\section{Basiswechsel f"ur eigentliche direkte Bilder} \subsection{Eigentliches direktes Bild} % \emph{Die neuen Ergebnisse sind in Zusammenarbeit mit % Olaf Schn"urer entstanden.} \begin{Definition} Wir konstruieren f"ur jede stetige Abbildung $f:X\ra Y$ das {\bf direkte Bild mit eigentlichem Tr"ager}\index{direktes Bild!eigentliches} oder\index{)7shriek@$f_{~!}$ eigentlicher Vorschub!$f_{(~!)}$ underivierter} kurz das {\bf eigentliche direkte Bild}\label{EDBiA} $$f_{(!)} : \op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}_{/Y}$$ durch $(f_{(!)}\cal{F}) (U) \pdef \{ s \in \cal{F} (f^{-1}(U)) \mid f:(\op{supp}s)\ra U \;\text{ ist eigentlich} \}$. Wegen der Lokalit"at der Eigentlichkeit in der Basis \eref{Ell}{ML} ist $f_{(!)} \cal{F} \subset f_{(\ast)} \cal{F}$ eine Untergarbe von Mengen und nach \eref{VUAa}{ML} sogar eine Untergarbe von abelschen Gruppen. F"ur eigentliche Abbildungen $f$ haben wir per definitionem $f_{(!)}= f_{(\ast)}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} "Ublicherweise f"uhrt man diesen Begriff nur f"ur stetige Abbildungen zwischen lokal kompakten Hausdorffr"aumen ein. Wir wollen im folgenden zeigen, da"s er auch noch in etwas gr"o"serer Allgemeinheit sinnvoll ist, genauer f"ur unsere lokal eigentlichen Abbildungen aus Definition \ref{LEAm}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Im Fall der Einbettung $i$ einer lokal abgeschlossenen Teilmenge ist $i_{(!)}\mathcal F$ die Ausdehnung von $\mathcal F$ durch Null, die wir bereits in \ref{Adehn} betrachtet hatten und die in der Literatur oft $i_{!}\mathcal F$ notiert wird. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Iterierte eigentliche Bilder}]\label{DBE} Sind $g : Z \ra Y$ und $f: Y \ra X$ stetig und ist zus"atzlich $f$ separiert, so induziert die Isotransformation $f_{(\ast) }\circ g_{(\ast)} \siRa (f \circ g)_{(\ast)}$ aus \ref{GDBi} eine Isotransformation $$f_{(!)} \circ g_{(!)} \siRa (f \circ g)_{(!)}$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sei $U\co X$. Ein Schnitt in $(f_{(!)}(g_{(!)}\cal{F}))(U)$ ist per definitionem ein Schnitt $s \in (g_{(!)} \cal{F})(f^{-1}(U))$ mit $f:(\op{supp} s) \ra U$ eigentlich und noch weiter ausgeschrieben ein Schnitt $t \in \cal{F} (g^{-1}(f^{-1}(U)))$ mit $g:(\op{supp} t) \ra f^{-1}(U)$ eigentlich und $f: g(\op{supp} t) \ra U$ eigentlich, wobei wir \ref{SB} verwenden. Mit \eref{VSU}{ML} mu"s auch die induzierte Abbildung $g:(\op{supp} t) \ra g(\op{supp} t)$ eigentlich sein und damit die Verkn"upfung $f\circ g:(\op{supp} t) \ra U$. Folglich haben wir sogar ohne alle Voraussetzungen in hoffentlich selbsterkl"arender Notation $f_{(!)} ( g_{(!)} \mathcal F)\subset (f \circ g)_{(!)}\mathcal F$. Ist nun umgekehrt $t \in \cal{F}(g^{-1}(f^{-1} (U)))$ ein Schnitt mit $f\circ g: (\op{supp} t) \ra U$ eigentlich und ist $f$ separiert, so ist auch $g:(\op{supp} t) \ra f^{-1} (U)$ eigentlich nach \eref{SaA}{ML} und dann folgt mit \ref{SB} bereits $\op{supp} (g_{(\ast)} t) = g (\op{supp} t)$ und das geht mit einer eigentlichen Abbildung weiter nach $U$ wegen \eref{VSU}{ML}. Folglich liegt $t$ auch in $(f_{(!)} (g_{(!)} \cal{F})) (U)$. \end{proof} \subsection{Eigentlicher Basiswechsel} \begin{Lemma}\label{BaWW1} Gegeben ein kartesisches Diagramm von topologischen R"aumen $p\circ g=f\circ q$ induziert die Identit"at $ f_{(\ast)} q_{(\ast)}= p_{(\ast)}g_{(\ast)}$ eine Transformation $$ f_{(!)} q_{(\ast)}\RA p_{(\ast)}g_{(!)}$$ \end{Lemma} \begin{proof} Wir schreiben unser kartesisches Diagramm aus als $$\xymatrix{%\kart W \ar[r]^{q}\ar[d]_{g} & Y\ar[d]^{f}\\ Z \ar[r]^{p} & X }$$ Es reicht, die Behauptung auf den globalen Schnitten zu pr"ufen. Nun besteht f"ur jede abelsche Garbe $\cal{G} $ auf $W$ die Gruppe $\Gamma f_{(!)} q_{(\ast)} \cal{G}$ nach unserer Beschreibung \ref{SB} der Tr"ager von Schnitten in Bildgarben aus allen Schnitten $s \in \Gamma \cal{G}$ mit $f : \overline{q(\op{supp} s)} \ra X$ eigentlich. Nun ist jedoch auch $$\xymatrix{%\kart q^{-1} (\overline{q (\op{supp}s)}) \ar[r]\ar[d] & \overline{q(\op{supp} s)}\ar[d]\\ Z \ar[r] & X }$$ kartesisch und damit $g : (\op{supp} s) \ra Z$ eigentlich und unser Schnitt geh"ort auch zu $\Gamma p_{(\ast)} g_{(!)} \cal{G}$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{BaWWnc}%\label{BaWW} Gegeben ein kartesisches Diagramm $p\circ g=f\circ q$ von topologischen R"aumen erhalten wir eine kanonische Transformation $$p^{(\ast)} f_{(!)} \RA g_{(!)} q^{(\ast)} $$ durch die Adjunktion $(p^{(\ast)}, p_{(\ast)})$ aus der Verkn"upfung $f_{(!)} \RA f_{(!)} q_{(\ast)}q^{(\ast)} \RA p_{(\ast)}g_{(!)}q^{(\ast)}$ von Transformationen, in der die erste Transformation von der Adjunktion $(q^{(\ast)}, q_{(\ast)})$ herkommt und die Zweite von Lemma \ref{BaWW1}. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Eigentlicher Basiswechsel}] Gegeben $p\circ g=f\circ q$ ein kartesisches Diagramm von topologischen R"aumen mit\label{BaWea} separierten lokal eigentlichen Vertikalen $f,g$ ist die in \ref{BaWWnc} konstruierte Transformation eine Isotransformation $$p^{(\ast)} f_{(!)} \overset{\sim}{\RA} g_{(!)} q^{(\ast)} $$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Sind $f,g$ sogar separiert und eigentlich, so ist der Basiswechsel sogar eine Isotransformation $p^{(\ast)} f_{(*)} \overset{\sim}{\RA} g_{(*)} q^{(\ast)} $. Das gilt nach \ref{EBWA} sogar f"ur beliebige Garben von Mengen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Es gilt zu zeigen, da"s unsere Transformation f"ur jede abelsche Garbe $\cal{F}$ auf dem Definitionsbereich $Y$ von $f$ einen Isomorphismus $$p^{(\ast)} f_{(!)} \cal{F} \overset{\sim}{\ra} g_{(!)} q^{(\ast)} \cal{F}$$ induziert. Da ein Morphismus von Garben ein Isomorphismus ist genau dann, wenn er auf allen Halmen Isomorphismen liefert, d"urfen wir ohne Beschr"an\-kung der Allgemeinheit annehmen, $Z$ bestehe aus einem einzigen Punkt $x \in X$. In diesem Fall behauptet der Satz, da"s die offensichtliche Abbildung eine Bijektion $$(f_{(!)}\cal{F})_{x} \overset{\sim}{\ra} \Gamma_{!} (f^{-1}(x); \cal{F})$$ liefert. Wir beginnen mit der Injektivit"at. Ist $U \co X$ eine offene Umgebung von $x$ und $s \in \cal{F}(f^{-1}(U))$ ein Schnitt mit $(\op{supp} s) \ra U$ eigentlich aber $s|f^{-1}(x) =0$, so geh"ort $x$ nicht zu $f(\op{supp} s) \As U$. Bezeichnet $V\co U$ das Komplement dieser abgeschlossenen Teilmenge, so wird $s \in (f_{(!)} \cal{F})(U)$ zu Null bei der Restriktion auf $V$ alias $f^{-1}(V)$. Das zeigt die Injektivit"at. F"ur die Surjektivit"at beginnen wir mit einem Schnitt $s: f^{-1}(x) \ra \bar{\cal{F}}$, aufgefa"st als stetige Abbildung in den \'etalen Raum mit kompaktem Tr"ager $K \subset f^{-1}(x)$. Nach \ref{FSK} und \eref{SRH}{ML} l"a"st er sich von $K$ auf eine offene Umgebung $C \co Y$ von $K$ fortsetzen. Indem wir $C$ geeignet verkleinern, d"urfen wir zus"atzlich annehmen, da"s diese Fortsetzung auf ganz $C\cap f^{-1} (x)$ mit $s$ "ubereinstimmt. Wir nennen auch diese Ausdehnung $s$. Jetzt suchen wir eine Zwischenmenge $B$ mit $K \subset B^{\circ} \subset B \subset C$ und $U \co X$ mit $B \ra U$ eigentlich. In der Tat finden wir f"ur jedes $y \in K$ in $Y$ eine Umgebung $A_{y} \subset C$ von $y$ und eine offene Umgebung $U_{y} \co X$ von $f(y)$ mit $f: A_{y} \ra U_{y}$ eigentlich und folglich $A_y\As f^{-1}(U_y)$ nach \eref{SaA}{ML}. Endlich viele der $A_{y}^\circ$ "uberdecken $K$ und wir k"onnen als $U$ den Schnitt der zugeh"origen $U_{y}$ nehmen und als $B$ nach \eref{VUAa}{ML} die Vereinigung dieser $A_{y}$ geschnitten mit $f^{-1}(U)$. Nun haben wir $B^{\circ}\co f^{-1}(U)$ und $B \As f^{-1} (U)$. Bezeichnet $\partial B = B \backslash B^{\circ}$ den Rand von $B$ bez"uglich $f^{-1}(U)$, so ist $\partial B \ra U$ mithin auch eigentlich. Der Schnitt $(\op{supp} s)\cap \partial B$ geht also eigentlich auf $U$. Da nun gilt $(\op{supp} s) \cap f^{-1}(x) \cap \partial B = K \cap \partial B = \emptyset$, vermeidet sein Bild den Punkt $x$. Verkleinern wir also $U$ noch weiter, so d"urfen wir $(\op{supp} s) \cap \partial B =\emptyset$ annehmen, so da"s $s$ auf $\partial B$ verschwindet und durch Null stetig von $B$ auf ganz $f^{-1}(U)$ fortgesetzt werden kann zu einem Schnitt mit "uber $U$ eigentlichem Tr"ager. \end{proof} \subsection{Derivierter eigentlicher Basiswechsel} \begin{Satz}[\textbf{Derivierter eigentlicher Basiswechsel}] Gegeben ein kartesisches Diagramm von\label{DeBaW} topologischen R"aumen mit lokal eigentlichen separierten Vertikalen \begin{displaymath} \xymatrix{ W \ar[r]^q \ar[d]_g & X\ar[d]^f\\ Z \ar[r]^p &Y } \end{displaymath} liefern im Raum der Funktoren $\op{Der}^+ (\op{Ab}_{/X}) \rightarrow \op{Der}^+ (\op{Ab}_{/Z})$ die offensichtlichen Transformationen Isotransformationen der zugeh"origen rechtsderivierten Funktoren $\op{R}(p^{(\ast)} \circ f_{(!)})\overset{\sim}{\RA}p^\ast \circ f_!$ sowie $\op{R}(g_{(!)} \circ q^{(\ast)})\overset{\sim}{\RA}g_! \circ q^\ast$ und unser Basiswechsel \ref{BaWe} liefert somit eine Isotransformation \begin{displaymath} p^\ast \circ f_! \overset{\sim}{\RA} g_! \circ q^\ast \end{displaymath} \end{Satz} \begin{proof} Ziehen wir eine injektive Garbe auf $X$ nach $W$ zur"uck, so erhalten wir eine $g$-kompaktweiche und mithin nach \ref{teL} eine $g_{(!)}$-azyklische Garbe. Dann liefert die Spektralsequenz von Grothendieck \ref{GsPP} die behauptete Isotransformation $\op{R}(g_{(!)} \circ q^{(\ast)})\overset{\sim}{\RA}g_! \circ q^\ast$. Der Rest des Beweises wirft keinerlei Schwierigkeiten mehr auf. \end{proof} \subsection{Derivierte Projektionsformel} \begin{Satz}[\textbf{Derivierte Projektionsformel}] Sei $\pi : Y \rightarrow X$ separiert und lokal eigentlich.\label{ANNO} So haben wir f"ur $\mathcal F \in \op{Der}^+ (\op{Ab}_{/Y})$ und $\mathcal G \in \op{Der}^+ (\op{Ab}_{/X}) $ kanonische Isomorphismen \begin{equation*} (\pi_{!} \mathcal F) \hotimes \mathcal G \overset{\sim}{\rightarrow} \pi_{!} (\mathcal F \hotimes \pi^\ast \mathcal G) \end{equation*} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ich verwende $\hotimes$ f"ur das derivierte Tensorprodukt. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Unsere nat"urlichen Homomorphismen aus \ref{NatT} liefern schon mal f"ur $\mathcal F \in \op{Ket}^+ (\op{Ab}_{/Y})$ und $\mathcal G \in \op{Ket}^+ (\op{Ab}_{/X}) $ nat"urliche Homomorphismen \begin{equation*} (\pi_{(!)} \mathcal F) \otimes \mathcal G \ra \pi_{(!)} (\mathcal F \otimes \pi^\ast \mathcal G) \end{equation*} und durch Einschr"ankung auf Komplexe injektiver abelscher Garben eine Transformation von Funktoren $$\op{Hot}^+ (i\op{Ab}_{/Y})\times \op{Hot}^+ (\op{Ab}_{/X}) \ra \op{Hot}^+ (\op{Ab}_{/X})$$ F"ur festes $\mathcal F$ k"onnen wir nun auf beiden Seiten den Derivierten des zugeh"origen Funktors $\op{Hot}^+ (\op{Ab}_{/X}) \ra \op{Hot}^+ (\op{Ab}_{/X})$ nach \ref{DdaZ} berechnen, indem wir $\mathcal G$ durch eine gegen die Pfeile beschr"ankte Aufl"osung durch flache Garben ersetzen. So folgt dann die Behauptung aus der underivierten Version \ref{ProFor}. \end{proof} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Tensorprodukt und direktes Bild}] Das direkte Bild vertauscht im allgemeinen nicht mit dem Tensorprodukt mit konstanten Garben, noch nicht einmal beliebige Produkte vertauschen damit. Im Spezialfall eines Tensorprodukts mit dem Quotienten nach dem von einem k"urzbaren Element $a$ in einem Kring $k$ erzeugten Hauptideal stimmt das aber im Derivierten doch, denn das ausgezeichnete Dreieck zur kurzen exakten Sequenz $k\hra k\sra k/ka$ bleibt ausgezeichnet beim Zur"uckziehen auf jeden Raum und ebenso beim deriviertem Darantensorieren eines Komplexes von Garben von $k$-Moduln. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Uneigentliche Projektionsformel}] Sei $\pi : Y \rightarrow X$ stetig.\label{ANNOv} So haben wir f"ur $\mathcal F \in \op{Der}^+ (\op{Ab}_{/Y})$ und $\mathcal G \in \op{Der}^+ (\op{Ab}_{/X}) $ einen kanonischen Morphismus \begin{equation*} (\pi_{\ast} \mathcal F) \hotimes \mathcal G \ra \pi_{\ast} (\mathcal F \hotimes \pi^\ast \mathcal G) \end{equation*} Halten wir $\mathcal F$ fest, so bilden die Objekte $\mathcal G$, f"ur die unsere Morphismen Isomorphismen sind, eine volle triangulierte Unterkategorie von $\op{Der}^+ (\op{Ab}_{/X}) $, die zumindest die konstante Garbe enth"alt. \end{Bemerkunge} \subsection{Verdier-Dualit"at} \begin{Beispiel} F"ur die konstante Abbildung $c : \Bbb{R} \ra \op{pt}$ besitzt der Funktor $c_{(!)} : \op{Ab}_{/\Bbb{R}} \ra \op{Ab}_{/\op{pt}}$ keinen Rechtsadjungierten, da er sonst nach \ref{LaE} rechtsexakt sein m"u"ste. Das ist er jedoch nicht: Zum Beispiel wird der Epimorphismus der konstanten Garbe auf den Wolkenkratzer am Ursprung $\Bbb{Z}_{\Bbb{R}} \twoheadrightarrow \Bbb{Z}_{0}$ unter $c_{(!)}$ die Einbettung $0_{\op{pt}} \hookrightarrow \Bbb{Z}_{\op{pt}}$, und diese ist kein Epimorphismus. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Verdier-Dualit"at}] Sei $f: X \ra Y$ separiert lokal eigentlich\label{VdDa} mit $f_{(!)}: \op{Ab}_{/X} \ra \op{Ab}_{/Y}$ von endlicher homologischer Dimension. So besitzt das derivierte eigentliche Bild $f_{!}: \op{Der}^+ (\op{Ab}_{/X}) \rightarrow \op{Der}^+ (\op{Ab}_{/Y})$ einen Rechtsadjungierten, das \emph{\bf eigentliche Zur"uckholen} \index{eigentliches Zur"uckholen} \index{Zur"uckholen!eigentliches} \begin{displaymath} f^! : \op{Der}^+ (\op{Ab}_{/Y}) \rightarrow \op{Der}^+ (\op{Ab}_{/X}) \end{displaymath} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Beweis ben"otigt einige Vorbereitungen und wird erst zu Ende dieses Abschnitts in \ref{VnDD} gegeben. Der Fall separierter \'etaler Abbildungen folgt noch elementar aus \ref{lfad} zusammen mit der Erkenntnis, da"s in diesem Fall gilt $f^!=f^\ast$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Darstellbarkeit von Funktoren auf Garben}] Sei $X$ ein topologischer Raum. Ein Funktor\label{DBKr} $ \mu : \op{Ab}_{/X} \rightarrow \op{Ab}^{\op{opp}} $ ist genau dann darstellbar alias isomorph zu einem Funktor der Gestalt $\mathcal F \mapsto \op{Ab}_{/X} (\mathcal F, \mathcal C)$ mit $\mathcal C \in \op{Ab}_{/X}$, wenn er mit Kolimites vertauscht. \end{Satz} \begin{proof} Da"s ein darstellbarer Funktor mit Kolimites vertauschen mu"s, ist eh klar. Sind weiter eine abelsche Garbe $\mathcal C \in \op{Ab}_{/X}$ und nat"urliche Bijektionen \begin{equation*} \mu (\mathcal F) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Ab}_{/X} (\mathcal F, \mathcal C) \end{equation*} gegeben, so erhalten wir mit $\mathcal F = \mathbb Z_{U\subset X} := i_{(!)} \mathbb Z_U$ f"ur $i: U \hookrightarrow X$ die Einbettung einer offenen Teilmenge Bijektionen $ \mu (\mathbb Z_{U\subset X}) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal C (U) $. F"ur $V \co U$ mu"s dar"uber hinaus der offensichtliche Morphismus $\mathbb Z_{V\subset X} \rightarrow \mathbb Z_{U\subset X}$ zu einem kommutativen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mu (\mathbb Z_{U\subset X}) \ar[r]^-\sim \ar[d]& \mathcal C (U)\ar[d]^-{\op{res}^V_U}\\ \mu(\mathbb Z_{V\subset X}) \ar[r]^-\sim &\mathcal C (V) } \end{displaymath} mit besagten Bijektionen in den Horizontalen f"uhren. Damit ist auch der weitere Gang des Beweises klar: Wir konstruieren zu unserem Funktor $\mu$ eine abelsche Pr"agarbe $\mathcal C_\mu$ durch die Vorschrift \begin{equation*} \mathcal C_\mu (U) := \mu (\mathbb Z_{U\subset X}) \end{equation*} und zeigen, da"s sie unter unseren zus"atzlichen Annahmen eine Garbe ist, die den Funktor $\mu$ darstellt. Um zu zeigen, da"s $\mathcal C_\mu$ eine Garbe ist, betrachten wir ein System $\mathcal U \subset \mathcal P (X)$ von offenen Teilmengen mit Vereinigung $V \co X$ und das Diagramm \begin{equation*} \bigoplus_{(U,U^\prime) \in \mathcal U^2} \mathbb Z_{(U \cap U^\prime)\subset X} \begin{array}{c} \rightarrow\\[-3mm] \rightarrow \end{array} \bigoplus_{U \in \mathcal U} \mathbb Z_{U\subset X} \rightarrow \mathbb Z_{V\subset X} \end{equation*} mit den beiden ersten Pfeilen gegeben einerseits durch $\mathbb Z_{(U \cap U^\prime)\subset X} \rightarrow \mathbb Z_{U\subset X}$ und andererseits durch $\mathbb Z_{(U \cap U^\prime)\subset X} \rightarrow \mathbb Z_{U^\prime\subset X}$. An den Halmen erkennt man, da"s hier $\mathbb Z_{V\subset X}$ der Kolimes der linken H"alfte unseres Diagramms alias der Koegalisator der beiden linken Pfeile ist. Kommutiert $\mu$ mit Kolimites, so mu"s mithin $\mathcal C_\mu$ eine abelsche Garbe sein. Es bleibt noch zu zeigen, da"s diese abelsche Garbe auch in der Tat den Funktor $\mu$ darstellt. Bezeichne dazu $\op{Off}_X$ die Kategorie der offenen Teilmengen von $X$ mit Inklusionen als Morphismen und $ J : \op{Off}_X \rightarrow \op{Ab}_{/X} $ den Funktor $U \mapsto \mathbb Z_{U\subset X}$. Nun betrachten wir f"ur alle $\mathcal F \in \op{Ab}_{/X}$ die Verkn"upfungen \begin{displaymath} \xymatrix{ \mu (\mathcal F) \ar[r]^-\sim &\op{Cat} (\op{Ab}_{/X}, \op{Ab}^{\op{opp}})(\mu, \op{Ab}_{/X} (\; , \mathcal F)) \ar[d]^-{\circ J}\\ \op{Ab}_{/X} (\mathcal F, \mathcal C_\mu) &\op{Cat} (\op{Off}_X, \op{Ab}^{\op{opp}}) (\mu \circ J, \op{Ab}_{/X} (\; , \mathcal F) \circ J) \ar[l]_-\sim } \end{displaymath} der Identifikation des \hyperref[YL]{Yoneda-Lemmas} mit einigen weiteren offensichtlichen Abbildungen. Sie bilden eine Transformation $\tau : \mu \Rightarrow \op{Ab}_{/X} (\;, \mathcal C_\mu)$ von Funktoren $\op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}^{\op{opp}}$, die auf allen Objekten der Gestalt $\mathbb Z_{U\subset X}$ Isomorphismen $\tau : \mu (\mathbb Z_{U\subset X}) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Ab}_{/X} (\mathbb Z_{U\subset X}, \mathcal C_\mu)$ induziert. Es gilt zu zeigen, da"s sie auf "uberhaupt allen Objekten $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ Isomorphismen $\tau : \mu (\mathcal F) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Ab}_{/X} (\mathcal F, \mathcal C_\mu)$ induziert. Da beide Seiten mit Kolimites vertauschen, folgt das zun"achst f"ur beliebige direkte Summen von Kopien unserer $\mathbb Z_{U\subset X}$. Jede abelsche Garbe ist aber Quotient einer derartigen direkten Summe und dann auch Kokern eines Morphismus zwischen zwei derartigen direkten Summen, und so folgt es dann f"ur $\mathcal F$ beliebig. \end{proof} \begin{Korollar} Seien $X$ ein topologischer Raum und $\mathcal B$ eine abelsche Kategorie. Ein Funktor $\Lambda : \op{Ab}_{/X} \rightarrow \mathcal B$ besitzt genau dann einen Rechtsadjungierten, wenn er mit Kolimites vertauscht. \end{Korollar}\begin{proof} Jeder Funktor, der einen Rechtsadjungierten besitzt, vertauscht mit Kolimites. Andererseits vertauscht auch f"ur alle $B \in \mathcal B$ der Funktor $\mathcal B \rightarrow \op{Ab}^{\op{opp}}, A \mapsto \mathcal B (A,B)$ mit Kolimites. Vertauscht weiter $\Lambda$ mit Kolimites, so auch die Verkn"upfung $$\begin{array}{ccc} \op{Ab}_{/X} &\rightarrow &\op{Ab}^{\op{opp}}\\ \mathcal F &\mapsto &\mathcal B (\Lambda \mathcal F, B) \end{array}$$ Nach dem Darstellbarkeitskriterium \ref{DBKr} ist unsere Verkn"upfung also darstellbar durch eine abelsche Garbe $RB \in \op{Ab}_{/X}$. Man sieht nun ohne M"uhe, da"s wir damit schon den gesuchten Rechtsadjungierten $R$ zu $\Lambda$ konstruiert haben. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein topologischer Raum $X$ mit einer offenen Teilmenge $U\co X$ und eine abelsche Garbe $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ erkl"aren wir ganz allgemein die abelsche Garbe $\mathcal F_{U\subset X}\in\op{Ab}_{/X}$ durch die Vorschrift $\mathcal{F}_{U\subset X} \pdef i_{(!)} i^{(\ast)} \mathcal{F} $ f"ur $i :U \rightarrow X$ die Einbettung. Da beide fraglichen Funktoren exakt sind, f"allt diese Garbe auch zusammen mit dem Objekt $ i_!i^\ast \mathcal{F}$ der derivierten Kategorie. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{Kfaz} Sei $f : X \rightarrow Y$ separiert und lokal eigentlich. So ist eine Garbe $\mathcal{F} \in \op{Ab}_{/X}$ genau dann $f$-kompaktweich, wenn f"ur alle $U \co X$ die Garbe $\mathcal{F}_{U\subset X}$ eine $f_{(!)}$-azyklische Garbe ist. Insbesondere ist mit $\mathcal{F}$ auch $\mathcal{F}_{U\subset X}$ eine $f$-kompaktweiche Garbe. \end{Lemma} \begin{proof} Bezeichnet $j\pdef i_y: \{y\} \hookrightarrow Y$ die Einbettung des Punktes $y\in Y$, so ist $\mathcal{G}\in \op{Ab}_{/X}$ genau dann eine $f_{(!)}$-azyklische Garbe, wenn f"ur alle $y\in Y$ aus $\mathcal{H}^\nu j^\ast f_! \mathcal{G}\neq 0$ bereits folgt $\nu=0$. Mit mehrfachem derivierten Basiswechsel \ref{DeBaW} im doppelt kartesischen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ U\cap f^{-1} (y)\ar[d]_{u} \ar[rr]^l && U \ar[d]^j\\ f^{-1} (y)\ar[d]_{g} \ar@{^{(}->}^k[rr] && X\ar[d]^f\\ \{y\} \ar@{^{(}->}^i[rr] &&Y } \end{displaymath} f"ur alle $y\in Y$ erkennen wir, da"s die $f_{(!)}$-Azyklizit"at von $\mathcal{F}_{U\subset X}$ gleichbedeutend ist dazu, da"s f"ur \begin{equation*} j^\ast f_!\mathcal{F}_{U\subset X}\cong g_! k^\ast \mathcal{F}_{U\subset X} = g_! k^\ast i_! i^\ast \mathcal{F} \cong g_! u_!l^\ast i^\ast \mathcal{F} \cong g_!u_!u^\ast k^\ast \mathcal{F} \end{equation*} und alle $y\in Y$ wieder $\mathcal{H}^0$ das einzige von Null verschiedene $\mathcal{H}^\nu$ ist, da"s also f"ur alle $y\in Y$ mit der Notation $Z\pdef f^{-1} (y)$ f"ur die Faser die Garbe $(k^\ast \mathcal{F})_{(U\cap Z)\subset Z}$ eine $\Gamma_!$-azyklische Garbe ist. Damit k"onnen wir uns auf den Fall eines einpunktigen Raumes zur"uckziehen, den wir im anschlie"senden Lemma \ref{ZKw} behandeln. \end{proof} \begin{Lemma} Eine abelsche Garbe $\mathcal{F}$ auf einem lokal kompakten Hausdorff\-raum $Z$ ist\label{ZKw} kompaktweich genau dann, wenn f"ur alle $W \co Z$ die Garbe $\mathcal{F}_{W\subset Z}$ eine $\Gamma_!$-azyklische Garbe ist. \end{Lemma} \begin{proof} Bezeichne $i: W \hookrightarrow Z$ die Einbettung. Ist $\mathcal{F}$ kompaktweich, so ist auch $i^\ast \mathcal{F}$ kompaktweich nach \ref{WKW} und f"ur die konstante Abbildung $c : Z \rightarrow \op{pt}$ hat folglich \begin{equation*} (c \circ i)_! i^\ast \mathcal{F} \cong c_! i_! i^\ast \mathcal{F} \cong c_! \mathcal{F}_{W\subset Z} \end{equation*} au"ser $\mathcal{H}^0$ keine von Null verschiedenen $\mathcal{H}^\nu$, als da hei"st, $\mathcal{F}_{W\subset Z}$ ist $\Gamma_!$-azyklisch. Sei umgekehrt $\mathcal{F}$ eine abelsche Garbe auf $Z$ derart, da"s $\mathcal{F}_{W\subset Z}$ f"ur alle $W \co Z$ eine $\Gamma_!$-azyklische Garbe ist. Gegeben ein Kompaktum $K\subset Z$ betrachten wir dann sein Komplement $W \co Z$ und folgern aus \ref{KWA} sogar die Surjektivit"at der Restriktion $\Gamma_! (Z; \mathcal{F}) \rightarrow \Gamma (K;\mathcal{F})$. \end{proof} \begin{Lemma}\label{KWAU} Sei $f : X \rightarrow Y$ separiert lokal eigentlich und das eigentliche direkte Bild $f_{(!)} :\op{Ab}_{/X} \rightarrow \op{Ab}_{/Y}$ habe homologische Dimension $r < \infty$. Ist $ \mathcal{G} \hookrightarrow \mathcal{I}^0 \rightarrow \mathcal{I}^1 \rightarrow \ldots \rightarrow \mathcal{I}^{r-1} \twoheadrightarrow \mathcal{K}^r $ eine exakte Sequenz in $\op{Ab}_{/X}$ mit $f$-kompaktweichen $\mathcal{I}^\nu$, so ist $\mathcal{K}^r$ eine $f$-kompaktweiche Garbe. \end{Lemma} \begin{proof} Nach \ref{Kfaz} reicht es zu zeigen, da"s f"ur alle $U \co X$ die Garbe $\mathcal{K}^r_{U\subset X}$ eine $f_{(!)}$-azyklische Garbe ist. Sicher pa"st unsere Garbe in eine exakte Sequenz \begin{equation*} \mathcal{G}_{U\subset X} \hookrightarrow \mathcal{I}^0_{U\subset X} \rightarrow \mathcal{I}^1_{U\subset X} \rightarrow \ldots \rightarrow \mathcal{I}^{r-1}_{U\subset X} \twoheadrightarrow \mathcal{K}^r_{U\subset X} \end{equation*} Mit $\mathcal{I}^\nu$ ist auch $\mathcal{I}^\nu_{U\subset X}$ eine $f$-kompaktweiche Garbe nach \ref{Kfaz}. Spalten wir unsere exakte Sequenz in kurze exakte Sequenzen auf, so liefern die zugeh"origen langen exakten Sequenzen der $\op{R}^i f_{(!)}$ f"ur $i\geq 1$ Isomorphismen \begin{equation*} \op{R}^i f_{(!)} \mathcal{K}^r_{U\subset X} \overset{\sim}{\rightarrow} \op{R}^{i+r} f_{(!)} \mathcal{G} \end{equation*} Die rechte Seite aber verschwindet nach Annahme. \end{proof} \begin{Lemma}\label{KWAUg} Sei $f : X \rightarrow Y$ separiert lokal eigentlich mit $f_{(!)}$ von endlicher homologischer Dimension $r < \infty$. Ist $ \mathcal{G} \hookrightarrow \mathcal{I}^0 \rightarrow \mathcal{I}^1 \rightarrow \ldots \rightarrow \mathcal{I}^{r-1} \twoheadrightarrow \mathcal{K}^r $ eine exakte Sequenz in $\op{Ab}_{/X}$ mit $f$-kompaktweichen $\mathcal{I}^\nu$, so ist $\mathcal{K}^r$ eine $f$-kompaktweiche Garbe. \end{Lemma} \begin{proof} Nach \ref{Kfaz} reicht es zu zeigen, da"s f"ur alle $U \co X$ die Garbe $\mathcal{K}^r_{U\subset X}$ eine $f_{(!)}$-azyklische Garbe ist. Sicher pa"st unsere Garbe in eine exakte Sequenz \begin{equation*} \mathcal{G}_{U\subset X} \hookrightarrow \mathcal{I}^0_{U\subset X} \rightarrow \mathcal{I}^1_{U\subset X} \rightarrow \ldots \rightarrow \mathcal{I}^{r-1}_{U\subset X} \twoheadrightarrow \mathcal{K}^r_{U\subset X} \end{equation*} Mit $\mathcal{I}^\nu$ ist auch $\mathcal{I}^\nu_{U\subset X}$ eine $f$-kompaktweiche Garbe nach \ref{Kfaz}. Spalten wir unsere exakte Sequenz in kurze exakte Sequenzen auf, so liefern die zugeh"origen langen exakten Sequenzen der $\op{R}^i f_{(!)}$ f"ur $i\geq 1$ Isomorphismen \begin{equation*} \op{R}^i f_{(!)} \mathcal{K}^r_{U\subset X} \overset{\sim}{\rightarrow} \op{R}^{i+r} f_{(!)} \mathcal{G} \end{equation*} Die rechte Seite aber verschwindet nach Annahme. \end{proof} \begin{Lemma} Sei $f : X \rightarrow Y$ separiert lokal eigentlich mit $f_{(!)}$ von endlicher homologischer Dimension.\label{tKK} Sei $\mathcal K \in \op{Ab}_{/X}$ flach und $f$-kompaktweich. So ist $\mathcal F \otimes \mathcal K$ eine $f$-kompaktweiche Garbe f"ur alle $\mathcal F \in \op{Ab}_{/X}$. \end{Lemma} \begin{Bemerkunge} Ich w"u"ste gerne, ob das auch gilt, wenn $\mathcal K$ nicht flach ist oder $f_{(!)}$ nicht von endlicher homologischer Dimension. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Jede Garbe $\mathcal F$ auf $X$ besitzt eine Aufl"osung $\ldots \rightarrow \mathcal F^{-1} \rightarrow \mathcal F^0 \twoheadrightarrow \mathcal F$ mit $\mathcal F^i$ jeweils einer direkten Summe von Kopien von Garben der Gestalt $\mathbb Z_{U\subset X}$ f"ur $U \co X$. Sie liefert eine exakte Sequenz \begin{equation*} \ldots \rightarrow \mathcal F^{-1} \otimes \mathcal K \rightarrow \mathcal F^0 \otimes \mathcal K \twoheadrightarrow \mathcal F \otimes \mathcal K \end{equation*} Nach \ref{KWAU} reicht es zu zeigen, da"s $\mathcal F^{-i} \otimes \mathcal K$ eine $f$-kompaktweiche Garbe ist f"ur alle $i$. Aber $\mathcal F^{-i} \otimes \mathcal K$ ist eine direkte Summe von Garben der Gestalt $\mathbb Z_{U\subset X} \otimes \mathcal K = \mathcal K_{U\subset X}$ und ist folglich $f$-kompaktweich nach \ref{LKWG} und der Vertr"aglichkeit von Kolimites und inversen Bildern. \end{proof} \begin{Lemma} \label{p:fusk} Seien $f \colon X \ra Y$ eine separierte lokal eigentliche Abbildung mit $f_{(!)}$ von endlicher homologischer Dimension und sei $\mathcal{K} \in \op{Ab}_{/X}$ eine flache $f$-kompaktweiche abelsche Garbe auf $X$. So besitzt der Funktor $$ f_{(!)}^{\mathcal{K}} \pdef f_{(!)}(\;\; \otimes \mathcal{K}) \colon \op{Ab}_{/X} \ra \op{Ab}_{/Y} $$ einen Rechtsadjungierten $f^{(!)}_{\mathcal{K}}$. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Als Rechtsadjungierter eines exakten Funktors macht $f^{(!)}_{\mathcal K}$ zus"atzlich injektive Garben zu injektiven Garben.\label{p:fsk} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Jede Transformation von Funktoren induziert eine Transformation in die Gegenrichtung auf den Adjungierten. Jeder Morphismus $\mathcal K\ra\mathcal L$ von flachen $f$-kompaktweichen Garben liefert so eine Transformation $f^{(!)}_{\mathcal L}\RA f^{(!)}_{\mathcal K}$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Der Funktor $\otimes \mathcal K$ erh"alt Kolimites, ist exakt, und bildet nach \ref{tKK} jede Garbe auf eine $f$-kompaktweiche Garbe ab. Folglich ist $f^\mathcal{K}_{(!)}$ exakt. Nach \ref{VTVT} erh"alt es auch filtrierende Kolimites. Als rechtsexakter Funktor, der direkte Summen erh"alt, vertauscht er dann sogar mit beliebigen Kolimites und besitzt nach \ref{DBKr} folglich einen Rechtsadjungierten. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Geht man die Konstruktion durch, so erh"alt man f"ur die Schnitte von $f^{(!)}_{\mathcal K}(\mathcal G)$ die Beschreibung $$(f^{(!)}_{\mathcal K}(\mathcal G))(U)=\op{Ab}_{/Y}(f_{(!)}\mathcal K_{U\subset X},\mathcal G)$$ Ist $\mathcal K$ nur $f$-kompaktweich aber nicht notwendig flach, so liefert dieselbe Konstruktion immer noch zu jeder Garbe $\mathcal G\in \op{Ab}_{/Y}$ eine Garbe $f^{(!)}_{\mathcal K}(\mathcal G)\in \op{Ab}_{/X}$. Unsere Konstruktion zeigt dann, da"s diese Garbe den Funktor $\mathcal F \mapsto \mathcal H^0f_!(\mathcal F\otimes^{\op{L}}\mathcal K)$ darstellt. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[{\textbf{Verdier-Dualit"at}}] Sei $f \colon X \ra Y$ separiert lokal eigentlich mit $f_{(!)}$ von endlicher homologischer\label{VerD} %\label{VDD} Dimension. Dann besitzt das derivierte eigentliche direkte Bild $f_{!}\colon \op{Der}^+(\op{Ab}_{/X}) \rightarrow \op{Der}^+(\op{Ab}_{/Y})$ einen Rechtsadjungierten \begin{equation*} f^! \colon \op{Der}^+(\op{Ab}_{/Y}) \rightarrow \op{Der}^+(\op{Ab}_{/X}) \end{equation*} \end{Satz} \begin{proof} Sei $ 0 \ra \DZ_X \hra \mathcal{K}^0 \ra \mathcal{K}^1 \ra \dots \ra \mathcal{K}^d \ra 0 $ eine beschr"ankte Aufl"osung der konstanten Garbe durch flache $f$-kompaktweiche Garben. Nach \ref{ZFe} und \ref{KWAU} k"onnen wir solch eine Aufl"osung etwa durch geeignetes Abschneiden der Godement-Aufl"osung erhalten. F"ur einen Komplex $\mathcal{G} \in \op{Ket}^+(\op{Ab}_{/Y})$ konstruieren wir nun mit Hilfe unserer Funktoren aus \ref{p:fusk} den Doppelkomplex $f^{(!)}_{\mathcal{K}^{-p}}(\mathcal{G}^q)$. Bezeichne $f^{(!)}_\mathcal{K}(\mathcal{G})$ seinen Totalkomplex. In dieser Weise erhalten wir einen Rechtsadjungierten \begin{equation*} f^{(!)}_{\mathcal{K}}\colon \op{Ket}^+(\op{Ab}_{/Y})\ra \op{Ket}^+(\op{Ab}_{/X}) \end{equation*} zum Funktor $$ f_{(!)}^\mathcal{K}\pdef f_{(!)}(\;\; \otimes \mathcal{K}) \colon \op{Ket}^+(\op{Ab}_{/Y}) \ra \op{Ket}^+(\op{Ab}_{/X}) $$ Nach \ref{p:fsk} macht unser Funktor $f^{(!)}_{\mathcal{K}}$ Komplexe injektiver Garben zu Komplexen injektiver Garben. Sei nun $\mathcal{F} \in \op{Ket}^+(\op{Ab}_{/X})$ beliebig. Da $\mathcal{K}$ ein beschr"ankter Komplex flacher Garben ist, mu"s der kanonische Morphismus ein Isomophismus $\mathcal{F} \otimes^{\op{L}} \mathcal{K} \sira \mathcal{F} \otimes \mathcal{K} $ in $\op{Der}^+(\op{Ab}_{/X})$ sein. Nach \ref{tKK} besteht der Komplex $\mathcal{F} \otimes \mathcal{K}$ aus $f$-kompaktweichen und mithin $f_{(!)}$-azyklischen Garben. Der Quasi-Isomorphismus $\DZ_X \qri \mathcal{K}$ zeigt dann, da"s die offensichtlichen Morphismen \begin{equation*} f_{(!)}^\mathcal{K}(\mathcal{F}) = f_{(!)} (\mathcal{F} \otimes \mathcal{K}) \ra f_{!} (\mathcal{F} \otimes \mathcal{K}) =f_{!} (\mathcal{F} \otimes^{\op{L}} \mathcal{K}) \leftarrow f_{!} (\mathcal{F}) \end{equation*} Isomorphismen in der derivierten Kategrie $\op{Der}^+(\op{Ab}_{/Y})$ liefern. Sei nun \begin{equation*} f^!_{\mathcal{K}}\colon \op{Der}^+(\op{Ab}_{/Y}) \ra \op{Der}^+(\op{Ab}_{/X}) \end{equation*} der Rechtsderivierte von $f^{(!)}_\mathcal{K}\colon \op{Hot}^+(\op{Ab}_{/Y}) \ra \op{Der}^+(\op{Ab}_{/X})$. Wie immer kann er mithilfe injektiver Aufl"osungen beschrieben werden. Sei weiter $\mathcal{F}\in \op{Ket}^+(\op{Ab}_{/X})$ beliebig und $\mathcal{G}\in \op{Ket}^+(i\!\op{Ab}_{/Y})$ ein Komplex von injektiven Garben. Das Vorhergehende zeigt, da"s im folgenden Diagramm alle Abbildungen Bijektionen sind. \begin{equation*} \xymatrix@R3ex{ {\op{Hot}_{\op{Ab}/Y}(f_{(!)} (\mathcal{F} \otimes \mathcal{K}), \mathcal{G})} \ar[d]^-{\wr} & {\op{Hot}_{\op{Ab}/X}(\mathcal{F}, f^{(!)}_{\mathcal{K}}\mathcal{G})} \ar[l]_-{\sim} \ar[ddd]^-{\wr}\\ {\op{Der}_{\op{Ab}/Y} (f_{(!)} (\mathcal{F} \otimes \mathcal{K}), \mathcal{G})} \\ {\op{Der}_{\op{Ab}/Y} (f_{!} (\mathcal{F} \otimes^{\op{L}} \mathcal{K}), \mathcal{G})} \ar[u]_-{\wr} \ar[d]^-{\wr} \\ {\op{Der}_{\op{Ab}/Y}(f_{!}\mathcal{F},\mathcal{G})} & {\op{Der}_{\op{Ab}/X} (\mathcal{F}, f^!_{\mathcal{K}}\mathcal{G})} } \end{equation*} Alle Abbildungen dieses Diagramms sind nat"urlich alias funktoriell in Komplexen $\mathcal{F} \in \op{Ket}^+(\op{Ab}_{/X})$ und Komplexen injektiver Garben $\mathcal{G} \in \op{Ket}^+(i\!\op{Ab}_{/Y})$. Das zeigt die gew"unschte Adjunktion $(f_!,f^!_\mathcal{K})$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Sei $f \colon X \ra Y$ separiert lokal eigentlich mit $f_{(!)}$ von endlicher homologischer\label{VerD} %\label{VDD} Dimension. Die Konstruktion liefert f"ur einen beschr"ankten Komplex injektiver abelscher Garben $\mathcal G=(\ldots\ra 0\ra \mathcal I^s\ra\ldots\ra\mathcal I^r\ra 0 \ra\ldots)$ die Absch"atzung\label{duaG} $f^!\mathcal G\in \op{Der}^{\leq r}(\op{Ab}_{/X})\cap \op{Der}^{\geq s-d}(\op{Ab}_{/X})$ f"ur $d$ die L"ange einer flachen $f$-kompaktweichen Aufl"osung der konstanten Garbe $\DZ_X$ wie in obigem Beweis. Betrachten wir speziell die konstante Abbildung eines lokal kompakten Haus\-dorff\-raums $X$ auf einen Punkt $\op{fin}:X\ra \op{top}$ und nehmen $\Gamma_!=\op{fin}_{(!)}$ von endlicher homologischer Dimension an, so finden wir insbesondere $\op{fin}^!\DZ_{\op{top}}\in \op{Der}^{\op{b}}(\op{Ab}_{/X})$. Dies Objekt wird $$\omega_X\pdef \op{fin}^!\DZ_{\op{top}} $$ notiert und hei"st die {\bf dualisierende Garbe}.\index{dualisierende Garbe} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Berechnung der dualisierenden Garbe}] Um einen Repr"asentanten unserer dualisierenden Garbe zu konstruieren, kann man nach dem Vorhergehenden wie folgt vorgehen: Man w"ahlt eine beschr"ankte\label{BDG} flache kompaktweiche Aufl"osung $\DZ_X\hra \mathcal K$ der konstanten Garbe und betrachtet die Komplexe von abelschen Garben $\mathcal I^{-p}: U\mapsto \op{Ab}(\Gamma_!(U;\mathcal K^p),\DQ)$ und $\mathcal J^{-p}:U\mapsto \op{Ab}(\Gamma_!(U;\mathcal K^p),\DQ/\DZ)$ mit hoffentlich offensichtlichen Differentialen. Dann erh"alt man die dualisierende Garbe als verschobenen Abbildungskegel $\op{fin}^!\DZ_{\op{top}}=[-1]\op{Keg}(\mathcal I^\ast \ra \mathcal J^\ast)$ im Sinne eines ausgezeichneten Dreiecks $$\op{fin}^!\DZ_{\op{top}}\ra \mathcal I^\ast \ra \mathcal J^\ast\stackrel{[1]}{\ra}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Dualisierende Garbe durch allgemeinere Aufl"osungen}] Sei weiter $X$ ein lokal kompakter homologisch kompaktendlicher Hausdorffraum. Die in \ref{BDG} gegebene Konstruktion liefert f"ur jeden Komplex $\mathcal K$ kompaktweicher Garben auf $X$, der nur an endlich vielen Stellen nicht exakt ist, ein Objekt $\omega_{\mathcal K}\in \op{Der}^+(\op{Ab}_{/X})$, und jeder Quasiisomorphismus von\label{AlKK} Komplexen $\mathcal K\sira \mathcal L$ f"uhrt zu einem Isomorphismus $\omega_{\mathcal L}\sira \omega_{\mathcal K}$. Es ist aber keineswegs klar und wahrscheinlich auch gar nicht richtig, da"s je zwei kompaktweiche Aufl"osungen von $\DZ_X$ zu isomorphen Resultaten f"uhren, wenn sie nicht zus"atzlich beide flach sind. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{BDGk} Arbeiten wir mit Koeffizienten in einem K"orper $k$ und betrachten die konstante Abbildung eines lokal kompakten Hausdorffraums auf einen Punkt $\op{fin}:X\ra \op{top}$ und nehmen $\op{fin}_{(!)}$ von endlicher homologischer Dimension an, so vereinfacht sich unsere Beschreibung der dualisierenden Garbe substantiell. Wir m"ussen dann nur eine kompaktweiche Aufl"osung $k_X\hra \mathcal K$ w"ahlen und erhalten als dualisierende Garbe den Komplex $$\op{fin}^!k_{\op{top}}=\mathcal I^\ast$$ bestehend aus den Garben $\mathcal I^{-p}: U\mapsto \op{Hom}_k(\Gamma_!(U;\mathcal K^p),k)$ mit hoffentlich offensichtlichen Differentialen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Restriktion von $\op{Hom}$-Garben und relative Verdierdualit"at}] Sei eine separierte lokal eigentliche Abbildung $f : X \rightarrow Y$ gegeben. Die Projektionsformel \ref{ANNO} gibt uns f"ur $\mathcal F \in \op{Der}^+ (\op{Ab}/Y)$ und $\mathcal G \in \op{Der}^+ (\op{Ab}/X)$ einen nat"urlichen Isomorphismus \begin{equation*} f_! (f^\ast \mathcal F \hat{\otimes} \mathcal G ) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal F \hat{\otimes} f_! \mathcal G \end{equation*} F"ur festes $\mathcal F$ ist das eine Isotransformation von Funktoren \begin{equation*} \op{Der}^+ (\op{Ab}/X) \rightarrow \op{Der}^+ (\op{Ab}/Y) \end{equation*} Diese Funktoren sind ihrerseits Kompositionen weiterer Funktoren. Ist $f_{(!)}$ von endlicher homologischer Dimension und gilt $\mathcal F \in \op{Der}^{\op{b}} (\op{Ab}/Y)$, so haben alle diese Funktoren Rechtsadjungierte und wir erhalten durch "Ubergang zu den Rechtsadjungierten nat"urliche Isomorphismen \begin{equation*} \op{Hom} (f^\ast \mathcal F , f^! \mathcal E) \overset{\sim}{\rightarrow} f^! \op{Hom} (\mathcal F, \mathcal E) \end{equation*} in $\op{Der}^+ (\op{Ab}/X)$. Ebenso kann die Projektionsformel f"ur festes $\mathcal G$ als eine Isotransformation von Kompositionen von Funktoren \begin{equation*} \op{Der}^+ (\op{Ab} / Y) \rightarrow \op{Der}^+ (\op{Ab}/Y) \end{equation*} gelesen werden. Ist wieder $f_{(!)}$ von endlicher homologischer Dimension und gilt nun $\mathcal G \in \op{Der}^{\op{b}} (\op{Ab}/X)$, so erhalten wir durch "Ubergang zu den Rechtsadjungierten nat"urliche Isomorphismen, die sogenannte {\bf relative Verdierdualit"at}\index{Verdierdualit"at!relative} \begin{equation*} f_\ast \op{Hom} (\mathcal G, f^! \mathcal E) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Hom} (f_! \mathcal G, \mathcal E) \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{OKLJ} Wenn ich mich nicht irgendwie verhampelt habe, erhalten wir andererseits aus \eref{starrH}{TS} f"ur starres $\mathcal F$ in $\op{Der}^+ (\op{Ab}_{/X})$ nat"urliche Isomorphismen $$ \op{Hom} (f^\ast \mathcal F , f^\ast \mathcal E) \sira f^\ast \op{Hom} (\mathcal F, \mathcal E) $$ Koppeln wir das mit der Beschreibung in 3.4.6 Kashiwara-Shapira $\op{Hom} (\mathcal F, \mathcal E)=\DD(\DD\mathcal E\otimes \mathcal F)$ unter Konstruierbarkeitsannahmen, so ergibt sich mit etwas Mut $$\DD(\DD f^\ast \mathcal E\otimes f^\ast \mathcal F)=f^\ast \DD(\DD\mathcal E\otimes \mathcal F)$$ $$\DD( f^! \DD\mathcal E\otimes f^\ast \mathcal F)=\DD f^!(\DD\mathcal E\otimes \mathcal F) $$ $$ f^! \DD\mathcal E\otimes f^\ast \mathcal F= f^!(\DD\mathcal E\otimes \mathcal F) $$ $$ f^! \mathcal G\otimes f^\ast \mathcal F= f^!(\mathcal G\otimes \mathcal F) $$ \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schnitte des Verdierdualen}] Sei $X$ ein lokal kompakter homologisch kompaktendlicher Hausdorffraum und $j : U \hookrightarrow X$ die Einbettung einer offenen Teilmenge. So haben wir f"ur $\mathcal F \in \op{Der}^{\op{b}} (\op{Ab}/X)$ nat"urliche Isomorphismen \begin{eqnarray*} \op{fin}_\ast j^\ast \op{Hom} (\mathcal F, \op{fin}^! \mathbb Z_{\op{top}}) & \overset{\sim}{\rightarrow} & \op{fin}_\ast j^! \op{Hom} (\mathcal F , \op{fin}^! \mathbb Z_{\op{top}})\\ &\overset{\sim}{\rightarrow} & \op{fin}_\ast \op{Hom} (j^\ast \mathcal F, j^! \op{fin}^! \mathbb Z_{\op{top}})\\ & \overset{\sim}{\rightarrow} &\op{Hom} (\op{fin}_! j^\ast \mathcal F, \mathbb Z_{\op{top}}) \end{eqnarray*} Wir k"onnen das auffassen als eine Beschreibung des Komplexes der Schnitte der zu $\mathcal F$ verdierdualen Garbe "uber $U$. \end{Bemerkungl} \subsection{Chern'sche Klassen} \emph{Noch auskommentiert} \begin{Satz}[\textbf{Kohomologie projektivisierter Vektorraumb"undel}] Sei $E \ra X$ ein komplexes Vektorraumb"undel der Dimension $n+1$ auf einem topologischen Raum $X$ und sei $\Bbb{P} E \ra X$ seine Projektivisierung, ein Faserb"undel mit Faser $\DP^n\DC$. Sei weiter $\xi \in {\op{H}}^{2}(\Bbb{P} E;\DZ)$ die erste Chern'sche Klasse des tautologischen komplexen Geradenb"undels auf $\Bbb{P} E$. So bilden die Klassen $1, \xi, \xi^{2}, \ldots , \xi^{n}$ eine Basis des ${\op{H}}^{\ast}(X;\DZ)$-Moduls ${\op{H}}^{\ast} (\Bbb{P} E;\DZ)$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Damit dieser Satz in der angegebenen Allgemeinheit gilt, m"ussen die darin auftauchenden Kohomologiegruppen im Sinne der Garbenkohomologie verstanden werden. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir wenden \ref{LeHi} an. Bezeichne $p:\Bbb{P} E \ra X$ die Projektion. Die Klasse $\xi^{i}$ k"onnen wir nach \ref{GTH} auffassen als einen Morphismus $\xi^{i} : p^{\ast} \underline{X} \ra \underline{\Bbb{P}E} [2i]$ in der derivierten Kategorie der abelschen Garben auf $\Bbb{P} E$ und erhalten so einen Morphismus $$\bigoplus^{n}_{i=0} \underline{X} [-2i] \ra p_{\ast} \underline{\Bbb{P}E}$$ durch die Zeilenmatrix $(1, \xi, \ldots , \xi^{n})$. Unser Satz folgt, wenn wir nachweisen, da"s das ein Quasiisomorphismus ist. Dazu d"urfen wir aber unser Vektorraumb"undel als trivial annehmen, und dann folgt die Behauptung aus \ref{??}. \end{proof} \begin{Bemerkung} Gegeben ein Faserb"undel mit Faser $\DP^n\DC$ gibt es im allgemeinen keine derartige Zerlegung des derivierten direkten Bildes der konstanten Garbe. Zum Beispiel mag man die symplektische Gruppe $\op{Sp}(2)=\op{GL}(2;\Bbb{H})\cap \op{U}(4)$ betrachten und den Quotienten $\op{Sp}(2)\sra \DP^1\Bbb{H}$. Er entsteht durch Wegteilen von $\op{Sp}(1)\times\op{Sp}(1)$, ist also eine Verkn"upfung von zwei Faserungen mit der Kugelschale als Faser, und da die Kohomologie von $\DP^1\Bbb{H}$ nur in den Graden Null und vier lebt, kann nicht f"ur beide dieser Faserungen eine derartige Zerlegung existieren. F"ur Faserb"undel mit Faser $\DP^n\DC$ in der Kategorie der komplexen algebraischen Variet"aten gilt ein entsprechender Spaltungssatz dann aber doch wieder und wird mit Mitteln der Hodgetheorie bewiesen. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Jetzt schreiben wir $$\xi^{n+1}=c_1 \xi^n+ c_2 \xi^{n-1}+\ldots +c_n \xi+c_{n+1}$$ in ${\op{H}}^{\ast} (\Bbb{P} E;\DZ)$ mit wohlbestimmten $c_i\in {\op{H}}^{2i} (X;\DZ)$ und haben die {\bf Chern'schen Klassen}\index{Chern'sche Klasse} des komplexen Vektorraumb"undels $E$ definiert. \end{Bemerkung} \subsection{Kodaira-Spencer-Klasse} \begin{Definition} Sei $f : X \rightarrow Y$ eine Submersion von komplexen Variet"aten. Gegeben ein Punkt $ y \in Y$ und ein Tangentialvektor $\vec v \in {\op{T}}_y Y$ erkl"art man seine \defind{Kodaira-Spencer-Klasse} \begin{equation*} \rho (\vec v) \in {\op{H}}^1 (X_y; \mathcal T X_y) \end{equation*} in der ersten Kohomologie der Garbe der holomorphen Vektorfelder auf der Faser $X_y = f^{-1} (y)$ wie folgt: Man sucht sich zun"achst eine offene "Uberdeckung $X_y =\bigcup_{U \in \mathcal U} U$ derart, da"s es auf jedem $U$ einen holomorphen Schnitt $\sigma_U : U \rightarrow {\op{T}}X|_{U}$ gibt mit $\diff_p f: \sigma_U (p) \mapsto \vec v$ f"ur alle $p \in U$. Betrachten wir nun f"ur alle $U,V \in \mathcal U$ die Differenz $\sigma_U - \sigma_V: U \cap V \rightarrow {\op{T}}X|_{U \cap V}$, so erhalten wir offensichtlich einen \v{C}ech-Eins-Kozykel in der Garbe der holomorphen Vektorfelder $\check{\op{Z}}^1 (\mathcal U; \mathcal T X_y)$. Die zugeh"orige Kohomologieklasse ist von allen Wahlen unabh"angig und hei"st die Kodaira-Spencer-Klasse. \end{Definition} \subsection{Gewichtsregeln und Dergleichen} \begin{Bemerkunge} Vergleiche auch \cite[5.1.14]{BBD}. Die Funktoren $f_!$ und $f^\ast$ k"onnen Gewichte nicht erh"ohen, die Funktoren $f^!$ und $f_\ast$ k"onnen Gewichte nicht erniedrigen. Der Tate-Twist $(1)$ erniedrigt das Gewicht um $2$, der kohomologische Shift $[1]$ erh"oht das Gewicht um $1$. Bei einem reinen Komplex vom Gewicht Null ist die $i$-te Kohomologie rein vom Gewicht $i$. Es gibt keine Homomorphismen von Objekten mit Gewicht $\leq w$ zu Objekten mit Gewicht $>w$, die also Gewichte echt erh"ohen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} In meiner Arbeit mit Wendt steht $f_\sharp\sira f_!(d)[2d]$ f"ur $f:X\ra S$ glatt von der relativen Dimension $d$. Speziell gilt in der dortigen Notation ${\op{M}}_S(X)=f_\sharp\DQ_X=f_!\DQ_X(d)[2d]=f_!f^!\DQ_S$. Insbesondere sehe ich nur einen nat"urlichen Morphismus ${\op{M}}_S(X)\ra {\op{M}}_S(S)$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} F"ur $p:\DP^1\DC\ra \op{pt}$ sehe ich $p_!\underline{\DP^1}=p_!p^\ast \underline{\op{pt}}\cong \underline{\op{pt}}\oplus\underline{\op{pt}}[-2](-1)$ und $p_!p^! \underline{\op{pt}}\cong \underline{\op{pt}}[2](1)\oplus\underline{\op{pt}}$. Ebenso sehe ich f"ur $\pi:\DC\ra \op{pt}$ auch $\pi_!\underline{\DC}=\pi_!\pi^\ast\underline{\op{pt}}=\underline{\op{pt}}[-2](-1)$. Und dann ergibt sich f"ur $q:\DC^\times\ra \op{pt}$ "ahnlich $q_!\underline{\DC^\times}=q_!q^\ast\underline{\op{pt}}=\underline{\op{pt}}[-1]\oplus\underline{\op{pt}} [-2](-1)$ und $q_!q^!\underline{\op{pt}}=\underline{\op{pt}}[1](1)\oplus\underline{\op{pt}}$. \end{Bemerkunge} \newpage \subsection{Danksagung} Bei der Behandlung der Verdier-Dualit"at halte ich mich eng an \cite{SchS}. %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AAGARB" %%% End: