenendliche Kategorie bilden die Isomorphieklassen einfacher Objekte eine Basis ihrer Grothendieckgruppe. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $\cal{A}$ unsere l"angenendliche Kategorie. Gegeben ein Objekt $M \in \cal{A}$ mit Filtrierung $M = M_{n} \supset M_{n-1} \supset \ldots \supset M_{0} =0$ erhalten wir in der Grothendieckgruppe induktiv $$[M_{j}] = \sum^{j}_{i=1} \;[M_{i}/M_{i-1}]$$ Das zeigt schon einmal, da"s die einfachen Isomorphieklassen die Grothendieckgruppe erzeugen. Gegeben $L\in \op{irr} \cal{A}$ ist andererseits die Abbildung $\cal{A} \ra \Bbb{Z}$, die jedem Objekt $A$ die Vielfachheit von $L$ in einer und damit nach \ref{JHA} jeder Kompositionsreihe von $A$ zuordnet, eine additive Abbildung. Das zeigt die lineare Unabh"angigkeit Isomorphieklassen einfacher Objekte in der Grothendieckgruppe. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{JHN} Ist $A$ ein Objekt endlicher L"ange in einer abelschen Kategorie und benutzen wir die Notation $[A:L]\in\DN$ f"ur die Vielfachheit von $L \in \op{irr} \cal{A}$ in einer Kompositionsreihe von $A$, so gilt nat"urlich in der Grothendieckgruppe der besagten abelschen Kategorie die Gleichung $$[A] = \sum_{L \in \op{irr}\cal{A}} [A : L]\; [L]$$ Haben wir irgendeine Menge von Objekten $\cal{B}\subset \cal{A}$ derart, da"s die Klassen $[B]$ mit ${B\in\cal{B}}$ eine Basis der Grothendieckgruppe $[\cal{A}]$ bilden, so dehnen wir unsere Notation aus und definieren $[A:B]=[A:B]_{\mathcal B}\in\DZ$ durch die Gleichung $$[A] = \;\;\!\sum_{B\in \cal{B}} \;\;\![A : B]\; [B]$$ Besitzt $A$ eine $\cal{B}$-Fahne, womit eine endliche Filtrierung gemeint sei, deren sukzessive Subquotienten alle isomorph sind zu gewissen Objekten von $\cal{B}$, so z"ahlt $[A:B]$ diejenigen Subquotienten, die isomorph sind zu einem festen $B \in \cal{B}$. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Jeder Funktor $T:\mathcal A\ra \mathcal B$ von abelschen Kategorien, der kurze exakte Sequenzen zu kurzen exakten Sequenzen macht, induziert auf den Grothendieckgruppen einen Gruppenhomomorphismus $T=[T]:[\mathcal A]\ra[\mathcal B]$.\label{TFGH} \end{Ubung} \subsection{Morita-"Aquivalenz} \begin{Bemerkungl} Ein Objekt $P$ einer Kategorie $\mathcal C$ hei"st ein {\bf Separator},\index{Separator} wenn es f"ur je zwei verschiedene Morphismen $f,g:X\ra Y$ in $\mathcal C$ einen Morphismus $h:P\ra X$ gibt mit $fh\neq gh$. In anderen Worten bedeutet das, da"s der Funktor $\mathcal C(P,\;): \mathcal C\ra \op{Ens-}\mathcal C(P)$ von $\mathcal C$ in die Rechtsmengen "uber dem Endomorphismenmonoid von $P$ treu ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Projektive Separatoren in l"angenendlichen Kategorien}] In einer l"angenendlichen Kategorie ist ein projektives Objekt $P$ genau dann ein Separator, wenn es jedes einfache Objekt zum Quotienten hat. In der Tat folgt daraus induktiv, da"s jedes Objekt ein Quotient einer endlichen direkten Summe von Kopien von $P$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Abstrakte Morita-"Aquivalenz}]\label{AMA} Seien $\cal{A}$ eine l"angenendliche Kategorie und $P \in \cal{A}$ ein\index{Morita-"Aquivalenz!abstrakte} projektiver Separator. So induziert der Funktor der Homomorphismen von $P$ eine "Aquivalenz von $\cal{A}$ mit der Kategorie aller endlich erzeugten Rechtsmoduln "uber dem Endomorphismenring von $P$, in Formeln $${\cal{A}}(P,\;) : \cal{A} \;\sirra\; \op{Modf-} {\cal{A}}( P)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Dieser Satz ist ein nach meinem Geschmack besonders attraktiver Vertreter einer ganzen Familie von S"atzen, die auf verschiedene Weisen die Erkenntnis pr"azisieren, da"s \glqq abstrakte abelsche Kategorien im wesentlichen dasselbe sind wie Kategorien von Moduln "uber Ringen\grqq. Der Satz gilt mit fast demselben Beweis auch, wenn wir $\cal{A}$ schw"acher nur noethersch annehmen. Der Endomorphismenring unseres projektiven Objekts mu"s dann bereits rechtsnoe\-thersch sein, da wir die Unterobjekte von $P$ beschreiben k"onnen als "Aquivalenzklassen in der Menge aller Morphismen $P^{\oplus n}\ra P$ f"ur $n\in\DN$ mit der durch das \glqq gegenseitig "ubereinander faktorisieren\grqq\ erkl"arten "Aquivalenzrelation. Die Anordnung auf der Menge der Unterobjekte entspricht dann der Teilordnung des \glqq Faktorisierens\grqq. In derselben Weise k"onnen wir die angeordnete Menge der endlich erzeugten Rechts\-idea\-le von $E\pdef\mathcal A(P)$ beschreiben, die folglich zur Menge der Unterobjekte von $P$ ordnungsisomorph ist. Das aber zeigt dann, da"s $E$ rechtsnoethersch sein mu"s. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungw} Ist $\mathcal A$ eine beliebige abelsche Kategorie und $P$ ein projektives Objekt endlicher L"ange, so betrachten wir die Serre-Unterkategorie $\mathcal K\pdef \{M\in\mathcal A\mid \mathcal A(P,M)=0\}$ und finden in \eref{VAMA}{TD}, da"s $\mathcal A(P,\;)$ eine "Aquivalenz von der Kategorie der Objekte endlicher L"ange im Quotienten $\mathcal A/\mathcal K$ mit der Kategorie $\op{Modf-}\mathcal A(P)$ der endlich erzeugten Rechtsmoduln "uber dem Endomorphismenring von $P$ induziert. Dasselbe gilt hoffentlich mit demselben Beweis, wenn $P$ noethersch ist und wir die noetherschen Objekte von $\mathcal A/\mathcal K$ betrachten. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] F"ur ein beliebiges Objekt $P$ einer beliebigen abelschen Kategorie $\cal{A}$ mit Endomorphismenring $E={\cal{A}}( P)$ haben wir einen Funktor $$H = {\cal{A}}(P,\;):\cal{A} \ra \op{Mod-} E$$ Er bildet das Objekt $P$ auf seinen Endomorphismenring $E$ ab. Der durch Linksmultiplikation gegebene Ringisomorphismus $E\sira \op{End}_{-E}E$ zeigt, da"s unser Funktor eine "Aquivalenz $\langle P\rangle_{\oplus}\sirra \langle E\rangle_{\oplus}$ induziert zwischen der vollen Unterkategorie aller zu endlichen direkten Summen von Kopien von $P$ isomorphen Objekte von $\mathcal A$ und der vollen Unterkategorie aller zu endlichen direkten Summen von Kopien von $E$ isomorphen Objekte von $\op{Mod-} E$. Ist $P$ projektiv, so ist unser Funktor ${\cal{A}}(P,\;) :\cal{A} \ra \op{Mod-} E$ zus"atzlich exakt und macht einfache Objekte aus $\cal{A}$ zu einfachen $E$-Moduln oder zu Null, denn f"ur je zwei Surjektionen $a,b$ von $P$ auf ein- und dasselbe einfache Objekt gibt es $r\in E$ mit $ar=b$. Ist zus"atzlich $P$ von endlicher L"ange, so ist folglich auch sein Endomorphismenring $E$ von endlicher L"ange als $E$-Rechtsmodul. Ist $\cal{A}$ eine l"angenendliche Kategorie, so liefert sicher jedes projektive Objekt $P\in \cal{A}$ einen exakten Funktor $${\cal{A}}(P,\;) : \cal{A} \ra \op{Modf-} E$$ Wir m"ussen noch zeigen, da"s dieser Funktor sogar eine Surjektion auf Isomorphieklassen liefert und da"s er volltreu ist. Da aber $E$ unter unseren Voraussetzungen insbesondere rechtsnoethersch ist, besitzt jeder endlich erzeugte $E$-Rechts\-modul $M$ eine Aufl"osung der Gestalt $E^{n} \ra E^{m} \twoheadrightarrow M$ und wir folgern $M \cong H (\op{coker} (P^{n}\ra P^{m}))$, als da hei"st $H$ liefert eine Surjektion auf Isomorphieklassen. Ist zus"atzlich jedes einfache Objekt ein Quotient von $P$, so finden wir f"ur jedes ${B} \in \cal{A}$ eine rechtsexakte Sequenz der Gestalt $P^{n} \ra P^{m} \twoheadrightarrow B$. Sie bleibt rechtsexakt unter $H$. F"ur beliebiges $A \in \cal{A}$ betrachten wir dann das kommutative Diagramm $$\begin{array}{ccccc} {\cal{A}}(P^{n},A) & \leftarrow &{\cal{A}}(P^{m},A) &\hookleftarrow & {\cal{A}}(B,A) \\ \downarrow & & \downarrow && \downarrow \\ \op{Hom}_{{-}E}(HP^{n}, HA) & \leftarrow & \op{Hom}_{{-}E}(HP^{m}, HA)&\hookleftarrow &\op{Hom}_{-E}(HB,HA) \end{array}$$ mit exakten Zeilen. Die beiden linken vertikalen Isomorphismen m"ussen dann rechts einen vertikalen Isomorphismus zwischen den Kernen der linken Horizontalen induzieren. Das zeigt, da"s $H$ volltreu ist. \end{proof} \begin{Beispiel} Ist $\cal{A}$ die Kategorie aller endlichdimensionalen Vektorr"aume "uber einem K"orper $k$ und $P = k^{n}$ der Vektorraum der Zeilenmatrizen mit der nat"urlichen Rechtsoperation des Matrizenrings $\op{Mat}(n ;k)$, so spezialisiert unser Satz zu einer "Aquivalenz $k\op{-Modf} \sirra \op{Mat}(n ;k)\op{-Modf}$. Das ist hinwiederum ein Spezialfall einer sehr allgemeinen Aussage \eref{UbMo}{KAG}, die ihrerseits nicht mehr aus unserem Satz folgt: F"ur jeden Ring $R$ liefert der Funktor $\op{Mod}_{R} (R^{n}, \;)$ eine "Aquivalenz von Kategorien $$R\op{-Mod} \;\;\sirra\;\; \op{Mat} (n; R) \op{-Mod}$$ \end{Beispiel} \subsection{Darstellungen von K"ochern*} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern die Terminologie der K"ocher aus \eref{DKo}{LA2}. Ein \defind{K"ocher} (englisch \defind{quiver}, franz"osisch \defind{carquois}) ist ein Datum $\cal{K} = (P, E , a , e)$ bestehend aus zwei Mengen $P,E$ und zwei Abbildungen $a, e : P \ra E$. Wir nennen die Elemente von $P$ die {\bf Pfeile}\index{Pfeile} des K"ochers und die Elemente von $E$ seine {\bf Ecken}\index{Ecke!von K"ocher} oder auch {\bf Punkte}\index{Punkt!von K"ocher}. F"ur einen Pfeil $\vec p \in P$ nennen wir $a(\vec p)$ seinen {\bf Anfangspunkt}\index{Anfangspunkt, von Pfeil in K"ocher} und $e(\vec p)$ seinen {\bf Endpunkt}.\index{Endpunkt, von Pfeil in K"ocher} Ein {\bf Morphismus} $F$ von unserem K"ocher in einen weiteren K"ocher $(P', E', a', e')$ ist ein Paar bestehend aus einer Abbildung $F:P\ra P'$ auf den Pfeilen und einer Abbildung $F:E\ra E'$ auf den Ecken derart, da"s gilt $Fa=a'F$ und $Fe=e'F$. Wir erhalten so die Kategorie aller K"ocher\index{Car} $$\op{Car}$$ "Ahnlich wie bei Kategorien schreiben wir gerne abk"urzend $\cal{K}$ f"ur die Eckenmenge eines K"ochers $\cal{K} = (P, E , a , e)$ und $\cal{K}(x,y)$ f"ur die Menge der Pfeile mit Anfangspunkt $x$ und Endpunkt $y$. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[hbtp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKoe} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Ein K"ocher mit $5$ Ecken und $6$ Pfeilen. \end{minipage} \end{figure} \begin{Definition} Eine \defnoind{Darstellung eines K"ochers}\index{Darstellung!von K"ocher} $\cal{K}$ "uber einem Ring $R$\index{K"ocher!Darstellung von} ist ein K"ochermorphismus $V:\cal{K}\ra \op{Mod}_R$. Ein {\bf Morphismus} von Darstellungen von K"ochern ist eine Transformation zwischen K"ochermorphismen. Die Kategorie der Darstellungen ist also die Kategorie der K"ochermorphismen $$\op{Car}(\cal{K}, \op{Mod}_R)$$ \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Genauso erkl"aren wir f"ur eine beliebige Kategorie $\mathcal C$ die Kategorie $\op{Car}(\mathcal K,\mathcal C)$ der Darstellungen eines K"ochers $\mathcal K$ in $\mathcal C$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Etwas ausf"uhrlicher ist eine Darstellung eines K"ochers $(P,E,a,e)$ "uber einem Ring $R$ eine Zuordnung $V$, die jeder Ecke $q \in E$ einen $R$-Modul $V_{q}$ zuordnet und jedem Pfeil $p\in P$ eine $R$-lineare Abbildung $$V(p) : V_{a (p)} \ra V_{e(p)}$$ Gegeben zwei Darstellungen $V,W$ unseres K"ochers "uber einem Ring $R$ ist weiter ein Morphismus von Darstellungen $\varphi : V \ra W$ eine Familie von $R$-linearen Abbildungen $\varphi_{q} : V_{q} \ra W_{q}$ f"ur $q \in E$ derart, da"s f"ur alle Pfeile $p \in P$ das folgende Diagramm kommutiert: $$\xymatrix{ V_{a(p)} \ar[r]^{V(p)}\ar[d]_{\varphi_{a(p)}} & V_{e(p)}\ar[d]^{\varphi_{e(p)}}\\ W_{a(p)} \ar[r]^{W(p)}& W_{e(p)} }$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nach \eref{FKK}{TD} liefert das Vorschalten des als Einheit der Adjunktion entstehenden K"ochermorphismus $\varepsilon:\mathcal K\ra \tilde{\mathcal K}$ von einem K"ocher in seine Pfadkategorie f"ur jeden Ring $R$ einen Isomorphismus von Kategorien $$\op{Cat}(\tilde{\mathcal K},\op{Mod}_R)\sira\op{Car}( \mathcal K,\op{Mod}_R)$$ Eine Darstellung eines K"ochers $\mathcal K$ ist also salopp gesprochen dasselbe wie ein Funktor $\tilde{\cal{K}} \ra \op{Mod}_R$. Analoges gilt f"ur Darstellungen von K"ochern in beliebigen Kategorien. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Darstellungen eines K"ochers "uber einem Kring $k$ bilden mit der offensichtlichen $k$-Struktur eine abelsche $k$-Kategorie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Besitzt ein K"ocher $\mathcal K$ nur endlich viele Punkte, so bilden wir dazu zu jedem Kring $k$ eine $k$-Ringalgebra, seine {\bf Wegealgebra}\index{Wegealgebra} $$W={\op{W}}_k(\mathcal K)$$ Als zugrundeliegenden $k$-Modul nehmen wir den freien $k$-Modul "uber der Menge $\coprod_{x,y\in E}\tilde{\cal{K}}(x,y)$ aller Wege unseres K"ochers. Darin erkl"aren wir das Produkt $w \circ v$ zweier Wege als das Aneinanderh"angen, wenn $w$ da anf"angt wo $v$ aufh"ort, und setzen sonst schlicht $w \circ v =0$. Die Multiplikation in der Wegealgebra schlie"slich erkl"aren wir durch lineare Fortsetzung. Der Weg der L"ange Null an einem Punkt $x$ ist die Identit"at $\op{id}_{x}$ des Objekts $x$ in der Pfadkategorie und wir notieren ihn $e_x\in W$ als Element der Wegealgebra. Das Einselement der Wegealgebra ist der Ausdruck $1_W=\sum_{x \in E} e_{x}$ und die $e_x$ sind paarweise orthogonale Idempotente. Wir erhalten in diesem Fall, wenn wir ein Universum $\mathfrak U$ w"ahlen, das sowohl die Mengen der Punkte und Pfeile unseres K"ochers als auch unseren Kring $k$ umfa"st, eine "Aquivalenz $$\mathfrak U\!\op{Mod}_W\sirra\op{Car}(\mathcal K,\mathfrak U\!\op{Mod}_k)$$ zwischen der Kategorie der Moduln "uber der Wegealgebra und der Kategorie der Darstellungen des K"ochers, indem wir einem $W$-Modul $M$ den K"ochermorphismus zuordnen, der jeden Punkt $x\in E$ auf den $k$-Vektorraum $e_xM$ wirft und jeden Pfeil $p$ von $x$ zu einer weiteren Ecke $y$ auf das Daranmultiplizieren des entsprechenden Elements der Wegealgebra, einer $k$-linearen Abbildung $e_xM\ra e_yM$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} In der Wegealgebra "uber einem K"orper $k$ eines K"ochers mit endlich vielen Punkten sind die Wege der L"ange Null primitive Idempotente. \end{Lemma} \begin{proof} Bezeichne $A$ unsere Wegealgebra und $I\subset A$ das zweiseitige Ideal aller $k$-Linearkombinationen von Wegen positiver L"ange. Offensichtlich gilt $0=\bigcap_{n=0}^\infty I^n$. Ist $M=Ae$ ein zyklischer $A$-Modul und $N\subset M$ ein Untermodul mit $IN=N$, so folgt $N=0$. In der Tat, w"are $N$ nicht Null, so g"abe es ein $n$ mit $N\subset I^ne$ aber $N\not\subset I^{n+1}e$ im Widerspruch zu $IN=N$. Ist also $M=M_1\oplus M_2$ ein Zerlegung in zwei von Null verschiedene Untermoduln, so mu"s $M/IM=M_1/IM_1\oplus M_2/IM_2$ mindestens zweidimensional sein. Ist aber $e$ ein Weg der L"ange Null und $M=Ae$, so ist $M/IM$ eindimensional und $M$ folglich unzerlegbar. \end{proof} \begin{Definition} Sei $k$ ein Kring. Eine {\bf $k$-lineare} \defnoind{Relation}\index{Relation!in einem K"ocher} in einem K"ocher ${\cal K}$ ist eine formale Linearkombination von Wegen mit gemeinsamem Anfangs- und Endpunkt, in Formeln ein Element von $k{\tilde{\cal K}}(x,y)$ f"ur feste Ecken $x,y\in E$. \end{Definition} \begin{Definition} Eine \defnoind{Darstellung eines K"ochers mit Relationen}\index{Darstellung!von K"ocher mit Relationen} $(\mathcal K, R)$ ist eine Darstellung derart, da"s \glqq alle Relationen erf"ullt sind\grqq, da"s also alle Relationen die Nullabbildung vom Vektorraum des Anfangspunkts der jeweiligen Relation in den Vektorraum ihres Endpunkts liefern. In unserer Notation meint $R$ eine Menge von Relationen. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Kategorie aller Darstellungen eines K"ochers mit Relationen $(\mathcal K, R)$ ist abelsch. Besitzt der K"ocher nur endlich viele Ecken, so ist sie "aquivalent zur Kategorie aller Moduln "uber dem Quotienten der $\op{W}(\mathcal K)/\langle R\rangle$ der Wegealgebra nach dem von den Relationen erzeugten beidseitigen Ideal. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Wir nennen einen K"ocher mit Relationen {\bf nilpotent},\index{nilpotent!K"ocher mit Relationen} wenn es ein $n$ gibt derart, da"s alle Wege der L"ange $n$ zu dem von den Relationen erzeugten beidseitigen Ideal der Wegealgebra geh"oren. \end{Definition} \begin{Definition} Wir nennen einen K"ocher mit Relationen {\bf reduziert},\index{reduziert!K"ocher mit Relationen} wenn in den Relationen keine Wege der L"angen Null oder Eins mit von Null verschiedenen Koeffizienten vorkommen. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{K"ocher f"ur l"angenendliche $k$-Kategorien}] Seien $k$ ein K"orper und $\cal{A}$ eine l"angenendliche $k$-Kategorie mit endlich vielen einfachen Isomorphieklassen, gen"ugend Projektiven und eindimensionalen Endomorphismenringen einfacher Objekte. So \label{KleK} ist $\cal{A}$ als $k$-Kategorie "aquivalent zur Kategorie der endlichdimensionalen Darstellungen eines endlichen reduzierten nilpotenten K"ochers mit Relationen. \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ecken eines K"ochers als einfache Darstellungen}] Die einfachen $k$-Darstellungen eines endlichen reduzierten nilpotenten K"ochers mit Relationen sind offensichtlich genau die Darstellungen, die einer Ecke einen eindimensionalen Vektorraum zuordnen, allen anderen Ecken den Nullraum und allen Pfeilen die Nullabbildung. Die Isomorphieklassen einfacher Darstellungen unseres K"ochers entsprechen also eineindeutig seinen Ecken. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Pfeile eines K"ochers als Erweiterungen}] In der Kategorie der $k$-Dar\-stel\-lun\-gen eines endlichen reduzierten nilpotenten K"ochers mit Relationen erhalten wir zu jedem Pfeil in offensichtlicher Weise eine Erweiterung des Einfachen der Zielecke durch den Einfachen der Ausgangsecke besagten Pfeils und diese Erweiterungen bilden eine $k$-Basis der entsprechenden Erweiterungsr"aume. Im Rahmen des folgenden Beweises konstruieren wir eine noch nat"urlichere durch die Pfeile indizierte Basis des Dualraums des fraglichen Erweiterungsraums und unsere Behauptung hier erhalten wir daraus durch den "Ubergang zur dualen Basis. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Satz gilt insbesondere f"ur die Kategorie der endlichdimensionalen Moduln "uber einer endlichdimensionalen Ringalgebra "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der fragliche K"ocher wird zwar durch unsere l"angenendliche $k$-Kategorie $\mathcal A$ eindeutig festgelegt, keineswegs aber die Relationen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Beweis wird zeigen, da"s auch jede Wahl von durch die Pfeile des K"ochers indizierten Basen der jeweiligen Erweiterungsgruppen in von einer "Aquivalenz herkommt. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Sei $L_1,\ldots, L_r$ ein Repr"asentantensystem der einfachen Isomorphieklassen. Bezeichne $P_{i} \twoheadrightarrow L_i$ die jeweiligen projektiven Decken nach \ref{UQ} und $P = \bigoplus P_{i}$ ihre Summe. Dieses Objekt ist ein projektiver Separator und nach \ref{AMA} liefert das Bilden der von $P$ ausgehenden Morphismen eine "Aquivalenz von Kategorien $$\cal{A}(P,\;):\cal{A}\sirra \op{Modf-}\cal{A}(P)$$ Um die Arbeit mit Rechtsmoduln zu vermeiden, setzen wir $A\pdef {\cal{A}}( P)^{\op{opp}}$. Die Projektoren $e_i\pdef \op{pr}_i^\circ$ auf die Summanden bilden in $A$ eine Familie von paarweise orthogonalen Idempotenten mit Summe $1=\sum e_i$. Bezeichne $J\subset A$ das Jacobsonradikal. Nach \ref{Endk} und \ref{diEJ} bilden die $\bar e_i$ eine $k$-Basis von $A/J$ und liefern so einen Isomorphismus von $k$-Ringalgebren $$ke_1\times\ldots \times ke_r\sira A/J$$ Weiter liefert "Ubung \eref{AJ}{TG} f"ur jeden Ring $A$ und jedes zweiseitige Ideal $J\subset A$ einen Isomorphismus $\op{Hom}_{A/J}(J/\langle J^2\rangle, A/J) \sira \op{Ext}_A^1(A/J,A/J)$ von $A/J$-Bimoduln und damit in unserem Fall Isomorphismen $$e_i(J/\langle J^2\rangle)e_j\sira \op{Ext}_A^1(L_j,L_i)^*$$ von $k$-Vektorr"aumen. Da $A$ eine endlichdimensionale $k$-Ringalgebra ist, stimmen die $\op{Ext}^1$-Gruppen in der Kategorie aller $A$-Moduln und in der Kategorie aller endlichdimensionalen $A$-Moduln "uberein und sind damit nach unserer "Aquivalenz von Kategorien auch isomorph zu den entsprechenden $\op{Ext}^1$-Gruppen in $\mathcal A$. Nach \ref{Endk} ist in unserem Fall weiter $J$ ein nilpotentes Ideal, mithin wird $A$ als $k$-Ringalgebra erzeugt von den $e_i$ f"ur $1\leq i\leq r$ und Repr"asentanten in $e_iJe_j$ von je einer Basis der $k$-Vektorr"aume $e_i(J/\langle J^2\rangle)e_j$ f"ur $1\leq i,j\leq r$. In anderen Worten haben wir so $A$ beschrieben als die K"ocheralgebra eines endlichen reduzierten nilpotenten K"ochers mit Relationen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Seien $k$ ein K"orper und $A$ eine endlichdimensionale Ringalgebra "uber $k$ und $J\subset A$ das Jacobsonradikal. Ist $A/J$ separabel "uber $k$, das gilt zum Beispiel stets f"ur $k$ von der Charakteristik Null, so gibt es nach dem Spaltungssatz von Wedderburn \eref{SpWed}{TG} eine Unterringalgebra $S\subset A$ mit $A=S\oplus J$ als $k$-Vektorraum. Des weiteren ist dann, das ist gerade die Definition der Separabilit"at, der Ring $S\otimes_kS^{\op{opp}}$ halbeinfach. Insbesondere finden wir einen $S$-Unterbimodul $I\subset J$ mit $I\sira J/J^2$ und nach \ref{Endk} liefert die Multiplikation eine Surjektion $${\op{T}}_SI\sra A$$ der freien Tensoralgebra des $S$-Bimoduls $I$ auf $A$. Nach Annahme ist der Kern dieser Surjektion enthalten im Ideal ${\op{T}}^{\geq 2}_SI$ der Tensoren vom Grad mindestens zwei. Da wir endliche Dimension angenommen hatten, umfa"st er ${\op{T}}^{\geq n}_SI$ f"ur $n\gg 0$. Unsere Isomorphismen $\op{Hom}_{A/J}(J/\langle J^2\rangle, A/J) \sira \op{Ext}_A^1(A/J,A/J)$ gelten weiter und "ubersetzen sich in Isomorphismen $$\op{Hom}_{S}(I, S) \sira \op{Ext}_A^1(S,S)$$ Beide Seiten sind $S$-Bimoduln vermittels der Rechtsoperation von $S$ auf $S$ und $I$ und darunter, das habe ich nun schnell geraten, sind unsere Abbildungen Bi\-mo\-dul\-iso\-mor\-phis\-men. Will man also Erweiterungen einfacher $A$-Moduln $L,M$ verstehen, so gilt es, Idempotente $e_L,e_M\in S$ zu w"ahlen mit $L\cong Se_L$ und $M\cong Se_M$ und dann erhalten wir $$\op{Hom}_{S}(Ie_L, Se_M) \sira \op{Ext}_A^1(L,M)$$ Ziehe ich mich nun weiter zur"uck auf $\op{char}k=0$, so ist f"ur beliebige endlichdimensionale $S$-Moduln $P,Q$ die Abbildung \glqq verkn"upfe und nimm die $k$-Spur\grqq\ eine nicht ausgeartete Paarung $$\op{Hom}_{S}(P, Q)\times \op{Hom}_{S}(Q, P)\ra k$$ Speziell liefert sie einen Isomorphismus $\op{Hom}_{S}(Ie_L, Se_M)\sira \op{Hom}_{S}(Se_M, Ie_L)^*$ in den $k$-Dualraum. Nach \ref{RIIn} liefert andererseits das Auswerten auf dem Idempotenten $e_M$ einen Isomorphismus $\op{Hom}_{S}(Se_M, Ie_L)\sira e_M I e_L$ und so erhalten wir schlie"slich zumindest in Charakteristik Null einen wohlbestimmten Isomorphismus von $k$-Vektorr"aumen $$(e_M I e_L)^*\sira \op{Ext}_A^1(L,M)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Endlichdimensionale Ringalgebren und K"ocher}] F"ur jede endlichdimensionale Ringalgebra $B$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ ist $B\op{-Modf}$ eine l"angenendliche $k$-lineare Kategorie mit genug Projektiven und nach dem Schur'schen Lemma ist auch der Endomorphismenring jedes einfachen Moduls $k$-eindimensional. Wir finden nach \ref{KleK} also einen endlichen reduzierten nilpotenten K"ocher mit Relationen $(\mathcal K, R)$ und eine "Aquivalenz von Kategorien $$B\op{-Modf}\sirra \op{W}(\mathcal K)/\langle R\rangle\op{-Modf}$$ Unter dieser "Aquivalenz entspricht der projektive Separator $B$ links einem projektiven Separator rechts, sagen wir $$B\mapsto P_1^{\oplus m(1)}\oplus\ldots \oplus P_r^{\oplus m(r)}$$ f"ur Vielfachheiten $m(1),\ldots,m(r)\in \DN_{\geq 1}$. So finden wir f"ur $A\pdef\op{W}(\mathcal K)/\langle R\rangle$ die Algebra unseres K"ochers mit Relationen Isomorphismen von $k$-Algebren $$\begin{array}{lllll} B^{\op{opp}}&\sira& \op{End}_B(B)&\sira& \op{End}_A(P_1^{\oplus m(1)}\oplus\ldots \oplus P_r^{\oplus m(r)})\\[2mm]$$ A^{\op{opp}}&\sira &\op{End}_A(A)&\sira &\op{End}_A(P_1\oplus\ldots \oplus P_r) \end{array} $$ Die $m(i)$ sind dann die Dimensionen der einfachen $B$-Moduln und das Tensorieren mit dem $A$-$B$-Bimodul $$\op{Hom}(P_1^{\oplus m(1)}\oplus\ldots \oplus P_r^{\oplus m(r)},P_1\oplus\ldots \oplus P_r)$$ induziert eine "Aquivalenz von Kategorien $B\op{-Mod}\sira A\op{-Mod}$ und analog konstruiert man eine quasiinverse "Aquivalenz. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Standardaufl"osung}] Gegeben ein K"orper $k$ und ein K"ocher $\mathcal K=(P,E,a,e)$ mit endlich vielen Ecken und K"ocheralgebra $A$ und ein Modul $M \in A \op{-Mod}$ "uber der K"ocheralgebra erhalten wir eine kurze exakte Sequenz \begin{displaymath} \begin{array}{ccccc} \bigoplus_{\vec p\in P} A\op{id}_{a({\vec p})} \otimes_k \op{id}_{e({\vec p})} M &\hookrightarrow & \bigoplus_{z\in E} A \op{id}_z \otimes_k \op{id}_z M &\twoheadrightarrow &M\\[2mm] a \otimes m& \mapsto& a {\vec p} \otimes m - a \otimes {\vec p} m & &\\ & & a \otimes m &\mapsto & am \end{array} \end{displaymath} \end{Proposition} \begin{proof} Da"s die Verkn"upfung verschwindet, scheint mir evident. Um die Exaktheit zu zeigen, erkl"aren wir eine Filtrierung $0\subset A^{\leq 0} \subset A^{\leq 1} \subset \ldots$ auf $A$ nach der Wegl"ange. Filtrieren wir $M$ durch $0 = M^{\leq -1} \subset M^{\leq 0} = M$, so erhalten wir eine Filtrierung unseres Komplexes durch Unterkomplexe \begin{equation*} \bigoplus_{\vec p\in P} A^{\leq \nu -1} \op{id}_{a({\vec p})} \otimes \op{id}_{e({\vec p})} M \rightarrow \bigoplus_{z\in E} A^{\leq \nu} \op{id}_z \otimes \op{id}_z M \rightarrow M^{\leq \nu} \end{equation*} Nach \eref{Igr}{KAG} reicht es zu zeigen, da"s die Sequenz der assoziierten graduierten Vektorr"aume exakt ist. Im Grad Null gibt es da nur die beiden hinteren Terme und einen Isomorphismus zwischen diesen, und in h"oheren Graden gilt dasselbe f"ur die beiden vorderen Terme. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man finde einen Isomorphismus zwischen der Ringalgebra der unteren $(n\times n)$-Dreiecksmatrizen und der Wegealgebra des K"ochers mit Eckenmenge $\{1,2,\ldots, n\}$ und Pfeilmenge $\{(i,i+1)\mid 1\leq i