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\section{Geometrie durch Symmetrie}\label{GEaV}

\subsection{Skalarprodukt und die Ebene von Euklid}
\begin{Bemerkungl}
  Sei $V$ ein  Vektorraum "uber einem K"orper $K$.
  Ich erinnere daran, da"s man unter einer {\bf Bilinearform auf $V$} eine bilineare Abbildung
  $s:V\times V\ra K$ versteht.
  Ich erinnere weiter daran, da"s eine Bilinearform  {\bf symmetrisch} hei"st,
  wenn gilt $$s(v,w)=s(w,v)\quad\forall v,w\in V$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
  Eine symmetrische
  Bilinearform $s$ auf einem reellen
  Vektorraum $V$ hei"st {\bf positiv definit},\index{positiv definit}
  wenn gilt\label{posd} $$v\neq 0\;\RA \;s(v,v)>0$$
 Ein {\bf Skalarprodukt}\index{Skalarprodukt}
 auf einem reellen Vektorraum ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform.\label{SKP}
 Ein reeller Vektorraum mit einem
 ausgezeichneten Skalarprodukt hei"st ein {\bf Skalarproduktraum}.\index{Skalarproduktraum}
 Die {\bf Norm}\index{Norm} 
 eines Vektors $v$ in einem Skalarproduktraum $(V,s)$ erkl"art man als
 die nichtnegative reelle Zahl 
 $$\|v\|=\|v\|_s\pdef\sqrt{s(v,v)}$$
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigenschaften der Norm}]
  Die Norm  eines Skalarprodukts hat offensichtlich
  die Eigenschaft 
  $\|\lambda v\| =|\lambda|\| v\|$ f"ur jeden Vektor $v$ und
  reellen Skalar $\lambda$. Da"s sie au"serdem die Eigenschaft
  $\|v+w\|\leq \|v\|+\|w\|$ hat und folglich eine Norm im Sinne der
  Analysis ist, zeigen wir erst in \ref{CSU}.  
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
Das Skalarprodukt tr"agt seinen Namen, da es aus zwei Vektoren
einen Skalar macht. Es darf nicht  verwechselt werden mit der
\glqq Multiplikation mit Skalaren\grqq\  aus der Axiomatik eines Vektorraums,
die aus einem Skalar und einem Vektor einen Vektor macht.
F"ur Skalarprodukte sind auch die Notationen $s(v,w)=\langle
  v,w\rangle=
  v\cdot w=vw$ gebr"auchlich.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Auf $V=\Bbb{R}^n$ erkl"art man  das
  \defind{Standard-Skalar\-pro\-dukt} durch die Vorschrift $$\langle
  \vec{v},\vec{w}\rangle\pdef v_1 w_1+\ldots + v_n w_n$$ f"ur
  $\vec{v}=(v_1,\ldots,v_n)$ und $\vec{w}=(w_1,\ldots,w_n)$. 
Im Formalismus der
Matrixmultiplikation und mit unserer Interpretation von
Elementen des $\Bbb{R}^n$ als  Spaltenvektoren und
Elementen von $\DR$ als  $(1\times 1)$-Matrizen 
k"onnen wir das Standardskalarprodukt
auch schreiben als das Produkt  $\langle
  \vec{v},\vec{w}\rangle
  = \vec{v}^\top\circ \vec{w}$
  eines Zeilenvektors mit einem
Spaltenvektor.
\end{Beispiel}



\begin{Bemerkungl}
 Sei $V$ ein reeller Vektorraum. Gegeben eine Bilinearform $s$
 auf $V$ und ein Automorphismus $g\in\op{GL}(V)$ von $V$
sagen wir, 
die Bilinearform   $s$ {\bf sei  invariant unter $g$} und
der Automorphismus $g$ 
  {\bf erhalte $s$}, wenn gilt
  $$s(gv,gw)=s(v,w)\quad\forall v,w\in V$$
  Ist $G\subset \op{GL}(V)$ eine Untergruppe, so hei"st
  eine Bilinearform {\bf $G$-invariant}, wenn sie unter allen
  Elementen $g\in G$ invariant ist.
  Die Gruppe aller  Automorphismen
  eines reellen Vektorraums $V$, die die Bilinarform $s$ erhalten, 
 notieren wir $${\op{O}}(V,s)\pdef\{g\in\op{GL}(V)\mid s(gv,gw)=s(v,w)\;\forall v,w\in V\}$$
 Ist $s$ ein Skalarprodukt, so hei"sen die $s$ erhaltenden Automorphismen {\bf orthogonal} und ${\op{O}}(V,s)$ hei"st die
 {\bf orthogonale Gruppe\index{orthogonale Gruppe} von} $(V,s)$.
Im Fall des $\DR^n$ mit seinem Stan\-dard\-ska\-lar\-pro\-dukt $s$ bezeichnet 
 $\op{O}(n)\pdef \{[g]\mid g\in \op{O}(\DR^n,s)\}$ die Menge aller
 Matrizen orthogonaler Automorphismen alias aller {\bf orthogonalen
   Matrizen}.\label{OMat} 
\end{Bemerkungl}



\begin{Beispiel}[\textbf{Orhogonale Automorphismen von $\DR$}] 
  Die einzigen orthogonalen Automorphismen\label{OO2} von $\mathbb R$ mit
  seinem Standardskalarprodukt 
  sind die Identit"at und die Multiplikation mit $(-1)$. In Formeln haben wir
  also 
$
\op{O} (1) = \{ 1, -1\}$. Wir verzichten hier darauf, in der Notation
einen Unterschied zwischen Zahlen und $(1\times 1)$-Matrizen zu machen.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Orhogonale Automorphismen von $\DR^2$}]
Wir zeigen
$$
\op{O}(2) = \left.\left\{ \begin{pmatrix} c & - d\\
d & c \end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
c &d\\ d &-c \end{pmatrix}
\right| c^2+d^2=1 
\right\}
$$
Man kann  das  ohne alle Theorie m"uhelos nachrechnen.
Etwas konzeptueller mag man bemerken, da"s f"ur $g\in\op{O}(\DR^2)$
gelten mu"s $\langle g({\op{e}}_1),g({\op{e}}_1)\rangle=\langle {\op{e}}_1,{\op{e}}_1\rangle=1$ und folglich $g({\op{e}}_1)=(c,d)^\top$ mit $c^2+d^2=1$ in der ersten Spalte
unserer Matrix $[g]$.
Ebenso mu"s gelten $g({\op{e}}_2)=(a,b)^\top$ mit $a^2+b^2=1$.
Da schlie"slich auch gelten mu"s $\langle g({\op{e}}_1),g({\op{e}}_2)\rangle=\langle {\op{e}}_1,{\op{e}}_2\rangle=0$, folgt zus"atzlich
$ca+db=0$. Das l"a"st  f"ur die zweite Spalte unserer Matrix
$[g]$ nur noch die beiden M"oglichkeiten 
$\pm(-d,c)^\top$. 
Da es umgekehrt ausreicht, die Bedingung
$\langle \vec v,\vec w\rangle =\langle g\vec v,g\vec w\rangle$ f"ur 
$\vec v,\vec w$ aus einem Erzeugendensystem zu pr"ufen, sagen wir dem
Erzeugendensystem der beiden Vektoren der Standardbasis,
folgt die Behauptung. Anschaulich mag man sich die
Elemente der orthogonalen Gruppe ${\op{O}}(2)\cong {\op{O}}(\DR^2)$ als alle 
\glqq Drehungen\grqq\ und \glqq Spiegelungen\grqq\
der Ebene $\DR^2$ vorstellen, die den Ursprung festhalten. Wir diskutieren das sp"ater noch ausf"uhrlich.
\end{Beispiel}







\begin{Bemerkungl}[\textbf{Geometrie durch Symmetrie}]
Ich gehe davon aus, da"s Sie aus der Schule eine gewisse
  Vertrautheit mit dem Standardskalarprodukt mitbringen und wissen,
  da"s salopp gesprochen
  \glqq Senkrechtstehen Skalarprodukt Null bedeutet\grqq\
  und da"s \glqq die Norm eines Vektors seine L"ange bedeutet\grqq.
  Das kann man sich, wenn man auf der Papierebene 
  eine L"angeneinheit und ein Paar von aufeinander senkrecht stehenden und orientierten Geraden w"ahlt und die Papierebene dar"uber 
  mit dem $\DR^2$ identifiziert, auch
  mit Hilfe des Satzes von Pythagoras leicht klarmachen.
  Mir scheint jedoch eine andere
  Modellierung der Papierebene sinnvoller und 
  unserer Anschauung besser zug"anglich, bei der man stattdessen  
  von der Vorgabe einer ausgezeichneten Gruppe von
  \glqq Kongruenzen\grqq\ ausgeht und
  die Begriffe  Senkrechtstehen,
  Skalarprodukt und L"ange sowie ihre Beziehungen untereinander
  daraus entwickelt.
  Das mag auch gleich als eine erste Illustration f"ur die gundlegende 
  Bedeutung von \glqq Symmetrien\grqq\ alias 
  \glqq strukturerhaltenden Selbstabbildungen\grqq\ in der Geometrie dienen.
  Wir werden im folgenden,
  von diesen Symmetrien oder in unserem Fall Kongruenzen
  ausgehend, 
  sogar den Satz des Pythagoras selbst
  nocheinmal in der Sprache der Mengenlehre
  herleiten.
\end{Bemerkungl}



\begin{Definition}
  Eine Teilmenge $A$ eines reellen affinen Raums $E$
  hei"st eine
  {\bf Halbgerade},\index{Halbgerade} wenn es einen
  Punkt $p\in E$ und einen von Null verschiedenen Richtungsvektor
  $\vec v\in\vec E\backslash 0$ gibt mit
  $$A=p+\DR_{\geq 0}\vec v$$
\end{Definition}
\begin{Definition}
  Eine Untergruppe $K\subset \op{Aff}^\times (E)$ der Automorphismengruppe einer reellen affinen Ebene
  $E$ hei"st
  eine {\bf Kongruenzgruppe},\index{Kongruenzgruppe!affine} 
  wenn sie alle Translationen enth"alt, in Formeln $\vec E\subset K$, und wenn es f"ur je zwei Halbgeraden $A,B\subset E$ genau zwei Elemente $k,h\in K$ gibt
  mit $$k(A)=B=h(A)$$ Eine
  {\bf Kongruenzebene}\index{Kongruenzebene}\label{euE}  
  $(E,K)$ ist ein zweidimensionaler reeller affiner Raum
  $E$ mit einer ausgezeichneten Kongruenzgruppe $K$. Die Elemente
  unserer Kongruenzgruppe nennen wir die {\bf Kongruenzen}\index{Kongruenz} unserer Kongruenzebene.
  \label{HMAn}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Unter einem {\bf invarianten Skalarprodukt} einer \hyperref[euE]{Kongruenzebene} $(E,K)$
  verstehen wir  ein
  unter der Gruppe $\vec K$ der linearen Anteile aller \hyperref[euE]{Kongruenzen} invariantes Skalarprodukt auf ihrem Richtungsraum
$\vec E$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}]
 Kongruenzebenen sind unsere erste axiomatische Beschreibung der schmutzigen Papierebene. Wir werden noch
  zwei weitere "aquivalente axiomatische Beschreibungen dieser Struktur 
  einf"uhren, die eher algebraischen  euklidischen Ebenen alias
  zweidimensionalen euklidischen R"aume aus \ref{Eukl} und, 
  besonders nah an der geometrischen Anschauung und der Axiomatik von Euklid selbst, die  fasteuklidischen Ebenen mit Paralellenaxiom aus \eref{CeEx}{EL}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungw}
  In \ref{edsk} zeigen wir, da"s es
  zu jeder \hyperref[euE]{Kongruenzebene} $(E,K)$ ein invariantes
  Skalarprodukt $s$
  gibt  und da"s sich je zwei invariante Skalarprodukte 
  zu ein- und derselben Kongruenzebene
  h"ochstens um eine positive multiplikative Konstante unterscheiden.
  In \ref{kgaf} zeigen wir,
  da"s die Kongruenzen sich dann umgekehrt charakterisieren lassen 
  als alle Affinit"aten, deren linearer Anteil in Bezug auf dieses Skalarprodukt 
  $s$ orthogonal ist.
  Daraus m"ogen Sie in "Ubung \ref{EDKE} folgern, da"s je zwei Kongruenzebenen
  in einer dort genauer pr"azisierten Weise isomorph sind.
\end{Bemerkungw}

\begin{figure}[htbp] 
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKoDR}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Einige Dreiecke in der Papierebene, die durch Kongruenzen ineinander 
"uberf"uhrt werden k"onnen. Man nennt sie  
{\bf kongruente Dreiecke}.\index{kongruent!Dreiecke}
\end{minipage} 
\end{figure}

\begin{Bemerkungl}
  Orientierungserhaltende Kongruenzen einer beliebig vorgegebenen Kongruenzebene hei"sen {\bf gleichsinnige Kongruenzen}\index{gleichsinnig!Kongruenz} und 
 orientierungsumkehrende Kongruenzen  {\bf gegensinnige Kongruenzen}.\index{gegensinnig!Kongruenz}
  Sie werden in \ref{OEKO}
  zeigen, da"s jede gleichsinnige Kongruenz entweder eine
  Translation ist oder genau einen Fixpunkt hat. Sie weden dort auch zeigen,  
  inwiefern man sie sich im letzteren Fall als eine
  \glqq Drehung\grqq\ vorstellen darf.
  Andererseits werden sie in \ref{OEGO} zeigen,
  da"s jede gegensinnige Kongruenz genau eine affine Gerade
 stabilisiert, und werden erkl"aren, inwiefern man sie sich als 
 eine \glqq Gleitspiegelung\grqq\ vorstellen darf. Spiegelungen
 fassen wir dabei als spezielle Gleitspiegelungen auf.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Die  schmutzige Anschauung}] 
Man mag  bei einer  Kongruenzebene  an eine 
unendlich ausgedehnte Pappe denken
und bei einer Kongruenz an eine anschauliche Bewegung im Raum, die diese
Pappe in sich selber "uberf"uhrt. 
Gleichsinnige Kongruenzen erh"alt man,
indem man sich 
die Pappe als  auf einem Tisch liegend  denkt und sie auf dem Tisch
verschiebt oder dreht,  ohne sie dabei
vom Tisch hochzuheben. 
Gegensinnige Kongruenzen erh"alt man,  
indem man die Pappe auf irgendeine Weise
 umdreht. An dieser Stelle  m"ochte ich Sie am liebsten 
wieder einmal
davon "uberzeugen, 
da"s  das  Abstrakte das eigentlich
Konkrete ist.
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Invarianz der
      Norm eines invarianten Skalarprodukts}] 
  Gegeben eine
  Kongruenzebene $(E,K)$ mit invariantem Skalarprodukt $\langle\;,\;\rangle$   gilt f"ur die zugeh"orige Norm $\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}$ aus \ref{SKP} offensichtlich
  $$\|p-q\|=\|k(p)-k(q)\|\quad\forall p,q\in E, k\in K$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Norm als anschauliche L"ange}] 
  F"ur die Norm  eines jeden Skalarprodukts gilt
  $\|\lambda v\| =|\lambda|\| v\|$ f"ur jeden reellen Skalar $\lambda$.
  In der schmutzigen Papierebene entspricht
  folglich $\|p-q\|$ der Zahl, die wir als Abstand zwischen den Punkten
  $p$ und $q$ messen, wenn wir ein Lineal anlegen alias mit einer
  Kongruenzabbildung entsprechend bewegen, und wenn wir zus"atzlich
  unser Lineal dadurch eichen,
  da"s
  wir damit f"ur einen fest vorgegebenen Richtungsvektor $m\neq 0$ die L"ange
$\| m\| =1$ messen.
\end{Bemerkungl}


 
\begin{Satz}[\textbf{Senkrechtstehen und Skalarprodukt}]
  Gegeben eine 
 Kon\-gru\-enz\-ebe\-ne $(E,K)$\label{Ort}  
mit invariantem Skalarprodukt $\langle\;,\;\rangle$ und Richtungsvektoren $v,w\in \vec E$ sind gleichbedeutend:
 \begin{enumerate}
 \item
 Es gibt eine Kongruenz $\varphi \in K$ 
 mit $\vec \varphi (v)=-v$ und $\vec \varphi (w)=w$;
\item
  Es gilt 
 $\langle v,w\rangle=0$. 
 \end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Die erste dieser Bedingungen kn"upft an unsere
  geometrische Anschauung an.
  Wir nennen im folgenden 
  zwei Richtungsvektoren {\bf geometrisch senkrecht},
  wenn sie diese Bedingung erf"ullen. Die zweite
   dieser Bedingungen ist Ihnen vermutlich aus der Schule vertraut.
  Wir formulieren sie gleich als Definition und nennen
  Vektoren $v,w$ in einem 
  Skalarproduktraum {\bf algebraisch senkrecht}\index{senkrecht} und 
  gleichbedeutend {\bf orthogonal},\index{orthogonal} 
  wenn ihr Skalarprodukt verschwindet. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Ursprung der Terminologie}] 
  Das Wort \glqq senkrecht\grqq\  kommt her von 
\glqq senken\grqq, speziell dem 
Hinablassen eines Gewichts oder \glqq Senkbleis\grqq\  an einem Faden, um
die Vertikale zu bestimmen. Vom \glqq 
senkrecht Stehen einer S"aule 
auf dem Boden\grqq\  zum \glqq senkrecht 
Stehen eines Vektors auf einem anderen\grqq\ 
ist es dann nur noch ein kleiner Schritt. Das
Wort \glqq orthogonal\grqq\ 
ist griechisch f"ur \glqq rechtwinklig\grqq,
und zwar ist \glqq gon\grqq\ derselbe Wortstamm wie
\glqq Knie\grqq\ und meint hier \glqq Winkel\grqq,
wohingegen \glqq ortho\grqq\ f"ur \glqq recht, richtig\grqq\
steht wie etwa in  \glqq Orthographie\grqq\ f"ur \glqq Rechtschreibung\grqq. 
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}
Gibt es eine Kongruenz $\varphi $ mit 
$\vec \varphi (v)=-v$ und $\vec \varphi (w)=w$, so folgt f"ur unser
invariantes Skalarprodukt 
$$\langle v,w\rangle=\langle \vec \varphi (v),\vec \varphi (w)\rangle  =\langle -v,w\rangle$$ 
und damit $\langle v,w\rangle=0$. 
 Im Fall
$w\neq 0$  gibt es umgekehrt f"ur alle $p\in E$ genau eine nichttriviale Kongruenz
$\varphi \in K\backslash{\op{id}}$, die die Halbgerade $p+\DR_{\geq 0}w$ festh"alt.
Aus $\varphi (p)=p$ folgt   $\vec \varphi \neq \op{id}$. 
Andererseits gilt
notwendig $\varphi^2=\op{id}$ und 
folglich $(\vec \varphi)^2= \op{id}$.
Nach \eref{Epm1}{LA1} hat $\vec \varphi $ also die Eigenwerte $1$ und $(-1)$
und beide Eigenr"aume sind eindimensional.
 Nach der bereits 
bewiesenen Implikation umfa"st
der $(-1)$-Eigenraum  den Untervektorraum $\{v\in\vec E\mid  \langle v,w\rangle=0\}$.
Aus Dimensionsgr"unden mu"s er  dann bereits mit diesem 
Untervektorraum zusammenfallen und wir haben f"ur alle $v,w\in \vec E$ mit
$\langle v,w\rangle=0$ und $w\neq 0$ eine Kongruenz $\varphi $ gefunden mit
$\vec \varphi (v)=-v$ und $\vec \varphi (w)=w$. Im Fall $w=0$ k"onnen wir dasselbe Argument f"ur irgendeinen Vektor $w_1\in \vec E\backslash 0$ mit $\langle v,w_1\rangle=0$ anwenden und das so konstruierte $\varphi$
erf"ullt dann nat"urlich auch $\vec \varphi (w)=0=w$.
\end{proof}








\begin{Satz}[\textbf{Pythagoras}]
  Zwei Vektoren $v,w$ des Richtungsraums einer Kongruenzebene
  mit invariantem Skalarprodukt  $\langle\;,\;\rangle$ stehen genau dann aufeinander geometrisch senkrecht, wenn f"ur die zugeh"orige
  Norm $\|\;\|$ gilt\label{Pyyt} 
  $$\|v+w\|^2=\|v\|^2+\|w\|^2$$
\end{Satz}

\begin{proof}
 Per definitionem gilt $\|v\|^2=\langle v,v\rangle$.
 Aus der Bilinearit"at und Symmetrie des Skalarprodukts folgern wir
 f"ur beliebige Richtungsvektoren
  $v,w$ die Identit"at
  $$\|v+w\|^2=\|v\|^2+ 2 \langle v,w\rangle+  \|w\|^2$$
  Aus \ref{Ort} wissen wir bereits, da"s das geometrische Senkrechtstehen
  gleichbedeutend ist zum algebraischen Senkrechtstehen alias dem
  Verschwinden des Skalarprodukts. Der Satz folgt.
\end{proof}

\begin{Bemerkunge}[\textbf{Bezug zum geometrischen Beweis}] 
  Der auf der Schule "ubliche geometrische Zugang zum Satz von Pythagoras
  durch  Fl"achenvergleich ist uns dadurch verbaut, da"s 
 in unserem formalen Aufbau das Konzept einer Fl"ache noch nicht
  zur Verf"ugung steht. In der schmutzigen Anschauung
  mag man jedoch $\langle v,w\rangle$
  verstehen als die \glqq orientierte Fl"ache $\langle v,w\rangle=\op{vol}(v,w')$ des Parallelogramms mit den Kantenvektoren 
  $v, w'$ f"ur $w'$ den Vektor, der  aus $w$ durch Drehung  um einen rechten Winkel gegen den Uhrzeigersinn entsteht\grqq. In dieser
  Anschauung bedeutet die Bilinearit"at des Skalarprodukts dann insbesondere
  die \glqq Invarianz von Fl"achen unter Scherungen\grqq. So erweist
  sich unsere algebraische Rechnung als eine "Ubersetzung der in der Schule
  "ublichen und ad"aquaten anschaulichen Argumentation
  in den hier entwickelten Formalismus.
\end{Bemerkunge}
  
\begin{Bemerkunge}
  Ich will kurz auf die naheliegende Frage eingehen, warum man nicht
  anstelle des Skalarprodukts einfacher die Zuordnung betrachtet,
  die je zwei Vektoren einer euklidischen Ebene die
  Fl"ache des von ihnen aufgespannten Parallelogramms zuordnet. Die 
  Schwierigkeit dabei ist, da"s diese Zuordnung nicht bilinear w"are,
  man kann  also nur sch"one algebraische Formeln erwarten f"ur
   die Zuordnung,
  die je zwei Vektoren einer euklidischen Ebene die \glqq orientierte 
  Fl"ache\grqq\ des von ihnen aufgespannten Parallelogramms zuordnet. Diese
  Zuordnung kann durchaus durch einen einfachen algebraischen Ausdruck
  beschrieben werden, sie h"angt aber von der Wahl einer Orientierung ab
  und ist nicht symmetrisch, sondern vielmehr schiefsymmetrisch.
  Bei der zuvor beschriebenen geometrischen Bedeutung des Skalarprodukts
  geht dahingegen die Wahl einer Orientierung zweimal ein und k"urzt sich
  weg, so da"s es im Endeffekt von dieser Wahl doch nicht abh"angt. 
\end{Bemerkunge}
  



\begin{Bemerkunge}[\textbf{Allgemeinere Grundk"orper als die reellen Zahlen}]
  Bei den hier und im folgenden ausgef"uhrten "Uberlegungen
  mag man ein tieferes Verst"andnis aus der Frage gewinnen, inwieweit sie sich auch "uber allgemeineren angeordneten K"orpern
  durchf"uhren lassen. F"ur die meisten Resultate m"ussen wir nur
  fordern, da"s alle nichtnegativen Elemente des fraglichen 
 angeordneten K"orpers Quadrate sind.
  Sobald es aber um Winkelma"se gehen wird, ben"otigen wir analytische
  Hilfsmittel und m"ussen mit dem K"orper der reellen Zahlen arbeiten
  oder eine gro"se K"unstlichkeit der Konstruktionen und Argumente in Kauf
  nehmen.
\end{Bemerkunge}
  




\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}[\textbf{Die komplexe Zahlenebene als Kongruenzebene}] 
  Man zeige, da"s die komplexen Zahlen $\DC$ zu einer 
   Kongruenzebene werden, wenn wir als Kongruenzen  diejenigen 
Abbildungen\label{KZKE} 
auszeichnen, die eine der beiden Gestalten
$z\mapsto az+b$ oder $z\mapsto a\bar z+b$ haben
mit $a,b\in \DC$ und $|a|=1$. Man zeige, da"s  die Formel $\langle z,w\rangle\pdef\op{Re}\bar z w$  ein invariantes Skalarprodukt
liefert,  f"ur dessen Norm gilt
$\|z\|=|z|$. Hierbei unterschlagen wir die Identifikation $\op{trans}:\DC\sira \vec\DC$ in unseren Notationen. Man mag mit mehr Mut weiter zeigen, da"s unsere Kongruenzen genau alle Abbildungen
$k:\DC\ra \DC$ sind mit $|k(p)-k(q)|=|p-q|\;\forall p,q\in\DC$.
\end{Ubung}



\begin{Ubung}\label{PGR}
Gegeben ein reeller Skalarproduktraum $V$ mit Skalarprodukt 
$\langle\;,\;\rangle$ verwenden wir die 
Notation $\|v\|\pdef\sqrt{\langle v,v\rangle}$ aus \ref{SKP}.
Man zeige in einem reellen Skalarproduktraum die
"Aquivalenz $$
\|v+w\|^{2}=\| v\|^{2} +\|w\|^{2}\quad\IFF \quad \langle v,w\rangle =0
$$
Man zeige weiter in einem reellen Skalarproduktraum die
{\bf Parallelogrammregel},\index{Parallelogrammregel} nach der die Summe der
Quadrate der vier Seiten eines Parallelogramms gleich der Summe der
Quadrate der beiden Diagonalen ist, in Formeln
$$
2 \| v\|^{2} + 2\|w\|^{2} = \|v-w\|^{2}+
\|v+w\|^{2}$$
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Rechtfertigung der Konstruktion der Mittelsenkrechte}]
 Seien $E$ eine reelle affine Ebene und $\langle\;,\;\rangle$ ein  Skalarprodukt auf ihrem Richtungsraum. Gegeben paarweise verschiedene Punkte $a,b,c,d\in E$ mit
  $\|a-c\|=\|a-d\|$ und $\|b-c\|=\|b-d\|$ zeige man, da"s $(a-b)$ senkrecht steht auf
  $(c-d)$. Gilt hier sogar $\|a-c\|=\|a-d\|=\|b-c\|=\|b-d\|$, so zeige man,
  da"s der Schnittpunkt $p$ der Geraden
  $\overline{ab}$  und $\overline{cd}$ durch $a$ und $b$ beziehungsweise  $c$ und $d$ denselben Abstand zu allen unseren
  vier
  Punkten $a,b,c,d$ hat, in Formeln
  $\|a-p\|=\|b-p\|=\|c-p\|=\|d-p\|$.
\end{Ubung}

\subsection{Versuch zum Skalarprodukt in der Schule*}


\begin{Bemerkungl} Ich will skizzieren, wie ich mir
  eine geometrische Hinf"uhrung zum Skalarprodukt in der
  Schule vorstellen w"urde. 
  \begin{enumerate}
  \item
   Gegeben zwei Vektoren $\vec v,\vec w$ in der Ebene
    k"onnen wir die Fl"ache $F(\vec v,\vec w)$ des von ihnen
    aufgespannten Parallelogramms betrachten.
    \begin{figure}[htb]
 \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/FP}
\end{figure}
  \item Gegeben ein ausgezeichneter  \glqq Drehsinn\grqq\
    auf unserer Ebene k"onnen wir feiner
    die orientierte Fl"ache $$\vec F(\vec v,\vec w)$$ des von ihnen
    aufgespannten Parallelogramms berachten.
    Wir nennen sie das {\bf Fl"achenprodukt}.
 \begin{figure}[htb]
 \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/FPor}
 \end{figure}
 \newpage
\item  Wir haben dann  
    $\vec F(\vec v,\vec w)=-\vec F(\vec w,\vec v)$ und
    $\vec F(\vec v_1+\vec v_2,\vec w)=\vec F(\vec v_1,\vec w)+
    \vec F(\vec v_2,\vec w)$ und
    $\vec F(\lambda \vec v,\vec w)=\lambda\vec F( \vec v,\vec w)$.
    Weiter sind $\vec v$ und $\vec w$ linear abh"angig genau dann,
    wenn gilt $\vec F(\vec v,\vec w)=0$.
 \begin{figure}[htb]
 \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BilSP}
 \end{figure}
\item
    Nehmen wir als Ebene ein
    Blatt Rechenpapier und als Drehsinn den Gegenuhrzeigersinn und
    als $\vec e_1$ das Verschieben um ein Kästchen nach rechts und
    als $\vec e_2$ das Verschieben um ein Kästchen nach oben, so finden
    wir in der Fl"acheneinheit Rechenk"astchen
    $\vec F(\vec e_1,\vec e_2)=1=-\vec F(\vec e_2,\vec e_1)$, 
    $\vec F(\vec e_1,\vec e_1)=\vec F(\vec e_2,\vec e_2)=0$
    und mit der Bilinearit"at 
    $$\vec F(a\vec e_1 +b\vec e_2,c\vec e_1+d\vec e_2)=ad-bc$$
    \newpage
  \item Gegeben ein Ebene mit Drehsinn
    bezeichne nun $R$ die Drehung um einen rechten Winkel in Richtung des
    gegebenen Drehsinns. Gegeben zwei Vektoren $\vec v,\vec w$ erkl"aren wir
    ihr {\bf Skalarprodukt} durch die Formel
    $$S(\vec v,\vec w)\pdef \vec F(\vec v,R\vec w)$$
    In Worten aber weniger pr"azise ist das die Fl"ache des Paralellogramms,
    das von $\vec v$ und dem um einen rechten Winkel gedrehten Vektors $\vec w$
    aufgespannt wird, versehen mit dem richtigen Vorzeichen.
    \begin{figure}[htb]
 \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/SP}
 \end{figure} 
  \item Das Skalarprodukt hat gegen"uber dem Fl"achenprodukt zwei entscheidende Vorteile: Erstens h"angt es
    von der Wahl des Drehsinns gar nicht ab, denn "andern wir den Drehsinn,
    so "andern sich sowohl $\vec F$ zu $-\vec F$ als auch $R$ zu $-R$.
    Zweitens h"angt es nicht von der Reihenfolge der beiden Vektoren ab,
    denn $$\vec F(\vec w,R\vec v)=\vec F(R\vec w,RR\vec v)=
    \vec F(R\vec w,-\vec v)=\vec F(\vec v,R\vec w)$$
   \item
    Das Skalarprodukt ist Null, wenn zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen,
    denn dann ist $\vec F(\vec w,R\vec v)$ offensichtlich  Null.
  \item Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst
    $S(\vec v,\vec v)=\vec F(\vec v,R\vec v)$ ist offensichtlich
    das Quadrat
    seiner L"ange.
  \item
    Das Skalarprodukt ist  bilinear, da $\vec F$ bilinear ist.
  \item
    In Formeln finden wir auf unserem Rechenpapier von
    vorhin $R\vec e_1=\vec e_2$
    und $R\vec e_2=-\vec e_1$ und mit der Bilinearit"at 
    $$S(a\vec e_1 +b\vec e_2,c\vec e_1+d\vec e_2)=ac + bd$$
   \item
    Weil das  Skalarprodukt  nicht vom Drehsinn abh"angt,
    k"onnen wir es auch f"ur je zwei Vektoren des Raums erkl"aren, indem wir
    eine Ursprungsebene w"ahlen, in der unsere Vektoren alle beide
    liegen.
    Meist wird es nur eine derartige  Ursprungsebene geben,
    und sonst sind unsere Vektoren linear abh"angig. In jedem Fall 
    erhalten wir f"ur jede Wahl dasselbe Skalarprodukt.
    Auch f"ur Richtungsvektoren des  Raums
    ist unser Skalarprodukt bilinear, also
    $$S(\vec v_1+\vec v_2, \vec w)=S(\vec v_1, \vec w)+S(\vec v_2, \vec w) $$
    Um das zu sehen, d"urfen wir $\vec w\neq \vec 0$ annehmen
    und k"onnen $\vec v_i=\lambda_i\vec w + \vec v_i^{\perp}$ schreiben
    mit $\vec v_i^{\perp}$ senkrecht zu $\vec w$. Dann finden wir
    $$S(\vec v_1+\vec v_2, \vec w)= S((\lambda_1+\lambda_2)\vec w +
    (\vec v_1^{\perp}+\vec v_2^{\perp}), \vec w)=
    S((\lambda_1+\lambda_2)\vec w, \vec w)$$ In der Tat ist
    f"ur drei Vektoren in einer Urspungsebene die Regel  bereits bekannt
    und die Summe zweier auf $\vec w$ senkrechten
    Vektoren steht offensichtlich auch auf $\vec w$ senkrecht. 
    Andererseits finden wir direkt dasselbe Ergebnis f"ur die andere
    Seite.
  \item
    F"ur Vektoren $(x_1, x_2, x_3)$ und $(y_1, y_2, y_3)$ des $\DR^3$
    finden wir als ihr Skalarprodukt, indem wir sie als Linearkomnination
    der Standardbasisvektoren schreiben, die paarweise aufeinander
    senkrecht stehen, den Wert $$x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$$ in der
    Fl"acheneinheit gegeben
    als die Fl"ache des von zwei Vektoren der Standardbasis aufgespannten
    quadratischen Fl"achenelements.
    \item
    Auch das unorientierte Fl"achenprodukt vom Anfang unserer Diskussion k"onnen
    wir f"ur je zwei Richtungsvektoren des Raums sinnvoll erkl"aren.
    In Formelsprache f"uhrt es jedoch auf kompliziertere Ausdr"ucke und
    ist von geringerer Bedeutung als das Skalarprodukt.
  \item \nichtfinal{(Sp"ater!)} 
    Das {\bf Kreuzprodukt} in einem orientierten dreidimensionalen
    euklidischen Raum $V$ macht aus zwei
    Vektoren $\vec v,\vec w$ einen \glqq Vektor multipliziert mit
    einer L"angeneinheit\grqq. Wir notieren so ein Produkt
     $\vec u\otimes m$
    mit $\vec u$ einem Vektor und $m$ einer L"angeneinheit mit der
    Rechenregel, da"s f"ur jeden Skalar $\alpha>0$ gilt 
    $\vec u\otimes m=(\alpha \vec u)\otimes (\alpha^{-1}m)$
    im neuen
    Vektorraum $V\otimes\mathbb L$ dieser Produkte,
    den wir in \ref{DefT} formal
    einf"uhren.
    Anschaulich wird $\vec v\times \vec w$ dadurch festgelegt, da"s
    es senkrecht steht auf $\vec v$ und $\vec w$,
    da"s seine L"ange das Fl"achenprodukt
    $F( \vec v, \vec w)\in \mathbb L^{\otimes 2}$ ist
    und da"s im Fall einer von Null verschiedenen L"ange
    $(\vec v, \vec w, \vec u)$ eine positiv orientierte Basis bilden. 
    Sind etwa $\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3$ die Vektoren
    einer orientierten angeordneten Orthogonalbasis aus Vektoren der
    L"ange $m\in \mathbb L$, so finden wir
    $$\vec e_1\times \vec e_2=\vec e_3\otimes m$$
    Man "uberlegt sich nun anschaulich
    f"ur dieses Kreuzprodukt und einen beliebigen
    Testvektor $\vec r$ die Identit"at
    $$\langle \vec v\times \vec w, \vec r\;\!\rangle=
    \vec F(\vec v, \vec w, \vec r\;\!)$$
    mit dem \glqq orientierten Volumen\grqq\ rechts.
    Da as orientierte Volumen "ahnlich wie die orientierte Fl"ache
    aus anschaulichen Gr"unden linear ist in jeder Variablen,
    mu"s das auch f"ur das Kreuzprodukt gelten. So landet man dann
    bei der Erkenntnis, da"s unsere Konstruktion durch
    die "ublichen Formeln beschrieben wird. 
  \end{enumerate}
\end{Bemerkungl}
\subsection{Invariante Skalarprodukte zu Drehspiegelgruppen}
\begin{Definition}
   Sei $V$ ein reeller Vektorraum.
  Eine Teilmenge $A\subset V$ hei"st ein {\bf Strahl},\index{Strahl} wenn es einen Vektor $v\in V\backslash 0$ gibt mit $A=\DR_{\geq 0}v$.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  In der bisherigen Terminologie ist ein Strahl also eine
  vom Ursprung ausgehende Halbgerade in unserem Vektorraum, wenn wir ihn als
  affinen Raum auffassen. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
  Gegeben ein zweidimensionaler reeller Vektorraum
  $Z$ hei"se eine Untergruppe
  $O\subset \op{GL}(Z)$  eine 
  {\bf Drehspiegelgruppe},\label{lkg} wenn
  es f"ur je zwei Strahlen $A,B\subset Z$ genau zwei Elemente
  $k,h\in O$ gibt mit $k(A)=B=h(A)$. Die Elemente einer ausgezeichneten
  Drehspiegelgruppe nennen wir im folgenden {\bf Drehspiegelungen}.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
  Gegeben $(Z,s)$ ein zweidimensionaler reeller Vektorraum mit Skalarprodukt
   ist die orthogonale Gruppe $\op{O}(Z,s)$ eine Drehspiegelgruppe.
  Ich "uberlasse es dem Leser, daf"ur einen Beweis auszuschreiben.\label{ODS} 
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
  Sei $(Z,O)$ ein  zweidimensionaler reeller Vektorraum
  mit ausgezeichneter Drehspiegelgruppe.
  F"ur alle $v\in Z\backslash 0$ gibt es dann nach Annahme genau ein
  nichttriviales Element $r_v\in O\backslash \op{id}$ mit $r_v(\DR_{\geq 0}v)=\DR_{\geq 0}v$. 
  Es folgt erst $r_v^2=\op{id}$ und
  dann $r_v(v)=v$. Aus $r_v^2=\op{id}$ folgt andererseits, da"s $r_v$ die Eigenwerte $1$ und $(-1)$ hat.
Wir nennen $r_v$ die
  {\bf Spiegelung zu $v$}. Die Notation mag an \glqq Reflektion\grqq\ erinnern, der Buchstabe $s$ ist leider schon f"ur Skalarprodukte vergeben.
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}[\textbf{Drehspiegelungen mit negativer Determinante}] 
   Seien $(Z,O)$ ein  zweidimensionaler reeller Vektorraum
  mit Drehspiegelgruppe. So sind die Drehspiegelungen 
 mit 
 negativer Determinante genau die  Spiegelungen, in Formeln\label{RNDn}
 $$\{k\in O\mid \det(k)<0\}=\{r_v\mid v\in Z\backslash 0\}$$ 
\end{Lemma}
\begin{proof}
Ein Automorphismus   $r$ eines zweidimensionalen reellen Vektorraums mit 
    negativer Determinante mu"s nach \eref{REWV}{LA1} einen positiven und
    einen negativen Eigenwert haben.  Ist 
$r$ unsere Drehspiegelung und $v$ ein Eigenvektor von $r$ zum
    positiven Eigenwert, so mu"s $r$ die einzige 
nichttriviale Drehspiegelung
    sein, die den Strahl $\DR_{\geq 0} v$ festh"alt. 
\end{proof}
 \begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildVRGp}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
 \nichtfinal{Neu Malen mit $A,B$ statt $S,S'$!} Je zwei Strahlen
 in einem zweidimensionalen reellen Vektorraum mit ausgezeichneter
 Drehspiegelgruppe werden durch eine Spiegelung vertauscht.
Der ausgezeichnete Punkt stellt den Ursprung dar.
\end{minipage}
\end{figure}
\begin{Lemma}
   Seien $(Z,O)$ ein  zweidimensionaler reeller Vektorraum
  mit Drehspiegelgruppe. So
  werden je zwei Strahlen\label{VTRon} $A,B\subset Z$ durch genau
  eine Spiegelung
    aus $O$ miteinander vertauscht.
  \end{Lemma}
  \begin{proof}
Sicher 
gibt es stets eine Drehspiegelung $k$, die $A$ in $B$ "uberf"uhrt,
und eine Spiegelung $r$, die $A$ festh"alt. Dann 
hat von den beiden
    Drehspiegelungen $r$ und $kr$, die $A$ in $B$ "uberf"uhren, 
genau eine negative Determinante. Diese ist 
nach \ref{RNDn}  die
gesuchte Spiegelung.
    \end{proof}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Einf"uhren einer Norm}]
   Seien $(Z,O)$ ein  zweidimensionaler reeller Vektorraum
  mit Drehspiegelgruppe.  Sei $m\in Z\backslash 0$ ein fest
gew"ahlter von Null verschiedener Vektor.
F"ur jeden weiteren von Null verschiedenen Vektor 
$v\in Z\backslash 0$ gibt es offensichtlich genau eine 
Drehspiegelung $d\in O$ mit positiver Determinante, 
die den Strahl
$\DR_{\geq 0}v$ auf den Strahl $\DR_{\geq 0} m$ abbildet.
Wir k"onnen also eine positive reelle Zahl $\|v\|_m=\|v\|$
definieren durch die Forderung\label{efNn} 
$$d(v) =\|v\| m$$ Wir nennen diese positive reelle Zahl die
{\bf durch $m$ bestimmte Norm} oder kurz die {\bf $m$-Norm von} $v$.\index{Norm!eines Vektors} Vereinbaren
wir zus"atzlich $\|0\|=0$, so gilt offensichtlich $\|\mu v\|=\mu\|v\|$ f"ur
alle Vektoren $v\in Z$ und alle nichtnegativen reellen Zahlen $\mu\in\DR_{\geq 0}$.
Offensichtlich gilt auch $\|kv\|=\|v\|$ f"ur alle Drehspiegelungen $k\in O$
und wir haben f"ur $v,w\in Z$ sogar
$$\|v\|=\|w\|\quad\IFF\quad \exists k\in O\text{ mit }k( v)= w.$$ 
\end{Bemerkungl} 


\begin{Satz}[\textbf{Invariante Skalarprodukte zu Drehspiegelgruppen}]
 Seien $(Z,O)$ ein  zweidimensionaler reeller Vektorraum
 mit Drehspiegelgruppe. So besitzt $Z$ ein
 $O$-invariantes Skalarprodukt\label{ISD}
 und jede $O$-invariante Bilinearform auf $Z$ ist ein 
 Vielfaches dieses Skalarprodukts.
\end{Satz}

  \begin{proof}
 Gegeben Vektoren 
 $v,w\in Z$ mit $v\neq 0$ erkl"aren wir 
einen Skalar $\alpha_v(w)\in \DR$
 durch die Vorschrift $$\alpha_v(w)v=(w+r_vw)/2$$
\begin{figure}[htb]\centering
\includegraphics[height=0.2\textheight]{SkriptenBilder/BildARV}\\
\noindent 
Zur Definition von $\alpha_v(w)$. Im Bild
 h"atten wir
$\alpha_v(w)=1/3$.
\end{figure}
Das ist sinnvoll, da die rechte Seite offensichtlich ein Fixpunkt der
Spiegelung $r_v$ 
ist und folglich ein Vielfaches von $v$ sein mu"s. 
Die rechte Seite ist genauer der Fixpunktanteil von $w$ bei seiner
Zerlegung $w=w_v^++w_v^-$ in Eigenvektoren von $r_v$ 
zu den Eigenwerten $\pm 1$. Mit dieser Notation  gilt also 
$$\alpha_v(w)v=w_v^+$$
In der schmutzigen Anschauung mag man sich 
$w_v^+$  als das Bild von
$w$ unter der \glqq orthogonalen Projektion auf die Gerade $\DR v$\grqq\ vorstellen, wie Sie sie m"oglicherweise in der Schule bereits kennengelernt haben. 
Jetzt halten wir einen Vektor $m\in Z\backslash 0$ fest und erkl"aren  eine
Abbildung
$Z\times Z\ra\DR$, $(v,w)\mapsto 
\langle v,w\rangle$ durch die Vorschrift
$$\langle v,w\rangle \pdef
\left\{\begin{array}{cl} \|v\|^{2}\alpha_v(w) & v\neq 0;\\ 0 & v=0. 
\end{array}\right.$$
Wir zeigen im folgenden, da"s sie ein invariantes Skalarprodukt  ist. 
Offensichtlich gilt  $\langle v,v\rangle=\|v\|^{2}$ und
$w\mapsto \langle v,w\rangle$ ist linear f"ur alle $v$. 
Ist weiter $k\in  O$ eine Drehspiegelung, 
so gilt $kr_v=r_{kv}k$, denn beide
Abbildungen liegen in $O$, haben dieselbe Determinante und bilden $v$ auf $kv$ ab. 
Daraus folgt 
$\alpha_v(w)=\alpha_{kv}(kw)$ vermittels der Umformungen
$$\alpha_v(w)kv=(kw+kr_vw)/2=(kw+r_{kv}kw)/2=\alpha_{kv}(kw)kv$$
Es folgt
die Invarianz $\langle v,w\rangle=\langle kv,kw\rangle\;\forall k\in  O$.
Um schlie"slich zu zeigen,
da"s auch $v\mapsto \langle v,w\rangle$ linear ist f"ur alle $w$, 
reicht es, die Symmetrie $\langle v,w\rangle=\langle w,v\rangle$
zu pr"ufen. 
Es reicht, das f"ur $v\neq 0\neq w$ zu pr"ufen. 
Es reicht sogar, das unter der zus"atzlichen Voraussetzung $\|v\|=\|w\|$ zu
pr"ufen, denn offensichtlich gilt stets
$\langle \lambda v,w\rangle=\lambda\langle  v,w\rangle=\langle  v,\lambda
w\rangle$. 
Damit d"urfen wir nach \ref{VTRon} annehmen, da"s es eine Spiegelung
$r\in O$ gibt mit $rv=w$ und $r^2=\op{id}$. Es folgt $rw=v$ und
so die gew"unschte Symmetrie
$\langle  v,w\rangle=\langle  rv,rw\rangle=\langle  w,v\rangle$.
Damit liefert unsere Konstruktion in der Tat das gesuchte 
invariante Skalarprodukt. 
 Um die Eindeutigkeit bis auf Skalar zu zeigen,
  w"ahlen wir $v\in Z\backslash 0$ und einen Eigenvektor $w$ von $r_v$ zum
  Eigenwert $-1$ derart, da"s es eine Drehspiegelung $d\in O$ gibt mit
  $dv=w$. F"ur jede invariante Bilinearform  $\langle\;,\;\rangle$ gilt dann
  $$\langle v,w\rangle
  =\langle r_vv,r_vw \rangle
  =\langle v,-w \rangle
  =-\langle v,w \rangle
$$ und damit $\langle v,w\rangle=0$.
  Weiter gilt  $\langle v,v\rangle =\langle dv,dv \rangle=\langle w,w \rangle$ und so 
 $$\langle av+bw, xv+yw\rangle=(ax+by)\langle v,v\rangle$$
  Das zeigt die behauptete Eindeutigkeit bis auf Skalar.
  \end{proof}
  \begin{Korollar}[\textbf{Invariante Skalarprodukte zu Kongruenzebenen}]
    Zu jeder Kongruenzebene gibt es ein invariantes Skalarprodukt und jede
    invariante Bilinearform ist ein Vielfaches dieses Skalarprodukts.\label{edsk} 
  \end{Korollar}
  \begin{proof}
    Gegeben eine Kongruenzebene $(E,K)$ ist offensichtlich
    $\vec K\subset \op{GL}(\vec E)$ eine Drehspiegelgruppe.
    Damit folgt die Behauptung aus Satz \ref{ISD} "uber invariante
    Skalarprodukte zu Drehspiegelgruppen.
  \end{proof}
 \begin{Proposition}[\textbf{Drehspiegelgruppe als orthogonale Gruppe}]
 Seien $(Z,O)$ ein  zweidimensionaler reeller Vektorraum
 mit Drehspiegelgruppe und $s$ ein
 $O$-invariantes Skalarprodukt. So ist unsere Drehspiegelgruppe
 die orthogonale Gruppe zu $s$, in Formeln\label{KGAF}
 $$O=\op{O}(Z,s)$$
 \end{Proposition}
 \begin{proof}
   Per definitionem haben wir $O\subset \op{O}(Z,s)$ und nach \ref{ODS} ist
   auch $\op{O}(Z,s)$ eine Drehspiegelgruppe. Beide Gruppen haben also dieselben Elemente mit negativer Determinante, n"amlich unsere Spiegelungen
   $r_v$ mit $v\in Z\backslash 0$. Sie m"ogen als "Ubung \ref{DrSE} zeigen,
   da"s jede  Drehspiegelgruppe von ihren Spiegelungen erzeugt wird. Das
   beendet dann den Beweis.
 \end{proof}
 \begin{Korollar}[\textbf{Kongruenzgruppe als orthogonalaffine Gruppe}]
    Gegeben ein invariantes Skalarprodukt $s$ zu einer Kon\-gru\-enz\-ebe\-ne $(E,K)$ sind die Kongruenzen genau alle Affinit"aten mit $s$-orthogonalem linearen Anteil, in Formeln\label{kgaf}
  $$K=\{\varphi\in\op{Aff}E\mid \vec \varphi\in\op{O}(s)\}$$
  \end{Korollar}
 \begin{proof}
   Weil unsere Kongruenzgruppe nach Annahme alle Richtungsvektoren enth"alt,
   haben wir schon mal $K=\{\varphi\in\op{Aff}E\mid \vec \varphi\in\vec K\}$.
   Damit folgt das Korollar direkt aus unserer Proposition \ref{KGAF}.
 \end{proof}

 \subsubsection*{"Ubungen}
 \begin{Ubung}
   Jede Drehspiegelgruppe wird von ihren Spiegelungen erzeugt.\label{DrSE}
 \end{Ubung}



\begin{Ubung}[\textbf{Eindeutigkeit von Kongruenzebenen}] 
Ein
{\bf Isomorphismus von Kongruenzebenen}\index{Isomorphismus!von Kongruenzebenen}  $(E,K)$ und $(F,L)$
ist ein Isomorphismus $\varphi:E\sira F$ von  affinen R"aumen,
 unter dem sich die jeweils
ausgezeichneten Kongruenzgruppen entsprechen, in Formeln $L=\varphi K\varphi^{-1}$. Man zeige, da"s je zwei\label{EiKEn}  
 Kongruenzebenen $E,F$ isomorph sind.
 Man zeige genauer, da"s es
 f"ur beliebige Paare von je zwei verschiedenen Punkten
 $(p,q)\in E\times E$ sowie $(b,d)\in F\times F$\label{EDKE} 
genau zwei Isomorphismen $\phi,\psi:E\sira F$  von Kongruenzebenen gibt,
 die $(p,q)$ in $(b,d)$ "uberf"uhren. 
  Man mag etwa zeigen, da"s jedes Beispiel zu dem in  \ref{KZKE} gegebenen
  Beispiel isomorph sein mu"s.
\end{Ubung}






\begin{Ubung}[\textbf{Gleichsinnige Kongruenzen}]
  Die einzige 
  gleichsinnige Kongruenz einer Kongruenzebene mit mehr als einem Fixpunkt ist\label{OEKO}
  die Identit"at.   Jede gleichsinnige Kongruenz 
  einer Kongruenzebene  ohne Fixpunkt ist eine Trans\-la\-tion.
  Jede gleichsinnige Kongruenz unserer Kongruenzebene $\DC$ aus \ref{KZKE} mit Fixpunkt $p$ hat die Gestalt
  $p+z\mapsto p+\lambda z$ f"ur $\lambda\in\DC$ mit $|\lambda|=1$.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Gegensinnige Kongruenzen}]
 Jede
  gegensinnige Kongruenz einer Kongruenzebene\label{OEGO}
  stabilisiert genau eine reelle affine Gerade.  
  Jede gegensinnige Kongruenz unserer Kongruenzebene $\DC$ aus \ref{KZKE}, die $\DR$ stabilisiert,
  hat die Gestalt
  $z\mapsto a+\bar z$ f"ur $a\in\DR$.
\end{Ubung}






\begin{Ubung}[\textbf{"Ahnlichkeiten}] 
 Ein Isomorphismus einer Kongruenzebene mit
sich selber hei"st eine {\bf "Ahnlichkeitsabbildung}
oder  {\bf "Ahnlichkeit}.\index{"Ahnlichkeit} Man zeige,
da"s die "Ahnlichkeiten unserer Kongruenzebene $\DC$ aus \ref{KZKE} genau alle
Abbildungen sind, die eine der beiden Gestalten
$z\mapsto az+b$ oder $z\mapsto a\bar z+b$ haben
mit $a,b\in \DC$ und $a\neq 0$. Man folgere, da"s  alle "Ahnlichkeiten einer Kongruenzebene, die
keine Kongruenzen sind, genau einen Fixpunkt haben m"ussen, und argumentiere heuristisch,
da"s sie entweder \glqq Drehstreckungen\grqq\ oder
\glqq Spiegelstreckungen\grqq\ sein m"ussen.
\end{Ubung}


\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDrAeh}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
 Einige Dreiecke, die durch "Ahnlichkeiten ineinander 
"uberf"uhrt werden k"onnen. Man nennt sie  auch 
{\bf "ahnliche Dreiecke}.\index{"ahnlich!Dreiecke} 
\end{minipage}
\end{figure}










\newpage 
\section{Skalarproduktr"aume}
\subsection{Geometrie von Skalarproduktr"aumen}\label{GEV}
\begin{Bemerkungl}
Im Vorhergehenden haben wir aus der r"aumlichen Anschauung 
heraus den Begriff des Skalarprodukts entwickelt.
Im folgenden bauen wir umgekehrt f"ur allgemeine Vektorr"aume
mit Skalarprodukt eine sich an dieser r"aumlichen Anschauung
orientierende Begrifflichkeit auf und zeigen, wie sich viele
im Raum unserer Anschauung offensichtliche
Tatsachen algebraisch formalisieren und 
auf diesen Kontext verallgemeinern lassen. Ich schreibe eine Weile wieder
Vektoren mit Pfeil, damit man die $i$-te Komponente $v_i$ eines
Vektors $\vec v=(v_1,\ldots,v_n)\in \Bbb{R}^n$ und den $i$-ten Vektor $\vec v_i$
einer Familie
$\vec v_1,\ldots,\vec v_n$ von Vektoren besser auseinanderhalten kann.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Ich beginne mit  Erinnerungen. 
Gegeben ein K"orper $K$ und ein $K$-Vek\-tor\-raum $V$ hei"st 
eine bilineare Abbildung $b:V\times V\ra K$ wie in \eref{bili}{LA1} eine
\defind{Bilinearform} {\bf auf $V$}. 
Wie in \eref{aLT}{LA1} hei"st
eine  Bilinearform $b$ 
{\bf symmetrisch},\index{symmetrisch!Bilinearform} 
 wenn gilt
  $b( \vec{v},\vec{w})=b(\vec{w},\vec{v})$ f"ur alle $\vec{v},\vec{w}\in V$. Ist $K$ ein
angeordneter K"orper, so hei"st eine  Bilinearform  $b$  wie in  \ref{posd} 
{\bf positiv definit},\index{positiv definit!Bilinearform} 
 wenn gilt 
$\vec{v}\neq \vec{0}\RA b(\vec{v},\vec{v})>0$. 
 Ein  {\bf Skalarprodukt}\index{Skalarprodukt} auf einem Vektorraum "uber einem
 angeordneten K"orper ist wie in \ref{SKP} 
 eine symmetrische positiv definite Bilinearform.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
  Auf $V=\Bbb{R}^n$ erh"alt man ein Skalarprodukt durch die Vorschrift $$\langle
  \vec{v},\vec{w}\rangle\pdef v_1 w_1+\ldots + v_n w_n$$ f"ur
  $\vec{v}=(v_1,\ldots,v_n)$ und $\vec{w}=(w_1,\ldots,w_n)$. Es hei"st das
  \defind{Standard-Skalar\-pro\-dukt}. Man findet f"ur das Standardskalarprodukt
  oft die alternative Notation $ \vec{v}\cdot\vec{w}$.
Im Formalismus der
Matrixmultiplikation und mit unserer Interpretation von
Elementen des $\Bbb{R}^n$ als  Spaltenvektoren und
Elementen von $\DR$ als reellen $(1\times 1)$-Matrizen 
k"onnen wir es 
auch schreiben als Produkt eines Zeilenvektors mit einem
Spaltenvektor $\langle
  \vec{v},\vec{w}\rangle
\pdef \vec{v}^\top\circ \vec{w}$.
\end{Beispiel}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation f"ur Skalarprodukte im Komplexen}] 
F"ur die nun folgende Erweiterung des Begriffs eines Skalarprodukts ins
Komplexe kenne ich keine anschauliche Begr"undung. Es wird sich jedoch
erweisen, da"s das Zusammenwirken der algebraischen Abgeschlossenheit der
komplexen Zahlen mit den Positivit"atseigenschaften eines Skalarprodukts
Resultate liefert, die auch  interessante
Konsequenzen f"ur reelle Vektorr"aume 
haben. Beispiele daf"ur sind die S"atze  "uber die 
Normalform orthogonaler Matrizen \ref{NFO} oder "uber die
Hauptachsentransformation  \ref{HaTT}. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Ein {\bf Skalarprodukt}\index{Skalarprodukt!auf komplexem Vektorraum} auf
einem komplexen Vektorraum $V$ ist eine Abbildung
$V\times V\ra\Bbb{C}$, $(\vec{v},\vec{w})\mapsto\langle 
\vec{v},\vec{w}\rangle$ derart,\label{KSP}
da"s f"ur alle $\vec{u},\vec{v},\vec{w}\in V$ 
und $\lambda,\mu\in\DC$ 
gilt:\index{)5>@$\langle \vec{v}, \vec{w}\rangle$ Skalarprodukt} 
\begin{enumerate}
\item
$\langle \vec{u},\vec{v}+\vec{w}\rangle=\langle 
\vec{u},\vec{v}\rangle+\langle \vec{u},\vec{w}\rangle$ und $
\langle \vec{v},\lambda \vec{w}\rangle=\lambda\langle 
\vec{v},\vec{w}\rangle;$
\item
$\langle \vec{u}+\vec{v},\vec{w}\rangle=\langle \vec{u},
\vec{w}\rangle+\langle \vec{v},\vec{w}\rangle$ und
$\langle \mu \vec{v},\vec{w}\rangle=\bar{\mu}\langle \vec{v},\vec{w}\rangle.$
Bei Herausziehen eines Skalars $\mu$ im ersten Eintrag mu"s also besagter
Skalar konjugiert werden;
\item
$\langle \vec{v},\vec{w}\rangle=\overline{\langle \vec{w},\vec{v}\rangle}$,
insbesondere also $\langle \vec{v},\vec{v}\rangle\in\Bbb{R};$
\item
$\vec{v}\neq \vec{0}\RA \langle \vec{v},\vec{v}\rangle > 0$.
\end{enumerate}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Nebenbei bemerkt folgt hier 2 schon aus 1 und 3,
aber es kann auch nicht schaden, diese Formeln nochmal explizit
hinzuschreiben.\label{ISAA} 
Ganz allgemein hei"st eine Abbildung $f:V\ra W$ von komplexen Vektorr"aumen
\defind{schieflinear}, wenn gilt $f(\vec{v}+\vec{w})=
f(\vec{v})+f(\vec{w})$ und $f(\mu\vec{v})=\bar{\mu}f(\vec{v})$ f"ur alle
 $\vec{v},\vec{w}\in V$ und $\mu\in\DC$. 
Die ersten beiden Teile unserer Definition k"onnen also dahingehend
zusammengefa"st werden, da"s unser Skalarprodukt schieflinear ist im
ersten Eintrag und linear im zweiten.
Eine Abbildung $V\times V\ra\DC$, die nur diese beiden Bedingungen
1 und 2 erf"ullt, nennt man eine
\defind{Sesquilinearform}. Gilt zus"atzlich 3, so hei"st die
Sesquilinearform \defind{hermitesch} nach dem franz"osischen Mathematiker 
Hermite.
Das Standardbeispiel ist $V=\DC^n$ mit dem Skalarprodukt
$\langle \vec{v},\vec{w}\rangle=\bar{v}_1 w_1+\ldots +\bar{v}_n w_n$
f"ur $\vec{v}=(v_1,\ldots,v_n)$ und $\vec{w}=(w_1,\ldots,w_n)$.
Mithilfe der Matrixmultiplikation kann dies Skalarprodukt auch
geschrieben werden als
$$\langle \vec{v},\vec{w}\rangle=\overline{\vec{v}}^\top \circ\vec{w}$$
Der Strich "uber einer Matrix mit komplexen Eintr"agen 
 meint dabei das komplexe Konjugieren aller Eintr"age. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}]
Viele Autoren verwenden die abweichende Konvention,
nach der im komplexen Fall ein Skalarprodukt linear im ersten
und schieflinear im zweiten Eintrag sein soll. Ich ziehe die hier gegebene
Konvention vor, da dann bei der Interpretation von 
$\langle \vec{v},\vec{w}\rangle$
als \glqq $\vec{v}$  auf $\vec{w}$ angewendet\grqq\  dieses Anwenden von $\vec{v}$
linear ist. 
In der physikalischen Literatur findet man meist die 
abweichende Notation\index{)5>@$\langle \vec{v}{\mid}\vec{w}\rangle$ Skalarprodukt}  
$\langle \vec{v}|\vec{w}\rangle$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Einen reellen beziehungsweise komplexen Vektorraum mit Skalarprodukt nennen wir
einen reellen beziehungsweise  komplexen
{\bf Ska\-lar\-pro\-dukt\-raum}\index{Skalarproduktraum}.
In einem reellen oder komplexen Skalarproduktraum definiert man\label{IMNo}  
die %{\bf L"ange}\index{L"ange!eines Vektors} oder
{\bf Skalarproduktnorm}\index{Skalarproduktnorm} oder kurz
 {\bf  Norm}\
$\|\vec{v}\| \in\Bbb{R}$ eines Vektors $\vec{v}$ durch
die Formel $$\| \vec{v}\| \pdef\sqrt{\langle \vec{v},\vec{v}\rangle}$$
Vektoren $ \vec{v}$ der Norm  $\| \vec{v}\|=1$ hei"sen {\bf normal}\index{normal!Vektor}.
Mit dem {\bf Abstand}\index{Abstand} zwischen zwei  Vektoren $\vec{v},\vec{w}$
meinen wir die Norm $\|\vec{v}-\vec{w}\|$ ihrer Differenz.
Zwei Vektoren $\vec{v},\vec{w}$ 
hei"sen {\bf orthogonal}\index{orthogonal!Vektoren} 
und man schreibt
$\vec{v}\perp \vec{w}$,\index{)8@$\perp$ orthogonal!in Skalarproduktraum} 
 wenn gilt
$\langle \vec{v},\vec{w}\rangle=0$.
Man sagt dann auch, $\vec{v}$ und $\vec{w}$ 
{\bf stehen senkrecht aufeinander}.  
Manchmal verwendet man das Symbol $\perp$ auch f"ur allgemeinere 
Teilmengen $A,B$ eines Skalarproduktraums und schreibt
$A\perp B$ als Abk"urzung 
f"ur die Aussage $(\vec{v}\perp \vec{w}\;\forall \vec{v}\in A, 
\vec{w}\in B)$. 
\end{Definition}

  \begin{Bemerkungl}
    In einem reellen oder komplexen
    Skalarproduktraum gilt $\|\lambda\vec v\|=|\lambda
    |\|\vec v\|$ f"ur alle Vektoren $\vec v$ und alle Skalare
    $\lambda\in\DR$ beziehungsweise $\lambda\in\DC$. In der Tat haben wir ja
$$\|\lambda\vec v\|^2=\langle\lambda\vec v,\lambda\vec v\rangle=
\bar\lambda\lambda\langle\vec v,\vec v\rangle=|\lambda
    |^2\|\vec v\|^2$$
  \end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}
Einen
komplexen Skalarproduktraum 
nennt man einen 
{\bf unit"aren Raum}\index{unit"ar!Raum} und im Kontext der Definition  
allgemeiner Hil\-bert\-r"au\-me auch einen {\bf Pr"ahil\-bert\-raum} oder im
endlichdimensionalen Fall einen\label{euk} 
{\bf endlichdimensionalen Hil\-bert\-raum}.\index{Hilbertraum!endlichdimensionaler}
\index{Pr"ahilbertraum}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungw}[\textbf{Diskussion der Terminologie}]
  Einen reellen Skalarproduktraum nennt man vielfach
  einen \glqq euklidischen 
  Vektorraum\grqq.\index{euklidisch!Vektorraum} Ich schlie"se mich dieser
  Terminologie nicht an und erkl"are stattdessen einen euklidischen Vektorraum
  in \ref{Eukl}  als einen reellen Vektorraum mit einem
  \glqq nur bis auf einen Skalar eindeutig bestimmten 
  Skalarprodukt\grqq. 
\end{Bemerkungw}
\begin{Bemerkungl}
Stehen zwei Vektoren
$\vec{v},\vec{w}$ eines Skalarproduktraums senkrecht aufeinander,
so gilt der {\bf Satz des Pythagoras}\index{Pythagoras, Satz von}
$$\| \vec{v}+\vec{w}\|^2=\|\vec{v}\|^2+\|\vec{w}\|^2$$ 
In der Tat folgt ja aus $\vec{v}\perp \vec{w}$ schon
$$\langle \vec{v}+\vec{w},\vec{v}+\vec{w}\rangle=
\langle \vec{v},\vec{v}\rangle+\langle \vec{v},\vec{w}\rangle
+\langle \vec{w},\vec{v}\rangle
+\langle \vec{w},\vec{w}\rangle=\langle \vec{v},\vec{v}\rangle
+\langle \vec{w},\vec{w}\rangle$$ 
Im Reellen gilt hier auch die Umkehrung. Im Komplexen 
ist dahingegen die Identit"at 
$\| \vec{v}+\vec{w}\|^2=\|\vec{v}\|^2+\|\vec{w}\|^2$
gleichbedeutend zu $\op{Re}\langle \vec{w},\vec{v}\rangle=0$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Eine Familie $(\vec{v}_i)_{i\in I}$ von Vektoren eines 
Skalarproduktraums hei"st ein
{\bf Orthonormalsystem},\index{Orthonormalsystem} 
wenn die Vektoren $\vec{v}_i$ alle die Norm\label{ons} 
$1$
haben und paarweise aufeinander senkrecht stehen, wenn also 
 in Formeln mit dem Kroneckerdelta aus \eref{Kdel}{LA1}
gilt
$$\langle \vec{v}_{i}, \vec{v}_{j}\rangle =\delta_{ij}$$ 
Ein Orthonormalsystem, das eine Basis ist, hei"st eine
{\bf Orthonormalbasis}.\index{Orthonormalbasis}
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl} Eine Teilmenge $T$ eines Skalarproduktraums hei"st ein
  {\bf Orthonormalsystem} beziehungsweise eine {\bf  Orthonormalbasis},
  wenn die Vektoren von $T$ alle die Norm $1$ haben,
  paarweise aufeinander senkrecht stehen\label{onss} 
   und im Fall einer Orthonormalbasis zus"atzlich eine
  Basis bilden. Das bedeutet in anderen Worten, da"s unsere Teilmenge
  als durch sich selbst indizierte Familie die
  jeweilige  in \ref{ons} f"ur Familien formulierte Eigenschaft hat. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
 Ist $V$ ein Skalarproduktraum und $(\vec{v}_i)_{i\in I}$
ein Orthonormalsystem und 
$\vec{w}=\sum \lambda_i\vec{v}_i$
die Darstellung eines Vektors
$\vec{w}\in V$, so erhalten wir durch Davormultiplizieren von $\vec{v}_j$
sofort  $\lambda_j=\langle \vec{v}_j,\vec{w}\rangle $. 
Insbesondere ist jedes Orthonormalsystem linear unabh"angig.
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}
Jeder endlichdimensionale reelle oder komplexe 
Skalarproduktraum besitzt eine Orthonormalbasis.\label{ONBB}
\end{Proposition}
\begin{proof}
Ist unser Raum der Nullraum, so tut es die leere Menge. Sonst
finden wir einen von Null verschiedenen Vektor und erhalten,
indem wir ihn mit dem Kehrwert seiner Norm 
multiplizieren, sogar einen Vektor $\vec{v}_1$ der Norm Eins.
Die lineare Abbildung $\langle \vec{v}_1, \;\rangle$ ist nicht die
Nullabbildung und hat folglich nach der Dimensionsformel
\eref{DiFo}{LA1} als Kern
einen Untervektorraum einer um
Eins kleineren Dimension.
Eine offensichtliche Induktion beendet  den Beweis.
\end{proof}



\begin{Bemerkungl}\label{ORE}
Gegeben ein Skalarproduktraum $V$ und eine Teilmenge 
$T\subset V$ setzen wir 
$$T^\perp\pdef\{v\in V\mid v\perp t\;\;\forall t\in T\}$$
und nennen diese Menge den 
{\bf Orthogonalraum}\index{Orthogonalraum}
von $T$ in $V$.\index{)6perp@$T^\perp$ Orthogonalraum von $T$} 
Offensichtlich ist der Orthogonaleraum
einer beliebigen Teilmenge $T\subset V$ ein
Untervektorraum von $V$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Proposition}[\textbf{Orthogonales Komplement}]%\label{OK}
Gegeben ein Skalarprodukt\-raum $V$ und ein
endlichdimensionaler Untervektorraum 
$U\subset V$ ist der Orthogonalraum von $U$ in 
$V$ auch ein Vektorraumkomplement, in Formeln\label{OKn}
$$V=U\oplus U^\perp$$
\end{Proposition}
\begin{Bemerkunge}
  Die Proposition gilt auch f"ur Skalarproduktr"aume 
 "uber einem beliebigen angeordneten K"orper.
Der Beweis mu"s f"ur diesen Fall allerding umgeschrieben werden, da 
in dieser Allgemeinheit auch ein endlichdimensionaler Skalarproduktraum
nicht notwendig eine Orthonormalbasis hat.
\end{Bemerkunge}
\begin{proof}
Nat"urlich gilt $U\cap U^\perp=0$. Es reicht also zu zeigen,
da"s jeder Vektor $\vec{w}\in V$
dargestellt werden kann als
$$\vec{w}=\vec{p}+\vec{r}$$
mit $\vec{p}\in U$ und $\vec{r}\in U^\perp$.
Nach \ref{ONBB} besitzt nun $U$ eine Orthonormalbasis
$\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n$.
Machen wir den Ansatz $\vec{p}=\sum \lambda_i \vec{v}_i$, so folgt
$\langle \vec{v}_i,\vec{w}\rangle = \langle \vec{v}_{i},\vec{p} \rangle 
=\lambda_i$ und 
damit die Eindeutigkeit von $\vec{p}$.
Andererseits steht aber mit diesen $\lambda_i$ der 
Vektor $\vec{r}=\vec{w}-\sum \lambda_i \vec{v}_i$
auch tats"achlich senkrecht auf allen $\vec{v}_i$,
denn wir finden
\begin{equation*}
 \langle \vec{v}_{j},\vec{r} \rangle =
\langle \vec{v}_{j},\vec{w} \rangle-
\sum \lambda_i \langle \vec{v}_{j},\vec{v}_i\rangle=
\langle \vec{v}_{j},\vec{w} \rangle-\lambda_j=0
\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}



\begin{Bemerkungl}
Sagen wir von zwei Untervektorr"aumen eines Skalarproduktraums,
sie seien {\bf orthogonal},\index{orthogonal!Teilr"aume}
so ist gemeint, da"s jeder Vektor des einen Teilraums zu jedem Vektor 
des anderen Teilraums orthogonal ist.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Gegeben $U\subset V$ ein Untervektorraum eines Skalarproduktraums
  verstehen wir unter einem  {\bf orthogonalen Komplement} von $U$ in 
$V$\index{Komplement!orthogonales}\index{orthogonal!Komplement}
einen Untervektorraum $W\subset V$, der  sowohl ein Vektorraumkomplement 
 ist als auch orthogonal zu $U$.
Wenn es ein derartiges orthogonales Komplement gibt, mu"s es
offensichtlich der Orthogonalraum $W=U^\perp$ sein.
Es kann aber im Fall unendlichdimensionaler Skalarproduktr"aume
durchaus vorkommen, da"s der Orthogonalraum von $U$ kein
Vektorraumkomplement ist und da"s damit der Untervektorraum $U$ kein
orthogonales Komplement besitzt. Ein Beispiel daf"ur gibt 
"Ubung \ref{SoP}. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{BOZ}
  Besitzt  ein Untervektorraum eines Skalarproduktraums $U\subset V$
  ein orthogonales Komplement, haben wir also $V=U\oplus U^\perp$,
  so kann jeder Vektor $\vec w\in V$ eindeutig geschrieben werden als
  $\vec w=\vec p+\vec r$ mit $\vec p\in U$ und $\vec r\in U^\perp$.
  Die Abbildung $\vec{w} \mapsto \vec{p}$ ist dann offensichtlich linear und 
hei"st die 
{\bf or\-tho\-go\-na\-le Projektion}\index{orthogonale Projektion} auf den
 Untervektorraum $U$.
Sie ist in der Terminologie von \eref{IdPo}{LA1} die 
Projektion auf $U$ l"angs $U^\perp$.
Man beachte, da"s die orthogonale
Projektion von $\vec{w}$
auf $U$ genau derjenige Punkt $\vec{p}$ unseres Untervektorraums $U$ ist, 
der den kleinsten Abstand zu $\vec{w}$ hat.
F"ur jeden Vektor $\vec{v}\neq \vec{0}$ aus unserem Untervektorraum 
gilt n"amlich nach Pythagoras
$$\|(\vec{p}+\vec{v})-\vec{w}\|^2
=\|\vec{p}-\vec{w}\|^2+\|\vec{v}\|^2> \|\vec{p}-\vec{w}\|^2$$  
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungw}
  Man beachte, da"s unsere orthogonale Projektion mit Ausnahme des Extremfalls $U=V$ keineswegs eine orthogonal Abbildung im Sinne von \ref{DeFu} ist.
\end{Bemerkungw}
\begin{Satz}\label{CSU} 
  \begin{enumerate}
  \item F"ur beliebige Vektoren $\vec{v},\vec{w}$ eines 
   reellen oder komplexen  Skalarproduktraums 
gilt die \emph{\bf Cauchy-Schwarz'sche 
Ungleichung}\index{Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung}
    $$|\langle \vec{v},\vec{w}\rangle| \leq \|\vec{v}\| \|\vec{w}\|$$
    mit
    Gleichheit genau dann, wenn $\vec{v}$ und $\vec{w}$ linear abh"angig sind;
  \item
  F"ur beliebige Vektoren $\vec{v},\vec{w}$ eines 
  reellen oder komplexen   Ska\-lar\-pro\-dukt\-raums gilt die 
\emph{\bf Dreiecksungleichung}\index{Dreiecksungleichung!in euklidischem 
Vektorraum}\label{ENNo2}
    $$\| \vec{v}+\vec{w}\|\leq \|\vec{v}\|+\|\vec{w}\|$$
mit Gleichheit genau dann, wenn 
einer unserer Vektoren ein nichtnegatives Vielfaches des anderen ist, 
in Formeln 
$\vec{v}\in\DR_{\geq 0}\vec{w}$ oder $\vec{w}\in\DR_{\geq 0}\vec{v}$.
\end{enumerate}\label{ENNo} 
\end{Satz}
\begin{Bemerkunge}
  Dieser Satz zeigt insbesondere, 
da"s unsere Skalarproduktnorm auch im Sinne der Analysis \eref{SSDN}{AN2}
 eine Norm ist.
\end{Bemerkunge}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Verschiedene Ans"atze zum 
Beweis der Dreiecksungleichung}]
Man mag  versucht sein, die Dreiecksungleichung zu beweisen,
indem man eine Ecke des Dreiecks orthogonal auf die gegen"uberliegende Kante
projiziert und bemerkt, da"s die beiden anderen Kanten dabei nach Pythagoras
nur k"urzer werden k"onnen. Leider f"uhrt diese anschaulich
besonders  "uberzeugende
Beweisidee bei der Ausformulierung 
in ein unangenehmes Dickicht von Fallunterscheidungen, so
da"s ich die im folgenden gegebene weniger anschauliche 
Darstellung vorgezogen habe.
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[tb]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildCS}\\[4mm]
\noindent Illustration zum Beweis der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung.
Wir haben darin $\vec{v}=(1,0)$, $\vec{w}=(9,6)$, 
$\langle\vec{v}, \vec{w}\rangle =9$, $\vec{p}=(9,0)$,
$\vec{r}=(0,6)$.
\end{figure}

\begin{proof}
Um Teil 1 zu zeigen, nehmen wir zun"achst
$\|\vec{v}\|=1$ an.
Das Bild $\vec{p}$ eines weiteren Vektors $\vec{w}$ unter
der orthogonalen Projektion
auf die Gerade $\DR \vec{v}$ wird dann nach \ref{OKn} 
oder genauer seinem Beweis 
gegeben durch die Formel
   $\vec{p}=\langle \vec{v},\vec{w}\rangle
  \vec{v}$. 
Erkl"aren wir $\vec{r}$ durch $\vec{w}=\vec{p}+\vec{r} $,
so steht demnach oder auch nach elementarer Rechnung
$\vec r$ senkrecht auf $\vec v$ und wir
erhalten unter Zuhilfenahme des Pythagoras
$$|\langle \vec{v},\vec{w}\rangle|^2=
\|\vec p \|^2\leq \|\vec{p}\|^2+\|\vec{r}\|^2
  =\|\vec{w}\|^2$$ Das zeigt die Ungleichung 
$|\langle \vec{v},\vec{w}\rangle|\leq \|\vec{v}\|
  \|\vec{w}\| $ mit Gleichheit genau
  dann, wenn gilt $\vec{r}=\vec{0}$ alias wenn $\vec{w}$ ein Vielfaches von
  $\vec{v}$ ist.  Diese Ungleichung mu"s aber offensichtlich erhalten
  bleiben, wenn wir darin $\vec{v}$ durch ein Vielfaches ersetzen, und so
  erhalten wir dann f"ur beliebige Vektoren $\vec{v},\vec{w}$ eines beliebigen
  Skalarproduktraums die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung
  $|\langle \vec{v},\vec{w}\rangle| \leq \|\vec{v}\| \|\vec{w}\|$
  mit
  Gleichheit genau dann, wenn $\vec{v}$ und $\vec{w}$ linear abh"angig sind.
  Daraus hinwiederum ergibt sich, indem man beide Seiten
  quadriert, sofort die Dreiecksungleichung
  $\| \vec{v}+\vec{w}\|\leq \|\vec{v}\|+\|\vec{w}\|$.
Der Beweis der letzten Aussage von Teil 2 sei dem 
Leser zur "Ubung "uberlassen.
\end{proof}

\begin{proof}[Alternativer Beweis der Ungleichung von Cauchy-Schwarz]
 Man findet 
$$f(t)\pdef \langle \vec v+t\vec w,\vec v+t\vec w\rangle
 =\langle \vec v, \vec v\rangle + 2t\op{Re}\langle\vec v, \vec w\rangle+ t^2\langle\vec w, \vec w\rangle\geq 0\quad\forall t\in\DR$$
 Aus $\langle\vec w, \vec w\rangle=0$ folgt
 $\op{Re}\langle\vec v, \vec w\rangle=0$ f"ur alle $\vec v$. 
 Haben wir $\langle\vec w, \vec w\rangle\neq 0$,
 so findet man das Minimum unserer Funktion von $t$  mit Hilfe der Bedingung
 $f'(t_0)=0$ bei 
$t_0=-\op{Re}\langle\vec v, \vec w\rangle/\| \vec w\|^2$. 
Aus $f(t_0)\geq 0$ folgt dann unmittelbar die Cauchy-Schwarz'sche 
Ungleichung. Ich selbst ziehe 
den anderen Beweis vor, weil er meine 
Anschauung mehr anspricht und "ahnlich f"ur 
alle angeordneten Grundk"orper  funktioniert. Der zweite Beweis
l"a"st sich dahingegen leichter  auf \glqq positiv semidefinite hermitesche Formen\grqq\ verallgemeinern. 
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}
Ist $V$ ein Skalarproduktraum und $\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n$
ein endliches Orthonormalsystem,\label{BUG} so gilt f"ur jeden Vektor
$\vec w\in V$  die
sogenannte {\bf Bessel'sche Ungleichung}\index{Bessel'sche Ungleichung}
$$\|\vec{w}\|^2\geq\sum_{i=1}^n |\langle \vec{v}_{i},\vec{w}\rangle|^2$$
In der Tat ist nach Pythagoras 
f"ur jeden Vektor $\vec{w}\in V$   seine orthogonale Projektion
$\vec{p}$ auf den von unserem  
Orthonormalsystem erzeugten Teilraum h"ochstens so
lang wie der Vektor selbst, in Formeln $\|\vec{w}\|\geq \|\vec{p}\;\!\|$ alias
$\|\vec{w}\|^2\geq \|\vec{p}\;\!\|^2$. Setzen wir in diese Erkenntnis
 unsere Darstellung 
$\vec{p}=\sum \langle \vec{v}_{i},\vec{w}\rangle \vec{v}_i$ 
der orthogonalen Projektion aus dem Beweis von \ref{OKn} ein, 
so ergibt sich unsere Ungleichung.
\end{Bemerkungl}



\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Ubung}
Gegeben ein Skalarproduktraum $V$ mit  einem
endlichdimensionalen  Untervektorraum 
$U\subset V$ gilt
$U= (U^\perp)^\perp$. 
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}[\textbf{Schwierigkeiten mit orthogonalen Projektionen}]
Man zeige, da"s die Menge $\op{L}_\DR^2(\DN)\subset \op{Ens}(\DN,\DR)$
aller reellen Folgen $a_0,a_1,\ldots$ mit $\sum a_i^2<\infty$ 
im Raum aller Folgen 
einen Untervektorraum bildet und da"s wir auf diesem Untervektorraum durch die 
Vorschrift $\langle (a_i),(b_i)\rangle =\sum a_i b_i$ ein
Skalarprodukt einf"uhren k"onnen.\label{SoP} 
Dann betrachte man in $\op{L}_\DR^2(\DN)$ den Untervektorraum $U$ aller
Folgen mit h"ochstens endlich vielen von Null verschiedenen Folgengliedern
und zeige $U^\perp=0$. Insbesondere ist in diesem Fall
$U^\perp$ kein orthogonales Komplement zu $U$. Proposition \ref{OKn} 
gilt also im allgemeinen nicht mehr, wenn wir unendlichdimensionale 
Untervektorr"aume $U$ betrachten. Sie gilt jedoch wieder und sogar genau
dann, wenn 
 besagte Untervektorr"aume  $U$ zus"atzlich  \glqq vollst"andig\grqq\  sind, 
vergleiche \eref{VOUY}{AN3}.
\end{Ubunge}
\begin{Ubung}
  Man zeige, da"s die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung allgemeiner f"ur jede
hermitesche Sesquilinearform gilt, bei der das Produkt eines Vektors mit
sich selbst nie negativ ist.\label{CSWv}  
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
  Ist $V$ ein  reeller Skalarproduktraum und
$(\vec v_1,\ldots, \vec v_n)$ eine Orthonormalbasis und 
$\Phi: \DR^n\sira V$ der zugeh"orige Vektorraumisomorphismus
nach \eref{Bau}{LA1}, so entspricht unter $\Phi$ das Standardskalarprodukt
auf dem $\DR^n$ dem vorgegebenen Skalarprodukt auf $V$, in Formeln
$\langle x,y\rangle=\langle \Phi(x),\Phi(y)\rangle$ f"ur alle $x,y\in\DR^n$.
Dasselbe gilt entsprechend im Komplexen und auch allgemeiner f"ur
Orthonormalsysteme, bei denen $\Phi$ dann 
den Homomorphismus $x\mapsto x_1\vec v_1+\ldots +x_n \vec v_n$ meint und
kein Isomorphismus zu sein braucht.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Man zeige, da"s f"ur einen Skalarproduktraum "uber einem beliebigen angeordneten
  K"orper immer noch die Variante 
$$\langle \vec{v},\vec{w}\rangle^2 \leq \langle \vec{v},\vec{v}\rangle\langle \vec{w},\vec{w}\rangle$$
  der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung gilt  mit
    Gleichheit genau dann, wenn $\vec{v}$ und $\vec{w}$ linear abh"angig sind.
\end{Ubung}







\subsection{Orthogonale und unit"are Abbildungen}\label{OuU}


\begin{Definition}
Eine  Abbildung $f : V \rightarrow W$ von Skalarproduktr"aumen
hei"st {\bf skalarproduktvertr"aglich}\index{skalarproduktvertr"aglich} oder
{\bf orthogonal}\index{orthogonal!lineare Abbildung} im Reellen\label{DeFu}  
und  {\bf unit"ar}\index{unit"ar!lineare Abbildung} im
Komplexen, wenn sie linear ist und das Skalarprodukt erh"alt, in
Formeln
\begin{equation*}
\langle f (v), f(w) \rangle = \langle v,w \rangle \quad \forall v,w \in V
\end{equation*}
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
  Bisher hatten wir die Orthogonalit"at linearer Abbildungen
  nur im Fall von Automorphismen von Skalarproduktr"aumen
  eingef"uhrt. In der vorgehenden Definition
  dehnen wir diesen Begriff auf den Fall von Homomorphismen zwischen Skalarproduktr"aumen aus.
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}[\textbf{Kriterien f"ur die Orthogonalit"at einer linearen Abbildung}]
F"ur eine lineare Abbildung von einem endlichdimensionalen reellen oder komplexen Skalarproduktraum
in einen weiteren Skalarproduktraum "uber demselben Grundk"orper
sind gleichbedeutend:\label{MNB}
\begin{enumerate}
\item 
Unsere Abbildung "uberf"uhrt \emph{eine} Orthonormalbasis des 
Ausgangsraums in ein Orthonormalsystem;
\item
Unsere Abbildung "uberf"uhrt \emph{jede} Orthonormalbasis des 
Ausgangsraums in ein Orthonormalsystem;
\item
Unsere Abbildung ist orthogonal beziehungsweise unit"ar.
\end{enumerate}
\end{Lemma}
\begin{proof}
$3\RA2\RA1$ sind offensichtlich und wir m"ussen
nur noch $1\RA 3$ zeigen.
Bezeichne dazu $f: V \rightarrow W$  unsere Abbildung
und $B\subset V$ eine Orthonormalbasis, die es nach \ref{ONBB} 
geben mu"s, da wir den Ausgangsraum unserer Abbildung
endlichdimensional angenommen hatten. 
Es gilt zu zeigen 
$\langle f(v), f(w) \rangle = \langle v,w \rangle \; \forall
v,w \in V$.
Wir wissen nach Annahme bereits, da"s das gilt f"ur 
alle $v,w\in  B$. Da beide Seiten bilinear beziehungsweise sesquilinear 
sind als Abbildungen $V \times V \rightarrow \mathbb R$
beziehungsweise $V \times V \rightarrow \mathbb C$, 
folgt es dann jedoch leicht f"ur alle $v,w\in V$.
\end{proof}
 


%% \begin{Lemma}\label{MNB}
%% Seien $V,W$ euklidische R"aume und $\cal{B}\subset V$ eine Orthonormalbasis.
%% Eine lineare Abbildung 
%% ist orthogonal bzw.\ unit"ar genau dann, wenn sie die
%% Orthonormalbasis $\cal{B}$ in ein Orthonormalsystem "uberf"uhrt, wenn also
%% genauer die Familie $(f(v))_{v\in\cal{B}}$ ein Orthonormalsystem in $W$ ist.
%% \end{Lemma}
%% \begin{proof}
%% Es gilt zu zeigen 
%% $\langle f(v), f(w) \rangle = \langle v,w \rangle \quad \forall
%% v,w \in V$.
%% Wir wissen nach Annahme bereits, da"s das gilt f"ur 
%% alle $v,w\in \mathcal B$. 
%% Da beide Seiten bilinear bzw.\ sesquilinear 
%% sind als Abbildungen $V \times V \rightarrow \mathbb R$
%% bzw.\ $V \times V \rightarrow \mathbb C$, 
%% folgt es dann leicht f"ur alle $v,w\in V$.
%% \end{proof}

\begin{Definition}
Gegeben ein reeller  Skalarproduktraum 
$V$ bilden die orthogonalen
Automorphismen von $V$ eine
Untergruppe der $\op{GL}(V)$, die wir $\op{O}(V)$ 
notieren.\index{O@$\op{O}(V)$ orthogonale Automorphismen}
Gegeben ein  komplexer Skalarproduktraum 
$V$ bilden die  unit"aren
Automorphismen von $V$  eine
Untergruppe der $\op{GL}(V)$, die wir 
$\op{U}(V)$\index{U@$\op{U}(V)$ unit"are Automorphismen} 
notieren.
\end{Definition}
\begin{Definition}\label{slG}
Gegeben ein endlichdimensionaler Vektorraum $V$ "uber einem K"orper
$K$ bilden die Automorphismen von $V$ mit Determinante Eins eine Untergruppe
der Gruppe aller Automorphismen von $V$. Sie hei"st die 
{\bf spezielle lineare Gruppe}  zu $V$ und 
wird\index{lineare Gruppe!spezielle}\index{SL@$\op{SL}(V)$ spezielle lineare Gruppe}  
$$\op{SL}(V)\subset \op{GL}(V)$$
notiert. Im Fall $V=K^n$ schreibt man auch\index{SL@$\op{SL}(n;K)$ spezielle lineare Gruppe}   $\op{SL}(n;K)\subset \op{GL}(n;K)$.
\end{Definition}
\begin{Definition}
F"ur jeden endlichdimensionalen reellen
Skalarproduktraum 
$V$ bezeichne $\op{SO}(V)\subset\op{GL}(V)$ die Untergruppe  aller 
orthogonalen Automorphismen\label{SOV}  
mit  
Determinante
Eins.\index{SO@$\op{SO}(V)$ spezielle orthogonale Automorphismen}
Sie hei"st die {\bf spezielle orthogonale Gruppe von $V$}.
\end{Definition}
\begin{Definition}
F"ur einen endlichdimensionalen komplexen
Skalarproduktraum
$V$ bezeichnet 
$\op{SU}(V)\subset\op{GL}(V)$ die Untergruppe  aller 
 unit"aren Automorphismen 
mit  
Determinante\index{SU@$\op{SU}(V)$ spezielle unit"are Automorphismen} 
Eins. Sie hei"st die {\bf spezielle unit"are Gruppe von $V$}.
\end{Definition}





\begin{Satz}[\textbf{Klassifikation endlichdimensionaler Skalarproduktr"aume}]
  \begin{enumerate}
  \item
    Zwischen je zwei  reellen  Skalarproduktr"aumen derselben
endlichen Dimension gibt es einen orthogonalen Isomorphismus. Zu jeder Dimension gibt es 
einen reellen Skalarproduktraum;
\item
Zwischen je zwei 
komplexen Skalarproduktr"aumen derselben
endlichen Dimension gibt es einen 
unit"aren Isomorphismus. Zu jeder Dimension gibt es
einen 
komplexen Skalarproduktraum. 
  \end{enumerate}
  \label{EEV}
\end{Satz}
\begin{proof}
Wir w"ahlen mit \ref{ONBB} in beiden R"aumen jeweils eine 
Orthonormalbasis und erkl"aren
unseren Isomorphismus durch die Vorschrift, da"s er von 
einer beliebig gew"ahlten
Bijektion zwischen den entsprechenden Basen herkommen soll.
Nach \ref{MNB} ist er dann orthogonal beziehungsweise unit"ar.
\end{proof}



\begin{Satz}
 \begin{enumerate}
  \item\emph{\bf (Matrizen orthogonaler  Endomorphismen).} Eine Matrix $A \in \op{Mat} (n ; \mathbb R)$ beschreibt einen
    orthogonalen Endomorphismus des $\mathbb R^n$ mit seinem
    Standardskalarpodukt genau dann, wenn  ihre Transponierte ihre Inverse
    ist. In Formeln gilt also 
$$(A\circ)\in\op{O}(\DR^n)\IFF A^{\top} A =I$$
\item\emph{\bf (Matrizen unit"arer Endomorphismen).} 
Eine Matrix $A \in \op{Mat} (n ; \mathbb C)$ beschreibt
    einen unit"aren Endomorphismus des $\mathbb C^n$ mit seinem
    Standardskalarpodukt genau dann, wenn die Konjugierte 
ihrer Transponierten ihre Inverse ist.
 In Formeln gilt also 
$$(A\circ)\in\op{U}(\DC^n)\IFF 
 \bar{A}^{\top} A =I$$ 
 \end{enumerate}
\label{OUM}
\end{Satz}
\begin{Beispiel}
  Eine komplexe $(1\times 1)$-Matrix ist unit"ar genau dann,
wenn ihr einziger Eintrag eine komplexe Zahl vom Absolutbetrag Eins
ist, also in der komplexen Zahlenebene auf dem Einheitskreis liegt.
\end{Beispiel}
\begin{proof}
Wir zeigen gleich den komplexen Fall.
Die Identit"at $\langle Av, Aw \rangle = \langle v,w \rangle $ ist
nach unserer Interpretation des Skalarprodukts 
in Termen der Matrixmultiplikation in \ref{ISAA} gleichbedeutend
zu $(\overline{Av})^\top (Aw) = \bar{v}^\top w$ 
alias zu $ \bar{v}^\top  \bar{A}^\top Aw = \bar{v}^\top w$.
Gilt $\bar{A}^{\top} A =I$, so stimmt 
das nat"urlich f"ur alle $v,w \in \mathbb C^n$.
Stimmt es umgekehrt f"ur alle $v,w \in \mathbb C^n$, so insbesondere auch f"ur
die Vektoren der Standardbasis $\op{e}_i, \op{e}_j$.
Damit erhalten wir von der Mitte ausgehend die Gleichungskette 
$
(\bar{A}^{\top} A)_{ij} = \op{e}_i^\top \bar{A}^{\top} A\op{e}_{j} 
= \op{e}_i^{\top} \op{e}_j = \delta_{ij}\;\forall i,j
$
alias $\bar{A}^{\top} A =I$.
\end{proof}
 
\begin{Definition}
Eine reelle Matrix $A \in \op{Mat} (n; \mathbb R)$ hei"st 
{\bf orthogonal}\index{orthogonal!Matrix}, wenn gilt
$A^{\top} A =I$. 
Eine komplexe  Matrix $A \in \op{Mat} (n ; \mathbb C)$ hei"st 
{\bf unit"ar}\index{unit"ar!Matrix}, wenn gilt
$\bar{A}^{\top} A =I$. Der vorhergehende Satz \ref{OUM} oder 
auch direkte Rechnung zeigen, da"s diese Matrizen Untergruppen 
von $\op{GL} (n ; \mathbb R)$ beziehungsweise $\op{GL} (n ; \mathbb C)$
bilden. Sie hei"sen die {\bf orthogonale Gruppe} beziehungsweise die
{\bf unit"are Gruppe}. Man notiert sie
\index{U@$\op{U}(n)$ unit"are Matrizen} 
\index{O@$\op{O}(n)$ orthogonale Matrizen}
$$
\begin{array}{c}
\op{O}(n)\pdef\{ A\in \op{GL} (n ; \mathbb R)\mid A^{\top} A =I\}\\[2mm]
\op{U}(n)\pdef\{ A\in \op{GL} (n ; \mathbb C)\mid \bar{A}^{\top} A =I\}
\end{array}
$$
Die Notation $\op{O}(n)$ kennen wir bereits aus \ref{OMat}. Die Elemente der orthogonalen
beziehungsweise unit"aren Gruppen mit 
Determinante Eins bilden jeweils Untergruppen.
Sie hei"sen die 
die {\bf spezielle orthogonale Gruppe} beziehungsweise die
{\bf spezielle unit"are Gruppe}. Man notiert sie
\index{SU@$\op{SU}(n)$ spezielle unit"are Matrizen} 
\index{SO@$\op{SO}(n)$ spezielle orthogonale Matrizen} 
$$
\begin{array}{c}
\op{SO}(n)\pdef\{ A\in \op{O} (n )\mid \op{det} A =1\}\\[2mm]
\op{SU}(n)\pdef\{ A\in \op{U} (n )\mid \op{det} A =1\}
\end{array}
$$ 
Die Gruppe $\op{SU}(2)$ hei"st auch die {\bf Spingruppe}.\index{Spingruppe}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Betrag der Determinante orthogonaler oder unit"arer Matrizen}] 
Die Determinante einer unit"aren oder orthogonalen
Matrix hat stets den Betrag Eins. 
In der Tat folgt aus
$\bar{A}^{\top} A =I$ unmittelbar
$$1=\op{det}(\bar{A}^{\top} A)=\op{det}(\bar{A}^{\top})\op{det}( A)=
\op{det}(\bar{A})\op{det}( A)=\overline{\op{det}(A)}\op{det}( A)$$
Wir k"onnen insbesondere  $\op{SO}(n)$ 
auch als die Gruppe aller
orientierungserhaltenden orthogonalen Automorphismen des $\DR^n$
beschreiben.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigenwerte orthogonaler oder unit"arer 
Matrizen}]
Jeder Eigenwert eines unit"aren oder orthogonalen
Endomorphismus eines Skalarproduktraums hat
den Betrag Eins, da derartige Abbildungen die
Normen von Vektoren erhalten.\label{LEW} 
\end{Bemerkungl}








\begin{Satz}[\textbf{Satz vom Fu"sball}]
Jede
orthogonale Selbstabbildung 
eines dreidimensionalen reellen\index{Fu"sball, Satz vom}  
euklidischen Vektorraums,\label{DrK} die die  Orientierung erh"alt,  
hat mindestens einen von Null verschiedenen Fixvektor.  
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Anschaulich gesprochen 
ist unsere Abbildung demnach eine Drehung 
um eine Drehachse, eben um die von einem Fixvektor erzeugte Gerade.
Wird bei einem Fu"sballspiel der Ball also 
vor dem Anpfiff zur zweiten Halbzeit wieder
in die Mitte gelegt, so befinden sich zwei 
gegen"uberliegende Punkte auf dem Ball jeweils
an genau derselben Stelle wie 
vor dem Anpfiff zur ersten Halbzeit. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Sei $D:V\ra V$ unsere Abbildung.
Das charakteristische Polynom von $D$ 
hat den Leitterm $-\lambda^3$ und den konstanten Term
$\op{det}(D)=1$. Nach dem Zwischenwertsatz 
hat es also mindestens eine positive reelle Nullstelle.
Da nach \ref{LEW} als reelle Eigenwerte einer orthogonalen Abbildung nur 
$\pm 1$ in Frage kommen,
mu"s diese positive reelle Nullstelle bei  $1$ liegen.
Also ist $1$ ein Eigenwert von $D$ und $D$  hat einen Fixvektor.
\end{proof}


\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}[\textbf{Variante zum Satz vom Fu"sball}] 
Jede\label{drkk} 
orthogonale Selbstabbildung 
eines dreidimensionalen reellen 
Skalarproduktraums, die die  Orientierung nicht erh"alt,  
besitzt einen Eigenvektor zum Eigenwert $(-1)$. Hinweis: Man erinnere den Beweis des Satzes vom Fu"sball \ref{DrK}.  
\end{Ubung}



\begin{Ubung}
  Die von den speziellen Elementarmatrizen
  in $\op{GL}(n;\DR)$ erzeugte Untergruppe ist die spezielle
  lineare Gruppe $\op{SL}(n;\DR)$. Hinweis: Im Fall $n=2$ ist etwas Arbeit
  n"otig, der allgemeine Fall ist dann nicht mehr schwer.\label{ESER}  
\end{Ubung}




\begin{Ubung}[\textbf{Orthogonale Endomorphismen des $\DR^3$}] 
Die Gruppe  $\op{SO}(3)$ besteht anschaulich 
gesprochen aus allen Drehungen des 
\glqq Koordinatenraums\grqq\  um den Ursprung.
Ist genauer  $V$ ein dreidimensionaler reeller
Skalarproduktraum, so hat\label{OR3}   
jedes $U\in \op{SO}(V)$ 
in einer geeigneten Orthonormalbasis eine Matrix
der Gestalt
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 &0\\
0 & c &-s\\
0 &s &c
\end{pmatrix}
\end{equation*}
mit $s^2+c^2=1$.
Hinweis: Satz vom Fu"sball \ref{DrK}.
Man zeige weiter, etwa mit Hilfe von \ref{drkk}:
Nicht orientierungstreue orthogonale Selbstabbildungen des $\DR^3$
k"onnen  stets dargestellt werden als eine Drehung gefolgt
von einer Spiegelung an der zur Drehachse senkrechten Ebene.
In anderen Worten haben sie in einer  geeigneten Orthonormalbasis f"ur
geeignete $s,c$ mit
$s^2+c^2=1$
eine Matrix
der Gestalt
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
-1 & 0 &0\\
0 & c &-s\\
0 & s &c
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\end{Ubung}



\begin{Ubung}
Man zeige, da"s wir einen Isomorphismus $S^1\sira \op{SO}(2)$
erhalten durch die Abbildungsvorschrift $z\mapsto {_{(1,{\op{i}})}}[z\cdot]_{(1,{\op{i}})}$ alias die
Abbildung, die $z\in S^1\subset \DC$ die Matrix
der $\DR$-linearen Abbildung $(z\cdot):\DC\ra\DC$ bez"uglich der
    angeordneten $\DR$-Basis $(1,{\op{i}})$ des $\DR$-Vektorraums $\DC$
    zuordnet.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
 Gegeben ein zweidimensionaler reeller Skalarproduktraum  $Z$ ist die Gruppe 
$\op{SO}(Z)$ kommutativ\label{KoSO} und f"ur $s\in \op{O}(Z)\backslash \op{SO}(Z)$ gilt $s^2=1$ sowie $srs^{-1}=r^{-1}\;\forall r\in \op{SO}(Z)$. Hinweis: Wenn man eine geometrische Argumentation sucht, mag es geschickt sein,  mit dem Beweis der letzteren Aussagen zu beginnen.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Gegeben zwei Strahlen in einem reellen Skalarproduktraum gibt es stets
  einen orthogonalen Automorphismus unseres Raums, der den einen Strahl in den
  anderen "uberf"uhrt.\label{tost}  
\end{Ubung}





 



\subsection{Abstandserhaltende Abbildungen}
 \begin{Proposition}
Gegeben reelle Skalarproduktr"aume $V,W$
ist eine\label{OAL} 
 Abbildung $f : V \rightarrow W$ linear und \hyperref[DeFu]{orthogonal} 
    genau dann, wenn sie den Ursprung auf den Ursprung abbildet
 und alle Abst"ande erh"alt, in
    Formeln $f(0)=0$ und 
    \begin{equation*}
      \| f (v) - f (w) \| = \| v -w\| \quad \forall v, w \in  V
    \end{equation*}
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
  Man beachte, da"s  die Linearit"at von $f$ 
  nicht vorausgesetzt, sondern vielmehr
 aus unseren Annahmen gefolgert wird. 
\end{Bemerkungl}


\begin{proof}
Zun"achst  beachten wir die  
{\bf Polarisierungsidentit"at}\index{Polarisierungsidentit"at} 
$$2 \langle v,w \rangle =\| v + w\|^2 -\| v\|^2 - \|w\|^2$$ 
oder  f"ur diesen
Beweis besser ihre Variante
$
2 \langle v,w\rangle = \|v\|^2 + \|w\|^2 - \|v-w\|^2
$.
Da unsere Abbildung den Ursprung und alle Abst"ande erh"alt, erh"alt
sie auch die Norm aller Vektoren, und wir folgern schon einmal
\begin{equation*}
\langle f(v), f(w) \rangle = \langle v,w \rangle \quad \forall v,w \in V
\end{equation*}
Um weiter $f (\lambda v) = \lambda f(v) $ zu zeigen, beachten wir
\begin{equation*}
\langle f (\lambda v) - \lambda f (v) , f(u) \rangle 
= \langle \lambda v,u \rangle-
\lambda \langle v,u \rangle = 0
\end{equation*}
f"ur alle $u \in V$ und folgern 
$\langle f (\lambda v) - \lambda f (v), z \rangle =0$
f"ur alle $z$ im Erzeugnis des Bildes $f(V)$. 
Nehmen wir dann speziell $z = f (\lambda v)- \lambda
f(v)$, so ergibt sich erst $\|f(\lambda v)- \lambda f (v) \|^2 =0$ 
und dann $f (\lambda
v) = \lambda f (v)$.
In derselben Weise finden wir $$\langle f (v +w) - f (v) - f(w) , f(u)\rangle =
\langle v + w, u \rangle - \langle v,u\rangle - \langle w,u\rangle =0$$
f"ur alle $u\in V$ und folgern $f (v + w) = f(v) + f (w)$,
womit dann auch die Linearit"at von $f$ gezeigt w"are.
\end{proof}





\begin{Bemerkungl}\label{isoM}
Ein {\bf affiner Skalarproduktraum}\index{Skalarproduktraum!affiner} 
ist ein Paar bestehend
aus einem  
 reellen affinen Raum und einem Skalarprodukt auf seinem
Richtungsraum. Gegeben zwei Punkte $p,q$ 
 definieren wir dann ihren
 {\bf Abstand} alias ihre {\bf Distanz}
 als die Norm des zugeh"origen Richtungsvektors, in Formeln
$$d(p,q)\pdef\|p-q\|$$
Eine Abbildung $f:E\ra E'$ zwischen affinen Skalarproduktr"aumen,
 die alle
Abst"ande erh"alt, nennt man auch {\bf isometrisch}\index{isometrisch} 
oder eine {\bf Isometrie}.\index{Isometrie}
Die Terminologie geht auf griechisch $\iota\sigma o\varsigma$ f"ur deutsch
\glqq gleich\grqq\  zur"uck.
In Formeln fordern wir von einer Isometrie also
$$d(f(p),f(q))=d(p,q)\;\;\forall p,q\in E$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}
  Dieselbe Begriffsbildung verwendet man auch allgemeiner f"ur Abbildungen
  zwischen sogenannten \glqq metrischen R"aumen\grqq, wie sie etwa in
  \eref{SSMetrik}{AN2} erkl"art werden. Ist eine Isometrie bijektiv, so spricht
  man von\index{isometrisch!Isomorphismus} einem {\bf isometrischen
    Isomorphismus}.\index{Isomorphismus!isometrischer} 
\end{Bemerkunge}



\begin{Bemerkunge}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
  Ich habe auch schon die alternative Terminologie gesehen, 
in der nur unsere isometrischen Isomorphismen als \glqq Isometrien\grqq\ 
bezeichnet werden und unsere 
Isometrien als \glqq isometrische Abbildungen\grqq. 
\end{Bemerkunge}


% \begin{Bemerkunge}
%   Ein normalisierte euklidische Ebene nenne ich auch  
% eine {\bf algebraische euklidische Ebene},\index{euklidisch!
%   Ebene, algebraische} 
%  da\index{Ebene!euklidische algebraische} in ihr Abst"ande zwischen 
% Punkten schlicht als Zahlen ohne jegliche Einheiten angegeben werden k"onnen.
% Das steht im Gegensatz zu unserer geometrischen euklidischen Ebene 
% aus \ref{DefEE}. 
% \end{Bemerkunge}



\begin{Satz}[\textbf{Isometrien zwischen affinen Skalarproduktr"aumen}]
Eine Abbildung zwischen affinen Skalarproduktr"aumen ist eine Isometrie genau dann, wenn sie affin ist mit orthogonalem
linearen Anteil.\label{KrIa}
\end{Satz}



\begin{proof}
Sei $\varphi:E\ra F$ unsere Abbildung
und sei $p\in E$ beliebig gew"ahlt.
Erkl"aren wir 
$\vec{\varphi}_p:\vec{E}\ra \vec{F}$
durch  $\varphi(p+\vec{v})=\varphi(p)+\vec{\varphi}_p(\vec{v})
$, so bildet $\vec{\varphi}_p:\vec{E}\ra \vec{F}$ offensichtlich 
den Ursprung auf den Ursprung ab und erh"alt alle Abst"ande.
Nach der Proposition \ref{OAL} 
ist folglich $\vec{\varphi}_p$ linear und orthogonal
und nach \eref{UbAA}{LA1} ist damit 
$\varphi$ affin mit orthogonalem linearem Anteil.
Der  Beweis der Gegenrichtung kann  dem Leser "uberlassen bleiben.
\end{proof}


 


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
Aus  der Schule kennen Sie vermutlich bereits 
{\bf Punktspiegelungen} an einem Punkt $p$,\index{Punktspiegelung} 
die durch die Vorschrift  $p+\vec{v}\mapsto  p-\vec{v} $
gegeben werden. Wir wollen jedoch vereinbaren, 
da"s mit {\bf Spiegelungen}\index{Spiegelung}  stets 
lineare oder affine
Abbildungen mit einer Fixpunktmenge  der 
Kodimension Eins gemeint sind, deren  Quadrat die Identit"at ist.
Punktspiegelungen hei"sen zwar verwirrenderweise 
 "ahnlich, sind aber nur 
im eindimensionalen Fall Spiegelungen in unserem Sinne.
\end{Bemerkungl}




\subsection{Kreuzprodukt und Spatprodukt}
\begin{Satz}
  Gegeben ein dreidimensionaler orientierter reeller Skalarpro\-dukt\-raum 
$V$ gibt es genau eine alternierende bilineare Abbildung\label{KPOj}  
$V\times V\ra V$ mit der Eigenschaft
$(\vec v_1,\vec v_2)\mapsto \vec v_3$ f"ur jede
orientierte Orthonormalbasis $\vec v_1,\vec v_2, \vec v_3$.
Sie  hei"st das \emph{\bf Kreuzprodukt}\index{Kreuzprodukt}   wegen der
f"ur unsere Abbildung allgemein gebr"auchlichen Notation\label{KrPP}
$$(\vec v,\vec w)\mapsto \vec v\times \vec w$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Aus der Definition folgt sofort, da"s $(\vec v\times \vec w)$
auf $\vec v$ und $\vec w$ senkrecht steht, indem wir etwa eine
angeordnete Orthonormalbasis derart w"ahlen, da"s $\vec v$ und $\vec w$ im
Erzeugnis der ersten beiden Basisvektoren liegen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion von Varianten des Begriffs und der Terminologie}] 
Eine mit den ben"otigten Einheiten versehene
Variante des Kreuzprodukts f"ur dreidimensionale euklidische Vektorr"aume
diskutieren wir in \ref{KRA}. Andere Autoren bezeichnen unser Kreuzprodukt
als {\bf Vektorprodukt}\index{Vektorprodukt}, da es als Resultat eben
Vektoren liefert im Gegensatz zum Skalarprodukt, das Skalare liefert.
Ich habe f"ur das Kreuzprodukt alias Vektorprodukt 
auch schon die alternative Notation
$[\vec v,\vec w]$ gesehen,\index{)5]@$[\vec v,\vec w]$ Vektorprodukt} 
die aber erst im Kontext von \eref{ALAD}{ML} ihre Vertr"aglichkeit mit an 
wieder anderer
Stelle
"ublichen Notationen zeigt. Noch seltener sieht man die Notation
$\vec v\wedge \vec w$,\index{)9@$\wedge$ Dachprodukt!{\it Vektorprodukt}} 
die hinwiederum  in \ref{zut} ihre Vertr"aglichkeit mit dem dort
eingef"uhrten \glqq Dachprodukt\grqq\  $\wedge $ zeigt. Ich mag diese letzte
Notation nicht, denn das Dachprodukt in seiner "ublichen Definition
ist im Gegensatz zu unserem Kreuzprodukt durchaus assoziativ.  
\end{Bemerkungl}
\begin{proof} 
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit  d"urfen wir 
anehmen, $V$ sei der $\DR^3$ mit seinem Standard-Skalarprodukt und 
seiner Standard-Orientierung. 
Wenn es in diesem Fall "uberhaupt eine  
bilineare Abbildung $\mathbb R^3 \times \mathbb R^3  \rightarrow  \mathbb R^3$
mit den im Satz geforderten Eigenschaften gibt, dann mu"s diese offenichtlich
durch die Vorschrift 
\begin{eqnarray*}
\left( \begin{pmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
w_1\\ w_2\\ w_3 \end{pmatrix} \right)& \mapsto & 
\begin{pmatrix} v_2w_3 - v_3 w_2\\
v_3 w_1 - v_1 w_3\\
v_1 w_2 - v_2 w_1 \end{pmatrix}\\
\end{eqnarray*}
gegeben werden. Es bleibt damit nur noch zu zeigen, da"s die durch diese
Formel definierte bilineare Abbildung, die wir  
 schon mal $(\vec v,\vec w)\mapsto \vec v\times \vec w$
notieren und f"ur den Rest dieses Beweises das {\bf konkrete Kreuzprodukt}
nennen, auch wirklich die im Satz geforderte Eigenschaft hat.
In Anbetracht der J"agerzaunformel \eref{JZF}{LA1} gilt f"ur unser
konkretes Kreuzprodukt offensichtlich  schon mal die
 Identit"at
$$\langle \vec u, \vec v \times \vec w\rangle
=\op{det} (\vec u| \vec v | \vec w)$$ 
Umgekehrt legt aber
 diese Eigenschaft f"ur alle $\vec u
\in \mathbb R^3$, ja sogar schon f"ur $\vec
u=\vec{\op{e}}_1,\vec{\op{e}}_2,\vec{\op{e}}_3$  auch bereits
  den Vektor $\vec v \times \vec w$ fest.
Daraus folgern wir hinwiederum 
 f"ur alle Drehungen $A \in \op{SO}(3)$
  die Identit"at $$(A \vec v) \times (A \vec w) = A (\vec v \times \vec w)$$  
In
  der Tat folgt diese Identit"at  von Vektoren, wenn wir zeigen k"onnen,
da"s die Skalarprodukte beider Seiten mit allen Vektoren $\vec u$ 
oder auch mit allen Vektoren $A\vec u$ "ubereinstimmen.
Daf"ur rechnen wir einfach 
  $\langle A \vec u, A (\vec v \times \vec w)\rangle = \langle \vec u, \vec v
  \times \vec w \rangle = \op{det} (\vec u | \vec v | \vec w) 
=  \op{det}A (\vec u | \vec v | \vec w)=\op{det}
  (A \vec u | A \vec v | A\vec w) = \langle A \vec u, (A \vec v) \times
  (A \vec w) \rangle$. Also gilt in der Tat
  $A (\vec v \times \vec w) = (A \vec v) \times (A \vec w)$ f"ur
  alle $A \in \op{SO} (3)$.
Da sich aber je zwei orientierte Orthonormalbasen des $\DR^3$ durch eine
Drehung $A \in \op{SO} (3)$
ineinander "uberf"uhren lassen, folgt unmittelbar, da"s unser
konkretes Kreuzprodukt die im Satz 
geforderte Eigenschaft hat.
\end{proof}


\begin{Bemerkunge}\label{ChKr}
    F"ur den Ausdruck $\langle \vec u, \vec
  v \times \vec w\rangle =\op{det} (\vec u| \vec v | \vec w)$ 
aus dem vorhergehenden Beweis mit
$\vec u, \vec
  v , \vec w\in\DR^3$ 
findet man
  manchmal auch 
die Notation $\langle \vec u, \vec
  v , \vec w\rangle$
\index{)5>@$\langle \vec u, \vec v , \vec w\rangle$ Spatprodukt} und
die Bezeichnung als \defind{Spatprodukt}, die  darauf
  anspielt, da"s diese Determinante ja nach \eref{AnDet}{LA1} bis auf ein Vorzeichen
  gerade das Volumen des durch die fraglichen drei Vektoren gegebenen
  Parallelpipeds angibt. Die Kristalle des Feldspats haben aber 
nun oft die Gestalt
  eines Parallelpipeds, weswegen derartige K"orper auch als 
{\bf Spate}\index{Spat}
  bezeichnet werden.  In \ref{kSpa} diskutieren wir eine
  Variante des Spatprodukts f"ur beliebige dreidimensionale
  euklidische Vektorr"aume.
 \end{Bemerkunge}
    



 

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Die schmutzige Anschauung f"ur das Kreuzprodukt}]  
Setzen wir im Fall eines linear unabh"angigen Paares\label{EKRu} 
$(\vec v, \vec w)$  in obiger Formel $\langle \vec u, \vec
  v \times \vec w\rangle =\op{det} (\vec u| \vec v | \vec w)$
f"ur die Beziehung von  Kreuzprodukt, Skalarprodukt und Determinante  
den Vektor
$$\vec u = (\vec v \times \vec w) / \|\vec v \times \vec w\|$$
 ein, so
  erkennen wir aus der anschaulichen Bedeutung \eref{AnDet}{LA1}
der Determinante als Volumen,
  da"s wir uns die L"ange von $\vec v \times \vec w$ gerade als 
das Volumen des von $\vec u,\vec v, \vec w$ aufgespannten Spats alias
die Fl"ache des von $\vec v, \vec w$ aufgespannten
  Parallelograms  denken
d"urfen. Damit erkennen wir, da"s das Kreuzprodukt 
 anschaulich wie folgt 
  interpretiert werden kann: F"ur $\vec v, 
 \vec w $ linear abh"angig gilt
$\vec v 
\times \vec w = \vec 0;$ Sonst ist $\vec v 
\times \vec w$ der Vektor, der senkrecht
steht auf $\vec v$ und $
 \vec w $, dessen L"ange der  anschaulichen Fl"ache des von $\vec v$ und $
 \vec w $ aufgespannten Parallelogramms entspricht, und dessen Richtung 
dadurch festgelegt wird, da"s $(\vec v \times \vec w, \vec v, \vec w)$
eine orientierte Basis ist.
\end{Bemerkungl}
\subsubsection*{"Ubungen} 


\begin{Ubung}[\textbf{Einzigkeit des Kreuzprodukts}] 
Man zeige: Gegeben ein dreidimensionaler\label{KREEc} 
  reeller Skalarproduktraum $V$ bilden die bilinearen Abbildungen
$\varphi: V \times V \rightarrow  V$ mit der Eigenschaft
$\varphi(Av,Aw)=A\varphi(v,w)$ f"ur alle $v,w\in V$ und
$A\in \op{SO}(V)$ einen eindimensionalen Untervektorraum des Vektorraums aller
Abbildungen $V\times V\ra V$.
Es besteht insbesondere keine Hoffnung, neben dem Kreuzprodukt noch weitere 
\glqq geometrisch bedeutsame\grqq\ bilineare
Verkn"upfungen auf $V$ zu finden.
Hinweis: Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $V$ der $\DR^3$ mit
dem Standardskalarprodukt. Es gibt eine Drehung mit 
$\op{e}_1\mapsto \op{e}_2$ und $\op{e}_2\mapsto -\op{e}_1$. Man folgere,
da"s $\varphi$ alternierend sein mu"s. Es gibt eine Drehung mit 
$\op{e}_1\mapsto \op{e}_2$ und $\op{e}_2\mapsto \op{e}_1$
und Drehachse $\op{e}_2+ \op{e}_1$. 
Man folgere, da"s $\varphi(\op{e}_1, \op{e}_2)$ auf
$\op{e}_2+ \op{e}_1$ senkrecht stehen
 mu"s.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}  Gegeben ein dreidimensionaler orientierter reeller Skalarpro\-dukt\-raum 
 zeige man $\vec u \times (\vec v \times \vec w) 
= \langle \vec u, \vec w \rangle \vec v
- \langle \vec u, \vec v \rangle \vec w$.
\end{Ubung}






\subsection{Normalformen und Matrixzerlegungen} 

\begin{Satz}[\textbf{Spektralsatz f"ur unit"are Automorphismen}]
Gegeben ein unit"a\-rer Automorphismus eines endlichdimensionalen
komplexen Skalarproduktraums existiert stets eine
Orthonormalbasis  aus Eigenvektoren.\label{SUW}
\end{Satz}
\begin{proof}
Ist unser Raum der Nullraum, so tut es die leere Menge.
Sonst finden wir nach \eref{EEW}{LA1} einen Eigenvektor und durch
Renormieren nat"urlich auch einen Eigenvektor der L"ange
Eins.
Da unser Automorphismus unit"ar ist, erh"alt er auch den 
Orthogonalraum dieses Eigenvektors und induziert auf
diesem Orthogonalraum
eine unit"are Abbildung.
Mit Induktion "uber die Dimension finden wir in unserem 
Orthogonalraum
eine Orthonormalbasis
aus Eigenvektoren, und durch Hinzunehmen unseres urspr"unglichen
Eigenvektors der L"ange Eins erhalten wir daraus 
die gesuchte Orthonormalbasis
aus Eigenvektoren des ganzen Raums.
\end{proof}
\begin{Korollar}
F"ur jede unit"are Matrix $U \in\op{U} (n)$ gibt es eine 
weitere unit"are Matrix
$B \in \op{U} (n)$ mit
$
B^{-1} U B = \op{diag}(z_1,\ldots , z_n)
$, wobei $z_i \in S^1 \subset \mathbb C$ komplexe Zahlen der L"ange Eins sind.
\end{Korollar}
\begin{proof}
Man findet solch eine Matrix $B$, indem man eine 
Orthonormalbasis aus Eigenvektoren
von $U : \mathbb C^n \rightarrow \mathbb C^n$ nach \ref{SUW}
 als die Spalten von $B$ 
nimmt: Dann gilt ja sicher
$U B = \op{diag}(z_1,\ldots , z_n)B$ und die Matrix $B$ ist unit"ar
nach Lemma \ref{MNB}.
\end{proof}
\begin{Satz}[\textbf{Normalform f"ur orthogonale Matrizen}]
Gegeben ein endlichdimensionaler\label{NFO}
reeller Skalarproduktraum $V$ und eine orthogonale Selbstabbildung 
$U:V\ra V$ gibt es stets eine
angeordnete Orthonormalbasis $\mathcal B$ von $V$, bez"uglich derer 
die Matrix $_{\mathcal B}[U]_{\mathcal B}$ unserer Abbildung eine blockdiagonale Gestalt der Form
$$\op{diag}\left(1,\ldots,1,-1,\ldots, -1,
\begin{pmatrix} c_1 & -s_1 \\
s_1 & c_1 \end{pmatrix},
\ldots,\begin{pmatrix} c_r & -s_r \\
s_r & c_r \end{pmatrix}\right)$$
hat mit $1>c_1\geq \ldots\geq c_r>-1$ und $c_i^2+s_i^2=1$. 
Unter den angegebenen Einschr"ankungen 
wird  umgekehrt 
besagte blockdiagonale Matrix durch unsere 
orthogonale Abbildung $U$ 
bereits eindeutig festgelegt.
\end{Satz}


\begin{Bemerkungl}
  Dieser Satz beinhaltet den Satz vom Fu"sball
  \ref{DrK} und seine Variante \ref{drkk} sowie die
  in \ref{OO2} und \ref{OR3} betrachteten Resultate, die sich schlicht
  als die F"alle $n\leq 3$ des obigen Satzes erweisen.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Der Drehblock zu $(c_\rho,s_\rho)$  hat 
die komplexen Eigenwerte
$c_\rho \pm \op{i}s_\rho$,
und das zeigt bereits die behauptete Eindeutigkeit.
Die Existenz ist klar im Fall $\op{dim}_\DR V\leq 2$
nach unserer Diskussion der Gruppe $\op{O}(2)$ aus \ref{OO2}. 
Zu beachten ist hierbei, da"s jede
ebene Spiegelung in einer
geeigneten Orthonormalbasis  die darstellende Matrix
$\op{diag}(1,-1)$ hat und jede
ebene Drehung in einer
geeigneten Orthonormalbasis
als darstellende Matrix 
entweder $\op{diag}(1,1)$ oder $\op{diag}(-1,-1)$ oder einen Drehblock
wie oben.
Die Existenz  folgt mit Induktion im allgemeinen, sobald wir 
zeigen, da"s es unter der Voraussetzung
$ V\geq 0$ in $V$ stets einen
von Null verschiedenen unter $U$
invarianten Teilraum der Dimension $\leq 2$ gibt, indem wir dann 
n"amlich die Induktionsannahme auf diesen
Teilraum und sein orthogonales Komplement anwenden.
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit  d"urfen wir von jetzt an $V=\DR^n$ 
mit $n\neq 0$ annehmen und uns $U$ als reelle Matrix denken.
Nun hat $U$ wegen $n\neq 0$ stets einen 
Eigenvektor $v = (v_1,
\ldots , v_n)^\top \in \mathbb C^n$, 
sagen wir $U v = \lambda v$ mit $\lambda\in\DC$.
Dann folgt f"ur $\bar{v} 
= (\bar{v}_{1} ,\ldots , \bar{v}_n)^\top$
sofort $U \bar{v}= \bar{\lambda} \bar{v}$ und
das komplexe Erzeugnis 
$\langle v, \bar{v}\rangle_{\mathbb C}$ dieser beiden Vektoren
ist sicher auch ein  $U$-stabiler
Teilraum von $\mathbb C^n$ der Dimension Eins oder Zwei.
Der Schnitt $\langle v, \bar{v}\rangle_{\mathbb C}\cap
\mathbb R^n$ ist also ein  $U$-stabiler 
Teilraum von $\mathbb R^n$ einer Dimension $\leq 2$. Dieser
Schnitt ist aber auch nicht Null, denn er 
enth"alt sowohl $v + \bar{v}$ als auch ${\op{i}}(v-
\bar{v})$, die wegen $v \neq 0$ nicht 
beide  verschwinden k"onnen.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}
Der vorhergehende Beweis illustriert in meinen Augen sehr gut,
wie wunderbar unsere Theorie durch ihre Erweiterung  ins Komplexe 
vereinfacht wird. Ich selbst kenne jedenfalls keinen vergleichbar
transparenten Beweis der obigen Klassifikation, 
der ohne die komplexen Zahlen auskommt. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Gram-Schmidt}]
Seien $v_1, \ldots, v_k$ linear unabh"angige
Vektoren eines reellen oder komplexen  Skalarproduktraums.\index{Gram-Schmidt}
So existiert in unserem Skalarproduktraum\label{GrSS} 
genau ein Orthonormalsystem $w_1, \ldots, w_k$
mit 
\begin{equation*}
w_i \in \mathbb R_{>0} v_i + \langle v_{i-1}, \ldots, v_1\rangle
\quad \forall i
\end{equation*}
\end{Satz}
\begin{Bemerkunge}[\textbf{Bezug zur Definition einer 
     Bewegungsgruppe}] 
  Ist $V$ ein dreidimensionaler reeller Skalarproduktraum, so
gibt es zu je zwei Tripeln bestehend aus einem Halbraum, 
einer Halbebene auf seinem Rand und einem Strahl auf deren Rand
genau eine orthogonale Abbildung, die das eine Tripel in das andere 
"uberf"uhrt. Etwas pr"aziser und in Formeln meinen wir hier
Tripel von Teilmengen $(H,E,A)$ von $V$ derart, da"s es linear unabh"angige
Vektoren $v_1, v_2, v_3$ gibt mit 
$A=\DR_{\geq 0}v_1$ und $E=  \DR_{\geq 0}v_2 +\DR v_1$ und
$H=\DR_{\geq 0}v_3 +\DR v_2 +\DR v_1$. In der Tat sagt uns Gram-Schmid,
da"s jedes solche Tripel $(H,E,A)$ durch genau eine Orthonormalbasis 
$w_1, w_2, w_3$ beschrieben werden kann. Der letzte Vektor $w_3$ wird dabei
im "ubrigen durch die beiden anderen bereits bis auf ein Vorzeichen
festgelegt,
und 
Analoges gilt in beliebiger endlicher Dimension.
Das zeigt den Bezug des Satzes von Gram-Schmid
 zu unserer Definition einer 
     Bewegungsgruppe \ref{DefER}. 
\end{Bemerkunge}





\begin{proof}
Nach \ref{OKn} k"onnen wir $v_i$ eindeutig zerlegen als $v_i = p_i + r_i$ mit
$p_i$ der orthogonalen Projektion von $v_i$ auf $\langle v_{i-1}, \ldots, v_1
\rangle$ und $r_i$ im orthogonalen Komplement dieses Teilraums.
Wegen der linearen Unabh"angigkeit der $v_i$ gilt hier $r_i\neq 0$. 
F"ur 
die Vektoren $w_i \pdef r_i /\| r_i\|$ 
gilt dann $w_j\in \langle v_{j}, \ldots, v_1
\rangle$ und $w_i \perp \langle v_{i-1}, \ldots, v_1
\rangle$ und damit $\langle w_{i}, w_j
\rangle=0$ f"ur $i>j$. Da andererseits 
auch gilt $\langle w_{i}, w_i
\rangle=1$ nach Konstruktion, bilden sie 
in der Tat ein Orthonormalsystem, und 
unsere Konstruktion zeigt zus"atzlich
$$w_i = v_i/\|r_i\|- p_i/\|r_i\|\in 
\mathbb R_{>0} v_i + \langle v_{i-1}, \ldots, v_1\rangle$$
Um die Eindeutigkeit zu zeigen, bemerken wir zun"achst 
 $w_j \in \langle v_{j}, \ldots, v_1
\rangle$ und folgern mit Dimensionsbetrachtungen 
$\langle w_{j}, \ldots, w_1
\rangle= \langle v_{j}, \ldots, v_1
\rangle$. So folgt
$$\langle w_{i}\rangle= \langle v_{i-1}, \ldots, v_1
\rangle^\perp\cap \langle v_{i}, \ldots, v_1
\rangle$$
Diese Bedingung legt $w_{i}$ fest bis auf Multiplikation 
mit einem Skalar der L"ange Eins. 
Es ist dann klar, da"s $w_{i}$ durch die zus"atzliche Bedingung 
im Satz sogar eindeutig festgelegt wird.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Orthogonalisierungsverfahren nach Gram-Schmidt}]
  In Worten l"auft der Beweis wie folgt ab:
Gegeben ist eine endliche angeordnete linear unabh"angige Teilmenge 
unseres Skalarproduktraums. Wir beginnen mit dem ersten Vektor und
normieren ihn auf L"ange Eins. Dann nehmen wir uns den zweiten Vektor vor,
machen ihn senkrecht zum ersten Vektor, indem wir seine orthogonale 
Projektion auf die vom ersten Vektor erzeugte Gerade von ihm abziehen, 
und normieren den so entstehenden Vektor wieder auf L"ange Eins. 
Dann nehmen wir uns den dritten Vektor vor,
machen ihn senkrecht zu den ersten beiden Vektoren, indem wir seine orthogonale 
Projektion auf die von den ersten beiden Vektoren erzeugte Ebene 
von ihm abziehen, 
und normieren den so entstehenden Vektor wieder auf L"ange Eins. 
Und so machen wir immer weiter, bis wir alle Eingaben verarbeitet haben.
Mit dem Normieren eines von Null verschiedenen
Vektors ist dabei das Multiplizieren unseres Vektors mit dem Inversen seiner 
L"ange gemeint. 
Wir schreiben das nun noch in Formeln mit den Notationen  des
vorhergehenden Satzes.
F"ur unsere Basen gilt sicher $\langle w_{i-1} , \ldots , w_1 \rangle \subset
\langle v_{i-1}, \ldots , v_1 \rangle$ 
und\index{Gram-Schmidt!Orthogonalisierungsverfahren} 
Dimensionsvergleich liefert sogar die Gleichheit
dieser Erzeugnisse. Nach der Formel f"ur orthogonale Projektionen aus dem Beweis
von \ref{OKn} %\ref{OPZ} 
k"onnen wir also die $w_i$ induktiv bestimmen durch die Formeln
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccl}
r_1 &=& v_1\\[2mm]
w_1 &=& {r_1}/{\| r_1\|}\\
& \vdots &\\
r_i &=& v_i - \sum^{i-1}_{\nu =1} \langle w_\nu , v_i \rangle w_\nu\\[2mm]
w_i &=& {r_i}/{\| r_i \|}\\
&\vdots & \\
\end{array}
\end{displaymath}
Das ist das
{\bf Gram-Schmidt'sche 
Orthogonalisierungsverfahren}
oder etwas ungew"ohnlich aber genauer 
{\bf Orthonormalisierungsverfahren}.
\end{Bemerkungl}

\begin{Korollar}[\textbf{Iwasawa-Zerlegung f"ur
    $\op{GL}(n;\DR)$}]\index{Iwasawa-Zerlegung!f"ur
    $\op{GL}(n;\DR)$}
Bezeichne $A \subset \op{GL} (n; \mathbb R)$ die Menge aller 
Diagonalmatrizen mit
positiven Eintr"agen auf der Diagonale und $N \subset \op{GL} (n ; \mathbb R)$
die Menge aller oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonale. 
So liefert die Multiplikation\label{IWZR}
eine Bijektion
\begin{equation*}
\op{O} (n) \times A \times N \;\overset{\sim}{\rightarrow}\; 
\op{GL} (n;\mathbb R)
\end{equation*}
\end{Korollar}
\begin{Bemerkunge}
  Eine Zerlegung einer Matrix $M$ als Produkt 
$M=QR$ mit $Q$ orthogonal und $R$ einer oberen Dreiecksmatrix 
gibt es auch f"ur nicht notwendig invertierbare Matrizen.
Sie wird  als {\bf QR-Zerlegung}\index{QR-Zerlegung}
bezeichnet, l"a"st sich nach Householder effektiv berechnen, und 
spielt eine wichtige Rolle in der Numerik.
\end{Bemerkunge}
\begin{proof}
Sicher gilt $A \cap N = \{I\}$, folglich definiert die 
Multiplikation eine Injektion
\begin{equation*}
A \times N \hookrightarrow \op{GL} (n; \mathbb R)
\end{equation*}
Deren Bild $AN$ ist eine Untergruppe, die Gruppe
der oberen Dreiecksmatrizen mit positiven Diagonaleintr"agen, und wegen
$\op{O} (n) \cap AN = \{I\}$ definiert die Multiplikation
schon mal eine Injektion
$
\op{O}(n)\times  AN \hookrightarrow \op{GL} (n;\mathbb R)
$.
Es bleibt, deren Surjektivit"at zu zeigen. Dazu betrachten wir in 
$\mathbb R^n$ die Standardbasis $\mathcal S$, eine beliebige 
angeordnete Basis
$\mathcal B$ und die im Gram-Schmidt-Verfahren daraus entstehende angeordnete 
Orthonormalbasis
$\mathcal A$.
Unser Satz liefert f"ur die zugeh"orige Basiswechselmatrix obere 
Dreiecksgestalt
mit positiven Diagonaleintr"agen, in Formeln
\begin{equation*}
{}_{\mathcal B}[\op{id}]_{\mathcal A} \in AN
\end{equation*}
Aus der Identit"at  ${}_{\mathcal B}[\op{id}]_{\mathcal A} 
\circ {}_{\mathcal A}[\op{id}]_{\mathcal S}
={}_{\mathcal B}[\op{id}]_{\mathcal S}$ folgt dann die Surjektivit"at der
Multiplikation
$
AN \times \op{O} (n) \rightarrow \op{GL} (n;\mathbb R).
$
Invertieren liefert den Rest.
\end{proof}






\begin{Korollar}[\textbf{Iwasawa-Zerlegung f"ur
    $\op{GL}(n;\DC)$}]\index{Iwasawa-Zerlegung!f"ur
    $\op{GL}(n;\DC)$}
Bezeichne $A \subset \op{GL} (n; \mathbb C)$ 
die Menge aller Diagonalmatrizen mit
reellen\label{IWZC}
positiven Eintr"agen auf der Diagonale und $N \subset \op{GL} (n ; \mathbb C)$
die Menge aller oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonale. So 
liefert die Multiplikation
eine Bijektion
\begin{equation*}
\op{U} (n) \times A \times N \;\sira\; 
\op{GL} (n;\mathbb C)
\end{equation*}
\end{Korollar}
\begin{proof}
  Der Beweis geht analog wie im reellen Fall \ref{IWZR}.
\end{proof}



\begin{Definition}\label{spos}
Eine Matrix $M$ hei"st {\bf symmetrisch},\index{symmetrisch!Matrix} 
 wenn sie mit ihrer eigenen Transponierten "ubereinstimmt,
in Formeln $M^\top=M$.  Eine symmetrische Matrix $M\in \op{Mat}( n;\DR)$ 
hei"st
{\bf positiv definit},\index{positiv definit!symmetrische Matrix}
 wenn gilt ${x}^\top Mx\leq 0\RA x=0$.  
Sie hei"st
{\bf positiv semidefinit},\index{positiv semidefinit!symmetrische Matrix}
 wenn gilt ${x}^\top Mx\geq 0\; \forall  x\in\DR^n$.
\end{Definition}
\begin{Korollar*}[\textbf{Cholesky-Zerlegung}]\index{Cholesky-Zerlegung}
  Gegeben eine positiv definite symmetrische Matrix 
$M\in \op{Mat}(n;\DR)$ gibt es\label{Cho}  
genau eine untere Dreiecksmatrix $L$ mit positiven Diagonaleintr"agen
und der Eigenschaft
$$M=L L^\top$$
\end{Korollar*}
\begin{Bemerkungl}
  Das $L$ steht hier f"ur englisch \glqq lower triangular\grqq.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Wir betrachten auf dem $\DR^n$ 
das durch die Vorschrift  $s(x,y)\pdef x^\top M y$ erkl"arte 
Skalarprodukt $s=s_M$. Wenden wir nun das Gram-Schmidt-Verfahren  
in Bezug auf dies neue Skalarprodukt 
an auf die Standardbasis $\op{e}_1,\ldots,\op{e}_n$ des $\DR^n$, 
so erhalten wir eine neue Basis
$w_1,\ldots,w_n$ des $\DR^n$ mit $w_i^\top M w_j=\delta_{i,j}$
und $w_i\in \DR_{>0}\op{e}_i+\langle \op{e}_{i-1},\ldots,\op{e}_1\rangle$.
Die Matrix $N\pdef ( w_1|\ldots|w_n)$ mit den  $w_i$ in den Spalten ist
also eine obere Dreiecksmatrix mit der Eigenschaft
$N^\top M N=I$. Mit $L=(N^\top)^{-1}$ ergibt sich dann die gesuchte
Zerlegung. Deren Eindeutigkeit zeigt man, indem man
den Beweis r"uckw"arts liest.
\end{proof}

\begin{Bemerkunge}
 Das Invertieren einer oberen Dreiecksmatrix  $N$  
mit positiven Diagonaleintr"agen ist im Prinzip unproblematisch. 
Bei der numerischen Berechnung der Cholesky-Zerlegung empfiehlt
es sich jedoch, das Invertieren gleich mit dem Algorithmus
des Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahrens zu verschmelzen.
Mehr dazu m"ogen Sie in der Numerik lernen.
\end{Bemerkunge}



\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}\label{OGA}
    Eine lineare Abbildung von komplexen
Skalarproduktr"aumen ist 
unit"ar genau dann, wenn sie die Norm aller Vektoren erh"alt.
Hinweis: Man beginne mit einer Variante  der Polarisierungs\-identit"at.
 \end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{Spil} Man zeige:
  Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Skalarproduktraum $V$
und darin eine lineare Hyperebene $H\subset V$ gibt es genau eine
orthogonale lineare Abbildung $s:V\ra V$ mit unserer Hyperebene
als Fixpunktmenge,  
in Formeln $H=V^s$. Diese Abbildung $s$  
hei"st die {\bf orthogonale Spiegelung an der
 Hyperebene $H$}\index{Spiegelung!orthogonale} oder auch 
k"urzer die {\bf  Spiegelung an $H$}. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Man zeige, da"s sich zwei Vektoren eines endlichdimensionalen 
reellen Skalarproduktraums genau dann durch eine 
orthogonale Abbildung ineinander "uberf"uhren lassen, wenn sie dieselbe 
L"ange haben. 
\end{Ubung}



\begin{Ubung}[\textbf{Zeichnen eines W"urfels}]
Man zeige:  Zeichnet man einen massiven W"urfel\index{W"urfel!Zeichnung} 
 so, da"s an einer Ecke alle drei angrenzenden Fl"achen zu
sehen sind, so treffen sich auf dem Papier die drei von dieser Ecke ausgehenden Kanten jeweils in einem
{\bf echt stumpfen Winkel},\index{Winkel!echt stumpfer}
also einem Winkel mit negativem geometrischen Cosinus.
Zeichnet man also ein r"aumliches Koordinatensystem perspektivisch korrekt von einem Punkt
des positiven Oktanten $(\mathbb R_{>0})^3$ aus gesehen, 
so m"ussen sich je zwei positive Koordinatenachsen
in einem echt stumpfen Winkel treffen.
\end{Ubung}


\begin{Ubunge}
Jede orthogonale Selbstabbildung mit Determinante $(-1)$
eines dreidimensionalen reellen Skalarproduktraums 
ist die Verkn"upfung einer
Drehung um eine Achse mit einer Spiegelung an der  
zu dieser Achse senkrechten Hyperebene.
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}
Jede bez"uglich Inklusion maximale kommutative Untergruppe der Drehgruppe
$\op{SO}(3)$ ist entweder die Gruppe aller Drehungen um eine Achse
oder konjugiert zur Gruppe aller Diagonalmatrizen aus $\op{SO}(3)$.
\end{Ubunge}
\begin{Ubung}\label{UBBW}
Sei $V$ ein reeller Skalarproduktraum.
Man zeige:
\begin{enumerate}
\item
Eine endliche Familie $v_1, \ldots, v_n$ von Vektoren von $V$
ist orthonormal genau dann, wenn die zugeh"orige Abbildung
$\Phi : \mathbb R^n \rightarrow V$ orthogonal 
ist f"ur das Standard-Skalarprodukt auf $\mathbb R^n$. 
\item
Gegeben endliche angeordnete Basen $\mathcal A$, $\mathcal B$
von $V$ mit $\mathcal A$ orthonormal ist $\mathcal B$  orthonormal
genau dann, wenn die Basiswechselmatrix ${}_{\mathcal B}[\op{id}]_{\mathcal A}$
orthogonal ist.
Hinweis: Man betrachte das kommutative Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
V  &V\ar[l]_-{\op{id}}\\
\mathbb R^n \ar[u]^-{\Phi_{\mathcal B}} 
&\mathbb R^n \ar[u]_-{\Phi_{\mathcal A}}\ar[l]_-{{}_{\mathcal B}[\op{id}]_{\mathcal A}}
}
\end{displaymath}
\end{enumerate}
Man formuliere und zeige auch die  analogen Aussagen  im Komplexen.
\end{Ubung}




\begin{Ubung}
Ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen komplexen Skalarproduktraums
 ist genau dann unit"ar, wenn 
er diagonalisierbar ist und wenn zus"atzlich
alle Eigenwerte den Betrag
Eins haben.
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}
Bezeichne $R^{x}_{\varphi}\in\op{SO}(3)$ 
die Drehung um die $x$-Achse $\DR{\op{e}}_1$
mit dem Winkel mit Bogenma"s $\varphi$, in Formeln\label{EuWi} 
  \begin{equation*}
   R^{x}_{\varphi}= \begin{pmatrix}
      1 & 0 &0\\
      0 & \cos \varphi &-\sin \varphi\\
      0 & \sin \varphi &\cos \varphi
    \end{pmatrix}
  \end{equation*}
Bezeichne $R^{z}_{\varphi}\in\op{SO}(3)$ 
die Drehung um die $z$-Achse $\DR{\op{e}}_3$
mit dem Winkel  mit Bogenma"s $\varphi$, in Formeln
  \begin{equation*}
   R^{z}_{\varphi}= \begin{pmatrix}
        \cos \varphi &-\sin \varphi&0\\
       \sin \varphi &\cos \varphi&0\\
 0 &0&1
    \end{pmatrix}
  \end{equation*}
Man zeige:
Jede Drehung   $U\in\op{SO}(3)$ l"a"st sich darstellen als
$$U = R^{z}_{\varphi} R^{x}_{\psi}R^{z}_{\vartheta}$$
mit $ \psi \in [ 0,\pi] $ 
und 
$\varphi,\vartheta \in \left[ 0, 2\pi \right)$, und 
unter der Voraussetzung $\op{e}_{3} \neq \pm U (\op{e}_{3})$ ist 
diese Darstellung sogar eindeutig.
Die fraglichen  Winkel hei"sen dann die 
{\bf Euler'schen Winkel}\index{Euler'sche Winkel} unserer Drehung $U$.
Hinweis:
Aus der Anschauung, deren Formalisierung Ihnen "uberlassen bleiben m"oge,
finden wir $ \psi \in [ 0,\pi]$
und $\varphi\in [ 0,2\pi)$ mit
$R^{z}_{\varphi} R^{x}_{\psi} (\op{e}_{3}) =  U (\op{e}_{3})$.
Es folgt $U^{-1} R^{z}_{\varphi} R^{x}_{\psi} = R^{z}_{-\vartheta}$
f"ur geeignetes $\vartheta \in [0,2\pi)$. 
\end{Ubunge}

\begin{Ubunge}[\textbf{Spingruppe und Quaternionen}] 
  Wir erhalten einen Isomorphismus $\op{SU}(2)\sira \{q\in\mathbb H\mid
  |q|=1\}$
der Spingruppe\label{QDR}  
mit der Gruppe der Quaternionen der Norm Eins, indem wir 
bemerken, da"s bei unserer Konstruktion der Quaternionen im Beweis
von \eref{DQuaR}{LA1} beide Seiten dieselbe Untergruppe von $\op{Mat}(2;\DC)$
sind. 
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}[\textbf{Spingruppe und Drehgruppe}] 
Sei $\mathfrak{su}(2)\pdef\{A\in\op{Mat}(2;\DC)\mid A+\bar A^\top=0,\;
\op{tr}A=0\}$\label{SpFr} 
der dreidimensionale reelle Vektorraum der schiefhermiteschen spurlosen 
$(2\times
2)$-Matrizen. Man zeige: Die Vorschrift $\langle A,B\rangle\pdef -\op{tr}(AB)$
liefert ein Skalarprodukt auf $\mathfrak{su}(2)$ 
und wir erhalten einen surjektiven Gruppenhomomorphismus 
$\rho:\op{SU}(2)\sra \op{SO}(\mathfrak{su}(2))$ mit Kern $\pm I$ 
durch die Vorschrift $\rho(U):A\mapsto UAU^{-1}$. 
Insbesondere gibt es also einen surjektiven Gruppenhomomorphismus 
$$\op{SU}(2)\sra \op{SO}(3)$$ mit Kern $\pm I$. Hinweis:
Um die Surjektivit"at zu zeigen, kann man den Satz \ref{EuWi} "uber die
Eulerschen Winkel verwenden und zeigen, da"s die von den drei Einbettungen
$\DC\hra\mathbb H$ mit $\op{i}_\DC\mapsto \op{i},\op{j},\op{k}$ 
nach \ref{QDR} induzierten Einbettungen $S^1\hra  \op{SU}(2)$ 
unter Nachschalten von $\rho$ die Kreislinie surjektiv auf die Gruppen
der Drehungen um drei paarweise orthogonale Achsen in $\mathfrak{su}(2)$ 
abbilden. Ein konzeptionelles Argument wird in \eref{DrehS}{ML} ausgef"uhrt.
\end{Ubunge}



\begin{Ubung}
Man zeige: F"ur jede komplexe quadratische Matrix $A$ gibt es 
eine unit"are Matrix $U$ derart, da"s $UAU^{-1}$ obere Dreiecksgestalt
hat. Hinweis: Trigonalisierbarkeit und Gram-Schmidt.
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}
  Man zeige, da"s die orthogonale Gruppe eines endlichdimensionalen
reellen Skalarproduktraums von Spiegelungen an Hyperebenen erzeugt wird.
Hinweis: Normalform \ref{NFO}.\label{OEHE} 
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}[\textbf{Iwasawa-Zerlegung f"ur
    $\op{SL}(n;\DC)$}]\index{Iwasawa-Zerlegung!f"ur
    $\op{SL}(n;\DC)$}
Bezeichne $A \subset \op{SL} (n; \mathbb C)$ 
die Menge aller Diagonalmatrizen mit
reellen\label{IWZlC} 
positiven Eintr"agen auf der Diagonale und $N \subset \op{GL} (n ; \mathbb C)$
die Menge aller oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonale. So 
liefert die Multiplikation
eine Bijektion
\begin{equation*}
\op{SU} (n) \times A \times N \;\overset{\sim}{\rightarrow}\; 
\op{SL} (n;\mathbb C)
\end{equation*}
Hinweis: Man gehe vom Fall \ref{IWZC} der $\op{GL} (n;\mathbb C)$ aus.
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}
  Gegeben eine nicht notwendig quadratische Matrix $A$ mit Eintr"agen
in einem angeordneten K"orper haben $A$ und $A^\top A$
denselben Rang.\label{ranh} 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Ausgleichsrechnung}]
  Gegeben $A\in \op{Mat}(m\times n;\DR)$ und $b\in\DR^m$ nimmt
  die Funktion  $x\mapsto \|Ax-b\|$ genau an denjenigen Stellen $x\in\DR^n$ ihr
  Minimum an, f"ur die gilt $A^\top\! A x=A^\top\! b$. Hinweis: Nach
  \ref{ranh} ist letztere Gleichung stets l"osbar. Man pr"ufe nun f"ur beliebige
  $x,b,h$ die Identit"at
  $$\|A(x+h)-b\|^2-\|Ax-b\|^2=\|Ah\|^2+2h^\top(A^\top\! A x-A^\top\! b)$$
  In typischen Anwendungen ist $Ax=b$ ein "uberbestimmtes und deshalb
  unl"osbares Gleichungssystem, etwa mit einer
  Proportionalit"atskonstanten $x$ als einziger
 Variablen, die man aus einer durch Me"sfehler
 gest"orten Me"sreihe bestimmen will. Hat $A$ den Rang $n$, so ist
 unser Minimum $x$ sogar
 eindeutig bestimmt, wie man obiger Identit"at auch leicht ansieht.
 Etwas allgemeiner k"onnten wir f"ur Me"swerte $(a_1,b_1),\ldots,(a_m,b_m)$
 Koeffizienten $x_1, x_2$ so suchen, da"s $a\mapsto x_1 + x_2a$ unsere
 Me"sreihe $a_i\mapsto b_i$ m"oglichst gut beschreibt. Hier ist zu beachten,
 da"s wir statt $x\mapsto ax+b$ wie "ublich die Buchstaben ganz anders
 verwenden.
  \end{Ubung}


\subsection{Selbstadjungierte Endomorphismen}
\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHAT}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Dieses Bild zeigt die Ellipse, auf der die positiv 
definite quadratische Form $17x^2-12xy+8y^2$ bei einer geeigneten 
Wahl des Ma"sstabs 
den Wert Eins annimmt.  Gestrichelt sind die Hauptachsen eingetragen,
die in diesem Fall die Richtungsvektoren $(2,1)$ und $(-1,2)$ haben.
\end{minipage}
\end{figure}

\begin{Satz}[\textbf{Hauptachsentransformation}]
Gegeben eine Funktion $q : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ der Gestalt
$q (x_1, \ldots, x_n) = \sum_{i \leq j} c_{ij} x_i x_j$ alias eine 
\emph{\bf homogene quadratische Form}\index{quadratische Form!homogene!auf $\DR^n$|main} 
auf dem $\DR^n$ 
gibt es stets eine Drehung $U \in \op{SO} (n)$ 
und Skalare $\lambda_1, \ldots, 
\lambda_n \in \mathbb{R}$ mit\label{HaTTm} 
\begin{equation*}
(q \circ U)(y_1, \ldots , y_n)^\top= \lambda_1 y^2_1 + \ldots + \lambda_n y^2_n
\end{equation*}
Die Multimenge $_\mu\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}$ ist dabei  durch
$q$ bereits eindeutig bestimmt.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
 Dieser Satz wird sich als ein einfaches Korollar des
Spektralsatzes erweisen und soll der Motivation dienen. 
Wir gegen den Beweis im Anschlu"s an \ref{DAD}.
In \ref{HaTT} diskutieren wir
Hauptachsentransformationen noch ausf"uhrlicher. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur Hauptachsentransformationen}]
Man kann sich die Bedeutung dieses Satzes auf zwei Weisen veranschaulichen:
Entweder \glqq aktiv\grqq\  in dem Sinne, da"s der Graph unserer Funktion $q$
unter der Drehung $U^{-1}$ oder pr"aziser der 
Abbildung $U^{-1}\times \op{id}$ in den Graphen unserer Linearkombination 
von Quadraten  "ubergeht; Oder \glqq passiv\grqq\  in dem Sinne,
da"s unsere Funktion beim Einf"uhren  neuer Koordinaten
mit Koordinatenachsen in Richtung der Spaltenvektoren von $U$ 
in den neuen Koordinaten ausgedr"uckt die fragliche Form annimmt, in Formeln
$q(y_1\vec{v}_1+\ldots +y_n\vec{v}_n)
=\lambda_1 y^2_1 + \ldots + \lambda_n y^2_n$
f"ur $\vec{v}_i$ die Spalten von $U$, also f"ur 
$U=(\vec{v}_1|\ldots |\vec{v}_n)$ und folglich $U(y_1, \ldots , y_n)^\top=
y_1\vec{v}_1+\ldots +y_n\vec{v}_n$.
Die Menge der von den Spalten der Matrix $U$ erzeugten Geraden 
hei"st dann ein System von 
{\bf Hauptachsen}\index{Hauptachse!von quadratischer Form!auf $\DR^n$} 
f"ur unsere
quadratische Form $q$. Die 
Multimenge der $\lambda_i$ nennen wir  die 
Multimenge der 
{\bf Eigenwerte}\index{Eigenwert!von quadratischer Form!auf $\DR^n$} 
unserer quadratischen Form. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}[\textbf{Transformation einer Hyperbel auf ihre Hauptachsen}] 
Die Identit"at $xy=(1/4)((x+y)^2-(x-y)^2)$ zeigt, da"s im Fall der
quadratischen Form $q(x,y)=xy$ die Hauptachsen gerade die Diagonale 
die Nebendiagonale sind, also die Ursprungsgeraden mit den Gleichungen 
$x=\pm y$. M"ogliche Drehungen $U$, die unsere Form auf 
ihre Hauptachsen transformieren,  sind also die Drehungen um die Winkel
$45^\circ + n\cdot 90^\circ$ mit $n=0,1,2,3$.  
Eine Matrix f"ur eine derartige Drehung ist  
$$
U=\begin{pmatrix} \sqrt{2}^{-1} & - \sqrt{2}^{-1}\\
\sqrt{2}^{-1} & \sqrt{2}^{-1} \end{pmatrix}
$$
Schreiben wir genauer $x=x_1$ und $y=x_2$, so nimmt unsere Form 
die Gestalt $q(x_1,x_2)=x_1 x_2$ an und 
f"ur den Koordinatenwechsel $(x_1,x_2)^\top=U(y_1,y_2)^\top$ alias
$x_1=2^{-1/2}y_1-2^{-1/2}y_2$ und 
$x_2=2^{-1/2}y_1+2^{-1/2}y_2$ oder gleichbedeutend
$U^{-1}(x_1,x_2)^\top=(y_1,y_2)^\top$ alias $y_1=2^{-1/2}x_1+2^{-1/2}x_2$ und 
$y_2=2^{-1/2}x_1-2^{-1/2}x_2$
ergibt sich 
$$q(x_1, x_2)=x_1x_2=\frac{1}{2}y_1^2-\frac{1}{2}y_2^2 $$
\end{Beispiel}





\begin{Definition}\label{adAB}
Gegeben Skalarproduktr"aume  $V,W$ hei"sen
lineare Abbildungen $f : V \rightarrow W$ 
und $g : W \rightarrow
V$  zueinander 
{\bf adjungiert}\index{adjungiert!lineare Abbildung}, wenn
gilt
\begin{equation*}
\langle f( v), w\rangle = \langle v, g( w) \rangle \quad \forall v \in V, w \in W
\end{equation*}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Ich kann f"ur das Konzept  adjungierter Abbildungen leider keinerlei
  Anschauung anbieten. 
 Die adjungierte Abbildung darf nicht mit der 
adjungierten oder besser adjunkten 
Matrix aus \eref{CraRe}{LA1} verwechselt werden,
mit der sie au"ser der Bezeichnung 
rein gar nichts zu tun hat. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit von Adjungierten}] 
  Jede lineare Abbildung $f$ zwischen Skalarproduktr"aumen\label{ExAA} 
 hat h"ochstens eine Adjungierte: Sind n"amlich $g , h$ 
beide adjungiert zu $f$, so folgt $\langle v, g( w) - h( w) \rangle
  = 0 \; \forall v, w$ und insbesondere f"ur $v=g( w) - h( w)$ und
damit $g( w) = h( w) \; \forall w$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Adjungierte in Koordinaten}]
   Versehen wir
  $\mathbb R^n, \mathbb R^m$ jeweils mit dem Stan\-dard\-skalarprodukt, so wird
  f"ur $A \in \op{Mat} (m \times n; \mathbb R)$ die adjungierte Abbildung zu $A
  : \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m$ gegeben durch die transponierte
  Matrix als $A^\top : \mathbb R^m \rightarrow \mathbb R^n$.  Ebenso wird
 im
  Komplexen die adjungierte Abbildung zu 
$A: \mathbb C^n \rightarrow \mathbb C^m$
gegeben durch $\bar{A}^\top : \mathbb C^m \rightarrow \mathbb C^n$.  
In der Tat finden wir m"uhelos
  \begin{equation*}
    \langle A x, y \rangle = (\overline{Ax})^\top  y 
= \bar{x}^\top  \bar{A}^\top  y=
    \langle x, \bar{A}^\top  y\rangle
  \quad\forall x\in \DC^m, y\in \DC^n  
\end{equation*}
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Existenz von Adjungierten im endlichdimensionalen Fall}]
  Wir folgern aus der
Klassifikation endlichdimensionaler Skalarproduktr"aume \ref{EEV}
mithilfe der vorhergehenden Bemerkung, da"s jede
  lineare Abbildung von endlichdimensionalen reellen oder komplexen
  Skalarproduktr"aumen genau eine Adjungierte besitzt.
%F"ur die Adjungierte einer Abbildung $A$ verwendet man
%in der Mathematik meist die Notation 
%$A^\ast$\index{)6\ast@$A^\ast$ adjungierte Abbildung} und in der Physik 
%meist die Notation $A^\dagger$.\index{)6\dagger@$A^\dagger$ 
%adjungierte Abbildung}
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Eine Abbildung  ohne Adjungierte im Unendlichdimensionalen}]
  Wir betrachten den freien $\DR$-Vek\-tor\-raum $V=W$ "uber $\DN$ mit der Basis 
$(\op{e}_n)_{n\in\DN}$ und dem Skalarprodukt, f"ur das diese Basis ein
Orthonormalsystem ist. Die lineare Abbildung $f:V\ra V$ mit
$\op{e}_n\mapsto(\op{e}_1 +\ldots +\op{e}_n)$ besitzt keine Adjungierte,
denn diese m"u"ste $\op{e}_1$ auf einen Vektor $v\in V$ werfen mit
$\langle v,\op{e}_n\rangle=1$ f"ur alle $n$ und solch einen Vektor 
gibt es nicht. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}
Ein Endomorphismus eines reellen oder komplexen Skalarproduktraums
hei"st \defind{selbstadjungiert}, 
wenn er zu sich selbst adjungiert ist.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur  
selbstadjungierte Endomorphismen}]
Die \glqq schiefadjungierten\grqq\ 
alias zu ihrem Negativen adjungierten Endomorphismen  eines endlichdimensionalen Skalarproduktraums $V$
mag man sich als die Richtungsvektoren des  \glqq Tangen\-tial\-raums im neutralen Element
an die Gruppe der unit"aren Automorphismen\grqq\  
vorstellen.
Ist in der Tat $\gamma:\DR\ra \op{GL}(V)$ eine  differenzierbare
Abbildung mit $\gamma(0)=\op{id}$ und $\langle\gamma(t)v,\gamma(t)w\rangle = \langle v, w\rangle$ f"ur alle $v,w\in V$ und alle 
Zeiten $t$, so folgt $$\langle\gamma'(0)v,w\rangle +
\langle v,\gamma'(0)w\rangle=0$$ f"ur alle $v,w\in V$
alias $\gamma'(0)$ schiefadjungiert.
Ist umgekehrt $A$ schiefadjungiert, gilt also f"ur die darstellende Matrix
$A$ bez"uglich einer Orthonormalbasis $A+\bar A^\top=0$,
so ist $\gamma:t\mapsto \op{exp}(tA)$ ein Weg mit
$$\gamma(t)\overline{\gamma(t)^\top}=\op{exp}(tA)\overline{\op{exp}(tA)^\top}=\op{exp}(tA+t\bar A^\top)=
\op{exp}(0)=\op{I}$$ f"ur alle $t$, der mithin ganz in der unit"aren Gruppe
verl"auft.
Das gibt hoffentlich eine gewisse Vorstellung f"ur
schiefadjungierte Endomorphismen und macht anschaulich klar, da"s sie mit einem vorgegebenen Teilraum auch dessen orthogonales Komplement stabilisieren. Selbstadjungierte Endomorphismen sind dann
die $\op{i}$-fachen der schiefadjungierten Endomorphismen, und 
mehr als die so vererbte Anschauung kann ich f"ur diese Bedingung
auch nicht anbieten. Geometrisch aber liefert der Spektralsatz oder
besser sein Korollar \ref{SSMu}  eine sehr
explizite Beschreibung: Die selbstadjungierten Endomorphismen eines
endlichdimensionalen Skalarproduktraums  sind genau
diejenigen Endomorphismen, die in einer geeigneten Orthogonalbasis 
durch eine Diagonalmatrix mit reellen Eintr"agen dargestellt werden. 
\end{Bemerkungl}
% \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur  
% selbstadjungierte Endomorphismen}]
% Die Bedeutung der Bedingung \glqq selbstadjungiert\grqq\ 
% wird meines Erachtens erst 
% in \eref{TUn}{ML}
%  sichtbar: Dort werden Sie zeigen, da"s die \glqq schiefadjungierten\grqq\ 
% als da hei"st zu ihrem Negativen adjungierten Endomorphismen im
% Fall eines endlichdimensionalen Skalarproduktraums genau
% den \glqq Tangen\-tial\-raum im neutralen Element
% an die Gruppe der unit"aren Automorphismen\grqq\  
%  bilden. Das gibt hoffentlich eine gewisse Vorstellung f"ur
% schiefadjungierte Endomorphismen. Selbstadjungierte Endomorphismen sind dann
% die $\op{i}$-fachen der schiefadjungierten Endomorphismen, und 
% mehr als die so vererbte Anschauung kann ich f"ur diese Bedingung
% nicht anbieten. Geometrisch aber liefert der Spektralsatz oder
% besser sein Korollar \ref{SSMu}  eine sehr
% explizite Beschreibung: Die selbstadjungierten Endomorphismen eines
% endlichdimensionalen Skalarproduktraums  sind genau
% diejenigen Endomorphismen, die in einer geeigneten Orthogonalbasis 
% durch eine Diagonalmatrix mit reellen Eintr"agen dargestellt werden. 
% \end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Symmetrisch beziehungsweise
hermitesch hei"st selbstadjungiert}]
Eine reelle $(n\times n)$-Matrix $A$ beschreibt 
eine selbstadjungierte Abbildung
$A: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n$ in Bezug auf das 
Standardskalarprodukt genau dann, wenn sie symmetrisch ist,
in Formeln $A= A^\top $. Das folgt sofort aus \ref{ExAA}. 
Eine komplexe $(n \times n)$-Matrix $A$ beschreibt "ahnlich 
eine selbstadjungierte Abbildung
$A : \mathbb C^n \rightarrow \mathbb C^n$  in Bezug auf das 
Standardskalarprodukt genau dann, wenn sie die Identit"at
$A = \bar{A}^\top $ erf"ullt. 
Solche Matrizen hei"sen auch \defind{hermitesch}. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Lemma}[\textbf{Selbstadjungierte Abbildungen in Orthonormalbasen}]
  Sei $V$ ein endlichdimensionaler
Skalarproduktraum und $f:V\ra V$ eine lineare Abbildung.
So sind gleichbedeutend:
\begin{enumerate}
\item Die Abbildung $f$ ist selbstadjungiert;
\item Es gibt eine angeordnete Orthonormalbasis 
$\mathcal B=(v_1,\ldots, v_n)$ von $V$ derart, da"s die Matrix
$_{\mathcal B}[f]_{\mathcal B}$ hermitesch ist;
 \item F"ur jede angeordnete Orthonormalbasis 
$\mathcal B=(v_1,\ldots, v_n)$ von $V$ ist die Matrix
$_{\mathcal B}[f]_{\mathcal B}$ hermitesch.
\end{enumerate}
\end{Lemma}

\begin{proof}
(1)$\RA$(3): Die Eintr"age $a_{ji}$ unserer Matrix sind definiert durch die
Vorschrift $f(v_i)=\sum_{j}a_{ji}v_j$. Im Fall einer Orthonormalbasis folgt 
$a_{ji}=\langle v_j,f(v_i)\rangle$. Ist dann $f$ selbstadjungiert, so folgt 
$$a_{ji}=\langle v_j,f(v_i)\rangle=\langle f(v_j),v_i\rangle=\overline{\langle v_i,f(v_j)\rangle}=\overline{a_{ij}}$$
(3)$\RA$(2) bietet keine Schwierigkeiten. Um (2)$\RA$(1) zu zeigen bemerken wir,
da"s die Identit"at $\langle f(v),w\rangle=\langle v,f(w)\rangle$ f"ur
alle $v,w$ folgt, sobald wir sie f"ur alle $v,w$ aus einer festen
Basis  $\mathcal B$, ja aus einem beliebigen Erzeugendensystem zeigen k"onnen.
Das aber folgt dann aus der Hermitizit"at der Matrix von $f$ mit der 
Rechnung, die wir bereits durchgef"uhrt haben.  
\end{proof}

\begin{Satz}[\textbf{Spektralsatz f"ur selbstadjungierte Endomorphismen}]
F"ur jeden selbstadjungierten Endomorphismus eines
reellen oder komplexen endlichdimensionalen \label{SSM}
Skalar\-pro\-dukt\-raums
besitzt unser Vektorraum eine Orthonormalbasis aus
Eigenvektoren, und auch im komplexen Fall
 sind alle Eigenwerte eines selbstadjungierten Endomorphismus reell.
\end{Satz}


\begin{Bemerkungl}
  Einen noch allgemeineren Spektralsatz f"ur \glqq normale\grqq\  Endomorphismen
d"urfen Sie sp"ater als "Ubung \ref{NoER} selbst beweisen. Er enth"alt sowohl
den Spektralsatz f"ur selbstadjungierte Endomorphismen als auch den
Spektralsatz f"ur unit"are Endomorphismen als Spezialf"alle. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Erster Beweis]
Sei $V$ unser Skalarproduktraum und $f: V \rightarrow V$
selbstadjungiert.
Gegeben $0 \neq v \in V$ und $\lambda \in \mathbb C$ mit $f(v) = \lambda v$
folgern wir von der Mitte ausgehend die Gleichungskette
\begin{equation*}
\bar{\lambda} \langle v,v \rangle 
= \langle \lambda v, v \rangle = \langle f(v), v \rangle 
=\langle v, f(v) \rangle = \langle v, \lambda v\rangle 
= \lambda \langle v, v \rangle
\end{equation*}
und daraus folgt bereits $\lambda \in \mathbb R$. 
Weiter ist das orthogonale Komplement $v^\perp$ eines Eigenvektors 
$v$ stabil unter $f$,
denn aus $\langle v,w\rangle =0 $ folgt $\langle v, f(w) \rangle 
= \langle f(v), w\rangle=
\bar{\lambda} \langle v,w \rangle =0$.
Bis hierher brauchen wir noch nicht einmal  $V$ 
als endlichdimensional vorraussetzen.
Nun k"onnen wir den Beweis im Komplexen mit Induktion beenden:
Im Fall $V =0$ ist der Satz klar. Sonst finden 
wir einen Eigenvektor $v_1$ von $f$, den
wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit normiert annehmen d"urfen.
Dann wenden wir auf die auf seinem orthogonalen Komplement 
induzierte Abbildung $f: v_1^\perp \rightarrow v_1^\perp$
die Induktionsvoraussetzung an und finden darin eine Orthonormalbasis $v_2, 
\ldots, v_n$ aus Eigenvektoren von $f$. Damit ist $v_1, \ldots, v_n$ die
gesuchte Orthonormalbasis von $V$ aus Eigenvektoren von $f$ und der
 komplexe Fall ist erledigt. Im reellen Fall "uberlegen wir uns zun"achst,
da"s die darstellende Matrix von $f$ in Bezug auf eine Orthonormalbasis von $V$
symmetrisch sein mu"s.
Diese Matrix hat im Fall $\dim_{\mathbb R} V > 0$, 
wenn sie also nicht die $(0\times 0)$-Matrix ist,  
mindestens einen komplexen Eigenwert, 
und da sie auch einen selbstadjungierten Endomorphismus eines
komplexen Vektorraums darstellt, mu"s dieser Eigenwert 
 nach unseren "Uberlegungen zu 
Beginn des Beweises sogar reell sein.
Zu diesem Eigenwert finden wir dann wieder einen Eigenvektor aus $V$, und der 
Beweis l"auft von da an  wie im komplexen Fall.
\end{proof}

\begin{proof}[Zweiter Beweis im Reellen]
Man betrachte auf $V\backslash 0$ die zu $f$ geh"orige quadratische Form
$q(v)\pdef\langle f(v),v\rangle$ und die zum Skalarprodukt 
geh"orige quadratische Form
$n(v)\pdef\langle v,v\rangle=\| v\|^2$ und deren Quotienten 
\begin{equation*}
v \mapsto  R(v)\pdef\frac{q(v)}{n(v)}
\end{equation*}
Sie hei"st der \defind{Raleigh-Quotient}, deshalb der Buchstabe $R$.
Schr"anken wir diese Funktion ein auf die Einheitssph"are
$\{ v \mid \| v\| =1\}$, so nimmt sie dort nach Heine-Borel
\eref{HeBo}{AN2}  ihr
Maximum an, etwa an einer Stelle $v_+$.
Da unsere Funktion konstant ist auf jeder Geraden durch den Nullpunkt,
mu"s sie an derselben Stelle auch als Funktion $V \backslash 0 \rightarrow
\mathbb R$ ihr Maximum annehmen.
Wir betrachten  nun f"ur $w \in V$ 
die f"ur hinreichend kleines $t \in \mathbb R$
wohldefinierte Funktion $t \mapsto  R (v_+ + tw)$,
ausgeschrieben \begin{equation*}
 R (v_+ + tw) = \frac{q (v_+ + tw)}
{n( v_+ + tw)} = \frac{\langle f (v_+ + tw), v_+ + tw \rangle}
 {\langle v_+ + tw, v_+ + t w\rangle}
\end{equation*}
Sie ist offensichtlich differenzierbar, folglich mu"s ihre Ableitung
bei $t = 0$ verschwinden. 
Dann verschwindet also, wenn wir diese Ableitung 
 mithilfe
der Quotientenregel berechnen, auch der Z"ahler,  und wir folgern
\begin{equation*}
 (\langle f(w),v_+ \rangle + \langle f(v_+) , w\rangle )
\langle v_+, v_+\rangle - 2 \langle f(v_+) , v_+ \rangle
\langle v_+, w\rangle =0
\end{equation*}
 f"ur alle $w \in V$. Mithilfe der
Selbstadjungiertheit von $f$ folgern wir insbesondere
\begin{equation*}
w \perp v_+ \;\;\Rightarrow\;\; w \perp f( v_+)
\end{equation*}
Das liefert offensichtlich $f(v_+) \in \mathbb R v_+$ und wir haben
einen Eigenvektor gefunden. 
Der Rest des Arguments l"auft von da an wie beim ersten Beweis.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vergleich beider Beweise}] 
Der zweite Beweis
vermeidet zwar den Fundamentalsatz der Algebra, 
benutzt jedoch einen wesentlichen  
Teil derjenigen Resultate aus der reellen Analysis, aus denen wir
in \eref{FA}{AN1} auch den  Fundamentalsatz der Algebra herleiten.
  Anschaulich scheint mir die im zweiten Beweis
versteckte Erkenntnis  recht klar: Durch den Punkt der Ellipse
$\{v\mid \langle f(v),v\rangle=1\}$, der am
  n"achsten am Ursprung liegt, geht in der Tat eine Hauptachse.
Dasselbe gilt nat"urlich f"ur den Punkt, der dem Ursprung am fernsten liegt,
als da hei"st, der kleinstm"ogliche Wert des Raleigh-Quotienten ist auch ein
Eigenwert und jede Stelle, an der er angenommen wird, ist ein 
Eigenvektor unseres selbstadjungierten Operators zu diesem Eigenwert. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Korollar}[\textbf{Spektralsatz f"ur hermitesche Matrizen}]
F"ur jede hermitesche Matrix $A \in \op{Mat} (n ; \mathbb
    C)$ gibt es eine unit"are Matrix mit Determinante Eins $U
    \in \op{SU} (n)$ derart, da"s $\bar U^\top A U = U^{-1} AU$ diagonal
    ist mit reellen Eintr"agen. \label{DADv}
\end{Korollar}
\begin{Bemerkungl}
  Die Gleichung $U^\top A U = U^{-1} AU$ folgt  aus unserer Identit"at
$\bar U^\top  = U^{-1}$, die ja f"ur jede 
unit"are Matrix $U$ gilt.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Nach dem Spektralsatz f"ur  selbstadjungierte  Abbildungen 
\ref{SSM} finden wir eine Orthonormalbasis $(v_1,\ldots, v_n)$ von
$\mathbb C^n$ aus Eigenvektoren von $A : \mathbb C^n \rightarrow \mathbb C^n$
zu reellen Eigenwerten.
Die Matrix $U\pdef (v_1|\ldots| v_n)$ ist also unit"ar mit
$AU=U\op{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ f"ur $\lambda_i\in\DR$. 
Indem wir  notfalls noch eine Spalte einer komplexen Zahl vom Betrag 
Eins  multiplizieren, k"onnen wir sogar um $\op{det} U =1$ 
erreichen.
\end{proof}\begin{Korollar}[\textbf{Spektralsatz f"ur reelle symmetrische Matrizen}] 
Gegeben eine symmetrische Matrix $A \in \op{Mat} (n ; \mathbb
    R)$ gibt es stets eine orthogonale Matrix mit Determinante Eins $U
    \in \op{SO} (n)$ derart, da"s $U^\top A U = U^{-1} AU$ diagonal
    ist. \label{DAD}
\end{Korollar}
\begin{proof}
  Wie im komplexen Fall in \ref{DADv}.
\end{proof}


\begin{proof}[Beweis des Satzes "uber Hauptachsentransformationen \ref{HaTTm}]
 F"ur unsere quadratische Form 
$q (x_1, \ldots, x_n) = \sum_{i \leq j} c_{ij} x_i x_j$
finden wir eine symmetrische Matrix $A \in \op{Mat} ( n; \mathbb{R})$ mit
\begin{equation*}
q(x) = x^\top  A x
\end{equation*}
f"ur den Spaltenvektor $x = (x_1, \ldots, x_n)^\top $, indem wir als
diagonale Matrixeintr"age $a_{ii} = c_{ii}$ nehmen und 
au"serhalb der Diagonalen $a_{ij} = a_{ji} = c_{ij}/2$ setzen.
Nach dem Spektralsatz f"ur symmetrische Matrizen 
\ref{DAD} gibt es dann eine Drehung $U \in \op{SO} (n)$ 
mit $U^{-1}A U = U^\top  A U = \op{diag}
(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ f"ur geeignete 
$\lambda_1 , \ldots, \lambda_n \in
\mathbb{R}$, n"amlich f"ur
die Eigenwerte von $A$ mit ihren Vielfachheiten. Es folgt
\begin{equation*}
q (Uy) = y^\top  U^\top  A U y = \lambda_1 y_1^2 + \ldots + \lambda_n y^2_n
\end{equation*}
In \ref{HaTT} gebe ich noch einen zweiten Beweis, der
ohne Koordinaten auskommt und mir dadurch transparenter scheint. 
\end{proof}





\begin{Definition}\label{hpos} %\ref{hposn} war auch \ref{hpos}
  Eine  hermitesche Matrix $P\in \op{Mat}( n;\DC)$ 
hei"st
{\bf positiv definit},\index{positiv definit!hermitesche Matrix}
 wenn gilt $x\neq 0\RA \bar{x}^\top Px> 0$.  
Sie hei"st
{\bf positiv semidefinit},\index{positiv semidefinit!hermitesche Matrix}
 wenn gilt $\bar{x}^\top Px\geq 0\; \forall  x\in\DC^n$.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
  Gegeben eine beliebige Matrix $A\in \op{Mat}( n;\DC)$ ist
$\bar A^\top A$ stets positiv semidefinit, denn es gilt 
$\bar{x}^\top \bar A^\top Ax=\overline{Ax}^\top \!\!Ax\geq 0\; \forall  x\in\DC^n$.
Gegeben eine  invertierbare Matrix $A\in \op{GL}( n;\DC)$ zeigt
dasselbe Argument, da"s $\bar A^\top A$  positiv definit ist.
\end{Beispiel}

\begin{Satz}[\textbf{Polarzerlegung\index{Polarzerlegung}
 von Automorphismen}]\label{PZC} 
Sei $n\in\DN$. 
\begin{enumerate}
\item Jede Matrix $A \in \op{GL} (n;\mathbb R)$ besitzt eine eindeutige
  Darstellung als Produkt $A = UP$ mit $U \in \op{O} (n)$ orthogonal und $P$
  symmetrisch positiv definit;
\item Jede Matrix $A \in \op{GL} (n;\mathbb C)$ besitzt
 eine eindeutige Darstellung
als Produkt $A = UP$ mit $U \in \op{U} (n)$ unit"ar und $P$ hermitesch
positiv definit.
\end{enumerate}
\label{PZR}\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Offensichtlich bilden  die Determinanten der  
   Polarzerlegung einer invertierbaren Matrix die
   Polarzerlegung ihrer Determinante. So erhalten wir
   Polarzerlegungen in $\op{SL} (n;\mathbb R)$ und  $\op{SL} (n;\mathbb C)$.
   In dieser und noch gr"o"serer Allgemeinheit hei"st sie oft
   {\bf Cartan-Zerlegung}.\index{Cartan-Zerlegung}
   Ich will jedoch lieber auch ganz allgemein
   von der Polarzerlegung reden, da
   diese Terminologie so viel Anschauung transportiert.
\end{Bemerkungl}
  \begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[height=0.7\textheight]{SkriptenBilder/BildPolar}\\[4mm]
\noindent 
Die Polarzerlegung der Scherung $(x,y)\mapsto (x,y-x)$ stellt diese
Abbildung dar als Verkn"upfung einer Streckung beziehungsweise Stauchung 
l"angs orthogonaler Achsen mit einer Drehung. 
Im unteren Bild 
sieht man  durchgezogen den Einheitskreis,
und gestrichelt sein Bild
unter dem selbstadjungiertem Faktor der Verscherung 
nebst den Hauptachsen,
l"angs derer der Einheitskreis 
dabei gestreckt beziehungsweise gestaucht wird. 
Im oberen Bild 
sieht man dann 
den verscherten Einheitskreis alias 
die mit dem orthogonalen Faktor der Verscherung
verdrehte Ellipse aus dem  unteren Bild. 
Auch noch gestrichelt eingezeichnet sind die 
Hauptachsen dieser Ellipse.
\end{figure}
\begin{Beispiele}
Im Fall $\op{GL} (1;\mathbb R)$ ist das die 
 Zerlegung $a= (a/|a| )\cdot |a|$
einer von Null verschiedenen reellen Zahl als das Produkt
von einem Vorzeichen mit
einer positiven reellen Zahl.
Im Fall $\op{GL} (1;\mathbb C)$ 
ist es die Zerlegung $a= (a/|a| )\cdot |a|$ einer von Null verschiedenen
komplexen Zahl
als das Produkt
von einer komplexen Zahl auf dem Einheitskreis  mit
einer positiven reellen Zahl. Dieser Fall hat wohl auch unserer Zerlegung 
ihren Namen gegeben. 
 Im Fall $\op{GL} (3;\mathbb R)$ 
beschreibt $A$ eine Abbildung $A:\DR^3\ra \DR^3$. 
Nimmt man die Abbildung $A$ als orientierungserhaltend an,
so mag man sich ihre Polarzerlegung dahingehend denken, 
da"s sich unsere Abbildung  in eindeutiger Weise
darstellen l"a"st als Verkn"upfung einer Abbildung, die entlang 
geeigneter paarweise orthogonaler Koordinatenachsen dehnt oder staucht,
mit einer Abbildung, die dreht. Wenden wir etwa $A$ auf den mit 
Schaumgummi oder was auch immer gef"ullt gedachten  Raum an, so ist
allein der positiv definite Faktor $P$ f"ur 
die Materialspannungen verantwortlich: Eine Kugel unseres Materials 
wird bei Anwenden von $A$ 
\glqq erst mit $P$ zu einem Ellipsoid verzerrt und dann noch 
mit $U$ gedreht\grqq.
\end{Beispiele}
\begin{proof}
Wir zeigen das im reellen Fall, im Komplexen mu"s man nur von jeder 
transponierten Matrix zus"atzlich noch die komplex Konjugierte nehmen.
Wir beginnen mit dem Nachweis der Eindeutigkeit. Gegeben eine Zerlegung
$A = UP$ wie oben haben wir sicher 
$ A^\top  A =  P^\top U^\top  UP = P^\top  P = P^2$.
Jede Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $P$ ist also
auch eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $A^\top  A$
und $P$ mu"s die Matrix sein, die auf  Eigenvektoren von $A^\top  A$ zum
Eigenwert $\lambda$ jeweils operiert durch den Skalar $\sqrt{\lambda}$.
Das zeigt die Eindeutigkeit unserer Zerlegung.
Andererseits folgt aus $A^\top  A v = \lambda v$ 
sofort $v^\top  A^\top  A v = \lambda
\|v\|^2 = \|Av\|^2$ und somit $\lambda >0$. Wir  k"onnen also 
$P$ symmetrisch und
positiv definit finden mit $P^2 = A^\top A$.
F"ur $U = AP^{-1}$ folgt dann $U^\top  U = P^{-1}A^\top  AP^{-1} = I$ und 
folglich ist $U$ orthogonal.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
  Jetzt diskutieren wir dasselbe nocheinmal  
koordinatenfrei und in etwas gr"o"serer Allgemeinheit.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{hposn} %war auch \ref{hpos}
  Ein selbstadjungierter Endomorphismus $P$ eines 
Skalarproduktraums $V$ mit
Skalarprodukt $\langle\;,\;\rangle$ 
hei"st
{\bf positiv definit},\index{positiv definit!Endomorphismus}
 wenn gilt $x\neq 0\RA \langle x, Px\rangle> 0$.  
Er hei"st
{\bf positiv semidefinit},\index{positiv semidefinit!Endomorphismus}
 wenn gilt $\langle x, Px\rangle\geq 0\; \forall  x\in V$.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Im endlichdimensionalen Fall ist das gleichbedeutend dazu, da"s alle
Eigenwerte positiv beziehungsweise nichtnegativ sind. Die Begriffsbildung ist
aber auch im Fall unendlichdimensionaler R"aume relevant.
\end{Bemerkungl}
  \begin{Definition}\label{ParI}
    Unter einer {\bf partiellen Isometrie}\index{Isometrie!partielle} 
    von Skalarproduktr"aumen  versteht man eine lineare Abbildung, deren
    Restriktion auf den Orthogonalraum ihres Kerns isometrisch ist.
\end{Definition}

\begin{Satz*}[\textbf{Polar-Zerlegung von Endomorphismen}]
  Jeder Endomorphismus $A$ eines endlichdimensionalen 
    Skalarproduktraums $V$ besitzt eine eindeutige Darstellung als
    Produkt $A = UP$ mit $P$ selbstadjungiert positiv semidefinit und $U$
    einer partiellen Isometrie derart, da"s gilt
    $(\op{ker}U)^\perp=\op{im}P$.
 \label{UNGn} \index{Polarzerlegung!eines
      Endomorphismus} 
\end{Satz*}
\begin{Bemerkungl}
  Dieser Satz gilt sowohl f"ur komplexe als auch f"ur reelle 
Vektorr"aume. Er verallgemeinert unseren Satz \ref{PZC}
"uber die Polarzerlegung von Automorphismen.
Nat"urlich gibt es f"ur diesen
 Satz auch eine Fassung
f"ur Matrizen und f"ur den vorhergehenden Satz \ref{PZC} 
auch eine Fassung f"ur
Automorphismen abstrakter endlichdimensionaler 
Skalarproduktr"aume.
In \eref{PoZZ}{AN3} zeigen wir sogar eine Fassung
im unendlichdimensionalen Fall,  genauer f"ur 
sogenannte \glqq beschr"ankte
Operatoren auf Hilbertr"aumen\grqq. 
Eine Verallgemeinerung in eine wieder andere Richtung ist die
sogenannte \glqq Singul"arwertzerlegung\grqq\  \ref{SIWE}, f"ur die ich
jedoch kein so sch"ones Eindeutigkeitskriterium kenne. 
\end{Bemerkungl}



\begin{proof}
Wir beginnen mit der Eindeutigkeit.
Gegeben eine derartige Zerlegung $A = UP$
 k"onnen wir sicher auch eine orthogonale Abbildung $M$ 
finden mit $A=MP$. Es folgt $\bar A^\top A=P^2$ und folglich ist
$P$ eindeutig bestimmt als die einzige positiv semidefinite
selbstadjungierte Abbildung  $P$ mit $P^2=\bar A^\top A$. Dann ist auch
$U$ eindeutig festgelegt auf dem Bild $(\op{im}P)$, und unsere letzte 
Bedingung impliziert $U=0$ auf   $(\op{im}P)^\perp$ und legt damit
auch $U$ eindeutig fest. Um die Existenz zu zeigen, gehen wir 
diese Argumentation r"uckw"arts durch.
Das  Argument des vorhergehenden Beweises
 zeigt, da"s es  ein  selbstadjungiertes
positiv semidefinites  $P$ gibt mit $P^2 = \bar A^\top A$. Wegen
$\langle Av,Av\rangle=\langle v,\bar A^\top Av\rangle=\langle v,P^2 v\rangle
=\langle P v,P v\rangle$ gilt 
$\op{ker}A=\op{ker}P$. Das ist aber auch das
orthogonale
Komplement des Bildes $U\pdef\op{im}P$.
Bezeichnet also $Q:V\sra U$ die orthogonale Projektion auf $U$ und
$J:U\hra V$ die Einbettung, so haben wir mithin
$A=AJQ$.
Nun induziert  $P$ einen
Isomorphismus $P_U:U\sira U$ und wir k"onnen  die Komposition
$C=AJP_U^{-1}:U\ra V$ betrachten. 
Dann gilt einerseits $CQP=CP_UQ=AJQ=A$
und andererseits ist $C$ isometrisch. 
Dann ist $U=CQ$ eine partielle 
Isometrie mit den gew"unschten Eigenschaften.  
\end{proof}
\begin{Bemerkunge}[\textbf{Existenz von Adjungierten, koordinatenfrei}] 
  Lineare Abbildungen $f,g$ zwischen komplexen Skalarproduktr"aumen sind
  in anderen Formeln ausgedr"uckt
 genau dann zueinander adjungiert, wenn das Diagramm
  \begin{displaymath}
    \xymatrix{
      {V}\ar[d]_{f} \ar[r]^-{\op{can}_V} &V^\top\ar[d]^{g^{\top}}\\
      {W} \ar[r]^-{\op{can}_W} &W^\top
    }
  \end{displaymath}
  kommutiert, mit $g^{\top}: V^\top\ra W^\top$ der \glqq transponierten\grqq\  alias
  \glqq dualen\grqq\  Abbildung zu $g: W\ra V$ und 
$\op{can}_V:V\ra V^\top$ der Abbildung $v\mapsto\langle v,\;\rangle$
und $\op{can}_W$  analog definiert. Diese 
\glqq kanonischen\grqq\  Abbildungen $\op{can}$ landen zwar wie behauptet im Dualraum,
da unsere Skalarprodukte linear sind im zweiten Eintrag, sie sind jedoch
selbst nur im reellen Fall linear und im komplexen Fall
vielmehr schieflinear im Sinne von \ref{ISAA}. Man "uberzeugt sich dennoch 
leicht, da"s diese kanonischen Abbildungen im endlichdimensionalen Fall 
Bijektionen sein m"ussen, und
da die Verkn"upfung einer linearen und einer schieflinearen Abbildung
schieflinear ist und die
Verkn"upfung von zwei schieflinearen Abbildung
linear, liefert
 das einen alternativen
Beweis f"ur die Existenz und Eindeutigkeit der
adjungierten Abbildung im endlichdimensionalen Fall.
Noch bequemer wird die Argumentation, wenn man wie im n"achsten Abschnitt
den komplex konjugierten
Vektorraum einf"uhrt. 
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkunge}\label{kkVe}
Zu jedem komplexen Vektorraum $V$ bilden wir den 
\defnoind{komplex konjugierten 
Vektorraum}\index{Vektorraum!komplex konjugierter} $\overline{V}$,
indem\index{konjugiert!Vektorraum, komplexer}
wir\index{komplex konjugiert!Vektorraum} 
die\index{)6a@$\overline{V}$ konjugierter Vektorraum} 
additive Gruppe von $V$ nehmen, 
die
Operation von $a\in\DC$ auf $v\in V$ 
jedoch ab"andern zu einer Operation $a\cdot v$,
die mit der urspr"unglichen Operation $av$ verkn"upft ist durch die Formel
$a\cdot v=\bar{a}v$ alias $\bar{a}\cdot v=av$.
Es ist in diesem Zusammenhang praktisch, f"ur jedes Element $v\in V$ 
dasselbe Element in seiner Eigenschaft als Element des 
komplex konjugierten Vektorraums $\bar{v}\in \overline{V}$ zu
notieren,\index{)6a@$\overline{v}$  Vektor als Element von
 $\overline{V}$} 
 so da"s wir unseren Punkt f"ur die neue 
Operation der Skalare gleich wieder weglassen k"onnen und
unsere zweite Formel  besonders suggestiv in der Form
$$\bar{a}\bar{ v}=\overline{av}$$
geschrieben werden kann.
F"ur jede $\DC$-lineare Abbildung $f:V\ra W$ von komplexen Vektorr"aumen
ist dieselbe Abbildung auch eine $\DC$-lineare 
Abbildung $\overline{V}\ra \overline{W}$ der komplex konjugierten R"aume. 
Wir bezeichnen diese Abbildung
dennoch mit einem neuen Symbol $\bar{f}: \overline{V}\ra \overline{W}$
und nennen sie die {\bf konjugierte Abbildung}.
Sind  $\cal{A}$ und $\cal{B}$ angeordnete Basen von $V$ und $W$,
so hat die konjugierte Abbildung die konjugierte Matrix, in Formeln
$$
{}_{\bar{\mathcal B}}[\bar{f} ]_{\bar{\mathcal A}} 
= \overline{{}_{\mathcal B}[f]_{\mathcal A}}
$$
Hier kriegen die Basen wie die einzelnen Vektoren 
einen Querstrich, um daran zu erinnern, da"s sie
im konjuguierten Vektorraum zu verstehen sind.
Eine koordinatenfreie Konstruktion
der adjungierten Abbildung erh"alt man nun wie folgt:
Jedes Skalarprodukt $\langle\;,\;\rangle$ auf $V$ liefert  eine 
injektive $\DC$-lineare Abbildung
$$
\begin{array}{cccc}
\op{can}:&\overline{V}&\hra& V^\top\\
&\bar{v}&\mapsto&\langle v,\;\rangle
\end{array}$$
des konjugierten Raums zu $V$ in den Dualraum von $V$.
Lineare Abbildungen $f,g$ zwischen komplexen Skalarproduktr"aumen 
sind in diesem Formalismus  adjungiert genau dann, wenn das Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\overline{V}\ar[d]_{\bar{f}} \ar[r]^-{\op{can}} &V^\top\ar[d]^{g^{\top}}\\
\overline{W} \ar[r]^-{\op{can}} &W^\top
}
\end{displaymath}
kommutiert, mit $g^{\top}: V^\top\ra W^\top$ der \glqq transponierten\grqq\ 
alias \glqq dualen\grqq\  Abbildung zu $g: W\ra V$.
Im endlichdimensionalen Fall sind  unsere 
kanonischen Abbildungen $\op{can}$ in den Horizontalen jedoch 
nach Dimensionsvergleich
Isomorphismen. In diesem Fall liefert also das obige kommutative
Diagramm auch einen alternativen Beweis f"ur die Existenz und Eindeutigkeit
adjungierter Abbildungen. 
\end{Bemerkunge}
\subsubsection*{"Ubungen} 


\begin{Ubung}[\textbf{Inhomogene reelle quadratische Formen}] 
Gegeben eine Polynomfunktion vom Grad h"ochstens Zwei 
mit reellen Koeffizienten alias eine Abbildung $q:\DR^n\ra\DR$ der
Gestalt
$$q(x_1,\ldots, x_n)=\sum_{i\leq j}c_{ij}x_ix_j + \sum_{i}b_{i}x_i +a$$
gibt es eine Isometrie $B:\DR^n\sira\DR^n$
mit  
$$(q \circ B)(y_1, \ldots , y_n)=\lambda_1y_1^2 + \ldots +
\lambda_ky_k^2+ \mu y_{n}+\nu$$
f"ur geeignetes $k$ und geeignete reelle $\lambda_i\neq 0$ und $\mu\geq 0$ 
und $(k=n\RA \mu=0)$ und $(\mu> 0\RA \nu=0)$. Unter den gegebenen
Annahmen sind zus"atzlich die Multimenge der $\lambda_i$ sowie $\mu$ und $\nu$
eindeutig bestimmt. 
Man sagt dann,
die  {\bf quadratische Form $q$ gehe\label{KKZ}  
  unter unserer Bewegung $B$  in ihre Standardform "uber}. Im Fall $n\neq 1$
k"onnen wir zus"atzlich erreichen, da"s $B$ orientierungserhaltend ist. Hinweis: Man mag unser $\mu$ beschreiben als das Minimum der Norm des Gradienten
und, wenn dieses Minimum Null ist, unser $\nu$ als den Wert an einer
kritischen Stelle.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
  Man finde eine Bewegung, die die Quadrik $xy+3x$ in ihre Standardform
  \ref{KKZ} 
  "uberf"uhrt.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
  Man zeige, da"s sich die Nullstellenmenge einer inhomogenen reellen quadratischen Form 
   $a x^2 +by^2 +cxy +dx +ey +f$ in zwei Variablen stets als
  Urbild des Doppelkegels $\{(x,y,z)\in \DR^3\mid x^2+y^2=z^2\}$
  unter einer Isometrie $\DR^2\hra \DR^3$ schreiben l"a"st, es sei denn,
  die Nullstellenmenge unserer
  quadratischen Form ist leer oder besteht aus zwei parallelen Geraden.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
 Bei einem unit"aren Isomorphismus zwischen Skalarproduktr"aumen
ist die adjungierte Abbildung die inverse Abbildung. 
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}\label{SSMu}
  Man zeige: Ein Endomorphismus eines 
endlichdimensionalen Skalarproduktraums ist genau dann
selbstadjungiert, wenn es 
dazu eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren gibt 
und alle Eigenwerte reell sind.
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}
  Gegeben eine symmetrische positiv definite reelle $(n\times n)$-Matrix 
$A$ hat die Funktion $y\mapsto \langle y,Ay\rangle/2-\langle b, y\rangle$
ihr einziges globales Minimum bei der L"osung der Gleichung $Ax=b$.
\end{Ubung}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Elliptische Beete}] 
  G"artner erstellen  elliptische Beete wie folgt: 
Sie schlagen zwei Pfosten ein, 
legen eine Seilschlinge darum, und fahren mit einem dritten Pfosten
soweit au"sen, wie die Seilschlinge es erlaubt, um die beiden
fest eingeschlagenen Pfosten herum. Eine einfache Rechnung zeigt, da"s
man so die L"osungsmenge einer quadratischen Gleichung 
und, da unsere  L"osungsmenge beschr"ankt ist und nicht
nur aus einem Punkt besteht, notwendig  eine Ellipse 
erh"alt: Wenn man definieren m"u"ste, welche Teilmengen einer
affinen reellen Ebene denn nun Ellipsen hei"sen sollen, w"urde
man n"amlich genau diese Eigenschaft zur Definition erheben, 
und \ref{KKZ} zeigt, da"s das auch unserer Anschauung entspricht, nach der
eine Ellipse eine \glqq zusammengedr"uckte Kreislinie\grqq\  sein sollte.
Die beiden Pfosten hei"sen die\label{BPEl}  
{\bf Brennpunkte}\index{Brennpunkt!einer Ellipse} unserer Ellipse.
Das\index{Ellipse!Brennpunkt} 
hat hinwiederum mit dem Grenzfall der Parabel zu tun, 
zu dem wir gelangen, indem wir einen Pfosten vom anderen Pfosten weg
auf geradem Wege ins Unendliche schieben und gleichzeitig das Seil
so verl"angern, da"s immer gleich viel Spiel bleibt. W"are die Ellipse
ein Spiegel, so sollte anschaulich klar sein, da"s sich 
das von einer Laterne auf
einem der Pfosten ausgesandte Licht beim anderen Pfosten wieder
sammeln mu"s. Im Grenzfall der Parabel wird sich folglich parallel aus der
Richtung des unendlich fernen Pfostens einfallendes Licht beim anderen
Pfosten sammeln und ihn, wenn auf dem
unendlich fernen Pfosten statt einer Laterne die Sonne steht,
 m"oglicherweise sogar entz"unden: Deshalb hei"st er der Brennpunkt der Parabel,
und von diesem Beispiel "ubertr"agt man das Wort 
auf Ellipsen und von dort weiter auf  Hyperbeln, bei denen statt der Summe 
die Differenz der Abst"ande zu den beiden
\glqq Brennpunkten\grqq\  konstant ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGaE}\\[4mm]
\noindent Konstruktion elliptischer Beete
\end{figure}








\begin{Ubung}[\textbf{Polar-Zerlegung von Endomorphismen, Variante}]
  Sei $V$ ein endlichdimensionaler Skalarproduktraum.
Man zeige, da"s jeder Endomorphismus  $A\in\op{End}V$ 
auch eine eindeutige Darstellung
als Produkt $A = P'U'$ besitzt mit  $P'$ selbstadjungiert
positiv semidefinit und $U'$ einer partiellen Isometrie
derart, da"s gilt  $\op{im}U'=(\op{ker}P')^\perp$.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}
  Man gebe eine von Null verschiedene komplexe symmetrische 
nilpotente $(2\times 2)$-Matrix an.  Gibt es auch
 eine von Null verschiedene reelle symmetrische 
nilpotente $(2\times 2)$-Matrix? 
\end{Ubung}


\begin{Ubunge}
  Bezeichne $S\subset {\op{Mat}}(n;\DR)$ den
Untervektorraum der symmetrischen Matrizen. Gegeben 
eine symmetrische Matrix $P\in S$ betrachte man die lineare 
Abbildung $f_P: S\ra S$ gegeben durch die Vorschrift
$f_P:A\mapsto PAP$. Man zeige f"ur die Determinante von $f_P$ im Sinne
von \eref{detE}{LA1} die Formel $\op{det}(f_P)=(\op{det}P)^{n+1}$. Hinweis:
Man ziehe sich auf den Fall zur"uck, da"s $P$ diagonal ist.
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}
Man zeige, da"s vier paarweise 
verschiedene Elemente der Zahlenkugel $\DC\amalg\{\infty\}$ genau dann 
ein reelles Doppelverh"altnis haben, wenn sie auf einem 
gemeinsamen verallgemeinerten Kreis liegen.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Reelle Formen und schieflineare Involutionen}]
Unter einer {\bf reellen Form\index{reelle Form!von komplexem Vektorraum} 
eines komplexen Vektorraums} $V$ versteht man  einen
reellen Untervektorraum $V_{\Bbb{R}}\subset V$ derart, da"s $V_{\Bbb{R}}$ ganz $V$ als $\DC$-Vektorraum erzeugt und
da"s jede "uber $\DR$ linear unabh"angige Teilmenge unseres Untervektorraums\label{rFFo} 
$V_{\Bbb{R}}$ auch "uber $\DC$ linear unabh"angig ist in $V$.
Unter einer {\bf schieflinearen Involution} eines 
komplexen Vektorraums $V$ versteht man eine  
schieflineare Abbildung $\bar\theta:V\ra V$ mit $\bar\theta^2=\op{id}_V$.
Man zeige: Gegeben ein komplexer Vektorraum $V$ 
liefert die Vorschrift, die jeder schieflinearen Involution von $V$ ihre Fixpunktmenge zuordnet,  
eine\label{IBjc} 
Bijektion 
$$\begin{array}{ccc}\left\{
      \begin{array}{c}
\text{schieflineare Involutionen} \\\bar\theta: V\ra
  V
\end{array}
\right\}
  &\sira &\left\{
      \begin{array}{c}
\text{reelle Formen}\\V_{\Bbb{R}} \subset V
\end{array}\right\}
\\[5mm]
\bar\theta&\mapsto &V^{\bar\theta}
\end{array}$$
\end{Ubung}






\newpage

\section{Geometrie mit L"angeneinheiten} 



\subsection{Euklidische R"aume}

\begin{Bemerkungl}
Eine {\bf euklidische Struktur}\index{euklidisch!Struktur}
 auf einem reellen Vektorraum $V$ 
  ist ein\label{Eukl} 
     eindimensionaler Untervektorraum $S\subset \op{Bil}(V)$, der mindestens ein
  Skalarprodukt enth"alt, der also aus Skalarprodukten, den Negativen von Skalarprodukten und der Null besteht. 
  Ein {\bf euklidischer Vektorraum}\index{euklidisch!Vektorraum}
 ist ein  reeller Vektorraum mit einer euklidischen Struktur. 
Ein  {\bf euklidischer Raum}\index{euklidisch!Raum}
ist ein reeller affiner Raum mit einer
 euklidischen Struktur
  auf seinem Richtungsraum.  Eine {\bf euklidische Ebene}\index{euklidisch!Ebene} $(E,S)$ ist ein
  zweidimensionaler euklidischer Raum.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}]
  In der Literatur versteht man unter einem \glqq euklidischen Vektorraum\grqq\
  f"ur gew"ohnlich das, was wir einen Skalarproduktraum nennen, also einen reellen Vektorraum mit einem ausgezeichneten Skalarprodukt. Ich denke jedoch, da"s die hier gew"ahlte
  Terminologie Euklid  besser gerecht wird, in dessen wegweisender
  geometrisch-axiomatischer Modellierung der Ebene keine \glqq Strecke der
  L"ange Eins\grqq\ vorkommt.\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungw} In anderen  Zusammenh"angen werden wir
 sp"ater auch euklidische R"aume "uber beliebigen angeordneten K"orpern betrachten.
  In der linearen Algebra will ich diesen Begriff jedoch auf den Fall
  des Grundk"orpers der reellen Zahlen beschr"anken. Wenn das besonders betont werden soll, rede ich von einem \glqq reellen euklidischen Raum\grqq. 
\end{Bemerkungw}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein euklidischer Vektorraum $(V,S)$ setzen wir
 ${\op{O}}(V,S)={\op{O}}(V,s)$\index{O@${\op{O}}(V,S)$ orthogonale Gruppe}
  f"ur ein und jedes Skalarprodukt
  $s\in S$ 
  und nennen diese Gruppe die
  {\bf orthogonale Gruppe}\index{orthogonale Gruppe} unseres
  euklidischen Vektorraums.\label{OVS} Die Elemente dieser Gruppe nennen wir die
  {\bf orthogonalen Automorphismen\index{orthogonal!Automorphismus}
    von $V$}. Gegeben ein euklidischer Raum $(E,S)$ verstehen wir unter einem
  {\bf orthogonalaffinen Automorphismus von $E$}  eine Affinit"at
  mit orthogonalem linearen Anteil und notieren die Gruppe aller
  orthogonalaffinen Automorphismen ${\op{O}}_{\op{aff}}(E,S)$.\index{Oaff@${\op{O}}_{\op{aff}}(E,S)$ Gruppe der orthogonalaffinen Automorphismen}
\end{Bemerkungl}

 \begin{Beispiele}
   Ein  nulldimensionaler reeller Vektorraum besitzt gar keine euklidische Struktur.
 Ein eindimensionaler reeller
  Vektorraum besitzt genau eine euklidische Struktur.
  Zweidimensionale euklidische R"aume diskutieren wir gleich
  in \ref{KeEna}.
 Ein besonders relevantes schmutziges Beispiel f"ur einen dreidimensionalen euklidischen Raum
 wird der \glqq Raum unserer Anschauung\grqq\ werden mit der in \ref{MAn}
 konstruierten euklidischen Struktur der \glqq
 unter allen Bewegungen invarianten Bilinearformen\grqq.
 \end{Beispiele}
\begin{Bemerkungl}
 Die Vorgabe einer euklidischen Struktur erlaubt im allgemeinen 
  die Definition von Winkeln und von \glqq orthogonalen Projektionen\grqq. Sie erlaubt es
  jedoch nicht, Vektoren in nat"urlicher Weise eine reelle Zahl als ihre \glqq Norm\grqq\ 
  zuzuordnen. Vielmehr mu"s dazu 
  erst eine \glqq L"angeneinheit\grqq\ gew"ahlt
  werden, wie in \ref{Laenge} genauer 
 diskutiert wird. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Drehspiegelgruppen und euklidische Strukturen}]
F"ur jeden zweidimensionalen reellen Vektorraum $Z$ erhalten wir
  zueinander inverse Bijektionen\label{KeEn} 
  $$\{\text{Euklidische Strukturen  }S\subset\op{Bil}(Z)
 \}
\overset{\sim}{\longleftrightarrow} 
\{\text{Drehspiegelgruppen }
O\subset \op{GL}(Z)
\}$$
dadurch, da"s wir jeder euklidischen Struktur $S$ ihre
\hyperref[OVS]{orthogonale Gruppe}  
$\op{O}(Z,S)$ zuordnen und umgekehrt
jeder Drehspiegelgruppe $O$ die Menge $S_{O}$ der unter
allen Gruppenelementen invarianten Bilinearformen. Diese Aussage ist nur eine Umformulierung von Satz \ref{ISD} "uber invariante Skalarprodukte zu
Drehspiegelgruppen und Proposition \ref{KGAF} von Drehspiegelgruppen
als orthogonale Gruppen in der  Terminologie der
euklidischen Strukturen. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kongruenzebenen und euklidische Ebenen}]
F"ur jeden zweidimensionalen reellen affinen Raum $E$ erhalten wir
  zueinander inverse Bijektionen\label{KeEna} 
  $$\{\text{Euklidische Strukturen  }S\subset\op{Bil}(\vec E)
 \}
\overset{\sim}{\longleftrightarrow} 
\{\text{Kongruenzgruppen }
K\subset \op{Aff}^\times(E)
\}$$
dadurch, da"s wir jeder Struktur $S$ ihre
\hyperref[OVS]{orthogonalaffine Gruppe}  
$\op{O}_{\op{aff}}(E,S)$ zuordnen und umgekehrt
jeder Kongruenzgruppe $K$ die Menge $S_{\vec K}$ der unter
ihren linearen Anteilen  invarianten Bilinearformen. Diese Aussage ist nur eine Umformulierung von Korollar \ref{edsk} "uber invariante Skalarprodukte zu
Kongruenzgruppen und Korollar \ref{kgaf} von Kongruenzgruppen
als orthogonalaffine Gruppen in unsere neue Terminologie der euklidischen Strukturen.  In diesem Sinne sind unsere beiden Konzepte also
   zwei Seiten derselben Medaille. Die eine ist algebraischen
  Rechnungen besser zug"anglich, die andere spricht eher die 
   geometrische Anschauung an.
\end{Bemerkungl}
 







\begin{Bemerkungl}
  Eine lineare
  Abbildung von  \hyperref[Eukl]{euklidischen Vektorr\"aumen}  hei"st
  {\bf euklidisch},\index{euklidisch!Abbildung}
  wenn sie injektiv ist und jedes Skalarprodukt\label{Euka} der
  euklidischen Struktur des Zielraums zu einem  Skalarprodukt der
  euklidischen Struktur des Ausgangsraums einschr"ankt. Jeder von Null verschiedene Teilraum
  eines euklidischen Vektorraums besitzt genau eine euklidische Struktur, f"ur
  die die Einbettung eine euklidische Abbildung wird. Sie hei"st die
  auf unserem Teilraum {\bf induzierte euklidische Struktur}.\index{euklidische Struktur!induzierte} 
  Ein euklidischer Automorphismus eines
  euklidischen Vektorraums hei"se eine
  {\bf lineare "Ahnlichkeitsabbildung}.\index{"Ahnlichkeitsabbildung!lineare}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Unter einem\label{euAR}
  {\bf Morphismus von euklidischen R"aumen}\index{Morphismus!von euklidischen R"aumen} verstehen wir eine affine Abbildung, deren linearer Anteil
  \hyperref[Euka]{euklidisch} ist.
  Einen Automorphismus eines euklidischen Raums nennen wir eine
  {\bf "Ahnlichkeitsabbildung}\index{"Ahnlichkeitsabbildung} oder kurz
  eine {\bf "Ahnlichkeit}.\index{"Ahnlichkeit}
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl} Eine {\bf Betragswurzel}\index{Betragswurzel!aus reellem Vektorraum}
   aus einem eindimensionalen reellen  Vektorraum $F$ ist ein
  Paar $(L,\pm q)$ bestehend 
  aus einem  eindimensionalen orientierten reellen Vektorraum $L$
  und einer bis auf Vorzeichen wohlbestimmten 
  bilinearen Abbildung $\pm q:L\times L\ra F$ mit
  $l\neq 0\RA \pm q(l,l)\neq 0$.
  Genauer verstehen wir hier unter einer  \glqq bis auf Vorzeichen wohlbestimmten  bilinearen Abbildung\grqq\ eine Menge aus zwei bilinearen Abbildungen, von denen
  die eine die Negative der anderen ist. 
  Eine Betragswurzel  eines eindimensionalen reellen Vektorraums ist eindeutig bestimmt bis auf
  eindeutigen Isomorphismus. Ist genauer $(L',\pm q')$ ein zweites Paar wie oben,
  so gibt es genau einen orientierungsvertr"aglichen
  Isomorphismus $i:L\sira L'$ mit $\pm q'(il,il)=\pm q(l,l)$ f"ur alle $l\in L$.
  Unsere Betragswurzel  verdient mithin  einen bestimmten
  Artikel und eine Notation. Ich verwende  die Notation\label{Betw} 
  $$L\pdef \sqrt{|F|}$$
 f"ur die Betragswurzel von $F$. Diejenige Abbildung $F\ra L_{\geq 0}$, die $f\in F$ das
   $l\in L_{\geq 0}$ mit $\pm q(l,l)=f$ zuordnet, notieren wir
  $l=\sqrt{|f|}$ und nennen $l$ die {\bf Betragswurzel von $f$}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungw} Allgemeiner kann man analog 
  f"ur jeden Gruppenhomomorphismus $\varphi:\DR^\times \ra \DR_{>0}$
  eine Vorschrift angeben, die jedem eindimensionalen reellen Vektorraum
  $F$ in nat"urlicher Weise
  einen orientierten eindimensionalen reellen Vektorraum
  $\varphi(F)$ zuordnet und jedem Vektor $f\in F$ einen Vektor
  $\varphi(v)\in \varphi(F)_{\geq 0}$.
  Das soll jedoch hier nicht weiter ausgef"uhrt werden.  
\end{Bemerkungw}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{L"angen von Vektoren in euklidischen Vektorr"aumen}]
  Gegeben eine euklidische Struktur $S$ auf einem reellen Vektorraum $V$
 nennen wir die Betragswurzel ihres Dualraums die {\bf L"angengerade}\index{L"angengerade} unseres
 euklidischen Vektorraums $V$ und 
 notieren sie\label{Laenge} 
  $$\mathbb L=\mathbb L(V)=\mathbb L(V,S)\pdef \sqrt{| S^\top|}$$
 Jeder Vektor $v\in V$ liefert ein  Element $\lambda_v\in S^\top$ 
  durch die Vorschrift $\lambda_v(s)\pdef s(v,v)$. Dessen Betragswurzel nennen wir 
  die {\bf L"ange}\index{L"ange} 
  $\|v\|\in \mathbb L_{\geq 0}$ von  $v$ und setzen also in Formeln
  $$\|v\|\pdef \sqrt{|\lambda_v|}$$
  Damit gilt offensichtlich $\|gv\|=\|v\|\;\forall g\in\op{O}(V,S)$ und
  $\|\alpha v\|=|\alpha|\|v\|\;\forall \alpha\in\DR$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
 F"ur jede euklidische lineare
  Abbildung $f:V\ra W$ von  euklidischen Vektorr"aumen
   gibt es genau eine lineare Abbildung $$\mathbb L(f):\mathbb L(V)\ra\mathbb L(W)$$ mit $\|v\|\mapsto\|f(v)\|\;\forall v\in V$.
  Sie ist stets ein Isomorphismus. Wir 
  verwenden ihn, um die L"angengerade
  jedes von Null verschiedenen Untervektorraums eines euklidischen Vektorraums
  stillschweigend mit der L"angengerade des urspr"unglichen
  Vektorraums zu identifizieren.
 \end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
 Unter der {\bf L"angengerade\index{L"angengerade!von euklidischem Raum}
  eines euklidischen Raums} verstehen wir die L"angengerade seines Richtungsraums. 
\end{Bemerkungl}





\begin{Beispiel}
  Ist $Z$ ein zweidimensionaler reeller Vektorraum
  und $m\in Z\backslash 0$ ein fester von Null verschiedener 
Vektor, so gilt f"ur unsere Norm $\|v\|_m\in\DR_{\geq 0}$ aus
\ref{efNn}  in der zugeh"origen L"angengerade $\mathbb L(Z)$
per definitionem die Identit"at\label{LaengeK} 
$$\|v\|=\|v\|_{m}\|m\|$$
\end{Beispiel}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Terminologisches zum Begriff einer Drehung}] 
  Wir vereinbaren, da"s wir von nun an unter einer
{\bf Drehung}\index{Drehung|main}  einen orientierungserhaltenden 
orthogonalaffinen Automorphismus eines euklidischen Raums,
der mindestens einen Fixpunkt hat.
Unter einer {\bf linearen Drehung}\index{Drehung!lineare} 
oder auch kurz {\bf Drehung} verstehen wir  einen orientierungserhaltenden 
orthogonalen Automorphismus eines euklidischen Vektorraums $V$ alias in der in
\ref{SOV} eingef"uhrten Terminologie und Notation 
ein Element seiner speziellen orthogonalen Gruppe 
$\op{SO}(V)$. A priori ist zus"atzlich mit gemeint, da"s unsere R"aume die Dimension
zwei oder drei haben sollen.
Im dreidimensionalen Fall nennen wir jede von einer Drehung punktweise festgehaltene Gerade eine
{\bf Drehachse}\index{Drehachse} 
unserer Drehung. Im zweidimensionalen Fall nennen wir jeden von einer Drehung festgehaltenen Punkt ein
{\bf Drehzentrum}\index{Drehachse!von linearer Drehung} 
unserer Drehung und wissen aus \ref{OEKO}, da"s jede gleichsinnige Kongruenz
eine Drehung oder eine Verschiebung sein mu"s.
\end{Bemerkungl}




  

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}[\textbf{Vorbereitung f"ur Winkel}] 
  Gegeben ein euklidischer Isomorphismus $\varphi:Y\sira Z$ von
  zweidimensionalen  euklidischen Vektorr"aumen   
  betrachten wir den induzierten Gruppenisomorphismus
  $\op{O}(\varphi):\op{O}(Y)\sira \op{O}(Z)$
  gegeben durch $r\mapsto  \varphi \circ r\circ \varphi^{-1}$.
Gegeben  zwei Isomorphismen 
$\varphi,\psi:Y\sira Z$ mit orientierungserhaltender Verkn"upfung $\varphi\circ \psi^{-1}:Z\sira Z$ zeige man,\label{WiGrn}  
da"s sie denselben Isomorphismus
$$\op{O}(\varphi)={\op{O}}(\psi): \op{SO}(Y)\sira \op{SO}(Z)$$  
zwischen den jeweiligen Drehgruppen induzieren. Andernfalls zeige man
$\op{O}(\varphi)={\op{O}}(\psi)\circ \op{inv}$ f"ur 
 $\op{inv}:  \op{SO}(Z)\sira  \op{SO}(Z)$ das Invertieren. Hinweis: \ref{KoSO}.
\end{Ubung}
  \begin{Ubung} 
  Gegeben ein endlichdimensionaler euklidischer Raum $E$
und darin eine affine Hyperebene $H\subset V$ gibt es genau einen\label{Spia} 
orthogonalen Automorphismus $s:E\ra E$ mit unserer Hyperebene als Fixpunktmenge,  
in Formeln mit $H=E^s$. Diese Abbildung $s$  
hei"st die {\bf orthogonale Spiegelung an der
 Hyperebene $H$}\index{Spiegelung!orthogonale} oder 
k"urzer die {\bf  Spiegelung an $H$}. 
  \end{Ubung}


\subsection{Abstandserhaltende Selbstabbildungen} 

\begin{Bemerkungl} Gegeben ein euklidischer Raum $E$ verstehen wir unter dem {\bf Abstand}\index{Abstand} zweier Punkte $p,q\in E$ das Element
  $\|p-q\|\in\mathbb L(\vec E)$ der zugeh"origen L"angengerade.
  Eine Selbstabbildung $f:E\ra E$ hei"st 
  {\bf abstandserhaltend}, wenn gilt $$\|p-q\|=\|f(p)-f(q)\|\;\forall p,q\in E$$
  Aus \ref{KrIa} folgt, da"s die abstandserhaltenden Selbstabbildungen
  eines endlichdimensionalen euklidischen Raums genau seine
  orthogonalaffinen Automorphismen aus \ref{OVS} sind. 
  Insbesondere sind die abstandserhaltenden Selbstabbildungen einer
  euklidischen Ebene nach \ref{KeEna} genau ihre 
  Kongruenzen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Abstandserhaltende Selbstabbildungen euklidischer R"aume}]
Jede abstandserhaltende Selbstabbildung  $\varphi:E\ra E$ eines 
endlichdimensionalen 
euklidischen Raums $E$ l"a"st sich eindeutig darstellen als 
die Hintereinanderausf"uhrung
\begin{equation*}
\varphi = (+ \vec w) \circ d 
\end{equation*}
einer abstandserhaltenden
Selbstabbildung $d:E\ra E$  mit mindestens einem
Fixpunkt gefolgt von einer Verschiebung um 
einen Richtungsvektor $\vec w$, der unter dieser abstandserhaltenden Selbstabbildung $d$ invariant ist, in Formeln  $\vec d(\vec w)=\vec w$.\label{KlI}
\end{Satz}




\begin{Bemerkungl}
 Offensichtlich gilt dann auch $\varphi 
= d \circ (+ \vec w)$.
Nat"urlich haben   $d$ und $ \varphi$ denselben linearen Anteil,
in Formeln $\vec d=\vec \varphi$. 
Jede abstandserhaltende Selbstabbildung  kann also
dargestellt werden durch eine
Abbildungsvorschrift
der Gestalt
$$\varphi(p+\vec u)= p+ A(\vec u) +\vec w$$
mit $p\in E$ und $A\in \op{O}(\vec E)$ orthogonal und $\vec w\in\vec E^A$
einem Fixvektor von $A$. In dieser Darstellung ist allerdings das Tripel
$(p,A,\vec w)$  durch $\varphi$ nicht eindeutig bestimmt, etwa im  Fall $\varphi=\op{id}$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Wir beginnen mit einer Vor"uberlegung.
Gegeben ein orthogonaler Automorphismus $f$ 
eines endlichdimensionalen
Skalarproduktraums $V$ ist 
der Fixpunktraum $\op{ker} (f -\op{id}) = V^f$
das orthogonale Komplement von $\op{im} (f -\op{id}) $ 
in $V$, in Formeln
$$V^{f} = \op{im} (f - \op{id})^\perp$$
In der Tat zeigt die Dimensionsformel 
\eref{DiFo}{LA1} in Verbindung mit \ref{OKn}, da"s es
ausreicht, die Inklusion 
$V^{f} \subset \op{im} (f - \op{id})^\perp$
zu zeigen. Aus $f (\vec w) = \vec w$ folgt aber offensichtlich
$\langle \vec w, f (\vec v) - \vec v \rangle = \langle f
(\vec w), f (\vec v) \rangle - \langle \vec w, \vec v \rangle =0$
f"ur alle $\vec v \in V$.
Nun beginnt der eigentliche Beweis. Nat"urlich kann man
 f"ur einen beliebigen Punkt $q \in E$ stets einen 
Vektor $\vec v \in \vec E$
finden mit $
\varphi (q ) = q +  \vec v
$ und folglich 
$
\varphi (q + \vec u) = q  + \vec v+ \vec \varphi (\vec u)
\;\forall \vec u\in\vec E$.
Gegeben ein Richtungsvektor $\vec w$  besitzt damit $(-\vec w) \circ \varphi$ genau dann einen Fixpunkt, wenn es 
$\vec u \in \vec E$ gibt mit
\begin{equation*}
q + \vec u = q+ \vec v  + \vec \varphi (\vec u) - \vec w
\end{equation*}
alias $(\vec u - \vec \varphi (\vec u)) + \vec w = \vec v$.
Wegen der  Zerlegung 
$\vec E=  \op{im} (\vec \varphi - \op{id}) \oplus\vec E^{\vec \varphi}$
aus unserer Vor"uberlegung
gibt es also genau ein $\vec w \in \vec E^{\vec{\varphi}}$
derart, da"s $(- \vec w)\circ \varphi$ einen Fixpunkt hat.
\end{proof}



\begin{Beispiel}[\textbf{Abstandserhaltende Selbstabbildungen der Gerade}]
  Jede abstandserhaltende Selbstabbildung einer Gerade ist entweder (1) 
  eine Verschiebung $x \mapsto x + a$ oder\label{IED} eine (2) Spiegelung $x
  \mapsto b -x$.
  In der Tat, ist der lineare Anteil 
unserer Selbstabbildung
die Identit"at,
so handelt es sich nach \ref{KlI} um eine Verschiebung;
ist ihr linearer Anteil dahingegen das Negative der Identit"at,
so mu"s in der Darstellung nach \ref{KlI} 
der Vektor $\vec w$ der Nullvektor sein und wir haben f"ur ein festes $p$ 
eine Abbildung der Gestalt $p+ u \mapsto  p - u$ vor uns.
Diese Abbildung mag man als  eine Spiegelung am Punkt $p$ 
auffassen, sie kann etwas weniger geometrisch auch in der
Form 
 $x\mapsto 2p-x$ geschrieben werden. Die Identit"at finden wir in unserer Liste als spezielle Verschiebung wieder. 
\end{Beispiel}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGLsp}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Das Bild der durchgezeichneten Figur unter einer 
Verschiebung (gepunktelt) und unter einer 
Gleitspiegelung (gestrichelt). Durchgezogen eingezeichnet
ist auch die Gerade, l"angs derer die Gleitspiegelung geschieht.
Unsere Gleitspiegelung ist nat"urlich, wie von unserem Satz \ref{KlI}
vorhergesagt, die Verkn"upfung einer Isometrie mit mindestens
einem Fixpunkt, hier einer Spiegelung, mit einer Translation in einer
unter dem linearen Anteil 
dieser Isometrie invarianten Richtung, hier in Richtung der 
Spiegelachse.
\end{minipage}
\end{figure}


 \begin{Beispiel}[\textbf{Abstandserhaltende Selbstabbildungen der Ebene}]
 Jede abstandserhaltende Selbstabbildung einer euklidischen Ebene ist\label{IsoE}
 entweder (1) eine {\bf  Verschiebung} oder (2) eine von der Identit"at verschiedene {\bf  Drehung} um einen Punkt 
 oder (3) eine {\bf Gleitspiegelung},\index{Gleitspiegelung}
 als da hei"st eine Spiegelung an einer Gerade gefolgt 
von einer Verschiebung in Richtung
 eben dieser Gerade.
In der Tat erhalten wir nach 
\ref{KlI} unseren Fall (1)  f"ur die Abbildungen mit der Identit"at als
linearem Anteil; Fall (2)  f"ur die Abbildungen mit 
einer von der Identit"at verschiedenen Drehung als
linearem Anteil; und Fall (3)  f"ur die Abbildungen  mit 
einer Spiegelung als
linearem Anteil. Die Identit"at 
finden wir in unserer Liste als spezielle Verschiebung wieder, die Spiegelungen an einer Gerade als spezielle Gleitspiegelungen.
 \end{Beispiel}

 \begin{Beispiel}[\textbf{Abstandserhaltende Selbstabbildungen  des Raums}]
 Jede abstandserhaltende Selbstabbildung eines 
  dreidimensionalen euklidischen Raums  ist\label{IsoR} 
  entweder (1) eine {\bf Verschiebung} 
  oder (2) 
  eine {\bf Verschraubung}\index{Verschraubung}
 alias eine nichttriviale 
 Drehung um eine Achse gefolgt von einer Verschiebung
 in Richtung eben dieser Achse, oder (3) eine {\bf Drehspiegelung}\index{Drehspiegelung} alias eine nichttriviale
 Drehung um eine Achse gefolgt
 von einer Spiegelung an einer Ebene senkrecht zu besagter Achse, oder (4)
 eine {\bf Gleitspiegelung}\index{Gleitspiegelung} alias eine Spiegelung an einer Ebene gefolgt von  einer Verschiebung
 um einen Richtungsvektor besagter Ebene.
In der Tat erhalten wir nach 
\ref{KlI} unseren Fall (1)  f"ur die Abbildungen mit der Identit"at als
linearem Anteil;  Fall (2)  f"ur die Abbildungen mit einer nichttrivialen  Drehung als
linearem Anteil; Fall (3)  f"ur die Abbildungen mit 
linearem Anteil bestehend  aus einem nichttrivialen 
Drehblock und
einem Eintrag $(-1)$ auf der Diagonalen; 
und Fall (4)  f"ur die Abbildungen mit 
einer Spiegelung an einer Ebene als
linearem Anteil. Die Identit"at finden wir in unserer Liste als spezielle Verschiebung wieder, die nichttrivalen Drehungen als spezielle
Verschraubungen und die Spiegelungen an einer Ebene  als spezielle Gleitspiegelungen. 
 \end{Beispiel}
 \subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
 Man betrachte die 
komplexe Zahlenebene als euklidische Ebene
und betrachte die Drehung $d$ mit Fixpunkt $p\in\DC$ im 
Uhrzeigersinn um den rechten Winkel,  in Formeln gegeben durch 
 $d: p+z\mapsto p+{\op{i}}z$. Man schreibe f"ur einen
beliebigen Richtungsvektor $w\in\DC$ die Verkn"upfung $(w+)\circ d$ 
wieder als eine Drehung. Was ist der Fixpunkt dieser neuen Drehung? 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Jeder zweidimensionale reelle affine Raum $E$ mit
  einem Skalarprodukt auf seinem Richtungsraum wird
  zu einer euklidischen Ebene, wenn wir als Kongruenzen alle
  Abbildungen $k:E\ra E$ nehmen mit\label{EiKE}
  $$\|k(p)-k(q)\|=\|p-q\|\;\forall p,q\in\DR$$  
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Dreispiegelungssatz}]
  Man zeige, da"s sich jedes Element der
  Kongruenzgruppe einer euklidischen Ebene als Verkn"upfung von
  einer, zwei oder drei\index{Dreispiegelungssatz} 
  Spiegelungen darstellen l"a"st.
\end{Ubung}
 \begin{Ubung}
Welcher Fall im vorhergehenden Beispiel \ref{IsoR} deckt die
sogenannten 
{\bf r"aumlichen Punktspiegelungen}\index{Punktspiegelung!r"aumliche} 
ab, die f"ur einen festen
Punkt $p$ durch die Vorschrift  $p+\vec{v}\mapsto  p-\vec{v} $
gegeben werden? 
 \end{Ubung}


 \begin{Ubunge}\label{AEH}
Sei  $E$ ein euklidischer Raum. Man zeige:
\begin{enumerate}
\item
  Eine bijektive affine Abbildung $\varphi:E\sira E$ ist genau dann
  eine "Ahnlichkeitsabbildung, wenn  f"ur jeden
  orientierungserhaltenden abstandserhaltenden Automorphismus $g$ von $E$ auch 
$\varphi\circ g\circ \varphi^{-1}$
abstandserhaltend ist;
\item
  Eine bijektive affine Abbildung $\varphi:E\ra E$ ist genau dann
  eine "Ahnlichkeitsabbildung, wenn sie  
alle Winkel zwischen Strahlen im Richtungsraum im Sinne von  
\ref{DefW} erh"alt;
\item
  Jede "Ahnlichkeit mit einem Fixpunkt $p\in E$
l"a"st sich eindeutig darstellen als die Verkn"upfung 
eines abstandserhaltenden Automorphismus, der besagten Punkt $p$ festh"alt,  mit einer
Streckung oder Stauchung der Gestalt $p+\vec{v}\mapsto
 p+\lambda\vec{v}$ f"ur wohlbestimmtes $\lambda\in \DR_{>0}$;
\item Jede "Ahnlichkeit, die nicht abstandserhaltend ist, besitzt genau einen
  Fixpunkt.
\end{enumerate}
Hinweis: Letztere Aussage kann man besonders elegant mit dem
Banach'schen Fixpunktsatz \eref{BFS}{AN2} einsehen.
 \end{Ubunge}



\subsection{Anschauungsraum*}\label{MAn}
\begin{Bemerkungl} Ich erinnere an die Begriffsbildung einer
  Kongruenzebene  \ref{euE}. 
  Im folgenden will ich in "ahnlicher Weise eine Modellierung des schmutzigen
Raums unserer  Anschauung aus dem Begriff einer \glqq Bewegung\grqq\ entwickeln.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Gegeben ein dreidimensionaler reeller Raum $R$
  verstehen wir unter einer {\bf Halbraumfahne} oder genauer
  {\bf affinen  Halbraumfahne von $R$} ein Paar von Teilmengen   
$H\subset F\subset R$, 
das in der
  Gestalt $H=p+\DR_{\geq 0}\vec{v}$ und $F=p+\DR \vec{v}+\DR_{\geq 0}\vec{w}$ 
geschrieben werden
  kann mit $p\in R$ einem Punkt und 
$\vec{v},\vec{w}\in \vec{R}$ linear unabh"angigen
  Richtungsvektoren. Anschaulich besteht eine Halbraumfahne
  aus einer Halbebene und einer 
Halbgerade auf ihrem Rand.
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHLr}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Zwei affine Halbraumfahnen
\end{minipage}
\end{figure}
%\begin{figure}[htb] 
%\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHLr}\\[4mm]
%\noindent 
%\begin{center} Zwei Halbraumfahnen
%\end{center}
%\end{figure}

  \begin{Definition}
    Unter einer {\bf Bewegungsgruppe}\index{Bewegungsgruppe!affine}
eines dreidimensionalen reellen affinen\label{BeGr} 
Raums $R$ verstehen wir eine alle Translationen umfassende Untergruppe $B$
seiner Automorphismengruppe, in Formeln    $$\vec R\subset B\subset {\op{Aff}}^\times R$$ 
derart, da"s es f"ur je zwei Halbraumfahnen
 $(F,H)$ und $(F',H')$ von 
  $R$  genau
  einen Automorphismus  $b\in B$ gibt, der sie ineinander "uberf"uhrt,
also mit $bF=F'$ und $bH=H'$.  
 Die Elemente einer
  Bewegungsgruppe nennen wir {\bf Bewegungen}.\index{Bewegung}
   Unter einem 
{\bf Bewegungsraum}\index{Bewegungsraum} 
 verstehen wir ein Paar $(R,B)$ bestehend aus einem dreidimensionalen
 reellen affinen Raum $R$ und einer ausgezeichneten 
Bewegungsgruppe $B\subset {\op{Aff}}^\times R$. 
  \end{Definition}

  \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}]
    In der Literatur wird der Begriff einer \glqq Bewegung\grqq\
    vielfach abweichend verwendet f"ur gewisse Selbstabbildungen von
    euklidischen  R"aumen,
    die die Orientierung nicht erhalten. Unsere Bewegungen werden in
    dieser Terminologie als
    \glqq eigentliche Bewegungen\grqq\ bezeichnet.
  \end{Bemerkungl}
%  \begin{Definition}
%  Unter einem 
% {\bf Bewegungsraum}\index{Bewegungsraum} 
% verstehen wir ein Paar $$(R,B)$$ bestehend aus einem dreidimensionalen
% reellen affinen Raum und einer ausgezeichneten 
% \hyperref[BeGr]{Bewegungsgruppe} $B\subset {\op{Aff}}^\times R$. 
%  Die Elemente dieser Bewegungsgruppe hei"sen dann\label{DefER}  

% \end{Definition} 

% \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
% Der Begriff  \glqq Bewegungsraum\grqq\
%  kommt meines Wissens in der Literatur
% noch nicht vor. Es handelt sich hier um einen neuen Versuch,
% den Raum unserer Anschauung mathematisch zu modellieren, der meines
% Wissens auf \cite{Pickert} zur"uckgeht. 
% In der Literatur findet man auch h"aufig eine Terminologie,
%  in der unsere Kongruenzen im ebenen Fall  
%  als \glqq Bewegungen\grqq\ bezeichnet werden
%  und man dann  nach  
%   dem Vorzeichen der Determinante des linearen Anteils 
%  unterscheidet zwischen  \glqq eigentlichen
%      Bewegungen\grqq\  und \glqq uneigentlichen
    % Bewegungen\grqq.\index{Bewegung!uneigentliche}\index{Bewegung!eigentliche}
 %    Diese Konvention pa"st mit der hier gew"ahlten Terminologie
 %    auch ganz gut zusammen. Ich will 
% aber Bewegungen stets als r"aumliche Bewegungen verstehen.
% \end{Bemerkungl}





\begin{Bemerkungl}[\textbf{Bezug zur Anschauung}]
  Man mag sich den \glqq schmutzigen Raum $\mathbb E$ unserer Anschauung\grqq\ als einen Bewegungsraum 
denken. Die\label{Moo} 
Elemente von $\mathbb E$ sind dabei \glqq alle m"oglichen Orte im 
Raum\grqq. Manche  dieser Orte
k"onnen direkt als Kirchturmspitzen, Zimmerecken und 
dergleichen angegeben
  werden, die "Ubrigen gilt es sich vorzustellen. Affine
Geraden in $\mathbb E$ denke man sich als Sichtlinien,
wie in \eref{ANRA}{LA1} und \eref{ARG}{LA1} besprochen.
Bei  Bewegungen denke man an, nun, eben anschauliche Bewegungen.
Kippen wir  etwa einen Stuhl um, so werden die Enden der
  Stuhlbeine, die Ecken der Sitzfl"ache, ja "uberhaupt alle seine Punkte
  jeweils in andere Punkte des Raums unserer Anschauung "uberf"uhrt, und diese 
Abbildung
  l"a"st sich, das entspricht zumindest  unserer Erfahrung, zu 
einer bijektiven Selbstabbildung des Raums unserer Anschauung
fortsetzen, die Sichtlinien in
  Sichtlinien "uberf"uhrt
und die nach \eref{IAGe}{LA1} 
folglich einer affinen Abbildung $\mathbb E\ra \mathbb E$ 
entsprechen mu"s.  Unsere 
ausgezeichnete Bewegungsgruppe $B$ 
 modelliert die Menge aller
derartigen Selbstabbildungen des   Raums unserer Anschauung. Unsere
Bedingung an eine Bewegungsgruppe aus \ref{BeGr} 
bedeutet anschaulich, da"s man etwa jedes Messer aus einer festen
Position heraus durch genau eine Bewegung in eine Position bringen kann, 
in der 
der "Ubergang vom Griff
zur Klinge an einer vorgegebenen Stelle stattfindet, die Messerspitze in eine
vorgegebene Richtung zeigt und der Schnitt den Raum entlang
einer vorgegebenen Halbebene zerteilen
w"urde. An dieser Stelle  m"ochte ich Sie am liebsten 
wieder einmal
davon "uberzeugen, 
da"s  das  Abstrakte das eigentlich
Konkrete ist und da"s der in der Schule erlernte Koordinatenzirkus von der Realit"at
viel
weiter entfernt ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
 Ich wage die Vermutung, da"s S"auglinge nicht zuletzt deshalb so gerne 
herumgetragen und herumgefahren werden, weil ihnen das eine genauere
Untersuchung dieser bemerkenswerten mathematischen Struktur 
erm"oglicht, die der Raum unserer Anschauung nun einmal ist. Bewegen Sie nur
einmal selbst den Kopf hin und her und versuchen Sie,
von Ihrer jahrelangen Erfahrung zu abstrahieren und neu zu entdecken,
in wie interessanter Weise sich dabei die Sinneseindrücke im Auge "andern! 
\end{Bemerkunge}








  \begin{Satz}[\textbf{Euklidische Strukturen und Bewegungsgruppen}]
    Gegeben ein  reeller affiner Raum 
    $R$ der Dimension $\op{dim}R=3$
    erhalten wir zueinander inverse Bijektionen\label{EUSB}
  $$\{\text{\emph{Euklidische Strukturen}  }S\subset\op{Bil}(\vec R)
 \}
\overset{\sim}{\longleftrightarrow} 
\{\text{\emph{Bewegungsgruppen} }
B\subset \op{Aff}^\times(R)
\}$$
dadurch, da"s wir jeder euklidischen Struktur $S$ auf $\vec R$ 
  als Bewegungsgruppe die Gruppe $B_S\pdef \op{SO}_{\op{aff}}(R,S)$ aller  orthogonalaffinen und orientierungserhaltenden  Selbstabbildungen von $R$ zuordnen und umgekehrt jeder Bewegungsgruppe $B$ die Menge $S$ aller
  darunter 
  invarianten Bilinearformen auf dem Richtungsraum.
  \end{Satz}
  \begin{proof}
    Da"s unsere Konstruktion jeder euklidischen Struktur auf $\vec R$
    eine Bewegungsgruppe zuordnet, scheint mir offensichtlich.
    Da"s man aus dieser Bewegungsgruppe die euklidische Struktur
    zur"uckgewinnen kann, da"s also unsere Abbildung von links
    nach rechts injektiv ist, mag man daraus erkennen, da"s die
    Restriktionen aller
    Bewegungen, die eine vorgegebene affine Ebene stabilisieren,
    auf besagte Ebene
    notwendig eine Kongruenzgruppe der besagten affinen Ebene bilden
    und so auf dem Richtungsraum dieser affinen Ebene nach \ref{KeEna} eine euklidische Struktur induzieren. Eine euklidische Struktur auf einem
    reellen Vektorraum der Dimension mindestens Zwei wird aber
    offensichtlich durch ihre Restriktionen auf alle zweidimensionalen
    Untervektorr"aume bereits eindeutig festgelegt.
    Es bleibt damit nur noch zu zeigen, da"s unsere Abbildung surjektiv ist.
    Das leistet der im Anschlu"s bewiesene Satz \ref{BewS}.
  \end{proof}
%\begin{Bemerkunge}
%Unter einem {\bf Isomorphismus von
%Bewegungsr"aumen}\index{Isomorphismus!von Bewegungsr"aumen} 
%verstehen wir einen Isomorphismus der\label{LKSS}  
%zugrundeliegenden affinen R"aume, unter dem
%sich die jeweiligen Bewegungsgruppen entsprechen.
%Sind $(R,B)$ und $(S,C)$ unsere Bewegungsr"aume,
%so ist ein Isomorphismus in Formeln  ein Isomorphismus
%$\varphi:R\sira S$ von affinen R"aumen mit 
%$(b\in B)\IFF (\varphi b\varphi^{-1}\in C)$.
%Es ist klar, da"s eine affine Abbildung
%$R\ra S$ von dreidimensionalen euklidischen R"aumen
%genau dann euklidisch ist, wenn sie 
%ein Isomorphismus der
%zugeh"origen Bewegungsr"aume ist. In diesem Sinne ist ein dreidimensionaler
%euklidischer Raum also im wesentlichen dasselbe wie ein Bewegungsraum. 
%\end{Bemerkunge}
    




  





\begin{Definition}
  Sei $V$ ein dreidimensionaler
  reeller Vektorraum.
  Eine {\bf Halbraumfahne} oder genauer {\bf lineare  Halbraumfahne in $V$}
  ist ein Paar
  $(H,A)$ von Teilmengen bestehend aus einer Halbebene und einem
  Strahl auf ihrem Rand.
  In Formeln ausgedr"uckt soll es also linear unabh"angige Vektoren  $v,w\in V$ geben mit $H=\DR_{\geq 0}v+\DR w$ und
  $A=\DR_{\geq 0} w$.
\end{Definition}


  \begin{Definition}
  Sei $V$ ein dreidimensionaler
  reeller Vektorraum.
  Eine Untergruppe $D\subset \op{GL}(V)$
  hei"se eine 
  {\bf Drehungsgruppe},\index{Drehungsgruppe}  
  wenn es f"ur je zwei Halbraumfahnen in $V$ genau ein\label{DefER} 
  Element $d\in D$ gibt, das sie ineinander "uberf"uhrt. Die Elemente 
  einer ausgezeichneten Drehungsgruppe sprechen wir im folgenden als
  {\bf Drehungen} an.
  \end{Definition}

\begin{Satz}[\textbf{Drehungsgruppen und euklidische Strukturen}]
  Gegeben ein dreidimensionaler reeller Vektorraum $V$ erhalten wir
  zueinander inverse Bijektionen 
  $$\{\text{\emph{Euklidische Strukturen} }S\subset\op{Bil}( V)
 \}
\overset{\sim}{\longleftrightarrow} 
\{\text{\emph{Drehungsgruppen} }
D\subset \op{GL}(V)
\}$$
dadurch, da"s wir jeder euklidischen Struktur $S$ ihre
spezielle orthogonale Gruppe\label{BewS}  
$\op{SO}(V,S)$ zuordnen und umgekehrt
jeder Drehungsgruppe $D$ die Menge $S_D$ der unter
all ihren Elementen invarianten Bilinearformen.
\end{Satz}

\begin{proof}
  Der Nachweis, da"s $\op{SO}(V,S)$ in der Tat eine Drehungsgruppe ist, bleibe dem Leser "uberlassen.
  Um zu sehen, da"s gegeben ein unter einer
  Drehungsgruppe invariantes Skalarprodukt jede invariante Bilinearform ein
  skalares Vielfaches desselben ist, mu"s man nur bemerken, da"s
  die einen zweidimensionalen Teilraum stabilisierenden Elemente
  einer Drehungsgruppe auf diesem Teilraum eine
  Drehspiegelgruppe induzieren und nach \ref{KeEn} folglich die Restriktion
  einer invarianten Bilinearform auf jeden zweidimensionalen Teilraum ein
  skalares Veilfaches der Restriktion unseres invarianten Skalarprodukts ist.  
  Es bleibt nur noch zu zeigen, da"s es f"ur jede Drehungsgruppe mindestens ein invariantes Skalarprodukt gibt. Das
  zeigen wir nach einigen Vorbereitungen in \ref{EISS}.
\end{proof}


\begin{Lemma}\label{AchS} 
 Sei $(V,D)$ ein  dreidimensionaler reeller Vektorraum
 mit ausgezeichneter Drehungsgruppe.  Gegeben ein  Vektor 
$v\in V\backslash 0$ gibt es genau eine nichttriviale 
Drehung
$r_v\in D\backslash {\op{id}}$ mit $r_v(v)=v$ und $r_v^2=\op{id}$, und diese 
Drehung hat einen zweidimensionalen Eigenraum zum 
Eigenwert $(-1)$. 
Wir nennen $r_v$ die 
\emph{\bf Achsenspiegelung\index{Achsenspiegelung}
 an der Ursprungsgerade $\DR v$}. 
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
  In der schmutzigen Anschauung kann $r_v$
  beschrieben werden als
die Drehung
um die von $v$ erzeugte Gerade  mit dem Winkel $180^\circ$.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Wie bereits erw"ahnt ist es klar, da"s alle Drehungen, die einen zweidimensionalen Teilraum $Z\subset V$
stabilisieren, auf $Z$ eine Drehspiegelgruppe
im Sinne von \ref{lkg} 
induzieren. Sei nun
$r$ eine nichttriviale 
Drehung  
 mit $r(v)=v$ und $r^2=\op{id}$.
Nach \eref{Epm1}{LA1} 
ist  $r$ diagonalisierbar mit Eigenwerten $\pm 1$.
Da $r$ nichttrivial ist mit positiver Determinante, m"ussen seine Eigenwerte
mit Multiplizit"aten $1,-1,-1$ sein.
 Folglich ist $\DR v$ der Eigenraum von $r$ zum
Eigenwert Eins und in jedem zweidimensionalen Teilraum, der $v$ enth"alt, mu"s 
auch ein Eigenvektor zum Eigenwert $(-1)$ liegen. Damit mu"s 
$r$ jede derartige Ebene auf sich selbst abbilden und darauf 
unsere Spiegelung aus dem Beweis von \ref{KeEn} induzieren, die wir 
dort $r_v$ notiert hatten. Das zeigt die Eindeutigkeit von $r$ und 
unsere Behauptung "uber den $(-1)$-Eigenraum. 
Um die Existenz zu zeigen, w"ahlen wir 
 $w\in V $ linear unabh"angig zu $v$ und betrachten  die
Drehung $r=r_{v,w}$, 
die die Halbraumfahne $(\DR v +\DR_{\geq 0}w, \DR_{\geq 0}v)$
in die Halbraumfahne $(\DR v -\DR_{\geq 0}w, \DR_{\geq 0}v)$ "uberf"uhrt.
Offensichtlich gilt $r^2=\op{id}$ und nach \eref{Epm1}{LA1} 
ist dann $r$ diagonalisierbar mit Eigenwerten $\pm 1$. 
Sicher ist $v$ ein Eigenvektor von $r$ zu einem positiven Eigenwert, also zum
Eigenwert Eins, also ein Fixvektor. Das zeigt dann auch die in unserem
Lemma behauptete Existenz
der Achsenspiegelung $r_v$.
\end{proof}
\begin{Lemma}
  Sei $(V,D)$ ein  dreidimensionaler reeller Vektorraum
  mit ausgezeichneter Drehungsgruppe. Gegeben $t\in  D$ und $m\in V$ folgt
  aus $tm\in \DR_{\geq 0}m$
  dann bereits  $tm=m$.\label{LaeD} 
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
  In der schmutzigen Anschauung entspricht das der Erkenntnis,
  da"s beim Drehen um eine Achse besagte Achse weder gestreckt noch
  gestaucht wird.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $m\neq 0$ annehmen. Dann betrachten wir die Achsenspiegelung $r_m$ nach \ref{AchS} und  w"ahlen
im zweidimensionalen Teilraum $Z$ der Fixpunkte von $(-r_m)$ 
einen Vektor $w\neq 0$. Wegen $tr_m=r_mt$ gilt dann auch 
$tw\in  Z$.
Nach \ref{VTRon} werden je zwei Strahlen in einem zweidimensionalen
Vektorraum mit ausgezeichneter Drehspiegelgruppe
 durch eine Spiegelung vertauscht,
 es gibt also
 $u\in Z\backslash 0$  mit
 $r_u(\DR_{\geq 0}w)=\DR_{\geq 0}tw$.
 Andererseits zeigt
unsere Diskussion des Senkrechtstehens in
Kongruenzebenen \ref{Ort} bereits $r_u(m)=-m$ und 
$r_w(m)=-m$.
Es folgt $r_u r_w=t$, da beide 
Abbildungen $\DR_{\geq 0}m$ festhalten und $\DR_{\geq 0}w$ in
$\DR_{\geq 0}tw$ "uberf"uhren. So erhalten wir schlie"slich $tm=r_u r_w m=m$.
\end{proof}
\begin{Lemma}[\textbf{Existenz invarianter Skalarprodukte}]
  Sei $(V,D)$ ein  dreidimensionaler reeller Vektorraum
 mit ausgezeichneter Drehungsgruppe. So gibt es 
auf $\;V$ ein $D$-invariantes Skalarprodukt.\label{EISS} 
\end{Lemma}
\begin{proof}
Wir w"ahlen einen Vektor $m\in V\backslash 0$.
F"ur jeden zweidimensionalen Teilraum $Z\subset V$
und jede Drehung $d\in D$ mit $d(m)\in Z$ gibt es
nach \ref{KeEn} genau ein Skalarprodukt auf $Z$,
das invariant ist unter allen Drehungen, die $Z$ stabilisieren,
und das $d(m)$ die Norm Eins gibt. 
Lemma \ref{LaeD} zeigt, da"s dies Skalarprodukt
auf $Z$ nicht von der Wahl von $d$ abh"angt.
Folglich sind alle diese Skalarprodukte Einschr"ankungen eines
wohldefinierten Skalarprodukts auf $V$.
Die Konstruktion zeigt weiter, da"s f"ur jede Drehung
$d\in D$ und jeden zweidimensionalen Teilraum $Z\subset V$ die Abbildung $d:Z\sira d(Z)$ vertr"aglich ist mit den jeweiligen Skalarprodukten.
Folglich ist unser Skalarprodukt
auf $V$ invariant unter $D$.
  \end{proof}






  










\begin{Bemerkunge}[\textbf{Verallgemeinerung auf beliebige Dimensionen}] 
Ich skizziere Analoga unserer S"atze \ref{KeEn} und
\ref{BewS} f"ur reelle Vektorr"aume beliebiger endlicher Dimension.  
Man mag  f"ur jeden reellen Vektorraum
$V$ endlicher Dimension $n$ eine {\bf vollst"andige Halbraumfahne}\index{Halbraumfahne!vollst"andige}   erkl"aren als
eine Folge von Teilmengen 
$F_0\subset F_1\subset\ldots\subset F_{n-1}\subset F_{n}\subset V$ derart, 
da"s es  linear unabh"angige Vektoren
$ v_1,\ldots, v_{n}\in V$ gibt mit
$F_i=\DR v_1+\ldots+\DR  v_{i-1}+ \DR_{\geq 0}  v_{i}$.
Eine Untergruppe $O\subset \op{GL}(V)$ mag man dann eine
{\bf Drehspiegelgruppe}\index{Drehspiegelgruppe}  nennen, wenn
 es f"ur je zwei vollst"andige Halbraumfahnen genau
ein $k\in O$ gibt, das die eine Fahne in die andere
"uberf"uhrt.
Man mag  weiter  eine {\bf fastvollst"andige Halbraumfahne}\index{Halbraumfahne!fastvollst"andige}   erkl"aren als
eine Folge von Teilmengen 
$F_0\subset F_1\subset\ldots\subset F_{n-1}\subset V$ derart, 
da"s es  linear unabh"angige Vektoren
$ v_1,\ldots, v_{n-1}\in V$ gibt mit
$F_i=\DR v_1+\ldots+\DR  v_{i-1}+ \DR_{\geq 0}  v_{i}$.
Eine Untergruppe $D\subset \op{GL}(V)$ mag man weiter eine
{\bf Drehungsgruppe}\index{Drehungsgruppe}  nennen, wenn
 es f"ur je zwei fastvollst"andige Halbraumfahnen genau
ein Element $d\in D$ gibt, die die eine Fahne in die andere
"uberf"uhrt. In dieser Allgemeinheit zeigen unsere Argumente,
da"s es f"ur jede Drehspiegelgruppe bis auf konstante Vielfache
  genau ein invariantes 
Skalarprodukt  gibt, und da"s 
im Fall einer von Zwei verschiedenen Dimension dasselbe 
auch f"ur jede Drehungsgruppe
gilt. Im ebenen Fall gilt das jedoch nur unter der 
zus"atzlichen Annahme, da"s unsere Drehungsgruppe 
eine im Sinne der Topologie \glqq abgeschlossene\grqq\  Untergruppe
ist.
W"ahlen wir genauer ein Komplement $V\subset\DR$ des  $\DQ$-Untervektorraums
$\DQ\subset \DR$,
so finden wir einen Gruppenisomorphismus  $\DR/\DZ\cong V\times\DQ/\DZ$
und dann auch einen Gruppenisomorphismus  $S^1\cong V\times\DQ/\DZ$.
Es gibt mithin durchaus unstetige nichttriviale Gruppenhomomorphismen
$\psi:S^1\ra \DR_{>0}$ 
f"ur $S^1$ die Gruppe der komplexen Zahlen vom Betrag
Eins, und dann bilden 
alle Abbildungen der Gestalt
$z\mapsto \psi(a)z$ 
mit $a\in S^1$ eine Drehungsgruppe in $\op{Aut}_\DR(\DC)$ im Sinne der
obigen Definition, f"ur die  kein invariantes Skalarprodukt
 existiert. Mehr dazu findet man in
\cite{Pickert,Baer} und unter dem Stichwort des 
{\bf Helmholtz'schen Raumproblems}.\index{Helmholtz'sches Raumproblem} 
\end{Bemerkunge}


  
\subsection{Zweistrahlen und Winkel}\label{WW}
\begin{Bemerkungl}
  Unter einem {\bf Zweistrahl}\index{Zweistrahl} in einem Vektorraum
  $V$ "uber einem angeordneten K"orper
  verstehen wir ein ungeordnetes Paar alias eine zweielementige Multimenge
$_\mu\{A,B\}$ von Strahlen. 
 Unter einem {\bf angeordneten Zweistrahl}\index{Zweistrahl!angeordneter}
  verstehen wir ein  Paar
  $(A,B)$ von Strahlen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein zweidimensionaler euklidischer Vektorraum $Z$
 ist  die Gruppe seiner orientierungserhaltenden orthogonalen
  Selbstabbildungen alias linearen Drehungen 
  $ \op{SO}(Z)$ nach \ref{KoSO} 
  kommutativ und f"ur jeden angeordneten Zweistrahl $(A,B)$ in $Z$
  gibt es  genau ein Element $d\in \op{SO}(Z)$
   mit $d(A)=B$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Wir betrachten die Zuordnung $\op{W}$,
  die jedem orientierten zweidimensionalen euklidischen Vektorraum $(Z,\varepsilon)$
  die Gruppe seiner linearen Drehungen zuordnet. Wir nennen diese Gruppe
  die {\bf Winkelgruppe\index{Winkelgruppe!konkrete} von} $(Z,\varepsilon)$
   und notieren sie 
  $${\op{W}}(Z,\varepsilon)\pdef \op{SO}(Z)$$
 Wir notieren ${\op{W}}(Z,\varepsilon)$ im Gegensatz zu $\op{SO}(Z)$
  additiv.  Wir bezeichnen die Elemente
  unserer Gruppen je nachdem, ob wir ihre Verkn"upfung multiplikativ  oder additiv notieren,  als {\bf Drehungen} oder
  als {\bf Winkel}\index{Winkel} und 
  noch genauer als {\bf konkrete Winkel}. 
Einen Winkel $k\in{\op{W}}(Z,\varepsilon)$ nennen wir
  {\bf positiv}\index{Winkel!positiv} beziehungsweise
  {\bf negativ},\index{Winkel!negativ} wenn f"ur ein und jedes
  $v\in Z\backslash 0$ das Paar $(v,k(v))$ in Bezug auf die Orientierung
  $\varepsilon$
  eine positiv orientierte
  beziehungsweise
 eine negativ orientierte Basis von $Z$\label{nnW} 
  ist. 
  Wir bezeichnen  die Menge der nichtnegativen Winkel
mit $${\op{W}}(Z,\varepsilon)^{+}\subset
{\op{W}}(Z,\varepsilon)$$
Es  gibt zwei Winkel, die weder negativ noch positiv
sind, n"amlich den Nullwinkel und einen weiteren Winkel, den wir sp"ater
genauer diskutieren und
den
\glqq gestreckten Winkel\grqq\ nennen werden.
  \end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}[\textbf{Winkelgruppe der Zahlenebene}] 
  Wir erinnern den K"orper der komplexen Zahlen und genauer
  das bis auf eindeutigen Isomorphismus eindeutig
  bestimmte Tripel $(\DC,{\op{i}},\kappa)$
  aus \eref{DDC}{LA1} mit $\kappa:\DR\hra\DC$. Wir erinnern auf  dem
  $\DR$-Vektorraum $\DC$
  das Skalarprodukt $\langle z,w\rangle\pdef\op{Re}\bar z w$ 
 und versehen $\DC$ mit der dadurch bestimmten euklidischen Struktur.  
 Wir versehen den $\DR$-Vektorraum $\DC$
 mit seiner {\bf Standardorientierung} $\op{st}$,\index{Standardorientierung!der komplexen Zahlenebene}  f"ur die
$(1,{\op{i}})$ eine positiv orientierte angeordnete Basis ist. Die Abbildung, die jedem $z\in S^1$ die Multiplikation $(z\cdot)$ zuordnet, liefert dann einen Isomorphismus\label{KGW} 
  $S^1\sira {\op{W}}(\DC,\op{st})$
   der Kreisgruppe mit der Winkelgruppe von $\DC$ und
 eine Bijektion $$\{z\in S^1\mid \op{Im}(z)\geq 0\}\;\sira\; { {\op{W}}}(\DC,\op{st})^{+} $$
 zwischen  dem \glqq abgeschlossenen
 oberen Halbkreis\grqq\ und der Menge der nichtnegativen Winkel von $(\DC,{\op{st}})$.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Abstrakte Winkel}]
Nach  \ref{WiGrn} induzieren je zwei
orientierungserhaltende euklidische 
Isomorphismen zwischen zweidimensionalen 
  orientierten euklidischen Vektorr"aumen $\phi,\psi:(Y,\eta)\sira (Z,\varepsilon)$ denselben
  Isomorphismus $${\op{O}}(\phi)={\op{O}}(\psi):\op{W}(Y,\eta)\sira \op{W}(Z,\varepsilon)$$
  zwischen ihren Winkelgruppen. Dieser Isomorphismus induziert dar"uber hinaus  eine Bijektion $\op{W}(Y,\eta)^+\sira \op{W}(Z,\varepsilon)^+$ zwischen den jeweiligen Teilmengen nichtnegativer Winkel. Das Datum aus einer Gruppe mit ausgezeichneter Teilmenge  $\op{W}(Z,\varepsilon)^+\subset \op{W}(Z,\varepsilon)$
  ist folglich eindeutig bestimmt bis auf
  eindeutigen Isomorphismus. Es verdient damit eine  Notation und einen
 Namen. Ich schlage daf"ur die Notationen 
  $$ \mathbb W^+\subset \mathbb W$$
vor  und nenne $\mathbb W$ die  
  {\bf abstrakte Winkelgruppe}\index{Winkelgruppe!abstrakte}\index{W@$\mathbb W$ Winkelgruppe} und $ \mathbb W^+$
  die {\bf abstrakte  Winkelmenge}.\index{Winkelmenge!abstrakte}\index{W@$\bar{\mathbb W}$ Winkelmenge}  Elemente von $\mathbb W$ hei"sen
  {\bf Winkel},\index{Winkel} Elemente von $\mathbb W^+$ {\bf nichtnegative Winkel} 
  und Elemente von $\mathbb W\backslash \mathbb W^+$ {\bf negative Winkel}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} 
 Sei $(Z,\varepsilon)$ ein orientierter zweidimensionaler euklidischer Vektorraum.  Das einem abstrakten Winkel $\vartheta\in\mathbb W$
  durch die Wahl einer Orientierung $\varepsilon$ von $Z$ zugeordnete
  Element von
  $\op{SO}(Z)$ nenne ich  die {\bf Drehung um den Winkel $\vartheta$}
  und  notiere es $${\op{R}}_{\vartheta}={\op{R}}_{\vartheta,(\varepsilon)}$$ mit einem ${\op{R}}$ f"ur \glqq Rotation\grqq. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Jedem\label{Wigh} angeordneten Zweistrahl $(A,B)$
  in 
  einem orientierten zweidimensionalen euklidischen Vektorraum
  $(Z,\varepsilon)$ ordnen wir
  ein wohlbestimmtes Element\index{)0a@$\measuredangle$ gerichteter Winkel}
 der abstrakten Winkelgruppe  $$\vartheta=\measuredangle(A,B)\in\mathbb W$$
  zu als dasjenige
  $\vartheta\in\mathbb W$ mit ${\op{R}}_{\vartheta,(\varepsilon)} (A)=B$.
  Wir nennen diesen Winkel $\vartheta$ den {\bf gerichteten Winkel
    von $A$ nach $B$}.\index{Winkel!gerichteter} 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}   Jedem Zweistrahl $_\mu\{A,B\}$  in einem 
  euklidischen Vektorraum ordnen wir weiter
  ein wohlbestimmtes Element\index{)0a@$\angle$ Winkel!von Zweistrahl} 
 der Winkelmenge $$\vartheta=\angle(A,B)\in \mathbb W^+$$
  zu als denjenigen eindeutig bestimmten nichtnegativen Winkel 
   $\vartheta\in \mathbb W^+$, f"ur den es einen zweidimensionalen Teilraum $Z$
  und eine
  Orientierung $\varepsilon$ von $Z$ gibt mit
  % derart, da"s  gilt
  $A,B\subset Z$ und ${\op{R}}_{\vartheta,(\varepsilon)}(A)=B$.
  Wir nennen dies Element $\vartheta$  den {\bf von den Strahlen $A$ und $B$ eingeschlossenen Winkel}.\label{eingWn} 
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}
  Die Zuordnung, die jedem zweidimensionalen
  euklidischen Vektorraum $Z$ die Gruppe $\op{SO}(Z)$ seiner orientierungserhaltenden Automorphismen zuordnet, liefert keine
  bis auf eindeutigen Isomorphismus wohlbestimmte Gruppe,
  weil manche euklidischen Automorphismen von $Z$,
  genauer die orientierungsumkehrenden Automorphismen, 
  das Invertieren $\op{inv}:\op{SO}(Z)\sira \op{SO}(Z)$ induzieren. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Wir erkl"aren
  eine Abbildung $|\;\;|:\mathbb W\ra \mathbb W^+$ durch
  die Vorschrift
  $$|\alpha|\pdef \left\{\begin{array}{rl}\alpha&\alpha\in\mathbb W^+;\\
  -\alpha&\alpha\not \in\mathbb W^+,
  \end{array}\right.$$ und nennen
  $|\alpha|$\index{)5@${\mid}\alpha{\mid}$ Betrag des Winkels $\alpha$} den {\bf Betrag\index{Betrag!eines Winkels} des Winkels $\alpha$}.
  F"ur jeden angeordneten Zweistrahl $(A,B)$ in einem orientierten
  zweidimensionalen euklidischen Vektorraum haben wir dann
  $$\angle(A,B)=|\measuredangle(A,B)|$$
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Additivit"at von Winkeln}]
  Gegeben Strahlen $A,B,C$ 
  in einem zweidimensionalen orientierten euklidischen Vektorraum
 gilt\label{AdWi} in der  Winkelgruppe $\mathbb W$
   offensichtlich die Identit"at $$\measuredangle(A,B)+\measuredangle(B,C)=\measuredangle(A,C)$$
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}
 Mit der Standardorientierung auf $\DC$ liefern unsere Konstruktionen aus \ref{KGW}  unmittelbar einen
 Isomorphismus $$\op{wk}:S^1\sira \mathbb W$$ zwischen der Kreisgruppe und der Winkelgruppe. Wir nennen ihn den {\bf Stan\-dard\-iso\-mor\-phis\-mus}\label{KGIp} von der Kreisgruppe zur Winkelgruppe. Er induziert eine Bijektion  $\op{wk}:\{z\in S^1\mid \op{Im}(z)\geq 0\}\sira \mathbb W^+$,  die {\bf Standardbijektion}. Die Umkehrabbildung des Standardisomorphismus ist ein Isomorphismus $\op{kw}\pdef \op{wk}^{-1}$ von
 der Winkelgruppe in die Kreisgruppe, also in Formeln 
 $$\op{kw}:\mathbb W\sira S^1$$
 Wir nennen ihn den {\bf Standardisomorphismus} von der Winkelgruppe zur Kreisgruppe.
 Unsere allgemeinen Erkenntnisse \eref{ZNPn}{LA1}
 "uber Nullstellen von Polynomen zeigen,
 da"s es f"ur jedes $n\in\DN_{\geq 1}$ h"ochstens $n$
 Winkel $\vartheta\in \mathbb W$ gibt mit $n\vartheta=0$.
 Die genauere Untersuchung des K"orpers der komplexen Zahlen
 in \eref{ntE}{AN1} zeigt, da"s es sogar stets genau $n$ derartige
 Winkel gibt.
\end{Bemerkungl}






\begin{Bemerkungl}[\textbf{Einige spezielle Winkel}]
  Wir diskutieren nun die wichtigsten Winkel und die
  zugeh"origen Elemente der Kreisgruppe.
  \begin{enumerate}
  \item
      Das neutrale Element der Winkelgruppe
      nennen wir den {\bf Nullwinkel}\index{Nullwinkel} $0\in \mathbb W$.
      Es geh"ort zur Menge $\mathbb W^+$ der nichtnegativen Winkel.
      Unter unserem Standardisomorphismus $\op{kw}:{\mathbb W}\sira S^1$ entspricht
 dies Element der komplexen Zahl $1$. F"ur einen Zweistrahl $_\mu\{A,B\}$
in einem euklidischen Vektorraum  ist $\angle(A,B)=0$ gleichbedeutend zu $A=B$.
\item
    Man sieht mithilfe unseres Isomorphismus $\op{kw}:{\mathbb W}\sira S^1$
aus \ref{KGIp}, da"s es in der Winkelgruppe genau
ein Element $\vartheta $ gibt mit $2\vartheta =0$ aber $\vartheta \neq 0$.
 Es 
  hei"st der 
 {\bf gestreckte Winkel} $\gamma$\index{Winkel!gestreckter}\index{gestreckter Winkel}
und  geh"ort auch zur Menge ${\mathbb W}^+$ der nichtnegativen Winkel.
  Unter unserem Standardisomorphismus $\op{kw}:{\mathbb W}\sira S^1$ entspricht
  dies Element der komplexen Zahl $-1$. F"ur einen Zweistrahl $_\mu\{A,B\}$
 in einem euklidischen Vektorraum  ist $\angle(A,B)$ der gestreckte Winkel genau dann, wenn gilt  $A=-B$.
\item
   Man sieht mithilfe unseres Isomorphismus $\op{kw}:{\mathbb W}\sira S^1$ aus \ref{KGIp}, da"s es in der Winkelgruppe genau
   zwei Elemente $\alpha$ gibt mit $4\alpha=0$ aber $2\alpha\neq 0$,
   und da"s genau Eines davon  in der Winkelmenge liegt.
   Dies Element der Winkelmenge  $\rho\in{\mathbb W}^+$ hei"st der 
  {\bf rechte Winkel}.\index{Winkel!rechter}\index{rechter Winkel}
 Unter unserem Standardisomorphismus $\op{kw}:{\mathbb W}\sira S^1$ entspricht
 der rechte Winkel  der  komplexen Zahl $\op{i}$.  F"ur einen Zweistrahl $_\mu\{A,B\}$
in einem euklidischen Vektorraum   ist $\angle(A,B)$ der rechte Winkel genau dann, wenn gilt  $A\perp B$
 alias $v\perp w\;\forall v\in A, w\in B$ im Sinne von \ref{Eukl}.
  \end{enumerate}
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Sinus und Cosinus}]
  F"ur den $\DR^2$ mit seiner Standardorientierung und
  seinem Standardskalarprodukt erhalten wir per definitionem
  einen kanonischen Isomorphismus 
  ${\mathbb W}\sira \op{SO}(\DR^2)$, $\vartheta\mapsto {\op{R}}_\vartheta$. 
Wir erkl"aren Abbildungen  {\bf Sinus}\index{Sinus} und {\bf Cosinus}\index{Cosinus} $\sin,\cos:{\mathbb W}\ra \DR$  durch
die Vorschrift\label{nmgec} 
$${\op{R}}_\vartheta\begin{pmatrix} 1\\
0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\vartheta\\
\sin\vartheta  \end{pmatrix}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Der  Cosinus  induziert offensichtlich eine Bijektion  $\op{cos}:{{\mathbb W}}^+\sira
    [-1,1]$
    zwischen unserer Winkelmenge und dem reellen Intervall
    $[-1,1]$. 
    Der rechte Winkel hat  offensichtlich  $\cos(\rho)=0$
    als Cosinus, der Nullwinkel  $\cos(0)=1$
    und der gestreckte Winkel  $\cos(\gamma)=-1$.
    F"ur alle Winkel $\vartheta\in \mathbb W$ gilt
    $\sin^2\vartheta + \cos^2\vartheta =1$ und f"ur alle nichtnegativen Winkel
    $\vartheta\in \mathbb W^+$ gilt $\sin\vartheta\geq 0$ und mithin
    $\op{sin}\vartheta=\sqrt{1-\op{cos}^2\vartheta}$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Unser kanonischer Isomorphismus ${\mathbb W}\sira \op{SO}(\DR^2)$, $\vartheta\mapsto {\op{R}}_\vartheta$  wird in diesen Notationen gegeben
durch die Vorschrift
  $$\vartheta\mapsto \begin{pmatrix} \cos\vartheta & - \sin\vartheta\\
\sin\vartheta & \cos\vartheta \end{pmatrix}$$
Unser  Standardisomorphismus mit der Kreisgruppe 
$\op{kw}:{\mathbb W}\sira S^1$   wird in diesen Notationen gegeben
durch die Vorschrift $\vartheta \mapsto \cos\vartheta + {\op{i}} \sin\vartheta$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungw}[\textbf{Bezug zur Analysis}] 
  In der Analysis \eref{dsc}{AN1} f"uhrt man Sinus und Cosinus meist als
  Funktionen $\sin,\cos:\DR\ra \DR$ ein. Wenn ich auf dem
  Unterschied zu unseren hier erkl"arten
  Funktionen $\sin,\cos:\mathbb W\ra \DR$ bestehen will,
  unterscheide  ich zwischen dem \glqq analytischen\grqq\ und dem
  \glqq geometrischen\grqq\ Sinus beziehungsweise Cosinus
  und notiere erstere\label{gasc} 
  $\sin_{\op{a}},\cos_{\op{a}}:\DR\ra \DR$ und letztere
  $\sin_{\op{g}},\cos_{\op{g}}:\mathbb W\ra \DR$.
  \index{Cosinus!geometrischer}\index{cos@$\op{cos}_{\op{g}}$ geometrischer Cosinus}\index{Sinus!geometrischer}\index{sin@$\op{sin}_{\op{g}}$ geometrischer Sinus}\index{Cosinus!analytischer}\index{cos@$\op{cos}_{\op{a}}$ analytischer Cosinus}\index{Sinus!analytischer}\index{sin@$\op{sin}_{\op{a}}$ analytischer Sinus}
Per definitionem gilt  dann f"ur die  Komposition $$\op{wk}\circ u:\DR\ra  \mathbb W$$  der Umlaufabbildung $u:\DR\ra S^1$, $t\mapsto \exp{\op{i}}t$ mit unserem Standardisomorphismus $\op{wk}: S^1\sira \mathbb W$ aus \ref{KGIp}  die Beziehung 
$$\sin_{\op{a}}=\sin_{\op{g}}\circ \op{wk}\circ u\quad\text{ und }\quad
\cos_{\op{a}}=\cos_{\op{g}}\circ \op{wk}\circ u.$$ 
Mehr dazu besprechen wir in \ref{WinM} im Zusammenhang
mit Winkelma"sen.
\end{Bemerkungw}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Winkel zwischen Vektoren}]
  Wir erkl"aren\index{)0a@$\angle$ Winkel!von Vektoren} 
  den {\bf Winkel}\index{Winkel}\label{DefW} 
  $$\angle(v,w)\in{\mathbb W}^+$$
  zwischen  zwei von Null verschiedenen Vektoren $v\neq 0\neq w$ eines
  euklidischen Vektorraums als den von den zugeh"origen
  Strahlen $\DR_{\geq 0}v$ und $\DR_{\geq 0}w$
 im Sinne von \ref{eingWn} eingeschlossenen Winkel.
  Wir zeigen nun f"ur diesen Winkel und ein beliebiges Skalarprodukt der
  vorgegebenen euklidischen Struktur 
  die Formel
  $$\op{cos}_{\op{g}}(\angle(v,w))=\frac{\langle v,w\rangle}{\|v\|\|w\|}$$
  Per definitionem reicht es, sie f"ur zweidimensionale
  Skalarproduktr"aume zu zeigen. Weiter reicht es, sie f"ur Vektoren der
  Norm Eins zu zeigen. Da beide Seiten gleich bleiben,
  wenn wir unsere Vektoren durch ihre Bilder unter  einem Isomorphismus von Skalarproduktr"aumen ersetzen, 
  d"urfen wir sogar annehmen, da"s unser Skalarproduktraum die
  komplexe Zahlenebene $\DC$ ist mit $\langle z,w\rangle=\op{Re}(\bar z w)$ und
  da"s gilt $z=1$.
 In
 diesem Fall  ist die Behauptung jedoch offensichtlich.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungw} In \ref{kaSK} werden wir das
  kanonische \glqq fl"achenwertige Skalarprodukt\grqq\ eines
  euklidischen Vektorraums kennenlernen und sehen,
  wie man die reelle Zahl 
$\langle v,w\rangle/(\|v\|\|w\|)$  aus \ref{DefW} 
  auch und in besonders nat"urlicher Weise als einen
  \glqq Quotient von zwei Fl"achen\grqq\  verstehen kann.
\end{Bemerkungw}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}[\textbf{"Ahnliche Zweistrahlen und Winkel}]
Zwei angeordnete Zweistrahlen $(A,B)$ und $(A',B')$ in
orientierten  zweidimensionalen
euklidischen Vektorr"aumen $Z,Z'$ lassen sich genau dann durch einen
orientierungserhaltenden Isomorphismus euklidischer Vektorr"aume ineinander
"uberf"uhren,  wenn sie denselben gerichteten Winkel einschlie"sen, wenn also gilt
$$\measuredangle(A,B)=\measuredangle(A',B')$$
Von zwei  Zweistrahlen $_\mu\{A,B\}$ und $_\mu\{A',B'\}$ in
endlichdimensionalen
euklidischen Vektorr"aumen $Z,Z'$ l"a"st sich genau dann einer der beiden durch eine euklidische lineare Abbildung in den anderen 
 "uberf"uhren,  wenn sie denselben ungerichteten Winkel
 einschlie"sen, wenn also gilt
 $$\angle(A,B)=\angle(A',B')$$
\end{Ubung}
  




\subsection{Winkelma"se und Winkel im Dreieck} 

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Allgemeine Winkelma"se}] 
Wir versehen die Winkelgruppe $\mathbb W$ mit
der eindeutig bestimmten  Topologie, f"ur die der Standardisomorphismus
in die Kreisgruppe und sein Umkehrung stetig sind. 
Aus der Analysis \eref{EplOO}{AN1} wissen wir, 
da"s es stetige nichtkonstante Gruppenhomomorphismen
$$w:\DR\ra {{\mathbb W}}$$ von der additiven Gruppe der
reellen Zahlen in die Winkelgruppe gibt, da"s alle
 derartigen Gruppenhomomorphismen surjektiv sind
und da"s\label{WinM}  
sich je Zwei von ihnen nur um das Vorschalten 
der Multiplikation mit einer von Null verschiedenen 
reellen Zahl unterscheiden.
Jeder derartige Gruppenhomomorphismus hat weiter, immer
nach \eref{EplOO}{AN1}, einen Kern der
Gestalt $\DZ b$ f"ur wohlbestimmtes $b>0$ und induziert mithin
Bijektionen $$w:[0,b)\sira  {{\mathbb W}}$$ 
Diese Bijektionen  kann man verwenden, um
Elemente der Winkelgruppe durch reelle Zahlen zu beschreiben.
Man beschr"ankt sich hierbei in der Mathematik meist auf 
Gruppenhomomorphismen $w$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur
einen orientierten zweidimensionalen euklidischen Vektorraum
$V$ und einen Vektor 
$ \vec v\in V$ ungleich Null und hinreichend kleines $t>0$ das Paar
$\big( \vec v, w(t)( \vec v)\big)$ eine positiv orientierte Basis  ist.
Derartige Gruppenhomomorphismen werden  durch obiges $b$
bereits eindeutig festgelegt. Die Umkehrabbildung der zugeh"origen Bijektion
hei"st dann das durch $b$ gegebene {\bf Winkelma"s}.\index{Winkelma"s}
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Gebr"auchliche Winkelma"se}]
\begin{enumerate}
\item Auf der Schule wird der Gruppenhomomorphismus $w$ meist so gew"ahlt, da"s
  $b=360$ die kleinste positive Zahl ist, 
die auf die Identit"at abgebildet wird.
Das hat den Vorteil, da"s alle $n\in\DN$ mit $1\leq n\leq 6$ Teiler
von $360$ sind, so da"s die Winkelma"se
 vieler Winkel in einfachen geometrischen Figuren
 nat"urliche  Zahlen werden. Man deutet 
 das Anwenden dieses Gruppenhomomorphismus durch ein hochgestelltes $^\circ$ an,
 also etwa $w: 45\mapsto 45^\circ$,
und spricht von {\bf Grad}.\index{Grad!bei der Winkelmessung} Die Umkehrabbildung notieren wir $\op{Grad}:\mathbb W\sira [0,360)$. 
\item Bei Vermessungsarbeiten wird der
  Gruppenhomomorphismus $w$ meist so gew"ahlt, da"s $b=400$ 
die kleinste positive Zahl
ist, die auf die Identit"at abgebildet wird.  Dabei wird  "ublicherweise
  \glqq im Uhrzeigersinn\grqq\ gemessen, als da hei"st, wenn man
  eine Uhr so auf die Erde legt, da"s man sie von oben lesen kann,
  hat der Winkel von zw"olf Uhr nach drei Uhr in dieser Konvention das Winkelma"s $100$. 
Die Wahl  $400$ hat den Vorteil, da"s einem
    rechten Winkel als Winkelma"s
  die Zahl $100$ entspricht. Das ist beim Arbeiten mit
  Digitalanzeigen besonders praktisch.
Man deutet das Anwenden dieses Gruppenhomomorphismus 
durch ein nachgestelltes $\op{gon}$ an,
und spricht 
von {\bf Neugrad} oder {\bf Gon}.\index{Neugrad}\index{Gon als Winkelma"s}
\item\label{GebBo} 
Beim Bedienen eines Taschenrechners arbeitet man oft
 mit einer Wahl des Gruppenhomomorphismus $w$, die zus"atzlich zu ihrer
Vertr"aglichkeit mit der Orientierung dadurch 
ausgezeichnet ist, da"s der \glqq Geschwindigkeitsvektor\grqq\ von
$t\mapsto w(t)( \vec v)$ f"ur alle $t$ und $ \vec v$ dieselbe L"ange hat
wie $ \vec v$.
Das bedeutet dann die Wahl $b=2\pi$, und hier ist 
 das $\pi=3,\!1415\ldots$ aus
der Analysis gemeint, also das Verh"altnis zwischen Umfang und Durchmesser 
einer Kreislinie nach \eref{DP}{AN1}.
F"ur diese Wahl gilt die Beziehung $\op{cos}_{\op{g}}\circ w=\op{cos}_{\op{a}}$ zwischen
geometrischem und analytischem Cosinus und die analoge
Beziehung f"ur den Sinus. Man deutet 
das Anwenden dieses Gruppenhomomorphismus durch ein nachgestelltes $\op{rad}$ an
und spricht von {\bf Radian}\index{Radian} oder deutsch 
{\bf Bogenma"s}.\index{Bogenma"s}
\item
In der Mathematik ist 
es "ublich, zwar mit
der Wahl $b=2\pi$ zu arbeiten,  also im eben eingef"uhrten Bogenma"s,
informell aber so zu tun, als ob man die Wahl $b=2$ 
getroffen habe und dies durch
das Symbol $\pi$ andeute.
Die dabei entstehenden Ausdr"ucke
haben den Vorteil,
da"s sie 
informell besonders gut verst"andlich sind. Sie haben den Nachteil, da"s
man aus dem Kontext erschlie"sen mu"s, ob ein Winkel
$\alpha\in\mathbb W$ oder vielmehr
eine reelle Zahl $\alpha\in\DR$ gemeint ist.
\item
Es gibt Bestrebungen, eine neue Konvention einzuf"uhren,
bei der man  statt
mit $\pi$ mit $\tau\pdef 2\pi$\index{t@$\tau=2\pi$} arbeitet.
%\item
%  Wir werden meist  mit einer Konvention arbeiten,
%  in der Elemente der Winkelgruppe durch Elemente von $(-\pi,\pi]$
%repr"asentiert werden. Das ist besonders praktisch, wenn auch Elemente der %Winkelmenge
%mit behandelt werden sollen, wie  wir im folgenden ausf"uhren.
\end{enumerate}  
\noindent\\[1mm]
Zum Beispiel sind die Bezeichnungen f"ur  einen im Gegenuhrzeigersinn\label{GebWi} 
orientierten rechten Winkel 
in den verschiedenen Notationssystemen
$$90^\circ=300\op{gon}=\pi/2=\tau/4\approx 1,\!5708\op{rad}$$ 
\end{Bemerkungl}


%\begin{Bemerkungl}[\textbf{Winkelma"se f"ur 
%Elemente der Winkelmenge}] 
%Gegeben $b>0$ induziert jede unserer 
%Bijektionen $[0,b]\sira {{\mathbb W}}$ von oben auch eine Bijektion 
%$[0,b/2]\sira {{\mathbb W}}^+$. 
%\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Unsere Konventionen}] 
  Wir arbeiten im folgenden mit $b=2\pi$ und verwenden
  die Bijektion $w:(-\pi,\pi]\sira{\mathbb W}$, die von unserem Gruppenhomomorphismus $w=\op{wk}\circ u:\DR\ra\mathbb W$ aus \ref{gasc} induziert wird. Wir erinnern an die in \ref{gasc} erkl"arten Identit"aten   $\op{cos}_{\op{g}}\circ \op{wk}\circ u=\op{cos}_{\op{a}}$
und $\op{sin}_{\op{g}}\circ\op{wk}\circ u=\op{sin}_{\op{a}}$.
    Die Umkehrabbildung zu $w:(-\pi,\pi]\sira{\mathbb W}$ notieren wir
    $$\op{Rad}:\mathbb W\sira (-\pi,\pi]$$
      mit $\op{Rad}$ als Abk"urzung f"ur {\bf Radian}.\index{Radian}\index{Rad@$\op{Rad}$ Radian!f"ur orientierten Winkel}  Damit haben wir also $\op{cos}_{\op{a}}\circ \op{Rad}=\op{cos}_g$
      und $\op{sin}_{\op{a}}\circ \op{Rad}=\op{sin}_g$ und $\op{Rad}(0,\!56\op{rad})=0,\!56$.
Gegeben ein angeordneter Zweistrahl $(A,B)$ 
 bezeichnet
 mithin 
$$\op{Rad}\measuredangle  ( A, B)\in  (-\pi,\pi]$$
  das Bogenma"s des zugeh"origen Elements der Winkelgruppe.
Gegeben linear unabh"angige Vektoren $ v,  w$ ist 
ihr Winkelma"s 
$\op{Rad}\measuredangle  ( v,  w)$ positiv genau dann, wenn sie eine
positiv orientierte Basis bilden, und f"ur $v\neq 0$ haben wir
$\op{Rad}\measuredangle  ( v,  -v)=\pi$.
Schlie"slich gilt in unseren Konventionen\label{UZTnn}
f"ur jeden  Winkel $\alpha\in \mathbb W$ auch noch die Beziehung  
$\op{Rad}|\alpha|=|\op{Rad}\alpha|$.
\end{Bemerkungl}








\begin{Bemerkungl}[\textbf{Terminologie}]
  Im folgenden werden wir  oft einfach nur {\bf Winkel}\index{Winkel|main}  sagen
  und es dem Leser "uberlassen, aus dem Kontext zu erschlie"sen,
  ob damit Zweistrahlen, angeordnete Zweistrahlen,
   Elemente von Winkelgruppen, Elemente von 
  Winkelmengen oder auch 
  eines der "ublichen Winkelma"se  gemeint sind. Oft l"a"st man auch
  die Spezifizierung
  des Winkelma"ses aus der Notation weg und
  hofft, da"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen kann, ob ein
  abstrakter Winkel oder sein Ma"s gemeint ist, und in letzterem Fall,
  nach welcher Konvention denn nun gemessen werden soll.
\end{Bemerkungl}



\begin{Beispiel}
Die drei Vektoren der Standardbasis des $\mathbb R^3$ bilden 
ein gleichseitiges Dreieck und der Winkel 
an jeder Ecke sollte folglich das Bogenma"s
$\pi/3$ haben.
In der Tat finden wir f"ur $ v =  {\op{e}}_3-  {\op{e}}_1$ 
und $  w =  {\op{e}}_2 -  {\op{e}}_1$ 
als Skalarprodukt $\langle  v,  w \rangle =1$ und wegen 
$\|  v\| = \|  w\| = \sqrt{2}$
ergibt sich f"ur den Winkel in der Tat $\cos \angle(v,w) = 1/2$ und  
$\op{Rad}\angle(v,w) = \pi/3$.
\end{Beispiel}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildWSD}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Der auf der Schule "ubliche Beweis daf"ur, da"s die
Winkelsumme im Dreieck $180^\circ$ betr"agt.
\end{minipage}
\end{figure}

\begin{Bemerkungl}
Unter einem \hyperref[Dreieck]{\bf Dreieck} in einem affinen Raum verstehen wir
  eine Menge von drei nicht kollinearen Punkten. 
  Standardm"a"sig bezeichnet man diese Punkte mit $A,B,C$ und nennt sie
  die {\bf Ecken}\index{Ecke!eines Dreiecks} des Dreiecks.
  F"ur ein Dreieck in einer euklidischen Ebene $E$ notieren wir
  $$\alpha\pdef\angle (B-A)(C-A)$$ seinen {\bf Winkel bei $A$} und notieren analog
  $\beta,\gamma$ seine Winkel bei $B,C$.
\end{Bemerkungl}
  \begin{Proposition}[\textbf{Winkelsumme im Dreieck}]
    Gegeben ein Dreieck  in der euklidischen Ebene
    ist die Summe seiner drei Winkel der gestreckte Winkel.\label{WsD}
\end{Proposition}

\begin{proof}
  Sei $E$ unsere euklidische Ebene. Seien $A,B,C\in E$ die Ecken unseres
  Dreiecks. Wir  k"urzen die \glqq Kantenvektoren\grqq\  ab zu $\vec a \pdef
  B-C$, $\vec b \pdef
C-A$  und $\vec c \pdef A-B$. W"ahlen wir eine Orientierung auf $\vec{E}$, so 
 wissen wir wegen der Additivit"at 
\ref{AdWi} 
der orientierten Winkel bereits
    \begin{equation*}
      \measuredangle (\vec a, -\vec b) +
      \measuredangle (-\vec b, \vec c\;\!)+
    \measuredangle(\vec c, -\vec a)  
    =\measuredangle (\vec a, -\vec a)
    \end{equation*}
    Wenn wir in der Mitte beide Vektoren negativ machen, "andert sich der
    orientierte Winkel nicht. Wir haben also  etwas "ubersichtlicher auch
      \begin{equation*}
      \measuredangle (\vec a, -\vec b) +
      \measuredangle (\vec b, -\vec c\;\!)+
    \measuredangle(\vec c, -\vec a)  
    =\measuredangle (\vec a, -\vec a)
    \end{equation*}
Andererseits gilt $\vec a + \vec b + \vec c =\vec 0$.
 Aus dieser Identit"at 
folgt, da"s $(\vec a, -\vec b), (\vec b, -\vec c)$ und $(\vec
  c, -\vec a)$  drei gleich orientierte Basen sind, da  die
  entsprechenden Basiswechselmatrizen alle positive Determinante haben.
  Wir k"onnen also, indem wir andernfalls die andere Orientierung
  w"ahlen, alle drei Basen positiv orientiert annehmen.
  Dann aber stimmen die orientierten mit den nichtorientierten Winkeln "uberein
  und wir erhalten
   \begin{equation*}
      \gamma +
      \alpha+
    \beta  
    =\angle (\vec a, -\vec a)
    \qedhere\end{equation*}
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Umschreiben zu  Identit"aten in reellen Zahlen}]
  Aus unserer Gleichung $ 
      \alpha+
    \beta + \gamma 
    =\angle (\vec a, -\vec a)$ in der Winkelgruppe  $\mathbb W$ folgt 
 $$\op{Rad}\gamma + \op{Rad}\alpha + \op{Rad}\beta\in\pi+2\pi\DZ$$
 F"ur jeden Winkel $\vartheta$ eines Dreiecks gilt aber offensichtlich auch
  $\op{Rad}(\vartheta)\in (0,\pi)$.
 Da damit alle
  drei Summanden links zu $(0,\pi)$ geh"oren m"ussen und da weiter gilt
  $(0,3\pi)\cap (\pi+2\pi\DZ)=\{\pi\}$, folgt sogar  
  $$ \op{Rad}\alpha + \op{Rad}\beta +\op{Rad}\gamma =\pi$$
  Nat"urlich k"onnen wir genausogut mit dem Gradma"s
  $\op{Grad}: \mathbb W^+\sira [0,180]$
    arbeiten und erhalten so die "aquivalente Aussage
    $$ \op{Grad}\alpha + \op{Grad}\beta +\op{Grad}\gamma = 180$$
    Sie entspricht vermutlich am ehesten dem, was Sie
    in der Schule gelernt haben.
\end{Bemerkungl}








\begin{Bemerkungl}[\textbf{Weitere Notationen f"ur Dreiecke}]
Gegeben ein Dreieck mit den Ecken $A,B,C$ in einer euklidischen Ebene $E$  bezeichne $$a\pdef\| B-C\|$$ je nach Kontext die $m$-Norm
$a\in\DR$ der der Ecke $A$ gegen"uberliegenden Seite f"ur fest gew"ahltes
$m\in\vec{E}\backslash 0$
  oder ihre abstrakte L"ange $a\in\mathbb L(\vec E)$ im Sinne von \ref{Laenge}.
  Meist wird es auf diesen Unterschied gar nicht ankommen und wir reden
  unterschiedslos von der \glqq Seitenl"ange\grqq. Analog erkl"aren wir
  die Seitenl"angen $b$ und $c$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein Dreieck mit den Ecken $A,B,C$ in einer euklidischen
  Ebene $E$
  mit einem rechten Winkel bei $C$ gilt
  $$\op{cos}(\beta)=a/c$$
  In der Tat gibt es nach \ref{EiKEn} einen Isomorphismus von euklidischen
  Ebenen
  $E\sira \DR^2$ mit $B\mapsto 0$ und $C\mapsto {\op{e}}_1$.
  Nach einer Streckung d"urfen wir annehmen, da"s $A$ auf dem Einheitskreis
  zu liegen kommt und $C$ auf $\DR_{>0}{\op{e}}_1$. Dann gilt also $c=1$ und
  $a=\op{cos}(\beta)$ nach unserer Definition des Cosinus. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}  Dreiecke
  $\{A,B,C\}$ und $\{A',B',C'\}$ in einer  euklidischen Ebene hei"sen
  {\bf kongruent},\index{kongruent!angeordnete Dreiecke}
  wenn es eine Kongruenz $k$ gibt mit $k(\{A,B,C\})=\{A',B',C'\}$.
  Ein Dreieck mit einer Anordnung seiner Ecken nenne ich ein
  {\bf angeordnetes Dreieck} und notiere es $(A,B,C)$.
  Angeordnete Dreiecke
  $(A,B,C)$ und $(A',B',C')$ in einer   euklidischen Ebene hei"sen
   {\bf angeordnet kongruent},\index{kongruent!angeordnete Dreiecke}
  wenn es eine Kongruenz $k$ gibt mit $k(A,B,C)=(A',B',C')$.
\end{Bemerkungl}



\subsubsection*{"Ubungen}


\begin{Ubung}
 Man zeige den {\bf Cosinus-Satz}\index{Cosinus-Satz} $a^2 + b^2 - 2ab \cos
 \gamma = c^2$ f"ur jedes Dreieck mit positiven 
Seitenl"angen $a,b, c$ und jeweils den entsprechenden Seiten gegen"uberliegenden nichtorientierten Winkeln $\alpha, \beta, \gamma$.
Man zeige in denselben Notationen 
 auch  den {\bf Sinus-Satz}\index{Sinus-Satz}\label{SiSa} 
$$\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c}$$
Hinweis: Man w"ahle eine Seite als horizontale Seite aus und berechne die H"ohe unseres Dreiecks auf
verschiedene Weisen. Hier meinen $a,b,c$ die $m$-Normen der jeweiligen
Seiten in Bezug auf einen festen von Null verschiedenen Richtungsvektor $m$.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
 Je  zwei angeordnete
  Dreiecke $(A,B,C)$ und
  $(A',B',C')$ einer euklidischen Ebene 
  mit zwei gleichen Seiten $a=a'$ sowie $b=b'$
  und  gleichem eingeschlossenen Winkel $\gamma=\gamma'$  sind angeordnet kongruent.
  Gilt statt $\gamma=\gamma'$ eine der  Gleichheiten $\alpha=\alpha'$ oder
  $\beta=\beta'$, so brauchen unsere angeordneten Dreiecke nicht kongruent sein.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Je  zwei angeordnete
  Dreiecke $(A,B,C)$ und
  $(A',B',C')$ einer  euklidischen Ebene 
  mit gleichen Seiten $c=c'$ sowie
  gleichen anliegenden Winkeln $\alpha=\alpha'$
  und $\beta=\beta'$ sind  angeordnet kongruent. Dasselbe gilt
  auch unter der Annahme ($c=c'$ und  $\alpha=\alpha'$
  und $\gamma=\gamma'$).
  Hinweis: Sinussatz und vorhergehende "Ubungen.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
 Je  zwei angeordnete
  Dreiecke $(A,B,C)$ und
  $(A',B',C')$ einer  euklidischen Ebene 
  mit drei gleichen Seiten $a=a'$,  $b=b'$, $c=c'$  sind angeordnet kongruent. Hinweis: Cosinussatz und vorhergehende "Ubungen.
 \end{Ubung}








\begin{Ubung}\label{addW}
Gegeben Strahlen $F, G, H$ 
in einem orientierten zweidimensionalen euklidischen Vektorraum
 liefert
die  Additivit"at der orientierten  Winkel \ref{AdWi} 
f"ur ihre Bogenma"se die Regel
$$\op{Rad}\measuredangle (F,G) + \op{Rad}\measuredangle (G,H) \;\in\;  \op{Rad}\measuredangle (F, H)+
2\pi \mathbb Z$$
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{WNE}
  Gegeben  von Null verschiedene Vektoren $v,w$ 
 in einem orientierten zweidimensionalen reellen euklidischen Vektorraum
haben wir  stets die Alternative 
$\op{Rad}\measuredangle (v,w)+\op{Rad}\measuredangle (w,-v)=\pm \pi$.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}[\textbf{Winkelsumme im Vieleck}]
  Sei in einer orientierten euklidischen Ebene $E$ eine sich periodisch  wiederholende
  Folge
  $p_0,\ldots,p_n=p_0,p_{n+1}=p_1,\ldots$ mit $p_1,\ldots,p_n$ paarweise
  verschieden gegeben derart,
  da"s die halboffenen Segmente $[p_{i-1},p_{i})$ f"ur $1\leq i\leq n$  paarweise disjunkt
    sind.  Es gebe einen Richtungsvektor $\vec v\neq 0$ derart, da"s
    $p_0+\DR_{>0}\vec v$ keines unserer Segmente trifft und da"s
    $(\vec v, p_1-p_0)$ eine positiv orientierte Basis von $\vec E$ ist.
    So gilt in unseren Konventionen \ref{UZTnn} die Identit"at
    $$\sum_{i=1}^n \op{Rad}\measuredangle(p_i-p_{i-1},p_{i+1}-p_{i} )=2\pi$$
    Hinweis: Gibt es zwei Ecken $p_r\neq p_s$ derart, da"s das offene Segment
    $(p_r,p_s)$ keines unserer Segmente $[p_{i-1},p_i]$ trifft und da"s alle
    Ecken in ein- und derselben
    abgeschlossenen Halbebene zur Gerade durch $p_r$ und $p_s$
    liegen, so f"uhrt \glqq Zerlegen in zwei Polygonz"uge
    durch Einf"ugen einer doppelten Kante $[p_r,p_s]$\grqq\ zusammen mit
    vollst"andiger Induktion zum Ziel. Gibt es keine zwei derartigen Ecken,
    so erkennt man \glqq unschwer\grqq, da"s unser Polygonzug \glqq konvex\grqq\ ist in dem Sinne, da"s f"ur je
    zwei Ecken $p_r\neq p_s$ mit $s\neq r\pm 1$ das offene Segment
    $(p_r,p_s)$ keines unserer Segmente $[p_{i-1},p_i]$ trifft, und dann
    kommen wir wieder durch \glqq Zerlegen in zwei Polygonz"uge\grqq\ und Induktion ans Ziel. 
\end{Ubunge}














%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXLA2"
%%% End: