\section{Altes Zeug, vermutlich Schrott} \subsection{Implizite Funktionen} \nichtfinal{Alter Schrott, kann eigentlich weg.} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Implizite Funktionen in einem Spezialfall}] Gegeben eine differenzierbare Funktion $f:\DR^3\ra\DR$ von drei Ver"anderlichen scheint es mir anschaulich klar, da"s ihre Niveaufl"ache $N$ durch einen vorgegebenen Punkt $p\in\DR^3$ salopp gesprochen lokal um $p$ als Graph einer reellwertigen Funktion der ersten beiden Ver"anderlichen dargestellt werden kann, wenn die Tangentialebene an unsere Niveaufl"ache bei $p$ nicht auf der $xy$-Ebene alias der Nullstellenmenge der dritten Ver"anderlichen senkrecht steht, wenn also die partielle Ableitung unserer Funktion $f$ nach der dritten Ver"anderlichen bei $p$ nicht verschwindet. Etwas formaler sollte es also unter der Bedingung $f_z(p)\neq 0$ offene Teilmengen $C_1\co \DR^2$ und $A_1\co \DR$ geben derart, da"s gilt $p\in C_1\times A_1$ und da"s $N \cap (C_1\times A_1)$ der Graph einer Funktion $g:C_1\ra A_1$ ist. Derartige \glqq implizit definierte Funktionen\grqq\ werden wir im folgenden in voller Allgemeinheit studieren, allerdings mit einer anderen Konvention f"ur die Bezeichnung der Variablen: Statt $(x,y,z)$ schreiben wir im folgenden $(z_1,z_2,x)$ und fassen $f$ bei vorgegebenem $b=f(p)$ als eine von zwei Parametern $z_1,z_2$ abh"angende Gleichung f"ur $x$ auf, n"amlich als die Gleichung $$f(z_1,z_2,x)=b$$ Unsere implizite Funktion ist in dieser Notation diejenige Funktion $g:C_1\ra A_1$, die charakterisiert wird durch die Bedingung $f(z_1,z_2, g(z_1,z_2))=f(p)$. Die Bedingung an die lokale Existenz einer impliziten Funktion lautet in dieser Notation $f_x(p)\neq 0$. Im folgenden betrachten wir allgemeiner nicht nur von Parametern abh"angende Abbildungen $\DR\ra\DR$, sondern allgemeiner von Parametern abh"angende Abbildungen $\DR^m\ra\DR^m$. Mit $x$ bezeichnen wir dabei Koordinaten des Ausgangsraums und mit $y$ Koordinaten des Raums, in dem unsere Abbildung landet. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erl"auterung des Satzes in Koordinaten}] Gegeben ein Gleichungssystem mit weniger Gleichungen als Unbekannten, sagen wir mit nur $m$ Gleichungen f"ur $m+n$ Unbekannte, wird man im allgemeinen erwarten, da"s sich die L"osungsmenge in der folgenden Weise beschreiben l"a"st: Wir d"urfen $n$ Unbekannte frei w"ahlen und k"onnen die "ubrigen $m$ Unbekannten dann aus unseren $m$ Gleichungen als Funktionen der bereits gew"ahlten $n$ Unbekannten bestimmen. % Das vorhergehende Beispiel w"are hier der Fall % einer Gleichung $m=1$ in $1+2=3$ Unbekannten. Mir hilft es beim Denken und Reden, diese $n$ frei zu w"ahlenden Unbekannten als \glqq Parameter\grqq\ zu bezeichnen und unser System als ein System von $m$ Gleichungen in $m$ Unbekannten $x_1,\ldots, x_m$ anzusehen, bei dem unsere $m$ Gleichungen zus"atzlich noch von insgesamt $n$ Parametern $z_1,\ldots, z_n$ abh"angen, in Formeln $$ \begin{array}{ccc} f_1(z_1,\ldots, z_n,x_1,\ldots, x_m)&=&b_1\\ \vdots&&\vdots\\ f_m(z_1,\ldots, z_n,x_1,\ldots, x_m)&=&b_m \end{array} $$ f"ur fest vorgegebene $b_1,\ldots, b_m$. Besteht unser Gleichungsystem etwa aus $m$ linearen Gleichungen in $m$ Unbekannten, wobei diese $m$ Gleichungen noch stetig von den $n$ Parametern $z_1,\ldots, z_n$ abh"angen, und ist die $(m\times m)$-Matrix der Koeffizienten f"ur eine feste Wahl der Parameter invertierbar, so wird sie auch f"ur benachbarte Parameter invertierbar bleiben, und wir k"onnen den eindeutig bestimmten L"osungsvektor f"ur zu unserer festen Wahl benachbarte Parameter als Funktion der Parameter schreiben. Im Fall eines nicht notwendig linearen Gleichungssystems gelten entsprechende Aussagen. Eine pr"azise Formulierung gibt der \glqq Satz "uber implizite Funktionen\grqq. Mit den \glqq impliziten\grqq\ Funktionen sind dabei diejenigen Funktionen gemeint, die die $m$ Unbekannten $x_1,\ldots, x_m$ als Funktionen der $n$ Parameter $z_1,\ldots, z_n$ ausdr"ucken: Diese Funktionen sind n"amlich a priori nicht explizit etwa als Polynome oder allgemeiner als algebraische Ausdr"ucke in bekannten Funktionen gegeben, sondern nur implizit als L"osungen eines Gleichungssystems. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erl"auterung des Satzes im Fall linearer Funktionen}] Ich will den Fall, da"s unsere Gleichungen linear sind und sogar linear von den Parametern abh"angen, auch noch koordinatenfrei und etwas pr"aziser formulieren. Seien dazu ganz allgemein $X,Y,Z$ Vektorr"aume. Die Elemente von $Z$ spielen im folgenden die Rolle der \glqq Parameter\grqq. Ist $f: Z\times X\ra Y$ eine lineare Abbildung, deren Restriktion auf $X$ bijektiv ist, so gibt es bei festem $b\in Y$ genau eine Abbildung $g:Z\ra X$ mit $f(z,g(z))=b$ f"ur alle $z\in Z$. In der Tat ist unsere Gleichung wegen der Linearit"at von $f$ gleichbedeutend zu $f(0,g(z))+f(z,0)=b$, und nach Annahme gibt es eben genau ein $x\in X$ mit $f(0,x)=b-f(z,0)$. Bezeichnet in Formeln $\op{in}_X$ die lineare Einbettung $x\mapsto (0,x)$ von $X$ nach $Z\times X$, so haben wir $g(z)=(f\circ \op{in}_X)^{-1}(b-f(z,0))$. Notieren wir auch noch $\op{in}_Z$ die lineare Einbettung $z\mapsto (z,0)$ von $Z$ nach $Z\times X$ und nehmen der Einfachkeit halber $b=0$ an, so erhalten wir $$g=-(f\circ \op{in}_X)^{-1} \circ (f\circ \op{in}_Z)$$ Der Satz "uber implizite Funktionen besagt, da"s "ahnliche Aussagen \glqq lokal\grqq\ auch allgemeiner f"ur beliebige stetig differenzierbare Abbildungen gelten. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[height=0.5\textheight]{SkriptenBilder/Bildimpl}\\[4mm] \noindent Der Schnitt der Niveaufl"ache $\{(z,x)\mid f(z,x)=x^2-z=0\}$ mit einem geeigneten Rechteck $C_1\times A_1$ ist der Graph einer Funktion, eben der entsprechenden impliziten Funktion, hier der Funktion $g(z)=\sqrt{z}$. Dieses Beispiel zeigt auch, da"s im Fall von nicht zusammenh"angendem $C_1$ die implizite Funktion durchaus von der Wahl von $A_1$ abh"angen kann: Zwei Paare $(C_1,A_1)$ und $(C_1,A_1')$ mit demselben\label{BIMPLalt} $C_1$ k"onnen verschiedene implizite Funktionen $C_1\ra A$ liefern! Die Tangente an den Graphen unserer impliziten Funktion $g$ schlie"slich steht in $(c,a)$ senkrecht auf dem Gradienten $(f_z(c,a),f_x(c,a))$, so da"s auch die Formel f"ur die Tangentensteigung $g'(c)= -f_z(c,a)/f_x(c,a)$ anschaulich unmittelbar einleuchtet. \end{figure} \begin{Satz}[\textbf{"uber implizite Funktionen}] Seien $Z,X,Y$ endlichdimensionale reelle R"aume, $C \co Z$ sowie $A \co X$ offen\label{SsIFalt} und $f: C\times A \ra Y$ stetig differenzierbar. Sei eine Stelle $(c,a)\in C\times A$ gegeben derart, da"s das Differential $\diff_{(c,a)} f$ von $f$ an dieser Stelle eine Bijektion $$(\diff_{(c,a)} f)\circ \op{in}_{\vec{X}}: \vec{X}\sira \vec{Y}$$ induziert. So existieren Paare $(C_1,A_1)$ bestehend aus einer offenen Umgebung $C_1\co C$ von $c$ und einer offenen Umgebung $A_1\co A$ von $a$ derart, da"s die Niveaumenge $\{(z,x)\in C_1\times A_1\mid f(z,x)=f(c,a)\}$ der Graph einer stetig differenzierbaren Funktion $g:C_1\ra A_1$ ist. Jede derart durch die Bedingung $f(z,g(z))=f(c,a)$ erkl"arte \emph{\bf implizite Funktion}\index{implizit!Funktion}\index{Funktion!implizite} $g$ hat dann bei $z\in C_1$ das Differential $$\diff_z g= -\left(\diff_{(z,g(z))}f \circ \op{in}_{\vec{X}}\right)^{-1} \circ (\diff_{(z,g(z))} f \circ \op{in}_{\vec{Z}})$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit impliziter Funktionen}] Es kann durchaus verschiedene\label{ZIFalt} Paare $(C_1,A_1)$ und $(C_1',A_1')$ geben, f"ur die die Bedingungen des Satzes erf"ullt sind. Wenn wir $C_1$ nicht wegzusammenh"angend w"ahlen, kann jeweilige die implizite Funktion auch durchaus von der Wahl von $A_1$ abh"angen: Zwei Paare $(C_1,A_1)$ und $(C_1,A_1')$ mit demselben $C_1$ k"onnen also durchaus verschiedene implizite Funktionen $C_1\ra A$ liefern, wie nebenstehendes Bild illustriert. Wir werden jedoch zus"atzlich zeigen, da"s man im Satz eine offene Umgebung $C_1\co C$ von $c$ sogar so w"ahlen kann, da"s es (1) f"ur jede darin enthaltene wegzusammenh"angende offene Umgebung $U$ von $c$ genau eine stetige Funktion $g:U\ra A$ gibt mit $g(c)=a$ und $f(z,g(z))=f(c,a)$ f"ur alle $z\in U$ und da"s (2) die so erkl"arten Funktionen $g:U\ra A$ stetig differenzierbar sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Kettenregel zeigt, da"s die lineare Abbildung $(\diff_{(c,a)} f)\circ \op{in}_{\vec{X}}$ auch als das Differential bei $a$ der Abbildung $x\mapsto f(c,x)$ verstanden werden kann. Wenn also dies Differential invertierbar ist f"ur einen Parameter $c$, so kann \glqq jedes kleine Verwackeln des Parameters $c$ zu $z$ eindeutig durch ein kleines Verwackeln von $a$ zu $x$ in dem Sinne ausgeglichen werden, da"s unter diesem simultanen Wackeln der Wert von $f$ konstant bleibt\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{IFBRalt} Wieder gilt der Satz mit demselben Beweis auch f"ur vollst"andige normierte R"aume, wenn man zus"atzlich zur Bijektivit"at auch noch die Stetigkeit der inversen Abbildung von $(\diff_{(c,a)} f)\circ \op{in}_{\vec{X}}: \vec{X}\sira \vec{Y}$ fordert und \glqq stetig differenzierbar\grqq\ im Sinne von \ref{SDi} interpretiert. Diese Allgemeinheit wird sich bei der L"osung gew"ohnlicher Differentialgleichungen \ref{ALAW} als n"utzlich erweisen. Der Satz vom offenen Bild \eref{BSU}{AN3} wird sp"ater einmal zeigen, da"s unsere zus"atzliche Forderung "uberfl"ussig ist, da sie n"amlich automatisch erf"ullt ist, aber das soll vorerst weder bewiesen noch verwendet werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Der Satz "uber implizite Funktionen in Koordinaten}] Ich will den Satz "uber implizite Funktionen auch noch in Koordinaten angeben. Seien dazu $C \co \Bbb{R}^{n}$ und $A\co \Bbb{R}^{m}$ offen, $f: C\times A \ra \Bbb{R}^{m}$ stetig differenzierbar und $z_1,\ldots,z_n$ unsere \glqq Parameter\grqq\ sowie $x_1,\ldots,x_m$ unsere \glqq Unbekannten\grqq. So gilt: \begin{enumerate} \item Ist die Matrix $$\left( \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\right)^{m}_{i,j=1}$$ nicht ausgeartet an einer Stelle $(c,a)\in C\times A$, so existieren Tripel $(C_1,A_1,g)$ bestehend aus einer offenen Umgebung $C_1\co C$ von $c$, einer offenen Umgebung $A_1\co A$ von $a$ und einer stetig differenzierbaren Funktion $g:C_1\ra A_1$ derart, da"s an jeder Stelle $z\in C_1$ der Wert $g(z)$ das einzige $x \in A_1$ ist mit $f(z,x)=f(c,a)$. \item Die partiellen Ableitungen der Komponenten von $g$ werden dann gegeben durch die Matrix-Gleichung $$\left(\left.\frac{\partial g_{j}}{\partial z_{k}}\right|_z\right)= -\left(\left. \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}} \right|_{(z,g(z))}\right)^{-1} \left(\left.\frac{\partial f_{i}} {\partial z_{k}}\right|_{(z,g(z))}\right)$$ \end{enumerate} In dieser Sprache ausgedr"uckt kann also ein System von $m$ Gleichungen in $m+n$ Unbekannten im allgemeinen \glqq lokal\grqq\ in der Weise aufgel"ost werden, da"s wir $n$ der Unbekannten frei w"ahlen und die restlichen $m$ Unbekannten dadurch dann im wesentlichen eindeutig festgelegt werden. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Wir betrachten das Gleichungssystem $$ \begin{array}{lll} \zeta \xi +\zeta v-\xi u^2&=&1\\[2mm] \zeta u^3+3\zeta u-uv&=&3 \end{array} $$ Es ist etwa erf"ullt f"ur $(\zeta ,\xi ,u,v)=(1,1,1,1)$. Wenn man nun $\zeta $ und $\xi $ ein bi"schen "andert, kann man dann stets $u$ und $v$ so anpassen, da"s unser Gleichungssystem erf"ullt bleibt? Der Satz "uber implizite Funktionen liefert genau diese Aussage, man mu"s dazu nur pr"ufen, da"s die $(2\times 2)$-Matrix der partiellen Ableitungen der beiden Gleichungen unseres Systems nach $u$ und $v$ bei $(1,1,1,1)$ invertierbar ist. Genauer erh"alt man hier die Matrix $${\scriptstyle\begin{pmatrix}-2&\;\;1\\\;\;5&-1 \end{pmatrix}}$$ und damit implizite Funktionen $u(\zeta ,\xi )$ und $v(\zeta ,\xi )$, die in einer Umgebung von $(1,1)$ definiert sind und die dort jeweils den Wert $1$ annehmen. Man beachte jedoch die Verschiebung der Notation: Unser $(\zeta ,\xi )$ hier entspricht im Satz "uber implizite Funktionen dem $z$ und unser $(u,v)$ hier hie"s dort $x$. Wie finden wir nun die partiellen Ableitungen von $u$ und $v$ bei $(\zeta ,\xi )=(1,1)$? Sicher k"onnen wir unsere abstrakte Formel anwenden, aber dabei verheddert man sich leicht. Ich ziehe es vor, den Beweis im Spezialfall zu wiederholen und die definierenden Gleichungen partiell abzuleiten. Wir erhalten so f"ur die partiellen Ableitungen nach $\zeta $ etwa $$ \begin{array}{lll} \xi +v+\zeta v_\zeta -2\xi uu_\zeta &=&0\\[2mm] u^3+3\zeta u^2u_\zeta +3u +3\zeta u_\zeta -u_\zeta v-uv_\zeta &=&0 \end{array} $$ und nach Auswerten bei $(\zeta ,\xi )=(1,1)$ ergibt sich f"ur die Werte unserer partiellen Ableitungen dort das lineare Gleichungssystem $$ \begin{array}{lll} 2+v_\zeta -2u_\zeta &=&0\\[2mm] 4 +5u_\zeta -v_\zeta &=&0 \end{array} $$ dessen L"osung keine Probleme mehr aufwerfen sollte. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis des Satzes \ref{SsIF} "uber implizite Funktionen] Wir setzen $f(c,a)=b$ und betrachten die Abbildung $$\begin{array}{cccl} F :& C\times A &\ra & \;\;\; Z\times Y\\ &(z,x) & \mapsto & (z , f(z,x) ) \end{array}$$ Ihr Differential bei $(c,a)$ hat im Sinne von \eref{MaDS}{LA1} Block-Gestalt $$\left(\begin{array}{cc} \op{id}_{\vec{Z}}&0\\[4mm] \diff_{(c,a)}f\circ \op{in}_{\vec{Z}}&\diff_{(c,a)}f\circ \op{in}_{\vec{X}} \end{array} \right) $$ und ist insbesondere invertierbar. Nach dem Umkehr\-satz gibt es also offene Umgebungen $C_{1} \subset C$ von $c$ und $A_{1} \subset A$ von $a$ und $P_{1} \co Z\times Y $ von $(c,b)=F(c,a)$ derart, da"s $F$ einen $\cal{C}^1$-Diffeomorphismus $$F : C_{1}\times A_1 \sira P_{1}$$ liefert. Die Umkehrabbildung $G= F^{-1} : P_{1} \sira C_{1}\times A_1$ hat dann offensichtlich die Gestalt $(z,y) \mapsto (z,\tilde{g}(z,y))$ f"ur geeignetes $\tilde{g} : P_{1} \ra X$. Nun ist $f(z,x) =b$ gleichbedeutend zu $F(z,x) = (z,b)$, und unter den Zusatzannahmen $(z,x)\in C_{1}\times A_1$ und $(z,b)\in P_1$ ist das weiter gleichbedeutend zu $(z,x)=G(z,b)$ alias $x=\tilde{g}(z,b)$. Verkleinern wir falls n"otig $C_1$ noch weiter derart, da"s zus"atzlich gilt $ C_1 \times\{b\} \subset P_{1}$, dann gibt es zu jedem $z \in C_1$ genau ein $x = g(z) \in A_1$ mit $f(z,x) =b$, n"amlich $g(z) = \tilde{g}(z,b)$. Die so definierte Funktion $g$ ist stetig differenzierbar nach dem Umkehrsatz. Ihre Ableitung bei $z\in C_1$ ergibt sich leicht, wenn man die Definitionsgleichung $f(z,g(z))=b$ als Abbildung $C_1\ra Y$ auffa"st und auf beiden Seiten das Differential an der Stelle $z$ nimmt: Mit der Kettenregel folgt n"amlich $$\diff _{(z,g(z))} f \circ {\op{id} \choose \diff_z g} = 0$$ Zerlegen wir darin $\diff _{(z,g(z))} f=(\diff _{(z,g(z))} f \circ \op{in}_{\vec{Z}}, \diff _{(z,g(z))} f \circ \op{in}_{\vec{X}})$ als Zeilen-Block\-ma\-trix im Sinne von \eref{MaDS}{LA1}, so ergibt sich sofort die behauptete Formel f"ur das Differential. \end{proof} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[height=0.6\textheight]{SkriptenBilder/BildIFP}\\[4mm] \noindent Die Funktion $ f: \mathbb R^3 \backslash \langle \op{e}_3 \rangle \rightarrow \mathbb R $ auf dem Komplement der $z$-Achse gegeben durch $ (r \cos \vartheta, r \sin \vartheta, z) \mapsto \sin (z -\vartheta) $ f"ur $r > 0$ und $\vartheta$ beliebig hat als Niveaumenge zum Niveau Null eine Wendeltreppe, die sich um die $z$-Achse $\langle \op{e}_3\rangle$ windet. Eingezeichnet sind zusammenh"angende offene Umgebungen $C_1$ und $C^\prime_1$ eines Punkte $c\in \DR^2$, die sich durchaus zu \glqq erlaubten\grqq\ Paaren $(C_1, A_1)$ und $(C^\prime_1, A^\prime_1)$ erg"anzen lassen, bei denen die zugeh"origen impliziten Funktionen jedoch auf $C_1 \cap C_1^\prime$ nicht "ubereinstimmen. \end{figure} \begin{Bemerkunge} Wir zeigen noch unsere Behauptung \ref{ZIF} und zeigen genauer, da"s f"ur $C_1$ wie im vorhergehenden Beweis und $U\co C_1$ eine wegzusammenh"angende Umgebung von $c$ die Einschr"ankung der bisher betrachteten Funktion $g:C_1\ra A_1$ auch die einzige stetige Funktion $\hat{g}:U\ra A$ ist mit $\hat{g}(c)=a$ und $f(z,\hat{g}(z))=b$ f"ur alle $z\in U$. Sei in der Tat solch ein $\hat{g}$ gegeben. Die Menge der Punkte $z\in U$ mit $\hat{g}(z)=g(z)$ ist nicht leer, da sie $c$ enth"alt. Sie ist abgeschlossen in $U$ wegen der Stetigkeit beider Funktionen. Wenn wir auch noch ihre Offenheit zeigen, sind wir fertig mit \ref{WZTT}. Wegen der Stetigkeit nimmt $\hat{g}$ in einer Umgebung von $c$ nur Werte aus $A_1$ an, in dieser Umgebung von $c$ mu"s also $\hat{g}$ mit $g$ "ubereinstimmen. Dieselbe Argumentation greift nun aber f"ur jeden Punkt $z\in U$ mit $\hat{g}(z)=g(z)$, denn alles bereits Gesagte gilt genauso f"ur $(z,g(z))$ wie f"ur $(c,a)$. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{ReKoalt} Gegeben eine einfache Nullstelle eines reellen oder komplexen Polynoms wird bei hinreichend kleinem Wackeln an den Koeffizienten des Polynoms sich auch unsere Nullstelle nur ein bi"schen bewegen und differenzierbar, im komplexen Fall sogar komplex differenzierbar von besagten Koeffizienten abh"angen. Man formuliere diese Aussage pr"azise und beweise sie. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s es keine stetig differenzierbare bijektive Abbildung $\DR^2\sira \DR$ geben kann. \end{Ubung} \subsection{Differentialformen und ihre Ma"se*} \begin{Proposition}[\textbf{Ma"s einer Differentialform}] Gegeben eine $k$-di\-men\-sio\-nale Eck\-fal\-tig\-keit $M$ in einem endlichdimensionalen reellen Raum und eine me"sbare\label{DDfm} $k$-Form $\omega$ auf $M$ gibt es genau ein topologisches Ma"s $|\omega|$ auf $M$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur jede Karte $(W,\varphi)$ von $M$ und jede Borelmenge $A\subset \varphi(W)$ gilt $$|\omega|(A)=\int_{\varphi^{-1}(A)} |(\varphi^\ast\omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)|\lambda^k$$ Jede\index{Ma"s!einer Differentialform} in $M$\index{)5@${\mid}\omega{\mid}$ Ma"s der Differentialform $\omega$} enthaltene Eckfaltigkeit echt kleinerer Dimension ist f"ur dieses Ma"s eine Nullmenge, und jede stetige $k$-Form liefert ein Borelma"s. \end{Proposition} \begin{Bild} \includegraphics[height=5cm]{SkriptenBilder/BildBDF}\\[4mm] \noindent Versuch einer graphischen Darstellung des Ma"ses $|xy\diff x\wedge \diff y|=|xy|\lambda^2$ der Differentialform $xy\diff x\wedge \diff y$, die wir in \eref{GHB}{AN2} versucht hatten, graphisch darzustellen. Das Ma"s einer Teilmenge w"are so in etwa zu denken als die Zahl der in ihr enthaltenen schwarzen Punkte. \end{Bild} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildMdF}\\[4mm] \noindent In diesem Bild soll angedeutet werden, welches Ma"s auf der Kreislinie eine Einsform auf der Papierebene liefert. Denken wir uns etwa die Einform $y\diff x$. F"ur eine me"sbaren Menge wie dem eingezeichneten $A$ d"urfen wir uns das Ma"s so vorstellen: Wir approximieren durch einen Polygonzug und summieren die Betr"age der Werte unserer Differentialform auf den Kantenvektoren. Eine Approximation von $|y\diff x|(A)$ w"are also etwa $|a_2v_1|+b_2w_1=|1\cdot 0|+|(-1)\cdot(-1)|=1$. \end{Bild} \begin{proof}[Beweis von \ref{DDfm}] Der Beweis von \ref{OFLM} kann fast Wort f"ur Wort wiederholt werden, wobei wir nur f"ur jede Karte $(W,\varphi)$ auf $W$ statt der Funktionen $\op{vol}(\diff_x\varphi)$ die Betr"age der Funktionen $\omega_\varphi$ mit $\omega_\varphi(x)=(\varphi^\ast\omega)_x(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$ einsetzen m"ussen. Der entscheidende Schritt besteht dann wieder darin, f"ur je zwei Karten $(W,\varphi)$ und $(V,\psi)$ mit $\varphi(W)= \psi(V)$ und Kartenwechsel $g= \psi^{-1}\circ \varphi :W \sira V$ die Formel $$ |\omega_\varphi(x)|= |\det \diff_{x} g|\;|\omega_\psi(x)| $$ zu zeigen. Per definitionem haben wir jedoch $\varphi^*\omega=\omega_\varphi \diff x_1\wedge\ldots\wedge \diff x_k$ und ebenso $\psi^*\omega=\omega_\psi \diff x_1\wedge\ldots\wedge \diff x_k$ und wegen $\psi \circ g = \varphi$ gilt $g^*(\psi^*\omega)=\varphi^*\omega$. Mit \eref{ZHD}{AN2} folgt dann sofort $(\op{det} \diff_x g) \omega_\psi(g(x))=\omega_\varphi(x)$ f"ur alle $x\in W$, und nehmen wir hier auf beiden Seiten Betr"age, so steht unsere Behauptung auch schon da. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Bedeutungen der Notation $|\omega|$}] Die Notation $|\omega|$ hatten wir eigentlich bereits vereinbart f"ur den Grad einer Differentialform, also $|\omega|=p$ im Fall einer $p$-Form. Es ist also a priori ungeschickt, dieselbe Notation auch noch f"ur ein v"ollig anderes Konzept zu verwenden. Andererseits sind beide Notationen "ublich, und welche Bedeutung im Einzelfall gemeint ist, kann der Leser leicht aus dem Kontext erschlie"sen: Im wesentlichen tritt $|\omega|$ in der Bedeutung als Grad fast nur im Exponenten von $(-1)$ auf, und $|\omega|$ in der Bedeutung als Ma"s fast nie in einem Exponenten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Auf der rechten Seite meint $\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k$ die Standardbasis des $\DR^k$, auf der also unsere $k$-Form $\varphi^\ast\omega$ an jeder Stelle ausgewertet werden soll. F"ur die $2$-Form $\eta=y^2\sin x \diff x\wedge\diff y$ auf dem $\DR^2$ etwa w"are $\eta(\op{e}_1,\op{e}_2)$ die Funktion $y^2\sin x$. Das Integral auf der rechten Seite ist %dann im allgemeinen als Integral in Bezug auf das Lebesgue-Ma"s der me"sbaren reellwertigen Funktion $p\mapsto |(\varphi^\ast\omega)_p(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)|$ "uber die me"sbare Menge $\varphi^{-1}(A)\subset W\subset \DR^k$ zu verstehen. Mit einer $k$-Form meinen wir vorerst noch eine relative $k$-Form. Sobald wir die wirklichen $k$-Formen auf Mannigfaltigkeiten kennenlernen, wird dieselbe Definition jedoch auch f"ur diese sinnvoll und richtig werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion des Unterschieds zum Fl"achenma"s}] Ich will einen wesentlichen Unterschied zum in \ref{OFLM} eingef"uhrten Fl"achenma"s hervorheben: Das Ma"s zu einer Differentialform k"onnen wir auf Eckfaltigkeiten in beliebigen endlichdimensionalen R"aumen einf"uhren, wohingegen wir das Fl"achenma"s nur auf Eckfaltigkeiten in $\DR^n$ erkl"art haben und bestenfalls auf Eckfaltigkeiten endlichdimensionaler affiner Skalarproduktr"aume h"atten erkl"aren k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Ma"s einer Flu"sdichte}] Ist $X$ ein dreidimensionaler orientierter reeller affiner Raum und $M\subset X$ eine zweidimensionale Eckfaltigkeit alias\label{Fludd} Fl"ache und $\omega$ die $2$-Form der Flu"sdichte eines bewegten Gases wie in \eref{FluD}{AN2}, so ordnet das Ma"s $|\omega|$ jedem Fl"achenst"uck auf $M$ die Gesamtmasse an Gas zu, die im gegebenen Zeitintervall hindurchtritt. In welcher Richtung das Gas an der einen oder anderen Stelle hindurchtritt, beachten wir dabei nicht, deshalb die Betragsstriche. Wir fordern auch nicht, da"s $M$ orientiert oder orientierbar sein soll, es d"urfte sich etwa um ein M"obiusband handeln. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Das Lebesgue-Ma"s auf $\DR^k$ ist das Ma"s zu $\diff x_1\wedge\ldots\wedge \diff x_k$, in Formeln $\diff^k x=|\!\diff x_1\wedge\ldots\wedge \diff x_k|$. Speziell ist $|\!\diff x|$ das Lebesgue-Ma"s auf $\DR$. In diesem Fall erlauben wir uns aus den bereits in \ref{Ldf} dargelegten Gr"unden auch die Notation $\diff x$. Allgemeiner erhalten wir f"ur $f:\DR^n\ra\DR$ me"sbar die Gleichheit von Ma"sen $|f\diff x_1\wedge\ldots\wedge \diff x_k|= |f|\diff^k x$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Ist $M$ eine $0$-Eckfaltigkeit, als da hei"st eine diskrete Teilmenge eines endlichdimensionalen Raums, und $\omega$ eine relative $0$-Form alias eine reellwertige Funktion $f$ auf $M$, so ist $|\omega|$ das Ma"s, das jedem Punkt $p \in M$ als Ma"s den Betrag des Funktionswerts $|\omega_p| = |f(p)|$ zuordnet. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Wir betrachten als Differentialform die $1$-Form $\omega = \diff x$ auf $\Bbb{R}^2$ und als Eckfaltigkeit die Kreislinie $S^1 = \{ (x,y) \mid x^2 + y^2 =1\}$. In diesem Fall stimmt das Ma"s $|\!\diff x|$ auf $S^1$ "uberein mit der Summe der Bildma"se $\mu_\pm $ des Lebesgue-Ma"ses auf dem Intervall $[-1,1]$ unter seinen vertikalen Projektionen auf den oberen beziehungsweise auf den unteren Halbkreis. Insbesondere h"atten wir also $|\!\diff x| (S^1) = 4$. In der Tat, betrachten wir etwa die Karte $\varphi : (-1,1) \rightarrow S^1$, $ t \mapsto (t, \sqrt{1-t^2})$ und eine Borelmenge $A$ in ihrem Bild, dem offenen oberen Halbkreis, so ergibt sich mit unseren Definitionen \begin{equation*} |\!\diff x| (A) = \int_{\varphi^{-1}(A)} |\varphi^\ast (\diff x) (\op{e}_1)| = \int_{\varphi^{-1}(A)} |\diff t (\op{e}_1) | = \int_{\varphi^{-1}(A)} 1 = \lambda (\varphi^{-1}(A)) \end{equation*} f"ur $\lambda $ das Lebesguema"s auf $[-1,1]$. \end{Beispiel} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.8\textheight]{SkriptenBilder/BildFi}\\[4mm] \noindent Die gepunktelten Pfeile stellen die Vektoren $p_{3,0}-p_{2,0}$ und $p_{2,1}-p_{2,0}$ dar, der Betrag des Werts von $\omega_{p_{2,0}}$ auf diesem Paar von Vekoren geht in die Riemannsumme $S_P^3$ ein. \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ma"s einer Differentialform "uber Riemannsummen}] Etwas vage mag man sich im Fall einer $2$-Eckfaltigkeit alias Fl"ache im Anschauungsraum vorstellen, da"s wir unsere Fl"ache lokal durch \glqq parallelogrammf"ormige Schuppen\grqq\ approximieren, denen wir mithilfe unserer $2$-Form jeweils ein Ma"s zuordnen k"onnen, indem wir an jeder Stelle die beiden Kantenvektoren unserer parallelogrammf"ormigen Schuppen in die der besagten Stelle zugeordnete alternierende bilineare Abbildung einsetzen und vom Resultat den Betrag nehmen. Dann gilt es, mit immer feineren Schuppen in geeigneter Weise zum Grenzwert "uberzugehen. Konkreter erkl"are ich nun eine Interpretation durch Riemannsummen. Sei dazu $(W,\varphi)$ eine orientierte Karte einer der Einfachkeit der Notation halber zweidimensionalen Eckfaltigkeit $M\subset X$, sei $Q = [a,b] \times [c,d] \subset W$ ein Rechteck und $P=\varphi(Q)\subset M$ sein Bild. Sei weiter $\omega: M \ra \op{Alt}^2(\vec{X})$ eine stetige relative $2$-Form auf $M$. Wir betrachten f"ur $r \geq 1$ die "aquidistanten Unterteilungen $ a = a_{0} < a_{1} < \ldots < a_{r} = b$, $ c = c_{0} < c_{1} < \ldots < c_{r} = d $ der Kanten von $Q$ in jeweils $r$ Segmente, bezeichnen mit $q_{i,j}=(a_{i},c_{j})$ die Gitterpunkte im so gegebenen Raster auf $Q$, und mit $p_{i,j} =\varphi(q_{i,j})$ die Bilder dieser Gitterpunkte in $P\subset M$. Dann definieren wir die $r$-te {\bf Riemannsumme}\index{Riemannsumme!f"ur Ma"s einer Differentialform} $S^{r}_{P} |\omega|$ durch die Formel $$S^{r}_{P} |\omega| = \sum^{r-1}_{i,j =0} |\omega_{p_{i,j}}(p_{i+1,j} - p_{i,j}, p_{i,j+1} - p_{i,j})|$$ Nat"urlich h"angt diese Summe von der Karte $(W,\varphi)$ ab, auch wenn das in der Notation nicht zum Ausdruck kommt. Wir k"onnen nun das Ma"s $|\omega|(P)$ interpretieren als den Grenzwert $$|\omega|(P) = \lim_{r \ra \infty} S_{P}^{r} |\omega|$$ Den Beweis dieser Tatsache entlang der Grundlinie des Beweises von \eref{RSIn}{AN2} "uberlassen wir dem Leser zur "Ubung. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Wir betrachten auf $\DR^2$ die Funktionen $f(x,y)=\op{sin}(xy)$ und $g(x,y)=x^2y +y $ und die $2$-Form $\omega=\diff f\wedge \diff g$. Man schreibe das Ma"s $|\omega|$ auf $\DR^2$ als Vielfaches des Lebesgue-Ma"ses. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $U,V$ offene Teilmengen $n$-dimensionaler reeller R"aume und sei $\phi: U\sira V$ ein $\mathcal C^1$-Diffeomorphismus. Gegeben eine me"sbare $n$-Form $\omega$ auf $V$ zeige man die Verwandtschaft von Ma"sen $\phi:|\phi^\ast \omega|\leadsto | \omega|$. In anderen Worten folgt also aus der Verwandtschaft von me"sbaren $n$-Formen $\phi: \eta\leadsto \omega$ die Verwandtschaft von Ma"sen $\phi: |\eta|\leadsto |\omega|$. Hinweis: Das ist bei rechtem Lichte besehen nur eine Umformulierung der Transformationsformel \ref{TFL}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Die Kovektorfelder $\diff\vartheta$ und $\diff r$ auf $\DR^2$ zu unseren Polarkoordinaten aus \eref{BsPK}{AN2} liefern Ma"se auf dem Kreis $K\subset \DR^2$ mit Radius 4 und auf der Parallelen $G\subset \DR^2$ zur $y$-Achse durch den Punkt $(1,0)$. Man finde stetige Funktionen auf diesen Mannigfaltigkeiten derart, da"s ihre Produkte mit den jeweiligen Fl"achenma"sen die Ma"se zu unseren Differentialformen liefern. \end{Ubung} \subsection{Integration me"sbarer Differentialformen*} \begin{Definition} Sei $M $ eine $k$-dimensionale orientierte Untermannigfaltig\-keit eines endlichdimensionalen reellen Raums. Wir nennen eine me"sbare $k$-Form $\omega$ auf $M$ \defnoind{nichtnegativ}\index{nichtnegativ!Differentialform} genau dann, wenn f"ur alle Punkte $p\in M$ und jede angeordnete Basis $v_1,\ldots,v_k$ der Orientierung $\varepsilon$ des Tangentialraums ${\op{T}}_pM$ gilt $$\varepsilon\omega_p(v_1,\ldots,v_k)\geq 0$$ \end{Definition} \begin{Definition} Wir nennen eine $k$-Form $\omega$ auf einer $k$-dimen\-sio\-na\-len Unter\-man\-nig\-fal\-tig\-keit $M$ eines endlichdimensionalen reellen Raums \defnoind{integrierbar}\index{integrierbar!Differentialform} {\bf "uber $M$} genau dann, wenn sie me"sbar ist und wenn f"ur das nach \ref{DDfm} zugeh"orige Ma"s $|\omega|$ gilt $|\omega|(M)<\infty$. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Integration me"sbarer Differentialformen}] Sei $M $ eine $k$-di\-men\-sio\-nale orientierte Eckfaltig\-keit in einem endlichdimensionalen\label{ItDF} reellen Raum. So bilden die "uber $M$ integrierbaren $k$-Formen einen Untervektorraum im Raum aller $k$-Formen auf $M$, und es gibt auf diesem Untervektorraum genau eine Linearform $\omega\mapsto \int_{\vec{M}}\omega$ derart, da"s f"ur alle nichtnegativen $k$-Formen $\omega$ gilt $$\int_{\vec{M}}\omega=|\omega|(M)$$ \end{Satz} \begin{proof} Da"s die integrierbaren $k$-Formen einen Untervektorraum bilden, scheint mir offensichtlich. Um die Eindeutigkeit der fraglichen Linearform zu zeigen, betrachten wir f"ur eine beliebige me"sbare $k$-Form $\omega$ auf $M$ die me"sbare Teilmenge $$M^+\pdef \left\{p\in M\left| \begin{array}{l} \text{Es gilt }\omega_p(v_1,\ldots,v_k)>0\text{ f"ur eine}\\ \text{und jede orientierte angeordnete}\\ \text{Basis $v_1,\ldots,v_k$ von ${\op{T}}_pM$} \end{array} \right\}\right.$$ Unsere me"sbare $k$-Form $\omega$ k"onnen wir nun schreiben als die Differenz $\omega=\omega^+-\omega^-$ zweier nichtnegativer Formen, indem wir etwa $\omega^+$ erkl"aren durch $\omega^+_p=\omega_p$ f"ur $p\in M^+$ und $\omega^+_p=0$ sonst. Wir m"ussen also setzen $$\int_{\vec{M}}\omega=|\omega^+|(M)-|\omega^-|(M)$$ und es bleibt nur zu zeigen, da"s diese Vorschrift auch tats"achlich eine Linearform liefert. Hierbei ist nur die Additivit"at problematisch. F"ur je zwei integrierbare nichtnegative Formen $\omega$ und $\eta$ gilt jedoch offensichtlich $$\int_{\vec{M}}\omega +\eta =\int_{\vec{M}}\omega +\int_{\vec{M}}\eta $$ Im allgemeinen schreiben wir nun $\omega=\omega^+-\omega^-$, $\;\eta =\eta^+ -\eta^-$ und $\omega+\eta=\rho=\rho^+- \rho^-$ und folgern durch Einsetzen $\omega^+ + \eta^+ +\rho^-=\omega^- + \eta^- +\rho^+$. Wenden wir darauf die Additivit"at des Integrals f"ur nichtnegative Formen an, so folgt sofort die Additivit"at des Integrals f"ur beliebige integrierbare Formen. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Integration in lokalen Koordinaten}] Sei $M $ eine $k$-dimen\-sio\-nale orientierte Eck\-fal\-tig\-keit in einem endlichdimensionalen reellen Raum, $\varphi : W \ra M$ eine Karte der Orientierung $\varepsilon$ und $\omega$ eine me"sbare $k$-Form auf $M$, die au"serhalb von $\varphi( W)$ verschwindet.\label{I2F} So ist $\omega$ integrierbar genau dann, wenn die reellwertige Funktion $(\varphi^{\ast} \omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$ integrierbar ist auf $W$, und in diesem Fall gilt $$\int_{\vec{M}}\omega = \varepsilon\int_{W} (\varphi^{\ast} \omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)\lambda^k$$ \end{Proposition} \begin{proof} F"ur nichtnegative Formen $\omega$ ist das im wesentlichen unsere Definition \ref{ItDF}, f"ur beliebige Formen folgt es mithilfe unserer Zerlegung $\omega=\omega^+-\omega^-$ aus dem vorhergehenden Beweis von Satz \ref{ItDF}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Nach unseren Definitionen % in Satz \ref{ItDF} und \ref{DDfm} "andern sich Integrierbarkeit und Integral einer me"sbaren Differentialform nicht, wenn wir ihre Werte auf einer Untermannigfaltigkeit echt kleinerer Dimension "andern. So k"onnen wir in der Praxis bei \glqq vern"unftigen\grqq\ Karten erreichen, da"s unsere Differentialformen au"serhalb des Bildes der Karte verschwindet und die Proposition greift. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{I2FF} Unter den Annahmen und Notationen von \ref{I2F} und wenn wir $W$ mit der von $\DR^k$ induzierten Orientierung versehen, gilt f"ur unsere integrierbare $k$-Form $\omega$ auch $$\int_{\vec{M}}\omega = \varepsilon\int_{\vec{W}} \varphi^{\ast} \omega$$ In der Tat folgt das unmittelbar aus den Definitionen, wenn wir das Differentialformenintegral auf der rechten Seite vermittels der Karte $\op{id}:W\sira W$ berechnen. Ebenso folgt, da"s $\omega$ integrierbar ist genau dann, wenn $\varphi^{\ast} \omega$ integrierbar ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Flu"s durch die obere Hemisph"are, Erg"anzung}] Ich will noch einmal auf das schon in \eref{Bsp2}{AN2} besprochene\label{SIBS} Beispiel \eref{BI11}{AN2} zur"uckommen, in dem wir den Flu"s des Vektorfelds $x^2\op{e}_3$ durch die obere Hemisph"are $H$ alias das Integral der $2$-Form $x^2 dx \wedge dy$ "uber eben diese Hemisph"are berechnet hatten. Die L"ange der Vektoren unseres Vektorfeldes $x^2\op{e}_3$ h"angt von der H"ohe $z$ gar nicht ab. Es scheint mir deshalb offensichtlich, da"s sein Flu"s durch die obere Hemisph"are $H$ derselbe ist wie durch die Einheitskreisscheibe in der $xy$-Ebene $D =\{(x,y)\mid z = 0, x^2 + y^2 < 1\}$. Formal k"onnen wir das wegen $d (x^2 dx \wedge dy)=0$ auch aus dem Satz von Stokes mit Ecken \ref{ASIE} folgern, indem wir ihn auf die massive obere Halbkugel $M =\{ (x,y,z) \mid x^2+y^2+z^2 \leq 1, \; z \geq 0\}$ anwenden. Deren regul"arer Teil $M_r$ besteht aus dem Komplement der Kreislinie $\{(x,y,z) \mid x^2+y^2=1, \; z =0\}$, und der Rand des regul"aren Teils $\partial M_r$ ist die Vereinigung der oberen Hemisph"are $H$ aus \eref{BI11}{AN2} mit der offenen Einheitskreisscheibe in der $xy$-Ebene $D$. Versehen wir unsere massive Halbkugel mit der von $\DR^3$ induzierten Orientierung, so erbt die obere Hemisph"are $H$ die bereits in \eref{BI11}{AN2} beschriebene Orientierung, die Einheitskreisscheibe $D$ jedoch die nicht von der Einbettung in $\DR^2$ induzierte Orientierung. Schreiben wir $\vec{D}$ f"ur $D$ mit der von der Einbettung in $\DR^2$ induzierten Orientierung, so erhalten wir f"ur $\omega = x^2 dx \wedge dy $ wegen $d\omega =0$ folglich nach Stokes in der Tat $$0=\int_{\vec{M}_r}d\omega=\int_{\partial\vec{M}_r}\omega= \int_{\vec{H}} x^2 dx \wedge dy - \int_{\vec{D}} x^2 dx \wedge dy$$ \end{Beispiel} \subsection{Produktma"s f"ur nicht $\sigma$-endliche Ma"se*} \begin{Bemerkung} Nach \ref{HiBa} und \ref{EHiBa} ist ein beliebiger Hilbertraum isomorph zu einem $L^2$-Raum "uber einer Menge mit Z"ahlma"s, die jedoch nicht abz"ahlbar zu sein braucht. Es scheint mir deshalb sinnvoll, den im vorhergehenden entwickelten Formalismus soweit m"oglich auf nicht notwendig $\sigma$-endliche Ma"sr"aume auszudehnen. In der Literatur geht etwa Halmos \cite{Halmos} in diesem Zusammenhang so vor, da"s er den Begriff eines Ma"sraums ab"andert und schw"acher fordert, da"s die me"sbaren Mengen eines Ma"sraums nur einen \glqq $\sigma$-Ring\grqq\ zu bilden brauchen. Mir scheint es jedoch insbesondere f"ur die Diskussion me"sbarer Abbildungen praktischer, konsequent mit $\sigma$-Algebren zu arbeiten und bei der weiteren Entwicklung der Theorie schlicht den Mengen, die nicht zum \glqq $\sigma$-Ring der in nat"urlicher Weise me"sbaren Mengen\grqq\ geh"oren, das Ma"s Unendlich zuzuweisen. Wir verfahren nach diesem Prinzip etwa bei der Diskussion des Satzes von Hahn oder der Diskussion von Produktma"sen. \end{Bemerkung} \begin{Satz}[\textbf{Ma"sfortsetzungssatz von Carathodory, Variante}] Gegeben eine Menge $X,$ ein Mengenring $\cal{A} \subset \cal{P} (X)$ und ein Pr"ama"s $\mu : \cal{A} \ra [0,\infty]$ existiert\label{MHan} genau eine Erweiterung von $\mu$ zu einem Ma"s auf der von $\cal{A}$ erzeugten $\sigma$-Algebra $\cal{M} (\cal{A}),$ die allen den Mengen von $\cal{M} (\cal{A})$ das Ma"s Unendlich zuordnet, die nicht in einer abz"ahlbaren Vereinigung von Mengen endlichen Ma"ses aus $\cal{A}$ enthalten sind. \end{Satz} \begin{Bemerkung} Wir nennen die in \ref{MHan} charakterisierte Erweiterung eines Pr"ama"ses zu einem Ma"s seine \defind{kanonische Erweiterung}.\index{Erweiterung!kanonische} Der Beweis zeigt, da"s sie beschrieben werden kann durch die Formel $$\mu (M) = \inf \left(\sum^{\infty}_{n=0} \mu (A_{n})\right)$$ wo das Infimum gebildet wird "uber alle Folgen in $\cal{A}$ mit $M\subset \bigcup A_{n}.$ \end{Bemerkung} \begin{proof} Der Existenzbeweis wurde beim Beweis von \ref{MHa} bereits mit gegeben, es gilt nur bei \ref{LHh} zu erinnern, da"s das Infimum der leeren Menge $\infty$ ist. Wir zeigen nun noch die Eindeutigkeit. Sei dazu $\nu$ eine zweite Erweiterung. Es gilt zu zeigen $\mu (Y) = \nu (Y)$ f"ur alle $Y\in\cal{M},$ die sich durch eine Folge von Mengen endlichen Ma"ses aus $\cal{A}$ "uberdecken lassen. Aber sei $(S_{n})$ eine Folge in $\cal{A}$ mit $\bigcup S_{n} \supset Y$ und $\mu (S_{n}) < \infty \quad \forall n.$ Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen $S_{n} \subset S_{n+1} \subset \ldots,$ und m"ussen nur f"ur alle $n$ die Gleichungen $$\mu (Y \cap S_{n})= \nu (Y\cap S_{n})$$ zeigen, dann ergibt sich $\mu (Y )= \nu (Y)$ im Grenzwert $n\ra\infty.$ Nach der Definition von $\mu$ gilt offensichtlich $\nu (Y\cap S_{n}) \leq\mu (Y \cap S_{n}),$ aber ganz genauso auch $\nu (Y^{c}\cap S_{n})\leq\mu (Y^{c} \cap S_{n}),$ und da die Summe dieser Ungleichungen die Gleichung $\nu (S_{n}) = \mu (S_{n})$ liefert, m"ussen unsere Ungleichungen beide schon Gleichungen gewesen sein. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{IMT} Jede integrierbare Funktion verschwindet au"serhalb einer $\sigma$-endlichen Menge. In der Tat m"ussen bei integrierbarem $f$ die Urbilder der Intervalle $[1/n, \infty)$ und $(-\infty, -1/n]$ alle endliches Ma"s haben. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}\label{PrMan} Gegeben Ma"sr"aume $(X, \cal{M}, \mu)$ und $(Y,\cal{N},\nu)$ gibt es auf der Produkt-$\sigma$-Algebra genau ein Ma"s $\mu \boxtimes \nu,$ das \emph{\bf Produktma"s}\index{Produktma"s}, derart da"s (1) f"ur alle $ A \in \cal{M}$ und $ B \in \cal{N}$ von endlichem Ma"s gilt $$(\mu \boxtimes \nu)(A \times B) = \mu (A) \nu (B)$$ und da"s (2) allen denjenigen Mengen aus $\cal{M} \boxtimes \cal{N},$ die sich nicht durch eine abz"ahlbare Vereinigung von Produkten von Mengen endlichen Ma"ses "uberdecken lassen, das Ma"s Unendlich zugeordnet wird. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Im Fall $\mu(A)=\infty$ und $\nu(B)=0$ gilt f"ur das so erkl"arte Produktma"s nur dann $(\mu \boxtimes \nu)(A \times B) =0,$ wenn $A$ als abz"ahlbare Vereinigung von Mengen endlichen Ma"ses geschrieben werden kann oder wenn $B$ die leere Menge ist. Andernfalls erhalten wir $(\mu \boxtimes \nu)(A \times B) =\infty.$ Man k"onnte alternativ auch eine konsistente Theorie aufbauen, indem man als Produktma"s die kanonische Erweiterung des im folgenden Beweis betrachteten Pr"ama"ses $\mu \times \nu$ w"ahlt. Im Wesentlichen k"ame man damit zu denselben Resultaten und insbesondere entst"unden isomorphe R"aume von $L^p$-Funktionen auf Produkten. Das in unserem Satz definierte Produktma"s scheint mir jedoch sowohl einfacher in der Beschreibung als auch einfacher in der Handhabung, etwa beim Beweis der S"atze von Fubini. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Definition des Produkts zweier Ma"sr"aume in dieser un"ublichen Allgemeinheit zu geben scheint mir sinnvoll etwa im Lichte von \ref{TeHi}, wonach f"ur zwei beliebige Ma"sr"aume das komplettierte Tensorprodukt der zugeh"origen R"aume quadratintegrierbarer Funktionen kanonisch isomorph ist zum Raum der quadratintegrierbaren Funktionen auf ihrem Produkt. Wenn man wei"s, da"s jeder Hilbertraum isomorph ist zum Raum der quadratintegrierbaren Funktionen auf einer Menge mit Z"ahlma"s, so liegt es nahe, diesen Satz auch f"ur nicht notwendig abz"ahlbare Mengen mit Z"ahlma"s zu formulieren. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wie im Beweis von \ref{PrMa} bilden wir das Pr"ama"s $\mu \times \nu$ auf $[\cal{M}\times \cal{N}]$. Dieses Pr"ama"s "andern wir nun ab zu einer Abbildung $(\mu \tilde{\times} \nu): [\cal{M}\times \cal{N}]\ra [0,\infty]$, indem wir allen den Mengen $C\in [\cal{M}\times \cal{N}]$, die sich nicht durch eine abz"ahlbare Vereinigung von Produkten von Mengen endlichen Ma"ses "uberdecken lassen, das Ma"s Unendlich zuordnen, und den "ubrigen $C\in [\cal{M}\times \cal{N}]$ den Wert $(\mu \times \nu)(C)$. Man sieht leicht ein, da"s auch $\mu \tilde{\times} \nu$ wieder ein Pr"ama"s auf $[\cal{M}\times \cal{N}]$ ist. Unser Satz folgt damit aus dem Satz von Hahn \ref{MHan} "uber Ma"serweiterungen. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{positiver Fubini}]\label{pFn} Seien $(X, \mu)$ und $(Y,\nu)$ Ma"s\-r"aume. Gegeben eine me"sbare Funktion $f: X \times Y \ra [0,\infty],$ die au"serhalb einer $\sigma$-endlichen Menge verschwindet, ist $x\mapsto f(x,y)$ f"ur alle $y\in Y$ eine me"sbare Funktion $X\ra[0,\infty]$ und das partielle Integral $y \mapsto \int f(x,y) \mu\langle x\rangle$ ist eine me"sbare Funktion $Y\ra[0,\infty]$ und es gilt $$\int_{X\times Y} f(x,y)\;(\mu\boxtimes\nu)\langle x,y\rangle = \int_{Y} \left( \int_{X} f(x,y)\mu\langle x\rangle\right) \nu\langle y\rangle$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Da"s die Bedingung, die Funktion m"oge au"serhalb einer $\sigma$-endlichen Menge verschwinden, hier auch wirklich n"otig ist, zeigt \ref{KoBe}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Das folgt unter unseren Annamen sofort aus \ref{pF}. \end{proof} \begin{Satz}[\defind{Fubini}]\label{Fuban} Seien $(X,\mu)$ und $(Y,\nu)$ Ma"s\-r"aume. Gegeben eine integrierbare Funktion $f: X\times Y \ra \Bbb{R}$ ist f"ur fast alle $y \in Y$ die Funktion $x\mapsto f(x,y)$ integrierbar und die fast "uberall definierte Funktion $y \mapsto \int_{X} f(x,y) \mu\langle x\rangle$ ist auch integrierbar und f"ur ihr Integral gilt $$\int_{Y} \left(\int_{X} f(x,y) \;\mu\langle x\rangle\right) \nu\langle y\rangle = \int_{X\times Y} f(x,y) \;(\mu\boxtimes\nu)\langle x, y\rangle $$ \end{Satz} \begin{proof} Man kann den Beweis von \ref{Fuba} "ubernehmen, wenn man mit \ref{pFn} arbeitet und beachtet, da"s eine me"sbare und integrierbare Funktion nach \ref{IMT} notwendig au"serhalb einer $\sigma$-endlichen Menge verschwindet. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Seien $(X, \cal{M}, \mu)$ und $(Y,\cal{N},\nu)$ Ma"sr"aume. Wir erhalten denselben Ma"sraum, ob wir den Produktraum vervollst"andigen oder ob wir die einzelnen Ma"sr"aume vervollst"andigen, den Produktraum bilden, und nochmals vervollst"andigen. In Formeln gilt also $$(X\times Y, (\cal{M}^\ast\boxtimes \cal{N}^\ast)^\ast, (\mu^\ast\boxtimes \nu^\ast)^\ast) =(X\times Y, (\cal{M}\boxtimes \cal{N})^\ast, (\mu\boxtimes \nu)^\ast)$$ \end{Ubung} \section{Schrott zur Fouriertransformation} \subsection{Schrott allgemeine Fouriertransformation} \begin{Bemerkung} Sei allgemein $V$ eine kommutative lokal kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe und $\mu$ ein Haar-Ma"s auf $V$. Man bildet dann die topologische Gruppe $\hat{V}= \op{Grpto} (V,S^{1})$ aller stetigen Gruppenhomomorphismen von $V$ in die Kreislinie $S^1$ mit der kompakt-offenen Topologie, die sogenannte {\bf Pontrjagin-duale Gruppe}. Man kann zeigen, da"s $\hat{V}$ auch lokal kompakt Hausdorff ist, und da"s in dieser Allgemeinheit der anschlie"sende Satz gilt. \end{Bemerkung} \begin{Satz}[\textbf{Allgemeine Fouriertransformation}] Sei $V$ eine kommutative lokal kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe und $\mu$ ein Haar-Ma"s auf $V$.\label{AFTr} \begin{enumerate} \item Es gibt genau ein Haar-Ma"s $\hat{\mu}$ auf $\hat{V}$ derart, da"s die \emph{\bf Fouriertransformation} $$ \cal{F} = \cal{F}_{(V,\mu)} : {\op{L}}^{1}(V;\mu) \ra \cal{C}(\hat{V})$$ gegeben durch die Vorschrift $(\cal{F} f) (\chi) = \int f(v) \bar{\chi}(v) \;\mu\langle v\rangle $ quadratintegrierbare Funktionen $f \in {\op{L}}^{1} \cap {\op{L}}^{2}$ in quadratintegrierbare Funktionen derselben ${\op{L}}^{2}$-Norm auf $\hat{V}$ "uberf"uhrt. \item F"ur dieses sogenannte \emph{\bf Plancherel-Ma"s} ${\hat{\mu}}$ zu $\mu$ definiert die stetige Fortsetzung von $\cal{F}$ einen Isomorphismus von Hilbertr"aumen $$\cal{F} = \cal{F}_{(V,\mu)} : {\op{L}}^{2} (V;\mu) \sira {\op{L}}^{2} (\hat{V}; {\hat{\mu}})$$ \item Die Abbildung $\op{can} : V \ra \begin{array}[b]{c}\hat{}\\[-4mm] \hat{}\\[-4mm] V \end{array}$ gegeben durch $\langle d(v), \chi\rangle = \overline{\langle\chi,v\rangle}$ ist ein Isomorphismus topologischer Gruppen, unter diesem Isomorphismus entsprechen sich $\mu$ und ${\hat{\hat \mu}}$, und es gilt die \emph{\bf Umkehrformel} $$\cal{F}_{(\hat{V},{\hat{\mu}})} \circ \cal{F}_{(V,\mu)} = \op{id}$$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Siehe \cite{??}. \end{proof} \begin{Bemerkung} Jede kompakte Untergruppe von $\Bbb{C}^\times$ liegt schon in $S^1$. Ist die topologische Gruppe $V$ kompakt, so landet also jeder stetige Gruppenhomomorphismus $V\ra \Bbb{C}^\times$ schon in $S^1$. Damit erkennt man die Entwicklung in eine Fourierreihe \ref{??} als Spezialfall des obigen Satzes, mitsamt einer expliziten Beschreibung des Plancherel-Ma"ses zu einem Haar-Ma"s der Gesamtmasse 1 auf $V$ als Z"ahlma"s auf $\hat{V}$. \end{Bemerkung} \section{Altes zur Fouriertransformation, meist Schrott} \subsection{Allgemeinere Fouriertransformationen, ALT, WOHIN?*} %\index{Fouriertransformation!allgemeine} \begin{Bemerkungl}\label{VVFou} Als Ausblick will ich ohne Beweise skizzieren, in welcher Weise sowohl Fourierreihen als auch Fouriertransformationen beide Spezialf"alle einer allgemeineren Theorie sind. Mehr dazu findet man etwa in \cite{RuGru,BouSP}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur kommutative Hausdorff'sche lokal kompakte topologische Gruppen schlage ich die abk"urzende Bezeichnung {\bf Pontrjagin-Gruppen}\index{Pontrjagin-Gruppe} vor. In der Literatur wir die Theorie meist f"ur derartige Gruppen entwickelt. Ich beschr"anke mich im folgenden auf den Fall abz"ahlbar basierter Pontrjagin-Gruppen, der einerseits alle mir bekannten Anwendungen abdeckt und andererseits technisch f"ur uns weniger aufwendig ist, da wir uns in diesem Fall auf die in dieser Vorlesung bereits entwickelten Methoden der Ma"stheorie st"utzen k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Die additiven Gruppen endlichdimensionaler reeller Vektorr"aume sind abz"ahlbar basierte Pontrjagingruppen. Die Kreislinie $S^1$ ist eine abz"ahlbar basierte Pontrjagingruppe. Jede abz"ahlbare kommutative Gruppe mit ihrer diskreten Topologie ist eine abz"ahlbar basierte Pontrjagingruppe. Auch die \glqq $p$-adischen Zahlen\grqq\ und \glqq Adele\grqq\ aus der Zahlenheorie sind abz"ahlbar basierte Pontrjagingruppen. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Ist $G$ eine abz"ahlbar basierte Pontrjagingruppe, so erh"alt die Menge ihrer Charaktere, als da hei"st aller stetigen Gruppenhomomorphismen in die Kreislinie $$\hat{G}=\frak{X}(G)=\op{GrpTop}(G,S^1)$$ mit ihrer \glqq kompakt-offenen Topologie\grqq\ und punktweisen Verkn"upfung auch wieder die Struktur einer abz"ahlbar basierten Pontrjagingruppe. Wir nennen $\hat G$ die {\bf Charaktergruppe von} $G$.\index{Charaktergruppe} Die kompakt-offene Topologie ist dadurch definiert, da"s eine Teilmenge $U\subset \hat{G}$ offen ist genau dann, wenn es f"ur jedes $\chi\in U$ eine kompakte Teilmenge $K\subset G$ und ein $\varepsilon >0$ gibt derart, da"s alle Charaktere $\psi$ mit $|\psi(g)-\chi(g)|<\varepsilon\; \forall g\in K$ auch noch in $U$ liegen. Die Vorschrift $G\mapsto \hat{G}$ ist sogar ein kontravarianter Funktor, in Formeln liefert jeder stetige Gruppenhomomorphismus $\varphi : G \rightarrow H$ in der Gegenrichtung einen stetigen Gruppenhomomorphismus $\hat \varphi := (\circ \varphi) : \hat H \rightarrow \hat G$. Des weiteren wird unter diesem Funktor jede kurze exakte Sequenz bestehend aus einer abgeschlossenen Einbettung gefolgt von einer finalen Surjektion zu einer kurzen exakten Sequenz derselben Art in der Gegenrichtung. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Im Fall $G = \Bbb{R}^n$ ergibt sich $\hat{G} \cong \Bbb{R}^n$. Im Fall $G = S^1$ ergibt sich $ \hat{G} \cong \Bbb{Z}$. Ist allgemeiner $G$ kompakt, so ist $\hat{G}$ diskret. Ist $G$ diskret, so ist $\hat{G}$ kompakt als abgeschlossene Teilmenge von $\prod_{g\in G}S^1$. Ist $G$ endlich, so haben wir $ \hat{G} \cong G$, aber in v"ollig unkanonischer Weise. \end{Beispiele} \begin{Definition} Gegeben eine abz"ahlbar basierte Pontrjagingruppe $G$ erkl"aren wir die {\bf Fouriertransformation}\index{Fouriertransformation!allgemeine} $$\begin{array}{cccc} \mathcal F:&\op{M}(G) &\rightarrow &\mathcal{C}_{\op{b}} (\hat{G})\\ &\mu &\mapsto & \mu^\wedge \end{array}$$ durch die Vorschrift $\mu^\wedge (\chi) \pdef \int_G \chi (g)\mu \langle g \rangle$. In Worten ist der Wert $\mu^\wedge (\chi)$ der Fouriertransformierten $\mu^\wedge$ eines Ma"ses $\mu$ an einem Charakter $\chi$ das Integral von besagtem Charakter in Bezug auf besagtes Ma"s. \end{Definition} \begin{Beispiele} Im Fall $G = S^1$ erhalten wir die Theorie der Fourierreihen. Im Fall $G = \Bbb{R}^n$ erhalten wir die Theorie der Fouriertransformationen. Im Fall $|G| < \infty$ erhalten wir die Theorie der die sogenannten {\bf diskreten Fouriertransformationen}.\index{Fouriertransformation!diskrete} Besonders beliebt ist der Fall $G=\DZ/2^n\DZ$ von zyklischen Gruppen, deren Ordnung eine Zweierpotenz ist. Auch in dieser Allgemeinheit erkl"art man die {\bf Cosinustransformation} und die\index{Cosinustransformation} {\bf Sinustransformation} von $\mu$\index{Sinustransformation} als die Funktionen $\chi \mapsto \int_G \frac{1}{2}(\chi (g)+\bar{\chi} (g))\mu \langle g \rangle$ und $\chi \mapsto \int_G \frac{1}{2{{\op{i}}}}(\chi (g)-\bar{\chi} (g))\mu \langle g \rangle$ und erh"alt so zu reellen Ma"sen reellwertige Funktionen. Besonders wichtig ist wieder der Fall einer zyklischen Gruppe, in dem diese Transformationen die {\bf diskrete Cosinustransformation}\index{Cosinustransformation!diskrete} und die {\bf diskrete Sinustransformation} hei"sen.\index{Sinustransformation!diskrete} \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Nat"urlichkeit der Fouriertransformation}] Gegeben ein stetiger Homomorphismus $\varphi : G \rightarrow H$ von abz"ahlbar basierten Pontrjagingruppen kommutiert, wie man unschwer einsieht, das Diagramm\label{NatFoA} \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{M}(G) \ar[r]^-{\mathcal F} \ar[d]_-{\varphi_\ast} & \mathcal C_{\op{b}} (\hat G)\ar[d]^-{\circ \hat \varphi}\\ \op{M}(H) \ar[r]^-{\mathcal F} &\mathcal C_{\op{b}} (\hat H) } \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Einen Spezialfall dieser Aussage haben Sie bereits in "Ubung \ref{BIMF} gesehen. Wickelt $\varphi$ die Zahlengerade auf die Kreislinie auf, so ergibt sich ein Zusammenhang zwischen der Fourierreihe und der Fouriertransformation. \end{Beispiele} \begin{Definition}\label{AUPP} Gegeben ein Ring $k$ und Mengen $X,Y$ und Abbildungen $f:X\ra k$ und $g:Y\ra k$ notieren wir $f\boxtimes g$\index{)xbox@$\boxtimes$ "au"seres Produkt!von Funktionen} die Funktion $X\times Y\ra k$ gegeben durch $(x,y)\mapsto f(x)g(y)$. Wir nennen $f\boxtimes g$ das {\bf "au"sere Produkt}\index{"au"seres Produkt!von Funktionen} der beiden Funktionen $f$ und $g$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Produktvertr"aglichkeit der Fouriertransformation}] Ist unsere Gruppe ein Produkt $G \times H$ von zwei abz"ahlbar basierten Pontrjagingruppen $G,H$ und sind Ma"se $\mu \in \op{M} (G)$, $\nu \in \op{M} (H)$ gegeben, so\label{ProFoA} entspricht die Fouriertransformierte des Produktma"ses $\mu \boxtimes \nu \in \op{M}(G\times H)$ unter der nat"urlichen Identifikation $ p: \frak X (G \times H) \sira \frak X (G) \times \frak X (H) $ dem "au"seren Produkt der Fouriertransformierten unserer beiden Ma"se, in Formeln \begin{equation*} p: (\mu \boxtimes \nu)^\wedge \leadsto \mu^\wedge \boxtimes \nu^\wedge \end{equation*} Auch das folgt unmittelbar aus den Definitionen. Einen Schatten dieses Resultats haben Sie eventuell bereits als "Ubung \ref{Goi} ausgearbeitet. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Faltung}] Gegeben eine abz"ahlbar basierte Pontrjagingruppe wird die Faltung $\op{M}(G )\times\op{M}(G )\ra \op{M}(G )$, $(\mu, \nu)\mapsto \mu \ast \nu$ wie in \ref{KonM} erkl"art durch die Vorschrift $$\mu \ast \nu\pdef m_\ast (\mu \boxtimes \nu)$$ f"ur $m : G \times G \rightarrow G$ die Verkn"upfung unserer Gruppe. Wie in \ref{FaMa} zeigt man auch in dieser Allgemeinheit, da"s die Faltung $\op{M}(G )$ zu einer $\DC$-Kringalgebra macht. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Fouriertransformation und Faltung}] Die Fouriertransformierte\label{FTFn} der Faltung zweier komplexer Ma"se ist das punktweise Produkt ihrer Fouriertransformierten, in Formeln \begin{equation*} (\mu \ast \nu)^\wedge =\mu^\wedge \cdot \nu^\wedge \end{equation*} \end{Satz} \begin{proof} Der Komorphismus $\hat m : \hat G \rightarrow \hat G \times \hat G$ zur Verkn"upfung $ m : G \times G \rightarrow G$ ist offensichtlich die diagonale Einbettung, in Formeln $\hat m=\Delta_{\hat G}$. Unsere Formeln liefern f"ur die Fouriertransformierte einer Faltung also $$ \begin{array}[b]{lll} (\mu \ast \nu)^\wedge &= & (m_\ast (\mu \boxtimes \nu))^\wedge \text{ nach Definition der Faltung,}\\ &=& (\mu \boxtimes \nu)^\wedge \circ \hat m \text{ nach der Nat"urlichkeit \ref{NatFo},}\\ &= & (\mu^\wedge \boxtimes \nu^\wedge) \circ \hat m \text{ nach der Produktvertr"aglichkeit \ref{ProFo}},\\ &=& \mu^\wedge \cdot \nu^\wedge \text{ wegen } \hat m = \Delta_{\hat G}. \end{array}\qedhere$$ \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Inversionsformel}] Sei $G$ eine abz"ahlbar basierte Pontrjagingruppe. Die kanonische Abbildung gegeben durch $(\op{can}(g))(\chi)=\overline{\chi(g)}$ liefert einen Isomorphismus\label{AIF} \begin{equation*} \op{can} : G \overset{\sim}{\rightarrow} \hat{\hat{G}} \end{equation*} Man nennt die Charaktergruppe $\hat{G}$ deshalb auch die {\bf Pontrjagin-duale Gruppe} zu $G$. Unter unseren Annahmen gibt es auf $G$ bis auf Skalar genau ein Haarma"s $\lambda$, als da hei"st ein von Null verschiedenes Borelma"s mit $\lambda (gA) = \lambda (A)$ f"ur alle $g \in G$ und alle me"sbaren $A \subset G$. Wieder gibt es f"ur jedes Haarma"s $\lambda$ auf $G$ genau ein Haarma"s $\hat{\lambda}$ auf $\hat{G}$, das zugeh"orige \defind{Plancherel-Ma"s}, mit der Eigenschaft, da"s f"ur $f \in \op{L}^1 (G;\lambda)$ und $h\in \op{L}^1 (\hat{G};\hat{\lambda})$ gilt $$(\mathcal F: f\lambda \mapsto h)\;\;\IFF \;\;(\mathcal F: h\hat{\lambda} \mapsto f)$$ Hierbei ist die R"ucktransformation $\mathcal F:\op{M}(\hat{G})\ra \mathcal{C}_{\op{b}} (G)$ als Fouriertransformation gefolgt von der durch die Identifikation $\op{can}$ gegebenen Abbildung zu verstehen. Etwas feiner folgt sogar f"ur jedes Ma"s $\mu\in \op{M}(G)$ aus $\mu^\wedge\in \op{L}^1 (\hat{G};\hat{\lambda})$ bereits $\mu=(\mu^\wedge \hat\lambda)^\wedge \lambda$. Jedes Ma"s mit einer integrierbaren Fouriertransformierten ist mithin das Produkt eines Haarma"ses mit einer stetigen integrierbaren Funktion. Auch in dieser Allgemeinheit kann ein Hilbertraumisomorphismus \begin{equation*} \op{L}^2 (G;\lambda) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{L}^2 (\hat{G}; \hat{\lambda}) \end{equation*} definiert werden durch stetige Fortsetzung der auf den integrierbaren und quadratintegrierbaren Funktionen definierten Abbildung $\op{L}^1 \cap \op{L}^2 \rightarrow \mathcal{C}_{\op{b}} (\hat{G})$, $f \mapsto (f\lambda)^\wedge$. Dessen Inverses entsteht analog durch stetige Fortsetzung der Abbildung $\op{L}^1 \cap \op{L}^2 \rightarrow \mathcal{C}_{\op{b}} ({G})$, $g \mapsto (g\hat{\lambda})^\wedge\circ \op{can}^{-1}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $G$ kompakt, so ist $\hat{G}$ diskret und das Plancherelma"s zum auf Gesamtmasse Eins normierten Haarma"s auf $G$ ist das Z"ahlma"s auf $\hat{G}$. \end{Bemerkungl} \begin{Ubunge} Die Abbildung $\mu \mapsto \mu^{\wedge}$ mit $\mu^\wedge (n) = \int z^n \mu \langle z \rangle$ liefert eine Injektion $\op{M} (S^1) \hookrightarrow \mathcal C_{\op{b}} (\mathbb Z)$. Hinweis: \eref{Lei}{AN1} und \ref{BOMA} oder besser \ref{RiDa}. Gegeben $w \in S^1 $ zeige man weiter $((w \cdot)_\ast \mu)^\wedge (n) =w^n \mu^\wedge (n)$. Ist insbesondere $w$ von unendlicher Ordnung, so gilt es au"ser den Vielfachen des Haar'schen Ma"ses keine Borelma"se $\mu \in \op{M} (S^1)$ mit $(w \cdot)_\ast \mu = \mu$. Bezeichnet $\lambda$ das auf Gesamtmasse Eins normierte Haar-Ma"s, so gilt insbesondere f"ur jede Borelmenge $A\subset S^1$ mit $wA=A$ die Alternative $\lambda(A)\in\{0,1\}$. \end{Ubunge} \newpage \begin{Satz}[\textbf{Poisson'sche Summationsformel, Variante}] Seien $V$ ein\index{Poisson'sche Summationsformel!abstrakte} endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $\Gamma \subset V$ ein Gitter, $\pi:V\sra V/\Gamma$ die Projektion, $\lambda_\Gamma$\label{APFFn} das Haarma"s auf $V$ mit $\lambda_\Gamma(V/\Gamma)=1$ und $\Gamma^\wedge \subset \hat{V}$ das duale Gitter. Ist $f \in {\mathcal {L}}^1 (V;\lambda_\Gamma)$ eine integrierbare Funktion derart, da"s f"ur alle $x\in V/\Gamma$ die Summe $g(x)\pdef \sum_{\pi(v)=x} f(v)$ absolut konvergiert mit $g:V/\Gamma\ra \DC$ stetig und Fouriertransformierte $g=\mathcal F\beta$ eines Ma"ses $\beta\in {\op{M}}(\Gamma^\wedge)$, so folgt \begin{equation*} \sum_{\zeta \in \Gamma^\wedge } (f\lambda_\Gamma)^\wedge (\zeta)= \sum_{\gamma \in \Gamma} f(\gamma) \end{equation*} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dieser Satz wurde unter st"arkeren Voraussetzungen bereits als \ref{APFF} bewiesen. Hier formuliere ich einen koordinatenfreien Beweis. In \cite{Dieu} wird eine noch allgemeinere Version beschrieben. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Seien $\Gamma \As V$ abz"ahlbar basierte Pontrjagingruppen. Der kurzen exakten Sequenz $\Gamma \hookrightarrow V \twoheadrightarrow V/\Gamma$ entspricht eine kurze exakte Sequenz auf den Charaktergruppen in der Gegenrichtung, die wir in der offensichtlichen Weise mit der Sequenz $ V/\Gamma^\wedge\twoheadleftarrow \hat V\hookleftarrow \Gamma^\wedge $ identifizieren. Nun betrachten wir zus"atzlich zur Projektion $\pi:V\sra V/\Gamma$ die Inklusion $\iota: 0\hra V/\Gamma$ und das normierte Haarma"s $\mu$ auf $V/\Gamma$ und bilden das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {f\in\mathcal {L}}^1 (V;\lambda_\Gamma) \ar[r]^-{\lambda_\Gamma}&{\op{M}}(V)\ar[d]_{\pi_*} \ar[r]^-{\mathcal F} &\ar[d]^{\circ \hat\pi} \mathcal C^{\op{b}}(\hat V)\\ & {\op{M}}(V/\Gamma) \ar[r]^-{\mathcal F} & \mathcal C^{\op{b}}(\Gamma^\wedge) \\ & {\op{L}^2}(V/\Gamma) \ar[u]^-{\sqrt \mu} \ar@{<->}[r]_-\sim^-{\mathcal F} & {\op{L}^2}(\Gamma^\wedge) \ar[u]_-{\sqrt \zeta^{-1}} \\ & g\in{\mathcal C}(V/\Gamma)\ar[d]_{\circ \iota} \ar[u]^-{\sqrt \mu} &\ar[l]_-{\mathcal F} {\op{M}}(\Gamma^\wedge)\ni\beta \ar[u]_-{\sqrt \zeta^{-1}} \ar[d]^{\hat \iota_*} \\& {\mathcal C}(0) &\ar[l]_-{\mathcal F} {\op{M}}(\hat 0) } \end{displaymath} mit der Fouriertransformation von quadratintegrierbaren Halbdichten in der Mitte. Unsere Annahme besagt unter anderem, da"s es zu unserem vorgegebenen $f$ ein $g$ und sogar ein $\beta$ gibt derart, da"s sie alle dasselbe Bild in $\mathcal C^{\op{b}}(\Gamma^\wedge)$ haben. Die Behauptung folgt. \end{proof} \begin{proof}[Alter Beweis, vielleicht sogar falsch, weniger Annahmen.] Der Beweis besteht im wesentlichen darin, links mit einem Ma"s und seiner Fouriertransformierten zu beginnen, mit Nat"urlichkeit in der Mitte ein Ma"s und seine Fouriertransformierte als das Bildma"s und die zur"uckgeholte Funktion zu konstruieren, dort die Inversionsformel anzuwenden, und mit Nat"urlichkeit weiter nach ganz rechts weiterzugehen, wo dann die von der Poisson'schen Summationsformel behauptete Gleichheit von komplexen Zahlen entsteht. In Formeln liest sich das wie folgt. Gegeben ein Ma"s $\mu \in \op{M}(V)$ mit Fouriertransformierter $\mu^\wedge\in \mathcal{C}_{\op{b}} (\hat{V})$, in Formeln \begin{align*} \hspace{2cm}\mu\;\; &\stackrel{\mathcal F}{\mapsto}\;\; \mu^\wedge \\ \intertext{liefert die Nat"urlichkeit \ref{NatFo} der Fouriertransformation in der Mitte} p_\ast \mu\;\; &\stackrel{\mathcal F}{\mapsto}\;\; \mu^\wedge \circ \hat p\\ \intertext{Ist $\lambda$ ein Haarma"s auf $V/\Gamma$ und $\hat\lambda$ das zugeh"orige Plancherelma"s auf $\Gamma^\wedge$, so folgt unter der Annahme $\mu^\wedge \circ \hat p \in {{\op{L}}^1 (\Gamma^\wedge; \hat \lambda)}$ aus der Inversionsformel \ref{AIF}, da"s es $h \in {\op{L}}^1 (V/\Gamma; \lambda)$ gibt mit $h \lambda = p_\ast \mu$, und da"s f"ur dieses $h$ gilt} h\;\;&\stackrel{\mathcal F}{\mapsfrom}\;\; (\mu^\wedge \circ \hat p) \hat \lambda\\ \intertext{Mit erneutem Anwenden der Nat"urlichkeit \ref{NatFo} erhalten wir daraus ganz rechts} h \circ i \;\;&\stackrel{\mathcal F}{\mapsfrom}\;\; \hat{\imath}_\ast (( \mu^\wedge \circ \hat p)\hat \lambda)\\ \intertext{Ist hier $\Gamma^\wedge$ diskret und $\hat\lambda$ das Z"ahlma"s, so besagt die letzte Zeile schlicht} h(0)\;\; &= \;\;\sum_{\zeta \in \Gamma^\wedge} \mu^\wedge (\zeta) \end{align*} Sind nun $V,\Gamma,\lambda$ und $f$ wie im Satz und betrachten wir $\mu = f\lambda$, so gilt $p_\ast \mu = p_\ast (f\nu) = h \lambda$ mit $h(x) \pdef \sum_{p(v) = x} f(v)$. Bis hierher kann man noch $f \in {\op{L}}^1 (V;\lambda)$ beliebig annehmen, die Integrierbarkeit von $h$ folgt mit Fubini aus dem Isomorphismus von Ma"sr"aumen $\Gamma \times A \overset{\sim}{\rightarrow} V$ f"ur eine \glqq Grundmasche\grqq\ $A$ des Gitters $\Gamma$. Ist jedoch zus"atzlich $f\in \mathcal L^1$ eine "uberall definierte integrierbare Funktion derart, da"s die Summe $\sum_{p(v) = x} f(v)$ "uberall konvergiert und eine bei Null stetige Funktion $h$ liefert, so haben wir sogar \begin{equation*} h (0) = \sum_{\gamma \in \Gamma} f(\gamma) \end{equation*} Die Poisson'sche Summationsformel folgt. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Nach Rieffel kann man den sogenannten {\bf oszillatorischen Integralen}\index{oszillatorisches Integral} $$\int F(x,y)\op{e}^{2\pi{{\op{i}}}x\cdot y}\diff x\diff y$$ bereits dann sinnvoll eine komplexe Zahl als Wert zuordnen, wenn $F:\DR^{2n}\ra\DC$ glatt ist und alle seine partiellen Ableitungen gleichm"a"sig stetig und beschr"ankt sind. F"ur Funktionen $F$ der Gestalt $F(x,y)=f(x)g(y)$ mit $f$ und $g$ aus dem Schwartzraum liefert unser Integral bis auf geeignete Normalisierungen das Skalarprodukt von $f$ mit der Fouriertransformierten von $g$. Es f"allt mir schwer, dieses Resultat im Allgemeinen einzuordnen. Es mag sinnvoll sein, etwas allgemeiner $$\hat{F}(a,b)=\int F(x+a,y+b)\op{e}^{2\pi{{\op{i}}}x\cdot y}\diff x\diff y$$ als Funktion von $a,b$ zu untersuchen und zu bestimmen, wie diese Funktion mit Funktionen des Schwartzraums $G(a,b)$ paaren sollte. Gegeben Funktionen $f, g$ aus dem Schwartzraum und mit $G(a,b)= f (a) g (b)$ finden wir heuristisch \begin{displaymath} \begin{array}{lll} \int f (a) g (b) F (x+a, y+b) \op{e}^{-{{\op{i}}}xy} &= &\int f(a) g(b) F (x,y +b) \op{e}^{-{{\op{i}}}(x-a)y}\\[2mm] &= &\int \hat f (-y) \op{e}^{-{{\op{i}}}xy} g(b) F (x,y+b)\\[2mm] &= &\int \hat f (-y) g (b -y) \op{e}^{-{{\op{i}}}xy} F (x,b)\\[2mm] &=& \int h (x,b) F (x,b) \end{array} \end{displaymath} f"ur $h$ die Fouriertransformierte in $y$ der Schwartzfunktion gegeben durch $(y,b) \mapsto \hat f (-y) g(b-y)$. % Auch da bin ich jedoch auf keinen gr"unen Zweig gekommen. % Verallgemeinerungen im adelischen Kontext k"onnten durchaus % von Interesse sein. \end{Bemerkunge} \section{Weiteres, was wohl nicht drankommen wird} \subsection{Der Satz von Radon-Nikodym} \begin{Definition}\label{sgnM} Ein \defind{signiertes Ma"s}\index{Ma"s!signiertes} auf einem Me"sraum $(X,\mathcal{M})$ ist eine Abbildung $\mu : \mathcal{M} \ra \Bbb{R}$, die $\sigma$-additiv ist in der Weise, da"s f"ur jede abz"ahlbare Familie $(A_{n})_{n\in N}$ von paarweise disjunkten me"sbaren Mengen die Gleichheit $$\mu \left(\bigcup_{n\in N}A_n\right)= \sum_{n\in N} \mu (A_{n})$$ gilt. Die Summe ist hier zu verstehen im Sinne von \eref{ABSB}{AN1} oder gleichbedeutend im Sinne absoluter Konvergenz. \end{Definition} \emph{Ich hatte gleichbedeutend bereits den Begriff eines reellen Ma"ses eingef"uhrt. Damit sollte ich den Begriff eines signierten Ma"ses eigentlich nicht mehr verwenden.} \begin{Bemerkung} Andere Autoren erlauben ihren signierten Ma"sen sogar einen der Werte $\infty$ oder $-\infty$, nie jedoch beide dieser Werte. In dieser Allgemeinheit erscheint mir jedoch der Begriff eines signierten Ma"ses unnat"urlich, so wie es mir auch unnat"urlich scheint, etwa Ladungsverteilungen zu betrachten, bei denen entweder die negative oder die positive Gesamtladung unendlich sein darf, nicht aber beide gleichzeitig. Beliebige Ladungsverteilungen modelliert man meines Erachtens besser als \glqq Radonma"se\grqq\ alias \glqq stetige\grqq\ Linearformen auf dem Raum der stetigen Funktionen mit kompaktem Tr"ager. \end{Bemerkung} \begin{Lemma}[\textbf{Hahn-Zerlegung}] Gegeben ein signiertes Ma"s auf einem Me"sraum $X$ gibt es stets eine Zerlegung\label{HaZe} $X = A\amalg B $ in me"sbare Teilmengen derart, da"s unser Ma"s nichtnegativ ist auf allen me"sbaren Teilmengen von $A$ und nichtpositiv auf allen me"sbaren Teilmengen von $B$. \end{Lemma} \begin{Bemerkunge} Der im folgenden gegebene Beweis funktioniert ohne "Anderungen auch im allgemeineren Fall, in dem unserem signierten Ma"s noch der Wert $\infty$ erlaubt wird. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Sei $\mu$ unser signiertes Ma"s. Wir nennen eine me"sbare Teilmenge \defind{nichtpositiv} genau dann, wenn unser Ma"s $\mu$ auf allen me"sbaren Teilmengen dieser Teilmenge nichtpositive Werte annimmt. Sei $\beta$ das Infimum "uber die Ma"se aller nichtpositiven Teilmengen. Sei $B_0, B_1,\ldots$ eine Folge nichtpositiver Teilmengen mit \begin{displaymath} \lim_{n\ra \infty} \mu (B_n) = \beta \end{displaymath} Offensichtlich ist dann $B = \bigcup B_n$ eine nichtpositive Teilmenge mit $\mu (B) =\beta$, woraus wir schon einmal $\beta>-\infty$ folgern. Wir zeigen nun, da"s $B$ der nichtpositive Teil einer Hahn-Zerlegung ist. In der Tat reicht es dazu zu zeigen, da"s unser Ma"s nichtnegativ ist auf ihrem Komplement $A = X \backslash B$. Sonst aber g"abe es in diesem Komplement eine Teilmenge $E \subset A$ von negativem Ma"s, und jede Teilmenge von $A$ von negativem Ma"s m"u"ste ihrerseits eine Teilmenge von positivem Ma"s haben, da wir sie sonst noch $B$ zuschlagen k"onnten im Widerspruch zur Wahl von $B$. Wir w"ahlen nun $n_0 \in \Bbb{N}_{\geq 1}$ minimal derart, da"s $E$ eine Teilmenge $F_0$ vom Ma"s $\mu (F_0) \geq 1/{n_0}$ umfa"st; Dann $n_1 \in \Bbb{N}_{\geq 1}$ minimal derart, da"s $E \backslash F_0$ eine Teilmenge $F_1$ vom Ma"s $\mu (F_1) \geq 1/{n_1}$ umfa"st; Dann $n_2 \in \Bbb{N}_{\geq 1}$ minimal derart, da"s $E \backslash (F_0 \cup F_1)$ eine Teilmenge $F_2$ vom Ma"s $\mu (F_2) \geq 1/{n_2}$ umfa"st, und so weiter. Sicher gilt dann $n_0 \leq n_1 \leq n_2 \ldots$ und bezeichnet $C$ das Komplement in $E$ der Vereinigung aller $F_i$, so haben wir aufgrund unserer Annahmen \begin{displaymath} \mu(E)=\mu(C)+ \sum^{\infty}_{i=0} \mu(F_i) \end{displaymath} im Sinne absoluter Konvergenz. Insbesondere ist die Summe der $\mu(F_i)$ endlich und die $1/n_r$ bilden eine Nullfolge. Auf $C$ w"are unser signiertes Ma"s also nichtpositiv und auch nicht Null. Dann w"are jedoch $C \cup B$ eine nichtpositive Teilmenge von $X$ mit $\mu (C \cup B) < \beta$ im Widerspruch zu unseren Annahmen. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben ein Ma"sraum $(X,\mathcal{M},\mu)$ hei"st ein signiertes Ma"s $\nu$ auf dem zugrundeliegenden Me"sraum \defind{stetig zu $\mu$} genau dann, wenn f"ur jede me"sbare Menge $M\in \mathcal{M}$ gilt $\mu(M)=0\;\RA \; \nu(M)=0$. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Radon-Nikodym}] Gegeben ein $\sigma$-endlicher Ma"sraum $(X, \mu)$ liefert die Multiplikation mit dem Ma"s $\mu$ eine Bijektion\label{RaNi} $$ \begin{array}{ccc} {\op{L}}^1_{\Bbb{R}} (X;\mu)&\sira&\{\text{zu $\mu$ stetige signierte Ma"se auf }X\}\\ f&\mapsto &f\mu \end{array}$$ \end{Satz} \begin{Ubung}\label{RaNp} Die nichtnegativen Ma"se entsprechen hierbei den nichtnegativen Funktionen, pr"aziser den fast "uberall definierten integrierbaren Funktionen mit einem nichtnegativen Repr"asentanten. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl} Hier bezeichnen wir mit $f\mu$ das signierte Ma"s, das gegeben wird durch die Vorschrift $(f\mu) (E) = \int_{E} f\mu$ f"ur alle me"sbaren $E \subset X$. Ich werde die inverse Abbildung in der Form $\nu\mapsto \nu/\mu$ notieren. "Ublich ist stattdessen die Notation $\diff\nu/\!\diff\mu$ und die Bezeichnung als \defind{Radon-Nikodym-Ableitung}. Der Beweis des Satzes beginnt mit einem Lemma, das man im $\sigma$-endlichen Fall r"uckblickend auch als einfache Konsequenz des Satzes von Radon-Nikodym verstehen kann. Ist $\mu$ kein $\sigma$-endliches Ma"s, so ist unser Satz im allgemeinen falsch: Das einfachste Gegenbeispiel ist der einpunktige Raum mit dem Ma"s $\mu$, das ihm die Gesamtmasse $\infty$ zuweist. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{ZMU} Ist ein endliches Ma"s $\nu$ auf einem Me"sraum $X$ nicht Null und stetig in Bezug auf ein weiteres endliches Ma"s $\mu$, so gibt es $\varepsilon >0$ und $A$ me"sbar mit $\nu (A) >0$ und $A$ nichtnegativ f"ur das signierte Ma"s $\nu - \varepsilon \mu$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir betrachten f"ur alle $n \geq 1$ eine Hahn-Zerlegung \begin{displaymath} X = A_n \amalg B_n \end{displaymath} zum signierten Ma"s $\nu - \frac{1}{n} \mu$. Schreiben wir $B = \bigcap^{\infty}_{n=1} B_n$, so gilt $\nu (B) \leq \frac{1}{n} \mu (B)$ f"ur alle $n \geq 1$ und damit $\nu (B) =0$. F"ur das Komplement $V = \bigcup^{\infty}_{n=1} A_n$ gilt also $\nu (V) >0$ und damit $\mu (V) >0$ und damit $\mu (A_n) >0$ f"ur mindestens ein $n$. F"ur $A= A_n$ ist also $\nu - \frac{1}{n} \mu$ nichtnegativ auf $A$ und es gilt $\nu (A) >0$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von Radon-Nikodym] Die Injektivit"at unserer Abbildung folgt leicht aus \eref{MIFF}{AN3}. Um die Surjektivit"at zu zeigen, d"urfen wir nach einer Hahn-Zerlegung unser Ma"s $\nu$ nichtnegativ annehmen. Bezeichne $\cal{M}$ das System aller me"sbaren Teilmengen von $X$. Wir betrachten nun die Menge $\mathcal{K}$ aller $g \in \mathcal{L}^1_{\Bbb{R}} (X;\mu)$ mit $g \geq 0$ und $\nu (E) \geq \int_{E} g\mu$ f"ur alle $E \in \mathcal{M}$. Bezeichne $\alpha$ das Supremum der $\int_{X} g \mu$ f"ur alle $g \in \mathcal{K}$ und sei $f_0,f_1, \ldots$ eine Folge in $\mathcal{K}$ mit $\lim_{n \ra \infty} \int_{X} f_n \mu = \alpha$. Man sieht ohne Schwierigkeiten, da"s das Maximum zweier Funktionen aus $\mathcal{K}$ wieder in $\mathcal{K}$ liegt. Indem wir $f_n$ durch $\max (f_0, \ldots, f_n)$ ersetzen, d"urfen wir unsere Funktionenfolge zus"atzlich monoton wachsend annehmen. Der Satz "uber monotone Konvergenz \eref{MKo}{AN3} liefert f"ur die Grenzfunktion $f: X \ra [0,\infty]$ dann $\int f \mu = \alpha$ sowie $\nu (E) \geq \int_E f\mu$ f"ur alle $E \in \mathcal{M}$. Insbesondere ist $f^{-1} (\infty)$ eine Nullmenge, und "andern wir dort unser $f$ ab zu Null, so erhalten wir ein $f \in \mathcal{K}$ mit \begin{displaymath} \int_{X} f \mu = \alpha \end{displaymath} Es bleibt noch zu zeigen, da"s gilt $\nu = f\mu$. Sonst aber gibt es eine me"sbare Menge $M$ mit $\nu(M) > (f\mu)(M)$ und da wir unser Ma"s $\mu$ als $\sigma$-endlich angenommen hatten, d"urfen wir hier sogar zus"atzlich $\mu(M)<\infty$ annehmen. Dann finden wir aber nach \ref{ZMU}, angewandt auf die signierten Ma"se $\nu - f\mu$ und $\mu$ auf $M$, eine me"sbare Menge $A$ und $\varepsilon >0$ mit $\mu (A) > 0$ und $\nu - f \mu - \varepsilon \mu$ nichtnegativ auf $A$. Dann geh"ort jedoch $f+ \varepsilon \chi_{A}$ auch zu $\mathcal{K}$ und h"atte echt gr"o"seres Integral "uber $X$ als $f$, im Widerspruch zu unseren Annahmen. \end{proof} \begin{Definition} Zwei Ma"se beziehungsweise signierte Ma"se auf einem Me"sraum hei"sen {\bf zueinander singul"ar}\index{singul"ar!f"ur Ma"se} genau dann, wenn unser Me"sraum eine Zerlegung in zwei disjunkte me"sbare Teilmengen besitzt derart, da"s auf der einen Menge und allen ihren me"sbaren Teilmengen das eine Ma"s verschwindet und auf der anderen Menge und allen ihren me"sbaren Teilmengen das andere. \end{Definition} \begin{Beispiel} Wir erinnern an die Cantormenge $C=C_0\cap C_1\cap\ldots$, wie sie in \eref{CaMe}{AN3} eingef"uhrt wurde. Dort haben wir gezeigt, da"s sie Lebesgue-Ma"s Null hat. Wir k"onnen nun ein Ma"s auf $C$ erkl"aren, indem wir den Mengenring betrachten, der aus allen Schnitten von $C$ mit den Mengen besteht, die man erhalten kann, wenn man irgendeine Auswahl der Intervalle vereinigt, aus denen ein $C_n$ zusammengesetzt ist. Geben wir jedem derartigen Schnitt als Ma"s $(1/2)^{n}$ mal der Zahl der ausgew"ahlten Intervalle, so erhalten wir ein Pr"ama"s auf unserem Mengenring, und der Erweiterungssatz von Hahn liefert ein Ma"s auf $C$, unter dem jeder Punkt die Masse Null hat und ganz $C$ die Masse Eins. Dessen Bildma"s auf $\DR$ ist dann sowohl singul"ar zum Lebesgue-Ma"s als auch singul"ar zu jedem Dirac-Ma"s. \end{Beispiel} \begin{Korollar}[\textbf{Lebesgue-Zerlegung}] Ist $(X, \mathcal{M}, \mu)$ ein $\sigma$-endlicher Ma"sraum und $\nu : \mathcal{M} \ra \Bbb{R}$ ein signiertes Ma"s, so gibt es eindeutig bestimmte signierte Ma"se $\nu_c, \nu_s$ mit $\nu_c$ stetig zu $\mu$ und $\nu_s$ singul"ar zu $\mu$ und \begin{displaymath} \nu = \nu_c + \nu_s \end{displaymath} \end{Korollar} \begin{Bemerkung} Hier steht der Index $c$ des stetigen Anteils f"ur englisch \glqq continuous\grqq\ oder franz"osisch \glqq continu\grqq. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Wir zeigen zun"achst die Existenz und d"urfen dazu $\nu$ positiv annehmen. Nach Radon-Nikodym finden wir dann $f \in \mathcal{L}^1_{\Bbb{R}} (X; \mu + \nu)$ mit $\nu = f (\mu + \nu)$ und nach Ab"andern auf einer Nullmenge d"urfen wir $0 \leq f \leq 1$ annehmen. Jetzt betrachten wir $A = f^{-1} (1)$ und versuchen es mit \begin{displaymath} \nu_s = \chi_A f (\mu +\nu) = \chi_A (\mu + \nu) \end{displaymath} Sicher gilt dann $\mu (A) =0$ und $\nu_s$ ist singul"ar zu $\mu$ und kann auch geschrieben werden als $\nu_s = \chi_A \nu$. Andererseits folgt aus $\mu (C) =0$ bereits \begin{displaymath} \nu (C) = \int_C f (\mu + \nu) = \int_C f \nu \end{displaymath} und damit $\nu (C\backslash A) =0$ und $\nu (C) = \nu (C \cap A) = \nu_s (C)$ und $\nu_c (C) =0$. Um die Eindeutigkeit zu zeigen mu"s man nur bemerken, da"s zwei Zerlegungen $\nu = \nu_c + \nu_s = \nu^\prime_{c} +\nu^{\prime}_{s}$ zu einer Gleichheit $\nu_c - \nu^{\prime}_c = \nu^\prime_s -\nu_s$ von signierten Ma"sen f"uhrt, von denen das Erste stetig ist zu $\mu$ und das Zweite singul"ar zu $\mu$. Folglich sind sie beide Null. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Der Dualraum von $\op{L}^1$}] Gegeben ein $\sigma$-endlicher Ma"sraum induziert die durch Integration gegebene Paarung $\op{L}^\infty \times \op{L}^1 \rightarrow \mathbb{C}$, $(f,g) \mapsto \int fg$ einen Isomorphismus von Banachr"aumen zwischen $\op{L}^\infty$ und dem Banachraum der stetigen Linearformen auf $\op{L}^1$, in Formeln $$\op{L}^\infty\sira \cal{B}(\op{L}^1,\DC)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ist unser Ma"sraum nicht $\sigma$-endlich, so ist das im allgemeinen falsch. Als einfachstes Gegenbeispiel betrachte man einen einpunktigen Raum mit Gesamtma"s $\infty$: In diesem Fall haben wir $\op{L}^\infty\cong \DC$ und $\op{L}^1= 0$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $(X,\cal{M},\mu)$ unser Ma"sraum. Sicher reicht es aus, den analogen Satz f"ur reellwertige Funktionen zu zeigen. Wir beginnen mit dem Fall $\mu (X) < \infty$. Gegeben eine stetige Linearform $ \Lambda : \op{L}^1_\DR \rightarrow \mathbb{R} $ betrachten wir die Abbildung $$\begin{array}{cccc} \nu =\nu_\Lambda :& \mathcal{M} &\rightarrow &\mathbb{R}\\ &A &\mapsto & \Lambda ([A]) \end{array}$$ die jeder me"sbaren Menge $A \subset X$ den Wert unserer Linearform $\Lambda$ auf ihrer charakteristischen Funktion $[A]$ zuordnet. Der Satz "uber monotone Konvergenz zeigt sofort, da"s $\nu$ ein signiertes Ma"s ist, und der Satz von Radon-Nikodym \ref{RaNi} liefert ein eindeutig bestimmtes $f = \nu/\mu$ in $\op{L}^1_{\mathbb{R}}(X;\mu)$ mit \begin{equation*} \Lambda ([A]) = \int_A f (x) \mu \langle x \rangle \end{equation*} f"ur alle $A \in \cal{M}$. Hier gilt $|f (x)| \leq \| \Lambda \|$ fast "uberall, denn sonst g"abe es ein $\varepsilon > 0$ und eine me"sbare Menge $A$ positiven Ma"ses mit $f(x) \geq \|\Lambda \| + \varepsilon $ f"ur alle $x\in A$ oder $-f (x) \geq \|\Lambda \| + \varepsilon$ f"ur alle $x\in A$ und daraus folgte \begin{equation*} | \Lambda ([A])| > \| \Lambda \| \cdot \| [A]\|_1 \end{equation*} im Widerspruch zur Definition der Operatornorm $\|\Lambda \|$. Da nun die me"sbaren Stufenfunktionen einen dichten Teilraum von $\op{L}^1_{\mathbb{R}} (X;\mu)$ aufspannen, folgt \begin{equation*} \Lambda (g) = \int f g \mu \quad \forall g \in \op{L}^1_{\mathbb{R}} (X;\mu) \end{equation*} und wir haben gezeigt, da"s unsere Abbildung eine Surjektion von $\op{L}^\infty_{\mathbb{R}} $ auf den Raum $\mathcal{B}_{\mathbb{R}} (\op{L}^1_{\mathbb{R}}, \mathbb{R})$ aller stetigen Linearformen $\op{L}^1_{\mathbb{R}}\ra \mathbb{R}$ liefert. Da"s unsere Abbildung bei keinem Vektor die Norm verkleinert, folgt damit aus dem Vorhergehenden und liefert insbesondere die Injektivit"at. Da"s unsere Abbildung bei keinem Vektor die Norm vergr"o"sert ist eh klar. Damit ist also unser Satz gezeigt unter der zus"atzlichen Annahme $\mu (X) < \infty$. Ist $X$ nur $\sigma$-endlich, so suchen wir uns eine beschr"ankte integrierbare positive Funktion ohne Nullstelle $h:X \rightarrow (0,1)$. Dann ist das Ma"s $h \mu$ endlich und die Multiplikation mit $h$ definiert einen Isomorphismus von Banachr"aumen \begin{equation*} \op{L}^1_{\mathbb{R}} (X; h \mu) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{L}^1_{\mathbb{R}} (X; \mu) \end{equation*} woraus sofort folgt, da"s die im Satz erkl"arte Abbildung auch in dieser Allgemeinheit eine Bijektion \begin{equation*} \op{L}^\infty_{\mathbb{R}} \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal{B}_{\mathbb{R}} (\op{L}^1_{\mathbb{R}}, \mathbb{R}) \end{equation*} liefert. Da"s sie Normen nie vergr"o"sert, ist eh klar. Da"s sie Normen nie verkleinert desgleichen, denn ist $\{x \mid |f(x)| \geq C\}$ keine Nullmenge, so gibt es $A\subset X$ me"sbar von positivem Ma"s $\mu (A) > 0$ $\mu (A) > 0$ mit $f (x) \geq C \quad \forall x \in A$ oder mit $-f (x) \geq C \quad \forall x \in A$ und in beiden F"allen gilt $|\int f [A]| \geq C \| [A]\|$. \end{proof} \begin{Bemerkung} Hier w"are es naheliegend, auch die Lp-Lq-Dualit"at zu diskutieren. Mir gef"allt die Darstellung in Briane-Pages, Seite 172-175. \end{Bemerkung} \begin{Ubung}\emph{Wohin?} Der Raum der Nullfolgen von komplexen Zahlen ist mit der Supremumsnorm ein Banachraum. Man gebe einen isometrischen Isomorphismus zwischen dem Raum der absolut summierbaren Folgen und dem Dualraum des Raums der Nullfolgen an. Hinweis: Die irgendwann verschwindenden Folgen bilden einen dichten Teilraum im Raum der Nullfolgen. \end{Ubung} \subsection{Klassifikation unit"arer Darstellungen von $\Bbb{R}$} \begin{Bemerkungl} F"ur jeden Hilbertraum $\cal{L}$ vereinbaren wir die Notation $\cal{L}^{\infty} = \hat{\bigoplus}_{n \in\Bbb{N}} \cal{L}$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Zwei Ma"se auf ein- und demselben Me"sraum hei"sen {\bf quasi\-"aquivalent}\index{quasi"aquivalent!Ma"se} genau dann, wenn sie denselben me"sbaren Mengen das Ma"s Null zuordnen, wenn also jedes unserer beide Ma"se zum anderen stetig ist. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Separable unit"are Darstellungen von $\DR$}] F"ur jede unit"are Darstellung $(\cal{H},\rho)$ von $\DR$ in einem separablen Hilbertraum gilt:\label{KUD} \begin{enumerate} \item Es gibt eine Folge $\mu_\infty,\mu_1,\mu_2\ldots$ von paarweise singul"aren Borelma"sen auf $\Bbb{R}$ und einen Isomorphismus von Hilbert\-r"aumen \begin{displaymath} \hat{\bigoplus}_{1\leq k\leq\infty} \;\op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu_k)^k \;\overset{\sim}{\rightarrow}\; \cal{H} \end{displaymath} unter dem f"ur alle $t\in\DR$ die Operation durch Multiplikation mit der Funktion $\op{e}^{\op{i}tx}$ auf der linken Seite dem Operator $\rho(t)$ auf der rechten Seite entspricht. \item Die Bilder der $\op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu_k)^k$ werden hierbei als Teilr"aume von $\cal{H}$ durch die Darstellung $\rho$ bereits eindeutig festgelegt, wir notieren sie $\cal{H}_k$ und nennen sie die \emph{\bf Teilr"aume zur Vielfachheit $k$}.\index{Vielfachheit!Teilr"aume zu} Die Ma"se $\mu_k$ werden durch unsere Darstellung eindeutig festgelegt bis auf Quasi"aquivalenz. \end{enumerate}\noindent Wir erhalten so eine Bijektion zwischen separablen unit"aren Darstellungen von $\DR$, bis auf Isomorphie, und Folgen $\mu_\infty,\mu_1,\mu_2\ldots$ von paarweise singul"aren Borelma"sen auf $\DR$, bis auf Ersetzen der Folgenglieder durch quasi"aquivalente Ma"se. \end{Satz} \begin{Bemerkung} Ist unser Hilbertraum endlichdimensional, so m"ussen wir als $\mu_k$ ein diskretes Ma"s nehmen, das zu jedem Eigenwert des infinitesimalen Erzeugers der Vielfachheit $k$ seinem $\op{i}$-fachen eine positive Masse zuordnet und allen anderen komplexen Zahlen die Masse Null. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Im folgenden verstehen wir f"ur jedes Borelma"s $\mu$ auf $\DR$ unter $\op{L}^2(\DR;\mu)$ diejenige unit"are Darstellung von $\DR$ auf besagtem Hilbertraum, bei der $t$ durch die Multiplikation mit der Funktion $\op{e}^{\op{i}tx}$ operiert. \end{Bemerkung} \begin{Lemma}\label{HUR} Seien $\mu, \nu$ Borelma"se auf $\Bbb{R}$. \begin{enumerate} \item Genau dann gibt es einen Isomorphismus von unit"aren Darstellungen $\psi :\op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{L}^2 (\Bbb{R};\nu)$, wenn $\mu$ und $\nu$ quasi"aquivalent sind. \item Genau dann ist $\op{L}^2 (\Bbb{R};\nu)$ isomorph zu einer abgeschlossenen Unterdarstellung von $\op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu)$, wenn $\nu$ stetig ist zu $\mu$. \item Genau dann ist $\op{L}^2 (\Bbb{R};\nu)$ isomorph zu einer abgeschlossenen Unterdarstellung von $\op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu)^\infty$, wenn $\nu$ stetig ist zu $\mu$. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof} Sind $\mu$ und $\nu$ quasi"aquivalent, so erhalten wir einen Isomorphismus zwischen den zugeh"origen Darstellungen durch die Multiplikation mit $\sqrt{\nu/\mu}$. Da jedes Borelma"s auf $\DR$ quasi"aquivalent ist zu einem endlichen Ma"s, d"urfen wir also unsere Ma"se als endlich annehmen. Ist dann $\nu$ stetig zu $\mu$, so finden wir $f$ me"sbar mit $|f|^2\mu=\nu$ und wegen der Endlichkeit unserer Ma"se gilt $f\in \op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu)$ und \eref{FMf}{AN3} liefert eine Einbettung von $\op{L}^2 (\Bbb{R}; \nu)$ mit $1\mapsto f$. Existiert umgekehrt solch eine Einbettung, so mu"s darunter die konstante Funktion $1$ auf eine Funktion $f$ abgebildet werden und dann mu"s das bereits die eindeutig bestimmte Einbettung nach \eref{UDzy}{AN3} sein. Nach \eref{FMf}{AN3} gilt also $\nu=|f|^2\mu$ und $\nu$ ist stetig zu $\mu$. Damit sind die ersten beiden Punkte erledigt. F"ur den letzten Punkt gilt es nur allgemeiner als in \eref{FMf}{AN3} zu zeigen, da"s f"ur $f=(f_n)\in \op{L}^2(\DR;\mu)^\infty$ das zugeh"orige Frequenzma"s $\mu_f$ gegeben durch die Formel $\mu_f=\sum |f_n|^2\mu$. Wir "uberlassen das dem Leser zur "Ubung. \end{proof} \begin{proof}[Beweis des Klassifikationsatzes \ref{KUD}] Etwa nach dem Zorn'schen Lemma wissen wir nach dem Satz \eref{UDzy}{AN3} "uber die lokale Struktur unit"arer Darstellungen von $\DR$, da"s jede separable unit"are Darstellung $\mathcal{H}$ von $\Bbb{R}$ isomorph ist zu $\hat{\bigoplus}_{i \in I} \op{L}^2 (\Bbb{R};\nu_i)$ f"ur eine abz"ahlbare Familie $(\nu_i)_{i \in I}$ von Borelma"sen auf $\Bbb{R}$. Indem wir unsere Ma"se durch quasi"aquivalente Ma"se ersetzen, d"urfen wir annehmen, da"s auch ihre Summe $\lambda_1 = \sum \nu_i$ ein Borelma"s ist, und dann definiert die \glqq diagonale\grqq\ Abbildung offensichtlich einen injektiven Homomorphismus von unit"aren Darstellungen \begin{equation*} \op{L}^2 (\Bbb{R}; \lambda_1)\hookrightarrow \hat{\bigoplus}_{i \in I} \op{L}^2 (\Bbb{R};\nu_i) \end{equation*} Das orthogonale Komplement $\cal{K}_1$ des Bildes ist wieder eine separable unit"are Darstellung von $\DR$ und wie unsere gesamte Darstellung ein Quotient von $\op{L}^2 (\Bbb{R};\lambda_1)^\infty$. Wiederholen wir unsere Konstruktion, so erhalten wir folglich ein bez"uglich $\lambda_1$ stetiges Borelma"s $\lambda_2$ und eine Zerlegung \begin{equation*} \mathcal{H} \cong \op{L}^2 (\Bbb{R};\lambda_1) \oplus \op{L}^2 (\Bbb{R};\lambda_2) \oplus \cal{K}_2 \end{equation*} wobei $\cal{K}_2$ ein Quotient von $\op{L}^2 (\Bbb{R};\lambda_2)^\infty$ ist. So k"onnen wir immer weitermachen und erhalten eine Folge von Borelma"sen $\lambda_1, \lambda_2, \ldots$ derart, da"s jeweils $\lambda_{k+1}$ stetig ist zu $\lambda_k$ und da"s unsere Darstellung eine Zerlegung \begin{equation*} \mathcal{H} \cong \left(\hat{\bigoplus}_{1\leq k< \infty} \op{L}^2 (\Bbb{R}; \lambda_k)\right) \oplus \cal{K} \end{equation*} besitzt, wobei $\cal{K}$ f"ur jedes $k$ ein Quotient von $\op{L}^2 (\Bbb{R};\lambda_k)^\infty$ ist. Wir k"onnen hier sogar $\cal{K} =0$ erreichen: In der Tat sei sonst $\cal{K}\cong \hat{\bigoplus}_{j\in J} \op{L}^2 (\Bbb{R};\nu_j)$ f"ur eine abz"ahlbare Familie von Borelma"sen $\nu_j$. Nun k"onnen wir sicher die $\lambda_k$ auf abz"ahlbar unendlich viele Folgen verteilen und erkennen so, da"s es reicht im Fall $|J| =1$ zu zeigen, da"s die Addition von einem $\op{L}^2 (\Bbb{R};\nu)$ mit $\nu$ stetig zu allen $\lambda_k$ an der Isomorphieklasse unserer Darstellung nicht "andert. Dazu betrachten wir die Lebesgue-Zerlegungen $\lambda_k = \lambda^s_k + \lambda^c_k$ bez"uglich $\nu$ und haben nach Annahme $\lambda^c_k$ quasi"aquivalent zu $\nu$ und dann \begin{eqnarray*} \hat{\bigoplus}_{1\leq k <\infty} \op{L}^2 (\Bbb{R};\lambda_k) &\cong & \hat{\bigoplus}_{1\leq k<\infty}\left( \op{L}^2 (\Bbb{R};\lambda^s_k) \oplus \op{L}^2 (\Bbb{R}; \lambda^c_k)\right)\\ &\cong & \hat{\bigoplus}_{1\leq k< \infty} \op{L}^2 (\Bbb{R};\lambda^s_k)\;\;\; \oplus \op{L}^2 (\Bbb{R}; \nu)^\infty \end{eqnarray*} und letztere Darstellung ist offensichtlich isomorph zu ihrer Summe mit $\op{L}^2 (\Bbb{R}; \nu)$. Indem wir unsere Ma"se durch quasi"aquivalente Ma"se ersetzen, d"urfen wir f"ur das Weitere annehmen, da"s auch die Summe $\sum^\infty_{k=0} \lambda_k$ ein Borelma"s ist. Jetzt bilden wir sukzessive die Lebesgue-Zerlegungen $\lambda_k = \lambda^s_k + \lambda^c_k$ bez"uglich $\lambda_{k+1}$ und betrachten schlie"slich das Ma"s $\kappa = \sum^\infty_{k=0} \lambda^s_k$ und den zu $\kappa$ singul"aren Teil $\mu_{\infty}$ von $\lambda_1$. Dann haben wir mit $\mu_k=\lambda^s_k$ eine Zerlegung \begin{equation*} \mathcal{H} \cong \hat{\bigoplus}_{1\leq k <\infty} \op{L}^2 (\DR;\mu_k)^k \;\;\oplus \op{L}^2 (\DR;\mu_\infty)^\infty \end{equation*} und die erste Behauptung des Klassifikationssatzes ist gezeigt. Um die Eindeutigkeitsaussagen des zweiten Teils zu zeigen, bemerken wir zun"achst, da"s der erste Summand $\op{L}^2(\DR;\mu_1)$ beschrieben werden kann als der gr"o"ste Teilraum unserer Darstellung, der das Bild eines Spektralprojektors ist und dessen stetige mit der $\DR$-Operation vertr"agliche Endomorphismen einen kommutativen Ring bilden; dann allgemeiner mit \ref{PoLL}, da"s die Summe der ersten $k$ Summanden $\op{L}^2(\DR;\mu_1)\oplus\ldots\oplus \op{L}^2(\DR;\mu_k)^k$ beschrieben werden kann als der gr"o"ste Teilraum unserer Darstellung, der das Bild eines Spektralprojektors ist und dessen stetige mit der $\DR$-Operation vertr"agliche Endomorphismen die Identit"at $P_{m(k)}$ nach \ref{LPm} erf"ullen. Das zeigt die Eindeutigkeit der R"aume zu verschiedenen Vielfachheiten $\cal{H}_k$. Die Ma"se $\mu_k$ schlie"slich k"onnen bis auf Quasi"aquivalenz charakterisiert werden als diejenigen Frequenzma"se von Vektoren aus $\cal{H}_k$, zu denen die Frequenzma"se aller Vektoren aus $\cal{H}_k$ stetig sind. \end{proof} \begin{Definition}\label{Pmm} Sei $m \geq 1$ eine nat"urliche Zahl. Wir setzen $$P_{m}(X_{1}, \ldots , X_{m}) = \sum_{\sigma \in \cal{S}_{m}} \op{sgn} (\sigma) X_{\sigma (1)} \ldots X_{\sigma (m)}$$ und sagen, ein Ring $A$ {\bf erf"ulle die Identit"at $P_{m}$} genau dann, wenn f"ur beliebige Elemente $a_{1}, \ldots , a_{m} \in A$ gilt $P_{m} (a_{1}, \ldots ,a_{m}) =0$. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Die Identit"at $P_{1}$ bedeutet, da"s unser Ring der Nullring ist, die Identit"at $P_{2}$ bedeutet die Kommutativit"at und die Implikation $P_{m} \Rightarrow P_{m+1}$ ist offensichtlich. Ist $A$ eine Algebra von endlicher Dimension $d$ "uber einem K"orper $k$, so erf"ullt $A$ sicher die Identit"at $P_{d+1}$, da ja alle unsere Ausdr"ucke $P_{m}$ multilinear und alternierend sind. \end{Bemerkung} \begin{Lemma}\label{LPm} Gegeben $r \in \Bbb{N}$ setze man $$m (r) = \op{min} \{ m \geq 1 \mid \op{M}(r;\Bbb{C}) \text{ \em erf"ullt } P_{m}\}$$ So gilt die Absch"atzung $ m (r+1) > m(r)$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die Absch"atzung $m(r+1) \geq m (r)$ ist offensichtlich. Um $m(r+1) \neq m (r)$ zu zeigen w"ahlen wir $r\times r$-Matrizen $$A_{1}, \ldots, A_{m(r)-1}\text{ mit } P_{m(r)-1} (A_{1}, \ldots , A_{m(r)-1}) \neq 0$$ Es habe dieser Ausdruck zum Beispiel einen von Null verschiedenen Eintrag in der $j$-ten Spalte. Nun machen wir unsere $A_{i}$ zu $(r+1) \times (r+1)$-Matrizen, indem wir als letze Spalte und unterste Zeile Nullen anf"ugen. Wir bezeichnen sie dennoch weiter mit $A_i$ und betrachten zus"atzlich die $(r+1) \times (r+1)$-Matrix $A_{m(r)}$ mit einer Eins in der $j$-ten Zeile und letzten Spalte und Nullen sonst. So hat $P_{m(r)} (A_{1}, \ldots , A_{m(r)})$ offensichtlich als letzte Spalte die $j$-te Spalte von $P_{m(r)-1} (A_{1}, \ldots , A_{m(r)-1})$ und ist folglich nicht Null. \end{proof} \begin{Lemma}\label{AuVv} Sei $\mathcal{H}$ ein endlichdimensionaler Hilbertraum und $\cal{B} (\mathcal{H})$ der Raum seiner stetigen Endomorphismen. Sei $X$ ein $\sigma$-endlicher Ma"sraum und ${\op{L}}^2 (X,\mathcal{H})$ der Hilbertraum aus \eref{HRFF}{AN3}. So erhalten wir eine Bijektion \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c}\text{me"sbare beschr"ankte}\\ \text{fast "uberall definierte}\\ \text{Abbildungen }X \rightarrow \cal{B} (\mathcal{H})\end{array} \right\} & \overset{\sim}{\rightarrow} & \left\{\begin{array}{c} \text{stetige Endomorphismen von} \\ {\op{L}}^2 (X,\mathcal{H}),\text{ die mit allen } [E]\cdot \\ \text{f"ur } E \subset X\text{ me"sbar vertauschen} \end{array}\right\}\\[7mm] \varphi & \mapsto & \hat{\varphi} \text{ mit } (\hat{\varphi}f)(x) = \varphi (x) f(x) \end{array} \end{displaymath} \end{Lemma} \begin{Bemerkung}\label{PoLL} Ist unser Ma"s nicht Null und $\op{dim}\cal{H}=r\geq 1$, so erf"ullt der im vorhergehenden Lemma beschriebene Ring offensichtlich die Identit"at $P_m$ f"ur $m=m(r)$, nicht jedoch f"ur $m0}$ me"sbar mit $f\mu$ endlich, und dann liefert die Multiplikation mit $\sqrt{f}$ einen Isomorphismus von Hilbertr"aumen ${\op{L}}^2 (X,\mathcal{H};f\mu)\sira{\op{L}}^2 (X,\mathcal{H};\mu)$, der mit den Operatoren $ \hat{\varphi}$ und $[E]\cdot$ vertauscht, so da"s es unerheblich ist, in welchem der beiden F"alle wir unseren Satz beweisen. Nun konstruieren wir eine Abbildung in die Gegenrichtung. Sei also $B: {\op{L}}^2 (X,\mathcal{H}) \rightarrow {\op{L}}^2 (X,\mathcal{H})$ ein stetiger Endomorphismus, der mit den Multiplikationen $[E] \cdot$ mit den charakteristischen Funktionen aller me"sbaren Mengen $E \subset X$ vertauscht. Gegeben $v \in \mathcal{H}$ geh"ort die konstante Funktion $v$ wegen der Endlichkeit unseres Ma"ses zu ${\op{L}}^2 (X,\mathcal{H})$ und wir erhalten dazu $Bv\in {\op{L}}^2 (X,\mathcal{H})$. W"ahlen wir nun eine Orthonormalbasis $v_1,\ldots, v_n$ von $\mathcal{H}$, so bilden die $ \langle v_i, Bv_j\rangle$ die Eintr"age einer beschr"ankten matrixwertigen Abbildung. Wir behaupten, da"s diese das gesuchte $\varphi=\varphi_B : X \rightarrow \cal{B} (\mathcal{H})$ beschreibt. In der Tat gilt f"ur alle me"sbaren $E$ und alle $j$ ja $$\hat{\varphi}_B([E] v_j)=[E]\hat{\varphi}_B( v_j)= [E] (Bv_j)=B([E] v_j)$$ und die $[E] v_j$ erzeugen nach \eref{HRFF}{AN3} einen dichten Teilraum von ${\op{L}}^2 (X,\mathcal{H})$. \end{proof} \subsection{Satz von Stone-von Neumann} \begin{Bemerkungl} Jedes quantenmechanische System ist ein Hilbertraum mit gewissen nicht notwenig beschr"ankten selbstadjungierten Operatoren. Bei einem eindimensionalen Teilchen fordert man insbesondere die Existenz eines Ortsoperators $P$ und eines Impulsoperators $Q$ mit dem Kommutator $[P,Q]=-\op{i}\hbar$, dessen sinnvolle Definition bereits eine erste Schwierigkeit darstellt, die es zu "uberwinden gilt. F"ur uns ist hier $\hbar$ erst mal eine beliebige von Null verschiedene komplexe Zahl. Ein endlichdimensionaler Vektorraum mit derartigen Endomorphismen $P,Q$ ist notwendig der Nullraum, da die Spur eines Kommutators stets Null ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} L"osungen mit beschr"ankten Operatoren $P,Q$ in Hilbertr"aumen beliebiger Dimension kann es ebensowenig geben: In der Tat h"atten wir f"ur solch eine L"osung n"amlich die von der Mitte aus zu entwickelnde Gleichungskette \begin{equation*} Q-\op{i}\hbar = (\op{exp} (\op{ad} P))(Q) = (\op{exp} ((P\cdot))- (\cdot P))) (Q) = (\op{exp} P) Q (\op{exp} P)^{-1} \end{equation*} wegen $Q + [P,Q]=(\op{exp} (\op{ad} P))(Q)$. Es folgte $(\op{exp} P) Q = (Q - \op{i}\hbar)(\op{exp} P)$. Da aber $\op{exp} P$ ein Automorphismus von Hilbertr"aumen ist, mu"s dann das Spektrum von $Q$ invariant sein unter der Addition von $\op{i}\hbar$ und kann nur beschr"ankt sein, wenn es leer ist. Ein beschr"ankter Operator auf einem Hilbertraum hat aber nur dann leeres Spektrum, wenn unser Raum der Nullraum ist. Mit \ref{SpR} funktioniert dasselbe Argument sogar f"ur jeden Banachraum. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Suchen wir der Not gehorchend L"osungen durch unbeschr"ankte Operatoren, so sto"sen wir zun"achst auf die Schwierigkeit, da"s der Kommutator partiell definierter linearer Abbildungen schwer sinnvoll zu definieren ist. Um diese Schwierigkeit zu umgehen betrachten wir die sogenannte \defind{Heisenberg-Gruppe} \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} G &\pdef& \left.\left\{ \begin{pmatrix} 1 & x & z\\ 0&1 & y\\ 0 & 0&1 \end{pmatrix} \right| x,y,z \in \mathbb{R}\right\} \end{array} \end{displaymath} Die stetige positive Dichte $|dx\wedge dy\wedge dz|$ ist ein links- und rechtsinvariantes Haarma"s auf $G$. Die Standardmatrizen $E_{12}$, $E_{23}$ und $E_{13}$ bilden eine Basis ihrer Liealgebra $\op{Lie}G$, und alle Kommutatoren von Elementen dieser Basis sind Null mit Ausnahme von $[E_{12},E_{23}]=E_{13}$. Gegeben eine von-Neumann-Darstellung $(V,\rho)$ der Heisenberg-Gruppe mit $\rho(\op{exp}tE_{13})=\op{e}^{t{\op{i}}\hbar}$ liefern damit nach \ref{OLA} die beiden anderen Basiselemente Endomorphismen $P,Q$ des Raums der glatten Vektoren $V^\infty$ mit $[P,Q]=-\op{i}\hbar$, und ist $V$ eine unit"are Darstellung, so sind $P$ und $Q$ nach etc etc. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur das Folgende vereinbaren wir f"ur $i 0$ und das Lemma ist bewiesen. \end{proof} \emph{Wohin? Schrott?} \begin{Satz}[Stone-von Neumann] Die sogenannte Heisenberg-Gruppe \begin{equation*} G = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & a & c\\ 0 & 1&b \\ 0& 0&1 \end{pmatrix} \mid a,b,c \in \mathbb R\right\} \end{equation*} besitzt bis auf Isomorphismus nur eine irreduzible unit"are Darstellung, auf der die Matrizen mit $a = b =0$ durch den Skalar $e^{ic}$ operieren. Sie kann beschrieben werden als der Hilbertraum $L^2 (\mathbb R; \op{dx})$ mit \begin{equation*} (\hat a f)(x) = f(x-a) \text{ und } (\hat b f)(x) = e^{_ibx} f(x) \end{equation*} f"ur $\hat a, \hat b \in G$ die obigen Matrizen mit anderen Eintr"agen Null. \end{Satz} \begin{proof} Da"s die fraglichen Operatoren eine unit"are Darstellung von $G$ liefern, wird der Leser ohne Schwierigkeiten selbst pr"ufen k"onnen. Um die Irreduzibilit"at nachzuweisen betrachten wir die Relation $\hat a \hat b =c(ab) \hat b \hat a$ mit $c (ab)$ der Matrix mit $a = b = 0$ und nur dem $c$-Eintrag ab. Jeder unter allen $\hat b$ stabile abgeschlossene Teilraum hat nach \eref{UDS}{AN3} die Gestalt $L^2 (E; \op{dx})$ f"ur $E \subset \mathbb R$ eine Borelmenge. Ist er dann auch noch stabil unter $\hat a$, so folgt, da"s $(E = a) \backslash E$ und $E \backslash (E + a)$ Nullmengen sind, und gilt das f"ur alle $a \in \mathbb R$, so ist $[E] \op{dx}$ translationsinvariant, woraus sofort folgt, da"s $E$ oder $\mathbb R \backslash E$ Ma"s Null haben, also $L^2 (E; \op{dx}) = 0$ oder $L^2 (E; \op{dx}) = L^2 (\mathbb R; \op{dx}$. Damit ist die Irreduzibilit"at bewiesen. Sei nun $\mathcal H$ irgendeine irreduzible unit"are Darstellung wie im Satz. Sicher ist $\mathcal H$ separabel, unter den $\hat b$ zerf"allt also $\mathcal H$ nach \ref{KUD}. Die $\hat a$ liefern Isomorphismen zwischen der durch die $\hat b$ und der durch die $e^{iab} \hat b$ gegebenen Darstellung, woraus sofort folgt, da"s alle Vielfachkeitsma"se quasi-translationsinvariant und damti nach \ref{QTM} stetig zum Lebesgue-Ma"s sein m"ussen. Es kommt also nur eine Vielfachheit vor und wir haben $\mathcal H \cong L^2 (\mathbb R; \op{dx})^k$ f"ur $1 \leq k \leq \infty$ wobei $\hat b$ durch Multiplikation mit $e^{ibx}$ operiert. Diesen Raum interpretieren wir um als Raum von Hilbertraumwertigen Funktionen. Darin ist eine Funktion, die unter $\hat a$ stabil ist bis auf Skalare. Dann drehen wir alles \ldots fertig. \end{proof} \begin{Lemma}\label{AuVvc}%\label{AuVv} Sei $\mathcal H$ ein separabler Hilbertraum und $U (\mathcal H) $ die Gruppe seiner unit"aren Automorphismen mit der Operatoren-Topologie. Sei $X$ ein $\sigma$-endlicher Ma"sraum und $L^2 (X;\mathcal H)$ der Hilbertraum aus \eref{HRFF}{AN2}. So erhalten wir eine Bijektion \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} \text{ me"sbare fast "uberall}\\ \text{ definierte Abbildungen }\\ X \rightarrow U(\mathcal H) \end{array} \right\} & \overset{\sim}{\longrightarrow} & \left\{ \begin{array}{l} \text{ unit"are Automorphismen von}\\ L^2 (X;\mathcal H), \text{ die mit allen }\\ \left[E\right]\cdot \text{ f"ur } E\subset X \text{ me"sbar vertauschen } \end{array} \right\}\\ \varphi & \mapsto &\hat{\varphi} \text{ mit } (\hat \varphi f)(x) = \varphi (x) f(x) \end{eqnarray*} \end{Lemma} \begin{proof} Nach \eref{SEH}{AN3} ist $U (\mathcal H)$ separabel, nach \eref{mp}{AN3} ist folglich $\hat\varphi f$ me"sbar und unsere Abbildungsvorschrift ist sinnvoll. Wir konstruieren nun eine Abbildung in die Gegenrichtung. Sei $u : L^2 (X; \mathcal H) \rightarrow L^2 (X; \mathcal H)$ ein unit"arer Automorphismus, der mit den Multiplikationen $[E] \cdot$ mit den charateristischen Funktionen aller me"sbaren Mengen $E \subset X$ vertauscht. Gegeben $v \in \mathcal H$ mu"s die konstante Funktion $v$ nicht zu $L^2 (X; \mathcal H)$ geh"oren, aber f"ur $E$ me"sbar von endlichem Ma"s geh"ort $[E] v$ sicher zu $L^2 (X;\mathcal H)$ und wir haben \begin{equation*} u ([E] v) = \varphi_{E,v} \in L^2 (X;\mathcal H) \end{equation*} Es ist nun leicht einzusehen, da"s $\varphi_{E,v}$ au"serhalb von $E$ fast "uberall verschwindet, und da"s f"ur $F$ eine weitere me"sbare Menge von endlichem Ma"s gilt \begin{equation*} \varphi_{F,v} \mid_{F \cap E} = \varphi_{E,v} \mid_{F \cap E} \end{equation*} fast "uberall auf $F \cap E$. Da wir $X$ als $\sigma$-endlich angenommen hatten, gibt es also eine wohlbestimmte fast "uberall definierte me"sbare Abbildung $\varphi_v : X \rightarrow \mathcal H$ mit $\varphi_{E,v} = [E] \cdot \varphi_v$ f"ur alle $E \subset X$ me"sbar von endlichem Ma"s. Gegeben ein weiterer Vektor $w \in \mathcal H$ folgt $\int_E \langle \varphi_v, \varphi_w\rangle = \int_E \langle v,w \rangle$ f"ur alle $E \subset X$ me"sbar von endlichem Ma"s und damit erhalten wir etwa nach \eref{NFNM}{AN3} die Gleichheit $\langle \varphi_v, \varphi_w \rangle = \langle v,w\rangle$ von fast "uberall definierten Funktionen. W"ahlen wir nun eine Hilbertbasis $v (i)$ von $\mathcal H$, so bilden die $\langle \varphi v(i), v (j) \rangle$ die Eintr"age einer Matrixwertigen Abbildung, die das gesuchte $\varphi : X \rightarrow U(\mathcal H)$ beschreibt. \end{proof} \subsection{Klassifikation selbstadjungierter Operatoren} \begin{Satz}[\textbf{Klassifikation selbstadjungierter Operatoren}] Seien $(\cal{H},N)$ ein separabler Hilbertraum mit einem selbstadjungierten Operator. \begin{enumerate} \item Es gibt eine Folge $\mu_\infty,\mu_1,\mu_2\ldots$ von paarweise singul"aren Borelma"sen auf $\Bbb{R}$ mit Tr"ager in einem gemeinsamen Kompaktum und einen Isomorphismus von Hilbert\-r"aumen \begin{displaymath} \hat{\bigoplus}_{1\leq i\leq\infty} \op{L}^2 (\Bbb{C}; \mu_i)^i \;\;\;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\;\;\cal{H} \end{displaymath} unter dem der auf den Komponenten durch Multiplikation mit der Funktion $\op{id} : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$, $ x \mapsto x$ Operation gegebene Operator auf der linken Seite dem Operator $N$ auf der rechten Seite entspricht. \item Die Bilder der $\op{L}^2 (\Bbb{C}; \mu_i)^i$ werden hierbei als Teilr"aume von $\cal{H}$ bereits durch den Operator $N$ eindeutig festgelegt, wir notieren sie $\cal{H}(N;i)$ und nennen sie die \emph{\bf Teilr"aume zur Vielfachheit $i$}.\index{Vielfachheit!Teilr"aume zu} Die Ma"se $\mu_i$ werden durch unseren Operator eindeutig festgelegt bis auf Quasi"aquivalenz. \item Wir erhalten so eine Bijektion zwischen Paaren $(\cal{H},N)$ bestehend aus einem separablen Hilbertraum mit einem selbstadjungierten Operator, bis auf Isomorphie, und Folgen $\mu_\infty,\mu_1,\mu_2\ldots$ von paarweise singul"aren Borelma"sen auf $\DR$ mit Tr"ager in einem gemeinsamen Kompaktum, bis auf Ersetzen aller Folgenglieder durch quasi"aquivalente Ma"se. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkung} Ist unser Hilbertraum endlichdimensional, so m"ussen wir als $\mu_i$ ein diskretes Ma"s nehmen, das jedem Eigenwert der Vielfachheit $i$ eine positive Masse zuordnet und allen anderen komplexen Zahlen die Masse Null. \end{Bemerkung}\begin{Lemma} Seien $\mu, \nu$ Borelma"se mit kompaktem Tr"ager auf $\Bbb{R}$. Genau dann gibt es einen Hilbertraumisomorphismus $\psi :\op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{L}^2 (\Bbb{R};\nu)$, unter dem sich die Operatoren $(\op{id})$ entsprechen, wenn $\mu$ und $\nu$ quasi"aquivalent sind. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Offensichtlich wird $\psi$ festgelegt durch das Bild $f$ des zyklischen Vektors $1 \in \op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu)$ und man erkennt sofort, da"s $\psi$ auf Polynomfunktionen der Operator der Multiplikation mit irgendeinem Repr"asentanten von $f$ in $\mathcal{L}_{\Bbb{R}} (\Bbb{R};\nu)$ sein mu"s. Nach Stone-Weierstra"s und dem Satz "uber dominierte Konvergenz wird $\psi$ dann auch auf allen stetigen Funktionen durch Multiplikation mit $f$ gegeben sein. Damit $\psi$ das Skalarprodukt erh"alt, mu"s f"ur alle stetigen Funktionen $p,q \in \mathcal{C} (\Bbb{R})$ gelten \begin{displaymath} \int p (x) \overline{q(x)} \mu (x) = \int p (x) \overline{q(x)} |f(x)|^2 \nu (x) \end{displaymath} woraus wir mit dem Riesz'schen Darstellungssatz folgern $\mu = |f|^2 \nu$. Also ist $\nu$ stetig zu $\mu$ und ebenso ist auch $\mu$ stetig zu $\nu$ und $\mu$ und $\nu$ sind quasi"aquivalent. Die Umkehrung folgt mit Radon-Nikodym und bleibe dam Leser "uberlassen. \end{proof} \subsection{Normale Operatoren} \begin{Definition} Sei $(X,\cal{M})$ ein Me"sraum und $\cal{H}$ ein Hilbertraum. Ein \defind{teilraumwertiges Ma"s} {\bf auf $X$ in $\cal{H}$} ist eine Zuordnung $M \mapsto \cal{H}(M)$, die jeder me"sbaren Teilmenge $M \in \cal{M}$ einen abgeschlossenen Teilraum $\cal{H}(M) \subset \cal{H}$ zuordnet derart, da"s f"ur jede abz"ahlbare Familie $(M_n)_{n \in N}$ von paarweise disjunkten me"sbaren Mengen die durch Addition definierte Abbildung von der "au"seren Hilbertsumme der zugeh"origen Teilr"aume in den urspr"unglichen Hilbertraum die fragliche Hilbertsumme identifiziert mit dem Teilraum zur Vereinigung der $M_n$, in Formeln \begin{displaymath} \hat{\bigoplus_{n \in N}} \;\cal{H} (M_n) \;\overset{\sim}{\rightarrow}\; \cal{H} \left(\bigcup_{n \in N} M_n\right) \end{displaymath} \end{Definition} \begin{Bemerkung} F"ur $N =\emptyset$ spezialisiert das zur Forderung $0 = \cal{H} (\emptyset)$ und f"ur je zwei disjunkte me"sbare Mengen $M, M'$ ergeben sich die beiden Forderungen $\cal{H} (M) \perp \cal{H} (M')$ sowie $\cal{H} (M \cup M')= \cal{H} (M) + \cal{H} (M')$. F"ur jede aufsteigende Folge me"sbarer Mengen $M_0 \subset M_1 \subset M_2 \subset \ldots$ ergibt sich schlie"slich die Forderung $\cal{H} (\bigcup_{i \geq 0} M_i)= \overline{\bigcup_{i\geq 0}\cal{H}(M_i)}$. Umgekehrt kann ein teilraumwertiges Ma"s auch durch diese vier Forderungen charakterisiert werden. Oft werden statt der Teilr"aume gleichbedeutend die orthogonalen Projektoren auf die jeweiligen Teilr"aume betrachtet. Bei dieser Variante spricht man dann von einem {\bf projektorwertigen Ma"s}\index{projektorwertiges Ma"s} und\index{Ma"s!projektorwertiges} unter der zus"atzlichen Voraussetzung, da"s der ganzen Menge als Projektor die Identit"at des Hilbert\-raums zugeordnet wird, von einer {\bf Teilung der Identit"at}.\index{Teilung der Identit"at} \end{Bemerkung} \begin{Definition} Sei $\cal{H}$ ein Hilbertraum. Gegeben ein normaler Operator $N : \cal{H} \ra \cal{H}$ und eine Teilmenge $\Omega \subset \Bbb{C}$ definieren wir den \defind{Eigenraum} $$\op{Eig}(N,\Omega)=\cal{H} (\Omega) \subset \cal{H}$$ als den Raum aller Vektoren, die senkrecht stehen auf allen den $N$-stabilen Teilr"aumen $V\subset \cal{H}$, in denen $(N-\lambda \op{id})$ f"ur alle $\lambda\in \Omega$ stetig invertierbar ist. \emph{Falsche Definition ?} Im Fall eines endlichdimensionalen Raums $\cal{H}$ ist $\op{Eig}(N,\Omega)$ gerade die Summe aller Eigenr"aume zu Eigenwerten aus $\Omega$. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Spektralma"s}] Sei $\cal{H}$ ein Hilbertraum. Ordnen wir jedem normalen Operator $ N:\cal{H} \ra \cal{H}$ und jeder topologisch me"sbaren Menge $\Omega \subset \Bbb{C}$ den Eigenraum $\op{Eig}(N,\Omega)$ im Sinne der vorhergehenden Definition zu, so erhalten wir eine Bijektion \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \text{Normale Operatoren}\\ \text{auf unserem }\\ \text{Hilbertraum }\cal{H}\end{array}\right\} & \overset{\sim}{\rightarrow} & \left\{ \begin{array}{c} \text{$\cal{H}$-teilraumwertige topologische Ma"se}\\ \text{auf $\Bbb{C}$, f"ur die es ein Kompaktum}\\ K\subset\DC \text{ gibt mit } \op{Eig}(N,K) = \cal{H} \end{array}\right\} \end{array} \end{displaymath} \end{Satz} \begin{Bemerkung} Ist unser Hilbertraum separabel, so k"onnen wir noch sehr viel pr"azisere Aussagen machen. \end{Bemerkung} \begin{Satz}[\textbf{Klassifikation normaler Operatoren}] Gegeben $(\cal{H},N)$ ein separabler Hilbertraum mit einem normalen Operator gibt es eine Familie $(\mu_i)$ induziert durch $i \in \{1,2, \ldots\} \amalg \{\infty \}$ von paarweise orthogonalen Borelma"sen auf $\Bbb{C}$ derart, da"s der Tr"ager aller $\mu_i$ in einem festen gemeinsamen Kompaktum enthalten ist, und einen Isomorphismus von Hilbert\-r"aumen \begin{displaymath} \hat{\bigoplus} \;\op{L}^2 (\Bbb{C}; \mu_i)^i \overset{\sim}{\rightarrow} \cal{H} \end{displaymath} unter dem die Operation durch Multiplikation mit der Funktion $\op{id} : \Bbb{C} \ra \Bbb{C}$, $ z \mapsto z$ auf der linken Seite dem Operator $N$ auf der rechten Seite entspricht. Die Ma"se $\mu_i$ sind durch den Operator $N$ wohlbestimmt bis auf Quasi"aquivalenz. \end{Satz} \begin{Bemerkung} Ist unser Hilbertraum endlichdimensional, so m"ussen wir als $\mu_i$ jeweils ein diskretes Ma"s nehmen, das jedem Eigenwert der Vielfachheit $i$ eine positive Masse zuordnet und allen anderen komplexen Zahlen die Masse Null. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Man schreibt $\cal{H}$ als direkte Summe von Teilr"aumen mit $N$-zyklischem Vektor \ldots Mehr dazu findet man im selbstadjungierten Fall in \cite{Yosida} im Abschnitt "uber die \glqq kanonische Form selbstadjungierter Operatoren\grqq. \end{proof} \begin{Satz} Ist $\cal{H}$ ein Hilbertraum, $N : \cal{H} \ra \cal{H}$ ein normaler Operator und $v \in \cal{H}$ ein Vektor derart, da"s die $N^{\nu} (N^*)^{\nu} v$ mit $\nu, \mu \in \Bbb{N}$ dicht liegen in $\cal{H}$, so gibt es genau ein Borel-Ma"s $\mu$ mit kompaktem Tr"ager auf $\Bbb{C}$ derart, da"s gilt \begin{displaymath} (\cal{H},N,v) \cong (\op{L}^2 (\Bbb{C}; \mu),(z \cdot) , 1) \end{displaymath} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ist andererseits $\mu$ ein Borel-Ma"s mit kompaktem Tr"ager auf $\Bbb{C}$, so ist offensichtlich $(z \cdot): \op{L}^2 (\Bbb{C};\mu)$ ein normaler Operator mit Adjungiertem $(\bar{z}\cdot)$, und die Bilder unter $z ^{\nu} \bar{z}^{\mu}$ der konstanten Funktion $1$ liegen dicht in unserem $\op{L}^2$-Raum nach Stone-Weierstra"s \eref{SWC}{AN2} und \eref{DLp}{AN3}. \end{Bemerkungl} \subsection{Unit"are Darstellungen, alt} \begin{Bemerkung} Dieser Abschnitt soll die bis hierher entwickelte Theorie der Fouriertransformation in ein neues Licht r"ucken. Um die im Folgenden behaupteten S"atze in transparenter Weise herleiten zu k"onnen und auch um Sie mit einem f"ur ein ernsthaftes Studium weiter Teile der Mathematik unentbehrlichen R"ustzeug auszustatten diskutieren wir im Anschlu"s daran erst einmal topologische R"aume. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Nat"urlich kann man diese Definition auf jede mit einer Metrik versehene Gruppe $G$ erweitern, aber diese Erweiterung erweist sich nur dann als sinnvoll, wenn diese Metrik auch mit der Gruppenstruktur vertr"aglich ist in dem Sinne, da"s sowohl die Multiplikation $G\times G\ra G$ als auch die Inversenbildung $G\ra G$ stetig sind. Interessante F"alle sind etwa $\op{GL}(n;\DR)$ oder $\op{GL}(n;\DC)$ oder die Drehgruppe oder die Lorentz-Gruppe. \end{Bemerkung} \section{Distributionen, schon recht fertig} \subsection{Distributionen und verallgemeinerte Funktionen*} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Algebraische Vor"uberlegungen}] Sei $k$ ein K"orper und seien\label{FoLA} $k$-Vektor\-r"aume $V,V^\prime, W, W^\prime$ gegeben sowie nichtausgeartete Paarungen $b: V \times V^\prime \rightarrow k$ und $c : W \times W^\prime \rightarrow k$. Lineare Abbildungen $f : V \rightarrow W$ und $f^\prime : W^\prime \rightarrow V^\prime$ nennen wir {\bf zueinander transponiert}\index{transponiert!Abbildungen} oder pr"aziser $(b,c)$-{\bf transponiert}, wenn gilt \begin{equation*} c (f(v), w^\prime) = b (v, f^\prime (w^\prime)) \quad\forall v \in V,\; w^\prime \in W^\prime \end{equation*} Sicher gibt es zu jeder linearen Abbildung $f$ h"ochstens eine transponierte Abbildung $f^\prime$ und umgekehrt. Wir notieren die Transponierte zu $f$ gerne $f^\top$. Die {\bf transponierbaren} linearen Abbildungen bilden jeweils einen Untervektorraum im Raum aller fraglichen linearen Abbildungen, und das Transponieren ist ein Vektorraumisomorphismus zwischen diesen Untervektorr"aumen. Im Fall $V=W$ und $V'=W'$ und $b=c$ ist die Identit"at auf $V$ transponiert zur Identit"at auf $V'$. Sind zus"atzlich Vektorr"aume $U,U'$ gegeben und eine nichtausgeartete Paarung $a: U \times U^\prime \rightarrow k$ sowie $(a,b)$-transponierte Abbildungen $g:U\ra V$ und $g':V'\ra U'$, so sind auch $fg$ und $g'f'$ transponiert, genauer $(a,c)$-transponiert. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Der Fall der Dualr"aume}] Sind $V'=V^\ast$ und ebenso $W'=W^\ast$ jeweils der volle Dualraum und sind unsere Paarungen durch das Auswerten gegeben, so besitzt jede lineare Abbildung $f:V\ra W$ eine Transponierte $f^\top: W^\ast\ra V^\ast$, eben das \glqq Vorschalten von $f$\grqq. Allerdings besitzt, sobald wir den endlichdimensionalen Fall verlassen, keineswegs jede lineare Abbildung $g: W^\ast\ra V^\ast$ auch umgekehrt eine Transponierte $V\ra W$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Testdichten}] Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$ und eine offene Teilmenge $U\co X$ bezeichnen wir mit $$\mathcal D_!^\infty(U)\subset {\op{M}}(U)$$ den Teilraum aller komplexen Ma"se der Gestalt $g\lambda$ f"ur $\lambda$ ein Haarma"s auf $X$ und $g\in\mathcal C_!^\infty(U)$ eine glatte Funktion mit kompaktem Tr"ager auf $U$. Ich nenne die Elemente von $\mathcal D_!^\infty(U)$ {\bf glatte Dichten mit kompaktem Tr"ager auf $U$}\index{Dichte!glatte} oder kurz {\bf Testdichten}.\index{Testdichte} Sie k"onnen in nat"urlicher Weise mit den glatten Schnitten mit kompaktem Tr"ager des Dichteb"undels aus \ref{FeMg} identifiziert werden, aber das spielt f"ur uns vorerst keine Rolle. Das Integrieren liefert eine nichtausgeartete Paarung $\mathcal C (U) \times \mathcal D^\infty_!(U) \rightarrow \mathbb C$, $(f, \mu ) \mapsto \int_U f \mu$ zwischen stetigen Funktionen und Testdichten. Durch Restriktion erhalten wir eine Paarung mit den glatten Funktionen $\mathcal C^\infty (U) \times \mathcal D^\infty_! (U) \rightarrow \mathbb C$, die nach \eref{BOMA}{AN3} immer noch nichtausgeartet ist. Schlie"slich k"onnen wir auch den vollen algebraischen Dualraum $$C^+ (U) \pdef \op{Hom}_{\mathbb C} (\mathcal D^\infty_! (U), \mathbb C)$$ betrachten. Unsere Paarung durch Integration liefert mit dieser Notation eine Einbettung $\mathcal C (U) \subset C^+ (U)$. In diesem Sinne k"onnte man zumindest vorerst alle Elemente von $C^+ (U)$ als \glqq verallgemeinerte Funktionen auf $U$\grqq\ ansehen. Wir werden jedoch an unsere \glqq verallgemeinerte Funktionen\grqq\ zu gegebener Zeit noch zus"atzliche Bedingungen stellen, die es uns insbesondere erlauben, f"ur verallgemeinerte Funktionen $f$ auf $U$ und $g$ auf $V$ sinnvoll ein \glqq externes Produkt\grqq\ $f\boxtimes g$ als verallgemeinerte Funktion auf $U\times V$ zu erkl"aren. \end{Bemerkungl} % und die offensichtliche Paarung $C^+ (U) \times % \mathcal D^\infty_! (U) \rightarrow \mathbb C$. \begin{Bemerkunge} Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$ und eine offene Teilmenge $U\co X$ kann man in "ahnlicher Weise auch vom Raum $\mathcal C_!^\infty(U)$ der glatten Funktionen mit kompaktem Tr"ager alias {\bf Testfunktionen}\index{Testfunktion} ausgehen und in dessen algebraischem Dualraum $$D^+(U)\pdef \op{Hom}_\DC(\mathcal C_!^\infty(U),\DC)$$ gewisse \glqq verallgemeinerte Ma"se\grqq\ auszeichnen, die dann \glqq Distributionen\grqq\ hei"sen. Die Funktorialit"atseigenschaften dieser \glqq Distributionen\grqq\ scheinen mir jedoch weniger intuitiv, weshalb ich mich an dieser Stelle zun"achst auf verallgemeinerte Funktionen konzentrieren will. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Ist $Y$ ein weiterer endlichdimensionaler reeller Raum und $V \co Y$ offen, so k"onnen wir f"ur jede lineare Abbildung $ L : \mathcal C^\infty (U) \rightarrow \mathcal C^\infty (V)$, die eine Transponierte $L^\top : \mathcal D^\infty_! (V) \rightarrow \mathcal D^\infty_! (U)$ besitzt, eine Fortsetzung $L^+ : C^+ (U) \rightarrow C^+ (V)$ erkl"aren duch die Vorschrift $L^+:= L^{\top\top}$. Im folgenden erkl"are ich einige Spezialf"alle dieser Konstruktion. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl}\label{AblDxx} % Gegeben % ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$ und % $U\co X$ eine offene Teilmenge bezeichnen wir mit % $$\mathcal D_!^\infty(U)\subset {\op{M}}(U)$$ % den Teilraum aller komplexen Ma"se der Gestalt % $g\lambda$ f"ur ein Haarma"s $\lambda$ auf $X$ und eine % glatte Funktion mit kompaktem Tr"ager $g\in\mathcal C_!^\infty(U)$ auf $U$. % Ich nenne die Elemente von $\mathcal D_!^\infty(U)$ % {\bf glatte Dichten mit kompaktem Tr"ager auf $U$},\index{Dichte!glatte} % da sie in nat"urlicher Weise mit glatten Schnitten mit kompaktem Tr"ager % des Dichteb"undels aus % \ref{FeMg} indentifiziert werden k"onnen. % Dann betrachten wir seinen algebraischen % Dualraum $$ % C^+(U)\pdef\op{Hom}_\DC(\mathcal D_!^\infty(U) ,\DC) $$ % Jede stetige % Funktion $f\in \mathcal{C} (U)$ liefert auf $\mathcal D_!^\infty(U)$ % eine Linearform vermittels der % Vorschrift $\mu\mapsto % \int f\mu$ und liefert somit ein Element von $C(U)$, das % wir wieder mit $f$ bezeichnen. Auf diese Weise erhalten wir % nach \ref{BMIII} % sogar eine Einbettung % $$\cal{C}(U)\hra C^+(U)$$ % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Multiplikation mit glatten Funktionen}] Gegeben eine glatte Funktion $\varphi\in \mathcal C^\infty(U)$ besitzt die Multiplikation $(\varphi\cdot):\mathcal C^\infty(U)\ra\mathcal C^\infty(U)$ mit $\varphi$ als Transponierte die Multiplikation mit $\varphi$, also die Abbildung $(\varphi\cdot):\mathcal D_!^\infty(U)\ra \mathcal D_!^\infty(U)$. Unser Formalismus liefert uns dann eine nat"urliche Fortsetzung $(\varphi\cdot)^+:C^+(U)\ra C^+(U)$ von $(\varphi\cdot):\mathcal C(U)\ra \mathcal C(U)$. Auf diese Weise wird $C^+(U)$ ein $\mathcal C^\infty(U)$-Modul, in den $\mathcal C(U)$ als Untermodul eingebettet ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ableiten nach glatten Vektorfeldern}] Ist speziell $U\co\DR^n$ und ist $f\in \cal{C}(U)$ stetig partiell differenzierbar nach der $i$-ten Koordinate, so liefert f"ur $g\in \cal{C}^\infty_!(U)$ und $\lambda$ das Lebesguema"s partielle Integration $$\int (\partial_i f)g\lambda =-\int f(\partial_i g)\lambda$$ Die partielle Ableitung $\partial_i: \cal{C}^1(U)\ra \cal{C}(U)$ ist also transponierbar und unser Formalismus liefert uns eine nat"urliche Fortsetzung $\partial_i^+:C^+(U)\ra C^+(U)$. Im koordinatenfreien Fall erkl"aren wir analog f"ur jeden Richtungsvektor $v$ die nat"urliche Fortsetzung der Richtungsableitung ${\op{D}}_v: \cal{C}^1(U)\ra \cal{C}(U)$ zu einer linearen Abbildung ${\op{D}}_v^+:C^+(U)\ra C^+(U)$. Anschlie"send erkennen wir so, da"s auch das Anwenden jedes glatten Vektorfelds $A:U\ra\vec{X}$ als Abbildung $A: \cal{C}^1(U)\ra \cal{C}(U)$ transponierbar ist und eine nat"urliche Fortsetzung zu $A^+:C^+(U)\ra C^+(U)$ besitzt. Die Lieklammer zweier glatter Vektorfelder operiert dann auch auf $C^+(U)$ wie der Kommutator, in Formeln $$[A,B]^+=A^+B^+-B^+A^+$$ Des weiteren erweitert sich die {\bf Leibniz-Regel}\index{Leibniz-Regel!bei verallgemeinerten Funktionen} zur Formel $$A(\varphi f)=(A\varphi) f+\varphi (A f)$$ mit $\varphi\in \cal{C}^\infty(U)$ beliebig, in der ich die oberen Indizes $+$ am Vektorfeld $A$ der "Ubersichtlichkeit halber bereits weggelassen habe, und die jetzt f"ur alle $f\in C^+(U)$ gilt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zur"uckholen}] Gegeben ein weiterer endlichdimensionaler reeller Raum $Y$ und $V\co Y$ eine offene Teilmenge und $\phi:V\ra U$ eine {\bf submersive}\index{submersiv!glatte Abbildung} glatte Abbildung, als da hei"st, eine glatte Abbildung mit surjektivem Differential $\diff_y\phi$ an jeder Stelle $y\in V$, ist auch das Zur"uckholen stetiger Funktionen transponierbar: Das direkte Bild von Ma"sen induziert in diesem Fall n"amlich eine Abbildung $\phi_\ast: \mathcal D_!^\infty(V)\ra \mathcal D_!^\infty(U)$, die dann auch schon die fragliche Transponierte ist. In der Tat k"onnen wir uns zum Nachweis unserer Behauptung $\mu\in \mathcal D_!^\infty(V)\RA \phi_\ast\mu \in \mathcal D_!^\infty(U)$ mithilfe einer Teilung der Eins und der Wahl geeigneter Koordinaten auf den Fall zur"uckziehen, da"s gilt $V\co \DR^n$ und $U\co \DR^m$ mit $m\leq n$ und da"s $\phi$ die Projektion auf die ersten $m$ Koordinaten ist. In dem Fall aber ist unsere Behauptung klar. Damit erhalten wir also auch eine nat"urliche Fortsetzung des Zur"uckholens stetiger Funktionen zu einer linearen Abbildung $\phi^\ast: C^+(U)\ra C^+(V)$. Statt $\phi^\ast f=g$ schreiben\label{ZHVV} wir auch $$\phi:g\leadsto f$$ und sprechen wie sonst auch von {\bf Verwandtschaft}.\index{verwandt!verallgemeinerte Funktionen} Auch in dieser Allgemeinheit ist Verwandtschaft transitiv und vertr"aglich mit dem Anwenden glatter Vektorfelder und der Multiplikation mit glatten Funktionen: Das folgt sofort aus den entsprechenden Aussagen f"ur glatte Funktionen mit unserem allgemeinen Formalismus der linearen Algebra \ref{FoLA}. Das Zur"uckholen vermittels der Einbettung einer offenen Teilmenge nennen wir auch eine {\bf Restriktion} oder {\bf Einschr"ankung}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verkleben}] Ist $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $U\co X$ eine offene Teilmenge und $\cal{V}$ eine "Uberdeckung von $U$ und\label{VkDi} ist f"ur alle $V\in \cal{V}$ eine Linearform $\Lambda_V\in C^{+}(V)$ gegeben derart, da"s f"ur alle $V,W\in \cal{V}$ die Linearformen $\Lambda_V$ und $\Lambda_W$ dieselbe Restriktion auf $V\cap W$ haben, so gibt es genau eine Linearform $\Lambda\in C^{+}(U) $, deren Restriktion auf jedes $V\in \cal{V}$ mit dem dort vorgegebenen $\Lambda_V$ "ubereinstimmt. Gegeben $\mu\in\cal{D}_!^\infty(U)$ finden wir eine "Uberdeckung des Tr"agers $K$ von $\mu$ durch eine endliche Teilfamilie $\cal{E}\subset \cal{V}$ und nach \eref{TEL}{AN2} eine an diese "Uberdeckung angepa"ste glatte Teilung der Eins durch gewisse $\alpha_V$ f"ur $V\in \cal{E}$. Nun w"urden wir gerne $$\Lambda(\mu)=\sum_{V\in\cal{E}} \Lambda_V(\alpha_V \mu)$$ setzen und m"ussen nur pr"ufen, da"s das wohldefiniert ist. Ist aber $\cal{F}\subset \cal{V}$ eine weitere endliche Teilfamilie, die $K$ "uberdeckt, und $\beta_W$ f"ur $W\in \cal{F}$ eine daran angepa"ste glatte Teilung der Eins, so folgt aus unseren Annahmen $$\Lambda(\mu)=\sum_{V,W} \Lambda_V(\alpha_V \beta_W \mu) =\sum_{V,W} \Lambda_W(\alpha_V \beta_W \mu)=\sum_{W} \Lambda_W( \beta_W \mu)$$ wobei stets "uber alle $V\in \cal{E}$ und $W\in\cal{F}$ summiert werden soll, und wir erkennen so, da"s $\Lambda(\mu)$ in der Tat wohldefiniert ist. Da"s es die einzig m"ogliche lineare Abbildung mit den geforderten Eigenschaften ist, scheint mir offensichtlich. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine offene Teilmenge $U \co X$ eines endlichdimensionalen reellen Raums erkl"art man eine\label{VaFu} {\bf verallgemeinerte Funktion auf}\index{Funktion!verallgemeinerte} $U$ als eine Linearform $\Lambda\in C^+(U)$ alias $\Lambda:\mathcal D^\infty_! (U)\ra \mathbb C$ mit der Eigenschaft, da"s jeder Punkt $x\in U$ eine offene Umgebung $V\co U$ besitzt, f"ur die die Restriktion von $\Lambda$ auf $C^+(V)$ eine endliche Summe von Linearformen ist, die jeweils durch das Anwenden endlich vieler glatter Vektorfelder aus einer stetigen Funktion auf $V$ hervorgehen. Den Vektorraum aller verallgemeinerten Funktionen auf $U$ notieren wir\index{C@$\cal{C}^{-\infty}$ verallgemeinerte Funktion} $$\cal{C}^{-\infty}(U)$$ \end{Definition} \nichtfinal{\begin{Beispiel} Auf der reellen Zahlengerade kann man an jeder Stelle $p\in\DR$ die verallgemeinerte Funktion $\delta_p/\diff x$ betrachten, die jedem glatten kompakt getragenen Ma"s $f\diff x$ die Zahl $f(p)$ zuordnet. Ich nennen sie die {\bf Diracfunktion bei $p$}.\index{Dirafunktion} Auf einem eindimensionalen $\DR$-Vektorraum $G$ kann man jedem Punkt $g\in G$ sein Diracma"s $\delta_g$ zuordnen und f"ur jede Wahl eines Haar'schen Ma"ses $\mu$ ist dann $\delta_g/\mu$ eine Variante unserer Diracfunktion. \end{Beispiel}} \begin{Bemerkungl} Sei $U \co X$ eine offene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums. \nichtfinal{Der Raum $\cal{C}^{-\infty}(U)$ der verallgemeinerten Funktionen (?)} Er ist offensichtlich stabil unter der Multiplikation mit glatten Funktionen und dem Anwenden glatter Vektorfelder. Ebenso offensichtlich ist, da"s das Einschr"anken auf offene Teilmengen verallgemeinerte Funktionen wieder zu verallgemeinerten Funktionen macht, und da"s das Verkleben verallgemeinerter Funktionen wieder verallgemeinerte Funktionen liefert. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{Dis} Gegeben eine offene Teilmenge $U \co X$ eines endlichdimensionalen reellen Raums erkl"art man eine {\bf Distribution auf}\index{Distribution!verallgemeinerte Funktion} $U$ als eine Linearform $\Lambda:\mathcal C^\infty_! (U)\ra \mathbb C$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur ein und jedes Haarma"s $\lambda$ auf $X$ unser $\Lambda$ durch Vorschalten von $(\cdot\lambda): \mathcal C^\infty_! (U)\sira \mathcal D^\infty_! (U)$ aus einer verallgemeinerten Funktion auf $U$ entsteht. Den Vektorraum aller Distributionen auf $U$ notieren wir\index{D@$\cal{D}^{-\infty}$ Distribution} $$\cal{D}^{-\infty}(U)$$ \end{Definition} \begin{Bemerkunge} in \ref{teDE} hatten wir erkl"art, welche Linearformen auf dem Schwartzraum $\mathcal S\supset \mathcal C_!^\infty(\DR^n)$ man \glqq temperierte Distributionen\grqq\ nennt. Es ist leicht zu sehen, da"s die Restriktion auf glatte Funktionen diesen Raum der temperierten Distributionen in unseren Raum aller Distributionen einbettet. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Verallgemeinerte Funktionen als Garbe}] Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum. F"ur diejenigen Leser, die mit dem Begriff einer Garbe vertraut sind, sei erg"anzt, da"s die Zuordnung $U\mapsto C^+(U)$ eine abelsche Garbe $C^+$ auf $X$ liefert und da"s man die verallgemeinerten Funktionen charakterisieren kann als die Schnitte der kleinsten abelschen Untergarbe $\cal{C}^{-\infty}\subset C^+$ von komplexen Vektorr"aumen, die die Untergarbe $\cal{C}\subset C^+$ der stetigen Funktionen umfa"st und die stabil ist unter dem Anwenden beliebiger glatter Vektorfelder. \end{Bemerkungw} % \begin{Ubung} % Gegeben eine offene Teilmenge $U \co \DR^n$ kann man eine % verallgemeinerte Funktion auf % $U$ auch beschreiben als eine % Linearform $\Lambda\in C^+(U)$ mit der Eigenschaft, % da"s jeder Punkt $x\in U$ eine offene Umgebung $V\co U$ besitzt, f"ur % die die Restriktion von $\Lambda$ auf $C^+(V)$ % eine endliche Summe von Linearformen ist, % die jeweils durch das Anwenden endlich vieler % partieller Ableitungen % aus einer stetigen Funktion auf $V$ hervorgehen. % \end{Ubung} \begin{Lemma}[\textbf{Zur"uckholen verallgemeinerter Funktionen}] Sind $X,Y$ endlichdimensionale reelle R"aume und $U\co X$ sowie $V\co Y$ offene Teilmengen und $\phi:V\ra U$ eine submersive glatte Abbildung, so macht das Zur"uckholen $\phi^\ast$ verallgemeinerte Funktionen zu verallgemeinerten Funktionen. \end{Lemma} \begin{Bemerkunge} Es ist nicht m"oglich, Distributionen \glqq zur"uckzuholen\grqq. Dahingegen lassen sich Distributionen unter submersiven eigentlichen Abbildungen nach vorne dr"ucken alias \glqq l"angs der Fasern integrieren\grqq. Ich gehe darauf hier nicht n"aher ein. %\emph{Was geht eigentlich genau? Sollte doch wohl %Distributionen mit kompaktem Tr"ager unter beliebigen glatten Abbildungen %nach vorne dr"ucken k"onnen! Oder noch allgemeiner %beliebige Distributionen unter beliebigen glatten Abbildungen, %wenn nur deren Restriktion auf den Tr"ager unserer Distribution eigentlich %ist..... Das braucht man dann zu Faltung von Distributionen.} \end{Bemerkunge} \begin{proof} F"ur das Zur"uckholen unter Diffeomorphismen oder die Restriktion auf offene Teilmengen folgt das unmittelbar aus den Definitionen. Mit dieser Erkenntnis und unseren Erkenntnissen zum Verkleben k"onnen wir uns auf den Fall zur"uckziehen, da"s $\phi$ die Projektion eines offenen Quaders auf einige seiner Koordinaten ist, etwa $\phi:Q\sra W$ das Weglassen der Koordinaten mit Indizes $>m$ f"ur $Q\co \DR^n$ und $W\co \DR^m$ und $n>m$. Weiter k"onnen wir uns auf den Fall $\Lambda=\partial^\alpha f$ beschr"anken mit $f\in\mathcal C(W)$ und einem Multiindex $\alpha\in \DN^m$. Dann aber wissen wir wegen der Vertr"aglichkeit \ref{ZHVV} von Verwandtschaft mit dem Anwenden von Vektorfeldern bereits $\phi^\ast \Lambda=\partial^\alpha \phi^\ast f$, und das beendet den Beweis. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Ring $k$ und Mengen $X,Y$ und Abbildungen $f:X\ra k$ und $g:Y\ra k$ notieren wir $f\boxtimes g$\index{)xbox@$\boxtimes$ "au"seres Produkt!von Funktionen} die Funktion $X\times Y\ra k$ gegeben durch $(x,y)\mapsto f(x)g(y)$, das "au"sere Produkt der Funktionen $f$ und $g$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{"Au"seres Produkt von verallgemeinerten Funktionen}] Gegeben offene Teilmengen $U\co X$, $V\co Y$ endlichdimensionaler reeller R"aume sowie verallgemeinerte Funktionen $\Lambda\in\cal{C}^{-\infty}(U)$ und $\Gamma\in \cal{C}^{-\infty}(V)$ gibt es genau eine verallgemeinerte Funktion\index{)xbox@$\boxtimes$ "au"seres Produkt!von verallgemeinerten Funktionen} $$\Lambda\boxtimes \Gamma\in\cal{C}^{-\infty}(U\times V)$$ mit $\Lambda\boxtimes \Gamma:\mu\boxtimes \nu\mapsto \Lambda(\mu) \Gamma(\nu)$ f"ur alle $\mu\in\cal{D}_!^\infty(U), $ $ \nu\in\cal{D}_!^\infty(V)$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die analoge Aussage f"ur Elemente der vollen algebraischen Dualr"aume $C^{+}(U)$, $C^{+}(V)$ der R"aume von glatten Dichten mit kompaktem Tr"ager ist im allgemeinen falsch. Das scheint mir ein wesentlicher Grund daf"ur zu sein, da"s es sinnvoll ist, im vollen Dualraum den Teilraum der verallgemeinerten Funktionen auszuzeichnen. Der Beweis des Satzes beruht auf einer Beschreibung unserer verallgemeinerten Funktionen durch Stetigkeitseigenschaften. Wir geben ihn oder vielmehr eine Variante f"ur Distributionen in \ref{EPDi}. \end{Bemerkungl} % \begin{Lemma}[\textbf{Verkleben von verallgemeinerten Funktionen}] % Ist $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und % $U\co X$ eine offene Teilmenge und $\cal{V}$ eine % "Uberdeckung von $U$ und\label{VkDi} ist % f"ur alle $V\in \cal{V}$ eine verallgemeinerten Funktion % $\Lambda_V\in \cal{C}^{-\infty}(V)$ % gegeben derart, da"s f"ur alle $V,W\in \cal{V}$ die beiden % verallgemeinerten Funktionen $\Lambda_V$ und $\Lambda_W$ % dieselbe Restriktion auf % $V\cap W$ haben, so gibt es genau eine verallgemeinerte Funktion % $\Lambda\in \cal{C}^{-\infty}(U) $, % deren Restriktion auf jedes $V\in \cal{V}$ mit der dort vorgegebenen % verallgemeinerten Funktion $\Lambda_V$ "ubereinstimmt. % \end{Lemma} % \begin{proof} % Gegeben $\mu\in\cal{D}_!^\infty(U)$ finden wir % eine "Uberdeckung des Tr"agers $K$ von $\mu$ durch eine endliche % Teilfamilie $\cal{E}\subset \cal{V}$ % und nach \ref{TEL} % eine an diese "Uberdeckung angepa"ste glatte Teilung der Eins % durch gewisse $\alpha_V$ f"ur $V\in \cal{E}$. % Nun w"urden wir gerne % $$\Lambda(\mu)=\sum_{V\in\cal{E}} \Lambda_V(\alpha_V \mu)$$ % setzen und m"ussen nur pr"ufen, da"s das wohldefiniert ist. % Ist aber $\cal{F}\subset \cal{V}$ eine weitere endliche % Teilfamilie, die $K$ "uberdeckt, und $\beta_W$ f"ur $W\in \cal{F}$ % eine daran angepa"ste glatte Teilung der Eins, so folgt aus unseren Annahmen % $$\Lambda(\mu)=\sum_{V,W} \Lambda_V(\alpha_V \beta_W \mu) % =\sum_{V,W} \Lambda_W(\alpha_V \beta_W \mu)=\sum_{W} \Lambda_W( \beta_W \mu)$$ % wobei stets "uber alle $V\in \cal{E}$ und $W\in\cal{F}$ summiert % werden soll, und wir erkennen so, da"s $\Lambda(\mu)$ in der % Tat wohldefiniert ist. Da"s das so definierte $\Lambda$ eine % verallgemeinerte Funktion ist, scheint mir offensichtlich, und da"s es die % einzig m"ogliche lineare Abbildung mit den geforderten Eigenschaften ist, % desgleichen. % \end{proof} % \begin{Lemma}[\textbf{Verkleben von verallgemeinerten Funktionen}] % Ist $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und % $U\co X$ eine offene Teilmenge und $\cal{V}$ eine % "Uberdeckung von $U$ und\label{VkDi} ist % f"ur alle $V\in \cal{V}$ eine verallgemeinerten Funktion % $\Lambda_V\in \cal{C}^{-\infty}(V)$ % gegeben derart, da"s f"ur alle $V,W\in \cal{V}$ die beiden % verallgemeinerten Funktionen $\Lambda_V$ und $\Lambda_W$ % dieselbe Restriktion auf % $V\cap W$ haben, so gibt es genau eine verallgemeinerte Funktion % $\Lambda\in \cal{C}^{-\infty}(U) $, % deren Restriktion auf jedes $V\in \cal{V}$ mit der dort vorgegebenen % verallgemeinerten Funktion $\Lambda_V$ "ubereinstimmt. % \end{Lemma} % \begin{proof} % Gegeben $\mu\in\cal{D}_!^\infty(U)$ finden wir % eine "Uberdeckung des Tr"agers $K$ von $\mu$ durch eine endliche % Teilfamilie $\cal{E}\subset \cal{V}$ % und nach \ref{TEL} % eine an diese "Uberdeckung angepa"ste glatte Teilung der Eins % durch gewisse $\alpha_V$ f"ur $V\in \cal{E}$. % Nun w"urden wir gerne % $$\Lambda(\mu)=\sum_{V\in\cal{E}} \Lambda_V(\alpha_V \mu)$$ % setzen und m"ussen nur pr"ufen, da"s das wohldefiniert ist. % Ist aber $\cal{F}\subset \cal{V}$ eine weitere endliche % Teilfamilie, die $K$ "uberdeckt, und $\beta_W$ f"ur $W\in \cal{F}$ % eine daran angepa"ste glatte Teilung der Eins, so folgt aus unseren Annahmen % $$\Lambda(\mu)=\sum_{V,W} \Lambda_V(\alpha_V \beta_W \mu) % =\sum_{V,W} \Lambda_W(\alpha_V \beta_W \mu)=\sum_{W} \Lambda_W( \beta_W \mu)$$ % wobei stets "uber alle $V\in \cal{E}$ und $W\in\cal{F}$ summiert % werden soll, und wir erkennen so, da"s $\Lambda(\mu)$ in der % Tat wohldefiniert ist. Da"s das so definierte $\Lambda$ eine % verallgemeinerte Funktion ist, scheint mir offensichtlich, und da"s es die % einzig m"ogliche lineare Abbildung mit den geforderten Eigenschaften ist, % desgleichen. % \end{proof} % \begin{Definition} % Gegeben eine offene Teilmenge $U \co \Bbb{R}^n$ % erkl"art man eine % {\bf Distribution auf}\index{Distribution!als verallgemeinerte Funktion} % $U$ als eine % Linearform $\Lambda:\mathcal{C}^\infty_! (U) \ra \DC$ mit der Eigenschaft, % da"s jeder Punkt $x\in U$ eine offene Umgebung $V\co U$ besitzt, f"ur % die die Restriktion von $\Lambda$ auf $\mathcal{C}^\infty_! (V)$ % als Element des algebraischen Dualraums % $D(V)$ % durch endlich viele % partielle Ableitungen im Sinne von % \ref{AblD} aus dem Bild einer stetigen Funktion auf $V$ % unter unserer Einbettung aus \ref{AblD} entsteht. % Die Menge aller Distributionen auf $U$ notieren wir % $$\cal{D}(U)$$ % \end{Definition} % \begin{Bemerkunge} % Ich sollte stetige Dichten $\mathcal D$ notieren und % Distributionen $\mathcal D^{-\infty}$, und analog % stetige Funktionen $\mathcal C$ und % verallgemeinerte Funktionen $\mathcal C^{-\infty}$. % \end{Bemerkunge} \begin{Proposition}[\textbf{Borelma"se sind Distributionen}] Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$ und eine offene Teilmenge $U\co X$\label{LiFD} ist f"ur jedes Borelma"s $\mu$ auf $U$ die Abbildung $\mathcal C_!^\infty (U) \rightarrow \mathbb C$, $f \mapsto \int f\mu$ eine Distribution. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Diese Proposition w"are offensichtlich, wenn wir Distributionen durch Stetigkeitseigenschaften eingef"uhrt h"atten. Da wir jedoch Distributionen als formale Ableitungen stetiger Funktionen erkl"art haben, mu"s an dieser Stelle einiges bewiesen werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Nach \ref{BOMA} liefern verschiedene Borelma"se auch verschiedene Distributionen, so da"s wir im Lichte der Proposition Borelma"se als spezielle Distributionen auffassen d"urfen. Als "Ubung m"ogen Sie zeigen, da"s das auch noch gilt, wenn man komplexe Ma"se mitbetrachtet: Zwei Elemente von $\op{M}(U)\cup \op{M} (U; [0,\infty])$ \nichtfinal{(Sonst notiert $\op{M}$ doch beliebige Ma"se, nicht Borelma"se? Sortieren!} definieren genau dann dieselbe Distribution, wenn sie als Abbildung von der $\sigma$-Algebra der Borelmengen nach $\mathbb C \amalg \{\infty\}$ "ubereinstimmen. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel} Den Raum aller Borelma"se auf $U$ k"onnen wir nach \ref{LiFD} in den Raum der Distributionen auf $U$ einbetten, indem wir jedem Ma"s das \glqq Integrieren nach besagtem Ma"s\grqq\ zuordnen. Signierte beziehungsweise komplexe Ma"se entsprechen dann reellen beziehungsweise komplexen Linearkombinationen endlicher Borelma"se im Raum der Distributionen. Ebenso nat"urlich scheint es mir jedoch, Linearkombinationen beliebiger Borelma"se zu betrachten, die als Distributionen durchaus wohldefiniert sind und anschaulich etwa als Ladungsverteilungen gedacht werden k"onnen, die man jedoch nicht mehr als Abbildungen vom System der Borelmengen nach $\DC$ interpretieren kann. Diese Distributionen hei"sen auch {\bf Radonma"se} oder genauer {\bf signierte Radonma"se}\index{Radonma"s!signiertes, als Distribution} auf $U$ und k"onnen im Raum aller Distributionen auf $U$ dadurch charakterisiert werden, da"s sie sich auf den Raum $\cal{C}_!(U)$ aller stetigen komplexwertigen Funktionen mit kompaktem Tr"ager auf $U$ so fortsetzen lassen, da"s f"ur jedes kompakte $K\subset U$ die Einschr"ankung auf $\cal{C}_K(U)$ stetig ist f"ur die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz. \end{Beispiel} \begin{proof} Wir beginnen mit dem Fall der reellen Zahlengeraden $U =\mathbb R$. Nach \ref{VerTn} k"onnen wir jedes Borelma"s $\mu$ auf $\mathbb R$ darstellen als $\mu = \op{dg}$ mit $g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ monoton wachsend und linksseitig stetig. Nach \ref{piVV} gilt f"ur jedes $f \in \mathcal C^\infty_! (\mathbb R)$ dann \begin{equation*} \int_{\mathbb R} f \mu = \int_{\mathbb R} f \op{dg} = - \int_{\mathbb R} f^\prime g \lambda = \int_{\mathbb R} f^{\prime\prime} G \lambda \end{equation*} f"ur $\lambda$ das Lebesgue-Ma"s und $G$ eine \glqq Stammfunktion\grqq\ von $g$ gegeben durch $G (x) = \int^x_0 g(t) \diff t$. Im wesentlichen geht also $\mu$ durch zweimaliges formales Ableiten aus der stetigen Funktion $G$ hervor. Als n"achstes besprechen wir den Fall $U =\mathbb R$ und schieben dazu einige Zwischen"uberlegungen ein. \end{proof} \begin{Beispiel} Unsere Fouriertransformation \ref{teDEN} induziert einen Isomorphismus zwischen dem Raum der temperierten alias beliebigen Distributionen auf der Kreisgruppe $S^1$ und dem Raum aller Abbildungen $\DZ\ra\DC$ von h"ochstens polynomialem Wachstum. \end{Beispiel} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildMUS}\\[4mm] \noindent Das Bilden einer \glqq partiellen Stammfunktion\grqq\ $\tilde \mu$ eines Ma"ses $\mu$. Wir haben $\tilde \mu(A)=(\lambda\boxtimes \mu)(B)$ f"ur $B$ den kreuzweise schraffierten Bereich. \end{Bild} \begin{Lemma}[\textbf{Partielles Integrieren von Ma"sen}] Sei $\mu$ ein Borelma"s auf $\mathbb R^n$, bei dem die ganze Masse im positiven Quadranten $(\mathbb R_{\geq 0})^n$ konzentriert ist.\label{PIM} Sei $D \subset \mathbb R \times \mathbb R^n$ die \glqq Halbebene unter der Diagonalen\grqq\ \begin{equation*} D \pdef \{ (t, x_1, \ldots, x_n) \mid t \geq x_1 \} \end{equation*} und $\tilde \mu \pdef p_\ast ([D](\lambda \boxtimes\mu))$ das Bildma"s unter der Projektion auf $(t, x_2, \ldots, x_n) $ des Produktma"ses von $\mu$ mit dem Lebesguema"s $\lambda$, multipliziert mit der charakteristischen Funktion von $D$. So ist auch $\tilde{\mu}$ ein Borelma"s auf $\mathbb R^n$, bei dem die ganze Masse im positiven Quadranten $(\mathbb R_{\geq 0})^n$ konzentriert ist. Des weiteren gilt $$\partial_1^\top \tilde{\mu} = -\mu$$ im algebraischen Dualraum $D^+ (\mathbb R^n)$ des Raums der Testfunktionen, und f"ur die Verteilungsfunktionen gilt $V_{\tilde{\mu}}(x_1, \ldots, x_n) =\int_0^{x_{1}} V_\mu (t, x_2, \ldots , x_n) \diff t $. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Wir m"ussen uns hier auf Ma"se beschr"anken, bei denen die Masse im positiven Quadranten konzentriert ist, da uns sonst das partielle Integrieren aus dem Bereich der Distributionen hinausf"uhrt, die durch Ma"se darstellbar sind. So w"are etwa das Integral des Lebesguema"ses $\lambda$ auf $\DR$ die Dichte $x\lambda=x\diff x$, die nicht mehr als Ma"s, selbst nicht als signiertes Ma"s, dargestellt werden kann. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir m"ussen f"ur jede Testfunktion $\varphi\in \cal C^\infty_!(\DR^n)$ zeigen \begin{equation*} \int \varphi \mu = \int (\partial_1\varphi) \tilde \mu \end{equation*} % Verschieben von $\mu$ um Vielfache des ersten Vektors der % Standardbasis "andert $\tilde \mu$ nur um eine Konstante, deshalb % d"urfen wir annehmen, da"s der Tr"ager von $\varphi$ ganz oberhalb der ersten % Koordinatenhyperebene liegt. % Dasselbe gilt dann f"ur $\psi \pdef \partial_1 \varphi$ und wir haben F"ur $\psi \pdef \partial_1 \varphi$ haben wir jedoch in der Tat \begin{eqnarray*} \int \varphi (x) \mu \langle x \rangle &= & -\int \left(\int^{\infty}_{x_{1}} \psi (t, x_2, \ldots , x_n) \lambda \langle t \rangle \right) \mu \langle x \rangle\\ &=& -\int_{\mathbb R \times \mathbb R^n} \psi (t, x_2, \ldots, x_n) D (t, x_1, \ldots, x_n)(\lambda\boxtimes\mu)\langle t,x\rangle\\ &=& -\int_{\mathbb R^n} \psi (t, x_2, \ldots , x_n) \;\tilde \mu \langle t, x_2, \ldots, x_n\rangle \end{eqnarray*} Was die Verteilungsfunktionen angeht, so folgt die Behauptung m"uhelos mit Fubini. \end{proof} \begin{proof}[Fortsetzung des Beweises von \ref{LiFD}] Ist in den Notationen unseres Lemmas \ref{PIM} die Verteilungsfunktion $V_\mu$ partiell stetig in einigen der Variablen $x_i$, so ist die Verteilungsfunktion $V_{\tilde \mu}$ partiell stetig in denselben Variablen und zus"atzlich in der Variablen $x_1$. Man folgert das unschwer aus dem Satz "uber dominierte Konvergenz. Nun sind aber Funktionen $\DR^n\ra\DR$, die in jeder Variablen stetig und monoton wachsend sind, notwendig bereits stetig. Wir k"onnen folglich jedes Borelma"s $\mu$ auf dem $\DR^n$ mit im positiven Quadranten konzentrierter Gesamtmasse schreiben als $$\mu=\pm\partial_1^\top\ldots \partial_n^\top \nu$$ f"ur ein Borelma"s $\nu$ mit stetiger Verteilungsfunktion. Wenden wir ein weiteres Mal Lemma \ref{PIM} an und beachten \eref{dFfAxx}{AN3}, so erkennen wir, da"s wir sogar schreiben k"onnen $$\mu=\partial_1^\top\ldots \partial_n^\top\partial_1^\top\ldots \partial_n^\top (G\diff^n x)$$ f"ur $\diff^n x$ das Lebesguema"s und $G:\DR^n\ra\DR$ eine stetige reellwertige Funktion. Die F"alle, da"s die Masse von $\mu$ nicht notwendig im positiven Quadanten konzentriert ist, und da"s $U$ ein beliebiger endlichdimensionaler reeller Raum ist, oder sogar eine offene Teilmenge desselben, erreicht man von hier aus ohne weitere Schwierigkeiten. \end{proof} % \begin{Bemerkungl} % Gegeben $U \co \Bbb{R}^n$ offen und $V\co U$ offen induziert unsere % Restriktion von Linearformen $D(U)\ra D(V)$ sicher eine % {\bf Restriktion von Distributionen} % $$\cal{D}(U)\ra \cal{D}(V)$$ % Ebenso induzieren unsere partiellen Ableitungen $\partial_i:D(U)\ra D(U)$ % aus \ref{AblD} offensichtlich mit den Restriktionen vertr"agliche % {\bf partielle Ableitungen} % $$\partial_i:\cal{D}(U)\ra \cal{D}(U)$$ % \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Das Multiplizieren mit einer glatten Funktion $f\in \cal{C}^\infty(U)$ % liefert eine lineare Abbildung von $\mathcal{C}^\infty_! (U)$ in sich selber. % Ihre Transponierte $D(U)\ra D(U)$ macht Distributionen % zu Distributionen und induziert so eine Abbildung % $$(f\cdot):\cal{D}(U)\ra \cal{D}(U)$$ % Man pr"uft leicht, das diese Operation mit Restriktionen vertr"aglich ist % und da"s die Produktregel $\partial_i(f\Lambda)=(\partial_i f)\Lambda+ % f(\partial_i\Lambda)$ gilt. Es ist jedoch im allgemeinen nicht sinnvoll, % Distributionen mit Funktionen zu multiplizieren, die nicht glatt sind. % \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DTScc} F"ur $U \co \Bbb{R}^n$ offen und $d\geq 0$ betrachte man auf dem Raum $\mathcal{C}^\infty_! (U)$ die Norm \begin{displaymath} p_{\leq d} (f) \pdef \sup_{x\in U,\;|\alpha|\leq d} |(\partial^\alpha f)(x)| \end{displaymath} wo das Supremum wie angedeutet "uber alle Punkte $x\in U$ und alle Multiindizes $\alpha \in \Bbb{N}^n$ mit $|\alpha|\leq d$ zu bilden ist. In Worten mag man das die \glqq Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz der partiellen Ableitungen bis zur Ordnung $d$\grqq\ nennen. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Distributionen als stetige Linearformen}] Die Distributionen auf einer offenen Teilmenge $U \co \Bbb{R}^n$ sind genau alle Linearformen\label{CdS} \begin{displaymath} \Lambda : \mathcal{C}^\infty_! (U) \rightarrow \Bbb{C} \end{displaymath} mit der Eigenschaft, da"s f"ur jedes Kompaktum $K \subset U$ ihre Einschr"ankung auf $ \mathcal{C}^\infty_K (U)$ stetig ist in Bezug auf die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz der partiellen Ableitungen bis zu einer geeigneten Ordnung $d=d_K$, die ihrerseits von $K$ abh"angen darf. \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Man kann diese Charakterisierung wie folgt umformulieren: Betrachtet man f"ur $U \co \Bbb{R}^n$ offen und $K\subset U$ kompakt auf dem Raum $\mathcal{C}^\infty_K (U)$ der glatten Funktionen auf $U$ mit Tr"ager in $K$ die Initialtopologie zur Familie aller Normen $p_{\leq d}$, so da"s also der Umgebungsfilter des Ursprungs von den $p^{-1}_{\leq d} (-\varepsilon,\varepsilon)$ f"ur $d \in \Bbb{N}$ und $\varepsilon > 0$ erzeugt wird, so sind unsere Distributionen genau alle Linearformen $\Lambda : \mathcal{C}^\infty_! (U) \rightarrow \Bbb{C}$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur jedes Kompaktum $K \subset U$ ihre Einschr"ankung auf $\mathcal{C}^\infty_K (U)$ stetig ist f"ur besagte Initialtopologie. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Distributionen als Dualraum}] Man kann diese Charakterisierung auch noch weiter umformulieren wie folgt.\label{KFTv} Betrachtet man auf $\mathcal{C}^\infty_!(U)$ alle Halbnormen, deren Restriktionen auf alle $\mathcal{C}^\infty_K (U)$ stetig sind, und versieht dann $\mathcal{C}^\infty_! (U)$ mit der von diesen Halbnormen erzeugten Struktur eines topologischen Vektorraums, so kann man den Raum der Distributionen auf $U$ beschreiben als den Raum aller in Bezug auf diese Topologie stetigen Linearformen auf $\mathcal{C}^\infty_! (U)$. In \ref{flokS} besprechen wir, da"s das gerade der Kolimes der $\mathcal{C}^\infty_K (U)$ in der Kategorie der lokalkonvexen komplexen topologischen Vektorr"aume ist. Gegeben eine bez"uglich dieser Topologie konvergente Folge gibt es stets ein Kompaktum $K$ derart, da"s alle Folgenglieder Tr"ager in $K$ haben. In der Tat reicht es, das f"ur Nullfolgen zu zeigen. Wir finden eine Folge von Kompakta $K_n$ mit $K_n\subset K_{n+1}^\circ$ und $U=\bigcup_{n\in\DN}K_n$. W"are nun $f_n$ eine Nullfolge, die obige Bedingung verletzt, so k"onnten wir durch "Ubergang zu Teilfolgen $x_n\in K_{n+1}^\circ\backslash K_n$ finden mit $f_n(x_n)\neq 0$. Dann f"anden wir eine stetige Funktion $\varphi:U\ra \DR$ mit $|\varphi(x_n)f(x_n)|\geq 1$ f"ur alle $n$ und dann w"are $f\mapsto \|\varphi f\|_\infty$ eine Halbnorm auf $\mathcal C_!(U)$, deren Restriktionen auf alle $\mathcal C_K(U)$ stetig ist und in der die Normen der Glieder unserer Folge $f_n$ nicht nach Null streben. Mehr dazu findet man zum Beispiel in \cite{Werner}. \end{Bemerkunge} % \begin{Satz}[\textbf{Charakterisierung von Distributionen}] % Die Distributionen auf $U \co \Bbb{R}^n$ sind genau die % Linearformen % \begin{displaymath} % \Lambda : \mathcal{C}^\infty_! (U) \rightarrow \Bbb{C} % \end{displaymath} % mit der Eigenschaft, da"s f"ur jedes Kompaktum $K \subset U$ ihre % Einschr"ankung auf $\mathcal{C}^\infty_K (U)$ stetig ist f"ur die % in \ref{DTSt} erkl"arte Topologie % auf $\mathcal{C}^\infty_K (U)$. % \end{Satz} % \begin{Definition}\label{DTSt} % Sei $U \co \Bbb{R}^n$ offen. Gegeben $K \subset U$ % kompakt versehe man den Raum $\mathcal{C}^\infty_K (U)$ % aller glatten komplexwertigen Funktionen % auf $U$ mit Tr"ager % in $K$ mit der von den Halbnormen % \begin{displaymath} % p_\alpha (f) = \sup_{x \in U} |(\partial^\alpha f)(x)| % \end{displaymath} % f"ur $\alpha \in \Bbb{N}^n$ definierten Struktur eines topologischen % Vektorraums. % Der Umgebungsfilter % des Ursprungs f"ur diese Topologie wird also per definitionem % von den $p^{-1}_\alpha (-\varepsilon,\varepsilon)$ % f"ur $\alpha \in \Bbb{N}^n$ und $\varepsilon > 0$ erzeugt. % \end{Definition} \begin{proof} Der Nachweis, da"s alle unsere Distributionen die geforderte Stetigkeitseigenschaft haben, ist nicht schwer und bleibe dem Leser "uberlassen. Habe nun umgekehrt eine Linearform $\Lambda : \mathcal C_!^\infty (U) \rightarrow \mathbb C$ die geforderte Stetigkeitseigenschaft. Gegeben $x \in U$ gibt es sicher einen kompakten Quader $Q \subset U$, der eine Umgebung von $x$ ist. Nach Annahme finden wir $\varepsilon > 0$ und $N \leq 0$ derart, da"s f"ur $f \in \mathcal C^\infty_Q (U)$ aus \begin{equation*} |(\partial_\alpha f) (x) | < \varepsilon \quad \forall x \in U,\; \forall \alpha \in [0,N]^n \end{equation*} folgt $|\Lambda (f) | < 1$. Nat"urlich h"angt $\mathcal C^\infty_Q (U)$ nicht von $U$ ab, wir d"urfen unsere Notation deshalb zu $\mathcal C^\infty_Q$ vereinfachen und uns diese Funktionen durch Null auf ganz $\DR^n$ fortgesetzt denken. Wir notieren nun f"ur $\gamma \in \mathbb N^n$ mit $\|\;\|_{\leq \gamma}$ die Norm $\| f \|_\gamma =\sup_{\alpha \leq \gamma} \| \partial_\alpha f \|_\infty$ auf diesem Raum. Ich behaupte, da"s f"ur $\gamma_i>0$ das partielle Ableiten $$\partial_i: (\mathcal C^\infty _Q,\|\;\|_{\leq \gamma})\ra (\mathcal C^\infty _Q,\|\;\|_{\leq \gamma-\op{e}_i})$$ einen in Bezug auf die angedeuteten Normen stetigen Isomorphismus auf sein Bild liefert. Hier scheint mir die Stetigkeit ebenso wie die Injektivit"at offensichtlich, und die Stetigkeit der Umkehrabbildung auf besagtem Bild folgt daraus, da"s kleine Funktionen auch nur kleine Integrale haben. Wir k"onnen diese Umkehrabbildung stetig auf ganz $(\mathcal C^\infty _Q,\|\;\|_{\leq \gamma-\op{e}_i})$ ausdehnen, indem wir irgendeine glatte Funktion $h$ auf $\DR$ mit Tr"ager in der $i$-ten Kante $Q_i$ unseres Quaders und Integral Eins nehmen und die Projektion $f\mapsto Pf$ von $\mathcal C^\infty _Q$ auf das Bild von $\partial_i$ vorschalten, die gegeben wird durch $$(Pf)(x_1,\ldots,x_n) \pdef f(x_1,\ldots,x_n)- \left(\int_{-\infty}^\infty f(x_1,\ldots,x_n)\diff x_i\right)h(x_i)$$ So finden wir zu $\Lambda$ erst eine stetige Linearform $\tilde\Lambda: (\mathcal C^\infty _Q,\|\;\|_{\leq \gamma-\op{e}_i})\ra\DC$ mit $\Lambda(f)=\tilde\Lambda(\partial_i f)$ f"ur alle $f\in \mathcal C^\infty _Q$ und dann induktiv eine in Bezug auf die gew"ohnliche Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz stetige Linearform $R: (\mathcal C_Q^\infty,\|\;\|_\infty) \rightarrow \mathbb C$ mit $\Lambda = R \partial^N_1 \ldots \partial^N_n$ auf $\mathcal C^\infty_Q$. Bezeichnet $B=Q^\circ $ das Innere unseres Quaders, so kann die Restriktion von $R$ auf $\mathcal C_!^\infty (B)$ auf genau eine Weise zu einer Linearform auf $\mathcal C_! (B)$ ausgedehnt werden, die auf allen $\mathcal C_K (B)$ f"ur $K\subset B$ kompakt stetig ist. Nach dem Riesz'schen Darstellungssatz \eref{RiDan}{AN3} in Verbindung mit "Ubung \eref{SRmA}{AN3} wird folglich $R$ durch eine Linearkombination von Integralen gegen Borelma"se beschrieben. Da"s diese Linearformen Distributionen sind, wissen wir jedoch bereits aus Lemma \ref{LiFD}. \end{proof} % \begin{proof} ALT! % Der Nachweis, da"s alle unsere Distributionen die geforderte % Stetigkeitseigenschaft % haben, ist nicht schwer und kann dem Leser "uberlassen werden. % Habe nun umgekehrt eine Linearform $\Lambda : \mathcal C_!^\infty (U) % \rightarrow \mathbb C$ die geforderte Stetigkeitseigenschaft. % Gegeben $x \in U$ gibt es sicher einen kompakten Quader $K \subset U$, der eine Umgebung von % $x$ ist. Nach Annahme finden wir $\varepsilon > 0$ und $N \leq 0$ derart, da"s f"ur % $f \in \mathcal C^\infty_K (U)$ aus % \begin{equation*} % |(\partial_\alpha f) (x) | < \varepsilon \quad \forall x \in U,\; \forall \alpha \in % [0,N]^n % \end{equation*} % folgt $|\Lambda (f) | < 1$. % Notieren wir f"ur $\gamma \in \mathbb N^n$ mit $\mathcal C^\gamma_K (U)$ den Raum aller % Funktionen $f \in \mathcal C_K (U)$, f"ur die die partiellen Ableitungen $\partial_\alpha % f$ existieren und stetig sind wann immer gilt $\alpha \leq \gamma$, und versehen ihn mit der % Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz aller dieser Ableitungen, $\| f \|_\gamma =\sup_{\alpha \leq \gamma} % \| \partial_\alpha f \|_\infty$, % so l"a"st sich $\Lambda$ f"ur $\gamma = (N, \ldots, N)$ % stetig zu einer linearen Abbildung % \begin{equation*} % \Lambda : \mathcal C^\gamma_K (U) \rightarrow \mathbb C % \end{equation*} % fortsetzen. \emph{Hier mu"s noch gearbeitet werden!} % Nun ist das partielle Ableiten nach der $i$-ten % Variablen f"ur beliebiges $\gamma$ % eine stetige Abbildung % %\begin{equation*} % \begin{displaymath} % \begin{array}{ccl} % \partial_i : \mathcal C_K^{\gamma +\op{e}_{i}} (U)& \rightarrow &\mathcal C^\gamma_K (U)% \\[2ex] % % \curvearrowright\partial f < /& & \begin{array}[t]{ccl} % % \partial_x f & < & \epsilon\\ & \Rightarrow & f < K\epsilon % \end{array} % %\end{equation*} % %\end{array} % \end{displaymath} % und wir haben % \begin{equation*} % \|f\| \geq \| \partial_i f \| \leq \op{max} ( \|\partial_i f\|, e^{-1} \|f\|) % \end{equation*} % f"ur $e$ das Minimum der Kantenl"angen von $K$, da eben Funktionen mit kleiner % Ableitung mit Tr"ager in einem kleinen Intervall auch nur kleine Werte % annehmen k"onnen. % Unsere Abbildung ist also nicht nur stetig, sondern sogar eine % topologische Immersion. % Damit k"onnen wir den Fortsetzungssatz von Hahn-Banach anwenden und finden % $R: \mathcal C_K (U) \rightarrow \mathbb C$ stetig mit $\Lambda = R \partial^N_1 \ldots % \partial^N_n$ auf $\mathcal C^\gamma_K (U)$ f"ur $\gamma = (N, \ldots, N)$. % Bezeichnet $Q = K^0$ das Innere unseres Quaders, so wird die Restriktion von $R$ % auf $\mathcal C_! (Q)$ nach dem Riesz'schen Darstellungssatz \ref{RiDan} in Verbindung % mit "Ubung \ref{SRmA} durch eine Linearkombination von Integralen gegen % Borelma"se beschrieben. % Da"s diese Linearformen Distributionen sind, wissen wir jedoch bereits aus Lemma \ref{LiFD}. % \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern \eref{AUPP}{AN3}. Gegeben ein Ring $k$ und Mengen $X,Y$ und Abbildungen $f:X\ra k$ und $g:Y\ra k$ notieren wir $f\boxtimes g$\index{)xbox@$\boxtimes$ "au"seres Produkt!von Funktionen} die Funktion $X\times Y\ra k$ gegeben durch $(x,y)\mapsto f(x)g(y)$. Wir nennen $f\boxtimes g$ das {\bf "au"sere Produkt}\index{"au"seres Produkt!von Funktionen} der Funktionen $f$ und $g$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{"Au"seres Produkt von Distributionen}] Gegeben offene Teilmengen $U\co\DR^n$, $V\co\DR^m$ sowie Distributionen $\Lambda\in\cal{D}^{-\infty}(U)$, $\Gamma\in \cal{D}^{-\infty}(V)$ gibt es genau eine Distribution\label{EPDi} $$\Lambda\boxtimes \Gamma\in\cal{D}^{-\infty}(U\times V)$$ mit der Eigenschaft $f\boxtimes g\mapsto \Lambda(f) \Gamma(g)$ f"ur alle $f\in\cal{C}_!^\infty(U), $ $ g\in\cal{C}_!^\infty(V)$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die analoge Aussage f"ur die vollen algebraischen Dualr"aume der R"aume von glatten Funktionen mit kompaktem Tr"ager gilt in keinster Weise. Das scheint mir ein wesentlicher Grund daf"ur zu sein, da"s es sinnvoll ist, im vollen Dualraum den Teilraum der Distributionen auszuzeichnen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir zeigen zun"achst die Existenz. Nach unseren Erkenntnissen \ref{VkDi} zum Verkleben von Distributionen und den Definitionen d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $\Lambda$ und $\Gamma$ durch endlich viele partielle Ableitungen aus stetigen Funktionen entstehen, etwa $\Lambda = \partial_x^\alpha \lambda$ und $\Gamma =\partial^\beta_y \gamma$ mit $ \lambda =\lambda (x_1, \ldots, x_n) \in \mathcal{C} (U)$, $ \alpha \in \mathbb{N}^n $ und $ \gamma= \gamma (y_1, \ldots, y_m) \in \mathcal{C} (V)$, $ \beta \in \mathbb{N}^m. $ %\begin{displaymath} %\begin{array}{lcl} %\lambda& =&\lambda (x_1, \ldots, x_n) \in \mathcal{C} (U), \alpha \in \mathbb{N}^n %\text{ und }\\ %\gamma& =& \gamma (y_1, \ldots, y_m) \in \mathcal{C} (V), \beta \in \mathcal{N}^m. %\end{array} %\end{displaymath} Dann ist $\partial^\alpha_x \partial_y^\beta (\lambda \boxtimes \gamma)$ schon mal eine Distribution auf $U \times V$ mit der geforderten Eigenschaft und es bleibt nur, die Eindeutigkeit zu zeigen. Seien also $S, T\in \mathcal D^{-\infty} (U\times V)$ zwei Distributionen mit der entsprechenden Eigenschaft. Seien $A\subset U$ und $B\subset V$ kompakte Quader. Es reicht zu zeigen, da"s $S$ und $T$ auf dem Inneren $A^\circ\times B^\circ$ des Produkts unserer Quader "ubereinstimmen. Unsere beiden Distributionen sind per definitionem stetig auf $\mathcal C^\infty_{A\times B}\pdef \mathcal C^\infty_{A\times B}(U\times V)$ in Bezug auf die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz partieller Ableitungen bis zu einer gewissen Ordnung. Man beachte nun, da"s unsere stetigen Projektionen $P$ von $\mathcal C^\infty_{A\times B}$ auf das Bild von $\partial_i$ aus dem Beweis der Charakterisierung durch Stetigkeitseigenschaften \ref{CdS} externe Produkte glatter Funktionen auf externe Produkte glatter Funktionen abbilden. Wir finden mit den Methoden des dortigen Beweises also stetige Linearformen $\tilde S$ und $ \tilde T$ auf $\mathcal C^\infty_{A\times B}$ mit seiner Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz, die auf externen Produkten glatter Funktionen "ubereinstimmen und unter ein- und derselben Folge von partiellen Ableitungen $S$ und $T$ liefern. Es reicht also, wenn wir $\tilde S= \tilde T$ zeigen. Nach dem Satz von Stone und Weierstra"s \eref{SWC}{AN2} liegt der von allen externen Produkten glatter Funktionen erzeugte Untervektorraum unseres Funktionenraums jedoch dicht im Raum $\mathcal C_{A\times B}(\DR^{n+m})$ mit seiner Supremumsnorm: Man zeigt das, indem man den Rand unseres Quadrats $A\times B$ zu einem Punkt identifiziert und auf diesem Identifizierungsraum den Satz von Stone-Weierstra"s anwendet. Es folgt erst $\tilde S= \tilde T$ als Linearformen auf $\mathcal C_!(A^\circ\times B^\circ)$ und dann $\tilde S= \tilde T$ als Distributionen auf $A^\circ\times B^\circ$. % Nach unseren Erkenntnissen zum Verkleben von % Distributionen d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen % $\Theta = \partial^\alpha_x \partial^\beta_y \vartheta$ und $T = \partial^\alpha_x % \partial^\beta_y t$ mit $\alpha \in \mathbb{N}^n, \beta \in \mathbb{N}^m$ % und $\vartheta, t \in \mathcal{C} (U\times V)$. % Wir wissen also, da"s die % Funktionen $t$ und $\vartheta$ dasselbe Resultat liefern beim % Integrieren gegen $\partial^\alpha f \boxtimes \partial^\beta g$ % f"ur alle $f \in \mathcal C^\infty_! (U)$ und $g \in \mathcal C^\infty_! (V)$. % \emph{Beweis der Eindeutigkeit noch nicht fertig.} \end{proof} \begin{Bemerkung} Man versieht den Raum der Distributionen mit der Initialtopologie zur Familie aller Auswertungen an glatten Funktionen mit kompaktem Tr"ager. Er wird dadurch offensichtlich zu einem lokal konvexen Hausdorffraum. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Gegeben ein komplexer Vektorraum $V$ und ein Teilraum $F\subset V^\ast$ seines Dualraums macht die Initialtopologie zur gegebenen Familie $F$ von Abbildungen $V\ra\DC$ unseren Vektorraum $V$ zu einem topologischen Vektorraum. Trennt $F$ die Punkte von $V$, so ist diese Initialtopologie Hausdorff und f"ur die Konvergenz von Folgen in $V$ gilt $$\lim v_n=v\quad\IFF\quad \lim f(v_n)=f(v)\;\;\forall f\in F$$ \end{Bemerkung} \begin{Lemma} Eine Distribution auf einer offenen Teilmenge eines $\mathbb{R}^n$, deren s"amtliche partiellen Ableitungen verschwinden, ist eine lokal konstante Funktion. \end{Lemma} \begin{proof} Ist $U \co \mathbb R^n$ eine nichtleere konvexe Teilmenge, so liefert eine Variante des Poincar\'e-Lemmas die Exaktheit der Sequenz \begin{equation*} \bigoplus^n_{i =1} \mathcal C_!^\infty (U) \overset{(\partial_1, \ldots ,\partial_n)}{\longrightarrow} \mathcal C_!^\infty (U) \overset{\int}{\rightarrow} \mathbb R \qedhere\end{equation*} \end{proof} \begin{Definition} Seien $U\co\DR^n$ eine offene Teilmenge und $\Lambda \in \mathcal D (U)$ eine Distribution. Sicher ist die Menge $V$ aller $x \in U$ derart, da"s $\Lambda$ auf einer offenen Umgebung von $x$ verschwindet, eine offene Teilmenge $V \co U$, und nach \ref{VkDi} erhalten wir so die gr"o"ste offene Teilmenge $V \co U$, auf der unsere Distribution verschwindet. Ihr Komplement $A \As U$ hei"st der {\bf Tr"ager der Distribution}\index{Tr"ager!einer Distribution} $\Lambda$ und wird notiert\index{supp@$\op{supp}$ Tr"ager einer Distribution} \begin{equation*} A = \op{supp} \Lambda \end{equation*} \end{Definition} \begin{Definition} Die Menge der Distributionen mit kompaktem Tr"ager auf einer offenen Teilmenge $U \co \mathbb R^n$ notieren wir \begin{equation*} \mathcal D_! (U) \subset \mathcal D (U) \end{equation*} Durch Verkleben mit der Null auf dem Komplement des Tr"agers erhalten wir f"ur jede gr"o"sere offene Teilmenge $V\co\DR^n$ mit $U\subset V$ die \defind{Fortsetzung durch Null} $\mathcal D_! (U) \rightarrow \mathcal D_! ( V)$. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Gegeben $U\co\DR^n$ und $f\in \mathcal C^\infty (U)$ und $\Lambda\in \mathcal D (U)$ k"onnen wir auch dann noch $\Lambda$ sinnvoll auf $f$ auswerten, wenn nur die Schnitte der jeweiligen Tr"ager kompakt sind. In der Tat folgt f"ur $h\in \mathcal C^\infty_! (U)$ aus $\op{supp}\Lambda\cap \op{supp}h=\emptyset$ sofort $\Lambda(h)=0$. F"ur jedes $f\in \mathcal C^\infty (U)$ wie oben existiert aber $f_!\in \mathcal C^\infty_! (U)$ mit $f_!=f$ auf dem Tr"ager von $\Lambda$. Da nun nach dem vorhergehenden $\Lambda(f_!)$ nicht von der Wahl von $f_!$ abh"angt, k"onnen und werden wir diese Zahl auch gleich mit $\Lambda(f)$ bezeichnen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Es w"are hier wichtig, Distributionen mit Tr"ager in einem Punkt zu besprechen. Im eindimensionalen Fall scheint das schnell erledigt: Distributionen mit Tr"ager in $0\in\DR$ m"ussen durch $n$-faches Ableiten aus einer stetigen Funktion enstehen, die auf $(-\infty,0)$ und auf $(0,\infty)$ jeweils durch ein Polynom vom Grad $}[r] &\mathcal{H}\ar[d]^{A}\\ \op{L}^2 (\Bbb{R};\mu') \ar@{^(->}[r]& \mathcal{H}' } \end{displaymath} \end{Proposition} \begin{proof} F"ur $f \in \mathcal{C}_c (\Bbb{R}) $ nichtnegativ haben wir $\left(\sqrt{f}(T')\right)A = A \left(\sqrt{f}(T)\right)$ nach \eref{kSO}{AN3} und dann \begin{equation*} \int f \mu' = \| \sqrt{f} (T') v'\|^2 \leq \| A \|^2 \|\sqrt{f} (T) v\|^2 = \|A\|^2 \int f \mu \end{equation*} Mit dem Riesz'schen Darstellungssatz folgt daraus $\mu' \leq \|A\|^2 \mu$, so da"s die Restriktion in der Tat eine stetige Abbildung zwischen den betroffenen $\op{L}^2$-R"aumen definiert. Wieder nach \eref{kSO}{AN3} kommutiert unser Diagramm, wenn wir die $\op{L}^2$-R"aume links durch $\mathcal{C}_c (\Bbb{R})$ ersetzen. Die Proposition folgt, da $\mathcal{C}_c (\Bbb{R})$ dicht liegt in $\op{L}^2 (\Bbb{R};\mu)$. \end{proof} \subsection{Sp"ater: Integrale nach teilraumwertigen Inhalten} \begin{Definition} Sei $(X,\cal{M})$ eine Menge mit einer Mengenalgebra $\cal{M}\subset\cal{P}(X)$ und $\cal{H}$ ein Hilbertraum. Ein auf $X$ definierter {\bf $\cal{H}$-teilraumwertiger Inhalt}\index{Inhalt!teilraumwertig} ist eine Abbildung, die jedem $M\in\cal{M}$ einen abgeschlossenen Teilraum $\Phi (M)\subset \cal{H}$ zuordnet derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item F"ur je zwei disjunkte Mengen $M, M'$ aus $\cal{M}$ sind die zugeh"origen Teilr"aume orthogonal, in Formeln $\Phi (M) \perp \Phi (M');$ \item F"ur jede endliche Familie $(M_\nu)_{\nu\in N}$ von paarweise disjunkten Mengen aus $\cal{M}$ mit Vereinigung $M$ ist das Erzeugnis der $\Phi (M_\nu)$ gerade $\Phi (M)$. \end{enumerate} Aus der zweiten Bedingung folgt "uber den Fall $N=\emptyset$ insbesondere $\Phi (\emptyset)=0$. Die orthogonale Projektion auf $\Phi (M)$ notieren wir kurzerhand auch $\Phi (M)$ und sprechen gleichbedeutend auch von einem {\bf projektorwertigen Inhalt}\index{Inhalt!projektorwertiger} $$\Phi:\cal{M}\ra\cal{B}(\cal{H})$$ Ist $(X,\cal{M})$ sogar ein Me"sraum, so nennen verstehen wir unter einem {\bf $\cal{H}$-teilraumwertigen Ma"s}\index{Ma"s!teilraumwertiges} oder gleichbedeutend einem {\bf projektorwertigen Ma"s}\index{Ma"s!projektorwertiges} einen Inhalt derart, da"s st"arker gilt \begin{enumerate} \item[2'.] F"ur jede abz"ahlbare Familie $(M_\nu)_{\nu\in N}$ von me"sbaren Mengen mit Vereinigung $M$ ist das Erzeugnis der $\Phi (M_\nu)$ ein dichter Teilraum von $\Phi (M)$. \end{enumerate} Ein teilraumwertiges Ma"s mit der zus"atzlichen Eigenschaft $\Phi(X)=\cal{H}$ nennen wir eine \defind{Teilung der Identit"at} {\bf von} $\cal{H}$. \end{Definition} \subsection{Unit"are Darstellungen von Geradengruppen} \begin{Lemma}\label{psM} Gegeben eine abz"ahlbare Familie $(\mu_i)_{i \in N} $ von paarweise singul"aren Ma"sen auf einem Me"sraum $X$ gibt es eine Familie $(X_i)_{i \in N}$ von paarweise disjunkten me"sbaren Teilmengen mit $\mu_i (X\backslash X_i)=0$ f"ur alle $i \in N$. \end{Lemma} \begin{Bemerkung} Anschaulich gesprochen k"onnte man als sagen, jedes Ma"s $\mu_i$ \glqq lebt nur auf $X_i$\grqq. \end{Bemerkung} \begin{proof} Nach Annahme gibt es f"ur jedes Paar $(i,j)$ mit $i \neq j$ eine Zerlegung $X = X^j_i \coprod X^i_j$ in me"sbare Teilmengen mit $\mu_i (X^i_j) =0=\mu_j (X^j_i)$. Es folgt $\mu_i (\bigcup_{j\neq i} X^i_j) =0$ und wir versuchen unser Gl"uck mit \begin{equation*} X_i \;=\; X \backslash \bigcup_{j\neq i} X^i_j\; =\; \bigcap_{j\neq i} X^j_i \end{equation*} In der Tat sind diese Mengen wegen $X_i^j \cap X^i_j =\emptyset$ paarweise disjunkt. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \eref{UDzy}{AN3}] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $ v \in \mathcal{H}$ ein zyklischer Vektor unserer Darstellung. Nach \ref{??} finden wir in $\mathcal{H}$ eine abz"ahlbare Familie von paarweise orthogonalen Unterdarstellungen $(\mathcal{H}_r)_{r \in N}$ die jeweils ganz aus differenzierbaren Vektoren bestehen und deren Summe dicht ist in $\mathcal{H}$. Sei $ v_r \in \mathcal{H}_r$ das Bild von unserem vorgegebenen zyklischen Vektor $ v \in \mathcal{H}$ unter der orthogonalen Projektion und $T_r \in \mathcal{B} (\mathcal{H}_r)$ der selbstadjungierte Operator, f"ur den $\op{i} T_r$ der infinitesimale Erzeuger der Operation auf $\mathcal{H}_r$ ist. Sei weiter $\mu_r$ das Spektralma"s von $ v_r$ f"ur $T_r$. Wir zeigen zun"achst, da"s diese Ma"se $\mu_r$ paarweise singul"ar sind. Dazu gehen wir aus vom Diagramm nach \ref{Ata} mit kanonischen Einbettungen und Restriktionen \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu_r)& \overset{\sim}{\rightarrow} &\mathcal{H}_r \\ \uparrow & & \uparrow \\ \op{L}^2(\Bbb{R};\mu_{rs})&\overset{\sim}{\rightarrow } & \mathcal{H}_r+\mathcal{H}_s \\ \downarrow & & \downarrow \\ \op{L}^2(\Bbb{R}; \mu_s) &\overset{\sim}{\rightarrow} & \mathcal{H}_s \end{array} \end{displaymath} Die kanonische Einbettungen sind hier alle Isomorphismen, da wir von einem zyklischen Vektor $v \in \mathcal{H}$ ausgegangen waren. Die Zerlegung $v_r + v_s$ entspricht nun in $\op{L}^2(\Bbb{R}; \mu_{rs})$ einer Zerlegung $1 = f_r + f_s$, und w"ahlen wir geeignete me"sbare Repr"asentanten, so gilt das punktweise auf ganz $\Bbb{R}$. Da $f_r$ in $\op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu_s)$ die Null liefert, verschwindet $\mu_s$ auf der Menge $B_r$ der Nichtnullstellen von $f_r$ und ebenso verschwindet $\mu_r$ auf der Menge $B_s$ der Nichtnullstellen von $f_s$. Wir haben also $\Bbb{R} = B_r \cap B_s$ mit $\mu_r (B_s) = 0 = \mu_s (B_r)$ und unsere Ma"se sind in der Tat zueinander singul"ar. Jetzt betrachten wir das Ma"s $\mu = \sum \mu_r$. Es ist endlich, da gilt $\mu_r (\Bbb{R}) = \| v_r\|^2 $ und $\sum \| v_r\|^2 = \|v\|^2 < \infty$. W"ahlen wir me"sbare $X_r \subset \Bbb{R}$ wie in \ref{psM}, so wird die Abbildung \begin{equation*} \bigoplus_{r \in N} \op{L}^2 (X_r; \mu_r) \rightarrow \bigoplus_{r \in N} \mathcal{H}_r \end{equation*} eine unit"are Einbettung von Pr"ahilbertr"aumen, unter der $(e^{itx}.)$ gerade $\rho (t)$ entspricht und unter der $[X_r]$ nach $v_r$ geht. Durch stetige Fortsetzung erhalten wir dann eine unit"are Einbettung \begin{equation*} \varphi : \op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu) \hra \mathcal{H} \end{equation*} mit den gew"unschten Eigenschaften. Das zeigt die Existenz. \end{proof} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXUFA" %%% End: