\section{Funktionen auf kompakten Liegruppen}

\begin{Definition} hmm
\begin{enumerate}
\item Test
\end{enumerate}
\end{Definition}

\subsection{Das Haar-Ma"s auf  Liegruppen}\label{HML} 
\begin{Definition}\label{psDn}
Eine \defind{positive stetige Dichte} auf einer 
Mannigfaltigkeit ist ein 
topologisches Ma"s, dessen Einschr"ankung auf jede 
Karte durch das Produkt
des Lebesgue-Ma"ses mit einer positiven stetigen 
Funktion dargestellt werden kann. 
\end{Definition}
\begin{Definition}
Ein {\bf Haar-Ma"s}\index{Haar-Ma"s!auf Liegruppe} oder genauer ein \defind{linksinvariantes Haar-Ma"s} auf
einer Liegruppe $G$ ist eine stetige positive 
Dichte $\mu$ auf $G$ im Sinne von \ref{psDn} mit $\mu (xA) = \mu(A)$
f"ur alle $x \in G$ und alle topologisch
me"sbaren Mengen $A \subset G$.
\end{Definition}
\begin{Satz}[\textbf{Existenz und Eindeutigkeit des Haar'schen Ma"ses}]
Auf jeder Liegruppe gibt es ein Haar'sches Ma"s,\label{EEHMMn}
und je zwei Haar'sche Ma"se unterscheiden
sich um einen konstanten Faktor $c>0$.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Man kann allgemeiner zeigen, da"s unsere Haar'schen Ma"se sogar 
die einzigen von Null verschiedenen linksinvarianten regul"aren 
Borel-Ma"se auf unserer Liegruppe sind, vergleiche 
\ref{EEHa}. Das ist f"ur uns jedoch hier nicht von Belang.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Die Eindeutigkeit ist klar, da sich je zwei positive 
Dichten offensichtlich nur um das
Produkt mit einer stetigen positiven Funktion unterscheiden, 
die im Fall von zwei Haar-Ma"sen eben auch
linksinvariant und damit konstant sein mu"s.



\emph{Sollte wohl gar keinen eigenen Abschnitt machen, sondern
nur wie bei Matrix-Liegruppen reden.}
\end{proof}




\subsection{Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten}
\emph{Wohin? Eh wohl meist alter Quatsch!}
\begin{Definition}\label{TBVc}
Gegeben ein $n$-dimensionales reelles Vektorraumb"undel 
$E$ auf einem topologischen
Raum $X$ 
und ein $n$-dimensionaler reeller Vektorraum $V$ 
erkl"aren wir ein $\op{GL} (V)$-Haupt\-faserb"undel
 $ 
Y \rightarrow X, 
$
 indem wir als Faser $Y_x$ bei $x \in X$ den $\op{GL} (V)$-Torsor
$$Y_x = \op{Hom}^\times_{\mathbb{R}} (V, E_x)$$ aller Isomorphismen
von $V$ mit der Faser $E_x$ von $E$ bei $x$ nehmen und mit der durch
Vorschalten erkl"arten Rechtsoperation von $\op{GL} (V)$ versehen.
Die Topologie auf $Y$ wird vermittels der B"undelkarten von $E$ 
in der hoffentlich offensichtlichen Weise definiert.
Wir notieren dieses Hauptfaserb"undel $$Y=\op{Hom}^\times_\DR(V,E)$$
\end{Definition}
\begin{Definition}
Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ 
und ein $\op{GL} (V)$-Haupt\-faserb"undel $Y\ra X$ bilden wir umgekehrt
ein $n$-dimensionales reelles Vektorraumb"undel $E$ als das 
balancierte Produkt
$$E=Y\times_{\op{GL}(V)}V$$
\end{Definition}




\begin{Bemerkungl}
  Man erkennt ohne Schwierigkeiten, da"s diese Konstruktionen sogar eine
  "Aquivalenz von Kategorien liefern zwischen der Kategorie der
  $n$-dimensionalen Vektorraumb"undel auf $X$ mit B"undelisomorphismen als
  Morphismen und der Kategorie der $\op{GL} (V)$-Haupt\-faserb"undel auf $X$
  mit Isomorphismen von Hauptfaserb"undeln als Morphismen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Ist $X$ eine Mannigfaltigkeit, so
  erhalten wir in derselben Weise eine "Aquivalenz von
Kategorien zwischen der Kategorie der $n$-dimensionalen
glatten reellen Vektorraumb"undel
auf $X$  und der Kategorie der glatten $\op{GL}
  (V)$-Haupt\-faserb"undel auf $X$.
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}\label{TVVc}
Gegeben ein topologischer Raum $X$ und
eine topologische Gruppe $G$ und 
ein $G$-Hauptfaserb"undel $Y\ra X$ 
und eine stetige reelle endlichdimensionale Darstellung 
$
\rho : G \rightarrow \op{GL} (F)
$
erkl"aren wir ein 
Vektorraumb"undel als das balancierte Produkt
\begin{equation*}
Y \times_{G} F
\end{equation*}
in hoffentlich selbsterkl"arender Weise.
Ist $G$ eine Liegruppe und $X$ eine Mannigfaltigkeit und 
$Y\ra X$ ein glattes $G$-Hauptfaserb"undel, so erhalten wir
in derselben Weise  
ein glattes Vektorraumb"undel.
\end{Definition}

\begin{Beispiel}
Gegeben eine glatte $n$-Mannigfaltigkeit $X$ liefert das 
Tangen\-tial\-b"undel ${\op{T}}X$ mit \ref{TBV} ein 
$\op{GL}(n;\DR)$-Hauptfaserb"undel  $Y\ra X$.
Verschiedene Darstellungen von $\op{GL}(n;\DR)$ f"uhren 
dann mit \ref{TVV}  zu 
weiteren Vektorraumb"undeln. In diesem
Kontext "ubliche Bezeichnungsweisen f"ur gewisse so
entstehende B"undel und ihre Schnitte fa"st 
 die folgende Tabelle
zusammen.
\vspace{5mm}
$$\begin{array}{cccll}
\rho&F& Y \times_{G} F&\text{Vektorb"undel}&\text{Schnitt}\\[1mm]
\hline\\
  &  \DR^n
                & {\op{T}} X&\text{Tangentialb"undel} & \text{Vektorfeld}\\
  &  (\DR^n)^\ast
                & {\op{T}}^\ast X&\text{\bf Kotangentialb"undel} 
& \text{\bf Kovektorfeld}\\
  &  \bigwedge^k(\DR^n)^\ast
                & \bigwedge^k{\op{T}}^\ast X
&& \text{{\bf $k$-Form}}\\
\det^{-1}  &  \DR
                & \bigwedge^n{\op{T}}^\ast X&\text{\bf Determinantenb"undel}
& \text{{\bf Volumenform}}\\
|\det|^{-1}  &  \DR
                & 
&\text{\bf Dichteb"undel}& \text{{\bf Dichte}}\\
\sqrt{|\det|}^{-1}  &  \DR
                & 
&& \text{{\bf Halbdichte}}
  \end{array}$$
Hierbei\index{Differentialform!auf abstrakter Mannigfaltigkeit}
meint\index{Volumenform}\index{Kotangentialb"undel}
\index{Kovektorfeld!auf Mannigfaltigkeit} 
$\DR^n$ die Standarddarstellung,\index{Dichte}\index{Halbdichte} 
$(\DR^n)^\ast$ deren kontragrediente Darstellung und
$\bigwedge^k((\DR^n)^\ast)\cong \op{Alt}^k(\DR^n)$
deren $k$-te "au"sere Potenz.
Das Determinantenb"undel hei"st oft auch das 
{\bf kanonische B"undel}.\index{kanonisch!B"undel}\index{B"undel!kanonisches}
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
\emph{Jetzt erkl"are, wie Schnitte in Karten aussehen, und warum Fasern
so und so aussehen.}
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Ich will nun Satz \ref{EEHMMn} von Matrix-Liegruppen 
auf beliebige Liegruppen verallgemeinern und muss dazu erkl"aren, 
was Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten sind und wie diese 
integriert werden. Zun"achst erinnere ich an den Begriff eines 
reellen Vektorraumb"undels auf einer Mannigfaltigkeit, 
wobei wir sowohl unsere Mannigfaltigkeit als auch unser B"undel 
stets als glatt annehmen wollen.
\end{Bemerkungl}

Ist nun $X$ eine Mannigfaltigkeit und $p: E \to X$ ein ${\mathbb R}$-B"undel, so erkl"aren wir das duale ${\mathbb R}$-B"undel $E^{*} \to X$, indem wir auf der disjunkten Vereinigung
\[ E^{*} = \coprod_{x \in X} E^{*}_{x} \]
der Dualr"aume der Fasern von $p$ mit der hoffentlich offensichtlichen Projektion $q: E^{*} \to X$ die einzige Struktur eines ${\mathbb R}$-B"undels betrachten derart, dass f"ur jede B"undelkarte von $E$ $U \times {\mathbb R}^{n} \stackrel{\sim}{\longrightarrow} p^{-1}(U)$ die Verkn"upfung
\[ U \times {\mathbb R}^{n} \stackrel{\sim}{\longrightarrow} U \times ({\mathbb R}^{n})^{*} \stackrel{N}{\longrightarrow} q^{-1}(U) \]
eine B"undelkarte von $E^{*}$ ist.

Hierbei soll die erste Abbildung von der kanonischen Identifikation ${\mathbb R}^{n} \stackrel{\sim}{\longrightarrow} ({\mathbb R}^{n})^{*}$ herkommen und die zweite Abbildung von den Inversen der Transponierten $E_{x}^{*} \stackrel{\sim}{\longrightarrow} ({\mathbb R}^{n})^{*}$ der durch die urspr"ungliche B"undelkarte von $E$ gegebenen Identifikationen  ${\mathbb R}^{n} \stackrel{\sim}{\longrightarrow} E_{x}$ f"ur $x \in U$.

\begin{Definition} Das zum Tangentialb"undel $TX$ an eine Mannigfaltigkeit $X$ duale B"undel hei"st das {\em Kotangentialb"undel} und wird notiert als
\[ (TX)^{*} = T^{*}X \]
Seine Fasern
\[ (T^{*}X)_{x} = (T_{x}X)^{*} \]
notiert man auch $T_{x}^{*}X$ und nennt die Faser bei $x$ den {\em Kotangentialraum} an $X$ bei $x$.

Ein {\em Kovektorfeld} ist ein Schnitt des Kotangentialb"undels.
\end{Definition}

\begin{Beispiel} Gegeben eine glatte Funktion $f: X \to {\mathbb R}$ auf einer Mannigfaltigkeit $X$ k"onnen wir ein glattes Kovektorfeld
\[ df: X \longrightarrow  T^{*}X \]
erkl"aren durch die Vorschrift
\[ (df)_{x} = d_{x}f: T_{x}X \to T_{f(x)} {\mathbb R} \stackrel{\sim}{\longrightarrow} {\mathbb R} \]
mit der kanonischen Identifikation $T_{p}{\mathbb R} \stackrel{\sim}{\longrightarrow} {\mathbb R}$ f"ur alle $p \in {\mathbb R}$. 
\end{Beispiel}

\begin{Definition} Gegeben ein ${\mathbb R}$-Vektorb"undel $p: E \to X$ auf einer Mannigfaltigkeit $X$ und $k \in {\mathbb N}$ definieren wir ein weiteres ${\mathbb R}$-Vektorb"undel $\mbox{Alt}^{k}E$ auf $X$, indem wir auf der disjunkten Vereinigung
\[ \mbox{Alt}^{k}E = \amalg_{x \in X} \mbox{ Alt}^{k}E_{x} \]
mit der hoffentlich offensichtlichen Projektion $q:\mbox{ Alt}^{k}E \to X$ die einzige Struktur eines ${\mathbb R}$-B"undels betrachten derart, dass f"ur jede B"undelkarte $U \times {\mathbb R}^{n} \stackrel{\sim}{\longrightarrow} p^{-1}(U)$ von $E$ die offensichtliche Abbildung
\[ U \times \mbox{ Alt}^{k}({\mathbb R}^{n}) \longrightarrow q^{-1}(U) \]
eine B"undelkarte von $\mbox{Alt}^{k}E$ ist.
\end{Definition}

\emph{Jetzt irgendwie weiter bis zum Haar-Ma"s}
\begin{Definition}\label{NoHMc}
Das  Haar-Ma"s auf einer kompakten Liegruppe,
das der ganzen Gruppe Ma"s Eins gibt, nennen wir das 
{\bf normierte Haar-Ma"s}\index{Haar-Ma"s!normiertes} 
unserer kompakten Liegruppe.
\end{Definition}



\begin{Bemerkungl}
Wir k"onnen nun mit identischen Beweisen 
viele unserer Resultate f"ur kompakte Matrix-Liegruppen auf 
beliebige  kompakte Liegruppen verallgemeinern. Ich erw"ahne 
insbesondere:
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}\label{IsPrac}
 Auf jeder stetigen endlichdimensionalen Darstellung  einer
  kompakten Liegruppe  gibt es
ein invariantes Skalarprodukt.
\end{Lemma}
\begin{Satz}[\textbf{Vollst"andige Reduzibilit"at}]
Jede stetige endlichdimensionale Darstellung einer\label{VolRac}
kompakten Liegruppe l"a"st sich als die direkte 
Summe von einfachen Unterdarstellungen schreiben.
\end{Satz}


\begin{Satz}[\textbf{Isotypische Zerlegung}]
Sei $G$ eine kompakte Liegruppe und $\mathcal{L}$ ein
Repr"asentantensystem f"ur die Isomorphieklassen komplexer einfacher 
Darstellungen von $G$. So liefert f"ur\label{IsTac}
jede komplexe endlichdimensionale Darstellung $V$ 
von $G$ das Auswerten einen Isomorphismus
\begin{equation*}
\bigoplus_{L \in \mathcal{L}} L \otimes_{\Bbb{C}} 
\op{Hom}^G_{\Bbb{C}} (L,V) \overset{\sim}{\rightarrow} V
\end{equation*}
\end{Satz}


\begin{Bemerkungl}
Die Beweise dieser S"atze k"onnen wie gesagt wortw"ortlich von
den Beweisen im Spezialfall von Matrix-Liegruppen 
\ref{IsPr}, \ref{VolR} und \ref{IsT} "ubernommen werden.
\end{Bemerkungl}

\subsection{$G$-Strukturen auf Mannigfaltigkeiten}
\emph{Wohin??}

\begin{Definition}
Sei $X$ eine glatte $n$-Mannigfaltigkeit und $\rho : G \rightarrow V$ eine
reelle $n$-dimensionale Darstellung einer Liegruppe $G$.
Eine {\bf $\rho$-Struktur auf $X$}\index{r-Struktur@$\rho$-Struktur}
 ist ein Paar $(Y,\varphi)$ bestehend
aus einem glatten $G$-Hauptfaserb"undel $\pi:Y \rightarrow X$ und einem
Isomorphismus
\begin{equation*}
\varphi : Y \times_G V \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{T}}X
\end{equation*}
von reellen Vektorraumb"undeln auf $X$.
Im Fall einer Matrix-Liegruppe wie etwa $G=\op{SO} (n)$ oder $G=\op{SU}(n)$ 
redet man meist
von einer {\bf $G$-Struktur}\index{GStruktur@$G$-Struktur} 
und meint damit eine $\rho$-Struktur in
Bezug auf die offensichtliche Darstellung $\rho$ unserer Matrix-Liegruppe,
 also den Fall $V=\DR^n$ beziehungsweise $V=\DC^n$.
Spricht man dahingegen von einer \defind{Spin-Struktur}, so meint
man eine $\rho$-Struktur in Bezug auf die durch die Komposition
$\op{Spin} (n) \twoheadrightarrow \op{SO}(n) 
\hookrightarrow \op{GL} (n;\mathbb{R})$
gegebene Darstellung der Spin-Gruppe.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}\label{RiOn}
Eine $\op{O}(n)$-Struktur ist \glqq dasselbe\grqq\  wie eine Riemann'sche Metrik.
In der Tat k"onnen wir  jeder Riemann'schen Metrik $g$ auf
einer Mannigfaltigkeit  $X$ eine $\op{O}(n)$-Struktur $(Y,\varphi)$ 
zuordnen, indem wir das $\op{O}(n)$-Hauptfaserb"undel $Y \rightarrow X$ 
erkl"aren
durch die Vorschrift
\begin{equation*}
Y_x =\left\{f \in \op{Hom}_{\mathbb{R}} (\mathbb{R}^n, 
{\op{T}}_x X)
\left| \begin{array}{c}
\text{$f$ ist ein Isomorphismus und}\\
\text{$g_x$ entspricht unter $f$  dem }\\
\text{Standardskalarprodukt auf $\mathbb{R}^n$}
\end{array}\right.\right\}
\end{equation*}
mit der durch Vorschalten definierten Rechtsoperation von $\op{O} (n)$,
und dann den Isomorphismus von
Vektorraumb"undeln $\varphi : Y \times_{\op{O}(n)} \mathbb{R}^n 
\overset{\sim}{\rightarrow}
{\op{T}}X$  durch $[f,v] \mapsto f(v) $ f"ur $f \in Y_x$.
Gegeben eine $\op{O} (n)$-Struktur $(Y,\varphi)$ erkl"aren wir umgekehrt eine
Metrik $g$ durch die Vorschrift, da"s das 
Skalarprodukt $g_x$ auf ${\op{T}}_x X$
unter $\varphi : Y_x \times_{\op{O}(n)} \mathbb{R}^n 
\overset{\sim}{\rightarrow} {\op{T}}_x X$
dem Standard-Skalarprodukt auf $\mathbb{R}^n$ entsprechen soll.
Gehen wir von einer Metrik $g$ aus und bilden die 
zugeh"orige $\op{O}(n)$-Struktur, so
erhalten wir  daraus nat"urlich die urspr"ungliche Metrik zur"uck.
Liefern umgekehrt zwei $\op{O}(n)$-Strukturen 
$(Y,\varphi)$ und $(Y^\prime, \varphi^\prime)$
dieselbe Metrik auf $X$, so gibt es auch genau einen
Isomorphismus von Hauptfaserb"undeln 
$k:Y\sira Y'$ mit $\varphi'\circ (k\times \op{id})=\varphi:
Y\times_{\op{O}(n)} \mathbb{R}^n\sira {\op{T}}X$.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
  In derselben Weise wie im vorhergehenden Beispiel \ref{RiOn}
ausgef"uhrt erhalten wir auch  alle anderen Entsprechungen 
der folgenden Tabelle:

  \vspace{0,5cm}
  \begin{tabular}{ll}
    $\op{O} (n)$-Struktur&Riemann'sche Metrik\\
    $\op{SO} (n)$-Struktur&Riemann'sche Metrik und Orientierung\\
    $\op{GL} (n;\mathbb{R})^+$-Struktur&Orientierung\\
    $\{|\op{det}|=1\}$-Struktur&Dichte\\
    $\op{SL}(n;\mathbb{R})$-Struktur&Orientierung und Dichte\\
    $\op{GL} (n;\mathbb{C})$-Struktur&fastkomplexe Struktur\\
    $\op{U}(n)$-Struktur&fastkomplexe Struktur und hermitesche Metrik
  \end{tabular}
\end{Bemerkungl}


\subsection{Fastkomplexe Strukturen}
Sei $M$ eine reelle Mannigfaltigkeit. Eine \defind{fastkomplexe Struktur $J$ auf $M$} ist
ein Automorphismus $J : TM \rightarrow TM$ des Tangentialb"undels von $M$
mit $J^2 = -\op{id}$.
Sicher zerf"allt dann die Komplexifizierung $T_{\mathbb C} M = \mathbb C \otimes_{\mathbb R} TM$
in Unterb"undels
\begin{equation*}
 T_{\mathbb C} M = T^\prime M \oplus T^{\prime\prime} M
\end{equation*}
zu den Eigenwerten $i$ und $-i$ von $J$ und die Abbildung $C \otimes \op{id}$ f"ur $
C : \mathbb C \rightarrow \mathbb C$ die komplexe Konjugation induziert einen schieflinearen
Isomorphismus $T^\prime M \overset{\sim}{\longrightarrow} T^{\prime\prime} M$ alias einen Isomorphismus
$\overline{T^\prime M} \overset{\sim}{\longrightarrow} T^{\prime\prime} M$.
Schlie"slich induziert die Projektion Isomorphismen von reellen B"undeln $T M \overset{\sim}{\longrightarrow}
T^\prime M$ und $TM \overset{\sim}{\longrightarrow} T^{\prime\prime} M$, unter denen $J$ der Multiplikation mit
$i$ beziehungsweise mit $(-i)$ entspricht.
Unsere Isomorphismen induzieren Isomorphismen auf den $\mathbb C$-dualen B"undeln
\begin{equation*}
 T^\ast_{\mathbb C} M \overset{\sim}{\longrightarrow} (T^\prime M)^\ast \oplus (T^{\prime\prime} M)^\ast
\end{equation*}
und dann liefert das Dachprodukt Isomorphismen
\begin{equation*}
 \bigoplus_{p+ q= r} \Lambda^p (T^\prime M)^\ast \otimes_{\mathbb C} \Lambda^q (T^{\prime\prime} M)^\ast
\rightarrow \Lambda T^\ast_{\mathbb C} M
\end{equation*}
Gegeben eine glatte Funktion $f ; M \rightarrow \mathbb C$ ist ihr Differential $df$ ein Schnitt von
$T^\ast_{\mathbb C} M$.
Seine Zerlegung l"angs unserer Zerlegung $T^\ast_{\mathbb C} M \overset{\sim}{\longrightarrow} (T^\prime M)^\ast
\oplus (T^{\prime\prime} M)^\ast$ notieren wir $df = \partial f + \overline \partial f$.
Haben wir etwa $M = \mathbb C$ und die offensichtliche fastkomplexe Struktur auf $TM$, und bezeichnet
$z : \mathbb C \rightarrow \mathbb C$ die Identit"at, so ist $\op{dz}$ ein erzeugender Schnitt von
$(T^\prime M)^\ast$ und $\op{d\overline z}$ ein erzeugender Schnitt von $(T^{\prime\prime} M)^\ast$.
Weiter haben wir
\begin{displaymath}
 \begin{array}{cll}
  J^{-1} d (Jf) & = & J^{-1} df\\
&=& J^{-1} (\partial f + \overline \partial f)\\
&=& -i \partial f + i \overline \partial f = i (\overline \partial  - \partial)f
 \end{array}
\end{displaymath}
Ist $M \co \mathbb C^n $ eine offene Teilmenge, so sind die 
\begin{equation*}
 \op{dz}_{i(1)} \wedge \ldots \wedge dz_{i (p)} \wedge \op{d\overline z}_{j(1)} \wedge \ldots \wedge
\op{d\overline z}_{j (q)}
\end{equation*}
f"ur $i: \{ 1, \ldots , p\} \rightarrow \{1, \ldots , n\}$ und $j : \{1, \ldots , q\} \rightarrow \{1, \ldots , n\}$
streng monoton wachsend Basisschnitte von $\Lambda^{p,q} (T_{\mathbb C}^\ast M)$ und man sieht explizit, da"s f"ur jede
$(p,q)$-Form $\omega$ die "au"sere Ableitung $d\omega$ zerf"allt als $d\omega = \partial \omega + \overline \partial \omega$
mit $\partial \omega$ einer $(p+1, q)$-Form und $\overline \partial \omega$ einer $p, q+1)$-Form.
Aus $d^2 \omega = 0$ folgt insbesondere $\partial^2 \omega = 0 = {\overline \partial}^2 \omega$ sowie
$\partial \overline \partial \omega = - \overline \partial \partial \omega$.
Insbesonder gilt
\begin{equation*}
 d d^c = i (\partial + \overline \partial)(\overline \partial - \partial) = 2 i \partial \overline \partial = -d^c d.
\end{equation*}

Gegeben eine komplex-analytische Mannigfaltigkeit $X$ ist ihr Tangetialb"undel $TX$ ein holomorphes
Vektorraumb"undel auf $X$ mit Fason der Dimension
\begin{equation*}
 \dim_{\mathbb C} T_x X = \dim_{\mathbb C} X
\end{equation*}
Eine \defind{hermitische Metrik} auf $X$ ist eine Zuordnung, die jedem Punkt $x \in X$ ein
Skalarprodukt
\begin{equation*}
 h_x :p T_x X x T_x X \rightarrow \mathbb C
\end{equation*}
zuordnet und die glatt ist in der Weise, dass f"ur glatte Schnitte $\mathcal S \xi : X \rightarrow T X$
auch die Funktion $X \rightarrow \mathbb C$, $x \mapsto h_x (\mathcal S_x , \xi_x)$ glatt ist.
Wir vereinbaren, dass Skalarprodukte bei uns schieflinear in der ersten und linear in der zweiten
Variablen sein m"ogen.
\begin{Beispiele}
 Wir betrachten die offensichtliche Operation der unit"aren Gruppe $(n+1)$ auf $\mathbb P ^n \mathbb C$.
Die Isotopiegruppe von $\langle 1, 0, \ldots, 0 \rangle $ ist $U (1) x U (n)$ und man findet leicht ein unter
der Isotopiegruppe invariantes Skalarprodukt auf dem Tangentialraum bei $\langle 1, 0 , \ldots, 0\rangle $ an
$\mathbb P^n \mathbb C$.
Dieses Skalarprodukt l"a"st sich folglich zu einer unter $U (n +1)$ invarianten hermitischen Metrik auf
$\mathbb P^n \mathbb C$ fortsetzen. Im "ubrigen induziert eine hermitische Metrik eine hermitische Metrik
auf jeder komplexanalytischen Untermannigfaltigkeit.
Der Imagin"arteil einer hermitischen Metrik $h$ ist eine 2-Form $\omega = \op{Im} k$ auf der $X$
zugrundeliegenden reellen Mannigfaltigkeit alias die Vorgabe einer alternierenden Bilinearform $\omega_x$ auf
dem reellen Vektroraum $T-x X$ f"ur jedes $x \in X$.
\end{Beispiele}
\begin{Definition}
 Eine hermitische Metrik $h$ hei"st eine \defind{K"ahler-Metrik}, wenn ihr Imaginarteil eine
geschlossene 2-Form ist, in Formeln
\begin{equation*}
 d (\op{Im} h) = 0
\end{equation*}
\end{Definition}
\begin{Beispiele}
 Unsere invarianten hermiteschen Metriken auf $\mathbb P^n \mathbb C$ sind K"uhler.
In der Tat behaupten wir f"ur den R"uckzug unter
\begin{equation*}
 p : \mathbb C^{n+1} \backslash 0 \twoheadrightarrow \mathbb P^n \mathbb C
\end{equation*}
unserer 2-Form $\omega = \omega_h = (\op{Im} h)$ die Formel
\begin{equation*}
 p^\ast \omega = c i \partial \overline \partial \log \parallel z \parallel
\end{equation*}
f"ur eine Konstante $c \in \mathbb R_{>0}$ und $\mathbb C^{n+1} \backslash 0 \rightarrow \mathbb R_{>0}, z \mapsto \parallel
z \parallel$ die "ubliche Norm.
Das hinwiederum muss nur auf der Gerade $\mathbb C \langle 1, 0, \ldots, 0\rangle$ nachgerechnet werden, da beide Seiten
unter $U (n+1)$ invariant sind.
\end{Beispiele}
Gegeben ein komplexer Vektorraum $V$ verwende ich als kanonischen Isomorphismus
\begin{equation*}
 \op{res}^{\mathbb R}_{\mathbb C} (V^\ast) \overset{\sim}{\longrightarrow} (\op{res}^{\mathbb R}_{\mathbb C} V)^\ast
\end{equation*}
die Abbildung $\lambda \mapsto 2 \op{Re} (\lambda)$.
Sei $X$ eine kompakte K"uhlerhermannigfaltigkeit und $(i \cdot) : T X \rightarrow T X$ die Multiplikation mit $i$ auf
dem holomorphen Kotangentialb"undle.
Sie induziert einen Endomorphismus des
holomorphen Kotangentialb"undels $T^\ast X$ und auch seiner Reellifizierung, die wir identifizieren mit dem
Kotangentialb"undel $T^\ast (X_{\mathbb R})$ der zugrundeliegenden reellen Mannigfaltigkeit. Diesen Endomorphismus
notieren wir
\begin{equation*}
 J : T^\ast (X_{\mathbb R}) \overset{\sim}{\longrightarrow} T^\ast (X_{\mathbb R})
\end{equation*}



%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AATOTAL"
%%% End: