\begin{Definition}
Eine \defind{monoidale Kategorie}
ist ein Tripel $\cal{C} = (\cal{C} , \otimes,  a )$
bestehend aus einer Kategorie $\cal{C}$, einer Verkn"upfung
$\cal{C}^2 \ra \cal{C},
(X,Y) \mapsto X \otimes Y$
auf dieser Kategorie und einer "Aquivalenz 
$$a=a_{X,Y,Z} : X \otimes (Y\otimes Z) \overset{\sim}
{\ra} (X \otimes Y) \otimes Z$$ von 
Funktoren $\cal{C}^3 \ra
\cal{C}$, genannt der  \defind{Assoziator}, derart da"s\\[2mm]\noindent
(1)
das \defind{Pentagonaxiom} gilt, 
das die Kommutativit"at fordert im Diagramm
$$\begin{array}{ccc}
X \otimes (Y \otimes (Z \otimes W)) 
&\overset{\op{id}_{X} \otimes a_{Y,Z,W}}{\ra} &
X \otimes ((Y\otimes Z)\otimes W)\\
\downarrow a_{X,Y,Z \otimes W} & & \downarrow a_{X,Y\otimes Z,W}\\
(X\otimes Y) \otimes (Z\otimes W) & & (X \otimes (Y \otimes Z)) \otimes W\\
 a_{X\otimes Y,Z,W}\searrow & &\downarrow a_{X,Y,Z} \otimes \op{id}_{W}\\
& & ((X \otimes Y) \otimes Z) \otimes W
\end{array}$$
\\[2mm]\noindent 
(2) es ein \defind{Einheitstripel} $(\UT,r,l)$ gibt, bestehend aus
einem Objekt $\UT\in\cal{C}$ nebst "Aquivalenzen
$$\begin{array}{rc}
l_{X} :& \UT \otimes X \overset{\sim}{\ra} X\\
r_{X} :& X \otimes \UT \overset{\sim}{\ra} X
\end{array}$$
von Funktoren $\cal{C} \ra \cal{C},$ den 
\defind{Einheitsbedingungen}, so da"s
das {\bf Dreiecks\-axiom}\index{Dreiecksaxiom} gilt, das die 
Kommutativit"at fordert
im Diagramm
$$
\xymatrix{
X\otimes (\UT \otimes Y) \ar[r]^-{a_{X,\UT,Y}} \ar[dr]_{\op{id}\otimes l_{Y}}
&(X\otimes \UT)\otimes Y \ar[d]^{r_{X} \otimes \op{id}}\\
&X \otimes Y
}$$
\end{Definition}



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