\section{Vektorb"undel und Felder} \label{GFII} %Zu dieser Thematik gibt es zwei Zug"ange, die beide ihre %Vorteile haben. Leider ist die Beziehung zwischen beiden %Zug"angen etwas m"uhevoll herzustellen. \subsection{Hauptfaserb"undel und Vektorb"undel} \begin{Definition}\label{gHFB} Seien $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit und $G$ eine Liegruppe. Ein {\bf glatter $G$-Torsor auf $X$}\index{Torsor!auf $X$!glatter} oder kurz {\bf $G$-Torsor} ist ein Paar $(P,\pi)$ bestehend aus einer Mannigfaltigkeit $P$ mit einer glatten Rechtsoperation von $G$ und einer Projektion $\pi : P \ra X$ derart, da"s unsere Projektion $G$-"aquivariant ist f"ur die triviale $G$-Rechtsoperation auf $X$ und \glqq lokal trivial\grqq\ in dem Sinne, da"s es f"ur jeden Punkt von $X$ eine offene Umgebung $U$ und einen $G$-"aquivarianten Diffeomorphismus $ \varphi:U\times G \sira \pi^{-1} (U)$ gibt mit $\pi\circ \varphi=\op{pr}_{1}$. %, f"ur den das folgende Diagramm kommutiert: % $$\begin{array}{ccc} % U \times G & \sira & \pi^{-1}(U)\\ % \op{pr}_{1}\downarrow \;\;\;\;\;\;& & \;\;\;\downarrow \pi\\ % U &= &U % \end{array}$$ \end{Definition} \begin{Bild}\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildS1T}\\[4mm] \noindent Versuch der Veranschaulichung eines $S^1$-Hauptfaserb"undels. \end{Bild} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Liegruppe $G$ ist ein $G$-Torsor auf einer einpunktigen Mannigfaltigkeit ein $G$-Rechtstorsor im Sinne von \eref{ReTo}{LA2}. In vielen Quellen bezeichnet man unsere $G$-Torsoren auch als {\bf $G$-Haupt\-fa\-ser\-b"un\-del},\index{Hauptfaserb"undel!glattes} englisch {\bf principal bundle},\index{principal bundle}\index{bundle!principal} franz"osisch {\bf fibr\'{e} principal}.\index{fibr\'{e} principal} Die Gruppe $G$ hei"st die {\bf Strukturgruppe}\index{Strukturgruppe} unseres Torsors. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben eine Liegruppe $G$ mit einer abgeschlossenen Untergruppe $H$ ist die Projektion $G\sra G/H$ ein $H$-Torsor nach \eref{QuKo}{ML}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ein {\bf Morphismus von $G$-Torsoren} $P\ra Q$ "uber einer festen Mannigfaltigkeit $X$ ist eine glatte $G$-"aquivariante Abbildung "uber $X.$ Die Kategorie der $G$-Torsoren auf $X$ notiere ich $\op{Tor}_G(X)$ oder $\op{Tor}_{G,X}$.\index{Tor@$\op{Tor}_{G,X}$ Kategorie der $G$-Torsoren} In dieser Kategorie ist jeder Morphismus ein Isomorphismus, sie ist in anderen Worten ein Gruppoid. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Gruppenwechsel bei Torsoren}] Gegeben ein Homomorphismus von\label{GWT} Liegruppen $\varphi:G\ra H$ konstruiert man zu jedem $G$-Torsor $P\ra X$ in hoffentlich offensichtlicher Weise den $H$-Torsor $ P\times_{/G} H \ra X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Faserprodukt von Torsoren}] Gegeben\label{FPbT} Liegruppen $G, H$ konstruiert man zu jedem Paar $(P,Q)$ bestehend aus einem $G$-Torsor $P\ra X$ und einem $H$-Torsor $Q\ra X$ einen $(G\times H)$-Torsor $ P\times_XQ \ra X$ in der hoffentlich offensichtlichen Weise. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Um Gruppenwechsel \ref{GWT} und Faserprodukt \ref{FPbT} konzeptioneller zu fassen, erkl"aren wir f"ur $\psi:G\ra H$ einen Homomorphismus von Liegruppen und $P$ einen $G$-Torsor und $Q$ einen $H$-Torsor auf derselben Mannigfaltigkeit $X$ einen {\bf Morphismus $\varphi:P\ra Q$ von Torsoren "uber $\psi$}\index{Morphismus!von Torsoren} als eine glatte Abbildung, die {\bf $\psi$-isovariant}\index{isovariant} ist in dem Sinne, da"s gilt $\varphi(pg)=\varphi(p)\psi(g)$ f"ur alle $p\in P$ und $g\in G$. Offensichtlich wird der Gruppenhomomorphismus $\psi$ hierbei durch die Abbildung $\varphi$ bereits festgelegt. Die Torsoren auf $X$ bilden dann eine Kategorie $\op{Tor}(X)=\op{Tor}_X$\index{Tor@$\op{Tor}_X$ Torsorkategorie} mit dem {\bf Strukturgruppenfunktor}\index{Strukturgruppenfunktor} $$\op{Tor}_X\ra \op{GrpMgf}$$ in die Kategorie der Liegruppen, der jedem Torsor seine Strukturgruppe zuordnet. Hier bezeichnet $\op{Mgf}$\index{Mgf@$\op{Mgf}$ Kategorie der Mannigfaltigkeiten} die Kategorie der glatten abz"ahlbar basierten \nichtfinal{(Warum hier diese Bedingung?)} Mannigfaltigkeiten und $\op{GrpMgf}$\index{GrpMgf@$\op{GrpMgf}$ Kategorie der Liegruppen} entsprechend die Kategorie der Liegruppen. Die Kategorie der Torsoren auf $X$ besitzt dann endliche Produkte, genauer ist unser Faserprodukt $(P\times_XQ,G\times H)$ mit den offensichtlichen Morphismen ein Produkt von $(P,G)$ mit $(Q,H)$ in unserer Kategorie $\op{Tor}_X$ von Torsoren. Weiter erhalten wir f"ur jeden Homomorphismus von Liegruppen $\psi:G\ra H$ und jeden $G$-Torsor $P$ einen Morphismus $$\tilde\psi: P\ra P\times_{/G}H$$ von Torsoren "uber $\psi$ durch die Vorschrift $p\mapsto [p,1]$. Dieser Morphismus hat die universelle Eigenschaft, da"s jeder Morphismus von Torsoren $P\ra Q$ "uber $\psi$ eindeutig faktorisiert als $P\ra P\times_{/G}H\ra Q$ mit einem Morphismus von $H$-Torsoren an zweiter Stelle. In der Sprache der Kategorientheorie \eref{kokaf}{TG} ausgedr"uckt ist der Strukturgruppenfunktor damit ein Kofaserfunktor und unser Morphismus $\tilde\psi$ zum gruppengewechselten Torsor ist die kokartesische Hochhebung von $\psi$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"aten f"ur topologische Torsoren, ALT}] Wir betrachten das Produkt $$\op{ban}(\op{Top}^{\op{opp}})\times \op{kart}(\op{GrpTop})$$ der banalen Schmelzkategorie opponierter topologischer R"aume mit der kartesischen Schmelzkategorie \eref{kpmk}{TS} topologischer Gruppen. Objekte sind also Paare $(X,G)$ aus einem topologischen Raum und einer topologischen Gruppe. Eine Verschmelzung $$(X_1,G_1)\curlyvee\ldots\curlyvee (X_r,G_r)\ra (Y,H)$$ ist eine Vorgabe stetiger Abbildungen $f_i:Y\ra X_i$ zusammen mit einem stetigen Gruppenhomomorphismus $(G_1\times\ldots\times G_r)\ra H$. Die topologischen Torsoren bilden dar"uber eine Schmelzkofaserung, in der alle Verschmelzungen kokartesisch sind.\label{acb} Ist genauer auf jedem $X_i$ ein $G_i$-Torsor $E(i)$ gegeben und auf $Y$ ein $H$-Torsor $F$, so verstehen wir unter einer Verschmelzung von Torsoren "uber unserer Verschmelzung von begruppten R"aumen die Vorgabe von "uber unserem stetigen Gruppenhomomorphismus isovarianten Abbildungen $$E(1)_{f_1(y)}\times\ldots\times E(r)_{f_r(y)}\ra F_y$$ f"ur alle $y\in Y$ derart, da"s die zugeh"orige Abbildung $T\ra F$ von der entsprechenden Teilmenge $T\subset E(1)\times\ldots\times E(r)\times Y$ nach $F$ stetig ist. Die Verschmelzungen von Torsoren verallgemeinern R"uckz"uge unter stetigen Abbildungen, Erweiterungen der Strukturgruppe und das Bilden von Produkten von Torsoren. Unser Schmelzfunktor formalisiert viele Vertr"aglichkeiten zwischen diesen Konstruktionen, die aber auch ohne alle Theorie recht offensichtlich sind. Im glatten Fall gilt Analoges. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"aten f"ur topologische Torsoren, NEU}] Wir betrachten das Produkt $$\curlywedge{\op{Top}}\times \curlywedge{\op{GrpTop}}^{\op{ot}}$$ der banalen Trennkategorie \eref{bkmks}{TSK} topologischer R"aume mit der Oppinvertierten der banalen Trennkategorie der topologischen Gruppen \eref{opi}{TSK}. Objekte sind ausgerschrieben Paare $(X,G)$ aus einem topologischen Raum und einer topologischen Gruppe. Eine Trennung $$(X,G)\ra (Y_1,H_1)\curlyvee\ldots\curlyvee (Y_r,H_r)$$ ist eine Vorgabe stetiger Abbildungen $f_\rho:X\ra Y_\rho$ zusammen mit einem stetigen Gruppenhomomorphismus $H_1\times\ldots\times H_r\ra G$ in die Gegenrichtung. Die topologischen Torsoren bilden eine Trennfaserung "uber dieser Trennkategorie, in der alle Trennungen kokartesisch sind.\label{acb} Ist genauer auf jedem $Y_\rho$ ein $H_\rho$-Torsor $F(\rho)$ gegeben und auf $X$ ein $G$-Torsor $E$, so verstehen wir unter einer Trennung von Torsoren "uber unserer Trennung von begruppten R"aumen eine Vorgabe von "uber unserem stetigen Gruppenhomomorphismus isovarianten Abbildungen $$F(1)_{f_1(x)}\times\ldots\times F(r)_{f_r(x)}\ra E_x$$ f"ur alle $x\in X$ derart, da"s die zugeh"orige Abbildung $T\ra E$ von der entsprechenden Teilmenge $T\subset F(1)\times\ldots\times F(r)\times X$ nach $E$ stetig ist. Die Trennr"uckz"uge von Torsoren verallgemeinern R"uckz"uge unter stetigen Abbildungen, Erweiterungen der Strukturgruppe und das Bilden von Produkten von Torsoren. Unsere Trennfaserung formalisiert viele Vertr"aglichkeiten zwischen diesen Konstruktionen, die aber auch ohne alle Theorie recht offensichtlich sind. Im glatten Fall gilt Analoges. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivalenz zwischen Vektorb"undeln und $\op{GL}$-Torsoren}] Gegeben ein glattes $n$-dimensionales reelles Vektorb"undel $E$ auf einer Mannigfaltigkeit\label{VTZZ} %vorher \label{VTZZ} $X$ und ein $n$-dimensionaler reeller Vektorraum $V$ erkl"aren wir einen $\op{GL} (V)$-Torsor $ Y \rightarrow X, $ indem wir als Faser $Y_x$ bei $x \in X$ den $\op{GL} (V)$-Torsor $Y_x \pdef \op{Hom}^\times_{\mathbb{R}} (V, E_x)$ aller Isomorphismen von $V$ mit der Faser $E_x$ von $E$ bei $x$ nehmen und diese Menge mit der durch Vorschalten erkl"arten Rechtsoperation von $\op{GL} (V)$ versehen. Die Struktur einer Mannigfaltigkeit auf $Y$ wird vermittels der B"undelkarten von $E$ in der hoffentlich offensichtlichen Weise erkl"art. Wir notieren diesen $\op{GL} (V)$-Torsor $$Y=\op{Hom}^\times_\DR(V,E)$$ Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ und ein $\op{GL} (V)$-Torsor $Y\ra X$ bilden wir umgekehrt ein $n$-dimensionales reelles Vektorb"undel $E$ als das balancierte Produkt $$E=Y\times_{/\op{GL}(V)}V$$ Es hei"st das zu unserem $\op{GL} (V)$-Torsor {\bf assoziierte Vektorb"undel}.\index{assoziiert!Vektorb"undel} Man\index{Vektorb"undel!assoziiertes} erkennt ohne Schwierigkeiten, da"s diese Konstruktionen zusammen mit offensichtlichen Transformationen quasiinverse "Aquivalenzen von Kategorien liefern zwischen der Kategorie der $n$-dimensionalen Vektorb"undel auf $X$ mit B"undelisomorphismen im Sinne von \ref{DVB}.\ref{DVBM} als Morphismen und der Kategorie der $\op{GL} (V)$-Torsoren auf $X$ mit Isomorphismen von Torsoren als Morphismen. Im Spezialfall $V=\DR^n$ mag man die Faser $Y_x=\op{Hom}^\times_\DR(\DR^n,E_x)$ "uber $x\in X$ auch als die Menge der angeordneten Basen der Faser $E_x$ unseres Vektorb"undels deuten. Dieses $\op{GL} (n;\DR)$-Hauptfaserb"undel $\op{Hom}^\times_\DR(\DR^n,E)$ hei"st das {\bf Rahmenb"undel}\index{Rahmenb"undel} unseres Vek\-tor\-b"un\-dels $E$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivalenz zwischen euklidischen Vektorb"undeln und $\op{O}$-Torsoren}] Unter einem {\bf euklidischen Vektorb"undel}\index{Vektorb"undel!euklidisches} verstehe ich ein glattes $n$-dimensionales reelles Vektorb"undel $E$ auf einer Mannigfaltigkeit\label{VTZc} %vorher \label{VTZZ} $X$ mit einem Skalarprodukt auf jeder Faser, das in der hoffentlich offensichtlichen Weise glatt vom Fu"spunkt der Faser abh"angt. Gegeben ein $n$-dimensionaler euklidischer Vektorraum $V$ erkl"aren wir dann einen $\op{O} (V)$-Torsor $ Y \rightarrow X, $ indem wir als Faser $Y_x$ bei $x \in X$ den $\op{O} (V)$-Torsor $Y_x \pdef \op{IHom}^\times_{\mathbb{R}} (V, E_x)$ aller mit dem jeweiligen Skalarprodukt vertr"aglichen Isomorphismen von $V$ mit der Faser $E_x$ von $E$ bei $x$ nehmen und diese Menge mit der durch Vorschalten erkl"arten Rechtsoperation von $\op{O} (V)$ versehen. Die Struktur einer Mannigfaltigkeit auf $Y$ wird vermittels der B"undelkarten von $E$ in der hoffentlich offensichtlichen Weise erkl"art. Wir notieren diesen $\op{O} (V)$-Torsor $$Y=\op{IHom}^\times_\DR(V,E)$$ Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ und ein $\op{O} (V)$-Torsor $Y\ra X$ bilden wir umgekehrt ein $n$-dimensionales reelles euklidisches Vektorb"undel $E$ als das balancierte Produkt $$E=Y\times_{/\op{O}(V)}V$$ mit der hoffentlich offensichtlichen euklidischen Struktur. Es hei"st das zu unserem $\op{O} (V)$-Torsor {\bf assoziierte euklidische Vektorb"undel}.\index{assoziiert!euklidisches Vektorb"undel} Man erkennt ohne Schwierigkeiten, da"s diese Konstruktionen zusammen mit offensichtlichen Transformationen quasiinverse "Aquivalenzen von Kategorien liefern zwischen der Kategorie der $n$-dimensionalen euklidischen Vektorb"undel auf $X$ mit faserweise das skalarprodukterhaltenden B"undelisomorphismen als Morphismen und der Kategorie der $\op{O} (V)$-Torsoren auf $X$ mit Isomorphismen von Torsoren als Morphismen. Im Spezialfall $V=\DR^n$ mit dem Standardskalarprodukt mag man die Faser $Y_x=\op{IHom}^\times_\DR(\DR^n,E_x)$ "uber $x\in X$ auch als die Menge der angeordneten Orthonormalbasen der Faser $E_x$ unseres Vektorb"undels deuten. Dieses $\op{O} (n)$-Hauptfaserb"undel $\op{IHom}^\times_\DR(\DR^n,E)$ hei"st das {\bf Orthonormalbasenb"undel}\index{Orthonormalbasenb"undel} unseres euklidischen Vektorb"undels $E$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das eben diskutierte Beispiel gibt es in vielen Varianten. So liefert etwa das balancierte Produkt mit dem $\DR^n$ mit seiner Standardorientierung eine "Aquivalenz von Kategorien zwischen der Kategorie der $\op{GL}(n;\DR)^+$-Torsoren und der Kategorie der \glqq $n$-dimensionalen orientierten reellen Vektorb"undel\grqq\ und das balancierte Produkt mit dem $\DR^n$ mit seiner Standardorientierung und seinem Standardskalarpodukt liefert eine "Aquivalenz von Kategorien zwischen der Kategorie der $\op{SO}(n)$-Torsoren und der Kategorie der \glqq orientierten euklidischen Vektorb"undel\grqq, jeweils "uber einem festen Raum $X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Man erh"alt eine Vielzahl interessanter Konstruktionen durch die Kombination von "Aquivalenzen der eben diskutierten Art zwischen Kategorien von Vektorb"undeln mit Struktur und Kategorien von Hauptfaserb"undeln einerseits mit Gruppenwechseln und Faserprodukten von Hauptfaserb"undeln andererseits. Manche dieser Konstruktionen wirken in bereits zusammengesetzter Form einfacher, wie im folgenden anhand einiger Beispiele besprochen werden soll. Ich benutze in den folgenden "Uberschriften das pipe-Symbol $|$ wie in der Informatik als Verkn"upfungssymbol, wo die zuerst auszuf"uhrende Operation anders als bei $\circ$ links steht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Gruppenwechsel$|$Assoziiertes Vektorb"undel}] Gegeben eine Mannigfaltigkeit $X$, eine Liegruppe $G$, ein $G$-Torsor $Y\ra X$\label{TVVn} und eine stetige und mithin glatte reelle endlichdimensionale Darstellung $ \rho : G \rightarrow \op{GL} (F) $ erkl"aren wir ein glattes Vektorb"undel $\rho(Y)$ auf $X$ in hoffentlich selbsterkl"arender Weise als das balancierte Produkt \begin{equation*} \rho(Y)\pdef Y \times_{/G} F=Y \times_{/G}^\rho F \end{equation*} Es hei"st das {\bf zu unserem Torsor und unserer Darstellung assoziierte B"undel}.\index{B"undel!assoziiertes} Ist speziell $F$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $G=\op{GL}(F)$ und $\rho: G \rightarrow \op{GL} (F) $ die Identit"at, so spezialisiert diese Konstruktion zu unserer Konstruktion des zu einem $\op{GL} (F) $-Hauptfaserb"undel assoziierten Vektorb"undels aus \ref{VTZZ}. Im allgemeinen kann sie augefa"st werden als die Verkn"upfung des Gruppenwechsels f"ur Torsoren \ref{GWT} vermittels $\rho$ von unserer Liegruppe $G$ zur Liegruppe $\op{GL} (F) $ gefolgt von unserer Konstruktion des zu einem $\op{GL} (F) $-Hauptfaserb"undel assoziierten Vektorb"undels aus \ref{VTZZ}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Rahmenb"undel$|$Gruppenwechsel$|$Assoziiertes Vektorb"undel}] Gegeben ein $n$-dimensionaler reeller Vektorraum $V$ und eine endlichdimensionale glatte Darstellung $\rho:\op{GL} (V)\ra \op{GL} (F)$ und ein $n$-dimensionales reelles Vektorb"undel $E\ra X$ erkl"aren wir ein weiteres reelles Vektorb"undel $\rho(E)\ra X$ durch die Vorschrift $$\rho(E)\pdef \rho(\op{Hom}^\times_\DR(V,E))\pdef \op{Hom}^\times_\DR(V,E)\times_{/\op{GL}(V)}^\rho F$$ Wir bilden also erst zu $E$ das $\op{GL} (V)$-Hauptfaserb"undel, machen das mit $\rho$ zu einem $\op{GL} (F)$-Hauptfaserb"undel, und nehmen dann dazu wieder das assoziierte Vektorb"undel. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anwenden einer Darstellung auf das Tangentialb"undel}] Gegeben eine glatte $n$-Mannigfaltigkeit $X$ liefert das Tan\-gen\-tial\-b"undel ${\op{T}}X$ nach \ref{VTZZ} einen $\op{GL}(n;\DR)$-Torsor $Y\ra X.$ Alle stetigen reellen endlichdimensionalen Darstellungen von $\op{GL}(n;\DR)$ f"uhren dann mit \ref{TVVn} zu weiteren Vektorraumb"undeln. Ich nenne das auf diese Weise zu einer glatten reellen endlichdimensionalen Darstellung $\rho:\op{GL}(n;\DR)\ra \op{GL}(F)$ konstruierte Vektorraumb"undel das {\bf $\rho$-B"undel auf $X$} \index{B"undel!$\rho$-B"undel} und notiere es $\rho({\op{T}}X)$ und nenne seine Schnitte {\bf $\rho$-Felder}.\index{Feld!$\rho$-Feld} Diese Konstruktion kennen wir bereits aus \eref{GFDAR}{ML}, wo wir jeder Darstellung einen Gruppoidfunktor zuordnen, in Verbindung mit \eref{AGFV}{ML}, wo wir zu jedem Gruppoidfunktor einen Funktor auf Vektorb"undeln erkl"aren. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Kotangentialb"undel}] Dies Beispiel kennen wir bereits aus \eref{gfbd}{ML}. Sei $X$ eine glatte $n$-Mannigfaltigkeit. Typisch ist das Beispiel $\rho:\op{GL}(n;\DR)\ra \op{GL}(n;\DR)$ gegeben durch $\rho(A)=(A^\top)^{-1}$. In diesem Fall erhalten wir f"ur jedes $x\in X$ einen kanonischen Isomorphismus in den Dualraum der Faser $$(\rho({\op{T}}X))_x= \op{Hom}(\DR^n,{\op{T}}_x X)\times^\rho_{/\op{GL}(n;\DR)}\DR^n \sira ({\op{T}}_xX)^\top$$ durch die Abbildungsvorschrift $[r,v]\mapsto (r^\top)^{-1}(v^\top)$ f"ur $r^\top: ({\op{T}}_x X)^\top\ra (\DR^n)^\top$ die transponierte Abbildung zu $r:\DR^n\ra {\op{T}}_x X$ und $v^\top\in (\DR^n)^\top$ gegeben durch $v^\top(w)=v^\top w\in\DR$ f"ur die zur Zeilenmatrix $v^\top$ transponierte Spaltenmatrix $v$. Wir haben also ein Vektorb"undel konstruiert, dessen Faser an jeder Stelle der Dualraum des Tangentialraums ist. \end{Beispiel} \subsection{Lineare Algebra f"ur Vektorb"undel} \begin{Bemerkungl} Wir verwenden im folgenden die Sprache der Kategorientheorie \eref{KFu}{LA2}. Ganz allgemein erkl"art man zu jeder Kategorie $\mathcal C$ das zugeh"orige Gruppoid $\mathcal C^{\times}$ als die Kategorie mit denselben Objekten, aber nur den Isomorphismen der urspr"unglichen Kategorie als Morphismen. Gegeben ein K"orper $k$ bezeichne $\op{Mod}_k (n)$ die Kategorie der $n$-dimensionalen $k$-Vek\-tor\-r"aume. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{GRZ} Sei $k$ ein K"orper. Wir definieren einen \defind{Gruppoid-Funktor} $A$ {\bf "uber} $k$ {\bf vom Typ}\index{Typ!eines Gruppoid-Funktors} $(m;n)$ oder auch kurz einen $(m;n)$-{\bf Gruppoid-Funktor} als einen Funktor zwischen den entsprechenden Gruppoidkategorien von Vektorr"aumen \begin{equation*} A : \op{Mod}_k (n)^\times \rightarrow \op{Mod}_k (m)^\times \end{equation*} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{GruF} Ausformuliert ist ein $(m;n)$-Gruppoid-Funktor also eine Zuordnung, die jedem $n$-dimen\-sio\-na\-len $k$-Vektorraum $V$ einen $m$-dimensionalen $k$-Vek\-tor\-raum $A(V)$ zuordnet und jedem Vektorraumisomorphismus $f: V \overset{\sim}{\rightarrow} W$ einen Vektorraumisomorphismus $A(f) : A(V) \sira A(W)$ derart, da"s f"ur jeden $n$-dimen\-sio\-na\-len $k$-Vektorraum $V$ gilt $A(\op{id}_{V}) = \op{id}_{A(V)}$ und, wann immer $f,g$ verkn"upfbare Isomorphismen sind, $A (f \circ g) = A (f) \circ A (g)$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele}\label{BspGi} F"ur jede nat"urliche Zahl $n\in\DN$ ist die Vorschrift $V \mapsto V^\top$, $f \mapsto (f^\top)^{-1}$, die jedem $n$-dimen\-sio\-na\-len Raum seinen Dualraum zuordnet und jedem Isomorphismus das Inverse der transponierten Abbildung, ein $(n;n)$-Grup\-poid\-funktor. F"ur beliebige nat"urliche Zahlen $r,n \geq 0$ ist die $r$-te Tensorpotenz $V \mapsto V^{\otimes r}$, $f \mapsto f^{\otimes r}$ aus \eref{vhr}{LA2} ein $(n^r;n)$-Gruppoidfunktor. % F"ur eine beliebige % ganze Zahl $r$ % ist die $r$-te Tensorpotenz $V \mapsto % V^{\otimes r}$, $f \mapsto f^{\otimes r}$ eindimensionaler R"aume % aus \ref{TEP} % ein $(1;1)$-Gruppoidfunktor. F"ur beliebige nat"urliche Zahlen $r,n \geq 0$ ist die $r$-te "au"sere Potenz $V \mapsto \bigwedge^{ r}V$, $f \mapsto \bigwedge^{ r}f$ aus \eref{MPD}{LA2} ein Gruppoidfunktor und ebenso ihre noch wichtigere und einfacher zu konstruierende Verkn"upfung mit dem Dualisieren $V \mapsto \op{Alt}^{ r}V$ aus \eref{BAD}{AN3} oder auch \eref{Altt}{LA2} mit der Vorschrift $f \mapsto (f^{ \top})^{-1}$ auf Morphismen in der Notation \eref{ZHd}{AN3}. Gegeben Gruppoidfunktoren $A,B$ der Typen $(l;m)$ beziehungsweise $(m;n)$ ist $A\circ B$ ein Gruppoidfunktor vom Typ $(l;n).$ % Gegeben % Gruppoidfunktoren $F,G$ der Typen $(m,l)$ bzw.\ $(n,l)$ % ist $F\oplus G$ ein Gruppoidfunktor vom Typ $(m+n,l)$ und % $F\otimes G$ ein Gruppoidfunktor vom Typ $(mn,l).$ \end{Beispiele} \begin{Definition} Ein Gruppoidfunktor $A$ "uber $\DR$ hei"st {\bf stetig}\index{stetig!Gruppoidfunktor} beziehungsweise {\bf glatt},\index{glatt!Gruppoidfunktor} wenn die Abbildungen $A:\op{Hom}^\times(V,W)\ra\op{Hom}^\times(A(V),A(W))$ stetig beziehungsweise glatt sind.\label{gGRZ} \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Aus \eref{HeL}{ML} folgt unmittelbar, da"s die Bedingungen \glqq stetig\grqq\ und \glqq glatt\grqq\ in diesem Zusammenhang gleichbedeutend sind, aber mit diesem doch nicht ganz offensichtlichen Resultat will ich die Darstellung hier nicht belasten. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiele} Im Fall $k=\DR$ sind alle Beispiele f"ur Gruppoidfunktoren aus \ref{BspGi} glatt. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anwenden von Gruppoidfunktoren auf B"undel}] Gegeben eine glatte Mannigfaltigkeit $X,$ ein glattes $n$-dimen\-sio\-na\-les Vektorraumb"undel $p:E\ra X$ im Sinne von \eref{DVB}{ML}.\ref{DVBe} und ein glatter\label{gfb} $(m;n)$-Gruppoidfunktor $A$ "uber $\DR$ gibt es auf der disjunkten Vereinigung $$A(E)\pdef \coprod_{x\in X} A(E_x)$$ genau eine Struktur als glattes $m$-dimensionales Vektorraumb"undel auf $X$ derart, da"s f"ur jede B"undelkarte $f: U\times V\ra E$ mit $U\co X$ und $\op{dim}_\DR(V)=n$ die Abbildung $U\times A(V)\hra A(E)$ gegeben durch $(x,v)\mapsto (A(f_x))(v)$ eine B"undelkarte von $A(E)$ ist. Hierbei verstehen wir $f_x$ als den Isomorphismus $f_x:V\sira E_x$ gegeben durch $f:(x,v)\mapsto f_x(v).$ Um das einzusehen, mu"s man nur pr"ufen, da"s die Kartenwechsel der so erkl"arten B"undelkarten glatt sind, und das folgt unmittelbar aus der Glattheit des Gruppoidfunktors $A.$ Wir k"onnen so zu jedem glatten Vektorraumb"undel $E$ insbesondere das duale B"undel $E^\ast,$ die "au"seren Potenzen $\bigwedge^r E$ und die Tensorpotenzen $E^{\otimes r}$ bilden. Wenden wir dahingegen den Identit"atsfunktor $\op{Id}$ auf ein Vektorraumb"undel $E$ an, so erhalten wir trivialerweise $\op{Id}(E)=E.$ \end{Bemerkungl} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben stetige beziehungsweise glatte Schnitte $\sigma_1,\ldots,\sigma_r$ eines B"undels $E$ ist $ \sigma_1\wedge\ldots\wedge\sigma_r$ ein stetiger beziehungsweise glatter Schnitt des B"undels $\bigwedge^r E$. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Gruppoidfunktoren mit mehreren Eing"angen}] Es scheint mir sinnvoll, bereits hier die Sache noch etwas weiter zu treiben. So erkl"aren wir etwa einen {\bf $(n;l,m)$-Gruppoidfunktor} "uber einem K"orper $k$ als einen Funktor \begin{equation*} B : \op{Mod}_k (l)^\times\times \op{Mod}_k (m)^\times \rightarrow \op{Mod}_k (n)^\times \end{equation*} Im Fall $k=\DR$ nennen wir ihn {\bf glatt} genau dann, wenn die zugeh"origen Abbildungen auf Morphismenr"aumen glatt sind. F"ur beliebige $l,m\in \DN$ ist etwa die direkte Summe ein glatter $(l+m;l,m)$-Gruppoidfunktor $(V,W)\mapsto V\oplus W,$ das Tensorprodukt ein glatter $(lm;l,m)$-Gruppoidfunktor $(V,W)\mapsto V\otimes W,$ und das Bilden den Homomorphimenraums $(V,W)\mapsto\op{Hom}(V,W)$ ebenfalls ein glatter $(lm;l,m)$-Gruppoidfunktor mit einer Vorschrift auf den Morphismen, die der Leser selbst erraten mag. Die Verallgemeinerung auf Gruppoidfunktoren mit mehr als zwei Eing"angen scheint mir offensichtlich und m"oge vom Leser selbst dazugedacht werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anwenden von Gruppoidfunktoren auf mehrere B"undel}] Gegeben auf einer glatten Mannigfaltigkeit $X$ zwei glatte Vektorraumb"undel $p:E\ra X$ und $q:F\ra X$ der Dimensionen $l$ und $m$ sowie ein glatter $(n;l,m)$-Gruppoid\-funk\-tor $B$ "uber $\DR$ gibt es auf der disjunkten Vereinigung $$B(E,F)\pdef \coprod_{x\in X} B(E_x,F_x)$$ genau eine Struktur als glattes $n$-dimensionales Vektorraumb"undel auf $X$ derart, da"s f"ur beliebige "uber derselben offenen Teilmenge $U\co X$ erkl"arte B"undelkarten $f: U\times V\hra E$ und $g: U\times W\hra F$ unserer beiden B"undel die Abbildung $U\times B(V,W)\ra B(E,F)$ gegeben durch $(x,h)\mapsto (B(f_x,g_x))(h)$ eine B"undelkarte von $B(E,F)$ ist. Die Verallgemeinerung auf Gruppoidfunktoren mit mehr als zwei Eing"angen scheint mir offensichtlich und m"oge vom Leser dazugedacht werden. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Wir k"onnen so insbesondere zu je zwei glatten Vektorb"undeln $D$ und $E$ ihre Summe $D\oplus E,$ ihr Tensorprodukt $D\otimes E,$ sowie das sogenannte Hom-B"undel $\op{Hom}(D,E)$ bilden. \end{Beispiele} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben stetige beziehungsweise glatte Schnitte $\sigma,\tau$ von B"undeln $E,F$ ist $(\sigma,\tau):x\mapsto (\sigma(x),\tau(x)) $ ein stetiger beziehungsweise glatter Schnitt des B"undels $E\oplus F$ und $\sigma\otimes \tau:x\mapsto \sigma(x)\otimes\tau(x) $ ein stetiger beziehungsweise glatter Schnitt des B"undels $E\otimes F$. \end{Ubung} \begin{Bemerkunge} Noch allgemeiner kann man auch den K"orper wechseln und etwa Funktoren $ A : \op{Mod}_\DR (l)^\times \rightarrow \op{Mod}_\DC (n)^\times $ auf $l$-dimensionale reelle B"undel anwenden und so $n$-dimensionale komplexe B"undel erhalten, oder umgekehrt mit einem Funktor in die Gegenrichtung komplexe zu reellen B"undeln machen. Da wir jedoch komplexe B"undel an dieser Stelle noch gar nicht eingef"uhrt haben, sei nur erw"ahnt, da"s sich alles in diesem Abschnitt Gesagte unmittelbar auf diesen Fall verallgemeinern l"a"st. Zum Beispiel konstruiert man so zu jedem reellen B"undel seine Komplexifizierung. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Transformationen liefern B"undelmorphismen}] F"ur jede Transformation\label{ITBI} $\tau:A\RA B$ von glatten Gruppoidfunktoren mit zwei Eing"angen, die wir in diesem Zusammenhang als Funktoren nach $\op{Mod}_\DR$ verstehen, und je zwei glatte Vektorraumb"undeln $E,F$ auf einer glatten Mannigfaltigkeit $X$ liefern die zugeh"origen Abbildungen $\tau:A(E_x,F_x)\ra B(E_x,F_x)$ einen B"undelmorphismus $\tau:A(E,F)\sira B(E,F)$ im Sinne von\ref{DVB}.\ref{DVBM}. Wir erhalten auf diese Weise sogar einen Funktor von der vollen Unterkategorie $$\op{Cat}^{\infty}(\op{Mod}_\DR (l)^\times\times \op{Mod}_\DR (m)^\times, \op{Modf}_\DR ) $$ der\index{Cat@$\op{Cat}^{\infty}$ glatte Funktoren} glatten Funktoren aus der Funktorkategorie \eref{FuKK}{LA2} in die Kategorie der glatten Vektorb"undel. Insbesondere liefert jede Isotransformation von Gruppoidfunktoren einen B"undelisomorphismus. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Unsere Isotransformation $\op{can}:V^\ast\otimes W\sira \op{Hom}(V,W)$ aus \eref{THiz}{LA2} liefert etwa, wenn wir sie zu einer Isotransformation von Funktoren $\op{Mod}_\DR^{\times}\times \op{Mod}_\DR^{\times}\ra \op{Mod}_\DR$ umschreiben, f"ur je zwei glatte Vektorraumb"undel $E,F$ auf derselben glatten Mannigfaltigkeit $X$ einen nat"urlichen Isomorphismus von Vektorraumb"undeln $$\op{can}:E^\ast\otimes F\sira \op{Hom}(E,F)$$ \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Die Verallgemeinerung von \ref{ITBI} auf Gruppoidfunktoren mit einer beliebigen endlichen Zahl von Eing"angen scheint mir offensichtlich und m"oge vom Leser selbst dazugedacht werden. Im Fall von nur einem Eingang liefert etwa die durch Evaluation gegebene Isotransformation $\op{Id}\siRa B$ vom Identit"atsfunktor in den Bidualraumfunktor aus \eref{BDR}{LA2} f"ur jedes glatte Vektorraumb"undel $E$ einen nat"urlichen Isomorphismus mit seinem Bidualen\label{evex} $$E\sira E^{\ast\ast}$$ Weiter liefert die Expansion der Identit"at und das Auswerten f"ur jedes glatte B"undel $E$ auf einer Mannigfaltigkeit $X$ B"undelmorphismen $$X\times\DR\stackrel{\op{ex}}{\ra}E^\ast\otimes E\stackrel{\op{ev}}{\ra} X\times\DR$$ mit dem trivialen eindimensionalen B"undel. Hier verwenden wir formal zus"atzlich, da"s wir im Fall eines Gruppoidfunktors mit mehreren Eing"angen, der von einigen seiner Eing"ange gar nicht abh"angt, besagte Eing"ange beim Auswerten auf Vektorb"undeln ignorieren d"urfen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich sollte irgendwo diskutieren, da"s die glatten Vektorb"undel auf einer Mannigfaltigkeit $M$ eine $\DR$-lineare, ja sogar eine $\mathcal C^\infty_\DR(M)$-lineare Schmelzkategorie mit stark universellen Verschmelzungen und internem Hom bilden. Dasselbe f"ur die stetigen Vektorb"undel auf einem topologischen Raum. Und der R"uckzug ist dann ein Schmelzfunktor. Nun, eigentlich sollte ich einen Komorphismus von Vektorb"undeln "uber einer stetigen Abbildung $f:X\ra Y$ erkl"aren als eine geeignete Abbildung $F\times_Y X\ra E$ und einen Opkomorphismus "uber $f$ als dasselbe aber \glqq opponiert gedacht\grqq\ und einen Multiopkomorphismus analog wie bei Garben. Dann haben wir auch die Vektorb"undelopkofaserung, eine Trennfaserung "uber Mannigfaltigkeiten mit internem Hom aber ohne Vorsch"ube, geschweige denn sechs Funktoren. Es w"are sicher super, das zu einem gr"o"seren Formalismus zu erg"anzen, Anf"ange dazu stehen in den Kapiteln zur Darstellungstheorie. \end{Bemerkungl} \subsection{Darstellungen und Gruppoidfunktoren} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Von Gruppoidfunktoren zu Darstellungen}] Wir arbeiten zun"achst rein algebraisch und erinnern aus \eref{ZGru}{LA2}, da"s gegeben ein Objekt $X$ eines zusammenh"angenden Gruppoids $\mathcal G$ der offensichtliche Funktor eine "Aquivalenz von Kategorien $$[\mathcal G(X)]\sirra \mathcal G$$ zwischen der Ein-Objekt-Kategorie der Automorphismengruppe $\mathcal G(X)$ von $X$ und unserem Gruppoid liefert. Gegeben ein K"orper $K$ und ein $n$-di\-men\-sio\-na\-ler $K$-Vektorraum $M$ ist insbesondere der offensichtliche Funktor eine "Aquivalenz von Kategorien $$[\op{GL}(M)]\sirra \op{Mod}_K^\times(n)$$ Gegeben eine weitere Kategorie $\mathcal B$ erhalten wir dann nach \eref{fuKA}{LA2} durch Vorschalten eine "Aquivalenz von Funktorkategorien $$\op{Cat}(\mathcal G,\mathcal B)\sirra \op{Cat}([\mathcal G(X)],\mathcal B) $$ Nun erinnern wir noch, wie wir in \eref{KADA}{ML} f"ur jede Gruppe $G$ und jeden K"orper $k$ einen Isomorphismus von Kategorien $\op{Cat}([G],\op{Mod}_k)\sira \op{Mod}_k^G$ oder auch $\op{Cat}([G],\op{Modf}_k)\sira \op{Modf}_k^G$ zwischen besagter Funktorkategorie und der Kategorie aller Darstellungen beziehungsweise endlichdimensionalen Darstellungen von $G$ "uber $k$ angegeben hatten. Zusammen erhalten wir so f"ur jeden $n$-dimensionalen $K$-Vektorraum $M$ und jeden weiteren K"orper $k$ "Aquivalenzen von Kategorien $$\op{Cat}(\op{Mod}_K^\times(n), \op{Mod}_k)\sirra \op{Mod}_k^{\op{GL}(M)}$$ $$\op{Cat}(\op{Mod}_K^\times(n), \op{Modf}_k)\sirra \op{Modf}_k^{\op{GL}(M)}$$ "Ahnlich entsprechen Gruppoidfunktoren mit mehreren Eintr"agen Darstellungen von Produkten mehrerer allgemeiner linearer Gruppen. Im folgenden wollen wir Quassiinverse dieser "Aquivalenzen angeben. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl}[\textbf{Gruppoidfunktoren und Darstellungen}] % Wir arbeiten zun"achst rein algebraisch. % F"ur jedes Monoid $G$ erinnere man die Ein-Objekt-Kategorie % $[G]$ aus \eref{MOKA}{LA2}. Gegeben ein K"orper $K$ und % ein $n$-di\-men\-sio\-na\-ler % $K$-Vektorraum $M$ % erhalten wir dann eine % "Aquivalenz von Kategorien\label{GruDD} % $[\op{GL}(M)]\sirra \op{Mod}_K^\times(n)$, % indem wir das einzige Objekt auf den Vektorraum % $M$ werfen und auf Morphismen die % offensichtliche Abbildung nehmen. % Sei $k$ ein weiterer K"orper. % Mit \eref{fuKA}{LA2} folgern wir, da"s unser Funktor auch eine % "Aquivalenz von Funktorkategorien % $$\op{Cat}(\op{Mod}_K^\times(n), \op{Modf}_k)\sirra % \op{Cat}([\op{GL}(M)], \op{Modf}_k)$$ % induziert. Nun ist die rechte Seite nach \eref{KADA}{ML} % nichts anderes als die Kategorie der % Darstellungen von $\op{GL}(M)$ "uber $k$, % so da"s wir unsere "Aquivalenz umschreiben % k"onnen zu einer "Aquivalenz von Kategorien % $$\op{Cat}(\op{Mod}_K (n)^\times, \op{Modf}_k ) % \sirra \op{Modf}_k^{\op{GL}(M)}$$ % Im folgenden wollen wir einen Quassiinversen dieser % "Aquivalenz angeben. % \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl}[\textbf{Gruppoidfunktoren und Darstellungen}] % Wir arbeiten zun"achst rein algebraisch. % F"ur jedes Monoid $G$ erinnere man die Ein-Objekt-Kategorie % $[G]$ aus \eref{MOKA}{LA2}. Gegeben ein K"orper $K$ und % ein $n$-di\-men\-sio\-na\-ler % $K$-Vektorraum $M$ % erhalten wir dann eine % "Aquivalenz von Kategorien\label{GruDD} % $[\op{GL}(M)]\sirra \op{Mod}_K^\times(n)$, % indem wir das einzige Objekt auf den Vektorraum % $M$ werfen und auf Morphismen die % offensichtliche Abbildung nehmen. % Sei $k$ ein weiterer K"orper. % Mit \eref{fuKA}{LA2} folgern wir, da"s unser Funktor auch eine % "Aquivalenz von Funktorkategorien % $$\op{Cat}(\op{Mod}_K^\times(n), \op{Modf}_k)\sirra % \op{Cat}([\op{GL}(M)], \op{Modf}_k)$$ % induziert. Nun ist die rechte Seite nach \eref{KADA}{ML} % nichts anderes als die Kategorie der % Darstellungen von $\op{GL}(M)$ "uber $k$, % so da"s wir unsere "Aquivalenz umschreiben % k"onnen zu einer "Aquivalenz von Kategorien % $$\op{Cat}(\op{Mod}_K (n)^\times, \op{Modf}_k ) % \sirra \op{Modf}_k^{\op{GL}(M)}$$ % Im folgenden wollen wir einen Quassiinversen dieser % "Aquivalenz angeben. % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Darstellungen als Funktoren auf Torsoren}] Gegeben eine Gruppe $G$ bezeichne $\op{Tors-}G\subset\op{Ens-}G$ die volle Unterkategorie der $G$-Torsoren alias Mengen mit einer freien transitiven Rechtsoperation von $G$. Unsere "Aquivalenz von Kategorien von eben k"onnen wir erg"anzen zu einer Sequenz von "Aquivalenzen $$[\mathcal G(X)]\sirra \mathcal G\sirra \op{Tors-}\mathcal G(X)$$ mit dem Funktor $Z\mapsto \mathcal G(X,Z)$ an zweiter Stelle. Die Komposition ist ein Spezialfall der f"ur eine beliebige Gruppe $G$ in offensichtlicher Weise definierten "Aquivalenz von Kategorien $$[G]\sirra \op{Tors-} G$$ Auch diese "Aquivalenz induziert notwendig "Aquivalenzen von Funktorkategorien $$R:\op{Cat}(\op{Tors-}G,\mathcal B)\sirra \op{Cat}([G],\mathcal B) $$ durch die Restriktion von Funktoren. Man kann nun f"ur viele Kategorien $\mathcal B$ und Gruppen $G$ einen Quasiinversen dieser Komposition recht explizit angeben. Ich f"uhre das am Beispiel der Kategorie $\mathcal B=\op{Mod}_k$ der Vektorr"aume "uber einem K"orper $k$ aus. Gegeben eine $k$-Darstellung $(V,\rho)$ der Gruppe $G$ alias ein $k$-Vektorraum $V$ mit einem ausgezeichneten Gruppenhomomorphismus $\rho: G \rightarrow \op{GL} (V)$ sowie ein $G$-Torsor $Y$ gibt es auf dem balancierten Produkt $$\rho(Y)\pdef Y \times^\rho_{/G} V $$ genau eine Struktur als $k$-Vektorraum derart, da"s f"ur alle $y \in Y$ die Abbildung $b \mapsto [y,b]$ einen Vektorraumisomorphismus $V \overset{\sim}{\rightarrow} Y\times^\rho_{/G} V$ liefert. Diese Konstruktion liefert einen Funktor $S(V,\rho): \op{Tors-}G\ra \op{Mod}_k$ alias $S(V,\rho)\in \op{Cat}(\op{Tors-}G,\op{Mod}_k)$ und die Zuordnung $S:(V,\rho)\mapsto S(V,\rho)$ ist ihrerseits ein Funktor $$S:\op{Cat}([G],\op{Mod}_k)\ra \op{Cat}(\op{Tors-}G,\op{Mod}_k) $$ Wir erhalten nun eine Isotransformation $\tau:RS\stackrel{\sim}{\RA}\op{Id}$ durch die offensichtlichen Isomorphismen $\tau:G\times_{/G}^\rho V\sira V$ und damit ist nach \ref{quaii} unser $S$ eine "Aquivalenz und das Paar $(S,\tau)$ ein Quasiinverses zur Restriktion $R$. Bauen wir das alles zusammen, so erhalten wir einen Quasiinversen unserer "Aquivalenz $\op{Cat}(\op{Mod}_K^\times(n), \op{Mod}_k)\sirra \op{Mod}_k^{\op{GL}(M)}$, der jeder $k$-Darstellung $(V,\rho)$ von $G=\op{GL}(M)$ den Funktor $$\rho:\op{Mod}_K^\times(n)\ra \op{Mod}_k$$ zuordnet, den wir zuvor $S(V,\rho)$ notiert hatten und der auf Objekten gegeben wird durch die Abbildungsvorschrift $N\mapsto \rho(N)\pdef\op{Hom}_K^\times(M,N)\times^\rho_{\op{GL}(M)}V$. Weiter erhalten wir f"ur jeden Homomorphismus von Darstellungen $(V,\rho)\ra (W,\sigma)$ eine Transformation von Funktoren $\rho\RA\sigma$ alias nat"urliche lineare Abbildungen $\rho(N)\ra \sigma(N)$ f"ur alle $N$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Maximale "au"sere Potenz und Determinante}] Wenden wir unsere Definition im Fall $K=k$ auf den $k$-Vektorraum $M=k^n$ und die Darstellung $\op{det}:\op{GL} (n;k) \rightarrow k^\times=\op{GL}(k)$ an, so erhalten wir einen Funktor $$\op{det}: \op{Mod}_k^\times(n)\ra \op{Mod}_k$$ Dieser Funktor ist "aquivalent zur Restriktion des Funktors $\bigwedge^{n}: \op{Mod}_k(n)\ra \op{Mod}_k$ auf $\op{Mod}_k^\times(n)$, genauer erhalten wir eine Isotransformation $\eta:\op{det}\stackrel{\sim}{\RA} \bigwedge^{n}$ durch die nat"urlichen Abbildungen\index{det@$\op{det}$!f"ur Vektorraum} $$ \begin{array}{cccl} \eta_N:&\op{det}(N) & \overset{\sim}{\rightarrow} & \bigwedge^{n} N\\ &\left[\varphi,\lambda\right] &\mapsto & (\bigwedge^n \varphi)(\lambda \op{e}_1\wedge \ldots\wedge\op{e}_n) \end{array} $$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Orientierungsgerade und Vorzeichen der Determinante}] Wenden wir unsere Definition im Fall eines angeordneten K"orpers $K$ auf den $K$-Vektorraum $M=K^n$ und die Darstellung\label{OrGe} $\op{sgn}:\op{GL} (n;K) \rightarrow k^\times=\op{GL}(k)$ an, die gegeben wird durch $\op{sgn}:A\mapsto \op{det}(A)/|\op{det}(A)|$, so erhalten wir einen Funktor $$\op{sgn}: \op{Mod}_K^\times(n)\ra \op{Mod}_k$$ Im Fall $K=k$ ist er "aquivalent zu unserem Funktor $N\mapsto \op{or}_k(N)$ aus \eref{KPmjn}{LA2}, der jedem $n$-dimensionalen $k$-Vektorraum seine Orientierungsgerade zuordnet. Genauer erhalten wir eine Isotransformation $\eta:\op{sgn}\stackrel{\sim}{\RA} \op{or}_k$ durch die nat"urlichen Abbildungen $$ \begin{array}{cccl} \eta_N:&\op{sgn}(N) & \overset{\sim}{\rightarrow} & \op{or}_k (N)\\ &\left[\varphi,\lambda\right] &\mapsto & \op{or}_k( \varphi)(\lambda \varepsilon) \end{array} $$ f"ur $\varepsilon\in \op{or}(k^n)\subset \op{or}_k(k^n)$ die Standardorientierung aus \eref{OrV}{LA1}. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Potenzen des Betrags der Determinante}] F"ur $K=\mathbb K$ einer der beiden K"orper $\DR$ oder $\DC$ und $ k=\DR$ und $\alpha\in\DR$ k"onnen wir die Darstellungen $\rho:\op{GL}(n;\mathbb K)\ra \DR^\times =\op{GL}(\DR)$ betrachten, die gegeben werden durch $A\mapsto |\op{det}A|^\alpha$. Das sind nun F"alle, in denen der zugeh"orige Funktor im allgemeinen nicht mehr isomorph ist zu einem Funktor, den wir bereits kennen. Im Fall $\alpha\in\DZ$ und $\mathbb K=\DR$ kann man sich noch mit dem Funktor $N\mapsto (\op{or}_\DR(N)\otimes\bigwedge^{\op{max}}N)^{\otimes \alpha}$ behelfen, aber im Fall $\alpha\not\in\DZ$ oder $\mathbb K=\DC$ kenne ich keine erhellende alternative Beschreibung mehr. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Inverses Transponieren und Dualraum}] Bisher haben wir nur eindimensionale Darstellungen betrachtet und die zugeh"origen Funktoren untersucht. Um auch mal ein h"oherdimensionales Beispiel zu zeigen, mag man die Abbildung $\op{invt}:\op{GL}(n;k)\sira \op{GL}(n;k)$ mit $A\mapsto (A^\top)^{-1}$ betrachten, die jeder Matrix ihre transponierte Inverse zuordnet. Man findet dann leicht nat"urliche Isomorphismen $ \op{invt}(N)\sira N^*$, wobei rechts der Funktor auf der Gruppoidkategorie gemeint ist, der jedem Isomorphismus $f:L\ra N$ seinen transponierten Inversen $(f^\perp)^{-1}: L^*\ra N^*$ zuordnet. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Im Fall $k=\DR$ entsprechen unter unserer "Aquivalenz offensichtlich die glatten Gruppoidfunktoren den glatten Darstellungen und erhalten wir so auch f"ur jeden $n$-dimensionalen $\DR$-Vektorraum $V$ eine "Aquivalenz von Kategorien $$\op{Cat}^{\infty}(\op{Mod}_\DR (n)^\times, \op{Modf}_\DR ) \sirra \op{Modf}_\DR^{\op{GL}(V)}$$ zwischen der Kategorie der glatten Gruppoidfunktoren und der Kategorie der stetigen alias glatten endlichdimensionalen Darstellungen. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkunge}[\textbf{von Darstellungen zu Gruppoidfunktoren}] % Es ist auch nicht schwer, im allgemeinen einen quasiinversen Funktor % zu unserer "Aquivalenz aus \ref{GruDD} % explizit anzugeben: Gegeben eine endlichdimensionale % Darstellung $W$ von $\op{GL}(V)$ alias ein Gruppenhomomorphismus % $\rho:\op{GL}(V)\ra \op{GL}(W)$ konstruiert man einen Gruppoidfunktor % $A_\rho$ dazu etwa % durch die Vorschrift % % \end{Bemerkunge} % % \begin{Bemerkungl} % % Sei $k$ ein K"orper und seien $m,n\in\DN$ fest vorgegeben. % % Jeder Gruppenhomomorphismus $\rho:\op{GL}(n;k)\ra \op{GL}(W)$ % % mit $\op{dim}_kW=m$ % % alias jede $m$-dimensionale Darstellung von $\op{GL}(n;k)$ % % "uber $k$ im Sinne von \ref{DeGru} % % liefert einen $(m;n)$-Gruppoid\-funk\-tor $A_\rho$ % vermittels der % Vorschrift % $$A_\rho(V')\pdef \op{Hom}^\times_k(V,V')\times^\rho_{\op{GL}(V)}W$$ % Hierzu % erinnern wir \eref{UTO}{LA2}, wonach es ganz allgemein % f"ur $W$ ein $k$-Vektor\-raum und $G$ eine Gruppe % und $\rho: G \rightarrow \op{GL} (W)$ % ein Gruppenhomomorphismus und $Y$ ein % $G$-Torsor auf dem balancierten Produkt % $Y \times^\rho_G W$ % genau eine Struktur als $k$-Vektorraum gibt % derart, da"s f"ur alle $y \in Y$ % die Abbildung $w \mapsto [y,w]$ einen Vektorraumisomorphismus $W % \overset{\sim}{\rightarrow} Y\times_G W$ liefert. % % Ist $\rho':\op{GL}(n;k)\ra \op{GL}(W')$ auch ein Gruppenhomomorphismus % % mit $\op{dim}_kW=m,$ % % so liefert weiter jeder mit den Operationen von $\op{GL}(n;k)$ vertr"agliche % % Isomorphismus $\tau:W\sira W'$ eine Isotransformation % % $\tau: A_\rho \stackrel{\sim}{\RA}A_{\rho'}.$ % % Umgekehrt liefert auch jeder $(m;n)$-Gruppoidfunktor $A$ einen % % Gruppenhomomorphismus $\rho_A:\op{GL}(n;k)\ra \op{GL}(W)$ mit % % $W=A(k^n).$ Diese beiden Konstruktionen % % $A\mapsto \rho_A$ und $\rho\mapsto A_\rho$ % % sind dar"uber hinaus % % zueinander invers in der Weise, da"s wir eine % % Isotransformation % % $A_{\rho_A}\stackrel{\sim}{\RA}A $ angeben k"onnen durch % % $$ % % \begin{array}{ccc} % % \op{Hom}^\times_k(k^n,V)\times^\rho_{\op{GL}(n;k)}A(k^n)&\sira& A(V)\\[2mm] % % [\varphi\;\;,\;\; v]&\mapsto&(A(\varphi))(v) % % \end{array} % % $$ % % und einen mit den Operationen von $\op{GL}(n;k)$ vertr"aglichen % % Isomorphismus % % $W\sira A_\rho(k^n)= \op{Hom}^\times_k(k^n,k^n)\times^\rho_{\op{GL}(n;k)}W$ % % vermittels der Vorschrift $w\mapsto [\op{id},w].$ % % In dieser Weise sind also % % $(m;n)$-Gruppoidfunktoren und Gruppenhomomorphismen % % $\op{GL}(n;k)\ra \op{GL}(m;k)$ \glqq im Wesentlichen dasselbe\grqq. % \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Anwenden von Darstellungen auf B"undel}] Gegeben ein $n$-dimensionales glattes Vektorraumb"undel $E,$ ein $n$-dimensionaler $\DR$-Vektorraum $M$ und eine endlichdimensionale stetige alias glatte Darstellung $\rho: \op{GL}(M)\ra\op{GL}(V)$ verwende ich die Abk"urzung $$\rho(E)$$ f"ur das B"undel, das aus $E$ entsteht durch Anwenden des zu $\rho$ geh"origen Gruppoidfunktors $N\mapsto \rho(N)\pdef \op{Hom}_\DR^\times(M,N)\times^\rho_{\op{GL}(M)}V$. Ist zum Beispiel $\rho: \op{GL}(M)\ra\op{GL}(M^\ast)$, $g\mapsto (g^\top)^{-1}$ die Kontragrediente der Standarddarstellung, so liefern uns die vorherigen Konstruktionen f"ur $n$-dimen\-sio\-na\-le glatte B"undel $E$ nat"urliche Isomorphismen $E^\ast\sira \rho(E),$ und die offensichtlichen Gruppenhomomorphismen $\op{GL}(M)\times\op{GL}(N) \ra\op{GL}(M\otimes N)$ beziehungsweise $\op{GL}(M)\times\op{GL}(N) \ra\op{GL}(M\oplus N)$ f"uhren zum Tensorprodukt beziehungsweise der direkten Summe von Vektorb"undeln. Bei der Konstruktion des dualen B"undels oder des Tensorprodukts beziehungsweise der direkten Summe zweier B"undel scheint mir dieser Formalismus eher verwirrend als hilfreich. Gewisse Konstruktionen werden aber in dieser Sprache auch einfacher: Betrachten wir zum Beispiel den Betrag der Determinante $\rho: \op{GL}(M)\ra\DR^\times$ oder dessen Inverses, so erhalten wir Konstruktionen, die jedem glatten reellen Vektorraumb"undel $E$ die glatten reellen Vektorraumb"undel $|\op{det} E|$ und $|\op{det} E|^{-1}$ zuordnen. Man k"onnte stattdessen auch f"ur vorgegebenes $n$ den Gruppoidfunktor betrachten, der jedem reellen Vektorraum den eindimensionalen Raum der translationsinvarianten signierten Borelma"se auf unserem Raum zuordnet, aber das ist arg weit hergeholt. Dennoch ist unsere Konstruktion des Betrags der Determinante eines B"undels keine blo"se Spielerei: Wir werden in \ref{??} etwa sehen, da"s f"ur eine kompakte Mannigfaltigkeit $X$ die stetigen Schnitte des B"undels $$|\op{det} {\op{T}}X|^{-1}$$ als signierte Borelma"se auf $X$ aufgefa"st werden k"onnen, und zwar erhalten wir so genau alle diejenigen signierten Borelma"se, die unter jeder Karte verwandt sind zum Produkt des Lebesgue-Ma"ses mit einer stetigen Funktion. Derartige signierte Borelma"se hei"sen \glqq stetige Dichten\grqq. Die Konstruktion dieses \glqq B"undels der Dichten\grqq\ pa"st also auch in unseren allgemeinen begrifflichen Rahmen. \end{Bemerkunge} \subsection{Vektorb"undel als Garben von Moduln} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein topologischer Raum $X$ bilden wir die Kategorie $\op{Off}(X)$ seiner offenen Teilmengen mit allen offenen Teilmengen als Objekten und den Inklusionen als Morphismen. In dieser Kategorie ist jede Morphismenmenge entweder einelementig oder leer. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine {\bf Pr"agarbe mit Werten in einer Kategorie $\mathcal C$}\index{Pr"agarbe} auf einem topologischen Raum $X$ ist ein Funktor $\op{Off}(X)^{\op{opp}}\ra \mathcal C$. Unter einem {\bf Morphismus von abelschen Pr"agarben} verstehen wir eine Transformation zwischen den zugeh"origen Funktoren. Wir erhalten so die Kategorie der Pr"agarben $${\op{p}}\mathcal C_{/X}\pdef\op{Cat}(\op{Off}(X)^{\op{opp}},\mathcal C)$$ Eine Pr"agarbe von abelschen Gruppen hei"st auch eine {\bf abelsche Pr"agarbe}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} In gr"o"serer Ausf"uhrlichkeit werden Pr"agarben und Garben in \ref{DPG} behandelt. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Die Pr"agarbe der glatten Funktionen}] Gegeben eine glatte Mannigfaltigkeit $M$ ist der Funktor $\mathcal C^\infty_\DR=\mathcal C^\infty:U\mapsto \mathcal C^\infty(U)$, der jeder offenen Menge $U\co M$ den Ring ihrer glatten reellwertigen Funktionen zuordnet und jeder Inklusion von offenen Mengen $U\subset V$ die Restriktionsabbildung $\mathcal C^\infty(V)\ra \mathcal C^\infty(U)$, eine Pr"agarbe von Ringen $\mathcal C^\infty_{M}=\mathcal C^\infty_{\DR,M}$ auf $M$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Die abelsche Pr"agarbe der glatten Schnitte eines B"undels}] Gegeben $E\ra M$ ein Vektorb"undel auf einer Mannigfaltigkeit ist der Funktor $\mathcal S^\infty_E:U\mapsto \mathcal S^\infty_E(U)$, der jeder offenen Teilmenge $U\co M$ die Gruppe der glatten Schnitte $U\ra E$ unseres B"undels zuordnet, eine abelsche Pr"agarbe auf $M$. \end{Beispiel} \begin{Definition} Sei $X$ ein topologischer Raum mit einer Pr"agarbe von Ringen $\mathcal A$. Eine {\bf Pr"agarbe von $\mathcal A$-Moduln} oder kurz ein {\bf $\mathcal A$-Modul} ist eine abelsche Pr"agarbe $\mathcal M$ mitsamt der Vorgabe einer $\cal{A} (U)$-Modulstruktur auf $\cal{M}(U)$ f"ur alle $U \co X$ derart, da"s f"ur alle $V \co U \co X$ das Diagramm $$\begin{array}{ccccc} \cal{A} (U) & \times & \cal{M}(U) &\ra & \cal{M}(U)\\ &\downarrow & & & \downarrow \\ \cal{A} (V) &\times & \cal{M}(V) &\ra & \cal{M}(V) \end{array}$$ mit den Restriktionsabbildungen in den Vertikalen kommutiert. Ein {\bf Homomorphismus von $\cal{A}$-Moduln} $\mathcal M\ra \mathcal N$ ist ein Homomorphismus von abelschen Pr"agarben derart, da"s die zugeh"origen Gruppenhomomorphismen $\mathcal M(U)\ra \mathcal N(U)$ jeweils Homomorphismen von $\mathcal A(U)$-Moduln sind. Die Kategorie aller $\cal{A}$-Moduln notieren wir $\cal{A}\op{-Mod}$ oder $\op{Mod}_{\cal{A}}$. \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{Der $\mathcal C^\infty_{\DR,M}$-Modul der glatten Schnitte eines B"undels}] Gegeben $E\ra M$ ein Vektorb"undel auf einer Mannigfaltigkeit ist die abelsche Pr"agarbe $\mathcal S^\infty_E$ der glatten Schnitte von $E$ in nat"urlicher Weise ein $\mathcal C^\infty_{\DR,M}$-Modul. \end{Beispiel} \begin{Proposition}[\textbf{Vektorb"undel und Modulgarben}] Gegeben eine Mannigfaltigkeit $M$ ist die Zuordnung,\label{MLNN} die jedem Vektorb"undel $E$ auf $M$ den $\mathcal C^\infty_{\DR,M}$-Modul seiner glatten Schnitte $\mathcal S^\infty_E$ zuordnet, ein volltreuer Multifunktor, der mit Tensorprodukten und internem Hom vertauscht. \end{Proposition} \begin{proof} Unsere Zuordnung ist offensichtlich ein Multifunktor. Wir behaupten zun"achst, da"s f"ur beliebige Vektorb"undel $E,F$ der nat"urliche Morphismus \eref{kater}{TS} ein Isomorphismus $$(\mathcal S^\infty E)\otimes_{\mathcal C^\infty_{\DR,M}} (\mathcal S^\infty F)\;\sira\; \mathcal S^\infty(E\otimes_\DR F)$$ ist. Es reicht dazu zu zeigen, da"s unsere Mannigfaltigkeit eine "Uberdeckung durch offene Teilmengen hat derart, da"s unsere nat"urliche Abbildung unter Restriktion auf jede dieser offenen Teilmengen ein Isomorphismus wird. (STOPP: HIER MUSS GARBEN TENSORIEREN; PRAEGARBEN REICHT NICHT!) Die Restriktion der nat"urlichen Abbildung f"allt aber zusammen mit der nat"urlichen Abbildung zu den restringierten Vektorb"undeln. So k"onnen wir uns auf den Fall zur"uckziehen, da"s unsere Vektorb"undel $M\times \DR^n$ und $M\times \DR^m$ sind. Da unsere Konstruktionen mit endlichen direkten Summen alias Produkten vertauschen, k"onnen wir sogar $n=m=1$ annehmen. In diesem Fall ist aber die Behauptung explizit klar. Den Fall von Tensorprodukten einer beliebigen L"ange $r\geq 0$ behandeln wir genauso. Dasselbe Argument zeigt auch, da"s der nat"urliche Morphismus \eref{fIH}{TS} ein Isomorphismus $$\mathcal S^\infty(E\Rrightarrow F)\;\sira\; (\mathcal S^\infty E)\Rrightarrow (\mathcal S^\infty F)$$ ist. Um zu zeigen, da"s unser Multifunktor volltreu ist auf einfachen Morphismen, mu"s man nur beachten, da"s der letze Isomorphismus von Garben einen Isomorphismus ihrer globalen Schnitte induziert. Da"s er auch volltreu ist auf Multimorphismen, folgt dann aus der Vertr"aglichkeit mit dem Tensorprodukt. %{MorEk} \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Vektorb"undel und Moduln}] Gegeben eine Mannigfaltigkeit $M$ ist die Zuordnung,\label{MLNNm} die jedem Vektorb"undel $E$ auf $M$ den $\mathcal C^\infty(M)$-Modul seiner glatten globalen Schnitte $\mathcal S^\infty(M;E)$ zuordnet, ein volltreuer Multifunktor, der mit Tensorprodukten und internem Hom vertauscht. \end{Proposition} \begin{proof} Sei $E$ ein Vektorb"undel auf $M$. Um jeden Punkt $p\in M$ gibt es eine offene Umgebung $V$ und einen B"undelhomomorphismus $M\times \DR^n\ra E$ des trivialen B"undels nach $E$, dessen Restriktion auf $V$ ein Isomorphismus $V\times \DR^n\sira E|_V$ ist. Weiter finden wir eine glatte Funktion $e:M\ra\DR$ mit Tr"ager in $V$, die auf einer weiteren offenen Umgebung $U\co V$ von $p$ konstant Eins ist. Unser B"undelhomomorphismus induziert einen Isomorphismus $e\mathcal S^\infty(M;M\times \DR^n)\sira e\mathcal S^\infty(M;E)$ und dann mit \eref{eMj}{TS} auch einen Isomorphismus $$\mathcal C^\infty(U)\otimes_{\mathcal C^\infty(M)} \mathcal S^\infty(M;M\times \DR^n)\sira\mathcal C^\infty(U)\otimes_{\mathcal C^\infty(M)} \mathcal S^\infty(M;E)$$ Er zeigt, da"s die Multiplikation von Schnitten mit glatten Funktionen einen Isomorphismus $$\mathcal C^\infty(U)\otimes_{\mathcal C^\infty(M)} \mathcal S^\infty(M;E)\sira \mathcal S^\infty(U;E)$$ induziert. Zusammen mit unserem volltreuen Funktor \ref{MLNN} von Vektorb"undeln zu Modulgarben folgt leicht, da"s auch unser Funktor in dieser Proposition volltreu ist. In der Sprache der Garben \eref{ZhgM}{TG} ist genauer die Koeinheit der Adjunktion ein Isomorphismus $$\mathcal C^\infty_{M}\otimes_{\mathcal C^\infty(M)} \mathcal S^\infty(M;E)\sira \mathcal S^\infty_E$$ Jetzt noch das Multizeugs! \end{proof} \begin{proof} Sei $p\in M$ und $s\in \mathcal S^\infty(M;E)$. Genau dann verschwindet $s$ in einer Umgebung von $p$, wenn es eine glatte Funktion $f\in \mathcal C^\infty(M)$ gibt, die in einer Umgebung von $p$ verschwindet und f"ur die gilt $fs=s$. Jede $\mathcal C^\infty(M)$-lineare Abbildung $ \mathcal S^\infty(M;E)\ra \mathcal S^\infty(M;F)$ induziert folglich Abbildungen zwischen den Schnittkeimen an jedem Punkt, und man sieht leicht, da"s diese einen Morphismus von $\mathcal C^\infty_M$-Moduln $ \mathcal S^\infty E\ra \mathcal S^\infty F$ liefern. F"ur multilineare Abbildungen argumentiert man genauso. REST NOCH AUSARBEITEN! \end{proof} \subsection{Felder auf Mannigfaltigkeiten} \begin{Bemerkungl} Unter einem {\bf Feld}\index{Feld} versteht man im allgemeinen einen Schnitt eines B"undels und im besonderen einen Schnitt eines B"undels auf einer Mannigfaltigkeit, das durch Anwenden eines\label{FeMg} \hyperref[gGRZ]{glatten} \hyperref[GRZ]{Gruppoidfunktors} aus dem Tangentialb"undel hervorgeht. Wenn ich hervorheben will, da"s letztere Bedeutung gemeint ist, so spreche ich von einem {\bf nat"urlichen B"undel}\index{B"undel!nat"urliches} und einem {\bf nat"urlichen Feld}.\index{Feld!nat"urliches} Hei"st unser Gruppoidfunktor $A,$ so rede ich auch von einem {\bf $A$-Feld}. "Ubliche Bezeichnungsweisen f"ur derartige B"undel und Felder auf einer Mannigfaltigkeit $X$ fa"st die folgende Tabelle zusammen.\index{kanonisch!B"undel}\index{B"undel!kanonisches} \vspace{5mm} $$\begin{array}{cll} \text{Vektorraumb"undel}&\text{"ubliche Bezeichnung} &\text{Bezeichnung der Schnitte}\\[1mm] \hline\\ X\times\DR&\text{triviales B"undel} & \text{skalares Feld, Funktion}\\ {\op{T}} X&\text{Tangentialb"undel} & \text{Vektorfeld}\\ {\op{T}}^\ast X&\text{\bf Kotangentialb"undel} & \text{\bf Kovektorfeld}\\ ({\op{T}}^\ast X)^{\otimes r}\otimes ({\op{T}} X)^{\otimes s} & & \text{\bf Tensorfeld, $r$-fach kovariant,}\\ & & \text{\bf $s$-fach kontravariant}\\ \bigwedge^k{\op{T}}^\ast X &\text{{\bf $k$-Formen-B"undel}}& \text{{\bf $k$-Form, Differentialform}}\\ \bigwedge^{\op{max}}{\op{T}}^\ast X&\text{\bf kanonisches B"undel} & \text{{\bf Volumenform}}\\ |\bigwedge^{\op{max}}{\op{T}}^\ast X | &\text{\bf Dichteb"undel}& \text{{\bf Dichte}}\\ |\bigwedge^{\op{max}}{\op{T}}^\ast X |^{1/2} & \text{{\bf Halbdichtenb"undel}} & \text{{\bf Halbdichte}}\\ \op{or}_X^\DR&\text{{\bf Orientierungsb"undel}}& \end{array}$$ Hier verstehen wir $\op{max}=\op{dim}X$. Das Orientierungsb"undel $\op{or}_X^\DR$ ist definiert durch das Anwenden des Gruppenhomomorphismus $\op{GL}(n;\DR)\ra \{\pm 1\}\subset \DR^\times,$ der jeder invertierbaren Matrix das Vorzeichen ihrer Determinante zuordnet. Es tr"agt mehr Struktur als nur die Struktur eines eindimensionalen reellen Vetorraumb"undels, wir gehen darauf in \ref{??} noch ausf"uhrlich ein. % $$\begin{array}{lccll} % \rho&F& Y \times_{G} F&\text{Vektorraumb"undel}&\text{Schnitt}\\[1mm] % \hline\\ % & \DR^n % & {\op{T}} X&\text{Tangentialb"undel} & \text{Vektorfeld}\\ % & (\DR^n)^\ast % & {\op{T}}^\ast X&\text{\bf Kotangentialb"undel} % & \text{\bf Kovektorfeld}\\ % & \bigwedge^k(\DR^n)^\ast % & \bigwedge^k{\op{T}}^\ast X % &\text{{\bf B"undel der $k$-Formen}}& \text{{\bf $k$-Form}}\\ % \;\det^{-1} & \DR % & \bigwedge^n{\op{T}}^\ast X&\text{\bf Determinantenb"undel} % & \text{{\bf Volumenform}}\\ % |\det|^{-1} & \DR % & % &\text{\bf Dichteb"undel}& \text{{\bf Dichte}}\\ % |\det|^{-1/2} & \DR % & % && \text{{\bf Halbdichte}} % \end{array}$$ \index{Differentialform!auf Mannigfaltigkeit} \index{Volumenform}\index{Kotangentialb"undel} \index{Kovektorfeld!auf Mannigfaltigkeit} \index{Dichte}\index{Halbdichte} \index{Orientierungsb"undel}\index{Tensorfeld} \end{Bemerkungl} \begin{Definition}[\textbf{Verwandtschaft von Feldern}]\index{verwandt!Felder} Sei $\phi:X\ra Y$ eine glatte Abbildung von Mannigfaltigkeiten, deren Differential an jeder Stelle ein Isomorphismus ist. Derartige Abbildungen hei"sen {\bf \'etale}.\index{etale@\'etale!bei Mannigfaltigkeiten} Sei $n$ die gemeinsame Dimension unserer Mannigfaltigkeiten und sei $A$ ein $(m;n)$-Gruppoidfunktor. Zwei $A$-Felder $\sigma:X\ra A({\op{T}}X)$ und $\tau:Y\ra A({\op{T}}Y)$ hei"sen {\bf verwandt unter $\phi$} und wir schreiben $\phi:\sigma\leadsto\tau$ genau dann, wenn gilt $$\tau(\phi(x))=(A(\diff_x\phi))(\sigma(x))\quad\forall x\in X$$ Nat"urlich hat jedes Feld f"ur derartige Abbildungen genau einen R"uckw"artsverwandten, und ist unsere Abbildung sogar ein Diffeomorphismus, so hat es auch genau einen Vorw"artsverwandten.\label{VerwF} Auch in dieser Allgemeinheit ist Verwandtschaft transitiv im Sinne von \eref{VerT}{AN2}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{POI} Ist $D$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $X\co D$ eine offene Teilmenge und $A$ ein glatter Gruppoidfunktor, so induziert unsere kanonische Identifikation $X\times\vec D\sira{\op{T}}X $ aus \eref{VFAR}{ML} in offensichtlicher Weise eine Identifikation $X\times A(\vec D)\sira A({\op{T}}X)$, mithilfe derer wir $A$-Felder $\sigma$ auf $X$ identifizieren k"onnen mit Abbildungen $\hat\sigma:X\ra A(\vec D)$. Zum Beispiel entspricht so ein Kovektorfeld auf $X\co D$ einer Abbildung $X\ra \vec D^\ast$ und eine $k$-Form auf $X$ einer Abbildung $X\ra \op{Alt}^k(\vec D)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $E$ ein weiterer endlichdimensionaler reeller Raum und $Y\co E$ eine offene Teilmenge und $\phi:X\ra Y$ \'etale, so sind zwei $A$-Felder $\sigma, \tau$ unter $\phi$ verwandt genau dann, wenn f"ur die zugeh"origen Abbildungen $\hat\sigma:X\ra A(\vec D)$ und $\hat\tau:Y\ra A(\vec E)$ gilt $A(\diff_x\phi):\hat\sigma(x)\mapsto \hat\tau(\phi(x))$ f"ur alle $x\in X$ unter $A(\diff_x\phi):A(\vec D)\sira A(\vec E)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{lVFv} Will man f"ur einen vorgegebenen glatten $(m;n)$-Gruppoidfunktor ein $A$-Feld $\tau$ auf einer Mannigfaltigkeit $X$ explizit angeben, so wird man wie im Fall von Vektorfeldern \eref{lVF}{ML} einen Atlas w"ahlen und f"ur jede Karte von besagtem Atlas $\varphi_{\lambda} : W_\lambda \rightarrow X$ diejenige Abbildung $\hat\tau:W_ \lambda\ra A(\DR^d)$ angeben, die dem unter $\varphi_{\lambda}$ zu $\tau$ verwandten $A$-Feld auf $W_ \lambda \co \Bbb{R}^d$ unter der Identifikation in \ref{POI} entspricht. Sind umgekehrt $A$-Felder auf den Definitionsbereichen der Karten eines Atlas gegeben, so kommen sie in dieser Weise von einem $A$-Feld auf unserer Mannigfaltigkeit her genau dann, wenn f"ur je zwei Karten ihre entsprechenden Einschr"ankungen unter Kartenwechseln verwandt sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{R"uckzug von Feldern}] Das Vorhergehende erweitert unsere Verwandt\-schafts\-be\-grif\-fe aus \eref{VerW}{AN2} auf allgemeinere Felder, aber um den Preis, da"s wir nur recht\label{VerF} spezielle, eben \'etale Abbildungen $\phi$ zulassen d"urfen. Nur wenn wir von einen ko- oder kontravarianten Funktor $A:\op{Modf}_\DR\ra \op{Modf}_\DR$ auf allen endlich erzeugten $\DR$-Vektorr"aumen ausgehen, erkl"aren wir f"ur die zugeh"origen $A$-Felder allgemeiner Verwandtschaft $\phi:\sigma\leadsto\tau$ unter beliebigen glatten Abbildungen $\phi$. Im kovarianten Fall erkl"aren wir diese Verwandtschaft durch dieselbe Bedingung $$\tau(\phi(x))=(A(\diff_x\phi))(\sigma(x))\quad\forall x\in X$$ Im kontravarianten Fall gilt es zu beachten, da"s der zugeh"orige Gruppoidfunktor, den wir auf unser Tangentialb"undel anwenden, einem Isomorphismus $\varphi:V\sira W$ den Isomorphismus $A(\varphi)^{-1}:A(V)\sira A(W)$ zuordnet. Folgerichtig erkl"aren wir in diesem Fall Verwandtschaft durch die Bedingung $$(A(\diff_x\phi))\tau(\phi(x))=\sigma(x)\quad\forall x\in X$$ Letzterer Fall ist besonders wichtig, da in diesem Fall jedes $A$-Feld $\tau$ auf $Y$ unter jeder glatten Abbildung genau einen R"uckw"artsverwandten hat, der eben durch besagte Formel gegeben wird. Man notiert diesen R"uckw"artsverwandten $$\phi^\ast\tau$$ und nennt ihn den {\bf R"uckzug von} $\tau$. Auch in dieser Allgemeinheit ist Verwandtschaft transitiv im Sinne von \ref{VerT}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sind $D,E$ endlichdimensionale reelle R"aume und $X\co D$ sowie $Y\co E$ offene Teilmengen und $A:\op{Modf}_\DR\ra \op{Modf}_\DR$ ein kontravarianter Funktor und $\phi:X\ra Y$ eine glatte Abbildung, so sind zwei $A$-Felder $\sigma, \tau$ unter $\phi$ verwandt genau dann, wenn f"ur die zugeh"origen Abbildungen $\hat\sigma:X\ra A(\vec D)$ und $\hat\tau:Y\ra A(\vec E)$ gilt $A(\diff_x\phi):\hat\tau(\phi(x))\mapsto \hat\sigma(x)$ f"ur alle $x\in X$ unter $A(\diff_x\phi):A(\vec E)\sira A(\vec D)$. % In anderen Worten wird also % der R"uckzu in diesem Fall unter den entsprechenden % Identifikationen beschrieben durch die Formel % $$(\phi^\ast\tau)(x)=(F(\diff_x\phi))(\tau(\phi(x)))$$ \end{Bemerkungl} \subsection{Integration auf abstrakten Mannigfaltigkeiten} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Mannigfaltigkeit $X$ hatten wir in \ref{FeMg} eine Dichte auf $X$ erkl"art als einen Schnitt des Dichteb"undels $|\Lambda^{\op{max}} {\op{T}}^\ast X|$. Wir nennen eine solche Dichte \defind{nichtnegativ} genau dann, wenn ihr Wert an keiner Stelle $x \in X$ eine negativ orientierte Basis von $|\Lambda^{\op{max}} {\op{T}}^\ast_x X|$ ist. % \label{DIi} Zum Beispiel ist f"ur jede Volumenform $\omega$ auf $X$ ihr Betrag $|\omega|$ eine nichtnegative Dichte auf $X$. Insbesondere kann jede Dichte $\mu$ auf $W \co \mathbb R^n$ in eindeutiger Weise geschrieben werden als \begin{equation*} \mu = a(x) | dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_n| \end{equation*} mit $a: W \rightarrow \mathbb R$, und eine derartige Dichte auf $W\co \mathbb R^n$ ist nichtnegativ genau dann, wenn gilt $a(x) \geq 0 \quad \forall x \in W$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DIi} Gegeben auf $W \co \mathbb R^n$ eine me"sbare nichtnegative Dichte $\mu = a(x) | dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_n |$ und eine me"sbare Teilmenge $B \subset W$ erkl"aren wir das Integral unserer Dichte "uber besagte Teilmenge in $[0,\infty]$ durch die Vorschrift \begin{equation*} \int_B\mu \pdef \int_B a(x) \;\diff^n x \end{equation*} \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Ma"s einer nichtnegativen Dichte}] Gegeben eine separable Mannigfaltigkeit $X$ und darauf eine nichtnegative me"sbare Dichte $\mu$ existiert genau ein topologisches Ma"s $\tilde\mu$ auf $X$ mit der Eigenschaft, da"s das Ma"s jeder Borelmenge $A \subset X$, die ganz\label{MasD} im Bild einer Karte $\varphi : W \rightarrow X$ enthalten ist, gegeben wird durch \begin{equation*} \tilde\mu (A) = \int_{\varphi^{-1} (A)} \varphi^\ast \mu \end{equation*} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Hier meint $\varphi^\ast \mu$ die auf $W$ zur"uckgeholte Dichte, und deren Integral ist im Sinne von \ref{DIi} zu verstehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sobald der Satz einmal bewiesen ist, machen wir in der Notation keinen Unterschied mehr zwischen einer nichtnegativen me"sbaren Dichte und dem zugeh"origen Ma"s. Gegeben eine me"sbare Volumenform $\omega$ bezeichnet dann insbesondere $|\omega|$ sowohl die zugeh"orige Dichte als auch das zugeh"orige Ma"s. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Der Beweis von \eref{DDfm}{AN3} kann fast ohne "Anderungen "ubernommen werden. Der wesentliche Punkt ist wieder der Nachweis, da"s f"ur $\psi : V \rightarrow X$ eine weitere Karte mit $\psi (V) = \varphi (W)$ gilt \begin{equation*} \int_{\varphi^{-1}(A)} \varphi^\ast \mu = \int_{\psi^{-1}(A)} \psi^\ast \mu \end{equation*} Bezeichnet jedoch $g \pdef \varphi^{-1} \circ \psi: V \overset{\sim}{\rightarrow} W$ den Kartenwechsel und haben wir $\varphi^\ast \mu = a(x)|dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_n|$, so ergibt sich \begin{eqnarray*} \psi^\ast \mu & =& g^\ast \varphi^\ast \mu\\ &=& g^\ast (a |dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_n|)\\ &=&(a \circ g) |\op{det} \diff g| | dy_1 \wedge \ldots \wedge dy_n| \end{eqnarray*} wo ich in der Hoffnung, dadurch das Verst"andnis zu f"ordern, dieselben Koordinaten auf $\mathbb R^n$ einmal $x_i$ nenne, wenn sie n"amlich auf $W$ zu verstehen sind, und dann wieder $y_i$, wenn sie auf $V$ zu verstehen sind. Die behauptete Gleichheit der Integrale folgt nun wie im Beweis von \eref{DDfm}{AN3} aus der Transformationsformel \eref{TFL}{AN3}. \end{proof} \subsection{Wohin?} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine reellen Mannigfaltigkeit $X$ und ein endlichdimensionaler $\DR$-Vektorraum $W$ k"onnen wir den Formalismus der Differentialformen wie in \ref{TFUU} auf $W$-wertige Differentialformen verallgemeinern. So erhalten wir insbesondere eine "au"sere Ableitung $$\diff: \Omega^k(X)\otimes W\ra \Omega^{k+1}(X)\otimes W$$ f"ur $k\geq 0$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist auf $X$ eine fast-komplexe Struktur gegeben, als da hei"st eine Struktur als komplexes Vektorb"undel alias einen Automorphismus $J$ mit $J^2=-\op{id}$ auf dem Tangentialb"undel, so erhalten wir auch eine Struktur als komplexes Vektorb"undel auf dem Kotangentialb"undel ${\op{T}}^\ast X$. Setzen wir $\DC\otimes_\DR{\op{T}}^\ast X \defp {\op{T}}^\ast_\DC X$, so erhalten wir mit \ref{KRK} einen Isomorphismus ${\op{T}}^\ast_\DC X\sira {\op{T}}^\ast X\oplus \overline{{\op{T}}^\ast X}$ von komplexen Vektorb"undeln. Mit \ref{otKRK} liefert er Isomorphismen von komplexen Vektorb"undeln $$\bigoplus_{i+j=k}\bigwedge^i {\op{T}}^\ast X\otimes \bigwedge^j\overline{{\op{T}}^\ast X}\sira \bigwedge^k{\op{T}}^\ast_\DC X$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Auf einer komplexen Mannigfaltigkeit $X$ der komplexen Dimension $n$ ist das Tangentialb"undel ${\op{T}}X$ der zugrundeliegenden reellen Mannigfaltigkeit in nat"urlicher Weise ein komplexes Vektorraumb"undel der komplexen Dimension $n$. Gegeben ein glatter Schnitt $\omega$ von $\bigwedge^i {\op{T}}^\ast X\otimes \bigwedge^j\overline{{\op{T}}^\ast X}$ pr"uft man in Koordinaten leicht, da"s $d\omega$ bereits in $\bigwedge^{i+1} {\op{T}}^\ast X\otimes \bigwedge^j\overline{{\op{T}}^\ast X}\oplus \bigwedge^i {\op{T}}^\ast X\otimes \bigwedge^{j+1}\overline{{\op{T}}^\ast X}$ landet. Die besagten Komponenten notieren wir $\partial\omega$ und $\bar\partial\omega$ und erhalten so eine kanonische Zerlegung $d\omega=\partial\omega+\bar\partial\omega$. \end{Bemerkungl} \subsection{Lie-Ableitung} \begin{Definition}[\textbf{Lie-Ableitung}]\index{Lie-Ableitung} Gegeben ein glattes Vektorfeld $\xi$ auf einer glatten Mannigfaltigkeit $X$ und ein glattes Feld $T$, genauer ein glattes nat"urliches Feld im Sinne von \ref{FeMg}, das also durch Anwenden eines\label{FeMgA} \hyperref[gGRZ]{glatten} \hyperref[GRZ]{Gruppoidfunktors} aus dem Tangentialb"undel hervorgeht, erkl"aren wir ein Feld derselben Art, seine {\bf Lie-Ableitung} \begin{equation*} \mathcal L_\xi T \end{equation*} Man bezeichne dazu f"ur $x \in X$ und kleine $s \in \mathbb R$ mit $\xi^s (x) \in X$ den Punkt, bei dem der Punkt $x$ landet, wenn er sich f"ur die Zeit $s$ mit dem Flu"s des Vektorfelds $\xi$ treiben l"a"st. Dann sind die $\xi^s $ f"ur kleine $s$ Diffeomorphismen einer festen offenen Umgebung $U$ von $p \in X$ mit offenen Teilmengen $\xi^s (U) \co X$. Bezeichne $T^{[s;\xi]}=T^{[s]}$ das Feld auf $U$, das unter $\xi^s $ zum urspr"unglichen Feld $T$ auf $\xi^s (U)$ verwandt ist, in Formeln \begin{equation*} \xi^s : T^{[s]} \leadsto T \end{equation*} Die $T^{[s]}$ bilden dann ein von $s$ abh"angiges Feld auf $U$ und wir definieren \begin{equation*} (\mathcal L_\xi T)_p = \lim_{s \rightarrow 0} \frac{(T^{[s]})_p - T_p}{s} \end{equation*} Nun mu"s noch gezeigt werden, da"s diese Grenzwerte existieren und da"s $\mathcal L_\xi T$ wieder ein glattes Feld ist. Das "uberlassen wir dem Leser und leiten nur unter der Annahme der Existenz explizite Formeln her. Mit etwas mehr Sorgfalt kann man zusammen mit den expliziten Formeln aber auch unschwer die Existenz der fraglichen Grenzwerte zeigen. \end{Definition} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Felder mit verschwindender Lie-Ableitung}] Seien $\xi$ ein glattes Vektorfeld auf einer glatten Mannigfaltigkeit $X$ und $T$ ein glattes Feld auf $X$. Ist $\mathcal L_\xi T$ das Nullfeld, so folgt $\xi^s:T\leadsto T$ f"ur alle $U\co X$ und $s\in\DR$ derart, da"s der Flu"s $\xi^s(x)$ definiert ist f"ur alle $x\in U$. In Worten ist demnach ein Feld mit invarianter Lie-Ableitung nach einem vorgegebenen Vektorfeld \glqq invariant unter dem Flu"s von besagtem Vektorfeld\grqq. In der Tat hat dann die Abbildung $s\mapsto (T^{[s]})_p$ an jeder Stelle ihres Definitionsintervalls die Ableitung Null, denn wir haben f"ur kleines $h\neq 0$ sicher\label{KLIQ} $$\diff\xi^s: \frac{1}{h}\left((T^{[s+h]})_p-(T^{[s]})_p\right)\mapsto \frac{1}{h}\left((T^{[h]})_q-T_q\right)$$ mit $q=\xi^s(p)$, und f"ur $h\ra 0$ strebt die rechte Seite nach unseren Annahmen gegen Null. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel} Gegeben eine {\bf Riemann'sche Mannigfaltigkeit} \index{Riemann'sche Mannigfaltigkeit} \index{Mannigfaltigkeit!Riemann'sche} alias eine glatte Mannigfaltigkeit $X$ mit einem ausgezeichneten glatten symmetrischen Tensorfeld $g\in\op{Sym}^2({\op{T}}X)$, das an jeder Stelle ein Skalarprodukt ist, versteht man unter einem {\bf Killing-Feld}\index{Killing-Feld} ein glattes Vektorfeld $\xi$ auf $X$ mit $\mathcal L_\xi g=0$. In anderen Worten ist also ein Killing-Feld ein Vektorfeld $\xi$, dessen Flu"s Isometrien $\xi^s:U\sira \xi^s(U)$ liefert, wo immer er definiert ist. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Divergenz und Lie-Ableitung}] Jeder Riemann'schen Mannigfaltigkeit $X$ kann man ihre nat"urliche Dichte $\omega$ zuordnen, einen ausgezeichneten glatten Schnitt des Dichteb"undels. Gegeben ein glattes Vektorfeld $\xi$ auf $X$ kann die {\bf Divergenz $\op{div}\xi$}\index{Divergenz!auf Riemann'scher Mannigfaltigkeit} beschrieben werden als die eindeutig definierte Funktion mit\label{divL} $$\mathcal L_\xi\omega=(\op{div}\xi)\omega$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Lie-Ableitung von Funktionen}] Im Fall eines skalaren Feldes $T$ alias einer glatten Funktion $f$ haben wir offensichtlich\label{LAV} $$\mathcal L_\xi f =\xi f$$ In Worten ist die Lie-Ableitung einer Funktion also schlicht die Funktion, die daraus durch das Anwenden des fraglichen Vektorfelds entsteht. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lie-Ableitung versus kovariante Ableitung}] Die Lie-Ableitung einer Funktion an einer gegebenen Stelle h"angt nur vom Wert des ableitenden Vektorfelds an besagter Stelle ab. Das ist bei der Lie-Ableitung allgemeiner Felder nicht mehr richtig: Die Lie-Ableitung eines Feldes an einer gegebenen Stelle wird im allgemeinen von den Werten des ableitenden Vektorfelds in einer Umgebung der fraglichen Stelle abh"angen und keineswegs nur von seinem Wert an besagter Stelle. Das ist ein fundamentaler Unterschied zur kovarianten Ableitung \ref{KovA}, die auch in Richtung isolierter Tangentialvektoren wohldefiniert ist und beim Ableiten nach Vektorfeldern $\xi$ der Identit"at $\nabla_{f\xi}=f\nabla_{\xi}$ gehorcht. Dahingegen haben wir f"ur die Lie-Ableitung im allgemeinen $\cal L_{f\xi}\neq f\cal L_{\xi}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lie-Ableitung und "au"sere Ableitung}] Die Lie-Ableitung des Differentials einer Funktion ist das Differential ihrer Lie-Ableitung, in Formeln \begin{equation*} \mathcal L_\xi (\diff f) =\op{d}(\mathcal L_\xi f) \end{equation*} Um das einzusehen, gehen wir von der Erkenntnis aus, da"s die Verwandtschaft $\xi^t :f^{[t]}\leadsto f$ nach \ref{zhn} auch eine Verwandtschaft $\xi^t :\op{d} (f^{[t]})\leadsto \diff f$ alias die Gleichheit $\op{d} (f^{[t]})=(\diff f)^{[t]}$ induziert. Nun w"urden wir gerne rechnen $$\mathcal L_\xi (\diff f)= \lim_{t \rightarrow 0} \frac{(\diff f)^{[t]} - \diff f}{t}= \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\op{d} (f^{[t]}) - \diff f}{t}= \diff \left(\lim_{t \rightarrow 0} \frac{ f^{[t]} - f}{t}\right)=\op{d}(\mathcal L_\xi f)$$ Das ist zwar in dieser Form noch problematisch, aber w"ahlen wir lokale Koordinaten $x_1, \ldots, x_n$ und betrachten die Funktion $(x,t)\mapsto f^{[t]}(x)$ auf $U \times(-\varepsilon, \varepsilon)$, so ist auch diese Funktion glatt und wir erhalten $\mathcal L_\xi (\diff f)=\partial_t\sum_i\partial_i f^{[t]}(x)\diff x_i$ sowie $\diff (\mathcal L_\xi f)=\sum_i\partial_i \partial_t f^{[t]}(x)\diff x_i$ mit der Notation $\partial_i$ f"ur die partielle Ableitung nach $x_i$ und $\partial_t$ f"ur das Auswerten bei $t=0$ der partiellen Ableitung nach $t$ und die Behauptung folgt aus der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen.\label{LADF} In derselben Weise zeigt man f"ur Differentialformen beliebigen Grades, da"s die Lie-Ableitung auch mit der "au"seren Ableitung vertauscht, in Formeln \begin{equation*} \mathcal L_\xi (d\omega) =d(\mathcal L_\xi \omega) \end{equation*} Noch allgemeiner folgt in derselben Weise, da"s die Lie-Ableitung vertauscht mit beliebigen \glqq verwandtschaftsvertr"aglichen Differentialoperatoren\grqq\ zwischen glatten Schnitten nat"urlicher B"undel. Unter einem \glqq Differentialoperator\grqq\ verstehen wir dabei eine Abbildung zwischen den R"aumen glatter Schnitte, die in lokalen Koordinaten und bez"uglich B"undelkarten durch Polynome in den partiellen Ableitungen mit glatten Funktionen als Koeffizienten gegeben werden kann. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{VjLi} F"ur die Lie-Ableitung des Tensorprodukts irgendwelcher nat"urlichen Felder $S,T$ gilt offensichtlich die {\bf Leibniz-Regel}\index{Leibniz-Regel!f"ur die Lie-Ableitung} \begin{equation*} \mathcal L_\xi (S\otimes T) =(\mathcal L_\xi S)\otimes T+S\otimes (\mathcal L_\xi T) \end{equation*} Speziell gilt die {\bf Leibniz-Regel}\index{Leibniz-Regel!f"ur die Lie-Ableitung} $\mathcal L_\xi (fT) =(\xi f)T+f (\mathcal L_\xi T)$ f"ur jede glatte Funktion $f$ und jedes glatte nat"urliche Feld $T$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Lie-Ableitung von Vektorfeldern}] Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Das Auswerten von Kovektoren auf Vektoren liefert einen nat"urlichen B"undelhomomorphismus ${\op{T}}^\ast M\otimes{\op{T}} M \ra \DR\times M$ alias einen verwandtschaftsvertr"aglichen Differentialoperator vom Grad Null zwischen den zugeh"origen R"aumen glatter Schnitte. Gegeben ein Kovektorfeld $\omega$ und Vektorfelder $\xi,\zeta$ finden wir damit nach dem Vorhergehenden die Identit"at $$\mathcal L_\xi\langle\omega,\zeta\rangle=\langle\mathcal L_\xi\omega,\zeta\rangle + \langle\omega,\mathcal L_\xi\zeta\rangle$$ Wenden wir das speziell auf $\omega=\diff f$ an und beachten $\langle\diff f,\zeta\rangle=\zeta f$ sowie $\mathcal L_\xi(\diff f)=\op{d}(\mathcal L_\xi f)$, so folgt\label{LAK} $\xi(\zeta f)= \zeta(\xi f)+ (\mathcal L_\xi\zeta)f$ alias $\mathcal L_\xi\zeta=[\xi,\zeta]$. \end{Beispiel} % \begin{Beispiel}[\textbf{Lie-Ableitung von Vektorfeldern}] % Im Fall eines Vektorfeldes $T=\eta$ gilt nach \eref{VFVD}{AN2} % f"ur jede glatte Funktion $f$\label{LAK} % die Identit"at $(\eta f)^{[t]} = \eta^{[t]} f^{[t]}$ und damit % \begin{eqnarray*} % (\mathcal L_\xi (\eta f))(p) = \lim_{t \rightarrow 0} % \frac{(\eta^{[t]} f^{[t]})(p)- % (\eta f^{[t]})(p)+ (\eta f^{[t]})(p) - (\eta f)(p)}{t} % \end{eqnarray*} % W"ahlen wir uns lokale Koordinaten $x_1, \ldots, x_n$ auf $U$ % und schreiben % $\eta^{[t]} = a_1 \partial_1 + \ldots + a_n \partial_n$ % mit $a_i = a_i (x,t)$ glatt auf $U \times(-\varepsilon, \varepsilon)$ % und betrachten ebenfalls auf $U \times(-\varepsilon, \varepsilon)$ % die glatte Funktion $(x,t) % \mapsto f^{[t]} (x),$ so liefert % die Vertauschbarkeit der partiellen Ableitung $\partial_t$ % nach $t$ mit den partiellen Ableitungen $\partial_i$ nach den $x_i,$ % da"s unser Limes mit $((\mathcal L_\xi \eta) f)(p)+ (\eta(\xi f))(p)$ % identifiziert werden kann. F"ur jede glatte Funktion $f$ gilt mithin % $\xi (\eta f)=\mathcal L_\xi (\eta f)=(\mathcal L_\xi \eta) f+ \eta(\xi f),$ % und daraus ergibt sich f"ur je zwei Vektorfelder unmittelbar die Identit"at % \begin{equation*} % \mathcal L_\xi \eta = \left[ \xi, \eta\right] % \end{equation*} % \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} Mit \ref{KLIQ} k"onnen wir nun auch eine weitere Herleitung von Proposition \eref{KoVez}{ML} "uber kommutierende Vektorfelder geben: Kommutieren zwei Vektorfelder, so verschwindet ja nach \ref{LAV} die Lie-Ableitung des Ersten nach dem Zweiten, also ist nach \ref{KLIQ} das Erste invariant unter dem Flu"s des Zweiten, und dann mu"s nat"urlich auch der Flu"s des Ersten mit dem Flu"s des Zweiten kommutieren. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kontraktion von Differentialformen}] Sei $V$ ein Vektorraum "uber einem K"orper. Gegeben eine alternierende $(k+1)$-Multilinearform $\omega\in \op{Alt}^{k+1}(V)$ und $v\in V$ definiert man wie in \eref{inser}{LA2} eine\label{ixi} alternierende $k$-Multilinear\-form $i_v\omega\in \op{Alt}^{k}(V)$ durch die Vorschrift \index{i@$i_v\omega$ Teilauswerten von Multilinearform} $$i_v\omega(v_1,\ldots,v_k)\pdef\omega(v,v_1,\ldots,v_k)$$ Der Buchstabe $i$ steht wohl f"ur \glqq insertion\grqq. Offensichtlich gilt $i_vi_w=-i_wi_v$. Unsere Definition \eref{DaPr}{AN2} des Dachprodukts liefert weiter unmittelbar $$i_v(\omega\wedge \eta)=(i_v\omega)\wedge \eta + (-1)^{|\omega|}\omega\wedge (i_v\eta)$$ Gegeben ein Vektorfeld $\xi$ und eine $(k+1)$-Form $\omega$ erkl"art man entsprechend die $k$-Form $ i_\xi\omega$.\index{i@$i_\xi\omega$ Teilauswerten von Differentialform} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lie-Ableitung von Differentialformen}] F"ur die Lie-Ableitung von Differentialformen gilt die {\bf Cartan-Formel}\index{Cartan-Formel} \label{LabD} $$\mathcal L_\xi = i_\xi \circ d + d \circ i_\xi$$ In der Tat pr"uft man ohne Schwierigkeiten, %Stimmt wirklich! da"s beide Seiten Operatoren $D$ mit der Eigenschaft $D(\omega\wedge \eta) =(D\omega)\wedge \eta+\omega\wedge (D\eta)$ sind. Es reicht damit aus, unsere Formel f"ur Funktionen und ihre Differentiale zu zeigen. Im Fall einer Funktion $f$ liefern jedoch nach \ref{LAV} die Formeln auf beiden Seiten $\xi f,$ und im Fall ihres Differentials $\diff f$ liefern nach \ref{LADF} die Formeln auf beiden Seiten $\op{d}(\xi f)$. Damit ist auch unsere allgemeine Formel hergeleitet. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{"Au"sere Ableitung ohne Koordinaten}] Gegeben eine glatte $p$-Form $\omega$ auf einer Mannigfaltigkeit $M$ und glatte Vektorfelder\label{AAVF} $X_0, \ldots , X_p$ gilt \begin{eqnarray*} (d \omega) (X_0, \ldots , X_p) & =& \sum^p_{j =0} (-1)^j X_j \omega (X_0 , \ldots , \hat X_j , \ldots , X_p)\\ & & + \sum_{i < j} (-1)^{i+j} \omega ([X_i, X_j], \ldots , \hat X_i, \ldots , \hat X_j, \ldots , X_p) \end{eqnarray*} \end{Lemma} \begin{proof} Man pr"uft, da"s die rechte Seite $\mathcal C^\infty (M)$-multilinear ist als Funktion der Vektorfelder $X_i$. Mit dieser Erkenntnis kann man sich auf den Fall der Standardfelder eines Koordinatensystems zur"uckziehen. In diesem Fall aber sieht man die behauptete Formel leicht ein. \end{proof} \subsection{Liealgebren-Kohomologie} \begin{Bemerkungl}[\textbf{De-Rham-Kohomologie als Liealgebren-Kohomologie}] Gegeben eine Liegruppe\index{Lie-Algebren-Kohomologie} $G$ mit einer offenen Teilmenge $U\co G$ erh"alt man einen Isomorphismus $ \op{Alt}^p (\mathfrak g, \mathcal C^{\infty} (U)) \sira \Omega^p (U) $ von $\mathcal C^\infty (U)$-Linksmoduln als die Verkn"upfung $$ \begin{array}{ccccc} \op{Alt}^p (\mathfrak g, \mathcal C^\infty (U)) &\sila& \op{Alt}^p (\mathfrak g, \mathbb R) \otimes \mathcal C^\infty (U) &\rightarrow & \Omega^p (U)\\ &&\omega \otimes f & \mapsto & f \grave\omega \end{array} $$ mit der Notation $\grave\omega$\label{lki} f"ur die linksinvariante Fortsetzung. Er ist nach \ref{AAVF} ein Isomorphismus von Komplexen, wenn wir rechts als Differential die "au"sere Ableitung nehmen und links das Differential erkl"aren durch die Formel $$\begin{array}{ccl} (d\varphi)(v_{0}, \ldots , v_{n}) & = & \sum^{n}_{i=0} (-1)^{i} \grave v_{i} \varphi (v_{0}, \ldots, \hat{v}_{i}, \ldots, v_{n})\\[1mm] &&+ \sum_{ik}^{\infty} (X) \subset \mathcal C^\infty (X)$ das Ideal aller glatten Funktionen, deren partielle Ableitungen bez"uglich einer oder gleichbedeutend jeder Karte um $p$ bei $p$ bis zur Ordnung $k$ verschwinden. Gegeben ein Vektorb"undel $E$ auf $X$ bezeichne \begin{equation*} \mathcal S^{\infty}_{p,>k} (E) \subset \mathcal S^\infty (E) \end{equation*} den Teilraum, der von allen Vielfachen von glatten Schnitten mit Funktionen aus $\mathcal C^{\infty}_{p,>k} (X)$ erzeugt wird. Schlie"slich setzen wir \begin{equation*} \mathcal S^\wedge_p (E) \pdef \op{lim}_k \mathcal S^\infty ( E) / \mathcal S^{\infty}_{p,>k} (E) \end{equation*} Wir nennen die Elemente von $\mathcal S^\wedge_p (E)$ {\bf formale infinitesimale Schnitte}\index{Schnitt!formaler infinitesimaler} des B"undels $E$ bei $p$. Im Spezialfall des trivialen B"undels $E=X\times \DR$ setzen wir $\mathcal C^\wedge_p (X)\pdef \mathcal S^\wedge_p (X\times \mathbb R)$ und jedes System von lokalen Koordinaten $x_1, \ldots , x_n$ um den Punkt $p$ mit $x_i (p) = 0 \; \forall i$ liefert einen nat"urlichen Isomorphismus \begin{equation*} \mathbb R \llbracket x_1, \ldots, x_n\rrbracket \sira \mathcal C^\wedge_p (X) \end{equation*} Die "au"sere Ableitung von Differentialformen liefert an jedem Punkt $p \in X$ eine wohlbestimmte Abbildung zwischen den entsprechenden R"aumen von formalen infinitesimalen Differentialformen bei $p$ und wir erhalten so eine Aufl"osung von $\DR$, n"amlich die Aufl"osung aus dem Poincar\'e-Lemma mit formalen Potenzreihen als Koeffizienten. F"uhren wir diese Konstruktion im Fall einer Liegruppe durch, so erhalten wir nach \ref{lki} den Standardkomplex \ref{LAH} zur Berechnung der Lie-Algebren-Kohomologie der formalen infinitesimalen Funktionen auf unserer Liegruppe beim neutralen Element. Dieser Komplex ist insbesondere auch exakt und wir finden $$ {\op{H}}^q (\mathfrak g;\mathcal C^\wedge_e (G)) =0\quad\text{f"ur }q>0. $$ Nun liefert die durch das Anwenden von Differentialoperatoren auf Funktionen gefolgt vom Auswerten beim neutralen Element $e$ gegebene Paarung ${\op{U}} (\mathfrak g) \times \mathcal C_e^\wedge (G)\ra\DR$ einen Isomorphismus von Darstellungen $ \mathcal C^\wedge_e (G) \sira {\op{U}} (\mathfrak g)^\ast $. Wir folgern erst $ {\op{H}}^q (\mathfrak g;{\op{U}} (\mathfrak g)^\ast) =0$ f"ur $q>0$ und dann mit \eref{InjRA}{TS} sogar $ {\op{H}}^q (\mathfrak g; I) =0$ f"ur jeden injektiven ${\op{U}} (\mathfrak g)$-Modul $I$. Nun liefert die Definition der Liealgebrenkohomologie zu jeder kurzen exakten Sequenz von Darstellungen eine lange exakte Kohomologiesequenz, und so erhalten wir f"ur die Liealgebren von Liegruppen nat"urliche Isomorphismen $$ {\op{H}}^q (\mathfrak g; M)\sira \op{Ext}^q_{{\op{U}} (\mathfrak g)}(\DR,M)$$ f"ur $\DR$ die Einsdarstellung. In \ref{KoKo} verallgemeinern wir das auf beliebige Liealgebren "uber beliebigen K"orpern. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Invarianten und Kohomologie}] Gegeben $(X,d)$ ein Komplex von Vektorr"aumen "uber einem K"orper der Charakteristik Null und $W$ eine endliche Gruppe, die darauf operiert, induziert die Einbettung des Komplexes der Invarianten $X^W\hra X$ Isomorphismen $$\mathcal H^q(X^W)\sira \mathcal H^q(X)^W$$ zwischen der Kohomologie des Komplexes der $W$-Invarianten und den $W$-Invarianten der Kohomologie. In der Tat ist der Reynolds-Operator $R\pdef |W|^{-1}\sum_{w\in W}w$ aus \eref{ReyOp}{TG} dann ein idempotentes Element des Gruppenrings und das Bilden der Invarianten ein exakter Funktor. Dasselbe gilt f"ur jeden Komplex von abelschen Gruppen, auf denen die Multiplikation mit $|W|$ eine Bijektion induziert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Invarianten und Kohomologie, Variante}] (Noch ausarbeiten). Sei $(X,d)$ ein Komplex von von-Neumann-Darstellungen im Sinne von \ref{vNDa} einer abz"ahlbar basierten kompakten Hausdorffgruppe $K$, so da"s also alle Randoperatoren Morphismen von Darstellungen sind. Operiert dann $K$ trivial auf der Kohomologie unseres Komplexes, so induziert die Einbettung $X^K\hra X$ Isomorphismen\label{ReyVV} $$\mathcal H^q(X^K)\sira \mathcal H^q(X)$$ auf der Kohomologie. In der Tat liefert das Integrieren "uber $K$ nach \ref{EiIn} idempotente Endomorphismen mit den Invarianten als Bild. Dies Integral existiert auf den $X^i$ und auf den Kernen der Differentiale, da sie von-Neumann-R"aume sind, und diese Existenz "ubertr"agt sich auf die Bilder und die Homologie, obwohl diese nicht mehr vollst"andig zu sein brauchen, aber immer noch lokal konvex Hausdorff sind als Teilr"aume beziehungsweise nach \ref{QLKI} als Quotienten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} (Noch ausarbeiten, sollte sich mit dem bereits ge"anderten \ref{ReyVV} sehr vereinfachen. Vergleiche Bourbaki!). Die Bilder im de-Rham-Komplex einer Mannigfaltigkeit sind abgeschlossen f"ur die Topologie der gleichm"a"sigen Konvergenz aller Ableitungen auf allen Kompakta, da sie lokal nach dem Poincar\'e-Lemma auch Kerne sind. Die Kohomologie eines Kompaktums ist eh endlichdimensional. Mit \ref{ReyVV} folgt, da"s die Kohomologie einer zusammenh"angenden kompakten Liegruppe $K$ sowohl berechnet werden kann "uber den de-Rham-Komplex $\Omega^\lhd(K)$ als auch "uber dessen Invarianten unter Linkstranslation $\Omega^\lhd(K)^K$ als auch "uber dessen Invarianten unter Rechts-und Linkstranslation $\Omega^\lhd(K)^{K\times K}$. Mit unseren "Ubersetzungen liefert das $$\textstyle (\bigwedge^q\mathfrak k^*)^{\mathfrak k}\sira (\bigwedge^q\mathfrak k^*)^{K}\sira {\op{H}}^q(\mathfrak k;\DR)\sira {\op{H}}^q_{\op{dR}}(K)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Koszul-Komplex}] Um f"ur eine beliebige Liealgebra $\mathfrak g$ "uber einem beliebigen K"orper $k$ nat"urliche Isomorphismen $$ {\op{H}}^q (\mathfrak g; M)\sira \op{Ext}^q_{{\op{U}} (\mathfrak g)}(k,M)$$ f"ur beliebige Darstellungen zu konstruieren,\label{KoKo} gehen wir vom sogenannten {\bf Koszul-Komplex} aus.\index{Koszul-Komplex} Darunter versteht man die freie Aufl"osung der Einsdarstellung durch den Komplex $$\textstyle\ldots\ra {\op{U}}(\mathfrak g)\otimes\bigwedge^{3}\frak{g} \ra{\op{U}}(\mathfrak g)\otimes\bigwedge^{2}\frak{g} \ra {\op{U}}(\mathfrak g)\otimes\frak{g} \ra {\op{U}}(\mathfrak g)\sra k$$ mit einem Differential $\partial$, das in der Notation $u\otimes(v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}) \defp u\langle v_{1}, \ldots, v_{n} \rangle$ gegeben wird durch die Vorschrift $$\begin{array}{ccl} u \langle v_{1}, \ldots , v_{n}\rangle & \mapsto & \sum^{n}_{i=1} (-1)^{i+1} uv_{i} \langle v_{1}, \ldots, \hat{v}_{i},\ldots , v_{n}\rangle \\[1mm] &&+ \sum_{ii} (-1)^{i+j+1}u v_{i}v_{j} \langle v_{1}, \ldots, \hat{v}_{i}, \ldots,\hat{v}_{j} , \ldots, v_{n}\rangle \\[2mm] \quad \quad +\sum_{\substack{j0$ und ${\op{H}}^0 (\mathfrak n; \mathcal O (N)) = \mathcal O (N)^{\mathfrak n} = k$. In der Tat ist der Standardkomplex \ref{SSLI} zur Berechnung dieser Kohomologie nach \ref{lki} schlicht der algebraische de-Rham-Komplex der Variet"at $N$ und hat die behauptete Kohomologie nach dem algebraischen Poincar\'elemma mit dem Polynomring als Koeffizienten, da ja $N$ als Variet"at nach \ref{exlo} isomorph ist zum endlichdimensionalen Vektorraum $\mathfrak n \cong k^{\dim \mathfrak n}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\emph{ Wohin?} Gegeben $G \supset B \supset N$ eine reduktive komplexe algebraische Gruppe mit Borel'scher und deren unipotentem Radikal betrachten wir die offene $N$-Bahn $D \co G/B$, die sogenannte dicke Zelle. Der Standardkomplex \ref{LAH} zur Berechnung der Liealgebrenkohomologie ${\op{H}}^\ast (\mathfrak n ; \mathcal O (D))$ kann mit dem algebraischen de-Rahm-Komplex identifiziert werden. Insbesondere tr"agt dieser Komplex der \begin{equation*} \bigwedge^i \mathfrak n^\ast \otimes \mathcal O (D) \end{equation*} in nat"urlicher Weise die Struktur eines Komplexes von $\mathfrak g$-Darstellungen. Schneiden wir darin den Anteil mit trivialem zentralem Charakter aus, so ergibt sich die Bernstein-Gelfand-Gelfand-Aufl"osung oder kurz BGG-Aufl"osung\index{BGG-Aufl"osung} der trivialen Darstellung durch Summen von Verma-Moduln. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lie-Ableitung nach einer Lie-Klammer}] Die Lie-Ableitung jeglicher Art von Feldern liefert stets eine Operation der Lie-Algebra der Vektorfelder auf dem Raum der jeweiligen Tensorfelder, in Formeln $$\mathcal L_\xi \mathcal L_\eta- \mathcal L_\eta \mathcal L_\xi= \mathcal L_{[\xi,\eta]}$$ Das kann f"ur die "ublichen Tensorfelder unschwer aus den obigen Formeln gefolgert werden, entstehen doch diese Felder recht direkt aus den Vektorfeldern selber. F"ur allgemeinere Felder wie etwa Felder von Dichten oder Halbdichten, die zu weniger vertrauten stetigen endlichdimensionalen Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppen "uber $\DR$ geh"oren, mu"s man hier allerdings sorgf"altiger argumentieren. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung}\label{gpA} Gegeben $U\co \mathbb R^2$ eine Umgebung des Ursprungs und $f : U \rightarrow \mathbb R$ eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion, die auf beiden Koordinatenachsen verschwindet, gilt \begin{equation*} \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f (t, t)}{t^2} = \left.\frac{\partial^2 f}{\partial s \;\partial t}\right|_{(0,0)} \end{equation*} \end{Ubung} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Anschauliche Interpretation der Lie-Klammer}] Ich diskutiere nun noch einen alternativen Zugang zu unserem Satz \ref{BLK}, der die Lie-Klammer zweier Vektorfelder anhand ihrer Fl"usse anschaulich interpretiert.\label{UAR} Betrachten wir die Funktion $f: (s,t) \mapsto A^s B^{t}p - B^{t} A^s p$, so gilt es nach \ref{gpA}, die partielle Ableitung $\frac{\partial^2 f}{\partial s \partial t}|_{(0,0)}$ zu berechnen. Schalten wir $B^{-r}$ davor und betrachten $g: (r,s,t) \mapsto B^{-r} A^s B^t p - B^{-r} B^t A^s p,$ so ist $g$ identisch Null auf der Ebene $t =0$ und es folgt $\frac{\partial^2 g}{\partial r \partial s}|_{(0,0,0)} =0$ und damit $\frac{\partial^2 g}{\partial t \partial s}|_{(0,0,0)} = \frac{\partial^2 f}{\partial t \partial s}|_{(0,0)}$. Schalten wir $(s,t) \mapsto (t,s,t) $ vor, so finden wir, da"s unser Grenzwert auch die gemischte partielle Ableitung am Ursprung von \begin{equation*} (s,t) \mapsto B^{-t} A^s B^t p - A^s p \end{equation*} ist. Bezeichnet nun $A^{[t]}=A^{[t;B]}$ das unter $B^t$ zu $A$ verwandte Vektorfeld, in Formeln $B^t : A^{[t]} \leadsto A$, so gilt $B^{-t} A^s B^t = (A^{[t]})^s$, da offensichtlich verwandte Vektorfelder auch verwandte Fl"usse haben. Damit k"onnen wir unsere Abbildung umschreiben zu \begin{equation*} (s,t) \mapsto (A^{[t]})^s p - A^s p \end{equation*} Die partielle Ableitung nach $s$ dieser Differenz am Ursprung ergibt sich unmittelbar zu $A^{[t]}_p - A_p$, und weiter partiell Ableiten nach $t$ liefert wie gew"unscht die Lie-Ableitung $\mathcal L_B A,$ von der wir bereits nach \ref{LAK} wissen, da"s sie gerade der Kommutator $[B,A]$ ist. \end{Bemerkunge} \subsection{Kotangentialb"undel, Wohin?} \emph{Das folgende scheint mir eine wunderbare Motivation f"ur das Einf"uhren abstrakter Mannigfaltigkeiten und Differentialformen, aber ich wei"s noch nicht recht, wo es hingeh"oren soll.} Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$ und eine Untermannigfaltigkeit $M \subset X$ bezeichnen wir den Dualraum ihres Tangentialraums an einer Stelle $x \in M$ als den \defind{Kotangentialraum} ${\op{T}}^\ast_x M = \op{Hom}_{\mathbb{R}} ({\op{T}}_x M, \mathbb{R})$ von $M$ bei $x$ und nennen die disjunkte Vereinigung dieser Kotangentialr"aume das \defind{Kotangentialb"undel} \begin{equation*} {\op{T}}^\ast M = \coprod_{x \in M} {\op{T}}^\ast_x M \end{equation*} unserer Mannigfaltigkeit. Im Gegensatz zum Tangentialb"undel ${\op{T}}M \subset \vec{X} \times X$ ist unser Kotangentialb"undel nicht mehr in nat"urlicher Weise eine eingebettete Mannigfaltigkeit. Dennoch werden wir darauf eine nat"urliche Topologie erkl"aren und sogar sehr viel st"arker die \glqq Struktur einer abstrakten Mannigfaltigkeit\grqq. Der sogenannte \glqq Hamilton'sche Formalismus\grqq\ der klassischen Mechanik wird sich dann als nat"urliche Konsequenz ergeben in einer Weise, die hier kurz geschildert werden soll, um den Aufbau des Formalismus zu motivieren. Der Klarheit halber gehen wir gleich von einer abstrakten Mannigfaltigkeit $M$ aus. F"ur jede \glqq glatte\grqq\ Funktion $f: U \rightarrow \mathbb{R}$ auf $ U \co M$ erkl"aren wir zun"achst ihr \glqq Differential\grqq, einen Schnitt $\diff f : U \rightarrow {\op{T}}^\ast M$, $x \mapsto \diff_x f$ der kanonischen Projektion $\pi : {\op{T}}^\ast M \twoheadrightarrow M$ des Kotangentialb"undels. Ist $U \co M$ offen und $q_1, \ldots , q_n : U \rightarrow \mathbb{R}$ ein \glqq Koordinatensystem\grqq\ auf $U$, so bilden an jeder Stelle $x \in U$ die $\diff_x q_i \in {\op{T}}_x^\ast M$ eine Basis des Kotangentialraums, und wir erkl"aren die zum Koordinatensystem der $q_i$ geh"origen \glqq Impulskoordinaten\grqq\ auf $\pi^{-1} (U) \subset {\op{T}}^\ast M$ als die Funktionen $p_i : \pi^{-1} (U) \rightarrow \mathbb{R}$ mit \begin{equation*} \eta = p_1 (\eta) \diff_x q_1 + \ldots + p_n (\eta) \diff_x q_n \end{equation*} f"ur alle $x \in U$ und $\eta \in {\op{T}}_x^\ast M$. K"urzen wir nun $q_i \circ \pi = q_i$ ab, so bilden $q_1, \ldots , q_n, p_1, \ldots , p_n$ ein Koordinatensystem auf $\pi^{-1} (U) \subset{\op{T}}^\ast M$. Betrachten wir nun die sogenannte \glqq Hamilton-Funktion\grqq\ $ H: {\op{T}}^\ast M \rightarrow \mathbb{R} $ und die Wege $\gamma : I \rightarrow \pi^{-1} (U) \subset {\op{T}}^\ast M$ f"ur $I\subset \mathbb{R}$ ein halboffenes Intervall mit $$ (q_i \circ \gamma)^\prime = \frac{\partial H}{\partial p_i} \circ \gamma\qquad \text{ und }\qquad (p_i \circ \gamma)^\prime = - \frac{\partial H}{\partial q_i} \circ \gamma $$ so beschreiben die $\pi \circ \gamma : I \rightarrow M$ genau die m"oglichen Bewegungen unseres mechanischen Systems. Die Hamiltonfunktion wird im Fall einer Bewegung eines Systems von $n$ Massepunkten unter Zwangsbedingungen $M\subset \mathbb{E}^{n}$ in einem Potentialfeld gegeben als die Summe von kinetischer und potentieller Energie, wobei wir annehmen, da"s das Potential durch eine Funktion auf $M$ beschrieben wird und die kinetische Energie a priori durch eine Funktion auf dem Tangentialb"undel, die wir dann aber vermittels der durch das kanonische Skalarprodukt gegebenen Identifikation von Tangentialb"undel und Kotangentialb"undel in eine Funktion auf dem Kotangentialb"undel "ubersetzen. \subsection{Konforme Strukturen} \begin{Definition} Eine {\bf konforme Struktur}\index{konform!Struktur} auf einer Mannigfaltigkeit besteht aus der Vorgabe einer pseudoeuklidischen Struktur auf jedem Tangentialraum derart, da"s es f"ur jeden Punkt eine offene Umgebung und darauf eine pseudoriemannsche Metrik gibt, die an jeder Stelle aus besagter Umgebung die besagte Struktur auf dem Tangentialraum repr"asentiert. Eine {\bf konforme Mannigfaltigkeit}\index{konform!Mannigfaltigkeit} ist eine Mannigfaltigkeit mit einer konformen Struktur. \nichtfinal{Noch richtig? Ich habe pseudoeuklidische Struktur zu Gerade um definiert. Sollte ich nun besser orientierte pseudoeuklidische Struktur sagen?} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Maxwell'schen Gleichungen $dF=0=d(\ast F)$ aus \eref{MaGee}{AN2} f"ur $2$-Formen auf der Raumzeit sind nach \eref{2F4}{AN2} {\bf konform invariant}\index{konform!invariant} in dem Sinne, da"s sie f"ur jede Metrik einer konformen Struktur gelten, wenn sie f"ur eine Metrik der besagten konformen Struktur gelten.\label{MaxwKO} Genauer gilt f"ur jede Mannigfaltigkeit gerader Dimension $2d$ und f"ur je zwei Metriken $g$ und $h$ auf $M$, die dieselbe konforme Struktur repr"asentieren, nach \eref{EFH}{AN2} die Gleichheit $\ast_g=\ast_h$ der jeweiligen Hodge-Operatoren auf $d$-Formen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Konforme Struktur auf projektivisierten Nullkegeln}] Seien $W$ ein endlichdimensionaler\label{KOSPN} reeller Vektorraum mit einer indefiniten nichtausgearteten symmetrischen Bilinearform und $N\subset W$ der Nullkegel. So ist die Projektivisierung des Nullkegels $$\mathbb P N\pdef (N\backslash 0)/\DR^\times$$ eine kompakte Mannigfaltigkeit und es gibt darauf genau eine konforme Struktur, zu der alle Metriken geh"oren, die durch R"uckzug unter lokalen Schnitten der Projektion $(N\backslash 0)\sra \mathbb P N$ aus unserer Bilinearform auf $W$ entstehen. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Insbesondere induziert jede orthogonale Abbildung $A\in\op{O}(W)$ eine konforme Abbildung $A:\mathbb P N\sira \mathbb P N$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} F"ur $\langle \; , \;\rangle$ unsere symmetrische Bilinearform und $f(w)=\langle w , w\rangle$ die zugeh"orige quadratische Form ist der Tangentialraum an das Ursprungskomplement des Nullkegels $ N\backslash 0$ in einem Vektor $w \in N\backslash 0$ genau \begin{equation*} {\op{T}}_w (N \backslash 0) = \op{ker} (\diff_w f) = w^\perp=\{ v \in W \mid \langle v,w \rangle =0\} \end{equation*} Die Operation der orthogonalen Gruppe $\op{O}(W)$ l"a"st den $2$-Tensor auf $N \backslash 0$ invariant, der durch Restriktion von $\langle \;,\;\rangle$ auf die Tangentialr"aume von $N \backslash 0$ entsteht. Jetzt nehmen wir der Einfachkeit der Notation halber $W=\DR^{p+q}$ an in den Notationen aus \eref{Opq}{LA2}. Unter dem Differential der radialen Projektion auf $S^{p-1} \times S^{q-1}$ ist unser $2$-Tensor an jeder Stelle verwandt zu einem Vielfachen von $s \boxtimes (-s)$ am Bild besagter Stelle, mit der Notation $s$ f"ur die Standardmetrik auf der jeweiligen Sph"are. So folgt die konforme Invarianz von $s \boxtimes (-s)$ unter $\op{O} (p,q)$. Ebenso erhalten wir die konforme Invarianz unter $\op{O} (p,q)$ des induzierten $2$-Tensors auf der projektiven Quadrik $(S^{p-1} \times S^{q-1})/(\pm{\op{id}})\sira \mathbb P N$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Projektivisierter Nullkegel als homogener Raum}] Seien $W$ ein endlichdimensionaler\label{KOsPN} reeller Vektorraum mit einer indefiniten nichtausgearteten symmetrischen Bilinearform und $N\subset W$ der Nullkegel. Nach dem Satz von Witt \eref{SvW}{LA2} ist unsere Operation von $\op{O}(W)$ auf dem Ursprungskomplement $N \backslash 0$ transitiv. Die auf den Quotienten $(N \backslash 0) / \mathbb R_{>0}$ und $\mathbb P N$ induzierte Operation ist erst recht transitiv.\label{OOOM} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konforme Vervollst"andigung}] Gegeben ein reeller Vektorraum $V$ mit einer nichtausgearteten symmetrischen Bilinearform $\langle\;,\;\rangle$ betrachten wir den Vektorraum $W\pdef V\oplus \DR^2$ und die durch die Vorschrift $\varphi:x\mapsto \left(x,1,\langle x,x\rangle\right)$ gegebene Abbildung $\varphi: V\ra W$. Man pr"uft, da"s sie im Nullkegel $N_W$ der symmetrischen Bilinearform $\langle( x,a,b),(y,c,d)\rangle\pdef \langle x,y\rangle -(ad +bc)/2$ auf $W$ landet, also in der Nullstellenmenge von $(x,a,b)\mapsto \langle x,x\rangle -ab$, und da"s ihr Bild den Urspung vermeidet. Wir erkennen unschwer, da"s $\varphi$ eine konforme Injektion $$\bar\varphi: V\hra \mathbb P(N_W)$$ mit offenem dichten Bild induziert. In das Komplement des Bildes bettet $N_V$ ein vermittels $x\mapsto (x,0,1)$ und das Komplement der Vereinigung der beiden bisherigen Bilder ist in Bijektion zu $\mathbb P(N_V)$ vermittels $x\mapsto (x,0,0)$. Alle Elemente von $\op{O}(W)$ induzieren nach \ref{KOSPN} konforme Abbildungen $\mathbb P(N_W)\sira \mathbb P(N_W)$ und damit partiell definierte konforme Abbildungen\label{KonFo} $V\dashrightarrow V$. Wir erhalten so offensichtlich alle Elemente von $\op{O}(V)$. Wir erhalten aber auch alle Translationen, gegeben ein Vektor $v\in V$ ist genauer $$T_v:(x,a,b)\mapsto (x+a v, a, b+2\langle v,x\rangle +a\langle v,v\rangle)$$ ein Element $T_v\in \op{O}(W)$ mit $\bar{\varphi}(x+ v)=T_v\bar{\varphi}(x)\;\forall x\in V$. Wir erhalten so auch alle Homothetien, gegeben ein Skalar $\lambda\neq 0$ ist genauer $$D_\lambda\pdef \op{diag}({\op{id}}_V,\lambda^{-1},\lambda)$$ ein Element $D_\lambda\in\op{O}(W)$ mit $\bar{\varphi}(\lambda x)=D_\lambda\bar{\varphi}(x)\;\forall x\in V$. Zusammenfassend erhalten wir bis hier bereits alle orthogonalaffinen "Ahnlichkeiten von $V$, in Formeln die Gruppe $\op{O}_{\op{aff}}(V)$. Wir erhalten aber so zus"atzlich auch alle Inversionen, genauer gilt f"ur $I\in \op{O}(W)$ gegeben durch $$I:(x,a,b)\mapsto (x,b,a)$$ offensichtlich $\bar{\varphi}(\op{inv}( x))=I\bar{\varphi}(x)\;\forall x\in V\backslash N_V$ mit $\op{inv}: V\backslash N_V\sira V\backslash N_V$ der Inversion $x\mapsto x/\langle x,x\rangle$. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Ich w"u"ste gerne, wie man von einem affinen Raum direkt die konforme Vevollst"andigung angeben kann. Es ist so merkw"urdig, das nur nach Wahl eines Ursprungs zu konstruieren um dann zu sehen, da"s es von besagtem Ursprung nicht abh"angt. Ich h"atte gerne $\op{Lin}(E)\oplus \DR$ als $W$, zum Beispiel, und darauf eine recht allgemeine symmetrische Bilinearform derart, da"s jedes $e\in E$ eindeutig so durch eine letzte Koordinate erweitert werden kann, da"s es in den Nilkegel rutscht. Aber die Operation der Verschiebung macht hinten auch was Komisches. Beachte $V\sqcup N_V\sqcup \mathbb P(N_V)= \mathbb P(N_W)$.} \begin{Beispiel}[\textbf{Bezug zu L"osungen der Maxwell'schen Gleichungen}] Jede L"osung der Maxwell'schen Gleichungen auf $\DR^{1+3}$ liefert wegen ihrer konformen Invarianz \ref{MaxwKO} unter der in \ref{KonFo} erkl"arten partiell definierten Operation von $\op{O}(2,4)$ weitere meist nur partiell definierte L"osungen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Bezug zur M"obiusgeometrie}] Ist $E$ ein \end{Beispiel} \begin{Ubung}[\textbf{Verallgemeinerte Inversionen}] Wir wissen aus \ref{VAKr}, da"s jede Kreis\-spie\-ge\-lung verallgemeinerte Kreise zu verallgemeinerten Kreisen macht. Sei allgemeiner $K$ ein K"orper und $V$ ein $K$-Vektorraum und $\langle\;,\;\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$ und $N\pdef \{x\in V\mid \langle x,x\rangle=0\}$ ihr {\bf Nullkegel}\index{Nullkegel} und $\alpha\in K^\times$. Erkl"aren wir die {\bf Inversion}\index{Inversion} $$\op{inv}_\alpha:V\backslash N\ra V\backslash N$$ durch die Vorschrift $x\mapsto \alpha x/\langle x,x\rangle$, so gilt $(\op{inv}_\alpha)^2=\op{id}$ und gegeben $p,q\in K$ sowie $v\in V$ finden wir f"ur $x\in V\backslash N$ mit $y\pdef \op{inv}_\alpha(x)$ nach kurzer Rechnung \begin{displaymath} p\langle x,x\rangle -2\langle x,v\rangle +q=0\quad \IFF\quad \alpha^{-1}q\langle y,y\rangle -2\langle y,v\rangle +\alpha p=0 \end{displaymath} Insbesondere gilt jeden Pseudokreis ${\op{K}}(v;\beta)\pdef \{x\mid \langle x-v,x-v\rangle= \beta\}$ f"ur feste $v\in V, \beta\in K^\times$ damit $$\op{inv}_\alpha({\op{K}}(v;\beta)\backslash N)=\left\{ \begin{array}{ll} {\op{K}}(w;\gamma)\backslash N \text{ f"ur }w\in V,\gamma\in K^\times& \text{falls $0\not\in {\op{K}}(v;\beta)$;}\\[2mm] H\backslash N\text{ f"ur affine Hyperebene }H& \text{falls $0\in {\op{K}}(v;\beta)$.} \end{array}\right.$$ "uber in, falls der Nullvektor nicht zu unserer Teilmenge geh"ort, eine Teilmenge der Gestalt ${\op{K}}(w;\gamma)$ f"ur feste $w\in V$, $\gamma\in K^\times$, und andernfalls, wenn unsere Bilinearform zus"atzlich nicht ausgeartet ist, in den Schnitt mit $V\backslash N$ einer affinen Hyperebene. Wie in \eref{InKo}{AN2} gezeigt wird, ist im Fall des Grundk"orpers $K=\DR$ jede Inversion auch eine konforme Abbildung in dem Sinne, da"s ihr Differential die vorgegebene Bilinearform bis auf einen von Null verschiedenen Faktor erh"alt. \end{Ubung} \begin{Beispiel} Wir betrachten auf dem $\DR^3$ die symmetrische Bilinearform $\langle\;,\;\rangle$ mit zugeh"origer quadratischer Form $\langle v,v\rangle=x^2+y^2-z^2$ f"ur $v=(x,y,z)$. Wir wenden nun $\op{inv}_{(-2)}$ an auf das verschobene zweischalige Hyperboloid $H\pdef {\op{e}}_3 + \{v\mid \langle v,v\rangle=1\}$ und finden $\op{inv}_{(-2)}(2{\op{e}}_3)={\op{e}}_3$ im Bild. Wegen $0\in H$ mu"s unser Bild der Schnitt mit $\DR^3\backslash N$ einer affinen Ebene sein, die wie unsere ganze Situation stabil ist unter Rotation um die dritte Koordinatenachse. Diese Ebene ist dann notwendig ${\op{e}}_3+\DR{\op{e}}_1+\DR{\op{e}}_2$ und sie trifft $N$ im Einheitskreis und die von $\op{inv}_{(-2)}$ induzierte Abbildung ist die Zentralprojektion mit Zentrum im Ursprung von $H$ auf diese affine Ebene. Ihr Schnitt mit $N$ ist $\{{\op{e}}_3+x{\op{e}}_1+y{\op{e}}_2\mid x^2+y^2=1\}$. Nach \eref{InKo}{AN2} sind unsere Inversionen konforme Abbildungen und damit induzieren sie konforme Abbildungen zwischen Untermannigfaltigkeiten. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ist $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer nichtausgearteten symmetrischen Bilinearform $b$ und $H\subset V$ eine lineare Hyperebene, auf der die Bilinearform nicht ausgeartet bleibt, so gilt $H^\perp \oplus H=V$ und wir erkl"aren die {\bf Spiegelung an $H$}\index{Spiegelung!sehr allgemeine} als die einzige lineare Abbildung $$s_H\in \op{O}(V;b)$$ mit Fixpunktmenge $H$, die dann notwendig alle Vektoren aus $H^\perp$ auf ihre Negativen abbildet. Im Fall $V=\DR^3$ mit $x^2+y^2-z^2$ der zu $b$ geh"origen quadratischen Form ist die Restriktion auf einen zweidimensionalen Untervektorraum $H\subset \DR^3$ genau dann nichtausgeartet, wenn dieser Teilraum den Nullkegel entweder in nur einem Punkt schneidet oder in genau zwei Geraden, ihn jedoch nicht \glqq in einer Gerade ber"uhrt\grqq. Im ersten Fall vertauscht die zugeh"orige Spiegelung die beiden Schalen des zweischaligen Hyperboloids, im zweiten Fall induziert sie auf beiden Schalen eine Inversion, die im Modell der Kreisscheibe von Poincar\'e die Gestalt einer Kreispiegelung annimmt. \end{Bemerkungl} \subsection{Ab hier chaotisch} \begin{Beispiel} Das Kotangentialb"undel \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} \emph{Jetzt erkl"are, wie Schnitte in Karten aussehen, und warum Fasern so und so aussehen.} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich will nun Satz \ref{EEHMMn} von Matrix-Liegruppen auf beliebige Liegruppen verallgemeinern und muss dazu erkl"aren, was Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten sind und wie diese integriert werden. Zun"achst erinnere ich an den Begriff eines reellen Vektorraumb"undels auf einer Mannigfaltigkeit, wobei wir sowohl unsere Mannigfaltigkeit als auch unser B"undel stets als glatt annehmen wollen. \end{Bemerkungl} Ist nun $X$ eine Mannigfaltigkeit und $p: E \to X$ ein ${\mathbb R}$-B"undel, so erkl"aren wir das duale ${\mathbb R}$-B"undel $E^{*} \to X$, indem wir auf der disjunkten Vereinigung \[ E^{*} = \coprod_{x \in X} E^{*}_{x} \] der Dualr"aume der Fasern von $p$ mit der hoffentlich offensichtlichen Projektion $q: E^{*} \to X$ die einzige Struktur eines ${\mathbb R}$-B"undels betrachten derart, dass f"ur jede B"undelkarte von $E$ $U \times {\mathbb R}^{n} \stackrel{\sim}{\longrightarrow} p^{-1}(U)$ die Verkn"upfung \[ U \times {\mathbb R}^{n} \stackrel{\sim}{\longrightarrow} U \times ({\mathbb R}^{n})^{*} \stackrel{N}{\longrightarrow} q^{-1}(U) \] eine B"undelkarte von $E^{*}$ ist. Hierbei soll die erste Abbildung von der kanonischen Identifikation ${\mathbb R}^{n} \stackrel{\sim}{\longrightarrow} ({\mathbb R}^{n})^{*}$ herkommen und die zweite Abbildung von den Inversen der Transponierten $E_{x}^{*} \stackrel{\sim}{\longrightarrow} ({\mathbb R}^{n})^{*}$ der durch die urspr"ungliche B"undelkarte von $E$ gegebenen Identifikationen ${\mathbb R}^{n} \stackrel{\sim}{\longrightarrow} E_{x}$ f"ur $x \in U$. \begin{Definition} Das zum Tangentialb"undel $TX$ an eine Mannigfaltigkeit $X$ duale B"undel hei"st das {\em Kotangentialb"undel} und wird notiert als \[ (TX)^{*} = T^{*}X \] Seine Fasern \[ (T^{*}X)_{x} = (T_{x}X)^{*} \] notiert man auch $T_{x}^{*}X$ und nennt die Faser bei $x$ den {\em Kotangentialraum} an $X$ bei $x$. Ein {\em Kovektorfeld} ist ein Schnitt des Kotangentialb"undels. \end{Definition} \begin{Beispiel} Gegeben eine glatte Funktion $f: X \to {\mathbb R}$ auf einer Mannigfaltigkeit $X$ k"onnen wir ein glattes Kovektorfeld \[ df: X \longrightarrow T^{*}X \] erkl"aren durch die Vorschrift \[ (df)_{x} = d_{x}f: T_{x}X \to T_{f(x)} {\mathbb R} \stackrel{\sim}{\longrightarrow} {\mathbb R} \] mit der kanonischen Identifikation $T_{p}{\mathbb R} \stackrel{\sim}{\longrightarrow} {\mathbb R}$ f"ur alle $p \in {\mathbb R}$. \end{Beispiel} \begin{Definition} Gegeben ein ${\mathbb R}$-Vektorb"undel $p: E \to X$ auf einer Mannigfaltigkeit $X$ und $k \in {\mathbb N}$ definieren wir ein weiteres ${\mathbb R}$-Vektorb"undel $\mbox{Alt}^{k}E$ auf $X$, indem wir auf der disjunkten Vereinigung \[ \mbox{Alt}^{k}E = \amalg_{x \in X} \mbox{ Alt}^{k}E_{x} \] mit der hoffentlich offensichtlichen Projektion $q:\mbox{ Alt}^{k}E \to X$ die einzige Struktur eines ${\mathbb R}$-B"undels betrachten derart, dass f"ur jede B"undelkarte $U \times {\mathbb R}^{n} \stackrel{\sim}{\longrightarrow} p^{-1}(U)$ von $E$ die offensichtliche Abbildung \[ U \times \mbox{ Alt}^{k}({\mathbb R}^{n}) \longrightarrow q^{-1}(U) \] eine B"undelkarte von $\mbox{Alt}^{k}E$ ist. \end{Definition} \emph{Ouuuups, ab hier isses pl"otzlich topologisch!} \begin{Definition}\label{TBV} Gegeben ein $n$-dimensionales reelles Vektorraumb"undel $E$ auf einem topologischen Raum $X$ und ein $n$-dimensionaler reeller Vektorraum $V$ erkl"aren wir ein $\op{GL} (V)$-Haupt\-faserb"undel $ Y \rightarrow X, $ indem wir als Faser $Y_x$ bei $x \in X$ den $\op{GL} (V)$-Torsor $Y_x = \op{Hom}^\times_{\mathbb{R}} (V, E_x)$ aller Isomorphismen von $V$ mit der Faser $E_x$ von $E$ bei $x$ nehmen und mit der durch Vorschalten erkl"arten Rechtsoperation von $\op{GL} (V)$ versehen. Die Topologie auf $Y$ wird vermittels der B"undelkarten von $E$ in der hoffentlich offensichtlichen Weise definiert. Wir notieren dieses Hauptfaserb"undel $$Y=\op{Hom}^\times_\DR(V,E)$$ \end{Definition} \begin{Definition} Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ und ein $\op{GL} (V)$-Haupt\-faserb"undel $Y\ra X$ bilden wir umgekehrt ein $n$-dimen\-sio\-na\-les reelles Vektorraumb"undel $E$ als das balancierte Produkt $$E=Y\times_{\op{GL}(V)}V$$ \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Man erkennt ohne Schwierigkeiten, da"s diese Konstruktionen sogar eine "Aquivalenz von Kategorien liefern zwischen der Kategorie der $n$-dimensionalen Vektorraumb"undel auf $X$ mit B"undelisomorphismen als Morphismen und der Kategorie der $\op{GL} (V)$-Haupt\-faserb"undel auf $X$ mit Isomorphismen von Hauptfaserb"undeln als Morphismen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Ist $X$ eine Mannigfaltigkeit, so erhalten wir in derselben Weise eine "Aquivalenz von Kategorien zwischen der Kategorie der $n$-dimensionalen glatten reellen Vektorraumb"undel auf $X$ und der Kategorie der glatten $\op{GL} (V)$-Haupt\-faserb"undel auf $X.$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{TVVn} Gegeben ein topologischer Raum $X$ und eine topologische Gruppe $G$ und ein $G$-Hauptfaserb"undel $Y\ra X$ und eine stetige reelle endlichdimensionale Darstellung $ \rho : G \rightarrow \op{GL} (F) $ erkl"aren wir ein Vektorraumb"undel als das balancierte Produkt \begin{equation*} Y \times_{G} F \end{equation*} in hoffentlich selbsterkl"arender Weise. Ist $G$ eine Liegruppe und $X$ eine Mannigfaltigkeit und $Y\ra X$ ein glattes $G$-Hauptfaserb"undel, so erhalten wir in derselben Weise ein glattes Vektorraumb"undel. \end{Definition} \emph{Jetzt irgendwie weiter bis zum Haar-Ma"s} \begin{Definition}\label{NoHM} Das Haar-Ma"s auf einer kompakten Liegruppe, das der ganzen Gruppe Ma"s Eins gibt, nennen wir das {\bf normierte Haar-Ma"s}\index{Haar-Ma"s!normiertes} unserer kompakten Liegruppe. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir k"onnen nun mit identischen Beweisen viele unserer Resultate f"ur kompakte Matrix-Liegruppen auf beliebige kompakte Liegruppen verallgemeinern. Ich erw"ahne insbesondere: \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{IsPra} Auf jeder stetigen endlichdimensionalen Darstellung einer kompakten Liegruppe gibt es ein invariantes Skalarprodukt. \end{Lemma} \begin{Satz}[\textbf{Vollst"andige Reduzibilit"at}] Jede stetige endlichdimensionale Darstellung einer\label{VolRa} kompakten Liegruppe l"a"st sich als die direkte Summe von einfachen Unterdarstellungen schreiben. \end{Satz} \begin{Satz}[\textbf{Isotypische Zerlegung}] Sei $G$ eine kompakte Liegruppe und $\mathcal{L}$ ein Repr"asentantensystem f"ur die Isomorphieklassen komplexer einfacher Darstellungen von $G$. So liefert f"ur\label{IsTa} jede komplexe endlichdimensionale Darstellung $V$ von $G$ das Auswerten einen Isomorphismus \begin{equation*} \bigoplus_{L \in \mathcal{L}} L \otimes_{\Bbb{C}} \op{Hom}^G_{\Bbb{C}} (L,V) \overset{\sim}{\rightarrow} V \end{equation*} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die Beweise dieser S"atze k"onnen wie gesagt wortw"ortlich von den Beweisen im Spezialfall von Matrix-Liegruppen \ref{IsPr}, \ref{VolR} und \ref{IsT} "ubernommen werden. \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXDIFF" %%% End: