\section{Resultate von Fiebig} \subsection{Garben auf Impulsgraphen} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Garbe von Ringen $\mathscr A$ auf einem topologischen Raum hat der Funktor der globalen Schnitte\label{AKJH} \begin{equation*} \Gamma : \mathscr A \op{-Mod} \rightarrow \Gamma (\mathscr A)\op{-Mod} \end{equation*} einen Linksadjungierten $\mathcal L$, die {\bf Lokalisierung}, die jedem $\Gamma (\mathscr A)$-Modul $M$ die Garbifizierung der Pr"agarbe $U \mapsto \mathscr A (U) \otimes_{\Gamma (\mathscr A) } M$ zuordnet, vergleiche etwa \ref{ZhgM}. F"ur die Halme der Lokalisierung gilt \begin{equation*} (\mathcal L M)_x =\mathscr A_x \otimes_{\Gamma (\mathscr A)} M \end{equation*} wegen der Vertauschbarkeit des Tensorprodukts mit direkten Limites. F"ur den $\Gamma (\mathscr A)$-Modul $\Gamma (\mathscr A)$ selbst liefert die Adjunktion einen Isomorphismus $\mathcal L\Gamma (\mathscr A)\sira \mathscr A$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $\mathcal G = (\mathcal V, \mathcal{E})$ ein endlicher ungerichteter Graph ohne Schleifen oder mehrfache Kanten. Formal ist also $\mathcal V$ eine endliche Menge von {\bf Ecken} oder englisch {\bf vertices} und $\mathcal{E} \subset \mathcal P (\mathcal V)$ ein System von zweielementigen Teilmengen von $\mathcal V$, den {\bf Kanten} oder englisch {\bf edges} unseres Graphen. Wir bilden dazu einen topologischen Raum $$\mathcal T = \mathcal T_{\mathcal G}$$ indem wir als zugrundeliegende Menge die disjunkte Vereinigung $\mathcal T = \mathcal V \amalg \mathcal{E}$ betrachten. Diese Menge versehen wir mit der Teilordnung, die erzeugt wird von $x > E \quad \forall x \in \mathcal V,$ $E \in \mathcal{E}$ mit $x \in E,$ und betrachten darauf die Ordnungstopologie. Es sind mithin genau diejenigen Mengen offen, die mit einem Element auch alle kleineren Elemente enthalten, also mit einem Punkt auch alle Kanten, die ihn enthalten. Bez"uglich solch einer Ordnungstopologie besitzt jede Teilmenge $\Omega$ eine kleinste Umgebung $\Omega_\wedge.$ F"ur eine Ecke $x$ haben wir speziell $$ x_\wedge = \{x\} \amalg \{ E \in \mathcal{E} \mid x \in E\} $$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{KoGar} Gegeben eine Garbe $\mathscr F$ von Mengen auf $\mathcal T$ werden ihre Halme gegeben durch $\mathscr F_x = \mathscr F (x_\wedge)$ f"ur $x \in \mathcal V$ und $\mathscr F_E = \mathscr F (\{E\})$ f"ur $E \in \mathcal E$. Die Restriktionen liefern Abbildungen $\rho_{E , x} : \mathscr F_x \rightarrow \mathscr F_E$ falls $x \in E$. Wir erhalten auf diese Weise sogar eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} \op{Ens}/\mathcal T \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Cat} (\mathcal T, \op{Ens}) \end{equation*} zwischen der Kategorie der Garben auf $\mathcal T$ und der Kategorie der Funktoren von $\mathcal T$ in die Kategorie der Mengen, vergleiche \ref{GOTo}. Hierbei denken wir uns $\mathcal T$ versehen mit der durch die Teilordnung gegebenen Kategorienstruktur, mit jeweils einem Morphismus zu jedem Element alias Objekt kleinergleich. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum und $S=\mathrm S V$ seine symmetrische Algebra, versehen mit der "ublichen Graduierung. Gegeben eine Abbildung $\alpha : \mathcal{E} \rightarrow \mathbb P(V),$ eine sogenannte {\bf Bezeichnung}\index{Bezeichnung} oder englisch ein {\bf labeling}\index{labeling} unseres Graphen, erkl"aren wir mithilfe von \ref{KoGar} eine Garbe $\mathscr Z$ von $\mathbb Z$-graduierten $S$-Ringen auf $\mathcal T$ durch die Vorschrift $$ \begin{array}{rcc} \mathscr Z_x &\pdef& S \\ \rho_{E , x}\da\;\;&\pdef&\da \\ \mathscr Z_E &\pdef& S/\alpha (E) S \end{array} $$ f"ur alle $x\in \mathcal V$ und $E \in \mathcal{E}$ mit der kanonischen Projektion als vertikalem Pfeil. Wir nennen sie die {\bf Strukturgarbe}\index{Strukturgarbe} unseres bezeichneten Graphen. Die globalen Schnitte $\Gamma (\mathscr Z)$ der Strukturgarbe bilden dann die sogenannte {\bf Strukturalgebra}\index{Strukturalgebra} unseres bezeichneten Graphen $\mathcal G = (\mathcal V, \mathcal{E}, \alpha)$. Die konstanten Schnitte liefern im Fall eines nichtleeren Graphen stets eine Einbettung $S\hra\Gamma (\mathscr Z).$ In unserer Situation haben wir also ein adjungiertes Paar von Funktoren \begin{equation*} \mathscr Z \op{-Mod} \begin{array}{c} \Gamma\\[-1,5ex] \longrightarrow \\[-2ex] \longleftarrow \\[-1,5ex] \mathcal L \end{array} \Gamma (\mathscr Z) \op{-Mod} \end{equation*} % Die Halme der Lokalisierung ergeben sich zu % $(\mathcal L M)_x=\mathscr Z_x \otimes_{\Gamma (\mathscr Z)} M$ % an Ecken und % $ % (\mathcal L M)_E % = \mathscr Z_E \otimes_{\Gamma (\mathscr Z)} M % =(S/\alpha (E)S)\otimes_S (\mathcal L M)_x % $ % f"ur $x$ eine Ecke der Kante $E$. % Analoges gilt f"ur die $\DZ$-graduierten Versionen % $\mathscr Z \op{-gMod}$ bzw.\ $\Gamma (\mathscr Z) \op{-gMod}$ % unserer Kategorien. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein kommutativer Integrit"atsbereich $R$ hat die Einbettung der Kategorie der torsionsfreien Moduln $R\op{-Mod^{\op{tf}}}\hra R\op{-Mod} $ einen Linksadjungierten, das Bilden des Quotienten $M^{\op{tf}}=M/M_{\op{tor}}$ nach allen Torsionselementen. Bei uns hat analog die Einbettung $ \mathscr Z \op{-Mod}^{\op{tf}}\hra \mathscr Z \op{-Mod}$ der Kategorie $ \mathscr Z \op{-Mod}^{\op{tf}}$ aller Garben $\mathscr M$ mit "uber $\mathscr Z_x=S$ torsionsfreien Eckenhalmen $\mathscr M_x$ einen Linksadjungierten, das Bilden des Quotienten nach der von den Tor\-sions\-elementen aller Eckenhalme erzeugten $ \mathscr Z$-Untermodulgarbe $\mathscr M_{\op{tor}}$. Analoges gilt f"ur die $\DZ$-graduierten Versionen unserer Kategorien. Insgesamt erhalten wir so ein adjungiertes Paar\label{LTOR} von Funktoren \begin{equation*} \mathscr Z \op{-Mod}^{\op{tf}} \begin{array}{c} \Gamma\\[-1,5ex] \longrightarrow \\[-2ex] \longleftarrow \\[-1ex] \mathcal L^{\op{tf}} \end{array} \Gamma (\mathscr Z) \op{-Mod} \end{equation*} F"ur die Strukturgarbe $\mathscr Z$ des Graphen ist der von der Adjunktion induzierte Morphismus ein Isomorphismus $\cal L^{\op{tf}}\Gamma(\mathscr Z)\sira \mathscr Z,$ denn der Adjunktionsmorphismus ist stets ein Isomorphismus $\cal L\Gamma(\mathscr Z)\sira \mathscr Z,$ und da $\mathscr Z$ bereits torsionsfreie Eckenhalme hat, folgt $\cal L\Gamma(\mathscr Z)\sira \cal L^{\op{tf}}\Gamma(\mathscr Z).$ %Analoges gilt f"ur die $\DZ$-graduierten Versionen unserer Kategorien. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl}\label{LTOR} % Sei $\mathcal G = (\mathcal V, \mathcal{E},\alpha)$ ein bezeichneter Graph % und $\mathscr Z$ seine Strukturgarbe. % F"ur einen % $\mathscr Z$-Modul $\mathscr M$ mit torsionsfreien Eckenhalmen % sind nun offensichtlich % seine globalen Schnitte $\Gamma(\mathscr M)$ ohne $S$-Torsion. % Bezeichnen wir % mit $\Gamma (\mathscr Z) \op{-Mod}^{S\op{-tf}}\subset % \Gamma (\mathscr Z) \op{-Mod}$ % die volle Unterkategorie der Moduln ohne $S$-Torsion, % so erhalten wir % mit $\mathcal L^{\op{tf}}(M)\pdef(\mathcal LM)/(\mathcal LM)_{\op{tor}}$ % insgesamt ein adjungiertes Paar % von Funktoren % \begin{equation*} % \mathscr Z \op{-Mod}^{\op{tf}} \begin{array}{c} \Gamma\\[-1,5ex] % \longrightarrow \\[-2ex] \longleftarrow \\[-1,5ex] \mathcal L^{\op{tf}} % \end{array} \Gamma (\mathscr Z) \op{-Mod}^{S\op{-tf}} % \end{equation*} % F"ur die Strukturgarbe $\mathscr Z$ des Graphen ist der % von der Adjunktion induzierte Morphismus ein Isomorphismus % $\cal L^{\op{tf}}\Gamma(\mathscr Z)\sira \mathscr Z,$ % denn der Adjunktionsmorphismus ist % stets ein Isomorphismus % $\cal L\Gamma(\mathscr Z)\sira \mathscr Z,$ % und da $\mathscr Z$ bereits torsionsfreie Eckenhalme hat, % folgt $\cal L\Gamma(\mathscr Z)\sira \cal L^{\op{tf}}\Gamma(\mathscr Z).$ % Analoges gilt f"ur die $\DZ$-graduierten Versionen unserer Kategorien. % \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Fiebig-Lokalisierung}](\cite[3.7]{Fie-MoGr}) Sei $\mathcal G = (\mathcal V, \mathcal{E},\alpha)$ ein endlicher bezeichneter Graph und $\mathscr Z$ seine Strukturgarbe. F"ur das Paar adjungierter Funktoren $(\mathcal L^{\op{tf}},\Gamma)$ aus \ref{LTOR} liefern die kanonischen Abbildungen stets Isomorphismen $\Gamma \mathscr M \overset{\sim}{\rightarrow} \Gamma \mathcal L^{\op{tf}} \Gamma \mathscr M$ und $\mathcal L^{\op{tf}} M \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal L^{\op{tf}} \Gamma \mathcal L^{\op{tf}} M.$ Insbesondere liefert dieses adjungierte Paar eine "Aquivalenz von Kategorien zwischen den Bildern der jeweiligen Funktoren. \end{Satz} \begin{proof} Wir setzen $Q = \op{Quot} (S)$ und deuten das Erweitern mit $Q = \op{Quot} S$ eines $S$-Moduls durch einen oberen Index $Q$ an. Die Garbe $\mathscr Z^Q=\mathscr Z \otimes_S Q$ hat den Halm $Q$ an allen Ecken $x \in \mathcal V$ und den Halm Null an allen Kanten $E \in \mathcal{E}$. Da $\otimes_S Q$ exakt ist, erhalten wir $\Gamma (\mathscr Z^Q) = \Gamma (\mathscr Z)^Q$ und ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \mathscr Z \op{-Mod} & \begin{array}{c} \Gamma\\[-1,5ex] \longrightarrow \\[-2ex] \longleftarrow \\[-1,57ex] \mathcal L \end{array} & \Gamma (\mathscr Z)\op{-Mod} \\ \downarrow & & \downarrow\\ \mathscr Z^Q \op{-Mod} &\begin{array}{c} \Gamma\\[-1,5ex] \longrightarrow \\[-2ex] \longleftarrow \\[-1,5ex] \mathcal L \end{array} & \Gamma (\mathscr Z^Q)\op{-Mod} \\ \end{array} \end{displaymath} mit durch $\otimes_S Q$ gegebenen Vertikalen. In der unteren Horizontalen ist $\mathscr Z^Q$ die \glqq entkoppelte\grqq\ Garbe mit $\mathscr Z^Q_x = Q$ f"ur $x \in \mathcal V$ und $\mathscr Z^Q_E = 0$ f"ur $E \in \mathcal E$. Folglich ist $\Gamma (\mathscr Z^Q) = \prod_{x \in \mathcal V} Q$ und die Funktoren der unteren Horizontalen bilden eine "Aquivalenz von Kategorien. F"ur einen $\Gamma (\mathscr Z)$-Modul $M$ ohne $S$-Torsion finden wir \begin{displaymath} \xymatrix{ M \ar@{=}[d] \ar@{->>}[r] & \mathscr Z_x \otimes_{\Gamma (\mathscr Z)} M \ar[r] \ar@{=}[d]& \mathscr Z_x^Q \otimes_{\Gamma (\mathscr Z)} M \ar@{=}[d]\\ M \ar@{->>}[r] & (\mathcal L M)_x \ar[r] & (\mathcal L M)^Q_x } \end{displaymath} und das Bild der rechten horizontalen Pfeile ist der Quotient der Mitte nach ihrem Torsionsanteil. Hat f"ur eine Garbe $\mathscr M \in \mathscr Z\op{-Mod}$ der Raum $\Gamma \mathscr M$ keine $S$-Torsion, so liefert das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \Gamma \mathscr M \ar[r]\ar@{_{(}->}[d] & \Gamma \mathcal L^{\op{tf}} \Gamma \mathscr M \ar[r]\ar@{_{(}->}[d]& \Gamma \mathscr M \ar@{_{(}->}[d]\\ \Gamma \mathscr M^Q \ar[r]^-{\sim} & \Gamma \mathcal L^{\op{tf}} \Gamma \mathscr M^Q \ar[r]^-{\sim} & \Gamma \mathscr M^Q } \end{displaymath} mit den durch die Adjunktionen gegebenen Horizontalen, da"s beide Pfeile der oberen Horizontalen Isomorphismen sind. In der Tat ist die Verkn"upfung in der oberen Horizontale stets die Identit"at und die mittlere Vertikale ist wie behauptet injektiv, da nach \ref{LTOR} auch $\Gamma \mathcal L^{\op{tf}} \Gamma \mathscr M$ keine $S$-Torsion hat. Hat also $\Gamma \mathscr M$ keine $S$-Torsion und insbesondere f"ur alle $\mathscr M\in \mathscr Z \op{-Mod}^{\op{tf}}$ liefert die Adjunktion also einen Isomorphismus \begin{equation*} \Gamma \mathscr M \overset{\sim}{\rightarrow} \Gamma \mathcal L^{\op{tf}} \Gamma \mathscr M \end{equation*} F"ur $M \in \Gamma (\mathscr Z)\op{-Mod}$ liefert umgekehrt das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal L^{\op{tf}} M \ar[r]\ar@{_{(}->}[d] & \mathcal L^{\op{tf}} \Gamma \mathcal L^{\op{tf}} M \ar[r]\ar@{_{(}->}[d]& \mathcal L^{\op{tf}} M \ar@{_{(}->}[d]\\ \mathcal L M^Q \ar[r]^-{\sim} & \mathcal L \Gamma \mathcal L M^Q \ar[r]^-{\sim} & \mathcal L M^Q } \end{displaymath} in derselben Weise, da"s f"ur alle Ecken $x\in \mathcal V$ der Adjunktionsmorphismus Isomorphismen $ (\mathcal L^{\op{tf}} M)_x \overset{\sim}{\rightarrow} (\mathcal L^{\op{tf}} \Gamma \mathcal L^{\op{tf}} M)_x $ induziert. Da die Einschr"ankungen f"ur jede von einer Ecke $x$ ausgehende Kante $E$ Surjektionen $\mathscr Z_x=\mathscr Z(x_\wedge)\sra \mathscr Z_E$ liefern, liefern sie auch Surjektionen $(\mathcal L M)_x\sra(\mathcal L M)_E$ und $(\mathcal L^{\op{tf}} M)_x\sra(\mathcal L^{\op{tf}} M)_E$ f"ur jeden $\Gamma(\mathscr Z)$-Modul $M.$ Nun ist die kanonische Abbildung $ \mathcal L^{\op{tf}} M \rightarrow \mathcal L^{\op{tf}} \Gamma \mathcal L^{\op{tf}} M$ sicher eine spaltende Injektion von Garben, und der Kern der kanonischen Abbildung $ \mathcal L^{\op{tf}} \Gamma \mathcal L^{\op{tf}} M \rightarrow \mathcal L^{\op{tf}} M$ ist ein Komplement ihres Bildes, und alle Eckenhalme dieses Kerns m"ussen nach dem bereits Bewiesenen verschwinden. W"are dieser Kern $\mathscr K$ nicht Null, so h"atte er also einen von Null verschiedenen Kantenhalm $ \mathscr K_E\neq 0$. Dann k"onnte aber f"ur eine Ecke $x$ der Kante $E$ die Restriktion $(\mathcal L^{\op{tf}} \Gamma \mathcal L^{\op{tf}} M)_x\ra (\mathcal L^{\op{tf}} \Gamma \mathcal L^{\op{tf}} M)_E$ unm"oglich surjektiv sein, im Widerspruch zu unseren allgemeinen Erkenntnissen "uber Garben der Gestalt $\mathcal L^{\op{tf}} M.$ Also liefert die kanonische Abbildung f"ur alle $\Gamma(\mathscr Z)$-Moduln einen Isomorphismus \begin{equation*} \mathcal L^{\op{tf}} M \sira \mathcal L^{\op{tf}} \Gamma \mathcal L^{\op{tf}} M \qedhere\end{equation*} \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{KaHF} F"ur das folgende ist es wichtig, eine explizite Beschreibung der Kantenhalme von $\cal{L}^{\op{tf}}M$ zur Verf"ugung zu haben. F"ur jedes $\alpha\in V\backslash 0$ haben wir ja ein kokartesischen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ &\{(s,t) \in S \times S \mid s-t \in \alpha S\} \ar@{->>}[dl]\ar@{->>}[dr]&\\ S\ar@{->>}[dr] & & S\ar@{->>}[dl]\\ &S/ \alpha S & } \end{displaymath} Wir k"onnen es f"ur jede Kante $E=\{x,y\}$ als ein kokartesisches Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ &\ar@{->>}[dl]\mathscr Z (x_\wedge \cup y_\wedge) \ar@{->>}[dr]&\\ \mathscr Z_x=\mathscr Z(x_\wedge) \ar@{->>}[dr]& & \mathscr Z(y_\wedge)=\mathscr Z_y\ar@{->>}[dl]\\ &\mathscr Z_E & } \end{displaymath} lesen. Anwenden von $\otimes_{\Gamma (\mathscr Z)} M$ macht daraus ein kokartesisches Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ &\ar@{->>}[dl]\mathscr Z (x_\wedge \cup y_\wedge)\otimes_{\Gamma (\mathscr Z)} M \ar@{->>}[dr]&\\ (\cal{L}M)_x \ar@{->>}[dr]& & (\cal{L}M)_y\ar@{->>}[dl]\\ &(\cal{L}M)_E & } \end{displaymath} Gehen wir nun zu Quotienten "uber, so ergibt sich ein kokartesisches Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ &\ar@{->>}[dl] \mathscr Z (x_\wedge \cup y_\wedge)\otimes_{\Gamma (\mathscr Z)} M \ar@{->>}[dr]&\\ (\cal{L}^{\op{tf}}M)_x \ar@{->>}[dr]& & (\cal{L}^{\op{tf}}M)_y\ar@{->>}[dl]\\ &(\cal{L}^{\op{tf}}M)_E & } \end{displaymath} Das ist Fiebig's Beschreibung der Kantenhalme $(\mathcal L^{\op{tf}} M)_E$ f"ur ein beliebiges Objekt $M\in \Gamma(\mathscr Z)\op{-Mod}.$ \end{Bemerkungl} \subsection{Zum Dualen der Strukturalgebra} \begin{Proposition}\label{DuSt} Sei $(\mathcal V, \mathcal E, \alpha)$ ein endlicher bezeichneter Graph und sei $$\phi : \Gamma \mathscr Z \rightarrow \op{Hom}_S (\Gamma \mathscr Z,S) [-l]$$ ein homogener Homomorphismus von graduierten $\Gamma \mathscr Z$-Moduln. Ist $E =\{x,y\}$ eine Kante, und gehen sowohl von $x$ als auch von $y$ genau $l$ Kanten aus, und induziert $\mathcal L^{\op{tf}} \phi$ nicht die Nullabbildung auf dem Halm bei $x$, so induziert $\mathcal L^{\op{tf}} \phi$ auch Isomorphismen auf den Halmen bei $x,y$ und $E$. \end{Proposition} \begin{proof} Wir betrachten das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \Gamma \mathscr Z \ar[r]\ar[d]^-{\phi} &\Gamma \mathscr Z^{Q} \ar[d]^-{\phi^{Q}} \ar[r]^-{\sim} & \prod_{v \in \mathcal V} \mathscr Z_v^Q\ar[d]^-{(\phi^Q_v)} \ar[r]^-{\sim} & \prod_{v \in \mathcal V} Q \ar[d]^-{(b_v)}\\ \op{Hom}_S (\Gamma \mathscr Z, S)\ar[r] &\op{Hom}_Q (\Gamma \mathscr Z^Q, Q) \ar[r]^-{\sim} &\prod_{v \in \mathcal V} \op{Hom}_Q (\mathscr Z_v^Q, Q) \ar[r]^-{\sim} & \prod_{v \in \mathcal V} Q } \end{displaymath} Unsere Voraussetzung bedeutet nach der Beschreibung der Halme von $\mathcal L^{\op{tf}} M$ als Bild von $M$ in $\mathcal L M^Q$, da"s \begin{equation*} \phi^Q_x : \mathscr Z^Q_x \rightarrow \op{Hom}_Q (\mathscr Z_x^Q, Q) \end{equation*} einen Isomorphismus vom Bild der oberen Horizontalen Verkn"upfung mit dem Bild der unteren Horizontalen Verkn"upfung induziert. Nun beachten wir zun"achst, da"s wir das Bild der unteren Horizontalen \glqq bis ganz nach rechts\grqq\ beschreiben k"onnen als \begin{equation*} \left\{ (a_v) \in\prod_{v\in \mathcal V} Q \;\left|\; \sum_{v \in \mathcal V} a_v z_v \in S \text{ f"ur alle } z \in \Gamma \mathscr Z\right\}\right. \end{equation*} mit $z_v \in \mathscr Z_v$ dem Halm von $z \in \Gamma \mathscr Z$. Speziell k"onnte $z \in \Gamma \mathscr Z$ dadurch gegeben sein, da"s gilt $z_v =0$ f"ur $v \neq x$ und $z_x = \prod_{x\in E} \alpha (E)$, so da"s wir an jeder Ecke folgern \begin{equation*} a_x \left( \prod_{x\in E } \alpha (E) \right ) \in S \end{equation*} F"ur die Matrixeintr"age $b_v$ unseres Homomorphismus $\phi$ alias die Komponenten des Bildes der $1$ folgt damit bereits $b_v \prod_{v\in E } \alpha (E) \in S$. Nun h"atten wir bei besserem Vorbedacht $Q$ die Lokalisierung von $S$ an allen von Null verschiedenen homogenen Elementen vom Grad Eins genommen, so da"s sich die $b_v$ homogen vom Grad $-l$ ergeben h"atten. Gehen dann von einer Ecke $v$ weniger als $l$ Kanten aus, so folgt $b_v = 0$. Dasselbe gilt im "ubrigen auch, wenn zu den von $v$ ausgehenden Kanten insgesamt weniger als $l$ Bezeichnungen aus $\mathbb P V$ geh"oren. Gehen von $v$ dahingegen genau $l$ Kanten mit $l$ paarweise verschiedenen Bezeichnungen aus, so liegt $b_v$ in der von $\prod_{v \in E} \alpha (E)^{-1}$ erzeugten Gerade "uber dem Grundk"orper. Es bleibt zu zeigen, da"s in unserem Fall aus $b_x \neq 0$ folgt $b_y \neq 0$. Es k"onnte ja nun $z \in \Gamma \mathscr Z$ auch dadurch gegeben sein, da"s gilt $z_x = \prod_{x\in F \not\ni y} \alpha (F)$ und $z_y = \prod_{y \in F \not\ni x} \alpha (F)$ und $z_v =0$ f"ur $v \neq x,y$. Damit $\phi (1) \in \op{Hom}_S (\Gamma \mathscr Z, S)$ auch auf diesem $z \in \Gamma \mathscr Z$ einen Wert aus $S$ annimmt, mu"s gelten $b_x z_x + b_y z_y \in S$, und das ist f"ur $b_x \neq 0$ und $b_y =0$ schlechterdings nicht m"oglich. Um schlie"slich auch $(\mathcal L^{\op{tf}} \phi)_E$ als Isomorphismus zu entlarven, reicht es nach der im Anschlu"s gegebenen Beschreibung der Kantenhalme \ref{KaHF} zu zeigen, da"s das Bild von \begin{equation*} \op{Hom}_S (\Gamma \mathscr Z, S) \rightarrow \op{Hom}_Q (\Gamma \mathscr Z^Q_x, Q) \times \op{Hom}_Q (\Gamma \mathscr Z^Q_y, Q) \overset{\sim}{\rightarrow} Q \times Q \end{equation*} nur dann $(\lambda, 0)$ enthalten kann, wenn f"ur $\alpha =\alpha (E)$ gilt $\lambda \in b_x \alpha S$. F"ur dasselbe Element $z \in \Gamma \mathscr Z$ von eben mu"s aber dann gelten $\lambda z_x \in S$ und wegen $b_x z_x = \alpha^{-1}$ folgt notwendig $\lambda \in b_x \alpha S$. \end{proof} \subsection{Die Braden-Macpherson-Garbe} \begin{Bemerkungl} Sei nun auf allen Kanten $E \in \cal{E}$ unseres Graphen $\mathcal G = (\mathcal V, \mathcal{E})$ eine Anordnung $\leq$ so gew"ahlt, da"s die davon erzeugte transitive Relation auf $\mathcal V$ eine Teilordnung $\leq$ ist. In anderen Worten sei jeder Kante eine Richtung gegeben derart, da"s mit diesen Richtungen ein zykelfreier Graph entsteht. Wir schreiben in dieser Situation $x \rightarrow y$ gleichbedeutend zu ($\{x,y\} \in \cal{E}$ und $x < y$) und nennen das Datum $(\mathcal V, \mathcal E, \leq)$ einen {\bf gerichteten Graphen}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir schreiben im folgenden $R\op{-gMod}$ f"ur die Kategorie der graduierten Moduln "uber einem graduierten Ring $R$ oder auch f"ur graduierte Modulgarben "uber einer graduierten Ringgarbe. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}[\textbf{Braden-MacPherson-Garbe}] Sei $\mathcal G=(\mathcal V, \mathcal E, \alpha,\leq)$ ein endlicher bezeichneter gerichteter Graph ohne Mehrfachkanten und Zykel. Es gebe in unserem Graphen eine gr"o"ste Ecke $w \in \mathcal V$. Dann gibt es bis auf Isomorphismus genau eine Garbe $\mathscr B \in \mathscr Z\op{-gMod}$ mit den folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item $\mathscr B_w \cong S;$ \item $\rho_{E,y} $ induziert einen Isomorphismus $ \mathscr B_y/\alpha \mathscr B_y \overset{\sim}{\rightarrow} \mathscr B_E$ f"ur alle $E : x \overset{\alpha}{\rightarrow} y$; \item F"ur alle $x \in \mathcal V$ haben die durch Restriktion gegebenen Abbildungen \begin{equation*} \mathscr B_x \rightarrow \bigoplus_{E:x \rightarrow} \mathscr B_E\leftarrow \mathscr B((>x)_\wedge) \end{equation*} dasselbe Bild, und der linke Pfeil von $\mathscr B_x$ in die Mitte ist in $S\op{-gMod}$ eine projektive Decke seines Bildes. \end{enumerate} Ich erinnere daran, da"s $(>\!x)_\wedge$ die kleinste offene Obermenge von $(>\!x)$ bzeichnet, in unserem Kontext also die Menge aller Ecken $y$ mit $y>x$ vereinigt mit der Menge aller Kanten, die eine solche Ecke $y$ enthalten. Wir nennen $\mathscr B$ die {\bf Braden-MacPherson-Garbe} unseres bezeichneten gerichteten Graphen. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{uzB} Nach Konstruktion verschwindet $\Gamma\mathscr B$ in negativen Graden und seine Komponente vom Grad Null ist eindimensional. Ebenso nach Konstruktion ist $\mathscr B$ unzerlegbar. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}(\cite[8.11]{Fie-Skr})\label{FBFl} F"ur die Braden-MacPherson-Garbe $\mathscr B$ liefert der kanonische Morphismus einen Isomorphismus $\cal L^{\op{tf}}\Gamma(\mathscr B)\sira \mathscr B.$ \end{Lemma} \begin{proof} Die Eckenhalme von $\mathcal L^{\op{tf}} M$ f"ur $M \in \Gamma (\mathscr Z)\op{-Mod}$ k"onnen ja beschrieben werden als die Bilder der Kompositionen \begin{equation*} M \rightarrow \mathscr Z_x \otimes_{\Gamma (\mathscr Z)} M \rightarrow \mathscr Z_x^Q \otimes_{\Gamma (\mathscr Z)} M \end{equation*} F"ur die Braden-Macpherson-Garbe $\mathscr B$ haben wir jedoch nach Konstruktion $\Gamma (\mathscr B) \twoheadrightarrow \mathscr B_x$ f"ur alle Ecken $x \in \mathcal V$ und f"ur jede Garbe $\mathscr M \in \mathscr Z\op{-Mod}$ haben wir $\mathscr Z^Q_x \otimes_{\Gamma (\mathscr Z)} \Gamma (\mathscr M) \overset{\sim} {\rightarrow} \mathscr M^Q_x$. So erhalten wir ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \Gamma \mathscr B \ar[r] &\mathscr Z_x \otimes_{\Gamma (\mathscr Z)} \Gamma \mathscr B \ar[r] \ar@{->>}[d]& \mathscr Z^Q_x \otimes_{\Gamma (\mathscr Z)} \Gamma \mathscr B \ar@{=}[d]\\ &\mathscr B_x \ar@{^{(}->}[r] & \mathscr B^Q_x } \end{displaymath} aus dem sofort folgt $(\mathcal L^{\op{tor}} \Gamma \mathscr B)_x \overset{\sim} {\rightarrow} \mathscr B_x$ unter der kanonischen Abbildung, f"ur alle Ecken $x \in \mathcal V$. Ist weiter $E$ eine von $x$ absteigende Kante bezeichnet mit $\alpha(E)=\alpha,$ so haben wir ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ (\mathcal L^{\op{tf}} \Gamma \mathscr B)_x \ar@{->>}[d]\ar[r]^-{\sim} & \mathscr B_x\ar[d] \ar@{=}[r] &\mathscr B_x \ar[d]\\ (\mathcal L^{\op{tf}} \Gamma \mathscr B)_E \ar[r] &\mathscr B_E \ar@{=}[r] & \mathscr B_x/\alpha \mathscr B_x } \end{displaymath} mit einem $(S/\alpha S)$-Modul unten links, und aus diesem Diagramm folgt unmittelbar, da"s auch die linke untere Horizontale ein Isomorphismus ist. \end{proof} \subsection{Multiplizit"at Eins im selbstdualen Fall} \begin{Satz} Sei $\mathcal G=(\mathcal V, \mathcal E, \alpha,\leq)$ ein endlicher bezeichneter gerichteter Graph, ohne Mehrfachkanten und Zyklen, mit einer gr"o"sten Ecke $w \in \mathcal V$. Die globalen Schnitte der zugeh"origen Braden-MacPherson-Garbe $\mathscr B$ seien selbstdual, genauer gebe es einen Isomorphismus $\Gamma\mathscr B\cong \op{Hom}_S(\Gamma\mathscr B, S)[-l]$ von $\DZ$-graduierten $ \Gamma(\mathscr Z)$-Moduln. So gilt $$\mathscr B_x\cong S $$ f"ur alle Ecken $x$ mit der Eigenschaft, da"s von jeder dieser Ecken und auch von jeder gr"o"seren Ecke genau $l$ Kanten ausgehen. \end{Satz} \begin{Bemerkung} Bezeichnet $\Omega\subset \cal{V}$ die Menge aller Ecken mit der Eigenschaft, da"s von jeder dieser Ecken und auch von jeder gr"o"seren Ecke genau $l$ Kanten ausgehen, und bezeichnet $\mathcal T_\Omega \subset \mathcal T$ die Teilmenge bestehend aus allen Ecken aus $\Omega$ und allen Kanten zwischen zwei solchen Ecken, so zeigen wir im folgenden unter den Voraussetzungen des Satzes sogar die Existenz eines Isomorphismus $$\mathscr B| \mathcal T_\Omega \cong \mathscr Z| \mathcal T_\Omega$$ von $\DZ$-graduierten $\mathscr Z$-Moduln. \end{Bemerkung} \begin{proof} Wie in \ref{uzB} erw"ahnt hat $\Gamma \mathscr B$ keine Komponenten in negativen Graden und seine Komponente im Grad Null ist eindimensional. Wir finden dann nat"urlich einen Homomorphismus \begin{equation*} f : \Gamma \mathscr Z \rightarrow \Gamma \mathscr B \end{equation*} von graduierten $\Gamma (\mathscr Z)$-Moduln, der im Grad Null ein Isomorphismus ist. Nun betrachten wir die Verkn"upfung \begin{equation*} \Gamma \mathscr Z \overset{f}{\longrightarrow} \Gamma \mathscr B \overset{\sim} {\longrightarrow} \op{Hom}_S (\Gamma \mathscr B, S) [-l] \overset{(\circ f)}{\longrightarrow} \op{Hom}_S (\Gamma \mathscr Z, S) [-l] \end{equation*} Man erkennt etwa unter $\otimes_S Q$, da"s diese Verkn"upfung $\phi$ oder vielmehr der zugeh"orige Morphismus $\mathcal L^{\op{tf}} \phi$ auf den Halmen an der h"ochsten Ecke nicht die Nullabbildung induziert. Nach \ref{DuSt} induziert dann $\mathcal L^{\op{tf}}\phi$ sogar einen Isomorphismus auf den Restriktionen unserer Garben auf die Teilmenge $\mathcal T_\Omega \subset \mathcal T$. Nun ist aber $\mathscr B | \mathcal T_\Omega$ auch eine Braden-MacPherson-Garbe und damit unzerlegbar und $\mathcal L^{\op{tf}} f$ induziert eine spaltende Einbettung $\mathscr Z | \mathcal T_\Omega \hookrightarrow \mathscr B | \mathcal T_\Omega$. Es folgt sofort $\mathscr Z |\mathcal T_\Omega \cong \mathscr B | \mathcal T_\Omega.$ \end{proof} \subsection{Ab hier noch unn"otig} \begin{Bemerkungl} Jetzt betrachten wir auf $\mathcal T$ zus"atzlich die Toplogie, die erzeugt wird von den $\Omega_\wedge \co \mathcal T$ f"ur $\Omega \subset \mathcal V$ stabil unter Vergr"o"sern. Mit dieser Topologie versehen notieren wir unsere Menge $\mathcal T^\uparrow $ und die Identit"at ist eine stetige Abbildung \begin{equation*} \kappa : \mathcal T \rightarrow \mathcal T^\uparrow \end{equation*} Eine abelsche Garbe $\mathscr F$ auf $\mathcal T$ hei"se {\bf $\ua$-welk},\index{welk@$\ua$-welk} wenn ihr direktes Bild $\kappa_\ast \mathscr F$ welk ist. Fiebig nennt einen $S$-torsionsfreien $\Gamma (\mathscr Z)$-Modul $M$ \glqq flabby\grqq\ genau dann, wenn der kanonische Morphismus ein Isomorphismus $M \overset{\sim}{\rightarrow} \Gamma \mathcal L^{\op{tf}} M$ ist und wenn zus"atzlich $\mathcal L^{\op{tf}} M$ eine $\ua$-welke Garbe in obigem Sinne ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Diese Garbe ist nach Konstruktion stets $\ua$-welk und ohne $S$-Torsion in Eckenhalmen. Ebenso nach Konstruktion liefert f"ur jede Ecke $x\in \cal{V}$ die offensichtliche Abbildung eine Surjektion $\Gamma(\mathscr B)\sra \mathscr B_x.$ \end{Bemerkungl} \subsection{Notationsfragen zur Fiebig-Lokalisierung}\label{Skizze} \begin{Bemerkungl} Ich finde es ungl"ucklich, da"s Fiebig den Halm bei $x \in \mathcal V$ der Garbe $\mathscr Z$ mit $\mathcal Z^x$ bezeichnet statt wie "ublich $\mathscr Z_x$, und da"s er die Notation $\mathscr Z_x$ stattdessen reserviert f"ur etwas anderes. Da mich das zu sehr verwirrt, benenne ich Fiebigs Konstruktionen um. Die folgende Tabelle zeigt, wie dasselbe Objekt beziehungsweise dieselbe Eigenschaft bei mir und bei Fiebig benannt werden. %\vspace{0,5cm} \begin{center} \begin{tabular}{cl}%\hline Fiebig& Dieser Aufsatz \\[4mm]%\hline $\mathcal{Z}$ &$\Gamma(\mathscr{Z}),$ die \glqq Strukturalgebra\grqq, \\&bestehend aus den globalen Schnitte der Garbe $\mathscr{Z}$; \\[2mm] $\mathcal{Z}^x$ & $\mathscr{Z}_x,$ Halm der Garbe $\mathscr{Z}$ bei $x$;\\[2mm] $\mathcal Z_\Lambda$&$\left\{s \in \Gamma (\mathscr Z) \mid \op{supp} s \subset \Lambda_\wedge\right\}$ \\&f"ur $\Lambda_\wedge$ kleinstm"oglich offen "uber $\Lambda$;\\[2mm] $\mathcal Z^\Lambda$ & $\op{im} (\Gamma (\mathscr Z) \rightarrow \Gamma (\Lambda_\wedge; \mathscr Z))$\\[2mm] sheaf $\mathscr{M}$ &Garbe $\mathscr{M}\in \mathscr Z \op{-gMod}$ von graduierten Moduln\\& "uber der Garbe von graduierten $S$-Algebren $\mathscr Z,$\\& deren Halme $\mathscr{M}_x,$ $\mathscr{M}_E$ endlich erzeugt sind "uber $S$\\&und deren Eckenhalme torsionsfrei sind "uber $S;$ \\[2mm] $\Gamma(\mathscr{M})$ & $\Gamma(\mathscr{M})$ \\[2mm] $\Gamma(\Lambda,\mathscr{M})$ & $\Gamma(\Lambda_\wedge;\mathscr{M})=\mathscr{M}(\Lambda_\wedge)$ \\[2mm] $\mathscr{M}^x$ & $\mathscr{M}_x,$ Halm der Garbe $\mathscr{M}$ bei $x$;\\[2mm] % $\mathscr{M}^x$ & $\mathscr{M}_x/\mathscr{M}_x^{\op{tf}},$ Halm % der Garbe $\mathscr{M}$ bei $x$ modulo seiner $S$-Torsion;\\[2mm] $\mathscr{M}^E$ & $\mathscr{M}_E,$ Halm der Garbe $\mathscr{M}$ bei $E$;\\[2mm] $\{n\}$&$[n]$\\[2mm] $M_{Q,x}$&$Q\otimes_S(\cal LM)_x$\\[2mm] $M^\Lambda$&$\op{im}(M\ra (\cal{L}^{\op{tf}}M)(\Lambda_\wedge)),$ f"ur $\Gamma (\mathscr Z)$-Moduln $M$ ohne $S$-Torsion;\\[2mm] \end{tabular} \end{center} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir betrachten die kurze exakte Sequenz $$\bigoplus_{x\in \cal{V}\backslash\Lambda}M_{Q,x}\;\;\hra \;\; \bigoplus_{x\in \cal{V}}M_{Q,x}\;\;\sra\;\;\bigoplus_{x\in \Lambda}M_{Q,x}$$ Jeder $\Gamma(\mathscr Z)$-Modul $M$ ohne $S$-Torsion kann als Teilmenge der Mitte aufgefa"st werden. Dann liefern Fiebig's Definitionen $$M^\Lambda=\op{im}\left(M\ra \bigoplus_{x\in \Lambda}M_{Q,x}\right)$$ und in meinen Notationen erhalten wir $$M^\Lambda=\op{im}\left(M\ra (\cal{L}^{\op{tf}}M)(\Lambda_\wedge)\right)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{KaHFbb} Die "Aquivalenz zu den von Fiebig gegebenen Beschreibungen diskutiere ich in \ref{Torf} und \ref{KaHF}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Modul $M$ "uber einem kommutativen Ring $R$ hei"st \defind{reflexiv} genau dann, wenn die kanonische Abbildung in sein Bidual ein Isomorphismus ist, in Formeln \begin{equation*} M \overset{\sim}{\rightarrow} M^{\ast\ast} \end{equation*} \end{Definition} \begin{Bemerkung} Fiebig nennt einen $S$-torsionsfreien $\Gamma (\mathscr Z)$-Modul $M$ \glqq reflexiv\grqq\ genau dann, wenn $M^{\mathcal I}$ ein reflexiver $S$-Modul ist f"ur alle $\mathcal I \subset \Omega$, die mit einem Element auch alle gr"o"seren enthalten. Um Begriffsverwirrungen zu vermeiden, will ich diese Eigenschaft \defind{Fiebig-reflexiv} nennen. Fiebig zeigt in \cite[Proposition 4.5]{F-SMG}, da"s $S$-reflexive graduierte $\Gamma (\mathscr Z)$-Moduln auf $GKM$-Graphen stets als globale Schnitte von graduierten $\mathscr Z$-Moduln ohne $S$-Torsion in Eckenhalmen realisiert werden k"onnen. \end{Bemerkung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% End: