\section{Funktionen auf topologischen R"aumen} \subsection{Stetige Funktionen auf normalen R"aumen} \begin{Definition} Ein topologischer Raum hei\ss t {\bf normal}\index{normal!topologischer Raum}, wenn sich je zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen unseres Raums zu disjunkten offenen Teilmengen vergr"o"sern lassen. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} In der Literatur ist es "ublich, von normalen R"aumen zus"atzlich die Hausdorff-Eigenschaft zu fordern und unsere normalen R"aume \glqq $\op{T}_{4}$-R"aume\grqq\ zu nennen. Die Bezeichnung $\op{T}_{4}$ steht f"ur das {\bf vierte Trennungsaxiom}. Das Trennungsaxiom $\op{T}_{2}$ ist synonym zu Hausdorff. Die Trennungsaxiome $\op{T}_{0}$, $\op{T}_{1}$ und $\op{T}_{3}$ spielen f"ur uns keine Rolle. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}\label{KHN} Nach "Ubung \ref{FS} ist jeder kompakte Hausdorffraum normal. \end{Beispiel} \begin{Lemma} Jeder metrische Raum ist normal. \end{Lemma} \begin{proof} Sei $(X,d)$ unser metrischer Raum. Gegeben eine nichtleere Teilmenge $M\subset X$ betrachten wir die Funktion $d_M:X\ra\DR$ gegeben durch $d_M(x)\pdef\op{inf}\{d(y,x)\mid y\in M\}$. Wie Sie in \eref{dA}{AN1} zeigen durften, ist sie stetig mit Nullstellenmenge $d_M^{-1}(0)=\bar M$. Gegeben $Y, Z \As X$ disjunkte abgeschlossene nichtleere Teilmengen sind nun sicher $U\pdef\{x\in X\mid d_Y(x)< d_Z(x)\}$ und $V\pdef\{x\in X\mid d_Y(x)> d_Z(x)\}$ disjunkte offene Teilmengen mit $U\supset Y$ und $V\supset Z$. \end{proof} \begin{Satz}[\defind{Tietze's Erweiterungslemma}] Jede stetige Abbildung von einer abgeschlossenen\label{TELe} %{TEL} Teilmenge eines normalen Raums in ein nichtleeres reelles Intervall l"a"st sich fortsetzen zu einer stetigen Abbildung des ganzen Raums in besagtes Intervall. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir behandeln zun"achst als Spezialfall das sogenannte \glqq Lemma von Urysohn\grqq\ und im Anschlu"s den Fall der Intervalle $[0,1]$ und $[0,1).$ Der allgemeine Fall bleibt von da an dem Leser "uberlassen. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{von Urysohn}] Gegeben ein normaler Raum $X$ und disjunkte abgeschlossene Teilmengen $A,B \As X$\label{Ur}\index{Urysohn's Lemma} gibt es eine stetige Funktion $f: X\ra [0,1]$ mit $f|_{A} = 0$ und $f|_{B}= 1.$ \end{Lemma} \begin{Beispiel} Im Fall eines metrischen Raums ist das leicht zu sehen: Wir d"urfen ohne Beschr"ankung annehmen, da"s weder $A$ noch $B$ leer sind. Die Abbildung $$\begin{array}{rccl} g:& X &\ra & \DR^{2}\\ &x &\mapsto & (d_A(x), d_B(x)) \end{array}$$ ist in diesem Fall stetig mit Werten im ersten Quadranten ohne Ursprung, in Formeln mit Werten in $Q=(\DR_{\geq 0})^2 \backslash(0,0).$ Ist nun $h: Q \ra [0,1]$ eine stetige Abbildung derart, da"s $h$ auf der Achse $\DR_{> 0}\times 0$ konstant Eins ist und auf der Achse $0\times \DR_{> 0}$ konstant Null, so ist die Abbildung $f = h \circ g : X \ra [0,1]$ stetig mit $f|_A = 0$ und $f|_B= 1.$ \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen mit einer Vor"uberlegung. Ist $X$ normal und sind Teilmengen $C\subset U\subset X$ gegeben mit $C\As X$ und $U\co X,$ so gibt es eine offene Menge $W \co X$ mit $$C\subset W\subset\overline{W}\subset U$$ Um das einzusehen nehme man disjunkte offene Umgebungen $W$ von $C$ und $D$ von $X\backslash U,$ dann gilt n\"{a}mlich $C\subset W\subset \overline{W} \subset X\backslash D \subset U$. Das war unsere Vor\"{u}berlegung. Wir finden danach $U(0)\co X$ mit $$A\subset U(0)\subset \overline{U(0)}\;\;\subset\;\; X\backslash B$$ Wir finden danach weiter $U({1/2}) \co X$ mit $$\overline{U(0)}\subset U({1/2}) \subset \overline{U({1/2})} \subset X\backslash B$$ Indem wir so weitermachen finden wir induktiv f\"{u}r alle $r \in [0,1)$ der Form $r=k/2^{n}$ mit $k\in \DN$ eine offene Menge $U(r)\subset X\backslash B$ derart, da\ss\ gilt $r < r^{\prime} \Rightarrow \overline{U(r)} \subset U(r^{\prime}).$ Schlie"slich setzen wir noch $U(1) = X$ und erkl"aren $f:X\ra [0,1]$ durch $$ f(x) \pdef\inf \{r \in [0,1]\mid x \in U (r) \} $$ Sicher gilt $f|_{A} = 0,$ $f|_{B}= 1.$ Wir m\"{u}ssen nur noch zeigen, da"s $f$ stetig ist. F\"{u}r $0t} X\backslash U(r) & \\ &=&\bigcup_{s>t} X\backslash \overline{U(s)}& \co X \end{array}$$ Da aber die Intervalle $[0,t)$ und $(t,1]$ die metrische Topologie auf $[0,1]$ erzeugen, ist $f$ damit nach \ref{EZT} stetig. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Im folgenden Beweis verwenden wir, da"s die Summe von zwei stetigen reellwertigen Funktionen auf einem topologischen Raum wieder stetig ist. Das folgt zum Beispiel aus der universellen Eigenschaft der Produkttopologie \ref{PrTo} zusammen mit der Stetigkeit der Addition $\DR^2\ra\DR$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis des Erweiterungslemmas \ref{TELe}] Jetzt zeigen wir das Erweiterungslemma f"ur das Intervall $[0,1].$ Sei wieder $X$ unser Raum und $Y\As X$ eine abgeschlossene Teilmenge und $f:Y\ra [0,1]$ eine stetige Abbildung. Wir suchen $F:X\ra [0,1]$ stetig mit $F|_Y=f.$ Nach Urysohn finden wir $F_{0} : X \ra [0,1/3]$ stetig mit $f(x) \leq 1/3 \Rightarrow F_{0} (x) = 0$ und $f(x) \geq 2/3 \Rightarrow F_{0}(x) =1/3$ f\"{u}r alle $x \in Y.$ Es folgt $$F_{0}(x) \leq f(x) \leq 2/3 + F_{0}(x)$$ f\"{u}r alle $x\in Y.$ Nun nehmen wir die Funktion $f_{1} \pdef f - F_{0} : Y \ra [0,2/3]$ und finden ebenso $F_{1} : X \ra [0, (1/3)(2/3)]$ mit $F_{1} (x) \leq f_{1} (x) \leq (2/3)^{2}+F_{1} (x) \; \forall x \in Y$ und mithin $$F_{0}(x) +F_{1}(x) \leq f(x) \leq (2/3)^{2} +F_{0} (x) +F_{1}(x) $$ f\"{u}r alle $ x \in Y.$ Wir machen immer so weiter und konstruieren schlie"slich $F$ als Summe der gleichm\"{a}"sig konvergenten Reihe $$F = F_{0} + F_{1} + F_{2} + \ldots$$ Sie strebt gegen eine stetige Funktion wegen \eref{GKom}{AN1}. Jetzt zeigen wir das Erweiterungslemma noch f"ur das Intervall $[0,1).$ Wir benutzen dieselben Notationen wie eben und finden nach dem vorhergehenden jedenfalls eine stetige Erweiterung von $f$ zu einer stetigen Abbildung $F:X\ra [0,1].$ Dann ist nat"urlich $F^{-1}(1)$ abgeschlossen in $X$ und disjunkt zu $Y.$ Wir finden also $G:X\ra [0,1]$ stetig mit $G|_Y=1$ und $G|_{F^{-1}(1)}=0$ und $H=\op{inf}(F,G)$ ist unsere gesuchte stetige Erweiterung von $f.$ Den Rest des Beweises k"onnen wir getrost dem Leser "uberlassen. \end{proof} %\begin{Ubung}\label{GKo} IDENTISCH ZU \label{GKom} %Ein gleichm\"{a}"siger Grenzwert einer Folge %stetiger Abbildungen von einem topologischen Raum in einen metrischen Raum %ist stetig. %\end{Ubung} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum l"a"st sich jede auf einer kompakten Teilmenge definierte stetige reellwertige Funktion stetig auf den ganzen Raum fortsetzen, und das sogar zu einer\label{FSKo} Funktion mit kompaktem Tr"ager. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{FoOo} Jede offene Teilmenge eines lokal kompakten abz"ahlbar basierten Haus\-dorff-Raums $X$ l"a"st sich darstellen als abz"ahlbare Vereinigung von Mengen der Gestalt $\{x\mid f(x)>0\}$ f"ur $f:X\ra[0,\infty)$ stetig mit kompaktem Tr"ager. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jede abgeschlossene Teilmenge eines lokal kompakten Raums ist lokal kompakt. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{HDLOK} Ein topologischer Raum ist genau dann Hausdorff und lokal kompakt, wenn seine \hyperref[EPKo]{Ein-Punkt-Kompaktifizierung} Hausdorff und kompakt ist. \end{Ubung} \subsection{Filter und Satz von Tychonoff} \label{FIUFg} \begin{Definition} Sei $X$ eine Menge. Ein System von Teilmengen ${\cal F} \subset {\cal P} (X)$ hei"st ein {\bf Filter auf $X$}\index{Filter}, wenn es stabil ist unter endlichen Schnitten und dem Bilden von Obermengen, in Formeln\label{FIUF} \begin{enumerate} \item $(A, B \in {\cal F} \Rightarrow A \cap B \in {\cal F})$ und $X\in {\cal F}$; \item $(A \in {\cal F}$ und $B \supset A) \Rightarrow B \in {\cal F}$. \end{enumerate} Unter einem {\bf echten Filter}\index{Filter!echter} verstehen wir einen Filter, der nicht die ganze Potenzmenge ist. Gleichbedeutend ist die Forderung $\emptyset\not\in\mathcal F$. In vielen Quellen wird ein Filter abweichend definiert als das, was wir hier einen echten Filter nennen. \end{Definition} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Filter und Ideale}] Unter der Bijektion ${\cal P} (X)\sira \op{Ens}(X,\mathbb F_2)$, die jeder Teilmenge die charakteristische Funktion ihres Komplements zuordnet, entsprechen die Filter eineindeutig den Idealen des Funktionenrings. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiele} Ist $X$ eine Menge und $x\in X$ ein Punkt, so ist das System aller Teilmengen von $X$, die den Punkt $x$ enthalten, ein Filter. Ist $x_{0},x_{1}, \ldots$ eine Folge in $X$, so ist das System derjenigen Teilmengen von $X$, die fast alle Folgenglieder enthalten, ein Filter. Ist $Y\subset X$ eine unendliche Teilmenge von $X$, so ist das System derjenigen Teilmengen von $X$, die fast alle Elemente von $Y$ enthalten, ein Filter. Ist $X$ ein topologischer Raum und $x \in X$ ein Punkt, so bilden alle Umgebungen von $x$ einen Filter, den {\bf Umgebungsfilter ${\cal U}_{x}$ von $x$}.\index{Umgebungsfilter} Das leere Mengensystem ist kein Filter. \end{Beispiele} \begin{Definition} Seien $X$ ein topologischer Raum, ${\cal F} \subset {\cal P} (X)$ ein Filter und $x \in X$ ein Punkt.\label{KoFi} Wir sagen, der {\bf Filter ${\cal F}$ konvergiert gegen den Punkt $x$}, wenn jede Umgebung von $x$ zum Filter ${\cal F}$ geh\"{o}rt, in Formeln ${\cal U}_{x} \subset {\cal F}$. Wir sagen, der {\bf Filter ${\cal F}$ konvergiert},\index{Konvergenz!von Filtern} wenn es einen Punkt $x\in X$ gibt derart, da"s ${\cal F}$ gegen $x$ konvergiert. \end{Definition} \begin{Definition} Ein Filter ${\cal F}$ auf einer Menge $X$ hei"st ein \defind{Ultrafilter}, wenn er ein echter Filter ist und wenn f\"{u}r jede Teilmenge $A \subset X$ entweder $A$ selbst oder ihr Komplement $X \backslash A$ zu ${\cal F}$ geh\"{o}rt. \end{Definition} \begin{Beispiel} Ist $X$ eine Menge und $x\in X$ ein Punkt, so ist das System aller Teilmengen von $X,$ die $x$ enthalten, ein Ultrafilter. \end{Beispiel} \begin{Lemma} Die Ultrafilter auf einer Menge sind genau die maximalen Elemente der Menge der echten Filter und jeder echte Filter l\"{a}"st sich vergr\"{o}"sern zu einem Ultrafilter. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Ein Ultrafilter ist offensichtlich maximal in der Menge aller echten Filter. Ist umgekehrt ${\cal F}$ ein echter Filter aber kein Ultrafilter, so gibt es $B \subset X$ mit $B \not\in {\cal F}$ und $X \backslash B \not\in {\cal F}$. Wir behaupten, da"s entweder gilt $B \cap F \neq \emptyset \; \forall F \in {\cal F}$ oder $(X\backslash B) \cap F \neq \emptyset \; \forall F \in {\cal F}$. Sonst g\"{a}be es n\"{a}mlich $F, G \in {\cal F}$ mit $B \cap F = \emptyset$ und $(X\backslash B) \cap G = \emptyset$ und damit $F \cap G = \emptyset$ im Widerspruch zur Annahme, da"s ${\cal F}$ ein echter Filter ist. Sei also ohne Beschr\"{a}nkung der Allgemeinheit $B \cap F \neq \emptyset \; \forall F \in {\cal F}$. Dann bilden alle Obermengen zu solchen Schnitten selbst einen echten Filter $\tilde{{\cal F}} \supset {\cal F}$ mit $B \in \tilde{{\cal F}}$ und ${\cal F}$ war nicht maximal in der Menge der echten Filter. Die zweite Aussage folgt aus der ersten mit dem Zorn'schen Lemma \eref{ZLl}{LA1}. Es gilt nur zu beachten, da"s eine aufsteigende Vereinigung von Filtern wieder ein Filter ist und eine aufsteigende Vereinigung von echten Filtern wieder ein echter Filter, da die Vereinigung ja nicht $\emptyset$ enthalten kann, wenn keine der vereinigten Filter $\emptyset$ enth"alt. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Unter der Bijektion ${\cal P} (X)\sira \op{Ens}(X,\mathbb F_2)$, die jeder Teilmenge die charakteristische Funktion ihres Komplements zuordnet, entsprechen die Ultrafilter eineindeutig den maximalen Idealen, die ja auch als maximale echte Ideale definiert sind. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma}\label{KUF} Ein topologischer Raum ist kompakt genau dann, wenn jeder Ultrafilter in besagtem Raum konvergiert. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] $\Rightarrow).$ Sei $X$ kompakt. Ist ${\cal F} \subset {\cal P} (X)$ ein echter Filter, so hat die Familie $({F})_{F \in {\cal F}}$ und dann erst recht die Familie $(\bar{F})_{F \in {\cal F}}$ nichtleere endliche Schnitte. Mit \"{U}bung \ref{ESA} folgt $\bigcap_{F\in {\cal F}} \bar{F} \neq \emptyset.$ W\"{a}hlen wir $x$ aus diesem Schnitt und $U$ eine Umgebung von $x,$ so gilt $U \cap F \neq \emptyset$ f\"{u}r alle $F \in {\cal F}.$ Aus $U \cap (X \backslash U)=\emptyset$ folgt dann $(X\backslash U)\not\in {\cal F},$ und wenn ${\cal F}$ sogar ein Ultrafilter ist folgt weiter $U\in {\cal F}.$ Also konvergiert dann ${\cal F}$ gegen $x.$ \\[2mm]\noindent $\Leftarrow).$ Ist $X$ nicht kompakt, so finden wir wieder nach \"{U}bung \ref{ESA} eine Familie $(A_{i})_{i\in I}$ abgeschlossener Teilmengen mit nichtleeren endlichen Schnitten, f\"{u}r die gilt $\bigcap_{i\in I} A_{i}= \emptyset.$ Alle Mengen, die einen Schnitt von endlich vielen unserer $A_i$ umfassen, bilden einen echten Filter. Folglich gibt es auch einen Ultrafilter, der alle $A_{i}$ enth\"{a}lt. Nun besitzt aber jeder Punkt von $x$ eine Umgebung, die eines der $A_{i}$ nicht trifft und die also nicht in unserem Ultrafilter liegt. Daher kann unser Ultrafilter gegen keinen Punkt $x\in X$ konvergieren. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Tychonoff}] Das Produkt "uber eine\label{ST}\index{Tychonoff} beliebige Familie von kompakten R\"{a}umen ist kompakt. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Den einfacheren Fall einer abz"ahlbaren Familie kompakter metrischer R"aume sollten Sie bereits als "Ubung \ref{pkmR} erledigt haben. Es scheint, da"s man das Auswahlaxiom hier nur in seiner vollen St"arke braucht, wenn die beteiligten R"aume nicht Hausdorff sind, um im letzten Schritt des folgenden Beweises eine Familie von $y_i$ auszuw"ahlen. F"ur die anderen Argumente reicht schon das schw"achere \glqq Ultrafilterlemma\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Seien $(Y_{i})_{i\in I}$ unsere Familie von kompakten R"aumen und ${\cal F}$ ein Ultrafilter im Produktraum. F\"{u}r jedes $i \in I$ betrachten wir in $Y_{i}$ den Ultrafilter $${\cal F}_{i} \pdef \{F \subset Y_{i}\mid F\times \prod_{j\neq i} Y_{j} \in {\cal F}\}$$ Da die $Y_{i}$ kompakt sind, gibt es $y_{i} \in Y_{i}$ derart, da"s ${\cal F}_{i}$ gegen $y_{i}$ konvergiert. Dann konvergiert aber offensichtlich ${\cal F}$ gegen $y\pdef (y_{i})_{i\in I}.$ \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ein folgenkompakter aber nicht kompakter Raum}] Wir k"onnen nun auch ein Beispiel f"ur einen folgenkompakten aber nicht "uberdeckungskompakten Hausdorffraum angeben: Der Raum $\op{Ens}(\DR,[0,1])$ aller Abbildungen $\DR\ra [0,1]$, aufgefa"st als Produkt von Kopien des kompakten Intervalls $[0,1],$ ist kompakt nach dem Satz von Tychonoff. Die borelme"sbaren Funktionen bilden darin eine folgenabgeschlossene, aber nicht abgeschlossene Teilmenge, wie wir bereits in \ref{FANA} gesehen haben.\label{GFKl} Folglich bilden die borelme"sbaren Funktionen mit der induzierten Topologie auch einen folgenkompakten aber nach \ref{KAb} nicht kompakten topologischen Hausdorffraum. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Gegeben eine Boole'sche Algebra $B$ im Sinne von \eref{Boole}{GR} betrachten wir die Menge aller Homomorphismen $\op{Boole}(B,\{0,1\})$ in die zweielementige Boole'sche Algebra. Als Teilmenge von $\op{Ens}(B,\{0,1\})=\{0,1\}^B$ mit seiner Produkttopologie ist $\op{Boole}(B,\{0,1\})$ offensichtlich abgeschlossen und wird so ein kompakter Hausdorffraum. Er hei"st der {\bf Stone-Raum}\index{Stone-Raum} unserer Boole'schen Algebra. Der {\bf Satz von Stone}\index{Stone!Satz von} besagt, da"s der so konstruierte Funktor $$\op{Boole}\ra \op{Top}^{\op{opp}}$$ volltreu ist und eine "Aquivalenz der Kategorie der Boole'schen Algebren mit der Opponierten der Kategorie der total unzusammenh"angenden kompakten Hausdorffr"aume induziert. Hier meint total unzusammenh"angend, da"s jede offene Teilmenge eine Vereinigung von abgeschlossen-offenen Mengen ist, also von Mengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind. Es scheint, da"s das im Fall kompakter Hausdorffr"aume dazu gleichbedeutend ist, da"s nur die einpunktigen Teilmengen zusammenh"angend sind, aber das habe ich mir nicht "uberlegt. Im "ubrigen hat unser Funktor einen Rechtsadjungierten, der jedem topologischen Raum die Boole-Algebra seiner abgeschlossen-offenen Mengen zuordnet. Mehr dazu mag man im Buch von Halmos \glqq Boolean Algebras\grqq\ nachlesen. Jede Boole'sche Algebra ist nach \eref{BAV}{GR} ein Verband und kann so nach \eref{Ubbv}{AN1} als eine spezielle teilgeordnete Menge aufgefa"st werden. Eine Boole'sche Algebra hei"st {\bf vollst"andig},\index{vollst"andig!Boole'sche Algebra} wenn in der zugeh"origen teilgeordneten Menge jede Teilmenge ein Supremum und gleichbedeuten ein Infimum hat. Ich habe bei Wikipedia gelernt, da"s unter obigem Funktor die vollst"andigen Boole'schen Algebren den extremal unzusammenh"angenden kompakten Hausdorffr"aumen entsprechen, also den kompakten Hausdorffr"aumen, in denen der Abschlu"s jeder offenen Menge offen ist. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ist $X$ ein Hausdorffraum und konvergiert ein echter Filter gegen die Punkte $x$ und $y$ aus $X$, so gilt $x=y$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{DuKr} Die Charaktergruppe $\mathfrak X(\Gamma)$ einer diskreten Gruppe $\Gamma$ ist mit ihrer kompakt-offenen Topologie eine kompakte topologische Gruppe. Hinweis: Man schreibe sie als abgeschlossene Untergruppe eines Produkts von Kreisgruppen. Da"s das eine topologische Gruppe ist, wissen wir bereits aus \ref{NGru} oder auch \eref{NNGru}{AN3}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Viele Aussagen verallgemeinern sich von metrischen auf beliebige topologische R\"{a}ume, wenn man \glqq Folgen durch Filter ersetzt\grqq. Zum Beispiel zeige man, da"s eine Abbildung $f: X \ra Y$ von topologischen R\"{a}umen genau dann stetig ist, wenn sie \defind{filterstetig} ist, als da hei"st, wenn f\"{u}r jeden Filter ${\cal F}$ auf $X$ mit Grenzwert $x \in X$ der \defind{Bildfilter} $f_{\ast} {\cal F} \pdef\{A \subset Y \mid f^{-1} (A) \in {\cal F}\}$ gegen $f(x)$ konvergiert. \index{)7ast@$f_*$ Vorschub!von Filter} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Topologie durch Umgebungsfilter}] Sei $X$ eine Menge und sei f"ur jeden Punkt $x\in X$ ein Filter $\mathcal U_x$ von $X$ gegeben, das aus Obermengen von\label{FiTio} $\{x\}$ besteht. Genau dann ist unser Datum das Datum der Umgebungsfilter einer Topologie auf $X$, wenn es f"ur jedes $x\in X$ und jedes $U\in \mathcal U_x$ ein $V\in \mathcal U_x$ gibt mit $V\subset U$ und $y\in V\RA V\in \mathcal U_y$. \end{Ubung} \subsection{Produkte von Wahrscheinlichkeitsr"aumen*} \begin{Definition}[\textbf{Produkt von Me"sr"aumen}] Gegeben eine Familie von Me"sr"aumen $(\Omega_i, \cal{A}_i)_{i\in I}$ erkl"art man ihr Produkt, indem man die Produktmenge\index{Produkt!von Me"sr"aumen} \begin{equation*} \bigsqcap_{i\in I} \Omega_i \end{equation*} mit der kleinsten $\sigma$-Algebra versieht derart, da"s die Projektionsabbildungen auf die Faktoren $\Omega_i$ alle me"sbar werden. \end{Definition} \begin{Ubung}\label{UEPS} Eine Abbildung von einem Me"sraum in ein Produkt von Me"sr"aumen ist me"sbar genau dann, wenn alle ihre Komponenten me"sbar sind. Hinweis: Man betrachte das Bild der $\sigma$-Algebra der me"sbaren Mengen aus dem Definitionsbereich unserer Abbildung. In kategorientheoretischer Terminologie ist unser Produkt von Me"sr"aumen also in der Tat das Produkt in der Kategorie der Me"sr"aume. \end{Ubung} \begin{Definition} Ein Me"sraum hei"st {\bf diskret}\index{diskret!Me"sraum}\index{Me"sraum!diskreter}, wenn seine me"sbaren Teilmengen alle Teilmengen der Grundmenge sind. Ein Me"sraum hei"st {\bf Borel'sch}\index{Borel'sch!Me"sraum}\index{Me"sraum!Borel'scher}, oder ein {\bf Borelraum},\index{Borelraum}\label{BorR} wenn er isomorph ist zu einer me"sbaren Teilmenge eines abz"ahlbaren Produkts endlicher diskreter Me"sr"aume. \end{Definition} \begin{Beispiele} Die reelle Zahlengerade $\DR$ ist mit ihrer Borel'schen $\sigma$-Algebra ein Borel'scher Me"sraum. In der Tat liefert die Dezimalbruchentwicklung \glqq ohne Neunerperioden\grqq\ eine me"sbare Abbildung $[0,1)\hra \op{Ens}(\DN,\{0,1,\ldots,9\})$ mit me"sbarem Bild. Umgekehrt ist auch jeder Borel'sche Me"sraum isomorph zu einer me"sbaren Teilmenge der reellen Zahlengeraden. In der Tat k"onnen wir ihn leicht als me"sbare Teilmenge von $\op{Ens}(\DN,\{0,1,\ldots,8\})$ realisieren, und die Dezimalbruchentwicklung realisiert das hinwiederum als me"sbare Teilmenge von $\DR$. Damit ist auch jeder Borel'sche Me"sraum isomorph zu einer me"sbaren Teilmenge des Intervalls $[0,1]$. \end{Beispiele} %\begin{Bemerkungl} %Gegeben eine Familie von Me"sr"aumen $(\Omega_i, \cal{A}_i)_{i\in I}$ %verstehen wir unter einem \defind{Teppich} eine Menge der %Gestalt $M \times \bigsqcap_{i\in I\backslash E} \Omega_i$ f"ur %$E \subset I$ endlich und $M \subset \bigsqcap_{i \in E} \Omega_i$ me"sbar. %Offensichtlich bilden alle Teppiche einen Mengenring, %und dieser Mengenring erzeugt die %Produkt-$\sigma$-Algebra. %\end{Bemerkungl} %\begin{Definition}[\textbf{Produkt von Wahrscheinlichkeitsr"aumen}] %Gegeben eine Familie $(\Omega_i, \cal{A}_i, \mu_i)$ %von Wahrscheinlichkeitsr"aumen %erkl"art man ihr Produkt,\label{PWR} %indem man auf dem Produkt der Me"sr"aume das %Ma"s betrachtet, das jedem Teppich %$M \times \bigsqcap_{i\in I\backslash E} \Omega_i$ %als Ma"s das Produktma"s von $M \subset %\bigsqcap_{i \in E} \Omega_i$ zuordnet. %\end{Definition} \begin{Bemerkunge} Im allgemeinen wei"s ich nicht, wie man ein beliebiges Produkt von beliebigen Wahrscheinlichkeitsr"aumen wieder mit der Struktur eines Wahrscheinlichkeitsraums versehen sollte. Man konstruiert zwar relativ leicht eine Abbildung von den offensichtlichen Erzeugern der $\sigma$-Algebra nach $[0,1]$, es aber gelingt mir im allgemeinen nicht, deren $\sigma$-Additivit"at nachzuweisen. Im folgenden zeigen wir, wie das im Fall eines Produkts von \hyperref[BorR]{Borelr\"aumen} doch gelingt. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma}[\textbf{Projektiver Limes von Ma"sr"aumen}] Sei $T$ eine Indexmenge und sei f"ur jedes endliche $I \subset T$ ein endliches Ma"s\label{FJL} $\mu_I$ auf $\op{Ens} (I, [0,1])$ gegeben derart, da"s f"ur $J\subset I$ und mit der Notation $\Phi^J_I : \op{Ens} (I, [0,1]) \rightarrow \op{Ens}(J, [0,1])$ f"ur das Vorschalten der Injektion $J \hookrightarrow I$ stets gilt \begin{equation*} \left( \Phi^J_I\right)_\ast \mu_I = \mu_J \end{equation*} So existiert genau ein Borelma"s $\mu$ auf $\op{Ens} (T, [0,1])$ mit $\left(\Phi^I_T\right)_\ast \mu = \mu_I$ f"ur alle endlichen $I \subset T$. \end{Lemma} \begin{proof} Es ist leicht zu sehen, da"s die Mengen $\left( \Phi^I_T\right)^{-1} (A)$ f"ur $A \subset \op{Ens} (I, [0,1])$ me"sbar und $I \subset T$ endlich aber beliebig einen Mengenring $\mathcal I$ bilden, und da"s es genau eine Abbildung $\mu$ von diesem Mengenring $\mathcal I$ nach $[0,\infty)$ gibt mit $$\mu \left( \left( \Phi^I_T\right)^{-1} (A)\right) = \mu_I (A)$$ wann immer $I \subset T$ endlich ist und $A \subset \op{Ens} (I, [0,1])$ me"sbar. Ebenso leicht sieht man, da"s diese Abbildung $\mu$ additiv ist. Sobald wir die $\sigma$-Additivit"at von $\mu$ zeigen k"onnen, folgt unser Lemma aus dem Ma"sfortsetzungssatz von Caratheodory. Um die $\sigma$-Additivit"at zu zeigen, argumentieren wir wie im Vorfeld der Konstruktion des Lebesguema"ses beim Beweis von Lemma \eref{MaII}{AN3}. Es gilt zu zeigen, da"s f"ur $A = \coprod_{n\in\Bbb{N}} A_{n}$ eine disjunkte Vereinigung mit $A, A_{n}\in\cal{I}$ gilt $$\mu (A) = \sum_{n\in \Bbb{N}} \mu (A_{n})$$ Offensichtlich gilt schon einmal $\mu (B \cup C) = \mu (B) + \mu(C) $ f"ur $B, C \in\cal{I}$ disjunkt. Wir setzen nun $B_{n}= A{\setminus} (A_{0}\cup \ldots \cup A_{n}).$ Nat"urlich geh"oren dann auch die $B_{n}$ zu $\mathcal I$, es gilt $B_0\supset B_1\supset \ldots$ und $\bigcap_{n\in\Bbb{N}} B_{n} = \emptyset,$ und es reicht, wenn wir zeigen $$\lim_{n\ra \infty} \mu (B_{n})=0$$ Sei $\varepsilon > 0$ beliebig. Aufgrund der Regularit"at von Borel-Ma"sen auf $[0,1]^r$ nach \eref{RE}{AN3} und dem Satz von Tychonoff \ref{ST} finden wir f"ur jedes $n$ eine kompakte Menge $C_{n} \subset B_{n}$ aus $\mathcal{I}$ f"ur die gilt $$\mu (B_{n}{\setminus} C_{n})\leq 2^{-n} \varepsilon$$ Jetzt betrachten wir $D_{n} = C_{0} \cap \ldots \cap C_{n}.$ Auch die $D_{n}$ geh"oren zu $\mathcal{I}$, es gilt $D_n\subset C_n\subset B_n,$ und zus"atzlich haben wir $D_{0} \supset D_{1}\supset D_{2}\ldots$ Wir zeigen nun $\mu (B_{n}{\setminus} D_{n})\leq 2\varepsilon$ f"ur alle $n.$ In der Tat gilt ja $$B_{n}{\setminus} D_{n} = \bigcup^{n}_{k=0} B_{n} {\setminus} C_{k} \subset \bigcup^{n}_{k=0} B_{k} {\setminus} C_{k}$$ und folglich $$\mu (B_{n}{\setminus} D_{n})\leq \sum^{n}_{k=0} \mu (B_{k} {\setminus} C_{k}) \leq \sum^{n}_{k=0} 2^{-k} \varepsilon \leq 2 \varepsilon$$ Nun folgt aber aus $\bigcap_{n\in\Bbb{N}}D_{n} = \emptyset$ und der Kompaktheit der $D_n$ und \eref{Sko}{AN1} schon $D_{N} = \emptyset$ f"ur ein $N,$ und damit ergibt sich $\mu (B_{n}) \leq 2 \varepsilon$ f"ur $n\geq N$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{von Kolmogoroff f"ur projektive Limites von Borelr"aumen}]\index{Kolmogoroff, Existenzsatz von} Sei $T$ eine Indexmenge und sei f"ur jedes $i\in T$ ein \hyperref[BorR]{Borelraum} $B_i$ gegeben und f"ur jedes endliche $I \subset T$ ein Wahrscheinlichkeitsma"s $\mu_I$ auf $\bigsqcap_{i\in I}B_i $ derart, da"s f"ur $J\subset I$ und mit der Notation\label{EvKo} $\Phi^J_I $ f"ur die Projektion auf den entsprechenden Teil der Faktoren stets gilt \begin{equation*} \left( \Phi^J_I\right)_\ast \mu_I = \mu_J \end{equation*} So existiert genau ein Borelma"s $\mu$ auf $\bigsqcap_{i\in T}B_i$ mit $\left(\Phi^I_T\right)_\ast \mu = \mu_I$ f"ur alle endlichen $I \subset T$. \end{Satz} \begin{proof} Das folgt unmittelbar aus dem vorhergehenden Lemma \ref{FJL}. \end{proof} \subsection{Topologische R"aume und Kringalgebren*}\label{TRR} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf $\DC$-Ringalgebra} verstehen wir nach \eref{RAlg}{LA2} einen Vektorraum $A$ \"{u}ber $\DC$ mit einer bilinearen Abbildung $$\begin{array}{ccc} A \times A& \ra & A\\ (a,b)&\mapsto&ab \end{array}$$ derart, da\ss\ das Assoziativgesetz $a(bc)=(ab)c$ gilt und da\ss\ es ein Element $1_{A}=1\in A$ gibt mit $1a=a1=a \; \forall a \in A$. Ein {\bf $\DC$-Ringalgebrenhomomorphismus} von einer $\DC$-Ringalgebra $A$ in eine weitere $\DC$-Ringalgebra $Z$ ist eine $\DC$-lineare Abbildung $\varphi:A\ra Z$ derart, da"s gilt $\varphi(1)=1$ und $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ f\"{u}r alle $a,b\in A$. Wir bezeichnen die Menge all dieser Ringalgebrenhomomorphismen mit $\op{Ralg}_\DC(A,Z)$ oder kurz $\op{Ralg}(A,Z)$.\index{Ralg@$\op{Ralg}$!Ringalgebren} Eine kommutative Ringalgebra nennen wir abk"urzend eine {\bf Kringalgebra}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ringalgebra der stetigen Funktionen}] Jedem topologischen Raum $X$ k\"{o}nnen wir die $\DC$-Kringalgebra $${\cal{C}}(X)\pdef \{f:X \ra \DC \mid f \mbox{ stetig}\}$$ der stetigen komplexwertigen Funktionen auf $X$ zuordnen. Wir benutzen im weiteren Verlauf dieses Abschnitts f\"{u}r den Wert einer Funktion $f\in {\cal{C}}(X)$ an einer Stelle $x \in X$ die symmetrischere Notation $f(x) =\langle f, x \rangle$ und erhalten eine Abbildung $$\begin{array}{ccc} {\cal{C}}(X) \times X & \ra & \DC \\ (f\;, \; x) &\mapsto & \langle f,x \rangle \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Jeder $\DC$-Ringalgebra $A$ ordnen wir umgekehrt einen topologischen Raum $\op{Spek} A$ zu, das {\bf Spektrum\index{Spektrum!einer $\DC$-Ringalgebra} von $A$}. Als zugrundeliegende Menge nehmen wir die Menge\index{Spek@$\op{Spek}$} $$\op{Spek} A\pdef \op{Ralg}_\DC (A,\DC)$$ aller Homomorphismen von $\DC$-Ringalgebren $A\ra\DC$. F\"{u}r $a \in A$ und $\varphi \in \op{Spek} A$ benutzen wir analog wie oben die Notation $\varphi (a) = \langle a, \varphi \rangle$ und erhalten eine Abbildung $$\begin{array}{ccc} A \times \op{Spek} A & \ra & \DC\\ (a\;, \; \varphi ) & \mapsto & \langle a, \varphi \rangle \end{array}$$ Wir definieren die Topologie auf $\op{Spek} A$ als die Initialtopologie zur Familie von Abbildungen $\langle a, \; \rangle : \op{Spek} A \ra \DC$ f\"{u}r $a \in A$. Die komplexen Zahlen denken wir uns dabei mit ihrer nat"urlichen Topologie versehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Bezug zum Spektrum eines Operators}] Wie unser Spektrum hier mit dem Spektrum eines Operators zusammenh"angt, wird in \ref{AGN} erkl"art. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Bezug zum Spektrum in der kommutativen Algebra}] In der kommutativen Algebra in \eref{PrII}{KAG} definieren wir das Spektrum $\op{Spec}R$ eines kommutativen Rings abweichend als die Menge aller Primideale von $R$. Allerdings schreiben wir dann auch $\op{Spec}R$ mit einem $\op{c}$ und nicht wie hier mit $\op{k}$. F"ur jede $\DC$-Kringalgebra $A$ liefert die Abbildungsvorschrift $\phi\mapsto \op{ker}\phi$ eine Einbettung $\op{Spek} A\hra \op{Spec}A$, deren Bild wir $\op{Max}_\DC A$ notieren und das f"ur ringendliche $\DC$-Kringalgebren nach dem Hilbert'schen Nullstellensatz mit der Menge $\op{Max} A$ aller maximalen Ideale von $A$ "ubereinstimmt. \end{Bemerkungw} \begin{Satz}[\textbf{R"aume und ihre Ringe}] Das Spektrum des Rings der stetigen komplexwertigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorffraum ist hom"omorph zu unserem kompakten Hausdorffraum\label{SHD} selber. \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Analoges gilt mit demselben Beweis auch, wenn man im vorhergehenden $\DC$ durch $\DR$ ersetzt. Allerdings gilt der anschlie"sende Satz \ref{GN} von Gelfand-Naimark nicht mehr analog "uber $\DR$. Das ist der Grund, warum ich mich hier auf die komplexe Version konzentriere.\label{SHDR} \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungw} Die Sprache der Kategorientheorie und insbesondere der adjungierten Funktoren \eref{AdFu}{TF} erlauben es, die Struktur der folgenden Argumentation besonders gut herauszuarbeiten. In dieser Sprache konstruiert man zun"achst eine Adjunktion $(\mathcal C,\op{Spek})$ zwischen dem Funktor $\op{Spek}:\op{Ralg}^{\op{opp}}_\DC\ra\op{Top}$ und dem Funktor $\cal{C}:\op{Top}\ra\op{Ralg}^{\op{opp}}_\DC$. Unsere Konstruktionen aus \ref{Ekol} erweisen sich als der Opponierte der Koeinheit und die Einheit dieser Adjunktion. Die Pr"azisierung \ref{KRS} des Satzes besagt in dieser Sprache, da"s die Einheit der Adjunktion f"ur kompakte Hausdorffr"aume $X$ stets ein Hom"oomorphismus $$\eta: X\sira \op{Spek}(\mathcal C(X))$$ ist. Nach allgemeinen Erkenntnissen \eref{AduA}{TF} zu adjungierten Funktoren ist damit der Funktor $\cal{C}:\op{Top}\ra\op{Ralg}^{\op{opp}}_\DC$ volltreu auf der Kategorie der kompakten Hausdorffr"aume. \end{Bemerkungw} \begin{Scholium} Ein kompakter Hausdorffraum $X$ ist also voll\-st\"{a}n\-dig \glqq kodiert\grqq\ in der $\DC$-Ringalgebra ${\cal{C}}(X)$ der stetigen komplexwertigen Funktionen auf $X$, einem rein algebraischen Objekt. Eine Variante dieser Entsprechung zwischen \glqq R\"{a}umen und Ringen\grqq\ steht im Zentrum der \glqq algebraischen Geometrie\grqq. Eine andere Variante f\"{u}hrt zur sogenannten \glqq nichtkommutativen Geometrie\grqq. Die Grund\-idee ist hierbei, da"s ja nur ganz spezielle kommutative Ringe kompakte Hausdorffr\"{a}ume beschreiben. Allgemeinere Klassen von eventuell nichtkommutativen Ringen kann man aber in analoger Weise auch \glqq geometrisch\grqq\ verstehen und so neue Arten von \glqq nichtkommutativen R\"{a}umen\grqq\ gewinnen. \end{Scholium} \begin{Bemerkungl} Bevor wir den Satz beweisen, will ich seine Aussage noch etwas pr\"{a}zisieren.\label{Ekol} Per definitionem haben wir ja f\"{u}r jede $\DC$-Ringalgebra $A$ einen Homomorphismus von $\DC$-Ringalgebren $A \ra {\cal{C}}(\op{Spek} A)$, $a\mapsto \langle a,\; \rangle$. Ebenso haben wir f\"{u}r jeden topologischen Raum $X$ eine stetige Abbildung $\op{ev} : X \ra \op{Spek} {\cal{C}}(X)$, $x\mapsto\langle \; , x \rangle $. Wir werden den obigen Satz in der folgenden pr\"{a}ziseren Form zeigen: \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{R"aume und ihre Ringe}] Gegeben ein kompakter Hausdorffraum $X$ ist unsere Evalua\-tions\-abbildung $\op{ev}$ ein Hom\"{o}o\-morphismus \label{KRS}$$\op{ev} :X\sira \op{Spek} {\cal{C}}(X)$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir zeigen zun\"{a}chst, da"s $\op{Spek} {\cal{C}}(X) $ und sogar allgemeiner $\op{Spek} A$ f\"{u}r eine beliebige $\DC$-Ringalgebra $A$ ein Hausdorffraum ist. In der Tat, sind $\varphi,\psi:A\ra\DC$ zwei verschiedene Elemente von $ \op{Spek} A$, so gibt es $a\in A$ mit $\langle a, \varphi \rangle \neq \langle a, \psi \rangle$. Die Urbilder unter $\langle a, \; \rangle$ von disjunkten offenen Umgebungen dieser verschiedenen komplexen Zahlen sind dann disjunkte offene Umgebungen von $\varphi$ und $\psi$ im $\op{Spek} A$. Wir m\"{u}ssen jetzt nur noch zeigen, da"s f\"{u}r kompaktes und Hausdorff'sches $X$ unsere Evaluationsabbildung $\op{ev} : X\ra \op{Spek} {\cal{C}}(X)$ bijektiv ist, denn nach \ref{QHK} ist eine stetige Bijektion von einem kompakten Raum auf einen Hausdorffraum stets ein Hom\"{o}omorphismus. Aus Urysohns Lemma folgt bereits, da"s $\op{ev}$ injektiv ist, denn f\"{u}r $x \neq y$ gibt es $f\in {\cal{C}}(X)$ mit $\langle f, x\rangle \neq \langle f,y \rangle$ und daraus folgt $\langle \;, x \rangle \neq \langle \;, y \rangle$. Es bleibt zu zeigen, da"s $\op{ev}$ surjektiv ist. Ist in anderen Worten $\varphi : {\cal{C}}(X) \ra \DC$ ein Ringalgebrenhomomorphismus, so m\"{u}ssen wir $x \in X$ finden mit $\varphi= \langle \; , x \rangle$. Finden wir $x \in X$ mit $\langle\ker \varphi , x\rangle=0$, so ist notwendig $\varphi =\langle \;, x \rangle$, denn beide Seiten sind dann Linearformen, die denselben Kern haben und die konstante Funktion $1\in {\cal{C}}(X)$ auf $1\in\DC$ werfen. Wir nehmen also an, es gebe keinen Punkt $x \in X$, an dem alle Funktionen aus $\ker \varphi$ verschwinden, und f\"{u}hren diese Annahme zum Widerspruch. In der Tat g\"{a}be es ja dann f\"{u}r jeden Punkt $x \in X$ eine Funktion $f_{x} \in \ker \varphi$ mit $f_x(x)\neq 0$. Nat\"{u}rlich gibt es dann auch eine offene Umgebung $U_{x}$ von $x$, auf der $f_{x}$ nicht verschwindet. Endlich viele dieser $U_x$ \"{u}berdecken aber $X$, es g\"{a}be also eine endliche Teilmenge $E \subset X$ mit $X = \bigcup_{ x \in E } U_{x}$ und $f =\sum_{ x \in E } f_{x} \bar{f}_x$ w\"{a}re ein Element von $\ker \varphi$ ohne Nullstelle. Dann w\"{a}re aber auch $1/f \in {\cal{C}}(X)$ eine wohldefinierte stetige Funktion auf $X$, es folgte $1=(1/f)f \in \ker \varphi$ und das kann nicht sein. \end{proof} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Bezug zwischen stetigen und polynomialen Funktionen}] Gegeben ein Kring $R$ und ein Ideal $I\subset R[T_1,\ldots,T_n]$ mit simultaner Nullstellenmenge $\mathcal Z(I)\subset R^n$ ist es im Rahmen der Algebra unmittelbar klar, da"s wir eine Bijektion $$\mathcal Z(I)\sira \op{Kring}^R(R[T_1,\ldots,T_n]/I,R)$$ erhalten, wenn wir jedem Punkt den zugeh"origen Auswertungshomomorphismus zuordnen. Ist speziell $R=\DR$ der K"orper der reellen Zahlen und $\mathcal Z(I)$ kompakt in der von der nat"urlichen Topologie auf $\DR^n$ induzierten Topologie, so liefert nach \ref{SHDR} andererseits dieselbe Abbildungsvorschrift auch eine Bijektion $$\mathcal Z(I)\sira \op{Kring}^\DR(\mathcal C(\mathcal Z(I),\DR),\DR)$$ In anderen Worten l"a"st sich also unter diesen Annahmen jeder $\DR$-lineare Ringhomomorphismus $\DR[T_1,\ldots,T_n]/I\ra \DR$ auf genau eine Weise zu einem $\DR$-linearen Ringhomomorphismus $\mathcal C(\mathcal Z(I),\DR)\ra \DR$ ausdehnen. Das ist explizit deshalb klar, da jeder Ringhomomorphismus der letzteren Art nach \ref{SHDR} stetig sein mu"s in Bezug auf die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz und da die polynomialen Funktionen f"ur diese Norm dicht liegen nach dem Satz von Stone-Weierstra"s. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Diejenigen komplexen Ringalgebren, die isomorph sind zur Ringalgebra der stetigen komplexwertigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorffraum, werden charakterisiert durch den Satz von Gelfand-Naimark \ref{GN}, den wir im folgenden beweisen. Wir beginnen mit einigen Erinnerungen. Eine {\bf Ba\-nach-\-Ring\-al\-ge\-bra}\index{Banachringalgebra} ist nach \eref{BRA}{AN3} ein Banachraum $A$ mit einer stetigen bilinearen Verkn"upfung $A \times A \ra A$, die $A$ zu einem Ring macht. Auf jeder Banach-Ringalgebra gibt es nach loc.cit. genau eine zur urpr"unglichen Norm "aquivalente Norm $\|\;\|$ mit der Eigenschaft $\|ab\|\leq \|a\|\|b\|$ und $\|1\|\leq 1$. Wir nennen sie die kanonische Norm und denken uns jede Banachringalgebra mit ihrer kanonischen Norm versehen. Man pr"uft leicht $\|1\|= 1$ falls $A\neq 0$. Das {\bf Spektrum} eines Elements $a$ einer Banachringalgebra ist die Menge aller $\lambda\in\DC$ mit $(a-\lambda 1)$ nicht invertierbar. Es ist nach \eref{SPRR}{AN3} stets kompakt und enthalten in der abgeschlossenen Kreischeibe $\bar{\op{B}}(0;\|a\|)$. Das Supremum "uber die Betr"age der Elemente des Spektrums von $a$ hei"st der {\bf Spektralradius $\rho(a)$ von $a$}, so da"s sich unsere Aussage als die Ungleichung $\rho(a)\leq\|a\|$ schreiben l"a"st. In \eref{SpR}{AN3} zeigen wir unter Vorwegnahme von Resultaten aus der Funktionentheorie f"ur jede von Null verschiedene Banachringalgebra $A$, da"s jedes Element $a\in A$ nichtleeres Spektrum hat und da"s genauer gilt \begin{displaymath} \rho (a) = \lim_{n \ra \infty} \sqrt[n]{\|a^n\|} \end{displaymath} Im "ubrigen zeigen wir in \eref{GMKio}{AN3} f"ur jede Banachkringalgebra $A$, da"s die Abbildung, die jedem Ringalgebrenhomomorphismus nach $\DC$ seinen Kern zuordnet, eine Bijektion $$\op{Spek}A\sira \op{Max}A$$ mit der Menge der rein algebraisch zu verstehenden maximalen Ideale von $A$ induziert. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Kompaktheit von Spektren}] F"ur jede Banachringalgebra $A$ ist ihr Spektrum $\op{Spek} A $ ein kompakter Hausdorffraum. \end{Satz} \begin{proof} Gegeben ein Ringalgebrenhomomorphismus $\varphi:A\ra\DC$ mu"s $\varphi(a)$ stets Werte im Spektrum annehmen, da $\varphi$ keine invertierbaren Elemente von $A$ auf Null schicken kann. Wir betrachten die Injektion $\op{Spek} A \hra \prod_{a \in A} \bar{\op{B}} (0; \| a \|)$, $ \varphi \mapsto (\varphi (a))_{a \in A} $ unseres Spektrums in ein Produkt abgeschlossener Kreisscheiben in der komplexen Zahlenebene, deren Existenz durch die Absch"atzung $\rho(a)\leq \|a\|$ gesichert ist. Per definitionem tr"agt $\op{Spek} A$ die Spurtopologie. Andererseits ist $\op{Spek} A$ genau die Menge aller Tupel $(\psi (a))_{a \in A}$ mit $\psi (1) =1, \psi (a+b) = \psi (a) + \psi (b)$ und $\psi (ab) = \psi (a) \psi (b)$ f"ur alle $a,b \in A$ und damit eine abgeschlossene Teilmenge. Nach dem Satz von Tychonoff \ref{ST} ist also $\op{Spek}A$ kompakt, und als Teilraum eines Hausdorffraums ist $\op{Spek} A$ eh Hausdorff. \end{proof} % \begin{Definition} % Eine \defind{Banach-Algebra} ist ein (reeller oder komplexer) Banach-Raum $(A, % \| % \; % \|)$ mit einer Algebren-Struktur $A \times A \ra A$, $ (a,b) \mapsto ab$ % derart, da"s gilt $\|ab\| \leq \|a\| \cdot \| b \| \quad \forall a,b % \in A$. % \end{Definition} % \begin{Beispiel} % Ist $X$ ein kompakter Hausdorffraum, % so ist $A =\cal{C} (X)$ mit der Norm $\|f\| = \sup \{| f(x)| \mid x % \in X\}$ eine Banach-Algebra. % \end{Beispiel} \begin{Definition} Eine {\bf Involution}\index{Involution!auf $\DC$-Algebra} und genauer {\bf schieflineare Involution} auf einer $\DC$-Algebra $A$ ist eine $\DC$-schief\-li\-ne\-are Abbildung $a \mapsto a^{\ast}$ derart, da"s gilt $a^{\ast\ast} =a $ und $(ab)^{\ast} = b^{\ast} a^{\ast}$ f\"{u}r alle $a,b \in A$.\label{cast} \end{Definition} \begin{Definition} Eine \defnoind{${\op{C}}^{\ast}$-Ringalgebra}\index{C@${\op{C}}^{\ast}$-Ringalgebra} ist ein Tripel $(A,\|\;\|,\ast)$ bestehend aus einer Banachringalgebra mit kanonischer Norm im Sinne von \eref{BRA}{AN3} und einer schieflinearen Involution derart, da"s gilt $\| a a^{\ast}\| = \| a\|^{2} \; \forall a \in A$. Ein {\bf Homomorphismus von ${\op{C}}^{\ast}$-Ringalgebren} ist ein stetiger Ringalgebrenhomomorphismus, der vertr"aglich ist mit den Involutionen. Eine kommutative ${\op{C}}^\ast$-Ringalgebra nennen wir eine \defnoind{${\op{C}}^{\ast}$-Kringalgebra}.\index{C@${\op{C}}^{\ast}$-Kringalgebra} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In Teilen der Literatur hei"sen unsere ${\op{C}}^{\ast}$-Ringalgebren abweichend {\bf ${\op{C}}^{\ast}$-Algebren}\index{C@${\op{C}}^{\ast}$-Algebra} oder {\bf ${\op{B}}^{\ast}$-Algebren}.\index{B@${\op{B}}^{\ast}$-Algebra} Vielfach wird aber bei einer ${\op{C}}^{\ast}$-Algebra auch nur die Assoziativit"at gefordert und nicht die Existenz einer Einselements. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die Ringalgebra ${\cal{C}}(X)$ aller stetigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorffraum $X$ mit der Norm $\|f\| \pdef \sup \{| f(x)| \mid x \in X\}$ und der durch $f\mapsto \bar f$ gegebenen Involution ist eine ${\op{C}}^\ast$-Kringalgebra. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\defind{Gelfand-Naimark}]\label{GN} Gegeben eine ${\op{C}}^{\ast}$-Kringalgebra $A$ ist $\op{Spek} A$ ein kompakter Hausdorffraum und die offensichtliche Abbildung liefert einen Isomorphismus von $\DC$-Kringalgebren $$h: A \sira \cal{C} (\op{Spek} A)$$ Dieser Isomorphismus identifiziert die Norm und Involution auf $A$ mit der offensichtlichen Norm und Involution auf $\cal{C} (\op{Spek} A)$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dieser Satz sagt insbesondere, da"s die Norm und die Involution auf einer ${\op{C}}^{\ast}$-Kringalgebra schon durch die unterliegende Struktur einer $\Bbb{C}$-Kringalgebra eindeutig festgelegt sind, ja da"s der verge"sliche Funktor von den ${\op{C}}^{\ast}$-Kringalgebren in die $\Bbb{C}$-Kringalgebren volltreu ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In der Terminologie, wie wir sie in \eref{Eif}{LA2} einf"uhren, liefern die Funktoren $\op{Spek}$ und ${\cal{C}}$ sogar zueinander quasiinverse "Aquivalenzen von Kategorien $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{kompakte}\\ \text{Hausdorffr"aume,}\\ \text{stetige Abbildungen} \end{array}\right\} & \begin{array}{c}{\cal{C}}\\[-2mm] \ra\\[-3mm] \approx \\[-3mm] \leftarrow \\[-2mm] \op{Spek} \end{array} & \left\{ \begin{array}{c} \text{${\op{C}}^{\ast}$-Kringalgebren,}\\ \text{Homomorphismen von}\\ \text{$\Bbb{C}$-Kringalgebren} \end{array}\right\}^{\op{opp}} \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir haben bereits besprochen, da"s $h(a)$ nur Werte aus dem Spektrum von $a$ annehmen kann. In "Ubung \eref{GMKio}{AN3} haben wir genauer gesehen, da"s im Fall einer kommutativen Banachringalgebra $A$ umgekehrt alle Elemente des Spektrums eines Elements $a\in A$ auch tats"achlich als Werte der Funktion $h(a)$ angenommen werden.\label{WeSpe} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $A\neq 0$, also $\|1\|=1$. Zun"achst zeigen wir, da"s f"ur $a = a^\ast \in A$ unser $h(a)$ eine reellwertige Funktion ist. Haben wir n"amlich $h(a) = \alpha + {\op{i}} \beta$ mit $\alpha,\beta\in\DR$, so folgt $h (a + {\op{i}} t 1) = \alpha + {\op{i}} (\beta +t)$ und f"ur $b \pdef a + {\op{i}}t1$ mit $t \in \mathbb R$ ergibt sich die von der Mitte zu entwickelnde Ungleichungskette \begin{equation*} \alpha^2 + \beta^2 + 2\beta t + t^2 = |h (b)|^2\leq \| b \|^2 = \| b b^\ast \| = \| a^2 + t^2 1 \| \leq \| a \|^2 + t^2 \end{equation*} Da kann aber nur dann f"ur alle $t \in \mathbb R$ gelten, wenn gilt $\beta = 0$. Indem wir ein beliebiges $a \in A$ als $(a + a^\ast) / 2 + {\op{i}} ((a - a^\ast)/2{\op{i}})$ schreiben, folgern wir $h (a^\ast) = \overline{h (a)}$ f"ur alle $a \in A$. Dann zeigt Stone-Weierstra"s, da"s $h (A)$ dicht liegt in $ \mathcal C (\op{Spek A})$ f"ur die Topologie der gleichm"a"sigen Konvergenz. Gegeben ein Element $a$ einer Banachringalgebra erinnere ich nun aus \eref{SpR}{AN3} an die Formel \begin{displaymath} \rho (a) = \lim_{n \ra \infty} \sqrt[n]{\|a^n\|} \end{displaymath} f"ur den Spektralradius, deren Beweis mit einem Vorgriff auf Methoden aus der Funktionentheorie gelang. Ist $A$ sogar eine ${\op{C}}^{\ast}$-Kringalgebra, so folgt aus der Identit"at $\|aa^\ast\|=\|a\|^2$ sofort $\rho (b) =\|b\|$ f"ur alle $b\in A$ mit $b^\ast=b$. Gegeben $a \in A$ und $b = aa^\ast$ erhalten wir damit $\rho (b) = \| b \|$, mit unserer Vorbemerkung \ref{WeSpe} also $\| h (b) \|_\infty = \| b \|$. Daraus aber folgt $\| a \|^2 = \| aa^\ast \| = \| b \| = \| h (b) \|_\infty = \| h (a) \|^2_\infty$ alias $\| a \| = \| h (a) \|_\infty $ f"ur alle $a \in A$. Also ist $h$ isometrisch. Da $A$ vollst"andig ist, mu"s $h$ abgeschlossenes Bild haben. Also ist $h$ ein isometrischer Isomorphismus. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{AGN} Wir geben noch eine konkrete Anwendung. Seien ${\cal H}$ ein Hilbertraum und $N:{\cal H} \ra {\cal H}$ ein beschr\"{a}nkter Operator, als da hei"st eine stetige lineare Abbildung. Man nennt $N$ {\bf normal},\index{normal!Operator} wenn $N$ mit seinem Adjungierten $N^{\ast}$ kommutiert. Normal sind also insbesondere alle beschr\"{a}nkten selbstadjungierten Operatoren und ebenso alle unit\"{a}ren Operatoren. Das \defind{Spektrum} $\sigma (N) \subset \DC$ eines beschr\"{a}nkten Operators $N$ ist die Menge $$\sigma (N) =\{ \lambda \in \DC \mid N - \lambda \op{id} \text{ ist nicht invertierbar}\}$$ Das Spektrum eines beschr\"{a}nkten Operators ist nach \eref{SPRR}{AN3} stets eine kompakte Teilmenge von $\DC$. Nun bilden wir in der Algebra ${\cal B} ({\cal H})$ aller beschr\"{a}nkten Operatoren von ${\cal H}$ in sich selber die von $N$ und $N^{\ast}$ erzeugte Unterringalgebra und bezeichnen mit $A$ ihren Abschlu"s bez\"{u}glich der Operatornorm. So ist $A$ eine ${\op{C}}^\ast$-Kringalgebra, nach Gelfand-Naimark \ref{GN} ist also die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus $$A \sira \cal{C} (\op{Spek} A)$$ Andererseits kann man zeigen, da"s das Auswerten an $N$ einen Hom\"{o}o\-mor\-phis\-mus $\op{Spek} A \sira \sigma (N)$ liefert. In der Tat entspricht nach Gelfand-Naimark unter jeden Ringalgebrenhomomorphismus $\varphi:A\ra\DC$ die Abbildung $a\mapsto a^\ast$ der komplexen Konjugation und stetig ist er auch, also festgelegt durch seinen Wert an der Stelle $N$. Mithin liefert das Auswerten eine Injektion $\op{Spek} A \hra \DC$. Sie ist per definitionem stetig. Ihr Bild mu"s in $\sigma (N)$ landen, da invertierbare Elemente unter $\varphi$ invertierbar bleiben. Andererseits erzeugt jede Nichteinheit von $A$ ein maximales Ideal, das einem Element von $\op{Spek}A$ entspricht. So erkennt man, da"s das Bild unserer Injektion genau das Spektrum $\sigma (N)$ von $N$ ist. Zusammengesetzt ergibt sich so ein Isomorphismus $$\cal{C} (\sigma (N))\sira A$$ Wir k\"{u}rzen ihn $f \mapsto f(N)$ ab. Er ist sehr n\"{u}tzlich, zum Beispiel, wenn man eine Wurzel aus dem Operator $N$ ziehen will. Wir haben die Verkn"upfung unseres Isomorphismus mit der Einbettung $ A\hra\mathcal B(\mathcal H)$ bereits in \eref{BSSS}{AN3} kennengelernt. %F\"{u}r Beweise dieser ganzen Tatsachen siehe \cite{Rudin}. \end{Bemerkungl} \newpage \section{Funktionen auf topologischen Gruppen*} \subsection{Uniforme Strukturen}\label{UniF} \begin{Bemerkungl} Der Begriff der gleichm"a"sigen Stetigkeit kann nicht sinnvoll von Abbildungen zwischen metrischen R"aumen auf Abbildungen zwischen beliebigen topologischen R"aumen erweitert werden. Eine derartige Erweiterung gelingt jedoch f"ur R"aume mit einer sogenannten \glqq uniformen Struktur\grqq\ und insbesondere f"ur topologische Gruppen und Teilmengen derselben. Das soll im folgenden diskutieren werden. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine Menge $X$ und eine Relation auf $X$ alias eine Teilmenge $A \subset X \times X$ setzen wir $$ \begin{array}{ll} A^{-1} &\pdef\{(y,x) \mid (x,y) \in A\}\\A^{2} &\pdef\{(x,z)\mid \exists y \in A \text{ mit } (x,y) \in A \text{ und } (y,z) \in A\} \end{array} $$ \end{Definition} \begin{Definition} Eine {\bf uniforme Struktur\index{uniform!Struktur} auf einer Menge $X$} ist ein Mengensystem $\cal{A} \subset \cal{P}(X \times X)$ derart, da"s gilt:\label{UNIf} \begin{enumerate} \item $\cal{A}$ ist stabil unter endlichen Schnitten und enth"alt demnach insbesondere auch ganz $X \times X$; \item Mit einer Menge geh"ort auch jede ihrer Obermengen zu $\cal{A}$; \item Alle Mengen aus $\cal{A}$ umfassen die Diagonale; \item Mit $A$ geh"ort auch $A^{-1}$ zu $\cal{A}$; \item F"ur jedes $A \in \cal{A}$ gibt es $B \in \cal{A}$ mit $B^{2} \subset A$. \end{enumerate} Die beiden ersten Bedingungen lassen sich in der in \ref{FIUF} eingef"uhrten Terminologie auch als die Forderung zusammenfassen, da"s $\mathcal A$ ein Filter sein soll. Eine Menge mit einer ausgezeichneten uniformen Struktur hei"st ein {\bf uniformer Raum}.\index{Raum!uniformer}\index{uniform!Raum} Die Elemente von $\cal{A}$ nennen wir {\bf verallgemeinerte Abst"ande} oder auch k"urzer {\bf Abst"ande}.\index{Abstand!in uniformem Raum} \end{Definition} \begin{Beispiel} F"ur jede Metrik oder allgemeiner Pseudometrik $d$ auf einer Menge $X$ erh"alt man eine uniforme Struktur $\cal{A}$ auf $X$ durch die Vorschrift $$\cal{A} \pdef \{ A \subset X \times X \mid \exists \varepsilon >0 \text{ mit } (d (x,y) < \varepsilon \Rightarrow (x,y) \in A)\}$$ Es gibt jedoch bereits in dieser uniformen Struktur im allgemeinen sehr viel mehr M"oglichkeiten f"ur Abst"ande als im zugrundeliegenden metrischen Raum. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Jede Teilmenge eines uniformen Raums erbt eine uniforme Struktur in offensichtlicher Weise. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{ufST} Auf jeder topologischen Gruppe $G$ erh"alt man zwei uniforme Strukturen $\cal{A}_{l}$ und $\cal{A}_{r}$ durch die Vorschriften $$\begin{array}{ccc} \cal{A}_{l} &\pdef&\{ A \subset G \times G \mid \exists V \co G \text{ mit }e\in V \text{ und } (x^{-1}y \in V \Rightarrow (x,y) \in A) \}\\ \cal{A}_{r} & \pdef& \{ A \subset G \times G \mid \exists V \co G \text{ mit }e\in V \text{ und } (xy^{-1} \in V \Rightarrow (x,y) \in A) \} \end{array} $$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{UstAA} Gegeben eine abelsche Gruppe $G$ mit einem System von Untergruppen $\mathcal U\subset \mathcal P(G)$, das stabil ist unter endlichen Schnitten, k"onnen wir auf $G$ eine uniforme Struktur erkl"aren durch die Vorschrift $$ \cal{A} \pdef \{ A \subset G \times G \mid \exists V \in \mathcal U \text{ mit } (x-y \in V \Rightarrow (x,y) \in A) \} $$ \end{Beispiel} \begin{Definition} Gegeben ein Punkt $x \in X$ und ein Abstand $A \in \cal{A}$ erkl"aren wir den {\bf $A$-Ball um $x$}\index{Ball!in uniformer Struktur} als\index{B@$\op{B} (x; A)$ Ball in uniformer Struktur} die Menge $$\op{B} (x; A)\pdef\{ y \in X \mid (y,x) \in A\} $$ Wir nennen eine Menge $U\subset X$ {\bf uniform offen} oder meist einfach nur {\bf offen}, wenn sie mit einem Element stets auch einen ganzen Ball um besagtes Element umfa"st. Die uniform offenen Mengen bilden dann eine Topologie auf $X$, die {\bf uniforme Topologie}.\index{Topologie!uniforme}\index{uniform!Topologie} \end{Definition} \begin{Beispiel} Unsere uniformen Strukturen auf einer topologischen Gruppe aus \ref{ufST} geben uns beide als uniforme Topologie die urspr"ungliche Topologie unserer topologischen Gruppe zur"uck. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Offene Kerne in der uniformen Topologie}] Bez"uglich der uniformen Topologie auf einem uniformen Raum $X$ besteht der offene Kern einer Menge $M\subset X$ genau aus allen Punkten $p\in M$, um die es einen Ball $\op{B}(p;A)$ gibt, der auch noch ganz in $M$ enthalten ist. In der Tat ist diese Menge offen, denn f"ur jedes $A$ finden wir $C$ mit $C^2\subset A$ und f"ur jeden Punkt $q\in \op{B}(p;C)$ ist damit auch $\op{B}(q;C)$ noch ganz in $M$ enthalten. Da"s unser offener Kern in spe die gr"o"stm"ogliche in $M$ enthaltene offene Menge ist, ist dann eh klar. Insbesondere ist jeder Ball um einen Punkt auch eine Umgebung von besagtem Punkt. Dahingegen m"ussen unsere B"alle keineswegs offen sein. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Abbildung $f:X\ra Y$ zwischen uniformen R"aumen $(X,\cal{A})$ und $(Y,\cal{B})$ hei"st {\bf gleichm"a"sig stetig},\index{gleichm"a"sig stetig!Abbildung uniformer R"aume} wenn\index{stetig!gleichm"a"sig!bei uniformen R"aumen} es f"ur jedes $B \in \cal{B}$ ein $A \in \cal{A} $ gibt mit $(f \times f) (A) \subset B$ alias $f(\op{B} (x;A)) \subset \op{B} (f (x);B)$ f"ur alle $ x\in X$. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Gleichm"a"sige Stetigkeit auf Kompakta}] Jede stetige Abbildung von\label{GSKg} einem kompakten uniformen Raum in einen weiteren uniformen Raum ist gleichm"a"sig stetig. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis f"ur metrische R"aume] Im Fall metrischer R"aume haben wir daf"ur bereits in \eref{glsV}{AN1} einen Beweis skizziert, der vom Begriff der Folgenkompaktheit ausgeht. Zur Vor"ubung geben wir nun erst einmal einen alternativen Beweis im Fall metrischer R"aume, der vom Begriff der "Uberdeckungskompaktheit ausgeht. Seien $X,Y$ metrische R"aume und $f: X \ra Y$ unsere stetige Abbildung. Gegeben $\beta >0$ setzen wir $\gamma\pdef \beta/2$ und gegeben $x \in X$ finden wir $\alpha_{x}>0$ mit $f(\op{B} (x;\alpha_{x})) \subset\op{B} ( f(x);\gamma)$. Nun setzen wir $\delta_x\pdef \alpha_x/2$ und Wegen der Kompaktheit von $X$ gibt es eine endliche Teilmenge $E \subset X$ derart, da"s die B"alle $\op{B}(x;\delta_x)$ f"ur $x \in E$ bereits ganz $X$ "uberdecken. Jedes $z \in X$ liegt also in einem $\op{B} (x;\delta_x)$ f"ur ein $x \in E$ und damit gilt auch $\op{B} (z;\delta_x)\subset \op{B} (x;\alpha_x)$. Nehmen wir nun $\delta \pdef \op{min}\{\delta_x\mid x\in E\}$, so gibt es f"ur jedes $z\in X$ ein $x\in E$ mit $\op{B}(z;\delta) \subset \op{B}(x;\alpha_{x})$ und folglich $f(\op{B}(z;\delta))\subset \op{B}(f(x);\gamma)$. Nun haben aber je zwei Elemente des $\gamma$-Balls einen Abstand unter $2\gamma=\beta$ und so folgt $f(\op{B}(z;\delta))\subset \op{B}(f(z);\beta)$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis] Seien $(X, \cal{A})$ und $(Y, \cal{B})$ unsere uniformen R"aume und $f: X \ra Y$ unsere stetige Abbildung. Gegeben $B \in \cal{B}$ w"ahlen wir zun"achst $C \in \cal{B}$ mit $C = C^{-1}$ und $C^{2}\subset B$. F"ur jedes $x \in X$ finden wir dann $A_{x} \in \cal{A}$ mit $f(\op{B} (x;A_{x})) \subset\op{B} ( f(x);C)$. Weiter finden wir $D_x\in\cal{A}$ mit $D_x^2\subset A_x$ und $D_x=D_x^{-1}$. Wegen der Kompaktheit von $X$ gibt es nun eine endliche Teilmenge $E \subset X$ derart, da"s die B"alle $\op{B}(x;D_{x})$ f"ur $x \in E$ bereits ganz $X$ "uberdecken. Jedes $z \in X$ liegt also in einem $\op{B} (x;D_{x})$ f"ur ein $x \in E$ und damit gilt auch $\op{B} (z;D_{x})\subset \op{B} (x;A_{x})$. Nehmen wir nun $D\pdef \bigcap_{x \in E} D_{x}$, so gibt es f"ur jedes $z\in X$ ein $x\in E$ mit $\op{B}(z;D) \subset \op{B} (x;A_{x})$ und folglich $f(\op{B}(z;D))\subset \op{B}(f(x);C)$. F"ur alle Elemente von $\op{B}(f(x);C)$ und insbesondere f"ur $f(z)$ gilt aber $\op{B}(f(z);C^2)\supset \op{B}(f(x);C)$. So folgt schlie"slich $f(\op{B}(z;D))\subset \op{B}(f(z);B)$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{glstu} Jede stetige Abbildung von einem uniformen Raum in einen weiteren uniformen Raum, die au"serhalb von einem Kompaktum konstant ist, ist gleichm"a"sig stetig. Hinweis: Man arbeite zun"achst auf dem besagten Kompaktum $K$ und finde dort zu $B$ ein $A$. Dann betrachte man $F\in \cal{A}$ mit $F = F^{-1}$ und $F^{2}\subset A$. Trifft nun ein Ball $\op{B}(z;F)$ das Kompaktum $K$, so ist er bereits in einem Ball $\op{B}(y;A)$ mit $y\in K$ enthalten. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $X$ eine Menge und $\mathcal A\subset \mathcal P(X\times X)$ eine uniforme Struktur. Eine Teilmenge $\mathcal E\subset \mathcal A$ hei"st ein\label{abzUS} {\bf Erzeugendensystem der uniformen Struktur $\mathcal A$}, wenn die Elemente von $\mathcal A$ genau alle Obermengen von Elementen von $\mathcal E$ sind.\index{Erzeugendensystem!von uniformer Struktur} Man zeige, da"s in einer abz"ahlbar erzeugten uniformen Struktur jeder Punkt eine abz"ahlbare Umgebungsbasis besitzt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jede Verkn"upfung gleichm"a"sig stetiger Abbildungen zwischen uniformen R"aumen ist gleichm"a"sig stetig. Die Identit"at auf einem uniformen Raum ist gleichm"a"sig stetig. Die uniformen R"aume bilden mithin eine Kategorie $\op{Unif}$.\index{Unif@$\op{Unif}$ Kategorie der uniformen R"aume} Man zeige, da"s diese Kategorie Produkte besitzt. \end{Ubung} \subsection{Riesz'scher Darstellungssatz} \begin{Bemerkungl} Unter einem \defind{Borelma"s} auf einem topologischen Raum verstehen wir wie in \eref{BoMa}{AN3} ein topologisches Ma"s, das auf allen abgeschlossenen Kompakta unseres Raums endliche Werte annimmt. Diese Terminologie ist g"angig, aber kein universeller Standard. Wir werden jedoch Borelma"se eh nur auf abz"ahlbar basierten lokal kompakten Hausdorffr"aumen betrachten, f"ur die die Konventionen der meisten Autoren dieselben Borelma"se liefern. Die Menge aller Borelma"se auf $X$ notieren wir\index{M@$\op{M}^{\op{bor}}$ Borelma"se} $$\op{M}^{\op{bor}}(X;[0,\infty])$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{RaMas} Seien $X$ ein topologischer Raum und $\cal{C}_! (X,\Bbb{R})$ der reelle Vektorraum aller stetigen Abbildungen $f: X \ra \Bbb{R}$ mit kompaktem Tr"ager. Eine Linearform $\Lambda: \cal{C}_!(X,\Bbb{R}) \ra \Bbb{R}$ hei"st {\bf nichtnegativ},\index{nichtnegativ!Linearform auf $\cal{C}_{~!}(X,\Bbb{R})$} wenn sie jeder nichtnegativen Funktion eine nichtnegative reelle Zahl zuordnet. Eine nichtnegative Linearform hei"st ein {\bf Radon-Ma"s}\index{Radonma"s!nichtnegatives} oder genauer ein {\bf nichtnegatives Radon-Ma"s} auf unserem topologischen Raum.\index{M@${\op{M}}^{\op{rad}}(X;[0,\infty))$ nichtnegative Radonma"se} Die Menge aller nichtnegativen Radonma"se auf $X$ notieren wir $${\op{M}}^{\op{rad}}(X;[0,\infty))$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ein Radon-Ma"s ist kein Ma"s im Sinne einer Funktion auf einer $\sigma$-Algebra \eref{DeMas}{AN3}. Der folgende Satz zeigt jedoch, da"s diese Begriffe eng verwandt sind. Man beachte, da"s wir von unserer Linearform keinerlei zus"atzliche Stetigkeitseigenschaften fordern. Wir werden in \ref{NiFu} sehen, da"s die Forderung der Nichtnegativit"at bereits gewisse Stetigkeitseigenschaften impliziert. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Riesz'scher Darstellungssatz}]\index{Riesz'scher Darstellungssatz!Ma"stheorie!im allgemeinen Fall} F"ur jeden lokal kompakten abz"ahlbar basierten Hausdorffraum $X$ liefert das Bilden des Integrals eine Bijektion\label{RiDa} $$\op{M}^{\op{bor}}(X;[0,\infty])\sira \op{M}^{\op{rad}}(X;[0,\infty)) $$ zwischen der Menge aller Borelma"se und der Menge aller Radonma"se auf $X$.\end{Satz} \begin{Bemerkungl} In anderen Worten k"onnen wir also jede nichtnegative Linearform durch genau ein Borelma"s darstellen, deshalb auch die Bezeichnung als Darstellungssatz. Wir beginnen den Beweis des Satzes mit dem Nachweis, da"s nichtnegative Linearformen automatisch gewisse Stetigkeitseigenschaften haben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Verallgemeinerung auf nicht abz"ahlbar basierte R"aume}] F"ur jeden lokal kompakten Hausdorffraum $X$ liefert allgemeiner das Bilden des Integrals eine Bijektion\label{RiDanx} $$\left\{ \text{Regul"are Borelma"se auf $X$} \right\} \; \;\sira\;\; \left\{ \text{Radonma"se auf } X \right\} $$ Hier sind regul"are Borelma"se wie in \eref{rBm}{AN3} zu verstehen als Borelma"se mit den Eigenschaften, da"s (1) das Ma"s jeder offenen Menge das Supremum "uber die Ma"se der in ihr enthaltenen Kompakta ist und (2) das Ma"s jeder me"sbaren Menge das Infimum "uber die Ma"se der sie umfassenden offenen Mengen. Man mag das in \cite{Halmos} oder \cite{RudinRCA} oder \cite{Sternberg} nachlesen. Betrachten wir zum Beispiel eine "uberabz"ahlbare Menge mit der diskreten Topologie und das Borelma"s, das jeder abz"ahlbaren Menge Null zuordnet und jeder "uberabz"ahlbaren Menge Unendlich, so ist das Integral jeder stetigen Funktion mit kompaktem Tr"ager Null, obwohl unser Ma"s nicht identisch verschwindet. Allerdings sind in diesem Fall auch unsere Regularit"atsbedingungen nicht erf"ullt, genauer ist hier unsere erste Regularit"atsbedingung verletzt. Meines Erachtens sind auf topologischen R"aumen Radonma"se der nat"urlichere Begriff. Dennoch ist der "Ubergang zu regul"aren Borelma"sen oft von Nutzen. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma}[\textbf{Stetigkeitseigenschaften nichtnegativer Linearformen}] Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ und\label{NiFu} eine nichtnegative Linearform $\Lambda:\cal{C}_!(X,\Bbb{R}) \ra \Bbb{R}$ und ein Kompaktum $K\subset X$ ist die Einschr"ankung von $\Lambda$ auf den Raum $\cal{C}_{K}(X,\Bbb{R})$ aller stetigen Funktionen mit Tr"ager in $K$ stetig f"ur die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz. \end{Lemma} \begin{proof} Das Lemma von Urysohn oder genauer \ref{FSKo} liefert eine stetige nichtnegative Funktion $h\in \cal{C}_!(X,\Bbb{R}),$ die auf unserem Kompaktum $K$ konstant Eins ist. F"ur $f\in \cal{C}_{K} (X,\Bbb{R})$ gilt dann $-\|f\|_\infty \;h\leq f\leq \|f\|_\infty \;h$ und Anwenden von $\Lambda$ liefert $|\Lambda(f)|\leq \Lambda(h)\; \|f\|_\infty.$ \end{proof} \begin{Bemerkunge} Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ verstehen wir unter einem {\bf reellen Radonma"s auf $X$}\index{Radonma"s!reelles} eine Linearform $\Lambda:\cal{C}_!(X,\Bbb{R}) \ra \Bbb{R}$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur jedes\label{Radsig} Kompaktum $K\subset X$ die Einschr"ankung von $\Lambda$ auf den Raum $\cal{C}_{K}(X,\Bbb{R})$ aller stetigen Funktionen mit Tr"ager in $K$ stetig ist f"ur die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz. Den Vektorraum der reellen Radonma"se notieren wir $$\op{M}^{\op{rad}}(X;\DR)$$ Das Analogon des Riesz'schen Darstellungssatzes f"ur reelle Ma"se gilt nicht. Bereits f"ur $X=\DZ$ mit der diskreten Topologie ist $f\mapsto \sum_{n\in\DZ}(-1)^n f(n)$ ein reelles Radonma"s, das nicht als eine Integration "uber ein reelles Borelma"s $\mu \in \op{M}^{\op{bor}}(X;\DR)$ realisiert werden kann. \nichtfinal{(Definition reelles Borelma"s?)} \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis des Darstellungssatzes \ref{RiDa}] Wir konstruieren zun"achst eine Abbildung in die Gegenrichtung und betrachten die $\sigma$-Algebra aller Borelmengen in $X\times\DR.$ Wir behaupten, da"s sie bereits erzeugt wird von den \glqq Graphenfl"achen\grqq\ \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildVGF}\\[4mm] \noindent Eine verschobene Graphenfl"ache\end{Bild} $$G(f)=\{ (x,t) \mid 0\leq t < f(x)\}$$ f"ur alle nichtnegativen $f \in \cal{C}_! (X,[0,\infty))$ sowie ihren in der zweiten Koordinate verschobenen Kopien $\{ (x,t) \mid 0\leq t+a < f(x)\}$ f"ur alle $a \in \Bbb{R}.$ Um das nachzuweisen, reicht es zu zeigen, da"s die von den verschobenen Graphenfl"achen erzeugte $\sigma$-Algebra bereits alle Quader $U\times [a,b)$ mit $U\co X$ offen enth"alt. Sicher d"urfen wir uns hier auf Quader $U\times [0,b)$ beschr"anken, und nach \ref{FoOo} d"urfen wir, da wir $X$ abz"ahlbar basiert voraussetzen, sogar annehmen, da"s gilt $U=\{x\mid f(x)>0\}$ f"ur eine stetige Funktion $f:X\ra[0,\infty)$ mit kompaktem Tr"ager. Dann aber erhalten wir f"ur den fraglichen Quader die Darstellung $$U \times [0,b) = \bigcup_{n\in\Bbb{N}} G (\op{inf}(n f, b))$$ Bezeichne nun $\cal{G} \subset \cal{P} (X\times \Bbb{R})$ den von allen verschobenen Graphenfl"achen erzeugten Mengenring und bezeichne $\lambda$ das Lebesguema"s auf $\DR.$ Wir behaupten, da"s f"ur alle $G \in \cal{G}$ die Abbildung $$\begin{array}{rccl} f_{G}:& X & \ra & [0,\infty)\\ &x &\mapsto &\lambda (G\cap \op{pr}_1^{-1}(x)) \end{array}$$ stetig ist. Um das zu sehen, betrachten wir f"ur alle stetigen $f:X\ra \DR$ den \glqq Halbraum\grqq\ $$H(f)\pdef\{ (x,t) \mid t < f(x)\}$$ Sicher gilt $H(f)\cap H(g)= H(\inf(f,g))$ und $H(f)\cup H(g)= H(\sup(f,g)).$ Betrachten wir die leere Menge und die ganze Menge auch als Halbr"aume, so ist das System aller Halbr"aume mithin stabil unter endlichen Schnitten und endlichen Vereinigungen. %Die von allen Halbr"aumen erzeugte Mengenalgebra Der von allen Halbr"aumen erzeugte Mengenring besteht nach \eref{MREe}{AN3} folglich aus endlichen disjunkten Vereinigungen von Differenzmengen von derartigen Halbr"aumen. Insbesondere ist jede Menge $G\in\cal{G}$ eine endliche disjunkte Vereinigung von Mengen der Gestalt $H(f)\backslash H(g)$ mit $f,g:X\ra\DR$ stetig, und das zeigt, da"s $f_G$ stetig ist f"ur alle $G\in \cal{G}.$ Wir behaupten nun, da"s f"ur $\Lambda : \cal{C}_! (X; \Bbb{R})\ra \Bbb{R}$ eine nichtnegative Linearform die Zuordnung $G \mapsto \Lambda (f_{G})$ sogar ein Pr"ama"s auf $\cal{G}$ ist. In der Tat folgt das aus der Stetigkeitseigenschaft \ref{NiFu} nichtnegativer Linearformen mit dem Satz von Dini \eref{Dini}{AN1}, der besagt, da"s auf einem Kompaktum jede monotone Folge stetiger reellwertiger Funktionen, die punktweise gegen eine stetige Funktion konvergiert, bereits gleichm"a"sig konvergieren mu"s. Jede nichtnegative Linearform auf $\cal{C}_!(X,\Bbb{R})$ liefert so erst ein Pr"ama"s auf $\cal{G}$ und mit dem Erweiterungssatz von Caratheodory \eref{MHa}{AN3} dann ein topologisches Ma"s $\pi_\Lambda$ auf $X\times \DR.$ Wir erhalten schlie"slich ein topologisches Ma"s $\mu_\Lambda$ auf $X,$ indem wir f"ur jede topologisch me"sbare Teilmenge $A\subset X$ setzen $$\mu_\Lambda(A)=\pi_\Lambda(A\times [0,1))$$ Dieses Ma"s $\mu_\Lambda$ ist endlich auf Kompakta, da wir nach \ref{FSKo} f"ur jedes Kompaktum $K$ die konstante Funktion Eins auf $K$ zu einer stetigen Funktion mit kompaktem Tr"ager $h:X\ra[0,\infty)$ ausdehnen k"onnen, und aus $K\times [0,1)\subset G(h)$ folgt dann sofort $\mu_\Lambda (K)\leq \Lambda(h).$ Damit haben wir zu unserer durch das Integrieren erkl"arten Abbildung im Darstellungssatz eine Abbildung in die Gegenrichtung konstruiert, der man ohne Schwierigkeiten ansieht, da"s sie eine Rechtsinverse ist, in Formeln $\int f\mu_\Lambda=\Lambda(f)$. Es bleibt also nur noch zu zeigen, da"s die Abbildung aus unserem Satz injektiv ist, als da hei"st, da"s verschiedene Borelma"se $\mu \neq \nu$ auf $X$ auch verschiedene Funktionale auf $\cal{C}_! (X,\Bbb{R})$ liefern. Sicher liefern sie verschiedene Ma"se $\mu \boxtimes \lambda \neq \nu \boxtimes \lambda$ auf $X \times \Bbb{R}$ und wegen der Eindeutigkeitsaussage im Ma"serweiterungssatz \eref{MHa}{AN3} nehmen sie dann auch auf mindestens einer Menge $G \in \cal{G}$ verschiedene Werte an. Mit Fubini folgt daraus aber, da"s $\mu$ und $\nu$ verschieden sind auf $f_{G} \in \cal{C}_! (X,\Bbb{R})$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben ein regul"ares Borelma"s $\mu$ auf einem lokal kompakten Hausdorffraum $X$ liegen die stetigen Funktionen mit kompaktem Tr"ager dicht im Raum der ${\op{L}}^p$-Funktionen f"ur jedes $p<\infty$, in Formeln\label{ckdi} $$\overline{\mathcal C_!(X)}={\op{L}}^p(X;\mu)$$ Hinweis: Nach \eref{USs}{AN3} liegt das Erzeugnis der charakteristischen Funktionen von Mengen endlichen Ma"ses dicht. Aufgrund der Regularit"at liegt sogar das Erzeugnis der charakteristischen Funktionen von offenen Mengen endlichen Ma"ses dicht. Und wieder aufgrund der Regularit"at k"onnen wir in jede offene Menge endlichen Ma"ses eine kompakte Menge fast desselben Ma"ses hineinlegen und dann eine nichtnegative stetige Funktion mit kompaktem Tr"ager finden, die auf diesem Kompaktum Eins ist und au"serhalb unserer offenen Menge Null. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jedes reelle Radonma"s auf einem lokal kompakten Haus\-dorff\-raum ist die Differenz von zwei nichtnegativen Radonma"sen. Hinweis:\label{SrM} Man orientiert sich an den Hinweisen zu \eref{SRmA}{AN3}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein lokal kompakter abz"ahlbar basierter Hausdorffraum $X$ liefert das Bilden des Produkts mit dem Lebesguema"s eine Bijektion \begin{displaymath} \{ \text{Borelma"se auf } X\} \sira \{ \text{translationsinvariante Borelma"se auf } X \times \Bbb{R}\} \end{displaymath} \end{Ubung} \subsection{Haarma"se} \begin{Bemerkungl} Seien $X$ ein topologischer Raum und $\cal{C}_! (X,\Bbb{R})$ der reelle Vektorraum aller stetigen Abbildungen $f: X \ra \Bbb{R}$ mit kompaktem Tr"ager. Ich erinnere daran \ref{RaMas}, da"s nach\label{RaMasx} wir unter einem {\bf Radonma\ss\ auf $X$}\index{Radonma\ss} eine Linearform $\Lambda: \cal{C}_!(X,\Bbb{R}) \ra \Bbb{R}$ verstehen, die jeder nichtnegativen Funktion eine nichtnegative reelle Zahl zuordnet. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Unter einem {\bf Haar-Ma"s}\index{Haar-Ma"s!auf topologischer Gruppe} oder genauer einem {\bf linksinvarianten Haar-Radonma"s} auf einer topologischen Gruppe $G$ verstehen wir\label{DHM} ein von Null verschiedenes nichtnegatives Radonma"s $\mu$ mit der Eigenschaft $\mu (f\circ(x\cdot) )= \mu (f)$ f"ur alle $x\in G$ und alle $f\in \cal{C}_! (G,\Bbb{R}).$ \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{"uber Haar'sche Ma"se}] \begin{enumerate} \item Auf jeder lokal kompakten Hausdorffgruppe gibt es ein Haarma"s und je zwei Haarma"se darauf unterscheiden sich h"ochstens um einen positiven konstanten reellen Faktor; \item Ein Haarma"s auf einer lokal kompakten Hausdorffgruppe ordnet jeder von Null verschiedenen nichtnegativen Funktion mit kompaktem Tr"ager eine positive Zahl zu. \end{enumerate} \label{EEHa} %\label{PHM} \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Die Hausdorff-Bedingung im Satz ist "uberfl"ussig. Genauer kann man mit \ref{HQTG} den allgemeinen Fall auf den Fall einer Hausdorffgruppe zur"uckf"uhren. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiele} Haarma"se auf Matrixliegruppen werden in \rref{HMML}{ML} diskutiert, Haarma"se auf beliebigen Liegruppen in \eref{IVL}{ML}. Typische Beispiele sind das Z"ahlma"s auf diskreten Gruppen, das Lebesguema"s auf den additiven Gruppen $\DR$ und allgemeiner $\DR^n$, sowie das Ma"s $f\mapsto \int f(t)t^{-1}\diff t$ auf der multiplikativen Gruppe $\DR^\times$. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Ein Haarma"s auf einer kompakten topologischen Gruppe, das der konstanten Funktion Eins den Wert Eins zuordnet, hei"st ein\label{NHMa} {\bf normiertes Haarma"s}.\index{Haar-Ma"s!normiertes} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{DHMa} Ich gebe hier einen Beweis der Existenz, der den Satz von Tychonoff \ref{ST} verwendet und so implizit das Auswahlaxiom. Es ist nat"urlich merkw"urdig, das Auswahlaxiom zu verwenden bei der Konstruktion von etwas, das im wesentlichen eindeutig ist. Einen etwas l"angeren Beweis, der ohne das Auswahlaxiom auskommt, kann man in \cite{HeRo} finden. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $\cal{C}^{+}_! (G)$ die Menge aller $f \in \cal{C}_!(G,\Bbb{R})$ mit $f \geq 0$. Gegeben $f, g \in \cal{C}^{+}_! (G)$ mit $g \neq 0$ gibt es $x_{1}, \ldots , x_{n} \in G$ und $a_{1}, \ldots , a_{n} \geq 0$ mit $$f(z) \leq \sum^{n}_{i=1} a_{i} g (x_{i}z) \quad \forall z \in G$$ Wir definieren $(f: g)\in \Bbb{R}$ als das Infimum der m"oglichen $\sum^{n}_{i=1} a_{i}$ f"ur alle Wahlen wie eben und haben f"ur alle $f,f_1,f_2, h \in \cal{C}^{+}_! (G)$ offensichtlich \begin{enumerate} \item $(f\circ(x\cdot): g) = (f: g) \;\;\forall x \in G;$ \item $(f_{1} + f_{2} : g) \leq (f_{1}: g)+(f_{2}: g);$ \item $(cf : g) = c(f: g) \quad\text{ f"ur beliebiges } c\in\DR_{\geq 0};$ \item $f_{1} \leq f_{2} \Rightarrow (f_{1}: g) \leq (f_{2} : g);$ \item $(f: g) \leq (f: h)(h: g) \quad\text{ falls } h \neq 0;$ \item $f\neq 0\RA (f: g)>0.$ \end{enumerate} Jetzt w"ahlen wir ein f"ur allemal ein festes $w \in \cal{C}^{+}_! (G)$ mit $w(e) \neq 0.$ Es existiert, denn das neutrale Element besitzt eine offene Umgebung mit kompaktem Abschlu"s und wir k"onnen nach Urysohn \ref{Ur} eine stetige Funktion von diesem Abschlu"s nach $[0,1]$ finden, die auf seinem Rand Null ist und beim neutralen Element Eins. Dann dehnen wir diese stetige Funktion durch Null aus auf die ganze Gruppe. Jetzt betrachten wir f"ur jedes von Null verschiedene $g \in \cal{C}_!^+(G)$ die Abbildung $$\begin{array}{cccl} \mu_{g} :& \cal{C}^{+}_! (G) & \ra & \Bbb{R}_{\geq 0}\\[1mm] &f & \mapsto & \mu_{g} (f) = (f:g)/{(w:g)} \end{array}$$ Diese Abbildungen sind zu verstehen als Approximationen unseres Haar'schen Ma"ses, normalisiert durch die Bedingung $\mu_{g} (w) =1.$ Sicher gilt f"ur diese Approximationen: \begin{enumerate} \item $ \mu_{g} (f\circ(x\cdot)) = \mu_{g} (f) \;\;\forall x \in G;$ \item$ \mu_{g} (cf) = c \mu_{g} (f) \quad\text{ f"ur beliebiges } c \geq 0;$ \item $\mu_{g} (f_{1}+f_{2}) \leq \mu_{g} (f_{1}) + \mu_{g} (f_{2})$. \end{enumerate} Des weiteren gelten f"ur beliebige von Null verschiedene $f,g\in \cal{C}^{+}_! (G)$ die Absch"atzungen $$(f: w) = \frac{(f:w)(w:g)}{(w:g)} \geq \mu_{g} (f) \geq \frac{(f:g)}{(w:f)(f:g)} = \frac{1}{(w:f)}$$ Wir zeigen als Zwischenschritt sogar eine Absch"atzung in der Gegenrichtung. \begin{Lemma} Seien $f_{1},f_{2} \in \cal{C}^{+}_! (G)$ und $\varepsilon > 0$ gegeben. So gibt es eine offene Umgebung $V=V(f_{1},f_{2}, \varepsilon)$ von $e \in G$ derart, da"s f"ur alle $g \in \cal{C}^{+}_! (V)\backslash 0$ gilt\label{FADD} $$\mu_{g} (f_{1}) + \mu_{g} (f_{2}) \leq \mu_{g} (f_{1}+f_{2}) + \varepsilon $$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Zun"achst einmal finden wir eine Funktion $h \in \cal{C}^{+}_! (G)$ mit $h(z)=1$ $ \forall z \in \op{supp}(f_{1}+f_{2}).$ Diese Funktion halten wir f"ur den folgenden Beweis fest. Gegeben ein $\delta >0,$ das am Schlu"s gen"ugend klein gew"ahlt werden mu"s, setzen wir nun $f=f^\delta = f_{1}+f_{2} +\delta h$ und betrachten die Funktionen $h_{\nu} =h^\delta_{\nu} = f_{\nu}/f,$ stetig fortgesetzt durch Null auf die Nullstellenmenge von $f.$ Wegen der in \ref{glstu} gezeigten gleichm"a"sigen Stetigkeit der $h_\nu$ finden wir eine offene Umgebung $V= V(\delta, f_{1}, f_{2})$ des neutralen Elements mit $|h_{\nu}(z) - h_{\nu} (y)| < \delta \text{ falls } y \in z V$ f"ur $\nu=1,2.$ Nehmen wir nun irgendein $g \in \cal{C}^{+}_! (G)$ mit $g \neq 0$ und w"ahlen irgendwelche $a_{i} \geq 0$ und $x_{i} \in G$ mit $$f(z) \leq \sum^{n}_{i=1} a_{i} g (x_{i} z) \quad \forall z,$$ so folgt unter der Zusatzbedingung $\op{supp} (g) \subset V$ bereits $$\begin{array}{ccl} f_{\nu}(z) & \leq & \sum^{n}_{i=1} a_{i} g (x_{i}z) h_{\nu}(z)\\[2mm] & \leq & \sum^{n}_{i=1} a_{i} g (x_{i}z)(h_{\nu}(x^{-1}_{i})+\delta) \end{array}$$ da ja gilt $g(x_{i}z) \neq 0 \Rightarrow x_{i} z \in V \Rightarrow z \in x^{-1}_{i} V$. Immer unter unserer Zusatzbedingung $\op{supp} (g) \subset V$ folgt weiter erst $$ (f_{\nu}:g) \leq \sum a_{i} (h_{\nu}(x^{-1}_{i}) + \delta ) $$ und wegen $h_{1}+h_{2}\leq 1$ dann $$\begin{array}{ccl} (f_{1}:g) +(f_{2}: g) & \leq & \sum a_{i} (1+2\delta)\\[2mm] (f_{1}:g) +(f_{2}: g) &\leq & (f: g )(1+2 \delta)\\ & \leq & ((f_{1} + f_{2} : g)+ \delta (h: g)) (1 + 2 \delta)\\[2mm] \mu_{g} (f_{1}) + \mu_{g} (f_{2}) & \leq & (\mu_{g} (f_{1}+f_{2}) + \delta \mu_{g} (h)) (1 + 2 \delta)\\ & \leq & (\mu_{g} (f_{1}+f_{2}) + \delta (h:w) ) (1 + 2 \delta)\end{array}$$ Das Lemma ergibt sich, wenn wir zu Beginn $\delta$ in Abh"angigkeit von $\varepsilon$ klein genug w"ahlen und das zugeh"orige $V$ nehmen. \end{proof} \noindent Setzen wir f"ur $f \neq 0$ nun $I_{f} = \left[ {(w:f)^{-1}},(f:w) \right],$ so gilt nach einer fr"uheren Absch"atzung $\mu_{g} (f) \in I_{f}$ f"ur alle $f \neq 0$. Damit kann man $\mu_{g}$ auffassen als einen Punkt des Produkts $$I\pdef \prod_{0\neq f\in \cal{C}^{+}_! (G)} I_{f}$$ Mit der Produkttopologie wird $I$ ein Kompaktum nach dem Satz von Tychonoff \ref{ST}. F"ur $V \co G$ eine offene Umgebung des neutralen Elements betrachten wir nun $$ K_{V} \pdef \overline{\{\mu_{g} | \op{supp} g \subset V\} } \subset I$$ Sicher gilt $V \subset W \Rightarrow K_{V} \subset K_{W}$ und wir folgern, da"s es ein $\mu \in I$ gibt mit $\mu \in K_{V} $ $ \forall V.$ Wir verstehen nun $\mu$ als eine Abbildung $ \mu : \cal{C}^{+}_! (G) \ra \Bbb{R}$, indem wir $\mu(f)$ als die Projektion von $\mu$ auf seine $f$-Komponente definieren f"ur $f\neq 0$ und $\mu(0)=0$ setzen. Dann behaupten wir, da"s das so erkl"arte $\mu$ additiv ist und mit der Multiplikation mit nichtnegativen Skalaren vertauscht. Gegeben $f_{1}, f_{2} \in \cal{C}^{+}_! (G)$ und $\varepsilon >0$ und $V$ eine Umgebung des neutralen Elements finden wir ja nach der Definition der Produkttopologie ein $g \in \cal{C}^{+}_! (V)$ mit $$|\mu (f_{i})-\mu_{g} (f_{i}) | < \varepsilon \text{ f"ur } i = 1,2.$$ Es folgt f"ur $f, f_{1},f_{2} \in \cal{C}^{+}_! (G)$ bereits $\mu (cf) = c\mu (f)$ falls $c \geq 0,$ $\mu (f_{1} + f_{2}) = \mu (f_{1}) + \mu (f_{2})$ sowie $\mu (f\circ(x\cdot)) = \mu (f) \quad \forall x \in G$. F"ur beliebiges $f \in \cal{C}_! (G)$ setzen wir $f^{\pm} = \op{sup} (\pm f,0)$ und $\mu (f)=\mu (f^{+}) - \mu (f^{-})$ und haben damit die Existenz eines Haar'schen Ma"ses nachgewiesen. Wir zeigen nun noch die Eindeutigkeit. Dazu ben"otigen wir Produktma"se, wie sie im Anschlu"s in \ref{PRaM} diskutiert werden. Gegeben zwei Haarma"se $\mu, \nu$ auf einer lokal kompakten Hausdorff'schen Gruppe $G$ benutzen wir im Folgenden die Konvention, nach der "uber die Variable $x$ nach $\mu$ und "uber die Variable $y$ nach $\nu$ integriert werden m"oge. Damit finden wir nach \ref{PRaM} oder im abz"ahlbar basierten Fall auch alternativ nach Riesz \ref{RiDa} und Fubini \eref{Fuba}{AN3} f"ur $f,h \in \cal{C}_! (G,\Bbb{R})$ beliebig $$\begin{array}{ccl} \mu (f) \nu(h) - \nu (f) \mu (h) &=& \int f (x) h(y) - f(y) h(x)\\[2mm] &=& \int f(x) h(x^{-1}y) - f(y) h(x)\\[2mm] &=& \int f(yx) h(x^{-1}) - f (y)h(x)%\\[2mm] % &=& \int f (x^{-1}yx) h(x^{-1}) - f(y) h(x) \end{array}$$ Unter der zus"atzlichen Annahme, da"s $h$ nichtnegativ und symmetrisch sei, in Formeln $h\geq 0$ und $h(x) = h(x^{-1}) \; \forall x \in G,$ ergibt sich die Absch"atzung $$ |\mu (f) \nu (h) - \nu (f)\mu(h)| \leq \mu (h)\op{sup}|f(yx) - f(y) | $$ Dabei ist das Supremum "uber alle $x \in \op{supp} h$ und $ y \in G$ zu bilden. Indem wir die gleichm"a"sige Stetigkeit von $f$ nach \ref{glstu} ausn"utzen und $h$ mit sehr kleinem Tr"ager um das neutrale Element herum w"ahlen, finden wir bei festem $f\geq 0$ mit $f\neq 0$ f"ur alle $\varepsilon >0$ eine Umgebung des neutralen Elements derart, da"s f"ur alle $h\geq 0$ mit $h\neq 0$ und Tr"ager in dieser Umgebung $U(f,\varepsilon)$ gilt $$ \left|\frac{\nu (h)}{\mu(h)} - \frac{\nu (f)}{\mu(f)}\right| \leq \frac{\varepsilon}{\mu(f)} $$ Daraus folgt dann die Eindeutigkeit, denn gegeben von Null verschiedene $f,g\geq 0$ kommen wir mit demselben $\frac{\nu (h)}{\mu(h)}$ sowohl an $\frac{\nu (f)}{\mu(f)}$ als auch an $\frac{\nu (g)}{\mu(g)}$ beliebig nah heran. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ mit einem Radonma"s $\mu$ und eine stetige Funktion mit kompaktem Tr"ager $f:X\ra\DC$ verwende ich auch die Schreibweise $$\mu(f)\defp \int_X f(x)\mu\langle x\rangle$$ \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Produkte von Radonma"sen}] Seien lokal kompakte Hausdorffr"aume $X,Y$\label{PRaM} mit Radonma"sen $\mu, \nu$ gegeben. So gilt: \begin{enumerate} \item Es gibt genau ein Radonma"s $\mu \boxtimes \nu$ auf dem Produktraum $X\times Y$ mit $$\int f(x) g(y) (\mu \boxtimes \nu)\langle x,y\rangle = \left(\int f(x)\mu \langle x\rangle\right)\left( \int g(y)\nu \langle y\rangle\right)$$ f"ur alle $f \in \cal{C}_! (X,\Bbb{R})$ und $ g \in \cal{C}_! (Y,\Bbb{R})$; \item F"ur alle $h \in \cal{C}_! (X\times Y; \Bbb{R})$ geh"ort die Abbildung $x \mapsto \int h (x,y) \nu (y)$ zu $\cal{C}_! (X,\Bbb{R})$ und es gilt $\int h(x,y)(\mu \boxtimes \nu)\langle x,y\rangle = \int (\int h (x,y) \nu \langle y\rangle) \mu \langle x\rangle$; \end{enumerate} Insbesondere darf also die Integrationsreihenfolge vertauscht werden. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl}\label{stSN} Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ und ein Kompaktum $K \subset X$ bezeichne $\cal{C}_{K} (X,\Bbb{R}) \subset \cal{C}_! (X,\Bbb{R})$ den Raum aller stetigen reellen Funktionen mit Tr"ager in $K$, versehen mit seiner $\op{sup}$-Norm. In dieser Situation ist jedes positive Funktional $\varphi : \cal{C}_! (X,\Bbb{R}) \ra \Bbb{R}$ stetig auf $\cal{C}_{K} (X,\Bbb{R})$, denn es gibt $h \in \cal{C}_! (X,\Bbb{R})$ mit $h \geq 0$ und $h_{K} =1$, und f"ur $f \in \cal{C}_{K} (X,\Bbb{R})$ folgt aus $\| f\| \leq 1$ sofort $|\varphi (f)| = |\varphi (f^{+})- \varphi (f^{-})| \leq \varphi (h)$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ist $X$ ein beliebiger topologischer Raum und $Y$ kompakt, so macht die offensichtliche Identifikation $\op{Ens} (X \times Y, \Bbb{R}) \overset{\sim}{\ra} \op{Ens} (X, \op{Ens} (Y,\Bbb{R}))$ jede stetige Abbildung $h: X \times Y \ra \Bbb{R}$ zu einer stetigen Abbildung $X \ra \cal{C} (Y,\Bbb{R})$ f"ur die $\op{sup}$-Norm auf $\cal{C} (Y,\Bbb{R}),$ vergleiche \ref{TKL}. Sind also $X$ und $Y$ lokal kompakte Hausdorffr"aume und ist $h : X \times Y \ra \Bbb{R}$ stetig mit kompaktem Tr"ager und $\nu$ ein Radonma"s auf $Y$, so ist auch $x \mapsto \int h (x,y) \nu \langle y\rangle$ stetig mit kompaktem Tr"ager. Das zeigt schon mal, da"s das Doppelintegral im zweiten Teil des Satzes existiert wie behauptet. Insbesondere erhalten wir so ein Radonma"s auf $X \times Y$, das die Bedingung aus Teil 1 erf"ullt. Es bleibt zu zeigen, da"s es das Einzige ist. Dazu reicht es zu zeigen, da"s sich f"ur beliebige Kompakta $K \subset X$ und $L \subset Y$ jedes $h \in \cal{C}_{K\times L} (X \times Y, \Bbb{R})$ beliebig gut gleichm"a"sig appoximieren l"a"st durch endliche Linearkombinationen von "au"seren Produkten $u\boxtimes v $ mit $u \in \cal{C}_{K} (X,\Bbb{R})$ und $v \in \cal{C}_{L}(Y,\Bbb{R}).$ Auf dem kompakten Raum $Z$, der aus $X \times Y$ entsteht, wenn man den Abschlu"s des Komplements von $K\times L$ zu einem Punkt $\ast$ identifiziert, bilden diese Linearkombinationen aber zusammen mit der Eins eine Unteralgebra von $\cal{C} (Z,\Bbb{R})$, die die Punkte trennt. Damit sagt uns Stone-Weierstra"s \eref{SW}{AN1}, da"s wir beliebige $h \in \cal{C}(Z,\Bbb{R})$ beliebig gut durch Elemente dieser Unteralgebra approximieren k"onnen, und Funktionen mit $h(\ast) =0$ sogar beliebig gut durch Linearkombinationen von externen Produkten $u\boxtimes v $. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Modulare Funktion}] Gegeben eine Gruppe $G$ und $h\in G$ ist das Vorschalten der Rechtsverschiebung $(\cdot h):G\ra G$ eine Abbildung $(\circ(\cdot h)):\mathcal C(G)\ra\mathcal C(G)$. Gegeben eine lokal kompakte Hausdorffgruppe $G$ mit Haarma"s $\mu$ ist f"ur jedes Gruppenelement $h\in G$ auch $\mu\circ(\circ (\cdot h))$ ein Haarma"s und es gibt folglich $\Delta(h)\in \DR_{>0}$ mit $\mu\circ (\circ (\cdot h))=\Delta(h)\mu$. Offensichtlich ist dann $$\Delta=\Delta_G:G\ra \DR_{>0}$$ ein Gruppenhomomorphismus.\label{moFU} Er hei"st die {\bf modulare Funktion}\index{modulare Funktion} von $G$. Sie ist stetig, denn halten wir eine nichtnegative von Null verschiedene stetige Funktion $f:G\ra \DR_{\geq 0}$ mit kompaktem Tr"ager fest und w"ahlen eine kompakte Umgebung $K\subset G$ des neutralen Elements, so gibt es eine stetige Funktion $s:G\ra \DR_{\geq 0}$ mit $s=1$ auf $(\op{supp}f)K$ und $s=0$ au"serhalb von $(\op{supp}f)K^2$ und aus Gr"unden der gleichm"a"sigen Stetigkeit gibt es f"ur alle $\varepsilon >0$ eine Umgebung $U_\varepsilon$ des neutralen Elements mit $|f(g)-f(gx)|\leq\varepsilon \;\forall x\in U_\varepsilon,\; g\in G$. F"ur $x\in U_\varepsilon\cap K$ folgt $|\mu(f)-\mu(f\circ (\cdot x))|\leq \varepsilon\mu(s)$ und das zeigt die Stetigkeit von $\Delta$ bei $h=1$ und damit die Stetigkeit "uberhaupt. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{ \begin{Ubung} Gegeben eine Liegruppe $G$ gilt f"ur die modulare Funktion aus \ref{moFU} die Formel $\Delta_G(g)=|\op{det}(\op{Ad}g)|^{-1}$. WOHIN?\label{moFL} \end{Ubung}} \begin{Definition} Unter einem {\bf Haar'schen Borelma"s}\index{Haar-Ma"s!Haar'sches Borelma"s} oder genauer einem {\bf linksinvarianten Haar'schen Borelma"s} auf einer topologischen Gruppe $G$ verstehen wir\label{HBMM} ein von Null verschiedenes nichtnegatives Borelma"s $\mu$ mit der Eigenschaft $\mu(gA)=\mu(A)$ f"ur jede Borelmenge $A\subset G$ und alle $g\in G.$ \end{Definition} \begin{Korollar*}[\textbf{Existenz und Eindeutigkeit Haar'scher Borelma"se}] Auf jeder abz"ahlbar basierten lokal kompakten Hausdorff'schen\label{HMBO} Gruppe gibt es ein Haar'sches Borelma"s, und je zwei Haar'sche Borelma"se auf einer derartigen topologischen Gruppe unterscheiden sich h"ochstens um einen konstanten positiven reellen Faktor. \end{Korollar*} \begin{proof} Man kombiniere die Existenz und Eindeutigkeit Haar'scher Radonma"se \ref{EEHa} mit dem Riesz'schen Darstellungssatz \ref{RiDa}. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Die Forderung der Existenz einer abz"ahlbaren Basis der Topologie ist jedenfalls notwendig, um die Eindeutigkeit bis auf einen konstanten Faktor zu sichern. Ist zum Beispiel $G$ eine "uberabz"ahlbare Gruppe mit der diskreten Topologie, so w"are das Z"ahlma"s ein Haar'sches Borelma"s in unserem Sinne, aber auch das Ma"s, das jeder abz"ahlbaren Teilmenge das Ma"s Null zuordnet und jeder "uberabz"ahlbaren Teilmenge das Ma"s Unendlich. In diesem Fall g"alte die Eindeutigkeit bis auf einen konstanten Faktor also nicht. Man kann die Eindeutigkeit Haar'scher Borelma"se durch zus"atzliche Forderungen an die fraglichen Borelma"se auch in dieser Allgemeinheit sichern, vergleiche etwa \cite{??}. Diesen Aufwand will ich jedoch vermeiden, da den meisten von uns aller Voraussicht nach kaum einmal lokal kompakte topologische Gruppen begegnen werden, die nicht abz"ahlbar basiert sind. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s jedes linksinvariante Haarma"s auf einer kompakten topologischen Gruppe auch rechtsinvariant ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein Haar'sches Borelma"s auf einer abz"ahlbar\label{PBMM} basierten lokal kompakten Hausdorff'schen Gruppe hat jede nichtleere offene Teilmenge positives Ma"s. Hinweis: Urysohn. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ und eine lokal kompakte Hausdorffgruppe $G$ mit einem Haar'schen Radonma"s $\mu$ ist jedes Radonma"s $\pi$ auf $X\times G$, das unter $G$ linksinvariant ist, von der Gestalt $\pi=\nu\boxtimes\mu$ f"ur ein wohlbestimmtes Radonma"s $\nu$ auf $X$. Hinweis: F"ur $f\in\mathcal C_!(X,\DR)$ erkl"are man $\mu_f:\mathcal C_!(G,\DR)\ra \DR$ durch $\mu_f(k)\pdef \pi(f\boxtimes k)$ und erh"alt ein Haarma"s, also $\mu_f=\nu(f)\mu$ f"ur eine wohlbestimmte Konstante $\nu(f)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ mit einem Radonma"s $\nu$ und eine lokal kompakte Hausdorffgruppe $G$ mit einem Haar'schen Radonma"s $\mu$ ist das Produktma"s $\nu\boxtimes \mu$ invariant unter der Eichgruppe des trivialen $G$-Hauptfaserb"undels $X\times G$, als da hei"st unter allen Abbildungen der Gestalt $(x,g)\mapsto (x,s(x)g)$ f"ur $s:X\ra G$ stetig. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ und eine lokal kompakte Hausdorffgruppe $G$ und ein $G$-Hauptfaserb"undel $P\sra X$ bilden wir ein $\DR_{>0}$-Hauptfaserb"undel $\Delta(P)$, indem wir jedem Punkt $x\in X$ den $\DR_{>0}$-Torsor der $G$-rechtsinvarianten Haarma"se auf der Faser $P_x$ zuordnen und die disjunkte Vereinigung dieser $\DR_{>0}$-Torsoren in der offensichtlichen Weise mit einer Topologie versehen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Formelsammlung f"ur Radonma"se}] Bildma"se von Radonma"sen konstruiert man leicht f"ur eigentliche stetige Abbildungen sowie im Fall kompakt getragener Radonma"se\label{FSRM} auch f"ur beliebige stetige Abbildungen, jeweils von lokal kompakten Hausdorffr"aumen. Man zeige, da"s in beiden F"allen alle Formeln unserer Formelsammlung \eref{FSPM}{AN3} gelten, als da w"aren die Nat"urlichkeit, Eins, Assoziativit"at und Kommutativit"at von Produktma"sen sowie die Funktorialit"at von Bildma"sen. \end{Ubung} \subsection{Matrixkoeffizienten} \begin{Bemerkungl} Ich beginne mit Erinnerungen zu \eref{mkm}{NAS}. Gegeben eine Darstellung $V$ eines Monoids $G$ "uber einem K"orper $k$ erkl"art man f"ur $v \in V$ und $\varphi \in V^{\ast}$ den {\bf Matrixkoeffizienten}\index{Matrixkoeffizient} $c_{\varphi,v} : G \ra k$ durch die Vorschrift $c_{\varphi, v} (g) \pdef \varphi (g v)$ f"ur alle $g\in G$. So erhalten wir eine Abbildung, die {\bf Matrixkoeffizientenabbildung} $$\begin{array}{ccc} V \otimes_k V^{\ast} & \ra & \op{Ens}( G,k)\\ v \otimes\varphi \; &\mapsto & c_{\varphi, v} \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{RROx} Jedes Monoid $G$ tr"agt eine nat"urliche Operation des Monoids $G\times G^{\op{opp}}$ vermittels der Vorschrift $(x,y^\circ)z\pdef xzy$. Gegeben eine Menge $E$ erhalten wir auch eine Operation von $G\times G^{\op{opp}}$ auf $\op{Ens}(G,E)$ durch die Vorschrift $((y,x^\circ)f)(z)\pdef f(xzy)$. Ich verwende die abk"urzenden Notationen $(yf)$ f"ur die Funktion gegeben durch $(yf)(z)=f(zy)$ und $(x^\circ f)=(fx)$ f"ur die Funktion gegeben durch $(x^\circ f)(z)=(fx)(z)=f(xz)$. Insbesondere erhalten wir damit $u^\circ(x^\circ f)=(u^\circ x^\circ) f= (xu)^\circ f$, was im Sinne unserer Notation \eref{oppoGR}{GR} vern"unftig ist. %Wir verwenden die Notationen %$(\grave{x}f)(z)=f(zx)$ und $(\acute{y}f)(z)=f(yz)$. Gegeben ein K"orper $k$ und eine Darstellung $V$ von $G$ "uber $k$ ist unsere Matrixkoeffizientenabbildung ein Homomorphismus $$V \boxtimes_k V^{\ast} \ra \op{Ens}( G,k)$$ von Darstellungen des Monoids $G\times G^{\op{opp}}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktionen auf Monoiden als Matrixkoeffizienten}] Sei $G$ ein Monoid und $k$ ein K"orper. Jede Abbildung $f : G \ra k$ ist der Matrixkoeffizient $c_{\delta, f}$ der Linksoperation von $G$ auf $V\pdef \op{Ens} (G,k)$ f"ur $\delta \pdef\delta_e\in V^{\ast}$ das Auswerten am neutralen Element. In der Tat rechnen wir $c_{\delta,f} (a) = \delta ( af) = (a f)(e) = f(a)$. Analog gilt f"ur die Linksoperation von $G^{\op{opp}}$ auf demselben Raum auch die Gleichheit $c_{\delta,f} = f$ von Funktionen auf $G^{\op{opp}}$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Darstellende Funktionen}] Sei $k$ ein K"orper. F"ur eine $k$-werti\-ge Funktion auf einem Monoid sind gleichbedeutend:\label{DarsF} \begin{enumerate} \item Unsere Funktion spannt zusammen mit ihren Linkstranslaten einen endlichdimensionalen Untervektorraum im Raum aller $k$-wertigen Funktionen auf unserem Monoid auf; \item Unsere Funktion spannt zusammen mit ihren Rechtstranslaten einen endlichdimensionalen Untervektorraum im Raum aller $k$-wertigen Funktionen auf unserem Monoid auf; \item Unsere Funktion ist ein Matrixkoeffizient einer endlichdimensionalen Darstellung unseres Monoids "uber $k$. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Gegeben eine Darstellung eines Monoids $G$ durch Endomorphismen eines endlichdimensionalen $k$-Vektorraums $V$ liefern die Matrixkoeffizienten eine $(G \times G^{\op{opp}})$-"aquivariante Abbildung $V \boxtimes_k V^{\ast} \ra \op{Ens}(G,k)$ unter der Operation aus \ref{RROx}. Damit erhalten wir sofort $3 \Rightarrow 1 \& 2$. Spannt umgekehrt eine Funktion $f : G \ra k$ mit ihren Rechtstranslaten einen endlichdimensionalen Teilraum $V\subset \op{Ens}(G,k)$ auf, so ist $f$ eben der Matrixkoeffizient dieser endlichdimensionalen Darstellung zum Vektor $f\in V$ und dem Auswerten am neutralen Element $\delta \in V^{\ast}$. Das zeigt $2 \Rightarrow 3$. Spannt schlie"slich $f$ mit seinen Linkstranslaten einen endlichdimensionalen Teilraum $W\subset \op{Ens}(G,k)$ auf, so ist $f$ Matrixkoeffizient der endlichdimensionalen Darstellung $W$ von $G^{\op{opp}}$, und dann ist $f$ auch ein Matrixkoeffizient der kontragredienten Darstellung $W^\ast$ von $G$. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Stetige darstellende Funktionen}] F"ur eine stetige Funktion auf einem topologischen Monoid, reellwertig oder komplexwertig oder auch mit Werten in einem beliebigen topologischen K"orper, sind gleichbedeutend:\label{SarsF} \begin{enumerate} \item Unsere Funktion spannt zusammen mit ihren Linkstranslaten einen endlichdimensionalen Untervektorraum im Raum aller Funktionen auf unserem Monoid auf; \item Unsere Funktion spannt zusammen mit ihren Rechtstranslaten einen endlichdimensionalen Untervektorraum im Raum aller Funktionen auf unserem Monoid auf; \item Unsere Funktion ist ein Matrixkoeffizient einer stetigen endlichdimensionalen Darstellung unseres Monoids. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Gegeben eine endlichdimensionale stetige Darstellung $V$ eines topologischen Monoids $G$ liefern die Matrixkoeffizienten eine $(G \times G^{\op{opp}})$-"aquivariante Abbildung $V \boxtimes V^{\ast} \ra \cal{C} (G)$. Damit erhalten wir sofort $3 \Rightarrow 1 \& 2$. Ist umgekehrt eine Funktion $f : G \ra \Bbb{C}$ stetig und spannt mit ihren Rechtstranslaten einen endlichdimensionalen Teilraum $V\subset \cal{C}(G)$ auf, so finden wir $x_1,\ldots, x_n\in G$ derart, da"s die Rechtstranslate $x_{1}f, \ldots, x_{n}f$ eine Basis dieses Teilraums bilden. Da eine Funktion, die an jeder Stelle verschwindet, schon identisch Null ist, finden wir Stellen $y_{1}, \ldots, y_{n} \in G$ derart, da"s die Auswertungen dort eine Basis des Dualraums $V^{\ast}$ liefern. Da die zugeh"origen Matrixkoeffizienten $g \mapsto (gx_{i}f)(y_j) = f (y_j g x_{i})$ alle stetig sind, mu"s $V$ eine stetige Darstellung von $G$ sein. Und nun ist $f$ eben der Matrixkoeffizient dieser stetigen endlichdimensionalen Darstellung zum Vektor $f\in V$ und dem Auswerten am neutralen Element $\varphi \in V^{\ast}$. Das zeigt $2 \Rightarrow 3$. Spannt schlie"slich $f$ mit seinen Linkstranslaten einen endlichdimensionalen Teilraum $W\subset \op{Ens}(G,k)$ auf, so ist $f$ Matrixkoeffizient der endlichdimensionalen Darstellung $W$ von $G^{\op{opp}}$, und dann ist $f$ auch ein Matrixkoeffizient der kontragredienten Darstellung $W^\ast$ von $G$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Ringalgebra der darstellenden Funktionen}] Gegeben ein ein topologisches Monoid $G$ bilden die stetigen komplexwertigen darstellenden Funktionen in $\cal{C} (G)$ eine unter der komplexen Konjugation stabile Unterringalgebra $$\mathcal R(G)$$ Ist in der Tat $f= c_{\varphi,v} $ f"ur $v \in V$ und $ \varphi \in V^{\ast}$, so haben wir $\bar{f} = c_{\bar{\varphi},\bar{v}}$ f"ur $\bar{v} \in \overline{V}$, $\bar{\varphi} \in \overline{V}^{\ast}$ im Sinne von \eref{KRKb}{LA2}. Spannen weiter $f_{1}, \ldots, f_{d}$ und $h_{1}, \ldots, h_{s}$ jeweils einen unter Linkstranslation invarianten Teilraum von $\cal{C} (G)$ auf, so gilt offensichtlich dasselbe f"ur die Produkte $f_{i} h_{j}$. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge} Sei $G$ eine kompakte Liegruppe und $f:G\ra\DC$ eine darstellende Funktion mit $f(e)=1$. Gibt es stets eine stetige Darstellung $\rho: G\ra\op{GL}(n;\DC)$, f"ur die wir $f=\rho_{11}$ haben? \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{SFMS} Der Ring der stetigen reellen oder komplexen darstellenden Funktionen auf der Gruppe $\op{SL}(2;\DR)$ besteht genau aus allen Funktionen, die sich durch Polynome in den vier Matrixeintr"agen ausdr"ucken lassen. Hinweis: \eref{EDLS}{ML}. \end{Ubunge} \subsection{Kompakte Operatoren} \begin{Definition} Eine lineare Abbildung zwischen normierten Vektorr"aumen hei"st \defnoind{kompakt}\index{kompakt!Operator}, wenn sie die\label{koO} Einheitskugel auf eine Menge mit kompaktem Abschlu"s abbildet. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Spektrum kompakter selbstadjungierter Operatoren}] Gegeben ein kompakter selbstadjungierter Operator auf einem Hilbertraum ist das Erzeugnis\label{SksO} seiner Eigenr"aume dicht und alle seine Eigenr"aume zu von Null verschiedenen Eigenwerten sind endlichdimensional. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sei $\mathcal{H}$ unser Hilbertraum und $T: \mathcal{H} \ra \mathcal{H}$ unser kompakter selbstadjungierter Operator. Wir zeigen zun"achst, da"s unter der Annahme $\cal{H}\neq 0$ entweder $\|T\|$ oder $-\|T\|$ ein Eigenwert ist, und wiederholen dazu erst einmal den Beginn des Beweises f"ur den Satz "uber den Spektralradius \eref{SRSA}{AN3}. Gegeben ein Vektor $v$ der L"ange Eins gilt $\|Tv\|^2 = \langle Tv, Tv \rangle = \langle v, T^2v\rangle \leq \| v \| \| T^2 v\|= \| T^2 v\| $. Das zeigt $\| T \|^2 \leq \|T^2\|$. Die andere Ungleichung gilt eh, womit wir f"ur jeden selbstadjungierten Operator $T$ folgern $$\| T\|^2 = \| T^2\|$$ Unter der Annahme $\mathcal{H}\neq 0$ finden wir in $\mathcal{H}$ eine Folge von Einheitsvektoren $v_n$ mit $ \lim_{n\ra \infty} \| T^2 v_n\| = \| T^2\|. $ Wegen $\| T^2 v_n\|\leq\| T\| \|Tv_n\|\leq\| T\|^2 = \| T^2\|$ folgt $ \lim_{n \ra \infty} \|Tv_n\| = \| T\| $ zumindest falls $\| T\|\neq 0$, und im Fall $\| T\|= 0$ ist das eh klar. Wir setzen nun $c =\|T\|$ und behaupten zun"achst, da"s $c^2$ ein Eigenwert von von $T^2$ ist. In der Tat gilt ja \begin{displaymath} \|(T^2 - c^2) v_n \|^2 = \langle v_n, (T^4 - 2 c^2 T^2 + c^4) v_n\rangle= \|T^2v_n\|^2 - 2c^2 \|Tv_n\|^2 + c^4 \end{displaymath} und das strebt f"ur $n \ra \infty$ offensichtlich gegen Null. Da wir nun $T$ kompakt angenommen hatten, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit die Folge $Tv_n$ konvergent annehmen. Im Fall $c=0$ ist unsere Behauptung eh klar, und im Fall $c\neq 0$ folgt erst die Konvergenz von $T^2v_n$ und dann die Konvergenz der Folge $c^2v_n$ und damit die Konvergenz der Folge $v_n$ selber. Gilt nun etwa $\lim_{n\ra \infty} v_n = v$, so folgt unmittelbar $\|v\|=1$ und $T^2 v=c^2 v$ und $c^2$ ist in der Tat ein Eigenwert von von $T^2$. Aus $(T+c)(T-c)v=0$ folgt dann aber auch, da"s entweder $v$ ein Eigenvektor von $T$ zum Eigenwert $c$ ist, oder $(T-c)v$ ein Eigenvektor von $T$ zum Eigenwert $-c$. Damit haben wir gezeigt, da"s in der Tat entweder $\|T\|$ oder $-\|T\|$ ein Eigenwert von $T$ ist. Der Rest des Beweises ist nun schnell erledigt. W"are das Erzeugnis der Eigenr"aume nicht dicht, so w"are sein orthogonales Komplement nicht Null und unser Operator h"atte darin folglich einen Eigenvektor, Widerspruch. W"are der Eigenraum zu einem von Null verschiedenen Eigenwert nicht endlichdimensional, so g"abe es darin eine Folge von paarweise orthogonalen Einheitsvektoren, und deren Bild k"onnte keine konvergente Teilfolge besitzen, Widerspruch. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge} Eine Komposition von zwei stetigen Operatoren zwischen normierten Vektorr"aumen ist kompakt, wenn einer der Faktoren kompakt ist. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Die kompakten linearen Abbildungen von einem normierten Vektorraum in einen Banachraum bilden eine abgeschlossene Teilmenge\label{koAA} im Raum aller stetigen linearen Abbildungen mit der Operatornorm. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Ein selbstadjungierter Operator auf einem Hilbertraum ist genau dann kompakt, wenn das Erzeugnis seiner Eigenr"aume dicht liegt, alle seine Eigenr"aume zu von Null verschiedenen Eigenwerten endlichdimensional sind, und wenn zus"atzlich in jeder Umgebung von Null fast alle seiner Eigenwerte enthalten sind. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{PZKK} Gegeben ein kompakter Operator $T: \mathcal H\ra \mathcal H'$ von einem Hilbertraum in einen weiteren Hilbertraum gibt es durch eine abz"ahlbare Menge $N$ indizierte Orthonormalsysteme $(v_n)_{n\in N}$ von $\mathcal H$ und $(w_n)_{n\in N}$ von $\mathcal H'$ und $\lambda_n>0$ derart, da"s f"ur alle $v\in \mathcal H$ gilt $$T(v)=\sum_{n\in N}\lambda_n\langle v_n,v\rangle w_n$$ Hinweis: Man gehe von einer Hilbertbasis aus Eigenvektoren des kompakten selbstadjungierten Operators $T^\ast T$ aus. \end{Ubunge} \subsection{Faltungen als kompakte Operatoren} \begin{Bemerkungl}\label{KMRd} Ein metrischer Raum hei"st {\bf total beschr\"{a}nkt}\index{total beschr\"{a}nkt}, wenn er f\"{u}r jedes $\varepsilon >0$ eine endliche "Uberdeckung durch $\varepsilon$-B"alle besitzt. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}\label{KMR} Ein metrischer Raum ist kompakt genau dann, wenn er voll\-st\"{a}n\-dig und total beschr\"{a}nkt ist. \end{Satz} \begin{proof} Wir zeigen zun\"{a}chst, da"s jeder kompakte metrische Raum vollst\"{a}ndig ist. In der Tat besitzt ja unter unserer Annahme insbesondere auch jede Cauchy-Folge eine konvergente Teilfolge und mu"s damit schon selbst konvergent sein. Da"s jeder kompakte metrische Raum total beschr"ankt sein mu"s, ist eh klar. Sei nun umgekehrt $X$ vollst\"{a}ndig und total beschr\"{a}nkt und sei $v : \DN \ra X$ eine Folge in $X$. Wir \"{u}berdecken $X$ durch endlich viele B\"{a}lle mit Radius $1$. In einem dieser B\"{a}lle m\"{u}ssen unendlich viele Folgenglieder liegen, und diese bilden eine Teilfolge $v^1 = v \circ i_{1}$ f\"{u}r eine geeignete Injektion $i_{1}:\DN \ra \DN$. Als n\"{a}chstes \"{u}berdecken wir $X$ durch endlich viele B\"{a}lle vom Radius $1/2$. In einem dieser B\"{a}lle m\"{u}ssen unendlich viele Folgenglieder der Folge $v^{1}$ liegen, und diese bilden eine Teilfolge $v^{2} = v^{1} \circ i_{2}$ von $v^{1}$, f\"{u}r eine geeignete Injektion $i_{2} : \DN \ra \DN$. Als n\"{a}chstes \"{u}berdecken wir $X$ durch endlich viele B\"{a}lle vom Radius $1/3$, und indem wir immer so weitermachen erhalten wir eine Kette von Teilfolgen $v^{\nu}$ derart, da"s Folgenglieder von $v^{\nu}$ h\"{o}chstens den Abstand $2/\nu$ voneinander haben. Die Folge $y_{\nu}= v^{\nu}(\nu)$ ist dann eine Teilfolge unserer Folge $v$, die eine Cauchy-Folge ist und mithin konvergiert. \end{proof} \begin{Definition} Eine Menge $\cal{F}$ von Abbildungen von einem topologischen Raum $X$ in einen metrischen Raum hei"st \defind{gleichgradig stetig}, wenn es f"ur jeden Punkt $x\in X$ und jedes $\varepsilon>0$ eine Umgebung $U(x,\varepsilon)$ von $x$ gibt derart, da"s gilt $$y\in U(x,\varepsilon) \;\;\RA\;\; d(f(x),f(y))\leq\varepsilon\;\forall f\in\cal{F}$$ \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Arzela-Ascoli}]\index{Arzela-Ascoli} Im Raum aller stetigen Abbildungen eines kompakten Raums in einen kompakten metrischen Raum, versehen mit der Metrik der gleichm"a"sigen Konvergenz, hat eine Teilmenge \label{ArAs} kompakten Abschlu"s genau dann, wenn sie gleichgradig stetig ist. \end{Satz} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildArAz}\\[4mm] \noindent Illustration zum Beweis von Arzela-Ascoli. Die B"alle $B_i$ sowie die Umgebungen $U(x_i,\varepsilon)$ sind hier abgeschlossen zu verstehen, das ist im Beweis unerheblich. Im allgemeinen w"urden sich nat"urlich unsere B"alle in $M$ und auch die Umgebungen in $X$ sehr viel mehr "uberlappen, aber dann kann man im Bild kaum noch etwas sehen. In unserem Fall w"are das einzig m"ogliche $\sigma$ zu $f$ gegeben durch $1\mapsto 3$, $2\mapsto 3, $ $3\mapsto 2$. Alle Funktionen, insbesondere auch $f$ und $f_\sigma$, k"onnen auf $U(x_i,\varepsilon)$ h"ochstens um $\varepsilon$ von ihrem Wert bei $x_i$ abweichen. Ich hoffe, man kann nun sehen, da"s $f$ h"ochstens um $4\varepsilon$ von jedem zu $\sigma$ gew"ahlten $f_\sigma$ abweichen kann. \end{figure} \begin{proof} Unser Raum von stetigen Abbildungen ist nach \eref{VSW}{AN1} schon mal vollst"andig in seiner Metrik der gleichm"a"sigen Konvergenz. Nach \ref{KMR} reicht es also zu zeigen, da"s eine Teilmenge darin total beschr"ankt ist genau dann, wenn sie gleichgradig stetig ist. Die Herleitung gleichgradigen Stetigkeit aus der totalen Beschr"anktheit "uberlassen wir dem Leser als "Ubung \ref{GGTB}. Ist umgekehrt eine Menge $\cal{F}$ von Abbildungen $f:X\ra M$ gleichgradig stetig, so finden wir ja f"ur jedes $\varepsilon>0$ und jeden Punkt $x\in X$ eine Umgebung $U(x,\varepsilon)$ von $x$ derart, da"s gilt $$y\in U(x,\varepsilon) \;\RA\; d(f(x),f(y))\leq\varepsilon\;\forall f\in\cal{F}$$ Endlich viele dieser $U(x,\varepsilon)$ "uberdecken dann $X$, etwa die zu den Punkten $x_1$, $\ldots$, $x_r$, und endlich viele $\varepsilon$-B"alle $B_1, \ldots, B_s$ "uberdecken $M$. F"ur jede Abbildung $\sigma:\{1,\ldots r\}\ra \{1,\ldots s\}$ w"ahlen wir nun wenn m"oglich eine Funktion $f_\sigma\in \cal{F}$ mit $f_\sigma(x_i)\in B_{\sigma(i)}\;\forall i$ und behaupten, da"s die B"alle um diese $f_\sigma$ mit Radius $4\varepsilon$ bereits ganz $\cal{F}$ "uberdecken. In der Tat, zu jeder Funktion $f\in \cal{F}$ gibt es ja mindestens ein $\sigma$ mit $f(x_i)\in B_{\sigma(i)}\;\forall i$. F"ur solch ein $\sigma$ existiert dann notwendig auch ein $f_\sigma$ und es gilt offensichtlich $d(f(x_i), f_\sigma(x_i))\leq 2\varepsilon$ f"ur alle $i$. Da jedes $x$ in einem $U(x_i,\varepsilon)$ liegt, folgt dann jedoch $d(f(x), f_\sigma(x))\leq 4\varepsilon$ f"ur alle $x\in X$. \end{proof} % \begin{Proposition*}[\textbf{Kompaktheit gewisser Konvolutionsoperatoren}] % Gegeben kompakte metrische R"aume $X, Y$ % und ein nichtnegatives Borelma"s $\mu$ auf $X$ und eine stetige Funktion % $ h \in {\cal C} (X \times Y) $\label{KoKo} % erhalten wir einen kompakten Operator % $ K=K_h:\op{L}^{2}(X;\mu) \rightarrow {\cal C}(Y)$ % durch die Abbildungsvorschrift % \[ (Kf)(y) \pdef \int \limits_{X}h(x,y) f(x) \mu \langle x \rangle \] % \end{Proposition*} % \begin{proof}[Beweis] % Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir % $ \mu(X)=1$ annehmen. Jede beschr"ankte me"sbare Funktion % $g: X \to {\mathbb C}$ ist quadratintegrierbar und % es gilt offensichtlich % $ \|g\|_{2} \le \|g\|_{\infty}$. % Die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung sagt uns also, % da"s der Integrand in unserer Proposition f"ur alle % $y \in Y$ integrierbar ist, und liefert gleichzeitig die Absch"atzung % \[ |(Kf)(y)| \le \|h\|_{\infty} \|f\|_{2} \] % Jetzt ist aber $h$ auch gleichm"a"sig stetig, % f"ur alle $\varepsilon > 0$ gibt es demnach $\delta > 0$ mit % \[ d(y,z) < \delta \Rightarrow |h(x,y) - h(x,z)| % < \varepsilon \;\; \forall x \in X \] % Mit derselben Rechnung wie eben impliziert $d(y,z) < \delta$ also % \[ |(Kf)(y) - (Kf)(z)| \le \varepsilon \|f\|_{2} \] % Insgesamt ist folglich die Menge % $ {\cal F} = \{Kf \mid \|f\|_{2} \le 1\} \subset % {\cal C}(Y) $ % gleichgradig stetig und sie liegt sogar % bereits in ${\cal C}(Y,M)$ f"ur $M \pdef \{z \in {\mathbb C} % \mid |z| \le \|h\|_{\infty}\}$. Nach % Arzela-Ascoli \ref{ArAs} hat dann ${\cal F}$ kompakten % Abschlu"s in ${\cal C}(Y,M)$ oder % gleichbedeutend in ${\cal C}(Y)$ und % unser Operator $K$ ist kompakt. % \end{proof} \begin{Definition} Eine lineare Abbildung von einem reellen Vektorraum mit einer Seminorm in einen reellen topologischen Vektorraum hei"st \defnoind{kompakt}\index{kompakt!Operator}, wenn sie die\label{koOB} Menge aller Vektoren der Seminorm $\leq 1$ auf eine Menge mit kompaktem Abschlu"s abbildet. \end{Definition} \begin{Proposition}[\textbf{Kompaktheit gewisser Konvolutionsoperatoren}] Gegeben kompakte R"aume $X, Y$ mit $X$ Hausdorff und ein %nichtnegatives Borelma"s \hyperref[Radsig]{Radonma\ss} $\mu$ auf $X$ und eine stetige Funktion $ h \in {\cal C} (Y \times X) $\label{KoKo} erhalten wir einen kompakten Operator $ K=K_h:({\cal C}(X),\|\; \|_{2,\mu}) \rightarrow ({\cal C}(Y),\|\; \|_{\infty})$ durch die Abbildungsvorschrift \[ (Kf)(y) \pdef \int \limits_{X}h(y,x) f(x) \mu \langle x \rangle \] \end{Proposition} \begin{proof} Wir versehen hier ${\cal C}(X)$ mit der positiv semidefiniten Sesquilinearform $\langle f, g\rangle\pdef \int_X\bar fg\mu$ und $\|f\|_{2,\mu}\pdef \sqrt{\langle f, f\rangle}$ meint die zugeh"orige Seminorm. Gegeben $y\in Y$ erkl"aren wir $h_y\in\mathcal C(X)$ durch $h_y:x\mapsto h(x,y)$. Mit der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung oder genauer ihrer Variante \eref{CSWv}{LA2} finden wir die Absch"atzung \begin{displaymath} |(Kf)(y)|= |\langle h_y, f\rangle|\leq \|h_y\|_2 \;\|f\|_2\leq \|h_y\|_\infty\mu(X) \|f\|_2 \end{displaymath} Nun erinnern wir aus \ref{TKL}, da"s wegen $X$ kompakt Hausdorff und damit insbesondere $X$ lokal kompakt die Abbildung $Y\ra \mathcal C(X,\DC)$, $y\mapsto h_y$ stetig ist f"ur die kompakt-offene Topologie alias die Topologie zur Norm $\|\;\|_\infty$ auf $\mathcal C(X,\DC)$. F"ur jedes $\varepsilon>0$ und jeden Punkt $y\in Y$ existiert folglich eine Umgebung $U_\varepsilon$ von $y$ mit $z\in U_\varepsilon \RA \|h_z-h_y\|_\infty<\varepsilon$. Wir folgern f"ur $z\in U_\varepsilon$ \begin{displaymath} |(Kf)(z)-(Kf)(y)|= |\langle h_z-h_y, f\rangle|\leq \|h_z-h_y\|_\infty\mu(X)\|f\|_2 \leq \varepsilon \mu(X) \|f\|_2 \end{displaymath} Insgesamt ist folglich die Menge $ {\cal F} \pdef \{Kf \mid \|f\|_{2} \le 1\} \subset {\cal C}(Y) $ gleichgradig stetig. Unsere obige Absch"atzung zeigt weiter, da"s sie in ${\cal C}(Y,M)$ liegt f"ur $M \pdef \{z \in {\mathbb C} \mid |z| \le \|h\|_{\infty}\mu(X)\}$. Nach Arzela-Ascoli \ref{ArAs} hat dann ${\cal F}$ kompakten Abschlu"s in ${\cal C}(Y,M)$ oder gleichbedeutend in ${\cal C}(Y)$ und unser Operator $K$ ist kompakt. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Eine stetige lineare Abbildung von topologischen Vektorr"aumen hei"st ein {\bf Fredholm-Operator},\index{Fredholm-Operator} wenn ihr Bild abgeschlossen ist und ihr Kern und ihr Kokern endliche Dimension haben. Der {\bf Index}\index{Index!Fredholm-Operator} eines Fredholmoperators $A:X\ra Y$ ist die ganze Zahl $$\op{ind}(A)\pdef\op{dim}(\op{ker}A)-\op{dim}(\op{coker}A)$$ Ist $A:X\ra X$ ein kompakter selbstadjungierter Operator auf einem Hilbert\-raum, so zeigt der Spektralsatz, da"s $A-\op{id}$ Fredholm vom Index Null ist. Allgemeiner folgt sofort, da"s $A-\lambda\op{id}$ Fredholm vom Index Null ist f"ur alle $\lambda\in\DC^\times$. Man kann das auch allgemeiner f"ur einen beliebigen kompakten Operator auf einem Banachraum zeigen, aber das soll an dieser Stelle nicht ausgef"uhrt werden. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{GGTB} Man zeige, da"s eine Menge beschr"ankter stetiger Abbildungen von einem topologischen Raum in einen metrischen Raum, die f"ur die Metrik der gleichm"a"sigen Konvergenz total beschr"ankt ist im Sinne von \ref{KMRd}, schon gleichgradig stetig sein mu"s. \end{Ubung} \begin{Ubung} Die Kompaktheit des Ausgangsraums ist wesentlich im Satz von Arzela-Ascoli: So ist etwa f"ur die \glqq D"achle-Funktion\grqq\ $d(x)=\op{sup}(1-|x|,0)$ auf $\DR$ die Menge ihrer verschobenen Kopien $f_n(x)=d(x-n)$ zwar gleichgradig stetig, hat aber keinen kompakten Abschlu"s. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Nocheinmal die h"angende Kette}] Ich erinnere an den Begriff eines rektifizierbaren Weges in einem metrischen Raum \eref{Weg}{AN1}. Man zeige, da"s die rektifizierbaren nach der Bogenl"ange parametrisierten Wege\label{NocKK} $\gamma:[a,b] \ra\DR^n $ mit vorgegebenem Ausgangs- und Endpunkt $\gamma(a), \gamma(b)$ und vorgegebener L"ange $L$ eine kompakte Teilmenge im Raum aller stetigen Abbildungen mit der Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz bilden. Man zeige, da"s im Fall $n=2$ das Kurvenintegral $\gamma\mapsto\int_\gamma y$ im Sinne von \eref{KI}{AN1} eine stetige Funktion auf dieser kompakten Teilmenge ist und folglich ihr Minimum annimmt. Das zeigt, da"s es \glqq im Fall einer h"angenden Kette eine L"osung kleinster potentieller Energie gibt\grqq. Jetzt w"are noch zu zeigen, da"s im Fall $\gamma_1(a)\neq\gamma_1(b)$ von Aufh"angepunkten mit verschiedener $x$-Koordinate jede Kette kleinster Energie durch den Graphen einer stetigen Funktion beschrieben wird. Hinweis: Trifft unser Weg eine nicht vertikale Gerade in $\gamma(s)$ und $\gamma(t)$ aber nicht f"ur $\tau\in (s,t)$, so mu"s er f"ur $\tau\in (s,t)$ unterhalb besagter Gerade verlaufen. Hinweis: Vertikale St"ucke oder St"ucke und vertikale Tangenten kann man ausschlie"sen, indem man zuerst das Argument zu Ende bringt und zeigt, da"s St"ucke ohne dem Kettenlinien sind; da"s diese Funktion konvex sein mu"s; da"s sie damit in jedem Punkt im Inneren des Definitionsintervalls linksseitig und rechtsseitig differenzierbar sein mu"s; da"s sie unter der Annahme minimaler Energie sogar differenzierbar sein mu"s; da"s die Ableitung monoton und dann nach \eref{SUn}{AN1} und \eref{AbInt}{AN1} sogar stetig sein mu"s; und da"s man dann mit Methoden der Variationsrechnung, wie mir Ernst erkl"art hat, zeigen kann, da"s nur die Kettenlinie als M"oglichkeit "ubrigbleibt. \end{Ubung} \subsection{Satz von Peter und Weyl} \begin{Bemerkungl} Auf jeder kompakten Hausdorffgruppe $G$ existiert nach \ref{EEHa} genau ein normiertes Haar-Radonma"s $\mu=\mu_G$. Wir machen $\mathcal C(G)$ zu einem Pr"ahilbert\-raum vermittels der Vorschrift $$\langle f,h\rangle\pdef \int_G \bar f h\mu$$ Die Vervollst"andigung dieses Pr"ahilbertraums notieren wir ${\op{L}}^2(G)$\label{L2G} und ignorieren hierbei im allgemeinen die Frage, inwieweit man Elemente dieser Vervollst"andigung als "Aquivalenzklassen von Funktionen auf $G$ interpretieren kann. Ist $G$ abz"ahlbar basiert, so k"onnen wir unser Haar-Radonma"s nach \ref{HMBO} mit einem Haar-Borelma"s identifizieren und unsere Vervollst"andigung ist kanonisch isomorph zum zugeh"origen Raum quadratintegrierbarer Funktionen aus \eref{QIFu}{AN3}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{FaFuu} Gegeben eine kompakte Hausdorffgruppe $G$ mit normiertem Haar-Ma"s $\mu$ erkl"aren wir auf $\mathcal C(G)$ die {\bf Faltung}\index{Faltung} $(h,f)\mapsto h\ast f$ alias {\bf Konvolution}\index{Konvolution} durch die Vorschrift $$ (h\ast f)(x)\pdef \int_G h(y) f(y^{-1}x)\mu\langle y\rangle$$ % Die gleichm"a"sige Stetigkeit von $f$ zeigt, Unsere Erkenntnisse \ref{PRaM} "uber Produkte von Radonma"sen zeigen, da"s auch $ h\ast f$ stetig ist. Die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung zeigt $|(h\ast f)(x)|\leq \|h\|_2\|f\|_2$ und impliziert insbesondere, da"s sich $(h\ast)$ zu einer stetigen Abbildung von normierten Vektorr"aumen $(h\ast):\op{L}^{2}(G) \to {\cal C}(G)$ fortsetzen l"a"st. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben eine kompakte Hausdorffgruppe ist f"ur jede stetige Funktion $h \in {\cal C}(G)$ die Faltung mit $h$ ein \hyperref[koO]{kompakter Operator}\label{KoKm} \[ (h*): \op{L}^{2}(G) \to {\cal C}(G) \] \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das folgt aus Proposition \ref{KoKo} zur Stetigkeit von Konvolutionen, indem wir unsere Definition umschreiben zu $(h\ast f)(x)=\int_G h(xy^{-1})f(y)\mu\langle y\rangle$. \end{proof} % \begin{proof}[Beweis] Nach \ref{GSKg} ist $h$ % gleichm"a"sig stetig, es gibt % also f"ur alle $\varepsilon > 0$ eine Umgebung % $V = V_{\varepsilon} \subset % G$ des neutralen Elements mit $|h(zx) - h(x)| % < \varepsilon$ f"ur alle $x % \in G$ und $z \in V$. Wir folgern % mit Cauchy-Schwarz, da"s f"ur stetiges $f$ und $ z \in V$ die Differenz % $$ % \begin{array}{ccl} % (h * f)(z^{-1}y) - (h * f)(y)& = & % \int_{G} h(x) f(x^{-1}z^{-1}y) - h(x) f(x^{-1}y) % \;\mu \langle x \rangle \\[2mm] % & =& \int_{G}(h(zx) - h(x)) % f(x^{-1}y) \;\mu \langle x \rangle % \end{array} % $$ % betragsm"a"sig beschr"ankt ist % durch $\varepsilon\|f\|_{2}$. Stetige Fortsetzung zeigt dieselbe % Absch"atzung f"ur alle $f\in{\op{L}}^2(G)$. % Insbesondere ist % die Menge aller $(h*f)$ mit $\|f\|_{2} \le 1$ % gleichgradig stetig. % Andererseits besteht % die Menge aller $(h*f)$ mit $\|f\|_{2} \le 1$ % aus Funktionen, die beschr"ankt sind durch $\|h\|_{\infty}$, % ja sogar durch $\|h\|_{2}$. Das % Lemma folgt damit aus dem Satz von % Arzela-Ascoli \ref{ArAs}. % \end{proof} \begin{Lemma} Sei $G$ eine kompakte Hausdorffgruppe. Gegeben $h, k \in {\cal C}(G)$ mit \label{OPSA} $\overline{h(x)} = k(x^{-1})$ f"ur alle $x\in G$ sind $(h*)$ und $(k*)$ als Operatoren auf $\op{L}^{2}(G)$ zueinander adjungiert. \end{Lemma} % \begin{Bemerkungl} % Sobald das Haar'sche Borelma"s \ref{HMBO} f"ur allgemeine % abz"ahlbar basierte kompakte Hausdorff'sche Gruppen zur Verf"ugung steht, % "ubertr"agt sich das Lemma und sein Beweis ohne Schwierigkeiten auf % diese Allgemeinheit. % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Die Operation durch Verschiebung von $G$ auf $\op{L}^{2}(G)$ geschieht durch unit"are Operatoren, so da"s offensichtlich das Verschieben um $x \in G$ adjungiert ist zum Verschieben um sein Inverses $x^{-1} \in G$. Unser Lemma und diese Aussage haben eine gemeinsame Verallgemeinerung im Rahmen der Faltung von Ma"sen mit Funktionen, deren Ausformulierung dem Leser "uberlassen bleiben m"oge. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Gegeben $f, g \in \op{L}^{2}(G)$ gilt es zu zeigen $\langle h*f, g \rangle = \langle f,k* g \rangle$. Es reicht, das f"ur $f, g \in \cal{C}(G)$ zu zeigen. In diesem Fall k"onnen wir unsere Behauptung ausschreiben zu \[ \int \int \overline{h(xy^{-1})f(y)} g (x) = \int \int \overline{f(x)} k(xy^{-1}) g (y) \] Hier ist zu verstehen, da"s jeweils "uber $x$ und $y$ integriert werden soll. Um diese Identit"at einzusehen, m"ussen wir nur auf einer Seite unserer Gleichung $x$ mit $y$ vertauschen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigenfunktionen von Faltungen als darstellende Funktionen}] Gegeben eine kompakte Hausdorffgruppe $G$ und $h: G \to {\mathbb R}$ stetig mit $h(x) = h(x^{-1})$ f"ur alle $x$ ist $(h*): \op{L}^{2}(G) \to \op{L}^{2}(G)$ nach \ref{OPSA} ein selbstadjungierter Operator und nach \ref{KoKm} auch ein kompakter Operator mit Bild in ${\cal C}(G)$. Seine Eigenr"aume sind offensichtlich stabil\label{ErFu} unter allen Rechtstranslationen und seine Eigenr"aume zu von Null verschiedenen Eigenwerten bestehen aus stetigen darstellenden Funktionen: Stetig, da sie im Bild unseres Operators enthalten sind, darstellend, da die fraglichen Eigenr"aume sowohl endlichdimensional als auch unter allen Rechtstranslationen stabil sind. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Peter-Weyl\index{Peter-Weyl!topologisch}}] Auf einer kompakten Hausdorffgruppe kann jede stetige\label{PeWe} Funktion beliebig gut gleichm"a"sig durch darstellende Funktionen approximiert werden. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sei $f: G \to {\mathbb C}$ stetig und $\varepsilon > 0$. Nach \ref{GSKg} ist $f$ gleichm"a"sig stetig, es gibt also eine Umgebung $V$ des neutralen Elements mit $ |f(zx)-f(x)| \le \varepsilon $ f"ur alle $ x \in G$ und $ z \in V$. W"ahlen wir nun eine stetige Funktion $h: G \to \DR_{\geq 0}$ mit Tr"ager in $V$ und Integral $\int h = 1$, so folgt \[ |(h*f)(x)-f(x)| = \left| \int h(z^{-1})(f(zx)-f(x))\mu \langle z \rangle \right| \le \varepsilon \] f"ur alle $x \in G$ und damit $$ \|h*f - f\|_{\infty} \le \varepsilon$$ Nehmen wir nun zus"atzlich $h(z) = h(z^{-1})$ f"ur alle $z \in G$ an und betrachten die Eigenr"aume $\op{L}^{2}(G)_{\lambda}$ von $(h*)$, so liegt nach dem Spektralsatz f"ur kompakte selbstadjungierte Operatoren \ref{SksO} deren Erzeugnis $\bigoplus \op{L}^{2}(G)_{\lambda}$ dicht in $\op{L}^{2}(G)$ und wir finden folglich ein $g$ aus diesem Erzeugnis mit $ \|g-f\|_{2} \le \varepsilon/\|h\|_{2}$. Daraus folgt dann aber $$ \|h*g-h*f\|_{\infty} \le \varepsilon $$ und $ \|h*g-f\|_{\infty} \le 2\varepsilon$ und damit haben wir gewonnen, da $ h*g \in \bigoplus_{\lambda \not= 0} \op{L}^{2}(G)_{\lambda} $ nach unserer Vorbemerkung \ref{ErFu} eine darstellende Funktion ist. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Diskret-kompakte Pontrjagin-Dualit"at\index{Pontrjagin-Dualit"at!diskret-kompakte}}] \begin{enumerate} \item Gegeben eine kompakte abelsche Hausdorffgruppe $A$ ist die Menge ihrer Charaktere $\mathfrak X(A)\subset {\op{L}}^2(A)$ eine Hilbertbasis des Raums der quadratintegrierbaren Funktionen auf unserer Gruppe; \item Gegeben eine diskrete abelsche Gruppe $\Gamma$ ist ihre Charaktergruppe $\mathfrak X(\Gamma)$ eine kompakte Hausdorffgruppe und die Auswertungsabbildung ein Isomorphismus von topologischen Gruppen $\Gamma\sira \mathfrak X(\mathfrak X(\Gamma))$; \item Gegeben eine kompakte abelsche Hausdorffgruppe $A$ ist ihre Charaktergruppe $\mathfrak X(A)$ eine diskrete abelsche Gruppe und die Auswertungsabbildung ein Isomorphismus von topologischen Gruppen $A\sira \mathfrak X(\mathfrak X(A))$. \end{enumerate}\label{BiHH} \end{Korollar} \begin{proof} 1. Wie in \eref{CBFouA}{AN3} oder in gr"o"serer Allgemeinheit gleich anschlie"send in \ref{KkH} zeigt man, da"s die Charaktere ein Orthonormalsystem bilden. Sein Vektorraumerzeugnis ist ein Teilraum des Raums der darstellenden Funktionen. W"are unser Orthonormalsystem nicht vollst"andig, so m"u"ste es nach dem Satz von Peter und Weyl \ref{PeWe} ein echter Teilraum sein, und damit m"u"ste es in seinem orthogonalen Komplement eine von Null verschiedene darstellende Funktion geben. Nach dem Schur'schen Lemma \eref{SchuL}{NAS} sind in unserem Fall jedoch alle endlichdimensionalen irreduziblen Darstellungen eindimensional, es m"u"ste also in diesem orthogonalen Komplement eine Funktion geben, die mit ihren Translaten einen eindimensionalen Teilraum aufspannt. Damit m"u"ste es dann in diesem orthogonalen Komplement noch einen weiteren Charakter geben, und dieser Widerspruch zeigt die erste Aussage.\\[2mm]\noindent 2. Da"s die Charaktergruppe $\mathfrak X(\Gamma)$ eine kompakte Hausdorffgruppe ist, folgt aus dem Satz von Tychnoff und Sie durften es als "Ubung \ref{DuKr} ausarbeiten. Es ist nun klar, da"s das Bild der nat"urlichen Einbettung $\Gamma\hra \mathfrak X(\mathfrak X(\Gamma))$ eine Menge von Funktionen $\Gamma\subset \mathcal C(\mathfrak X(\Gamma))$ ist, die die Punkte trennt und stabil ist unter der komplexen Konjugation. Der vom Bild von $\Gamma$ erzeugte Untervektorraum $B\subset \mathcal C(\mathfrak X(\Gamma))$ ist sogar eine Unterringalgebra, die die Punkte trennt und stabil ist unter der komplexen Konjugation. Nach dem Satz von Stone-Weierstra"s \eref{SWC}{AN1} ist folglich $B$ dicht in der Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz. Das aber zeigt, da"s $B$ auch dicht liegt im Hilbertraum $\op{L}^{2}(\mathfrak X(\Gamma))$. Folglich ist das Bild von $\Gamma$ bereits eine Hilbertbasis von $\op{L}^{2}(\mathfrak X(\Gamma))$ und $\mathfrak X(\Gamma)$ kann keine weiteren Charaktere besitzen und die nat"urliche Abbildung ist ein Gruppenisomorphismus $\Gamma\sira \mathfrak X(\mathfrak X(\Gamma))$. Da"s die kompakt-offene Topologie auf $\mathfrak X(\mathfrak X(\Gamma))$ diskret ist, "uberlegen wir wir uns gleich beim Beweis des letzten Teils.\\[2mm]\noindent 3. Das Bild jedes nichttrivialen Charakters unserer abelschen kompakten Hausdorffgruppe $A$ ist eine kompakte nichttriviale Untergruppe der Kreisgruppe und jede echte kompakte Untergruppe der Kreisgruppe ist zyklisch nach \eref{AEUZ}{AN1}. Insbesondere enth"alt sie ein Element, das vom neutralen Element einen Abstand $\geq 1$ hat. Es folgt, da"s die kompakt-offene Topologie auf $\mathfrak X(A)$ diskret ist. Nach Teil 2 ist damit $\mathfrak X(\mathfrak X(A))$ kompakt. Andererseits ist die Einbettung $A\hra \mathfrak X(\mathfrak X(A))$ stetig nach \ref{NGraa} und \ref{Koin}. Ihr Bild ist also eine kompakte und damit abgeschlossene Untergruppe. Der Quotient $\mathfrak X(\mathfrak X(A))/A$ ist nach \ref{QAU} und \ref{QTGH} selbst wieder eine kompakte Hausdorffgruppe. W"are er nicht trivial, so bes"a"se er mithin einen nichttrivialen Charakter $\chi\neq 1$. Die induzierte Abbildung $\theta: \mathfrak X(\mathfrak X(\mathfrak X(A)))\ra \mathfrak X(A)$ w"are also kein Isomorphismus. Wir wissen aber bereits f"ur jede diskrete abelsche Gruppe $\Gamma$ um den kanonischen Isomorphismus $ \Gamma\sira \mathfrak X(\mathfrak X(\Gamma))$ und mit \eref{EAD}{GR} ist leicht zu sehen, da"s im Fall $\Gamma=\mathfrak X(A)$ dieser Isomorphismus gefolgt von $\theta$ die Identit"at auf $\mathfrak X(A)$ induzieren mu"s. Folglich mu"s auch $\theta$ ein Isomorphismus sein, und damit die Einbettung $A\hra \mathfrak X(\mathfrak X(A))$ eine Bijektion $A\sira \mathfrak X(\mathfrak X(A))$. Als stetige bijektive Abbildung eines Kompaktums auf einen Hausdorffraum ist sie dann nach \ref{QHK} sogar ein Hom"oomorphismus. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Seien $G\supset H$ eine kompakte Hausdorffgruppe mit einer abgeschlossenen Untergruppe. Man zeige: Induziert die Einschr"ankung auf den komplexen darstellenden Funktionen einen Isomorphismus $\mathcal R(G)\sira \mathcal R(H)$, so gilt schon $G=H$. Hinweis: Man kopiere die im Beweis von \eref{ZAUG}{AAG} gegebene Argumentation. \end{Ubung} \subsection{Ringalgebra der kompakt getragenen Ma"se} \begin{Bemerkungl} Im Fall einer diskreten Gruppe hatten wir den Gruppenring definiert als den Vektorraum aller Funktionen auf der Gruppe mit einer etwas merkw"urdigen nichtkommutativen Multiplikation. Im Fall einer lokal kompakten Hausdorffgruppe zersplittert dieses Konzept in eine Vielzahl vern"unftiger feinerer Begriffsbildungen. Besonders wichtig scheint mir der Vektorraum der komplexen kompakt getragenen Radonma"se, der im folgenden diskutiert werden soll. Es ist m"oglich und sogar "ublich, die Diskussion dieses Konzeptes zu vermeiden. Dabei b"u"sen allerdings die Formeln in meinen Augen viel von ihrer Transparenz ein. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ versteht man unter einem {\bf komplexen Radonma"s auf $X$}\index{Radonma"s!komplexes} eine Linearform $\Lambda:\cal{C}_!(X) \ra \Bbb{C}$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur jedes Kompaktum $K\subset X$ die Einschr"ankung von $\Lambda$ auf den Raum $\cal{C}_{K}(X)$ aller stetigen Funktionen mit Tr"ager in $K$ stetig ist f"ur die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz. Die Gesamtheit aller komplexen Radonma"se auf $X$ notieren wir\index{M@$\op{M}^{\op{rad}}(X)$ Radonma"se auf $X$} $$\op{M}^{\op{rad}}(X)$$ Dieser Raum wird ein Modul "uber dem Ring $\cal C(X)$ der stetigen komplexwertigen Funktionen auf $X$, indem wir $f\mu$ erkl"aren durch die Vorschrift $(f\mu)(g)\pdef\mu(fg)$ f"ur $f,g\in\mathcal C(X)$ und $\mu\in\op{M}^{\op{rad}}(X)$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein kompakter Hausdorffraum $X$ ist insbesondere ein komplexes Radonma"s auf $X$ eine Linearform $\mu:\cal{C}(X) \ra \Bbb{C}$, die stetig ist f"ur die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Ist $G$ eine kompakte Hausdorffgruppe % und $\mu$ ihr normalisiertes Haarma"s erkl"aren wir auf $\cal{C}(G)$ die % Norm $\|f\|_1\pdef \int| f|\mu$. Um zu sehen, da"s aus $f\neq 0$ tats"achlich % $\|f\|_1\neq 0$ impliziert, verwendet man \ref{PHM}. Die Vervollst"andigung % bez"uglich dieser Norm notieren wir $\op{L}}^1(G)$ und ignorieren die % Frage, inwiefern die Elemente dieser Vervollst"andigung als Funktionen auf $G$ % interpretiert werden k"onnen. % \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine eigentliche Abbildung $f:X\ra Y$ von lokal kompakten Hausdorffr"aumen induziert die transponierte Abbildung zur Restriktion $(\circ f): \cal{C}_!(Y)\ra \cal C_!(X)$ eine Abbildung auf Radonma"sen, das {\bf direkte Bild}\index{direktes Bild!von Radonma"sen} $$f_\ast:\op{M}^{\op{rad}}(X)\ra\op{M}^{\op{rad}}(Y)$$ Statt $f_*\mu=\nu$ schreiben wir auch $f:\mu\leadsto \nu$ und sagen, unsere Ma"se seien {\bf verwandt unter $f$}.\index{verwandt!Radonma"se} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkt komplexer Radonma"se}] Gegeben lokal kompakte Haus\-dorff\-r"au\-me $X,Y$ mit komplexen Radonma"sen $\mu,\nu$ zeigt man,\label{PRaMc} wie es im Fall reeller Ma"se in \ref{PRaM} bereits ausgef"uhrt wurde, die Existenz eines eindeutig bestimmten Radonma"ses $$\mu\boxtimes\nu\in \op{M}^{\op{rad}}(X\times Y)$$ mit $( \mu\boxtimes\nu)(f\boxtimes g)=\mu(f)\nu(g)$ f"ur alle $f\in\cal C_!(X)$ und $g\in\cal C_!(Y)$. Auf dem einpunktigen Raum betrachten wir das Radonma"s $\delta\in \op{M}^{\op{rad}}(\op{top})$, das jeder Funktion ihren einzigen Wert zuordnet, und verstehen es als \glqq das Produktma"s mit gar keinem Faktor "uber dem Produkt einer leeren Familie von R"aumen\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur Radonma"se auf lokal kompakten Hausdorffr"aumen und ihre Produkte und Bildma"se unter eigentlichen Abbildungen gelten offensichtlich alle Formeln unserer Formelsammlung f"ur das Produktma"s aus \eref{FSPM}{AN3} analog, als da w"aren die Nat"urlichkeit, Eins, Assoziativit"at, Kommutativit"at und Funktorialit"at. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ und $x\in X$ bezeichne $\op{em}_x:\op{top}\ra X$ die Abbildung mit Bild $x$ und $\delta_x\pdef \op{em}_{x\ast}\delta\in \op{M}^{\op{rad}}(X)$ das Bildma"s des Diracma"ses auf dem einpunktigen Raum. Auf stetigen Funktionen $f:X\ra \DC$ mit kompaktem Tr"ager haben wir dann $\delta_x(f)= f(x)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Radonma"se mit kompaktem Tr"ager}] Sei $X$ ein lokal kompakter Hausdorffraum. Standardargumente mit Teilungen der Eins zeigen, da"s f"ur jede offene "Uberdeckung $\mathcal U$ von $X$ gilt $$\mathcal C_!(X)=\sum_{U\in\mathcal U}\mathcal C_!(U)$$ mit den implizit verstandenen Einbettungen $\mathcal C_!(U)\hra \mathcal C_!(X)$ vermittels der jeweiligen Ausdehnung durch Null. F"ur jedes Radonma"s $\mu\in{\op{M}}^{\op{rad}}(X)$ gibt es folglich eine gr"o"ste offene Teilmenge $U\co X$ mit $\mu(f)=0\;\forall f\in \mathcal C_!(U)$. Deren Komplement hei"st der {\bf Tr"ager}\index{Tr"ager!von Radonma"s}\index{supp@$\op{supp}$ Tr"ager!von Radonma"s} unseres Radonma"ses und wir notieren sie $\op{supp}\mu$. Den Raum der Radonma"se auf $X$ mit kompaktem Tr"ager notieren wir\index{M@${\op{M}}^{\op{rad}}_{~!}$ Radonma"se mit kompaktem Tr"ager} $${\op{M}}^{\op{rad}}_!(X)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bilder von Radonma"sen mit kompaktem Tr"ager}] Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ gilt offensichtlich $${\op{M}}^{\op{rad}}_!(X)=\bigcup_{K\subset X\text{ kompakt}}i_{K*}\left({\op{M}}^{\op{rad}}(K)\right)$$ mit $i_K:K\hra X$ der jeweiligen Einbettung. Wir folgern, da"s das Produkt von kompakt getragenen Ma"sen kompakt getragen ist und da"s es f"ur jede stetige Abbildung $f:X\ra Y$ in einen weiteren lokal kompakten Hausdorffraum $Y$ genau eine Abbildung $$f_*: {\op{M}}^{\op{rad}}_!(X)\ra {\op{M}}^{\op{rad}}_!(Y)$$ gibt mit $f_*(i_{K*}\mu)=(f\circ i_{K})_*\mu$ f"ur alle Kompakta $K\subset X$ und alle $\mu \in {\op{M}}^{\op{rad}}(K)$. Hier steht uns das Bild $(f\circ i_{K})_*$ bereits zur Verf"ugung, da $f\circ i_{K}$ eigentlich ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur kompakte getragene Radonma"se auf lokal kompakten Haus\-dorff\-r"au\-men und ihre Produkte und Bildma"se unter beliebigen Abbildungen gelten nun offensichtlich auch alle Formeln unserer Formelsammlung f"ur das Produktma"s aus \eref{FSPM}{AN3} alias unsere Verschmelzungsidentit"aten analog, als da w"aren die Nat"urlichkeit, Eins, Assoziativit"at, Kommutativit"at und Funktorialit"at. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ma"sring einer lokal kompakten Hausdorffgruppe}] Der komplexe Vektorraum $\op{M}_!^{\op{rad}}(G)$ der Radonma"se auf einem lokal kompakten\label{MaAA} Hausdorffmonoid $G$ wird eine komplexe Ringalgebra mit der Faltung $$\mu\ast\nu\pdef\op{mult}_\ast(\mu\boxtimes\nu)$$ als Multiplikation. Man zeigt das genau wie in \eref{BLKo}{AN3}. Die Vorschrift $x\mapsto \delta_x$ liefert einen Ringhomomorphismus $\DC G\hra \op{M}_!^{\op{rad}}(G)$, der im Fall eines diskreten Monoids $G$ ein Isomorphismus ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Faltung von Funktionen}] Gegeben eine lokal kompakte Hausdorffgruppe und ein Haarma"s $\mu$ ist das Bild der Einbettung $\cal C_!(G)\ra \op{M}_!^{\op{rad}}(G)$ gegeben durch $f\mapsto f\mu$ stabil unter Faltung. In der Tat finden wir f"ur $f,g,h\in\mathcal C_!(G)$ unschwer $$\begin{array}{lll} (f\mu\ast g\mu)(h)&=&\int_{G\times G} f(x)g(y)h(xy)(\mu\boxtimes\mu)\langle x,y\rangle\\[2mm] &=&\int_{G} f(x)\left(\int_{G}g(y)h(xy)\mu\langle y\rangle\right)\mu\langle x\rangle\\[2mm] &=&\int_{G} f(x)\left(\int_{G}g(x^{-1}y)h(y)\mu\langle y\rangle\right)\mu\langle x\rangle\\[2mm] &=&\left(\int_{G} f(x)g(x^{-1}y)\mu\langle x\rangle\right)h(y)\mu\langle y\rangle\\[2mm] &=& ((f\ast_\mu g)\mu)(h) \end{array} $$ f"ur die Funktion $f\ast_\mu g$ gegeben durch $(f\ast_\mu g)(y)\pdef\int_{G} f(x)g(x^{-1}y)\mu\langle x\rangle$, die wir bereits in \ref{FaFuu} im kompakten Fall kennengelernt und $f\ast g$ notiert hatten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Integration vektorwertiger Funktionen}] Gegeben $X$ ein lokal kompakter Hausdorffraum und $\mu\in {\op{M}}^{\op{rad}}_!(X)$ ein komplexes kompakt getragenes Radonma"s auf $X$, ja ein beliebiger topologischer Raum $X$ mit\label{IVFFkh} einer Linearform $\mu:\cal{C}(X) \ra \Bbb{C}$, erhalten wir f"ur jeden endlichdimensionalen $\DC$-Vektorraum $V$ eine lineare Abbildung $$\mu=\mu_V:\cal{C}(X,V) \ra V$$ als die Verkn"upfung des Inversen zum hoffentlich offensichtlichen Isomorphismus $\cal C(X)\otimes V\sira \cal{C}(X,V)$ mit $\mu\otimes \op{id}$. Im Fall $V=\DC^n$ ist das schlicht die komponentenweise Integration. Wir schreiben $\mu_V(f)=\int_X f(x)\mu\langle x\rangle$. Man pr"uft auch leicht f"ur jede lineare Abbildung $L:V\ra W$ von endlichdimensionalen komplexen Vektorr"aumen die Vertr"aglichkeit $\mu_W(L\circ f)=L(\mu_Vf)$ f"ur alle stetigen Funktionen $f:X\ra V$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Darstellungen als Moduln "uber dem Ma"sring}] Gegeben eine endlichdimensionale komplexe stetige\label{MaDi} Darstellung $V$ eines lokal kompakten Hausdorffmonoids $G$ l"a"st sich die Operation des Monoidrings $\Bbb{C}G$ auf $V$ mit unserem Integral vektorwertiger Funktionen aus \ref{IVFFkh} offensichtlich erweitern zu einer Operation des Ma"srings $\op{M}^{\op{rad}}_! (G)$ durch die Vorschrift $$\mu\ast v \pdef \int g v\;\mu \langle g\rangle $$ Ist $G$ eine lokal kompakte Hausdorffgruppe und $\mu$ ein Haarma"s auf $G$ und $f\in\mathcal C_!(G)$ eine stetige Funktion mit kompaktem Tr"ager auf $G$, so verwenden wir die Abk"urzung $f\ast_\mu v\pdef (f\mu)\ast v$ und schreiben daf"ur im kompakten Fall mit dem normierten Haarma"s auch noch k"urzer $f\ast v$.\index{$\ast$ Konvolution} \end{Bemerkungl} \subsection{Fouriertheorie f"ur kompakte Gruppen} \begin{Lemma}[\textbf{Existenz invarianter Skalarprodukte}] Auf jeder endlichdimensionalen stetigen reellen oder komplexen Darstellung einer\label{IsPry} kompakten Hausdorffgruppe gibt es ein invariantes Skalarprodukt. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $K$ unsere kompakte Hausdorffgruppe und $V$ unsere Darstellung. Nach \ref{EEHa} gibt es ein Haarma"s $\mu$ auf $K$. Ist nun $b : V \times V \ra \Bbb{C}$ irgendein Skalarprodukt, so liefert die Formel $$(v,w) \pdef \int_{ K} b(gv, gw)\;\mu\langle g\rangle$$ ein $K$-invariantes Skalarprodukt, es gilt also $(gv, gw) = (v,w)\! \forall g \in K$. Damit das richtig ist, mu"s a priori $\mu$ ein rechtsinvariantes Haarma"s sein. Im kompakten Fall wissen wir aber bereits, da"s linksinvariante Haarma"se auch rechtsinvariant sind und umgekehrt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit invarianter Skalarprodukte}] Auf einer irreduziblen endlichdimensionalen stetigen komplexen Darstellung $V$ einer kompakten Hausdorffgruppe $K$ gibt es bis auf eine multiplikative Konstante in $\DR_{>0}$ nur ein invariantes Skalarprodukt. In der Tat ist der Raum der hermiteschen Sesquilinearformen eindimensional nach dem Schur'schen Lemma,\label{EiSS} da er mit $\op{Hom}_{\DC,K}(\bar V,V^\ast)$ identifiziert werden kann. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Vollst"andige Reduzibilit"at}] Jede stetige Darstellung endlicher Dimension einer\label{VolRy} kompakten Hausdorffgruppe ist eine direkte Summe von einfachen Unterdarstellungen. \end{Satz} \begin{proof} Nach Lemma \ref{IsPry} finden wir auf unserer Darstellung stets ein unter der Gruppenoperation invariantes Skalarprodukt. Nun argumentieren wir durch Induktion "uber die Dimension unserer Darstellung. Ist sie Null, so ist nichts zu zeigen. Sonst besitzt sie eine einfache Unterdarstellung, und deren orthogonales Komplement ist auch eine Unterdarstellung, auf die wir dann nur noch die Induktionsannahme anzuwenden brauchen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine kompakte Hausdorffgruppe $G$ bezeichne $\hat G$ die Menge aller Isomorphieklassen von endlichdimensionalen irreduziblen unit"aren Darstellungen von $G$. %Wir werden in \ref{iDkg} sehen, da"s in dieser %Situation sogar jede irreduzible unit"are Darstellung bereits endlichdimensional ist, aber mit diesen "Uberlegungen will ich die Diskussion % hier nicht belasten. Gegeben eine irreduzible unit"are Darstellung $L$ wissen wir aus \ref{IsPry}, da"s sie ein invariantes Skalarprodukt besitzt, und aus \ref{EiSS}, da"s dieses eindeutig bestimmt ist bis auf eine multiplikative Konstante aus $\DR_{>0}$. Insbesondere h"angt f"ur $A\in{\op{End}}_\DC L$ der Adjungierte $A^\dagger$ nicht\label{SkPE} von dieser Wahl ab und die Vorschrift $(A,B)\mapsto \op{tr}(A^\dagger B)$ liefert ein wohlbestimmtes Skalarprodukt auf ${\op{End}}_\DC L$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Fourierreihe f"ur kompakte Gruppen}] Gegeben eine kompakte Hausdorffgruppe $G$ gibt es genau einen Isomorphismus von Hilbertr"aumen $$\mathcal F: \op{L}^2(G)\sira\hat\bigoplus_{L\in\hat G}({\op{End}}_\DC L)_{\op{dim}L}$$ mit der Eigenschaft, da"s jede stetige Funktion $f\in \mathcal C(G)$ darunter auf das Tupel der Endomorphismen $(f\ast): L\ra L$ abgebildet wird. Unter der Umkehrabbildung\label{FtKG} wird dabei f"ur $A\in {\op{End}}_\DC L$ das Tupel $[A;L]$ mit $A$ an der Stelle mit Index $L$ und Nullen sonst abgebildet auf $c_A: g\mapsto (\op{dim}L)\op{tr}\big(\rho_L(g^{-1})A|L\big)$. \nichtfinal{Gleich f"ur $f\in L^2$?} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die Notation $(f\ast)$ wurde in \ref{MaDi} eingef"uhrt. Auf der rechten Seite meint der untere Index $\op{dim}L$, da"s das von einem und jedem invarianten Skalarprodukt auf $L$ nach \ref{SkPE} herkommende Skalarprodukt auf dem Raum der Endomorphismen noch mit diesem Faktor zu multiplizieren ist. Der Hut "uber der direkten Summe meint, da"s die algebraische direkte Summe mit dem offensichtlichen Skalarprodukt noch zu einem Hilbertraum zu vervollst"andigen ist. Der Stern bei der Notation $c_A^*$ erinnert daran, da"s das nicht genau die Matrixkoeffizientenabbildung ist, die ich in \eref{HSD}{NAS} im Fall endlicher Gruppen $c_A: g\mapsto \op{tr}\big(\rho_L(g)A|L\big)$ notiert habe. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Den Fall einer endlichen Gruppe $G$ haben wir bereits in \eref{fhde}{NAS} behandelt. Im Fall der Kreisgruppe $G=S^1$ spezialisiert unsere Inverse der Fourierentwicklung $\mathcal F$ zum durch das Aufsummieren der Fouriereihe gegebenen Isomorphismus ${\op{L}}^2(\DZ)\sira {\op{L}}^2(S^1)$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Zun"achst einmal behauptet unser Satz, da"s gegeben $A\in {\op{End}}_\DC L$ und $B\in {\op{End}}_\DC M$ mit $M,L$ nichtisomorphen irreduziblen Darstellungen in $\mathcal C(G)$ gilt $\langle c^*_A,c^*_B\rangle=0$. Sicher d"urfen wir dazu annehmen, da"s $A$ und $B$ Rang h"ochstens Eins haben, sagen wir $A:l\mapsto\langle a, l\rangle v$ f"ur $a,v\in L$ und $B:m\mapsto\langle b, m\rangle w$ f"ur $b,w\in M$ und jeweils fest gew"ahlte invariante Skalarprodukte. Dann ergibt sich $$\frac{\langle c^*_A,c^*_B\rangle}{(\op{dim}L)^2} =\int \overline{\langle a, gv\rangle}\langle b, gw\rangle =\int \langle v, g^{-1}a\rangle\langle b, gw\rangle =\langle v| \left(\int g^{-1} | a\rangle\langle b| g\right) | w\rangle$$ mit der Notation $| a\rangle\langle b|$ f"ur die lineare Abbildung $M\ra L$ gegeben durch $w\mapsto \langle b,w\rangle a$. Dann steht in der gro"sen Klammer rechts ein Homomorphismus von Darstellungen $M\ra L$, also die Null, und das zeigt $\langle c^*_A,c^*_B\rangle=0$. Im Fall $M=L$ steht dahingegen in der gro"sen Klammer ein Vielfaches von $\op{id}_L$ mit derselben Spur wie $| a\rangle\langle b|$, also das Vielfache $(\langle b, a\rangle/{\op{dim}}L)\op{id}_L$, und wir folgern mit elementarer Rechnung $$\frac{\langle c^*_A,c^*_B\rangle}{(\op{dim}L)^2}=\frac{\langle b, a\rangle\langle v, w\rangle}{\op{dim}L}= \frac{\op{tr}(A^\dagger B|L)}{\op{dim}L}$$ Damit wissen wir schon einmal, da"s unsere Abbildungsvorschrift $A\mapsto c^*_A$ einen Homomorphismus von Pr"ahilbertr"aumen $$\mathcal C(G)\leftarrow \bigoplus_{L\in\hat G}({\op{End}}_\DC L)_{\op{dim}L}$$ liefert. Da die darstellenden Funktionen aber nach dem Satz \ref{PeWe} von Peter-Weyl dicht liegen im Raum der quadratintegrierbaren Funktionen, mu"s die auf den Vervollst"andigungen induzierte Abbildung ein Isomorphismus von Hilbertr"aumen sein. Es bleibt damit nur noch zu zeigen, da"s dessen Umkehrabbildung jeder stetigen Funktion $f\in\mathcal C(G)$ das Tupel der Endomorphismen $(f*):L\ra L$ zuordnet. Da nun die darstellenden Funktionen nach dem Satz \ref{PeWe} von Peter-Weyl sogar f"ur die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz dicht liegen in $\mathcal C(G)$, m"ussen wir das nur f"ur darstellende Funktionen $f$ pr"ufen. F"ur $L\in \hat G$ und $A\in{\op{End}}_\DC L$ m"ussen wir also zeigen, da"s gilt $c^*_A\ast w=0\;\forall w\in M$ mit $M\not\cong L$ und $c^*_A\ast w=Aw\;\forall w\in L$. Nun d"urfen wir sicher wieder $A(l)=\langle a,l\rangle v$ annehmen, also haben wir diesmal $c^*_A(g)=(\op{dim}L)\langle a,g^{-1}v\rangle =(\op{dim}L)\overline{\langle v,ga\rangle}$ und erhalten mit unseren Ergebnissen vom ersten Teil des Beweises $$\langle b| c^*_A\ast w\rangle=\langle b| \int c^*_A(g)g w\rangle = (\op{dim}L)\int \overline{\langle v,ga\rangle}\langle b, g w\rangle=0$$ falls $M\not\cong L$, wohingegen sich im Fall $M= L$ gerade $\langle b, v\rangle \langle a, w\rangle=\langle b, A w\rangle$ ergibt. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an unsere Inversionsformel f"ur Fouriergruppen \eref{IvFou}{AN3} und will nun eine analoge Formel f"ur nicht notwendig kommutative kompakte Liegruppen $G$ angeben. Im Fall endlicher Gruppen habe ich das bereits in \eref{fhde}{NAS} ausgef"uhrt. Bezeichne $\hat G$ die Menge der Isomorphieklassen von endlichdimensionalen irreduziblen stetigen Darstellungen. Bezeichne $\mathcal{S}^{\op{alg}}(G)\pdef \mathcal{R}(G)$ den Ring der darstellenden Funktionen und $\mathcal{M}^{\op{alg}}(G)$ den Teilring des Ma"srings, der aus allen Produkten einer darstellenden Funktion mit einem Haarma"s besteht. So erhalten wir, indem wir jedem derartigen Ma"s das Tupel der davon induzierten Endomorphismen der irreduziblen Darstellungen zuordnen, die obere Horizontale eines Zykels aus Isomorphismen der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{M}^{\op{alg}}(G)\ar[r]_-\sim &\bigoplus_{L\in \hat G}{\op{End}}_\DC L\ar[d]^{\cdot\mu}_\wr\\ \mathcal{S}^{\op{alg}}(G)^{\leftrightarrow}\ar[u]^{\cdot \lambda}_\wr & \bigoplus_{L\in \hat G}{\op{End}}_\DC L \ar[l]_-{c^\ast}^-\sim } \end{displaymath} mit der Eigenschaft, da"s einmal im Kreis herumgehen die Identit"at liefert. Als untere Horizontale nehme ich die Variante der Matrixkoeffizientenabbildung, unter der $A\in {\op{End}}_\DC L$ auf die Funktion $c_A^*: g\mapsto \op{tr}\big(\rho_L(g^{-1})A:L\ra L\big)$ abgebildet wird. Der obere Index $\leftrightarrow$\index{)4@$\leftrightarrow$ als oberer Index!Vertauschen von Rechts- und Linksoperation}\index{)6@$\leftrightarrow$ als oberer Index!Vertauschen von Rechts- und Linksoperation} erinnert daran, da"s die Operation von $G\times G^{\op{opp}}$ anders als f"ur Funktionenr"aume nat"urlich zu verstehen ist, wenn man erreichen will, da"s alle beteiligten Abbildungen "aquivariant werden. Die linke Vertikale ist die Multiplikation mit einem Haarma"s $\lambda$, die rechte Vertikale ist die Multiplikation mit dem zugeh"origen Plancherelma"s $\mu$, hier einer reellwertigen Funktion auf $\hat G$, die dadurch bestimmt wird, da"s \glqq einmal im Kreis herumgehen an jeder Stelle die Identit"at ist\grqq. Ist $\lambda$ normiert auf Gesamtmasse $\lambda(G)=1$, so m"ussen wir nach \ref{FtKG} f"ur $\mu$ die Funktion $\mu(L)=\op{dim} L$ nehmen. Arbeiten wir "uber $\DC$, so k"onnen wir unser Diagramm erg"anzen zu einem kommutativen nach \eref{FhD}{AN3} modellierten Diagramm\label{sedk} \begin{displaymath} \xymatrix{ &\mathcal{M}^{\op{alg}}(G)\ar[r]^-\sim &\bigoplus_{L\in \hat G}{\op{End}}_\DC L\ar[dr]^{\cdot \sqrt{\mu}}_-\sim&\\ \mathcal{H}^{\op{alg}}(G)\ar[ur]^{\cdot \sqrt{\lambda}}_-\sim\ar@{^{(}->}[r] &\op{L}^2(G)\ar@{<->}[r]^-\sim&\hat\bigoplus_{L\in \hat G}{\op{End}}_\DC L &\bigoplus_{L\in \hat G}{\op{End}}_\DC L\ar[dl]^{\cdot \sqrt{\mu}}_-\sim\ar@{_{(}->}[l]\\ &\mathcal{S}^{\op{alg}}(G)^{\leftrightarrow}\ar[ul]^{\cdot \sqrt{\lambda}}_-\sim & \bigoplus_{L\in \hat G}{\op{End}}_\DC L \ar[l]^-\sim_-{c^\ast}& } \end{displaymath} Hier meint $\mathcal H^{\op{alg}}(G)$ einen Raum von \glqq algebraischen Halbdichten auf $G$\grqq, den man formal als einen Teilraum des Raums aller \glqq Schwartz-Halbdichten\grqq\ erkl"aren mag, vergleiche \eref{sHD}{AN3}\nichtfinal{ oder besser \ref{HaDi}}. Das "au"sere Sechseck besteht wieder aus Isomorphismen und einmal im Kreis herumgehen liefert die Identit"at. Dar"uber hinaus ist aber der Isomorphismus zwischen den sich horizontal gegen"uberliegenden R"aumen in der mittleren Horizontale ein Isomorphismus von Pr"ahilbertr"aumen f"ur die explizit beschriebenen Skalarprodukte und induziert einen Isomorphismus von Hilbertr"aumen der in der Mitte des Diagramms angedeuteten Gestalt. Dies Diagramm, wenn wir es zum normierten Haarma"s $\lambda(G)=1$ und der zugeh"origen Funktion $\mu(L)=\op{dim}L$ spezialisieren, liefert sofort Korollar \ref{Uk}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern daran, da"s wir in \eref{CPF}{NAS} f"ur jede endlichdimensionale Darstellung $\rho : G \rightarrow \op{GL} (V)$ einer Gruppe $G$ "uber einem K"orper $k$ ihren {\bf Charakter}\index{Charakter} $\chi_\rho : G \rightarrow k$ erkl"art hatten durch die Formel $ \chi_\rho (g) \pdef \op{tr}(\rho (g)) $, und da"s wir so eine {\bf Klassenfunktion}\index{Klassenfunktion} erhalten, also eine Funktion, die konstant ist auf Konjugationsklassen. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Charakter-Projektor-Formel}] Sei $G$ eine kompakte Hausdorffgruppe mit Haarma"s $\mu$. Wir erkl"aren f"ur jede endlichdimensionale einfache komplexe Darstellung $L$ von $G$ den \emph{\bf Projektor}\index{Projektor!in kompakter Hausdorffgruppe} ${\op{e}}_L\in \op{M}^{\op{rad}}(G)$ im Ma"sring durch die Vorschrift \begin{equation*} {\op{e}}_L \pdef \frac{\dim L}{\mu(G)} (\chi_{L}\circ\op{inv})\mu \end{equation*} So gilt ${\op{e}}_L \ast {\op{e}}_L = {\op{e}}_L$ und ${\op{e}}_L \ast v = v \; \forall v \in L$. F"ur jede nicht zu $L$ isomorphe endlichdimensionale einfache Darstellung $M$ gilt dahingegen ${\op{e}}_L \ast {\op{e}}_M =0$ und damit dann nat"urlich auch ${\op{e}}_L \ast w =0 \; \forall w \in M$. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Hier meint $\op{inv}:G\ra G$ das Invertieren. Im Fall einer endlichen Gruppe kennen wir unsere Formel bereits aus \eref{CPF}{NAS}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir d"urfen unser Haarma"s $\mu$ ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit normiert annehmen. Die Identit"at $c_{\op{id}_L}^*=(\op{dim}L)(\chi_{L}\circ\op{inv})$ und die Behauptung folgen dann sofort aus unseren Formeln in \ref{FtKG} oder vielleicht direkter \ref{sedk}. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Orthogonalit"at komplexer Matrixkoeffizienten}] Bilden gewisse $\rho_{L} :G \ra \op{U} (d_L)$ ein Repr"asentantensystem\label{Uk} f"ur die einfachen unit"aren Darstellungen einer kompakten Hausdorffgruppe $G$, so bilden die renormalisierten Matrixkoeffizienten $\sqrt{d_L} \!\;(\rho_{L})_{ij}$ eine Hilbertbasis von ${\op{L}}^2(G)$. \end{Korollar} \begin{proof} Die Matrizen $E_{ij}$ bilden eine Orthonormalbasis von $\op{Mat}(d;\DC)$ f"ur das durch $\langle A,B\rangle=\op{tr}(A^\dagger B)$ gegebene Skalarprodukt. Die $(1/\sqrt{d})E_{ij}$ bilden folglich eine Orthonormalbasis f"ur denselben Raum $\op{Mat}(d;\DC)_d$ mit dem um den Faktor $d$ vergr"o"serten Skalarprodukt. Unter der inversen Fouriertransformation gehen die nun aber gerade in die Funktionen $\sqrt{d_L} \!\;(\rho_{L})_{ij}\circ\op{inv}$ "uber. Die Behauptung folgt so aus unseren Fourierformeln \ref{FtKG} oder vielleicht direkter \ref{sedk}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Darstellende Funktionen kompakter Matrixliegruppen}] Gegeben eine kompakte Matrixliegruppe $G\subset \op{GL}(n;\DR)$ liefert die Restriktion von Funktionen eine Surjektion\label{DfK} $$\DR[X_{ij}]\sra \mathcal R(G,\DR)$$ des Polynomrings in den Matrixeintr"agen auf die Ringalgebra der reellwertigen darstellenden Funktionen. In der Tat restringieren Polynomfunktionen offensichtlich zu darstellenden Funktionen, genauer zu allen Matrixkoeffizienten von einfachen Darstellungen, die in einer Tensorpotenz der durch unsere Einbettung gegebenen Darstellung $\DR^n$ auftreten. Nach Stone-Weierstra"s restringieren sie sogar zu einem bez"uglich der Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz dichten Teilraum von $\mathcal C(G,\DR)$. Dann aber k"onnen die Matrixkoeffizienten keiner endlichdimensionalen stetigen irreduziblen Darstellung fehlen, da diese sonst nach \ref{FtKG} orthogonal auf allen stetigen Funktionen stehen m"u"sten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $G$ eine kompakte Hausdorffgruppe. Unter dem Raum der {\bf qua\-drat\-in\-te\-grier\-ba\-ren Klassenfunktionen} auf $G$ verstehen wir den Raum der unter der Operation durch Konjugation invarianten Elemente von \hyperref[L2G]{${\op{L}}^2(G)$}. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Klassenfunktionen kompakter Hausdorffgruppen}] Gegeben eine kompakte Hausdorffgruppe bilden die Charaktere der einfachen komplexen Darstellungen eine Hilbertbasis des Raums aller quadratintegrierbaren\label{KkH} Klassenfunktionen auf unserer Gruppe und spannen einen in der Supremumsnorm dichten Teilraum des Raums der stetigen Klassenfunktionen auf. \end{Satz} \begin{proof} Unsere {\bf irreduziblen Charaktere} bilden\index{irreduzibel!Charakter, kompakte Liegruppe} nach \ref{sedk} ein Orthonormalsystem. Jetzt betrachten wir die nach \ref{PRaM} wohldefinierte Abbildung $P : \cal{C} (G) \ra \cal{C} (G)$ gegeben durch $$(Pf)(x) = \int f (g^{-1}x g) \mu\langle g\rangle$$ Sie ist eine Projektion auf den Raum der stetigen Klassenfunktionen und ist stetig f"ur die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz. Folglich liegen die Bilder der Matrixkoeffizienten in Bezug auf die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz dicht im Raum der stetigen Klassenfunktionen. Das Bild eines Matrixkoeffizienten einer irreduziblen Darstellung ist jedoch offensichtlich wieder ein Matrixkoeffizient besagter Darstellung und damit ein Vielfaches ihres Charakters. Das zeigt die gleichm"a"sige Dichtigkeit im Raum der stetigen Klassenfunktionen. Weiter bemerken wir, da"s eine quadratintegrierbare Klassenfunktion $f$ senkrecht stehen mu"s auf jedem unter Konjugation stabilen endlichdimensionalen Teilraum $E\subset \mathcal C(G)$, in dem die triviale Darstellung nicht als Summand auftritt, da ja f"ur $h\in E$ offensichtlich gilt $\langle f,h\rangle=\langle f,Ph\rangle$. Damit mu"s eine quadratintegrierbare Klassenfunktion senkrecht stehen auf den Bildern unter der Matrixkoeffizientenabbildung aller $\{A\in\op{End}_\DC L\mid\op{tr}A=0\}$ f"ur $L\in\hat G$, und damit mu"s sie dann sogar im Abschlu"s des Erzeugnisses der irreduziblen Charaktere liegen. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Auf einer kompakten Hausdorffgruppe ist das Faltungsprodukt von Matrixkoeffizienten zu nichtisomorphen endlichdimensionalen einfachen Darstellungen stets Null. Gegeben eine einfache unit"are Darstellung $\rho:G\ra \op{U}(d)$ gilt dagegen f"ur die Faltung der Matrixkoeffizienten $\rho_{ij}\ast \rho_{kl}=d^{-1}\delta_{jk}\rho_{il}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine endlichdimensionale Darstellung $V$ einer kompakten Hausdorffgruppe, f"ur die die Matrixkoeffizientenabbildung\label{MKII} $V\otimes_{\Bbb{C}} V^{\ast} \ra {\cal{C}} (G)$ injektiv ist, mu"s irreduzibel sein oder Null. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man beschreibe die Verkn"upfung der Matrixkoeffizientenabbildung $\bigoplus_{L \in \hat G} {\op{End}}_{\Bbb{C}}L\ra \cal{C}(G)$ mit dem Integral nach dem normierten Haarma"s. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s f"ur eine kompakte Hausdorffgruppe $G$ die Fouriertransformation von Ma"sen nach \ref{MaDi} stets eine Injektion $$ \op{M}^{\op{rad}}(G)\hra \underset{M\in \op{irrf} G}{\prod} \op{End}_{\Bbb{C}} M$$ liefert. Hinweis: Man zeige als Zwischenschritt: Konvolutiert ein Ma"s mit jeder darstellenden Funktion zur Nullfunktion, so konvolutiert es mit jeder stetigen Funktion zur Nullfunktion und ist folglich das Nullma"s. \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXTM" %%% End: