\section{Derivierte Verflechtung} \subsection{Motivation} \begin{Bemerkungl} Im folgenden konstruieren wir eine kartesisch-torsionslos regulierte verflochtene \ref{vftA} Trennaustauschsituation \ref{AlKnuT} mit Adjungierten \ref{TAAd} $$\big(\op{Der}_{\sslash{\op{Gek}}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}\supset \op{Gek}^{\op{lesb}}\leftarrow {\op{Der}^{{\shriek}}}_{\sslash{\op{Gek}}^{\op{lesb}}}, \op{Gek}^{\op{esb}}\big)$$ f"ur derivierte Modulgarben auf gekringten R"aumen, vergleiche \ref{tzGG}, indem wir von der kartesisch reguliert pr"atrennverflochtenen Trennaustauschsituation der Modulgarben auf gekringten R"aumen $$(\op{Ab}_{\sslash\curlywedge{\op{Gek}}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}\supset \op{Gek}^{\op{s}}\leftarrow {\op{Ab}^\shriek}_{\sslash{\op{Gek}^{\op{s}}}}, \op{Gek}^{\op{es}})$$ ausgehen, die aus "Ubung \ref{MReOM} mit \ref{taus} entsteht, sie geeignet einschr"anken und zu derivierten Kategorien "ubergehen. Einen lesb-Morphismus von gekringten R"aumen erkl"aren wir dabei als einen Morphismus, dessen zugrundeliegende stetige Abbildung les alias lokal eigentlich separiert ist und f"ur den der Schreivorschub zwischen den jeweiligen Kategorien von Modulgarben endliche homologische Dimension hat. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Dieser wunderbar geschlossene Formalismus hilft uns nur in Situationen, in denen wir zeigen k"onnen, da"s gewisse Morphismen lesb-Morphismen sind. Die lesb-Bedingung f"ur Modulgarben ist stets erf"ullt f"ur sogenannte lesb-Abbildungen alias les-Abbildungen, f"ur die der Schreivorschub auf abelschen Garben endliche homologische Dimension hat. Das ist klar, wenn der Schreibvorschub exakt ist, insbesondere f"ur lokal abgeschlossene Einbettungen. Wir zeigen in \eref{kwAm}{TSS}, da"s die konstante Abbildung einer $n$-Mannigfaltigkeit auf den Einpunktraum stets lesb ist, ja da"s jede von einer Filtrierfaltigkeit und insbesondere einer komplexen Variet"at mit ihrer metrischen Topologie ausgehende stetige Abbildung in einen Hausdorffraum lesb ist. \nichtfinal{Basiswechsel macht lesb zu lesb. Verkn"upfung auch. Punktal lesb in der Basis mit fester Schranke bedeutet global lesb.} Dazu entwickeln wir auch eine halbseitig beschr"ankte und eher technische Variante obiger Trennaustauschsituation, in der es nicht mehr alle Adjungierten gibt. \nichtfinal{"Uberarbeiten! In \ref{lesbf} zeigen wir, da"s Basiswechsel in $\op{Gek}$ lesbf-Morphismen zu lesbf-Morphismen macht.} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In dieser Situation liefert die flache Pro\-jek\-tions\-for\-mel eine allgemeing"ultige Projektionsformel, da wir Trennr"uckzug mit flachen Aufl"osungen berechnen, und der Schreivorschub besitzt einen Adjungierten, dessen Beschreibung im Fall der konstanten Abbildung einer Mannigfaltigkeit auf den einpunktigen Raum einen Zugang zur Poincar\'edualit"at er"offnet. \end{Bemerkungl} \subsection{Derivierter Schreivorschub} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an unsere Notation $\op{Ab}_{{\sslash}X}\pdef \op{Ab}_{/X}^{\op{opp}}$. Wir beginnen mit der Konstruktion eines Funktors $$\op{Hot}\left(\op{Ab}^{\shriek}_{\sslash \op{Top}}\right)\ra \op{Top}$$ Als Objekte der Ausgangskategorie nehmen wir alle Komplexe von abelschen Garben auf unseren topologischen R"aumen. Als Morphismen der Ausgangskategorie "uber einer Abbildung $f$ nehmen wir Homotopieklassen von Kettenabbildungen aus Schreimorphismen "uber $f$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{HoTTm} Beschr"anken wir uns in der Basis auf die Kategorie $\op{Top}^{\op{s}}$ aller topologischen R"aume mit nur separierten Abbildungen als Morphismen, so erhalten wir einen Kofaserfunktor $$\op{Hot}\left(\op{Ab}^{\shriek}_{\sslash \op{Top}^{\op{s}}}\right)\ra \op{Top}^{\op{s}}$$ mit dem komponentenweisen Schreivorschub $f_{\shriek}$ eines Komplexes als Vorschub, wie man unschwer aus der analogen Aussage \eref{eiPL}{TG} f"ur abelsche Garben folgert. Wir nennen diesen Kofaserfunktor die {\bf Schreikofaserung der Homotopiekomplexe}.\index{Schreikofaserung!der Homotopiekomplexe} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern feiner die Kategorie $\op{Top}^{\op{les}}$ der topologischen R"aume mit lokal eigentlichen separierten alias les-Abbildungen als Morphismen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Halbseitig derivierte Schreikofaserung}] \begin{enumerate} \item Lokalisierung nach Quasiisomorphismen "uber Identit"aten macht aus unserer auf halbseitig beschr"ankte Komplexe eingeschr"ankten Schreikofaserung der Homotopiekomplexe eine Kofaserung $$\op{Der}^{-\emph{\shriek}}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}\pdef\op{Hot}^-(\op{Ab}^{\emph{\shriek}}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}})_{\op{qis}} \ra \op{Top}^{\op{les}}$$ \item Die $\DZ$-Operation auf $\op{Hot}^-$ durch das Verschieben von Komplexen induziert eine $\DZ$-Operation auf $\op{Der}^{-\emph{\shriek}}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}$, die die Fasern unserer Kofaserung stablisiert; \item F"ur jeden topologischen Raum $X$ ist der nat"urliche Funktor von der Lokalisierung der Faser zur Faser der Lokalisierung ein Isomorphismus von $\DZ$-Kategorien $$e_X:\op{Der}^-(\op{Ab}_{\sslash X})\sira \op{Der}^{-\emph{\shriek}}_{\sslash X}$$ \item Jeder f"ur $\op{Hot}^-(\op{Ab}^{\emph{\shriek}}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}})\ra \op{Top}^{\op{les}}$ kokartesische Morphismus, der von einem Komplex faserweise kompaktweicher abelscher Garben ausgeht, bleibt kokartesisch in der Lokalisierung; \item Gegeben eine les-Abbildung $f:X\ra Y$ existiert eine Isotransformation zwischen den beiden Kompositionen des Diagramms $$\xymatrix{\op{Der}^-(\op{Ab}_{{\sslash}X}) \ar[d]^{\wr}_{e_Y}\ar[rr]^-{({\op{R}}f_!)^{\op{opp}}} &&\ar@{=>}[dll]_\sim \op{Der}^-(\op{Ab}_{{\sslash}Y})\ar[d]_{e_X}^\wr \\ \op{Der}^{-\emph{\shriek}}_{{\sslash}X}\ar[rr]^-{f_{\ddagger}} && \op{Der}^{-\emph{\shriek}}_{{\sslash}Y}}$$ mit dem opponierten Derivierten des gew"ohnlichen Schreivorschubs und dem Vorschub $f_{\ddagger}$ in der derivierten Schreikofaserung in den Horizontalen. \end{enumerate} \label{VRTeb} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Insbesondere sind die Vorsch"ube $f_{\ddagger}$ der derivierten Schreikofaserung triangulierte Funktoren f"ur die durch die Isomorphismen $e_X$ auf den Fasern gegebenen Strukturen als triangulierte Kategorie. Wir werden bald die Notation "andern und $f_\shriek$ statt $f_{\ddagger}$ schreiben, aber bisher bezeichnet $f_\shriek$ noch den underivierten Schreivorschub. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Beschr"ankung auf halbseitig beschr"ankte derivierte Kategorien brauchen wir f"ur den Nachweis, da"s wir einen Kofaserfunktor vor uns haben. Man kann zwar $f_{!}$ durchaus ohne weitere Annahmen und unbeschr"ankt mit Quisrechts\-ent\-fal\-tun\-gen derivieren, aber dann ist nicht klar, warum die Verkn"upfung der Derivierten der Derivierte der Verkn"upfung sein sollte. Ich erwarte insgeheim, da"s das gar nicht stimmt. Im Anschlu"s zeigen wir, wie man mit unbeschr"ankten derivierten Kategorien arbeiten kann, wenn man sich auf \glqq lesb-Abbildungen\grqq\ beschr"ankt. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Die ersten beiden Aussagen folgen direkt aus Korollar \ref{LRAn1}, sobald wir die Existenz einer \hyperref[RAP]{Linksanpassung} nachweisen. Dazu f"uhren wir in \ref{swkw} \glqq schwach kompaktweiche Garben\grqq\ ein und zeigen in \ref{RAGB}, da"s die entsprechend halbseitig beschr"ankten Komplexe aus schwach kompaktweichen Garben eine solche Linksanpassung bilden. Die dritte Aussage folgt en passant mit Korollar \ref{LRAn2} aus Lemma \ref{teL}, nach dem gegeben eine les-Abbildung $f:X\ra Y$ jede $f$-kompaktweiche abelsche Garbe $f_!$-rechtsazyklisch ist, so da"s nach \eref{DAZOt}{TD} jeder gegen die Pfeile beschr"ankte Komplex von $f$-kompaktweichen abelschen Garben bereits $f_!$-quisrechtsentfaltet alias nach "Ubergang zu den opponierten Kategorien $f_\shriek$-quislinksentfaltet ist. Die vierte Aussage ist eine unmittelbare Konsequenz. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben eine les-Abbildung $f$ ist jede $f$-kompaktweiche abelsche Garbe $f_{!}$-rechtsazyklisch.\label{teL} \end{Lemma} \begin{proof} Seien $f:X\ra Y$ unsere les-Abbildung und $\cal{F}$ unsere faserweise kompaktweiche Garbe und $\cal{F}\hra \cal{I}^\lhd$ eine injektive Aufl"osung. Es gilt zu zeigen, da"s $f_{!}\cal{F}\hra f_{!}\cal{I}^\lhd$ ein exakter Komplex von Garben auf $Y$ ist. Daf"ur m"ussen wir nur die Exaktheit auf den Halmen an allen Punkten $y\in Y$ pr"ufen. Mit les-Basiswechsel \eref{BaWeax}{TG} reicht es dazu hinwiederum, f"ur $i=i_y$ die Inklusion der Faser $f^{-1}(y)$ die Exaktheit von $\Gamma_!(i^{\ast}\cal{F})\hra \Gamma_!(i^{\ast}\cal{I}^\lhd)$ zu pr"ufen. Das folgt jedoch formal mit \eref{KwA}{TG} oder auch explizit mit \eref{LIKT}{TG}, da $i^{\ast}\cal{F}\hra i^{\ast}\cal{I}^\lhd$ nach \ref{skw} eine exakte Sequenz kompaktweicher Garben auf $f^{-1}(y)$ ist. \end{proof} \begin{Lemma}\label{BKWe} Sei $f : X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung von lokal kompakten Hausdorffr"aumen. Ist $\mathcal F \in \op{Ab}_{/X}$ kompaktweich, so ist auch $f_{!} \mathcal F \in \op{Ab}_{/Y}$ kompaktweich. \end{Lemma} \begin{proof} F"ur $K \subset Y$ kompakt ist $f^{-1} (K) \subset X$ abgeschlossen. Nach \eref{KWA}{TG} induziert also das Einschr"anken eine Surjektion auf den Schnitten mit kompaktem Tr"ager $\Gamma_! (X;\mathcal F) \twoheadrightarrow \Gamma_!(f^{-1} (K);\mathcal F)$. Die linke Seite k"onnen wir nach \eref{eiPL}{TG} identifizieren mit $\Gamma_! (Y; f_{!}\mathcal F)$. Die rechte Seite k"onnen wir ebenfalls mit \eref{eiPL}{TG} und les-Basiswechsel \eref{BaWeax}{TG} im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{\kart f^{-1}(K) \ar[d]^-{g}\ar[r]^-{j} &X \ar[d]^-{f}\\ K \ar[r]^-i & Y } \end{displaymath} umschreiben zu \begin{equation*} \Gamma_!(f^{-1} (K);\mathcal F) \sira \Gamma_!g_{!} j^{\ast} \mathcal F \sira \Gamma_! i^{\ast} f_{!} \mathcal F = \Gamma_! (K; f_{!} \mathcal F) \end{equation*} Die von unserer Surjektion $\Gamma_! (X ; \mathcal F) \twoheadrightarrow \Gamma_! (f^{-1} (K); \mathcal F)$ unter diesen Identifikationen induzierte Abbildung $ \Gamma_! (Y; f_{!} \mathcal F) \twoheadrightarrow \Gamma_! (K; f_{!} \mathcal F) $ ist nun genau die Restriktion von Schnitten. Folglich ist auch diese surjektiv. \end{proof} \begin{Definition} Eine abelsche Garbe auf einem topologischen Raum, deren Ein\-schr"an\-kung auf jeden relativ Hausdorff'schen lokal kompakten Teilraum \hyperref[komW]{kompaktweich} ist,\label{swkw} nennen wir {\bf schwach kompaktweich}.\index{kompaktweich!schwach}\index{schwach kompaktweich} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Jede injektive Garbe ist welk, jede welke Garbe kompaktweich nach \eref{WKW}{TG}, jede kompaktweiche Garbe schwach kompaktweich und jede schwach kompaktweiche Garbe faserweise kompaktweich\label{skw} in Bezug auf eine beliebige les-Abbildung. Jeder filtrierende Kolimes von schwach kompaktweichen Garben ist wieder schwach kompaktweich, da das nach \eref{LKWG}{TG} auf lokal kompakten Hausdorffr"aumen gilt und da die Einschr"ankung von Garben mit Kolimites vertauscht. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Der Schreivorschub einer schwach kompaktweichen abelschen Garbe unter einer beliebigen les-Abbildung ist wieder schwach kompaktweich.\label{dibisk} \end{Lemma} \begin{proof} Sei $f:X\ra Y$ unsere Abbildung und $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ unsere schwach kompaktweiche abelsche Garbe. Gegeben ein relativ Hausdorff'scher lokal kompakter Teilraum $L\subset Y$ bilden wir das kartesische Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{\kart f^{-1}(L) \ar[d]^-{g}\ar[r]^-{j} &X \ar[d]^-{f}\\ L \ar[r]^-i & Y } \end{displaymath} Es gilt zu zeigen, da"s $i^*f_{!}\mathcal F$ kompaktweich ist. Nach les-Basiswechsel \eref{BaWeax}{TG} k"onnen wir gleichbedeutend zeigen, da"s $g_{!}j^*\mathcal F$ kompaktweich ist. Nach "Ubung \eref{SRH}{TM} ist $j$ auch die Einbettung eines relativ Hausdorff'schen Teilraums. Nach \eref{LSB}{TG} ist auch $g$ eine les-Abbildung und nach \eref{frtg}{TG} auch die Verkn"upfung von $g$ mit der konstanten Abbildung auf den einpunktigen Raum. Nach \eref{lepp}{TG} ist dann auch $f^{-1}(L)$ lokal kompakt. Da wir $\mathcal F$ schwach kompaktweich vorausgesetzt hatten, ist also $j^*\mathcal F$ kompaktweich, und dann mu"s nach \ref{BKWe} auch $g_{!}j^*\mathcal F$ kompaktweich sein. \end{proof} \begin{Lemma} Die entsprechend beschr"ankten Komplexe von schwach kompaktweichen Garben bilden eine Linksanpassung in Bezug auf das faserweise Linksoresystem\label{RAGB} der Quasiisomorphismen f"ur unsere auf les-Abbildungen in der Basis eingeschr"ankte Schreikofaserung der Homotopiekomplexe $$\op{Hot}^-(\op{Ab}^{\emph{\shriek}}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}})\ra\op{Top}^{\op{les}}$$ \end{Lemma} \begin{proof} Die Gesamtheit aller Komplexe schwach kompaktweicher Garben ist stabil unter Schrei\-vor\-schub l"angs les-Abbildungen nach \ref{dibisk} und ebenso opponiert stabil unter Schrei\-vor\-schub l"angs les-Abbildungen. Die Gesamtheit aller entsprechend beschr"ankten Komplexe schwach kompaktweicher Garben bildet folglich eine Unterkofaserung. Weiter sind alle injektiven Garben schwach kompaktweich nach \ref{skw}, so da"s jeder gegen die Differentiale beschr"ankte Komplex von abelschen Garben einen Quasiisomorphismus zu einem gegen die Differentiale beschr"ankten Komplex von schwach kompaktweichen Garben besitzt. Entsprechendes folgt in den opponierten Kategorien. Schlie"slich ist jede schwach kompaktweiche abelsche Garbe auf einem Raum $X$ auch $f$-kom\-pakt\-weich f"ur jede les-Abbildung $f:X\ra Y$ und damit $f_{!}$-rechtsazyklisch nach \ref{teL}. Nach \eref{DAZOt}{TD} sind die entsprechend beschr"ankten Komplexe schwach kompaktweicher abelscher Garben folglich auch $f_!$-quis\-rechts\-ent\-fal\-tet und opponiert $f_\shriek$-quis\-links\-ent\-fal\-tet und bilden damit in der Tat eine Linksanpassung wie behauptet. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir nennen eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ eine {\bf lesb-Abbildung}\index{lesb!Abbildung} oder kurz {\bf lesb},\index{lesb}\label{lesb} wenn sie eine les-Abbildung ist und der Schreivorschub $f_!:\op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}_{/Y}$ endliche homologische Dimension hat. Nach \ref{VRTeb} gilt f"ur entsprechend halbseitig beschr"ankte Komplexe $\mathcal F$ und verkn"upfbare les-Abbildungen stets $${\op{R}}g_! ( {\op{R}}f_!\mathcal F)\cong {\op{R}}(g \circ f)_!\mathcal F$$ Mit den Erkenntnissen zum Derivieren homologisch beschr"ankter Funktoren \eref{UbDe}{TD} sehen wir so, da"s jede Verkn"upfung von lesb-Abbildungen wieder lesb ist. Die Kategorie der topologischen R"aume mit lesb-Abbildungen als Morphismen notieren wir $\op{Top}^{\op{lesb}}$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Unbeschr"ankt derivierte Schreikofaserung}] \begin{enumerate} \item Durch Lo\-ka\-li\-sie\-rung nach Quasiisomorphismen "uber Identit"aten erhalten wir aus unserer entsprechend eingeschr"ankten Schreikofaserung der Homotopiekomplexe eine Kofaserung $$\op{Der}^{\emph{\shriek}}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}\pdef\op{Hot}(\op{Ab}^{\emph{\shriek}}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}})_{\op{qis}} \ra \op{Top}^{\op{lesb}}$$ \item Die $\DZ$-Operation auf $\op{Hot}$ durch das Verschieben von Komplexen induziert eine $\DZ$-Operation auf $\op{Der}^{\emph{\shriek}}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}$, die die Fasern unserer Kofaserung stablisiert; \item F"ur jeden topologischen Raum $X$ ist der nat"urliche Funktor von der Lokalisierung der Faser zur Faser der Lokalisierung ein Isomorphismus von $\DZ$-Kategorien $$e_X:\op{Der}(\op{Ab}_{\sslash X})\sira \op{Der}^{\emph{\shriek}}_{\sslash X}$$ \item Jeder f"ur $\op{Hot}(\op{Ab}^{\emph{\shriek}}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}})\ra \op{Top}^{\op{lesb}}$ kokartesische Morphismus, der von einem Komplex von faserweise kompaktweichen abelschen Garben ausgeht, bleibt kokartesisch in der Lokalisierung; \item Gegeben eine lesb-Abbildung $f:X\ra Y$ existiert eine Isotransformation zwischen den beiden Kompositionen des Diagramms $$\xymatrix{\op{Der}(\op{Ab}_{{\sslash}X}) \ar[d]^{\wr}_{e_X}\ar[rr]^-{({\op{R}}f_!)^{\op{opp}}} &&\ar@{=>}[dll]_\sim \op{Der}(\op{Ab}_{{\sslash}Y})\ar[d]_{e_Y}^\wr \\ \op{Der}^{\emph{\shriek}}_{{\sslash}X}\ar[rr]^-{f_{\ddagger}} && \op{Der}^{\emph{\shriek}}_{{\sslash}Y}}$$ mit dem Opponierten Derivierten des gew"ohnlichen Schreivorschubs und dem Vorschub $f_{\ddagger}$ in der derivierten Schreikofaserung in den Horizontalen. \end{enumerate} \label{VRTebu} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Insbesondere sind die Vorsch"ube $f_{\ddagger}$ der derivierten Schreikofaserung triangulierte Funktoren f"ur die durch die Isomorphismen $e_X$ auf den Fasern gegebenen Strukturen als triangulierte Kategorie. Wir werden bald die Notation "andern und $f_\shriek$ statt $f_{\ddagger}$ schreiben, aber bisher bezeichnet $f_\shriek$ noch den underivierten Schreivorschub. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Die erste und die dritte Aussage folgen direkt aus Korollar \ref{LRAn1}, sobald wir die Existenz einer \hyperref[RAP]{Linksanpassung} nachweisen. Dazu zeigen wir in \ref{RAGBb}, da"s die Komplexe aus schwach kompaktweichen Garben eine solche Linksanpassung bilden. Die zweite Aussage folgt en passant mit Korollar \ref{LRAn2} aus Lemma \ref{teL}, nach dem gegeben eine les-Abbildung $f:X\ra Y$ jede $f$-kompaktweiche abelsche Garbe $f_!$-rechtsazyklisch ist, so da"s nach unseren Erkenntnissen \eref{UbDe}{TD} zum unbeschr"ankten Derivieren homologisch endlicher Funktoren f"ur lesb-Ab\-bil\-dun\-gen $f$ jeder Komplex von $f$-kompaktweichen abelschen Garben bereits $f_!$-quis\-rechts\-ent\-fal\-tet alias nach "Ubergang zu den opponierten Kategorien $f_\shriek$-quis\-links\-ent\-fal\-tet ist. \end{proof} \begin{Lemma} Die Komplexe aus schwach kompaktweichen Garben bilden eine Linksanpassung in Bezug auf das faserweise Linksoresystem\label{RAGBb} der Quasiisomorphismen f"ur unsere auf lesb-Abbildungen in der Basis eingeschr"ankte Schreikofaserung der Homotopiekomplexe $$\op{Hot}(\op{Ab}^{\emph{\shriek}}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}})\ra\op{Top}^{\op{lesb}}$$ \end{Lemma} \begin{proof} Nach \eref{ECaR}{TG} besitzt jeder Garbenkomplex eine Car\-tan-Ei\-len\-berg-Oben\-auf\-l"o\-sung durch schwach kompaktweiche Garben. %\nichtfinal{Dieses Spiegeln ist komisch, es kann doch nichts bringen, oder?} Wir spiegeln sie an der Hauptdiagonalen, so da"s sie ein Doppelkomplex in der rechten Halbebene wird und unser Ausgangskomplex der vertikale Kernkomplex. Erg"anzen wir diesen Kernkomplex, so ergibt sich ein Doppelkomplex mit exakten Zeilen. %bei dem auch die Kerne der Morphismen zwischen den %Zeilenkomplexen exakt sind. Nach den Exaktheitskriterien \eref{TK}{TD} f"ur Totalkomplexe ist dann auch sein Summentotal exakt, denn die Exaktheit von Garbenkomplexen kann man auf den Halmen pr"ufen und die Halme der Summen sind die Summen der Halme und im Fall abelscher Gruppen ist das Summentotal eines Doppelkomplexes in der rechten Halbebene mit exakten Zeilen auch seinerseits exakt. Das bedeutet, da"s unser Ausgangskomplex quasiisomorph in das Summentotal unserer gespiegelten Cartan-Eilenberg-Aufl"osung abgebildet wird. Nach \ref{skw} ist jede direkte Summe schwach kompaktweicher Garben schwach kompaktweich. Folglich gibt es von jedem Komplex abelscher Garben einen Quasiisomorphismus zu einem Komplex schwach kompaktweicher abelscher Garben. Nach unseren Erkenntnissen \eref{UbDe}{TD} zum unbeschr"ankten Derivieren homologisch endlicher Funktoren ist weiter jeder Komplex schwach kompaktweicher abelscher Garben $f_!$-quis\-rechts\-ent\-fal\-tet f"ur jede lesb-Abbildung $f$. Da"s schlie"slich Komplexe schwach kompaktweicher abelscher Garben unter Schreivorschub auf Komplexe schwach kompaktweicher abelscher Garben abgebildet werden, wissen wir bereits aus \ref{dibisk} und das sogar f"ur beliebige les-Abbildungen. Durch "Ubergang zu den opponierten Kategorien ergibt sich das Lemma. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Einen topologischen Raum nennen wir {\bf lesb}\index{lesb!Raum}, wenn die konstante Abbildung auf den einpunktigen Raum lesb ist. Nach \eref{leKK}{TG} ist ein lokal kompakter Hausdorffraum lesb, wenn er eine "Uberdeckung durch offene Teilmengen besitzt, f"ur die die homologische Dimension von $\Gamma_!$ eine gemeinsame endliche Schranke besitzt. Nach der Lokalisierungssequenz ist ein lokal kompakter Hausdorffraum lesb, wenn er eine Zerlegung in eine offene Teilmenge und ihr abgeschlossenes Komplement besitzt derart, da"s beide St"ucke dieser Zerlegung lesb sind. Jede lokal abgeschlossene Teilmenge eines lesb-Raums ist lesb. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notation f"ur derivierten Schreivorschub}] Wir notieren von nun an den underivierten Schreivorschub neu $f_{(!)}:\op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}_{/Y}$ beziehungsweise auf den opponierten Kategorien $f_{(\shriek)}:\op{Ab}_{{\sslash}X}\ra \op{Ab}_{{\sslash}Y}$ und reservieren $f_{!}$ beziehungsweise $f_{\shriek}$ als Notation f"ur die zugeh"origen derivierten Funktoren alias Vorsch"ube der derivierten Schreikofaserung. Gegeben eine lesb- oder les-Abbildung $f:X\ra Y$ bezeichnen also $$f_\shriek:\op{Der}(\op{Ab}_{{\sslash}X})\ra \op{Der}(\op{Ab}_{{\sslash}Y})\quad\text{oder}\quad f_\shriek:\op{Der}^-(\op{Ab}_{{\sslash}X})\ra \op{Der}^-(\op{Ab}_{{\sslash}Y})$$ den Vorschub in Bezug auf die Kofaserungen $$\op{Der}^{\shriek}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}\ra \op{Top}^{\op{lesb}}\quad\text{ und }\quad \op{Der}^{-\shriek}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}\ra \op{Top}^{\op{les}}$$ und wir setzen jeweils $f_!\pdef (f_\shriek)^{\op{opp}}$. Da nach unseren S"atzen die Einschr"ankung unserer ersten Kofaserung auf die Basis der zweiten eine volle Unterkofaserung ist, m"ussen wir dabei keine Mehrdeutigkeiten f"urchten.\label{UDkl} Als Vorsch"ube einer Kofaserung werden unsere $f_\shriek$ unter anderem mit ausgezeichneten Isotransformationen $(gf)_\shriek\siRa g_\shriek f_\shriek$ alias $g_!f_!\siRa (gf)_!$ f"ur entsprechend verkn"upfbare Morphismen $f,g$ geliefert, den Identifikationen unserer Kofaserung. F"ur die globalen Schnitte mit kompaktem Tr"ager behalten wir in diesem Kontext jedoch die Notationen $\Gamma_!$ und ${\op{R}}\Gamma_!$ bei und verzichten darauf, diese Funktoren in $\Gamma_{(!)}$ und $\Gamma_!$ umzubenennen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Derivierter Schreivorschub f"ur Modulgarben}] Einen Morphismus geringter R"aume nennen wir einen {\bf les-Morphismus}, wenn die zugrundeliegende stetige Abbildung eine les-Abbildung ist. Die Kategorie der geringten R"aume mit les-Morphismen als Morphismen notieren wir $$\op{Ger}^{\op{les}}$$ Einen Opkomorphismus von Modulgarben nennen wir {\bf eigentlich}, wenn der zugrundeliegende Opkomorphismus von abelschen Garben eigentlich ist. So erhalten wir eine Kofaserung $$\op{Ab}^\shriek_{\sslash{\op{Ger}^{\op{les}}}}\ra \op{Ger}^{\op{les}}$$ und durch "Ubergang zu Homotopiekategorien eine Kofaserung $$\op{Hot}^-\big(\op{Ab}^\shriek_{\sslash{\op{Ger}^{\op{les}}}}\big)\ra \op{Ger}^{\op{les}}$$ Die Komplexe aus schwach kompaktweichen Modulgarben bilden eine Linksanpassung in Bezug auf Quasiisomorphismen, denn die abelsche Kategorie der Modulgarben besitzt nach \ref{IjMg} genug Injektive und diese sind nach \ref{IjMg} auch welk und damit nach \ref{skw} schwach kompaktweich. Beim Lokalisieren unserer Kofaserung nach Quasiisomorphismen erhalten wir also wieder eine Kofaserung. Wir notieren sie\label{VRTebM} $$\op{Der}^{-{\shriek}}_{\sslash \op{Ger}^{\op{les}}}\pdef\op{Hot}^-(\op{Ab}^{{\shriek}} _{\sslash \op{Ger}^{\op{les}}})_{\op{qis}} \ra \op{Ger}^{\op{les}}$$ Die Aussagen von Satz \ref{VRTeb} gelten genauso in diesem Fall, wir m"ussen darin nur $\op{Top}$ durch $\op{Ger}$ ersetzen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein Morphismus geringter R"aume hei"se ein {\bf lesb-Morphismus},\index{lesb-Morphismus} wenn er ein les-Morphismus ist und wenn zus"atzlich der Schreivorschub von Modulgarben homologisch endlich ist. Nach dem vorhergehenden bilden die lesb-Morphismen ein multiplikatives System. Ein Morphismus geringter R"aume hei"se eine {\bf lesb-Abbildung},\index{lesb-Abbildung} wenn er ein les-Morphismus ist und wenn zus"atzlich der Schreivorschub von abelschen Garben darunter homologisch endlich ist. Nach dem vorhergehenden bilden die lesb-Abbildungen ebenfalls ein multiplikatives System. Unsere verschiedenen multiplikativen Systeme notieren wir $$\op{Ger}^{\op{lesba}}\subset \op{Ger}^{\op{lesb}}\subset \op{Ger}^{\op{les}}\subset \op{Ger}$$ und erhalten so eine offensichtliche Verallgemeinerung von \ref{VRTebu} f"ur den Funktor\label{VRTebuM} $$\op{Der}^{{\shriek}}_{\sslash \op{Ger}^{\op{lesb}}}\pdef\op{Hot}\big(\op{Ab}^{{\shriek}} _{\sslash \op{Ger}^{\op{lesb}}}\big)_{\op{qis}} \ra \op{Ger}^{\op{lesb}}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Derivierter Schreivorschub und Vergessen der Skalare}] Jeder Morphismus $f: (X;\mathcal A)\ra (Y;\mathcal B)$ von geringten R"aumen pa"st in ein kommutatives Diagramm\label{VeVSE} $$\begin{array}{ccc}(X;\mathcal A)&\ra& (Y;\mathcal B)\\ \da&&\da\\ (X;\DZ_X)&\ra& (Y;\DZ_Y) \end{array}$$ Seine Vertikalen sind lesb-Morphismen, der zugeh"orige Schreivorschub ist genauer das Vergessen der Modulstruktur und exakt. Ist $f:X\ra Y$ eine les-Abbildung, so liefern die Identifikationen der Kofaserung \ref{VRTebM} f"ur $\mathcal F\in \op{Der}^+(\op{Ab}_{/(X;\mathcal A)})$ einen Isomorphismus $$\op{res}_{\mathcal B}^\DZ (f_!\mathcal F) \sira f_!(\op{res}_{\mathcal A}^\DZ \mathcal F)$$ Ist $f:X\ra Y$ sogar eine lesb-Abbildung, so liefern die Identifikationen der Kofaserung \ref{VRTebuM} dasselbe f"ur beliebiges $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/(X;\mathcal A)})$. Salopp gesprochen ist also der derivierte Schreivorschub von Modulgarben \glqq derselbe\grqq\ wie der derivierte Schreivorschub der zugrundeliegenden abelschen Garben. \end{Bemerkungl} \subsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben ein les-Abbildung $f:X\ra Y$ und eine abelsche Garbe $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ ist unsere Garbe $f_{(!)}$-rechtsazyklisch genau dann, wenn ihre Restriktion auf jede Faser $\Gamma_!$-rechtsazyklisch ist.\label{azyeb} \end{Ubung} % \begin{proof} % Lokal eigentlicher Basiswechsel \ref{BaWeax} % liefert nat"urliche Isomorphismen % $(f_{(!)}\mathcal F)_y\sira \Gamma_!(\mathcal F|X_y)$ % f"ur alle $y\in Y$ mit der Notation $X_y\pdef f^{-1}(y)$ % f"ur die Faser. Um die h"oheren Derivierten % von $f_{(!)}$ zu berechnen, d"urfen wir eine beliebige % kompaktweiche Aufl"osung von $\mathcal F$ nehmen. Deren Restriktion auf % $X_y$ ist aber eine kompaktweiche und damit % $\Gamma_!$-entfaltete Aufl"osung von $\mathcal F|X_y$. % So erhalten wir nat"urliche Isomorphismen % $({\op{R}}^qf_{(!)}\mathcal F)_y\sira {\op{R}}^q\Gamma_!(\mathcal F|X_y)$ % und unser Lemma folgt aus der Erkenntnis, da"s eine % abelsche Garbe genau dann Null ist, wenn alle ihre Halme verschwinden. % \end{proof} \begin{Ubung} Seien $f:X\ra Y$ eine eigentliche Abbildung lokal kompakter Hausdorffr"aume und $\phi:\mathcal G\ra \mathcal F$ ein Komorphismus abelscher Garben dar"uber alias ein Morphismus $f^*\mathcal G\ra \mathcal F$ und $a:X\ra \op{top}$ sowie $b:Y\ra \op{top}$ die konstanten Abbildungen. Die Einheit der Adjunktion $\mathcal G\ra f_*f^*\mathcal G$ induziert dann einen Morphismus $$b_{!}\mathcal G\ra b_{!}f_*f^*\mathcal G= b_{!}f_!f^*\mathcal G\sira a_{!}f^*\mathcal G\ra a_{!}\mathcal F$$ und unter $\mathcal H^q$ einen Morphismus ${\op{H}}^q_!(Y;\mathcal G)\ra{\op{H}}^q_!(X;\mathcal F)$. Man zeige, da"s er genau unser eigentlicher R"uckzug auf der kompakten Garbenkohomologie aus \eref{EigR}{TG} ist.\label{EigRD} \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben $j:X\hra Y$ eine offene Einbettung induziert unsere Adjunktion $(j_{(!)},j^{(*)})$ exakter Funktoren nach \eref{AddF}{TD} eine Adjunktion $(j_{!},j^{*})$ der zugeh"origen derivierten Funktoren. Sind hier $X,Y$ lokal kompakte Hausdorffr"aume und bezeichnet $c:Y\ra\op{top}$ die konstante Abbildung, so liefert f"ur $\mathcal G\in \op{Ab}_{/Y}$ die Einheit der Adjunktion $j_!j^*\mathcal G\ra \mathcal G$ unter $\mathcal H^qc_!$ Morphismen ${\op{H}}^q_!(X;\mathcal G)\ra {\op{H}}^q_!(Y;\mathcal G)$. Man zeige, da"s sie genau unsere Ausdehnung durch Null auf der kompakten Garbenkohomologie aus \eref{AdNg}{TG} ist.\label{EigAD} \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein $U\co X$ ein offene Teilmenge eines\label{stbkw} lokal kompakten Hausdorffraums und $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ kompaktweich ist auch $\mathcal F_{U\subset X}\in\op{Ab}_{/X}$ kompaktweich. Hinweis: Man "uberzeuge sich explizit, da"s $\mathcal F|_U$ kompaktweich ist, und verwende \ref{BKWe}. \end{Ubung} \subsection{Ausgezeichnete Dreiecke zu offenen Teilmengen} \begin{Bemerkungl} Ich verwende im folgenden wie eben vereinbart runde Klammern um Indizes $*$ und $!$ als Notation f"ur die underivierten Versionen unserer "ublichen Funktoren. Gegeben eine offene Einbettung $j:U\hra X$ erinnern wir aus \eref{AdInbb}{TG}, \eref{DirB}{TG} die adjungierten Funktoren $(j_{(!)},j^{(*)},j_{(*)})$ zu $j^{(*)}:\op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}_{/U}$. Hier sind die Ausdehnung $j_{(!)}$ durch Null und der R"uckzug $j^{(*)}$ exakt und der Vorschub $j_{(*)}$ ist zumindest linksexakt. Gegeben eine abgeschlossene Einbettung $i:Z\hra X$ erinnern wir aus \eref{DirB}{TG}, \eref{AdIna}{TG} weiter die adjungierten Funktoren $(i^{(*)},i_{(*)},i^{(!)})$ zu $i_{(*)}:\op{Ab}_{/Z}\ra \op{Ab}_{/X}$. Hier sind der Vorschub $i_{(*)}$ und der R"uckzug $i^{(*)}$ exakt und der Funktor $i^{(!)}$ ist zumindest linksexakt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine abgeschlossene Einbettung $i:Z\hra X$ liefert das adjungierte Paar $(i_{(*)}, i^{(!)})$ von Funktoren auf abelschen Garben nach \eref{AddF}{TD} ein adjungiertes Paar von triangulierten Funktoren $({\op{L}}i_{(*)}, {\op{R}}i^{(!)})$. Genauer ist $i_{(*)}$ exakt und nach \eref{DexF}{TD} ist folglich sein Linksderivierter auf allen Komplexen definiert und stimmt mit dem Rechtsderivierten "uberein, f"ur den wir bereits die Notation $i_*$ vereinbart hatten. Andererseits besitzt jeder Garbenkomplex eine Quisrechtsentfaltung nach \ref{EhiA} und folglich ist auch der Rechtsderivierte eines additiven Funktors auf jedem Komplex definiert. Wir vereinbaren die Notation $i^!\pdef{\op{R}}i^{(!)}$ und erhalten nach \eref{AdJD}{TD} Tripel adjungierter triangulierter Funktoren $$(j_{!},j^{!}=j^{*},j_{*})\quad\text{ und }\quad(i^{*},i_{*}=i_!,i^{!})$$ zwischen den entsprechenden derivierten Kategorien $\op{Der}(\op{Ab}_{/U})$, $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ und $\op{Der}(\op{Ab}_{/Z})$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Sobald wir die Trennverflechtung f"ur die Trennaustauschsituation der derivierten Garbenkomplexe konstruiert haben, werden Sie als "Ubung zeigen, da"s die obige Gleichheit $j^!=j^*$ die Transformation $j^!\RA j^*$ des allgemeinen Formalismus aus \ref{Fosf} spezialisiert und die obige Gleichheit $i_!=i_*$ die Transformation $i_!\RA i_*$ des allgemeinen Formalismus aus \ref{TegVN}. \end{Bemerkungw} \begin{Proposition}[\textbf{Gysin-Sequenzen}] Seien $\cal{F} \in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ ein\label{KuEG} Komplex abelscher Garben auf einem Raum $X$ und $i: Z \hookrightarrow X$ die Einbettung einer abgeschlossenen Teilmenge sowie $j: U \hookrightarrow X$ die Einbettung ihres offenen Komplements. So lassen sich die Einheit und Koeinheit der jeweiligen Adjunktionen auf genau eine Weise durch Morphismen vom Grad Eins erg"anzen zu ausgezeichneten Dreiecken $$\begin{array}{ccccccc} j_{!}j^{!} \cal{F} &\ra & \cal{F}&\ra & i_{\ast}i^{\ast} \cal{F}&\ra[1]\\ i_{!}i^{!}\cal{F}&\ra &\cal{F}&\ra & j_{\ast}j^{\ast}\cal{F} &\ra[1] \end{array}$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Offensichtlich liefern f"ur jede abelsche Garbe $\cal{F} \in \op{Ab}_{/X}$ die Koeinheit und Einheit der entsprechenden Adjunktionen eine kurze exakte Sequenz $$j_{(!)}j^{(!)} \cal{F}\hookrightarrow \cal{F} \twoheadrightarrow i_{(\ast)}i^{(\ast)} \cal{F}$$ Betrachten wir diese kurzen exakten Sequenzen f"ur Komplexe von Garben und beachten, da"s unsere Funktoren soweit alle exakt sind, so erhalten wir mit \eref{Kzu}{TD} f"ur alle $\cal{F} \in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ ein ausgezeichnetes Dreieck $$j_{!}j^{!}\cal{F} \ra \cal{F} \ra i_{\ast}i^{\ast} \cal{F} \overset{[1]}{\ra}$$ in $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$. Der dritte Pfeil $i_{\ast}i^{\ast}\cal{F} \ra j_{!}j^{!}\cal{F}[1]$ wird hier nach \eref{EDPn}{TD} bereits durch die beiden anderen festgelegt, da Basiswechsel $i^{\ast}j_{!}=0$ zeigt und mit einer Adjunktion $\op{Der}_{/X}(j_{!}j^{!}\cal{F}[1],i_{\ast}i^{\ast} \cal{F})=0$ folgt. Damit ist das erste Dreieck hergeleitet. Offensichtlich liefern f"ur jede abelsche Garbe $\cal{F} \in \op{Ab}_{/X}$ die Koeinheit und Einheit der entsprechenden Adjunktionen auch eine linksexakte Sequenz $$i_{(!)}i^{(!)} \cal{F}\hookrightarrow \cal{F} \rightarrow j_{(\ast)}j^{(\ast)} \cal{F}$$ Man erkennt leicht, da"s sie f"ur welkes und insbesondere f"ur injektives $\cal{F}$ sogar exakt ist und folgert dann genau wie zuvor die Existenz und Eindeutigkeit des zweiten Dreiecks aus der Existenz von Quisrechtsentfaltungen durch Komplexe aus injektiven Garben nach \ref{EhiA}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Nocheinmal lokale Kohomologie des $\DR^n$}] Seien $A,B$ verschiedene einpunktige Teilmengen der $n$-Sph"are f"ur $n\geq 1$ und $U,V$ ihre Komplemente und $G$ eine abelsche Gruppe. Bezeichne $a,b,u,v$ die jeweiligen Einbettungen und bezeichne $c:S^n\sra \op{top}$ die Projektion der Sph"are auf den einpunktigen Raum. Wir erhalten ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccccc}c_* a_!a^!c^*G&\ra& c_*c^*G&\ra& c_* u_*u^*c^*G\\ \da&&\parallel&&\da\\ c_* v_!v^!c^*G&\ra& c_*c^*G&\ra& c_* b_*b^*c^*G \end{array} $$ durch die Faktorisierungen $a=v\circ \alpha$ und $b=u\circ \beta$. Das rechte Quadrat induziert ein Quadrat aus Isomorphismen unter $\mathcal H^0$, da $S^n, U$ und $B$ alle zusammenh"angend sind. Seine rechte Vertikale hat $\mathcal H^q=0$ f"ur $q\neq 0$, da $U$ und $B$ zusammenziehbar sind. Auch ohne zu wissen, ob wir einen Morphismus von ausgezeichneten Dreiecken vor uns haben, folgt aus diesen beiden Aussagen und den langen exakten Kohomologiesequenzen, da"s das linke Quadrat ein Quadrat aus Isomorphismen unter allen $\mathcal H^q$ mit $q\neq 0$ induziert. Aus unseren Erkenntnissen zur Kohomologie der Sph"aren in \eref{GKS}{TG} folgern wir genauer, da"s in der linken Vertikale gilt $\mathcal H^q=0$ f"ur $q\neq 1$, und finden einen bis auf Vorzeichen wohlbestimmten Isomorphismus $\mathcal H^1\cong G$. Da die Sph"are kompakt ist, gilt $c_*=c_!$. F"ur $d:V\ra \op{top}$ die konstante Abbildung finden wir damit, da"s die Koeinheit der Adjunktion einen Isomorphismus\label{kioM} $$d_!\alpha_!\alpha^!d^*G \sira d_!d^*G$$ in der derivierten Kategorie induziert. In klassischer Notation sind das unsere Isomorphismen ${\op{H}}_{A}^q(V;G)\sira {\op{H}}_{!}^q(V;G)$ aus \eref{kkRn}{TG}. Da"s wir aber unter den entsprechenden Identifikationen wirklich dieselben Abbildungen erhalten, soll weder benutzt noch bewiesen werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einschr"ankung von Vorschub}] \nichtfinal{Wohin? Verwendet \ref{EhiA}!} Nach \eref{AdIc}{TG} ist f"ur eine beliebige Einbettung $b$ von topologischen R"aumen die\label{EAus} Koeinheit der Adjunktion eine Isotransformation $ b^{(\ast)}b_{(\ast)}\siRa \op{id}$. Da $ b^{(\ast)}$ exakt ist, erhalten wir durch Anwenden auf quisrechtsentfaltete Komplexe abelscher Garben \ref{EhiA} unmittelbar, da"s auch auf den derivierten Kategorien abelscher Garben die Koeinheit der Adjunktion eine Isotransformation $$ b^{\ast}b_{\ast}\siRa \op{id}$$ sein mu"s. Insbesondere ist $b_*$ volltreu auf den unbeschr"ankten derivierten Kategorien abelscher Garben f"ur jede Einbettung $b$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einschr"ankung von Schreivorschub}] Nach \ref{EAus} ist f"ur eine beliebige Einbettung $b$ von topologischen R"aumen die Koeinheit der Adjunktion eine Isotransformation $ b^{\ast}b_{\ast}\siRa \op{id}$ alias $b_*$ volltreu auf den unbeschr"ankten derivierten Kategorien. Als n"achstes zeigen wir, da"s f"ur jede lokal abgeschlossene Einbettung $b$ auch auf den derivierten Kategorien abelscher Garben die Einheit der Adjunktion eine Isotransformation $$\op{id} \siRa b^{!}b_{!}$$ sein mu"s alias $b_!$ volltreu. Das folgt im allgemeinen, sobald wir es f"ur offene und abgeschlossene Einbettungen zeigen. Im Fall einer offenen Einbettung sind beide Funktoren exakt und die Behauptung folgt unmittelbar aus der Aussage f"ur gew"ohnliche abelsche Garben in \eref{FUE}{TG}. Im Fall einer abgeschlossenen Einbettung $i:Z\hra X$ wenden wir die zweite Gysinsequenz aus \ref{KuEG} auf $i_!\mathcal G$ an und folgern aus $j^*i_!=0$, da"s die Koeinheit der Adjunktion einen Isomorphismus $i_!i^!i_!\mathcal G\sira i_!\mathcal G$ liefert. Nach den Dreiecksidentit"aten \eref{FADJj}{TF} liefert dann auch die Einheit der Adjunktion einen Isomorphismus $i_!\mathcal G\sira i_!i^!i_!\mathcal G$ und wegen $i_!=i_*$ und $i_*$ volltreu nach \ref{EAus} mu"s dann auch die Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus $\mathcal G\sira i^!i_!\mathcal G$ gewesen sein.\label{FUEd} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einschr"ankungen von Ausdehnungen}] Aus der entsprechenden Isotransformation im underivierten Fall \eref{FUE}{TG} folgt weiter unmittelbar, da"s f"ur jede lokal abgeschlossene Einbettung $b$ die offensichtliche Transformation $b_!\RA b_*$ eine Isotransformationen $b^*b_!\siRa b^*b_*$ induziert. Mit dem vorhergehenden erhalten wir so insgesamt eine Isotransformation $$b^*b_!\siRa \op{Id}$$ und durch "Ubergang zu den Adjungierten schlie"slich auch eine Isotransformation $$b^!b_*\siRa \op{Id}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Sei $b$ die Einbettung einer lokal abgeschlossenen Teilmenge. Im weiteren werden wir auch durch Basiswechsel eine Isotransformation $b^*b_!\siRa \op{Id}$ erhalten und werden pr"ufen wollen, da"s sie dieselbe ist. Des weiteren kann man zeigen, da"s die offensichtliche Transformation $b_!\RA b_*$ auch eine Isotransformation $b^!b_!\siRa b^!b_*$ induziert, und mag pr"ufen, da"s sie dieselbe Isotransformation $b^!b_*\siRa\op{Id}$ induziert wie oben. Das soll mir einmal ein Student ausarbeiten. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Komplexe mit Tr"ager in abgeschlossener Teilmenge}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ und eine Teilmenge $T \subset X$ mag man die volle Unterkategorie $\op{Der}_T (\op{Ab}_{/X}) \subset \op{Der} (\op{Ab}_{/X})$ aller Komplexe $\mathcal{F}$ betrachten, deren Kohomologie $\mathcal{H}^q \mathcal{F}$ aus Garben mit Tr"ager in $T$ besteht. Ich behaupte, da"s f"ur $Z\As X$ das direkte Bild eine "Aquivalenz\label{kta} \begin{equation*} i_\ast : \op{Der} (\op{Ab}_{/Z}) \sirra\op{Der}_Z (\op{Ab}_{/X}) \end{equation*} induziert. Da die Koeinheit der Adjunktion nach \ref{FUEd} eine Isotransformation $i^\ast i_\ast \siRa\op{id}$ ist, mu"s unser Funktor $i_\ast$ nach \eref{EQK}{TF} volltreu sein. Da die Restriktion $j^\ast = j^!$ auf das Komplement $U$ von $Z$ alle Komplexe aus $\op{Der}_Z (\op{Ab}_{/X})$ auf Null wirft, folgt aus der ersten unserer Gysinsequenzen bereits $\mathcal{F} \sira i_\ast i^\ast \mathcal{F}$ f"ur $\mathcal{F} \in \op{Der}_Z (\op{Ab}_{/X})$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einschr"ankung als triangulierter Quotient}] Gegeben eine topologische Einbettung $b:W\hra X$ hat nach \ref{EAus} der derivierte R"uckzug $b^*$ einen volltreuen Rechtsadjungierten. Das zeigt mit \eref{TAA}{TD}, da"s $b^*$ eine triangulierte\label{etQ} "Aquivalenz von Kategorien $$b^*: \op{Der}(\op{Ab}_{/X})/\op{Der}_T(\op{Ab}_{/X})\sirra \op{Der}(\op{Ab}_{/W})$$ induziert f"ur $T\pdef X\backslash b(W)$ das Komplement des Bildes von $b$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tr"agerzerlegung}] Seien $X$ ein topologischer Raum und $U\co X$ eine offene Teilmenge mit Einbettungsabbildung $j:U\hra X$ und $i:Z\hra X$ die Einbettung des Komplements. Gegeben ein Garbenkomplex $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ mit $$j^*\mathcal F=0$$ oder gleichbedeutend $j^!\mathcal F=0$ liefern die Koeinheit beziehungsweise Einheit der Adjunktion nach den Gysinsequenzen Isomorphismen $ i_!i^!\mathcal F\sira \mathcal F\sira i_*i^*\mathcal F$. Da $i_!=i_*$ volltreu ist, induziert das einen Isomorphismus $i^! \mathcal F\sira i^*\mathcal F$. Ist nun $Z=\bigsqcup_{\lambda\in \Lambda}Z_\lambda$ eine Zerlegung von $Z$ in paarweise disjunkte offene Teilmengen $Z_\lambda\co Z$, so erhalten wir mit \ref{pgklt} Isomorphismen $$\bigoplus_{\lambda\in \Lambda}\op{in}_{\lambda !}\op{in}_{\lambda }^!i^!\mathcal F\;\sira\;i^!\mathcal F\sira i^*\mathcal F\;\sira\; \prod_{\lambda \in \Lambda }\op{in}_{\lambda *}\op{in}_{\lambda }^*i^*\mathcal F$$ Da $i_!=i_*$ mit Koprodukten und Produkten vertauscht, erhalten wir schlie"slich mit der Notation $a_\lambda: Z_\lambda\hra X$ f"ur die Einbettungen, da"s die Koeinheiten beziehungsweise Einheiten der Adjunktionen f"ur alle $\mathcal F$ mit $j^*\mathcal F=0$ Isomorphismen $$\bigoplus_{\lambda\in \Lambda}a_{\lambda !}a_{\lambda }^!\mathcal F\;\sira\;\mathcal F\;\sira\; \prod_{\lambda \in \Lambda }a_{\lambda *}a_{\lambda }^*\mathcal F$$ induzieren. Die Faktoren sind auf beiden Seiten dieselben, der nat"urliche Morphismus vom Koprodukt zum Produkt ist in diesen F"allen eben ein Isomorphismus. Wir nennen jede derartige Zerlegung eine {\bf Tr"agerzerlegung von $\mathcal F$}.\index{Tr"agerzerlegung} Nach \ref{pgkld} liefert sie Isomorphismen\label{Tzrae} $$\mathbb H^q(X;\mathcal F)\sira \prod_{\lambda \in \Lambda }\mathbb H^q(Z_\lambda;\mathcal F)$$ und f"ur $X$ lesb oder $X$ nur les aber der Zusatzannahme $\mathcal F\in \op{Der}^+(\op{Ab}_{/X})$ Isomorphismen $$ \bigoplus_{\lambda \in \Lambda }\mathbb H^q_!(Z_\lambda;\mathcal F)\sira\mathbb H^q_!(X;\mathcal F) $$ \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Seien $\cal{F} \in \op{Ab}_{/X}$ eine abelsche Garbe auf einem Raum $X$ und $i: Z \hookrightarrow X$ die Einbettung einer\label{IuEG} abgeschlossenen Teilmenge und $j: U \hookrightarrow X$ die Einbettung ihres offenen Komplements. Bezeichne $c$ die jeweiligen konstanten Abbildungen auf den einpunktigen Raum. Wir identifizieren abelsche Garben auf dem einpunktigen Raum mit abelschen Gruppen. Die offensichtliche Isotransformation $c_{(*)}i^{(!)}\siRa \Gamma_Z$ induziert vermittels \eref{rzwU}{TG} und \eref{wazz}{TG} durch welke Aufl"osung einen Isomorphismus $$\mathcal H^q c_*i^!\cal F\sira {\op{H}}^q_Z(X;\mathcal F)$$ Man zeige, wie darunter zusammen mit einigen weiteren Identifikationen die lange exakte Kohomologiesequenz des ausgezeichneten Dreiecks $c_\ast i_{!}i^{!}\cal{F}\ra c_\ast \cal{F}\ra c_\ast j_{\ast}j^{\ast}\cal{F} {\ra}[1]$ der langen exakten Sequenz der lokalen Kohomologie \eref{LEslk}{TG} entspricht. %\nichtfinal{Sollte auch Funktorialit"at ansprechen.} \end{Ubung} \subsection{Lokalisierung und Verflechtung} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation}] Unser Ziel ist Satz \ref{tzGG}, nach dem es genau eine kartesisch-torsionslos regulierte Trennverflechtung der Trennaustauschsituation derivierter Modulgarben auf gekringten R"aumen $$\big(\op{Der}_{\sslash{\op{Gek}}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}\supset \op{Gek}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Der}^{{\shriek}}_{\sslash{\op{Gek}}^{\op{lesb}}}, \op{Gek}^{\op{esb}}\big)$$ gibt, die alle R"uckholquadrate enth"alt, die isomorph sind zu Bilder von Verflechtungsquadraten einer Pr"atrennverflechtung auf den Homotopiekategorien von Modulgarben, die hinwiederum von der in \ref{TreVRm} diskutierten Pr"atrennverflechtung auf Modulgarben herkommt. Um das zu zeigen, f"uhren wir den Begriff einer Rechts-Links-Anpassung ein und zeigen, wie die Existenz einer Rechts-Links-Anpassung mit gewissen Zusatzeigenschaften ganz allgemein die Lokalisierung von pr"averflochtenen Trennaustauschsituationen erlaubt. In letzter Konsequenz f"uhren wir unsere Behauptung so auf die Erkenntnis zur"uck, da"s gegeben ein Komplex von Modulgarben seine Erweiterung zu\label{MoTF} einem Doppelkomplex durch die Go\-de\-ment\-auf\-l"o\-sung in jedem Grad einen exakten und homotopieflachen Totalkomplex hat. Das hinwiederum werden wir daraus herleiten, da"s Godementaufl"osungen stets halmweise spalten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $\mathscr C\ra \mathscr B$ eine \hyperref[WiFa]{Winkelfaserung} und $S$ ein faserweises Oresystem in $\mathscr C$. Besitzt die Faserung $\mathscr C^\dagger\ra \mathscr B^\dagger$ eine \hyperref[RAP]{$S$-Rechtsanpassung} und die Kofaserung $\mathscr C^{\shriek}\ra \mathscr B^{\shriek}$ eine \hyperref[RAP]{$S$-Linksanpassung}, so f"uhrt Lokalisieren zu einer weiteren Winkelfaserung $S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B$ mithilfe der durch \ref{LRAn1} gegebenen Isomorphismen $(S^{-1}\mathscr C^{\shriek})_{\mathscr B^{\op{e}}}\sila S^{-1}_{\mathscr B^{\op{e}}}\mathscr C^{\op{e}}\sira (S^{-1}\mathscr C^\dagger)_{\mathscr B^{\op{e}}}$ zwischen Lokalisierung der Einschr"ankung und Einschr"ankung der Lokalisierung. Bezeichne $Q$ im folgenden alle Lokalisierungsfunktoren. Ist die Winkelfaserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ zus"atzlich mit einer Regulierung der Basis und dazu einer Pr"averflechtung versehen, so nennen wir ein Verflechtungsquadrat % \begin{displaymath} % \xymatrix{ % W\ar@{..>}[r]^q \ar@{-->}[d]_g&X\ar@{-->}[d]^f & % &\mathcal E\ar@{..>}[r] \ar@{-->}[d]&\mathcal F\ar@{-->}[d]\\ % Z \ar@{..>}[r]^p &Y && \mathcal H\ar@{..>}[r] &\mathcal G} %\end{displaymath} in $\mathscr C$ {\bf lokalisierbar f"ur $S$}, wenn seine Horizontalen kartesisch bleiben unter $Q$. %Die Darstellung zeigt rechts % das fragliche Verflechtungsquadrat und links % sein Bild in der Basis, ein von der Regulierung erlaubtes Basisquadrat. Die zu Bildern lokalisierbarer Verflechtungsquadrate isomorphen R"uckholquadrate von $S^{-1}\mathscr C$ nennen wir die {\bf naiven Verflechtungsquadrate}\label{nianN} der lokalisierten Winkelfaserung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Winkelfaserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ und ein faserweises Oresystem $S$ in $\mathscr C$\label{nbVnN} verstehen wir unter einer {\bf Rechts-Links-Anpassung}\index{Rechtslinksanpassung} ein Paar $(\mathscr R,\mathscr L)$ aus einer $S$-Rechtsanpassung $\mathscr R$ der Faserung $\mathscr C^\dagger\ra \mathscr B^\dagger$ und einer $S$-Linksanpassung $\mathscr L$ der Kofaserung $\mathscr C^{\shriek}\ra \mathscr B^{\shriek}$ derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item Zu jedem Objekt in $\mathscr R$ gibt es einen $S$-Morphismus von einem Objekt in $\mathscr R\cap \mathscr L$; \item Zu jedem Morphismus $q:W\ra X$ der Basis und jedem Objekt $\mathcal F\in \mathscr C_X$ gibt es $S$-Morphismen $\mathcal F\leftarrow \mathcal F_{\shriek}\ra \mathcal F_{\dagger\shriek}$ mit $\mathcal F_\shriek\in \mathscr L_X$ und $q^\dagger\mathcal F\leftarrow q^\dagger\mathcal F_{\shriek}$ in $S$ und $\mathcal F_{\dagger\shriek}\in\mathscr R_X\cap\mathscr L_X$. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Rechtslinksanpassung f"ur abelsche Garben}] Im Kontext von derivierten Kategorien abelscher Garben k"onnen wir als $\mathscr R$ %\nichtfinal{(war $\mathscr L$!)} alle Garbenkomplexe nehmen und als $\mathscr L$ %\nichtfinal{(war $\mathscr R$!)} alle Komplexe von schwach kompaktweichen Garben. M"ogliche Morphismen $\mathcal F\leftarrow \mathcal F_\shriek$ erh"alt man mithilfe der Godement-Aufl"osung, genauer mit den dadurch in den opponierten Kategorien erhaltenen Morphismen. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Rechtslinksanpassung f"ur Modulgarben}] Im Kontext von derivierten Kategorien von Modulgarben k"onnen wir als $\mathscr R$ alle quisflachen Garbenkomplexe nehmen und als $\mathscr L$ alle Komplexe von schwach kompaktweichen Garben. M"ogliche $\mathcal F\leftarrow \mathcal F_{\shriek}\ra \mathcal F_{\dagger\shriek}$ erh"alt man mithilfe der Godement-Aufl"osung, genauer mit den dadurch in den opponierten Kategorien erhaltenen Morphismen. Das wird in \ref{VRLm0} ausgef"uhrt. \end{Bemerkungw} %\nichtfinal{ALT! \begin{Satz}[\textbf{Lokalisieren einer pr"averflochtenen Wink%elfaserung}] %Gibt es f"ur eine pr"averflochtene Winkelfaserung %mit faserweisem %ges"attigten Oresystem eine Rechtslinksanpassung und sind %alle naiven Verflechtungsquadrate der Lokalisierung mit kokartesischer %rechter Vertikale beidseitig kokartesisch, %so existiert genau eine %Verflechtung der lokalisierten Winkelfaserung, die alle % naiven Verflechtungsquadrate enth"alt.\label{AdLoN} %\end{Satz}} \begin{Satz}[\textbf{Lokalisieren einer pr"averflochtenen Winkelfaserung}] Gegeben sei eine pr"averflochtene Winkelfaserung mit faserweisem ges"attigten Oresystem, die eine Rechtslinksanpassung zul"a"st. So gilt:\label{AdLoN} \begin{enumerate} \item Diejenigen erlaubten Basisquadrate, "uber denen alle naiven Verflechtungsquadrate der Lokalisierung mit kokartesischer rechter Vertikale beidseitig kokartesisch sind, bilden eine Regulierung der Basis, die \emph{\bf lokalisierungsvertr"agliche Regulierung}.\index{Regulierung!lokalisierungsvertr"agliche} \item In Bezug auf die lokalisierungsvertr"agliche Regulierung existiert genau eine Verflechtung der lokalisierten Winkelfaserung, die alle naiven Verflechtungsquadrate enth"alt. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Im weiteren nennen wir die naiven Verflechtungsquadrate der Lokalisierung mit kokartesischer rechter Vertikale kurz die {\bf rechts kokartesischen naiven Verflechtungsquadrate}.\index{rechts kokartesisch} %\nichtfinal{Wohl nun "uberfl"ussig! label vein versorgen! Der Beweis zeigt dar"uberhinaus, da"s die Aussage des Satzes bereits folgt, % wenn wir nur von einer Teilmenge der erlaubten Basisquadrate, % aus deren Quadraten wir jedoch alle % erlaubten Basisquadrate unserer Regulierung % durch Verkleben erhalten k"onnen,\label{vein} % voraussetzen, da"s die rechts kokartesischen naiven Verflechtungsquadrate % der Lokalisierung % "uber Basisquadraten dieser % Teilmenge beidseitig kokartesisch sind.} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Der Beweis f"ullt den Rest dieses Abschnitts, aber ich fasse hier schon zusammen, wie sich die verschiedenen Teile des Beweises zusammenf"ugen. Als erstes zeigen wir, da"s es unter den Voraussetzungen des Satzes auch nur genau eine Verflechtung der lokalisierten Winkelfaserung in Bezug auf die lokalisierte Regulierung gibt, die alle rechts kokartesischen naiven Verflechtungsquadrate enth"alt. Nach \ref{vtdmN} reicht es daf"ur zu zeigen, da"s die rechts kokartesischen naiven Verflechtungsquadrate in Bezug auf die lokalisierte Regulierung eine kokartesische Teilverflechtung im Sinne von \ref{kotvN} bilden. Die von einer kokartesischen Teilverflechtung geforderte Erg"anzbarkeit partieller Quadrate zeigen wir in \ref{geVVN}. Die von einer kokartesischen Teilverflechtung geforderte Funktorialit"atseigenschaft zeigen wir in \ref{EFnVN}. Da"s die bei einer kokartesischen Teilverflechtung als zugeh"orig geforderten kommutativen Quadrate tats"achlich rechts kokartesische naive Verflechtungsquadrate sind, bemerken wir in \ref{TkoiN}. Die von einer kokartesischen Teilverflechtung, ja von einer beliebigen Regulierung geforderten Verklebbarkeiten zeigen wir in \ref{neNVN} und \ref{AKnVN}. Schlie"slich pr"ufen wir noch in \ref{AdLoT}, da"s die so konstruierte Verflechtung der lokalisierten Winkelfaserung alle naiven Verflechtungsquadrate enth"alt. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine \hyperref[WiFa]{Winkelfaserung} $\mathscr C\ra \mathscr B$ "uber einer regulierten Basis verstehen wir unter einer {\bf kokartesischen Teilverflechtung} eine Regulierung $K$ von $\mathscr C$ durch \hyperref[vKO]{beidseitig kokartesische} R"uckholquadrate mit den folgenden Eigenschaften:\label{kotvN} \begin{enumerate} \item "Uber jedem erlaubten Basisquadrat kann jedes partielle Quadrat von $\mathscr C$ mit $\dagger$-kar\-te\-si\-schen Horizontalen und $\shriek$-kokartesischer rechter Vertikale, dem nur die linke Vertikale fehlt, in $K$ erg"anzt werden; \item "Uber jedem erlaubten Basisquadrat kann jeder Morphismus in der Faser "uber der oberen rechten Ecke zu einem Morphismus von Quadraten aus $K$ fortgesetzt werden; \item $K$ enth"alt alle kommutativen Quadrate mit kartesischen Horizontalen und kokartesischen Vertikalen "uber erlaubten Basisquadraten mit Eigmorphismen in zwei parallelen Kanten. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Verflechtung zu kokartesischer Teilverflechtung}] Gegeben eine Winkelfaserung "uber einer regulierten Basis gibt es zu jeder kokartesischen Teilverflechtung genau eine Verflechtung, die sie\label{vtdmN} umfa"st. \end{Lemma} \begin{proof} Bezeichne $K$ unsere kokartesische Teilverflechtung. Zu jeder Erweiterung von $K$ zu einer Verflechtung m"ussen alle R"uckholquadrate geh"oren, die wir erhalten, indem wir an ein R"uckholquadrat unserer Teilverflechtung ein kommutatives Quadrat mit kartesischen Horizontalen und Vertikalen "uber Identit"aten in der Basis unten ankleben. In der Menge $V$ von Quadraten, die wir auf diese Weise erhalten, l"a"st sich aber bereits jedes partielle Quadrat mit kartesischen Horizontalen "uber einem vorgegebenen erlaubten Basisquadrat vervollst"andigen. Also gibt es h"ochstens eine Erweiterung von $K$ zu einer Verflechtung, n"amlich die hier beschriebene Menge $V$ von Quadraten. Um zu zeigen, da"s $V$ auch tats"achlich eine Verflechtung ist, m"ussen wir unsere Bedingungen pr"ufen. Da"s $V$ die Bedingungen der \glqq eindeutigen Erg"anzbarkeit\grqq\ und der \glqq eigentlichen Kommutativit"at\grqq\ erf"ullt, scheint mir offensichtlich. Da"s $V$ stabil ist unter dem Verkleben l"angs vertikaler Kanten scheint mir ebenso offensichtlich. Da"s $V$ auch stabil ist unter dem Verkleben l"angs horizontaler Kanten folgt schlie"slich aus der Funktorialit"atsannahme in unseren Forderungen an eine kokartesische Teilverflechtung. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Existenz ausreichend vieler naiver Verflechtungsquadrate}] Gegeben sei eine pr"averflochtene Winkelfaserung mit einem faserweisen Oresystem $S$. Gibt es dazu eine Rechtslinksanpassung, so besitzt "uber jedem erlaubten Basisquadrat jedes partielle Quadrat mit kartesischen Horizontalen\label{geVVN} und kokartesischer rechter Vertikale der lokalisierten Winkelfaserung mindestens eine Erweiterung zu einem naiven Verflechtungsquadrat. Das folgt, indem wir zu einer vorgegebenen oberen rechten Ecke ein Objekt $\mathcal F\in \mathscr R_X\cap\mathscr L_X$ w"ahlen, dessen Bild $Q\mathcal F$ isomorph ist zu unserer Ausgangsecke, und dazu ein lokalisierbares Verflechtungsquadrat der Gestalt $$ \xymatrix{ W\ar@{..>}[r]^q \ar@{-->}[dd]_g&X\ar@{-->}[dd]^f && \mathcal E \ar@{..>}[r] \ar@{-->}[dd]&\mathcal F \ar@{-->}[d] \\ &&&&f_\shriek\mathcal F \ar[d]^{\wr Q} \\ Z \ar@{..>}[r]^p &Y && \mathcal H\ar@{..>}[r]&\mathcal G} $$ bilden mit $f_\shriek\mathcal F\ra \mathcal G$ einem beliebigen $S$-Morphismus in ein Objekt $\mathcal G\in \mathscr R_Y$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben seien eine pr"averflochtene Winkelfaserung mit einem faserweisen Oresystem $S$. Gibt es dazu eine Rechtslinksanpassung $(\mathscr R,\mathscr L)$, so ist jedes \hyperref[nian]{naive Verflechtungsquadrat} der Lokalisierung isomorph zum Bild eines lokalisierbaren Verflechtungsquadrats mit oberer rechter Ecke $\mathcal F\in \mathscr L$.\label{NaiRN} \end{Lemma} \begin{proof} Wir argumentieren im Diagramm $$ \xymatrix{ && q^\dagger\mathcal F_\shriek\ar[rd]\ar@{..>}[rrr]\ar@{-->}[ddd] &&&\mathcal F_\shriek \ar@{-->}[ddd]\ar[ld] \\ W\ar@{..>}[r]^q \ar@{-->}[d]_g&X\ar@{-->}[d]^f && \mathcal E \ar@{..>}[r] \ar@{-->}[d]&\mathcal F \ar@{-->}[d] \\ Z \ar@{..>}[r]^p &Y && \mathcal H\ar@{..>}[r] &\mathcal G & \\ && \mathcal H\ar[ru] \ar@{..>}[rrr] &&&\mathcal G\ar[lu] } $$ Hier ist die Mitte ein lokalisierbares Verflechtungsquadrat und $\mathcal F_\shriek\ra \mathcal F$ ein $S$-Morphismus von einem Objekt von $\mathscr L_X$, der unter $q^\dagger$ ein $S$-Morphismus bleibt. Da"s es so einen Morphismus gibt, war Teil unserer Annahmen an eine Rechtslinksanpassung \ref{nbVnN}. Damit ist auch der durch die Kommutativit"at des oberen Trapezes erkl"arte Morphismus $q^\dagger\mathcal F_\shriek\ra \mathcal E$ ein $S$-Morphismus und $q^\dagger\mathcal F_\shriek\ra\mathcal F_\shriek$ bleibt kokartesisch unter $Q$. Die durch unsere Pr"averflechtung gegebene linke Vertikale stimmt nun nach der Funktorialit"at von Verflechtungsquadraten \ref{FVQN} "uberein mit der durch die Kommutativit"at des linken Trapezes gegebenen linken Vertikale. Die schr"agen Pfeile liefern dann einen Morphismus von lokalisierbaren Verflechtungsquadraten und in der Lokalisierung den gew"unschten Isomorphismus von naiven Verflechtungsquadraten. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Funktorialit"at naiver Verflechtungsquadrate}] Gegeben seien eine pr"averflochtene Winkelfaserung mit einem faserweisen ges"attigten Oresystem $S$. Gibt es dazu eine Rechtslinksanpassung $(\mathscr R,\mathscr L)$,\label{EFnVN} so l"a"st sich jeder Morphismus in der lokalisierten Faserkategorie zwischen den oberen rechten Ecken rechts kokartesischer naiver Verflechtungsquadrate auf genau eine Weise zu einem Morphismus der ganzen Verflechtungsquadrate fortsetzen. \end{Lemma} \begin{proof} Es ist klar, da"s sich unser Morphismus auf h"ochstens eine Weise fortsetzen l"a"st. Nach \ref{NaiRN} d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s unsere rechts kokartesischen naiven Verflechtungsquadrate die Bilder lokalisierbarer Verflechtungsquadrate mit oberer rechter Ecke in $\mathscr L$ sind. Wir argumentieren im Diagramm $$ \xymatrix{ && \mathcal E_\alpha\ar[rd]^1\ar@{..>}[rrr]\ar@{-->}[ddddd] &&&\mathcal F_\alpha \ar@{-->}[ddd]\ar[ld] \\ W\ar@{..>}[r]^q \ar@{-->}[ddd]_g&X\ar@{-->}[ddd]^f && \mathcal E \ar@{..>}[r] \ar@{-->}[dd]&\mathcal F \ar@{-->}[d] \\ &&&&f_\shriek\mathcal F \ar[d]^{\wr Q}_1& \\ & && \mathcal H\ar@{..>}[r]\ar[d]^{\wr Q}_3 &\mathcal G\ar[d]^{\wr Q}_2 &f_\shriek\mathcal F_\alpha \ar[dd]^{\wr Q}_1\ar[lu]_1 \\ Z \ar@{..>}[r]^p &Y&&p^\dagger\mathcal A\ar@{..>}[r] &\mathcal A& \\ && \mathcal H_\alpha \ar[ur]^3\ar@{..>}[rrr] &&&\mathcal G_\alpha\ar[lu]_2 \\ } $$ Gegeben sind als innerstes und "au"sertes Rechteck jeweils ein lokalisierbares Verflechtungsquadrat mit oberer rechter Ecke $\mathcal F,\mathcal F_\alpha\in\mathscr L_X$ %\nichtfinal{(War $\mathscr R$!)} sowie, damit fangen wir erst einmal an, ein Morphismus $\mathcal F_\alpha\ra \mathcal F$ in $\mathscr C_X$. Nun bauen wir in mehreren Schritten den Rest des Diagramms auf. Im ersten Schritt faktorisieren wir die rechten Vertikalen unserer lokalisierbaren Verflechtungsquadrate in den Transportmorphismus zum Schreivorschub und einen weiteren Morphismus. Da wir die oberen rechten Ecken in $\mathscr L_X$ angenommen hatten, werden diese weiteren Morphismen unter $Q$ Isomorphismen, was wir durch $\wr Q$ andeuten. Da wir $S$ faserweise ges"attigt angenommen hatten, geh"oren diese Morphismen nach \eref{IsoL}{TD} bereits zu $S$. Au"serdem finden wir einen eindeutigen Morphismus $\mathcal E_\alpha\ra \mathcal E$ in $\mathscr C_W$, der das obere Trapez zum Kommutieren bringt. Im zweiten Schritt finden wir $\mathcal A\in \mathscr C_Y$ zusammen mit einem $S$-Morphismus $\mathcal G\ra \mathcal A$ und einem $\mathscr C_Y$-Morphismus $\mathcal G_\alpha\ra \mathcal A$ derart, da"s das Parallelogramm unten rechts kommutiert, und k"onnen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sogar $\mathcal A\in \mathscr R_Y$ annehmen. %\nichtfinal{(War $\mathscr L_Y$!)} Im dritten Schritt erg"anzen wir zwei Pfeile links unten wie angedeutet so, da"s das untere Rechteck und Trapez kommutieren. Der vertikale $S$-Morphismus kommt von unserer Annahme $\mathcal A\in \mathscr R_Y$ her. %\nichtfinal{(War $\mathscr L_Y$!)} Da das gro"se innere Rechteck als Verklebung auch ein Verflechtungsquadrat ist, mu"s das linke Trapez kommutieren. Damit aber haben wir den gesuchten Morphismus von naiven Verflechtungsquadraten gefunden. Beginnen wir hier mit einem $S$-Morphismus $\mathcal F_\alpha\ra \mathcal F$, so werden alle durch durchgezogene Linien dargestellten Pfeile im obigen Diagramm $S$-Morphismen und wir erhalten einen Isomorphismus von naiven Verflechtungsquadraten in der Lokalisierung. Betrachten wir schlie"slich zu einem $Qq^\dagger$-$S_X$-rechtsentfalteten Objekt $\mathcal F\in\mathscr L_X$ %\nichtfinal{(War \mathscr R_X$!)} wie in \ref{nbVnN} zwei $S$-Morphismen $\mathcal F\leftarrow \mathcal F_\shriek\ra \mathcal F_{\dagger\shriek}$, so k"onnen wir aus den bis hier bereits gezeigten Funktorialit"atseigenschaften folgern, da"s jedes rechts kokartesische naive Verflechtungsquadrat isomorph ist zum Bild in der Lokalisierung eines lokalisierbaren Verflechtungsquadrats mit Ausgangsecke $\mathcal F\in \mathscr R_X\cap\mathscr L_X$. Ein beliebiger Morphismus $\mathcal F_\alpha\ra \mathcal F$ in $S_X^{-1}\mathscr C_X$ von derartigen Objekten l"a"st sich aber als Bruch $\mathcal F_\alpha\leftarrow \mathcal F_\beta\ra \mathcal F$ schreiben mit $\mathcal F_\beta\in \mathscr R_X$ %\nichtfinal{(War $\mathscr L_X$)} und dann auch als Bruch $\mathcal F_\alpha\leftarrow \mathcal F_{\beta\shriek}\ra \mathcal F$ mit $\mathcal F_{\beta\shriek}\in \mathscr R_X\cap\mathscr L_X$ und so folgt die Behauptung aus den bereits bewiesenen Aussagen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben seien eine pr"averflochtene Winkelfaserung mit einem faserweisen ges"attigten Oresystem. Gibt es eine Rechtslinksanpassung, so ist in der lokalisierten Winkelfaserung "uber einem erlaubten Basisquadrat mit Eigmorphismen auf zwei gegen"uberliegenden Kanten jedes kommutative Quadrat kartesischen Horizontalen und kokartesischer rechter Vertikale isomorph zu einem naiven Verflechtungsquadrat.\label{TkoiN} In der Tat liefert \ref{geVVN} ein kommutierendes naives Verflechtungsquadrat mit isomorpher Ausgangsecke, zu dem es aufgrund der Funktorialit"at \ref{EFnVN} isomorph sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Nebeneinanderkleben naiver Verflechtungsquadrate}] Gegeben seien eine pr"averflochtene Winkelfaserung mit einem faserweisen ges"attigten Oresystem. Gibt es eine Rechtslinksanpassung $(\mathscr R,\mathscr L)$,\label{neNVN} so liefert das Verkleben zweier rechts kokartesischer naiver Verflechtungsquadrate der Lokalisierung l"angs einer gemeinsamen vertikalen Kante stets wieder ein naives Verflechtungsquadrat. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Man bemerke, da"s wir hier nur eine Aussage machen f"ur den Fall, da"s von den beteiligten naiven Verflechtungsquadraten das rechte beidseitig kokartesisch ist, denn die rechten Vertikalen sind nach Annahme kokartesisch und die linke Vertikale des rechten Quadrats ist nach Annahme die rechte Vertikale des linken. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Unser Argument f"ur die Existenz ausreichend vieler naiver Verflechtungsquadrate \ref{geVVN} zeigt, da"s wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen d"urfen, unser rechtes naives Verflechtungsquadrat sei Bild eines lokalisierbaren Verflechtungsquadrats, das aus Objekten von $\mathscr R$ besteht. Damit folgt die Behauptung aus der Funktorialit"at rechts kokartesischer naiver Verflechtungsquadrate \ref{EFnVN}. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Untereinanderkleben naiver Verflechtungsquadrate}] Gegeben seien eine pr"averflochtene Winkelfaserung mit einem faserweisen ges"attigten Oresystem $S$. Gibt es eine Rechtslinksanpassung $(\mathscr R,\mathscr L)$, so liefert das Verkleben zweier beidseitig kokartesischer naiver Verflechtungsquadrate der Lokalisierung l"angs einer gemeinsamen horizontalen Kante wieder ein naives Verflechtungsquadrat.\label{AKnVN} \end{Lemma} \begin{proof} Um das zu zeigen, leiten wir eine alternative Beschreibung f"ur beidseitig kokartesische naive Verflechtungsquadrate her. Sei dazu "uber der oberen Kante $W\ra X$ eines vorgegebenen erlaubten Basisquadrats ein Morphismus $\mathcal E\ra \mathcal F$ von Objekten von $\mathscr L$ %\nichtfinal{(war $\mathscr R$)} gegeben und sei $Q\mathcal E\ra Q\mathcal F$ kartesisch. Ist das nach der Funktorialit"at rechts kokartesischer naiver Verflechtungsquadrate \ref{EFnVN} zugeh"orige rechts kokartesische naive Verflechtungsquadrat beidseitig kokartesisch, so ist es isomorph zum Bild in der Lokalisierung vom Rand des Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{\mathcal E \ar@{-->}[d]\ar[r]&q^\dagger \mathcal F\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r] &{\mathcal F}\ar@{-->}[d]\\ g_{{\shriek}} \mathcal E \ar[r]&p^\dagger f_{{\shriek}}\mathcal F\ar@{..>}[r] & f_{{\shriek}}\mathcal F} \end{displaymath} mit dem rechten Quadrat aus unserer urspr"unglichen Pr"averflechtung und dem linken Quadrat aus der universellen Eigenschaft des Schreivorschubs. Aus dieser Bescheibung und der Funktorialit"at rechts kokartesischer naiver Verflechtungsquadrate \ref{EFnVN} folgt das Lemma sofort. Im Rest des Beweises leiten wir sie her. Gegeben in $\mathscr C$ ein Morphismus $\mathcal E_\alpha\ra \mathcal F_\alpha$ "uber $W\ra X$ mit denselben Eigenschaften, wie wir sie von $\mathcal E,\mathcal F$ und $\mathcal E\ra \mathcal F$ gefordert hatten, sowie ein kommutatives Quadrat in $\mathscr C$ mit $S$-Morphismen in den Vertikalen $$\xymatrix{\mathcal E_\alpha \ar[d]^{S}\ar[r]&\mathcal F_\alpha \ar[d]^{S}\\ \mathcal E \ar[r]&\mathcal F}$$ bilden wir das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{\mathcal E_\alpha \ar@{-->}@/_-1.5pc/[ddd]\ar[rd]^S\ar[rr]&&q^\dagger \mathcal F_\alpha\ar[d]\ar@{-->}@/_-2pc/[ddd]\ar@{..>}[rr] &&{\mathcal F_\alpha }\ar@{-->}@/_-1.5pc/[ddd]\ar[ld]_S\\ &\mathcal E \ar@{-->}[d]\ar[r]&q^\dagger \mathcal F\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r] &{\mathcal F}\ar@{-->}[d]&\\ & g_{{\shriek}} \mathcal E \ar[r]&p^\dagger f_{{\shriek}}\mathcal F\ar@{..>}[r] & f_{{\shriek}}\mathcal F&\\ g_{{\shriek}} \mathcal E_\alpha \ar[rr]\ar[ur]_S&&p^\dagger f_{{\shriek}}\mathcal F_\alpha\ar@{..>}[rr]\ar[u] && f_{{\shriek}}\mathcal F_\alpha\ar[ul]^S} \end{displaymath} und erkennen, da"s es einen Isomorphismus der entsprechenden Quadrate in der Lokalisierung induziert. Jetzt finden wir von der Definition einer Rechtslinksanpassung ausgehend eine Erg"anzung der oberen Horizontale von eben zu einem kommutativen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal E_\alpha \ar@{=}[d]_3\ar[rr]_3^S &&q^\dagger \mathcal F_{\dagger\shriek}\ar@{..>}[r] &{\mathcal F_{\dagger\shriek}}\\ \mathcal E_\alpha \ar[r]_2^S &\mathcal G \ar[d]_1^S\ar[r]_1&q^\dagger \mathcal F_{\shriek}\ar[d]^S\ar[u]\ar@{..>}[r] &{\mathcal F_\shriek}\ar[d]^S\ar[u]_S\\ &\mathcal E \ar[r]&q^\dagger \mathcal F\ar@{..>}[r] &{\mathcal F}} \end{displaymath} mit den angedeuteten $S$-Morphismen, mit $\mathcal F_{\shriek},\mathcal E,\mathcal E_\alpha \in\mathscr L$ und mit $\mathcal F_{\dagger\shriek}\in\mathscr R\cap \mathscr L$. Hier verwenden wir im ersten Schritt, da"s $S$ ein faserweises Oresystem ist, um $\mathcal G$ und die beiden davon ausgehenden Morphismen zu finden, und ganz wesentlich die Eigenschaft einer Rechtslinksanpassung, da"s $q^\dagger$ aus $\mathcal F\leftarrow \mathcal F_\shriek$ auch dann einen $S$-Morphismus macht, wenn diese Objekte nicht $Qq^\dagger$-rechtsentfaltet sind. Im zweiten Schritt finden wir einen $S$-Morphismus von einem Objekt $\mathcal E_\alpha\in\mathscr L_W$ nach $\mathcal G$ aufgrund der Definition einer Linksanpassung. Im dritten Schritt erkennen wir, da"s $Q\mathcal E_\alpha\ra Q\mathcal F_{\dagger\shriek}$ kartesisch sein mu"s, also $Q\mathcal E_\alpha\ra Qq^\dagger\mathcal F_{\dagger\shriek}$ ein Isomorphismus wegen $\mathcal F_{\dagger\shriek}\in \mathscr R$, also $\mathcal E_\alpha\ra q^\dagger\mathcal F_{\dagger\shriek}$ ein $S$-Morphismus wegen $S$ faserweise ges"attigt. So k"onnen wir uns darauf zur"uckziehen, die urspr"ungliche Behauptung f"ur $\mathcal F\in \mathscr R_X\cap \mathscr L_X$ zu zeigen. Gilt nun aber $\mathcal F\in \mathscr R_X\cap \mathscr L_X$, so mu"s der erste horizontale Pfeil oben links unter $Q$ ein Isomorphismus werden und wir k"onnen unser Diagramm erg"anzen zu einem Diagramm der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal E \ar@{-->}[d]\ar[r]_1^{\stackrel{Q}{\sim}}&q^\dagger \mathcal F\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r] &{\mathcal F}\ar@{-->}[d]\\ g_{{\shriek}} \mathcal E \ar@{=}[d]\ar[r]&p^\dagger f_{{\shriek}}\mathcal F\ar@{..>}[r]\ar[d] & f_{{\shriek}}\mathcal F\ar[d]^{\wr Q}_2\\ g_{{\shriek}} \mathcal E \ar[r]_3^{\stackrel{Q}{\sim}}&p^\dagger \mathcal G\ar@{..>}[r] & \mathcal G} \end{displaymath} mit $\mathcal G\in\mathscr R_Y$. Dann mu"s, wenn das naive Verflechtungsquadrat zur oberen rechten Ecke $Q\mathcal F$ beidseitig kokartesisch ist, die mittlere Vertikale kokartesisch werden in der Lokalisierung. Das hinwiederum zeigt, da"s auch der horizontale Morphismus unten links in der Lokalisierung ein Isomorphismus werden mu"s. So sehen wir, da"s das obere lange horizontale Rechteck, das einh"ullende Quadrat und das rechte lange vertikale Rechteck alle drei isomorphe Quadrate in der Lokalisierung liefern. Das rechte lange vertikale Rechteck liefert per definitionem ein naives Verflechtungsquadrat und so folgt dasselbe f"ur das obere lange horizontale Rechteck. \end{proof} \begin{Lemma} Gibt es f"ur eine pr"averflochtene Winkelfaserung mit faserweisem ges"attigten Oresystem eine Rechtslinksanpassung und sind alle rechts kokartesischen naiven Verflechtungsquadrate der Lokalisierung beidseitig kokartesisch, so enth"alt jede Verflechtung der lokalisierten Winkelfaserung, die alle beidseitig kokartesischen naiven Verflechtungsquadrate enth"alt, sogar alle naiven Verflechtungsquadrate.\label{AdLoT} \end{Lemma} \begin{proof} Nach \ref{NaiRN} ist jedes naive Verflechtungsquadrat isomorph zu einem naiven Verflechtungsquadrat mit oberer rechter Ecke $\mathcal F\in\mathscr L$. Wir k"onnen es also schreiben als Bild eines lokalisierbaren Verflechtungsquadrats $(\mathcal E, \mathcal F, \mathcal H,\mathcal G)$ der Gestalt $$ \xymatrix{ W\ar@{..>}[r]^q \ar@{-->}[dd]_g&X\ar@{-->}[dd]^f && \mathcal E \ar@{..>}[r] \ar@{-->}[dd]&\mathcal F \ar@{-->}[d] & \\ &&&&f_\shriek\mathcal F \ar[d] \ar[r]^S_1 &\mathcal I\ar[d]_2\\ Z \ar@{..>}[r]^p &Y && \mathcal H\ar@{..>}[r]&\mathcal G\ar[r]^S_2 &\mathcal J} $$ mit $\mathcal F\in \mathscr L_X$. Nun finden wir in einem ersten Schritt einen $S$-Morphismus $f_\shriek\mathcal F\ra \mathcal I$ mit $\mathcal I\in \mathscr R_Y$ und in einem zweiten Schritt eine Erg"anzung zu einem kommutativen Quadrat und das sogar mit $\mathcal J\in \mathscr R_Y$. Unser urspr"ungliches naives Verflechtungsquadrat ist also isomorph zum Bild des lokalisierbaren Verflechtungsquadrats $(\mathcal E, \mathcal F, p^\dagger\mathcal J,\mathcal J)$ und dieses entsteht durch Verkleben aus dem rechts kokartesischen naiven Verflechtungsquadrat $(\mathcal E, \mathcal F, p^\dagger\mathcal I,\mathcal I)$ und dem durch Kommutativit"at gegebenen Verflechtungsquadrat $( p^\dagger\mathcal I,\mathcal I, p^\dagger\mathcal J,\mathcal J)$ und geh"ort damit in der Tat zu unserer Verflechtung. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Halbseitig beschr"ankte derivierte Verflechtung}] Dies Beispiel ebenso wie das folgende k"onnten auch mit einer entsprechend vereinfachten Fassung unserer Rechtslinksanpassungen behandelt werden, da darin alle Objekte bereits eine Rechtsanpassung bilden, aber sei's drum! Unsere verflochtene Austauschsituation $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}} \leftarrow \op{Ab}^{\shriek}_{\sslash{\op{Top}}^{\op{les}}}, \op{Top}^{\op{es}}\big)$$ aus \ref{AtaN} mit der kartesischen Regulierung und der durch Kommutativit"at konstruierten Verflechtung, immer noch nach \ref{AtaN}, liefert in offensichtlicher Weise verflochtene Austauschsituationen $$\left(\op{Hot}^\sharp(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Hot}^\sharp(\op{Ab}^{\shriek}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}), \op{Top}^{\op{es}}\right)$$ f"ur $\sharp$ eine jede unserer vier "ublichen Beschr"ankungsbedingungen. Im Fall von $\op{Hot}^-$ k"onnen wir die zugeh"orige Winkelfaserung nach Quasiisomorphismen lokalisieren, denn der R"uckzug ist exakt und alle Garbenkomplexe bilden folglich eine Rechtsanpassung $\mathscr R$ f"ur den opponierten R"uckzug, wohingegen wir f"ur den Schreivorschub nach \ref{RAGB} die Linksanpassung $\mathscr L\pdef \op{Hot}^-(\op{skwAb}_{\sslash \op{Top}})$ durch entsprechend beschr"ankte Komplexe schwach kompaktweicher Garben zur Verf"ugung haben. Um eine Verflechtung der lokalisierten Winkelfaserung zu konstruieren, pr"ufen wir die Bedingungen von Satz \ref{AdLoN}. Sicher existiert eine Rechtslinksanpassung, n"amlich $(\mathscr R,\mathscr L)$. Wir m"ussen also nur noch zeigen, da"s in unserer Situation alle rechts kokartesischen naiven Verflechtungsquadrate beidseitig kokartesisch sind. Nach \ref{NaiRN} reicht es zu zeigen, da"s alle rechts kokartesischen naiven Verflechtunsquadrate mit Ausgangsecke in $\mathscr L$ beidseitig kokartesisch sind. Es reicht also zu zeigen, da"s gegeben \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar@{..>}[r]^q \ar@{-->}[d]_g&X\ar@{-->}[d]^f \\ Z\ar@{..>}[r]^p &Y } \end{displaymath} ein kartesisches Diagramm topologischer R"aume mit les-Ab\-bil\-dun\-gen $f,g$ in den Vertikalen und ein Komplex $\mathcal F\in \op{Hot}^-(\op{skwAb}_{\sslash X})$ alias $\mathcal F\in \op{Hot}^+(\op{skwAb}_{{/} X})$ der R"uckzug $q^* \mathcal F$ ein $g_{(!)}$-quisrechtsentfalteter Garbenkomplex ist, so da"s das entsprechende beidseitig kokartesische Verflechtungsquadrat in $\op{Hot}^-(\op{Ab}_{\sslash {\op{Top}}})$ aus der oben beschriebenen Verflechtung beidseitig kokartesisch bleibt in der Lokalisierung. Nach \ref{teL} ist aber jede faserweise kompaktweiche abelsche Garbe bereits $g_{(!)}$-quisrechtsentfaltet f"ur jede les-Abbildung $g$ und f"ur eine schwach kompaktweiche abelsche Garbe $\mathcal F$ hat offensichtlich ihr R"uckzug $q^* \mathcal F$ diese Eigenschaft. Mithin erhalten wir durch Lokalisieren mit \ref{AdLoN} eine \label{hbbAN} verflochtene Austauschsituation $$(\op{Der}^-_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Der}^{-\shriek}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}, \op{Top}^{\op{es}})$$ in Bezug auf die kartesische Regulierung der Basis. Offensichtlich macht in diesem Fall die Verschiebung $[1]$ Verflechtungsquadrate zu Verflechtungsquadraten, so da"s der Flechtbasiswechsel eine im Sinne von \eref{vvT}{TD} vertr"agliche Transformation von triangulierten Funktoren ist. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Unbeschr"ankte derivierte Verflechtung}] Wir erhalten wie in \ref{hbbAN} eine verflochtene Austauschsituation $$\left(\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Hot}(\op{Ab}^{\shriek}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}), \op{Top}^{\op{esb}}\right)$$ und k"onnen sie wie zuvor nach Quasiisomorphismen lokalisieren, indem wir wie zuvor die Rechtslinksanpassung $(\mathscr R,\mathscr L)$ beachten mit $\mathscr R$ allen Komplexen und $\mathscr L\pdef \op{Hot}(\op{skwAb}_{\sslash \op{Top}})$ der Linksanpassung durch Komplexe schwach kompaktweicher Garben nach \ref{RAGBb}. Der "Ubergang zur Lokalisierung liefert dann wie zuvor eine verflochtene Austauschsituation\label{kolesbN} $$\left(\op{Der}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Der}^{\shriek}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}, \op{Top}^{\op{esb}}\right)$$ in Bezug auf die kartesische Regulierung der Basis und wieder macht die Verschiebung $[1]$ Verflechtungsquadrate zu Verflechtungsquadraten, so da"s der zugeh"orige Flechtbasiswechsel eine im Sinne von \eref{vvT}{TD} vertr"agliche Transformation von triangulierten Funktoren ist. \end{Beispiel} \subsection{R"uckzug-Schreivorschub derivierter Modulgarben} \begin{Bemerkungl} In der hier gegebenen Darstellung baut die Konstruktion von Verflechtungen und im weiteren auch Trennverflechtungen f"ur derivierte Modulgarben auf der Erkenntnis auf, da"s Godementaufl"osungen halmweise spalten und folglich exakt bleiben unter dem Darantensorieren weiterer Modulgarben. Diese Vertr"aglichkeit geeigneter kompaktweicher Aufl"osungen mit Flachheitseigenschaften liefert uns die Rechtslinksanpassungen, die wir zum Lokalisieren der mehr oder weniger offensichtlichen pr"averflochtenen Austauschsituationen alias Winkelfaserungen auf den Homotopiekategorien ben"otigen. Das wird im folgenden ausgef"uhrt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine abelsche Garbe $\mathcal F$ hatten wir in \eref{DGKoS}{TG} ihre Garbe der unstetigen Schnitte ${\op{G}} \cal{F}$ eingef"uhrt sowie den Godement-Monomorphismus $\mathcal F\hra {\op{G}} \cal{F}$ und in \eref{Gode}{TG} die Godementaufl"osung $\mathcal F\ra {\op{G}}^\lhd \cal{F}$. Dasselbe gelingt allgemeiner f"ur Modulgarben auf geringten R"aumen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Halmweises Spalten des Godementmonomorphismus}] Gegeben eine abelsche Garbe $\cal{F}$ oder allgemeiner eine Modulgarbe auf einem\label{HSP} geringten Raum $X$ induziert der Godementmonomorphismus $\cal{F} \hookrightarrow {\op{G}}\cal{F}$ spaltende Injektionen auf allen Halmen. In der Tat liefert die entsprechende Projektion f"ur $x\in U\co X$ eine Faktorisierung $\mathcal F(U)\ra ({\op{G}}\cal{F})(U)\ra \mathcal F_x$ der Abbildung, die jedem Schnitt von $\mathcal F$ "uber $U$ seinen Halm bei $x$ zuordnet. Diese Faktorisierungen sind vertr"aglich mit dem "Ubergang zu kleineren offenen Umgebungen von $x$ und liefern im Kolimes die gew"unschte Spaltung. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben $X$ ein geringter Raum und $\mathcal F\in\op{Ket}(\op{Ab}_{/X})$ ein Komplex von Modulgarben ist der offensichtliche Morphismus ein Quasiisomorphismus $$\mathcal F\qri {\op{G}}^\lhd\mathcal F\pdef\op{tot}\op{G}^p(\mathcal F^q)$$ in das Summentotal der Godementaufl"osungen der Eintr"age unseres Garbenkomplexes\label{exGO} und der Abbildungskegel dieses Quasiisomorphismus ist quisflach. \end{Lemma} \begin{proof} Erg"anzen wir den Doppelkomplex $\op{G}^p(\mathcal F^q)$ durch $\tilde{\op{G}}^{-1}(\mathcal F^q)\pdef \mathcal F^q$, so erhalten wir einen Doppelkomplex $\tilde{\op{G}}^{\lhd}(\mathcal F)$ mit exakten $p$-Teil\-kom\-plex\-en alias Zeilen, die f"ur $p<-1$ verschwindende Eintr"age haben. Nach dem Exaktheitskriterium \eref{TK}{TD} und der Vertauschbarkeit der Halmbildung mit Koprodukten ist dann auch das Summentotal unseres Doppelkomplexes exakt und die erste Behauptung folgt. Die zweite Behauptung folgt ebenso, wenn wir f"ur jeden exakten Komplex $\mathcal E$ von Rechtsmodulgarben die Exaktheit des Summentotals des Tripelkomplexes der $\mathcal E^r\otimes\tilde{\op{G}}^p(\mathcal F^q)$ zeigen k"onnen. Wir zeigen das sogar f"ur einen beliebigen Komplex $\mathcal E$ von Rechtsmodulgarben. Die $p$-Teilkomplexe von $\tilde{\op{G}}^p(\mathcal F^q)$ sind ja nicht nur exakt, sondern nach \ref{HSP} sogar halmweise maximal spaltend. Folglich sind auch in unserem Tripelkomplex die $p$-Teilkomplexe exakt. Sie bleiben exakt beim "Ubergang zum Summentotal in Bezug auf $(r,q)$, da Koprodukte exakter Garbenkomplexe exakt sind. Der so entstehende Doppelkomplex hat dann wieder exaktes Summentotal mit demselben Argument wie zuvor. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vorarbeiten zur Rechtslinksanpassung bei Garbenkomplexen}] %\nichtfinal{Weglassen? F"ur jeden % quisflachen Komplex $\mathcal L$ von % Modulgarben auf einem geringten Raum $X$ landet der % Quasiisomorphismus %% $\mathcal L\qri {\op{G}}^\lhd\mathcal L$ aus \ref{exGO}, dessen % Abbildungskegel ja nach \ref{exGO} stets quisflach ist, selbst % in einem quisflachen Komplex ${\op{G}}^\lhd\mathcal L$, da dieser % als ein Abbildungskegel einer Morphismus quisflacher Komplexe % gesehen werden kann. % Der Komplex ${\op{G}}^\lhd\mathcal L$ besteht noch dazu aus schwach % kompaktweichen % Modulgarben, da diese Eigenschaft % nach \ref{skw} erhalten bleibt unter % filtrierenden Kolimites.} Gegeben ein Komplex $\mathcal F$ von Modulgarben finden wir nach \ref{hflL} einen Quasiisomorphismus $\mathcal L\qri \mathcal F$ von einem quisflachen Komplex $\mathcal L$ nach $\mathcal F$. Mit der Funktorialit"at der Go\-de\-ment\-auf\-l"o\-sung \ref{exGO} erhalten wir ein kommutatives Diagramm aus Quasiisomorphismen\label{VRLm0} $$\begin{array}{ccc}\mathcal L&\ra& \mathcal F\\ \da&&\da\\ {\op{G}}^\lhd\mathcal L&\ra& {\op{G}}^\lhd\mathcal F \end{array}$$ Hier stehen Komplexe schwach kompaktweicher Garben in der unteren Horizontale, da diese Eigenschaft nach \ref{skw} erhalten bleibt unter filtrierenden Kolimites. Weiter haben die Vertikalen haben nach \ref{exGO} quisflachen Abbildungskegel. Insbesondere ist mit $\mathcal L$ auch ${\op{G}}^\lhd\mathcal L$ quisflach und f"ur jeden Morphismus $q:W\ra X$ von geringten R"aumen ist $q^{(*)}\mathcal F\ra q^{(*)}{\op{G}}^\lhd\mathcal F$ ein Quasiisomorphismus, denn der Abbildungskegel von $\mathcal F\ra {\op{G}}^\lhd\mathcal F$ ist exakt und quisflach und bleibt folglich exakt unter $q^{(*)}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Rechtslinksanpassung bei halbseitig beschr"ankten Komplexen}] F"ur jeden in Richtung gegen die Differentiale beschr"ankten Komplex $\mathcal F\in \op{Ket}^+$ von Modulgarben auf einem geringten Raum endlicher Torsionsdimension finden wir nach \eref{UbDe}{TD} oder genauer \eref{UGTR}{TD} einen Quasiisomorphismus $\mathcal L\qri \mathcal F$ von einem Komplex $\mathcal L\in \op{Ket}^+$\label{VRLm2N} von flachen Modulgarben nach $\mathcal F$, der dann nach \eref{UbDe}{TD} auch quisflach ist. Die Funktorialit"at der Godementaufl"osung liefert so dasselbe Diagramm wie in \ref{VRLm0} mit Komplexen aus $\op{Ket}^+$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Pr"averflochtene Austauschsituation der Modulgarbenkomplexe}] Wir erinnern aus \ref{ReO} die pr"averflochtene Austauschsituation der Modulgarben $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Ger}}}\ra \op{Ger}\supset\op{Ger}^{\op{s}} \leftarrow \op{Ab}^{\shriek}_{\sslash{\op{Ger}}^{\op{s}}},\op{Ger}^{\op{es}}\big)$$ mit der durch Kommutativit"at konstruierten Pr"averflechtung "uber der Regulierung der Basis durch alle kommutativen Quadrate, bei denen das zugrundeliegende Quadrat von topologischen R"aumen kartesisch ist. Sie liefert in offensichtlicher Weise pr"averflochtene Austauschsituationen\label{prAFGN} $$\left(\op{Hot}^\sharp(\op{Ab}_{\sslash \op{Ger}})\ra \op{Ger}\supset \op{Ger}^{\op{s}}\leftarrow \op{Hot}^\sharp(\op{Ab}^{\shriek}_{\sslash \op{Ger}^{\op{s}}}), \op{Ger}^{\op{es}}\right)$$ f"ur $\sharp$ eine jede unserer vier "ublichen Beschr"ankungsbedingungen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verflochtene halbseitig beschr"ankt derivierte Modulgarben}] Die in \ref{prAFGN} diskutierte pr"averflochtene Austauschsituation von halbseitig beschr"ankten Homotopiekomplexen opponierter Modulgarben aus $\op{Hot}^-$ l"a"st sich mit \ref{AdLoN} nach Quasiisomorphismen lokalisieren, wenn wir uns geeignet weiter einschr"anken. In der hier diskutierten Variante betrachten wir in der Basis nur geringte R"aume endlicher Torsionsdimension und notieren diese Unterkategorie $\op{Gerte}\subset \op{Ger}$. Weiter erlauben wir als $\shriek$-Morphismen in der Basis nur solche Morphismen von geringten R"aumen $(X;\mathcal A)\ra (Y;\mathcal B)$, bei denen $f:X\ra Y$ eine les-Abbildung ist. Wir notieren $\op{Ger}^{\op{les}}\supset \op{Ger}^{\op{es}}$ das multiplikative System dieser Morphismen beziehungsweise besagter Morphismen, die zus"atzlich eigentlich sind. So erhalten wir eine pr"averflochtene Austauschsituation $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Gerte}}}\ra \op{Gerte}\supset\op{Gerte}^{\op{les}} \leftarrow \op{Ab}^{\shriek}_{\sslash{\op{Gerte}}^{\op{les}}}, \op{Gerte}^{\op{es}}\big)$$ und eine entsprechend pr"averflochtene Austauschsituation auf den Homotopiekategorien. Als \hyperref[ReGu]{Regulierung} der Basis w"ahlen wir f"ur das weitere alle Basisquadrate \begin{displaymath} \xymatrix{ (W;\mathcal D)\ar@{-->}[d]_g\ar@{..>}[r]^q & (X;\mathcal A)\ar@{-->}[d]^f\\ (Z;\mathcal C)\ar@{..>}[r]^p & (Y;\mathcal B) } \end{displaymath} mit der Eigenschaft, da"s die zugrundeliegenden topologischen R"aume ein kartesisches Quadrat bilden, da"s die Multiplikation f"ur alle $w\in W$ mit der Notation $v\pdef fq=pg$ einen Isomorphismus von abelschen Gruppen $$\mathcal C_{g(w)}\otimes_{\mathcal B_{v(w)}}\mathcal A_{q(w)}\sira \mathcal D_w$$ induziert und da"s die h"oheren Torsionsgruppen $\mathcal C_{g(w)}\ast^i_{\mathcal B_{v(w)}}\mathcal A_{q(w)}$ f"ur $i>0$ verschwinden. Diese Bedingung bedeutet im Fall gekringter R"aume, da"s unser Quadrat in $\op{Gek}$ kartesisch und au"serdem torsionslos ist, aber im Fall nichtkommutativer Koeffizienten bedeutet sie etwas anderes. Wir nennen unsere Regulierung die {\bf kartesisch-torsionslos-tensorielle Regulierung}\index{Regulierung!kartesisch-torsionslos-tensorielle} und notieren sie durch einen unteren Index $\op{ktt}$.\index{ktte@$\op{ktt}$ kartesisch-torsionslos-tensorielle Regulierung} Man beachte, da"s diese Regulierung beim "Ubergang zu den opponierten Ringgarben nicht erhalten bleibt. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} Die in Bezug auf die kartesisch-torsionslos-tensorielle Regulierung pr"averflochtene Austauschsituation der Homotopiekomplexe von Modulgarben $$\big(\op{Hot}^-(\op{Ab}_{\sslash{\op{Gerte}}})\ra \op{Gerte}\supset\op{Gerte}^{\op{les}} \leftarrow \op{Hot}^-(\op{Ab}^{\emph{\shriek}}_{\sslash{\op{Gerte}}^{\op{les}}}),\op{Gerte}^{\op{es}}\big)_{\op{ktt}}$$ liefert mit Satz \ref{AdLoN} unter Lokalisierung nach Quasiisomorphismen eine verflochtene Austauschsituation\label{WiFa1} $$\big(\op{Der}^-_{\sslash{\op{Gerte}}}\ra \op{Gerte}\supset\op{Gerte}^{\op{les}} \leftarrow \op{Der}^{-\emph{\shriek}}_{\sslash{\op{Gerte}}^{\op{les}}},\op{Gerte}^{\op{es}}\big)_{\op{ktt}}$$ \end{Satz} \begin{proof} Zun"achst folgt aus unseren Vorarbeiten in \ref{VRLm2N}, da"s die entsprechend beschr"ankten quisflachen Komplexe zusammen mit den entsprechend beschr"ankten Komplexen schwach kompaktweicher Modulgarben eine Rechtslinksanpassung bilden. Es bleibt damit nur noch zu zeigen, da"s alle rechts kokartesischen naiven Verflechtungsquadrate beidseitig kokartesisch sind. Nun faktorisiert jeder Morphismus von geringten R"aumen $(X;\mathcal A)\ra (Y;\mathcal B)$ als $(X;\mathcal A)\ra (X;f^*\mathcal B)\ra (Y;\mathcal B)$ und mit $\mathcal B$ hat auch $f^*\mathcal B$ endliche Torsionsdimension. Jedes erlaubte Basisquadrat l"a"st sich mithin erhalten als Verklebung der vier erlaubten Basisquadrate\label{hbGT} \begin{displaymath} \xymatrix{ (W;\mathcal D)\ar[r]\ar[d] & (W;q^*\mathcal A)\ar[d]\ar[r]^q & (X;\mathcal A) \ar[d] \\ (W;g^*\mathcal C)\ar[d]^g\ar[r] & (W;v^*\mathcal B)\ar[d]^g\ar[r]^q & (X;f^*\mathcal B) \ar[d]_f\\ (Z;\mathcal C)\ar[r] & (Z;p^*\mathcal B)\ar[r]^p & (Y;\mathcal B) } \end{displaymath} Hier schreiben wir $v=pg=fq$ und die Sternchen meinen R"uckz"uge von Ringgarben. Unter unseren Annahmen ist nun nach \ref{neNVN} und \ref{AKnVN} die Menge der beidseitig kokartesischen naiven Verflechtungsquadrate stabil unter Verkleben. Es reicht also, f"ur jedes dieser vier Basisquadrate zu zeigen, da"s jedes rechts kokartesische naive Verflechtungsquadrat dar"uber beidseitig kokartesisch ist. Dabei k"onnen wir uns nach \ref{EFnVN} zus"atzlich auf den Fall beschr"anken, da"s die Ausgangsecke in $\mathscr R\cap\mathscr L$ liegt, da"s sie also ein quisflacher Komplex aus schwach kompaktweichen Modulgarben ist. Gehen wir also unsere vier F"alle der Reihe nach durch. Im Basisquadrat oben rechts sind alle R"uckz"uge und Schreivorsch"ube exakt und die offensichtliche Vertr"aglichkeit von R"uckzug ohne Ringwechsel und Einschr"anken der operierenden Ringgarbe in der Kategorie der Modulgarben impliziert direkt, da"s jedes rechts kokartesisch naive Verflechtungsquadrat beidseitig kokartesisch ist. Im Basisquadrat unten rechts ist offensichtlich jedes rechts kokartesisch naive Verflechtungsquadrat mit Ausgangsecke in $\mathscr L$ beidseitig kokartesisch, denn dann ist die Ausgangsecke ein Komplex schwach kompaktweicher Modulgarben und die Behauptung folgt aus dem bereits behandelten Fall abelscher Garben. Im Basisquadrat oben links folgt die Behauptung aus dem Fall einpunktiger R"aume, in dem wir die Aussage bereits aus \ref{BWri} kennen. Im Basisquadrat unten links schlie"slich vereinfachen wir zun"achst einmal die Notation mit den mittlerweile frei gewordenen Buchstaben zu \begin{displaymath} \xymatrix{ (X;f^* \mathcal C)\ar[d]^f\ar[r] & (X;f^*\mathcal B)\ar[d]^f \\ (Y;\mathcal C)\ar[r] & (Y;\mathcal B) } \end{displaymath} f"ur einen Morphismus $\mathcal B\ra \mathcal C$ von Ringgarben auf $Y$. Es reicht nach \ref{EFnVN} zu zeigen, da"s f"ur jeden quisflachen Komplex $\mathcal F$ in $\op{Hot}^-$ von schwach kompaktweichen opponierten Modulgarben auf $X$ das zugeh"orige rechts kokartesische naive Verflechtungsquadrat beidseitig kokartesisch ist. Les-Basiswechsel zeigt, da"s es ausreicht, das im Fall eines einpunktigen Raums $Y=\op{top}$ zu zeigen. Unsere Ringgarben darauf sind nun schlicht Ringe $B, C$ mit einem Ringhomomorphismus $B\ra C$ und $X$ ist ein lokal kompakter Hausdorffraum und $\mathcal F$ ein quisflacher Komplex in $\op{Hot}^-$ von kompaktweichen opponierten Modulgarben. Es reicht zu zeigen, und wir gehen dabei zur nichtopponierten Situation "uber, da"s im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ C\otimes_{B}\mathcal F \ar@{..>}[r]\ar@{-->}[dd] &\mathcal F\ar@{-->}[d]\\ & f_{(!)}\mathcal F\ar[d]^S\\ C\otimes_B\mathcal G\ar@{..>}[r]&\mathcal G} \end{displaymath} mit $\mathcal G$ quisflach und einem Quasiisomorphismus als dem mit $S$ markierten Pfeil die linke Vertikale schreikokartesisch wird in der Lokalisierung. Nach \ref{VeVSE} reicht es zu zeigen, da"s die linke Vertikale nach Vergessen der Operation der Skalare $C$ schreikokartesisch wird in der Lokalisierung. Sei dazu $M^*\qri C$ ein Quasiisomorphismus von einem beschr"ankten Komplex flacher $B$-Rechtsmoduln nach $C$. Wir betrachten das Diagramm von Komplexen abelscher Garben \begin{displaymath} \xymatrix{ M^*\otimes_{B}\mathcal F\ar@{-->}[d]\ar[rr]& &C\otimes_{B}\mathcal F\ar@{-->}[dd]\\ f_{(!)} (M^*\otimes_{B}\mathcal F)\ar[r]&M^*\otimes_B f_{(!)}\mathcal F \ar[d]&\\ & M^*\otimes_B\mathcal G\ar[r]&C\otimes_{B}\mathcal G} \end{displaymath} Ich behaupte, da"s alle durchgezogenen Pfeile Quasiisomorphimen sind. In der obersten und untersten Horizontale folgt das, da $\mathcal F$ und $\mathcal G$ quisflach sind. Die mittlere Horizontale ist sogar ein echter Isomorphismus nach der Projektionsformel \ref{TSkoM}, da $M^*$ ein beschr"ankter Komplex aus flachen $B$-Rechtsmoduln ist. Die mittlere Vertikale schlie"slich ist ein Quasiisomorphismus, da sie aus dem Quasiisomorphismus $f_{(!)}\mathcal F\qri \mathcal G$ entsteht durch Tensorieren mit einem beschr"ankten Komplex flacher $B$-Rechtsmoduln. Wieder nach der Projektionsformel \ref{TSkoM} besteht nun der Komplex links oben aus kompaktweichen abelschen Garben, folglich bleibt die linke Vertikale schreikokartesisch in der Lokalisierung. Alles zusammen zeigt, da"s auch die rechte Vertikale schreikokartesisch werden mu"s in der Lokalisierung. \end{proof} %\begin{Bemerkungl} \nichtfinal{Ab hier alt!} %Es reicht zu zeigen, wir gehen dabei zur nichtopponierten Situation "uber, % da"s in einem Diagramm der Gestalt \begin{displaymath} % \xymatrix{ % \mathcal E\ar@{-->}[d]\ar[r]^-S&C\otimes_{B}\mathcal F \ar@{..>}[r]\ar@{-->}[ddl] &\mathcal F\ar@{-->}[d]\\ % f_{(!)}\mathcal E\ar[d]^?& & f_{(!)}\mathcal F\ar[d]^S\\ % C\otimes_B\mathcal G\ar@{..>}[rr]&&\mathcal G} % \end{displaymath} % mit $\mathcal E$ quisrechtsentfaltet f"ur $f_{(!)}$ und $\mathcal G$ quisflach % und Quasiisomorphismen als den mit $S$ markierten Pfeilen % auch der durch die Pr"averflechtung gegebene mit einem Fragezeichen markierte % Pfeil ein Quasiisomorphismus ist. Er kann explizit beschrieben als der % Pfeil, der durch die Kommutativit"at des linken Dreiecks und die universelle % Eigenschaft des Schreivorschubs von Homotopiekomplexen abelscher Garben % gegeben wird. \nichtfinal{Hier wird es vage!} % Wir zeigen allgemeiner, % da"s er sogar f"ur beliebige % beschr"ankte Komplexe von $B$-Rechtsmoduln $C^*$ ein Quasiisomorphismus ist. % Wenn das nun f"ur einen beschr"ankten Komplex von $B$-Rechtsmoduln gilt, % so sicher auch f"ur jeden dazu quasiisomorphen beschr"ankten Komplex von $B$-Rechtsmoduln. Es reicht also, es f"ur jeden beschr"ankten Komplex von flachen $B$-Rechtsmoduln $C^*$ zu zeigen. In diesem Fall sagt uns aber % die Projektionsformel \ref{TSkoM}, da"s $C^*\otimes_B\mathcal F$ bereits aus % kompaktweichen Garben besteht und der im folgenden Diagramm bereits mit einer Schlange markierte Pfeil % ein Isomorphismus ist, so da"s wir $\mathcal E=C^*\otimes_B\mathcal F$ % nehmen k"onnen und unser Diagramm erweitern k"onnen zu einem % kommutativen Diagramm % \begin{displaymath} % \xymatrix{ % C^*\otimes_{B}\mathcal F\ar@{-->}[d]\ar[rr]& &\mathcal F\ar@{-->}[d]\\ % f_{(!)} (C^*\otimes_{B}\mathcal F)\ar[d]^?\ar[r]^-\sim&C^*\otimes_B f_{(!)}\mathcal F \ar[r]\ar[d]^S& f_{(!)}\mathcal F\ar[d]^S\\ % C^*\otimes_B\mathcal G\ar@{=}[r]& C^*\otimes_B\mathcal G\ar[r]&\mathcal G} % \end{displaymath} % Hier ist der mittlere vertikale Morphismus ein Quasiisomorphismus, % da $C^*$ ein beschr"ankter Komplex flacher Rechtsmoduln ist. So folgt %schlie"slich, da"s auch der mit einem Fragezeichen bezeichnete % Pfeil ein Quasiisomorphismus sein mu"s. %\end{Bemerkungl} %%%\nichtfinal{Bis hier Pr"a!} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verflochtene unbeschr"ankt derivierte Modulgarben}] Die in \ref{prAFGN} diskutierte pr"averflochtene Austauschsituation von unbeschr"ankten Homotopiekomplexen opponierter Modulgarben l"a"st sich ebenfalls mit \ref{AdLoN} nach Quasiisomorphismen lokalisieren, wenn wir uns entsprechend einschr"anken. In der hier diskutierten Variante erlauben wir beliebige geringte R"aume und fordern insbesondere nicht die Endlichkeit der Torsionsdimension, lassen aber als $\shriek$-Mor\-phis\-men nur solche Morphismen $f:(X;\mathcal A)\ra (Y;\mathcal B)$ zu, f"ur die $f:X\ra Y$ eine lesb-Abbildung von topologischen R"aumen ist. Wir notieren diese Morphismen $\op{Ger}^{\op{lesba}}$ beziehungsweise $\op{Ger}^{\op{esba}}$, wenn sie zus"atzlich eigentlich sind. Wir erhalten mit diesen Notationen eine pr"averflochtene Austauschsituation\label{ubdm} $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Ger}}}\ra \op{Ger} \supset\op{Ger}^{\op{lesba}} \leftarrow \op{Ab}^{\shriek}_{\sslash{\op{Ger}}^{\op{lesba}}},\op{Ger}^{\op{esba}}\big)$$ Wir versehen sie mit derselben kartesisch-torsionslos-tensoriellen Regulierung wie im halbseitig beschr"ankten Fall. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} Die in Bezug auf die kartesisch-torsionslos-tensorielle Regulierung pr"averflochtene Austauschsituation der Homotopiekomplexe von Modulgarben $$\big(\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash{\op{Ger}}})\ra \op{Ger} \supset\op{Ger}^{\op{lesba}} \leftarrow \op{Hot}(\op{Ab}^{\emph{\shriek}}_{\sslash{\op{Ger}}^{\op{lesba}}}), \op{Ger}^{\op{esba}}\big)_{\op{ktt}}$$ liefert mit Satz \ref{AdLoN} unter Lokalisierung nach Quasiisomorphismen eine verflochtene Austauschsituation\label{WiFa2} $$\big(\op{Der}_{\sslash{\op{Ger}}}\ra \op{Ger}\supset \op{Ger}^{\op{lesba}} \leftarrow \op{Der}^{\emph{\shriek}}_{\sslash{\op{Ger}}^{\op{lesba}}}, \op{Ger}^{\op{esba}}\big)_{\op{ktt}}$$ \end{Satz} \begin{proof} Zun"achst folgt aus unseren Vorarbeiten in \ref{VRLm0}, da"s die quisflachen Komplexe zusammen mit den Komplexen schwach kompaktweicher Modulgarben eine Rechtslinksanpassung bilden. Es bleibt damit nur noch zu zeigen, da"s alle rechts kokartesischen naiven Verflechtungsquadrate beidseitig kokartesisch sind. Dazu k"on\-nen wir genauso argumentieren wie im halbseitig beschr"ankten Fall, nur da"s wir f"ur $M^*$ eine unbeschr"ankte flache Aufl"osung von $C$ zulassen m"ussen und d"urfen, die auch wieder quisflach ist nach \eref{hprl}{TD} und so den ben"otigten Quasiisomorphismus $M^*\otimes_B f_{(!)}\mathcal F \sira M^*\otimes_B\mathcal G$ liefert. Da"s der Komplex $M^*\otimes_{B}\mathcal F$ aus kompaktweichen Garben besteht, folgt dabei, indem man da"s Argument aus dem Beweis im halbseitig beschr"ankten Fall um die Bemerkung erg"anzt, da"s auch filtrierende Kolimites kompaktweicher Garben auf lokal kompakten Hausdorffr"aumen nach \eref{LKWG}{TG} wieder kompaktweich sind. Da"s $M^*\otimes_{B}\mathcal F$ dann auch $f_{(!)}$-rechtsentfaltet ist, folgt daraus, da"s wir $f:X\ra Y$ als eine lesb-Abbildung von topologischen R"aumen angenommen hatten. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verflochtene unbeschr"ankt derivierte Kringmodulgarben}] In einer weiteren Variante erlauben wir nur gekringte R"aume und lassen als $\shriek$-Morphismen statt les-Abbildungen etwas allgemeiner lesb-Morphismen zu. Das reicht f"ur die im vorhergehenden gegebene Argumentation, da in diesem Fall $M^*\otimes_{B}\mathcal F$ sogar ein Komplex von $B$-Moduln ist. Wir notieren diese Morphismen $\op{Gek}^{\op{lesb}}$\index{Geklesb@$\op{Gek}^{\op{lesb}}$} beziehungsweise $\op{Gek}^{\op{esb}}$, wenn sie zus"atzlich eigentlich sind.\label{WiFa3} Dann erhalten wir mit Satz \ref{AdLoN} durch Lokalisierung nach Quasiisomorphismen eine kartesisch-torsionslos reguliert verflochtene Austauschsituation $$\big(\op{Der}_{\sslash{\op{Gek}}}\ra \op{Gek}\supset\op{Gek}^{\op{lesb}} \leftarrow \op{Der}^{\shriek}_{\sslash{\op{Gek}}^{\op{lesb}}},\op{Gek}^{\op{esb}}\big)_{\op{kt}}$$ In diesem Fall reden wir einfacher von der kartesisch-torsionslosen Regulierung, weil die Bedingung $\mathcal C_{g(w)}\otimes_{\mathcal B_{v(w)}}\mathcal A_{q(w)}\sira \mathcal D_w$ zusammen mit der Kartesianit"at des zugrundeliegenden Diagramms topologischer R"aume gerade bedeutet, da"s wir ein kartesisches Diagramm in $\op{Gek}$ vor uns haben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die drei Varianten f"ur Verflechtungen derivierter Modulgarben aus \ref{WiFa1}, \ref{WiFa2} und \ref{WiFa3} haben alle offensichtlich die Zusatzeigenschaft, da"s alle Shifts $[1]$ von Verflechtungsquadraten wieder Verflechtungsquadrate sind, so da"s die Transformationen der Flechtbasiswechsel vertr"agliche Transformationen zwischen triangulierten Funktoren sind im Sinne von \eref{vvT}{TD}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Schreivorschub und Erweiterung der Skalare}] Gegeben ein Ringhomomorphismus $k\ra K$ und eine lesb-Abbildung $f:X\ra Y$ betrachten wir das Quadrat konstant geringter R"aume \begin{displaymath} \xymatrix{ (X;K)\ar[d]^g\ar[r]^q & (X;k)\ar[d]^f\\ (Y;K)\ar[r]^p & (Y;k) } \end{displaymath} Es ist erlaubt f"ur die kartesisch-torsionslos-tensorielle Regulierung und der nach \ref{WiFa2} zugeh"orige Verflechtungsisomorphismus $\op{vf}: g_\shriek q^\dagger\sira p^\dagger f_\shriek$ oder ausgeschrieben und etwas nachl"assig mit $g=f$ notiert $$\op{vf}: K\otimes_k^{\op{L}}f_!\mathcal F \sira f_!(K\otimes_k^{\op{L}}\mathcal F)$$ pr"azisiert die Vertr"aglichkeit von $f_!$ mit der Erweiterung der Skalare $K\otimes_k^{\op{L}}$ f"ur beliebige $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/(X;k)})$. Wir haben uns hier die Notation $g=f$ erlaubt, da die zugrundeliegende stetige Abbildung dieselbe ist und $f_!$ in dieser Situation nach \ref{VeVSE} mit dem Vergessen der Skalare vertauscht. Ist $f$ nur $\op{les}$ und haben $k$ und $K$ endliche Torsionsdimension, so folgt dasselbe f"ur $\mathcal F\in \op{Der}^+(\op{Ab}_{/(X;k)})$ mit \ref{WiFa1}. Die Argumentation w"urde in diesem Fall sogar funktionieren, wenn nur $k$ endliche Torsionsdimension hat, und mit mehr M"uhen wohl auch, wenn $K\otimes_k$ endliche homologische Dimension hat, aber auf das Verfolgen dieser Ver"astelungen verzichte ich. Im Fall gekringter R"aume schlie"slich folgt mit \ref{WiFa3} dasselbe f"ur unbeschr"ankte Komplexe sogar im Fall, da"s beide Vertikalen lesb-Morphismen von geringten R"aumen sind. Im Fall eines einpunktigen Raums $Y$ mag man diese Vertr"aglichkeiten das {\bf universelle Koeffiziententheorem der kompakten Kohomologie} nennen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Das universelle Koeffiziententheorem in einem Spezialfall}] Im Fall $X=S^1$ und $Y=\op{top}$ und dem Kringhomomorphismus $\DZ\ra \DZ/2\DZ$ und der nichtkonstanten aber lokal zur konstanten Garbe $\DZ$ isomorphen abelschen Garbe $\mathcal M$ auf $S^1$ ist $q^*\mathcal M=(\DZ/2\DZ)\otimes_\DZ\mathcal M$ die konstante Garbe $\DZ/2\DZ$ und wir erhalten $g_!q^*\mathcal M\cong \DZ/2\DZ\oplus [-1]\DZ/2\DZ$. Um andererseits $f_!\mathcal M$ zu bestimmen, erinnern wir die Mayer-Vietoris-Sequenz der lokalen Kohomologie \eref{MVkK}{TG} und finden, da"s nur ${\op{H}}^1_!(S^1;\mathcal M)$ von Null verschieden ist und isomorph ist zum Kokern der Abbildung $\DZ^2\ra \DZ^2$ gegeben durch $(a,b)\mapsto (a+b,a-b)$ alias ${\op{H}}^1_!(S^1;\mathcal M)\cong \DZ/2\DZ$ und $f_!\mathcal M\cong [-1]\DZ/2\DZ$. Damit ergibt sich $p^*f_!\mathcal M\cong \DZ/2\DZ\oplus [-1]\DZ/2\DZ$ und wie behauptet $g_!q^*\mathcal M\cong p^*f_!\mathcal M$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Garbenkohomologie auf kompakten Quadern}] F"ur jede abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $[0,1]^n$ gilt\label{gkQUa} $${\op{H}}^q([0,1]^n;\mathcal F)=0\quad\text{ f"ur }q>n.$$ Im Fall $n=1$ hatten wir das bereits in \eref{KGI}{TG} gezeigt. Gegeben ein beliebiger Raum $X$ zeigt Basiswechsel f"ur die halbseitig beschr"ankten derivierten Kategorien \ref{WiFa2} damit, da"s f"ur die Projektion $\pi:X\times [0,1]\ra X$ der Vorschub $\pi_{(!)}=\pi_{(*)}$ auf abelschen Garben endliche homologische Dimension $\leq 1$ hat. Mit unserer Absch"atzung \eref{UbDe}{TD} f"ur die homologische Breite derivierter Funktoren folgt induktiv, da"s $\Gamma: \op{Ab}_{/[0,1]^n}\ra \op{Ab}$ homologische Dimension $\leq n$ hat. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Kompakte Garbenkohomologie auf offenen Quadern}] F"ur jede abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $(0,1)^n$ gilt\label{goQUa} $${\op{H}}^q_!((0,1)^n;\mathcal F)=0\quad\text{ f"ur }q>n.$$ Ist in der Tat $j$ die Einbettung in den kompakten Quader $[0,1]^n$, so ist $j_{(!)}$ exakt und hat damit endliche homologische Rechtsdimension $\leq 0$. Wegen $\Gamma_!=\Gamma\circ j_{(!)}$ folgt die Behauptung mit der Absch"atzung \eref{UbDe}{TD} f"ur die homologische Breite derivierter Funktoren aus der Absch"atzung \ref{gkQUa} im Fall eines kompakten Quaders. \end{Beispiel} \subsection{Trennr"uckzug-Schreivorschub derivierter Modulgarben} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern aus \ref{TreVRm} die kartesisch reguliert pr"averflochtene Trennaustauschsituation $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Gek}}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}\supset \op{Gek}^{\op{s}}\leftarrow \op{Ab}^{\shriek}_{\sslash{\op{Gek}}^{\op{s}}}, \op{Gek}^{\op{es}}\big)$$ der Modulgarben auf gekringten R"aumen. Durch "Ubergang zu Homotopiekomplexen erhalten wir die kartesisch reguliert pr"atrennverflochtene Trennaustauschsituation der\label{pvMG} {\bf Homotopiekomplexe von Modulgarben auf gekringten R"aumen} $$\big(\op{Hot}_{\sslash{\op{Gek}}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}\supset \op{Gek}^{\op{s}}\leftarrow \op{Hot}^{\shriek}_{\sslash{\op{Gek}}^{\op{s}}}, \op{Gek}^{\op{es}}\big)$$ Im folgenden diskutieren wir zwei F"alle \ref{pvMG1} und \ref{pvMG2}, in denen sich Ein\-schr"an\-kun\-gen dieser pr"atrennverflochtenen Trennaustauschsituation und genauer die zugeh"orige Familienaustauschsituation nach Quasiisomorphismen lokalisieren lassen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Unbeschr"ankte Komplexe, homologisch endliche Schreimorphismen}] In diesem Fall erlauben wir als Schreimorphismen beziehungsweise Eigmorphismen der Basis nur les-Mor\-phis\-men beziehungsweise es-Mor\-phis\-men von gekringten R"aumen $f:(X;\mathcal A)\ra (Y;\mathcal B)$ mit $f_{(!)}:\op{Ab}_{/(X;\mathcal A)}\ra \op{Ab}_{/(Y;\mathcal B)}$ homologisch endlich. Wir erinnern aus \ref{WiFa3} die Notationen $\op{Gek}^{\op{lesb}}$ beziehungsweise $\op{Gek}^{\op{esb}}$ f"ur diese multiplikativen Systeme. Als Regulierung nehmen wir die von allen Projektionsformelquadraten der Basis zu lesb-Morphismen, allen kartesisch-torsionslosen einfachen Basisquadraten und allen Quadraten mit Leertrennungen in den Horizontalen und Isomorphismen in den Vertikalen unter Verkleben und Vertupeln erzeugte Regulierung. Wir nennen sie die {\bf kartesisch-torsionslose Trennregulierung}\index{kartesisch-torsionslose Trennregulierung} und deuten diese Wahl durch einen Index $\op{kttr}$ an.\index{kttr@$\op{kttr}$ kartesisch-torsionslose Trennregulierung} Diese pr"a\-trenn\-ver\-floch\-te\-ne Trennaustauschsituation\label{pvMG1} notieren wir $$\big(\op{Hot}_{\sslash{\op{Gek}}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}\supset \op{Gek}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Hot}^{\shriek}_{\sslash{\op{Gek}}^{\op{lesb}}}, \op{Gek}^{\op{esb}}\big)_{\op{kttr}}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[{\bf Trennverflechtung f"ur derivierte Modulgarben}] Die Familienwinkelfaserung der kartesisch reguliert pr"atrennverflochtenen Trennaustauschsituation aus \ref{pvMG1} f"ur unbeschr"ankte Homotopiekomplexe von Modulgarben auf gekringten R"aumen besitzt eine Rechtslinksanpassung in Bezug auf Quasiisomorphismen. Lokalisieren mit Satz \ref{AdLoN} macht daraus eine kartesisch-torsionslos reguliert trennverflochtene Trennaustauschsituation\label{tzGG} $$\big(\op{Der}_{\sslash{\op{Gek}}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}\supset \op{Gek}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Der}^{\emph{\shriek}}_{\sslash{\op{Gek}}^{\op{lesb}}}, \op{Gek}^{\op{esb}}\big)_{\op{kttr}}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Per definitionem ist in dieser Trennaustauschsituation die Trennfaserung unsere derivierte Opgarbentrennfaserung aus \ref{gVRT} und die Schreikofaserung die Einschr"ankung unserer Schreikofaserung \ref{VRTebuM} auf gekringte R"aume. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Einen anderen Zugang zu noch allgemeineren Aussagen in dieser Richtung kann man in der Dissertation von Recktenwald \cite{??} finden, die ihrerseits auf dem Formalismus von H"ormann \cite{??} aufbaut. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Spezialisieren wir auf den Fall einpunktiger R"aume, so landen wir bei dem in \ref{CVB} behandelten Fall. Dieser Fall ist einfacher zu haben, da dort alle Morphismen Eigmorphismen sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Mit \ref{Rzst} folgt, da"s zu unserer Trennregulierung insbesondere alle kartesischen Quadrate der Familienkategorie geh"oren, die aus konstant mit einem festen Kring gekringten R"aumen bestehen und $\op{lesb}$-Morphismen als Vertikalen haben. Halten wir so einen Kring fest, so erhalten wir also eine kartesisch reguliert verflochtene Trennaustauschsituation. Etwas allgemeiner k"onnen wir auch in der Basis nur solche Schreimorphismen zulassen, die halmweise flache Kringerweiterungen haben, und auch dann erhalten wir nach \ref{Rzst} und dem anschlie"senden Lemma \ref{lesbf} und einem zus"atzlichen $\op{f}$ f"ur \glqq flach\grqq\ eine kartesisch reguliert verflochtene Trennaustauschsituation $$\big(\op{Der}_{\sslash{\op{Gek}}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}\supset \op{Gek}^{\op{lesbf}}\leftarrow \op{Der}^{{\shriek}}_{\sslash{\op{Gek}}^{\op{lesbf}}}, \op{Gek}^{\op{esbf}}\big)$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir wenden Satz \ref{AdLoN} "uber das Lokalisieren einer pr"averflochtenen Winkelfaserung an. Aus unseren Vorarbeiten in \ref{VRLm0} folgt, da"s die Tupel quisflacher Komplexe zusammen mit den Tupeln aus Komplexen schwach kompaktweicher Modulgarben eine Rechtslinksanpassung der Familienwinkelfaserung bilden. Damit bleibt nur noch zu zeigen, da"s alle rechts kokartesischen naiven Verflechtungsquadrate beidseitig kokartesisch sind. Nach \ref{AdLoN} reicht es aus, das f"ur alle rechts kokartesischen naiven Verflechtungsquadrate "uber allen Projektionsformelquadraten mit $\op{lesb}$-Vertikalen und allen einfachen Basisquadraten der kartesisch-torsionslosen Regulierung zu zeigen, denn sie erzeugen per definitionem bereits unsere Trennregulierung. Im Fall kartesischer Quadrate mit Einstrennungen in den Horizontalen haben wir bereits in \ref{WiFa3} gepr"uft, da"s alle rechts kokartesischen naiven Verflechtungsquadrate dar"uber beidseitig kokartesisch sind. Im Fall der Quadrate mit Leertrennungen in den Horizontalen und Isomorphismen in den Vertikalen ist eh klar, da"s alle rechts kokartesischen naiven Verflechtungsquadrate dar"uber beidseitig kokartesisch sind. Damit bleibt uns nur noch der Fall der Projektionsformelquadrate alias aller Basisquadrate der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ X \ar[d]_f\ar[rr]^{(\op{id}_X,f)} &&X\curlywedge Y \ar[d]^{f\curlywedge \op{id}_Y}\\ Y\ar[rr]^{(\op{id}_Y,\op{id}_Y)} &&Y\curlywedge Y } \end{displaymath} mit $f$ ein $\op{lesb}$-Morphismus. Wir k"onnen $f$ faktorisieren in $(X;\mathcal A)\ra (X;f^*\mathcal B)\ra (Y;\mathcal B)$ und d"urfen die beiden Faktoren getrennt betrachten. Im Fall $(X;\mathcal A)\ra (X;f^*\mathcal B)$ reicht es zu zeigen, da"s f"ur jeden quisflachen Komplex $\mathcal G$ von $f^*\mathcal B$-Moduln und jeden Komplex $\mathcal F$ von $\mathcal A$-Moduln der offensichtliche Morphismus ein Quasiisomorphismus $$ (\op{res}_{\mathcal A}^{f^*\mathcal B}\mathcal F)\otimes_{f^*\mathcal B}\mathcal G\sira\op{res}_{\mathcal A}^{f^*\mathcal B}(\mathcal F\otimes_{\mathcal A}(\mathcal A\otimes_{f^*\mathcal B}\mathcal G))$$ ist. Das ist sogar ohne alle Annahmen an $\mathcal G$ offensichtlich. Im Fall $(X;f^*\mathcal B)\ra (Y;\mathcal B)$ reicht es zu zeigen, da"s f"ur $\mathcal F\in \op{Hot}(\op{Ab}_{{\sslash}X})$ ein Komplex schwach kompaktweicher Garben und $\mathcal G\in \op{Hot}(\op{Ab}_{{\sslash}Y})$ ein quisflacher Komplex von flachen Modulgarben das rechts kokartesische naive Verflechtungsquadrat beidseitig kokartesisch ist. In diesem Fall ist $\mathcal F \curlywedge \mathcal G$ quisrechtsentfaltet f"ur die obere Horizontale und quislinksentfaltet f"ur die rechte Vertikale und $\mathcal F \otimes_{f^*\mathcal B} f^*\mathcal G$ besteht nach \ref{PfV} aus faserweise kompaktweichen Garben, ist also quislinksentfaltet f"ur die linke Vertikale, und $f_{(!)}\mathcal F \curlywedge \mathcal G$ ist quisrechtsentfaltet f"ur die untere Horizontale und der von der Pr"averflechtung der Homotopiekategorien herr"uhrende Morphismus ist nach \ref{PfV} ein Isomorphismus $$ f_{(!)}(\mathcal F \otimes_{f^*\mathcal B} f^*\mathcal G) \sira (f_{(!)}\mathcal F) \otimes_{\mathcal B} \mathcal G$$ von Komplexen in der opponierten Garbenkategorie. Das zeigt, da"s auch in diesem Fall unser rechts kokartesisches naives Verflechtunsquadrat beidseitig kokartesisch ist. \end{proof} \begin{Lemma} In der Kategorie $\op{Gek}$ aller gekringten R"aume bilden die lesbf-Morphismen\label{lesbf} ein r"uckzugstabiles multiplikatives System. \end{Lemma} \begin{proof} Da"s sie ein multiplikatives System bilden, ist klar. Gegeben ein kartesisches Diagramm $pg=fq$ von gekringten R"aumen mit les-Abildungen $f,g$ gilt es noch zu zeigen, da"s mit $f_{(!)}:\op{Ab}_{(X;\mathcal A)}\ra \op{Ab}_{(Y;\mathcal B)}$ auch $g_{(!)}:\op{Ab}_{(W;\mathcal D)}\ra \op{Ab}_{(Z;\mathcal C)}$ endliche homologische Dimension hat. Mit Basiswechsel reicht es im Fall einpunktiger R"aume $Y,Z$ und $W=X$ zu zeigen, da"s die homologische Dimension von $g_{(!)}$ beschr"ankt ist durch die homologische Dimension von $f_{(!)}$. In \ref{VeVSE} hatten wir diskutiert, inwiefern der derivierte Schreivorschub unter les-Morphismen mit dem Vergessen etwaiger Modulstrukturen vertauscht. Gibt es also $N$ derart, da"s f"ur jedes $\mathcal F\in \op{Ab}_{/(X;\mathcal A)}$ gilt ${\op{R}}^nf_{(!)}\mathcal F=0$ f"ur $n\geq N$, so gilt dasselbe a forteriori f"ur jedes $\mathcal F\in \op{Ab}_{/(X;\mathcal D)}$, da wir es ja mit $\mathcal A\ra \mathcal D$ zu einer $\mathcal A$-Modulgarbe einschr"anken k"onnen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Halbseitig beschr"ankte Komplexe, beschr"ankte Torsion}] Im zweiten Fall betrachten wir nur Komplexe aus $\op{Hot}^-$, lassen aber beliebige les-Mor\-phis\-men $f$ als Schreimorphismen und beliebige es-Morphisen als Eigmorphismen der Basis zu. Diese kartesisch reguliert pr"averflochtene Trennaustauschsituation\label{pvMG2} notieren wir $$\big(\op{Hot}^-_{\sslash{\op{Gekte}}}\ra \curlywedge{\op{Gekte}}\supset \op{Gekte}^{\op{les}}\leftarrow \op{Hot}^{-\shriek}_{\sslash{\op{Gekte}}^{\op{les}}}, \op{Gekte}^{\op{es}}\big)$$ Als Regulierung nehmen wir die von allen Projektionsformelquadraten der Basis zu les-Morphismen, allen kartesisch-torsionslosen einfachen Basisquadraten in $\op{Gek}$ aus Objekten von $\op{Gekte}$ und allen Quadraten der Basis mit Leertrennungen in den Horizontalen und Isomorphismen in den Vertikalen unter Verkleben und Vertupeln erzeugte Regulierung. Wir deuten die Wahl dieser Regulierung durch das K"urzel $\op{kttr}$ an. % Statt der vollen kartesischen Regulierung der Basis der % Familienwinkelfakofaserung % betrachten wir hier aber nur die Regulierung, % die von allen kartesischen Quadraten in $\op{Gek}$ % aus Objekten von $\op{Gekte}$ mit lesf-Morphismen als Vertikalen, allen % Projektionsformelquadraten zu einem lesf-Morphismus in $\op{Gekte}$ und % allen kartesischen $0$-Trennquadraten % unter Vertupeln und Verkleben % erzeugt wird. Wir deuten es durch einen unteren Index $\op{te}$ an, wenn % wir nur mit dieser technischen Regulierung arbeiten. % Diese technische Variante wird ben"otigt, um f"ur relevante Morphismen % gekringter R"aume die Eigenschaft lesb nachzuweisen, % die in der unbeschr"ankten % Variante von Schreimorphismen gefordert wird. % \nichtfinal{(Echt n"otig? Scheint mir jetzt % Overkill!)} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich wei"s nicht, ob f"ur jeden torsionslosen Winkel in $\op{Gekte}$ auch das in $\op{Gek}$ gebildete Faserprodukt zu $\op{Gekte}$ geh"ort. Diese Schwierigkeit haben wir im vorhergehenden durch eine vorsichtige Wahl der Regulierung umgangen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[{\bf Trennaustausch f"ur halbseitig derivierte Modulgarben}] Die Familienwinkelfaserung der pr"atrennverflochtenen Trennaustauschsituation f"ur halbseitig beschr"ankte Homotopiekomplexe von Modulgarben auf torsionsendlichen gekringten R"aumen aus \ref{pvMG2} besitzt eine Rechtslinksanpassung in Bezug auf\label{thsd} Quasiisomorphismen und liefert durch Lokalisieren mit Satz \ref{AdLoN} eine in Bezug auf die kartesisch-torsionslose Trennregulierung trennverflochtene Trennaustauschsituation $$\big(\op{Der}^-_{\sslash{\op{Gekte}}}\ra \curlywedge{\op{Gekte}}\supset \op{Gekte}^{\op{les}}\leftarrow \op{Der}^{-\emph{\shriek}}_{\sslash{\op{Gekte}}^{\op{les}}}, \op{Gekte}^{\op{es}}\big)_{\op{kttr}}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Mit \ref{Rzst} folgt, da"s zu unserer Regulierung insbesondere alle kartesischen Quadrate der Familienkategorie mit $\op{les}$-Vertikalen geh"oren, die aus konstant mit einem festen Kring endlicher Torsionsdimension gekringten R"aumen bestehen. Halten wir so einen Kring fest, so erhalten wir also eine kartesisch reguliert verflochtene Trennaustauschsituation, und ist dieser Kring $\DZ$, so ist das die kartesisch reguliert verflochtene Trennaustauschsituation\label{TvAB} $$\big(\op{Der}^-_{\sslash{\op{Top}}}\ra \curlywedge{\op{Top}}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Der}^{-\shriek}_{\sslash{\op{Top}}^{\op{les}}}, \op{Top}^{\op{es}}\big)$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof} Mutatis mutandis bleibt der Beweis derselbe, wir m"ussen nur \ref{VRLm2N} f"ur die Existenz einer Rechts-Links-Anpassung zitieren und \ref{WiFa1} f"ur die Diskussion des einfachen Basiswechsels. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schreivorschub flacher kompaktweicher Modulgarben}] Gegeben $f:(X;\mathcal A)\ra (Y;\mathcal B)$ ein lesbf-Morphismus und $\mathcal F$ ein faserweise kompaktweicher flacher $\mathcal A$-Modul ist auch $f_{(!)}\mathcal F$ ein flacher $\mathcal B$-Modul. In der Tat gilt f"ur jeden $\mathcal B$-Modul $\mathcal G$ nach der Projektionsformel in der derivierten Kategorie $$(f_{!}\mathcal F)\otimes_{{\mathcal B}}\mathcal G\cong f_{!}(\mathcal F\otimes_{\mathcal A}(f^*\mathcal G))$$ Wegen $\mathcal F$ faserweise kompaktweich ist jedoch $f_{!}\mathcal F \cong f_{(!)}\mathcal F[0]$ eine gew"ohnliche Garbe und es reicht zu zeigen $\mathcal H^q ((f_{!}\mathcal F)\otimes_{\mathcal B}\mathcal G)=0 $ f"ur $q<0$ und das deriviert zu verstehende Tensorprodukt. Andererseits aber ist f"ur das deriviert zu verstehende Tensorprodukt nach Annahme auch $\mathcal F\otimes_{\mathcal A}(f^*\mathcal G)$ eine echte Garbe und daraus folgt $\mathcal H^q f_{!}(\mathcal F\otimes_{\mathcal A}(f^*\mathcal G))=0$ f"ur $q<0$. Dasselbe gilt, wenn $f$ nur ein lesf-Morphismus ist, wir aber $\mathcal A$ und $\mathcal B$ von endlicher Torsionsdimension annehmen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Will man allgemeiner Schreivorschub und Trennr"uckzug unter nicht notwendig flachen Kringgarbenkomorphismen zulassen, so wird man mit differentiellen graduierten Kringgarben arbeiten m"ussen. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}[\textbf{K"unnethformel der kompakten Kohomologie}] Sei $k$ ein Kring beschr"ankter Torsionsdimension. Gegeben lokal kompakte Hausdorffr"aume $X,Y$ mit ihren konstanten Abbildungen $a,b$ auf den Einpunktraum und die konstante Abbildung $c:X\times Y\ra\op{pt}$ betrachten wir in der Familienkategorie der banalen Trennkategorie topologischer R"aume das kartesische Diagramm mit les-Vertikalen\index{K"unnethformel!der kompakten Kohomologie} \begin{displaymath} \xymatrix{ X\times Y \ar[r] \ar[d]_{c}&X\curlywedge Y \ar[d]^{a\curlywedge b} \\ \op{pt}\ar[r]& \op{pt}\curlywedge \op{pt}} \end{displaymath} Die Verflechtung in der verflochtenen Trennaustauschsituation der halbseitig derivierten Garben von $k$-Moduln \ref{TvAB} in unserem kartesischen Diagramm mit der Diagonale als unterer Horizontale liefert einen Isomorphismus $ a_!\underline{X}\otimes b_!\underline{Y}\sira c_!(\underline{X}\boxtimes \underline{Y})$. Aus \ref{extT} erhalten wir weiter einen Isomorphismus $\underline{X\times Y}\sira \underline{X}\boxtimes \underline{Y}$. Alles in allem erhalten wir so einen Isomorphismus $$ a_!\underline{X}\otimes b_!\underline{Y}\sira c_!(\underline{X\times Y})$$ in $\op{Der}(\op{Ab}_{\curlyvee k})$. Das Tensorprodukt ist bis hierher stets deriviert als $\otimes=\otimes_k^{\op{L}}$ zu verstehen. Mit der abstrakten K"unnethformel \eref{HTPKl}{TD} erhalten wir daraus im Fall $k=\DZ$ und mit $\otimes$ als underiviertem Tensorprodukt nat"urliche unnat"urlich spaltende kurze exakte Sequenzen\label{KueFx} von abelschen Gruppen $$\bigoplus_{p+q=n}{\op{H}}_!^p X\otimes {\op{H}}_!^q Y \;\hra\; {\op{H}}_!^n(X\times Y)\;\sra\; \bigoplus_{p+q=n+1}{\op{H}}_!^p X\ast {\op{H}}_!^q Y$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{K"unnethformel der kompakten Kohomologie, Variante}] Sei $k$ ein beliebiger Kring und seien lokal kompakte Hausdorffr"aume $X,Y$ gegeben derart, da"s $a:(X;k)\ra (\op{pt};k)$ und $b:(Y;k)\ra (\op{pt};k)$ lesb-Morphismen sind, so da"s insbesondere f"ur h"ochstens endlich viele $p,q$ die kompakten Kohomologien ${\op{H}}_!^p(X;k)$ und ${\op{H}}_!^q(Y;k)$ von Null verschieden sind. So liefert unsere Trennverflechtung\label{KuFd} f"ur beidseitig derivierte Modulgarben \ref{tzGG} analog zu \ref{KueFx} in $\op{Der}(\op{Ab}_{\curlyvee k})$ einen Isomorphismus $$ a_!\underline{X}\otimes b_!\underline{Y}\sira c_!(\underline{X\times Y})$$ \end{Beispiel} \subsection{Schreir"uckzug derivierter Modulgarben} \begin{Satz} F"ur jeden lesb-Morphismus gekringter R"aume $f: X \ra Y$ besitzt der Schreivorschub $f_{!}: \op{Der} (\op{Ab}_{/X}) \rightarrow \op{Der} (\op{Ab}_{/Y})$\label{VdD} einen Rechtsadjungierten, den \emph{\bf Schreir"uckzug} \index{Schreir"uckzug}\index{)6shriek@$f^{~!}$ Schreir"uckzug!auf derivierten Kategorien} \index{R"uckzug!eigentlicher} \begin{displaymath} f^! : \op{Der} (\op{Ab}_{/Y}) \rightarrow \op{Der} (\op{Ab}_{/X}) \end{displaymath} \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationsfragen}] F"ur die Funktoren auf abelschen Garben, die wir bisher $f^!$ notiert hatten, vereinbaren wir die neue Notation $f^{(!)}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Beweis des Satzes ben"otigt gr"o"sere Vorbereitungen und wird f"ur abelsche Garben in \ref{VeDD} und f"ur Modulgarben in \ref{eer} gegeben. Zun"achst diskutieren wir einige Spezialf"alle,\label{ERaE} die leichter zu haben sind, und erste Eigenschaften. Danach beginnen wir mit Vorbereitungen zum Beweis. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schreir"uckzug unter separierten \'etalen Abbildungen}] Im Fall offener Einbettungen $f$ und allgemeiner im Fall separierter \'etaler Abbildungen $f$ liefern \eref{AdInbb}{TG} beziehungsweise \eref{lfad}{TG} sogar eine Adjunktion $(f_{(!)},f^{(\ast)})$ exakter Funktoren auf den entsprechenden Kategorien abelscher Garben. Sie f"uhrt ohne weitere Schwierigkeiten zu einer Adjunktion $(f_!,f^\ast)$ der zugeh"origen derivierten Funktoren und liefert damit sowohl\label{etsep} die Existenz des Rechtsadjungierten $f^!$ als auch eine Isotransformation $f^*\siRa f^!$ im Fall derivierter abelscher Garben. Dasselbe gilt im Fall von Modulgarben f"ur einen separierten \'etalen Morphismus $f$ von geringten R"aumen \glqq ohne Ringwechsel\grqq, also mit $\mathcal A\sira f^*\mathcal B$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schreir"uckzug unter lokal abgeschlossenen Einbettungen}] Im Fall der Einbettung einer lokal abgeschlossenen Teilmenge $f:X\hra Y$ ist $f_{(!)}$ ein exakter Funktor auf den zugrundeliegenden Kategorien abelscher Garben und besitzt dort nach \eref{agAD}{TG} einen Rechtsadjungierten, den wir von nun an neu $f^{(!)}:\op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}_{/Y}$\index{)6shriek@$f^{~!}$ eigentlicher R"uckzug!Schnitte mit Tr"ager} notieren und der nach \eref{agAD}{TG} jeder Garbe $\mathcal F\in \op{Ab}_{/Y}$ auf $Y$ die Garbe $f^{(!)}\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ der stetig durch Null zu einer offenen Umgebung ausdehnbaren Schnitte von $X$ nach $\bar{\mathcal F}$ zuordnet. Da jeder Garbenkomplex nach \ref{EhiA} eine Quis\-rechts\-ent\-fal\-tung besitzt, existiert in diesem Fall der Rechtsderivierte auf der ganzen derivierten Kategorie und ist dann nach \eref{AdJD}{TD} der gesuchte Rechtsadjungierte $f^!= {\op{R}}f^{(!)}$. Die $\mathcal H^q f^! \mathcal F={\op{R}}^q f^{(!)}\mathcal F$ f"ur $\mathcal F\in \op{Ab}_{/Y}$ sind in diesem Fall unsere lokalen Kohomologiegarben von $\mathcal F$ mit Tr"ager in $X$ aus \eref{lokGg}{TG}. Dasselbe gilt im Fall von Modulgarben f"ur eine lokal abgeschlossene Einbettung $f$ von geringten R"aumen \glqq ohne Ringwechsel\grqq, also mit $\mathcal A\sira f^*\mathcal B$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schreir"uckzug f"ur Ringgarbenwechsel}] Gegeben ein Morphismus $f:(X;\mathcal A)\ra (X;\mathcal B)$ von geringten R"aumen, die auf dem zugrundeliegenden Raum die Identit"at ist, und $\mathcal B\ra \mathcal A$ der zugeh"origen Morphismus von Ringgarben in die Gegenrichtung wird der Vorschub $f_{(*)}=f_{(!)}$ die Einschr"ankung der Modulgarbenstruktur $f_{(*)}\mathcal F=\op{res}_{\mathcal A}^{\mathcal B}\mathcal F$ und sein Rechtsadjungierter macht aus einem $\mathcal B$-Modul $\mathcal G$ den $\mathcal A$-Modul $$f^{(!)}\mathcal G=(\mathcal A{\Rrightarrow}_{\mathcal B}\mathcal G)$$ mit der $\mathcal A$-Modulstruktur, die von den Rechtsoperation von $\mathcal A$ auf sich selber herkommt. Das ist eine vergarbte Fassung von \eref{F1}{KAG}, wo das im Fall des Einpunktraums $X$ diskutiert wird. Das adjungierte Paar $(f_{(*)}=f_{(!)}, f^{(!)})$ liefert nach \eref{AdJD}{TD} ein weiteres deriviertes Paar der zugeh"origen derivierten Funktoren $(f_*=f_!, f^!)$ mit $f^{!}\pdef {\op{R}}f^{(!)}$. Die Adjunktionsformel \ref{rVDe} f"ur internes Hom $\op{avf}: f_\ast (\mathcal F{\Rrightarrow} f^! \mathcal G) \sira f_! \mathcal F{\Rrightarrow} \mathcal G $ spezialisiert im Fall des Einsobjekts $\mathcal F=\mathbb I=\mathcal A[0]$ zu einem Isomorphismus $ \op{avf}: f_\ast f^! \mathcal G \sira f_! \mathcal F{\Rrightarrow} \mathcal G $ alias $$\op{res}_{\mathcal B}^{\mathcal A} f^! \mathcal G \sira (\op{res}_{\mathcal B}^{\mathcal A}\mathcal A[0]){\Rrightarrow}\mathcal G$$ Ist noch spezieller $X=\op{top}$ der Einpunktraum,\label{SRGa} so identifiziert dieser Isomorphismus das interne Hom vom $B$-Modul $A$ zu einem $B$-Modul $G$ mit der derivierten Induktion ${\op{Rind}}_B^AG$ gefolgt von der Restriktion der Skalare. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schreir"uckzug mit Ring- und Raumwechsel}] Jeder Morphismus von geringten R"aumen $f: (X;\mathcal A)\ra (Y;\mathcal B)$ l"a"st sich faktorisieren in $g\circ r$ als $$(X;\mathcal A)\ra(X;\bar{\mathcal B})\ra (Y;\mathcal B)$$ mit $\bar{\mathcal B}\pdef f^{*,\op{Ab}}\mathcal B$.\label{SRR} So erhalten wir auch eine Isotransformation $f^{(!)}\siRa r^{(!)} g^{(!)}$. Nach dem vorhergehenden haben wir f"ur $g$ eine lokal abgeschlossene Einbettung $g^{(!)}=g^{(!),\op{Ab}}$ mit der offensichtlichen Erg"anzung der Modulstruktur und finden Isomorphismen $$f^{(!)}\mathcal G \sira r^{(!)} g^{(!)}\mathcal G \sira \mathcal A{\Rrightarrow}_{_{\bar{\mathcal B}}} g^{(!)}\mathcal G$$ wir nach \ref{rVDe} Isomorphismen $$ f_\ast (M{\Rrightarrow} f^! N) \sira f_! M{\Rrightarrow} N$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein lokal abgeschlossene Einbettung $b:X\ra Z$ von geringten R"aumen ist die Ausdehnung durch Null $b_{(!)}:\op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}_{/Z}$ ein exakter Funktor. Also macht $\op{Hot}b^{(!)}$ quisrechtsentfaltete Komplexe zu quisrechtsentfalteten Komplexen und wir erhalten mit Grothendieck's Spektralsequenz \eref{GsPP}{TD} oder genauer \eref{DerEVv}{TD} allgemeiner als in \eref{lkoi}{TD} f"ur jeden Morphismus $f:X\ra Y$ zu einem weiteren geringten Raum\label{lkei} eine Isotransformation $$\op{R}(f_{(*)}b^{(!)})\siRa {\op{R}}f_{(*)}\circ {\op{R}}b^{(!)}=f_*b^!$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Offener R"uckzug}] \nichtfinal{Nicht hier! Aber wo?} Man mag zur "Ubung zeigen, da"s unser Morphismus \ref{Fosf} im Fall der derivierten Opgarbentrennfaserung und einer offenen Einbettung\label{OffR} $j:U\hra X$ von topologischen R"aumen und $\mathcal F\in \op{Der}_{{\sslash}X}$ zum offensichtlichen Isomorphismus $j^! \mathcal F\sira j^*\mathcal F$ spezialisiert. \nichtfinal{Wohin? Trenne mit Sorgfalt allgemeines f"ur beliebigen Formalismus und spezielles f"ur gekringte R"aume!} \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Problematik einer naiven Konstruktion des Schreir"uckzugs}] F"ur die konstante Abbildung $c : \Bbb{R} \ra \op{pt}$ der Zahlengerade auf einen Punkt besitzt $c_{(!)} : \op{Ab}_{/\Bbb{R}} \ra \op{Ab}_{/\op{pt}}$ keinen Rechtsadjungierten, da der Funktor $c_{(!)}$ sonst nach \eref{LaE}{TG} rechtsexakt sein m"u"ste. Das ist er jedoch nicht, denn der Epimorphismus der konstanten Garbe auf den Wolkenkratzer am Ursprung $\Bbb{Z}_{\Bbb{R}} \twoheadrightarrow \Bbb{Z}_{(0)}$ wird unter $c_{(!)}$ die Einbettung $0_{\op{pt}} \hookrightarrow \Bbb{Z}_{\op{pt}}$ und diese ist kein Epimorphismus. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation der Konstruktion des Verdierdualen}] Seien $X$ ein lesb-Raum und\label{svd} $j : U \hookrightarrow X$ die Einbettung einer offenen Teilmenge und $a : X \rightarrow \op{top}$ die konstante Abbildung und $c\pdef a\circ j: U\ra \op{top}$ die konstante Abbildung. Nehmen wir einmal an, wir h"atten f"ur Modulgarben mit Koeffizienten in einem festen Kring $k$ einen Rechtsadjungierten $f^!$ von $f_!$ auf den derivierten Kategorien f"ur beliebige lesb-Abbildungen $f$. So erhielten wir f"ur $\mathcal F \in \op{Der} (\op{Ab}_{/(X;k)})$ nat"urliche Isomorphismen \begin{eqnarray*} c_\ast j^\ast (\mathcal F{\Rrightarrow} a^! k_{\op{top}}) & \sira & c_\ast j^! (\mathcal F{\Rrightarrow} a^! k_{\op{top}})\\ &\sira & c_\ast (j^\ast\mathcal F{\Rrightarrow} j^! a^! k_{\op{top}})\\ &\sira & c_\ast (j^\ast\mathcal F{\Rrightarrow} c^! k_{\op{top}})\\ & \sira & (c_! j^\ast \mathcal F){\Rrightarrow} k_{\op{top}} \end{eqnarray*} Ist $\mathcal F$ ein Komplex kompaktweicher Garben und $k$ ein K"orper, so erhalten wir als Endresultat den Komplex $\Gamma_!(U;\mathcal F)^*$ der $k$-Dualr"aume der Schnitte "uber $U$ mit kompaktem Tr"ager der Garben des Komplexes $\mathcal F$. Nun "uberlegt man sich unschwer, da"s f"ur eine kompaktweiche Garbe $\mathcal K$ von $k$-Vektorr"aumen der Funktor $U\mapsto \Gamma_!(U;\mathcal K)^*$ auf der Kategorie der offenen Teilmengen von $X$ mit den durch die Transponierten der Ausdehnung durch Null gegebenen Restriktionsabbildungen eine Garbe ist. Die Vermutung liegt also nahe, da"s der Komplex dieser Garben f"ur $\mathcal K=\mathcal F^q$ mit $q\in\DZ$ das Objekt $$\mathcal F{\Rrightarrow} a^! k_{\op{top}}$$ der derivierten Kategorie sein sollte und insbesondere im Fall, da"s $\mathcal F$ eine kompaktweiche Aufl"osung der konstanten Garbe $k_X$ ist, ein Repr"asentant der dualisierenden Garbe $a^!k_{\op{top}}$. Das ist in der Tat richtig und auch im wesentlichen unsere allgemeine Konstruktion des Schreir"uckzugs in diesem Spezialfall. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Homologische Breite des Schreir"uckzugs}] Ist $f : X \ra Y$ eine les-Ab\-bil\-dung in $\op{Top}$ mit $f_{(!)}$ von einer homologischen Dimension $\leq d$, so gilt\label{HBER} $$\mathcal G\in \op{Der}^{\geq 0}(\op{Ab}_{/Y})\RA f^!\mathcal G\in \op{Der}^{\geq -d}(\op{Ab}_{/X})$$ In der Tat reicht es daf"ur nach \eref{KriA}{TD} zu zeigen, da"s gilt $\op{Der}_{/X}(\mathcal F, f^!\mathcal G)=0$ f"ur alle $\mathcal F\in \op{Der}^{\leq -d-1}(\op{Ab}_{/X})$. Das folgt mit unserer Adjunktion aus der Erkenntnis $f_!\mathcal F\in \op{Der}^{\leq -1}(\op{Ab}_{/X})$, die hinwiederum von unseren Erkenntnissen \eref{UbDe}{TD} zum Derivieren homologisch endlicher Funktoren herkommt, da wir ja aus \ref{EhiA} wissen, da"s jeder Komplex abelscher Garben eine Quisrechtsentfaltung besitzt. Ist zus"atzlich $\op{Ab}_{/Y}$ von endlicher homologischer Dimension $\leq r$, so zeigen wir zus"atzlich $$\mathcal G\in \op{Der}^{\leq 0}(\op{Ab}_{/Y})\RA f^!\mathcal G\in \op{Der}^{\leq r}(\op{Ab}_{/X})$$ Nach \eref{sHH}{TD} reicht es in der Tat, f"ur $q>r$ und $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ das Verschwinden $\op{Der}_{/X}(\mathcal F[-q],f^!\mathcal G)=0$ zu zeigen alias $\op{Der}_{/Y}(f_!\mathcal F,\mathcal G[q])=0$. Nach Annahme und \eref{UGTRn}{TD} ist aber $\mathcal G[q]$ f"ur $q>r$ quasiisomorph zu einem quis\-rechts\-ent\-fal\-te\-ten Komplex in $\op{Hot}^{<0}(\op{Ab}_{/Y})$. F"ur Modulgarben gilt mutatis mutandis dasselbe. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Darstellbarkeit von Funktoren auf Garben}] Seien $\mathfrak U$ ein Universum, $X$ ein topologischer Raum aus $\mathfrak U$ und\label{DBKrN} $ \mu : \mathfrak U\!\op{Ab}_{/X} \rightarrow \mathfrak U\!\op{Ab}^{\op{opp}} $ ein Funktor. Genau dann ist $ v\mu : \mathfrak U\!\op{Ab}_{/X} \rightarrow \mathfrak U\!\op{Ens}^{\op{opp}} $ darstellbar alias isomorph zu einem Funktor der Gestalt $\mathcal F \mapsto \op{Ab}_{/X} (\mathcal F, \mathcal C)$ mit $\mathcal C \in \mathfrak U\!\op{Ab}_{/X}$, wenn $\mu$ mit Kolimites "uber $\mathfrak U_\in$-$\mathfrak U_\in\uvec$-K"ocher vertauscht. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wenn es einen topologischen Raum $X\in\mathfrak U$ gibt, kann $\mathfrak U$ nicht das leere Universum sein. Dann mu"s unser Funktor $\mu$ insbesondere mit endlichen Koprodukten vertauschen und nach \eref{MFad}{TG} folglich ein $\op{Ab}$-Funktor sein. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Da"s ein darstellbarer Funktor mit Kolimites vertauschen mu"s, ist eh klar. Sind weiter eine abelsche Garbe $\mathcal C \in \op{Ab}_{/X}$ und nat"urliche Bijektionen \begin{equation*} \mu (\mathcal F) \sira \op{Ab}_{/X} (\mathcal F, \mathcal C) \end{equation*} gegeben, so erhalten wir mit $\mathcal F = \mathbb Z_{U\subset X} \pdef i_{(!)} \mathbb Z_U$ f"ur $i: U \hookrightarrow X$\index{Z@$\mathbb Z_{U\subset X} \pdef i_{~!} \mathbb Z_U$} die Einbettung einer offenen Teilmenge $U\co X$ Bijektionen $ b_U: \mu (\mathbb Z_{U\subset X}) \sira \mathcal C (U) $. F"ur $V \co U$ mu"s dar"uber hinaus der offensichtliche Morphismus $a_{U}^V:\mathbb Z_{V\subset X} \rightarrow \mathbb Z_{U\subset X}$ zu einem kommutativen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mu (\mathbb Z_{U\subset X}) \ar[r]^-\sim \ar[d]_-{\mu(a_{U}^V)}& \mathcal C (U)\ar[d]^-{\op{res}^V_U}\\ \mu(\mathbb Z_{V\subset X}) \ar[r]^-\sim &\mathcal C (V) } \end{displaymath} mit besagten Bijektionen $b_U, b_V$ in den Horizontalen f"uhren. Damit ist der weitere Gang des Beweises klar: Wir konstruieren zu unserem Funktor $\mu$ eine abelsche Pr"agarbe $\mathcal C_\mu$ durch die Vorschrift \begin{equation*} \mathcal C_\mu (U) := \mu (\mathbb Z_{U\subset X}) \end{equation*} und zeigen, da"s sie unter unseren zus"atzlichen Annahmen eine Garbe ist, die den Funktor $\mu$ darstellt. Um zu zeigen, da"s $\mathcal C_\mu$ eine Garbe ist, betrachten wir ein System $\mathcal U \subset \mathcal P (X)$ von offenen Teilmengen mit Vereinigung $V \co X$ und das Diagramm \begin{equation*} \bigoplus_{(U,U^\prime) \in \mathcal U^2} \mathbb Z_{(U \cap U^\prime)\subset X} \begin{array}{c} \rightarrow\\[-3mm] \rightarrow \end{array} \bigoplus_{U \in \mathcal U} \mathbb Z_{U\subset X} \rightarrow \mathbb Z_{V\subset X} \end{equation*} mit den beiden ersten Pfeilen gegeben einerseits durch $\mathbb Z_{(U \cap U^\prime)\subset X} \rightarrow \mathbb Z_{U\subset X}$ und andererseits durch $\mathbb Z_{(U \cap U^\prime)\subset X} \rightarrow \mathbb Z_{U^\prime\subset X}$. An den Halmen erkennt man, da"s hier $\mathbb Z_{V\subset X}$ der Kolimes der linken H"alfte unseres Diagramms alias der Koegalisator der beiden linken Pfeile ist. Kommutiert $\mu$ mit Kolimites, so mu"s mithin $\mathcal C_\mu$ eine abelsche Garbe sein. Es bleibt noch zu zeigen, da"s diese abelsche Garbe auch in der Tat den Funktor $v\mu$ darstellt. Bezeichne dazu $\op{Off}_X$ die Kategorie der offenen Teilmengen von $X$ mit Inklusionen als Morphismen und $ J : \op{Off}_X^{\op{opp}} \rightarrow \mathfrak U\!\op{Ab}_{/X}^{\op{opp}} $ den Funktor $U \mapsto \mathbb Z_{U\subset X}$. Nun betrachten wir f"ur alle $\mathcal F \in \mathfrak U\!\op{Ab}_{/X}$ die Verkn"upfung \begin{displaymath} \xymatrix{ v\mu (\mathcal F)\ar[r]^-\sim& \mathfrak U\!\op{Ab}_{/X}^\wedge(\hat{\mathcal F},v\mu)\ar@{=}[r]&\op{Cat} (\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X}^{\op{opp}}, \mathfrak U\!\op{Ens})(\hat{\mathcal F},v\mu )\ar[d]^-\wr\\ &&\ar[d]\op{Cat} (\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X}^{\op{opp}}, \mathfrak U\!\op{Ab})(\hat{\mathcal F}_{\!\!\scriptscriptstyle \oplus},\mu )\\ \op{Ab}_{/X} (\mathcal F, \mathcal C_\mu) && \ar[ll]_-\sim\op{Cat} (\op{Off}_{X}^{\op{opp}}, \mathfrak U\!\op{Ab})(\hat{\mathcal F}_{\!\!\scriptscriptstyle \oplus} J,\mu J )} \end{displaymath} der invertierten Bijektion des \hyperref[YL]{Yoneda-Lemmas}, der invertierten Bijektion aus \eref{MFad}{TG} und der Definition der Kategorie der abelschen Garben. Sie bilden eine Transformation $\tau : \mu \Rightarrow \op{Ab}_{/X} (\;, \mathcal C_\mu)$ von Funktoren $\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X}\ra \mathfrak U\!\op{Ab}^{\op{opp}}$, die auf allen $\mathbb Z_{U\subset X}$ Isomorphismen $\tau : \mu (\mathbb Z_{U\subset X}) \sira \op{Ab}_{/X} (\mathbb Z_{U\subset X}, \mathcal C_\mu)$ induziert. Es gilt zu zeigen, da"s sie auf "uberhaupt allen Objekten $\mathcal F\in \mathfrak U\!\op{Ab}_{/X}$ Isomorphismen $\tau : \mu (\mathcal F) \sira \op{Ab}_{/X} (\mathcal F, \mathcal C_\mu)$ induziert. Da beide Seiten als Funktoren von $\mathcal F$ mit Kolimites vertauschen, folgt das zun"achst f"ur beliebige direkte Summen von Kopien unserer $\mathbb Z_{U\subset X}$. Jede abelsche Garbe ist aber Quotient einer derartigen direkten Summe und dann auch Kokern eines Morphismus zwischen zwei derartigen direkten Summen, und so folgt es dann f"ur $\mathcal F$ beliebig. \end{proof} \begin{Satz*}[\textbf{Darstellbarkeit von Funktoren auf Modulgarben}] Seien $\mathfrak U$ ein Universum und $X=(X,\mathcal A)$ ein geringter Raum aus $\mathfrak U$ und\label{DBKrn} $ \mu : \mathfrak U\!\op{Ab}_{/X} \rightarrow \mathfrak U\!\op{Ab}^{\op{opp}} $ ein Funktor. Genau dann ist $v\mu$ darstellbar alias isomorph zu einem Funktor der Gestalt $\mathcal F \mapsto \mathfrak U\!\op{Ab}_{/X} (\mathcal F, \mathcal C)$ mit $\mathcal C \in \mathfrak U\!\op{Ab}_{/X}$, wenn er mit Kolimites "uber $\mathfrak U_\in$-$\mathfrak U_\in\uvec$-K"ocher vertauscht.\end{Satz*} \begin{proof} Indem wir auf $\hat\mu: \mathcal G\mapsto \mu(\mathcal A\otimes_\DZ\mathcal G)$ unseren vorherigen Satz anwenden, erkennen wir, da"s dieser Funktor dargestellt wird durch die abelsche Garbe $\mathcal C$ mit Schnitten $\mathcal C(U)\pdef\mu(\mathcal A_{U\subset X})$. Versehen wir nun $\mathcal C$ mit seiner offensichtlichen Struktur als $\mathcal A$-Modulgarbe, so erhalten wir Abbildungen $$\mu(\mathcal F)\ra \op{Ab}_{/X}(\mathcal F,\mathcal C)$$ durch die Vorschrift, da"s wir $\alpha\in \mu(\mathcal F)$ abbilden auf die $\alpha_U:\mathcal F(U)\ra \mathcal C(U)$ f"ur $U\co X$ gegeben dadurch, da"s wir zu $s\in \mathcal F(U)$ den Morphismus $\tilde s: \mathcal A_{U\subset X}\ra \mathcal F$ mit $1\mapsto s$ betrachten und dazu $\mu(\tilde s): \mu(\mathcal F)\ra \mu(\mathcal A_{U\subset X})$ bilden und dann $\alpha_U(s)\pdef (\mu(\tilde s))(\alpha)$ setzen. Gehen wir die Definitionen durch, so ergibt sich, da"s unsere Abbildungen zu Isomorphismen $\mu(\mathcal A_{U\subset X})\sira \op{Ab}_{/X}(\mathcal A_{U\subset X},\mathcal C)$ spezialisieren. Da aber jede $\mathcal A$-Modulgarbe $\mathcal F$ Kokern eines Morphismus zwischen direkten Summen von Kopien gewisser $\mathcal A_{U\subset X}$ ist und da beide Seiten mit Kolimites vertauschen, mu"s unsere Abbildung f"ur alle $\mathcal A$-Modulgarben $\mathcal F$ ein Isomorphismus sein. \end{proof} \begin{Korollar} Seien $\mathfrak U$ ein Universum und $X$ ein topologischer Raum oder allgemeiner ein geringter Raum aus $\mathfrak U$ und $\mathcal D$ eine abelsche $\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie. Ein Funktor $\Lambda : \mathfrak U\!\op{Ab}_{/X} \rightarrow \mathcal D$ besitzt genau dann einen Rechtsadjungierten,\label{ExRAk} wenn er mit Kolimites "uber $\mathfrak U_\in$-$\mathfrak U_\in\uvec$-K"ocher vertauscht. \end{Korollar} \begin{proof} Jeder Funktor, der einen Rechtsadjungierten besitzt, vertauscht mit Kolimites. Andererseits vertauscht auch f"ur alle $D \in \mathcal D$ der Funktor $\mathcal D \rightarrow \op{Ab}^{\op{opp}}, A \mapsto \mathcal D (A,D)$ mit Kolimites. Vertauscht weiter $\Lambda$ mit Kolimites, so auch die Verkn"upfung $$\begin{array}{ccc} \op{Ab}_{/X} &\rightarrow &\op{Ab}^{\op{opp}}\\ \mathcal F &\mapsto &\mathcal D (\Lambda \mathcal F, D) \end{array}$$ Nach dem Darstellbarkeitskriterium \ref{DBKrN} beziehungsweise \ref{DBKrn} ist unsere Verkn"upfung also darstellbar durch eine abelsche Garbe $RD \in \op{Ab}_{/X}$. Man sieht nun ohne M"uhe, da"s wir damit schon den gesuchten Rechtsadjungierten $R$ zu $\Lambda$ konstruiert haben. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Spezialf"alle des Schreir"uckzugs}] Gegeben eine les-Abbildung $f:X\ra Y$ vertauscht der Schreivorschub $f_{(!)}: \op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}_{/Y}$ nach \eref{VTVT}{TG} mit filtrierenden Kolimites. Ist $f_{(!)}$ zus"atzlich exakt, etwa f"ur $f$ eine lokal abgeschlossene Einbettung oder eine separierte \'etale Abbildung, so vertauscht es mithin mit beliebigen Kolimites und besitzt nach \ref{ExRAk} einen Rechtsadjungierten $$f^{(!)}: \op{Ab}_{/Y}\ra \op{Ab}_{/X}$$ Gegeben eine Garbe $\mathcal G\in \op{Ab}_{/Y}$ finden wir f"ur ihren Schreir"uckzug immer im Fall, da"s der Schreivorschub exakt ist,\label{MDAY} sogar die explizite Beschreibung $$(f^{(!)}\mathcal G)(U)=\op{Ab}_{/Y}(f_{(!)}(\DZ_{U\subset X}), \mathcal G)$$ In diesem Fall erhalten wir nach \eref{AdJD}{TD} auch auf den derivierten Funktoren ein adjungiertes Paar $(f_!, {\op{R}}f^{(!)})$ und so eine vergleichsweise explizite Beschreibung des Schreir"uckzugs auf den derivierten Kategorien. Im Fall \'etaler separierter Abbildungen $f$ erhalten wir so ein weiteres Mal unseren ausgezeichneten Isomorphismus $f^{(!)}\siRa f^{(*)}$ aus \eref{lfad}{TG}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein topologischer Raum $X$ mit einer offenen Teilmenge $U\co X$ und eine abelsche Garbe $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ erkl"aren wir ganz allgemein die abelsche Garbe $\mathcal F_{U\subset X}\in\op{Ab}_{/X}$\index{)8ba@$\mathcal F_{U\subset X}$ Ausdehnung durch Null} durch die Vorschrift $$\mathcal{F}_{U\subset X} \pdef j_{(!)} j^{(\ast)} \mathcal{F} $$ f"ur $j :U \rightarrow X$ die Einbettung.\label{Notc} Da beide fraglichen Funktoren exakt sind, f"allt diese Garbe auch zusammen mit dem Objekt $ j_!j^\ast \mathcal{F}$ der derivierten Kategorie. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Kriterium f"ur die Eigenschaft relativ kompaktweich}] Gegeben eine les-Abbildung\label{KfazN} $f : X \rightarrow Y$ ist eine Garbe $\mathcal{F} \in \op{Ab}_{/X}$ genau dann \hyperref[relkw]{$f$-kompaktweich}, wenn f"ur alle $U \co X$ die Garbe $\mathcal{F}_{U\subset X}$ eine $f_{(!)}$-rechtsazyklische Garbe ist. Insbesondere ist mit $\mathcal{F}$ auch $\mathcal{F}_{U\subset X}$ eine $f$-kompaktweiche Garbe. \end{Lemma} \begin{proof} Bezeichnet $i\pdef i_y: \{y\} \hookrightarrow Y$ die Einbettung des Punktes $y\in Y$, so ist $\mathcal{G}\in \op{Ab}_{/X}$ genau dann eine $f_{(!)}$-rechtsazyklische Garbe, wenn f"ur alle $y\in Y$ aus $\mathcal{H}^\nu i^\ast f_! \mathcal{G}\neq 0$ bereits folgt $\nu=0$. Mit mehrfachem derivierten Basiswechsel, also Basiswechsel \ref{eaBAN} in der verflochtenen Winkelfaserung \ref{kolesbN} der derivierten abelschen Garben, %\ref{DeBaW} "uber dem doppelt kartesischen Diagramm der Basis \begin{displaymath} \xymatrix{ U\cap f^{-1} (y)\ar[d]_{u} \ar[rr]^l && U \ar[d]^j\\ f^{-1} (y)\ar[d]_{g} \ar@{^{(}->}^k[rr] && X\ar[d]^f\\ \{y\} \ar@{^{(}->}^i[rr] &&Y } \end{displaymath} f"ur alle $y\in Y$ erkennen wir, da"s die $f_{(!)}$-Rechtsazyklizit"at von $\mathcal{F}_{U\subset X}$ gleichbedeutend ist dazu, da"s f"ur \begin{equation*} i^\ast f_!\mathcal{F}_{U\subset X}\cong g_! k^\ast \mathcal{F}_{U\subset X} = g_! k^\ast j_! j^\ast \mathcal{F} \cong g_! u_!l^\ast j^\ast \mathcal{F} \cong g_!u_!u^\ast k^\ast \mathcal{F} \end{equation*} und alle $y\in Y$ wieder $\mathcal{H}^\nu$ f"ur $\nu\neq 0$ verschwindet, da"s also f"ur alle $y\in Y$ mit der Notation $Z\pdef f^{-1} (y)$ f"ur die Faser die Garbe $(k^\ast \mathcal{F})_{(U\cap Z)\subset Z}$ eine $\Gamma_!$-rechtsazyklische Garbe ist. Damit ziehen wir uns auf den Fall eines einpunktigen Raumes zur"uck, den wir im anschlie"senden Lemma \ref{ZKwN} behandeln. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Kriterium f"ur die Eigenschaft kompaktweich}] Eine abelsche Garbe $\mathcal{F}$ auf einem lokal kompakten Hausdorff\-raum $Z$ ist\label{ZKwN} kompaktweich genau dann, wenn f"ur alle $W \co Z$ die Garbe $\mathcal{F}_{W\subset Z}$ eine $\Gamma_!$-rechtsazyklische Garbe ist. \end{Lemma} \begin{proof} Bezeichne $j: W \hookrightarrow Z$ die Einbettung. Ist $\mathcal{F}$ kompaktweich, so ist auch $j^\ast \mathcal{F}$ kompaktweich nach \eref{WKW}{TG} und f"ur die konstante Abbildung $c : Z \rightarrow \op{pt}$ hat folglich \begin{equation*} (c \circ j)_! j^\ast \mathcal{F} \cong c_! j_! j^\ast \mathcal{F} \cong c_! \mathcal{F}_{W\subset Z} \end{equation*} die Eigenschaft $\mathcal{H}^\nu=0$ f"ur $\nu\neq 0$, als da hei"st, $\mathcal{F}_{W\subset Z}$ ist $\Gamma_!$-rechtsazyklisch. Sei umgekehrt $\mathcal{F}$ eine abelsche Garbe auf $Z$ derart, da"s $\mathcal{F}_{W\subset Z}$ f"ur alle $W \co Z$ eine $\Gamma_!$-rechtsazyklische Garbe ist. Gegeben ein Kompaktum $K\subset Z$ betrachten wir dann sein Komplement $W \co Z$ und folgern aus \eref{KWA}{TG} sogar die Surjektivit"at der Restriktion $\Gamma_! (Z; \mathcal{F}) \rightarrow \Gamma (K;\mathcal{F})$. \end{proof} \begin{Lemma}\label{KWAUn} Sei $f : X \rightarrow Y$ eine les-Abbildung derart, da"s der Schreivorschub $f_{(!)} :\op{Ab}_{/X} \rightarrow \op{Ab}_{/Y}$ homologische Dimension $r < \infty$ hat. Gibt es in $\op{Ab}_{/X}$ eine exakte Sequenz $ \mathcal{I}^{-r} \rightarrow \ldots \rightarrow \mathcal{I}^{-1} \rightarrow \mathcal{I}^{0} \twoheadrightarrow \mathcal{K}$ mit $f$-kompaktweichen $\mathcal{I}^\nu$, so ist auch $\mathcal{K}$ eine $f$-kompaktweiche Garbe. \end{Lemma} \begin{proof} Nach dem Kriterium \ref{KfazN} reicht es zu zeigen, da"s f"ur alle $U \co X$ die Garbe $\mathcal{K}_{U\subset X}$ eine $f_{(!)}$-rechtsazyklische Garbe ist. Sicher pa"st diese Garbe in eine exakte Sequenz \begin{equation*} \mathcal{G} \hookrightarrow \mathcal{I}^{-r}_{U\subset X} \rightarrow \ldots \rightarrow \mathcal{I}^{-1}_{U\subset X} \rightarrow\mathcal{I}^{0}_{U\subset X} \twoheadrightarrow \mathcal{K}_{U\subset X} \end{equation*} Mit $\mathcal{I}^\nu$ ist auch $\mathcal{I}^\nu_{U\subset X}$ eine $f$-kompaktweiche Garbe nach \ref{KfazN}. Spalten wir unsere exakte Sequenz in kurze exakte Sequenzen auf, so liefern die zugeh"origen langen exakten Sequenzen der ${\op{R}}^q f_{(!)}$ f"ur $q\geq 1$ Isomorphismen \begin{equation*} {\op{R}}^q \!f_{(!)} \;\mathcal{K}_{U\subset X} \sira {\op{R}}^{q+r}\! f_{(!)} \;\mathcal{G} \end{equation*} Die rechte Seite aber verschwindet nach Annahme. \end{proof} \begin{Lemma} \begin{enumerate} \item Gegeben $f:X\ra Y$ eine les-Abbildung vertauscht der derivierte Schreivorschub $f_!: \op{Der}^+(\op{Ab}_{/X})\ra \op{Der}^+(\op{Ab}_{/Y})$ beliebigen Koprodukten; %mit filtrierenden Kolimites hie"s es fr"uher, das war unbewiesen. \item Gegeben eine lesb-Abbildung $f:X\ra Y$ vertauscht sogar der unbeschr"ankt derivierte Schreivorschub $f_!: \op{Der}(\op{Ab}_{/X})\ra \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ mit beliebigen Koprodukten. \end{enumerate}\label{debb} \end{Lemma} \begin{proof} Die nat"urlichen Funktoren $\op{Ket}(\op{Ab}_{/X})\ra \op{Hot}(\op{Ab}_{/X})\ra \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ vertauschen nach \eref{PderKc}{TD} und der Existenz von Quisrechtsentfaltungen \ref{EhiA} f"ur Komplexe abelscher Garben mit beliebigen Koprodukten. Gegeben eine les-Abbildung vertauscht nach \eref{VTVT}{TG} der Schreivorschub abelscher Garben mit filtrierenden Kolimites. Gegeben eine les-Abbildung ist nach \ref{klfkw} weiter jeder filtrierende Kolimes von \hyperref[relkwx]{faserweise kompaktweichen} Garben wieder faserweise kompaktweich. Das Lemma ergibt sich, da wir die entsprechenden derivierten Funktoren durch faserweise kompaktweiche Aufl"osungen berechnen k"onnen. \end{proof} \begin{Lemma} Seien $f : X \rightarrow Y$ eine lesb-Abbildung und $\mathcal K, \mathcal F \in \op{Ab}_{/X}$ abelsche Garben. Ist $\mathcal K$ zus"atzlich $f$-kompaktweich und $\mathcal F$ flach, so ist auch $\mathcal F \otimes \mathcal K$ eine $f$-kompaktweiche Garbe.\label{tKKn} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Das gilt ebenso, wenn wir statt der Flachheit von $\mathcal F$ die Flachheit von $\mathcal K$ annehmen. F"ur diese Variante habe ich jedoch im weiteren keine Verwendung. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Jede Garbe $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ besitzt eine Aufl"osung $\ldots \rightarrow \mathcal F^{-1} \rightarrow \mathcal F^0 \twoheadrightarrow \mathcal F$ mit $\mathcal F^\nu$ jeweils einer direkten Summe von Kopien von Garben der Gestalt $\mathbb Z_{U\subset X}$ f"ur $U \co X$. Diese liefert eine exakte Sequenz \begin{equation*} \ldots \rightarrow \mathcal F^{-1} \otimes \mathcal K \rightarrow \mathcal F^0 \otimes \mathcal K \twoheadrightarrow \mathcal F \otimes \mathcal K \end{equation*} Nach \ref{KWAUn} reicht es zu zeigen, da"s $\mathcal F^{\nu} \otimes \mathcal K$ eine $f$-kompaktweiche Garbe ist f"ur alle $\nu$. Aber $\mathcal F^{\nu} \otimes \mathcal K$ ist eine direkte Summe von Garben der Gestalt $\mathbb Z_{U\subset X} \otimes \mathcal K \cong \mathcal K_{U\subset X}$ und ist $f$-kompaktweich, da nach \ref{klfkw} filtrierende Kolomites $f$-kompaktweicher Garben $f$-kompaktweich sind und da nach \ref{KfazN} mit $\mathcal K$ auch $\mathcal K_{U\subset X}$ faserweise kompaktweich ist f"ur $U\co X$. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben $f : X \ra Y$ eine lesb-Abbildung und $\mathcal{K} \in \op{Ab}_{/X}$ eine $f$-kom\-pakt\-wei\-che abelsche Garbe auf $X$\label{fusk} besitzt der durch die Vorschrift $$f_{(!)}^{\mathcal K}: \mathcal F\mapsto \mathcal H^0 f_!(Q\mathcal F\otimes^{\op{L}}Q\mathcal K)$$ gegebene Funktor $f_{(!)}^{\mathcal K}:\op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}_{/Y}$ einen Rechtsadjungierten $f^{(!)}_{\mathcal{K}}$. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Wir unterscheiden hier sorgf"altiger als sonst zwischen Objekten der abelschen Kategorien und Homotopiekategorien einerseits und ihren Bildern unter dem Funktor $Q$ in die derivierte Kategorie andererseits. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach \ref{ExRAk} reicht es zu zeigen, da"s $f^\mathcal{K}_{(!)}$ mit beliebigen Kolimites vertauscht. Dazu reicht es zu zeigen, da"s unser Funktor rechtsexakt ist und mit filtrierenden Kolimites, ja mit beliebigen Koprodukten vertauscht. Wir k"onnen nun aber $Q\mathcal F\otimes^{\op{L}}Q\mathcal K$ mit einer Linksaufl"osung von $\mathcal F$ durch flache Garben berechnen. Aus Lemma \ref{tKKn} folgt dann, da"s $Q\mathcal F\otimes^{\op{L}}Q\mathcal K$ durch einen Komplex $f$-kompaktweicher Garben in nichtpositiven Graden dargestellt werden kann und mit \eref{UbDe}{TD} folgt $\mathcal H^1 f_!(Q\mathcal F\otimes^{\op{L}}Q\mathcal K)=0$. Damit ist unser Funktor $f^\mathcal{K}_{(!)}$ schon einmal rechtsexakt. Unser Funktor vertauscht aber auch mit beliebigen Koprodukten. Genauer wissen wir das f"ur $Q$ aus der Beschreibung \eref{PderKc}{TD} von Koprodukten in derivierten Kategorien unter der Annahme der Existenz von Quisrechtsentfaltungen, die es ja nach \ref{EhiA} im Fall abelscher Garben gibt; wir wissen es f"ur $\otimes^{\op{L}}Q\mathcal K$, weil er ein Linksadjungierter ist; wir wissen es f"ur $f_!$ nach \ref{debb}; und wir wissen es f"ur $\mathcal H^0$ wieder aus der Beschreibung \eref{PderKc}{TD} von Koprodukten in derivierten Kategorien zusammen mit der Exaktheit von Koprodukten in der Kategorie der abelschen Garben. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben $f : X \ra Y$ eine lesb-Abbildung und $\mathcal{K} \in \op{Ab}_{/X}$ eine $f$-kom\-pakt\-wei\-che abelsche Garbe auf $X$\label{fuss} und $\mathcal F$ eine flache Garbe auf $X$ sind die offensichtlichen Morphismen Isomorphismen $$\begin{array}{lrrrrr} &(Q\mathcal F\otimes^{\op{L}}Q\mathcal K)& \sira& Q(\mathcal F\otimes\mathcal K)&&\\[2mm] &f_!(Q\mathcal F\otimes^{\op{L}}Q\mathcal K)&\sira& f_!Q(\mathcal F\otimes\mathcal K)&\sila& Qf_{(!)}(\mathcal F\otimes\mathcal K)\\[2mm] f_{(!)}^{\mathcal K}\mathcal F=& \mathcal H^0f_!(Q\mathcal F\otimes^{\op{L}}Q\mathcal K)&\sira& \mathcal H^0 f_!Q(\mathcal F\otimes\mathcal K)&\sila& f_{(!)}(\mathcal F\otimes\mathcal K) \end{array} $$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Geht man die allgemeine Konstruktion des Rechtsadjungierten im Spezialfall des in \ref{fusk} besprochenen Funktors durch, so erh"alt man f"ur die Schnitte von $f^{(!)}_{\mathcal K}\mathcal G$ die Beschreibung $$(f^{(!)}_{\mathcal K}\mathcal G)(U)=\op{Ab}_{/Y}(f_{(!)}\mathcal K_{U\subset X},\mathcal G)$$ Der Isomorphismus $ \op{Ab}_{/X}(\DZ_{U\subset X}, f^{(!)}_{\mathcal K}\mathcal G) \sira \op{Ab}_{/Y}(f_{(!)}^{\mathcal K}(\DZ_{U\subset X}), \mathcal G)$, der davon mit \ref{fuss} induziert wird, ist dann die Adjunktion f"ur das Paar $(\DZ_{U\subset X},\mathcal G)$.\label{explB} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Existenz des Schreir"uckzugs f"ur abelsche Garben}] Sei $f : X \ra Y$ eine lesb-Abbildung. Gegeben ein Komplex $\mathcal K\mathcal K$ alias $\ldots\ra\mathcal K^q\ra \mathcal K^{q+1}\ra\ldots $ von faserweise kompaktweichen Garben auf $X$ erkl"aren wir den Funktor $$f_{(\!(!)\!)}^{\mathcal{K}\mathcal{K}}:\op{Hot}(\op{Ab}_{/X})\ra \op{Hot}(\op{Ab}_{/Y})$$ dadurch, da"s er jedem Komplex $\mathcal F\in \op{Hot}(\op{Ab}_{/X})$ das Summentotal des Doppelkomplexes der $f_{(!)}^{\mathcal{K}^q}\mathcal F^p$ zuordnet. Man pr"uft leicht, da"s er einen Rechtsadjungierten $$f^{(\!(!)\!)}_{\mathcal{K}\mathcal{K}}:\op{Hot}(\op{Ab}_{/Y})\ra \op{Hot}(\op{Ab}_{/X})$$ besitzt, der jedem Komplex $\mathcal G\in \op{Hot}(\op{Ab}_{/Y})$ das Produkttotal des Doppelkomplexes der $f^{(!)}_{\mathcal{K}^{-q}}\mathcal G^p$ zuordnet. Um die $q$-Differentiale zu erkl"aren beachten wir, da"s jede Transformation von Funktoren eine Transformation in die Gegenrichtung auf den Adjungierten induziert. Jeder Morphismus $\mathcal L\ra\mathcal M$ von $f$-kompaktweichen Garben liefert mithin eine Transformation $f^{(!)}_{\mathcal M}\RA f^{(!)}_{\mathcal L}$. Wir zeigen nun, da"s alle Komplexe aus flachen abelschen Garben quislinksentfaltet sind f"ur $Qf_{(\!(!)\!)}^{\mathcal{K}\mathcal{K}}$. Ist genauer $\mathcal E\qri \mathcal F$ ein Quasiisomorphismus von Komplexen aus flachen abelschen Garben, so liefert das Darantensorieren von $\mathcal K\mathcal K$ einen Quasiisomorphismus $\mathcal E\otimes\mathcal K\mathcal K\qri \mathcal F\otimes\mathcal K\mathcal K$ und nach \ref{tKKnd} bestehen beide Komplexe aus $f$-kom\-pakt\-wei\-chen Garben. Da wir $f$ lesb annehmen, erhalten wir nach \eref{UbDe}{TD} also weiter einen Quasiisomorphismus $f_{(!)}(\mathcal E\otimes\mathcal K\mathcal K)\qri f_{(!)}(\mathcal F\otimes\mathcal K\mathcal K)$ alias nach \ref{fuss} einen Quasiisomorphismus $$f_{(\!(!)\!)}^{\mathcal{K}\mathcal{K}}\mathcal E \qri f_{(\!(!)\!)}^{\mathcal{K}\mathcal{K}}\mathcal F$$ Schlie"slich erinnern wir noch aus \ref{hflL}, da"s es zu jedem Komplex von abelschen Garben einen Quasiisomorphismus von einem Komplex flacher abelscher Garben gibt, und daraus folgt dann mit \eref{kreso}{TD}, da"s alle Komplexe aus flachen abelschen Garben quislinksentfaltet sind f"ur $Qf_{(\!(!)\!)}^{\mathcal{K}\mathcal{K}}$. Folglich existiert der Linksfaktorierte von $Qf_{(\!(!)\!)}^{\mathcal{K}\mathcal{K}}$ auf allen Objekten und mit Lemma \ref{tKKn} erhalten wir f"ur diesen Linksfaktorierten $${\op{L}}Qf_{(\!(!)\!)}^{\mathcal{K}\mathcal{K}}:\op{Der}(\op{Ab}_{/X})\ra \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$$ sogar eine Isotransformation ${\op{L}}Qf_{(\!(!)\!)}^{\mathcal{K}\mathcal{K}}\siRa f_!\circ (\;\otimes^{\op{L}}Q\mathcal K\mathcal K)$. Da in $\op{Hot}(\op{Ab}_{/Y})$ andererseits nach \ref{EhiA} jeder Komplex eine Quisrechtsentfaltung besitzt, existiert auch der Rechtsfaktorierte ${\op{R}}Qf^{(\!(!)\!)}_{\mathcal{K}\mathcal{K}}$ von $Qf^{(\!(!)\!)}_{\mathcal{K}\mathcal{K}}$ auf allen Objekten und \eref{AdJD}{TD} liefert f"ur unsere faktorierten Funktoren eine Adjunktion $$\big({\op{L}}Qf_{(\!(!)\!)}^{\mathcal{K}\mathcal{K}},{\op{R}}Qf^{(\!(!)\!)}_{\mathcal{K}\mathcal{K}}\big)$$ F"ur jede $f$-kompaktweiche Aufl"osung $\mathcal K\mathcal{K}$ der konstanten Garbe $\DZ_X$ ist also der Rechtsfaktorierte ${\op{R}}Qf^{(\!(!)\!)}_{\mathcal{K}\mathcal{K}}$ ein Rechtsadjungierter $f^!$ von $f_!$.\label{VeDD} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Berechnung des Verdierdualen}] Seien $f : X \ra Y$\label{VeDDx} eine lesb-Ab\-bil\-dung und $\mathcal K\mathcal K$ ein Komplex von $f$-kompaktweichen abelschen Garben auf $X$. Die Isotransformation ${\op{L}}Qf_{(\!(!)\!)}^{\mathcal K\mathcal K}\siRa f_!\circ (\;\otimes^{\op{L}} Q\mathcal K\mathcal K)$ von Funktoren $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})\ra \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ aus \ref{VeDD} liefert eine Isotransformation $$(Q\mathcal K\mathcal K{\Rrightarrow}_{\op{Der}}\;)\circ f^!\;\siRa\;{\op{R}}Qf^{(\!(!)\!)}_{\mathcal K\mathcal K}$$ zwischen den adjungierten Funktoren. Ist insbesondere $f=\op{fin}$ die konstante Abbildung auf den einpunktigen Raum, so erhalten wir f"ur jeden Komplex $\mathcal K\mathcal K$ von kompaktweichen Garben auf einem lesb-Raum $X$ Isomorphismen $$\begin{array}{llr} \big(Q\mathcal K\mathcal K{\Rrightarrow}_{\op{Der}} \op{fin}^!\DZ_{\op{top}}\big) &\sira &{\op{R}}(Q\op{fin}^{(\!(!)\!)}_{\mathcal K\mathcal K})\big(\DQ_{\op{top}}[0]\ra (\DQ/\DZ)_{\op{top}}\big)\\[2mm] &\sira &(Q\op{fin}^{(\!(!)\!)}_{\mathcal K\mathcal K})\big(\DQ_{\op{top}}[0]\ra (\DQ/\DZ)_{\op{top}}\big) \end{array} $$ mit der Beschreibung des Rechtsfaktorierten durch eine quisrechtsentfaltete Aufl"osung. Mit \ref{explB} erhalten wir so einen Isomorphismus zwischen dem Verdierdualen $\mathbb D_XQ\mathcal K\mathcal K$ von $Q\mathcal K\mathcal K$ und dem Garbenkomplex mit $\mathbb D_{\op{Ket}}\Gamma_!(U;\mathcal K\mathcal K)$ als Komplex der Schnitte auf einer offenen Teilmenge $U\co X$, aufgefa"st als Objekt der derivierten Kategorie. Hier erinnern wir f"ur einen Komplex von abelschen Gruppen die Abk"urzung $\mathbb D_{\op{Ket}}$ f"ur den Homomomorphismenkomplex zum zwei-Term-Komplex $(\DQ_{\op{top}}[0]\ra (\DQ/\DZ)_{\op{top}})$, der die Verdierdualit"at f"ur abelsche Garben auf dem Einpunktraum beschreibt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im folgenden disktieren wir die Erweiterung der bisher nur im Fall abelscher Garben gegebenen Argumente auf den Fall von Modulgarben. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Seien $f : (X;\mathcal A) \rightarrow (Y;\mathcal B)$ ein lesb-Morphismus von gekringten R"aumen und $\mathcal K, \mathcal F \in \op{Ab}_{/(X;\mathcal A)}$ Modulgarben. Ist $\mathcal K$ faserweise kompaktweich und $\mathcal F$ flach, so ist auch $\mathcal F \otimes_{\mathcal A} \mathcal K$ eine faserweise kompaktweiche Garbe.\label{tKKnd} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Das gilt ebenso, wenn wir statt der Flachheit von $\mathcal F$ die Flachheit von $\mathcal K$ annehmen. F"ur diese Variante habe ich jedoch im folgenden keine Verwendung. Die Kringgarbe $\mathcal B$ spielt im folgenden keine Rolle. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Jede Garbe $\mathcal F\in\op{Ab}_{/(X;\mathcal A)}$ besitzt eine Aufl"osung $\ldots \rightarrow \mathcal F^{-1} \rightarrow \mathcal F^0 \twoheadrightarrow \mathcal F$ mit $\mathcal F^\nu$ jeweils einer direkten Summe von Kopien von Garben der Gestalt $\mathcal A_{U\subset X}$ f"ur $U \co X$. Diese liefert eine exakte Sequenz von Modulgarben \begin{equation*} \ldots \rightarrow \mathcal F^{-1} \otimes_{\mathcal A} \mathcal K \rightarrow \mathcal F^0 \otimes_{\mathcal A} \mathcal K \twoheadrightarrow \mathcal F \otimes_{\mathcal A} \mathcal K \end{equation*} Nach dem Kriterium \ref{KWAUn} reicht es zu zeigen, da"s $\mathcal F^{\nu} \otimes_{\mathcal A} \mathcal K$ faserweise kom\-pakt\-wei\-ch ist f"ur alle $\nu$. Nun ist aber $\mathcal F^{\nu} \otimes_{\mathcal A} \mathcal K$ ist eine direkte Summe von Garben der Gestalt $\mathcal A_{U\subset X} \otimes_{\mathcal A} \mathcal K \cong \mathcal K_{U\subset X}$ und die Summanden sind faserweise kompaktweich nach \ref{KfazN}. Also ist auch $\mathcal F^{\nu} \otimes_{\mathcal A} \mathcal K$ faserweise kompaktweich nach \ref{klfkw} als filtrierender Kolimes faserweise kompaktweicher abelscher Garben. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben $f:(X;\mathcal A)\ra (Y;\mathcal B)$ ein lesb-Morphismus gekringter R"aume und $\mathcal{K} \in \op{Ab}_{/X}$ eine faserweise kom\-pakt\-wei\-che Modulgarbe auf $X$\label{fuskV} besitzt der durch die Vorschrift $$f_{(!)}^{\mathcal K}: \mathcal F\mapsto \mathcal H^0 f_!(Q\mathcal F\otimes_{\mathcal A}^{\op{L}}Q\mathcal K)$$ gegebene Funktor $f_{(!)}^{\mathcal K}:\op{Ab}_{/(X;\mathcal A)}\ra \op{Ab}_{/(Y;\mathcal B)}$ einen Rechtsadjungierten $f^{(!)}_{\mathcal{K}}$. \end{Lemma} \begin{proof} Nach \ref{ExRAk} reicht es zu zeigen, da"s $f^\mathcal{K}_{(!)}$ mit Kolimites vertauscht. Dazu reicht es zu zeigen, da"s unser Funktor rechtsexakt ist und mit filtrierenden Kolimites, ja mit Koprodukten vertauscht. Wir k"onnen $Q\mathcal F\otimes_{\mathcal A}^{\op{L}} Q\mathcal K$ mit einer Linksaufl"osung von $\mathcal F$ durch flache Modulgarben berechen, wie wir sie etwa beim Beweis von \ref{tKKnd} beschrieben haben. So folgt aus \ref{tKKnd}, da"s $Q\mathcal F\otimes_{\mathcal A}^{\op{L}} Q\mathcal K$ durch einen Komplex aus faserweise kompaktweichen Garben in nichtpositiven Graden beschrieben werden kann, und mit \eref{UbDe}{TD} folgt $\mathcal H^1 f_!(Q\mathcal F\otimes^{\op{L}}_{\mathcal A}Q\mathcal K)=0$. Damit ist unser Funktor schon mal rechtsexakt. Unser Funktor vertauscht aber auch mit beliebigen Koprodukten. Genauer wissen wir das f"ur $Q$ folgt es aus der Beschreibung \eref{PderKc}{TD} von Koprodukten in derivierten Kategorien unter der Annahme der Existenz von Quis\-rechts\-ent\-fal\-tun\-gen, die es nach \ref{reff} auch im Fall von Modulgarben gibt, f"ur $\otimes^{\op{L}}_{\mathcal A}Q\mathcal K$, weil er ein Linksadjungierter ist, f"ur $f_!$ nach \ref{debb} und f"ur $\mathcal H^0$ wieder aus der Beschreibung \eref{PderKc}{TD} zusammen mit der Exaktheit von Koprodukten in der Kategorie der Modulgarben. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Existenz des Schreir"uckzugs f"ur Modulgarben}] Sei $f : X \ra Y$ ein lesb-Mor\-phis\-mus von gekringten R"aumen. Gegeben ein Komplex $\mathcal K\mathcal K$ alias $\ldots\ra\mathcal K^q\ra \mathcal K^{q+1}\ra\ldots $ von faserweise\label{eer} kompaktweichen Modulgarben auf $X$ erkl"aren wir den Funktor $$f_{(\!(!)\!)}^{\mathcal{K}\mathcal{K}}:\op{Hot}(\op{Ab}_{/X})\ra \op{Hot}(\op{Ab}_{/Y})$$ dadurch, da"s er jedem Komplex $\mathcal F\in \op{Hot}(\op{Ab}_{/X})$ das Summentotal des Doppelkomplexes der $f_{(!)}^{\mathcal{K}^q}\mathcal F^p$ zuordnet. Man pr"uft leicht, da"s $f_{(\!(!)\!)}^{\mathcal{K}\mathcal{K}}$ einen Rechtsadjungierten $$f^{(\!(!)\!)}_{\mathcal{K}\mathcal{K}}:\op{Hot}(\op{Ab}_{/Y})\ra \op{Hot}(\op{Ab}_{/X})$$ besitzt, der jedem Komplex $\mathcal G\in \op{Hot}(\op{Ab}_{/Y})$ das Produkttotal des Doppelkomplexes der $f^{(\!(!)\!)}_{\mathcal{K}^{-q}}\mathcal G^p$ nach \ref{fuskV} zuordnet. Um die $q$-Differentiale zu erkl"aren beachten wir, da"s jede Transformation von Funktoren eine Transformation in die Gegenrichtung auf den Adjungierten induziert. Jeder Morphismus $\mathcal L\ra\mathcal M$ von faserweise kompaktweichen Modulgarben liefert mithin eine Transformation $f^{(!)}_{\mathcal M}\RA f^{(!)}_{\mathcal L}$. Wir zeigen nun, da"s alle quisflachen Komplexe aus flachen Modulgarben quislinksentfaltet sind f"ur $Qf_{(\!(!)\!)}^{\mathcal{K}\mathcal{K}}$. Ist n"amlich $\mathcal E\qri \mathcal F$ ein Quasiisomorphismus quisflacher Komplexe aus flachen Modulgarben, so liefert das Darantensorieren von $\mathcal K\mathcal K$ einen Quasiisomorphismus $\mathcal E\otimes_{\mathcal A}\mathcal K\mathcal K\qri \mathcal F\otimes_{\mathcal A}\mathcal K\mathcal K$, da wir $\mathcal E$ und $\mathcal F$ quisflach angenommen hatten. Nach \ref{tKKnd} bestehen weiter beide Komplexe aus faserweise kompaktweichen Garben, da wir auch angenommen hatten, da"s $\mathcal E$ und $ \mathcal F$ aus flachen Modulgarben bestehen. Nach \eref{UbDe}{TD} und da wir $f$ lesb angenommen hatten, macht $f_{(!)}$ daraus einen Quasiisomorphismus $f_{(\!(!)\!)}^{\mathcal K\mathcal K}\mathcal E\qri f_{(\!(!)\!)}^{\mathcal K\mathcal K}\mathcal F$. Schlie"slich erinnern wir noch aus \ref{hflL}, da"s es zu jedem Komplex von Modulgarben einen Quasiisomorphismus von einem quisflachen Komplex flacher Modulgarben gibt, und daraus folgt dann mit \eref{kreso}{TD}, da"s in der Tat alle quisflachen Komplexe aus flachen Modulgarben quislinksentfaltet sind f"ur $Qf_{(\!(!)\!)}^{\mathcal{K}\mathcal{K}}$. Folglich existiert der Linksfaktorierte von $Qf_{(\!(!)\!)}^{\mathcal{K}\mathcal{K}}$ auf allen Objekten und mit Lemma \ref{tKKnd} erhalten wir f"ur $${\op{L}}Qf_{(\!(!)\!)}^{\mathcal{K}\mathcal{K}}:\op{Der}(\op{Ab}_{/X})\ra \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$$ sogar eine Isotransformation ${\op{L}}Qf_{(\!(!)\!)}^{\mathcal{K}\mathcal{K}}\siRa f_!\circ (\;\otimes^{\op{L}}Q\mathcal K\mathcal K)$. Da in $\op{Hot}(\op{Ab}_{/Y})$ nach \ref{EhiA} jeder Komplex eine Quisrechtsentfaltung besitzt, existiert auch der Rechtsfaktorierte ${\op{R}}Qf^{(\!(!)\!)}_{\mathcal{K}\mathcal{K}}$ von $Qf^{(\!(!)\!)}_{\mathcal{K}\mathcal{K}}$ auf allen Objekten und \eref{AdJD}{TD} liefert f"ur diese faktorierten Funktoren eine Adjunktion $$\big({\op{L}}Qf_{(\!(!)\!)}^{\mathcal{K}\mathcal{K}},{\op{R}}Qf^{(\!(!)\!)}_{\mathcal{K}\mathcal{K}}\big)$$ F"ur jede faserweise kompaktweiche Aufl"osung $\mathcal K\mathcal{K}$ der Strukturgarbe $\mathcal A$ ist also der Rechtsfaktorierte ${\op{R}}Qf^{(\!(!)\!)}_{\mathcal{K}\mathcal{K}}$ ein Rechtsadjungierter $f^!$ von $f_!\cong f_!\circ(\otimes^{\op{L}}Q\mathcal{KK})$.\label{VeDDm} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Berechnung des Verdierdualen mit K"orperkoeffizienten}] Gegeben ein lesb-Raum $X$ und ein K"orper $k$ k"onnen wir die Argumente f"ur abelsche Gruppen \ref{VeDDx} wiederholen und finden so, da"s f"ur einen Komplex kompaktweicher Garben $\mathcal K\mathcal K$ von $k$-Vektorr"aumen das Verdierduale mit K"orperkoeffizienten das Bild in der derivierten Kategorie ist eines Garbenkomplexes mit dem Komplex von Schnitten $\Gamma_!(U;\mathcal K\mathcal K)^*$ "uber $U\co X$. Der Stern meint hierbei den $k$-Dualraum. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ von lesb-R"aumen und ein Komplex $\mathcal K$ von kompaktweichen abelschen Garben auf $X$ der Isomorphismus $\mathbb D_Y f_!\mathcal K\sira_{\op{Der}}f_*\mathbb D_X \mathcal K$ aus \ref{rVDe} unter der in \ref{VeDDx} gegebenen Beschreibung des Verdierdualen und dem nat"urlichen Morphismus $Qf_{(*)}\RA f_*Q$ von dem Isomorphismus von Komplexen von abelschen Garben herkommt, der auf den Schnitten "uber $V\co Y$ gegeben wird durch die offensichtlichen Isomorphismen\label{vdvt} $$\mathbb D_{\op{Ket}}\Gamma_!(V;f_{(!)}\mathcal K) \sira_{\op{Ket}} \mathbb D_{\op{Ket}}\Gamma_!(f^{-1}(V);\mathcal K)$$ Hinweis: Ich habe diese "Ubung noch nicht gemacht und stelle mir vor, da"s das einmal ein Student zusammen mit dem Umfeld ausarbeiten k"onnte. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ die disjunkte Vereinigung offener Teilmengen $X=\bigsqcup_{i\in I} X_i$, so liefern f"ur $\mathcal F\in \op{Der}^+(\op{Ab}_{/X})$ die Ausdehnungen durch Null Isomorphismen $$\bigoplus_{i\in I}\mathbb H_!^q(X_i;\mathcal F)\sira \mathbb H_!^q(X;\mathcal F)$$ Ist $X$ sogar lesb, so gilt dasselbe sogar f"ur jedes Objekt $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ der derivierten Kategorie. Hinweis: Man gehe von der Zerlegung \ref{pgklt} von $\mathcal F$ als Summe der Restriktionen auf die Komponenten aus und verwende die Vertr"aglichkeit von $\op{fin}_!$ mit direkten Summen aus \ref{debb}. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Lokalit"at der Eigenschaft kompaktweich}] %Scheint nirgends gebraucht zu werden. Eine abelsche Garbe auf einem lokal kompakten Hausdorffraum ist kompaktweich genau dann,\label{kwlok} wenn jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt derart, da"s die Einschr"ankung unserer Garbe darauf kompaktweich ist. Hinweis: Man zeige etwa mit \ref{ZKwN}, da"s das System der offenen Teilmengen, auf denen eine abelsche Garbe kompaktweich ist, stabil ist unter endlichen Vereinigungen. Dann zeige man mit \eref{LKWG}{TG}, da"s es auch stabil ist unter beliebigen Vereinigungen. \end{Ubunge} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXTSF" %%% End: