\section{Die Vorlesung Elementargeometrie im SS 18}
Es handelte sich um eine zweist"undige Vorlesung, also w"ochentlich 2$\times$45
Minuten Vorlesung mit w"ochentlich 2$\times$45
Minuten  "Ubungen. Wegen des ungeschickten Donnerstags-Termins
gab es nur elf Vorlesungen.
Im Modulhandbuch steht:\begin{quote}
Die Studierenden kennen den axiomatischen und den analytischen Zugang zur
Geometrie. Sie verstehen die mathematischen Grundlagen und die Inhalte des
Geometrieunterrichts an Gymnasien und k"onnen diese mathematikgeschichtlich
einordnen. 
\end{quote}
Und als Inhalte:
 Axiomensysteme f"ur die affine und die euklidische Geometrie; Der analytische Zugang zur Geometrie "uber Koordinaten; Nichteuklidische Geometrie -- ein Modell der hyperbolischen Ebene; Projektionen und projektive Geometrie; Isometriegruppen euklidischer R"aume und platonische K"orper,
  Eulersche Polyederformel; Geometrie der Kegelschnitte.
Hier nun das Tagebuch der Vorlesung.
\begin{enumerate}
\item[19.4]
Affine Inzidenzebenen \ref{IzG}, Desargues-Eigenschaft und Koordinatisierung
  \ref{DEKo}, Verschiebungen, noch nicht deren Gruppeneigenschaft.
\item[26.4]
  Koordinatisierung
  \ref{DEKo} fertig bewiesen,
  aber zum Teil auch eher skizzenhaft.
  Pappus angegeben und gezeigt, da"s er gleichbedeutend ist zur Kommutativit"at
  eines und jedes  Koordinatenschiefk"orpers.
  Satz von Hessenberg \ref{DEHE} angegeben, aber nicht beweisen.
  Charakterisierung \ref{GCR} reeller Inzidenzebenen durch
  \glqq Zwischenrelation\grqq\ nur ganz 
  kurz angesprochen.
Neues Kapitel begonnen: Definition affiner R"aume und affiner Abbildungen \eref{AfRa}{LA1}.
  Lemma \eref{LinE}{LA1} "uber affine R"aume und ihre Geraden steht noch aus. 
\item[3.5]
Affine R"aume und affine Abbildungen \eref{AfRa}{LA1}.
Affine Teilr"aume \eref{ATR}{LA1}. Charakterisierung affiner Abbildungen \eref{IAGe}{LA1}. Baryzentrische Koordinaten \eref{Sww}{LA1}
nur ganz kurz, sollen in den "Ubungen weiter besprochen werden.
\item[17.5]
  Parallel- und Zentralprojektion \ref{PZP}.
  Bilder von Geraden unter Zentralprojektionen.
  Umrechnung zwischen Fotographien \ref{PrVin}.
  Projektive R"aume als Inzidenzgeometrien \ref{CUe}.
  Anschauung f"ur die reelle projektive Ebene.
  Projektive Vervollst"andigungen affiner R"aume als
  Inzidenzgeometrien \ref{PrVi}.
Explizite Beschreibung der Geraden. 
  Projektive Hyperebenen und deren Schnitte
  mit projektiven  Geraden \ref{SGH}. Kurz: Nach projektiver Vervollst"andigung
  sind Parallelprojektionen spezielle Zentralprojektionen und die
  Zentralprojektion von einer Hyperebene auf eine weitere
  Hyperebene verliert ihre Definitionsl"ucken und wird eine Bijektion.
  \ref{PPG} und \ref{NaFe} waren noch nicht dran.
\item[7.6] Die euklidische Ebene als Kongruenzebene \eref{HMAn}{LA2}.
  Gut fertiggeworden, noch Pythagoras gezeigt.
\item[14.6]
  Winkel \eref{WW}{LA2}: Zweistrahlen, Orientierte und nichtorientierte Winkel, Winkelgruppe
  und Winkelmenge, Identifikation der Winkelgruppe mit
  ${\op{U}}(1)$ durch Standardorientierung von $\DC$ und mit
  ${\op{SO}}(2)$ durch Standardorientierung von $\DR^2$, 
  Winkelma"se,
  Beziehung zum Skalarprodukt, Winkelsumme im Dreieck mit Beweis. 
Ich war nachher nicht sicher, ob das eine Doppelstunde wert war.
\item[21.6.]
  Isometrien euklidischer R"aume \eref{OAL}{LA2} und \eref{KlI}{LA2}.
  Endliche Untergruppen der Drehgruppe,  bis zur
  entscheidenden Gleichung $$2-\frac{2}{|G|} = \sum^{r}_{i=1}\left( 1- \frac{1}{n_{i}}\right)$$ gekommen, daraus aber noch nichts gefolgert.
\item[28.6.]
  M"ogliche Polordnungsmengen \eref{KED}{LA2} und
  platonische K"orper \eref{plEM}{LA2}.
  Euler'sche Polyederformel \eref{TFEF}{LA2}.
  Hauptachsentransformation \eref{HaTTm}{LA2} und  ihre inhomogene
  Variante \eref{KKZ}{LA2}.
\item[5.7.]
  Fototransformationen \ref{URF} und Kollineationen \ref{PGK} als
  Elemente der projektiven Gruppe $\op{PGL}(3;\DR)$.
  Inzidenzstrukturen,  abstrakte projektive Inzidenzebenen,
  Punkt-Geraden-Duales einer abstrakten projektiven Inzidenzebene,
  Isomorphismus zwischen $\mathbb P V$ und dem Punkt-Geraden-Dualen von
  $\mathbb P (V^*)$ im Fall $\op{dim}V=3$ nach \ref{PGD}.
\item[12.7]
  Desargues und Pappus im Vollausbau \ref{DesPa}. Kreispiegelungen \ref{MoGeK}.
  Erhalten Kreise. Appollonisches Problem \ref{Apol}. M"obiustransformationen \ref{MoeT}.
  Deren komplexe Interpretation als komplexe projektive Gruppe
  $\op{PGL}(2;\DC)$ f"ur orientierungserhaltende M"obiustransformationen
  und $\op{PGL}(2;\DC)\langle\bar\gamma\rangle$ f"ur alle  M"obiustransformationen \ref{Mpoi}.
\item[19.7] Orthogonalit"at
  von verallgemeinerten Kreisen \ref{senkK}. Bleibt erhalten unter
  M"obiustransformationen. Disjunkte Kreise k"onnen in
  konzentrische echte Kreise M"obiustransformiert werden. 
  Kreiskettensatz von Steiner \ref{KvSk}. Die hyperbolische Ebene
  als Inzidenzgeometrie mit Zwischenrelation und
  ausgezeichneter Automorphismengruppe \ref{NEAx}, \ref{KvP}. 
 \end{enumerate}



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