\section{Inzidenzgeometrie} \subsection{Axiomatik der euklidischen Ebene} \begin{Definition} Eine {\bf Inzidenzgeometrie}\index{Inzidenzgeometrie}\label{IzGG} ist ein Paar $(X,G)$ bestehend aus einer Menge $X$ mit einem System von Teilmengen $ G \subset \mathcal P (X)$ derart, da"s jedes $g\in G$ mindestens zwei Elemente hat und da"s es f"ur je zwei Elemente $x,y\in X$ mit $x\neq y$ genau ein $g\in G$ gibt mit $x,y\in g$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir nennen die Elemente von $X$ die {\bf Punkte} unserer Inzidenzgeometrie und die Elemente von $G$ ihre {\bf Geraden}.\index{Gerade!von Inzidenzgeometrie} Wir notieren $\overline{xy}$ die eindeutig bestimmte Gerade durch zwei verschiedene Punkte $x$ und $y$. In der damit frisch eingef"uhrten Terminologie ausgedr"uckt fordern wir in unserer Definition einer Inzidenzgeometrie also, da"s auf jeder Gerade mindestens zwei Punkte liegen und da"s durch je zwei verschiedene Punkte genau eine Gerade geht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ursprung der Terminologie}] Bei der Diskussion der \glqq Punkt-Geraden-Dualit"at projektiver Inzidenzebenen\grqq\ in \ref{PGD}, die Punkte zu Geraden macht und Geraden zu Punkten, ist es geschickt und "ublich, statt ein Punkt \glqq liegt auf einer Geraden\grqq\ zu sagen, der Punkt \glqq indiziere mit der Geraden\grqq. Daher r"uhrt die Bezeichnung als \glqq Inzidenzgeometrie\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben ein K"orper oder auch ein \hyperref[DsKn]{Schiefk\"orper} $L$ wird $X\pdef L^n$ eine Inzidenzgeometrie,\label{BspIG} wenn wir als Geraden alle Teilmengen der Gestalt $g=p+ L v$ auszeichnen f"ur $p, v\in L^n$ mit $v\neq 0$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{AffSKm} Diejenigen unter Ihnen, die die Terminologie affiner R"aume bereits kennen, sehen unmittelbar: Jeder affine Raum $X$ "uber einem K"orper $L$ wird eine Inzidenzgeometrie, wenn wir als Geraden alle affinen Geraden auszeichnen. Das ist im wesentlichen auch nur das vorangegangene Beispiel, aber in koordinatenfreier Terminologie. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Eine Menge von Punkten einer Inzidenzgeometrie, die auf einer gemeinsamen Geraden liegen, hei"st {\bf kollinear}.\index{kollinear} Eine Menge von Geraden einer Inzidenzgeometrie, die einen Punkt gemeinsam haben, hei"st\label{Dreieck} {\bf konfluent}.\index{konfluent} Eine Menge von drei nicht kollinearen Punkten hei"st ein {\bf Dreieck}.\index{Dreieck!in Inzidenzgeometrie} \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine {\bf Zwischenrelation}\index{Zwischenrelation} auf einer \hyperref[IzGG]{Inzidenzgeometrie} $(X,G)$ ist eine Teilmenge $Z\subset X^3$, die aus kollinearen Tripeln besteht und die die beiden im folgenden erkl"arten Eigenschaften \glqq vertr"agliche Anordnungen\grqq\ und \glqq Axiom von Pasch\grqq\ hat. \begin{description} \item[Vertr"agliche Anordnungen:] Auf jeder Gerade $g\in G$ gibt es eine Anordnung $\leq$ derart, da"s f"ur $x,y,z\in g$ gilt $(x,y,z)\in Z$ genau dann, wenn $x\leq y\leq z$ oder $x\geq y\geq z$. \end{description} So eine Anordnung auf einer Gerade hei"st {\bf mit der Zwischenrelation vertr"aglich}. Wir bilden weiter f"ur $p,q\in X$ die Menge $[p,q]\pdef\{x\in X\mid (p,x,q)\in Z\}$ und nennen sie die {\bf Strecke mit Endpunkten $p,q$}. Es gibt in unserer Terminologie also auch Strecken, die nur aus einem einzigen Punkt bestehen. In dieser Begrifflichkeit fordern wir dann weiter: \begin{description} \item[Axiom von Pasch:] Gegeben Punkte $p,q,r\in X$ trifft jede Gerade $g\in G$ von den drei Strecken $[p,q]$, $[q,r]$ und $[r,p]$ entweder keine oder mindestens zwei. \end{description} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Manche Quellen nennen eine Inzidenzgeometrie mit ausgezeichneter Zwischenrelation eine \glqq angeordnete Inzidenzgeometrie\grqq.\index{Inzidenzgeometrie!{\it angeordnete}} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Zwischenrelation auf affiner Ebene zu angeordnetem K"orper}] Es ist leicht zu sehen, da"s wir f"ur jeden angeordneten K"orper $L$ eine Zwischenrelation auf $L^2$ erhalten durch die Vorschrift, da"s $(x,y,z)\in Z$ gleichbedeutend ist zu $y=\lambda x+\mu z$ mit $0\leq\lambda,\mu\leq 1$ und $\lambda+\mu=1$.\label{ZAA} Weiter erhalten wir die Anordnung auf unserem K"orper $L$ zur"uck, indem wir einen affinen Isomorphismus von $L$ mit irgendeiner Gerade von $L^2$ w"ahlen und diejenige mit der Zwischenrelation vertr"agliche Anordnung auf besagter Gerade zur"uckziehen, f"ur die die zur"uckgezogene Anordnung die Eigenschaft $0<1$ hat. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine \hyperref[IzGG]{Inzidenzgeometrie} $(X,G)$ mit \hyperref[GCR]{Zwischenrelation} $Z$ hei"se eine Teilmenge $A\subset X$ eine {\bf Halbgerade}, wenn es eine Gerade $g\in G$ gibt und einen Punkt $p\in g$ und eine \hyperref[GCR]{mit unserer Zwischenrelation vertr\"agliche Anordnung} $\leq$ auf $g$\label{NEAx} mit $A=\{x\in g\mid x\leq p\}$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine Inzidenzgeometrie $X$ mit Zwischenrelation $Z$ verstehen wir unter einer {\bf Kongruenzgruppe von $(X,Z)$} eine Gruppe $K$ von Automorphismen von $(X,Z)$ derart, da"s je zwei \hyperref[NEAx]{Halbgeraden} von $X$ durch genau zwei Automorphismen aus $K$ ineinander "uberf"uhrt werden. In Formeln fordern wir also, da"s es f"ur je zwei Halbgeraden $A,B\subset X$ genau zwei Elemente $h,k\in K$ gibt mit $$h(A)=B=k(A)$$ Die Automorphismen aus $K$ nennen wir in diesem Zusammenhang {\bf Kongruenzen}\index{Kongruenz}\label{IZK} und das Tripel $(X,Z,K)$ eine {\bf Inzidenzgeometrie mit Zwischenrelation und Kongruenzen}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir sagen, eine \hyperref[GCR]{Zwischenrelation} auf einer \hyperref[IzGG]{Inzidenzgeometrie} habe die {\bf Supremumseigenschaft}, wenn f"ur jede Anordnung einer Gerade, die mit der Zwischenrelation vertr"aglich ist, jede\label{supP} nichtleere nach oben beschr"ankte Teilmenge ein Supremum besitzt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Inzidenzgeometrie mit Zwischenrelation und \hyperref[IZK]{Kongruenzen}, in der es eine Gerade gibt und in der die Supremumseigenschaft erf"ullt ist, nennen wir eine {\bf fasteuklidische Geometrie}.\index{fasteuklidisch!Geometrie} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir sagen, eine fasteuklidische Geometrie erf"ulle das {\bf Parallelenaxiom},\index{Parallelenaxiom} wenn es zu jeder Gerade $g$ und jedem Punkt $p\not\in g$ h"ochstens eine Gerade $h$ durch $p$ gibt mit $h\cap g=\emptyset$.\label{feP} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In einer allgemeinen Inzidenzgeometrie nenne ich Geraden, die sich nicht schneiden, {\bf disjunkt}. In speziellen Situationen wie etwa unserer Inzidenzgeometrie $L^2$ und erst recht $\DR^2$ sind zwei Geraden genau dann disjunkt, wenn sie parallel sind im Sinne von \eref{paral}{LA1}. Daher r"uhrt oben die Bezeichnung als Parallelenaxiom. In Inzidenzgeometrien mit Zwischenrelation erlaube ich mir dieselbe Terminologie und nenne zwei Geraden {\bf parallel},\index{parallel!in Inzidenzgeometrie} wenn sie disjunkt sind. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Der $\DR^2$ ist eine fasteuklidische Geometrie, wenn wir als Kongruenzen alle Abbildungen der Gestalt $v\mapsto Av +b$ nehmen mit $A\in {\op{O}}(2)$ und $b\in\DR^2$. Dieses Beispiel ist unser Standardmodell f"ur eine fasteuklidische Geometrie mit Parallelenaxiom. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Charakterisierung der euklidischen Ebene}] Je zwei fasteuklidische Geometrien mit Parallelenaxiom sind zueinander isomorph und sind insbesondere isomorph zu unserem Standardmodell $\DR^2$.\label{CeEx} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Beweis f"ullt diesen Abschnitt und wird in \ref{CeE} zum Abschlu"s gebracht. Genauer zeigen wir, da"s unsere Inzidenzgeometrie der $\DR^2$ sein mu"s und st"utzen uns f"ur den Rest des Beweises auf S"atze, die wir bereits in der linearen Algebra bewiesen hatten. Die hier gegebene Axiomatik f"ur die euklidische Ebene ist eine Variante der Hilbert-Axiomatik. Sie ist recht "ahnlich zu einer Variante der Hilbert-Axiomatik aus einer unver"offentlichten Arbeit von Maximilian Gerhards und zu den Anmerkungen in \cite{Filler}, Abschnitt 2.7.2, Bewegungsaxiome B1 bis B4. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben ein echter Teilk"orper $L\subsetneq\DR$, in dem jedes positive Element eine Wurzel besitzt, erf"ullt die Inzidenzgeometrie $L^2$ aus \ref{ZAA} mit der offensichtlichen Zwischenrelation und als Kongruenzen allen affinen Automorphismen, deren Richtungsanteil das Standardskalarprodukt erh"alt, alle unsere Axiome mit Ausnahme der Supremumseigenschaft. \end{Beispiel} \begin{Lemma}[\textbf{Geraden, keine Ecke eines Dreiecks treffen}] Gegeben ein Dreieck in einer Inzidenzgeometrie mit Zwischenrelation trifft jede Gerade, die durch keine Ecke unseres Dreiecks geht, von unserem Dreieck entweder genau zwei Kanten oder gar keine Kante.\label{LeV} \end{Lemma} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZRZ}\\[4mm] \noindent Illustration zu Lemma \ref{LeV} \end{Bild} \begin{proof} Sei $\{x,y,z\}$ unser Dreieck. Unsere Gerade $g$ treffe $[x,y]$ in $p$ und $[x,z]$ in $q$. Die Gerade $\overline{zp}$ trifft $[x,y]$ in $p$ und trifft $[x,q]$ nicht, folglich trifft sie $[y,q]$, und dieser Schnittpunkt kann offensichtlich nicht $q$ sein. Ebenso trifft die Gerade $\overline{yq}$ das Segment $[z,p]$ , und dieser Schnittpunkt kann offensichtlich nicht $p$ sein. Damit treffen sich $[z,p]$ und $[y,q]$, sagen wir in $r$ mit $r\neq p$ und $r\neq q$. Tr"afe $g$ die dritte Kante $[y,z]$ unseres urspr"unglichen Dreiecks, so tr"afe $g$ auch $[r,y]$ oder $[r,z]$. Das steht aber im Widerspruch zu $q\not\in [r,y]$ und $p\not\in [r,z]$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Halbebenen in Inzidenzgeometrien mit Zwischenrelation}] In einer Inzidenzgeometrie $X$ mit Zwischenrelation erhalten wir auf dem Komplement jeder Gerade $g$ eine "Aquivalenzrelation durch die Vorschrift $(x\sim y)\IFF [x,y]\subset X\backslash g$. Deren "Aquivalenzklassen nennen wir die {\bf Halbebenenalkoven} $g$.\index{Halbebenenalkove!bei Inzidenzgeometrie} Nach Lemma \ref{LeV} "uber Geraden, die keine Ecke eines Dreiecks treffen, gibt es zu jeder Gerade h"ochstens zwei Halbebenenalkoven.\label{haeb} Die Vereinigung eines Halbebenenalkoven zu einer Gerade $g$ mit der Gerade selbst nennen wir eine {\bf Halbebene} zu $g$.\index{Halbebene!bei Inzidenzgeometrie} \nichtfinal{Randgerade einf"uhren?} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konvexit"at in Inzidenzgeometrien mit Zwischenrelation}] In einer Inzidenzgeometrie $X$ mit Zwischenrelation nennen wir eine Teilmenge $T\subset X$ {\bf konvex},\index{konvex!in Inzidenzgeometrie} wenn gilt $x,y\in T\RA [x,y]\subset T$. Offensichtlich ist jeder Schnitt von konvexen Teilmengen konvex. Gegeben eine Gerade $g\subset X$ sind die Halbebenenalkoven zu $g$ genau die\label{KiI} maximalen konvexen Teilmengen von $X\backslash g$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Unendlichkeit von Halbgeraden}] Gegeben eine Inzidenzgeometrie mit Zwischenrelation und Kongruenzen hat jede Halbgerade unendlich viele Punkte und jede Kongruenz, die eine Halbgerade bijektiv auf sich selber abbildet, h"alt besagte Halbgerade sogar punktweise fest.\label{spHG} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Insbesondere gibt es zu jeder Halbgerade $A$ genau eine nichttriviale Kongruenz $s_A$, die sie festh"alt und damit auch punktweise festh"alt. Wir nennen sie die {\bf Spiegelung von $A$}. Damit gibt es auch zu jeder Gerade $g$ genau eine nichttriviale Kongruenz $s_g$, die sie punktweise festh"alt, n"amlich $s_A=s_g$ f"ur jede Halbgerade $A\subset g$. Wir nennen sie die {\bf Spiegelung an $g$}. Diejenigen Kongruenzen $k$, f"ur die es eine Gerade $g$ gibt mit $k=s_g$, hei"sen {\bf Spiegelungen}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Existenz eines Dreiecks}] Da Spiegelungen nach Annahme nie die Identit"at sind, impliziert in einer Inzidenzgeometrie mit Zwischenrelation und Kongruenzen die Existenz einer Gerade bereits die Existenz eines Tripels nicht kollinearer Punkte alias eines Dreiecks. Ebenso sehen wir, da"s es zu jeder Gerade genau zwei Halbebenen geben mu"s.\label{zHe} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach unserer Definition einer Inzidenzgeometrie hat jede Gerade mindestens zwei Punkte. Gibt es eine Gerade, so gibt es folglich auch eine Halbgerade mit mindestens zwei Punkten. Also hat jede Halbgerade mindestens zwei Punkte. Es folgt, da"s eine und damit jede Halbgerade eine weitere Halbgerade als echte Teilmenge enth"alt. Daraus folgt weiter, da"s jede Halbgerade unendlich viele Punkte haben mu"s und da"s davon nur einer nicht zwischen zwei anderen liegt. Seien nun $g$ eine Gerade und $\leq$ eine mit der Zwischenrelation vertr"agliche Anordnung auf $g$. Seien weiter $x\in g$ ein Punkt und $A\pdef\{z\in g\mid z\geq x\}$ eine der beiden zugeh"origen Halbgeraden. Sei schlie"slich $k\in K\backslash {\op{id}}$ die nichttriviale Kongruenz mit $k(A)=A$. Nat"urlich gilt $k(x)=x$ und $k^2={\op{id}}$ und $k$ ist streng monoton wachsend auf $g$. G"abe es einen Punkt $z\in A$ mit $k(z)\neq z$, so k"onnten wir $k(z)>z$ annehmen und es folgte $k(k(z))>k(z)>z$ im Widerspruch zu $k^2={\op{id}}$. Folglich gilt $k(z)=z\;\forall z\in A$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Inzidenzgeometrie mit Zwischenrelation und Kongruenzen gibt es insbesondere auf jeder Halbgerade nur genau einen Punkt, der nicht zwischen zwei anderen Punkten unserer Halbgerade liegt. Er hei"se der {\bf Endpunkt} unserer Halbgerade. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Unendlichkeit von Geradensegmenten}] Gegeben eine Inzidenzgeometrie mit Zwischenrelation und Kongruenzen liegt auf der Strecke $[p,q]$ zwischen je zwei verschiedenen Punkten $p\neq q$ stets ein weiterer Punkt, der von beiden verschieden ist.\label{zwre} \end{Lemma} \begin{proof} Aus der Existenz eines Dreiecks \ref{zHe} folgt, da"s es eine Halbgerade $A$ mit Endpunkt $p$ gibt, die nicht kollinear ist mit der Halbgerade $B$ mit Endpunkt $p$, auf der $q$ liegt. Auf $A$ finden wir von $p$ verschiedene und untereinander verschiedene Punkte $x\neq y$ mit $(x,y,p)$ in unserer Zwischenrelation. Auf der Gerade $\overline{xq}$ finden wir einen Punkt $r$, der nicht zur Kante $[x,q]$ des Dreiecks $\{p,q,x\}$ geh"ort. Die Gerade $\overline{ry}$ mu"s dann $[p,q]$ treffen, kann aber weder $p$ noch $q$ enthalten. \end{proof} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSvH}\\[4mm] \noindent Illustration zu Lemma \ref{SvH} \end{Bild} \begin{Lemma}[\textbf{Spiegelungen vertauschen Halbebenen}] In einer Inzidenzgeometrie mit Zwischenrelation und Kongruenzen\label{SvH} werden von der Spiegelung $s_g$ an einer Gerade $g$ die beiden nach \ref{zHe} zugeh"origen Halbebenen vertauscht. \end{Lemma} \begin{proof} Wir argumentieren durch Widerspruch. Wir finden sicher $x\in X\backslash g$ mit $y\pdef s_g(x)\neq x$. Werden die beiden Halbebenen nicht vertauscht, so kann die Gerade $h\pdef \overline{xy}$ unsere Gerade $g$ nicht treffen, da mit einem eventuellen Schnittpunkt $z$ nur genau eine der Zwischenrelationen $(z,x,y)$ und $(z,y,x)$ gelten k"onnte im Widerspruch dazu, da"s $s_g$ unsere Zwischenrelation erh"alt. Das Komplement unserer beiden Geraden zerf"allt also in die disjunkte Vereinigung $$X\backslash(g\cup h)= H_g\sqcup S\sqcup H_h$$ eines Halbebenenalkoven zu $g$, des Streifens zwischen unseren beiden Geraden alias dem Schnitt des anderen Halbebenenalkoven zu $g$ mit einem Halbebenenalkoven zu $h$ sowie dem anderen Halbebenenalkoven zu $h$. Gegeben $p\in g$ k"onnen wir sicher $q\in g\backslash p$ so w"ahlen, da"s $x$ und $q$ auf verschiedenen Seiten von $\overline{py}$ liegen. Dann trifft $[q,x]$ die Gerade $\overline{py}$ notwendig in einem Punkt $z$ des Streifens $S$, da dieser Schnittpunkt ja weder $q$ noch $x$ sein kann. Es folgt $z\in [p,y]$. Nun ist $s_g(z)$ notwendig im Schnitt von $[p,x]$ mit $[q,y]$. Dieser Schnitt ist aber leer, da $[q,y]\backslash y$ und $[p,x]\backslash p$ in verschiedenen Halbebenenalkoven zu $\overline{py}$ liegen. Widerspruch! \end{proof} \begin{Bemerkungl} In einer Inzidenzgeometrie $X$ mit Zwischenrelation und Kongruenzen sagen wir, die {\bf Gerade $h$ stehe senkrecht auf der Geraden $g$} und schreiben in Formeln $h\perp g$,\index{senkrecht!Geraden} wenn gilt $h\neq g$ und $s_g(h)=h$. Weil Spiegelungen nach \ref{SvH} Halbebenen vertauschen, m"ussen sich unsere Geraden dann schneiden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In einer Inzidenzgeometrie $X$ mit Zwischenrelation und Kongruenzen seien zwei verschiedene sich schneidende Geraden $g\neq h, g\cap h\neq\emptyset$ gegeben. Wir betrachten die gr"obste Partition von $X$, die die beiden Partitionen in die jeweilige Gerade und ihre beiden Halbebenenalkoven verfeinert. Sie hat neun St"ucke: Den Schnittpunkt, die vier davon ausgehenden Halbgeraden l"angs $g$ und $h$ vermindert um ihren Endpunkt, die wir {\bf Halbgeradenfacetten} nennen, sowie vier weitere St"ucke, die wir {\bf Winkelalkoven}\index{Winkelalkoven} nennen. Da"s diese St"ucke auch in der Tat alle nicht leer sind, wie wir es von einer Partition stets fordern, folgt aus der Unendlichkeit von Halbgeraden \ref{spHG} und Geradensegmenten \ref{zwre}. Alle diese St"ucke sind konvex. Wir nennen zwei St"ucke {\bf benachbart}, wenn ihre Vereinigung auch konvex ist.\label{WiSe} Der kombinatorische Graph im Sinne von \eref{komG}{LA2} mit den St"ucken unserer Partition als Ecken und jeweils einer Kante zwischen zwei benachbarten St"ucken hat die Gestalt eines \glqq Rades mit $8$ Speichen\grqq, die das einelementige St"uck abwechselnd verbinden mit einer Halbgeradenfacette und einem Winkelalkoven. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Eigenschaften des Senkrechtstehens}] Gegeben eine Inzidenzgeometrie $X$ mit Zwischenrelation und Kongruenzen gilt:\label{EigSS} \begin{enumerate} \item Zu jeder Gerade $g\subset X$ und jedem Punkt $x\in X$ gibt es genau eine Gerade $h$ durch $x$ mit $h\perp g$, das \emph{\bf Lot durch $x$ auf $g$};\index{Lot} \item Gegeben Geraden $g\neq h$ in $X$ gilt $h\perp g$ genau dann, wenn die zugeh"origen Spiegelungen kommutieren, in Formeln $s_hs_g=s_gs_h$; \item Gegeben Geraden $g,h$ in $X$ gilt $(h\perp g)\IFF(g\perp h)$; \item Stehen Geraden $h_1$ und $h_2$ senkrecht auf einer Geraden $g$ in verschiedenen Punkten $x_1\neq x_2$ von $g$, so gilt $h_1\cap h_2=\emptyset$. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof} F"ur $x\not\in g$ ist offensichtlich die Gerade durch $x$ und $s_g(x)$ die einzige zu $g$ senkrechte Gerade durch $x$. Mit Kongruenzen folgt, da"s es auch durch jeden Punkt $x\in g$ mindestens eine zu $g$ senkrechte Gerade $h$ gibt. Jede weitere Gerade durch $x$ mu"s durch zwei im kombinatorischen Graphen aus \ref{WiSe} gegen"uberliegende Winkelalkoven zu $g,h$ gehen und kann folglich nicht unter $s_g$ stabil sein. Das zeigt die erste Aussage. Es folgt weiter $s_g s_h s_g=s_h$, da beide Kongruenzen die Halbebenen von $h$ vertauschen und die Halbgeraden auf $h$ mit Endpunkt $x$ stabilisieren. Umgekehrt folgt aus $s_g s_h s_g=s_h$ aber auch, da"s $s_g$ die Menge der Fixpunkte von $s_h$ stabilisiert, also $s_g(h)=h$, und somit die zweite Aussage. Die dritte Aussage folgt unmittelbar aus der zweiten Aussage. Die letzte Aussage folgt, da f"ur jeden Schnittpunkt auch sein Bild unter der Spiegelung $s_g$ an $g$ ein Schnittpunkt sein m"u"ste. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Existenz von Parallelen und Paralellogramme}] Insbesondere gibt es in jeder Inzidenzgeometrie $X$ mit Zwischenrelation und Kongruenzen zu jeder Gerade $g$ durch jeden Punkt $x$ au"serhalb dieser Gerade stets mindestens eine Parallele: Wir f"allen mit \ref{EigSS} das Lot $h$ von unserem Punkt $x$ auf unsere Gerade $g$ und errichten dann wieder mit \ref{EigSS} auf diesem Lot die Senkrechte $g'$ durch besagten Punkt $x$. Die so erhaltene Gerade $g'$ ist nach \ref{EigSS} parallel zu unserer urspr"unglichen Gerade. Das Parallelenaxiom fordert, da"s es in dieser Situation auch nicht mehr als eine Parallele gibt. Nehmen wir zus"atzlich auch noch das Parallelenaxiom an, so ist unsere eben konstruierte Parallele sogar die einzige Parallele zu $g$ durch $x$. Das bedeutet, da"s wenn wir zwei parallele Geraden gegeben haben und von einem beliebigen Punkt der einen das Lot auf die andere f"allen, da"s dieses Lot dann auf unseren beiden parallelen Geraden senkrecht stehen mu"s.\label{ppP} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verschiebungen l"angs Geraden}] Sei $(X,K)$ eine Inzidenzgeometrie mit Zwischenrelation und Kongruenzen. Gegeben eine Gerade $g$ untersuchen wir die Gruppe $K_{|g}\subset K$ aller Kongruenzen, die sowohl $g$ als auch die beiden Halbebenen zu $g$ nach \ref{zHe} stabilisieren. Wir nennen sie {\bf halbebenenerhaltend}. Diejenigen halbebenenerhaltenden Kongruenzen $v$, die beide mit der Zwischenrelation vertr"aglichen Anordnungen auf $g$ erhalten, in Formeln $x\leq y\RA v(x)\leq v(y)$, bilden eine Untergruppe\label{vTra} $$\vec g\subset K_{|g}$$ vom Index Zwei. Offensichtlich operiert $\vec g$ frei und transitiv auf $g$. Wir nennen die Elemente dieser Gruppe {\bf Verschiebungen l"angs $g$}.\index{Verschiebung} \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Richtung einer Verschiebung}] Seien $X$ eine fasteuklidische Geometrie und $g\subset X$ eine Gerade und $\leq$ eine mit\label{ReV} der Zwischenrelation vertr"agliche Anordnung auf $g$. Gegeben eine nichttriviale Verschiebung $v\neq \op{id}$ l"angs $g$ gilt dann entweder $v(x)>x \;\forall x\in g$ oder $v(x)p$ und $v(q)k^2(x)$ und indem wir notfalls zu $k^{-1}$ "ubergehen, d"urfen wir zus"atzlich $k^2(x)k(x)$ und insgesamt $$k^2(x) 0}$ positiv erkl"aren wir $\lfloor x:b\rfloor\in\DZ$ als die gr"o"ste ganze Zahl $n\in \DZ$ mit $x\geq nb$. Sicher gilt $\lfloor x+y:b\rfloor\in \lfloor x:b\rfloor+ \lfloor y:b\rfloor +\{0,1\}$ sowie $\lfloor x:b\rfloor\in 2\lfloor x:2b\rfloor +\{0,1\}$. F"ur unser ausgezeichnetes Element $a=a_0\in A_{>0}$ finden wir nach Annahme genau eine Folge $(a_n)$ in $A$ mit $2a_n=a_{n-1}$ f"ur $n\geq 1$. Jetzt erkl"aren wir eine Abbildung $\varphi:A\ra \DR$ durch $$\varphi(x)=[x:a]\pdef \lim_{n\ra\infty}\frac{\lfloor x:a_n\rfloor}{2^n}$$ Der Grenzwert existiert, da der Abstand vom $n$-ten zum vorhergehenden Folgenglied entweder Null oder $1/2^n$ ist. Die Abbildung ist nach dem Vorhergehenden offensichtlich ein mit den jeweiligen Anordnungen vertr"aglicher Gruppenhomomorphismus und offensichtlich der Einzige, der das Element $a\in A_{>0}$ auf $1\in \DR$ wirft. W"are ihr Kern nicht trivial, so m"u"ste er ein nichttriviales Element $x>0$ enthalten, und dann g"abe es ein $n$ mit $2^nx\geq a$ und a forteriori $x\geq a_n$ und $\varphi(x)\geq 1/2^n$ im Widerspruch zu $\varphi(x)=0$. Also ist $\varphi$ ein injektiver ordnungserhaltender Gruppenhomomorphismus. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vektorraumstruktur der Verschiebungsgruppe l"angs einer Gerade}] Gegeben eine Gerade $g$ in einer fasteuklidischen Geometrie induziert jede mit der Zwischenordnung vertr"agliche Anordnung unserer Gerade eine Anordnung auf der Gruppe $\vec g$ der Verschiebungen l"angs unserer Gerade. Eine zyklische Untergruppe $H\subset \vec g$ mit oberer Schranke m"u"ste eine kleinste obere Schranke $s$ haben und f"ur jedes $h\in H$ w"are dann auch $s+h$ eine kleinste obere Schranke, also $s+h=s$ und $h=\op{id}$. Das vorhergehende Lemma \ref{SvHe} zeigt somit, da"s unsere Gruppe $\vec g$ als angeordnete Gruppe isomorph ist zu $\DR$\label{Bemr} und da"s es auf $\vec g$ genau eine Struktur als $\DR$-Vektorraum gibt, f"ur die alle diese Isomorphismen lineare Abbildungen sind. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Vektorraumstruktur der Verschiebungsgruppe}] Gegeben eine fasteuklidische Geometrie $X$ mit Parallelenaxiom besitzt die Gruppe der Verschiebungen $\vec X$ genau eine Struktur als reeller Vektorraum derart, da"s f"ur jede Gerade $g$ die Einbettung der Untergruppe $\vec g\subset \vec X$ linear ist in Bezug auf die in \ref{Bemr} auf $\vec g$ erkl"arte Struktur als reeller Vektorraum.\label{VVR} In Bezug auf diese Struktur gilt $\op{dim}_\DR\vec X=2$. \end{Proposition} \begin{proof} Um die behauptete Vektorraumstruktur auf $\vec X$ zu erhalten, m"ussen wir nur noch f"ur je zwei Verschiebungen $v,w\in \vec X$ und $\lambda\in \DR$ zeigen $$\lambda (v + w)=\lambda v + \lambda w$$ Das ist klar f"ur $\lambda\in\DZ$. Da jede Verschiebung genau eine Wurzel alias H"alfte hat, folgt es f"ur jeden Bruch $\lambda\in\DZ[2^{-1}]$ mit einer Zweierpotenz im Nenner. Um es im allgemeinen zu zeigen, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $v$ und $w$ nicht zu derselben Untergruppe $\vec g$ geh"oren. Dann erhalten wir f"ur jeden Punkt $p\in X$ eine Bijektion $\DR^2\sira X$ durch die Vorschrift $(\mu,\nu)\mapsto p+\mu v+\nu w$. Unter dieser Bijektion werden Halbebenen zu Parallelen der Koordinatenachsen auf Halbebenen abgebildet und zwischen"aquivalente Halbebenen zu Parallelen der Koordinatenachsen auf zwischen"aquivalente Halbebenen. Damit werden auch abgeschlossene Quader in $\DR^2$ auf konvexe Teilmengen von $X$ abgebildet. F"ur $\lambda\in [2^{-n}a,2^{-n}(a+1)]$ mit $a\in \DZ$ liegen dann sowohl $p+\lambda (v + w)$ als auch $p+\lambda v + \lambda w$ im Bild des Quaders $[2^{-n}a,2^{-n}(a+1)]^2$. Da das f"ur alle $n\in\DN$ gilt, folgt die behauptete Gleichheit. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Charakterisierung der euklidischen Ebene}] Je zwei fasteuklidische Geometrien mit Parallelenaxiom sind zueinander isomorph und sind insbesondere isomorph zu unserem Standardmodell $\DR^2$.\label{CeE} \end{Satz} \begin{proof} Nach \ref{VVR} ist unsere Inzidenzgeometrie eine reelle affine Ebene. Nach Annahme bilden die Elemente unserer Kongruenzgruppe Geraden auf Geraden ab, sind nach \eref{IAGe}{LA1} also Affinit"aten. Folglich kommt unsere Struktur von einer Kongruenzebene im Sinne von \eref{euE}{LA2} her. Wir wissen aber bereits, etwa aus \eref{EDKE}{LA2}, da"s je zwei Kongruenzebenen isomorph sind. \end{proof} \begin{Bemerkungw} In \ref{EnG} konstruieren wir eine fasteuklidische Geometrie, in der das Parallelenaxiom nicht gilt, die sogenannte \glqq hyperbolische Geometrie\grqq. Die Frage nach der Existenz solcher \glqq nichteuklidischer Geometrien\grqq\ hat die Mathematik lange umgetrieben. \nichtfinal{Ich vermute, da"s auch je zwei fasteuklidische Geometrien, in denen das Parallelenaxiom nicht gilt, isomorph sind. Versuche zum Beweis werden in \ref{Ednuk} folgende niedergelegt.} \end{Bemerkungw} % \nichtfinal{\subsection{Alternative} %\begin{Definition} % Wir nennen zwei (abgeschlossene) Halbebenen $L,M$ {\bf parallel} und schreiben % $L\parallel M$, wenn gilt % $L\subset M$ oder $M\subset L$. Wir zeigen, % da"s das eine "Aquivalenzrelation ist. %\end{Definition} % \begin{Definition} % Wir nennen zwei Halbgeraden $A,B$ {\bf parallel} und schreiben % $A\parallel B$, wenn die zugeh"origen Geraden parallel sind % und sie beide in einer gemeinsamen Halbebene liegen, die die % zugeh"origen Geraden nicht umfa"st. %\end{Definition} % \end{Lemma} % \begin{Lemma} % Gegeben eine Halbebene $L$ erkl"aren wir in $K$ die Untergruppe % $T_L\pdef \{k\in K\mid kL\parallel L\}$. % \end{Lemma} % Gegeben eine weitere nicht zu $L$ parallele Halbebene $M$ betrachten wir % $T\pdef T_L\cap T_M$. Gegeben $p,q\in E$ gibt es genau ein $t\in T$ mit % $t(p)=q$. % Sei $g$ eine Gerade und $H$ eine Halbebene zu $g$. % Alle Kongruenzen mit $gH\cap H$ ist eine Halbebene von zu $g$ % paralleler Gerade bilden eine Untergruppe, % die frei und transitiv operiert. Ihre Elemente machen also Geraden zu % parallelen Geraden und h"angen nicht von der zuvor ausgezeichneten Geraden ab. Verschiebungen in verschiedene Richtungen kommutieren wegen Parallelogrammen. Verschiebungen in dieselbe Richtung dann auch, in dem eine als % Verkn"upfung geschrieben wird.} \subsection{Affine Inzidenzebenen}\label{IzG} \begin{Definition} Eine {\bf affine Inzidenzebene}\index{Inzidenzebene!affine konkrete} ist eine Inzidenzgeometrie $(X,G)$ mit den beiden\label{afie} folgenden zus"atzlichen Eigenschaften: \begin{enumerate} \item (\textbf{Parallelenaxiom}) Gegeben $g \in G$ und $x \in X \backslash g$ gibt es genau ein $h \in G$ mit $x \in h$ und $h \cap g = \emptyset$; \item (\textbf{Dreieck}) Es gibt in unserer Inzidenzgeometrie ein Dreieck, also eine Menge von drei nicht kollinearen Punkten. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Im Kontext fasteuklidischer Ebenen konnten wir das zugeh"orige Parallelenaxiom schw"acher fassen als die Forderung \ref{feP} nach der Existenz von h"ochstens einer Parallele. Diese sch"achere Forderung liefert jedoch im Kontext allgemeiner Inzidenzgeometrien keine interessante Theorie mehr. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Geraden in einer affinen Inzidenzebene, die sich nicht schneiden, nennt man {\bf parallel}.\index{parallel!in Inzidenzebene} Mit diesen Worten k"onnen wir die erste Bedingung dahingehend umformulieren, da"s es gegeben eine Gerade und ein Punkt au"serhalb besagter Geraden genau eine Parallele durch besagten Punkt zu besagter Gerade gibt. Unsere affinen Inzidenzebenen hei"sen \glqq affin\grqq, um sie von den \glqq projektiven\grqq\ In\-zi\-denz\-ebe\-nen zu unterscheiden, von denen wir in dieser Vorlesung einige Beispiele, aber keine formale Definition sehen werden. Wir besch"aftigen uns im folgenden mit der Frage, unter welchen Zusatzannahmen eine affine Inzidenzebene sogar eine affine Ebene im Sinne der linearen Algebra ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben ein K"orper oder auch ein Schiefk"orper $K$ ist unsere Inzidenzgeometrie $X= K^2$ aus \ref{BspIG} eine affine Inzidenzebene. Wir nennen diese Struktur die {\bf affine Standardinzidenz\-ebene "uber dem Schiefk"orper $K$}.\index{Inzidenzebene!"uber Schiefk"orper} \end{Beispiel} \begin{Definition} Unter einem {\bf Isomorphismus von Inzidenzgeometrien} oder gleichbedeutend einer {\bf Kollineation}\index{Kollineation} versteht man eine Bijektion der zugrundeliegenden Punktmengen,\label{Kolli} die eine Bijektion zwischen den jeweiligen Mengen von Geraden induziert. Zwei Inzidenzgeometrien hei"sen {\bf isomorph}, wenn es zwischen ihnen einen Isomorphismus gibt. Ein Isomorphismus einer Inzidenzgeometrie mit sich selber hei"st ein {\bf Automorphismus} unserer Inzidenzgeometrie. \end{Definition} \begin{Beispiel} Im Fall des K"orpers mit zwei Elementen besteht die zugeh"orige affine Standardinzidenzbene aus vier Punkten und ihre Geraden sind alle zweielementigen Teilmengen, so da"s es insgesamt genau sechs Geraden gibt. Man "uberlegt sich leicht, da"s jede affine Inzidenzebene, in der es eine Gerade mit nur einer einzigen Parallele gibt, zu dieser vierelementigen Inzidenzebene isomorph sein mu"s.\label{nzPG} \end{Beispiel} \begin{Beispiel} F"ur diejenigen unter Ihnen, die die Terminologie affiner R"aume bereits kennen, sei bemerkt, da"s\label{AffSK} f"ur jeden zweidimensionalen affinen Raum $X$ "uber einem K"orper $K$ unsere Inzidenzgeometrie aus \ref{AffSKm} eine affine Inzidenz\-ebene ist und da"s jede Wahl eines Koordinatensystems bestehend aus einem ausgezeichneten Punkt und zwei linear unabh"angigen Richtungsvektoren eine Kollineation $K^2\sira X$ liefert. \end{Beispiel} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.8\textheight]{SkriptenBilder/BildDesargues}\\[4mm] \noindent Die Desargueseigenschaft besagt, da"s in jeder Situation der hier dargestellten Art die Parallelit"at der beiden eingestrichenen und der beiden zweigestrichenen Geraden die Parallelit"at der beiden dreigestrichenen Geraden impliziert. \end{Bild} \begin{Bemerkungl} Sei $(X,G)$ eine affine Inzidenzebene. Wir "uberlegen uns, da"s die Relation \glqq gleich oder parallel\grqq\ eine \hyperref[deaq]{\"{A}quivalenzrelation} auf $G$ ist.\label{gop}\index{)8@$\parallel$ gleich oder parallel} In der Tat, haben zwei Parallelen zu einer gegebenen Geraden einen Schnittpunkt, so m"ussen sie beide die eindeutig bestimmte Parallele durch diesen Schnittpunkt sein. Wir notieren diese "Aquivalenzrelation im folgenden $$\parallel$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Wir sagen, eine affine Inzidenzebene habe die {\bf Des\-ar\-gues-Ei\-gen\-schaft},\index{Desargues-Eigenschaft!affine} wenn gegeben drei paarweise verschiedene Geraden $g_1,g_2,g_3$ mit einem gemeinsamen Punkt $z$ und f"ur $i\in\{1,2,3\}$ Punkte $x_i,y_i\in g_i\backslash z$ stets gilt\label{DesEi} $$(\overline{x_1x_2}\parallel \overline{y_1y_2} \text{ und }\overline{x_2x_3}\parallel \overline{y_2y_3}) \RA \overline{x_1x_3}\parallel \overline{y_1y_3}$$ \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Desargueseigenschaft und Koordinatisierung}] Eine \hyperref[afie]{affine Inzidenzebene} hat genau dann die Desargueseigenschaft, wenn sie isomorph ist\label{DEKo} zur affinen Standardinzidenzebene $K^2$ "uber einem Schiefk"orper $K$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dieser Satz ist in meinen Augen eine besonders sch"one Illustration der innigen Beziehung zwischen Geometrie und Algebra. Wir schicken dem Beweis ein Lemma voraus. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildabc}\\[4mm] \noindent Skizze zur ausgearteten Desargueseigenschaft \ref{Pdes} \end{Bild} \begin{Lemma}[\textbf{Ausgeartete Desargueseigenschaft}] Sei $X$ eine affine In\-zi\-denz\-ebe\-ne mit der Des\-arguesei\-gen\-schaft. Gegeben drei paarweise verschiedene parallele Geraden $g_1, g_2, g_3$ und Punkte $x_i,y_i\in g_i$\label{Pdes} gilt dann $$(\overline{x_1x_2}\parallel \overline{y_1y_2} \text{ und }\overline{x_2x_3}\parallel \overline{y_2y_3}) \RA \overline{x_1x_3}\parallel \overline{y_1y_3}$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungw} Die Aussage des Lemmas kann als ein Analogon der Desargueseigenschaft verstanden werden, bei der der Punkt $z$ ein \glqq unendlich ferner Punkt\grqq\ ist. Im Rahmen des Studiums projektiver Ebenen werden wir diese Intuition zu einer pr"azisen Aussage machen und sie als eine Konsequenz der sehr viel st"arkeren \glqq projektiven Desargueseigenschaft\grqq\ verstehen lernen. \end{Bemerkungw} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildABC}\\[4mm] \noindent Skizze zum Beweis der ausgearteten Desargueseigenschaft \ref{Pdes} \end{Bild} \begin{proof} Sind die $x_i$ kollinear, so ist das eh klar. Anderfalls k"onnen wir $y_{(3)}$ erkl"aren durch $\overline{x_1x_3}{\parallel} \overline{y_1y_{(3)}}$ und $y_{(3)}\in\overline{y_2y_3}$. Die Gerade $g_{(3)}\pdef\overline{x_3y_{(3)}}$ schneidet $g_2$ in einem Punkt $z$, und dann m"u"ste $g_1$ auch durch $z$ gehen im Widerspruch zu unseren Annahmen. \end{proof} \begin{proof}[Beweis des Koordinatisierungssatzes \ref{DEKo}] Um zu sehen, da"s die Standardinzidenzebene "uber einem Schiefk"orper stets die Des\-ar\-gueseigenschaft hat, d"urfen wir als Schnittpunkt $z$ unserer drei Geraden den Ursprung $(0,0)\in K^2$ annehmen. Weiter beachten wir $\lambda g\parallel g$ f"ur jede Gerade $g$ und alle $\lambda\in K^\times$. F"ur das $\lambda\in K$ mit $\lambda x_1=y_1$ folgt dann aus $\overline{x_1x_2}\parallel \overline{y_1y_2}$ sofort $\lambda x_2=y_2$ und aus $\overline{x_2x_3}\parallel \overline{y_2y_3}$ weiter $\lambda x_3=y_3$ und so schlie"slich $\overline{x_1x_3}\parallel \overline{y_1y_3}$. Um umgekehrt zu zeigen, da"s jede affine Inzidenzebene mit der Des\-ar\-gueseigenschaft isomorph ist zur Stan\-dard\-in\-zi\-denz\-ebe\-ne "uber einem Schiefk"orper, gehen wir in mehreren Schritten vor. \\[3mm]\noindent 1.a. Unter einem {\bf Parallelogramm} in einer affinen Inzidenzebene $X$ verstehen wir ein Quadrupel von Punkten $(x_{11}, x_{12},x_{21}, x_{22})\in X^4$ derart, da"s es Paare von Geraden $g_1\parallel g_2$ und $h_1\parallel h_2$ gibt mit $h_i\not\hspace{1.5pt}\parallel g_j$ und $h_i\cap g_j=x_{ij}$. Hier verwenden wir unsere Notation $\parallel$ f"ur \glqq gleich oder parallel\grqq. Gegeben eine affine Inzidenzebene $X$ betrachten wir auf der Menge $X^2$ aller Punktpaare aus $X$ die {\bf Parallelogrammrelation} $\sim$ mit $(x, y) \sim (x', y')$, wenn unsere vier Punkte ein Parallelogramm $(x,y,x', y')$ bilden. Die Parallelogrammrelation ist sicher symmetrisch und reflexiv. Bezeichne $\approx$ die davon erzeugte "Aquivalenzrelation, die {\bf Parallelogramm\-"aquivalenz}. Per definitionem gilt also $(x, y) \approx (x',y')$ genau dann, wenn es eine endliche Folge von Punktpaaren $(x_i,y_i)$ gibt mit $$(x, y) = (x_0,y_0)\sim\ldots\sim(x_n,y_n)=(x',y')$$ \\[3mm]\noindent 1.b. Wir "uberlegen uns, da"s sich unter der Annahme der Desargueseigenschaft je zwei parallelogramm"aquivalente Punktpaare $(x, y) \approx (x',y')$ auch durch einen \glqq Zweisprung von Parallelogrammen\grqq\ verbinden lassen, als da hei"st durch eine Folge wie oben der L"ange $n\leq 2$. Dazu vereinbaren wir die Notation $g_i\pdef \overline{x_iy_i}$. Gilt $g_i=g_{i+1}$, so folgt $(x_i,y_i)= (x_{i+1},y_{i+1})$ und wir k"onnen unsere Folge verk"urzen. Sind die Geraden $g_i,g_{i+1},g_{i+2}$ paarweise verschieden, so folgt aus Lemma \ref{Pdes} bereits $(x_i,y_i)\sim (x_{i+2},y_{i+2})$ und wir k"onnen unsere Folge auch verk"urzen. Haben wir schlie"slich $g_i=g_{i+2}\neq g_{i+1}=g_{i+3}$, so k"onnen wir, da der Fall der vierelementigen Ebene eh unproblematisch ist, mit \ref{nzPG} annehmen, da"s es eine weitere Gerade $g$ gibt mit $g\parallel g_i$ aber $g_i\neq g\neq g_{i+1}$. Es gibt dann nach Lemma \ref{Pdes} Punkte $x''', y'''\in g$ mit $(x_\nu,y_\nu)\sim (x''', y''')$ f"ur $i\leq \nu \leq i+3$ und wir k"onnen unsere Folge auch wieder verk"urzen. Damit ist klar, da"s wie behauptet je zwei "aquivalente Paare durch eine Folge mit h"ochstens einem Zwischenschritt verbunden werden k"onnen. \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAEQ}\\[4mm] \noindent Skizze zur Parallelogramm"aquivalenz \end{Bild} \\[3mm]\noindent 1.c. Es folgt, da"s die "Aquivalenzklassen unserer "Aquivalenzrelation Graphen von Abbildungen $X \rightarrow X$ sind. Die Abbildung zu einem Punktepaar $(x,y)$ notiere ich $\overrightarrow{xy}=\overleftarrow{yx}$ und nenne sie die {\bf Verschiebung}\index{Verschiebung} zu unserem Punktepaar. Ich behaupte, da"s unsere Verschiebungen eine Untergruppe der Automorphismengruppe unserer Inzidenzebene bilden. Es ist klar, da"s $\overleftarrow{yx}\circ \overleftarrow{xy}=\op{id}_X$ die Identit"at auf $X$ sein mu"s. Es ist auch klar, da"s jede Verschiebung Geraden in Geraden "uberf"uhrt. Folglich sind alle unsere Verschiebungen Automorphismen unserer Inzidenzebene. Die Identit"at ist die Verschiebung $\overleftarrow{xx}$ und so bleibt nur zu zeigen, da"s die Verkn"upfung von zwei Verschiebungen stets wieder eine Verschiebung ist. Sind $x,y,z$ kollinear, so folgt $\overleftarrow{zy}\circ \overleftarrow{yx}=\overleftarrow{zx}$ direkt aus den Definitionen. Andernfalls folgt $$(\overleftarrow{zy}\circ \overleftarrow{yx})(p)=\overleftarrow{zx}(p)$$ f"ur jeden Punkt $p$ auf keiner der drei Geraden $\overline{zy},\overline{yx},\overline{zx}$ aus der ausgearteten Desargues-Eigenschaft \ref{Pdes} und f"ur jeden Punkt $p\in \overline{zy}$ aus den Definitionen und f"ur jeden Punkt auf einer der beiden anderen Geraden aus dieser Erkenntnis zusammen mit $\overleftarrow{yx}\circ \overleftarrow{xy}=\op{id}_X$. Unsere Verschiebungen bilden folglich in der Tat eine Gruppe von Automorphismen unserer Inzidenzebene. \\[3mm]\noindent 1.d. Wir zeigen, da"s unsere Gruppe von Verschiebungen kommutativ ist. Liegen $x,y, z \in X$ nicht auf einer Geraden, so erg"anzen wir sie zu einem Parallelogramm $(x,y,z,w)$ und die Definitionen zeigen $ \overleftarrow{zy}\circ \overleftarrow{yx}=\overleftarrow{zx}= \overleftarrow{zw}\circ \overleftarrow{wx}$ und $\overleftarrow{zy}=\overleftarrow{wx}$ und $\overleftarrow{zw}=\overleftarrow{yx}$ und die Kommutativit"at $ \overleftarrow{zy}\circ \overleftarrow{yx}=\overleftarrow{yx}\circ \overleftarrow{zy}$ folgt. Liegen alle drei Punkte auf einer Geraden, so finden wir $w$ au"serhalb und schreiben $\overleftarrow{yx}=\overleftarrow{yw}\circ \overleftarrow{wx}$ und beide Verschiebungen rechts kommutieren mit $\overleftarrow{yz}$, also auch ihre Verkn"upfung. So sehen wir, da"s unsere Gruppe kommutativ sein mu"s. Wir schreiben ihre Verkn"upfung von nun an $+$ und notieren unsere Gruppe $\vec X$. \\[3mm]\noindent 1.e. Wir bemerken, da"s jeder Isomorphismus $\varphi:X\sira Y$ von affinen Inzidenzebenen mit Desargueseigenschaft einen Isomorphismus $\vec \varphi:\vec X\sira \vec Y$ zwischen den zugeh"origen Gruppen von Verschiebungen induziert mit \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAET}\\[4mm] \noindent Skizze zur "Aquivalenzrelation durch iterierte $o$-Trapeze \end{Bild} $$\vec \varphi: \overrightarrow{xy}\mapsto \overrightarrow{\varphi(x)\varphi(y)}$$ %^{-1} \\[3mm]\noindent 2. Sei weiter $X$ eine affine Inzidenzebene. Wir halten einen Punkt $o \in X$ willk"urlich fest. Unter einem {\bf $o$-Trapez} in $X$ verstehen wir dann ein Quadrupel von Punkten $(x_{11}, x_{12},x_{21}, x_{22})\in (X\backslash o)^4$ derart, da"s es Geraden $h_1, h_2$ durch $o$ und Geraden $g_1\parallel g_2$ gibt mit $h_i\cap g_j=x_{ij}$. Nun betrachten wir auf der Menge $P\pdef\{(x,y)\in (X\backslash o)^2\mid x,y,o\text{ sind kollinear}\}$ die Relation $\sim$ mit $(x, y) \sim (x', y')$, wenn unsere vier Punkte $(x,y,x', y')$ ein $o$-Trapez bilden. Diese Relation ist sicher symmetrisch und reflexiv. Bezeichne $\approx$ die davon erzeugte "Aquivalenzrelation. Genau wie zuvor zeigen wir, da"s unter der Annahme der Desargueseigenschaft ihre "Aquivalenzklassen die Graphen von bijektiven Abbildungen $(X\backslash o)\sira (X\backslash o)$ sind, und da"s die Fortsetzungen dieser Bijektionen durch die Vorschrift $o\mapsto o$ die einzigen Automorphismen $\psi$ unserer Inzidenzebene sind mit Fixpunkt $o$ und $\psi(g)\parallel g$ f"ur jede Gerade $g$. Diese Automorphismen bilden dann nat"urlich auch eine Gruppe von Automorphismen unserer affinen Ebene, die wir die {\bf Homothetien mit Zentrum $o$}\index{Homothetie} nennen und $\mathcal H_o=\mathcal H$ notieren. \\[3mm]\noindent 3. Sei $X$ eine affine Inzidenzebene mit der Desargueseigenschaft. Gegeben ein Punkt $o\in X$ erhalten wir eine Bijektion $X\sira \vec X$ durch die Vorschrift $x\mapsto \overrightarrow{ox}$. Wir erkl"aren eine Verkn"upfung $+_o$ auf $X$ durch die Vorschrift, da"s sie unter unserer Injektion der Addition in $\vec X$ entsprechen soll. So wird $(X,+_o)$ eine abelsche Gruppe mit neutralem Element $o$. Jede Gerade $K\subset X$ mit $o\in K$ ist offensichtlich eine Untergruppe und jeder Isomorphismus $\varphi:X\sira Y$ von Inzidenzebenen ein Gruppenisomorphismus $$\varphi:(X,+_o)\sira (Y,+_{\varphi(o)})$$ \\[3mm]\noindent 4. Sei $X$ eine affine Inzidenzebene mit der Desargueseigenschaft. Gegeben eine Gerade $K\subset X$ und zwei Punkte $\imath \neq o$ in $K$ liefert das Anwenden auf $\imath \in K$ offensichtlich eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \mathcal H_o &\sira &K \backslash o\\ \psi&\mapsto&\psi(\imath) \end{array} $$ zwischen unserer Gruppe von Homothetien und dem Komplement des Punktes $o$ in unserer Geraden $K$. Die Umkehrabbildung notieren wir $\lambda\mapsto (\lambda\ast)=(\lambda\ast_{\imath,o})$. Vereinbaren wir zus"atzlich $o\ast x=o$ f"ur alle $x\in X$, so erhalten wir eine Verkn"upfung $$\ast: K\times X\ra X$$ mit $\imath\ast x=x$. F"ur diese Verkn"upfung gilt $\lambda\ast(\mu\ast x)= (\lambda\ast\mu)\ast x$ f"ur alle $\lambda,\mu\in K$ und alle $x\in X$, was wir nur f"ur $x=\imath$ pr"ufen m"ussen und dann f"ur alle $x$ folgern k"onnen. Unsere Verkn"upfung induziert eine Verkn"upfung $K\times K\ra K$ und darunter ist $K\backslash o$ abgeschlossen und wird offensichtlich eine Gruppe mit neutralem Element $\imath$. Da alle Homothetien Automorphismen unserer Inzidenzebene sind, die $o$ festhalten, liefern sie Gruppenhomomorphismen $\lambda\ast:(X,+_o)\sira (X,+_{o})$ und es folgt \begin{equation*} \lambda \ast (x +_o y) = (\lambda \ast x) +_o (\lambda \ast y) \end{equation*} f"ur alle $x,y \in X$ und $\lambda \in K \backslash o$ und dann offensichtlich sogar f"ur alle $\lambda \in K$. Um zu zeigen, da"s $K$ mit diesen Verkn"upfungen ein Schiefk"orper wird, m"ussen wir nur noch die Distributivit"at f"ur die Multiplikation von rechts auf $K$ zeigen. \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDis}\\[4mm] \noindent Skizze zum Beweis einer Distributivit"at beim Beweis der Koordinatisierbarkeit von affinen Ebenen mit der Desargueseigenschaft \end{Bild} \\[3mm]\noindent 5. Seien $X$ eine affine Inzidenzebene mit der Desargueseigenschaft, $K\subset X$ eine Gerade und $\imath \neq o$ zwei Punkte aus $K$. Wir k"urzen $+_o=+$ und $\ast_{\imath,o}=\ast$ ab. Das nebenstehende Bild zeigt $(\imath +\lambda)\ast x=x +\lambda\ast x$ f"ur alle $x\in X\backslash K$ und $\lambda\in K\backslash \{o,-\imath\}$. Indem wir in derselben Weise \glqq von unseren drei Punkten auf der Gerade $\overline{ox}$ ausgehen und mit Parallelen auf die Gerade $K$ zur"uckgehen\grqq, folgt dasselbe f"ur alle $x\in X\backslash o$. Mit explizitem Pr"ufen der zus"atzlichen F"alle, das dem Leser zur "Ubung "uberlassen sei, folgt es f"ur alle $x\in X$ und $\lambda\in K$. Zusammen mit der Assoziativit"at erhalten wir so die Distributivit"at $$(\mu +\lambda)\ast x=\mu\ast x +\lambda\ast x$$ f"ur alle $x\in X$ und $\lambda,\mu\in K$. Insbesondere wird unsere Gerade $K$ mit $+$ als Addition und $\ast$ als Multiplikation ein Schiefk"orper. \\[3mm]\noindent 6. Seien weiter $X$ eine affine Inzidenzebene mit der Desargueseigenschaft und $K\subset X$ eine Gerade mit zwei ausgezeichneten Punkten $\imath \neq o$ und der zugeh"origen Struktur als Schiefk"orper. F"ur $x\neq o$ liefert sicher $\lambda\mapsto \lambda\ast x$ eine Bijektion $K\sira \overline{ox}$. Gegeben $x,y\in X$ derart, da"s $x,y,o$ nicht kollinear ist, erhalten wir damit eine Bijektion und sogar einen Gruppenisomorphismus $$\begin{array}{ccl} K^2&\sira&X\\ (\lambda,\mu)&\mapsto&\lambda\ast x\; +\; \mu\ast y \end{array}$$ Offensichtlich entsprechen unter $\varphi$ die eindimensionalen Untervektorr"aume von $K^2$ eineindeutig den Geraden durch $o$ in $X$. Verschiebung zeigt dann, da"s unter dieser Bijektion die Geraden von $X$ den affinen Geraden von $K^2$ entsprechen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben Schiefk"orper $K,L$ und eine Kollineation $\varphi:K^2\sira L^2$ induziert die Abbildung $\op{Ens}^\times(K^2)\sira \op{Ens}^\times(L^2)$ gegeben durch $\pi\mapsto \varphi\circ \pi\circ \varphi^{-1}$ einen Gruppenisomorphismus $\vec{\varphi}$ zwischen den jeweiligen Richtungsr"aumen und es gibt genau einen Ringisomorphismus alias Schiefk"orperisomorphismus $$\tilde\varphi:K\sira L$$ mit $\vec{\varphi}(\lambda \vec v)=\tilde\varphi(\lambda) \vec{\varphi}(\vec v)$ f"ur alle $\lambda \in K$.\label{kop} Diese Aussage ist in den Konstruktionen des obigen Beweises enthalten und erlaubt uns, mit einem bestimmten Artikel von {\bf dem Koordinatenschiefk"orper}\index{Koordinatenschiefk"orper} einer affinen Inzidenzebene mit der Desargueseigenschaft zu reden. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Wir sagen, eine affine Inzidenzebene habe die {\bf Pappos-Ei\-gen\-schaft},\index{Pappos-Eigenschaft!affine} wenn\label{DesDea} gegeben %sich schneidende Geraden $g, h$ und f"ur $i\in\{1,2,3\}$ Punkte $x_i\in g\backslash h$ und $y_i\in h\backslash g$ stets gilt $$(\overline{x_1y_2}\parallel\overline{x_2y_1} \text{ und } \overline{x_2y_3}\parallel\overline{x_3y_2}) \RA \overline{x_1y_3}\parallel\overline{x_3y_1}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Sie d"urfen als "Ubung \ref{Papns} zeigen, da"s diese Eigenschaft f"ur beliebige Geraden $g,h$ bereits folgt, wenn wir sie nur f"ur sich schneidende Geraden fordern. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.8\textheight]{SkriptenBilder/BildPappus}\\[4mm] \noindent Die Papposeigenschaft besagt, da"s in jeder Situation der hier dargestellten Art die Parallelit"at der beiden eingestrichenen und der beiden zweigestrichenen Geraden die Parallelit"at der beiden dreigestrichenen Geraden impliziert. \end{Bild} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf Papposebene}\index{Papposebene} verstehen wir eine affine Inzidenzebene mit der Papposeigenschaft\label{Papp} und der Desargueseigenschaft. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Es ist nicht schwer zu sehen, da"s eine affine Inzidenzebene mit der Desargueseigenschaft genau dann die Papposeigenschaft hat, wenn ihr nach \ref{kop} bis auf Isomorphismus wohlbestimmter Koordinatenschiefk"orper kommutativ ist. Hierf"ur mu"s man nur die Streckfaktoren der Streckungen untersuchen, die die verschiedenen Parallelen in der Papposeigenschaft ineinander "uberf"uhren. Der im folgenden bewiesene Satz von Hessenberg \ref{DEHE} zeigt sogar, da"s die Papposeigenschaft bereits die Desargueseigenschaft impliziert. \end{Bemerkungl} \begin{Satz*}[\textbf{Hessenberg}] Jede affine Inzidenzebene mit der Papposeigen\-schaft hat auch\label{DEHE} die Desargueseigenschaft. \end{Satz*} \begin{proof} Gegeben eine Konstellation aus drei paarweise verschiedene Geraden $g_1,g_2,g_3$ mit einem gemeinsamen Punkt $z$ und f"ur $i\in\{1,2,3\}$ Punkte $x_i,y_i\in g_i\backslash z$ mit $\overline{x_1x_2}\parallel \overline{y_1y_2}$ und $\overline{x_2x_3}\parallel \overline{y_2y_3}$ gilt es, aus der Papposeigenschaft $$\overline{x_1x_3}\parallel \overline{y_1y_3}$$ zu folgern. Wir sagen dann, \glqq Desargues gelte f"ur diese Konstellation\grqq. Wenn die $x_i$ kollinear sind, so folgt auch ohne Pappos bereits, da"s die $y_i$ kollinear sind und damit gilt Desargues f"ur die gegebene Konstellation. Wir d"urfen also zus"atzlich annehmen, da"s die $x_i$ und dann auch die $y_i$ jeweils nicht kollinear sind. Gilt $\overline{x_1x_3}\parallel g_2$ und $\overline{y_1y_3}\parallel g_2$, so folgt wieder Desargues f"ur die gegebene Konstellation auch ohne Pappos. Wir d"urfen also zus"atzlich auch noch annehmen, da"s $\overline{y_1y_3}$ nicht zu $ g_2$ parallel ist. Jetzt betrachten wir die zu $g_2$ parallele Gerade $g$ durch $x_3$ und setzen \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHes}\\[4mm] \noindent Skizze zum Beweis des Satzes von Hessenberg \end{Bild} $$p\pdef g\cap g_1\qquad q\pdef g\cap\overline{y_1y_3}\qquad\text{und}\quad r\pdef \overline{qy_2}\cap\overline{x_2x_3}$$ und holen das Argument daf"ur nach, da"s auch $r$ sinnvoll definiert ist. Wir haben n"amlich $q\not\in\overline{y_2y_3}$, da die $y_i$ nicht kollinear sind und damit andernfalls $q= y_3$ folgern w"urde im Widerspruch dazu, da"s $y_3$ nicht auf $g$ liegen kann. Damit gilt schon mal $q\neq y_2$ und $\overline{qy_2}$ ist eine wohldefinierte Gerade. Diese Gerade schlie"slich ist nicht parallel zu $\overline{x_2x_3}$, da sie nicht parallel ist zu $\overline{y_2y_3}$, da eben gilt $q\not\in\overline{y_2y_3}$. Damit ist also auch $r$ sinnvoll definiert. Jetzt wenden wir dreimal Pappos an. \begin{enumerate} \item Wir betrachten die Geraden $\overline{rq}$ sowie $g_3$ und darauf die Punkte $r,y_2,q$ sowie $y_3, x_3, z$. Wir bemerken $r\neq x_3$, da sonst $x_3,q$ und $y_2$ kollinear w"aren und wir $g=g_2$ folgern k"onnten im Widerspruch zu $x_3\not\in g_2$. Wir haben nun $r\not\in g_3$ wegen $x_2\not\in g_3$ und $y_2\not\in g_3$ nach Annahme und $q\not\in g_3$, da sonst folgte $q=x_3$ und wieder $x_3,q$ und $y_2$ kollinear w"aren, was ja nicht sein kann. Andererseits haben wir $y_3\not\in \overline{rq}$, weil die $y_i$ nicht kollinear sind, und $x_3\not\in \overline{rq}$, weil $x_3\neq q$, und $z\not\in \overline{rq}$, weil $g_2$ nicht parallel ist zu $\overline{rq}$. Nun haben wir $\overline{rx_3}\parallel\overline{y_2y_3}$ und $\overline{y_2z}\parallel\overline{qx_3}$ und mit Pappos folgt $$\overline{rz}\parallel\overline{qy_3}$$ \item Wir betrachten die Geraden $\overline{ry_2}$ sowie $g_1$ und darauf die Punkte $r,q,y_2 $ sowie $y_1 , z,p$. Wir haben $r\not\in g_1$ wegen $\overline{rz}\parallel\overline{qy_3}=\overline{y_1y_3}$. Wir haben $q\not\in g_1$, da sonst folgte $q=y_1$ und dann die $y_i$ kollinear w"aren. Wir haben $y_2\not\in g_1$ nach Annahme. Wir haben weiter $z\not\in \overline{ry_2}$, weil $g_2$ nicht parallel ist zu $\overline{ry_2}=\overline{qy_2}$. Haben wir au"serdem $y_1,p\not\in \overline{ry_2}$, so k"onnen wir aus $\overline{rz}\parallel\overline{qy_1}$ und $\overline{qp}\parallel\overline{y_2z}$ mit Pappos folgern $$\overline{rp}\parallel\overline{y_2y_1}$$ Haben wir andererseits $p\in \overline{ry_2}$ oder $y_1\in \overline{ry_2}$, so folgt $p=q=y_1$. Auch in diesem Fall haben wir jedoch $r\neq p$, da sonst g"alte $r\in g$ und folglich $r=x_3$. Auch in diesem Fall ist also $\overline{rp}$ eine wohlbestimmte Gerade und wir haben sogar $\overline{rp}=\overline{y_2y_1}$ und a forteriori $\overline{rp}\parallel\overline{y_2y_1}$. \item Wir betrachten die Geraden $\overline{x_2x_3}$ sowie $g_1$ und darauf die Punkte $x_3,x_2,r$ sowie $z,p,x_1$. Nach Annahme gilt $x_3,x_2\not\in g_1$ und $r\not\in g_1$ hatten wir bereits gepr"uft. Unsere Annahmen zeigen auch unmittelbar $z,x_1\not\in \overline{x_2x_3}$. Aus $p\in \overline{x_2x_3}$ schlie"slich folgte $p=x_3$ und das ist unm"oglich wegen $x_3\not\in g_1$. Wegen $\overline{x_3p}\parallel\overline{x_2z}$ und $\overline{x_2x_1}\parallel\overline{rp}$, letzeres nach dem vorhergehenden, folgern wir mit Pappos $$\overline{x_3x_1}\parallel\overline{rz}$$ \end{enumerate} Zusammen zeigen der erste und dritte Teil $\overline{x_3x_1}\parallel\overline{rz}\parallel \overline{qy_3}=\overline{y_1y_3}$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anordnung des Koordinatenk"orpers und Geometrie}] \nichtfinal{Wohin?} Sei $X$ eine Papposebene mit Zwischenrelation $Z$. Es ist zun"achst einmal klar, da"s f"ur jede Verschiebung $\varphi$ und jede Gerade $g$\label{GCR} mit $\varphi(g)\neq g$ und $x,y,z\in g$ mit $(x,y,z)\in Z$ auch gilt $(\varphi(x),\varphi(y),\varphi(z))\in Z$. Daraus folgt dieselbe Aussage auch im Fall $\varphi(g)= g$ und wir sehen, da"s jede Verschiebung die Zwischenrelation erh"alt. Insbesondere mu"s jede Verschiebung, die eine Gerade stabilisiert, die beiden Anordnungen auf unserer Gerade, die mit der Zwischenrelation vertr"aglich sind, entweder festhalten oder vertauschen. Diejenigen Verschiebungen, die sie festhalten, bilden eine Untergruppe vom Index h"ochstens Zwei. Haben also Geraden mehr als zwei Punkte, so gibt es eine von der Identit"at verschiedene Verschiebung, die unsere Gerade und beide Anordnungen festh"alt. Es folgt, da"s unser Koordinatenk"orper, wenn er denn mehr als zwei Elemente hat, die Charakteristik Null haben mu"s. Dann aber ist jede Verschiebung, die eine Gerade stabilisiert, das Quadrat einer weiteren Verschiebung, die dieselbe Gerade stabilisiert, und h"alt folglich jede der beiden mit unserer Zwischenrelation vertr"aglichen Anordnungen fest. Ebenso ist f"ur jede Homothetie $\psi$ mit Zentrum $o$ klar, da"s aus $(o,x,\psi(x))\in Z$ f"ur ein $x\in X\backslash o$ folgt $(o,y,\psi(y))\in Z$ f"ur alle $y\in X\backslash o$ und da"s ebenso aus $(o,\psi(x),x)\in Z$ f"ur ein $x\in X\backslash o$ folgt $(o,\psi(y),y)\in Z$ f"ur alle $y\in X\backslash o$. Die Homothethien $\psi\in \mathcal H_o$ mit $(x,o,\psi(x))\in Z\RA x=o$ bilden also eine Untergruppe. Halten wir also eine Gerade $K$ fest und zeichnen auf ihr zwei verschiedene Punkte $o\neq\iota$ aus und versehen $K$ mit der beim Beweis des Koordinatisierungssatzes konstruierten Struktur eines K"orpers, so macht diejenige mit der Zwischenrelation vertr"agliche Anordnung von $K$, f"ur die zus"atzlich gilt $o<\iota$, unser $K$ zu einem angeordneten K"orper, wenn $K$ mehr als zwei Elemente hat. Erg"anzen wir nun $o$ zu einem nicht kollinearen Tripel $x,y,o$ und betrachten die zugeh"orige Bijektion $K^2\sira X$ aus dem Beweis des Koordinatisierungssatzes, so sieht man leicht, da"s die durch unsere Anordnung auf $K$ gegebene Zwischenordnung auf $K^2$ der Zwischenordnung auf $X$ entsprechen mu"s. Wir erhalten also eine Bijektion auf Isomorphieklassen \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Angeordnete}\\ \text{K"orper} \end{array}\right\} & \sira & \left\{ \begin{array}{c} \text{Papposebenen mit Zwischenrelation} \\ \text{und mehr als zwei Punkten auf jeder Gerade} \end{array} \right\}\\[8mm] K & \mapsto & K^2 \end{array} \end{displaymath} Schlie"slich pr"uft man, da"s gegeben angeordnete K"orper $K,L$ eine Kollineation $K^2\sira L^2$ genau dann die jeweiligen Zwischenrelationen ineinander "uberf"uhrt, wenn der ihr nach \ref{kop} zugeordnete K"orperisomorphismus die jeweiligen Anordnungen ineinander "uberf"uhrt. So erh"alt man auch f"ur jeden K"orper $K$ mit mehr als zwei Elementen eine Bijektion \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Anordnungen}\\ \text{auf dem K"orper $K$} \end{array}\right\} & \sira & \left\{ \begin{array}{c} \text{Zwischenrelationen} \\ \text{auf der Papposebene $K^2$} \end{array} \right\} \end{array} \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Geometrische Charakterisierung reeller Inzidenzebenen}] \nichtfinal{Wohin?} Genau dann kann eine \hyperref[Papp]{Papposebene}, deren Geraden mehr als zwei Punkte haben, mit einer \hyperref[GCR]{Zwischenrelation} versehen werden, die die \hyperref[supP]{Supremumseigenschaft} hat, wenn sie isomorph ist zu $\DR^2$. Des weiteren ist in diesem Fall die fragliche Zwischenrelation bereits eindeutig bestimmt. \end{Satz} \begin{proof} Nach dem Vorhergehenden finden wir einen Isomorphismus von In\-zi\-denz\-ebe\-nen $X\sira K^2$ f"ur einen K"orper $K$ und unserer Zwischenrelation entspricht eineindeutig eine Anordnung auf $K$. Hat unsere Zwischenrelation zus"atzlich die Supremumseigenschaft, so erf"ullt die fragliche Anordnung auf $K$ alle Axiome \eref{ER}{AN1}, die den K"orper der reellen Zahlen charakterisieren. Unsere affine Inzidenzebene ist folglich isomorph zu $\DR^2$, und da es auf dem K"orper $\DR$ nur eine einzige K"orperanordnung gibt, ist die fragliche Zwischenrelation bereits durch die Struktur als Inzidenzgeometrie eindeutig bestimmt. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s eine affine Inzidenzebene, in der es eine Gerade mit nur einer einzigen Parallele gibt, isomorph sein mu"s zu $\mathbb F_2^2$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s f"ur jeden Schiefk"orper $K$ die Punktmenge $K^2$ mit den in \ref{AffSK} beschriebenen Geraden eine affine Inzidenzebene ist und da"s diese affine Inzidenzebene die affine Desargues-Eigenschaft hat. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man pr"ufe die Formel $(-\imath)\ast x +_ox=o$, deren Nachweis im Beweis des Koordinatisierungssatzes noch offen geblieben war. \end{Ubung} %\begin{Ubung} % Man zeige, da"s in einer affinen %Inzidenzebene jede Gerade mindestens % zwei Punkte hat. %\end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s es in einer affinen Inzidenzebene zwischen je zwei Geraden eine Bijektion gibt. Salopp gesprochen haben also \glqq je zwei Geraden gleich viele Punkte\grqq. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gibt es in einer affinen Inzidenzebene eine endliche Gerade mit genau $n$ Punkten, so hat unsere affine Inzidenzebene genau $n^2$ Punkte und $n^2+n$ Geraden. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s die Papposeigenschaft f"ur parallele Geraden bereits folgt,\label{Papns} wenn wir sie nur f"ur sich schneidende Geraden fordern. Hinweis: Man mag sich am Beweis der analogen Aussage \ref{Pdes} in Bezug auf die Desargueseigenschaft orientieren. \end{Ubung} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildPPa}\\[4mm] \noindent Eine Parallelprojektion \end{figure} \subsection{Parallelprojektion und Zentralprojektion}\label{PZP} \begin{Bemerkungl} Je nach Vorkenntnissen m"ussen hier erst einmal affine R"aume und affine Teilr"aume etwa im Umfang von \eref{AfRa}{LA1}, \eref{ATR}{LA1} besprochen werden. Die Annahme endlicher Dimension ist im folgenden meist "uberfl"ussig und dient nur dazu, die Darstellung zu vereinfachen. Besonders wichtig ist die Erkenntnis, da"s in einem affinen Raum der Schnitt einer Gerade mit einem weiteren affinen Teilraum entweder leer ist oder ein Punkt oder die ganze Gerade. Ist unser affiner Teilraum eine Hyperebene $H$ und $\vec v$ der Richtungsvektor unserer Gerade $g$, so folgt des weiteren aus $\vec v\not\in\vec H$ bereits $|g\cap H|=1$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $E\supset H$ ein endlichdimensionaler affiner Raum mit einer Hyperebene sowie ein Vektor $\vec v\in \vec E\backslash \vec H$ erkl"aren wir die {\bf Parallelprojektion in Richtung $\vec v$}\index{Parallelprojektion} von $E$ auf $H$ als die eindeutig bestimmte Abbildung $$\pi=\pi_{\vec v}=\pi_{\vec v,H}: E\ra H$$ mit der Eigenschaft $\pi(e)\in e+\langle \vec v\rangle$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $E\supset H$ ein endlichdimensionaler affiner Raum mit einer Hyperebene sowie ein Punkt $q\in E\backslash H$ erkl"aren wir die {\bf Zentralprojektion\index{Zentralprojektion} mit Zentrum $q$} von $E$ auf $H$ als die eindeutig bestimmte Abbildung $$\zeta=\zeta_q=\zeta_{q,H}: E\backslash(q+\vec H)\ra H$$ mit $q,e,\zeta(e)$ kollinear. Die Menge $E\backslash(q+\vec H)$ nennen wir den {\bf Definitionsbereich} unserer Zentralprojektion, die Hyperebene $H$ ihre {\bf Bildebene},\index{Bildebene!einer Zentralprojektion} das Zentrum $q$ auch den {\bf Augpunkt}.\index{Augpunkt!einer Zentralprojektion} \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZP}\\[4mm] \noindent Eine Zentralprojektion \end{figure} \begin{Beispiel}[\textbf{Foto als Zentralprojektion}] Ein schmutziges Beispiel f"ur eine Zentralprojektion ist das Fotographieren mit einer Lochkamera und in erster N"aherung "uberhaupt jedes Foto. In diesem Fall ist die Linse oder besser das Loch der Augpunkt. Etwas genauer gesagt erh"alt man beim Fotographieren eine auf die \glqq Punkte vor der Linse\grqq\ eingeschr"ankte Zentralprojektion und unsere Kamera projiziert auch von diesen Punkten nur einen Ausschnitt auf einen Auschnitt der Hyperebene $H$, n"amlich auf die Bildplatte unseres Fotoapparats. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Bilder von Geraden unter Zentralprojektionen}] Als das Bild einer Gerade $g$ unter einer Zentralprojektion $\zeta_{q,H}(g\backslash (q+\vec H))\subset H$ k"onnen wir erhalten:\label{BiGeZ} Eine Gerade, bei der ein Punkt fehlt, der \emph{\bf Fluchtpunkt};\index{Fluchtpunkt} Eine Gerade; Einen Punkt; oder die leere Menge. \end{Satz} \begin{proof} Wie das Bild einer Gerade aussieht, h"angt nur davon ab, ob sie den Augpunkt trifft und ob sie die Bildebene in genau einem Punkt trifft, wie es die folgende Tabelle pr"azisiert. \begin{center} \begin{tabular}{c||c|c} &trifft Augpunkt&trifft Augpunkt nicht\\ \hline\hline trifft Bildebene& Punkt&Gerade ohne einen Punkt\\ in genau einem Punkt&&\\ \hline trifft Bildebene nicht&leer&Gerade\\ in genau einem Punkt&&\\ \hline \end{tabular} \end{center} Wir "uberlegen uns nun, da"s diese Tabelle korrekt ist. Seien dazu $E\supset H$ unser endlichdimensionaler affiner Raum mit der Bildebene und $q\in E\backslash H$ der Augpunkt und $\zeta_q: E\backslash(q+\vec H)\ra H$ die Zentralprojektion. Gegeben eine Gerade $g\subset E$ ist klar, da"s $\zeta_q(g\backslash(q+\vec H))$ im Schnitt $\langle g, q\rangle_{\op{aff}}\cap H$ des affinen Erzeugnisses von $q$ und $g$ mit der Bildebene $H$ enthalten sein mu"s. Indem wir $E$ durch $\langle g, q\rangle_{\op{aff}}$ ersetzen, ziehen wir uns darauf zur"uck, den Fall $\op{dim}E\leq 2$ zu betrachten. In diesem Fall aber kann man die Aussage anhand einer Zeichnung m"uhelos einsehen. \end{proof} % \begin{Satz} Das ist eine "altere Formulierung. % \begin{enumerate} % \item % Jede Gerade $g\subset E$ mit $g\cap (q+\vec H)=\emptyset$, die also % parallel ist zur in den Augpunkt verschobenen Bildebene, % wird von unserer Zentralprojektion $\zeta$ bijektiv auf eine Gerade in % der Bildebene mit demselben Richtungsvektor abgebildet; % \item F"ur jede Gerade $g\subset E$ mit $g\cap (q+\vec H)=\{p\}\neq \{q\}$, die also nicht % parallel ist zur Bildebene und den Augpunkt nicht trifft, % bildet unsere Zentralprojektion das Komplement $g\backslash p$ % des besagten Punktes bijektiv auf % das Komplement des Punktes $(q+\vec g)\cap H$ in einer % Gerade von $H$ ab. Man nennt diesen Punkt den \emph{\bf Fluchtpunkt zu $g$};\index{Fluchtpunkt} % \item % Jede Gerade $g\subset E$ mit $|g\cap (q+\vec H)|>1$ hat leeren Schnitt mit dem Definitionsbereich unserer % Zentralprojektion; % \item % Gegeben eine affine Ebene $P\subset E$ mit $\op{dim}(\vec P\cap \vec H)=1$ % bilden die Fluchtpunkte aller Geraden in $P$, die "uberhaupt % einen Fluchtpunkt haben, ihrerseits eine Gerade in $H$. % Wir nennen diese Gerade % den \emph{\bf Horizont}\index{Horizont} unserer Ebene $P$. % \end{enumerate} % \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Fluchtpunkte in Fotographien}] Bei Fluchtpunkten in Fotographien etwa von Eisenbahngleisen sieht man als Bild eines Gleises "ublicherweise nur eine Halbgerade, die im Fluchtpunkt endet. Das liegt daran, da"s wir mit der Kamera \glqq nur nach vorne fotographieren\grqq, w"ahrend unsere mathematische Zentralprojektion auch die \glqq Gleise hinter dem Betrachter\grqq\ noch ins Bild projiziert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Der Satz gilt unver"andert auch ohne die Annahme endlicher Dimen\-sion. Ein mit Quotientenr"aumen ge"ubter Leser wird keine Schwierigkeiten haben, unseren Beweis auf diesen Fall zu verallgemeinern. \end{Bemerkunge} % \begin{proof} % Gegeben eine Gerade $g\subset E$, die $q$ nicht trifft, % ist das affine Erzeugnis $S_g\pdef \langle g\cup\{q\}\rangle_{\op{aff}}$ % offensichtlich eine Ebene. Aus Dimensionsgr"unden ist dann % $L_g\pdef S_g\cap H$ entweder die leere Menge, wenn n"amlich unsere Zentralprojektion auf keinem Punkt von $g$ definiert ist, oder % eine Gerade, und unsere Zentralprojektion % $\zeta$ bildet den Schnitt von % $g$ mit ihrem Definitionsbereich offensichtlich in diese Gerade ab. % Damit k"onnen wir uns f"ur die Teile 1 bis 3 auf den zweidimensionalen Fall % $E=S_g$ beschr"anken. In diesem Fall denke ich, % da"s eine Zeichnung mehr Verst"andnis % vermittelt als ein formaler Aufschrieb, der dem Leser aber auch leicht % gelingen wird. F"ur den letzten Teil bemerken wir, % da"s nach dem Vorhergehenden die Menge der fraglichen Fluchtpunkte % genau der Schnitt $(q+\vec P)\cap H$ ist. % \end{proof} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFlP}\\[4mm] \noindent Das Bild unter einer Zentralprojektion einer zur Projektionsebene nicht parallelen und mit dem Projektionszentrum nicht inzidenten Gerade $g$ ist eine Gerade abz"uglich eines Punktes, genauer abz"uglich des Fluchtpunkts. \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ein Fu"sballfeld und seine Fotographie}] Jetzt denken wir uns einmal, wir fotographierten ein Fu"sballfeld. Formal und in Koordinaten ausgedr"uckt betrachten wir Einbettungen $i,j:\DR^2\hra\DR^3$ der Gestalt $i:(x,y)^\top\mapsto A(0,x,y)^\top+\vec v$ und $j:(x,y)^\top\mapsto B(0,x,y)^\top + \vec w$ f"ur $A,B\in\op{SO}(3)$ Drehmatrizen und $\vec v,\vec w\in\DR^3$ Vektoren und w"ahlen als Augpunkt einen Punkt $q\in \DR^3$, der weder im Bild von $i$ noch im Bild von $j$ liegt, also weder in der Fotoplatte alias Bildebene $H\pdef j(\DR^2)$ noch auf dem Fu"sballfeld alias der {\bf Urebene} $U\pdef i(\DR^2)$.\index{Urebene}\label{PrVin} Die \glqq partiell definierte Abbildung\grqq\ $$\phi\pdef j^{-1}\zeta_{q,H} i: \DR^2 \dashrightarrow \DR^2 $$ beschreibt dann die \glqq Umrechnung zwischen dem durch $i$ mit Koordinaten versehenen Fu"sballfeld $i(\DR^2)$ und seiner durch $j$ mit Koordinaten versehenen Fotographie $j(\DR^2)$\grqq. Ihr Definitionsbereich ist genauer $i^{-1}(\DR^3\backslash (q+\vec H))$. Wir nennen sie eine {\bf Fototransformation}.\index{Fototransformation} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Betrachten wir etwa $i:\DR^2\ra\DR^3$, $(x,y)\mapsto (x,y,1)$ und $j:(x,y)\mapsto (1,x,y)$ und $q=(0,0,0)$, so wird die Zentralprojektion $\zeta_q=\zeta$ auf die Ebene $j(\DR^2)=\{(x,y,z)\mid x=1\}$ gegeben durch $(x,y,z)\mapsto (1,y/x,z/x)$ und ist nicht definiert auf den Punkten \glqq neben der Linse\grqq, also den Punkten mit $x=0$. So finden wir in diesem Fall $$\phi(x,y)=j^{-1}\zeta(x,y,1)=j^{-1}(1,y/x,1/x)=(y/x,1/x)$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Umrechnen von Fotographien}] Im folgenden wollen wir salopp gesagt zeigen, da"s die partiell definierten Abbildungen, die durch das wiederholte Fotographieren von Fotographien entstehen, genau alle partiell definierten Abbildungen sind, die durch Formeln der Gestalt $$\phi \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{a_{11}x +a_{12}y+a_{13}}{a_{31}x +a_{32}y+a_{33}} \\[10pt] \frac{a_{21}x +a_{22}y+a_{23}}{a_{31}x +a_{32}y+a_{33}} \end{pmatrix}$$ gegeben werden mit $(a_{ij})$ einer invertierbaren $(3\times 3)$-Matrix. Um das korrekt formulieren zu k"onnen, erweitern wir unsere Ebene durch Hinzunahme geeigneter \glqq unendlich ferner Punkte\grqq\ in der Weise, da"s unsere partiell definierten Abbildungen zu global definierten Abbildungen werden, den sogenannten \glqq Projektivit"aten\grqq. Eine entsprechend pr"azisierte Aussage zeigen wir dann als Satz \ref{URF}. \end{Bemerkungw} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildbir}\\[4mm] \noindent Die von einer Zentralprojektion von einer Geraden auf eine andere Gerade induzierte Abbildung. Bei der hier angegebenen Situation und Parametrisierung ist $a\in H$ der Fluchtpunkt und $b\in g$ die Definitionsl"ucke unserer Zentralprojektion $\zeta_q$ und die davon auf dem Definitionsbereich induzierte Abbildung ist $b+x\vec w \mapsto a +(1/x)\vec v$. \end{figure} \subsection{Projektive R"aume} \label{ProR} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Projektivisierung von Vektorr"aumen}] Gegeben ein K"orper $K$ und ein $K$-Vektorraum $V$ bezeichnen wir die Menge aller Ursprungsgeraden in $V$ mit \index{P@$\Bbb{P}V$ projektiver Raum zu $V$}\label{CUe} \begin{displaymath} \Bbb{P}V =\Bbb{P}_KV \pdef \{ L \subset V \mid L \text{ ist ein eindimensionaler Untervektorraum}\} \end{displaymath} Wir nennen diese Menge die {\bf Projektivisierung\index{Projektivisierung} des Vektorraums} $V$. Jeder Punkt von $\Bbb{P}V$ hat die Gestalt $\langle v\rangle$ f"ur $v\in V\backslash 0$ und wir haben $\langle v\rangle=\langle w\rangle$ genau dann, wenn es $\lambda\in K^\times$ gibt mit $\lambda v=w$. Eine Teilmenge $g\subset \DP V$ hei"st eine {\bf projektive Gerade},\index{Gerade!projektive} %oder auch kurz {\bf Gerade}, wenn sie aus allen eindimensionalen Untervektorr"aumen in einem zweidimensionalen Untervektorraum $V_g\subset V$ besteht. Offensichtlich wird die Projektivisierung $\DP V$ von $V$ so zu einer \hyperref[IzGG]{Inzidenzgeometrie}, als da hei"st, durch je zwei verschiedene Punkte von $\DP V$ geht genau eine projektive Gerade und jede projektive Gerade hat mindestens zwei Punkte. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildF2P}\\[4mm] \noindent Die projektive Ebene $\mathbb P^2\mathbb F_2$ "uber dem K"orper mit zwei Elementen hat sieben Punkte und sieben Geraden. \end{Bild} \begin{Beispiele} Ist $V$ der Nullvektorraum, so ist $\Bbb{P}V$ leer. Ist $V$ eindimensional, so besteht $\Bbb{P}V$ aus einem einzigen Punkt. Man mag sich $\Bbb{P}(\DR^3)$ veranschaulichen als eine \glqq Sph"are, bei der gegen"uberliegende Punkte jeweils als derselbe Punkt zu denken sind\grqq. Um zus"atzliche Anschauung bereitzustellen, bespreche ich nun die alternative Interpretation der Inzidenzgeometrien $\Bbb{P}V$ als \glqq projektive Vervollst"andigungen affiner R"aume\grqq. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Projektive Vervollst"andigung affiner R"aume}] Gegeben ein affiner Raum $E$ "uber einem K"orper $K$\label{PrVi} k"onnen wir die disjunkte Vereinigung $$\mathbb V E\pdef E\sqcup \DP \vec E$$ von $E$ mit der Projektivisierung $\DP \vec E$ seines Richtungsraums $\vec E$ mit einer Struktur als Inzidenzgeometrie versehen, indem wir folgende Teilmengen als Geraden auszeichnen: \begin{enumerate} \item Die Teilmengen $g\sqcup\{\vec g\}$ f"ur $g\subset E$ eine affine Gerade; \item Die \hyperref[CUe]{projektiven Geraden} $l\subset \mathbb P \vec E$ nach \ref{CUe}. \end{enumerate} Wir nennen diese Inzidenzgeometrie die {\bf projektive Vervollst"andigung von $E$}.\index{projektive Vervollst"andigung}\index{Vervollst"andigung!projektive} Die Punkte von $\DP \vec E$ hei"sen die\index{Punkt!unendlich ferner} {\bf unendlich fernen Punkte}\index{unendlich fern!Punkt} unserer Vervollst"andigung, die eben gerade entsteht, indem wir zu unserem affinen Raum noch diese unendlich fernen Punkte mit hinzunehmen. Die Geraden dieser Vervollst"andigung, soweit sie nicht nur aus unendlich fernen Punkten bestehen, entstehen, indem wir zu einer affinen Gerade jeweils noch einen unendlich fernen Punkt hinzunehmen. Ist $E$ zweidimensional, so gibt es in $\mathbb VE$ eine einzige Gerade aus unendlich fernen Punkten, n"amlich die {\bf unendlich ferne Gerade}, die genau aus allen unendlich fernen Punkten besteht. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildPZR}\\[4mm] \noindent Versuch einer graphischen Darstellung von $\DP^2\DR$. Jede Ursprungsgerade im $\DR^3$ geht durch einen Punkt der oberen Hemisph"are in der Einheitssph"are. Nun lassen wir aus dieser Hemisph"are auch noch an ihrem Rand den halben "Aquator weg und betrachten genauer die Menge $$H\pdef \{(x,y,z)\in S^2\mid z\geq 0,\; z=0\RA y\geq 0, \;z=y=0\RA x\geq 0\}$$ Dann erhalten wir eine Bijektion $\DP^2\DR\sira H$, indem wir jeder Ursprungsgerade ihren Schnittpunkt mit $H$ zuordnen. Weiter liefert die Zentralprojektion mit Augpunkt in $(0,0,-1)$ auf die $xy$-Ebene eine Bijektion von $H$ mit der Einheitskreisscheibe, von der man dabei denselben halben "Aquator am Rand wegzulassen hat. Die Bilder der projektiven Geraden unter der Verkn"upfung dieser Bijektionen sind die Schnitte unserer halbentrandeten Einheitskreisscheibe mit beliebigen Kreisen oder Geraden durch gegen"uberliegende Punkte auf dem Einheitskreis. Die unendlich ferne Gerade entspricht dem Schnitt mit dem Einheitskreis. Im Bild sind zwei parallele Geraden $g,h$ eingezeichnet sowie eine weitere Gerade $l$ und gestrichelt die unendlich ferne Gerade. \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPPR}\\[4mm] \noindent Versuch einer graphischen Darstellung von $\DP^2\DR$ in der Art des Kubismus. Hier habe ich die zwei unendlich fernen Punkte zu drei affinen Geraden durch bepunktete Doppelpfeile symbolisiert. Bei dieser Darstellung kommt es nur auf die Richtung der Doppelpfeile an, nicht auf die Stelle, an der sie auf's Papier gemalt sind, noch auf ihre L"ange, und jeder Doppelpfeil symbolisiert den durch seine Richtung gegebenen unendlich fernen Punkt. Wie im Kubismus stellen verschiedene Teile dieses Bildes verschiedene Aspekte der reell projektiven Ebene dar und es gibt keine gemeinsame Perspektive oder globale Regel, der sich all diese Darstellungen unterordnen lie"sen. \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Projektive Vervollst"andigung als Projektivisierung}] Gegeben ein affiner Raum $E$ "uber einem K"orper $K$ und eine affine Einbettung $i:E\hra V$ als eine den Ursprung vermeidende affine Hyperebene in einem $K$-Vektorraum erhalten wir durch die Abbildungsvorschrift $e\mapsto \langle i(e)\rangle$ und $\langle \vec v\rangle \mapsto \langle \vec\imath(\vec v)\rangle$ offensichtlich eine Kollineation $$\mathbb V E\sira \mathbb P V $$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im Spezialfall $E=K^n$ w"ahlen wir standardm"a"sig die durch das Davorschreiben einer $1$ als erster Koordinate gegebene affine Einbettung $K^n\hra K^{n+1}$ als eine den Ursprung vermeidende Hyperebene und setzen $\mathbb P^n K\pdef \mathbb P(K^{n+1})$ und nennen f"ur $n\geq 0$ diese Inzidenzgeometrie den {\bf $n$-dimensionalen projektiven Raum "uber dem K"orper} $K$. \index{P@$\Bbb{P}^nK$ projektiver Raum} Wir erhalten so unsere {\bf Standardidentifikation} $$s:K^n\sqcup \mathbb P^{n-1} K=\mathbb V K^n\sira \mathbb P^n K$$ Im Fall $n=1$ notiert man das Bild des einzigen Punktes von $\mathbb P^{0} K$ ebenso wie sein Bild in $\mathbb P^{1} K$ meist $\infty$. Damit wird unsere Standardidentifikation in diesm Fall eine Bijektion $ s:K \amalg \{\infty\}=\mathbb V K\sira \Bbb{P}^{1}K$ und wir erhalten, wenn wir kurzerhand $K$ mit seinem Bild identifizieren, eine mit den n"otigen Hintergedanken zu verstehende Zerlegung $$K \amalg \{\infty\}=\Bbb{P}^{1}K$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf Einbettung von Inzidenzgeometrien}\index{Einbettung!von Inzidenzgeometrien} verstehen wir eine\label{EiIn} injektive Abbildung $X\hra Y$ der zugeh"origen Punktmengen derart, da"s Teilmengen von $X$ mit mindestens drei Elementen genau dann \hyperref[Dreieck]{kollinear} sind, wenn ihre Bilder in $Y$ kollinear sind. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Jede bijektive Einbettung von Inzidenzgeometrien ist eine Kollineation. Jeder injektive Vektorraumhomomorphismus $W\hra V$ induziert eine Einbettung von Inzidenzgeometrien $\DP W\hra \DP V$. Im Fall eines Untervektorraums $W\subset V$ ist das die Einbettung einer Teilmenge $\DP W\subset \DP V$. Gegeben ein affiner Raum $E$ sind sowohl $E\hra \mathbb V E$ als auch $\mathbb P \vec E\hra \mathbb V E$ Einbettungen von Inzidenzgeometrien. Jede injektive affine Abbildung $F\hra E$ von affinen R"aumen ist eine Einbettung von Inzidenzgeometrien und induziert eine Einbettung $\DV E \hra \DV F$ zwischen ihren projektiven Vervollst"andigungen. Ist $E\subset F$ ein affiner Teilraum, so behandeln wir die zugeh"orige Einbettung der projektiven Vervollst"andigungen in unserer Notation auch als eine Einbettung $\DV E \subset \DV F$ von Mengen. Gegeben eine affine Gerade $g\subset E$ ist insbesondere $\mathbb V g =g\sqcup\{\vec g\}$ ihre Vervollst"andigung zu einer projektiven Gerade. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Sei $V$ ein Vektorraum. Eine Teilmenge $P\subset \DP V$ seiner Projektivisierung hei"st eine {\bf projektive Hyperebene},\index{Hyperebene!projektive}\label{pHy} wenn sie aus allen eindimensionalen Untervektorr"aumen eines Untervektorraums $W\subset V$ der Kodimension Eins besteht, wenn also in Formeln gilt $P=\mathbb P W$ f"ur $\op{codim}(W\subset V)=1$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Schnitte von Geraden und projektiven Hyperebenen}] Gegeben $V$ ein Vektorraum, $\mathbb P V$ seine Projektivisierung und $P\subset \mathbb P V$ eine projektive Hyperebene trifft jede projektive Gerade $g\subset \mathbb P V$, die nicht in unserer projektiven Hyperebene $P$ enthalten ist, besagte projektive Hyperebene in genau einem Punkt.\label{SGH} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Der Punkt ist hierbei, da"s im Projektiven der Schnitt einer Gerade mit einer Hyperebene nie leer sein kann. Das steht im Gegensatz zur Situation im Affinen, bei der das ja durchaus m"oglich ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir haben per definitionem $g=\mathbb P V_g$ und $P=\mathbb P W$ mit $\op{dim}V_g=2$ und $\op{codim}(W\subset V)=1$. Dann folgt aus $V_g\not\subset W$ bereits $\op{dim}(V_g\cap W)=1$, denn w"are der Schnitt Null, so k"onnte $W$ keine Hyperebene gewesen sein. Dieser eindimensionale Untervektorraum $(V_g\cap W)\subset V$ ist dann als Punkt des projektiven Raums $\mathbb P V$ aufgefa"st der gesuchte Schnittpunkt. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben in der Projektivisierung $\mathbb P V$ eines Vektorraums $V$ eine projektive Hyperebene $P\subset \mathbb P V$ sowie ein Punkt $q\in \mathbb P V\backslash P$ im Komplement unserer Hyperebene erkl"aren wir die {\bf Projektion\index{Projektion} mit Zentrum $q$ auf die Hyperebene $P$} als die durch die Eigenschaft $\{\pi_q(x)\}=\overline{qx}\cap P$ nach \ref{SGH} eindeutig bestimmte Abbildung\label{PPG} $$\pi_q: \mathbb P V\backslash q\ra P$$ Hier meint $\overline{qx}$ die Gerade durch $q$ und $x$ in der Inzidenzgeometrie $\mathbb P V$. In anderen Worten wird also $\pi_q(x)\in P$ durch die Bedingung festgelegt, da"s $q,x$ und $\pi_q(x)$ kollinear sind. Wenn wir besonders betonen wollen, da"s wir diesen Projektionsbegriff meinen, sprechen wir von einer {\bf projektiven Projektion}.\index{Projektion!projektive} \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Projektive Projektionen projektiver Geraden}] Unter der projektiven Projektion eines projektiven Raums auf eine projektive Hyperebene wird jede projektive Gerade, die nicht durch das Zentrum der Projektion geht, bijektiv auf eine projektive Gerade abgebildet.\label{gPi} \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} In \ref{ZentP} wird sich erweisen, in welchem Sinn dieser Satz als eine Verbesserung unseres Satzes \ref{BiGeZ} "uber die Bilder von Geraden unter Zentralprojektionen in affinen R"aumen verstanden werden kann. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Seien $V\supset W$ ein Vektorraum mit einer Hyperebene und $q\in \mathbb P V\backslash \mathbb P W$ ein Punkt und $\pi=\pi_q: \mathbb P V\backslash q \ra \mathbb P W$ die projektive Projektion. Gegeben $\vec v\in V$ mit $\langle\vec v\rangle=q$ erhalten wir ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{V\ar[d]^{\pi_{\vec v}}& V\backslash \langle\vec v\rangle \ar[d]\ar@{_{(}->}[l]\ar@{->>}[r]& \mathbb P V\backslash q\ar[d]^{\pi_{q}}\\ W&W\backslash 0\ar@{_{(}->}[l]\ar@{->>}[r]&\mathbb P W} \end{displaymath} mit einer Parallelprojektion ganz links. Diese Parallelprojektion ist eine lineare Abbildung und bildet folglich Untervektorr"aume von $V$, die $\langle\vec v\rangle$ nicht umfassen, auf Untervektorr"aume von $W$ derselben Dimension ab. Mithin bildet unsere Projektion $\pi_q$ jede projektive Gerade in $\mathbb P V$, die nicht durch $q$ l"auft, bijektiv auf eine projektive Gerade in $\mathbb P W$ ab. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Projektionen in projektiven Vervollst"andigungen}] Seien $E\supset H$ ein affiner Raum mit einer Hyperebene und $q\in \mathbb V E\backslash \mathbb V H$ ein Punkt. So gibt es f"ur alle $e\in \mathbb V E\backslash q$ genau ein Element $\pi_q(e)\in \mathbb V H$ mit $q,e$ und $\pi_q(e)$ kollinear, und die durch die Vorschrift $e\mapsto \pi_q(e)$ erkl"arte \emph{\bf projektive Projektion} $$\pi=\pi_q: \mathbb V E\backslash q\ra \mathbb V H$$ bildet projektive Geraden in $\mathbb V E$, die nicht durch\label{prPP} $q$ gehen, bijektiv auf projektive Geraden in $\mathbb V H$ ab. \end{Proposition} \begin{proof} Offensichtlich gibt es stets ein Paar $V\supset W$ aus einem Vektorraum mit einem Teilraum der Kodimension Eins und eine Einbettung $E\hra V$ als affinen Teilraum, der den Ursprung nicht trifft, und so eine Kollineation $\mathbb V E\sira \mathbb P V$, unter dem $\mathbb V H$ bijektiv auf $\mathbb P W$ abgebildet wird f"ur $W\subset V$ der vom Bild von $H$ erzeugte Untervektorraum. Damit folgen unsere Behauptungen unmittelbar aus den entsprechenden Aussagen f"ur projektive R"aume \ref{SGH} und \ref{gPi}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zentralprojektion als Einschr"ankung einer projektiven Projektion}] Gegeben ein affiner Raum $E$ mit einer Hyperebene $H\subset E$ und ein Punkt $q\in E\backslash H$ erhalten wir f"ur die Zentralprojektion $\zeta_q$ ein kommutatives Diagramm\label{ZentP} \begin{displaymath} \xymatrix{E\backslash(q+\vec H)\ar[d]^{\zeta_{q}}\ar@{^{(}->}[r]&\mathbb V E\backslash q \ar[d]^{\pi_{q}}\\ H\ar@{^{(}->}[r]&\mathbb V H} \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Nocheinmal Bilder von Geraden unter Zentralprojektionen}] Nach unseren Erkenntnissen in \ref{prPP} werden unter projektiven Projektionen Geraden von $\mathbb V E$, die nicht durch den Augpunkt $q$ laufen, bijektiv auf Geraden in $\mathbb V H$ abgebildet. Das liefert einen alternativen Zugang zu unserem Satz \ref{BiGeZ} "uber Bilder von affinen Geraden unter Zentralprojektionen. Gegeben eine Gerade $g\subset E\backslash q$ wird ihre Vervollst"andigung $\mathbb Vg\subset \mathbb V E\backslash q$ nach \ref{prPP} unter $\pi_q$ bijektiv auf eine projektive Gerade $$\pi_q(\mathbb Vg)\subset \mathbb V H$$ abgebildet. Jetzt gibt es nach \ref{SGH} nur die beiden M"oglichkeiten $\pi_q(\mathbb Vg)\subset \mathbb P\vec H$ oder $|\pi_q(\mathbb Vg)\cap \mathbb P\vec H|=1$, und im letzteren Fall ist dieser eindeutige Schnittpunkt entweder $\pi_q(\vec g)$ oder eben ein anderer Punkt. Im ersten Fall trifft $g$ den Definitionsbereich unserer Zentralprojektion $\zeta_q$ "uberhaupt nicht. Im zweiten Fall wird $g$ bijektiv auf eine Gerade in $H$ abgebildet. Im dritten Fall haben wir $\pi_q(\vec g)\in H$ und dieses Bild des unendlich fernen Punktes ist der Fluchtpunkt zu $g$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Parallelprojektion als Einschr"ankung einer projektiven Projektion}] Gegeben ein affiner Raum $E$ mit einer Hyperebene $H\subset E$ und ein Richtungsvektor $\vec v\in \vec E\backslash \vec H$ mit zugeh"origem unendlich fernen Punkt $q\pdef \langle \vec v\rangle\in \mathbb V E$ erhalten wir f"ur die Parallellprojektion $\pi_{\vec v}$ ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{E\ar[d]^{\pi_{\vec v}}\ar@{^{(}->}[r]&\mathbb V E\backslash q \ar[d]^{\pi_{q}}\\ H\ar@{^{(}->}[r]&\mathbb V H} \end{displaymath} Zusmmen mit \ref{ZentP} sehen wir so, da"s sowohl Parallelprojektionen wie auch Zentralprojektionen beide Einschr"ankungen projektiver Projektionen zwischen den jeweiligen Vervollst"andigungen sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Homogene Koordinaten}] Gegeben $ x_0,x_1, \ldots, x_n\in K$ nicht alle Null bezeichnen wir die Gerade durch den Ursprung und den Punkt mit den Koordinaten $x_0,x_1, \ldots, x_n$, aufgefa"st als Punkt des\label{PrIf} $n$-dimensionalen projektiven Raums, mit $$\langle x_0,x_1, \ldots, x_n\rangle\pdef \langle(x_0,x_1, \ldots, x_n)\rangle$$ "Ublich sind auch die Schreibweisen $[x_0,x_1, \ldots, x_n]$ und $(x_0;x_1; \ldots; x_n)$ f"ur diesen Punkt\index{)5>@$\langle x_0,x_1, \ldots, x_n\rangle$ Punkt des $\Bbb{P}^nK$} des projektiven Raums $\Bbb{P}^nK$. Unsere Standardeinbettung $K^n \hra \Bbb{P}^nK$ wird gegeben durch $(x_1, \ldots , x_n) \mapsto \langle 1,x_1, \ldots, x_n\rangle$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Die projektiven R"aume $\Bbb{P}V$ zu endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorr"aumen $V$ k"onnen mit einer Topologie versehen werden durch die Vorschrift, da"s eine Teilmenge offen sein soll genau dann, wenn ihr Urbild in $V\backslash 0$\label{TP1} offen ist. Mehr zu dieser sogenannten \glqq Quotiententopologie\grqq\ diskutieren wir in \eref{PRa}{TM}. Bereits hier sei erw"ahnt, da"s es f"ur diese Topologien stetige Bijektionen mit stetiger Umkehrung gibt, die $\Bbb{P}^{1}\DR$ mit der Kreislinie $S^1$ und $\Bbb{P}^{1}\DC$ mit der Kugelschale $S^2$ identifizieren. Deshalb hei"st die komplexe projektive Gerade $\Bbb{P}^{1}\DC$ auch die\index{Riemann'sche Zahlenkugel}\index{Zahlenkugel} {\bf Riemann'sche Zahlenkugel}. Genauer erhalten wir eine derartige Identifikation f"ur $\Bbb{P}^{1}\DC$, indem wir eine Kugelschale auf die komplexe Zahlenebene legen, eine Lampe an den h"ochsten Punkt $P$ stellen und jeden Punkt der Kugelschale, der nicht gerade der h"ochste Punkt ist, auf seinen Schatten in der Ebene $\DC$ abbilden, den h"ochsten Punkt $P$ jedoch auf $\infty$. F"ur $\Bbb{P}^{1}\DR$ verf"ahrt man analog. Weiter ist $\DP^2\DR$ nach \eref{MNHn}{TM} hom\"{o}omorph ist zu einer Kugelschale, in die man ein kreisrundes Loch geschnitten hat, um dort ein M\"{o}biusband einzukleben. Um das pr"azise zu verstehen und zu beweisen, braucht es jedoch eine gewisse "Ubung im Umgang mit den Grundbegriffen der mengentheoretischen Topologie. \end{Bemerkungw} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.5\textheight]{SkriptenBilder/BildKrH}\\[4mm]%width=\textwidth \noindent Versuch einer Darstellung der reell-projektiven Ebene $\DP^2\DR$ als topologischer Raum. Unten denke man sich an die Kreislinie eine Hemisph"are angeklebt, oben verbindet man je zwei gegen"uberliegende Punkte des Einheitskreises durch einen Bogen mit variierender mittlerer H"ohe. So entsteht eine sich selbst durchdringende r"aumliche Fl"ache, bei der man sich die Selbstdurchdringung leicht wegdenken kann. Man nennt sie auch die \defind{Kreuzhaube}. \end{figure} \begin{Proposition*} Gegeben ein endlicher K"orper $\mathbb F$ gibt es eine zyklische Gruppe von Automorphismen der Inzidenzgeometrie $\mathbb P^2\mathbb F$, die frei und transitiv sowohl auf der Menge der Punkte als auch auf der Menge der Geraden operiert. \end{Proposition*} \nichtfinal{Bild malen! Etwa die $13= 9+3+1$ Punkte von $\mathbb P^2\mathbb F_3$ wie eine Uhr mit dreizehn Zeiten und darin eine Gerade, die dann durch zirkul"are Translation alle Geraden liefert.} \begin{proof} Wir betrachten f"ur eine Primzahlpotenz $q$ die K"orpererweiterung $\mathbb F_{q^3}/\mathbb F_{q}$. Dann ist $\mathbb F_{q^3}$ ein dreidimensionaler $\mathbb F_{q}$-Vektorraum und wir erhalten so eine Untergruppe $\mathbb F_{q^3}^\times\hra \op{GL}(3;\mathbb F_q)$, die frei und transitiv auf dem Komplement des Urspungs operiert. Als multiplikative Gruppe eines endlichen K"orpers ist sie zyklisch nach \eref{MZ}{LA2}. Der Quotient $\mathbb F_{q^3}^\times/\mathbb F_{q}^\times$ ist dann auch zyklisch und operiert frei und transitiv auf $\mathbb P^2\mathbb F_q$ und bildet Geraden auf Geraden ab. Weiter ist die Spurform unserer K"orpererweiterung $\mathbb F_{q^3}/\mathbb F_{q}$ nach "Ubung \eref{SpurA1}{AL} nicht ausgeartet und induziert einen $\mathbb F_{q^3}^\times$-"aquivarianten Isomorphismus von $\mathbb F_q$-Vektorr"aumen $\mathbb F_{q^3}\sira \op{Hom}_{\mathbb F_q}(\mathbb F_{q^3},\mathbb F_q)$. So sehen wir, da"s $\mathbb F_{q^3}^\times$ auch frei und transitiv auf der Menge der von Null verschiedenen $\mathbb F_q$-Linearformen auf $\mathbb F_{q^3}$ operiert und $\mathbb F_{q^3}^\times/\mathbb F_{q}^\times$ folglich frei und transitiv auf der Menge der Geraden in $\mathbb P^2\mathbb F_q$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben ein affiner Raum $E$ sind zwei affine Geraden $g,h\subset E$ genau dann gleich oder parallel, wenn sie sich im Unendlichen schneiden. Genauer und in Formeln gilt also $$g\|h \;\IFF \;\DV g\cap\DV h \cap\DP\vec E \neq \emptyset$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein Vektorraum $V$ und im projektiven Raum $\mathbb P V$ zwei projektive Hyperebenen $U,H\subset \mathbb P V$ sowie ein Punkt $q\in \mathbb P V\backslash( H\cup U)$ im Komplement ihrer Vereinigung induziert unsere Projektion aus \ref{PPG} eine Bijektion\label{NaFe} $$\pi_q: U\sira H$$ \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Linearisierung}] Sei $E$ ein affiner Raum "uber einem K"orper $K$. Jede affine Einbettung $i:E\hra V$ als affine den Ursprung vermeidende Hyperebene in einen Vektorraum $V$ hat die universelle Eigenschaft, da"s f"ur jeden $K$-Vektorraum $W$ das Vorschalten von $i$ eine Bijektion \begin{equation*} \op{Hom}_K (V,W) \sira \op{Aff}_K (E,W) \end{equation*} induziert. Eine solche affine Einbettung ist folglich eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus. Wir nennen sie die {\bf Linearisierung von $E$}.\index{Linearisierung!von affinem Raum}\label{PVA} Jede Linearisierung von $E$ liefert offensichtlich eine Bijektion $(E\times K^\times) \amalg \vec E\sira V$ durch $(e,\lambda)\mapsto\lambda i(e)$ und $\vec v\mapsto \vec\imath(\vec v)$. Man gebe Formeln an f"ur diejenige Verkn"upfung auf $(E\times K^\times) \amalg \vec E$, die unter dieser Bijektion der Addition von Vektoren in $V$ entspricht. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Sei $K$ ein K"orper. Man zeige, da"s die Homothetien und Translationen bereits alle Permutationen von $K^2$ sind, die sich so zu Kollineationen von $\mathbb V K^2$ fortsetzen lassen, da"s die unendlich ferne Gerade punktweise festgehalten wird. Hinweis: Nach \eref{BLN}{LA1} sind alle Kollineationen $K^2\sira L^2$ die von einem K"orperisomorphismus von $K\sira L$ induzierte Abbildung gefolgt von einer bijektiven $K$-linearen Abbildung und einer Translation. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Gegeben ein K"orper $K$ scheiden sich je zwei verschiedene Geraden von $\mathbb P^2K$ in genau einem Punkt. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Kartenspiel zu endlicher projektiver Ebene}] Ich habe zu Hause ein Spiel mit gut 50 Karten und 8 Symbolen auf jeder Karte derart, da"s je zwei Karten genau ein Symbol gemeinsam haben. Es gilt dann, als erster das Symbol zu nennen, das die erste Karte vom Kartenstapel eines Spielers mit dem in der Mitte liegenden Ablagestapel gemeinsam hat, und dann darf man seine Karte in der Mitte ablegen. Wer als Erster alle Karten seines eigenen Stapels in der Mitte abgelegt hat, hat gewonnen. K"onnen Sie so ein Spiel entwerfen? Mit wievielen Karten kriegen Sie es maximal hin? Wieviele Symbole verwenden Sie dabei? \end{Ubung} \subsection{Projektivit"aten und Fotographien} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein K"orper $K$ induziert der offensichtliche Gruppenhomomorphismus $\op{GL}(n+1;K)\ra \op{Ens}^\times( K^{n+1})$ einen nat"urlichen Gruppenhomomorphismus $\op{GL}(n+1;K)\ra \op{Ens}^\times(\mathbb P^n K)$. Dessen Bild hei"st die\index{PGL@$\op{PGL}(r;K)$ projektive Gruppe} {\bf projektive Gruppe}\index{projektiv!Gruppe} $$\op{PGL}(n+1;K)\subset \op{Ens}^\times(\mathbb P^n K)$$ Die Elemente der projektiven Gruppe hei"sen {\bf Projektivit"aten}.\index{Projektivit"at} Der Kern der Surjektion $\op{GL}(n+1;K)\sra \op{PGL}(n+1;K)$ besteht aus allen\label{PGL} invertierbaren skalaren Matrizen, wie Sie als "Ubung \ref{pkl} selbst zeigen d"urfen. So liefert unsere Surjektion einen Isomorphismus $\op{GL}(n+1;K)/K^\times{\op{I}}\sira \op{PGL}(n+1;K)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Offensichtlich sind alle Projektivit"aten Kollineationen. Offensichtlich gibt es f"ur je zwei projektive Geraden in einem projektiven Raum eine Projektivit"at, die sie ineinander "uberf"uhrt.\label{trGER} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vervollst"andigte Fototransformationen}] Wir erinnern aus \ref{PrVin} unsere Fototransformationen $\phi\pdef j^{-1}\zeta_{q,H} i: \DR^2 \dashrightarrow \DR^2 $ zu Einbettungen $i,j:\DR^2\ra\DR^3$ der Gestalt $i:(x,y)^\top\mapsto A(0,x,y)^\top+\vec v$ und $j:(x,y)^\top\mapsto B(0,x,y)^\top + \vec w$ f"ur $A,B\in\op{SO}(3)$ Drehmatrizen und $\vec v,\vec w\in\DR^3$ Vektoren und einem Augpunkt $q\in \DR^3$, der weder im Bild von $i$ noch im Bild von $j$ liegt. Sicher erhalten wir dieselben Fototransformationen, wenn wir uns auf den Fall beschr"anken, da"s $q=0$ der Ursprung des Koordinatensystems ist. Dann induzieren $i$ und $j$ Bijektionen\label{FoTT} $\hat{\imath},\hat{\jmath}:\mathbb V \DR^2\sira \mathbb P^2 \DR$, die f"ur gew"ohnlich von unseren Standard\-identifikationen abweichen, und unsere partiell definierte Fototransforma\-tion ist eine Einschr"ankung der Bijektion $$\hat\phi\pdef \hat{\jmath}^{-1} \hat{\imath}: \mathbb V\DR^2 \sira \mathbb V\DR^2 $$ Wir nennen auch diese Bijektionen {\bf Fototransformationen} oder, wenn wir sie von unseren partiell definierten Fototransformationen aus \ref{PrVin} unterscheiden wollen, {\bf vervollst"andigte Fototransformationen}.\index{Fototransformation!vervollst"andigte} Sie sind stets Kollineationen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Projektive Gruppe und Fotographien}] Die von den vervollst"andigten Fototransformationen erzeugte Untergruppe $F\subset \op{Ens}^\times(\mathbb V \DR^2)$ entspricht unter unserer Standardidentifikation $s:\mathbb V \DR^2\sira \mathbb P^2\DR$ der projektiven Gruppe, in Formeln\label{URF} $$sFs^{-1}=\op{PGL}(3; \DR)$$ \end{Satz} \begin{proof} Wir zeigen zun"achst die Inklusion $\subset$. In der Tat bilden ja nach Annahme und in den Notationen aus \ref{FoTT} die Vektoren $i(0,0)$, $i(1,0)$ und $i(0,1)$ eine Basis des $\DR^3$ und dasselbe gilt f"ur die Vektoren $j(0,0)$, $j(1,0)$ und $j(0,1)$. F"ur den linearen Automorphismus $L\in\op{GL}(3;\DR)$, der die Erste dieser Basen in die Zweite "uberf"uhrt, kommutieren sicher die Diagramme \begin{displaymath} \xymatrix{\DR^2\ar@{=}[d]\ar@{^{(}->}[r]^-{i}&\DR^3 \ar[d]^{L}\\ \DR^2\ar@{^{(}->}[r]^-{j}&\DR^3} \qquad\qquad\xymatrix{\mathbb V\DR^2\ar@{=}[d]\ar[r]_\sim^-{\hat{\imath}}&\mathbb P^2 \DR \ar[d]^{L}\\ \mathbb V\DR^2\ar[r]_\sim^-{\hat{\jmath}}&\mathbb P^2 \DR} \end{displaymath} Es folgt $\hat\jmath\hat\imath^{-1}\in\op{PGL}(3;\DR)$ und wegen $s=\hat\sigma$ f"ur $\sigma:(x,y)\mapsto (1,x,y)$ auch $s(\hat{\jmath}^{-1}\hat{\imath})s^{-1}=(\hat\sigma\hat{\jmath}^{-1})(\hat{\imath}\hat\sigma^{-1})\in \op{PGL}(3;\DR)$. Um die andere Inklusion $\supset$ zu zeigen, bemerken wir zun"achst $s(\hat\sigma^{-1}\hat\imath) s^{-1}=\hat\imath\hat\sigma^{-1}\in sFs^{-1}$ f"ur alle $i$, und dies Element der projektiven Gruppe hinwiederum wird nach unseren Diagrammen repr"asentiert durch die lineare Abbildung $L$, die ${\op{e}}_1,{\op{e}}_1+{\op{e}}_2$ und ${\op{e}}_1+{\op{e}}_3$ auf $i(0,0)$, $i(1,0)$ und $i(0,1)$ wirft. Geht etwa das zweite Tripel durch eine \glqq Verschiebung der Fotoplatte gegen das Gem"alde um $\lambda{\op{e}}_2$\grqq\ aus dem ersten Tripel hervor, so da"s in Formeln ${\op{e}}_1+\lambda {\op{e}}_2, {\op{e}}_1+{\op{e}}_2+\lambda {\op{e}}_2,{\op{e}}_1+{\op{e}}_3+\lambda {\op{e}}_2$ unser zweites Tripel ist, so wird die zugeh"orige Projektivit"at induziert durch die Matrix $$L= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ \lambda&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} $$ Weiter sehen wir, da"s auch die Projektivit"aten zu Permutationsmatrizen alle zu $sFs^{-1}$ geh"oren, indem wir f"ur eine Permutation $\tau\in \mathcal S_3$ eben ${\op{e}}_{\tau(1)},{\op{e}}_{\tau(1)}+{\op{e}}_{\tau(2)}$ und ${\op{e}}_{\tau(1)}+{\op{e}}_{\tau(3)}$ als unser zweites Tripel nehmen. Die Untergruppe $sFs^{-1}\subset \op{PGL}(3;\DR)$ umfa"st damit die Klassen aller speziellen Elementarmatrizen. Da aber die speziellen Elementarmatrizen nach \eref{ESER}{LA2} bereits die ganze spezielle lineare Gruppe $\op{SL}(3;\DR)$ erzeugen, folgt $sFs^{-1}=\op{PGL}(3;\DR)$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Projektive Gruppe und Kollineationen}] Die Gruppe aller Kollineationen in $\op{Ens}^\times(\mathbb P^2 \DR)$ ist genau die projektive Gruppe $\op{PGL}(3; \DR)$.\label{PGK} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Salopp gesprochen sind also unsere \glqq Umrechnungen zwischen verschiedenen Fotographien\grqq\ aus \ref{URF} genau diejenigen Permutationen der reell-pro\-jek\-tiven Ebene, die Geraden in Geraden "uberf"uhren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Dasselbe sollte auch in allen endlichen h"oheren Dimensionen gelten mit im wesentlichen demselben Beweis. Als neue Zutat gilt es nur zu zeigen, da"s jede maximale echte Teilmenge eines $\mathbb P^n\DR$, die mit je zwei verschiedenen Punkten auch die ganze projektive Gerade durch sie umfa"st, eine projektive Hyperebene ist. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Es ist klar, da"s die projektive Gruppe $\op{PGL}(3; \DR)$ aus Kollineationen besteht. Gegeben eine Kollineation $k:\mathbb P^2 \DR\sira \mathbb P^2 \DR$ wird andererseits die unendlich ferne Gerade $\mathbb P^1 \DR$ auf eine Gerade abgebildet und wir finden ein Element $g\in \op{PGL}(3; \DR)$ derart, da"s $gk$ die unendlich ferne Gerade stabilisiert. Dann induziert $gk$ nach \eref{IAGe}{LA1} eine affine Abbildung auf dem Komplement $\DR^2$ der unendlich fernen Gerade, und indem wir $g$ geeignet ab"andern, d"urfen wir annehmen, da"s $gk$ auf diesem Komplement die Identit"at ist. Eine derartige Kollineation mu"s aber auch auf der unendlich fernen Geraden die Identit"at sein und so folgt $k=g^{-1}$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{pkl} Ein Automorphismus eines Vektorraums, der jeden eindimensionalen Untervektorraum stabilisiert, ist ein skalares Vielfaches der Identit"at. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben in einem projektiven Raum zwei Paare $(g_i, x_i)_{i=1,2}$ aus einer eine Gerade und einen Punkt au"serhalb dieser Gerade gibt es stets eine Projektivit"at, die das eine Paar in das andere ineinander "uberf"uhrt.\label{trGERf} Idem f"ur einen Punkt auf einer Gerade. Idem f"ur zwei verschiedene Punkte auf einer Gerade. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $K$ ein K"orper. Man zeige: Gegeben zwei Tripel von paarweise verschiedenen Ursprungsgeraden in der Ebene $K^2$ gibt es stets eine lineare Abbildung, die das eine Tripel in das andere "uberf"uhrt, und diese lineare Abbildung ist eindeutig bestimmt bis auf einen Skalar. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $K$ ein K"orper. Die vorhergehende "Ubung zeigt, da"s es f"ur jedes Quadrupel $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ von paarweise verschiedenen Punkten der projektiven Gerade $\mathbb P^1 K$ genau ein Element $g\in\op{PGL}(2;K)$ gibt, das es in ein Quadrupel der Gestalt $(x,0,1,\infty)$ "uberf"uhrt. Man zeige, da"s hier $x$ im Fall, da"s keiner unserer urspr"unglichen Punkte $\infty$ ist, gegeben wird durch die Formel $$x=\frac{x_1-x_2}{x_1-x_4} \left/\frac{x_3-x_2}{x_3-x_4}\right.$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{TRPG} Sei $K$ ein K"orper. Wir erinnern an die kanonische Bijektion $K\amalg\{\infty\}\sira \DP^1K$ aus \ref{PrIf} mit $z\mapsto \langle 1,z\rangle$ und $\infty\mapsto\langle 0,1\rangle$. Man zeige: Gegeben zwei Tripel von paarweise verschiedenen Geraden in der Ebene $K^2$ gibt es stets eine lineare Abbildung, die das eine Tripel in das andere "uberf"uhrt, und diese lineare Abbildung ist eindeutig bestimmt bis auf einen Skalar. F"ur unsere Operation von $\op{PGL}(2;K)$ auf $(\Bbb{P}^{1}K)^3 $ liefert demnach die Vorschrift $g\mapsto g(0,1, \infty)$ eine Bijektion $$\op{PGL}(2;K)\;\sira\; (\Bbb{P}^{1}K)^3\backslash \Delta$$ f"ur $\Delta$ die \glqq dicke Diagonale\grqq\ alias die Menge aller Tripel mit mindestens zwei gleichen Eintr"agen. Man definiert das \defind{Doppelverh"altnis} $$b:(\Bbb{P}^{1}K)^4\backslash \Delta\;\sira \;K\backslash\{0,1\}$$ auf der Menge aller Quadrupel mit vier paarweise verschiedenen Eintr"agen durch die Vorschrift, da"s jedem derartigen Quadrupel $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ derjenige eindeutig bestimmte Punkt $x\in K$ zugeordnet werden soll, f"ur den es ein $g\in \op{GL}(2;K)$ gibt mit $g:(x_1,x_2,x_3,x_4)\mapsto (x,0,1,\infty)$. Man zeige %f"ur $x_1,x_2,x_3,x_4\in K$ paarweise verschieden f"ur dies Doppelverh"altnis im Fall, da"s keiner unserer vier Punkte der Punkt $\infty$ ist, die Formel $$b(x_1,x_2,x_3,x_4)=\frac{x_1-x_2}{x_1-x_4} \left/\frac{x_3-x_2}{x_3-x_4}\right.$$ Sie erkl"art auch die Herkunft der Bezeichnung als Doppelverh"altnis. Im Fall, da"s einer unserer vier Punkte $\infty$ ist, gilt unsere Formel dem Sinne nach immer noch, mu"s aber mit einer gewissen Sorgfalt interpretiert werden. \end{Ubung} \begin{Ubungw} Ich bin ziemlich sicher, da"s die vervollst"andigten Fototransformationen eine offene dichte Teilmenge der projektiven Gruppe $\op{PGL}(3;\DR)$ bilden. Daraus w"urde unmittelbar folgen, da"s jedes Element der projektiven Gruppe als Verkn"upfung von zwei vervollst"andigten Fototransformationen dargestellt werden kann. Ich h"atte gerne eine etwas explizitere Beschreibung derjenigen Elemente der projektiven Gruppe, die keine vervollst"andigten Fototransformationen sind. Ich erwarte, da"s sich insbesondere die meisten Scherungen nicht als Fototransformationen realisieren lassen. % Brief von Rolfdieter Franke, % der das geloest hat und sagt, Moebius habe sie in seiner Arbeit % Der baryzentrische Calcuel auch geloest. Ich habe per Email um Details % gebeten. \end{Ubungw} \nichtfinal{Es gibt einen wunderbaren Satz von Euler, nach dem der Abstand $d$ zwischen Umkreismittelpunkt und Innkreismittelpunkt eines Dreiecks gegeben wird durch die Formel $d^2=R(R-2r)$ f"ur $R$ der Umkreisradius und $r$ der Innkreisradius. Ist also ein Dreieck gegeben und nehmen wir ein zweites Dreieck mit demselben Innkreis und zwei Ecken auf dem Umkreis des ersten Dreiecks liegt auch die dritte Ecke des zweiten Dreiecks auf dem Umkreis des ersten Dreiecks. In der projektiven Geometrie kann man je zwei Kegelschnitte, die sich nicht schneiden, in zwei Kreise "uberf"uhren (?). Gegeben also ein Dreieck zusammen mit einer Innenellipse und einer Au"senellpise und ein zweites Dreieck mit derselben Innenellipse und zwei Ecken auf derelben Au"senellipse liegt auch die dritte Ecke des zweiten Dreiecks auf besagter Au"senellipse.} \subsection{Die S"atze von Desargues und Pappos}\label{DesPa} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation durch Fotographie}] Ich erinnere an die Desargueseigenschaft \ref{DesEi} und die Papposeigenschaft \ref{DesDea} f"ur affine Inzidenzebenen. Wir wissen, da"s sie f"ur $\DR^2$ und allgemeiner f"ur jede zweidimensionale affine Ebene "uber einem K"orper gelten und diese sogar charakterisieren. Wenn wir nun die Figur zu einem dieser S"atze auf ein Papier malen und dies Papier von irgendwoher mit einer Lochkamera fotographieren, bleiben salopp gesprochen in unserer Fotographie Geraden immer noch Geraden, aber parallele Geraden bleiben nicht parallel. Vielmehr schneiden sich die Bilder paralleler Geraden in ihrem gemeinsamen Fluchtpunkt und alle diese Fluchtpunkte von parallelen Geraden in Ebene des Papiers, das sagen wir auf einem Tisch liegt, bilden ihrerseits eine Gerade, den Horizont. Diese Erkenntnis f"uhrt uns zur Formulierung und dem Beweis der beiden folgenden S"atze. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.8\textheight]{SkriptenBilder/BildDesA}\\[4mm] \noindent Der Satz von Desargues besagt, da"s die drei als hohle Kreise dargestellten Schnittpunkte stets auf einer hier gestrichelt gezeichneten Gerade liegen. \end{Bild} \begin{Satz}[\textbf{von Desargues}] Seien in der projektiven Ebene $\mathbb P^2 K$ "uber einem K"orper $K$ drei paarweise verschiedene projektive Geraden $g_1,g_2,g_3$ mit einem gemeinsamen Punkt $z$ gegeben und f"ur $i\in\{1,2,3\}$ Punkte $x_i,y_i\in g_i\backslash z$ mit $x_i\neq y_i$.\label{DesDe} So sind die Schnittpunkte $\overline{x_1x_2}\cap \overline{y_1y_2}$ und $\overline{x_2x_3}\cap \overline{y_2y_3}$ und $\overline{x_1x_3}\cap \overline{y_1y_3}$ kollinear. \end{Satz} \begin{proof} Wir bezeichnen unsere drei Schnittpunkte mit dem jeweils fehlenden Index als $s_3,s_1$ und $s_2$. Fallen zwei dieser Schnittpunkte zusammen, so bleibt eh nichts mehr zu zeigen. Sonst betrachten wir die projektive Gerade $l\pdef \overline{s_3s_1}$ durch die ersten beiden unserer Schnittpunkte und finden nach \ref{trGER} eine Kollineation, die $l$ in die projektive Gerade der unendlich fernen Punkte transformiert. Liegt keiner der Punkte $x_i,y_i$ auf $l$, so verwandelt sich unser Satz von Desargues unter dieser Kollineation in die Desargueseigenschaft aus \ref{DesEi} falls $z\not\in l$ beziehungsweise die ausgeartete Desargueseigenschaft aus \ref{Pdes} falls $z\in l$ und wir sind fertig. Nun argumentieren wir noch, warum keiner der Punkte $x_i,y_i$ auf $l$ liegen kann. Der Schnittpunkt $s_3\pdef \overline{x_1x_2}\cap \overline{y_1y_2}$ kann weder auf $g_1$ noch auf $g_2$ liegen, h"ochstens auf $g_3$. Analog kann $s_1$ nicht auf $g_2$ und $g_3$ liegen, h"ochstens auf $g_1$. So folgt schon einmal $l\neq g_i$ f"ur alle $i$. H"atten wir nun etwa $x_1\in l$, so folgte $x_1=l\cap g_1=s_3$ und so $g_1=\overline{y_1y_2}$ im Widerspruch zu unseren Annahmen. Analog argumentieren wir f"ur die anderen Punkte $x_i,y_i$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{von Pappos}] Seien in der projektiven Ebene $\mathbb P^2 K$ "uber einem K"orper $K$ Geraden $g, h$ gegeben und f"ur $i\in\{1,2,3\}$ paarweise verschiedene Punkte $x_i\in g\backslash h$ und $y_i\in h\backslash g$. So sind die Schnittpunkte $\overline{x_1y_2}\cap\overline{x_2y_1}$ und $ \overline{x_2y_3}\cap\overline{x_3y_2}$ und $\overline{x_1y_3}\cap\overline{x_3y_1}$ kollinear. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Salopp ausgedr"uckt sagt unsere Eigenschaft: Gegeben zwei verschiedene Geraden und ein Sechseck, dessen Ecken abwechselnd auf der einen und auf der anderen Gerade liegen, sind die drei Schnittpunkte jeweils gegen"uberliegender Kantengeraden unseres Sechsecks kollinear. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir bezeichnen unsere drei Schnittpunkte mit dem jeweils fehlenden Index als $s_3,s_1$ und $s_2$. Fallen zwei dieser Schnittpunkte zusammen, so bleibt eh nichts mehr zu zeigen. Sonst betrachten wir die projektive Gerade $l\pdef \overline{s_3s_1}$ durch die ersten beiden unserer Schnittpunkte und finden nach \ref{trGER} eine Kollineation, die $l$ in die projektive Gerade der unendlich fernen Punkte transformiert. Liegt keiner der Punkte $x_i,y_i$ auf $l$, so verwandelt sich unser Satz von Pappos unter dieser Kollineation in die Papposeigenschaft aus \ref{DesDea} und wir sind fertig. Nun argumentieren wir noch, warum keiner der Punkte $x_i,y_i$ auf $l$ liegen kann. Der Schnittpunkt $s_3\pdef \overline{x_1y_2}\cap \overline{x_2y_1}$ kann nicht auf $g$ liegen, da wir sonst $x_1=s_3=x_2$ haben m"u"sten. Wir folgern $l\neq g$ und ebenso $l\neq h$. Weiter finden wir $l\neq \overline{x_1y_2}$, da wir sonst $s_1=y_2\in h$ haben m"u"sten. Also gilt $l\cap \overline{x_1y_2}=\{s_3\}$ und so $x_1\not\in l$. Analog argumentieren wir f"ur die anderen Punkte $x_i,y_i$. \end{proof} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPapp}\\[4mm] \noindent Der Satz von Pappos besagt, da"s die drei als hohle Kreise dargestellten Schnittpunkte stets auf einer hier gestrichelt gezeichneten Gerade liegen. \end{Bild} % \begin{Bild} % \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildPaPa}\\[4mm] % \noindent Der Fall einer parallelen dritten Gerade % beim Beweis der Pappos-Eigenschaft \ref{PaKO}. % Die unendlich fernen Punkte $x_{1i}$ geh"oren zu den % Parallelenscharen, von denen zwei Repr"asentanten mit jeweils % $i$ Strichen gekennzeichnet sind. Zu zeigen ist, da"s % der Schnittpunkt $x_{33}$ der gestrichelten Linien % auf $\overline{x_{31}x_{32}}$ liegt, das als parallel zur Geraden % durch die Punkte $x_{2i}$ angenommen ist. % \end{Bild} % \begin{Bemerkungl}[\textbf{Selbstdualit"at der Desargues-Eigenschaft}] % WOHIN? Verst"arken wir in der Formulierung der Desargues-Eigenschaft % den letzten Satz zur Forderung \glqq Genau dann gibt es einen Punkt, der mit je zwei Punkten % in Bijektion kollinear ist, wenn es eine Gerade gibt, % die mit je zwei Geraden in % Bijektion kopunktal ist\grqq, so gilt diese % a priori st"arkere Eigenschaft offensichtlich f"ur eine projektive % Inzidenzebene genau dann, wenn sie f"ur die duale projektive % Inzidenzebene gilt. % \end{Bemerkungl} \subsection{Punkt-Geraden-Dualit"at}\label{PGD} \begin{Definition} Eine {\bf Inzidenzstruktur}\index{Inzidenzstruktur} ist ein Datum $(X, G, I)$ bestehend aus zwei Mengen $X$ und $G$ und einer Teilmenge $I \subset X \times G$. Statt $(x,g) \in I$ schreiben wir auch $x I g$ oder $gIx$ und sagen {\bf $x$ inzidiert mit $g$} und {\bf $g$ inzidiert mit $x$}. Gegeben zwei Inzidenzstrukturen $(X, G, I)$ und $(X', G', I')$ verstehen wir unter einem {\bf Isomorphismus von Inzidenzstrukturen} ein Paar $(\varphi,\psi)$ bestehend aus einer Bijektion $\varphi:X\sira X'$ und einer Bijektion $\psi:G\sira G'$ derart, da"s gilt $(\varphi\times \psi)(I)=I'$. \end{Definition} \begin{Beispiel} Jeder \hyperref[IzGG]{Inzidenzgeometrie} $(X,G)$ k"onnen wir eine Inzidenzstruktur $(X,G,I)$ zuordnen durch die Vorschrift $I\pdef\{(x,g)\mid x\in g\}$. Gegeben eine weitere Inzidenzgeometrie $(X',G')$ ist dar"uber hinaus eine Abbildung $\psi:X\ra X'$ genau dann eine \hyperref[Kolli]{Kollineation}, wenn sie sich zu einem Isomorphismus der zugeh"origen Inzidenzstrukturen fortsetzen l"a"st, und diese Fortsetzung ist dann eindeutig bestimmt. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben eine Inzidenzstruktur $(X,G,I)$ betrachten wir die Vertauschungsabbildung $\tau : X \times G \sira G \times X$ gegeben durch $\tau(x,g)\pdef (g,x)$ und nennen $(G,X, \tau (I))$\label{PGS} die {\bf duale Inzidenzstruktur}.\index{dual!Inzidenzstruktur} \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Punkt-Geraden-Dualit"at}] Seien $V$ ein dreidimensionaler Vektorraum und $V^\ast$ sein Dualraum. \begin{enumerate} \item Wir erhalten eine Bijektion $\varphi$ zwischen $\mathbb P(V^\ast)$ und der Menge der projektiven Geraden in $\mathbb P(V)$ durch die Abbildungsvorschrift $\langle \lambda\rangle\mapsto \mathbb P(\op{ker}\lambda)$; \item Wir erhalten eine Bijektion $\varphi_\ast$ zwischen $\mathbb P(V)$ und der Menge der projektiven Geraden in $\mathbb P(V^\ast)$ durch die Abbildungsvorschrift $\langle v\rangle\mapsto \mathbb P(\op{ker}\op{ev}(v))$; \item Das Paar $(\varphi,\varphi_\ast^{-1})$ ist ein Isomorphismus zwischen der Inzidenzstruktur zur Inzidenzgeometrie $\mathbb P(V^\ast)$ und dem Dualen der Inzidenzstruktur zur Inzidenzgeometrie $\mathbb P(V)$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Ganz allgemein liefert f"ur jeden endlichdimensionalen Vektorraum $V$ die Vorschrift $U\mapsto U^\perp$ eine inklusionsumkehrende Bijektion zwischen der Menge aller Untervektorr"aume von $V$ und der Menge aller Untervektorr"aume von $V^\ast$. Der Satz folgt. \end{proof} % \subsection{Alter Quatsch} % \begin{Bemerkungl} % Durch den "Ubergang von affinen Inzidenzebenen zu den sogenannten \glqq % projektiven Inzidenzebenen\grqq\ % entstehen neue Symmetrien, die die Eigenschaften von Desargues % und Pappos zu sehr viel st"arkeren Aussagen machen. Das soll im folgenden % ausgef"uhrt werden. % \end{Bemerkungl} % \begin{Definition}\label{pIE} % Eine {\bf projektive Inzidenzebene}\index{Inzidenzebene!projektive} % $(X,G)$ ist eine \hyperref[IzGG]{Inzidenzgeometrie} mit den beiden folgenden % zus"atzlichen Eigenschaften: % \begin{enumerate} % \item Gegeben $g, h \in G$ mit $g \neq h$ gibt es genau ein $x \in X$ mit $x % \in g$ und % $x \in h$ alias: % Je zwei verschiedene Geraden schneiden sich in genau einem Punkt; % \item Es gibt vier paarweise verschiedene Punkte, von denen keine drei % kollinear sind. % Man nennt solch eine Menge von Punkten auch ein {\bf Viereck}.\index{Viereck} % \end{enumerate} % \end{Definition} % \begin{Beispiel}\label{pRu} % Ist $W$ ein dreidimensionaler Vektorraum % "uber einem K"orper $K$, so ist der \hyperref[CUe]{projektive Raum} % $X \pdef \mathbb P W$ mit seinen in \ref{CUe} erkl"arten % projektiven Geraden als Geraden % eine projektive Inzidenzebene. %Analoges gilt, wenn allgemeiner $K$ ein Schiefk"orper ist. % \end{Beispiel} %\begin{Beispiel} % Ist $K$ ein Schiefk"orper, so wird die %Menge\index{P@$\Bbb{P}^nK$ projektiver Raum!zu Schiefk"orper} %$$X\pdef \Bbb{P}^2K \pdef (K^3\backslash 0)/K^\times$$ %der Bahnen unter der Rechtsmultiplikation von $K^\times$ %eine projektive Inzidenzebene, wenn wir projektive Geraden %analog wie im kommutativen Fall erkl"aren. %\end{Beispiel} % \begin{Beispiel}[\textbf{Projektive Vervollst"andigung}] % Gegeben eine affine Inzi\-denz\-ebene $(X, G)$ k"onnen wir eine projektive Inzidenzebene\label{PrVix} % $(\mathbb V X, \bar{ G})$ konstruieren wie folgt: % Die Menge der "Aquivalenzklassen unserer "Aquivalenzrelation % \glqq gleich oder parallel\grqq\ aus \ref{gop} notieren wir % $\mathbb S X$ und nennen ihre Elemente, also die einzelnen % "Aquivalenzklassen, die {\bf unendlich fernen Punkte % von $X$}.\index{unendlich!ferner Punkt} Es mag verwirrend sein, da"s % die unendlich fernen Punkte % von $X$ keine Punkte von $X$ sind, sondern % vielmehr Mengen von Teilmengen von $X$, % aber so ist nun einmal die Terminologie. % Dann erkl"aren wir die Menge $\mathbb V X$ als die disjunkte Vereinigung % \begin{equation*} % \mathbb V X \pdef X \sqcup \mathbb S X % \end{equation*} % und erkl"aren $\bar{ G} \subset \mathcal P (\mathbb V X)$, indem % wir % zu jedem $g \in G$ die Menge % $\bar{g} \pdef g \sqcup [g]$ mit $[g] \in \mathbb S X$ % der "Aquivalenzklasse von $g$ bilden und dann % $$\bar{ G} \pdef\{ \bar g \mid g \in G\} % \sqcup \{ \mathbb S X\}$$ setzen. % In diesem Zusammenhang hei"st $\mathbb S X$ die {\bf unendlich ferne % Gerade}.\index{unendlich!ferne Gerade}\index{Gerade!unendlich ferne} % Man sieht leicht, da"s die projektive Vervollst"andigung % einer affinen Inzidenzebene stets eine projektive Inzidenzebene ist. % Umgekehrt ist auch klar, da"s man stets eine affine % Inzidenzebene erh"alt, wenn man eine projektive Gerade aus einer % projektiven Inzidenzebene entfernt und als affine Geraden die Schnitte der % anderen projektiven Geraden mit dem Komplement besagter projektiver % Gerade erkl"art. % \end{Beispiel} % \begin{Beispiel} % Ist $E$ ein zweidimensionaler affiner Raum % "uber einem K"orper $K$, % so haben wir eine nat"urliche Bijektion % $\mathbb P\vec E\sira \mathbb S E$ % zwischen der Projektivisierung seines Richtungsraums % und seiner unendlich fernen Gerade und die davon induzierte % Bijektion zwischen der in \ref{PrVi} konstruierten Vervollst"andigung % und der hier konstruierten Vervollst"andigung ist ein Isomorphismus % $\mathbb V E\sira \mathbb V E$ von Inzidenzgeometrien, weshalb % wir auch von Anfang an keine neue Notation eingef"uhrt haben. % \end{Beispiel} % \begin{Definition} % Eine Inzidenzstruktur nennen wir eine\label{aIS} % {\bf abstrakte Inzidenzgeometrie},\index{Inzidenzgeometrie!abstrakte} % wenn es f"ur jedes $g\in G$ zwei verschiedene Punkte $x,y\in X$ gibt % mit $xIg$ und $yIg$ und wenn es f"ur je zwei verschiedene Punkte $x,y\in X$ % genau ein $g\in G$ gibt mit $xIg$ und $yIg$. % \end{Definition} % \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Begriffsvarianten \glqq abstrakt -- konkret\grqq\ bei Inzidenzgeometrien}] % Eine Inzidenzgeometrie $(X,G)$ im Sinne von \ref{IzGG} mit % $G\subset \mathcal P(X)$ nennen wir % f"ur die folgende Diskussion eine \glqq konkrete Inzidenzgeometrie\grqq. % Aus jeder konkreten Inzidenzgeometrie % k"onnen wir eine abstrakte Inzidenzgeometrie machen, indem % wir $I\pdef \{(x,g)\in X\times G\mid x\in g\}$ setzen. % Aus jeder abstrakten Inzidenzgeometrie $(X,G,I)$ k"onnen wir % umgekehrt eine konkrete Inzidenzgeometrie machen, indem wir % $\varphi_I:G\hra \mathcal P(X)$ erkl"aren durch $\varphi_I(g)\pdef \{x\in X\mid xIg\}$ und dann $(X,\varphi_I(G))$ als unsere konkrete Inzidenzgeometrie % nehmen. Machen wir aus einer konkreten Inzidenzgeometrie die zugeh"orige % abstrakte Inzidenzgeometrie, so liefert uns unsere zweite Konstruktion % die urspr"unglich konkrete Inzidenzgeometrie zur"uck. % Machen wir umgekehrt aus einer abstrakten Inzidenzgeometrie die zugeh"orige % konkrete Inzidenzgeometrie, so liefert uns unsere erste Konstruktion % eine isomorphe abstrakte Inzidenzgeometrie. % In diesem Sinne sind beide Konzepte nur unwesentlich verschieden. % Der Nutzen dieser beiden % Begrifflichkeiten % liegt allein darin, die Betonung % unterschiedlicher Aspekte der Theorie zu erleichtern. % Wenn wir bei einer affinen oder projektiven Inzidenzebene % besonders betonen wollen, das wir sie als abstrakte Inzidenzgeometrie denken, % so sprechen % wir von einer {\bf abstrakten affinen} oder {\bf abstrakten projektiven Inzidenzebene}. % \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} Ich fasse nocheinmal zusammen, unter welchen Bedingungen % eine Inzidenzstruktur $(X,G,I)$ eine abstrakte projektive Inzidenzebene % ist. Sie mu"s daf"ur ja eine Inzidenzgeometrie \ref{aIS} % sein und die "ubersetzten % Eigenschaften nach \ref{pIE} erf"ullen. Ausgeschrieben bedeutet das % insgesamt die folgenden vier % Bedingungen an unsere Inzidenzstruktur: % \begin{enumerate} % \item[(0.)] % F"ur alle $g\in G$ gibt es $x,y\in X$ % mit $x\neq y$ und $xIgIy$; % \item % F"ur alle $x,y\in X$ mit $x\neq y$ % gibt es genau ein $g\in G$ mit $xIgIy$; % \item F"ur alle $g, h \in G$ mit $g \neq h$ gibt es genau ein $x \in X$ mit $g I x I h$; % \item % Es gibt $x_1,\ldots,x_4\in X$ und $g_1,\ldots,g_4\in G$ jeweils paarweise verschieden mit $x_1Ig_1Ix_2Ig_2Ix_3Ig_3Ix_4Ig_4Ix_1$ in unzul"assig abk"urzender Notation. % \end{enumerate} % Hierbei folgt die nullte Bedingung bereits aus den anderen, % denn gegeben $g\in G$ gibt es $y_1,\ldots,y_4$ mit $gIy_iIg_i$, und w"aren % diese $y_i$ alle gleich, so k"onnten die $x_i$ nicht % paarweise verschieden gewesen sein. % \end{Bemerkungl} % \subsubsection*{"Ubungen} % \begin{Ubung} % Man zeige, da"s in einer projektiven Inzidenzebene jede Gerade mindestens % drei Punkte hat. % \end{Ubung} % \begin{Ubung} % Man zeige ohne auf den Koordinatisierungssatz % zur"uckzugreifen, da"s eine projektive Inzidenzebene genau dann % die Pappos-Eigenschaft hat, wenn die duale projektive Inzidenzebene % die Pappos-Eigenschaft hat. % \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXEL" %%% End: