\section{Matrixliegruppen} %MIR GEF"ALLT SO DER ANFANG GUT; ABER HINTEN MUSS ENTSPRECHEND UMGESTELLT WERDEN. \subsection{Einfache Darstellungen der Drehgruppen}\label{DeGrux} \begin{Bemerkungl} Zur besseren Motivation der im folgenden entwickelten Theorie bespreche ich zun"achst die Klassifikation der endlichdimensionalen irreduziblen Darstellungen der Drehgruppe. Die Beweise der im folgenden aufgestellten Behauptungen werden nach etwas auf sich warten lassen, sie sollen gerade den Aufbau der Theorie in den folgenden Abschnitten motivieren. Ich beginne mit einer Kl"arung einiger Grundbegriffe der Darstellungstheorie, wie sie in \eref{DeGru}{NAS} ausf"uhrlicher besprochen werden. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine \defnoind{Darstellung},\index{Darstellung!von Gruppe} englisch und franz"osisch \defind{representation}, einer Gruppe $G$ "uber einem K"orper $k$ ist ein Paar $(V,\rho)$ bestehend aus einem $k$-Vektorraum $V$ und einem Gruppenhomomorphismus $$\rho : G \ra \op{GL} (V)$$ Oft bezeichnen wir eine Darstellung abk"urzend mit demselben Symbol wie den zugrundeliegenden Vektorraum. Gegeben eine Darstellung $V$ einer Gruppe $G$ bezeichnet oft $\rho_{V}$ den zugeh"origen Gruppenhomomorphismus $\rho_{V}: G \ra \op{GL} (V)$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Herkunft der Terminologie}] Im Fall $V = k^{n}$ ist $\op{GL} (V) = \op{GL} (n;k)$ kanonisch isomorph zur Gruppe der invertierbaren $(n\times n)$-Matrizen. Ist\label{DarMx} der Gruppenhomomorphismus $\rho : G \ra \op{GL} (n;k)$ dann auch noch injektiv, so \glqq stellt $\rho$ die abstrakte Gruppe $G$ dar als eine konkrete Gruppe von Matrizen\grqq. Daher r"uhrt die Bezeichnung als \glqq Darstellung\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Darstellungen als Operationen}] Seien $G$ eine Gruppe, $k$ ein K"orper und $V$ ein $k$-Vektorraum. Die Bijektion $\op{Ens}(G,\op{Ens}(V,V))\sira \op{Ens}(G\times V,V)$ des \hyperref[ABBK]{Exponentialgesetzes} induziert dann eine Bijektion $$\left\{\begin{array}{c}\text{Darstellungen}\\G\ra\op{GL}(V) \end{array}\right\} \;\overset{\sim}{\ra} \; \left\{\begin{array}{c}\text{$G$-Operationen } G\times V\ra V\\ \text{durch $k$-lineare Abbildungen} \end{array}\right\} $$ Unter einer \glqq $G$-Operation durch $k$-lineare Abbildungen\grqq\ verstehen wir dabei eine \hyperref[Wir]{$G$-Operation $G \times V \ra V$ auf der Menge $V$} mit der Eigenschaft, da"s gilt $g(v + w) = gv + gw$ und $g(\lambda v)=\lambda (gv) \; \forall g \in G$, $\lambda \in k$ und $v,w \in V$. Gegeben eine Darstellung $V$ schreiben wir im Lichte dieser Erkenntnis statt $(\rho_V(g))(v)$ meist einfach nur $gv$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Jeder Vektorraum $V$ wird eine Darstellung seiner Automorphismengruppe $G = \op{GL} (V) $ vermittels $\rho = \op{id}$. Diese Darstellung hei"st die \index{Standarddarstellung!von $\op{GL}(V)$} {\bf Standarddarstellung von} $\op{GL} (V)$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Jeder Vektorraum $V$ wird eine Darstellung jeder beliebigen Gruppe $G$ vermittels der {\bf trivialen Operation} $\rho (g) = \op{id}_{V} \; \forall g \in G$. Der K"orper $k$ mit der trivialen Operation hei"st die {\bf Einsdarstellung}.\index{Einsdarstellung} \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Darstellungen auf Funktionenr"aumen}] Gegeben eine Menge $X$ mit einer Operation einer Gruppe $G$ und ein K"orper $k$ wird der Funktionenraum $V\pdef\op{Ens}(X,k)$ eine Darstellung von $G$ vermittels der Vorschrift\label{DaFuu} $$(gf)(x)\pdef f(g^{-1}x)\quad\forall g\in G, \;x\in X$$ Zum Beispiel operiert die Drehgruppe $\op{SO}(3)$ auf der Kugelschale $S^2$ und der Raum $\op{Ens}(S^2,\DR)$ aller reellwertigen Funktionen auf der Kugelschale wird so eine reelle Darstellung der Drehgruppe. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Darstellungen der Gruppe der ganzen Zahlen}] F"ur jede Gruppe $G$ liefert das Auswerten bei $1$ nach \eref{GHZ}{GR} eine Bijektion $\op{Grp}(\DZ,G)\sira G$ zwischen der Menge der Gruppenhomomorphismen von $\DZ$ nach $G$ und der Gruppe $G$ selbst. Eine Darstellung $(V,\rho)$ der Gruppe $\DZ$ anzugeben bedeutet demnach nichts anderes, als einen Automorphismus $A \in \op{GL} (V)$ des Vektorraums $V$ anzugeben, n"amlich den Automorphismus $A = \rho (1)$. Die zugeh"orige Darstellung wird dann gegeben durch den Gruppenhomomorphismus $\rho_A:\DZ\ra \op{GL} (V)$ mit $n\mapsto A^n$. \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{DHDx} Seien $V,W$ Darstellungen einer Gruppe $G$ "uber einem festen K"orper $k$. Ein \defnoind{Homomorphismus von Darstellungen}\index{Homomorphismus!von Darstellungen} oder \defind{Verflechtungsoperator} oder englisch \defind{intertwining operator} ist eine $k$-lineare Abbildung $f:V \ra W$ derart, da"s gilt $$f(gv) = gf (v)\quad \forall v \in V,\;g \in G$$ Ein {\bf Isomorphismus von Darstellungen}\index{Isomorphismus!von Darstellungen} ist ein bijektiver Homomorphismus. Gibt es einen Isomorphismus zwischen zwei Darstellungen $V$ und $W$, so schreiben wir auch $V\cong W$ und sagen, $V$ und $W$ seien \defnoind{isomorph}.\index{isomorph!Darstellungen} \end{Definition} % \begin{Definition} % Gegeben Darstellungen $V,W$ einer Gruppe $G$ "uber einem K"orper $k$ % definieren wir ihre \defind{direkte Summe} als den Vektorraum $V % \oplus W$ mit der Operation $g(v,w) = (gv, gw)$. % "Ahnlich definieren wir auch direkte Summen von endlich oder % sogar unendlich vielen Darstellungen. % Die direkte Summe von $n$ Kopien einer Darstellung $V$ k"urzen % wir ab mit $V^n$. F"ur den Fall $n=0$ % vereinbaren wir $V^0=0$. % \end{Definition} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Darstellungen in der Begriffswelt der Kategorien}] Zusammenfassend haben wir im vorhergehenden f"ur jede Gruppe $G$ und jeden K"orper $k$ eine Kategorie $\op{Mod}_{k,G}$ konstruiert, die \glqq Kategorie\label{KADA} aller Darstellungen der Gruppe $G$ "uber dem K"orper $k$\grqq. Im Rahmen der Kategorientheorie k"onnen wir diese Kategorie auch beschreiben als die Kategorie $$\op{Mod}_{k,G}=\op{Cat}([G],\op{Mod}_k)$$ aller Funktoren von der Ein-Objekt-Kategorie $[G]$ aus \eref{MOKA}{LA2} in die Kategorie $\op{Mod}_k$ aller $k$-Vektorr"aume im Sinne von \eref{FuKK}{LA2}. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel} Sind $(V,A)$ und $(W, B)$ Vektorr"aume mit Automorphismus, so ist ein Homomorphismus der zugeh"origen Darstellungen $(V, \rho_A)$ und $(W, \rho_B)$ der Gruppe $\DZ$ eine lineare Abbildung $f: V \rightarrow W$ derart, da"s das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ V \ar[r]^-{f} \ar[d]_-{A} & W \ar[d]^-{B}\\ V \ar[r]^-f & W } \end{displaymath} kommutiert. In der Tat folgt aus $fA = Bf$ n"amlich $fA^n = B^n f$ f"ur alle $n \in \mathbb Z$. \end{Beispiel} \begin{Definition} Sei $G$ eine Gruppe. \begin{enumerate} \item Eine Teilmenge $W \subset V$ einer Darstellung $V$ von $G$ hei"st eine \defnoind{Unterdarstellung},\index{Unterdarstellung!abstrakte} wenn $W$ ein unter $G$ stabiler Untervektorraum ist, in Formeln $g \in G$, $w \in W \Rightarrow gw \in W$; \item Eine Darstellung $V$ von $G$ hei"st \defnoind{irreduzibel}\index{Darstellung!irreduzible}\index{irreduzibel!Darstellung, Gruppe} oder \defnoind{einfach}\index{Darstellung!einfache}\index{einfach!Darstellung, Gruppe}, wenn sie genau zwei Unterdarstellungen hat. Das ist gleichbedeutend dazu, da"s $V$ nicht der Nullraum ist und da"s $0$ und $V$ die einzigen Unterdarstellungen von $V$ sind. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Beispiele} Jede eindimensionale Darstellung ist irreduzibel. Unsere Darstellung $\op{Ens}(S^2,\DR)$ der Drehgruppe $\op{SO}(3)$ aus \ref{DaFuu} ist nicht irreduzibel, denn die konstanten Funktionen oder auch die stetigen Funktionen bilden jeweils eine echte und von Null verschiedene Unterdarstellung. \end{Beispiele} \begin{Satz}[\textbf{Einfache Darstellungen der Kreisgruppe}] Jede einfache endlichdimensionale stetige komplexe Darstellunge\label{SDDR} %\label{EDDe} der Kreisgruppe $S^1$ ist f"ur genau ein $n\in\DZ$ isomorph zur Darstellung $(\DC,\rho_n)$ gegeben durch $\rho_n(z)\pdef z^n\in\op{GL}(1;\DC)=\DC^\times$ f"ur alle $z\in S^1$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Anders gesagt liefert also die Vorschrift $n\mapsto \rho_n$ eine Bijektion $$\DZ \;\overset{\sim}{\ra} \; \left\{\begin{array}{c} \text{Einfache stetige endlichdimensionale}\\ \text{komplexe Darstellungen der Kreislinie }S^1, \\ \text{bis auf Isomorphismus} \\ \end{array}\right\} $$ Mit einer {\bf stetigen Darstellung} $(V,\rho)$ ist hier schlicht gemeint, da"s $\rho$ stetig sein soll. Im Fall topologischer Vektorr"aume $V$ unendlicher Dimension mu"s die Stetigkeit einer Darstellung allerdings sorgf"altiger formuliert werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einfache Darstellungen der ebenen Drehgruppe}] Die einfachen endlichdimensionalen stetigen komplexen Darstellungen der Gruppe $\op{SO} (2)$ der ebenen Drehungen sind damit auch klassifiziert, denn es gibt einen, ja sogar genau zwei stetige Gruppenisomorphismen $\op{SO} (2)\sira S^1$ und deren Umkehrabbildungen sind auch stetig. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $\rho:S^1\ra \op{GL}(V)$ eine von Null verschiedene endlichdimensionale komplexe Darstellung. Da die $\rho(g)$ paarweise kommutieren, besitzen sie nach \eref{SimE}{LA2} einen simultanen Eigenvektor $v\in V\backslash 0$. Die von diesem Eigenvektor erzeugte Gerade ist dann eine Unterdarstellung. Folglich ist jede einfache endlichdimensionale komplexe Darstellung unserer Gruppe, wie im "ubrigen jede einfache endlichdimensionale komplexe Darstellung einer beliebigen kommutativen Gruppe, eindimensional. Folglich wird sie gegeben durch einen stetigen Gruppenhomomorphismus $S^1\ra \DC^\times$. Sein Bild mu"s eine kompakte Untergruppe von $\DC^\times$ sein und folglich in $S^1$ liegen. Die stetigen Gruppenhomomorphismen $S^1\ra S^1$ kennen wir aber bereits aus \eref{ChS1}{AN3}. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Einfache Darstellungen der r"aumlichen Drehgruppe}] Die einfachen endlichdimensionalen stetigen komplexen Darstellungen\label{EDDc} der r"aumlichen Drehgruppe werden klassifiziert durch ihre Dimension. Genauer liefert die Dimension eine Bijektion mit den ungeraden nat"urlichen Zahlen $$\left\{\begin{array}{c}\text{Einfache endlichdimensionale stetige komplexe}\\ \text{Darstellungen der r"aumlichen Drehgruppe }\op{SO} (3), \\ \text{bis auf Isomorphismus} \\ \end{array}\right\} \;\overset{\sim}{\ra} \; \{1,3,5, \ldots\} $$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Anders gesagt ist also (1) die Dimension jeder einfachen endlichdimensionalen stetigen komplexen Darstellung der r"aumlichen Drehgruppe $\op{SO}(3)$ ungerade, zu jeder ungeraden nat"urlichen Zahl gibt es umgekert auch (2) eine einfache Darstellung dieser Dimension und je zwei einfache Darstellungen derselben Dimension sind (3) isomorph. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der vorhergehende Satz gilt analog auch f"ur die einfachen stetigen reellen Darstellungen der r"aumlichen Drehgruppe. Sein Beweis kann erst nach einigen Vorbereitungen in \ref{EDD} gegeben werden. Er bildet eine wesentliche Motivation f"ur die im folgenden entwickelte Theorie. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Die einfache Darstellung der Dimension $1$ ist die\label{ERDv} Einsdarstellung. Die einfache reelle Darstellung der Dimension $3$ ist die Standarddarstellung $\op{SO} (3)\hra \op{GL}(3;\DR)$ alias die Einbettung als Untergruppe. Die einfache komplexe Darstellung der Dimension $3$ entsteht daraus durch das Nachschalten der offensichtlichen Einbettung $\op{GL}(3;\DR)\hra \op{GL}(3;\DC)$. Die einfache reelle Darstellung der Dimension $5$ kann man konstruieren als den Raum aller symmetrischen reellen $(3\times 3)$-Matrizen mit Spur Null unter der durch die Konjugation gegebenen Operation. Es ist aber nicht ganz so leicht zu sehen, da"s diese Darstellung irreduzibel ist. \end{Beispiele} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Eindimensionale Darstellungen der Drehgruppe}] Insbesondere be\-in\-hal\-tet der vorhergehende Satz die Behauptung, da"s jeder stetige Gruppenhomomorphismus $\rho:\op{SO}(3)\ra \DC^\times$ konstant ist. Will man das explizit einsehen, kann man sich "uberlegen, da"s es f"ur jede Drehung $r\in \op{SO}(3)$ eine weitere Drehung $x\in \op{SO}(3)$ gibt mit $r^{-1}=xrx^{-1}$. In der Tat sagt der Satz vom Fu"sball \eref{DrK}{LA2}, da"s jede Drehung $r\in \op{SO}(3)$ eine Gerade punktweise festh"alt, und als $x$ k"onnen wir dann eine beliebige Drehung nehmen, die diese Gerade stabilisiert aber nicht punktweise festh"alt. Es folgt $\rho(r)^{-1}=\rho(r)$ alias $\rho(r)=\pm 1\;\forall r$. Da aber $\op{SO}(3)$ wegzusammenh"angend ist, etwa wieder nach dem Satz vom Fu"sball, folgt $\rho(r)= 1\;\forall r$. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{R"uckzug von Darstellungen mit inneren Automorphismen}] Gegeben ein Gruppenhomomorphismus\label{ZIAx} $H\ra G$ k"onnen wir jede Darstellung $V$ von $G$ zur"uckziehen zu einer Darstellung $\op{res}_G^H V$ von $H$. Man zeige, da"s wir beim Zur"uckziehen mit einem inneren Automorphismus $G\ra G$ eine zur urspr"unglichen Darstellung isomorphe Darstellung erhalten. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{KGDx} Gegeben eine Darstellung $(V,\rho)$ einer Gruppe $G$ "uber einem K"orper $k$ erhalten wir eine Darstellung $(V^\ast,\rho^\ast)$ auf dem Dualraum durch die Vorschrift $\rho^\ast(g)=(\rho(g^{-1}))^\top$. Sie hei"st die {\bf kontragrediente Darstellung}\index{kontragredient!Darstellung von Gruppe} zur Darstellung $(V,\rho)$. Man zeige, da"s eine endlichdimensionale Darstellung einfach ist genau dann, wenn die zugeh"orige kontragrediente Darstellung einfach ist. Man gebe ein Beispiel f"ur eine eindimensionale Darstellung, die nicht zu ihrer kontragredienten Darstellung isomorph ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{BsQx} Man zeige, da"s die Quaternionen als reeller Vektorraum eine irreduzible Darstellung der Gruppe $\{\pm 1,\pm \op{i},\pm \op{j}, \pm \op{k}\}$ aus \eref{QuatG}{AL} bilden. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Einfache reelle Darstellungen der Kreisgruppe}] Jede einfache endlichdimensionale stetige reelle Darstellunge\label{EDKr} der Kreisgruppe $S^1$ ist entweder isomorph zur Einsdarstellung $\DR$ oder f"ur genau ein $n\in\DN_{>0}$ isomorph zur reell zweidimensionalen Darstellung $(\DC,\rho_n)$ gegeben durch $\rho_n(z)\pdef z^n\in\op{Aut}_\DR(\DC)$ f"ur alle $z\in S^1$. \end{Ubung} \subsection{Tangentialraum und Exponentialabbildung} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erinnerungen an eingebettete Mannigfaltigkeiten}] Ich erinnere daran, da"s wir die nat"urliche Topologie auf einem endlichdimensionalen reellen Raum in \eref{RAVe}{AN1} erkl"art hatten als die metrische Topologie zu einer und jeder Norm. Ich erinnere daran, da"s wir in \eref{MFoR}{AN2} und \eref{glatt}{AN2} vereinbart hatten, eine Teilmenge $M\subset X$ eines $n$-dimensionalen reellen affinen Raums $X$ eine {\bf glatte $k$-Mannigfaltigkeit} zu nennen, wenn es um jeden Punkt $p\in M$ ein lokales Kordinatensystem $(U,g)$ von $X$ gibt mit $$M\cap U=\{x\in U\mid g_{k+1}(x)=\ldots= g_n(x)=0\}$$ Anders gesagt wird also $M$ \glqq lokal durch das Verschwinden der letzten $k$ Koordinaten eines glatten lokalen Koordinatensystems von $X$ beschrieben\grqq. Eine {\bf Karte von $M$} erkl"aren wir wie in \eref{Karte}{AN2} als ein Paar $(W,\varphi)$ mit $W\co\DR^k$ und $\varphi:W\hra M$ offen, glatt und injektiv derart, da"s die Verkn"upfung mit der Einbettung $i\circ \varphi:W\hra X$ an jeder Stelle injektives Differential hat. Ich erinnere an den Tangentialraum ${\op{T}}_pM%={\op{T}}_p^\subset M \subset \vec X$ an eine eingebettete Mannigfaltigkeit $M$ in einem Punkt $p\in M$ aus \eref{Tara}{AN2}, den wir definiert hatten als die Menge aller Geschwindigkeitsvektoren bei $p$ von stetig differenzierbaren Wegen durch $p$ in $M$. %das Bild $${\op{T}}_pM\pdef \op{im}\tiff_w \varphi$$ f"ur eine und jede Karte $(W,\varphi)$ von $M$, f"ur die es ein $w\in W$ gibt mit $\varphi(w)=p$. Insbesondere haben wir im Fall $M\co X$ einer offenen Teilmenge ${\op{T}}_pM=\vec{X}$ f"ur alle $p\in M$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tangentialr"aume von Mannigfaltigkeiten in Vektorr"aumen}] Im Fall einer Untermannigfaltigkeit $M\subset V$ eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums $V$ erinnere ich zus"atzlich an unsere kanonische\label{trmV} Identifikation $$\op{trans}:V\sira \vec{V}$$ zwischen dem zugrundeliegenden Vektorraum und dem Richtungsraum des zugeh"origen affinen Raums aus \eref{VRAR}{LA1} durch $\op{trans}:v\mapsto (v+)$, die derart kanonisch ist, da"s wir sie in Sprache und Notation oft so behandeln, als seien diese beiden Vektorr"aume schlicht gleich. Im Fall einer offenen Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums $M\co V$ haben wir in dieser Konvention dann ${\op{T}}_pM=V$. Im Fall der Zahlengeraden machen wir aber doch gerne den Unterschied und schreiben $\partial=\op{trans}(1)\in\vec{\DR}$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Untergruppen als Untermannigfaltigkeiten}] Jede abgeschlossene Untergruppe der Automorphismengruppe eines endlichdimensionalen reellen\label{UGM} Vektorraums ist eine glatte Un\-ter\-man\-nig\-fal\-tig\-keit im Raum aller Endomorphismen unseres Vektorraums. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Bezeichne $V$ unseren endlichdimensionalen reellen Vektorraum. Man beachte, da"s wir von unserer Gruppe $G\As \op{Aut}V$ keineswegs fordern, da"s sie abgeschlossen sein soll im endlichdimensionalen Vektorraum $\op{End}V$. Ausgeschrieben fordern wir vielmehr nur f"ur jede Folge in $G$, die bez"uglich irgendeiner Norm auf $\op{End}V$ gegen einen Punkt von $\op{Aut}V$ konvergiert, da"s dann auch dieser Punkt bereits in $G$ liegen soll. Eine abgeschlossene Untergruppe der Automorphismengruppe eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums\label{MLGr} nennen wir eine {\bf Matrix-Liegruppe}.\index{Liegruppe!Matrixliegruppe} \index{Matrixliegruppe} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Typische Beispiele f"ur Matrixliegruppen sind die allgemeinen linearen Gruppen $\op{GL} (n; \DR)= \op{Aut}\DR^n$, $ \op{GL} (n; \DC)\subset \op{Aut}_\DR\DC^n$ und $\op{GL} (n;\Bbb{H})\subset \op{Aut}_\DR\Bbb{H}^n$ f"ur den Schiefk"orper $\Bbb{H}$ der Quaternionen aus \eref{DQua}{LA1}; die Gruppen $\op{SL} (n; \DR)\subset \op{Aut}\DR^n$ und $ \op{SL} (n; \DC)\subset \op{Aut}\DC^n$ aller reellen beziehungsweise komplexen Matrizen mit Determinante Eins; die Gruppen $\op{O} (n)\subset \op{Aut}\DR^n$ und $ \op{U} (n)\subset \op{Aut}\DC^n$ aller orthogonalen beziehungsweise unit"aren Matrizen und darin die Untergruppen $\op{SO} (n)$ und $ \op{SU} (n)$ aller Matrizen mit\label{BspML} Determinante Eins; die Gruppen aller invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen, aller oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonalen, oder aller reellen oder komplexen Diagonalmatrizen, jeweils zu einer fest vorgegebenen Zahl von Zeilen und Spalten. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungw} Eine \glqq Liegruppe\grqq\ oder ausf"uhrlicher und gleichbedeutend \glqq abstrakten Liegruppe\grqq\ erkl"aren wir in \ref{DefLL} ganz allgemein eine \glqq glatte Mannigfaltigkeit\grqq\ $G$ mit einer Gruppenstruktur derart, da"s die Multiplikation $ G \times G \ra G$, $ (x,y) \mapsto xy $ und die Inversenbildung $ G \ra G$, $ x \mapsto x^{-1} $ beide glatt sind. Die Terminologie erinnert an den Begr"under der Theorie, den norwegischen Mathematiker Sophus Lie (1842-1899). Hierbei verstehen wir unter Mannigfaltigkeiten nicht nur eingebettete Mannigfaltigkeiten, sondern allgemeiner abstrakte Mannigfaltigkeiten, wie wir sie in \ref{ADMa} diskutieren. Wir werden dort sehen, wie sich unsere Argumente in diesem Rahmen verallgemeinern lassen. Insbesondere wird es sich erweisen, da"s jede Matrixliegruppe mit ihrer \glqq induzierten Struktur als Manigfaltigkeit\grqq\ auch eine Liegruppe ist. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}\label{DEXE} Wir zeigen obigen Satz \ref{UGM} zusammen mit einer genaueren Aussage, die wir im folgenden formulieren. Dazu erinnern wir daran, da"s wir in \eref{ExeBR}{AN1} f"ur jeden endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ die Exponentialabbildung $$\begin{array}{cccc} \op{exp}:& \op{End} V & \ra &\op{Aut} V \\ &X & \mapsto & \sum_{\nu \geq 0} X^{\nu}/\nu ! \end{array}$$ eingef"uhrt hatten. Sie ist eine glatte Abbildung nach \eref{ExpDi}{AN2} und ihr Differential am Ursprung ist die Identit"at nach \eref{DEX}{AN2}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Abbildung von einer Untermannigfaltigkeit eines endlichdimensionalen\label{DiFe} reellen Raums in einen endlichdimensionalen reellen Raum hei"st {\bf glatt}, wenn die daraus durch Vorschalten einer beliebigen Karte unserer Untermannigfaltigkeit entstehende Abbildung\label{glatt} glatt ist im Sinne von \eref{glat}{AN2}. %oder noch allgemeiner im Sinne von \ref{stdd}. \end{Definition} \begin{Definition} Eine Abbildung zwischen Untermannigfaltigkeiten endlichdimensionaler reeller R"aume hei"st {\bf glatt},\index{glatt!Abbildung!zwischen Untermannigfaltigkeiten} wenn ihre Verkn"upfung mit der Einbettung der zweiten Untermannigfaltigkeit glatt ist im Sinne von \ref{glatt}. Ein {\bf Diffeomorphismus}\index{Diffeomorphismus!zwischen Untermannigfaltigkeiten} von\label{DIFe} glatten Untermannigfaltigkeiten ist eine glatte bijektive Abbildung mit glatter Umkehrabbildung. \end{Definition} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildexpi}\\[4mm] \noindent Der besseren Anschaulichkeit halber habe ich hier den Einstangentialraum ${\op{T}}_1 S^1={\op{i}}\DR$ an die Kreislinie dargestellt als den \glqq zum Fu"spunkt $1$ verschobenen\grqq\ affinen Raum $1+{\op{T}}_1 S^1\subset\DC$. Die kleinen Pfeile deuten die Exponentialabbildung an, genauer die Abbildung $1+{\op{i}}a\mapsto \op{exp}{\op{i}}a$. \end{figure} \begin{Bemerkungl} Den Tangentialraum an eine Matrixliegruppe im neutralen Element nennen wir den {\bf Einstangentialraum}.\index{Einstangentialraum} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Tangentialraum und Exponentialabbildung}] Gegeben eine Matrixliegruppe $G\As \op{GL}(V)$ gilt:\label{Peli} \begin{enumerate} \item Der Einstangentialraum ${\op{T}}_eG\subset \op{Richt}(\op{End}V)$ unserer Matrixliegruppe entspricht unter $\op{trans}:\op{End}V\sira \op{Richt}(\op{End}V)$ der Vereinigung aller Ursprungsgeraden des Endomorphismenraums, die unter der Exponentialabbildung in unserer Matrixliegruppe $G$ landen; \item Die Verkn"upfung $\op{exp}\circ\op{trans}^{-1}:{\op{T}}_eG\ra G$ liefert einen Diffeomorphismus im Sinne von \ref{DIFe} zwischen einer offenen Umgebung der Null im Eins\-tan\-gen\-tial\-raum ${\op{T}}_eG$ und einer offenen Umgebung des neutralen Elements $e\in G$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Beispiel} Der Satz gilt a forteriori auch f"ur jeden endlichdimensionalen komplexen oder quaternionalen Vektorraum und kann am Beispiel der Kreisgruppe $S^1\subset\DC^\times$ besonders gut veranschaulicht werden: In diesem Fall haben wir ${\op{T}}_1S^1=\op{trans}({\op{i}}\DR)$. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis von \ref{UGM} und \ref{Peli}] Wir zeigen zun"achst, da"s die Menge $$\frak{g}\pdef \{ X\in\op{End}V\mid \op{exp}(\DR X)\subset G\}$$ ein Untervektorraum des Endomorphismenraums ist. Nach dem Umkehrsatz der Analysis \eref{UKA}{AN2} definiert ja die Exponentialabbildung $\op{End}V\ra \op{Aut}V$ einen Diffeomorphismus zwischen einer offenen Umgebung $A\co\op{End}V$ der Null und einer offenen Umgebung $B\co\op{Aut}V$ der Identit"at. Jetzt brauchen wir eine Formel, die ich als eigenst"andiges Lemma formuliere. \begin{Lemma}[\textbf{Produktformel von Trotter}] Ist $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,\label{ESU} so gilt f"ur alle $X,Y \in \op{End}V$ die Formel $$\op{exp} (X+Y) = \op{lim}_{n\ra \infty} \left(\op{exp}\left(\frac{X}{n}\right) \op{exp}\left(\frac{Y}{n}\right)\right)^{n}$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkunge}\label{BREk} Das verallgemeinert sich mit demselben Beweis auf den Fall eines beliebigen Banachraums $V$, wenn wir statt $\op{End}V$ nur den Teilraum der stetigen Endomorphismen $\mathcal B(V)$ betrachten und statt $\op{Aut}V$ die Gruppe $\mathcal B(V)^\times$ der Einheiten dieses Rings. \end{Bemerkunge} \begin{proof} F"ur kleine $t \in \Bbb{R}$ gilt sicher $$\op{exp}(tX) \op{exp}(tY) = \op{exp}(Z(t))$$ f"ur eine wohldefinierte glatte Kurve $Z: (-\varepsilon, \varepsilon)\ra \op{End}V$. Ein Vergleich der Differentiale zeigt $\dot{Z} (0) = X + Y$ und folglich $Z (t) = t(X+Y) + t \eta (t)$ f"ur $\eta$ stetig bei Null mit Funktionswert Null. So ergibt sich $$ \begin{array}{ccl} \left(\op{exp} (\frac{X}{n}) \op{exp} (\frac{Y}{n})\right)^{n} &= & \op{exp} \left(Z (\frac{1}{n})\right)^{n}\\[2mm] &=& \op{exp} \left(n Z (\frac{1}{n})\right)\\[2mm] &=& \op{exp}\left(X + Y + \eta (\frac{1}{n})\right) \end{array}$$ und das strebt f"ur $n\ra\infty$ offensichtlich gegen $\op{exp}(X + Y)$. \end{proof} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildtg}\\[4mm] \noindent Die $\frak{g}$-Linie zusammen mit den parallelen gestrichelten Linien stellen die unter Addition mit Vektoren aus $\frak{g}$ stabile Menge $\psi^{-1}(G)$ dar. \end{figure} \noindent Unsere Menge $\frak{g} $ aller $X\in\op{End}V $ mit $\op{exp}(\Bbb{R}X) \subset G$ vom Beginn des Beweises ist nun sicher f"ur jede Untergruppe $G$ stabil unter der Multiplikation mit reellen Zahlen, und nach der Produktformel von Trotter \ref{ESU} gilt im Fall einer abgeschlossenen Untergruppe $G$ auch $X,Y\in \frak{g}\;\RA \;(X+Y)\in \frak{g}$. Damit ist die Menge $\frak{g}$ in der Tat ein Untervek\-tor\-raum von $\op{End}V $. Wir w"ahlen nun zu diesem Untervektorraum ein Komplement $\frak{t}$, also $\op{End}V=\frak{g}\oplus\frak{t}$, und betrachten die Abbildung $$\begin{array}{cccl} \psi :& \op{End}V & \ra & \op{Aut}V\\ &X+Y &\mapsto & (\op{exp}X) (\exp Y) \end{array}$$ f"ur alle $X \in \frak{g}$, $Y \in \frak{t}$. Offensichtlich ist $\psi^{-1}(G)$ stabil unter der Addition von Vektoren aus $\frak{g}$. Weiter hat $\psi$ bijektives Differential bei Null und induziert folglich nach dem Umkehrsatz \eref{UKA}{AN2} oder besser seiner glatten Variante \eref{UKgl}{AN2} einen Diffeomorphismus $\psi : A \sira B$ zwischen geeigneten offenen Umgebungen der Null in $\op{End}V $ beziehungsweise der Identit"at in $\op{Aut}V $. Wenn wir zeigen k"onnen, da"s $\psi$ f"ur hinreichend kleine $A$ und $B$ sogar eine Bijektion $$\psi : A \cap \frak{g} \sira B \cap G$$ induziert, so liefert die Umkehrabbildung von $\psi$ eine Pl"attung im Sinne von \eref{MFoR}{AN2} der Gruppe $G$ um das neutrale Element. Die Umkehrabbildung von $(g \cdot)\circ \psi$ liefert dann auch eine Pl"attung um ein beliebiges Element $g \in G$ und \ref{UGM} ist bewiesen und \ref{Peli} folgt aus dem Beweis gleich auch noch mit. Also m"ussen wir nur noch die behauptete Eigenschaft von $\psi$ zeigen. Da $\psi^{-1}(G)$ stabil ist unter der Addition von Vektoren aus $\frak{g}$, reicht es zu zeigen, da"s die Null ein offener Punkt von $\psi^{-1}(G) \cap \frak{t}$ ist, da"s es also eine Umgebung der Null in $\frak{t}$ gibt, die $\psi^{-1}(G)$ nur in Null trifft. Nun ist aber $\psi^{-1}(G) \cap \frak{t}$ sicher stabil unter der Multiplikation mit ganzen Zahlen. W"are au"serdem die Null ein H"aufungspunkt von $\psi^{-1}(G) \cap \frak{t}$, so f"anden wir nach dem anschlie"senden technischen Lemma \ref{Lt} ein von Null verschiedenes $X\in \frak{t}$ mit $\DR X\subset \psi^{-1}(G) \cap \frak{t}$ im Widerspruch zu unserer Annahme $\frak{t}\cap \frak{g}=0$. \end{proof} \begin{Lemma}\label{Lt} Ist eine abgeschlossene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums stabil unter der Multiplikation mit allen ganzen Zahlen und ist der Ursprung ein H"aufungspunkt unserer Teilmenge, so enth"alt unsere Teilmenge eine Gerade durch den Ursprung. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $M$ unser endlichdimensionaler $\Bbb{R}$-Vektorraum und $C \subset M$ unsere abgeschlossene Teilmenge. Wir w"ahlen eine Norm $| \; |$ auf $M$. Nach unseren Annahmen finden wir eine Nullfolge $c_{n}$ in $C\backslash 0$. Bezeichnet $\beta_{n}$ die kleinste ganze Zahl "uber $1 / |c_{n}|$, so haben wir offensichtlich $\op{lim}_{n \ra \infty} |\beta_{n}c_{n}|=1$ und nach Heine-Borel besitzt die Folge $\beta_{n}c_{n}$ eine konvergente Teilfolge. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s sie bereits selbst konvergiert, sagen wir gegen ein $d\in C$, in Formeln $\op{lim}_{n\ra \infty} \beta_{n}c_{n} = d $. Sicher gilt dann $|d|=1$. Ist weiter $t \in \Bbb{R}$ beliebig, so gibt es wegen $\lim_{n\ra \infty} \beta_{n} =\infty$ eine Folge von ganzen Zahlen $\gamma_{n}$ mit $\op{lim}_{n\ra \infty} \gamma_{n}/\beta_{n} =t $ und folglich $$\op{lim}_{n\ra \infty} \gamma_{n} c_{n} = (\op{lim}_{n\ra \infty} \gamma_{n}/\beta_{n}) \cdot (\op{lim}_{n \ra \infty} \beta_{n}c_{n}) = td$$ Da $C$ abgeschlossen ist, folgt $\Bbb{R} d \subset C$. \end{proof} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildCcCc}\\[4mm] \noindent Illustration zum Beweis von \ref{Lt}. Die Kreislinie stellt den Einheitskreis dar, die Kreuzchen, Kringelchen und Punkte die ersten Folgenglieder $c_0,c_1,c_2$ und ihre Vielfachen. \end{figure} \begin{Beispiel}[\textbf{Einstangentialraum an $\op{GL} (n)$ und $\op{SL} (n)$}] Wir verwenden hier unsere Konvention \ref{trmV} und identifizieren also stillschweigend jeden Vektorraum mit dem Richtungsraum des zugeh"origen affinen Raums. Der Eins\-tan\-gen\-tial\-raum an $\op{GL} (n;\Bbb{C})$ ist dann $\op{Mat}(n;\DC)$.\label{LSL} Der Einstangentialraum an $\op{SL} (n;\Bbb{R})$ ist die Menge $\frak{sl}(n;\Bbb{R})$ aller $(n\times n)$-Matrizen mit Spur Null. In der Tat beachte man die Formel $$\op{det} (\op{exp} A)= \op{exp} (\op{tr} A)$$ Sie ist f"ur komplexe obere Dreiecksmatrizen offensichtlich und folgt f"ur beliebige komplexe Matrizen mit dem Satz "uber die Trigonalisierbarkeit \eref{FgUU}{LA1} daraus, da"s beide Seiten konstant sind auf Konjugationsklassen, da"s also beide Seiten f"ur alle Matrizen $A$ und alle invertierbaren Matrizen $B$ auf $A$ und $BAB^{-1}$ denseben Wert annehmen. Diese Formel zeigt, da"s $\frak{sl} (n;\Bbb{R})$ unter der Exponentialabbildung in $\op{SL}(n;\Bbb{R})$ landet, und daraus folgt bereits $\frak{sl}(n;\Bbb{R}) \subset {\op{T}}_{e} \op{SL} (n;\Bbb{R})$. Andererseits umfa"st $\op{SL}(n;\Bbb{R})$ keine Umgebung der Einheitsmatrix in $ \op{GL} (n;\Bbb{R})$, und daraus folgt ${\op{T}}_{e} \op{SL} (n; \Bbb{R}) \neq \op{Mat}(n;\Bbb{R})$. Beides zusammen zeigt dann die Gleichheit $\frak{sl}(n;\Bbb{R}) = {\op{T}}_{e} \op{SL} (n;\Bbb{R})$. Ein besseres Argument liefert sp"ater \ref{LiKe}. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Einstangentialraum orthogonaler Gruppen}] Der Einstangentialraum der Gruppe\label{LiSO} $\op{O}(n)\pdef\{A\in \op{GL}(n;\DR)\mid AA^\top=I\}$ %, \; \op{det}(A)=1\}$ ist der Raum der schiefsymmetrischen Matrizen $${\op{T}}_I\op{O}(n)= \{X\in \op{Mat}(n;\DR)\mid X+X^\top=0\}$$ Um das zu sehen, %% beachten wir zun"achst, da"s $\op{SO}(n)$ und $\op{O}(n)$ %% sicher denselben Tangentialraum beim neutralen Element haben und verwenden wir die exponentielle Beschreibung \ref{Peli}. In der Tat folgt aus $X+X^\top=0$ sofort $I=\op{exp}(tX+tX^\top)=\op{exp}(tX)\op{exp}(tX^\top) =\op{exp}(tX)\op{exp}(tX)^\top$ f"ur alle $t\in \DR$, und umgekehrt folgt f"ur $X\in \op{Mat}(n;\DR)$ aus $\op{exp}(tX)\op{exp}(tX)^\top=I$ f"ur alle $t\in \DR$ durch Bilden der Ableitung nach $t$ bei $t=0$ auch sofort $X+X^\top=0$. Die Bestimmung des Tangentialraums liefert f"ur die Dimension der orthogonalen Gruppen die Formel $\op{dim}\op{O}(n)=n(n-1)/2$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ein topologischer Raum hei"st {\bf zusammenh"angend}\index{zusammenh"angend!topologischer Raum}, wenn er nicht leer ist und sich nicht als disjunkte Vereinigung von zwei nichtleeren offenen Teilmengen schreiben l"a"st. Wir werden diese Eigenschaft in \eref{DZSH}{TM} ausf"uhrlich diskutieren. Aus \eref{WTZ}{TM} wird folgen, da"s eine Matrixliegruppe genau dann zusammenh"angend ist, wenn sie wegzusammenh"angend ist im Sinne unserer Definition \eref{Weg}{AN2}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Komponenten orthogonaler Gruppen}] Die spezielle orthogonale Gruppe $\op{SO}(n)\subset \op{O}(n)$ ist nach \eref{ZKGL}{AN2} zusammenh"angend und als Urbild von $1$ unter $\op{det}$ auch abgeschlossen. Da ihr Komplement als Urbild von $(-1)$ unter $\op{det}$ ebenfalls abgeschlossenen ist, und da dies Komplement dar"uber hinaus auch zusammenh"angend, ja sogar hom"oomorph zu $\op{SO}(n)$ ist, erhalten wir damit eine Darstellung von $\op{O}(n)$ als eine disjunkte Vereinigung von zwei offenen zusammenh"angenden Teilmengen. \end{Beispiel} \begin{Proposition} Eine zusammenh"angende Matrixliegruppe wird von jeder Umgebung ihres neutralen Elements erzeugt.\label{ZLGZz} \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} In \eref{EXTO}{TM} zeigen wir dieselbe Aussage allgemeiner f"ur beliebige topologische Gruppen. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Die von einer Umgebung $U$ des neutralen Elements erzeugte Untergruppe $H\subset G$ ist offen in unserer Gruppe $G$, da f"ur jedes $h\in H$ auch seine Umgebung $hU$ in $H$ enthalten ist. Dann sind auch alle Linksnebenklassen $Hg$ unserer Untergruppe offen in $G$. Als Bahnen der Linksoperation von $H$ auf $G$ sind sie aber paarweise disjunkt, und f"ur $G$ zusammenh"angend folgt dann aus \eref{WTZ}{TM} bereits, da"s es nur eine einzige Linksnebenklasse geben kann, also $H=G$. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Einstangentialraum bestimmt Einskomponente}] Haben zwei zusammenh"angende abgeschlossene Untergruppen\label{LaLg} der Automorphismengruppe eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums denselben Einstangentialraum, so stimmen sie "uberein. \end{Korollar} \begin{proof} Nach Lemma \ref{ZLGZz} wird eine zusammenh"angende Matrixliegruppe von jeder Umgebung ihres neutralen Elements erzeugt. Wegen \ref{Peli} umfa"st das Bild der Exponentialabbildung stets eine Umgebung des neutralen Elements, folglich wird eine zusammenh"angende Matrixliegruppe stets vom Bild ihres Einstangentialraums unter der Exponentialabbildung erzeugt. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Einstangentialraum orthogonaler Gruppen, Variante}] Sind $V,W$ endlichdimensionale reelle Vektorr"aume und ist $\omega:V\times V\ra W$ bilinear und\label{FGTR} $G\subset \op{GL}(V)$ die Gruppe aller $g$ mit $\omega(gv,gu)=\omega(v,u)$ f"ur alle $v,u\in V$, so besteht ${\op{T}}_eG\subset \op{End}(V)$ genau aus allen Endomorphismen $X$ mit $\omega(Xv,u)+\omega(v,Xu)=0$ f"ur alle $v,u\in V$. Das will ich nun einmal beispielhaft ausarbeiten. Gegeben $X$ mit $\omega(\op{exp}(tX)v,\op{exp}(tX)u)=\omega(v,u)$ f"ur alle $t,u,v$ erhalten wir durch Ableiten beider Seiten nach $t$ bei $t=0$ bereits $\omega(Xv,u)+\omega(v,Xu)=0$. Hier verwenden wir die Kettenregel f"ur Differentiale \eref{Kett}{AN2} und die Formel f"ur das Differential einer bilinearen Abbildung \eref{PRm}{AN2}. Umgekehrt finden wir $\op{exp}(X\otimes \op{id} + \op{id}\otimes X) = \op{exp}(X)\otimes \op{exp}(X)$ mit der Formel \eref{ADFG}{AN1} und damit folgt leicht die Gegenrichtung. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Zusammenhangskomponenten von Matrixliegruppen}] Gegeben eine Matrixliegruppe $G$ ist ihre Einskomponente alias Zusammenhangskomponente des neutralen Elements offen und abgeschlossen in $G$ und insbesondere selbst eine Matrixliegruppe derselben Dimension wie $G$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{AURV} Man folgere direkt aus \ref{Lt}, da"s jede zusammenh"angende abgeschlossene Untergruppe eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums ein Untervektorraum ist. Hinweis: Vollst"andige Induktion. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Einstangentialraum an $\op{U} (n)$}] Der Einstangentialraum\label{TUn} der Gruppe $\op{U}(n)=\{A\in \op{GL}(n;\DC)\mid A\bar{A}^\top=I\}$ der unit"aren Matrizen ist der Raum der schiefhermiteschen Matrizen $${\op{T}}_I\op{U}(n)= \{X\in \op{Mat}(n;\DC)\mid X+\bar{X}^\top=0\}$$ Hinweis: Es geht auch noch allgemeiner, vergleiche \ref{FGTR}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{XOV} Ich erinnere an das Kreuzprodukt auf einem dreidimensionalen orientierten reellen Skalarproduktraum \eref{KPOj}{LA2}. Gegeben ein dreidimensionaler Skalarproduktraum $V$ liefert mit dieser Begriffsbildung die Wahl einer Orientierung einen Vektorraumisomorphismus $$ \begin{array}{ccc} V &\sira &{\op{T}}_e {\op{O}}(V)\\ \vec v &\mapsto& (\vec v \times) \end{array} $$ Der Automorphismus $\op{exp} (\vec v \times)$ bedeutet geometrisch eine Drehung um die Achse $\mathbb R \vec v$ mit Winkel $\| \vec v\|$ im Bogenma"s. Ist genauer $\mathcal B =(\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3)$ eine orientierte Orthonormalbasis von $V$, so zeige man f"ur die Matrix $\op{exp} (t \vec v_1 \times)$ in dieser Basis die Formel \begin{equation*} {}_{\mathcal B}\left[ \op{exp} (t \vec v_1 \times)\right]_{\mathcal B} = \begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 & \cos t & -\sin t\\ 0 & \sin t & \cos t \end{pmatrix} \end{equation*} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Beispiel f"ur eine bijektive Exponentialabbildung}] Man zeige, da"s die Exponentialabbildung im Fall der Gruppe aller oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonale ein Diffeomorphismus ist. Hinweis: Die Logarithmusreihe liefert eine\label{SuEU} inverse Abbildung. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Beispiel f"ur eine bijektive Exponentialabbildung}] Man zeige, da"s die Exponentialabbildung im Fall der Gruppe aller reellen invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen mit positiven Diagonaleintr"agen ein Diffeomorphismus ist. Hinweis: Jordan-Zerlegung und \ref{SuEU} und Funktionalgleichung der Exponentialfunktion. %Ein Endomorphismus kommutiert mit einem halbeinfachen %Endomorphismus genau dann, wenn er dessen Eigenräume stabilisiert. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Beispiel f"ur eine surjektive Exponentialabbildung}] Man zeige, da"s die Exponentialabbildung im Fall der Gruppe aller komplexen invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen eine Surjektion ist. Hinweis: Jordanzerlegung und \ref{SuEU}. Man folgere, da"s die Exponentialabbildung im Fall der Gruppe aller komplexen invertierbaren Matrizen eine Surjektion ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Beispiel f"ur eine nicht surjektive Exponentialabbildung}] Ist $x=x_{\op{s}}+x_{\op{n}}$ die additive Jordanzerlegung einer Matrix $x\in {\op{Mat}}(n;\DR)$ oder $x\in {\op{Mat}}(n;\DC)$, so ist $\exp x=(\exp x_{\op{s}})(\exp x_{\op{n}})$ die multiplikative Jordanzerlegung von $\exp x$. Man folgere, da"s der $(2\times 2)$-Jordanblock zum Eigenwert $-1$ nicht zum Bild von $\exp: {\op{Mat}}(2;\DR)\ra {\op{GL}}(2;\DR)$ geh"oren kann, obwohl er durchaus zur Zusammenhangskomponente der Einheitsmatrix geh"ort. \end{Ubung} % \begin{Bemerkunge}[\textbf{Beispiel f"ur eine nicht % surjektive Exponentialabbildung}] % Die Exponentialabbildungen % $\frak{sl}(2;\Bbb{R})\ra \op{SL} (2;\Bbb{R})$ % und ebenso $\frak{sl}(2;\Bbb{C})\ra \op{SL} (2;\Bbb{C})$ % sind nicht surjektiv. In der Tat sind alle % nicht nilpotenten Matrizen der zugeh"origen % Liealgebren "uber $\DC$ diagonalisierbar, folglich sind % alle nicht unipotenten Matrizen im Bild % der Exponentialabbildung "uber $\DC$ diagonalisierbar. % In beiden Gruppen gibt es jedoch auch Elemente, wie etwa den % $(2\times 2)$-Jordanblock zum Eigenwert $-1$, % die weder unipotent noch "uber $\DC$ diagonalisierbar % sind, und die folglich nicht zum Bild der % Exponen\-tialabbildung geh"oren k"onnen. % \end{Bemerkunge} \begin{Ubung}\label{TGBB} Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ und ein Vektor $v\in V$ hat die Matrixliegruppe $G\pdef\{g\in \op{Aut}V\mid gv=v\}$ den Einstangentialraum ${\op{T}}_e G=\{ x\in \op{End}V\mid xv=0\}$. Des weiteren hat die Matrixliegruppe $G\pdef\{g\in \op{Aut}V\mid gv\in \DR v\}$ den Einstangentialraum ${\op{T}}_e G=\{ x\in \op{End}V\mid xv\in \DR v\}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s das Zentrum der orthogonalen Gruppe $\op{O}(n)$ aus der Einheitsmatrix und ihrem Negativen besteht, in Formeln ${\op{Z}}({\op{O}(n)})=\{\pm {\op{I}}\}$. Hinweis: Kommutieren mit $\op{diag}(-1,1\ldots,1)$ bedeutet, die Gerade $\DR{\op{e}}_1$ zu stabilisieren. Man zeige, da"s f"ur das Zentrum der speziellen orthogonalen Gruppe $\op{SO}(n)$ gilt ${\op{Z}}({\op{SO}(n)})=\{{\op{I}}\}$ f"ur $n$ ungerade, ${\op{Z}}({\op{SO}(n)})=\{\pm{\op{I}}\}$ f"ur $n\geq 4$ gerade und ${\op{Z}}({\op{SO}(2)})={\op{SO}(2)}$. \end{Ubung} \subsection{Liealgebren von Matrixliegruppen}\label{LiB} \begin{Bemerkungl} Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Im Lichte von \ref{LaLg} stellt sich die Frage, welche reellen Untervektorr"aume in $\op{End}V$ die Einstangentialr"aume abgeschlossener Untergruppen von $\op{Aut} V$ sind. Eine notwendige Bedingung liefert der folgende Satz. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Stabilit"at des Einstangentialraums unter dem Kommutator}] F"ur jede abgeschlossene Untergruppe $G \As \op{Aut} V$ der Automorphismengruppe\label{KLIE} eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums $V$ ist ihr Einstangentialraum ${\op{T}}_{e}G\subset \op{End}V$ stabil unter dem Bilden des Kommutators. Mit $X$ und $Y$ geh"ort also in Formeln auch $XY-YX$ zu ${\op{T}}_{e}G$. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] F"ur jedes $g \in \op{Aut} V$ betrachten wir die lineare Abbildung $$\begin{array}{cccc} \op{int}_g : & \op{End}V &\ra& \op{End}V\\ &x &\mapsto & g x g^{-1} \end{array}$$ Ihr Differential bei der Einheitsmatrix notieren wir $\op{Ad}_g$. Da $\op{int}_g$ linear ist, wird $\op{Ad}_g$ durch dieselbe Formel gegeben wie $\op{int}_g$. Unter der zus"atzlichen Voraussetzung $g \in G$ stabilisiert $\op{int}_g$ die Menge $G$ und induziert folglich eine Abbildung $$\begin{array}{cccc} \op{Ad}_g :& {\op{T}}_{e}G & \ra &{\op{T}}_{e} G\\ &X & \mapsto & g X g^{-1} \end{array}$$ Insbesondere verl"auft f"ur alle $Y \in {\op{T}}_{e}G$ die Kurve $t \mapsto \op{exp} (tY) X \op{exp} (-tY)$ ganz in ${\op{T}}_{e}G$. Damit liegt auch ihr Geschwindigkeitsvektor bei $t=0$ in ${\op{T}}_{e}G$, und der ist nach der Produktregel gerade der Kommutator $YX -XY$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $G\As \op{Aut}V$ eine Matrixliegruppe. Nat"urlich ist unsere Abbildung $g\mapsto \op{int}_g $ aus dem vorhergehenden Beweis eine Darstellung $\op{Aut} V\ra \op{GL}(\op{End}V)$ und\label{LKMa} liefert damit auch eine Darstellung $G\ra \op{GL}(\op{End}V)$. Unsere Erkenntnisse aus dem Beweis lassen sich dann auch dahingeghend formulieren, da"s f"ur diese Darstellung von $G$ der Teilraum ${\op{T}}_{e}G\subset \op{End}V$ eine Unterdarstellung ist. Diese Unterdarstellung $$\op{Ad}:G\ra \op{GL}({\op{T}}_{e}G)$$ hei"st die {\bf adjungierte Darstellung} unserer Matrixliegruppe $G$ und daher r"uhrt die Notation\index{Ad@$\op{Ad}$ adjungierte Darstellung!von Matrixliegruppe} $\op{Ad}$.\index{adjungiert!Darstellung!von Matrixliegruppe} Wir werden diese Konstruktion in \ref{ADJn} in einer gr"o"seren Allgemeinheit noch ausf"uhrlich besprechen. Der Kommutator wird oft notiert in der Form $$XY-YX=[X,Y]$$ und hei"st auch die {\bf Lie-Klammer}.\index{Lie-Klammer!bei Matrixliegruppe} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Einen Vektorraum $A$ "uber einem K"orper $k$ mit einer $k$-bilinearen Verkn"upfung $A\times A \ra A$ bezeichnet man ganz allgemein als eine \defnoind{$k$-Algebra}, vergleiche \eref{RAlg}{LA2}. \index{Algebra!"uber K"orper} Gegeben eine Matrixliegruppe $G$ wird demnach der Einstangentialraum ${\op{T}}_eG$ mit der Verkn"upfung $(X,Y)\mapsto [X,Y]$ eine $\DR$-Algebra. Sie hei"st die {\bf Lie-Algebra von $G$}.\index{Lie-Algebra!einer Matrixliegruppe} Wir notieren sie $$\op{Lie} G\pdef {\op{T}}_eG$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}\label{pMLG} Unter einer {\bf partiellen Matrixliegruppe}\index{partiell!Matrixliegruppe}\index{Matrixliegruppe!partielle} verstehen wir eine Untermannigfaltigkeit $M\subset \op{Aut}(V)$ der Automorphismengruppe eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums derart, da"s (1) die Identit"at zu $M$ geh"ort und da"s es (2) eine Umgebung $U$ der Identit"at gibt mit den Eigenschaften $(U\cap M)(U\cap M)\subset M$ und $(U\cap M)^{-1}\subset M$. Jede offene Umgebung der Identit"at in einer partiellen Matrixliegruppe ist nat"urlich auch ihrerseits eine partielle Matrixliegruppe. Wir nennen zwei partielle Matrixliegruppen {\bf "aquivalent}, wenn es eine Umgebung der Identit"at gibt, die mit beiden denselben Schnitt hat. Eine "Aquivalenzklasse unter dieser "Aquivalenzrelation nennen wir einen {\bf Matrixliegruppenkeim}.\index{Matrixliegruppenkeim} Das Bilden des Tangentialraums beim neutralen Element liefert nun eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c}\text{Matrixliegruppenkeime}\\ \text{in $\op{Aut}(V)$}\\ \end{array}\right\} & \sira & \left\{ \begin{array}{c} \text{Unterliealgebren}\\ \text{von $\op{End}(V)$} \end{array} \right\} \end{array}$$ Die inverse Abbildung ordnet dabei jeder Unterliealgebra $\frak{g}\subset \op{End}(V)$ den Matrixliegruppenkeim zu, der durch das Bild hinreichend kleiner offener Umgebungen der Null in $\frak{g}$ unter der Exponentialabbildung repr"asentiert wird. Wir zeigen das erst in \ref{UaUl}, es folgt aus dem sogenannten \glqq Frobenius-Theorem\grqq\ \ref{FroT}. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf Lie-Algebra}\index{Lie-Algebra} "uber einem K"orper $k$ versteht man eine $k$-Al\-ge\-bra $\frak{g}$, deren Verkn"upfung in diesem Zusammenhang meist\label{LiAl} $(x,y)\mapsto [x,y]$ notiert wird, derart da"s gilt: \begin{enumerate} \item $[x,x]= 0 \quad \forall x \in \frak{g}$; \item $\big[ x,[y,z]\big] + \big[ z,[x,y]\big] + \big[ y,[z,x]\big] =0\quad \forall x,y,z \in \frak{g}$. \end{enumerate} Die zweite Forderung hei"st die \defind{Jacobi-Identit"at}. Da"s in unseren Algebren $\op{Lie} G={\op{T}}_G$ zu Matrixliegruppen diese Formeln gelten, rechnet man m"uhelos nach. Da"s gerade diese Formeln einen mit der Theorie der Liegruppen aufs engste verwobenen Typ von Algebra definieren, erkennt man mit der vorhergehenden Bemerkung in Anbetracht des Satzes von Ado, nach dem sich jede endlichdimensionale komplexe Liealgebra als Unterliealgebra in die Algebra $\op{End}(V)$ der Endomorphismen eines endlichdimensionalen Vektorraums einbetten l"a"st. A forteriori gilt das dann auch f"ur jede endlichimensionale reelle Liealgebra. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKLD}\\[4mm] \noindent Dieses Bild soll die zur Formel von eben "aquivalente Formel $$[A,B]=\lim_{t\ra 0} \frac{1}{t^{2}} \left(\exp(-tA)\exp(-tB)\exp(tA)\exp(tB) - I \right)$$ anschaulich machen im Fall der in \ref{ALAD} behandelten Drehgruppe f"ur $B=E_1$ und $A=E_2$. Die $x$-Achse kommt darin senkrecht aus dem Papier, und das Bild zeigt, wie ein Punkt auf der $x$-Achse \glqq in der H"ohe 1 oberhalb der Papierebene\grqq\ sich bewegt, wenn wir erst ein bi"schen um die $x$-Achse drehen--dabei bleibt er fest--dann dasselbe bi"schen um die $y$-Achse, dann um die $x$-Achse in der Gegenrichtung und schlie"slich um die $y$-Achse in der Gegenrichtung, jeweils um denselben kleinen Winkel, im Bild etwa $1/2$ im Bogenma"s. Machen wir diesen Winkel kleiner, so werden die Effekte des Drehens um die $y$-Achse in der Aufsicht in etwa linear kleiner, genauer hat der erste vertikale Pfeil die L"ange $\sin t$, aber der Effekt des Drehens um die $x$-Achse wird quadratisch kleiner, genauer hat der krumme eher horizontale Pfeil die L"ange $t\sin t$. Ich finde, man sieht ganz gut, da"s die Differenz von Ausgangs- und Endpunkt unseres Pfeilweges gegen eine quadratisch kleine Drehung um die $z$-Achse strebt, wie es auch unsere Formel $[E_1,E_2]=E_3$ vorhersagt. \end{figure} \begin{Beispiel}[\textbf{Anschauung f"ur die Liealgebra der Drehgruppe}] Man kann die Lieklammer auf der Liealgebra einer\label{ALAD} Matrixliegruppe auch symmetrischer verstehen mithilfe der Formel $$[A,B]=\lim_{t\ra 0} \frac{1}{t^{2}} \left(\exp(tA)\exp(tB) -\exp(tB)\exp(tA) \right)$$ die man leicht "uber die Taylorentwicklung nachrechnet. Beachtet man, da"s $t\mapsto \exp(tX)$ ein und nach \ref{EPU} sogar der einzige differenzierbare Gruppenhomomorphismus $\DR\ra G$ mit Geschwindigkeitsvektor $X$ beim neutralen Element ist, so kann man diese Formel dahingehend interpretieren, da"s die Lieklammer mi"st, inwieweit zwei \glqq infinitesimale Elemente\grqq\ unserer Gruppe kommutieren. Zum Beispiel ergibt sich die Liealgebra der Drehgruppe $\op{SO}(3)$ mit \ref{LiSO} %und einer Dimensionsabsch"atzung als die Liealgebra $\frak{so}(3;\DR)$ aller reellen schiefymmetrischen $(3\times 3)$-Matrizen. Als Basis mag man die drei Matrizen $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{ccc} E_{1} & =&\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&-1\\ 0&1& 0 \end{pmatrix}, \end{array} & \begin{array}{ccc} E_{2} &=& \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ -1&0&0\end{pmatrix}\end{array},& \begin{array}{ccc} E_{3} &=& \begin{pmatrix} 0&-1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \end{array} \end{array}$$ w"ahlen. Deren Kommutatoren werden gegeben durch die leicht zu verifizierenden Formeln $[E_{1},E_{2}]= E_{3}$, $[E_{2},E_{3}] = E_{1}$ und $ [E_{3},E_{1}]=E_{2}$. Nun beschreibt $$\op{exp} (tE_{1})= \begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0&\cos t & -\sin t\\ 0& \sin t & \cos t \end{pmatrix}$$ eine Drehung um die $x$-Achse mit Winkel $t$ und $\op{exp}(t E_{2}), \op{exp} (tE_{3})$ bedeuten "ahnlich Drehungen um die $y$-Achse beziehungsweise die $z$-Achse. Um die Lieklammer anschaulich zu interpetieren gilt es damit einzusehen, da"s \glqq ein kleines bi"schen Drehen um die $x$-Achse gefolgt von einem kleinen bi"schen Drehen um die $y$-Achse sich vom Effekt derselben Operationen in der umgekehrten Reihenfolge unterscheidet um ein quadratisch kleines bi"schen Drehen um die $z$-Achse, bis auf einen kubisch kleinen Fehler\grqq. Diese Aussage scheint mir der Anschauung durchaus zug"anglich zu sein. Man bemerke auch, da"s $\op{e}_i\mapsto E_i$ einen Vektorraumisomorphismus $\psi:\DR^3\sira \frak{so}(3;\DR)$ definiert, unter dem das Kreuzprodukt der Lieklammer entspricht. Es ist eine gute "Ubung zu zeigen, da"s mit dieser Notation $\exp(\psi(v))$ die Matrix einer Drehung mit Drehachse $\DR v$ und Drehwinkel $\| v\|$ ist. \end{Beispiel} \begin{Definition} Eine {\bf Unteralgebra}\index{Unteralgebra!von allgemeiner Algebra} einer Algebra ist ein unter der Verkn"upfung stabiler Untervektorraum. Ein {\bf Algebrenhomomorphismus}\index{Algebrenhomomorphismus} ist eine lineare Abbildung, die mit den jeweiligen Verkn"upfungen vertr"aglich ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein K"orper $k$ und ein $k$-Vektorraum $V$ wird $\op{End}V$ eine Liealgebra mit der Verkn"upfung $[X,Y]=XY-YX$. Man notiert diese Liealgebra meist $\frak{gl}(V)$. Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ ist im allgemeinen keineswegs jede reelle Unterliealgebra $\frak{g}\subset \frak{gl}(V)$ der Tangentialraum im neutralen Element einer Matrixliegruppe $G\As \op{GL}(V)$. Das Problem ist, da"s die vom Bild der Exponentialabbildung erzeugte Untergruppe keineswegs abgeschlossen zu sein braucht, wie zum Beispiel der Fall $\frak{g}=\DR\op{diag}(\op{i},\alpha{\op{i}})\subset\op{End}\DC^2$ f"ur irrationales reelles $ \alpha$ zeigt. Es gibt aber auf der fraglichen Untergruppe, auch wenn sie in $\op{GL}(V)$ nicht abgeschlossen ist, stets genau eine Struktur von glatter Mannigfaltigkeit im Sinne von \ref{glM} derart, da"s die Einbettung differenzierbar ist und ihr Tangential den Tangentialraum unserer Mannigfaltigkeit mit $\frak{g}$ identifiziert. Mehr dazu lernt man in der Differentialgeometrie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Liealgebren von Schnitten}] Aus \ref{Peli} folgt f"ur abgeschlossene Untergruppen der Automorphismengruppe eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums $G, H \As \op{Aut} V$ die Formel $$\op{Lie}(G\cap H)=(\op{Lie}G)\cap (\op{Lie}H)$$ Allgemeiner gilt f"ur eine beliegige Familie $(G_i)_{i\in I}$ von abgeschlossenen Untergruppen auch\label{LaLgcn} %\label{LaLg} $$\op{Lie}\bigcap_{i\in I} G_i=\bigcap_{i\in I}\op{Lie}G_i$$ Diese Bemerkung h"atte auch schon direkt im Anschlu"s an \ref{Peli} stehen k"onnen. Ich habe sie nur deshalb hierher verschoben, um sie bereits mit der Bezeichnung $\op{Lie}G$ statt ${\op{T}}_eG$ formulieren zu k"onnen. Mit \ref{Pelia} wird in \ref{LaLgca} dasselbe auch f"ur abgeschlossene Untergruppen einer abstrakten Liegruppe folgen.\label{LaLgcan} \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{GHZy} Ist $A$ eine endlichdimensionale $\DR$-Algebra und $G\pdef \op{Alg}_\DR^\times(A)\subset \op{GL}(A)$ ihre Automorphismengruppe, so besteht $\op{Lie}G\subset \op{End}(A)$ genau aus allen {\bf Derivationen von} $A$,\index{Derivation!einer $\DR$-Algebra} als da hei"st, aus allen $\DR$-linearen Abbildungen $d:A\ra A$ mit der Eigenschaft $d(ab)=(da)b+ a(db)$ f"ur alle $a,b\in A$. Wir bezeichnen diesen Raum mit $\op{Der}_\DR(A)$ und haben also in Formeln $$\op{Lie}(\op{Alg}_\DR^\times(A))=\op{Der}_\DR(A)$$ Man zeige auch, da"s f"ur eine endlichdimensionale $\DC$-Algebra analog gilt $$\op{Lie}(\op{Alg}_\DC^\times(A))=\op{Der}_\DC(A)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{LaNT} Ist $G$ eine Matrixliegruppe und $N\As G$ ein abgeschlossener Normalteiler, so gilt f"ur alle $X\in \op{Lie}G$ und $Y\in \op{Lie}N$ sogar $[X,Y] \in\op{Lie}N$. In der in \eref{DefIIn}{HL} eingef"uhrten Terminologie ist also die Liealgebra eines Normalteilers stets ein Ideal. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s jeder echte abgeschlossene Normalteiler der Drehgruppe $\op{SO}(3)$ trivial ist. Hinweis: \ref{LaNT} zeigt, da"s unser\label{ZERm} Normalteiler diskret sein mu"s, und \eref{FRES}{TM} zeigt weiter, da"s er im Zentrum von $\op{SO}(3)$ liegen mu"s. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man zeige, da"s jede abgeschlossene Untergruppe von $\op{O} (3)$ konjugiert ist zu genau einer Untergruppe der folgenden Liste: \begin{enumerate} \item Ein endliche Untergruppe, wie sie in \eref{EUOb}{LA2} klassifiziert wurden; \item Eine der Untergruppen $\op{O} (3)$ und $\op{SO} (3)$; \item Eine der Gruppen $\{\pm 1\} \times \op{O} (2)$ oder $\{ \pm 1\} \times \op{SO} (2)$ von Blockmatrizen. \end{enumerate} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{DeAdM} F"ur jede Liealgebra $L$ und jedes Element $x\in L$ ist $\op{ad} x$ eine Derivation von $L$ und $\op{ad} (L) \subset \op{Der}_{k} L$ ist ein Ideal. Genauer gilt sogar $[\delta,\op{ad} x]=\op{ad} (\delta x) \; \forall \delta \in \op{Der}_{k} L$, $x\in L$. \end{Ubung} \subsection{Homomorphismen von Matrixliegruppen} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGHCc}\\[4mm] \noindent Das Bild eines stetigen Gruppenhomomorphismus $\Bbb{R} \ra \DC^{\times}$ hat im allgemeinen die Gestalt einer Spirale. Sie wird mit konstanter Winkelgeschwindigkeit durchlaufen, aber der Radius h"angt exponentiell von der Zeit ab. \end{figure} \begin{Satz}[\textbf{Gruppenwege in $\DC^\times$}]\index{Gruppenweg!in $\DC^\times$} Jeder stetige Gruppenhomomorphismus\label{GHrcc} $\varphi : \Bbb{R} \ra \DC^{\times}$ hat die Gestalt $\varphi (t) = \exp (a t) $ f"ur genau ein $a \in \DC$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die stetigen Gruppenwege in der Kreisgruppe haben wir bereits in \eref{EplOO}{AN1} bestimmt. Die Argumentation hier ist im wesentlichen dieselbe. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Die Eindeutigkeit von $a$ folgt aus $\varphi' (0) = a$. Nur die Existenz von $a$ ist also noch zu zeigen. Die offene Halbebene $H\pdef \{z\in\DC\mid \op{Re}(z)>0\}$ hat die Eigenschaft, da"s es f"ur jedes $z\in H$ genau ein $w\in H$ gibt mit $w^2=z$. Gegeben ein stetiger Gruppenhomomorphismus $\varphi:\DR\ra\DC^\times$ finden wir nun sicher erst ein $\varepsilon >0$ mit $\varphi([-\varepsilon,\varepsilon])\subset H$ und dann ein $b\in U$ mit $\varphi(\varepsilon)=\op{exp}(b)$. Es folgt $$\varphi(\varepsilon/2)=\sqrt{\op{exp}(b)}=\op{exp}(b/2)$$ und induktiv $\varphi(\varepsilon/2^n)=\op{exp}(b/2^n)$ f"ur alle $n\in\DN$ und dann sogar $\varphi(m\varepsilon/2^n)=\op{exp}(mb/2^n)$ f"ur alle $n\in\DN$ und $m\in \DZ$. Setzen wir $a=b/\varepsilon$, so gilt mithin $\varphi(t)=\op{exp}(at)$ f"ur alle reellen Zahlen $t$ der Gestalt $t=m\varepsilon/2^n$ mit $n\in\DN$ und $m\in \DZ$. Da beide Seiten stetig sind, gilt das dann auch f"ur alle $t\in \DR$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Gruppenwege in $\op{GL}(V)$}]\index{Gruppenweg!in $\op{GL}(n;\DR)$} Ist $V$ ein endlichdimensionaler reeller oder auch komplexer Vektorraum,\label{EPGL} so ist jeder stetige Gruppenhomomorphismus $\varphi:\DR\ra \op{GL}(V)$ von der Gestalt $\varphi(t)=\op{exp}(tA)$ f"ur genau ein $A\in \op{End}V$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die stetigen Gruppenhomomorphismen $\varphi : \Bbb{R} \ra \DC^{\times}$ haben wir gerade eben bestimmt. Die Argumentation hier ist im wesentlichen dieselbe. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Die Eindeutigkeit von $A$ folgt aus $\varphi' (0) = A$. Nur die Existenz von $A$ ist also noch zu zeigen. Nach dem Umkehrsatz \eref{UKA}{AN2} gibt es in $\op{End}V$ eine offene Umgebung $U\co\op{End}V$ des Ursprungs, die unter $\exp$ hom"oomorph auf eine offene Teilmenge $W\co \op{GL}(V)$ der Identit"at abgebildet wird. Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $U$ konvex annehmen. Das Bild $H\pdef\op{exp}((1/2)U)$ der entsprechend um den Faktor Zwei geschrumpften Umgebung hat dann offensichtlich die Eigenschaft, da"s das Quadrieren $g\mapsto g^2$ einen Diffeomorphismus $$H\sira W$$ induziert. Da wir $U$ konvex angenommen hatten, gilt au"serdem $H\subset W$. Folglich besitzt jedes $z\in H$ genau eine Wurzel in $H$. Gegeben ein stetiger Gruppenhomomorphismus $\varphi:\DR\ra\op{GL}(V)$ finden wir nun sicher ein $\varepsilon >0$ mit $\varphi([-\varepsilon,\varepsilon])\subset H$ und ein $X\in (1/2)U$ mit $\varphi(\varepsilon)=\op{exp}(X)$. Es folgt $$\varphi(\varepsilon/2)=\sqrt{\op{exp}(X)}=\op{exp}(X/2)$$ und induktiv $\varphi(\varepsilon/2^n)=\op{exp}(X/2^n)$ f"ur alle $n\in\DN$. Setzen wir $A\pdef X/\varepsilon$, so gilt mithin $\varphi(t)=\op{exp}(tA)$ f"ur alle $t=\varepsilon/2^n$. Da beide Seiten Gruppenhomomorphismen sind, gilt es dann auch f"ur alle $t=m\varepsilon/2^n$ mit $m\in \DZ$. Da beide Seiten stetig sind, folgt es schlie"slich f"ur alle $t\in \DR$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Gruppenwege in Matrixliegruppen}] Ist $G$ eine Matrixliegruppe,\label{EPU} so ist jeder stetige Gruppenhomomorphismus $\varphi:\DR\ra G$ von der Gestalt $\varphi(t)=\op{exp}(tA)$ f"ur genau ein $A\in \op{Lie}G$. \end{Satz} \begin{proof} Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ und eine abgeschlossene Untergruppe $G\As\op{GL}(V)$ ist nach \ref{EPGL} jeder stetige Gruppenhomomorphismus $\varphi:\DR\ra G$ jedenfalls schon mal von der Gestalt $t\mapsto \op{exp}(tA)$ f"ur genau ein $A\in \op{End}V$, und nach \ref{Peli} landet die Abbildung $t\mapsto \op{exp}(tA)$ in der Untergruppe $G$ genau dann, wenn $A$ zum Tangentialraum ${\op{T}}_eG$ unserer Untergruppe geh"ort. \end{proof} \begin{Proposition} \begin{enumerate} \item Gegeben eine \hyperref[DIFe]{glatte Abbildung} $f:M\ra N$ zwischen glatten Untermannigfaltigkeiten endlichdimensionaler reeller R"aume $X,Y$ und ein Punkt $p\in M$ gibt es genau eine lineare Abbildung, genannt die \emph{\bf Tangentialabbildung}\index{Tangentialabbildung} oder auch das \emph{\bf Differential}\index{Differential!bei eingebetteten Mannigfaltigkeiten} $${\op{T}}_pf:{\op{T}}_pM\ra {\op{T}}_{f(p)}N$$ derart, da"s f"ur jede Karte $(W,\varphi)$ von $M$ mit $W\subset \DR^k$ und $w\in W$ mit $p=\varphi(w)$ die Gleichheit ${\op{T}}_pf\circ \tiff_w\varphi=\tiff_w( f\circ \varphi)$ von linearen Abbildungen $\DR^k\ra\vec Y$ gilt; \item Gegeben zwei differenzierbare Abbildungen $f:M\ra N$ und $g:N\ra L$ von Untermannigfaltigkeiten erf"ullen die Differentiale f"ur jeden Punkt $p\in M$ die \emph{\bf Kettenregel}\index{Kettenregel!bei Mannigfaltigkeiten!eingebetteten} $${\op{T}}_{f(p)}g\circ {\op{T}}_pf={\op{T}}_p(g\circ f)$$ \item Das Differential der Einbettung $i:M\hra N$ einer offenen Teilmenge $M\co N$ ist an jeder Stelle die Identit"at ${\op{T}}_pj=\op{id}:{\op{T}}_pM\ra{\op{T}}_pN$; \item Gilt speziell f"ur unsere erste Mannigfaltigkeit $M\co X$ und bezeichnet $j:N\hra Y$ die Inklusion, so haben wir ${\op{T}}_pf=\tiff_p(j\circ f):\vec X\ra \vec Y$. \end{enumerate} \label{DeEM} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Sobald der folgende Beweis zu Ende ist, "andern wir unsere Notation und setzen auch im allgemeinen $${\op{d}}_pf\pdef {\op{T}}_pf$$ F"ur den Beweis schien es mir jedoch wichtig, zwischen den neu eingef"uhrten Begriffen und dem bereits Bekannten zu unterscheiden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} % Wir arbeiten hier mit eingebetteten Mannigfaltigkeiten % im Sinne von \eref{MFoR}{AN2}, % es ist also etwa $Y$ ein endlichdimensionaler reeller Raum % und $N\subset Y$ eine Teilmenge mit % den in \eref{MFoR}{AN2} spezifizierten Eigenschaften. % Wir fassen mit diesen Notationen dann % beide Seiten der definitorischen Gleichheit $${\op{T}}_pf\circ % \diff_w\varphi=\diff_w( % f\circ \varphi)$$ aus unserer % Proposition auf als lineare Abbildungen $\DR^k\ra \vec{Y}$ vom % Umgebungsraum unserer Karte $W$ in den Richtungsraum des Umgebungsraums % $Y$ der % Untermannigfaltigkeit $N$ und fassen insbesondere $f\circ \varphi$ auf % als eine Abbildung $W\ra Y$. Differentiale derartiger Abbildungen % kennen wir n"amlich % bereits aus \eref{DeDi}{AN2}. Etwas allgemeiner gilt die Proposition auch analog f"ur Randfaltigkeiten \eref{MFRx}{AN2} und sogar Eckfaltigkeiten \eref{MFEm}{AN2}, wenn wir den Tangentialraum an einer Stelle als das Bild des Differentials einer und jeder Randkarte beziehungsweise Eckenkarte an besagter Stelle im Sinne von \eref{dhox}{AN2} erkl"aren. Wir werden das insbesondere im Fall von Abbildungen mehrpunktiger Intervalle in Mannigfaltigkeiten verwenden. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Per definitionem induziert f"ur jede Karte wie in der Proposition ihr Differential einen Isomorphismus $\tiff_w\varphi:\DR^k\sira {\op{T}}_pM$. F"ur jede Karte um $p$ finden wir also genau eine Abbildung $${\op{T}}^\varphi_pf: {\op{T}}_pM\ra\vec{Y}$$ mit ${\op{T}}^\varphi_pf\circ \tiff_w\varphi=\tiff_w(f\circ \varphi)$. Um zu zeigen, da"s ${\op{T}}^\varphi_xf$ nicht von der Karte $\varphi$ abh"angt, sei $(V,\psi)$ eine weitere Karte von $M$ und $v\in V$ ein Punkt mit $\psi(v)=p$. Wir d"urfen annehmen, da"s unsere beiden Karten dasselbe Bild haben, so da"s gilt $\psi=\varphi\circ\kappa$ f"ur den Kartenwechsel $\kappa:V\sira W$. Die Kettenregel zeigt dann $${\op{T}}^\varphi_pf\circ \tiff_v\psi={\op{T}}^\varphi_pf\circ \tiff_w\varphi \circ\tiff_v\kappa=\tiff_w(f\circ \varphi)\circ\tiff_v\kappa = \tiff_v(f\circ \psi)= {\op{T}}^\psi_pf\circ \tiff_v\psi$$ und so ${\op{T}}^\varphi_pf={\op{T}}^\psi_pf$. Nun zeigen wir, da"s die so definierte Abbildung ${\op{T}}_pf$ auch tats"achlich in ${\op{T}}_{f(p)}N$ landet. Hierzu verwenden wir ein an $N\subset Y$ angepa"stes lokales Koordinatensystem $(U,h)$ von $Y$ um $f(p)$ im Sinne von \eref{MFoR}{AN2} und d"urfen $\varphi(W)\subset U$ annehmen. Die Beschreibung \eref{Tabk}{AN2} des Tangentialraums als Kern der Differentiale $\tiff_{f(p)}h_j$ der auf $N$ identisch verschwindenden Koordinaten $h_j$. Aus $h_j\circ f\circ\varphi=0$ folgt dann $\tiff_{f(p)}h_j\circ {\op{T}}_pf=0$. Damit landet ${\op{T}}_pf$ in der Tat in ${\op{T}}_{f(p)}N$ und der erste Teil ist gezeigt. Wir geben nun die Notationen $V,\psi, v$ wieder frei, um sie neu in anderer Bedeutung verwenden zu k"onnen. Um den zweiten Teil zu zeigen, nehmen wir die nicht auf $N$ identisch verschwindenden Koordinaten unsers Systems $(U,h)$. Hat $N$ etwa die Dimension $k$, so bilden sie zusammen eine glatte Abbildung $\bar h\pdef (h_1,\ldots, h_k): U\ra \DR^k$, die eine Bijektion $(N\cap U)\sira V\co \DR^k$ induziert, die ihrerseits die Umkehrabbildung einer Karte $\psi:V\ra N$ ist. Wir erkl"aren $v\in V$ durch $\psi(v)=f(p)$ und bezeichnen mit $j:N\cap U\hra U$ die Einbettung. Es folgt $g f \varphi =g \psi \bar h j f \varphi $ und so finden wir mit der Kettenregel aus der Analysis und unseren Definitionen \begin{displaymath} \begin{array}{ccccc} \op{d}_w (g f \varphi)&=& \op{d}_w (g \psi \bar h j f \varphi) & = & \op{d}_v (g \psi) \circ \op{d}_{f (p)} \bar h \circ \op{d}_w (jf \varphi)\\ \parallel & & & &\parallel \\ {\op{T} }_p (g f) \circ \op{d}_w \varphi & & & &{\op{T} }_{f(p)} g \circ \op{d}_v \psi \circ \op{d}_{f(p)} \bar h \circ {\op{T} }_p f \circ \op{d}_w \varphi\\ & & & &\parallel\\[1mm] & & & & {\op{T} }_{f(p)} g \circ {\op{T} }_p f \circ \op{d}_w \varphi \end{array} \end{displaymath} wegen $\bar h j\psi= \op{id}_{V}$ und folglich $\tiff_{f(p)}\bar h: \op{T}_{f(p)}N\sira \DR^k$ invers zu $\tiff_{v}\psi:\DR^k \sira \op{T}_{f(p)}N$ und so Teil 2. Der Beweis von 3 und 4 bleibe dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Beispiel} F"ur $\gamma :I \ra M$ eine Abbildung von einem mehrpunktigen reellen Intervall $I\subset\DR$ in eine Mannigfaltigkeit $M$ wird unsere lineare Abbildung ${\op{T}}_t\gamma :\Bbb{R} \ra {\op{T}}_{\gamma (t)}M$ oder besser in der bereits angek"undigten vereinfachten Notation ${\tiff}_t\gamma :\Bbb{R} \ra {\op{T}}_{\gamma (t)}M$ gegeben durch die Multiplikation mit einem wohlbestimmten Vektor aus ${\op{T}}_{\gamma (t)}M$, den man in Anlehnung an \eref{DifGes}{AN2} wieder $$({\tiff}_t\gamma)(\partial)=\gamma ^{\prime} (t)$$ notiert f"ur $\partial=(+1)\in \vec{\DR}$ und den \defind{Geschwindigkeitsvektor} nennt. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Homomorphismen von Matrixliegruppen}] Jeder stetige Homomorphismus $\varphi : G \ra H$ von Matrixliegruppen ist glatt und\label{HeL} sein Differential beim neutralen Element $\tiff_e\varphi$ ist ein Homomorphismus von Liealgebren mit der Eigenschaft $\op{exp}\circ \tiff_e \varphi=\varphi\circ\op{exp}$. \end{Satz} % \subsection{Alter Beweis der Glattheit von Liegruppenhomos} % \begin{proof}[Alter Beweis] % Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir % davon ausgehen, da"s wir abgeschlossene Untergruppen % $G\As \op{GL} (n;\Bbb{R}) $ und $H\As \op{GL} (m;\Bbb{R})$ % vor uns haben. % Da $\varphi$ stetig ist, mu"s nach \eref{SAGr}{AN1} sein Graph % $\Gamma \subset G \times H$ abgeschlossen sein. % Da $\varphi$ ein Gruppenhomomorphismus ist, % ist $\Gamma$ sogar eine abgeschlossene Untergruppe % und wir erhalten eine Sequenz von abgeschlossenen Untergruppen % $$\Gamma \;\As\; G \times H \;\As\; \op{GL} (n;\Bbb{R}) % \times \op{GL} (m;\Bbb{R})\;\As\; \op{GL} (d; \Bbb{R})$$ % f"ur $s=n+m,$ wobei die letzte Abbildung unsere beiden Matrizen % zu einer blockdiagonalen Matrix zusammenf"ugt. % Fassen wir $\Gamma$ auf diese Weise als abgeschlossene Untergruppe % $\Gamma \As \op{GL} (s; \Bbb{R})$ auf, so wird % $\Gamma$ nach \ref{UGM} eine % Untermannigfaltigkeit im Raum $\op{M}(s\times s;\DR)$ und % wir erhalten ein kommutatives Diagramm % $$\xymatrix{ % T_e\Gamma\ar[r] \ar[d]^{\op{exp}} & % \op{M}(n\times n;\Bbb{R}) \times \op{M}(m\times m;\Bbb{R})\ar[r] % \ar[d]^{\op{exp} \times \op{exp}} % & \op{M}(s\times s;\Bbb{R})\ar[d]^{\op{exp}}\\ % \Gamma\ar[r] &\op{GL}(n;\Bbb{R})\times % \op{GL}(m;\Bbb{R}) \ar[r] & \op{GL}(s;\Bbb{R}) % }$$ % Nach \eref{EBM} {AN2} ist $\Gamma$ dann auch eine glatte Untermannigfaltigkeit % im Raum $\op{M}(n\times n;\Bbb{R}) \times \op{M}(m\times m;\Bbb{R})$ % und das offensichtliche kommutative Diagramm % $$\xymatrix{ % \op{M}(n\times n;\Bbb{R}) \ar[d]^{\op{exp}} &\ar[l] % \op{M}(n\times n;\Bbb{R}) \times \op{M}(m\times m;\Bbb{R})\ar[r] % \ar[d]^{\op{exp} \times \op{exp}} % & \op{M}(m\times m;\Bbb{R})\ar[d]^{\op{exp}}\\ % \op{GL}(n;\Bbb{R}) &\ar[l]\op{GL}(n;\Bbb{R})\times % \op{GL}(m;\Bbb{R}) \ar[r] & \op{GL}(m;\Bbb{R}) % }$$ % mit Liealgebren-Homomorphismen in den oberen Horizontalen % liefert durch Einschr"ankung ein kommutatives Diagramm % $$\xymatrix{ % T_{e}G \ar[d]_{\op{exp}} &\ar[l] T_{e}\Gamma \ar[r] % \ar[d]^{\op{exp}} & T_{e}H\ar[d]^{\op{exp}}\\ % G &\ar[l] \Gamma \ar[r] & H % }$$ % mit glatten Gruppenhomomorphismen in der unteren % Horizontalen und den zugeh"origen % Differentialen beim neutralen Element in der oberen Horizontalen. % Da $\Gamma$ der Graph einer stetigen Abbildung $G \ra H$ ist, mu"s % die Projektion $\Gamma \ra G$ % ein Hom"oomorphismus sein. % Da die Vertikalen Karten um das neutrale Element liefern, induziert die lineare % Abbildung $T_{e} \Gamma \ra T_{e} G $ einen % Hom"oomorphismus zwischen geeigneten offenen % Umgebungen der Null. % Es folgt, da"s $T_{e}\Gamma \ra T_{e}G$ ein % Vektorraumisomorphismus ist, und durch Verschieben % dieser Erkenntnis mit Gruppenelementen erkennen wir, da"s % $\Gamma \ra G$ ein Diffeomorphismus sein mu"s. % Der Satz folgt sofort. % \end{proof} \begin{Bemerkungl} Etwas ausf"uhrlicher geschrieben behauptet die Formel aus dem Satz das Kommutieren des Diagramms $$\xymatrix{ \op{Lie}G \ar[r]^{\tiff_e\varphi} \ar[d]_{\op{exp}} &\op{Lie}H\ar[d]^{\op{exp}}\\ G \ar[r]^{\varphi} & H }$$ Der Satz gilt auch f"ur abstrakte Liegruppen und wird in dieser Allgemeinheit in \ref{HeLc} formuliert. Der Beweis bleibt derselbe. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Man erinnere sich an die Erkenntnis aus \eref{DiDet}{AN2}, nach der das Differential an die Determinante bei der Einheitsmatrix die Spur ist. Als Korollar aus unserem Satz erkennen wir damit das Kommutieren des Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Mat}(n;\DC) \ar[r]^-{\op{tr}} \ar[d]_-{\op{exp}} &\DC\ar[d]^-{\op{exp}}\\ \op{GL}(n;\DC) \ar[r]^-{\det} &\DC^\times } \end{displaymath} Das hatten wir in \ref{LSL} bereits elementar gezeigt. Umgekehrt kann man aus dem Kommutieren dieses Diagramms auch unschwer folgern, da"s das Differential an die Determinante bei der Einheitsmatrix die Spur sein mu"s. \end{Beispiel} \begin{proof} Jeder Gruppenweg in $G$ liefert durch Nachschalten von $\varphi$ einen Gruppenweg in $H$. Aus unserer Beschreibung der Gruppenwege \ref{EPU} folgt, da"s es eine Abbildung $\tilde{\varphi}:\op{Lie}G \ra \op{Lie}H$ geben mu"s, die das Diagramm $$\xymatrix{ \op{Lie}G \ar[r]^{\tilde{\varphi}} \ar[d]_{\op{exp}} &\op{Lie}H\ar[d]^{\op{exp}}\\ G \ar[r]^{\varphi} & H }$$ zum Kommutieren bringt und die dar"uber hinaus mit allen Streckungen vertauscht, in Formeln $\tilde{\varphi}(sX)=s\tilde{\varphi}(X)$ f"ur alle $s\in\DR$ und $X\in \op{Lie}G$. Wenden wir $\varphi$ auf beide Seiten von Trotter's Produktformel \ref{ESU} an, so folgt weiter $\tilde{\varphi}(X+Y)=\tilde{\varphi}(X)+\tilde{\varphi}(Y)$ und damit die Linearit"at von $\tilde{\varphi}$. Da im Diagramm beide Vertikalen Diffeomorphismen zwischen einer offenen Umgebung der Null in der jeweiligen Liealgebra und einer offenen Umgebung des neutralen Elements in der jeweiligen Gruppe liefern, k"onnen wir folgern, da"s $\varphi$ auf einer offenen Umgebung des neutralen Elements von $G$ glatt ist mit Differential $\tiff_e\varphi=\tilde{\varphi}$. Wegen $\varphi= (\varphi(g)\cdot)\circ \varphi\circ (g^{-1}\cdot)$ ist dann $\varphi$ auch f"ur jedes andere Gruppenelement $g\in G$ glatt in einer Umgebung desselben und damit eine glatte Abbildung. Um schlie"slich zu zeigen, da"s $\tiff_e\varphi$ ein Homomorphismus von Liealgebren ist, gehen wir aus vom kommutativen Diagramm von Mannigfaltigkeiten \begin{displaymath} \xymatrix{ G \ar[r]^{\varphi}\ar[d]_{\op{int} x} &H \ar[d]^{\op{int}\varphi(x)}\\ G \ar[r]^{\varphi} & H } \end{displaymath} Indem man darin zu den Differentialen an den neutralen Elementen "ubergeht und die Kettenregel \ref{DeEM} beachtet, erh"alt man das kommutative Diagramm von reellen Vektorr"aumen \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{T}}_e G \ar[d]_{\op{Ad} x} \ar[r]^-{\tiff_e \varphi} & {\op{T}}_e H \ar[d]^{\op{Ad} \varphi(x)}\\ {\op{T}}_e G \ar[r]^-{\tiff_e \varphi} & {\op{T}}_e H } \end{displaymath} Gegeben $X,Y\in\op{Lie}G$ mit Bildern $\bar{X},\bar{Y}\in\op{Lie}H$ erhalten wir nach dem bereits Bewiesenen $\varphi(\op{exp}(tX))=\op{exp}(t\bar{X})$ f"ur alle $t\in \DR$. Damit folgt $$\tiff_e\varphi: \op{Ad}(\op{exp}(tX))(Y)\mapsto \op{Ad}(\op{exp}(t\bar{X}))(\bar{Y})$$ nach dem vorhergehenden kommutativen Diagramm mit $x=\op{exp}(tX)$, angewandt auf $Y\in{\op{T}}_e G$. Dann mu"s aber nach der Kettenregel $\tiff_e\varphi=\tiff_0(\tiff_e\varphi)$ auch den Geschwindigkeitsvektor bei $t=0$ der Kurve $t\mapsto \op{Ad}(\op{exp}(tX))(Y)$ auf den Geschwindigkeitsvektor bei $t=0$ der Kurve $t\mapsto \op{Ad}(\op{exp}(t\bar{X}))(\bar{Y})$ abbilden, und nach \ref{KLIE} oder besser seinem Beweis l"a"st sich diese Erkenntnis in der Tat schreiben als die behauptete Vertr"aglichkeit des Differentials unseres Gruppenhomomorphismus mit der Lieklammer \begin{equation*} \tiff_e\varphi: [X,Y]\mapsto [\bar{X},\bar{Y}] \qedhere\end{equation*} \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Eine Karte einer glatten Untermannigfaltigkeit ohne Rand eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums im Sinne von \eref{Karte}{AN2} ist nichts anderes als ein Diffeomorphismus zwischen einer offenen Teilmenge eines $\DR^k$ und einer offenen Teilmenge unserer Mannigfaltigkeit. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine Untermannigfaltigkeit $M\subset X$ eines endlichdimensionalen reellen\label{RiAA} Raums und ein Punkt $p\in M$ und eine glatte Funktion $f:M\ra \DR$ hei"st der Wert des Differentials $\tiff_pf: {\op{T}}_{p}M\ra\DR$ auf einem Tangentialvektor $v\in {\op{T}}_{p} M $ auch die {\bf Richtungsableitung von $f$ bei $p$ in Richtung $v$} und\index{Richtungsableitung!auf eingebetteter Mannigfaltigkeit} wird\index{D@${\op{D}}_v$ Richtungsableitung!auf eingebetteter Mannigfaltigkeit} notiert als $$(\tiff_pf)(v)={\op{D}}_v(f)$$ Das gro"se D steht je nach Geschmack f"ur \glqq directional derivative\grqq\ oder \glqq Derivation\grqq. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s f"ur $n\in\DZ$ das Differential beim neutralen Element des Potenzierens auf der Kreislinie $S^1\ra S^1$, $z\mapsto z^n$ die Multiplikation mit $n$ auf dem Tangentialraum ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SGHSb} %auch in \label{SGHS} Man konstruiere eine Bijektion $\op{GrpTop}((S^1)^m, (S^1)^n)\sira \op{Mat}(n\times m;\DZ)$ zwischen der Menge aller stetigen Gruppenhomomorphismen $(S^1)^m\ra (S^1)^n$ und der Menge aller $(n\times m)$-Matrizen mit ganzzahligen Eintr"agen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ASO3} Man zeige, da"s jeder nicht konstante stetige Gruppenhomomorphismus $\op{SO}(3)\ra \op{SO}(3)$ von der Gestalt $(\op{int}g)$ ist f"ur genau ein $g\in \op{SO}(3)$. Hinweis: Man erinnere sich, da"s die Liealgebra von $\op{SO}(3)$ identifiziert werden kann mit dem $\DR^3$ mit Kreuzprodukt, und diskutiere, welche linearen Abbildungen $\DR^3\ra \DR^3$ mit dem Kreuzprodukt vertr"aglich sind. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{TBUM} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum. Ist $M\subset X$ eine glatte Untermannigfaltigkeit, so ist das Tangentialb"undel ${\op{T}}M\subset X\times \vec{X}$ aus \eref{TaBu}{AN2} nach \eref{TBUMs}{AN2} eine glatte Untermannigfaltigkeit. Man zeige: F"ur jede glatte Abbildung $f:M\ra N$ in eine weitere glatte eingebettete Mannigfaltigkeit liefern auch die Differentiale $\tiff_p f: {\op{T}}_pM\ra {\op{T}}_{f(p)}N$ eine glatte Abbildung $\tiff f: {\op{T}}M\ra {\op{T}}N$. Hinweis: \eref{KKR}{AN2}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{dinn} Das Differential des Invertierens $\op{inv}:G\ra G$ auf einer Matrixliegruppe beim neutralen Element ist die Punktspiegelung am Ursprung auf dem Tangentialraum, in Formeln $\tiff_e\op{inv}=((-1)\cdot):{\op{T}}_eG\ra {\op{T}}_eG$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Liealgebra eines Kerns}] Gegeben ein glatter Homomorphismus von Matrixliegruppen $\varphi : G \ra H$ zeige man mit \ref{Peli} die Formel $\op{Lie}(\op{ker}\varphi)=\op{ker}(\tiff_e\varphi)$ und allgemeiner f"ur $K\subset H$ eine abgeschlossene Untergruppe\label{LiKe} $$\op{Lie}(\varphi^{-1}(K))= \{x\in \op{Lie}G\mid (\tiff_e\varphi)(x)\in\op{Lie}K\}$$ Daraus folgt im "Ubrigen mit \eref{DiDet}{AN2} auch sofort die in \ref{LSL} bereits elementar gezeigte Beziehung $\op{Lie}(\op{SL}(n;\DR))=\frak{sl}(n;\DR)$. Mit \ref{Pelia} wird dasselbe auch allgemeiner f"ur abstrakte Liegruppen folgen.\label{LiKea} \end{Ubung} \begin{Bemerkungl}%\label{LaLg} Die wichtigsten Methoden zur Berechnung von Liealgebren sind f"ur uns die Vertr"aglichkeit der Liealgebrenbildung mit Schnitten von abgeschlossenen Untergruppen \ref{LaLgcn}, mit dem Bilden des Urbilds einer abgeschlossenen Untergruppe unter einem Homomorphismus \ref{LiKe}, sowie die Formel \ref{LGI} f"ur die Liealgebra der Standgruppe eines Vektors in einer glatten Darstellung und ihrer Projektivisierung. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung}[\textbf{Liealgebra einer Gruppe von Fixpunkten}] Gegeben $ G$ eine Matrixliegruppe und $ \varphi:G\sira G$ ein glatter Automorphismus von $G$ ist die Liealgebra der Gruppe der Fixpunkte $G^\varphi\pdef \{g\in G\mid \varphi(g)=g\}$ von $\varphi $ genau die Menge der Fixpunkte des Differentials $\tiff_e \varphi$ in der Liealgebra, in Formeln $$\op{Lie}(G^\varphi)=(\op{Lie}G)^{\tiff_e \varphi} $$ Mit \ref{Pelia} wird dasselbe auch allgemeiner f"ur abstrakte Liegruppen folgen, vergleiche etwa \ref{LiZe}. Hinweis: Man mag entweder ein direktes Argument geben oder \ref{LiKe} auf $(\op{id},\varphi):G\ra G\times G$ und die diagonale Untergruppe anwenden. \end{Ubung} % \begin{Ubung}\label{LUa} % Die Liealgebra von $\op{O}(n)=\{ A \in \op{GL} (n;\Bbb{R})\mid A A^{\top}=I\}$ % ist % $\frak{so} (n) \pdef\{X \in \op{Mat}(n\times n; \Bbb{R}) \mid X +X^{\top} =0\}$. % Hinweis: Man schreibe unsere Gruppe als % Fixpunktmenge eines Automorphismus und wende \ref{LiZe} an. Einen alternativen % Beweis haben Sie bereits in \ref{LiSO} gesehen. % \end{Ubung} % \begin{Ubung}\label{LU} % Die Liealgebra von $\op{U}(n) % =\{ A \in \op{GL} (n;\Bbb{C})\mid A \bar{A}^{\top}=I\}$ % ist $\frak{u} (n) \pdef\{X \in \op{Mat}(n\times n; \Bbb{C}) % \mid X +\bar{X}^{\top} =0\}$. Hinweis: Man schreibe unsere Gruppe als % Fixpunktmenge eines Automorphismus und wende \ref{LiZe} an. % Einen alternativen % Beweis haben Sie bereits in \ref{TUn} gesehen. % \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Komplexe Matrizen und Relativit"atstheorie}] Man betrachte f"ur $\op{SL}(2;\DC)$ die vierdimensionale reelle Darstellung $L\pdef {\op{ker}}\left(\bigwedge^2_\DR(\DC^2)\sra \bigwedge^2_\DC(\DC^2)\right)$. Man zeige, da"s $\op{SL}(2;\DC)$ trivial auf $\bigwedge^4_\DR(\DC^2)$ operiert, etwa mit \eref{detCR}{LA1}. Man zeige weiter, da"s die durch $\wedge$ und eine geeignete von Null verschiedene reelle Volumenform $\bigwedge^4_\DR(\DC^2)\sira\DR$ gegebene\label{slso} symmetrische Bilinearform auf unserem Kern $L$ nichtausgeartet vom Typ $(3,1)$ ist. Man zeige die Existenz einer kurzen exakten Sequenz $$\{\pm\op{id}\}\hra \op{SL}(2;\DC)\sra \op{SO}(3,1)^+ $$ Hier bezeichnet $\op{SO}(3,1)^+$ wie in \eref{Komps}{TM} die Einskomponente von $\op{O}(3,1)$. \end{Ubung} \subsection{Drehgruppe und Spingruppe} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern aus \eref{ZKGL}{AN2} oder \eref{zshgG}{TM}, da"s $\op{SU}(2)$ und $\op{SO}(3)$, ja sogar $\op{SU}(n)$ und $\op{SO}(n)$ zusmmenh"angend sind. Man kann das auch leicht \glqq zu Fu"s\grqq\ einsehen. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Drehgruppe und Spingruppe}] Es gibt einen stetigen surjektiven Gruppenhomomorphismus\label{DrehS} $\op{SU}(2) \sra \op{SO}(3)$ mit Kern $\{\pm\op{id}\}$. \end{Proposition} \begin{proof} Sozusagen zu Fu"s haben Sie das eventuell bereits in \eref{SpFr}{LA2} gezeigt. Hier soll nun ein mehr konzeptionelles Argument erkl"art werden. Wir betrachten die adjungierte Darstellung \ref{LKMa} der {\bf Spingruppe}\index{Spingruppe} $\op{SU}(2)$ auf dem Raum der schiefhermiteschen Matrizen mit Spur Null $\op{Lie}\op{SU}(2)$. Sie ist eine dreidimensionale reelle Unterdarstellung der Darstellung von $\op{SU}(2)$ auf ${\op{Mat}}(2;\DC)$ durch Konjugation, und die Elemente dieser Unterdarstellung erzeugen zusammen mit der Einheitsmatrix ganz ${\op{Mat}}(2;\DC)$ als komplexen Vektorraum. Der Kern unserer adjungierten Darstellung besteht folglich genau aus den Matrizen aus $\op{SU}(2)$, die mit allen Matrizen von ${\op{Mat}}(2;\DC)$ kommutieren, und das ist eben der Schnitt der Menge $\DC{\op{I}}$ aller Vielfachen der Einheitsmatrix mit unserer Gruppe $\op{SU}(2)$ alias die Untergruppe $\{\pm\op{id}\}$. Auf dem Raum $\frak{su}(2)\pdef\op{Lie}\op{SU}(2)$ aller schiefhermiteschen Matrizen mit Spur Null definiert aber nun die Vorschrift $(A,B)\mapsto \op{tr}(AB)$ eine negativ definite symmetrische Bilinearform, wie man leicht nachrechnet, die offensichtlich unter allen Konjugationen mit unit"aren Matrizen invariant ist. Versehen wir $\frak{su}(2)$ mit dem Negativen dieser Bilinearform als Skalarprodukt, so liefert die adjungierte Darstellung also einen Gruppenhomomorphismus $$\op{Ad}:\op{SU}(2)\ra \op{O}(\frak{su}(2))$$ mit Kern $\{\pm\op{id}\}$. Da $\op{SU}(2)$ zusammenh"angend ist, mu"s dieser Gruppenhomomorphismus bereits in $\op{SO}(\frak{su}(2))$ landen, und da der Kern diskret ist, mu"s unser Gruppenhomomorphismus nach \ref{LiKe} eine injektive Abbildung auf den Lie-Algebren induzieren. Nach Dimensionsvergleich mu"s diese injektive Abbildung dann sogar ein Isomorphismus sein, so da"s nach \ref{HeL} das Bild von $\op{Ad}$ eine Umgebung des neutralen Elements umfa"st. Da aber $\op{SO}(\frak{su}(2))$ nach \eref{EuWi}{LA2} oder \eref{zshgG}{TM} zusammenh"angend ist, mu"s folglich $\op{Ad}$ ganz $\op{SO}(\frak{su}(2))$ als Bild haben. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{ASU2} Man zeige, da"s jeder nicht konstante stetige Gruppenhomomorphismus $\op{SU}(2)\ra \op{SU}(2)$ von der Gestalt $(\op{int}g)$ ist f"ur ein $g\in \op{SU}(2)$. Hinweis: \ref{ASO3}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Folgern Sie aus \ref{DrehS}, da"s jeder stetige Gruppenhomomorphismus $\op{SU}(2) \ra \op{SO}(3)$ konstant oder surjektiv ist, und da"s es f"ur je zwei stetige surjektive Gruppenhomomorphismen $\phi,\psi$ ein $g\in \op{SO}(3)$ gibt mit $\phi=(\op{int} g)\circ\psi$. \end{Ubung} \subsection{Quaternionale Gruppen} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erinnerungen zu Quaternionen}] Die Behauptungen des vorhergehenden Abschnitts kann man alternativ auch im Bild der Quaternionen verstehen. Wir erinnern an den Schiefk"orper der Quaternionen $$\Bbb{H}=\DR \oplus \DR\op{i}\oplus \DR\op{j}\oplus \DR\op{k}$$ aus \eref{DQua}{LA1} mit den Rechenregeln $\op{i}^{2} = \op{j}^{2} = \op{k}^{2}= \op{i}\op{j}\op{k} = -1$ und insbesondere an die quaternionale Konjugation $$\overline{a+b\op{i}+c\op{j}+d\op{k}} \pdef a - b\op{i}-c\op{j}-d\op{k}$$ mit der Eigenschaft $\overline{qw} =\bar{w} \bar{q}$. Man setzt $|q|\pdef\sqrt{\overline{q}q}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}$ und $\op{Re}(q)\pdef(q+\bar{q})/2$, also $\op{Re}(a+b\op{i}+c\op{j}+d\op{k})=a$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kugelschalen als Liegruppen}] Alle Kugelschalen $S^{n} = \{x\in \Bbb{R}^{n+1} \mid \| x\| =1\}$ sind glatte Mannigfaltigkeiten. Auf $S^{0}, $ $S^{1}$ und $S^3$ induziert die Multiplikation in $\DR$, den komplexen Zahlen $\DC\cong \DR^2$ beziehungsweise den Quaternionen $\Bbb{H}\cong\DR^4 $ aus \eref{DQua}{LA1} sogar die Struktur einer\label{SOUn} %umbenannt von \label{SOU} Liegruppe. F"ur das Modell des Schiefk"orpers der Quaternionen aus dem Beweis von \eref{DQuaR}{LA1} stimmt die Gruppe $S^3$ der Quaternionen der L"ange Eins "uberein mit der Gruppe $\op{SU}(2)$ und wir erhalten so einen Isomorrphismus $$\op{SU}(2)\sira S^3$$ Es scheint mir anschaulich klar und ist auch formal nicht schwer nachzurechnen, da"s der Tangentialraum beim neutralen Element ${\op{T}}_1S^3$ genau der Raum der rein imagin"aren Quaternionen $Q = \Bbb{R} \op{i} \oplus \Bbb{R} \op{j} \oplus \Bbb{R} \op{k} = \{w\in \Bbb{H} \mid \bar{w} =-w\}$ ist. Die adjungierte Darstellung der $S^3$ darauf geschieht wie immer durch Konjugation, ein invariantes Skalarprodukt k"onnen wir in diesem Fall leicht explizit angeben durch die Vorschrift $\langle v,w\rangle= \op{Re}(\bar{v}w)$, und daf"ur bilden $\op{i},\op{j}, \op{k}$ dann eine Orthonormalbasis. % , und diese liefert uns einen Isomorphismus % $\op{SO}(Q)\sira \op{SO}(3)$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Wir erinnern den Schiefk"orper $\mathbb H$ der Quaternionen mit seinem Antiautomorphismus $q\mapsto\bar q$. Gegeben ein $\mathbb H$-Rechtsmodul $V$ erkl"aren wir eine {\bf quaternional-hermitesche Form\index{quaternional-hermitesche Form} auf $V$} als eine biadditive Abbildung $$\begin{array}{ccc} V\times V & \rightarrow &\mathbb H\\ (v, w) & \mapsto & \langle v, w \rangle \end{array}$$ mit $\langle v, w \rangle = \overline{\langle w, v \rangle}$ und $\langle v, w \mu \rangle = \langle v, w \rangle \mu$ f"ur alle $v, w\in V$ und $ \mu \in \mathbb H$. %Ein quaternionales Skalarprodukt {\bf quaternionales Skalarprodukt}\index{Skalarprodukt!quaternionales} erkl"aren wir als eine quaternional-hermitesche Form mit $\langle v, v \rangle \leq 0 \Rightarrow v = 0$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Abbildung $\mathbb H^n \times \mathbb H^n \rightarrow \mathbb H$, $(x, y) \mapsto \sum \bar x_i y_i$ ist ein quaternionales Skalarprodukt auf dem $\mathbb H$-Rechtsmodul $\mathbb H^n$. Die Gruppe der Automorphismen unseres $\mathbb H$-Rechtsmoduls, die dieses quaternionale Skalarprodukt invariant lassen, hei"st die %kompakte symplektische Gruppe {\bf kompakte symplektische Gruppe}\index{symplektische Gruppe!kompakte} und wird $\op{Sp}(n)$ notiert.\index{Sp@$\op{Sp}(n)$ kompakte symplektische Gruppe} Den Ursprung dieser Terminologie diskutieren wir in \ref{syQU}. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Seien $V_\DC$ ein komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt $s = \langle \; , \; \rangle$ und $V_\DR$ seine Reellifizierung. Dann ist $\op{Re} \circ s $ ein Skalarprodukt auf $V_{\mathbb R}$ und $\op{Im}\circ s $ eine symplektische Form auf $V_{\mathbb R}$ und wir erhalten in $\op{GL} (V_{\mathbb R})$ die drei Untergruppen $\op{GL} (V_\DC)$, $\op{O}(V_{\mathbb R} ; \op{Re} s) $ und $\op{Sp} (V_{\mathbb R}; \op{Im} s)$. Man zeige, da"s der Schnitt von je Zweien dieser Untergruppen bereits der Schnitt von allen Dreien ist. Insbesondere erhalten wir damit im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ & \op{GL} (2n ; \mathbb R) &\\ \ar@{^{(}->}[ur]\op{GL} (n; \mathbb C) & \op{O} (2n)\ar@{^{(}->}[u] & \op{Sp}(n;\mathbb R)\ar@{_{(}->}[ul]\\ & \ar@{^{(}->}[ur]\op{U} (n) \ar@{^{(}->}[u] \ar@{_{(}->}[ul]& } \end{displaymath} die Untergruppe ganz unten als Schnitt von je Zwei der Untergruppen in der Mitte. \end{Ubung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\newpage %\begin{Bemerkungl} \begin{Ubung}[\textbf{Kompakte symplektische Gruppe und Quaternionen}] Jedes Quaternion $q \in \mathbb H$ k"onnen wir eindeutig schreiben als $q = x + jy$ mit\label{syQU} $x,y \in \mathbb C$. Wir setzen $x \pdef \op{Com} (q)$ und $y \pdef \op{Qua} (q)$ und nennen das den {\bf komplexen}\index{komplexer Anteil!von Quaternion} und den {\bf quaternionalen Anteil}\index{quaternionaler Anteil} unseres Quaternions. So vertauschen $\op{Com}$ und $\op{Qua}$ mit der Rechtsoperation von $\DC$. Weiter gilt $\bar q = \bar x - j y$ und folglich $\op{Com} (\bar q) = \overline{\op{Com} ( q)}$ sowie $\op{Qua} (\bar q) =-\op{Qua} ( q)$. Sei nun $V_{\mathbb H}$ ein $\mathbb H$-Rechtsmodul mit quaternionalem Skalarprodukt $s = \langle \; , \; \rangle$ und $V_{\mathbb C}$ seine Restriktion zu einem komplexen Vektorraum. Dann ist $\op{Com} \circ s $ ein Skalarprodukt auf $V_{\mathbb C}$ und $\op{Quat}\circ s $ eine symplektische Form auf $V_{\mathbb C}$ und wir erhalten in $\op{GL} (V_{\mathbb C})$ die drei Untergruppen $\op{GL} (V_{\mathbb H})$, $\op{U}(V_{\mathbb C} ; \op{Com} s) $ und $\op{Sp} (V_{\mathbb C}; \op{Qua} s)$. Man zeige, da"s der Schnitt von je Zweien dieser Untergruppen bereits der Schnitt von allen Dreien ist. Insbesondere erhalten wir damit im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ & \op{GL} (2n ; \mathbb C) &\\ \ar@{^{(}->}[ur]\op{GL} (n; \mathbb H) & \op{U} (2n)\ar@{^{(}->}[u] & \op{Sp}(n;\mathbb C)\ar@{_{(}->}[ul]\\ & \ar@{^{(}->}[ur]\op{Sp} (n) \ar@{^{(}->}[u]\ar@{_{(}->}[ul]& } \end{displaymath} die Untergruppe ganz unten als Schnitt von je Zwei der Untergruppen in der Mitte. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl} Seien $V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum und $\omega,\eta$ symplektische Formen. Stimmen die Automorphismengruppen $G$ unserer beiden Formen "uberein, so unterscheiden sich unsere Formen h"ochstens um einen komplexen Skalar. In der Tat ist die Darstellung $V$ der symplektischen Gruppe irreduzibel, und damit ist $\op{Hom}^G_\DC(V,V^\ast)$ h"ochstens eindimensional.\label{DFG} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Normalisator von $\op{Sp}(n)$ in $\op{U}(2n)$ ist $\op{Sp}(n)({\op{U}}(1)\op{id})$. In der Tat ist $\op{Sp}(n;\DC)$ der Zariski-Abschlu"s von $\op{Sp}(n)$. Aus $g\op{Sp}(n)g^{-1}=\op{Sp}(n)$ folgt also $g\op{Sp}(n;\DC)g^{-1}=\op{Sp}(n;\DC)$. Daraus folgt hinwiederum, da"s die symplektische Form $\omega$ und die symplektische Form $\omega\circ (g\times g)$ dieselbe Automorphismengruppe haben, nach \ref{DFG} gilt demnach $\omega\circ (g\times g)=\lambda \omega$ mit $\lambda\in\DC^\times$. Die Abbildung $g\mapsto \lambda$ ist nun ein Gruppenhomomorphismus von unserem Normalisator nach $\DC^\times$ und ihre Restriktion auf den Normalisator in $\op{U}(2n)$ mu"s folglich in der Kreisgruppe $\op{U}(1)$ landen. W"ahlen wir schlie"slich $\alpha$ mit $\alpha^2\lambda=1$, so folgt $\alpha\in\op{U}(1)$ und $(\alpha\op{id}) g\in \op{Sp}(n;\DC)$. \end{Bemerkungl} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\newpage \begin{Ubung} Die L"osungsmenge der Gleichung $X^2=-1$ in den Quaternionen ist genau die Kugelschale aller Quaternionen vom Betrag Eins mit Realteil Null.\label{W1Q} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{AutH} Wir haben in \eref{ER}{AN1} gesehen, da"s jeder Automorphismus des K"orpers $\DR$ die Identit"at ist, und in \eref{DDGG}{LA1}, da"s jeder stetige Automorphismus des K"orpers $\DC$ die Identit"at oder die komplexe Konjugation ist. Man zeige nun, da"s jeder stetige Automorphismus des Schiefk"orpers $\mathbb{H}$ durch die Konjugation mit einem invertierbaren K"orperelement gegeben wird und konstruiere eine Identifikation besagter Automorphismengruppe mit der $\op{SO}(3)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Iwasawa-Zerlegung quaternionaler Matrizen}] Gegeben eine Basis $ v_1, \ldots , v_n $ eines $\mathbb H$-Rechtsmoduls von endlichem Rang $V$ finden wir, indem wir das Gram-Schmidt'sche Orthogonalisierungsverfahren verallgemeinern, eindeutig bestimmte\label{IZQ} $\lambda_{ij}\in\mathbb H$ f"ur $i\leq j$ mit $\lambda_{ii} > 0$ derart, da"s $\vec w_1\pdef \vec v_1 \lambda_{11}, \vec w_2\pdef\vec v_2 \lambda_{22} + \vec v_1 \lambda_{12}, \ldots$ eine Orthonormalbasis von $V$ bilden. Man folgere, da"s f"ur $N\subset \op{GL}(n;\mathbb H)$ die Gruppe aller oberen Dreiecksmatrizen mit reellen positiven Diagonaleintr"agen die Multiplikation eine Bijektion $\op{Sp}(n)\times N\sira \op{GL}(n;\mathbb H)$ liefert. \end{Ubung} \begin{Ubung} Die Operation der Quaternionen der L"ange Eins auf dem Quaternionenraum durch Rechts- und Linksmultiplikation liefert eine Surjektion $$S^3\times S^3\sra {\op{SO}}(\mathbb H)\cong {\op{SO}}(4)$$ gegeben in Formeln durch $(q,w)\mapsto (x\mapsto (qx\bar w))$ mit zweielementigem Kern $\{(1,1),(-1,-1) \}$. Das Skalarprodukt auf $\mathbb H$ ist dabei $\langle x,y\rangle\pdef \op{Re}(\bar x y)$. \end{Ubung} \newpage \section{Endlichdimensionale Darstellungen} \subsection{Darstellungen und ihre Ableitungen}\label{DaAb} \begin{Bemerkungl}\label{DaLI} In diesem Abschnitt mag der Leser unter einer Liegruppe je nach Kenntnisstand eine Matrixliegruppe oder auch eine abstrakte Liegruppe verstehen. % Es mag sinnvoll sein, sich auch die gundlegenden Definitionen % im Zusammenhang mit % Darstellungen abstrakter Gruppen \ref{DeGru} anzusehen, % die hier nur im speziellen Fall der Liegruppen % ausgef"uhrt werden. Unter einer reellen beziehungsweise komplexen {\bf endlichdimensionalen Darstellung einer Liegruppe} $G$\index{Darstellung!von Liegruppe} verstehen wir stets eine stetige Darstellung im Sinne von \ref{DeGrux}, also ein Paar $(V,\rho)$ bestehend aus einem endlichdimensionalen reellen beziehungsweise komplexen Vektorraum $V$ mit einem stetigen Gruppenhomomorphismus $\rho:G\ra \op{GL}(V)$. Statt $\rho(g)(v)$ schreiben wir auch oft abk"urzend $gv$. Wollen wir die bei Liegruppen meist implizit zugrundegelegte Annahme der Stetigkeit besonders betonen, so reden wir auch von {\bf stetigen endlichdimensionalen Darstellungen}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{BGF} Der $\DR^n$ ist in offensichtlicher Weise eine Darstellung der Liegruppe $\op{GL}(n;\DR)$. Dasselbe gilt f"ur die R"aume $\DR[x_1,\ldots,x_n]^{(m)}$ aller Polynomfumktionen auf $\DR^n$, die homogen sind vom Grad $m$, f"ur die Operation gegeben durch das \glqq Verschieben von Funktionen\grqq, in Formeln $(gf)(p)=f(g^{-1}p)$ f"ur alle $g\in \op{GL}(n;\DR)$, $p\in\DR^n$ und $f\in \DR[x_1,\ldots,x_n]$. Dasselbe gilt mit $\DC$ statt $\DR$ und wir erhalten die komplexe Darstellung $\DC[X_1,\ldots,X_n]$ von $\op{GL}(n;\DC)$, bei der ich die Variablen gro"s geschrieben habe, weil sie hier keine Koordinaten im reellen Sinne mehr sind. \end{Beispiel} \begin{Definition} Sei $k$ ein K"orper. Eine {\bf Darstellung\index{Darstellung!von Liealgebra} einer Liealgebra} $\frak{g}$ "uber $k$ ist ein Paar $(V,\rho)$ bestehend aus einem $k$-Vektorraum $V$ und einem Homomorphismus von Liealgebren $\rho : \frak{g} \ra \frak{gl} (V)$. \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{Ableiten einer Liegruppendarstellung}] Ist $G$ eine Liegruppe und $\rho: G\ra \op{GL}(V)$ eine stetige Darstellung durch Automorphismen eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums, so wird $V$ nach \ref{HeL} eine Darstellung der Liealgebra $\op{Lie}G$ vermittels des Differentials beim neutralen Element, das wir oft abk"urzen zu $$\tiff\rho= \tiff_e\rho:\op{Lie}G\ra \frak{gl}(V)$$ Diese Darstellung der Liealgebra $\op{Lie}G$ hei"st die {\bf abgeleitete Darstellung}\index{abgeleitete Darstellung!der Liealgebra} zur Darstellung unserer Liegruppe $G$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{qwe} Die Darstellung $\rho_n:S^1\ra \DC^\times$, $z\mapsto z^n$ der Kreislinie hat das Differential $ \tiff_e\rho_n: \lambda\mapsto n\lambda$ f"ur $\lambda\in {\op{T}}_1S^1={\op{i}}\DR\subset \DC={\op{T}}_1 \DC^\times$. \end{Beispiel} \begin{Definition} Sei $k$ ein K"orper. Eine \defnoind{Operation\index{Operation!von Liealgebra} einer Liealgebra} $\frak{g}$ "uber $k$ auf einem $k$-Vektorraum $V$ ist eine bilineare Abbildung $\frak{g}\times V\ra V$, $(x,v)\mapsto xv$ mit der Eigenschaft $$x(yv)-y(xv) =[x,y]v \quad \forall x,y \in \frak{g},v\in V$$ Wir werden in diesem Zusammenhang die Klammern oft weglassen und $x(yv)$ mit $xyv$ abk"urzen. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Seien $k$ ein K"orper, $\frak{g}$ eine $k$-Liealgebra und $V$ ein $k$-Vektorraum. So induziert die Identifikation $\op{Ens}(\frak{g}\times V,V)\sira \op{Ens}(\frak{g}, \op{Ens}(V,V))$ aus dem Exponentialgesetz \eref{ABBK}{GR} eine Bijektion $$\left\{\begin{array}{c}\text{Operationen von $\frak{g}$}\\ \text{auf dem Vektorraum }V \end{array}\right\} \;\sira \; \left\{\begin{array}{c}\text{Liealgebrenhomomorphismen}\\ \frak{g}\ra \frak{gl} (V) \end{array}\right\} $$ Ein Vektorraum mit der Operation einer Liealgebra ist also im wesentlichen dasselbe wie eine Darstellung besagter Liealgebra. \end{Bemerkungl} %% \begin{Bemerkungl} %% Gegeben eine Darstellung einer %% Liealgebra schreiben wir statt $(\rho(x)) (v)$ meist $xv$ und geben %% in dieser Notation noch eine Variante der obigen Definition. %% Gegeben Vektorr"aume $U,V,W$ k"onnen wir ja ganz %% allgemein die Menge %% aller linearen Abbildungen $U\ra \op{Hom}(V,W)$ in offensichtlicher %% Weise identifizieren mit der Menge aller %% bilinearen Abbildungen $U\times V\ra W$. Insbesondere %% entspricht jede lineare Abbildung $\rho: \frak{g}\ra \op{End}(V)$ %% eineindeutig einer bilinearen Abbildung $\frak{g}\times V\ra V$. %% Man pr"uft nun leicht, da"s hier $\rho$ eine Darstellung %% der Liealgebra $\frak{g}$ ist genau dann, wenn %% f"ur die zugeh"orige Abbildung $\frak{g}\times V\ra V$, %% $(x,v)\mapsto (\rho(x))(v)$ in der abk"urzenden Schreibweise %% $ (\rho(x))(v)=xv$ gilt %% $$x(yv)-y(xv) =[x,y]v %% \quad \forall x,y \in \frak{g},v\in V$$ %% Eine bilineare Abbildung $\frak{g}\times V\ra V$ mit dieser %% Eigenschaft %% nennen wir auch eine \defnoind{Operation}\index{Operation!einer Liealgebra} %% der Liealgebra $\frak{g}$ auf dem Vektorraum $V$. %% Wir werden in diesem Zusammenhang %% die Klammern oft weglassen und $x(yv)$ mit $xyv$ abk"urzen. %% \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Berechnung der abgeleiteten Darstellung}] Gegeben eine stetige endlichdimensionale Darstellung $\rho:G\ra \op{GL}(V)$ einer\label{RLa} Liegruppe und $x\in\op{Lie}G$ und $v\in V$ berechnet man $xv\in V$ zweckm"a"sig, indem man unserem $\rho$ das Auswerten $a_v:\op{GL}(V)\ra V$ nachschaltet. Als Restriktion einer linearen Abbildung $a_v:\op{End}(V)\ra V$ ist $a_v$ sein eigenes Differential, in Formeln $\tiff a_v=a_v$ oder ganz pedantisch $\tiff a_v\circ\op{trans}=\op{trans}\circ a_v$. So ergibt sich f"ur die Operation eines Elements $x$ der Liealgebra auf einem Vektor $v$ die Formel $$xv=(\tiff_e(a_v\circ \rho))(x)$$ f"ur das Bild von $x$ unter dem Differential beim neutralen Element der Abbildung $a_v\circ \rho: G\ra V$, also der Abbildung $g\mapsto gv$. Halten wir noch eine Kurve $\DR\ra G$ mit Geschwindigkeit $x$ bei $t=0$ davor, zum Beispiel die Kurve $t\mapsto \op{exp}(tx)$, ergibt sich f"ur die Operation eines Elements $x$ der Liealgebra auf einem Vektor $v$ einer Darstellung die Formel $$xv=\underset{t \ra 0}{\op{lim}} \frac{(\op{exp}tx)v -v} {t}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Abgeleitete Darstellung auf Funktionenr"aumen}] Wir berechnen die Ableitung der Darstellung von $\op{GL}(n;\DR)$ auf $\DR[x_1,\ldots,x_n]^{(m)}$ aus \ref{BGF}. Gegeben $A\in \mathfrak{gl}(n;\DR)$ und ein Polynom $f$ finden wir f"ur die zugeh"orige Operation von $A$ auf $f$ gefolgt vom Auswerten an einer Stelle $p\in\DR^n$ sofort\label{AblVr} $$(Af)(p)=\lim_{t\ra 0}\frac{f(\op{exp}(-tA)p) -f(p)} {t}=\left. \frac{\diff}{\diff t}\right|_{t=0}f(\op{exp}(-tA)p)=({\op{D}}_{-Ap}f)(p)$$ alias die Richtungsableitung von $f$ bei $p$ in der Richtung $-Ap$. Nun kann die Richtungsableitung in Richtung $v=(v_1,\ldots,v_n)$ geschrieben werden als $v_1\partial_1 + \ldots + v_n\partial_n$ und wir haben folglich $(Af)(p)= -\sum_{i,j} a_{ij}x_j(p)(\partial_if)(p)$ alias $$Af=-\sum_{i,j} a_{ij}x_j\partial_if$$ Betrachten wir etwa die eindimensionale Untergruppe aller Vielfachen der Einheitsmatrix, die ja durch Streckungen auf $\DR^n$ operiert, so operiert die Einheitsmatrix als Element der Liealgebra durch das radiale Vektorfeld $-\sum_{i}x_i\partial_i$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Abgeleitete Darstellung auf Funktionenr"aumen, Variante}] Wir berechnen die Ableitung der Darstellung von $\op{GL}(n;\DC)$ auf $\DC[X_1,\ldots,X_n]^{(m)}$ aus \ref{BGF}. Gegeben $A\in \mathfrak{gl}(n;\DC)$ und ein Polynom $f$ finden wir f"ur die zugeh"orige Operation von $A$ auf $f$ gefolgt vom Auswerten an einer Stelle $p\in\DC^n$ sofort\label{AblV} $$(Af)(p)=\lim_{t\ra 0}\frac{f(\op{exp}(-tA)p) -f(p)} {t}=\left. \frac{\diff}{\diff t}\right|_{t=0}f(\op{exp}(-tA)p)=({\op{D}}_{-Ap}f)(p)$$ alias die Richtungsableitung von $f$ bei $p$ in der Richtung $-Ap$. Ich behaupte nun, da"s die Richtungsableitung in Richtung $v=(v_1,\ldots,v_n)$ einer polynomialen Funktion auch in diesem Fall geschrieben werden kann als $v_1\partial_1 + \ldots + v_n\partial_n$ mit diesmal rein formal-algebraisch zu verstehenden partiellen Ableitungen unserer komplexen Polynome. Das ist aber klar f"ur die Variablen $X_i$, und da beide Ausdr"ucke die Leibnizregel erf"ullen, folgt es f"ur beliebige Polynome. Wir haben folglich wie zuvor $(Af)(p)= -\sum_{i,j} a_{ij}X_j(p)(\partial_if)(p)$ alias $$Af=-\sum_{i,j} a_{ij}X_j\partial_if$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Sei $\frak{g}$ eine Liealgebra. Die {\bf triviale Operation} $xv=0$ f"ur alle $ x\in\frak{g} $ und $ v\in V$ macht jeden Vektorraum $V$ zu einer Darstellung von $\frak{g}$. Der Grundk"orper $k$ versehen mit der trivialen Operation hei"st die \defnoind{Einsdarstellung}\index{Einsdarstellung!von Liealgebra}, den Nullvektorraum versehen mit der trivialen Operation die \defnoind{Nulldarstellung}\index{Nulldarstellung} unserer Liealgebra. Ist $V$ eine endlichdimensionaler reeller Vektorraum und lassen wir eine Liegruppe derart darauf operieren, da"s jedes Gruppenelement als die Identit"at operiert, so erhalten wir als Ableitung die triviale Operation von $\op{Lie}G$ auf $V$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Sei $\frak{g}$ eine Liealgebra. F"ur $x\in \frak{g}$ erkl"are man $(\op{ad}x):\frak{g}\ra \frak{g}$ durch die Vorschrift $(\op{ad}x):y\mapsto [x,y]$. Die Jacobi-Identit"at besagt dann, da"s\label{adDD} $\op{ad}:\frak{g}\ra\frak{gl} (\frak{g})$ ein Homomorphismus von Liealgebren ist. Er hei"st die {\bf adjungierte Darstellung}\index{adjungiert!Darstellung!von Liealgebra} unserer Liealgebra.\index{Darstellung!adjungierte!von Liealgebra} Ist nun speziell $G$ eine Matrixliegruppe und $\op{Ad}:G\ra \op{GL}(\op{Lie}G)$ ihre adjungierte Darstellung, so ist deren abgeleitete Darstellung der Liealgebra gerade unsere adjungierte Darstellung der Liealgebra $\op{ad}:\op{Lie}G\ra \op{GL}(\op{Lie}G)$. In der Tat finden wir mit \ref{RLa} m"uhelos $$((\tiff_e\op{Ad})(X))(Y)=\left.\frac{\diff}{\diff t}\right|_{t=0} (\op{exp}(tX))Y(\op{exp}(-tX))=[X,Y]=(\op{ad}(X))(Y)$$ \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Liealgebra einer Standgruppe}] Ist $\rho:G\ra \op{GL}(V)$ eine stetige endlichdimensionale Darstellung einer Liegruppe und $v\in V$ ein Vektor, so gilt f"ur die Liealgebra der Standgruppe $$\op{Lie}(G_v)=\{ x\in \op{Lie}G\mid xv=0\}$$ Hinweis: Man mag \ref{TGBB} anwenden.\label{LGI} \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $V$ ein Vektorraum. Die offensichtliche Operation macht $V$ zu einer Darstellung von $\frak{g}\frak{l} (V)$, der \defind{Standarddarstellung} von $\frak{g}\frak{l} (V)$. Im Fall eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums zeige man, da"s sie die Ableitung der offensichtlichen Darstellung der Matrixliegruppe $G=\op{GL}(V)$ durch Automorphismen von $V$ ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{opH} Gegeben zwei Darstellungen $(V,\rho)$ und $(W,\sigma)$ einer Gruppe $G$ "uber einem K"orper $k$ wird der Raum $\op{Hom}_k(V,W)$ aller $k$-linearen Homomorphismen zu einer Darstellung vermittels der Vorschrift, da"s f"ur $f:V\ra W$ linear und $g\in G$ der Morphismus $gf$ gegeben sein soll durch $gf=\sigma(g)\circ f\circ \rho(g)^{-1}$ alias $$(gf)(v)=g(f(g^{-1}v))\quad\forall v\in V$$ Wir nennen diese Operation auf dem Raum aller Homomorphismen die {\bf Operation durch Konjugation}.\index{Operation durch Konjugation} Man zeige: \label{BODD} Gegeben zwei stetige endlichdimensionale Darstellungen $V,W$ einer Liegruppe $G$ ist auch die Operation durch Konjugation von $G$ auf $\op{Hom}_\DR(V,W)$ stetig, und die abgeleitete Operation der Liealgebra wird f"ur $x\in \op{Lie}G$ und $f\in\op{Hom}_\DR(V,W)$ dadurch gegeben, da"s f"ur alle $v\in V$ gilt $$(xf)(v)=x(f(v))-f(xv)$$ % Man pr"uft diese Formel zum Beispiel mit der Formel am Ende von \ref{RLa}, % oder durch Berechnung und Einschr"ankung des Differentials der Operation von % $G\times G$ auf dem $\op{Hom}$-Raum. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{opT} Gegeben zwei Darstellungen $(V,\rho)$ und $(W,\sigma)$ einer Gruppe $G$ "uber einem K"orper $k$ wird der Raum $V\otimes_kW$ zu einer Darstellung vermittels der Vorschrift $g(v\otimes w)\pdef gv\otimes gw$. Wir nennen diese Darstellung die {\bf Tensor-Darstellung}.\index{Tensorprodukt!von Darstellungen} Man zeige: Gegeben zwei stetige endlichdimensionale Darstellungen $V,W$ einer Liegrupe $G$ ist auch die Tensordarstellung stetig, und die abgeleitete Operation der Liealgebra wird f"ur $x\in \op{Lie}G$ gegeben durch $$x(v\otimes w)=xv\otimes w+v\otimes xw$$ \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{opTa} Gegeben eine Darstellung $(V,\rho)$ einer Gruppe $G$ "uber einem K"orper $k$ werden ihre "au"seren Potenzen $\bigwedge^i V$ zu Darstellungen in der offensichtlichen Weise. Gegeben eine stetige endlichdimensionale Darstellungen $V$ einer Liegrupe $G$ sind auch ihre "au"seren Potenzen stetig. Man beschreibe die abgeleitete Operation der Liealgebra. \end{Ubunge} \subsection{Homomorphismen von Darstellungen} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s wir in \ref{DHDx} einen Homomorphismus von Darstellungen $V,W$ einer Gruppe $G$ "uber einem K"orper $k$ definiert hatten als eine $k$-lineare Abbildung $\varphi : V\ra W$ mit der Eigenschaft $\varphi (gv)= g\varphi (v) \; \forall v\in V$, $g\in G$. Wir notieren die Menge aller solchen Homomorphismen $\op{Mod}_G(V,W)$ oder, wenn wir den Grundk"orper explizit machen wollen,\index{Mod@$\op{Mod}_{k,G}$ Verflechtungsoperatoren} \index{Hom@$\op{Hom}_{k,G}$ Verflechtungsoperatoren} $\op{Mod}_{k,G}(V,W)$. Noch allgemeiner erkl"aren wir f"ur Darstellungen $V_1,\ldots,V_r,W$ mit $r\geq 0$ eine {\bf Verschmelzung}\index{Verschmelzung!von Darstellungen!von Gruppen} als eine $G$-"aquivariante multilineare Abbildung $V_1\times\ldots \times V_r\ra W$ und notieren die Menge aller derartigen Verschmelzungen $$\op{Mod}_{k,G}(V_1\curlyvee\ldots \curlyvee V_r,W)$$ Im Spezialfall $r=0$ verstehen wir das leere Produkt als die einpunktige Menge $\{*\}$ mit der trivialen $G$-Operation und das Auswerten auf deren einzigem Element $*$ ist eine Bijektion $\op{Mod}_{k,G}(\curlyvee,W)\sira W^G$ zwischen der Menge der Leerverschmelzungen nach $W$ und der Menge der $G$-invarianten Vektoren. Verschmelzungen lassen sich in der offensichtlichen Weise \glqq multiverkn"upfen\grqq\ und wir erhalten so eine \glqq Schmelzkategorie\grqq\ im Sinne von \eref{MuC}{TSK}, aber so weit will ich hier nicht gehen. Ich will jedoch gegeben $k$-Vektorr"aume $V_1,\ldots,V_r,W$ mit $r\geq 0$ f"ur die Menge der multilinearen Abbildungen von nun an auch die Notation $\op{Mod}_{k}(V_1\curlyvee\ldots \curlyvee V_r,W)$ verwenden. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein {\bf Homomorphismus von Darstellungen} oder auch {\bf Verflechtungsoperator}\index{Verflechtungsoperator} zwischen zwei Darstellungen $V,W$ einer Liealgebra $\frak{g}$ "uber einem K"orper $k$ ist eine lineare Abbildung $\varphi : V\ra W$ derart, da"s gilt $\varphi (xv)= x\varphi (v) \; \forall v\in V$, $x\in \frak{g}$. Wir notieren die Menge aller solchen Homomorphismen $\op{Mod}_{\frak{g}}(V,W)$ oder auch $\op{Mod}_{k,\frak{g}}(V,W)$, wenn wir den Grundk"orper explizit machen wollen.\index{Mod@$\op{Mod}_{k,\frak{g}}$ Verflechtungsoperatoren} Allgemeiner erkl"aren wir f"ur Darstellungen $V_1,\ldots,V_r,W$ mit $r\geq 0$ eine {\bf Verschmelzung}\index{Verschmelzung!von Darstellungen!von Liealgebren} als eine multilineare Abbildung $V_1\times\ldots \times V_r\ra W$ mit $$\varphi(xv_1,\ldots,v_r)+\ldots+\varphi(v_1,\ldots,xv_r) =x\varphi(v_1,\ldots,v_r)\; \forall v_i\in V_i, x\in\mathfrak g$$ und notieren die Menge aller derartigen Verschmelzungen $$\op{Mod}_{k,\mathfrak g}(V_1\curlyvee\ldots \curlyvee V_r,W)$$ Im Spezialfall $r=0$ verstehen wir die leere Summe als die Null von $W$ und das leere Produkt als die einpunktige Menge $\{*\}$ und das Auswerten auf dem einzigen Element $*$ der einunktigen Menge ist eine Bijektion $\op{Mod}_{k,\mathfrak g}(\curlyvee,W)\sira W^{\mathfrak g}$ zwischen der Menge der Leerverschmelzungen nach $W$ und der Menge der Vektoren von $W$, die von allen Elementen der Liealgebra zu Null gemacht werden. Verschmelzungen lassen sich in der offensichtlichen Weise \glqq multiverkn"upfen\grqq\ und wir erhalten so eine \glqq Schmelzkategorie\grqq\ \eref{MuC}{TSK}, aber so weit will ich hier nicht gehen. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Verschmelzungen unter Liegruppen und Liealgebren}] Gegeben $r\geq 0$ und endlichdimensionale stetige reelle Darstellungen $V_1,\ldots,V_r,W$ einer Liegruppe $G$ \label{Defr} sind alle Verschmelzungen unserer Darstellungen auch Verschmelzungen zwischen den abgeleiteten Darstellungen der Liealgebra $\frak g$, in Formeln $$\op{Mod}_{\DR,G} (V_1\curlyvee\ldots\curlyvee V_r,W) \subset \op{Mod}_{\DR,\frak{g}} (V_1\curlyvee\ldots\curlyvee V_r,W)$$ Ist $G$ zusammenh"angend, so ist diese Inklusion sogar eine Gleichheit. \end{Satz} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Darstellungen als Schmelzkategorie}] In der in \eref{smkk}{TSK} eingef"uhrten Terminologie kann man die vorhergehenden Bemerkungen dahingehend zusammenfassen, da"s\label{DmkL} die endlichdimensionalen stetigen reellen Darstellungen einer Liegruppe eine Schmelzkategorie $\op{Modfd}_\DR^G$ mit universellen Verschmelzungen und Multihom bilden, da"s die Darstellungen einer Liealgebra $\mathfrak g$ desgleichen eine Schmelzkategorie $\op{Mod}_\DR^{\mathfrak g}$ mit universellen Verschmelzungen und Multihom bilden, und da"s das Ableiten ein mit universellen Verschmelzungen und Multihom vertr"aglicher Schmelzfunktor $$\op{Modfd}_{\DR,G}\ra \op{Mod}_{\DR,\mathfrak g}$$ ist, der im Fall einer zusammenh"angenden Liegruppe sogar ein volltreuer Schmelzfunktor $\op{Modfd}_{\DR,G}\vra \op{Mod}_{\DR,\mathfrak g}$ ist. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Invarianten von Liegruppen und Liealgebren}] Gegeben eine Darstellung $V$ einer Gruppe $G$ verwenden wir wie in \eref{DGWb}{LA2} die Notation\label{inVGr} $$V^{G} \pdef \{v\in V \mid gv=v \; \forall g \in G\}$$ f"ur die Menge der $G$-\defnoind{invarianten Vektoren von} \index{invariant!Vektor unter Gruppe} $V$. \label{inV} F"ur eine Darstellung $V$ einer Liealgebra $\frak{g}$ setzen wir $$V^{\frak{g}} \pdef \{v\in V \mid xv=0 \quad \forall x \in \frak{g}\}$$ und nennen die Elemente von $V^\frak{g}$ die $\frak{g}$-\defnoind{invarianten Vektoren von}\index{invariant!Vektor unter Liealgebra} $V$. Ist $G$ eine Liegruppe mit Liealgebra $\frak{g}$ und $V$ eine\label{IGA} stetige Darstellung von $G$ in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum, so sind nach dem Spezialfall $r=0$ unseres Satzes alle unter der Gruppe invarianten Vektoren auch invariant unter ihrer Liealgebra, in Formeln $V^{G} \subset V^{\frak{g}}$, und f"ur zusammenh"angendes $G$ gilt sogar $$V^{G} = V^{\frak{g}}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Zwei Darstellungen hei"sen {\bf isomorph}, wenn es zwischen ihnen einen Homomorphismus gibt, der ein Isomorphismus von Vektorr"aumen ist. Die Umkehrabbildung dieses Isomorphismus ist dann notwendig auch ein Homomorphismus von Darstellungen. Spezialisieren wir unseren Satz zum Fall $r=1$, so sehen wir insbesondere, da"s zwei endlichdimensionale stetige reelle Darstellungen einer zusammenh"angenden Liegruppe, die isomorphe Darstellungen der Liealgebra liefern, bereits als Darstellungen der Gruppe isomorph gewesen sein m"ussen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} F"ur alle $x\in\mathfrak g$ und jede Verschmelzung $\varphi$ von $G$-Darstellungen und alle $t\in\DR$ gilt $$\varphi(\op{exp}(tx)v_1,\ldots,\op{exp}(tx)v_r)=\op{exp}(tx)\varphi(v_1,\ldots,v_r)$$ Die Kettenregel und unsere Regel f"ur das Differential multilinearer Abbildungen liefern dann durch Vergleich der beiden Ausdr"ucke f"ur die Geschwindigkeit im Ursprung dieses Weges zum Zeitpunkt Null die gew"unschte Identit"at $$\varphi(xv_1,\ldots,v_r)+\ldots +\varphi(v_1,\ldots,xv_r)=x\varphi(v_1,\ldots,v_r)$$ Andererseits liefert das Vorschalten von $x$ an den verschiedenen Stellen paarweise kommutierende Endomorphismen des Raums $\op{Mod}_\DR(V_1\curlyvee \ldots \curlyvee V_r, W)$ aller multilinearen Abbildungen, folglich ist das Exponential ihrer Summe das Produkt ihrer Exponentiale und aus unserer letzten Gleichung folgt umgekehrt $$\varphi(\op{exp}(x)v_1,\ldots,\op{exp}(x)v_r)=\op{exp}(x)\varphi(v_1,\ldots,v_r)\;\forall x\in\mathfrak g$$ Ist zus"atzlich $G$ zusammenh"angend, so wird $G$ von $\op{exp}\mathfrak g$ erzeugt und wir erhalten die behauptete Gleichheit von R"aumen von Verschmelzungen. \end{proof} % \begin{Bemerkungl}\nichtfinal{Wohin?} Eine Verschmelzung % $u:V_1\curlyvee \ldots \curlyvee V_r\ra T$ von Darstellungen % einer Gruppe $G$ in $k$-Vektorr"aumen hei"st {\bf universell},\index{universell!Verschmelzung!von Darstellungen} wenn f"ur jede weitere Darstellung $W$ das Vorschalten von $u$ % eine Bijektion % $$\op{Mod}_{k,G}(T,W)\sira \op{Mod}_{k,G}(V_1\curlyvee \ldots \curlyvee V_r,W)$$ % induziert. Analog erkl"aren wir universelle Verschmelzungen von Darstellungen von Liealgebren. In beiden F"allen ist ziemlich offensichtlich, da"s die % universelle multilineare Abbildung % $$u:V_1\curlyvee \ldots \curlyvee V_r\ra V_1\otimes \ldots \otimes V_r$$ % eine universelle Verschmelzung ist, wenn wir die $G$-Operation auf dem Tensorprodukt erkl"aren % durch $g(v_1\otimes\ldots \otimes v_r)=gv_1\otimes\ldots \otimes gv_r\;\forall g\in G$ beziehungsweise % $$x(v_1\otimes\ldots \otimes v_r)=xv_1\otimes\ldots \otimes v_r+\ldots+ v_1\otimes\ldots \otimes xv_r\;\forall x\in\mathfrak g$$ % im Fall von Darstellungen einer Liealgebra $\mathfrak g$. Eine universelle % Nullverschmelzung ist insbesondere die Nullverschmelzung % $(\curlyvee)\ra k$ gegeben durch $\ast\mapsto 1$ mit der Einsdarstellung $k$, % und zwar sowohl im Fall einer Gruppe wie im Fall einer Liealgebra. % \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Untervektorraum $U$ einer Darstellung $V$ einer Liealgebra $\frak{g}$ hei"st eine \defind{Unterdarstellung}, wenn gilt $xv\in U \; \forall x\in \frak{g}$, $v\in U$. Wir sagen in diesem Zusammenhang auch, $U$ sei {\bf stabil unter} $\frak{g}$.\index{stabil!unter Liealgebra} Eine von $V$ verschiedene Unterdarstellung $U\subsetneq V$ hei"st eine \defnoind{echte Unterdarstellung}\index{echt!Unterdarstellung} von $V$. \end{Definition} \begin{Beispiele} Gegeben eine Darstellung $V$ sind ganz $V$ und der Nullraum Unterdarstellungen. Ist $\varphi : V\ra W$ ein Homomorphismus von Darstellungen, so ist das Bild jeder Unterdarstellung von $V$ eine Unterdarstellung von $W$ und das Urbild jeder Unterdarstellung von $W$ eine Unterdarstellung von $V$. Insbesondere ist ${\ker}\varphi$ eine Unterdarstellung von $V$ und ${\op{im}} \varphi$ eine Unterdarstellung von $W$. \end{Beispiele} \begin{Satz}[\textbf{Unterdarstellungen zu Liegruppen und Liealgebren}] Ein Untervektorraum einer stetigen endlichdimensionalen\label{UDas} reellen oder komplexen Darstellung einer zu\-sam\-men\-h"an\-gen\-den Liegruppe ist stabil unter unserer Liegruppe genau dann, wenn er stabil ist unter ihrer Liealgebra. \end{Satz} \begin{Bemerkunge} In der Sprache der Kategorientheorie sagt das im Fall reeller Darstellungen, da"s f"ur eine zusammenh"angende Liegruppe $G$ das essentielle Bild des volltreuen Funktors des Differenzierens $\op{Modfd}_\DR^G\vra \op{Mod}_\DR^{\mathfrak g}$ stabil ist unter dem Bilden von Unterdarstellungen. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Sei $G$ unsere zusammenh"angende Liegruppe, $\op{Lie}G=\frak{g}$ ihre Liealgebra und $V$ unsere Darstellung. Jeder $G$-stabile Teilraum ist offensichtlich auch $\frak{g}$-stabil. Jeder unter einem Endomorphismus $x\in\op{End}V$ stabilte Teilraum ist auch unter $\op{exp}(x)$ stabil, da er abgeschlossen ist. Jeder $\frak{g}$-stabile Teilraum ist damit auch $(\op{exp}\frak{g})$-stabil wegen der Kommutativit"at des Diagramms in \ref{HeL}. Damit ist er dann auch $G$-stabil, denn jede zusammenh"angende Liegruppe wird vom Bild ihrer Exponentialabbildung erzeugt nach \ref{ZLGZz} oder ausf"uhrlicher nach dem Beweis von \ref{LaLg}. \end{proof} % \begin{Definition} % Eine Darstellung einer Gruppe hei"st % \defnoind{einfach}\index{einfach!Darstellung, Gruppe} oder % \defnoind{irreduzibel}\index{irreduzibel!Darstellung, Gruppe} % genau dann, wenn sie nicht Null ist und % ihre einzige echte % Unterdarstellung die Nulldarstellung ist. % \end{Definition} \begin{Definition} Eine Darstellung einer Liealgebra hei"st \defnoind{einfach}\index{einfach!Darstellung, Liealgebra} oder gleichbedeutend \defnoind{irreduzibel},\index{irreduzibel!Darstellung, Liealgebra} wenn sie nicht Null ist und ihre einzige echte Unterdarstellung die Nulldarstellung ist. \end{Definition} \begin{Korollar} Gegeben jede zusammenh"angende Liegruppe liefert das Ableiten von Darstellungen eine Einbettung auf Isomorphieklassen $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c}\text{Einfache endlichdimensionale}\\ \text{stetige reelle Darstellungen}\\ \text{unserer Liegruppe} \end{array}\right\} & \hookrightarrow & \left\{ \begin{array}{c} \text{Einfache Darstellungen}\\ \text{ihrer Liealgebra} \end{array} \right\} \end{array}$$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Einfache Darstellungen bleiben einfach beim "Ubergang zur Liealgebra nach \ref{UDas}, nichtisomorphe bleiben nichtisomorph nach \ref{Defr}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{Kompx} Gegeben ein $\DR$-Vektorraum $V$ gibt es auf der Menge $V\times V$ genau eine Struktur als $\DC$-Vektorraum derart, da"s die Einbettung in die erste Komponente $\op{can}:V\ra V\times V$, $v\mapsto (v,0)$ reell-linear ist und da"s f"ur die Multiplikation mit $\op{i}\in\DC$ gilt $\op{i}(v,0)=(0,v)$. Wir bezeichnen diesen $\DC$-Vektorraum mit $$V^\DC$$ und nennen ihn die {\bf Komplexifizierung}\index{Komplexifizierung} des $\DR$-Vektorraums $V$. Weiter k"urzen wir meist $(v,0)=v$ ab und k"onnen dann jedes Element von $V^\DC$ eindeutig schreiben in der Form $v+\op{i}w$ mit $v,w\in V$. Das Vorschalten unserer Einbettung $\op{can}:V\hra V^\DC$ liefert f"ur jeden $\DC$-Vektorraum eine Bijektion $\op{Hom}_\DC(V^\DC,W)\sira \op{Hom}_\DR(V,W)$ und allgemeiner auch auf R"aumen multilinearer Abbildungen Bijektionen $$\op{Mod}_\DC(V^\DC_1\curlyvee \ldots\curlyvee V^\DC_r,W)\sira \op{Hom}_\DR(V_1\curlyvee \ldots\curlyvee V_r,W)$$ Die Abbildung $c:V^\DC\ra V^\DC$ gegeben durch $(v+ \op{i}w)\mapsto (v- \op{i}w)$ f"ur beliebige $v,w\in V$ ist schieflinear, als da hei"st, sie erf"ullt die Regel $c(za)=\bar{z}c(a)$ f"ur alle $ z\in \DC$ und $ a\in V^\DC$, und f"ur jeden $c$-stabilen komplexen Teilraum $W\subset V^\DC$ entspricht die reell-lineare Einbettung $W^c\hra V^\DC$ der Fixpunkte von $c$ in $W$ nach $V^\DC$ unter obiger Bijektion einem Isomorphismus $(W^c)^\DC\sira W$. Noch allgemeiner liefert sogar f"ur jeden komplexen Vektorraum $W$ mit einer schieflinearen Involution $c$ die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus $(W^c)^\DC\sira W$ von komplexen Vektorr"aumen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Eine alternative und besser verallgemeinerbare Konstruktion der Komplexifizierung wird in \eref{EwSk}{LA2} besprochen. Ist genauer $V$ ein reeller Vektorraum, so ist der mithilfe des Tensorprodukts konstruierte Vektorraum $ \DC\otimes_\DR V$ kanonisch isomorph zur hier sozusagen zu Fu"s konstruierten Komplexifizierung von $V$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} F"ur jede reelle Algebra $A$ ist ihre Komplexifizierung $A^\DC$ mit der induzierten Verkn"upfung eine komplexe Algebra und die Komplexifizierung jeder reellen Liealgebra ist offensichtlich eine komplexe Liealgebra. Ist schlie"slich $B$ eine komplexe Algebra und $A\ra B$ ein Morphismus von reellen Algebren, so ist die induzierte komplexlineare Abbildung $A^\DC\ra B$ nach dem Vorhergehenden ein Morphismus von komplexen Algebren. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}\label{EDKL} F"ur jede zusammenh"angende Liegruppe liefert das Differenzieren gefolgt von der kanonischen Erweiterung auf die Komplexifizierung der Liealgebra eine Einbettung von Isomorphieklassen $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c}\text{Einfache endlichdimensionale}\\ \text{stetige komplexe Darstellungen}\\ \text{unserer Liegruppe} \end{array}\right\} & \hookrightarrow & \left\{ \begin{array}{c} \text{Einfache Darstellungen}\\ \text{ihrer komplexifizierten}\\ \text{Liealgebra } \end{array} \right\} \end{array}$$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Ist $G$ eine Liegruppe und $\rho: G\ra \op{GL}(V)$ eine stetige Darstellung durch Automorphismen eines endlichdimensionalen komplexen Vektorraums, so liefert das Differential beim neutralen Element einen Homomorphismus von reellen Liealgebren $\tiff\rho:\op{Lie}G\ra \op{End}_\DC(V)$. Vermittels der universellen Eigenschaft der Komplexifizierung k"onnen wir diesen Homomorphismus auf genau eine Weise zu einer komplexlinearen Abbildung $$(\op{Lie}G)^\DC\ra \op{End}_\DC(V)$$ fortsetzen, die dann offensichtlich ein Homomorphismus von komplexen Liealgebren alias eine Darstellung der komplexen Liealgebra $(\op{Lie}G)^\DC$ sein mu"s. Das ist die Darstellung von $(\op{Lie}G)^\DC$, die im Korollar gemeint ist. Nat"urlich ist ein komplexer Teilraum $W\subset V$ stabil unter $\op{Lie}G$ genau dann, wenn er stabil ist unter $(\op{Lie}G)^\DC$. Zusammen mit \ref{UDas} folgt das Korollar. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{HOMG} Sind $V,W$ Darstellungen einer Gruppe "uber einem K"orper $k$, so sind die Verflechtungsoperatoren genau die Invarianten im Raum aller linearen Abbildungen unter der Operation durch Konjugation, in Formeln gilt also $$\op{Mod}_{k,G} (V,W)= \op{Hom}_{k} (V,W)^{G}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{DaH} Sind $V,W$ Darstellungen einer Liealgebra $\frak{g}$ "uber einem K"orper $k$, so wird der Homomorphismenraum $\op{Hom}_{k} (V,W)$ eine Darstellung von $\frak{g}$ durch die Vorschrift $(xf)(v) = x (f(v)) - f(xv) \quad \forall x \in \frak{g}$, $ v\in V$ und $f\in \op{Hom}_{k} (V,W)$, und mit dieser Operation von $\frak{g}$ auf dem Homomorphismenraum gilt $$\op{Mod}_{k,\frak{g}} (V,W)= \op{Hom}_{k} (V,W)^{\frak{g}}$$ Die Sinnhaftigkeit der hier auf $\op{Hom}_{k} (V,W)$ erkl"arten $\frak{g}$-Operation wird durch \ref{BODD} belegt. \end{Ubung} \begin{Bemerkungw} Diese "Ubungen erweisen sich beide als Spezialf"alle der nat"urlichen Bijektion $\mathcal M(V,W)\sira \mathcal M(\curlyvee,V{\Rrightarrow}W)$ in einer Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit internem Hom und, wenn wir statt einer Bijektion sogar einen Vektorraumisomorphismus erhalten wollen, einer $k$-linearen Schmelzkategorie mit internem Hom. \end{Bemerkungw} \subsection{Einfache Darstellungen der Spingruppe} \begin{Bemerkungl} Jetzt k"onnen wir auch unser Versprechen einl"osen und die Klassifikation \ref{EDDc} der einfachen Darstellungen der Drehgruppe herleiten. Wir beginnen dem einfacheren Fall der Spingruppe $\op{SU} (2)$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Einfache Darstellungen der Spingruppe}] Bis auf Isomorphismus gibt es in jeder Dimension\label{EDS} genau eine irreduzible stetige komplexe Darstellung der Spingruppe, die Dimension liefert mithin eine Bijektion $$\left\{\begin{array}{c}\text{Einfache endlichdimensionale komplexe}\\ \text{Darstellungen der Spingruppe }\op{SU} (2)\\ \end{array}\right\} \;\sira \; \{1,2,3, \ldots\} $$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ich meine hier auf der linken Seite genauer Darstellungen bis auf Isomorphismus und habe das nur nicht explizit dazugeschrieben, um die Notation nicht zu "uberladen. Dieser Satz gilt im Gegensatz zum entsprechenden Satz im Fall der Drehgruppe $\op{SO}(3)$ nicht analog f"ur reelle Darstellungen. Zum Beispiel besitzt die Spingruppe keine reelle stetige irreduzible Darstellung der Dimension Zwei, wie Sie in der folgenden "Ubung \ref{RDDZ} zeigen sollen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Nat"urlich operiert $\op{GL}(2;\DC)$ auf der komplexen Ebene $\Bbb{C}^{2}$. Damit operiert unsere Gruppe auch auf dem Raum $\op{Ens}(\Bbb{C}^{2}, \Bbb{C})$ aller Abbildungen $P: \Bbb{C}^{2} \ra \Bbb{C}$, der so eine unendlichdimensionale komplexe Darstellung wird. In Formeln wird diese Operation gegeben durch die Formel $$(gP) (v) = P (g^{-1}v) \quad \forall v \in \DC^{2}, \;g \in \op{GL}(2;\DC)$$ Sie ist "aquivalent zur vielleicht anschaulicheren Bedingung $(gP)(gv)=P(v)$. Der Teilraum ${\op{L}}(m)\pdef \DC[X,Y]^m\subset \DC[X,Y]$ aller polynomialen Abbildungen, die homogen sind vom Grad $m$, ist in diesem Abbildungsraum eine Unterdarstellung der Dimension $(m +1)$ mit der Basis $Y^{m},XY^{m-1}, \ldots , X^{m}$. Die Operation von $\op{GL} (2;\DC)$ auf dieser Unterdarstellung ist offensichtlich stetig. Wir wollen nachweisen, sie eine irreduzible Darstellung von $\op{SU} (2)$ ist. Dazu erinnern wir, da"s die abgeleitete Operation einer Elements $A$ der Liealgebra nach \ref{AblV} gegeben wird durch das Anwenden des formal-algebraischen Differentialoperators $$(-a_{11}X - a_{12} Y) \partial_{x} + (-a_{21}X-a_{22}Y)\partial_{y}$$ Diese Formeln liefern also eine Operation der Liealgebra $\frak{gl} (2;\Bbb{C})$ auf dem Polynomring $\DC[X,Y]$. Diese Operation ist offensichtlich sogar komplexlinear und macht insbesondere den komplexen Vektorraum $\DC[X,Y]$ zu einer Darstellung der komplexen Liealgebra $\frak{gl} (2;\Bbb{C})$. Wir m"ussen nach \ref{UDas} nur nachweisen, da"s ${\op{L}}(m)$ in Bezug auf diese Operation keinen echten unter $\frak{su} (2)=\op{Lie}(\op{SU}(2))$ stabilen komplexen Untervektorraum hat au"ser dem Nullraum. Gleichbedeutend reicht es zu zeigen, da"s ${\op{L}}(m)$ eine irreduzible Darstellung der komplexen Unterliealgebra $\langle\frak{su} (2)\rangle_\DC\subset \frak{gl} (2;\Bbb{C})$ ist. Nun erinnern wir $$ \frak{su} (2) = \{ A \in \op{Mat}(2; \Bbb{C} ) \mid \op{tr} A =0, \bar{A} = -A^{\top} \}$$ und beachten $\frak{su} (2)\cap \op{i}\frak{su} (2)=0$ und folgern mit Dimensionsvergleich $\langle\frak{su} (2)\rangle_\DC=\frak{sl} (2;\Bbb{C})$. Wir m"ussen also zeigen, da"s ${\op{L}}(m)$ eine irreduzible Darstellung von $\mathfrak{sl} (2;\Bbb{C})$ ist. Unter unserer Operation wirken, wie oben ausgerechnet, die Elemente $$h = \begin{pmatrix}1 &0\\ 0 &-1 \end{pmatrix},\;\; e = \begin{pmatrix} 0 &1\\ 0 & 0\end{pmatrix},\;\; f = \begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}$$ von $\frak{sl} (2;\Bbb{C})$ wie die Differentialoperatoren $-X\partial_{x} + Y\partial_{y}, - Y\partial_{x}$ und $-X\partial_{y}$. Insbesondere bilden die Vektoren $Y^{m},XY^{m-1},\ldots , X^{m}$ eine Basis von ${\op{L}}(m)$ aus Eigenvektoren von $h$ zu den Eigenwerten $m,m-2$, $\ldots, -m$ und $e$ und $f$ induzieren Isomorphismen zwischen Eigenr"aumen zu benachbarten Eigenwerten. Die Darstellung ${\op{L}}(m)$ von $\mathfrak{sl} (2;\Bbb{C})$ ist damit in der Tat irreduzibel, denn jede von Null verschiedene Unterdarstellung mu"s nach \eref{diage}{LA1} einen Eigenvektor von $h$ enthalten und damit bereits die ganze Darstellung sein. Um zu zeigen, da"s unsere Gruppe keine anderen irreduziblen komplexen Darstellungen besitzt, reicht es nach \ref{EDKL}, dasselbe f"ur ihre komplexifizierte Liealgebra zu pr"ufen. Nun ist wegen $\frak{su} (2)\cap \op{i}\frak{su} (2)=0$ der von der Einbettung $\mathfrak{su}(2)\hra \mathfrak{sl} (2;\Bbb{C})$ induzierte Homomorphismus von komplexen Liealgebren sogar ein Isomorphismus $\mathfrak{su}(2)^\DC\sira \mathfrak{sl} (2;\Bbb{C})$ und wir zeigen gleich anschlie"send als Satz \ref{DSL2}, da"s $\mathfrak{sl} (2;\Bbb{C})$ nicht noch weitere irreduzible endlichdimensionale Darstellungen hat. Damit ist dann auch unser Beweis hier zu Ende. \end{proof} \begin{Bemerkunge} In der Physik lernt man die hier mit $e$ und $f$ bezeichneten Elemente auch als {\bf Leiteroperatoren}\index{Leiteroperatoren} oder {\bf Kletteroperatoren}\index{Kletteroperatoren} kennen. Die aus der Physik vertrauten weniger "ubersichtlichen Formeln werden Sie jedoch erst in \ref{PhSp} sehen, wenn wir ein invariantes Skalarprodukt w"ahlen und zu einer Orthonormalbasis "ubergehen. In der Physik rechnet man auch oft mit den sogenannten {\bf Pauli-Matrizen}\index{Pauli-Matrizen} \begin{equation*} \sigma_1 = \begin{pmatrix}0 &1\\1 & 0\end{pmatrix} ,\;\; \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 &-{\op{i}} \\ {\op{i}} &0 \end{pmatrix} ,\;\; \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 &-1 \end{pmatrix} \end{equation*} die eine $\mathbb C$-Basis von $\frak{sl} (2; \mathbb C)$ und eine $\mathbb R$-Basis von ${\op{i}} \frak{su} (2)$ bilden. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Einfache Darstellungen von $\frak{sl}(2;\Bbb{C})$}] \begin{enumerate} \item Zu jeder positiven\linebreak endlichen Dimension gibt es bis auf Isomorphismus genau eine einfache Darstellung der Liealgebra $\frak{sl} (2;\Bbb{C})$; \item Ist $e,h,f$ eine Basis von $\frak{sl} (2;\Bbb{C})$ mit $[h,e]=2e$ und $[h,f]=-2f$ und $[e,f]=h$, so zerf"allt jede einfache Darstellung $L$ %=L(m) der Dimension $m+1$ unter $h$ in eindimensionale Eigenr"aume $$L=L_m\oplus L_{m-2}\oplus\ldots \oplus L_{2-m}\oplus L_{-m}$$ zu den ganzzahligen Eigenwerten $m,m-2,\ldots,2-m,-m$, und aus $L_j\neq 0\neq L_{j+2}$ folgt $f:L_{j+2}\sira L_j$ sowie $e:L_j\sira L_{j+2}$. \end{enumerate}\label{DSL2}% \label{V01} \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{HEDo} Die einfachen Darstellungen der Dimensionen $1$, $2$ und $3$ sind die triviale Darstellung $\DC$, die Standarddarstellung $\Bbb{C}^{2}$ und die \glqq adjungierte Darstellung\grqq, die wir in \ref{adDD} eingef"uhrt haben. Eine explizite Beschreibung der anderen einfachen Darstellungen wird im Beweis gegeben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Der Satz gilt mit demselben Beweis allgemeiner "uber jedem algebraisch abgeschlossenen K"orper der Charakteristik Null und er folgt daraus ohne Schwierigkeiten "uber jedem K"orper der Charakteristik Null. In positiver Charakteristik sind die Verh"altnisse jedoch komplizierter. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Da"s es zu jeder endlichen Dimension eine einfache Darstellung ${\op{L}}(m)$ mit den versprochenen Eigenschaften gibt, wissen wir bereits aus dem Beweis von \ref{EDS}. Explizit l"a"st sich eine derartige Darstellung auch mit etwas weniger Vorzeichen angeben. Die Liealgebra $\frak{sl} (2;\Bbb{C}) $ hat ja die Basis $$e = {\scriptstyle\begin{pmatrix}0&1\\0&0 \end{pmatrix}}, \; h=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}, \; f= \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},$$ und die Lie-Klammern zwischen den Elementen dieser Basis sind $[h,e]=2e$, $[h,f] = -2f$, $[e,f]=h$. Mithilfe der Produktregel f"ur formale partielle Ableitungen pr"uft man leicht explizit, da"s die Abbildung $\rho : \frak{sl} (2;\DC ) \ra \frak{g}\frak{l} (\DC [X,Y])$ gegeben durch die Vorschrift $$\begin{array}{lcl} \rho (e) &=& X\partial_{y}\\ \rho (f) &=& Y\partial_{x}\\ \rho (h) &=& X\partial_{x} - Y\partial_{y} \end{array}$$ eine Darstellung der Liealgebra $\frak{sl} (2;\DC )$ ist, da"s die homogenen Polynome von festem Totalgrad $m$ eine Unterdarstellung ${\op{L}} (m) = \DC [X,Y]^{m}$ der Dimension $d=m+1$ mit Basis $w_{i} = Y^{i}X^{m-i}$ f"ur $i=0, \ldots , m$ bilden. In dieser Basis wird die Operation von $\frak{sl} (2;\DC )$ auf ${\op{L}}(m)$ beschrieben durch die Formeln $$\begin{array}{rcl} ew_{i}& =& iw_{i-1}\\ fw_{i}&=& (m-i)w_{i+1}\\ hw_{i}&=& (m-2i)w_{i} \end{array}$$ wo wir $w_{-1}=w_{m+1}=0$ verstehen. Die Darstellungen ${\op{L}}(m)$ sind einfach, denn jede von Null verschiedene Unterdarstellung $0\neq U \subset {\op{L}}(m)$ enth"alt notwendig einen Eigenvektor zu $h$, also eines der $w_{i}$, und daraus folgt sofort $U = {\op{L}} (m)$. Damit haben wir nun auch in etwas "ubersichtlicherer Weise zu jeder endlichen Dimension eine einfache Darstellung gefunden. \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildS0001} \end{figure} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildS0002}\\%[height=5.5cm] \noindent Die einfachen endlichdimensionalen Darstellungen von $\frak{sl} (2;\DC)$ in zwei Basen. Die nach rechts weisenden Pfeile stellen jeweils die Operation von $e$ dar, die nach links weisenden Pfeile die Operation von $f$ und die Schlaufen die Operation von $h$. \end{figure} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildS0003}\\%[height=5.5cm] Die Operation auf dem von den $v_i=f^i v$ aufgespannten Teilraum, in derselben Weise zu interpretieren wie die obenstehenden Darstellungen. \end{figure} Wir m"ussen jedoch noch zeigen, da"s je zwei einfache Darstellungen derselben endlichen Dimension isomorph sind. Sei dazu zun"achst $\rho : \frak{sl} (2;\Bbb{C})\ra \frak{g}\frak{l}(V)$ irgendeine Darstellung. Bezeichne $V_{\mu} = \ker (\rho (h) -\mu)$ den Eigenraum von $\rho (h)$ zum Eigenwert $\mu\in\Bbb{C}$. So gilt $$e V_{\mu} \subset V_{\mu +2}\quad\text{und}\quad fV_{\mu} \subset V_{\mu -2}$$ denn aus $hv=\mu v$ folgt $hev=ehv+[h,e]v=e\mu v +2ev=(\mu+2)ev$ und der zweite Fall ergibt sich "ahnlich aus $[h,f]=-2f$. Ist $V$ endlichdimensional und $V\neq 0$, so gibt es sicher $\lambda\in \Bbb{C}$ mit $V_{\lambda} \neq 0$ aber $V_{\lambda+2} =0$. F"ur $v \in V_\lambda$ folgt dann $ev = 0$ und $hv = \lambda v$. Wir schreiben $f^iv$ f"ur den Vektor, der aus $v$ durch $i$-maliges Anwenden von $f$ entsteht. Man pr"uft per Induktion die Formeln $$ \begin{array}{rcll} h f^{i}v &=& (\lambda-2i)f^{i}v &\text{f"ur alle }i\geq 0,\\ ef^{i}v&= &i(\lambda- i+1) f^{i-1} v&\text{f"ur alle }i\geq 1. \end{array}$$ Die erste folgt unmittelbar aus unserer Erkenntnis $fV_{\mu} \subset V_{\mu -2}$, f"ur die zweite mu"s etwas mehr gerechnet werden. Insbesondere ist nach diesen Formeln der von den $f^{i}v$ mit $i\geq 0$ aufgespannte Teilraum eine Unterdarstellung. Ist $V$ zus"atzlich einfach und $v\neq 0$, so m"ussen die $f^{i}v$ demnach ganz $V$ aufspannen. Gilt $f^{i}v \neq 0$, so sind $v$, $fv \ldots, f^{i}v$ Eigenvektoren von $h$ zu paarweise verschiedenen Eigenwerten und damit linear unabh"angig. Da wir $V$ endlichdimensional angenommen hatten, gibt es folglich $d \geq 1$ mit $f^{d}v=0$. W"ahlen wir $d$ kleinstm"oglich, so ist $v$, $fv$, $\ldots$, $f^{d-1}v$ eine Basis von $V$, also $d=\op{dim} V$. Weiter folgt aus $f^{d} v =0 $ auch $0 = ef^{d}v= d (\lambda-d+1) f^{d-1}v$ und mithin $\lambda= d-1$, da wir ja $d\neq 0$ und $f^{d-1}v \neq 0$ vorausgesetzt hatten. Damit haben wir gezeigt, da"s je zwei einfache Darstellungen von $\frak{sl} (2;\Bbb{C})$ derselben endlichen Dimension $d$ isomorph sind, da n"amlich die Matrizen von $\rho (e)$, $\rho (f)$ und $\rho (h)$ in der Basis $v$, $fv$, $\ldots, f^{d-1}v$ nur von $d$ abh"angen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Die expliziten Formeln f"ur die einfachen endlichdimensionalen Darstellungen der $\frak{sl} (2;\Bbb{C})$ gefallen mir noch besser bei Parametrisierung der Basis nach den Eigenwerten von $h$. Setzen wir genauer $w_i=u_{m-2i}$, so erhalten wir f"ur ${\op{L}}(m)$ eine Basis bestehend aus $u_m,u_{m-2},\ldots, u_{-m}$ und die Operation unserer Liealgebra wird gegeben durch die Formeln $$\begin{array}{rcl} eu_{j}& =& ((m-j)/2)u_{j+2}\\ fu_{j}&=& ((m+j)/2)u_{j-2}\\ hu_{j}&=& ju_{j} \end{array}$$ \end{Bemerkungl} % brauchen wir nur zu pr"ufen, da"s die % im Eindeutigkeitsbeweis hergeleiteten Formeln in der Tat eine % einfache Darstellung liefern, d.h.\ da"s f"ur jedes $d$ der Vektorraum mit % der Basis $v_0,v_1,\ldots ,v_{d-1}$ und der Operation gegeben durch % $fv_i=v_{i+1}$ bzw.\ $fv_{d-1}=0$, $ev_i=i(d- i) v_{i-1}$ bzw.\ % $ev_0=0$ und $hv_i=(d-1-2i)v_i$ eine einfache Darstellung % der Liealgebra $\frak{sl} (2;\Bbb{C})$ ist. Diese Rechnung % scheint mir jedoch % unerfreulich und wenig nahrhaft. \begin{Satz}[\textbf{Einfache Darstellungen der r"aumlichen Drehgruppe}] Die einfachen endlichdimensionalen stetigen komplexen Darstellungen\label{EDD} der Drehgruppe werden klassifiziert durch ihre Dimension. Genauer liefert die Dimension eine Bijektion $$\left\{\begin{array}{c}\text{Einfache endlichdimensionale komplexe}\\ \text{Darstellungen der Drehgruppe }\op{SO} (3)\\ \end{array}\right\} \;\overset{\sim}{\ra} \; \{1,3,5, \ldots\} $$\end{Satz} \begin{proof}[Beweis von \ref{EDD}] Wir erinnern uns an die stetige Surjektion $\op{SU}(2)\sra \op{SO}(3)$ mit Kern $\{+1,-1\}$ aus \ref{SOUn}. Das Zur"uckholen mit dieser Surjektion liefert nach der universellen Eigenschaft surjektiver Gruppenhomomorphismen \eref{QUE}{LA2} eine Bijektion zwischen Isomorphieklassen einfacher Darstellungen der Drehgruppe und denjenigen Isomorphieklassen einfacher Darstellungen der Spingruppe, auf denen das Negative der Einheitsmatrix trivial operiert. Nach \eref{QTo}{AN1} alias, in der angemessenen Terminologie gesagt, da nach \eref{aQHK}{AN3} eine stetige Surjektion von einem Kompaktum auf einen Hausdorffraum stets final ist, liefert diese Bijektion auch eine Bijektion zwischen den entsprechenden Isomorphieklassen einfacher stetiger Darstellungen. Das sind aber nach dem vorhergehenden offensichtlich genau die Darstellungen ${\op{L}}(m)=\DC[X,Y]^m$ f"ur gerades $m$ alias die einfachen stetigen Darstellungen ungerader Dimension der Spingruppe. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{RDDZ} Man zeige, da"s die Spingruppe keine reelle stetige irreduzible Darstellung der Dimension Zwei besitzt. Hinweis: Man zeige zun"achst, da"s jede kompakte zusammenh"angende Untergruppe von $\op{GL}(\DR;n)$ in $\op{SL}(\DR;n)$ enthalten sein mu"s, und argumentiere dann mit der Dimension. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Eine endlichdimensionale Darstellung $V$ von $\frak{sl} (2;\Bbb{C})$ derart, da"s weder Null noch Eins Eigenwerte von $h=\op{diag}(1,-1)$ sind, in Formeln $V_{0} = V_{1} =0$, kann nur die Nulldarstellung $V=0$ sein. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{USL} Man zeige: Ist $\tilde{e},\tilde{h},\tilde{f}$ eine Basis von $\frak{sl} (2;\Bbb{C})$ mit $[\tilde{h},\tilde{e}]=2\tilde{e}$ und $[\tilde{h},\tilde{f}]=-2\tilde{f}$, so gilt $[\tilde{e},\tilde{f}]=c\tilde{h}$ f"ur einen Skalar $c\neq 0$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{EDSn}%\label{EDS} Die R"aume ${\op{L}}_\DR(m)=\DR[X,Y]^m$ aller homogenen Polynomfunktionen auf $\DR^2$ vom Grad $m$ sind unter der von der offensichtlichen Wirkung von $\op{SL}(2;\DR)$ auf $\DR^2$ induzierten Operation einfache reelle Darstellungen der Gruppe $\op{SL}(2;\DR)$ und jede stetige einfache endlichdimensionale Darstellung von $\op{SL}(2;\DR)$ ist isomorph zu genau einer dieser Darstellungen. Hinweis: \ref{HEDo}. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{GCA} Gegeben ein beliebiger K"orper $k$ und eine Darstellung $\rho: \frak{sl}(2;k)\ra\frak{gl}(V)$ der Lie-Algebra $\frak{sl}(2;k)$ mit ihrer Standardbasis $e,h,f$ mit Kommutatoren $[h,e]=2e$, $[h,f] = -2f$, $[e,f]=h$ liefert der in der assoziativen Algebra $\op{End}_k(V)$ zu interpretierende Ausdruck $$4\rho(f)\rho(e) + \rho(h)(\rho(h)+2)$$ einen mit der Operation unserer Liealgebra vertr"aglichen Endomorphismus von $V$. Im Fall der einfachen $(m+1)$-dimensionalen Darstellung ${\op{L}}(m)$ der Liealgebra $\frak{sl}(2;\DC)$ ist dieser Endomorphismus die Multiplikation mit dem Skalar $m(m+2)$. Hinweis: Tapfer rechnen. Dieser Operator ist im "ubrigen das einfachste Beispiel eines sogenannten {\bf Casimir-Operators},\index{Casimir-Operator!f"ur $\frak{sl}(2)$} vergleiche \eref{DeCa}{HL}. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{UHGTv} Man betrachte die Lie-Algebra $\frak{sl}(2;k)$ mit ihrer Standardbasis $e,h,f$ und Kommutatoren $[h,e]=2e$, $[h,f] = -2f$, $[e,f]=h$. Man pr"ufe per Induktion, da"s allgemeiner als im Beweis von Satz \ref{DSL2} f"ur jeden Vektor $v$ einer Darstellung besagter Liealgebra mit $ev=0$ gilt $$ \begin{array}{rcll} h f^{i}v &=& f^{i}(h-2i)v &\text{f"ur alle }i\geq 0,\\ ef^{i}v&= &i f^{i-1} (h- i+1)v&\text{f"ur alle }i\geq 1. \end{array}$$ \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{EDLS} Man zeige, da"s jede endlichdimensionale Darstellung $V$ der Lie-Algebra $\frak{sl}(2;\DC)$ eine direkte Summe von einfachen Unterdarstellungen ist. Hinweis: Man zerlege besagte Darstellung zun"achst in die Hauptr"aume des in \ref{GCA} eingef"uhrten Casimiroperators und ziehe sich so auf den Fall zur"uck, da"s die einfachen Subquotienten unserer Darstellung $V$ paarweise isomorph sind, sagen wir zu ${\op{L}}(m)$. Dann zeige man, da"s $f^m$ einen Isomorphismus $\op{Hau}(h;m)\sira \op{Hau}(h;-m)$ zwischen den Hauptr"aumen von $h$ zu den entsprechenden Eigenwerten liefert. Schlie"slich folgere man aus \ref{UHGTv} unter Verwendung von $f^{m+1}v=0$, da"s $h$ auf $\op{Hau}(h;m)$ diagonal operiert, und argumentiere von da ausgehend. Man zeige dasselbe Resultat auch im Fall reeller Koeffizienten und, wenn man in Algebra bewandert ist, "uber einem beliebigen Grundk"orper der Charakteristik Null. Eine Verallgemeinerung des Resultats auf allgemeinere, sogenannte \glqq halbeinfache\grqq\ Liealgebren wird in \eref{WCR}{HL} gezeigt. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{KRSn}%\label{KRS} Jede endlichdimensionale Darstellung der Liegruppen $\op{SU}(2)$ und $\op{SO}(3)$ und $\op{SL}(2;\DR)$ ist eine direkte Summe einfacher Unterdarstellungen. Hinweis: \ref{EDLS}. Im Fall der beiden ersten Gruppen wird \ref{VolR} einen alternativen Zugang liefern. \end{Ubunge} %\ref{KRS} \begin{Ubung}\label{OPDI} Man betrachte die Darstellung von $\op{GL}(n;\DR)$ auf dem reellen Vektorraum $\DR[X_1,\ldots, X_n]^{(d)}$ der homogenen Polynome vom Grad $d$ durch $$(gP) (x) = P (g^{-1}x) \quad \forall x \in \DR^{n}, \;g \in \op{GL} (n;\DR)$$ und zeige, da"s in der abgeleiteten Darstellung der Liealgebra die Basismatrix $E_{ij}$ mit einer Eins in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte und Null sonst wie der Differentialoperator $-X_j\partial_i$ operiert. Es scheint mir nun offensichtlich, da"s wir mit diesen Operatoren jedes von Null verschiedene homogene Polynom in ein von Null verschiedenes homogenes Monom "uberf"uhren k"onnen, und ein solches Monom in jedes andere vom selben Grad. Man folgere, da"s diese Darstellungen s"amtlich irreduzibel sind. \end{Ubung} \begin{Ubunge} F"ur alle $n \geq 1$ bilden die homogenen Polynome vom Grad $d$ eine irreduzible Darstellung\label{OPDInn} \begin{equation*} \mathcal O^d (\mathbb C^n) = \mathbb C [X_1, \ldots, X_n]^{(d)} \end{equation*} der Gruppe $\op{GL} (n; \mathbb C)$ sowie ihrer Untergruppen $\op{GL} (n ; \mathbb R)$ und $\op{U} (n)$. F"ur $n\geq 2$ bleiben sie irreduzibel unter $\op{SL} (n ; \mathbb C)$, $\op{SL} (n ; \mathbb R)$ und $\op{SU} (n)$. In der Tat besteht $\op{Lie} \op{SU} (n)$ aus den Fixpunkten einer schieflinearen Involution auf $\op{Lie} \op{SL} (n; \mathbb C)$ und die Einbettung liefert folglich einen Isomorphismus $$\op{Lie}_{\mathbb C} \op{SU} (n) \sira \op{Lie} \op{SL} (n ;\mathbb C)$$ Auf diese Weise k"onnen wir uns auf $\op{SL} (n; \mathbb C)$ und dann sogar $\op{GL} (n; \mathbb C)$ zur"uckziehen. Nun "uberlegt man sich wie in \ref{OPDI}, da"s die Standardmatrizen $E_{ij}$ der Lie-Algebra $\frak{gl} (n; \mathbb C)$ als die Differentialoperatoren $-X_j \partial_i$ wirken. Es scheint mir nun offensichtlich, da"s wir mit diesen Operatoren jedes von Null verschiedene homogene Polynom in ein von Null verschiedenes homogenes Monom "uberf"uhren k"onnen, und ein solches Monom in jedes andere vom selben Grad. \end{Ubunge} \subsection{Haarma"s f"ur Matrixliegruppen} \label{HMML} \begin{Definition}\label{psD} Eine {\bf stetige positive Dichte}\index{Dichte!stetige positive} auf einer Mannigfaltigkeit ist ein Borelma"s, dessen Restriktion auf jede Karte durch das Produkt des Lebesgue-Ma"ses mit einer stetigen positiven Funktion dargestellt werden kann. \end{Definition} \begin{Definition}\label{psD} Eine {\bf stetige nichtnegative Dichte}\index{Dichte!stetige nichtnegative} auf einer Mannigfaltigkeit ist ein Borelma"s, dessen Restriktion auf jede Karte durch das Produkt des Lebesgue-Ma"ses mit einer stetigen nichtnegativen Funktion dargestellt werden kann. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Diffeomorphismus von Mannigfaltigkeiten $\varphi:M\sira N$ ist das Bildma"s $\varphi_*\mu$ einer stetigen positiven Dichte auf $M$ offensichtlich eine stetige positive Dichte auf $N$. Dasselbe gilt f"ur nichtnegative Dichten. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum $X$ und eine $k$-Mannigfaltigkeit $M\subset X$ und eine stetige $k$-Form $\omega:M\ra \op{Alt}^{k}(\vec X)$ gibt es genau eine stetige nichtnegative Dichte $$|\omega|$$ auf $M$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur jede Karte $\varphi:W\ra M$ ihre Restriktion auf die Karte gegeben wird durch das Produkt des Lebesguema"ses mit der Funktion\label{DDfm} $|(\varphi^\ast\omega)({\op{e}}_1,\ldots, {\op{e}}_k)|$ auf $W$. Man sieht das leicht vermittels unserer Regel f"ur das Verkleben von Ma"sen \eref{VkMM}{AN3} und der Transformationsformel \eref{TF}{AN2} und der Formel \eref{ZHD}{AN2} f"ur den R"uckzug von Volumenformen. \end{Beispiel} \begin{Definition} Ein {\bf Haar'sches Ma"s},\index{Haar'sches Ma"s!auf Matrixliegruppe} genauer ein {\bf linksinvariantes Haar'sches Ma"s} und kurz ein {\bf Haarma"s}\index{Haarma"s} auf einer Matrixliegruppe $G$ ist eine stetige positive\label{HAMAN} Dichte $\mu$ auf $G$ im Sinne von \ref{psD} mit $\mu (xA) = \mu(A)$ f"ur alle $x \in G$ und alle Borelmengen $A \subset G$. \end{Definition} \begin{Bemerkungw} Ganz allgemein definiert man ein Haarma"s auf einer topologischen Gruppe als ein von Null verschiedenes nichtnegatives linksinvariantes \glqq Radonma"s\grqq\ und zeigt seine Existenz und Eindeutigkeit bis auf eine multiplikative Konstante f"ur beliebige lokal kompakte Hausdorff'sche topologische Gruppen, vergleiche \eref{DHM}{TM} und \eref{EEHa}{TM}. In unserem speziellen Fall entsprechen nach dem Riesz'schen Darstellungssatz \eref{RiDa}{TM} Radonma"se eineindeutig Borelma"sen, weshalb unser Haarma"s hier auch ein Haarma"s im Sinne der allgemeinen Definition ist. \end{Bemerkungw} \begin{Satz}[\textbf{Existenz und Eindeutigkeit Haar'scher Ma"se}] Auf jeder Matrixliegruppe gibt es ein Haarma"s im Sinne einer linksinvarianten positiven Dichte,\label{EEHMM} und je zwei derartige Dichten unterscheiden sich h"ochstens um einen positiven konstanten reellen Faktor. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die hier behauptete und bewiesene Eindeutigkeitsaussage ist schw"acher als in \eref{EEHa}{TM}, da wir die Eindeutigkeit nur unter st"arkeren Annahmen zeigen. Sie werden aber sehen, da"s man auch mit dieser schw"acheren Aussage schon recht weit kommen kann. Den Fall allgemeiner Liegruppen diskutieren wir in \ref{IVL}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Die Eindeutigkeit ist klar, da sich je zwei stetige positive Dichten nur um das Produkt mit einer stetigen positiven Funktion unterscheiden, die im Fall von zwei Haarma"sen ebenfalls linksinvariant und damit konstant sein mu"s. Um die Existenz zu zeigen, erinnern wir die Einbettung $G \As \op{Aut}(V)$ unserer Matrixliegruppe. Sei $k$ die Dimension von $G$. Sicher gibt es eine alternierende $k$-Multilinearform $\omega_{e} \in \op{Alt}^{k} (\op{End} V)$ mit der Eigenschaft, da"s ihre Restriktion zu $\omega_{e} \in \op{Alt}^{k} ({\op{T}}_{e} G)$ nicht verschwindet. Wir w"ahlen sie beliebig aber fest und erkl"aren eine $k$-Form oder genauer ein Feld von $k$-Formen $\omega$ auf $\op{Aut}(V)$ durch die Vorschrift $$\omega_{g} = (g^{-1}\cdot )^{\top} \omega_e$$ in der Notation aus \eref{ZHd}{AN2}. So erhalten wir eine stetige $k$-Form $\omega$ auf $\op{Aut}(V)$ mit der Eigenschaft $(h\cdot)^{\ast} \omega = \omega $ alias $(h\cdot):\omega\leadsto \omega$ f"ur alle $ h \in \op{Aut}(V)$. Das in \ref{DDfm} erkl"arte zugeh"orige Ma"s $|\omega|$ auf der eingebetteten $k$-Mannigfaltigkeit $G$ ist dann die gesuchte positive stetige linksinvariante Dichte. \end{proof} \begin{Beispiel} Wir erhalten ein Haarma"s auf $\op{GL}(n;\Bbb{R})$, indem wir das gew"ohnliche Lebesguema"s von $\op{Mat} (n ; \Bbb{R})$ auf $\op{GL}(n;\Bbb{R})$ einschr"anken und mit der Funktion $g \mapsto |\op{det} g|^{-n}$ multiplizieren. Speziell ist $|x|^{-1}\diff x$ ein Haarma"s auf der multiplikativen Gruppe $\DR^\times$. \end{Beispiel} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHaMa}\\[4mm] \noindent Die Intervalle zwischen je zwei Zweierpotenzen m"ussen f"ur ein Haarma"s auf der multiplikativen Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen jeweils dasselbe Ma"s haben. Man sieht so zumindest qualitativ recht gut, da"s die Massebelegung gegen den Ursprung hin immer dichter werden mu"s. \end{Bild} \begin{Bemerkungl} Auf einer kompakten Matrixliegruppe $G$ ist jedes Haarma"s $\mu$ auch rechts\-in\-va\-ri\-ant, in Formeln $\mu (A g)= \mu (A)$ f"ur alle $g\in G$. In der Tat ist f"ur jedes feste $g \in G$ mit $\mu$ auch die Vorschrift $A \mapsto \mu (Ag)$ ein linksinvariantes Haarma"s, also gibt es nach \ref{EEHMM} eine Konstante $c_{g}$ mit $\mu (A) = c_g \mu (Ag)$ f"ur alle Borelmengen $A\subset G$. F"ur kompaktes $G$ gilt aber $0 < \mu (G) < \infty$. Setzen wir also in der vorhergehenden Gleichung $A = G$, so folgt wie gew"unscht $c_{g} = 1$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Auf jeder endlichdimensionalen stetigen reellen oder komplexen Darstellung einer kompakten Matrixliegruppe\label{IsPr} gibt es ein invariantes Skalarprodukt. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Dieselbe Aussage folgt f"ur jede endlichdimensionale stetige reelle oder komplexe Darstellung einer beliebigen\label{ISPRR} \glqq kompakten topologischen Gruppe\grqq\ im Sinne von \eref{DTG}{TM}, da deren Bild in der Automorphismengruppe besagter Darstellung ja nach \ref{UGM} und \eref{KoR}{TM} eine kompakte Matrixliegruppe sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $K$ unsere kompakte Matrixliegruppe und $V$ unsere Darstellung. Nach \ref{EEHMM} gibt es ein Haarma"s $\mu$ auf $K$. Da $K$ kompakt ist, ist nach \eref{InKoT}{AN3} jede stetige Funktion integrierbar. Ist nun $b : V \times V \ra \Bbb{C}$ irgendein Skalarprodukt, so liefert die Formel $$(v,w) \pdef \int_{ K} b(gv, gw)\;\mu\langle g\rangle$$ ein $K$-invariantes Skalarprodukt, es gilt also $(gv, gw) = (v,w)\; \forall g \in K$. Damit das richtig ist, mu"s a priori $\mu$ ein rechtsinvariantes Haarma"s sein. Im kompakten Fall wissen wir aber bereits, da"s linksinvariante Haarma"se auch rechtsinvariant sind und umgekehrt. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Vollst"andige Reduzibilit"at}] Jede stetige Darstellung endlicher Dimension einer\label{VolR} kompakten Matrixliegruppe ist eine direkte Summe von einfachen Unterdarstellungen. \end{Satz} \begin{Bemerkunge} F"ur diejenigen Leser, die den Begriff einer topologischen Gruppe kennen, ist die Verallgemeinerung dieses Satzes auf kompakte topologische Gruppen offensichtlich, da deren Bild in der Automorphismengruppe des Darstellungsraums nach \ref{UGM} bereits eine Matrixliegruppe sein mu"s. Eine Verallgemeinerung auf unendlichdimensionale Darstellungen wird in \ref{DKE} diskutiert. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Die Frage, inwieweit eine derartige Zerlegung in eine direkte Summe einfacher Unterdarstellungen eindeutig ist, wird im kommenden Abschnitt und dort insbesondere in \ref{Isot} und \ref{IsT} diskutiert. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach dem im folgenden bewiesenen Lemma \ref{IsPr} finden wir auf unserer Darstellung stets ein unter der Gruppenoperation invariantes Skalarprodukt. Nun argumentieren wir durch Induktion "uber die Dimension unserer Darstellung. Ist sie Null, so ist nichts zu zeigen. Sonst besitzt sie eine einfache Unterdarstellung, und deren orthogonales Komplement ist auch eine Unterdarstellung, auf die wir dann nur noch die Induktionsannahme anzuwenden brauchen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Unser Satz \ref{VolR} "uber die vollst"andige Reduzibilit"at gilt sowohl f"ur reelle wie auch f"ur komplexe Darstellungen. Im Fall der einelementigen Gruppe besagt der Satz schlicht, da"s sich jeder endlichdimensionale Vektorraum als eine direkte Summe von eindimensionalen Teilr"aumen schreiben l"a"st. Ein rein algebraischer Beweis f"ur eine analoge Aussage im Fall von Darstellungen der Liealgebra $\frak{sl}(2;\DC)$ wird in "Ubung \ref{EDLS} erkl"art. Wenn wir diese algebraische Aussage aus dem vorhergehenden Satz \ref{VolR} ableiten wollen, mu"s jedoch der Satz zur Verf"ugung stehen, nach dem jede endlichdimensionale Darstellung der Liealgebra $\frak{su}(2)$ zu einer Darstellung der Liegruppe $\op{SU}(2)$ integriert werden kann. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die offensichtliche zweidimensionale Darstellung von $$G = \left.\left\{ \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 &1 \end{pmatrix}\right| t\in \DR\right\}$$ auf $\Bbb{R}^2$ l"a"st sich nicht als direkte Summe von einfachen Unterdarstellungen schreiben, denn sie hat nur eine einzige eindimensionale Unterdarstellung, die Gerade $\Bbb{R} \op{e}_1$. Die Kompaktheit der dargestellten Gruppe ist also f"ur unseren Satz \ref{VolR} wesentlich. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man gebe auf $\DC^\times$ und allgemeiner auf $\op{GL}(n;\DC)$ ein Haarma"s an. \end{Ubung} \begin{Ubung} Es gibt eine linksinvariante Differentialform $\omega$ auf $\op{SL}(2;\DR)$, deren Restriktion auf die offene Teilmenge $U$ aller Matrizen ${x\; y}\choose{z\;\;\!t}$ mit Determinante Eins und $x\neq 0$ gegeben wird durch die Formel $\omega|_U=\frac{1}{x}dx\wedge dy\wedge dz$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{MKGL} Man zeige: $\op{U}(n)\subset \op{GL}(n;\DC)$ ist eine maximale kompakte Untergruppe und gegeben eine beliebige kompakte Untergruppe $K\subset \op{GL}(n;\DC)$ gibt es stets $g\in \op{GL}(n;\DC)$ mit $gKg^{-1}\subset \op{U}(n)$. Man zeige auch die analoge Aussage im Fall $\op{O}(n)\subset \op{GL}(n;\DR)$. Hinweis: \ref{IsPr}. Man zeige auch die analoge Aussage im Fall $\bar{\op{U}}(n)\subset \op{PGL}(n;\DC)$ mit $\op{PGL}(n;\DC)\pdef \op{GL}(n;\DC)/\DC^\times$ und $\bar{\op{U}}(n)$ dem Bild von $\op{U}(n)$ darin. Hier mag die endliche "Uberlagerung $\op{SL}(n;\DC)\sra \op{PGL}(n;\DC)$ helfen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{DKL} Gegeben eine stetige Darstellung $\rho:S^1\ra \op{GL}(V)$ der Kreislinie $S^1$ durch Automorphismen eines endlichdimensionalen komplexen Vektorraums $V$ zerf"allt unser Raum als eine direkte Summe von Teilr"aumen $$V=\bigoplus_{n\in\DZ}V_n$$ mit $V_n=\{v\in V\mid \rho(z)v=z^nv \;\forall z\in S^1\}$. Hierbei werden dann nat"urlich fast alle der $V_n$ nur aus dem Nullvektor bestehen und die direkte Summe ist im Sinne von \eref{dirS}{LA2} zu interpretieren. Einen alternativen Zugang, der mit sehr viel weniger Analysis auskommt und stattdessen von der Jordan'schen Normalform ausgeht, wird in \eref{ISGH}{LA2} skizziert. Eine Verallgemeinerung auf Tori wird in \ref{ISTT} besprochen. \end{Ubung} \begin{Ubung} \end{Ubung} \subsection{Vollst"andig reduzible Darstellungen} \begin{Lemma} Jeder Verflechtungsoperator zwischen einfachen Darstellungen ist entweder die Nullabbildung oder ein Isomorphismus.\label{LevS} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Sind insbesondere $L\not\cong M$ nichtisomorphe einfache Darstellungen einer Gruppe $G$, so folgt $\op{Hom}_G (L,M) =0$. Sind $L$ und $M$ dahingegen isomorphe einfache Darstellungen und ist $\varphi:L\sira M$ ein Isomorphismus, so liefert das Nachschalten von $\varphi$ eine Bijektion $\op{End}_G (L)\sira\op{Hom}_G (L,M)$ und das Vorschalten von $\varphi$ eine Bijektion $\op{End}_G (M)\sira\op{Hom}_G (L,M)$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} F"ur einen Verflechtungsoperator $\varphi : L \rightarrow M$ ist das Bild stets eine Unterdarstellung $\op{im}\varphi\subset M$. Aus $\varphi\neq 0$ und $M$ einfach folgt also $\varphi$ surjektiv. F"ur einen Verflechtungsoperator $\varphi : L \rightarrow M$ ist weiter der Kern stets eine Unterdarstellung $\op{ker} \varphi \subset L$. Aus $\varphi\neq 0$ und $L$ einfach folgt also $\op{ker} \varphi=0$ und damit $\varphi$ injektiv. Sind also $M$ und $L$ beide einfach und ist $\varphi$ nicht Null, so ist $\varphi$ bijektiv. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{von Schur}] Die einzigen Verflechtungsoperatoren\index{Schur, Lemma von} zwischen einer einfachen komplexen endlichdimensionalen Darstellung und ihr selbst sind die skalaren Vielfachen der\label{NINN} Identit"at. \end{Lemma} \begin{proof} Jeder Eigenraum eines Endomorphismus einer Darstellung mu"s eine Unterdarstellung sein. Jeder Eigenraum eines Endomorhismus einer einfachen Darstellung ist also der ganze Raum oder der Nullraum. Da jeder Endomorphismus eines von Null verschiedenen endlichdimensionalen Raums "uber $\DC$ mindestens einen Eigenwert hat, folgt das Lemma. \end{proof} \begin{Bemerkungl} F"ur jede komplexe endlichdimensionale einfache Darstellung $L$ einer Gruppe $G$ liefert unser Schur'sches Lemma in Formeln einen Isomorphismus $$\Bbb{C} \sira \op{End}_{\Bbb{C},G}L$$ vermittels $ \lambda\mapsto\lambda\op{id}_L$. Eine allgemeinere Variante des Schur'schen Lemmas findet man in \eref{VaSL}{NAS}. Es ist hierbei wesentlich, mit komplexen Darstellungen oder allgemeiner Darstellungen "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper zu arbeiten: F"ur die durch die Einbettung $S^1\hra \Bbb{C}^\times$ gegebene Darstellung von $S^1$ auf $\Bbb{C}$ etwa h"atten wir $ {\op{End}}_{\Bbb{R},S^{1}} \Bbb{C}\cong \Bbb{C} , $ f"ur die Einsdarstellung dahingegen $ \op{End}_{\Bbb{R},S^{1}} \Bbb{R}\cong \Bbb{R} $. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wie bereits der Fall der trivialen Gruppe zeigt, sind die bei einer Zerlegung einer Darstellung in eine direkte Summe einfacher Unterdarstellungen auftretenden Unterdarstellungen im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt: Ein endlichdimensionaler Vektorraum etwa kann auf viele verschiedene Arten als direkte Summe eindimensionaler Teilr"aume dargestellt werden. Die folgenden Bemerkungen erl"autern, was im Allgemeinen bei der Zerlegung in eine direkte Summe irreduzibler Unterdarstellungen an Eindeutigkeit noch zu retten ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Darstellung einer Gruppe hei"st {\bf vollst"andig reduzibel}\index{reduzibel} oder auch {\bf halbeinfach},\index{halbeinfach} wenn sie eine direkte Summe von einfachen Unterdarstellungen ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Isotypische Zerlegung}] Ist $V$ eine endlichdimensionale halbeinfache\label{Isot} komplexe Darstellung einer Gruppe $G$ und sind $V = L_1 \oplus \ldots \oplus L_m$ und $V= L'_1 \oplus \ldots \oplus L'_{m^{\prime}}$ zwei Zerlegungen in eine direkte Summe von einfachen Unterdarstellungen, so gilt $m = m'$ und es gibt eine Permutation $\sigma \in \mathcal{S}_m$ mit $L'_i \cong L_{\sigma (i)} $ f"ur alle $i$. In der Tat l"a"st sich nach \ref{LevS} und \ref{NINN} die Vielfachheit einer einfachen Darstellung $L$ als Unterdarstellung in einer solchen Zerlegung darstellen als die Dimension des Raums von Verflechtungsoperatoren $\op{dim}_\DC\op{Hom}_{\DC,G}(L,V)$. Weiter gilt f"ur jede einfache Darstellung $L$ von $G$ in unserer Darstellung $V$ die Gleichheit von Untervektorr"aumen \begin{equation*} \bigoplus_{L_{i} \cong L} L_i = \bigoplus_{L'_{j} \cong L} L'_j \end{equation*} In der Tat lassen sich diese Untervektorr"aume wieder nach \ref{LevS} beschreiben als das Erzeugnis der Bilder aller Verflechtungsoperatoren $L\ra V$ von unserer einfachen Darstellung $L$ zur gegebenen Darstellung. Wir bezeichnen diesen Untervektorraum mit $V_L \subset V$. Er hei"st die \defnoind{isotypische Komponente}\index{Komponente!isotypische von Darstellung} in\index{isotypisch!Komponente von Darstellung} $V$ vom Typ $L$. Nat"urlich erhalten wir dann f"ur $V$ die \defnoind{Zerlegung in isotypische Komponenten} \begin{equation*} V = \bigoplus_{L \in \op{irr}G} V_L \end{equation*} wo sich die Summe "uber die Menge $\op{irr}G$ aller Isomorphieklassen von einfachen endlichdimensionalen komplexen Darstellungen von $G$ erstreckt. Im Fall einer unit"aren Darstellung stehen die isotypischen Komponenten paarweise senkrecht aufeinander nach \ref{SRF}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Analoge Aussagen gelten auch f"ur nicht notwendig endlichdimensionale halbeinfache Darstellungen "uber beliebigen K"orpern, ja sogar f"ur halbeinfache Moduln "uber beliebigen Ringen, vergleiche \eref{HeM}{NAS}. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}[\textbf{Isotypische Zerlegung f"ur Tori}] Dies Beispiel verallgemeinert \ref{DKL}. Ist $T$ eine kompakte abelsche Matrixliegruppe und $V$ eine endlichdimensionale stetige komplexe Darstellung von $T$, so hat die isotypische Zerlegung die Gestalt $$V=\bigoplus_{\chi\in \frak{X}(T)} V_\chi$$ wobei $\chi$ wie angedeutet "uber alle Charaktere von $T$ alias alle stetigen Gruppenhomomorphismen $T\ra \DC^\times$ l"auft und $V_\chi$ beschrieben werden kann als $$V_\chi\pdef\{v\in V\mid tv=\chi(t)v\;\forall t\in T\}$$ Insbesondere im Fall eines Torus $T$ hei"sen die $\chi\in \frak{X}(T)$ mit $V_\chi\neq 0$ die \defind{Gewichte}\label{ISTT} {\bf von $T$ in $V$} und werden nach franz"osisch \defind{poids} auch notiert in der Form\index{P@${\op{P}}(V)$ Gewichte von $V$} $${\op{P}}(V)={\op{P}}_T(V)\pdef\{\chi\in \frak{X}(T)\mid V_\chi\neq 0\}$$ Die isotypischen Komponenten $ V_\chi$ ihrerseits hei"sen, immer noch im Fall der Darstellungen einer kompakten abelschen Liegruppe, die {\bf Gewichtsr"aume}\index{Gewichtsraum} unserer Darstellung. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Kanonische Zerlegung}] Seien $K$ eine kompakte Ma\-trix\-ie\-grup\-pe und $\op{irr}K$ ein Repr"asentantensystem f"ur die Isomorphieklassen komplexer einfacher Darstellungen von $K$. So liefert f"ur\label{IsT} jede komplexe endlichdimensionale Darstellung $V$ von $K$ das Auswerten einen Isomorphismus \begin{equation*} \bigoplus_{L \in \op{irr}K} L \otimes_{\Bbb{C}} \op{Hom}_{\Bbb{C},K} (L,V) \;\;\sira \;\; V \end{equation*} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Unter diesem Isomorphismus entspricht $L \otimes_{\Bbb{C}} \op{Hom}_{\Bbb{C},K} (L,V)$ gerade der $L$-isotypischen Komponente $V_L$ von $V$ aus \ref{Isot}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Gilt der Satz f"ur zwei Darstellungen $V$ und $W$, so offensichtlich auch f"ur ihre Summe $V\oplus W$. Da nach \ref{VolR} unsere Darstellung in eine direkte Summe einfacher Unterdarstellungen zerf"allt, m"ussen wir ihn damit nur noch f"ur $V$ einfach zeigen. In diesem Fall folgt er aber aus der Schur'schen Lemma \ref{LevS}. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{"Au"sere Algebra und orthogonale Gruppe}] Gegeben ein euklidischer Vektorraum $V$ gilt:\label{aaOG} \begin{enumerate} \item Alle von Null verschiedenen "au"seren Potenzen $\bigwedge^iV$ sind irreduzibel als Darstellungen von ${\op{O}}(V)$, ja sogar ihre Komplexifizierungen $\bigwedge^iV^\DC$ sind es; \item Im Fall $\dim V\neq 2i$ sind die $\bigwedge^iV^\DC$ auch irreduzibel als Darstellungen von ${\op{SO}}(V)$. Im Fall $\dim V= 2i>0$ dahingegen ist $\bigwedge^iV^\DC$ eine direkte Summe von zwei irreduziblen Darstellungen von ${\op{SO}}(V)$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Sei $v_1,\ldots,v_n$ eine Orthonormalbasis. Schr"anken wir die Operation der orthogonalen Gruppe ein auf die Untergruppe $\{1,-1\}^{\times n}$ der Vorzeichenwechsel der Basisvektoren, so sind die simultanen Eigenr"aume in $\bigwedge V^\DC$ die von den $v_I$ f"ur $I\subset\{1,\ldots,n\}$ erzeugten Geraden. Jede von Null verschiedene Unterdarstellung enth"alt also einen dieser Vektoren und ist folglich eines der $\bigwedge^iV^\DC$. Operiert nur ${\op{SO}}(V)$, so haben wir nur die Gruppe der Wechsel einer geraden Zahl von Vorzeichen zur Verf"ugung und die simultanen Eigenr"aume in $\bigwedge V^\DC$ sind die von den $v_I$ und $v_{\bar I}$ f"ur $I\subset\{1,\ldots,n\}$ erzeugten Ebenen. Diese Erkenntnis erledigt bereits den Fall $\dim V\neq 2i$. Im Fall $\dim V=2i$ schlie"slich liegen f"ur $|I|=i$ sowohl $v_I$ als auch $v_{\bar I}$ in $\bigwedge^iV^\DC$ und der Hodgeoperator \ref{HoO} stabilisiert die von diesen beiden \glqq komplement"aren\grqq\ Dachprodukten aufgespannte Ebene und operiert darauf mit zwei verschiednenen Eigenwerten. Jede irreduzible Unterdarstellung mu"s folglich mindestens einen Hodge-Eigenraum in mindestens einer dieser Ebenen umfassen und dann sieht man leicht, da"s sie bereits mit diesem Hodge-Eigenraum in $\bigwedge^iV^\DC$ "ubereinstimmt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Hodgeoperator}] Seien $V$ ein pseudoeuklidischer reeller Vektorraum der Dimension $n$ und $\mathbb L$ seine L"angengerade und $\op{GO}(V)\pdef\DR^\times\op{O}(V)$ die Gruppe seiner linearen "Ahnlichkeiten. Die kanonische symmetrische Bilinearform ist eine nichtausgeartete Paarung $V\times V\ra \mathbb L^{\otimes 2}$ und\label{HoO} liefert einen Isomorphismus $V\sira V^*\otimes \mathbb L^{\otimes 2}$. Das Dachprodukt liefert nichtausgeartete Paarungen $\bigwedge^iV\times \bigwedge^{n-i}V\ra \bigwedge^nV$. In \eref{kSpap}{LA2} haben wir einen nat"urlichen Isomorphismus $\bigwedge^nV\sira \op{or}_\DR(V)\otimes \mathbb L^{\otimes n}$ angegeben. Zusammen mit der Vertauschung von "au"serer Potenz und Dualisieren aus \eref{APDn}{LA2} erhalten wir so unter der zus"atzlichen Annahme $V\neq 0$ ausgezeichnete Isomorphismen $$\textstyle \bigwedge^iV\sira (\bigwedge^{n-i}V)^*\otimes \bigwedge^nV \sira \bigwedge^{n-i}V\otimes \mathbb L^{\otimes(2i- n)}\otimes\op{or}_\DR(V)$$ oder gleichbedeutend $ \bigwedge^pV\otimes \mathbb L^{\otimes(-p)} \sira \bigwedge^{q}V\otimes \mathbb L^{\otimes(-q)}\otimes\op{or}_\DR(V)$ f"ur $p+q=n$. Das sind Isomorphismen von Darstellungen von $\op{GO}(V)$. Halten wir eine L"angeneinheit und eine Orientierung fest, so spezialisieren sie zu Isomorphismen $ \bigwedge^pV \sira \bigwedge^{q}V$ von Darstellungen von $\op{SO}(V)$, immer noch f"ur $p+q=n$. Diese Isomorphismen werden $\ast$ notiert und hei"sen der {\bf Hodge-$\ast$-Operator} oder kurz {\bf Hodgeoperator}.\index{Hodgeoperator} \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man verallgemeinere \ref{aaOG} auf den Fall pseudoeuklidischer Vektorr"aume. Hinweis: \ref{UDas}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{kiu} F"ur je zwei komplexe endlichdimensionale einfache Darstellung $L,M$ einer Gruppe $G$ gilt $\op{dim}_\DC\op{Hom}_{\DC,G}(L,M)\leq 1$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Eindeutigkeit invarianter Skalarprodukte im Komplexen}] Je zwei invariante Skalarprodukte auf einer irreduziblen endlichdimensionalen komplexen Darstellung einer Gruppe unterscheiden sich h"ochstens um einen positiven Skalar, ja je zwei\label{isdr} invariante Sesquilinearformen auf einer irreduziblen endlichdimensionalen komplexen Darstellung unterscheiden sich h"ochstens um einen komplexen Skalar. Hinweis: Man beachte f"ur einen komplexen Vektorraum mit der Notation $\op{Ses}(V)$ f"ur die Menge der Sesquilinearformen $s:V\times V\ra\DC$ die Identifikation $$\op{Ses}(V)\sira \op{Hom}(\overline{V},V^\ast)$$ mit $s\mapsto f_s$ und $f_s$ gegeben durch $f_s(\bar{v}):w\mapsto s(v,w)$ mit $\overline{V}$ dem komplex konjugierten Vektorraum nach \eref{kkVe}{LA2}. Dann wende man \ref{kiu} an. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Eindeutigkeit invarianter Skalarprodukte im Reellen}] Gegeben ein invariantes Skalarprodukt auf einer irreduziblen endlichdimensionalen reellen Darstellung einer Gruppe ist jede weitere invariante symmetrische Bilinearform ein Vielfaches.\label{isdrR} Hinweis: Hauptachsentransformation \eref{HaTTR}{LA2}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SRF} Unter einer {\bf unit"aren Darstellung}\index{unit"ar!Darstellung}\index{Darstellung!unit"are} einer Gruppe versteht man eine Darstellung durch unit"are Automorphismen eines endlichdimensionalen unit"aren Vektorraums oder allgemeiner eines Hilbertraums. Man zeige: Sind $U,V$ zwei nichtisomorphe endlichdimensionale einfache Unterdarstellungen einer unit"aren Darstellung, so stehen $U$ und $V$ aufeinander senkrecht. Hinweis: Orthogonale Projektion \eref{OKn}{LA2}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jede endlichdimensionale komplexe einfache Darstellung der Drehgruppe hat unter der Einschr"ankung auf die Gruppe der Drehungen um eine feste Achse isotypische Komponenten der Dimension h"ochstens Eins, und die zu den Komponenten der Dimension Eins geh"origen\label{EDFG} Parameter bilden in $\Bbb{Z}$ ein Intervall mit Zentrum im Ursprung, in Formeln \begin{equation*} \dim_{\Bbb{C}} \op{Hom}_{\Bbb{C},{S^{1}}} (\chi_n, {\op{L}}(m)) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & |n| \leq m/2;\\ 0 & \text{sonst}. \end{array}\right. \end{equation*} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SadU} Gegeben eine endlichdimensionale unit"are Darstellung $V$ einer Liegruppe $G$ gilt f"ur die abgeleitete Darstellung der Liealgebra $\frak{g}$ die Identit"at $$ \langle x v, w \rangle+\langle v, x w \rangle =0\qquad \forall x\in\frak{g},\;v,w\in V$$ \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{USLL} Man zeige, da"s in einer endlichdimensionalen unit"aren Darstellung einer Liegruppe jedes Element der Liealgebra als diagonalisierbare Matrix mit rein imagin"aren Eigenwerten operiert. Man folgere, da"s jede endlichdimensionale unit"are Darstellung $(V,\rho)$ der Gruppe $\op{SL} (2;\Bbb{R})$ konstant ist, in Formeln $\rho(g)=\op{id}\;\forall g\in \op{SL} (2;\Bbb{R})$. Hinweis: Jede unit"are endlichdimensionale Darstellung dieser Gruppe entsteht durch Restriktion einer Darstellung von $\op{SL} (2; \Bbb{C})$ und besitzt jedenfalls ein invariantes Skalarprodukt unter der Restriktion auf $\op{SU}(2)$, so da"s auch $\frak{su} (2) \subset \frak{sl}(2;\Bbb{C})$ mit rein imagin"aren Eigenwerten operieren mu"s. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{PhSp} Wir erinnern an unsere $(m+1)$-dimensionale irreduzible Darstellung $\mathbb C [X,Y]^m = L (m)$ der Spingruppe $\op{SU} (2)$ aus dem Beweis von \ref{EDS} mit ihrer Basis $w_\nu \pdef Y^\nu X^{m-\nu}$ f"ur $0\leq \nu \leq m$. Man w"ahle darauf jeweils ein invariantes Skalarprodukt. Man mag es normalisieren durch die Bedingung $\|w_m\|=1$, aber auf darauf kommt es im folgenden gar nicht an. In der Physik verwendet man statt $m$ als Parameter lieber $ \frac{m}{2} =j \in \frac{1}{2} \mathbb N$ und bezeichnet die auf L"ange Eins normierten Vektoren $w_\nu $ mit $$ | j,j-\nu \rangle\pdef w_\nu / \| w_\nu\| $$ Damit bilden dann die Vektoren $| j, \mu \rangle$ f"ur $\mu = j,j-1, \ldots, -(j-1), -j$ eine Orthonormalbasis von $L (m)$. Schlie"slich schreibt man $J_+\pdef e $, $J_-\pdef f$ und $J_z\pdef h/2$. Man pr"ufe in dieser Notation die Formeln \begin{eqnarray*} J_z \;|j,\mu\rangle &=& \mu \;| j,\mu\rangle\\ J_{\pm}\; | j,\mu \rangle &=& \sqrt{j(j+1) - \mu(\mu\pm 1)} \;\;|j, \mu \pm 1\rangle \\ &=& \sqrt{(j\pm\mu+1)(j\mp\mu)} \;\;|j, \mu \pm 1\rangle \end{eqnarray*} Hinweis: Beim Rechnen in mathematischer Terminologie mag man davon ausgehen, da"s $e-f$ zu $\frak{su} (2; \mathbb C)$ geh"ort, so da"s nach \ref{SadU} f"ur jedes invariante Skalarprodukt gelten mu"s $\langle (e-f) w_\nu, w_{\nu +1} \rangle+\langle w_\nu, (e-f) w_{\nu +1} \rangle =0$. \end{Ubunge} \subsection{Kugelfunktionen*}\label{KuFu} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zerlegung von Funktionen auf der Kreislinie}] In der unit"aren Darstellung der Kreislinie $S^1\cong \op{SO}(2)$ auf dem Raum $\op{L}^2 (S^1)$ der quadratintegrierbaren Funktionen auf der Kreislinie durch Verschieben von Funktionen tritt jede endlichdimensionale einfache Darstellung der Kreislinie genau einmal als Unterdarstellung auf, in Formeln \begin{equation*} \op{dim}_{\Bbb{C}} \op{Hom}_{\Bbb{C},S^1} \left(\chi_n , \op{L}^2 (S^1)\right) =1 \text{ f"ur alle } n \in\DZ. \end{equation*} Des weiteren ist die Summe all dieser endlichdimensionalen Unterdarstellungen ein dichter Teilraum des Hilbertraums $\op{L}^2 (S^1)$, in dem sie im "ubrigen nach \ref{SRF} paarweise senkrecht stehen. Mit $\chi_n$ meinen wir hier den Vektorraum $\DC$ mit derjenigen $S^1$-Operation, unter der $z$ durch Multiplikation mit $\chi_n(z)=z^n$ operiert. Diese ganzen Aussagen sind nur eine Umformulierung von Satz \eref{FRr}{AN3}, nach dem die Charaktere $\chi_n:S^1\ra\DC^\times$ eine Hilbertbasis von $\op{L}^2 (S^1)$ bilden. Mit unserer Hilbertsumme aus \eref{OSH}{AN3} k"onnen wir unsere Erkenntnisse auch umschreiben zu einem Isomorphismus $$\hat{\bigoplus_{n\in\DZ}} (\DC,\chi_n)\;\sira \; \op{L}^2 (S^1)$$ von unit"aren $S^1$-Darstellungen, der gegeben wird durch das Bilden der Fourierreihe $(a_n)\mapsto \sum_n a_nz^n$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Zerlegung von Funktionen auf der Kugelschale}] In der unit"aren Darstellung durch Verschieben von Funktionen der Drehgruppe $\op{SO}(3)$ auf dem Raum $\op{L}^2 (S^2)$ der quadratintegrierbaren Funktionen auf der Kugelschale tritt jede endlichdimensionale einfache Darstellung der Drehgruppe genau einmal als Unterdarstellung auf, in Formeln \begin{equation*} \op{dim}_{\Bbb{C}} \op{Hom}_{\Bbb{C},\op{SO}(3)} \left( {\op{L}}(2l), \op{L}^2 (S^2)\right) =1 \text{ f"ur } l \in\DN. \end{equation*} Weiter ist die Summe all dieser % endlichdimensionalen Unterdarstellungen ein dichter Teilraum des Hilbertraums $\op{L}^2 (S^2)$, in dem sie nach \ref{SRF} paarweise aufeinander senkrecht stehen. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Insbesondere erhalten wir eine Hilbertbasis unseres Raums $\op{L}^2 (S^2)$, indem wir in jeder unserer einfachen Unterdarstellungen eine Orthonormalbasis w"ahlen und alle diese Basen zusammenfassen. Wieder anders gesagt existiert ein Isomorphismus $$\hat{\bigoplus_{l\in\DN}} {\op{L}}(2l)\;\sira \; \op{L}^2 (S^2)$$ von unit"aren Darstellungen der Gruppe $\op{SO}(3)$. Wir erkl"aren in \ref{LEP} folgende, wie man diese Basisvektoren und damit auch diesen Isomorphismus nach Wahl einer festen gerichteten Achse besonders geschickt w"ahlen kann: Die so ausgezeichneten Funktionen hei"sen dann die {\bf Kugelfunktionen}\index{Kugelfunktionen} oder auch {\bf Kugelfl"achenfunktionen}.\index{Kugelfl"achenfunktionen} \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkunge} % Mit unserer Notation der Hilbertsumme \ref{OSH} % k"onnen wir das auch "ubersichtlicher % schreiben als einen Isomorphismus von % unit"aren Darstellungen % $$\hat{\bigoplus}_{m\in 2\DN}L(m) % \sira \op{L}^2 (S^2)$$ % \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Im Anschlu"s zeigen wir zus"atzlich, da"s der Raum der unter allen Rotationen um die $z$-Achse invarianten Funktionen aus der einfachen Unterdarstellung $\cal{H}^l\subset \op{L}^2(S^2)$ der Dimension $2l+1$ erzeugt wird vom sogenannten \glqq $l$-ten Legendre-Polynom\grqq\ $P_l(z)$, aufgefa"st als Funktion der $z$-Koordinate auf der Kugelschale. Die Wahl der Bezeichnung $\cal{H}^l$ f"ur unsere einfachen Unterdarstellungen geht auf das Wort \glqq harmonisch\grqq\ zur"uck, das sich die fraglichen Funktionenr"aume hinwiederum verdienen als Eigenr"aume des \glqq Laplace-Operators auf der Kugelschale\grqq, aber darauf will ich hier noch nicht eingehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Man kann auch f"ur die h"oherdimensionalen Sph"aren $S^n$ mit $n\geq 1$ zeigen, da"s in $\op{L}^2(S^n)$ die irreduziblen Darstellungen von $\op{SO}(n+1)$ jeweils h"ochstens einmal vorkommen. Ganz allgemein nennt man einen homogenen Raum \glqq sph"arisch\grqq, wenn er die Eigenschaft hat, da"s in geeigneten Funktionenr"aumen keine einfachen Darstellungen mit h"oheren Multiplizit"aten auftreten. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Wir betrachten die R"aume homogener Polynome in drei Ver"anderlichen $\Bbb{C} [X, Y,Z]^l$. Eine Polynomfunktion $P$, die homogen ist vom Grad $d$, erf"ullt die Gleichung $P (\lambda v) = \lambda^l P(v)$ f"ur alle $v \in \Bbb{R}^3$ und $ \lambda \in \Bbb{R}$. Mithin definiert die Einschr"ankung f"ur alle $d \geq 0$ eine Einbettung \begin{equation*} \Bbb{C} [X,Y,Z]^l \hookrightarrow \mathcal{C} (S^2) \end{equation*} wobei die Polynome von geradem beziehungsweise ungeradem Grad in den R"aumen aller unter der Punktspiegelung am Ursprung geraden beziehungsweise ungeraden Funktionen $\mathcal{C} (S^2)^+ $ beziehungsweise $\mathcal{C} (S^2)^-$ landen. Bezeichnet $\mathcal{C}^l$ das Bild von $\Bbb{C}[X,Y,Z]^l $ in $\mathcal{C} (S^2)$, so haben wir \begin{eqnarray*} \mathcal{C}^0 \subset \mathcal{C}^2 \subset \mathcal{C}^4 \subset \ldots \subset \mathcal{C}(S^2)^+\\ \mathcal{C}^1 \subset \mathcal{C}^3 \subset \mathcal{C}^5 \subset \ldots \subset \mathcal{C}(S^2)^- \end{eqnarray*} da ja ein Polynom $P \in \Bbb{C} [X,Y,Z]^l$ dieselbe Einschr"ankung auf die Sph"are hat wie das Polynom $(X^2+ Y^2 +Z^2) P \in \DC[X,Y,Z]^{l+2}$. Die Dimensionen ergeben sich leicht zu $$ \begin{array}{lll} \op{dim} \mathcal{C}^l &=& \op{dim} \Bbb{C}[X,Y,Z]^l\\ &=& \op{dim} \Bbb{C}[X,Y]^{\leq l}\\ &=& 1+2 + \ldots + l+ (l+1) \\ &=& (l+1)(l+2)/2 \end{array} $$ Nun sind alle $\cal{C}^l$ offensichtlich stabil unter der Drehgruppe $\op{SO}(3)$ und die konstanten Funktionen $\cal{C}^0$ beziehungsweise die linearen Funktionen $\cal{C}^1$ bilden irreduzible Darstellungen der Dimensionen Eins beziehungsweise Drei. Wir zeigen als n"achstes, da"s f"ur $l\geq 2$ das orthogonale Komplement $\cal{H}^{l}$ von $\mathcal{C}^{l-2}$ in $\mathcal{C}^{l}$ eine irreduzible Darstellung der Dimension $2 l + 1$ ist. Die Dimension ergibt sich durch direkte Rechnung und besonders anschaulich durch die Betrachtung geeigneter Treppenbilder. Die Irreduzibilit"at folgern wir induktiv mithilfe unserer Erkenntnisse "uber die Struktur irreduzibler Darstellungen der Drehgruppe aus \ref{EDD} und \ref{EDFG}. Zun"achst beachten wir dazu f"ur $S^1 \subset \op{SO} (3)$ die Gruppe der Drehungen um die $z$-Achse und $\chi_{n}$ die entsprechende einfache Darstellung von $S^1$, da"s $\chi_{l }$ in $\mathcal{C}^{l}$ vorkommt, in Formeln $$\op{Hom}_{\Bbb{C},S^{1}} (\chi_{l }, \mathcal{C}^{l}) \neq 0$$ In der Tat ist $(x +{\op{i}}y)^{l}$ eine Funktion, die sich entsprechend unter $S^1$ transformiert. Per Induktion beziehungsweise expliziter Betrachtung im Fall $l =0,1$ wissen wir nach \ref{SDDR} auch, da"s dieses Gewicht von $S^1$ in $\mathcal{C}^{l-2}$ nicht vorkommt. Folglich mu"s es in $\cal{H}^{l}$ vorkommen, und aus Dimensionsbetrachtungen folgt dann, da"s $\cal{H}^{l}$ irreduzibel ist. Die Dichtheit des Raums der Polynomfunktionen im Raum aller stetigen Funktionen folgt mit Stone-Weierstrass \eref{AvW}{AN1}, die Dichtheit von $\mathcal{C}(S^2)$ in $\op{L}^2 (S^2)$ mit \eref{AL1}{AN3}. Vereinbaren wir noch die Bezeichnungen $\cal{H}^0=\cal{C}^0$ und $\cal{H}^1=\cal{C}^1$, so bildet demnach die Summe aller $\cal{H}^l$ einen dichten Teilraum $$\bigoplus_{l\in\DN}\cal{H}^l\subset \op{L}^2(S^2)$$ Bezeichne nun $\op{pr}_l:\op{L}^2(S^2)\sra \cal{H}^l$ die orthogonale Projektion. Sie ist sicher ein Homomorphismus von Darstellungen. Ist ${\op{L}}(m)$ eine irreduzible endlichdimensionale Darstellung der Drehgruppe und $\varphi:{\op{L}}(m)\ra \op{L}^2(S^2)$ ein Homomorphismus von Darstellungen, so folgt $\op{pr}_l\circ \varphi=0$ f"ur $ m\neq 2l$ nach \ref{NINN}, und gilt auch noch $\op{pr}_l\circ \varphi=0$ f"ur $m=2l$, so folgt $\varphi=0$, weil dann das Bild von $\varphi$ auf allen Vektoren eines dichten Teilraums senkrecht steht. Mithin liefert f"ur alle $l\in \DN$ das Verkn"upfen mit $\op{pr}_l$ eine Einbettung und dann sogar einen Isomorphismus $$\op{Hom}_{\Bbb{C},\op{SO}(3)} \left( {\op{L}}(2l), \op{L}^2 (S^2)\right)\sira \op{Hom}_{\Bbb{C},\op{SO}(3)} \left( {\op{L}}(2l), \cal{H}^l\right)$$ und damit folgt unser Satz aus dem Schur'schen Lemma \ref{LevS}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{LEP} Nach unseren Erkenntnissen "uber einfache Darstellungen der Drehgruppe bilden in jedem $\mathcal{H}^l$ die unter allen Drehungen um die $z$-Achse $S^1 \subset \op{SO} (3)$ invarianten Funktionen einen eindimensionalen Teilraum $(\mathcal{H}^l)^{S^{1}}$. Um Erzeuger dieser Teilr"aume zu finden, gehen wir aus von der offensichtlichen Einbettung \begin{equation*} \Bbb{C}[z] \hookrightarrow \mathcal{C} (S^2)^{S^{1}} \end{equation*} unter der sicher Polynome vom Grad $\leq d$ in $\mathcal{H}^0 \oplus \ldots \oplus \mathcal{H}^l$ landen. Unser Skalarprodukt auf $\op{L}^2 (S^2)$ schr"ankt nach \eref{OFR}{AN2} ein zu dem Skalarprodukt auf $\Bbb{C} [z]$, das gegeben wird durch die Formel \begin{equation*} \langle g, f\rangle = 2\pi \int^1_{-1} \bar{g} (z) f(z) \diff z \end{equation*} Mithin finden wir Erzeuger von $(\mathcal{H}^l)^{S^{1}}$, wenn wir auf die durch Potenzen von $z$ gegebene angeordnete Basis $z^0, z^1, z^2, \ldots $ des Polynomrings $\Bbb{C} [z]$ in Bezug auf besagtes Skalarprodukt das Gram-Schmidt'sche Orthogonalisierungsverfahren \eref{GrSS}{LA2} anwenden. Die so entstehenden Polynome sind bis auf einen konstanten Faktor die sogenannten \defind{Legendre-Polynome} $(P_l)_{l\geq 0}$. Der Faktor wird hierbei "ublicherweise so gew"ahlt, da"s gilt $P_l(1)=1$. Mit dieser Normalisierung k"onnen besagte Polynome dann auch durch die explizite Formel \begin{equation*} P_l (z) = \frac{1}{2^l l!}\frac{d^l}{dz^l} (z^2 -1)^l \end{equation*} beschrieben und durch die Rekursion $(l+1) P_{l+1} = (2l +1) z P_l - P_{l-1}$ berechnet werden. Ihre Quadratnorm ergibt sich aus den Formeln \begin{equation*} \langle P_k, P_l \rangle = \frac{4\pi}{2l +1} \delta_{k,l} \end{equation*} Diese Formeln mag der Leser zur "Ubung selbst pr"ufen. Die ersten Legendre-Polynome sind $P_0=1$, $P_1=z$, $P_2=(3z^2-1)/2$. Ausf"uhrliche Tafelwerke findet man in Bibliotheken und im Netz. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In der Liealgebra der r"aumlichen Drehgruppe haben wir in \ref{ALAD} eine Basis $E_1, E_2, E_3$ ausgezeichnet, deren Kommutatoren durch $[E_1, E_2]=E_3$ und die beiden durch zyklische Vertauschung der Indizes entstehenden Formeln gegeben werden. In der komplexifizierten Liealgebra $\frak{so}(3)^\DC$ liefern dann die Ausdr"ucke $h=2{\op{i}}E_3$, $e= E_2-{\op{i}}E_1$ und $f= -E_2-{\op{i}}E_1$ eine Basis, in der die Klammern die Form $[h,e]=2e$, $[h,f] = -2f$, $[e,f]=h$ haben. Nach \ref{OPDI} wirkt $E_3$ als der Differentialoperator $y\partial_x-x\partial _y$ und annulliert insbesondere alle Polynome, die nur von $z$ abh"angen. Wir erhalten also in ${\op{L}}^2(S^2)$ ein Orthogonalsystem mit dichtem Erzeugnis, wenn wir zu den Legendre-Polynomen $P_l$ noch alle $e^m P_l$ und $f^m P_l$ f"ur $0m\geq -l. \end{array}\right.$$ Um zu einer expliziteren Beschreibung zu kommen, bemerken wir, da"s nach \ref{OPDI} unser $e$ auf komplexwertigen Polynomen wirkt wie der Differentialoperator $z(-{\op{i}}\partial_y-\partial_x)+(x+{\op{i}}y)\partial_z$. Dann pr"ufen wir $({\op{i}}\partial_y+\partial_x)(x+{\op{i}}y)=0$ und erhalten folglich $e^m P_l=(x+{\op{i}}y)^m\partial_z^m P_l$. "Ahnlich ergibt sich auch die Formel $f^m P_l=(-(x-{\op{i}}y))^m\partial_z^m P_l$. Nebenbei bemerkt ist $e^m P_l$ komplex konjugiert zu $(-1)^mf^m P_l$ und so finden wir auch eine Hilbertbasis aus reellwertigen Funktionen. In Kugelkoordinaten $ (\cos \varphi \sin\vartheta, \sin\varphi \sin\vartheta, \cos \vartheta) $ nach \eref{KuKo}{AN2} haben wir $x+{\op{i}}y=\op{e}^{{\op{i}}\varphi}\sin\vartheta$. Bis auf einen Normierungsfaktor werden unsere Kugelfunktionen also in Kugelkoordinaten gegeben durch den Ausdruck $\op{e}^{{\op{i}}m\varphi}(\sin^m\vartheta) P_l^{(m)}(\cos \vartheta)$. Um den Normierungsfaktor auch noch zu bestimmen, gehen wir von unserer Formel f"ur die Norm eines Legendre-Polynoms aus, die schon einmal $$Y_{l,0}= \sqrt{\frac{2l +1}{4\pi}} P_l(\cos \vartheta)$$ liefert. Nun zeigen die Formeln in \ref{PhSp}, da"s das Anwenden von $e$ auf $\tilde{Y}_{l,m}$ die Norm um den Faktor $\sqrt{(l+ m+1)(l-m)}$ "andert, wohingegen das Anwenden von $f$ auf $\tilde{Y}_{l,m}$ die Norm um den Faktor $\sqrt{(l- m+1)(l+m)}$ "andert. Das zeigt induktiv, da"s unsere Kugelfunktionen beschrieben werden k"onnen durch die Formel $$Y_{l,m}= \sqrt{\frac{2l +1}{4\pi}\cdot\frac{(l-m)!}{(l+m)!}} \op{e}^{{\op{i}}m\varphi}(\sin^m\vartheta) P_l^{(m)}(\cos \vartheta)$$ Unser Casimir-Operator $4\rho(f)\rho(e) + \rho(h)(\rho(h)+2)$ aus \ref{GCA} schreibt sich in unserer alten Basis der Liealgebra $-4(\rho(E_1)^2+\rho(E_2)^2+\rho(E_3)^2)$. Eine kurze Rechnung zeigt, da"s dieser Ausdruck ohne den Vorfaktor $4$ auf Polynomfunktionen auf $\DR^3$ wirkt als der Differentialoperator $$2(x\partial_x +y\partial_y+z\partial_z)^2- 2(x^2+y^2+z^2)(\partial_x^2+\partial_y^2+\partial_z^2)$$ %Das paßt nicht mit Broecker-tomDieck Nach unseren Erkenntnissen aus \ref{GCA} m"ussen die Kugelfunktionen $Y_{l,m}$, wenn wir sie etwa als homogene Funktionen vom Grad $l$ auf $\DR^3$ auffassen, Eigenfunktionen dieses Differentialoperators sein zum Eigenwert $l(l+1)$. Mit etwas Rechnung folgt, da"s dieser Differentialoperator der \glqq Laplace-Operator auf der Sph"are\grqq\ ist und unsere Kugelfunktionen hei"sen als Eigenfunktionen dieses \glqq sph"arischen Laplace-Operators\grqq\ auf Englisch auch {\bf spherical harmonics}.\index{spherical harmonics} \index{harmonics!spherical} \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Jede endlichdimensionale Unterdarstellung von $\op{L}^2 (S^1)$ ist stetig. Hinweis: Fourierentwicklung. \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXML" %%% End: