\section{Infinitesimale zentrale Charaktere} \subsection{Motivation} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bezug zu Darstellungen von Gruppen}] Die Frage nach den Multiplizit"aten $[\Delta(\lambda):L(\nu)]$ der einfachen Subquotienten in Jordan-H"older-Reihen von Vermamoduln hat sich als ebenso schwierig wie fruchtbar erwiesen. Sie ist auch f"ur Darstellungen von Gruppen relevant. Zum Beispiel kann man \nichtfinal{(werden wir in \ref{??})} zeigen, da"s f"ur die Wirkung der topologischen Gruppe $\op{SL}(n;\DC)$ auf der komplexen Fahnenmannigfaltigkeit $\mathcal F_n=\mathcal F$ die teilgeordnete Menge der $\op{SL}(n;\DC)$-invarianten unter der Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz abgeschlossenen Untervektorr"aume des Raums $\mathcal C(\mathcal F)\pdef\op{Top}(\mathcal F,\DC)$ der stetigen komplexwertigen Funktionen $\mathcal F\ra \DC$ isomorph ist zur Opponierten der partiell geordneten Menge der Untermoduln des Vermamoduls $\Delta(0)$ der halbeinfachen Liealgebra $\mathfrak{sl}(n;\DC)$. Allgemeiner werden wir zeigen, da"s die anderen Vermamoduln in einer analogen Beziehung zu den R"aumen stetiger Schnitte anderer "aquivarianter komplexer Geradenb"undel auf der Fahnenmannigfaltigkeit stehen. Um ein etwas leicher zu erreichendes motivierendes Ziel vor Augen zu haben, formulieren wir bereits hier ein erstes Hauptresultat. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern an halbeinfache komplexe Liealgebren \eref{heLi}{HL} und ihre Cartan'schen Unteralgebren \eref{DCA}{HL}. Gegeben $\mathfrak g\supset \mathfrak h$ eine halbeinfache komplexe Liealgebren mit einer Cartan'schen Unteralgebra erinnern wir an die Wurzelraumzerlegung $$\frak{g} = \frak{h} \oplus \bigoplus_{\al \in {\op{R}}(\frak{g},\frak{h})} \frak{g}_{\al}$$ nach \eref{WrZ}{HL} und \eref{MTt}{HL}, die Kowurzel $\alpha^\vee$ zu einer Wurzel $\alpha$ nach \eref{KWw}{HL}, \eref{Wusy}{HL} und Systeme $R^+\subset {\op{R}}(\frak{g},\frak{h})$ positiver Wurzeln \eref{SoPy}{HL}. Wir erinnern weiter Vermamoduln \eref{DeVM}{HL}, \eref{VMpr}{HL}. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Einfache Vermamoduln}] Seien $(\mathfrak g\supset\mathfrak h,R^+)$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra mit einer Cartan'schen und einem System von positiven Wurzeln. Genau dann ist der Vermamodul $\Delta(\lambda)$ einfach, wenn gilt $$\langle \lambda+\rho,\alpha^\vee\rangle\not\in \{ 1,2, \ldots\} \;\; \forall \alpha \in R^{+}$$ mit $\rho$ der Halbsumme der positiven Wurzeln. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Um das einzusehen, m"ussen wir zun"achst das Zentrum der Einh"ullenden Algebra verstehen. Da"s unsere Bedingungen hinreichend sind, wird dann zu Ende des Abschnitts in \ref{Veer} bewiesen. Da"s sie auch notwendig sind, wird erst in \ref{HV} klar werden. \end{Bemerkungl} \subsection{Das Zentrum der universellen Einh"ullenden} \label{ZuE} \begin{Definition} Das {\bf Zentrum}\index{Zentrum!eines Rings} ${\op{Z}}(A)$ eines Rings $A$ ist definiert als der Teilring derjenigen Elemente, die mit allen anderen Elementen unseres Rings kommutieren, in Formeln $${\op{Z}}(A)\pdef \{ z\in R\mid za=az\;\forall a\in A\}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Lie-Algebra $\frak{g}$ bezeichne ${\op{Z}}(\frak{g})\pdef{\op{Z}}({\op{U}}(\frak{g}))$ das Zentrum ihrer Einh"ullenden ${\op{U}}(\frak{g})$. Im Fall einer halbeinfachen komplexen Liealgebra hatten wir in \eref{defCk}{HL} bereits den Casimiroperator $C\in{\op{Z}}(\frak{g})$ kennengelernt. Im folgenden wollen wir uns einen "Uberblick "uber das ganze Zentrum verschaffen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{DHHH} Seien $(\frak{g}\supset\frak{h}, R^+)$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra mit einer Cartan'schen und einem System positiver Wurzeln. Nach \eref{Caa}{HL} operiert jedes Element des Zentrums ${\op{Z}}(\frak{g})$ der Einh"ullenden auf jedem \hyperref[DeVM]{Vermamodul} durch einen Skalar. Wir vereinbaren f"ur die kommenden "Uberlegungen die Bezeichnung $\langle z,\lambda\rangle$ f"ur den komplexen Skalar, mit dem $z\in {\op{Z}}(\frak{g})$ auf dem Verma-Modul $\Delta(\lambda)=\Delta(\lambda, R^+)$ operiert, in Formeln $zv=\langle z,\lambda\rangle v$ f"ur alle $ v\in\Delta(\lambda)$. Wir erhalten so einen $\DC$-linearen Ringhomomorphismus von $Z$ in den Ring aller $\DC$-wertigen Funktionen auf dem Dualraum der Cartan'schen $$\begin{array}{cccc} \xi=\xi_{ R^+} :& {\op{Z}}(\frak{g})& \rightarrow & \op{Ens} (\frak{h}^{\ast},\DC)\\ &z & \mapsto & \langle z,\;\rangle \end{array}$$ Ich erinnere an die Halbsumme der positiven Wurzeln $\rho=\rho(R^+)$ und die zum Fixpunkt $(-\rho)$ verschobene mit einem mittigen Punkt notierte Operation der Weylgruppe, die {\bf dot-Operation} oder ausf"uhrlicher {\bf $\rho$-dot-Operation} $$x\cdot \lambda=x\cdot_\rho \lambda\pdef x(\lambda +\rho)-\rho$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Harish-Chandra-Isomorphismus}]\label{HCI} Gegeben $(\frak{g}\supset\frak{h}, R^+)$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra mit einer Cartan'schen und einem System positiver Wurzeln liefert der in \ref{DHHH} erkl"arte Homomorphismus $\xi$ einen Isomorphismus zwischen dem Zentrum ${\op{Z}}(\frak{g})$ der Einh"ullenden von $\frak{g}$ und dem Ring der unter der $\rho$-dot-Operation der Weylgruppe invarianten polynomialen Funktionen auf $\frak{h}^{\ast}$, in Formeln $$\xi:{\op{Z}}(\frak{g})\sira\cal{O}(\frak{h}^{\ast})^{(W\cdot)}$$ \end{Satz} \begin{proof} Der Beweis wird nach einigen Vorbereitungen in \ref{HCIb} gegeben. \end{proof} \begin{Bemerkungl} F"ur einen komplexen Vektorraum $V$ bezeichnen wir ganz allgemein mit $\cal{O}(V) \subset \op{Ens} (V,\DC)$ diejenige Unterringalgebra der Algebra aller $\DC$-wertigen Funktionen auf $V$, die von den linearen Funktionen erzeugt wird. Ihre Elemente hei"sen die {\bf polynomialen Funktionen auf} $V$.\index{polynomiale Funktion}\index{Funktion!polynomiale} Die universelle Eigenschaft der symmetrischen Algebra $\op{S}(V^{\ast})$ liefert einen Homomorphismus $\op{S}(V^{\ast}) \ra \cal{O}(V)$, der in unserem Fall und allgemeiner im Fall eines beliebigen unendlichen Grundk"orpers ein Isomorphismus ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine affine Abbildung $f : V \ra W$ von komplexen Vektorr"aumen liefert das Vorschalten von $f$ auf den polynomialen Funktionen einen Homomorphismus in die Gegenrichtung $f^{\sharp}\pdef (\circ f): \cal{O}(W) \ra \cal{O}(V)$, $\varphi \mapsto \varphi \circ f$. Operiert insbesondere eine Gruppe $G$ auf $V$ durch lineare oder affine Transformationen, so operiert $G$ auch auf $\cal{O}(V)$. Die unter $G$ invarianten polynomialen Funktionen auf $V$ hei"sen die $G$-\defind{Invarianten} und werden $\cal{O}(V)^G$ notiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nat"urlich induziert das Vorschalten der Verschiebung $(-\rho):\frak{h}^{\ast}\ra \frak{h}^{\ast}$ einen Isomorphismus zwischen den Invarianten f"ur die dot-Operation der Weylgruppe und den Invarianten f"ur die lineare Operation $$(-\rho)^\sharp:\cal{O}(\frak{h}^{\ast})^{(W\cdot)} \sira \cal{O}(\frak{h}^{\ast})^{W}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Unabh"angigkeit vom System positiver Wurzeln}] Gegeben $\mathfrak g\supset \mathfrak h$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra mit einer Cartan'schen h"angt die Verkn"upfung $(-\rho(R^+))^\sharp\circ\xi_{R^+}: {\op{Z}}(\frak{g}) \sira\cal{O}(\frak{h}^{\ast})^{W}$ h"angt nicht von der Wahl eines Systems $R^+$ positiver Wurzeln ab. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Gegeben $\mathfrak g\supset \mathfrak h$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra mit einer Cartan'schen erhalten wir so einen wohlbestimmten Isomorphismus, den \defind{Harish-Chandra-Isomorphismus} $$\xi_{\op{lin}}: {\op{Z}}(\frak{g}) \sira\cal{O}(\frak{h}^{\ast})^{W}$$ Der Index $\op{lin}$ soll dabei betonen, da"s unser Isomorphismus in den Invarianten der linearen Operation der Weylgruppe landet. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Es reicht, das f"ur das Nachschalten der Auswertungen an einer Zariski-dichten Teilmenge zu zeigen. Wir halten erst einmal ein System positiver Wurzeln $R^+$ fest. F"ur alle $\lambda\in \mathfrak X^+$ kann die Auswertung $\big((-\rho)^\sharp\circ\xi)(z)\big)(\lambda+\rho)=(\xi(z))(\lambda)$ dann auch beschrieben werden als der Skalar, durch den $z$ auf der endlichdimensionalen Darstellung ${\op{L}}(\lambda)={\op{L}}(\lambda,R^+)$ operiert. Jedes weitere System positiver Wurzeln hat nun die Gestalt $wR^+$ f"ur $w\in W$. Die zugeh"orige Halbsumme positiver Wurzeln ist $w\rho$ und wir finden ${\op{L}}(\lambda,R^+)={\op{L}}(w\lambda,wR^+)$ und so $$\begin{array}{lll} \big((-\rho)^\sharp\circ\xi_{R^+})(z)\big)(\lambda+\rho)&= &\big((-w\rho)^\sharp\circ\xi_{wR^+})(z)\big)(w\lambda+w\rho)\\[2mm] &=&\big((-w\rho)^\sharp\circ\xi_{wR^+})(z)\big)(\lambda+\rho) \end{array} $$ mit der zweiten Gleichung aufgrund der Weylgruppeninvarianz, die ja f"ur $\xi_{wR^+}$ in derselben Weise gilt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Harish-Chandra-Isomorphismus und absolute Cartan'sche}] Gegeben eine halbeinfache komplexe Liealgebra $\mathfrak g$ hei"st die Einskomponente $G\pdef (\op{Aut}\mathfrak g)^\circ$ ihrer Automorphismengruppe\label{HCIa} die {\bf adjungierte Gruppe}\index{adjungiert!Gruppe} unserer halbeinfachen komplexen Liealgebra. Nun wissen wir aus \eref{adjG}{HL} und \eref{KoCap}{HL}, da"s die adjungierte Gruppe je zwei Cartan'sche ineinander konjugiert, und wir wissen aus \eref{AWEE}{HL} oder direkter \ref{WdW}, da"s sie sogar je zwei Paare $(\mathfrak h, R^+)$ bestehend aus einer Cartan'schen und einem System positiver Wurzeln ineinander konjugiert. Dar"uber hinaus wissen wir aus \eref{AWEE}{HL} und mithin aus der Theorie algebraischer Gruppen, da"s jedes Element der adjungierten Gruppe, das ein Paar $(\mathfrak h, R^+)$ in sich selber konjugiert, die Identit"at auf $\mathfrak h$ induziert. So ein Paar $(\mathfrak h, R^+)$ wird damit durch unsere halbeinfache Liealgebra $\mathfrak g$ eindeutig festgelegt bis auf eindeutigen Isomorphismus. Wir nennen es die {\bf absolute Cartan'sche von $\mathfrak g$}\index{Cartan'sche!absolute} und notieren es $$(\mathfrak h_{\op{abs}}, R^+_{\op{abs}})$$ Der Weylvektor ist dann ein wohlbestimmtes Element $\rho_{\op{abs}}\in\mathfrak h_{\op{abs}}^\ast$. Andererseits operiert die adjungierte Gruppe auf $\mathfrak g$ und $\op{T}(\mathfrak g)$ und $\op{U}(\mathfrak g)$ und man "uberlegt sich, da"s unter der abgeleiteten Operation ein $X\in \frak g$ auf $u\in \op{U}(\mathfrak g)$ operiert durch $u\mapsto Xu-uX$. Die abgeleitete Operation auf ${\op{Z}}(\mathfrak g)$ ist folglich trivial und dasselbe mu"s damit f"ur die Operation der adjungierten Gruppe selbst gelten. Alles in allem erhalten wir so f"ur unsere halbeinfache Liealgebra zwei von keinerlei Wahlen abh"angenden Isomorphismen $$\xi:{\op{Z}}(\mathfrak g)\sira \cal{O}(\frak{h}_{\op{abs}}^{\ast})^{(W\cdot)} \qquad\qquad\xi_{\op{lin}}:{\op{Z}}(\mathfrak g)\sira \cal{O}(\frak{h}_{\op{abs}}^{\ast})^{W}$$ Meist versteht man letzteren als den {\bf Harish-Chandra-Isomorphismus}. Ich finde es jedoch oft "ubersichtlicher, mit dem ersteren dieser beiden Isomorphismen zu arbeiten. \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungl} Gegeben ein Isomorphismus % $\varphi:\mathfrak g\sira \mathfrak g'$ von halbeinfachen % komplexen Liealgebren mit Cartan'schen $\mathfrak h$ und $\mathfrak h'\pdef % \varphi(\mathfrak h)$ kommutiert offensichtlich das Diagramm % $$\begin{array}{ccc}\op{Z}(\mathfrak g)&\ra&\mathcal O(\mathfrak h^*)^W\\ % \da &&\da\\ % \op{Z}(\mathfrak g')&\ra&\mathcal O(\mathfrak h'^*)^W % \end{array}$$ % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zentrum und kontragrediente Darstellung}] Sei $\frak g\supset \frak h$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra mit einer Cartan'schen. Wir erinnern aus \eref{paU}{HL} den prinzipalen Antiautomorphismus ${\op{U}}(\mathfrak g)\sira {\op{U}}(\mathfrak g)^{\op{opp}}$ durch $X\mapsto (-X)^\circ$ f"ur $X\in \mathfrak g$ mit der Notation $u\mapsto u^\ttop$ f"ur allgemeines $u\in {\op{U}}(\mathfrak g)$. Wir behaupten $$\xi_{\op{lin}}((z^\ttop)^\circ)= (-1)^\sharp \xi_{\op{lin}}(z) \quad \forall z\in {\op{Z}}(\mathfrak g)$$ Sicher ist $(\xi_{\op{lin}}(z))(\lambda+\rho(R^+))$ der Skalar, mit dem $z$ auf ${\op{L}}(\lambda,R^+)$ operiert, f"ur $R^+\subset \mathfrak h^*$ ein System positiver Wurzeln und $\lambda$ dominant und ganz in Bezug auf $R^+$. Weiter ist $(\xi_{\op{lin}}((z^\ttop)^\circ))(\lambda+\rho(R^+))$ der Skalar, mit dem $z$ auf der kontragredienten Darstellung ${\op{L}}(\lambda,R^+)^*$ operiert, also auf ${\op{L}}(-\lambda,-R^+)$. Das zeigt $$(\xi_{\op{lin}}((z^\ttop)^\circ))(\lambda+\rho(R^+))= (\xi_{\op{lin}}(z))(-\lambda-\rho(R^+))$$ f"ur $\lambda$ dominant ganz in Bezug auf ein System positiver Wurzeln $R^+$. Da diese $\lambda$ in $\mathfrak h^*$ Zariski-dicht sind, folgt die Behauptung. \end{Bemerkungl} % , da"s der davon auf ${\op{Z}}(\mathfrak g)$ % induzierte Isomorphismus % BLAH % ${\op{U}}(\mathfrak g)\sira {\op{U}}(\mathfrak g)^{\op{opp}}$ % Unter dem Harish-Chandra-Isomorphismus % $Z \sira \cal{O}(\frak{h}^{\ast})^{W}$ % entspricht dem durch den prinzipalen Antiautomorphismus % gegebenen Automorphismus $z \mapsto z^{\ttop}$ % von $Z$ die durch die Multiplikation mit % $(-1): \frak{h}^{\ast} \ra \frak{h}^{\ast}$ induzierte % Abbildung links. Um das zu sehen geht man aus von der % Erkenntnis, da"s f"ur dominante % Gewichte $\lambda \in X^{+}$ gilt % $\op{L}(\lambda)^{\ast} \cong \op{L}(-w_{0}\lambda)$, und folgert % $$ % \langle z^{\ttop}, \lambda\rangle =\langle z, -w_{0}\lambda \rangle = % \langle z, w_{0} \cdot (-w_{0}\lambda) \rangle= % \langle z,-\lambda - 2\rho \rangle % $$ % erst f"ur alle $\lambda \in X^{+}$ und, da diese Zariski-dicht % liegen, dann f"ur alle % $\lambda \in \frak{h}^{\ast}$. % Unter dem nichtnormalisierten Isomorphismus % $Z \sira \cal{O}(\frak{h}^{\ast})^{(W\cdot)}$ % entspricht der prinzipale Antiautomorphismus links also dem % Automorphismus rechts, der von der Punktspiegelung % $\frak{h}^{\ast} \ra \frak{h}^{\ast}$ mit % Zentrum $-\rho$ erzeugt wird. % Identifiziert man die Punkte aus dem Abschlu"s der dominanten % Weylkammer mit gewissen maximalen Idealen des Zentrums, % so ist unser prinzipaler Antiautomorphismus vertr"aglich % mit der Involution $\lambda\mapsto -w_\circ \lambda$ dieser % Kammer, sowohl im verschobenen als auch im unverschobenen Fall. % \end{Bemerkunge} % Speziell gilt das f"ur den Isomorphismus % $(-1): \mathfrak g\sira \mathfrak g^{\op{opp}}$. % Andererseits % l"a"st sich die Identit"at auf $\mathfrak g$ zu einem Isomorphismus % $\gamma:\op{U}(\mathfrak g^{\op{opp}})\sira \op{U}(\mathfrak g)^{\op{opp}}$ % fortsetzen und dieser induziert einen Isomorphismus $\gamma:\op{Z}(\mathfrak g^{\op{opp}})\sira \op{Z}(\mathfrak g)^{\op{opp}}=\op{Z}(\mathfrak g)$. \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man folgere aus dem Harish-Chandra-Isomorphismus \ref{HCI}, da"s im Fall $\mathfrak g=\mathfrak{sl}(2;\DC)$ das Einsetzen des Casismiroperators $C$ einen Isomorphismus $\DC[X]\sira \op{Z}(\mathfrak g)$ induziert. In Formeln gilt also $\op{Z}(\mathfrak g)=\DC[C]$ und genauer mit einem\label{Zsl2} Freiheitsstrichlein auf der rechten Seite $$\op{Z}(\mathfrak g)=\DC['C]$$ \end{Ubung} \subsection{Der Chevalley-Isomorphismus} \begin{Satz}[\textbf{Chevalley-Isomorphismus}]\label{CI} Seien $\frak{g} \supset \frak{h}$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra mit einer Cartan'schen und sei $G\pdef \op{Aut}(\frak{g})^\circ$ die adjungierte Gruppe nach \eref{adjG}{HL}. So induziert die Restriktion von polynomialen Funktionen $\cal{O}(\frak{g}) \twoheadrightarrow \cal{O}(\frak{h})$ einen Isomorphismus zwischen den $G$-Invarianten in $\cal{O}(\frak{g})$ und den Weyl\-grup\-pen\-in\-va\-ri\-an\-ten in $\cal{O}(\frak{h})$, in Formeln $$\op{Res}: \cal{O}(\frak{g})^{G}\sira \cal{O}(\frak{h})^{W}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dieser Isomorphismus ist ein algebraischer Verwandter des Hom"oomorphismus $T/W\sira K/(\op{int}K)$ f"ur eine zusammenh"angende torierte kompakte Liegruppe $(K,T)$ aus \eref{Kohj}{ML}. In der Sprache der geometrischen Invariantentheorie \eref{AlQo}{KAG} besagt obiger Satz, da"s die Einbettung $\mathfrak h\hra \mathfrak g$ einen Isomorphismus $\mathfrak h/W\sira \mathfrak g{\sslash} G$ zwischen den algebraischen Quotienten induziert, von denen ersterer sogar ein geometrischer Quotient ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unser Beweis zeigt auch, da"s gegeben $G\supset T$ eine zusammenh"angende reduktive komplexe affine algebraische Gruppe mit maximalem Torus und $\mathfrak g\supset \mathfrak t$ deren Liealgebren die Restriktion einen Isomorphismus\label{ewCH} $\mathcal O(\mathfrak g)^G\sira \mathcal O(\mathfrak t)^W$ induziert. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Wir besprechen den Fall\label{Bsap} $\frak{g}=\frak{sl}(n;\DC)$ und zeigen dazu eine analoge Aussage f"ur $\frak{g}=\frak{gl}(n;\DC)$ mit $\frak{h}$ dem Unterraum der Diagonalmatrizen, die zwar erst durch \ref{ewCH} abgedeckt wird, deren Beweis mir jedoch besonders instruktiv scheint. Unser Invariantenring $\cal{O}(\frak{g})^{G}$ ist in diesem Fall die Menge aller Polynome in den Matrixeintr"agen, die konstant sind auf allen Konjugationsklassen. Ist $x=x_{\op{s}}+x_{\op{n}}$ die konkrete Jordan-Zerlegung von $x\in \frak{gl}(n;\DC)$, so geh"ort $x_{\op{s}}+\varepsilon x_{\op{n}}$ f"ur alle $\varepsilon\neq 0$ zur selben Konjugationsklasse wie $x$. F"ur $f\in \cal{O}(\frak{g})^{G}$ ist also $\varepsilon\mapsto f(x_{\op{s}}+\varepsilon x_{\op{n}})$ eine polynomiale Funktion in $\varepsilon$, die konstant ist au"serhalb von $\varepsilon=0$. Es folgt sofort $f(x)=f(x_{\op{s}})$. Da nun jede halbeinfache Konjugationsklasse die Menge $\frak{h}$ der Diagonalmatrizen trifft, liefert die Restriktion eine Injektion $\cal{O}(\frak{g})^{G}\hra \cal{O}( \frak{h})$. Nun sind je zwei Diagonalmatrizen konjugiert, deren Eintr"age sich nur in ihrer Reihenfolge unterscheiden. Folglich landet unsere Injektion in den symmetrischen Polynomen in den Matrixeintr"agen, als da hei"st in $\cal{O}(\frak{h})^{W}$. Weiter wissen wir aber, da"s die symmetrischen Polynome ihrerseits Polynome sind in den elementarsymmetrischen Polynomen, und f"ur diese finden wir als Urbilder in $\cal{O}(\frak{g})^{G}$ die Funktionen, die jeder Matrix einen geeigneten Koeffizienten ihres charakteristischen Polynoms zuordnen. Also ist unsere Restriktion f"ur $\frak{g}=\frak{gl}(n;\DC)$ und $\frak{h}$ die Diagonalmatrizen eine Bijektion $\cal{O}(\frak{g})^{G}\sira \cal{O}(\frak{h})^{W}$. Daraus folgt unschwer der Chevalley-Isomorphismus im Fall $\frak{g}=\frak{sl}(n;\DC)$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Im Fall der Gruppe $G=\op{SO}(2n;\DC)$ besteht die Liealgebra $\frak{g}$ aus allen schiefsymmetrischen Matrizen und eine interessante invariante polynomiale Funktion aus $\mathcal O(\mathfrak g)^{G}$ ist die Pfaff'sche Determinante \eref{Pfaff}{LA2}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Der Beweis wird in eine Folge von Teilresultaten aufgebrochen. Lemma \ref{WdW} zeigt, da"s unsere Restriktion die $G$-Invarianten wirklich in die $W$-In\-va\-ri\-an\-ten abbildet. Bemerkung \ref{Ghd} zeigt, da"s die Einschr"ankung der Restriktionsabbildung auf $\cal{O}(\frak{g})^{G}$ injektiv ist. Im Anschlu"s daran zeigen wir dann noch die Surjektivit"at, indem wir hinreichend viele $G$-invariante polynomiale Funktionen auf $\frak{g}$ explizit angeben. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Realisierung der Weylgruppe in der adjungierten Gruppe}] Sei $\frak{g}$ eine halbeinfache Liealgebra.\label{WdW} Ist $\frak{h} \subset \frak{g}$ eine Cartan'sche Unteralgebra und $w \in W$ ein Element der Weylgruppe, so gibt es ein Element der adjungierten Gruppe $\dot{w} \in G$ mit $\dot{w} (\frak{h}) \subset \frak{h}$ und $$\dot{w}=w:{\frak{h}} \ra {\frak{h}}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Es reicht, ein m"ogliches $\dot{s}_{\al}$ f"ur jede Wurzel $\al \in R$ anzugeben. Dazu w"ahlen wir $x_{\al} \in \frak{g}_{\al}$, $y_{\al} \in \frak{g}_{-\al}$ mit $[x_{\al}, y_{\al}]=\al^{\vee}$ und versuchen unser Gl"uck mit $$\dot {s}_{\al} = \exp (\op{ad} x_{\al}) \exp (\op{ad}( - y_{\al})) \exp (\op{ad} x_{\al})$$ F"ur $h \in \ker \al \subset \frak{h}$ gilt offensichtlich $[x_{\al},h] = 0= [y_{\al}, h]$, folglich halten $\exp (\op{ad} x_{\al})$, $\exp (\op{ad} y_{\al})$ und schlie"slich auch $\dot{s}_{\al}$ jedes $h \in \ker \al$ fest. Dann berechnen wir noch mit Gewalt $$\begin{array}{ccl} \dot{s}_{\al} (\al^{\vee})& = &\exp (\op{ad} x_{\al}) \exp (\op{ad} (- y_{\al})) (\al^{\vee}- 2x_{\al})\\ & = & \exp (\op{ad} x_{\al}) (\al^{\vee} - 2 x_{\al} - 2y_{\al} - 2 \al^{\vee} + 2 y_{\al})\\ & =& -\al^{\vee} - 2 x_{\al} + 2x_{\al} \\ & = & -\al^{\vee} \end{array}$$ und das Lemma ist gezeigt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Herkunft obiger Formel}] Wir betrachten die Identit"at $${(^{\;\;0}_{-1}}\;{^{1}_{0})}=\op{exp}{(^{0}_{0}}\; {^1_0)} \op{exp}{(^{\;\;0}_{-1}}\;{^{0}_{0})}\op{exp}{(^{0}_{0}}\; {^1_0)}$$ von Matrizen mit Eintr"agen in einem beliebigen K"orper positiver Charakteristik. Sie bedeutet anders geschrieben $\dot s=\op{exp}(x)\op{exp}(-y)\op{exp}(x)$ f"ur $x,h,y$ die Standardbasis von $\mathfrak{sl}(2;k)$ und $\dot s\in \op{SL}(2;k)$ ein Repr"asentant des nichttrivialen Elements der Weylgruppe in Bezug auf den maximalen Torus der Diagonalmatrizen. Wegen $\op{Ad}(\op{exp}(n))=\op{exp}({\op{ad}} n)$ f"ur jedes nilpotente Element der Liealgebra folgt $$\op{Ad}(\dot s)= \op{exp}({\op{ad}} x)\op{exp}(-{\op{ad}} y) \op{exp}({\op{ad}} x)$$ Wenden wir diese Erkenntnis auf die entsprechende Rang-Eins-Untergruppe zur Wurzel $\alpha$ in $\op{Aut}\mathfrak g$ an, so wird klar, wie wir obige Formel h"atten erraten k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{Ghd} Seien $\frak{g} \supset \frak{h}$ eine komplexe halbeinfache Liealgebra mit einer Cartan'schen und sei $G \subset \op{GL} (\frak{g})$ die adjungierte Gruppe. So liegt $G \frak{h}$ Zariski-dicht in $\frak{g}$. Das haben wir bereits beim Beweis der Konjugiertheit von Cartan'schen \eref{KoCap}{HL} gezeigt. Will man das differentielle Dominanzkriterium \eref{AGeo}{HL} hier vermeiden, kann man auch einfacher argumentieren mit der Erkenntnis, da"s jede nichtleere in der metrischen Topologie des $\DC^n$ offene Teilmenge bereits Zariski-dicht liegt. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis der Surjektivit"at in \ref{CI}] Dazu m"ussen wir gen"ugend $G$-invariante polynomiale Funktionen auf $\frak{g}$ konstruieren. Ist $\rho : \frak{g} \ra \op{End} V$ eine endlichdimensionale Darstellung von $\frak{g}$ und $p\in\DN$, so behaupten wir, da"s $x \mapsto \op{tr} (\rho (x)^{p})$ zu $\cal{O}(\frak{g})^{G}$ geh"ort. In der Tat kommutiert f"ur alle $y \in \frak{g}$ das Diagramm $$\begin{CD} \frak{g} \otimes V @>>> V\\ @V{(\op{ad} y) \otimes \op{id} + \op{id} \otimes \rho (y)}VV @VV\rho (y) V \\ \frak{g} \otimes V @>>> V\\ \end{CD}$$ Wenn man $y$ als nilpotent annimmt und von beiden vertikalen Abbildungen $\op{exp}$ nimmt und das enstehende kommutative Diagramm auf $x\otimes v$ auswertet, folgt $$\rho \big((\exp (\op{ad} y))( x)\big)\; (\exp \rho (y) )\; v = (\exp \rho (y))\; (\rho (x) v)$$ Mit den Abk"urzung $g\pdef \exp (\op{ad} y)$ und $b\pdef \exp \rho (y)$ finden wir $\rho (g x)bv=b\rho (x)v$ alias $\rho (gx)=b\rho (x)b^{-1}$ ist konjugiert zu $\rho (x)$ f"ur $g\pdef \exp (\op{ad} y)$ und dann nat"urlich f"ur alle $g\in G$. Wir erhalten also als invariante Funktionen schon mal die Funktionen $C(V,{p}) \in {\cal{O}}(\frak{g})^{G}$ gegeben durch $C(V,{p}) (x) = \op{tr} (\rho_{V} (x)^{p})$. Nun beachte man, da"s ${\cal{O}}(\frak{h})$ als $\DC$-Vektorraum von allen Potenzen $\lambda^{n}$ mit $\lambda\in \frak{X}$ ein ganzes Gewicht erzeugt wird. F"ur die \glqq Symmetrisierung\grqq\ $$\begin{array}{rccl} \op{sym} :& {\cal{O}}(\frak{h}) &\ra& {\cal{O}}(\frak{h})^{W}\\[2mm] & f & \mapsto & \sum_{w \in W} w f \end{array}$$ erzeugen die $\op{sym} (\lambda^{p})$ f"ur $\lambda\in \frak{X}^{+}$ schon ${\cal{O}}(\frak{h})^{W}$ als $\DC$-Vektorraum. Es ist aber klar, da"s die Restriktionen auf $\frak{h}$ der bereits konstruierten Invarianten die Gestalt $$C(L(\lambda),p) = \sum_{\mu \in \frak{X}^{+},\; \mu \leq\lambda} a_{\mu} \op{sym} (\mu^{p})$$ haben mit $a_{\lambda} \neq 0$, genauer gilt f"ur $h\in \frak{h}$ offensichtlich $$C(L(\lambda),p)(h) = \sum_{\nu \in \frak{X}} (\op{dim}L(\lambda)_\nu) \nu(h)^{p}$$ Eine kurze Induktion zeigt dann, da"s unsere Restriktion in der Tat eine Surjektion ${\cal{O}}(\frak{g})^{G} \sra {\cal{O}}(\frak{h})^{W}$ liefert. \end{proof} \subsection{Herleitung des Harish-Chandra-Isomorphismus} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Spezielle Derivationen auf der Tensoralgebra}] Ist $V$ ein Vektorraum und $x:V\ra V$ eine lineare Abbildung, so gibt es offensichtlich genau eine Fortsetzung $\hat x:{\op{T}}V\ra {\op{T}}V$ von $x$ zu einer Derivation auf der Tensoralgebra und diese induziert eine Derivation $\hat x:{\op{S}}V\ra {\op{S}}V$ auf der symmetrischen Algebra.\label{DerIa} Ist $V$ endlichdimensional und der Grundk"orper algebraisch abgeschlossen, so haben wir einen nat"urlichen Isomorphismus ${\op{S}}V\sira \mathcal O(V^\ast)$ und darunter entspricht unser $\hat x$ dem Anwenden des durch $y\mapsto (y\circ x)$ auf $V^\ast$ gegebenen Vektorfelds. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Spezielle Derivationen auf der Einh"ullenden}] Ist $\mathfrak g$ eine Liealgebra und $x:\mathfrak g\ra \mathfrak g$ eine\label{DerIb} Derivation, so induziert unsere Derivation $\hat x:{\op{T}}\mathfrak g\ra {\op{T}}\mathfrak g$ aus \ref{DerIa} eine Derivation $\hat x:{\op{U}}\mathfrak g\ra {\op{U}}\mathfrak g$ auf der Einh"ullenden Algebra. Ist speziell $x=\op{ad}y$ f"ur $y\in \mathfrak g$, so finden wir $$\hat x(u)=yu-uy$$ In der Tat sind beide Seiten Derivationen von ${\op{U}}\mathfrak g$, die auf allen $u\in\mathfrak g$ "ubereinstimmen. Folglich m"ussen sie gleich sein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Operation auf der Tensoralgebra eine Liealgebrendarstellung}] Ist $\frak{g}$ eine komplexe Lie-Algebra und $V$ eine Darstellung von $\frak{g}$, so operiert $\frak{g}$ auf den Tensorpotenzen $V^{\otimes n}$ und auch auf der ganzen Tensoralgebra ${\op{T}}V$. Diese Operation geschieht offensichtlich durch Derivationen und liefert sogar einen Lie-Algebren-Homomorphismus $$\frak{g} \ra \op{Der}_{\Bbb{C}} {\op{T}}V$$ Weiter ist die symmetrische Algebra ${\op{S}} V $ eine Quotientendarstellung von ${\op{T}}V$ und man sieht ohne Schwierigkeiten, da"s wir so auch eine Operation durch Derivationen $\frak{g} \ra \op{Der}_{\Bbb{C}} {\op{S}} V$ erhalten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zentrum als Invarianten der adjungierten Operation}] Sei $\frak{g}$ eine komplexe Liealgebra. Die adjungierte Darstellung f"uhrt nach unseren allgemeinen "Uberlegungen zu Beginn dieses Abschnitts zu einer $\frak{g}$-Ope\-ra\-tion durch Derivationen auf der Tensoralgebra und auf der symmetrischen Algebra und auch zu\label{DerI} einer $\frak{g}$-Operation durch Derivationen auf der universellen Einh"ullenden Algebra $$ \begin{array}{l} \frak{g} \ra \op{Der}_{\Bbb{C}} {\op{T}}\frak{g}\\ \frak{g} \ra \op{Der}_{\Bbb{C}} {\op{S}}\frak{g}\\ \frak{g} \ra \op{Der}_{\Bbb{C}} {\op{U}}\frak{g} \end{array} $$ Auf der universellen Einh"ullenden $U\pdef {\op{U}}\frak{g}$ notieren wir $\op{ad}x$ die Derivation zu $x$ und pr"ufen leicht $(\op{ad}x)(u)=xu-ux$, da beide Seiten Derivationen der Einh"ullenden sind, die auf $u\in\frak{g}\subset U$ denselben Effekt haben. Insbesondere k"onnen wir das Zentrum der Einh"ullenden auch beschreiben als die $\frak{g}$-Invarianten unter der adjungierten Operation, in Formeln $$Z=U^\frak{g}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $V=\frak{g}^{\ast}$ die koadjungierte Darstellung und ist unsere Liealgebra endlichdimensional, so erhalten wir speziell eine Operation durch Derivationen $\frak{g} \ra \op{Der}_{\Bbb{C}} \cal{O}(\frak{g})$. Geometrisch k"onnen wir diese Operation verstehen, indem wir ein $x \in \frak{g}$ auffassen als das algebraische Vektorfeld $y \mapsto [x,y]$ auf dem Raum $\frak{g}$. Ist $\frak{g}$ die Lie-Algebra einer Liegruppe $G$, so wird unsere Operation induziert von der adjungierten Operation von $G$ auf $\frak{g}$, die eine Operation von $G$ auf $\cal{O}(\frak{g})$ liefert, die dann differenziert werden kann. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{LIGG} Ist $\frak{g}$ eine komplexe halbeinfache Liealgebra und $G$ ihre adjungierte Gruppe, so haben wir $\cal{O}(\frak{g})^{\frak{g}} = \cal{O}(\frak{g})^{G}$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis mit Lietheorie] F"ur jedes $r\geq 0$ bilden die polynomialen Funktionen vom Grad $\leq r$ eine stetige Darstellung der adjungierten Gruppe $G$ und die Operation von $\mathfrak g$ ist offensichtlich die zugeh"orige abgeleitete Operation der Liealgebra. Die Proposition folgt damit aus \eref{inVGr}{ML}. Im Rahmen algebraischer Gruppen kann man auch mit \eref{HEFF}{AAG} argumentieren. \end{proof} \begin{proof}[Beweis] Wir w"ahlen Bezeichnungen f"ur unsere beiden Operationen und notieren sie $$\begin{array}{ccc} \rho : \frak{g} & \ra & \op{Der}_{\Bbb{C}} \cal{O}(\frak{g})\\ \psi : G &\ra & \op{Aut}_{\Bbb{C}} \cal{O}(\frak{g}) \end{array}$$ Jetzt behaupten wir f"ur $y \in \frak{g}$ nilpotent in $\op{Aut}_{\Bbb{C}} \cal{O}(\frak{g})$ die Gleichung $$\op{exp} \rho (y) = \psi (\op{exp} (\op{ad} y))$$ Da beiden Seiten Automorphismen von $\Bbb{C}$-Ringalgebren sind, reicht es zu zeigen, da"s ihre Einschr"ankungen auf den Raum $\frak{g}^{\ast} \subset \cal{O}(\frak{g})$ der linearen Funktionen "ubereinstimmen. Zu zeigen ist also nur $$\op{exp} (\op{ad}^{\ast} y) = (\op{exp} (\op{ad} y)^{\ttop})^{-1}$$ und das folgt sofort aus $\op{ad}^{\ast} y = (-\op{ad} y)^{\ttop}$. Aus unserer ersten Gleichung erhalten schon einmal $\cal{O}(\frak{g})^{\frak{g}} \subset \cal{O}(\frak{g})^{G}$. Da andererseits die Liealgebra $\frak{g}$ von ihren nilpotenten Elementen erzeugt wird, kann man $\cal{O}(\frak{g})^{\frak{g}}$ auch beschreiben als die Menge aller $f\in \cal{O}(\frak{g})$ mit $\rho(y)f=0$ f"ur alle nilpotenten $y\in\frak{g}$. Mit dem anschlie"senden Lemma \ref{NPZ} folgt so umgekehrt auch $\cal{O}(\frak{g})^{G} \subset \cal{O}(\frak{g})^{\frak{g}}$. \end{proof} \begin{Lemma}\label{NPZ} Sei $x : V \ra V$ ein lokal nilpotenter Endomorphismus eines $\Bbb{Q}$-Vektorraums. Bezeichne $\op{exp} (\Bbb{Q} x) \subset \op{GL} (V)$ die Untergruppe aller $\op{exp} t x$ mit $t \in \Bbb{Q}$. So besteht der Kern von $x$ genau aus den Invarianten von $\op{exp} (\Bbb{Q}x)$, in Formeln $$\op{ker} x = V^{\op{exp} \Bbb{Q}x}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die Inklusion $\subset $ ist evident. Die andere Inklusion $\supset$ folgt aus der Tatsache, da"s auch eine vektorwertige polynomiale Funktion $v_{0}+v_{1} t + \ldots + v_{n}t^{n}$ einer Variablen $t$ aus einem unendlichen K"orper nur konstant sein kann, wenn sie keine Terme h"oherer Ordnung hat, $v_{1} = \ldots = v_{n} = 0$. Betrachten wir nun speziell f"ur $v\in V$ die Abbildung $\DQ\ra V$, $t\mapsto \op{exp}(tx)v$, so ist unsere Abbildung konstant genau dann, wenn gilt $xv=0$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Harish-Chandra-Isomorphismus}]\label{HCIb} Gegeben $(\frak{g}\supset\frak{h}, R^+)$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra mit einer Cartan'schen und einem System positiver Wurzeln liefert der in \ref{DHHH} erkl"arte Homomorphismus einen Isomorphismus $$\xi:{\op{Z}}(\frak{g})\sira\cal{O}(\frak{h}^{\ast})^{(W\cdot)}$$ \end{Satz} \begin{proof} Zun"achst einmal zeigen wir, da"s $\xi (Z)$ wirklich aus polynomialen Funktionen auf $\frak{h}^{\ast}$ besteht; danach, da"s $\xi$ sogar in den $(W\cdot)$-invarianten polynomialen Funktionen landet; und zum Schlu"s, da"s die damit erst recht eigentlich etablierte Abbildung aus unserem Satz injektiv und surjektiv ist. Bezeichne $$\pi_\lambda : \Delta (\lambda) \ra \Delta(\lambda)_{\lambda}$$ diejenige Projektion eines Verma-Moduls auf seinen h"ochsten Gewichtsraum, die alle anderen Gewichtsr"aume $\Delta(\lambda)_{\mu}$ annulliert. Wir betrachten die Zerlegung $\frak{g}=\frak{n}\oplus \frak{h}\oplus \frak{n}^+$, wobei $\frak{n}$ beziehungsweise $\frak{n}^+$ die direkten Summen der Wurzelr"aume zu den negativen beziehungsweise positiven Wurzeln bezeichnen. Der Satz von Poincar\'e-Birkhoff-Witt liefert f"ur die Einh"ullende $U\pdef{\op{U}}(\mathfrak g)$ eine Vektorraumzerlegung $U={\op{U}}(\frak{h})\oplus \langle \frak{n}U+U\frak{n}^+\rangle$ und wir notieren $${\eta}:U\sra {\op{U}}(\frak{h})={\op{S}}(\frak{h})$$ die Projektion l"angs dieser Zerlegung. Diese Projektion ist kein Algebrenhomomorphismus, sondern nur eine lineare Abbildung. F"ur die Operation auf dem kanonischen Erzeuger $v_{\lambda}\in \Delta(\lambda)$ eines Verma-Moduls gilt jedoch offensichtlich $\pi_\lambda (uv_{\lambda}) = {\eta}(u) v_{\lambda}$. F"ur $z \in Z$ ist sogar die Projektion $\pi_\lambda$ "uberfl"ussig und wir haben $$zv_{\lambda} = {\eta} (z) v_{\lambda} \quad \forall \lambda\in \frak{h}^{\ast}$$ Nun ist hoffentlich klar, da"s f"ur $u\in {\op{U}}(\frak{h})$ gilt $uv_\lambda=\delta_\lambda(c(u))v_\lambda$ f"ur $c$ die Komposition ${\op{U}}(\frak{h})={\op{S}}(\frak{h})\sira \cal{O}(\frak{h}^{\ast}) \subset \op{Ens} (\frak{h}^{\ast},\DC)$ und $\delta_\lambda$ das Auswerten bei $\lambda$. Wir finden also $\langle z,\lambda\rangle=\delta_\lambda(c(\eta(z)))$ f"ur alle $\lambda$ alias $\xi (z)=c(\eta(z))$. Also ist $\xi (z)$ schon einmal polynomial f"ur alle $z\in Z$. Als n"achstes zeigen wir, da"s $\xi$ sogar in den $(W \cdot)$-Invarianten landet. Wir wissen nach \eref{ZD}{KAG}, da"s zwei Polynomfunktionen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum "uber einem K"orper der Charakteristik Null, die auf der von einer Basis erzeugten Untergruppe "ubereinstimmen, schon gleich sind. Es reicht also f"ur alle $z\in Z$ und $w\in W$ zu zeigen, da"s $\xi(z)$ und $\xi(z)\circ (w\cdot)$ auf dem Gitter $\mathfrak X$ der ganzen Gewichte dieselben Werte annehmen. Da die einfachen Spiegelungen die Weylgruppe erzeugen, m"ussen wir nur zeigen, da"s gilt $$\langle z,\lambda\rangle= \langle z,s_\alpha\cdot\lambda\rangle\;\;\forall\alpha\in\Pi, \lambda\in \mathfrak X$$ Wir kennen jedoch schon aus \eref{EIV}{HL} %{LieA} f"ur alle $\lambda\in\frak{h}^\ast$ mit $\langle \lambda +\rho,\al^{\vee}\rangle\in\DN$ eine Einbettung $ \Delta (s_{\al}\cdot \lambda) \hookrightarrow \Delta(\lambda)$ oder einfacher einen von Null verschiedenen Homomorphismus. Da das Zentrum der universellen Einh"ullenden auf diesen beiden Moduln folglich durch denselben Skalar operieren mu"s, ergibt sich die Behauptung. Wir wissen damit, da"s unser $\xi$ tats"achlich in den $(W\cdot)$-invarianten Polynomfunktionen landet. Nun zeigen wir, da"s $\xi$ sogar einen Isomorphismus des Zentrums mit diesem Ring induziert. Wir betrachten dazu das kommutative Diagramm $$\begin{array}{ccl} {\op{U}} (\frak{g}) & \overset{\eta}{\ra} & {\op{S}} (\frak{h})\\ \cup & & \;\;\cup\\ {\op{Z}}(\frak{g}) & \overset{\xi}{\ra}& {\op{S}}(\frak{h})^{(W\cdot)} \end{array}$$ Die Abbildung $\eta$ in der oberen Zeile ist vertr"aglich mit den Standardfiltrierungen \eref{StFi}{HL} auf den jeweiligen R"aumen. Die Abbildung $\xi$ in der unteren Zeile ist folglich vertr"aglich mit den jeweils induzierten Filtrierungen. Induziert $\xi : Z \ra S (\frak{h})^{(W \cdot)}$ einen Isomorphismus nach "Ubergang zu den assoziierten graduierten R"aumen, so ist es nach \eref{Igr}{KAG} bereits selbst ein Isomorphismus. Machen wir nun diesen "Ubergang, so erhalten wir das innerste Rechteck eines kommutativen Diagramms der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{O} (\frak{g})\ar[rrrrr]^{\op{res}}& &&&& \mathcal{O} (\frak{h})\\ &{\op{S}}(\frak{g}^*)\ar[ul] \ar[rrr] &&&{\op{S}} (\frak{h}^*)\ar[ur]\\ &{\op{S}}(\frak{g})\ar[u] \ar[rrr] &&&{\op{S}} (\frak{h})\ar[u]\\ && \op{gr} {\op{U}} (\frak{g})\ar[ul]_{\sim} \ar[r] & \op{gr} {\op{S}} (\frak{h})\ar[ur]^{\sim}&\\ &&\op{gr} {\op{Z}} (\frak{g})\ar[dl] \ar[u]\ar[r] &\op{gr} {\op{S}} (\frak{h})^{(W\cdot)}\ar[u]\ar[dr]^{\sim}& \\ &{\op{S}}(\frak{g})^{\frak{g}}\ar[d]\ar@{^{(}->}[uuu] \ar[rrr] &&& {\op{S}}(\frak{h})^W\ar[d]\ar@{^{(}->}[uuu]\\ &{\op{S}}(\frak{g}^*)^{\frak{g}}\ar[dl] \ar[rrr] &&& {\op{S}}(\frak{h}^*)^W\ar[dr]\\ \mathcal{O} (\frak{g})^G \ar@{^{(}->}[uuuuuuu]\ar[rrrrr]^\sim& &&&& \mathcal{O} (\frak{h})^W \ar@{^{(}->}[uuuuuuu]\\ } \end{displaymath} Die Bedeutung der anderen Pfeile wird im folgenden erl"autert: Mit den beiden inneren oberen nach au"sen weisenden Pfeilen sind die Identifikationen $\op{gr}({\op{U}}(\frak{g}))\sira {\op{S}} (\frak{g})$ und $\op{gr}({\op{S}}(\frak{h}))\sira {\op{S}} (\frak{h})$ aus dem Satz von Poincar\'e-Birkhoff-Witt \eref{PBWK}{HL} gemeint, mit dem inneren nach au"sen weisenden Pfeil unten rechts die hoffentlich offensichtliche Identifikation $\op{gr}({\op{S}}(\frak{h})^{(W \cdot)})\sira {\op{S}} (\frak{h})^W$. Der innere nach au"sen weisende Pfeil unten links meint die Identifikation $\op{gr}({\op{Z}}(\frak{g}) ) = \op{gr}({\op{U}}(\frak{g})^\frak{g})\sira (\op{gr}{\op{U}}(\frak{g}))^\frak{g}\sira {\op{S}}(\frak{g})^\frak{g}$ mit dem ersten Pfeil wie im anschlie"senden Lemma \ref{Tl}. Die obere mittlere Horizontale sei induziert von der Projektion $\frak{g} \sra \frak{h}$, die alle Wurzelr"aume zu Null macht, die mittleren Vertikalen seien die offensichtlichen Inklusionen, und die untere mittlere Horizontale sei definiert durch die Kommutativit"at der dar"uberliegenden Zelle unseres Diagramms. Aus der Kommutativit"at der anderen Zellen, deren Nachweis dem Leser "uberlassen bleiben kann, folgt dann die Kommutativit"at des mittleren Rechtecks. Betrachten wir nun die Killingform oder allgemeiner irgendeine nichtausgearteten invariante Bilinearform auf $\frak{g}$ und betrachten die davon induzierten Isomorphismen $\frak{g} \sira \frak{g}^{\ast}$ und $\frak{h} \sira \frak{h}^{\ast}$, so identifiziert sich das mittlere Rechteck mit dem "au"seren Rechteck, worin wir die obere Horizontale als die Restriktion von Funktionen verstehen. In diesem Diagramm ist die untere Horizontale aber ein Isomorphismus, eben der Chevalley-Isomorphismus aus \ref{CI}. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Invarianten und assoziierte Graduierte}] Ist $V$ eine Darstellung einer endlichen Gruppe $W$ "uber einem K"orper $k$ und ist auf $V$ eine Filtrierung durch Unterdarstellungen gegeben und teilt die Charakteristik von $k$ nicht die Gruppenordnung, so liefert die Einbettung einen Isomorphismus zwischen dem assoziierten Graduierten der Invarianten und den Invarianten des assoziierten Graduierten $$\op{gr}(V^W)\sira (\op{gr}V)^W$$ \end{Lemma} \begin{proof} Nach dem Satz von Maschke \eref{Mas}{NAS} ist unter unseren Annahmen jede Darstellung unserer Gruppe "uber besagtem K"orper halbeinfach als Modul "uber dem Gruppenring, nach \eref{HEE}{NAS} besitzt also jede Unterdarstellung ein Komplement und insbesondere auch die Unterdarstellungen $V^{\leq n-1}\subset V^{\leq n}$. Das Lemma folgt. \end{proof} \begin{Lemma}\label{Tl} Gegeben eine eine Liealgebra $\frak{g}$ "uber einem K"orper der Charakteristik Null ist die Standardfiltrierung auf $U={\op{U}}(\frak{g})$ stets $(\op{ad} \frak{g})$-stabil und die von der Einbettung $U^{\frak{g}} \subset U$ induzierte Einbettung $\op{gr} (U^{\frak{g}})\subset \op{gr} U$ induziert einen Isomorphismus $$\op{gr} (U^{\frak{g}}) \sira (\op{gr} U)^{\frak{g}}$$ \end{Lemma} \begin{proof} Ist $V$ ein Vektorraum, so operiert die symmetrische Gruppe $\cal{S}_{n}$ auf $V^{\otimes n}$ durch Vertauschung der Faktoren. Im Fall $\op{char} k = 0$ induziert die Surjektion $V^{\otimes n} \sra {\op{S}}^{n} V$ einen Isomorphismus $$ (V^{\otimes n})^{\cal{S}_{n}} \sira {\op{S}}^{n} V$$ von den \glqq symmetrischen\grqq\ Tensoren der Stufe $n$ auf die $n$-te homogene Komponente der symmetrischen Algebra, vergleiche \eref{SyA}{KAG}. Wir bezeichnen mit ${\op{T}}^{\cal{S}} V \subset {\op{T}} V$ die Summe "uber alle $(V^{\otimes n})^{\cal{S}_{n}}$ und haben damit einen Isomorphismus $${\op{T}}^{\cal{S}} V \sira {\op{S}} V$$ von Vektorr"aumen konstruiert, der allerdings mit der Multiplikation im Allgemeinen nicht vertr"aglich sein wird. Ist $V$ eine Darstellung einer Lie-Algebra $\frak{g}$, so operiert $\frak{g}$ auch durch Derivationen auf ${\op{T}} V$ und ${\op{S}} V$, unser ${\op{T}}^{\cal{S}} V$ ist eine Unterdarstellung von ${\op{T}} V$ und unsere Abbildung $ {\op{T}}^{\cal{S}} V \sira {\op{S}} V$ ist ein Isomorphismus von Darstellungen. Ist $\frak{g}$ eine Lie-Algebra und $U\pdef{\op{U}}(\frak{g})$ ihre Einh"ullende, so erhalten wir in derselben Weise einen Isomorphismus von Darstellungen ${\op{T}}^{\cal{S}} \frak{g} \sira U , $ der einen Isomorphismus $\op{gr}{\op{T}}^{\cal{S}} \frak{g} \sira \op{gr}U $ induziert. Damit pa"st der Morphismus aus dem Lemma in ein kommutatives Diagramm $$ \begin{array}{ccc} \op{gr}(({\op{T}}^{\cal{S}} \frak{g})^\frak{g})& \ra&(\op{gr}({\op{T}}^{\cal{S}} \frak{g}))^\frak{g}\\ \da&&\da\\ \op{gr}(U^\frak{g})& \ra&(\op{gr}U)^\frak{g} \end{array}$$ Hier sind die Vertikalen und obere Horizontale Isomorphismen, also auch die untere Horizontale. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Das Zentrum von ${\op{U}} (\frak{gl} (n;\Bbb{C}))$ ist der Polynomring, der erzeugt wird von den Elementen $c_{1}, \ldots , c_{n}$ mit $$c_{i} = \sum_{\nu :\; \Bbb{Z}/i\Bbb{Z} \ra \{1,\ldots ,n\}} E_{\nu(0)\nu (1)} E_{\nu(1)\nu (2)} \ldots E_{\nu(i-1)\nu (i)}$$ Speziell wird $c_{1} = E_{11} + E_{22} + \ldots +E_{nn}$ die Einheitsmatrix in $\frak{gl}(n ; \Bbb{C})$ und $c_{2}$ ist der Casimiroperator zu einer geeigneten Bilinearform auf $\frak{gl} (n;\Bbb{C})$. \end{Ubung} \subsection{Zentrale Charaktere} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein kommutativer Ring $A$ bezeichne $\op{Max} A$ die Menge der maximalen Ideale von $A$. Ist $A$ eine ringendlicher $\Bbb{C}$-Kring, so liefert die Abbildung $\varphi \mapsto \op{ker}\varphi$ nach der k"orpertheoretischen Form des Hilbert'schen Nullstellensatzes und genauer \eref{HZUU}{KAG} eine Bijektion $$\op{Kring}^\DC (A,\Bbb{C}) \sira \op{Max} A$$ Wir haben also zum Beispiel eine kanonische Bijektion $\op{Max} \DC[X_{1}, \ldots , X_{n}] \sira \Bbb{C}^{n}$ und koordinatenfrei f"ur jeden endlichdimensionalen komplexen Vektorraum $V$ eine Bijektion $V\sira \op{Max} \cal{O}(V), v\mapsto \op{ker}\delta_v$. Weiter liefert jeder Homomorphismus $f: A \ra B$ von ringendlichen $\Bbb{C}$-Kringen eine Abbildung in die Gegenrichtung $$\begin{array}{ccc} \op{Max} B & \ra &\op{Max} A\\ \chi &\mapsto & f^{-1} (\chi) \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Maximale Ideale von Invariantenringen}] Gegeben ein ringendlicher $\Bbb{C}$-Kring $A$ mit einer Operation der endlichen Gruppe $W$ durch Automorphismen induziert die von der Einbettung $A^W\subset A$ induzierte Abbildung $\op{Max} A \ra \op{Max} (A^{W})$ eine Bijektion\label{Qz1} $$(\op{Max} A) / W \sira \op{Max} (A^{W})$$ und f"ur alle $\mathfrak m\in \op{Max} (A^{W})$ liefert die Einbettung von $\DC$ einen Isomorphismus $\DC\sira A^{W}/\mathfrak m$. \end{Satz} \begin{Bemerkunge} In \eref{Qz2b}{KAG} zeigen wir dieselbe Aussage "uber einem beliebigen algebraisch abgeschlossenen Grundk"orper und zeigen zus"atzlich, da"s auch $A^{W}$ ringendlich ist "uber dem Grundk"orper. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen mit der Surjektivit"at. Sei $\frak{m} \subset A^{W}$ ein maximales Ideal und $\langle A\frak{m}\rangle$ das von $\frak{m}$ in $A$ erzeugte Ideal. Ich behaupte $\langle A\frak{m}\rangle \neq A$. Es reicht zu zeigen, da"s f"ur ein beliebiges Ideal $\frak{m} \subset A^W$ aus $\langle A\frak{m}\rangle = A$ folgt $\frak{m} = A^{W}$. Aber $\langle A\frak{m}\rangle= A$ impliziert eine Gleichung $$a_{1}m_{1} + \ldots+ a_{r}m_{r} =1 \quad\text{ mit } a_{i}\in A,\; m_{i} \in \frak{m}.$$ Summieren wir alle Transformierten dieser Gleichung unter den verschiedenen $x \in W$ auf, so ergibt sich eine Gleichung der Gestalt $$b_{1}m_{1} + \ldots +b_{r}m_{r} = |W|$$ mit $b_{i} \in A^{W}$ und es folgt $\frak{m} = A^{W}$. F"ur $\frak{m} \in \op{Max} (A^{W})$ gibt es also $\tilde{\frak{m}} \in \op{Max} A$ mit $\tilde{\frak{m}} \supset A \frak{m}$, und dann haben wir notwendig $\tilde{\frak{m}} \cap A^{W} = \frak{m}$. Das zeigt die Surjektivit"at der Abbildung in unserem Satz und zeigt auch, da"s die offensichtliche Abbildung eine Injektion $A^{W} / \frak{m}\hra A / \tilde{\frak{m}}$ ist und mithin die Einbettung von $\DC$ in den ersten Ring auch ein Isomorphismus. Es bleibt nur noch die Injektivit"at der ersten Abbildung im Satz zu zeigen. Sind aber $\lambda , \mu \in \op{Max} A$ gegeben mit $\lambda \not\in W {\mu}$, so gibt es ein $a \in A$, das \glqq verschwindet an der Stelle $\lambda$ aber bei keinem der $x\mu$\grqq, in Formeln $a \in \lambda$, $a \not\in x \mu \quad \forall x \in W$. Bilden wir dann das Produkt aller $xa$ mit $x \in W$, so erhalten wir eine Invariante $f \in A^{W}$ mit $f \in \lambda$, $f \not\in \mu$. Das zeigt die Injektivit"at. \end{proof} \begin{Definition} Sei $\frak{g}$ eine komplexe Liealgebra und $Z\pdef{\op{Z}}(\frak{g})$ das Zentrum ihrer Einh"ullenden. Unter einem \defind{zentralen Charakter} von $\frak{g}$ versteht man "ublicherweise einen Homomorphismus von $\DC$-Kringen $Z\ra \Bbb{C}$. Ist $Z$ ein ringendlicher $\DC$-Kring, so liefert das Bilden des Kerns nach dem Hilbert'schen Nullstellensatz eine Bijektion $\op{Ralg}_\DC(Z,\DC)\sira \op{Max}Z$.\label{zCfg} Diese Bijektion ist so nat"urlich, da"s ich mir von nun an erlaube, auch maximale Ideale $\chi\in \op{Max}Z$ als {\bf zentrale Charaktere} anzusprechen. \end{Definition} \begin{Proposition}\label{ZPc} Seien $(\frak{g}\supset \frak{h}, R^+)$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra mit einer Cartan'schen und einem System positiver Wurzeln. Die von unserem Harish-Chandra-Homomorphismus induzierte Abbildung $\xi:\frak{h}^{\ast} \ra \op{Max} Z$, $ \lambda \mapsto \op{Ann}_{Z} \Delta (\lambda)$ induziert eine Bijektion $$\frak{h}^{\ast}/(W \cdot) \sira \op{Max} Z$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Wir betten unsere Abbildung ein in ein Diagramm $$\begin{array}{ccc} \frak{h}^{\ast}/(W \cdot)& \ra & \op{Max} Z\\ \wr \downarrow & & \uparrow \wr \\ (\op{Max} \cal{O}(\frak{h}^{\ast}))/(W \cdot ) & \ra & \op{Max} \left(\cal{O}(\frak{h}^{\ast})^{(W \cdot)}\right) \end{array}$$ Die linke Vertikale kommt von der kanonischen Identifikation $\frak{h}^{\ast} \sira \op{Max} \cal{O}(\frak{h}^{\ast})$, die rechte Vertikale von $\xi : Z \sira \cal{O}(\frak{h}^{\ast})^{(W\cdot)}$ und die untere Horizontale von der Einbettung $\cal{O}(\frak{h}^{\ast})^{(W \cdot)} \hookrightarrow \cal{O}(\frak{h}^{\ast})$. Der Leser mag pr"ufen, da"s dies Diagramm kommutiert. Die rechte Vertikale ist bijektiv nach dem Satz von Harish-Chandra. Die untere Horizontale ist bijektiv nach dem vorhergehenden allgemeinen Satz \ref{Qz1} "uber maximale Ideale in Invariantenringen. Die Proposition folgt. \end{proof} \begin{Lemma}\label{SQV} Jeder einfache Subquotient eines Vermamoduls $\Delta(\lambda)$ ist isomorph zu einem $\op{L} (x\cdot \lambda)$ f"ur $x\in W$. \end{Lemma}\begin{proof}[Beweis] Nach \eref{RV}{HL} hat jeder einfache Modul mit einem maximalen Gewicht ein h"ochstes Gewicht. Offensichtlich hat jeder einfache Subquotient eines Vermamoduls ein maximales Gewicht, ist also isomorph zu einem ${\op{L}}(\mu)$. Damit folgt das Lemma aus Proposition \ref{ZPc}, da jeder Subquotient von demselben maximalen Ideal des Zentrums der Einh"ullenden annulliert werden mu"s wie der ganze Vermamodul. \end{proof} \subsection{Die ganzzahlige Weylgruppe eines Gewichts} \begin{Bemerkungl}\label{DGW}%Bahnzerlegung\label{DGWb} Seien $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum "uber einem K"orper der Charakteristik Null, $R \subset V$ ein Wurzelsystem \eref{WSy}{SPW} und $\Lambda\in V/\langle R\rangle$ eine Nebenklasse unter dem Wurzelgitter. Wir bezeichnen mit $W\subset \op{Aut}V$ die Weylgruppe unseres Wurzelsystems und mit $W_{\Lambda}\subset W$ die Standgruppe der Nebenklasse $\Lambda$. Weiter definieren wir das \defind{System der auf $\Lambda$ ganzzahligen Wurzeln} durch $$R_{\Lambda} \pdef\{ \al \in R\mid \langle \lambda, \al^{\vee} \rangle \in \DZ\quad\forall \lambda\in\Lambda\}$$ Man sieht leicht ein, da"s $R_\Lambda$ ein Wurzelsystem ist in dem von ihm aufgespannten Teilraum von $V$. Gegeben ein System positiver Wurzeln $R^+\subset R$ ist sicher auch $R^{+} \cap R_{\Lambda}$ ein System positiver Wurzeln in $R_{\Lambda}$. Die zugeh"orige Menge von einfachen Wurzeln notieren wir\index{P@$\Pi_{\Lambda}$ Basis des Systems der $\Lambda$-ganzen Wurzeln} $\Pi_{\Lambda}\subset R^{+} \cap R_{\Lambda}$. Offensichtlich gilt stets $\Pi\cap R_{\Lambda}\subset \Pi_{\Lambda}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum "uber einem K"orper der Charakteristik Null und $R \subset V$ ein Wurzelsystem. Ist $\lambda\in V$ gegeben, so bezeichnen wir mit $\bar{\lambda}\pdef \lambda+\langle R\rangle$ seine Nebenklasse modulo dem Wurzelgitter und\label{DGW1} nennen die Standgruppe $W_{\bar{\lambda}}$ dieser Nebenklasse die \defind{ganzzahlige Weylgruppe von $\lambda$}, nicht zu verwechseln mit der Standgruppe $W_{{\lambda}}$ von $\lambda$ selbst. Ebenso nennen wir $R_{\bar{\lambda}}$ das \defind{ganzzahlige Wurzelsystem von $\lambda$}. Bei genauerem Hinsehen erkennt man unschwer, da"s diese Bildungen sogar nur von der Nebenklasse von $\lambda$ modulo dem Gitter $X$ der ganzzahligen Gewichte abh"angen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s wir in \eref{AWWS}{SPW} die affine Weylgruppe eines Wurzelsystems eingef"uhrt hatten als die von der endlichen Weylgruppe und allen Verschiebungen um Wurzeln erzeugte Gruppe von Affinit"aten. Diese affine Weylgruppe ist dann eine affine Spiegelungsgruppe und die Wurzeln verschieben darin salopp gesprochen immer um zwei Spiegel weiter. \nichtfinal{Charakteristik? Anordnung?} \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildWla} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die Spiegelebenen einer affinen Weylgruppe als durchgezogene und gestrichelte Linien. Die Nebenklasse von $\lambda$ unter dem Wurzelgitter als fette Punke. Die Spiegelungen an den beiden fett eingezeichneten Linien erzeugen die ganzzahlige Weylgruppe $W_{\bar{\lambda}}$ von $\lambda$. \end{minipage} \end{figure} \begin{Proposition}[\textbf{Erzeuger ganzzahliger Weylgruppen}] Seien $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum "uber einem K"orper der Charakteristik Null, $R \subset V$ ein Wurzelsystem, $W$ die Weylgruppe und $\Lambda\in V/\langle R\rangle$ eine Nebenklasse des Wurzelgitters. So wird\label{gWG} die Standgruppe $W_{{\Lambda}}$ von $\Lambda$ erzeugt von den Spiegelungen an den auf $\Lambda$ ganzzahligen Wurzeln, in Formeln $$W_{{\Lambda}}=\langle s_\al\mid \al\in R_{{\Lambda}}\rangle$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Sei $\lambda\in \Lambda$ ein Repr"asentant. Das anschlie"sende Lemma \ref{IGW} zeigt, da"s die Standgruppe $\cal{W}_{\lambda}$ von $\lambda$ in der affinen Weylgruppe $\cal{W}$ unseres Wurzelsystems $R$ von Spiegelungen erzeugt wird. Damit wird auch $W_{{\Lambda}}$ von Spiegelungen erzeugt, denn $W_{{\Lambda}}$ ist gerade das Bild von $\cal{W}_{\lambda}$ unter dem Bilden des linearen Anteils $\cal{W} \twoheadrightarrow W$. Die Spiegelungen aus $W_{{\Lambda}}$ sind aber per definitionem gerade die Spiegelungen zu Wurzeln aus $R_{{\Lambda}}$. \end{proof} \begin{Lemma}\label{IGW} Seien $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper $k$ und $\cal{W}\subset\op{Aff}^\times V$ eine affine Spiegelungsgruppe im Sinne von \eref{ASG}{SPW}. Ist $K\supset k$ eine K"orpererweiterung, so wird auch f"ur jedes $\lambda\in K\otimes_k V $ seine Standgruppe $\cal{W}_\lambda\subset\cal{W}$ erzeugt von Spiegelungen. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir erg"anzen $e_0=1 \in k$ zu einer $k$-Basis $(e_{i})_{i \in I}$ von $K$ und erhalten eine Zerlegung $K\otimes_k V = \bigoplus (e_{i}\!\otimes\!V )$. Nach geeigneter Umbenennung von $I$ k"onnen wir dann $\lambda$ darstellen in der Form $$\lambda= \lambda_{0} +e_{1}\!\otimes\!\lambda_{1} + \ldots + e_{n}\!\otimes\!\lambda_{n}$$ mit $\lambda_{i} \in V$. Bezeichnet $\bar{w}\in \op{GL}(V)$ den linearen Anteil von $w\in \cal{W}$, so haben wir offensichtlich $$w\lambda= w\lambda_{0} +e_{1}\!\otimes\bar{w}\lambda_{1} + \ldots + e_{n}\!\otimes\!\bar{w}\lambda_{n}$$ Die Standgruppe von $\lambda$ k"onnen wir demnach so beschreiben: Wir nehmen erst die Standgruppe von $\lambda_0$, eine endliche affine Spiegelungsgruppe nach \eref{IGr}{SPW}. Diese identifizieren mit der endlichen Spiegelungsgruppe ihrer linearen Anteile und nehmen dann darin die Standgruppe von $\lambda_1$, darin hinwiederum die Standgruppe von $\lambda_2$ etcetera. In jedem Schritt wird aber nach \eref{IGr}{SPW} aus einer Spiegelungsgruppe wieder eine Spiegelungsgruppe. \end{proof} \begin{Definition}\label{DGW2} Seien $V\supset R\supset R^+ $ ein endlichdimensionaler Vektorraum "uber einem K"orper der Charakteristik Null, ein Wurzelsystem und ein System positiver Wurzeln. Gegeben $\Lambda\in V/\langle R\rangle$ eine Nebenklasse des Wurzelgitters bezeichnen wir die durch $R_{{\Lambda}}\cap R^+$ gegebene L"ange auf der Standgruppe $W_{{\Lambda}}$ mit $l_{\Lambda} : W_{{\Lambda}} \ra \Bbb{N}$ und bezeichnen mit $w_{\Lambda} \in W_{{\Lambda}}$ das bez"uglich $l_{\Lambda}$ l"angste Element. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Teilordnungen zu endlichen Spiegelungsgruppen}] Seien $(W,E)$ eine endliche affine Spiegelungsgruppe "uber einem angeordneten K"orper und $A$ einer ihrer Alkoven. Wir betrachten im Raum der Richtungsvektoren $\vec{E}$ die Menge $A^{\ast}$ aller\label{AOR} nichtnegativen Linearkombinationen von Vektoren, die $(-1)$-Eigenvektoren von Spiegelungen sind und in Richtung von $A$ zeigen. Nun f"uhren wir auf $E$ zwei Teilordnungen ein: \begin{enumerate} \item $\lambda \leqslant \mu$ m"oge bedeuten $\mu \in\lambda + A^{\ast}$. Wir verwenden das Symbol $\leqslant$, um den Unterschied zur Relation $\leq$ aus \ref{Nmu} anzudeuten; \nichtfinal{Kegelordnung?} \item $\lambda \preceq \mu$ m"oge bedeuten, da"s es eine Folge $t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{r}$ von Spiegelungen gibt mit $\lambda \leqslant t_{1} \lambda \leqslant t_{2}t_{1} \lambda \leqslant \;\ldots\; \leqslant t_{r} \ldots t_{2}t_{1} \lambda = \mu$. \nichtfinal{Spiegelordnung?} \end{enumerate} Offensichtlich ist die zweite Relation st"arker als die erste. Offensichtlich ist weiter in jeder $W$-Bahn aus $E$ der Repr"asentant aus $\bar{A}$ das gr"o"ste Element f"ur beide Teilordnungen und der Repr"asentant aus $w_{A} \bar{A} = -\bar{A}$ das kleinste. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Im "ubrigen ist f"ur $\lambda \in A$ und $x,y \in W$ die Beziehung $x \lambda \preceq y \lambda$ gleichbedeutend zu $x \geq y$ in der Bruhat-Teilordnung auf $W$ aus \eref{BOr}{SPW}\label{EuBo}%\label{AOR} in Bezug zu dem Coxetersystem $(W,S)$ mit $S$ der Menge der Spiegelungen an W"an\-den von $A$. Die Bruhat-Teilordnung wird n"amlich erzeugt von der Relation $ty\geq y$ wann immer $t$ eine Spiegelung ist mit $l(ty)>l(y)$. Das hinwiederum ist nach \eref{prol}{SPW} gleichbedeutend dazu, da"s die Spiegelebene $E^t$ die Alkoven $yA$ und $A$ nicht trennt. Und das hinwiederum ist gleichbedeutend zu $ty\lambda\leqslant y\lambda$. \end{Bemerkungw} \begin{Definition}\label{Nmu} Seien $V\supset R\supset R^+$ ein Vektorraum mit einem Wurzelsystem und einem ausgezeichneten System positiver Wurzeln. Wir f"uhren zwei Teilordnungen auf $V$ ein: \begin{enumerate} \item $\lambda \leq \mu$ m"oge wie in \eref{geW}{HL} bedeuten $\mu \in \lambda + |R^+\rangle$; \item $\lambda \ua \mu$ m"oge bedeuten, da"s es eine Folge $t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{r}$ von Spiegelungen gibt mit $\lambda \leq t_{1} \cdot\lambda \leq (t_{2}t_{1}) \cdot\lambda \leq \;\ldots\; \leq (t_{r} \ldots t_{1}) \cdot\lambda = \mu$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Beispiel} Auch auf der Weylbahn eines ganzen Gewichts ist die zweite Relation im allgemeinen echt st"arker. Zum Beispiel mag man das Wurzelsystem $\{ {\op{e}}_i - {\op{e}}_j \mid i \neq j\}$ in $\{(x_1, \ldots x_4) \in \mathbb R^4 \mid x_1 + \ldots +x_4 =0\}$ aus \eref{AnW}{SPW} vom Typ $A_3$ betrachten mit dem "ublichen System positiver Wurzeln $R^+ = \{{\op{e}}_i-{\op{e}}_j \mid i < j\}$. F"ur die Gewichte $\lambda = \lambda^\prime - \rho$ und $\mu = \mu^\prime - \rho$ mit $\mu^\prime = 3\varepsilon_1 + 2 \varepsilon_2 + 4 \varepsilon_3 + \varepsilon_4$ und $\lambda^\prime = \varepsilon_1 + 4 \varepsilon_2 + 2 \varepsilon_3 + 3 \varepsilon_4$ in den Notationen \eref{AnW}{SPW}, also mit $\varepsilon_i ({\op{e}}_j) = \delta_{ij}$, gilt dann $\mu = \lambda + 2 (\varepsilon_1 - \varepsilon_3) + 2 (\varepsilon_3 - \varepsilon_4)$ und damit $\lambda \leq \mu$ in Bezug auf das duale Wurzelsystem. Wir haben auch $W \cdot \lambda = W \cdot \mu$, aber dennoch gilt nicht $\lambda \uparrow \mu$, wie man unschwer einsieht. \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{rhod} Seien $V$ ein Vektorraum "uber einem K"orper der Charakteristik Null und $R^+\subset R\subset V$ ein Wurzelsystem im Sinne von \eref{WSy}{SPW} mit einem ausgezeichneten System positiver Wurzeln. Dann bilden wir die Halbsumme der positiven Wurzeln $\rho=\rho(R^+)$ und betrachten die Menge $$V_{\rho\op{-dom}} \pdef \big\{ \lambda \in V \mid \langle \lambda + \rho, \alpha^{\vee} \rangle \not\in \{ -1,-2, \ldots\} \; \forall \alpha \in R^{+}\big\}$$ Ihre Elemente nennen wir die \defnoind{$\rho$-dominanten}\index{dominant@$\rho$-dominant} {\bf Vektoren von} $V$. Sind wir in einer der in der Darstellungstheorie "ublichen Situationen, da"s unser Vektorraum etwa der Dualraum einer Cartan'schen ist, so da"s seine Elemente "ublicherweise als Gewichte bezeichnet werden, so sprechen wir entsprechend von \defnoind{$\rho$-dominanten Gewichten}.\index{Gewicht!$\rho$-dominantes} Die dominanten ganzen Gewichte in $\frak{h}^\ast$ nach \eref{DoGe}{HL} alias die h"ochsten Gewichte endlichdimensionaler Darstellungen erhalten wir mithin aus den $\rho$-do\-mi\-nan\-ten ganzen Gewichten durch die Addition von $\rho$. \end{Definition} \begin{Korollar}\label{KoL} Seien $V\supset R\supset R^+$ ein Vektorraum "uber einem K"orper der Charakteristik Null mit einem Wurzelsystem und einem ausgezeichneten System positiver Wurzeln. Wir schreiben $\bar\lambda\pdef \lambda+\langle R\rangle$. So haben wir: \begin{enumerate} \item F"ur alle $\lambda\in V$ gilt $\bar{\lambda} \cap( W\cdot \lambda) = W_{\bar{\lambda}}\cdot \lambda$; \item F"ur jedes $\lambda\in V$ besitzt seine Bahn unter der ganzzahligen Weylgruppe, kurz seine \emph{\bf ganzzahlige Bahn}\index{Bahn!ganzzahlige} $W_{\bar{\lambda}}\cdot \lambda$, ein gr"o"stes und ein kleinstes Element bez"uglich $\ua$ und a forteriori auch bez"uglich $\leq$ in den Notationen von \ref{Nmu}; \item Ein Gewicht $\lambda\in V$ ist $\rho$-dominant genau dann, wenn es das gr"o"ste Element seiner ganzzahligen Bahn $W_{\bar{\lambda}}\cdot \lambda$ ist. Das kleinste Element besagter Bahn ist dann $w_{\bar{\lambda}}\cdot\lambda$. \end{enumerate} \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Die erste Aussage folgt sofort aus den Definitionen. Die anderen ergeben sich, wenn wir Bemerkung \ref{AOR} anwenden auf die dot-Operation der ganzzahligen Weylgruppe $W_{\bar{\lambda}}$ auf dem affinen Raum $\lambda+\langle R\rangle_\DQ $ "uber dem angeordneten K"orper $\DQ$. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Einfache Vermamoduln}] Der Vermamodul $\Delta(\lambda)$ einfach, wenn gilt $\langle \lambda+\rho,\alpha^\vee\rangle\not\in \{ 1,2, \ldots\} \; \forall \alpha \in R^{+}$.\label{Veer} \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} Die in dieser Proposition formulierte hinreichende Bedingung f"ur die Einfachkeit eines Vermamoduls aus obigem Satz ist auch notwendig, wie aus unserer Beschreibung aller Homomorphismen zwischen Vermamoduln \ref{HV} unmittelbar folgen wird. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Wir wissen nach \ref{SQV}, da"s nur die einfachen H"ochstgewichtsmoduln $L(x\cdot\lambda)$ mit $x\in W$ und $x\cdot\lambda\in \lambda -|R^{+}\rangle$ als einfache Subquotienten in Frage kommen. Nach \ref{KoL} geh"ort $x$ dann zur ganzen Weylgruppe $W_{\bar\lambda}$ und ist $\lambda$ das $\leq$-kleinste Element von $W_{\bar\lambda}\cdot\lambda$, so mu"s $\Delta(\lambda)$ einfach sein. Dies $\leq$-kleinste Element ist aber nach \ref{KoL} auch das $\ua$-kleinste und kann deshalb charakterisiert werden durch die Eigenschaft $\langle \lambda+\rho,\alpha^\vee\rangle\not \in\{1,2,\dots\}$ f"ur alle $\alpha\in R^+$. \end{proof} \begin{Beispiel} Im Kontext von \ref{DGW2} mu"s die Bruhat-Teilordnung auf $W$ nicht notwendig die Bruhat-Teilordnung auf $W_\Lambda$ induzieren. Ist etwa $R$ das Wurzelsystem vom Typ $G_2$ mit Basis $\{\alpha,\beta\}$ und $\langle \beta,\alpha^\vee\rangle=-3$, und erkl"aren wir $\lambda$ durch $\langle \lambda,\alpha^\vee\rangle=1/2$ und $\langle \lambda,\beta^\vee\rangle=1$ und $\Lambda$ als seine Nebenklasse, so ist $R_\Lambda$ vom Typ $A_1\times A_1$, aber die Bruhat-Teilordnung auf $W$ induziert eine totale Ordnung auf $W_\Lambda$. \end{Beispiel} \newpage \section{Multiplizit"aten von Vermamoduln} Die Kategorie $\cal{O}$ wurde eingef"uhrt in einer Arbeit von Bernstein-Gelfand-Gelfand \cite{BGG-O} als nat"urlicher Rahmen f"ur das Studium der Jor\-dan-H"ol\-der-Mul\-ti\-pli\-zi\-t"a\-ten von Vermamoduln. Die Bezeichnung geht auf das russische Wort \foreignlanguage{russian}{osnovnoy} f"ur \glqq grundlegend\grqq\ zur"uck. In obiger Arbeit zeigen die Autoren eine Analogie im Kontext der unendlichdimensionalen Darstellungen komplexer halbeinfacher Liealgebren zur sogenannten \glqq Brauer-Nesbitt-Reziprozit"at\grqq\ aus der modularen Darstellungstheorie endlicher Gruppen. F"ur derartige Ph"anomene hat sich mittlerweile die Bezeichnung \glqq BGG-Reziprozit"at\grqq\ durchgesetzt. \subsection{Kategorie $\mathcal O$} \label{KatO} \begin{Definition}\label{B3} Gegeben $(\frak{g}\supset\frak{h},R^+)$ eine komplexe halbeinfache Liealgebra mit einer Cartan'schen und einem System positiver Wurzeln setzen wir $\frak{b} \pdef \frak{h}\oplus \bigoplus_{\alpha \in R^{+}} \frak{g}_{\alpha}$ und definieren die {\bf Kategorie $\cal{O}$}\index{Kategorie $\cal{O}$} als diejenige volle Unterkategorie in der Kategorie aller Darstellungen der Liealgebra $\frak{g}$, die gegeben wird durch die Bedingungen $$\cal{O} = \cal{O} (\frak{g}, \frak{h}, R^+) \pdef\left\{M\in \frak{g}\op{-Mod}\left| \begin{array}{l} M \text{ ist endlich erzeugt "uber } \frak{g},\\ M \text{ ist lokal endlich "uber } \frak{b},\\ M \text{ ist halbeinfach "uber } \frak{h}.\\ \end{array} \right\}\right. $$ Die zweite Bedingung bedeutet, da"s jeder Vektor unserer Darstellung in einem endlichdimensionalen $\frak{b}$-stabilen Teilraum enthalten ist. Die dritte Bedingung bedeutet, da"s alle $H \in \frak{h}$ auf unserer Darstellung durch diagonalisierbare Endomorphismen operieren. Da sie auch paarweise kommutieren, gilt also $M = \bigoplus_{\lambda \in \frak{h}^{\ast}} M_{\lambda}$ mit $$M_{\lambda}\pdef\{m\in M\mid Hm=\lambda(H)m\;\forall H\in \frak{h}\}$$ dem {\bf Gewichtsraum}\index{Gewichtsraum} zum Gewicht $\lambda$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Terminologie \glqq halbeinfach\grqq\ ist an dieser Stelle aus der Theorie der Moduln entnommen. Durch \eref{MRHE}{NAS} ist der Begriff \glqq halbeinfach\grqq\ ja sogar f"ur Moduln "uber beliebigen Mengen $\Omega$ erkl"art und bezeichnet Moduln, die die Summe ihrer einfachen Untermoduln sind. In unserem Fall w"are die fragliche Menge $\Omega=\DC\sqcup\mathfrak g$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kategorie $\mathcal O$ h"angt nur von der Borel'schen ab}] Ist $\frak{g}$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra und $\frak{h} \subset \frak{g}$ eine Cartan'sche und ${\op{R}} (\frak{g}, \frak{h})$ das Wurzelsystem, so erhalten wir nach "Ubung \eref{bor}{HL} eine Bijektion $$ \left\{ \begin{array}{c} \text{Systeme $R^{+} \subset {\op{R}} (\frak{g}, \frak{h})$ von}\\ \text{positiven Wurzeln} \end{array} \right\} \;\sira \; \left\{ \begin{array}{c} \text{Borelsche Unteralgebren,}\\ \text{die $\mathfrak h$ umfassen} \end{array} \right\} $$ durch die Vorschrift $R^{+} \mapsto \frak{b} = \frak{h}\oplus \bigoplus_{\alpha \in R^{+}} \frak{g}_{\alpha}$. Im Rahmen der Theorie der algebraischen Gruppen \eref{KonBo}{AAG} sieht man ohne gro"se Schwierigkeiten, da"s je zwei Borel'sche Unteralgebren einer endlichdimensionalen reduktiven komplexen Liealgebra konjugiert sind unter einem Automorphismus der Liealgebra, so da"s insbesondere jede Borel'sche einer halb\-einfachen Liealgebra von der oben angegebenen Gestalt ist. Weiter h"angt unsere Kategorie $\cal{O} (\frak{g}, \frak{h}, R^{+})\subset \mathfrak g\op{-Mod}$ von der Wahl von $\mathfrak h$ gar nicht ab, sondern nur von der Borel'schen $\mathfrak b$. Wir h"atten sie also auch $\cal{O} (\frak{g}, \frak{b})$ notieren k"onnen. In der Tat kann die dritte Bedingung umformuliert werden zur Forderung, da"s f"ur jeden $\frak{b}$-Untermodul $N\subset M$ unserer Darstellung der Quotient $N/[\frak{b},\frak{b}]N$ ein halbeinfacher $\frak{b}$-Modul ist. Ich schreibe dennoch $\cal{O} (\frak{g}, \frak{h}, R^{+}),$ weil sich so die Theorie der Borel'schen Unteralgebren ausklammern l"a"st. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $(\frak{g}\supset\frak{h},R^+)$ eine komplexe halbeinfache Liealgebra mit einer Cartan'schen und einem System positiver Wurzeln. F"ur die zugeh"orige Borel'sche $\mathfrak b$ ist die Surjektion $\frak{b}\sra \frak{h}$ mit den Wurzelr"aumen im Kern ein Homomorphismus von Liealgebren und jedes Gewicht $\lambda\in\frak{h}^\ast$ liefert durch Vorschalten besagter Surjektion einen Charakter $\lambda:\frak{b}\ra \DC$. Wir erinnern an die {\bf Verma-Moduln}\index{Vermamodul}\label{VerM} $$\Delta(\lambda)=\Delta(\lambda,\frak{b})= {\op{U}}(\frak{g})\otimes_{{\op{U}}(\frak{b})}\DC_\lambda= \op{prod}_\frak{b}^\frak{g}\DC_\lambda$$ aus \eref{DeVM}{HL}, \eref{VMpr}{HL}. Eine endliche Filtrierung eines $\frak{g}$-Moduls durch Unterdarstellungen, deren sukzessive Subquotienten s"amtlich Vermamoduln zu einer festen Borel'schen sind, nennt man eine {\bf Verma-Fahne}.\index{Vermafahne} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere aus \eref{Lae}{NAS} den Begriff der \glqq L"ange\grqq\ eines Mengenmoduls. Ein Modul "uber einer komplexen Liealgebra $\mathfrak g$ kann aufgefa"st werden als ein Mengenmodul "uber der Menge $\mathfrak g\sqcup\DC$ mit zus"atzlichen Eigenschaften. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Erste Eigenschaften der Kategorie $\cal{O}$}] Seien $(\frak{g}\supset\frak{h},R^+)$ eine komplexe halbeinfache Liealgebra mit Cartan'scher und einem System positiver Wurzeln. So gilt f"ur die zugeh"orige\label{AlE} Kategorie $\cal{O}$: \begin{enumerate} \item Alle Vermamoduln $\Delta (\lambda) = \Delta (\lambda,\frak{b} )$ liegen in $\cal{O}$. Ist allgemeiner $V$ eine endlichdimensionale Darstellung von $\frak{b}$, die halbeinfach\label{QVFm} ist "uber $\frak{h}$, so besitzt $\op{prod}_\frak{b}^\frak{g} V={\op{U}}(\frak{g})\otimes_{{\op{U}}(\frak{b})}V$ eine Vermafahne und geh"ort zu $\cal{O}$; \item\label{QEVF} Alle Subquotienten von Darstellungen aus $\cal{O}$ liegen wieder in $\cal{O}$ und jedes Objekt von $\cal{O}$ ist Quotient eines Objekts von $\cal{O}$ mit einer Vermafahne; \item\label{OEL} Jede Darstellung aus $\cal{O}$ ist ein $\frak{g}$-Modul endlicher L"ange; \item\label{EnDe} Alle Gewichtsr"aume von Darstellungen aus $\cal{O}$ sind endlichdimensional, ja f"ur alle $M\in\cal{O}$ und $\nu\in\frak{h}^\ast$ ist sogar der Raum $\bigoplus_{\mu\geq 0}M_{\nu+\mu}$ endlichdimensional; \item Geh"oren bei einer kurzen exakten Sequenz von Darstellungen von $\frak{g}$ die Enden zu $\cal{O}$ und ist die Mitte halbeinfach unter unserer Cartan'schen $\frak{h} $, so geh"ort auch die Mitte zu $\cal{O}$; \item Die Kategorie der Darstellungen aus $\cal{O}$ ist stabil unter dem Tensorieren mit endlichdimensionalen Darstellungen von $\frak{g}$. In Formeln haben wir also $(\op{dim}E<\infty$ und $M\in\cal{O})\RA E\otimes M\in\cal{O}$; \item\label{OEEL} Die einfachen Darstellungen aus $\cal{O}$ sind genau die einfachen H"ochstgewichtsmoduln. Bezeichnet genauer $\op{L}(\lambda)$ den nach \eref{RV}{HL} eindeutig bestimmten einfachen Quotienten von $\Delta(\lambda)$, so haben wir eine Bijektion $$\begin{array}{lcc} \frak{h}^{\ast} & \sira & \op{irr} \cal{O}\\ \lambda & \mapsto & \op{L}(\lambda) \end{array}$$ \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Im letzten Punkt bezeichnet ${\op{irr}} \cal{O} $ die Menge der Isomorphieklassen von einfachen Objekten aus $ \cal{O} $. Dieselbe Notation verwenden wir f"ur beliebige \glqq abelsche Kategorien\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] 1. Vermamoduln sind endlich erzeugt, ja sogar zyklisch. Weiter zerfallen sie nach \eref{SV}{HL} in Gewichtsr"aume, genauer haben sie die Zerlegung $\Delta (\lambda) = \bigoplus_{\nu \in \lambda - | R^{+}\rangle} \Delta (\lambda)_{\nu}$ mit der Notation $| R^{+}\rangle$ f"ur das von $R^+$ erzeugte Untermonoid von $\frak{h}^\ast$. Da alle diese Gewichtsr"aume wieder nach \eref{SV}{HL} von endlicher Dimension sind und da gilt $${\op{U}} (\frak{b}) \Delta (\lambda)_{\nu} \subset \bigoplus_{\mu \in | R^{+}\rangle} \Delta (\lambda)_{\nu + \mu}$$ und da "uberdies $(\nu + | R^{+}\rangle)\cap (\lambda - | R^{+}\rangle)$ stets endlich ist, hat die rechte Seite unserer Inklusion endliche Dimension und unser Vermamodul ist auch lokal endlich "uber $\frak{b}$. Allgemeiner ist das Produzieren alias Koinduzieren $${\op{U}} (\frak{g}) \otimes_{{\op{U}}(\frak{b})} =\op{prod}_\frak{b}^\frak{g}: \frak{b} \op{-Mod}\ra \frak{g}\op{-Mod}$$ nach \eref{prfr}{HL} ein exakter Funktor und macht $\frak{h}$-halbeinfache Moduln zu $\frak{h}$-halb\-ein\-fachen Moduln. Da $\frak{b}$ aufl"osbar ist, besitzt $V$ nach dem Satz von Lie oder vielmehr seinem Korollar \eref{DDDd}{HL} oder auch einfacheren expliziten "Uberlegungen in unserer speziellen Situation eine Filtrierung $$0 = V_{0} \subset V_{1} \subset \ldots \subset V_{r} = V$$ mit eindimensionalen Subquotienten $V_{i}/V_{i-1} \cong \Bbb{C}_{\lambda_{i}}$ f"ur geeignete $\lambda_{i} \in \frak{h}^{\ast}$. Wir erhalten so auf $\op{prod}_\frak{b}^\frak{g} V$ eine Filtrierung durch die $\op{prod}_\frak{b}^\frak{g} V_{i}$ mit Subquotienten $\op{prod}_\frak{b}^\frak{g} \Bbb{C}_{\lambda_{i}} = \Delta (\lambda_{i})$. Da"s $\op{prod}_\frak{b}^\frak{g} V$ lokal endlich ist "uber $\frak{b}$, folgert man ganz analog wie bei Vermamoduln. \\[2mm]\noindent 2. Da"s Quotienten von Objekten aus $\cal{O}$ wieder in $\cal{O}$ liegen ist offensichtlich. Um es f"ur Untermoduln zu erhalten m"ussen wir nur bemerken, da"s jeder Untermodul eines endlich erzeugten ${\op{U}}(\frak{g})$-Moduls endlich erzeugt ist, da n"amlich ${\op{U}}(\frak{g})$ noethersch ist nach \eref{EANo}{HL}. Um schlie"slich ein beliebiges Objekt $M\in \cal{O}$ als Quotient eines Objekts mit Vermafahne zu schreiben, suchen wir uns einen endlichdimensionalen erzeugenden Teilraum $V\subset M$, den wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $\frak{b}$-stabil annehmen d"urfen, und erhalten unmittelbar eine Surjektion $\op{prod}_{\frak{b}}^{\frak{g}}V\sra M$. \\[2mm]\noindent 3. Das folgt sofort aus Teil \ref{QEVF}, da nach \eref{LV}{HL} jeder Vermamodul endliche L"ange hat und damit auch jeder Modul mit Vermafahne und damit auch jeder Quotient eines Moduls mit Vermafahne. \\[2mm]\noindent 4. Das folgt wie die vorhergehende Aussage aus dem bereits bewiesenen Teil \ref{QEVF}, da die Aussage f"ur Vermaoduln bekannt ist und sich "ubertr"agt. \\[2mm]\noindent 5. Das einzige Problem ist zu zeigen, da"s die Mitte auch lokal endlich ist unter $\frak{b}$. Das folgt jedoch mit Teil \ref{EnDe}, wenn wir beachten, da"s mit Anfang und Ende unserer Sequenz auch ihre Mitte die in Teil \ref{EnDe} beschriebene Endlichkeitseigenschaft haben mu"s. Alternativ folgt es mit \eref{milo}{NAS} und der Erkenntnis, da"s $\op{U}(\mathfrak b)$ noethersch ist. \\[2mm]\noindent 6. Sind Darstellungen $E$ und $M$ lokal endlich "uber $\frak{b}$ beziehungsweise halbeinfach "uber $\frak{h}$, so gilt offensichtlich dasselbe f"ur ihr Tensorprodukt. Sind weiter $E$ und $M$ Darstellungen einer Liealgebra und wird $M$ als Darstellung erzeugt von einem Teilraum $V\subset M$, so wird offensichtlich $E\otimes M$ erzeugt von $E\otimes V$. Ist insbesondere $M$ endlich erzeugt und $E$ endlichdimensional, so ist auch $E\otimes M$ endlich erzeugt. \\[2mm]\noindent 7. Das folgt aus Teil \ref{QEVF}. Nach \eref{LV}{HL} wissen wir n"amlich bereits, da"s alle Kompositionsfaktoren von Vermamoduln einfache h"ochste Gewichtsmoduln sind. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Zentrumszerlegung der Kategorie $\mathcal{O}$ im Fall $ \frak{sl} (2;\mathbb{C})$}] Wir untersuchen die Kategorie $\mathcal{O}$ im Fall $\frak{g} = \frak{sl} (2;\mathbb{C})$. Wir arbeiten mit der "ublichen Basis $e,h,f$ von $\frak{sl} (2;\mathbb{C})$ mit den Kommutatoren $[h,e]=2e, [h,f]=-2f, [e,f]=h$ wie in \eref{V01}{HL} und mit $\mathfrak h=\DC h$ und $\mathfrak b=\DC h\oplus \DC e$. Da jedes Objekts $M \in \mathcal{O}$ endliche L"ange hat, operiert der Casimiroperator $C = C_{\kappa}$ darauf lokal endlich und $M$ zerf"allt in die direkte Summe seiner Hauptr"aume $M = \bigoplus_{a \in \mathbb{C}} \op{Hau}(C|M;a)$. In diesem Fall ist nach \ref{Zsl2} das Zentrum der Einh"ullenden Algebra der Polynomring $Z=\DC[C]$ und wir erhalten Bijektionen $$\DC\;\sila\;\op{Ralg}_\DC(Z,\DC)\;\sira\; \op{Max}Z$$ durch $\phi\mapsto \phi(C)$ nach links und $\phi\mapsto \op{ker}\phi$ nach rechts f"ur einen Ringalgebrenhomomorphismus $\phi:Z\ra \DC$. Nehmen wir Elemente $a,\phi,\chi$ mit $$\phi(C)\defp a\leftmapsto \phi \mapsto \chi\pdef \op{ker}\phi$$ und folglich $\chi= \langle C-a\rangle$, so gilt f"ur einen $Z$-Modul $M$ und einen Vektor $v\in M$ offensichtlich $(C-a)^n v=0 \; \IFF \; \chi^n v=0$ und wir k"onnen den Hauptraum beschreiben als $\op{Hau}(C|M;a)=M_\chi\pdef \{v\in M\mid \exists n\text{ mit }\chi^nv=0\}$. Ich arbeite f"ur gew"ohnlich mit dem Parameter $\chi\in\op{Max}Z$, weil er intrinsischer ist als $a$ und mir geometrischer scheint als $\phi$. Kehren wir wieder zu $M\in \mathcal O$ zur"uck, so zerf"allt $M$ also in eine direkte Summe von Untermoduln $$M=\bigoplus_{\chi\in\op{Max}Z}M_\chi$$ und nur endlich viele dieser Summanden sind jeweils von Null verschieden. Wir setzen ${}_\chi\mathcal O\pdef\{M\in\mathcal O\mid M=M_\chi\}$ und finden f"ur $M\in {}_\chi\mathcal O$ und $N\in {}_\psi\mathcal O$ mit $\chi\neq \psi$ stets $\op{Hom}_{\mathfrak g}(M,N)=0$. In der Tat bildet jeder Homomorphismus $M_\chi$ nach $N_\chi$ ab und wegen $1\in \chi+\psi$ und dann auch $1\in \chi^n+\psi^n$ gilt $N_\chi=0$. Es reicht also, f"ur alle $\chi\in\op{Max}Z$ die Kategorien ${}_\chi\mathcal O$ zu verstehen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Terminologie zu zentralen Charakteren}] Seien $(\frak{g}\supset\frak{h},R^+)$ eine komplexe halbeinfache Liealgebra mit einer Cartan'schen und einem System positiver Wurzeln. Wir erinnern aus \ref{ZPc} die Bijektion $\xi:\mathfrak h^*/(W\cdot)\sira \op{Max}Z$ gegeben durch $\lambda\mapsto \op{Ann}_Z\Delta(\lambda)$. Ein Gewicht $\lambda\in\mathfrak h^*$ hei"st {\bf regul"ar}\index{regul"ar!Gewicht} oder ausf"uhrlicher {\bf $\rho$-dot-regul"ar}, wenn seine Standgruppe trivial ist, in Formeln $(x\cdot\lambda=\lambda)\RA x=1$, und andernfalls {\bf singul"ar}.\index{singul"ar!Gewicht} Ich erinnere aus \ref{zCfg}, da"s ich auch die Elemente von $\op{Max}Z$ zentrale Charaktere nenne. Ein zentraler Charakter $\chi\in\op{Max}Z$ hei"st {\bf regul"ar},\index{regul"ar!zentraler Charakter} wenn gilt $\chi=\xi(\lambda)$ f"ur ein regul"ares Gewicht, und andernfalls {\bf singul"ar}.\index{singul"ar!zentraler Charakter} Ein zentraler Charakter ist umso singul"arer, je weniger Vermamoduln er zu vorgegebenen $\mathfrak h$ und $ R^+$ annulliert, und diese Zahl h"angt nicht von der Wahl von $\mathfrak h$ und $ R^+$ ab. Ein zentraler Charakter hei"st ein {\bf ganzer zentraler Charakter}, wenn er im Bild des Gitters der ganzen Gewichte liegt, in Formeln $\chi\in \xi(\mathfrak X)$. Die regul"aren ganzen zentralen Charaktere sind genau die zentralen Annulatoren der einfachen endlichdimensionalen Darstellungen $\chi=\op{Ann}_Z{\op{L}}(\lambda)$ f"ur $\lambda\in \mathfrak X^+$. Der zentrale Charakter der Einsdarstellung ${\op{L}}(0)=\DC$ ist ganz und regul"ar. Wir notieren ihn $$Z^+=\xi(0)=\op{Ann}_Z\DC$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Zentrale Charaktere im Fall $\mathfrak{sl}_2$}] In unserem Fall $\mathfrak g=\mathfrak{sl}_2$ mit $\mathfrak h=\DC h$ und $R=\{\alpha, -\alpha\}$ f"ur $\alpha(h)=2$ w"ahlen wir nun $R^+=\{\alpha\}$ und haben folglich $\rho=\alpha/2$. Die Kowurzel zu $\alpha$ ist mithin $\alpha^\vee=h$. Die Weylgruppe zwei Elemente $W=\{1,s\}$ und die dot-Operation auf $\mathfrak h^\ast$ wird gegeben durch $$s\cdot\lambda=\lambda-\langle \lambda,\alpha^\vee\rangle\alpha -\alpha$$ Das einzige singul"are Gewicht ist $-\rho$, der einzige singul"are zentrale Charakter $\xi(-\rho)$. Das Gitter der ganzen Gewichte ist $\mathfrak X=\DZ\rho$. Die ganzen zentralen Charaktere sind der singul"are zentrale Charakter $\xi(-\rho)$ und die zentralen Charaktere $\xi(n\rho)=\op{Ann}_Z{\op{L}}(n\rho)$ f"ur $n\in \DN$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Kategorie $\mathcal O(\mathfrak{sl}_2)$, singul"arer zentraler Charakter}] In ${}_{\xi(-\rho)} \mathcal{O}$ gibt es nur ein einfaches Objekt $\op{L}(-\rho)=\Delta(-\rho)$ und gegeben ein beliebiges Objekt $M\in {}_{\xi(-\rho)} \mathcal{O}$ ist der von der universellen Eigenschaft induzierte Morphismus ein Isomorphismus $\op{prod}_{\mathfrak b}^{\mathfrak g}(M_{-\rho})\sira M$. Der Funktor $M\mapsto M_{-\rho}$ ist eine "Aquivalenz von Kategorien $${}_{\xi(-\rho)}\mathcal O\;\sirra\; \DC\op{-Modf}$$ zwischen der Kategorie aller Objekte von $\mathcal O$ mit singul"arem zentralen Charakter und der Kategorie der endlichdimensionalen komplexen Vektorr"aume. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Kategorie $\mathcal O(\mathfrak{sl}_2)$, nichtganzer zentraler Charakter}] Sei $\chi\in \op{Max}Z$ ein nichtganzer zentraler Charakter. Es gibt genau zwei Gewichte $\lambda\neq \mu$ mit $\chi\Delta(\lambda)=\chi\Delta(\mu)=0$ und wir haben $s\cdot\lambda=\mu$ aber $\lambda-\mu\not\in \DZ\alpha$. In diesem Fall gibt es in ${}_\chi \mathcal{O}$ genau zwei einfache Objekte $\op{L}(\lambda)=\Delta(\lambda)$ und $\op{L}(\mu)=\Delta(\mu)$ und gegeben ein beliebiges Objekt $M\in {}_\chi \mathcal{O}$ werden die Gewichtsr"aume $M_\lambda$ und $M_{\mu}$ von $e$ annulliert und die universelle Eigenschaft produzierter Darstellungen liefert nicht nur einen Homomorphismus, sondern sogar einen Isomorphismus von Darstellungen $\op{prod}_{\mathfrak b}^{\mathfrak g}(M_\lambda\oplus M_{\mu})\sira M$. Der Funktor $M\mapsto (M_\lambda,M_\mu)$ ist damit eine "Aquivalenz von Kategorien $${}_\chi\mathcal O\;\sirra\; \DC\op{-Modf}\times \DC\op{-Modf}$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Kategorie $\mathcal O(\mathfrak{sl}_2)$, ganzer regul"arer zentraler Charakter}] Wir untersuchen also in Formeln die Kategorien ${}_{\xi(n\rho)}\mathcal O$ f"ur $n\in \DN$. Sie haben zwei einfache Objekte, die endlichdimensionale Darstellung $\op{L}(n\rho)$ der Dimension $n+1$ und den Vermamodul $\op{L}(-(n+2)\rho)=\Delta(-(n+2)\rho)$ und sie passen in eine kurze exakte Sequenz $$\Delta(-(n+2)\rho)\hra \Delta(n\rho)\sra \op{L}(n\rho)$$ Die sogenannten Verschiebungsfunktoren \ref{TVAQ} werden f"ur alle $m,n\in \DN$ eine "Aquivalenz von Kategorien, ja eine "Aquivalenz von $\DC$-Kategorien $${}_{\xi(n\rho)}\mathcal O\;\sirra \;{}_{\xi(m\rho)}\mathcal O$$ liefern. Wir k"onnen uns deshalb auf die Untersuchung der Kategorie ${}_{\xi(0)}\mathcal O$ konzentrieren. Ihre beiden einfachen Objekte sind die Einsdarstellung $\op{L}(0)=\DC$ und der Vermamodul $\op{L}(-2\rho)=\Delta(-2\rho)$. Sie hei"st auch der {\bf Hauptblock}, da sie die Einsdarstellung enth"alt\index{Hauptblock!von $\mathcal O$} und, wie wir gleich sehen werden, nicht noch weiter zerf"allt. Einem beliebigen Objekt $M\in {}_{\xi(0)}\mathcal O$ ordnen wir nun das Diagramm komplexer Vektorr"aume $$ M_{-2\rho} \begin{array}{c}e\\[-1mm] \rightleftarrows \\[-2mm] f \end{array}M_{0}$$ zu. Offensichtlich gilt $efv=[e,f]v=hv=0$ f"ur jeden Vektor $v\in M_0$. Unser Funktor liefert sogar eine "Aquivalenz von Kategorien $$ {}_{\xi(0)}\mathcal{O}\;\sirra\; \{V\in \op{Car}(q\rightleftarrows p,\DC\op{-Modf})\mid (V_p\ra V_q\ra V_p)=0\}$$ mit der besagten Kategorie von Darstellungen des oben angedeuteten K"ochers mit zwei Ecken $p,q$ und zwei Pfeilen. Einen quasiinversen Funktor erh"alt man, indem man $M_0 \oplus M_{-2\rho}$ als $\mathfrak b$-Modul auffa"st und aus ${\op{U}} (\frak{g}) \otimes_{{\op{U}} (\frak{b})} (M_0 \oplus M_{-2\rho})$ den von allen Ausdr"ucken $f \otimes (v,0) - 1 \otimes (0,fv)$ erzeugten $\frak{g}$-Untermodul herausteilt. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Unzerlegbare im Hauptblock von $\mathcal O(\mathfrak{sl}_2)$}] Man "uberzeugt sich im K"ocherbild leicht, da"s unsere Kategorie bis auf Isomorphismus genau f"unf unzerlegbare Objekte besitzt. Die ersten vier mag man schematisch schreiben als $\DC \rightleftarrows 0$, $0 \rightleftarrows \DC$, $\DC \leftarrow \DC$ und $\DC \rightarrow \DC$, wo wir in den letzten beiden F"allen nur den von Null verschiedenen Pfeil notiert haben. Das F"unfte dieser unzerlegbaren Objekte ist $\DC^2\leftrightarrows \DC$ mit $\op{in}_1$ und $\op{pr}_2$ als Morphismen. In unserem Hauptblock entsprechen diese f"unf Objekte der Reihe nach den Darstellungen $\op{L}(-2\rho)=\Delta(-2\rho), \op{L}(0), \Delta(0)$, einem noch nicht besprochenen Objekt $\nabla(0)$ und der Tensorproduktdarstellung $\op{L}(1)\otimes \Delta(-\rho)$. Ein M"oglichkeit, $\nabla(0)$ hier schon zu beschreiben, ist als der Kokern eines und jedes injektiven Morphismus $\Delta(-2\rho)\hra \op{L}(1)\otimes \Delta(-\rho)$. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Der Raum der Homomorphismen zwischen Darstellungen aus $\cal{O}$ ist stets endlichdimensional. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Dualit"at auf $\mathcal O$}] Seien $\mathfrak g\supset\mathfrak h$ eine komplexe halbeinfache Liealgebra mit einer Cartan'schen und $R^+$ ein System positiver Wurzeln. Man erinnere aus dem Beweis von \eref{ReFoE}{HL}, da"s es einen Liealgebrenautomorphismus $\tau:\mathfrak g\sira \mathfrak g$ gibt mit $\tau^2=\op{id}$ und $\tau(h)=-h\;\forall h\in\mathfrak h$, und da"s derartige Liealgebrenautomorphismen {\bf Chevalley-Involutionen} hei"sen. Man zeige, da"s wir f"ur jede Chevalley-Involution zu $\mathfrak g\supset\mathfrak h$ eine "Aquivalenz von Kategorien\label{DaO} $$d=d_\tau: \mathcal O\sirra \mathcal O^{\op{opp}}$$ erhalten durch die Vorschrift $dM\pdef(M^\ast)_{\mathfrak h}^\tau$ alias den Raum der $\mathfrak h$-endlichen Vektoren der kontragredienten Darstellung mit der durch $\tau$ getwisteten $\mathfrak g$-Operation, in Formeln $xf\pdef-f\circ (\tau x)$. Weiter zeige man, da"s die kanonische Abbildung in den Bidualraum f"ur alle $M\in\mathcal O$ einen Isomorphismus $M\sira ddM$ induziert. Man zeige, da"s der nat"urliche Homomorphismus $E^\ast\otimes M^\ast\ra (E\otimes M)^\ast$ f"ur $M\in\mathcal O$ und $E$ eine endlichdimensionale Darstellung einen Isomorphismus $E^{\ast\tau}\otimes dM\sira d(E\otimes M)$ induziert. Im "ubrigen ist auch $E^{\ast\tau}$ isomorph zu $E$, aber das Auszeichnen eines Isomorphismus bedeutet eine unkanonische Wahl. Man zeige weiter $\op{dim}_\DC(dM)_\lambda=\op{dim}_\DC(M)_\lambda$ und folgere $d{\op{L}}(\lambda)\cong {\op{L}}(\lambda)$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{$\nabla$-Moduln und ihre universelle Eigenschaft}] Seien $(\mathfrak g\supset\mathfrak h, R^+)$ eine komplexe halbeinfache Liealgebra mit einer Cartan'schen und einem System positiver Wurzeln.\label{NUE} Gegeben $\lambda\in\mathfrak h^\ast$ und eine Chevalley-Involution $\tau$ setzen wir $$\nabla(\lambda)=\nabla_\tau(\lambda)\pdef d_\tau\Delta(\lambda)$$ und erkl"aren den kanonischen Erzeuger $v_\lambda^\ttop\in \nabla(\lambda)_\lambda$ des h"ochsten Gewichtsraums durch $v_\lambda^\ttop(v_\lambda)=1$ f"ur $v_\lambda\in \Delta(\lambda)_\lambda$ den bereits in \eref{DeVM}{HL} erkl"arten kanonischen Erzeuger. F"ur alle $M\in\mathcal O$ folgere man aus \eref{UVM}{HL}, da"s wir einen Isomorphismus $$\op{Hom}_{\mathfrak g}(M,\nabla(\lambda))\sira M_\lambda^{\ast\tau}/\textstyle\sum_{\alpha\in R^+} \frak g_{-\alpha} M_{\lambda+\alpha}^{\ast\tau}$$ erhalten, indem wir jeden Homomorphismus auf den $\lambda$-Gewichtsraum ein\-schr"an\-ken und den durch $v_\lambda^\ttop$ gegebenen Isomorphismus $\nabla(\lambda)_\lambda\sira\DC$ nachschalten. Dadurch ist das Paar $(\nabla(\lambda),v_\lambda^\ttop)$ eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus und h"angt insbesondere nicht von der Wahl der Chevalley-Involution $\tau$ ab. \end{Ubunge} \subsection{Zerlegungen der Kategorie $\cal{O}$} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an unsere allgemeine Terminologie \eref{ZDSK}{NAS} zur Blockzerlegung. Seien $(\mathfrak g\supset\mathfrak h, R^+)$ eine komplexe halbeinfache Liealgebra mit einer Cartan'schen und einem System positiver Wurzeln. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Zerlegung nach der Nebenklasse der Gewichte}] F"ur $\Lambda \subset \frak{h}^{\ast}$ setze man\label{ZNG} $\cal{O}_{\Lambda} \pdef\{ M \in \cal{O} \mid M_{\lambda} \neq 0 \Rightarrow \lambda \in \Lambda\}$. So haben wir die Zerlegung $$\cal{O} = \bigoplus_{\Lambda \;\in\; \frak{h}^{\ast}\! / \langle R\rangle } \cal{O}_{\Lambda}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Gegeben ein Objekt $M \in \cal{O}$ und eine Nebenklasse unter dem Wurzelgitter $\Lambda \in \frak{h}^{\ast}/\langle R\rangle $ setzen wir $M_{\Lambda} = \sum_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda}$. Wegen $\mathfrak g_\alpha M_\lambda\subset M_{\lambda+\alpha}$ sind die $M_{\Lambda}$ Unterdarstellungen von $M$. Per definitionem gilt $M = \sum_{\Lambda} M_{\Lambda}$ f"ur $M\in \mathcal O$ und diese Summe ist offensichtlich direkt, in Formeln $$M=\bigoplus_{\Lambda} M_{\Lambda}$$ Weil $M$ endlich erzeugt ist, k"onnen dabei nur endlich viele Summanden von Null verschieden sein. Offensichtlich gibt es zwischen verschiedenen Summanden keine von Null verschiedenen Morphismen. Das zeigt die Behauptung. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern an das Zentrum $Z$ der universellen einh"ullenden Algebra ${\op{U}}(\frak{g})$, an die Menge $\op{Max}Z$ aller maximalen Ideale von $Z$ und an die Abbildung $\xi:\frak{h}^{\ast}\ra \op{Max} Z$, $\lambda\mapsto \op{Ann}_Z\Delta(\lambda)$, deren Fasern nach \ref{ZPc} gerade die Bahnen unter der dot-Operation der Weylgruppe sind. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Zerlegung nach zentralem Charakter}] F"ur $\chi \in \op{Max}Z$ setze man $_{\;\chi}\cal{O} \pdef \{ M \in \cal{O} \mid \chi^n M= 0$ f"ur $n\gg 0\}$. So haben wir die Zerlegung\label{ZZC} $$\cal{O} = \bigoplus_{\chi \in \op{Max}Z} {_{\;\chi}\cal{O}}$$ \end{Lemma} \begin{proof} Nach \ref{AlE}.\ref{OEL} hat jedes $M \in \cal{O}$ endliche L"ange und alle seine einfachen Subquotienten sind einfache h"ochste Gewichtsmoduln. Auf diesen operiert das Zentrum durch Skalare. Damit ergibt sich unser Satz als Spezialfall aus dem Satz "uber die verallgemeinerte Hauptraumzerlegung von Moduln "uber kommutativen Ringen \eref{ZAM}{KAG}. \end{proof} %\begin{proof}[Beweis] %Nach \ref{AlE}.\ref{OEL} hat jedes $M \in \cal{O}$ endliche L"ange %und alle seine einfachen Subquotienten sind einfache h"ochste %Gewichtsmoduln. %Damit ist klar, da"s wir paarweise verschiedene %$\chi_1,\ldots,\chi_r\in \op{Max}Z$ finden k"onnen und $n\in\DN$ %mit %$$(\chi_1\ldots\chi_r)^nM=0$$ %Der chinesische Restsatz \ref{ACR} liefert %mit Argumenten wie in \ref{IP} %einen Isomorphismus %$$Z/(\chi_1\ldots\chi_r)^n\sira Z/\chi_1^n\times\ldots\times Z/\chi_r^n$$ %den wir benutzen k"onnen, um unser $M$ aufzufassen als einen Modul %"uber dem Produktring. Die Elemente $e_i$ in diesem %Produktring mit einem einzigen Eintrag $1$ an der %$i$-ten Stelle und Nullen sonst %operieren auf $M$ als die Projektoren einer Zerlegung %in eine direkte Summe, und der $i$-te Summand ist genau der %Untermodul $M_\chi=\{m\in M\mid \chi^n m= 0\}$ %f"ur $\chi=\chi_i$. In der Tat haben wir ja % $\chi^ne_i=0$, also $e_iM\subset M_\chi$, %und andererseits $\chi^ne_j\ni e_j$ f"ur $j\neq i$, also %$(e_jM)_\chi=0$ f"ur $j\neq i$ und damit ergibt sich %$$M_\chi=(e_1M)_\chi\oplus\ldots \oplus(e_rM)_\chi=e_iM$$ %Den Rest des Beweises "uberlassen %wir dem Leser. %\end{proof} \begin{Bemerkungl} Aus \ref{rhod} erinnere ich die Menge $$\mathfrak h^*_{\rho\op{-dom}} \pdef \big\{ \lambda \in \mathfrak h^* \mid \langle \lambda + \rho, \alpha^{\vee} \rangle \not\in \{ -1,-2, \ldots\} \; \forall \alpha \in R^{+}\big\}$$ Ihre Elemente nennen wir die \defnoind{$\rho$-dominanten}\index{dominant@$\rho$-dominant} {\bf Gewichte von} $V$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Blockzerlegung von $\cal{O}$}]\label{BO} Gegeben ein Gewicht $\lambda \in \frak{h}^{\ast}$ mit Nebenklasse $\bar{\lambda}\pdef\lambda + \langle R\rangle$ unter dem Wurzelgitter bezeichne $\cal{O}_{\lambda} \pdef {_{\xi(\lambda)}\cal{O}} \cap \cal{O}_{\bar{\lambda}}$ den Schnitt der zugeh"origen Unterkategorien aus beiden vorhergehenden Lemmata \ref{ZNG} und \ref{ZZC}. So haben wir die Zerlegung $$\cal{O} = \bigoplus_{\lambda \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}} \cal{O}_{\lambda}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Aus unserer Beschreibung \ref{HV} aller Homomorphismen zwischen Vermamoduln wird unmittelbar folgen, da"s sich die $\cal{O}_{\lambda}$ nicht weiter in direkte Summen von nichttrivialen Unterkategorien zerlegen lassen. Das rechtfertigt dann auch recht eigentlich erst die Bezeichnung unserer Zerlegung als Blockzerlegung. Insbesondere ist ${}_{\xi(0)}\cal{O}=\cal{O}_{0}$ der Hauptblock von $\mathcal O$.\index{Hauptblock!von $\mathcal O$} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Die einfachen Isomorphieklassen in $_{\xi(\lambda)}\cal{O}$ werden repr"asentiert von den ${\op{L}}(\mu)$ mit $\mu\in W\cdot \lambda$, der Bahn von $\lambda$ unter der zum Fixpunkt $-\rho$ verschobenen Operation der Weylgruppe nach \ref{DHHH}. Die einfachen Isomorphieklassen in $\cal{O}_{\bar{\lambda} }$ werden repr"asentiert von den ${\op{L}}(\mu)$ mit $\mu\in\bar{\lambda} $. Es reicht demnach zu zeigen, da"s f"ur alle $\lambda \in \frak{h}^{\ast}$ der Schnitt von $(W\cdot \lambda)\cap \bar{\lambda}$ genau ein $\rho$-dominantes Gewicht enth"alt. Das aber wissen wir bereits aus Korollar \ref{KoL}. \end{proof} \begin{Korollar} Seien $(\frak{g}\supset \frak{h}, R^+)$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra mit einer Cartan'schen\label{HBb} und einem System positiver Wurzeln. So gilt f"ur jedes $\rho$-do\-mi\-nan\-te Gewicht $\lambda \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$: \begin{enumerate} \item Die einfachen Objekte von $\cal{O}_{\lambda}$ werden parametrisiert durch die dot-Bahn von $\lambda$ unter seiner ganzzahligen Weylgruppe, genauer ist $ \mu \mapsto {\op{L}}(\mu)$ eine Bijektion $W_{\bar{\lambda}} \cdot \lambda \sira \op{irr} \cal{O}_{\lambda}$; \item Der Vermamodul $\Delta (w_{\bar{\lambda}} \cdot \lambda)$ ist einfach. \end{enumerate} \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Die erste Aussage folgt aus der ersten Aussage von \ref{KoL}. Die zweite Aussage haben wir im wesentlichen bereits in \ref{Veer} bewiesen, hier wird der Beweis nur nocheinmal in einer etwas feineren Sprache wiederholt. Wir bemerken, da"s f"ur $\lambda \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ ein $\rho$-dominantes Gewicht und $x \in W_{\bar{\lambda}}$ beliebig nach \ref{KoL} gilt $$w_{\bar{\lambda}}\cdot \lambda \leq x \cdot \lambda \leq \lambda$$ Jeder einfache Subquotient von $\Delta (w_{\bar{\lambda}}\cdot \lambda)$ geh"ort nun aber zu $\cal{O}_{\lambda}$ und ist daher nach unseren Resultaten zur Blockzerlegung \ref{BO} ein einfacher h"ochster Gewichtsmodul der Gestalt ${\op{L}}(x \cdot \lambda)$ mit $x \in W_{\bar{\lambda}}$. Bei $\Delta (w_{\bar{\lambda}}\cdot \lambda)$ kommt als einfacher Untermodul nur ${\op{L}} (w_{\bar{\lambda}}\cdot \lambda)$ in Frage, als da hei"st, jeder einfache Untermodul unseres Vermamoduls ist bereits der Vermamodul selber. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s f"ur jede Chevalley-Involution die zugeh"orige Dualit"at auf $\mathcal O$ die Blockzerlegung erh"alt, in Formeln $M\in\mathcal O_\lambda\RA dM\in\mathcal O_\lambda$. \end{Ubung} \subsection{Projektive Objekte von $\cal{O}$} \begin{Bemerkungl} Wir haben bereits in \ref{Veer} bewiesen, da"s \glqq fast alle\grqq\ Vermamoduln einfach sind. Unser Leitproblem f"ur die n"achsten Abschnitte ist es, die Kompositionsfaktoren der "ubrigen Vermamoduln zu bestimmen. Dazu wird sich ein vertieftes Verst"andnis der projektiven Objekte von $\cal{O}$ als au"serordentlich hilfreich erweisen. Darunter verstehen wir projektive Objekte der abelschen Kategorie $\cal{O}$, ausgeschrieben also Darstellungen $P\in \cal{O}$ derart, da"s jeder surjektive Homomorphismus $M\sra N$ von $M, N\in \cal{O}$ eine Surjektion $\cal{O}(P,M)\sra\cal{O}(P,N)$ induziert. Hier erinnere ich unsere allgemeine Konvention, nach der wir f"ur eine Kategorie $\mathcal C$ und Objekte $M,N\in\mathcal C$ mit $\mathcal C(M,N)$ die Menge der Morphismen von $M$ nach $N$ bezeichnen. Per definitionem gilt $\cal{O}(M,N)=\op{Hom}_{\mathfrak g}(M,N)$, aber die linke Notation hat den Vorteil, uns an $M,N\in\mathcal O$ zu erinnern. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Projektive Vermamoduln}] Seien $(\frak{g}\supset \frak{h}, R^+)$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra mit einer Cartan'schen\label{HBb} und einem System positiver Wurzeln. So ist f"ur jedes $\rho$-dominante Gewicht $\lambda \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ der Vermamodul $\Delta(\lambda)$ ein projektives Objekt der Kategorie $\cal O$. \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Die hinreichende Bedingung f"ur die Projektivit"at eines Vermamoduls aus obigem Satz ist auch notwendig. Wir zeigen das in \ref{??}. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Es reicht zu zeigen, da"s $\Delta (\lambda)$ projektiv ist in $\cal{O}_{\lambda}$, denn der Projektionsfunktor $\op{pr}_\lambda:\cal{O}\ra \cal{O}_{\lambda}$ ist exakt und das Nachschalten der Einbettung induziert einen Isomorphismus $$\cal{O}_\lambda(\Delta (\lambda),{\op{pr}}_\lambda M)\sira \cal{O}(\Delta (\lambda),M) $$ f"ur alle $M\in\cal{O}$. Nach unseren Erkenntnissen "uber die ganzzahlige Weylgruppe aus \ref{KoL} und "uber die Irreduziblen in $\mathcal O_\lambda$ aus \ref{HBb} haben wir f"ur $M \in \cal{O}_{\lambda}$ jedoch $M_{\nu} \neq 0\Rightarrow \nu \leq \lambda$. Nach \eref{UVM}{HL} liefert also f"ur $M \in \cal{O}_{\lambda}$ das Auswerten auf dem kanonischen Erzeuger $v_{\lambda} \in \Delta (\lambda)$ einen Isomorphismus $\cal{O}_\lambda (\Delta (\lambda), M) \overset {\sim}{\ra} M_{\lambda}$. Da schlie"slich das Bilden des $\lambda$-Gewichtsraums ein exakter Funktor ist, folgt aus diesem Isomorphismus die Projektivit"at von $\Delta (\lambda)$ in $\mathcal O_\lambda$ und dann, wie zuvor bemerkt, auch in $\mathcal O$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Projektive in $\mathcal O$}] Es gibt in $\cal{O}$ gen"ugend projektive Objekte und jedes projektive Objekt von $\cal{O}$ besitzt eine Vermafahne.\label{GPO} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Das folgt sofort aus den zwei pr"aziseren Aussagen \ref{GPD} und \ref{DSV}, die wir gleich im Anschlu"s beweisen. \end{proof} \begin{Proposition}\label{GPD} Jeder Vermamodul kann eingef"ugt werden in eine kurze exakte Sequenz $N\hra P\sra \Delta(\lambda)$, bei der $P$ projektiv ist in $\cal{O}$ und $N$ eine Vermafahne besitzt, in der nur Subquotienten $\Delta(\mu)$ mit $\mu>\lambda$ vorkommen. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] \nichtfinal{Notation $\mathfrak b$!} Gegeben $\gamma\in\frak{h}^\ast$ und $M$ ein $\frak{b}$-Modul betrachten wir in $M$ den Untervektorrraum $$\tau_{\leq \gamma}M=\bigoplus_{\mu\leq\gamma}M_\mu$$ Sicher ist die Summe aller Gewichtsr"aume eine Unterdarstellung von $M$ und $\tau_{\leq \gamma}M$ ist hinwiederum ein Quotient dieser Unterdarstellung nach einem $\frak{b}$-stabilen Teilraum und damit auch ein $\frak{b}$-Modul. Wir betrachten nun den Projektionsfunktor $\op{pr}_\lambda:\cal{O}\ra\cal{O}_\lambda$ und bilden f"ur $\nu\in |R^+\rangle$ die Darstellungen $$P_{\leq\lambda+\nu}\pdef \op{pr}_{\lambda} \op{prod}_{\frak{b}}^{\frak{g}} \;\tau_{\leq \lambda+\nu} \op{prod}_{\frak{h}}^{\frak{b}}\DC_\lambda$$ Nach \ref{AlE} geh"oren sie zu $\mathcal O$. Zusammen mit den nat"urlichen Surjektionen bilden sie ein durch die Menge $ |R^+\rangle $ indiziertes projektives System, das mit $\Delta(\lambda)$ endet. Wir behaupten, da"s $P_{\leq\lambda+\nu}$ f"ur $\nu$ hinreichend gro"s nicht von $\nu$ abh"angt und da"s das dann ein projektives Objekt $P$ der gew"unschten Gestalt ist. Genauer stabilisiert unser System bereits, wenn $\lambda+\nu$ gr"o"ser ist als jedes Gewicht aus $(W\cdot \lambda) \cap \bar\lambda$, denn die Kerne der Surjektionen in unserem projektiven System vor Anwenden von $\op{pr}_\lambda$ haben stets Vermafahnen und werden unter dieser Bedingung von $\op{pr}_\lambda$ annulliert. Weiter folgt unter dieser Bedingung an $\nu$ f"ur jedes $N\in\cal{O}_{\lambda}$ aus $N_\mu\neq 0$ schon $\mu\leq\lambda+\nu$. F"ur beliebiges $M\in\cal{O}$ folgern wir damit Isomorphismen $$\begin{array}{cll} \op{Hom}_{\frak{g}}(P_{\leq\lambda+\nu}, M) &\sira&\op{Hom}_{\frak{g}}(P_{\leq\lambda+\nu}, \op{pr}_{\lambda} M)\\ &\sira&\op{Hom}_{\frak{b}}(\tau_{\leq \lambda+\nu} \op{prod}_{\frak{h}}^{\frak{b}}\DC_\lambda,\op{pr}_{\lambda} M)\\ &\sira&\op{Hom}_{\frak{b}}(\op{prod}_{\frak{h}}^{\frak{b}}\DC_\lambda,\op{pr}_{\lambda} M)\\ &\sira&\op{Hom}_{\frak{h}}( \DC_\lambda,\op{pr}_{\lambda} M)\\ &\sira&(\op{pr}_{\lambda} M)_\lambda \end{array}$$ und erkennen so die Projektivit"at von $P_{\leq\lambda+\nu}$. Die "ubrigen in der Proposition behaupteten Eigenschaften sind leicht einzusehen. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Vermafahnen direkter Summanden}] Seien $M^{\prime}, M^{\prime\prime} \in \cal{O}$. Genau dann besitzt $M^{\prime} \oplus M^{\prime\prime}$ eine Vermafahne, wenn sowohl $M^{\prime}$ als auch $M^{\prime\prime}$ eine Vermafahne besitzen.\label{DSV} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Da"s eine direkte Summe von zwei Moduln mit Vermafahne auch eine Vermafahne besitzt ist offensichtlich. Um die andere Implikation zu zeigen beginnen wir mit einem Lemma. \begin{Lemma} Besitzt $M \in \cal{O}$ eine Vermafahne und ist $\lambda$ ein maximales Gewicht von $M$ und $v \in M_{\lambda}$ ein von Null verschiedener Gewichtsvektor, so ist die Abbildung $\Delta (\lambda) \ra M$, $v_{\lambda} \mapsto v$ eine Injektion und $M/\Delta (\lambda)$ besitzt auch eine Vermafahne. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis des Lemmas] Besitzt $M$ eine Vermafahne, so ist $M$ offensichtlich frei als ${\op{U}}(\frak{n})$-Modul. Das zeigt, da"s unsere Abbildung $\Delta (\lambda) \ra M$ eine Injektion sein mu"s. Ihr Bild ist offensichtlich ${\op{U}}(\frak{g})v$. Gegeben eine Vermafahne $$ M= M_{n} \supset \ldots \supset M_{i} \supset M_{i-1} \supset\ldots \supset M_{0} =0$$ von $M$ sei nun $i$ der Index mit $v \in M_{i}$ aber $v \not\in M_{i-1}$. Da $\lambda$ ein maximales Gewicht von $M$ war, haben wir notwendig ${\op{U}}(\frak{g})v\sira M_{i}/M_{i-1}$ und damit ${\op{U}}(\frak{g}) v \cap M_{i-1} =0$. Also hat $\bar{M} = M / {\op{U}} (\frak{g}) v$ die Vermafahne \begin{displaymath}\bar{M} = \bar{M}_{n} \supset \ldots \supset \bar{M}_{i} = \bar{M}_{i-1}\supset \ldots \supset \bar{M}_{0} =0\qedhere \end{displaymath} \end{proof}\noindent Um nun die Proposition zu zeigen, w"ahlen wir einen von Null verschiedenen Vektor $v$ zu einem maximalen Gewicht aus einem der beiden Summanden, sagen wir aus $M'$. Dann haben wir offensichtlich $\overline{M^{\prime} \oplus M^{\prime\prime}} =\bar{M^{\prime}} \oplus M^{\prime\prime}$ und Induktion "uber die kleinstm"ogliche L"ange einer Vermafahne von $M$ beendet den Beweis. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir bezeichnen mit ${\op{P}}(\lambda)$ eine {\bf projektive Decke} von ${\op{L}} (\lambda)$ in $\cal{O}$, als da hei"st, ein unzerlegbares projektives Objekt mit Quotient ${\op{L}}(\lambda)$. Nach \ref{GPO} existiert stets solch ein Objekt.\label{EigVK} Nach \eref{UQ}{NAS} ist es eindeutig bis auf nichteindeutigen Isomorphismus und wir haben $$\op{dim}_\DC\op{Hom}_{\mathfrak g}({\op{P}}(\lambda),{\op{L}}(\mu)) =\delta_{\lambda\mu}$$ Weiter hat der Kern der offensichtlichen Surjektion ${\op{P}}(\lambda)\sra \Delta(\lambda)$ nach \ref{GPD} und \ref{DSV} eine Vermafahne, in der nur Subquotienten $\Delta(\mu)$ mit $\mu>\lambda$ auftreten. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Reziprozit"atsformel}] Die Vielfachheit eines Vermamoduls als Subquotient in einer Vermafahne eines unzerlegbaren Projektiven der Kategorie $\cal O$ stimmt "uberein mit der Vielfachheit\label{SRr} des einfachen Quotienten von besagtem Projektiven als Subquotient einer Kompositionsreihe von besagtem Vermamodul, in Formeln $$\hspace{2cm}({\op{P}} (\lambda) : \Delta (\mu) ) = [ \Delta (\mu) : \op{L} (\lambda)]\qquad \forall \lambda, \mu \in \frak{h}^{\ast}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die Reziprozit"atsformel wurde in diesem Kontext zuerst von Bernstein, Gelfand und Gelfand \cite{BGG-O} bewiesen und hei"st \defind{BGG-Reziprozit"at}. Da"s die Subquotienten in einer Vermafahne eines Objekts von Kategorie $\mathcal O$ bis auf Reihenfolge wohldefiniert sind, kann man entweder aus dem gleich folgenden Beweis ableiten oder auch einfacher aus \ref{GrOn}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach \ref{EigVK} haben wir $\op{dim}_\DC\op{Hom}_{\mathfrak g}({\op{P}}(\lambda),{\op{L}}(\mu)) =\delta_{\lambda\mu}$ und damit $$\op{dim}_\DC\mathcal O({\op{P}}(\lambda),M) =[M:{\op{L}}(\lambda)]$$ f"ur alle Objekte $M\in \mathcal O$. Wegen $[ \Delta (\mu) : \op{L} (\lambda)]=[ \nabla (\mu) : \op{L} (\lambda)]$ reicht es also, f"ur alle $\lambda,\mu$ die Gleichheit $ ({\op{P}} (\lambda) : \Delta (\mu)) = \op{dim}_\DC\mathcal O({\op{P}}(\lambda),\nabla (\mu))$ zu zeigen. Daf"ur m"ussen wir nur f"ur alle projektiven Objekte $P$ von $\mathcal O$ und alle Gewichte $\mu$ die Gleichheit $$(P : \Delta (\mu) ) = \op{dim}_\DC\mathcal O(P,\nabla (\mu))$$ zeigen. Wir zeigen diese Gleichheit allgemeiner f"ur alle Objekte $P$ mit Vermafahne und zwar durch vollst"andige Induktion "uber die L"ange einer Vermafahne. F"ur die Induktionsbasis betrachten wir $P=\Delta(\lambda)$ und zeigen, da"s dann beide Seiten $\delta_{\lambda\mu}$ sind. In der Tat folgt das aus der universellen Eigenschaft von Vermamoduln mit Fall $\lambda\not<\mu$ und durch Dualisieren \ref{DaO} in den anderen F"allen. F"ur den Induktionsschritt sei $Q\hra P\sra \Delta(\lambda)$ eine kurze exakte Sequenz in $\mathcal O$. Es reicht zu zeigen, da"s sie eine kurze exakte Sequenz $$\mathcal O(\Delta(\lambda),\nabla (\mu)) \hra \mathcal O(P,\nabla (\mu))\sra \mathcal O(Q,\nabla (\mu))$$ induziert, als da hei"st, da"s die rechte Abbildung hier wie bereits angedeutet eine Surjektion sein mu"s. Um das zu sehen, zeigen wir zun"achst, da"s jede kurze exakte Sequenz $\nabla (\mu)\hra E\sra \Delta(\lambda)$ in $\mathcal O$ spaltet. Gilt hier nicht $\lambda< \mu$, so liefert die universelle Eigenschaft von Vermamoduln unmittelbar eine Spaltung. Gilt dahingegen $\lambda< \mu$, so dualisieren wir und sind auch wieder fertig. F"ur die mit den langen exakten Ext-Sequenzen vertrauten Leser ist der Beweis damit zu Ende. Die anderen m"ussen sich noch "uberlegen, da"s wir durch Bilden des Pushout $E\pdef\op{cok}((i,-\varphi)^\ttop:Q\hra (P\oplus\nabla(\mu))$ zur Einbettung $i:Q\hra P$ und irgendeinem Morphismus $\varphi: Q\ra\nabla(\mu)$ ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen $$\begin{array}{ccccc} Q & \hookrightarrow &P &\twoheadrightarrow &\Delta(\lambda)\\ \downarrow & &\downarrow && \| \\ \nabla(\mu)& \hookrightarrow &E& \twoheadrightarrow & \Delta(\lambda) \end{array}$$ erhalten. Da die untere Zeile spaltet, l"a"st sich unser Morphismus $\varphi: Q\ra\nabla(\mu)$ in der Tat zu einem Morphismus $P\ra\nabla(\mu)$ ausdehnen. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{TPP} Ist $P$ ein projektives Objekt von $\cal{O}$ und $E$ eine endlichdimensionale Darstellung, so ist auch $E\otimes P$ ein projektives Objekt von $\cal{O}$. \end{Ubung} \subsection{Die Tensoridentit"at*} \begin{Proposition}[\textbf{Die Tensoridentit"at\index{Tensoridentit"at} und ihre Verwandten}] Sei $\frak{b} \ra \frak{g}$ ein Homomorphismus von Liealgebren "uber einem K"orper $k$.\label{TI} %\label{EGI} Gegeben Darstellungen $M \in \frak{b} \op{-Mod}$ und $E \in \frak{g}\op{-Mod}$ haben wir kanonische Isomorphismen von $\frak{g}$-Moduln $$ \begin{array}{lcr} \op{prod}^{\frak{g}}_{\frak{b} } (E\otimes_{k} M) &\sira& E \otimes_{k} (\op{prod}^{\frak{g}}_{\frak{b} } M)\\[2mm] \op{ind}^{\frak{g}}_{\frak{b}} \op{Hom}_{k} (E,M) &\sira& \op{Hom}_{k} (E, \op{ind}^{\frak{g}}_{\frak{b}} M)\\[2mm] \op{ind}^{\frak{g}}_{\frak{b}} \op{Hom}_{k} (M,E) &\sira& \op{Hom}_{k} (\op{prod}^{\frak{g}}_{\frak{b}} M,E) \end{array}$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkunge} Eine Variante dieser Aussagen f"ur Mengen mit Gruppenoperation wird in \eref{TIc}{TF} ausformuliert. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Ganz allgemein ist nach \eref{Kompa}{TF} der Adjungierte einer Verkn"upfung von Funktoren die Verkn"upfung der Adjungierten, wenn sie existieren. Diese Erkenntnis gilt es nun anzuwenden auf die kommutativen Diagramme von Funktoren $$ \begin{array}{ccc} \frak{g}\op{-Mod}&\stackrel{E\otimes}{\lra}&\frak{g}\op{-Mod}\\ \da&&\da\\ \frak{b}\op{-Mod}&\stackrel{E\otimes}{\lra}&\frak{b}\op{-Mod}\\ \end{array}\hspace{5mm} \begin{array}{ccc} \frak{g}\op{-Mod}&\stackrel{\op{Hom}(E,\;)}{\lra}&\frak{g}\op{-Mod}\\ \da&&\da\\ \frak{b}\op{-Mod}&\stackrel{\op{Hom}(E,\;)}{\lra}&\frak{b}\op{-Mod}\\ \end{array}$$ $$\begin{array}{ccc} \frak{g}\op{-Mod}&\stackrel{\op{Hom}(\;,E)}{\lra}&\frak{g}\op{-Mod}^{\op{opp}}\\ \da&&\da\\ \frak{b}\op{-Mod}&\stackrel{\op{Hom}(\;,E)}{\lra}&\frak{b}\op{-Mod}^{\op{opp}}\\ \end{array}$$ mit den Restriktionen als Vertikalen und der Adjunktion $(E\otimes, \op{Hom}(E,\;))$ beziehungsweise der Tatsache, da"s der Rechtsadjungierte der Horizontalen $\op{Hom}(\;,E)$ im Diagramm ganz rechts wieder $\op{Hom}(\;,E)$ ist, nur diesmal aufgefa"st als Funktor in der Gegenrichtung. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{EGI} Nehmen wir im letzten unserer Isomorphismen speziell $E=k$, so ergibt sich ein kanonischer Isomorphismus $(\op{prod}^{\frak{g}}_\frak{b} N)^{\ast} \sira \op{ind}^{\frak{g}}_\frak{b} (N^{\ast})$. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Der erste unserer drei Isomorphismen wird unter der Identifikation $\op{prod}^{\frak{g}}_{\frak{b} }M= {\op{U}}(\frak{g})\otimes_{{\op{U}}(\frak{b})}M$ auf Elementen gegeben durch die Vorschrift $u \otimes (e \otimes m) \mapsto u (e\otimes (1\otimes m))$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine weitere Darstellung $F \in \frak{g}\op{-Mod}$ kommutiert das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{prod}^{\frak{g}}_\frak{b} (E \otimes F \otimes M) \ar[r] \ar[d] & (E \otimes F) \otimes \op{prod}_\frak{b}^{\frak{g}} M\ar[d]\\ E \otimes \op{prod}^{\frak{g}}_\frak{b} (F \otimes M) \ar[r] & E \otimes (F \otimes \op{prod}_\frak{b}^{\frak{g}} M) } \end{displaymath} \end{Ubung} \subsection{Verschiebungsfunktoren} \begin{Bemerkungl} Seien im folgenden $(\frak{g}\supset \frak{h}, R^+)$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra mit einer Cartan'schen\label{HBb} und einem System positiver Wurzeln. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern an die Zerlegung $\cal{O} = \bigoplus_{\lambda\in \mathfrak h_{\rho\op{-dom}}} \cal{O}_{\lambda}$ aus \ref{BO}, in der $\lambda$ "uber die $\rho$-dominanten Gewichte l"auft. Zu dieser Zerlegung geh"oren Projektionsfunktoren $\op{pr}_{\lambda} : \cal{O}\ra \cal{O}_{\lambda}$ und Einbettungsfunktoren $\op{in}_{\lambda} : \cal{O}_{\lambda} \hookrightarrow \cal{O}$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben $\lambda, \mu$ zwei $\rho$-dominante Gewichte mit ganzer Differenz $\mu-\lambda \in \frak{X}$ betrachten wir eine einfache endlichdimensionale Darstellung $E$ mit extremem Gewicht $\mu - \lambda$ und einem ausgezeichnetem Erzeuger des zugeh"origen Gewichtsraums und definieren nach \cite{MHG} den \defnoind{Verschiebungsfunktor von $\lambda$ nach $\mu$}, \index{Verschiebung} auf englisch und franz"osisch \defind{translation functor}, als den Funktor $$\begin{array}{lccl}{\op{T}}^{\mu}_{\lambda} : & \cal{O}_{\lambda} &\ra& \cal{O}_{\mu}\\ & M &\mapsto & \op{pr}_{\mu} (E \otimes M) \end{array}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Wahl eines ausgezeichneten Erzeugers des zugeh"origen Gewichtsraums ist nur eine von vielen M"oglichkeiten, unseren Funktor bis auf eindeutigen Isomorphismus festzulegen. Alternativ k"onnte man auch $E = {\op{L}}(\nu)$ nehmen f"ur $\{ \nu\} = W (\mu -\lambda) \cap \frak{X}^{+}$, aber mit dieser Wahl erreicht man bei den nun folgenden Konstruktionen nur schwer denselben Grad von Eindeutigkeit. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Erste Eigenschaften der Verschiebungsfunktoren}] Gegeben $\rho$-dominante Gewichte\label{EV} $\lambda, \mu$ mit ganzer Differenz gilt: \begin{enumerate} \item Der Verschiebungsfunktor ${\op{T}}^{\mu}_{\lambda}$ ist exakt; \item Es gibt Adjunktionen $({\op{T}}^{\lambda}_{\mu},{\op{T}}^{\mu}_{\lambda})$; \item Die Verschiebungsfunktoren vertauschen mit der Dualit"at, wir geben im Beweis sogar genauer f"ur jede Chevalley-Involution eine ausgezeichnete Isotransformation ${\op{T}}^{\mu}_{\lambda} \circ d \siRa d \circ {\op{T}}^{\mu}_{\lambda}$ an; \item Unter den Verschiebungsfunktoren ${\op{T}}^{\mu}_{\lambda}$ werden Projektive zu Projektiven. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] 1. Der Verschiebungsfunktor ${\op{T}}^{\mu}_{\lambda}$ ist exakt als Komposition der exakten Funktoren ${\op{T}}^{\mu}_{\lambda} = \op{pr}_{\mu} \circ (E \otimes) \circ \op{in}_{\lambda}$; \\[2mm]\noindent 2. Wir haben nat"urliche Adjunktionen $(\op{in}_{\lambda}, \op{pr}_{\lambda}),$ $(E \otimes, E^{\ast} \otimes) $ und $ (\op{pr}_{\mu}, \op{in}_{\mu})$. Weiter haben wir ${\op{T}}^{\lambda}_{\mu} = \op{pr}_{\lambda} \circ (E^* \otimes)\circ \op{in}_{\mu}$, wobei wir in $E^*$ den Gewichtsvektor auszeichnen, der auf dem in $E$ ausgezeichneten Gewichtsvektor den Wert Eins annimmt. So erhalten wir eine Adjunktion von Funktoren $({\op{T}}^{\mu}_{\lambda}, {\op{T}}^{\lambda}_{\mu})$; \\[2mm]\noindent 3. Wir denken uns hier eine Chevalley-Involution $\tau$ fest gew"ahlt und verstehen $d=d_\tau$. Wir haben kanonische Isomorphismen $(E \otimes M)^{\ast} \sira E^{\ast} \otimes M^{\ast}$ wegen $\op{dim}E<\infty$ und dann auch $d(E \otimes M) \sira dE \otimes dM$. Weiter erkl"aren wir kanonische Isomorphismen $dE \sira E$ dadurch, da"s wir den eben erkl"arten ausgezeichneten extremen Gewichtsvektor von $E^{\ast}$ mit dem ausgezeichneten extremen Gewichtsvektor von $E$ identifizieren. Mit der offensichtlichen Isotransformation $\op{pr}_{\mu} \circ d \siRa d \circ \op{pr}_{\mu}$ erhalten wir dann kanonische Isomorphismen $$ \begin{array}[b]{cclll} {\op{T}}_{\lambda}^{\mu} dM &=& \op{pr}_{\mu} (E \otimes dM)\\ &\sira & \op{pr}_{\mu} (d E \otimes dM)\\ &\sira& \op{pr}_{\mu} d (E \otimes M)\\ &\sira& d \op{pr}_{\mu} (E \otimes M) &=& d ({\op{T}}^{\mu}_{\lambda} M) \end{array} $$ Das zeigt die Behauptung. \\[2mm]\noindent 4. Ist in der Tat $P$ projektiv in $\cal{O}_{\lambda}$, so ist $\cal{O}_{\lambda} (P,\;) \circ {\op{T}}_{\mu}^{\lambda} \cong{\cal{O}_{\mu}} ({\op{T}}^{\mu}_{\lambda} P, \;) $ exakt als Verkn"upfung exakter Funktoren und somit ist ${\op{T}}_{\lambda}^{\mu} P$ projektiv in $\cal{O}_{\mu}$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir bezeichnen von nun an mit $W_{\lambda}$ die Standgruppe von $\lambda$ bez"uglich der dot-Operation und $W_{\bar{\lambda}}$ die ganzzahlige Weylgruppe von $\lambda$ nach \ref{DGW1}. Bei der ganzzahligen Weylgruppe kommt es noch nicht einmal darauf an, ob wir diesen Begriff in Bezug auf die lineare Operation oder in Bezug auf die dot-Operation verstehen. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Verschieben von Vermamoduln}] Seien $\lambda, \mu$ zwei $\rho$-domi\-nante Gewichte\label{VFe} mit ganzer Differenz $\lambda- \mu\in\mathfrak X$. So besitzt f"ur alle Elemente der ganzzahligen Weygruppe $x \in W_{\bar{\lambda}}$ der verschobene Vermamodul ${\op{T}}_{\lambda}^{\mu} \Delta (x \cdot \lambda)$ eine Vermafahne, in der jeder Vermamodul $\Delta (xy \cdot \mu) $ mit $y \in W_{\lambda}/ (W_{\lambda} \cap W_{\mu})$ genau einmal als Subquotient auftritt. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Zwei Spezialf"alle verdienen besondere Beachtung: Im Fall $W_{\lambda} \subset W_{\mu}$ der sogenannten \defnoind{Verschiebung auf W"ande}\index{Verschiebung!auf W"ande} werden Vermamoduln zu Vermamoduln, genauer gilt ${\op{T}}_{\lambda}^{\mu} \Delta (x \cdot \lambda)\cong \Delta (x \cdot \mu)$. Im Fall $W_{\lambda} \supset W_{\mu}$ der sogenannten \defnoind{Verschiebung aus W"anden}\index{Verschiebung!aus W"anden} hat ${\op{T}}^{\mu}_{\lambda} \Delta (x \cdot \lambda)$ eine Filtrierung mit Subquotienten $\Delta (xy \cdot \mu)$ f"ur $y \in W_{\lambda} /W_{\mu}$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir haben nach der Definition ${\op{T}}^{\mu}_{\lambda} \Delta (x \cdot \lambda) = \op{pr}_{\mu} (E \otimes \Delta (x \cdot \lambda))$ f"ur $E \cong {\op{L}}(\nu)$ mit $\{ \nu\} = W (\mu - \lambda) \cap \frak{X}^{+}$. Jetzt brauchen wir ein Lemma. \begin{Lemma} Sei $E$ eine endlichdimensionale Darstellung von $\frak{g}$. So hat die Tensordarstellung\label{TVF} $E \otimes \Delta (\lambda)$ eine Verma-Fahne mit Subquotienten $\Delta (\lambda + \eta),$ wobei $\eta$ "uber die Multimenge ${\op{P}}\!_\mu (E)$ der Gewichte von $E$ mit ihren Multiplizit"aten l"auft. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die Tensoridentit"at \ref{TI} liefert uns einen kanonischen Isomorphismus $ E \otimes_{\Bbb{C}}\op{prod}_\frak{b}^\frak{g} \Bbb{C}_{\lambda}\sira \op{prod}_\frak{b}^\frak{g} ( E\otimes_{\Bbb{C}} \Bbb{C}_{\lambda}),$ und jede Filtrierung des $\frak{b}$-Moduls $E$ mit eindimensionalen Subquotienten induziert eine $\Delta$-Fahne der gew"unschten Art auf $E \otimes \Delta (\lambda)$. \end{proof}\noindent Insbesondere hat in unserem Fall $E \otimes \Delta (x \cdot \lambda)$ eine Vermafahne mit Subquotienten $\Delta (x \cdot \lambda + \eta),$ wo $\eta$ die Multimenge ${\op{P}}\!_\mu (E)$ der Gewichte von $E$ durchl"auft. Wir m"ussen demnach nur f"ur alle $\eta \in {\op{P}}\!_\mu (E)$ die drei Implikationen \begin{fBild}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildVAW}\\[4mm] \noindent Illustration zur Verschiebung aus der Wand: In diesem Fall ergibt sich eine kurze exakte Sequenz $$\Delta(\mu)\hra {\op{T}}_\lambda^\mu\Delta(\lambda)\sra\Delta(y\cdot \mu)$$ \end{fBild} $$\begin{array}{ccc}\op{pr}_{\mu} \Delta (x \cdot \lambda + \eta) \neq 0 &\Leftrightarrow& \exists\; y\in W_{\lambda}\text{ mit } x \cdot \lambda + \eta =xy\cdot\mu \\ &&\Downarrow\\ && \op{dim} E_{\eta}=1 \end{array}$$ zeigen. $\Leftarrow$ und $\Downarrow$ sind evident. Wir zeigen nun $\Rightarrow$. Gegeben eine beliebige affine Spiegelungsgruppe $\cal{W}$ auf einem affinen euklidischen Raum $E$ wird f"ur beliebige $v, w \in E$ nach \eref{AAb}{SPW} der Abstand $\| v - z w \|$ minimal genau f"ur die $z \in \cal{W},$ f"ur die $v$ und $z w$ im Abschlu"s desselben Alkoven liegen. Lassen wir speziell $\cal{W} = W_{\bar{\lambda}}= W_{\bar{\mu}} $ operieren vermittels der dot-Operation als affine Spiegelungsgruppe auf dem affinen euklidischen Raum $E = \lambda + \langle R\rangle_\Bbb{Q}$ "uber dem angeordneten K"orper $\Bbb{Q},$ so liegen $\lambda$ und $\mu$ im Abschlu"s desselben Alkoven, da sie beide $\rho$-dominant sind. Andererseits sind aber die Gewichte maximaler L"ange von $E$ nach \ref{EGe} genau die extremen Gewichte, d.h.\ die Gewichte auf dem Weylgruppenorbit $W(\mu-\lambda)$. Nur dann kann also ein Gewicht $\eta\in {\op{P}}\!_\mu(E)$ den Abstand zwischen einem Element aus $ W_{\bar{\lambda}}\cdot \lambda$ und einem Element aus $ W_{\bar{\lambda}}\cdot \mu$ "uberbr"ucken, wenn unser Gewicht $\eta$ extrem ist und die beiden fraglichen Punkte im Abschlu"s desselben Alkoven liegen. Genau dann liegen nun aber $x\cdot \lambda$ und $xy \cdot \mu$ im Abschlu"s desselben Alkoven, wenn es ein $z$ aus der Standgruppe von $\lambda$ gibt mit $y \cdot \mu= z \cdot \mu,$ und dann wird ihre Differenz auch in der Tat gerade "uberbr"uckt durch ein extremes Gewicht von $E,$ n"amlich durch das Gewicht $xz(\mu-\lambda)$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an die Grothendieckgruppe einer abelschen Kategorie \eref{GG}{NAS} und an den von einem exakten Funktor induzierten Gruppenhomomorphismus \eref{TFGH}{NAS}. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Die einfachen Moduln, die Vermamoduln und die unzerlegbaren Projektiven liefern jeweils\label{GrOn} eine $\Bbb{Z}$-Basis der Grothendieckgruppe von $\cal{O}$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Es reicht, die analoge Aussage f"ur die Kategorien ${_\chi\cal{O}}$ zu zeigen. Die Einfachen bilden f"ur jede l"angenendliche Kategorie eine Basis der Grothendieck-Gruppe, siehe \eref{IAB}{NAS}. Die Einfachen von ${_\chi\cal{O}}$ sind genau die ${\op{L}}(\lambda)$ mit $\lambda$ aus einer geeigneten endlichen Menge $S$, genauer der Menge $S=\xi^{-1}(\chi)$. Die quadratische Matrix der $[\Delta (\lambda) : {\op{L}} (\mu)]$ mit $\lambda,\mu\in S$ hat Einsen auf der Diagonalen und obere Dreiecksgestalt bei geeigneter Nummerierung von $S$. Mithin ist diese Matrix invertierbar und das zeigt, da"s auch die $[\Delta (\lambda)]$ mit $\lambda\in S$ eine $\Bbb{Z}$-Basis von $[{_\chi\cal{O}}]$ bilden. F"ur die unzerlegbaren Projektiven argumentiert man genauso, auch die Matrix $[{\op{P}}(\lambda) : \Delta (\mu)]_\Delta$ mit $\lambda,\mu\in S$ hat nach \ref{EigVK} Einsen auf der Diagonalen und obere Dreiecksgestalt bei geeigneter Nummerierung von $S$. \end{proof} \begin{Korollar}\label{IG} Seien $\lambda, \mu \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ zwei $\rho$-dominante Gewichte mit ganzer Differenz. Gilt $W_{\lambda} \subset W_{\mu},$ so induziert ${\op{T}}^{\mu}_{\lambda} {\op{T}}^{\lambda}_{\mu}$ auf der Grothendieckgruppe $[\cal{O}\!_\mu]$ die Multiplikation mit der nat"urlichen Zahl $|W_{\mu}/W_{\lambda}|$. Insbesondere wird unter der Verschiebung ${\op{T}}^{\lambda}_{\mu}$ aus der Wand kein von Null verschiedener Modul zu Null. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Die Vermamoduln aus $\cal{O}_\mu$ bilden eine Basis der Grothendieck\-grup\-pe $[\cal{O}_\mu]$. Das Korollar folgt damit aus \ref{VFe}. \end{proof} \begin{Satz} Gegeben $\rho$-dominante Gewichte $ \lambda, \mu$ mit ganzer Differenz $\lambda - \mu \in \frak{X}$ und mit derselben Standgruppe $W_{\lambda} = W_{\mu}$ unter der dot-Operation liefert der Verschiebungsfunktor eine "Aquivalenz von Kategorien\label{TVAQ} $${\op{T}}^{\mu}_{\lambda} : \cal{O}_{\lambda} \sirra \cal{O}_{\mu}$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Es reicht zu zeigen, die vermittels einer Adjunktion $\alpha$ erkl"arten Abbildungen Isomorphismen $$\hat{\alpha}_M:M \sira {\op{T}}^{\lambda}_{\mu} {\op{T}}^{\mu}_{\lambda} M \;\;\; \text{ und } \;\;\; \check{\alpha}_N:{\op{T}}^{\mu}_{\lambda} {\op{T}}^{\lambda}_{\mu} N \sira N$$ sind f"ur alle $M \in \cal{O}_{\lambda},$ $N \in \cal{O}_{\mu}$. Wir f"uhren das nur f"ur die Erste unserer beiden Abbildungen aus. Per defintionem ist $\hat{\alpha}_{M}$ das Bild der Identit"at auf ${\op{T}}^{\mu}_{\lambda} M$ unter dem durch die Adjunktion gegebenen Isomorphismus $$\cal{O}_\mu ({\op{T}}^{\mu}_{\lambda} M, {\op{T}}^{\mu}_{\lambda} M)\sira \cal{O}_\lambda (M,{\op{T}}^{\lambda}_{\mu} {\op{T}}^{\mu}_{\lambda} M)$$ Aus ${\op{T}}^{\mu}_{\lambda} M \neq 0$ folgt also $\hat{\alpha}_{M} \neq 0$. Da die Endomorphismen von Vermamoduln genau die skalaren Vielfachen der Identit"at sind, ist nach \ref{VFe} mithin $\hat{\alpha}_{M}$ ein Isomorphismus f"ur jeden Vermamodul $M = \Delta (x\cdot \lambda) \in \cal{O}_{\lambda}$. Dann ist $\hat{\alpha}_{M}$ auch ein Isomorphismus f"ur jeden Modul $M$ mit Vermafahne, nach dem F"unferlemma und Induktion. Nach \ref{AlE}.\ref{QEVF} ist aber jedes Objekt von $\mathcal O$ Quotient eines Objekts mit Vermafahne. Damit ist nat"urlich auch jedes Objekt von $\mathcal O_{\lambda}$ Quotient eines Objekts von $\mathcal O_{\lambda}$ mit Vermafahne. F"ur beliebiges $M$ folgt dann die Behauptung vermittels einer Zwei-Schritte-Aufl"osung durch Objekte mit Vermafahne und erneuter Anwendung des F"unferlemmas. \end{proof} \begin{Korollar} Seien $\lambda, \mu \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ mit $\lambda - \mu \in \frak{X}$ und $W_{\lambda} = W_{\mu}$. So gilt f"ur alle $x,y \in W_{\bar{\lambda}} = W_{\bar{\mu}}$ die Identit"at von Jordan-H"older-Multiplizit"aten $$[\Delta (x \cdot \lambda) : {\op{L}}(y \cdot \lambda)]= [\Delta(x \cdot \mu): {\op{L}}(y \cdot \mu)]$$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Wir haben eine "Aquivalenz von Kategorien, die $\Delta (x \cdot \lambda)$ auf $\Delta (x \cdot \mu)$ abbildet und damit nat"urlich auch den eindeutigen einfachen Quotienten auf den eindeutigen einfachen Quotienten. \end{proof} \subsection{Homomorphismen zwischen Vermamoduln} \begin{Bemerkungl} Seien $(\frak{g}\supset \frak{h}, R^+)$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra mit einer Cartan'schen\label{HBb} und einem System positiver Wurzeln. Bezeichne $\mathfrak n^+,\mathfrak n\subset \mathfrak g$ die Summe der Wurzelr"aume zu Wurzeln aus $R^+$ beziehungsweise $-R^+$, so da"s also gilt $\mathfrak g=\mathfrak n^+\oplus\mathfrak h\oplus \mathfrak n$ und $\mathfrak b=\mathfrak h\oplus \mathfrak n^+$ in unserer "ublichen Notation. Im folgenden verstehen wir unter einem {\bf Vermamodul} oder genauer einem {\bf Vermamodul f"ur $(\frak{g}\supset \frak{h}, R^+)$} einen $\mathfrak g$-Modul, der isomorph ist zu $\Delta(\lambda)=\op{U}(\mathfrak g)\otimes_{\op{U}(\mathfrak b)}\DC_\lambda$ f"ur ein $\lambda\in \mathfrak h^*$ wie in \ref{VerM}. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Homomorphismen zwischen Vermamoduln}] \begin{enumerate} \item Jeder von Null verschiedene Homomorphismus zwischen zwei Vermamoduln ist injektiv; \item Jeder Vermamodul hat genau einen einfachen Untermodul und dieser einfache Untermodul ist auch selbst wieder ein Vermamodul; \item Der Raum der Homomorphismen zwischen zwei Vermamoduln hat h"och\-stens die Dimension Eins; \item\label{HV4} Bezeichne $\uparrow$ die st"arkste reflexive transitive Relation auf $\frak{h}^{\ast}$ derart, da"s gilt $(s_{\alpha} \cdot \lambda) \uparrow \lambda$ f"ur alle $\lambda\in\frak{h}^{\ast}$ und $\alpha \in R^+$ mit $(s_{\alpha} \cdot \lambda) \leq \lambda$ alias $\langle \lambda+\rho,\alpha^\vee\rangle\in \DN$. Andererseits stehe $\Delta (\lambda)\subset \Delta (\mu)$ f"ur die Aussage, da"s sich $\Delta (\lambda)$ als Untermodul in $ \Delta (\mu)$ einbetten l"a"st. So haben wir $$\Delta (\lambda)\subset \Delta (\mu) \;\; \Leftrightarrow \;\;\lambda \uparrow \mu$$ \end{enumerate} \label{HV} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Unser Satz kann auch aufgefa"st werden als eine Beschreibung des $\frak{h}$-Moduls der $\frak{n}^+$-Invarianten in einem beliebigen Vermamodul. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] 1. Ist $A$ ein Ring, so ist jeder Homomorphismus des $A$-Linksmoduls $A$ zu sich selber die Multiplikation mit einem Element von $A$ von rechts. Ist $A$ ein Integrit"atsring, so ist folglich jeder von Null verschiedene Homomorphismus des $A$-Linksmoduls $A$ zu sich selber injektiv. Wenden wir unsere Erkenntnis an auf die Einh"ullende $A= {\op{U}} (\frak{n})$ und beachten, da"s Vermamoduln als Moduln "uber ${\op{U}}(\frak{n})$ isomorph sind zu ${\op{U}}(\frak{n})$ selber, so ergibt sich die Behauptung. \\[2mm]\noindent 2. Jeder Vermamodul ist frei "uber dem Integrit"atsring ${\op{U}}(\frak{n})$ und damit auch torsionsfrei. F"ur $u \in {\op{U}} (\frak{n}), v \in \Delta (\lambda)$ folgt aus $u \cdot v =0$ also schon $u =0$ oder $v =0$. Ein einfacher Modul ${\op{L}}(\lambda)$ kann aber nur dann torsionsfrei sein "uber ${\op{U}} (\frak{n}),$ wenn er bereits selbst ein Vermamodul ist, in Formeln ${\op{L}}(\lambda) =\Delta (\lambda)$. Insbesondere ist jeder einfache Untermodul eines Vermamoduls selbst wieder ein Vermamodul. F"ur eine endlichdimensionale Liealgebra $\frak{n}$ kann es nun aber keine Einbettung $${\op{U}} (\frak{n}) \oplus {\op{U}} (\frak{n}) \hookrightarrow {\op{U}} (\frak{n})$$ von ${\op{U}} (\frak{n})$-Linksmoduln geben, denn die Bilder von $(1,0)$ und $(0,1)$ unter so einer Einbettung m"u"sten f"ur geeignetes $n \in \Bbb{N}$ in ${\op{U}}^{\leq n} (\frak{n})$ liegen und wir h"atten damit Einbettungen $${\op{U}}^{\leq i} (\frak{n}) \oplus {\op{U}}^{\leq i} (\frak{n}) \hookrightarrow {\op{U}}^{\leq n+i} (\frak{n})$$ f"ur alle $i \in \Bbb{N}$ im Widerspruch dazu, da"s $\op{dim} {\op{U}}^{\leq i} (\frak{n})$ nach Poincar\'{e}-Birkhoff-Witt gegeben wird durch ein Polynom in $i,$ genauer $\op{dim} {\op{U}}^{\leq i} (\frak{n})={{i+d}\choose{d}}$ f"ur $d=\op{dim} \frak{n}$. Ein Vermamodul kann damit nicht zwei verschiedene einfache Untermoduln besitzen, denn beide m"ussten Vermamoduln sein und Schnitt Null haben im Widerspruch zu unseren Betrachtungen zu Moduln "uber ${\op{U}} (\frak{n})$. \\[2mm]\noindent 3. Bezeichne $\op{soc} \Delta (\lambda)$ den einfachen Untermodul von $ \Delta (\lambda)$ alias seinen Sockel. Da nach Teil 1 jeder von Null verschiedene Homomorphismus von Vermamoduln injektiv ist, verschwindet er auch nicht auf dem Sockel des Ausgangsmoduls. Gegeben Vermamoduln $\Delta (\lambda)$ und $\Delta (\mu)$ folgern wir die dritte Behauptung nun aus den Inklusionen $$\mathcal O (\Delta (\lambda), \Delta (\mu)) \hookrightarrow \mathcal O(\op{soc} \Delta (\lambda), \Delta (\mu))= \mathcal O(\op{soc} \Delta (\lambda), \op{soc} \Delta (\mu))$$ \noindent 4. Der Beweis dieser Aussage kann erst nach einigen Vorbereitungen im Anschlu"s an \ref{vb} gegeben werden. \end{proof} \begin{Definition} Sei $s \in S$ eine einfache Spiegelung. Eine \defnoind{Verschiebung durch die $s$-Wand}\index{Verschiebung!durch Wand} ist ein Funktor $$\theta_{s}: \cal{O}_{0} \ra \cal{O}_{0}$$ der Gestalt $\theta_{s} = {\op{T}}^{0}_{\mu} {\op{T}}^{\mu}_{0}$ f"ur ein $\mu \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}} \cap \frak{X}$ \defind{auf der $s$-Wand} alias $W_{\mu} = \langle s \rangle $. \end{Definition} \begin{Bemerkungw} Wir werden uns sp"ater "uberlegen, da"s so eine Verschiebung durch die Wand bis auf nat"urliche "Aquivalenz nicht von der Wahl der Stelle $\mu$ auf der Wand abh"angt. Die m"oglichen $\mu$ sind "ubrigends genau alle ganzzahligen Linearkombinationen von fundamentalen dominanten Gewichten, in denen das fundamentale dominante Gewicht zu unserer ausgezeichneten einfachen Spiegelung $s$ den Koeffizienten $-1$ hat und alle anderen Koeffizienten nichtnegativ sind. \end{Bemerkungw} \begin{Lemma}[\textbf{Eigenschaften von Verschiebungen durch W"ande}] Sei $s\in S$ eine einfache Spiegelung in Bezug auf unser System von positiven Wurzeln $R^+$. So gilt: \begin{enumerate} \item Jede Verschiebung $\theta_{s}$ durch die $s$-Wand ist ein exakter und selbstadjungierter Funktor und f"ur alle $M\in\mathcal O$ gilt $\theta_{s} d M\cong d\theta_S M$; \nichtfinal{$d$ schon eingef"uhrt?} \item Die von unseren Adjunktionen $\alpha:({\op{T}}^{\mu}_{0},{\op{T}}^{0}_{\mu})$ und $\omega:({\op{T}}^{0}_{\mu}, {\op{T}}^{\mu}_{0})$ induzierten Transformationen $\hat{\alpha}:\op{id} \ra \theta_{s}$ beziehungsweise $\check{\omega}:\theta_{s} \ra \op{id}$ liefern genau dann von Null verschiedene Abbildungen $M \ra \theta_{s} M$ beziehungsweise $\theta_{s} M \ra M,$ wenn gilt $\theta_{s} M \neq 0$; \item Wir haben $\op{dim} \cal{O}(\Delta, \theta_{s} \Delta) = \op{dim} \cal{O} (\theta_{s} \Delta, \Delta) =1$ f"ur jeden Vermamodul $\Delta$ aus $ \cal{O}_0$; \item Wir haben $\theta_{s} \Delta(x\cdot 0) \cong \theta_{s} \Delta(xs\cdot 0)$ f"ur alle $x \in W$ und unter der zus"atzlichen Annahme $x< xs$ \nichtfinal{(wo Bruhatordnung? besser $l(x)< l(xs)?)$} gibt es eine kurze exakte Sequenz $$\Delta(x\cdot 0) \hookrightarrow \theta_{s} \Delta(x\cdot 0) \twoheadrightarrow \Delta(xs\cdot 0)$$ \end{enumerate}\label{EVW} \end{Lemma} \begin{Bemerkungw}\nichtfinal{Sp"ater!} Wir werden gleich zeigen k"onnen, da"s die kurze exakte Sequenz aus 4 nicht spaltet: Sobald wir die Einbettung $\Delta(x\cdot 0)\subset\Delta(xs\cdot 0)$ kennen, liefert die Annahme einer Spaltung n"amlich einen Widerspruch zur Aussage von Teil 3. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] 1. Die entsprechenden Aussagen "uber Verschiebungsfunktoren aus \ref{EV} liefern sofort eine Isotransformation $ \theta_{s}\circ d\siRa d\circ \theta_{s}$ und die Existenz von Adjunktionen $ (\theta_{s},\theta_{s})$. %Ein genaueres Studium des Beweises dort zeigt sogar, %da"s sich die Unbestimmtheit in den Adjunktionen zwischen %Verschiebungsfunktoren hier wegk"urzt und eine %wohlbestimmte Adjunktion %$ (\theta_{s},\theta_{s})$ liefert, aber das werden wir %im weiteren nicht ben"otigen. \\[2mm]\noindent 2. Unsere Adjunktionen liefern von Null verschiedene Abbildungen $M \ra \theta_{s} M$ beziehungsweise $\theta_{s} M\ra M$ genau dann, wenn gilt ${\op{T}}^{\mu}_{0} M \neq 0$. In der Tat kommen sie ja her von der Identit"at auf ${\op{T}}_{0}^{\mu} M$ vermittels der Adjunktionsisomorphismen $$\begin{array}{ccc} \op{Hom} ({\op{T}}^{\mu}_{0}M, {\op{T}}^{\mu}_{0} M) & \sira & \op{Hom} (M, {\op{T}}^{0}_{\mu} {\op{T}}^{\mu}_{0} M)\\ \op{Hom} ({\op{T}}^{\mu}_{0} M, {\op{T}}^{\mu}_{0} M) & \sira & \op{Hom} ({\op{T}}^{0}_{\mu} {\op{T}}^{\mu}_{0} M, M) \end{array}$$ Schlie"slich liefert jedoch die Verschiebung aus der Wand ${\op{T}}^{0}_{\mu}$ eine Injektion auf der Grothendieckgruppe nach \ref{IG} und das zeigt die Behauptung. %die dort bewiesene Aussage %zeigt genauer $\theta_{s} M \neq 0 %\Leftrightarrow {\op{T}}^{\mu}_{0} M \neq 0$. \\[2mm]\noindent 3. Das folgt mit den Adjunktionen $({\op{T}}^{\mu}_{0}, {\op{T}}^{0}_{\mu})$ und $({\op{T}}^{0}_{\mu}, {\op{T}}^{\mu}_{0})$ daraus, da"s Vermamoduln auf die Wand ger"uckt Vermamoduln bleiben. \\[2mm]\noindent 4. Als aus der Wand ger"uckter Vermamodul hat $\theta_{s} \Delta(x\cdot 0) = {\op{T}}^{0}_{\mu} \Delta (x \cdot \mu)$ nach \ref{VFe} eine Vermafahne mit Subquotienten $\Delta(x\cdot 0)$ und $\Delta(xs\cdot 0)$. Diese Vermafahne l"a"st sich tats"achlich in der behaupteten Weise anordnen, da sie sonst nach \eref{UVM}{HL} spalten m"u"ste und sich dann eben umsortieren lie"se. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erinnerungen zur Bruhatteilordnung}] Ich erinnere an die Bruhatteilordnung \eref{DBru}{SPW} auf der Weylgruppe. Sie kann dadurch charakterisiert werden, da"s gegeben eine\label{BTAa} k"urzestm"ogliche Darstellung $w=s_1\ldots s_r$ eines Elements als Produkt von einfachen Spiegelungen die Menge $\{x\in W\mid x\leq w\}$ mit der Menge aller Produkte von Teilausdr"ucken $x=s_{i(1)}\ldots s_{i(q)}$ zusammenf"allt, f"ur $q\geq 0$ und $i:\{1,\ldots, q\}\ra \{1,\ldots, r\}$ streng monoton wachsend. Da"s jedoch diese Menge nicht von der Wahl der k"urzestm"oglichen Darstellung abh"angt und da"s wir so in der Tat eine partielle Ordnung erhalten, mu"s erst einmal bewiesen werden. Aus \eref{Rr}{SPW} folgt sogar, da"s jedes $x\leq w$ unter den reduzierten Teilausdr"ucken unserer gegebenen k"urzestm"oglichen Darstellung zu finden ist. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{Bruo} Bezeichne $\leq$ die Bruhat-Teilordnung auf der Weylgruppe. So haben wir f"ur alle $x,y \in W$ $$\Delta(x \cdot 0) \subset \Delta(y \cdot 0) \Leftrightarrow x \geq y$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] F"ur diesen Beweis k"urzen wir $\Delta(x \cdot 0)=\Delta(x)$ ab und haben insbesondere $\Delta( 0)=\Delta(e)$ f"ur $e\in W$ das neutrale Element. Wir zeigen zun"achst die Implikation $\Leftarrow$ und gehen dazu in mehreren Schritten vor. \\[2mm]\noindent 1. Nach \eref{EIV}{HL} gilt $\Delta (s) \subset \Delta (e)$ f"ur alle einfachen Spiegelungen $s \in S$. \\[2mm]\noindent 2. F"ur $x,y \in W$ und $s \in S$ mit $x< xs,$ $y< ys$ gilt $$\Delta (x ) \subset \Delta (y ) \;\;\Rightarrow\;\; \Delta (xs ) \subset \Delta(y s )$$ Um das zu sehen, wenden wir auf die linke Inklusion den Funktor $\theta_{s}$ an und erhalten mithilfe von \ref{EVW} ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccccc} \Delta (x ) & \hookrightarrow & \theta_{s}\Delta (x ) & \twoheadrightarrow & \Delta (xs)\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \Delta (y) &\hookrightarrow & \theta_{s} \Delta (y) & \twoheadrightarrow &\Delta (ys ) \end{array}$$ W"are hier die rechts induzierte Vertikale die Nullabbildung, so m"u"ste die mittlere Vertikale "uber $\Delta (y )$ faktorisieren. Da $\theta_{s}$ exakt ist, ist jedoch die mittlere Vertikale injektiv, und wir erhielten auf diese Weise eine Injektion $\theta_{s} \Delta (x ) \hookrightarrow \Delta (y )$ und damit eine Injektion von $\op{U}(\frak{n})$-Linksmoduln $\op{U}(\frak{n}) \oplus \op{U}(\frak{n}) \hookrightarrow \op{U} (\frak{n})$. Die aber kann es nicht geben, wie wir bereits im Beweis von \ref{HV} gesehen hatten. \\[2mm]\noindent 3. F"ur alle $x\in W$ gilt $\Delta (x) \subset \Delta (e)$. Das folgt aus den ersten beiden Schritten mit Induktion "uber die L"ange von $x$. Man kann das aber auch zeigen, ohne Punkt 2 zu verwenden, indem man die volle Kraft von \eref{EIV}{HL} ausnutzt, die ja auch $sx > x \;\;\Rightarrow\;\; \Delta (sx ) \subset \Delta (x )$ liefert f"ur alle einfachen Spiegelungen $s\in S$. \\[2mm]\noindent 4. Wir zeigen als Zwischenschritt f"ur jeden Vermamodul $\Delta$ aus ${\cal{O}}_0,$ da"s jede Komposition von Abbildungen $\Delta\ra\theta_{s}\Delta\ra \Delta$ verschwindet. Nach dem vorhergehenden Punkt, und da diese Morphismenr"aume eh h"ochstens eindimensional sind, d"urfen wir uns hierbei auf den Fall $\Delta=\Delta ( e)$ beschr"anken. Unsere Adjunktionen zeigen in diesem Fall, da"s die Homomorphismenr"aume von $\Delta (e)$ oder $\Delta (s)$ nach $\theta_{s} \Delta (e) \cong \theta_{s} \Delta (s )$ eindimensional sind, und die Homomorphismenr"aume in der umgekehrten Richtung desgleichen. Die kanonische Abbildung $\theta_{s}\Delta ( e) \ra \Delta ( e)$ faktorisiert also "uber die Einbettung $\Delta (s )\subset\Delta ( e)$ und die Komposition von kanonischen Abbildungen $\Delta (e) \hookrightarrow \theta_{s} \Delta ( e) \ra \Delta ( e)$ ist folglich in der Tat Null. \\[2mm]\noindent 5. Wir zeigen f"ur alle $x \in W$ und $s \in S,$ da"s gilt $$xs > x \;\;\Rightarrow\;\; \Delta (xs ) \subset \Delta (x )$$ Nach dem vorhergehenden Punkt faktorisiert n"amlich die von Null verschiedene kanonische Abbildung $\Delta (xs )\ra \theta_{s}\Delta (xs )$ "uber den Kern der kanonischen Abbildung $\theta_{s}\Delta (xs )\ra\Delta (xs ),$ als da hei"st "uber $\Delta (x )$. \\[2mm]\noindent 6. Ist $x=s_1 s_2\ldots s_l$ eine reduzierte Darstellung von $x$ und haben wir $y$ mit $y\leq x,$ so gibt es nach unserer Charakterisierung der Bruhatteilordnung \ref{BTAa} geeignete $t_i\in\{ s_i,e\}$ mit $y=t_1 t_2\ldots t_l$ und sogar so, da"s die vom neutralen Element $e$ verschiedenen $t_i$ eine reduzierte Darstellung von $y$ bilden. Mit 2 und 5 folgern wir nun induktiv $\Delta (s_1 s_2\ldots s_i) \subset \Delta (t_1 t_2\ldots t_i )$ f"ur alle $i$. \\[2mm]\noindent 7. Die andere Implikation $\Delta (x) \subset \Delta (y ) \Rightarrow x \geq y$ folgt sofort aus dem anschlie"senden Lemma. \end{proof} \begin{Lemma} Seien $x,y \in W$. So gilt $[\Delta ( y \cdot 0) : {\op{L}} (x \cdot 0)] \neq 0 \IFF y \leq x$.\label{mneo} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir k"urzen $\Delta ( x \cdot 0)=\Delta ( x)=\Delta_x$ ab und "ahnlich ${\op{P}} ( x \cdot 0)={\op{P}}_ x$ sowie ${\op{L}} ( x \cdot 0)={\op{L}}_ x$. Die Implikation $\Leftarrow$ folgt aus der Implikation $\Leftarrow$ in \ref{Bruo} alias der Inklusion $\Delta_y\supset \Delta_x$ f"ur $y\leq x$, die ja bereits bewiesen ist. Es gilt noch $\Rightarrow$ zu zeigen. Gegeben $z \in W$ und $s \in S$ mit $z < zs$ bemerken wir zun"achst $[\theta_{s}{\op{L}}_{zs}: {\op{L}}_z ] \neq 0$. In der Tat haben wir n"amlich $$\mathcal O (\Delta_z , \theta_{s} {\op{L}}_{zs} ) = \mathcal O (\theta_{s} \Delta_z, {\op{L}}_{zs} )\supset \mathcal O ( \Delta_{zs}, {\op{L}}_{zs} ) \neq 0$$ mit dem letzten Teil von \ref{EVW}. Ist also $x = s \ldots t$ eine reduzierte Darstellung von $x$ als Produkt einfacher Spiegelungen, so erhalten wir $[\theta_{s} \ldots \theta_{t} {\op{L}}_x : {\op{L}}_e]\neq 0$ und davon ausgehend der Reihe nach $$\begin{array}{l}\mathcal O (\Delta_ e, \theta_{s} \ldots \theta_{t} {\op{L}}_x ) \neq 0\text{ wegen $\Delta_e={\op{P}}_e$;}\\ \mathcal O (\theta_{t} \ldots \theta_{s} \Delta_e, {\op{L}}_x ) \neq 0\text{ wegen der Adjunktionen $(\theta_s,\theta_s)$;}\\ {\op{P}}_x\text{ ist Summand von $\theta_{t} \ldots \theta_{s} \Delta_e$;} \\ \text{Kommt $\Delta_y$ in einer Vermafahne von $P_x$ vor, so auch} \\\text{ \;\;\; in jeder Vermafahne von $\theta_{t} \ldots \theta_{s} \Delta_e$;} \\ \text{Kommt $\Delta_y$ in einer Vermafahne von $P_x$ vor, so gilt $y\leq x$;} \\ \text{Kommt $\op{L}_x$ in einer Kompositionsreihe von $\Delta_y$ vor,} \\ \text{ \;\;\; so gilt $y\leq x$ nach der Reziprozit"atsformel \ref{SRr}. } \end{array}$$ Damit ist auch die andere Implikation im Lemma bewiesen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Damit ist \ref{Bruo} vollst"andig bewiesen, als da hei"st, im Hauptblock $\cal{O}_0$ werden die Homomorphismen zwischen Vermamoduln vollst"andig kontrolliert durch die Bruhatteilordnung auf der Weylgruppe. Als n"achstes behandeln wir allgemeiner Bl"ocke mit ganzem Parameter und m"ussen einige kombinatorische Vorbereitungen treffen. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Seien $R\supset R^+$ ein Wurzelsystem mit einem System positiver Wurzeln, $(W,S)$ seine Weylgruppe mit den einfachen Spiegelungen, $S_{\iota} \subset S$ eine Teilmenge der Menge der einfachen Spiegelungen und $W_{\iota} \pdef \langle S_{\iota}\rangle \subset W$ das\label{knf} Erzeugnis von $S_{\iota}$. So haben wir: \begin{enumerate} \item In jeder Nebenklasse aus $W/W_{\iota}$ gibt es genau einen Repr"asentanten kleinster L"ange und genau einen Repr"asentanten gr"o"ster L"ange. Sie sind auch f"ur die Bruhatteilordnung die kleinsten beziehungsweise gr"o"sten Elemente ihrer Nebenklasse. \item Bezeichnet $W^{\iota} \subset W$ die Menge der k"urzesten Repr"asentanten, so gilt f"ur alle $x \in W^{\iota}$ und $y \in W_{\iota}$ die Formel $l(xy) = l(x) + l(y)$. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{Bemerkunge} Dasselbe gilt analog f"ur jedes Coxetersystem $(W,S)$, vergleiche \eref{KNK}{SPW} und \eref{BONK}{SPW}. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $R_{\iota}\subset R$ die Menge aller derjenigen Wurzeln, die sich aus den einfachen Wurzeln zu Spiegelungen aus $S_\iota$ linear kombinieren lassen. Sicher ist $R_{\iota}$ ein Wurzelsystem in dem von ihm aufgespannten Teilraum. Offensichtlich stabilisiert jedes $s \in S_{\iota}$ die Menge $R^{+} \backslash R_{\iota}$. Gegeben $w \in W$ ist nun $R_{\iota} \cap (w R^{+})$ ein System positiver Wurzeln in $R_{\iota}$ und es gibt folglich genau ein $v \in W_{\iota}$ mit $v(R_{\iota} \cap (w R^{+})) = R_{\iota}\cap R^{+} $. Da die L"ange eines Elements nach \eref{LWu}{SPW} genau die Zahl der positiven Wurzeln ist, die von ihm negativ gemacht werden, ist $x=vw$ notwendig das k"urzeste Element der Linksnebenklasse $W_\iota w$ und f"ur alle $y \in W_{\iota}$ gilt $l(yx)= l(y) + l(x)$. Das zeigt die analoge Aussage f"ur Linksnebenklassen. Die im Lemma behauptete Aussage f"ur Rechtsnebenklassen folgt durch Invertieren. \end{proof} \begin{Proposition} Gegeben $\mu \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}} \cap \frak{X}$ ein ganzes $\rho$-dominantes Gewicht und $x,y \in W^{\mu}$ k"urzeste Repr"asentanten von Nebenklassen aus $W/W_\mu$ gilt $$\Delta (x \cdot \mu) \subset \Delta (y \cdot \mu) \Leftrightarrow x \geq y$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Um die Implikation $\Leftarrow $ zu zeigen, r"uckt man die Einbettung $\Delta (x \cdot 0) \subset \Delta (y\cdot 0)$ mit ${\op{T}}^{\mu}_{0}$ an die Stelle $\mu$. Um die andere Implikation $\Rightarrow$ zu zeigen, folgern wir aus $\Delta (x \cdot \mu) \subset \Delta (y \cdot \mu)$ der Reihe nach $$\begin{array}{ll} \op{Hom} ({\op{T}}_{0}^{\mu} \Delta (x \cdot 0), \Delta (y \cdot \mu))\neq 0 &\text{wegen }{\op{T}}_{0}^{\mu} \Delta (x \cdot 0)\cong\Delta (x \cdot \mu) ,\\ \op{Hom} (\Delta (x \cdot 0), {\op{T}}^{0}_{\mu} \Delta (y\cdot \mu))\neq 0& \text{wegen der Adjunktion }({\op{T}}_{0}^{\mu},{\op{T}}^{0}_{\mu} ) ,\text{ und}\\ \op{Hom} (\Delta (x \cdot 0), \Delta (yu\cdot 0))\neq 0&\text{f"ur ein }u\in W_\mu\text{ wegen \ref{VFe}}.\\ \end{array}$$ Mit dem Hauptblock-Fall \ref{Bruo} folgt dann $x \geq yu \geq y$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben $\lambda \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ ist $W_{\bar{\lambda}}$ kanonisch isomorph zur Weylgruppe des Wurzelsystems $R_{\bar{\lambda}}$. Das System positiver Wurzeln $R^+\cap R_{\bar{\lambda}}$ definiert folglich eine Teilordnung auf $W_{\bar{\lambda}},$ die wir \glqq die Bruhatteilordnung auf $W_{\bar{\lambda}}$\grqq\ nennen und $\geq_{\bar{\lambda}}$ notieren. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}\label{IKV} Gegeben $\lambda \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ und $x,y \in W_{\bar{\lambda}}$ k"urzeste Repr"asentanten von Nebenklassen aus $W_{\bar{\lambda}}/W_{\lambda}$ gilt mit $\geq_{\bar{\lambda}}$ der Bruhat-Teilordnung auf $W_{\bar{\lambda}}$ die Regel $$\Delta (x \cdot \lambda) \subset \Delta (y \cdot \lambda) \;\;\Leftrightarrow\;\; x \geq_{\bar{\lambda}} y$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Ganz genauso wie der Beweis f"ur den bisher behandelten Spezialfall $\lambda \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}} \cap \frak{X}$ mit zwei Ausnahmen: Erstens sollten wir uns klarmachen, da"s es f"ur jede einfache Spiegelung $s \in W_{\bar{\lambda}}$ tats"achlich ein $\mu \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}} \cap (\lambda + \frak{X})$ gibt mit $W_{\mu} = \langle s \rangle$. Das "uberlassen wir dem Leser. Zweitens ben"otigen wir f"ur jede einfache Spiegelung $s \in W_{\bar{\lambda}}$ eine Einbettung $\Delta (s \cdot \lambda) \subset\Delta (\lambda)$. Das leistet die anschlie"sende Proposition \ref{IVV}. \end{proof} \begin{Proposition}\label{IVV} Gegeben $\lambda \in \frak{h}^{\ast}$ beliebig und $s\in W$ eine Spiegelung mit $(s \cdot \lambda) \leq \lambda $ gilt $\Delta (s \cdot \lambda) \subset \Delta (\lambda)$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Zun"achst einmal zeigen wir das f"ur $\lambda$ ganz und regul"ar. In diesem Fall haben wir ja $\lambda=z\cdot\mu$ f"ur eindeutig bestimmte $z\in W$ und $\mu\in \frak{X}\cap\frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ und es gilt, aus $(sz\cdot\mu)\leq (z\cdot\mu)$ zu folgern $sz\geq z$ in der Bruhat-Teilordnung. Nun bedeutet unsere Ungleichung $(sz\cdot\mu)\leq (z\cdot\mu)$ aber geometrisch gerade, da"s die Spiegelebene $L$ von $s$ den Alkoven $B$ von $(z\cdot\mu)$ und den Alkoven $A$ von $\mu$ nicht trennt. Mit \ref{prol} folgt erst $l(sz)>l(z)$ und dann $sz\geq z$ wie gew"unscht. Jetzt behandeln wir den allgemeinen Fall. Hier beruht das Argument auf dem folgenden Lemma, das wir im Anschlu"s beweisen. \begin{Lemma}\label{ZA} F"ur jedes ganze Gewicht $\nu \in \frak{X}$ ist die Menge $$\{\tau \in \frak{h}^{\ast} \mid \Delta (\tau + \nu) \subset\Delta (\tau) \}$$ abgeschlossen in $\frak{h}^{\ast}$ f"ur die Zariski-Topologie. \end{Lemma}\noindent Daraus folgt dann die Proposition, denn ist sagen wir $\alpha$ die Wurzel zu $s$ und setzen wir $\langle \lambda + \rho, \alpha^{\vee} \rangle=n,$ betrachten die Hyperebene $H$ aller $\tau \in \frak{h}^{\ast}$ mit $\langle \tau + \rho, \alpha^{\vee} \rangle=n$ und nehmen $\nu=-n\alpha,$ so gilt $(s\cdot \tau)=\tau+\nu$ f"ur alle $\tau\in H$ und nach dem schon Bewiesenen haben wir $\Delta (\tau+\nu) \subset \Delta (\tau)$ f"ur alle regul"aren $\tau\in \frak{X}\cap H$. Da diese jedoch in $H$ Zariski-dicht liegen, folgt diese Inklusion mit \ref{ZA} f"ur alle $\tau\in H$ und insbesondere f"ur $\lambda$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von Lemma \ref{ZA}] Gegeben Vektorr"aume $V,W$ endlicher Dimension ist die Menge aller Injektionen sicher Zariski-offen in $\op{Hom} (V,W)$ und die Menge der Nicht-Injektionen folglich Zariski-abgeschlossen. Identifizieren wir alle $\Delta (\lambda)$ mit dem festen Vektorraum ${\op{U}} (\frak{n})$ vermittels ihres kanonischen Erzeugers $v_\lambda$ und ist $\nu \in \frak{X}$ fest gew"ahlt, so wird f"ur $\alpha\in R$ die Operation eines Elements $x_{\alpha} \in \frak{g}_{\alpha}$ eine von $\lambda$ abh"angige lineare Abbildung $$\varphi_{\alpha} (\lambda) : {\op{U}} (\frak{n})_{\nu} \ra {\op{U}}(\frak{n})_{\nu +\alpha}$$ Man "uberzeugt sich ohne Schwierigkeiten, da"s wir auf diese Weise eine algebraische Abbildung $\varphi_{\alpha} : \frak{h}^{\ast} \ra \op{Hom} ({\op{U}} (\frak{n})_{\nu} , {\op{U}}(\frak{n})_{\nu + \alpha})$ erhalten. Die $\lambda$ mit $\Delta (\lambda + \nu) \subset \Delta (\lambda)$ k"onnen nun beschrieben werden als das Urbild der Nicht-Injektionen unter der algebraischen Abbildung $\frak{h}^{\ast} \mapsto \op{Hom} \left({\op{U}} (\frak{n})_{\nu}, \bigoplus_{\alpha \in R^{+}} {\op{U}} (\frak{n})_{\nu + \alpha}\right)$, die jedem $\lambda \in \frak{h}^{\ast}$ die Spaltenmatrix der $\varphi_{\alpha} (\lambda)$ zuordnet. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir haben nun Satz \ref{IKV} vollst"andig bewiesen und damit die Homomorphismen zwischen Vermamoduln sogar noch expliziter beschrieben als im eingangs formulierten Satz \ref{HV}. Der Vollst"andigkeit halber m"ussen wir jedoch auch noch die dort gegebene Beschreibung ableiten.\label{vb} \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis von \ref{HV}.\ref{HV4}] Wir zeigen also noch $$\Delta (\lambda)\subset \Delta (\mu) \;\; \Leftrightarrow \;\;\lambda \uparrow \mu$$ Die Implikation $\Leftarrow$ ist schon klar nach \ref{IVV}. Zum Nachweis der anderen Implikation schreiben wir $\lambda = x \cdot \tau$ und $ \mu = y \cdot \tau$ mit $\tau\in\frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ und $x, y \in W_{\bar{\tau}}$ und es reicht, aus $x \geq_{\bar{\tau}} y$ zu folgern $(x \cdot \tau)\uparrow (y \cdot \tau)$. Zu zeigen ist also nur, da"s f"ur eine Spiegelung $s\in W_{\bar{\tau}}$ mit $l_{\bar{\tau}}(sy)>l_{\bar{\tau}}(y)$ gilt $(sy \cdot \tau)\uparrow (y \cdot \tau)$. Das folgt jedoch aus \ref{prol}, angewandt auf die affine Spiegelungsgruppe $W_{\bar{\tau}} \subset\op{Aff}(\tau+ \langle R_{\bar{\tau}}\rangle_\DQ)$. \end{proof} \begin{Satz} Es gilt $[\Delta (\lambda):{\op{L}} (\mu)]\neq 0 \Leftrightarrow \lambda \uparrow \mu$.\label{eqVe} \end{Satz} \begin{proof} Die Implikation $\Leftarrow$ folgt sofort aus der eben bewiesenen Inklusion von Vermamoduln $\Delta (\lambda)\subset \Delta (\mu)$. Die andere Implikation zeigt man wie ihren Spezialfall \ref{mneo}. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Verschieben einfacher Moduln auf W"ande}] Seien gegeben Gewichte $\lambda,\mu\in\frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ mit ganzer Differenz und $W_\lambda\subset W_\mu$. Sei $x\in W_{\bar{\lambda}}$ der gr"o"ste\label{VEW} Repr"asentant aus seiner Nebenklasse in $W_{\bar{\lambda}}/W_\lambda$. So haben wir $${\op{T}}^{\mu}_{\lambda} \op{L} (x \cdot \lambda)\cong \left\{ \begin{array}{cl} \op{L} (x \cdot \mu) & \text{ falls $x$ auch der gr"o"ste Repr"asentant}\\& \text{ aus seiner Nebenklasse in $W_{\bar{\mu}}/W_\mu$ ist};\\[2mm] 0 & \text{ sonst}. \end{array} \right. $$ \end{Satz} \begin{fBild}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildVAWN}\\[4mm] \noindent Die eingekringelten Punkte aus der Bahn von $\lambda$ unter der dot-Operation der Weylgruppe zeigen die Gewichte $x\cdot\lambda$ mit ${\op{T}}_\lambda^\mu \op{L}(x\cdot\lambda)=0,$ bei denen eben \glqq von der Seite der positiven Weylkammer her auf die Wand ger"uckt wird\grqq. Die Pfeile deuten dahingegen an, auf welche Einfachen in der Wand die anderen Einfachen au"serhalb der Wand geschoben werden. \end{fBild} \begin{Bemerkungl} Man kann die Bedingung in Satz \ref{VEW} auch geometrischer fassen wie folgt: F"ur jede Spiegelung auf einem affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper betrachtet man die dreiteilige Partition in die zwei offenen Halbr"aume und die Spiegelhyperebene. Gegeben eine affine Spiegelungsgruppe betrachtet man die gr"obste Partition des affinen Raums, die feiner ist als diese Partition f"ur jede der Spiegelebenen. Die St"ucke dieser Partition hei"sen die {\bf Facetten}\index{Facette!von Spiegelungsgruppe} unserer affinen Spiegelungsgruppe. Ist unsere Spiegelungsgruppe endlich und zeichnen wir einen Alkoven $A$ als dominant aus, so definieren wir zu einer Facette $F$ ihren \defind{oberen Abschlu"s} $\hat{F}$ als $$\hat{F}=\bigcap_{H\supset F}H\cap \bigcap_{H^+_A\supset F}H^+_A\cap \bigcap_{H^-_A\supset F}\bar{H}^-_A$$ wo der Schnitt "uber alle Spiegelhyperebenen $H$ l"auft. Dann haben wir f"ur beliebige $x\in W_{\bar{\lambda}}$ in der Situation des Satzes ${\op{T}}^{\mu}_{\lambda} \op{L} (x \cdot \lambda)=\op{L} (x \cdot \mu)$ genau dann, wenn $x \cdot \mu$ im oberen Abschlu"s der Facette von $x \cdot \lambda$ liegt, f"ur die Operation von $W_{\bar{\lambda}}$ auf $\lambda+ \langle R_{\bar{\lambda}}\rangle_\DQ$. Andernfalls gilt ${\op{T}}^{\mu}_{\lambda} \op{L} (x \cdot \lambda)=0$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Schiebt man einen einfachen Modul auf W"ande, so erh"alt man einen einfachen Modul oder Null. In der Tat ist jeder einfache Modul das Bild eines Homomorphismus von einem Vermamodul in einen Nablamodul und umgekehrt hat jeder von Null verschiedene derartige Homomorphismus einfaches Bild. Folglich kommen f"ur ${\op{T}}^{\mu}_{\lambda} \op{L} (x \cdot \lambda)$ "uberhaupt nur die Alternativen $\op{L} (x \cdot \mu)$ und $0$ in Betracht. Ist $x$ nicht der gr"o"ste Repr"asentant seiner Nebenklasse aus $W_{\bar{\mu}}/W_\mu,$ so finden wir in dieser Nebenklasse ein $y,$ das noch gr"o"ser ist. Da $x$ maximal war in seiner Nebenklasse aus $W_{\bar{\lambda}}/W_\lambda,$ folgt $(y\cdot\lambda)\neq (x\cdot\lambda)$ und $\op{L}(x\cdot\lambda)$ ist ein Quotient des Kokerns der Inklusion $\Delta(y\cdot\lambda)\hra \Delta(x\cdot\lambda)$. Beim Verschieben auf die W"ande wird diese Inklusion jedoch nach \ref{VFe} eine Inklusion von einem Vermamodul in sich selber, folglich mu"s ihr Kokern bei diesem Verschieben sterben. Es bleibt damit nur zu zeigen, da"s diejenigen einfachen Moduln, denen das vorhergehende Argument eine "Uberlebenschance einr"aumt, auch tats"achlich die Verschiebung auf die Wand "uberleben. Mithilfe der Vermamoduln erkennt man jedoch, da"s das Verschieben eine Surjektion ${\op{T}}_\lambda^\mu:[\cal{O}_\lambda]\sra[\cal{O}_\mu]$ auf den Grothendieckgruppen liefert. Das zeigt, da"s in der Tat die "ubrigen Einfachen alle am Leben bleiben m"ussen. \end{proof} \begin{Korollar} Seien $\lambda, \mu \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ mit $\lambda - \mu \in \frak{X}$ und $W_{\lambda} \subset W_{\mu}$. So gilt f"ur alle $x,y \in W_{\bar{\lambda}} = W_{\bar{\mu}}$ mit $y$ maximal in seiner Nebenklasse $yW_{\mu}$ die Identit"at von Jordan-H"older-Multiplizit"aten $$[\Delta (x \cdot \lambda) : {\op{L}}(y \cdot \lambda)]= [\Delta(x \cdot \mu): {\op{L}}(y \cdot \mu)]$$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Der Verschiebungsfunktor ${\op{T}}_\lambda^\mu$ ist ein exakter Funktor, der $\Delta (x \cdot \lambda)$ auf $\Delta (x \cdot \mu)$ abbildet, einfache Objekte auf einfache Objekte oder auf Null, das Objekt ${\op{L}}(y \cdot \lambda)$ auf ${\op{L}}(y \cdot \mu)$, und kein nicht zu ${\op{L}}(y \cdot \lambda)$ isomorphes einfaches Objekt von $\mathcal O$ auf ${\op{L}}(y \cdot \mu)$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir sehen insbesondere, da"s wir aus den Multiplizit"aten der Vermamoduln im Hauptblock bereits die Multiplizit"aten aller Vermamoduln mit ganzem h"ochsten Gewicht herleiten k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Multiplizit"aten im subgenerischen Fall}] Sei $\lambda\in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ gegeben derart, da"s seine ganzzahlige Weylgruppe genau zwei Elemente hat, sagen wir $W_{\bar{\lambda}} = \{e,s\}$, und die Standgruppe von $\lambda$ trivial ist, in Formeln $s\cdot\lambda\neq \lambda$. So haben wir nach \ref{HV} eine kurze exakte Sequenz $$\Delta (s\cdot\lambda)\hra \Delta (\lambda) \sra {\op{L}}(\lambda)$$ Wegen $\Delta (s\cdot\lambda)={\op{L}}(s\cdot\lambda)$ nach \ref{Veer} liefert diese Sequenz bereits alle Multiplizit"aten von Vermamoduln im Block $\mathcal O_\lambda$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einige weitere Multiplizit"aten}] Wir erinnern unsere Notation\label{EWM} $\Delta_x=\Delta(x\cdot 0)$ und betrachten den Isomorphismus $\Delta:\DZ W\sira [\mathcal O_0]$, der gegeben wird durch $x\mapsto [\Delta_x]$ f"ur $x\in W$. Unsere Formeln \ref{EVW} f"ur die Verschiebung von Vermamoduln durch die Wand zeigen $\theta_s\circ\Delta=\Delta\circ (\cdot(1+s))$ f"ur jede einfache Spiegelung $s\in W$. Wir erkl"aren nun $C_x\in \DZ W$ durch die Vorschrift $\Delta(C_x)=[{\op{P}}_x]$ alias $$C_x\pdef \sum_{y\in W} ({\op{P}}_x:\Delta_y)\;y$$ Aus der Reziprozit"atsformel und unseren Erkenntnissen "uber Homomorphismen von Vermamoduln folgt $[{\op{P}}_x:\Delta_e]_\Delta\geq 1$ und $[{\op{P}}_x:\Delta_x]_\Delta= 1$. Wir wissen, da"s $\theta_sP_x$ projektiv ist, also $\theta_sP_x\cong\bigoplus_{z\in W} P_z^{\oplus m(z)}$ f"ur geeignete Vielfachheiten $m(z)\geq 0$. Es folgt $C_x(1+s)=\sum_{z\in W}m(z)C_z$ mit $m(z)\geq 0$. Besitzt nun $W$ genau zwei einfache Spiegelungen $s$ und $t$, so betrachten wir im Gruppenring die Elemente $D_x\pdef \sum_{y\leq x}y$ und finden durch elementare Rechnung $$D_x(1+s)=\left\{\begin{array}{ll} 2D_x &\text{falls } xs< x; \\ D_{xs} +D_{xt} &\text{falls } xs> x \text{ und }x\neq e; \\ D_{xs} &\text{falls } x= e\text{ oder }x= t. \end{array}\right.$$ Im Fall $sts=tst$ alias $\mathfrak g=\mathfrak{sl}(3;\DC)$ "uberzeugt man sich nun leicht, da"s wir notwendig $C_x=D_x$ erhalten und damit $$[\Delta_x:L_y]=\left\{\begin{array}{ll} 1 &\text{falls } y\geq x; \\ 0 &\text{sonst}. \end{array}\right.$$ In derselben Weise erh"alt man im Fall einer beliebigen halbeinfachen Liealgebra f"ur ein $\rho$-dominantes Gewicht $\lambda$ mit $|W_{\bar\lambda}|\leq 6$ und beliebige $\mu,\nu\in W_{\bar\lambda}\cdot\lambda$ die Multiplizit"aten $$[\Delta(\mu):L(\nu)]=\left\{\begin{array}{ll} 1 &\text{falls } \nu\ua\mu; \\ 0 &\text{sonst}. \end{array}\right.$$ Im allgemeinen liegen die Verh"altnisse jedoch nicht so einfach, wie im weiteren ausgef"uhrt werden soll. \end{Bemerkungl} \newpage \section{Kazhdan-Lusztig-Theorie} \subsection{Iwahori-Hecke-Algebra} \begin{Bemerkungl} Gegeben $G \supset B$ eine Gruppe mit einer endlichen Untergruppe k"onnen wir im Gruppenring $\Bbb{Z} G$ mit der Konvolution $\ast$ als Multiplikation die additive Untergruppe $\cal{H} (G,B)$ der $B$-Biinvarianten betrachten. Eine $\Bbb{Z}$-Basis dieser Untergruppe bilden die charakteristischen Funktionen der $B$-Doppelneben\-klas\-sen.\label{NHA} Die Untergruppe $\cal{H} (G,B)\subset \Bbb{Z} G$ ist zwar abgeschlossen unter der Konvolution, besitzt jedoch im allgemeinen in Bezug auf diese Multiplikation kein Einselement. Um das zu korrigieren f"uhren wir auf $\cal{H} (G,B)$ eine neue Multiplikation ein durch die Vorschrift $$f \ast_B g \pdef \frac{1}{|B|}( f\ast g)$$ und erhalten so einen Ring mit der charakteristischen Funktion von $B$ als Einselement, die sogenannte \defind{Hecke-Algebra} zu $G \supset B$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ursprung der Terminologie}] In \ref{wbH} \nichtfinal{(Chaos zur Darstellungstheorie)} werde ich diskutieren, wie man diese Konstruktion auf den Fall einer beliebigen Untergruppe $B$ verallgemeinern kann, und inwiefern gewisse Erzeuger der Hecke-Algebra zu $\op{GL}(2;\DR)\supset\op{GL}(2;\DZ)$ dann gerade den Operatoren entsprechen, die Hecke in die Theorie der Modulformen eingef"uhrt hat und denen unsere Hecke-Algebra ihren Namen verdankt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{KHA} Bezeichne $\Bbb{F}_{q}$ den endlichen K"orper mit $q$ Elementen. Wir interessieren uns f"ur den Fall der endlichen Gruppe $G=\op{GL}(n;\Bbb{F}_{q})$ mit der Untergruppe $B$ der oberen Dreiecksmatrizen. Nach \eref{BruZ}{LA2} ist $G$ die disjunkte Vereinigung der $B$-Doppelnebenklassen zu Permutationsmatrizen, in Formeln $$\op{GL} (n;\Bbb{F}_{q}) = \coprod_{w \in \cal{S}_n} B w B$$ Die charakteristischen Funktionen $T_{x}$ der Doppelnebenklassen $B x B$ f"ur $x\in \cal{S}_n$ bilden folglich eine $\DZ$-Basis der Hecke-Algebra $\cal{H}=\cal{H} (G,B)$. Bezeichne $l(x)$ die Zahl der Fehlst"ande alias die {\bf L"ange} der Permutation $x$ in Bezug auf die Menge $S$ der Transpositionen benachbarter Elemente, die genau die einfachen Spiegelungen sind in Bezug auf das durch $B$ gegebene System positiver Wurzeln. Wir behaupten f"ur die Multiplikation $\ast_B$ in dieser Heckealgebra, die wir von nun an einfach durch Hintereinanderschreiben notieren, die Formeln \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildMiPa}\\[4mm] \noindent Die Untergruppe $B\amalg BsB$ im Fall der Transposition benachbarter Elemente $s=(2,3)$ in der $\op{GL}(6)$. \end{Bild} $$ \begin{array}{ccll} T_{x} T_{y}& =& T_{xy}&\text{ falls } l (x) + l(y) = l(xy);\\[2mm] T^{2}_{s}& =& q T_{e} + (q-1) T_{s}&\text{ f"ur $s$ von der L"ange }l(s)=1. \end{array}$$ In der Tat kennen wir aus "Ubung \eref{BruK}{LA2} f"ur die Kardinalit"aten der Doppelnebenklassen die Formel $|BxB|=q^{l(x)}|B|$. F"ur $x,y$ mit $l (x) + l(y) = l(xy)$ liefert die Multiplikation $Bx B \times_{B} By B \ra G$ sicher eine Abbildung, deren Bild $BxyB$ umfa"st. Ein Vergleich der Kardinalit"aten zeigt dann, da"s sie sogar eine Bijektion mit $ Bxy B$ liefern mu"s, und das zeigt die erste Formel. Ist $s\in\cal{S}_n$ von der L"ange $l(s)=1$, also die Vertauschung zweier benachbarter Elemente von $\{1,\ldots,n\}$, so erkennt man leicht, da"s $B \amalg B s B$ eine Untergruppe ist, n"amlich die Untergruppe aller invertierbaren Block-obere-Dreiecksmatrizen mit lauter $(1\times 1)$-Bl"ocken aber einem $(2\times 2)$-Block auf der Diagonalen, und da"s diese Untergruppe genau $(q+1)|B|$ Elemente hat. Es folgt $(T_s+T_{e})\ast(T_s+T_{e})=(q+1)|B|(T_s+T_{e})$ und in der Hecke-Algebra mit dem neutralen Element $1=T_{e}$ gilt folglich $(T_s+1)^2=(q+1)(T_s+1)$ alias $T^{2}_{s} = (q-1) T_{s}+q$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}\label{KHAc} Haben wir allgemeiner eine zusammenh"angende reduktive algebraische Gruppe "uber dem endlichen $q$-elementigen K"orper $\Bbb{F}_{q}$ mit einer Borel'schen und bezeichnet $G \supset B $ die zugeh"origen endlichen Gruppen $\Bbb{F}_{q}$-wertiger Punkte, so gilt das Vorhergehende entsprechend, sobald wir in unserer Borel'schen eine Cartan'sche w"ahlen und statt mit $\cal{S}_n$ allgemeiner mit der zugeh"origen Weylgruppe $W$ und der darauf durch die Borel'sche festgelegten L"angenfunktion arbeiten. Die Elemente der L"ange Eins hei"sen in dieser Allgemeinheit die \glqq einfachen Spiegelungen\grqq. \end{Bemerkungw} \begin{Lemma}[\textbf{Universelle Strukturkonstanten}] F"ur die symmetrische Gruppe $W\pdef \mathcal S_n$ mit dem\label{gH} System einfacher Spiegelungen $S\pdef \{(i,i+1)\mid 1\leq ix$ und $T_x T_s=T_{xs}T_s^2=qT_{xs} + (q-1)T_x $ falls $xsx;\\[2mm] q T_{sx} + (q-1) T_{x}&\text{ falls } sxx;\\ H_{xs}+v^{-1}H_x&\text{falls }xs z;\\ v^{-2}T_{zs} + v^{-2}T_{z} & zs x;\\[2mm] (v+v^{-1}) \underline{H}_{x}& \text{falls } xs x$ folgt aus der im ersten Existenzbeweis gegebenen induktiven Konstruktion der ${\underline H}_x$. Der Fall $xsx$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Die Berechnung kleiner Beispiele k"onnte zu der Vermutung verleiten, da"s im Fall der symmetrischen Gruppe diese $\mu(y,x)$ stets Null oder Eins sind. Das ist jedoch nicht der Fall, siehe \cite{MG}. \end{Bemerkungl} \begin{Theorem}[\cite{KL-C}]\label{SDD} F\"ur alle $x\in W $ gibt es genau ein selbstduales $\underline {\tilde{H}}_x\in\cal{H}$ mit ${\tilde{\underline H}}_x\in H_x+\sum_y v^{-1}\Bbb{Z}[v^{-1}] H_y$. \end{Theorem} \begin{Bemerkungl} Urspr\"unglich wurden die Kazhdan-Lusztig-Polynome in \cite{KL-C} mithilfe dieser selbstdualen Basis definiert. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Man kann diese Aussage "ahnlich beweisen wie die analoge Aussage \ref{KL}. Wir geben hier einen anderen Beweis, der gleichzeitig die enge Beziehung zwischen $\underline {\tilde{H}}_x$ und ${\underline H}_x$ zeigt. Dazu betrachten wir den Automorphismus $ab:\cal{H}\ra \cal{H}, $ $v\mapsto v^{-1}$, $H_x\mapsto (-1)^{l(x)} H_x$, wir k"onnen und m"ussen also $\underline {\tilde{H}}_x= (-1)^{l(x)}ab ({\underline H}_x)$ nehmen und erhalten zus\"atzlich zur Existenz von $\underline {\tilde{H}}_x$ noch die Formel \begin{center} $\underline {\tilde{H}}_x=\sum_y (-1)^{l(x)+l(y)}{\overline h}_{y,x}H_y$ \end{center}\vspace{-0.7cm}\end{proof} \begin{Proposition}[\cite{KL-C}] \label{ff} Sei $ W $ endlich und $w_\circ\in W $ das l\"angste Element und $\index{r@$r$, Zahl der positiven Wurzeln}r= l(w_\circ)$ seine L\"ange. So gilt ${\underline H}_{w}=\sum_{y\in W } v^{r-l(y)} H_y$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $R$ die rechte Seite. Aus unseren Formeln f\"ur die Operation von ${{\underline H}_s}$ folgt $ \{ H\in \cal{H}\mid H {{\underline H}_s}=(v+v^{-1}) H \quad\forall s\in S \}=\cal{L} R. $ Damit gilt ${\overline R}\in \cal{L} R$ und dann sofort ${\overline R}=R$, mithin $R={\underline H}_{w}$. \end{proof} \begin{Ubung}\label{QSDH} Sei $ W $ endlich und $w\in W $ das l\"angste Element. Man zeige durch Induktion "uber $l(x)$ f"ur alle $x\in W $ die Formeln $H_x {\underline H}_{w}= {\underline H}_{w} H_x=v^{-l(x)}{\underline H}_{w}$. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl}\label{HoM} Jeder mit der Materie vertraute Leser wird hier die Inversionsformeln aus \cite{KL-C} f\"ur endliche Coxeter-Gruppen vermissen. \emph{Wir m"ussen sie hier behandeln und auch ein Beispiel geben mit h"oheren Multiplizit"aten.} Wir behandeln sie im folgenden Abschnitt in einem allgemeineren Kontext, siehe \ref{invn}. \end{Bemerkungl} \subsection{Kazhdan-Lusztig-Theorie} Mu"s auch $[\Delta(x\cdot 0), L(y\cdot 0)]= h_{x,y}(1)$ zeigen! Das sind dann aber die Inversionsformeln f"ur Kazhdan-Lusztig-Polynome. \begin{Proposition} F"ur beliebiges $\lambda\in\frak{h}^\ast$ gilt in der Grothendieckgruppe der Kategorie $\cal{O}$ die Formel\label{JHEx} $$[L(\lambda)] = \sum_{i,\mu} (-1)^{i} \op{dim}_{\Bbb{C}} \op{Ext}^{i}_{\cal{O}} (\Delta(\mu), L(\lambda))\;\; [\Delta(\mu)]$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Mit der Bilinearform \ref{BiBGG} auf der Grothendieckgruppe von $\cal{O}$ k"onnen wir die behauptete Formel in der Gestalt $[L(\lambda)] = \sum_{\mu} \langle\Delta(\mu), L(\lambda)\rangle\; [\Delta(\mu)]$ schreiben. Das ist die "ubliche Formel f"ur die Darstellung eines Vektors aus einem euklidischen Vektorraum oder einem Gitter in einer Orthonormalbasis. Man pr"uft sie auch in unserem Fall leicht direkt durch Paaren mit allen $[\Delta(\nu)]$ auf beiden Seiten. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Die Proposition zeigt, wie die Kenntnis der Dimensionen gewisser Erweiterungen Charakterformeln f"ur einfache h"ochste Gewichtsmoduln liefert. Die sogenannten Kazhdan-Lusztig-Vermutungen, mittlerweile ein Theorem von Bei\-lin\-son-Bern\-stein und Brylinski-Kashiwara, liefern nun zumindest f"ur trivialen zentralen Charakter eine kombinatorische Formel f"ur die Dimensionen dieser Erweiterungen. Wir verwenden im folgenden die abk"urzenden Notationen $L_{x} = {\op{L}} (w_{0} x \cdot 0)$, $\Delta_{x} = \Delta(w_{0} x \cdot 0)$, $\nabla_{x} = \nabla(w_{0} x \cdot 0)$ und $\op{Ext}^{i}=\op{Ext}^{i}_{\cal{O}}$, so da"s zum Beispiel $L_e=\Delta_e=\Delta(-2\rho)$ ein einfacher Vermamodul ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Kazhdan-Lusztig-Vermutung}]\label{KLV} F"ur alle $x\in W$ gilt $$\underline{H}_{x}=\sum_{i,y} v^{i}\op{dim} \op{Ext}^{i} (\Delta_{y}, L_{x})\; H_{y} $$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Leider kann ich f"ur dieses Resultat keinen vollst"andigen Beweis geben, sondern nur eine Herleitung aus der Annahme der vollst"andigen Reduzibilit"at der sogenannten Jantzenmitten \ref{VRJM}. Obwohl hier also eine L"ucke offen bleibt, will ich die Argumentation doch so weit treiben, da"s die ohne Beweis hinzunehmende Behauptung struktureller und nicht kombinatorischer Natur ist. Die Argumentation wird sich bis zum Ende dieses Abschnitts hinziehen. Der Satz wird dann bewiesen im Anschlu"s an seine Umformulierung zu \ref{UKL}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sind $x \in W$ und $s \in S$ gegeben mit $xs < x$, so verschwindet die Komposition der durch die Einheit und Koeinheit der Adjunktion gegebenen Abbildungen $L_{xs} \hookrightarrow \vartheta_{s} L_{xs} \twoheadrightarrow L_{xs}$. Diese sind nicht Null, da sie unter einer Adjunktion der Identit"at auf einem von Null verschiedenen Objekt entsprechen. Sie sind dann injektiv beziehungsweise surjektiv, da sie von einem einfachen Objekt ausgehen beziehungsweise in einem einfachen Objekt landen. Die einzige Kohomologiegruppe dieses Komplexes hei"st die \defind{Jantzen-Mitte} von $\vartheta_{s}L_{xs}$. Wir notieren sie $$Q_{x}=Q_{x}^{s}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Mit $L_{xs}$ ist nach \ref{EVW} auch $\vartheta_{s}L_{xs}$ und damit seine Jantzenmitte selbstdual. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Vollst"andige Reduzibilit"at der Jantzenmitten}] F"ur alle $x \in W$ und $s \in S$ mit $xs < x$ ist die Jantzenmitte $Q_{x} = Q_{x}^{s}$ eine direkte Summe von einfachen Darstellungen.\label{VRJM} \end{Satz} \begin{proof}[Entschuldigung f"ur das Auslassen des Beweises] Der "ubliche Beweis dieser Behauptung benutzt Hilfsmittel aus der algebraischen Geometrie, genauer Verallgemeinerungen der von Deligne bewiesenen Weil-Vermutungen auf algebraische Familien von m"oglicherweise singul"aren Variet"aten, deren Behandlung ein Studium der \'etalen Kohomologietheorie voraussetzt. Ein neuerer Zugang "uber spezielle Bimoduln von Elias-Williamson ist zwar sehr viel k"urzer, w"urde aber dennoch den Rahmen dieser Vorlesung sprengen. Wir m"ussen deshalb diese Behauptung ohne Beweis hinnehmen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} F"ur $s \in S$ w"ahlen wir nun einen Punkt $\mu \in \frak{X} \cap \frak{h}^{\ast}_{\op{dom}}$ mit $W_{\mu} = \langle s \rangle$ und k"urzen die Verschiebung \defind{auf die $s$-Wand} beziehungsweise \defind{aus der $s$-Wand} ab mit $$T^{s} \pdef T^{\mu}_{0}\;\; \text{ beziehungsweise }\;\; T_{s}\pdef T^{0}_{\mu}.$$ Gegeben $x \in W$ mit $xs < x$ haben wir also $\Delta_{xs} \subset \Delta_{x}$ und $T^{s} \Delta_{x} \cong T^{s}\Delta_{xs}$ ist ein Vermamodul mit einfachem Quotienten $T^{s}L_{xs}$, wohingegen gilt $T^{s}L_{x} =0$, siehe \ref{VEW}. Schlie"slich erinnern wir uns noch aus \ref{EVW} an die kurzen exakten Sequenzen $\Delta_{x} \hookrightarrow \vartheta_{s} \Delta_{x} \twoheadrightarrow \Delta_{xs}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $s\in S$ und $x\in W$ mit $xs y$, so setzen wir rasch $z=ys$, um wieder in unser "ubliches Notationsschema mit $zs