\section{Erste Schritte in klassischer Mechanik} \nichtfinal{Wie mit Einheiten umgehen? Sollte polynomiale Abbildungen von eindimensionalen affinen R"aumen differenzieren k"onnen. Sollte vielleicht als Definitionsbereiche von Karten Produkte eindimensionaler affiner R"aume oder einfacher eindimensionaler Vektorr"aume nehmen. Sollte allgemeine partille Ableitungen f"ur $V\times W\ra$ etc diskutieren und gute Notation haben. Sollte alles nochmal durchgehen.} \subsection{Newton'sche Bewegungsgleichungen} \label{NB} \begin{Bemerkungl} Wie in \eref{OrTe}{LA1} fixieren wir einen eindimensionalen orientierten reellen affinen Raum \index{T@$\mathbb{T}$ Zeit|main}$$\mathbb{T}$$ und nennen ihn die {\bf Zeit}.\index{Zeit} Die Elemente seines Richtungsraums nennen wir {\bf Zeitspannen}.\index{Zeitspanne} Die {\bf Sekunde} unserer schmutzigen Anschauung entspricht einer positiven Zeitspanne $\ph{s}\in \vec{\mathbb{T}}_{>0}$. Weiter fixieren wir einen dreidimensionalen euklidischen affinen Raum $$\mathbb{E}$$ im Sinne von \eref{Eukl}{LA2} und nennen ihn den {\bf Anschauungsraum}.\index{Anschauungsraum|main} Ich erinnere daran, da"s wir in \eref{Eukl}{LA2} einen euklidischen Raum eingef"uhrt hatten als einen reellen affinen Raum mit einer {\bf euklidischen Struktur} auf seinem Richtungsraum. Ich erinnere weiter daran, da"s wir so eine euklidische Struktur erkl"art hatten als eine Ursprungsgerade im Raum der Bilinearformen, die mindestens ein Skalarprodukt enth"alt und folglich aus Skalarprodukten, den Negativen von Skalarprodukten und der Null besteht. Auf diese Weise vermeiden wir die Wahl einer L"angeneinheit und die Wahl kartesischer Koordinaten und arbeiten bei der Darstellung der Theorie, das ist zumindest das Ziel, mehr in der Geometrie und weniger in Mengen von Tupeln reeller Zahlen. Wir hatten in \eref{EUSB}{LA2} eine Bijektion zwischen derartigen euklidischen Strukturen und m"oglichen Wahlen sogenannter \glqq Bewegungsgruppen\grqq\ konstruiert, die hier nicht wiederholt werden soll. Wie\index{E@$\mathbb{E}$ Anschauungsraum} in \eref{Laenge}{LA2} konstruieren wir zu unserem euklidischen Raum $\mathbb{E}$ einen orientierten eindimensionalen reellen Vektorraum, seine {\bf L"angengerade} $\mathbb L=\mathbb L({\mathbb E})$,\index{L@$\mathbb L$ L"angengerade} und erinnern aus \eref{kaSK}{LA2} das {\bf konkrete Skalarprodukt} $$\langle\;,\;\rangle_{\op{k}}=\langle\;,\;\rangle: \vec{\mathbb{E}}\times \vec{\mathbb{E}}\ra \mathbb L^{\otimes 2}$$ mit Werten in der {\bf Gerade der Fl"acheneinheiten $\mathbb L^{\otimes 2}$}. Das {\bf Meter}\index{Meter}\index{m@$\op{m}$ Meter} $\op{m}\in \mathbb{L}_{>0}$ ist ein positives Element der schmutzigen L"angengerade. Das konkrete Skalarprodukt auf dem Richtungsraum des schmutzigen Anschauungsraums nimmt also Werte in einem eindimensionalen reellen Vektorraum an, f"ur den das Quadratmeter $\op{m}^2\pdef \op{m}^{\otimes 2}\pdef \op{m}\otimes\op{m} $ eine Basis ist. Des weiteren haben wir in \eref{Laenge}{LA2} auch die {\bf L"angenabbildung} $$\|\;\|:\vec{\mathbb{E}}\ra \mathbb{L}_{\geq 0}$$ namens eingef"uhrt, die mit dem konkreten Skalarprodukt geschrieben werden kann als $\|v\|\pdef \sqrt{\langle v,v\rangle}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Um die Newton'schen Bewegungsgleichungen\label{Masse} zu formulieren w"ahlen wir zus"atzlich einen eindimensionalen orientierten reellen Vektorraum $$\mathbb M$$ und nennen dessen nichtnegative Elemente {\bf Massen}.\index{Masse} Ein schmutziges positives Element von $\mathbb M$ ist beispielsweise das in der franz"osischen Revolution gew"ahlte \defind{Gramm} $\ph{g} \in \mathbb{M}_{>0}$, das dadurch bestimmt wird, da"s $1000\ph{g}$ in etwa die Masse eines Wasserw"urfels der Kantenl"ange $0,\!1\ph{m}$ ist. Die Newton'schen Bewegungsgleichungen beschreiben die Bewegung eines K"orpers oder Teilchens in Abh"angigkeit von seiner Masse. Diese Masse kann etwa bestimmt werden durch das Aufwiegen mit Wasser und Bestimmung des ben"otigten Wasservolumens oder, wenn man es genauer braucht, durch den Vergleich mit der Masse eines im \glqq Bureau international des poids et m\'{e}sures\grqq\ in S\`{e}vres bei Paris seit 1889 sorgsam geh"uteten Zylinders aus einer Platin-Iridium-Legierung, des {\bf Urkilogramms}.\index{Urkilogramm} \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Gegeben ein eindimensionaler reeller affiner Raum $T$ und ein % normierter reeller Raum $Y$ und eine differenzierbare Abbildung % $\gamma:T\ra Y$ schreiben wir in Zukunft ihr Differential % $\diff_t\gamma:\vec{T}\ra \vec{Y}$ bei $t\in T$ alternativ % $\dot{\gamma}(t)\in \op{Hom}(\vec{T}, \vec{Y})=\vec{Y}\otimes \vec{T}^\ast$ % und erhalten so eine Abbildung % $$\dot{\gamma}:T\ra \vec{Y}\otimes \vec{T}^\ast$$ % Analoge Notationen verwenden wir auch, wenn $\gamma$ nur auf einer % halboffenen Teilmenge von $T$ definiert ist. % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein bewegtes Teilchen im\label{KraF} Sinne der Newton'schen Mechanik alias eine glatte Abbildung von der Zeit $\mathbb T$ in den Anschauungsraum\begin{displaymath} \gamma : \mathbb T \ra \mathbb{E} \end{displaymath} ist ihr Differential \ref{DeDi}\index{)6a@$\dot{\gamma}$ physikalische Geschwindigkeit} eine Abbildung $\dot{\gamma}:t\mapsto \tiff_t\gamma, \mathbb T\ra \op{Hom}(\vec{\mathbb{T}},\vec{\mathbb{E}})$. Wir verstehen hier und im folgenden das Differential als \glqq tangentiale Abbildung\grqq\ und notieren das Differential in $x$ an eine Abbildung $\varphi$ als $\tiff_x\varphi$. Unter unserer Identifikation $\op{Hom}(\vec{\mathbb{T}},\vec{\mathbb{E}}) \sira \vec{\mathbb{E}} \otimes \vec{\mathbb{T}}^* $ aus \eref{Ican}{LA2} wird es zu einer Abbildung $$\dot{\gamma}:\mathbb T \ra \vec{\mathbb{E}} \otimes \vec{\mathbb{T}}^*$$ Man nennt $\dot{\gamma}(t)$ die {\bf Geschwindigkeit} oder pr"aziser {\bf vektorielle Geschwindigkeit}\index{Geschwindigkeit!vektorielle} unseres Teilchens zum Zeitpunkt $t$. Das geometrische Skalarprodukt auf $\vec{\mathbb{E}}$ liefert offensichtlich auf $\vec{\mathbb{E}}\otimes \vec{\mathbb{T}}^*$ eine Bilinearform mit Werten in $(\mathbb{L}\otimes \vec{\mathbb{T}}^*)^{\otimes 2}$. Der zugeh"orige Absolutbetrag des Geschwindigkeitsvektors $\dot{\gamma}(t)\in \vec{\mathbb{E}}\otimes \vec{\mathbb{T}}^*$ hei"st die {\bf absolute Geschwindigkeit}\index{Geschwindigkeit!absolute} $$\|\dot{\gamma}(t)\|\pdef \sqrt{\langle\dot{\gamma}(t),\dot{\gamma}(t)\rangle} \in (\mathbb{L}\otimes \vec{\mathbb{T}}^*)_{\geq 0}$$ unseres Teilchens zum Zeitpunkt $t$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notation f"ur Einheiten}] Um unserer Notation der Einheiten die Schwere zu nehmen, vereinbaren wir f"ur eindimensionalen Vektorr"aume von Einheiten die Notation als Erzeugnis eines "ublichen Erzeugers in Erzeugerklammern, also etwa\index{)5@$\langle\;\rangle$ Erzeugnis physikalischer Einheit} $$ \begin{array}{cccll} \vec{\mathbb T}&=&\langle {\ph{s}}\rangle&\text{mit ${\ph{s}}$ f"ur \glqq Sekunde\grqq,}\\ \mathbb L&=&\langle \ph{m}\rangle&\text{mit $\ph{m}$ f"ur \glqq Meter\grqq\ oder}\\ \mathbb M&=&\langle {\ph{g}}\rangle&\text{mit ${\ph{g}}$ f"ur \glqq Gramm\grqq.} \end{array} $$ Weiter notieren wir bei unseren eindimensionalen R"aumen die duale Basis des Dualraums statt $v^\top$ meist $v^{-1}$ oder $1/v$, so da"s wir den Dualraum $\vec{\mathbb T}^\ast$ des Raums der Zeitspannen $\vec{\mathbb T}^\ast=\langle 1/{\ph{s}} \rangle =\langle {\ph{s}}^{-1} \rangle$ schreiben k"onnen. Schlie"slich lassen wir in diesem Zusammenhang die $\otimes$-Zeichen meist weg und schreiben f"ur ganze Zahlen $r\in\DZ$ k"urzer $v^r$ f"ur unser Element $v^{\otimes r}\in V^{\otimes r}$ aus \eref{TEP}{LA2}. So wird $\langle\ph{m}^2\rangle=\mathbb L^{\otimes 2}$ eine Notation f"ur den eindimensionalen orientierten reellen Vektorraum der Fl"acheneinheiten. In derselben Weise schreiben wir ${\ph{m}}/{\ph{s}}$ f"ur den Vektor ${\ph{m}}\otimes {\ph{s}}^{\otimes (-1)}\in \mathbb{L} \otimes \vec{\mathbb{T}}^*$ und notieren diesen Raum $\mathbb{L} \otimes \vec{\mathbb{T}}^* =\mathbb{L}\langle 1/{\ph{s}}\rangle=\langle {\ph{m}}/{\ph{s}}\rangle$. Seine nichtnegativen Elemente hei"sen {\bf Geschwindigkeiten} und ausf"uhrlicher {\bf absolute Geschwindigkeiten}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zeitliche Ableitungen}] Allgemeiner erkl"aren wir f"ur einen endlichdimensionalen reellen affiner Raum $X$ und eine glatte Abbildung $\gamma:\mathbb T\supset I\ra X$ von einem Zeitintervall $I$ nach $X$ und $t_0\in I$ ganz allgemein $$\dot\gamma(t_0)=\tiff_{t_0}\gamma =\lim_{t\ra t_0}\frac{\gamma(t)-\gamma(t_0)}{t-t_0}$$ Hier ist die Mitte ein Element von $\op{Hom}(\vec{\mathbb T},\vec X)$, das wir vermittels des Standardisomorphismus als Element von $\vec X\otimes \vec{\mathbb T}^*=\vec X\langle 1/{\ph{s}}\rangle$ auffassen. Ebenso ist der Limes in diesem Raum zu verstehen und der Quotient formal als Tensorprodukt mit dem zur Zeitspanne $t-t_0$ dualen Frequenzvektor. Die zeitliche Ableitung eines gr"o"seren Ausdrucks $\gamma$ notieren wir $\dot\gamma(t)=\tiff_t\gamma$ oder $\dot\gamma(t_0)=\tiff_{t_0}\gamma(t)$ oder etwas verschludert $\dot\gamma(t)=\tiff_{t}\gamma(t)$, weil sich bei gr"o"seren Ausdr"ucken die Funktion schlecht ohne Variable notieren l"a"st. Ist $\varphi:X\ra Y$ eine affine Abbildung in einen weiteren endlichdimensionalen affinen Raum $Y$, so finden wir $$\tiff_t(\varphi\circ\gamma)= \vec\varphi\langle 1/{\ph{s}}\rangle\circ \dot\gamma$$ mit der abk"urzenden Notation $\vec\varphi\langle 1/{\ph{s}}\rangle:\vec X\langle 1/{\ph{s}}\rangle\ra \vec Y\langle 1/{\ph{s}}\rangle$ f"ur die vom linearen Anteil $\vec\varphi:\vec X\ra \vec Y$ von $\varphi$ induzierte Abbildung. Ist $X$ bereits selbst ein Vektorraum, so verschlucken wir den Isomorphismus $\op{trans}:X\sira \vec X$ meist in der Notation und schreiben $\dot\gamma:\mathbb T\ra X$ f"ur die Abbildung, die genau genommen $\op{trans}^{-1}\circ \dot\gamma$ notiert werden m"u"ste. Analog f"ur Abbildungen von einem beliebigen eindimensionalen reellen affinen Raum, aber die Notation mit einem hochgestellten Punkt und der Buchstabe $t$ sind in der Physik a priori f"ur zeitliche Ableitungen und Zeiten reserviert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Produktregel f"ur zeitliche Ableitungen}] Sind $\gamma:\mathbb T\ra V$ und $\alpha:\mathbb T\ra W$ differenzierbare Abbildungen in endlichdimensionale reelle Vektorr"aume und $b:V\times W\ra U$ eine bilineare Abbildung in einen weiteren endlichdimensionalen reellen Vektorraum, so wird die zeitliche Ableitung von $t\mapsto b(\gamma(t), \alpha(t))$ gegeben durch\label{ZAB} $$\tiff_t \;b(\gamma(t), \alpha(t)) = b(\dot\gamma(t), \alpha(t)) + b(\gamma(t), \dot\alpha(t))$$ Das folgt aus dem Zusammenwirken der Formel f"ur das Differential bilinearer Abbildungen \ref{PRm}, der Komponentenregel \ref{kd} und der Kettenregel. Genau genommen meint $b$ rechts dabei die von $b$ induzierten Abbildungen $b:V\langle 1/{\ph{s}}\rangle\times W\ra U\langle 1/{\ph{s}}\rangle$ beziehungsweise $b:V\times W\langle 1/{\ph{s}}\rangle\ra U\langle 1/{\ph{s}}\rangle$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $\gamma :\mathbb T \ra \mathbb{E}$ zweimal differenzierbar notiert man das Differential der vektoriellen Geschwindigkeit $\dot\gamma :\mathbb T \ra \vec{\mathbb{E}}\langle 1/{\ph{s}}\rangle$ kurz $$\ddot{\gamma}:\mathbb T \ra \vec{\mathbb{E}}\langle 1/{\ph{s}}^2\rangle$$ Wir denken uns $\gamma$ als die mathematische Beschreibung eines bewegten Teilchens und nennen $\ddot{\gamma}(t)$ die {\bf Beschleunigung}\index{Beschleunigung} oder genauer {\bf vektorielle Beschleunigung}\index{Beschleunigung!vektorielle} unseres Teilchens zum Zeitpunkt $t$. Mit der {\bf absoluten Beschleunigung}\index{Beschleunigung!absolute} meinen wir dahingegen analog wie im Fall von Geschwindigkeiten den Betrag $\|\ddot{\gamma}(t)\|\in \langle {\ph{m}}/{\ph{s}}^2\rangle$ der vektoriellen Beschleunigung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{KrFe} Unter einem \defind{Kraftfeld} versteht man eine Abbildung $$F: \mathbb{E} \ra \vec{\mathbb{E}} \langle {\ph{g}}/{\ph{s}}^2\rangle$$ Hier verstehen wir im Sinne unserer neuen Notation $\langle {\ph{g}}/{\ph{s}}^2\rangle=\mathbb{M} \otimes (\vec{\mathbb{T}}^*)^{\otimes 2} $. Der Buchstabe $F$ erinnert an englisch \defind{force}. Unter der \defind{Newton'schen Bewegungsgleichung} f"ur die Bewegung eines Teilchens positiver Masse $m\in \mathbb{M}_{>0}$ in einem Kraftfeld $F$ versteht man die Forderung \glqq Kraft gleich Masse mal Beschleunigung\grqq\ und in Formeln ausgedr"uckt die Gleichheit $$ F \circ \gamma=m \ddot{\gamma} $$ von Abbildungen $\mathbb T \ra \vec{\mathbb{E}} \langle {\ph{g}}/{\ph{s}}^2\rangle $, der die Bewegung $\gamma: \mathbb T\ra \mathbb{E}$ unseres Teilchens gehorchen soll. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zeitabh"angiges Kraftfeld}] Wenn die Kraft zus"atzlich von der Zeit abh"angt, in Formeln also durch eine Abbildung $F: \mathbb{E}\times\mathbb T \ra \vec{\mathbb{E}} \langle {\ph{g}}/{\ph{s}}^2\rangle$ gegeben wird, so lautet die \defind{Newton'schen Bewegungsgleichung} allgemeiner $$ F( \gamma(t),t)=m \ddot{\gamma}(t) $$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einem \defind{Gravitationsfeld} versteht man eine Abbildung \begin{displaymath} G : \mathbb{E} \rightarrow \vec{\mathbb{E}} \langle 1/{\ph{s}}^2\rangle \end{displaymath} Die von einem derartigen Feld auf ein Teilchen positiver Masse $m\in\mathbb M_{>0}$ ausge"ubte Kraft $F$ wird per definitionem gegeben durch die Vorschrift\label{KrGe} \begin{displaymath} F = m G \end{displaymath} %unter Verwendung der Abk"urzung $m\otimes G=mG$. Die Bewegungsgleichung f"ur die Bewegung $\mathbb T \ra \vec{\mathbb{E}} \langle 1/{\ph{s}}^2\rangle $ eines Teilchens positiver Masse in einem Gravitationsfeld $G$ lautet folglich \begin{displaymath} G \circ \gamma=\ddot{\gamma} \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} A priori k"onnte man auch eine konsistente Theorie formulieren, die zwei Arten von Massen postuliert, als da hei"st zwei orientierte eindimensionale reelle Vektorr"aume $\mathbb{M}_{\op{sch}}$ und $\mathbb{M}_{\op{tr}}$, und in der jedem Teilchen zwei Arten von Masse zugeordnet w"urden, seine \defind{schwere Masse}\index{Masse!schwere} $m_{\op{sch}}\in \mathbb{M}_{\op{sch}}$ und seine \defind{tr"age Masse}\index{Masse!tr"age} $m_{\op{tr}}\in \mathbb{M}_{\op{tr}}$. Ein Kraftfeld h"atte per definitionem Werte in $\vec{\mathbb{E}} \langle 1/{\ph{s}}^2\rangle \otimes \mathbb{M}_{\op{tr}}$ und die Bewegungsgleichung in besagtem Kraftfeld h"atte die Gestalt $$m_{\op{tr}} \ddot{\gamma} = F \circ \gamma$$ Dahingegen w"urde ein Gravitationsfeld Werte in $\vec{\mathbb{E}} \langle 1/{\ph{s}}^2\rangle \otimes \mathbb{M}_{\op{tr}}\otimes \mathbb{M}_{\op{sch}}^\ast$ annehmen und die jeweils auf unser Teilchen wirkende Kraft w"are durch die Multiplikation des Gravitationsfelds mit seiner schweren Masse $m_{\op{sch}}$ zu berechnen. Mit der Waage m"a"se man also die schwere Masse und durch die Beobachtung etwa von St"o"sen mit einem \glqq Referenzteilchen\grqq\ und Ausn"utzen der im folgenden noch zu besprechenden \glqq Impulserhaltung\grqq\ die tr"age Masse. Ein durch viele Experimente best"atigtes Prinzip der klassischen Mechanik ist die {\bf Gleichheit von tr"ager und schwerer Masse}, so da"s wir stets $m_{\op{sch}} = m_{\op{tr}}$ annehmen und ohne n"ahere Spezifikation schlicht von der \defind{Masse} eines Teilchens reden werden. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Das Gravitationsfeld an der Erdoberfl"ache kann lokal\label{FBP} recht gut approximiert werden durch ein konstantes Feld $\vec{\ph{g}}$ mit $\vec{\ph{g}}\sim (9{,}8)\vec{\ph{m}}/{\ph{s}}^2$, wobei $\vec{\ph{m}} \in \vec{\mathbb{E}}$ denjenigen einen Meter langen Vektor bezeichnet, der an der gegebenen Stelle in Richtung des Erdmittelpunktes zeigt. Man schreibt auch $\|\vec{\ph{g}}\|\pdef \ph{g}\sim (9{,}8) {\ph{m}}/{\ph{s}}^2$ f"ur den Betrag dieses konstanten Feldes und nennt diese absolute Beschleunigung die {\bf Erdbeschleunigung}.\index{Erdbeschleunigung} \index{g@$\ph{g}$ Erdbeschleunigung} Ob der Buchstabe $\ph{g}$ das Gramm oder die Erdbeschleunigung meint, mu"s aus dem Kontext erschlossen werden. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Flugbahn eines geworfenen Massenpunktes}] F"ur die Bewegung $\gamma:\mathbb T\ra\mathbb E$ eines nur der Gravitationskraft ausgesetzten Massepunktes an der Erdoberfl"ache, etwa einer Kanonenkugel oder eines Schneeballs,\label{WrPa} mu"s nach dem Vorhergehenden die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt die Erdbeschleunigung sein, in Formeln $$\ddot\gamma(t)=\vec{\ph{g}}$$ Um die L"osungen zu finden, betrachten wir erst einmal ohne Einheiten einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ und einen ausgezeichneten Vektor $ v\in V$ und eine zweimal differenzierbare Abbildung $f:\DR\ra V$ mit $f''(x)=v$ f"ur alle $x$. Durch zweifaches vektorwertiges Integrieren finden wir unschwer, da"s alle L"osungen die Gestalt $f(x)=x^2v/2 + xw + u$ f"ur $w,u\in V$ haben. Das legt es nahe, einen Zeitpunkt $t_0\in\mathbb T$ fest zu w"ahlen und es mit dem Ansatz $$\gamma(t)= (t-t_0)^2\vec g/2 + (t-t_0)\vec v_0 + p_0$$ f"ur $\vec v_0\in \vec{\mathbb E}\langle 1/{\ph{s}}\rangle$ und $p_0\in\mathbb E$ zu versuchen. Das erweist sich in der Tat als eine L"osung. Genau genommen ist $\otimes:\vec{\mathbb T}\times \vec{\mathbb T} \ra \vec{\mathbb T}^{\otimes 2}$ eine bilineare Abbildung und die Abbildung $\alpha:t\mapsto t-t_0$ hat konstant die Ableitung $\dot\alpha=1\in\vec{\mathbb T} \langle 1/{\ph{s}}\rangle$ und mit der Produktregel \ref{ZAB} f"ur die zeitliche Ableitung erhalten wir $\dot\gamma(t)= (t-t_0)\vec g + \vec v_0$ und $\ddot\gamma(t)= \vec g$ wie gew"unscht. Da"s das auch die einzigen L"osungen sind, folgt unschwer daraus, da"s es im von Einheiten befreiten Fall gilt. Durch Einsetzen finden wir, da"s $p_0=\gamma(t_0)$ der Ort zum Zeitpunkt $t_0$ ist und $\vec v_0=\dot\gamma(t_0)$ die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_0$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Flugbahn eines geworfenen Massenpunktes, Variante}] F"ur die Bewegung $\gamma:\mathbb T\ra\mathbb E$ eines nur der Gravitationskraft ausgesetzten Massepunktes an der Erdoberfl"ache, etwa einer Kanonenkugel oder eines Schneeballs,\label{WrPa} mu"s nach dem Vorhergehenden die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt die Erdbeschleunigung sein, in Formeln $$\ddot\gamma(t)=\vec{\ph{g}}$$ f"ur alle Zeiten $t\in I$. Um das zu konkretisieren bezeichne $\tau : \mathbb{R} \sira \Bbb{T}$ die Identifikation der reellen Zahlengeraden mit der Zeitachse vermittels der Abbildungsvorschrift $\tau: x\mapsto t_0+x{\ph{s}}$ f"ur einen beliebig gew"ahlten Startzeitpunkt $t_0$ und unsere Zeiteinheit Sekunde ${\ph{s}}\in \vec{\Bbb{T}}$. Dann werden die Ableitungen der Ver\-kn"up\-fung $\gamma\circ \tau: \DR\ra\mathbb E$, $x\mapsto \gamma (t_0+x{\ph{s}})$ nach der Kettenregel gegeben durch $\tiff_x(\gamma\circ \tau)=\tiff_{\tau(x)}\gamma\circ \tiff_x\tau$ und Anwenden auf $\vec 1\in\vec{\DR}$ liefert $$(\gamma\circ \tau)'(x)=(\tiff_{\tau(x)}\gamma)(\ph{s}) =(\dot\gamma\circ \tau)(x)\otimes \ph{s}$$ als Gleichung in $\vec{\mathbb E}$ mit $(\otimes \ph{s}):\vec{\mathbb E}\langle 1/{\ph{s}}\rangle \ra \vec{\mathbb E}$ dem offensichtlichen Isomorphismus. Nochmaliges Anwenden derselben Rechnung liefert $$(\gamma\circ \tau)''(x)=(\dot\gamma\circ \tau)'(x)\otimes \ph{s}=(\ddot\gamma\circ \tau)(x)\otimes \ph{s}^2$$ So erhalten wir f"ur die Bewegung unseres Teilchens in unserer von Einheiten befreiten Zeitkoordinate $x$ die Bewegungsgleichung $$(\gamma\circ \tau)''(x)= \ph{s}^2\vec{\ph{g}}$$ Deren allgemeine L"osung ergibt sich durch direktes Integrieren zu $$\gamma(x{\ph{s}}+ t_0)=(\gamma\circ \tau)(x)=(x^2/2)\ph{s}^2\vec{\ph{g}} + x\vec{a}_0 + p_0$$ mit $\vec{a}_0\in \vec{\mathbb E}$ einem festen Richtungsvektor und $p_0\in \mathbb E$ einem festen Ort. Das gelingt dem pedantischen Mathematiker, weil wir es hier mit einer Abbildung von $\DR$ in einen endlichdimensionalen reellen affinen Raum zu tun haben. Durch Einsetzen von $ t\pdef x{\ph{s}}\in \vec{\mathbb T}$ erhalten wir schlie"slich $$\gamma( t+ t_0)=( t^2/2) \vec{\ph{g}}+ t\vec{v}_0 + p_0\sim (4{,}9) t^2 (\vec{\ph{m}}/{\ph{s}}^2)+ t\vec{v}_0 + p_0$$ mit $\vec{v}_0=\vec{a}_0/{\ph{s}}$ der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_0\in \mathbb T$ und $p_0\in\mathbb E$ dem Ort zum Zeitpunkt $t_0$. \end{Beispiel} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildArt} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die Flugbahn einer Kanonenkugel ist bei Vernachl"assigung des Luftwiderstands eine Parabel. Die Bezeichung \glqq Parabel\grqq\ kommt vom griechischen Wort f"ur \glqq Werfen\grqq. \end{minipage} \end{figure} \begin{Beispiel}[\textbf{Reichweite eines Gesch"utzes}] Wollen wir wissen, in welcher Entfernung eine an einer Stelle $p_0\in\mathbb E$ unter einem gegebenen Winkel $\vartheta$ gegen die Horizontale mit einer gegebenen M"undungsgeschwindigkeit $v_0 \in \langle {\ph{m}}/{\ph{s}} \rangle$ abgeschossene Kugel einschl"agt, so betrachten wir einen vertikalen einen Meter langen Vektor $\vec{\ph{m}}_v =- \vec{\ph{m}}$ und einen horizontalen einen Meter langen Vektor in Richtung der M"undung $\vec{\ph{m}}_h$ und finden f"ur die Anfangsgeschwindigkeit $\vec v_0 = a \vec{\ph{m}}_{v}/{\ph{s}}+ b \vec{\ph{m}}_h /{\ph{s}}$ die Bahnkurve \begin{equation*} \gamma ( t + t_0) = -(4{,}9) t^2 \;\vec{\ph{m}}_v/{\ph{s}}^2 + t a\; \vec{\ph{m}}_v / {\ph{s}} + t b\; \vec{\ph{m}}_h /{\ph{s}} + p_0 \end{equation*} Hier bezeichnet $t$ anders als zuvor keine Zeit, sondern eine Zeitspanne $t\in \vec{\mathbb T}$. Die Zeitspanne, nach der die Kugel wieder den Boden erreicht, ist folglich die L"osung der Gleichung $ (-4{,}9) t^2/{\ph{s}}^2 + t a / {\ph{s}} =0 $ alias $ t = (a/(4,9)){\ph{s}}$. Der Einschlagsort ist mithin $$p_0 + \textstyle\frac{ab}{4{,}9} \vec{\ph{m}}_h$$ M"undungsgeschwindigkeit $v_0$ und Abschlu"swinkel $\vartheta$ berechnen sich aus $a$ und $b$ vermittels $v_0 = (\sqrt{a^2+ b^2}){\ph{m}}/{\ph{s}}$ und $\tan \vartheta = a/b$. Wir finden aber auch umgekehrt f"ur $v_0 = c ({\ph{m}}/{\ph{s}})$ die Identit"aten $\sin \vartheta = a/c$ und $\cos \vartheta = b/c$ alias $a = c \sin \vartheta$ und $ b = c\cos \vartheta$. Der Abschu"swinkel, unter dem die Kugel am weitesten kommt, ist das Maximum von $(\cos \vartheta \sin \vartheta)$ f"ur $\vartheta \in [0, \pi/2]$ alias das Maximum von $\frac{1}{2} \sin 2 \vartheta$. Der optimale Abschu"swinkel ist also $\pi/4 = 45^\circ$, und die Kugel schl"agt dann bei einer M"undungsgeschwindigkeit von $v_0 = c ({\ph{m}}/{\ph{s}})$ in einer Entfernung von $(c/(9{,}8)) \ph{m}$ ein. \end{Beispiel} \subsection{Potential und Energieerhaltung} \begin{Bemerkungl} Unter einem {\bf Potential} eines Kraftfelds\index{Potential!eines Kraftfelds!im Anschauungsraum} $F: \mathbb E \rightarrow \vec{\mathbb E} \langle {\ph{g}} / {\ph{s}}^2 \rangle$ versteht man eine differenzierbare Abbildung $ V : \mathbb E \rightarrow \langle {\ph{gm}}^2 / {\ph{s}}^2 \rangle $ mit $$-\op{grad}_{\op{k}}V=F$$ Hier verwenden wir eine in offensichtlicher Weise auf F"alle mit Einheiten erweiterte Variante der Notation aus \ref{JMGG} f"ur den Gradienten in Bezug auf ein Skalarprodukt und die Notation $\op{k}$ f"ur das konkrete Skalarprodukt.\label{poZ} Ausgeschrieben bedeutet unsere Bedingung $-\op{grad}_{\op{k}}V=F$ damit $$ -(\tiff_x V)(v) = \langle F (x), v\rangle_{\op{k}} \qquad \forall x \in \mathbb E, v \in \vec{\mathbb E} $$ Wenn das Kraftfeld von der Zeit abh"angt, verstehen wir unter einem Potential analog eine Funktion, die von Ort und Zeit abh"angt und die entsprechende Eigenschaft hat. In Formeln schreiben wir sie aus zu $$ -(\tiff_{(x,t)} V)(v,0) = \langle F (x,t), v\rangle_{\op{k}} \qquad \forall x \in \mathbb E, t\in \mathbb T, v \in \vec{\mathbb E} $$ Als formelhafte Beschreibung f"ur das Differential \glqq nur in Bezug auf den Ort\grqq\ links nehme ich das volle Differential, werte es aber nur auf Richtungsvektoren mit verschwindender Zeitkomponente $(v,0)$ aus. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Energieerhaltung}] F"ur die Bewegung $\gamma$ eines Massepunktes positiver Masse $m$ in einem Kraftfeld mit zeitunabh"angigem Potential\label{KiE} $V$ erhalten wir eine Invariante der Bewegung alias eine von der Zeit $t$ unabh"angige Konstante durch den Ausdruck \begin{equation*} V (\gamma (t))+\textstyle \frac{m}{2} \langle \dot\gamma (t), \dot\gamma (t)\rangle \end{equation*} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der erste Summand hei"st die \defind{potentielle Energie} und der zweite Summand die \defind{kinetische Energie}. Unser Satz ist ein Spezialfall des allgemeinen physikalischen Prinzips der \glqq Energieerhaltung\grqq. Das Skalarprodukt meint hier das konkrete Skalarprodukt, ich habe nur seine Notation vereinfacht. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ableiten nach $t$ liefert mit der Produktregel \ref{PRm} f"ur die zeitliche Ableitung und der Kettenregel $$\begin{array}[b]{lll} \tiff_t( \frac{m}{2} \langle \dot\gamma (t), \dot\gamma (t)\rangle + V (\gamma (t)))&=& m\langle \ddot \gamma (t), \dot\gamma (t) \rangle +(\tiff_{\gamma (t)} V) (\dot\gamma (t))\\ &=&\langle m \ddot \gamma (t), \dot\gamma (t) \rangle - \langle F (\gamma (t)), \dot\gamma (t) \rangle \\ &=&0 \end{array}\qedhere $$ \end{proof} \subsection{Planetenbewegung} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Heuristische Vor"uberlegung}] Stellen wir uns einmal vor, wir w"aren Newton. Kepler hat bereits aus den akribischen Beobachtungen von Tycho Brahe herausdestilliert, da"s die Planeten auf elliptischen Bahnen um die Sonne kreisen, wobei die Sonne in einem der Brennpunkte der Ellipse steht. Wir gehen von der zumindest nicht unvern"unftigen Annahme aus, da"s die von der Sonne ausgehende Gravitationskraft mit wachsendem Abstand schw"acher wird in derselben Weise, wie sich ein Gas verd"unnen w"urde, das von der Sonne ausgeschwitzt wird und sich, indem es nach allen Seiten mit konstanter Geschwindigkeit von der Sonne wegstr"omt, in den unendlichen Weiten des Weltraums verteilt. Dann ist klar, da"s durch jede in der Sonne zentrierte Kugelschale in einer festen Zeitspanne dieselbe Gasmenge str"omen mu"s. Da aber die Oberfl"ache einer Kugelschale vom Radius $r$ ein festes Vielfaches $r^2$ ist, mu"s unser Gas in einem Abstand $r$ von der Sonne eine zu $1/r^2$ proportionale Dichte haben. Durch derartige "Uberlegungen motiviert machen wir f"ur das Gravitationsfeld $G$ der Sonne den Ansatz \begin{equation*} G (x) = c \cdot \frac{S-x}{\| S - x\|^{3}} \end{equation*} f"ur $S \in \mathbb E$ den Ort der Sonne, den wir uns fest denken, und $c \in \langle \ph{m}^3\!/\!\ph{s}^2\rangle$ eine Konstante. Ist $M$ die Masse unseres Planeten, so ist $MG$ das zu unserer Bewegung geh"orige Kraftfeld und dieselbe Rechnung wie in \ref{pog} liefert uns f"ur dieses Feld das Potential \begin{equation*} V (x) = - \frac{Mc}{\|S-x\|} \end{equation*} Nun setzen wir die Bewegung unseres Planeten an als \begin{equation*} \gamma (t) = S + \vec{\gamma} (t) \end{equation*} f"ur $\vec\gamma : \mathbb{T} \rightarrow \vec{\mathbb E}$. Da ein \defind{Zentralfeld} vorliegt, die auf unseren Planeten wirkende Kraft zeigt n"amlich stets in Richtung der Sonne, ist auch das mit Einheiten, genauer als Element von $\vec{\mathbb E}\otimes\mathbb L\otimes\vec{\mathbb T}^\ast\otimes \op{or}_\DR(\vec{\mathbb{E}})$ verstandene und in \eref{KRA}{LA2} konstruierte Kreuzprodukt\label{HV} \begin{equation*} L\pdef \vec\gamma (t) \times \dot{\vec\gamma} (t) \end{equation*} eine Invariante der Bewegung. In der Tat ergibt sich seine zeitliche Ableitung nach der Produktregel \ref{PRm} f"ur die zeitliche Ableitung zu \begin{equation*} \dot{\vec\gamma} (t) \times \dot{\vec\gamma} (t) + \vec\gamma (t) \times \ddot{\vec\gamma} (t) = 0 \end{equation*} Das Verschwinden r"uhrt genauer daher, da"s wir jeweils ein Kreuzprodukt von linear abh"angigen Vektoren bilden. Multiplizieren wir diese Invariante $L$ noch mit der Masse des Planeten, so erhalten wir den sogenannten {\bf Drehimpuls}\index{Drehimpuls} des Planeten um die Sonne. Ist dieser Drehimpuls Null, so liegt eine L"osung vor, bei der unser Planet auf geradem Wege in die Sonne st"urzt oder sich umgekehrt l"angs eines Sonnenstrahls von der Sonne entfernt. Ist der Drehimpuls nicht Null, was wir von nun an annehmen wollen, so mu"s unser Planet in derjenigen Ebene durch die Sonne bleiben, auf der sein Drehimpuls senkrecht steht, und kann nie in die Sonne st"urzen. Wir w"ahlen in dieser Ebene nun ein Orthogonalsystem $\vec{e_1}, \vec{e_2}$ bestehend aus zwei Vektoren gleicher L"ange $l=\| \vec{e_1}\| = \|\vec{e_2}\|$, gehen zu Polarkoordinaten "uber und betrachten genauer die Abbildung $$\begin{array}{cccl} P :& \mathbb R_{>0} \times \mathbb R & \rightarrow & \vec{\mathbb E}\\ &(r\;,\; \varphi) & \mapsto & r( (\cos \varphi) \vec{e_1}+ (\sin \varphi) \vec{e_2}) \end{array}$$ Da wir bereits wissen, da"s die Bewegung in einer Ebene bleiben mu"s und nicht durch die Sonne f"uhrt, k"onnen wir $\vec\gamma (t) = P (r (t), \varphi (t))$ ansetzen, zumindest f"ur $t$ aus einem kleinen Zeitintervall. Wir erhalten \begin{equation*} \dot{\vec\gamma} = \dot r ((\cos \varphi) \vec{e_1}+ (\sin \varphi) \vec{e_2}) + r \dot\varphi (-(\sin \varphi) \vec{e_1}+ (\cos \varphi) \vec{e_2}) \end{equation*} und insbesondere \begin{equation*} \langle \dot{\vec\gamma}, \dot{\vec\gamma} \rangle = l^2 (\dot r^{2} + (r \dot\varphi)^2) \end{equation*} Energieerhaltung \ref{KiE} liefert damit, da"s die Gesamtenergie \begin{equation*} \frac{M}{2} l^2 (\dot r^{2} + (r \dot\varphi)^2) - \frac{Mc}{rl} = E \end{equation*} eine Konstante der Bewegung ist. Dasselbe gilt f"ur die L"ange unseres Kreuzprodukts alias den Drehimpuls und damit f"ur \begin{equation*} r^2 \dot\varphi =D \end{equation*} Insbesondere gilt unter unseren Annahmen stets $\dot\varphi\neq 0$. Wir wollen nun zeigen, da"s diese beiden Gleichungen bereits implizieren, da"s unsere Bewegung auf einem Kegelschnitt mit der Sonne in einem Brennpunkt geschehen mu"s. Die Kunst besteht dabei darin, in einem ersten Schritt die vollst"andige Berechnung der Bewegung zu vermeiden, die auf ziemlich komplizierte Ausdr"ucke f"uhrt. Vielmehr interessieren wir uns vorerst nur f"ur die Form der Bahnkurve. Der zeitliche Ablauf, in dem sie durchlaufen wird, folgt dann ohne weitere physikalische Schwierigkeiten aus dem Energieerhaltungssatz, aber die Berechnung der dabei entstehenden Integrale wollen wir eben vermeiden. Dazu bilden wir aus den beiden vorhergehenden Gleichungen, die die Energieerhaltung und die Drehimpulserhaltung in Polarkoordinaten ausdr"ucken, eine einzige Gleichung, in der die zeitlichen Ableitungen unserer neuen Koordinaten nur in der Kombination $\dot r/ \dot \varphi$ vorkommen: Dieser Quotient ist n"amlich von der Parametrisierung der Bahnkurve durch die Zeit unabh"angig. Teilen wir etwa das Quadrat der zweiten Gleichung aus der ersten Gleichung weg, so ergibt sich mit \begin{equation*} \frac{M l^2}{2r^4} \left( \frac{\dot r}{\dot\varphi}\right)^2 + \frac{Ml^2}{2r^2} - \frac{Mc} {rl D^2} = \frac{E}{D^2} \end{equation*} eine Gleichung der gew"unschten Form. Da nun gilt $\dot \varphi \neq 0$, k"onnen wir %auch %die Zeit und den Radius als Funktion des Winkels schreiben, $r = r (\varphi)$. Da auch der Radius bei L"osungen mit von Null verschiedenem Drehimpuls nie Null wird, k"onnen wir weiter auch den inversen Radius als Funktion des Winkels schreiben und setzen $u (\varphi) := 1/r (\varphi)$. F"ur die Ableitung $u^\prime$ von $u$ nach dem Winkel erhalten wir dann \begin{equation*} u^\prime = - r^\prime/r^2 = - \dot r / \dot\varphi r^2 \end{equation*} und unsere Differentialgleichung erh"alt die Gestalt \begin{equation*} (u^\prime)^2 + u^2 + Au = B \end{equation*} mit $A = 2c/D^2l^3$ und $B = 2 E/Ml^2D^2$. Ableiten nach $\varphi$ liefert unmittelbar \begin{equation*} 2 u^\prime u^{\prime\prime} + 2 u u^\prime + A u^\prime =0 \end{equation*} Alle L"osungen m"ussen auf dem Teil ihres Definitionsbereichs, auf dem die Ableitung $u^\prime$ nicht verschwindet, demnach auch der Differentialgleichung \begin{equation*} 2 u^{\prime\prime} + 2u = - A \end{equation*} gehorchen. Das ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. Eine Basis des L"osungsraums der zugeh"origen homogenen Gleichung bilden $u_1(\vartheta) = \sin \vartheta $ und $u_2 (\vartheta) = \cos \vartheta$. Eine spezielle L"osung der inhomogenen Gleichung ist etwa $u_s (\vartheta) = -A/2$. Die allgemeine L"osung ist also $u (\vartheta) = b \cos (\vartheta - \vartheta_0)-A/2$ f"ur Konstanten $b, \vartheta_0$. Indem wir das in unsere urspr"ungliche Differentialgleichung einsetzen, erhalten wir $ b^2 - A^2/4 = B $ alias $b = \sqrt[\pm]{B + A^2/4}$. Damit ist unser Problem gel"ost. Wir pr"ufen nun nur noch, da"s die L"osungen Kegelschnitte sein m"ussen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ellipsen sind Planetenbahnen}] Es gilt, eine Ellipse mit einem Brennpunkt im Ursprung $(0,0)\in\DR^2$ in Polarkoordinaten zu schreiben. Nach der Diskussion in \eref{BPEl}{LA2} lautet die entsprechende Gleichung \begin{equation*} c=r + \sqrt{(r \cos \varphi -a)^2 + r^2 \sin^2 \varphi} \end{equation*} f"ur $(a,0)$ den zweiten Brennpunkt und $((a+c)/2,0)$ den Schnittpunkt unserer Ellipse mit der positiven $x$-Achse. Wir subtrahieren $r$ auf beiden Seiten und quadrieren zu \begin{equation*} r^2 - 2ar \cos \varphi + a^2 = r^2 -2cr +c^2 \end{equation*} Elementare Umformungen liefern \begin{equation*} r = \frac{c^2 - a^2}{2c - 2a\cos \varphi} \end{equation*} Durch "Andern der Parameter zu $\beta \pdef a/c$ und $\alpha \pdef (c^2-a^2)/2c$ landen wir bei der Gleichung \begin{equation*} r = \frac{\alpha}{1 - \beta \cos \varphi} \end{equation*} Um unsere obige Gleichung zu pr"ufen, d"urfen wir die Durchlaufgeschwindigkeit beliebig w"ahlen, so etwa auch $\varphi (t)=t$. Damit erhalten wir $\dot\varphi =1$ und \begin{equation*} \dot r = \frac{-\alpha \beta \sin t}{(1-\beta \cos t)^2} = \frac{-\beta \sin t} {\alpha} r^2 \end{equation*} und Einsetzen in unsere obige Gleichung liefert \begin{equation*} \frac{Ml^2}{2 \alpha^2} \beta^2 \sin^2 t + \frac{Ml^2}{2 \alpha^2} (1-2\beta\cos t + \beta^2 \cos^2 t) - \frac{Mc}{\alpha lD^2} (1 -\beta \cos t) = \frac{E}{D^2} \end{equation*} Hier ist aber in der Tat die linke Seite unabh"angig von $t$ falls gilt \begin{equation*} \frac{Ml^2}{\alpha^2} = \frac{Mc}{\alpha l D^2} \end{equation*} alias $\alpha = l^3 D^2/c$. Wir sehen so, da"s in der Tat unsere Ellipsen m"ogliche L"osungskurven sein m"ussen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Da"s die L"osungskurven Kegelschnitte sein m"ussen, kann man alternativ auch unschwer einsehen, indem man nachrechnet, da"s der sogenannte {\bf Runge-Lenz-Vektor}\index{Runge-Lenz-Vektor} $$\frac{1}{c}\dot{\vec{\gamma}}\times L + \frac{\vec{\gamma}}{\|\vec{\gamma}\|}$$ mit $L$ wie in \ref{HV} der Drehimpuls geteilt durch die Masse des Planeten und $c$ einer die St"arke des Gravitationsfelds beschreibenden Konstanten eine Invariante der Bewegung sein mu"s. Man beachte $L\in\vec{\mathbb E}\langle {\ph{m}}/{\ph{s}}\rangle\otimes \op{or}_\DR(\vec{\mathbb{E}})$, also $\dot{\vec{\gamma}}\times L\in \vec{\mathbb E}\langle {\ph{m}}^2/{\ph{s}^2}\rangle$. Wegen $c \in \langle {\ph{m}}^3/{\ph{s}^2}\rangle$ geh"oren damit beide Summanden zum Raum $\vec{\mathbb E}\langle 1/{\ph{m}}\rangle$. Dieser Zugang gef"allt mir weniger, da man den Runge-Lenz-Vektor dabei \glqq vom Himmel fallen l"a"st\grqq. \end{Bemerkunge} \subsection{Systeme mit Zwangsbedingungen} \begin{Beispiel}[\textbf{Ein Massepunkt mit einer Zwangsbedingung}] Wir untersuchen nun das Verhalten eines einzigen Massepunktes alias Teilchens, dessen Bewegung\label{STan} auf eine Fl"ache im Raum eingeschr"ankt ist. Als physikalisches Modell mag man an ein nasses St"uck Seife denken, das in der Schwerelosigkeit und ohne Reibung im leeren Tank einer Raumf"ahre herumrutscht, in den es ein "uberm"utiger Astronaut mit Schwung hat hineingleiten lassen. Wir modellieren diesen Tank als eine \hyperref[MFoR]{$2$-Mannigfaltigkeit} $M \subset \mathbb{E}$ im Anschauungsraum, die wir der Einfachkeit halber \hyperref[glatt]{glatt} annehmen. Zu jedem Zeitpunkt "ubt unsere Fl"ache eine Kraft auf unser Teilchen aus, deren Richtung, das jedenfalls deklarieren wir als \glqq physikalisch sinnvoll\grqq, jeweils senkrecht zur Fl"ache steht an der Stelle, an der sich unser Teilchen jeweils befindet, und deren Gr"o"se gerade so bemessen ist, da"s sie das Teilchen auf der Fl"ache h"alt. Die Bewegung wird unter dieser Annahme beschrieben durch eine glatte Abbildung $ {\gamma} :\mathbb{T} \rightarrow M $ mit der Eigenschaft $$\ddot{{\gamma}} (t) \perp {\op{T}}_{{\gamma}(t)} M\quad\forall t\in \mathbb T$$ Die zweifache Ableitung ist hierbei f"ur diejenige Abbildung $ {\gamma} :\mathbb{T} \rightarrow \mathbb E $ zu verstehen, die aus $\gamma$ durch das Nachschalten der Einbettung $M\hra \mathbb E $ entsteht. Formal betrachtet liegt $\ddot{{\gamma}} (t) $ in $\vec{\mathbb{E}} \langle 1/{\ph{s}}^2\rangle$ und unsere Tangentialr"aume aus \ref{TaBu} sind Untervektorr"aume ${\op{T}}_{p} M\subset \vec{\mathbb{E}}$, aber die Bedingung des Senkrechtstehens ist dennoch sinnvoll. In der mathematischer Terminologie kann das formuliert werden als die Aussage, da"s sich unser Teilchen mit konstanter absoluter Geschwindigkeit l"angs einer Geod"ate von $M$ bewegt. Bewegt sich unser Teilchen zus"atzlich in einem Kraftfeld $ F: \mathbb{E} \rightarrow \vec{\mathbb{E}} \langle {\ph{g}} /{\ph{s}}^2\rangle $ und hat die Masse $m$, so lauten die Bewegungsgleichungen analog \begin{equation*} \big(m \ddot{{\gamma}}(t) - F ({\gamma} (t))\big) \perp {\op{T}}_{{\gamma} (t)} M \quad \forall t \in \mathbb{T} \end{equation*} Bevor wir L"osungswege diskutieren, besprechen wir erst einmal ein etwas komplizierteres System. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Eine Hantel in der Schwerelosigkeit}] Denken wir uns zwei durch einen starren masselosen Stab\label{BHan} positiver L"ange $l \in \mathbb{L}_{>0}$ verbundene Punkte der Massen $m_1, m_2 \in \mathbb{M}_{>0}$. Dieses System beschreibt eine unausgewogene Hantel, die in der Schwerelosigkeit durch das Weltall torkelt. Die Bewegung unserer Hantel wird beschrieben durch zwei Abbildungen ${\mathbf r}_1, {\mathbf r}_2 : \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{E}$ mit $\| {\mathbf r}_1 (t) - {\mathbf r}_2 (t) \| = l$ f"ur alle Zeiten $t \in \mathbb{T}$, also durch eine Abbildung $\gamma : \mathbb{T} \rightarrow M$ der Zeitachse $\mathbb{T}$ in die $5$-Mannigfaltigkeit \begin{equation*} M \pdef \{ (\mathbf p_1, \mathbf p_2) \in \mathbb{E}^{2} \mid \| \mathbf p_1 - \mathbf p_2 \| = l\}\subset \mathbb{E}^{2} \end{equation*} Hier und im folgenden gilt es zu beachten, da"s Eintr"age in Tupeln keineswegs immer reelle Zahlen zu sein brauchen. So meinen im vorhergehenden etwa $\mathbf p_1$ und $\mathbf p_2$ Punkte des Anschauungsraums $\mathbb E$ und k"onnen ihrerseits durch die Wahl eines Koordinatensystems mit Elementen des $\DR^3$ identifiziert werden, so da"s man unser Paar $(\mathbf p_1,\mathbf p_2)$ nach der Wahl geeigneter Koordinaten mit einem Sextupel von reellen Zahlen identifizieren kann. Im folgenden notieren wir Punkte von $\mathbb E$ und Richtungsvektoren aus $\vec{\mathbb E}$ oder Elemente von $\vec{\mathbb E}\otimes L$ f"ur eindimensionales $L$ meist als fette Buchstaben. Nach dem Newton'schen Prinzip \glqq actio est reactio\grqq\ gilt $$\vec{\mathbf Z}_1 = -\vec{\mathbf Z}_2$$ f"ur die vom Stab auf die jeweiligen Massepunkte ausge"ubten {\bf Zwangskr"afte} $\vec{\mathbf Z}_1$ und $\vec{\mathbf Z}_2$. Des weiteren deklarieren wir die Annahme als \glqq physikalisch sinnvoll\grqq, da"s diese Zwangskr"afte stets in Richtung unseres Stabes wirken. Das ist bei einer echten Hantel durchaus anders, aber wir denken uns ja einen masselosen Stab und Punktmassen an beiden Enden, die insbesondere kein Drehmoment haben k"onnen. Zusammengefa"st und in Formeln geschrieben nehmen wir also an, da"s gilt \begin{eqnarray*} \vec{\mathbf Z}_1 (t) &=& a(t) ({\mathbf r}_1 (t) - {\mathbf r}_2 (t))\\ \vec{\mathbf Z}_2 (t) &=& a (t) ({\mathbf r}_2 (t) - {\mathbf r}_1 (t)) \end{eqnarray*} f"ur unbekanntes $ a : \mathbb T \rightarrow \langle {\ph{g}}/{\ph{s}}^2\rangle$. Damit erhalten wir die Bewegungsgleichungen \begin{eqnarray*} m_1 \ddot{{\mathbf r}}_1 (t) &=& a (t) ({\mathbf r}_1 (t) - {\mathbf r}_2 (t))\\ m_2 \ddot{{\mathbf r}}_2 (t) &=& a(t) ({\mathbf r}_2 (t) - {\mathbf r}_1 (t)) \end{eqnarray*} f"ur $\gamma = ({\mathbf r}_1, {\mathbf r}_2) : \mathbb T \rightarrow M$. Nun betrachten wir auf $\vec{\mathbb{E}}^{2}$ das {\bf Summenskalarprodukt} mit Werten in $\langle{\ph{m}^2}\rangle$ gegeben durch $$\langle(\vec{\mathbf v}_1, \vec{\mathbf v}_2),(\vec{\mathbf w}_1, \vec{\mathbf w}_2)\rangle_{({\op{k}},+)}\pdef \langle\vec{\mathbf v}_1, \vec{\mathbf w}_1 \rangle_{{\ph{k}}} + \langle\vec{\mathbf v}_2, \vec{\mathbf w}_2 \rangle_{{\ph{k}}}$$ Per definitionem ist $M$ Niveaufl"ache der Funktion $f : (\mathbf p_1, \mathbf p_2) \mapsto \| \mathbf p_1 - \mathbf p_2 \|^2$. Das Differential dieser Abbildung bei $p\pdef (\mathbf p_1, \mathbf p_2)$ ergibt sich mit der Produktregel \ref{PRm} zu \begin{equation*} \tiff_p f : (\vec{\mathbf v}_1, \vec{\mathbf v}_2) \mapsto 2 \langle \mathbf p_1 - \mathbf p_2, \vec{\mathbf v}_1 - \vec{\mathbf v}_2\rangle_{{\ph{k}}} \end{equation*} Der Kern dieser Abbildung ist der Tangentialraum ${\op{T}}_p M$. Wir erkennen so, da"s f"ur alle $p=(\mathbf p_1,\mathbf p_2)\in M$ das Paar aus dem Verbindungsvektor und seinem Negativen $ (\mathbf p_1 - \mathbf p_2 , \mathbf p_2 - \mathbf p_1)\in \vec{\mathbb E}^2$ den Orthogonalraum zu ${\op{T}}_p M$ f"ur das Summenskalarprodukt erzeugt, denn $\tiff_p f$ ist das Doppelte des Bildens des Summenskalarprodukts mit diesem Vektor $$\begin{array}{lll} \langle (\mathbf p_1 - \mathbf p_2 , \mathbf p_2 - \mathbf p_1),(\vec{\mathbf v}_1, \vec{\mathbf v}_2)\rangle_{({\op{k}},+)}&=&\langle \mathbf p_1 - \mathbf p_2 , \vec{\mathbf v}_1\rangle_{\op{k}}+ \langle \mathbf p_2 - \mathbf p_1, \vec{\mathbf v}_2\rangle_{\op{k}}\\ &=&\langle \mathbf p_1 - \mathbf p_2 , \vec{\mathbf v}_1-\vec{\mathbf v}_2\rangle_{\op{k}} \end{array} $$ Unsere Bewegungsgleichungen bedeuten also $(m_1 \ddot{{\mathbf r}}_1 (t), m_2 \ddot{{\mathbf r}}_2 (t))\perp_{({\op{k}},+)} {\op{T}}_{\gamma(t)} M$ mit der Notation $\perp_{s}$ f"ur das Senkrechtstehen in Bezug auf ein Skalarprodukt $s$. Definieren wir zus"atzlich auf $\vec{\mathbb{E}}^{2}$ das {\bf massebehaftete Skalarprodukt}\index{Skalarprodukt!massebehaftetes} $$\langle \; , \; \rangle_{{\ph{g}}} : \vec{\mathbb{E}}^{2} \times \vec{\mathbb{E}}^{2} \rightarrow \langle {\ph{g}}{\ph{m}^2}\rangle$$ %\mathbb{L}^{\otimes 2} \otimes \mathbb{M}$$ durch $\langle (\vec{\mathbf v}_1, \vec{\mathbf v}_2 ) , (\vec{\mathbf w}_1, \vec{\mathbf w}_2) \rangle_{{\ph{g}}} \pdef m_1 \langle \vec{\mathbf v}_1, \vec{\mathbf w}_1 \rangle + m_2 \langle \vec{\mathbf v}_2, \vec{\mathbf w}_2 \rangle$, so k"onnen unsere Bewegungsgleichungen umgeschrieben werden zur Bedingung \begin{equation*} \ddot{\gamma}(t) \perp_{{\ph{g}}} {\op{T}}_{\gamma (t)} M \end{equation*} des Senkrechtstehens in Bezug auf das massebehaftete Skalarprodukt. In mathematischer Terminologie sind die m"oglichen Bewegungen folglich mit konstanter absoluter Geschwindigkeit durchlaufene Geod"aten auf $M$ in Bezug auf das massebehaftete Skalarprodukt. Wirken zus"atzlich noch externe Kr"afte, sind etwa unsere Massepunkte elektrisch geladen und bewegt sich unsere Hantel in einem Raum mit einem elektrischen Feld und einem Gravitationsfeld, und beschreiben etwa $ \vec{\mathbf F}_1, \vec{\mathbf F}_2 : \mathbb{E} \rightarrow \vec{\mathbb{E}} \langle{\ph{g}}/{\ph{s}}^2\rangle$ die auf die jeweiligen Massepunkte wirkenden externen Kr"afte, so bilden wir die {\bf massebereinigte externe Gesamtkraft} \begin{equation*} \tilde F : \mathbb{E}^{2} \rightarrow \vec{\mathbb{E}}^{2} \langle 1/{\ph{s}}^2\rangle \end{equation*} durch die Vorschrift $\tilde F (\mathbf r_1, \mathbf r_2)\pdef ( \vec{\mathbf F}_1 (\mathbf r_1)/m_1, \vec{\mathbf F}_2 (\mathbf r_2)/m_2)$ und unsere Bewegungsgleichung f"ur $\gamma : \mathbb T \rightarrow M$ erh"alt allgemeiner die Gestalt der Orthogonalit"atsbedingung \begin{equation*} \big(\ddot{\gamma} (t) - \tilde F (\gamma (t)) \big)\perp_{{\ph{g}}} \;{\op{T}}_{\gamma (t)} M\quad \forall t\in\mathbb T \end{equation*} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Allgemeine Systeme mit Zwangsbedingungen}] Nun betrachten wir allgemein den\label{phmG} Fall eines Systems von Massepunkten positiver Massen $m_1, \ldots, m_\Lambda$, deren Bewegung in der Weise eingeschr"ankt sei, da"s die Zusammenfassung ihrer Orte $(\mathbf r_1, \ldots , \mathbf r_\Lambda) \in \mathbb{E}^{\Lambda}$ sich stets auf einer fest vorgegebenen \hyperref[glatt]{glatten Mannigfaltigkeit} $M \subset \mathbb{E}^{\Lambda}$ befindet. So eine Mannigfaltigkeit kann lokal durch Gleichungen beschrieben werden, soviele wie ihre Kodimension angibt, und derartige Gleichungen hei"sen in diesem Kontext {\bf Zwangsbedingungen}.\index{Zwangsbedingung} Wir nennen das Datum $(m_1, \ldots, m_\Lambda, M)$ ein {\bf Massepunktsystem}\index{Massepunktsystem}\label{neS} und $M$ seinen {\bf Konfigurationsraum}.\index{Konfigurationsraum} Man mag hier an unsere Hantel aus Beispiel \ref{BHan} denken, an unser Seifenst"uck im Tank aus Beispiel \ref{STan}, an ein Doppelpendel und noch an vieles andere. Auch dieser Allgemeinheit betrachten wir das {\bf massebehaftete Skalarprodukt}\index{Skalarprodukt!massebehaftetes} $\langle\;, \;\rangle_{{\ph{g}}}:\vec{\mathbb{E}}^{\Lambda}\times \vec{\mathbb{E}}^{\Lambda}\ra \langle{\ph{gm}}^2\rangle$ gegeben durch $$\langle(\vec{\mathbf v}_1,\ldots,\vec{\mathbf v}_\Lambda), (\vec{\mathbf w}_1,\ldots,\vec{\mathbf w}_\Lambda)\rangle_{{\ph{g}}}\pdef m_1\langle\vec{\mathbf v}_1,\vec{\mathbf w}_1\rangle +\ldots +m_\Lambda\langle\vec{\mathbf v}_\Lambda,\vec{\mathbf w}_\Lambda\rangle$$ Im folgenden soll erkl"art werden, wie man durch physikalische "Uberlegungen f"ur die Bewegung $\gamma : \mathbb T \rightarrow M$ unseres Systems auf die Orthogonalit"atsbedingung \begin{equation*} \big(\ddot{\gamma} (t) - \tilde F (\gamma (t))\big)\perp_{{\ph{g}}} {\op{T}}_{\gamma (t)} M\quad\forall t\in \mathbb T \end{equation*} gef"uhrt wird, f"ur $\tilde F\pdef(\vec{\mathbf F}_1/m_1,\ldots ,\vec{\mathbf F}_\Lambda/m_\Lambda)$ die {\bf massebereinigte externe Gesamtkraft} und $\perp_{{\ph{g}}}$ das Senkrechtstehen bez"uglich des massebehafteten Skalarprodukts. Wesentlich ist dabei zus"atzlich zu den Newton'schen Bewegungsgleichungen das sogenannte {\bf d'Alembert'sche Prinzip},\index{Alembert'sches Prinzip} nach dem \glqq die Zwangskr"afte unter infinitesimalen Verr"uckungen keine Arbeit verrichten\grqq. Mit Zwangskr"aften sind die Kr"afte gemeint, die zus"atzlich zu den bekannten "au"seren Kr"aften noch erg"anzt werden m"ussen, damit stets Kraft gleich Masse mal Beschleunigung gilt. Wird im Verlauf der Bewegung an einer Stelle $p \in M$ auf unser System die Zwangskraft $Z \pdef (\vec{\mathbf Z}_1, \ldots ,\vec{\mathbf Z}_\Lambda) \in \vec{\mathbb{E}}^{\Lambda} \langle{\ph{g}}/{\ph{s}}^2\rangle$ ausge"ubt und ist $\varphi : (-a,a) \rightarrow M$ ein glatter Weg in $M$ mit $\varphi (0) =p$, dann soll, so kann man dies Prinzip in Formeln ausdr"ucken, f"ur das Summenskalarprodukt stets gelten \begin{equation*} \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{1}{x}}\int^x_0 \langle Z, \varphi' (\zeta) \rangle_{(\op{k},+)} \diff \zeta =0 \end{equation*} Das bedeutet $\langle Z, \varphi' (0)\rangle_{(\op{k},+)} =0$ und damit $Z \perp_{(\op{k},+)} {\op{T}}_p M$ f"ur das Sum\-men\-ska\-lar\-pro\-dukt auf $\vec{\mathbb{E}}^{\Lambda}$. F"ur $\tilde{Z} \pdef (\vec{\mathbf Z}_1/m_1, \ldots, \vec{\mathbf Z}_\Lambda/m_\Lambda)$ die {\bf massebereinigte Zwangskraft} haben wir dann $\tilde{Z} \perp_{{\ph{g}}} {\op{T}}_p M$ in Bezug auf das massebehaftete Skalarprodukt. Die Newton'sche Bewegungsgleichung liefert $ \ddot{\gamma}(t) = \tilde F (\gamma (t)) + \tilde{Z} (\gamma (t)) $ und wir erhalten so wie behauptet f"ur unser Massepunktsystem mit Zwangsbedingungen die {\bf Orthogonalit"atsbedingung} $$\big(\ddot{\gamma}(t) - \tilde F (\gamma (t)) \big) \perp_{{\ph{g}}} {\op{T}}_{\gamma (t)} M\quad\forall t\in \mathbb T$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kr"afte in Abh"angigkeit vom Ort aller Teilchen und von der Zeit}] Unsere Argumentation beh"alt ihre G"ultigkeit, wenn die auf ein Teilchen wirkende externe Kraft von den Orten der anderen Teilchen abh"angt, die sich etwa anziehen oder absto"sen m"ogen, so da"s $\tilde F$ eine Abbildung $\tilde F:M\ra \vec{\mathbb{E}}^\Lambda \langle{1/{\ph{s}}^2}\rangle$ wird. Unsere Argumentation beh"alt auch dann noch ihre G"ultigkeit, wenn die Kr"afte zus"atzlich von der Zeit abh"angen, in Formeln $\tilde F:M\times \mathbb T\ra \vec{\mathbb{E}}^\Lambda \langle 1/{\ph{s}}^2\rangle$. Alles bleibt wie gehabt, nur m"ussen wir\label{DESa} statt $\tilde F (\gamma (t))$ eben $\tilde F (\gamma (t),t)$ schreiben und die Bewegungsgleichung wird zur {\bf Orthogonalit"atsbedingung} $$\big(\ddot{\gamma}(t) - \tilde F (\gamma (t),t) \big) \perp_{{\ph{g}}} {\op{T}}_{\gamma (t)} M\quad\forall t\in \mathbb T$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele}[\textbf{Beispiele f"ur das d'Alembert'sche Prinzip}] Das Vorhergehende gilt nur f"ur Systeme ohne Reibung. Im Fall unserer Seife im Tank besagt das d'Alembert'sche Prinzip, da"s Zwangskr"afte ausschlie"slich senkrecht zur Innenfl"ache des Tanks an der Stelle, an der sich unser Seifenst"uck gerade befindet, ausge"ubt werden. Im Fall unserer Hantel besagt das d'Alembert'sche Prinzip, da"s Zwangskr"afte ausschlie"slich in Richtung des Stabes ausge"ubt werden und dem Prinzip \glqq actio est reactio\grqq\ gehorchen. Im Fall dreier schwerer Perlen, die auf einem masselos gedachten Seilring aufgef"adelt sind, liefert das d'Alembert'sche Prinzip bei genauerer Betrachtung, da"s sich (1) die Zwangskr"afte auf jede Perle als Summe zweier Kr"afte in den beiden Richtungen, in denen das Seil sie verl"a"st, schreiben lassen, und da"s (2) alle diese Kr"afte betragsm"a"sig gleich gro"s sind, da"s also anschaulich gesprochen die Seilspannung konstant ist. All das wirkt physikalisch vern"unftig und es erweist sich, da"s die so erhaltenen Bewegungsgleichungen auch in guter "Ubereinstimmung zum Experiment stehen. \end{Beispiele} \subsection{Prinzip der station"aren Wirkung} \begin{Lemma}[\textbf{Prinzip der kleinsten Wirkung f"ur einen Massepunkt}] Gegeben ein Massepunkt positiver Masse $m>0$ im Anschauungsraum $\mathbb E$ und ein glattes Kraftfeld $F:\mathbb E\times\mathbb T\ra \vec{\mathbb E} \langle{\ph{g}}/{\ph{s}}^2\rangle$ mit \hyperref[poZ]{Potential} $V$ erf"ullt\label{HaFop} eine glatte Abbildung $\gamma:[a,b]\ra \mathbb E$ die Newton'sche Bewegungsgleichung, wenn unter allen glatten Wegen $\alpha: [a,b]\ra \mathbb E$ mit $\alpha(a)=\gamma(a)$ und $\alpha(b)=\gamma(b)$ das Integral $$\int_a^b\frac{m}{2}\big\langle \dot\alpha(t),\dot\alpha(t)\big\rangle- V(\alpha(t),t) \diff t $$ f"ur den Weg $\alpha=\gamma$ kleinstm"oglich ist. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Das Integral im Lemma nimmt Werte in $\langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\ph{s}}\rangle$ an und dieser eindimensionale Vektorraum ist in nat"urlicher Weise orientiert, so da"s es sinnvoll ist, \glqq kleinstm"oglich\grqq\ zu fordern. Die Bedingung in diesem Lemma ist nur hinreichend. Ihre Verfeinerung zu einer notwendigen und hinreichenden Bedingung diskutieren wir im Anschlu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das Integral im Lemma hei"st die {\bf Wirkung}\index{Wirkung} l"angs der Bewegung $\alpha$ und wird $S(\alpha)$ notiert. Der Lemma selbst dr"uckt das {\bf Prinzip der kleinsten Wirkung} aus. Wir behaupten nicht, da"s es "uberhaupt eine Bewegung mit kleinstm"oglicher Wirkung geben mu"s, noch da"s es h"ochstens eine Bewegung mit kleinstm"oglicher Wirkung geben darf, noch da"s solche Bewegungen die einzig m"oglichen L"osungen der Bewegungsgleichungen sind. Wir diskutieren das gleich noch ausf"uhrlicher. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Wenn keine Kr"afte wirken, in Formeln $V=0$, und wir Anfangs- gleich Endpunkt $\gamma(a)=\gamma(b)$ annehmen, dann ist die Wirkung kleinstm"oglich f"ur den konstanten Weg. Wenn keine Kr"afte wirken und wir Anfangs- gleich Endpunkt $\gamma(a)=\gamma(b)$ nicht gleich annehmen, dann ist die Wirkung kleinstm"oglich f"ur den mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufenen geraden Weg. \end{Beispiele} \begin{proof} Sei $\varepsilon:[a,b]\ra \vec{\mathbb E}$ glatt mit $\varepsilon(a)=\varepsilon(b)=0$. Ist die Wirkung f"ur $\gamma$ kleinstm"oglich, so mu"s die Abbildung $s\mapsto S(\gamma(t)+s\varepsilon(t))$ bei $s=0$ ein Minimum annehmen. Wir vereinbaren die Notation $\alpha(t,s)\pdef \gamma(t)+s\varepsilon(t)$. Auch wenn noch andere Variablen pr"asent sind, berechnen wir die Wirkung, diese Konvention sei hier vereinbart, stets nach der mit $t$ bezeichneten Variablen. Nach der Regel \ref{DUIn} f"ur das Differenzieren unter dem Integral gelingt das Vertauschen von Ableitung nach $s$ und Integral nach $t$ und wir finden insbesondere, da"s $s\mapsto S(\alpha(t,s))$ differenzierbar ist nach $s$ und da"s seine Ableitung bei $s=0$ verschwinden mu"s, in Formeln $$0=\left.\frac{\diff}{\diff s}\right|_{s=0}S(\alpha(t,s))= \int_a^b (\tiff_{(\gamma(t),t)}V)(\varepsilon(t),0) -m\big\langle \dot\gamma(t),\dot\varepsilon(t)\big\rangle \diff t $$ Nun gilt $(\tiff_{(\gamma(t),t)}V)(\varepsilon(t),0)=-\big\langle F(\gamma(t),t),\varepsilon(t)\big\rangle$ nach der Definition des Potentials. Andererseits finden wir aufgrund der Randbedingungen $\varepsilon(a)=\varepsilon(b)=0$ nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung $$0=\int_a^b \frac{\diff}{\diff t}\big\langle \dot\gamma(t),\varepsilon(t)\big\rangle \diff t = \int_a^b \big\langle \ddot\gamma(t),\varepsilon(t)\big\rangle +\big\langle \dot\gamma(t),\dot\varepsilon(t)\big\rangle \diff t$$ So k"onnen wir unsere erste Gleichung umschreiben zu $$0=\int_a^b \big\langle - F(\gamma(t),t) +m\ddot\gamma(t),\varepsilon(t)\big\rangle \diff t $$ Es ist nun leicht zu sehen, da"s das nur gelten kann f"ur alle hier erlaubten $\varepsilon$, wenn gilt $- F(\gamma(t),t) +m\ddot\gamma(t)=0$ f"ur alle $t\in [a,b]$. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Prinzip der station"aren Wirkung f"ur einen Massepunkt}] Gegeben ein Massepunkt positiver Masse $m>0$ in einem glatten Kraftfeld $F$ mit Potential $V$ ist\label{HaFop} ein glattes $\gamma:[a,b]\ra \mathbb E$ eine L"osung der Bewegungsgleichungen genau dann, wenn f"ur alle glatten Abbildungen $\alpha:[a,b]\times (-\eta, \eta)\ra \mathbb E$ mit $\alpha(t,0)=\gamma(t)\;\forall t$ und Enden $\alpha(a,s),\alpha(b,s)$ unabh"angig von $s\in (-\eta,\eta)$ gilt $$0=\left.\frac{\diff}{\diff s}\right|_{s=0}\int_a^b\frac{m}{2}\big\langle \dot\alpha(t,s),\dot\alpha(t,s)\big\rangle-V(\alpha(t,s),t)\diff t $$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Man bemerke, da"s Prinzip der station"aren Wirkung im Gegensatz zum Prinzip der kleinsten Wirkunng notwendig und hinreichend ist. Die Bedingung selber kann man salopp gesprochen so verstehen, da"s die L"osungen der Bewegungsgleichungen die station"aren Punkte der Wirkung sind, wenn wir sie auf den Raum aller Wege mit festem Startpunkt und festem Endpunkt zu vorgegebenen Zeiten $a,b$ einschr"anken. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir k"onnen die Ableitung unter das Integral ziehen und so unsere Gleichung mit dem unteren Index $s$ f"ur die partielle Ableitung nach $s$ umschreiben zu $$0=\left.\frac{\diff}{\diff s}\right|_{s=0}\int_a^b(\tiff_{(\gamma(t),t)}V)(\alpha_s(t,0),0) -m\big\langle \dot\alpha(t,0),\dot\alpha_s(t,0)\big\rangle \diff t $$ "Ahnlich wie zuvor finden wir $(\tiff_{(\gamma(t),t)}V)(\alpha_s(t,0),0)=-\big\langle F(\gamma(t),t),\alpha_s(t,0)\big\rangle$. Andererseits finden wir nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung $$0=\int_a^b \frac{\diff}{\diff t}\big\langle \dot\gamma(t),\alpha_s(t,0)\big\rangle \diff t = \int_a^b \big\langle \ddot\gamma(t),\alpha_s(t,0)\big\rangle +\big\langle \dot\gamma(t),\dot\alpha_s(t,0)\big\rangle \diff t$$ Insgesamt k"onnen wir so unsere Gleichung im Satz umschreiben zur Gleichung $$0=\int_a^b\big\langle -F(\gamma(t),t) + m\ddot\gamma(t) ,\alpha_s(t,0)\big\rangle\diff t$$ Es ist nun leicht zu sehen, da"s das f"ur alle erlaubten $\alpha$ genau dann gilt, wenn die Bewegungsgleichung $-F(\gamma(t),t) + m\ddot\gamma(t)=0$ erf"ullt ist f"ur alle $t\in [a,b]$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Unter einem {\bf Potential} eines Kraftfelds\index{Potential!eines Kraftfelds!im Anschauungsraum} $F: \mathbb E^\Lambda\times \mathbb T \rightarrow \vec{\mathbb E}^\Lambda \langle {\ph{g}} / {\ph{s}}^2 \rangle$ versteht man eine differenzierbare Abbildung $ V : \mathbb E^\Lambda\times \mathbb T \rightarrow \langle {\ph{gm}}^2 / {\ph{s}}^2 \rangle $ mit $$-\op{grad}_{(\op{k},+)}V=F$$ Ausgeschrieben bedeutet unsere Bedingung $-\op{grad}_{(\op{k},+)}V=F$ damit $$ -(\tiff_{(p,t)} V)(v,0) = \langle F (p,t), v\rangle_{(\op{k},+)} \qquad \forall p \in \mathbb E^\Lambda, t\in \mathbb T, v \in \vec{\mathbb E}^\Lambda $$ Als formelhafte Beschreibung f"ur das Differential \glqq nur in Bezug auf den Ort\grqq\ links nehme ich das volle Differential, werte es aber nur auf Richtungsvektoren mit verschwindender Zeitkomponente $(v,0)$ aus. "Aquivalent finden wir f"ur die Zusammenfassung der massereduzierten Kr"afte $$-\op{grad}_{\op{g}}V=\tilde F$$ \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Station"are Wirkung f"ur freie Massepunktsysteme}] Gegeben Teilchen positiver Massen $m_1,\ldots,m_\Lambda$ in einem glatten Potential $V$ ist\label{HaFop3} eine glatte Abbildung $\gamma:[a,b]\ra \mathbb E^\Lambda$ eine L"osung der Bewegungsgleichungen genau dann, wenn f"ur alle glatten Abbildungen $\alpha:[a,b]\times (-\eta, \eta)\ra \mathbb E^\Lambda$ mit $\alpha(t,0)=\gamma(t)\;\forall t$ und Enden $\alpha(a,s),\alpha(b,s)$ unabh"angig von $s\in (-\eta,\eta)$ gilt $$0=\left.\frac{\diff}{\diff s}\right|_{s=0}\int_a^b L(\alpha(t,s), \dot\alpha(t,s),t) \diff t $$ f"ur die \emph{\bf Lagrangefunktion} $L(p,v,t)\pdef \langle v,v\rangle_{\op{g}}/2-V(p,t)$ unseres Systems. \end{Proposition} \begin{proof} Das geht ganz "ahnlich wie im Fall eines einzigen freien Massepunktes. Wir k"onnen die Ableitung unter das Integral ziehen und so unsere Gleichung mit dem unteren Index $s$ f"ur die partielle Ableitung nach $s$ umschreiben zu $$0=\int_a^b \big\langle \dot\alpha(t,0),\dot\alpha_s(t,0)\big\rangle_{\op{\ph{g}}}- (\tiff_{(\gamma(t),t)}V)(\alpha_s(t,0),0) \diff t $$ "Ahnlich wie zuvor finden wir $(\tiff_{(\gamma(t),t)}V)(\alpha_s(t,0),0)=-\big\langle \tilde F(\gamma(t),t),\alpha_s(t,0)\big\rangle_{\op{\ph{g}}}$. Andererseits finden wir nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung $$0=\int_a^b \frac{\diff}{\diff t}\big\langle \dot\gamma(t),\alpha_s(t,0)\big\rangle_{\op{\ph{g}}} \diff t = \int_a^b \big\langle \ddot\gamma(t),\alpha_s(t,0)\big\rangle_{\op{\ph{g}}} +\big\langle \dot\gamma(t),\dot\alpha_s(t,0)\big\rangle_{\op{\ph{g}}} \diff t$$ Insgesamt k"onnen wir so unsere Gleichung im Satz umschreiben zur Gleichung $$0=\int_a^b\big\langle -\tilde F(\gamma(t),t) + \ddot\gamma(t) ,\alpha_s(t,0)\big\rangle_{\op{g}}\diff t$$ Es ist nun leicht zu sehen, da"s das f"ur alle erlaubten $\alpha$ genau dann gilt, wenn die Bewegungsgleichung $-\tilde F(\gamma(t),t) + \ddot\gamma(t)=0$ erf"ullt ist f"ur alle $t\in [a,b]$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Station"are Wirkung unter Zwangsbedingungen}] Gegeben ein Massepunktsystem mit Potential $(m_1,\ldots,m_\Lambda,M,V)$ erf"ullt\label{HaFop4} eine glatte Abbildung $\gamma:[a,b]\ra M$ die Orthogonalit"atsbedingung \ref{DESa} genau dann, wenn f"ur alle glatten Abbildungen $\alpha:[a,b]\times (-\eta, \eta)\ra M$ mit $\alpha(t,0)=\gamma(t)\;\forall t$ und Enden $\alpha(a,s),\alpha(b,s)$ unabh"angig von $s\in (-\eta,\eta)$ gilt $$0=\left.\frac{\diff}{\diff s}\right|_{s=0}\int_a^b L(\alpha(t,s), \dot\alpha(t,s),t) \diff t $$ \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Im Fall von verschwindendem Potential kann man sich "uberlegen, da"s dieses Prinzip bedeutet, da"s unsere Bewegungen l"angs mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufenen Geod"aten in Bezug auf das massebehaftete Skalarprodukt geschehen m"ussen. Das l"a"st sich aber an den Orthogonalit"atsbedingungen fast noch besser erkennen. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Das geht ganz "ahnlich wie im Fall ohne Zwangsbedingungen \ref{HaFop3}. Wir k"onnen die Ableitung unter das Integral ziehen und so unsere Gleichung mit dem unteren Index $s$ f"ur die partielle Ableitung nach $s$ umschreiben zu $$0=\int_a^b \big\langle \dot\alpha(t,0),\dot\alpha_s(t,0)\big\rangle_{\op{\ph{g}}}- (\tiff_{(\gamma(t),t)}V)(\alpha_s(t,0),0) \diff t $$ Wie zuvor finden wir $(\tiff_{(\gamma(t),t)}V)(\alpha_s(t,0),0)=-\big\langle \tilde F(\gamma(t),t),\alpha_s(t,0)\big\rangle_{\op{\ph{g}}}$. An\-de\-rer\-seits finden wir nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung $$0=\int_a^b \frac{\diff}{\diff t}\big\langle \dot\gamma(t),\alpha_s(t,0)\big\rangle_{\op{\ph{g}}} \diff t = \int_a^b \big\langle \ddot\gamma(t),\alpha_s(t,0)\big\rangle_{\op{\ph{g}}} +\big\langle \dot\gamma(t),\dot\alpha_s(t,0)\big\rangle_{\op{\ph{g}}} \diff t$$ Insgesamt k"onnen wir so unsere Gleichung im Satz umschreiben zur Gleichung $$0=\int_a^b\big\langle -\tilde F(\gamma(t),t) + \ddot\gamma(t) ,\alpha_s(t,0)\big\rangle_{\op{\ph{g}}}\diff t$$ Nun ist $\alpha_s(t,0)$ f"ur alle $t$ ein Element des Tangentialraums ${\op{T}}_{\gamma(t)}M$ und in angepa"sten Koordinaten ist leicht zu sehen, da"s unser Integral genau dann f"ur alle erlaubten $\alpha$ verschwindet, wenn die in \ref{DESa} aus physikalischen Prinzipien hergeleitete Orthogonalit"atsbedingung $\big(\ddot\gamma(t)-\tilde F(\gamma(t),t)\big) \perp_{\op{\ph{g}}} {\op{T}}_{\gamma(t)}M$ erf"ullt ist f"ur alle $t\in [a,b]$. \end{proof} \subsection{Abstrakte Mannigfaltigkeiten} \begin{Bemerkungl} Im folgenden diskutieren wir die Beziehung zwischen eingebetteten und abstrakten Mannigfaltigkeiten und ihren jeweiligen Tangentialr"aumen. Um die Begriffe dabei auseinanderzuhalten, notieren ich die bisher stets verwendeten eingebetteten Tangentialr"aume im folgenden\label{DTBE} $${\op{T}}_p^{\scriptscriptstyle\subset}M$$ Seien genauer $X$ ein endlichdimensionaler Raum und $M\subset X$ eine Mannigfaltigkeit. In \ref{Taka} hatten wir zu jedem Punkt $p\in M$ seinen eingebetteten Tangentialraum ${\op{T}}_p^{\scriptscriptstyle\subset}M\subset \vec X$ erkl"art als die Menge aller m"oglichen Geschwindigkeitsvektoren \nichtfinal{(Richtungsvektoren?)} bei $p$ von solchen Wegen durch den Punkt $p$, die ganz in $M$ verlaufen. Wir erkl"aren nun das\label{TaBu} {\bf eingebettete Tangentialb"undel von $M$}\index{Tangentialb"undel!im eingebetteten Fall} als\index{T@${\op{T}}^{\scriptscriptstyle} M$|see{Tangentialb"undel}} die Vereinigung $${\op{T}}^{\scriptscriptstyle \subset}M\pdef \bigcup_{p\in M} \{p\}\times {\op{T}}^{\scriptscriptstyle \subset}_{p} M \;\;\subset\;\;M \times \vec{X} \;\;\subset\;\;X \times \vec{X} $$ Die Komposition $\pi : {\op{T}}^{\scriptscriptstyle \subset}M \ra M $ der Einbettung nach $M\times\vec X$ mit der Projektion auf $M$ hei"st die {\bf B"undelprojektion}.\index{B"undelprojektion} Ihre Faser "uber $p$ ist der Tangentialraum ${\op{T}}^{\scriptscriptstyle \subset}_{p} M$ oder ganz pedantisch die Menge $\{p\}\times {\op{T}}_{p}^{\scriptscriptstyle \subset} M$. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildTBM} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Tangentialb"undel einer Kreislinie. Ich habe die beiden Geraden als nichtschneidend gemalt, um anzudeuten, da"s diese "Uberschneidungen von uns bei der Definition des Tangentialb"undels sozusagen wegdefiniert werden. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eingebettetes Tangentialb"undel als Mannigfaltigkeit}] Gegeben $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum\label{TBUMs} und $M\subset X$ eine glatte Untermannigfaltigkeit ist ihr eingebettetes Tangentialb"undel als Teilmenge ${\op{T}}^{\scriptscriptstyle \subset}M\subset X\times \vec{X}$ eine glatte Untermannigfaltigkeit der Dimension $2 (\dim M)$. Gegeben eine glatte Karte $\varphi:\mathbb{R}^n\lco W\ra M$ von $M$ ist des weiteren $\hat\varphi : \DR^{2n}\lco W\times \DR^n \ra {\op{T}}^{\scriptscriptstyle \subset} M $ gegeben f"ur $(x,y)\in W\times\DR^n$ durch \begin{equation*} \hat \varphi : (x, y) \mapsto \big(\varphi(x),(\tiff _{x} \varphi)(y)\big) \end{equation*} eine glatte Karte des eingebetteten Tangentialb"undels ${\op{T}}^{\scriptscriptstyle \subset}M$, wie der Leser leicht pr"ufen mag. Wir nennen $\hat\varphi$ die zu $\varphi$ geh"orige {\bf Tangentialb"undelkarte}.\index{Tangentialb"undelkarte!zu Karte} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abstrakte Mannigfaltigkeiten}] Um die Darstellung der Theorie transparent zu halten, st"utze ich mich nun auf Konstruktionen aus der Differentialgeometrie, vergleiche etwa \eref{glM}{ML}. Man erkl"art dort \glqq abstrakte Mannigfaltigkeiten\grqq, ab jetzt nennen wir sie kurz \glqq Mannigfaltigkeiten\grqq, und \glqq glatte Abbildungen von Mannigfaltigkeiten\grqq. Man zeigt, da"s die Identit"at auf jeder Mannigfaltigkeit glatt ist und da"s die Ver\-kn"up\-fung glatter Abbildungen von Mannigfaltigkeiten auch selbst wieder glatt ist. Teil des Datums einer Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorffraum und glatte Abbildungen sind spezielle stetige Abbildungen. Weiter wird dort erkl"art, inwiefern manche Teilmengen $Y\subset X$ einer Mannigfaltigkeit, die {\bf Untermannigfaltigkeiten}, selbst wieder mit der {\bf induzierten Struktur} einer Mannigfaltigkeit versehen werden k"onnen, da"s das insbesondere f"ur alle offenen Teilmengen $Y\co X$ gelingt und da"s die Einbettung $i:Y\hra X$ einer Untermannigfaltigkeit stets glatt ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eingebettete als abstrakte Mannigfaltigkeiten}] Nach Einf"uhrung der abstrakten Mannigfaltigkeiten wird ihre Beziehung zur Begrifflichkeit der eingebetteten Mannigfaltigkeiten aus \eref{MFoR}{AN2} diskutiert. Man beginnt damit, da"s man jeden endlichdimensionalen reellen Raum mit seiner {\bf nat"urlichen Struktur} als Mannigfaltigkeit versieht und zeigt, da"s in diesem Fall die Untermannigfaltigkeiten unsere glatten eingebetteten Mannigfaltigkeiten aus \eref{glatt}{AN2} sind. Weiter zeigt man, da"s die Morphismen von abstrakten Mannigfaltigkeiten zwischen offenen Teilmengen endlichdimensionaler reeller R"aume genau unsere glatten Abbildungen aus \eref{glatt}{AN2} sind und da"s jede Karte $\varphi:\DR^k\lco W\ra M$ im Sinne von \ref{Karte} ein Isomorphismus von Mannigfaltigkeiten $W\sira \varphi(W)$ ist. Analog geht es f"ur Randfaltigkeiten und Eckfaltigkeiten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tangentialb"undel abstrakter Mannigfaltigkeiten}] Man konstruiert anschlie"send f"ur jede Mannigfaltigkeit $M$ ihr {\bf abstraktes Tangentialb"undel} oder kurz {\bf Tangentialb"undel} $${\op{T}}M$$ Das ist in feinerer Terminologie ein \glqq glattes Vektorb"undel auf $M$\grqq, aber f"ur uns hier erst einmal nur eine weitere Mannigfaltigkeit mit einer glatten Abbildung $\pi_M: {\op{T}}M\ra M$, der {\bf Fu"spunktprojektion}. Zus"atzlich konstruiert man f"ur jede glatte Abbildung von Mannigfaltigkeiten $\varphi:M\ra N$ eine glatte Abbildung ihrer Tangentialb"undel $$\tiff\varphi:{\op{T}}M\ra {\op{T}}N$$ und zeigt $\tiff \psi\circ \tiff\varphi=\tiff (\psi\circ \varphi)$ und $\tiff( {\op{id}_M})=\op{id}_{{\op{T}}M}$ sowie die Vertr"aglichkeit mit der Fu"spunktprojektion $\varphi\circ \pi_M=\pi_N\circ \tiff \varphi$. Ist $\varphi:M\ra N$ die Einbettung einer offenen Teilmenge $M=U\co N$, so faktorisiert $\tiff\varphi$ schlie"slich "uber einen Isomorphismus von Mannigfaltigkeiten $\tiff \varphi: {\op{T}}U\sira \pi_N^{-1}(U)\co {\op{T}}N$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eingebettete und abstrakte Tangentialb"undel}] Danach wird die Beziehung zur Begrifflichkeit der eingebetteten Mannigfaltigkeiten hergestellt. Genauer konstruiert man f"ur jede Untermannigfaltigkeit eines endlichdimensionalen reellen Raums $M\subset X$ einen Isomorphismus $$\op{nat}_M: {\op{T}}^{\scriptscriptstyle\subset}M\sira {\op{T}}M$$ zwischen dem eingebetteten und dem abstrakten Tangentialb"undel, der vertr"aglich ist mit den Fu"spunktprojektionen und derart, da"s f"ur jede eingebettete Mannigfaltigkeit $M$ die beiden im folgenden erkl"arten Diagramme $$ \xymatrix{ {\op{T}}^{\scriptscriptstyle\subset}W\ar[d]_\wr^{\op{nat}_W}\ar@{=}[r]&W\times \vec{\DR}^n &W\times \DR^n \ar[r]^-{\hat \varphi}\ar[l]^-\sim_-{\hat\iota}& {\op{T}}^{\scriptscriptstyle\subset}M \ar[d]_\wr^{\op{nat}_M}&& {\op{T}}^{\scriptscriptstyle\subset}M \ar[r] \ar[d]_\wr^{\op{nat}_M}& {\op{T}}^{\scriptscriptstyle\subset}X \ar[d]_\wr^{\op{nat}_X}\\ {\op{T}}W\ar[rrr]^{\tiff \varphi}&&&{\op{T}}M&& {\op{T}}M\ar[r]^{\tiff i}&{\op{T}}X }$$ kommutieren. Das linke Diagramm ist gemeint f"ur $\varphi:\DR^k\lco W\ra M$ eine Karte und $\hat \varphi$ die zugeh"orige eingebettete Tangentialb"undelkarte und dem Pfeil links oben der eingebetteten Tangentialb"undelkarte im Spezialfall der Identit"atskarte $\iota\pdef \op{id}_W$, in dem sie gegeben wird durch $\hat\iota=\op{id}_W\times \op{trans}:W\times \DR^n\sira W\times \vec{\DR}^n$. Das rechte Diagramm ist gemeint f"ur die Einbettung $i:M\hra X$ unserer eingebetteten Mannigfaltigkeit und mit der durch unsere Konstruktionen gegebenen Einbettung ${\op{T}}^{\scriptscriptstyle\subset}M\subset X\times \vec X ={\op{T}}^{\scriptscriptstyle\subset}X$ in der oberen Horizontalen. Analoges gilt f"ur Randfaltigkeiten und Eckfaltigkeiten. F"ur die durch die schr"agen Kompositionen im linken Diagramm gegebenen {\bf Tangentialb"undelkarten} des abstrakten Tangentialb"undels f"uhren wir eigene Notationen ein und notieren sie $\widehat\varphi:W\times \DR^n\ra {\op{T}}M$ und im Fall $\iota=\op{id}_W$ entsprechend $\widehat{\iota}:W\times \DR^n\sira {\op{T}}W$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationsfragen}] Es ist "ublich, die Isomorphismen $\op{nat}_M$ nicht zu notieren und schlicht keinen Unterschied zu machen zwischen ${\op{T}}^{\scriptscriptstyle\subset}M$ und ${\op{T}}M$. Nach und nach werden wir das auch mehr und mehr so halten. Wir verwenden wie in \ref{pavf} die Notation $\partial_i\pdef \op{trans}(\op{e}_i)\in \vec\DR^n $ f"ur die Bilder der Vektoren der Standardbasis von $\DR^n$. Im Fall $n=1$ schreiben wir $\partial=\partial_1$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein mehrpunktiges Intervall $I\subset \DR$ betrachten wir den Weg $\tau=\tau_I:I\ra {\op{T}}I$ gegeben durch $\tau:t\mapsto \op{nat}_I(t,\partial)$ mit $(t,\partial)\in {\op{T}}^{\scriptscriptstyle \subset} I=I\times \vec\DR$. Gegeben ein glatter Weg $\gamma: I\ra M$ in einer Mannigfaltigkeit betrachten wir die induzierte Abbildung $\tiff\gamma: {\op{T}}I\ra {\op{T}}M$ und erkl"aren seinen {\bf Tangentialweg}\index{Tangentialweg} als den Weg $$\tilde\gamma\pdef (\tiff\gamma)\circ \tau:I\ra {\op{T}}M$$ in das Tangentialb"undel. Der Tangentialweg des Identit"atswegs $\gamma=\op{id}:I\ra I$ ist mithin genau das zuvor definierte $\tau$. Ist $M\subset X$ eine Untermannigfaltigkeit eines endlichdimensionalen reellen Raums, so k"onnen wir bemerken, da"s die Abbildung $(\gamma,\vec \gamma'):I\ra X\times \vec{X}$ \nichtfinal{(Ich sollte einen Unterschied einf"uhren zwischen $\vec\gamma'$ und $\kappa'$!)} f"ur einen Weg $\gamma$ in $M$ bereits in ${\op{T}}^{\scriptscriptstyle\subset}M$ landet, und k"onnen den Tangentialweg auch beschreiben als die Abbildung $$\tilde\gamma=\op{nat}_M\circ (\gamma, \vec \gamma')$$ Salopp gesprochen ordnet der Tangentialweg $\tilde\gamma$ jedem Zeitpunkt $t$ den Geschwindigkeitsvektor von $\gamma$ zum Zeitpunkt $t$ zu als Element von ${\op{T}}_{\gamma(t)}M\subset {\op{T}}M$. F"ur die Fu"spunktprojektion $\pi_M:{\op{T}}M\ra M$ gilt insbesondere $\pi_M\circ \tilde\gamma=\gamma$. \end{Bemerkungl} \subsection{Euler-Lagrange aus station"arer Wirkung} \begin{Bemerkungl} Wir arbeiten vorerst ohne Einheiten. Wir diskutieren sp"ater, welche "Anderungen n"otig werden, wenn wir Wege betrachten, die durch die Zeit $\mathbb T$ und nicht durch $\DR$ parametrisiert werden etc. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine glatte Funktion $L:{\op{T}} M\ra \DR$ auf dem Tangentialb"undel einer Mannigfaltigkeit nennen wir einen glatten Weg $\gamma:[a,b]\ra M$ {\bf station"ar f"ur $L$}, wenn f"ur alle glatten Abbildungen $\alpha:[a,b]\times (-\eta, \eta)\ra M$ mit $\alpha(t,0)=\gamma(t)\;\forall t$ und Enden $\alpha(a,s),\alpha(b,s)$ unabh"angig von $s\in (-\eta,\eta)$ gilt $$0=\left.\frac{\diff}{\diff s}\right|_{s=0}\int_a^b L(\tilde \alpha(t,s)) \diff t $$ Hierbei ist der Tangentialweg $\tilde \alpha(t,s)$ von $t\mapsto \alpha(t,s)$ jeweils f"ur festes $s$ in Bezug auf die Variable $t$ zu bilden. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Analog geht es im Fall $L:{\op{T}} M\times \DR\ra \DR$ einer zeitabh"angigen Lagrangefunktion. Ich werde mich aber auf die Argumentation im zeitunabh"angigen Fall konzentrieren und nachher nur kurz erg"anzen, da"s es im zeitabh"angigen Fall genauso geht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivalenz von Orthogonalit"at und station"arer Wirkung}] Der Satz \ref{HaFop4} "uber station"are Wirkung unter Zwangsbedingungen besagt in dieser Terminologie und mit den entsprechenden Einheiten garniert, da"s gegeben ein Massepunktsystem mit Potential genau die f"ur die Lagrangefunktion \glqq kinetische minus potentielle Energie\grqq\ station"aren glatten Wege\label{ortw} $\gamma:\mathbb T\supset [a,b]\ra M$ die Orthogonalit"atsbedingung \ref{neS} beziehungsweise \ref{DESa} erf"ullen, die wir als die physikalisch sinnvolle Bewegungsgleichung erkannt haben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bilder station"arer Wege unter Isomorphismen}] Gegeben glatte Mannigfaltigkeiten $N,M$ und glatte Abbildungen $$ \xymatrix{[a,b]\ar[r]^-{\gamma_N}&N&N\ar[r]^-\varphi_-\sim&M& {\op{T}}M\ar[r]^-{L_M}&\DR }$$ mit $\varphi$ einem Isomorphismus von glatten Mannigfaltigkeiten\label{bkw} ist $\gamma_N$ station"ar f"ur $L_N\pdef L_M\circ \tiff \varphi$ genau dann, wenn $\gamma_M\pdef \varphi\circ \gamma_N$ station"ar ist f"ur $L_M$. In der Tat finden wir f"ur die Tangentialwege $\tilde\gamma_M=\tiff \gamma_M\circ \tau=\tiff\varphi\circ \tiff \gamma_N\circ \tau=\tiff\varphi\circ \tilde\gamma_N$ und folglich $$\int_a^bL_M\circ \tilde \gamma_M=\int_a^bL_M\circ \tiff\varphi\circ \tilde\gamma_N = \int_a^bL_N\circ \tilde\gamma_N$$ Dasselbe gilt f"ur Familien von Wegen $\alpha_N(t,s)$, die von einem zus"atzlichen Parameter $s$ abh"angen. Glatte Familien mit festen Enden entsprechen unter $\varphi$ schlie"slich glatten Familien mit festen Enden und das zeigt die Behauptung. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Euler-Lagrange-Gleichungen f"ur station"are Wege}] Gegeben eine offene Teilmenge $W\co \DR^n$ und eine glatte Funktion $ L: {\op{T}}W\ra \DR$ ist ein glatter Weg $\kappa: [a,b]\ra W$ station"ar f"ur $L$ genau dann, wenn\label{ELGf} f"ur $\hat L:W\times \DR^n\ra\DR$ gegeben durch $\hat L\pdef L\circ \widehat{\iota}$ mit $\widehat{\iota}: W\times \DR^n\sira{\op{T}}W$ der Tangentialb"undelkarte zur Identit"atskarte von $W$ und $(x_i, y_i)$ den Koordinaten von $W\times \DR^n$ gilt $$ \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{\partial \hat L}{\partial y_i} \circ (\kappa,\kappa') \right) = \frac{\partial \hat L}{\partial x_i} \circ (\kappa,\kappa') \qquad 1\leq i\leq n $$ \end{Satz} \begin{proof} Gegeben ein Weg $\kappa$ in $W$ gilt f"ur seinen Tangentialweg $\tilde\kappa=\widehat\iota \circ (\kappa,\kappa')$ und folglich $L\circ \tilde\kappa=L\circ\widehat\iota \circ (\kappa,\kappa')= \hat L\circ (\kappa, \kappa')$. Wir betrachten nun eine beliebige glatte Funktion $\varepsilon:[a,b]\ra\DR$ mit $\varepsilon(a)=\varepsilon(b)=0$ und w"ahlen einen Index $i$ und betrachten $\rho(t,s)\pdef \kappa(t)+s\varepsilon(t){\op{e}}_i$. Station"ar zu sein impliziert insbesondere f"ur diesen Weg $\rho(t,s)$ mit unseren vorgebenen $\varepsilon$ und $i$ die Identit"at $$0=\left.\frac{\diff}{\diff s}\right|_{s=0}\int_a^b\hat L\big(\rho(t,s),\rho_t(t,s)\big)\diff t$$ Durch Vertauschen von Ableitung und Integral ergibt sich $$0=\int_a^b \left(\frac{\partial \hat L}{\partial x_i}(\kappa(t), \kappa'(t))\right)\varepsilon(t) + \left(\frac{\partial \hat L}{\partial y_i}(\kappa(t), \kappa'(t))\right) \varepsilon'(t) \diff t $$ Wir erinnern unseren alten Trick und bemerken $$\begin{array}{lll}0&=&\int_a^b \frac{\diff}{\diff t} \big(\frac{\partial \hat L}{\partial y_i} (\kappa(t), \kappa'(t))\cdot \varepsilon(t)\big) \diff t \\[2mm] &=&\int_a^b \frac{\diff}{\diff t}\!\big( \frac{\partial \hat L}{\partial y_i} (\kappa(t), \kappa'(t))\big) \varepsilon(t) + \big(\frac{\partial \hat L}{\partial y_i} (\kappa(t), \kappa'(t))\big) \varepsilon'(t) \diff t \\ \end{array} $$ nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und der Produktregel. Indem wir diese Identit"at oben verwenden, um den Term mit $\varepsilon'$ loszuwerden, erhalten wir $$0=\int_a^b \left(\frac{\partial \hat L}{\partial x_i}(\kappa(t), \kappa'(t)) - \frac{\diff}{\diff t}\!\left(\frac{\partial \hat L}{\partial y_i} (\kappa(t), \kappa'(t))\right)\right) \cdot\varepsilon(t) \diff t $$ f"ur alle erlaubten Funktionen $\varepsilon$ wie zuvor. F"ur unseren Koordinatenweg folgt unschwer die {\bf Euler-Lagrange-Gleichung} $$\frac{\diff}{\diff t}\!\left(\frac{\partial \hat L}{\partial y_i}(\kappa(t),\kappa'(t))\right)= \frac{\partial \hat L}{\partial x_i}(\kappa(t), \kappa'(t)) $$ Nun nehmen wir umgekehrt an, da"s die Euler-Lagrange-Gleichungen seien erf"ullt f"ur $1\leq i\leq n$. Es gilt zu zeigen $$0=\left.\frac{\diff}{\diff s}\right|_{s=0}\int_a^b\hat L(\rho(t,s),\rho_t(t,s))\diff t$$ f"ur alle glatten $\rho:[a,b]\times (-\eta,\eta)\ra W$ mit $\rho(t,0)=\kappa(t)$ und den Enden $\rho(a,s), \rho(b,s)$ unabh"angig von $s$. Weil der untere Index f"ur partielle Ableitungen gebraucht wird, notieren wir $\rho^i, \kappa^i$ die $i$-te Komponente von $\rho$ beziehungsweise $\kappa$. Indem wir die Ableitung unter das Integral ziehen, k"onnen wir das umformen zur Gleichung $$0=\int_a^b\sum_i\frac{\partial \hat L}{\partial x_i}(\kappa(t),\kappa'(t))\cdot\rho^i_s(t,0) + \frac{\partial \hat L}{\partial y_i}(\kappa(t),\kappa'(t))\cdot\rho^i_{ts}(t,0)\diff t$$ Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und der Produktregel gilt nun $$\begin{array}{lll}0&=&\int_a^b \frac{\diff}{\diff t} \big(\frac{\partial\hat L}{\partial y_i} (\kappa(t), \kappa'(t))\cdot \rho^i_{s}(t,0)\big) \diff t \\[2mm] &=&\int_a^b \frac{\diff}{\diff t}\!\big( \frac{\partial \hat L}{\partial y_i} (\kappa(t), \kappa'(t))\big)\cdot \rho^i_{s}(t,0) + \big(\frac{\partial \hat L}{\partial y_i} (\kappa(t), \kappa'(t))\big) \cdot \rho^i_{st}(t,0) \diff t \\ \end{array} $$ Damit k"onnen wir die gesuchte Identit"at weiter umformen zur Gleichung $$0=\int_a^b\sum_i\left( \frac{\partial \hat L}{\partial x_i}\circ (\kappa,\kappa')\right)\cdot\rho^i_s(t,0) - \frac{\diff}{\diff t} \!\left( \frac{\partial \hat L}{\partial y_i} \circ (\kappa,\kappa') \right)\cdot\rho^i_{s}(t,0)\diff t$$ In dieser Form folgt sie aber direkt aus den Euler-Lagrange-Gleichungen. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Bewegungsgleichungen in Koordinaten}] Seien $M$ der Konfigurationsraum eines Massepunktsystems mit Potential und $L:\tiff M\ra \DR$ seine Lagrangefunktion. Sei weiter $\varphi:\DR^n\lco W\ra M$ eine bijektive Karte von $M$. Gegeben eine glatte Koordinatenbewegung $\kappa:\DR\supset I\ra W$ erf"ullt die Bewegung $\varphi\circ \kappa:\DR\supset I\ra M$ die Orthogonalit"atsbedingung \ref{neS} genau dann, wenn die Koordinatenbewegung $\kappa$ die \emph{\bf Euler-Lagrange-Gleichungen} $$ \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{\partial \hat L}{\partial y_i} \circ (\kappa, \kappa') \right) = \frac{\partial \hat L}{\partial x_i} \circ (\kappa,\kappa') \quad \text{f"ur }1\leq i\leq n $$ erf"ullt f"ur $ \hat L\pdef L\circ \widehat \varphi: W\times \DR^n \ra \DR$ die \emph{\bf Lagrangefunktion in Koordinaten}. \end{Korollar} \begin{proof} Nach \ref{ortw} erf"ullt der Weg $\varphi\circ\kappa$ die Orthogonalit"atsbedingung genau dann, wenn er station"ar ist f"ur die Lagrangefunktion $L$. Nach unserer Diskussion von Bildern station"arer Wege unter Isomorphismen in \ref{bkw} ist $\varphi\circ\kappa$ station"ar f"ur $L$ genau dann, wenn der Koordinatenweg $\kappa$ station"ar ist f"ur die Lagrangefunktion in Koordinaten $ L_W\pdef L\circ \tiff \varphi$. Nach \ref{ELGf} schlie"slich ist der Koordinatenweg $\kappa$ station"ar f"ur die Lagrangefunktion in Koordinaten $ L_W$ genau dann, wenn die in unserem Korollar ausgeschriebenen Euler-Lagrange-Gleichungen gelten f"ur $\hat L=L_W\circ \widehat\iota= L\circ \tiff \varphi\circ \widehat\iota= L\circ\widehat\varphi$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bewegungsgleichungen in Koordinaten, zeitabh"angige Variante}] Ist im Korollar das Potential zus"atzlich eine Funktion der Zeit, so funktioniert alles genauso, man mu"s nur den zus"atzlichen Parameter in der ganzen Argumentation erg"anzen und erh"alt zum Schlu"s die Euler-Lagrange-Gleichungen in der Gestalt $$ \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{\partial \hat L}{\partial y_i} (\kappa(t), \kappa'(t),t) \right) = \frac{\partial \hat L}{\partial x_i}(\kappa(t),\kappa'(t),t) \quad \text{f"ur }1\leq i\leq n $$ \end{Bemerkungl} \subsection{Euler-Lagrange mit Einheiten} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tangentialb"undel mit Einheiten}] Gegeben eine Mannigfaltigkeit $M$ ben"otigen wir im physikalischen Kontext eine mit Einheiten versehene Variante $$\tT M\pdef {\op{T}} M\langle 1/{\ph{s}}\rangle$$ des Tangentialb"undels, den {\bf Phasenraum} oder {\bf Geschwindigkeitsphasenraum}\index{Phasenraum!Geschwindigkeitsphasenraum!unter Zwangsbedingungen}\index{Geschwindigkeitsphasenraum!unter Zwangsbedingungen} unserer Mannigfaltigkeit. Formal mag man ihn definieren als das Tensorprodukt den Tangentialb"undels von $M$ mit dem eindimensionalen reellen Vektorraum der dualen Zeitspannen $\langle 1/{\ph{s}}\rangle$ und f"ur diese Konstruktion m"ussen wir ${\op{T}} M$ mit seiner Struktur eines Vektorb"undels kennen und nicht nur als Mannigfaltigkeit. Im eingebetteten Fall $M\subset X$ k"onnen wir auch den eingebetteten Geschwindigkeitsphasenraum erkl"aren als die Untermannigfaltigkeit $\tT^{\scriptscriptstyle\subset} M\subset X \times \vec{X}\langle 1/{\ph{s}}\rangle$ gegeben durch $$\tT^{\scriptscriptstyle\subset} M\pdef \bigcup_{p\in M}\{p\}\times{\op{T}}_p M\langle 1/{\ph{s}}\rangle$$ Gegeben ein mehrpunktiges Zeitintervall $I\subset \mathbb T$ erkl"aren wir $\tau:I\ra \tT I$ durch $t\mapsto (t,1)$ mit $1= {\ph{s}}/{\ph{s}}\in \vec{\mathbb T}\langle 1/{\ph{s}}\rangle= \langle {\ph{s}}/{\ph{s}}\rangle$. Gegeben ein glatter Weg $\gamma:\mathbb T\supset I\ra M$ auf einem mehrpunktigen Zeitintervall bilden wir dann als mit Einheiten versehenes Analogon des Tangentialwegs den zugeh"origen {\bf Phasenweg} im Phasenraum $$\tilde\gamma\pdef (\tT\gamma)\circ \tau:I\ra \tT M$$ Im Fall einer eingebetteten Mannigfaltigkeit $M$ finden wir analog wie zuvor $\tilde\gamma =\op{nat}_M\circ (\gamma,\dot\gamma)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Koordinaten mit Einheiten}] In konkreten physikalischen Kontexten verwendet man meist Koordinaten des Konfigurationsraums, die Werte in eindimensionalen reellen Vektorr"aumen $E_1,\ldots, E_n$ annehmen. Mathematisch erkl"aren wir eine {\bf Karte mit Einheiten} als eine offene Einbettung $$\varphi: (E_1\times \ldots\times E_n)\lco W\ra M$$ Sie liefert als mit Einheiten versehene Variante unserer Tangentialb"undelkarten eine {\bf Phasenraumkarte mit Einheiten} $$\widehat\varphi: W\times (E_1\langle 1/{\ph{s}}\rangle\times \ldots\times E_n\langle 1/{\ph{s}}\rangle)\ra \tT M$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In der Theorie der abstrakten Mannigfaltigkeiten erkl"art man f"ur je zwei Mannigfaltigkeiten $X,Y$ ihr Produkt $X\times Y$, eine weitere Mannigfaltigkeit mit glatten Abbildungen $\op{pr}_X:X\times Y\ra X$ und $\op{pr}_Y:X\times Y\ra Y$. Dann zeigt man, da"s deren Differentiale einen Isomorphismus $$(\tiff \op{pr}_X,\tiff \op{pr}_Y): \tiff (X\times Y)\sira \tiff X\times \tiff Y$$ induzieren. Dasselbe gilt f"ur beliebige endliche Produkte. Dasselbe gilt auch analog f"ur die Phasenr"aume $\tT$. Formal finden wir so Isomorphismen von Mannigfaltigkeiten $\tT(E_1\times \ldots\times E_n)\sira \tT E_1\times \ldots\times \tT E_n$ und mit $\tT E_i\sira E_i\times E_i\langle 1/{\ph{s}}\rangle$ und "Ubergang zur offenen Teilmenge $W$ schlie"slich eine formale Beschreibung der Phasenraumkarte mit Einheiten $\widehat\varphi$. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Bewegungsgleichungen in Koordinaten}] Seien $M$ der Konfigurationsraum eines Massepunktsystems mit Potential und $L:\tT M\ra \langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$ seine Lagrangefunktion. Sei weiter $\varphi:(E_1\times \ldots\times E_n)\lco W\sira M$ eine bijektive Karte mit Einheiten von $M$. Gegeben eine glatte Koordinatenbewegung $\kappa:\mathbb T\supset I\ra W$ erf"ullt die Bewegung $\varphi\circ \kappa:\mathbb T\supset I\ra M$ die Orthogonalit"atsbedingung \ref{neS} genau dann, wenn die Koordinatenbewegung $\kappa$ die \emph{\bf Euler-Lagrange-Gleichungen} $$ \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{\partial \hat L}{\partial y_i} \circ (\kappa,\dot \kappa) \right) = \frac{\partial \hat L}{\partial x_i} \circ (\kappa,\dot\kappa) \quad \text{f"ur }1\leq i\leq n $$ erf"ullt f"ur $ \hat L\pdef L\circ \widehat \varphi: W\times (E_1\langle 1/{\ph{s}}\rangle\times \ldots\times E_n\langle 1/{\ph{s}}\rangle) \ra \langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$ die \emph{\bf Lagrangefunktion in Koordinaten}. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Die $x_i$ sind hierbei Koordinaten mit Werten in $E_i$ und die $y_i$ Koordinaten mit Werten in $E_i\langle 1/{\ph{s}}\rangle$. Die partiellen Ableitungen $\partial \hat L/\partial x_i$ nehmen also Werte in $E_i^*\langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$ an und die partiellen Ableitungen ${\partial \hat L}/{\partial y_i}$ Werte in $E_i^*\langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\ph{s}}\rangle$ und die $i$-te Gleichung ist eine Gleichung von Abbildungen $\tT\supset I\ra E_i^*\langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In der physikalischen Literatur schreibt man meist $\dot x_i$ statt $y_i$. Das ist praktisch f"ur konkrete Rechnungen, schien mir aber weniger geschickt f"ur die abstrakte Argumentation. Man macht auch meist keinen Unterschied zwischen $L$ und $\hat L$, weil man ja an den f"ur die Koordinaten gew"ahlten Bezeichnungen sehen kann, was jeweils gemeint ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Planetenbewegung nach Euler-Lagrange}] Wir nehmen einen einzigen Massepunkt der Masse $m>0$, einen Planeten, der sich auf einer Ebene $M\subset\mathbb E$ bewegt. Wir w"ahlen den Ort der Sonne $p\in M$ und fixieren einen von $p$ ausgehenden Strahl und nehmen dazu Polarkoordinaten $r,\varphi,$ der Winkel $\varphi$ gemessen im Bogenma"s, so da"s sie jeweils Werte in $\mathbb L_{>0}\co \mathbb L$ beziehungsweise $(0,2\pi)\co\DR$ annehmen. F"ur das Potential hatten wir in \ref{HV} bereits $V(r,\varphi)=-mc/r$ gefunden und f"ur die kinetische Energie $K(r,\dot r,\varphi,\dot\varphi)=\big((r\dot\varphi)^2+ \dot r^2)m/2$. Mit $L=K-V$ erhalten wir als Euler-Lagrange-Gleichungen $$\ddot r m- r\dot\varphi^2 m+mc/r^2=0 \quad \text{und}\quad r^2\ddot\varphi m +2r\dot r\dot\varphi m=0$$ Das ist nun nicht besonders "ubersichtlich, aber wir k"onnen zumindest leicht einsehen, da"s wir unter der Annahme $r$ konstant und $\dot\varphi$ konstant jeweils L"osungen mit $c/r^3=\dot\varphi^2$ finden, also Kreisbahnen um die Sonne mit festem $r^3\dot\varphi^2$ in "Ubereinstimmung mit dem dritten Kepler'schen Gesetz, nach dem sich die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten zueinander verhalten wie die Kuben der gro"sen Halbachsen. \end{Beispiel} \subsection{Euler-Lagrange durch direkte Rechnung} \begin{Bemerkungl} In diesem Abschnitt werden die Euler-Lagrange-Gleichungen ohne den Umweg "uber das Prinzip der station"aren Wirkung direkt aus der Orthogonalit"atsbedingung hergeleitet. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bewegungsgleichungen in lokalen Koordinaten}] Wir betrachten wie in \ref{phmG} ein Massepunktsystem $(m_1, \ldots, m_\Lambda,M)$ mit Konfigurationsraum $M \subset \mathbb{E}^{\Lambda }$ und den Phasenraum $$\tT M\pdef {\op{T}} M\langle 1/{\ph{s}}\rangle$$ unseres Systems. Formal erkl"aren wir ihn als eine Untermannigfaltigkeit $\tT M\subset X \times \vec{X}\langle 1/{\ph{s}}\rangle$ f"ur $X=\mathbb{E}^{\Lambda }$. Die {\bf kinetische Energie} unseres Massepunktsystems $(m_1, \ldots, m_\Lambda, M)$ sei wie zuvor die Abbildung $K:\mathbb{E}^\Lambda \times \vec{\mathbb{E}}^\Lambda \langle 1/{\ph{s}}\rangle \ra\langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$ gegeben durch $$K:({\mathbf{r}}_\nu , \vec{\mathbf v}_\nu )_{\nu=1}^\Lambda \mapsto \sum^\Lambda_{\nu=1} m_\nu {\langle \vec {\mathbf v}_\nu , \vec{\mathbf v}_\nu \rangle}/{2}$$ F"ur $\vec{\mathbf F}_\nu:\mathbb E^\Lambda\ra \vec{\mathbb E}\langle {\ph{g}}/{\ph{s}}^2\rangle$ zus"atzlich gegebene auf den jeweiligen Massepunkt wirkende aber m"oglicherweise von den Orten aller Teilchen abh"angige {\bf externe Kr"afte} erkl"aren wir die $l$-te {\bf generalisierte Kraft}\index{generalisierte Kraft} in Bezug auf unser Koordinatensystem von $M$ durch $$Q_l\pdef\sum_{\nu} \left\langle \vec{\mathbf{F}}_\nu \circ {\mathbf{r}}_\nu , \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_l} \right\rangle$$ Unsere generalisierten Kr"afte sind Funktionen $Q_l:M\ra \langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$. Durch Vorschalten der B"undelprojektion k"onnen und werden wir sie als Funktionen auf dem Phasenraum auffassen. \end{Bemerkungl} %Sollte beginnen mit dem Fall eines Teilchens ohne Zwangsbedingungen! \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationen und Konventionen}] Sei $\varphi : \mathbb{R}^n\lco W \sira M$ eine bijektive Karte des Konfigurationsraums eines Massepunktsystems $(m_1, \ldots, m_\Lambda,M)$. Die Koordinaten auf $W\co\DR^n$ notieren wir $(x_1,\ldots,x_n)$ und verzichten zur Vereinfachung darauf, Koordinaten in Einheiten zu betrachten. Wir interpretieren im folgenden Abbildungen von $M$ wohin auch immer oft vermittels $\varphi$ als Abbildungen von $W$ wohin auch immer durch Vorschalten von $\varphi$, schreiben das $\varphi$ aber meist nicht explizit dazu. Wir schreiben insbesondere neu $ \mathbf r_\nu\pdef \mathbf r_\nu\circ\varphi:W\ra \mathbb E $. Die Bewegung unseres Systems in Koordinaten notieren wir $$\kappa: \mathbb T\supset I\ra W$$ und nennen diese Abbildung einen {\bf Koordinatenweg}. Die zugeh"orige Bewegung ist $\gamma\pdef \varphi\circ \kappa$. Unsere bijektive Karte $\varphi$ des Konfigurationsraums $M$ induziert eine mit Einheiten versehene Karte $$\widehat \varphi : W\times \DR^n\langle 1/{\ph{s}}\rangle \sira \tT M$$ des Phasenraums. Wir nennen sie die zugeh"orige {\bf Phasenraumkarte}.\index{Phasenraumkarte} Deren Koordinaten notieren wir $(x_1, \ldots,x_n,y_1, \ldots,y_n)$ mit der Besonderheit, da"s die hinteren Koordinaten $y_i$ als Werte duale Zeitspannen alias Frequenzen annehmen. Wir nennen sie die {\bf nat"urlichen Koordinaten des Geschwindigkeitsphasenraums} zu unseren Koordinaten des Konfigurationsraums. In der physikalischen Literatur schreibt man statt $y_i$ meist $\dot x_i$, aber wir erlauben uns bepunktete Symbole innerhalb der mathematischen Argumentation nur f"ur echte zeitliche Ableitungen. Per definitionem ist $\widehat \varphi(x,y)$ f"ur $x\in W$ und $y\in\DR^n\langle 1/{\ph{s}}\rangle$ das Tupel von Vektoren und Richtungsvektoren $((\mathbf{r}_\nu),(\vec{ \mathbf{v}}_\nu))$ gegeben durch $\mathbf{r}_\nu(x,y)= \mathbf{ r}_\nu (x)$ sowie $$\vec{ \mathbf{v}}_\nu(x,y)=\sum^n_{j=1} \frac{\partial \mathbf{ r}_\nu }{\partial x_j}(x)\; y_j$$ In derselben Weise wie zuvor fassen wir alle Abbildungen von $\tT M$ wohin auch immer durch Vorschalten von $\widehat \varphi$ als Abbildungen von $W\times \DR^n\langle 1/{\ph{s}}\rangle$ wohin auch immer auf. Weiter meinen bepunktete Symbole stets die Ableitung nach der Zeit, insbesondere also $\dot{\mathbf r}_\nu=\tiff_t(\mathbf r_\nu\circ \kappa)$ und $\dot x_i=\tiff_t(x_i\circ \kappa)$.\label{GPR} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Euler-Gleichungen}] Gegeben ein \hyperref[neS]{Massepunktsystem mit Potential} $(m_1,\ldots,m_\Lambda,M,V)$ und eine bijektive Karte $\varphi:\DR^n\lco W\sira M$ seines Konfigurationsraums und $(x_1,\ldots, x_n, y_1,\ldots,y_n)$ die zugeh"origen nat"urlichen Koordinaten\label{EuGl} auf dem Phasenraum erf"ullt ein glatter Weg $\gamma:\mathbb T\supset I\ra M$ die Orthogonalit"atsbedingung \ref{DESa} genau dann, wenn f"ur den zugeh"origen Koordinatenweg $\kappa$ mit $K$ der kinetischen Energie und $Q_l$ den generalisierten Kr"aften gilt $$ \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{\partial K}{\partial y_l} \circ (\kappa,\dot{\kappa}) \right) - \frac{\partial K}{\partial x_l} \circ (\kappa,\dot{\kappa}) - Q_l \circ \kappa =0\quad \text{f"ur }1\leq l\leq n $$ \end{Satz} \begin{proof} Das ist ein Ausschreiben in Koordinaten mit den zu Beginn dieses Abschnitts eingef"uhrten Notationen. F"ur die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen unserer Teilchen ergeben sich die Formeln $$ \dot{{\mathbf{r}}}_\nu = \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_1} \dot{x}_1 + \ldots + \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_n} \dot{x}_n$$ $$ \ddot{{\mathbf{r}}}_\nu = \sum_{j,k} \frac{\partial^2 {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_j \partial x_k} \dot{x}_j \dot{x}_k + \sum_j \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_j} \ddot{x}_j $$ Die griechischen Indizes zeigen hierbei an, da"s diese Gleichungen in $\mathbb E$ beziehungsweise $\vec{\mathbb E}\langle1/ {\ph{s}}\rangle$ beziehungsweise $\vec{\mathbb E}\langle1/ {\ph{s}}^2\rangle$ und genauer als Gleichungen von Abbildungen von $I\subset \mathbb{T}$ in besagte R"aume zu verstehen sind. Da weiter f"ur $x\in W$ der Tangentialraum ${\op{T}}_{\varphi (x)}M$ nach \ref{TaBu} von den ausgewertet bei $x$ zu verstehenden Vektoren $$\frac{\partial \varphi}{\partial x_l} = \left( \frac{\partial {\mathbf{r}}_1}{\partial x_l},\ldots , \frac{\partial {\mathbf{r}}_\Lambda}{\partial x_l}\right)\in\vec{\mathbb E}^\Lambda$$ f"ur $1\leq l \leq n$ aufgespannt wird, ist unsere Orthogonalit"atsbedingung f"ur das massebehaftete Skalarprodukt $\big(\ddot{\gamma} (t) - \tilde F (\gamma (t))\big) \perp_{\op{g}} {\op{T}}_{\gamma (t)} M$ gleichbedeutend dazu, da"s f"ur alle $ l$ die Summe \begin{equation*}\label{lBwe} \sum_{\nu,j,k} m_\nu \left\langle \frac{\partial^2{\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_j \partial x_k}, \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_l}\right\rangle \dot{x}_j \dot{x}_k + \sum_{\nu,j} m_\nu \left\langle \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_j}, \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_l} \right\rangle \ddot{x}_j - \sum_{\nu} \left\langle \vec{\mathbf F}_\nu \circ {\mathbf{r}}_\nu , \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_l} \right\rangle \end{equation*} verschwindet. Wir nennen diese Verschwindungsbedingung im folgenden die {\bf $l$-te Bewegungsgleichung}. Die Einschr"ankung der kinetischen Energie $K$ auf den Phasenraum unseres Systems hat in Koordinaten die Gestalt \begin{equation*} K (x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n) = \sum_{\nu,j,k} \frac{m_\nu }{2} \left\langle \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_j}, \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_k} \right\rangle y_j y_k \end{equation*} F"ur ihre partielle Ableitung nach der $l$-ten Geschwindigkeitskoordinate %mit Einheiten im Sinne von \ref{PhNo} folgt \begin{equation*} \frac{\partial K}{\partial y_l} = \sum_{\nu,j} m_\nu \left\langle \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_j} , \frac{\partial \mathbf{r}_\nu }{\partial x_l} \right\rangle y_j \end{equation*} Einsetzen des Tangentialwegs zum Koordinatenweg ergibt \begin{equation*} \frac{\partial K}{\partial y_l } \circ (\kappa,\dot{\kappa})=\sum_{\nu,j} m_\nu \left\langle \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_j} , \frac{\partial \mathbf{r}_\nu }{\partial x_l} \right\rangle \dot x_j \end{equation*} Das dann nach der Zeit ableiten liefert \begin{eqnarray*} \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{\partial K}{\partial y_l } \circ (\kappa,\dot{\kappa})\right) &=& \sum_{\nu,j,k} m_\nu \left\langle \frac{\partial^2 \mathbf{r}_\nu }{\partial x_j \partial x_k}, \frac{\partial \mathbf{r}_\nu }{\partial x_l} \right\rangle\dot{x}_k \dot{x}_j \\ % &&+ \sum_{\nu,j,k} m_\nu \left\langle \frac{\partial \mathbf{r}_\nu }{\partial x_j }, \frac{\partial^2 \mathbf{r}_\nu }{\partial x_l\partial x_k} \right\rangle \dot{x}_k \dot{x}_j\\ % &&\quad + \sum_{\nu,j} m_\nu \left\langle \frac{\partial \mathbf{r}_\nu }{\partial x_j }, \frac{\partial \mathbf{r}_\nu }{\partial x_l} \right\rangle \ddot{x}_j \\ \end{eqnarray*} Die ersten beiden Terme der $l$-ten Bewegungsgleichung von oben k"onnen demnach dargestellt werden in der Form \begin{equation*} \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{\partial K}{\partial y_l} \circ (\kappa,\dot{\kappa}) \right) - \frac{\partial K}{\partial x_l} \circ (\kappa,\dot{\kappa}) \end{equation*} Der letzte Term ist gerade die generalisierte Kraft und der Satz folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Euler-Lagrange-Gleichungen bei Kr"aften mit Potential}] Wir arbeiten mit einem Massepunktsystem $(m_1,\ldots,m_\lambda,M)$ mit externen Kr"aften $\vec{\mathbf{F}}_\nu$ und einer bijektiven Karte $\varphi:\DR^n\lco W\sira M$. Wir erinnern nocheinmal die generalisierten Kr"afte $$Q_l\pdef\sum_{\nu} \left\langle \vec{\mathbf{F}}_\nu \circ {\mathbf{r}}_\nu , \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_l} \right\rangle\qquad 1\leq l\leq n$$ Ist jeweils $V_\nu:\mathbb E^\Lambda\ra \langle {\ph{g}} {\ph{m}}/{\ph{s}}^2\rangle $ ein Potential von $\vec{\mathbf{F}}_\nu$, in Formeln $$(\tiff_p V_\nu)(\vec{\mathbf v})=-\langle \vec{\mathbf{F}}_\nu(p),\vec{\mathbf v}\rangle$$ f"ur alle Punkte $p\in\mathbb E^\Lambda$ und Richtungsvektoren $\vec{\mathbf v}\in \vec{\mathbb E}$, so folgt f"ur das Gesamtpotential als Funktion der Koordinaten $V\pdef \sum_\nu V_\nu $ die Identit"at $$\begin{array}{lll} \frac{\partial V}{\partial x_l}(x)&=&(\tiff_x (V\circ \varphi))(\vec{\op{e}}_l) \\[2mm]&=& \sum_\nu(\tiff_{\varphi(x)} V_\nu)(\tiff_x \varphi)(\vec{\op{e}}_l)\\[2mm] &=& \sum_\nu(\tiff_{\varphi(x)} V_\nu)(\frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_l})\\[2mm]&=&-\sum_{\nu} \langle \vec{\mathbf{F}}_\nu \circ {\mathbf{r}}_\nu , \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_l} \rangle\\[2mm]&=& -Q_l \end{array} $$ Bilden wir also die {\bf Lagrangefunktion}\index{Lagrangefunktion} $$ L \pdef K -V $$ als Differenz zwischen der kinetischen und der potentiellen Energie unseres Systems, so erf"ullt eine Bewegung $\gamma :\mathbb T\supset I \rightarrow M$ die Orthogonalit"atsbedingungen genau dann, wenn der zugeh"orige Koordinatenweg $\kappa$ die \defind{Euler-Lagrange-Gleichungen}\label{ELG} erf"ullt, die da lauten $$ \frac{\diff}{\diff t}\left( \frac{\partial L}{\partial y_l} \circ (\kappa,\dot{\kappa} ) \right) - \left( \frac{\partial L}{\partial x_l} \right) \circ (\kappa,\dot{\kappa} ) =0 \qquad 1\leq l\leq n $$ \end{Bemerkungl} \subsection{Euler-Lagrange in Beispielen} \begin{Beispiel}[\textbf{Bewegung einer T"opferscheibe nach Euler-Lagrange}] Wir betrachten eine T"opferscheibe mit Zentrum $\mathbf p\in\mathbb E$. Wir denken sie uns zusammengesetzt aus Massepunkten der Massen\label{LaBT} $m_1, \ldots , m_\Lambda$ die zu einem gegebenen Zeitpunkt an den Stellen $\mathbf p_\nu\in\mathbb E$ sitzen. Der Konfigurationsraum $M$ ist eine Kreislinie. Damit wir unseren Formalismus anwenden k"onnen, gehen wir zu einer offenen Teilmenge von $M$ "uber, indem wir einen Punkt daraus weglassen. Dann ist der Drehwinkel im Bogenma"s von diesem Punkt aus die lokale Koordinate $x_1$ zu einer Karte mit Definitionsbereich das offene Intervall $W\pdef(0,2\pi)$. Wir notieren unsere Koordinate in diesem Fall lieber $\vartheta$ statt $x_1$ und schreiben ebenso die Geschwindigkeitskoordinate des Phasenraums der physikalischen Konvention folgend lieber $\dot\vartheta$ statt wie in der mathematischen Argumentation $y_1$. Wir denken uns unsere Scheibe waagerecht, so da"s das Potential $V$ unabh"angig ist von $\vartheta$ und die generalisierte Kraft identisch verschwindet. Die kinetische Energie $K(\dot\vartheta)$ ergibt sich zu $$K(\dot\vartheta)=\frac{1}{2}\sum_\nu \dot\vartheta^2\| \mathbf p_\nu -\mathbf p\|^2 m_\nu=J\dot\vartheta^2/2$$ f"ur $J \pdef \sum_\nu\| \mathbf p_\nu -\mathbf p\|^2 m_\nu\in \langle {\ph{g}}{\ph{m}^2}\rangle$ das \defind{Tr"agheitsmoment} unserer T"opferscheibe. Nun bestimmen wir die einzige Euler-Lagrange-Gleichung f"ur den Koordinatenweg $\kappa$, wir notieren ihn in diesem Zusammenhang lieber $\theta$, aber bringen durch die Schriftart noch den Unterschied zwischen den Variablen $(x_1,y_1)=\vartheta,\dot\vartheta$ und den Funktionen der Zeit $\kappa(t)=\theta(t)$ und $\dot\kappa(t)=\dot\theta(t)$ zum Ausdruck. Zun"achst erhalten wir $$\frac{\partial K}{\partial y_1}= \frac{\partial K}{\partial \dot\vartheta}= J\dot\vartheta$$ und dann $$\frac{\partial K}{\partial y_1}\circ (\kappa,\dot\kappa)= \frac{\partial K}{\partial \dot\vartheta}(\theta,\dot\theta)= J\dot\theta$$ und dann wegen dem Verschwinden $\frac{\partial K}{\partial x_1}=\frac{\partial K}{\partial \vartheta}=0$ und dem Verschwinden der generalisierten Kr"afte als Euler-Lagrange-Gleichung $$0=\frac{\diff}{\diff t}\left(\frac{\partial K}{\partial y_1}\circ (\kappa,\dot\kappa)\right)= \frac{\diff}{\diff t}( J\dot\theta)=J\ddot\theta$$ Das bedeutet $\dot\theta$ konstant alias $\theta:\mathbb T\supset I\ra (0,2\pi)$ von konstanter Steigung. Unsere T"opferscheibe dreht sich folglich ohne Einwirkung "au"serer Kr"afte mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Kleine Schwingungen}] Seien $(x_1,\ldots, x_n)$ Koordinaten auf dem Konfigurationsraum $M$ eines \hyperref[neS]{Massepunktsystems} mit Potential $V$ und seien $(x_i, y_i)$ die zugeh"origen nat"urlichen Koordinaten auf dem Phasenraum $\tT M$. Ist $(x_i=0)$ eine kritische Stelle der Potentialfunktion, so kann $V$ dort bis auf eine f"ur unsere Gleichungen unerhebliche additive Konstante nach der Taylorformel \ref{TaEn} lokal bis zu dritter Ordnung approximiert werden durch eine quadratische Form $$V=\sum a_{ij}x_ix_j$$ und wir d"urfen dabei die Matrix $(a_{ij})$ symmetrisch annehmen. Unsere Koordinaten $x_i$ sind reellwertig, die Koeffizienten unserer quadratischen Form haben folglich die Einheit einer Energie $a_{ij}\in \langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$. Die zugeh"origen Geschwindigkeitskoordinaten $y_i$ ordnen einem Geschwindigkeitsvektor $\partial_j\otimes\langle 1/{\ph{s}}\rangle$ den Wert $\delta_{ij}\langle 1/{\ph{s}}\rangle$ zu. Weiter kann die Lagrangefunktion $L$ nach unseren "Uberlegungen im Beweis von \ref{EuGl} bis auf dieselbe f"ur unsere Gleichungen unerhebliche additive Konstante lokal um $(x_i=y_i=0)$ bis zu dritter Ordnung approximiert werden durch eine quadratische Form $$L=\sum a_{ij}x_ix_j-\sum b_{ij}y_iy_j$$ Wir d"urfen dabei auch die Matrix $(b_{ij})$ mit Eintr"agen $b_{ij}\in\langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2\rangle$ symmetrisch und positiv definit annehmen. F"ur das approximierende System, dessen Lagrangefunktion nun wirklich genau diese Differenz von quadratischen Formen ist, findet man nach dem Satz "uber Hauptachsentransformationen \eref{HaTT}{LA2} einen linearen Koordinatenwechsel derart, da"s in den neuen Koordinaten die Matrix $A\pdef (a_{ij})$ Diagonalgestalt hat, in Formeln $A=\op{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ mit $\lambda_i\in \langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$, und da"s $B\pdef (b_{ij})$ ein Vielfaches der Einheitsmatrix wird, etwa $B=\op{diag}(c/2,\ldots,c/2)$ mit $c\in \langle{\ph{g}}{\ph{m}}^2\rangle$. Die Eu\-ler-La\-gran\-ge-Glei\-chun\-gen lauten in diesen Koordinaten dann $$\ddot\gamma_l=-(\lambda_l/c)\gamma_l\quad 1\leq l\leq n$$ Ist unsere kritische Stelle des Potentials ein lokales Minimum und ist die Hesse-Matrix dort nicht ausgeartet, so ist auch $A$ positiv definit und alle $ \lambda_l/c\in \langle 1/{\ph{s}}^2\rangle$ sind positiv\label{KlSw} und die $l$-te Koordinate unserer Bewegung ist eine Schwingung mit der Periode $2\pi/\sqrt{\lambda_l/c}$, genauer $\gamma_l(t)=C\op{sin}(t\sqrt{\lambda_l/c} +\phi)$ f"ur frei w"ahlbare reelle Zahlen $C,\phi$. Die zugeh"origen Frequenzen $(1/2\pi)\sqrt{\lambda_l/c}$ hei"sen die {\bf Eigenfrequenzen}\index{Eigenfrequenzen} unseres Systems. Wir diskutieren hier nicht, wie gut die L"osungen des approximierenden Systems die L"osungen des urspr"unglichen Systems approximieren. Mithilfe der Aussagen "uber differentielle Ungleichungen \ref{ABLo} kann man hier aber durchaus recht gute Absch"atzungen erhalten. \end{Beispiel} %\nichtfinal{Bis hier durchgesehen am 14.2.2025.} \subsection{Hamilton-Gleichungen} \begin{Bemerkungl} Wir betrachten ein Massepunktsystem mit Potential $(m_1,\ldots,m_\Lambda,M,V)$. Zus"atzlich nehmen wir an, $\varphi:\DR^n\lco W\sira M$ sei eine bijektive Karte seines Konfigurationsraums und betrachten die zugeh"orige Phasenraumkarte $$\widehat\varphi: W\times \DR^n\langle 1/{\op{s}}\rangle\sira \tT M$$ und die Lagrangefunktion $L: \tT M\ra \langle {\op{gm}}^2/{\op{s}}^2\rangle$ sowie die Lagrangefunktion in Koordinaten $\hat L\pdef L\circ \widehat\varphi$ und die kinetische Energie in Koordinaten $\hat K\pdef K\circ \widehat\varphi$. Nun f"uhren wir die sogenannten {\bf kanonischen Impulse}\index{Impulse!kanonische} ein durch die Vorschrift \begin{equation*} p_i \pdef \frac{\partial\hat K}{\partial y_i}=-\frac{\partial\hat L}{\partial y_i} \end{equation*} Die kanonischen Impulse sind Abbildungen $p_i: W\times \DR^n\langle 1/{\op{s}}\rangle\ra \langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2 /{\ph{s}}\rangle$ und k"onnen vermittels $\widehat\varphi$ auch als Funktionen auf auf dem Phasenraum $\tT M$ aufgefa"st werden. Zusammen mit den Ortskoordinaten bilden sie ein weiteres Koordinatensystem $(x_1, \ldots, x_n, p_1, \ldots, p_n)$ mit Einheiten auf $W\times \DR^n\langle 1/{\op{s}}\rangle$ und entsprechend auf dem Phasenraum $\tT M$. Um das zu sehen, erinnern wir unsere Formel\label{KaIm} \begin{equation*} \frac{\partial K}{\partial y_l} = \sum_{\nu,j} m_\nu \left\langle \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_j} , \frac{\partial \mathbf{r}_\nu }{\partial x_l} \right\rangle y_j \end{equation*} aus der Herleitung der Euler-Gleichungen \ref{EuGl}. Sie besagt, da"s unter einer Abbildung $M\times\DR^n\sira M\times\DR^n$ der Gestalt $(x,y)\mapsto (x, (A(x))y)$ mit glattem $A:M\ra \op{GL}(n;\DR)$ die $n$ hinteren Koordinatenfunktionen zu den kanonischen Impulsen zur"uckgezogen werden. Nun verh"alt es sich so, da"s die partiellen Ableitungen nach den $x_i$ davon abh"angen, ob wir sie in Bezug auf das Koordinatensystem $(x_i, y_i)$ oder in Bezug auf das Koordinatensystem $(x_i, p_i)$ berechnen. Es ist deshalb sinnvoll, auch die Ortskoordinaten umzubenennen. "Ublicherweise schreibt man $q_i=x_i$ im Koordinatensystem mit den kanonischen Impulsen als hinteren Koordinaten und notiert also dies neue Koordinatensystem $$(q_1,\ldots, q_n,p_1,\ldots, p_n)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Herleitung der Hamilton'schen Bewegungsgleichungen}] Wir betrachten weiter ein Massepunktsystem mit Potential $(m_1,\ldots,m_\Lambda,M,V)$. Zus"atzlich nehmen wir an, $\varphi:\DR^n\lco W\sira M$ sei eine bijektive Karte des Konfigurationsraums. Die kinetische Energie als Funktion auf dem Phasenraum l"a"st sich mithilfe der kanonischen Impulse $p_i$ darstellen als \begin{equation*} K = \frac{1}{2} \sum_{i} p_i y_i \end{equation*} Wir finden so f"ur ihre partielle Ableitung nach $x_l$ im System der Koordinaten $(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots,y_n)$ die Darstellung \begin{equation*} \frac{\partial K}{\partial x_l} = \frac{1}{2} \sum_i \frac{\partial p_i}{\partial x_l} y_i \end{equation*} Nun kommen wir zur Euler-Lagrange-Gleichung zur"uck. Betrachten wir f"ur die Bewegung $\gamma : I \rightarrow M$ unseres Systems die zugeh"orige Koordinatenbewegung im Phasenraum $ \psi\pdef (\gamma, \dot\gamma) : I \rightarrow W\times \DR^n\langle 1/{\ph{s}}\rangle $ und k"urzen wieder $p_i \circ \psi = p_i$ ab, so liest sich die $l$-te Euler-Lagrange-Gleichung als \begin{equation*} \frac{\op{d}}{\diff t}( p_l\circ \psi) = -\left(\frac{\partial L}{\partial x_l}\right)\circ \psi \end{equation*} Hier ist die partielle Ableitung rechts noch im nat"urlichen Koordinatensystem des Tangentialb"undels $(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n)$ zu verstehen. Jetzt gehen wir zum neuen Koordinatensystem $(q_1, \ldots, q_n, p_1, \ldots,p_n)$ des Phasenraums "uber mit $q_i\pdef x_i$ und $p_i$ unseren kanonischen Impulsen. Obwohl die ersten $n$ Koordinaten in diesen beiden Koordinatensystemen "ubereinstimmen, sind die partiellen Ableitungen einer Funktion auch nach diesen ersten Koordinaten im allgemeinen verschieden, da sie ja von der Gesamtheit der Koordinaten abh"angen. Das ist auch der Grund, aus dem wir von nun an f"ur ein- und dieselbe Funktion die beiden Notationen $x_i=q_i$ verwenden: Bei $\partial /\partial q_i$ meinen wir von nun an partielles Ableiten im Koordinatensystem $(q_1, \ldots, q_n, p_1, \ldots, p_n)$, bei $\partial /\partial x_i$ dahingegen partielles Ableiten im Koordinatensystem $(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n)$. Immerhin gilt aber immer noch $\frac{\partial x_i}{\partial q_l}=\delta_{il}$. Wir erinnern auch an $ K = \frac{1}{2} \sum_{i} p_i y_i$. So finden wir dann \begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial q_l} &= & \sum \frac{\partial x_i}{\partial q_l} \frac{\partial L}{\partial x_i} +\sum \frac{\partial y_i}{\partial q_l} \frac{\partial L}{\partial y_i} = \frac{\partial L}{\partial x_l} - \sum \frac{\partial y_i}{\partial q_l} p_i\\[2mm] \frac{\partial K}{\partial q_l} &= &\frac{1}{2} \sum_i p_i \frac{\partial y_i}{\partial q_l} \end{eqnarray*} F"ur $H \pdef L+2 K = V+K$ die totale Energie, auch genannt die {\bf Hamilton-Funktion},\index{Hamilton-Funktion} ergibt sich so $\frac{\partial H}{\partial q_l} = \frac{\partial L}{\partial x_l}$. Damit k"onnen wir unsere $l$-te Bewegungsgleichung auch schreiben als \begin{equation*} \frac{\op{d}}{\diff t}( p_l\circ \psi) = -\left(\frac{\partial H}{\partial q_l}\right)\circ \psi \end{equation*} Andererseits gilt unter der Annahme, da"s das Potential $V$ nicht von den Geschwindigkeiten $y_i$ abh"angt, die Identit"at \begin{equation*} \frac{\partial H}{\partial p_l} = \frac{\partial V}{\partial p_l} + \frac{\partial K}{\partial p_l} = \sum_i \frac{\partial x_i}{\partial p_l} \frac{\partial V}{\partial x_i} + \frac{1}{2} y_l + \frac{1}{2} \sum_i p_i \frac{\partial y_i}{\partial p_l} \end{equation*} Wir erinnern daf"ur auch nochmal an $ K = \frac{1}{2} \sum_{i} p_i y_i$. Da nun $x_i = q_i$ nicht von den Impulsen abh"angt, verschwindet rechts der erste Summand. Der letzte Summand schlie"slich darf faserweise berechnet werden und auf jeder Faser bestehen lineare Beziehungen $y_i = \sum_j \alpha_{ij} p_j$ mit konstanten $\alpha_{ij} \in \mathbb R$. Die explizite Beschreibung dieser linearen Beziehungen zu Beginn von \ref{KaIm} zeigt dar"uber hinaus $\alpha_{ij}=\alpha_{ji}$. So erkennen wir schlie"slich $\frac{\partial H}{\partial p_l} = y_l$. Da wir ja nur Wege im Phasenraum der Gestalt $\psi = (\gamma, \dot\gamma)$ betrachten, folgt als weitere Bewegungsgleichung \begin{equation*} \frac{\diff}{\diff t}( q_l\circ \psi)=\dot\gamma_l=\left(\frac{\partial H}{\partial p_l}\right)\circ\psi \end{equation*} Zusammenfassend erf"ullt f"ur eine m"ogliche Bewegung die zugeh"orige Phasenraumbewegung ausgedr"uckt in beliebigen Ortskoordinaten $q_i=x_i$ zusammen mit den zugeh"origen kanonischen Impulskoordinaten $p_i$ in der "ublichen Verk"urzung notiert die {\bf Hamilton'schen Gleichungen}\index{Hamilton'sche Gleichungen} \begin{equation*} \dot q_l=\frac{\partial H}{\partial p_l} \quad\text{ und } \quad\dot p_l = -\frac{\partial H}{\partial q_l} \quad\text{ f"ur } 1\leq l\leq n. \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Bewegung einer T"opferscheibe nach Hamilton}] Wir betrachten eine T"opferscheibe mit Zentrum in $\mathbf p\in\mathbb E$. Wir denken sie uns zusammengesetzt aus Massepunkten $\mathbf r_1, \ldots , \mathbf r_N$ der Massen $m_1, \ldots , m_N$. Der Konfigurationsraum $M$ ist eine Kreislinie. Als lokale Koordinate w"ahlen wir den Drehwinkel im Bogenma"s $x_1 = x$, wobei wir den Nullwinkel willk"urlich festlegen. Wie in \ref{LaBT} ist die kinetische Energie $K(y)=Jy^2/2$ und unsere Impulskoordinate zur Ortskoordinate $q=x$ wird $p=Jy$. Sie hei"st in dieser Situation der {\bf Dreh\-im\-puls}.\index{Drehimpuls} Die Hamiltonfunktion ist $H(q, p) = p^2/2 J$ und die Hamilton'schen Bewegungsgleichungen spezialisieren zu den Gleichungen \begin{equation*} \dot q = p/J \quad \text{und}\quad \dot p = 0. \end{equation*} Also ist der Drehimpuls $p$ konstant und die zeitliche Ableitung $\dot q$ von $q$ ist auch konstant und unsere T"opferscheibe dreht sich ohne Einwirkung "au"serer Kr"afte mit konstanter Winkelgeschwindigkeit bis in alle Ewigkeit. \end{Beispiel} \subsection{Hamilton durch direkte Rechnung} \begin{Bemerkungl} Wir haben gesehen, wie man aus den Euler-Lagrange-Gleichungen durch "Ubergang von Geschwindigkeitskoordinaten zu Impulskoordinaten bei gleichbleibenden Ortskoordinaten die Hamilton-Gleichungen erh"alt. Im folgenden will ich diskutieren, wie man unsere Orthogonalit"atsbedingung $$\big(\ddot{\gamma}(t) - \tilde F (\gamma (t)) \big) \perp_{{\ph{g}}} {\op{T}}_{\gamma (t)} M$$ aus \ref{DESa} direkt in die Hamilton-Gleichungen umschreiben kann. Wir beginnen mit dem einfachsten Fall eines freien Punktteilchens. Anschlie"send diskutieren wir den Fall eines Systems mit Zwangsbedingungen. Eine besonders elegante Form nimmt der Hamilton-Formalismus in den sogenannten \glqq kanonischen Koordinaten\grqq\ an, wie in den darauffolgenden Abschnitten ausgef"uhrt wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir betrachten einen Massepunkt positiver Masse $m>0$, der sich im Raum $\mathbb E$ in einem Kraftfeld $F$ mit Potential $V$ bewegt, und betrachten auf dem Phasenraum die Funktion der totalen Energie $$H: \mathbb E \times \vec{\mathbb E} \langle 1/{\ph{s}}\rangle \ra \langle {\ph{gm}}^2 / {\ph{s}}^2 \rangle $$ gegeben durch $H(p,v)\pdef V(p)+ m\langle v,v\rangle/2$. Sie hei"st die {\bf Hamilton-Funktion}\index{Hamilton-Funktion} unseres Systems. Weiter betrachten\label{HaFu} wir auf dem Richtungsraum $\vec{\mathbb E} \times \vec{\mathbb E} \langle 1/{\ph{s}}\rangle$ des Phasenraums die $\langle{\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\ph{s}}\rangle$-wertige symplektische Form $$\omega\big((v_1,v_2),(w_1,w_2)\big)\pdef m\langle v_1, w_2\rangle_{\op{k}}-m\langle v_2, w_1\rangle_{\op{k}}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Hamilton-Formalismus f"ur Punktteilchen}] Gegeben ein Punktteilchen positiver Masse $m>0$ in einem Kraftfeld $F$ mit Potential $V$ ist\label{HaFop} $\gamma$ genau dann eine L"osung der Bewegungsgleichungen, wenn $(\gamma,\dot\gamma)$ ein Flu"sweg des symplektischen Gradienten $\op{grad}_{\omega}H$ der Hamiltonfunktion ist. \end{Satz} \begin{proof} Es gilt zu zeigen $(\op{grad}_{\omega}H)(p,v)=(v,\textstyle\frac{1}{m}F(p))$. Gleichbedeutend gilt es zu zeigen $$(\diff_{(p,v)} H)(w_1,w_2)= \omega\big((v, \textstyle\frac{1}{m}F(p)),(w_1,w_2)\big)$$ f"ur alle $(w_1,w_2)$. Nun haben wir $H(p,v)=V(p)+K(v)$ mit $K(v)\pdef m\langle v,v\rangle/2$. F"ur den zweiten Summanden erhalten wir $(\diff_v K)(w)=m\langle v,w\rangle$ nach unseren allgemeinen Erkenntnissen f"ur das Differential bilinearer Abbildungen \ref{PRm}, die Komponentenregel \ref{kd} und die Kettenregel. So finden wir $$ (\diff_{(p,v)} H)(w_1,w_2)=m\langle v,w_2\rangle-\langle F(p),w_1\rangle $$ und wie gew"unscht genau den Wert der symplektischen Form. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern aus \ref{phmG} unsere allgemeinen mechanischen Systeme mit Zwangsbedingungen und Potential $(m_1,\ldots,m_\Lambda, M,V)$ und vereinbaren die Abk"urzung $X\pdef \mathbb E^\Lambda$. Der Konfigurationsraum ist damit eine glatte Untermannigfaltigkeit $M\subset X$ und der Richtunsraum $\vec X$ ist mit dem massebehafteten Skalarprodukt $\langle\; ,\;\rangle_{\op{g}}$ mit Werten in $\langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2\rangle$ versehen. Wir betrachten auf $X\times\vec X\langle 1/{\op{s}}\rangle$ die Funktion der {\bf kinetischen Energie} $$K(p,v)\pdef \langle v ,v\rangle_{\op{g}}/2$$ Die Summe von kinetischer und potentieller Energie $H\pdef V+K$ hei"st die {\bf Hamiltonfunktion} $$H:X\times\vec X\langle 1/{\op{s}}\rangle\ra \langle {\ph{gm}}^2 / {\ph{s}}^2 \rangle$$ Wie im Fall eines Punktteilchens ohne Zwangsbedingungen \ref{HaFop} betrachten wir auf $\vec X\times \vec X\langle 1/{\op{s}}\rangle$ die symplektische Form\label{bgp} $\omega=\omega_{\op{g}}$ mit Werten in $\langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\op{s}}\rangle$ gegeben durch $$\omega\big((v_1,v_2),(w_1,w_2)\big)\pdef \langle v_1, w_2\rangle_{\op{g}}-\langle v_2, w_1\rangle_{\op{g}}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Hamilton-Formalismus}] Gegeben $(M,V)$ ein mechanisches System mit Potential erf"ullt eine Bewegung $\gamma:\mathbb T\supset I\ra M$ die Orthogonalit"atsbedingung \ref{DESa} genau dann, wenn ihr Phasenweg $(\gamma,\dot\gamma)$ ein Flu"sweg\label{Hoffo} des symplektischen Gradienten $\op{grad}_{\omega}H$ der Hamiltonfunktion $H:\tT M \ra \langle {\ph{gm}}^2 / {\ph{s}}^2 \rangle$ ist. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der {\bf symplektische Gradient} bezeichnet hier das Geschwindigkeitsfeld auf dem Phasenraum $\tT M$, das jedem Punkt $(p,u)\in \tT M$ denjenigen Vektor $(\op{grad}_{\omega}H)(p,u)\in \tT_{(p,u)}(\tT M)$ zuordnet, der charakterisiert wird durch die Eigenschaft $$\omega\big((\op{grad}_{\omega}H)(p,u),\vec w\big)=(\diff_{(p,u)}H)(\vec w)\quad\forall \vec w\in \tT_{(p,u)}(\tT M)$$ f"ur die vermittels der Einbettung $\tT_{(p,u)}(\tT M)\hra \vec X \langle 1/{\op{s}}\rangle \times \vec X\langle 1/{\op{s}}^2\rangle$ eingeschr"ankte und mit zus"atzlichen Einheiten versehene symplektische Form $\omega=\omega_{\op{g}}$. Wir schreiben im folgenden nur f"ur eine von Einheiten befreite Variante dieses Satzes in \ref{efr} den Beweis aus und beginnen mit Vorarbeiten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tangentialb"undel}] Gegeben $M\subset X$ eine glatte Untermannigfaltigkeit eines endlichdimensionalen Raums erinnern wir aus \ref{DTBE} ihr Tangentialb"undel, eine Untermannigfaltigkeit ${\op{T}}M\subset X\times\vec X$. Im folgenden verwenden wir oft und ohne Notation den offensichtlichen Isomorphismus $\op{Richt}(X\times \vec X)\sira \vec X\times\vec X$. Mit seiner Hilfe fassen wir die Tangentialr"aume des Tangentialb"undels an einer Stelle $(p,u)\in {\op{T}}M$ auf als Untervektorr"aume $${\op{T}}_{(p,u)}({\op{T}}M)\subset \vec X\times\vec X$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tangentialr"aume des Tangentialb"undels}] Ich erinnere daran, da"s eine kurze exakte Sequenz von Vektorr"aumen ein Datum $U\hra V\sra W$ ist aus drei Vektorr"aumen $U,V,W$ und zwei linearen Abbildungen, deren erste injektiv ist, deren zweite surjektiv ist und so, da"s das Bild der ersten der Kern der zweiten ist. Die kurze exakte Sequenz $$\vec X\hra \vec X\times \vec X\sra \vec X$$ mit $w\mapsto (0,w)$ und $(v,w)\mapsto v$ als Abbildungen induziert f"ur jeden Punkt des Tangentialb"undels $(p,u)\in {\op{T}}M$ eine kurze exakte Sequenz $${\op{T}}_pM\hra {\op{T}}_{(p,u)}({\op{T}}M) \sra {\op{T}}_pM$$ f"ur den Tangentialraum des Tangentialb"undels bei $(p,u)$. In der Tat ist offensichtlich die erste Abbildung eine Injektion und die Verkn"upfung Null und die Zweite ist eine Surjektion, was man durch Vorschalten einer Standardkarte leicht sieht. Aus Dimensionsgr"unden m"ussen dann in der Tat in der Mitte Kern und Bild "ubereinstimmen. Nun sei ein Vektorraumkomplement $B_p$ von ${\op{T}}_pM$ in $\vec X$ gegeben, in Formeln fordern wir also $$\vec X=B_p\oplus {\op{T}}_pM$$ F"ur alle $v\in {\op{T}}_pM$ mu"s es dann genau ein $b=b_{(p,u)}(v)\in B_p$ geben mit $(v,b)\in {\op{T}}_{(p,u)}({\op{T}}M)$. Hier ist $b_{(p,u)}:{\op{T}}_pM\ra B_p$ sogar eine lineare Abbildung.\label{TTM} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Mir f"allt es schwer, eine Anschauung f"ur die eben entwickelte lineare Algebra zu geben, aber probieren wir es einmal mit der kurzen exakten Sequenz $\DR\hra \DR^3\sra \DR^2$ der Injektion der vertikalen Achse in den Raum gefolgt von der orthogonalen Projektion auf die Ebene. Das k"onnte eine kurze exakte Sequenz von Teilr"aumen $0\hra G\sra \bar G$ enthalten f"ur $G$ eine Ursprungsgerade im Raum, die verschieden ist von der vertikalen Koordinatenachse. Dann ist $G$ sogar der Graph einer Abbildung $b:\bar G\ra \DR$ und $B$ w"are die ganze vertikale Achse. Stellen wir uns, um in die vierte Dimension zu kommen, das ganze noch konstant in der Zeit vor, so h"atten wir eine kurze exakte Sequenz $$\DR\times \vec{\mathbb T}\hra \DR^3\times \vec{\mathbb T}\sra \DR^2$$ und eine kurze exakte Sequenz von Teilr"aumen $\vec{\mathbb T}\hra G\times \vec{\mathbb T}\sra \bar G$. Hier k"onnten wir nun auch verschiedene Wahlen f"ur $B$ treffen, etwa Punkte der Vertikale zur Zeit Null oder alle Punkte, deren Zeit und H"ohe "ubereinstimmen, und so verschiedene Abbildungen $b$ erhalten. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Herleitung des Hamilton-Formalismus}] Wir zeigen nun Satz \ref{Hoffo}. Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum, $M\subset X$ eine glatte Untermannigfaltigkeit und $s=\langle\;,\;\rangle$ ein Skalarprodukt auf $\vec X$. Wir betrachen als unsere von Einheiten befreite Version der kinetischen Energie die Funktion\label{efr} $$K:X\times \vec X\ra\DR$$ gegeben durch $K(p,u)\pdef \langle u,u \rangle/2$. Unsere symplektische Form $\omega=\omega_s$ auf $\vec X\times \vec X$ gegeben durch $\omega((v_1,v_2)(w_1,w_2))\pdef \langle v_1,w_2 \rangle- \langle v_2,w_1 \rangle$ induziert eine symplektische Form auf allen Tangentialr"aumen des Tangentialb"undels ${\op{T}}M$, als da hei"st auf allen ${\op{T}}_{(p,u)}({\op{T}}M)$ f"ur $(p,u)\in {\op{T}}M$. Wir berechnen nun den symplektischen Gradienten $\op{grad}_\omega K$ der Einschr"ankung von $K$ auf ${\op{T}}M$. Wir machen den Ansatz $$(\op{grad}_\omega K)(p,u)= (v_1, b(v_1)+v_2)$$ mit $v_1,v_2\in {\op{T}}_pM$ und $b=b_{(p,u)}: {\op{T}}_pM\ra ({\op{T}}_pM)^\perp$ wie in der Diskussion des Tangentialraums des Tangentialb"undels in \ref{TTM}, spezialisiert zum Fall $B_p\pdef ({\op{T}}_pM)^\perp$ des orthogonalen Komplements in Bezug auf unser Skalarprodukt. Wie im Fall \ref{HaFop} eines freien Teilchens finden wir $(\diff_{(p,u)}K)(w_1,w_2)=\langle u, w_2\rangle$ f"ur alle $(w_1,w_2)\in \vec X\times \vec X$. Unser symplektischer Gradient $(v_1, b(v_1)+v_2)$ wird also charakterisiert durch die Bedingung $$\omega\big((v_1, b(v_1)+v_2), (w_1, b(w_1)+w_2)\big)=\langle u, b(w_1)+w_2\rangle$$ f"ur alle $w_1,w_2\in {\op{T}}_pM$. Nun nimmt $b$ nur Bilder im orthogonalen Komplement von ${\op{T}}_pM$ an. Wir k"onnen das mithin umschreiben zur Charakterisierung $$\langle v_1, w_2\rangle - \langle v_2, w_1\rangle=\langle u, w_2\rangle$$ f"ur alle $w_1,w_2\in {\op{T}}_pM$ mit der offensichtlichen L"osung $v_1=u$ und $v_2=0$ und erhalten $$(\op{grad}_\omega K)(p,u)= (u, b(u))$$ Ist andererseits eine glatte Funktion $V:X\ra \DR$ gegeben und erkl"aren wir $\tilde F:X\ra \vec X$ als das Negative ihres $s$-Gradienten $\tilde F\pdef -\op{grad}_sV$, so erhalten wir genauso aber einfacher $$(\op{grad}_\omega V)(p,u)= (0, \tilde F(p))$$ Erkl"aren wir nun unsere von Einheiten befreite Hamiltonfunktion als $H\pdef V+K$, so haben die Flu"swege des symplektischen Gradienten $\op{grad}_\omega H$ der Hamiltonfunktion auf ${\op{T}}M\subset X\times \vec X$ die Gestalt $t\mapsto (\gamma(t),\alpha(t))$ mit $\gamma'(t)=\alpha(t)$ und $\alpha'(t)-\tilde F(\gamma(t))\perp {\op{T}}_{\gamma(t)}M$ f"ur alle $t$ alias $$\gamma''(t)-\tilde F(\gamma(t))\perp {\op{T}}_{\gamma(t)}M$$ Da"s umgekehrt f"ur alle glatten Wege $\gamma$ in $M$ mit $\gamma''(t)-\tilde F(\gamma(t))\perp {\op{T}}_{\gamma(t)}M\;\forall t$ auch $(\gamma,\gamma')$ ein Flu"sweg des symplektischen Gradienten der Hamiltonfunktion ist, folgt aus dem Satz von Picard-Lindel"of "uber die Eindeutigkeit der L"osungen von Differentialgleichungen. Grob gesprochen k"onnen wir annehmen, da"s $M$ von einer einzigen Karte $\varphi: \DR^n\lco W\sira M$ "uberdeckt wird. Setzen wir dann $\tilde\gamma\pdef \varphi^{-1}\circ\gamma:\DR\lco I\ra W$, so k"onnen wir unsere Orthogonalit"atsbedingung umschreiben zu einer Differentialgleichung f"ur $\tilde \gamma$ der Gestalt $\tilde\gamma''(t)= A(t,\tilde\gamma(t),\tilde\gamma'(t))$ f"ur glattes $A$ und so ein Gleichungssystem hat f"ur vorgegebene Anfangswerte stets eine eindeutig bestimmte maximale L"osung nach \ref{PiLin}. \end{Bemerkungl} \subsection{Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten} \begin{Definition} Eine {\bf $p$-Form\index{Differentialform!unstetige} $\omega$ auf einer Mannigfaltigkeit} $M$ ist eine Vorschrift, die jedem Punkt $x\in M$ eine alternierende $p$-Multilinearform $$\omega_x\in \op{Alt}^p({\op{T}}_xM)$$ auf dem Tangentialraum bei $x$ zuordnet. Wollen wir den Grad $p$ nicht spezifizieren, so reden wir von einer {\bf Differentialform auf $M$}. Eine $1$-Form hei"st auch ein {\bf Kovektorfeld}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die $p$-Formen auf $M$ bilden unter der punktweisen Adddition und Multiplkation mit Skalaren einen reellen Vektorraum. Im Fall $p=0$ erhalten wir so den Vektorraum $\op{Ens}(M,\DR)$ aller reellwertigen Funktionen auf $M$. Wir werden gleich diskutieren, wie man die Bedingungen Stetigkeit und Glattheit, die unsere Formen erst zu einem n"utzlichen Werkzeug machen, in diesem Kontext einf"uhren kann. Wir werden unter einer {\bf Differentialform} im weiteren Verlauf meist eine \glqq glatte\grqq\ Differentialform verstehen und die Formen von eben \glqq nicht notwendig stetige Formen\grqq\ nennen, wenn wir sie einmal verwenden sollten. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine glatte Abbildung $\varphi:M\ra N$ und eine Differentialform $\eta$ auf $N$ erkl"aren wir wie in \ref{RHUD} die {\bf zur"uckgeholte Differentialform} $\phi ^{\ast}\eta$ auf $M$ durch die Vorschrift $$(\phi ^{\ast}\eta)_{x} \pdef (\diff _{x}\phi )^{\ttop} (\eta_{\phi (x)})$$ Hier bezeichnet $(\diff _{x}\phi )^{\ttop}: \op{Alt}^p({\op{T}}_{\phi(x)}N) \ra \op{Alt}^p({\op{T}}_{x}M)$ die durch Vorschalten des Differentials $\diff _{x} \phi : {\op{T}}_{x}M \ra {\op{T}}_{\phi(x)}N $ von $\phi $ an der Stelle $ x \in M$ induzierte Abbildung. Alternativ schreiben wir $\phi:\omega\leadsto \eta$ statt $\omega=\phi^*\eta$ und sagen, die beiden Differentialformen seien {\bf verwandt unter $\phi$}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Das Zur"uckholen ist eine $\DR$-lineare Abbildung. Die in \ref{KeReD} besprochenen Rechenregeln $(\psi\circ\phi)^*=\phi^*\circ \psi^*$ und $\op{id}^*=\op{id}$ gelten offensichtlich auch in diesem allgemeineren Kontext. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erkl"aren f"ur Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten das Dachprodukt genau wie in \ref{daPP} als punktweises Dachprodukt. Es ist aus denselben Gr"unden assoziativ und $\DR$-bilinear und graduiert kommutativ. Weiter vertauschen R"uckzug und Dachprodukt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Differentialform $\omega$ auf einer Mannigfaltigkeit $M$ hei"st {\bf glatt}, wenn es um jeden Punkt $x\in M$ eine glatte Karte $\varphi:\DR^n\lco W\ra M$ gibt derart, da"s $\varphi^*\omega$ eine glatte Differentialform auf $W$ ist im Sinne von \ref{pdif}, also durch eine glatte Abbildung $W\ra \op{Alt}^p(\vec\DR^n)$ gegeben wird. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Stabilit"aten glatter Differentialformen}] Offensichtlich macht der R"uckzug unter glatten Abbildungen glatte Differentialformen zu glatten Differentialformen. Offensichtlich macht das Dachprodukt aus glatten Formen glatte Formen. Offensichtlich bilden die glatten $p$-Formen einen Untervektorraum im Raum aller $p$-Formen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Terminologisches}] Von nun an werden wir fast ausschlie"slich mit glatten Formen arbeiten und das meist nicht mehr explizit dazusagen. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Cartan'sche "au"sere Ableitung}] Gegeben eine $p$-Form $\omega$ auf einer Mannigfaltigkeit $M$ gibt es genau eine $(p+1)$-Form $d\omega$ auf $M$ derart, da"s f"ur jede glatte Karte $\varphi:\DR^n\lco W\ra M$ von $M$ gilt\label{CaAb} $$\varphi^*(d\omega)=d(\varphi^*\omega)$$ \end{Proposition} \begin{proof} Unsere Vorschrift legt $d\omega$ auf dem Bild jeder Karte eindeutig fest. Es gilt nur zu zeigen, da"s diese Festlegungen auch zusammenpassen, da"s also gegeben $\psi:\DR^n\lco V\ra M$ eine weitere Karte, der Einfachkeit halber mit demselben Bild, es ein- und dieselbe $(p+1)$-Form $\eta$ auf $\varphi(W)=\psi(V)$ ist, f"ur die gilt $\varphi: d(\varphi^*\omega)\leadsto \eta$ und $\psi: d(\psi^*\omega)\leadsto \eta$. Bezeichnet jedoch $\beta:W\ra V$ den Basiswechsel, so haben wir sicher $\beta: \varphi^*\omega\leadsto \psi^*\omega$. Daraus folgt aber $\beta: d(\varphi^*\omega)\leadsto d(\psi^*\omega)$ nach der Verwandtschaftsvertr"aglichkeit der "au"seren Ableitung \ref{RAAb} und damit folgt aus $\psi: d(\psi^*\omega)\leadsto \eta$ bereits $\varphi: d(\varphi^*\omega)\leadsto \eta$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Rechenregeln f"ur die "au"sere Ableitung}] Die in \ref{RAAb} diskutierten Rechenregeln f"ur die "au"sere Ableitung "ubertragen sich\label{RAAbM} unmittelbar auf den Fall der Mannigfaltigkeiten, wobei nocheinmal daran erinnert sei, da"s wir unsere Formen dabei als glatt annehmen. Gegeben eine glatte Abbildung von Mannigfaltigkeiten $\varphi:M\ra N$ und eine Form $\eta$ auf $N$ haben wir insbesondere die Verwandtschaftsvertr"aglichkeit der "au"seren Ableitung $\varphi^*(d\eta)=d(\varphi^*\eta)$, f"ur ein Dachprodukt von Formen auf einer Mannigfaltigkeit gilt die Leibnizregel $$d(\omega\wedge \eta)=d\omega\wedge \eta + (-1)^{|\omega|}\omega\wedge d\eta$$ und schlie"slich gilt stets $dd\omega=0$. Ich hoffe, da"s der Leser im folgenden lernen wird, die gro"se Eleganz und M"uhelosigkeit des Rechnens mit Differentialformen wertzusch"atzen. \end{Bemerkungl} \subsection{Das Kotangentialb"undel} \begin{Bemerkungl} Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Wir definieren ihr {\bf Kotangentialb"undel}\index{Kotangentialb"undel} erst einmal nur als die Menge $${\op{T}}^*M\pdef \bigsqcup_{x\in M}\{x\}\times {\op{T}}_x^*M$$ alias die disjunkte Vereinigung der Dualr"aume aller ihrer Tangentialr"aume. Zusammen mit dieser Menge erkl"aren wir eine Abbildung $\pi_M:{\op{T}}^*M\ra M$, die {\bf Fu"spunktprojektion}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Im Fall einer in einen endlichdimensionalen affinen Raum eingebetteten Mannigfaltigkeit $M\subset X$ mag man eine {\bf riemannsche Metrik auf $M$}\label{rmEI} erkl"aren als eine Abbildung $g$, die jedem Punkt $x\in M$ ein Skalarprodukt $g_x$ auf dem Tangentialraum ${\op{T}}_xM$ zuordnet so, da"s es eine glatte Abbildung $G:M\ra \op{Bil}(\vec X)$ gibt, die alle dieses Skalarprodukte induziert. F"ur den allgemeinen Fall abstrakter Mannigfaltigkeiten "uberlassen wir die pr"azise Fassung der Glattheitsbedingung der Differentialgeometrie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Das Kotangentialb"undel als Mannigfaltigkeit}] Auf dem Kotangentialb"undel einer Mannigfaltigkeit $M$ gibt es genau eine Struktur einer Mannigfaltigkeit derart, da"s f"ur jede glatte riemannsche Metrik $g$ auf $M$ die durch die jeweiligen lokalen Skalarprodukte gegebenen Isomorphismen ${\op{T}}_xM\sira {\op{T}}_x^*M$ in ihrer Gesamtheit einen Isomorphismus von Mannigfaltigkeiten ${\op{T}}M\sira {\op{T}}^*M$ bilden. Der Beweis bleibe dem Leser "uberlassen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Das Kotangentialb"undel als Mannigfaltigkeit, Variante}] Gegeben eine offene Teilmenge $W\co \DR^n$ erhalten wir eine Bijektion\label{KoMsd} $$W\times \DR^n\sira {\op{T}}^*W$$ durch die Abbildung $(q_1,\ldots,q_n, p_1,\ldots, p_n)\mapsto (q_1,\ldots,q_n, p_1\diff q_1+\ldots+ p_n\diff q_n)$. Auf der rechten Seite meinen wir dabei die Kovektorfelder $\diff q_i$ aus \ref{KovK}. Auf dem Kotangentialb"undel einer Mannigfaltigkeit $M$ gibt es nun genau eine Struktur einer Mannigfaltigkeit derart, da"s f"ur jede glatte Karte $\varphi:\DR^n\lco W\ra M$ die Komposition $$W\times \DR^n\sira{\op{T}}^*W\ra {\op{T}}^*M$$ der oben erkl"arten Abbildung mit der offensichtliche Abbildung eine Karte von ${\op{T}}^*M$ ist. Der Beweis bleibe dem Leser ebenso "uberlassen wie der Nachweis, da"s wir so dieselbe Struktur als Mannigfaltigkeit erhalten wie bei der vorhergehenden Konstruktion. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}Gegeben eine Mannigfaltigkeit $M$ konstruieren wir auf ihrem Kotangentialb"undel ${\op{T}}^*M$ das {\bf kanonische Kovektorfeld} $\vartheta=\vartheta_M$ durch die Vorschrift, da"s gegeben $x\in M$ und $\eta\in {\op{T}}_x^*M$ und der entsprechende Punkt des Kotangentialb"undels $(x,\eta)\in {\op{T}}^*M$ die lineare Abbildung $\vartheta_{(x,\eta)}:{\op{T}}_{(x,\eta)}({\op{T}}^*M)\ra \DR$ gegeben sein m"oge durch\label{kakov} $$\vartheta_{(x,\eta)}\pdef \eta\circ \diff_{(x,\eta)} \pi_M$$ Hier meint $\pi_M: {\op{T}}^*M\ra M$ die Fu"spunktprojektion des Kotangentialb"undels und $ \diff_{(x,\eta)} \pi_M:{\op{T}}_{(x,\eta)}({\op{T}}^*M)\ra {\op{T}}_{x}M$ ihr Differential an der Stelle $(x,\eta)$. Als n"achstes zeigen wir, da"s das kanonische Kovektorfeld glatt ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kanonisches Kovektorfeld in Koordinaten}] Um zu pr"ufen, da"s das kanonische Kovektorfeld glatt ist, schreiben wir es in Koordinaten. Betrachten wir genauer eine glatte Karte $\varphi:\DR^n\lco W$ wie in \ref{KoMsd}, so f"uhrt die dort gegebene Karte $W\times \DR^n\ra {\op{T}}^*M$ des Kotangentialb"undels zu einem lokalen Koordinatensystem $(q_1,\ldots,q_n,p_1, \ldots,p_n)$ des Kotangentialb"undels und die zugeh"origen Tangentialvektoren $\partial/\partial q_i$ und $\partial/\partial p_i$ bilden folglich an jeder Stelle $(x,\eta)$ mit $x\in \varphi(W)$ eine Basis des Tangentialraums ${\op{T}}_{(x,\eta)}({\op{T}}^*M)$ des Kotangentialb"undels. Unter dem Differential der Fu"spunktprojektion werden die Vektorfelder $\partial/\partial q_i$ auf die Vektorfelder $\partial/\partial q_i$ abgebildet, zu verstehen in Bezug auf das durch die Karte $\varphi:\DR^n\lco W\ra M$ gegebene lokale Koordinatensystem $(q_1,\ldots,q_n)$ von $M$, und die $\partial/\partial p_i$ gehen nach Null. F"ur die Verkn"upfung $\eta\circ \diff_{(x,\eta)} \pi_M$ mit $x=\varphi(q_1, \ldots,q_n)$ und $\eta=p_1\diff q_1+\ldots+ p_n\diff q_n$ ergibt sich also $$\eta\circ \diff_{(x,\eta)} \pi_M: \partial/\partial q_i\mapsto p_i\quad\text{und}\quad \partial/\partial p_i\mapsto 0.$$ Das aber bedeutet genau\label{Kako} $$\vartheta_M=p_1\diff q_1+\ldots+p_n\diff q_n$$ im hier betrachteten lokalen Koordinatensystem von ${\op{T}}^*M$. So sehen wir, da"s das kanonische Kovektorfeld jeder Mannigfaltigkeit glatt ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Rechtfertigung der Terminologie}] Die Definition zeigt, da"s gegeben eine offene Einbettung von Mannigfaltigkeiten $\varphi: W\hra M$ und die zugeh"orige offene Einbettung auf den Kotangentialb"undeln $\psi: {\op{T}}^*W\hra {\op{T}}^*M$ die zugeh"origen kanonischen Kovektorfelder verwandt sind, in Formeln $\psi:\vartheta_W\leadsto \vartheta_M$. Das rechtfertigt die Bezeichnung als \glqq kanonisches Kovektorfeld\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Mannigfaltigkeit $M$ ist die "au"sere Ableitung jeder glatten Einsform eine glatte Zweiform mit verschwindender "au"serer Ableitung. Eine {\bf symplektische Struktur} auf einer Mannigfaltigkeit erkl"art man als eine geschlossene Zweiform, die auf jedem Tangentialraum eine nichtausgeartete alternierende Bilinearform induziert. Das Negative der "au"seren Ableitung des kanonischen Kovektorfelds $\vartheta_M$ auf dem Kotangentialb"undel ist eine symplektische Struktur auf dem Kotangentialb"undel ${\op{T}}^*M$, die {\bf kanonische symplektische Struktur}\label{Kosy} $$\omega_M\pdef -d\vartheta_M$$ Nach der Beschreibung des kanonischen Kovektorfelds \ref{Kako} in lokalen Koordinaten finden wir in lokalen Koordinaten die Beschreibung $$\omega_M=-d\vartheta_M= dq_1\wedge d p_1+\ldots+dq_n\wedge dp_n$$ Das hinwiederum ist offensichtlich eine nichtausgeartete Bilinearform auf jedem Tangentialraum des Kotangentialb"undels und rechtfertigt die Bezeichnung von $\omega_M$ als symplektische Struktur. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abstrakter Hamiltonformalismus}] Ein Paar $(P,\omega)$ aus einer Mannigfaltigkeit $P$ mit einer symplektischen Struktur $\omega$ hei"st eine {\bf symplektische Mannigfaltigkeit}.\index{symplektisch!Mannigfaltigkeit} Gegeben eine glatte Funktion $H:P\ra\DR$ mag man ihren symplektischen Gradienten $$\op{grad}_\omega H$$ betrachten und dessen Flu"skurven untersuchen. Gegeben ein lokales Koordinatensystem $(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots, p_n)$ von $P$ mit der Eigenschaft $$\omega=dq_1\wedge d p_1+\ldots+dq_n\wedge dp_n$$ finden wir $d H=(\partial H/\partial q_1) d q_1 \ldots + (\partial H/\partial p_n)d p_n$ und f"ur den symplektischen Gradienten ergibt sich $\op{grad}_\omega H= -(\partial H/\partial q_1)(\partial /\partial p_1) \ldots + (\partial H/\partial p_n)(\partial /\partial q_n)$ und f"ur die Koordinaten der Flu"skurven ergeben sich die {\bf Hamilton'schen Gleichungen} $$\dot p_i= -\partial H/\partial q_i\qquad \dot q_i= \partial H/\partial p_i$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Abstrakter Hamiltonformalismus und Mechanik}] Im folgenden Abschnitt zeigen wir, wie sich die Bewegungsgleichungen eines mechanischen Systems mit Potential $(M,V)$ diesem Formalismus unterordnen, f"ur $P\pdef {\op{T}}^*M$ das Kotangentialb"undel des Konfigurationsraums mit seiner kanonischen symplektischen Struktur \ref{Kosy} und einer Hamiltonfunktion $H:{\op{T}}^*M\ra\DR$, in der \glqq die ganze Physik unseres Systems zusammengefa"st wird\grqq. \end{Bemerkungw} \subsection{Hamilton-Formalismus und Kotangentialb"undel} \begin{Satz}[\textbf{Geometrie der Hamilton'schen Gleichungen}] Seien $(M,V)$ ein mechanisches System mit Potential, $({\op{T}}^*M,\omega)$ das Kotangentialb"undel des Konfigurationsraums mit seiner kanonischen symplektischen Struktur und $$H:{\op{T}}^*M\ra\DR$$ die Funktion, die unter dem durch das massebehaftete Skalarprodukt gegebenen Isomorphismus $\hat{\op{g}}:{\op{T}}M\sira {\op{T}}^*M$ verwandt ist zur Summe $K+V$ von kinetischer und potentieller Energie. So sind die Phasenwege in ${\op{T}}M$ der L"osungen der Orthogonalit"atsbedingungen $i$-verwandt zu den Flu"skurven in ${\op{T}}^*M$ des symplektischen Gradienten $\op{grad}_\omega H$ der Hamiltonfunktion. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Man nennt in diesem Kontext ${\op{T}}^*M$ den {\bf Impulsphasenraum} unseres mechanischen Systems und $H:{\op{T}}^*M\ra\DR$ die {\bf Hamiltonfunktion}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir wissen aus \ref{Hoffo}, hier einheitenfrei geschrieben, da"s eine Bewegung $\gamma:\DR\supset I\ra M$ genau dann die Orthogonalit"atsbedingung \ref{DESa} erf"ullt, wenn ihr Phasenweg $(\gamma,\dot\gamma)$ ein Flu"sweg des symplektischen Gradienten $\op{grad}_{\omega}H$ der Summe von kinetischer und potentieller Energie $\bar H\pdef K+V:{\op{T}} M \ra\DR$ ist. Im folgenden und insbesondere in \ref{vWv} zeigen wir, da"s unter dem durch das massebehaftete Skalarprodukt gegebenen Isomorphismus $\hat{\op{g}}:{\op{T}} M\sira {\op{T}}^* M$ die symplektische Form $\omega$ aus \ref{Hoffo} verwandt ist zur kanonischen symplektischen Form auf dem Kotangentialb"undel ${\op{T}}^* M$. Das zeigt dann auch bereits den Satz. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Skalarproduktform und ihre "au"sere Ableitung}] Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$ mit einem Skalarprodukt $s$ auf seinem Richtungsraum $\vec X$ erkl"aren wir auf dem Tangentialb"undel ${\op{T}}X=X\times\vec X$ das Kovektorfeld $\theta$ gegeben durch $$\theta_{(x,\vec v)}(\vec w_1,\vec w_2)\pdef s(\vec w_1,\vec v)$$ und nennen diese Einsform die\label{skpF} {\bf Skalarproduktform}.\index{Skalarproduktform} Wir berechnen ihre "au"sere Ableitung $d \theta$ und finden zun"achst f"ur das Differential der affinen Abbildung $\theta: X\times \vec X \ra (\vec X\times \vec X)^*$ an jeder Stelle $(x,\vec v)$ den Richtungsanteil unserer affinen Abbildung $\diff\theta:(\vec v_1,\vec v_2)\mapsto \big((\vec w_1,\vec w_2)\mapsto s(\vec w_1,\vec v_2)\big)$. Die "au"sere Ableitung entsteht daraus per definitionem \ref{daAb} durch Schiefsymmetrisieren und wir erhalten als "au"sere Ableitung die konstante Zweiform $$d \theta:\big( (\vec v_1,\vec v_2),(\vec w_1,\vec w_2)\big)\mapsto s(\vec w_1,\vec v_2)-s(\vec w_2,\vec v_1)$$ Das ist im Fall des massebehafteten Skalarprodukts gerade das Negative unserer symplektischen Form $\omega_s$ aus \ref{bgp}, in Formeln $\omega_s=-d\theta$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einschr"anken auf Untermannigfaltigkeiten}] Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$ mit einem Skalarprodukt $s$ auf seinem Richtungsraum $\vec X$ und eine eingebettete Mannigfaltigkeit $M\subset X$ betrachten wir das Tangentialb"undel ${\op{T}}M\subset X\times\vec X$. Die Skalarproduktform $\theta$ aus \ref{skpF} schr"ankt ein zu einer Einsform $\theta$ auf dem Tangentialb"undel, die wir weiter die {\bf Skalarproduktform} nennen. Da die "au"sere Ableitung verwandtschaftsvertr"aglich ist, ist die Einschr"ankung der "au"seren Ableitung die "au"sere Ableitung der Einschr"ankung. Wir finden f"ur diese Zweiform auf dem Tangentialb"undel $d\theta$ also auch $\omega_s=-d\theta$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verwandte im Kotangentialb"undel}] Gegeben seien weiter ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$ mit einem Skalarprodukt $s$ auf seinem Richtungsraum $\vec X$ und eine eingebettete Mannigfaltigkeit $M\subset X$. Wir betrachten das Kotangentialb"undel ${\op{T}}^*M$ und den durch unser Skalarprodukt gegebenen Isomorphismus $$\hat s: {\op{T}}M\sira {\op{T}}^*M$$ mit $\hat s:{\op{T}}_{x}M\sira {\op{T}}_x^*M$ erkl"art durch $(\hat s(\vec v))(\vec w)\pdef s(\vec v,\vec w)$. Er ist vertr"aglich mit den jeweiligen Fu"spunktprojektionen. Die Skalarproduktform ist darunter per definitionem verwandt zum kanonischen Kovektorfeld \ref{kakov} auf dem Kotangentialb"undel $\hat s: \theta\leadsto \vartheta$. Dann m"ussen auch die "au"seren Ableitungen unserer Einsformen verwandt sein $\hat s: d\theta\leadsto d\vartheta$ und ihre Negativen desgleichen.\label{vWv} Also haben wir $$\hat s: \omega_s\leadsto \omega$$ \end{Bemerkungl} \subsection{Lie-Ableitung} \begin{Bemerkungl} Dieser Abschnitt ist kopiert aus \eref{FMgA}{DIFF}. Ich mu"s mich etwas auf Differentialgeometrie st"utzen und ben"otige insbesondere den Begriff der Lie-Ableitung. \nichtfinal{Die Labels sind gro"senteils noch nicht angepa"st!} \end{Bemerkungl} \begin{Definition}[\textbf{Lie-Ableitung}]\index{Lie-Ableitung} Gegeben ein glattes Vektorfeld $\xi$ auf einer glatten Mannigfaltigkeit $X$ und ein glattes Feld $T$, genauer ein glattes nat"urliches Feld im Sinne von \eref{FeMg}{DIFF}, das also durch Anwenden eines\label{FeMgAK} \hyperref[gGRZ]{glatten} \hyperref[GRZ]{Gruppoidfunktors} aus dem Tangentialb"undel hervorgeht, erkl"aren wir ein Feld derselben Art, seine {\bf Lie-Ableitung} \begin{equation*} \mathcal L_\xi T \end{equation*} Man bezeichne dazu f"ur $x \in X$ und kleine $s \in \mathbb R$ mit $\xi^s (x) \in X$ den Punkt, bei dem der Punkt $x$ landet, wenn er sich f"ur die Zeit $s$ mit dem Flu"s des Vektorfelds $\xi$ treiben l"a"st. Dann sind die $\xi^s $ f"ur kleine $s$ Diffeomorphismen einer festen offenen Umgebung $U$ von $p \in X$ mit offenen Teilmengen $\xi^s (U) \co X$. Bezeichne $T^{[s;\xi]}=T^{[s]}$ das Feld auf $U$, das unter $\xi^s $ zum urspr"unglichen Feld $T$ auf $\xi^s (U)$ verwandt ist, in Formeln \begin{equation*} \xi^s : T^{[s]} \leadsto T \end{equation*} Die $T^{[s]}$ bilden dann ein von $s$ abh"angiges Feld auf $U$ und wir definieren \begin{equation*} (\mathcal L_\xi T)_p = \lim_{s \rightarrow 0} \frac{(T^{[s]})_p - T_p}{s} \end{equation*} Nun mu"s noch gezeigt werden, da"s diese Grenzwerte existieren und da"s $\mathcal L_\xi T$ wieder ein glattes Feld ist. Das "uberlassen wir dem Leser und leiten nur unter der Annahme der Existenz explizite Formeln her. Mit etwas mehr Sorgfalt kann man zusammen mit den expliziten Formeln aber auch unschwer die Existenz der fraglichen Grenzwerte zeigen. \end{Definition} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Felder mit verschwindender Lie-Ableitung}] Seien $\xi$ ein glattes Vektorfeld auf einer glatten Mannigfaltigkeit $X$ und $T$ ein glattes Feld auf $X$. Ist $\mathcal L_\xi T$ das Nullfeld, so folgt $\xi^s:T\leadsto T$ f"ur alle $U\co X$ und $s\in\DR$ derart, da"s der Flu"s $\xi^s(x)$ definiert ist f"ur alle $x\in U$. In Worten ist demnach ein Feld mit invarianter Lie-Ableitung nach einem vorgegebenen Vektorfeld \glqq invariant unter dem Flu"s von besagtem Vektorfeld\grqq. In der Tat hat dann die Abbildung $s\mapsto (T^{[s]})_p$ an jeder Stelle ihres Definitionsintervalls die Ableitung Null, denn wir haben f"ur kleines $h\neq 0$ sicher\label{KLIQ} $$\diff\xi^s: \frac{1}{h}\left((T^{[s+h]})_p-(T^{[s]})_p\right)\mapsto \frac{1}{h}\left((T^{[h]})_q-T_q\right)$$ mit $q=\xi^s(p)$, und f"ur $h\ra 0$ strebt die rechte Seite nach unseren Annahmen gegen Null. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel} Gegeben eine {\bf Riemann'sche Mannigfaltigkeit} \index{Riemann'sche Mannigfaltigkeit} \index{Mannigfaltigkeit!Riemann'sche} alias eine glatte Mannigfaltigkeit $X$ mit einem ausgezeichneten glatten symmetrischen Tensorfeld $g\in\op{Sym}^2({\op{T}}X)$, das an jeder Stelle ein Skalarprodukt ist, versteht man unter einem {\bf Killing-Feld}\index{Killing-Feld} ein glattes Vektorfeld $\xi$ auf $X$ mit $\mathcal L_\xi g=0$. In anderen Worten ist also ein Killing-Feld ein Vektorfeld $\xi$, dessen Flu"s Isometrien $\xi^s:U\sira \xi^s(U)$ liefert, wo immer er definiert ist. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Divergenz und Lie-Ableitung}] Jeder Riemann'schen Mannigfaltigkeit $X$ kann man ihre nat"urliche Dichte $\omega$ zuordnen, einen ausgezeichneten glatten Schnitt des Dichteb"undels. Gegeben ein glattes Vektorfeld $\xi$ auf $X$ kann die {\bf Divergenz $\op{div}\xi$}\index{Divergenz!auf Riemann'scher Mannigfaltigkeit} beschrieben werden als die eindeutig definierte Funktion mit\label{divL} $$\mathcal L_\xi\omega=(\op{div}\xi)\omega$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Lie-Ableitung von Funktionen}] Im Fall eines skalaren Feldes $T$ alias einer glatten Funktion $f$ haben wir offensichtlich\label{LAV} $$\mathcal L_\xi f =\xi f$$ In Worten ist die Lie-Ableitung einer Funktion also schlicht die Funktion, die daraus durch das Anwenden des fraglichen Vektorfelds entsteht. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lie-Ableitung versus kovariante Ableitung}] Die Lie-Ableitung einer Funktion an einer gegebenen Stelle h"angt nur vom Wert des ableitenden Vektorfelds an besagter Stelle ab. Das ist bei der Lie-Ableitung allgemeiner Felder nicht mehr richtig: Die Lie-Ableitung eines Feldes an einer gegebenen Stelle wird im allgemeinen von den Werten des ableitenden Vektorfelds in einer Umgebung der fraglichen Stelle abh"angen und keineswegs nur von seinem Wert an besagter Stelle. Das ist ein fundamentaler Unterschied zur kovarianten Ableitung \ref{KovA}, die auch in Richtung isolierter Tangentialvektoren wohldefiniert ist und beim Ableiten nach Vektorfeldern $\xi$ der Identit"at $\nabla_{f\xi}=f\nabla_{\xi}$ gehorcht. Dahingegen haben wir f"ur die Lie-Ableitung im allgemeinen $\cal L_{f\xi}\neq f\cal L_{\xi}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lie-Ableitung und "au"sere Ableitung}] Die Lie-Ableitung des Differentials einer Funktion ist das Differential ihrer Lie-Ableitung, in Formeln \begin{equation*} \mathcal L_\xi (\diff f) =\op{d}(\mathcal L_\xi f) \end{equation*} Um das einzusehen, gehen wir von der Erkenntnis aus, da"s die Verwandtschaft $\xi^t :f^{[t]}\leadsto f$ auch eine Verwandtschaft $\xi^t :\op{d} (f^{[t]})\leadsto \diff f$ alias die Gleichheit $\op{d} (f^{[t]})=(\diff f)^{[t]}$ induziert. Nun w"urden wir gerne rechnen $$\mathcal L_\xi (\diff f)= \lim_{t \rightarrow 0} \frac{(\diff f)^{[t]} - \diff f}{t}= \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\op{d} (f^{[t]}) - \diff f}{t}= \diff \left(\lim_{t \rightarrow 0} \frac{ f^{[t]} - f}{t}\right)=\op{d}(\mathcal L_\xi f)$$ Das ist zwar in dieser Form noch problematisch, aber w"ahlen wir lokale Koordinaten $x_1, \ldots, x_n$ und betrachten die Funktion $(x,t)\mapsto f^{[t]}(x)$ auf $U \times(-\varepsilon, \varepsilon)$, so ist auch diese Funktion glatt und wir erhalten $\mathcal L_\xi (\diff f)=\partial_t\sum_i\partial_i f^{[t]}(x)\diff x_i$ sowie $\diff (\mathcal L_\xi f)=\sum_i\partial_i \partial_t f^{[t]}(x)\diff x_i$ mit der Notation $\partial_i$ f"ur die partielle Ableitung nach $x_i$ und $\partial_t$ f"ur das Auswerten bei $t=0$ der partiellen Ableitung nach $t$ und die Behauptung folgt aus der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen.\label{LADF} In derselben Weise zeigt man f"ur Differentialformen beliebigen Grades, da"s die Lie-Ableitung auch mit der "au"seren Ableitung vertauscht, in Formeln \begin{equation*} \mathcal L_\xi (d\omega) =d(\mathcal L_\xi \omega) \end{equation*} Noch allgemeiner folgt in derselben Weise, da"s die Lie-Ableitung vertauscht mit beliebigen \glqq verwandtschaftsvertr"aglichen Differentialoperatoren\grqq\ zwischen glatten Schnitten nat"urlicher B"undel. Unter einem \glqq Differentialoperator\grqq\ verstehen wir dabei eine Abbildung zwischen den R"aumen glatter Schnitte, die in lokalen Koordinaten und bez"uglich B"undelkarten durch Polynome in den partiellen Ableitungen mit glatten Funktionen als Koeffizienten gegeben werden kann. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{VjLi} F"ur die Lie-Ableitung des Tensorprodukts irgendwelcher nat"urlichen Felder $S,T$ gilt offensichtlich die {\bf Leibniz-Regel}\index{Leibniz-Regel!f"ur die Lie-Ableitung} \begin{equation*} \mathcal L_\xi (S\otimes T) =(\mathcal L_\xi S)\otimes T+S\otimes (\mathcal L_\xi T) \end{equation*} Speziell gilt die {\bf Leibniz-Regel}\index{Leibniz-Regel!f"ur die Lie-Ableitung} $\mathcal L_\xi (fT) =(\xi f)T+f (\mathcal L_\xi T)$ f"ur jede glatte Funktion $f$ und jedes glatte nat"urliche Feld $T$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Lie-Ableitung von Vektorfeldern}] Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Das Auswerten von Kovektoren auf Vektoren liefert einen nat"urlichen B"undelhomomorphismus ${\op{T}}^\ast M\otimes{\op{T}} M \ra \DR\times M$ alias einen verwandtschaftsvertr"aglichen Differentialoperator vom Grad Null zwischen den zugeh"origen R"aumen glatter Schnitte. Gegeben ein Kovektorfeld $\omega$ und Vektorfelder $\xi,\zeta$ finden wir damit nach dem Vorhergehenden die Identit"at $$\mathcal L_\xi\langle\omega,\zeta\rangle=\langle\mathcal L_\xi\omega,\zeta\rangle + \langle\omega,\mathcal L_\xi\zeta\rangle$$ Wenden wir das speziell auf $\omega=\diff f$ an und beachten $\langle\diff f,\zeta\rangle=\zeta f$ sowie $\mathcal L_\xi(\diff f)=\op{d}(\mathcal L_\xi f)$, so folgt\label{LAK} $\xi(\zeta f)= \zeta(\xi f)+ (\mathcal L_\xi\zeta)f$ alias $\mathcal L_\xi\zeta=[\xi,\zeta]$. \end{Beispiel} % \begin{Beispiel}[\textbf{Lie-Ableitung von Vektorfeldern}] % Im Fall eines Vektorfeldes $T=\eta$ gilt nach \eref{VFVD}{AN2} % f"ur jede glatte Funktion $f$\label{LAK} % die Identit"at $(\eta f)^{[t]} = \eta^{[t]} f^{[t]}$ und damit % \begin{eqnarray*} % (\mathcal L_\xi (\eta f))(p) = \lim_{t \rightarrow 0} % \frac{(\eta^{[t]} f^{[t]})(p)- % (\eta f^{[t]})(p)+ (\eta f^{[t]})(p) - (\eta f)(p)}{t} % \end{eqnarray*} % W"ahlen wir uns lokale Koordinaten $x_1, \ldots, x_n$ auf $U$ % und schreiben % $\eta^{[t]} = a_1 \partial_1 + \ldots + a_n \partial_n$ % mit $a_i = a_i (x,t)$ glatt auf $U \times(-\varepsilon, \varepsilon)$ % und betrachten ebenfalls auf $U \times(-\varepsilon, \varepsilon)$ % die glatte Funktion $(x,t) % \mapsto f^{[t]} (x),$ so liefert % die Vertauschbarkeit der partiellen Ableitung $\partial_t$ % nach $t$ mit den partiellen Ableitungen $\partial_i$ nach den $x_i,$ % da"s unser Limes mit $((\mathcal L_\xi \eta) f)(p)+ (\eta(\xi f))(p)$ % identifiziert werden kann. F"ur jede glatte Funktion $f$ gilt mithin % $\xi (\eta f)=\mathcal L_\xi (\eta f)=(\mathcal L_\xi \eta) f+ \eta(\xi f),$ % und daraus ergibt sich f"ur je zwei Vektorfelder unmittelbar die Identit"at % \begin{equation*} % \mathcal L_\xi \eta = \left[ \xi, \eta\right] % \end{equation*} % \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} Mit \ref{KLIQ} k"onnen wir nun auch eine weitere Herleitung von Proposition \eref{KoVez}{ML} "uber kommutierende Vektorfelder geben: Kommutieren zwei Vektorfelder, so verschwindet ja nach \ref{LAV} die Lie-Ableitung des Ersten nach dem Zweiten, also ist nach \ref{KLIQ} das Erste invariant unter dem Flu"s des Zweiten, und dann mu"s nat"urlich auch der Flu"s des Ersten mit dem Flu"s des Zweiten kommutieren. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kontraktion von Differentialformen}] Sei $V$ ein Vektorraum "uber einem K"orper. Gegeben eine alternierende $(k+1)$-Multilinearform $\omega\in \op{Alt}^{k+1}(V)$ und $v\in V$ definiert man wie in \eref{inser}{LA2} eine\label{ixi} alternierende $k$-Multilinear\-form $i_v\omega\in \op{Alt}^{k}(V)$ durch die Vorschrift \index{i@$i_v\omega$ Teilauswerten von Multilinearform} $$i_v\omega(v_1,\ldots,v_k)\pdef\omega(v,v_1,\ldots,v_k)$$ Der Buchstabe $i$ steht wohl f"ur \glqq insertion\grqq. Offensichtlich gilt $i_vi_w=-i_wi_v$. Unsere Definition \eref{DaPr}{AN2} des Dachprodukts liefert weiter unmittelbar $$i_v(\omega\wedge \eta)=(i_v\omega)\wedge \eta + (-1)^{|\omega|}\omega\wedge (i_v\eta)$$ Gegeben ein Vektorfeld $\xi$ und eine $(k+1)$-Form $\omega$ erkl"art man entsprechend die $k$-Form $ i_\xi\omega$.\index{i@$i_\xi\omega$ Teilauswerten von Differentialform} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Per definitionem ist\label{syG} $\xi=\op{grad}_\omega(f)$ gleichbedeutend zu $i_\xi\omega=\diff f$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lie-Ableitung von Differentialformen}] F"ur die Lie-Ableitung von Differentialformen gilt die {\bf Cartan-Formel}\index{Cartan-Formel} \label{LabD} $$\mathcal L_\xi = i_\xi \circ d + d \circ i_\xi$$ In der Tat pr"uft man ohne Schwierigkeiten, %Stimmt wirklich! da"s beide Seiten Operatoren $D$ mit der Eigenschaft $D(\omega\wedge \eta) =(D\omega)\wedge \eta+\omega\wedge (D\eta)$ sind. Es reicht damit aus, unsere Formel f"ur Funktionen und ihre Differentiale zu zeigen. Im Fall einer Funktion $f$ liefern jedoch nach \ref{LAV} die Formeln auf beiden Seiten $\xi f,$ und im Fall ihres Differentials $\diff f$ liefern nach \ref{LADF} die Formeln auf beiden Seiten $\op{d}(\xi f)$. Damit ist auch unsere allgemeine Formel hergeleitet. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{"Au"sere Ableitung ohne Koordinaten}] Gegeben eine glatte $p$-Form $\omega$ auf einer Mannigfaltigkeit $M$ und glatte Vektorfelder\label{AAVF} $X_0, \ldots , X_p$ gilt \begin{eqnarray*} (d \omega) (X_0, \ldots , X_p) & =& \sum^p_{j =0} (-1)^j X_j \omega (X_0 , \ldots , \hat X_j , \ldots , X_p)\\ & & + \sum_{i < j} (-1)^{i+j} \omega ([X_i, X_j], \ldots , \hat X_i, \ldots , \hat X_j, \ldots , X_p) \end{eqnarray*} \end{Lemma} \begin{proof} Man pr"uft, da"s die rechte Seite $\mathcal C^\infty (M)$-multilinear ist als Funktion der Vektorfelder $X_i$. Mit dieser Erkenntnis kann man sich auf den Fall der Standardfelder eines Koordinatensystems zur"uckziehen. In diesem Fall aber sieht man die behauptete Formel leicht ein. \end{proof} \subsection{Symplektische Geometrie} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Invarianz der symplektischen Form unter Hamilton'schen Fl"ussen}] Wir erinnern aus \ref{LabD} die Cartanformel $$\mathcal L_\xi = i_\xi \circ d + d \circ i_\xi$$ f"ur die Lieableitung von Differentialformen mit $i_\xi$ dem Einsetzen eines Vektorfelds an erster Stelle. Sind wir auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit $(X,\omega)$, so gilt nach Annahme $d\omega=0$ und somit $\mathcal L_\xi \omega = d(i_\xi\omega)$. Ist zus"atzlich $\xi=\op{grad}_\omega f$ der symplektische Gradient einer Funktion $f$, so gilt per definitionem $i_\xi\omega=\diff f$ und folglich $$\mathcal L_\xi\omega= d(df)=0$$ Das zeigt hinwiederum mit \ref{KLIQ} die Verwandtschaft $\xi^s:\omega\leadsto \omega$ oder genauer $\xi^s:\omega|_U\leadsto \omega|_{\xi^s(U)}$ unter der Annahme, da"s der Flu"s von $\xi$ auf $U\times [0,s]$ definiert ist. Wir nennen ein Vektorfeld auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit, das der symplektische Gradient einer glatten Funktion ist, ein {\bf Hamilton'sches Vektorfeld} und den zugeh"origen Flu"s einen\label{IHF} {\bf Hamilton'schen Flu"s}. Ist unsere symplektische Mannigfaltigkeit $X$ kompakt, so sind alle Fl"usse von glatten Vektorfeldern $\xi$ global definiert auf ganz $\DR\times X$ und die Fl"usse hamiltonscher Vektorfelder $\xi=\op{grad}_\omega f$ bestehen aus Automorphismen $\xi^s:(X,\omega)\sira (X,\omega)$ unserer symplektischen Mannigfaltigkeit alias Diffeomorphismen, die die symplektische Struktur erhalten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Poissonklammer und Bewegungskonstanten}] Gegeben glatte Funktionen $f,g$ auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit $(X,\omega)$ erkl"aren wir ihre {\bf Poisson-Klammer} durch die Vorschrift $$\{f,g\}\pdef \omega\big(\op{grad}_\omega (f), \op{grad}_\omega (g)\big)$$ F"ur $\xi\pdef \op{grad}_\omega f$ und $\zeta\pdef \op{grad}_\omega g$ gilt per definitionem $i_\xi \omega=\diff f$ und $i_\zeta\omega=\diff g$ und wir finden\label{PoiK} $$\{f,g\}= i_\zeta i_\xi \omega =i_\zeta \diff f = \zeta f=-\xi g$$ Ist speziell $g=H$ die Hamiltonfunktion eines mechanischen Systems, so sind die Phasenwege $\tilde\gamma$ seiner Bewegungen die Flu"slinien von $\zeta= \op{grad}_\omega H$ und f"ur die die Poissonklammer gilt $$\{f,H\}(\tilde \gamma(t))= \frac{\diff}{\diff t} f(\tilde\gamma(t))$$ Mithin bedeutet das Verschwinden der Poissonklammer $\{f,H\}=0$, da"s die Funktion $f$ konstant ist auf den Phasenwegen alias eine {\bf Bewegungskonstante}. Insbesondere ist $H$ selbst eine Bewegungskonstante, denn es gilt $\{H,H\}=0$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In lokalen Koordinaten $q_i,p_i$ mit $\omega=dq_1\wedge dp_1+\ldots+dq_n\wedge dp_n$ finden wir $$\{f,g\}=\sum_i \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}- \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Poissonklammer als Lieklammer}] Gegeben eine symplektische Mannigfaltigkeit $(X,\omega)$ bilden die glatten Funktionen auf $X$ unter der Poissonklammer eine reelle Liealgebra. \end{Lemma} \begin{proof} Wir k"onnen die Aussage m"uhelos in Koordinaten pr"ufen. Das bleibe dem Leser "uberlassen. Ich will nun skizzieren, warum sie anschaulich sinnvoll ist. \end{proof} \begin{proof}[Beweisskizze] Es ist klar, da"s die Poissonklammer $\DR$-bilinear ist. Es ist klar, da"s gilt $\{f,f\}=0$ f"ur alle $f$. Es bleibt, die Jacobi-Identit"at $$\{\{f,g\},h\} +\{\{g,h\},f\} +\{\{h,f\},g\} =0\quad\forall f,g,h$$ zu zeigen. Gleichbedeutend ist $\{\{f,g\},h\} =\{\{f,h\},g\} +\{f,\{g,h\}\}$. F"ur des Vektorfeld $\eta\pdef \op{grad}_\omega h$ gilt es also zu zeigen $$\eta \{f,g\} =\{\eta f,g\} +\{f,\eta g\}$$ Nehmen wir nun der Einfachkeit der Notation halber an, da"s $\eta$ einen globalen Flu"s $\DR\times X\ra X$, $(s,x)\mapsto \eta^s(x)$ hat. Da alle $\eta^s$ nach \ref{IHF} Automorphismen der symplektischen Mannigfaltigkeit $(X,\omega)$ sind, gilt f"ur die mit dem Flu"s zur"uckgezogenen Funktionen $f^{[s]}\pdef f\circ \eta^s$ die Vertr"aglichkeit mit dem Bilden der Poissonklammer $ \{f,g\}^{[s]} =\{f^{[s]},g^{[s]}\}$. Die Poissonklammer ist weiter eine stetige bilineare Abbildung in Bezug auf eine geeignete Norm auf $\mathcal C^\infty(X;\DR)$, die \glqq Fréchet-Norm\grqq. Andererseits ist $\DR\ra \mathcal C^\infty(X;\DR)$ gegeben durch $s\mapsto f^{[s]}$ f"ur diese Norm glatt mit Ableitung $\eta f$ bei $s=0$. Die Behauptung folgt so aus der Kettenregel und der Regel f"ur das Ableiten stetiger bilinearer Abbildungen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} \end{Bemerkungl} \subsection{Versuch zum Kreisel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Drehgruppe und Konfigurationsraum}] Wir untersuchen ein mechanisches System aus Massepunkten der Massen $m_1,\ldots, m_s$ mit den Zwangsbedingungen, da"s sich die Abst"ande zwischen je zweien unserer Punkte im Verlauf der Bewegung nicht "andern und auch die Abst"ande zu einem festen Angelpunkt $\mathbf z\in \mathbb E$ sich nicht "andern. Der Kon\-fi\-gu\-ra\-tions\-raum $M_{\op{math}}$ besteht in Formeln aus allen Tupeln von Punkten $(\mathbf r_1,\ldots,\mathbf r_s)\in \mathbb E^s$ mit $\|\mathbf r_i -\mathbf z\|=d_i$ und $\|\mathbf r_i -\mathbf r_j\|=d_{ij}$ f"ur fest vorgegebene L"angen $d_i,d_{ij}\in\mathbb L$. Liegen zus"atzlich an einer und gleichbedeutend jeder Stelle des Konfigurationsraums nicht alle Massepunkte zusammen mit dem Angelpunkt $\mathbf z$ auf einer Ebene, so operiert die orthogonale Gruppe $ {\op{O}}(\vec{\mathbb E})$ frei und transitiv auf dem Konfigurationsraum, indem $g\in {\op{O}}(\vec{\mathbb E})$ ein Tupel $(\mathbf r_1,\ldots,\mathbf r_s)$ "uberf"uhrt in das Tupel $(\mathbf r'_1,\ldots,\mathbf r'_s)$ mit $\mathbf r'_i -\mathbf z= g(\mathbf r_i -\mathbf z)$. F"ur jeden Punkt des Konfigurationsraums $a\in M_{\op{math}}$ liefert in anderen Worten die Operation $g\mapsto ga$ eine Bijektion $$(\cdot a):{\op{O}}(\vec{\mathbb E})\sira M_{\op{math}}$$ Offensichtlich ist sie stetig und offensichtlich ist ${\op{O}}(\vec{\mathbb E})$ kompakt und $M_{\op{math}}$ Hausdorff und unsere stetige Bijektion mithin ein Hom"oomorphismus. Folglich zerf"allt $M_{\op{math}}$ in zwei Komponenten und $$G\pdef {\op{SO}}(\vec{\mathbb E})$$ operiert auf beiden frei und transitiv. Eine stetige Bewegung unseres Systems mu"s eh in einer Komponente bleiben, wir w"ahlen deshalb und insbesondere der besseren Anschaulichkeit wegen eine Komponente $M\subset M_{\op{math}}$ aus. Dann ist die Wirkung der Drehgruppe $G$ auf $M$ frei uns transitiv und jeder Punkt $a\in M$ liefert nach dem vorhergehenden einen Hom"oomorphismus $$(\cdot a):G\sira M$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Glatte Strukturen}] Wir nehmen f"ur das weitere ohne Beweis hin, da"s $G\subset \op{End}(\vec{\mathbb E})$ und $M\subset \mathbb E^r$ glatte Mannigfaltigkeiten sind und unsere Bijektion ein Diffeomorpismus $(\cdot a):G\sira M$. Man kann das explizit einsehen mit dem Satz vom regul"aren Wert \ref{??}. Man kann es auch aus allgemeinen S"atzen der Lietheorie folgern, die uns allerdings hier noch nicht zur Verf"ugung stehen. Danach ist eine abgeschlossene Untergruppe $G\As \op{Gl}(V)$ der Automorphismengruppe eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums $V$ stets eine glatte Unternmannigfaltigkeit von $\op{End}(V)$; jede Bahn $M$ von $G$ in $V$ ist eine Untermannigfaltigkeit von $V$, das gilt es auf $V=\vec{\mathbb E}^r$ anzuwenden; und jede freie transitive glatte Operation einer Liegruppe auf einer Mannigfaltigkeit liefert einen Diffeomorphismus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Massebehaftete Skalarprodukte auf Drehgruppe}] Sei $\mathfrak g\pdef {\op{T}}_eG$ der Tangentialraum von $G$ im neutralen Element. Die Operation liefert einen Isomorphismus $${\op{T}}_e(\cdot a):\mathfrak g\sira {\op{T}}_aM$$ Damit ziehen wir f"ur $g\in G$ das massebehaftete Skalarprodukt auf ${\op{T}}_{ga}M$ zu einem Skalarprodukt $(\cdot a)^*s_{a,g}$ auf ${\op{T}}_gG$ zur"uck. Die Kommutativit"at des linken Diagramms $$ \xymatrix{ (G,e) \ar[r]^{\cdot a}\ar[d]^{g\cdot}& (M,a) \ar[d]^{g\cdot}&& {\op{T}}_eG \ar[rr]^{{\op{T}}(\cdot a)}\ar[d]^{{\op{T}}(g\cdot)}&& {\op{T}}_aM \ar[d]^{{\op{T}}(g\cdot)}\\ (G,g)\ar[r]^{\cdot a}&(M,ga)&& {\op{T}}_g G\ar[rr]^{{\op{T}}(\cdot a)}&&{\op{T}}_{ga}M }$$ impliziert die Kommutativit"at des rechten Diagramms und das hinwiederum zeigt $(g\cdot):s_{a,e}\leadsto s_{a,g} \;\forall g\in G$. In Worten ist die mit $(\cdot a):G\sira M$ zur"uckgeholte massebehaftete Riemann'sche Metrik auf $M$ eine linksinvariante massebehaftete Metrik $s_a$ auf $G$ f"ur alle $a\in M$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Tangentialraum der Drehgruppe}] Der Tangentialraum an die Drehgruppe\label{TaDr} im neutralen Element ist die Menge aller schiefadjungierten Endomorphismen $${\op{T}}_e{\op{SO}}(\vec{\mathbb E})=\{A\in{\op{End}}(\vec{\mathbb E})\mid \langle Av,w\rangle + \langle v,Aw\rangle=0\;\forall v,w\in\vec{\mathbb E}\}$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} In meinen Augen ist die Aussage dieser Proposition die wesentliche Motivation daf"ur, schiefadjungierte und dann auch selbstadjungierte Endomorphismen von Skalarproduktr"aumen zu untersuchen. In der linearen Algebra kommt das Studium symmetrischer Matrizen leider meist aus dem Nichts einer a priori sinnlosen algebraischen Eigenschaft. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Gegeben eine Abbildung $\gamma:[0,\varepsilon)\ra{\op{SO}}(\vec{\mathbb E})$ ist per definitionem die fl"achenwertige Funktion $\langle \gamma(t)v,\gamma(t)w\rangle$ unabh"angig von $t$. Ist zus"atzlich $\gamma$ glatt mit $\gamma(0)=e$, so folgt f"ur $A\pdef \gamma'(t)$ aus den Differentiationsregeln $\langle Av,w\rangle + \langle v,Aw\rangle=0$. Das zeigt in der Proposition die Inklusion $\subset$. Ist umgekehrt $A$ schiefsymmetrisch, so ist $\gamma=\gamma_A:\DR\ra \op{End}(\vec{\mathbb E})$ gegeben durch $\gamma_A(t)\pdef \op{exp}(tA)$ glatt mit $\gamma(0)=e$ und $t\mapsto \langle \gamma(t)v,\gamma(t)w\rangle$ glatt mit verschwindender Ableitung, also konstant. Es folgt $\gamma_A(t)\in {\op{SO}}(\vec{\mathbb E})$ f"ur alle $t$. Andererseits gilt offensichtlich $\gamma_A'(0)=A$. So folgt in der Proposition die Inklusion $\supset$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schiefadjungierte Endomorphismen und Kreuzprodukt}] Wir erinnern das geometrische Kreuzprodukt $\times: \vec{\mathbb E}\times \vec{\mathbb E}\ra \vec{\mathbb E}\langle \ph{m}\rangle\otimes {\op{or}}_\DR(\vec{\mathbb E})$. Ich verwende im folgenden die Abk"urzung $\vec{\mathbb E}_{\op{or}}\pdef \vec{\mathbb E}\otimes {\op{or}}_\DR(\vec{\mathbb E})$. Das geometrische Kreuzprodukt induziert damit eine injektive lineare Abbildung $$\op{dreh}:\vec{\mathbb E}_{\op{or}}\langle 1/{\ph{m}}\rangle \hra \op{End}(\vec{\mathbb E})$$ vermittels der Abbildungsvorschrift $\mathbf v\mapsto (\mathbf v\times)$. Durch Dimensionsvergleich erkennen wir, da"s ihr Bild genau aus den schiefsymmetrischen Endomorphismen besteht. Nach Proposition ist das genau der Tangentialraum der Drehgruppe im neutralen Element und wir erhalten einen Isomorphismus $$\op{dreh}:\vec{\mathbb E}_{\op{or}}\langle 1/{\ph{m}}\rangle \sira \mathfrak g={\op{T}}_e{\op{SO}}(\vec{\mathbb E})$$ Wir interpretieren ihn dahingehend, da"s man sich ein Element von $\mathfrak g$ salopp gesprochen als die Vorgabe einer \glqq Drehachse mit Winkelgeschwindigkeit\grqq\ vorstellen mag. Gegeben $\mathbf v\in \vec{\mathbb E}_{\op{or}}\langle 1/{\ph{m}}\rangle$ mit $\mathbf v\neq 0$ ist $$\gamma_{\op{dreh}(\mathbf v)}(t)=\op{exp}(t\mathbf v\times):\vec{\mathbb E}\ra \vec{\mathbb E}$$ anschaulich gesprochen eine Drehung um die Achse $\DR \mathbf v$ mit einer durch die L"ange von $t\mathbf v$ gegebenen Winkelgeschwindigkeit. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zur"uckgeholtes Skalarprodukt als Tr"agheitstensor}] Wir untersuchen ein mechanisches System aus Massepunkten der Massen $m_1,\ldots, m_s$ mit den Zwangsbedingungen, da"s sich die Abst"ande zwischen je zweien unserer Punkte im Verlauf der Bewegung nicht "andern und auch die Abst"ande zu einem festen Angelpunkt $\mathbf z\in \mathbb E$ sich nicht "andern. Ein Punkt $a$ des Kon\-fi\-gu\-ra\-tions\-raum $M$ wird gegeben durch Orte $(\mathbf r_1(a),\ldots,\mathbf r_s(a))\in \mathbb E^s$ unserer Massepunkte. Das massebehaftete Skalarprodukt hat per definitionem bei $v,w\in \vec{\mathbb E}^s$ mit $v=(\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_s)$ und $w=(\mathbf w_1,\ldots,\mathbf w_s)$ den Wert $$\langle v,w\rangle_{\op{g}}\pdef \sum_i \frac{m_i}{2}\langle \mathbf v_i,\mathbf w_i\rangle$$ Die Operation von $ {\op{SO}}(\vec{\mathbb E})$ auf dem Konfigurationsraum hatten wir dadurch erkl"art, da"s $g\in {\op{SO}}(\vec{\mathbb E})$ ein Tupel $(\mathbf r_1,\ldots,\mathbf r_s)$ "uberf"uhrt in das Tupel $b=(\mathbf r'_1,\ldots,\mathbf r'_s)$ mit $\mathbf r'_i -\mathbf z= g(\mathbf r_i -\mathbf z)$. In Formeln finden wir $$ga=g(\mathbf r_1(a),\ldots,\mathbf r_s(a))=(\mathbf z + g(\mathbf r_1(a)-\mathbf z), \ldots,(\mathbf z + g(\mathbf r_s(a)-\mathbf z))$$ Die Abbildung $(\cdot a):G\ra M$ ist die Einschr"ankung einer durch dieselben Formeln gegebenen affinen Abbildung $\op{End}(\vec{\mathbb E})\ra \mathbb E^s$ und deren Differential ${\op{T}}(\cdot a)$ beim neutralen, ja bei jedem Element ist gegeben durch ihren linearen Anteil. Wir finden so, da"s ${\op{T}}_e(\cdot a):\mathfrak g\sira {\op{T}}_aM$ gegeben wird durch $${\op{T}}_e(\cdot a):A\mapsto \big(A(\mathbf r_1(a)-\mathbf z), \ldots,A(\mathbf r_s(a)-\mathbf z)\big)$$ Schalten wir noch den Isomorphismus $\op{dreh}: \vec{\mathbb E}_{\op{or}}\langle 1/{\ph{m}}\rangle\sira \mathfrak g$ vor, so ergibt sich $${\op{T}}_e(\cdot a):\op{dreh}(\mathbf v)\mapsto \big(\mathbf v\times(\mathbf r_1(a)-\mathbf z), \ldots,\mathbf v\times(\mathbf r_s(a)-\mathbf z)\big)$$ Wir finden so f"ur das zur"uckgeholte massebehaftete Skalarprodukt $$s_a(\op{dreh}(\mathbf v),\op{dreh}(\mathbf w))=\sum_i \frac{m_i}{2}\big\langle\mathbf v\times(\mathbf r_i(a)-\mathbf z),\mathbf w\times(\mathbf r_i(a)-\mathbf z)\big\rangle$$ Man nennt dieses $\langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2\rangle$-wertige Skalarprodukt auf $\vec{\mathbb E}_{\op{or}}\langle 1/{\ph{m}}\rangle$ den {\bf Tr"agheitstensor}\index{Tr"agkeitstensor} oder {\bf Inertialtensor}\index{Inertialtensor} unseres starren K"orpers und notiert ihn ${\op{I}}_a(\mathbf v,\mathbf w)$. Speziell hei"st ${\op{I}}_a(\mathbf v,\mathbf v)$ das {\bf Tr"agheitsmoment}\index{Tr"agkeitsmoment} um die Achse durch $\mathbf z$ in Richtung $\mathbf v$ unseres starren K"orpers, berechnet f"ur den Zustand $a$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bewegung kr"aftefreier K"orper}] Nach der allgemeinen Theorie bewegt sich unser starrer K"orper, wenn keine "au"seren Kr"afte auf ihn einwirken, l"angs einer Geod"ate auf dem Konfigurationsraum $M$ mit seiner durch das massebehaftete Skalarprodukt gegebenen riemannschen Metrik. W"ahlen wir einen Punkt $a\in M$, so entspricht sie unter dem Diffeomorphismus $$(\cdot a):G\sira M$$ der durch linksinvariante Fortsetzung des Tr"agheitstensors $s_a$ auf $\mathfrak g$ gegebenen riemannschen Metrik auf $G$. Sind die Metriken auf zwei riemannschen Mannigfaltigkeiten verwandt unter einem Diffeomorphismus, so sind auch die jeweiligen Geod"aten verwandt. Es gilt also, die Geod"aten auf $G$ f"ur linksinvariante riemannschen Metriken zu finden. Klar ist hier erst einmal nur, da"s gegeben $\gamma:\DR\ra G$ so eine Geod"ate und $g\in G$ auch $t\mapsto g\gamma(t)$ wieder so eine Geod"ate sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nun betrachten wir die Exponentialabbildung $$\op{exp}:\mathfrak g\ra G$$ gegeben durch $A\mapsto \op{exp}(A)=\gamma_A(1)$. Die Gruppe $G$ operiert durch Konjugation auf sich selber und damit auch auf ihrem Tangentialraum am neutralen Element. Diese Operation hei"st die {\bf adjungierte Operation} $\op{Ad}_g\pdef {\op{T}}_e(\op{int}(g)):\mathfrak g\ra \mathfrak g$ und ist ein Gruppenhomomorphismus $\op{Ad}:G\ra \op{GL}(\mathfrak g)$ durch $g\mapsto \op{Ad}_g$. In unserem Fall haben wir $(\op{Ad}_g)(A)=gAg^{-1}$. Die Exponentialabbildung ist offensichtlich "aquivariant f"ur die adjungierte Operation auf $\mathfrak g$ und die Operation durch Konjugation von $G$ auf sich selbst, in Formeln $\op{exp}(\op{Ad}_g(X))=\op{int}_g(\op{exp}A)$. Man pr"uft leicht ${\op{T}}_0\op{exp}=\op{id}: \mathfrak g\ra\mathfrak g$ unter Unterschlagung einer Notation f"ur den offensichtlichen Isomorphismus $\mathfrak g\sira {\op{T}}_0\mathfrak g$. Mithin induziert die Exponentialabbildung einen Diffeomorphismus $\op{exp}:U\sira V$ zwischen einer offenen Umgebung $U\co \mathfrak g$ des Ursprungs und einer offenen Umgebung $V\co G$ des neutralen Elements. Geod"aten in $V\co G$ sind also unter $\op{exp}$ verwandt zu Geod"aten in $U\co \mathfrak g$ in Bezug auf die zur"uckgezogene Metrik. Diese zu bestimmen ist im allgemeinen einen schwierige Aufgabe und wir beschr"anken uns im folgenden auf spezielle F"alle. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Adjungierte Darstellung als Standarddarstellung}] Im Fall der Drehgruppe $G={\op{SO}}(\vec{\mathbb E})$ ist, wie man unschwer nachrechnet, unser Isomorphismus $\op{dreh}: \vec{\mathbb E}_{\op{or}}\langle 1/{\ph{m}}\rangle\sira \mathfrak g$ "aquivariant in Bezug auf die offensichtliche Operation links und die adjungierte Darstellung rechts. In der Tat gilt ja $g(\mathbf v\times \mathbf w)=g\mathbf v\times g\mathbf w$ f"ur alle $g\in G$ und folglich $g\circ (\mathbf v\times)\circ g^{-1}=(g\mathbf v\times)$ alias $\op{Ad}_g(\op{dreh}\mathbf v)=\op{dreh}(g\mathbf v)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bewegung einer homogenen Kugel}] Besonders "ubersichtlich ist der Fall, da"s der Tr"agheitstensor ${\op{I}}_a$ unabh"angig ist von $a\in M$. Anschaulich bedeutet das, da"s wie auch immer ich meinen K"orper positioniere, seine Tr"agheitsmomente um alle Achsen dieselben bleiben. Eine homogene Kugel etwa, die in ihrem Zentrum ihren Angelpunkt hat, hat diese Eigenschaft. In diesem Fall ist unsere Metrik auf $G$ nicht nur linksinvariant, sondern auch rechtsinvariant und damit invariant unter allen Konjugationen $\op{int}_g$. Damit ist auch der unter $\op{exp}$ zur"uckgezogene Zweitensor auf $\mathfrak g$ invariant unter der adjungierten Operation und der weiter unter $\op{dreh}$ zur"uckgezogene Zweitensor auf $\vec{\mathbb E}_{\op{or}}\langle 1/{\ph{m}}\rangle$ invariant unter allen Drehungen. Sicher finden wir auch eine unter allen Drehungen $g\in G$ invariante Umgebung $U\co \vec{\mathbb E}_{\op{or}}\langle 1/{\ph{m}}\rangle$ des Ursprungs, die unter $\op{exp}\circ \op{dreh}$ diffeomorph auf $V\co G$ abgebildet wird. F"ur jede Geod"ate in $U$ unter der zur"uckgezogenen Metrik ist dann auch der gedrehte Weg eine Geod"ate. Da aber Geod"aten durch ihre Geschwindigkeit an einer Stelle bereits eindeutig festgelegt werden, m"ussen die Geod"aten durch den Ursprung $0\in U$ mithin auf Ursprungsgeraden verlaufen. Spielen wir diese Erkenntnis zur"uck nach $G$, so sehen wir, da"s m"ogliche Bewegungen $\gamma$ mit $\gamma(0)=e$ f"ur kleine Zeiten die Gestalt $\gamma(t)=\gamma_A(\varphi(t))$ haben m"ussen mit $A\in \mathfrak g$ und $\varphi:(-\varepsilon, \varepsilon)\ra\DR$ glatt mit $\varphi(0)=0$. M"ogliche Bewegungen halten mithin eine Drehachse fest. Aus der Erhaltung der kinetischen Energie folgt dann, da"s sie mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um besagte Achse geschehen m"ussen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Drehung um Tr"agheitsachsen}] Im allgemeinen gibt es nach dem Satz "uber die Hauptachsentransformation, und daher hat er auch seinen Namen, stets eine Orthonormalbasis von $\vec{\mathbb E}_{\op{or}}\langle 1/{\ph{m}}\rangle$, die orthogonal ist f"ur den Tr"agheitstensor. Ist ganz allgemein $s$ ein Zweitensor auf ${\op{T}}_eG$ und $g\in G$ mit $\op{Ad}_g(s)=s$, so gilt f"ur die linksinvariante Fortsetzung $\tilde s$ von $s$ notwendig $\op{int}_g:\tilde s\leadsto \tilde s$. In der Tat kommutieren f"ur alle $x\in G$ das linke Diagramm $$ \xymatrix{ (G,e) \ar[rr]^{\op{int}_g}\ar[d]^{{x}\cdot}&& (G,e) \ar[d]^{{gxg^{-1}}\cdot}&& {\op{T}}_eG \ar[rr]^{\op{Ad}_g}\ar[d]^{{\op{T}}(x\cdot)}&& {\op{T}}_eG \ar[d]^{{\op{T}}(gxg^{-1}\cdot)}\\ (G,x)\ar[rr]^{\op{int}_g}&&(G,gxg^{-1})&& {\op{T}}_x G\ar[rr]^{{\op{T}}(\op{int}_g)}&&{\op{T}}_{gxg^{-1}}G }$$ und dann auch das rechte und das zeigt die Behauptung. Ist nun $g$ eine Drehung um eine Tr"agheitsachse um den gestreckten Winkel, so ist der Tr"agheitstensor darunter invariant. Damit ist nach obigen "Uberlegungen auch die zugeh"orige linksinvariante Metrik auf $G$ invariant unter $\op{int}_g$ und folglich die vermittels $\op{exp}\circ \op{dreh}$ zur"uckgeholte Metrik invariant unter $\op{Ad}_g$. Da es aber nur eine Geod"ate mit vorgegebenem Geschwindigkeitsvektor beim Ursprung von $\vec{\mathbb E}_{\op{or}}\langle 1/{\ph{m}}\rangle$ gibt, mu"s jede Geod"ate in Bezug auf diese zur"uckgeholte Metrik, die beim Ursprung in Richtung einer Hauptachse l"auft, ganz auf dieser Hauptachse verlaufen. Zusammen mit der Energieerhaltung zeigt das, da"s alle Drehbewegungen um eine Tr"agheitsachse mit konstanter Winkelgeschwindigkeit die Bewegungsgleichungen l"osen. \end{Bemerkungl} \subsection{Koadjungierte Bahnen (noch unausgegoren)} \begin{Ubung} Auf jeder koadjungierten Bahn $\mathcal{O} \subset \frak{g}^\ast$ einer Liegruppe $G$ gibt es genau eine symplektische Struktur $\omega$ mit \begin{equation*} \omega_{\xi} (\op{d}_e (\cdot \xi) X, \op{d}_e(\cdot \xi)Y) = \xi ([X,Y]) \end{equation*} f"ur alle $\xi\in \frak{g}^\ast$ und $X,Y \in \frak{g}$. Hier meint $\op{d}_e(\cdot \xi) X $ das Bild von $X$ unter dem Differential beim neutralen Element der Abbildung $G \rightarrow \mathcal{O}$, $g \mapsto g\cdot \xi\pdef ({\op{Ad}}^\ast g)(\xi)$. In der Tat ist die rechte Seite der Effekt auf $X$ des Differentials bei $e \in G$ von $G \rightarrow \mathbb{R}$, $g \mapsto \xi ((\op{Ad} g)(Y))=((\op{Ad}^\ast g)^{-1}\xi) (Y)=( g^{-1}\cdot\xi)(Y)$, und so erkennt man, da"s das Radikal der alternierenden Bilinearform $(X,Y) \mapsto \xi ([X,Y])$ gerade der Kern von $\op{d}_e (\cdot \xi)$ alias die Lie\-algebra $\op{Lie} G_\xi $ der Isotopiegruppe $G_\xi $ ist. Die Identit"at $d \omega =0$ pr"uft man wohl am besten f"ur die auf $G$ zur"uckgeholte Form. \end{Ubung} \nichtfinal{Schlimmer Notationsunfall!} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Symmetrien und Erhaltungsgr"o"sen}] Jedes Vektorfeld $\xi$ auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit $(X,\omega)$ mit $\mathcal L_\xi\omega=0$, dessen Flu"s also die symplektische Form erh"alt, ist lokal ein symplektischer Gradient. In der Tat folgt mit der Cartanformel und $\diff \omega=0$ direkt $$0=\mathcal L_\xi\omega=i_\xi(\diff\omega)+ \diff (i_\xi\omega)= \diff (i_\xi\omega)$$ Nach dem Poincar\'elemma \ref{??} gibt es folglich f"ur jeden Punkt auf einer offenen Umgebung eine glatte Funktion $f:X\ra\DR$ mit $\diff f= i_\xi\omega$ alias $\xi=\op{grad}_\omega f$. Verschwindet die erste de-Rham-Kohomologie von $X$, so gibt es per definitionem sogar eine globale glatte Funktion $f:X\ra \DR$ mit $\xi=\op{grad}_\omega f$. Ist zus"atzlich $H$ eine Hamiltonfunktion und $\xi H=0$, so ist $f$ konstant auf den Bahnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Infinitesimale Operation und Impulsabbildung}] Seien $G$ eine Liegruppe und $M$ eine Mannigfaltigkeit mit einer $G$-Operation. Die Verkn"upfung \begin{equation*} {\op{T}}_e G \times M \hookrightarrow {\op{T}}G \times {\op{T}}M \sira {\op{T}} (G \times M) \rightarrow {\op{T}}M \end{equation*} der offensichtlichen Einbettung gefolgt von der offensichtlichen Identifikation und dem Differential der Wirkung ist ein Morphismus von Vektorb"undeln "uber $M$. Gegeben $\xi\in\op{Lie}G={\op{T}}_eG$ bezeichnen wir das Bild des zugeh"origen konstanten Schnitts in ${\op{T}}M$ mit $\xi^M$ und erhalten so ein glattes Vektorfeld auf $M$,\label{VFoU}\index{)8bb@$\xi^M$ infinitesimale Operation} das {\bf Vektorfeld der infinitesimalen Operation von $\xi$}.\index{infinitesimale Operation} Gehen wir zu den dualen B"undeln "uber, so erhalten wir den ersten Pfeil der Abbildungskette $ {\op{T}}^\ast M \rightarrow {\op{T}}^\ast_e G \times M \rightarrow {\op{T}}^\ast_e G=\mathfrak g^*. $ Als zweiten Pfeil nehmen wir die Projektion. Die Verkn"upfung dieser beiden Abbildungen hei"st die \defind{Impulsabbildung} \begin{equation*} \mu : {\op{T}}^\ast M \rightarrow \mathfrak g^* \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $(X,\omega)$ eine symplektische Mannifaltigkeit. Eine Operation einer Gruppe $G$ auf $X$ hei"st {\bf symplektisch},\index{symplektisch!Gruppenwirkung} wenn gilt $(g\cdot):\omega\leadsto\omega$ f"ur alle $g\in G$. \end{Definition} \begin{Definition} Sei $(X,\omega)$ eine symplektische Mannifaltigkeit und $G\times X\ra X$ eine glatte symplektische Operation einer Liegruppe $G$ auf $X$. Eine Abbildung $$J:X\ra \mathfrak g^*$$ in den Dualraum der Liealgebra von $G$ hei"st eine\label{ipu} {\bf Impulsabbildung},\index{Impulsabbildung} wenn f"ur alle $\xi\in \mathfrak g$ gilt $\xi^X=\op{grad}_\omega(\xi\circ J)$ mit der Ma"sgabe, da"s wir rechts unseren Vektor $\xi$ als lineare Abbildung $\xi:\mathfrak g^*\ra\DR$ auffassen. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Eine Impulsabbildung mu"s im allgemeinen nicht existieren. Wenn sie existiert, ist sie eindeutig bestimmt bis auf eine additive Konstante aus $\mathfrak g^*$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Impulsabbildung von Kotangentialb"undeln}] Die in \ref{VFoU} konstruierte Impulsabbildung ist eine Impulsabbildung f"ur die auf dem Kotangentialb"undel induzierte Gruppenoperation. Um das zu sehen, erinnern wir $\omega=-d\vartheta$ f"ur das kanonische Kovektorfeld $\vartheta$ aus \eref{kakov}{AN2} auf $X\pdef {\op{T}}^*M$. Sicher ist es invariant unter $G$, also verschwindet seine Lieableitung $\mathcal L_{\xi^X}(\vartheta)=0\;\forall \xi\in \mathfrak g$. Mit der Cartan-Formel \eref{LabD}{AN2} erhalten wir $0= i_{\xi^X}(d\vartheta)+ d(i_{\xi^X}\vartheta)$ alias $$i_{\xi^X}\omega= d(i_{\xi^X}\vartheta)$$ alias \eref{syG}{AN2} die Identit"at $\xi^X=\op{grad}_\omega(i_{\xi^X}\vartheta)$. Wir haben aber per definitionem $\xi\circ \mu= i_{\xi^X}\vartheta$ und das zeigt $\xi^X=\op{grad}_\omega(\xi\circ \mu)$ und $\mu$ ist in der Tat eine Impulsabbildung. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Impuls als Invariante der Bewegung}] Nach \eref{PoiK}{AN2} bedeutet das Verschwinden $\{f,H\}=0$ der Poissonklammer, da"s $f$ eine Invariante der Bewegung ist. Weiter wissen wir von dort $\{f,H\}=-\xi H$ f"ur $\xi= \op{grad}_\omega f$. Ist insbesondere $H$ eine $G$-invariante Hamiltonfunktion auf $X$, so folgt f"ur alle $\xi\in \mathfrak g$ bereits $\xi^X H=0$ und damit $\{\xi\circ J,H\}=0$ und damit sind alle $\xi\circ J$ Invarianten der Bewegung und damit ist auch $J$ eine Invariante der Bewegung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Starrer K"orper}] Im Fall eines starren K"orpers, der an einem Punkt fixiert ist, erhalten wir eine freie und transitive Operation der Drehgruppe $G\pdef \op{SO}(\vec{\mathbb E})$ auf dem Konfigurationsraum $M$ unseres Systems. In welcher Position $x\in M$ unser K"orper sich auch immer befindet, wir k"onnen eine Rotation $g$ um feste Achse in $\vec{\mathbb E}$ um einen festen Winkel anwenden und ihn in eine neue Position $gx\in M$ "uberf"uhren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die nichtkonstanten glatten Gruppenhomomorphismen $\vec{\mathbb T}\ra \op{O}(\vec{\mathbb E})$ beschreiben anschaulich Drehbewegungen um eine vorgegebene Achse mit vorgegebener Winkelgeschwindigkeit. Die Menge aller glatten Gruppenhomomorphismen $\gamma:\DR\ra \op{O}(\vec{\mathbb E})$ ist in Bijektion zur Liealgebra $\op{Lie}\op{O}(\vec{\mathbb E})$ vermittels der Vorschrift $\gamma\mapsto \gamma'(0)$. In der Welt der Koordinaten k"onnen wir jedem Vektor $v\in \DR^3$ die Einparametergruppe $\gamma_v:t\mapsto \op{exp}(tv\times\;)$ zuordnen und erhalten so eine Bijektion $\DR^3\sira \op{Lie}\op{O}(3)$. W"ahlen wir eine L"angeneinheit und eine Orientierung auf $\vec{\mathbb E}$, so k"onnen wir auch dort ein Kreuzprodukt einf"uhren und erhalten eine von Wahlen unabh"angige Bijektion $$\vec{\mathbb E}\langle\ph{m}^{-1}\rangle\otimes\op{or}_\DR(\vec{\mathbb E})\sira \op{Lie}\op{O}(\vec{\mathbb E})$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine Linearform auf $\op{Lie}\op{O}(\vec{\mathbb E})$ man man sich vermittels des geometrischen Skalarprodukts auch als ein Element von $\vec{\mathbb E}\langle\ph{m}^{-1}\rangle\otimes\op{or}_\DR(\vec{\mathbb E})$ denken. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bewegungen einer Kugel}] Ist unser K"orper eine in ihrem Zentrum fixierte homogene Kugel, so ist die Hamiltonfunktion invariant unter der induzierten Operation von ${\op{SO}}(\vec{\mathbb E})$ auf dem Phasenraum ${\op{T}}^*M$ und f"ur jede Bewegung mu"s nach dem vorhergehenden der Wert von $J$ konstant sein. Zu jeder Anfangsposition $x\in M$ und Anfangsgeschwindigeit $v\in {\op{T}}_x M$, die wir als Bild eines Vektors $w\in {\op{T}}_e G$ sehen k"onnen, erhalten wir so die bekannte Beschreibung der Bewegung, die Kugel dreht sich eben um die durch $w$ gegebene Achse mit der durch $w$ gegebenen Drehgeschwindigkeit. \end{Bemerkungl} \subsection{Geometrie der Hamilton'schen Gleichungen} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation}] Die Bedingung des Senkrechtstehens in den Bewegungsgleichungen, die wir in \ref{phmG} hergeleitet haben, eignet sich nicht f"ur explizite Rechnungen. Im sogenannten \glqq Hamilton'schen Formalismus\grqq\ werden unsere Bewegungsgleichungen $$\big(\ddot{\gamma}(t) - \tilde F (\gamma (t)) \big) \perp_{{\ph{g}}} {\op{T}}_{\gamma (t)} M$$ aus \ref{DESa} f"ur ein System mit Zwangsbedingungen umgeschrieben zu einem System von Differentialgleichungen erster Ordnung. Das braucht jedoch einige Vorbereitungen. Wir beginnen mit dem Fall eines Systems ohne Zwangsbedingungen, in dem das Umschreiben zu einem System erster Ordung noch keinerlei Schwierigkeiten aufwirft, behandeln es aber in einer Weise, die sich gut auf den Fall eines Systems mit Zwangsbedingungen verallgemeinern l"a"st. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Symplektischer Gradient im Fall affiner R"aume}] Gegeben ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum $P$ und auf seinem Richtungsraum eine symplektische Form $\omega:\vec P\times \vec P\ra \DR$ erkl"aren wir in Spezialisierung von \ref{Grgg} f"ur jede differenzierbare Funktion $f:P \ra\DR$ ihren {\bf symplektischen Gradienten}\index{symplektisch!Gradient}\index{Gradient!symplektischer} als das Vektorfeld $\op{grad}_\omega f$, dessen\index{grad@$\op{grad}_\omega f$ symplektischer Gradient} Wert an einer Stelle $p\in P$ gegeben wird durch die Bedingung, da"s f"ur alle Vektoren $v\in \vec P$ gilt $$\omega((\op{grad}_\omega f)(x),v)=({\op{D}}_{v}f)(p)$$ mit $({\op{D}}_{v}f)(p)=(\diff_p f)(v)$ der Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v$ an der Stelle $p$. Mit unserer Identifikation $\op{can}_\omega:\vec P\ra \vec P^\ast$ durch $u\mapsto \omega(u,\;)$ haben wir also $(\op{grad}_\omega f)(p)= \op{can}_\omega^{-1}(\diff_p f)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bewegung ohne Zwangsbedingung als Flu"swegprojektion}] Nun betrachten wir ein System von $\Lambda$ Massepunkten der Massen $m_1, \ldots, m_\Lambda$ im Anschauungsraum $\mathbb{E}$. Das massebehaftete Skalarprodukt aus \ref{phmG} induziert einen Isomorphismus\label{BSEO} $\kappa: \vec{\mathbb E}^{\Lambda}\sira \vec{\mathbb E}^{\ast \Lambda}\langle {\ph{gm}}^2\rangle$. Wir betrachten den Isomorphismus $$\iota\pdef \op{id}\oplus\kappa: \vec{\mathbb E}^{\Lambda}\oplus \vec{\mathbb E}^{\Lambda}\langle 1/{\ph{s}}\rangle \sira \vec{\mathbb E}^{\Lambda}\oplus \vec{\mathbb E}^{\ast \Lambda}\langle {\ph{gm}}^2/{\ph{s}}\rangle$$ Unter diesem Isomorphismus entspricht die {\bf kanonische $\langle {\ph{gm}}^2/{\ph{s}}\rangle$-wertige symplektische Form} $\omega$ auf dem Wertebereich gegeben durch $\omega((v,\phi),(w,\psi))\pdef \psi(v)-\phi(w)$ einer $\langle {\ph{gm}}^2/{\ph{s}}\rangle$-wertigen symplektischen Form $\eta$ auf dem Definitionsbereich, die gegeben wird durch die Formel $$\eta((v_1,v_2),(w_1,w_2))\pdef \langle w_2,v_1\rangle_{{\ph{g}}}-\langle v_2,w_1\rangle_{{\ph{g}}}$$ Erkl"aren wir den {\bf Geschwindigkeitsphasenraum}\index{Geschwindigkeitsphasenraum} oder kurz {\bf Phasenraum}\index{Phasenraum} $$P\pdef {\mathbb E}^\Lambda\times \vec{\mathbb E}^\Lambda\langle 1/{\ph{s}}\rangle$$ als den Raum aller m"oglichen Orte und Geschwindigkeiten der Teilchen unseres Systems, so ist $\eta$ eine symplektische Form auf seinem Richtungsraum $\vec P$. Die Funktion der {\bf kinetischen Energie}\index{Energie!kinetische} $K:P\ra \langle {\ph{gm}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$, gegeben in Formeln durch $K:(x, v)\mapsto \frac{1}{2}\langle v, v\rangle_{{\ph{g}}}$, hat nun das Differential $(\diff_{(x, v)}K):(w_1,w_2)\mapsto \langle w_2,v\rangle_{{\ph{g}}}$ f"ur $w_1\in\vec{\mathbb E}^\Lambda$ und $w_2\in\vec{\mathbb E}^\Lambda\langle 1/{\ph{s}}\rangle$ und hat folglich als symplektischen Gradienten das \hyperref[GeFe]{Geschwindigkeitsfeld} mit den Werten $$(\op{grad}_{\eta}K)(x, v) =( v,0)$$ Dahingegen hat die Funktion $V: P \ra \langle {\ph{gm}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$ der {\bf poten\-tiel\-len Energie} das Differential $(\diff_{(x,v)}V):(w_1,w_2)\mapsto -\langle \tilde F(x),w_1\rangle_{{\ph{g}}}$ f"ur $\tilde F(x)$ die Zusammenfassung der massebereinigten externen Kr"afte, gewisserma"sen per definitionem, und hat folglich als symplektischen Gradienten das \hyperref[GeFe]{Geschwindigkeitsfeld} $$(\op{grad}_{\eta}V)(x, v) =( 0,\tilde F(x))$$ F"ur die {\bf Gesamtenergie} $E:P\ra \langle {\ph{gm}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$ gegeben durch $E\pdef K+V$ wird der symplektische Gradient $\op{grad}_\eta E$ mithin gegeben durch das \hyperref[GeFe]{Geschwindigkeitsfeld}\label{syGR} $$(\op{grad}_{\eta}E)(x, v) =( v,\tilde F(x))$$ Die Flu"swege $\alpha:I\ra P,\; t\mapsto (\gamma(t), \rho(t))$ des symplektischen Gradienten der Gesamtenergie auf dem Phasenraum f"ur $I\subset\mathbb T$ ein mehrpunktiges Zeitintervall sind genau die differenzierbaren Abbildungen mit $\dot\gamma(t)=\rho(t)$ und $\dot\rho(t)=\tilde F(\gamma(t))$ alias $\ddot\gamma(t)=\tilde F(\gamma(t))$ f"ur alle Zeiten $t\in I$ alias die Abbildungen $t\mapsto (\gamma(t), \dot\gamma(t))$ f"ur $\gamma$ eine L"osung der Newton'schen Bewegungsgleichungen ohne Zwangsbedingungen. Speziell sind im Fall $\Lambda=1$ der Bewegung eines Teilchens der Masse $m_1=m$ die Projektionen unserer Flu"swege $\alpha$ auf ihren Ortsanteil genau die L"osungen der Newton'schen Bewegungsgleichung $$\ddot\gamma(t)=\tilde F(\gamma(t))=\frac{F(\gamma(t))}{m}$$ aus \ref{KrFe} und auch allgemeiner sind die L"osungen der Bewegungsgleichungen genau die Projektionen der Flu"swege des symplektischen Gradienten der Gesamtenergie auf dem Phasenraum. Im folgenden werden wir sehen, wie sich diese Beschreibung auf den Fall eines Systems mit Zwangsbedingungen verallgemeinern l"a"st. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Bewegung als Projektion von Flu"swegen}] Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum, $V:X\ra\DR$ glatt und $s$ ein Skalarprodukt auf $\vec X$. Seien $\eta=\eta_s$ die symplektische Form auf $\vec X \times \vec X$ gegeben durch\label{etAA} $$\eta((v_1,v_2),(w_1,w_2))\pdef s(v_1 , w_2)-s( v_2,w_1)$$ und $I\subset\DR$ ein mehrpunktiges Intervall. So ist $\gamma:\DR\supset I\ra X$ eine L"osung der Differentialgleichung $$\gamma''(t)=-(\op{grad}_sV)(\gamma(t))$$ genau dann, wenn $\gamma$ die Projektion auf $X$ eines Flu"swegs des symplektischen Gradienten $\op{grad}_\eta E$ ist f"ur\label{Bseo} $E:X\times \vec X\ra \DR, E(x,v)\pdef V(x)+s(v,v)/2$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Wir verwenden hier implizit die offensichtliche Identifikation zwischen $\vec X\times \vec X$ und dem Richtungsraum von $X\times \vec X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Als Beispiel mag man sich $X=\mathbb E^\Lambda$ und $s=\langle\;,\,\rangle_{\op{g}}$ und $V$ unsere Potentialfunktion denken, letztere zur Vereinfachung befreit von ihren Einheiten. Physikalisch ist $X\times \vec X$ der Geschwindigkeitsphasenraum und unsere Proposition bringt zum Ausdruck, da"s die L"osungen der Bewegungsgleichungen als die Fu"spunktprojektionen der Flu"swege des symplektischen Gradienten der Gesamtenergie auf dem Phasenraum beschrieben werden k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unser Skalarprodukt induziert einen Isomorphismus $\op{can}_s:\vec X\sira \vec X^*$ und dann auch einen Isomorphismus $\op{id}\times \op{can}_s:\vec X\times \vec X\sira \vec X\times \vec X^*$. Unsere symplektische Form $\eta_s$ entspricht unter letzterem Ismorphismus der kanonischen symplektischen Form auf $\vec X\times \vec X^*$ gegeben durch die Formel $\omega((v,\phi),(w,\psi))\pdef \psi(v)-\phi(w)$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} F"ur $(x,v)\in X\times \vec X$ und $(w_1,w_2)\in \vec X\times \vec X$ und $V:X\times \vec X\ra \DR$ gegeben durch $V(x,v)\pdef V(x)$ finden wir $$\begin{array}{lll} (\diff_{(x,v)}V)(w_1,w_2) &=& (\diff_{x}V)(w_1)\\[1mm] &=& s\big((\op{grad}_sV)(x), w_1\big)\\[1mm] &=& \eta\big((0,-(\op{grad}_sV)(x)), (w_1,w_2)\big) \end{array} $$ und somit $(\op{grad}_\eta V)(x,v)=(0,-(\op{grad}_sV)(x))$. F"ur $K:X\times \vec X\ra \DR$ gegeben durch $K(x,v)\pdef s(v,v)/2$ finden wir andererseits $$\begin{array}{lll} (\diff_{(x,v)}K)(w_1,w_2) &=& s(v, w_2)\\[1mm] &=& \eta\big((v,0),(w_1,w_2)\big) \end{array} $$ und so $(\op{grad}_\eta K)(x,v)=(v,0)$. F"ur $E=V+K$ haben wir mithin $$(\op{grad}_\eta E)(x,v)=(v,-(\op{grad}_sV)(x))$$ Die Flu"swege $\alpha:I\ra X\times \vec X, t\mapsto (\gamma(t), \rho(t))$ dieses Vektorfelds sind demnach genau die differenzierbaren Abbildungen $\alpha=(\gamma,\rho)$, f"ur deren Komponenten gilt $\gamma'(t)=\rho(t)$ und $\rho'(t)=-(\op{grad}_sV)(\gamma(t))$, und entsprechen unter $\gamma\mapsto (\gamma,\gamma')$ eineindeutig den zweimal differenzierbaren Abbildungen $\gamma:I\ra X$ mit \begin{displaymath}\gamma''(t)=-(\op{grad}_sV)(\gamma(t))\qedhere \end{displaymath} \end{proof} \begin{Bemerkungl} Um Zwangsbedingungen in den obigen Formalismus einzubauen, und das ist unser eigentliches Ziel, mu"s ich einige Grundbegriffe aus der Differentialgeometrie erkl"aren. Hier bespreche ich sie nur ad hoc und sozusagen zu Fu"s f"ur eingebettete Mannigfaltigkeiten. Den vollen Formalismus k"onnen Sie in der Differentialgeometrie kennenlernen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten und ihre Flu"swege}] Gegeben ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum $Y$ und eine glatte Mannigfaltigkeit $N\subset Y$ erinnere ich an ihr \hyperref[DTBE]{Tangentialb\"undel} ${\op{T}}N\subset Y\times\vec Y$, das wir in \ref{TBUMs} als eine glatte Mannigfaltigkeit in $Y\times\vec Y$ erkl"art hatten. Ein {\bf Vektorfeld\index{Vektorfeld!auf eingebetteter Mannigfaltigkeit} auf} $N$ ist definiert als ein Schnitt $A$ der B"undelprojek\-tion $\pi:{\op{T}}N\sra N$, also eine Abbildung $A:N\ra{\op{T}}N$ mit $\pi\circ A=\op{id}_N$, die mithin jedem Punkt $q\in N$ einen Tangentialvektor $A_q\in {\op{T}}_qN$ an $N$ bei $q$ zuordnet. Ein {\bf Flu"sweg}\index{Flu"sweg} eines Vektorfelds $A$ ist eine differenzierbare Abbildung $\gamma:I\ra N$ von einem mehrpunktigen Intervall $I\subset\DR$ nach $N$ mit $\gamma'(t)=A_{\gamma(t)}$ f"ur alle $t\in I$. Mit differenzierbar ist hier gemeint, da"s die durch Nachschalten der Einbettung $N\hra Y$ entstehende Abbildung $\gamma:I\ra Y$ differenzierbar sein soll im bereits in \ref{Gesch} definierten Sinne. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Symplektische Gradienten auf Mannigfaltigkeiten}] Gegeben ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum $Y$ und eine glatte Mannigfaltigkeit $N\subset Y$ versteht man unter einem {\bf kovarianten $2$-Tensor $\omega$ auf $N$} eine Zuordnung $\omega$, die jedem Punkt $q\in N$ eine Bilinearform $\omega_q$ auf seinem Tangentialraum ${\op{T}}_qN$ zuordnet.\label{etGR} Sind alle diese Bilinearformen nichtausgeartet, so hei"st unser $2$-Tensor {\bf nichtausgeartet}. Ist $f:Y\ra \DR$ eine differenzierbare Funktion und $\omega$ ein nichtausgearteter $2$-Tensor auf $N$, so erkl"aren ein Vektorfeld $$\op{grad}_\omega f$$ auf $N$, den {\bf $\omega$-Gradienten von $f$}, dessen Wert bei $q\in N$ gegeben wird durch die Formel $\omega_q((\op{grad}_\omega f)(q),v)= {\op{D}}_v (f)\;\forall v\in{\op{T}}_qN$. F"ur Leser, die bereits das Differential glatter Funktionen auf Mannigfaltigkeiten kennen, sei bemerkt, da"s die Richtungsableitung ${\op{D}}_v(f)$ von $f$ bei $q$ in Richtung $v$ mit dem Differential von $f$ bei $q$ verkn"upft ist durch die Beziehung ${\op{D}}_v (f)=(\diff_q f)(v)$. Ist speziell $\omega$ eine punktweise symplektische Form, so nennen wir unseren $\omega$-Gradienten auch den {\bf symplektischen Gradienten}. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Bewegung unter Zwang als Projektion von Flu"swegen}] Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum, $V:X\ra\DR$ eine glatte Funktion, $s$ ein Skalarprodukt auf $\vec X$ und $M\subset X$ eine glatte Mannigfaltigkeit.\label{LZI} So gilt: \begin{enumerate} \item Die Restriktion der symplektischen Form $\eta=\eta_s$ aus \ref{etAA} von $\vec X\times \vec X$ auf die Tangentialr"aume ${\op{T}}_{(x,v)}({\op{T}}M)$ des Tangentialb"undels ${\op{T}}M\subset X\times \vec X$ induziert einen nichtausgearteten punktweise symplektischen kovarianten $2$-Tensor $\bar\eta$ auf dem Tangentialb"undel; \item F"ur $E:{\op{T}}M\ra\DR$ die Gesamtenergie wie in \ref{etAA} sind die Flu"swege $\alpha:I\ra {\op{T}}M$ ihres symplektischen Gradienten $\op{grad}_{\bar \eta} E$ auf ${\op{T}}M$ genau alle Abbildungen der Gestalt $t\mapsto (\gamma(t),\gamma'(t))$ f"ur $\gamma:I\ra M$ ein glatter Weg mit $$\big(\gamma''(t)+ (\op{grad}_sV)(\gamma(t))\big)\perp_s {\op{T}}_{\gamma(t)}M\quad\forall t\in I$$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Nennen wir $P\pdef {\op{T}}M$ den {\bf Phasenraum}\index{Phasenraum} unseres Systems mit Zwangsbedingungen, so sind damit die L"osungskurven der Bewegungsgleichungen wieder die Projektionen der Flu"swege des symplektischen Gradienten $\op{grad}_{\bar \eta} E$ der Gesamtenergie $E:P\ra\DR$. Die physikalische Interpretation erh"alt man wie in \ref{Bseo}, indem man den Raum $X=\mathbb E^\Lambda$ aller m"oglichen Ortsbestimmungen von $\Lambda$ Massepunkten betrachtet und $M\subset X$ die Mannigfaltigkeit aller auch noch mit den Zwangsbedingungen vertr"aglichen Ortsbestimmungen und $s=\langle\;,\,\rangle_{\op{g}}$ das massebehaftete Skalarprodukt auf $\vec X$ aus \ref{phmG} und $V$ das Potential. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Verwendet man die durch das Skalarprodukt gegebene Identifikation ${\op{T}}M\sira {\op{T}}^*M$ des Tangentialb"undels von $M$ mit dem sogenannten \glqq Kotangentialb"undel\grqq\ von $M$, so entspricht unser $\bar\eta$ quasi per definitionem der sogenannten \glqq kanonischen symplektischen Form auf dem Kotangentialb"undel\grqq\ und unsere Funktion $E$ entspricht der sogenannten \glqq Hamiltonfunktion\grqq\ $H$ und unsere Bewegungsgleichungen nehmen in sogenannten \glqq kanonischen Koordinaten\grqq\ die besonders transparente Form $$\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i} \quad\text{ und }\quad \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i} $$ an. Um das alles zu verstehen, m"ussen Sie jedoch zun"achst mehr Differentialgeometrie lernen. Ich bespreche es in \eref{HFO}{ML}. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Zun"achst erhalten wir f"ur $(x,v)\in{\op{T}}M$ eine nat"urliche kurze exakte Sequenz als obere Horizontale eines kommutativen Diagramms $$\begin{array}{ccccc} {\op{T}}_v({\op{T}}_xM)&\hra& {\op{T}}_{(x,v)}({\op{T}}M)&\sra& {\op{T}}_xM\\ \da&&\da&&\da\\ \vec X&\stackrel{\op{in}_2}{\hra}&\vec X\times \vec X&\stackrel{\op{pr}_1}{\sra}&\vec X \end{array} $$ mit dem Differential der B"undelprojektion ${\op{T}}M\sra M$ als zweiter horizontaler Abbildung und dem Differential der Einbettung der Faser ${\op{T}}_xM\hra {\op{T}}M$ als erster horizontaler Abbildung und den von $M\hra X$ und ${\op{T}}M\hra X\times\vec X$ induzierten Vertikalen. Gegeben $(v_1,v_2)\in {\op{T}}_{(x,v)}({\op{T}}M)$ folgt aus $$\bar\eta\big((v_1,v_2),(w_1,w_2)\big)=0\quad\forall (w_1,w_2) \in {\op{T}}_{(x,v)}({\op{T}}M)$$ erst $s(v_1, w_2)=0\;\forall w_2\in {\op{T}}_xM$ und so $v_1=0$ und dann wegen der Surjektivit"at des Differentials der B"undelprojektion oben rechts leicht auch $v_2=0$. Das zeigt den ersten Teil. Nun erinnern wir aus \ref{syGR} unsere Formel f"ur den symplektischen Gradienten der Gesamtenergie $(\op{grad}_{\eta}E)(x, v) =( v,-(\op{grad}_sV)(x))$. Aus $\op{pr}_1((\op{grad}_{\bar\eta}E)(x, v))\in {\op{T}}_xM$ folgt nun leicht $\op{pr}_1((\op{grad}_{\bar\eta}E)(x, v))=v$ und dann ebensoleicht $$(\op{grad}_{\bar\eta}E)(x, v)=(v,-(\op{grad}_sV)(x)+w)$$ mit $w=w(x,v)\in ({\op{T}}_xM)^{\perp_s}$, das dabei so zu w"ahlen ist, da"s unser Paar auch tats"achlich zu ${\op{T}}_{(x,v)}({\op{T}}M)$ geh"ort. So sehen wir, da"s wir die Flu"swege $\alpha:I\ra{\op{T}}M$ von $\op{grad}_{\bar\eta}E$ genau die glatten Wege sind, die in Komponenten als $$\alpha(t)=(\gamma(t),\rho(t))$$ mit $\gamma:I\ra X$ und $\rho:I\ra\vec X$ zerlegt die Bedingungen $\gamma(t)\in M$ und $\gamma'(t)=\rho(t)$ und $$\big(\rho'(t)+(\op{grad}_sV)(\gamma(t))\big) \perp_s {\op{T}}_{\gamma(t)}M\quad\forall t\in I $$ erf"ullen. Der Satz folgt unmittelbar. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bewegungen unter Zwang und Einheiten}] Ich erkl"are nun noch, wie das Ganze zu variieren ist, wenn man mit Einheiten arbeiten will. Dazu betrachten wir ein mechanisches System von $\Lambda$ Massepunkten der Massen $m_1, \ldots, m_\Lambda$, deren Bewegung in der Weise eingeschr"ankt sei, da"s die Zusammenfassung ihrer Orte $(\mathbf r_1, \ldots , \mathbf r_\Lambda) \in \mathbb{E}^\Lambda$ sich stets auf einer fest vorgegebenen \hyperref[glatt]{glatten Untermannigfaltigkeit} $M \subset \mathbb{E}^\Lambda$ befindet, dem {\bf Konfigurationsraum}\index{Konfigurationsraum} unseres Systems. Insoweit k"onnten wir einfach unseren Satz \ref{LZI} auf $X=\mathbb{E}^\Lambda$ spezialisieren. Jetzt gilt es aber, mit dem massebehafteten Skalarprodukt $$\langle \;,\;\rangle_{\op{g}}:\vec X\times \vec X\ra \langle {\ph{g}}{\ph{m}^2}\rangle$$ aus \ref{phmG} zu arbeiten und mit dem {\bf Geschwindigkeitsb"undel} $${\op{T}}M \langle 1/\ph{s}\rangle \pdef \bigcup_{p\in M}\;\{p\}\times ({\op{T}}_pM) \langle 1/\ph{s}\rangle\;\subset\; X\times\vec X \langle 1/\ph{s}\rangle$$ Wir nennen es den {\bf Geschwindigkeitsphasenraum} oder kurz {\bf Phasenraum}.\index{Geschwindigkeitsphasenraum} Unser $\bar\eta$ wird ein nichtausgearteter $\langle {\ph{gm}}^2/{\ph{s}}\rangle$-wertiger $2$-Tensor auf dem Phasenraum ${\op{ T}} M\langle 1/\ph{s}\rangle$ und die Gesamtenergie eine glatte Abbildung $$E:{\op{ T}} M\langle 1/\ph{s}\rangle\ra \langle {\ph{gm}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$$ und deren symplektischer Gradient $\op{grad}_{\bar\eta}E$ ein Geschwindigkeitsfeld auf dem Phasenraum ${\op{ T}} M\langle 1/\ph{s}\rangle$. Die nun auf mehrpunktigen Zeitintervallen $I\subset \mathbb T$ erkl"arten Flu"swege $\alpha:I\ra{\op{ T}} M\langle 1/\ph{s}\rangle$ unseres symplektischen Gradienten sind dann genau alle Paare $\alpha=(\gamma, \dot{\gamma})$ mit $\gamma$ einer L"osung der Bewegungsgleichungen $$\big(\ddot\gamma(t)-\tilde F(\gamma(t))\big)\perp_{{\ph{g}}} {\op{T}}_{\gamma(t)}M$$ aus \ref{DESa} f"ur $\tilde F$ die Zusammenfassung der massebereinigten externen Kr"afte. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Gerald H"ohn fragt: Sehe ich das richtig, dass man die spezielle Relativitaetstheorie (und die allgemeine mit fixierter Metrik) auch als Spezialfall der Hamiltonschen Mechanik auffassen kann, wenn man die Zeit als zusaetzliche Dimension dazunimmt und die Hamiltonfunktion geeignet modifiziert?} \subsection{Der Hamilton'sche Formalismus, aus XXML*} \label{HFO} \begin{Bemerkungl} In diesem Abschnitt wird die Bedeutung des Kotangentialb"undels f"ur die klassische Mechanik erkl"art. Ich habe diesen Abschnitt nur deshalb hier angef"ugt, weil wir gerade Kovektorfelder und das Kotangentialb"undel kennengelernt haben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Auf dem Kotangentialb"undel ${\op{T}}^\ast M$ einer Mannigfaltigkeit $M$ erkl"art man das {\bf kanonische Kovektorfeld} \index{Kovektorfeld!kanonisches} oder auch {\bf Liouville'sche Kovektorfeld}\index{Kovektorfeld!Liouville'sches}\index{Liouville!Kovektorfeld} $\vartheta$ durch die Vorschrift $$\vartheta_\xi \pdef \xi \circ \diff_\xi \pi$$ f"ur $\xi\in {\op{T}}^\ast _xM$ und $\pi : {\op{T}}^\ast M \rightarrow M$ die B"undelprojektion mit $\pi(\xi)=x$ und $\diff_\xi \pi : {\op{T}}_\xi ({\op{T}}^\ast M) \rightarrow {\op{T}}_x M$ deren Differential. Sind $q_1, \ldots , q_n$ lokale Koordinaten auf $M$, so sind $\diff q_1, \ldots, \diff q_n$ Schnitte\label{ksyF} in ${\op{T}}^\ast M$, die an jeder Stelle linear unabh"angig sind. Wir erhalten also lokale Koordinaten $(q_1, \ldots, q_n, p_1, \ldots, p_n)$ auf ${\op{T}}^\ast M$, indem wir die Funktionen $p_i : {\op{T}}^\ast M \rightarrow \mathbb{R}$ dadurch erkl"aren, da"s die Restriktion auf die Fasern $p_i : {\op{T}}_x^\ast M \rightarrow \mathbb{R}$ an jeder Stelle $ x \in M$ die $i$-te Koordinate bez"uglich der durch die $\diff_x q_i$ gegebenen Basis von ${\op{T}}^\ast_x M$ sein soll. Die $p_i$ hei"sen die zu unseren Ortskoordinaten $q_i$ geh"origen {\bf Impulskoordinaten}.\index{Impulskoordinaten} In diesen Koordinaten hat unser kanonisches Kovektorfeld die Gestalt $$\vartheta = \sum p_i dq_i$$ Insbesondere ist das kanonische Kovektorfeld stets glatt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Auf dem Kotangentialb"undel ${\op{T}}^\ast M$ einer Mannigfaltigkeit $M$ erkl"art man die {\bf kanonische symplektische Form}\index{symplektische Form!kanonische} $\omega$ als das Negative der "au"seren Ableitung des kanonischen Kovektorfelds $$\omega \pdef -d \vartheta$$ Gegeben Ortskoordinaten $q_i$ und die zugeh"origen Impulskoordinaten $p_i$ hat die kanonische symplektische Form mithin die Gestalt $$ \omega = \sum dq_i \wedge dp_i $$ Insbesondere zeigt diese Darstellung, da"s unsere $2$-Form $\omega$ an jeder Stelle nichtausgeartet ist, was dann auch recht eigentlich erst die Bezeichnung als symplektische Form rechtfertigt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Arnold arbeitet stattdessen mit $\omega \pdef d \vartheta= \sum dp_i\wedge dq_i$, aber durch seine auch um ein Vorzeichen abweichende Definition des symplektischen Gradienten k"urzt sich dieses Vorzeichen wieder heraus und man erh"alt dieselben Bewegungsgleichungen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Eine {\bf symplektische Mannigfaltigkeit}\index{symplektisch!Mannigfaltigkeit} ist ein Paar $(P,\omega)$ bestehend aus einer Mannigfaltigkeit $P$ und einer geschlossenen Zweiform $\omega$ auf $P$, die an jeder Stelle nicht ausgeartet ist alias eine symplektische Form auf dem Tangentialraum. Geschlossen meint hier die Forderung $d\omega=0$. Gegeben eine Mannigfaltigkeit $M$ ist ihr Kotangentialb"undel $P={\op{T}}^\ast M$ mit seiner kanonischen symplektischen Form nach dem vorhergehenden stets eine symplektische Mannigfaltigkeit. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine symplektische Mannigfaltigkeit $(P,\omega)$ und eine glatte Funktion $H:P\ra\DR$ erkl"art man ihren {\bf symplektischen Gradienten}\index{symplektisch!Gradienten} als das Vektorfeld $$\op{grad}_\omega H\pdef\op{can}_\omega^{-1}(\diff H)$$ Ausgeschrieben wird diese Vektorfeld dadurch charakterisiert, da"s f"ur jeden Punkt $p\in P$ und jeden Tangentialvektor $v\in{\op{T}}_pP$ gilt $$\omega_p\big((\op{grad}_\omega H)(p),v\big)=(\diff_pH)(v)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bezug zu Systemen mit Zwangsbedingungen}] Ich will diskutieren, inwiefern man die L"osungen der Bewegungsgleichungen eines Systems von Massepunkten mit Zwangsbedingungen in einem Potentialfeld erhalten kann, indem man auf dem Kotangentialraum des Konfigurationsraums eine ausgezeichnete glatte Funktion, die \glqq Hamilton-Funktion\grqq, betrachtet und die Flu"swege von deren symplektischem Gradienten auf den Konfigurationsraum projiziert. Ich erinnere dazu an unsere Beschreibung \eref{LZI}{AN2} der L"osungen der Newton'schen Gleichungen mit Zwangsbedingungen. Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum und $\langle\;,\;\rangle$ ein Skalarprodukt auf seinem Richtungsraum und $M\subset X$ eine glatte eingebettete Mannigfaltigkeit. In physikalischen Anwendungen war $X=\mathbb E^N$ der Raum aller a priori und ohne Zwangsbedingungen denkbaren Ortsbestimmungen f"ur $N$ Massepunkte, $\langle\;,\;\rangle$ das massebehaftete Skalarprodukt und $M$ der Konfigurationsraum, der die Zwangsbedingungen beinhaltet. Der Diffeomorphismus ${\op{T}} M \sira {\op{T}}^\ast M$, der von der Restriktion des Skalarprodukts auf ${\op{T}}M$ induziert wird, ist die Komposition in der unteren Horizontale eines kommutativen Diagramms von Mannigfaltigkeiten \begin{displaymath} \xymatrix{ X\times\vec{X} \ar^{\op{id}\times\kappa}_-\sim[rr] && X \times \vec{X}^\ast & \\ {\op{T}} M \ar@{^{(}->}[rr]\ar@{^{(}->}[u] && M \times \vec{X}^{\ast} \ar@{^{(}->}[u] \ar@{->>}[r] & {\op{T}}^\ast M } \end{displaymath} Die anderen Pfeile dieses Diagramms sind die hoffentlich offensichtlichen Abbildungen. Die kanonischen Kovektorfelder auf $X \times \vec{X}^{\ast} $ und ${\op{T}}^\ast M $ sind offensichtlich verwandt zu demselben Kovektorfeld auf $M \times \vec{X}^{\ast} $. Dasselbe folgt f"ur die kanonischen symplektischen Formen. Mithin ist die durch Zur"uckholen der kanonischen symplektischen Form auf $X \times \vec{X}^{\ast} $ erkl"arte symplektische Form $\bar\eta$ auf ${\op{T}} M$, mit der wir in \eref{LZI}{AN2} gearbeitet hatten, unter unserem Diffeomorphismus ${\op{T}} M \sira {\op{T}}^\ast M$ verwandt zur kanonischen symplektischen Form $\omega$ auf ${\op{T}}^{\ast} M$. Ist nun $V:X\ra\DR$ eine Potentialfunktion und $E:{\op{T}} M\ra \DR$ die zum Potential $V$ wie in \eref{LZI}{AN2} gebildete Gesamtenergie, so hei"st die dazu unter unserem Diffeomorphismus verwandte Funktion $H:{\op{T}}^* M\ra \DR$ auf dem Kotangentialb"undel die {\bf Hamiltonfunktion}. Offensichtlich haben dann auch die jeweiligen symplektischen Gradienten $\op{grad}_{\bar\eta}E$ und $\op{grad}_{\omega}H$ verwandte Flu"swege. In \eref{LZI}{AN2} hatten wir die L"osungen der Bewegungsgleichungen beschrieben als die Fu"spunktprojektionen auf $M$ der Flu"swege des symplektischen Gradienten $\op{grad}_{\bar\eta}E$ der Gesamtenergie $E:{\op{T}} M\ra \DR$. Nach dem vorhergehenden k"onnen wir sie genausogut beschreiben als die Fu"spunktprojektionen auf $M$ der Flu"swege des symplektischen Gradienten $\op{grad}_{\omega}H$ der Hamiltonfunktion $H:{\op{T}}^* M\ra \DR$ in Bezug auf die kanonische symplektische Form $\omega$ auf dem Kotangentialb"undel. Das hat den Vorteil, da"s die gesamte Komplexit"at des physikalischen Problems in der Hamiltonfunktion $H$ zusammengefa"st wird, statt sich auf die unktion $E$ der Gesamtenergie und die durch die Massen der beteiligten Massepunkte und die Geometrie des Raums bestimmte symplektische Form $\bar\eta$ zu verteilen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich will noch erw"ahnen, da"s die Verwendung des Buchstabens $H$ in diesem Zusammenhang zum ersten Mal in der \glqq M\'ecanique Analytique\grqq\ von Lagrange auftaucht, die im Jahre 1811 erschien, und vermutlich den Nachnamen von Christiaan Huygens abk"urzt. Jedenfalls hat sie nichts mit Hamilton zu tun, der im Jahre 1811 erst sechs Jahre alt wurde. Mehr dazu mag man bei Patrick Iglesias in der Schrift \glqq Sym\'etries et Moment\grqq\ nachlesen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Hamilton'schen Gleichungen}] Die vorhergehenden "Uberlegungen legen die Frage nahe, wie denn die Integralkurven des symplektischen Gradienten einer glatten Funktion auf einem Kotangentialb"undel beschrieben werden k"onnen. Seien dazu $M$ eine Mannigfaltigkeit und $U\co M$ eine offene Teilmenge. Ist $q_1,\ldots, q_r$ ein Koordinatensystem auf $U$, so erhalten wir ein Koordinatensystem auf ${\op{T}}^\ast U$ durch die sogenannten Ortskoordinaten $q_i=\pi\circ q_i$ und die zugeh"origen Impulskoordinaten $p_i$, gegeben in Formeln durch $w=\sum_{i=1}^r p_i(x,w)\diff_xq_i$ f"ur $x\in U$ und $w\in {\op{T}}_x^\ast M$. Die zu diesem Koordinatensystem geh"origen Vektorfelder auf der offenen Teilmenge ${\op{T}}^\ast U$ des Kotangentialb"undels notieren wir $\partial_i^q, \partial_i^p$. F"ur die kanonische symplektische Form $\omega=-\diff \vartheta=\sum dq_i\wedge dp_i$ erhalten wir dann die Identit"at\label{HG} $$\omega(\partial_i^q,\partial_j^p)=\delta_{ij}$$ Das Differential der Hamiltonfunktion ist $\diff H=\sum \frac{\partial H}{\partial p_i}\diff p_i + \frac{\partial H}{\partial q_i}\diff q_i $ und f"uhrt in diesen Koordinaten zum symplektischen Gradienten $$\op{grad}_{\omega} H=\sum_{i=1}^{r}\frac{\partial H}{\partial p_i} \partial_i^q- \frac{\partial H}{\partial q_i}\partial_i^p$$ Die Koordinaten der Integralkurven $\beta$ unseres symplektischen Gradienten sind folglich genau die L"osungen des Systems von Differentialgleichungen $$\frac{\diff}{\diff t}(q_i(\beta(t)))=\frac{\partial H}{\partial p_i}(\beta(t))\quad\text{und}\quad\frac{\diff}{\diff t}(p_i(\beta(t)))=-\frac{\partial H}{\partial q_i}(\beta(t)) \quad \text{f"ur }1\leq i\leq r.$$ Man nennt sie die {\bf Hamilton'schen Bewegungsgleichungen}\index{Hamilton!Bewegungsgleichung} und schreibt sie meist abk"urzend in der Form $$\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}\qquad\dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i} $$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kanonische Koordinaten}] Ist $(X,\omega)$ eine symplektische Mannigfaltigkeit, so nennt man ein System von zu Paaren zusammengefa"sten lokalen Koordinaten $(q_i,p_i)$ ganz allgemein {\bf kanonisch},\index{kanonisch!Koordinate} wenn gilt $\omega=\sum dq_i\wedge dp_i$. Die obige Rechnung zeigt, da"s gegeben eine glatte Funktion $H:X\ra \DR$ auf einer beliebigen symplektischen Mannigfaltigkeit die Integralkurven ihres symplektischen Gradienten in jedem System von kanonischen Koordinaten durch die Hamilton'schen Bewegungsgleichungen beschrieben werden. Im "ubrigen kann man auch zeigen, da"s eine symplektische Mannigfaltigkeit um jeden Punkt ein System von kanonischen Koordinaten besitzt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Hamilton'schen Gleichungen mit Einheiten}] Erg"anzen wir die jeweiligen Einheiten, so liefert das massebehaftete Skalarprodukt einen Diffeomorphismus $$ {\op{T}} M\otimes\llangle 1/{\ph{s}}\rrangle \sira {\op{T}}^\ast M\otimes\llangle {\ph{gm}}^2/{\ph{s}}\rrangle $$ zwischen dem sogenannten {\bf Geschwindigkeitsphasenraum}\index{Geschwindigkeitsphasenraum} links und dem sogenannten {\bf Impulsphasenraum}\index{Impulsphasenraum} rechts. Die kanonische $\llangle {\ph{gm}}^2/{\ph{s}}\rrangle$-wertige symplektische Form $\omega$ rechts ist verwandt zur $\llangle {\ph{gm}}^2/{\ph{s}}\rrangle$-wertigen symplektischen Form $\bar\eta$ links, wie wir sie in \eref{LZI}{AN2} betrachtet hatten. Die Gesamtenergie $E:{\op{T}} M\otimes\llangle 1/{\ph{s}}\rrangle\ra \llangle {\ph{gm}}^2/{\ph{s}}^2\rrangle$ auf dem Geschwindigkeitsphasenraum ist verwandt zur Hamiltonfunktion $H:{\op{T}}^\ast M\otimes\llangle {\ph{gm}}^2/{\ph{s}}\rrangle \ra \llangle {\ph{gm}}^2/{\ph{s}}^2\rrangle$ auf dem Impulsphasenraum. Ist $U\co M$ eine offene Teilmenge und $q_1,\ldots, q_r$ ein Koordinatensystem auf $U$, m"oglicherweise mit Werten in eindimensionalen R"aumen $L_1,\ldots, L_r$, so erhalten wir ein Koordinatensystem auf ${\op{T}}^\ast U\otimes \llangle {\ph{gm}}^2/{\ph{s}}\rrangle$ durch die Funktionen $q_i=\pi\circ q_i$ und die Funktionen $p_i$ mit Werten in $\vec{L}_i^{\ast}\otimes \llangle {\ph{gm}}^2/{\ph{s}}\rrangle$ gegeben durch $$w=\sum_{i=1}^r p_i(x,w)\diff_xq_i\quad\text{f"ur $x\in U$ und $w\in {\op{T}}_x^\ast M\otimes \llangle {\ph{gm}}^2/{\ph{s}}\rrangle$.}$$ Die $p_i$ hei"sen die zu unseren {\bf Ortskoordinaten $q_i$}\index{Ortskoordinaten} geh"origen {\bf Impulskoordinaten}.\index{Impulskoordinaten} Wie zuvor landen wir bei den {\bf Hamilton'schen Bewegungsgleichungen}\index{Hamilton!Bewegungsgleichung} $$\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}\qquad\text{und}\qquad\dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i} $$ Beachten wir die Einheiten, so steht rechts eine Gleichheit in $\vec{L}_i^{\ast}\otimes \llangle {\ph{gm}}^2/{\ph{s}}^2\rrangle$ und links eine Gleichheit in $\vec{L}_i\otimes \llangle 1/{\ph{s}}\rrangle$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bedeutung des Kotangentialb"undels}] R"uckblickend mag man sich die Frage stellen, ob das mit dem Kotangentialb"undel wirklich n"otig war und wir nicht unsere kanonischen Koordinaten $q_i,p_i$ einfach auf dem Tangentialb"undel h"atten einf"uhren k"onnen. Das w"are in der Tat durchaus m"oglich gewesen, und ich vermute fast, da"s Hamilton diese Frage als Spitzfindigkeit abgetan h"atte. Die Verwendung des Kotangentialb"undels hat den Vorteil, da"s in diesem Rahmen ein gro"ser Teil unserer "Uberlegungen sehr elegant in gro"ser Allgemeinheit und unabh"angig vom zugrundeliegenden physikalischen System durchgef"uhrt werden kann. Man bezahlt daf"ur allerdings mit einem gewissen Verlust an Anschaulichkeit. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Bewegung einer T"opferscheibe}] Wir betrachten eine T"opferscheibe mit Zentrum in $\mathbf p\in\mathbb E$. Wir denken sie uns zusammengesetzt aus Massepunkten $\mathbf r_1, \ldots , \mathbf r_N$ der Massen $m_1, \ldots , m_N$. Der Konfigurationsraum $M$ ist eine Kreislinie. Als lokale Koordinate w"ahlen wir den Drehwinkel im Bogenma"s $q_1 = q$, wobei wir den Nullwinkel willk"urlich festlegen. Bezeichne $\partial^q$ das zugeh"orige Vektorfeld und $\dot q$ die zugeh"orige Koordinate auf ${\op{T}}M$ gegeben durch $\dot q : (q , a \partial^q) \mapsto a$. Unter dem massenbehafteten Skalarprodukt haben wir dann $$\langle \partial^q , \partial^q\rangle_g = J\pdef \sum \| \mathbf r_i -\mathbf p\|^2 m_i$$ Dieser Wert $J \in \llangle {\ph{g}^2}{\ph{m}}\rrangle$ hei"st das \defind{Tr"agheitsmoment} unserer T"opferscheibe. Nun finden wir $(q, \partial^q) \mapsto (q, J dq)$ unter unserem Isomorphismus ${\op{T}}M \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{T}}^\ast M$. Die Impulskoordinate zu $q$ ist also $q = J \dot q$, sie hei"st in dieser Situation der \defind{Drehimpuls}. Die Hamiltonfunktion ist $H(q, \dot q) = J \dot q^2 / 2$ alias $H(q, p) = p^2/2 J$ und die Hamilton'schen Bewegungsgleichungen spezialisieren zu den Gleichungen \begin{equation*} \dot q = p/J \quad \text{und}\quad \dot p = 0. \end{equation*} Also ist der Drehimpuls $p$ konstant und $\dot q$ ist auch konstant und unsere T"opferscheibe dreht sich ohne Einwirkung "au"serer Kr"afte bis in alle Ewigkeit mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine symplektische Mannigfaltigkeit $(P,\omega)$ und eine glatte Funtion $H:P\ra\DR$ und eine weitere glatte Funktion $f:P\ra\DR$ erhalten wir f"ur die "Anderung von $f$ zum Zeitpunkt $t=t_0$ l"angs eines Flu"swegs $\alpha$ des symplektischen Gradienten $\op{grad}_\omega H$ mit der Notation $x=\alpha(t_0)$ unmittelbar $$\begin{array}{lll} \left.\frac{\diff}{\diff t}\right|_{t=t_0}f(\alpha(t))&=& \langle \diff_{\alpha(t_0)} f,\dot\alpha(t_0)\rangle\\[2mm]&=& \langle \diff_{x} f,(\op{grad}_\omega H)(x)\rangle\\[2mm]&=& \omega_x\big((\op{grad}_\omega f)(x),(\op{grad}_\omega H)(x)\big)\pdef\{f,H\}(x) \end{array}$$ mit der durch letztere Gleichung f"ur beliebige glatte Funktionen $f,g\in\mathcal C^\infty(P;\DR)$ auf einer beliebigen symplektischen Mannigfaltigkeit $(P,\omega)$ erkl"arten {\bf Poisson-Klammer}\index{Poisson-Klammer} $\{f,g\}\in\mathcal C^\infty(P;\DR)$.\index{)5@$\{f,g\}$ Poisson-Klammer} Die Formeln aus \ref{HG} zeigen, da"s sie in kanonischen Koordinaten gegeben wird durch die Formel $$\{f,g\}=\sum \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}- \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}$$ Offensichtlich verschwindet die Poissonklammer einer Funktion mit sich selber. Die Hamiltonfunktion ist folglich eine Invariante der Bewegung. Physikalisch bedeutet das die Energieerhaltung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $(P,\omega)$ eine symplektische Mannigfaltigkeit mit einer glatten Hamiltonfunktion $H$. Ist $x\in P$ ein kritischer Punkt von $H$, so ist der konstant bei $x$ verweilende Weg ein Flu"sweg des symplektischen Gradienten von $H$ alias eine L"osung der Bewegungsgleichungen. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Fassen wir ein glattes Kovektorfeld $\alpha$ auf einer Mannigfaltigkeit $M$ als eine glatte Abbildung $\alpha:M\ra {\op{T}}^\ast M$ in das Kotangentialb"undel auf und holen das kanonische Kovektorfeld unter dieser Abbildung zur"uck, so erhalten wir gerade $\alpha$ selber, in Formeln $\alpha^\ast(\vartheta)=\alpha$ oder in einer anderen Notation $\alpha:\alpha\leadsto \vartheta$. \end{Ubung} \newpage \section{"Altere Entw"urfe und Versuche} \subsection{Euler-Lagrange-Gleichungen} \begin{Bemerkungl} Die Newton'sche Bewegungsgleichung\label{GePh} \ref{KrGe} ist in der Terminologie aus \ref{DGLg} folgende ein System gew"ohnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit der einzigen Besonderheit, da"s es zus"atzlich mit Einheiten versehen ist und da"s wir durch die Zeit $\mathbb T$ parametrisierte L"osungen suchen. Die allgemeine Theorie \ref{REO} legt uns die Reduktion auf ein System von doppelt so vielen Gleichungen erster Ordnung nahe. In unserem konkreten Fall betrachten wir dazu den sogenannten \defind{Phasenraum}, genauer den \defind{Geschwindigkeitsphasenraum} $\mathbb E \times \vec{\mathbb E}\langle 1/{\ph{s}}\rangle $ aller Paare $(r,v)$ bestehend aus einem Ort $r \in \mathbb E$ und einer Geschwindigkeit $v \in \vec{\mathbb E}\langle 1/{\ph{s}}\rangle $. Jede glatte Abbildung $\gamma : \mathbb{T} \rightarrow \mathbb E$ liefert uns eine glatte Abbildung in den Phasenraum, den zugeh"origen {\bf Phasenweg} \begin{equation*} \tilde\gamma \pdef ( \gamma, \dot\gamma) : \mathbb{T} \rightarrow \mathbb E \times \vec{\mathbb E}\langle 1/{\ph{s}}\rangle \end{equation*} Mit dieser Notation erf"ullt $\gamma$ genau dann die Newton'schen Bewegungsgleichungen $m\ddot \gamma(t) = F(\gamma(t),t)$, wenn es die erste Komponente eines glatten Weges $\tilde\gamma = (\tilde\gamma_1, \tilde\gamma_2):\mathbb{T} \rightarrow \mathbb E \times \vec{\mathbb E}\langle 1/{\ph{s}}\rangle $ im Geschwindigkeitsphasenraum ist, der seinerseits eine L"osung ist f"ur das System von Differentialgleichungen erster Ordnung \begin{eqnarray*} \dot {\tilde\gamma}_1(t) &=& \tilde\gamma_2(t)\\ \dot {\tilde\gamma}_2(t) &=& \textstyle\frac{1}{m} F( \tilde\gamma_1(t),t) \end{eqnarray*} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konsequenzen von Picard-Lindel"of}] Gegeben ein endlichdimensionaler affiner Raum $X$ verstehen wir unter einem {\bf Geschwindigkeitsfeld\index{Geschwindigkeitsfeld}\label{GeFe} auf $X$} eine Abbildung $ A : X \rightarrow \vec{X}\langle 1/{\ph{s}}\rangle $ und unter einem {\bf zeitabh"angigen Geschwindigkeitsfeld\index{Geschwindigkeitsfeld}\label{GeFe} auf $X$} eine Abbildung \begin{equation*} A : X\times \mathbb T \rightarrow \vec{X}\langle 1/{\ph{s}}\rangle \end{equation*} Flu"swege derartiger Geschwindigkeitsfelder $A$ erkl"aren wir als Abbildungen auf mehrpunktigen Intervallen $\psi : \mathbb{T}\supset I \rightarrow X$ mit \begin{equation*} \dot\psi(t) = A( \psi(t),t) \end{equation*} Nach dem Satz von Picard-Lindel"of \ref{PiLi} gibt es f"ur jedes glatte Geschwindigkeitsfeld $A$ und beliebig vorgegebene $x_0\in X$ und $t_0 \in \mathbb{T}$ genau einen maximalen Flu"sweg $\psi$ mit $t_0\in I$ mit $\psi (t_0) = x_0$ und dieser Flu"sweg ist nach \ref{ALAW} glatt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konsequenzen von Picard-Lindel"of f"ur Bewegungsgleichungen}] F"ur jedes glatte zeitabh"angige Kraftfeld $F$ gibt es nach dem Satz von Picard-Lindel"of \ref{PiLi} zu jedem Punkt $(x_0, v_0)$ des Phasenraums und jedem Zeitpunkt $t_0 \in \mathbb{T}$ genau einen maximalen bei $t_0$ definierten Flu"sweg \begin{equation*} \psi : \mathbb T\supset I \rightarrow \mathbb E \times \vec{\mathbb E} \langle 1/{\ph{s}}\rangle \end{equation*} mit $\psi (t_0) = (x_0, v_0)$ alias genau eine maximale L"osung $\gamma : \mathbb T\supset I \rightarrow \mathbb E$ der urspr"unglichen Bewegungsgleichung mit vorgegebenem Ort $x_0 = \gamma (t_0)$ und vorgegebener Geschwindigkeit $v_0 = \dot\gamma (t_0)$ zum vorgegebenen Zeitpunkt $t_0$. Au"serdem sind unter unseren Annahmen auch $\psi$ und $\gamma$ glatt. \end{Bemerkungl} \subsection{Euler-Lagrange-Gleichungen ALT} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation}] Die Bewegungsgleichungen in Gestalt der Orthogonalit"atsbedingung \ref{DESa}, die wir in \ref{phmG} aus dem Newton'schen Prinzip \glqq Kraft gleich Masse mal Beschleunigung\grqq\ zusammen mit dem Prinzip \glqq Zwangskr"afte verrichten unter infintesimalen Verr"uckungen keine Arbeit\grqq\ von d'Alembert hergeleitet haben, wird nun in Koordinaten ausgeschrieben. So ergeben sich die \glqq Euler-Gleichungen\grqq\ und die \glqq Euler-Lagrange-Gleichungen\grqq. %schreiben unsere Bewegungsgleichungen % $$\big(\ddot{\gamma}(t) - \tilde F (\gamma (t)) \big) %\perp_{{\ph{g}}} {\op{T}}_{\gamma (t)} M$$ aus \ref{DESa} % um zu einem System von Differentialgleichungen %zweiter Ordnung. Daf"ur f"uh\-ren wir das \glqq Tangentialb"undel einer Mannigfaltigkeit\grqq\ alias den \glqq Geschwindigkeitsphasenraum eines mechanischen Systems\grqq\ ein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{DTBEa} Seien $X$ ein endlichdimensionaler Raum und $M\subset X$ eine Mannigfaltigkeit. In \ref{Taka} hatten wir zu jedem Punkt $p\in M$ seinen Tangentialraum ${\op{T}}_pM\subset \vec X$ erkl"art als die Menge aller m"oglichen Geschwindigkeitsvektoren bei $p$ von Wegen durch den Punkt $p$, die ganz in $M$ verlaufen. Wir erkl"aren nun das\label{TaBua} {\bf Tangentialb"undel von $M$}\index{Tangentialb"undel!im eingebetteten Fall} als\index{T@${\op{T}} M$|see{Tangentialb"undel}} $${\op{T}}M \pdef \bigcup_{p\in M} \{p\}\times {\op{T}}_{p} M \;\;\subset\;\;M \times \vec{X} $$ Die Komposition $\pi : {\op{T}}M \ra M $ der Einbettung nach $M\times\vec X$ mit der Projektion auf $M$ hei"st die {\bf B"undelprojektion}.\index{B"undelprojektion} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tangentialb"undel als Mannigfaltigkeit}] Gegeben $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum\label{TBUMs} und $M\subset X$ eine glatte Untermannigfaltigkeit ist ihr Tangentialb"undel $${\op{T}}M\subset X\times \vec{X}$$ eine glatte Untermannigfaltigkeit der Dimension $2 (\dim M)$. Gegeben eine glatte Karte $\varphi:\mathbb{R}^n\lco W\ra M$ von $M$ ist des weiteren $\diff \varphi : W\times \DR^n \ra {\op{T}} M $ gegeben f"ur $(x,y)\in W\times\DR^n$ durch \begin{equation*} \diff \varphi : (x, y) \mapsto (\varphi(x),(\diff _{x} \varphi)(y)) \end{equation*} eine glatte Karte des Tangentialb"undels ${\op{T}}M$. Der Beweis bleibe dem Leser zur "Ubung "uberlassen. Das zu dieser Karte geh"orige Koordinatensystem $$(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n)$$ des Tangentialb"undels ${\op{T}}M$ nennen wir das {\bf nat"urliche Koordinatensystem des Tangentialb"undels} zum vorgegebenen Koordinatensystem $(x_1, \ldots, x_n)$ alias zur vorgegebenen Karte $\varphi$ unserer Mannigfaltigkeit. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bewegungsgleichungen in lokalen Koordinaten}] Wir betrachten wie in \ref{phmG} den Fall eines mechanischen Systems von $\Lambda $ Massepunkten der Massen $m_1, \ldots, m_\Lambda $, deren Bewegung in der Weise durch Zwangsbedingungen eingeschr"ankt sei, da"s die Zusammenfassung ihrer Orte $(\mathbf r_1, \ldots , \mathbf r_\Lambda ) \in \mathbb{E}^{\Lambda }$ sich stets auf einer fest vorgegebenen \hyperref[glatt]{glatten Mannigfaltigkeit} $M \subset \mathbb{E}^{\Lambda }$ befindet, dem Konfigurationsraum unseres mechanischen Systems. In diesem Fall betrachten wir vorzugsweise eine mit Einheiten versehene Variante $$\tT M\pdef {\op{T}} M\langle 1/{\ph{s}}\rangle$$ des Tangentialb"undels, den {\bf Phasenraum} oder {\bf Geschwindigkeitsphasenraum}\index{Phasenraum!Geschwindigkeitsphasenraum!unter Zwangsbedingungen}\index{Geschwindigkeitsphasenraum!unter Zwangsbedingungen} unseres Systems. Formal erkl"aren wir ihn als eine Untermannigfaltigkeit $\tT M\subset X \times \vec{X}\langle 1/{\ph{s}}\rangle$ f"ur $X=\mathbb{E}^{\Lambda }$, eben die Vereinigung der ${\op{T}}_p M\langle 1/{\ph{s}}\rangle$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $(m_1, \ldots, m_\Lambda, M)$ ein mechanisches System und $\varphi : \mathbb{R}^n\lco W \hookrightarrow M$ eine Karte seines Konfigurationsraums, die wir der Einfachheit der Notation halber bijektiv annehmen, also $\varphi : W\sira M$. Die zugeh"origen Koordinaten notieren wir $(x_1,\ldots,x_n)$. Gegeben $f:M\ra \DR$ eine Funktion schreiben wir $f(x_1,\ldots,x_n)$ als Abk"urzung f"ur $f(\varphi(x_1,\ldots,x_n))$. Ist $f$ glatt, so schreiben wir weiter $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ als Abk"urzung f"ur $$\left(\frac{\partial (f\circ \varphi)}{\partial x_i}\right)\circ \varphi^{-1}:M\ra \DR$$ Analoge Abk"urzungen verwenden wir f"ur Funktionen mit allgemeineren Wertebereichen. Wir notieren etwa $\mathbf r_\nu:M\ra\mathbb E$ den Ort des $\nu$-ten Teilchens und haben also $\varphi(x)=(\mathbf r_1(\varphi(x)),\ldots,\mathbf r_\Lambda(\varphi(x)))$ f"ur $x=(x_1,\ldots,x_n)\in W$ oder verk"urzt geschrieben $\varphi(x)=(\mathbf r_1(x),\ldots,\mathbf r_\Lambda(x))$. \label{GPR} Wir erweitern das zugeh"orige Koordinatensystem $(x_1, \ldots, x_n)$ von $M$ wie im einheitenfreien Fall durch die Abbildungen $$y_i\pdef y_i\otimes\op{id}: \tT M \ra \langle 1/{\ph{s}}\rangle$$ zum {\bf nat"urlichen Koordinatensystem} $(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n)$ des Phasenraums mit der Besonderheit, da"s die Koordinaten $y_i$ als Werte statt reelle Zahlen vielmehr duale Zeitspannen alias Frequenzen annehmen. In der physikalischen Literatur schreibt man statt $y_i$ meist $\dot x_i$. Die zu diesem nat"urlichen Koordinatensystem geh"orige Karte $$\psi:W\times \DR^n\langle 1/{\ph{s}}\rangle \ra \tT M$$ bildet $(x,y)$ ab auf das Tupel der Orte $\mathbf r_\nu(x,y)=\mathbf r_\nu(x)$ und Geschwindigkeiten $$\vec{ \mathbf{v}}_\nu(x,y)=\sum^n_{j=1} \frac{\partial \mathbf{ r}_\nu }{\partial x_j}(x)\; y_j$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die {\bf kinetische Energie} unseres mechanischen Systems $(m_1, \ldots, m_\Lambda, M)$ sei die Abbildung $K:\mathbb{E}^\Lambda \times \vec{\mathbb{E}}^\Lambda \langle 1/{\ph{s}}\rangle \ra\langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$ gegeben durch $$({\mathbf{r}}_\nu , \vec{\mathbf v}_\nu )_{\nu=1}^\Lambda \mapsto \sum^\Lambda_{\nu=1} m_\nu {\langle \vec {\mathbf v}_\nu , \vec{\mathbf v}_\nu \rangle}/{2}$$ F"ur $\vec{\mathbf F}_\nu:\mathbb E\ra \vec{\mathbb E}\langle {\ph{g}}/{\ph{s}}^2\rangle$ zus"atzlich gegebene am jeweiligen Ort auf den jeweiligen Massepunkt wirkende {\bf externe Kr"afte} erkl"aren wir nun die $i$-te {\bf generalisierte Kraft}\index{generalisierte Kraft} in Bezug auf unser Koordinatensystem von $M$ durch $$Q_i\pdef\sum_{\nu=1}^\Lambda \left\langle \vec{\mathbf{F}}_\nu \circ {\mathbf{r}}_\nu , \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_i} \right\rangle$$ Unsere generalisierten Kr"afte sind also Funktionen $Q_i:M\ra \langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$. Durch Vorschalten der B"undelprojektion k"onnen und werden wir sie als Funktionen auf dem Phasenraum auffassen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Euler-Gleichungen}] Seien $(x_1,\ldots, x_n)$ Koordinaten auf dem Konfigurationsraum $M$ eines \hyperref[neS]{mechanischen Systems} und $(x_1,\ldots, x_n, y_1,\ldots,y_n)$ die zugeh"origen nat"urlichen Koordinaten auf dem Phasenraum $\tT M$.\label{EuGlAA} Genau dann erf"ullt ein glatter Weg $\gamma:\mathbb T\supset I\ra M$ die Orthogonalit"atsbedingung \ref{DESa}, wenn f"ur die zugeh"orige Abbildung $(\gamma,\dot\gamma):\mathbb T\supset I\ra \tT M$ in den Geschwindigkeitsphasenraum gilt $$ \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{\partial K}{\partial y_i} \circ (\gamma,\dot{\gamma}) \right) - \frac{\partial K}{\partial x_i} \circ (\gamma,\dot{\gamma}) - Q_i \circ \gamma =0\quad \text{f"ur }1\leq i\leq n $$ mit $K$ der kinetischen Energie und $Q_i$ den generalisierten Kr"aften. \end{Satz} \begin{proof} Das ist ein Ausschreiben in Koordinaten. Wir nehmen an, da"s unsere Koordinaten zu einer bijektiven Karte $\varphi:\DR^n\lco W\sira M$ geh"oren alias eine Bijektion $(x_1,\ldots, x_n):M\sira W$ liefern. Oft k"urzen wir f"ur $\gamma:\mathbb T\supset I\ra M$ auch $x_i \circ \gamma $ zu $ x_i$ ab und ${\mathbf{r}}_\nu\circ \gamma$ zu ${\mathbf{r}}_\nu$ f"ur den Ort des Teilchens mit Index $\nu$ zum Zeitpunkt $t$, so da"s wir etwa schreiben k"onnen $${\mathbf{r}}_\nu (t) = {\mathbf{r}}_\nu (x_1 (t), \ldots, x_n (t))$$ Indem wir auch $t$ noch aus der Notation weglassen, ergeben sich f"ur die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen unserer Teilchen die Formeln %% \begin{eqnarray*} %% r_i (t) &=& r_i (x_1 (t), \ldots, x_n (t))\\ %% \dot{r}_i &= & \frac{\partial r_i}{\partial x_1} %% v_1 + \ldots + \frac{\partial r_i}{\partial x_n} v_n\\ %% \ddot{r}_i &=& \sum_{j,k} \frac{\partial^2 r_i}{\partial x_j %% \partial x_k} v_j %% v_k + \sum_j \frac{\partial r_i}{\partial x_j} \ddot{x}_j %% \end{eqnarray*} $$ \dot{{\mathbf{r}}}_\nu = \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_1} \dot{x}_1 + \ldots + \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_n} \dot{x}_n$$ $$ \ddot{{\mathbf{r}}}_\nu = \sum_{j,k} \frac{\partial^2 {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_j \partial x_k} \dot{x}_j \dot{x}_k + \sum_j \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_j} \ddot{x}_j $$ Die griechischen Indizes zeigen hierbei an, da"s diese Gleichungen in $\mathbb E$ beziehungsweise $\vec{\mathbb E}\langle1/ {\ph{s}}\rangle$ beziehungsweise $\vec{\mathbb E}\langle1/ {\ph{s}}^2\rangle$ oder genauer als Gleichungen von Abbildungen von einem mehrpunktigen Intervall der Zeitachse $I\subset \mathbb{T}$ in besagte R"aume zu verstehen sind. Da weiter f"ur $x\in W$ der Tangentialraum ${\op{T}}_{\varphi (x)}M$ an $M$ bei $\varphi (x)$ nach \ref{TaBu} von den ausgewertet bei $x$ zu verstehenden Vektoren $$\frac{\partial \varphi}{\partial x_l} = \left( \frac{\partial {\mathbf{r}}_1}{\partial x_l},\ldots , \frac{\partial {\mathbf{r}}_\Lambda}{\partial x_l}\right)\in\vec{\mathbb E}^\Lambda$$ f"ur $1\leq l \leq n$ aufgespannt wird, ist unsere Orthogonalit"atsbedingung f"ur das massebehaftete Skalarprodukt $\big(\ddot{\gamma} (t) - \tilde F (\gamma (t))\big) \perp_{\op{g}} {\op{T}}_{\gamma (t)} M$ gleichbedeutend dazu, da"s f"ur alle $ l$ die Summe \begin{equation*}\label{lBwe} \sum_{\nu,j,k} m_\nu \left\langle \frac{\partial^2{\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_j \partial x_k}, \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_l}\right\rangle \dot{x}_j \dot{x}_k + \sum_{\nu,j} m_\nu \left\langle \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_j}, \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_l} \right\rangle \ddot{x}_j - \sum_{\nu} \left\langle \vec{\mathbf F}_\nu \circ {\mathbf{r}}_\nu , \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_l} \right\rangle \end{equation*} verschwindet. Wir nennen die $l$-te dieser Verschwindungsbedingungen im folgenden die {\bf $l$-te Bewegungsgleichung}. Jetzt erinnern wir den Geschwindigkeitsphasenraum $\tT M \subset \mathbb{E}^\Lambda \times \vec{\mathbb{E}}^\Lambda \langle 1/{\ph{s}}\rangle $. Der $\vec{ \mathbf{v}}_\nu $-Anteil eines Punktes, aufgefa"st als Abbildung $\vec{ \mathbf{v}}_\nu :\tT M \ra\vec{\mathbb{E}}\langle 1/{\ph{s}}\rangle $, wird in den nat"urlichen Koordinaten gegeben durch den Ausdruck $$\vec{ \mathbf{v}}_\nu(x,y)=\sum^n_{j=1} \frac{\partial \mathbf{ r}_\nu }{\partial x_j}(x)\; y_j$$ Dieser Ausdruck ist eine Geschwindigkeit alias ein Element von $\vec{\mathbb E} \langle 1/{\ph{s}}\rangle $. Die Einschr"ankung unserer kinetischen Energie $K$ auf den Phasenraum des Systems mit Zwangsbedingungen hat in diesen Koordinaten die Gestalt \begin{equation*} K (x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n) = \sum_{\nu,j,k} \frac{m_\nu }{2} \left\langle \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_j}, \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_k} \right\rangle y_j y_k \end{equation*} F"ur die partielle Ableitung mit Einheiten im Sinne von \ref{PhNo} folgt sofort %\label{FKE} \begin{equation*} \frac{\partial K}{\partial y_l} = \sum_{\nu,j} m_\nu \left\langle \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_j} , \frac{\partial \mathbf{r}_\nu }{\partial x_l} \right\rangle y_j \end{equation*} Hier bestehen wir darauf, da"s diese partiellen Ableitungen der kinetischen Energie $K:\tT M \ra \langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$ in Bezug auf das nat"urliche lokale Koordinatensystem des Geschwindigkeitsphasenraums zu verstehen sind. Nun betrachten wir eine glatte Kurve $\gamma : \mathbb{T}\supset I \rightarrow M$. Zusammen mit ihrem Differential $\dot{\gamma} = \diff \gamma$ liefert sie eine Abbildung $(\gamma,\dot{\gamma}) : \mathbb{T}\supset I \rightarrow \tT M $. Interpretieren wir die $y_i$ weiter als Koordinaten des Geschwindigkeitsphasenraums oder genauer als Abbildungen $y_i: \tT M \rightarrow \langle 1/{\ph{s}}\rangle $, so ergibt sich \begin{eqnarray*} \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{\partial K}{\partial y_l } \circ (\gamma,\dot{\gamma})\right) &=& \sum_{\nu,i,j,k} m_\nu \left\langle \frac{\partial^2 \mathbf{r}_\nu }{\partial x_j \partial x_k}, \frac{\partial \mathbf{r}_\nu }{\partial x_l} \right\rangle \dot{x}_j \dot{x}_k\\ % &&+ \sum_{\nu,i,j,k} m_\nu \left\langle \frac{\partial \mathbf{r}_\nu }{\partial x_j }, \frac{\partial^2 \mathbf{r}_\nu }{\partial x_l\partial x_k} \right\rangle \dot{x}_k \dot{x}_j\\ % &&\quad + \sum_{\nu,j} m_\nu \left\langle \frac{\partial \mathbf{r}_\nu }{\partial x_j }, \frac{\partial \mathbf{r}_\nu }{\partial x_l} \right\rangle \ddot{x}_j \\ \end{eqnarray*} Die ersten beiden Terme unserer $l$-ten Bewegungsgleichung von oben k"onnen demnach dargestellt werden in der Form \begin{equation*} \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{\partial K}{\partial y_l} \circ (\gamma,\dot{\gamma}) \right) - \frac{\partial K}{\partial x_l} \circ (\gamma,\dot{\gamma}) \end{equation*} Der letzte Term ist gerade unsere generalisierte Kraft und der Satz folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Euler-Lagrange-Gleichungen bei Kr"aften mit Potential}] Bisher haben wir unsere Kr"afte als mit Einheiten $\langle {\ph{g}}/{\ph{s}}^2\rangle$ versehene Vektorfelder aufgefa"st. Benutzen wir nun die durch das konkrete Skalarprodukt $\vec{\mathbb E}\times \vec{\mathbb E}\ra \langle {\ph{m}}^2\rangle$ gegebene Identifikation $\vec{\mathbb E}\sira \vec{\mathbb E}^\ast\langle {\ph{m}}^2\rangle$, um sie stattdessen als mit Einheiten in $\langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$ versehene Kovektorfelder aufzufassen, und fassen die Gesamtheit $F$ der Kr"afte entsprechend als ein mit denselben Einheiten versehenes Kovektorfeld auf $\mathbb{E}^\Lambda$ auf, also als Abbildung $F: \mathbb{E}^\Lambda\ra (\vec{\mathbb{E}}^\ast)^\Lambda \langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$, so hat das unter der Karte zur"uckgezogene Kovektorfeld die Gestalt \begin{equation*} \varphi^\ast F = \sum^n_{l=1} Q_l \diff x_l \end{equation*} und unsere generalisierten Kr"afte zeigen ihre eigentliche Bedeutung. Ist dann weiter $V : \mathbb{E}^\Lambda \rightarrow \langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$ ein {\bf Potential}\index{Potential} f"ur unsere Kraft $F$, in Formeln $F = - \diff V$, so folgt $$\varphi^\ast F = - \op{d}(V\circ \varphi) = - \sum^n_{l=1} \frac{\partial V}{\partial x_l} \diff x_l$$ Wesentlich ist hierbei die Erkenntnis \ref{VFVD}, da"s das Differential von Funktionen Verwandtschaft respektiert. Wir finden auf diese Weise mit den "ublichen Abk"urzungen f"ur die generalisierten Kr"afte die Darstellung $Q_l = - \frac{\partial V}{\partial x_l}$, die wir uns als eine Identit"at von Funktionen auf $M$ oder ebensogut auch auf $U$ denken k"onnen. Fassen wir nun $V$ durch Vorschalten der B"undelprojektion als Funktion auf dem Phasenraum $\tT M$ auf, so verschwinden nat"urlich die partiellen Ableitungen $\frac{\partial V}{\partial y_l}$ bez"uglich unseres Systems $(x_1,\ldots, x_n,y_1,\ldots,y_n)$ von nat"urlichen Koordinaten. Bilden wir also die {\bf Lagrangefunktion}\index{Lagrangefunktion} $$ L \pdef V -K $$ als Differenz zwischen der potentiellen und der kinetischen Energie unseres Systems, so erf"ullt f"ur eine m"ogliche Bewegung $\gamma : I \rightarrow M$ die zugeh"orige Abbildung in den Phasenraum $(\gamma,\dot{\gamma} ): I \rightarrow \tT M $ die sogenannten \defind{Euler-Lagrange-Gleichungen}\label{ELG} $$ \frac{\diff}{\diff t}\left( \frac{\partial L}{\partial y_l} \circ (\gamma,\dot{\gamma} ) \right) - \left( \frac{\partial L}{\partial x_l} \right) \circ (\gamma,\dot{\gamma} ) =0 \qquad\text{f"ur $1\leq l\leq n$.} $$ \end{Bemerkungl} %xdvi -q -linkstyle 2 -editor 'emacsclient --no-wait' XXAN2.dvi & %makeindex -g -s german.ist XXAN2 %pdflatex "\PassOptionsToPackage{final}{showkeys}\PassOptionsToPackage{final}{ifdraft}\input{XXAN2}" %scp /home/soergel/Dokumente/Skripten/Skripten/XXAN2.pdf soergel@tux00.mathematik.uni-freiburg.de:/webserver/home/soergel/Skripten/XXAN2.pdf %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXAN2" %%% End: