\section{Determinanten und Eigenwerte}

\subsection{Das Signum einer Permutation}
\begin{Bemerkungl}
  Wir beginnen hier mit dem Studium der sogenannten
\glqq symmetrischen Gruppen\grqq. Mehr dazu k"onnen Sie sp"ater in 
\eref{PeGr}{AL} lernen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Die Gruppe aller Permutationen alias bijektiven Selbstabbildungen der
Menge $\{1,2,\ldots,n\}$ notieren wir
$$\cal{S}_n\pdef\op{Ens}^\times\{1,2,\ldots,n\}$$
Sie hei"st auch 
die {\bf $n$-te symmetrische Gruppe}.\index{symmetrische Gruppe}
Nach\index{S@$\cal{S}_n$ 
symmetrische Gruppe}\index{S@$\Sigma_n$ {\it symmetrische Gruppe}}  
 \eref{BdF}{GR} hat diese Gruppe $|\cal{S}_n|=n!$ Elemente.
Viele Autoren verwenden 
statt $\cal{S}_n$
auch die alternative Notation $\Sigma_n$.
Eine Permutation, die zwei Elemente unserer Menge vertauscht und
alle anderen Elemente festh"alt, hei"st eine
{\bf Transposition}.\index{Transposition} 
\end{Definition}
  \begin{Definition}\label{FehS}
Ein \defind{Fehlstand} einer Permutation $\sigma\in\cal{S}_n$ 
ist ein Paar $(i,j)$ mit
$1\leq i<j\leq n$ aber $\sigma(i)>\sigma(j)$.
   Die  Zahl der Fehlst"ande
hei"st die
{\bf L"ange}\index{L"ange!von Permutation} 
$l(\sigma)$\index{l@$l(\sigma)$ L"ange von Permutation} 
unserer Permutation,
in Formeln 
  $$l(\sigma)\pdef |\{(i, j)\mid i<j \text{
      aber }\sigma(i)>\sigma(j)\}|$$ Das 
{\bf Signum}\index{Signum einer Permutation} einer Permutation
    ist definiert als die Parit"at der Zahl ihrer
    Fehlst"ande, in Formeln
    $$\op{sgn}(\sigma)=(-1)^{l(\sigma)}$$
Eine Permutation mit Signum $+1$ alias gerader L"ange hei"st eine 
{\bf gerade Permutation},\index{gerade!Permutation}
eine Permutation mit Signum $-1$ alias ungerader L"ange eine 
{\bf ungerade Permutation}.\index{ungerade!Permutation}
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
Die Identit"at von $\cal{S}_n$ 
ist jeweils die einzige Permutation der Menge  $\{1,\ldots,n\}$  der L"ange Null.
Die Transposition, die die Zahlen $i$ und $j$ vertauscht, 
hat die L"ange $2|i-j|-1$, wie auch 
nebenstehendes
Bild zeigt, und ist insbesondere stets ungerade.
\end{Beispiel}

\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[height=0.7\textheight]{SkriptenBilder/Bildsgn}\\[4mm]
\noindent 
Diese Bilder illustrieren zwei m"ogliche Anschauungen f"ur die
L"ange einer Permutation, in diesem Fall der
Permutation $\sigma\in \cal{S}_6$ mit $1\mapsto 2$,
$2\mapsto 4$, $3\mapsto 1$, $4\mapsto 5$, $5\mapsto 3$ und
$6\mapsto 6:$ Im oberen Bild ist die L"ange ganz offensichtlich
die \glqq Zahl der Kreuzungen von Abbildungspfeilen\grqq, in unserem Fall
haben wir also $l(\sigma)=4$. Im unteren Bild habe ich unter
jede Zahl $n$ jeweils $\sigma(n)$ geschrieben und dann gleiche
Zahlen verbunden, und hier ist "ahnlich $l(\sigma)=4$ gerade die \glqq Zahl der
Kreuzungen solcher Verbindungslinien\grqq. 
Der Leser sei ermutigt, sich auch
die Produktformel f"ur das Signum  \ref{GHsg} mithilfe dieser Bilder
anschaulich zu machen.
\end{figure}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFij}\\[4mm]
\noindent 
Die Transposition, die  $i$ und $j$ vertauscht, 
hat genau  $2|i-j|-1$ Fehlst"ande.
Insbesondere ist jede Transposition ungerade.
\end{figure}
\begin{Lemma}[\textbf{Multiplikativit"at des Signums}] 
F"ur jede nat"urliche Zahl $n$ ist unser
Signum   ein\label{GHsg} 
Gruppenhomomorphismus $\op{sgn}:\cal{S}_n\ra \{1,-1\}$
von der symmetrischen Gruppe $\cal{S}_n$
in die zweielementige Gruppe der Vorzeichen, in Formeln
gilt also
$$\op{sgn}(\sigma\tau)=\op{sgn}(\sigma)\op{sgn}(\tau)
\quad\forall\sigma,\tau\in \cal{S}_n$$
\end{Lemma}
\begin{proof}[Gar kein Beweis]
  Wir interpretieren Fehlst"ande als \glqq Kreuzungspunkte\grqq.
  H"angen wir zwei unserer Bilder aneinander, so ist anschaulich klar, da"s
  sich die Zahl der Fehlst"ande der Komposition alias die \glqq Zahl  Kreuzungspunkte nach dem Glattziehen\grqq\ von der Summe der Zahlen der Fehlst"ande der
  Faktoren alias der  \glqq Zahl  Kreuzungspunkte vor dem Glattziehen\grqq\
  nur um eine gerade Zahl unterscheiden kann.
\end{proof}
\begin{proof}[Erster Beweis]
Wir vereinbaren speziell  f"ur diesen
Beweis f"ur das Vorzeichen einer von Null verschiedenen
ganzen Zahl $a\in\DZ\backslash 0$ die Notation 
$[a]\pdef a/|a|\in \{1,-1\}$.
Damit k"onnen wir das  Signum 
einer Permutation $\sigma$ dann auch schreiben als
$$\op{sgn}(\sigma)=\prod_{i<j}[\sigma(j)-\sigma(i)]$$ 
F"ur eine beliebige weitere Permutation $\tau$ finden wir dann
\begin{equation*}
\prod_{i<j}[\sigma\tau (j)-\sigma\tau (i)]=
\prod_{i<j}\frac{[\sigma(\tau (j))-\sigma(\tau (i))]}{[\tau(j)-\tau(i)]}
\prod_{i<j}[\tau (j)-\tau (i)]
\end{equation*}
Da nun aber 
 f"ur eine beliebige weitere Permutation $\tau$ auch die
$\{\tau(j),\tau(i)\}$ f"ur $i<j$ genau die zweielementigen
Teilmengen von $\{1,\ldots,n\}$ durchlaufen, gilt 
f"ur eine beliebige weitere Permutation $\tau$ auch die Formel
$$\op{sgn}(\sigma)=
\prod_{i<j}\frac{[\sigma(\tau (j))-\sigma(\tau (i))]}{[\tau(j)-\tau(i)]}$$
Das zeigt die Behauptung.
\end{proof}


\begin{proof}[Zweiter Beweis]
Wir betrachten den Polynomring $\DZ[X_1,\ldots, X_n]$ aus
\ref{PoRiMV}.
F"ur jede  Permutation $\sigma\in \cal{S}_n$ erkl"aren wir 
f"ur  diesen Ring einen
Ringhomomorphismus $\sigma:\DZ[X_1,\ldots, X_n]\ra \DZ[X_1,\ldots, X_n]$
zu sich selber vermittels der Vertauschung der Variablen,
in Formeln $\sigma:X_i\mapsto X_{\sigma(i)}$.
Dann gilt f"ur jedes Polynom $P$ sicher $\tau(\sigma P)=(\tau\sigma)P$.
Betrachten wir nun speziell das Polynom
$$P=\prod_{i<j}(X_i-X_j)$$
 Offensichtlich gilt $\sigma P = \op{sgn}(\sigma)P$. 
Damit folgt aber unmittelbar die von der Mitte aus zu entwickelnde
Gleichungskette 
  $$\op{sgn}(\tau)\op{sgn}(\sigma)P=\tau(\sigma P)=(\tau\sigma)P
=\op{sgn}(\tau\sigma)P$$
Daraus folgt dann die Behauptung.
\end{proof}


\begin{Bemerkunge}
F"ur jedes $n$ bilden 
die geraden Permutationen als Kern eines Gruppenhomomorphismus
 nach \eref{KI3}{GR} eine Untergruppe 
von $\cal{S}_n$. Diese Gruppe hei"st die 
{\bf alternierende Gruppe}\index{alternierende Gruppe}
und wird $A_n$ notiert.
\end{Bemerkunge}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{SigV}
Die Permutation $\sigma\in\cal{S}_n$, die  $i$ ganz nach vorne schiebt
ohne die Reihenfolge der "ubrigen Elemente zu "andern, hat 
$(i-1)$ Fehlst"ande und folglich das Signum
$\op{sgn}(\sigma)=(-1)^{i-1}$.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{TREz}
Jede Permutation einer endlichen angeordneten Menge
l"a"st sich darstellen als eine Verkn"upfung 
von Transpositionen benachbarter Elemente.
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}
Ist $T$ eine endliche Menge, so gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus
 $$\op{sign}:\op{Ens}^\times (T)\ra \{1,-1\}$$ derart,
von der Gruppe der Permutationen von $T$ in
die zweielementige Gruppe der Vorzeichen derart,
da"s jede Transposition auf $(-1)$ abgebildet wird.
Im Fall $|T|\geq 2$ ist das sogar der einzige
surjektive Gruppenhomomorphismus zwischen besagten Gruppen.
% f"ur jede Bijektion $\beta:\{1,\ldots,n\}\sira T$ 
% und alle $\tau \in \op{Ens}^\times (T)$ gilt 
% $\op{sign}(\tau)=\op{sgn}(\beta^{-1}\circ\tau\circ \beta)$.
Wir nennen unseren Gruppenhomomorphismus 
 auch in dieser Allgemeinheit das {\bf Signum}\index{Signum}
und k"urzen ihn wieder mit $\op{sign}=\op{sgn}$ ab. 
Auch in dieser Allgemeinheit
nennen wir eine Permutation  mit Signum $+1$  
{\bf gerade},\index{gerade!Permutation} und
eine Permutation mit Signum $-1$ 
{\bf ungerade}.\index{ungerade!Permutation}
Es ist allerdings nicht mehr sinnvoll, in dieser Allgemeinheit von der 
\glqq L"ange\grqq\  einer Permutation zu reden.
\end{Ubunge}
\begin{Ubung}\label{zyEE}
  Die symmetrische Gruppe $\mathcal S_n$ wird erzeugt von
der Transposition $\tau$ der Elemente $1$ und $2$ zusammen mit der
\glqq zyklischen Vertauschung\grqq\  $\sigma: i\mapsto i+1$ f"ur $1\leq i<n$ und
$n\mapsto 1$. Die symmetrische Gruppe $\mathcal S_5$ wird sogar erzeugt von
der
\glqq zyklischen Vertauschung\grqq\  und einer 
beliebigen weiteren  Transposition $\tau$.
Mutige zeigen st"arker: Die symmetrische Gruppe $\mathcal S_p$ 
f"ur eine beliebige Primzahl $p$ wird erzeugt von
der
\glqq zyklischen Vertauschung\grqq\  und einer 
beliebigen weiteren  Transposition $\tau$.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
  Man gebe einen Gruppenisomorphismus $\mathcal S_3\sira
\op{GL}(2;\mathbb F_2)$ an. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{DoTT} 
  Eine Permutation einer Menge, die \glqq von vier Elementen
  unserer Menge erst Zwei vertauscht und dann auch noch die
  anderen beiden vertauscht\grqq, hei"st eine
  {\bf Doppeltranspositionen}.\index{Doppeltransposition}
  Man zeige, da"s in der symmetrischen Gruppe $\mathcal S_4$
  die drei Doppeltranspositionen zusammen mit dem neutralen Element eine
  Untergruppe bilden, die isomorph ist zur Klein'schen Vierergruppe
  $\DZ/2\DZ\times \DZ/2\DZ$. 
\end{Ubung}
\subsection{Determinante und ihre Bedeutung}

\begin{Definition}\label{DefD}
Seien $K$ ein Kring und $n\in\DN$.
Die {\bf Determinante}\index{Determinante!einer Matrix} 
ist die Abbildung\index{det@$\op{det}$ Determinante!einer Matrix} 
$\op{det}:{\op{Mat}}(n;K)\ra K$
von den quadratischen Matrizen 
mit Eintr"agen in unserem Kring in besagten Kring selbst, 
die
gegeben wird durch die Vorschrift
  $$
  A = \left(\begin{array}{ccc}
      a_{11}&\ldots &a_{1n}\\
      \vdots & & \vdots\\
      a_{n1} &\ldots &a_{nn}
\end{array}
\right)\quad\mapsto\quad \op{det} A 
\pdef \sum_{\sigma \in \cal{S}_{n}} \op{sgn} (\sigma)
  a_{1\sigma(1)} \ldots a_{n\sigma (n)}
$$
Summiert wird  "uber alle Permutationen von $n$ und
der Vorfaktor $\op{sgn} (\sigma)$ meint das Signum 
der Permutation $\sigma$ nach \ref{FehS}.
Unsere Formel hei"st die \defind{Leibniz-Formel}.
F"ur den Extremfall $n=0$ der \glqq leeren Matrix\grqq\  
ist zu verstehen, da"s ihr die Determinante $1$ zugeordnet wird: Formal gibt es
genau eine Permutation der leeren Menge, deren Signum ist Eins,
und dies Signum wird multipliziert mit dem leeren Produkt, das nach unseren
Konventionen auch den Wert Eins hat.
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Herkunft der Terminologie}] 
Wie wir in \ref{DfI} sehen werden, bestimmt alias determiniert
die Determinante, ob ein quadratisches 
lineares Gleichungssystem eindeutig
l"osbar ist. Daher r"uhrt die Terminologie. 
\end{Bemerkungl}


\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{SkriptenBilder/BildJZF}\\[4mm]
\noindent 
Um die Determinante einer $(3\times 3)$-Matrix zu berechnen mag man
die erste und zweite Spalte danebenschreiben und dann
die Produkte der drei Dreierdiagonalen nach rechts unten addieren
und davon die Produkte der drei Dreierdiagonalen nach rechts oben
abziehen. 
Diese Eselsbr"ucke hei"st auch die \glqq J"agerzaunformel\grqq.
F"ur $(4\times 4)$-Matrizen liefert  aber 
die  analoge Regel nicht mehr die Determinante! 
\end{figure}

\begin{Beispiele} Wir erhalten etwa
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccl}
\op{det} (a) &=& a\\[2ex]
\op{det} \begin{pmatrix} a &b\\ c&d \end{pmatrix} &=& ad -cb\\[5mm]
\op{det}\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} &=& 
\begin{array}{l}
a_{11} a_{22} a_{33} +
a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} \\
- a_{31} a_{22}a_{13} -
a_{32}a_{23}a_{11} - a_{33}a_{21} a_{12} 
\end{array}

\end{array}
\end{displaymath}
Im Fall der $(3\times 3)$-Matrizen hei"st das 
manchmal die \defind{J"agerzaunformel}\label{JZF}
aus einem Grund, den die nebenstehende Abbildung illustriert.
F"ur $n\geq 4$ macht die Berechnung der Determinante 
anhand der Leibniz-Formel als Summe von
$n!\geq 24$ Termen keinen Spa"s mehr. Wir besprechen 
in \ref{BerD}, wie man in diesen F"allen geschickter vorgehen kann.
\end{Beispiele}
\begin{Beispiel}[\textbf{Determinanten von Dreiecksmatrizen}]  
Die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix 
ist das Produkt ihrer Diagonaleintr"age.\label{DODd} 
In der Tat ist die Identit"at die einzige Permutation 
$\sigma$ mit $\sigma (i) \leq i$ f"ur alle $i$, 
folglich tr"agt im Fall einer oberen Dreiecksmatrix in der Leibniz-Formel
nur der
Summand mit $\sigma = \op{id}$ zur Determinante bei.
Dasselbe gilt f"ur untere Dreiecksmatrizen.
\end{Beispiel}
\begin{Lemma}\label{deTR}
Die Determinante einer  Matrix "andert sich nicht beim Transponieren, 
in Formeln
\begin{equation*}
\op{det} A^{\top} = \op{det} A
\end{equation*}
\end{Lemma}
\begin{proof}
Per definitionem gilt $\op{det} A^{\top} =\sum_{\sigma 
\in \mathcal{S}_{n}} \op{sgn} (\sigma)
a_{\sigma (1)1} \ldots a_{\sigma (n)n}$.
Ist nun $\tau = \sigma^{-1}$ die inverse Permutation, 
so haben wir $\op{sgn} (\tau) = \op{sgn}
(\sigma)$ und dar"uber hinaus  
$a_{1\tau (1)} \ldots $ $a_{n \tau (n)} = a_{\sigma (1)1} 
\ldots a_{\sigma (n)n}$,
denn diese Produkte unterscheiden sich nur in der Reihenfolge ihrer Faktoren.
Damit ergibt sich dann wie behauptet
\begin{equation*}
\op{det} A^{\top} = \sum_{\tau \in \mathcal{S}_n} 
\op{sgn} (\tau) a_{1\tau(1)} \ldots a_{n \tau (n)}
\qedhere\end{equation*}
\end{proof}
% \begin{proof}[Zweiter Beweis]
% Arbeiten wir mit Koeffizienten in einem K"orper, 
% so k"onnen wir beim Beweis auch von  unserer Erkenntnis \ref{PEMm} 
% ausgehen, da"s
% jede quadratische Matrix $A$ als ein Produkt von Elementarmatrizen
% $A=S_1\ldots S_r$ geschrieben werden kann. F"ur Elementarmatrizen $S$
% pr"uft man die Identit"at $\op{det} S^{\top}=\op{det} S$ leicht
% explizit, und dann liefert die Multiplikationsformel
% $$\begin{array}{l}
% \op{det} A^{\top}=\op{det}(S_r^{\top}\ldots S_1^{\top})=
% \op{det}(S_r^{\top})\ldots \op{det}(S_1^{\top})=
% \op{det}(S_r)\ldots \op{det}(S_1)\\[2mm]
% \op{det} A=\op{det}(S_1\ldots S_r)
% =\op{det}(S_1)\ldots \op{det}(S_r)
% \end{array}$$
% Diese Produkte aber sind offensichtlich gleich.
% \end{proof}
 \begin{Bild} 
 \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDetB}\\[4mm]
 \noindent Die Determinante  einer block-oberen Dreiecksmatrix 
ist, wie Sie in "Ubung \ref{DOD} zeigen,
 das Produkt der Determinanten ihrer Bl"ocke auf der
Diagonalen. Dieses Bild illustriert den Fall von nur zwei
Bl"ocken auf der Diagonalen. Das Symbol unten links ist eine Null,
das Symbol $*$ deutet an, da"s unerheblich ist, was da steht.
\end{Bild}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Schmutzige Anschauung: Betrag der Determinante und Volumen}]
Vor der weiteren Entwicklung der Theorie will\label{AnDet}  
ich nun zun"achst die anschauliche Bedeutung
der 
Determinante einer  Matrix mit reellen Eintr"agen
diskutieren.
Ich beginne mit
der anschaulichen Bedeutung
des Betrags  der 
Determinante und
 beschr"anke mich dazu erst einmal
auf den Fall $n=2$. 
Hoffentlich  ist anschaulich klar,  da"s  jede lineare Abbildung
$L:\DR^2\ra\DR^2$ 
einen \glqq Fl"achenver"anderungsfaktor\grqq\  $c(L)$ haben sollte, da"s es also
dazu
eine reelle Konstante $c(L)\geq 0$ geben sollte derart, da"s \glqq das
Bild unter $L$ eines Fl"achenst"ucks $U$ der Fl"ache $\op{vol}(U)$ 
die Fl"ache $\op{vol}(LU)=c(L)\op{vol}(U)$
hat\grqq. Formal zeigt das die Transformationsformel \eref{TFL}{AN3}, die 
f"ur besagte Konstante auch
gleich die 
Formel
 $$c(L)=|\!
\det L|$$ 
 liefert.
Ich will diese Formel im folgenden heuristisch
begr"unden. Anschaulich ist 
hoffentlich klar, da"s unsere durch die Vorschrift $L\mapsto c(L)$ 
gegebene \glqq Fl"achenver"anderungsfaktorabbildung\grqq\ 
$c:\op{Mat}(2;\DR)\ra
\DR_{\geq 0}$ die folgenden Eigenschaften haben sollte:
\begin{enumerate}
\item Sie sollte \glqq multiplikativ\grqq\  sein, in Formeln $c(L M)=c(L)c(M);$
\item Die Streckung einer Achse sollte 
die Fl"ache eines Fl"achenst"ucks genau durch Multiplikation mit dem
Betrag des Streckfaktors "andern, 
 in Formeln $c(\op{diag}(a,1))=c(\op{diag}(1,a))=|a|;$
\item
Scherungen sollten  Fl"achen unver"andert lassen,
in Formeln $c(D)=1$ f"ur $D$ eine obere oder untere Dreiecksmatrix mit
Einsen auf der Diagonale.
\end{enumerate}
Da sich nun nach \ref{PEMm} 
jede Matrix als Produkt von Elementarmatrizen darstellen 
l"a"st, kann es h"ochstens eine Abbildung $c:\op{Mat}( 2;\DR)\ra
\DR_{\geq 0}$ geben, die diese drei Eigenschaften hat.
In \ref{MuDet}  werden wir f"ur unsere Determinante
die \glqq Multiplikationsformel\grqq\  $\op{det}(LM)=\op{det}(L)\op{det}(M)$
zeigen, und zusammen mit unserer Formel
\ref{DODd}  f"ur die
   Determinante  einer
oberen  oder unteren Dreiecksmatrix  wird dann auch  umgekehrt klar, 
da"s $M\mapsto |\!\op{det} M|$ eine
Abbildung mit unseren drei Eigenschaften ist.
Das beendet unsere heuristische Argumentation f"ur 
die Stichhaltigkeit der Anschauung als
Fl"achenver"anderungsfaktor f"ur den 
Betrag der Determinante von reellen $(2\times 2)$-Matrizen.
In h"oheren Dimensionen liefert dieselbe Argumentation analoge 
Resultate, insbesondere kann der Betrag der Determinante 
einer $(3\times 3)$-Matrix aufgefa"st werden als der Faktor, um den die
zugeh"orige lineare Abbildung Volumina "andert.
Damit sollte auch anschaulich klar werden, warum $\det L\neq 0$
gleichbedeutend ist zur Invertierbarkeit von $L$, was wir im allgemeinen
als \ref{DfI} zeigen.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Schmutzige Anschauung: Determinantenvorzeichen
 und Drehsinn}]
Das Vorzeichen\label{VDD} 
der Determinante einer invertierbaren 
reellen $(2\times 2)$-Matrix  zeigt  anschaulich gesprochen an,
\glqq ob die dadurch gegebene lineare Selbstabbildung der Ebene $\DR^2$ den
Drehsinn erh"alt oder umkehrt\grqq.
Formal pr"uft man leicht, da"s $\op{GL}(2;\DR)$ genau zwei \glqq Wegzusammenhangskomponenten\grqq\ hat, n"amlich die Matrizen mit positiver
Determinante und die mit negativer Determinante. Dasselbe gilt
f"ur $\op{GL}(n;\DR)$ und $n\geq 1$ beliebig, vergleiche \eref{ZKGL}{AN2}.
Im Fall allgemeiner angeordneter K"orper wird diese 
anschauliche Erkenntnis ihrerseits unsere Definition 
\ref{OrV} einer \glqq Orientierung\grqq\  auf einem  Vektorraum
"uber einem angeordneten K"orper motivieren.
Um die Beziehung zwischen Drehsinn und Determinante
 heuristisch zu begr"unden, k"onnen
wir "ahnlich argumentieren wie zuvor: 
Zun"achst einmal f"uhren  wir ganz heuristisch 
eine angepa"ste Notation ein
und erkl"aren f"ur eine invertierbare lineare Abbildung 
$L:\DR^2\sira \DR^2$ ein Vorzeichen $\varepsilon(L)$ durch die Vorschrift
$$\varepsilon(L)=\left\{
  \begin{array}{rl}
    1 & \text{ $L$ erh"alt den Drehsinn;}\\
-1& \text{ $L$ kehrt den Drehsinn um.}
  \end{array}\right.$$
In Formeln ausgedr"uckt behaupten wir dann also
$$\varepsilon(L)=\det L/|\det L|$$
Diese Formel will ich im folgenden heuristisch
begr"unden. Anschaulich ist 
hoffentlich klar, da"s unser $\varepsilon:\op{GL}(2;\DR)\ra
\{1,-1\}$ die folgenden Eigenschaften haben sollte:
\begin{enumerate}
\item Es sollte \glqq multiplikativ\grqq\  sein, in Formeln 
$\varepsilon(L M)=\varepsilon(L)\varepsilon(M);$
\item Die Streckung einer Achse sollte 
den Drehsinn genau durch die Multiplikation mit dem
Vorzeichen des Streckfaktors "andern, 
 in Formeln sollte f"ur $a\in\DR^\times$  also gelten 
$\varepsilon(\op{diag}(a,1))=\varepsilon(\op{diag}(1,a))=a/|a|;$
\item
Scherungen sollten den Drehsinn nicht "andern,
in Formeln sollte also gelten $\varepsilon(D)=1$ f"ur $D$ eine obere oder untere Dreiecksmatrix mit
Einsen auf der Diagonale.
\end{enumerate}
Da sich nun nach \ref{PEMm} 
jede invertierbare Matrix als Produkt von invertierbaren 
Elementarmatrizen darstellen 
l"a"st, kann es h"ochstens eine Abbildung 
$\varepsilon:\op{GL}(2;\DR)\ra
\{1,-1\}$ geben, die diese drei Eigenschaften hat.
In \ref{MuDet}  werden wir
die \glqq Multiplikationsformel\grqq\  
$\op{det}(LM)=\op{det}(L)\op{det}(M)$
 f"ur unsere Determinante zeigen, und zusammen mit unserer Formel
\ref{DODd}  f"ur die
   Determinante  einer
oberen  oder unteren Dreiecksmatrix  wird dann umgekehrt
 auch klar, 
da"s $M\mapsto \op{det} M/|\op{det} M|$ eine
Abbildung mit unseren drei Eigenschaften ist.
Das beendet unsere heuristische Argumentation f"ur 
die Stichhaltigkeit der Anschauung
$\op{det} M/|\op{det} M|=\varepsilon(L)$ f"ur das Vorzeichen der 
Determinante von invertierbaren $(2\times 2)$-Matrizen.
In h"oheren Dimensionen liefert eine analoge Argumentation analoge 
Resultate. So  zeigt etwa 
das Vorzeichen der Determinante einer invertierbaren Abbildung 
$L:\DR^3\ra\DR^3$  an, ob sie die \glqq H"andigkeit\grqq\  erh"alt oder vielmehr
\glqq Rechtsgewinde und Linksgewinde vertauscht\grqq.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}[\textbf{H"andigkeit und Spiegel}]
Am"usant ist in diesem Zusammenhang die naive Frage,
warum ein Spiegel \glqq rechts und links vertauscht, aber nicht
oben und unten\grqq. Die  Antwort lautet, da"s ein Spiegel
ebensowenig rechts und links vertauscht wie oben und unten, sondern
vielmehr vorne und hinten. Wir versuchen nur unbewu"st,
uns so gut wie m"oglich mit unserem Spiegelbild zu identifizieren,
indem wir hinter den Spiegel treten, in Formeln also durch eine 
$180^\circ$-Drehung im Raum
um eine geeignete vertikale Achse im Spiegel.
Dann stellen wir fest, da"s das zwar fast gelingt aber nicht ganz,
und da"s genauer die Ver\-kn"up\-fung der 
Spiegelung am Spiegel mit dieser Drehung 
gerade eine Spiegelung ist, die rechts und links vertauscht. 
\end{Bemerkunge}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{DOD}
Die Determinante  einer block-oberen Dreiecksmatrix 
ist das Produkt der Determinanten ihrer Bl"ocke auf der
Diagonalen. Hinweis: Man variiere das Argument f"ur \ref{DODd}.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{dnF} 
  Man betrachte die $(n\times n)$-Matrix mit Eintr"agen $(-1)$ oberhalb der
  Diagonalen und $1$ auf und unterhalb der Diagonalen und zeige, da"s ihre
  Determinante $n!$ ist.
\end{Ubung}
\begin{Ubung} "Uber einem K"orper ist jede quadratische
  Matrix der Determinante Eins  ein
  Produkt von Elementarmatrizen der Determinante Eins.
  Hinweis: Nach dem Beweis von\label{QpEl} 
  \ref{PEbf}
  liegt
  ${(^{0}_{1}}\;{_{\;\;0}^{-1})}$ im Erzeugnis. Die Folge von Zeilen- und Spaltentransformationen $${(^{0}_{t}}\;{_{\;\;0}^{-t^{-1}})}\ra {(^{1}_{t}}\;{_{\;\;0}^{-t^{-1}})}
  \ra {(^{1}_{t}}\;{_{\;\;0}^{-t^{-1}})}\ra {(^{1}_{t}}\;{_{-1}^{\;\;0})}\ra {(^{1}_{0}}\;{_{-1}^{\;\;0})}
  $$
  zeigt, da"s auch $\op{diag}(t,t^{-1})$ f"ur alle $t\in k^\times$ im fraglichen
  Erzeugnis liegt. Von da aus ist der allgemeine Fall gut zu erreichen. 
\end{Ubung}




\subsection{Charakterisierung der Determinante}

\begin{Definition}\label{aLT}
Seien $V,U$ Vektorr"aume "uber einem K"orper $K$.
Eine bilineare Abbildung $F : V \times V \rightarrow U$ hei"st
{\bf symmetrisch},\index{symmetrisch!bilineare Abbildung} wenn gilt
$$F(v,w) = F (w,v) \quad \forall v,w \in V$$ 
Eine bilineare Abbildung $F : V \times V \rightarrow U$ hei"st
 {\bf alternierend},\index{alternierend!bilineare Abbildung}
 wenn gilt
$$
F (v,v) =0 \quad \forall v\in V$$
\end{Definition}





\begin{Bemerkungl}[\textbf{Herkunft der Bezeichnung \glqq alternierend\grqq}]
Gegeben eine bilineare Abbildung $F : V \times V \rightarrow U$ 
mit der Eigenschaft\label{ABI} $
F (v,v) =0 \quad \forall v\in V$, die also im Sinne
unserer Definition \ref{aLT} alternierend ist, gilt stets
$$F (v,w) =- F(w,v) \quad \forall v,w \in V$$
In der Tat haben wir 
\begin{eqnarray*}
0&= & F(v+w, v+w)\\
 &= &F(v,v+ w) + F(w,v+ w) \\
 &= &F(v,v)+ F(v,w) + F(w,v) + F(w,w)\\
&=& F(v,w) + F (w,v)
\end{eqnarray*}
Gilt umgekehrt $F (v,w) =- F(w,v)\; \forall v,w\in V$,
so folgt $F(v,v) =-F (v,v)$ alias $(1_K+1_K) F (v,v) =0_K$ f"ur alle
$v \in V$, und haben wir $1_K+1_K\neq 0_K$ alias $\op{char} K\neq 2$, 
so folgt daraus auch wieder $F(v,v)=0$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Man mag eine bilineare Abbildung $F : V \times V \rightarrow U$ 
{\bf antisymmetrisch}\index{antisymmetrisch!bilineare Abbildung} 
nennen, wenn gilt $F(v,w)=-F(w,v)$ f"ur alle $v,w$. Damit sind allerdings in
Charakteristik Zwei symmetrische Bilinearformen dasselbe wie
antisymmetrische Bilinearformen.
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}
Seien $V_1, \ldots, V_n, W$ Vektorr"aume "uber einem K"orper $K$.
Eine Abbildung
$
F : V_1 \times  \ldots \times  V_n \rightarrow W
$ alias Multiabbildung $
F : V_1 \curlyvee  \ldots \curlyvee  V_n \rightarrow W
$
hei"st
\defind{multilinear}, wenn f"ur alle $j$ und alle f"ur $i\neq j$ 
beliebig aber
fest gew"ahlten $v_i \in V_i$ die Abbildung
$
V_j  \rightarrow W$,
$v_j \mapsto  F (v_1, \ldots,  v_j,  \ldots, v_n)
$
linear ist. F"ur 
die Menge aller derartigen multilinearen Abbildungen 
verwenden  wir\index{Hom@$\op{Hom}^{(n)}$ multilineare 
  Abbildungen} analog zum Fall bilinearer Abbildungen
die beiden Notationen\index{)8a@$\curlyvee$ Trenner!bei multilinearen Abbildungen} 
$$\op{Hom}_K(V_1\curlyvee V_2\curlyvee\ldots\curlyvee V_n,W)=\op{Hom}^{(n)}(V_1\times V_2\times\ldots\times V_n,W)
$$
%Das Symbol $\curlywedge$ spielt dabei nur die Rolle eines 
%Trenners, der multilineare Abbildungen andeutet 
%und es erlaubt, den oberen Index wegzulassen.
Im Fall $n=2$ erhalten wir  unsere bilinearen\label{muli}  
Abbildungen aus \ref{bili}. Im
Fall $n=1$  erhalten wir  unsere linearen
Abbildungen. 
Im Fall $n=0$ verwenden wir 
die  Notationen
 $\op{Hom}_K(\curlyvee ,W)=\op{Hom}^{(0)}_K(\{\ast\},W)$ f"ur die Menge aller
  $0$-multilinearen 
Abbildungen vom leeren Produkt nach $W$ alias 
aller beliebigen Abbildungen von der einelementigen Menge 
$\op{ens}=\{\ast\}$ nach $W$.
Das Auswerten bei $\ast$ liefert damit eine 
Bijektion $\op{Hom}_K(\curlyvee,W)\sira W$.
Wir  werden sie in der Notation oft so behandeln,
als seien diese Mengen schlicht gleich.
\end{Definition}

\begin{Definition}
Seien $V,W$ Vektorr"aume "uber einem K"orper $K$. Eine multilineare
Abbildung
$
F : V \times  \ldots \times  V \rightarrow W
$
hei"st {\bf alternierend},\index{alternierend!multilineare Abbildung} 
 wenn\label{muAL}  sie auf jedem $n$-Tupel verschwindet,
in dem zwei Eintr"age "ubereinstimmen, wenn also in Formeln gilt
\begin{equation*}
(\exists i \neq j \text{ mit } v_i = v_j)
\;\;\Rightarrow\;\; F(v_1, \ldots, v_i, \ldots, v_j,
\ldots v_n) =0
\end{equation*}
Wir verwenden f"ur den Raum aller derartigen alternierenden 
multilinearen Abbildungen
die Notation $\op{Alt}^n(V,W)$.\index{Alt@$\op{Alt}^n(V,W)$ alternierende 
multilineare Abbildungen} Ist $W=K$ der Grundk"orper, so sprechen wir von
{\bf Multilinearformen}\index{Multilinearform}
und verwenden die abk"urzende
Notation $\op{Alt}^n(V)\pdef\op{Alt}^n(V,K)$.\index{Alt@$\op{Alt}^n(V)$ alternierende 
Multilinearformen} 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl} 
Sei $F: V \times  \ldots \times  V \rightarrow W$ eine alternierende 
multilineare Abbildung.
Mit \ref{ABI} folgt, da"s sich das Vorzeichen von $F$ "andert, 
wann immer man zwei Eintr"age
vertauscht, in Formeln
\begin{equation*}
F(v_1, \ldots, v_i, \ldots, v_j, \ldots, v_n) 
= -F (v_1, \ldots, v_j,n \ldots, v_i,
\ldots, v_n)
\end{equation*}
Im Fall eines Grundk"orpers 
einer von Zwei verschiedenen Charakteristik  erh"alt man 
wieder mit \ref{ABI}  auch die umgekehrte Implikation.
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Charakterisierung der Determinante}]
Ist $K$ ein K"orper, so ist die Determinante\label{DALo}
die einzige Abbildung $
\op{det} : {\op{Mat}} ( n; K) \rightarrow K
$, 
 die  multilinear und alternierend ist
als Funktion der $n$ Spaltenvektoren  und die 
der Einheitsmatrix die Eins zuordnet.
\end{Satz}
\begin{proof}
Da"s unsere in \ref{DefD} durch die Leibniz-Formel 
definierte Determinante  multilinear
ist und der Einheitsmatrix die Eins zuordnet, scheint mir
offensichtlich. Stimmen weiter zwei Spalten einer Matrix "uberein, so 
verschwindet ihre Determinante, denn f"ur
$\tau\in\cal{S}_n$ 
die Transposition der entsprechenden Indizes gilt
$a_{1\sigma(1)} \ldots a_{n\sigma (n)}=a_{1\tau\sigma(1)} \ldots
a_{n\tau\sigma (n)}$
und $\op{sgn} (\sigma)=-\op{sgn} (\tau\sigma)$, so da"s sich in der
Leibniz-Formel die entsprechenden Terme gerade wegheben.
Unsere durch die Leibniz-Formel gegebene Abbildung hat also
die geforderten Eigenschaften, 
und es gilt nur noch zu zeigen, da"s es keine weiteren Abbildungen 
$d: {\op{Mat}} (n;K) \rightarrow K$ mit den besagten Eigenschaften gibt. 
 Nach
  \ref{MuLB} ist nun eine multilineare Abbildung
festgelegt und festlegbar durch ihre Werte auf Tupeln von Basisvektoren. 
Insbesondere kennen wir aber unsere multilineare Abbildung $d$
bereits, wenn wir ihre
  Werte
  \begin{equation*}
    d({\op{e}}_{\sigma(1)} | \ldots|  {\op{e}}_{\sigma(n)})
  \end{equation*}
  kennen f"ur alle Abbildungen 
$\sigma : \{ 1, \ldots, n\} \rightarrow \{1,\ldots, n\}$.
  Ist  $d$ zus"atzlich alternierend, so gilt $d({\op{e}}_{\sigma (1)} 
|  \ldots | 
  {\op{e}}_{\sigma (n)} ) =0$, falls $\sigma$ nicht injektiv 
ist, und f"ur jede Transposition $\tau$ haben wir
  $
    d ({\op{e}}_{\sigma\tau(1)} |  \ldots |  {\op{e}}_{\sigma \tau (n)}) 
= -d ({\op{e}}_{\sigma (1)} | \ldots| 
    {\op{e}}_{\sigma (n)})
  $.
  Da nach  \ref{TREz} die Transpositionen die symmetrische Gruppe erzeugen,
folgt daraus
  $$  
      d({\op{e}}_{\sigma (1)} |  \ldots |  {\op{e}}_{\sigma (n)}) =
      \left\{ \begin{array}{cl}
          \op{sgn} (\sigma) d ({\op{e}}_1 |  \ldots |  {\op{e}}_n) &\sigma \in \mathcal S_n;\\[2mm]
          0 & \text{sonst}.
        \end{array} \right.
 $$
  Erf"ullt $d$ dann auch noch unsere Bedingung
$d ({\op{e}}_1 |  \ldots |  {\op{e}}_n)=1$ f"ur
die Determinante der Einheitsmatrix,
so folgt  sofort $d=\op{det}$.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Multilineare alternierende Funktionen auf Matrizen}] 
  Im allgemeinen folgt "uber einem beliebigen K"orper $K$ 
mit den Argumenten\label{Muff}  
des vorhergehenden Beweises
f"ur jede Abbildung $d : {\op{Mat}} ( n; K) \rightarrow K$,
 die multilinear und alternierend ist
als Funktion der $n$ Spaltenvektoren,  die Formel
 $$d=d ({\op{e}}_1 | \ldots |
  {\op{e}}_n)\op{det}$$ 
Das brauchen wir f"ur den vorhergehenden Beweis zwar schon gar
  nicht mehr zu wissen, es wird sich aber beim Beweis der 
Multiplikativit"at der Determinante als hilfreich erweisen.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Berechnung der Determinante}]
Will man die Determinante einer Matrix explizit ausrechnen, 
so empfiehlt es sich bei gr"o"seren Matrizen, sie zun"achst mit dem 
Gau"s-Algorithmus in Zeilenstufenform zu bringen:
Addieren wir ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen,
"andert sich die Determinante nach \ref{DALo} 
ja nicht, und vertauschen wir zwei
Zeilen, so "andert sich nur ihr Vorzeichen.\label{BerD} 
Bei einer Matrix in Zeilenstufenform
  ist dann nach \ref{DODd} 
die Determinante schlicht das Produkt der
Diagonaleintr"age.
\end{Bemerkungl}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{MuLB}
Gegeben Vektorr"aume $V_1,V_2,\ldots, V_n,W$ "uber einem festen
K"orper und $B_i\subset V_i$ jeweils eine Basis liefert die 
Restriktion eine Bijektion
$$\op{Hom}_K^{(n)}(V_1\times\ldots\times V_n,W)\;\sira \;
\op{Ens}(B_1\times \ldots\times B_n,W)$$
oder in unseren Notationen f"ur multilineare
Abbildungen und Multiabbildungen gleichbedeutend 
$$\op{Hom}_K(V_1\curlyvee\ldots\curlyvee V_n,W)\;\sira \;
\op{Ens}(B_1\curlyvee  \ldots\curlyvee  B_n,W)$$
Jede multilineare Abbildung ist also  festgelegt und 
festlegbar durch die Bilder von Tupeln von Basisvektoren.
Den Spezialfall $n=1$ kennen wir bereits aus \ref{LeBa}, den Spezialfall
$n=2$  aus \ref{bilB}, im Fall $n=0$ ist die Aussage eh 
tautologisch.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{muLI}
  Gegeben ein K"orper $K$ und ein $K$-Vektorraum der 
endlichen Dimension $\op{dim}V=n\geq 0$ ist der Raum der
alternierenden multilinearen Abbildungen $V^n\ra K$ eindimensional.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Multiverkn"upfung multilinearer Abbildungen}]
Man zeige:  Gegeben ein K"orper $K$ und nat"urliche Zahlen $n\geq 0$ 
und\label{MVMa} 
$m(1),\ldots,m(n)\geq 0$ und
$K$-Vektorr"aume $W,V_1,\ldots,V_n,U_{1,1},\ldots U_{1,m(1)},\ldots,U_{n,m(n)}$
und multilineare Abbildungen 
$f:V_1\times\ldots\times V_n\ra W$ sowie
$g_i:U_{i,1}\times\ldots\times U_{i,m(i)}\ra V_i$ ist auch die Abbildung
$f\circ (g_1\times\ldots\times g_n)$ vom Produkt der $U_{i,j}$ nach $W$ 
multilinear. Oder nein, das ist scheu"slich auszuschreiben: Man behandle
nur den Fall $n=3$, $m(1)=m(2)=2$, $m(3)=0$. 
\end{Ubung}

\subsection{Rechenregeln f"ur Determinanten}





\begin{Satz}[\textbf{Multiplikativit"at der Determinante}]
Sei $K$ ein Kring.
Gegeben quadratische Matrizen $A, B \in \op{Mat} ( n;K)$ 
gilt\label{MuDet}
\begin{equation*}
\op{det} (AB)= (\op{det} A) (\op{det} B)
\end{equation*}
\end{Satz}
\begin{proof}[Erster Beweis]
Wir notieren $\cal{T}_n\pdef\op{Ens}(\{1,\ldots,n\})$ die Menge aller 
Abbildungen $\kappa:\{1,\ldots,n\}\ra \{1,\ldots,n\}$ und rechnen
\begin{displaymath}
\begin{array}{lcl}
\op{det} (AB) & =& \sum_\sigma \op{sgn}(\sigma) 
\prod_i (AB)_{i\sigma (i)}\\[2mm]
&=&\sum_\sigma \op{sgn} (\sigma) \prod_i \sum_j a_{ij} b_{j\sigma (i)}\\[2mm]
&=& \sum_{\sigma \in \mathcal{S}_n ,\; \kappa \in \cal{T}_n}
\op{sgn} (\sigma) a_{1\kappa (1)} b_{\kappa (1) \sigma (1)}
\ldots a_{n\kappa (n)} b_{\kappa (n) \sigma (n)}\\[2mm]
&=&\sum_{\kappa \in \cal{T}_n} a_{1\kappa (1)} \ldots a_{n\kappa (n)}
\sum_{\sigma \in \mathcal{S}_n} \op{sgn} (\sigma) 
b_{\kappa (1)\sigma (1)} \ldots
b_{\kappa (n)\sigma (n)}\\[2mm]
&=&\sum_{\kappa \in \cal{T}_n} a_{1 \kappa (1)}
\ldots a_{n\kappa (n)} \op{det} (B_\kappa)
\end{array}
\end{displaymath}
mit der Vereinbarung, da"s  
$B_\kappa$ diejenige Matrix bezeichnet, 
deren Zeilen der Reihe nach die Zeilen mit den Indizes
$\kappa (1), \ldots, \kappa (n)$ der Matrix $B$ sind.
Aus \ref{DALo} folgt aber $\op{det} B_\kappa =0$ falls 
$\kappa \not\in \mathcal{S}_n$
und $(\op{det} B_\kappa )= \op{sgn} (\kappa) (\op{det}B)$ 
falls $\kappa \in \mathcal{S}_n$.
Damit erhalten wir dann 
$\op{det} (AB) = (\op{det} A) (\op{det}B)$ wie gew"unscht.
\end{proof}


\begin{proof}[Zweiter Beweis im K"orperfall]
Die Formel ist klar, wenn die Zweite der beiden Matrizen eine 
Elementarmatrix ist, also eine Matrix, die sich von der 
Einheitsmatrix in h"ochstens einem Eintrag unterscheidet.
In der Tat entspricht in diesem Fall die Rechtsmultiplikation mit besagter
Matrix einer Spaltenoperation.  
Unsere Formel folgt im allgemeinen, da nach \ref{PEMm} jede Matrix ein 
Produkt von   Elementarmatrizen ist.
\end{proof}
\begin{proof}[Dritter Beweis im K"orperfall]
Man h"alt die Matrix $A$ fest und betrachtet 
die beiden Abbildungen $\op{Mat}( n;K)\ra K$ gegeben durch
$B\mapsto \op{det}(A)\op{det}(B)$ und $B\mapsto \op{det}(AB)$.
Beide sind multilinear und alternierend als Funktion der
Spalten von $B$, und beide ordnen der Einheitsmatrix 
$B={\op{I}}$ den Wert $\op{det}(A)$
zu. Aus \ref{Muff} folgt damit
unmittelbar, da"s unsere beiden Abbildungen "ubereinstimmen. Dieser Beweis
funktioniert auch f"ur beliebige Kringe, sobald wir die Theorie linearer und
multilinearer Abbildungen entsprechend verallgemeinert haben.
\end{proof}
\begin{proof}[Vierter Beweis im K"orperfall]
Im Rahmen der allgemeinen Theorie der Multilinearformen geben wir einen
alternativen Beweis in \eref{ABM}{AN2} sowie "ahnlich 
aber in einem noch gr"o"seren Rahmen in \eref{MPD}{LA2}.
\end{proof}

\begin{proof}[Ableitung des Falls beliebiger Kringe aus dem
Fall eines  K"orpers] Man betrachte die $(n\times n)$-Matrizen mit 
Eintr"agen $X_{ij}$ und
$Y_{ij}$ im  Polynomring $\DZ[X_{ij}, Y_{ij}]$ "uber $\DZ$ in
$2n^2$ Ver"anderlichen. Als 
  kommutativer Integrit"atsbereich liegt dieser Polynomring in einem K"orper,
eben in seinem Quotientenk"orper, weshalb man aus dem K"orperfall 
folgern kann, da"s die Multiplikationsformel auch f"ur
Matrizen mit Eintr"agen in diesem Ring gelten mu"s, und insbesondere
f"ur die eben beschriebenen Matrizen.  Dann aber gilt sie auch,
wenn wir f"ur die Variablen irgendwelche Elemente irgendeines 
Krings einsetzen.
\end{proof}
\begin{Satz}[\textbf{Determinantenkriterium f"ur Invertierbarkeit}]
Die Determinante einer quadratischen Matrix mit Eintr"agen in einem
K"orper ist von Null verschieden genau dann, wenn unsere Matrix invertierbar
ist.\label{DfI}
\end{Satz}
\begin{proof}
In Formeln behaupten wir f"ur einen K"orper $K$ 
und eine beliebige quadratische Matrix $A \in \op{Mat} (n; K)$
also
\begin{equation*}
\op{det} A \neq 0 \;\;\Leftrightarrow \;\;A \text{ invertierbar}
\end{equation*}
Ist $A$ invertierbar, so gibt es eine Matrix $B = A^{-1}$ mit $A B =I$.
Mit der Multiplikationsformel folgt $(\op{det} A) (\op{det} B) = \op{det} I =1$
und folglich $\op{det} A \neq 0$.
Das zeigt die Implikation $\Leftarrow$.
Ist $A$ nicht invertierbar, so hat $A$ nicht vollen 
Rang,  die Familie
der Spaltenvektoren von $A$ ist demnach linear abh"angig.
Wir k"onnen also einen Spaltenvektor,
ohne Beschr"ankung
der Allgemeinheit den Ersten, durch die Anderen 
ausdr"ucken, etwa 
$
a_{\ast 1} = \lambda_2 a_{\ast 2} + \ldots +\lambda_n a_{\ast n}
$.
Dann folgt mit den Eigenschaften 
multilinear und alternierend jedoch 
$$\begin{array}{llll}
\op{det} A &=&  \op{det} (\lambda_2 a_{\ast 2}+\ldots+\lambda_n a_{\ast n} | a_{\ast 2} 
| \ldots | a_{\ast n} )
\\[2mm]
&=& \lambda_2 \op{det} (a_{\ast 2} | a_{\ast 2} 
 | \ldots | a_{\ast n} ) \;+
 \ldots+\; \lambda_n \op{det} (a_{\ast n} | a_{\ast 2} | \ldots | a_{\ast n})\\[2mm]
&=&
 \lambda_2 0 +
\ldots+ \lambda_n 0\\[2mm]
&=&0
\end{array}$$
Damit ist auch die andere Implikation $\Rightarrow $ gezeigt.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Determinante eines Endomorphismus}] 
Aus der Multiplikationsformel folgt sofort\label{detE}  
$\op{det}(T^{-1})=(\op{det}T)^{-1}$ f"ur jede invertierbare Matrix
$T$ und damit ergibt sich  f"ur jede weitere quadratische Matrix $M$ 
die Identit"at
$\op{det}(T^{-1}MT)=\op{det}M$.
Nach \ref{TMBW} gilt f"ur einen Endomorphismus $f:V\ra V$ 
eines endlichdimensionalen Vektorraums 
"uber einem K"orper $K$
und
$N = {}_{\mathcal B}[f]_{\mathcal B}$ und $ M = {}_{\mathcal A}[f]_{\mathcal A}$ 
die darstellenden Matrizen bez"uglich zwei angeordneten Basen und
$T ={}_{\mathcal A}[\op{id}]_{\mathcal B}$
die Basiswechselmatrix nun
$$ N = T^{-1}M  T$$
Folglich h"angt 
die Determinante einer darstellenden
Matrix von $f$ 
nicht von der Wahl der zur Darstellung gew"ahlten angeordneten Basis
ab,
in Formeln gilt also
$\op{det}({}_{\mathcal B}[f]_{\mathcal B})=\op{det}({}_{\mathcal
  A}[f]_{\mathcal A})$ f"ur je zwei angeordnete Basen $\mathcal A$ und
$\mathcal B$ von $V$. Diesen Skalar  notieren wir von nun an
$$\op{det}f=\op{det}(f|V)=\op{det}_K(f|V)$$  und nennen ihn  die
{\bf Determinante des 
Endomorphismus $f$}.\index{Determinante!von Endomorphismus} 
\index{det@$\op{det}_K$ Determinante!von Endomorphismus}
\index{det@$\op{det}$ Determinante!von Endomorphismus} 
Dem einzigen 
Automorphismus des Nullraums ist insbesondere die
Determinante $1$ zuzuordnen.
\end{Bemerkungl}




\begin{Satz}[\textbf{Laplace'scher Entwicklungssatz}]
Gegeben eine $(n \times n)$-Matrix $A=(a_{ij})$\label{LESa}
und feste $k,l$ bezeichne $A\langle k,l\rangle$ die 
\emph{\bf Streichmatrix},\index{Streichmatrix} die 
aus $A$ durch Streichen der $k$-ten Zeile und $l$-ten Spalte 
entsteht. So gilt f"ur jedes
feste $i$ die \emph{\bf Entwicklung der Determinante nach der $i$-ten Zeile}
\begin{equation*}
\op{det} A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \;\op{det} A\langle i,j\rangle
\end{equation*}
und f"ur jedes feste $j$ die \emph{\bf Entwicklung nach der $j$-ten Spalte}
\begin{equation*}
\op{det} A = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \;\op{det}  A\langle i,j\rangle
\end{equation*}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Der folgende Beweis verwendet zwar die Sprache der Vektorr"aume,
das Argument funktioniert jedoch ganz genauso 
statt f"ur Matrizen mit
Eintr"agen in einem K"orper auch
f"ur Matrizen mit
Eintr"agen in einem Kring.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Wegen $\op{det} A =\op{det} A^\top$ reicht es, 
die erste unserer beiden Formeln zu
zeigen.
Wir wissen bereits, da"s sich die Determinante einer quadratischen Matrix
nur um den Faktor $(-1)^{j-1}$ "andert, wenn wir die $j$-te Spalte 
ganz nach vorne
schieben, ohne die Reihenfolge der "ubrigen Spalten zu "andern.
Es reicht also,  unsere
Formel f"ur die Entwicklung nach der ersten Spalte
zu zeigen, was im folgenden Beweis insbesondere die Notation vereinfacht.
Wir schreiben unsere Matrix als Tupel von Spaltenvektoren
$
A = (a_{\ast 1} | a_{\ast 2} |\ldots | a_{\ast n})
$
und schreiben den ersten Spaltenvektor als Linearkombination der 
Standardbasisvektoren
\begin{equation*}
a_{\ast 1} = a_{11} {\op{e}}_1 + \ldots + a_{n1} {\op{e}}_n
\end{equation*}
Die Multilinearit"at der Determinante liefert sofort die erste Gleichung der
Gleichungskette
$$
\op{det} A = \sum^n_{i=1} a_{i1} \op{det} ({\op{e}}_i | a_{\ast 2} | \ldots |
a_{\ast n})= \sum^n_{i=1} a_{i1} (-1)^{i-1} \op{det} A\langle i,1\rangle
$$
Die zweite Gleichung sehen wir ein,
indem wir in der Matrix 
$({\op{e}}_i  | a_{\ast 2}
| \ldots a_{\ast n})$ die $i$-te Zeile ganz nach oben schieben, ohne die 
Reihenfolge der "ubrigen Zeilen zu "andern, um dann die Formel \ref{DOD}
f"ur die Determinante von Block-oberen-Dreiecksmatrizen anzuwenden.
\end{proof}





\begin{Satz}[\textbf{Cramer'sche Regel}]
Bildet man zu einer quadratischen Matrix $A$ 
mit Eintr"agen in einem Kring die sogenannte\label{CraRe} 
\emph{\bf adjunkte Matrix}\index{adjunkte Matrix}
$A^\sharp$ mit den Eintr"agen
$
A^\sharp_{ij} = (-1)^{i+j} \op{det} A\langle j, i\rangle
$
f"ur $A\langle j, i\rangle$ die entsprechende  
Streichmatrix nach \ref{LESa}, so gilt
\begin{equation*}
A \circ A^\sharp = (\op{det} A)\cdot I
\end{equation*}
\end{Satz}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
 Diese adjunkte Matrix ist nicht zu verwechseln mit der 
adjungierten Abbildung aus \eref{adAB}{LA2}, mit der sie au"ser der Bezeichnung
rein gar nichts zu tun hat. Man beachte auch die Indexvertauschung: 
In der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte der adjungierten Matrix 
steht bis auf ein \glqq schachbrettartig verteiltes Vorzeichen\grqq\  
die Determinante der Matrix, die entsteht, wenn man die 
$j$-te Zeile und $i$-te Spalte der urspr"unglichen Matrix streicht.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Meist versteht man unter 
der {\bf Cramer'schen Regel}\index{Cramer'sche Regel}
die Formel
\begin{equation*}
x_i = \frac{\det (a_{\ast 1}|\ldots|b_\ast| 
\ldots| a_{\ast n})}{\det (a_{\ast 1}| \ldots|a_{\ast i}| 
\ldots
| a_{\ast n})}
\end{equation*}
f"ur die L"osung des  Gleichungssystems
$x_1 a_{\ast 1} + \ldots + x_i a_{\ast i}\ldots + x_n a_{\ast n} = b_\ast$, 
wenn es denn eindeutig 
l"osbar ist. Hier ist im Z"ahler 
wie angedeutet 
die $i$-te Spalte $a_{\ast i}$ der Koeffizientenmatrix durch 
den Vektor $b_\ast$ zu ersetzen. 
Besagte Formel ergibt sich
unmittelbar durch Einsetzen der alternativen Darstellung von
$b_\ast$ als Linearkombination der Spalten 
in die Determinante im Z"ahler.
Setzen wir in dieser Formel f"ur $b_\ast$ die Vektoren der Standardbasis ein,
so erhalten wir die Eintr"age der inversen Matrix in der Form,
in der sie auch im Satz
beschrieben werden. Diese Formel wirkt zwar explizit, ist jedoch
in der Praxis v"ollig unbrauchbar.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Es gilt zu zeigen
\begin{equation*}
\sum_{i} (-1)^{i+j} a_{ki} \op{det} A\langle j, i\rangle
= \delta_{kj}(\op{det} A)
\end{equation*}
Im Fall $k=j$ folgt das direkt aus unserer Entwicklung der Determinante nach
der $j$-ten Zeile \ref{LESa}. Im Fall $k \neq j$ steht die Formel f"ur 
die Entwicklung nach
der $j$-ten 
Zeile der Determinante der Matrix $\tilde{A}$ da, die aus $A$ entsteht
beim Ersetzen der $j$-ten Zeile durch die $k$-te Zeile.
Da diese Matrix jedoch zwei gleiche Zeilen hat und damit 
Determinante Null, gilt
unsere Formel auch in diesem Fall.
\end{proof}


\begin{Korollar}[\textbf{Invertierbarkeit ganzzahliger Matrizen}]
Eine quadratische Matrix mit  Eintr"agen in einem Kring 
besitzt genau dann eine Inverse mit  Eintr"agen in besagtem Kring,
wenn ihre Determinante  eine Einheit ist.\label{InvD}
\end{Korollar}


  \begin{Bemerkungl}
    Eine quadratische Matrix mit ganzzahligen 
Eintr"agen besitzt insbesondere genau dann eine
    Inverse mit ganzzahligen Eintr"agen, wenn 
ihre Determinante $1$ oder $-1$
    ist, und eine quadratische Matrix mit  Eintr"agen
im Polynomring "uber einem K"orper 
besitzt  genau dann eine
    Inverse mit polynomialen Eintr"agen, wenn ihre Determinante
ein von Null verschiedenes konstantes Polynom ist.
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}
Sei $K$ unser Kring.
Gegeben Matrizen $A,B\in\op{Mat}(n;K)$ mit $AB=I$ gilt nat"urlich
$(\det A)(\det B)=\det I=1$ und damit ist $\det A$
eine Einheit in $K$.
Ist umgekehrt $\det A$ eine Einheit in $K$,
so liefert nach der Cramer'schen Regel
\ref{CraRe} die Formel
$B=(\op{det} A)^{-1} A^\sharp$ eine Matrix $B\in \op{Mat}(n;K)$
mit $AB=I$. 
Indem wir dies Argument auf die transponierte Matrix anwenden und
das Resultat wieder transponieren, finden wir auch
$C\in \op{Mat}(n;K)$ mit $CA=I$. Durch Multiplizieren der
zweiten Gleichung mit $B$ von rechts  folgt sofort $B=C$, 
folglich ist $A$ in der Tat invertierbar in $\op{Mat}( n;K)$
im Sinne von \eref{DeGr}{GR}.
\end{proof}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
  Gegeben Endomorphismen $f,g$ eines endlichdimensionalen
Vektorraums gilt $\det(fg)=(\det f)(\det g)$.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}\label{vDM}
Man zeige die Formel f"ur die 
{\bf Vandermonde-Deter\-mi\-nan\-te}\index{Vandermonde-Determinante}
$$
\op{det}\left( \begin{array}{ccccc}
1& X_{0} & X_{0}^{2} &\ldots & X^{n}_{0}\\
\vdots & & & &\vdots \\
1& X_{n}&X_{n}^{2}&\ldots &X^{n}_{n}
\end{array}\right) = \prod_{0\leq j < i \leq n} (X_{i}-X_{j})
% Es ist doof, dass hier  der Index der Variablen
% beim Erheben in eine Potenz verrutscht. 
$$
Hinweis: Ich empfehle, vom Nullstellensatz f"ur Hyperebenen
\ref{HYT} und dem Fall des Grundk"orpers $\DQ$ auszugehen.
\end{Ubunge}
\begin{Ubung}\label{Mino} 
Sei $K$ ein K"orper.
F"ur jedes $r$ versteht man unter den 
{\bf $r$-Minoren}\index{Minor einer Matrix} unserer
Matrix die Determinanten aller 
derjenigen $(r\times r)$-Matrizen, die wir aus unserer Matrix durch das
Streichen von Zeilen und Spalten erhalten k"onnen.   
Man zeige: Die Matrizen vom Rang $<r$ in
$\op{Mat}(m\times n;K)$ sind genau diejenigen Matrizen, 
bei denen alle $r$-Minoren
verschwinden.
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}
  Jeder komplexe Vektorraum $V$ kann auch als reeller Vektorraum 
aufgefa"st werden. Man zeige im endlichdimensionalen Fall die Formel
$\op{det}_\DR(f|V)=|\op{det}_\DC(f|V)|^2$.\label{detCR}
Eine Verallgemeinerung auf allgemeinere K"orpererweiterungen
wird in \eref{detNS}{KAG} diskutiert.
\end{Ubunge}



\begin{Ubunge}[\textbf{Determinante geeignet geblockter Matrizen}]
Es seien $n^{2}$ paarweise kommutierende 
Matrizen $A_{11}$, $\ldots$, $A_{nn}$ 
mit\label{FBD} 
$m$ Zeilen und Spalten und Eintr"agen in einem Kring $R$ 
gegeben. Wir bilden die $(mn \times mn)$-Matrix
$$
B  = \left(\begin{array}{ccc}
A_{11}&\ldots &A_{1n}\\
\vdots & & \vdots\\
A_{n1} &\ldots &A_{nn}
\end{array}
\right)
$$
Man zeige, da"s gilt 
$$\op{det} B = \op{det} \left(\sum_{\sigma \in \cal{S}_{n}}
\op{sgn} (\sigma) A_{1\sigma(1)} \ldots A_{n\sigma (n)}\right)$$
Hinweis:
Ist $A_{11}$ die Einheitsmatrix, so folgt die Behauptung durch Nullen der
ersten Blockspalte und Induktion.
Ist ${\op{det}}( A_{11})$ k"urzbar, 
so folgt die Aussage
durch Multiplizieren  mit 
$\op{diag}(A_{11}^{\sharp}, I, \ldots, I)$
f"ur $A^{\sharp}_{11}$ die adjunkte Matrix zu $A_{11}$.
Im allgemeinen kann man eine weitere Variable 
$X$ einf"uhren und $A_{11}$ durch die Matrix $A_{11}
+XI$ ersetzen, deren Determinante ein normiertes Polynom in $R[X]$ und 
deshalb k"urzbar ist.
Nachher setze man dann $X=0$. 
\end{Ubunge}
\begin{Ubung}[\textbf{Determinante geeignet geblockter Matrizen, Variante}]
Man zeige dieselbe Formel wie in \ref{FBD} auch f"ur den Fall, 
da"s die Matrizen $A_{ij}$ alle obere Dreiecksmatrizen sind.\label{FBDn} 
Hinweis: Wir betrachten diejenige Abbildung
$$f:\{ 1, \ldots, mn\} \ra \{1, \ldots , m\}$$
die vertr"aglich ist mit der Restklassenabbildung beider
Mengen auf $\Bbb{Z}/ m \Bbb{Z}$, und beachten, da"s f"ur eine
Permutation $\sigma \in \cal{S}_{mn}$ mit $f (\sigma (i)) \leq f(i)
\;\forall i$ notwendig Gleichheit gilt f"ur alle $i$.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}[\textbf{Satz von Hensel}]
  Seien  ein K"orper $K$ und ein Gruppenhomomorphismus
  $\varphi : \op{GL} (n ; K) \rightarrow K^\times$
  gegeben. Man zeige, da"s es einen Gruppenhomomorphismus $\alpha : K^\times \rightarrow
K^\times $ gibt mit $\varphi = \alpha \circ \op{det}$.
Hinweis: Je zwei Elementarmatrizen $A,B$ mit genau einem von Null verschiedenen Eintrag an derselben Stelle au"serhalb
der Diagonalen sind zueinander konjugiert, als da hei"st, es gibt eine invertierbare Matrix $C$ mit $CAC^{-1}=B$.
\end{Ubunge}
\subsection{Orientierung}\label{OrVV}
\begin{Bemerkungl}
  Wir verwandeln nun  unsere anschauliche Interpretation \ref{VDD} des
Vorzeichens der Determinante in eine formale Definition.
Gegeben ein Element $a\neq 0$ eines angeordneten K"orpers $K$ 
bezeichne
 $\op{sign}(a)\in\{1,-1\}$\index{sign@$\op{sign}(a)$ 
Vorzeichen von $a$} das Vorzeichen von $a$,
 also $\op{sign}(a)=1$ f"ur $a>0$ und  $\op{sign}(a)=-1$ 
f"ur $a<0$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Eine {\bf Orientierung}\index{Orientierung!von Vektorraum} 
eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$
"uber einem angeordneten K"orper\label{OrV} 
ist eine Vorschrift $\varepsilon $, die jeder angeordneten Basis 
$\mathcal A$ unseres 
Vektorraums ein Vorzeichen $\varepsilon (\mathcal A)\in\{+1,-1\}$ zuordnet und zwar
so, da"s f"ur je zwei angeordnete Basen
$\mathcal A, \mathcal B$ die Determinante der Basiswechselmatrix  das Vorzeichen
$\varepsilon (\mathcal A)\varepsilon (\mathcal B)$ hat,
in Formeln 
$$\varepsilon (\mathcal A)\varepsilon (\mathcal B)
=\op{sign}(\det {_{\mathcal A}[\op{id}]_{\mathcal B}})$$
Das Vorzeichen $\varepsilon (\mathcal A)$ 
nennen wir  die {\bf Orientierung der
angeordneten  Basis $\mathcal A$} unseres orientierten Vektorraums.
Eine angeordnete Basis  der Orientierung $+1$ 
in einem orientierten Vektorraum nennen
wir  eine
{\bf vertr"aglich orientierte Basis},\index{Basis!vertr"aglich orientierte}
eine angeordnete Basis  der Orientierung $-1$ 
 eine
{\bf unvertr"aglich orientierte Basis}.\index{Basis!unvertr"aglich orientierte} 
Sprechen wir von der {\bf durch eine angeordnete Basis gegebenen Orientierung},
so meinen wir diejenige Orientierung, die besagter Basis das Vorzeichen $+1$ 
zuordnet.
Gegeben 
ein angeordneter K"orper $K$ 
bezeichnen wir diejenige Orientierung des $K^n$
als die \defind{Standardorientierung}, die der
Standardbasis mit ihrer Standardanordnung das Vorzeichen $+1$ zuordnet. Unter der \defind{Standardorientierung des Nullraums} verstehen wir  diejenige Orientierung, die der
einzigen angeordneten Basis  $\emptyset$ das Vorzeichen $+1$ zuordnet.
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}\label{KPOjn}
Gegeben ein endlichdimensionaler   Vektorraum $V$ 
"uber einem angeordneten K"orper
erkl"aren
wir seine 
{\bf Orientierungsmenge}\index{Orientierungsmenge!eines Vektorraums}
$$\op{or}(V)$$ als die zweielementige Menge seiner beiden 
Orientierungen nach \ref{OrV}.\index{or@$\op{or}(V)$  Orientierungsmenge!eines Vektorraums}
Jeder Vektor\-raum\-iso\-mor\-phis\-mus $f:V\sira W$ liefert  eine Bijektion 
$\op{or}(f):\op{or}(V)\sira \op{or}(W)$ vermittels der von
$f$ zwischen den Mengen der angeordneten
Basen beider R"aume induzierten Bijektion.  Es gilt dann 
$\op{or}(f\circ g)=\op{or}(f)\circ\op{or}( g)$ und
$\op{or}(\op{id})=\op{id}$. Weiter gilt f"ur jeden Automorphismus
$f:V\sira V$ offensichtlich 
$$\op{or}(f)=\op{id}_{\op{or}(V)}\;\IFF \;(\op{det}f)>0$$ 
In Worten sind also die orientierungserhaltenden Automorphismen genau
die mit positiver Determinante und entsprechend die
orientierungsumkehrenden Automorphismen genau
die mit negativer Determinante.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}\label{OrA}
Unter einer {\bf Orientierung eines endlichdimensionalen
affinen Raums} $E$ 
"uber einem angeordneten K"orper verstehen wir eine 
Orientierung seines Richtungsraums und setzen
$\op{or}(E)\pdef \op{or}(\vec E)$ sowie $\op{or}(\varphi)\pdef \op{or}(\vec \varphi)$ f"ur jeden Isomorphismus
$\varphi:E\sira F$ endlichdimensionaler affiner R"aume "uber unserem
angeordneten K"orper.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungw}
  In der Topologie werden wir jedem endlichdimensionalen
  reellen Vektorraum $V$ auch seine \glqq topologische Orientierungsmenge\grqq\
  zuordnen als die Menge $\op{or}^{\op{top}}(V)$ der
  beiden Erzeuger der relativen Homologie  ${\op{H}}(V,V\backslash 0)$.
  "Ahnlich werden wir auch jedem endlichdimensionalen
  reellen affinen Raum  seine \glqq topologische Orientierungsmenge\grqq\
  zuordnen. 
  In diesem Kontext nennen wir die hier eingef"uhrten Begriffe 
  pr"aziser die {\bf algebraischen Orientierungsmengen}\index{Orientierungsmenge!algebraische}\index{oralg@$\op{or}^{\op{alg}}$ algebraische Orientierungsmenge} und verwenden daf"ur die Notation 
  $\op{or}^{\op{alg}}$. 
\end{Bemerkungw}



\begin{Bemerkung}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
  In der Literatur findet man vielfach eine Definition,
  bei der eine Orientierung eines reellen Vektorraums als eine
  "Aquivalenzklasse von Basen unter einer geeigneten "Aquivalenzrelation
  erkl"art wird.  Diese Definition liefert dasselbe au"ser im Fall des Nullraums. In diesem Fall scheint mir die hier gegebene
  Definition, die auch dem Nullraum zwei 
verschiedene Orientierungen erlaubt,
 das sinnvollere Konzept.
\end{Bemerkung}


\begin{Beispiel}\label{OrGer}
Eine Orientierung einer reellen Gerade
anzugeben bedeutet anschaulich, auf dieser Gerade eine \glqq Richtung\grqq\ 
auszuw"ahlen, eben die Richtung, in die diejenigen
Vektoren zeigen, die vertr"aglich orientierte  Basen ihres
Richtungsraums bilden. Wir nennen diese Vektoren dann  kurzerhand 
 {\bf positive  Vektoren}\index{positiv!Vektor}
und denken uns unsere Gerade mit derjenigen Anordnung versehen,
f"ur die die Addition positiver Vektoren Elemente vergr"o"sert.
Mit diesen Konventionen k"onnen wir f"ur einen orientierten eindimensionalen
Vektorraum $L$ die Menge der positiven Vektoren mit $L_{>0}$ bezeichnen.
Analog vereinbaren wir f"ur die Elemente von $L_{<0}$ die Bezeichnung 
{\bf negative Vektoren}\index{negativ!Vektor} und nennen 
die Elemente von
$L_{\geq 0}$   die 
{\bf nichtnegativen Vektoren}.\index{nichtnegativ!Vektor}
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}\label{OrRau}
  Der schmutzige  Raum unserer Anschauung aus \ref{ANRA} besitzt die
  {\bf Rechte-Hand-Orientierung}, in der
  Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der entspannten
  rechten Hand als schmutzige angeordnete
  Basis des Richtungsraums aufgefa"st eine
  vertr"agliche angeordnete Basis bilden. Mit der linken Hand erhalten
  wir in derselben Weise die andere Orientierung, die 
  {\bf Linke-Hand-Orientierung}. Da"s diese Orientierungen sich nicht "andern, egal wie wir uns drehen und wenden und auf den Kopf stellen, mag man
  als Illustration oder Konsequenz unserer Erkenntnis \ref{rSt} sehen,
  da"s zwei angeordnete Basen eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums 
dieselbe Orientierung liefern genau dann,  
wenn sie sich \glqq im Raum der Basen stetig  
ineinander deformieren lassen\grqq.  
\end{Beispiel}



\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildor}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Angeordnete Basen des Raums der Richtungsvektoren der Papierebene
mit  Vorzeichen zur Orientierung \glqq im Gegenuhrzeigersinn\grqq\ 
\end{minipage}
\end{figure}


\begin{Beispiel} 
Denken wir uns die Tafelebene 
als einen schmutzigen zweidimensionalen reellen affinen Raum,
so d"urfen wir uns eine Orientierung 
der Tafelebene anschaulich als die Auszeichnung
 eines {\bf Drehsinns}  denken, n"amlich den
Drehsinn mit der Eigenschaft, da"s bei Drehung in diesem Drehsinn
der erste Vektor einer positiv orientierten 
angeordneten Basis ihres Richtungsraums zuerst in ein positives Vielfaches des
zweiten Vektors gedreht wird und erst dann in ein 
negatives Vielfaches. Wenn, wie etwa bei
der Tafelebene oder bei einem vor uns liegenden
Blatt Papier, zus"atzlich klar ist, \glqq von
welcher Seite man auf die Ebene gucken soll\grqq, 
so mag man diese beiden Orientierungen als {\bf im Uhrzeigersinn}  
und {\bf im Gegenuhrzeigersinn}  ansprechen. Ist unsere Ebene 
dahingegen eine Glasscheibe und die Betrachter stehen auf 
beiden Seiten, 
so legt man eine Orientierung besser fest, indem man
einen Drehsinn als Kreispfeil mit einem Wachsstift einzeichnet.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungw}
  In \eref{Drehs}{TF} werden wir einen Drehsinn formal definieren als
die \glqq Auswahl eines Erzeugers der Fundamentalgruppe vom Komplement des
Ursprungs\grqq.
Man kann dann trefflich dar"uber streiten, wie nat"urlich die hier
skizzierte 
Identifikation zwischen Drehsinn und Orientierung ist und ob nicht
die entgegengesetzte Identifikation genauso nat"urlich w"are, aber alles zu
seiner Zeit.
\end{Bemerkungw}
\begin{Definition}\label{OrTe}%\label{RHO}
Wir fixieren von nun an ein f"ur allemal einen
 eindimensionalen orientierten reellen affinen Raum 
\index{T@$\mathbb{T}$ Zeit|main}$$\mathbb{T}$$ 
und nennen ihn  die {\bf mathematische Zeit} 
oder kurz  {\bf Zeit}.\index{Zeit}
\end{Definition}

  \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die schmutzige Anschauung}] 
    Ich denke mir 
$\mathbb{T}$ als die Menge aller Zeitpunkte und denke mir die 
 ausgezeichnete  Orientierung in der Weise, da"s
    jeder Richtungsvektor, der einen Zeitpunkt auf einen \glqq sp"ateren\grqq\ 
    Zeitpunkt schiebt, eine positiv orientierte Basis bildet.  
Das mag aber jeder halten wie er will, Sie d"urfen etwa 
bei den Elementen von $\mathbb{T}$ etwa auch an 
unendlich viele verschiedene Gem"use  denken, oder an was auch immer.
Den
    Richtungsraum $\vec{\mathbb{T}}$ bezeichnen wir als den Raum aller
    \defnoind{Zeitspannen},\index{Zeitspanne} seine positiv orientierten
    Vektoren nennen wir {\bf Zeiteinheiten}.
    \index{Zeiteinheit!nichtrelativistische} 
Sie modellieren die Zeiteinheiten 
der Physik wie etwa die \defind{Sekunde}
    $\op{s}\in \vec{\mathbb{T}}$.  \end{Bemerkungl}

  \begin{Bemerkungl}[\textbf{Herkunft der Zeiteinheiten}]
    Die Einteilung eines Tages in vierundzwanzig Stunden und die
    Einteilung dieser Stunden in je sechzig Minuten geht wohl auf die
    Babylonier zur"uck, die angeblich mit ihren H"anden bis $60$
    z"ahlten, indem sie mit jedem der $5$ Finger der rechten Hand der
    Reihe nach die $12$ Fingerglieder der linken Hand an den Fingern
    mit Ausnahme des Daumens ber"uhrten.  Die Einteilung jeder Minute
    in wiederum $60$ Sekunden bot sich dann als nat"urliche
    Verfeinerung an.
  \end{Bemerkungl}

 
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Orientierung des Dualraums}] 
Jede Orientierung auf einem Vektorraum induziert eine
Orientierung auf seinem Dualraum vermittels der Vorschrift,
da"s die Duale einer orientierten angeordneten Basis eine orientierte 
angeordnete Basis des Dualraums sein soll. 
Die Elemente des positiven Teils $\vec{\mathbb T}^\top_{>0}$ 
des Dualraums des Raums $\vec{\mathbb T}$ 
der Zeitspannen nennt man  {\bf Frequenzen}.\index{Frequenz} 
Eine solche Frequenz ist etwa der einzige Vektor 
$\ph{s}^\top$ der dualen Basis zur orientierten Basis\label{orDU}  
der Sekunde $\ph{s}\in \vec{\mathbb T}$. Statt $\ph{s}^\top$ schreibt man meist 
$\ph{s}^{-1}$ oder $\ph{Hz}$ und nennt diese Frequenz 
ein {\bf Hertz}\index{Hertz} nach dem Physiker Heinrich Rudolf Hertz.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
  Die hier getroffene Wahl f"ur die Orientierung des Dualraums ist
  im Fall h"oherer Dimension nicht vollst"andig kanonisch, aber ich
  sehe keine andere M"oglichkeit, als sich
  auf eine Wahl festzulegen. Es ist jedoch wichtig, diese
  Wahl passend zu gewissen weiteren
  ebenso unkanonischen Wahlen im Zusammenhang mit
  den sogenannten \glqq "au"seren Potenzen\grqq\ zu treffen, die Sie sp"ater
  kennen lernen werden. Wir diskutieren das in \eref{aupo}{LA2}
  noch ausf"uhrlich. Unsere Wahl wird im  eindimensionalen Fall durch die in \eref{orDD}{LA2} f"ur die Orientierung von
  Tensorpotenzen orientierter eindimensionaler R"aume
  getroffenen Wahlen verallgemeinert.
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkungw}[\textbf{Orientierung und Stetigkeit}] 
 Zwei angeordnete Basen eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums 
liefern dieselbe Orientierung genau dann,\label{rSt}  
wenn  sie sich  \glqq stetig  
ineinander deformieren lassen\grqq\ 
alias in derselben \glqq Wegzusammenhangskomponente\grqq\  im Sinne von 
\eref{WZSS}{AN2} des Raums aller 
angeordneten Basen liegen. 
Man kann sich davon  etwa mithilfe der Iwasawa-Zerlegung \eref{IWZR}{LA2}
"uberzeugen.
Auch die pr"azise  Formulierung und  der formale Beweis wird Ihnen 
davon ausgehend leicht
gelingen, sobald Sie in der Analysis die Grundtatsachen "uber Stetigkeit 
in mehreren Ver"anderlichen kennengelernt haben.
Eine "aquivalente Aussage d"urfen Sie in der Analysis als 
"Ubung \eref{ZKGL}{AN2} zeigen. Der in meinen Augen nat"urlichste Zugang
zu diesem Resultat verwendet Methoden der Topologie und wird in
\eref{ZKGLl}{TM} diskutiert.
\end{Bemerkungw}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Zusammengesetzte Orientierung}] 
Sei $f:V\sra W$ eine surjektive lineare Abbildung
 endlichdimensionaler   Vektorr"aume
 "uber einem angeordneten K"orper
 und sei  $U\pdef \op{ker}f \subset V$ ihr Kern.
So gibt es genau eine Abbildung\label{orQ} 
$\op{or}(U)\times\op{or}(W)\ra
  \op{or}(V)$, $(\varepsilon,\eta)\mapsto \varepsilon\eta$
mit der Eigenschaft,  da"s gegeben eine 
angeordnete Basis $\mathcal A$ des Kerns $U$ und eine angeordnete Basis
  $\mathcal B$ des Bildes $W$ und  eine Wahl $\tilde{\mathcal B}$ von Urbildern 
letzterer  Basisvektoren in $V$ 
f"ur die durch Hintereinanderschreiben erhaltene
  angeordnete Basis $(\mathcal A,\tilde{\mathcal B})$ von $V$ gilt
  $$(\varepsilon\eta)(\mathcal A,\tilde{\mathcal B}) =\varepsilon(\mathcal
  A)\eta(\mathcal B)$$ Diese $2$-Multiabbildung alias \glqq Funktion in zwei Variablen\grqq\  ist
  {\bf antikonstant} in dem Sinne, da"s sich
  der Wert "andert, wann immer wir einen Eintrag in einem der beiden
  Faktoren ihres Definitionsbereichs "andern.
  Wir nennen Orientierungen $\varepsilon,\eta,\theta$ auf $U,W,V$
  {\bf vertr"aglich},\index{vertr"aglich!Orientierungen} 
  wenn gilt $\varepsilon\eta=\theta$, und nennen $\theta$ die
  {\bf zusammengesetzte Orientierung}. Wenn wir hier von unseren drei Orientierungen beliebige Zwei
  festlegen, gibt es mithin stets genau eine M"oglichkeit,
  die Dritte vertr"aglich zu w"ahlen.
  Die so durch Orientierungen auf $U$ und $V$ festgelegte Orientierung auf $W$
  nennen wir die {\bf Quotientenorientierung}.\index{Quotientenorientierung}
  Gegeben Orientierungen auf zwei endlichdimensionalen Vektorr"aumen $U, W$
  erhalten wir auch auf $U\oplus W$ eine Orientierung als die
  zusammengesetzte Orientierung f"ur die offensichtliche kurze exakte Sequenz
  $U\hra U\oplus W\sra W$. Wir nennen sie
  die {\bf Produktorientierung}.\index{Produktorientierung} 
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}[\textbf{Orientierungsvertr"aglichkeiten im Anschauungsraum}] 
  Wir denken uns im schmutzigen Raum der Anschauung
  von einer schmutzigen  Tafel und betrachten die orthogonale Projektion des
  Raums auf unsere Tafel. Der Kern ihres linearen Anteils ist der
  eindimensionale Raum
  aller Richtungsvektoren, die auf der Tafel senkrecht stehen.
  Geben wir ihm die {\bf Nach-vorne-Orientierung}, in der die uns entgegenkommenden Richtungsvektoren positiv sind, so sind diese Nach-vorne-Orientierung, die Rechte-Hand-Orientierung des Raums und die
  Gegenuhrzeigersinn-Orientierung der Tafelebene vertr"aglich im Sinne von
  \ref{orQ}.  
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungw}
  In \eref{Snno}{TSF} vereinbaren wir auch eine Konvention f"ur
  die \glqq Schnittorientierung\grqq\  auf dem Schnitt eines angeordneten Paars zweier orientierter
  Teilr"aume eines orientierten Raums unter der Voraussetzung, da"s die Summe
  unserer Teilr"aume der ganze Raum ist. 
\end{Bemerkungw}

\begin{Bemerkungl}
Unsere Definition der zusammengesetzten Orientierung ist in der Weise
willk"urlich, als es nicht mehr und nicht weniger
nat"urlich gewesen w"are, die Abbildung $\op{or}(W)\times\op{or}(U)\ra
  \op{or}(V)$, $(\eta,\varepsilon)\mapsto \eta\varepsilon$
zu betrachten mit der Eigenschaft $(\eta\varepsilon)(\tilde{\mathcal B},\mathcal A) =\eta(\mathcal B)\varepsilon(\mathcal
  A)$ und sie zu benutzen, um die Vertr"aglichkeit zu definieren. Ich sehe  an dieser Stelle keine andere M"oglichkeit,
  als einmal willk"urlich eine Wahl zu treffen. Unsere Wahl mag man salopp
  \glqq Kern vorne\grqq\ nennen. Es ist jedoch wichtig, diese
  Wahl passend zu gewissen ebenso unkanonischen Wahlen im Zusammenhang mit
  den sogenannten \glqq "au"seren Potenzen\grqq\ zu treffen, die Sie sp"ater
  kennen lernen werden. Das wird in \eref{aupo}{LA2} diskutiert.
\end{Bemerkungl}



\subsubsection*{"Ubungen}
  \begin{Ubung}[\textbf{Orientierung affiner R"aume durch Erzeugendensysteme}]
    Gegeben ein endlichdimensionaler affiner Raum  $E$ 
    "uber\index{Orientierung!von affinem Raum!durch Erzeugendensystem} 
    einem angeordneten K"orper und ein
    minimales affines Erzeugendensystem  $p_1,\ldots,p_n$
    von $E$ vereinbaren wir,
    da"s wir unter der  {\bf zu $p_1,\ldots,p_n$ geh"origen Orientierung
    von $E$} die\label{OaRa} 
    durch die angeordnete Basis $p_2-p_1, \ldots,p_n-p_1$
    des Richtungsraums gegebene Orientierung verstehen wollen. Man zeige,
    da"s sich f"ur jede Permutation $\sigma\in \mathcal S_{n}$ die
    zu $p_{\sigma(1)},\ldots,p_{\sigma(n)}$ geh"origen Orientierung von $E$
    nur
    um das Vorzeichen $\op{sgn}(\sigma)$ von der zu
    $p_1,\ldots,p_n$ geh"origen Orientierung
    unterscheidet.
\end{Ubung}




\subsection{Eigenwerte und Eigenvektoren}


\begin{Definition}\label{EwEv}
Sei $f:V\ra V$ ein Endomorphismus eines Vektorraums "uber einem
K"orper $K$. Ein Skalar $\lambda\in K$ hei"st ein 
\defind{Eigenwert} {\bf von} $f$, wenn
es einen von Null verschiedenen Vektor $v\neq 0$ aus $V$ gibt mit
$$f(v)=\lambda v$$ Jeder derartige von Null verschiedene Vektor hei"st  ein
{\bf Eigenvektor\index{Eigenvektor} von $f$ zum 
Eigenwert $\lambda$}. Die Menge aller
Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda$ bildet zusammen mit dem Nullvektor
einen Untervektorraum von $V$, den {\bf Eigenraum\index{Eigenraum}  
$\op{Eig} (f;\lambda)$\index{Eig@$\op{Eig}$ Eigenraum}  von $f$ zum Eigenwert $\lambda$}.
\end{Definition}



\begin{Beispiel}[\textbf{Eigenvektoren zu den Eigenwerten Null und Eins}]
  Ein Eigenvektor zum Eigenwert Eins einer linearen Abbildung 
 ist dasselbe wie
ein vom Nullvektor verschiedener Fixvektor unserer Abbildung. 
 Ein Eigenvektor zum Eigenwert Null einer linearen Abbildung 
 ist dasselbe wie
ein vom Nullvektor verschiedenes Element des Kerns unserer Abbildung.
\end{Beispiel}


\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSEW}\\[4mm]
\noindent 
Die anschauliche Spiegelung $s$ an der gestrichelt einegezeichneten Achse
ist eine lineare Abbildung $s:\DR^2\ra \DR^2$ mit den Eigenwerten
$\pm 1$. Eigenvektoren zum Eigenwert 1 sind alle von Null
verschiedenen Vektoren der Spiegelachse, 
Eigenvektoren zum Eigenwert $-1$ sind alle von Null
verschiedenen Vektoren, die auf der Spiegelachse senkrecht stehen.
Die Matrix unserer Abbildung in Standardbasis ist 
nach dem Bild bei \ref{LADM} die Matrix $$A=\begin{pmatrix}
\cos 2\alpha &\sin 2\alpha\\ \sin 2\alpha &-\cos 2\alpha \end{pmatrix}$$
mit charakteristischem Polynom $\chi_A(T)=
(T -\cos 2\alpha)(T +\cos 2\alpha)-\sin^2 2\alpha=
T^2-1$.
\end{figure}

\begin{Beispiel}[\textbf{Die schmutzige Anschauung}] 
Zun"achst zwei nicht ganz mathematisch ausformulierte Beispiele:
Die Drehung des Richtungsraums der Papierebene
um den rechten Winkel im Uhrzeigersinn 
 besitzt keinen reellen Eigenwert. 
Eine Spiegelung des Richtungsraums der Papierebene an einer Geraden 
besitzt stets Eigenvektoren zum Eigenwert Eins, n"amlich alle
Richtungsvektoren der Spiegelachse, und Eigenvektoren zum Eigenwert
$(-1)$, die der Leser selbst finden mag.
F"ur das Ableiten, aufgefa"st als Endomorphismus
des Raums aller reellen polynomialen Funktionen, ist der einzige 
Eigenwert die Null und die zugeh"origen Eigenvektoren sind genau
die von Null verschiedenen konstanten Polynome. 
\end{Beispiel}
\begin{Satz}[\textbf{Existenz von Eigenwerten}]
Jeder
Endomorphismus eines von Null
verschiedenen endlichdimensionalen Vektorraums 
"uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper 
besitzt einen Eigenwert. \label{EEW}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Auf dem $\DC$-Vektorraum $\DC[T]$ der Polynome besitzt der Endomorphimus 
\glqq Multipliziere mit $T$\grqq\ 
keine Eigenwerte.
Die Annahme endlicher Dimension ist also wesentlich
f"ur die G"ultigkeit unseres Satzes.
Die Drehung des Richtungsraums der Papierebene
um einen von $0^\circ$ und $180^\circ$ verschiedenen Winkel -- hier
noch nicht formal eingef"uhrt aber doch wohl anschaulich klar gesagt -- 
 besitzt auch keinen reellen Eigenwert. Die Annahme 
eines algebraisch abgeschlossenen Grundk"orpers ist also
auch wesentlich.
F"ur den Beweis entwickeln wir zun"achst unsere Theorie etwas weiter
und geben dann den Beweis im Anschlu"s an \ref{carPf}. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}\label{carP}
      Seien $K$ ein K"orper und $A \in\op{Mat} ( n; K)$ eine quadratische
      Matrix mit Koeffizienten in $K$. Bezeichne ${\op{I}} \in \op{Mat} (
      n;K)$ die Einheitsmatrix. Das Polynom $\op{det} (A -T {\op{I}})$
      aus dem Polynomring $K[T]$ hei"st das {\bf charakteristische
        Polynom der Matrix} $A$.\index{charakteristisches Polynom} Es wird
      mit einem griechischen $\chi$  notiert 
in der Form\index{chi@$\chi_A$ charakteristisches Polynom}
    $$\chi_A(T)\pdef \op{det} (A -T {\op{I}})$$
  \end{Definition}
  \begin{Satz}[\textbf{Eigenwerte und charakteristisches Polynom}]
 Seien $K$ ein K"orper und $A \in\op{Mat} (n ; K)$ eine quadratische
      Matrix mit Koeffizienten in $K$.\label{EcP}
So sind die Eigenwerte des durch
unsere Matrix gegebenen Homomorphismus $A:K^n\ra K^n$  genau die
Nullstellen ihres charakteristischen Polynoms $\chi_A$. 
  \end{Satz}
\begin{proof}
Bezeichnet ${\op{I}} \in \op{Mat} (n ;K)$ die Einheitsmatrix, so haben wir
f"ur $\lambda \in K$ die "Aquivalenzen 
$$\begin{array}[b]{lll}
(\lambda \text{ ist Eigenwert von } A) & \Leftrightarrow & \exists v \neq 0
\text{ mit } Av = \lambda v\\
&\Leftrightarrow& \exists v \neq 0 \text { mit } (A - \lambda {\op{I}}) v =0\\
&\Leftrightarrow & \op{ker} (A -\lambda {\op{I}})\neq 0\\
&\Leftrightarrow & \op{det} (A -\lambda {\op{I}}) =0\\
&\Leftrightarrow & \chi_A(\lambda) =0
\end{array}\qedhere
$$
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}
  Es ist "ublich, bei charakteristischen Polynomen die Variable 
mit $\lambda$ zu bezeichen. Ich werde dieser Konvention von hier an 
 meist folgen.
\end{Bemerkungl}

 \begin{Bemerkungl}\label{carPf}
    Sei $K$ ein K"orper und $f:V\ra V$ ein
Endomorphismus eines endlichdimensionalen
$K$-Vektorraums. Mit demselben Argument wie in \ref{detE} sehen wir,
da"s bez"uglich jeder angeordneten Basis von $V$ 
die darstellende Matrix von  $f$   dasselbe charakteristische Polynom hat,
in Formeln $\op{det}({}_{\mathcal B}[f]_{\mathcal B}-\lambda\op{id})
=\op{det}({}_{\mathcal
  A}[f]_{\mathcal A}-\lambda\op{id})$ f"ur je zwei 
angeordnete Basen $\mathcal A$ und
$\mathcal B$ von $V$. 
Dies Polynom notieren wir dann\index{chi@$\chi_f$ charakteristisches
      Polynom}\index{char@$\op{char}$ charakteristisches
      Polynom}
$$\chi_f=\chi_f(\lambda)=\op{char}(f|V)$$
    und nennen es das {\bf charakteristische
      Polynom des
Endomorphismus}\index{charakteristisches Polynom!von Endomorphismus} $f$.
Die Eigenwerte von $f$ sind nach \ref{carP} genau
die Nullstellen des charakteristischen Polynoms $\chi_f$ von $f$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis von Satz \ref{EEW}]
Satz \ref{EEW} besagt, da"s jeder Endomorphismus eines endlichdimensionalen
von Null verschiedenen 
Vektorraums "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper 
einen Eigenwert besitzt. Um das zu zeigen, 
m"ussen wir nur bemerken, da"s 
  das charakteristische Polynom 
unseres Endomorphismus  nicht konstant ist, da unser
Raum n"amlich nach Annahme nicht der Nullraum ist.
Im Fall eines algebraisch
abgeschlossenen K"orpers besitzt es also 
stets eine Nullstelle, und die ist dann nach \ref{carPf}
auch bereits der gesuchte Eigenwert.
\end{proof}

  \begin{Bemerkungl}
    Das charakteristische Polynom
 einer Block-oberen-Dreiecksmatrix ist nach \ref{DOD} das Produkt der
    charakteristischen Polynome ihrer Bl"ocke auf der Diagonalen.\label{chD}
\end{Bemerkungl}



\begin{Proposition}[\textbf{Trigonalisierbarkeit}]
Gegeben ein Endomorphismus eines
endlichdimensionalen Vektorraums   $f : V \rightarrow V$
"uber einem  K"orper\label{FgUU} $K$ sind gleichbedeutend:
\begin{enumerate}
\item Der Vektorraum $V$ besitzt eine angeordnete Basis $\mathcal B$, 
bez"uglich derer die Matrix ${}_{\mathcal B}[f]_{\mathcal B}$ von $f$
obere Dreiecksgestalt hat. Man sagt dann auch, $f$ sei
\emph{\bf trigonalisierbar};\index{trigonalisierbar}
\item
Das charakteristische Polynom $\chi_f$ von $f$ 
zerf"allt bereits im Polynomring
$K[\lambda]$ vollst"andig in Linearfaktoren.
\end{enumerate}
\end{Proposition}
\begin{proof}
$1\Rightarrow 2$ ist klar nach unserer Formel 
\ref{DODd} f"ur die Determinante
einer oberen Dreiecksmatrix: Hat ${}_{\mathcal B} [f]_{\mathcal B}$
obere Dreiecksgestalt mit Diagonaleintr"agen $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$,
so haben wir ja $\chi_f (\lambda)= 
(\lambda_1 - \lambda)\ldots (\lambda_n - \lambda)$.
Um $2 \Rightarrow 1$ zu zeigen, d"urfen 
wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $V = K^n$ annehmen,
so da"s $f$ durch die Multiplikation mit einer Matrix
$A$ gegeben ist.
Zu zeigen ist dann die Existenz von $ B \in \op{GL} (n;K)$ mit 
$B^{-1}A B = D$ von oberer Dreiecksgestalt: Die Spaltenvektoren der Matrix
$B$ bilden dann n"amlich die gesuchte Basis $\mathcal B$. Wir argumentieren
mit vollst"andiger Induktion "uber $n$.
F"ur $n \geq 1$ gibt es nach 
Voraussetzung eine Nullstelle $\lambda_1$ von $\chi_A$ und dann nach
\ref{EcP} ein $c_1 \in K^n\backslash 0$ mit $A c_1 = \lambda_1 c_1 $.
Erg"anzen wir $c_1$ durch $c_2, \ldots, c_n$ zu einer Basis von $K^n$
und betrachten die Matrix $C = (c_1 | \ldots | c_n)$, so gilt
\begin{equation*}
AC = C \left( \begin{tabular}{l|l}
$\lambda_1$ & $\quad\ast\quad$\\ \hline\\[1mm]
$ 0$ & $\quad H \quad$\\[2mm]\end{tabular} \right)
\end{equation*}
mit $H \in \op{Mat} ((n-1)\times  (n-1); K)$.
Nach unseren Erkenntnissen 
 \ref{DOD} zur Determinante von
Block-oberen-Dreiecksmatrizen 
haben wir dann $\chi_H = (\lambda_2 -\lambda)\ldots
(\lambda_n - \lambda)$ und per Induktion finden wir $F \in \op{GL} (n-1 ;
K)$ mit $F^{-1} HF$ von oberer Dreiecksgestalt. 
Bilden wir nun $\tilde F = \op{diag}
(1,F)$, so ist offensichtlich auch $\tilde F^{-1} (C^{-1} A C) \tilde F$ 
von oberer
Dreiecksgestalt und die Matrix $B = C \tilde F$ l"ost  unser Problem.
\end{proof}


\begin{Proposition}[\textbf{Charakterisierung nilpotenter Matrizen}]
  Eine Matrix mit Koeffizienten in einem K"orper 
ist nilpotent genau dann, wenn
ihr charakteristisches Polynom nur aus dem Leitterm besteht.
In Formeln ist also $A\in \op{Mat}(n;K)$ nilpotent genau dann,
wenn gilt $\chi_A(\lambda)=(-\lambda)^n$.
\end{Proposition}
\begin{proof}
  Ist unsere Matrix nilpotent, so ist sie nach \ref{niOD} konjugiert
zu einer oberen Dreiecksmatrix mit Nullen auf der Diagonalen und 
unsere Behauptung folgt aus \ref{chD}. 
Besteht umgekehrt das charakteristische Polynom nur aus dem Leitterm,
so existiert nach \ref{FgUU} oder zumindest seinem Beweis eine
invertierbare Matrix $B\in\op{GL}(n;K)$ mit $B^{-1}AB$ von oberer
Dreiecksgestalt mit Nullen auf der Diagonale. 
Daraus folgt jedoch unmittelbar erst 
$(B^{-1}AB)^n=0$ und dann $A^n=0$.
\end{proof}
\begin{Bemerkunge}
Alternative Argumente 
f"ur die R"uckrichtung beim Beweis der Proposition 
liefern  der Satz von
 Cayley-Hamilton \ref{CaHa}
und der Satz "uber die Hauptraumzerlegung \eref{HRZ}{LA2}.
\end{Bemerkunge}
\begin{Definition}
   Seien $K$ ein K"orper und $n\in\DN$.
 Eine quadratische Matrix $A\in\op{Mat}(n;K)$ hei"st {\bf
      diagonalisierbar}\index{diagonalisierbar!Matrix}, wenn es
    eine invertierbare Matrix $S\in\op{GL}(n;K)$ gibt mit
    $S^{-1}AS=\op{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ diagonal.
\end{Definition}

\begin{Definition} 
  Ein Endomorphismus eines Vektorraums hei"st 
{\bf diagonalisierbar}\index{diagonalisierbar!Endomorphismus}, wenn unser Vektorraum von den Eigenvektoren des besagten
  Endomorphismus erzeugt wird. Im Fall eines endlichdimensionalen Vektorraums 
ist das gleichbedeutend dazu, da"s unser\label{dbar}  
Vektorraum  $V$ 
eine angeordnete Basis $\cal{B}=(v_1,\ldots,v_n)$ besitzt,
f"ur die die Matrix unserer Abbildung 
Diagonalgestalt hat, in Formeln
$_\cal{B}[f]_\cal{B}=\op{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$.
In der Tat bedeutet das ja gerade $f(v_i)=\lambda_iv_i$. 
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diagonalisierbare Endomorphismen und ihre Matrizen}]
 Sei $K$ ein K"orper und $n\in\DN$.
 Der durch Multiplikation mit einer Matrix 
$A\in\op{Mat}(n;K)$ gegebene Endomorphismus des $K^n$
 ist genau dann  diagonalisierbar, wenn die Matrix $A$ 
diagonalisierbar ist. In der Tat, genau dann ist $v_1,\ldots, v_n$  
eine Basis des $K^n$ aus Eigenvektoren $Av_i=\lambda_iv_i$, wenn 
die Matrix $S=(v_1|\ldots|v_n)$ mit den $v_i$ in den Spalten invertierbar ist 
mit $S^{-1}AS=\op{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ diagonal.
\end{Bemerkungl}


\begin{Beispiel}
  Eine nilpotente Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie
die Nullmatrix ist.  Die folgende 
Proposition zeigt unter anderem, da"s jede $(n\times n)$-Matrix, deren
charakteristisches Polynom $n$ paarweise verschiedene Nullstellen hat,
diagonalisierbar sein mu"s. Salopp gesprochen sind also \glqq komplexe 
quadratische Matrizen f"ur gew"ohnlich diagonalisierbar\grqq.
\end{Beispiel}
\begin{Proposition}[\textbf{Lineare Unabh"angigkeit von Eigenvektoren}] 
Sei $f$ ein Endomorphismus eines
Vektorraums und seien $v_1, \ldots, v_n$ Eigenvektoren\label{ewlu} 
von $f$ zu paarweise verschiedenen Eigenwerten $\lambda_1,
\ldots, \lambda_n$. So sind unsere Eigenvektoren linear unabh"angig.
\end{Proposition}
\begin{proof}
Der Endomorphismus $(f - \lambda_2 \op{id}) \ldots (f-\lambda_n \op{id})$
macht $v_2, \ldots, v_n$ zu Null, nicht aber $v_1$. 
Gegeben $x_1, \ldots, x_n\in K$ mit $x_1 v_1 + \ldots +x_n v_n =0$ folgt
demnach durch Anwenden unseres Endomorphismus $x_1 =0$. Ebenso zeigt man $x_2 =
\ldots = x_n =0$.
\end{proof}
\begin{proof}[Variante des Beweises] Durch Widerspruch.
Sei sonst $v_1, v_2, \ldots, v_n$ ein Gegenbeispiel mit der kleinstm"oglichen
Anzahl von Vektoren. So gilt sicher $n\geq 2$ und 
gegeben eine lineare Abh"angigkeit
$x_1 v_1 + \ldots +x_n v_n =0$ m"ussen alle $x_i$ 
verschieden sein von Null.
Dann aber folgte durch
Anwenden von $(f-\lambda_1 \op{id})$ die lineare Abh"angigkeit
der Vektoren $v_2, \ldots, v_n$ im Widerspruch zu unserer Annahme.
\end{proof}



\begin{Lemma}[\textbf{Restriktion diagonalisierbarer Endomorphismen}] 
Die Restriktion
eines diagonalisierbaren Endomorphismus auf einen unter 
besagtem Endomorphismus\label{diage}
 stabilen Teilraum ist stets wieder diagonalisierbar.
\end{Lemma}


\begin{proof}
Sei $f:V\ra V$ unser Endomorphismus und $W\subset V$ ein 
unter $f$ stabiler Teilraum.
%% Nach dem Basiserg"anzungssatz \ref{BaES}  reicht es ja
%% zu zeigen, da"s auch jeder unter $f$ stabile Teilraum $W\subset V$
%% von Eigenvektoren von $f$ erzeugt wird.
Gegeben $v\in W$ haben wir nach Annahme
eine Darstellung $v=v_1+\ldots +v_n$ mit 
$v_i\in V$ Eigenvektoren zu  paarweise verschiedenen Eigenwerten
$\lambda_1,\ldots, \lambda_n\in K$.
Dann gilt wegen $(f-\lambda_i\op{id})v_i=0$ aber 
$$(f-\lambda_2\op{id})\ldots (f-\lambda_n\op{id})v=
(\lambda_1-\lambda_2)\ldots (\lambda_1-\lambda_n)v_1\in W$$
und folglich $v_1\in W$. Ebenso zeigt man auch
$v_2,\ldots, v_n\in W$. Mithin wird auch $W$ von Eigenvektoren erzeugt.
\end{proof}






\begin{Satz}[\textbf{Cayley-Hamilton}]\index{Cayley-Hamilton}
Setzt man eine quadratische Matrix in ihr eigenes charakteristisches 
Polynom ein, so erh"alt man die Nullmatrix.\label{CaHa}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Ich gebe zwei Beweise. Der Erste baut auf der 
algebraischen Abgeschlossenheit des K"orpers der komplexen Zahlen auf
und  damit auf noch unbewiesenen Tatsachen.
Der Zweite ist in gewisser Weise elementarer, scheint mir aber
wenig transparent. Ein alternativer Beweis,
der in meinen Augen mehr Einsicht vermittelt, 
wird in \eref{KEC}{KAG} angedeutet.
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHaCa}\\
\noindent
$(F - fE) (\op{e}^{\top}_{1}, \ldots , \op{e}^{\top}_{n})^{\top}=0$ 
am Beispiel einer Matrix $F$ mit drei Zeilen und Spalten. Alle nicht
ausgeschriebenen Eintr"age der obigen Matrizen sind als Null zu
verstehen.
\end{figure}
\begin{proof}[Beweis mit dem Fundamentalsatz der Algebra] 
Wir beginnen mit dem Fall einer komplexen
Matrix $E$.
 Nach \ref{FgUU} ist sie trigonalisierbar.
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s 
sie bereits obere Dreiecksgestalt hat.
  Sind dann $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ ihre Diagonaleintr"age
 und betrachten wir die
von den ersten $k$ Vektoren der Standardbasis aufgespannten Untervektorr"aume
$\DC^k\times 0\subset \DC^n$, so gilt $(E-\lambda_k)(\DC^k\times 0)\subset \DC^{k-1}\times 0$ f"ur alle $k$. Damit ist klar, da"s das Produkt aller
 $(E-\lambda_k)$ alias $\chi_E(E)$ den ganzen Vektorraum $\DC^n$ annulliert.
Jetzt betrachten wir den Fall der Matrix $E$ "uber dem
Polynomring $\DZ[X_{ij}]$ in $n^2$ Variablen mit Eintr"agen den Variablen,
in Formeln $E_{ij}=X_{ij}$. 
Setzen wir diese Matrix in ihr eigenes charakteristisches 
Polynom ein, so erhalten wir ein 
Polynom aus $\DZ[X_{ij}]$, das nach dem vorhergehenden 
die Nullfunktion auf $\DC^{n^2}$ liefert. Nach \ref{PoFu} ist es
also schon selbst das Nullpolynom und der Satz folgt. 
\end{proof}




\begin{proof}[Beweis ohne den Fundamentalsatz der Algebra]
Gegeben eine quadratische Matrix $A$ mit Koeffizienten in einem 
Kring gibt es nach \ref{CraRe} eine
 weitere Matrix $A^{\sharp}$ mit Koeffizienten in demselben Kring  derart, da"s
im Ring der
quadratischen Matrizen mit Eintr"agen in unserem Kring
 gilt 
$$A^{\sharp} A = (\op{det} A) \cdot {\op{I}} $$ f"ur ${\op{I}}$ die Einheitsmatrix.
 Nehmen wir speziell den Kring  $K[t]$ und die Matrix $A = F -t {\op{I}}$ f"ur
eine vorgegebene Matrix $F \in \op{Mat}(n ; K)$, so 
erhalten wir in $\op{Mat}(n ; K [t])$  die
 Gleichung
$$A^{\sharp} (F -t{\op{I}}) = \chi_{F} (t)\cdot {\op{I}}$$
Bezeichne nun $f:K^n\ra K^n$ die 
durch Multiplikation von Spaltenvektoren mit der zu $F$ 
transponierten Matrix $F^\top$ gegebene lineare Abbildung.
Wenden wir  auf beide Seiten 
unserer Gleichung von Matrizen
den Ringhomomorphismus $K[t] \ra \op{End}_{K} K^n$ 
mit $t \mapsto f$ an, so erhalten wir in $\op{Mat}(n ; \op{End}_{K}K^n)$ 
alias
$\op{Mat}(n^{2} ; K)$ die Gleichung
$$ A^{\sharp} (F-f {\op{I}}) = \chi_{F}(f)\cdot {\op{I}}$$
Betrachten wir nun die
Standardbasis $\op{e}_1, \ldots ,\op{e}_n$ 
aus Spaltenvektoren des $K^n$ und
wenden beide Seiten 
dieser Gleichung an auf den Vektor 
$(\op{e}_{1}^{\top}, \ldots , \op{e}^{\top}_{n})^{\top}$, 
aufgefa"st als Spaltenvektor in $K^{n^{2}}$, so ergibt auf der 
linken Seite schon die 
Multiplikation mit $(F-f{\op{I}})$ den Nullvektor, denn bei
$$(F - f{\op{I}}) (\op{e}^{\top}_{1}, \ldots , \op{e}^{\top}_{n})^{\top}$$
steht  im $i$-ten Block von $K^{n^{2}}$ genau $F_{i1} \op{e}_{1} + \ldots +
F_{in} \op{e}_{n} - f(\op{e}_{i}) =0$.
Also wird die rechte Seite auch Null und es folgt 
$\chi_{F} (f) \op{e}_{1} = \ldots = \chi_{F} (f) \op{e}_{n} =0$. 
Hier ist zwar $\chi_{F}$ a priori das charakteristische Polynom 
der zu einer Matrix von $f$ transponierten Matrix, aber das
stimmt nach \ref{deTR} mit dem charakteristischen Polynom von $f$
"uberein.
\end{proof}

  \begin{Proposition*}
    Seien $f$ ein Endomorphismus eines Vektorraums $V$ "uber einem
    K"orper $K$ und $P\in K[X]$ ein normiertes Polynom ohne mehrfache
    Nullstellen, das in $K$ vollst"andig in Linearfaktoren zerf"allt
    und $f$ annulliert, in Formeln $P(f)=0$. So ist $f$ diagonalisierbar und 
    seine Eigenwerte  sind Nullstellen von $P$.\label{EWVNn} 
  \end{Proposition*}
  \begin{proof}
    Man w"ahle einen festen Vektor
    $v\in V$ und suche dazu einen normierten Teiler
    $Q=(X-\lambda_1)\ldots(X-\lambda_r)$ von $P$ kleinstm"oglichen
    Grades $r$ mit $Q(f):v\mapsto 0$. Dann ist 
 $E\pdef\langle v,
    f(v), f^2(v),\ldots f^{r-1}(v)\rangle$ ein unter $f$ stabiler 
Untervektorraum von $V$.  Andererseits ist
    $(f-\lambda_2)\ldots(f-\lambda_r)v$ nach Annahme nicht Null 
und folglich ein Eigenvektor von $f$ zum
    Eigenwert $\lambda_1$ in $E$. In derselben Weise  finden wir 
auch Eigenvektoren
    zu den Eigenwerten $\lambda_2,\ldots,\lambda_r$.  Da Eigenvektoren zu
  paarweise
  verschiedenen Eigenwerten linear unabh"angig sind nach \ref{ewlu}, ist
    damit $f|_E$ diagonalisierbar und $v$ eine Summe
von Eigenvektoren von $f$. Die Proposition folgt.
  \end{proof}




\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
Seien $K$ ein K"orper und $A \in\op{Mat} (n ; K)$ eine quadratische
    Matrix mit Koeffizienten in $K$. Man zeige, da"s 
das charakteristische Polynom von $A$ die Gestalt
$$\chi_A(T)=(-T)^{n}+\op{tr}(A)(-T)^{n-1}+
\ldots+\op{det}(A)$$
hat, in Worten also den Leitkoeffizienten
$(-1)^{n}$, als n"achsten Koeffizienten
bis auf ein Vorzeichen 
die \hyperref[trAA]{Spur} von $A$, und als konstanten Term die 
Determinante von $A$.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}
    Jeder Endomorphismus eines 
endlichdimensionalen reellen Vektorraums
    mit negativer Determinante\label{REWV}  
besitzt einen negativen reellen Eigenwert.  
Hinweis: Zwischenwertsatz. Man zeige weiter, da"s er im 
zweidimensionalen Fall zus"atzlich 
auch noch einen positiven reellen Eigenwert besitzt.
\end{Ubung}
 \begin{Ubunge}
    Jeder Endomorphismus eines 
endlichdimensionalen reellen Vektorraums\label{REW} 
    ungerader Dimension besitzt einen 
reellen Eigenwert.  Ist die Determinante
    unseres Endomorphismus positiv, 
so besitzt er sogar einen positiven reellen
    Eigenwert.
 \end{Ubunge}
 \begin{Ubunge}\label{JUI}
Sind $k\subset K$ K"orper  und ist
$k$ algebraisch abgeschlossen und gilt $\op{dim}_kK<\infty$,
so folgt $K=k$.
Hinweis: Man betrachte f"ur alle $a\in K$ die 
durch Multiplikation mit $a$ gegebene $k$-lineare Abbildung 
$(a\cdot):K\ra K$ und deren Eigenwerte.
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}\label{triD}
Gegeben ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen
reellen Vektorraums gibt es stets eine Basis derart, da"s die
zugeh"orige Matrix Block-obere Dreiecksgestalt hat mit
h"ochstens Zweierbl"ocken auf der Diagonalen. 
\end{Ubunge}
\begin{Ubung}
  Sei ein diagonalisierbarer Endomorphismus eines vierdimensionalen
Vektorraums gegeben, dessen Eigenwerte paarweise verschieden sind. 
Wieviele unter unserem Endomorphismus stabile Untervektorr"aume 
besitzt unser Vektorraum?
\end{Ubung}




\begin{Ubung}[\textbf{Endomorphismen, deren Quadrat die Identit"at ist}] 
  Sei $V$ ein Vektorraum "uber einem K"orper
einer von Zwei verschiedenen Charakteristik
und $r:V\ra V$ eine lineare Abbildung mit 
 $r^2=\op{id}_V$.\label{Epm1} 
So ist $r$ diagonalisierbar und alle seine Eigenwerte sind $\pm 1$.
Fordern wir zus"atzlich $\op{dim}V=2$ und $r\neq \op{id}_V$,
so  hat $r$ die Eigenwerte  $1$ und $(-1)$
 und die Determinante $\det(r)=-1$. 
Hinweis: $v=(v+r(v))/2 + (v-r(v))/2$.
\end{Ubung}


\begin{Ubunge}[\textbf{Jordanform 
f"ur $(2\times 2)$-Matrizen}]
Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper.
Man zeige, da"s es f"ur jede quadratische\label{JNFZ} 
Matrix $A \in \op{Mat}(2; K)$
eine invertierbare Matrix $P \in \op{GL} (2;K)$
gibt derart, da"s $P^{-1} A P$ eine der beiden Gestalten $$\begin{pmatrix}
\lambda &0\\ 0 & \mu \end{pmatrix}\quad\text{ oder }
\quad\begin{pmatrix} \lambda &1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}
\quad\text{ hat. }$$
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}
  Gegeben zwei quadratische Matrizen $A,B$ derselben Gr"o"se gilt  
$\chi_{AB}=\chi_{BA}$. Hinweis: Man erinnere beim Beweis der
Multiplikativit"at der Determinante \ref{MuDet} das Argument zur Herleitung
des Falls eines beliebigen Krings aus dem K"orperfall. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Ein Automorphismus eines Vektorraums, der
  jede Ursprungsgerade stabilisiert, mu"s die Multiplikation mit
  einem Skalar sein.\label{AsUg} 
\end{Ubung}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXLA1"
%%% End: