\section{Unausgegorenes zur Funktionentheorie} \subsection{Riemann'sche Fl"achen} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern an die Definition einer Riemann'schen Fl"ache in \eref{BspM}{ML} und insbesondere an das Beispiel $\mathbb{P}^1\DC$ aus \eref{P1C}{ML}. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung}\label{MMoR} Sei $U\co \DC$ eine offene Teilmenge. Eine Abbildung $U\ra \Bbb{P}^{1}\DC$ ist meromorph im Sinne von \eref{defM}{FT1} genau dann, wenn sie ein Morphismus von Riemann'schen Fl"achen ist, der auf keiner Zusammenhangskomponente von $U$ konstant den Wert $\infty$ annimmt. In Formeln erhalten wir so eine Bijektion $$\{f\in \cal{O}^{\op{an}}(U,\Bbb{P}^{1}\DC)\mid f^{-1}(\infty)\text{ ist diskret in }U\}\sira \cal{M}^{\op{an}}(U)$$ zwischen der Menge aller Morphismen von $U$ in die Riemann'sche Zahlenkugel $\Bbb{P}^{1}\DC$, die nur auf einer diskreten Teilmenge den Wert $\infty$ annehmen, und der Menge aller meromorphen Funktionen auf $U$. \end{Ubung} \begin{Definition} F"ur eine allgemeine Riemann'sche Fl"ache $X$ definiert man eine {\bf meromorphe Funktion auf $X$}\index{meromorphe Funktion!auf Riemann'scher Fl"ache} als eine Abbildung $f:X\ra \Bbb{P}^{1}\DC$, die ein Morphismus von Riemann'schen Fl"achen ist und f"ur die $f^{-1}(\infty)\subset X$ eine diskrete Teilmenge ist. Die Menge aller meromorphen Funktionen auf $X$ notieren wir wieder\index{M@$\cal{M}^{\op{an}}(X)$} $$\cal{M}^{\op{an}}(X)$$ \end{Definition} \begin{Ubung} Sei $\cal{U}$ eine offene "Uberdeckung einer Riemann'schen Fl"ache $X$. Eine Funktion $f:X\ra \Bbb{P}^{1}\DC$ ist meromorph genau dann, wenn ihre Restriktionen auf alle $U\in \cal{U}$ meromorph sind. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{MeK} Die meromorphen Funktionen auf einer zusammenh"angenden Riemann'schen Fl"ache bilden mit der analog zu \eref{MerK}{FT1} erkl"arten Addition und Multiplikation einen K"orper. \end{Ubung} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=17cm]{SkriptenBilder/BildQCo}\\[4mm] \noindent Dies Bild erinnert unsere Anschauung f"ur die Abbildung $z\mapsto z^2$ der Einheitskreisscheibe auf sich selbst. Es stellt diese Abbildung dar als die Komposition einer Abbildung der Einheitskreisscheibe auf eine r"aumliche sich selbst durchdringende Fl"ache, gegeben in etwa durch eine Formel der Gestalt $z\mapsto (z^2,\varepsilon(\op{Im}z))$ in $\DC\times \DR\cong \DR^3$ f"ur geeignetes monotones und in einer Umgebung von Null streng monotones $\varepsilon$, gefolgt von einer senkrechten Projektion auf die ersten beiden Koordinaten. Das hat den Vorteil, da"s im ersten Schritt nur Punkte der reellen Achse identifiziert werden, was man sich leicht wegdenken kann, und da"s der zweite Schritt eine sehr anschauliche Bedeutung hat, eben die senkrechte Projektion. \end{figure} \begin{Definition} Zwei stetige Abbildungen von bepunkteten R"aumen $f$ und $f_1$ nennen wir {\bf lokal isomorph}, wenn es ein kommutatives Diagramm von bepunkteten R"aumen \begin{displaymath} \xymatrix{ (X,x)\ar[d]^-{f} &(U,x)\ar[l] \ar[d]^-{f}\ar[r]& (X_1,x_1)\ar[d]^-{f_1}\\ (Y,y) &(V,y) \ar[r]\ar[l] & (Y_1,y_1) } \end{displaymath} gibt mit offenen Einbettungen in den Horizontalen. \end{Definition} \begin{Definition} Eine stetige Abbildung $f : X \rightarrow Y$ von zweidimensionalen topologischen Mannigfaltigkeiten hei"st\label{vzwe} {\bf verzweigt \'{e}tale},\index{verzweigt \'{e}tale}\index{etale@\'{e}tale!verzweigt \'{e}tale} wenn f"ur jeden Punkt $x \in X$ die Abbildung $f:(X,x)\ra (Y,f(x))$ f"ur ein $n\in \DN_{\geq 1}$ lokal isomorph ist zur Abbildung von bepunkteten R"aumen $(\DC,0)\ra (\DC,0)$, $z\mapsto z^n$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{VZGG} Die Zahl $n$ in der Definition \ref{vzwe} einer verzweigt \'etalen Abbildung wird durch den Ausgangspunkt $x$ bereits eindeutig festgelegt. Wir k"onnen n"amlich $n$ charakterisieren durch die Eigenschaft, da"s es eine Umgebung $V$ von $x$ gibt derart, da"s $f$ auf $V\backslash x$ jeden Wert genau $n $-mal annimmt. Diese Zahl $n=n(x)$ hei"st der {\bf Verzweigungsgrad}\index{Verzweigungsgrad} unserer verzweigt \'{e}talen Abbildung bei $x$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein Morphismus von Riemann'schen Fl"achen, der auf keiner Zusammenhangskomponente konstant ist, ist nach \eref{lshf}{FT1} stets verzweigt \'{e}tale. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung}\label{sDF} Ist $Y$ eine Riemann'sche Fl"ache und $X$ ein Hausdorffraum und $p: X \rightarrow Y$ verzweigt \'etale, so gibt es auf $X$ genau eine Struktur als Riemann'sche Fl"ache derart, da"s $p$ f"ur diese Struktur ein Morphismus von Riemann'schen Fl"achen wird. Hinweis: Der Riemann'sche Hebbarkeitssatz \eref{RiHe}{FT1} mag hilfreich sein. \end{Ubung} \begin{Definition}\label{DVUU} Eine stetige Abbildung $p : X \rightarrow Y$ von zweidimensionalen topologischen Mannigfaltigkeiten hei"st eine {\bf verzweigte "Uberlagerung}, wenn\index{verzweigte "Uberlagerung}\index{"Uberlagerung!verzweigte} f"ur jeden Punkt $y \in Y$ eine offene Umgebung $U$ existiert derart, da"s es f"ur alle $x \in p^{-1} (y)$ ein $n(x) \in \mathbb N_{\geq 1}$ und ein kommutatives Diagramm von bepunkteten R"aumen \begin{displaymath} \xymatrix{ z \ar@{|->}[d]&\in&(\mathbb C,0) \ar[d]\ar[r]& (p^{-1} (U), x)\ar[d]^-{p}\\ z^{n(x)} &\in &(\mathbb C,0) \ar[r]^{\sim} & (U,y) } \end{displaymath} gibt, dessen untere Horizontale ein Hom"oomorphismus ist und dessen obere Horizontale offen ist und einen Hom"oomorphismus von $\mathbb C$ mit der Zusammenhangskomponente von $x$ in $p^{-1} (U) $ induziert. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Eine verzweigt \'{e}tale Abbildung ist nicht immer \'{e}tale im Sinne von \ref{etale} und eine verzweigte "Uberlagerung ist nicht immer eine "Uberlagerung im Sinne von \ref{Due}. Jede verzweigte "Uberlagerung ist jedoch auch eine verzweigt \'{e}tale Abbildung. \end{Bemerkungl} \begin{Ubunge} \label{VUA} Man betrachte zu jeder topologischen Fl"ache $X$ die Kategorie $\op{Verz}_X \subset \op{Top}_X$ aller endlichen verzweigten "Uberlagerungen mit h"ochstens endlich vielen Verzweigungspunkten und zeige, da"s f"ur $U \co X$ das Komplement einer endlichen Teilmenge der Restriktionsfunktor $\op{Verz}_X \rightarrow \op{Verz}_U$ stets eine "Aquivalenz von Kategorien ist. \end{Ubunge} \begin{Bemerkungl} Sei die stetige Abbildung $p : X \rightarrow Y$ von zweidimensionalen topologischen Mannigfaltigkeiten eine verzweigte "Uberlagerung. Per definitionem ist f"ur alle $n \in \mathbb N$ die Menge $Y_n$ aller $y \in Y$ mit $\sum_{x \in p^{-1} (y)} n (x) = n$ offen. Ist also $Y$ zusammenh"angend und hat $p : X \rightarrow Y$ endliche Fasern, so gibt es $n \in \mathbb N$ mit $Y =Y_n$. Wir sagen dann, $p : X \rightarrow Y$ sei eine verzweigte "Uberlagerung der {\bf Bl"atterzahl}\index{Bl"atterzahl!im verzweigten Fall} $n$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Jede verzweigt \'{e}tale Abbildung von kompakten zweidimensionalen topologischen Mannigfaltigkeiten ist eine verzweigte "Uberlagerung. \end{Lemma} \begin{proof} Sei $f:X\ra Y$ unsere Abbildung. Gegeben $y\in Y$ ist die Faser $p^{-1}(y)$ in $X$ abgeschlossen und diskret, also kompakt und diskret, also endlich. Seien $x_1,\ldots,x_r$ die Punkte der Faser und $V_1,\ldots,V_r$ jeweils offene Umgebungen wie in der Definition einer verzweigt \'{e}talen Abbildung. Die Schnitte ihrer Bilder bilden dann eine offene Umgebung von $y\in Y$, wie sie in der Definition einer verzweigten "Uberlagerung in \ref{DVUU} gefordert wird. \end{proof} \begin{Ubunge}\label{MP1} Die Restriktion auf $\DC\subset\Bbb{P}^{1}\DC$ liefert eine Bijektion $$\cal{M}^{\op{an}}(\Bbb{P}^{1}\DC)\sira \DC(T)$$ zwischen der Menge aller meromorphen Funktionen auf $\Bbb{P}^{1}\DC$ und dem K"orper $\DC(T)=\op{Quot}\DC[T]$ der rationalen Funktionen auf $\DC$, aufgefa"st als Unterk"orper im K"orper $\cal{M}^{\op{an}}(\DC)$ der meromorphen Funktionen auf $\DC$ wie in \ref{MMoR}. Hinweis: Jede holomorphe Funktion auf $\Bbb{P}^{1}\DC$ ist konstant nach dem Maximumsprinzip \eref{MaPr}{FT1}, in Formeln $\cal{O}^{\op{an}}(\DC)=\DC$. Jede meromorphe Funktion hat aber dieselben Pole und Nullstellen wie eine rationale Funktion. \end{Ubunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Das GAGA-Prinzip}] Die vorhergehende "Ubung \ref{MP1} ist die vielleicht einfachste Manifestation eines sehr allgemeinen Prinzips, das man etwas vage dahingehend aussprechen kann, da"s \glqq komplex-analytische Dinge auf Kompakta meist algebraisch sind\grqq. Man nennt dies Prinzip auch das \glqq GAGA-Prinzip\grqq\ \index{GAGA-Prinzip} nach dem ber"uhmten Artikel \glqq G\'eometrie Analytique et G\'eometrie Alg\'ebrique\grqq\ von Jean-Pierre Serre, in dem es noch sehr viel weiter entwickelt wird. Dies Acronym ist im "ubrigen ein franz"osisches Wortspiel: \glqq Gaga\grqq\ bedeutet in der franz"osischen Umgangssprache, was man auf Deutsch vielleicht mit \glqq total durch den Wind\grqq\ wiedergeben k"onnte. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} %[\textbf{Endliche K"orpererweiterungen des Funktionenk"orpers $\mathbb C (T)$}] Gegeben eine endliche Teilmenge $P \subset \mathbb C$ und eine endliche "Uberlagerung $X \rightarrow \mathbb C \backslash P$ ihres Komplements durch einen zusammenh"angenden topologischen Raum im Sinne von \ref{Due} erkl"aren wir eine K"orpererweiterung $\mathcal M (X) / \mathbb C (T)$ wie folgt: Zun"achst versehen wir unsere "Uberlagerung mit der Struktur einer Riemann'schen Fl"ache nach \ref{sDF}. % $\mathbb C$-geringten Raums, indem wir von der holomorphen Struktur % $(\mathbb C, \mathcal O^{\op{an}}) $ auf $\mathbb C$ aus % \ref{BspM} ausgehen und $X$ mit der finalen Struktur \ref{FiSu} zur % Familie aller lokalen Schnitte unserer "Uberlagerungsabbildung versehen. % Auf diese Weise wird $X$ eine Riemann'sche Fl"ache im % Sinne von \ref{BspM} und unsere "Uberlagerungsabbildung wird ein Morphismus % von Riemann'schen Fl"achen. Die meromorphen Funktionen auf $X$ bilden dann nach \ref{MeK} einen K"orper \begin{equation*} \mathcal M^{\op{an}} (X) \end{equation*} und das Vorschalten der "Uberlagerungsabbildung liefert offensichtlich einen K"orperhomomorphismus \begin{equation*} \mathcal M^{\op{an}} (\mathbb C) \stackrel{\circ p}{\hookrightarrow} \mathcal M^{\op{an}} (X) \end{equation*} % In $\mathcal M^{\op{an}} (\mathbb C)$ betrachten wir nun % den Unterk"orper $ \mathbb C (T)$ und definieren % $ % \mathcal M (X) \subset \mathcal M^{\op{an}} (X) % $ % als den Unterk"orper aller Elemente, die % im Sinne von \ref{algK} % algebraisch % sind "uber $ \mathbb C (T)$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{K"orpererweiterungen durch "Uberlagerungen}] Gegeben eine zusammenh"angende $n$-bl"attrige "Uberlagerung des Komplements $\DC\backslash P$ einer endlichen Teilmenge $P$ der Riemann'schen Zahlenebene ist der Unterk"orper\label{GrMez} $$ \mathcal M (X) \subset \mathcal M^{\op{an}} (X) $$ der "uber $\mathbb C (T)$ algebraischen meromorphen Funktionen auf $X$ eine endliche K"orpererweiterung von $\mathbb C (T)$ vom Grad $n$. Umgekehrt erhalten wir auf diese Weise auch alle endlichen K"orpererweiterungen von $\mathbb C (T)$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Es wird sich sp"ater herausstellen, da"s der Teilk"orper $ \mathcal M (X) \subset \mathcal M^{\op{an}} (X) $, wie in dieser Notation bereits vorweggenommen, nur von der Riemann'schen Fl"ache $X$ abh"angt und nicht von der Wahl einer "Uberdeckungsabbildung $X\ra \DC\backslash P$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir beginnen mit dem Fall $n=1$. Der K"orper der rationalen Funktionen $\mathbb C (T) \subset \mathcal M^{\op{an}} (\mathbb C\backslash P)$ besteht nach \eref{GrAa}{FT1} genau aus den meromorphen Funktionen $f$ auf $\mathbb C\backslash P$, f"ur die es ein $N\geq 1$ gibt derart, da"s f"ur alle $a\in P$ das Produkt $(z-a)^Nf(z)$ beschr"ankt ist im Schnitt einer Umgebung von $a$ mit $\mathbb C\backslash P$, und da"s $z^{-N}f (z)$ au"serhalb eines Kompaktums beschr"ankt ist. Da nach \eref{AbNs}{LA1} der Betrag der Nullstellen eines normierten komplexen Polynoms abgesch"atzt werden kann durch die Summe der Betr"age der Koeffizienten, m"ussen alle "uber $\mathbb C(T)$ algebraischen Elemente von $\mathcal M^{\op{an}} (\mathbb C\backslash P)$ bereits zu $\mathbb C(T)$ geh"oren. Wir haben also $\mathcal M (\mathbb C)=\mathbb C(T)$ und der Fall $n=1$ ist erledigt. Sei als n"achstes $p : X \rightarrow \mathbb C \backslash P$ eine normale "Uberlagerung im Sinne von \ref{noue} und sei $\Gamma$ ihre Gruppe von Decktransformationen. Offensichtlich liefert das Vorschalten von $p$ dann Isomorphismen \begin{equation*} \mathcal M^{\op{an}} (\mathbb C\backslash P) \sira \mathcal M^{\op{an}} (X)^\Gamma \quad\text{ und }\quad \mathcal M (\mathbb C)\sira \mathcal M (X)^\Gamma \end{equation*} und nach dem allgemeinen Satz \ref{ZH} der Galoistheorie ist $\mathcal M (X) / \mathcal M (\mathbb C)$ eine endliche Galois-Erweiterung mit Galoisgruppe $\Gamma$. Ist schlie"slich unsere "Uberlagerung $p : X \rightarrow \mathbb C \backslash P$ nicht normal, so suchen wir uns mithilfe von \ref{NorH} eine normale H"ulle $\tilde{X}\sra X$ und betrachten den K"orperturm % $$\begin{array}{ccccc} % \mathcal M (\mathbb C)&\subset& \mathcal M (X)& % \subset& \mathcal M (\tilde{X})\\ % \cap&&\cap&&\cap\\ % \mathcal M^{\op{an}} (\mathbb C\backslash P)&\subset& \mathcal M^{\op{an}} (X) % &\subset& \mathcal M^{\op{an}} (\tilde{X}) % \end{array}$$ $$\mathcal M (\mathbb C)\subset \mathcal M (X) \subset \mathcal M (\tilde{X})$$ F"ur $H$ die Deckbewegungsgruppe von $q:\tilde{X}\sra X$ liefert offensichtlich das Vorschalten von $q$ einen Isomorphismus $\mathcal M (X) \sira \mathcal M (\tilde{X})^H$ und aus \eref{ZH}{AL} folgt $[\mathcal M (\tilde{X}):\mathcal M (X)]=|H|$ sowie $[\mathcal M (\tilde{X}):\mathcal M (\DC)]=|\Gamma|$ f"ur $\Gamma$ die Deckbewegungsgruppe von $\tilde{X}\sra (\mathbb C\backslash P)$. Damit ergibt sich dann schlie"slich $[\mathcal M (X):\mathcal M (\DC)]=|\Gamma|/|H|=n$ wie gew"unscht. Es bleibt nur noch zu zeigen, da"s wir auf diesem Wege auch alle endlichen K"orpererweiterungen des Funktionenk"orpers $\DC(T)$ erhalten. Nach \eref{PE}{AL} entsteht ja jede derartige Erweiterung durch Adjunktion einer Nullstelle eines irreduziblen Polynoms $f\in\DC(T)[S]$. Nach \eref{MuPi}{AL} finden wir dazu stets $c\in \DC(T)^\times$ mit $cf\in \DC[T][S]$ primitiv, und nach \eref{PFR}{AL} ist $g=cf$ dann auch irreduzibel in $\DC[T][S]=\DC[T,S]$. Nun "uberlegt man sich leicht, da"s die kanonische Abbildung $\DC[T,S]/\langle g\rangle\ra \DC(T)[S]/\langle g\rangle$ einen K"orperisomorphismus $$\op{Quot}(\DC[T,S]/\langle g\rangle)\sira \DC(T)[S]/\langle g\rangle$$ induziert. Bezeichnet $Z (g) = \{(a, \lambda) \in \mathbb C^2 \mid g (a,\lambda) =0\}$ die Nullstellenmenge von $g$, so liefert das Einschr"anken polynomialer Funktionen nach \eref{RUE}{AL} einen Ringhomomorphismus und nach \eref{ENu}{AL} sogar einen injektiven Ringhomomorphismus $$\DC[T,S]/\langle g\rangle\hra \op{Ens}(Z (g),\DC)$$ Da nun $g$ Polynomring $\mathbb C (T) [S]$ "uber dem Funktionenk"orper $\mathbb C (T)$ irreduzibel ist, ist $g$ in besagtem Polynomring teilerfremd zu seiner Ableitung $g^\prime = \frac{\partial g}{\partial S}$ und wir finden folglich eine Identit"at \begin{equation*} 1 = h g + k g^\prime \end{equation*} mit $ h,k \in \mathbb C (T) [S]$. Mit Ausnahme der Elemente der endlichen Menge $P \subset \mathbb C$ der Polstellen der Koeffizienten von $h$ und $k$ k"onnen wir in diese Identit"at alle komplexen Zahlen $a$ einsetzen und folgern mit \eref{VN}{AL}, da"s f"ur alle $a \in \mathbb C \backslash P$ das Polynom $g (a, S) \in \mathbb C [S]$ keine mehrfachen Nullstellen hat. Vergr"o"sern wir unsere endliche Menge $P$ noch um die Nullstellen des Leitkoeffizienten in Bezug auf $S$ von $g \in \mathbb C [T] [S]$ und hat unser $g$ in $S$ etwa den Grad $n$, so hat folglich $g (a, S)$ f"ur alle $a \in \mathbb C \backslash P$ genau $n$ Nullstellen in $S$. Die Fasern der Projektion auf die erste Koordinate \begin{equation*} \op{pr}_1 : Z (g) \rightarrow \mathbb C \end{equation*} haben also au"serhalb einer endlichen Menge $P \subset \mathbb C$ stets genau $n$ Elemente. Nach dem Satz "uber implizite Funktionen und insbesondere nach "Ubung \eref{ReKo}{AN2} ist also die Restriktion dieser Projektion auf das Urbild des Komplements von $P$ eine $n$-bl"attrige "Uberlagerung $$\op{pr}_1 : Z\sra \DC\backslash P$$ Nach \ref{BCDi} sind alle stetigen lokalen Schnitte dieser "Uberlagerung als Abbildungen nach $\DC^2$ komplex differenzierbar. Die Polynome aus $\DC[T,S]$ definieren folglich komplex differenzierbare alias holomorphe Funktionen auf der Riemann'schen Fl"ache $Z$, und das Bild der Inklusion $\DC[T,S]/\langle g\rangle\hra \cal{O}^{\op{an}}(Z)$ macht nach \eref{ENu}{AL} von Null verschiedene Elemente des Restklassenrings zu holomorphen Funktionen mit h"ochstens endlich vielen Nullstellen. Nach \eref{UEQ}{LA1} l"a"st sich unsere Inklusion folglich zu einem Ringhomomorphismus $$\op{Quot}(\DC[T,S]/\langle g\rangle) \ra \cal{M}^{\op{an}}(Z)$$ fortsetzen, der nach \eref{RHKI}{LA1} notwendig injektiv sein mu"s. Sei nun $Z=Z_1\amalg\ldots\amalg Z_r$ die Zerlegung von $Z$ in seine Zusammenhangskomponenten. Da die linke Seite eine algebraische K"orpererweiterung von $\DC(T)$ ist, mu"s unser Ringhomomorphismus in $\cal{M}(Z_1)\times\ldots\times \cal{M}(Z_r)$ landen. Da dieses Produkt nach dem bereits bewiesenen Teil der Proposition "uber $\DC(T)$ dieselbe Dimension hat wie $\op{Quot}(\DC[T,S]/\langle g\rangle)$, ist das Bild unseres Ringhomomorphismus bereits das ganze besagte Produkt. Es folgt, da"s besagtes Produkt ein K"orper sein mu"s, so da"s insbesondere $Z$ bereits zusammenh"angend gewesen sein mu"s und unsere K"orpererweiterung mit $\cal{M}(Z)$ zusammenf"allt. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{K"orpererweiterungen von $\mathbb C (T)$ und Topologie}] Unsere Vorschrift $\cal{M}^{\op{an}}$, die jeder zusammenh"angenden Rie\-mann\-'schen Fl"ache "uber $\mathbb{P}^1\DC$ den K"orper der meromorphen Funktionen auf $X$ zuweist, liefert eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Zusammenh"angende verzweigte}\\ \text{"Uberlagerungen von }\mathbb{P}^1\DC\\ \text{mit endlicher Bl"atterzahl} \end{array}\right\} & \overset{\sim}{\rightarrow} & \left\{ \begin{array}{c} \text{Endliche}\\\text{K"opererweiterungen}\\ \text{von } \mathbb C (T) \end{array}\right\}^{\op{opp}}\\[15mm] \left( \begin{array}{c} X \\ \downarrow \\ \mathbb C \end{array} \right) & \mapsto & \left( \begin{array}{c} \mathcal M^{\op{an}} (X) \\ \cup \\ \mathbb C (T) \end{array} \right) \end{array} \end{displaymath} \end{Satz} \begin{proof} Unser $\mathcal M (X)$ "andert sich nicht beim Einflicken fehlender Punkte Das zeigt die Surjektivit"at auf Objekten. Da"s die Automorphismen von Galois-"Uber\-lagerungen den Automorphismen von K"orpererweiterungen entspechen, wissen wir bereits. Im Allgemeinen k"onnen wir $\mathcal M (X)$ und $\mathcal M (Y)$ in dieselbe Galoiserweiterung von $\mathbb C (T) = \mathcal M (\mathbb C)$ einbetten etc. \end{proof} \begin{Satz} Die Vorschrift $X \mapsto \mathcal M (X)$ liefert eine kontravariante "Aquivalenz von Kategorien \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{l} \text{zusammenh"angende} \\\text{endliche "Uberlagerungen}\\ \text{des Komplements}\\ \text{endlicher Teilmenen von} \mathbb C \end{array}\right\} & \overset{\sim}{\longrightarrow} & \left\{\begin{array}{l} \text{endliche K"orpererweiterungen}\\ \text{von } \mathbb C (T) \end{array}\right\}\\ X &\mapsto & \mathcal M (X) \end{array} \end{displaymath} wo wir Morphismen von $p : X \rightarrow \mathbb C \backslash P$ nach $q : Y \rightarrow \mathbb C \backslash Q$ verstehen als Decktransformationene zwischen den beiden "Uberlagerungen von $\mathbb C \backslash (P \cup Q) $ durch $p^{-1} (\mathbb C \backslash (P \cup Q))$ und $q^{-1} (\mathbb C \backslash (P \cup Q))$. Die Verkn"upfung mit einem Morphismus in eine weitere "Uberlagerung $r : Z \rightarrow \mathbb C \backslash R$ ist zwar dann a priori nur als Decktransformation von $p^{-1} (\mathbb C \backslash (P \cup Q \cup R))$ nach $r^{-1} (\mathbb C \backslash (P \cup Q \cup R))$ definiert, l"a"st sich aber eindeutig stetig zu einer Decktransformation $p^{-1} (\mathbb C \backslash (P \cup R)) \rightarrow r^{-1} (\mathbb C \backslash (P \cup R))$ fortsetzen, und diese Fortsetzung verstehen wir dann als die Verkn"upfung unserer beiden Morphismen. \end{Satz} \begin{Definition} Seien $V,W$ normierte komplexe Vektorr"aume und $U\co V$ eine halboffene Teilmenge. Eine Abbildung $f:U\ra W$ hei"st {\bf komplex differenzierbar} genau dann, wenn sie stetig differenzierbar ist und ihr Differential an jeder Stelle komplex-linear ist. \end{Definition} \begin{Beispiel}\label{BCDi} Gegeben Polynome $P,Q\in\DC[X_1,\ldots, X_n]$ ist die Abbildung $$\{x\in \DC^n\mid Q(x)\neq 0\}\ra \DC$$ gegeben durch $x\mapsto P(x)/Q(x)$ komplex differenzierbar. Alle durch den Satz "uber implizite Funktionen aus komplex differenzierbaren Abbildungen entstehenden Abbildungen sind nach \eref{SsIF}{AN2} auch selbst wieder komplex differenzierbar. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Die beiden folgenden S"atze scheinen mir die zentrale Rolle der Riemann'schen Fl"achen auf das Sch"onste zu illustrieren. Ich will gerne einmal einen Beweis ausschreiben. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Kompakte Riemann'sche Fl"achen sind algebraisch}] Die Vorschrift, die jeder Riemann'schen Fl"ache den Ring ihrer meromorphen Funktionen zuordnet, liefert eine kontravariante "Aquivalenz von Kategorien \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \text{kompakte}\\ \text{zusammenh"angende}\\ \text{Riemann'sche Fl"achen} \end{array}\right\} & \sirra & \left\{\begin{array}{c} \text{endlich erzeugte}\\ \text{K"orpererweiterungen von } \mathbb C\\ \text{ vom Transzendenzgrad Eins}\end{array}\right\}^{\op{opp}}\\[8mm] X &\mapsto & \mathcal M^{\op{an}} (X) \end{array} \end{displaymath} Hier sind links als Morphismen nichtkonstante holomorphe Abbildungen zu verstehen und rechts als Morphismen eben K"orperhomomorphismen unter $\DC$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Den Beweis dieses wunderbaren Satzes will ich gerne einmal ausschreiben. Zusammen mit dem gleich folgenden Satz schafft er eine bemerkenswert enge Verbindung zwischen Topologie und Algebra. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Holomorphie durch Topologie}] Ist $Y$ eine Riemann'sche Fl"ache, so liefert das Vergessen der holomorphen Struktur eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{displaymath} \begin{array}{ccc}\left\{\begin{array}{c} \text{Riemann'sche Fl"achen}\\ \text{"uber $Y$} \end{array}\right\} & \overset{\sim}{\rightarrow} & \left\{\begin{array}{c} \text{verzweigt-\'etale Morphismen}\\ \text{von Hausdorff-R"aumen nach $Y$}\end{array}\right\} \end{array} \end{displaymath} Unter einer Riemann'schen Fl"ache "uber $Y$ verstehe ich dabei eine Riemann'sche Fl"ache mit einem auf keiner Zusammenhangskomponente konstanten Morphismus nach $Y$. Hier sind links als Morphismen holomorphe Abbildungen zu verstehen, die mit der Projektion auf $Y$ vertr"aglich sind, und rechts stetige Abbildungen, die mit der Projektion auf $Y$ vertr"aglich sind. \end{Satz} \begin{proof} Der Umkehrfunktor wurde bereits in \ref{sDF} konstruiert. Der Rest der Argumentation kann auch dem Leser "uberlassen bleiben. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Algebra durch Holomorphie, Variante}] Ist $Y$ eine zusammenh"angende Riemann'sche Fl"ache, so liefert das Bilden der meromorphen Funktionen eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{displaymath} \begin{array}{ccc}\left\{\begin{array}{c} \text{zusammenh"angende}\\ \text{Riemann'sche Fl"achen "uber $Y$}\\ \text{mit eigentlicher Projektion} \end{array}\right\} & \overset{\sim}{\rightarrow} & \left\{\begin{array}{c} \text{endliche}\\ \text{K"orpererweiterungen}\\ \text{von $\mathcal{M}^{\op{an}}(Y)$}\end{array}\right\}^{\op{opp}} \end{array} \end{displaymath} \end{Satz} \begin{proof} Zun"achst einmal gilt es zu zeigen, da"s f"ur $p: X \rightarrow Y$ nicht konstant und eigentlich das Zur"uckholen $(\circ p) : \mathcal M^{\op{an}} (Y) \rightarrow \mathcal M^{\op{an}} (X)$ eine endliche K"orpererweiterung ist. Nach \ref{??} ist $p$ eine verzweigte "Uberlagerung mit endlicher Zahl von Bl"attern. Wir beginnen mit dem Spezialfall, da"s $p: X \rightarrow Y$ eine endliche verzweigte "Uberlagerung ist. Gegeben $f \in \mathcal O^{\op{an}} (X)$ betrachten wir dann f"ur alle $y \in Y$ das Polynom $P_y \in \mathbb C [T]$ gegeben durch \begin{equation*} P_y (T) = \prod_{x \in p^{-1}(y) } (T - f (x)) \end{equation*} Ist $p$ eine n-bl"attrige "Uberlagerung, so hat es den Grad $n$ f"ur alle $y \in Y$, also \begin{displaymath} P_y (T) = T^n + c_{n-1} (y) T^{n-1} + \ldots + c_0 (y) \end{displaymath} Es ist nun leicht zu sehen, da"s hier die Koeffizienten holomorph sind als Funktionen von $y$, in Formeln $c_i \in \mathcal O^{\op{an}} (Y)$. In der Tat pr"uft man das auf jeder trivial "uberlagerten offenen Teilmenge unmittelbar. Andererseits gilt quasi per definitionem f"ur das Polynom $P(T) = T^n + c_{n-1} T^{n-1} + \ldots + c_0$ aus dem Polynomring $\mathcal O^{\op{an}} (y) [T]$ "uber $\mathcal O^{\op{an}} (Y)$ die Formeln$P (f) =0$. Ist etwas allgemeiner $f \in \mathcal M^{\op{an}} (X)$ meromorph, so erhalten wir in derselben Weise ein Polynom $P \in \mathcal M^{\op{an}} (Y) [T]$ vom Grad $n$ mit $P (f) =0$. Der Satz vom primitiven Element \ref{??} sagt uns nun, da"s die K"orpererweiterung $\mathcal M^{\op{an}} (X)/\mathcal M^{\op{an}} (Y)$ h"ochstens den Grad $n$ haben kann. Um zu sehen, da"s der Grad auch nicht kleiner sein kann, brauchen wir folgenden \end{proof} \begin{Satz} Gegeben endlich viele Punkte auf einer Riemann'schen Fl"ache gibt es stets eine meromorphe Funktion, die an diesen Punkten beliebig vorgegebene Werte annimmt. \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Ist dann $X \rightarrow Y$ eine Galois-"Uberlagerung, so folgt eine Einbettung \begin{equation*} \op{"Ub}_Y (X) \hookrightarrow \op{Gal} (\mathcal M^{\op{an}} (X)/\mathcal M^{\op{an}} (Y)) \end{equation*} und folglich $|\op{Gal}| \geq n$ und wegen $n\geq [\mathcal M^{\op{an}} (X) / \mathcal M^{\op{an}} (Y) \geq |\op{Gal}|$ nach unseren Vor"uberlegungen und Satz \ref{??} aus der Galoistheorie die Gleichheiten $n = [ \mathcal M^{\op{an}} (X) : \mathcal M^{\op{an}} (Y)]$ und $\op{"Ub}_y (X) = \op{Gal}$. Ist $X \rightarrow Y$ keine Galois-"Uberlagerung, so finden wir mit \ref{??} eine endlicher"Uberlagerung $Z \rightarrow X$ mit $Z \rightarrow X$ und $Z \rightarrow Y$ Galois und dann folgt $[\mathcal M^{\op{an}} (X) : \mathcal M^{\op{an}} (Y)]$ aus der Multiplikativit"at des Grades von K"orpererweiterungen und der Multiplikativit der Bl"atterzahl von "Uberlagerungen. Um schlie"slich auch den Fall verzweigter "Uberlagerungen einzubeziehen, m"ussen wir das Argument nur unwesentlich erweitern. Sicher gibt es ja dann $W \As y$ abgeschlossen diskret derart, da"s $ X\backslash p^{-1} (W) \rightarrow Y\backslash W $ eine unverzweigte "Uberlagerung ist. Unsere Konstruktion von oben liefert nun eben auch zu $f \in \mathcal M^{\op{an}} (X)$ ein Polynom $P \in \mathcal M^{\op{an}} (Y\backslash W) [T]$ vom Grad $n$ mit $P (f) =0$, dessen Koeffizienten bereits zu $\mathcal M^{\op{an}} (Y) $ geh"oren, und das zeigt wieder $[\mathcal M^{\op{an}} (X); \mathcal M^{\op{an}}]\leq n$. Das Bilden der normalen H"ulle von $X\backslash p^{-1} (W) \rightarrow Y\backslash W$ gefolgt vom Bilden der verzweigten Ausdehnung liefert wieder verzweigte "Uberlagerungen $Z \rightarrow X \rightarrow Y$ mit $Z \rightarrow X$ und $Z \rightarrow Y$ Galois, und dasselbe Argument wie zuvor zeigt wieder $[\mathcal M^{\op{an}} (X) / \mathcal M^{\op{an}} (Y)] = n$ und $\op{Gal} (\mathcal M^{\op{an}}/ \mathcal M^{\op{an}} (Y)) \overset{\sim}{\leftarrow} \op{Top}^\times_Y (X)^{\op{opp}}$. \end{Bemerkunge} \emph{Das folgende war mal in der Algebra, aber da war es doch unnat"urlich. Was aufheben, und wohin damit? In der Algebra ist nur der Satz geblieben.} \begin{Bemerkunge} In der Terminologie \ref{gAbk} hie"se $\mathcal M(X)$ der \glqq ganze Abschlu"s von $\DC(T)$ in $\op{Topf}(X,\DC) $\grqq. Dort wird auch gezeigt, da"s solch ein ganzer Abschlu"s stets ein Teilring ist. Wir zeigen das im folgenden nur f"ur unseren Spezialfall sozusagen \glqq zu Fu"s\grqq. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{K"orpererweiterungen und Topologie}] \begin{enumerate} \item Gegeben eine zusammenh"angende endliche verzweigte "Uberlagerung $p:X\ra\DP^1\DC$ ist die Teilmenge $\mathcal{M}(X)\subset \op{Topf}(X,\DC)$ ein Teilring und sogar ein K"orper. %\item %Ist $X$ zusammenh"angend, so ist dieser Teilring sogar ein K"orper. % , % und unter der vom Zur"uckholen % von fast "uberall definierten Funktionen % induzierten % Einbettung $\DC(T)\hra \mathcal{M}(X)$ ist % $\mathcal{M}(X)$ eine endliche K"orpererweiterung von % $\DC(T)$ mit der Bl"atterzahl als Grad. \item Ist $q:Y\ra \DP^1\DC$ eine weitere endliche verzweigte "Uberlagerung und $f:Y\ra X$ ein \glqq Morphismus von "Uberlagerungen\grqq\ alias eine stetige Abbildung mit $p\circ f=q$, so induziert das Zur"uckholen mit $f$ einen Ringhomomorphismus $\mathcal{M}(X)\ra \mathcal{M}(Y)$. \item Der Funktor $X\mapsto \mathcal{M}(X)$ ist eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Endliche verzweigte}\\ \text{zusammenh"angende}\\ \text{"Uberlagerungen von }\mathbb{P}^1\DC \end{array}\right\} & \overset{\sim}{\rightarrow} & \left\{ \begin{array}{c} \text{Endliche}\\\text{K"opererweiterungen}\\ \text{von } \mathbb C (T) \end{array}\right\}^{\op{opp}} \end{array} \end{displaymath} \end{enumerate} \end{Satz} %\subsection{Galoiskorrespondenz} \begin{Bemerkungl} Den ersten Teil dieses Satzes zeigen wir gleich. Der zweite Teil ist offensichtlich. Der Schl"ussel zum Beweis des dritten Teils ist die Theorie der sogenannten \glqq Riemann'schen Fl"achen\grqq. Im Rahmen dieser Theorie zeigt man feiner, da"s es f"ur jede endliche verzweigte "Uberlagerung $X\ra \mathbb{P}^1\DC$ genau eine Struktur als Riemann'sche Fl"ache auf dem topologischen Raum $X$ gibt derart, da"s unsere "Uberlagerungsabbildung ein Morphismus von Riemann'schen Fl"achen wird, und da"s unser $\mathcal M(X)$ dann genau der Ring der meromorphen Funktionen auf $X$ ist. Wir deuten im folgenden nur an, wie man mit Funktionentheorie und etwas Topologie zeigen kann, da"s unser Funktor zumindest volltreu ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] F"ur den ersten Teil reicht es anzunehmen, da"s $p:X\ra \mathbb{P}^1\DC$ eine stetige Abbildung von einem zusammenh"angenden topologischen Raum $X$ nach $\mathbb{P}^1\DC$ ist mit endlichen Fasern und unendlichem Bild. Zun"achst zeigen wir unter diesen Annahmen, da"s alle von Null verschiedenen Elemente von $\mathcal{M}(X)$ bereits Einheiten von $\op{Topf}(X,\DC)$ sind, in Formeln $$\mathcal{M}(X)\backslash 0\;\;\subset \;\;\op{Topf}(X,\DC)^\times$$ Gegeben $\alpha\in \mathcal{M}(X)$ und $P\in \DC(T)[A]\backslash 0$ mit $P(\alpha)=0$ sei dazu $a_k\in \DC(T)\backslash 0$ der Koeffizient der tiefsten in $P$ vorkommenden Potenz von $A$. Ist $E\subset \mathbb{P}^1\DC$ eine endliche Teilmenge, au"serhalb derer alle Koeffizienten von $P$ definiert sind und so da"s $\alpha$ einen stetigen Repr"asentanten auf $X\backslash p^{-1}(E)$ hat, und hat au"serdem $a_k$ keine Nullstelle au"serhalb $E$, so ist die Nullstellenmenge von $\alpha$ in $X\backslash p^{-1}(E)$ offensichtlich nicht nur abgeschlossen, sondern auch offen. Im Fall von zusammenh"angendem $X$ hat nach \eref{WZTT}{AN2} also $\alpha\in \mathcal{M}(X)$, wenn es nicht identisch verschwindet, h"ochstens endlich viele Nullstellen, und dann ist es offensichtlich im Ring $ \op{Topf}(X,\DC)$ eine Einheit. Man erkennt weiter leicht, da"s f"ur $\alpha\in \mathcal{M}(X)\backslash 0$ auch gilt $\alpha^{-1}\in \mathcal{M}(X)$. Nach dieser Vorarbeit beachten wir dann, da"s aus $\alpha\in \mathcal{M}(X)$ mit \eref{JHG}{AL} bereits folgt $\mathbb C (T)[\alpha]\subset\mathcal{M}(X)$. Damit ist $\mathbb C (T)[\alpha]$ schon mal ein K"orper, und f"ur $\beta\in \mathcal{M}(X)$ folgt mit \eref{JHG}{AL} erst $\mathbb C (T)[\beta]$ endlichdimensional "uber $\mathbb C (T)$ und dann $\mathbb C (T)[\alpha,\beta]$ endlichdimensional "uber $\mathbb C (T)[\alpha]$ und damit $\mathbb C (T)[\alpha,\beta]$ endlichdimensional "uber $\mathbb C (T)[\alpha]$ und damit dann schlie"slich $\mathbb C (T)[\alpha,\beta]\subset\mathcal{M}(X)$. Insbesondere folgt aus $\alpha,\beta\in \mathcal{M}(X)$ also $\alpha+\beta,\alpha\beta\in \mathcal{M}(X)$ und damit ist $\mathcal{M}(X)$ ein Teilring von $ \op{Topf}(X,\DC)$ und zusammen mit unseren vorherigen Erkenntnissen in der Tat ein K"orper. Damit ist der erste Teil des Satzes gezeigt. Der zweite Teil ist offensichtlich, und wir diskutieren nun noch etwas den Beweis des dritten Teils. Zun"achst zeigen wir dazu, da"s die offensichtliche Einbettung einen Isomorphismus $\DC(T)\sira \mathcal M(\DP^1\DC)$ liefert. Das ben"otigt etwas Funktionentheorie. In \eref{ReKo}{AN2} haben Sie aus dem Satz "uber implizite Funktionen gefolgert, da"s eine stetige Funktion $\alpha:U\ra\DC$ auf einer offenen Teilmenge $U\co\DC$ der komplexen Zahlenebene, die an jeder Stelle einfache Nullstelle eines normierten Polynoms $A^n+a_{n-1}A^{n-1}+\ldots+a_0$ mit holomorphen Koeffizienten $a_i:U\ra\DC$ ist, bereits selbst holomorph sein mu"s. Nun ist $\mathcal M(\DP^1\DC)$ eine algebraische K"orpererweiterung von $\DC(T)$, und da wir in Charakteristik Null sind, mu"s diese separabel sein. Folglich wird jedes $\alpha\in \mathcal M(\DP^1\DC)$ einen auf dem Komplement einer endlichen Menge holomorphen Repr"asentanten haben. In "Ubung \eref{AbNs}{LA1} haben Sie weiter gezeigt, da"s jede Nullstelle $\alpha\in\DC$ eines Polynoms mit komplexen Koeffizienten $A^n+a_{n-1}A^{n-1}+\ldots+a_0$ die Absch"atzung $|\alpha|\leq 1+|a_{n-1}|+\ldots +|a_0|$ erf"ullt. Daraus folgt mit dem Riemann'schen Hebbarkeitssatz leicht, da"s $\alpha$ durch eine meromorphe Funktion auf $\DC$ repr"asentiert werden kann, und \eref{GrAa}{FT1} zeigt dann weiter, da"s diese meromorphe Funktion von $\DC(T)$ herkommen mu"s. Hat nun allgemeiner unsere endliche verzweigte zusammenh"angende "Uberlagerung $p:X\ra \DP^1\DC$ die Eigenschaft, da"s je zwei Punkte ein- und derselben Faser durch einen Automorphismus ineinander "uberf"uhrt werden k"onnen---wir sprechen dann auch von einer {\bf Galois-"Uberlagerung}\index{Galois-"Uberlagerung}---und ist $\Gamma$ die Automorphismengruppe, so ist hoffentlich anschaulich klar und "Uberlagerungstheorie \ref{EL} zeigt auch formal, da"s $|\Gamma|$ die Bl"atterzahl sein mu"s, und dann gilt offensichtlich $$\mathcal M(X)^\Gamma=\mathcal M(\DP^1\DC)$$ und wir haben eine Galoiserweiterung vor uns. \emph{Aber Vorsicht, warum mu"s $\Gamma$ treu operieren? Ja, nach einer Variante von \ref{mfRF}, denn auch die unter einem Element $\gamma\in \Gamma$ invarianten Schnitte der Hauptteil-Garbe k"onnen aus Dimensionsgr"unden nicht den ganzen Kern des Randoperators dort ausmachen.} Indem man \ref{NorH} auf verzweigte "Uberlagerungen erweitert, kann man die Volltreuheit unseres Funktors aus der Galoiskorrespondenz \eref{GK}{AL} folgern. Da"s unser Funktor schlie"slich surjektiv ist auf Isomorphieklassen, kann man mit dem Satz vom primitiven Element \eref{PE}{AL} verstehen: Danach entsteht ja jede endliche Erweiterung $L$ des Funktionenk"orpers $\DC(T)$ durch die Adjunktion einer Nullstelle eines normierten irreduziblen Polynoms $f\in\DC(T)[A]$. Nach \eref{MuPi}{AL} finden wir zu so einem irreduziblen Polynom stets $c\in \DC(T)^\times$ mit $cf\in \DC[T][A]$ einem primitiven Polynom mit Koeffizienten in $\DC[T]$, und nach \eref{PFR}{AL} ist $g=cf$ dann irreduzibel in $\DC[T][A]=\DC[T,A]$. Nun "uberlegt man sich leicht, da"s die offensichtliche Abbildung $\DC[T,A]/\langle g\rangle\ra \DC(T)[A]/\langle g\rangle$ "uber die universelle Eigenschaft des Quotientenk"orpers \eref{UEQ}{LA1} einen K"orper\-isomorphismus $$\op{Quot}(\DC[T,A]/\langle g\rangle)\sira \DC(T)[A]/\langle g\rangle=L$$ induziert. Bezeichnet $Z (g) = \{(a, \lambda) \in \mathbb C^2 \mid g (a,\lambda) =0\}$ mit $Z$ wie \glqq zero\grqq\ die Nullstellenmenge von $g$, so liefert das Einschr"anken polynomialer Funktionen nach \eref{RUE}{AL} einen Ringhomomorphismus und nach \eref{ENu}{AL} sogar einen injektiven Ringhomomorphismus $\DC[T,A]/\langle g\rangle\hra \op{Top}(Z (g),\DC)$. Mithilfe von \eref{ENu}{AL} erkennt man weiter, da"s dieser Ringhomomorphismus "uber die universelle Eigenschaft des Quotientenk"orpers \eref{UEQ}{LA1} wie in \eref{DRF}{LA1} eine Einbettung $$L=\op{Quot}(\DC[T,A]/\langle g\rangle) \hra \op{Topf}(Z(g),\DC)$$ % \left\{ % \begin{array}{c} % \text{fast "uberall % definierte}\\ % \text{$\DC$-wertige Funktionen auf $Z (g)$} % \end{array} % \right\}$$ unseres K"orpers $L$ in den Ring der fast "uberall definierten $\DC$-wertigen stetigen Funktionen auf der Nullstellenmenge $Z (g)$ von $g$ induziert. Nat"urlich landet er in $\mathcal M(Z (g))$, und ein Dimensionsvergleich zeigt, da"s er ein Isomorphismus sein mu"s. Es bleibt also nur zu zeigen, da"s sich die Verkn"upfung $Z(g)\ra \DC\hra \DP^1\DC$ auch als Verkn"upfung der Einbettung des Komplements einer endlichen Menge $Z(g)\hra X$ mit einer endlichen verzweigten "Uberlagerung $X\ra \DP^1\DC$ schreiben l"a"st. Die Fasern der Projektion auf die erste Koordinate \begin{equation*} \op{pr}_1 : Z (g) \rightarrow \mathbb C \end{equation*} haben nun au"serhalb einer endlichen Menge $P \subset \mathbb C$ stets genau soviele Urbilder, wie der Grad $\op{grad} f=[L:\DC(T)]$ unseres Polynoms angibt: Das gilt etwa au"serhalb der Nullstellenmenge des Leitkoeffizienten $c$ von $g$ vereinigt mit der Nullstellenmenge der Diskriminante von $f$. In der Tat kann man sich $g=cf$ ja als ein Polynom mit variablen Koeffizienten denken, und mit dem Polynom variieren dann eben auch seine Nullstellen. An einigen speziellen Stellen sinkt der Grad, weil der Leitkoeffizient verschwindet, oder es fallen Nullstellen zusammen, weil die Diskriminante verschwindet, aber wenn man von diesen Stellen absieht, so findet man stets genau soviele Nullstellen, wie der Grad vorgibt. Wir schreiben nun $Z (g)^\circ=\op{pr}_1^{-1}(\mathbb C\backslash P)$ und betrachten die Abbildung $$\op{pr}_1:Z (g)^\circ\ra \mathbb C\backslash P$$ Der Satz "uber implizite Funktionen sagt uns, da"s das eine unverzweigte "Uberlagerungsabbildung ist im Sinne von \ref{Due}, und es ist nicht schwer zu zeigen, da"s sich solch eine endliche unverzweigte "Uberlagerung des Komplements endlich vieler Punkte in einer topologischen Mannigfaltigkeit der Dimension Zwei stets eindeutig zu einer verzweigten "Uberlagerung der ganzen topologischen Mannigfaltigkeit fortgesetzt werden kann. \emph{Formuliere besser, mache zu "Ubung in der Topologie}. \ref{VUA} \end{proof} \subsection{Anschauung f"ur die Galoisgruppe*} \begin{Bemerkungl} Formal ist der nun folgende Abschnitt f"ur die logische Koh"arenz dieser Vorlesung nicht von Belang. Es wird darin auch nichts bewiesen. Ich denke jedoch, da"s die im folgenden erkl"arten Ideen bei der historischen Entwicklung der Theorie von zentraler Bedeutung waren und hoffe, da"s sie Ihnen beim Verst"andnis helfen werden. Um die Aussage des Hauptsatzes in diesem Abschnitt zu verstehen, sollten Sie mit den Grundbegriffen der Theorie topologischer R"aume vertraut sein, wie sie etwa in der Analysis \eref{ToRa}{AN1} erkl"art wurden. Weiter ben"otigen Sie Grundkenntnisse "uber die komplexe projektive Gerade alias Riemann'sche Zahlenkugel $\DP^1\DC$ im Umfang von \eref{TP1}{LA2}, und schlie"slich die Sprache der Kategorientheorie, insbesondere den Begriff einer "Aquivalenz von Kategorien \eref{Eif}{LA2}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur jede Menge $Z$ und jeden Ring $k$ wurde in \eref{DRF}{LA1} der Ring $\op{Ensf}(Z,k)$ der fast "uberall definierten Funktionen auf $Z$ mit Werten in $k$ erkl"art. NEE, STIMMT NIMMER: JETZT ABBILDUNGEN, DIE AN ENDLICH VIELEN STELLEN DEN WERT UNENDLICH ANNEHMEN. F"ur jede Abbildung $f:Y\ra Z$ mit endlichen Fasern liefert das Vorschalten von $f$ einen Ringhomomorphismus $(\circ f):\op{Ensf}(Z,k)\ra \op{Ensf}(Y,k)$ in die Gegenrichtung, das {\bf Zur"uckholen}.\index{Zur"uckholen!von Funktionen} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein topologischer Raum $Z$ erkl"aren wir feiner auch den Teilring $\op{Topf}(Z)\subset\op{Ensf}(Z,\DC) $ der fast "uberall definierten stetigen komplexwertigen Funktionen. Ich meine damit fast "uberall definierte Funktionen, die durch eine auf dem Komplement einer endlichen Menge stetige Funktion repr"asentiert werden k"onnen. F"ur jede stetige Abbildung $f:Y\ra Z$ mit endlichen Fasern liefert das Vorschalten von $f$ auch einen Ringhomomorphismus $(\circ f):\op{Topf}(Z)\ra \op{Topf}(Y)$ in die Gegenrichtung, das {\bf Zur"uckholen} fast "uberall definierter stetiger Funktionen. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=\textwidth]{SkriptenBilder/BildQCo}\\[4mm] \noindent Dies Bild kam bereits in \eref{BKOM}{LA1} vor als Illustration f"ur die Abbildung $z\mapsto z^2$ der komplexen Zahlenebene auf sich selbst. Es illustriert damit auch die lokale Struktur einer verzweigten "Uberlagerung in einer Umgebung einer Stelle $x$ mit Verzeigungsindex $n(x)=2$. Der Begriff der Verzweigung kommt wohl vom reellen Bild her, wenn man bei einem Polynom mit $(\DR[T])[X]$ in zwei Ver"anderlichen untersucht, wie die Nullstellen als Polynom in $X$ abh"angen vom Wert von $T$. Mehrfache Nullstellen werden sich beim Wackeln an $T$ oft in mehrere einfache Nullstellen trennen alias verzweigen, und das ist die Vorstellung, die dem Begriff der Verzweigung zugrundeliegt. Zum Beispiel hat $X^2-T$ bei $T=0$ eine doppelte reelle Nullstelle, die sich beim Verwackeln zu $T>0$ in zwei reelle Nullstellen trennt, w"ahrend sie beim Verwackeln zu $T<0$ im Reellen nicht mehr zu sehen ist und sich in zwei rein imagin"are Nullstellen trennt. Wie sich die komplexen Nullstellen beim Bewegen von $T$ in der komplexen Ebene verhalten, illustriert das obige Bild. % F"ur die durch Adjunktion einer Quadratwurzel aus $T$ entstehende % Erweiterung $L$ des Funktionenk"orpers $\DC(T)$ ist nun % $X^2-T$ das Minimalpolynom $f$ eines Erzeugers und % in der Notation der Bemerkung \ref{AGT} haben wir $f=g$ % und erhalten eine stetige Bijektion $\DC\sira Z(g)$ % mit stetiger Umkehrung vermittels der % Vorschrift $z\mapsto (z^2,z)$. Die Komposition % $\DC\sira Z(g)\ra \DC$ mit der Projektion auf die erste Koordinate % ist also gerade unsere Abbildung $z\mapsto z^2$. % Unsere Menge $P$ besteht in diesem Fall nur aus dem Ursprung % und wir sehen so anschaulich, da"s die Galoisgruppe von % $L/\DC(T)$ gerade $\DZ/2\DZ$ ist. % "Ahnlich zeigt diese Anschauung im Lichte von \ref{AGT}, da"s % die Galoisgruppe der durch Adjunktion einer % $n$-ten Wurzel von $T$ entstehende und oft % $\DC(\sqrt[n]{T})/\DC(T)$ % notierten K"orpererweiterung % gerade $\DZ/n\DZ$ sein sollte, was Sie bereits als "Ubung \ref{GZE} % formal bewiesen haben. \end{figure} \begin{Definition}\label{VZRi} Wir verstehen unter einer {\bf endlichen verzweigten "Uberlagerung der Rie\-mann'schen Zahlenkugel} $\DP^1\DC$ eine stetige Abbildung $p : Z \rightarrow \DP^1\DC$ von einem kompakten Hausdorffraum $Z$ nach $\DP^1\DC$ derart, da"s es f"ur jeden Punkt $z\in Z$ einen {\bf Verzweigungsindex} $n=n(z) \in \mathbb N_{\geq 1}$ und ein kommutatives Diagramm von bepunkteten topologischen R"aumen \begin{displaymath} \xymatrix{ u \ar@{|->}[d]&\in&(\mathbb C,0) \ar[d]\ar@{^{(}->}[r]& (Z, z)\ar[d]^-{p}\\ u^{n} &\in &(\mathbb C,0) \ar@{^{(}->}[r] & (\DP^1\DC,p(z)) } \end{displaymath} gibt mit offenen stetigen injektiven Horizontalen. Unter einem bepunkteten Raum verstehen wir hierbei einen Raum mit einem ausgezeichneten Punkt, und unter einem Morphismus von bepunkteten R"aumen eine stetige Abbildung, die den ausgezeichneten Punkt in den ausgezeichneten Punkt "uberf"uhrt. Eine offene Abbildung von topologischen R"aumen schlie"slich ist eine Abbildung, unter der das Bild jeder offenen Menge wieder offen ist. \end{Definition} % \begin{Definition}\label{VZRi} % Eine stetige Abbildung $p : X \rightarrow \DP^1\DC$ von einem % kompakten % Hausdorffraum $X$ % in die Riemann'sche Zahlenkugel hei"st eine {\bf verzweigte "Uberlagerung} % genau\index{verzweigte "Uberlagerung}\index{"Uberlagerung!verzweigte} % dann, wenn es % f"ur jeden Punkt $x\in X$ % einen % {\bf Verzweigungsindex} $n(x) \in \mathbb N_{\geq 1}$ und ein % kommutatives Diagramm von bepunkteten topologischen R"aumen % \begin{displaymath} % \xymatrix{ % z \ar@{|->}[d]&\in&(\mathbb C,0) \ar[d]\ar@{^{(}->}[r]& (X, x)\ar[d]^-{p}\\ % z^{n(x)} &\in &(\mathbb C,0) \ar@{^{(}->}[r] & (\DP^1\DC,p(x)) % } % \end{displaymath} % gibt mit offenen stetigen und injektiven Horizontalen. % Unter einem bepunkteten Raum ist hierbei ein Raum mit % einem ausgezeichneten Punkt zu verstehen, und unter einem % Morphismus von bepunkteten R"aumen eine stetige Abbildung, % die den ausgezeichneten Punkt in den ausgezeichneten Punkt "uberf"uhrt. % \end{Definition} % \begin{Bemerkunge} % Der Begriff der Verzweigung kommt wohl vom reellen Bild her, % wenn man bei einem Polynom mit $(\DR[T])[X]$ in zwei Ver"anderlichen % untersucht, wie die Nullstellen als Polynom in $X$ abh"angen % vom Wert von $T$. Mehrfache Nullstellen werden sich beim Wackeln an $T$ % oft in mehrere einfache Nullstellen trennen alias verzweigen, und das ist die % Vorstellung, die dem Begriff der Verzweigung zugrundeliegt. % Zum Beispiel hat $X^2-T$ bei $T=0$ eine doppelte reelle Nullstelle, die sich % beim Verwackeln zu $T>0$ in zwei reelle Nullstellen trennt, w"ahrend sie % beim Verwackeln zu $T<0$ im Reellen nicht mehr zu sehen ist und sich % in zwei rein imagin"are Nullstellen trennt. % \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Man erkennt unschwer, da"s gegeben eine endliche verzweigte "Uberlagerung der Riemann'schen Zahlenkugel $p : Z \rightarrow \DP^1\DC$ der Verzweigungsindex an jeder Stelle $z\in Z$ wohldefiniert ist, da"s er nur f"ur h"ochstens endlich viele Punkte aus $Z$ echt gr"o"ser als Eins sein kann, und da"s die Summe der Verzweigungsindizes "uber alle Punkte einer gegebenen Faser der Projektion $p$ nicht von der Wahl der Faser abh"angt. Diese Zahl hei"st dann die {\bf Bl"atterzahl} unserer verzweigten "Uberlagerung. \end{Bemerkungl} % \begin{Definition}\label{VZRi} % Eine stetige Abbildung $p : X \rightarrow \DP^1\DC$ von einem topologischen % Raum $X$ % auf die Riemann'sche Zahlenkugel hei"st eine {\bf verzweigte "Uberlagerung} % genau\index{verzweigte "Uberlagerung}\index{"Uberlagerung!verzweigte} % dann, wenn % f"ur jeden Punkt $y \in \DP^1\DC$ % eine offene Umgebung $U$ existiert derart, da"s % es f"ur alle $x \in p^{-1} (y)$ einen % {\bf Verzweigungsindex} $n(x) \in \mathbb N_{\geq 1}$ und ein % kommutatives Diagramm von bepunkteten topologischen R"aumen % \begin{displaymath} % \xymatrix{ % z \ar@{|->}[d]&\in&(\mathbb C,0) \ar[d]\ar[r]& (p^{-1} (U), x)\ar[d]^-{p}\\ % z^{n(x)} &\in &(\mathbb C,0) \ar[r]^{\sim} & (U,y) % } % \end{displaymath} % gibt, dessen untere Horizontale ein Hom"oomorphismus ist und dessen obere % Horizontale offen ist und einen Hom"oomorphismus von $\mathbb C$ mit der % Zusammenhangskomponente von $x$ in $p^{-1} (U) $ induziert. % Eine verzweigte "Uberlagerung hei"st {\bf endlich} genau dann, % wenn alle ihre Fasern endlich sind, in Formeln $|p^{-1}(y)|<\infty$ f"ur % alle $y\in \DP^1\DC$. % \end{Definition} % \begin{Bemerkungl} % Wir verwenden nun % die Identifikation $\DP^1\DC=\DC\amalg \{\infty\}$ aus % \ref{PrIf}. % Sei $p:X\ra \DP^1\DC$ eine verzweigte "Uberlagerung. % Eine stetige Abbildung $f:X\ra \DP^1\DC$ hei"st eine % {\bf meromorphe Funktion} genau dann, wenn $f^{-1}(\infty)$ diskret % ist und es f"ur jede offene Teilmenge $U\co X$, die unter $p$ % hom"oomorph auf eine offene Teilmenge $p(U)\co\DC\subset \DP^1\DC$ % abgebildet wird, eine meromorphe Funktion % $g:U\ra \DP^1\DC$ im Sinne von \ref{defM} gibt mit $f=g\circ p$. % Die Menge aller meromorphen Funktionen auf $X$ notieren wir % $\mathcal{M}^{\op{an}}(X)$. % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine verzweigte "Uberlagerung $p:Z\ra \DP^1\DC$ betrachten wir im Ring $\op{Topf}(Z)$ der fast "uberall definierten stetigen komplexwertigen Funktionen auf $Z$ die Teilmenge $$\mathcal M(Z)\pdef \{\alpha\in \op{Topf}(Z)\mid \text{Es gibt }P\in \DC(T)[X]\text{ mit } P\neq 0 \text{ aber } P(\alpha)=0\}$$ Beim Auswerten unseres Polynoms $P$ auf der fast "uberall definierten Funktion $\alpha$ legen wir die Einbettungen $$\DC(T)\hra \op{Topf}(\DC) \stackrel{\sim}{\leftarrow} %\sira \op{Topf}(\DP^1\DC)\hra\op{Topf}(Z) $$ zugrunde, wobei der mittlere Isomorphismus durch das Zur"uckholen mit der "ublichen Einbettung $\DC\subset \DP^1\DC$ gegeben wird und die letzte Einbettung durch das Zur"uckholen mit unserer Projektion $p$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} In der Terminologie \ref{gAbk} hie"se $\mathcal M(Z)$ der \glqq ganze Abschlu"s von $\DC(T)$ in $\op{Topf}(Z) $\grqq. Dort wird auch gezeigt, da"s solch ein ganzer Abschlu"s stets ein Teilring ist. % Wir zeigen das im % folgenden nur f"ur unseren Spezialfall sozusagen \glqq zu Fu"s\grqq. \end{Bemerkungw} \begin{Satz}[\textbf{K"orpererweiterungen und Topologie}] \begin{enumerate} \item Gegeben eine zusammenh"angende endliche verzweigte "Uberlagerung $p:Z\ra\DP^1\DC$ der Riemann'schen Zahlenkugel ist die Teilmenge $\mathcal{M}(Z)\subset \op{Topf}(Z)$ ein Teilring und sogar ein K"orper. %\item %Ist $X$ zusammenh"angend, so ist dieser Teilring sogar ein K"orper. % , % und unter der vom Zur"uckholen % von fast "uberall definierten Funktionen % induzierten % Einbettung $\DC(T)\hra \mathcal{M}(X)$ ist % $\mathcal{M}(X)$ eine endliche K"orpererweiterung von % $\DC(T)$ mit der Bl"atterzahl als Grad. \item Ist $q:Y\ra \DP^1\DC$ eine weitere endliche verzweigte "Uberlagerung der Riemann'schen Zahlenkugel und $f:Y\ra Z$ ein \glqq Morphismus von "Uberlagerungen\grqq\ alias eine stetige Abbildung mit $p\circ f=q$, so induziert das Zur"uckholen mit $f$ einen Ringhomomorphismus $\mathcal{M}(Z)\ra \mathcal{M}(Y)$. \item Der Funktor $Z\mapsto \mathcal{M}(Z)$ ist eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Endliche verzweigte}\\ \text{zusammenh"angende}\\ \text{"Uberlagerungen von }\mathbb{P}^1\DC \end{array}\right\} & \overset{\sim}{\rightarrow} & \left\{ \begin{array}{c} \text{Endliche}\\\text{K"opererweiterungen}\\ \text{von } \mathbb C (T) \end{array}\right\}^{\op{opp}} \end{array} \end{displaymath} \end{enumerate}\label{KETo} \end{Satz} %\subsection{Galoiskorrespondenz} \begin{Bemerkungl} Wir zeigen diesen Satz hier nicht. Der Schl"ussel zum Beweis ist die Theorie der sogenannten \glqq Riemann'schen Fl"achen\grqq. Im Rahmen dieser Theorie zeigt man feiner, da"s es f"ur jede endliche verzweigte "Uberlagerung $Z\ra \mathbb{P}^1\DC$ genau eine Struktur als Riemann'sche Fl"ache auf dem topologischen Raum $Z$ gibt derart, da"s unsere "Uberlagerungsabbildung ein Morphismus von Riemann'schen Fl"achen wird. Weiter zeigt man, da"s unser $\mathcal M(Z)$ dann genau der Ring der \glqq meromorphen Funktionen\grqq\ auf $Z$ ist, und da"s dieser Ring im Fall von zusammenh"angendem $Z$ ein K"orper ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Das Adjungieren einer $n$-ten Wurzel $U$ aus $T$ zu $\DC(T)$, also die K"orpererweiterung $\DC(T)\hra \DC(U)$ mit $T\mapsto U^n$, entspricht der verzweigten "Uberlagerung $p:Z=\DP^1\DC\ra \DP^1\DC$ mit $p(z)=z^n$ f"ur $z\in\DC\subset\DP^1\DC$ und $p(\infty)=\infty$. Das ist eine verzweigte $n$-bl"attrige "Uberlagerung, die nur bei $0$ und $\infty$ verzweigt und dort jeweils den Verzweigungsindex $n$ hat. Die Galoisgruppe ist in diesem Fall nach \eref{GZE}{AL} isomorph zur zyklischen Gruppe der $n$-ten komplexen Einheitswurzeln. Genauer erhalten wir einen derartigen Isomorphismus, indem wir jeder $n$-te Einheitswurzel $\zeta$ den Automorphismus $ \DC(U)\sira \DC(U)$, $U\mapsto \zeta U$ zuordnen. Das sollte im Lichte unseres Satzes nun auch anschaulich klar sein. \end{Beispiel} \begin{Bild} \includegraphics[height=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZyk}\\[4mm] \noindent Anschauung f"ur die durch Adjunktion einer dritten Wurzel aus $T$ entstehenden K"orpererweiterung des Funktionenk"orpers $\DC(T)$ nach \ref{BIGA}. Ich finde, man sieht in diesem Fall auch recht anschaulich, da"s die Galoisgruppe zyklisch von der Ordnung drei sein mu"s. \end{Bild} \begin{Bemerkungl} Ganz allgemein hei"st eine stetige Abbildung $p:Z \rightarrow B$ von topologischen R"aumen eine \defind{"Uberlagerung} oder genauer eine \defind{unverzweigte "Uberlagerung} genau dann, wenn jeder Punkt $b \in B$ eine offene Umgebung $U$ besitzt derart, da"s $p^{-1} (U)$ eine disjunkte Zerlegung in offene Teilmengen $p^{-1} (U) = \coprod_{i\in I} U_i$ zul"a"st, die von $p$ jeweils hom"oomorph auf $U$ abgebildet werden, f"ur die also $p :U_i \rightarrow U$ stets eine Bijektion mit stetiger Umkehrabbildung ist. Ist $q : Y\rightarrow B$ eine weitere "Uberlagerung, so versteht man unter einem \glqq Morphismus von "Uberlagerungen\grqq\ oder auch einer {\bf Decktransformation}\index{Decktransformation} eine stetige Abbildung $f: Z \rightarrow Y$ mit $q \circ f = p$. Eine \defind{endliche "Uberlagerung} ist eine "Uberlagerung mit endlichen Fasern. Man kann nun zeigen und es ist hoffentlich auch anschaulich einleuchtend, da"s wir f"ur jede endliche Teilmenge $E \subset \mathbb P^{1} \mathbb C$ durch Einschr"anken von "Uberlagerungen eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left \{ \begin{array}{c} \text{Endliche verzweigte }\\ \text{zusammenh"angende}\\ \text{"Uberlagerungen von } \mathbb P^1 \mathbb C\text{ ohne} \\ \text{Verzweigungspunkte "uber } E \end{array} \right\}& \overset{\sim}{\rightarrow} & \left\{ \begin{array}{c} \text{Endliche unverzweigte}\\ \text{zusammenh"angende}\\ \text{"Uberlagerungen von }\\ \mathbb P^1 \mathbb C \backslash E\\ \end{array}\right\}\\[10mm] \left(p:Z \rightarrow \mathbb P^1 \mathbb C\right) &\mapsto & \left(p : Z \backslash p^{-1}(E) \rightarrow \mathbb P^1 \mathbb C \backslash E\right) \end{array} \end{displaymath} erhalten. Den quasiinversen Funktor nenne ich das {\bf Fortsetzen zu einer verzweigten "Uberlagerung von $\mathbb P^1 \mathbb C$}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{BIGA} Um Bilder von "Uberlagerungen zu zeichnen und so die Galoisgruppe anschaulich zu machen, ist es oft praktisch, f"ur eine gegebene endliche Teilmenge $E\subset\mathbb P^1\DC$ der Riemann'schen Zahlenkugel eine Teilmenge $S\subset \DC\backslash E$ ihres Komplements zu w"ahlen, die salopp gesprochen entsteht, indem wir um jeden unserer Punkte $e\in E$ mit einer Ausnahme---im Fall $\infty\in E$ der Ausnahme $\infty$---einen kleinen Kreis zeichnen, und jeden dieser kleinen Kreise mit einem festen weiteren Punkt so verbinden, da"s diese ganzen Verbindungswege sich untereinander und mit unseren kleinen Kreisen nie kreuzen. Haben wir $S$ in dieser Art gew"ahlt, so erhalten wir durch Restriktion auf $S$ eine weitere "Aquivalenz von Kategorien \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBiQ}\\[4mm] \noindent Eine "Uberlagerung mit drei Verzweigungspunkten, davon je einer im rechten und einer im linken Kreis. Zu sehen ist die Menge $S$ und ihre "Uberlagerung. Die Galoisgruppe ist die Gruppe der Decktransformationen dieser "Uberlagerung in sich selber, in diesem Fall die Klein'sche Vierergruppe $\DZ/2\DZ\times \DZ/2\DZ$. \end{Bild} \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Endliche unverzweigte}\\ \text{zusammenh"angende}\\ \text{"Uberlagerungen von }\\ \mathbb P^1 \mathbb C \backslash E\\ \end{array}\right\} & \overset{\sim}{\rightarrow} & \left\{ \begin{array}{c} \text{Endliche unverzweigte}\\ \text{zusammenh"angende}\\ \text{"Uberlagerungen von }\\ S\\ \end{array}\right\}\\[10mm] \left(p:Z \rightarrow \mathbb P^1 \mathbb C\backslash E\right) &\mapsto & \left(p : p^{-1} (S) \rightarrow S \right) \end{array} \end{displaymath} Formal folgt das aus der \glqq Homotopieinvarianz der Kategorie der "Uberlagerungen\grqq\ \ref{HTZU} oder etwas weniger direkt mit der \glqq Homotopieinvarianz der Fundamentalgruppe\grqq\ \ref{HFA} aus dem \glqq Satz "uber den Faserfunktor\grqq\ \ref{HaS}. Die "Uberlagerungen von derartigen Mengen $S$ lassen sich nun sehr viel besser zeichnen, und ihre Automorphismengruppen, die ja unter unserer "Aquivalenz von Kategorien gewissen Galoisgruppen entsprechen, sind auch zumindest in kleinen F"allen der Anschauung noch gut zug"anglich. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Ich will noch skizzieren, wie man in \ref{KETo} zumindest auf Objekten einen quasiinversen Funktor konstruieren kann. Der Satz vom primitiven Element \eref{PE}{AL} wird uns bald sagen, da"s jede endliche K"orpererweiterung von $\mathbb C (T)$ primitiv ist. Gegeben eine primitive algebraische K"orpererweiterung $\mathbb C (T) (\alpha)$ von $\mathbb C (T)$ betrachten wir nun das Minimalpolynom $P \in \mathbb C (T) [X]$ von $\alpha$. Wir schreiben es $$P = X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \ldots + a_0$$ mit $a_i \in \mathbb C (T)$. Es gibt sicher $E \subset \mathbb C$ endlich derart, da"s alle Koeffizienten $a_i$ unseres Minimalpolynoms auf $\mathbb C \backslash E$ wohldefinierte komplexwertige Funktionen sind. Die Menge $F$ der Punkte $q \in \mathbb C \backslash E$ derart, da"s das zu $q$ spezialisierte Polynom \begin{equation*} P_q \pdef X^n + a_{n-1} (q) X^{n-1} + \ldots + a_0 (q) \in \mathbb C [X] \end{equation*} mehrfache Nullstellen hat, mu"s nun auch endlich sein: In der Tat ist n"amlich $P$ teilerfremd zu seiner Ableitung $P^\prime$ nach $X$ und folglich existiert in $\mathbb C (T) [X]$ eine Darstellung $ 1 = HP + KP^\prime $ mit $H, K \in \mathbb C (T) [X]$. An den Stellen $q \in \mathbb C \backslash E$, an denen die Koeffizienten von $H$ und $K$ wohldefinierte komplexwertige Funktionen sind, k"onnen dann $P_q$ und $P^\prime_q$ keine gemeinsame Nullstelle haben. In dieser Situation kann man zeigen, da"s die Projektion auf die zweite Koordinate von \begin{equation*} Z \pdef \{ (z, q) \in \mathbb C \times (\mathbb C \backslash (E \cup F)) \mid P_q (z) =0\} \end{equation*} auf $ \mathbb C \backslash (E \cup F)$ eine zusammenh"angende unverzweigte endliche "Uberlagerung ist. Deren Fortsetzung zu einer verzweigten "Uberlagerung von $\mathbb P^1 \mathbb C$ entspricht dann unserer K"orpererweiterung $\mathbb C (T) (\alpha)\supset \mathbb C (T)$ unter der "Aquivalenz von Kategorien aus \ref{KETo}. \end{Bemerkungw} \subsection{Zur Weierstra"s'schen $\wp $-Funktion} \begin{Bemerkungl} Gegeben $A,B >0$ betrachten wir in $\Bbb{R}^{2}$ die Ellipse $$E \pdef \{ (x,y) \mid Ax^{2} +By^{2} =1\}$$ Unter einem \defnoind{elliptischen Integral}\index{elliptisches Integral} mag man\label{ellI} ganz allgemein das Integral einer rationalen Funktion $R(x,y)$ "uber ein St"uck einer Ellipse im Sinne von \eref{KI}{AN1} oder gleichbedeutend \eref{IUMac}{AN2} verstehen. Das Integral der konstanten Funktion $R=1$ w"urde zum Beispiel die L"ange unseres Ellipsenst"ucks liefern. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Setzen wir der Einfachkeit halber $A=1$ und parametrisieren den Schnitt unserer Ellipse $E = \{ (x,y) \mid x^{2} +By^{2} =1\}$ mit der oberen Halbebene durch $x \in [-1,1]$, so erhalten wir die Parameterdarstellung $\varphi (x) = \left(x, {B^{-1/2}(1-x^{2})^{1/2}}\right)$ und als Geschwindigkeitsvektor $\dot{\varphi} (x) = (1, B^{-1/2}x ({1-x^{2}})^{-1/2})$. Mit der Abk"urzung $B^{-1} -1 =k$ ergibt sich so f"ur die absolute Geschwindigkeit die Darstellung $$\| \dot{\varphi} (x)\| = \sqrt{1 + \frac{B^{-1}x^{2} }{1-x^{2}}} = \sqrt{\frac{1 + kx^{2}}{1-x^{2}}}$$ F"ur das Integral einer Funktion $R$ l"angs des St"ucks "uber $[\alpha,\beta]\subset [-1,1]$ der Ellipse erhalten wir also $$\int^{\beta}_{\alpha} R(\varphi(x)) \sqrt{\frac{1+kx^{2}}{1-x^{2}}} \diff x=\int^{\beta}_{\alpha} R(\varphi(x)) \frac{1+kx^{2}}{\sqrt{(1+kx^{2})(1-x^{2})}} \diff x$$ Im Fall eines Kreises $k=0$ k"onnen derartige Integrale explizit berechnet werden, wie zum Beispiel in \eref{RSCI}{AN2} ausgef"uhrt wird. Im allgemeinen wei"s ich nicht, wie man so etwas anders als numerisch ausrechnen sollte, aber f"ur spezielle Funktionen $R$ kann man bemerkenswerte Relationen zwischen derartigen Integralen herleiten, deren Entdeckung den Beginn der Theorie der \glqq elliptischen Funktionen\grqq\ markiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} H"angt im vorhergehenden etwa $R$ nur von der ersten Koordinate alias von $x$ ab, so k"onnen wir unser Integral auffassen als ein Integral des Typs \begin{displaymath} \int_{\gamma} \frac{Q(x)}{\sqrt{P(x)}} \diff x \end{displaymath} mit $Q(x)=R(x)(1+kx^2)$ und $P(x)=(1+kx^{2})(1-x^{2})$ einem Polynom vierten Grades, wenn wir nicht im Fall $k=0$ eines Kreises sind. Den Fall eines Kreises schlie"sen wir von nun an aus. Das Polynom $P$ hat dann vier paarweise verschiedene Nullstellen, und wenn wir zus"atzlich $-1<\alpha<\beta<1$ annehmen, liegen sie auch nicht auf dem Integrationsweg $\gamma$, der ja in unserem Fall schlicht das reelle Intervall $[\alpha,\beta]$ ist. Der Ausdruck $\sqrt{P(x)}$ meint eine stetige Wahl einer Wurzel auf dem Bild von $\gamma$, in unserem speziellen Fall die positive Wahl. Sind $ \lambda_i \in \Bbb{C}$ f"ur $0\leq i\leq 3$ die vier Nullstellen von $P$, so finden wir nach \eref{TRPG}{LA2} eine komplexe invertierbare $(2\times 2)$-Matrix derart, da"s unter der davon induzierten Abbildung $f: \Bbb{P}^1 \Bbb{C} \sira \Bbb{P}^1 \Bbb{C}$ gilt $f (\infty) = \lambda_0$ und $f(0)=\infty$, etwa $f(w) = (\lambda_0 w +1)/w$. Unsere Funktion $P$ mit einem vierfachen Pol bei $\infty$ und vier einfachen Nullstellen au"serhalb verwandelt sich durch das Vorschalten von $f$ in eine Funktion mit einem vierfachen Pol bei $w=0$ und vier einfachen Nullstellen, von denen eine bei $\infty$ liegt, und erh"alt genauer die Gestalt $P(f(w)) = c w^{-4} (w-\mu_1)(w -\mu_2)(w -\mu_3)$ f"ur $\mu_i = (\lambda_i - \lambda_0)^{-1}$ f"ur unser spezielles $f$. Wir erhalten durch Substitution alias die Verwandtschaftsvertr"aglichkeit von Wegintegralen \eref{EEWW}{TF} im Fall komplexwertiger Kovektorfelder \begin{displaymath} \int_{\gamma} \frac{Q(x)}{\sqrt{P(x)}} \diff x = \int_{f^{-1}\circ \gamma} \frac{Q(f(w))f^\prime (w)}{\sqrt{P(f(w))}} \diff w \end{displaymath} Auf der rechten Seite ist unser Integrationsweg $f^{-1}\circ \gamma$ zwar kein reelles Intervall mehr, aber der Nenner vereinfacht sich substantiell und wir landen bei einem Integral des Typs \begin{displaymath} \int_{\hat{\gamma}} \frac{q(w)}{\sqrt{p(w)}} \diff w \end{displaymath} Nehmen wir nun an, da"s $R\in\DC(x)$ eine rationale Funktion war ohne Polstellen auf $[\alpha,\beta]$, so ist auch $q\in\DC(w)$ ein rationaler Ausdruck in $w$. Unser $\hat{\gamma}$ ist dann zwar ein komplizierterer Integrationsweg in der komplexen Zahlenebene, aber $p$ ist nur noch ein Polynom dritten Grades ohne mehrfache Nullstellen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir landen so bei dem Problem, f"ur ein Polynom dritten Grades $p\in\DC[w]$ ohne mehrfache Nullstellen und einen Integrationsweg $\tau$ in der komplexen Zahlenebene, der durch keine dieser Nullstellen l"auft, und einen rationalen Ausdruck $q\in\DC(w)$ ohne Pole auf unserem Weg das komplexe Wegintegral \begin{displaymath} \int_{\tau} \frac{q(w)}{\sqrt{p(w)}} \diff w \end{displaymath} zu berechnen mit einer stetigen Wahl der Wurzel ${\sqrt{p(w)}}$ l"angs unseres Weges. Nach einer weiteren Substitution der Gestalt $w(z) = cz + d$ d"urfen wir zus"atzlich annehmen, da"s $p (z)$ die Gestalt $p(z) = 4z^3 + a z + b$ hat. Im folgenden werden wir meromorphe Funktionen $\wp$ auf der komplexen Zahlenebene konstruieren, die eine Gleichung der Gestalt $(\wp^\prime)^2 = 4 \wp^3 + a \wp +b$ erf"ullen. Sobald das geleistet ist, f"uhrt uns die Substitution $z = \wp (u)$ auf die Suche einer Stammfunktion von $q (\wp (u))$. Das ist zwar im allgemeinen immer noch nicht besonders einfach, aber im Fall $q=1$ eben doch, und damit k"onnen wir dann zumindest das Integral "uber den Kehrwert $ (4z^3 + a z + b)^{-1/2}$ der Wurzel unseres kubischen Polynoms schreiben als Umkehrfunktion der besagten Funktion $\wp$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}[\textbf{Weierstra"s'sche $\wp $-Funktion}] Gegeben ein Gitter $\Gamma \subset \Bbb{C}$ alias das Gruppenerzeugnis einer $\Bbb{R}$-Basis von $\Bbb{C}$ definiert man eine holomorphe Funktion $\wp$ auf $\Bbb{C}\backslash \Gamma$ durch die Reihe \begin{displaymath} \wp (z) =\wp _{\Gamma} (z) \pdef \frac{1}{z^2} + \sum_{\omega \in \Gamma \backslash 0} \left(\frac{1}{(z-\omega )^2} - \frac{1}{\omega ^2}\right) \end{displaymath} Da"s diese Reihe auf $\DC\setminus \Gamma$ kompakt konvergiert zeigt man, indem man f"ur jedes Kompaktum $K\subset \DC$ nachweist, da"s fast alle Terme unserer Reihe f"ur $z\in K$ betragsm"a"sig abgesch"atzt werden k"onnen durch $2/|\omega|^3$. Die Summe der $1/|\omega|^3$ konvergiert jedoch nach \eref{KonGi}{AN3}. Setzen wir $\wp$ auf ganz $\DC$ fort, indem wir allen Gitterpunkten als Wert $\infty$ zuordnen, so erhalten wir mit demselben Argument eine meromorphe Funktion auf $\DC$, die\index{p@$\wp $-Funktion von Weierstra"s} {\bf Weierstra"s'sche $\wp $-Funktion\index{Weierstra"s!$\wp $-Funktion} zu unserem Gitter $\Gamma$}. \end{Definition} \begin{Proposition}[\textbf{Eigenschaften der $\wp$-Funktion}] Ist $\Gamma \subset \Bbb{C}$ ein Gitter, so ist die zugeh"orige $\wp$-Funktion gerade, in Formeln $\wp(z)=\wp(-z)$, und $\Gamma$-periodisch, in Formeln $\wp (z+\omega ) = \wp (z) $ f"ur alle $ z\in\DC$ und $\omega \in \Gamma$. \end{Proposition} \begin{proof} Offensichtlich ist $\wp$ gerade. Offensichtlich ist die Ableitung $\wp'$ der $\wp$-Funktion $\Gamma$-periodisch. F"ur jedes $\omega\in\Gamma$ verschwindet also die Ableitung von $z\mapsto \wp (z+\omega ) - \wp (z)$ auf $\DC\setminus\Gamma$ und diese Funktion ist mithin konstant. Bezeichnen wir diese Konstante mit $c(\omega)$, so ist offensichtlich $c:\Gamma\ra\DC$ ein Gruppenhomomorphismus und insbesondere gilt $c(-\omega)=-c(\omega)$. Andererseits ist mit $\wp$ auch unsere Funktion $c$ gerade, in Formeln $c(-\omega)=c(\omega)$. Zusammen ergibt sich $c(\omega)=0$ f"ur alle $\omega\in\Gamma$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Bedeutung der Weierstra"s'schen $\wp$-Funktion}] Seien $\Gamma \subset \Bbb{C}$ ein Gitter und $\wp=\wp _{\Gamma}$ die zugeh"orige Weierstra"s'sche $\wp$-Funktion. \begin{enumerate} \item Zusammen mit ihrer Ableitung liefert die $\wp$-Funktion eine Bijektion \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} \left\{ (\Bbb{C} /\Gamma)\backslash 0 \right\} & \sira & \left\{ (x,y) \in \Bbb{C}^2 \mid y^2 = 4x^3 + a x +b\right\}\\[1mm] z & \mapsto & \;\;(\wp (z), \wp ^\prime (z)) \end{array} \end{displaymath} Hierbei werden unsere $a,b \in \Bbb{C}$ gegeben durch $ a = - 60 \sum_{\omega \in \Gamma \backslash 0} \omega ^{-4}$ % \;\;\text{ und }\;\; und $b = -140 \sum_{\omega \in \Gamma \backslash 0} \omega ^{-6}$; \item Der K"orper $\cal{M}^{\op{an}}(\DC/\Gamma)$ der meromorphen Funktionen auf dem Quotienten wird "uber $\DC$ erzeugt von $\wp$ und $\wp'$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Die im Satz erkl"arte Abbildung induziert auch eine Bijektion zwischen $\Bbb{C}/\Gamma$ und dem Abschlu"s unserer Kubik in $\Bbb{P}^2 \Bbb{C}$, und diese Bijektion ist sogar ein Isomorphismus von Riemann'schen Fl"achen im Sinne von \eref{BspM}{ML}, wobei wir $\Bbb{C}/\Gamma$ mit der finalen Struktur zur Projektion $\DC\sra \Bbb{C}/\Gamma$ versehen und unsere Kubik mit der von $\DP^2\DC$ induzierten Struktur. Das ist klar, sobald wir in lokalen Koordinaten nachgerechnet haben, da"s unsere Kubik auch im unendlich fernen Punkt glatt ist. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] 2. Jede gerade Funktion aus $\mathcal{M}^{\op{an}} (\Bbb{C}/\Gamma)$ mit in $\Gamma$ enthaltener Polstellenmenge l"a"st sich als Polynom in $\wp$ darstellen, denn das Bilden des nichtpositiven Terms der Laurententwicklung um Null liefert nach \ref{??} die horizontale Injektion im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \{ f \in \mathcal{M}^{\op{an}} (\Bbb{C}/\Gamma) \text{ gerade mit } f^{-1}(\infty) \subset \Gamma\} \ar@{^{(}->}[r] & \Bbb{C} [z^{-2}]\\ \Bbb{C}[\wp]\ar[u] \ar[ur] } \end{displaymath} und die Laurententwicklung von $\wp$ zeigt sofort, da"s die diagonale Abbildung bijektiv ist. Es folgt, da"s alle drei Abbildungen Vektorraumisomorphismen sein m"ussen. Jede gerade Funktion $f$ aus $\mathcal{M}^{\op{an}}(\Bbb{C}/\Gamma)$ kann damit als rationale Funktion in $\wp$ dargestellt werden, denn hat $f$ einen Pol bei $a \not\in \Gamma$, so k"onnen wir durch Multiplikation mit $(\wp (z) -\wp (a))^N$ f"ur hinreichend gro"ses $N$ zu einer geraden Funktion ohne Pol bei $a$ "ubergehen. Eine beliebige elliptische Funktion $f \in \mathcal{M}^{\op{an}} (\Bbb{C}/\Gamma)$ schlie"slich k"onnen wir zerlegen in $f = f^+ + f^-$ mit $f^+$ gerade und $f^-$ ungerade und dann schreiben als $f= f^+ + (f^-/\wp^{\prime})\wp^{\prime}$. \\[2mm]\noindent 1. Um zu pr"ufen, da"s unsere Funktion wirklich in der angegebenen Kubik landet, gilt es, die Formel \begin{displaymath} (\wp^\prime)^2 = 4 \wp^3 + a \wp +b \end{displaymath} nachzuweisen. Mithilfe der Laurententwicklungen am Nullpunkt zeigt man jedoch ohne Schwierigkeiten, da"s die Differenz eine elliptische Funktion ohne Pole ist, die bei $z =0$ und folglich "uberall verschwindet. \end{proof} \begin{Bemerkung} Die Weierstra"s'sche $\wp$-Funktion nimmt alle komplexen Zahlen als Werte an und definiert also eine Surjektion $\Bbb{C}/\Gamma \twoheadrightarrow \Bbb{P}^1 \Bbb{C}$. In der Tat ist das Bild offen und kompakt. Da $\wp$ gerade ist und $\wp^\prime$ ungerade, folgt leicht, da"s unsere Abbildung alle Punkte der Kubik als Werte annimmt. \end{Bemerkung} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildEKU} \\ \vspace{4mm} \noindent Wir wollen uns anschaulich klar machen, da"s eine verzweigte doppelte "Uberlagerung der Kugelschale mit vier Verzweigungspunkten ein Torus sein sollte. Dazu denken wir uns zwei der Verzweigungspunkte nahe am Nordpol und w"ahlen zwischen ihnen einen Weg und denken uns die zwei anderen nahe am S"udpol und w"ahlen zwischen ihnen ebenfalls einen Weg. Schneiden wir dann die "Uberlagerung auf l"angs der Urbilder dieser Wege, so zerf"allt sie in zwei R"ohren, deren R"ander in der durch die Buchstaben angedeuteten Weise zu verkleben sind, wenn man die urspr"ungliche Fl"ache wiederherstellen will. Offensichtlich entsteht jedoch bei diesem Verkleben ein Torus. \end{figure} \begin{Bemerkung}\label{KlEC} Gegeben ein reeller Vektorraum $V$ bezeichne $\op{Gitt}(V)$ die Menge aller $\Bbb{Z}$-Gitter in $V$, als da hei"st die Menge aller Untergruppen der additiven Gruppe $V$, die von einer $\Bbb{R}$-Basis erzeugt werden. Auf $\op{Gitt}(\DC)$ operiert $\DC^\times$ in offensichtlicher Weise und die Vorschrift $\Gamma \mapsto \Bbb{C} / \Gamma$ liefert dann eine Bijektion des Bahnenraums mit der Menge aller Isomorphieklassen von komplexen elliptischen Kurven \begin{displaymath} \Bbb{C}^{\times}\backslash \op{Gitt}(\DC) \overset{\sim}{\rightarrow} \left\{ \begin{array}{c} \text{Riemann'sche Fl"achen von der}\\ \text{topologischen Gestalt eines Schwimmrings,}\\ \text{bis auf Isomorphismus} \end{array}\right\} \end{displaymath} Der Beweis soll hier nur angedeutet werden: Man konstruiert die inverse Abbildung, indem man zu jeder elliptischen Kurve $E$ die durch Integration holomorpher $1$-Formen l"angs $1$-Zykeln gegebene Paarung $$H_1(E;\DZ)\times \Omega^1_{\op{hol}}(E)\ra\DC$$ betrachtet. Die zugeh"orige Abbildung $H_1(E;\DZ)\ra \op{Hom}_\DC(\Omega^1_{\op{hol}}(E),\DC)$ identifiziert $H_1(E;\DZ)$ mit einem Gitter im komplex eindimensionalen Vektorraum $\op{Hom}_\DC(\Omega^1_{\op{hol}}(E),\DC)$, und die Wahl einer Basis dieses Vektorraums liefert uns dann ein bis auf eine multiplikative Konstante wohlbestimmtes Gitter in $\DC$. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Die Wahl einer Wurzel $\op{i}$ aus $-1$ liefert eine Basis $1,\op{i}$ von $\Bbb{C}$ "uber $\Bbb{R}$ und damit einen Isomorphismus $\op{GL}(2;\Bbb{R}) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Mod}^{\times}_{\Bbb{R}} \Bbb{C}$. Unter diesem Isomorphismus entspricht die Standgruppe des Gitters der Gauss'schen Zahlen offensichtlich gerade $\op{GL} (2;\Bbb{Z})$. Da $\op{Mod}^{\times}_{\Bbb{R}} \Bbb{C}$ transitiv auf $\op{Gitt}(\DC)$ operiert, erhalten wir so Bijektionen \begin{displaymath} \op{GL}(2;\Bbb{R})/\op{GL}(2;\Bbb{Z}) \; \overset{\sim}{\rightarrow}\; \op{Mod}^{\times}_{\Bbb{R}} \Bbb{C} /(\text{Standgruppe}) \;\overset{\sim}{\rightarrow}\; \op{Gitt}(\DC) \end{displaymath} Den Bahnenraum $\Bbb{C}^{\times} \backslash \op{Gitt}(\DC)$ k"onnen wir mithin identifizieren mit dem Doppelquotienten $\Bbb{C}^{\times}\backslash \op{GL}(2;\Bbb{R})/\op{GL}(2;\Bbb{Z})$, wo $\Bbb{C}^{\times}\subset \op{GL}(2;\Bbb{R})$ als die Untergruppe aller Drehstreckungen einzubetten ist. Diesen Doppelquotienten hinwiederum k"onnen wir in offensichtlicher Weise identifizieren mit dem Doppelquotienten $\op{SO}(2)\backslash \op{SL}(2;\Bbb{R})/\op{SL}(2;\Bbb{Z})$. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Allgemeiner bezeichnen wir f"ur einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ und $N\geq 1$ mit $\op{Gitt}_N(V)$ die Menge aller Paare von Gittern $\Gamma\subset\Gamma_1\subset V$ mit $\Gamma_1/\Gamma$ zyklisch von der Ordnung $N$. Wieder erhalten wir eine Bijektion \begin{displaymath} \Bbb{C}^{\times}\backslash \op{Gitt}_N(\DC) \overset{\sim}{\rightarrow} \left\{ \begin{array}{c} \text{Elliptische Kurven mit}\\ \text{zyklischer Untergruppe der Ordnung $N$,}\\ \text{bis auf Isomorphismus} \end{array}\right\} \end{displaymath} durch die Vorschrift $(\Gamma\subset \Gamma_1)\mapsto (\DC/\Gamma\supset \Gamma_1/\Gamma)$. Mit dem Elementarteilersatz folgt, da"s $\op{Mod}^{\times}_{\Bbb{R}} \Bbb{C}$ wieder transitiv auf $\op{Gitt}_N(\DC)$ operiert, und die Standgruppe von $\DZ[\op{i}]\subset\DZ+\DZ N^{-1}\op{i}$ enspricht unter unseren Identifikationen der Gruppe $\Gamma_0(N)$ aller Matrizen aus $\op{GL}(2;\Bbb{Z})$ mit durch $N$ teilbarem Eintrag unten links. Wir erhalten so Bijektionen \begin{displaymath} \op{GL}(2;\Bbb{R})/ \Gamma_0(N)\; \overset{\sim}{\rightarrow}\; \op{Mod}^{\times}_{\Bbb{R}} \Bbb{C} /(\text{Standgruppe}) \;\overset{\sim}{\rightarrow}\; \op{Gitt}_N(\DC) \end{displaymath} und damit dann eine Identifikation zwischen unserer Menge von Isomorphieklassen elliptischer Kurven mit Zusatzstruktur und dem Doppelquotienten $$\Bbb{C}^{\times}\backslash \op{GL}(2;\Bbb{R})/\Gamma_0(N)$$ \end{Bemerkung} \begin{Proposition} Seien $X$ und $Y$ Riemann'sche Fl"achen. Ist $Y$ kompakt und $E \subset X$ ohne H"aufungspunkte, so l"a"st sich jeder Morphismus mit endlichen Fasern $X \backslash E \rightarrow Y$ zu einem Morphismus $X \rightarrow Y$ fortsetzen. %Ich kenne keinen vollst"andig elementaren Beweis dieses Satzes. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Ein Gegenbeispiel im Fall eines Morphismus mit unendlichen Fasern liefert etwa die Quotientenabbildung $\DC^\times \ra \DC^\times/\langle q\rangle$ f"ur $|q|\neq 1$, wobei $\langle q\rangle\subset \DC^\times$ die von $q$ erzeugte multiplikative Untergruppe meint. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $X = D = \{z\in \mathbb C \mid |z| < 1\}$ und $E = \{0\}$ annehmen. Zun"achst behandeln wir nun den Fall $Y = \mathbb P^1 \mathbb C$. Es gilt zu zeigen, da"s f"ur $D^\times = D\backslash \{0\}$ jeder Morphismus $D^\times \rightarrow \mathbb P^1 \mathbb C$ mit endlichen Fasern auf ganz $D$ fortgesetzt werden kann. Das hinwiederum folgt daraus, da"s nach der Folgerung \eref{uef}{FT1} aus dem Satz von Casaroti-Weierstra"s \eref{CaWe}{FT1} jede holomorphe Funktion mit einer wesentlichen Singularit"at auch unendliche Fasern haben mu"s. Im allgemeinen Fall finden wir zun"achst nach \ref{??} einen Morphismus mit endlichen Fasern $\varphi : Y \rightarrow \mathbb P^1 \mathbb C$. Die Verkn"upfung $D^\times \rightarrow Y \rightarrow \mathbb P^1 \mathbb C$ hat dann auch endliche Fasern, und aus dem bereits behandelten Fall erhalten wir ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ D^\times \ar[d]\ar[r] &Y \ar[r]^{\varphi} &\mathbb P^1 \mathbb C \ar@{=}[d]\\ D \ar[rr]^{\psi}& &\mathbb P^1 \mathbb C } \end{displaymath} Nun ist aber $\varphi^{-1} (\psi (0))\subset Y$ endlich und wir finden nach dem Satz "uber lokale Struktur holomorpher Funktionen \eref{lshf}{FT1} eine Umgebung $U$ von $\psi (0)$ derart, da"s in jeder Zusammenhangskomponente von $\varphi^{-1} (U)$ genau ein Punkt von $\varphi^{-1} (\psi (0))$ liegt. Verkleinern wir unsere Kreisscheibe $D$ notfalls ein wenig, so d"urfen wir annehmen, da"s $D^\times$ ganz in einer Komponente von $\varphi^{-1} (U)$ landet. Wieder mit dem Satz "uber die lokale Struktur \eref{lshf}{FT1} sehen wir dann, da"s wir $D^\times \rightarrow Y$ stetig zu $D \rightarrow Y$ fortsetzen k"onnen, und der Riemann'sche Hebbarkeitssatz liefert schlie"slich, da"s diese stetige Fortsetzung holomorph sein mu"s. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{KoPn}%\label{KoP} F"ur eine zusammenh"angende Riemann'sche Fl"ache $Y$ im Sinne von \eref{BspM}{ML} bezeichne $\cal{M}(Y)\subset \cal{M}^{\op{an}}(Y)$ den K"orper derjenigen meromorphen Funktionen auf $Y$, die entweder konstant sind oder jeden Wert h"ochstens endlich oft annehmen. Ist $X$ eine zusammenh"angende kompakte Riemannsche Fl"ache und $E\subset X$ eine endliche Teilmenge, so liefert die Restriktion nach \eref{uef}{FT1} einen K"orperisomorphismus $$\cal{M}(X)\sira \cal{M}(X\backslash E)$$ Insbesondere k"onnen wir jede kompakte Riemannsche Fl"ache $X$ aus der durch das Weglassen endlich vieler Punkte entstehenden Riemannschen Fl"ache $X\backslash E$ zur"uckgewinnen als die Menge aller Bewertungen des K"orpers $\cal{M}(X\backslash E)$. In dieser Situation hei"st $X$ die {\bf Kompaktifizierung}\index{Kompaktifizierung} der Riemann'schen Fl"ache $Y=X\backslash E$. Analoges gilt allgemeiner und mit fast demselben Beweis, wenn $E\subset X$ eine abz"ahlbare abgeschlossene Teilmenge ist. So liefert etwa die kanonische Einbettung des Funktionenk"orpers einen Isomorphismus $\DC(z)\sira \cal{M}(\DC\backslash \DZ)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{MoFu} Die Operation von $\op{SL}(2; \Bbb{Z})$ auf der oberen Halbebene $H^+$ ist eigentlich, nach \ref{??} macht folglich die finale Struktur den Bahnenraum $H^+/ \op{SL}(2; \Bbb{Z})$ zu einer Riemann'schen Fl"ache. Die Abbildung $H^+ \rightarrow \Bbb{C}, z \mapsto \op{e}^{2\pi \op{i} z}$ definiert einen Isomorphismus des Bildes von $\{ z \in H^+ \mid \op{Im}z > 1\}$ in $H^+/ \op{SL}(2; \Bbb{Z})$ mit der punktierten offenen Kreisscheibe vom Radius $\op{e}^{-2\pi}$, den wir verwenden, um diese Kreisscheibe an $H^+/\op{SL} (2; \Bbb{Z})$ anzukleben. So entsteht eine kompakte Riemann'sche Fl"ache $$\widehat{H} \pdef H^+/\op{SL} (2;\Bbb{Z}) \;\;\amalg \{ \infty\}$$ von der man zeigen kann, da"s sie isomorph ist zu $\Bbb{P}^1 \Bbb{C}$. Im R"uckblick k"onnen wir sie auch als die Kompaktifizierung von $H^+/\op{SL} (2; \Bbb{Z})$ im Sinne von \ref{KoPn} beschreiben. Die meromorphen Funktionen auf $H^+$, die von meromorphen Funktionen auf $\widehat{H}$ herkommen, hei"sen \defind{Modulfunktionen}. Explizit sind das genau die meromorphen $\op{SL}(2;\Bbb{Z})$-invarianten Funktionen auf der oberen Halbebene $H^+$, deren Entwicklung nach $q = \op{e}^{2\pi \op{i} z}$ bei $q =0$ keine wesentliche Singularit"at hat. Allgemeiner betrachtet man meromorphe Schnitte in der $k$-ten Tensorpotenz des Kotangentialb"undels von $\widehat{H}$. Das Zur"uckholen unter $\pi:H^+\ra \widehat{H}$ gefolgt vom Teilen durch $(\diff z)^{\otimes k}$ identifiziert sie mit meromorphen Funktionen $f: H^+ \rightarrow \Bbb{C}$, die der Transformationsformel \begin{displaymath} f \left(\frac{az+b}{cz + d}\right) = (cz +d)^{-2k} f(z) \end{displaymath} gen"ugen und in deren $q$-Entwicklung nur endlich viele negative Potenzen von $q$ mit von Null verschiedenem Koeffizienten vorkommen. Derartige Funktionen hei"sen \defnoind{Modulfunktionen vom Gewicht $2k$}. Haben wir $\pi^\ast (\omega) = f(z) (\diff z)^{\otimes k}$, so gilt mit $e_p$ der Kardinalit"at des Stabilisators von $p \in H^+$ unter $\op{PSL}(2;\Bbb{Z})\pdef\op{PSL}(2;\Bbb{Z})/\pm \op{id}$ die Formel $$v_p (f) = e_p v_{\bar{p}}(\omega) + k (e_p -1)$$ wegen $\op{d}(u^e) = eu^{e-1}\diff u$. Weiter gilt $v_{\infty}(f) = v_{\bar{\infty}} (\omega) + k$ wegen der offensichtlichen Identit"at $\diff z = (2\pi \op{i})^{-1}q^{-1}\diff q$. Schlie"slich gilt \begin{displaymath} -2k = \sum_{q\in \widehat{H}} v_q (\omega) \end{displaymath} f"ur jeden meromorphen Schnitt der $k$-ten Potenz des Kotangentialb"undels von $\widehat{H} \cong \Bbb{P}^1 \Bbb{C}$, woraus wir folgern \begin{displaymath} -2k = v_\infty (f) - k + \frac{v_{\op{i}} (f) -k}{2} + \frac{v_\rho (f) - 2k}{3} + \sum_{p\neq \rho,\op{i},\infty} v_p (f) \end{displaymath} Eine kurze Rechnung f"uhrt von dort sofort zur Formel $$\frac{k}{6} = v_\infty (f) + v_{\op{i}} (f)/2 + v_\rho (f)/3 + \sum_{p\neq \rho,\op{i},\infty} v_p (f)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine \defind{Modulform} {\bf vom Gewicht $2k$} ist eine Modulfunktion vom Gewicht $2k$ ohne Pole auf $H^+$ und ohne negative Terme in der $q$-Entwicklung. Eine \defind{Spitzenform} {\bf vom Gewicht $2k$} ist eine Modulform vom Gewicht $2k$, bei der in der $q$-Entwicklung auch noch der konstante Term verschwindet. \end{Definition} \begin{Bemerkung} "Ubersetzt man die Bedingungen an Modulformen beziehungsweise Spitzenformen in Bedingungen an Schnitte in Potenzen des Kotangentialb"undels, so wirken sie h"ochst unnat"urlich. Diese Bedingungen scheinen mir erst bei der Interpretation im Rahmen der Darstellungstheorie ihre wahre Bedeutung zu zeigen. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Differentialformen auf $\mathbb P^1\DC$ sind Schnitte im B"undel $\cal{O}(2)$, das wir in \ref{??} eingef"uhrt haben. Unsere Modulfunktionen entsprechen also Schnitten in $\cal{O}(2k)$. Ebenso kann entsprechen Schnitte in $\cal{O}(k)$ gewissen meromorphen Funktionen auf der oberen Halbebene mit merkw"urdigem Transformationsverhalten. Sollten das die \glqq Modulformen zu halbzahligem Gewicht\grqq\ aus Freitag-Busam sein? Das w"urde allerdings nicht gut passen, denn ihr Index w"are eher $k$ als $k/2$. Gucke mal im zweiten Band nach! \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Gegeben eine nat"urliche Zahl $g$ hei"st die Menge \begin{displaymath} \cal{M}_g= \left\{ \begin{array}{c} \text{Riemann'sche Fl"achen}\\ \text{von der topologischen Gestalt}\\ \text{einer Sph"are mit $g$ Henkeln,}\\ \text{bis auf Isomorphismus} \end{array}\right\} \end{displaymath} der {\bf Modulraum der Riemann'schen Fl"achen vom Geschlecht $g$}.\index{Modulraum!von Riemann'schen Fl"achen} Dieser Modulraum kann auch beschrieben werden, indem man eine glatte orientierte zusammenh"angende kompakte Fl"ache $X$ vom Geschlecht $g$ fest w"ahlt, darauf die Menge $\cal{S}_g$ aller mit der Orientierung und $\cal{C}^\infty$-Struktur vertr"aglichen Strukturen als Riemann'sche Fl"ache betrachtet mit der offensichtlichen Operation der Gruppe $G$ aller orientierungserhaltenden Diffeomorphismen $X\sira X$, und dann zum Bahnenraum $\cal{S}_g/G$ "ubergeht: In der Tat induziert dann die offensichtliche Surjektion $\cal{S}_g\sra \cal{M}_g$ eine Bijektion $\cal{S}_g/G\sira \cal{M}_g$. Diese Beschreibung ist auch technisch besser, da sie die mengentheoretischen Schwierigkeiten vermeidet, die die Betrachtung \glqq aller\grqq\ Riemann'schen Fl"achen einer gewissen Art mit sich bringt. Betrachtet man in $G$ die Untergruppe $G_1\subset G$ aller zur Identit"at auf $X$ homotopen Diffeomorphismen, so hei"st der Quotient $$\cal{T}_g=\cal{S}_g/G_1 $$ der {\bf Teichm"ullerraum der Riemann'schen Fl"achen vom Geschlecht $g$}.\index{Teichm"ullerraum} Man kann den Teichm"ullerraum in nat"urlicher Weise mit einer holomorphen Struktur versehen, er wird dann f"ur $g\geq 2$ isomorph zu einer offenen Teilmenge des $\DC^{3g-3}$, die hom"oomorph ist zu einem offenen Ball, und der Modulraum selbst kann dann beschrieben werden als der Quotient $\cal{M}_g=\cal{T}_g/\Gamma$ dieses offenen Balls nach der Operation der Gruppe $\Gamma=G/G_1$, bei der im "ubrigen alle Standgruppen endlich sind. \end{Bemerkung} \subsection{Klassifikation holomorpher Ringgebiete} \begin{Satz}[\textbf{Klassifikation holomorpher Ringgebiete}] Eine Riemann'sche Fl"ache, die als topologischer Raum hom"oomorph ist zu $\Bbb{C}^\times$, ist biholomorph zu genau einer der folgenden Riemann'schen Fl"achen: Zur punktierten Ebene $ \Bbb{C}^\times, $ zur punktierten Einheitskreisscheibe $ \{ z \in \Bbb{C}^\times \mid |z| < 1\} $, oder zu einem Kreisring $ \{ z \in \Bbb{C} \mid 1 < |z| < R\} $ f"ur wohlbestimmtes $R \in (1, \infty)$. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Nach dem gro"sen Riemann'schen Abbildungssatz, den wir in \eref{GrRA}{FT1} ohne Beweis erw"ahnen, ist die universelle "Uberlagerung von $X$ biholomorph zu $\Bbb{C}$ oder zur offenen Einheitskreisscheibe $D$. Nach \eref{AUCC}{FT1} haben alle biholomorphen Abbildungen $\Bbb{C} \sira \Bbb{C}$ die Gestalt $z \mapsto az +b$ f"ur $a \neq 0$. Die topologisch freien Operationen von $\Bbb{Z}$ auf $\Bbb{C}$ sind also gegeben durch $n \ast z = z + nb \text{ f"ur } b \neq 0$ und die Abbildung $z \mapsto \op{exp} (2 \pi {\op{i}} z/b)$ induziert eine biholomorphe Identifikation $\Bbb{C}/ \Bbb{Z} b \overset{\sim}{\rightarrow} \Bbb{C}^\times$. Nach \eref{AutoH}{FT1} haben weiter alle biholomorphen Bijektionen $D \overset{\sim}{\rightarrow} D$ die Gestalt $z \mapsto \frac{a z +b}{cz +d}$ f"ur ${(^{a}_{c}}\; {^b_d)} \in \op{SU} (1,1)$ und alle biholomorphen Bijektionen $H^+ \rightarrow H^+$ die Gestalt $z \mapsto \frac{az + b}{cz +d}$ f"ur ${(^{a}_{c}}\; {^b_d)} \in \op{SL} (2;\DR)$. Die fixpunktfrei operierenden Elemente sind genau diejenigen, die in keinem kompakten maximalen Torus liegen, die also zwei reelle Eigenwerte $\neq \pm 1$ haben oder zweimal denselben Eigenwert haben aber nicht diagonalisierbar sind. Ihre Konjugationsklasse wird durch die Spur bereits eindeutig festgelegt, vergleiche \eref{EPH}{AAG}. Im Fall der Spur $\pm 2$, dem sogenannten \glqq parabolischen\grqq\ Fall, erhalten wir die Operation von $\Bbb{Z}$ durch $n \ast z = z +n$ auf der oberen Halbebene und $z \mapsto \op{exp} (2\pi {\op{i}} z) $ liefert eine biholomorphe Identifikation $H^+/\Bbb{Z} \overset{\sim}{\rightarrow} D \backslash 0$. Im verbleibenden Fall einer Spur $>2$ oder $<-2$ erhalten wir eine Operation auf $H^+$ der Gestalt $n \ast z = a^n z$ f"ur $a >0$. Der Hauptzweig des Logarithmus identifiziert dann $H^+$ mit dem Streifen $\Bbb{R} \times (0, \pi) {\op{i}}$ und die Operation mit einer Operation durch Translation um $\op{log} (a)$. Elementare Argumente bringen uns von da zum dritten betrachteten Fall. \end{proof} \subsection{Elliptische Funktionen} \begin{Definition} Das Gruppenerzeugnis einer ${\mathbb R}$-Basis in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum nennt man auch ein {\bf $\DZ$-Gitter}\index{Gitter!$\DZ$-Gitter in $\DR$-Vektorraum} oder kurz {\bf Gitter} in besagtem Vektorraum. \end{Definition} \begin{Definition} Sei $\Gamma \subset {\mathbb C}$ ein Gitter in der komplexen Zahlenebene. Eine Funktion $f$ auf ${\mathbb C}$ hei"st {\bf $\Gamma$-periodisch},\index{periodisch!Funktion auf $\DC$} wenn gilt $f(z+w) = f(z)\, \forall w \in \Gamma$. Eine meromorphe Funktion $f: {\mathbb C} \to \mathbb P^1{\mathbb C}$, die $\Gamma$-periodisch ist f"ur mindestens ein Gitter $\Gamma \subset {\mathbb C}$, hei"st eine {\bf elliptische Funktion}.\index{elliptisch!Funktion} \end{Definition} \begin{Bemerkungw} Was derartige Funktionen mit Ellipsen zu tun haben, wird erst sp"ater klar werden: Ihre Umkehrfunktionen lassen sich in einigen F"allen als Kurvenintegrale rationaler Funktionen in zwei Ver"anderlichen "uber St"ucke von Ellipsen deuten. \end{Bemerkungw} \begin{Satz}[\textbf{Eigenschaften elliptischer Funktionen}] Sei $\Gamma \subset {\mathbb C}$ ein Gitter. \begin{enumerate} \item Jede holomorphe $\Gamma$-periodische Funktion $ {\mathbb C} \to {\mathbb C}$ ist konstant; \item Eine nichtkonstante meromorphe $\Gamma$-periodische Funktion mu"s jeden Wert, mit Vielfachkeiten gerechnet, gleich oft annehmen, und sie mu"s jeden Wert mindestens zweimal oder einmal zweifach annehmen; \item Die Summe der Residuen einer $\Gamma$-periodischen meromorphen Funktion $f$ "uber alle $\Gamma$-Bahnen von Polstellen ist Null, in Formeln $$\sum_{p\in \DC/\Gamma}\op{Res}_pf=0$$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauliche Interpretation}] Eine nichtkonstante elliptische Funktion ist dasselbe wie ein nichtkonstanter Morphismus von Riemann'schen Fl"achen ${\mathbb C}/\Gamma \to {\mathbb P}^{1}{\mathbb C}$, anschaulich gesprochen also eine \glqq verzweigte "Uberlagerung\grqq. Da der Schwimmring ${\mathbb C}/\Gamma$ nicht hom"oomorph ist zur Kugelschale ${\mathbb P}^{1}{\mathbb C}$, kann solch eine verzweigte "Uberlagerung nicht bijektiv sein, als da hei"st, jeder Wert wird mit Vielfachkeiten gerechnet mindestens zweimal angenommen. Das ist die anschauliche Bedeutung des zweiten Teils unseres Satzes. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Verallgemeinerungen des obigen Satzes}] Jeder nichtkonstante Morphismus von kompakten Riemann'schen Fl"achen ist eine \glqq verzweigte "Uberlagerung\grqq\ und insbesondere surjektiv. Weiter kann er nur bijektiv sein, wenn unsere Riemann'schen Fl"achen hom"oomorph sind. Die Aussage der ersten beiden Teile des Satzes ist die Spezialisierung dieser Erkenntnisse auf den Fall der kompakten Riemann'schen Fl"achen ${\mathbb C}/\Gamma$ und ${\mathbb P}^{1}{\mathbb C}$. F"ur jede meromorphe Einsform auf einer kompakten Riemann'schen Fl"ache ist weiter die Summe der Residuen Null, da anschaulich gesprochen \glqq kleine Kreiswege um jeden der Pole in ihrer Gesamtheit einen nullhomologen Eins-Zykel bilden\grqq\, und das Wegintegral einer holomorphen Einsform "uber einen nullhomologen Einszykel ist stets Null. Der letzte Teil des Satzes ist ein Spezialfall dieser allgemeinen Erkenntnis. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] 1. Jede holomorphe $\Gamma$-periodische Funktion ${\mathbb C} \to {\mathbb C}$ ist beschr"ankt und damit konstant nach \eref{Liou}{FT1}.\\[2mm]\noindent 3. Gegeben Erzeuger $w_{1},w_{2}$ unseres Gitters finden wir sicher $p \in {\mathbb C}$ derart, da"s der Rand des Parallelogramms $p + [0,1] w_{1} + [0,1] w_{2}$ keine Pole unserer Funktion trifft. Integrieren wir unsere Funktion $f$ oder pr"aziser die Einsform $f(z)\diff z$ "uber den Rand dieses Parallelogramms, so erhalten wir Null, da sich wegen der Periodizit"at die Integrale "uber gegen"uberliegende Kanten jeweils aufheben. Der Residuensatz \eref{ReSa}{FT1} zeigt dann die Behauptung. \\[2mm]\noindent 2. Wenden wir die eben gewonnene Erkenntnis auf die Funktion $f'/f$ an, deren Residuum bei $p$ ja gerade die dortige Null- beziehungsweise Polstellenordnung bei $p$ ist, in Formeln $ \mbox{ Res }_p(f'/f) = v_{p}(f)$ wie beim Beweis von \eref{ZNP}{FT1}, so folgt $$\sum_{p \in {\mathbb C}/\Gamma} v_{p}(f) = 0$$ Mit Vielfachkeiten gerechnet hat $f$ also ebensoviele Nullstellen wie Polstellen. Wenden wir diese Erkenntnis auf die Funktionen $f-c$ an mit $c \in {\mathbb C}$, so folgt der Beginn von Teil 2 des Satzes. Da"s eine elliptische Funktion schlie"slich nicht nur einen einfachen Pol in ${\mathbb C}/\Gamma$ haben kann, folgt auch sofort aus Teil 3. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Abel}] Sei $\Gamma \subset {\mathbb C}$ ein Gitter. Genau dann gibt es eine $\Gamma$-periodische meromorphe Funktion mit vorgegebenen Nullstellen $a_{1},\dots,a_{n} \in {\mathbb C}/\Gamma$ und vorgegebenen Polstellen $b_{1},\dots,b_{n} \in {\mathbb C}/\Gamma$, jeweils mit Vielfachheiten aufgez"ahlt, wenn in ${\mathbb C}/\Gamma$ gilt \[ a_{1} + \dots + a_{n} = b_{1} + \dots + b_{n} \] \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Im Fall $n = 1$ folgt also $a_{1} = b_{1}$, und da nicht sein kann, gibt es keine elliptische Funktion mit einer einzigen und einfachen Nullstelle. Wir sehen so ein weiteres Mal, da"s eine elliptische Funktion jeden Wert mindestens doppelt annehmen mu"s. Der vorhergehende Satz ist kein Spezialfall allgemeiner Aussagen f"ur beliebige kompakte Riemann'sche Fl"achen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Die Notwendigkeit der Bedingung ist nicht schwer zu zeigen. Ist $f$ unsere elliptische Funktion, so k"onnen wir die Behauptung mit dem Residuensatz umschreiben zur Behauptung \[ \frac{1}{2\pi {\op{i}}} \int \limits_{\gamma} \frac{zf'(z)}{f(z)} \, \diff z \qquad\in \Gamma \] Hierbei bezeichnet $\gamma$ den Randweg eines Parallelogramms $p + [0,1] w_{1} + [0,1] w_{2}$ mit $(w_{1},w_{2}) = \Gamma$ und $p \in {\mathbb C}$ so gew"ahlt, da"s auf besagtem Randweg weder Pole noch Nullstellen von $f$ liegen. Die Integrale "uber das Paar gegen"uberliegender Kanten $[p, p+w_1]$ und $[p+w_2, p+w_1+w_2]$ unterscheiden sich hier um $$ \frac{1}{2\pi {\op{i}}} \int \limits_{p}^{p+w_{1}} \frac{(z+w_{2})f'(z)}{f(z)} - \frac{zf'(z)}{f(z)}\diff z = \frac{w_{2}}{2\pi {\op{i}}} \int \limits_{p}^{p+w_{1}} \frac{f'(z)}{f(z)} \diff z = \frac{w_{2}}{2\pi {\op{i}}} \int \limits_{p}^{p+w_{1}} \op{dlog} f $$ L"angs einer Kante k"onnen wir sicher einen Zweig von $\log f(z)$ w"ahlen und dessen Werte bei $p$ und $p+w_{1}$ m"ussen sich um ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi {\op{i}}$ unterscheiden. Ebenso argumentiert man f"ur das andere Paar gegen"uberliegender Kanten, und das zeigt dann die Notwendigkeit der Bedingung. Da"s unsere Bedingung auch hinreichend ist, mu"s noch gezeigt werden. \end{proof} \subsection{H"ohere Differentiale, woanders} \begin{Definition}\label{AltW} Seien $V$ und $W$ Vektorr"aume "uber einem K"orper $k$. Eine \defnoind{$W$-wertige $p$-Form}\index{p-Form@$p$-Form!vektorwertige}\index{vektorwertig!$p$-Form} auf $V$ ist eine alternierende $k$-multilineare Abbildung $V\times \ldots \times V \ra W$. Das Produkt von Null Kopien von $V$ verstehen wir als den Grundk"orper $k$ selber, so da"s eine $W$-wertige $0$-Form nichts anderes ist als ein Vektor aus $W$. Wir notieren den Vektorraum aller $W$-wertigen $p$-Formen auf $V$ mit $$\op{Alt}^{p}(V,W)$$ \end{Definition} \begin{Definition} Seien $V,W$ endlichdimensionale reelle Vektorr"aume und $A \subset V$ halboffen. Eine \defnoind{$W$-wertige $p$-Form auf $A$}\index{Differentialform!vektorwertige}\index{vektorwertig!Differentialform} ist eine Abbildung $$\omega : A \ra \op{Alt}^{p} (V,W)$$ \end{Definition} \begin{Bemerkung}\label{dz} Auf dem Raum der $W$-wertigen Differentialformen, ja selbst auf dem Raum der $W$-wertigen Funktionen kann man im Allgemeinen nicht mehr in nat"urlicher Weise ein Produkt erkl"aren. Jedoch k"onnen wir unser $\DR$-bilineares Dachprodukt auf den reellwertigen Differentialformen ohne Schwierigkeiten und auf genau eine Weise zu einem $\DC$-bilinearen Dachprodukt auf den komplexwertigen Differentialformen fortsetzen. Zum Beispiel kann f"ur jede komplexwertige Funktion alias Nullform $f:\DC\ra\DC$ der Ausdruck $f(z)\diff z$ als das Dachprodukt der Nullform $f$ mit der Einsform $\diff z$ verstanden werden. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Genau wie im Fall reellwertiger $p$-Formen definiert man auch f"ur jede differenzierbare $W$-wertige $p$-Form $\omega$ ihr Differential $d\omega$, eine $W$-wertige $(p+1)$-Form. Die Rechenregeln gelten unver"andert, und f"ur komplexwertige Formen gilt sogar die Leibnizregel. Insbesondere finden wir f"ur jede holomorphe Funktion $f$ mit den Wirtinger-Ableitungen aus \eref{DWiAb}{FT1} die Gleichheiten \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} d (f (z)\diff z)& = & \diff f \wedge \diff z\\ & =& (\partial f) \diff z \wedge \diff z + (\bar{\partial} f) \diff \bar{z} \wedge \diff z\\ & =& (\bar{\partial} f) \diff\bar{z} \wedge \diff z\\ &=& 0 \end{array} \end{displaymath} in der wir erst im letzten Schritt die Holomorphie von $f$ benutzen. Nun haben wir aber in \ref{ALLl} gezeigt, da"s f"ur das Wegintegral l"angs eines zusammenziehbaren geschlossenen Weges "uber eine reellwertige stetig differenzierbare 1-Form $\omega$ mit $d\omega =0$ verschwindet. Der Integralsatz von Cauchy folgt f"ur holomorphes $f$ mit stetiger Ableitung $f^{\prime}$ also aus der offensichtlichen Verallgemeinerung von \ref{ALLl} auf vektorwertige Differentialformen. \end{Bemerkung} \subsection{Hypergeometrische Funktionen} \begin{Definition} Gegeben $a \in \mathbb C$ und $n \in \mathbb N$ setze man \begin{equation*} (a,n) = a (a+1) \ldots (a + n-1) = \prod^{n-1}_{i=0} a+i \end{equation*} Gegeben $a,b,c \in \mathbb C$ mit $c \not\in - \mathbb N$ betrachte man die Potenzreihe \begin{equation*} F (a,b,c; x) = \sum^\infty_{n=0} \frac{(a,n)(b,n)}{(c,n) (1,n)} x^n \end{equation*} Sie hei"st die \defind{hypergeometrische Reihe} und spezialisiert im Fall $a = b =c =1$ zur geometrischen Reihe. Im Fall $a \in -\mathbb N$ oder $b \in -\mathbb N$ erhalten wir Polynome, andernfalls strebt die Folge der Koeffizienten gegen $1$ und folglich hat unsere Potenzreihe den Konvergenzradius $1$. Bezeichnet $D$ den Differentialoperator $x\partial_x$, so wird unsere hypergeometrische Reihe annulliert vom Operator $(a+D)(b+D) - (c+D)(1+D) x^{-1}$, der auch umgeschrieben werden kann zu \begin{equation*} x (1-x) \partial^2 + (c - (a+b+1) x ) \partial -ab \end{equation*} Diese Differentialgleichung hat regul"are Singularit"aten, und zwar im allgemeinen an den drei Stellen $0,1,\infty$. Ich wei"s nicht, was ihre Monodromie an den jeweiligen Stellen ist. Eine von diesem Differentialoperator annullierte meromorphe Funktion hei"st ganz allgemein eine \defind{hypergeometrische Funktion}. \end{Definition} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXUFA" %%% End: