\section{Funktionenr"aume und Fourierreihen} \subsection{Lebesgueintegral vektorwertiger Funktionen} \begin{Bemerkungl}\label{IVf} Sei $(X,\cal{M}, \mu)$ ein Ma"sraum und $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Eine Abbildung $f:X\ra V$ hei"st \defnoind{integrierbar},\index{integrierbar!vektorwertige Funktion} wenn sie me"sbar ist und f"ur eine und jede Norm auf $V$ gilt $\int \| f\|<\infty$. Unter diesen Umst"anden erkl"aren wir das\label{IvvF} {\bf Integral}\index{Integral!von vektorwertiger Funktion!"uber Ma"sraum} unserer Funktion $f$ als den eindeutig bestimmten Vektor $$v=\int f=\int_X f(x)\mu\langle x\rangle$$ mit der Eigenschaft $L(v)=\int L(f(x))\mu\langle x\rangle$ f"ur jede Linearform $L:V\ra \DR$. Um die Existenz und Eindeutigkeit von $v$ zu zeigen, k"onnen wir etwa $V=\DR^n$ annehmen und m"ussen nur pr"ufen, da"s dann das komponentenweise Integral den einzig m"oglichen Vektor $v$ mit den angef"uhrten Eigenschaften liefert. Das ist leicht zu sehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $(X,\cal{M}, \mu)$ ein Ma"sraum und $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Die integrierbaren $V$-wertigen Funktionen auf $X$ bilden einen Untervektorraum\index{L@$\cal{L}^{1}_{V} (X;\mu)$} $\cal{L}^{1}_{V} (X;\mu)\subset \op{Ens}(X,V)$ im Raum aller $V$-wertigen Funktionen auf $X$. Ist $V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum, so bilden sie sogar einen komplexen Untervektorraum. Das Integral ist dann eine $\DR$-lineare beziehungsweise $\DC$-lineare Abbildung $$\int:\cal{L}^{1}_{V} (X;\mu)\ra V$$ Im Fall $V=\DC$ bezeichnen wir den komplexen Vektorraum der komplexwertigen integrierbaren Funktionen auf $X$ mit\index{L@$\cal{L}^{1} (X;\mu)$} $\cal{L}^{1} (X;\mu)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{R"uckw"artskompatibilit"at}] In \eref{IVb}{AN2} hatten wir bereits eine Verallgemeinerung des Integrationsbegriffs zu einem Integral f"ur stetige Funktionen auf kompakten reellen Intervallen mit Werten in endlichdimensionalen reellen Vektorr"aumen besprochen. Obige Variante liefert offensichtlich dasselbe Integral f"ur stetige Funktionen. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Unsere S"atze "uber dominierte Konvergenz und Integration auf Produktr"aumen gelten unver"andert\label{VIL} auch f"ur Funktionen mit Werten in endlichdimensionalen reellen Vektorr"aumen. F"ur jede lineare Abbildung $\Lambda:V\ra W$ in einen weiteren endlichdimensionalen reellen Vektorraum gilt weiter die Formel $\int (\Lambda\circ f) =\Lambda\left(\int f\right)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $(X,\mu)$ ein Ma"sraum. Nimmt eine integrierbare Abbildung $f:X\ra V$ mit Werten in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum nur endlich viele Werte an, so haben wir $$\int_{X} f(x) \mu\langle x\rangle=\sum_{v\neq 0}\mu(f^{-1}(v))\;v$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $(X,\mathcal M,\mu)$ ein Ma"sraum. Gegeben eine integrierbare Abbildung $f:X\ra V$ mit Werten in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum\label{NoIn} gilt f"ur jede Norm $\|\;\|$ auf $V$ die Absch"atzung $$\left\|\int f\;\right\|\leq \int \| f\|$$ Hinweis: Man zeige das zun"achst f"ur me"sbare Stufenfunktionen und argumentiere dann mit dem Satz "uber dominierte Konvergenz. \end{Ubung} \begin{Bemerkunge} Im Fall komplexwertiger Funktionen und der Standardnorm auf $\DC$ kann man die Absch"a\-tzung $|\int f| \leq\int |f| $ aus \ref{NoIn} auch einfacher zeigen, indem man $\lambda \in \Bbb{C}$ w"ahlt mit $|\lambda| = 1$ und $\lambda \int f > 0$, woraus dann folgt $$\left|\int f\right| = \lambda \int f = \int \lambda f = \int \op{Re} (\lambda f) \leq \int |\lambda f| = \int |f|$$ \end{Bemerkunge} \subsection{Quadratintegrierbare Funktionen}\label{FqF} \begin{Bemerkungl} Sei $(X,\cal{M}, \mu)$ ein Ma"sraum. Eine Funktion $f: X \ra \Bbb{C}$ hei"st {\bf quadratintegrierbar},\index{quadratintegrierbar!Funktion} wenn sie me"sbar ist und ihr Betragsquadrat\label{L22} integrierbar ist, in Formeln $\int |f|^{2} < \infty$. Die Menge $\cal{L}^{2}=\cal{L}^{2}(X;\mu)$ aller quadratintegrierbaren Funktionen $f: X \ra \Bbb{C}$ ist ein Untervektorraum im $\DC$-Vektorraum aller me"sbaren komplexwertigen Funktionen auf $X$, denn wir haben $2 |f| \cdot |g|\leq |f|^{2} + |g|^{2}$ und folglich $|f+ g|^{2}\leq |f|^{2} + 2 |f|\cdot|g| + |g|^{2} \leq 2 (|f|^{2} + |g|^{2})$. Dieselben Absch"atzungen zeigen, da"s die Abbildung $$ \begin{array}{cccl} \langle \;,\;\rangle:&\cal{L}^{2}\times \cal{L}^{2}&\ra&\DC\\ &(f,g)&\mapsto &\langle f,g\rangle=\int \bar{f}g \end{array} $$ wohldefiniert ist und schieflinear im ersten Eintrag sowie linear im zweiten. Es gilt auch offensichtlich $\langle f,f\rangle\geq 0$ f"ur alle $f\in \cal{L}^{2}$. Dennoch liefert unsere Paarung im allgemeinen kein Skalarprodukt auf $\cal{L}^{2}$ im Sinne von \eref{KSP}{LA2}, da aus $\langle f,f\rangle= 0$ nicht notwendig folgt $f=0$. Um einen Skalarproduktraum zu erhalten, betrachten wir den Untervektorraum $\mathcal R\pdef\{f\in \cal{L}^{2}\mid \langle f,g\rangle= 0\;\forall g\in\cal{L}^{2} \}$, das sogenannte Radikal. Unsere hermitesche Form induziert dann offensichtlich und formal nach "Ubung \eref{BilQ}{LA2} ein Skalarprodukt auf dem Quotientenvektorraum $${\op{L}}^{2}(X,\mu)\pdef\cal{L}^{2}/\mathcal R$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an den Begriff der Summierbarkeit von Familien \eref{ABSBe}{AN2}. Gegeben ein normierter Vektorraum $V$ nennt man eine Familie $(v_i)_{i\in I}$ von Vektoren aus\label{ABSBl} $V$ {\bf summierbar mit Summe}\index{summierbar!Familie in normiertem Vektorraum} $s\in V$ und schreibt $\sum_{i\in I} v_i=s$, wenn es f"ur jede Umgebung $U$ von $s$ eine endliche Teilmenge $I_U\subset I$ gibt derart, da"s f"ur jede endliche Obermenge $J$ von $I_U$ in $ I$ gilt $\sum_{i\in J} v_i\in U$. \end{Bemerkungl} \begin{Theorem}[\textbf{Fourierreihen quadratintegrierbarer Funktionen}] Sei das Intervall $[0,2\pi]$ mit dem auf Gesamtma"s Eins\label{FR} normierten Lebesguema"s $\mu \pdef\diff t / 2\pi$ versehen und $\Bbb{Z}$ mit dem Z"ahlma"s $\zeta$. So liefert $(c_{n})_{n\in \Bbb{Z}}\mapsto \sum_{n\in \Bbb{Z}} c_{n} \op{e}^{{\op{i}}nt} $ einen Isomorphismus von Skalarproduktr"aumen $$\op{L}^{2}(\Bbb{Z},\zeta) \sira \op{L}^{2}([0,2\pi],\mu)$$ Insbesondere %und noch genauer ausgeschrieben ist f"ur jede Familie $(c_{n})_{n\in \Bbb{Z}}$ von komplexen Zahlen mit $\sum|c_n|^2<\infty$ die Familie %der Nebenklassen $ c_{n} \op{e}^{{\op{i}}nt}$ %+\mathcal R$ summierbar in $\op{L}^{2}([0,2\pi],\mu)$. \end{Theorem} \begin{Bemerkungl} Den Beweis dieses Satzes m"ussen wir zur"uckstellen, bis wir die Theorie weiter ausgebaut haben. Er wird dann im Anschlu"s an \ref{DLp} ausgef"uhrt. Im folgenden geben wir alternative Beschreibungen unserer R"aume ${\op{L}}^{2}(X,\mu)$, die eine bessere Anschauung geben m"ogen und sich auch sonst als n"utzlich erweisen. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Wir erinnern an die Fourierentwicklung stetig differenzierbarer % $2\pi$-peri\-odischer Funktionen $f:\DR\ra \DC$ aus \eref{Fou2}{AN1}. % Wollen wir die Abh"angigkeit der Fourierkoeffizienten $c_n$ % einer derartigen Funktion von der Funktion zum Ausdruck bringen, so % schreiben wir % $c_n={f^\wedge}(n)$ und erhalten wie in \eref{QM}{AN1} eine Abbildung % $$\begin{array}{ccc} % \cal{C}([0,2\pi])&\ra&\op{Ens}(\DZ,\DC)\\ % f&\mapsto&{f^\wedge} % \end{array}$$ % Diese Abbildung ordnet also % jeder Funktion die Familie ihrer Fourierkoeffizienten zu. % Diese Zuordnung baut der anschlie"sende Satz zu einer Bijektion % zwischen geeigneten % R"aumen quadratintegrierbarer Funktionen aus. % \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Sei $(X,\cal{M}, \mu)$ ein Ma"sraum. Betrachten wir % den Quotientvektorraum $\cal{L}^{2}/\mathcal {N}$ % nach dem Untervektorraum aller me"sbaren Funktionen, einer Nullmenge unterscheiden. % Diese Idee werden wir nun pr"azise fassen. % \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $(X,\cal{M},\mu)$ ein Ma"sraum und $Y$ eine Menge. Auf der Menge $\op{Ens}(X,Y)$ aller Abbildungen von unserem Ma"sraum $X$ in die Menge $Y$ k"onnen wir eine "Aquivalenzrelation $\sim_\mu$ erkl"aren durch die Vorschrift $$f\sim_\mu g \Leftrightarrow \{ \exists N\in \mathcal M \text{ mit } \mu(N)=0\text{ und } f(x) = g(x) \;\forall x\in X\backslash N\}$$ In Worten sind also Abbildungen $f,g$ "aquivalent, wenn sie au"serhalb einer Nullmenge "ubereinstimmen. Die "Aquivalenzklassen von $\sim_\mu$ hei"sen {\bf $\mu$-fast "uberall definierte Abbildungen} von $X$ nach $Y$. Wir notieren fast "uberall definierte Abbildungen\label{faub} $$f:X\dashrightarrow Y$$ Wenn wir betonen wollen, da"s eine Abbildung im urspr"unglichen Sinne zu verstehen ist, sprechen wir von\index{)4@$\dashrightarrow$ fast "uberall definierte Abbildung} einer\index{Abbildung!"uberall definierte} {\bf "uberall definierten Abbildung}.\index{"uberall definiert!Abbildung} Die Menge aller $\mu$-fast "uberall definierten Abbildungen von $X$ nach $Y$ notieren wir $$\op{Ens}_\mu(X,Y)\pdef \op{Ens}(X,Y)/\sim_\mu$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Sei $(X,\cal{M},\mu)$ ein Ma"sraum. Gilt eine Aussage f"ur alle $x \in X$ au"serhalb einer Nullmenge, so sagt man auch, die Aussage gelte {\bf fast "uberall}\index{fast "uberall!auf Ma"sraum} oder genauer $\mu$-{\bf fast "uberall}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Nachschalten einer "uberall definierten Abbildung}] Sei $(X,\cal{M},\mu)$ ein Ma"sraum. Gegeben eine "uberall definierte Abbildung $h:Y\ra Z$ von Mengen liefert das Nachschalten von $h$ eine wohlbestimmte Abbildung\label{NSub} $$h\circ: \op{Ens}_\mu(X,Y)\ra\op{Ens}_\mu(X,Z)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vektorr"aume von fast "uberall definierten Funktionen}] Sei $(X,\cal{M},\mu)$ ein Ma"sraum. Ist $K$ ein K"orper, so bildet im Vektorraum $\op{Ens}(X,K)$ der $K$-wertigen Funktionen auf $X$ die Teilmenge $$\mathcal N\pdef\{f:X\ra K\mid f\sim_\mu 0\}$$ der fast "uberall verschwindenden Funktionen einen Untervektorraum. Offensichtlich ist auch $f\sim_\mu g$ gleichbedeutend zu $(f-g)\in\mathcal N$. Folglich induziert die kanonische Surjektion $\op{Ens}(X,K)\sra \op{Ens}_\mu(X,K)$ eine Bijektion $$\op{Ens}(X,K)/\mathcal N\sira \op{Ens}_\mu(X,K)$$ und die Menge $\op{Ens}_\mu(X,K)$ der fast "uberall definierten $K$-wertigen Funktionen besitzt genau eine Struktur als $K$-Vektorraum derart, da"s die kanonische Surjektion $\op{Ens}(X,K)\sra \op{Ens}_\mu(X,K)$ linear ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Den Begriff \emph{fast "uberall} verwende ich in zwei Bedeutungen: Auf einem Ma"sraum $X$ als Abk"urzung f"ur \glqq die Ausnahmen bilden eine Nullmenge\grqq, auf einer beliebigen Menge $X$ als Abk"urzung f"ur \glqq die Ausnahmen bilden eine endliche Menge\grqq. Mir ist keine griffige Terminologie eingefallen, die diese Unsch"arfe ausr"aumt. Ich kann nur hoffen, da"s aus dem Kontext erschlossen werden kann, welche Bedeutung im Einzelfall gemeint ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Operationen mit fast "uberall definierten Funktionen}] Man kann reellwertige oder auch komplexwertige fast "uberall definierte Funktionen addieren und multiplizieren, man darf beim Rechnen mit fast "uberall definierten Funktionen sogar auch dann noch den Quotienten $f/g$ bilden, falls $g$ nur fast "uberall von Null verschieden ist. Es ist sinnvoll, von einer Folge fast "uberall definierter Funktionen zu sagen, da"s sie fast "uberall punktweise gegen eine weitere fast "uberall definierte Funktion konvergiert. Man kann die Verkn"upfung $g\circ f$ einer fast "uberall definierten Funktion $f$ mit einer "uberall definierten Funktion $g$ bilden und erh"alt so wieder eine fast "uberall definierte Funktion. Nicht sinnvoll ist das Auswerten einer fast "uberall definierten Funktion an einem Punkt, es sei denn, der fragliche Punkt habe positives Ma"s. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $(X,\cal{M},\mu)$ ein Ma"sraum und $Y$ ein Me"sraum. Eine fast "uberall definierte Abbildung $f:X\dashrightarrow Y$ hei"st {\bf me"sbar},\index{me"sbar!fast "uberall definierte Funktion} wenn sie einen me"sbaren\label{mexc} Repr"asentanten besitzt. Wir notieren die Menge der me"sbaren fast "uberall definierten Abbildungen $$\op{Me"s}_\mu(X,Y)$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist unser Ma"sraum nicht vollst"andig, so kann eine me"sbare fast "uberall definierte Abbildung durchaus auch nicht-me"sbare Repr"asentanten haben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Ma"sraum $(X,\cal{M},\mu)$ und eine me"sbare "uberall definierte Abbildung $h:Y\ra Z$ induziert das Nachschalten von $h$ nach \ref{NSub} eine wohldefinierte Abbildung\label{NSmf} $$h\circ:\op{Me"s}_\mu(X,Y)\ra \op{Me"s}_\mu(X,Z)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein Ma"sraum $(X,\cal{M},\mu)$ setzen wir $$\op{L}^1(X;\mu)\pdef \op{im}(\mathcal{L}^1(X;\mu)\ra \op{Ens}_\mu(X,\DC))$$ Die Elemente von $\op{L}^1$ sind mithin alle $\mu$-fast "uberall definierten komplexwertigen Funktionen auf $X$ mit mindestens einem integrierbaren Repr"asentanten.\label{DL1} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Es ist etwas ungl"ucklich, da"s eine $\op{L}^1$-Funktion damit genau genommen gar keine Funktion ist sondern vielmehr eine "Aquivalenzklasse von Funktionen. Der Buchstabe $\op{L}$ steht in diesem Zusammenhang f"ur \glqq Lebesgue\grqq.\label{QIFu} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Ma"sraum $(X,\cal{M},\mu)$ verschwindet das Integral auf allen fast "uberall verschwindenden integrierbaren Funktionen $f\in \mathcal{L}^1(X;\mu)\cap\mathcal N$ und induziert mithin eine $\DC$-lineare Abbildung $$\int:\op{L}^1(X;\mu)\ra \DC$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Ma"sraum $(X,\cal{M},\mu)$ und zwei fast "uberall gleiche me"sbare Funktionen $f,g:X\ra \DC$ sind auch $|f|,|g|:X\ra \DC$ me"sbar und fast "uberall gleich nach \ref{NSub} und \ref{NSmf}. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Seien $(X,\cal{M}, \mu)$ ein Ma"sraum und $f : X \ra [0,\infty]$ eine nichtnegative me"sbare Funktion. Genau dann gilt $\int f =0$, wenn $f$ au"serhalb einer Nullmenge\label{NFUA} verschwindet. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Verschwindet $f$ au"serhalb von einer Nullmenge, so gilt offensichtlich $\int f =0$. Gilt umgekehrt $\int f=0$, so hat $f^{-1}([1/n, \infty])$ Ma"s Null f"ur alle $n$, und damit hat auch $f^{-1}(\left(0,\infty\right])$ Ma"s Null als abz"ahlbare Vereinigung von Mengen vom Ma"s Null. \end{proof} \begin{Satz} Gegeben ein Ma"sraum $(X,\cal{M},\mu)$ ist $\| g \|_{1} \pdef \int |g|$ eine Norm auf dem komplexen Vektorraum $\op{L}^{1} (X)$. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir "uberlassen alles dem Leser bis auf den Nachweis der Implikation $\|g\|_1=0\RA g=0$. Per definitionem haben wir $\|g\|_1=\int |\tilde g|$ f"ur einen und jeden integrierbaren Repr"asentanten $\tilde g:X\ra\DC$ von $g$. Aus $\|g\|_1=\int |\tilde g|=0$ folgt nun erst $|\tilde g|\sim_\mu 0$ nach \ref{NFUA} und dann offensichtlich $\tilde g\sim_\mu 0$ und dann aus den Definitionen $g=0$. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben ein Ma"sraum $(X,\cal{M},\mu)$ setzen wir $$\op{L}^2(X;\mu)\pdef \op{im}(\mathcal{L}^2(X;\mu)\ra \op{Ens}_\mu(X,\DC))$$ Die Elemente von $\op{L}^2$ sind mithin alle\label{QIFu} $\mu$-fast "uberall definierten komplexwertigen Funktionen auf $X$ mit mindestens einem quadratintegrierbaren Repr"asentanten.\label{DL2} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wieder ist es etwas ungl"ucklich, da"s eine $\op{L}^2$-Funktion damit genau genommen gar keine Funktion ist, sondern vielmehr eine "Aquivalenzklasse von Funktionen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} Gegeben ein Ma"sraum $(X,\cal{M},\mu)$ und $f,g\in \op{L}^2(X)$ haben wir $\bar f g\in \op{L}^1(X)$ und $\langle f,g\rangle \pdef \int \bar f g$ ist ein Skalarprodukt auf $\op{L}^2(X)$. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Dem Leser "uberlassen. Das Produkt ist in $\op{Ens}_\mu(X,\DC)$ zu verstehen. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben ein Ma"sraum $(X,\cal{M},\mu)$ induziert die kanonische Surjektion $\cal{L}^{2}(X;\mu)\ra {\op{L}}^{2}(X;\mu)$ einen Isomorphismus $${\op{L}}^{2}(X,\mu)\sira {\op{L}}^{2}(X;\mu) $$ \end{Lemma} \begin{proof} Wir hatten in \ref{L22} den Raum ${\op{L}}^{2}(X,\mu)\pdef \cal{L}^{2}(X,\mu)/\mathcal R$ erkl"art als den Quotient von $\cal{L}^{2}$ nach dem Radikal $\mathcal R=\{f\in \cal{L}^{2}\mid \langle f,g\rangle= 0\;\forall g\in\cal{L}^{2} \}$. Nach dem allgemeinen Isomorphismus $V/(\op{ker}L)\sira \op{im}L$ f"ur lineare Abbildungen $L:V\ra W$ reicht es zu zeigen, da"s das Radikal "ubereinstimmt mit dem Raum der fast "uberall verschwindenden Funktionen aus $\mathcal L^{2}$, in Formeln $\mathcal R=\mathcal L^{2}\cap \mathcal N$. In der Tat ist $\supset$ offensichtlich und $\subset$ folgt aus der Kette von Implikationen $$\textstyle f\in\mathcal R\;\;\RA\;\; \langle f,f\rangle= 0\;\;\RA\;\; \int |f|^{2}=0 \;\;\RA\;\; |f|^{2}\sim_\mu 0\;\;\RA\;\; f\sim_\mu 0$$ Die dritte Implikation kommt dabei von \ref{NFUA} her. \end{proof} \begin{figure}[hbt] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildL2L1} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Anschaulich und unpr"azise gesprochen ist die Quadratintegrierbarkeit im Vergleich zur Integrierbarkeit f"ur Funktionen $f:\DR\ra\DR$ eine schw"achere Bedingung an das Abfallen f"ur $x\ra\pm\infty$, aber eine st"arkere Bedingung an die Natur m"oglicher Polstellen. \end{minipage} \end{figure} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man gebe eine quadratintegrierbare Funktion $f: \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}$ an, die nicht integrierbar ist. Man gebe eine integrierbare Funktion $f: \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}$ an, die nicht quadratintegrierbar ist. Man zeige, da"s jede quadratintegrierbare Funktion $f: \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}$ mit kompaktem Tr"ager integrierbar ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sind $f,g:\DR^n\ra\DC$ fast "uberall gleich und stetig bei $p\in \DR^n$, so gilt $f(p)=g(p)$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Seien $X$ ein topologischer Raum und $p\in X$ ein Punkt und $\mu$ ein Ma"s auf $X$, das auf jeder offenen Umgebung von $p$ positiv ist. Sind $f,g:X\ra\DR$ fast "uberall gleich und stetig bei $p$, so gilt $f(p)=g(p)$. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{HUG} Man zeige f"ur $f,g\in \op{L}^2$ die sogenannte {\bf H"older-Ungleichung} $\|fg\|_1\leq \|f\|_2 \|g\|_2$. Hinweis: Man wende die Cauchy-Schwartz'sche Ungleichung auf die Betr"age unserer Funktionen an. \end{Ubung} \subsection{R"aume integrierbarer Funktionen} \begin{Bemerkungl} Um unsere R"aume integrierbarer und quadratintegrierbarer fast "uberall definierter Funktionen simultan behandeln zu k"onnen, f"uhren wir eine gemeinsame Verallgemeinerung ein, die sogenannten $\op{L}^p$-R"aume. Im Rahmen dieser Vorlesung k"onnte man im Folgenden stets mit $p\in \{1,2\}$ arbeiten und so die Diskus\-sion allgemeiner $\op{L}^p$-R"aume vermeiden. In anderen Zusammenh"angen scheinen jedoch auch die $\op{L}^p$-R"aume f"ur andere $p$ von Bedeutung zu sein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{HUNn} Wir erinnern aus \eref{JHU}{AN1} und \eref{HUN}{AN1} zwei n"utzliche Ungleichungen: Gegeben reelle Zahlen $a,b\geq 0$ und $p,q>1$ mit $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ folgt die {\bf Young'sche Ungleichung}\index{Young'sche Ungleichung} $ab\leq p^{-1} a^p+ q^{-1} b^q$ aus der Konvexit"at der Exponentialfunktion. Weiter folgt, sogar f"ur $p\geq 1$, die Ungleichung $(a+b)^p\leq 2^{p-1}( a^p+ b^p)$ aus der Konvexit"at der Funktion $[0,\infty)\ra\DR$, $x\mapsto x^p$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein Ma"sraum $(X,\cal{M},\mu)$ und $p \in [1,\infty)$ setzen wir $$\textstyle \mathcal{L}^p(X;\mu)\pdef \{f:X\ra\DC \text{ me"sbar mit } \int |f|^p<\infty\}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Absch"atzung $|f+g|^p\leq (|f|+|g|)^p\leq 2^{p-1}(|f|^p+|g|^p)$ nach \ref{HUNn} zeigt, da"s $\mathcal{L}^p(X;\mu)\subset \op{Ens}(X,\DC)$ ein Untervektorraum ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein Ma"sraum $(X,\cal{M},\mu)$ und $p \in [1,\infty)$ setzen wir\label{LpLi} $$\op{L}^p(X;\mu)\pdef \op{im}(\mathcal{L}^p(X;\mu)\ra \op{Ens}_\mu(X,\DC))$$ Die Elemente von $\op{L}^p$ sind mithin alle $\mu$-fast "uberall definierten komplexwertigen Funktionen auf $X$ mit mindestens einem Repr"asentanten aus $\mathcal L^p$.\label{DLp} \end{Definition} \begin{Beispiel} F"ur $p=1$ und $p =2$ erhalten wir die bereits in \ref{FqF} ausf"uhrlich diskutierten R"aume $\op{L}^1(X)$ und $\op{L}^2(X)$. \end{Beispiel} \begin{Proposition}\label{Lpp} Gegeben ein Ma"sraum $(X,\mu)$ und $p \in (1,\infty)$ erhalten wir eine Norm auf $\op{L}^p(X)$ durch die Vorschrift \begin{equation*} \| f \|_p \pdef \left({\int |f|^p}\right)^{1/p} \end{equation*} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Sicher gilt $\|\alpha f\|_p = |\alpha| \| f\|_p$ und aus $\|f\|_p =0$ folgt $f= 0$ fast "uberall mit \ref{NFUA}. Um die Dreiecksungleichung zu zeigen m"ussen wir weiter ausholen. Wir finden sicher $q \in (1,\infty)$ mit $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} =1$ alias $p+q=pq$. Solche $p,q$ hei"sen {\bf konjugierte Exponenten}.\index{konjugiert!Exponenten} Nach \ref{HUNn} gilt f"ur reelle $a,b > 0$ dann \begin{equation*} ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} \end{equation*} Aus $f \in \op{L}^p$ und $g \in \op{L}^q$ folgt mithin $f g \in \op{L}^1$. Wir behaupten unter diesen Annahmen sogar st"arker die \defind{H"older-Ungleichung} \begin{equation*} \| fg\|_1 \leq \|f\|_p \|g\|_q \end{equation*} Auch das folgt im Fall $\|f\|_p = \|g\|_q =1$ sofort aus unserer obigen Ungleichung, dann m"ussen wir ja nur $\| fg\|_1 \leq 1$ zeigen. Im allgemeinen folgt es durch Reskalieren. Gegeben $f,g \in \op{L}^p$ zeigen wir nun schlie"slich $\|f + g\|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p$. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $f$ und $g$ nichtnegativ und von Null verschieden annehmen. Setzen wir $h \pdef (f+g)^{p-1}$, so ergibt sich $h^q =(f+g)^p$. Es folgt $h \in \op{L}^q$ und wir erhalten $$ \|f+g\|^p_p \;=\; \|(f+g)h\|_1\;\leq\; \|fh\|_1 + \|gh\|_1\; \leq \; \|f\|_p \|h\|_q + \|g\|_p \|h\|_q $$ Beachten wir nun $\|h\|_q = \|f+g\|_p^{(p/q)}$ und teilen das auf beiden Seiten weg, so ergibt sich die Behauptung. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben ein Ma"sraum $(X,\cal{M},\mu)$ und setzen wir $$\textstyle \mathcal{L}^\infty(X;\mu)\pdef \{f:X\ra\DC \text{ me"sbar mit } |f| \text{ beschr"ankt}\}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Offensichtlich ist $\mathcal{L}^\infty(X;\mu)\subset \op{Ens}(X,\DC)$ ein Untervektorraum. Offensichtlich ist $\|f\|_\infty\pdef \op{sup}ß\big(\{|f(x)||x\in X\}\cup\{0\}\big)$ eine Norm auf $\mathcal{L}^\infty$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein Ma"sraum $(X,\cal{M},\mu)$ setzen wir $$\op{L}^\infty(X;\mu)\pdef \op{im}(\mathcal{L}^\infty(X;\mu)\ra \op{Ens}_\mu(X,\DC))$$ Die Elemente von $\op{L}^\infty$ sind mithin alle $\mu$-fast "uberall definierten komplexwertigen Funktionen auf $X$ mit mindestens einem me"sbaren betragsm"a"sig beschr"ankten Repr"asentanten. \end{Definition} \begin{Lemma} Gegeben ein Ma"sraum $(X,\cal{M},\mu)$ erhalten wir eine Norm $\|\;\|_\infty^{\op{ess}}$ auf $\op{L}^\infty(X;\mu)$ durch die Vorschrift\label{Lppi} $$\|f\|_\infty^{\op{ess}}\pdef \op{inf}\{\|g\|_\infty\mid g\in \mathcal{L}^\infty(X;\mu)\text{ repr"asentiert }f\}$$ \end{Lemma} \begin{proof} Alle Eigenschaften einer Norm sind klar bis auf die Eigenschaft, da"s nur der Nullvektor die Norm Null haben kann. Sei $h\in \mathcal{L}^\infty$ ein Repr"asentant von $f\in \op{L}^\infty$. Gilt $\|f\|_\infty^{\op{ess}}=0$, so wird aber f"ur alle $n\in \DN$ unser $f$ auch repr"asentiert durch ein $g$ mit $\|g\|_\infty\leq 1/n$ und es folgt $\mu(\{x\mid |h(x)|>1/n\})=0$. Das gilt f"ur alle $n\in \DN$ und damit ist auch die abz"ahlbare Vereinigung dieser Nullmengen eine Nullmenge und wir folgern $h\sim_\mu 0$ alias $f=0$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} "Ahnlich wie im vorherigen Beweis sieht man auch, da"s jedes $f\in \op{L}^\infty$ einen Repr"asentanten $g\in \mathcal L^\infty$ hat mit $\|f\|^{\op{ess}}_\infty=\|g\|_\infty$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Ma"sraum $(X,\cal{M},\mu)$ f"uhren wir f"ur $g\in \mathcal{L}^\infty(X;\mu)$ das {\bf essentielle Supremum}\index{essentiell!Supremum} ein durch $$\|g\|_\infty^{\op{ess}}\pdef \op{sup}\big(\{ c\mid \mu\{x\mid |g(x)|\geq c\}>0\}\cup\{0\}\big)$$ Dann haben fast "uberall gleiche $\mathcal{L}^\infty$-Funktionen dasselbe essentielle Supremum und man erkennt unschwer, da"s die so auf $\op{L}^\infty$ induzierte Abbildung genau unsere Norm $\|\;\|_\infty^{\op{ess}}$ aus \ref{Lppi} ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[{\bf Diskussion der Notation}] Vielfach k"urzt man $\|\;\|^{\op{ess}}_\infty$ zu $\|\;\|_\infty$ ab und der Leser mu"s aus dem Kontext erschlie"sen, was genau gemeint ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{HoU} Man bezeichnet etwas allgemeiner als zuvor eingef"uhrt auch $1$ und $\infty$ als \defind{konjugierte Exponenten}. Ist dann $(X,\mu)$ ein Ma"sraum und sind $p,q\in [1,\infty]$ konjugierte Exponenten, so folgt aus $f\in \op{L}^p$ und $g\in\op{L}^q$ stets $fg\in \op{L}^1$ und $$\| fg\|_1 \leq \|f\|_p \|g\|_q$$ F"ur $p,q\in (1,\infty)$ hatten wir das bereits im vorhergehenden Beweis gesehen und im verbleibenden Fall ist es eh klar. \end{Bemerkungl} \begin{Theorem}[\textbf{Vollst"andigkeit der $\op{L}^p$-R"aume}] F"ur jeden Ma"sraum $X$ und alle $p\in [1,\infty]$ sind die normierten Vektorr"aume $\op{L}^p(X)$ vollst"andig.\label{VoLp} Jede konvergente Folge in einem dieser R"aume besitzt des weiteren eine Teilfolge, die fast "uberall punktweise gegen die Grenzfunktion konvergiert. \end{Theorem} \begin{Beispiel}\label{IMnf} Die charakteristischen Funktionen der Intervalle $[0,1]$, $[0,1/2]$, $[1/2,1]$, $[0,1/4]$, $[1/4,2/4]$, $[2/4,3/4]$, $[3/4,1]$, $[0,1/8]$, $[1/8,2/8], \ldots$ bilden eine Nullfolge im Raum der $\op{L}^1$-Funktionen auf dem Einheitsintervall, die nicht fast "uberall punktweise gegen Null konvergiert. Diese Folge besitzt aber durchaus eine Teilfolge, die fast "uberall punktweise gegen Null konvergiert. \end{Beispiel} \begin{figure}[hbtp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFoN} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Spaltenweise aufgereiht hier die ersten Glieder der Nullfolge in $\op{L}^1$ aus \ref{IMnf}, die nicht fast "uberall punktweise gegen Null konvergiert. Die graphische Darstellung ist etwas fragw"urdig, da Graphen von Funktionen keine senkrechten Linien enthalten d"urfen, aber wir vereinbaren einfach, da"s in diesem Fall stets der oberste m"ogliche Wert gemeint ist. \end{minipage} \end{figure} \begin{proof}[Beweis] Wir "uberlassen den Fall $p=\infty$ dem Leser zur "Ubung und f"uhren den Beweis nur im Fall $p<\infty$. Es gilt zu zeigen, da"s jede Cauchy-Folge in $\op{L}^p(X)$ konvergiert. Seien die $f_{n}:X\ra\DC$ Repr"asentanten aus $\mathcal{L}^p(X)$ der Glieder einer Cauchy-Folge in $\op{L}^p(X)$. Indem wir falls n"otig zu einer Teilfolge "ubergehen, d"urfen wir $\|f_{n} - f_{n+1}\|_{p} \leq 2^{-n}$ annehmen. Wir betrachten nun die Funktionen $g_k,g:X\ra [0,\infty]$ gegeben durch $$g_k=\sum_{n=0}^k |f_{n} - f_{n+1}|\;\;\; \text{ und }\;\;\; g=\sum_{n=0}^\infty |f_{n} - f_{n+1}|$$ Aus unseren Annahmen folgt $\|g_k\|_p\leq 2$ f"ur alle $k$. Da die Funktion $g^p$ der monotone punktweise Grenzwert der $g_k^p$ ist, erhalten wir mit dem Satz von Lebesgue "uber monotone Konvergenz $\int g^p\leq 2^p$. Insbesondere gilt also $g(x)<\infty$ fast "uberall auf $ X$. Sicher gilt aber auch $$f_0-f_{k+1}=\sum_{n=0}^k (f_{n} - f_{n+1})$$ und die Reihe $\sum_{n=0}^\infty f_{n}(x) - f_{n+1}(x)$ konvergiert absolut an allen Stellen $x\in X$ mit $g(x)<\infty$, als da hei"st fast "uberall. Mithin konvergiert auch die Folge der $f_{k}(x)$ au"serhalb der me"sbaren Menge vom Ma"s Null $N\pdef g^{-1}(\infty)$ und wir erhalten als ihren punktweisen Grenzwert eine me"sbare Funktion $f$ auf $X\backslash N$, die wir durch Null fortsetzen k"onnen zu einer me"sbaren Funktion $f:X\ra \DC$. Wir zeigen nun, da"s $f$ in $\mathcal{L}^p$ liegt und da"s die Folge der $f_k$ auch in der $\op{L}^p$-Norm gegen $f$ konvergiert. Offensichtlich sind die Funktionen $|f_0-f_{k}|$ auf $X\backslash N$ beschr"ankt durch $g$, folglich ist $|f_0-f|$ auf $X\backslash N$ beschr"ankt durch $g$, also gilt $f_0-f\in \mathcal{L}^p$ und dann auch $f\in \mathcal{L}^p$. Weiter k"onnen wir mit \ref{HUNn} absch"atzen $$|f-f_k|^p\leq 2^{p-1}(|f-f_0|^p+|f_0-f_k|^p) \leq 2^p g^p$$ Damit folgt dann $\lim_{k\ra 0} \|f-f_k\|_p=0$ aus dem Satz "uber dominierte Konvergenz, angewandt auf die Funktionenfolge $|f-f_k|^p$, die auf $X\backslash N$ punktweise gegen die Nullfunktion konvergiert. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ich habe mir bis hierher M"uhe gegeben, sorgf"altig zwischen Funktionen und fast "uberall definierten Funktionen zu unterscheiden. Im weiteren Verlauf der Vorlesung werde ich nachl"assiger werden in der Hoffnung, da"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen kann, was genau gemeint ist und wann es auf diese Unterscheidung "uberhaupt ankommt. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{EsSt} Ist $(X,\mu)$ ein Ma"sraum und $E\subset X$ eine me"sbare Teilmenge endlichen Ma"ses, so liefert f"ur alle $p\in [1,\infty]$ die Einschr"ankung von Funktionen eine stetige Abbildung $\op{L}^p(X)\ra \op{L}^1(E)$. Hinweis: H"older-Ungleichung. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben $(E,\mu)$ ein Ma"sraum endlichen Ma"ses und $1\leq p\leq q\leq\infty$ gilt $\op{L}^q(E)\subset \op{L}^p(E)$. Hinweis: Gegeben $f\in \op{L}^q(E)$ gilt $|f|^p\in \op{L}^{q/p}(E)$. Nun multipliziere man mit der konstanten Funktion $1$ und wende die H"olderungleichung an mit konjugierten Exponenten, von denen der erste $q/p$ ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Dichtheit der integrierbaren Stufenfunktionen}] Gegeben ein Ma"sraum liegen f"ur $1\leq p<\infty$ die Bilder der integrierbaren Stufenfunktionen auf unserem Raum dicht im Raum der $\op{L}^{p}$-Funktionen.\label{USs} Hinweis: Man verwende Lemma \ref{MM} zur monotonen Approximation durch Stufenfunktionen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{DLP} Gegeben eine Menge $X$ und ein Pr"ama"s $\mu$ auf einem Mengenring $\mathcal A\subset \mathcal P(X)$ erzeugen f"ur $1\leq p<\infty$ die charakteristischen Funktionen der Mengen endlichen Ma"ses aus $\mathcal A$ einen dichten Teilraum im Raum der $\op{L}^{p}$-Funktionen in Bezug auf die gr"o"ste Ma"sfortsetzung auf der von $\mathcal A$ erzeugten $\sigma$-Algebra. Hinweis: Man verwende die vorhergehende "Ubung \ref{USs} und die Konstruktion der gr"o"sten Ma"sfortsetzung \ref{KaEw}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{DLPg} Gegeben Ma"sr"aume $(X,\mu)$ und $(Y,\nu)$ erzeugen f"ur alle $p\in [1,\infty)$ die charakteristischen Funktionen $[A\times B]$ f"ur $A\subset X$ und $B\subset Y$ me"sbar von endlichem Ma"s einen dichten Teilraum von ${\op{L}}^p(X\times Y;\mu\boxtimes \nu)$. Speziell erzeugen die Funktionen mit $(f\boxtimes g)(x,y)\pdef f(x)g(y)$ mit $f\in{\op{L}}^2(X;\mu)$ und $g\in{\op{L}}^2(Y;\nu)$ einen dichten Teilraum von $ {\op{L}}^2(X\times Y;\mu\boxtimes \nu)$. Hinweis: \ref{DLP}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{EDR} Gegeben ein Borelma"s $\mu$ auf $\DR$ und $1\leq p\leq \infty$ ist der Raum $\op{L}^{p}(\DR;\mu)$ endlichdimensional genau dann, wenn $\mu$ eine endliche Linearkombination von Diracma"sen ist. Hinweis: Man betrachte die Variante \ref{VerTn} der Verteilungsfunktion unseres Ma"ses. \end{Ubung} \subsection{Hilbertr"aume und Hilbertbasen} \begin{Definition} Ein {\bf Hilbertraum} ist ein komplexer %seltener auch reeller Skalarproduktraum, der vollst"andig ist f"ur die von diesem Skalarprodukt induzierte Metrik. Bezeichnet $ \langle \;,\;\rangle$ unser Skalarprodukt, so wird die davon induzierte Metrik gegeben durch die Vorschrift $d(x,y)=\|x-y\|_2$ mit $\|v\|_2=\sqrt{\langle v,v\rangle}$, vergleiche \eref{IMNo}{LA2}. Einen reellen oder komplexen Skalarproduktraum bezeichnet man insbesondere dann, wenn unser Raum nicht vollst"andig ist, auch als {\bf Pr"a\-hil\-bert\-raum}.\index{Pr"ahilbertraum}\label{HRHB} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Manche Quellen fordern von einem Hilbertraum zus"atzlich noch, da"s er eine abz"ahlbare dichte Teilmenge besitzen m"oge. Wir schlie"sen uns dieser Konvention nicht an und nennen derartige Hilbertr"aume \glqq separabel\grqq, da es sich dabei offensichtlich genau um die Hilbertr"aume handelt, die als metrische R"aume separabel sind im Sinne von \ref{sepm}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Nach \ref{VoLp} ist f"ur jeden Ma"sraum $X=(X,\mathcal M,\mu)$ der Raum $\op{L}^{2}(X)$ der fast "uberall definierten quadratintegrierbaren Funktionen auf $X$ ein Hilbertraum. Wir werden im folgenden zeigen, da"s es keine wesentlich anderen Beispiele f"ur Hilbertr"aume gibt, ja sogar, da"s jeder Hilbertraum bereits isomorph ist zum Raum der quadratintegrierbaren Funktionen auf einer mit dem Z"ahlma"s versehenen Menge. Dazu m"ussen wir jedoch zun"achst etwas mehr Theorie entwickeln. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s nach \eref{ons}{LA2} eine Familie von Vektoren $(e_{i})_{i \in I}$ eines Skalarproduktraums ein {\bf Orthonormalsystem}\index{Orthonormalsystem} hei"st, wenn mit dem Kroneckerdelta aus \eref{Kdel}{LA1} gilt $\langle e_{i},e_{j}\rangle= \delta_{ij}$. Ich erinnere daran, da"s nach \eref{onss}{LA2} eine Teilmenge eines Skalarproduktraums ein {\bf Orthonormalsystem}\index{Orthonormalsystem} hei"st, wenn alle ihre Vektoren die Norm $1$ haben und paarweise aufeinander senkrecht sehen, wenn also unsere Teilmenge als durch sich selbs indizierte Familie die fragliche Eigenschaft f"ur Familien hat. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine {\bf Hilbertbasis}\index{Hilbertbasis} eines Hilbertraums oder gleichbedeutend ein {\bf vollst"andiges Orthonormalsystem}\index{Orthonormalsystem!vollst"andiges} ist ein Orthonormalsystem,\label{Hibb} dessen Vektorraumerzeugnis dicht ist in unserem Hilbertraum. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Eine Hilbertbasis ist im allgemeinen keine Basis unseres Hilbertraums im Sinne der linearen Algebra. Genauer gilt das nur f"ur endlichdimensionale Hil\-bert\-r"au\-me und f"ur diese ist eine Hilbertbasis dasselbe wie eine Orthonormalbasis. Man vergleiche dazu auch "Ubung \ref{HBO}. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Hier verwenden wir das sogenannte \defind{Kroneckerdelta}, % als da hei"st die Notation % $$\delta_{ij}=\left\{ % \begin{array}{ll} % 1&i=j;\\0&\text{sonst.} % \end{array}\right$.$ % \end{Bemerkungl} \begin{Definition} F"ur eine Menge $I$ bezeichne $\op{L}^2(I)=\op{L}^2(I;\zeta)$\index{L@$\op{L}^2(I)$ quadratintegrierbare Funktionen} den Raum der in Bezug auf das Z"ahlma"s $\zeta$ quadratintegrierbaren Funktionen $I\ra\DC$ und $\chi_i\in \op{L}^2(I)$ die charakteristische Funktion der einelementigen Menge ${\{i\}}$. In der Literatur wird unser $\op{L}^2(I)$ auch oft $l^2(I)$\index{l@$l^2(I)$} notiert. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Nach \ref{USs} bilden die $\chi_i$ eine Hilbertbasis von $\op{L}^2(I)$. Nach \eref{SuFa}{AN1} ist jede quadratintegrierbare Funktion $I\ra\DC$ h"ochstens auf einer abz"ahlbaren Teilmenge von $I$ verschieden von Null. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern daran, da"s wir nach \eref{ABSBe}{AN2} eine Familie $(v_i)_{i\in I}$ von Vektoren eines normierten Vektorraums $V$ summierbar mit Summe $s\in V$ nennen und\label{ABSBc} $$\sum_{i\in I} v_i=s$$ schreiben als Abk"urzung f"ur die Aussage, da"s es f"ur jede Umgebung $U$ von $s$ eine endliche Teilmenge $I_U\subset I$ gibt derart, da"s f"ur jede endliche Obermenge $J$ von $I_U$ in $ I$ gilt $\sum_{i\in J} v_i\in U$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{"uber Hilbertbasen}] \label{HiBa} \begin{enumerate} \item Ist $(e_{i})_{i\in I}$ ein Orthonormalsystem in einem Hilbert\-raum $\cal{H}$, so gibt es genau eine stetige lineare Abbildung $\varphi:\op{L}^{2} (I) \ra \cal{H}$ mit $\chi_i \mapsto e_{i}$ f"ur alle $i\in I$, und diese Abbildung erh"alt das Skalarprodukt; \item Ist $(e_{i})_{i\in I}$ sogar eine Hilbertbasis, so ist besagte Abbildung ein Isomorphismus von Hilbertr"aumen $ \op{L}^{2} (I) \sira \cal{H}$ und ihre Inverse $\cal{H}\sira \op{L}^2(I)$, $v\mapsto \hat{v}$ wird gegeben durch $\hat{v}(i)=\langle e_i, v \rangle$; \item Gegeben eine Hilbertbasis $(e_{i})_{i\in I}$ in einem Hilbertraum $\cal{H}$ gilt f"ur jeden Vektor $v\in \cal{H}$ im Sinne von \ref{ABSBc} die Darstellung $$v=\sum_{i\in I}\langle e_i, v \rangle e_i$$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir schicken dem Beweis zwei Lemmata voraus. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Stetige Fortsetzung von dichten Teilmengen}] Seien $X,Y$ metrische R"aume und $A \subset X$ eine dichte\label{ADM} Teilmenge. So gilt: \begin{enumerate} \item Jede Abbildung $g:A\ra Y$ besitzt h"ochstens eine Fortsetzung zu einer stetigen Abbildung $\tilde{g}:X\ra Y$; \item Ist $g:A\ra Y$ gleichm"a"sig stetig und $Y$ vollst"andig, besitzt $g$ genau eine Fortsetzung zu einer stetigen Abbildung $\tilde{g} : X \ra Y$. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Im wesentlichen haben Sie das Lemma bereits als "Ubung \eref{GSFo}{AN2} gezeigt. Die Abbildung $(0,1)\ra\DR$, $x\mapsto (1/x)$ ist stetig aber nicht gleichm"a"sig stetig. Sie l"a"st sich nicht stetig auf die Vervollst"andigung $[0,1]$ des offenen Intervalls $(0,1)$ fortsetzen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} In \eref{DWT}{TM} wird erkl"art, unter welchen Voraussetzungen sich die erste Aussage auf den Fall topologischer R"aume verallgemeinern l"a"st. Die zweite Aussage l"a"st sich allgemeiner f"ur sogenannte \glqq uniforme R"aume\grqq\ zeigen, wie sie in \eref{UniF}{TM} eingef"uhrt werden. Wir gehen hier darauf nicht n"aher ein. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Gegeben $x \in X$ finden wir eine Folge $a_{n}$ in $A$ mit $\lim_{n\ra \infty} a_{n} = x$. Nat"urlich mu"s f"ur jede stetige Erweiterung $\tilde{g}$ von $g$ gelten $$\lim_{n\ra\infty} g(a_{n}) = \tilde{g}(x)$$ und das zeigt auch schon die Eindeutigkeit von $\tilde{g}$. Ist $g$ nun gleichm"a"sig stetig, so ist mit $a_{n}$ auch $g(a_{n})$ eine Cauchy-Folge, und ist $Y$ vollst"andig, so mu"s $g(a_{n})$ konvergieren. Haben weiter zwei Folgen $a_{n}, b_{n}$ in $A$ denselben Grenzwert $x$, so strebt auch die Folge $c_{n}$ mit den Gliedern $a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, \ldots $ gegen $x$. Wir folgern $$\lim_{n\ra \infty} g(a_{n}) = \lim_{n\ra \infty} g(c_{n}) = \lim_{n\ra \infty} g(b_{n})$$ und k"onnen also definieren $\tilde{g}(x) = \lim_{n\ra \infty} g(a_{n})$ f"ur eine und jede Folge $a_{n}$ aus $A$, die gegen $x$ strebt. Wir m"ussen nur noch zeigen, da"s $\tilde{g}$ stetig ist. Sei dazu f"ur $\varepsilon > 0$ ein $\delta > 0$ gegeben mit $d(a,b)\leq\delta \Rightarrow d(g(a), g(b))\leq\varepsilon$. Wir zeigen $d (x,z) \leq\delta/2 \Rightarrow d(\tilde{g}(x), \tilde{g}(z)) \leq\varepsilon$ f"ur alle $x,z \in X$. In der Tat, ist $x=\lim_{n\ra \infty} a_{n}$ und $z=\lim_{n\ra \infty} b_{n}$, so folgt aus der Dreiecksungleichung $d(a_n,b_n)\leq \delta$ f"ur fast alle $n$ und damit $d(g(a_n), g(b_n))\leq\varepsilon$ f"ur fast alle $n$ und dann im Grenzwert auch $d(\tilde{g}(x), \tilde{g}(z)) \leq\varepsilon$ mithilfe der Stetigkeit der Metrik $d:Y\times Y\ra \DR$ nach \eref{SSdAa}{AN2}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern daran, da"s nach \eref{DeFu}{LA2} eine lineare Abbildung zwischen zwei Skalarproduktr"aumen $L:\cal{H}\ra\cal{H}'$ {\bf unit"ar}\index{unit"ar} hei"st, wenn sie das Skalarprodukt erh"alt, wenn also in Formeln gilt $\langle Lv,Lw\rangle =\langle v,w\rangle\;\forall v,w\in\cal{H}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{VRnnn} Eine unit"are Einbettung von einem Hilbertraum in einen Pr"ahilbertraum und allgemeiner eine normerhaltende Einbettung von einem Banachraum in einen weiteren normierten Vektorraum hat stets abgeschlossenes Bild. In der Tat ist nach \eref{VRnn}{AN2} eine vollst"andige Teilmenge eines metrischen Raums stets abgeschlossen. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{ADVM} Seien $X,Y$ normierte Vektorr"aume, $A \subset X$ ein dichter Teilraum und $g:X\ra Y$ eine stetige Abbildung. Ist die Einschr"ankung $g|_A:A\ra Y$ linear, so ist auch $g$ linear. Sind $X,Y$ Skalarproduktr"aume und ist die Einschr"ankung $g|_A:A\ra Y$ unit"ar, so ist auch $g$ unit"ar. \end{Lemma} \begin{proof} Die Abbildung $X \times X \ra Y$, $(v,w)\mapsto g (v)+ g (w)$ ist stetig und stimmt auf der dichten Teilmenge $A \times A$ mit der stetigen Abbildung $(v,w)\mapsto g (v+w)$ "uberein. Also sind diese Abbildungen gleich und es gilt $g (v+w)=g (v)+ g (w)$ f"ur alle $v,w\in X$. Mit "ahnlichen Argumenten beendet man den Nachweis der Linearit"at von $g$ und zeigt die Vertr"aglichkeit mit dem Skalarprodukt. \end{proof} % \begin{Lemma}\label{ADVM} % Seien $X,Y$ normierte Vektorr"aume, $A \subset X$ ein dichter % Teilraum und $g:A\ra Y$ eine stetige lineare Abbildung. % Ist $Y$ vollst"andig, so gibt es genau eine Erweiterung von $g$ zu % einer stetigen linearen Abbildung $\tilde{g} : X \ra Y$. % Ist $X$ ein Pr"ahilbertraum und $Y$ ein Hilbertraum und $g$ unit"ar, % so ist auch $\tilde{g}$ unit"ar. % \end{Lemma} % \begin{proof} % Das vorherige Lemma \ref{ADM} % zeigt, da"s es genau eine stetige Erweiterung von $g$ % gibt, und wir m"ussen nur zeigen, da"s sie auch linear ist. Die % Abbildung $X \times X \ra Y$, $(v,w)\mapsto % \tilde{g} (v)+ \tilde{g} (w)$ ist aber stetig und stimmt auf % der dichten Teilmenge $A \times A$ mit der stetigen Abbildung % $(v,w)\mapsto % \tilde{g} (v+w)$ "uberein. Also sind diese Abbildungen gleich und es % gilt $\tilde{g} (v+w)=\tilde{g} (v)+ \tilde{g} (w)$ f"ur alle $v,w\in X$. % Mit "ahnlichen Argumenten % beendet man den Nachweis der Linearit"at von $\tilde{g}$ und % zeigt die Vertr"aglichkeit mit dem Skalarprodukt. % \end{proof} \begin{proof}[Beweis von Satz \ref{HiBa} "uber Hilbertbasen] Bezeichne $\Bbb{C} I \subset \op{L}^{2} (I)$ den Raum aller Abbildungen $I\ra \Bbb{C}$, die nur an endlich vielen Stellen von Null verschieden sind. Nat"urlich bilden die $\chi_{i}$ eine Basis von $\Bbb{C} I$ und wir erhalten eine lineare Abbildung $\Bbb{C} I \ra \cal{H}$ mit $\chi_i \mapsto e_{i}$. Da sowohl die $\chi_i$ als auch die $e_{i}$ Orthonormalsysteme sind, ist unsere Abbildung mit den Skalarprodukten vertr"aglich, insbesondere erh"alt sie Abst"ande. Da $\cal{H}$ vollst"andig ist und $\Bbb{C} I$ dicht liegt in $\op{L}^{2} (I)$, l"a"st sich unsere Abbildung nach Lemma \ref{ADM} auf genau eine Weise zu einer stetigen Abbildung $\varphi : \op{L}^{2} (I) \ra \cal{H}$ ausdehnen, und nach \ref{ADVM} ist diese Ausdehnung sogar unit"ar. Damit ist Teil 1 bewiesen. Nach \ref{VRnnn} ist das Bild unserer unit"aren Abbildung notwendig abgeschlossen, und im Fall einer Hilbertbasis folgt ihre Surjektivit"at. Um die inverse Abbildung zu beschreiben, rechnen wir \begin{equation*} \hat{v}(i)=\langle \chi_{i},\hat{v} \rangle = \langle \varphi (\chi_{i}), \varphi(\hat{v}) \rangle= \langle e_{i},v \rangle \end{equation*} Mit der Notation aus \ref{ABSBc} kann die im Beweis konstruierte Abbildung $\varphi : \op{L}^{2} (I) \ra \cal{H}$ auch suggestiver geschrieben werden in der Form $$\varphi: f \mapsto \sum_{i\in I} f(i) e_{i}$$ In der Tat gibt es f"ur jedes $\varepsilon >0$ ein endliches $I_{\varepsilon} \subset I$ mit $\sum_{i\not\in I_{\varepsilon}} |f(i)|^{2} < \varepsilon^{2}$, und f"ur $J$ endlich mit $ I_{\varepsilon}\subset J\subset I$ und der Notation $\chi_A$ f"ur die charakteristische Funktionen einer Teilmenge $A\subset I$ folgt $f=\chi_{J} f+ (1-\chi_{J})f $ und zus"atzlich $\|(1-\chi_{J})f\|_{2} < \varepsilon$, mithin $\|\varphi (f) - \varphi (\chi_{J}f) \|_{2} < \varepsilon$. Daraus folgt unmittelbar der letzte Teil des Satzes. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{SBHR} Eine Familie $(v_i)_{i\in I}$ von paarweise orthogonalen Vektoren eines Hilbertraums ist summierbar genau dann, wenn gilt $\sum_{i\in I}\|v_i\|^2<\infty$, und in diesem Fall haben wir $$\left\|\sum_{i\in I}v_i\right\|^2=\sum_{i\in I}\|v_i\|^2$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{HBO} Man zeige, da"s ein unendlichdimensionaler Hilbertraum keine Orthonormalbasis im Sinne der linearen Algebra besitzen kann. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{HRFF} Gegeben ein Ma"sraum $(X,\mu)$ und ein abz"ahlbar basierter alias separabler Hilbertraum $\cal{H}$ bilden die me"sbaren fast "uberall definierten Funktionen $f:X\ra \cal{H}$, f"ur die $\|\;\|^2\circ f:X\ra \DR$ integrierbar ist, mit dem Skalarprodukt $\langle f,g\rangle =\int \langle f(x),g(x)\rangle$ selbst einen Hilbertraum $${\op{L}}^2(X,\cal{H})={\op{L}}^2(X,\cal{H};\mu)$$ und die me"sbaren Stufenfunktionen mit Tr"ager von endlichem Ma"s bilden darin einen dichten Teilraum. Hinweis: Man verallgemeinere den Beweis von \ref{VoLp}. Die Bedingung der Separabilit"at von $\cal{H}$ ist n"otig wegen \ref{PrBS}, da im allgemeinen $\langle f(x),g(x)\rangle$ nicht me"sbar sein m"u"ste, etwa wenn $X$ endliches Ma"s hat und $f$ jedem Punkt von $X$ den durch diesen Punkt indizierten Vektor einer durch $X$ indizierten Orthonormalbasis zuordnet. Die Aussage gilt aber entsprechend f"ur beliebige Hilbertr"aume $\cal{H}$, wenn wir ${\op{L}}^2(X,\cal{H})$ feiner erkl"aren als die Menge aller me"sbaren fast "uberall definierten Funktionen $f:X\dashrightarrow \cal{H}$, deren Bild in einem separablen Teilraum von $\cal{H}$ enthalten ist und f"ur die $\|\;\|^2\circ f:X\dashrightarrow \DR$ integrierbar ist. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{Ll22} %\emph{Wohl sp"ater, wird vektorwertig ben"otigt!} Gegeben ein Ma"sraum $(X,\mathcal M,\mu)$ und eine Menge $Z$ notieren wir die Menge der fast "uberall definierten Abbildungen von $X$ nach $Z$ als $\op{Ens}_\mu(X,Z)$. Gegeben zwei $\sigma$-endliche Ma"sr"aume $X,Y$ und eine Menge $Z$ induziert die offensichtliche Bijektion zwischen den entsprechenden R"aumen "uberall definierter Abbildungen aus \eref{ABBK}{GR} nach Fubini eine Bijektion $$\op{Ens}_\mu(X\times Y,Z)\sira \op{Ens}_\mu(X,\op{Ens}_\mu( Y,Z))$$ Man zeige, da"s diese Abbildung im Spezialfall $X=Y=\DR$, $Z=\DC$ einen Isomorphismus ${\op{L}}^2(\DR\times \DR)\sira {\op{L}}^2(\DR,{\op{L}}^2( \DR))$ induziert. Hinweis: Geeignete Stufenfunktionen bilden auf beiden Seiten dichte Teilr"aume, die als Pr"ahilbertr"aume unter unserer Abbildung identifiziert werden. Dann benutze man, da"s punktweise Konvergenz fast "uberall unter unserer Abbildung punktweise Konvergenz fast "uberall wird, und schlie"se mit \ref{VoLp}. \end{Ubunge} \subsection{Vervollst"andigung metrischer R"aume*} \begin{Bemerkungl} Dieser Abschnitt ist f"ur den weiteren Fortgang der Vorlesung nicht unmittelbar relevant. Es stellt sich jedoch heraus, da"s viele unserer Funktionenr"aume auch als Vervollst"andigungen einfacherer Funktionenr"aume konstruiert werden k"onnen. So mag dieser alternative Zugang zum Verst"andnis beitragen. In vielen Zusammenh"angen spielen auch direkte Summen von unendlichen Familien von Hilbertr"aumen eine wichtige Rolle, die bequem als Vervollst"andigungen konstruiert werden k"onnen. Wir erinnern aus \eref{isoM}{LA2}, da"s eine Abbildung von metrischen R"aumen isometrisch hei"st, wenn sie alle Abst"ande unver"andert l"a"st. Sind $(X,d)$ und $(X',d')$ unsere metrischen R"aume, so hei"st also in Formeln eine Abbildung $f:X\ra X'$ isometrisch, wenn gilt $$d'(f(x),f(y))=d(x,y)\quad\forall x,y\in X$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine isometrische Abbildung mit dichtem Bild von einem metrischen Raum in einen vollst"andigen metrischen Raum hei"st eine {\bf Vervollst"andigung} des Ausgangsraums.\index{Vervollst"andigung!von metrischem Raum, eine} \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Vervollst"andigung}] \begin{enumerate} \item F"ur jeden metrischen Raum $X$ existiert eine isometrische Abbildung mit dichtem Bild $a: X\ra Y$ in einen vollst"andigen metrischen Raum $Y$; \item Ist $b:X\ra Z$ eine weitere isometrische Abbildung mit dichtem Bild in einen vollst"andigen metrischen Raum $Z$, so existiert genau eine stetige Abbildung $f:Y\ra Z$ mit $f\circ a=b$, und diese Abbildung $f$ ist isometrisch und bijektiv. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der vollst"andige metrische Raum $Y$ oder genauer das Paar $(Y,a)$ ist also durch $X$ eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus von metrischen R"aumen. Wir g"onnen ihm deshalb den bestimmten Artikel und\label{VerEi} nennen $(Y,a)$ oder auch einfach den Raum $Y$ selbst die {\bf Vervollst"andigung von $X$}.\index{Vervollst"andigung!von metrischem Raum} \end{Bemerkungl} \begin{proof} 2. Nach \ref{ADM} kann man jede gleichm"a"sig stetige Abbildung von einer dichten Teilmenge eines metrischen Raums in einen vollst"andigen metrischen Raum auf genau eine Weise stetig fortsetzen. Sind also $a:X\ra Y$ und $b:X\ra Z$ Vervollst"andigungen eines metrischen Raums $X$, so gibt es genau eine stetige Abbildung $f:Y\ra Z$ mit $f a=b$ und genau eine stetige Abbildung $g:Z\ra Y$ mit $g b=a$ und wegen $gfa=a$ und $fgb=b$ gilt $gf=\op{id}$ und $fg=\op{id}$. Weiter pr"uft man leicht, da"s auch $f$ und $g$ Isometrien sein m"ussen. \\[2mm]\noindent 1. Zu jedem metrischen Raum $(X,d)$ kann man wie folgt eine Vervollst"andigung\label{VVoll} $\op{can}:X\ra\hat{X}$ konstruieren: Auf der Menge ${\cal C}$ aller Cauchy-Folgen in $X$ betrachte man die \"{A}quivalenzrelation $\sim$ gegeben durch $$a \sim b \;\Leftrightarrow \;\lim_{n \ra \infty} d(a_n,b_n ) = 0$$ und erkl"are $\hat{X}$ als die Menge aller \"{A}quivalenzklassen von Cauchyfolgen in $X$ unter dieser \"{A}quivalenzrelation, in Formeln $$\hat{X}=\cal{C}/\sim$$ Gegeben eine Cauchyfolge $a\in \cal C$ bezeichne $[a]\in\hat{X}$ ihre "Aquivalenzklasse. Der Leser mag selbst pr"ufen, da"s es genau eine Abbildung $d:\hat{X}\times \hat{X}\ra\DR$ gibt mit der Eigenschaft $$d([a],[b])=\lim_{n \ra \infty} d(a_n ,b_n )\qquad \forall a,b\in\cal{C}$$ und da"s diese Abbildung eine Metrik auf $\hat{X}$ ist. Die Abbildung $\op{can}:X\ra \hat{X}$, die jedem Punkt $x\in X$ die Klasse der konstant bei $x$ verweilenden Folge zuordnet, hei"st die {\bf kanonische Einbettung}. Sie ist offensichtlich isometrisch mit dichtem Bild. Es bleibt nur zu zeigen, da"s jede Cauchy-Folge in $\hat{X}$ konvergiert. Seien dazu $a_0,a_1,\ldots \in{\cal C}$ Repr"asentanten f"ur die Glieder einer Cauchy-Folge in $\hat{X}$. Jedes $a_i$ ist also eine Cauchy-Folge in $X$ alias eine Abbildung $a_i:\DN\ra X$, und wir notieren die Glieder dieser Folge $a_i(0), a_i(1),\ldots$ Man zeigt nun m\"{u}helos, da"s die \glqq diagonale\grqq\ Folge $l : \DN \ra X$ mit $i\mapsto a_{i}(i)$ eine Cauchy-Folge in $X$ ist und da"s die Klasse $[l]\in\hat{X}$ von $l$ der Limes in $\hat{X}$ der Folge der $[{a}_{i}]$ ist. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkt von Vervollst"andigungen}] Das Produkt zweier Vervollst"andigungen ist wieder eine Vervollst"andigung.\label{VVP} Sind also in Formeln $X\ra V$ und $Y\ra W$ Vervollst"andigungen, so ist auch $X\times Y\ra V\times W$ eine Vervollst"andigung. In der Tat ist $V\times W$ nach \eref{PrVo}{AN2} wieder vollst"andig. Nach der Eindeutigkeit von Vervollst"andigungen \ref{VerEi} existiert also f"ur metrische R"aume $X,Y$ stets genau eine Isometrie zwischen dem Produkt ihrer Vervollst"andigungen und der Vervollst"andigung ihres Produkts, die als untere Horizontale das Diagramm $$\begin{array}{ccc} X\times Y&=& X\times Y\\ \da&&\da\\ \hat{X}\times \hat{Y} &\sira &(X\times Y)^\wedge \end{array}$$ zum Kommutieren bringt, mit dem Produkt der kanonischen Einbettungen beziehungsweise der kanonischen Einbettung des Produkts als vertikalen Abbildungen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein normierter Vektorraum $(V, \| \;\|)$ bildet man einen weiteren normierten Vektorraum $(\hat{V} , \| \;\|)$, seine \defnoind{Vervollst"andigung},\index{Vervollst"andigung!von normiertem Vektorraum} indem man auf dem vervollst"andigten metrischen Raum $\hat{V}$ die Addition, Multiplikation mit Skalaren und Norm \glqq durch stetige Fortsetzung\grqq\ nach \ref{ADM} erkl"art. So erh"alt man etwa die Addition als stetige Fortsetzung auf $\hat{V} \times \hat{V}$ von $\op{can} \circ \op{add}: V \times V \rightarrow \hat{V}$, und so weiter. Die Axiome eines normierten Vektorraums folgen dann aus der Eindeutigkeit der stetigen Fortsetzungen nach \ref{ADM}. \end{Definition} \begin{Bemerkunge}\label{SeMe} Eine {\bf Pseudometrik}\index{Pseudometrik} auf einer Menge $X$ ist eine Abbildung $d:X\times X\ra\DR_{\geq 0} $, die alle Eigenschaften einer Metrik \eref{SSMetrik}{AN2} hat mit Ausnahme der Eigenschaft, da"s verschiedene Punkte positiven Abstand haben m"ussen. Ein {\bf pseudometrischer Raum}\index{pseudometrischer Raum} ist eine Menge mit einer Pseudometrik. Eine isometrische Abbildung mit dichtem Bild von einem pseudometrischen Raum in einen vollst"andigen metrischen Raum hei"st wieder eine {\bf Vervollst"andigung} des Ausgangsraums.\index{Vervollst"andigung!von pseudometrischem Raum} Alle oben gezeigten Eigenschaften "ubertragen sich auf den pseudometrischen Fall, in dem nur die kanonische Abbildung $X\ra \hat X$ in die Vervollst"andigung eben nicht mehr injektiv zu sein braucht. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Alternativer Zugang zur Integrationstheorie}] Man k"onnte das Konzept der Vervollst"andigung dazu benutzen, sich eine Weile alle Ma"stheorie zu sparen und etwa $\op{L}^p(\DR^n)$ schlicht definieren als die Vervollst"andigung des Raums der stetigen Funktionen mit kompaktem Tr"ager in Bezug auf die $\op{L}^p$-Norm, f"ur $p\in [0,\infty)$. Mithilfe einer Variante von \ref{VoLp} identifiziert man dann Elemente dieser Vervollst"andigungen mit gewissen fast "uberall definierten Funktionen, wobei Nullmengen ohne R"uckgriff auf das Lebesgue-Ma"s erkl"art werden als solche Mengen, die von einer Folge von Quadern mit beliebig kleinem Gesamtvolumen "uberdeckt werden k"onnen. Im Fall $n=1$ erkl"art man dann das Integral $\int:\op{L}^1\ra\DC$ als die stetige Fortsetzung des Riemann-Integrals, und erkl"art schlie"slich Lebesgue-Mengen endlichen Ma"ses als solche Teilmengen des $\DR^n$, deren charakteristische Funktion integrierbar ist, und das Ma"s der Menge eben als besagtes Integral. Dieser Zugang scheint mir recht elegant, da sich das Konzept eines Ma"ses und eines Me"sraums nat"urlich ergibt und nicht willk"urlich vorgegeben werden mu"s. Ich habe dennoch den ma"stheoretischen Zugang vorgezogen, da er mit sehr viel weniger Vorkenntnissen verstanden werden kann und die grundlegenden Resultate direkt in der Allgemeinheit liefert, in der sie auch in der Wahrscheinlichkeitstheorie gebraucht werden. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Die Vervollst"andigung eines Pr"ahilbertraums besitzt stets genau eine Struktur als Hilbertraum derart, da"s die kanonische Einbettung unit"ar ist. Hinweis: Man dehne zuerst das Skalarprodukt mit einem festen Vektor auf die Vervollst"andigung aus.\label{VVPH} \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine dichte Teilmenge $A$ eines vollst"andigen metrischen Raums $X$ liefert \ref{ADM} eine isometrische Bijektion $\hat{A} \overset{\sim} {\rightarrow} X$. Insbesondere erhalten wir so f"ur jede offene Teilmenge $\Omega \co \Bbb{R}^n$ einen Isomorphismus von Hilbertr"aumen $\mathcal{C}_! (\Omega)^{\wedge} \overset{\sim}{\rightarrow} \op{L}^2 (\Omega)$, wo die Komplettierung des Pr"ahilbertraums $\mathcal{C}_! (\Omega)$ der stetigen Funktionen mit kompaktem Tr"ager $f : \Omega \rightarrow \Bbb{C}$ bez"uglich der $\op{L}^2$-Norm $\| f\|_2 \pdef (\int |f|^2)^{1/2}$ gemeint ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{OSH} Gegeben eine Familie von Hilbertr"aumen $(\cal{H}_i)_{i\in I}$ erkl"aren wir auf der direkten Summe $\bigoplus_{i\in I} \cal{H}_i$ der zugrundeliegenden Vektorr"aume ein Skalarprodukt durch die Vorschrift $\langle (v_i),(w_i)\rangle\pdef \sum_{i\in I}\langle v_i,w_i\rangle$. Die Vervollst"andigung dieses Pr"ahilbertraums im Sinne von \ref{VVPH} hei"st die {\bf Hilbertsumme}\index{Hilbertsumme} unserer Hil\-bert\-r"au\-me und wird $$\hat{\bigoplus}_{i\in I}\cal{H}_i$$ notiert. Man zeige, da"s sich die Hilbertsumme auch beschreiben l"a"st als der Teilraum ihres Produkts aller Tupel $(v_i)$ mit der Eigenschaft $\sum_{i\in I}\|v_i\|^2<\infty$, mit dem Skalarprodukt $\langle (v_i),(w_i)\rangle\pdef \sum_{i\in I}\langle v_i,w_i\rangle$. Ist speziell $B_i\subset \cal{H}_i$ jeweils eine Hilbertbasis, so ist die disjunkte Vereinigung $\bigsqcup_{i\in I}\op{in}_i(B_i)$ eine Hilbertbasis unserer Hilbertsumme. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{DSDS} Man erinnere die Konstruktion $\op{L}^2(X,\cal{H})$ aus \ref{HRFF}. Gegeben ein $\sigma$-endlicher Ma"sraum und eine abz"ahlbare Familie $\cal{H}_i$ von separablen Hilbert\-r"aumen liefert die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus $$\hat{\bigoplus}\op{L}^2(X,\cal{H}_i)\sira {\op{L}}^2\left(X,\hat{\bigoplus}\cal{H}_i\right)$$ \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{toTE} Gegeben zwei Hilbertr"aume $\cal{H}$ und $\cal{L}$ definiert man ihr {\bf vervollst"andigtes Tensorprodukt}\index{Tensorprodukt!vervollst"andigtes} $$\cal{H}\hat{\otimes}\cal{L} \index{)6a@$\hat{\otimes}$ vervollst"andigtes Tensorprodukt}$$ als die Vervollst"andigung ihres algebraischen Tensorprodukts mit seiner offensichtlichen Struktur als Pr"ahilbertraum. Man zeige, da"s f"ur $(v_i)$ eine Hilbertbasis von $\cal{H}$ und $(w_j)$ eine Hilbertbasis von $\cal{L}$ die Tensoren $(v_i\otimes w_j)$ eine Hilbertbasis von $\cal{H}\hat{\otimes}\cal{L} $ bilden. Gegeben Ma"sr"aume $(X,\mu)$ und $(Y,\nu)$ zeige man allgemeiner: F"ur das Produktma"s $\mu\boxtimes\nu$ nach \ref{gMPo} liefert die von $f\otimes g\mapsto f\boxtimes g$ mit $(f\boxtimes g)(x,y)\pdef f(x)g(y)$ induzierte Abbildung einen Hilbertraumisomorphismus $${\op{L}}^2(X;\mu)\hat\otimes{\op{L}}^2(Y;\nu) \sira {\op{L}}^2(X\times Y;\mu\boxtimes \nu)$$ Hinweis: Das Bild ist dicht nach \ref{DLPg}. \end{Ubunge} \subsection{Fourierreihen quadratintegrierbarer Funktionen} \begin{Satz}[\textbf{Approximation durch glatte Funktionen}] Ist $U\co \Bbb{R}^{n}$ eine offene Teilmenge und $\mu$ ein Borelma"s auf $U$, so liegen\label{AL1} die glatten Funktionen mit kompaktem in $U$ enthaltenen Tr"ager f"ur alle $p\in[1,\infty)$ dicht im Raum der $\op{L}^{p}$-Funktionen auf $U$, in Formeln $$ \overline{\cal{C}_!^\infty(U)} = \op{L}^{p}(U;\mu)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Diese Aussage ist im Fall $p=\infty$ nicht mehr richtig. Zum Beispiel kann man auf $\DR$ mit dem Lebesguema"s die konstante Funktion $1$ in $\op{L}^\infty$ nicht als Grenzwert einer Folge von Funktionen mit kompaktem Tr"ager erhalten. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Nat"urlich ist $\overline{\cal{C}_{!}^\infty(U)} \subset \op{L}^{p}(U;\mu)$ ein Untervektorraum. Wir zeigen nun f"ur immer gr"o"sere Funktionenklassen, da"s sie zu $\overline{\cal{C}_{!}^\infty(U)}$ geh"oren. \\[2mm]\noindent 1. Ist $A \co U$ offen von endlichem Ma"s $\mu (A) < \infty$, so geh"ort die charakteristische Funktion $[A]$ von $A$ zu $\overline{\cal{C}_{!}^\infty(U)}$. Das folgt mit dem Satz "uber monotone Konvergenz sofort aus Lemma \ref{KOo}, nach dem eine Folge nichtnegativer glatter Funktionen mit kompaktem, in $A$ enthaltenem Tr"ager monoton gegen die charakteristische Funktion von $A$ konvergiert. \\[2mm]\noindent 2. Ist $B \subset U$ me"sbar von endlichem Ma"s $\mu (B) < \infty$, so geh"ort $[B]$ zu $\overline{\cal{C}_{!}^\infty(U)}$. In der Tat, f"ur jedes $\varepsilon >0$ finden wir aufgrund der Regularit"at unseres Ma"ses nach \ref{RE} eine offene Teilmenge $A \co U$ mit $B \subset A$ und $\mu (B) \leq \mu (A) \leq\mu (B) +\varepsilon$. F"ur deren charakteristische Funktion gilt dann $\|[B] - [A]\|_{p} < \varepsilon^{1/p}$. Also ist $[B]$ Grenzwert einer Folge aus $\overline{\cal{C}_{!}^\infty(U)}$ und geh"ort mithin selbst zu $\overline{\cal{C}_{!}^\infty(U)}$. \\[2mm]\noindent 3. F"ur jeden Ma"sraum liegen die integrierbaren Stufenfunktionen f"ur alle $p\in [1,\infty)$ dicht im Raum der $\op{L}^p$-Funktionen, siehe \ref{USs}. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Approximation durch stetige Funktionen}] Ist $A\As \Bbb{R}^{n}$ eine abgeschlossene Teilmenge und $\mu$ ein Borelma"s auf $A$, so liegen\label{AL12} die stetigen Funktionen mit kompaktem Tr"ager auf $A$ f"ur alle $p\in[1,\infty)$ dicht im Raum der $\op{L}^{p}$-Funktionen auf $A$, in Formeln $$ \overline{\cal{C}_!(A)} = \op{L}^{p}(A;\mu)$$ \end{Korollar} \begin{proof} Wir wenden den obigen Satz an auf das Borelma"s $i_*\mu$ f"ur $i:A\hra \DR^n$ die Einbettungsabbildung. \end{proof} \begin{Bemerkungw} Ist $(X,\mu)$ ein abz"ahlbar basierter\label{DLp} lokal kompakter Hausdorff\-raum mit einem Borelma"s, so liegen f"ur $p\in[1,\infty)$ die stetigen Funktionen mit kompaktem Tr"ager dicht im Raum der $\op{L}^p$-Funktionen. Das zeigen wir hier nicht. \end{Bemerkungw} \begin{Theorem}[\textbf{Fourierreihen f"ur ${\op{L}}^2$-Funktionen}] Sei das Intervall\label{FRr} $[0,2\pi]$ mit dem auf Gesamtma"s Eins normierten Lebesgue-Ma"s $\mu \pdef\diff t / 2\pi$ versehen und $\Bbb{Z}$ mit dem Z"ahlma"s $\zeta$. So liefert die Fourierentwicklung $f\mapsto {f^\wedge}$ gegeben durch ${f^\wedge} (n) \pdef\int_0^{2\pi} f(t) \op{e}^{-{\op{i}}n t} \mu\langle t\rangle$ einen Isomorphismus von Hilbert\-r"aumen $$\op{L}^{2}([0,2\pi];\mu) \sira \op{L}^{2}(\Bbb{Z};\zeta)$$ \end{Theorem} \begin{proof} Wir m"ussen nach \ref{HiBa} nur zeigen, da"s die Funktionen $(\op{e}^{{\op{i}}nt})_{n\in \Bbb{Z}}$ im Sinne von \ref{Hibb} eine Hilbertbasis von $\op{L}^{2}([0,2\pi];\mu)$ bilden. Wir haben schon im Beweis von \eref{Fou2}{AN2} gesehen, da"s sie ein Orthonormalsystem bilden. Aus \eref{Lei}{AN2} wissen wir weiter, da"s sich jede stetige Funktion der Periode $2\pi$ beliebig gut gleichm"a"sig durch trigonometrische Polynome approximieren l"a"st. Da hinwiederum die stetigen, ja sogar die glatten Funktionen auf $[0,2\pi]$ mit Tr"ager im offenen Intervall $(0,2\pi)$ nach \ref{AL1} ihrerseits dicht in $\op{L}^{2}$ liegen, liegen auch die trigonometrischen Polynome dicht in $\op{L}^{2}$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man berechne die Fourierkoeffizienten der S"agezahnfunktion $t \mapsto |t|$ f"ur $t \in [-\pi, \pi]$ und der Funktion $t \mapsto \exp(\exp ( {\op{i}}t))$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $f: \Bbb{R}\rightarrow \Bbb{R}$ von der Periode $2\pi $ und integrierbar auf $[0,2\pi]$. So gilt $\lim_{n\ra\infty}\int_0^{2\pi}f(t) {\op{e}}^{{\op{i}}n t}\diff t=0$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Sei $f: \Bbb{R}\rightarrow \Bbb{R}$ von der Periode $2\pi $ und integrierbar auf $[0,2\pi]$ und sei $a \in \Bbb{R}$ gegeben. Lassen sich die Restriktionen $f|_{(-\infty,a) }$ und $f|_{(a,\infty)}$ auf die jeweiligen abgeschlossenen reellen Intervalle fortsetzen zu bei $a$ differenzierbaren Funktionen, so konvergiert die die Folge $\sum_{|\nu|\leq n}c_\nu \op{e}^{{\op{i}}\nu a}$ der Partialsummen der Fourierreihe von $f$ bei $a$ gegen den Wert \begin{displaymath} \frac{1}{2} \left( \lim_{t\nearrow a} f (t) + \lim_{t\searrow a} f(t)\right) \end{displaymath} Hinweis: Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $a =0$ und $f$ gerade und stetig bei Null mit $f(0) =0$. Nun setze man $P_{n} =\sum^n_{\nu = -n} \op{e}^{{\op{i}}\nu t}$ und pr"ufe $P_n (t) =\cos (nt) + \cot (t/2) \sin (n t)$. Dann zeige man $\langle f,P_n\rangle \rightarrow 0$. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Fourierreihen in mehreren Ver"anderlichen}] Man zeige, da"s die\label{FMVi} Funktionen $x \mapsto \op{e}^{2\pi {\op{i}} x \cdot\xi}$ f"ur $\xi \in \Bbb{Z}^n$ eine Hilbertbasis des Raums $\op{L}^2 ([0,1]^n; \lambda)$ der in Bezug auf das Lebesgue-Ma"s quadratintegrierbaren Funktionen auf dem $n$-dimensionalen Einheitsw"urfel bilden. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{StVer} Gegeben $y\in\DR^n$ und $p\in [1,\infty)$ bezeichne $\tau_y: \op{L}^{p}(\DR^n)\ra \op{L}^{p}(\DR^n)$ die Verschiebung, in Formeln $(\tau_yf)(x)=f(x-y)$. Man zeige die Stetigkeit der Abbildung $\DR^n\times \op{L}^{p}(\DR^n)\ra \op{L}^{p}(\DR^n)$, $(y,f)\mapsto \tau_yf$. Hinweis: Man zeige zun"achst die Stetigkeit von $y\mapsto \tau_yf$ f"ur $f\in \cal{C}_{!} (\Bbb{R}^{n})$. Der Buchstabe $\tau$ seht f"ur das Wort \glqq Translation\grqq. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Hier d"urfen Sie zeigen, da"s f"ur $A,B\subset\DR^n$ me"sbar von positivem Ma"s die Menge $A+B$ eine nichtleere offene Teilmenge umfa"st. Man folgere zun"achst aus \ref{StVer}, da"s f"ur alle $g\in {\op{L}}^1(\DR^n;\lambda)$ die Funktion $y\mapsto \int f(y-x)[B](x)\;\lambda\langle x\rangle$ stetig sein mu"s. Dann beachte man, da"s diese Funktion im Fall $f=[A]$ mit $A$ me"sbar von positivem endlichen Ma"s nichtnegativ ist und positives Integral hat. Man folgere, da"s jede me"sbare echte Untergruppe von $\DR^n$ Ma"s Null haben mu"s.\label{MebUG} Man folgere, da"s jeder me"sbare Gruppenhomomorphismus $\DR^n\ra \DZ^n$ konstant sein mu"s. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}%\label{PWKK} Doch nicht wichtig Ist $U\co\DR^n$ eine offene Teilmenge und $\mu$ darauf ein Borelma"s, so gibt es f"ur jede beschr"ankte me"sbare Funktion $f:U\ra\DC$ eine Folge $f_n$ in $\cal{C}_{!}^\infty(U)$ mit $\|f_n\|_\infty\leq \|f\|_\infty$ f"ur alle $n$ und $f_n(x)\ra f(x)$ f"ur fast alle $x\in U$. Hinweis: Da unser Ma"s notwendig $\sigma$-endlich ist, findet man ein endliches Ma"s mit denselben Nullmengen, f"ur das dann $f$ integrierbar ist. Nun verwende man \ref{VoLp}. \end{Ubunge} \subsection{Fourierreihen und Charaktere} \begin{Bemerkungl} Seine nat"urlichste Form erh"alt unser Satz "uber Fourierreihen, wenn man das Intervall $[0,2\pi]$ zur Kreislinie $S^1 \pdef\{ z \in \Bbb{C} \mid |z| =1\}$ zusammenbiegt. Das soll im folgenden ausgef"uhrt werden. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine {\bf topologisches Monoid}\index{topologisch!Monoid}\index{Monoid!topologische} ist ein Monoid $G$ mit einer Topologie derart, da"s die Verkn"upfung $G\times G\ra G$ stetig ist f"ur die \hyperref[ProTo]{Produkttopologie} auf $G\times G$. Eine {\bf topologische Gruppe}\index{topologische Gruppe}\index{Gruppe!topologische} ist eine Gruppe $G$ mit einer Topologie derart,\label{topGR} da"s die Verkn"upfung $G\times G\ra G$ und die Inversenabbildung $G\ra G$ stetig sind. Eine Hausdorff'sche topologische Gruppe nenne ich eine {\bf Hausdorffgruppe}.\index{Hausdorffgruppe} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} %Die topologischen Gruppen bilden mit stetigen Gruppenhomomorphismen %als Morphismen eine Kategorie, die ich %$\op{GrpTop}$\index{GrpTop@$\op{GrpTop}$ Kategorie der topologischen Gruppen} %notiere. Gegeben topologische Gruppen $G,H$ bezeichne %insbesondere $\op{GrpTop}(G,H)$ die Menge aller stetigen Gruppenhomomorphismen von $G$ nach $H$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Die additive Gruppe $(\DR,+)$ mit der Standardtopologie auf $\DR$ ist eine topologische Gruppe. Die additive Gruppe eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums mit seiner nat"urlichen Topologie ist eine topologische Gruppe. Die additive Gruppe jedes normierten reellen Vektorraums mit der metrischen Topologie ist eine topologische Gruppe. Die multiplikative Gruppe $\DC^\times$ des K"orpers der komplexen Zahlen ist eine topologische Gruppe. Die {\bf Kreisgruppe}\index{Kreisgruppe} $S^1$ aller komplexen Zahlen der Norm Eins ist mit der von $\DC$ induzierten Topologie eine topologische Gruppe. Jede Gruppe ist mit der diskreten Topologie eine topologische Gruppe. In der Zahlentheorie sind auch die topologischen Gruppen der sogenannten \glqq $p$-adischen Zahlen\grqq\ und \glqq Adele\grqq\ von gro"ser Bedeutung. \end{Beispiele} \begin{Definition} Gegeben eine topologische Gruppe $G$ nennen wir die stetigen Gruppenhomomorphismen von der additiven Gruppe $(\DR,+)$ nach $G$ alias die Elemente von $\op{GrpTop}(\DR,G)$ die {\bf Gruppenwege in $G$}. \index{Gruppenweg} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Unsere Gruppenwege hei"sen in der Literatur meist \glqq Einparameteruntergruppen\grqq.\index{Einparameteruntergruppe} Diese Terminologie schien mir jedoch ungeschickt, da es sich dabei nicht um Untergruppen handelt. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Gruppenwege in $\DR^\times$ haben wir bereits in \eref{SRR1}{AN1} besprochen und Gruppenwege in der Kreisgruppe in \eref{EplOO}{AN1}. Genauer haben wir dort gezeigt, da"s jeder stetige Gruppenhomomorphismus $\varphi:\DR\ra S^1$ von der Gestalt $\varphi(t)={\op{e}}^{{\op{i}}at}$ ist f"ur genau ein $a\in \DR$.\label{GHrc} \end{Beispiele} \begin{Definition}\label{ChFou} Gegeben eine topologische Gruppe $G$ nennen wir die stetigen Gruppenhomomorphismen von $G$ in die Kreisgruppe $S^1$ alias die Elemente von $\op{GrpTop}(G, S^1)$ die {\bf Charaktere}\index{Charakter!von topologischer Gruppe} oder genauer die {\bf unit"aren multiplikativen Charaktere von $G$}.\index{Charakter!unit"arer} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Sei $G$ eine topologische Gruppe. Die Menge der Charaktere von $G$ bildet mit der Verkn"upfung $(\chi\dotplus\psi)(g)\pdef \chi( g)\psi(g)$ eine abelsche Gruppe $$\hat G=\mathfrak X(G)\pdef \op{GrpTop}(G,S^1)$$ Diese Gruppe hei"st die {\bf Charaktergruppe von} $G$.\index{Charaktergruppe} Ihre Verkn"upfung notiert man additiv, wenn man sich die Charaktere als Elemente einer abstrakten abelschen Gruppe denkt, und multiplikativ, wenn man sie sich als konkrete Funktionen denkt. F"ur jeden unit"aren Charakter $\chi$ ist sein Negatives alias Inverses in der Charaktergruppe der komplex konjugierte Charakter $\bar \chi$, denn f"ur jede komplexe Zahl $z$ vom Betrag Eins gilt $z^{-1}=\bar z$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Mehrdeutigkeiten bei der Addition von Charakteren}] Meist notiert man die Verkn"upfung der Charaktergruppe einfacher $\chi+\psi$ statt $\chi\dotplus\psi$. Das f"uhrt jedoch leicht zu Verwirrung, da $\chi + \psi$ alternativ auch die Summe der Funktionen $\chi,\psi:G\ra\DC$ bedeuten kann, die ihrerseits kein Charakter mehr ist. Was im Einzelfall gemeint ist, gilt es aus dem Kontext zu erschlie"sen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Charaktere der Zahlengeraden}] Unser Satz \ref{GHrc} "uber die Gruppenwege in der Kreisgruppe beschreibt auch die Charaktere der additiven Gruppe $\DR$. Genauer erhalten wir durch die Abbildungsvorschrift $y\mapsto (x\mapsto {\op{e}}^{{{\op{i}}}xy})$ einen Gruppenisomorphismus $$\DR\sira \mathfrak X(\DR)$$ Dies Beispiel wird bei der Fouriertransformation wichtig werden. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Charaktere zyklischer Gruppen}] Das Auswerten eines Charakters auf dem Erzeuger $1\in (\DZ,+)$ liefert nach der universellen Eigenschaft \eref{GHZ}{GR} von $\DZ$ einen Gruppenisomorphismus $$ \mathfrak X(\DZ)\sira S^1$$ Gegeben $m\in\DN$ liefert das Auswerten eines Charakters auf der Nebenklasse der Eins nach der universellen Eigenschaft \eref{QUE}{LA2} des Quotienten weiter einen Gruppenisomorphismus $$ \mathfrak X(\DZ/m\DZ)\sira \mu_m\pdef \{\zeta\in S^1\mid \zeta^m=1\}$$ der Charaktergruppe von $\DZ/m\DZ$ mit der Gruppe $\mu_m$ der $m$-ten Einheitswurzeln. Wir k"onnen das Auswerten auch als Paarung $ \DZ/m\DZ \times \mu_m\ra S^1$, $(\bar n, \zeta)\mapsto \zeta^n$ lesen. Diese Paarung liefert dann auch umgekehrt einen Gruppenisomorphismus $$ \DZ/m\DZ\sira \mathfrak X(\mu_m)$$ In der Tat pr"uft man leicht die Injektivit"at. Weil es nun aber Gruppenisomorphismen $\mu_m \sira \DZ/m\DZ$ gibt, haben beide Seiten gleichviele Elemente. \end{Beispiel} \begin{Lemma}[\textbf{Charaktere der Kreisgruppe}] Jeder stetige Gruppenhomomorphismus $\chi:S^1\ra S^1$ ist von der Form $\chi=\chi_n:z\mapsto z^n$ f"ur genau ein $n\in\DZ$\label{ChS1} und die Abbildung $n\mapsto \chi_n$ ist ein Gruppenisomorphismus $$\DZ\sira \mathfrak X(S^1)$$ \end{Lemma} \begin{proof} Das einzige Problem ist nachzuweisen, da"s es au"ser den $\chi_n$ keine weiteren stetigen Gruppenhomomorphismen $\chi:S^1\ra S^1$ gibt. Ist aber $\chi$ solch ein Gruppenhomomorphismus, so ist $\varphi:t\mapsto \chi(\exp({\op{i}}t))$ ein Gruppenweg in $S^1$. Nach \ref{GHrc} gibt es folglich $a\in\DR$ mit $\chi(\exp({\op{i}}t))=\exp({\op{i}}at)$. Wegen $\chi(1)=1$ folgt erst $\exp(2\pi{\op{i}} a)=1$ und dann $a\in\DZ$ und dann schlie"slich $\chi(\exp({\op{i}}t))=(\exp({\op{i}}t))^n$ alias $\chi=\chi_n$. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Die Algebra zeigt, da"s das Auswerten an der Restklasse von $1$ f"ur jede Gruppe $G$ eine Bijektion $\op{Grp}(\DZ/n\DZ,G)\sira\{g\in G\mid g^n=e\}$ liefert. Jeder Gruppenhomomorphismus $\chi:S^1\ra S^1$ induziert nun auf den $2^{s}$-ten Einheitswurzeln einen Gruppenhomomorphismus, der nach dem Vorhergehenden die Gestalt $\chi(z)=z^{n(s)}$ haben mu"s. Hier wird $n(s)$ durch die zus"atzlichen Bedingung $ -2^{s-1}0$. Die Projektionen von $C$ sind dann Kompakta $K\subset G$ und $L\subset H$ mit $\nu(K\times L)>0$. Durch Multiplikation mit einer Konstante d"urfen wir sogar $\nu(K\times L)=1$ annehmen. Dann erhalten wir offensichtlich ein Haarma"s $\lambda$ auf $G$ durch die Vorschrift $\lambda(A)\pdef \nu(A\times L)$ und ein Haarma"s $\mu$ auf $H$ durch die Vorschrift $\mu(B)\pdef \nu(K\times B)$. Ist $A$ enthalten in einem Kompaktum, so liefert weiter die Vorschrift $\mu_A(B)\pdef\nu(A\times B)$ ein Haarma"s oder das Nullma"s auf $H$. Also gibt es nach Annahme eine nur von $A$ abh"angende Konstante $c_A\geq 0$ mit $\mu_A(B)=c_A\mu(B)$ und durch Einsetzen von $B=L$ ergibt sich $$\lambda(A)=\nu(A\times L)=\mu_A(L)=c_A\mu(L)=c_A$$ Das zeigt f"ur alle me"sbaren Mengen $A\subset G$ und $B\subset H$ mit $A$ enthalten in einem Kompaktum die Identit"at $$\nu(A\times B)=\mu_A(B)=c_A\mu(B)=\lambda(A)\mu(B)$$ Da aber jede Fouriergruppe als abz"ahlbare Vereinigung von Kompakta geschrieben werden kann, erzeugen die Produkte $A\times B$ mit in Kompakta enthaltenen me"sbaren Mengen $A,B$ bereits die borelsche $\sigma$-Algebra von $A\times B$. Mit dem Ma"sfortsetzungssatz von Caratheodory \ref{MHa} folgt wie gew"unscht $\nu=\lambda\boxtimes\mu$. \end{proof} \begin{Definition} Ein Haarma"s hei"st {\bf normiert}, wenn es der ganzen Gruppe das Ma"s Eins zuordnet. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Fourierreihen und Charaktere}] Jede kompakte Fouriergruppe $K$ besitzt genau ein normiertes Haarma"s $\mu=\mu_K$\label{CBFouA} und die Menge $\mathfrak X(K)$ ihrer Charaktere ist eine Hilbertbasis des Raums ${\op{L}}^2(K;\mu)$ der qua\-drat\-in\-te\-grier\-ba\-ren Funktionen auf $K$. \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Der Satz gilt allgemeiner f"ur jede abelsche kompakte Hausdorffgruppe. F"ur einen Beweis in dieser Allgemeinheit verweise ich auf \eref{BiHH}{TM}. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel}[{\bf Der Fall einer Kreisgruppe}] Im Fall der Kreisgruppe liefert die Abbildung $E:t\mapsto \op{exp}({\op{i}}t)$ einen Isomorphismus $([0,2\pi),\diff t/2\pi)\sira (S^1,\mu)$ von Ma"sr"aumen und folglich einen Isomorphismus von Hilbertr"aumen\label{FKGG} $${\op{L}}^2([0,2\pi);\diff t/2\pi)\sira {\op{L}}^2(S^1;\mu)$$ Die Charaktere $\chi_n:z\mapsto z^n$ bilden also genau dann eine Hilbertbasis von ${\op{L}}^2(S^1;\mu)$, wenn die Funktionen $\chi_n\circ E:t\mapsto \op{exp}({\op{i}}nt)$ eine Hilbertbasis von ${\op{L}}^2([0,2\pi);\diff t/2\pi)$ oder gleichbedeutend von ${\op{L}}^2([0,2\pi];\diff t/2\pi)$ bilden. So sehen wir, da"s unser Satz \ref{CBFouA} in diesem Fall nur eine Umformulierung des Satzes \ref{FRr} "uber die Fourierreihe ist. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[{\bf Der Fall einer endlichen Gruppe}] Unser Satz ist bereits im Fall einer endlichen Gruppe durchaus relevant, wenn er auch in diesem Fall besser in eine Vorlesung "uber Algebra pa"st. Im Spezialfall einer zyklischen Gruppe von Einheitswurzeln $\mu_m\pdef \{\zeta\in \DC\mid \zeta^m=1\}\cong\DZ/m\DZ$ etwa sind die Charaktere genau alle Abbildungen $\chi_n:\zeta\mapsto \zeta^n$ f"ur $n=0,1,\ldots, m-1$ und der in unserem Satz versteckte Hilbertraumisomorphismus $${\op{L}}^2(\mathfrak X( K);\zeta)\sira {\op{L}}^2( K;\mu)$$ hei"st die {\bf diskrete Fouriertransformation}. Die diskrete Fouriertransformation ist f"ur konkrete\label{hbch} Anwendungen von besonderer Bedeutung, da in der Praxis stets nur endlich viele Messungen durchgef"uhrt werden k"onnen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw} In der Algebra werden wir dieses Beispiel in \eref{GrEW}{NAS} auf den Fall allgemeinerer\label{VFou} Grundk"orper verallgemeinern und in \eref{Uke}{NAS} auf den Fall endlicher nicht notwendig kommutativer Gruppen. In \eref{FtKG}{TM} schlie"slich f"uhren wir im Fall komplexer Koeffizienten diese Verallgemeinerungen in verschiedene Richtungen wieder zusammen unter dem Dach einer \glqq Fouriertransformation f"ur kompakte Hausdorffgruppen\grqq. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis des Satzes "uber Fourierreihen und Charaktere] Nach \ref{HmFg} gibt es auf jeder Fouriergruppe ein bis auf eine positive multiplikative Konstante eindeutiges Haarma"s. Damit gibt es offensichtlich auf jeder kompakten Fouriergruppe genau ein normiertes Haarma"s $\mu$. F"ur jedes Element $g\in K$ gilt nun per definitionem $(g\cdot)_\ast\mu=\mu$. Gegeben ein Charakter $\chi:K\ra S^1$ gilt weiter $\chi(gh)=\chi(g)\chi(h)$ und damit $$\int \chi \mu= \int \chi \;(g\cdot)_\ast\mu=\int (\chi\circ(g\cdot))\;\mu =\int \chi(g)\chi\mu=\chi(g)\int \chi\mu$$ Ist insbesondere $\chi$ ein nichttrivialer Charakter von $K$, gibt es in anderen Worten $g\in K$ mit $\chi(g)\neq 1$, so folgt $\int \chi \mu=0$. Gegeben zwei Charaktere $\chi,\psi$ gilt in ${\op{L}}^2(K;\mu)$ also $$\langle\chi,\psi\rangle =\int \bar\chi \psi \;\mu =\delta_{\chi,\psi}$$ Das zeigt, da"s die Charaktere ein Orthonormalsystem bilden. Es bleibt zu zeigen, da"s es vollst"andig ist. Wir wissen das bereits f"ur $K$ endlich zyklisch durch Dimensionsvergleich und f"ur $K$ die Kreisgruppe aus der Theorie der Fourierreihen. Im allgemeinen folgt es dann aus \ref{DLPg} oder alternativ aus dem Approximationssatz von Stone-Weierstra"s \eref{SWC}{AN2}. In der Tat ist der von den Charakteren aufgespannte Untervektorraum $\langle \mathfrak X(K)\rangle_\DC\subset \mathcal C(K)$ eine unter der komplexen Konjugation stabile Unterringalgebra, die die Punkte trennt, und folglich eine dichte Teilmenge f"ur die Norm $\|\;\|_\infty$ der gleichm"a"sigen Konvergenz. Die stetigen Funktionen hinwiederum sind nach \ref{AL12} dicht in $\op{L}^2(K;\mu)$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben eine topologische Gruppe $G$ ist jede Untergruppe $H\subset G$ mit ihrer induzierten Topologie auch eine topologische Gruppe.\label{Ugtg} Hinweis: \ref{Ptio}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{HoTr} Man konstruiere eine Bijektion zwischen der Menge aller stetigen Gruppenhomomorphismen $(S^1)^m\ra (S^1)^n$ und der Menge $\op{Mat}(n\times m;\DZ)$ aller $(n\times m)$-Matrizen mit ganzzahligen Eintr"agen. Hinweis: \ref{ChS1}. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{MRMC} Gegeben $\lambda\in\DC$ und $\varepsilon\in \{0,1\}$ betrachten wir den Gruppenhomomorphismus $\rho_{\lambda, \varepsilon}:\DR^\times \ra\DC^\times$ mit $\rho_{\lambda, \varepsilon}(x)= |x|^\lambda (\op{sgn}(x))^\varepsilon$. Man zeige, da"s wir so genau alle stetigen Gruppenhomomorphismen $\DR^\times\ra \DC^\times$ erhalten. Hinweis: Man beachte $\DR\times\{1,-1\}\sira \DR_{>0}\times\{1,-1\}\sira \DR^\times$ vermittels $(\op{exp}\times \op{id})$ beziehungsweise der Multiplikation und wende "Ubung \eref{GHCC}{AN1} an, in der alle Gruppenwege in $\DC^\times$ beschrieben werden. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Charaktere von Produkten}] Gegeben $G,H$ topologische Gruppen zeige man, da"s die durch $\chi\mapsto (\chi\circ i,\chi\circ j)$ gegebene Abbildung ein Grup\-pen\-iso\-mor\-phis\-mus\label{CvP} $$\mathfrak X(G\times H)\sira \mathfrak X(G)\times \mathfrak X(H)$$ ist, mit $i:G\hra G\times H$, $g\mapsto (g,1)$ und $j:H\hra G\times H$, $h\mapsto (1,h)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Me"sbare Homomorphismen von Fouriergruppen}] Man zeige, da"s jeder me"sbare Gruppenhomomorphismus von Fouriergruppen stetig ist. Hier darf me"sbar sogar in Bezug auf die Vervollst"andigung der Borel'schen $\sigma$-Algebra nach dem Haar-Ma"s verstanden werden. Hinweis: Man zeigt wie in \ref{StVer} f"ur jede Fouriergruppe $G$, da"s die Abbildung $G\times{\op{L}}^2(G)\ra {\op{L}}^2(G)$ gegeben durch $(w,f)\mapsto (f\circ (w\cdot))$ stetig ist. Man folgere, da"s f"ur kompaktes $G$ jeder me"sbare Gruppenhomomorphismus $G\ra S^1$ stetig ist. Wie in \ref{MebUG} zeigt man, da"s f"ur jede Fouriergruppe $G$ jeder me"sbare Gruppenhomomorphismus $G\ra \Gamma$ in eine diskrete Fouriergruppe stetig ist. Damit kann man sich dann durchtricksen. \end{Ubung} \subsection{Orthogonale Projektionen in Hilbertr"aumen} \begin{Bemerkungl} Wir holen den Beweis nach f"ur unsere Behauptung, da"s jeder Hilbertraum eine Hilbertbasis besitzt. Dem liegt der folgende allgemeine Satz zugrunde. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Hilbertraumkomplemente}] \label{VOUY} \begin{enumerate} \item Gegeben eine Teilmenge $U$ eines Pr"a\-hil\-bert\-raums $\cal{H}$ ist ihr Orthogonalraum $U^{\bot} \pdef\{v\in \cal{H} \mid \langle u,v \rangle=0 \; \forall u \in U\}$ ein abgeschlossener Teilraum; \item Gegeben ein vollst"andiger Teilraum $U$ eines Pr"ahilbert\-raums $\cal{H}$ liefert die Addition eine Bijektion $U\times U^{\bot} \;\sira \;\cal{H}$; \item Gegeben ein abgeschlossener Teilraum $U$ eines Hilbert\-raums $\cal{H}$ liefert die Addition eine Bijektion $U\times U^{\bot} \;\sira \;\cal{H}$; \end{enumerate} \label{OKoHi} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] 1. Sicher ist f"ur alle $x\in \cal{H}$ die Abbildung $\cal{H} \ra \Bbb{C}$, $v\mapsto \langle x, v \rangle$ stetig und linear. Das Urbild $x^{\bot}$ von $0\in \Bbb{C}$ unter dieser Abbildung ist also ein abgeschlossener Teilraum von $\cal{H}$, und dann mu"s auch f"ur beliebiges $U \subset \cal{H}$ die Menge $$ U^{\bot} = \{ v\in \cal{H}\mid \langle x,v\rangle=0 \quad \forall \; x\in U\} = \bigcap_{x\in U}x^{\bot} $$ ein abgeschlossener Teilraum von $\cal{H}$ sein. \\[2mm]\noindent 2. Ist $U$ ein Teilraum, so gilt offensichtlich $U \cap U^{\bot} = 0$ und damit ist unsere Additionsabbildung injektiv. Um f"ur $U$ einen vollst"andigen Teilraum ihre Surjektivit"at zu zeigen, w"ahlen wir ein $v \in \cal{H}$ und setzen $d = d (v,U) \pdef \inf_{u \in U} \|v-u\|$. Sicher gibt es eine Folge $u_{n}$ von Vektoren aus $U$ mit $\lim_{n\ra \infty} \|v-u_{n}\| = d$. Wir erinnern nun die Parallelogrammregel \eref{PGR}{LA2}, nach der die Summe der Quadrate der vier Seiten eines Parallelogramms gleich ist zur Summe der Quadrate der beiden Diagonalen. Ist also eine Diagonale fast so lang wie der halbe Umfang, so mu"s die andere Diagonale sehr kurz sein. In Formeln erhalten wir \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUCau}\\[4mm] \noindent Illustration zum Beweis des Satzes "uber das orthogonale Komplement: Ist in einem Parallelogramm eine Diagonale, hier etwa die gestrichelt eingezeichnete, fast so lang wie der halbe Umfang, so mu"s die andere Diagonale sehr kurz sein. \end{Bild} $$\begin{array}{lll} 2 \| v-u_{n}\|^{2} + 2\|v-u_{m}\|^{2} &=& \|u_{n}-u_{m}\|^{2}+ \|2v-u_{n}-u_{m}\|^{2}\\ &=& \|u_{n}-u_{m}\|^{2}+ 4\|v-(u_{n}+u_{m})/2\|^{2}\end{array}$$ Da aber $(u_{n}+u_{m})/2$ auch in $U$ liegt, folgt $$ 2\|v-u_{n}\|^{2} + 2 \|v-u_{m}\|^{2} -4 d^{2} \;\geq\; \|u_{n}-u_{m}\|^{2}\hspace{3.5cm}$$ Aus dieser Absch"atzung erkennt man, da"s die $u_{n}$ eine Cauchyfolge bilden. Da $U$ vollst"andig ist, gibt es $u\in\cal{H}$ mit $\lim_{n\ra\infty}u_{n} = u$. Da die Norm stetig ist, gilt weiter $d= \|v-u\|$. Wir behaupten $(v-u) \in U^{\bot}$. In der Tat, f"ur alle $h \in U$ nimmt die Funktion $$t \mapsto \|v-u + th\|^{2} = \|v-u\|^{2} + 2t \op{Re}\langle v-u, h\rangle+ t^{2} \|h\|^{2}$$ bei $t =0$ ein Minimum an, folglich verschwindet dort ihre Ableitung und wir erhalten $\op{Re}\langle v-u,h\rangle =0 $ f"ur alle $ h \in U$. Damit haben wir die gesuchte Zerlegung $v = u + (v-u)$ mit $u \in U$ und $(v-u) \in U^{\bot}$ gefunden. \\[2mm]\noindent 3. Im Fall eines Hilbertraums sind nach \eref{VRnn}{AN2} und \eref{SSABVV}{AN2} die vollst"andigen Teilr"aume genau die abgeschlossenen Teilr"aume. Damit folgt unsere Behauptung aus Teil 2. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Riesz'scher Darstellungssatz f"ur Hilbertr"aume}]\index{Riesz'scher Darstellungssatz!bei Hilbertraum} Jede stetige Linearform\label{DRH} auf einem Hilbertraum kann beschrieben werden als das Bilden des Skalarprodukts mit einem durch die besagte Linearform eindeutig bestimmten Vektor. \end{Korollar} \begin{proof} Sei $\cal{H}$ unser Hilbertraum und $l:\cal{H} \ra \Bbb{C}$ unsere Linearform. Der Kern $\ker l \subset \cal{H}$ ist ein abgeschlossener Teilraum und die Linearform $l$ induziert eine Injektion $(\ker l)^{\bot} \hookrightarrow \Bbb{C}$. Wir haben also $\op{dim}(\ker l)^{\bot}\leq 1$. Im Fall $l=0$ ist $x =0$ das gesuchte Element von $\cal{H}$. Sonst finden wir genau ein $x \in (\ker l)^{\bot}$ mit $\langle x,v \rangle = l (v) \; \forall v \in (\ker l)^{\bot}$. Da diese Gleichung eh gilt f"ur alle $v \in \ker l$, folgt sie f"ur alle $v \in \cal{H}$. \end{proof} \begin{Korollar}\label{EHiBa} Jeder Hilbertraum besitzt eine Hilbertbasis. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Nach dem Zorn'schen Lemma finden wir ein bez"uglich Inklusion maximales Orthonormalsystem. W"are der Abschlu"s seines Erzeugnisses nicht der ganze Raum, so k"onnten wir unser Orthonormalsystem nach \ref{OKoHi} doch noch vergr"o"sern durch Hinzunahme eines Vektors der L"ange Eins aus seinem orthogonalen Komplement im Widerspruch zur Maximalit"at. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Damit ist insbesondere gezeigt, da"s sich jeder Hilbertraum schreiben l"a"st als ein Raum von quadratintegrierbaren Funktionen, und das sogar auf einer Menge mit Z"ahlma"s. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Keele-Vermutung}] Gegeben eine abgeschlossene beschr"ankte nichtleere Teilmenge eines Hilbertraums wird vermutet, da"s es zu jedem Punkt unseres Hilbertraums nur einen n"achsten Punkt in unserer Teilmenge gibt genau dann, wenn unsere Teilmenge konvex ist. Das ist derzeit (2004) meines Wissens nur f"ur endlichdimensionale R"aume bewiesen. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel} Der Raum der quadratintegrierbaren Funktionen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mu"s keine abz"ahlbare Hilbertbasis besitzen. Um ein Beispiel daf"ur anzugeben, mu"s ich jedoch mehr Wissen voraussetzen. Betrachten wir den Raum $X=\op{Ens}(I,\{1,-1\})$ aller Abbildungen von einer beliebigen Menge $I$ in die zweielementige Menge $\{1,-1\}$. Mit der Produkttopologie zur diskreten Topologie auf $\{1,-1\}$ ist $X$ kompakt nach dem Satz von Tychonoff \eref{ST}{TM}. Jetzt liefert eine analoge Argumentation wie in \ref{GVF} ein wohlbestimmtes Borelma"s auf $X$, das jedem Urbild eines Punktes unter der Projektion auf einen der Faktoren das Ma"s $1/2$ zuordnet. Die Projektionen auf die Faktoren bilden dann ein Orthonormalsystem in ${\op{L}}^2(X)$. \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{DefAd} Sei $A:\cal{H}\ra\cal{H}'$ eine lineare Abbildung von Hilbertr"aumen und $B:\cal{H}'\ra\cal{H}$ eine lineare Abbildung in die Gegenrichtung. Die beiden Abbildungen $A$ und $B$ hei"sen {\bf adjungiert},\index{adjungiert!Operator} wenn gilt $$\langle Av,w\rangle=\langle v,Bw\rangle\quad\forall v\in \cal{H}, \; w\in \cal{H}'$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir werden in \ref{SadS} zeigen, da"s eine lineare Abbildung zwischen Hilbert\-r"aumen genau dann stetig ist, wenn sie eine adjungierte Abbildung besitzt. In "Ubung \ref{ADNN} sollen Sie von dieser Aussage die einfache Richtung zeigen. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{ADNN} Jede stetige lineare Abbildung von Hilbertr"aumen hat genau eine adjungierte Abbildung und diese ist auch stetig. Man notiert die adjungierte Abbildung zu $A$ in der mathematischen Literatur meist $A^\ast$,\index{)6ast@$A^\ast$ adjungierter Operator} in der physikalischen Literatur dahingegen meist $A^\dagger$.\index{)6dagger@$A^\dagger$ adjungierter Operator} Man zeige nun weiter $(A^\ast)^\ast=A$ und $(AB)^\ast=B^\ast A^\ast$ und $(\lambda A)^\ast=\bar{\lambda}A^\ast$ f"ur $\lambda\in\DC$ und $\|A\|=\|A^\ast\|$ sowie $\|A^\ast A\|=\|A\|^2$ f"ur die Operatornorm. Hinweis: Zuerst mag der Riesz'sche Darstellungssatz helfen, angewandt auf $v\mapsto \langle Av,w\rangle$ f"ur festes $w$, dann die Erkenntnis $\|A\|=\op{sup}\{\langle Av,v'\rangle\mid\|v\|=\|v'\|=1\}$ im Fall, da"s keiner unserer beiden R"aume der Nullraum ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Die orthogonalen Projektionen auf abgeschlossene Teilr"aume eines Hilbertraums sind genau die idempotenten\label{PrTr} selbstadjungierten Operatoren, als da hei"st die stetigen linearen Selbstabbildungen $P$ unseres Hilbert\-raums mit $P^2=P$ und $P^\ast=P$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine stetige lineare Abbildung zwischen Hilbertr"aumen hat dichtes Bild genau dann, wenn die adjungierte Abbildung injektiv ist.\label{BIKA} Allgemeiner zeige man, da"s das orthogonale Komplement des Bildes der Kern der adjungierten Abbildung ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Hier sollen sie ein direktes Argument ausarbeiten, das f"ur jeden selbstadjungierten Operator $T$ auf einem Hilbertraum die Identit"at $$\|T\|=\op{sup}\{|\langle Tx,x\rangle|\mid \|x\|\leq 1\}$$ zeigt: Bezeichnet $M$ die rechte Seite, so ist $\|T\|\geq M$ eh klar. F"ur die andere Ungleichung betrachte man f"ur $x$ von der L"ange Eins mit $Tx\neq 0$ sein auf L"ange Eins normiertes Bild $y=Tx/\|Tx\|$. Dann gilt $\|Tx\|=\langle Tx,y\rangle=\langle x,Ty\rangle$ und man erh"alt von der Mitte ausgehend $$4M =M(\|x+y\|^2+\|x-y\|^2) \geq \langle T(x+y),x+y\rangle-\langle T(x-y),x-y\rangle= 4\|Tx\|$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SEH} Man zeige: Genau dann besitzt ein Hilbertraum eine abz"ahlbare dichte Teilmenge, wenn er eine abz"ahlbare Hilbertbasis besitzt. \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXAN3" %%% End: