\section{Differenzierbarkeit im Komplexen} \subsection{Holomorphe Funktionen \sose{(28.4)}} \begin{Bemerkungl} Seien $X,Y$ topologische R"aume, $p\in X$ ein H"aufungspunkt, $Y$ Hausdorff und $f:X\backslash p\ra Y$ eine Abbildung. Ich erinnere an unsere Definition des Grenzwerts $\lim_{x\ra p}f(x)$ aus \eref{SSGeFuA}{AN2} als dem \glqq Wert der einzig m"oglichen bei $p$ stetigen Fortsetzung von $f$ auf ganz $X$, wenn es denn solch eine Fortsetzung gibt\grqq. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/holomorphedef.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die Definition der komplexen Ableitung.} \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{cDEVc} Seien $U\co\DC$ eine offene Teilmenge und $p\in U$ ein Punkt. Eine Funktion $f: U \ra \Bbb{C}$ hei"st {\bf komplex differenzierbar bei $p$ mit Ableitung $b \in \Bbb{C}$}, \index{komplex differenzierbar} wenn gilt $$\lim_{z\ra p} \frac{f(z) - f(p)}{z-p} = b$$ Wir k"urzen diese Aussage ab durch $f^{\prime}(p) = b$ und nennen $f'(p)$ die {\bf Ableitung} oder ausf"uhrlicher die {\bf komplexe Ableitung}\index{Ableitung!komplexe} der Funktion $f$ an der Stelle $p$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Man mu"s sich hier von der in der Schule liebgewonnenen Anschauung der Ableitung als \glqq Steigung der Tangente\grqq\ verabschieden. Welche Anschauung man stattdessen mit dem Konzept der komplexen Ableitung verbinden mag, werden wir im folgenden noch ausf"uhrlich diskutieren. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine {\bf holomorphe Funktion}\index{holomorph!Funktion} ist eine auf einer offenen Teilmenge $U\co \DC$ der komplexen Zahlenebene definierte komplexwertige Funktion $f:\DC \lco U\ra \DC$, die an jeder Stelle $p\in U$ komplex differenzierbar ist. Wir erkl"aren dann ihre Ableitung $f':U\ra\DC$ durch $p\mapsto f'(p)$. \end{Definition} \begin{Bemerkungw} In \ref{Gour} zeigen wir, da"s jede holomorphe alias komplex differenzierbare Funktion sogar stetig komplex differenzierbar ist, ja da"s noch viel st"arker die Ableitung jeder holomorphen Funktion wieder holomorph ist. Bis dahin jedoch m"ussen wir sorgf"altig zwischen holomorphen Funktionen und sogar stetig komplex differenzierbaren Funktionen unterscheiden. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel} Jede konstante Funktion auf $U\co \DC$ ist holomorph mit der Nullfunktion als Ableitung. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die Einbettung einer offenen Teilmenge $U\co \DC$ nach $\DC$ ist eine holomorphe Funktion $i:U\ra \DC$ mit Ableitung $i'(p)=1\;\forall p\in U$ alias $i'=1$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Das Invertieren $z\mapsto 1/z$ ist eine holomorphe\label{holi} Abbildung $\DC^\times \ra \DC$ mit der Ableitung $-1/z^2$. Man zeigt das mit derselben Rechnung wie im Reellen \eref{AK}{AN1}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauliche Bedeutung der komplexen Differenzierbarkeit}]\href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/anschauungkompdiff.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die anschauliche Bedeutung der komplexen Ableitung.} Gegeben $U\co \DC$ eine offene Teilmenge und $f:U\ra \DC$ eine Abbildung und $p\in U$ ein Punkt ist offensichtlich $f$ komplex differenzierbar bei $p$ mit Ableitung $f'(p)=b$ genau dann, wenn es eine komplexwertige Funktion $\varepsilon$ gibt mit $\lim_{h\ra 0}\varepsilon(h)=0$ und\label{abkh} $$f(p+h)=f(p)+ bh + h\varepsilon(h)$$ Bis auf den Fehler $h\varepsilon(h)$, der f"ur kleines $h$ derart klein wird, da"s er f"ur $h\ra 0$ sogar dann noch gegen Null strebt, wenn man ihn durch $h$ teilt, ist also $f$ nah bei $p$ die Drehstreckung $p+h\mapsto p+bh$ mit Zentrum $p$ und Faktor $b\in\DC$ gefolgt von der Verschiebung $+(f(p)-p)$. Anschaulich bedeutet das insbesondere im Fall $f'(p)\neq 0$, da"s jede bei $p$ komplex differenzierbare Abbildung bei $p$ \glqq winkeltreu und orientierungserhaltend\grqq\ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit}] Quasi per definitionem \eref{SSGeFuA}{AN2} ist $\lim_{h\ra 0}\varepsilon(h)=0$ gleichbedeutend dazu, da"s die einzige bei $h=0$ stetige Fortsetzung von $\varepsilon$ an die Stelle $h=0$ durch $\varepsilon(0)=0$ geschieht. Insbesondere ist nach \ref{abkh} eine komplex differenzierbare Funktion auch stetig.\end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Rechenregeln f"ur die komplexe Ableitung}] Auch f"ur komplex differenzierbare Funktionen gelten die Summenregel $(f+g)'=f'+g'$, Produktregel $(fg)'=f'g + fg'$ und\label{cKRc} Kettenregel $(f\circ g)'=g'(f'\circ g)$ mit demselben Beweis wie in \eref{APSu}{AN1} beziehungsweise \eref{KeRe}{AN1}. Insbesondere ist jede komplexe Polynomfunktion holomorph. Weiter folgt aus der Kombination von Produktregel, Kettenregel und unseren Erkenntnissen zum Ableiten des Invertierens \ref{holi} auch im Komplexen die Quotientenregel. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ableiten ganzzahliger Potenzen}] Induktiv folgert man wie im Reellen f"ur die Ableitung von $z^n$ die Formel $nz^{n-1}$ erst f"ur $n\geq 0$ und dann mit der Quotientenregel f"ur $n\leq -1$. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[height=0.7\textheight]{SkriptenBilder/Bild0026} \\ \noindent Anschauliche Bedeutung der Ableitung der komplexen Exponentialfunktion. Das untere Bild entsteht aus dem oberen durch Anwenden der komplexen Exponentialfunktion. Man sieht, da"s das Differential dieser Abbildung an einer Stelle auf der reellen Achse eine Streckung um einen reellen Faktor ist, an einer Stelle auf der imagin"aren Achse dahingegen eine Drehung alias eine Streckung um einen komplexen Faktor vom Absolutbetrag Eins. \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Differenzierbarkeit der Exponentialfunktion}] Genau wie im Fall der reellen Exponentialfunktion \eref{Aex}{AN1} zeigt man, da"s die komplexe Exponentialfunktion $\exp:\DC\ra\DC$ holomorph ist und mit ihrer eigenen Ableitung\label{AKEc} "ubereinstimmt, in Formeln $\exp'=\exp$. Ich will nun beispielhaft die anschauliche Bedeutung der Identit"at $\exp'(\pi{\op{i}}/2)=\exp(\pi{\op{i}}/2)$ herausarbeiten. Wir haben ja $\exp(\pi{\op{i}}/2)={\op{i}}$ und die imagin"are Achse wird unter $\exp$ auf den Einheitskreis aufgewickelt. So sehen wir, da"s $\exp((\pi{\op{i}}/2) +h)=\op{i}\exp h$ f"ur kleines $h$ in erster N"aherung $\op{i} + \op{i}h$ ist, also eine Rotation um einen rechten Winkel im Gegenuhrzeigersinn gefolgt von einer Verschiebung, und diese Rotation ist eine Drehstreckung um den Faktor $\op{i}$ und das ist folglich auch unsere Ableitung $\op{i}=\exp'(\pi{\op{i}}/2)$. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Funktionen mit komplexer Ableitung Null}] Ein holomorphe Funktion mit zusammenh"angendem Definitionsbereich, deren komplexe Ableitung identisch verschwindet, ist konstant.\label{AlN} \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $g:U\ra \DC^\times$ stetig ohne Nullstelle mit $f\pdef g^2$ holomorph. Man zeige da"s auch $g$ holomorph ist mit Ableitung $g'=f'/2g$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $H\pdef \{z\mid {\op{Im}}z>0\}$ die offene obere Halbebene.\label{bOH} Man zeige, da"s es f"ur je zwei Punkte $p,q\in H$ eine holomorphe Bijektion $h:H\sira H$ gibt mit $h(p)=q$. Hinweis: \ref{Traoh}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $E\pdef \{z\mid |z|<1\}$ die offene Einheitskreisscheibe. Man zeige, da"s es f"ur je zwei Punkte $p,q\in E$ eine holomorphe Bijektion $h:E\sira E$ gibt mit $h(p)=q$.\label{BiOK} Hinweis: \ref{bOH} und \ref{Bioh}. \end{Ubung} \subsection{Komplexe und reelle Differenzierbarkeit \sose{(3.5)}}\label{cLc} \begin{Bemerkungl}\label{Fdho} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/reelldiff.mp4}{Hier ist ein Film \"uber Differenzierbarkeit im Reellen.} In \eref{dho}{AN2} haben wir vereinbart, da"s wir eine Teilmenge $A$ eines normierten reellen Raums $X$ {\bf halboffen} nennen wollen,\index{halboffen!in reellem affinen Raum} wenn es f"ur jeden Punkt $p\in A$ eine nichtleere offene Teilmenge $C \co \vec{X}$ gibt mit $p + [0,1]C \subset A$, wenn es also anschaulich gesprochen ein kleines Kegelchen mit Spitze in $p$ gibt, das ganz in $A$ liegt. Gegeben eine halboffene Teilmenge $A$ eines normierten reellen Raums $X$ und eine Abbildung $f:A\ra Y$ in einen weiteren reellen Raum haben wir in \eref{DeDii}{AN2} und \eref{dhox}{AN2} ihr {\bf Differential} $$\tiff_pf:\vec X\ra\vec Y$$ bei $p$ definiert als eine stetige $\DR$-lineare Abbildung $L$, f"ur die es eine $\vec{Y}$-wertige Abbildung $\varepsilon$ gibt mit $\lim_{\vec v\ra \vec 0}\varepsilon (\vec v) =0$ und $$f(p +\vec v) = f(p) + L\vec v + \|\vec v \| \varepsilon (\vec v)$$ Wir haben gezeigt, da"s so eine Abbildung $L$ eindeutig ist, wenn sie existiert, so da"s sie Namen und Notation auch verdient. Wenn das Differential existiert, nennen wir $f$ {\bf differenzierbar}. Wenn wir den Unterschied zur partiellen Differenzierbarkeit besonders betonen wollen, sagen wir genauer {\bf total differenzierbar}. Wenn wir den Unterschied zur komplexen Differenzierbarkeit besonders betonen wollen, sagen wir genauer {\bf reell differenzierbar}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} M"oglicherweise haben Sie diese Definition bisher nur im Fall $X=\DR^n$ und $Y=\DR^m$ und f"ur $A\co X$ offen gesehen. In diesem Fall ist es nicht n"otig, zwischen den affinen R"aumen $X,Y$ und ihren Richtungsr"aumen $\vec X, \vec Y$ zu unterscheiden, und die darstellende Matrix des Differentials ist die {\bf Jacobi-Matrix} $$[\tiff_pf]=\left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} (p) &\ldots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}(p)\\ \cdot & &\cdot \\[-3mm] \cdot & &\cdot \\[-3mm] \cdot & &\cdot \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} (p) &\ldots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} (p) \end{array}\right) $$ In diesem Kontext ist jede total differenzierbare Abbildung auch partiell differenzierbar. Existieren umgekehrt alle partiellen Ableitungen auf ganz $A$ und sind stetig, so ist nach \eref{PTD}{AN2} unsere Funktion auch total differenzierbar. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/geschdiff.mp4}{Hier ist ein Film \"uber Geschwindigkeit und Differential.} Im Fall einer differenzierbaren Abbildung $\gamma:\DR\ra X$ der Zahlengerade in einen normierten reellen Raum $X$ verwendet man die Notation $\gamma'(t)\pdef (\diff_t\gamma)(1)$ und erkennt, da"s der Richtungsvektor $\gamma'(t)\in \vec X$ auch beschrieben werden kann als der Grenzwert\label{GeVV} $$\gamma'(t)=\lim_{h\ra 0}\frac{\gamma(t+h) - \gamma(t)}{h}$$ Das ist, von den fehlenden Einheiten abgesehen, der {\bf Geschwindigkeitsvektor} aus der Physik. Dasselbe gilt, wenn $\gamma$ auf einem mehrpunktigen Intervall oder allgemeiner einer beliebigen halboffenen Teilmenge von $\DR$ definiert ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im Fall einer differenzierbaren Abbildung $f:X\ra\DR$ von einem normierten reellen Raum $X$ in die Zahlengerade ist $p\mapsto \tiff_p f$ eine Abbildung $X\ra \vec X^*$ von $X$ in den Dualraum des Richtungsraums. Sie hei"st das {\bf Differential von $f$} und wird notiert als $$\tiff f:X\ra \vec X^*$$ Eine Abbildung $X\ra\vec X^*$ hei"st ein {\bf Kovektorfeld auf $X$}. Kovektorfelder werden punktweise addiert und mit reellwertigen Funktionen $X\ra\DR$ multipliziert. Im Spezialfall $X=\DR^n$ sind die Funktionen $x_i$ die Projektionen auf die Koordinaten, also linear, also \glqq ihr eigenes Differential\grqq. Ihre Differentiale $\tiff x_i$ ordnen mithin jedem Punkt ebenfalls die Projektion auf die $i$-te Koordinate $\op{pr}_i: \DR^n\ra \DR$ zu. F"ur eine beliebige differenzierbare Funktion $f:\DR^n\ra \DR$ findet man dann $$\tiff f=\frac{\partial f}{\partial x_1}\tiff x_1+\ldots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\tiff x_n$$ alias f"ur alle $p$ die Identit"at $\tiff_p f=\frac{\partial f}{\partial x_1}(p)\tiff_p x_1+\ldots + \frac{\partial f}{\partial x_n}(p)\tiff_p x_n$ in $(\DR^n)^*$. Analoges gilt, wenn $f$ auf einer offenen Teilmenge von $X$ beziehungsweise $\DR^n$ definiert ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Spezialisieren wir unsere allgemeine Definition der Differenzierbarkeit auf den Fall $X=Y=\DC$ und vergleichen sie mit der Charakterisierung \ref{abkh} der komplexen Differenzierbarkeit, so erkennen wir, da"s f"ur $p\in U\co \DC$ eine Abbildung $f:U\ra\DC$ genau dann komplex differenzierbar ist, wenn sie reell total differenzierbar ist und ihr a priori $\DR$-lineares Differential $\tiff_pf:\DC\ra\DC$ sogar eine $\DC$-lineare Abbildung ist alias durch die Multiplikation mit einer komplexen Zahl gegeben wird, in Formeln $$\tiff_pf = (f'(p)\cdot):\DC\ra\DC$$ f"ur die komplexe Ableitung $f'(p)$. Wir verwenden dabei, da"s $\lim_{h\ra 0}\varepsilon(h)=0$ gleichbedeutend ist zu $\lim_{h\ra 0}(|h|/h)\varepsilon(h)=0$ f"ur reelles und auch komplexes $h$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}\label{CRD} Sei $U \co \Bbb{R}^2$ eine offene Teilmenge und bezeichne $\op{can} :\DR^2\sira\DC$, $(x,y) \mapsto x+ {\op{i}}y$ die "ubliche Identifikation. Gegeben stetig partiell differenzierbare reelle Funktionen $u,v : U \ra \Bbb{R}$ ist die Funktion $f:\op{can} (U) \ra\DC$ mit $$f(x+ {\op{i}}y) \pdef u(x,y) + {\op{i}}v (x,y)$$ genau dann holomorph, wenn das Paar $(u,v)$ die \emph{\bf Cauchy-Rie\-mann'schen Differentialgleichungen}\index{Cauchy-Rie\-mann'sche Differentialgleichungen} erf"ullt, die da lauten \begin{displaymath} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\;\;\;\; \text{ und }\;\;\;\; \frac{\partial v}{\partial x} =- \frac{\partial u}{\partial y} \end{displaymath} \end{Satz} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildCauR} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die Linien zeigen Niveaumengen des Real- und Imagin"arteils von $\log$, die Pfeile deren Gradienten. Die Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen bedeuten, da"s an jeder Stelle der Gradient des Imagin"arteils durch eine Drehung um $90^\circ$ aus dem Gradienten des Realteils hervorgeht. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungw} Aus dem Satz von Goursat \ref{Gour} werden Sie im weiteren Verlauf als "Ubung \ref{PDGou} folgern, da"s gegeben eine holomorphe Funktion $f$ auch umgekehrt ihr Realteil $u$ und ihr Imagin"arteil $v$ stetig partiell differenzierbar sind. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Man kann sich diese Gleichungen veranschaulichen als die Bedingung, da"s an jeder Stelle der Gradient des Imagin"arteils $v$ unserer Funktion aus dem Gradienten ihres Realteils $u$ hervorgeht durch die Drehung um einen rechten Winkel im Gegenuhrzeigersinn. % Per definitionem haben wir weiter % $f \kappa =\kappa (u,v)=u+{\op{i}}v$ mit % $(u,v):U\ra\DR^2$ wie "ublich. Es ist "ublich und praktisch, % in diesem Satz und seinem Beweis die kanonische Identifikation $\kappa $ in der % Notation systematisch zu unterdr"ucken. Ich habe sie zur "Ubung hier % ausgeschrieben, weil ja $\DC$ und $\DR^2$, wenn man es ganz genau nimmt, % zumindest in meinen Augen durchaus verschiedene % Objekte sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Cauchy-Riemann'sche Differentialgleichungen, Variante}] \nichtfinal{Sp"ater, besser mit Differentialformen!} Verwenden wir partielle Ableitungen\label{CRI} vektorwertiger Funktionen \eref{PaVf}{AN2} und nehmen der Einfachkeit halber $\op{can}=\op{id}$ an, so k"onnen wir die Cauchy-Rie\-mann'schen Differentialgleichungen auch zusammenfassen zur Gleichung $$\op{i}\frac{\partial f }{\partial x} =\frac{\partial f }{\partial y}$$ Die komplexe Ableitung von $f$ wird dann gegeben durch $f' =\frac{\partial f }{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}+ {\op{i}}\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}- {\op{i}}\frac{\partial u}{\partial y}$ und wird auch bereits durch Real- oder Imagin"arteil unserer Funktion festgelegt als $f' =\frac{\partial u}{\partial x}- {\op{i}}\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial y}+ {\op{i}}\frac{\partial v}{\partial x}$. Fassen wir komplexwertige Funktionen auf einer Teilmenge der komplexen Zahlen als Vektorfelder auf, so entspricht die komplex konjugierte Ableitung mithin dem Gradienten des Realteils unserer Funktion, in Formeln $$\overline{f'} = \op{grad}(\op{Re}f)$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis der Hin-Richtung]\href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/cauchyriemannerster.mp4}{Hier ist ein erster Film \"uber die Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen.} Die komplexe Ableitung k"onnen wir schreiben als $$f'(z)=\lim_{h\ra 0_\DC}\frac{f(z+h) - f(z)}{h}$$ mit dem Grenzwert "uber komplexes $h$, was ich versuche dadurch anzudeuten, da"s ich $0_\DC$ schreibe f"ur die Null der komplexen Zahlenebene. Nat"urlich haben wir a forteriori $$f'(z)=\lim_{h\ra 0_\DR}\frac{f(z+h) - f(z)}{h}\quad\text{und}\quad f'(z)=\lim_{h\ra 0_\DR}\frac{f(z+{\op{i}}h) - f(z)}{{\op{i}}h}$$ mit dem Grenzwert "uber reelle $h$, was ich durch die Notation $0_\DR$ andeute. Erinnern wir nun $f(x+{\op{i}}y)=u(x,y)+{\op{i}}v(x,y)$ und multiplizieren beide Seiten der rechten Gleichung mit $\op{i}$, so finden wir $$f'(x+{\op{i}}y)=\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)+{\op{i}}\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)\quad\text{und}\quad {\op{i}} f'(x+{\op{i}}y)=\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)+{\op{i}}\frac{\partial v}{\partial y}(x,y)$$ Daraus folgen die Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen sofort. \end{proof} \begin{proof}[Beweis]\href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/cauchyriemannzweiter.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen vom h\"oheren Standpunkt.} Ich habe mir M"uhe gegeben, den Satz so zu formulieren, da"s er zu unserer Beschreibung der komplexen Zahlen bis auf eindeutigen Isomorphismus in \ref{FCCZ} pa"st. F"ur den Beweis d"urfen wir uns ein beliebiges Modell der komplexen Zahlen aussuchen und mithin ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $\op{can} :\DR^2\sira\DC$ die Identit"at ist. Eine Funktion $f: U \ra \Bbb{C}$ ist nun nach \ref{abkh} komplex differenzierbar bei $p\in U$ mit Ableitung $b$ genau dann, wenn es eine komplexwertige Funktion $\varepsilon$ gibt mit $\lim_{h\ra 0}\varepsilon(h)=0$ und $f(p+h)=f(p)+ bh + h\varepsilon(h)$ oder auch gleichbedeutend eine komplexwertige Funktion $\eta$ mit $\lim_{h\ra 0}\eta(h)=0$ und $$f(p+h)=f(p)+ bh + |h|\eta(h)$$ In der Tat unterscheiden sich $\eta(h)$ und $\varepsilon(h)$ dabei f"ur $h\neq 0$ nur um den Faktor $h/|h|$ der Norm Eins und f"ur $h=0$ kommt es auf die genauen Werte dieser Funktionen eh nicht an. Eine Funktion $f: U \ra \Bbb{C}$ ist andererseits nach \eref{DeDii}{AN2} reell total differenzierbar bei $p\in U$ mit Differential $B\in \op{Hom}_\DR(\DC,\DC)$ genau dann, wenn es eine komplexwertige Funktion $\eta$ gibt mit $\lim_{h\ra 0}\eta(h)=0$ und $$f(p+h)=f(p)+ Bh + |h|\eta(h)$$ Unsere Funktion ist also komplex differenzierbar bei $p$ mit der komplexen Ableitung $f'(p)=b$ genau dann, wenn $f$ reell differenzierbar ist bei $p$ und sein Differential $\diff_pf=B\in \op{Hom}_\DR(\DC,\DC)$ eine komplexlineare Abbildung ist, eben die Abbildung $(b\cdot)$. Gleichbedeutend ist dann auch die Forderung, da"s $\diff_{p} f $ mit der Multiplikation $(\op{i}\cdot)$ mit $\op{i}$ kommutiert. Um diese Bedingung in die Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen zu "ubersetzen, ziehen wir uns nun auf unser Modell $\DC=\DR^2$ der komplexen Zahlen zur"uck. Sind $u$ und $v$ stetig partiell differenzierbar, so ist dann nach \eref{PTD}{AN2} auch die Funktion $ f=(u,v)$ reell differenzierbar an jeder Stelle $p\in U$ und ihr Differential $\diff_p f=\diff_p (u,v)$ wird nach \eref{RaA}{AN2} beschrieben durch die Jacobi-Matrix \begin{displaymath} [\diff_p (u,v)]=\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y}\\[2mm] \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix} \end{displaymath} an der jeweiligen Stelle $p$. Damit ist $f=(u,v)$ komplex differenzierbar bei $p$ genau dann, wenn diese Matrix kommutiert mit der Matrix $[({\op{i}}\cdot) ]= {(^{0}_{1}}\; {^{-1}_{\;\;0})}$ der Multiplikation mit ${\op{i}}$, wenn also an der jeweiligen Stelle $p$ gilt \begin{displaymath} \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x} \;\;\;\; \text{ und }\;\;\;\; \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} \qedhere\end{displaymath} \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Komplexe Differenzierbarkeit von Umkehrfunktionen}] Gegeben $f:\DC\lco U \ra \Bbb{C}$ eine injektive stetig komplex differenzierbare\label{cAUc} Funktion mit nirgends verschwindender Ableitung ist auch ihr Bild eine offene Teilmene $f(U)\co\DC$ und die Umkehrfunktion $f^{-1}:f(U)\ra U$ ist wieder stetig komplex differenzierbar mit der Ableitung $$(f^{-1})^{\prime} (q) =1/{f^{\prime}(f^{-1}(q))}$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} In \ref{WIU} wird skizziert, wie man diese Proposition ohne den Umkehrsatz der Analysis beweisen kann. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungw} Eine holomorphe Funktion $f:\DC\lco U\ra \DC$ hei"st eine {\bf biholomorphe Einbettung},\index{biholomorph!Einbettung} wenn sie injektiv ist mit\label{biho} offenem Bild $f(U)\co \DC$ und wenn die Umkehrabbildung $f^{-1}:\DC\lco f(U)\sira U$ auch wieder holomorph ist. Unsere Proposition besagt in dieser Terminologie, da"s jede injektive stetig komplex differenzierbare Funktion mit nirgends verschwindender Ableitung eine biholomorphe Einbettung ist. In \ref{hbbh} zeigen wir st"arker, da"s "uberhaupt jede injektive holomorphe Funktion eine biholomorphe Einbettung ist. Unser Beweis dort st"utzt sich aber auf die hier gegebene Proposition. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Per definitionem ist eine stetig komplex differenzierbare Funktion $f:\DC\lco U \ra \Bbb{C}$ stets stetig reell differenzierbar im Sinne von \eref{DeDi}{AN2} und ihr Differential bei $p\in U$ ist die $\DR$-lineare Abbildung $\diff_pf=(f'(p)\cdot):\DC\ra\DC$ des $\DR$-Vektorraums $\DC$ in sich selber. Hat $f'$ keine Nullstelle, so ist $f$ offen nach dem Satz "uber die Umkehrabbildung \eref{UKA}{AN2}. Ist $f$ zus"atzlich injektiv, so ist mithin seine Umkehrabbildung stetig, ja sogar stetig reell differenzierbar wieder nach dem Satz "uber die Umkehrabbildung \eref{UKA}{AN2}, und ihr Differential in $q=f(p)$ ist die $\DR$-lineare Abbildung $$\diff_q(f^{-1})=(\diff_pf)^{-1}=\big(f'(p)^{-1}\cdot\big):\DC\ra\DC$$ In anderen Worten gilt $f^{-1}(q+h)= f^{-1}(q) + f'(p)^{-1}h +\varepsilon(h)|h|$ f"ur eine Funktion $\varepsilon$ mit $\lim_{h\ra 0}\varepsilon (h) =0$. Das bedeutet genau die komplexe Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion an der Stelle $q$ sowie die Formel $(f^{-1})'(q)=f'(p)^{-1}$ f"ur ihre Ableitung, die hinwiederum zeigt, da"s mit $f'$ auch $(f^{-1})'$ stetig ist. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Komplexe Wurzelfunktionen}] Das Quadrieren liefert eine Bijektion zwischen der Halbebene aller komplexen Zahlen mit positivem Realteil und der \glqq geschlitzten Zahlenebene\grqq\ $$\{z\mid\op{Re}(z)>0\}\sira \DC\backslash\DR_{\leq 0}$$ Die Umkehrfunktion notieren wir $z\mapsto\sqrt{z}$ und nennen sie die \glqq Quadratwurzel mit positivem Realteil\grqq. Sie ist nach der Proposition \ref{cAUc} "uber Umkehrfunktionen eine stetig komplex differenzierbare Funktion auf der geschlitzten Zahlenebene mit Ableitung $1/(2\sqrt{z})$. Ist allgemeiner $U\co\DC$ irgendeine offene Teilmenge von $\DC$, auf der das Quadrieren eine Injektion $q:U\hra\DC$ induziert, so gilt offensichtlich $0\not\in U$ und die Umkehrfunktion $w:q(U)\ra \DC$ ist stetig komplex differenzierbar mit der Ableitung $w'(z)=1/(2w(z))$. Analoges gilt f"ur h"ohere Wurzeln. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{calod} Ist $U\co\DC$ eine offene Teilmenge derart, da"s die komplexe Exponentialfunktion eine Injektion $\op{exp}:U\hra \DC$ liefert, so ist nach \ref{cAUc} auch die Umkehrfunktion $\log:\exp(U)\ra\DC$ stetig komplex differenzierbar mit der Ableitung $$\log'(z)=1/z$$ In der Tat finden wir $\log^{\prime} (q) = 1/\exp (\log q) = 1/q$. Diese Funtionen hei"sen \defind{Zweige des Logarithmus}.\index{Logarithmus!komplexer} Im Spezialfall $U=\Bbb{R} + ( - \pi, \pi ) \op{i}$ spricht man vom {\bf Hauptzweig des Logarithmus}. Wir hatten ihn bereits in \ref{Fclog} eingef"uhrt und sogar auch noch auf der negativen reellen Achse erkl"art, aber nicht in stetiger Weise. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/kettreellkompl.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die reell-komplexe Kettenregel.} Schlie"slich erinnern wir auch noch an die Kettenregel in mehreren Ver"anderlichen $$\tiff _{p}(f\circ g)= (\tiff _{g(p)}f) \circ (\tiff _{p}g)$$ aus \eref{Kett}{AN2} und wiederholen an dieser Stelle nicht mehr die Bedeutung aller Notationen und die jeweiligen Voraussetzungen. Geht etwa $g$ von der reellen Zahlengerade aus und benennen wir es um in $\gamma:\DR\ra X$ und werten beide Seiten der Kettenregel auf $1_\DR$ aus, so folgt $$(f\circ\gamma)'(t)= (\diff_{\gamma(t)}f)(\gamma'(t))$$ Insbesondere folgt so im Fall $X=\DC$ f"ur jede differenzierbare Abbildung $\gamma:\DR\ra \DC$ und jede komplex differenzierbare Abbildung $f:\DC\ra \DC$ die {\bf reell-komplexe Kettenregel}\label{rkK} in der Gestalt $$(f\circ \gamma)'(t)=f'(\gamma(t))\gamma'(t)$$ mit einem Produkt von komplexen Zahlen auf der rechten Seite. Dasselbe gilt f"ur Funktionen, die nur auf halboffenen Teilmengen definiert sind. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{HAH} Bezeichne $c:\DC\ra\DC$ die komplexe Konjugation. Sei $U\co \DC$ eine offene Teilmenge. Eine Funktion $f:U\ra \DC$ hei"st \defind{antiholomorph}, wenn $\bar f\pdef c\circ f$ holomorph ist. \end{Definition} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{cHZL} Man zeige, da"s f"ur alle $z \in \mathbb C$ mit $|z| < 1$ der Hauptzweig des Logarithmus von $1 + z$ auch dargestellt werden kann durch die Potenzreihe \begin{equation*} \log (1+z) = z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} - \ldots \end{equation*} Hinweis: Es reicht zu zeigen, da"s f"ur alle $w \in \mathbb C$ mit $|w| =1$ das Einsetzen von $z = wt$ auf beiden Seiten dieselbe Funktion in $t \in (-1,1)$ liefert. Beide Seiten nehmen aber bei $z =0$ den Wert Null an, so da"s es reicht, die Gleichheit ihrer Ableitungen zu zeigen. In \ref{HZLe} d"urfen Sie diese "Ubung mit mehr Theorie und weniger Rechnen ein weiteres Mal l"osen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{HAHn} Sei $U\co \DC$ eine offene Teilmenge. Man zeige, da"s eine Funktion $f:U\ra\DC$ antiholomorph ist genau dann, wenn $f\circ c: c(U)\ra\DC$ holomorph ist. Insbesondere ist die Verkn"upfung antiholomorpher Funktionen stets holomorph. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine holomorphe Funktion mit zusammenh"angendem Definitionsbereich, die nur reelle Werte annimmt, ist konstant. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine holomorphe Funktion $f:U\ra\DC$ ohne Nullstelle erkl"art man ihre {\bf logarithmische Ableitung}\index{logarithmische Ableitung}\index{Ableitung!logarithmische}\label{logA} durch die Vorschrift $$\frac{\op{dlog}f(z)}{\diff z}\pdef \frac{f'(z)}{f(z)}$$ Man zeige, da"s die logarithmische Ableitung eines Produkts die Summe der logarithmischen Ableitungen der Faktoren ist. Gibt es einen Zweig des Logarithmus $\log:V\ra \DC$ auf einer Teilmenge $V\co \DC$ mit $f(U)\subset V$, so ist die logarithmische Ableitung von $f$ f"ur jeden solchen Zweig die Ableitung der Verkn"upfung $\log\circ f$. \end{Ubung} %\begin{Ubung} %ICH MAG ES NICHT, KOMPLEXE DIFFERENZIERBARKEIT PUNKTWEISE ZU UNTERSUCHEN. % An welchen Stellen $z\in \DC$ ist $f(z)\pdef z\bar z$ komplex differenzierbar? Wir haben $f(x+{\op{i}}y)=x^2+y^2$. % Schreiben wir also $f(x+{\op{i}}y)=u(x,y)+ {\op{i}}v(x,y)$ % mit reellwertigen Funktionen $u$ und $v$, so gilt $u(x,y)=x^2+y^2$ und % $v(x,y)=0$. Die Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen sagen % $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\quad\text{und}\quad \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$$ und sind in unserem Fall genau dann erf"ullt, % wenn gilt $2x=0$ und $0=-2y$ alias $z=0$. %\end{Ubung} \subsection{Integration komplexwertiger Funktionen \sose{(5.5)}} \begin{Bemerkungl} Man mu"s sich hier von der in der Schule liebgewonnenen Anschauung des Integrals als \glqq Fl"ache unter einer Kurve\grqq\ verabschieden. Welche Anschauung man stattdessen damit verbinden mag, werden wir im folgenden noch ausf"uhrlich diskutieren. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/intvec.mp4}{Hier ist ein Film \"uber Integration vektorwertiger Funktionen.} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere aus \eref{IvwF}{AN2} das Integrieren stetiger Funktionen auf kompakten reellen Intervallen mit Werten in endlichdimensionalen reellen Vek\-tor\-r"au\-men. Uns wird besonders der Fall von komplexwertigen Funktionen betreffen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $[a,b]\subset \Bbb{R}$ ein nichtleeres kompaktes Intervall, $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $f:[a,b] \ra V$ eine Abbildung. Wir betrachten f"ur $ r \geq 1$ die "aquidistante Unterteilung $a = t_{0} \leq t_{1} \leq \ldots \leq t_{r} = b$ und definieren die {\bf $r$-te Riemannsumme}\index{Riemannsumme!f"ur vektorwertige Funktion} $S^r (f)\in V$ durch $$S^{r} (f) \pdef \sum^{r-1}_{i=0} (t_{i+1}-t_{i}) f(t_{i}) = \left(\frac{b-a} {r}\right) \sum^{r-1}_{i=0} f(t_{i})$$ \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Integration vektorwertiger Funktionen}] Ist $f:[a,b]\ra V$ eine stetige Abbildung von einem\label{FIV} nichtleeren kompakten reellen Intervall in einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$, so existiert der Grenzwert der zugeh"origen Riemannsummen. Das als dieser Grenzwert erkl"arte \emph{\bf Integral}\index{Integral!stetige vektorwertige Funktion!"uber kompaktes Intervall} $$\int f = \int^{b}_{a} f = \int^{b}_{a} f(t) \;\diff t \pdef \lim_{r\ra \infty} S^{r} (f)$$ ordnet jedem $f$ einen Vektor $(\int f)\in V$ zu und hat die folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item F"ur alle $c\in [a,b]$ gilt $\int^{b}_{a} f=\int^{c}_{a}f + \int^{b}_{c}f$; \item Ist $f=v$ konstant ein $v \in V,$ so gilt $\int^{b}_{a} f(t) \;\diff t = \int^{b}_{a} v \; \diff t= (b-a)v$; \item Ist $W$ ein weiterer endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $\Lambda : V \ra W$ eine lineare Abbildung, so gilt $$\int (\Lambda \circ f) = \Lambda \left(\int f\right)$$ \item\label{FNo} Gegeben eine Norm auf $V$ gilt f"ur die Norm des Integrals die Absch"atzung $\|\int f\| \leq \int \|f\|$; \item Im Fall $V=\DR$ reellwertiger Funktionen erhalten wir unser Integral aus \eref{DefII}{AN1} zur"uck. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Sie m"ogen in diesem Satz die Regeln $\int \lambda f=\lambda\int f$ sowie $\int(f+g)=\int f+\int g$ f"ur stetige vektorwertige Funktionen $f,g$ und $\lambda\in\DR$ vermi"st haben. Sie folgen jedoch formal aus Teil 3. In der Tat d"urfen wir dort $\Lambda=(\lambda\cdot):V\ra V$ nehmen und auch $\Lambda:V\times V\ra V$ die Addition sowie die beiden Projektionen. So ergibt sich f"ur die $V\times V$-wertige Funktion $(f,g)$ zun"achst $\op{pr}_1 \int (f,g)=\int f$ und $\op{pr}_2 \int (f,g)=\int g$ und damit $\int (f,g)=(\int f,\int g)$ und durch Anwenden der Addition dann $\int(f+g)=\int f+\int g$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $V=\DR^n$. Alle Aussagen bis auf die Absch"atzung der Norm des Integrals folgen dann unmittelbar aus dem wohlbekannten Fall der Integrale reellwertiger Funktionen. Die Absch"atzung der Norm des Integrals folgt aus der entsprechenden Absch"atzung der Normen der Riemannsummen durch "Ubergang zum Grenzwert. \end{proof} \begin{Beispiel} Wir pr"ufen $\int_0^{2\pi}\op{e}^{{\op{i}}t}\diff t=0$. In der Tat erkennt man leicht, da"s in diesem Fall sogar bereits alle Riemannssummen ab $r\geq 2$ verschwinden als \glqq Summen "uber die Speichenvektoren eines Rades mit $r$ Speichen\grqq. Alternativ finden wir auch mit der Euler'schen Formel $$\int_0^{2\pi}\op{e}^{{\op{i}}t}\diff t=\int_0^{2\pi}\cos t + {\op{i}}\sin t\;\diff t= \int_0^{2\pi}\cos t \;\diff t+ {\op{i}}\int_0^{2\pi}\sin t\;\diff t =0+ {\op{i}}0=0$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Wie im Fall reellwertiger Funktionen verwenden wir auch im Fall vektorwertiger Funktionen die Konvention $\int_{b}^{a} f=-\int^{b}_{a} f$. Ist dann $f:I\ra V$ eine stetige Abbildung von einem reellen Intervall in einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum, so gilt f"ur beliebige $a,b,c \in I$ die Formel $\int^{b}_{a} f=\int^{c}_{a}f + \int^{b}_{c}f$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Vektorwertige Variante des Hauptsatzes}] Gegeben ein mehrpunktiges Intervall $I\subset \Bbb{R}$, ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$, eine stetige Funktion $f:I\ra V$ und\label{FVHSS} ein Punkt $a\in I$ ist die Funktion $$\begin{array}{cccl} F : &I &\ra & V\\ &x & \mapsto & \int^{x}_{a} f(t) \;\diff t \end{array}$$ die einzige differenzierbare Funktion $F:I\ra V$ mit $F^{\prime}= f$ und $F (a) =0$. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $V=\DR^n$. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Integrieren mit Stammfunktionen}] Seien $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $a 0$$ Um die weitere Rechnung zu vereinfachen beachten wir, da"s unsere Stammfunktion bis auf eine Konstante eh eine reellwertige Funktion sein mu"s. Wir d"urfen also bereits vor dem Addieren die Realteile nehmen. Die Konstanten d"urfen wir eh weglassen und erhalten so als reelle Stammfunktion sofort \begin{displaymath} \frac{1}{2} \op{arctan} (x) - \frac{1}{2} \op{arctan}(-x) = \op{arctan}(x) \end{displaymath} in "Ubereinstimmung mit unseren Ergebnissen aus \eref{AbAr}{AN1}. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man finde eine Stammfunktion von $1/(x^4+1)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Komplexes Ableiten unter dem Integral}] Seien $U \co \Bbb{C}$ offen und\label{VKd} $f: U\times [a,b]\ra \Bbb{C}$, $(z,t) \mapsto f(z,t)$ stetig. Ist $f$ f"ur alle $t$ komplex differenzierbar in $z$ und $\frac{\partial f}{\partial z} : U \times [a,b] \ra \Bbb{C}$ stetig, so ist auch die Abbildung $F: z \mapsto \int^{b}_{a} f (z,t) \diff t$ stetig komplex differenzierbar und es gilt \begin{displaymath} \frac{\partial F}{\partial z} (w) = \int^{b}_{a} \frac{\partial f}{\partial z} (w,t) \diff t \end{displaymath} Hinweis: \eref{DUIn}{AN2}. In \ref{VKdd} diskutieren wir noch eine etwas st"arkere Variante. Die Aussage dieser "Ubung wird im weiteren Verlauf der Vorlesung eine wichtige Rolle spielen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Partielle Integration für komplexwertige Funktionen}] Man schreibe die Regel f"ur die partielle Integration f"ur stetig differenzierbare komplexwertige\label{PartiC} Funktionen einer reellen Variablen aus und geben einen Beweis. Hinweis: Es geht wie im Reellen, vergleiche \eref{Parti}{AN1}. \end{Ubung} \newpage \section{Wegintegrale und Integralsatz von Cauchy} \subsection{Komplexe Wegintegrale \sose{(10.5)}} \begin{Definition}\label{DCWe} Gegeben ein stetig differenzierbarer Weg in der komplexen Zahlenebene $\gamma : [a,b] \ra \Bbb{C}$ und eine stetige auf seinem Bild definierte komplexwertige Funktion $f:\gamma([a,b])\ra\DC$ erkl"aren wir das \defnoind{komplexe Wegintegral der Funktion $f$ "uber den Weg $\gamma$}\index{Wegintegral!komplexes, l"angs Integrationsweg} als die komplexe Zahl \begin{displaymath} \int_{\gamma} f(z) \diff z \pdef \int^{b}_{a} f (\gamma (t)) \gamma' (t) \diff t \end{displaymath} Ist allgemeiner $\gamma$ st"uckweise stetig differenzierbar im Sinne von \eref{ssd}{AN2}, so nennen wir $\gamma$ einen {\bf Integrationsweg}\index{Integrationsweg!Funktionentheorie} und erkl"aren das Wegintegral wie in \eref{issd}{AN2} als die Summe der Wegintegrale "uber seine maximalen stetig differenzierbaren Teilst"ucke. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/wegint.mp4}{Hier ist ein Film \"uber das komplexe Wegintegral.} \end{Definition} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.7\textheight]{SkriptenBilder/BildRieSa}\\[4mm] \noindent Dieses Bild soll dazu helfen, eine Anschauung f"ur die Riemannsummen zum Integral der Funktionen $z^n$ "uber den Einheitskreis zu entwickeln. Im Fall $n=0$ sind alle Riemannsummen schlicht Null. Im Fall $n=-1$ dahingegen werden durch den Faktor $z^{-1}$ alle \glqq Kanten unserer Vielecke in die Richtung der ersten Kante gedreht\grqq, und man erkennt, wie die Riemannsummen, hier gezeichnet f"ur $n=3,4$ und $8$, gegen den Vektor alias die komplexe Zahl $2\pi {\op{i}}$ konvergieren. \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Komplexe Wegintegrale als Wegintegrale von Kovektorfeldern}] In \ref{idz} erl"aren wir die Bedeutung von $f(z) \diff z$ als \glqq komplexwertiges Kovektorfeld\grqq\ und besprechen, in welcher Weise die vorstehende Definition als eine Verallgemeinerung unserer Definition des Wegintegrals "uber Kovektorfelder aus \eref{WII}{AN2} verstanden werden kann. Dieser Zugang tr"agt am weitesten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur das komplexe Wegintegral}] Auf der rechten Seite ist $\gamma' (t) \in \Bbb{C}$ zu verstehen als Geschwindigkeit im Sinne von \ref{GeVV} und das Integral der stetigen komplexwertigen Funktion $f (\gamma (t)) \gamma' (t)$ ist zu verstehen als Integral einer vektorwertigen Funktion im Sinne von \ref{FIV}. Be\-trach\-tet man in der Situation der Definition f"ur alle $r\geq 1$ die "aquidistanten Unterteilungen $a = a_{0} \leq a_{1} \leq\ldots \leq a_{r} = b$ und bildet die \glqq Riemannsummen\grqq\ $$S^{r}_{\gamma} (f) = \sum^{r-1}_{i=0} f(\gamma (a_{i}))\left( \gamma (a_{i+1}) - \gamma (a_{i})\right)$$ mit nun in $\DC$ zu bildenden Produkten rechts, so ist unser Wegintegral mit denselben Argumenten wie in \eref{NAA}{AN2} der Grenzwert der Folge der Riemannsummen $$\int_\gamma f(z) \diff z=\lim_{r\ra\infty}S^{r}_{\gamma} (f)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Absch"atzung f"ur das komplexe Wegintegral}] Der Absolutbetrag eines Wegintegrals ist beschr"ankt durch das Produkt der L"ange des Weges im Sinne von \eref{BOLLn}{AN1} mit dem Supremum der Absolutbetr"age der Funktionswerte auf dem Weg. Ist $\gamma:[a,b]\ra\DC$ unser Integrationsweg, so gilt also\label{ABWe} in Formeln \begin{displaymath} \left|\int_{\gamma} f(z) \diff z\right| \leq \left(\sup_{t\in[a,b]}|f (\gamma (t))| \right) {\op{L}}(\gamma) \end{displaymath} Man kann das direkt an der Darstellung des Wegintegrals durch Riemannsummen ablesen. Es folgt mit der Darstellung ${\op{L}}(\gamma)=\int^{b}_{a} |\gamma' (t)| \diff t$ der Wegl"ange nach \eref{BoL}{AN1} auch schnell aus der Absch"atzung \ref{FIV} der Norm des Integrals einer vektorwertigen Funktion durch das Integral "uber die Normen der Funktionswerte, angewandt im Spezialfall einer komplexwertigen Funktion. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Feinere Absch"atzung f"ur das komplexe Wegintegral}] Der Absolutbetrag eines komplexen Wegintegrals ist sogar beschr"ankt durch das Kurvenintegral im Sinne von \eref{KI}{AN1} "uber den Betrag unserer Funktion. Ist genauer $\gamma:[a,b]\ra\DC$ unser Integrationsweg, so gilt also\label{ABWe} in Formeln \begin{displaymath} \left|\int_{\gamma} f(z) \diff z\right| \leq \int_{\gamma} |f| \end{displaymath} Man kann das direkt an der Darstellung unserer Integrale durch Riemannsummen ablesen. Es folgt mit der Darstellung $\int_{\gamma} |f|=\int^{b}_{a} |\gamma' (t)| |f(\gamma(t))|\diff t$ des Kurvenintegrals nach \eref{KI}{AN1} auch unmittelbar aus der Absch"atzung \ref{FIV} der Norm des Integrals einer vektorwertigen Funktion durch das Integral "uber die Normen der Funktionswerte, angewandt im Spezialfall einer komplexwertigen Funktion. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Ist der Weg $\gamma : [a,b] \ra \Bbb{C}$ die Identit"at $\gamma(t)=t$, so haben wir $\gamma'(t)={\op{i}}\;\forall t$ und \begin{displaymath} \int_{\gamma} f (z) \diff z = \int^{b}_{a} f(t) \diff t \end{displaymath} Ist unser Weg $\gamma : [a,b] \ra \Bbb{C}$ gegeben durch $\gamma: t \mapsto {\op{i}}t$, so haben wir $\gamma'(t)=1\;\forall t$ und \begin{displaymath} \int_{\gamma} f(z) \diff z = {\op{i}} \int^{b}_{a} f({\op{i}}t) \diff t \end{displaymath} Bilden wir das komplexe Wegintegral "uber die konstante Funktion $1$, so ist bereits die Folge der Riemannsummen konstant $\gamma(b)-\gamma(a)$ und das kommt dann auch aus unserer Definition des komplexen Wegintegrals heraus und wird durch \ref{WIS} verallgemeinert, in Formeln $$\int_\gamma \diff z=\int_a^b\gamma'(t)\diff t=\gamma(b)-\gamma(a)$$ der vektorwertigen Variante \ref{FSFvv} des Haupt\-satzes der Differential- und Integralrechnung. Ist unser Weg ein kreisf"ormiger Weg im Gegenuhrzeigersinn um den Ursprung, der durch den Winkel parametrisiert ist und der also in Formeln gegeben wird durch $\gamma : [0,2\pi] \ra \Bbb{C}$, $ t\mapsto r\op{e}^{{\op{i}}t}$ f"ur einen festen Radius $r>0$, so erhalten wir \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} \int_{\gamma} z^n \diff z & =& \int^{2\pi}_{0} r^n \op{e}^{{\op{i}}nt}r {\op{i}}{\op{e}}^{{\op{i}}t} \diff t\\ & =& \int^{2\pi}_{0} {\op{i}}r^{n+1} \op{e}^{{\op{i}}(n+1)t} \diff t = \left\{ \begin{array}{cl} 2\pi {\op{i}} & n=-1;\\ 0 & \text{sonst}. \end{array} \right. \end{array} \end{displaymath} Im Fall $n\neq -1$ und ganz besonders im Fall $n=0$ scheint es mir in dieser Situation auch anschaulich recht klar, da"s bereits fast alle Riemannsummen verschwinden, da die $k$-te Riemannsumme die Summe aller $k$-ten Einheitswuzeln ist, und damit verschwindet nat"urlich auch ihr Grenzwert. Der Fall $n\neq -1$ l"a"st sich im "Ubrigen auch elegant als Spezialfall der anschlie"senden Proposition behandeln. \end{Beispiele} \begin{Proposition}[\textbf{Wegintegral durch Stammfunktion}] F"ur $f: \DC\lco U \ra \Bbb{C}$ stetig komplex differenzierbar und\label{WIS} $\gamma : [a,b]\ra U$ ein Integrationsweg gilt \begin{displaymath} \int_{\gamma} f^\prime (z) \diff z = f (\gamma (b)) - f(\gamma (a)) \end{displaymath} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $\gamma$ stetig differenzierbar annehmen. Nach der reell-komplexen Kettenregel \ref{rkK} hat $(f\circ \gamma): [a,b]\ra \Bbb{C}$ die Ableitung $t \mapsto f^{\prime}(\gamma (t)) \gamma^{\prime} (t)$. Damit finden wir \begin{displaymath} \int_{\gamma} f^{\prime} (z) \diff z = \int^{b}_{a} f^{\prime} (\gamma (t)) \gamma^{\prime} (t) \diff t = (f \circ \gamma)|^{b}_{a} \end{displaymath} nach der Definition und der vektorwertigen Variante \ref{FSFvv} des Haupt\-satzes der Differential- und Integralrechnung. \end{proof} \begin{Bemerkungw} In der Sprache der komplexwertigen Kovektorfelder finden wir f"ur $f$ komplex differenzierbar $\diff f=f'(z)\diff z$ und unsere Formel erweist sich als eine komplexwertige Variante der Formel $\int_\gamma\diff f=f(\gamma(b))-f(\gamma(a))$ aus \eref{EEWW}{AN2} f"ur das Wegintegral l"angs eines Integrationsweges $\gamma:[a,b]\ra X$ "uber ein totales Differential. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Insbesondere ist das Integral einer Ableitung "uber einen geschlossenen Integrationsweg stets Null. Das zeigt sofort $\int_{\gamma} z^n \diff z =0$ f"ur $n\neq -1$ und jeden geschlossenen Integrationsweg $\gamma$ in der komplexen Zahlenebene. Im Fall $n=-1$ kann dies Argument so nicht angewandt werden, da die Funktion $1/z$ keine auf ganz $\DC^\times$ definierte Stammfunktion besitzt. Definieren wir aber $\op{log}:\Bbb{C} \backslash \Bbb{R}_{\leq 0} \ra \DC$ als Umkehrung von $\op{exp} : \Bbb{R} \times (-\pi,\pi) {\op{i}} \sira \Bbb{C} \backslash \Bbb{R}_{\leq 0}$, so ist $\op{log}$ nach \ref{cAUc} stetig komplex differenzierbar mit Ableitung $1/z$, und integrieren wir f"ur $\varepsilon >0$ die Funktion $1/z$ "uber einen Integrationsweg von $-1-{\op{i}}\varepsilon$ bis $-1+{\op{i}}\varepsilon$ durch die geschlitzte Zahlenebene $\Bbb{C} \backslash \Bbb{R}_{\leq 0}$, so ergibt sich $\op{log}(-1+{\op{i}}\varepsilon)- \op{log}(-1-{\op{i}}\varepsilon)$ und das strebt f"ur $\varepsilon\acts 0$ gegen $2\pi{\op{i}}$. So finden wir \begin{displaymath} \int_{\gamma} z^{-1} \diff z = 2\pi {\op{i}} \end{displaymath} f"ur jeden geschlossenen Integrationsweg, der an einem Punkt der negativen reellen Zahlengeraden beginnt und endet, der sonst $\DR_{\leq 0}$ nicht trifft, und der \glqq nach unten losgeht und von oben ankommt\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktionen mit komplexer Ableitung Null}] Wir geben noch ein alternatives Argument f"ur "Ubung \ref{AlN}, nach der eine holomorphe Funktion mit zusammenh"angendem Definitionsbereich, deren Ableitung\label{EdSt} identisch verschwindet, konstant sein mu"s. Nach \ref{ZSWZiF} lassen sich ja je zwei Punkte des Definitionsbereichs durch einen Integrationsweg verbinden. Nach \ref{WIS} hat also unsere Funktion an je zwei Punkten denselben Wert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{St"uckweises Integrieren}]\label{Stc} Ist $\gamma:[a,b]\ra \DC$ ein Integrationsweg und $f$ eine auf seinem Bild definierte stetige komplexwertige Funktion, so gilt f"ur alle $c\in(a,b)$ offensichtlich oder genauer nach \ref{FIV} die Identit"at $$\int_\gamma f(z)\diff z=\int_{\gamma|[a,c]} f(z)\diff z + \int_{\gamma|[c,b]} f(z)\diff z$$ \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Unabh"angigkeit von der Parametrisierung}] Seien $U\co\DC$ offen, $\gamma : [a,b]\ra U$ ein stetig differenzierbarer Weg und $f : U \ra \DC$ stetig.\label{UPc} Ist $t : [c,d] \ra [a,b]$ stetig differenzierbar mit $t (c) =a$ und $t (d) =b$, so gilt $$\int_{\gamma \circ t} f(z)\diff z = \int_{\gamma}f(z)\diff z$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl}\label{UKP} Kehrt hier alternativ unsere Reparametrisierung die Richtung um, gilt also $t (c) =b$ und $t (d) =a$, so "andert unter unserer Reparametrisierung das Integral sein Vorzeichen. Die Proposition ist im "ubrigen eine Variante des Satzes "uber die Unabh"angigkeit von der Parametrisierung von Wegintegralen im Reellen \eref{UP}{AN2} wird auch im wesentlichen genauso bewiesen. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/umpintweg.mp4}{Hier ist ein Film \"uber das Umparametrisieren und Integrationswege.} \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir beachten $(\gamma \circ t)'(\tau)= \gamma'(t(\tau))t'(\tau)$ nach der komplex-reellen Kettenregel, k"onnen unsere Behauptung demnach ausschreiben zur Behauptung $$\int^{c}_{d} f(\gamma(t(\tau))) \gamma'(t(\tau)) t'(\tau)\diff \tau =\int^{t(c)}_{t(d)} f(\gamma(t)) {\gamma}'(t) \diff t$$ und diese Gleichung folgt aus der Substitutionsregel \eref{IdS}{AN1}, angewandt auf Real- und Imagin"arteil, oder eleganter aus der Substitutionsregel \ref{FIdSB} f"ur vektorwertige Funktionen. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Existenz von Stammfunktionen}] Eine stetige komplexwertige Funktion auf einer offenen Teilmenge der komplexen Zahlenebene besitzt eine Stammfunktion\label{FFh} genau dann, wenn ihr Wegintegral "uber jeden geschlossenen Integrationsweg in unserer offenen Teilmenge verschwindet. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/wegstamm.mp4}{Hier ist ein Film \"uber Wegintegral und komplexe Stammfunktionen.} Besitzt unsere Funktion eine Stammfunktion, so verschwinden alle Wegintegrale "uber geschlossene Integrationswege nach \ref{WIS}. Um die Gegenrichtung zu zeigen vereinbaren wir die Notation $f:\DC\lco U\ra\DC$ f"ur unsere Funktion und bemerken wir zun"achst, da"s wenn das Wegintegral "uber geschlossene Wege Null ist, da"s dann f"ur je zwei Punkte $p,w\in U$ und je zwei Wege $\gamma,\beta$ in $U$ von $p$ nach $w$ gilt $\int_\gamma f(z)\diff z=\int_\beta f(z)\diff z$. In der Tat k"onnen wir $\gamma$ so richtungsumkehrend umparametrisieren zu einem Weg $\bar\gamma$, da"s das Definitionsintervall von $\beta$ da aufh"ort, wo das Definitionsintervall von $\bar\gamma$ anf"angt, und dann ist der zusammengesetzte Weg $\bar \gamma*\beta$ ein geschlossener Integrationsweg und nach Annahme gilt $$0=\int_{\bar \gamma*\beta}f(z)\diff z=\int_{\beta}f(z)\diff z+ \int_{\bar \gamma}f(z)\diff z=\int_{\beta}f(z)\diff z - \int_{\gamma}f(z)\diff z$$ Weiter d"urfen wir, da nach \eref{WZSS}{AN2} die Wegzusammenhangskomponenten einer offenen Teilmenge der komplexen Zahlenebene auch selbst offen sind, ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit unsere offene Teilmenge $U \co \Bbb{C}$ zusammenh"angend annehmen. Dann w"ahlen wir $p \in U$ fest und betrachten die Funktion \begin{displaymath} \begin{array}{rccl} F :& U &\rightarrow &\Bbb{C}\\ &w & \mapsto & \int_{\gamma_w} f(z) \diff z \end{array} \end{displaymath} f"ur $\gamma_w$ einen beliebigen Integrationsweg von $p$ nach $w$, den es nach \ref{ZSWZiF} geben mu"s und von dessen Wahl unser Wegintegral nach Annahme ja nicht abh"angt. F"ur kleines $h \in \Bbb{C}$ k"onnen wir dann $F(w +h)$ berechnen, indem wir an den Weg $\gamma_{w}$ noch das Geradensegment $[w,w +h]$ anh"angen. F"ur kleines $h \in \Bbb{C}$ gilt damit \begin{displaymath} F (w + h) - F (w) = \int^{1}_{0} f (w + \tau h) h \diff\tau \end{displaymath} Teilen wir durch $h$, so erhalten wir $\int^{1}_{0} f (w + \tau h) \diff\tau$, und das strebt gegen $f(w)$ f"ur $h\ra 0$. Genauer haben wir $|f(w)-\int^{1}_{0} f (w + \tau h) \diff\tau|=|\int^{1}_{0} f(w)-f (w + \tau h) \diff\tau|\leq \sup_{0\leq \tau \leq 1} |f(w)-f (w + \tau h)|\ra 0$ f"ur $h\ra 0$ aufgrund der Stetigkeit von $f$ an der Stelle $w$. Folglich ist $F$ eine Stammfunktion unserer stetigen Funktion $f$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Unter einem \defind{Rechteck} oder genauer einem \defnoind{achsenparallelen Rechteck}\index{achsenparalleles Rechteck} verstehen wir eine Teilmenge $Q\subset \DR^2$, die das Produkt von zwei kompakten reellen mehrpunktigen Intervallen ist. Unter dem \defind{Randweg} $\partial\vec{Q}$ eines Rechtecks $Q$ verstehen wir den geschlossenen Weg, der von der unteren linken Ecke ausgehend \glqq einmal im Gegenuhrzeigersinn auf dem Rand unseres Rechtecks uml"auft\grqq, sagen wir mit konstanter Geschwindigkeit Eins auf jeder Kante. Hier vom \glqq Gegenuhrzeigersinn\grqq\ zu sprechen, appelliert an unsere Anschauung und die "ubliche Identifikation des $\DR^2$ mit der Papierebene gem"a"s der Vereinbarung \glqq $x$-Achse nach rechts, $y$-Achse nach oben\grqq\ und ist keine sehr mathematische Formulierung, aber ich hoffe, da"s dem Leser umso genauer klar ist, welcher Weg gemeint ist. Der Pfeil "uber dem $Q$ soll daran erinnern, da"s es uns bei diesem Randweg auf die Richtung ankommt. Unter dem \defind{Randintegral} einer stetigen komplexwertigen Funktion in Bezug auf ein Rechteck verstehen wir ihr komplexes Wegintegral "uber diesen Randweg. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Diese Notation ist mit unserer Notation aus \eref{OrM}{AN2} vertr"aglich in dem Sinne, da"s beide Notationen Spezialisierungen aus dem noch allgemeineren Rahmen der Integration von Differentialformen "uber orientierte Fastfaltigkeiten sind. Versehen wir genauer $\DC$ mit der durch unsere "ubliche Identifikation $\DR^2\sira \DC$ gegebenen Orientierung, so meint $\vec{Q}$ das Rechteck mit seiner induzierten Orientierung und unter $\partial\vec{Q}$ ist der Rand von $Q$ mit seiner induzierten Orientierung im Sinne von \eref{RandE}{AN2}. Das ist dann zwar recht eigentlich kein Weg, sondern vielmehr eine orientierte $1$-Fastfaltigkeit, aber das Integral der komplexwertigen $1$-Form $f(z)\diff z$ im Sinne von \ref{IneFF} "uber diese $1$-Fastfaltigkeit f"allt zusammen mit dem hier definierten komplexen Wegintegral. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma}[\textbf{Stammfunktionen auf offenen Kreisscheiben}] Eine stetige komplexwertige Funktion auf einer offenen Kreisscheibe in der komplexen Zahlenebene besitzt auf besagter Kreisscheibe eine Stammfunktion genau dann, wenn\label{UKHo} f"ur jedes in unserer Kreisscheibe enthaltene achsenparallele Rechteck das Rand\-integral verschwindet. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Diese Variante des Satzes "uber die Stammfunktion werden wir beim Beweis des Integralsatzes von Cauchy \ref{ISC} und beim Beweis des Satzes von Morera \ref{Mor} brauchen. Unter einem achsenparallelen Rechteck verstehen wir hier und im Folgenden ein Rechteck, dessen Kanten parallel sind zu den Koordinatenachsen oder in unserem Falle zur reellen beziehungsweise imagin"aren Achse. \end{Bemerkungl}\begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildITW} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die beiden Integrationswege, die wir im Beweis von Lemma \ref{UKHo} betrachten, um die Existenz einer Stammfunktion zu zeigen. \end{minipage} \end{figure} \begin{proof} Man variiert das Argument des vorhergehenden Beweises f"ur \ref{FFh} dahingehend, da"s man als Wege $\gamma_w$ nur die beiden Wege nimmt, die l"angs der Kanten eines achsenparallelen Rechtecks mit Ecken $p$ und $w$ von $p$ nach $w$ laufen. Damit erkennt man zwar f"ur die Stammfunktion in spe $F$ zun"achst nur $\frac{\partial F}{\partial x}=f$ und $\frac{\partial F}{\partial y}={\op{i}}f$, da man $F$ nur "uber ganz spezielle Wege erkl"art hat und damit nur seine Ver"anderung auf vertikalen und horizontalen Geraden unmittelbar durch Integrale beschreiben kann, aber nach der Charakterisierung der komplexen Differenzierbarkeit durch die stetige partielle reelle Differenzierbarkeit zusammen mit den Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen \ref{CRD} %oder noch schneller ihrer Version \ref{CRI} folgt daraus bereits $F'=f$. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/stammkr.mp4}{Hier ist ein Film \"uber komplexe Stammfunktionen auf Kreisscheiben.} \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Verwandtschaftsvertr"aglichkeit des komplexen Wegintegrals}] Man zeige: Gegeben $U , V \co \mathbb C$ offen, $\gamma : [a,b] \rightarrow U$ ein In\-te\-gra\-tions\-weg, $\phi : U \rightarrow V$ stetig komplex differenzierbar und $f: V \rightarrow \mathbb C$ stetig gilt\label{FWI} \begin{equation*} \int_\gamma f (\phi (w))\phi^\prime (w) \diff w = \int_{\phi \circ \gamma} f(z) \diff z \end{equation*} Diese Identit"at kann in der in \ref{idz} eingef"uhrten Terminologie verstanden werden als eine Variante f"ur komplexwertige Kovektorfelder unserer Erkenntnis \eref{EEWW}{AN2}, da"s das Weg\-integral Verwandtschaft respektiert. \end{Ubung} \subsection{Homotopie von Wegen \sose{(12.5)}}\label{cWeHo} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an die in \eref{Weg}{AN2} eingef"uhrte Terminologie. Eine stetige Abbildung von einem mehrpunktigen reellen Intervall in einen topologischen Raum $X$ hei"st ein {\bf Weg}\index{Weg} in unserem Raum. Im folgenden mag man sich je nach Vorkenntnissen statt einem allgemeinen topologischen Raum $X$ auch eine Teilmenge der komplexen Zahlenebene denken. Ist das Definitionsintervall kompakt, sprechen wir von einem {\bf kompakten Weg}\index{Weg!kompakter}. Ist das Definitionsintervall das Einheitsintervall $[0,1]$, sprechen wir von einem {\bf normierten Weg}\index{Weg!normierter}. Oft lassen wir diese Zus"atze aber auch weg und hoffen, da"s aus dem Kontext hervorgeht, was genau jeweils gemeint ist. Zu jedem kompakten Weg $\gamma:[a,b]\ra X$ bilden wir den zugeh"origen normierten Weg $\hat{\gamma}:[0,1]\ra X$ durch $\hat{\gamma}:t\mapsto \gamma ((1-t)a+tb)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern im folgenden an Homotopie von Wegen und zusammenziehbare Wege, wie sie in \eref{DHWc}{AN2} und \eref{zzhk}{AN2} eingef"uhrt wurden. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/homotopdef.mp4}{Hier ist ein Film \"uber Homotopie von Wegen.} \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{cDHWc} Seien $x,y$ Punkte eines topologischen Raums $X$. Zwei normierte Wege $\al,\beta$ von $x$ nach $y$ hei"sen \defnoind{homotop}\index{homotop!Wege} oder pr"aziser \defnoind{homotop in $X$} oder ganz pedantisch \defnoind{homotop in $X$ mit festen Endpunkten}\index{homotop!mit festen Endpunkten} und wir schreiben $\al\simeq\beta$, wenn es eine stetige Abbildung $$h:[0,1]^2\ra X$$ des Einheitsquadrats in unseren Raum gibt, die auf der Unter- beziehungsweise Oberkante unseres Quadrats mit $\al$ beziehungsweise $\beta$ "ubereinstimmt und die auf der Vorder- und der Hinterkante konstant ist. In Formeln ausgedr"uckt fordern wir also $ h (t,0) = \al (t)$ und $ h (t,1) = \beta (t) $ f"ur alle $ t \in [0,1]$ sowie $ h(0,\tau)=x$ und $h(1,\tau)=y$ f"ur alle $ \tau \in [0,1].$ Wir sagen dann auch, $h$ sei eine {\bf Homotopie\index{Homotopie!von Wegen} zwischen $\al$ und $\beta$} und schreiben $h:\al\simeq\beta.$\index{)8@$\simeq$ homotop} Zwei beliebige Wege von $x$ nach $y$ nennen wir \defind{homotop}, wenn die zugeh"origen normierten Wege homotop sind. \end{Definition} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildhom} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Eine Homotopie zwischen zwei Wegen, in diesem Fall zwischen den beiden Randwegen unserer Banane. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} Vielleicht anschaulicher kann man Homotopie von normierten Wegen auch dahingehend interpretieren, da"s es eine durch $\tau\in [0,1]$ parametrisierte Familie von normierten Wegen $h_\tau$ von $x$ nach $y$ geben soll derart, da"s gilt $h_0=\alpha,$ $h_1=\beta$ und da"s unsere Familie stetig von $\tau$ abh"angt in dem Sinne, da"s die Abbildung $[0,1]^2\ra X,$ $(t,\tau)\mapsto h_\tau(t)$ stetig ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{cKonvexc} F"ur eine konvexe Teilmenge $K$ eines endlichdimensionalen reellen Raums und zwei beliebige Punkte $x,y \in K$ sind je zwei Wege $\al,\beta$ von $x$ nach $y$ homotop in $K$. Sind unsere Wege normiert, so kann man eine Homotopie explizit angeben vermittels $h(t,\tau) \pdef(1-\tau) \al (t) + \tau\beta (t).$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} [\textbf{Vorw"artsverwandte homotoper Wege sind homotop}] Ist genauer und in Formeln $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung topologischer R"aume, so folgt aus $h:\al\simeq\beta$ schon $f\circ h:f\circ \al\simeq f\circ \beta.$\label{cBHc} Speziell ist jeder Weg homotop zu allen seinen Umparametrisierungen, denn nach \ref{cKonvexc} sind je zwei Wege in $K\pdef [a,b]$ mit denselben Anfangs- und Endpunkten homotop, also je zwei von $a$ nach $b$, und damit gilt dasselbe f"ur ihre Verkn"upfung mit einer beliebigen stetigen Abbildung $\gamma:[a,b]\ra Y.$ \end{Bemerkungl}\begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildRZsh} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Ein zusammenziehbarer und ein nicht zusammenziehbarer geschlossener Weg in Komplement des durch ein Kreuzchen markierten Punktes in der Papierebene \end{minipage} \end{figure} \begin{Definition}\label{czzhk} Ein Weg in einem topologischen Raum hei"st {\bf geschlossen}\index{Weg!geschlossener}, wenn sein Anfangs- und Endpunkt zusammenfallen. Ein Weg in einem topologischen Raum hei"st \defnoind{zusammenziehbar},\index{Weg!zusammenziehbarer} wenn\index{zusammenziehbar!geschlossener Weg} er homotop ist zu einem konstanten Weg. Per definitionem ist also jeder zusammenziehbare Weg geschlossen. Ein topologischer Raum hei"st \defind{schleifenf"ullend}, wenn darin jeder geschlossene Weg zusammenziehbar ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In der Literatur nennt man wegzusammenh"angende schleifenf"ullende R"aume \glqq einfach zusammenh"angend\grqq\ und bei mir ausf"uhrlicher \glqq einfach wegzusammenh"angend\grqq. Ich halte es n"amlich f"ur inkonsequent, erst die Unterscheidung zwischen \glqq wegzusammenh"angend\grqq\ und \glqq zusammenh"angend\grqq\ herauszuarbeiten und sie dann in der vergleichbaren Situation von einfachem Zusammenhang unter den Teppich zu kehren. In \eref{EfZ}{TF} erkl"aren wir \glqq einfach zusammenh"angende\grqq\ topologische R"aume als Synonym f"ur \glqq "uberlagerungstriviale\grqq\ R"aume alias nichtleere R"aume, deren "Uberlagerungen s"amtlich trivial sind, und zeigen, da"s offene Teilmengen der komplexen Zahlenebene genau dann einfach zusammenh"angend alias "uberlagerungstrivial sind, wenn sie im Sinne von \ref{czzhk} einfach wegzusammenh"angend alias wegzusammenh"angend und schleifenf"ullend sind. In der Funktionentheorie sind wir deshalb in der gl"ucklichen Lage, da"s uns diese Begriffsverwirrung nicht eigentlich betrifft. Relevante Ph"anomene sind aber nicht weit: Lassen wir eine "uberlagerungstriviale abgeschlossene Teilmenge aus der komplexen Zahlenebene weg, so ist das Komplement nach \eref{kez}{TG} zusammenh"angend. Lassen wir dahingegen eine wegzusammenh"angende schleifenf"ullende abgeschlossene Teilmenge aus der komplexen Zahlenebene weg, so mu"s das Komplement keineswegs zusammenh"angend sein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} \nichtfinal{Sollte schleifenf"ullend sagen!} Im Rahmen der Funktionentheorie betrachten wir einfachen Zusammenhang nur f"ur offene Teilmengen der komplexen Zahlenebene. Wir vereinfachen deshalb unsere Terminologie und sagen in diesem Kontext statt \glqq einfach wegzusammenh"angend\grqq\ schlicht {\bf einfach zusammenh"angend},\index{einfach zusammenh"angend!in Funktionentheorie} obwohl wir weder den Begriff des topologischen einfachen Zusammenhangs eingef"uhrt haben, noch seine "Aquivalenz zum einfachen Wegzusammenhang im Fall offener Teilmengen der komplexen Zahlenebene. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/einfachzus.mp4}{Hier ist ein Film \"uber einfachen Zusammenhang.} \nichtfinal{Neue Terminologie beachten, schleifenf"ullend und "uberlagerungstrivial!} \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{cHAQ} Homotopie ist eine "Aquivalenzrelation auf der Menge aller Wege zwischen zwei fest vorgegebenen Punkten. Hinweis: \eref{AbgSM}{AN1}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{cHOWW} Ein Raum ist schleifenf"ullend genau dann, wenn je zwei Wege mit demselben Anfangs- und demselben Endpunkt darin homotop sind. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{cPAPr} Jeder Weg in einer offenen Teilmenge eines normierten reellen Vektorraums ist in besagter offener Teilmenge homotop zu einem st"uckweise linearen Weg. Hinweis: \eref{WZST}{AN2}. \end{Ubunge} \subsection{Integralsatz von Cauchy \sose{(17\&19.5)}} \begin{Satz}[\textbf{Integralsatz von Cauchy}] Das komplexe Wegintegral einer holomorphen Funktion\label{ISC} l"angs eines in ihrem Definitionsbereich zusammenziehbaren Integrationsweges ist stets Null. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/cauchy.mp4}{Hier ist ein Film \"uber den Integralsatz von Cauchy.} \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Formal gesehen gilt Vergleichbares auch im Reellen: Das Wegintegral einer stetigen Einsform auf einer offenen Teilmenge der Zahlengeraden l"angs eines geschlossenen Integrationsweges ist stets Null. In diesem Fall m"ussen wir noch nicht einmal die Zusammenziehbarkeit fordern, sie ist stets gegeben. Vom h"oheren Standpunkt ist sogar der Beweis fast derselbe: In beiden F"allen wird "uber eine Einsform integriert, die aus Dimensionsgr"unden geschlossen ist. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Struktur des Beweises des Integralsatzes von Cauchy}] \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/cauchybeweis.mp4}{Hier ist ein Film \"uber den Beweis des Integralsatzes von Cauchy.} Ist $f:\DC \lco U\ra \Bbb{C}$ holomorph und $\gamma : [a,b] \ra U$ ein in $U$ zusammenziehbarer geschlossener Integrationsweg, so behauptet der Integralsatz von Cauchy in Formeln \begin{displaymath} \int_{\gamma} f(z) \diff z =0 \end{displaymath} Wir werden diesen Satz in \ref{HiWC} aus einem noch allgemeineren Satz \ref{HiW} folgern, bei dem sogar beliebige stetige, nicht notwendig st"uckweise stetig differenzierbare Wege zugelassen werden. Wir f"uhren den Beweis in einer Art Kaminkletterei. Zun"achst zeigen wir in \ref{InRew} das Verschwinden des Randintegrals einer holomorphen Funktion f"ur jedes ganz in ihrem Definitionsbereich liegende achsenparallele Rechteck. Daraus folgern wir mit \ref{UKHo}, da"s jede holomorphe Funktion auf einer offenen Kreisscheibe dort auch eine Stammfunktion besitzt. Mithilfe dieser Erkenntnis erkl"aren wir in \ref{WilbW} f"ur holomorphe Funktionen das Wegintegral l"angs beliebiger stetiger nicht notwendig st"uckweise stetig differenzierbarer Wege. Dann zeigen wir sogar in dieser Allgemeinheit die Ho\-mo\-to\-pie\-in\-va\-ri\-anz \ref{HiW} des Wegintegrals. Den Cauchy'schen Integralsatz erhalten wir schlie"slich in \ref{HiWC} aus der Homotopieinvarianz. Der Cauchy'sche Integralsatz ist im "ubrigen selbst der Beginn einer noch gr"o"seren Kaminkletterei. Sie wird uns schlie"slich zum Residuensatz \ref{ReSa} f"uhren, der den Cauchy'schen Integralsatz und viele weitere auf dem Weg dorthin bewiesene S"atze als Spezialf"alle enth"alt. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Integralsatz f"ur Rechtecke}] Gegeben eine holomorphe Funktion und ein\label{InRew} achsenparalleles Rechteck, dessen ganze Fl"ache mitsamt ihrem Rand im Definitionsbereich unserer Funktion liegt, verschwindet das komplexe Wegintegral unserer Funktion "uber den Rand unseres Rechtecks. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Dies Lemma kann f"ur stetig komplex differenzierbare Funktionen mithilfe der in \ref{BWR} Beziehung zum reellen Wegintegral ohne M"uhe aus dem Verschwinden des Wegintegrals geschlossener stetig differenzierbarer Kovektorfelder "uber zusammenziehbare Integrationswege \eref{roPP}{AN2} gefolgert werden. Wir wollen es jedoch unter anderem benutzen, um zu zeigen, da"s die Ableitung einer holomorphen Funktion stets stetig sein mu"s. Deshalb sowie der logischen Vollst"andigkeit halber geben wir hier auch noch einen eigenst"andigen Beweis. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildReW} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Das Randintegral des grossen Rechtecks ist die Summe der Randintegrale der vier kleinen Rechtecke \end{minipage} \end{figure} \begin{proof} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/cauchyre.mp4}{Hier ist ein Film \"uber den Beweis Integralsatzes f\"ur Rechteckswege.} Bezeichne $Q_{0}$ unser Rechteck und $I_0$ sein Randintegral, genauer das Wegintegral eines Integrationsweges, der seinen Rand im Gegenuhrzeigersinn mit konstanter absoluter Geschwindigkeit durchl"auft. Unterteilen wir unser Rechteck $Q_0$ in vier gleichgro"se Teilrechtecke, so wird $I_0$ die Summe der entsprechenden Randintegrale f"ur diese vier Teilrechtecke und es gibt unter diesen notwendig ein Teilrechteck $Q_1$ derart, da"s f"ur das zugeh"orige Randintegral $I_1$ gilt \begin{displaymath} |I_0| \leq 4 |I_1| \end{displaymath} Indem wir so weitermachen, finden wir eine absteigende Folge $Q_0\supset Q_1\supset \ldots$ von Rechtecken $Q_n$ mit Umfang $2^{-n} a$ f"ur konstantes $a$ derart, da"s f"ur die zugeh"origen Randintegrale $I_n$ gilt \begin{displaymath} |I_0|\leq 2^{2n}|I_n| \end{displaymath} Nun ist aber mit doppelter Anwendung des Intervallschachtelungsprinzips \eref{ISP}{AN1} oder auch nach "Ubung \eref{Skoa}{AN2} zu nichtleeren Schnitten in Kompakta der Schnitt aller dieser Rechtecke $Q_n$ nicht leer und besteht genauer aus einem einzigen Punkt $p$. Bezeichnet $f$ unsere holomorphe Funktion, so k"onnen wir andererseits nach \ref{abkh} schreiben \begin{displaymath} f(z) = f(p) + (z -p) f^{\prime}(p) + (z-p) \varepsilon (z -p) \end{displaymath} f"ur eine stetige Funktion $\varepsilon$ mit $\varepsilon (0) =0$. Da der lineare Anteil eine Stammfunktion besitzt, tr"agt er nach \ref{WIS} zum Randintegral $I_n $ nichts bei und wir finden \begin{displaymath} I_n = \int_{\gamma} (z-p) \varepsilon (z-p) \diff z \end{displaymath} f"ur $\gamma$ den Randweg um $Q_n$. Bezeichnet $d$ die L"ange der Diagonale von $Q_0$, so gilt $|z-p| \leq 2^{-n} d$ f"ur alle $z \in Q_n$ und wir k"onnen unser Integral mit \ref{ABWe} absch"atzen durch \begin{displaymath} |I_n| \leq (2^{-n} a) (2^{-n} d) \sup_{z \in Q_n} |\varepsilon (z -p)| \end{displaymath} Daraus folgt $\op{lim}_{n \ra \infty} 2^{2n} |I_n| =0$ und damit dann auch $I_0=0$. Das zeigt den Integralsatz von Cauchy im Fall, da"s unser Weg der Randweg eines im Definitionsbereich unserer Funktion enthaltenen Rechtecks ist. \end{proof} \begin{Lemma}\label{ExStO} Eine holomorphe Funktion auf einer offenen Kreisscheibe besitzt dort stets eine Stammfunktion. \end{Lemma} \begin{Bemerkungw} In \ref{ESta} werden wir aus dem Integralsatz von Cauchy allgemeiner ableiten, da"s jede holomorphe Funktion mit schleifenf"ullendem Definitionsbereich eine Stammfunktion besitzt. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Das eben gezeigte Verschwinden des Randintegrals f"ur alle Rechtecke \ref{InRew} ist genau die hinreichende Bedingung aus Lemma \ref{UKHo} f"ur die Existenz einer Stammfunktion auf offenen Kreisscheiben. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Wegintegrale holomorpher Funktionen l"angs beliebiger Wege}] F"ur\index{Wegintegral!komplexes, l"angs beliebigem Weg} eine holomorphe Funktion $f$ und einen beliebigen Weg $\gamma:[a,b]\ra\DC$\label{WilbW} in ihrem Definitionsbereich erkl"aren wir das komplexe Wegintegral, indem wir erst eine Unterteilung $a=a_00$ derart, da"s f"ur jedes $x\in [0,1]^2$ der Ball ${\op{B}}(x;\varepsilon)$ bereits ganz in einem dieser Urbilder liegt. Bezeichnet nun $\rho_{i,j}$ die Randwege unserer Schachfelder, so verschwindet das Wegintegral "uber jeden der Wege $h\circ\rho_{i,j}$, da unsere Funktion auf Kreisscheiben ja nach \ref{ExStO} jeweils eine Stammfunktion hat. Die Summe der Wegintegrale "uber die $h\circ\rho_{i,j}$ ist aber offensichtlich gerade die Differenz der Wegintegrale "uber unsere beiden urspr"unglichen homotopen Wege. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Alternativ mag man auch wie beim Beweis von \eref{roPP}{AN2} vorgehen. Das hat den Vorteil, da"s wir keine Integrale "uber allgemeine stetige Wege zu diskutieren brauchen, aber daf"ur braucht die Argumentation einen zus"atzlichen Schritt: Wir gehen erst von unseren urspr"unglichen Wegen zu approximierenden Polygonz"ugen "uber und betrachten dann statt den m"oglicherweise nicht mehr differenzierbaren \glqq ganz kleinen\grqq\ Wegen $h\circ\rho_{i,j}$ die \glqq ganz kleinen\grqq\ Wege, die zwischen den Bildern unter $h$ der Ecken unserer kleinen Schachfelder gerade verlaufen. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Stammfunktionen holomorpher Funktionen}] Jede holomorphe Funktion mit schleifenf"ullendem Definitionsbereich\label{ESta} besitzt eine Stammfunktion. \end{Proposition} \begin{proof} Nach \ref{FFh} m"ussen wir nur zeigen, da"s das Wegintegral unserer Funktion "uber jeden geschlossenen Integrationsweg verschwindet. Nach Annahme ist aber jeder geschlossene Integrationsweg aus dem Definitionsbereich bereits im Definitionsbereich zusammenziehbar. Damit verschwindet das Wegintegral nach dem Integralsatz von Cauchy \ref{ISC}, den wir ja in \ref{HiWC} mittlerweile bewiesen haben. \end{proof} \begin{Definition} Zwei normierte geschlossene Wege $\alpha,\beta$ in einem metrischen oder allgemeiner topologischen Raum hei"sen \defind{frei homotop},\label{ffhh} wenn es eine durch $\tau\in [0,1]$ parametrisierte Familie geschlossener normierter Wege $\gamma_{\tau}$ gibt mit $\gamma_{0}=\alpha$, $\gamma_{1}=\beta$ und so, da"s $(t,\tau)\mapsto \gamma_{\tau}(t)$ stetig ist auf $[0,1]^2$. Zwei geschlossene Wege hei"sen frei homotop, wenn die zugeh"origen normierten Wege frei homotop sind. \end{Definition} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFrHo} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration einer freien Homotopie zwischen zwei geschlossenen Wegen im Komplement eines Punktes der Ebene \end{minipage} \end{figure} \begin{Satz}[\textbf{Invarianz des Wegintegrals unter freier Homotopie}] Die Weg\-integrale "uber je zwei im Definitionsbereich\label{FrHo} einer holomorphen Funktion frei homotope geschlossene Wege stimmen "uberein. \end{Satz} \begin{proof} Das folgt leicht aus der Homotopieinvarianz des Wegintegrals f"ur holomorphe Funktionen \ref{HiW}. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/cauchyfrei.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die Invarianz des Wegintegrals unter freier Homotopie.} Die Details seien dem Leser zur "Ubung "uberlassen. \end{proof} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Integralsatz von Cauchy f"ur nullhomologe Wege}] Wir gehen aus von der komplexen Zahlenebene $\Bbb{C}$, entfernen daraus zwei Punkte\label{VerAI} $a,b$ und betrachten den Integrationsweg $\gamma$ gegeben durch das nebenstehende Bild. Es ist nicht klar, ob dieser Weg in $\Bbb{C}\backslash\{a,b\}$ zusammenziehbar ist, und in \eref{fkp}{TF} zeigen wir, da"s er es in der Tat nicht ist. Klar ist jedoch, da"s dennoch das Integral jeder auf $\Bbb{C}\backslash\{a,b\}$ holomorphen Funktion l"angs dieses Weges verschwinden mu"s: Zerlegen wir n"amlich unseren Weg in St"ucke, indem wir ihn an den drei Selbstschnittstellen aufschneiden, und setzen diese St"ucke so wieder zu zwei geschlossenen Wegen zusammen, da"s der eine das Gebiet berandet, das von oben an das Mittelkreuz grenzt, und der andere das Gebiet, das von unten an das Mittelkreuz grenzt, so erhalten wir zwei in $\Bbb{C}\backslash\{a,b\}$ zusammenziehbare Wege, "uber die das Wegintegral nach dem Integralsatz von Cauchy \ref{ISC} jeweils verschwinden mu"s. Diesen Trick verwandeln wir im Rahmen der Homologietheorie in eine Methode, vergleiche \eref{WIH1}{TS}. \end{Bemerkungw} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGeWe} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Ein geschlossener nicht zusammenziehbarer Weg im Komplement einer zweielementigen Teilmenge der komplexen Zahlenebene, der dennoch die Eigenschaft hat, da"s jedes Integral einer holomorphen Funktion auf unserem Komplement dar"uber verschwindet. \end{minipage} \end{figure} \begin{Beispiel}\label{aehn} Wir zeigen \begin{displaymath} \int^{\infty}_{-\infty} \frac{\sin x}{x} \diff x = \pi \end{displaymath} in dem Sinne, da"s sowohl $\lim_{r\ra \infty} \int^r_0$ als auch $\lim_{r\ra \infty}\int^0_{-r}$ existieren und ihre Summe den angegebenen Wert hat. Um das zu sehen, bemerken wir zun"achst, da"s der Integrand au"serbalb des Ursprungs mit der Einschr"ankung des Imagin"arteils von $\op{e}^{{\op{i}}z}\! /z$ auf die reelle Achse zusammenf"allt. Dann betrachten wir f"ur $a0$ Integrationswege, die einmal im Gegenuhrzeigersinn um den Rand des Rechtecks mit Ecken $a,b, a+{\op{i}}h, b+ {\op{i}}h$ umlaufen und im Fall $a<00$ folgt so die Existenz des Grenzwerts $\lim_{r\ra \infty} \int^r_a$ aus dem Cauchy-Kriterium \eref{GWQ}{AN1}. Die Existenz des anderen Grenzwerts f"ur $b<0$ in Richtung der negativen reellen Achse $\lim_{r\ra -\infty} \int^b_r$ zeigt man analog. Indem wir nun $-a=b=h$ nehmen und das nach Unendlich streben lassen, ergibt sich f"ur jedes $\varepsilon>0$ andererseits \begin{displaymath} 0 = \int^{-\varepsilon}_{-\infty} \frac{\op{e}^{{\op{i}}x}}{x} \diff x + \int_{\gamma_\varepsilon} \frac{\op{e}^{{\op{i}}z}}{z} \diff z + \int_\varepsilon^{\infty} \frac{\op{e}^{{\op{i}}x}}{x} \diff x \end{displaymath} Durch explizite Rechnung erkennen wir, da"s das Integral "uber den kleinen Halbkreis f"ur $\varepsilon\ra 0$ gegen $-\pi{\op{i}}$ strebt. Jetzt brauchen wir nun noch den Imagin"arteil unserer Gleichung zu nehmen. Nebenbei bemerkt ist $\frac{\sin x}{x}$ Lebesgue'schen Sinne gar nicht auf $\DR$ integrierbar. \end{Beispiel} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildsinx} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Einer der Integrationswege bei der Berechnung von $\int^\infty_{-\infty} \frac{\sin x}{x} \diff x$. \end{minipage} \end{figure} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Vorbereitungen zur Umlaufzahl}] Sei $\gamma$ ein stetiger geschlossener Weg in $\DC$ und $U\co \DC$ das Komplement seines Bildes. Man zeige, da"s die Funktion $u_\gamma:U\ra \DC$ gegeben durch $$u_\gamma(w)=\int_\gamma \frac{\diff z}{z-w}$$ lokal konstant ist, als da hei"st holomorph mit Ableitung Null. In \ref{URE} werden wir sehen, da"s $f$ nur Werte in $2\pi{\op{i}}\DZ$ annimmt, und werden diese Werte als das $2\pi{\op{i}}$-fache der \glqq Umlaufzahl von $\gamma$ um den Punkt $w$\grqq\ verstehen lernen. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s $\int_{-\infty}^\infty {\op{e}}^{(z-x)^2}\diff x$ nicht von $z\in\DC$ abh"angt. Vermittels quadratischer Erg"anzung liefert das einen weiteren Zugang zur Berechnung der Fouriertransformierten der Gau"s'schen Glockenkurve. Man kann auch den umgekehrten Weg gehen. \label{GGAA} \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{ESIn} Das in \ref{WilbW} erkl"arte Wegintegral bleibt in Verallgemeinerung von \ref{UPc} gleich bei beliebiger stetiger Umparametrisierung unseres Weges. Es "andert in Verallgemeinerung von \ref{UKP} sein Vorzeichen bei einer "Anderung der Durchlaufrichtung des Weges, wir d"urfen wie in \ref{Stc} st"uckweise integrieren, und das Integral "uber einen geschlossenen Weg von einer Funktion mit Stammfunktion verschwindet. \end{Ubung} \subsection{Integralsatz von Cauchy durch Topologie*} \begin{Bemerkungl} Die Suche nach einem besseren Verst"andnis grundlegender S"atze der Funktionentheorie und m"oglicher Verallgemeinerungen war eine wesentliche Motivation zur Entwicklung topologischer Methoden wie etwa der "Uberlagerungstheorie oder der Theorie der Garben. Ich will hier einen Zugang zum Beweis des Integralsatzes von Cauchy skizzieren, wie er sich von den Höhen dieser Theoriegeb"aude aus betrachtet im R"uckblick darstellt. Das sprengt den Rahmen der Vorlesung. In gewisser Weise ist der Beweis derselbe, nur werden die meisten Beweisschritte als Folgerungen aus sehr viel allgemeineren S"atzen gesehen, was zu einem besseren Verst"andnis f"uhren mag. Wir gehen dabei davon aus, da"s die Existenz von Stammfunktionen holomorpher Funktionen auf offenen Kreisscheiben \ref{ExStO} bereits bewiesen ist. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{VERLEGEN? \begin{Proposition}[\textbf{Umkehrung stetig differenzierbarer Abbildungen}] Gegeben endlichdimensionale reelle R"aume $X,Y$ ist jede stetig differenzierbare Abbildung $f:X\lco U\ra Y$ mit an jeder Stelle invertierbarem Differential \'etale und jeder stetige Schnitt $s:Y\lco W\ra U$ von $f$ ist stetig differenzierbar mit Differential $\diff_{w} s=(\diff_{s(w)} f)^{-1}$. \end{Proposition} \begin{proof} Der Umkehrsatz der Analysis \eref{UKA}{AN2} sagt unmittelbar, da"s $f$ \'etale ist. Da $U$ Hausdorff ist, mu"s $f$ auch separiert sein. Gegeben $w\in W$ gibt es weiter nach dem Umkehrsatz \eref{UKA}{AN2} eine offene Umgebung $V\co U$ von $s(w)$ mit $f(V)\co W$ und $f:V\ra f(V)$ einem $\mathcal C^1$-Diffeomorphismus. Gegeben $Z\co f(V)$ eine offene zusammenh"angende Umgebung von $w$ sind nun aber $s,f^{-1}:Z\ra V$ zwei stetige Schnitte von $f$ mit demselben Wert bei $w$. Da $f$ \'etale und separiert ist, stimmen sie nach \eref{EvlV}{TF} "uberein. Folglich ist mit $f^{-1}$ auch $s$ stetig differenzierbar auf $Z$ und die Formel f"ur das Differential folgt auch aus dem Umkehrsatz \eref{UKA}{AN2}. \end{proof}} \begin{Proposition}[\textbf{Hochhebungen holomorpher Abbildungen}] Jede holomorphe Abbildung $f:\DC\lco U\ra\DC$ mit nirgends verschwindender Ableitung ist \'etale.\label{UhA} Gegeben $t:\DC\lco V\ra U$ stetig mit $f\circ t$ holomorph ist unter diesen Annahmen auch $t$ selbst bereits holomorph. \end{Proposition} \begin{proof} Nach "Ubung \ref{WIU} ist $f$ offen und nach "Ubung \ref{UHI} besitzt jeder Punkt $p\in U$ eine offene Umgebung $W$, auf der $f$ injektiv ist. Damit ist $f$ \'etale. Nach "Ubung \ref{UHI} ist weiter f"ur eine offene Teilmenge $W\co U$ mit $f|_W$ injektiv auch $(f|_W)^{-1}: f(W)\ra W$ holomorph. Gegeben $v\in V$ finden wir eine offene Umgebung $W\co U$ von $p\pdef t(v)$ mit $f$ injektiv auf $W$. Dann gilt $v\in t^{-1}(W)\co V$ und $(f|_W)^{-1}(f(t(z)))=t(z)$ ist holomorph f"ur alle $z\in t^{-1}(W)$. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Wurzel und Logarithmus von Funktionen}] Auf einer schleifenf"ullenden offenen Teilmenge $V\co \DC$ der komplexen Zahlenebene besitzt jede holomorphe Funktion ohne Nullstelle $t:V\ra\DC^\times$ holomorphe $n$-te Wurzeln f"ur alle $n\in\DZ\backslash 0$ und besitzt sogar einen holomorphen Logarithmus. \end{Korollar} \begin{proof} Unter unseren Annahmen ist jede Komponente von $V$ offen und wegetrivial, also "uberlagerungstrivial nach \eref{WEZo}{TF}. Nach Satz \eref{LEZ}{TF} "uber das Liften bei "uberlagerungstrivialem Definitionsbereich besitzt also jede stetige Funktion $t:V\ra \DC^\times$ stetige Lifts auf die "Uberlagerungen $\DC^\times\ra \DC^\times$ gegeben durch $z\mapsto z^n$ f"ur $n\neq 0$ und auf die "Uberlagerung $\op{exp}:\DC\ra \DC^\times$. Ist hier $t$ holomorph, so auch unsere Lifts nach der Proposition "uber Hochhebungen holomorpher Funktionen \ref{UhA}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Garbe holomorpher Funktionskeime}] Wir betrachten auf der komplexen Zahlenebene $\DC$ die Garbe $\mathcal O$ der holomorphen Funktionen im Sinne von \eref{DefGa}{TG} und ihren \'etalen Raum $\bar{\mathcal O}$ nach \eref{GSc}{TG}. Seine Punkte sind Keime holomorpher Funktionen. Um den Satz von Goursat zu umgehen, betrachten wir zus"atzlich die Garbe $\mathcal O_1$ aller holomorphen Funktionen mit holomorpher Ableitung. Der Satz von Goursat sagt uns sp"ater einmal $\mathcal O_1=\mathcal O$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ableiten als "Uberlagerung}] Das komplexe Ableiten ist ein Garbenhomomorphismus und induziert eine stetige Abbildung $D:\bar{\mathcal O}_1\ra \bar{\mathcal O}$ zwischen den \'etalen R"aumen der jeweiligen Garben. Diese Abbildung ist eine surjektive "Uberlagerung im Sinne von \eref{Defue}{TF}, da wir ja auf offenen Kreisscheiben stets Stammfunktionen finden und da diese eindeutig sind bis auf eine additive Konstante. Insbesondere liefert die \glqq Additionen von Konstanten\grqq\ $(c+): \bar{\mathcal O}_1\ra \bar{\mathcal O}_1$ eine Einbettung von $(\DC,+)$ in die Gruppe der Decktransformationen unserer "Uberlagerung und diese Untergruppe operiert frei und transitiv auf jeder Faser. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Existenz von Stammfunktionen}] Wir folgern die Existenz von Stammfunktionen holomorpher Funktionen $f:U\ra\DC$ mit schleifenf"ullendem Definitionsbereich $U$, die wir in \ref{ESta} bereits auf direktem Wege gezeigt hatten. Unter unseren Annahmen ist n"amlich jede Komponente von $U$ offen und wegetrivial, also "uberlagerungstrivial nach \eref{WEZo}{TF}. Nach Satz \eref{LEZ}{TF} "uber das Liften bei "uberlagerungstrivialem Definitionsbereich besitzt der zu $f$ geh"orige stetige Schnitt $\bar f:U\ra \bar{\mathcal O}$ einen Lift, es gibt also in Formeln ausgedr"uckt $\bar F:U\ra \bar{\mathcal O}_1$ stetig mit $D\circ \bar F=\bar f$. Die zugeh"orige Funktion $F$ ist dann eine Stammfunktion von $f$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Integration durch Wegeliften}] Gegeben $f:\DC\lco U\ra \DC$ holomorph und\label{IdW} ein Integrationsweg $\gamma:[a,b]\ra U$ k"onnen wir den Weg $\bar f\circ \gamma: [a,b]\ra \bar{\mathcal O}$ betrachten. Die M"oglichkeit des Wegeliftens nach \eref{IEZ1}{TF} und \eref{LEZ}{TF} zeigt, da"s es Wege $\tilde\gamma_f: [a,b]\ra \bar{\mathcal O}_1$ gibt mit $D\circ \tilde\gamma_f=\bar f\circ \gamma$. Bezeichnet $A:\bar{\mathcal O}_1\ra\DC$ das Auswerten eines Funktionskeims an seinem Punkt, so zeigen unsere Erkenntnisse zum Integrieren mit Stammfunktionen $$\int_\gamma f(z)\diff z= A(\tilde\gamma_f(b))-A(\tilde\gamma_f(a))$$ zun"achst f"ur den Fall, da"s $\gamma$ stetig differenzierbar ist und in einer ganz in $U$ enthaltetenen Kreisscheibe landet, aber dann durch Zerst"uckeln sogar f"ur einen beliebigen Intgrationsweg $\gamma$. Ist $\gamma$ ein allgemeiner Weg in $U$, so beachten wir, da"s allgemein der Lift eines Weges in eine "Uberlagerung und speziell $\tilde\gamma_f$ durch seinen Ausgangspunkt eindeutig bestimmt ist und da"s sich je zwei m"ogliche Ausgangspunkte durch eine Decktransformation der Gestalt $(c+)$ ineinander "uberf"uhren lassen. Das zeigt, da"s $A(\tilde\gamma_f(b))-A(\tilde\gamma_f(a))$ nicht von der Wahl von $\tilde\gamma_f$ abh"angt. Das war im wesentlichen unsere Definition des Wegintegrals holomorpher Funktionen "uber allgemeine Wege. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Cauchy's Integralsatz durch Liften von Homotopien}] Gegeben $U\co\DC$ und $f:U\ra \DC$ holomorph und Wege $\gamma,\beta:[0,1]\ra U$ und $h:[0,1]^2\ra U$ eine Homotopie ist auch $\bar f\circ h:[0,1]^2\ra \bar{\mathcal O}$ eine Homotopie zwischen $\bar f\circ\gamma$ und $\bar f\circ \beta$ und nach \eref{IEZ2}{TF} und \eref{LEZ}{TF} kann jede derartige Homotopie geliftet werden zu einer Homotopie $\tilde h_f: [0,1]^2\ra \bar{\mathcal O}_1$ zwischen Lifts $\tilde\gamma_f$ und $\tilde \beta_f$ von $\bar f\circ \gamma$ und $\bar f\circ \beta$. Diese Lifts haben dann dieselben Anfangs- und Endpunkte und mit unseren Erkenntnissen \ref{IdW} zur Integration durch Wegeliften folgt unmittelbar $$\int_\gamma f(z)\diff z= A(\tilde\gamma_f(1))-A(\tilde\gamma_f(0))= A(\tilde \beta_f(1))-A(\tilde \beta_f(0))=\int_\beta f(z)\diff z$$ \end{Bemerkungl} \subsection{Bezug zu Wegintegralen im Reellen*}\label{BWR} \begin{Bemerkungl} Dieser Abschnitt ist f"ur das Folgende entbehrlich. Er soll die Notation f"ur komplexe Wegintegrale verst"andlich machen und den Zusammenhang des Satzes von Cauchy mit den S"atzen "uber Wegintegrale in rotationsfreien Vektorfeldern oder besser geschlossenen Kovektorfeldern \eref{roPP}{AN2} erkl"aren. Zun"achst erinnere ich an Wegintegrale vektorwertiger Kovektorfelder nach \eref{IWEE}{AN2}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vektorwertige Kovektorfelder}] Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum, $W$ ein reeller Vektorraum und $A\subset X$ eine Teilmenge. Ein \defnoind{$W$-wertiges Kovektorfeld auf $A$}\index{vektorwertig!Kovektorfeld}\index{Kovektorfeld!vektorwertige} ist eine Abbildung $$\omega : A\ra \op{Hom}_\DR (\vec{X},W)$$ Ein $W$-wertiges Kovektorfeld ordnet also jedem Punkt $p\in A$ eine lineare Abbildung des Richtungsraums $\vec X$ in den zus"atzlich vorgegebenen Vektorraum $W$ zu. Um hier noch Richtungsvektoren $v\in \vec{X}$ einsetzen zu k"onnen, notieren wir vektorwertige Kovektorfelder $p\mapsto \omega_p$, so da"s dann $\omega_p(v)$ ein Vektor aus $W$ wird. Im Fall $W=\DC$ sprechen wir von einem {\bf komplexwertigen Kovektorfeld}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Nachschalten linearer Abbildungen}] Gegeben ein Homomorphismus $L:W\ra V$ von reellen Vektorr"aumen und ein $W$-wertiges Kovektorfeld $\omega$ erhalten wir ein $V$-wertiges Kovektorfeld $L\circ\omega$ durch $(L\circ\omega)_p\pdef L\circ \omega_p$. Ist $M:V\ra Z$ eine weitere lineare Abbildung, so haben wir $M\circ(L\circ\omega)=(M\circ L)\circ\omega$ und nat"urlich gilt auch $\op{id}_W\circ\omega=\omega$. Ist $\omega$ ein komplexwertiges Kovektorfeld und $c:\DC\ra \DC$ die komplexe Konjugation, so verwenden wir die Notation $\bar\omega\pdef c\circ\omega$ und finden $\bar{\bar{\omega}}=\omega$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Nachschalten variabler linearer Abbildungen}] Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum, $W$ ein reeller Vektorraum und $A \co X$ eine Teilmenge. Sei $W$ ein reeller Vektorraum und $\omega:A\ra\op{Hom}_\DR(\vec X, W)$ ein $W$-wertiges Kovektorfeld auf $A$. Gegeben eine Abbildung $L:A\ra \op{Hom}_\DR(W,V)$ erhalten wir ein $V$-wertiges Kovektorfeld $L\circ\omega$ durch $(L\circ\omega)_p\pdef L(p)\circ \omega_p$. Nat"urlich haben wir $M\circ(L\circ\omega)=(M\circ L)\circ\omega$ auch f"ur das iterierte Nachschalten variabler linearer Abbildungen. Als Speziallf"alle erhalten wir das Produkt $f\omega$ eines $W$-wertigen Kovektorfelds $\omega$ mit einer reellwertigen Funktion $f$ und das Produkt $f\omega$ eines komplexwertigen Kovektorfelds $\omega$ mit einer komplexwertigen Funktion $f$ und die Vertr"aglichkeit $\overline{g\omega}=\bar g\bar\omega$ mit der komplexen Konjugation. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Differentiale als Kovektorfelder}] Ist $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum, $W$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $U\subset X$ offen oder allgemeiner halboffen und $f: U \ra W$ differenzierbar, so ist $\diff f$ oder genauer $p\mapsto \diff_p f$ ein $W$-wertiges Kovektorfeld auf $U$. Ist $L:W\ra V$ eine lineare Abbildung in einen weiteren endlichdimensionalen reellen Vektorraum, so haben wir aufgrund der Kettenregel $L \circ \diff_p f=\diff_p (L\circ f)$. Man mag das die {\bf Vetr"aglichkeit des Differentials mit linearen Abbildungen}\label{VDLA} nennen. Sie impliziert formal eine \glqq Komponentenregel\grqq\ und eine \glqq Summenregel\grqq\ in derselben Weise, wie das bei der Integration in \eref{lII}{AN2} ausgef"uhrt wurde. Beide Regeln kann man aber auch ohne diese formale Argumentation leicht einzusehen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} In der Funktionentheorie bezeichnet f"ur $U\co \DC$ meist $z:U\ra\DC$ die Einbettung und $\diff z$ ihr Differential, ein komplexwertiges Kovektorfeld auf $\DC$. Mit $$f(z)\diff z$$ bezeichnet man dann das Produkt dieses komplexwertigen Kovektorfelds mit einer beliebigen komplexwertigen Funktion $f:U\ra\DC$. Ist $g:U\ra \DC$ komplex differenzierbar, so ist $g$ auch reell differenzierbar und quasi per definitionem kann sein Differential durch die komplexe Ableitung beschrieben werden als $$\diff g =g'(z)\diff z$$ \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Wegintegrale vektorwertiger Kovektorfelder}] Sei $\varphi : [a,b]\ra X$ ein stetig differenzierbarer\label{idz} Weg in einem endlichdimensionalen reellen Raum $X$ und sei $\omega : X \ra \op{Hom}_\DR(\vec{X},W)$ ein stetiges Kovektorfeld auf $X$ mit Werten in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $W$. So definieren wir wie in \eref{IWEE}{AN2} einen Vektor $(\int_{\varphi} \omega)\in W$, das {\bf Integral des $W$-wertigen Kovektorfelds $\omega$ l"angs des Weges $\varphi$}, \index{Wegintegral!vektorwertiges} durch die Vorschrift $$\int_{\varphi} \omega = \int^{b}_{a} \omega_{\varphi(t)}\left( {\varphi}'(t)\right) \diff t$$ Auf der rechten Seite ist also f"ur jedes $t$ der Homomorphismus $\omega_{\varphi(t)}:\vec{X}\ra W$ auszuwerten auf dem Geschwindigkeitsvektor ${\varphi}'(t)\in \vec{X}$ und die so entstehende stetige Abbildung $[a,b]\ra W$ ist als vektorwertige Funktion zu integrieren im Sinne von \ref{FIV}. Im "Ubrigen mu"s unser stetiges Kovektorfeld gar nicht auf ganz $X$ definiert sein, wenn es auf $\varphi([a,b])$ definiert ist, reicht v"ollig aus. Zur Anschauung verweise ich auf die Darstellung als Grenzwert von Riemannsummen im Fall reellwertiger Kovektorfelder in \eref{NAA}{AN2}, die sich wortw"ortlich "ubertragen l"a"st. Im Spezialfall $X=W=\DC$ stimmt das auf diese Weise definierte Weg\-in\-te\-gral $\int_{\varphi}f(z)\diff z$ "uberein mit dem Wegintegral gem"a"s der in \ref{DCWe} f"ur diesen Spezialfall explizit gegebenen Definition und erkl"art so insbesondere die f"ur dieses Konzept "ubliche Notation. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Integrale von Kovektorfeldern "uber Fastfaltigkeiten}] "Ahnlich wie in \eref{IiIt}{AN2} f"ur gew"ohnliche Kovektorfelder alias Einsformen erkl"art k"onnen wir auch kompakt getragene Kovektorfelder mit Werten in einem beliebigen endlichdimensionalen reellen Vektorraum und insbesondere mit Werten in $\DC$ integrieren "uber orientierte $1$-Fastfaltigkeiten. Salopp gesprochen liegt das daran, da"s \glqq sich f"ur jede Parametrisierung unserer\label{IneFF} $1$-Fastfaltigkeit durch einen Integrationsweg dasselbe Wegintegral ergibt\grqq. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Geschlossene Kovektorfelder und Integralsatz von Cauchy}] Ist $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $U\co X$ eine offene Teilmenge und $W$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $\omega:U\ra \op{Hom}_\DR(\vec X,W)$ ein stetig differenzierbares $W$-wertiges Kovektorfeld auf $U$, so ist wie in \eref{roPP}{AN2} eine hinreichende und notwendige Bedingung f"ur die Homotopieinvarianz der Wegintegrale zu $\omega$, da"s unser Kovektorfeld geschlossen ist im zu \eref{gesch}{AN2} analogen Sinn, da"s also in Formeln f"ur alle $p\in U$ im Vektorraum $W$ gilt $$(\diff_p \omega)(\vec{v})(\vec{w})= (\diff_p \omega)(\vec{w})(\vec{v})\quad\forall \vec{v},\vec{w}\in \vec{X}$$ Ein komplexwertiges Kovektorfeld der Gestalt $f(z)\diff z$ k"onnen wir umschreiben zu $f(z)\diff z=f(z)(\diff x + {\op{i}}\diff y)$ und geschlossen bedeutet $\partial_yf={\op{i}}\partial_xf$ alias die G"ultigkeit der Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen. F"ur $f$ stetig reell differenzierbar sind also Wegintegrale "uber $f(z)\diff z$ gleich f"ur homotope Integrationswege genau dann, wenn $f$ holomorph ist. Wir erhalten so einen alternativen Beweis f"ur den Integralsatz von Cauchy, allerdings nur unter der st"arkeren Annahme, da"s $f$ nicht nur komplex differenzierbar ist, sondern da"s seine komplexe Ableitung $f'$ zus"atzlich auch noch stetig ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Wirtinger-Ableitung}] In der Funktionentheorie bezeichnet f"ur $U\co \DC$ meist $\bar z\pdef c\circ z:U\ra \DC$ die Einbettung gefolgt von der komplexen Konjugation und $x:U\ra\DR$ den Realteil und $y:U\ra\DR$ den Imagin"arteil. Die Identit"aten $z=x+{\op{i}}y$ und $\bar z=x-{\op{i}}y$ von komplexwertigen Funktionen f"uhren dann aufgrund der Vetr"aglichkeit des Differentials mit linearen Abbildungen \ref{VDLA} im Raum der komplexwertigen Kovektorfelder auf $U$ zu den Identit"aten $$\diff z=\diff x+{\op{i}}\diff y\quad\text{und}\quad\diff \bar z=\diff x-{\op{i}}\diff y.$$ Ist $f : U \ra \Bbb{C}$ reell differenzierbar, so haben wir weiter $$\diff f = \frac{\partial f}{\partial x} \diff x + \frac{\partial f}{\partial y} \diff y$$ f"ur die partiellen Ableitungen\label{DWiAb} zum Koordinatensystem $x,y$ im Sinne von \eref{palok}{AN2}. F"ur eine reell total differenzierbare Funktion $f:U\ra \DC$ erkl"art man zus"atzlich zwei komplexwertige Funktionen auf $A$, ihre {\bf Wirtinger-Ableitungen}\index{Wirtinger-Ableitung} $\partial f=\partial_z f=\frac{\partial f}{\partial z}$ und $ \bar\partial f=\bar\partial_z f=\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}$, durch die Vorschrift $$\diff f = \frac{\partial f}{\partial z} \diff z + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} \diff \bar{z}$$ Die Beziehung dieser Wirtingerableitungen zu den partiellen Ableitungen von eben wird nach dem vorhergehenden gegeben durch die Formeln $$ \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial f}{\partial x} -{\op{i}} \frac{\partial f} {\partial y}\right)\qquad\qquad \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial f}{\partial x} +{\op{i}} \frac{\partial f}{\partial y}\right) $$ Nach den Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen ist also eine stetig partiell differenzierbare Funktion $f:U\ra \DC$ holomorph genau dann, wenn gilt $ \bar{\partial} f =0$, und in diesem Fall ist $\partial f =f'$ ihre komplexe Ableitung. Weiter pr"uft man unschwer $\overline{\partial f}=\bar\partial\bar f$. Die Wirtingerableitungen sind jedoch keine Vektorfelder in Bezug auf lokale Koordinatensysteme im Sinne von \eref{palok}{AN2}. \end{Bemerkungl} \subsubsection{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Rechnen mit Wirtinger-Ableitungen}] Man zeige $\frac{\partial \bar f}{\partial \bar z}=\overline{\frac{\partial f}{\partial z}}$.\label{RWIA} Man zeige weiter f"ur $w=w(z)$ eine reell differenzierbare Funktion von einer offenen Teilmenge von $\DC$ in eine offene Teilmenge von $\DC$, auf der hinwiederum eine reell differenzierbare komplexwertige Funktion $f$ definiert ist, die Identit"aten $$\frac{\partial f}{\partial z}= \frac{\partial f}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial z} + \frac{\partial f}{\partial \bar{w}}\frac{\partial \bar{w}}{\partial z} \qquad\qquad \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}= \frac{\partial f}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial \bar{z}} + \frac{\partial f}{\partial \bar{w}}\frac{\partial \bar{w}}{\partial \bar{z}}$$ Hinweis: Man gehe aus von den Identit"aten $\op{d}(\bar{f})= \overline {\diff f}$ und $\op{d}(f\circ w)= w^\ast (\diff f)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine kompakte zweidimensionale $\mathcal C^2$-Eckfaltigkeit $M\subset \DC$ in der komplexen Zahlenebene mit der von der Standardorientierung von $\DC$ induzierten Orientierung gilt $$2{\op{i}}\int_{\vec M}\diff x\wedge \diff y=\int_{\partial\vec M}\bar z\diff z$$ Salopp gesprochen ist also $2{\op{i}}$ mal die Fl"ache von $M$ das Wegintegral von $\bar z$ einmal im Gegenuhrzeigersinn auf dem Rand von $M$ herumintegriert. Hinweis: \eref{StEck}{AN2}. \end{Ubung} \newpage \section{Lokale Struktur holomorpher Funktionen} \subsection{Cauchy's Integralformel \sose{(31.5)}} \begin{Satz}[\textbf{Cauchy's Integralformel}] Seien $f:\DC\lco U\ra\DC$ holomorph und $K\subset U$ eine ganz in $U$ enthaltene abgeschlossene Kreisscheibe.\label{CaIF} Bezeichne $\partial \vec{K}$ einen Weg, der auf dem Rand unserer Kreisscheibe einmal im Gegenuhrzeigersinn uml"auft. So gilt f"ur alle Punkte $w$ aus dem Inneren unserer Kreisscheibe die Formel \begin{displaymath} f (w) = \frac{1}{2\pi {\op{i}}} \int_{\partial \vec{K}} \frac{f(z)}{z-w} \diff z \end{displaymath} \end{Satz} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildCIS} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die Grundsituation bei Cauchy's Integralformel \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/cauchyformel.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die Cauchyformel.} Beim ersten Hinsehen mag es so scheinen, als ob in dieser Formel die komplexe Zahl ${\op{i}}$ eine ungeb"uhrliche Sonderrolle spielte, denn warum sollte eine der beiden Wurzeln aus $-1$ hier besser sein als die andere? Dieser scheinbare Widerspruch l"ost sich jedoch auf, wenn wir bedenken, da"s es auch von der Wahl einer Wurzel aus $-1$ abh"angt, welchen Weg um eine Kreisscheibe wir als \glqq im Gegenuhrzeigersinn umlaufend\grqq\ bezeichnen. Das ist ja "uberhaupt keine streng mathematische Formulierung und h"angt sowohl von der Konvention der Uhr ab als auch von der Konvention, da"s wir in der Zahlenebene $1$ nach rechts und $\op{i}$ nach oben abtragen. Ist streng mathematisch formuliert $p$ das Zentrum unserer Kreisscheibe und $R$ ihr Radius, so meinen wir in Formeln den Weg $\gamma:[0,1]\ra \DC$ gegeben durch $t\mapsto p+R{\op{e}}^{2\pi{\op{i}}t}$. Die Integralformel von Cauchy wird sich sp"ater als ein Spezialfall des Residuensatzes \ref{ReSa} erweisen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Der Pfeil "uber dem $K$ soll wie in \eref{rPFf}{AN2} die Wahl der Orientierung dieser berandeten Untermannigfaltigkeit von $\DC$ andeuten. Genauer versehen wir den $\DR$-Vektorraum $\DC$ mit der Orientierung, f"ur die $\DR^2\sira\DC$, $(x,y)\mapsto x+{\op{i}}y$ eine positiv orientierte Karte ist. Dann erbt $K$ eine Orientierung als glatt berandete Teilmenge und $\partial K$ schlie"slich wird versehen mit der auf dem Rand induzierten Orientierung. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Nach der Invarianz des Wegintegrals unter freier Homotopie \ref{FrHo} bleibt die rechte Seite unver"andert, wenn wir unseren Weg $\partial \vec{K}$ ersetzen durch den Kreisweg $\gamma_{\varepsilon}$ mit Zentrum in $w$ und beliebigem Radius $\varepsilon>0$, sofern nur besagter Weg ganz in unserer Kreisscheibe verl"auft. Es reicht also zu zeigen \begin{displaymath} f(w) = \lim_{\varepsilon \ra 0} \frac{1}{2\pi {\op{i}}} \int_{\gamma_{\varepsilon}} \frac{f(z)}{z-w} \diff z \end{displaymath} Hier k"onnen wir etwa $\gamma_{\varepsilon}: [0,2 \pi] \ra \Bbb{C}$, $t \mapsto w + \varepsilon \op{e}^{{\op{i}}t} $ nehmen. Die fraglichen Integrale ergeben sich damit zu \begin{displaymath} \frac{1}{2\pi {\op{i}}} \int^{2\pi}_{0} \frac{f(w+\varepsilon \op{e}^{{\op{i}}t})}{\varepsilon \op{e}^{{\op{i}}t}} {\op{i}} \varepsilon \op{e}^{{\op{i}}t} \diff t = \frac{1}{2\pi} \int^{2\pi}_{0} f(w + \varepsilon\op{e}^{{\op{i}}t}) \diff t \end{displaymath} und konvergieren wegen der Stetigkeit von $f$ bei $w$ offensichtlich gegen $f(w)$. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/korrcauchy.mp4}{Hier ist ein Film zu den anschlie\ss enden Folgerungen aus der Cauchyformel.} \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Mittelwerteigenschaft}] Der Wert einer holomorphen Funktion im Zentrum einer beliebigen abgeschlossenen\label{MWEE} Kreisscheibe aus ihrem Definitionsbereich ist der Durchschnitt "uber ihre Funktionswerte auf dem Rand besagter Kreisscheibe. \end{Korollar} \begin{proof} Dieser Satz gibt nur in Worten die Aussage der Integralformel in dem Spezialfall wieder, da"s $w$ das Zentrum der Kreisscheibe ist, wie in den letzten Zeilen des vorhergehenden Beweises bereits ausgef"uhrt wurde. \end{proof} % \begin{proof}[Beweis] % Sonst w"are der Schnitt ihres Bildes mit der % reellen Gerade durch % den Ursprung in Richtung jedes Funktionswerts, % der als Betragsmaximum angenommen wird, nicht % offen. Dann w"are aber auch ihr Bild selbst nicht offen, % und das st"unde im Widerspruch zur Gebietstreue \ref{GeTr}. % \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Goursat}\index{Goursat!Satz von}]\label{Gour} Die Ableitung einer holomorphen Funktion ist auch selbst wieder holomorph. \end{Korollar} \begin{proof} "Ubung \ref{VKd} "uber das komplexe Ableiten unter dem Integral zeigt, da"s die rechte Seite der Cauchy'schen Integralformel \ref{CaIF} beliebig oft komplex nach $w$ abgeleitet werden kann. Das liefert f"ur die h"oheren Ableitungen einer holomorphen Funktion $f$, die auf einer offenen Umgebung einer abgeschlossenen Kreisscheibe $K$ definiert ist, und beliebiges $w\in K\backslash\partial K$ sogar die explizite Darstellung \begin{displaymath} f^{(n)}(w) = \frac{n!}{2\pi {\op{i}}} \int_{\partial \vec{K}} \frac{f(z)\;\;\;}{(z - w)^{n+1}} \diff z\qedhere \end{displaymath} \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Vorbereitung zum lokalen Umkehrsatz}] Jede holomorphe Funktion $\phi:\DC\lco U\ra\DC$ mit nirgends verschwindender Ableitung\label{WIU} hat offenes Bild. \end{Lemma} \begin{Bemerkungw} Sp"ater zeigen wir st"arker, da"s jede nichtkonstante homolorphe Funktion mit zusammenh"angendem Definitionsbereich offenes Bild hat. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis mit reeller Analysis] Wir folgern aus dem Satz von Goursat, da"s $\phi$ reell stetig differenzierbar ist mit "uberall bijektivem Differential, und wenden den Umkehrsatz der reellen Analysis an. \end{proof} \begin{proof}[Beweis innerhalb der Funktionentheorie] Wir gehen in mehreren Schritten vor. \\[2mm]\noindent 1. Gegeben $p\in U$ und ein hinreichend kleiner Kreisweg $\gamma$ um $p$ ist $\phi\circ\gamma$ frei homotop in $\DC$ zu einem Kreisweg um $\phi(p)$. In der Tat haben wir $\phi(p+h)= \phi(p) + h\phi'(p) +h\varepsilon(h)$ mit $\lim_{h\ra 0}\varepsilon(h)=0=\varepsilon(0)$ und das Geradensegement von $[\phi(p) + h\phi'(p),\phi(p+h)]$ kann folglich den Punkt $\phi(p)$ nicht enthalten wenn gilt $|\varepsilon (h)|< |\phi'(p)|$. Ist der Radius $r$ unseres Kreiswegs so klein, da"s gilt $(|h|=r)\RA(|\varepsilon (h)|< |\phi'(p)|)$, so ist folglich $t\mapsto \phi(p+r{\op{e}}^{{\op{i}}t})$ frei homotop in $\DC\backslash \phi(p)$ zu $t\mapsto \phi(p) + r{\op{e}}^{{\op{i}}t}\phi'(p)$ vermittels der Homotopie, die die Punkte mit Parameter $t$ auf beiden Wegen in gerader Linie ineinander "uberf"uhrt, in Formeln $$(t,\tau)\mapsto (1-\tau) \phi(p+r{\op{e}}^{{\op{i}}t})+\tau (\phi(p) + r{\op{e}}^{{\op{i}}t}\phi'(p))$$ \\[2mm]\noindent 2. Aufgrund der Invarianz des Wegintegrals unter freier Homotopie \ref{FrHo} gilt $$2\pi{\op{i}}= \int_{\phi\circ\gamma}(z-\phi(p))^{-1}\diff z$$ \\[2mm]\noindent 3. Aufgrund der Verwandtschaftsvertr"aglichkeit des Wegintegrals \ref{FWI} und unter Verwendung des Satzes von Goursat gilt f"ur alle $q\in\DC$, die nicht im Bild von $\phi\circ\gamma$ liegen, die erste Gleichung der Kette $$\int_{\phi\circ\gamma}(z-q)^{-1}\diff z =\int_{\gamma}(\phi(w)-q)^{-1}\phi'(w)\diff w=0$$ F"ur $q\in \DC\backslash \phi(U)$ folgt mit einer weiteren Anwendung des Satzes von Goursat in Verbindung mit dem Integralsatz von Cauchy oder auch bereits der Existenz von Stammfunktionen holomorpher Funktionen auf offenen Kreisscheiben \ref{ExStO} weiter, da"s das so umgeschriebene Wegintegral verschwindet. Hierf"ur w"urde sogar die Annahme ausreichen, da"s $q$ nicht im Bild unter $\phi$ der abgeschlossenen von $\gamma$ umrundeten Kreisscheibe liegt. \\[2mm]\noindent 4. Die Abbildung $\DC\backslash\op{im}(\phi\circ\gamma)\ra \DC$ gegeben durch $q\mapsto\int_{\phi\circ\gamma}(z-q)^{-1}\diff z$ ist stetig und verschwindet nicht bei $q=\phi(p)$ nach Schritt 2. Also verschwindet sie nicht auf einer ganzen Umgebung von $\phi(p)$, die dann nach Schritt 3 in $\phi(U)$ enthalten sein mu"s. \\[2mm]\noindent 5. F"ur alle $p\in U$ gibt es folglich eine Umgebung von $\phi(p)$, die in $\phi(U)$ enthalten ist. Damit ist $\phi(U)$ offen. \end{proof} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildVUK} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering \nichtfinal{Bild neu malen!} Illustration zum Beweis von \ref{WIU}. Wenn der Punkt $b$ nicht in $f(A)$ l"age, m"u"ste ein Wegintegral verschwinden, das nach der Transformationsformel f"ur Wegintegrale \ref{FWI} nicht verschwindet. \end{minipage} \end{figure} \begin{Satz}[\textbf{Holomorphie von Umkehrfunktionen}] Gegeben eine injektive holomorphe Funktion $\phi:\DC\lco U\hra\DC$\label{UHI} mit nirgends verschwindender Ableitung ist $\phi(U)$ offen und $\phi^{-1}:\phi(U)\ra U$ holomorph. \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Wir werden in \ref{??} zeigen, da"s die Ableitung einer injektiven holomorphen Funktion eh keine Nullstellen haben kann. Diese Bedingung in unserem Satz erweist sich also im R"uckblick als "uberfl"ussig. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Aus \ref{WIU} folgt $\phi(U)\co \DC$. Zus"atzlich folgt, da"s $\phi$ offene Mengen auf offene Mengen abbildet und da"s mithin die Umkehrfunktion $\phi^{-1}:\phi(U)\sira U$ stetig ist. Daraus hinwiederum folgt, da"s auch $\psi\pdef \phi^{-1}$ holomorph ist, denn gibt es eine stetige Funktion ohne Nullstelle $\alpha : W \ra \Bbb{C}$ mit $\phi(z) - \phi(p)= (z-p) \alpha (z)$ und setzen wir hier $z = \psi(w)$, so ist $\beta \pdef 1/(\alpha\circ \psi) :\phi(W) \ra \Bbb{C}$ eine stetige Funktion mit $(w-q)\beta (w)= \psi (w)-\psi(q)$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Lokaler Umkehrsatz f"ur holomorphe Funktionen}] Gegeben eine holomorphe Funktion $\phi:\DC\lco U\ra\DC$\label{UHIl} und $p\in U$ mit $\phi'(p)\neq 0$ gibt es eine offene Umgebung $W$ von $p$ derart, da"s $\phi$ eine Injektion $\phi|_W:W\hra \DC$ induziert. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Insbesondere ist nach \ref{UHI} dann $\phi(W)$ offen und $(\phi|_W)^{-1}:\phi(W)\ra W$ holomorph. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $\phi'=\op{id}$ annehmen. Wir setzen $\psi\pdef \phi-\op{id}$. Da nach dem Satz von Goursat $\phi'$ stetig ist, finden wir $r>0$ mit $W\pdef {\op{B}}(p;r)\subset U$ mit und $|\psi'(z)|=|\phi'(z)- \op{id}|\leq 1/2\;\forall z\in W$. Es folgt $|z-w|-|\phi(z)-\phi(w)|\leq |\psi(z)-\psi(w)|\leq (1/2)|z-w| \;\forall z,w\in W$ und so $(1/2)|z-w|\leq |\phi(z)-\phi(w)|$ und die Injektivit"at von $\phi$ auf $W$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Liouville}\index{Liouville!Satz von}] Jede holomorphe auf der ganzen komplexen Zahlen\-ebene definierte und beschr"ankte\label{Liou} Funktion ist konstant. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Eine auf der ganzen komplexen Zahlenebene definierte holomorphe Funktion hei"st auch eine {\bf ganze Funktion}.\index{ganz!Funktion}\index{Funktion!ganze} Einen alternativen Beweis f"ur den Satz von Liouville geben wir in \ref{LiNN}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Lassen wir bei der Darstellung der Ableitung, also dem Fall $n=1$ der Formeln vom Ende des vorhergehenden Beweises des Satzes von Goursat \ref{Gour} den Radius $R$ unserer Kreisscheibe gegen Unendlich streben, so strebt die L"ange des Integrationsweges linear mit dem Radius gegen Unendlich, das Supremum der zu integrierenden Funktion aber ist f"ur $R > |w|$ betragsm"a"sig beschr"ankt durch eine beliebige obere Schranke von $|f|$ multipliziert mit $(R-|w|)^{-2}$, f"allt also salopp gesprochen quadratisch mit dem Radius. Da unsere Formel hier auch f"ur beliebig gro"se Radien gilt, folgt $f^{\prime} (w) =0$ f"ur alle $w \in \Bbb{C}$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Fundamentalsatz der Algebra}] \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/fundalg.mp4}{Hier ist ein Film zur Herleitung des Fundamentalsatzes der Algebra aus dem Satz von Liouville.} Ich erinnere den an Fundamentalsatz der Algebra \eref{KCAA}{LA1}: Jede Polynomfunktion ohne Nullstelle $P: \Bbb{C} \ra \Bbb{C}$ ist konstant. Wir zeigen das nun mit den Mitteln der Funktionentheorie. Da f"ur jedes Polynom $P$ positiven Grades gilt $\lim_{z\ra\infty}|P(z)|=\infty$, ist f"ur jede Polynomfunktion ohne Nullstelle\label{FSAF} aber $1/P$ eine beschr"ankte holomorphe Funktion. Nach dem Satz von Liouville \ref{Liou} ist dann $1/P$ und folglich auch $P$ konstant. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Morera}]\label{Mor} Eine stetige komplexwertige auf einer offenen Teilmenge der komplexen Zahlenebene definierte Funktion ist holomorph genau dann, wenn f"ur jedes achsenparallele Rechteck, dessen Fl"ache mitsamt ihrem Rand ganz im Definitionsbereich enthalten ist, das Randintegral verschwindet. \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Eine in der Literatur oft bewiesene schw"achere Variante besagt, da"s eine stetige komplexwertige Funktion auf einer offenen Teilmenge der komplexen Zahlenebene holomorph ist genau dann, wenn ihr Wegintegral "uber jeden \glqq Dreiecksrand\grqq\ verschwindet, sobald die ganze \glqq Dreiecksfl"ache\grqq\ im Definitionsbereich unserer Funktion liegt. \end{Bemerkunge} \begin{proof} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/cormor.mp4}{Hier ist ein Film zum Satz von Morera und seinem Korollar.} F"ur holomorphe Funktionen verschwinden diese Integrale nach dem Integralsatz \ref{ISC}. F"ur die Umkehrung d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, unsere Teilmenge sei eine offene Kreisscheibe. Verschwinden dann alle die fraglichen Integrale, so besitzt unsere Funktion nach \ref{UKHo} eine Stammfunktion und ist folglich als Ableitung einer holomorphen Funktion nach dem Satz von Goursat \ref{Gour} selbst holomorph. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Holomorphie durch Stetigkeit}] Ist $f:\DC\lco U \ra \Bbb{C}$ stetig und holomorph auf dem Komplement einer\label{KGho} oder auch endlich vieler reeller affiner Geraden, so ist $f$ bereits holomorph auf ganz $U$. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Salopp gesprochen folgt also aus der komplexen Differenzierbarkeit \glqq bis auf eine Ausnahmemenge der Kodimension Eins\grqq\ zusammen mit der Stetigkeit bereits die komplexe Differenzierbarkeit "uberall. Das steht in scharfem Kontrast zum Fall reeller Funktionen, in dem etwa der Absolutbetrag stetig ist und mit Ausnahme des Ursprungs "uberall differenzierbar, aber dennoch im Ursprung eben nicht differenzierbar ist. Man kann in "ahnlicher Weise sehr viel st"arkere S"atze beweisen. Als "Ubung m"ogen sie zeigen, da"s eine stetige Funktion, die holomorph ist auf dem Komplement einer endlichen Vereinigung eindimensionaler in $U$ abgeschlossener $\cal{C}^1$-Untermannigfaltigkeiten der komplexen Zahlenebene im Sinne von \eref{MFoR}{AN2}, bereits auf ganz $U$ holomorph ist. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSPF} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration zum Beweis von \ref{KGho}. Die reelle Achse in der komplexen Zahlenebene ist als durchgehende Gerade eingezeichnet. \end{minipage} \end{figure} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s unsere Funktion auf dem Komplement einer einzigen reellen Geraden holomorph ist und da"s diese Gerade sogar die reelle Achse ist. Nach \ref{Mor} reicht es nun zu zeigen, da"s f"ur jedes achsenparallele ganz in unserer Teilmenge enthaltene Rechteck das Randintegral verschwindet. Durch entsprechendes Zerschneiden von Rechtecken ziehen wir uns auf den Fall zur"uck, da"s eine Kante unseres Rechtecks auf der reellen Achse liegt. Seien also $a,b,a+h{\op{i}}, b+h{\op{i}}$ mit $a,b,h\in\DR$ und $a0$ und, a priori eventuell mit einem anderen Wert, f"ur $h<0$. Das zeigt, da"s unser Randintegral Null sein mu"s f"ur alle $h$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Maximumsprinzip, schwache Form}] Man zeige: Gegeben eine holomorphe Funktion\label{MaPrs} $f:\DC\lco U\ra\DC$ und ein nichtleeres Kompaktum $K\subset U$ gibt es $p\in K$ derart, da"s keine Kreisscheibe mit Zentrum $p$ ganz in $K$ liegt und da"s gilt $|f(p)|\geq |f(z)|\;\forall z\in K$. Salopp gesprochen nimmt also die Restriktion unserer Funktion auf unser Kompaktum ihr Betragsmaximum stets in einem \glqq Randpunkt\grqq\ unseres Kompaktums an.\index{Maximumsprinzip!schwache Form} Eine noch st"arkere Aussage in dieser Richtung liefert das Maximumsprinzip \ref{MaPr}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Schwarz'sches Spiegelungsprinzip}] Sei $U\co\DC$ offen und stabil unter der komplexen Konjugation. Wir zerlegen $U$ in seinen Schnitt mit der reellen Achse und der oberen und unteren Halbebene in der Form\label{SpSch}\index{Schwarz'sches Spiegelungsprinzip} $$U=U^+\sqcup (U\cap\DR)\sqcup U^-$$ mit $U^\pm\pdef\{z\in U\mid \pm\op{Im}z>0\}$. Man zeige: Ist\index{Spiegelungsprinzip!Funktionentheorie} $f:U^+\sqcup(U\cap\DR)\ra\DC$ stetig, holomorph auf $U^+$ und reellwertig auf $U\cap\DR$, so k"onnen wir $f$ zu einer holomorphen Funktion auf $U$ ausdehnen, indem wir f"ur alle $z\in U^-$ setzen $f(z)=\overline{f(\bar{z})}$. Hinweis: \ref{HAHn} und \ref{KGho}. \end{Ubung} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildScPr} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration zum Schwarz'schen Spiegelungsprinzip \end{minipage} \end{figure} % \begin{Ubung}[\textbf{Schwarz'sches Spiegelungsprinzip}] % Sei $U$ eine offene Teilmenge der abgeschlossenen\label{SpSch} % oberen Halbebene alias der Schnitt\index{Spiegelungsprinzip!Funktionentheorie} % einer offene Teilmenge der komplexen Zahlenebene mit % der\index{Schwarz'sches Spiegelungsprinzip} % abgeschlossenen % oberen Halbebene. % Ist $f:U\ra\DC$ stetig auf $U$, holomorph % auf $U\backslash\DR$ und reellwertig auf $U\cap\DR$, so % k"onnen wir $U$ zu einer holomorphen Funktion % auf $U\cup\bar{U}$ ausdehnen, indem wir f"ur alle $z\in \bar{U}$ % setzen $f(z)=\overline{f(\bar{z})}$. Hier meint $\bar{U}$ das Bild von $U$ % unter der komplexen Konjugation, nicht etwa den Abschlu"s von $U$. % Hinweis: \ref{HAHn} und \ref{KGho}. % \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Integrale "uber Familien holomorpher Funktionen}] Seien $U \co \Bbb{C}$ offen und $f: U\times [a,b]\ra \Bbb{C}$, $(z,t) \mapsto f(z,t)$ stetig. Ist $z\mapsto f(z,t)$ f"ur alle $t\in[a,b]$ holomorph, so ist\label{VKdd} auch die Abbildung $F: z \mapsto \int^{b}_{a} f (z,t) \diff t$ holomorph. Des weiteren ist dann $\frac{\partial f}{\partial z} : U \times [a,b] \ra \Bbb{C}$ stetig und es gilt \begin{displaymath} \frac{\partial F}{\partial z} (w) = \int^{b}_{a} \frac{\partial f}{\partial z} (w,t) \diff t \end{displaymath} Hinweis: Man folgere aus dem Satz von Morera \ref{Mor}, da"s $F$ holomorph ist, und aus der expliziten Formel f"ur die Ableitung aus dem Beweis des Satzes von Goursat \ref{Gour}, da"s $\frac{\partial f}{\partial z}$ stetig ist. Dann kann man "Ubung \ref{VKd} zum holomorphn Ableiten unter dem Integral anwenden. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jede nicht konstante holomorphe Funktion $f:\DC\ra\DC$ hat dichtes Bild. Hinweis: F"ur $w\not\in f(\DC)$ betrachte man die Funktionen $g:z\mapsto 1/(f(z)-w)$. In \ref{BiHol} werden sie st"arker zeigen, da"s dasselbe auch f"ur jede nicht konstante holomorphe Funktion $f:\DC\backslash E\ra\DC$ gilt im Fall einer endlichen Teilmenge $E\subset \DC$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man folgere aus dem Satz von Goursat \ref{Gour}, da"s f"ur jede holomorphe Funktion $f$ die durch $f(x+{\op{i}}y)=u(x,y)+{\op{i}}v(x,y)$ gegebenen reellen Funktionen $u, v$ stetig partiell differenzierbar sind.\label{PDGou} \end{Ubung} \subsection{Potenzreihenentwicklung \sose{(2.6)}} \begin{Bemerkungl}\label{PRC} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/potenzrstetig.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die Konvergenz komplexer Potenzreihen und die Holomorphie der durch sie dargestellten Funktionen.} Einen Ausdruck der Form $\sum^{\infty}_{\nu =0} a_{\nu}z^{\nu}$ mit $a_\nu\in\DC$ im Sinne von \eref{FPR}{LA1} nennen wir eine {\bf komplexe Potenzreihe}\index{Potenzreihe}. Eine Potenzreihe anzugeben bedeutet also nichts anderes, als die Folge ihrer Koeffizienten $a_\nu$ anzugeben. Ist nun $\sum^{\infty}_{\nu =0} a_{\nu}z^{\nu}$ eine komplexe Potenzreihe und konvergiert die Reihe $\sum^{\infty}_{\nu =0} a_{\nu}z^{\nu}$ f"ur ein $z\in\DC$, so konvergiert die Reihe $\sum^{\infty}_{\nu =0} a_{\nu}w^{\nu}$ absolut f"ur alle $w\in\DC$ mit $|w| < |z|$. Der Beweis dieser Tatsache ist identisch zum Beweis der entsprechenden Aussage im Reellen \eref{KR}{AN1}, den wir dort nur deshalb nicht im Komplexen gef"uhrt haben, weil uns die komplexen Zahlen noch nicht zur Verf"ugung standen. Wir erkl"aren den {\bf Konvergenzradius}\index{Konvergenzradius!im Komplexen} $r\in [0,\infty]$ einer Potenzreihe $\sum a_{\nu} z^{\nu}$ wie im Reellen in \eref{KRp}{AN1} durch $$\textstyle r = \sup \{|z| \mid \sum a_{\nu} z^{\nu} \text{ konvergiert} \}$$ und erkennen dabei auch gleich den geometrischen Ursprung der Bezeichnung \glqq Konvergenzradius\grqq, die im Rahmen der reellen Analysis noch recht unmotiviert daherkommt. Genau wie in \eref{PR}{AN1} zeigt man, da"s die Partialsummen einer komplexen Potenzreihe mit Konvergenzradius $r$ gleichm"a"sig konvergieren auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe mit Zentrum im Ursprung und Radius $\rho |w|$, da die rechte Reihe f"ur alle $z$ auf diesem Kreisring majoriert wird durch die konvergente Reihe $ \sum^{\infty}_{\nu =0} \left({|w|}/{\rho}\right)^{\nu}$. Folglich k"onnen wir unsere Summe mit der Integration in der Integralformel von Cauchy vertauschen und erhalten \begin{displaymath} f(w) = \frac{1}{2 \pi {\op{i}}} \sum^{\infty}_{\nu =0} \left(\int_{|z|=\rho} \frac{f(z)}{z^{\nu+1}} \diff z\right) w^{\nu} \end{displaymath} f"ur jedes $w\in K$ und jedes $\rho$ mit $|w|<\rho1$ beschr"ankt bleibt, ein Polynom vom Grad $\leq n$ sein mu"s. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Regel von de l'Hospital}] Gegeben $f,g:\DC\lco U\ra\DC$ holomorphe Funktionen derart, da"s $f$ und $g$ jeweils eine isolierte Nullstelle bei $p\in U$ haben, gilt $$\lim_{z\ra p}\frac{f(z)}{g(z)}=\lim_{z\ra p}\frac{f'(z)}{g'(z)}$$ und, das h"atte formal korrekter davor gesagt werden m"ussen, der eine Grenzwert existiert in $\DC$ genau dann, wenn\label{RvHh} der andere Grenzwert existiert in $\DC$. Hinweis: Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $p=0$. Man schreibe $f(z)=z^n\tilde f(z)$ und $g(z)=z^m\tilde g(z)$ mit $\tilde f(0)\neq 0$ und $\tilde g(0)\neq 0$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Cauchy-Absch"atzung\index{Cauchy-Absch"atzung} f"ur die Koeffizienten einer Potenzreihe}] F"ur alle komplexen Potenzreihen $\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu z^\nu$ und alle $n\geq 0$ und alle nichtnegativen $R$ unterhalb ihres Konvergenzradius\label{KoeffA} gilt die Absch"atzung $$|a_n|R^n \leq \op{sup}_{|z|=R}|{\textstyle\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu z^\nu|} $$ Salopp gesprochen k"onnen also komplexe Potenzreihen, die \glqq nur relativ kleine\grqq\ Werte annehmen, auch \glqq nur relativ kleine Koeffizienten\grqq\ haben. Selbst im Fall von komplexen Polynomen kenne ich keinen anderen Beweis f"ur diese Tatsache. Deren reelles Analogon ist im "ubrigen ziemlich falsch, man denke nur etwa an die Gau"s'sche Glockenkurve. Hinweis: Beweis des Satzes von Goursat \ref{Gour}. Mit der feineren Absch"atzung \ref{ABWe} f"ur das Wegintegral kann man sogar $|a_n|R^n$ nach oben absch"atzen durch den Durchschnitt der Betr"age der Funktionswerte der durch unsere Potenzreihe gegebenen Funktion $f$ auf dem Kreis, in Formeln $$|a_n|R^n \leq \int_0^1|f(R{\op{e}}^{2\pi{\op{i}}t})|\diff t$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Absch"atzung f"ur Potenzreihen von Operatoren}] Sei $V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum. Wir w"ahlen eine Norm auf $V$ und versehen\label{GLEi} den Raum $\op{End}V$ aller Endomorphismen von $V$ mit der Operatornorm. Gegeben eine komplexe Potenzreihe $\sum a_\nu z^\nu$ mit Konvergenzradius $r\in [0,\infty]$ und ein Endomorphismus $A\in \op{End}V$ mit $\|A\|0$ gibt es, wenn $f$ die offene Einheitskreisscheibe in sich selber abbildet, sicher ein $\delta \in (0,1)$ mit $|z| \geq \delta \Rightarrow |f(z)/z| \leq 1+ \varepsilon$. Dieser Quotient kann also salopp gesprochen \glqq betragsm"a"sig um so weniger "uber die Eins hinauskommen, je n"aher $z$ am Rand der Einheitskreisscheibe liegt\grqq. Nun erh"alt man nach dem Satz "uber die Potenzreihenentwicklung \ref{CHFu} eine holomorphe Funktion durch die Vorschrift $z \mapsto f(z) /z $ f"ur $z \neq 0$ beziehungsweise $z \mapsto f^{\prime}(0)$ f"ur $z=0$. Da diese Funktion nach \ref{MaPr} auf einer offenen Kreisscheibe ihr Betragsmaximum nicht annehmen kann, wenn sie nicht konstant ist, folgt $|f(z)/z| \leq 1$ f"ur alle $z \in E\backslash 0$ sowie $|f^{\prime}(0)| \leq 1$. Steht hier an einer Stelle eine Gleichheit, so ist $f(z)/z$ konstant und folglich $f$ eine Drehung. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{BEK} Man zeige, da"s jede holomorphe Bijektion von der Einheitskreisscheibe auf sich selber, die den Ursprung festh"alt, eine Drehung alias Multiplikation mit einer komplexen Zahl der Norm Eins sein mu"s. Hinweis: Man wende das Schwarz'sche Lemma auch auf die Umkehrfunktion an. \end{Ubung} \nichtfinal{Dieser Themenkomplex mu"s noch besser durchsortiert werden. \begin{Ubung} Man zeige, da"s die Operation von $\op{SL}(2;\DR)$ auf der oberen Halbebene aus \ref{Traoh} einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von $\op{SL}(2;\DR)$ auf die Gruppe der holomorphen Bijektionen der oderen Halbebene zu sich selber liefert und das der Kern dieses Gruppenhomomorphismus $\pm{\op{I}}$ ist. Hinweis: Nach \ref{Bioh} gibt es einen Isomorphismus der oberen Halbebene mit der offenen Einheitskreisscheibe. \end{Ubung}} %\emph{Selbstabbildungen der Kreisscheibe bereits hier? Ja, als "Ubung!} \begin{Ubung}\label{AutoH} % Gegeben $U,V\co\DC$ hei"st eine Abbildung % $f:U\ra V$ \defind{biholomorph} genau dann, wenn sie holomorph und bijektiv % ist % und ihre Umkehrabbildung auch holomorph ist. Letztere Eigenschaft folgt % im "ubrigen nach \ref{hbbh} % bereits aus den beiden ersteren, aber mit diesem Satz will % ich die Definition nicht belasten. Man konstruiere eine bijektive holomorphe Abbildung von der offenen Einheitskreisscheibe in die Halbebene aller komplexen Zahlen mit positivem Imagin"arteil, der sogenannten \glqq oberen Halbebene\grqq. Hinweis: M"obius-Geometrie %\eref{MoeE}{LA2}, \eref{MoGe}{EL}. Man zeige, da"s die dort eingef"uhrte Operation der speziellen linearen Gruppe $\op{SL}(2;\DR)$ auf der oberen Halbebene die Restklassengruppe $\op{PSL}(2;\DR)\pdef \op{SL}(2;\DR)/\{\pm \op{id}\}$ identifiziert mit der Gruppe aller bijektiven holomorphen Abbildung von der oberen Halbebene auf sich selber. Hinweis: \ref{BEK}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{StFot} Eine stetige komplexwertige Funktion auf der reellen Achse besitzt h"ochstens eine Fortsetzung auf die abgeschlossene obere Halbebene, die sowohl stetig ist auf der abgeschlossenen oberen Halbebene als auch holomorph auf der offenen oberen Halbebene. Man zeige auch, da"s nicht jede stetige komplexwertige Funktion auf der reellen Achse in dieser Weise fortgesetzt werden kann. Hinweis: Spiegelungsprinzip \ref{SpSch}. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{nLOG} Man zeige, da"s sich die auf der offenen Einheitskreisscheibe durch die Reihen $\sum_{k\geq 1} z^k/k^n$ definierten Funktionen holomorph auf das Komplement von $\DR_{\geq 1}$ in der komplexen Zahlenebene fortsetzen lassen. Die zugeh"origen Funktionen hei"sen {\bf Polylogarithmen}\index{Polylogarithmus} oder pr"aziser {\bf $n$-Logarithmen}\index{Logarithmus!$n$-Logarithmus} und werden $\op{Li}_n(z)$ oder auch $\op{L}_n(z)$ notiert.\index{Li@$\op{Li}_n(z)$ $n$-Logarithmus} Insbesondere den {\bf Dilogarithmus}\index{Dilogarithmus} $\op{Li}_2$ trifft man des "ofteren. F"ur den $1$-Logarithmus gilt $\op{Li}_1(z)=-\op{log}(1-z)$ nach \eref{BPR}{AN1}. Man zeige allgemeiner, da"s sie sich f"ur jede schleifenf"ullende offene Teilmenge $U\subset \DC\backslash \{1,0\}$ und jede Zusammenhangskomponente des Schnitts von $U$ mit der offenen Einheitskreisscheibe eindeutig von diesem Schnitt auf die ganze Menge $U$ fortsetzen lassen. In der Terminologie aus \eref{RFFK}{TG} liefert also in der \glqq Riemannschen Fl"ache unseres Funktionskeims das Urbild des Komplements von $\{1,0\}$ eine "Uberlagerung dieses Komplements\grqq. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Holomorphe Funktionen und formale Potenzreihen}] Die Entwicklung in eine Potenzreihe liefert f"ur jede offene Umgebung $U\co \DC$ des Ursprungs in der Zahlenebene einen\label{GfR} Ringhomomorphismus $\cal{O}^{\op{an}}(U)\ra \DC\llbracket z \rrbracket$ vom Ring $\cal{O}^{\op{an}}(U)$\index{O@$\cal{O}^{\op{an}}$ holomorphe Funktionen} der holomorphen Funktionen auf $U$ in den Ring der formalen Potenzreihen $\DC\llbracket z \rrbracket$ aus \eref{FPR}{LA1}. Ist $U$ wegzusammenh"angend, so erhalten wir auf diese Weise sogar einen injektiven Ringhomomorphismus $$\cal{O}^{\op{an}}(U)\hra \DC\llbracket z \rrbracket$$ \end{Ubung} \subsection{Lokale Struktur holomorpher Funktionen \sose{(9.6)}} \begin{Lemma}[\textbf{Lokaler Umkehrsatz f"ur holomorphe Funktionen}] Ist $U\co \DC$ offen und $p \in U$ ein Punkt und\label{uks} $f : U \ra \Bbb{C}$ holomorph mit $f^{\prime} (p) \neq 0$, so gibt es eine offene Umgebung $V\co U$ von $p$ derart, da"s die Restriktion von $f$ auf $V$ eine biholomorphe Einbettung ist. \end{Lemma} \begin{proof} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/bihol.mp4}{Hier ist ein Film \"uber dies Lemma und seinen Beweis.} Nach dem Satz von Goursat \ref{Gour} ist die Ableitung von $f$ stetig. Der Satz "uber die Umkehrabbildung \eref{UKA}{AN2} aus der Analysis sagt uns dann, da"s $f$ eine offene Umgebung von $p$ bijektiv mit einer offenen Umgebung von $f(p) $ identifiziert. Proposition \ref{cAUc} "uber Umkehrfunktionen holomorpher Funktionen liefert damit den Rest der Behauptung. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Komplexe Wurzelfunktionen}] Wenden wir dieses Lemma auf die Abbildungen $z\mapsto z^n$ an, so ergibt sich, da"s jeder Punkt $p\in\DC^\times$ eine offene Umgebung $V$ besitzt, die unter $z\mapsto z^n$ biholomorph auf eine offene Umgebung $W$ von $p^n$ abgebildet wird. Umgekehrt besitzt also jeder Punkt $q\in\DC^\times$ eine offene Umgebung $W$, auf der eine holomorphe Funktion $w:W\ra \DC$ existiert mit $w(z)^n=z$ f"ur alle $z\in W$. Es ist auch explizit leicht zu sehen, da"s es solche $n$-ten Wurzelfunktionen $w$ sogar auf jeder geschlitzten komplexen Zahlenebene $W=\Bbb{C} \backslash \Bbb{R}_{\geq 0} s$ mit $s \in \Bbb{C}^{\times}$ gibt. Als "Ubung m"ogen Sie zeigen, da"s es sie sogar auf jeder schleifenf"ullenden offenen Teilmenge von $\DC^\times$ gibt. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildQCo} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Dies Bild soll zus"atzliche Anschauung f"ur die Abbildung $z\mapsto z^2$ der komplexen Zahlenebene auf sich selbst vermitteln. Es stellt diese Abbildung dar als die Komposition einer Abbildung der Einheitskreisscheibe auf eine r"aumliche sich selbst durchdringende Fl"ache, gegeben in etwa durch eine Formel der Gestalt $z\mapsto (z^2,\varepsilon(\op{Im}z))$ in $\DC\times \DR\cong \DR^3$ f"ur geeignetes monotones und in einer Umgebung von Null streng monotones $\varepsilon$, gefolgt von einer senkrechten Projektion auf die ersten beiden Koordinaten. Das hat den Vorteil, da"s im ersten Schritt nur Punkte der reellen Achse identifiziert werden, was man sich leicht wegdenken kann, und da"s der zweite Schritt eine sehr anschauliche Bedeutung hat, eben die senkrechte Projektion. \end{minipage} \end{figure} \begin{Satz}[\textbf{Wurzeln holomorpher Funktionen an Nullstellen}] Seien $U\co \DC$ offen und $p\in U$ ein Punkt und $f:U\ra\DC$ holomorph mit einer Nullstelle endlicher Ordnung $n\geq 1$ bei $p$. So gibt es eine offene Umgebung $V\co U$ von $p$ und eine \hyperref[biho]{biholomorphe Einbettung} $b:V\hra \DC$ mit $b(p)=0$ derart,\label{WFNS} da"s f"ur alle $z\in V$ gilt $$f(z)=b(z)^n$$ \end{Satz} \begin{proof} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/wurzelnullstelle.mp4}{Hier ist ein Film \"uber diesen Satz und seinen Beweis.} Im Fall $n=1$ gilt es nur zu zeigen, da"s $f$ selbst eine biholomorphe Einbettung auf einer offenen Umgebung von $p$ induziert, und das ist gerade die Aussage des lokalen Umkehrsatzes f"ur holomorphe Funktionen \ref{uks}. Im allgemeinen d"urfen wir sicher $p =0$ annehmen. Wir entwickeln $f$ in eine Potenzreihe und erhalten \begin{displaymath} f(z) = \sum^{\infty}_{\nu =n} a_{\nu} z^{\nu} = z^{n} \sum^{\infty}_{\nu =0} a_{n+\nu} z^{\nu} =z^{n} g(z) \end{displaymath} f"ur eine holomorphe Funktion $g$ mit $g(0) \neq 0$. Nun finden wir sicher eine offene Umgebung $W\co U$ des Ursprungs derart, da"s $g(W)$ ganz in einer geschlitzten Ebene liegt, auf der es eine holomorphe $n$-te Wurzelfunktion $w$ gibt, so da"s wir auf $W$ eine holomorphe Funktion $h(z) \pdef w(g(z))$ finden k"onnen mit $h(z)^{n} = g(z)\; \forall z \in W$. Dann gilt $f(z) = (z h (z))^n \; \forall z \in W$ und die Funktion $b:z \mapsto z h (z)$ ist nach dem lokalen Umkehrsatz \ref{uks} nach Restriktion zu einer gegebenenfalls noch kleineren Umgebung $V$ des Ursprungs eine biholomorphe Einbettung. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Lokale Struktur holomorpher Funktionen}] Seien $f:U\ra\DC$ eine holomorphe Funktion auf $U\co \DC$ und $p\in U$ ein Punkt.\label{lshf} So gibt es \hyperref[biho]{biholomorphe Einbettungen} $u:E\hra U$ und $v:E\hra \DC$ der offenen Einheitskreisscheibe in den Definitions- beziehungsweise Wertebereich von $f$ mit $u(0)=p$ und $v(0)=f(p)$ sowie $n\in\DN_{\geq 1}\sqcup\{\infty\}$ derart, da"s das Diagramm bepunkteter R"aume $$\xymatrix{z\ar@{|->}[d]& (E,0) \ar[d]\ar@{^(->}[r]^u & (U,p)\ar[d]^f \\ z^n&(E,0) \ar@{^(->}[r]^v& (\DC,f(p)) }$$ kommmutiert, mit der Vereinbarung, da"s $z\mapsto z^\infty$ die konstante Abbildung Null bedeuten m"oge. Wir haben dabei $n=\op{inf}\{\nu\geq 1\mid f^{(\nu)}(p)\neq 0\}$. \end{Korollar} \begin{proof} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/lokstranschauung.mp4}{Hier ist ein Film \"uber diese Aussage} und \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/lokstrbeweis.mp4}{ein weiterer \"uber ihren Beweis.} Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $f(p)=0$ annehmen. Hat $f$ eine Nullstelle unendlicher Ordnung bei $p$, so ist $f$ konstant Null in einer Umgebung von $p$ und $u$ und $v$ sind leicht zu finden. Andernfalls k"onnen wir unseren Satz \ref{WFNS} "uber Wurzeln holomorpher Funktionen bei Nullstellen anwenden und eine offene Umgebung $V\co U$ von $p$ nebst einer biholomorphen Einbettung $b:V\hra \DC$ finden mit $b(p)=0$ und $f(z)=b(z)^n$ f"ur alle $z\in V$. Indem wir eine offene Kreisscheibe $K\co b(V)$ mit Zentrum im Ursprung w"ahlen und mit $\bar u:K\hra U$ als die Umkehrfunktion von $b:b^{-1}(K)\sira K$ erkl"aren, finden wir $f(\bar u(z))=z^n$ f"ur alle $z\in K$. W"ahlen wir nun noch ein $\lambda\in\DC$, das eine Bijektion $(\lambda\cdot):E\sira K$ induziert, und setzen $u(z)\pdef \bar u(\lambda z)$, so folgt $f(u(z))=\lambda^n z^n$ und mit $v\pdef (\lambda^n\cdot)$ haben wir unser Ziel erreicht. Hier k"onnen wir sogar $\lambda>0$ reell und positiv w"ahlen. \end{proof} %\begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokale Struktur holomorpher Funktionen}] % Seien $U\co \DC$ offen und $p\in U$ ein Punkt\label{lshf} %und $f:U\ra\DC$ eine holomorphe Funktion, %die in keiner Umgebung von $p$ konstant ist. %So gibt es eine nat"urliche Zahl $n\geq 1$ %und eine offene Umgebung $V\co U$ von $p$ und eine biholomorphe %Einbettung $w:V\hra \DC$ derart, da"s f"ur alle $z\in V$ gilt %$$f(z)=f(p)+w(z)^n$$ %Das folgt sofort, wenn wir den Satz auf die Funktion %$z\mapsto f(z)-f(p)$ anwenden, die dann bei $p$ eine %Nullstelle endlicher Ordnung hat. Salopp gesprochen gibt es also %f"ur jede %holomorphe Funktion an jeder Stelle holomorphe lokale Koordinaten %um besagte Stelle und ihr Bild derart, %da"s unsere Funktion in diesen Koordinaten %die Gestalt einer Potenzfunktion $u\mapsto u^n$ mit $n\in\DN$ annimmt. %Dar"uberhinaus gelingt das sogar mit einer Koordinate im Bildbereich %der Gestalt $z\mapsto a+z$. %\end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildLSt} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration zum Satz "uber die lokale Struktur holomorpher Funktionen. Im Bild ist zus"atzlich eine Erkenntnis aus dem Beweis angedeutet, nach der man $u$ und $v$ sogar so w"ahlen kann, da"s $v$ von der Gestalt $z\mapsto \mu z+ f(p)$ ist mit $\mu>0$. Die durch die Doppelspitzen angedeutete Surjektivit"at gilt nat"urlich nur im Fall $n\neq\infty$ einer Abbildungen $f$, die in keiner Umgebung von $p$ konstant ist. \end{minipage} \end{figure} \begin{Korollar}[\textbf{Gebietstreue}] Das Bild einer offenen zusammenh"angenden Teilmenge der komplexen Zahlenebene \label{GeTr} unter einer nicht konstanten holomorphen Funktion ist stets wieder eine offene zusammenh"angende Teilmenge der komplexen Zahlenebene. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Eine zusammenh"angende offene Teilmenge der komplexen Zahlenebene hei"st auch ein {\bf Gebiet}\index{Gebiet} und eine zusammenh"angende schleifenf"ullende offene Teilmenge ein {\bf Elementargebiet}.\index{Elementargebiet} In dieser Terminologie kann das Korollar dahingehend formuliert werden, da"s das Bild eines Gebietes unter einer nicht konstanten holomorphen Funktion wieder ein Gebiet ist. Daher r"uhrt auch sein Name. Der einzige Grund, aus dem wir den Definitionsbereich zusammenh"angend annehmen m"ussen, liegt darin, da"s es sonst Funktionen geben k"onnte, die auf einer Wegzusammenhangskomponente des Definitionsbereichs konstant sind ohne global konstant zu sein. \end{Bemerkungl} \begin{proof} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/gebietstreue.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die Gebietstreue.} Nach dem Identit"atssatz ist unsere Funktion nie in der Umgebung eines Punktes konstant. Das Korollar folgt damit sofort aus Satz \ref{lshf} "uber die lokale Struktur holomorpher Funktionen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Alternativer Beweis des Maximumsprinzips}] Das Maximumsprinzip aus \ref{MaPr} folgt auch unmittelbar aus dem Satz "uber die Gebietstreue \ref{GeTr}, das Bild einer nichtkonstanten holomorphen Funktion auf einer zusammenh"angenden offenen Teilmenge der Zahlenebene ist eben offen und besitzt damit offensichtlich keine Punkte von maximalem Betrag. Dieser Beweis ist zwar schnell und elegant, wirkt auf mich aber global gesehen doch eher wie der \glqq Besuch eines Aussichtspunkts beim Abstieg von einem h"oheren Gipfel\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Holomorphie von Umkehrfunktionen}] Gegeben eine injektive holomorphe Funktion ist ihr Bild offen und ihre Umkehrabbildung holomorph.\label{hbbh} \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} In anderen Worten ist also jede injektive holomorphe Funktion eine biholomorphe Einbettung. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/einkauf.mp4}{In diesem Film versuche ich, eine Anschauung f\"ur eine allgemeine holomorphe Funktion zu geben.} \end{Bemerkungl} \begin{proof} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/holum.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die Holomorphie der Umkehrfunktion.} Unsere Funktion hat offenes Bild nach dem Satz "uber die Gebietstreue \ref{GeTr} und nirgends verschwindende Ableitung nach dem Satz "uber die lokale Struktur \ref{lshf}. Dar"uber hinaus ist die Ableitung stetig ist nach dem Satz von Goursat \ref{Gour}. Unter diesen Voraussetzungen aber haben wir die Holomorphie der Umkehrung bereits in \ref{cAUc} gezeigt. \end{proof} \newpage \section{Singul"are Stellen holomorpher Funktionen} \subsection{Isolierte Singularit"aten und Laurentreihen \sose{(14\&16.6)}} \begin{Definition}\label{IsSi} Sei $U \co \Bbb{C}$ offen. Unter einer {\bf holomorphen Funktion mit isolierten Singularit"aten auf $U$}\index{holomorphe Funktion!mit Singularit"aten} versteht man eine auf dem Komplement einer Teilmenge $T\subset U$ ohne H"aufungspunkt in $U$ definierte und dort holomorphe Funktion $$f:U\backslash T\ra \DC$$ Jeder Punkt $p\in T$ hei"st dann eine {\bf isolierte Singularit"at\index{isolierte Singularit"at} von} $f$.\index{Singularit"at!in Funktionentheorie!isolierte} L"a"st sich $f$ zu einer holomorphen Funktion auf $(U\backslash T)\cup\{p\}$ fortsetzen, so hei"st $p$ eine {\bf hebbare Singularit"at}.\index{Singularit"at!in Funktionentheorie!hebbare} Ist eine\index{hebbare Singularit"at} Singularit"at $p\in T$ zwar nicht hebbar, wird aber hebbar nach Multiplikation unserer Funktion $f$ mit einer geeigneten Potenz $(z-p)^n$, so spricht man von einem {\bf Pol} %\index{Pol!in Funktionentheorie} oder ausf"uhrlicher von einer {\bf Polstelle}\index{Polstelle!in Funktionentheorie} und das kleinstm"ogliche solche $n$ hei"st die {\bf Polordnung}.\index{Polordnung!in Funktionentheorie} Ist die Singularit"at weder hebbar noch ein Pol, so spricht man von einer {\bf wesentlichen Singularit"at}.\index{wesentlich!Singularit"at} \index{Singularit"at!in Funktionentheorie!wesentliche} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/typensing.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die drei Typen von Singularit\"aten.} \end{Definition} \begin{Beispiel} Die Funktion $z \mapsto \op{exp}(z^{-1})$ hat im Ursprung eine wesentliche Singularit"at. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Riemann'scher Hebbarkeitssatz}] Bleibt eine holomorphe Funktion in einer Umgebung\label{RiHe} einer isolierten Singularit"at betragsm"a"sig beschr"ankt, so ist die Singularit"at hebbar. \end{Satz} \begin{proof} Sei $U\co\DC$ offen, $p\in U$ ein Punkt und $f:U\backslash p\ra\DC$ unsere holomorphe Funktion. Sicher kann man die Funktion $z\mapsto (z-p)f(z)$ unter unserer Voraussetzung durch Null stetig auf ganz $U$ fortsetzen. Dann ist die Fortsetzung durch Null von $g:z\mapsto (z-p)^2f(z)$ offensichtlich sogar holomorph auf ganz $U$ mit $g(p)=g'(p)=0$. Nach dem Satz "uber die Potenzreihenentwicklung \ref{PAN} kann $g$ also geschrieben werden in der Gestalt $g:z\mapsto (z-p)^2h(z)$ f"ur $h:U\ra \DC$ holomorph. Dies $h$ ist dann die gesuchte holomorphe Fortsetzung von $f$. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/heb.mp4}{Hier ist ein Film zum Riemann'schen Hebbarkeitssatz.} \end{proof} \begin{proof}[Alternative zum Beweis] Sicher kann man die Funktion $k: z\mapsto (z-p)f(z)$ unter unserer Voraussetzung durch Null stetig auf ganz $U$ fortsetzen. Nach Korollar \ref{KGho} "uber Holomorphie durch Stetigkeit ist dann $k$ bereits holomorph auf ganz $U$ und nach dem Satz "uber die Potenzreihenentwicklung \ref{PAN} kann $k$ also geschrieben werden in der Gestalt $k:z\mapsto (z-p)h(z)$ f"ur $h:U\ra \DC$ holomorph. Dies $h$ ist dann die gesuchte holomorphe Fortsetzung von $f$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokale Struktur von Polstellen}] Sei $U\co\DC$ offen und $p\in U$ ein Punkt. Genau dann hat eine holomorphe\label{BPOl} Funktion $f:U\backslash p\ra\DC$ mit einer isolierten Singularit"at bei $p$ einen Pol $n$-ter Ordnung bei $p$, wenn $f$ die Gestalt \begin{displaymath} f(z) = (z-p)^{-n} g(z) \end{displaymath} hat f"ur $g$ holomorph auf $U$ mit $g(p)\neq 0$. Um die eine Richtung zu zeigen, gilt es nur zu bemerken, da"s die Funktion auf der rechten Seite eine Polstelle der Ordnung $n$ bei $p$ hat. F"ur die andere Implikation bemerken wir, da"s es gem"a"s der Definition ein $n>0$ und $g$ holomorph gibt mit $f(z) = (z-p)^{-n} g(z)$ au"serhalb von $p$, und im Fall $g(p) =0$ w"are nach \ref{PAN} unser $n$ nicht kleinstm"oglich mit $(z-p)^n f(z)$ holomorph. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/pol.mp4}{Hier ist ein Film \"uber Polstellen.} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir verwenden von nun an die Notation $\mathbb P^1\DC\pdef \Bbb{C} \amalg \{\infty\}$ f"ur die disjunkte Vereinigung der komplexen Zahlenebene mit einem weiteren Element $\infty$. Die Herkunft dieser Notation wird in \eref{PrIf}{EL} erkl"art und in \eref{TP1}{EL} oder besser \eref{DTPRO}{TM} erkl"aren wir auch die Herkunft der Bezeichnung von $\mathbb P^1\DC$ als {\bf Riemann'sche Zahlenkugel} und eine nat"urliche Topologie auf dieser Menge. In \eref{P1C}{ML} werden wir sie zus"atzlich mit der Struktur einer \glqq Riemann'schen Fl"ache\grqq\ versehen, aber alles zu seiner Zeit. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{defM} Eine {\bf meromorphe Funktion}\index{meromorph!Funktion}\index{Funktion!meromorphe} auf einer offenen Teilmenge der komplexen Zahlenebene $U\co \DC$ ist eine Abbildung $f: U \ra \mathbb P^1\Bbb{C}$ mit den Eigenschaften, da"s $f^{-1} (\infty)$ in $U$ keinen H"aufungspunkt hat, da"s $f$ holomorph ist auf $ U\backslash f^{-1}(\infty)$, und da"s f"ur alle $p\in f^{-1}(\infty)$ die Funktion $f$ bei $p$ eine Polstelle hat. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/mero.mp4}{Hier ist ein Film \"uber meromorphe Funktionen.} In Worten ist also eine meromorphe Funktion eine Funktion, die \glqq holomorph ist bis auf isolierte Polstellen\grqq. Insbesondere darf eine meromorphe Funktion keine wesentlichen Singularit"aten haben. Sicher ist jede holomorphe Funktion auch meromorph. Weitere Beispiele liefert das anschlie"sende Lemma. Eine gute Anschauung f"ur meromorphe Funktionen liefert die Interpretation von $\DP^1\DC$ als Riemann'sche Zahlenkugel. Eine meromorphe Funktion kann in diesem Bild aufgefa"st werden als eine Art \glqq Aufwicklung auf die Kugelschale\grqq\ und die Meromorphie ist "aquivalent zur Bedingung, da"s es um jeden Punkt $p$ mit $f(p)=\infty$ eine offene Umgebung gibt, auf der $z\mapsto f(z)^{-1}$ eine hebbare Singularit"at bei $p$ hat. Mehr zu diesem Gesichtspunkt m"ogen Sie sp"ater einmal im Zusammenhang mit den sogenannten \glqq Riemann'schen Fl"achen\grqq\ lernen. \end{Bemerkungl} %\begin{Lemma} %Ist $f: U \ra \DP^1\DC$ eine %von Null verschiedene meromorphe Funktion %auf einer zusammenh"angenden offenen Teilmenge der komplexen %Zahlenebene, so ist mit der Konvention $(1/0)=\infty$ und $(1/\infty)=0$ %auch die Funktion $(1/f):U\ra \DP^1\DC$ %meromorph. %\end{Lemma} %\begin{Bemerkungl} %Wir m"ussen den Definitionsbereich $U$ %zusammenh"angend annehmen, da $U$ sonst die disjunkte Vereinigung %von zwei nichtleeren offenen Mengen sein k"onnte. %Die Funktion $f$, die auf einer dieser Mengen konstant Eins und auf %der anderen konstant Null ist, macht dann Probleme: Bilden wir dazu n"amlich %die Funktion $1/f$ nach dem im Lemma vorgeschriebenen Verfahren, %so h"atte die Menge der $\infty$-Stellen unserer Funktion %$1/f$ einen H"aufungspunkt in $U$ und w"are folglich nicht %meromorph im Sinne unserer Definition \ref{defM}. %\end{Bemerkungl} %\begin{proof} % Das Lemma folgt sofort aus unserer Diskussion von Polstellen % \ref{BPOl} in Verbindung mit % Satz \ref{NSTe}, nach dem alle Nullstellen % einer von Null verschiedenen holomorphen Funktionen % mit zusammenh"angendem Definitionsbereich isolierte Nullstellen sind. %\end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Der K"orper der meromorphen Funktionen}] Wir definieren die Summe und das Produkt meromorpher Funktionen $f,g$ auf $U \co \Bbb{C}$, indem wir sie erst punktweise addieren beziehungsweise multiplizieren auf dem Komplement $U\backslash(f^{-1} (\infty) \cup g^{-1} (\infty))$ der Vereinigung ihrer\label{MerK} Polstellenmengen, dann alle hebbaren Singularit"aten aus der Vereinigung der Polstellenmengen heben, und schlie"slich an den nicht hebbaren Singularit"aten der Vereinigung der Polstellenmengen den Wert $\infty$ vergeben. Die Menge der meromorphen Funktionen auf einer zusammenh"angenden offenen Menge $U\co \DC$ wird so zu einem K"orper $$\cal{M}^{\op{an}} (U)$$ Der Leser mag das zur "Ubung zeigen.\index{M@$\cal{M}^{\op{an}}$ meromorphe Funktionen} Ich verwende die Bezeichnung $\cal{M}^{\op{an}}$, um diese \glqq analytischen\grqq\ Funktionen zu unterscheiden von ihren algebraischen Analoga, den rationalen Funktionen auf einer irreduziblen algebraischen Variet"at $U$, die ich in der kommutativen Algebra $\cal{M}(U)$ notiere. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Casorati-Weierstra"s}] Besitzt eine holomorphe Funktion an einer Stelle eine wesentliche Singularit"at, so ist ihr Bild eine dichte Teilmenge der komplexen Zahlen.\label{CaWe} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Nat"urlich besitzt auch die Einschr"ankung unserer Funktion auf eine beliebige Umgebung dieser wesentlichen Singularit"at dort eine wesentliche Singularit"at, das Bild jeder Umgebung der singul"aren Stelle ist also dicht in der komplexen Zahlenebene. Der sogenannte \glqq Gro"se Satz von Picard\grqq\ sagt\label{gSP} sogar st"arker, da"s jedes dieser Bilder alle komplexen Zahlen bis auf h"ochstens eine Ausnahme enthalten mu"s. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/casorati.mp4}{Hier ist ein Film zum Satz von Casorati-Weierstra\ss.} \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Sei $f:U\backslash p \ra \Bbb{C}$ unsere Funktion und $p$ die Singularit"at. W"are $f(U\backslash p)$ nicht dicht, so g"abe es eine offene Kreisscheibe $\op{B}(w; \varepsilon)$ au"serhalb des Bildes. Dann w"are $(f(z) - w)^{-1}$ beschr"ankt und holomorph auf $U\backslash p$, lie"se sich also nach dem Hebbarkeitssatz \ref{RiHe} zu einer holomorphen Funktion $h$ auf $U$ fortsetzen, und $h$ h"atte keine Nullstelle auf $U\backslash p$. Also w"are unsere Funktion $f(z) = h (z)^{-1} +w$ meromorph auf $U$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Laurententwicklung}] Gegeben ein Kreisring in der komplexen Zahlenebene der Gestalt $U = \{ z \mid r < |z| < R\}$ mit $0 \leq r < R\leq\infty$ und darauf eine holomorphe\label{ELR} Funktion $f:U\ra\DC$ gibt es eindeutig bestimmte Koeffizienten $c_k\in\DC$ derart, da"s gilt \begin{displaymath} f (z) = \sum_{k \in \Bbb{Z}} c_k z^k \end{displaymath} im Sinne der kompakten Konvergenz auf unserem Kreisring der Folge $P_n$ der Partialsummen "uber alle $k$ mit $|k|\leq n$. Sogar die positiven und die negativen Terme unserer Reihe bilden in dieser Situation f"ur sich genommen jeweils kompakt konvergente Reihen auf besagtem Kreisring. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/laurent.mp4}{Hier ist ein Film zur Laurententwicklung.} \end{Satz}\begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildLaur} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration zum Beweis der Laurententwicklung. Der glatt eingezeichnete Weg ist unser $\gamma$. \end{minipage} \end{figure} \begin{proof}[Beweis] \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/laurentbew.mp4}{Hier ist ein Film zur Herleitung der Laurententwicklung.} Die Koeffizienten sind durch die Funktion eindeutig bestimmt, denn f"ur jeden kreisf"ormigen Weg $\gamma$, der in unserem Kreisring einmal im Gegenuhrzeigersinn um den Ursprung l"auft, mu"s gelten \begin{displaymath} \int_{\gamma} f(z) z^n \diff z = \sum_{k\in \Bbb{Z}} c_k \int_{\gamma} z^{k+n} \diff z = 2\pi {\op{i}} c_{-n-1} \end{displaymath} Es bleibt also nur die Existenz einer derartigen Entwicklung zu zeigen. Gegeben $w$ aus unserem Kreisring w"ahlen wir $a, A$ mit $r < a <|w|< A < R$ und betrachten einen Integrationsweg $\gamma$, der auf demselben Strahl wie $w$ beginnend erst im Gegenuhrzeigersinn die Kreislinie $|z| = A$ halb heruml"auft, dann auf einem Radius zur Kreislinie $|z|=a$, darauf einmal im Uhrzeigersinn herum, wieder auf dem Radius zur"uck nach aussen, und auf der Kreislinie $|z| = A$ weiter zum Ausgangspunkt. Dieser Weg ist offensichtlich homotop zu jedem Weg, der vom selben Ausgangspunkt erst ein St"uck auf dem Radius in Richtung $w$ l"auft, dann auf einem kleinen Kreisweg im Gegenuhrzeigersinn um $w$, um dann wieder auf dem Radius zur"uck zum Ausgangspunkt. Mit der Integralformel von Cauchy und der Homotopieinvarianz des Wegintegrals folgt \begin{displaymath} f(w) = \frac{1}{2\pi{\op{i}}} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z-w} \diff z = \frac{1}{2\pi{\op{i}}} \int_{|z|=A} \frac{f(z)}{z-w} \diff z - \frac{1}{2\pi{\op{i}}} \int_{|z| =a} \frac{f(z)}{z-w} \diff z \end{displaymath} Die Notation ist an dieser Stelle etwas schlampig, denn selbst wenn sie w"u"sten, wie man komplexwertige Einsformen "uber kompakte orientierte $1$-Man\-nig\-fal\-tig\-kei\-ten wie unsere Kreislinien integriert, fehlt in unserer Notation doch die Orientierung. Ich hoffe aber, da"s Sie sich dazudenken, da"s mit unserer Notation das komplexe Wegintegral beim einmaligen Durchlaufen unserer Kreislinien im Gegenuhrzeigersinn gemeint ist. Das erste dieser Integrale verwandeln wir wie beim Beweis des Potenzreihenentwicklungssatzes \ref{CHFu} in die Potenzreihe \begin{displaymath} \frac{1}{2\pi{\op{i}}}\sum^{\infty}_{ k =0} \left( \int_{|z| =A} \frac{f(z)}{z^{ k +1}} \diff z \right) w^{ k} \end{displaymath} mit Konvergenzradius $\geq A$. Das zweite Integral behandeln wir "ahnlich, nur schreiben wir nun, da auf dem Integrationsweg ja $|w| > |z|$ gilt, \begin{displaymath} \frac{-1}{z-w} = \frac{1}{w} \left( \frac{1}{1-(z/w)} \right) = \frac{1}{w} \sum^{\infty}_{ k =0} \frac{z^{ k}}{w^{ k}} \end{displaymath} im Sinne gleichm"a"siger Konvergenz in $z$ auf dem Kreisring $|z| = a$ und erhalten \begin{displaymath} \frac{-1}{2\pi{\op{i}}} \int_{|z|=a} \frac{f(z)}{z-w} \diff z = \frac{1}{2\pi{\op{i}}} \sum^{\infty}_{ k = 0} \left( \int_{|z|=a} f(z) z^{ k} \diff z \right) w^{- k -1} \end{displaymath} zun"achst im Sinne punktweiser Konvergenz an jeder Stelle $w$ mit $a < |w| 0$ die Konvergenz gleichm"a"sig in $w$. Das zeigt die Existenz der Entwicklung in eine Laurentreihe. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{LaEw} Insbesondere k"onnen wir jede holomorphe Funktion mit einer isolierten Singularit"at im Ursprung in eine Laurentreihe entwickeln. Unsere Funktion hat einen Pol im Ursprung genau dann, wenn ihre Laurentreihe mindenstens einen und h"ochstens endlich viele von Null verschiedene Koeffizienten vor negativen Potenzen von $z$ stehen hat. Allgemeiner folgt unmittelbar, da"s wir jede holomorphe Funktion mit einer isolierten Singularit"at bei $p$ in einer Umgebung von $p$ in eine Reihe der Gestalt \begin{displaymath} f (z) = \sum_{k \in \Bbb{Z}} c_k (z-p)^k \end{displaymath} entwickeln k"onnen. Diese Darstellung hei"st die {\bf Laurententwicklung bei $p$}. Die Summe $ \sum_{k <0} c_k (z-p)^k $ hei"st dann der {\bf Hauptteil von $f$ bei $p$}.\index{Hauptteil} Besonders "ublich ist dieser Begriff im Zusammenhang mit Polstellen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein auf der ganzen komplexen Zahlenebene definierte holomorphe Funktion nennt man eine {\bf ganze Funktion}.\index{Funktion!ganze}\index{ganze Funktion} Der sogenannte {\bf kleine Satz von Picard}\index{Picard!kleiner Satz von} besagt, da"s jede nicht konstante ganze Funktion alle Werte mit h"ochstens einer Ausnahme annimmt. Ein Beispiel f"ur eine ganze Funktion, die nicht alle Werte annimmt, ist die komplexe Exponentialfunktion. Der kleine Picard folgt leicht aus dem gro"sen Picard \ref{gSP}, da ja nichtkonstante Polynome eh alle Werte annehmen und da jede ganze Funktion, die kein Polynom ist, eine wesentliche Singularit"at \glqq im Unendlichen\grqq\ haben mu"s, also eine wesentliche Singularit"at bei Null kriegt beim Vorschalten von $z\mapsto 1/z$. \nichtfinal{Der kleine Picard folgt seinerseits aus dem sogenannten \glqq gro"sen Riemann'schen Abbildungssatz\grqq, nach dem es bis auf Isomorphismus nur drei einfach zusammenh"angende Riemann'sche Fl"achen gibt, als da w"aren die Zahlenkugel, die komplexe Zahlenebene und die offene Einheitskreisscheibe. Die Zahlenkugel "uberlagert nur sich selber, die Zahlenebene nur elliptische Kurven und Klopapierrollen, und die offene Einheitskreisscheibe alle anderen, insbesondere alle mit nichtkommutativer Fundamentalgruppe und damit alle Komplemente zweipunktiger Teilmengen der Zahlenebene. Eine holomorphe Funktion $\DC\ra\DC$, die zwei Werte nicht annimmt, mu"s sich nun liften lassen zu einer holomorphen Abbildung in die universelle "Uberlagerung, als die Einheitskreisscheibe, und dieser Lift ist dann eine beschr"ankte holomorphe Funktion $\DC\ra \DC$, also konstant.} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{von Mittag-Leffler zu vorgegebenen Hauptteilen}] Gegeben eine abgeschlossene diskrete Teilmenge $P \subset \mathbb C$ und an jeder Stelle $p \in P$ eine au"serhalb von $p$ konvergente Laurentreihe\label{MiLef} $h_p$ existiert eine holomorphe Funktion auf $\mathbb C\backslash P$, die an allen Stellen $p \in P$ denselben Hauptteil hat wie $h_p$. \end{Satz} \begin{proof} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/mittagleffler.mp4}{Hier ist ein Film zum Satz von Mittag-Leffler.} Wir betrachten f"ur $n \in \mathbb N$ die Summen \begin{equation*} S_n = \sum_{n \leq |p| < n +1} h_p \end{equation*} der Hauptteile zu Punkten aus $P$ aus dem entsprechenden Kreisring oder, im Fall $n=0$, der entsprechenden Kreisscheibe. Sicher ist $S_n$ holomorph auf der Kreisscheibe $\{z \mid |z| < n\}$ und durch Entwicklung in eine Potenzreihe um den Ursprung finden wir ein Polynom $Q_n$ mit $|S_n (z) - Q_n (z)| \leq 2^{-n}$ f"ur alle $z$ aus der kleineren Kreisscheibe $\{z \mid |z| < n -1\}$. Es ist dann klar, da"s die Reihe $\sum_{n \in \mathbb N} (S_n - Q_n)$ auf $\mathbb C \backslash P$ kompakt konvergiert gegen eine holomorphe Funktion mit den vorgegebenen Hauptteilen an allen Stellen $p \in P$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{LiNN} Man folgere den Satz von Liouville \ref{Liou}, indem man f"ur eine beschr"ankte holomorphe Funktion $f:\DC\ra\DC$ mit dem Riemann'schen Hebbarkeitssatz die Funktion $z\mapsto f(1/z)$ "uber den Punkt $z=0$ fortsetzt und dann das Maximumsprinzip \ref{MaPr} anwendet. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Charakterisierung der rationalen Funktionen}] Jede rationale Funktion $f\in \DC(T)$ im Sinne von \eref{DRFn}{LA1} liefert eine meromorphe Funktion $f:\DC\ra \mathbb P^1\Bbb{C} $, wenn wir ihr an allen\label{GrAa} Polstellen im Sinne von \eref{DRFn}{LA1} den Wert $\infty$ zuweisen. Man zeige, da"s das Bild der so erkl"arten Einbettung $\DC(T)\hra \cal{M}^{\op{an}}(\DC)$ genau aus allen meromorphen Funktionen $f:\DC\ra \mathbb P^1\Bbb{C}$ besteht, f"ur die es ein $N\geq 1$ gibt mit $\lim_{|z|\ra\infty}f(z)/z^N=0$. Hinweis: \ref{RiHe}. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{uef} Besitzt eine holomorphe Funktion an einer Stelle eine wesentliche Singularit"at, so ist sie nicht injektiv. Hinweis: Man kombiniere den Satz von der Gebietstreue \ref{GeTr} mit Casorati-Weierstra"s \ref{CaWe}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Hat $T\subset\DC$ keinen H"aufungspunkt in $\DC$, so hat jede nicht konstante holomorphe Funktion $f:\DC\backslash T \ra\DC$ dichtes Bild in $\DC$.\label{BiHol} %Liegt $w$ nicht im Abschlu"s des Bildes, so ist $z\mapsto 1/(f(z)-w)$ beschr"ankt. Hebbarkeitssatz, fertig. \end{Ubung} \begin{Ubunge} St"arker als in \ref{uef} zeige man: Besitzt eine holomorphe Funktion an einer Stelle eine wesentliche Singularit"at, so besitzt sie mindestens eine unendliche Faser. Hinweis: Man kombiniere den Satz von der Gebietstreue \ref{GeTr} mit Casorati-Weierstra"s \ref{CaWe} und dem Baire'schen Kategoriensatz \eref{Baire}{AN3} oder besser seinem Korollar \eref{SDT}{AN3}. Noch st"arker zeigen dieselben Methoden, da"s die Werte, die unendlich oft angenommen werden, sogar eine dichte Teilmenge von $\DC$ bilden. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Biholomorphe Automorphismen der Zahlenebene}] Man zeige, da"s jede holomorphe injektive\label{AUCC} Abbildung $f : \mathbb C \hra \mathbb C$ von der Gestalt $z \mapsto az + b$ ist f"ur $a\in \mathbb C^\times$, $b \in \mathbb C$. Hinweis: Potenzreihenentwicklung und %Casorati-Weierstra"s \ref{uef}. Man mag auch erinnern, da"s nach \eref{pikl}{LA1} ein Polynom "uber einem unendlichen K"orper nur dann eine injektive Abbildung liefert, wenn es den Grad Eins hat. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s die meromorphen Funktionen auf jeder zusammenh"angenden offenen Teilmenge der komplexen Zahlenebene einen K"orper bilden. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{Bew} Gegeben $U\co \Bbb{C}$ und $p \in U$ erkl"are man die {\bf Bewertung bei $p$ einer meromorphen Funktion $f$ auf $U$} durch\index{Bewertung!von meromorpher Funktion} die Vorschrift\index{vp@$v_p$ Bewertung} $$v_p (f) \pdef\op{sup}\{n\in\DZ \mid (z -p)^{-n} f(z) \text{ ist holomorph bei }p\}$$ In Formeln ist die Bewertung also eine Abbildung $v_p:\cal{M}^{\op{an}} (U)\ra \DZ\amalg\{\infty\}$. Unsere Bewertung ist positiv auf Funktionen, die bei $p$ eine Nullstelle haben, negativ auf Funktionen, die bei $p$ eine Polstelle haben, und unendlich genau dann, wenn unsere Funktion in einer Umgebung des Punktes $p$ identisch verschwindet. Man zeige f"ur alle meromorphen Funktionen $f,g \in \cal{M}^{\op{an}}(U)$ und alle $p\in U$ die Formeln $v_p (fg)= v_p (f) + v_p(g)$ und $v_p (f+g)\geq\op{min}( v_p (f) , v_p(g))$ sowie im Fall $v_p (f) \neq v_p(g)$ die Gleichheit $v_p (f+g)=\op{min}( v_p (f) , v_p(g))$. Ist $U$ zusammenh"angend, so ist $v_p$ mithin eine diskrete Bewertung im Sinne von \eref{diBe}{KAG} auf dem K"orper $\mathcal M^{\op{an}}(U)$. \end{Ubung} \begin{Bemerkungw} F"ur jede Primzahl $p$ erkl"art man analog auch eine Bewertung $v_p:\DQ\ra \DZ\amalg\{\infty\}$ durch die Vorschrift, da"s gilt $v_p(0)=\infty$ und $v_p(p^na/b)=n$ f"ur $a,b\in\DZ$ teilerfremd zu $p$. Diese Bewertung hat analoge Eigenschaften wie unsere Bewertung meromorpher Funktionen aus der vorhergehenden "Ubung \ref{Bew}. Die hier aufscheinende formale Analogie zwischen dem K"orper $\DQ$ der rationalen Zahlen und K"orpern von meromorphen Funktionen geht noch sehr viel weiter und hat sich f"ur die Zahlentheorie als "au"serst fruchtbar erwiesen. \end{Bemerkungw} \begin{Ubung} Bezeichne $c:\DC\ra\DC$ die komplexe Konjugation und bezeichne derselbe Buchstabe die Fortsetzung dieser Abbildung auf $\mathbb P^1\DC$ durch $\infty\mapsto\infty$. Sei $U\co \DC$ eine offene Teilmenge.\label{HAHm} Ist $f:U\ra \mathbb P^1\DC$ meromorph, so ist auch $cfc: c(U)\ra P^1\DC$ meromorph und f"ur alle $q\in U$ gilt $v_{\bar q}(cfc)=v_{ q}(f)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{GlR} Die Entwicklung in eine Laurentreihe liefert f"ur jede zusammenh"angende offene Umgebung $U\co \DC$ des Ursprungs in der komplexen Zahlenebene einen K"orperhomomorphismus $$\cal{M}^{\op{an}}(U)\ra \DC(\!( z )\!)$$ vom K"orper der meromorphen Funktionen auf $U$ in den Ring der formalen Laurentreihen $\DC(\!( z )\!)$ aus \eref{FRL}{LA1}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man gebe eine meromorphe Funktion auf $\DC$ an, die $\DC$ surjektiv auf $\mathbb P^1\DC$ abbildet. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine meromorphe Funktion $f:U\ra\DC$ mit diskreten Nullstellen erkl"art man ihre {\bf logarithmische Ableitung}\index{logarithmische Ableitung}\index{Ableitung!logarithmische} wie in \ref{logA} durch die Vorschrift\label{logAM} $$\frac{\op{dlog}f(z)}{\diff z}\pdef \frac{f'(z)}{f(z)}$$ Man zeige, da"s auch im Fall meromorpher Funktionen die logarithmische Ableitung eines Produkts die Summe der logarithmischen Ableitungen der Faktoren ist. Gibt es einen Zweig des Logarithmus $\log:V\ra \DC$ auf einer Teilmenge $V\co \DC$ mit $f(U)\subset V$, so ist wie in \ref{logA} bereits gezeigt die logarithmische Ableitung von $f$ f"ur jeden solchen Zweig die Ableitung der Verkn"upfung $\log\circ f$. \end{Ubung} \subsection{Umlaufzahl und Residuensatz \sose{(21.6)}} \label{URE} \begin{Satz} Jeder geschlossene Weg in der punktierten Ebene $\DC^\times$ ist f"ur genau eine ganze Zahl\label{UmZ} $n \in \Bbb{Z}$ \hyperref[ffhh]{frei homotop} zu dem geschlossenen Weg, der gegeben wird durch die Vorschrift $[0,1] \ra \Bbb{C}^\times$, $ t \mapsto \op{e}^{2\pi{\op{i}}nt}$. Diese ganze Zahl $n$ hei"st die \emph{\bf Umlaufzahl}\index{Umlaufzahl!eines Weges!in der Zahlenebene} oder auch\index{Um f"ur Umlaufzahl} \emph{\bf Windungszahl}\index{Windungszahl} des geschlossenen Weges $\gamma$ um den Ursprung. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/umlaufdef.mp4}{Hier ist ein Film zur Definition der Umlaufzahl.} Analog definiert man die Windungszahl eines geschlossenen Weges $\gamma$ um einen beliebigen Punkt $w$ der komplexen Zahlenebene, der nicht auf dem Bild des Weges liegt. Wir notieren sie $$\op{Um}(\gamma, w)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Anschaulich beschreibt f"ur $n\geq 1$ die Abbildung $[0,1] \ra \Bbb{C}^\times$, $ t \mapsto \op{e}^{2\pi{\op{i}}nt}$ einen Weg, der vom Punkt $1$ ausgehend mit konstanter absoluter Geschwindigkeit $n$-mal im Gegenuhrzeigersinn auf dem Einheitskreis uml"auft; f"ur $n\leq -1$ ist es der Weg, der $(-n)$-mal im Uhrzeigersinn uml"auft; f"ur $n=0$ haben wir den konstanten Weg vor uns, der schlicht auf dem Punkt $1$ sitzenbleibt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Noch nat"urlicher w"are es, statt der Umlaufzahl gleich das Element $2\pi{\op{i}}\op{Um}(\gamma,w)$ von $\op{ker}(\op{exp}:\DC\ra\DC^\times)=2\pi{\op{i}}\DZ$ zu betrachten: Dieses Element ist n"amlich auch f"ur einen K"orper von \glqq verge"slichen komplexen Zahlen\grqq\ im Sinne von \eref{vDC}{LA1} wohldefiniert. So weit will ich aber hier nicht gehen. Man notiert die Gruppe $\op{ker}(\op{exp}:\DC\ra\DC^\times)$ auch $\DZ(1)=\DZ_\DC(1)\pdef \op{ker}(\op{exp})$\index{Z@$\DZ(1)$ Tate-Twist von $\DZ$} und nennt sie den {\bf Tate-Twist von $\DZ$}.\index{Tate-Twist von $\DZ$} \end{Bemerkungw} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUlZ} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering In jede Zusammenhangskomponente aus dem Komplement des hier gezeichneten Weges habe ich hier die Umlaufzahl des besagten Weges um einen und jeden Punkt aus besagter Zusammenhangskomponente geschrieben. \end{minipage} \end{figure} \begin{proof}[Beweis von Satz \ref{UmZ}] \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/umlaufbeweis.mp4}{Hier ist ein Film zum Beweis des Satzes \"uber die Umlaufzahl.} Sei $\gamma : [a,b] \ra \Bbb{C}^\times$ unser geschlossener Weg. Wir zeigen zun"achst, da"s es einen Weg $\tilde{\gamma} : [a,b] \ra \Bbb{C}$ gibt mit $\gamma = \op{exp}\circ \tilde{\gamma}$, und das sogar zu jedem vorgegebenen Anfangspunkt $\tilde{\gamma} (a)$ mit $\exp(\tilde{\gamma} (a)) = \gamma (a)$. Falls $\gamma$ ganz in der geschlitzten Ebene $\Bbb{C} \backslash \Bbb{R}_{\leq 0}$ verl"auft, ist das klar: Wir nehmen einfach $$\tilde{\gamma} (t) = \log (\gamma (t)) + 2\pi {\op{i}}k$$ mit $\log$ der Umkehrung von $\op{exp} : \Bbb{R} \times (-\pi {\op{i}}, \pi {\op{i}}) \overset{\sim}{\ra} \Bbb{C} \backslash \Bbb{R}_{\leq 0}$ und $k\in\DZ$ so gew"ahlt, da"s unser \glqq hochgehobener Weg\grqq\ $\tilde{\gamma}$ beim vorgegebenen Anfangspunkt beginnt. Falls $\gamma$ ganz in einer andersartig geschlitzten Ebene $\Bbb{C} \backslash \Bbb{R}_{\geq 0} w$ mit $w \in \Bbb{C}^\times$ verl"auft, finden wir unsere Hochhebung analog. Im allgemeinen w"ahlen wir $a = a_0 < a_1 < \ldots< a_r = b$ so, da"s $\gamma [a_{i-1}, a_i]$ jeweils ganz in einer geschlitzten Ebene enthalten ist, w"ahlen induktiv Hochhebungen $\tilde{\gamma}_i$ der $\gamma |_{[a_{i-1},a_i]}$ so, da"s $\tilde{\gamma}_i$ dort beginnt, wo $\tilde{\gamma}_{i-1}$ aufh"ort, und setzen diese st"uckweisen Hochhebungen dann zum gesuchten Weg $\tilde{\gamma} : [a,b] \ra \Bbb{C}$ zusammen. Da das Urbild der Eins unter der komplexen Exponentialfunktion nach \eref{SurCE}{AN1} gerade $2\pi{\op{i}}\DZ$ ist, haben wir nat"urlich $\tilde{\gamma} (b) = \tilde{\gamma}(a) + 2\pi {\op{i}}n$ f"ur $n \in \Bbb{Z}$. Nach \ref{cKonvexc} %\eref{Konvexc}{AN2} oder auch kurzem Nachdenken sind je zwei Wege in $\DC$ mit demselben Anfangs- und Endpunkt homotop, folglich mu"s $\tilde{\gamma}$ sein homotop zum Weg $\beta : [0,2\pi]\ra \Bbb{C}$, $t \mapsto \tilde{\gamma} (a) + {\op{i}}nt$. Dann ist aber nach \ref{cBHc} %\eref{BHc}{AN2} auch $\gamma = \exp \circ \tilde{\gamma}$ homotop zu $\exp \circ \beta$. Dieser Weg ist aber offensichtlich in $\DC^\times$ frei homotop zum Weg $[0,1] \ra \Bbb{C}^\times, t \mapsto \op{e}^{2\pi{{\op{i}}}nt}$ und das zeigt im Satz die Existenz. Mit der Homotopieinvarianz des Wegintegrals \ref{FrHo} erhalten wir f"ur die Umlaufzahl eines geschlossenen Weges $\gamma$ um einen beliebigen Punkt $w$ au"serhalb des Bildes von $\gamma$ die Integraldarstellung \begin{displaymath} n = \op{Um} (\gamma, w) = \frac{1}{2\pi {\op{i}}} \int_{\gamma} \frac{1}{z-w} \diff z \end{displaymath} Sie zeigt sofort die Eindeutigkeit der Umlaufzahl. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Wenden wir unsere Erkenntnis \ref{FWI}, nach der das Wegintegral mit Verwandtschaft vertr"aglich ist, auf die Situation vom Ende des vorhergehenden Beweises an, so erhalten wir zumindest im Fall eines Integrationsweges $\gamma$ die Identit"at $$\int_{\tilde\gamma} \diff w =\int_\gamma \frac{1}{z}\diff z$$ So ergibt sich ein weiteres Mal $\tilde \gamma(b)-\tilde \gamma(a) =2\pi{\op{i}}n$ f"ur $n$ die Umlaufzahl von $\gamma$ um den Ursprung. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungw} Der oben gegebene Beweis f"ur die Eindeutigkeit der Umlaufzahl mithilfe eines Integrals ist zwar im Rahmen der Funktionentheorie bequem, scheint mir f"ur sich allein betrachtet jedoch unangemessen verwickelt. Ich ziehe den Beweis im Rahmen der Topologie vor, der in \eref{HKPE}{TF} besprochen wird. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungw}\label{EBRi} Der Begriff der Umlaufzahl erm"oglicht auch eine noch allgemeinere Fassung des Cauchy'schen Integralsatzes, die sogenannte {\bf Um\-lauf\-zahl\-ver\-sion des Integralsatzes}: Ist im Definitionsbereich einer holomorphen Funktion ein geschlossener Weg gegeben, der keinen Punkt au"serhalb des Definitionsbereichs uml"auft, so verschwindet das Wegintegral unserer Funktion l"angs dieses Weges. Wir diskutieren seinen Beweis im Rahmen der singul"aren Homologietheorie in \eref{UZIS}{TS}. \end{Bemerkungw} \begin{Definition}\label{DefRe} Der Koeffizient von $(z-p)^{-1}$ in der Laurententwicklung nach \ref{LaEw} einer holomorphen Funktion $f(z)$ mit isolierter Singularit"at bei $w$ hei"st das \defind{Residuum} $$\op{Res} (f,p)=\op{Res}_p f$$ von $f$ bei $p$. Ist die Funktion $f$ durch einen Ausdruck in einer komplexen Variablen gegeben, etwa als Ausdruck in der Variablen $z$, so verwenden wir f"ur das Residuum von $f$ bei $p$ in Bezug auf $z$ auch die Notation $\op{Res}_{z=p}f(z)$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Nach dem Satz "uber die Laurententwicklung \ref{ELR} oder genauer seinem Beweis haben wir also \begin{displaymath} \op{Res} (f,p) = \frac{1}{2\pi{\op{i}}} \int_{|z-p|=r} f(z) \diff z \end{displaymath} f"ur jeden positiven Radius $r>0$ derart, da"s unsere Funktion $f$ mit Ausnahme der singul"aren Stelle $p$ auf einer Umgebung der abgeschlossenen Kreisscheibe $\{ z \mid |z-p| \leq r\}$ definiert ist und dort keine weiteren Singularit"aten hat. Das Integral verstehen wir wie bei unserer Diskussion der Laurentreihen als das komplexe Wegintegral beim einmaligen Durchlaufen der fraglichen Kreislinie im Gegenuhrzeigersinn. Die Bezeichnung als \glqq Residuum\grqq, lateinisierend f"ur \glqq "Uberbleibsel\grqq, hat wohl damit zu tun, da"s diese Zahl den einzigen Term der Laurentreihe beschreibt, der in diesem Zusammenhang beim Integrieren "ubrigbleibt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Berechnung von Residuen}] Hat unsere Funktion $f$ nur einen Pol erster Ordnung bei $p$, so l"a"st sich $g(z)\pdef (z-p)f(z)$ stetig "uber $z=p$ fortsetzen und wir haben offensichtlich $g(p)=\op{Res} (f,p)$. L"a"st sich allgemeiner f"ur irgendein $n\in\DN$ die Funktion $g(z)\pdef (z-p)^{n+1} f(z)$ stetig "uber $z=p$ fortsetzen, so ist diese Fortsetzung holomorph und ihre $n$-te Ableitung bei $p$ liefert das Residuum von $f$ bei $p$ vermittels der Identit"at $g^{(n)}(p)=n!\op{Res} (f,p)$, die man leicht mithilfe der Laurententwicklung von $f$ um $p$ einsehen kann. Bei der Berechnung des Wertes der Fortsetzung durch Null von $g$ hilft in diesem Zusammenhang oft die Regel von de l'Hospital \ref{RvHh}. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Residuensatz}] Ist $U \co \Bbb{C}$ offen, $P \subset U$ endlich, $f: U \backslash P \ra \Bbb{C}$ holomorph\label{ReSa} und $\gamma$ ein geschlossener Weg in $U \backslash P$, der in $U$ zusammenziehbar ist, so gilt \begin{displaymath} \int_\gamma f(z) \diff z = 2\pi {\op{i}} \sum_{p \in P} \op{Um} (\gamma, p) \op{Res} (f,p) \end{displaymath} \end{Satz} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildReSS} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Ein geschlossener Weg in einer ringf"ormigen offenen Menge $U\co \DC$, der in $U$ nicht zusammenziehbar ist. Mit $P=\{p_1,p_2,p_3\}$ d"urfen wir also in diesem Fall den Residuensatz nicht anwenden: Das geht nur, wenn sich unsere Funktion \glqq holomorph auf das fehlende innere Ei fortsetzen l"a"st\grqq. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/residuensatz.mp4}{Hier ist ein Film zum Residuensatz.} Integrieren wir also in Worten eine holomorphe Funktion mit endlich vielen isolierten Singularit"aten l"angs eines geschlossenen Weges, der in ihrem Definitionsbereich vereinigt mit den singul"aren Stellen zusammenziehbar ist, so ist das Wegintegral bis auf den Faktor $2\pi{\op{i}}$ die Summe der Residuen, jeweils gewichtet mit der Umlaufzahl unseres Weges um die entsprechende singul"are Stelle. Ist unser geschlossener Weg sogar bereits im Komplement $U\backslash P$ der singul"aren Stellen zusammenziehbar, so verschwindet das Wegintegral nach den Cauchy'schen Integralsatz, und der Residuensatz liefert auch Null f"ur den Wert der Integrals, da dann bereits alle Umlaufzahlen um Punkte aus $P$ Null sind. In \eref{ReSaH}{TS} diskutieren wir auch noch eine etwas allgemeinere Version f"ur \glqq in $U$ nullhomologe Wege\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/residuensatzbeweis.mp4}{Hier ist ein Film zum Beweis des Residuensatzes.} Entwickeln wir $f$ um ein $p \in P$ in seine Laurentreihe \begin{displaymath} f(z) = \sum_{n\in \Bbb{Z}} a_n (z-p)^n \end{displaymath} und fassen darin alle Terme f"ur $n\leq -2$ zusammen zur auf der punktierten Ebene kompakt konvergenten Reihe $h_p (z) \pdef \sum_{n \leq -2} a_n (z-p)^n$, so ist $h_p$ eine wohldefinierte holomorphe Funktion auf $\Bbb{C} \backslash p$ und besitzt sogar eine Stammfunktion, gegeben durch die Reihe $\sum_{n\leq -2} a_n (z-p)^{n+1} /(n+1)$. Die Funktion \begin{displaymath} f(z) - \sum_{p\in P} h_p (z) - \sum_{p \in P} \frac{\op{Res} (f,p)}{z-p} \end{displaymath} hat nun offensichtlich hebbare Singularit"aten bei allen $p \in P$, mithin verschwindet nach dem Integralsatz von Cauchy \ref{ISC} ihr Wegintegral "uber unseren in $U$ zusammenziehbaren Weg $\gamma$. Da die $h_p$ Stammfunktionen haben, verschwindet auch ihr Wegintegral "uber den geschlossenen Weg $\gamma$. Mit unserer funktionentheoretischen Beschreibung der Umlaufzahl aus dem Beweis von \ref{UmZ} ergibt sich damit \begin{displaymath} \int_\gamma f(z) \diff z = \sum_{p \in P} \op{Res} (f,p) \int_\gamma \frac{\diff z}{z-p} =2\pi{\op{i}} \sum_{p \in P} \op{Res} (f,p) \op{Um}(\gamma,p) \qedhere\end{displaymath} \end{proof} \subsubsection{"Ubungen} \begin{Ubung} Man erkl"are, inwiefern Cauchy's Integralformel \ref{CaIF} ein Spezialfall des Residuensatzes ist. \end{Ubung} \subsection{Anwendungen des Residuensatzes \sose{(23.6)}} \begin{Proposition}[\textbf{Null- beziehungsweise Polstellenordnung als Residuum}] Gegeben eine meromorphe Funktion $f:\DC\lco U\ra \mathbb P^1\DC$ ohne nichtisolierte Nullstellen\label{npr} und $p\in U$ gilt $$v_p(f)=\op{Res}\left(\frac{f'}{f},p\right)=\op{Res}(\op{dlog}{f},p)$$ \end{Proposition} \begin{proof} Wir setzen $n\pdef v_p(f)$. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $p=0$. Wir k"onnen mit der lokalen Laurentreihenentwicklung schreiben $f(z) = z^n g(z)$ mit $g (z)$ holomorph ohne Nullstelle in einer Umgebung des Ursprungs. Damit erhalten wir \begin{displaymath} \frac{f^{\prime}(z)}{f(z)} = \frac{n z^{n-1} g(z) + z^n g^{\prime}(z)} {z^n g(z)} = \frac{n}{z} + \frac{g^{\prime} (z)}{g(z)} \end{displaymath} und das Residuum am Urspung ist in der Tat $n$. Alternativ finden wir mit "Ubung \ref{logAM} direkt $\op{dlog}(z^ng(z))=\op{dlog}(z^n)+\op{dlog}(g(z))$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Z"ahlen von Null- und Polstellen}] Seien $U \co \Bbb{C}$ eine offene Teilmenge und $f\in \mathcal M^{\op{an}}(U)$ eine meromorphe Funktion auf $U$ und $\gamma$\label{ZNP} ein in $U$ zusammenziehbarer Weg, der keine Nullstelle und keine Polstelle von $f$ trifft. So gilt \begin{displaymath} \op{Um} (f\circ \gamma,0) =\frac{1}{2\pi{\op{i}}} \int_{\gamma} \frac{f^{\prime}(w)}{f(w)} \diff w = \sum_{p\in U} \op{Um} (\gamma,p) v_p (f) \end{displaymath} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/zahlnullpolbeweis.mp4}{Hier ist ein Film zum Beweis des Satzes \"uber das Z\"ahlen von Null- und Polstellen.} Wir zeigen feiner die Gleichungskette $$\op{Um} (f\circ \gamma,0) =\frac{1}{2\pi{\op{i}}} \int_{f\circ \gamma} \frac{1}{z} \diff z= \frac{1}{2\pi{\op{i}}} \int_{\gamma} \frac{f^{\prime}(w)}{f(w)} \diff w= \sum_{p\in U} \op{Um} (\gamma,p) v_p (f)$$ Die erste Gleichung folgt unmittelbar aus dem Residuensatz. Die Zweite folgt aus der Erkenntnis \ref{FWI}, da"s das Wegintegral Verwandtschaft respektiert. Die dritte Gleichung folgt wieder aus dem Residuensatz mit unserer Formel $v_p(f)=\op{Res}(\op{dlog} f,p)$ aus \ref{npr}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur den Satz zum Z"ahlen von Null- und Polstellen}] Besonders anschaulich scheint mir der Fall $f(z)=z^n$ mit $\gamma$ einem Kreisweg um den Ursprung. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/zahlnullpol.mp4}{Hier ist ein Film zur anschaulichen Bedeutung des Satzes \"uber das Z\"ahlen von Null- und Polstellen.} Im Fall einer allgemeinen holomorphen Funktion $f$ kann man sich "uberlegen, da"s unser Weg $\gamma$ homotop sein mu"s zu einer \glqq Verkettung\grqq\ von Wegen, die erst von einem festen Punkt zu einer ihrer Nullstellen laufen, dann auf einem kleinen Kreisweg um diese herum, und danach auf demselben Weg wieder zur"uck. F"ur Wege dieser Art und dann auch f"ur ihre Verkettungen scheint mir die Aussage anschaulich klar, wenn man den Satz \ref{lshf} "uber die lokale Struktur holomorpher Funktionen beachtet. Die Erweiterung dieser Anschauung auf den meromorphen Fall bleibe dem Leser "uberlassen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Topologische Variante zum Z"ahlen von Nullstellen}] Der Satz bleibt richtig, wenn wir eine beliebige stetige Abbildung $f:U\ra \DC$ betrachten, bei der die Faser $f^{-1}(0)$ "uber dem Ursprung endlich ist. Wir m"ussen dann nur $v_p (f)$ interpretieren als die Umlaufzahl $\op{Um}(f\circ \beta_p,0)$ um den Ursprung f"ur $\beta_p$ einen \glqq sehr kleinen\grqq\ Kreisweg um $p$ im Gegenuhrzeigersinn und m"ussen zeigen, da"s das wohldefiniert ist. Diese Summe geht dann "uber alle Punkte der Faser $f^{-1}(0)$ "uber dem Ursprung, und f"ur Punkte dieser Faser ist das so erkl"arte $v_p (f)$ ein Spezialfall eines Konzepts, das wir in \eref{lABG}{TS} in gr"o"serer Allgemeinheit als \glqq lokalen Abbildungsgrad\grqq\ einf"uhren. Unsere Formel folgt dann aus Argumenten im Beweis von \eref{ABGrn}{TS}. Die Erweiterung dieser Anschauung auf den Fall einer stetigen Abbildung in die Sph"are $f:U\ra S^2$ bleibe dem Leser "uberlassen. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Im Satz ist die Summe auf der rechten Seite sinnvoll}] Wir erinnern daran, da"s die Bewertung $v_p (f) $ von $f$ bei $p$, wenn $f$ nicht in einer Umgebung von $p$ identisch verschwindet, in \ref{Bew} definiert wurde als die Zahl $n \in \Bbb{Z}$ mit $f(z)=(z -p)^n g(z)$ f"ur $g$ holomorph um $p$ ohne Nullstelle bei $p$. Wir haben also $v_p (f) >0$ bei Nullstellen, $v_p (f) < 0$ bei Polstellen, und $v_p (f) =0$ sonst. F"ur einen zusammenziehbaren Weg l"a"st sich nun per definitionem die zugeh"orige Abbildung vom Einheitskreis stetig auf die ganze Einheitskreisscheibe fortsetzen. Au"serhalb des kompakten Bildes dieser Fortsetzung kann er dann keinen Punkt umlaufen, und innerhalb dieses Bildes k"onnen nur endlich viele Nullstellen und Polstellen liegen. Damit hat die Summe auf der rechten Seite unserer Formel auch wirklich nur endlich viele von Null verschiedene Terme. Sollte $f$ auf einer Komponente von $U$ identisch verschwinden, so kann der Weg keinen Punkt dieser Komponente umlaufen und wir interpretieren die Beitr"age $0\cdot\infty$ zu unserer Summe durch Punkte aus einer derartigen Komponente als Null. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Satz von Rouch\'e\index{Rouch\'e, Satz von}}] Seien $f,\phi:\DC\lco U\ra\DC$ holomorph und $B\As U$ eine abgeschlossene Kreisscheibe. Gilt $|f (z) | > | \phi (z)| \; \forall z \in \partial B$, so haben $f$ und $f + \phi$ mit Vielfachheiten gez"ahlt gleichviele Nullstellen in $B$. \end{Korollar} \begin{Korollar}[\textbf{Satz von Rouch\'e, Variante}] Seien $f,\phi:\DC\lco U\ra\DC$ meromorph und $\gamma: [a,b]\ra U$ ein geschlossener in $U$ zusammenziehbarer Weg. Haben $f$ und $\phi$ keine Polstellen auf dem Weg $\gamma$ und gilt $f(\gamma(t))+s\phi(\gamma(t))\neq 0$ f"ur alle $s\in [0,1]$ und $t\in [a,b]$, so haben wir \begin{equation*} \sum_{p \in B} \op{Um} (\gamma, p)v_p (f) = \sum_{p \in B} \op{Um} (\gamma, p)v_p (f+ \phi) \end{equation*} \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Ich denke mir in diesem Kontext $\phi$ als eine \glqq kleine St"orung\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{proof} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/rouche.mp4}{Hier ist ein Film zum Beweis des Satzes von Rouch\'e.} Das erste Korollar folgt leicht aus der sehr viel allgemeineren Variante. Um die Variante zu zeigen, m"ussen wir nur bemerken, da"s aus unserem Satz \ref{ZNP} "uber das Z"ahlen von Null- und Polstellen folgt \begin{equation*} \op{Um} (f \circ \gamma, 0) = \sum_{p \in B}\op{Um} (\gamma, p) v_p (f) \quad \op{Um} ((f+\phi) \circ \gamma, 0) = \sum_{p \in B} \op{Um} (\gamma, p)v_p (f+ \phi). \end{equation*} Nach Annahme ist aber $(t,s)\mapsto f (\gamma(t)) + s \phi (\gamma(t))$ eine freie Homotopie unserer beiden geschlossenen Wege $f \circ \gamma$ und $( f+ \phi) \circ \gamma $ in $\mathbb C^\times$. Folglich haben beide Wege dieselbe Umlaufzahl um den Ursprung. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Weierstra"s}] Gegeben eine abgeschlossene diskrete Teilmenge $P \subset \mathbb C$ und eine Abbildung $n : P \rightarrow \mathbb N$ gibt es eine holomorphe Funktion $f : \mathbb C \rightarrow \mathbb C$, die an jeder Stelle $p \in P$ eine Nullstelle der Ordnung $n (p) $ hat und au"serhalb von $P$ keine Nullstellen. \end{Satz} \begin{proof} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/vorgnst.mp4}{Hier ist ein Film zum Beweis der Existenz holomorpher Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen.} Existiert solch eine Funktion $f$, so l"ost ihre logarithmische Ableitung $f^\prime / f$ nach \ref{npr} die Hauptteilverteilung $n (p)/(z - p)$ f"ur $ p \in P$, die Differenz $(f^\prime / f) -(n (p)/(z - p))$ hat also eine hebbare Singularit"at bei $p$. Ist umgekehrt $g$ eine L"osung dieser Hauptteilverteilung nach \ref{MiLef}, so gilt f"ur jeden geschlossenen Weg $\gamma$ in $\mathbb C \backslash P$ nach dem Residuensatz \begin{equation*} \int_\gamma g (z) \diff z \in 2 \pi i \mathbb Z \end{equation*} W"ahlen wir einen Ausgangspunkt $q \in \mathbb C \backslash P$ fest und erkl"aren f"ur $w \in \mathbb C \backslash P$ beliebig $ f(w) := \op{exp} \int_\gamma g (z) \diff z $ f"ur irgendeinen Weg $\gamma $ in $\mathbb C \backslash P$ von $q$ nach $w$, so h"angt $f (w)$ nicht von der Wahl des Weges ab. Halten wir einen Weg zu einer Stelle $w_0$ fest und betrachten eine offene Kreisscheibe $D$ um $w_0$ in $\mathbb C \backslash P$ und betrachten nur solche Wege nach $w\in D$, die erst unser fester Weg nach $w_0$ sind und danach ganz in $D$ verlaufen, so ist $G(w)\pdef \int_\gamma g (z) \diff z$ eine Stammfunktion von $g$ auf $D$ und $f(w)=\op{exp}\circ G$ holomorph auf $D$ mit $g$ als logarithmischer Ableitung. Also ist $f$ auf ganz $ \mathbb C \backslash P$ holomorph ohne Nullstellen mit logarithmischer Ableitung $f' / f=g$. Genauer gibt es um jeden Punkt $p \in P$ eine offene Kreisscheibe $U$, die keinen anderen Punkt von $P$ enth"alt und in der folglich gilt $g (z) = h_p (z) + n(p)/(z - p)$ f"ur $h_p : U \rightarrow \mathbb C$ holomorph. Ist $H_p$ eine Stammfunktion von $h_p$ auf $U$, so finden wir durch explizite Rechnung $f(w)=c\op{exp}(H_p(w))(w - p)^{n(p)}$ f"ur festes $c\in \DC^\times$ und alle $w\in U\backslash p$. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Integrale rationaler Funktionen}] \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/intrat.mp4}{Hier ist ein Film zur Anwendung des Residuensatzes auf rationale Funktionen.} Gegeben eine rationale Funktion $f$ ohne Polstellen auf der reellen Achse, bei der der Grad des Nenners um mindestens zwei gr"o"ser ist als der Grad des Z"ahlers,\label{IRFuu} gilt \begin{displaymath} \int^{\infty}_{-\infty} f(x) \diff x= 2 \pi{\op{i}} \sum_{\op{Im} \zeta >0} \op{Res} (f,\zeta ) \end{displaymath} Nach dem Residuensatz ergibt sich n"amlich die rechte Seite, wenn wir f"ur $r$ gr"o"ser als der Betrag aller Polstellen das Wegintegral von $-r$ bis $r$ entlang der reellen Achse und dann auf einen gro"sen Halbkreis durch die obere Halbebene zur"uck ausrechnen. Lassen wir hier $r$ gegen unendlich streben, so strebt die L"ange dieses Halbkreises linear gegen unendlich, das Betragsmaximum der Funktion darauf strebt jedoch quadratisch gegen Null. Folglich streben die Wegintegrale "uber immer gr"o"sere Halbkreise gegen Null und die Formel folgt. Diese Anwendung war allerdings die M"uhe des Residuensatzes nicht wert. Wir h"atten auch einfach wie in \ref{FIRFu} erkl"art die Funktion $f$ in einem Partialbruch entwickeln und eine Stammfunktion explizit angeben und zwischen $-\infty$ und $\infty$ auswerten k"onnen. Als "Ubung m"ogen Sie zeigen, da"s dabei dasselbe herausgekommen w"are. Als Beispiel bestimmen wir nochmal das Integral "uber die ganze reelle Achse von $f(x)=1/(1+x^2)=1/((x+\op{i})(x-\op{i}))$. Diese Funktion hat einfache Pole bei $\pm\op{i}$. Ihr Residuum bei $\op{i}$ k"onnen wir bestimmen, indem wir unsere Funktion mit $(x-\op{i})$ multiplizieren und dann bei $x=\op{i}$ auswerten. So folgt $\op{Res}(f,\op{i})=1/(2\op{i})$ und wir erhalten $\int_{-\infty}^\infty1/(1+x^2)\diff x=\pi$ in "Ubereinstimmung mit \eref{AbAr}{AN1}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Summe aller Residuen rationaler Funktionen}] Dasselbe Argument liefert f"ur jede rationale Funktion ohne Pole auf der reellen Achse, bei der der Grad des Nenners um mindestens Zwei gr"o"ser ist als der Grad des Z"ahlers, auch die Identit"at \begin{displaymath} \int^{\infty}_{-\infty} f(x) \diff x= -2 \pi{\op{i}} \sum_{\op{Im} \zeta <0} \op{Res} (f,\zeta ) \end{displaymath} Der geneigte Leser mag sich anhand der Partialbruchzerlegung auch auf algebraischem Wege davon "uberzeugen, da"s sich diese beiden Formeln nicht widersprechen, sondern vielmehr auch "uber einem beliebigen algebraisch abgeschlossenen K"orper die Summe der analog definierten Residuen einer rationalen Funktion Null sein mu"s, wenn der Grad des Nenners um mindestens zwei gr"o"ser ist als der Grad des Z"ahlers. Von einem h"oheren Standpunkt betrachtet ist das eine Konsequenz der Erkenntnis, da"s f"ur jede rationale Einsform auf der projektiven Grade die Summe ihrer Residuen verschwindet. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Integrale rationaler Funktionen mit Exponentialterm}] Gegeben eine rationale Funktion $f$ ohne Polstellen auf der reellen Achse, bei der der Grad des Nenners gr"o"ser\label{Irnr} ist als der Grad des Z"ahlers, gilt \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildeizf} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Der Integrationsweg bei der Berechnung von $\int^\infty_{-\infty} f(x) \op{e}^{{\op{i}}x} \diff x$ \end{minipage} \end{figure} \begin{displaymath} \int^\infty_{-\infty} f(x) \op{e}^{{\op{i}}x} \diff x = 2\pi{\op{i}} \sum_{\op{Im}\zeta >0} \op{Res}_{z=\zeta} f(z)\op{e}^{{\op{i}}z} \end{displaymath} in dem Sinne, da"s sowohl $\lim_{r\ra \infty} \int^r_0$ als auch $\lim_{r\ra \infty}\int^0_{-r}$ existieren und ihre Summe den angegebenen Wert hat. Im Fall, da"s der Grad des Nenners sogar um mindestens zwei gr"o"ser ist als der Grad des Z"ahlers, kann das in \ref{IRFuu} angewandte Argument unver"andert "ubernommen werden. Im allgemeinen betrachten wir "ahnlich wie in \ref{aehn} Wege einmal im Gegenuhrzeigersinn um den Rand des Rechtecks mit Ecken $a,b, a+{\op{i}}h, b+ {\op{i}}h$ f"ur $a < b$ in $\Bbb{R}$ und $h > 0$. Ist unser Rechteck so gro"s, da"s es alle Polstellen von $f$ in der oberen Halbebene umfa"st, so ist das Wegintegral um seinen Rand nach dem Residuensatz genau die rechte Seite der behaupteten Formel. Die Integrale "uber die drei Kanten $\rho,\lambda, \omega$ f"ur \glqq rechts, links und oben\grqq\ au"serhalb der reellen Achse k"onnen wir jedoch absch"atzen durch \begin{displaymath} \left|\int_{\rho} f(z) \op{e}^{{\op{i}}z} \diff z \right| \leq \op{sup}_{z \in \rho} |f (z)| \int^h_0 \op{e}^{-t} \diff t \leq \sup_{z \in \rho} |f(z)| \end{displaymath} und analog auf der linken Kante, auf der oberen Kante dahingegen durch \begin{displaymath} \left|\int_{\omega} f(z) \op{e}^{{\op{i}}z} \diff z \right| \leq (b-a)\op{e}^{-h} \sup_{z \in \omega} |f(z)| \end{displaymath} Halten wir $a$ fest und nehmen $b=h$ und lassen $h$ nach Unendlich streben, so ergibt sich die Existenz des Grenzwerts $\lim_{r\ra \infty} \int^r_0$. Die Existenz des anderen Grenzwerts zeigt man analog, und die behauptete Formel folgt, wenn wir $h=b=-a$ nehmen und das gegen Unendlich streben lassen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Fouriertransformierte rationaler Funktionen}] Eine rationale Funktion $f$ ohne Polstellen auf der reellen Achse, bei der der Grad des Nenners um mindestes Zwei gr"o"ser\label{IrnrF} ist als der Grad des Z"ahlers, ist quadratintegrierbar und ihre stochastisch standardisierte Fouriertransformierte wird nach \eref{BSD}{AN3} gegeben durch die Vorschrift $$f^\wedge ( y) \pdef \int_{-\infty}^\infty f(x) \op{e}^{{\op{i}} x y} \diff x$$ Unsere Formel \ref{IRFuu} berechnet also $f^\wedge(0)$ und \ref{Irnr} berechnet $f^\wedge(1)$. F"ur allgemeines $y\neq 0$ liefert uns die Substitution $u= x y$ alias $x=u/ y$ und $\diff x=\diff u/ y$ die Identit"at $$f^\wedge ( y) \pdef \frac{1}{ y}\int_{-\infty}^\infty f(u/ y) \op{e}^{{\op{i}}u} \diff u$$ und das k"onnen wir wieder mit unserer Formel \ref{Irnr} ausrechnen und, wenn die Partialbruchzerlegung von $f$ bekannt ist, sogar ganz explizit bestimmen. Ist der Grad des Nenners nur um Eins gr"o"ser als der Grad des Z"ahlers, so ist $f$ immer noch quadratintegrierbar und wir k"onnen auf diesem Wege seine Fouriertransformierte im Sinne von \eref{FouqI}{AN3} finden. Beispielhaft nehmen wir $f(x)=1/(x-\alpha)$ f"ur $\alpha\in \DC\backslash \DR$ und finden bei Beachtung der Tatsache, da"s bei unserer Substitution im Fall $y<0$ auch die Integrationsgrenzen zu vertauschen sind, unschwer $$\int^\infty_{-\infty} \frac{\op{e}^{{\op{i}}xy}\diff x}{x-\alpha} =\frac{y}{|y|}\int^\infty_{-\infty} \frac{\op{e}^{{\op{i}}u}\diff u}{u-y\alpha} = \left\{\begin{array}{ll}2\pi{\op{i}}({y}/{|y|})\op{e}^{{\op{i}}y\alpha}& \op{Im}(y\alpha)>0;\\[1mm] 0&\op{Im}(y\alpha)<0. \end{array}\right. $$ Gehen wir noch zur physikalisch standardisierten Fouriertransformierten "uber und substituieren dazu $y$ durch $-2\pi y$, so finden wir f"ur $f(x)=1/(x-\alpha)$ mit Hilfe von \eref{BFst}{AN3} als Fouriertransformierte $$f^\wedge(y)=\left\{\begin{array}{ll}-2\pi{\op{i}}({y}/{|y|})\op{e}^{-2\pi{\op{i}} y\alpha}& \op{Im}(y\alpha)<0;\\[1mm] 0&\op{Im}(y\alpha)>0. \end{array}\right. $$ Mit Hilfe der Inversionsformel \eref{IVFO}{AN3} und "Ubung \eref{ftpb}{AN3} kann man das auch direkt einsehen. \end{Bemerkunge} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/ZuJuni} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Integrationsweg zu Beispiel \ref{BSPP} des Integrals $\int^{\infty}_{0} x^{\alpha} f(x) \diff x$, von einem Punkt weit au"sen dicht "uber der reellen Achse auf einem gro"sen Kreis bis dicht unter die reelle Achse, dann l"angs der reellen Achse ganz nah zum Ursprung, einmal eng um den Ursprung herum, und dann wieder l"angs der reellen Achse weit nach au"sen. \end{minipage} \end{figure} \begin{Beispiel}[\textbf{Integrale rationaler Funktionen mit allgemeiner Potenz}] Sei $0 < \alpha <1$ und sei $f$ eine rationale Funktion ohne Pole auf der positiven reellen Achse,\label{BSPP} bei der der Grad des Nenners mindestens um zwei gr"o"ser ist als der Grad des Z"ahlers und die in Null holomorph ist oder einen Pol erster Ordnung hat. So existiert das Integral \begin{displaymath} \int^{\infty}_{0} x^{\alpha} f(x) \diff x \end{displaymath} nach \eref{IUEE}{AN1} und wir k"onnen seinen Wert wie folgt bestimmen: Wir wählen einen vom Ursprung ausgehenden Strahl $S_1$ in den dritten Quadraten, der einen so kleinen Winkel zur positiven reellen Achse hat, da" im offenen Winkelsegment zwischen unserem Strahl und der nichtnegativen reellen Achse keine Polstellen von $f$ liegen. Dann wählen wir einen weiteren Strahl $S_2$, der bis auf den Ursprung ganz in diesem offenen Winkelsegment liegt. Nun w"ahlen wir auf der durch diesen Strahl geschlitzten Ebene $\DC\backslash S_2$ denjenigen Zweig des Logarithmus $\log^+$, der auf der positiven reellen Achse der "ubliche reelle Logarithmus ist. Weiter w"ahlen wir auf der durch $-S_2$ geschlitzten Ebene $\DC\backslash (-S_2)$ denjenigen Zweig des Logarithmus $\log^-$, der auf $S_1\backslash 0$ mit $\log^+$ "ubereinstimmt. Auf der positiven reellen Achse gilt dann $\log^-(x)=\log^+(x)+2\pi{\op{i}}$. Dann setzen wir $z^{\alpha\pm} \pdef \op{exp} (\alpha \log^\pm z)$ und betrachten den in nebenstehendem Bild gezeigten Integrationsweg $\gamma$. Die Radien $r0$ derart, da"s der abgeschlossene $r$-Ball um $p$ noch ganz zum Definitionsbereich von $h$ geh"ort, unter der "ublichen Identifikation von $\DR^2$ mit $\DC$ gilt \begin{displaymath} h(p) = \frac{1}{2\pi } \int^{2\pi}_{0} h ( p + r {\op{e}}^{{\op{i}}t}) \diff t \end{displaymath} Anschaulich mag man sich eine harmonische Funktion als eine stabile W"armeverteilung denken. Alternativ mag man sich im ebenen Fall eine Ameisendichte vorstellen, die unter der Annahme eines unabh"angigen ziellosen Hin- und Herkrabbelns s"amtlicher Ameisen zeitlich konstant bleibt. Beide Vorstellungen sind allerdings nur lokal sinnvoll und erweisen sich global als wirklichkeitsfern, da eine nichtkonstante harmonische Funktion auf einem $\DR^n$ mit $n\geq 1$ stets alle reellen Zahlen als Werte annimmt, insbesondere also auch beliebig negative Zahlen, die sich ja nicht mehr gut als Ameisendichte oder Temperatur interpretieren lassen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In der Literatur wird eine harmonische Funktion meist definiert als eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, die vom {\bf Laplaceoperator}\index{Laplaceoperator!im $\DR^n$} $$\Delta=\partial_1^2 + \ldots +\partial_n^2$$ annulliert wird. Diese Bedingung ist zwar leichter zu pr"ufen, scheint mir jedoch weniger anschaulich. Wir zeigen die "Aquivalenz beider Bedingungen im ebenen Fall in \ref{CHaF}. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Harmonische Funktionen mit Extrema}] Nimmt eine harmonische Funktion auf einer zusammenh"angenden offenen Teilmenge eines $\DR^n$ ihr Maximum oder ihr Minimum an, so ist sie konstant.\label{MaMH} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Die Menge aller Stellen, an denen eine stetige Funktion ihr Maximum oder auch irgendeinen anderen festen Wert annimmt, ist stets abgeschlossen. Ist unsere Funktion harmonisch und nimmt sie ihr Maximum bei $p$ an, so mu"s andererseits unsere Funktion auf einer ganzen Kreisscheibe beziehungsweise Kugel ${\op{B}(p;\varepsilon(p))}$ um $p$ konstant sein, da sonst der Durchschnitt "uber die Funktionswerte auf gewissen Kreisringen beziehungsweise Kugelschalen um $p$ zu klein w"are. Die Menge der Stellen, an denen das Maximum angenommen wird, ist also auch offen. Ist der Definitionsbereich zusammenh"angend, so ist diese Menge nach \eref{WZTT}{AN2} folglich alles oder nichts. \end{proof} \begin{Lemma}\label{EdHa} Je zwei stetige Funktionen auf einer abgeschlossenen Kreisscheibe, die im Inneren harmonisch sind und auf dem Rand "ubereinstimmen, stimmen auf der ganzen Kreisscheibe "uberein. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Analoges gilt mit demselben Beweis in allen Dimensionen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Die Differenz unserer beiden Funktionen ist stetig, verschwindet auf dem Rand unserer Kreisscheibe und ist im Inneren harmonisch. Als stetige Funktion mu"s sie auf der abgeschlossenen Kreisscheibe ihr Maximum und ihr Minimum annehmen. W"are eines von diesen nicht Null, so w"urde es im Innern unserer Kreisscheibe angenommen im Widerspruch zu \ref{MaMH}. Also sind das Maximum und das Minimum beide Null und die Differenz verschwindet auf der ganzen Kreisscheibe. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Harmonizit"at und Laplace-Operator}] Eine stetige Funktion auf einer offenen Teilmenge des $\DR^2$\label{CHaF} ist harmonisch genau dann, wenn sie zweimal stetig reell differenzierbar ist und vom Laplaceoperator $\Delta=\partial_x^2+\partial_y^2$ annulliert wird. \end{Satz} \begin{Satz}[\textbf{Harmonizit"at und Holomorphie}] Real- und Imagin"arteil einer holomorphen Funktion sind stets harmonisch. Jede reelle harmonische Funktion mit\label{HaHol} schleifenf"ullendem Definitionsbereich ist umgekehrt der Realteil einer holomorphen Funktion und diese ist bis auf eine additive rein imagin"are Konstante sogar eindeutig bestimmt. \end{Satz} \begin{Beispiel}[\textbf{Harmonisch, aber nicht Realteil}] Die Funktion $\DC^\times \ra\DR$, $z\mapsto \log|z|$ alias $\DR^2\backslash 0 \ra\DR$, $(x,y)\mapsto (1/2)\log(x^2+y^2)$ ist harmonisch.\label{logH} In der Tat ist sie auf jeder geschlitzten Ebene der Realteil jedes Zweiges des komplexen Logarithmus und diese Zweige sind holomorph als Umkehrfunktionen der geeignet eingeschr"ankten komplexen Exponentialfunktion. Sie ist aber nicht der Realteil einer holomorphen Funktion auf der ganzen punktierten Ebene $\DC^\times$, weil so eine holomorphe Funktion sich auf der geschlitzten Zahlenebene $\DC\backslash \DR_{\leq 0}$ nur um eine Konstante vom Hauptzweig des Logarithmus unterscheiden k"onnte und damit nicht auf ganz $\DC^\times$ stetig sein k"onnte. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/harmnichthol.mp4}{Hier ist ein Film zu diesem Gegenbeispiel.} \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis beider S"atze] Wir untersuchen f"ur stetige reelle Funktionen auf offenen Teilmengen der Ebene $\DR^2\cong \DC$ die Beziehungen zwischen den folgenden drei Eigenschaften: (1) \glqq ist harmonisch\grqq, (2) \glqq ist zweimal stetig differenzierbar und wird vom Laplace-Operator annulliert\grqq\ sowie (3) \glqq ist Realteil einer holomorphen Funktion\grqq. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/harmhol.mp4}{Hier ist ein Film \"uber den Beweis beider S\"atze mit Ausnahme der Herleitung irgendwelcher Konsequenzen aus unserer Definition harmonischer Funktionen \"uber die Mittelwerteigenschaft.} \\[2mm]\noindent (3) $\RA$ (1): Die Harmonizit"at des Realteils einer holomorphen Funktion $F$ ergibt sich aus der Integralformel von Cauchy \ref{CaIF} vermittels der Umformungen %\begin{displaymath} % \begin{array}{lll} %F(a) = \frac{1}{2\pi {\op{i}}} \int_{|z-a|=r} \frac{F(z)}{z-a} \diff z %&=& \frac{1}{2\pi {\op{i}}} %\int^{2\pi}_{0} \frac{F(a+r\op{e}^{{\op{i}}t})}{r\op{e}^{{\op{i}}t}} %{\op{i}}r\op{e}^{{\op{i}}t} \diff t\\ &=&\frac{1}{2\pi } %\int^{2\pi}_{0} F(a+r\op{e}^{{\op{i}}t}) % \diff t %\end{array} %\end{displaymath} \begin{displaymath}\textstyle F(a) = \frac{1}{2\pi {\op{i}}} \int_{|z-a|=r} \frac{F(z)}{z-a} \diff z = \frac{1}{2\pi {\op{i}}} \int^{2\pi}_{0} \frac{F(a+r\op{e}^{{\op{i}}t})}{r\op{e}^{{\op{i}}t}} {\op{i}}r\op{e}^{{\op{i}}t} \diff t=\frac{1}{2\pi } \int^{2\pi}_{0} F(a+r\op{e}^{{\op{i}}t}) \diff t \end{displaymath} In der Tat k"onnen wir hier "uberall den Realteil nehmen und im Integral rechts unten stimmt der Realteil des Integrals offensichtlich mit dem Integral des Realteils "uberein. Das ist gerade die Mittelwerteigenschaft holomorpher Funktionen \ref{MWEE}. \\[2mm]\noindent (3) $\RA$ (2): Da"s der Realteil jeder holomorphen Funktion zweimal stetig partiell differenzierbar ist und vom Laplace-Operator annulliert wird, folgt leicht aus dem Satz von Goursat \ref{Gour} und den Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen \ref{CRD}. Man beachte hier die Identit"at $f'=\partial f/\partial_x$, die sich direkt aus den Definitionen ergibt. \\[2mm]\noindent (2) $\RA$ (3) bei schleifenf"ullendem Definitionsbereich: Wir bemerken, da"s f"ur jede zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion $h$ mit $\Delta h=0$ die Funktion $f = \frac{\partial h}{\partial x} - {\op{i}} \frac{\partial h}{\partial y}$ holomorph ist nach \ref{CRD}, da sie eben stetig partiell differenzierbar ist und die Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen erf"ullt. Sie hat also nach \ref{ESta} auf jedem schleifenf"ullenden Definitionsbereich eine holomorphe Stammfunktion $F$, f"ur die dann gilt \begin{displaymath} \frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial h}{\partial x}- {\op{i}} \frac{\partial h}{\partial y} \;\;\;\text{ und } \;\;\; \frac{\partial F}{\partial y}= {\op{i}}\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial h}{\partial y} + {\op{i}} \frac{\partial h}{\partial x} \end{displaymath} Daraus folgern wir, da"s der Realteil von $F$ denselben Gradienten hat wie $h$, in Formeln $\op{grad}(\op{Re}F)=\op{grad}h$. "Andern wir also $F$ um eine geeignete additive Konstante ab, so erhalten wir $\op{Re} F=h$ wie gew"unscht. Geometrisch gesprochen bilden wir zu $h$ das Gradientenfeld, drehen es an jeder Stelle um einen rechten Winkel im Gegenuhrzeigersinn und erhalten wegen der $\Delta h=0$ wieder ein wirbelfreies Vektorfeld. Jedes Potential dieses Vektorfeldes ist ein m"oglicher Imagin"arteil, der unsere Funktion $h$ zu einer holomorphen Funktion erg"anzt. In der Tat ist ein solches Vorgehen ja nach der geometrischen Interpretation \ref{CRI} der Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen auch eine nat"urliche Methode, um zu einer reellwertigen Funktion einen Imagin"arteil zu finden, der sie zu einer holomorphen Funktion erg"anzt. \\[2mm]\noindent (1) $\RA$ (2): Es reicht zu zeigen, da"s jede stetige Funktion auf der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe, die harmonisch ist auf der offenen Einheitskreisscheibe, auf der offenen Einheitskreisscheibe der Realteil einer holomorphen Funktion ist, denn dann ist unsere Funktion zweimal stetig differenzierbar und sogar beliebig partiell differenzierbar mit $\Delta=0$ nach der bereits gezeigten Implikation (3) $\RA$ (2). Das und noch viel mehr leistet die \glqq Poisson-Transformation\grqq\ nach \ref{PoTr}, die wir im Folgenden als eigenst"andigen Satz formulieren und beweisen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation f"ur die Poisson-Transformation*}] Ich will zun"achst erkl"aren, wie man von der Fourier-Ent\-wick\-lung in nat"urlicher Weise zur Poisson-Trans\-formation gef"uhrt wird.\label{MotP} Wir denken uns dazu eine reellwertige harmonische Funktion auf einer offenen Teilmenge $U\co\DC$, die die abgeschlossene Einheitskreisscheibe $D$ umfa"st, und suchen eine holomorphe Funktion $F$ auf der offenen Einheitskreisscheibe $D^\circ $ mit $\op{Re} F =h$. Dazu entwickeln wir zun"achst einmal die Restriktion $h|{S^{1}}$ unserer Funktion auf den Einheitskreis in eine Fourierreihe. Nach \eref{QM}{AN2} finden wir wohlbestimmte $c_{\nu} \in \Bbb{C}$ mit \begin{displaymath} h = \sum_{\nu \in \Bbb{Z}} c_{\nu} z^{\nu} \end{displaymath} auf $S^{1}$ im Sinne der Summierbarkeit nach \eref{ABSBe}{AN2} im komplexen Vektorraum ${\cal{C}}(S^1)$ mit seiner Skalarproduktnorm $\|\;\|_2$ %. im Sinne der Konvergenz der Folge der %Partialsummen im quadratischen Mittel, und insbesondere gilt die Absch"atzung $\sum |c_{\nu}|^{2}< \infty$. Da $h$ reellwertig ist, haben wir $c_{-\nu} = \bar{c}_{\nu}$ und k"onnen unsere Darstellung von $h|{S^{1}}$ umschreiben zu \begin{displaymath} h = c_{0} + \sum^{\infty}_{\nu =1} c_{\nu} z^{\nu} + \bar{c}_{\nu} \bar{z}^{\nu} \end{displaymath} Hierbei ist wieder die Summierbarkeit im komplexen Vektorraum ${\cal{C}}(S^1)$ mit seiner Skalarproduktnorm $\|\;\|_2$ gemeint. %im Sinne der Konvergenz der Folge der Partialsummen %im quadratischen Mittel gemeint. Da die $c_{\nu}$ beschr"ankt sind, liefert die Potenzreihe \begin{displaymath} F(z) = c_{0} + \sum^{\infty}_{\nu=1} 2 c_{\nu} z^{\nu} \end{displaymath} eine holomorphe Funktion auf der offenen Einheitskreisscheibe. Unter der Voraussetzung, da"s diese Potenzreihe einen Konvergenzradius $>1$ hat, gilt f"ur die Partialsummen $F_{n} = c_{0} + \sum^{n}_{\nu =1} 2 c_{\nu} z^{\nu}$ sowohl $F_{n} \ra F$ gleichm"a"sig auf $S^{1}$ und erst recht ${\op{Re}}F_{n} \ra {\op{Re}}F$ gleichm"a"sig auf $S^{1}$, als auch ${\op{Re}} F_{n} \ra h$ im quadratischen Mittel auf $S^{1}$, woraus sofort folgt ${\op{Re}} F =h$ erst auf $S^{1}$ und dann wegen \ref{EdHa} auf der ganzen Einheitskreisscheibe $D$ und wir haben unsere harmonische Funktion wie gew"unscht als Realteil einer holomorphen Funktion geschrieben. Das gilt insbesondere f"ur alle $h$ mit nur endlich vielen von Null verschiedenen Fourierkoeffizienten, die sogenannten \glqq trigonometrischen Polynome\grqq. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/poisson1.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die Argumentation bis zu dieser Stelle.} Um auch ohne die Voraussetzung, da"s unsere Potenzreihe einen Konvergenzradius $>1$ hat, die Gleichheit $\op{Re} F =h$ auf der offenen Einheitskreisscheibe $D^\circ$ zu zeigen, m"ussen wir feiner argumentieren. Die Fourierkoeffizienten $c_{\nu}$ sind ja nach \eref{DQN}{AN2} gegeben als \begin{displaymath} c_{\nu} = \frac{1}{2\pi} \int^{2\pi}_{0} h(\op{e}^{{\op{i}}t}) \op{e}^{-{\op{i}}\nu t} \diff t \end{displaymath} Wir k"onnen also unsere Funktion $F$ f"ur $|z| <1$ nach Vertauschen eines gleichm"a"sigen Grenzwerts mit dem Integral auch schreiben in der Gestalt \begin{displaymath} F(z) = \frac{1}{2\pi} \int^{2\pi}_{0} h (\op{e}^{{\op{i}}t}) \left(1+ 2 \sum_{\nu =1}^{\infty} \op{e}^{-{\op{i}} \nu t} z^{\nu}\right) \diff t \end{displaymath} Beim Ausdruck in Klammern ziehen wir einen Faktor $\op{e}^{-{\op{i}} t} z$ aus der Summe, die dadurch zu einer geometrischen Reihe wird, und erhalten $$1+ 2 \sum_{\nu =1}^{\infty} \op{e}^{-{\op{i}} \nu t} z^{\nu}= 1+\frac{2\op{e}^{-{\op{i}} t} z} {1-\op{e}^{-{\op{i}}t} z} = \frac{1+\op{e}^{-{\op{i}}t}z}{1-\op{e}^{-{\op{i}}t}z} = \frac{\op{e}^{{\op{i}}t}+z}{\op{e}^{{\op{i}}t}-z}$$ So ergibt sich schlie"slich f"ur die durch unsere Potenzreihe erkl"arte Funktion die Darstellung \begin{displaymath} F(z) = \frac{1}{2\pi} \int^{2\pi}_{0} h (\op{e}^{{\op{i}}t}) \;\frac{\op{e}^{{\op{i}}t} +z}{\op{e}^{{\op{i}}t} -z} \diff t \end{displaymath} Wir zeigen im anschlie"senden Satz, da"s f"ur jede stetige Funktion $h:S^1\ra\DR$ der Realteil der durch diese Formel gegebenen Funktion $F(z)$ f"ur $z\in D^\circ$ eine stetige Fortsetzung von $h$ auf die ganze abgeschlossene Einheitskreisscheibe liefert. \end{Bemerkungl} \begin{Satz*}[\textbf{Poisson-Transformation}] Jede stetige reellwertige Funktion auf dem Einheitskreis\label{PoTr} $h:S^1 \ra \Bbb{R}$ l"a"st sich auf genau eine Weise zu einer stetigen Funktion auf der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe $D$ fortsetzen, die auf der offenen Einheitskreisscheibe $D^\circ$ harmonisch ist, und diese Fortsetzung wird f"ur alle $z\in D^\circ$ gegeben durch die Formel \begin{displaymath} h (z) = \frac{1}{2\pi} \int^{2\pi}_{0} h (\op{e}^{{\op{i}}t}) \op{Re} \left(\frac{\op{e}^{{\op{i}}t}+z} {\op{e}^{{\op{i}}t}-z}\right) \diff t \end{displaymath} \end{Satz*} \begin{Bemerkungl} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/poisson2.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die Poisson-Transformation.} Anschaulich mag man sich die Funktion $h$ als eine fest vorgegebene Temperaturverteilung auf dem Rand der Einheitskreisscheibe denken, die dann eine unter dieser Randbedingung stabile Temperaturverteilung auf der ganzen Einheitskreisscheibe erzeugt. Der zweite Faktor unter dem Integral hei"st der \defind{Poisson-Kern}. Mit $\op{e}^{{\op{i}}t} =w$ wird er dargestellt durch \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildNPoi} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Niveaulinien der Poissonverteilung $z\mapsto P(1,z)=\op{Re}((1+z)/(1-z))$. Anschaulich beschreinen sie die W"armeverteilung, die sich einstellt, wenn man \glqq den Punkt $w=1$ sehr hei"s macht und den ganzen "ubrigen Rand $S^{1}$ auf Temperatur Null h"alt\grqq. Die Niveaulinien sind Kreise, die den Einheitskreis in $w=1$ ber"uhren, wie zum Beispiel aus der in \eref{MoGe}{EL} diskutierten \glqq M"obius-Geometrie\grqq\ folgt. \end{minipage} \end{figure} \begin{displaymath} P (w,z) = \op{Re} \left( \frac{w+z}{w-z}\right) \end{displaymath} f"ur $w \in S^{1}$ und $z \in \Bbb{C}$ mit $z \neq w$. Bei festem $w$ verschwindet dieser Realteil f"ur alle $z \in S^{1}$ mit $z \neq w$, denn wir haben dann \begin{displaymath} \frac{w+z}{w-z} = \frac{z^{-1} + w^{-1}}{z^{-1}-w^{-1}} = \frac{\bar{z}+\bar{w}}{\bar{z}-\bar{w}} \end{displaymath} als da hei"st, das komplex Konjugierte unseres Bruches ist gerade das Negative unseres Bruches. Lassen wir aber $z$ aus dem Inneren der Einheitskreisscheibe radial gegen $w$ laufen, also $z = \lambda w$ mit $\lambda \nearrow 1$ f"ur $\lambda \in \Bbb{R}$, so erhalten wir \begin{displaymath} P (w, \lambda w) = \frac{\lambda +1}{\lambda -1} \ra \infty \end{displaymath} Anschaulich mag man f"ur festes $w \in S^{1}$ die Funktion $z \mapsto P (w,z) $ auf der offenen Einheitskreisscheibe verstehen als diejenige geeignet normalisierte W"armeverteilung, die sich einstellt, wenn man \glqq den Punkt $w$ sehr hei"s macht und den ganzen "ubrigen Rand $S^{1}$ auf Temperatur Null h"alt\grqq. Die Niveaulinien dieser Funktion sind "ubrigends Kreise, die den Einheitskreis in $w$ ber"uhren, wie zum Beispiel aus der in \eref{MoGe}{EL} diskutierten \glqq M"obius-Geometrie\grqq\ folgt. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis mit Stone-Weierstra"s] \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/poisson3.mp4}{Hier ist ein Film zum Beweis des Satzes \"uber die Poisson-Transformation.} Bezeichne $\hat h:D\ra \DR$ die Funktion, die auf dem Einheitskreis $h$ selbst ist und auf dem Inneren de Einheitskreisscheibe durch die Formel aus unserem Satz gegeben wird. Wir sind fertig, sobald wir zeigen k"onnen, da"s $\hat h$ auf der ganzen abgeschlossenen Einheitskreisscheibe stetig ist. Wir wissen bereits aus dem vorhergehenden, da"s das gilt, wenn $h$ ein trigonometrisches Polynom ist, wenn also in anderen Worten die Fourierreihe von $h$ nur h"ochstens endlich viele von Null verschiedene Terme hat. Insbesondere gilt unser Satz f"ur die konstante Funktion $h=1$. Das hinwiederum liefert f"ur beliebiges $h$ und $|z|<1$ sofort die Absch"atzung $\hat h(z)\leq \op{sup}(h(S^1))$ und dann auch $$\| \hat h\|_\infty\leq \| h\|_\infty$$ Hier gilt ist die Supremumsnorm links f"ur die nicht notwendig stetige aber doch betragsm"a"sig beschr"ankte Funktion $\hat h:D\ra\DR$ immer noch sinnvoll definiert und r"uckblickend gilt nat"urlich sogar Gleichheit, aber das ist f"ur uns nicht von Belang. Nun k"onnen wir ein beliebiges $h$ mithilfe von \eref{Lei}{AN1} als gleichm"a"sigen Grenzwert $h_n\ra h$ einer Folge von trigonometrischen Polynomen $h_n$ schreiben. Daraus wird mit unserer Konstruktion ein gleichm"a"siger Grenzwert $\hat h_n\ra \hat h$ von Funktionen auf der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe, und da alle $\hat h_n$ stetig sind, mu"s dann auch $\hat h$ stetig sein. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige durch direkte Absch"atzungen, da"s eine stetige Funktion auf dem Einheitskreis durch ihre Poisson-Transformierte stetig auf die ganze Einheitskreisscheibe fortgesetzt wird. Dies Argument hat den Vorteil, da"s es sich ohne Schwierigkeiten auf h"ohere Dimensionen verallgemeinern l"a"st. Im "Ubrigen verallgemeinern sich alle hier f"ur harmonische Funktionen bewiesenen Aussagen ziemlich direkt auf den Fall harmonischer Funktionen auf offenen Teilmengen eines beliebigen $\DR^n$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s f"ur $U\co \DC$ schleifenf"ullend eine stetige komplexwertige Funktion $U\ra\DC$ harmonisch ist genau dann, wenn sie als Summe einer holomorphen Funktion mit einer antiholomorphen Funktion dargestellt werden kann. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Hebbarkeitssatz f"ur harmonische Funktionen}] Gegeben $p\in U\co\DC$ l"a"st sich jede beschr"ankte harmonische Funktion $f:U\backslash p\ra \DR$ eindeutig zu einer harmonischen Funktion $U\ra\DR$ fortsetzen. Hinweis: Wir d"urfen $p=0$ annehmen und $\{|z|\leq 1\}\subset U$. Wenn es eine Fortsetzung gibt, so mu"s sie die Poisson-Transformierte $g$ von $f|S^1$ sein. Sicher ist $h\pdef f-g$ auf dem Komplement des Ursprungs in der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe stetig, im Inneren harmonisch und auf dem Randkreis Null. Es gilt zu zeigen $h=0$. G"age es aber einen Punkt mit $h(q)>0$, so w"urde die harmonische Funktion $h+\varepsilon \log|z|$ f"ur hinreichend kleines $\varepsilon$ im Inneren eines geeigneten abgeschlossenen Kreisrings ihr Maximum annehmen und das kann nicht sein. \end{Ubung} \subsection{Reihenentwicklung des Kotangens \sose{(30.6)}} \begin{Proposition}[\textbf{Summe der $(z-k)^{-1}$}]\label{cota} F"ur alle nicht ganzen komplexen Zahlen $z \in \Bbb{C} \backslash \Bbb{Z}$ gilt im Sinne absoluter Konvergenz \begin{displaymath} \frac{1}{z}+\sum_{k =1}^\infty \left(\frac{1}{z-k}+ \frac{1}{z+k}\right) = \pi \cot (\pi z) \end{displaymath} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/cot.mp4}{Hier ist ein Film zur Reihenentwicklung des Kotangens.} Die Summe der $(z-k)^{-1}$ "uber alle ganzen $k$ konvergiert nicht absolut, aber fassen wir wie angedeutet vor dem Summieren jeweils gegen"uberliegende Terme zusammen, so entsteht eine absolut konvergente Reihe, die auf $\Bbb{C}\backslash \Bbb{Z}$ kompakt konvergiert. \glqq Vern"unftiges\grqq\ anderes Zusammenzufassen von jeweils einem positiven und einem negativen Term liefert a posteriori dasselbe Ergebnis, der Kotangens ist ja periodisch von der Periode $\pi$, aber a priori ist das nicht so klar. Formeln f"ur die Summen der $(z-k)^{-a}$ bei beliebigem ganzen $a\geq 1$ gewinnen wir aus unserem Satz leicht durch Ableiten. Allerdings st"utzt sich der hier gegebene Beweis von \ref{cota} auf Proposition \ref{Sin}, die den Fall $a=2$ beschreibt, so da"s wir Proposition \ref{Sin} auf andere Weise herleiten m"ussen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Zu diesem Beweis gibt es eine wunderbare Alternative, den \glqq Herglotz-Trick\grqq. Mir gef"allt aber das hier gegebene Argument mindestens ebensogut. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Leiten wir beide Seiten der behaupteten Gleichung nach $z$ ab, so ergibt sich die Gleichung \ref{Sin}, die wir im Anschlu"s zeigen. Die Differenz beider Seiten ist also eine Konstante. Da beide Seiten ungerade Funktionen von $z$ sind, ist diese Konstante Null. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Unter dem \defind{Hauptteil} einer meromorphen Funktion an einer gegebenen Stelle versteht man wie in \ref{LaEw} die Summe derjenigen Terme ihrer Laurententwicklung an besagter Stelle, die dort einen Pol haben. Haben zwei meromorphe Funktionen an einer gegebenen Stelle denselben Hauptteil, so ist ihre Differenz dort nat"urlich holomorph. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Summe der $(z-k)^{-2}$}] F"ur alle nicht ganzen komplexen Zahlen $z \in \Bbb{C} \backslash \Bbb{Z}$ gilt\label{Sin} im Sinne absoluter Konvergenz \begin{displaymath} \sum_{k \in \Bbb{Z}} \frac{1}{(z-k)^2} = \left( \frac{\pi}{\sin \pi z}\right)^2 \end{displaymath} \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} Summiert man nur "uber die nichtpositiven $k$, so erh"alt man die zweite Ableitung des Logarithmus der $\Gamma$-Funktion, vergleiche \ref{PGamn}. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/sin2.mp4}{Hier ist ein Film zu diesem Beweis.} Die Summe auf der linken Seite konvergiert offenbar unabh"angig von der Reihenfolge der Summanden kompakt gegen eine Grenzfunktion, die meromorph ist auf ganz $\Bbb{C}$ mit Polen an allen ganzen Zahlen $k \in \Bbb{Z}$ und mit den Hauptteilen $(z -k)^{-2}$ an diesen Polen. Die rechte Seite hat nun jedoch dieselben Polstellen mit denselben Hauptteilen. Die Differenz beider Seiten ist folglich ein holomorphe Funktion $\delta: \Bbb{C} \ra \Bbb{C}$ mit $\delta(z+1) = \delta(z) \; \forall z \in \Bbb{C}$. Wir lassen nun im Streifen $0\leq \op{Re} z \leq 1$ den Imagin"arteil von $z$ sehr gro"s oder sehr klein werden und behaupten, da"s beide Seiten unserer Gleichung und erst recht ihre Differenz $\delta$ gegen Null streben, und zwar gleichm"a"sig im Realteil von $z$, in Formeln $$\lim_{|\!\op{Im}(z)|\ra\infty} \delta(z)=0 $$ Damit ist dann ihre Differenz $\delta$ beschr"ankt, nach Liouville \ref{Liou} also konstant, also Null. Es bleibt damit nur, diese Behauptung zu zeigen. Sie lohnt nur f"ur die linke Seite einen Beweis. F"ur $z$ in unserem Streifen mit $|\op{Im}(z)|\geq n$ sch"atzen wir dazu die Terme unserer Summe mit $-n\leq k\leq n+1$ jeweils ab durch $1/n^{2}$, so da"s sie alle zusammen h"ochstens $(2n+2)/n^{2}$ beitragen. Die "ubrigen Terme k"onnen jeweils abgesch"atzt werden durch $1/k^{2}$, und da die Summe der inversen Quadrate aller nat"urlichen Zahlen $\geq 1$ konvergiert, mu"s die Summe dieser "ubrigen Terme bei hinreichend gro"sem $n$ auch beliebig klein werden. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Einige Werte der Riemann'schen $\zeta$-Funktion}] An den positiven geraden ganzzahligen Stellen ist der Wert der\label{WRZa} Riemann'schen $\zeta$-Funktion ein rationales Vielfaches der entsprechenden Potenz der Kreiszahl $\pi$. F"ur alle nat"urlichen Zahlen $n\geq 1$ gilt also in Formeln $$\sum_{k\geq 1}k^{-2n}\;\in\DQ\pi^{2n}$$ \end{Korollar} \begin{Bemerkunge} F"ur die Summe $\zeta(u)$ der ungeraden Potenzen $k^{-u}$ f"ur ungerades nat"urliches $u$, die sogenannten \glqq ungeraden $\zeta$-Werte\grqq, ist derzeit (2021) meines Wissens keine Aussage dieser Art bekannt. Vermutet wird, da"s die reellen Zahlen $\pi,\zeta(3),\zeta(5),\zeta(7),\ldots$ algebraisch unabh"angig sind "uber $\DQ$. Ap\'ery hat gezeigt, da"s $\zeta(3)$ irrational ist. Bekannt ist weiter, da"s unendlich viele ungerade $\zeta$-Werte irrational sind, und da"s von den vier ungeraden $\zeta$-Werten $\zeta(5),\zeta(7),\zeta(9),\zeta(11)$ mindestens einer irrational ist. \end{Bemerkunge} \begin{proof} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/zetawerte.mp4}{Hier ist ein Film zur diesem Beweis.} Multiplizieren wir die Reihenentwicklung des Kotangens \ref{cota} mit $z$, so erhalten wir \begin{displaymath} \pi z \op{cot}(\pi z) = 1 + z \sum^\infty_{k=1} \left( \frac{1}{z-k} + \frac{1}{z+k} \right) \end{displaymath} im Sinne der kompakten Konvergenz, erst auf $\Bbb{C} \backslash \Bbb{Z}$, aber dann sehr leicht auch auf $(\Bbb{C}\backslash \Bbb{Z}) \cup \{0\}$. Sicher sind beide Seiten gerade Funktionen von $z$. Leiten wir beide Seiten $2n$-mal ab und werten bei $z =0$ aus, so ergibt sich, da wir ja nach \ref{GKoc} Grenzwert und Ableitung vertauschen d"urfen, f"ur $n\geq 1$ die Formel \begin{displaymath} \left.\frac{\diff^{2n}}{\diff z^{2n}} \right|_{z=0} \pi z \op{cot} (\pi z) = 2n \sum^{\infty}_{k=1} 2\; \frac{- (2n -1)!}{k^{2n}} \end{displaymath} Diese Formel dr"uckt den Wert der Riemann'schen $\zeta$-Funktion an allen positiven geraden nat"urlichen Zahlen aus in den Laurentkoeffizienten des Kotangens. Nun ergibt sich die Laurentreihe des Kotangens durch Multiplikation und Inversenbildung aus den Taylorreihen von Sinus und Cosinus und hat nach elementaren "Uberlegungen insbesondere stets rationale Koeffizienten. Das Korollar folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{WRZ} Um die Werte der $\zeta$-Funktion an den geraden positiven ganzen Zahlen explizit zu berechnen, beachte man \begin{displaymath} \op{cot} z = {\op{i}} \frac{\op{e}^{{\op{i}}z} + \op{e}^{-{\op{i}}z}}{\op{e}^{{\op{i}}z}-\op{e}^{-{\op{i}}z}} = {\op{i}} + \frac{2{\op{i}}\op{e}^{-{\op{i}}z}}{\op{e}^{{\op{i}}z}-\op{e}^{-{\op{i}}z}} = {\op{i}} + \frac{2{\op{i}}}{\op{e}^{2{\op{i}}z}-1} \end{displaymath} Die \defind{Bernoulli-Zahlen} ${\op{B}}_2, {\op{B}}_4, \ldots$ sind nun definiert als die h"oheren Ableitungen von $z/(\op{e}^z-1)$ am Ursprung, in Formeln \begin{displaymath} {\op{B}}_{2n} \pdef \left.\frac{\diff^{2n}}{\diff z^{2n}}\right|_{z=0} \left( \frac{z}{\op{e}^z-1}\right) \end{displaymath} Sie sind nat"urlich rational und lassen sich induktiv berechnen, indem man die wohlbekannte Taylorreihe von $(\op{e}^z-1)/z$ formal invertiert. Der Kotangens ist ungerade, so da"s die h"oheren Ableitungen ungerader Ordnung bei Null verschwinden. Vermittels dieser Zahlen lassen sich dann die Werte der Riemann'schen $\zeta$-Funktion an den positiven geraden ganzen Zahlen nach dem Vorhergehenden und elementarer Rechnung, die dem Leser zur "Ubung "uberlassen sei, ausdr"ucken in der Gestalt \begin{displaymath} \zeta (2n) = (-1)^{n +1} \frac{2^{2n-1}}{(2n)!} {\op{B}}_{2n} \pi^{2n} \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Will man Bernoulli-Zahlen f"ur beliebige Indizes erkl"aren, so setzt man besser \begin{displaymath} {\op{B}}_{k} \pdef \left.\frac{\diff^{k}}{\diff z^{k}}\right|_{z=0} \left( \frac{z}{1-\op{e}^{-z}}\right) \end{displaymath} Diese Zahlen sind dann Null f"ur ungerades $k>1$ und stimmen mit unseren Bernoulli-Zahlen von oben "uberein f"ur gerades $k$ und haben den Vorteil, da"s die Funktionalgleichung der Riemann'schen $\zeta$-Funktion f"ur sie die wunderbare Formel ${\op{B}}_{k} =-k\zeta(1-k)$ liefert, die mit der geb"uhrenden Vorsicht interpretiert sogar f"ur $k=0$ gilt. \end{Bemerkungw} \subsubsection{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Alternierende Summe der $(z-k)^{-1}$}] F"ur alle nicht ganzen komplexen\label{cotas} Zahlen $z \in \Bbb{C} \backslash \Bbb{Z}$ gilt \begin{displaymath} \frac{1}{z}+\sum_{k =1}^\infty (-1)^k \left(\frac{1}{z-k}+ \frac{1}{z+k}\right) = \frac{\pi}{ \sin (\pi z) } \end{displaymath} Hinweis: Man addiere die alternierende und die nicht alternierende Summe. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige f"ur alle nat"urlichen Zahlen $n\geq 0$ die Relation $$\sum_{k\geq 0}(-1)^k (2k+1)^{-2n-1}\;\in\DQ\pi^{2n+1}$$ Hinweis: Den Fall $n=0$ hatten wir bereits in \eref{AbAr}{AN1} behandelt. F"ur den allgemeinen Fall leite man die Identit"at \ref{cotas} ab und werte bei $z=1/2$ aus. Speziell zeige man im Fall $n=1$ die Formel $$1-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\ldots =\frac{\pi^3}{32}$$ \end{Ubung} \subsection{Produktentwicklung des Sinus \sose{(30.6)}} \begin{Satz}[\textbf{Produktentwicklung des Sinus}] Der Sinus l"a"st sich im Sinne der kompakten Konvergenz der partiellen Produkte darstellen als das unendliche Produkt\label{PSin} \begin{displaymath} \sin \pi z = \pi z \prod^{\infty}_{k =1} \left( 1-\frac{z}{ k}\right) \left( 1 +\frac{z}{ k}\right) \end{displaymath} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/sin.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die Herleitung Produktentwicklung des Sinus, aufbauend auf unseren allgemeinen Erkenntnissen zu Produktentwicklungen \ref{PkP} folgende, mit denen man daf"ur vertraut sein sollte.} Nach \ref{KoKoP} konvergieren auf der rechten Seite die Partialprodukte kompakt gegen eine Grenzfunktion und wenn wir den $k$-ten Faktor weglassen, hat diese Grenzfunktion immer noch nach \ref{KoKoP} keine Nullstelle bei $\pm k$. Als Grenzfunktion unter kompakter Konvergenz einer Folge holomorpher Funktionen ist unsere Genzfunktion nach \ref{GKoc} wieder holomorph und hat nach dem vorhergehenden einfache Nullstellen an allen ganzen Zahlen und keinen weiteren Nullstellen. Ihr Quotient nach $\sin \pi z$ ist nach dem gleich anschlie"senden Lemma \ref{ELog} also von der Gestalt $\exp (h (z))$ f"ur $h: \Bbb{C} \ra \Bbb{C}$ holomorph. Dann bilden wir auf beiden Seiten die logarithmische Ableitung im Sinne von \ref{logA}. Sie vertauscht auf $\DC\backslash \DZ$ mit dem Grenz"ubergang, weil ja wieder nach \ref{GKoc} die Ableitungen einer kompakt konvergenten Folge holomorpher Funktionen auch wieder kompakt gegen die Ableitung der Grenzfunktion konvergieren. Wir finden mit unserer Formel \ref{Sin} f"ur die Summe der $(z-k)^{-2}$, da"s $h$ konstant ist. Teilen wir nun beide Seiten durch $z$ und setzen $z=0$, so erkennen wir, da"s $h$ sogar identisch verschwinden mu"s. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Setzen wir in der Produktentwicklung des Sinus \ref{PSin} speziell $z = 1/2$, so ergibt sich die \defind{Wallis'sche Produktformel} \begin{displaymath} \frac{\pi}{2} = \lim_{n\ra\infty} \frac{2\cdot 2}{1\cdot 3} \cdot \frac{4\cdot 4}{3\cdot 5} \cdots \frac{(2n)(2n)}{(2n-1) (2n+1)} \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Produktentwicklung}] \index{Produktentwicklung} Seien $X$ eine Menge und $f_\nu:X\ra\DC$ Funktionen derart,\label{PkP} da"s die Folge der Partialsummen $\sum^n_{\nu =1} |f_\nu (x)-1|$ gleichm"a"sig gegen eine beschr"ankte Funktion konvergiert. So konvergiert auch die Folge der Partialprodukte $\prod^n_{\nu =1} f_\nu (x)$ gleich\-m"a\-"sig gegen eine beschr"ankte Funktion $X \ra \Bbb{C}$, die wir \begin{displaymath} x \mapsto \prod^{\infty}_{\nu =1} f_\nu (x) \end{displaymath} notieren und deren Nullstellen genau die Stellen $x \in X$ sind, an denen einer der Faktoren verschwindet. Dar"uber hinaus ist dann der Grenzwert der Partialprodukte unabh"angig von der Reihenfolge der Faktoren. \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{pinv} Sind in der Situation aus \ref{PkP} zus"atzlich alle unsere Funktionen $f_\nu$ von Null weg beschr"ankt, liegt also die Null nicht im Abschlu"s ihres Wertebereichs, so konvergiert mit $\sum^n_{\nu =1} |f_\nu (x)-1|$ auch $\sum^n_{\nu =1} |(f_\nu (x))^{-1}-1|$ f"ur $n\ra \infty$ gleichm"a"sig gegen eine beschr"ankte Funktion. In der Tat zeigt man f"ur $z$ hinreichend nah bei $1$ leicht die Absch"atzung $|z^{-1}-1|\leq 2|z-1|$. Sind alle unsere Funktionen $f_\nu$ von Null weg beschr"ankt, so k"onnen wir unseren Satz mithin auch auf die Funktionen $f_\nu^{-1}$ anwenden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{KoKoP} Ist $X$ ein metrischer oder allgemeiner ein topologischer Raum und sind die $f_\nu$ stetig und konvergiert die Folge der Partialsummen $\sum^n_{\nu =1} |f_\nu (x)-1|$ kompakt, so konvergiert auch die Folge der Partialprodukte $\prod^n_{\nu =1} f_\nu (x)$ kompakt. Um das zu zeigen, brauchen wir nur \ref{PkP} auf die Einschr"ankungen unserer Funktionen auf Kompakta anzuwenden. Haben in dieser Situation unsere Funktionen $f_\nu$ keine Nullstellen, so erf"ullen auch die $f_\nu^{-1}$ unsere Bedingungen und auch die Folge der Partialprodukte $\prod^n_{\nu =1} f_\nu (x)$ konvergiert kompakt. Um das zu zeigen, brauchen wir nur \ref{pinv} auf die Einschr"ankungen unserer Funktionen auf Kompakta anzuwenden. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/produkte.mp4}{Hier ist ein Film \"uber allgemeine Produktentwicklungen.} Ableiten liefert f"ur den Hauptzweig des Logarithmus die Formel \begin{displaymath} \lim_{z \ra 0} \frac{\log (1+z)}{z} =1 \end{displaymath} Es gibt also $d \in (0,1)$ derart, da"s aus $|z| < d$ folgt $ |\log (1+z) | \leq {3}|z|/{2} $ und da"s ebenso aus $|z-1| < d$ folgt $ |\log (z) | \leq {3}|z-1|/{2} $. Nun gibt es sicher ein $N$ mit $\sum^{\infty}_{\nu =N} |f_{\nu} (x) -1| \leq d$ f"ur alle $x \in X$. F"ur $\nu\geq N$ sind dann alle $ \log (f_\nu (x))$ wohldefiniert und nach unserer Absch"atzung und dem Majorantenkriterium mu"s auch die Folge der Funktionen $\sum^n_{\nu =N} \log \circ f_\nu $ gleichm"a"sig konvergieren gegen eine betragsm"a"sig beschr"ankte Grenzfunktion $L : X \ra \Bbb{C}$. Wenden wir $\op{exp}$ an und beachten, da"s $\op{exp}$ auf jedem Kompaktum in $\Bbb{C}$ gleichm"a"sig stetig ist, so folgt die gleichm"a"sige Konvergenz der partiellen Produkte $\prod^n_{\nu =N} f_{\nu} $ gegen eine beschr"ankte Funktion $X \ra \Bbb{C} $ ohne Nullstelle, n"amlich gegen $\op{exp} \circ L$. Der Satz folgt, da wieder nach unserer Annahme die Faktoren mit $1\leq \nu 0$ gilt \begin{displaymath} \Gamma (z) = \int^{\infty}_{0} \op{e}^{-t} t^{z-1} \diff t \end{displaymath} Sie hei"st die \emph{\bf Gammafunktion}\index{Gammafunktion}\index{G@$\Gamma$-Funktion} und hat die Werte $\Gamma(n+1)=n!$ f"ur alle nat"urlichen Zahlen $n\in \DN$. Im K"orper der meromorphen Funktionen auf $\DC$ gilt die \emph{\bf Funktionalgleichung}\index{Funktionalgleichung!der Gammafunktion} $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$. Unsere Gammafunktion ist auf $\DC\backslash \{0,-1,-2,\ldots\}$ holomorph und hat f"ur $n\in\DN$ bei $z=-n$ jeweils eine einfache Polstelle mit $(-1)^n/n!$ als Residuum. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ich will zumindest zwei Gr"unde daf"ur angeben, warum diese Funktion von Bedeutung ist: Erstens tritt sie in der Funktionalgleichung der Riemann'schen $\zeta$-Funktion \ref{FGRZ} auf, und zweitens f"uhrt sie zu Absch"atzungen von $n!$, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie n"utzlich sind. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/gamma.mp4}{Hier ist ein Film \"uber diesen Beweis.} Die obere Absch"atzung des Absolutbetrags des Integranden durch $t^{a-1}$ f"ur $\op{Re} z\geq a$ zeigt, da"s die Folge der nach \ref{VKd} holomorphen Funktion \begin{displaymath} F_n (z) = \int^1_{1/n} \op{e}^{-t} t^{z-1} \diff t \end{displaymath} f"ur $\op{Re} z > 0$ kompakt konvergiert gegen eine nach \ref{GKoc} holomorphe Grenzfunktion auf der offenen rechten Halbebene. Die Absch"atzung $\op{e}^t t^{-a} \geq t^2/ (a+2)!$ f"ur $a \in \Bbb{N}$ und $t > 0$ liefert $|\op{e}^{-t} t^{z-1} | \leq (a+2)!\;t^{-2}$ f"ur $\op{Re}z < a+1$ und zeigt, da"s die Folge von holomorphen Funktionen \begin{displaymath} G_n (z) =\int^{n}_{1} \op{e}^{-t} t^{z-1} \diff t \end{displaymath} f"ur $\op{Re} z >0$ kompakt konvergiert gegen eine holomorphe Grenzfunktion auf der offenen rechten Halbebene. In diesem Sinne liefert also das Integral aus dem Satz eine holomorphe Funktion auf der offenen rechten Halbebene. F"ur $\op{Re} z > 0$ erhalten wir mit partieller Integration \ref{PartiC} sogar \begin{displaymath} \Gamma (z+1) = \left.\int^{\infty}_{0} \op{e}^{-t} t^z \diff t = -\op{e}^{-t} t^z \right|^{\infty}_{0} + z \int^{\infty}_{0} \op{e}^{-t} t^{z-1} \diff t = z \Gamma (z) \end{displaymath} Hier habe ich darauf verzichtet, wirklich korrekt erst nach dem partiellen Integrieren den Grenz"ubergang zu vollziehen. Diese Formel k"onnen wir f"ur $\op{Re}(z)>1$ auch umschreiben zu $\Gamma (z-1) = \Gamma (z) / (z-1)$ und sie liefert uns dann eine meromorphe Fortsetzung unserer Gammafunktion erst auf die Halbebene $\op{Re} z > -1$, dann auf die Halbebene $\op{Re} z > -2$ und so nach und nach auf ganz $\Bbb{C}$. Offensichtlich gilt $\Gamma (1) =1=0!$ und Iteration mit der Funktionalgleichung $\Gamma (z+1) = z \Gamma (z)$ liefert dann sofort $\Gamma (n+1) = n!$ f"ur alle $n \in \Bbb{N}$. Eine Iteration der Funktionalgleichung liefert auch sofort %\begin{displaymath} $\Gamma (z + n+1) = (z+n) (z+n-1) \ldots z \Gamma (z)$ %\end{displaymath} alias \begin{displaymath} \Gamma (z) = (z+n)^{-1} (z+n-1)^{-1} \ldots z^{-1}\Gamma (z+n+1) \end{displaymath} Das aber ist ein Produkt von $(z+n)^{-1}$ mit einer Funktion, die bei $z = -n$ holomorph ist und die dort den Wert $(-1)^{n}/n!$ annimmt. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Gauss'sche Formel}] Auf dem Komplement der nichtpositiven ganzen Zahlen in der komplexen Zahlenebene gilt im Sinne kompakter Konvergenz\label{GauF} \begin{displaymath} \Gamma (z) = \lim_{n \ra \infty} \frac{n! \; n^z}{z(z+1) \ldots (z+n)} \end{displaymath} \end{Satz} \begin{Satz}[\textbf{Produktentwicklung der Gammafunktion}] Im Sinne der kompakten Konvergenz der Partialprodukte auf dem Komplement\label{PGam} der nichtpositiven ganzen Zahlen gilt mit der Abk"urzung $\gamma = \lim_{n\ra \infty} (\sum^n_{k=1} \frac{1}{k} - \log n)$ die Formel \begin{displaymath} \Gamma (z) = \frac{\op{e}^{-\gamma z}}{z} \prod^{\infty}_{k=1} \left(1+ \frac{z}{k}\right)^{-1} \op{e}^{z/k} \end{displaymath} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Insbesondere hat die $\Gamma$-Funktion keine Nullstellen. Aus den Produktentwicklungen der Gammafunktion \ref{PGam} und des Sinus \ref{PSin} sowie der Funktionalgleichung $\Gamma(1-z)=-z\Gamma(-z)$ der Gammafunktion folgt sofort die Gleichheit von meromorphen Funktionen\label{ga12} \begin{displaymath} \Gamma (z) \Gamma (1-z) = \frac{\pi}{\sin \pi z} \end{displaymath} und insbesondere die Identit"at $\Gamma (1/2) = \sqrt{\pi}$. Man nennt die erste Identit"at auch die {\bf Spiegelungsformel}.\index{Spiegelungsformel!der $\Gamma$-Funktion} Das ist die Identit"at, auf die es uns eigentlich ankommt. Ich erwarte nicht, da"s Sie die Gau"s'sche Formel oder die Produktentwicklung der Gammafunktion und ihre Beweise auswendig lernen oder in einer Pr"ufung reproduzieren k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Um zu sehen, da"s der Grenzwert $ \gamma$ existiert, interpretieren wir diese Folge als Eins plus die Differenz zwischen einer geeigneten Untersumme und dem Integral der Funktion $x\mapsto 1/x$ auf $[1,n]$. Diese Differenzen sind dann offensichtlich beschr"ankt durch Eins. So sehen wir auch $\gamma>0$. Unser $\gamma$ hei"st die {\bf Euler-Konstante}\index{Euler-Konstante} oder auch {\bf Euler-Mascheroni-Konstante}.\index{Euler-Mascheroni-Konstante} \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis der beiden S"atze] (1) Wir pr"ufen zun"achst den ersten Satz im Fall $\op{Re}z>1$. Man geht aus von der Identit"at \begin{displaymath} \int^n_0 \left(1-\frac{t}{n}\right)^n t^{z-1}\diff t =\int^n_0 \frac{n!\;t^{z+n-1}\diff t}{n^nz(z+1) \ldots (z+n-1)} = \frac{n!\;n^z}{z(z+1)\ldots (z+n)} \end{displaymath} Man pr"uft sie leicht durch partielle Integration. Es gilt damit nur noch zu zeigen, da"s die linke Seite f"ur $\op{Re}z>1$ gegen $\Gamma (z)$ strebt. Man kann das mit elementaren Methoden unschwer sehen, vergleiche zum Beispiel \cite{Conway}. Es folgt aber auch direkt aus dem Satz von Lebesgue "uber das Vertauschen von Integralen und punktweiser monotoner Konvergenz \eref{MKo}{AN3}, wenn wir f"ur alle $t \in [0,n) $ die Absch"atzungen \begin{displaymath} \left(1-\frac{t}{n+1}\right)^{n+1} \geq \left(1- \frac{t}{n}\right)^n \end{displaymath} nachweisen. Dazu nehmen wir auf beiden Seiten den Logarithmus und m"ussen zeigen, da"s f"ur $t \in [0,n)$ die Funktion $x \mapsto x \log (1 -\frac{t}{x})$ monoton w"achst auf $[n,\infty)$. Ihre Ableitung ergibt sich zu $$\log \left( 1-\frac{t}{x}\right) + \frac{t}{x} \left( 1- \frac{t}{x} \right)^{-1}$$ und es reicht folglich zu zeigen, da"s die Funktion $y \mapsto \log (1-y) + y (1-y)^{-1}$ nichtnegativ ist f"ur $y \in [0,1)$. Bei $y =0$ nimmt diese Funktion jedoch den Wert Null an und ihre Ableitung \begin{displaymath} \frac{-1}{1-y} + \frac{(1-y) +y}{(1-y)^2} = \frac{y}{(1-y)^2} \end{displaymath} wird auf $[0,1)$ nicht negativ. \\[2mm]\noindent (2) Als n"achstes pr"ufen wir, da"s das unendliche Produkt aus dem zweiten Satz in den in \ref{PkP} vorgegebenen Rahmen f"allt, da"s also die Partialsummen der Reihe \begin{displaymath} \sum^\infty_{k=1} \left| \left(\op{e}^{-z/k} \left(1+\frac{z}{k}\right)\right) -1\right| \end{displaymath} kompakt konvergieren. Dazu beachten wir, da"s nach der Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion gilt \begin{displaymath} 1+ t - \op{e}^t = t^2 f(t) \end{displaymath} f"ur eine holomorphe Funktion $f: \Bbb{C} \ra \Bbb{C}$. W"ahlen wir also ein Kompaktum $K \subset \Bbb{C}$, so finden wir eine Konstante $C \in \Bbb{R}$ mit \begin{displaymath} |1 + ({z}/{k}) - \op{e}^{z/k} | \leq {C}/{k^2} \end{displaymath} f"ur alle $z \in K$ und alle nat"urlichen Zahlen $k \geq 1$, und f"ur das Produkt der linken Seite mit $|\op{e}^{-z/k}|$ gilt offensichtlich eine Absch"atzung derselben Gestalt, nur m"oglicherweise mit gr"o"serem $C$. Nun zeigt \ref{PkP}, da"s die Formel im Satz eine meromorphe Funktion $g: \Bbb{C} \ra \Bbb{C}$ definiert mit einfachen Polstellen an allen nichtpositiven ganzen Zahlen und keinen weiteren Pol- oder Nullstellen. \\[2mm]\noindent (3) Als letztes pr"ufen wir, da"s die Partialprodukte $\Gamma_n$ in unserer Produktentwicklung im zweiten Satz bis auf einen kompakt gegen die konstante Funktion Eins konvergierenden Korrekturterm genau die Glieder unserer Funktionenfolge aus dem ersten Satz sind. Formen wir in der Tat die Partialprodukte etwas um, so ergibt sich \begin{displaymath} \begin{array}{lll} \Gamma_n (z) &=& \op{e}^{-\gamma z} z^{-1} \prod^n_{\nu =1} \left( \frac{\nu + z}{\nu}\right)^{-1} \op{e}^{z/\nu} \\[2ex] &=& \op{e}^{-\gamma z} \frac{n!}{z(z+1) \ldots (z+n)} \op{exp} \left( \left( \sum^n_{\nu=1} \frac{1}{\nu} \right) z \right)\\[2ex] &=& \frac{n!\; n^z}{z(z+1) \ldots (z+n)} \op{exp} \left( \left( \sum^n_{\nu =1} \frac{1}{\nu} - \op{log} (n) - \gamma\right) z\right) \end{array} \end{displaymath} Der letzte Faktor strebt nun f"ur $n \ra \infty$ kompakt gegen 1, womit beide S"atze bewiesen w"aren. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge} F"ur komplexe $x,y \in \mathbb C$ mit positivem Realteil definiert man die {\bf Euler'sche Betafunktion}\index{Betafunktion, Euler'sche} als das Integral \begin{equation*} B (x,y) = \int^1_0 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \diff t \end{equation*} Man zeige die Identit"at $B (x,y) = \Gamma (x) \Gamma (y) / \Gamma (x+y)$. Hinweis: Per definitionem gilt $\Gamma (x) = \int^\infty_0 a^{x-1} {\op{e}}^{-a} \diff a$, $\Gamma (y) = \int^\infty_0 b^{y-1} {\op{e}}^{-b} \diff b$, $\Gamma (x+y) = \int^\infty_0 s^{x+y-1} {\op{e}}^{-s} \diff s$. Man zeige $B (x,y) \Gamma (x+y) = \Gamma (x) \Gamma (y)$ mithilfe des Satzes von Fubini und der Substitution $s = a + b$, $ t = a/(a+b)$. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man zeige $\Gamma'(1)=\gamma$ mit der Euler-Konstante $\gamma$ aus \ref{PGam}. Hinweis: Man mag von der Gau"s'schen Formel \ref{GauF} ausgehen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige\label{PGamn} $$\frac{\op{d}^2}{\diff z^2}\log\Gamma(z)= \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(z+k)^2}$$ f"ur $z\neq 0,-1,-2,\ldots$ Hinweis: Man mag von der Produktentwicklung \ref{PGam} ausgehen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige die {\bf Legendre'sche Verdopplungsformel}\index{Legendre!Verdopplungsformel}\label{LVF} $$\Gamma(2z)= \Gamma(z)\Gamma(z+(1/2))\;2^{2z-1}/\sqrt{\pi}$$ Hinweis: Man mag von "Ubung \ref{PGamn} ausgehen um zu zeigen, da"s die Funktion $ \Gamma(z)\Gamma(z+(1/2))/\Gamma(2z)$ von $\frac{\op{d}^2}{\diff z^2}\log$ zu Null gemacht wird, so da"s der Logarithmus $\log(\Gamma(2z)/ \Gamma(z)\Gamma(z+(1/2)))=az+b$ ein Polynom vom Grad Eins sein mu"s. Durch Einsetzen geeigneter Werte bestimmt man dann $a$ und $b$. \end{Ubung} \subsection{Riemann'scher Abbildungssatz \sose{(7.7)}} \begin{Satz}[\textbf{Riemann'scher Abbildungssatz}] Jede zusammenh"angende schleifenf"ullende echte offene Teilmenge der komplexen Zahlenebene $\Bbb{C}$ l"a"st sich biholomorph mit der offenen\label{RASa} Einheitskreisscheibe identifizieren. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Beweis dieses Satzes wird den ganzen Abschnitt f"ullen. Wir geben ihn nach einigen Vorbereitungen im Anschlu"s an \ref{Zre}. Unter einer {\bf biholomorphen Identifikation}\index{biholomorph!Identifikation} von zwei offenen Teilmengen $U,V$ der komplexen Zahlenebene verstehen wir eine biholomorphe Einbettung $f:U\hra \DC$ mit $f(U)=V$. Dann ist auch die Umkehrabbildung eine biholomorphe Identifikation $f^{-1}:V\sira U$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Bedingung, eine echte Teilmenge zu sein, schlie"st den Fall aus, da"s unsere offene Teilmenge die ganze komplexe Zahlenebene ist. In der Tat ist diese nicht biholomorph zur offenen Einheitskreisscheibe, denn es gibt darauf keine nichtkonstanten beschr"ankten holomorphen Funktionen. Der Fall der leeren Menge wird durch die Bedingung ausgeschlossen, da"s unsere Teilmenge zusammenh"angend sein soll. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Gro"ser Riemann'scher Abbildungssatz}] Die tiefere Bedeutung des obigen Satzes wird erst klar im Lichte des sogenannten \glqq gro"sen Riemann'schen Abbildungssatzes\grqq.\label{GrRA} Danach ist jede schleifenf"ullende \glqq Riemann'sche Fl"achen\grqq\ biholomorph isomorph zu genau einer der folgenden drei Beispiele: Der Riemann'sche Zahlenkugel $\Bbb{P}^1\Bbb{C}$, der komplexen Zahlen\-ebene $\Bbb{C}$ oder der offenen Einheitskreisscheibe $E$. Man findet einen Beweis zum Beispiel in \cite{FRF}. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Seien $U\co\DC$ offen und $f_n:U\ra\DC$ eine Funktionenfolge. Wir nennen unsere Folge {\bf betrags\-m"a"sig simultan beschr"ankt}, wenn es ein $R\in\DR$ gibt mit $|f_n(x)|\leq R$ f"ur alle $x\in U$ und alle $n\in \DN$. Wir nennen unsere Folge {\bf lokal betrags\-m"a"sig simultan beschr"ankt}, wenn jeder Punkt von $U$ eine Umgebung besitzt derart, da"s unsere Folge auf besagter Umgebung betrags\-m"a"sig simultan beschr"ankt ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Montel}]\label{Montel} Jede lokal betragsm"a"sig simultan beschr"ankte Folge von holomorphen Funktionen $f_n:U\ra \DC$ auf einer offenen Teilmenge $U\co \DC$ besitzt eine kompakt konvergente Teilfolge. \end{Satz} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Bezug zum Satz von Arzela-Ascoli}] Man kann diesen Satz verstehen als ein Korollar des Satzes von Arzela-Ascoli \eref{ArAs}{TM}, wenn man beachtet, da"s f"ur jede Folge von holomorphen Funktionen mit lokal betrags\-m"a"sig simultan beschr"anktem Wertebereich auch ihre Ableitungen lokal simultan beschr"ankt sind, etwa nach der ihrer Darstellung durch ein Integral aus dem Beweis von \ref{Gour}. Wir geben hier jedoch einen eigenst"andigen Beweis, der im wesentlichen der Beweis von Arzela-Ascoli mit einigen in unserem Spezialfall m"oglichen Vereinfachungen ist. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/montel.mp4}{Hier ist ein Film \"uber diesen Beweis.} Wir w"ahlen eine dichte Folge $p_0, p_1, \ldots$ in $U$. Mit Heine-Borel \eref{HeBo}{AN2} finden wir eine Teilfolge $f^0_n$, bei der die Funktionswerte bei $p_0$ konvergieren. Von dieser finden wir eine Teilfolge $f^1_n$, bei der die Funktionswerte auch bei $p_1$ konvergieren. Von dieser hinwiederum finden wir eine Teilfolge $f^2_n$, bei der die Funktionswerte auch bei $p_2$ konvergieren. So machen wir immer weiter. Die \glqq diagonale\grqq\ Folge $f^n_n$ konvergiert dann punktweise an allen $p_i$ und ist damit kompakt konvergent nach Lemma \ref{Zre}, das wir im Anschlu"s beweisen. \end{proof} \begin{Lemma}\label{Zre} Eine lokal simultan betragsm"a"sig beschr"ankte Folge von holomorphen Funktionen, die an allen Punkten einer dichten Teilmenge ihres gemeinsamen Definitionsbereichs punktweise konvergiert, konvergiert bereits kompakt auf dem gesamten Definitionsbereich. \end{Lemma} \begin{proof} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/montel2.mp4}{Hier ist ein Film \"uber diesen Beweis.} Es reicht zu zeigen, da"s unsere Folge $f_n$ auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe $K$ aus dem gemeinsamen Definitionsbereich gleichm"a"sig konvergiert. Nun kann jede solche abgeschlossene Kreisscheibe vergr"o"sert werden zu einer echt gr"o"seren abgeschlossenen Kreisscheibe $L$ aus dem gemeinsamen Definitionsbereich, und mit der Integralformel f"ur die Ableitung aus dem Beweis von \ref{Gour} folgt aus der simultanen Beschr"anktheit der Funktionen unserer Folge auf dem Rand dieser gr"o"seren Kreisscheibe $L$ die simultane Beschr"anktheit ihrer Ableitungen auf unserer urspr"unglichen Kreisscheibe $K$, sagen wir durch eine Konstante $c>0$. Aus dem Schrankensatz \eref{MWSn}{AN1} folgt nun $|f_n(x)-f_n(y)|\leq c|x-y|$ f"ur alle $x,y\in K$. W"ahlen wir f"ur vorgegebenes $\varepsilon>0$ eine endliche Teilmenge $E=E_\varepsilon$ unserer dichten Teilmenge derart, da"s die Kreisscheiben um $x\in E$ mit Radius $\varepsilon/2c$ bereits $K$ "uberdecken, so "uberdecken die Kreisscheiben um $x\in E\cap K$ mit Radius $\varepsilon/c$ auch bereits $K$ und dann folgt aus $|f_n(x)-f_m(x)|\leq \varepsilon\;\forall x\in E\cap K$ bereits $|f_n(y)-f_m(y)|\leq 3\varepsilon\;\forall y\in K$. F"ur alle $\varepsilon>0$ gibt es also $N\in\DN$ mit $N\leq m\leq n\RA |f_n(y)-f_m(y)|\leq 3\varepsilon\;\forall y\in K$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis des Riemann'schen Abbildungssatzes \ref{RASa}] Sei $G \co \Bbb{C}$ eine schleifenf"ullende echte offene Teilmenge. Wir gehen in drei Schritten vor. \\[2mm]\noindent (1) \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/riemann1.mp4}{Hier ist ein Film \"uber diesen Beweisteil.} Wir zeigen zun"achst, da"s es eine holomorphe Injektion von $G$ in eine Kreisscheibe von endlichem Radius gibt. In der Tat sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $0 \not\in G$. Nach \ref{ELog} gibt es dann auf $G$ einen Zweig des Logarithmus, in Formeln $f: G \ra \Bbb{C}$ holomorph mit $z = \op{exp} (f(z)) \; \forall z \in G$. Insbesondere ist $f$ injektiv. Das Bild von $f$ ist offen und umfa"st folglich eine offene Kreisscheibe $D$ vom Radius kleinergleich $\pi$. Dann hat es aber notwendig leeren Schnitt mit der um $2\pi {\op{i}}$ verschobenen Kreisscheibe $2 \pi {\op{i}} + D$. Durch Nachschalten einer Verschiebung finden wir also $f_1:G \hra \Bbb{C}$ holomorph derart, da"s $f_1(G)$ eine Kreisscheibe mit Zentrum im Ursprung nicht trifft. Setzen wir dann $f_2(z)\pdef f_1(z)^{-1}$, so ist in der Tat $f_2$ eine Einbettung von $G$ in eine Kreisscheibe von endlichem Radius mit Zentrum im Ursprung. \\[2mm]\noindent (2) \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/riemann2.mp4}{Hier ist ein Film \"uber diesen Beweisteil.} Nach dem ersten Schritt k"onnen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s unser $G$ den Nullpunkt enth"alt und in der offenen Einheitskreisscheibe $E$ enthalten ist. Wir behaupten nun, da"s es unter allen holomorphen Injektionen $f: G \ra E$ mit $f(0) =0$ eine gibt, f"ur die $|f^{\prime} (0)|$ maximal wird. Das gilt sogar, ohne da"s wir $G$ schleifenf"ullend annehmen. In der Tat umfa"st $G$ eine Kreisscheibe ${\op{B}}(0;\varepsilon)$ f"ur $\varepsilon > 0$, woraus folgt, da"s f"ur holomorphe Abbildungen $f: G \ra E$ die Ableitung am Nullpunkt, die ja nach dem Beweis von \ref{Gour} durch die Formel \begin{displaymath} f^{\prime} (0) = \frac{1}{2\pi {\op{i}}} \int_{|z|=\varepsilon} \frac{f(z)}{z^{2}} \diff z \end{displaymath} gegeben wird, betragsm"a"sig beschr"ankt ist durch $\varepsilon^{-1}$. Also gibt es ein Supremum $S$ der Menge der m"oglichen $|f^{\prime} (0)|$ und eine Folge von holomorphen Injektionen $f_n : G \ra E$ derart, da"s $|f^{\prime}_n (0)|$ gegen dieses Supremum strebt. Nach dem Satz von Montel \ref{Montel} d"urfen wir sogar annehmen, da"s diese Folge kompakt konvergiert. Die Grenzfunktion $f$ ist dann nach \ref{GKoc} wieder holomorph mit $|f^{\prime} (0)|=S$. Sie ist auch injektiv nach dem Korollar \ref{GrIn}, das wir im Anschlu"s beweisen, und landet nicht nur in der abgeschlossenen, sondern sogar in der offenen Einheitskreisscheibe nach dem Satz "uber die Gebietstreue \ref{GeTr}. Also haben wir eine holomorphe Injektion $f : G \ra E$ gefunden mit $f(0) =0$, f"ur die die Ableitung $|f^{\prime} (0)|$ den unter diesen Einschr"ankungen gr"o"stm"oglichen Wert annimmt. \\[2mm]\noindent (3) \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/riemann3.mp4}{Hier ist ein Film \"uber diesen Beweisteil.} Jetzt gilt es noch zu zeigen, da"s die im vorherigen Schritt konstruierte Abbildung $f$ surjektiv auf die ganze Einheitskreisscheibe geht. Dazu f"uhren wir die gegenteilige Annahme zum Widerspruch, indem wir zu jeder nicht surjektiven holomorphen Injektion $f : G \hookrightarrow E$ mit $f(0) =0$ eine weitere konstruieren, die auch den Ursprung festh"alt und deren Ableitung im Ursprung betragsm"a"sig noch gr"o"ser ist. Sei also $p \in E \backslash f(G)$. Wir erinnern, da"s es nach \ref{BiOK} zu je zwei Punkten der offenen Einheitskreisscheibe $p,q\in E$ eine holomorphe Bijektion $h:E\sira E$ gibt mit $h(p)=q$. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/transe.mp4}{Hier ist ein Film mit einer anschaulichen Argumentation zu dieser Aussage.} Wir finden also $h_1 : E \sira E$ biholomorph mit $h_1 (p) =0$. Da $G$ schleifenf"ullend ist, gibt es dann nach \ref{WuHo} eine Wurzel von $h_1 \circ f$ alias eine Funktion $w$ mit $q\circ w=h_1 \circ f$ f"ur $q : z \mapsto z^2$ das Quadrieren. Auch diese Wurzel ist eine holomorphe Injektion $w:G\hra E$. Schlie"slich finden wir dann noch $h_2: E \sira E$ biholomorph mit $h_2 (w(0)) =0$. Wir behaupten nun, da"s $g \pdef h_2 \circ w$ eine betragsm"a"sig gr"o"sere Ableitung im Ursprung hat als $f$. Um das zu sehen, beachten wir $ q \circ h^{-1}_2 \circ g = h_1 \circ f $ alias $(h^{-1}_1 \circ q \circ h^{-1}_2) \circ g =f$. Nun ist aber der Ausdruck in Klammern eine holomorphe nicht injektive Abbildung $E \ra E$, die den Ursprung festh"alt. Ihre Ableitung im Ursprung ist nach dem Schwarz'schen Lemma \ref{SchL} also betragsm"a"sig echt kleiner als Eins und mit der Kettenregel folgt $|g^{\prime} (0) | > |f^\prime (0)|$. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/riemann4.mp4}{Hier ist ein Film, der die Konstruktion der verbesserten Funktion $g$ zu einer nicht surjektiven Funktion $f$ in einem Beispiel beschreibt.} \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Nullstellenanzahl von Grenzfunktionen}] Sei auf einer zusammenh"angenden offenen Teilmenge der komplexen Zahlenebene eine kompakt konvergente Folge holomorpher Funktionen gegeben.\label{NsGf} Haben alle Funktionen unserer Folge mit Vielfachheiten gerechnet h"ochstens $N$ Nullstellen und ist unsere Grenzfunktion nicht die Nullfunktion, so hat auch unsere Grenzfunktion mit Vielfachheiten gerechnet h"ochstens $N$ Nullstellen. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/nstgrenz.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die Zahl von Nullstellen von Grenzfunktionen.} Seien $f_n : U \ra \Bbb{C}$ unsere Funktionen und $f: U \ra \Bbb{C}$ ihre Grenzfunktion. Sind $p_1, \ldots , p_r$ paarweise verschiedene Nullstellen von $f$, so k"onnen wir paarweise disjunkte abgeschlossene Kreisscheiben $K_1, \ldots, K_r \subset U$ w"ahlen derart, da"s $p_s$ jeweils die einzige Nullstelle von $f$ aus $K_s$ ist. Sicher verschwinden nur endlich viele der $f_n$ auf dem Rand einer unserer Kreisscheiben. Wegen der kompakten Konvergenz der Ableitungen nach \ref{GKoc} haben wir also \begin{displaymath} \lim_{n\ra \infty} \frac{1}{2\pi {\op{i}}} \int_{\partial \vec{K}_s} \frac{f^{\prime}_{n} (z)}{f_n (z)} \diff z = \frac{1}{2\pi {\op{i}}} \int_{\partial \vec{K}_s} \frac{f^{\prime} (z)}{f(z)} \diff z \end{displaymath} Das aber besagt nach Satz \ref{ZNP} "uber das Z"ahlen von Null- und Polstellen, da"s f"ur hinreichend gro"ses $n$ die Funktion $f_n$ mit Vielfachkeiten gerechnet ebensoviele Nullstellen in der Kreisscheibe $K_s$ hat wie die Grenzfunktion $f$. \end{proof} \begin{Korollar}\label{GrIn} Ist $U\co\DC$ offen und zusammenh"angend, so ist die Grenzfunktion einer kompakt konvergenten Folge injektiver holomorpher Funktionen auf $U$ entweder injektiv oder konstant. \end{Korollar} \begin{proof} Injektive Funktionen k"onnen h"ochstens eine Nullstelle haben und diese kann dann keine h"ohere Vielfachkeit haben. Also kann nach \ref{NsGf} auch die Grenzfunktion, wenn sie nicht die Nullfunktion ist, h"ochstens eine Nullstelle haben, und diese mu"s dann eine einfache Nullstelle sein. Das Korollar folgt, wenn man diese Erkenntnis auf die Differenz unserer Funktionen zu festen konstanten Funktionen anwendet. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s der Satz "uber die Nullstellenanzahl von Grenzfunktionen analog auch gilt, wenn wir die\label{ZnsG} Vielfachheiten nicht beachten: Ist auf einer zusammenh"angenden offenen Teilmenge der komplexen Zahlenebene eine kompakt konvergente Folge holomorpher Funktionen gegeben, und haben alle Funktionen unserer Folge h"ochstens $N$ Nullstellen, und ist unsere Grenzfunktion nicht die Nullfunktion, so hat auch unsere Grenzfunktion h"ochstens $N$ Nullstellen. \end{Ubung} \newpage \section{Erste Anwendungen in der Zahlentheorie*} \subsection{Verteilung von Primzahlen \sose{(12\&14.7)}} \begin{Satz}[\textbf{Primzahlsatz}]\index{Primzahlsatz} Bezeichnet $\pi (x)$ f"ur jede reelle Zahl $x$ die Zahl der Primzahlen $\leq x$, so gilt\label{PZS} \begin{displaymath} \lim_{x \ra \infty} \frac{\pi (x) \log(x)}{x} =1 \end{displaymath} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Das Symbol $\log$ ist hier wie immer in diesem Text zu interpretieren als der nat"urliche Logarithmus alias die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion $\exp$. Anders gesagt strebt der Quotient der Funktionen $\pi(x)/x$ und $1/\log(x)$ gegen Eins f"ur $x\ra\infty$. Etwas vage gesagt ist also f"ur gro"ses $x$ also die Wahrscheinlichkeit, da"s eine nat"urliche Zahl $\leq x$ prim ist, in etwa $1/\log(x)$. Die Konvergenz ist jedoch sehr langsam: Bei $x=100000$ finden wir f"ur den Quotienten als Wert etwa $1,\!1$ und bei $x=10^9$ als Wert etwa $1,\!05$. Der Beweis wird uns diesen ganzen Abschnitt besch"aftigen und wird erst ganz am Ende gegeben. Im Grundgedanken zeigen wir den Primzahlsatz, indem wir einen \glqq Taubersatz\grqq\ anwenden auf die logarithmische Ableitung der Riemann'schen $\zeta$-Funktion, geteilt durch $z$ und bereinigt um den Hauptteil dieses Quotienten bei $z=1$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} F"ur $z\in \DC$ mit $\op{Re}( z) >1$ definieren wir den Wert der {\bf Riemann'schen $\zeta$-Funktion}\index{Riemann!$\zeta$-Funktion} \index{Z@$\zeta$-Funktion!Riemann'sche}\index{Zetafunktion!Riemann'sche} an der Stelle $z$ durch die absolut konvergente Reihe\label{RZF} \begin{displaymath} \zeta (z) \pdef \sum_{k= 1}^\infty \frac{1}{k^z} \end{displaymath} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Mit \eref{IXA}{AN1} sieht man leicht, da"s die Partialsummen dieser Reihe f"ur jedes $\alpha > 1$ auf der Halbebene $\op{Re} (z )\geq \alpha$ gleichm"a"sig konvergieren. Folglich definiert unsere Reihe eine holomorphe Funktion auf der Halbebene $\op{Re} (z )> 1$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Produktentwicklung der $\zeta$-Funktion}] Bezeichnet $P \subset \Bbb{N}$ die Menge aller Primzahlen,\label{PRZe} so gilt \begin{displaymath} \zeta (z) = \prod_{p\in P} \left( 1-\frac{1}{p^z}\right)^{-1} \end{displaymath} im Sinne der kompakten Konvergenz der partiellen Produkte auf der Halbebene $\op{Re} (z) > 1$, unabh"angig von der Reihenfolge der Faktoren. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/zeta1.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die Produktentwicklung der $\zeta$-Funktion.} Diese Produktentwicklung geht auf Euler zur"uck. Ihre Faktoren hei"sen die {\bf Euler-Faktoren}.\index{Euler-Faktor} Diese Terminologie verallgemeinert man dann auf allgemeinere $\zeta$-Funktionen und sogenannte \glqq ${\op{L}}$-Reihen\grqq, die uns sp"ater begegnen werden. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Unsere allgemeinen "Uberlegungen \ref{pinv} zeigen, da"s das Produkt auf der rechten Seite auf $\op{Re} (z) > 1$ kompakt konvergiert. Nun k"onnen wir f"ur $\op{Re} (z) >1$ ja die Faktoren in eine geometrische Reihe entwickeln in der Form \begin{displaymath} \left( 1- \frac{1}{p^z}\right)^{-1} = 1 + \frac{1}{p^z} + \frac{1}{p^{2z}} + \ldots \end{displaymath} W"ahlen wir $E \subset P$ endlich und bezeichnen mit $\Bbb{N} (E)$ die Menge aller nat"urlichen Zahlen $\geq 1$, deren s"amtliche Primfaktoren zu $E$ geh"oren, so erhalten wir mit \eref{PvR}{AN1} f"ur die Partialprodukte die Darstellung \begin{displaymath} \prod_{p \in E} \left( 1- \frac{1}{p^z} \right)^{-1} = \sum_{k \in \Bbb{N} (E)} \frac{1}{k^z} \end{displaymath} Betrachten wir auf beiden Seiten jeweils die Menge $E = E_n$ der ersten $n$ Primzahlen und lassen $n$ gegen unendlich streben, so konvergiert die rechte Seite gegen $\zeta (z)$ nach dem Satz "uber dominierte Konvergenz \eref{DoKo}{AN3}, der im vorliegenden Spezialfall im wesentlichen auch bereits als "Ubung \eref{RMKo}{AN1} behandelt wurde und den wir hier auf Real- und Imagin"arteil unserer komplexen Funktion anwenden. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Fortsetzbarkeit der Riemann'schen $\zeta$-Funktion}] Die $\zeta$-Funk\-tion l"a"st sich zu einer meromorphen Funktion auf der Halbebene $\op{Re} (z) >0$ fortsetzen und diese Fortsetzung ist holomorph\label{AZFc} bis auf eine Singularit"at bei $z=1$, wo sie einen einfachen Pol mit dem Residuum Eins hat. \end{Lemma} \begin{Bemerkungw}\label{FGRZ} Die Riemann'sche $\zeta$-Funktion l"a"st sich sogar zu einer meromorphen Funktion auf ganz $\DC$ fortsetzen und die mit dieser Fortsetzung und der $\Gamma$-Funktion aus \ref{GaF} erkl"arte meromorphe Funktion $\Lambda (z) \pdef \pi^{-z/2} \Gamma (z/2) \zeta (z)$ erf"ullt die {\bf Funktionalgleichung}\index{Funktionalgleichung!der $\zeta$-Funktion} $ \Lambda (z) = \Lambda (1-z) $ alias ist punktsymmetrisch um den Punkt $1/2$, in Formeln $\Lambda ((1/2)+z) = \Lambda ((1/2)-z)$. Des weiteren hat $\Lambda$ nur bei $0$ und $1$ Polstellen und zwar jeweils eine einfache Polstelle. Anders gesagt unter Verwendung der Verdopplungsformel \ref{LVF} gilt $\zeta(1-z)=(2/(2\pi)^z)\cos(\pi z/2)\Gamma(z)\zeta(z)$. Das alles zeigen wir hier jedoch nicht. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/zeta2.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die meromorphe Fortsetzbarkeit der $\zeta$-Funktion.} F"ur $\op{Re} (z )>1$ gilt \begin{displaymath} \zeta (z) - \frac{1}{z-1} = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n^z} - \int^\infty_1 \frac{1}{x^z} \diff x = \sum^\infty_{n=1} \int_n^{n+1} \left( \frac{1}{n^z} - \frac{1}{x^z} \right) \diff x \end{displaymath} Die Partialsummen dieser Reihe jedoch bilden eine kompakt konvergente Folge holomorpher Funktionen auf der Halbebene $\op{Re} (z) >0$, da wir die Summanden f"ur $\op{Re}( z) >0$ absch"atzen k"onnen durch \begin{displaymath} \left| \int^{n+1}_n \left( \frac{1}{n^z} - \frac{1}{x^z} \right) \diff x \right| = \left| z\int^{n+1}_{n} \left(\int^x_n \frac{\diff u}{u^{z+1}}\right) \diff x \right| \leq \frac{|z|}{n^{\op{Re}(z)+1}} \qedhere\end{displaymath} \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Nullstellen der Riemann'schen $\zeta$-Funktion}] Die Riemann'sche $\zeta$-Funktion hat keine Nullstellen $z$ mit Realteil\label{NSRZ} $\op{Re}(z)\geq 1$. \end{Lemma} \begin{Bemerkunge} Die {\bf Riemann'sche Vermutung}\index{Riemann!Riemann'sche Vermutung} besagt sehr viel st"arker, da"s die Riemann'sche $\zeta$-Funktion sogar keine Nullstellen mit Realteil $> 1/2$ haben sollte. Mit der Funktionalgleichung \ref{FGRZ} und den Eigenschaften der $\Gamma$-Funktion folgt daraus sofort, da"s au"ser den \glqq trivialen\grqq\ Nullstellen bei den negativen geraden ganzen Zahlen alle Nullstellen der $\zeta$-Funktion auf der Gerade $\op{Re}(z)=1/2$ liegen m"u"sten. Diese Vermutung ist eine der ber"uhmtesten und wichtigsten offenen Fragen der Mathematik. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Den folgenden Beweis und insbesondere sein Ende verstehe ich leider nur oberfl"achlich. Ich kann insbesondere kein Prinzip erkennen, das einen auf diese Idee h"atte f"uhren sollen. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/zeta3.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die Unm\"oglichkeit von Nullstellen der $\zeta$-Funktion mit Realteil Eins.} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Der Integrallogarithmus wird definiert durch die Formel \begin{displaymath} \op{Li}(x) \pdef \int^x_2 \frac{\diff t}{\log (t)} \end{displaymath} Er sollte f"ur $x \rightarrow \infty$ die Primzahlfunktion $\pi (x)$ noch sehr viel besser approximieren als $\frac{x}{\log x}$. Man kann sogar zeigen, da"s die Riemann'sche Vermutung "aquivalent ist zur Aussage, da"s es eine Konstante $C$ gibt mit \begin{displaymath} |\pi (x) - \op{Li} (x) | \leq C \sqrt{x} \log (x) \end{displaymath} f"ur hinreichend gro"ses $x$, vergleiche etwa \cite{Brun}. Die Vertr"aglichkeit dieser Vermutung mit dem Primzahlsatz zeigt "Ubung \eref{Intlog}{AN1}. Wie bereits erw"ahnt finden wir bei $x=100000$ als Wert von $\pi (x)\log(x)/x$ ungef"ahr $1,\!1$ und bei $x=10^9$ ungef"ahr $1,\!05$. Die entsprechenden Werte von $\pi (x)/\op{Li}(x)$ sind dahingegen ungef"ahr $0,\!991$ und $0,\!99997$. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] F"ur Realteil $\op{Re}(z)> 1$ folgt das mit \ref{pinv} aus der Produktentwicklung. Um auch Nullstellen mit Realteil Eins auszuschlie"sen, reicht es zu zeigen, da"s die logarithmische Ableitung der $\zeta$-Funktion au"ser bei $z=1$ keine Polstellen auf der Geraden $\op{Re}(z)=1$ hat. F"ur $\op{Re}(z) > 1$ erhalten wir aus der Produktentwicklung f"ur die logarithmische Ableitung der $\zeta$-Funktion mit \ref{logAK} die Darstellung \begin{displaymath} \frac{\op{dlog}\zeta}{\diff z}\;=\;\frac{\zeta^\prime (z)}{\zeta (z)} \; =\; -\sum_{p\in P} \frac{\op{log} p}{p^z-1} \end{displaymath} Wir wissen, da"s diese Funktion nur einfache Polstellen $q$ hat mit der jeweiligen Nullstellenordnung $v_q(\zeta)$ der $\zeta$-Funktion als Residuum. Nun unterscheidet sich die rechte Seite von der einfacher handhabbaren Funktion $$\Phi(z)\pdef\sum_{p\in P} \frac{\op{log} p}{p^z}$$ nur um das Vorzeichen und um die Reihe $$\sum_{p\in P}\frac{\op{log} p}{p^z-1} -\sum_{p\in P}\frac{\op{log} p}{p^z} =\sum_{p\in P}\frac{\op{log} p}{p^z(p^z-1)}$$ Diese Reihe konvergiert offensichtlich sogar auf der Halbebene $\op{Re} (z) > \frac{1}{2}$ kompakt gegen eine holomorphe Funktion. Mit der logarithmischen Ableitung der $\zeta$-Funktion hat also auch unsere Funktion $\Phi$ eine meromorphe Fortsetzung auf die Halbebene $\op{Re} (z) > \frac{1}{2}$, die nur einfache Polstellen $q$ hat mit dem jeweiligen Residuum $\op{Res}_q\Phi=-v_q(\zeta)$. Nun beachte man f"ur alle $\alpha >0$ und $ \varepsilon >0$ die Ungleichung \begin{displaymath} 0 \;\leq\; \sum_{p\in P} \frac{\log p}{p^{1+\varepsilon}} \left(p^{{\op{i}}\alpha/2} + p^{-{\op{i}} \alpha/2}\right)^4 = \begin{array}[t]{l} \Phi (1+\varepsilon + 2{\op{i}}\alpha ) + 4\Phi (1+\varepsilon + {\op{i}} \alpha)\\[2mm] \;\;\; + 6 \Phi (1+ \varepsilon)\\[2mm] \;\;\;\;\;\;+ 4 \Phi (1 + \varepsilon - {\op{i}}\alpha) + \Phi (1 + \varepsilon -2 {\op{i}} \alpha) \end{array} \end{displaymath} Multiplizieren wir diese Ungleichung mit $\varepsilon >0$, lassen $\varepsilon$ von oben gegen Null streben und beachten $\zeta (\bar{z}) = \overline{\zeta (z)}$ und insbesondere $v_q(\zeta)=v_{\bar q}(\zeta)$ nach \ref{HAHm}, so erhalten wir $$0\leq -6v_1(\zeta)-8v_{1+ {\op{i}} \alpha}(\zeta) -2v_{1+ 2{\op{i}} \alpha}(\zeta) $$ Wegen $v_1(\zeta)=-1$ folgt dann sofort, da"s die $\zeta$-Funktion keine Nullstellen mit Realteil Eins haben kann. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{LaTa} Gegeben eine beschr"ankte me"sbare Funktion $f: \DR_{\geq 0}\ra\DC$ erkl"art man eine holomorphe Funktion $F$ auf der Halbebene $\op{Re}(z)>0$, ihre \defind{La\-place-Trans\-for\-mier\-te}, durch die Vorschrift $$F(z)\pdef\int^{\infty}_{0} f(t) \op{e}^{-z t} \diff t$$ Da"s diese Funktion tats"achlich holomorph ist, folgert man aus der Vertauschbarkeit von Ableitung und Integral \eref{VIPA}{AN3} im Reellen, die wir im Fall der Fouriertransformation bereits beim Beweis von \eref{EFou}{AN3} genauer ausgef"uhrt hatten, unter Verwendung der Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen. \nichtfinal{(Vergleiche auch \eref{LaTrr}{AN3}.) $$\mathcal L \{g\}(t)=(\mathcal F g)({\op{i}}t)=\int_{-\infty}^\infty g(x){\op{e}}^{-xt}\diff x$$ } \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Die Laplacetransformation wird allgemeiner f"ur gewisse Borelma"se auf $\DR_{\geq 0}$ erkl"art. %, die f"ur $t\ra\infty$ %so langsam dichter werden, da"s ihre Transformierte noch auf %einer Halbebene der Form $\op{Re}(z)>a$ definiert ist. Sie ist bei der L"osung von Differentialgleichungen oft hilfreich, da sie diese in algebraische Gleichungen umwandelt. Man kann sie auch f"ur me"sbare Funktionen oder Borelma"se auf ganz $\DR$ untersuchen, mu"s dann aber, insbesondere wenn der Tr"ager von $f$ keine reelle untere Schranke hat, mehr Sorgfalt bei Konvergenzbetrachtungen walten lassen. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Taubersatz von Newman}] Ist $f : [0,\infty) \ra \Bbb{C} $ beschr"ankt und\label{TSN} me"sbar und l"a"st sich die Laplacetransformierte $F$ von $f$ holomorph auf eine offene Umgebung der abgeschlossenen Halbebene $\op{Re} (z) \geq 0$ fortsetzen, so gilt f"ur den Wert bei Null dieser Fortsetzung die Formel \begin{displaymath} F(0) = \lim_{T \ra \infty} \int^{T}_{0} f(t) \diff t \end{displaymath} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Trick zum Beweis des Primzahlsatzes \ref{PZS} besteht dann darin, den Taubersatz von Newman auf die Funktion \begin{displaymath} F(z)\pdef \frac{\Phi (z+1)}{z+1} - \frac{1}{z} \end{displaymath} mit unserem $\Phi$ aus dem Beweis von \ref{NSRZ} anzuwenden. In der Tat wissen wir aus diesem Beweis, da"s $\Phi$ wie die logarithmische Ableitung der $\zeta$-Funktion zu einer meromorphen Funktion auf die offene Halbebene aller komplexen Zahlen mit Realteil $>1/2$ fortgesetzt werden kann und auf der Gerade $\op{Re}z=1$ nur bei $z=1$ eine Polstelle hat mit dem Hauptteil $1/(z-1)$. Also hat $F$ eine holomorphe Fortsetzung auf die Halbebene $\op{Re}(z)>-1/2$. Dann m"ussen wir unsere Funktion $F$ als Laplace-Transformierte schreiben und die Bedingungen des Taubersatzes pr"ufen und danach auch noch den Primzahlsatz folgern, aber jetzt konzentrieren wir uns erst einmal auf den Beweis des Taubersatzes. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Statt der Me"sbarkeit von $f$ ist f"ur unsere Anwendung die elementarere Bedingung ausreichend, da"s $f$ stetig sein soll auf dem Komplement des Bildes einer streng monoton wachsenden Folge. Die Bezeichnung als \glqq Taubersatz\grqq\ kommt von der vagen Analogie zum urspr"unglichen Satz von Tauber her, den wir in \eref{Tau}{AN1} diskutieren. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/tauber.mp4}{Hier ist ein Film \"uber den Taubersatz von Newman.} F"ur $T \in [0,\infty)$ und $z \in \Bbb{C}$ setzen wir $F_{T} (z) = \int^T_0 f(t) \op{e}^{-zt} \diff t$. Diese Funktionen sind sicher holomorph. Betrachten wir nun $R>0$ und w"ahlen $\delta >0$ so klein, da"s $F$ sich holomorph fortsetzen l"a"st auf eine offene Menge, die \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildTauN} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Der Integralweg aus dem Beweis des Taubersatzes von Newman \end{minipage} \end{figure} \begin{displaymath} \{ z \in \Bbb{C} \mid |z| \leq R,\; \op{Re} z \geq -\delta\} \end{displaymath} umfa"st. Ist $\gamma$ der Randweg dieses Gebiets, so liefert der Integralsatz von Cauchy \begin{displaymath} F(0) - F_T (0) = \frac{1}{2\pi{\op{i}}} \int_\gamma (F(z)-F_T (z)) \op{e}^{zT} \left( 1 + \frac{z^2}{R^2} \right) \frac{\diff z}{z} \end{displaymath} Das Hinzuf"ugen der beiden hinteren Faktoren ist ein Kunstgriff, dessen Herkunft ich nicht verstehe. Wir sch"atzen nun unser Wegintegral ab. Auf dem offenen Halbkreis $|z| = R, \op{Re} z > 0$, ja sogar auch der ganzen offenen Halbebene $\op{Re} z > 0$, finden wir unter der Annahme $|f (t)| \leq B$ die Schranke \begin{displaymath} | F(z) - F_T (z) | = \left| \int^{\infty}_{T} f(t) \op{e}^{-zt} \diff t \right| \leq B \int^\infty_T |\op{e}^{-zt} | \op{\diff t} = \frac{B\op{e}^{-(\op{Re} z)T}}{\op{Re}z} \end{displaymath} Da f"ur $|w| =1$ stets gilt $|1 + w^2| = |w^{-1} +w| = 2 |\op{Re} w|$, erhalten wir auf der Halbebene $\op{Re}(z)>0$ f"ur den Betrag der hinteren Faktoren auf unserem Weg \begin{displaymath} \left| \op{e}^{zT} \left( 1+ \frac{z^2}{R^2} \right) \frac{1}{z} \right| \;\;= \;\;\op{e}^{(\op{Re} z) T} \;\;\frac{2\op{Re} (z)}{R^2} \end{displaymath} Das Integral "uber den Teil unseres Weges mit Realteil gr"o"sergleich Null ist also betragsm"a"sig beschr"ankt durch $2\pi B/R$. Das Integral "uber den Teil des Weges $\gamma$ in der Halbebene $\op{Re} z\leq 0$ sch"atzen wir f"ur $F$ und f"ur $F_T$ separat ab. Da $F_T$ holomorph ist auf ganz $\Bbb{C}$, k"onnen wir ebensogut das Integral "uber den Halbkreis $|z| = R, \op{Re} z \leq 0$ berechnen. F"ur $\op{Re} z < 0$ finden wir \begin{displaymath} |F_T (z) | \;=\;\left| \int^T_0 f(t) \op{e}^{-zt} \diff t \right| \;\;\leq\;\; B \int^T_0 |\op{e}^{-zt}| \diff t \;\;\leq\;\; \frac{B \op{e}^{-(\op{Re} z) T}}{-\op{Re} z} \end{displaymath} und mit derselben Absch"atzung wie zuvor ist dieser Anteil des Integrals betragsm"a"sig beschr"ankt durch $2\pi B/R$. Das Integral von $$F(z) \op{e}^{zT} \left( 1+ \frac{z^2}{R^2}\right) \frac{1}{z}$$ "uber den Teil unseres Weges $\gamma$, der in der Halbebene $\op{Re} (z) \leq 0$ verl"auft, strebt nun aber offensichtlich gegen Null f"ur $T \ra \infty$, da die Funktionenfolge $\op{e}^{zn}$ auf der Halbebene $\op{Re} (z) <0$ kompakt gegen die Nullfunktion konvergiert und simultan beschr"ankt ist auf der abgeschlossenen Halbebene $\op{Re} (z) \leq 0$. Damit folgt, da"s es f"ur jedes $R >0$ und jedes $\varepsilon >0$ ein $T (R,\varepsilon)$ gibt mit \begin{equation*} T \geq T (R, \varepsilon) \;\;\Rightarrow\;\; | F(0) - F_T(0) | \;\leq \; \frac{2 B}{R} + \varepsilon\qedhere \end{equation*} \end{proof} \nichtfinal{\begin{Bemerkungl} Unsere Funktion $\Phi(z)=\sum_{p \in P} (\log p)/{p^z}= \sum_{p \in P} (\log p) {\op{e}}^{-(\log p)z}$ ist offensichtlich die Laplacetransformierte des diskreten Ma"ses $\sum_{p \in P} (\log p)\delta_{\log p}$. Die Funktion $1/z$ ist offensichtlich die Laplacetransformierte der konstanten Funktion $1=1_{(0,\infty[}$. Mit demselben Beweis wie bei der Fouriertransformation \eref{FTF}{AN3} ist auch bei der Laplacetransformation die Transformierte der Faltung zweier transformierbarer Ma"se. Sage genau, welche Ma"se erlaubt werden! Mache das alles zu einer sch"onen pr"azisen Theorie! \end{Bemerkungl}} \nichtfinal{\begin{proof}[Beweis] F"ur $\op{Re} (z) >1$ k"onnen wir die Funktion $\Phi (z)$ aus dem Beweis von \ref{NSRZ} darstellen in der Form \begin{displaymath} \Phi (z) = \sum_{p \in P} \frac{\log p}{p^z} = z \int^\infty_1 \frac{\vartheta (x)}{x^{z+1}} \diff x = z \int^\infty_0 \vartheta (\op{e}^t) \op{e}^{-zt} \diff t \end{displaymath} wobei wir uns das mittlere Integral f"ur die zweite Gleichheit als die konvergente Reihe $\sum_{p \in P} z \int^\infty_p \frac{\log p}{x^{z+1}} \diff x$ geschrieben denken. W"aren wir etwas gebildeter und w"u"sten, da"s die Laplacetransformation Konvolutionen in Produkte verwandelt, so k"onnten wir auch von der offensichtlichen Darstellung von $\Phi (z) $ als Laplace-Transformierte eines diskreten Ma"ses und von $1/z$ als Laplace-Transformierte der konstanten Funktion $1$ ausgehen und so die inverse Laplace-Transformierte von $\Phi (z)/z$ finden. Substituieren wir $z+1$ f"ur $z$, so ergibt sich f"ur $\op{Re} (z) >0$ die Gleichung \begin{displaymath} \frac{\Phi (z+1)}{z+1} \;=\; \int^{\infty}_0 \vartheta (\op{e}^t) \op{e}^{-t} \op{e}^{-zt} \diff t \end{displaymath} und weiter \begin{displaymath} \frac{\Phi (z+1)}{z+1} - \frac{1}{z} \;= \;\int^\infty_0 (\vartheta (\op{e}^t) \op{e}^{-t} -1)\op{e}^{-zt} \diff t \end{displaymath} Auf der linken Seite steht aber eine Funktion, die sich nach unseren Erkenntnissen im Beweis von \ref{NSRZ} holomorph auf eine offene Umgebung der abgeschlossenen Halbebene $\op{Re} (z) \geq 0$ fortsetzen l"a"st. Auf der rechten Seite ist $(\vartheta (\op{e}^t) \op{e}^{-t} -1)$ f"ur $t \in [0,\infty)$ betragsm"a"sig beschr"ankt nach \ref{TaBe}. Also existiert nach dem Taubersatz \ref{TSN} der Grenzwert $\lim_{T \ra\infty} \int^T_0 \vartheta (\op{e}^t) \op{e}^{-t} -1\; \diff t $ und ist eine reelle Zahl. Substituieren wir nun wieder $x = \op{e}^t$, so folgt das Lemma. \end{proof}} \begin{Bemerkungl} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/pzs.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die Struktur des Beweises des Primzahlsatzes.} Das folgende Lemma liefert in der uns interessierenden Anwendung des Taubersatzes die Beschr"anktheit der zu transformierenden Funktion. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{TaBe} F"ur die Funktion $\vartheta(x)= \sum_{p \leq x} \log p$ mit $x\in\DR$ und der Summe nur "uber Primzahlen $p$ gibt es eine Konstante $C$ mit $\vartheta (x) \leq Cx \; \forall x \in [0,\infty)$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] F"ur alle $n \in \Bbb{N}$ gilt \begin{displaymath} 2^{2n} = (1+1)^{2n} \geq {2n \choose n} \geq \prod_{n < p \leq 2n} p =\op{e}^{\vartheta (2n) - \vartheta(n)} \end{displaymath} und damit $ \vartheta (2n)-\vartheta (n)\leq 2n (\log 2) $. Gegeben $x \geq 0$ finden wir $n \in \Bbb{N}$ mit $2n \leq x < 2n +2$ und folglich $\vartheta (2n) \leq \vartheta (x) \leq \vartheta (2n) + \log (2n +1)$ und $\vartheta (n) = \vartheta (x/2)$. Daraus folgt aber leicht \begin{displaymath} \begin{array}{lll} \vartheta (x) -\vartheta (x/2) & \leq & \vartheta (2n)-\vartheta(n) + \log (2n +1)\\[2mm] & \leq & 2n (\log 2) + \log (2n +1) \\[2mm] &\leq & x (\log 2) + \log (x+1) \\[2mm] & \leq & x ((\log 2) +1) \end{array} \end{displaymath} und schlie"slich durch Aufsummieren $\vartheta (x) \leq 2x (\log (2) +1) $. \end{proof} \begin{Lemma}\label{KoI} Sei $\vartheta(x)= \sum_{p \leq x} \log p$ wie im vorhergehenden Lemma. So existiert in $\DR$ der Grenzwert $$\lim_{T\ra \infty} \int^T_1 \frac{\vartheta(x)-x}{x^2} \diff x$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] F"ur $\op{Re} (z) >1$ k"onnen wir die Funktion $\Phi (z)$ aus dem Beweis von \ref{NSRZ} darstellen in der Form \begin{displaymath} \Phi (z) = \sum_{p \in P} \frac{\log p}{p^z} = z \int^\infty_1 \frac{\vartheta (x)}{x^{z+1}} \diff x = z \int^\infty_0 \vartheta (\op{e}^t) \op{e}^{-zt} \diff t \end{displaymath} wobei wir uns das mittlere Integral f"ur die zweite Gleichheit als die konvergente Reihe $\sum_{p \in P} \int^\infty_p \frac{\log p}{x^{z+1}} \diff x$ geschrieben denken. W"aren wir etwas gebildeter und w"u"sten, da"s die Laplacetransformation Konvolutionen in Produkte verwandelt, so k"onnten wir auch von der offensichtlichen Darstellung von $\Phi (z) $ als Laplace-Transformierte eines diskreten Ma"ses und von $1/z$ als Laplace-Transformierte der konstanten Funktion $1$ ausgehen und so die inverse Laplace-Transformierte von $\Phi (z)/z$ finden. Substituieren wir $z+1$ f"ur $z$, so ergibt sich f"ur $\op{Re} (z) >0$ die Gleichung \begin{displaymath} \frac{\Phi (z+1)}{z+1} \;=\; \int^{\infty}_0 \vartheta (\op{e}^t) \op{e}^{-t} \op{e}^{-zt} \diff t \end{displaymath} und weiter \begin{displaymath} \frac{\Phi (z+1)}{z+1} - \frac{1}{z} \;= \;\int^\infty_0 (\vartheta (\op{e}^t) \op{e}^{-t} -1)\op{e}^{-zt} \diff t \end{displaymath} Auf der linken Seite steht aber eine Funktion, die sich nach unseren Erkenntnissen im Beweis von \ref{NSRZ} holomorph auf eine offene Umgebung der abgeschlossenen Halbebene $\op{Re} (z) \geq 0$ fortsetzen l"a"st. Auf der rechten Seite ist $(\vartheta (\op{e}^t) \op{e}^{-t} -1)$ f"ur $t \in [0,\infty)$ betragsm"a"sig beschr"ankt nach \ref{TaBe}. Also existiert nach dem Taubersatz \ref{TSN} der Grenzwert $\lim_{T \ra\infty} \int^T_0 \vartheta (\op{e}^t) \op{e}^{-t} -1\; \diff t $ und ist eine reelle Zahl. Substituieren wir nun wieder $x = \op{e}^t$, so folgt das Lemma. \end{proof} \begin{Lemma}\label{GWT} Sei $\vartheta(x)= \sum_{p \leq x} \log p$ wie im vorhergehenden Lemma. So gilt $$\lim_{x\ra \infty} \vartheta (x)/x =1$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] G"abe es f"ur $\lambda >1$ beliebig gro"se $x$ mit $\vartheta (x) \geq \lambda x$, so h"atten wir f"ur alle solchen $x$ die Absch"atzung \begin{displaymath} \int_x^{\lambda x} \frac{\vartheta (t) -t}{t^2} \diff t \geq \int^{\lambda x}_x \frac{\lambda x -t}{t^2} \diff t = \int^\lambda_1 \frac{\lambda -s}{s^2} \diff s=C(\lambda) > 0 \end{displaymath} im Widerspruch zur Konvergenz des fraglichen Integrals nach \ref{KoI}. G"abe es f"ur $\lambda <1$ beliebig gro"se $x$ mit $\vartheta (x) \leq \lambda x$, so f"anden wir "ahnlich f"ur alle derartigen $x$ die Absch"atzung \begin{displaymath} \int^x_{\lambda x} \frac{\vartheta (t) -t}{t^2} \diff t \leq \int^x_{\lambda x} \frac{\lambda x -t}{t^2} \diff t = \int^1_\lambda \frac{\lambda -s}{s^2} \diff s =c(\lambda)< 0 \end{displaymath} im Widerspruch zur Konvergenz des fraglichen Integrals nach \ref{KoI}. \end{proof} \begin{proof}[Beweis des Primzahlsatzes \ref{PZS}] Sicher haben wir stets \begin{displaymath} \vartheta (x) = \sum_{ p\leq x} \log p \leq \sum_{\{p \in P\mid p\leq x\}} \log x = \pi (x) \log (x) \end{displaymath} F"ur jedes $\varepsilon\in (0,1)$ haben wir aber auch \begin{displaymath} \begin{array}{lll} \vartheta (x) &\geq& \sum_{\{p \in P\mid x^{1-\varepsilon}0$, die genauer gegeben sein sollte durch das unendliche "uber alle Primzahlen $p$ zu verstehende Produkt $c=2\prod_p(1-(p-1)^{-2})$. Bisher (2005) wei"s man jedoch noch nicht einmal, ob es "uberhaupt unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. \end{Bemerkungl} \begin{Quellen} Die Darstellung in diesem Abschnitt h"alt sich eng an einen Artikel von Don Zagier im American Mathematical Monthly \cite{ZagP}, wo man auch zus"atzliche Quellenangaben und interessante historische Anmerkungen finden kann. Eine st"ar\-ker auf allgemeinen Methoden der Funktionalanalysis basierende Darstellung findet man zum Beispiel in Rudin's Funktionalanalysis \cite{RudinFA} als Anwendung anderer Taubers"atze. Ein guter Zugang zu modernen Entwicklungen in der analytischen Zahlentheorie scheint mir \cite{Kow}. \end{Quellen} \subsection{Primzahlen in Restklassen \sose{(19.7)}} \begin{Satz}[\textbf{Primzahlen in Restklassen}] Gegeben teilerfremde nat"urliche Zahlen $r 1$ durch die sogenannte \defnoind{${\op{L}}$-Reihe}\index{L-Reihe@${\op{L}}$-Reihe} \begin{displaymath} {\op{L}} (z,\chi) \pdef \sum^\infty_{k=1} \frac{\chi (k)}{k^z} \end{displaymath} mit der Konvention $ \chi (k) \pdef \chi (\bar{k}) $ f"ur $ \bar{k} \in (\Bbb{Z}/m\Bbb{Z})^{\times}$ und $ \chi (k)\pdef 0 $ sonst. Die Konvergenz der Reihe f"ur $\op{Re} (z) > 1$ ist unproblematisch, da unser Gruppenhomomorphismus notwendig in den Einheitswurzeln landet. Das Symbol ${\op{L}}$ mag auf Dirichlet's Vornamen Lejeune zur"uckzuf"uhren sein. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/lreihendef.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die Definition von $\op{L}$-Reihen.} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir f"uhren nun die "ubliche an unsere Definition besonders gut angepa"ste Begrifflichkeit ein. Sei $m\in \DZ\backslash 0$ gegeben. Eine Abbildung $\chi:\DZ\ra\DC$ hei"st ein {\bf Dirichlet-Charakter modulo $m$},\index{Dirichlet!-Charakter} wenn es einen Gruppenhomomorphismus $\chi: (\Bbb{Z}/m\Bbb{Z})^{\times}\ra\DC^{\times}$ gibt mit $\chi(k)=\chi(\bar k)$ f"ur $k$ teilerfremd zu $m$ und $\chi(k)=0$ sonst. Unter dem {\bf trivialen Dirichlet-Charakter modulo $m$} verstehen wir den Dirichletcharakter, der zum konstanten Gruppenhomomorphismus $\chi: (\Bbb{Z}/m\Bbb{Z})^{\times}\ra\DC^{\times}$ geh"ort und f"ur den also gilt $\chi(k)=1$ f"ur $k$ teilerfremd zu $m$ und $\chi(k)=0$ sonst. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Produktdarstellung von ${\op{L}}$-Reihen}] Gegeben $m\in \DZ\backslash 0$ und $\chi$ ein Dirichletcharakter modulo $m$ besitzt die ${\op{L}}$-Reihe ${\op{L}}(z,\chi)$ auf der Halbebene $\op{Re} (z) > 1$ die Darstellung als Produkt \begin{displaymath} {\op{L}}(z,\chi) = \prod_{p \nmid m} \left( 1 - \frac{\chi (p)}{p^z} \right)^{-1} \end{displaymath} im Sinne der kompakten Konvergenz der Teilprodukte unabh"angig von der Reihenfolge der Faktoren. Das Produkt ist hier zu bilden "uber alle Primzahlen, die $m$ nicht teilen. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Man beachte $\chi (mn) = \chi (m) \chi (n)$ f"ur alle $m,n \in \Bbb{Z}$. Mit dieser Erkenntnis kann der Beweis ebenso gef"uhrt werden wie im Fall der Riemann'schen $\zeta$-Funktion in \ref{PRZe}. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/eiglf.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die Produktzerlegung und Fortsetzbarkeit von $\op{L}$-Reihen, wie sie in diesem und im anschlie\ss enden Satz formuliert wird.} \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Fortsetzbarkeit von ${\op{L}}$-Reihen}] Alle ${\op{L}}$-Reihen ${\op{L}}(z,\chi)$ lassen sich meromorph auf die\label{FLRc} Halbebene $\op{Re}z>0$ fortsetzen. Ist $\chi$ nicht der triviale Charakter, so ist diese Fortsetzung holomorph und hat keine Nullstelle bei $z=1$. Ist $\chi$ der triviale Charakter, so hat diese Fortsetzung einen einfachen Pol bei Eins, der dann aber auch ihr einziger Pol ist. \end{Satz} \begin{proof} Im Fall des trivialen Charakters zeigt die Produktentwicklung, da"s unsere ${\op{L}}$-Reihe aus der Riemann'schen $\zeta$-Funktion entsteht durch das Wegteilen der Eulerfaktoren zu allen Primteilern von $m$. In diesem Fall folgt damit unsere Behauptung aus der entsprechenden Aussage f"ur die Riemann'sche $\zeta$-Funktion \ref{AZFc}. Den Beweis im Fall allgemeiner ${\op{L}}$-Reihen verschieben wir auf das Ende des anschlie"senden Abschnitts \ref{DiRe}. \end{proof} \begin{Bemerkungw} Unsere $\op{L}$-Reihen lassen sich sogar meromorph auf ganz $\DC$ fortsetzen und erf"ullen bemerkenswerte Funktionalgleichungen. Das soll aber hier nicht weiter ausgef"uhrt werden. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Gruppe $G$ notieren wir $\frak{X} (G) \pdef \op{Grp} (G, \Bbb{C}^{\times})$ die Menge aller Gruppenhomomorphismen von $G$ nach $\Bbb{C}^{\times}$. Sie hei"sen die {\bf Charaktere}\index{X@$\frak{X} (G)$ Charaktere!von abstrakter Gruppe} oder genauer die {\bf multiplikativen komplexen Charaktere}\index{Charakter!multiplikativer komplexer} unserer Gruppe $G$. Offensichtlich bilden die Charaktere eine Untergruppe $\frak{X} (G) \subset \op{Ens} (G, \Bbb{C}^{\times})$ in der Gruppe aller $\DC^\times$-wertigen Abbildungen mit punktweiser Multiplikation als Ver\-kn"up\-fung. Wir nennen deshalb $\frak{X} (G)$ auch die {\bf Charaktergruppe von $G$}.\index{Charaktergruppe} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Charaktergruppen der zyklischen Gruppen}] Die Charaktere der zyklischen Gruppe $\DZ/a\DZ$ f"ur $a\in \DN_{\geq 1}$ sind die Abbildungen $\bar n\mapsto {\op{e}}^{2\pi{\op{i}}bn/a}$ f"ur $b\in\{0,\ldots, a-1\}$.\label{chzg} Man "uberlegt sich leicht, da"s f"ur die Charaktergruppen der zyklischen Gruppen sogar gilt $\frak{X}(\DZ/a\DZ)\cong \DZ/a\DZ$. \end{Beispiel} \begin{Proposition}[\textbf{Nichtverschwinden von Fourierkoeffizienten}] Gegeben eine endliche abelsche Gruppe $G$ ist die Menge $\frak{X} (G)\subset \op{Ens}(G,\DC)$ ihrer Charaktere eine Basis des Raums der komplexwertigen Funktionen auf unserer Gruppe und in der Darstellung\label{NvF} $$\delta_g=\sum_{\chi\in \frak{X} (G)} a^\chi_g \;\!\chi$$ der charakteristischen Funktion $\delta_g$ eines beliebigen Gruppenelements $g\in G$ als Linearkombination von Charakteren kommen stets alle Charaktere mit von Null verschiedenem Koeffizienten vor, in Formeln $a^\chi_g\neq 0\;\forall g\in G,\chi\in \frak{X} (G)$. \end{Proposition} \begin{proof}[Andeutungen zum Beweis] \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/charprop.mp4}{Hier ist ein Film \"uber das Nichtverschwinden von Fourierkoeffizienten.} Diese Proposition fa"st im folgenden ben"otigte Aussagen zusammen, deren Beweis eigentlich in einen anderen Kontext geh"ort. Man mag sie als Konsequenz der in \eref{CBFouA}{AN3} erkl"arten Aussagen zu Fourierreihen verstehen, wenn man diese auf den Fall diskreter Fouriergruppen spezialisiert. Man mag sie als Konsequenz der in \eref{Uke}{NAS} erkl"arten Aussagen zu Charakteren endlicher Gruppen verstehen, wenn man diese auf den Fall endlicher abelscher Gruppen spezialisiert. Man mag sie explizit f"ur endliche zyklische Gruppen pr"ufen und dann zeigen, da"s unsere Proposition, wenn sie denn f"ur zwei Gruppen gilt, auch f"ur deren Produkt gelten mu"s. So kommt man auch zum Ziel, wenn man wei"s, da"s jede endliche abelsche Gruppe isomorph ist zu einem Produkt zyklischer Gruppen. Wie auch immer geh"ort der Beweis dieser Proposition in einen anderen Kontext und ich will an dieser Stelle nicht n"aher darauf eingehen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Jede kurze exakte Sequenz $K\hra G\sra H$ von endlichen abelschen Gruppen induziert eine kurze exakte Sequenz $\mathfrak X(H)\hra \mathfrak X(G)\sra \mathfrak X(K)$ auf den Charaktergruppen. Man folgert das leicht aus der Identit"at $|G|=\mathfrak X(G)$, die ihrerseits unmittelbar aus unserer Proposition \ref{NvF} folgt. Insbesondere induziert jede Injektion von endlichen abelschen Gruppen eine Surjektion auf ihren Charaktergruppen.\label{inDG} \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis von \ref{PZRc}] Wir leiten nun den Satz "uber Primzahlen in Restklassen aus unserem Satz \ref{FLRc} "uber Fortsetzungen von ${\op{L}}$-Reihen her, dessen Beweis noch aussteht. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/primzrkb.mp4}{Hier ist ein Film \"uber diese Herleitung.} Die logarithmischen Ableitungen unserer ${\op{L}}$-Reihen werden nach einfacher Rechnung f"ur $\op{Re}(z) >1$ gegeben durch die nach \ref{logAK} kompakt konvergenten Reihen \begin{displaymath} \frac{\op{dlog} {\op{L}} (z,\chi)}{\diff z} = - \sum_{p \nmid m} \frac{\chi (p) \log (p)}{p^z - \chi (p)} \end{displaymath} Die durch die Reihen auf der rechten Seite auf $\op{Re} (z) >1$ definierten holomorphen Funktionen sind nach \ref{FLRc} beschr"ankt auf dem reellen Intervall $(1,2)$, wenn $\chi$ nicht konstant ist, und unbeschr"ankt auf $(1,2)$ f"ur den konstanten Charakter. Dasselbe gilt f"ur die holomorphen Funktionen, die durch die Ausdr"ucke $$- \sum_{p \nmid m} \frac{\chi (p) \log (p)}{p^z}$$ gegeben werden, denn deren Differenz zu den zuvor betrachteten logarithmischen Ableitungen wird gegeben durch die Reihen $\sum_{p\nmid m} \frac{\chi (p)^2 \log (p)}{p^z(p^z-\chi (p))}$, die sogar auf der Halbebene $\op{Re} (z) > 1/2$ holomorphe Funktionen definieren. Unsere Erkenntnisse \ref{NvF} zum Nichtverschwinden von Fourierkoeffizienten liefern uns von Null verschiedene $a^\chi_{\bar r}\in\DC^\times$ derart, da"s f"ur alle $n \in \Bbb{Z}$ gilt \begin{displaymath} \sum_{\chi \in \frak{X}} a^\chi_{\bar r}\;\! \chi (n) = \left\{ \begin{array}{cc} 1 & \bar{n} = \bar{r};\\ 0 & \text{sonst}. \end{array} \right. \end{displaymath} Daraus folgt f"ur $\op{Re} (z) > 1$ die Identit"at \begin{displaymath} \sum_{\chi \in \frak{X}} a^\chi_{\bar r} \sum_{p\nmid m} \frac{\chi (p) \log (p)}{p^z} =\sum_{p \equiv r (\op{mod} m)} \frac{\log p}{p^z} \end{displaymath} Links steht hier eine auf dem reellen Intervall $(1,2) $ unbeschr"ankte Funktion, da nach \ref{FLRc} f"ur alle nichtkonstanten Charaktere die ${\op{L}}$-Reihe holomorph ist ohne Nullstelle bei Eins, f"ur den konstanten Charakter jedoch meromorph mit einem Pol bei Eins, und da der entsprechende Vorfaktor $a^\chi_{\bar r}$ nicht Null ist. Rechts steht folglich auch eine auf auf dem reellen Intervall $(1,2)$ unbeschr"ankte Funktion und insbesondere eine unendliche Summe. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Ein Dirichletcharakter modulo $m$ liefert einen Dirichletcharakter modulo $mn$ f"ur jedes $n\geq 1$ vermittels dem vom offensichtlichen Ringhomomorphismus $\DZ/mn\DZ\sra \DZ/m\DZ$ auf den Einheitengruppen induzierten Gruppenhomomorphismus $(\DZ/mn\DZ)^\times\sra (\DZ/m\DZ)^\times$. Gegeben ein Dirichletcharakter $\chi:\DZ\ra\DC$ hei"st das kleinste positive $m$ derart, da"s er von einem Gruppenhomomorphismus $(\Bbb{Z}/m\Bbb{Z})^\times\ra\DC^\times$ herkommt, der {\bf F"uhrer von $\chi$}.\index{F"uhrer!von Dirichletcharakter} Wir sagen dann auch, $\chi$ sei ein \defnoind{primitiver Dirichletcharakter modulo $m$}.\index{primitiv!Dirichletcharakter}\index{Dirichletcharakter!primitiver} \end{Bemerkunge} \subsection{Dirichlet-Reihen \sose{(21.7)}}\label{DiRe} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Zweig des Logarithmus $\log$ auf einer Teilmenge $U$ der komplexen Zahlenebene erkl"aren wir f"ur alle $\lambda\in\DC$ eine Abbildung $U\ra\DC$, $x\mapsto x^\lambda$ durch die Vorschrift $x^\lambda=\op{exp}(\lambda\log x)$. Ich verwende vorerst den Buchstaben $x$ f"ur unsere komplexe Variable, weil ich mir den Buchstaben $z$ f"ur eine weitere komplexe Variable aufsparen will. Gegeben zwei Folgen $a_k$ und $\lambda (k)$ von komplexen Zahlen k"onnen wir auf der geschlitzten Ebene $\Bbb{C} \backslash \Bbb{R}_{\leq 0}$ mithilfe unseres Hauptzweiges des Logarithmus die Reihe \begin{displaymath} \sum^\infty_{k=0} a_k x^{\lambda (k)} \end{displaymath} bilden. Wir zeigen im Folgenden, da"s sie sich f"ur monoton wachsende Folgen $\lambda(0)\leq \lambda(1)\leq \ldots$ reeller Zahlen $\lambda (k)\in\DR$ sehr "ahnlich verh"alt wie eine Potenzreihe. Genauer folgt aus der Konvergenz an einer Stelle $x_0$ die kompakte Konvergenz auf dem Schnitt der offenen Kreisscheibe $\{x\in\DC \mid |x|< |x_0|\}$ mit unserer geschlitzten Ebene. Dar"uber hinaus ist dieser \glqq Konvergenzradius\grqq\ derselbe f"ur jede andersartig geschlitzte Ebene und jeden Zweig des Logarithmus auf einem derartigen Gebiet. Um diese Mehrdeutigkeiten aufzul"osen, substituiert man sinnvoll gleich $x=\op{e}^{-z}$ und erh"alt so eine Reihe der Gestalt \begin{displaymath} \sum_{k= 0}^\infty a_k \op{e}^{-\lambda (k)z} \end{displaymath} Reihen dieser Gestalt mit komplexen Koeffizienten $a_k\in\DC$ und einer monoton wachsenden Folge von reellen Zahlen $\lambda (0)\leq \lambda(1)\leq\lambda(2)\leq \ldots$ hei"sen \defind{Dirichlet-Reihen}. Zum Beispiel wird die Riemann'sche $\zeta$-Funktion durch die "uber $k\geq 1$ zu summierende Dirichletreihe mit $a_k=1$ f"ur alle $k$ und $\lambda(k)=\op{log}(k)$ gegeben. Man kann die durch eine Dirichletreihe erkl"arte Funktion im Standardfall einer streng monotonen Folge $\lambda(k)$ im "ubrigen auch auffassen als die Laplacetransformierte im Sinne von \ref{LaTa} des diskreten komplexen Ma"ses, das jedem Punkt $\lambda(k)$ die Masse $a_k$ zuweist. Wir formulieren und beweisen die bisher behaupteten Aussagen nun als eigenst"andigen Satz. \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/dirir.mp4}{Hier ist ein Film \"uber allgemeine Eigenschaften von Dirichletreihen.} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Konvergenzbereiche von Dirichletreihen}] Konvergiert eine Di\-ri\-chlet\-rei\-he\label{KDRn} an einer Stelle $z_0 \in \Bbb{C}$, so konvergiert sie auch f"ur alle komplexen Zahlen $z$ mit gr"o"serem Realteil $\op{Re} (z) > \op{Re} (z_0) $ und die Konvergenz ist f"ur beliebiges $ r \geq 0$ gleichm"a"sig auf dem abgeschlossenen Winkelsegment $$\{ z \in\DC \mid |z-z_0| \leq r \op{Re}(z -z_0) \} $$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Insbesondere ist der Konvergenzbereich einer Dirichletreihe im wesentlichen eine Halbebene und genauer eine Menge der Gestalt $\{z\in\DC\mid \op{Re}(z)>c\}$ f"ur $c\in \bar\DR$, wobei man "uber die Konvergenz auf der Randgeraden im allgemeinen keine Aussagen machen kann. Im Unterschied zu Potenzreihen kann es durchaus vorkommen, da"s eine Dirichletreihe auf einem Teil ihrer Konvergenzhalbebene nicht absolut konvergiert. Genauer sieht man leicht, da"s auch der Bereich der absoluten Konvergenz einer Dirichletreihe eine Menge der Gestalt $\{z\in\DC\mid \op{Re}(z)>c_{\op{abs}}\}$ f"ur $c_{\op{abs}}\in \bar\DR$, wobei man "uber die absolute Konvergenz auf der Randgeraden im allgemeinen wieder keine Aussagen machen kann. Zum Beispiel zeigen wir im folgenden, da"s unsere ${\op{L}}$-Reihen zu nichtkonstantem Charakter f"ur $\op{Re}(z)>0$ konvergieren, aber man sieht sehr leicht, da"s diese Konvergenz nur f"ur $\op{Re}(z)>1$ absolut ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Dieser Beweis verallgemeinert den Beweis des abelschen Grenzwertsatzes \eref{ABG}{AN1}. Sei $ \sum^{\infty}_{k=0} a_k \op{e}^{-\lambda (k) z} $ unsere Dirichletreihe. Ohne Be\-schr"an\-kung der Allgemeinheit d"urfen wir $z_0 =0$ annehmen. Wir k"urzen $\op{e}^{-\lambda (k)z} = b_k$ ab und schreiben die Differenzen von Partialsummen unserer Reihe in der Gestalt \begin{displaymath} \begin{array}{lll} \sum^m_{k=n} a_k \op{e}^{-\lambda (k) z} &=& \sum^m_{k=n} a_k b_k\\[3mm] & =& \begin{array}[t]{crl} &(b_n -b_{n+1} )& \;a_n\\ +& (b_{n+1} - b_{n+2} )&(a_n + a_{n+1}) \\ +& (b_{n+2}-b_{n+3} )& (a_n +a_{n+1} + a_{n+2})\\ &\ldots & \ldots\\ +& (b_{m-1} -b_m)& (a_n + \ldots\ldots\ldots + a_{m-1})\\ + & b_m\;& (a_n + \ldots\ldots\ldots + a_{m-1}+ a_m) \end{array}\end{array} \end{displaymath} Jetzt beachte man f"ur $x \pdef \op{Re}z > 0$ die Absch"atzung \begin{displaymath} \begin{array}{lll} \left|\op{e}^{-\lambda (n) z} - \op{e}^{-\lambda (n+1)z} \right| & =& \left|z \int^{\lambda (n+1)}_{\lambda (n)} \op{e}^{-tz} \diff z\right|\\[2mm] &\leq & |z| \int^{\lambda (n+1)}_{\lambda (n)} \op{e}^{-tx} \diff x\\[2mm] & \leq & \frac{|z|}{x} \left( \op{e}^{-\lambda(n)x} - \op{e}^{-\lambda (n+1)x}\right) \end{array} \end{displaymath} F"ur alle $\varepsilon >0$ finden wir wegen der Konvergenz bei $z=0$ sicher ein $N$ derart, da"s f"ur alle $\nu,\mu$ mit $N \leq \nu \leq \mu$ gilt $|a_\nu + \ldots + a_\mu | \leq \varepsilon$. F"ur alle $z$ mit $x=\op{Re}(z)>0 $ folgt dann f"ur alle $n,m$ mit $N \leq n \leq m$ die Absch"atzung \begin{displaymath} \left| \sum^m_{k=n} a_k \op{e}^{-\lambda (k) z} \right| \leq \frac{|z|}{x} \left( \op{e}^{-\lambda (n) x} -\op{e}^{-\lambda (m) x} \right) \varepsilon + \op{e}^{-\lambda (m)x} \varepsilon \end{displaymath} F"ur $z=0$ wird derselbe Ausdruck schlicht durch $\varepsilon$ selbst abgesch"atzt und zusammen ergibt sich daraus die behauptete gleichm"a"sige Konvergenz auf Bereichen $0\leq |z|\leq rx$ f"ur jede feste Steigung $r$ der den Winkel nach oben begrenzenden Geraden. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Hinreichende Bedingung f"ur Konvergenz}] Sind bei einer Dirichletreihe\label{KBDR} $ \sum^{\infty}_{k=0} a_k \op{e}^{-\lambda (k) z} $ die Summen $\sum^m_{k=n} a_k$ simultan betragsm"a"sig beschr"ankt und gilt $\lambda(k)\ra \infty$, so konvergiert die Reihe f"ur $\op{Re}(z)>0$. \end{Proposition} \begin{proof} Ist $B$ unsere simultane Schranke, so erhalten wir wie im vorhergehenden Beweis f"ur alle $z\in\DC$ mit $\op{Re}(z)>0$ dieselbe Absch"atzung mit $B$ statt $\varepsilon$ und damit folgt aus unserer Annahme $\lambda(k)\ra \infty$ die Konvergenz. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{BLRc} \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/fortsdir.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die holomorphe Fortsetzbarkeit von $\op{L}$-Reihen zu nichttrivialen Charakteren.} F"ur nichttriviale Charaktere $\chi:G\ra \DC^\times$ einer endlichen Gruppe $G$ folgt aus $\sum_{g\in G}\chi(g)=\sum_{g\in G}\chi(hg)=\chi(h)\sum_{g\in G}\chi(g)$ sofort $\sum_{g\in G}\chi(g)=0$. Aus unserer hinreichenden Bedingung \ref{KBDR} f"ur die Konvergenz von Dirichletreihen folgt sofort, da"s ${\op{L}}$-Reihen f"ur nichttriviale Dirichletcharaktere $\chi$ sogar auf der Halbebene $\op{Re}(z)>0$ konvergieren. Das liefert ihre in \ref{FLRc} behauptete Fortsetzbarkeit zu holomorphen Funktionen auf dieser Halbebene. Die in \ref{FLRc} behauptete meromorphe Fortsetzbarkeit im Fall des trivialen Dirichletcharakters haben wir bereits direkt im Anschlu"s an die Formulierung unseres Satzes gezeigt. Der Satz "uber die Fortsetzungen \ref{FLRc} ist damit bewiesen bis auf die Behauptung, da"s die holomorphen Fortsetzungen im Falle nichttrivialer Dirichletcharaktere bei Eins nicht verschwinden. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Konvergenzbereiche im Fall nichtnegativer Koeffizienten}] Konvergiert eine Dirichletreihe $\sum a_k \op{e}^{-\lambda (k) z} $ mit nichtnegativen Koeffizienten\label{HFz} $a_k\geq 0$ auf der Halbebene $\op{Re} (z) >r$ und l"a"st sich die so erkl"arte Funktion holomorph auf eine Umgebung von $r$ fortsetzen, so konvergiert unsere Reihe sogar auf einer echt gr"o"seren Halbebene $\op{Re}(z) > r -\varepsilon$ f"ur ein $\varepsilon >0$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dieser Satz ist eine Variante unserer Erkenntnis \eref{Kovre}{AN1} "uber den Konvergenzradius einer Potenzreihe mit nichtnegativen Koeffizienten und auch der Beweis ist im wesentlichen derselbe. In der Sprache der Funktionentheorie kann man diese Erkenntnis dahingehend formulieren, da"s eine Potenzreihe mit nichtnegativen Koeffizienten und Konvergenzradius mindestens $r\in \DR_{\geq 0}$, deren Summe sich holomorph auf eine Umgebung von $r$ fortsetzen l"a"st, einen echt gr"o"seren Konvergenzradius als $r$ haben mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $r =0$ und f"ur alle $k$ gelte $\lambda (k) \geq 0$. Nach Annahme finden wir $\varepsilon >0$ derart, da"s die durch unsere Dirichletreihe definierte Funktion $f$ sich holomorph auf eine offene Umgebung der Kreisscheibe $|z-1| \leq 1 +\varepsilon$ fortsetzen l"a"st. Die Taylorentwicklung liefert dann \begin{displaymath} f(-\varepsilon) = \sum^\infty_{\nu =0} \frac{f^{(\nu)} (1)}{\nu!} (-(1+\varepsilon))^\nu \end{displaymath} im Sinne absoluter Konvergenz. Die fraglichen Ableitungen hinwiederum ergeben sich zu \begin{displaymath} f^{(\nu)} (1)= \sum a_k (-\lambda (k))^{\nu} \op{e}^{-\lambda (k)} \end{displaymath} auch im Sinne absoluter Konvergenz, da alle Terme dasselbe Vorzeichen haben. Folglich gilt \begin{displaymath} \sum_{k,\nu} \frac{a_k}{\nu!} (1+\varepsilon)^\nu (\lambda (k))^\nu \op{e}^{-\lambda (k)} < \infty \end{displaymath} Nach Zusammenfassen der Summen "uber $\nu$ in Exponentialreihen ergibt sich \begin{displaymath} \sum_k a_k \op{e}^{(1+\varepsilon)\lambda(k)} \op{e}^{-\lambda (k)} = \sum_k a_k \op{e}^{\lambda (k)\varepsilon} <\infty \end{displaymath} alias die Konvergenz der Dirichletreihe bei $z= -\varepsilon$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{FLRc}] \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/nnl.mp4}{Hier ist ein Film \"uber die Nichtnullstelleneigenschaft von $\op{L}$-Reihen zu nichttrivialen Charakteren bei $z=1$.} Da"s die ${\op{L}}$-Reihe zum trivialen Charakter eine meromorphe Fortsetzung hat wie behauptet, ergibt sich wie bereits bemerkt aus der entsprechenden Aussage \ref{AZFc} f"ur die Riemann'sche $\zeta$-Funktion, die ja bis auf endlich viele Faktoren durch dasselbe Eulerprodukt dargestellt wird. Da"s die anderen ${\op{L}}$-Reihen holomorphe Fortsetzungen haben, haben wir schon in \ref{BLRc} bemerkt. Um schlie"slich zu zeigen, da"s die anderen Reihen keine Nullstellen bei $z=1$ haben, reicht es zu zeigen, da"s das Produkt \begin{displaymath} \zeta_m (z) = \prod_{\chi} {\op{L}} (z,\chi) \end{displaymath} einen Pol hat bei $z=1$. Dieses Produkt ist nun f"ur $\op{Re}(z) >1$ das Produkt "uber alle zu $m$ teilerfremden Primzahlen $p\nmid m$ der endlichen Produkte \begin{displaymath} \prod_{\chi} \left( 1- \frac{\chi (p)}{p^z} \right)^{-1} \end{displaymath} Nun beachten wir im Polynomring $\DC [T]$ die Zerlegung $$(T^g -1) = \prod_{\xi^g=1} (T-\xi)$$ Bezeichnet $\varphi = \varphi (m) = |(\Bbb{Z}/m \Bbb{Z})^\times|$ die Ordnung unserer Gruppe und $g(p)$ die Ordnung des Elements $\bar{p}$ in $(\Bbb{Z}/m\Bbb{Z})^\times$ und $f(p)$ die Kardinalit"at der Restklassengruppe nach dem Erzeugnis $\langle \bar{p} \rangle$ von $\bar p$, so da"s also gilt $\varphi= f(p)g(p)$, so finden wir mit der Beschreibung \ref{chzg} der Charaktere zyklischer Gruppen und der Fortsetzbarkeit \ref{inDG} der Charaktere von Untergruppen zu Charakteren der ganzen Gruppe unschwer \begin{displaymath} \prod_{\chi} (T - \chi (p)) = (T^{g(p)} -1)^{f(p)} \end{displaymath} Indem wir auf beiden Seiten $T^\varphi$ wegteilen und $T = p^z$ einsetzen ergibt sich \begin{displaymath} \prod_{\chi} \left( 1- \frac{\chi (p)}{p^z}\right)^{-1} = \left( 1 - \frac{1}{p^{g(p)z}}\right)^{-f(p)} \end{displaymath} Multiplizieren wir alle diese Produkte f"ur $p\nmid m$, so erhalten wir offensichtlich f"ur $\op{Re}(z) >1$ eine Darstellung von $\zeta_m (z) $ durch eine Dirichletreihe der Gestalt $$\zeta_m (z) = \sum_{k \geq 1} a_k k^{-z}$$ mit $a_k \in \Bbb{N}$. H"atte die Funktion $\zeta_m (z)$ keinen Pol bei $z=1$, so w"are sie holomorph f"ur $\op{Re}(z) > 0 $ und nach \ref{HFz} m"u"ste dann auch ihre Dirichletreihe konvergieren f"ur alle $z$ mit $\op{Re} (z) >0$. Nun ist der $p$-Faktor von $\zeta_m$ jedoch $(1+ p^{-g(p)z} + p^{-2g(p)z} + \ldots )^{f(p)}$ und hat dieselben oder gr"o"sere Koeffizienten vor den entsprechenden $p$-Potenzen wie die Reihe \begin{displaymath} (1+ p^{-\varphi z} + p^{-2\varphi z }+ \ldots ) \end{displaymath} mit $\varphi$ wie oben. Die Dirichletreihe von $\zeta_m (z)$ hat also dieselben oder gr"o"sere Koeffizienten wie die Reihe \begin{displaymath} \sum_{\langle n,m\rangle=\langle 1\rangle} n^{-\varphi z} \end{displaymath} und diese Reihe divergiert f"ur $z = \varphi^{-1}$ selbst dann, wenn wir nur "uber prime $n$ summieren. Dieser Widerspruch beendet den Beweis. \end{proof} \begin{Quellen} Die hier gegebene Darstellung lehnt sich an den Cours d'Arithm\'e\-ti\-que von Serre \cite{Se} an. \end{Quellen} \subsection{Summen von drei Quadraten} \begin{Satz} Eine nat"urliche Zahl $n\in\DN$ ist genau dann eine Summme von drei Quadraten $n=x^2+y^2+z^2$ mit $x,y,z\in \DN$, wenn sie nicht die Gestalt $n=4^r(8s+7)$ hat f"ur $r,s\in\DN$. \end{Satz} \begin{proof} In $\DZ/8\DZ$ sind $0,1,4$ die einzigen Quadrate. Mithin ist $7$ in $\DZ/8\DZ$ keine Summe von drei Quadraten. Damit kann auch $8s + 7$ in $\DZ$ nie eine Summe von drei Quadraten sein. In $\DZ/4\DZ$ sind weiter $0,1$ die einzigen Quadrate. Die einzige Darstellung von $0$ in $\DZ/4\DZ$ als Summe von drei Quadraten ist folglich $0=0+0+0$. Ist mithin $n=x^2+y^2+z^2$ durch vier teilbar, so sind auch $x^2,y^2,z^2$ durch vier teilbar und damit $x,y,z$ gerade. Genau dann ist also $4n$ eine Summe von drei Quadraten, wenn $n$ eine Summe von drei Quadraten ist. Das zeigt sowohl, da"s $n=4^r(8s+7)$ nie eine Summe von drei Quadraten sein kann, als auch, da"s wir zum Beweis des Satzes nur noch zu pr"ufen brauchen, da"s sich alle nat"urlichen Zahlen $n\in\DN$, die nicht von der Gestalt $n=8s+7$ sind, als Summe von drei Quadraten schreiben lassen. Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit zus"atzlich $n$ quadratfrei und $n>1$ annehmen. Nach \eref{sybt}{LA2} kann jede positiv definite symmetrische Bilinearformen auf $\DZ^3$, deren Fundamentalmatrix Determinante Eins hat, durch einen Basiswechsel in das Standardskalarprodukt "uberf"uhrt werden. Es reicht also zu zeigen, da"s es f"ur $n\in\DN$ von der Gestalt $n=8s+7$ eine positiv definite Matrix mit Determinante Eins der Gestalt $$M\pdef \begin{pmatrix} a & b&1\\ b&c&0\\ 1&0&n\end{pmatrix}$$ gibt. Die fragliche Determinante ergibt sich zu $\op{det}M=n(ac-b^2)-c$. Gilt zus"atzlich zu $\op{det}M=1$ noch $ac-b^2>0$, so folgt aus $n>1$ bereits $c>0$ und nach dem Hurwitz-Kriterium ist erst der Block oben links und dann sogar die ganze Matrix positiv definit. Es reicht also, f"ur $n>1$ von der Gestalt $n=8s+7$ ganze Zahlen $a,b,c$ zu finden mit $1=n(ac-b^2)-c$ und $ac-b^2>0$. Nochmal anders gesagt reicht es, $d>0$ so zu finden, da"s $-d$ ein quadratischer Rest ist modulo $nd-1$, denn dann k"onnen wir $c\pdef nd-1$ nehmen und dazu $a,b$ finden derart, da"s die obigen Gleichungen erf"ullt sind. Wir machen eine Fallunterscheidung. \\[2mm]\noindent Fall 1: $n\equiv 2\pmod{4}$. Dann finden wir nach dem Satz "uber Primzahlen in Restklassen \ref{PZRc} unendlich viele Primzahlen $p$ mit $p\equiv n-1\pmod{4n}$ und finden insbesondere $v>0$ mit $p=n(4v+1)-1$ prim. Wir behaupten, da"s dann $d\pdef 4v+1$ unser Problem l"ost. Nun, wir finden $nd-1=p$ und unsere Annahme an $n$ zeigt $p\equiv 1\pmod{4}$. Die Frage, ob $-d$ ein Quadrat ist modulo $p$, l"a"st sich mit Legendre-Symbolen und ihren Rechenregeln \eref{JacSy}{AL}, \eref{LeSS}{AL} l"osen durch die Rechnung $$\left(\frac{-d}{p}\right)=\left(\frac{d}{p}\right) =\left(\frac{4v+1}{p}\right)=\left(\frac{p}{4v+1}\right)=\left(\frac{-1}{4v+1}\right)=1$$ wegen $p\equiv 1\pmod{4}$ und dem Reziprozit"atsgesetz f"ur Jacobi-Symbole und $p=n(4v+1)-1$ und der Formel f"ur Jacobi-Symbole mit $-1$ im Z"ahler. Also ist $-d$ ein Quadrat modulo $nd-1$. \\[2mm]\noindent Fall 2: $n\equiv 1\pmod{4}$. Dann ist $(3n-1)/2$ ungerade und teilerfremd zu $4n$ und wir finden nach dem Satz "uber Primzahlen in Restklassen \ref{PZRc} eine Primzahl $p$ der Gestalt $p=4nv + (3n-1)/2$ mit $v\in\DN$, also mit $2p=n(8v+3)-1$. Wir behaupten, da"s dann $d\pdef 8v+3$ unser Problem l"ost. Wir m"ussen also zeigen, da"s $-d$ ein Quadrat ist modulo $2p=nd-1$. Zur Vorbereitung dieser Rechnung bemerken wir $$\left(\frac{-2}{8v+3}\right)=\left(\frac{-1}{8v+3}\right)=\left(\frac{2}{8v+3}\right)=(-1)(-1)=1 $$ nach unseren Formeln f"ur Jacobi-Symbole und unterteilen dann unseren Fall in zwei Unterf"alle. \\[2mm]\noindent Fall 2a: $n\equiv 1\pmod{8}$. Dann folgt $2p\equiv 2\pmod{8}$ und $p\equiv 1\pmod{4}$ und es reicht zu zeigen, da"s $-(8v+3)$ ein Quadrat ist modulo $p$, da ja jede Zahl ein Quadrat ist modulo Zwei. Dazu rechnen wir $$\left(\frac{-d}{p}\right)=\left(\frac{d}{p}\right) =\left(\frac{8v+3}{p}\right) =\left(\frac{p}{8v+3}\right)=\left(\frac{-2p}{8v+3}\right)=\left(\frac{1}{8v+3}\right)=1 $$ wegen $p\equiv 1\pmod{4}$ und dem Reziprozit"atsgesetz f"ur Jacobi-Symbole und der Vorbemerkung und in der Tat ist $-(8v+3)$ ein Quadrat modulo $p$. \\[2mm]\noindent Fall 2b: $n\equiv 5\pmod{8}$. Dann folgt $2p\equiv 6\pmod{8}$ und $p\equiv 3\pmod{4}$. Es reicht wieder zu zeigen, da"s $-d$ ein Quadrat ist modulo $p$, da ja jede Zahl ein Quadrat ist modulo Zwei. Dazu rechnen wir $$\left(\frac{-d}{p}\right) =-\left(\frac{d}{p}\right) =\left(\frac{p}{8v+3}\right)=\left(\frac{-2p}{8v+3}\right)=\left(\frac{1}{8v+3}\right)=1 $$ wegen $p\equiv 1\pmod{4}$ und dem Reziprozit"atsgesetz f"ur Jacobi-Symbole und der Vorbemerkung und in der Tat ist $-(8v+3)$ ein Quadrat modulo $p$. \\[2mm]\noindent Fall 3: $n\equiv 3\pmod{8}$. Dann ist $(n-1)/2$ ungerade und teilerfremd zu $4n$ und wir finden nach dem Satz "uber Primzahlen in Restklassen \ref{PZRc} eine Primzahl $p$ der Gestalt $p=4nv + (n-1)/2$ f"ur $v\in\DN$ alias $2p=n(8v+1)-1$. Wir finden $p\equiv 1\pmod{4}$. Nun behaupten wir, da"s $d\pdef 8v+1$ unser Problem l"ost. Wir m"ussen also zeigen, da"s $-d$ ein Quadrat ist modulo $2p=nd-1$. Es reicht wieder zu zeigen, da"s $-d$ ein Quadrat ist modulo $p$, da ja jede Zahl ein Quadrat ist modulo Zwei. Dazu rechnen wir $$\left(\frac{-d}{p}\right) =\left(\frac{d}{p}\right) =\left(\frac{p}{8v+1}\right) =\left(\frac{-2p}{8v+1}\right)=\left(\frac{1}{8v+1}\right)=1 $$ wegen $p\equiv 1\pmod{4}$ und dem Reziprozit"atsgesetz f"ur Jacobi-Symbole und in der Tat ist $-(8v+1)$ ein Quadrat modulo $p$. \end{proof} \begin{Quellen} In der hier wiedergegebenen Form stammt der Beweis von Mordell \cite{Mord} mit verschiedenen "Uberarbeitungen. \end{Quellen} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXFT1" %%% End: