\section{Erinnerungen und Grundlagen} \subsection{Komplexe Zahlen \sose{(19.4)}}\label{FKoZa} \begin{Bemerkungl} Ich beginne mit einer kurzen Wiederholung der Definition des K"orpers der komplexen Zahlen. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/KomplexeZahlen1.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die K\"orperoperationen in den komplexen Zahlen.} F"ur zus"atzliche Details verweise ich auf \eref{KoZa}{LA1}. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Charakterisierung der komplexen Zahlen}] \begin{enumerate} \item Es gibt %existieren Tripel $$(\mathbb{C},\op{i},\kappa)$$ bestehend aus einem K"orper $\mathbb{C}$, einem Element $\op{i}\in \mathbb{C}$ und einem K"orperhomomorphismus $\kappa : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ derart, da"s gilt $\op{i}^2=-1$ und da"s $1$ und $ \op{i}$ eine $\mathbb{R}$-Basis von $\mathbb{C}$ bilden; \item Derartige Tripel sind eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus. Ist genauer $(\mathbb{C}^\prime, \op{i}^\prime, \kappa^\prime)$ ein weiteres derartiges Tripel, so gibt es genau einen K"or\-per\-ho\-mo\-mor\-phis\-mus $\varphi : \mathbb{C} \ra \mathbb{C}^\prime$ mit $\varphi : \op{i} \mapsto \op{i}^\prime$ und $\varphi \circ \kappa = \kappa^\prime$. \end{enumerate}\label{FCCZ} \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{FDDC} Wir w"ahlen f"ur den weiteren Verlauf der Vorlesung ein festes Tripel $(\mathbb{C},\op{i},\kappa)$ der im Satz beschriebenen Art. Wegen der im zweiten Teil des Satzes formulierten \glqq Eindeutigkeit bis auf eindeutigen Isomorphismus\grqq\ erlauben wir uns den bestimmten Artikel\index{C@$\DC$ komplexe Zahlen} und nennen $\DC$ den {\bf K"orper der komplexen Zahlen}\index{komplexe Zahlen}.\index{Zahl!komplexe} Weiter k"urzen wir f"ur reelle Zahlen $a\in\DR$ stets $\kappa(a)=a$ ab und gehen sogar so weit, die reellen Zahlen vermittels $\kappa$ als Teilmenge von $\mathbb{C}$ aufzufassen.\index{i@$\op{i}$ Wurzel aus $-1$ in $\DC$} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Es ist "ublich, komplexe Zahlen mit $z$ zu bezeichnen und als $z = x+y{\op{i}}$ zu schreiben mit $x,y\in\DR$. Man mag sich die komplexe Zahl $z = x+y{\op{i}}$ vorstellen als den Punkt $(x,y)$ der Koordinatenebene $\Bbb{R}^{2}$. Wenn wir an diese Vorstellung appelieren wollen, reden wir von der {\bf komplexen Zahlenebene}.\index{Zahlenebene} Unter dieser Identifikation von $\DC $ mit $ \Bbb{R}^{2}$ bedeutet f"ur $w\in\DC$ die Additionsabbildung $(w +) : \DC \ra \DC$, $z \mapsto w + z$ anschaulich die Verschiebung um den Vektor $w$. Die Multiplikationsabbildung $(w\cdot) : \DC \ra \DC$, $z \mapsto wz$ dahingegen bedeutet anschaulich diejenige Drehstreckung, die $1=1_\DC=(1,0)$ in $w$ "uberf"uhrt. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0018} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Anschauung f"ur das Quadrieren komplexer Zahlen in ihrer anschaulichen Interpretation als Punkte der komplexen Zahlenebene \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{FDNcc} Gegeben eine komplexe Zahl $z = x+y{\op{i}}$ mit $x,y\in\DR$ nennt man $x$ ihren {\bf Realteil}\index{Realteil!bei komplexen Zahlen} $\op{Re} z \pdef x$ und $y$ ihren {\bf Imagin"arteil}\index{Imagin"arteil!bei komplexen Zahlen} $ \op{Im} z \pdef y$. Wir haben damit zwei Funktionen $$\op{Re}, \op{Im} : \DC \ra \Bbb{R}$$ definiert und es gilt $z = \op{Re} z + {\op{i}}\op{Im} z$ f"ur alle $z \in \DC$. Man erkl"art weiter die {\bf Norm}\index{Norm!einer komplexen Zahl} $| z| $ einer komplexen Zahl $z = x+y{\op{i}}\in \DC$ durch $| z| \pdef \sqrt{x^{2}+y^{2}} \in \Bbb{R}_{\geq 0}$. Im Fall einer reellen Zahl $x\in\DR$ ist diese Norm der Absolutbetrag aus \eref{AbsB}{AN1}, in Formeln $|x|=|x|$. In der Anschauung der komplexen Zahlenebene bedeutet die Norm einer komplexen Zahl ihren Abstand vom Ursprung. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildQCo} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Dies Bild soll zus"atzliche Anschauung f"ur die Abbildung $z\mapsto z^2$ der komplexen Zahlenebene auf sich selbst vermitteln. Es stellt diese Abbildung dar als die Komposition einer Abbildung der Einheitskreisscheibe auf eine r"aumliche sich selbst durchdringende Fl"ache, gegeben in etwa durch eine Formel der Gestalt $z\mapsto (z^2,\varepsilon(\op{Im}z))$ in $\DC\times \DR\cong \DR^3$ f"ur geeignetes monotones und in einer Umgebung von Null streng monotones $\varepsilon$, gefolgt von einer senkrechten Projektion auf die ersten beiden Koordinaten. Das hat den Vorteil, da"s im ersten Schritt nur Punkte der reellen Achse identifiziert werden, was man sich leicht wegdenken kann, und da"s der zweite Schritt eine sehr anschauliche Bedeutung hat, eben die senkrechte Projektion. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Bei rechtem Lichte besehen scheint mir an dieser Terminologie absonderlich, da"s der Imagin"arteil einer komplexen Zahl eine reelle Zahl sein soll, aber so hat es sich nun einmal eingeb"urgert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Stellen wir uns $| z| $ vor als den Streckfaktor der Drehstreckung $(z \cdot)$, so wird anschaulich klar, da"s f"ur alle $z,w\in\DC$ gelten mu"s $$| zw| =| z| |w| $$ Besonders bequem rechnet man diese Formel nach, indem man zun"achst f"ur $z = x + y{\op{i}}\in \DC$ die {\bf konjugierte komplexe Zahl}\index{konjugierte komplexe Zahl} $\bar{z} = x-y{\op{i}}\in \DC$ einf"uhrt. Im Bild der komplexen Zahlenebene bedeutet das komplexe Konjugieren anschaulich die Spiegelung an der reellen Achse. Nun pr"uft man durch explizite Rechnung unschwer die Formeln $$\begin{array}{rcl} \overline{z + w} &=& \bar{z} + \bar{w}\\ \overline{z \cdot w}&=& \bar{z} \cdot \bar{w} \\ {| z| }^{2}& =& z\bar{z} \end{array}$$ Dann rechnet man einfach $$| zw| ^{2} = zw \overline{z}\overline{w} = z \bar{z}w \bar{w}= | z| ^{2} | w| ^{2}$$ In der Terminologie aus \eref{KoIs}{GR} ist die komplexe Konjugation $z\mapsto \bar{z}$ ein K"orperisomorphismus $\DC\sira\DC$. Offensichtlich gilt auch $\bar{\bar{z}}=z$ und ebenso offensichtlich gilt $|z|=|\bar z|$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur unsere Norm komplexer Zahlen aus \ref{FDNcc} gilt offensichtlich $$| z| =0 \Leftrightarrow z=0$$ Weiter gilt die {\bf Dreiecksungleichung}\index{Dreiecksungleichung!f"ur komplexen Absolutbetrag} $$| z+ w| \leq | z| +| w| $$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir k"onnen den Realteil und den Imagin"arteil von $z \in \DC$ mithilfe der konjugierten komplexen Zahl ausdr"ucken als $$\op{Re} z = \frac{z + \bar{z}}{ 2}\qquad \op{Im} z = \frac{z-\bar{z}}{2{\op{i}}}$$ Weiter gilt offensichtlich\label{FKrGr} $ z= \bar{z} \Leftrightarrow z \in \Bbb{R} $. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0017} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Anschauung f"ur das Invertieren komplexer Zahlen \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} F"ur eine komplexe Zahl $z$ der Norm $| z| =1$ ist die konjugierte komplexe Zahl gerade ihre Inverse, in Formeln gilt sogar $| z| =1\Rightarrow \bar{z}=z^{-1}$. Im Bild der komplexen Zahlenebene kann man das Bilden des Inversen einer von Null verschiedenen komplexen Zahl anschaulich interpretieren als die \glqq Spiegelung\grqq\ oder pr"aziser \defind{Inversion} am Einheitskreis $z\mapsto z/|z|^2$ gefolgt von der Spiegelung an der reellen Achse $z\mapsto\bar{z}$. Der Einheitskreis $S^1\pdef\{z\in\DC^\times\mid |z|=1\}$\index{S@$S^1$ Einheitskreis} ist insbesondere eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe des K"orpers der komplexen Zahlen und die Multiplikation liefert einen Gruppenisomorphismus $\DR_{>0}\times S^1\sira \DC^\times$. Wir nennen $S^1$ die {\bf Kreisgruppe}.\index{Kreisgruppe} \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man bestimme Real- und Imagin"arteil einer Quadratwurzel von $\op{i}$. Man bestimme Real- und Imagin"arteil einer Quadratwurzel von $1+\op{i}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine von Null verschiedene komplexe Zahl $z=x+{\op{i}}y$ zeige man f"ur Real- und Imagin"arteil ihrer Inversen die Formeln $\op{Re}(z^{-1})=x/(x^2+y^2)$ und $\op{Im}(z^{-1})=-y/(x^2+y^2)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine komplexe Zahl $z\neq -1$ vom Betrag $|z|=1$ zeige man, da"s sie genau eine Wurzel $w$ mit positivem Realteil hat und da"s diese gegeben wird durch $w=a/|a|$ f"ur $a=(1+z)/2$. K"onnen Sie auch die geometrische Bedeutung dieser Formel erkl"aren? Man folgere, da"s gegeben $\varepsilon>0$ beliebig\label{FWeKr} jedes Element von $S^1$ eine Potenz eines Elements $z$ mit Realteil $\op{Re}(z)>1-\varepsilon$ ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{FGeIn} Eine Teilmenge von $\DC\amalg\{\infty\}$ hei"st ein {\bf verallgemeinerter Kreis},\index{Kreis!verallgemeinerter} wenn sie entweder ein Kreis $$K(a;r)\pdef\{z\in\DC\mid |z-a|^2=r^2\}$$ ist f"ur $a\in\DC$ und $r>0$ oder aber eine reelle affine Gerade vereinigt mit dem Punkt $\infty$. Man pr"ufe, da"s die Selbstabbildung von $\DC\amalg\{\infty\}$ mit $z\mapsto z^{-1}$ f"ur $z\in\DC^\times$ und $0\mapsto \infty$ und $\infty\mapsto 0$ verallgemeinerte Kreise in verallgemeinerte Kreise "uberf"uhrt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein K"orper $k$ bezeichnet $\mathbb P^n k$ die Menge der Ursprungsgeraden in $k^{n+1}$ mit ihrer offensichtlichen transitiven Operation von $\op{GL}(n+1;k)$. Sie hei"st der {\bf $n$-dimensionale projektive Raum "uber $k$} nach dem Spezialfall der {\bf reellen projektiven Ebene $\DP^2\DR$}, die grundlegend ist f"ur die perspektivische Darstellung r"aumlicher Objekte. Im Spezialfall der {\bf projektiven Gerade} erinnern wir die {\bf Standardbijektion} $$\op{std}: k\sqcup\{\infty\}\sira \mathbb P^1 k$$ gegeben durch $z \mapsto \langle 1,z\rangle$ und $\infty \mapsto \langle 0,1\rangle$ mit der Notation $\langle x,y\rangle$ f"ur die von $(x,y)\in k^2\backslash 0$ erzeugte Ursprungsgerade. Man zeige f"ur $g\pdef {(^{a}_{c}}\; {^b_d)}\in \op{GL}(2;k)$ und $z\in k$ mit $a+bz\neq 0$ die Identit"at $$g \op{std}(z)= \op{std}\left(\frac{c+d z}{a + bz}\right)$$ und diskutiere, wodurch $\frac{c+d z}{a + bz}$ f"ur $z$ mit $a+bz= 0$ ersetzt werden mu"s, damit unsere Identit"at auch f"ur diese $z$ g"ultig bleibt. \end{Ubung} \begin{Ubungw} Wenn Sie mit den entsprechenden Begriffen aus der Topologie vertraut sind, m"ogen Sie weiter zeigen, da"s unsere Standardbijektion im Fall $k=\DR,\DC$ ein Hom"oomorphismus ist von der Einpunktkompaktifizierung des jeweiligen K"orpers in die jeweilige projektive Gerade mit ihrer Finaltopologie in Bezug auf die Projektion $k^2\backslash 0\sra \mathbb P^1 k$. Weiter m"ogen Sie Hom"oomorphismen $S^1\sira \mathbb P^1\DR$ und $S^2\sira \mathbb P^1\DC$ konstruieren. Die komplexe projektive Gerade $\mathbb P^1\DC$ hei"st auch die {\bf Riemann'sche Zahlenkugel}. \end{Ubungw} \begin{Ubung}[\textbf{Transitive Operation von $\op{SL}(2;\DR)$ auf der oberen Halbebene}] Die offensichtliche Einbettung $\mathbb P^1\DR\hra \mathbb P^1\DC$ hat als Bild eine unter $\op{GL}(2;\DR)$ stabile Teilmenge, die mit dem Bild von $\DR\amalg\{\infty\}$ unter unserer Standardbijektion zusammenf"allt. Wir erhalten so eine Operation von $\op{GL}(2;\DR)$ auf $\DC\backslash \DR$ gegeben durch \begin{displaymath} \begin{pmatrix} a &b \\ c & d \end{pmatrix} : z \mapsto \frac{c+d z}{a + bz} \end{displaymath} Man zeige, da"s $\op{SL}(2;\DR)$ darunter die obere Halbebene $H\pdef \{z\in\DC\mid\op{Im}z>0\}$ stabilisiert und darauf transitiv operiert. \label{Traoh} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Identifikation von Halbebene und Einheitskreisscheibe}] Man zeige, da"s die Kreisspiegelung am Kreis mit Zentrum bei ${\op{i}}$ durch die Punkte $\pm 1$, in Formeln die Abbildung $s: {\op{i}} + w\mapsto {\op{i}} + (2w/|w|^2)$, die reelle Zahlengerade auf den Einheitskreis und den Einheitskreis ohne ${\op{i}}$ miteinander vertauscht und da"s sie die offene obere Halbebene $H$ mit der offenen Einheitskreisscheibe $E$ identifiziert, in Formeln $$s:H\sira E$$ Hinweis: \ref{FGeIn}. Schalten wir noch $z\mapsto -\bar z$ dahinter, so sehen wir, da"s die rationale Funktion ${\op{i}} + w\mapsto {\op{i}} - (2w^{-1})$ alias $k: z\mapsto {\op{i}}- 2/(z-{\op{i}})$ dasselbe tut,\label{Bioh} in Formeln $$k:H\sira E$$ \end{Ubung} \subsection{Komplexe Exponentialfunktion \sose{(21.4)}}\label{FeC} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Stetigkeit im Komplexen}] Wir erinnern aus \eref{DeStm}{AN1} den Begriff der Stetigkeit in mehreren reellen Ver"anderlichen. Wenn wir im Kontext von komplexen Ver"anderlichen von Stetigkeit reden, denken wir uns stets unsere "ubliche Identifikation $\DR^2\sira \DC$ dazu. Damit ist zum Beispiel eine Funktion $\DR\ra\DC$ genau dann stetig, wenn ihr Realteil und ihr Imagin"arteil stetig sind. Zur "Ubung m"ogen sie die Stetigkeit von Addition und Multiplikation $\DC^2\ra\DC$ zeigen sowie die Stetigkeit des Invertierens $\DC^\times\ra \DC^\times$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} F"ur jede komplexe Zahl $z \in \DC$ erkl"aren wir eine weitere komplexe Zahl $\exp z \in \DC$ durch die Vorschrift $$\exp z \pdef \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!} z^{k}$$ Diese Reihe konvergiert f"ur alle $z \in \DC$ absolut in Real- und Imagin"arteil, etwa aufgrund der Absch"atzungen $|\op{Re} z^{k}|,|\op{Im} z^{k}| \leq |z^{k}| = |z|^{k}$ zusammen mit dem Majorantenkriterium, wenn man die reelle Exponen\-tialreihe als Majorante verwendet. Wir erhalten folglich eine Abbildung $\exp : \DC \ra \DC,$ die {\bf komplexe Exponentialfunktion}\index{komplexe Exponentialfunktion}. \end{Definition} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildExC} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Auch f"ur komplexes $z$ zeigt man wie in \eref{EEE}{AN1} die Formel $$\exp (z) = \lim_{n\ra \infty} \left(1+ \frac{z}{n} \right)^{n}$$ Das Bild stellt unter anderem den vierten Term dieser Folge im Fall $z=\op{i}$ dar. Ich finde, man kann recht gut erkennen, wie diese Folge bei wachsendem $n$ gegen den Punkt auf der Kreislinie konvergiert, f"ur den das Segment der Kreislinie, das von ihm zur reellen Achse herunterl"auft, die L"ange Eins hat. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erste Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion}] \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/KomplexeExp.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die komplexe Exponentialfunktion.} Man pr"uft genau wie im Reellen \eref{FdE}{AN1} auch im Komplexen\label{FEKEm} die {\bf Funktionalgleichung} $$\exp (z+w) = (\exp z) (\exp w)$$ Die Identit"at $\exp(0)=1$ ist eh klar. In der Sprache der Algebra ausgedr"uckt ist die Exponentialfunktion also ein Monoidhomomorphismus $(\DC,+)\ra (\DC,\cdot)$ und induziert nach \eref{mug}{GR} folglich einen Gruppenhomomorphismus zwischen den Gruppen der invertierbaren Elemente unserer Monoide alias einen Gruppenhomomorphismus $(\DC,+)\ra (\DC^\times,\cdot)$ von der additiven Gruppe der komplexen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen komplexen Zahlen. Insbesondere folgt $\exp (-z) = (\exp z)^{-1}$. Aus der Vertauschbarkeit der komplexen Konjugation mit Summe und Produkt und der Stetigkeit der komplexen Konjegation folgern wir auch noch $$\exp ({\bar z}) =\overline{\exp z}\quad \forall z \in \DC$$ F"ur den Betrag von $\exp z$ erhalten wir dann $$\begin{array}{lcl} |\exp z|^{2} &=& \exp z \;{\bar{\exp z}}\\ &=& \exp z \;\exp \bar{z}\\ &=& \exp (z+\bar{z})\\ &=& \exp (2\op{Re} z) \end{array}$$ Folglich gilt $|\exp z| = \exp (\op{Re} z)$ und speziell $|\exp (\op{i}t)| =1$ f"ur alle $t\in\Bbb{R}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich gehe davon aus, da"s Sie mit der {\bf Euler'schen Formel}\label{Euf} $$\op{exp}({\op{i}}t)=\cos (t)+{\op{i}}\sin (t)$$ vertraut sind. Es gibt verschiedene Zug"ange zur Theorie der trigonometrischen Funktionen und jeder Zugang ben"otigt einen daran angepa"sten Beweis dieser Formel. Ich will hier die Euler'sche Formel als Definition der Funktionen Sinus und Cosinus ansehen. Dann muß man, um den Bezug zur aus der Schule bekannten Anschauung herzustellen, nur nachweisen, da"s die Funktion $\gamma:\DR\ra \DC$ gegeben durch $\gamma(t)\pdef \op{exp}({\op{i}}t)$ differenzierbar ist mit $|\gamma(t)|=|\gamma'(t)|=1\;\forall t$ und $\gamma'(0)={\op{i}}$ und folglich im Bild der komplexen Zahlenebene \glqq den Einheitskreis mit Absolutgeschwindigkeit Eins im Gegenuhrzeigersinn durchl"auft\grqq. Unsere S"atze \eref{PR}{AN1} "uber das gliedweise Ableiten von Potenzreihen liefern aber unmittelbar $\gamma'(0)={\op{i}}$ und mit der Funktionalgleichung $\gamma(s+t)=\gamma(s)\gamma(t)$ folgt unmittelbar $\gamma'(s)=\gamma(s)\gamma'(0)=\gamma(s){\op{i}}$ und so $|\gamma'(s)|=1\;\forall s\in\DR$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Gruppenwege in der Kreisgruppe}] Die stetigen Gruppenhomomorphismen $\DR\ra S^1$ von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die \hyperref[KrGr]{Kreisgruppe} sind genau alle Abbildungen der Gestalt $t\mapsto \op{exp}(a{\op{i}}t)$ mit $a\in \DR$.\label{FEplOO} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dieser Satz geh"ort eigentlich nicht in die Funktionentheorie. Ich behandle ihn hier nur, weil ich ihn f"ur wichtig und grundlegend halte und f"urchte, da"s viele Leser ihn in ihrem bisherigen Studium noch nicht gesehen haben k"onnten. \end{Bemerkungl} \begin{proof} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/GruppenwegeKreis.mp4}{Hier ist ein Film \"uber Gruppenwege in der Kreisgruppe.} Aus \ref{FEKEm} folgt unmittelbar, da"s $\gamma:t\mapsto \op{exp}({\op{i}}t)$ ein Gruppenhomomorphismus mit Bild in der Kreisgruppe $S^1$ ist. Aus der Absch"atzung $$|\op{exp}({\op{i}}t)-\op{exp}({\op{i}}s)| =|\op{exp}({\op{i}}(t-s))-1|\leq \op{exp}(|s-t|)-1$$ folgt, da"s $\gamma$ stetigen Real- und Imagin"arteil hat. Unser Gruppenhomomorphismus ist auch nicht konstant, aus der Reihenentwicklung folgt etwa die Absch"atzung $\op{Re}(\op{exp}({\op{i}}))<1$. Aufgrund der Stetigkeit des Realteils gibt es folglich $c>0$ mit $\op{Re}\gamma(c)<1$ und $t\in[-c,c] \RA\op{Re}\gamma(t)>0$. Ist $\beta:\DR\ra S^1$ ein weiterer Gruppenhomomorphismus mit stetigem Realteil, so gibt es auch $b>0$ mit $t\in[-b,b] \RA\op{Re}\beta(t)\geq \op{Re}\gamma(c)$. Es folgt, da"s wir $g\in [-c,c]$ finden mit $\op{Re}\beta(b)=\op{Re}\gamma(g)$. Indem wir notfalls $g$ durch $-g$ ersetzen, d"urfen wir zus"atzlich $\op{Im}\beta(b)=\op{Im}\gamma(g)$ und damit $$\beta(b)=\gamma(g)$$ annehmen. Daraus aber folgt $\varphi(b/2)=\gamma(g/2)$, denn beide Seiten sind die eindeutig bestimmte Quadratwurzel aus $\beta(b)=\gamma(g)$ mit positivem Realteil. Induktiv folgt erst $\beta(b/2^n)=\gamma(g/2^n)$ f"ur alle $n\in\DN$ und dann $\beta(mb/2^n)=\gamma(mg/2^n)$ f"ur alle $m\in \DZ$ und dann aufgrund der Stetigkeit $\beta(tb)=\gamma(tg)$ f"ur alle $t\in\DR$. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Kern und Bild der komplexen Exponentialfunktion}] Die komplexe Exponentialfunktion ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus $\op{exp}:\DC\sra \DC^\times$ mit Kern $\op{ker}(\exp)=2\pi{\op{i}}\DZ$. \end{Proposition} \begin{proof} Nach \ref{Euf} induziert die Exponentialfunktion eine Surjektion der imagin"aren Geraden ${\op{i}}\DR$ auf den Einheitskreis $S^1=\{ z\in\DC\mid |z|=1\}$. Da"s die Exponentialfunk\-tion\label{FSurCE} eine Bijektion $\DR\sira \DR_{>0}$ induziert, wissen wir bereits aus \eref{SurE}{AN1}. Da sich nun jede von Null verschiedene komplexe Zahl $w$ schreiben l"a"st als Produkt $w=(w/|w|)|w|$ mit $w/|w|$ auf dem Einheitskreis und $|w|$ positiv, ist die Exponentialfunktion nach der Funktionalgleichung sogar eine Surjektion $\op{exp}:\DC\sra \DC^\times$. Der Kern dieses Gruppenhomomorphismus, als da hei"st das Urbild des neutralen Elements $1\in \DC^\times$, besteht aufgrund unserer Gleichung $|\exp z| = \exp (\op{Re} z)$ und der Euler'schen Formel aus allen ganzzahligen Vielfachen von $2\pi{\op{i}}$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Potenzen mit komplexen Exponenten}] F"ur eine reelle Zahl $a>0$ und $z\in \DC$ definieren\label{FEoFo} wir wieder $$a^z\pdef\exp(z\log a)$$ und schreiben insbesondere auch $\exp z=\op{e}^z$ f"ur $z\in\DC$. Mit dieser Notation liest sich die Euler'sche Formel dann als $\op{e}^{{\op{i}}t} = \cos t + {\op{i}}\sin t$. Insbesondere erf"ullen unsere Hauptdarsteller die bemerkenswerte Identit"at $\op{e}^{{\op{i}}\pi} =-1$. Aus $\exp (-{\op{i}}t)= \overline{\exp ({\op{i}}t)}$ folgern wir umgekehrt f"ur alle $t\in\Bbb{R}$ die Formeln $$\cos t = \frac{\op{e}^{{\op{i}}t}+ \op{e}^{-{\op{i}}t}}{2} \quad\text{und}\quad \sin t = \frac{\op{e}^{{\op{i}}t}- \op{e}^{-{\op{i}}t}}{2{\op{i}}}$$ Diese Formeln verwenden wir, um den Sinus und Cosinus zu Funktionen $\DC\ra\DC$ auszudehnen.\index{sin@$\op{sin}$ Sinus!komplexer}\index{cos@$\op{cos}$ Cosinus!komplexer} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{Fclog} Allgemeiner "uberlegt man sich, da"s die komplexe Exponentialfunktion eine Bijektion $\exp : \Bbb{R} + ( - \pi, \pi ] \op{i}\;\sira \;\DC^{\times}$ liefert. Die Umkehrfunktion $$\log : \DC^{\times} \sira \;\Bbb{R} + ( -\pi,\pi] \op{i}$$ hei"st der {\bf Hauptzweig des Logarithmus}. \index{Hauptzweig des Logarithmus} Er\index{Logarithmus!Hauptzweig des komplexen} wird auf der positiven reellen Achse gegeben durch unseren "ublichen Logarithmus $u\mapsto \log u$, auf der oberen beziehungsweise unteren komplexen Halbebene durch die Vorschrift $$\log (u +\op{i}v) = \log \sqrt{u^{2}+v^{2}}\; \pm \op{i}\frac{\pi}{2} -\op{i}\arctan \frac{u}{v} \;\;\;\text{ f"ur }\pm v > 0$$ und auf der negativen reellen Achse durch $u\mapsto \log (-u) + {\op{i}\pi}$. Man beachte, da"s dieser Hauptzweig nicht stetig ist l"angs der negativen reellen Achse, obwohl seine Einschr"ankung auf die negative reelle Achse durchaus stetig ist: Wir haben f"ur $u<0$ genauer $$\lim_{v\searrow 0}\log (u +\op{i}v)= \log (u)=\lim_{v\nearrow 0}\log (u +\op{i}v)+2\pi\op{i}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Problematik komplexer Potenzen}] Setzt man f"ur $a\in\DC^\times$ und $b\in\DC$ "ahnlich wie im Reellen $a^b\pdef \exp(b\log a)$ mit $\log$ dem in \ref{Fclog} definierten Hauptzweig des\label{Fahb} komplexen Logarithmus, so ergibt sich $\op{i}^{\op{i}}=\exp(-\pi/2)$. Insbesondere ist in diesem Sinne also $\op{i}^{\op{i}}$ reell. Allerdings ist dann $a\mapsto a^b$ f"ur $b\in\DC\backslash \DZ$ unstetig l"angs der negativen reellen Achse und wir haben im allgemeinen auch $a^{bc}\neq (a^{b})^{c}$. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{FGHCC} Man zeige: Jeder stetige Gruppenhomomorphismus $\DR\ra \DC^\times$ hat die Gestalt $t\mapsto \exp(at)$ f"ur genau eine komplexe Zahl $a\in \DC$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Nichtexistenz stetiger komplexer Wurzelfunktionen}] Hinweis: G"abe es eine stetige Funktion $w :\DC^\times\ra \DC^\times$ mit $w(z)^2=z$ f"ur alle $z$, so folgte $w(z^2)=\pm z$ f"ur alle $z$ und damit w"are $\varepsilon: z\mapsto w(z^2)/z$ eine stetige Funktion $\varepsilon:\DC^\times\ra \{1,-1\}$ mit\label{FsteW} $\varepsilon(-z)=-\varepsilon(z)$. Man f"uhre das zum Widerspruch. \end{Ubung} %\begin{Ubunge}[\textbf{Problematik komplexer Wurzelfunktionen}] %Man zeige, da"s es nicht m"oglich ist, in stetiger Weise zu %jeder komplexen Zahl eine Wurzel zu w"ahlen, da"s es also keine %stetige Abbildung $w : \Bbb{C} \rightarrow \Bbb{C}$ gibt mit %$w (z)^2 = z \; \forall z \in \Bbb{C}$.\label{FsteW} %Hinweis: Man pr"ufe, da"s die Funktion $w (\exp (z)) \exp (-z/2)$ einerseits %konstant sein m"u"ste, aber andererseits nicht denselben Wert bei $0$ und %$2\pi {\op{i}}$ annehmen w"urde. Die anschauliche %Bedeutung der Aussage mag aus der graphischen Darstellung der Abbildung %$z\mapsto z^2$ in \eref{BKOM}{LA1} klar werden. Im Rahmen der %"Uberlagerungstheorie wird das der Einzeiler \eref{KWU}{TF}. %\end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Der goldene Schnitt im regelm"a"sigen F"unfeck}] In einem regelm"a"sigen F"unfeck stehen die L"angen der Diagonalen zu den L"angen der Seiten im Verh"altnis des goldenen Schnitts. Man pr"ufe diese elementargeometrisch leicht einzusehende Behauptung durch algebraische Rechnung.\label{FRFE} Hinweis: Der goldene Schnitt ist die positive L"osung der Gleichung $a/1 = (1+a) /a$ alias $a^{2}-a-1 =0,$ seine geometrische Bedeutung wurde in \eref{FiFo}{EIN} erkl"art. Es gilt zu zeigen, da"s f"ur $\zeta = \op{e}^{2\pi {\op{i}}/5}$ der Ausdruck $a =|1-\zeta^{2}|/|1-\zeta|= |1+\zeta|$ die fragliche Gleichung l"ost. Man verwende $\zeta^4=\bar{\zeta}$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} In einem regelm"a"sigen Siebeneck sei $a$ der Abstand von einer Ecke zur n"achsten Ecke, $b$ der Abstand zur "ubern"achsten Ecke, und $c$ der Abstand zur "uber"ubern"achsten Ecke. Man zeige \begin{equation*} \frac{1}{a} = \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} \end{equation*} In Formeln zeige man f"ur $\zeta = \op{e}^{2\pi {\op{i}}/7}$ die Identit"at $|1 - \zeta |^{-1} = |1-\zeta ^2|^{-1} + |1 - \zeta ^3|^{-1}$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Die Nullstellen des komplexen Sinus liegen alle auf der reellen Achse. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{Fsin3} Man zeige mit der Euler'schen Formel \ref{Euf} die Identit"at $\sin^3\vartheta=\frac{3}{4}\sin\vartheta-\frac{1}{4}\sin(3\vartheta)$. \end{Ubunge} \subsection{Vorschl"age zur Veranschaulichung \sose{(26.4)}} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur Abbildungen $\DC\ra\DC$}] Bereits in der Schule lernen wir, uns Abbildungen $\DR\ra\DR$ vermittels ihres Graphen vorzustellen. Etwas allgemeiner gelingt das f"ur Abbildungen $\DR^n\ra \DR^m$ mit $n+m\leq 3$. F"ur Abbildungen $f:\DC\ra \DC$ versagt diese Anschauung jedoch kl"aglich. In diesem Fall kann man zwar noch den Graphen von $|f|:\DC\ra \DR_{\geq 0}$ zeichnen, aber das ist f"ur das Verst"andnis der in dieser Vorlesung behandelten Themen wenig hilfreich. Ich rate dazu sich Abbildungen $\DC\ra\DC$ wirklich als Abbildungen der komplexen Zahlenebene auf sich selber zu denken. Man mag sich die komplexe Zahlenebene dafür als ein Gummituch denken und fragliche Abbildung in einer ersten Ann"aherung als eine Vorschrift, nach der dies Gummituch verzogen und eventuell zusamengefaltet und dann wieder auf die Ebene gelegt wird. Zur graphischen Darstellung ist es oft geschickt, eine reelle Zahl $a>0$ zu w"ahlen und eine Abbildung $f$ darzustellen, indem man die Menge $$f(\{x+{\op{i}}y\mid x\in\DZ a \text{ oder }y\in\DZ a\})$$ auf die Papierebene malt. Im folgenden diskutiere ich einige Beispiele. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die Abbildung $z\mapsto z+a$ f"ur $a\in \DC$ bedeutet anschaulich eine Verschiebung unseres Gummituchs. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die Abbildung $z\mapsto {\op{i}}z$ bedeutet anschaulich eine Drehung unseres Gummituchs um einen rechten Winkel im Gegenuhrzeigersinn mit Drehzentrum im Ursprung. Die Abbildung $z\mapsto az$ f"ur $a\in \DC$ bedeutet anschaulich eine Drehstreckung unseres Gummituchs mit Zentrum im Ursprung und Streckfaktor $|a|$. Im Fall $|a|<1$ mag man hier auch von einem Stauchfaktor reden wollen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die Abbildung $z\mapsto \bar z$ bedeutet anschaulich die Spiegelung an der reellen Achse. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die Abbildung $z\mapsto 1/\bar z$ bedeutet anschaulich eine \glqq Kreisspiegelung\grqq\ alias \glqq Inversion\grqq\ am Einheitskreis. Die Abbildung $z\mapsto 1/ z$ bedeutet die Verkettung von besagter Kreisspiegelung mit der Spiegelung an der reellen Achse. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/anschauungexp.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die anschauliche Bedeutung der komplexen Exponentialfunktion.} Die Abbildung $z\mapsto \op{exp}z$ versuche ich anschaulich zu machen als die Verkettung $$x+{\op{i}}y\;\;\mapsto\;\; (\op{exp}x) +{\op{i}}y\;\;\mapsto\;\;\op{exp}(x +{\op{i}}y)$$ Hier schiebt die erste Abbildung die ganze Ebene bijektiv in die offene Halbebene rechts von der $y$-Achse, und zwar landet dabei die offene Halbebene links der $y$-Achse stark in horizontaler Richtung zusammengedr"uckt im offenen senkrechten Streifen zwischen Realteil Null und Realteil Eins. Unter der zweiten Abbildung bleiben dann alle Punkte auf der reellen Achse an ihrer Stelle sitzen und alle Vertikalen werden zu Kreisen zusammengewickelt so, da"s dabei alle Horizontalen zu vom Ursprung ausgehenden Strahlen werden und die erste Horizontale oberhalb der reellen Achse, die auf die positive reelle Achse geht, ist die Horizontale in der H"ohe $2\pi$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Das Quadrieren $z\mapsto z^2$ bedeutet, wenn man es auf den Einheitskreis einschränkt, das \glqq Doppelt-Nehmen eines Flitzgummis\grqq\ gefolgt vom Langziehen um den Faktor Zwei und dann wieder auf den Einheitskreis legen so, da"s die Eins auf die Eins zu liegen kommt. Diese Abbildung gilt es nun vom Einheitskreis auf die ganze Ebene zu erweitern drart, da"s vom Ursprung ausgehende Strahlen auf vom Ursprung ausgehende Strahlen abgebildet werden, aber der Abstand jedes Punktes vom Urspung quadriert wird. H"ohere Potenzen $z\mapsto z^n$ mag man sich entsprechend veranschaulichen. \end{Beispiel} \subsection{Zusammenhang und Wegzusammenhang*} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an einige Begriffsbildungen und Resultate aus der Analysis im Zusammenhang mit Zusammenhang und Wegzusammenhang. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{WegF} Ist $X$ ein topologischer Raum und sind $x,y\in X$ Punkte, so nennen wir eine stetige Abbildung $\gamma:[a,b]\ra X$ mit $\gamma(a)=x$ und $\gamma(b)=y$ einen {\bf Weg von $x$ nach $y$}. Ein topologischer Raum $X$ hei"st \defnoind{wegzusammenh"angend},\index{Wegzusammenhang} wenn er nicht leer ist und es f"ur je zwei Punkte unseres Raums einen Weg vom einen zum anderen gibt. Ein topologischer Raum hei"st {\bf zusammenh"angend},\index{zusammenh"angend!topologischer Raum} wenn er nicht leer ist und jede nichtleere Teilmenge, die sowohl offen als auch abgeschlossen ist, bereits der ganze Raum sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Wegzusammenhang impliziert Zusammenhang}] Ich erkl"are nun eine L"osung f"ur "Ubung \eref{WZTT}{AN2}, nach der jeder wegzusammenh"angende Raum auch zusammenh"angend ist. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/wegzuszus.mp4}{Hier ist ein Film dazu.} W"are in der Tat $U$ wegzusammenh"angend und $N\subset U$ offen und abgeschlossen und weder ganz $U$ noch leer, so f"anden wir einen Weg $\gamma:[a,b]\ra U$ mit $\gamma(a)\in N$ und $\gamma(b)\not\in N$. Wir setzen dann $$s\pdef\op{sup}\{t\in [a,b]\mid \gamma(t)\in N\}$$ Aus $N\As U$ folgt $\gamma(s)\in N$ und insbesondere $s