\section{Unfertiges zur Funktionentheorie}



\subsection{Hyperfunktionen}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Hyperfunktionen}]
 Wir betrachten 
  auf $\DR$ 
  die Garbe 
  $$\mathcal B=\mathcal B_\DR\pdef {\op{R}}^1i_{\DR\subset \DC}^!\mathcal O_\DC^{\op{an}}$$
  der derivierten Schnitte  mit Tr"ager in der reellen Gerade $\DR\As \DC$ der Garbe der holomorphen Funktionen auf $\DC$.
  Wegen ${\op{R}}^0i_{\DR\subset \DC}^!\mathcal O_\DC^{\op{an}}=0$, es gibt ja keine holomorphen Funktionen mit Tr"ager in der reellen Zahlengeraden, liefert die
  Spektralsequenz \ref{SSlok} der lokalen Kohomologie f"ur alle $U\co\DC$ Isomorphismen
$$\Gamma(U\cap \DR;\mathcal B)\sira {\op{H}}^1_{U\cap \DR}(U;\mathcal O_\DC^{\op{an}})$$  
  Weiter gilt ${\op{H}}^q(V;\mathcal O_\DC^{\op{an}})=0$ f"ur $V\co\DC$ und $q\geq 1$,
  was hier  nicht bewiesen wird. Das liefert eine
  kurze exakte Sequenz
  $\Gamma(U;\mathcal O_\DC^{\op{an}})\hra \Gamma(U\backslash\DR;\mathcal O_\DC^{\op{an}})\sra {\op{H}}^1_{U\cap \DR}(U;\mathcal O_\DC^{\op{an}})$ alias
  $$\Gamma(U\backslash\DR;\mathcal O_\DC^{\op{an}})/\Gamma(U;\mathcal O_\DC^{\op{an}})\sira \mathcal B(U\cap \DR)$$
  Die Schnitte von $\mathcal B$ hei"sen {\bf Hyperfunktionen\index{Hyperfunktion} auf der reellen Zahlengerade}.
  \end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Analytische Funktionen als Hyperfunktionen}] 
    F"ur jede analytische
    Abbildung $f:\DR\lco A\ra \DC$ finden wir $U\co \DC$ mit
    $U\cap\DR=A$ derart, da"s jede Komponente von $U$ unser $A$ trifft
    und da"s sich unsere Funktion zu einer holomorphen Funktion
    $\hat f:U\ra\DC$ fortsetzen l"a"st. Das folgt unmittelbar, indem wir
    in die Potenzreihenentwicklungen von $f$ komplexe Zahlen einsetzen.
    Jeder analytischen Funktion $f:\DR\lco A\ra\DC$ ordnen wir
   dann den Schnitt in $\Gamma(U\backslash\DR;\mathcal O_\DC^{\op{an}})$ zu,
    der auf  Punkten mit positivem Imagin"arteil
    durch $\hat f$ gegeben wird und auf den Punkten mit negativem Imagin"arteil
    durch Null. So erhalten wir f"ur $A\co\DR$ eine  Injektion 
    $\mathcal C^\omega(A)\hra \mathcal B(A)$ und insgesamt einen
    Garbenmonomorphismus\label{AFH}
    $$\mathcal C^\omega_\DR \hra \mathcal B_\DR$$
    von der Garbe der komplexwertigen analytischen Funktionen
    auf der reellen Zahlengeraden
    in die Garbe der Hyperfunktionen auf der reellen Zahlengeraden.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Hyperfunktionen in verge"sliche komplexe Zahlen}]
  Wir  arbeiten nun mit
  einer K"orpererweiterung  $\DR\subset K$ vom Grad zwei
  alias einem K"orper $K$ von verge"slichen komplexen Zahlen
  und erkl"aren die {\bf relative Orientierungsgarbe}
  $\op{or}_{\DR\subset K}$ auf $\DR$, indem wir $A\co\DR$
  die Teilmenge $\hat A\pdef A+{\op{i}}\DR\co K$
  zuordnen, ein \glqq Streifengebilde\grqq,  und setzen 
  $$\Gamma(A;\op{or}_{\DR\subset K})\pdef \Gamma(\hat A\backslash\DR;\DZ_K)/\Gamma(\hat A;\DZ_K)$$ 
  f"ur $\DZ_K$ die konstante Garbe $\DZ$ auf $K$.
  Die lange exakte Sequenz der lokalen Kohomologie \ref{LEslk} liefert
  Isomorphismen $\Gamma(A;\op{or}_{\DR\subset K})\sira {\op{H}}^1_A(\hat A;\DZ_K)$ 
  und mit \ref{SSlok} erhalten wir daraus Isomorphismus
  $\op{or}_{\DR\subset K}\sira  {\op{R}}^1i_{\DR\subset K}^!\DZ_K$. 
  Dann betrachten wir  die Garbe der
    $K$-wertigen analytischen Funktionen $\mathcal O_K^{\op{an}}$ auf $K$.
    Gegeben  $A\co\DR$ induziert  f"ur alle
    $U\co K$ mit $U\cap \DR=A$ die Multiplikation
    $\Gamma(\hat A\backslash \DR;\DZ_K)\times \Gamma(U;\mathcal O_K^{\op{an}})
    \ra \Gamma((U\cap \hat A)\backslash \DR;\mathcal O_K^{\op{an}})$
    unter unseren Identifikationen eine wohlbestimmte
    biadditive Abbildung 
    $$\Gamma(A;\op{or}_{\DR\subset K})\times \mathcal C^\omega(A;K)
    \ra \Gamma(A; {\op{R}}^1i_{\DR\subset K}^!\mathcal O_K^{\op{an}})$$ 
   und induziert einen Garbenhomomorphismus $\op{or}_{\DR\subset K}\otimes \;{\mathcal C}^\omega_{\DR\subset K}
   \ra  {\op{R}}^1i_{\DR\subset K}^!\mathcal O_K^{\op{an}}$.
   Wir erkl"aren die {\bf Garbe der $K$-wertigen Hyperfunktionen auf $\DR$}
   durch $$\mathcal C^{-\omega}_{\DR\subset K}\pdef \op{or}_{\DR\subset K}\otimes {\op{R}}^1i_{\DR\subset K}^!\mathcal O_K^{\op{an}}$$
   und erhalten mit der
   Quadrattrivialisierung $\DZ_\DR\sira \op{or}_{\DR\subset K}^{\otimes 2}$ nach
   \eref{QudT}{TSF} einen 
Garbenmonomorphismus $ \mathcal C^\omega_{\DR\subset K}
\hra \mathcal C^{-\omega}_{\DR\subset K}$\label{KwK} 
von der Garbe der analytischen $K$-wertigen Funktionen 
in die Garbe der $K$-wertigen Hyperfunktionen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Wir betrachten in $\op{or}_{\DR\subset\DC}$ den globalen Schnitt $s^+$,
  der repr"asentiert wird durch die Funktion $\DC\backslash\DR\ra\DZ$,
  die konstant Eins ist auf den Punkten mit positivem Imagin"arteil und
  Null sonst. Der Isomorphismus
  $(s^+)\otimes: \mathcal B\sira \mathcal C^{-\omega}_{\DR\subset\DC}$ bildet dann
  zusammen mit der Einbettung  $\mathcal C^\omega_\DR\hra \mathcal B_\DR$ aus  \ref{AFH}, der Gleichheit
  $\mathcal C^\omega_\DR= \mathcal C^\omega_{\DR\subset\DC}$ und
  der Einbettung $\mathcal C^\omega_{\DR\subset\DC}\hra \mathcal \mathcal C^{-\omega}_{\DR\subset\DC}$ aus \ref{KwK} 
  ein kommutatives Diagramm
  $$\xymatrix{
\mathcal C^\omega_\DR \ar[r]\ar@{=}[d] &\mathcal B_\DR\ar[d]_{s^+\otimes}^\wr\\
\mathcal C^\omega_{\DR\subset\DC}\ar[r]&\mathcal C^{-\omega}_{\DR\subset\DC}
  }$$
  Es zeigt, wie der naive erste Zugang, in dem wir mit dem
  "ublichen K"orper der komplexen Zahlen gearbeitet haben und uns
  Begriffe  wie
  \glqq obere Halbebene\grqq\ leicht von den Lippen gingen,
  in den weniger naiven Zugang zu "ubersetzen sind, bei dem wir
  das ganze auf verge"sliche komplexe Zahlen umgeschrieben haben. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Komplexe Konjugation f"ur Hyperfunktionen}]
  Es ist klar, wie ein Isomorphismus $\gamma:K\sira L$
  zwischen K"orpererweiterungen
  vom Grad zwei von $\DR$ einen Isomorphismus $\mathcal C^{-\omega}_{\DR\subset K}\sira \mathcal C^{-\omega}_{\DR\subset L}$ induziert.
  Genauer liefert er ein kartesisches Diagramm
  $\gamma\circ i_{\DR\subset K}=i_{\DR\subset L}\circ \op{id}$ und mit \ref{NatER}
  eine Isotransformation $i_{\DR\subset K}^!\siRa i_{\DR\subset L}^!\circ \gamma_*$
  und andererseits einen kartesischen Opkomorphismus
  $\mathcal O_K^{\op{an}}\ra\mathcal O_L^{\op{an}}$ "uber $\gamma$ 
  gegeben durch $f\mapsto \gamma\circ f\circ \gamma^{-1}$ alias einen
  Isomorphismus $\gamma_*\mathcal O_K^{\op{an}}\sira \mathcal O_L^{\op{an}}$
  und zusammen einen Isomorphismus 
  $\hat\gamma: {\op{R}}^1i_{\DR\subset K}^!\mathcal O_K^{\op{an}}\sira {\op{R}}^1i_{\DR\subset L}^!\mathcal O_L^{\op{an}}$. Andererseits induziert \ref{ZYZX} einen
  Isomorphismus $\gamma_*\DZ_K\sira \DZ_L$ und wir erhalten so einen
   Isomorphismus 
   ${\op{R}}^1i_{\DR\subset K}^!\DZ_K\sira {\op{R}}^1i_{\DR\subset L}^!\DZ_L$
   alias $\op{or}_\gamma:\op{or}_{\DR\subset K}\sira \op{or}_{\DR\subset L}$.
   Zusammen mit unseren Einbettungen aus \ref{KwK} ergibt
   sich ein kommutatives Diagramm
  $$\begin{array}{ccc}
    \mathcal C^{\omega}_{\DR\subset K} &\hra& \mathcal C^{-\omega}_{\DR\subset K}\\
    \da{\scriptstyle \gamma\circ}&&\;\;\;\da{\scriptstyle \op{or}_\gamma\otimes\hat\gamma}\\
     \mathcal C^{\omega}_{\DR\subset L} &\hra& \mathcal C^{-\omega}_{\DR\subset L}
  \end{array}$$
 Nehmen wir hier speziell $\gamma:\DC\ra\DC$ die komplexe
  Konjugation, so macht die linke Vertikale aus einer komplexwertigen
  Funktion ihre komplex konjugierte und das Diagramm 
  l"a"st sich erweitern zu einem kommutativen Diagramm
    $$\begin{array}{ccccl}
    \mathcal C^{\omega}_{\DR\subset \DC} &\hra& \mathcal C^{-\omega}_{\DR\subset \DC}&\sila&\mathcal B\\
    \da{\scriptstyle \gamma\circ}&& \;\;\;\da{\scriptstyle \op{or}_\gamma\otimes\hat\gamma}&&\da{\scriptstyle -\hat\gamma}\\
     \mathcal C^{\omega}_{\DR\subset \DC} &\hra& \mathcal C^{-\omega}_{\DR\subset \DC}&\sila&\mathcal B
  \end{array}$$
  mit unseren Isomorphismen $(s^+)\otimes$ in den rechten Horizontalen.
  Dieses Diagramm zeigt, wie wir die komplexe Konjugation
  komplexwertiger analytischer Funktionen in vertr"aglicher Weise
  auf Hyperfunktionen
  fortsetzen k"onnen.
\end{Bemerkungl}





\nichtfinal{Bis hierher geputzt!} 

  
  \begin{Bemerkungl}
 Sei eine analytische
 Abbildung $\phi:\DR\lco A\ra \DR$ gegeben. Wir erinnern, da"s
 wir eine holomorphe Fortsetzung unserer Abbildung  zu
 $\phi:\DC\lco U\ra\DC$ finden k"onnen mit $U\cap\DR=A$. Hat  $\phi'$ auf $A$ keine Nullstelle, so k"onnen wir $U$ so verkleinern,
    da"s gilt $\hat \phi(U\backslash A)\subset \DC\backslash\DR$.
    Haben wir zus"atzlich $B\co\DR$ mit $\phi(A)\subset B$ und
    $V\co \DC$ mit $V\cap\DR=B$, so gilt $A\subset \hat \phi^{-1}(V)\co U$
    und es ergibt sich, da"s wir ein
    Zur"uckholen $$\phi^*: \mathcal B(B)\ra \mathcal B(A)$$
    erkl"aren k"onnen in der offensichtlichen Weise. 
    Es gelten die "ublichen Regeln $\phi^*\psi^*=(\psi\phi)^*$ und $\op{id}^*=\op{id}$. Allerdings gilt f"ur $A=B=\DR$ und $\phi:x\mapsto -x$
    auch, da"s das Diagramm
    $$\begin{array}{ccc}\mathcal C^\omega(\DR)&\hra &\mathcal B(\DR)\\
      \phi^*\da &&\da \phi^*\\
      \mathcal C^\omega(\DR)&\hra &\mathcal B(\DR)
    \end{array}$$
    nur kommutiert bis auf das Vorzeichen $(-1)$.
  \end{Bemerkungl}
  \begin{Bemerkungl}
    Gegeben $N\As M$ eine reellanalytische $2$-Mannigfaltigkeit
    mit einer abgeschlossenen reellanalytischen
    $1$-Untermannigfaltigkeit bezeichne
    $$\op{or}_{N\subset M}\pdef {\op{R}}^{1}i_{N\subset M}^!\DZ_M$$
    die {\bf relative Orientierungsgarbe\index{Orientierungsgarbe!relative}
    von $N$ in $M$}.
  Wegen ${\op{R}}^0i_{N\subset M}^!\DZ_M=0$ liefert die
  Spektralsequenz \ref{SSlok} der lokalen Kohomologie f"ur alle $U\co M$ Isomorphismen
$$\Gamma(U\cap N;\op{or}_{N\subset M})\sira {\op{H}}^1_{U\cap N}(U;\DZ_M)$$  
 Andererseits haben wir eine
  exakte Sequenz
  $\Gamma(U;\DZ_M)\hra \Gamma(U\backslash N;\DZ_M)\sra {\op{H}}^1_{U\cap N}(U;\DZ_M)\ra {\op{H}}^1(U;\DZ_M)$ und  damit ein Monomorphismus
  $$\Gamma(U\backslash N;\DZ_M)/\Gamma(U;\DZ_M)\hra \Gamma(U\cap N;\op{or}_{N\subset M})$$ Ist au"serdem $U\co M$ zusammenziehbar, so folgt  ${\op{H}}^1(U;\DZ_M)=0$ und unser Monomorphismus ist sogar ein
  Isomorphismus. Wir sehen so, da"s die relative Orientierungsgarbe lokal frei
  ist vom Rang Eins. Insbesondere gibt es genau 
  einen Isomorphismus $q: \op{or}_{N\subset M}\otimes \op{or}_{N\subset M}\sira\DZ_N$
  mit $q(s\otimes s)=1$ f"ur jeden lokalen Erzeuger $s$ von
  $\op{or}_{N\subset M}$, unsere Quadrattrivialisierung \eref{QudT}{TSF}. 
  \end{Bemerkungl}
  \begin{Bemerkungl}
    Jetzt w"ahlen wir einen K"orper $K$ von verge"slichen komplexen
    Zahlen und betrachten darauf die Garbe der
    $K$-wertigen analytischen Funktionen $\mathcal O_K^{\op{an}}$.
    Gegeben  $A\co\DR$ induziert  f"ur alle
    $U\co K$ mit $U\cap \DR=A$ die Multiplikation
    $\Gamma(U\backslash \DR;\DZ_K)\times \Gamma(U;\mathcal O_K^{\op{an}})
    \ra \Gamma(U\backslash \DR;\mathcal O_K^{\op{an}})$
    unter unseren Identifikationen eine wohlbestimmte
    biadditive Abbildung 
    $$\Gamma(A;\op{or}_{\DR\subset K})\times \mathcal C^\omega(A;K)
    \ra \Gamma(A; {\op{R}}^1i_{\DR\subset K}^!\mathcal O_K^{\op{an}})$$ 
   Diese biadditiven Abbildungen k"onnen wir zusammenfassen zu   einem  Garbenhomomorphismus $\op{or}_{\DR\subset K}\otimes \mathcal C^\omega_{\DR\subset K}
   \ra  {\op{R}}^1i_{\DR\subset K}^!\mathcal O_K^{\op{an}}$
   und mithilfe der
   Quadrattrivialisierung einem 
Garbenhomomorphismus $ \mathcal C^\omega_{\DR\subset K}
\ra \op{or}_{\DR\subset K}\otimes {\op{R}}^1i_{\DR\subset K}^!\mathcal O_K^{\op{an}}$.
Wir notieren die rechte Seite $$\mathcal C^{-\omega}_{\DR\subset K}=\mathcal B_{\DR\subset K}\pdef \op{or}_{\DR\subset K}\otimes {\op{R}}^1i_{\DR\subset K}^!\mathcal O_K^{\op{an}}$$ und nennen sie
die {\bf Garbe der $K$-wertigen Hyperfunktionen auf $\DR$} und haben im Vorlauf bereits einen $K$-linearen 
Garbenhomomorphismus $ \mathcal C^\omega_{\DR\subset K}\ra \mathcal B_{\DR\subset K}$
von der Garbe der $K$-wertigen analytischen Funktionen in die Garbe der
$K$-wertigen Hyperfunktionen angegeben.
Jeder Isomorphismus $K\sira \DC$ von K"orpern verge"slicher
komplexer Zahlen induziert Isomorphismen $ \mathcal C^\omega_{\DR\subset K}\sira \mathcal C^\omega_{\DR\subset \DC}$ und $ \mathcal B_{\DR\subset K}\sira \mathcal B_{\DR\subset \DC}$ und diese sind vertr"aglich mit den jeweiligen
Einbettungen von eben. Insbesondere setzt sich so die
komplexe Konjugation auf $\mathcal C^\omega_{\DR\subset \DC}$ fort zu einer
komplexen Konjugation auf $\mathcal B_{\DR\subset \DC}$. 
  \end{Bemerkungl}
  \begin{Bemerkungl}
    Gegeben eine eindimensionale reellanalytische
    Mannigfaltigkeit $M$ und erkl"aren wir eine Hyperfunktion auf $M$
    als eine Vorschrift, die jeder Karte $\varphi: \DR\lco A\ra M$
    eine Hyperfunktion auf $A$ so zuordnet, da"s wir gerne ihre  
 Noch $\otimes\op{or}_{M/X}$ im allgemeinen bei Kashiwara-Schapira!
  \end{Bemerkungl}
  \begin{Bemerkungl}[\textbf{Hyperfunktionen auf dem Einheitskreis}]
    Wir finden $$\Gamma(U;\mathcal O_\DC)/\Gamma(U\backslash S^1;\mathcal O_\DC)\sira \mathcal B(U\cap S^1)$$
  \end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
    Das eben Gesagte gilt unver"andert, wenn wir statt $\DR$ eine
    beliebige echte abgeschlossene Teilmenge $R\As \DC$ betrachten.
    Allerdings nennen wir die Schnitte
    der Garbe ${\op{R}}^1i_{R\subset \DC}^!\mathcal O_\DC$ in dieser
    Allgemeinheit nicht mehr Hyperfunktionen.  
  \end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} F"ur
  {\bf Fourier-Hyperfunktionen}\index{Hyperfunktion!Fourierhyperfunktion}
  fand ich den Artikel
  in der \glqq Encyclopedia of Mathematics\grqq\ besonders informativ.
  Er erkl"art f"ur alle $\delta>0$ einen Raum von Testfunktionen
  $\mathcal P_*^{\delta}$ als die Menge aller holomorphen Funktionen $\varphi$ 
  auf dem Streifen $|\op{Im}(z)|<\delta$ um die reelle Achse
  derart, da"s $|\varphi(z)|{\op{e}}^{\delta|z|}$ auf dem fraglichen Streifen
  beschr"ankt ist. Dieser Raum ist ein Banachraum mit dem Infimum "uber
  alle Schranken als Norm.
  Dann erkl"art er
  $$\mathcal P_*\pdef \bigcup_{\delta >0}\mathcal P_*^{\delta}|_{\DR}\;\;\subset
  \mathcal C^\omega(\DR)$$
  als die Menge aller analytischen Funktionen auf der reellen Zahlengeraden,
  die sich f"ur hinreichend kleines positives $\delta>0$ zu einer
  Funktion aus $\mathcal P_*^{\delta}$ fortsetzen lassen.
  Wir nennen sie {\bf Sato-Funktionen},\index{Satofunktion} aber
  das ist keine allgemein gebr"auchliche Terminologie.
  \nichtfinal{Vielleicht w"are $\mathcal S_\omega$ eine gute Notation.}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Mit der Formel von Goursat \eref{Gour}{FT1} f"ur die Ableitung
  einer holomorphen Funktion finde ich, da"s aus
  $\varphi\in \mathcal P_*^{\delta}$ folgt
  $\varphi'\in \mathcal P_*^{\delta/2}$.  Andererseits ist klar, da"s
  aus $\varphi\in \mathcal P_*^{\delta}$ folgt
  $z\varphi\in \mathcal P_*^{\delta/2}$. Schlie"slich ist klar, da"s
  alle Funktionen $\varphi\in \mathcal P_*$ beschr"ankt sind. Mithin sind
  alle Satofunktionen  auch  Schwartzfunktionen, in Formeln
  $$\mathcal P_*\subset \mathcal S$$
  In \glqq Encyclopedia of Mathematics\grqq\ wird behauptet, da"s
  das ein dichter Teilraum ist. Das glaube ich mal. Weiter wird behauptet,
  da"s der Raum der Satofunktionen
  unter Fouriertransformation auf sich selber geht.
  Das kann man leicht pr"ufen. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Erinnerungen zur Fouriertransformation}]
  Ich arbeite im folgenden mit der Charakterpaarung
  $p:\DR\times \DR\ra S^1$ gegeben durch  $p(x,y)\pdef {\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}xy}$.
  Darunter sind $\diff x$ und $\diff y$ duale Haarma"se. 
  Die zugeh"orige Fouriertransformation
  $$(\mathcal F_p f)(y)\pdef \int_\DR f(x){\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}xy}\diff x$$
  auf Schwartzfunktionen hat als Umkehrabbildung
  $$(\mathcal F_{\bar p} g)(x)\pdef \int_\DR g(y){\op{e}}^{2\pi{\op{i}}yx}\diff y$$
  die Fouriertransformation zur dualen oder gleichbedeutend invertierten Charakterpaarung $\bar p:\DR\times \DR\ra S^1$ gegeben durch  $\bar p(y,x)\pdef p(x,y)^{-1}={\op{e}}^{2\pi{\op{i}}yx}$. Ich erinnere aus \eref{KoDF}{AN3} 
f"ur  die 
Fouriertransformation $\mathcal F=\mathcal F_p$ 
auf dem Schwartzraum und  $\tau_ a $ 
die Verschiebung 
 gegeben durch $(\tau_ a  f)(x)=f(x- a )$ die vier kommutativen Diagramme
 \begin{displaymath}
 \xymatrix{
\cal{S} \ar[d]_-{\tau_{b}} \ar[r]^-{\cal{F}} & \cal{S}\ar[d]^-{\op{e}^{-2\pi{\op{i}} b  y}}
 &&&\cal{S}\ar[d]_-{\op{e}^{2\pi{\op{i}}a  x}} \ar[r]^-{\cal{F}} & \cal{S}\ar[d]^-{\tau_{a}}\\
 \cal{S} \ar[r]^-{\cal{F}}  &\cal{S} &&&\cal{S} \ar[r]^-{\cal{F}}  &\cal{S} \\
  \cal{S} \ar[d]_-{x}\ar[r]^-{\cal{F}}  &\cal{S}\ar[d]^-{-\frac{1}{2\pi{\op{i}}}\frac{\diff}{\diff y}} 
  &&&\cal{S}\ar[d]_-{\frac{\diff}{\diff x}} \ar[r]^-{\cal{F}}  &\cal{S}\ar[d]^-{2\pi{\op{i}}
 y}\\
  \cal{S} \ar[r]^-{\cal{F}}  &\cal{S} &&&\cal{S} \ar[r]^-{\cal{F}}  &\cal{S} \\
  }
\end{displaymath}
\end{Bemerkungl}


  
\begin{Bemerkungl}
  Jetzt versieht man den Raum $\mathcal P_*$ der Satofunktionen
  mit der Topologie des induktiven Limes f"ur
  die Einbettungen aller $\mathcal P_*^{\delta}$.
  Der topologische Dualraum  $\mathcal Q$ hei"st der Raum der
  {\bf Fourier-Hyperfunktionen} und erbt eine Fouriertransformation
  vom Raum $\mathcal P_*$ der Satofunktionen.
  Wenn ich es recht verstehe, ist $\mathcal Q$ 
  genau der Raum aller Hyperfunktionen $F$, die sich darstellen lassen
  als Paar $[F_+,F_-]$ \nichtfinal{(Besser $F_+\dot - F_-$?)}
  einer holomorphen Funktion auf der oberen Halbebene
  und einer holomorphen Funktion auf der unteren Halbebene derart, da"s
  f"ur jedes $\alpha>0$ und jeden zur reellen Achse parallelen 
  Streifen $\DR\times {\op{i}}[a,b]$
  in der oberen beziehungsweise unteren Halbebene
  die Funktion $|F_{\pm}(z)|{\op{e}}^{-\alpha|\op{Re}(z)|}$ beschr"ankt ist
  auf besagtem Streifen. Um $F= [F_+,F_-]$ auf einer Satofunktion $\varphi$
  auszuwerten, w"ahlt man ein $\delta>0$ mit  $\varphi\in \mathcal P_*^{\delta}$
  und $\varepsilon \in (0,\delta)$ und setzt
  $$\langle F,\varphi\rangle\pdef
  \int_{-\infty}^\infty F_+(t+{\op{i}}\varepsilon)\tilde\varphi(t+{\op{i}}\varepsilon)\diff t
  -\int_{-\infty}^\infty F_-(t-{\op{i}}\varepsilon)\tilde\varphi(t-{\op{i}}\varepsilon)\diff t
  $$
  mit der Notation $\tilde\varphi$ f"ur die holomorphe Ausdehnung von
  $\varphi$ auf einen kleinen Streifen um die reelle Achse in der
  komplexen Zahlenebene. 
Da"s es nicht auf die Wahl  von $\varepsilon$ ankommt, zeigt eine
  Anwendung von Cauchy's Integralsatz auf \glqq Rechteckswege "uber
  lange flache Rechtecke parallel zur reellen Achse\grqq, zusammen mit einer
  Absch"atzung der Integrale "uber die kurzen Seiten.  Da"s es nicht darauf
  ankommt, wie genau man die Fourierhyperfunktion $F$ als $[F_+,F_-]$ darstellt,
  zeigt man "ahnlich. Soweit ich verstehe, ist es auch nicht n"otig,
  da"s die Funktionen  $F_\pm$ auf den ganzen jeweiligen Halbebenen definiert sind, vielmehr
  reicht als Definitionsbereich 
  ein Streifen neben der reellen Achse.
\end{Bemerkungl}
\newpage
\begin{Beispiel} Nehmen wir einmal $F=[F_+,0]$ an f"ur ein $F_+$, das sich
  stetig auf die reelle Achse fortsetzen l"a"st. Dann notieren wir diese
  Fortsetzung $F_{0+}$ und finden, eventuell unter Zusatzannahmen, 
  $$\langle F,\varphi\rangle=\int_{-\infty}^\infty F_{0+}(t)\varphi(t)\diff t$$
  Ist in diesem Fall $F_{0+}(y)=f^\wedge(y)=\int_{-\infty}^\infty f(x){\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}xy}\diff x$ eine Fouriertransformierte, so finden wir
  $$\langle f^\wedge,\varphi\rangle=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(x){\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}xy}\varphi(y)\diff x\diff y=\langle f,\varphi^\wedge\rangle$$
  bis auf Konvergenzbetrachtungen.
    Nehmen wir stattdessen $F=[0,F_-]$ an f"ur ein $F_-$, das sich
  stetig auf die reelle Achse fortsetzen l"a"st. Dann notieren wir diese
  Fortsetzung $F_{0-}$ und finden, eventuell unter Zusatzannahmen,
  $$\langle F,\varphi\rangle=-\int_{-\infty}^\infty F_{0-}(t)\varphi(t)\diff t$$
   Ist in diesem Fall $F_{0-}(y)=f^\wedge(y)=\int_{-\infty}^\infty f(x){\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}xy}\diff x$ eine Fouriertransformierte, so finden wir
  $$\langle f^\wedge,\varphi\rangle=-\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(x){\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}xy}\varphi(y)\diff x\diff y=-\langle f,\varphi^\wedge\rangle$$
  bis auf Konvergenzbetrachtungen.
\end{Beispiel}



\begin{Bemerkungl} Ich gehe hmm, vielleicht,
  davon aus, da"s die obige Formelsammlung
  f"ur die Fouriertransformation im Fall von Hyperfunktionen
  unver"andert weiter gilt. 
\end{Bemerkungl}
\newpage
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine beschr"ankte me"sbare Funktion $f: \DR_{\geq 0}\ra\DC$
  versuchen wir es mit
  $$f^\wedge (y)\pdef \int_0^\infty f(x){\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}xy}\diff x$$
  F"ur $y$ in der unteren Halbebene alias $\op{Im}(y)<0$ konvergiert
  das Integral und liefert eine holomorphe Funktion $f^\wedge$ auf der unteren Halbebene.
  Werten wir die Hyperfunktion $[0,-f^\wedge]$ auf $\varphi\in \mathcal P_*$ aus,
  so finden wir $$\int_{-\infty}^\infty
  f^\wedge(t-{\op{i}}\varepsilon)\tilde\varphi (t-{\op{i}}\varepsilon)\diff t=
  \int_{-\infty}^\infty\int_{0}^\infty
  f(x){\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}xt-2\pi x\varepsilon}\tilde\varphi (t-{\op{i}}\varepsilon)\diff x\diff t$$
  Dies Integral h"angt, wenn es gewi"s wahr ist, gar nicht von $\varepsilon>0$
  ab. Wir sollten es auseinanderziehen k"onnen mit Fubini und sollten dann im
  zweiten Teil auch stetig nach $\varepsilon=0$ gehen d"urfen.
  Wenn wir dahingegen die  Fouriertransformierte von $\varphi$ gegen
  $f$ integrieren, finden wir
   $$\int_{0}^\infty
  f(x)\int_{-\infty}^\infty\varphi(t) {\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}xt}\diff t \diff x$$
  Hier sollte das innere Integral eine Satofunktion in $x$ liefern,
  deren exponentielles Abfallen dann das "au"sere Integral sinnvoll macht.
  Lebesgueintegrierbar in $(x,t)$ ist $f(x)\varphi(t)$ keineswegs.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Wir sehen so, da"s man eine beschr"ankte me"sbare Funktion $f: \DR_{\geq 0}\ra\DC$ als Fourierhyperfunktion auffassen k"onnen sollte, deren Wert auf einer
  Satofunktion $\varphi$ durch $\int f(x)\varphi(x)\diff x$ gegeben wird. 
  Sie ist sogar eine temperierte Distribution, aber ihre Fouriertransformierte
  ist als temperierte Distribution schwer hinzuschreiben.
  Als Hyperfunktion ist es im wesentlichen die Laplacetransformierte
  und genauer die Hyperfunktion $[0,g]$ mit
  $g(y)\pdef -\int_0^\infty f(x){\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}xy}\diff x$ f"ur
  $\op{Im}(y)<0$. Hier wird die holomorphe Funktion $g$
  bereits durch ihre Restriktion auf die negative imagin"are Achse
  eindeutig festgelegt und wir finden, da"s
  $g(-{\op{i}}s)=-\int_0^\infty f(x){\op{e}}^{-2\pi xs}\diff x$ im wesentlichen die Laplace-Transformierte von $f$ ist, die gegeben wird durch
  $$\mathcal L\{f\}(s)\pdef \int_0^\infty f(x){\op{e}}^{- xs}\diff x$$
  Wir haben also in Formeln
  $-g(-{\op{i}}s)=\mathcal L\{f\}(2\pi s)$ oder besser
  $$f^\wedge(y)=[0,-\mathcal L\{f\}(2\pi {\op{i}}y)]$$
  Dasselbe gilt allgemeiner f"ur me"sbares $f: \DR_{\geq 0}\ra\DC$ derart,
  da"s $f(x){\op{e}}^{-\alpha x}$ beschr"ankt ist f"ur alle $\alpha >0$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Die Laplacetransformierte kann man auch f"ur noch allgemeinere
  Funktionen oder Ma"se auf der positiven reellen Achse betrachten,
  f"ur die dann eben $\mathcal L\{f\}$ nur f"ur $s$ mit hinreichend gro"sem
  Realteil definiert ist. Das scheint mir aber weniger relevant.
\end{Bemerkungl}
  
\begin{Bemerkungl}\label{LaTaH}
\nichtfinal{Kopiert von \eref{LaTa}{FT1}.}  Gegeben   eine beschr"ankte me"sbare Funktion $f: \DR_{\geq 0}\ra\DC$ 
erkl"art man eine holomorphe 
Funktion $F$ auf der Halbebene $\op{Re}(z)>0$, 
ihre \defind{La\-place-Trans\-for\-mier\-te}, durch die Vorschrift 
$$F(z)\pdef\int^{\infty}_{0} f(t) \op{e}^{-z t} \diff t$$
Da"s diese Funktion tats"achlich holomorph ist, folgert man aus der
Vertauschbarkeit 
von Ableitung und Integral \eref{VIPA}{AN3} im Reellen, die
wir im Fall der Fouriertransformation bereits beim Beweis von
\eref{EFou}{AN3} genauer ausgef"uhrt hatten, unter Verwendung der Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen. \nichtfinal{(Vergleiche auch \eref{LaTrr}{AN3}.)
  $$\mathcal L \{g\}(t)=(\mathcal F g)({\op{i}}t)=\int_{-\infty}^\infty g(x){\op{e}}^{-xt}\diff x$$  }
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}
\nichtfinal{Kopiert von \eref{LaTa}{FT1}.} Die
Laplacetransformation wird allgemeiner f"ur gewisse
Borelma"se auf $\DR_{\geq 0}$
 erkl"art. %, die f"ur $t\ra\infty$ 
%so langsam dichter werden, da"s ihre Transformierte noch auf 
%einer Halbebene der Form $\op{Re}(z)>a$ definiert ist.
Sie ist bei der L"osung von Differentialgleichungen
oft hilfreich, da sie diese in algebraische Gleichungen umwandelt.
Man kann  sie auch f"ur me"sbare Funktionen oder Borelma"se
auf ganz $\DR$ untersuchen,
mu"s dann aber, insbesondere wenn der Tr"ager von $f$ keine reelle
untere Schranke hat, mehr Sorgfalt bei Konvergenzbetrachtungen
walten lassen.
\end{Bemerkunge}
\begin{Ubungw}\nichtfinal{Wohin? Zu temperierten Distributionen?} 
F"ur $g \in \op{L}^1 (\Bbb{R})$ mit $g|_{ (-\infty, 0]} =0$
gibt es eine holomorphe
Funktion $g^\wedge$ auf der komplexen oberen Halbebene 
$\op{Im} z > 0$, die die
auf $\DR=\{z\mid \op{Im}z=0\}$ definierte stochastisch standardisierte
Fouriertransformierte $g^\wedge$ stetig fortsetzt.
Im "ubrigen kann man im Rahmen der Funktionentheorie \eref{StFot}{FT1} 
zeigen, da"s diese stetige Fortsetzung sogar eindeutig ist.\label{LaTrr} 
Die unter der Einbettung $\DR_{\geq 0}\hra \{z\mid \op{Im}z\geq 0\}$
gegeben durch $t\mapsto {\op{i}}t$
zur"uckgezogene holomorphe Fortsetzung der  stochastisch
standardisierten Fouriertransformierten $(\mathcal F g)(y)=\int_{-\infty}^\infty g(x){\op{e}}^{{\op{i}}xy}\diff x$ hei"st die 
\defind{Laplace-Transformierte} $\mathcal L \{g\}$ von $g$, in Formeln
$$\mathcal L \{g\}(t)=(\mathcal F g)({\op{i}}t)=\int_{-\infty}^\infty g(x){\op{e}}^{-xt}\diff x$$
Die Laplacetransformierte kann auch f"ur allgemeinere
Funktionen oft noch sinnvoll
berechnet werden, eventuell auch erst f"ur hinreichend gro"ses $t$,
vergleiche \eref{LaTa}{FT1}. Sie hat weiter sehr "ahnliche Eigenschaften wie die
Fouriertransformation und wird von Ingenieuren gerne zum L"osen der
bei Schwingungsvorg"angen relevanten Differentialgleichungen benutzt. 
\end{Ubungw}

Ich denke, da"s das ein Fall ist, in dem die Fouriertransformierte
eine Hyperfunktion ist, die als Randwert einer holomorphen Funktion
auf nur einer Halbebene, je nach Standardisierung der oberen oder
der unteren, dargestellt werden kann und da"s das die Laplacetransfomierte ist.

\begin{Bemerkunge}\nichtfinal{Wohin? Mu"s bei Laplace bleiben.} 
  Wir erinnern den Grup\-pen\-iso\-mor\-phis\-mus
  $\op{exp}:(\DR,+)\sira (\DR_{>0},\cdot)$.
Gegeben eine \glqq vern"unftige\grqq\ Funktion $h:\DR_{>0}\ra \DC$ hei"st die
Laplace-Transformation von $h\circ\op{exp}$, wenn man ihr noch die Multiplikation mit $(-1)$ vorschaltet, auch die
{\bf Mellin-Transformation}\index{Mellin-Transformation}\label{Meltr} 
$\mathcal Mh$ von $h$. In Formeln haben wir also
$$(\mathcal Mh)(t)\pdef\mathcal L\{h\}(-t)=\int_{-\infty}^\infty h({\op{e}}^x){\op{e}}^{tx}\diff x =\int_{0}^\infty h(s){s}^{t-1}\diff s$$
mit der Substitution $s={\op{e}}^x$ und $\diff x=\diff s/s$ im letzten Schritt.
\end{Bemerkunge}


\begin{Beispiel}[\textbf{Diracdelta als Fourierhyperfunktion}]
  Die Fourierhyperfunktion $F\pdef[1/z,1/z]$ ordnet
  nach dem Residuensatz jeder
  Satofunktion $\varphi$
  den Wert $2\pi{\op{i}}\varphi(0)$ zu. Sie entspricht also einer temperierten
  Distribution, genauer dem Vielfachen $2\pi{\op{i}}\delta_0$ des Diracma"ses
  am Ursprung. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Eine Fourierhyperfunktion, die keine Distribution ist}]
  Die Fourierhyperfunktion $F\pdef[\op{exp}(-1/z),\op{exp}(-1/z)]$
  mag man als eine Art  unendliche Summe
  $2\pi{\op{i}}\sum_{n=0}^\infty (1/n!)\delta_0^{(n)}$
  von h"oheren Ableitungen des  Diracma"ses
  am Ursprung mit geeigneten Vorfaktoren auffassen. Diese Summe
  konvergiert nicht im Raum der Distributionen, sie ist vielmehr eine
  genuine Fourierhyperfunktion. 
\end{Beispiel}

\newpage


\begin{Beispiel} 
  Wir k"onnen analog {\bf Mellin-Hyperfunktionen} auf $\DR_{>0}$ betrachten.
  Sie haben die Gestalt $F=[F_+,F_-]$ mit $F_\pm$ holomorph auf einem
  Winkelsegment zwischen der positiven reellen Achse und einem Strahl in die
  obere beziehungsweise untere Halbebene.
  Die Bedingungen sind, da"s auf jedem abgeschlossenen Teilsegment
  und f"ur jedes $\alpha>0$   die Funktionen $r^{-\alpha}F_{\pm}$
  beschr"ankt sind auf dem Teil mit Radius $r\geq 1$
  und die  Funktionen $r^{\alpha}F_{\pm}$
  beschr"ankt sind auf dem Teil mit Radius $r\leq 1$.
  Nun erinnern wir aus \ref{cota} die Reihenentwicklung des Kotangens.
  Multipliziert mit $z$ erhalten wir 
  \begin{displaymath}
1+\sum_{k =1}^\infty 
\left(\frac{z}{z-k}+ \frac{z}{z+k}\right) 
= \pi z \cot (\pi z) 
\end{displaymath}
   im Sinne absoluter kompakter Konvergenz auf $\DC\backslash\DZ_{\neq 0}$. 

   Dann ist $[\pi\op{cot}(\pi z),0]$ als Hyperfunktion auf der
  positiven reellen Achse die Summe $\sum_{n\neq 1}\delta_n$ und
  ihre Mellintransformierte ist die 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel} Versuch nach Sato. Ist ${\op{e}}^{-nx}$ f"ur $n\geq 1$
  eine Mellin-Hyperfunktion auf der positiven reellen Achse? Ich denke wohl,
  das ist klar. Wir fassen sie auf als Randwert der entsprechenden holomorphen
  Funktion \glqq nur von oben\grqq. Ihre Transformierte w"are
  $\int$
\end{Beispiel}

  










\subsection{Holomorphe lineare Differentialgleichungen*}
\emph{Guck auch mal im Skript von Dragan nach!} 
\begin{Satz}[\textbf{Der Anfangswertisomorphismus im Komplexen}] 
 Seien $U \co\mathbb C$ eine  zusammenh"angende schleifenf"ullende offene Teilmenge,
 $V$ ein endlichdimensionaler
$\mathbb C$-Vektorraum und $A : U \rightarrow \op{End} V$ holomorph. 
Wir betrachten den 
Vektorraum
\begin{equation*}
 L \pdef \{ f : U \rightarrow V \text{ holomorph } \mid f^\prime (z) = 
 A (z) f (z) \quad\forall z \in U\}
\end{equation*}
So liefert f"ur jeden Punkt $z_0 \in U$ das Auswerten 
bei $z_0$ einen Vektorraumisomorphismus
$L \overset{\sim}{\rightarrow} V$.\label{AKom}
\end{Satz}






\begin{proof}
 Wir zeigen zun"achst, da"s wir um jeden Punkt $p \in U$ 
eine ganz in $U$ enthaltene offene Kreisscheibe
mit Zentrum in $p$ finden k"onnen derart, da"s unsere Behauptung f"ur 
$D$ statt $U$ gilt.
Sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit unser ausgezeichneter Punkt der
Ursprung $p = 0$.
Wir w"ahlen eine Norm $\| \;\|$ auf $V$ und 
die zugeh"orige Operatornorm $\| \; \|$
auf $\op{End} V$.
Sei
\begin{equation*}
 A (z) = \sum_{i \geq 0} 
 A_i z^i
\end{equation*}
die Potenzreihenentwicklung von $A$.
Sicher gibt es $c > 0$ mit $\| A_i \| \leq c^{i+1}$ f"ur alle $i$.
Wir suchen nun zun"achst 
eine L"osung $f$ der Differentialgleichung  $f^\prime (z) = 
 A (z) f (z)$
im Raum $V\llbracket z\rrbracket$ der  formalen Potenzreihen als
\begin{equation*}
 f (z) = \sum_{i \geq 0} v_i z^i
\end{equation*}
Dann erhalten wir
 $nv_n= A_0 v_{n-1} + \ldots + A_{n-1} v_0$ und wir finden 
durch induktive Berechnung der Koeffizienten $v_i$ 
zu jedem Anfangswert $v_0$ genau eine ``formale'' 
L"osung $\sum_{i \geq 0} v_i z^i$.
Induktiv folgt auch die Absch"atzung $\| v_i \| \leq c^i \| v_0\|$.
Damit hat unsere formale L"osung positiven Konvergenzradius $1/c$ und wir 
k"onnen $D=\op{B}(0;1/c)$ nehmen.
Der allgemeine Fall folgt, indem man in der Garbe der holomorphen 
Abbildungen nach $V$ die Untergarbe der
lokalen L"osungen unserer Differentialgleichung betrachtet. 
Nach dem bereits Bewiesenen ist das eine lokal konstante
 Garbe und ist damit auf dem  
zusammenh"angenden schleifenf"ullenden und damit nach \ref{??} "uberlagerungstrivialen Raum $U$ konstant nach
\eref{lkGG}{TG}.
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Differentialgeometrische Interpretation}] 
  In der Situation von Satz \ref{AKom} liefert  insbesondere das Auswerten von
  L"osungen alias die Abbildungsvorschrift $(z,f)\mapsto (z,f(z))$ 
eine Bijektion
$$U\times L\sira U\times V$$
Ich denke diese Bijektion gerne als einen Isomorphismus
zwischen zwei trivialen holomorphen Vektorb"undeln auf $U$.
Unter diesem Isomorphismus entsprechen die konstanten Schnitte 
des Vektorb"undels $U\times L$ links 
den L"osungen unserer Differentialgleichung rechts, wenn wir diese als
Schnitte des Vektorb"undels $U\times V$ auffassen.
In differentialgeometrischer Sprache \ref{ZshgV} 
versteht man unter einem Zusammenhang auf einem
holomorphen Vektorb"undel eine Vorschrift $\nabla$, die jedem 
lokalen holomorphen Schnitt $s$ des B"undels und
jedem lokalen holomorphen Vektorfeld $\xi$ auf der Basis einen weiteren 
lokalen holomorphen Schnitt
$\nabla_\xi s$ so zuordnet, da"s diese Zuordnung $\DC$-bilinear ist und
die Regel $\nabla_{g\xi} s=g\nabla_{\xi} s$
sowie die Leibnitz-Regel
$\nabla_{\xi} gs=\xi g+g\nabla_{\xi} s$
f"ur holomorphe Funktionen $g$ erf"ullt. 
Nun sind die L"osungen unserer
Differentialgleichung die horizontalen Schnitte des Zusammenhangs 
$\nabla^A: f\mapsto \diff f-Af\diff z$ auf dem trivialen B"undel
$ U\times V$,  und unter dem gegebenen B"undelisomorphismus 
mit dem trivialen B"undel $U\times L$ ist dieser Zusammenhang 
verwandt zum
trivialen Zusammenhang $\nabla^0$ auf $U\times L$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Unter einer\index{Kreisscheibe!punktierte}  
{\bf punktierten Kreisscheibe}\index{punktiert!Kreisscheibe} 
versteht man das Komplement des Mittelpunkts in einer Kreisscheibe. 
\end{Bemerkungl}




\begin{Satz}[\textbf{Differentialgleichungen auf punktierten Kreisscheiben}] 
 Seien $D^\times $ eine punktierte offene Kreisscheibe mit Zentrum im Ursprung,
 $V$ ein endlichdimensionaler
komplexer Vektorraum und $A : D^\times  \rightarrow \op{End} V$ holomorph. 
So gibt es einen endlichdimensionalen
komplexen Vektorraum $L$ und einen\label{DGKr}  
Isomorphismus von holomorphen Vektorb"undeln
$$D^\times \times V\sira D^\times \times L$$
derart, da"s der Zusammenhang $f\mapsto \diff f-Af\diff z$  
darunter verwandt ist zu 
einem Zusammenhang der Gestalt $g\mapsto \diff g-z^{-1}Cg\diff z$  
mit konstantem $C\in\op{End}_\DC L$.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Ein Isomorphismus von holomorphen Vektorb"undeln
$D^\times \times V\sira D^\times \times L$ hat die Gestalt
$(z,v)\mapsto (z,\Phi(z)(v))$ f"ur $\Phi: D^\times \ra \op{Hom}_\DC^\times(V,L)$
eine holomorphe Abbildung in die Menge der Vektorraumisomorphismen. 
Da"s ein solcher B"undelisomorphismus 
 die Bedingungen des Satzes erf"ullt, bedeutet nun gerade, da"s
  $f:U\ra V$ f"ur $U\co D^\times $  genau dann 
die Gleichung $f'(z)=A(z)f(z)$ l"ost, wenn 
 $g(z)\pdef \Phi(z) f(z)$ die Gleichung $g'(z)=z^{-1}Cg(z)$ l"ost. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Klassifikation durch Monodromie}] 
  Der Beweis zeigt auch, da"s es zwischen zwei trivialen
 holomorphen Vektorb"undeln
auf $D^\times $ mit holomorphem Zusammenhang genau dann einen
holomorphen B"undelisomorphismus gibt, der die Zusammenh"ange ineinander
"uberf"uhrt, wenn sie dieselbe {\bf Monodromie}\index{Monodromie} haben.
Hierbei verstehen wir unter der Monodromie eines $n$-dimensionalen B"undels
mit Zusammenhang diejenige Konjugationsklasse von $\op{GL}(n;\DC)$,
zu der alle Automorphismen geh"oren, die entstehen, wenn man eine Faser mit
$\DC^n$ identifiziert und den durch Parallelverschiebung einmal im
Gegenuhrzeigersinn um den Ursprung gegebenen Automorphismus
 dieser Faser 
vermittels dieser Identifikation durch eine Matrix darstellt. 
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}
   Die Exponentialabbildung
  liefert eine holomorphe "Uberlagerungsabbildung $\op{exp}:H\ra D^\times $ f"ur
  eine Halbebene der Form $H=\{w\mid \op{Re}w<c\}$. Es ist klar,
  da"s $f$ genau dann eine L"osung ist, wenn $\phi \pdef f \circ \op{exp}$ eine
  L"osung der Differentialgleichung
  \begin{equation*}
    \phi^\prime (w) = A ({\op{e}}^w) \phi (w)
  \end{equation*}
  ist. Das gilt sowohl f"ur globale wie f"ur lokale L"osungen.  
Sei nun $L\subset \op{Ens}(H,V)$ der Raum der globalen L"osungen dieser
letzteren Differentialgleichung. Da $H$  zusammenh"angend und schleifenf"ullend  ist,
haben wir auf $H$ nach \ref{AKom} f"ur jeden Anfangswert 
genau eine globale L"osung. 
Das Vorschalten der Addition von $2\pi{\op{i}}$
liefert offensichtlich einen Automorphismus $T :
   L \sira  L$, $\phi \mapsto \phi \circ
  (+2\pi{\op{i}})$ des L"osungsraums. 
Die Jordan-Zerlegung zeigt, da"s es $C\in \op{End}_\DC L$ gibt mit
 $\op{exp} (2\pi{\op{i}} C) = T$. 
Betrachten wir nun die Komposition von B"undelisomorphismen 
$$H\times L\sira H\times L\sira H\times V$$
gegeben durch $(w,\phi)\mapsto (w,\op{exp} (-w C)\phi)$
und $(w,\psi)\mapsto (w,\psi(w))$. Unter dem zweiten 
Isomorphismus entspricht unser Zusammenhang dem trivialen Zusammenhang auf 
 $H\times L$ und unter dem ersten Isomorphismus entspricht der
triviale Zusammenhang dem  Zusammenhang, dessen flache Schnitte  die
L"osungen $\gamma:H\ra L$ der Differentialgleichung
  \begin{equation*}
    \gamma^\prime (w) = C  \gamma (w)
  \end{equation*}
sind. Die Komposition unserer B"undelisomorphismen 
ist aber $2\pi{\op{i}}$-periodisch und kommt folglich von einem
B"undelisomorphismus $D^\times \times L\sira D^\times \times V$ her, von dem man
unmittelbare einsieht, da"s er die gesuchte Eigenschaft hat. 
\end{proof}






\begin{Satz}[\textbf{Regul"are Singularit"aten auf punktierten Kreisscheiben}] 
 Seien $D^\times $ eine punktierte offene Kreisscheibe mit Zentrum im Ursprung,
 $V$ ein endlichdimensionaler
komplexer Vektorraum und $A : D^\times  \rightarrow \op{End} V$ holomorph. 
So sind gleichbedeutend:\label{rspk} 
\begin{enumerate}
\item 
Jede lokale L"osung $f: S\ra V$ der Gleichung $f'(z)=A(z)f(z)$ 
auf einem offenen
Kuchenst"uck $S\subset D^\times $ mit Spitze im Ursprung 
ist f"ur jede Norm auf $V$ in der N"ahe des Ursprungs beschr"ankt durch
eine Schranke der Gestalt $\|f(z)\|\leq  |z|^k$ mit $k\in \DN$; 
\item
Es gibt  einen 
$\DC$-Vektorraum $W$ und 
$\Phi:D\ra \op{Hom}^\times_\DC(V,W)$ meromorph ohne Pole au"serhalb des
Ursprungs derart,
da"s unter dem
Isomorphismus von holomorphen Vektorb"undeln
$D^\times \times V\sira D^\times \times W$
mit $(z,v)\mapsto (z,\Phi(z)(v))$
der Zusammenhang $f\mapsto \diff f-Af\diff z$  
 einem Zusammenhang der Gestalt $$g\mapsto \diff g-z^{-1}B(z)g\diff z$$  
mit $B:D\ra\op{End}_\DC W$ holomorph auf ganz $D$ 
entspricht;
\item
Es gibt  einen 
$\DC$-Vektorraum $L$ und 
$\Phi:D\ra \op{Hom}^\times_\DC(V,L)$ meromorph ohne Pole au"serhalb des
Ursprungs  derart,
da"s unter dem
Isomorphismus von holomorphen Vektorb"undeln
$D^\times \times V\sira D^\times \times L$
mit $(z,v)\mapsto (z,\Phi(z)(v))$
 der Zusammenhang $f\mapsto \diff f-Af\diff z$  
 einem Zusammenhang der Gestalt $$g\mapsto \diff g-z^{-1}Cg\diff z$$  
mit $C\in\op{End}_\DC L$ konstant entspricht.
\end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
 Sei $D$ eine offene Kreisscheibe mit Zentrum im Ursprung.
 Bezeichne $\mathcal M^{\op{an}}_{D,0}$ die Garbe aller
  meromorphen Funktionen auf $D$ ohne Pole au"serhalb des Ursprungs. Eine
  freie $\mathcal M^{\op{an}}_{D,0}$-Modulgarbe  von endlichem Rang
   mag man ein {\bf holomorphes B"undel auf $D^\times $ mit meromorpher
    Struktur am Ursprung} nennen.  Ein Zusammenhang auf der Restriktion nach
  $D^\times $ eines derartigen B"undels mit meromorpher Struktur hei"st
  genau dann {\bf mit regul"arer Singularit"at am Ursprung}, wenn auf jedem
  Kreissektor die flachen Schnitte gegen den Ursprung hin h"ochstens so
  schnell wachsen wie die meromorphe Schnitte alias die
globalen Schnitte unserer Modulgarbe.  Um das zu pr"azisieren, mag man
  irgendeine $\mathcal M^{\op{an}}_{D,0}$-Basis unseres freien Moduls 
  betrachten, um die Schnitte unseres B"undels auf offenen Teilmengen von $D^\times 
  $ mit Abbildungen nach $\mathbb C^n$ zu identifizieren, und mag
  das Wachstum bez"uglich irgendeiner Norm auf $\DC^n$ untersuchen.
Der vorhergehende Satz besagt in dieser Sprache, da"s  B"undel auf 
$D^\times $ mit meromorpher Struktur
  am Ursprung und einem Zusammenhang mit regul"arer Singularit"at am Ursprung
  durch die Monodromie ihrer Restriktion auf $D^\times $  klassifiziert werden,
also durch Konjugationsklassen in $\op{GL} (n ; \mathbb C)$.
In der Sprache der Differentialgeometrie  ist weiter die zweite Bedingung
"aquivalent zu der Aussage, da"s es in unserem 
freien $\mathcal M^{\op{an}}_{D,0}$-Modul ein $\mathcal
O^{\op{an}}_{D}$-Gitter
gibt,  das unter den kovarianten Ableitungen nach am Ursprung
verschwindenden Vektorfeldern stabil ist. Unter einem  $\mathcal
O^{\op{an}}_{D}$-Gitter verstehen wir hier einen $\mathcal
O^{\op{an}}_{D}$-Untermodul, der von einer Basis unseres freien $\mathcal
M^{\op{an}}_{D,0}$-Moduls erzeugt wird. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Eine Differentialgleichung der Gestalt $g'=z^{-1}B(z)g$
f"ur $B:D\ra\op{End}_\DC W$ holomorph hei"st auch eine 
{\bf Fuchs'sche Differentialgleichung}.\index{Fuchs'sche Differentialgleichung}
\end{Bemerkungl}


\begin{proof}
F"ur 3$\RA$2 ist gar nichts zu zeigen.
Auch  3$\RA$1 ist unproblematisch: Die lokalen L"osungen von $g'=z^{-1}Cg$
haben die  Gestalt $g(z)=\op{exp}(\op{log}(z)C)v$ f"ur festes $v\in L$ und
einen beliebigen Zweig des Logarithmus und erf"ullen  die
geforderte Wachstumsbedingung. 
Die Implikation 2$\RA$1 folgt unmittelbar  
 aus Korollar \eref{AbLw}{AN2} der allgemeinen 
Absch"atzung \eref{LwDD}{AN2}  f"ur das Wachstum von
L"osungen linearer Differentialgleichungen. Damit bleibt nur
noch 1$\RA$3 zu zeigen. Das aber folgt unmittelbar, wenn wir den 
Beweis von \ref{DGKr} nochmal durchgehen: Der dort 
aus den L"osungen konstruierte
B"undelisomorphismus hat eben unter unseren 
zus"atzlichen Wachstumsbedingungen an die L"osungen die Eigenschaft,
durch eine Abbildung der Gestalt
$(z,v)\mapsto (z,\Phi(z)(v))$ mit
$\Phi:D\ra   \op{Hom}^\times_\DC(V,L)$ meromorph ohne Pole au"serhalb des
Ursprungs gegeben zu werden. 
\end{proof}



\begin{Satz}[\textbf{Fuchs'sche Differentialgleichungen und Monodromie}] 
 Seien $D$ eine offene Kreisscheibe mit Zentrum im Ursprung,
 $V$ ein endlichdimensionaler
komplexer Vektorraum und $A:D^\times \ra \op{End}V$ holomorph.
So sind gleichbedeutend:
\begin{enumerate}
\item 
Der Zusammenhang
$f\mapsto \diff f-Af\diff z$ hat eine regul"are Singularit"at
beim Ursprung und
f"ur beliebiges festes
$t>0$ k"onnen die durch 
 Parallelverschiebung $V_y\sira V_{y\op{exp}({\op{i}}t)}$  
der Faser $V_y=V$ bei $y\in D^\times $ l"angs der Wege 
$[0,t]\ra D^\times $, $\tau\mapsto y\op{exp}({\op{i}}\tau)$
 definierten Selbstabbildungen $M_t$  des Totalraums 
$D^\times \times V$ stetig auf ganz $D\times V$ fortgesetzt werden;
\item
Es gibt $B : D \rightarrow \op{End} V$ holomorph
mit $A(z)=z^{-1}B(z)$.  
\end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Der Beweis wird zeigen, da"s besagte  stetige Fortsetzung 
von $M_t$ auf die Nullfaser durch $M_t=\op{exp}(\op{i}tB(0))$
gegeben wird, also 
durch das Residuum von $A$
oder salopp gesprochen
das Residuum des Zusammenhangs. 
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}
Wir beginnen mit 2$\RA$1 und betrachten wieder
die "Uberlagerung 
$\op{exp}:H\ra D\backslash 0$ f"ur eine geeignete Halbebene
$H=\{w\mid \op{Re}w<c\}$. Wieder ist $f$ genau dann eine
L"osung von $f'(z)=z^{-1}B(z)f(z)$, wenn 
$\phi = f \circ \op{exp}$ eine L"osung der Differentialgleichung 
\begin{equation*}
 \phi^\prime (w) = B ({\op{e}}^w) \phi (w)
\end{equation*}
ist, und das gilt sowohl f"ur globale wie f"ur lokale L"osungen. 
Nach \eref{NDGF}{AN2} haben nun
lineare Differentialgleichungen mit nahe beieinanderliegenden Koeffizienten
auch nahe beieinanderliegende L"osungen.
Bezeichnet genauer $\psi$ L"osungen der Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten $\psi (w) = B (0) \psi (w)$,
so folgt f"ur L"osungen mit demselben Wert an einer Stelle $w_0\in H$
und $\tau \in [0,2 \pi]$ die Absch"atzung
\begin{equation*}
 \| \psi (w_0 + {\op{i}}\tau) - \phi (w_0 + {\op{i}}\tau) \| 
\leq \op{exp}( \| \psi (w_0) \|
\op{sup}_{\op{Re} w = \op{Re} w_0}\| B (0) - B({\op{e}}^w) \|  K)
\end{equation*}
f"ur eine von $w_0$ und $\psi (w_0)$ und $\tau$ unabh"angige Konstanten $K$.
Das zeigt, da"s sich die Monodromie stetig auf die Faser bei Null fortsetzen l"a"st
durch den Automorphismus $M_t= \op{exp} ({\op{i}}t B (0))$.
Um die Implikation  1$\RA$2
zu zeigen, 
w"ahlen wir zun"achst mit Hilfe von 
\ref{rspk} einen komplexen Vektorraum $L$
und  $\Phi:D\ra \op{Hom}^\times_\DC(V,L)$ meromorph ohne Pole au"serhalb des
Ursprungs  derart,
da"s unter dem
Isomorphismus von holomorphen Vektorb"undeln
$D^\times \times V\sira D^\times \times L$
mit $(z,v)\mapsto (z,\Phi(z)(v))$
 der Zusammenhang $f\mapsto \diff f-Af\diff z$  
 einem Zusammenhang der Gestalt $$g\mapsto \diff g-z^{-1}Cg\diff z$$  
mit $C\in\op{End}_\DC L$ konstant entspricht. 
K"onnte hier $\Phi$ holomorph "uber den Ursprung fortgesetzt werden, so
w"aren wir schon fertig und h"atten sogar $B$ konstant erreicht,
was im allgemeinen gar nicht m"oglich ist. 
Unser Isomorphismus mu"s jedoch
das triviale $\mathcal O^{\op{an}}_D$-Gitter
$\mathcal O^{\op{an}}_D\otimes V\subset \mathcal M^{\op{an}}_{D,0}\otimes V$ 
mit einem   
 $\mathcal O^{\op{an}}_D$-Gitter
$\Gamma\subset \mathcal M^{\op{an}}_{D,0}\otimes L$
identifizieren. Nun erinnern wir unsere Bijektion 
 
\end{proof}










% \begin{proof}
%   Die erste Aussage folgt unmittelbar aus dem Anfangswertisomorphismus
%   \ref{AKom}, die Zweite ist eigentlich nur eine Definition f"ur lokal
%   konstante Garben auf punktierten Kreisscheiben.  Die Exponentialabbildung
%   liefert eine holomorphe "Uberlagerungsabbildung $\op{exp}:H\ra D\backslash
%   0$ f"ur eine geeignete Halbebene $H=\{w\mid \op{Re}w<c\}$ und es ist klar,
%   da"s $f$ genau dann eine L"osung ist, wenn $\phi = f \circ \op{exp}$ eine
%   L"osung der Differentialgleichung
%   \begin{equation*}
%     \phi^\prime (w) = A ({\op{e}}^w) \phi (w)
%   \end{equation*}
%   ist. Das gilt sowohl f"ur globale wie f"ur lokale L"osungen.  Sei nun
%   $\phi_1, \ldots , \phi_n$ eine Basis des L"osungsraums.  So gibt es $C \in
%   \op{GL} (n; \mathbb C)$ mit
%   \begin{equation*}
%     (\phi_1 (w + 2\pi{\op{i}}) |
%     \ldots | \phi_n (w + 2 \pi{\op{i}})) = (\phi_1 (w) | \ldots | \phi_n (w)) C
%   \end{equation*}
%   f"ur alle $w$. Koordinatenfrei betrachten wir den Automorphismus $T :
%   \mathcal L \rightarrow \mathcal L$, $\phi \mapsto \phi \circ
%   (+2\pi{\op{i}})$ des L"osungsraums betrachten, der eben in jeder Basis von
%   $\mathcal L$ durch eine Matrix $C$ dargestellt wird.  W"ahlen wir eine
%   Matrix $L \in \op{Mat} (n ; \mathbb C)$ mit $\op{exp} (2\pi{\op{i}} L) =
%   C^{-1}$, so ist das Tupel von holomorphen $V$-wertigen Funktionen
%   \begin{equation*}
%     (\phi_1 (w) | \ldots | \phi_n (w)) \op{exp} (wL)
%   \end{equation*}
%   von der Periode $2\pi{\op{i}}$ und entsteht folglich durch R"uckzug aus
%   einem Tupel von Funktionen $(\psi_1 (z) | \ldots | \psi_n (z))$ auf $D
%   \backslash 0$.  F"ur jeden Zweig $\op{log}(z)$ des Logarithmus auf einer
%   offenen zusammenh"angenden Teilmenge von $D\backslash 0$ und mit der
%   Notation $\op{exp} ((\op{log}z)L)=z^L$ ist also $(\psi_1 (z) | \ldots |
%   \psi_n (z))z^L$ eine Basis des lokalen L"osungsraums.  W"ahlen wir speziell
%   $V=\DC^n$ und betrachten die matrixwertige Funktion $\Psi(z)\pdef(\psi_1 (z)
%   | \ldots | \psi_n (z))$, so "uberf"uhrt die Eichtransformation mit dem
%   B"undelautomorphismus $\Psi^{-1}(z)$ unsere Differentialgleichung in eine
%   Differentialgleichung mit den lokalen L"osungen $z^L$, als da hei"st (?) in
%   die Differentialgleichung
% $$g'(z)=z^{-1}Lg(z)$$
% In anderen Worten ist $g(z)$ genau dann eine L"osung dieser Gleichung, wenn
% $f(z)\pdef\Psi(z)g(z)$ eine L"osung der urspr"unglichen Gleichung ist.
% \end{proof}













\begin{Satz}[\textbf{Fuchs'sche Differentialgleichungen}] 
 Seien $D \co\mathbb C$ eine offene Kreisscheibe mit Zentrum im Ursprung,
 $V$ ein endlichdimensionaler
komplexer Vektorraum und $A : D \rightarrow \op{End} V$ holomorph. 
So gilt:
\begin{enumerate} 
\item
Die Garbe der lokalen holomorphen L"osungen der
Differentialgleichung 
\begin{equation*}
 f^\prime (z) = 
z^{-1} A (z) f (z) 
\end{equation*} auf der punktierten Kreisscheibe 
$D\backslash 0$ 
 ist lokal konstant;
\item Das Verfolgen von L"osungen
  einmal im Gegenuhrzeigersinn um den Ursprung liefert an jeder Stelle $y\in
  D\backslash 0$ einen Automorphismus $M_y:V\sira V$ der Faser bei $y$, die
  \emph{\bf Monodromie bei $y$};\index{Monodromie} 
\item
Die Monodromie $y\mapsto M_y$ h"angt holomorph von $y$ ab
und kann durch $M_0=\op{exp}(2\pi{\op{i}}A(0))$ zu einer holomorphen 
Abbildung $D\ra \op{GL}(V)$ fortgesetzt werden.  
\item
Sogar die Parallelverschiebungen $V_y\sira V_{y\op{exp}({\op{i}}t)}$  
l"angs des Weges $[0,t]\ra D$ mit $\tau\mapsto y\op{exp}({\op{i}}\tau)$
f"ur beliebiges festes
$t$ bilden eine stetige Selbstabbildung des Totalraums 
$(D\backslash 0)\times V$, die stetig auf $D\times V$ fortgesetzt werden kann.
\end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Die ersten drei Teile gelten mit demselben Beweis f"ur
eine beliebige Differentialgleichung der Gestalt
$f^\prime (z) = 
E (z) f (z) $ mit $E$ holomorph auf der  punktierten Kreisscheibe 
$D\backslash 0$. F"ur den dritten \emph{(vierten?)}
Teil ist jedoch die Voraussetzung
wesentlich, da"s sich 
$zE(z)$  holomorph "uber den Ursprung fortsetzen l"a"st. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Die erste Aussage folgt unmittelbar aus dem Anfangswertisomorphismus
\ref{AKom},
die Zweite ist eigentlich nur eine Definition f"ur lokal konstante Garben auf
punktierten Kreisscheiben.
Die Exponentialabbildung liefert eine holomorphe "Uberlagerungsabbildung 
$\op{exp}:H\ra D\backslash 0$ f"ur eine geeignete Halbebene
$H=\{w\mid \op{Re}w<c\}$ und es ist klar, da"s $f$ genau dann eine
L"osung ist, wenn 
$\phi = f \circ \op{exp}$ eine L"osung der Differentialgleichung 
\begin{equation*}
 \phi^\prime (w) = A ({\op{e}}^w) \phi (w)
\end{equation*}
ist. Das gilt sowohl f"ur globale wie f"ur lokale L"osungen. 
Sei nun $\phi_1, \ldots , \phi_n$ eine Basis des L"osungsraums.
So gibt es $C \in \op{GL} (n; \mathbb C)$ mit
\begin{equation*}
 (\phi_1 (w + 2\pi{\op{i}}) |
 \ldots | \phi_n (w + 2 \pi{\op{i}})) = (\phi_1 (w) | \ldots | \phi_n (w)) C
\end{equation*}
f"ur alle $w$. Koordinatenfrei 
betrachten
wir den Automorphismus $T : \mathcal L \rightarrow \mathcal L$, $\phi \mapsto
\phi \circ (+2\pi{\op{i}})$ des L"osungsraums betrachten, der eben in jeder Basis von $\mathcal L$ durch eine Matrix $C$ dargestellt
wird.
W"ahlen wir eine Matrix $L \in \op{Mat} (n ; \mathbb C)$ mit $\op{exp} (2\pi{\op{i}} L) = C^{-1}$, so ist das Tupel von
holomorphen $V$-wertigen Funktionen
\begin{equation*}
 (\phi_1 (w) | \ldots | \phi_n (w)) \op{exp} (wL)
\end{equation*}
von der Periode $2\pi{\op{i}}$ und entsteht folglich durch R"uckzug aus einem
 Tupel von Funktionen
$(\psi_1 (z) | \ldots | \psi_n (z))$ auf $D \backslash 0$.
F"ur jeden Zweig $\op{log}(z)$ des Logarithmus 
auf einer offenen zusammenh"angenden Teilmenge von $D\backslash 0$ 
und mit der Notation $\op{exp} ((\op{log}z)L)=z^L$ ist also
$(\psi_1 (z) | \ldots | \psi_n (z))z^L$
eine Basis des lokalen L"osungsraums. 
W"ahlen wir speziell $V=\DC^n$ und 
betrachten die matrixwertige Funktion 
$\Psi(z)\pdef(\psi_1 (z) | \ldots | \psi_n (z))$,
so "uberf"uhrt die Eichtransformation 
mit dem B"undelautomorphismus 
 $\Psi^{-1}(z)$ unsere Differentialgleichung
in eine Differentialgleichung mit den lokalen
L"osungen $z^L$, als da hei"st (?) in die Differentialgleichung 
$$g'(z)=z^{-1}Lg(z)$$
In anderen Worten ist $g(z)$ genau dann eine L"osung
dieser Gleichung, wenn $f(z)\pdef\Psi(z)g(z)$ eine L"osung der
urspr"unglichen Gleichung ist.


















% $g'(w)=B(w)g(w)$ mit $B=B\circ T$ f"ur $T:w\mapsto w+ 2\pi{\op{i}}$. 
% Mit $g$ ist also auch $g\circ T$ ein L"osung. Ist $L$  ihr
% L"osungsraum,  so liefert f"ur jeden Punkt $w\in H$ das Auswerten einen
% Isomorphismus $\delta_w:L\sira V$. In dieser Notation ist die Monodromie $M_y$
% der Automorphismus $\delta_{u+ 2\pi{\op{i}}}\circ \delta_u^{-1}$ von $V$ f"ur
% einen und jeden Punkt $u\in H$ mit $\exp(u)=y$. 
% Die dritte Aussage folgt aus dieser Erkenntnis ohne weitere Schwierigkeiten.
% Die holomorphe Fortsetzbarkeit auf $D\backslash 0$
% unserer Funktion  folgt unmittelbar.

Das Wesen der Singularit"at 
im Ursprung schlie"slich folgt
 aus der Absch"atzung \eref{AbLw}{AN2} f"ur das Wachstum von
L"osungen linearer Differentialgleichungen.  




Nach \eref{NDGF}{AN2} haben lineare Differentialgleichungen mit nahe beieinanderliegenden Koeffizienten
auch nahe beieinanderliegende L"osungen.
Bezeichnet genauer $\Phi$ L"osungen der Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten $\Phi (w) = C (0) \Phi (w)$,
so folgt f"ur L"osungen mit demselben Wert an einer Stelle $w_0\in H$
und f"ur $t \in [0,2 \pi]$ die Absch"atzung
\begin{equation*}
 \parallel \Phi (w_0 + \op{it} - \phi (w_0 + \op{it} \parallel \leq \op{exp}( \parallel \Phi (w_0) \parallel
\cdot\op{sup}\{\parallel A (0) - A({\op{e}}^w) \parallel \mid \op{Re} w = \op{Re} w_0\} \cdot K)
\end{equation*}
f"ur eine von $w_0$ und $\Phi (w_0)$ unabh"angigen Konstanten $K$.
Das zeigt, dass sich die Monodromie stetig auf die Faser bei Null fortsetzen l"a"st
durch den Automorphismus $M_0= \op{exp} (2\pi{\op{i}} A (0))$.\end{proof}





\begin{Bemerkungl}[\textbf{ Filtrierungen eines Vektorraums}] 
 Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum "uber 
einem K"orper $k$ der Charakteristik Null.\label{MGE} 
So haben wir eine Bijektion
$$\begin{array}{ccc}
 \left\{D \in \op{End} V\left| \begin{array}{c} 
\text{$D$ ist diagonalisierbar}\\
          \text{mit Eigenwerten aus $\DZ$}
         \end{array}\right\}\right.
 & \overset{\sim}{\rightarrow} 
& \left\{\begin{array}{c}\text{Graduierungen }(V^i)_{i\in\DZ}\\
         \text{ von } V\end{array}\right\}\\[8mm]
D&\mapsto & ( \op{Eig} (D; i))_{i\in\DZ}
\end{array}$$
Sicher induziert jede Graduierung auch eine Filtrierung 
durch die $V^{\leq i}$ und wir erhalten so genau alle  
von Null kommenden und voll endenden Filtrierungen 
unseres Vektorraums $V$.
Genau dann f"uhren zwei diagonalisierbare 
Endomorphismen $D,D^\prime$ mit ganzzahligen Eigenwerten
zu  derselben Filtrierung $V^{\leq i}$, 
genau dann also gilt $$\bigoplus_{j \leq i} \op{Eig} (D;j) 
= \bigoplus_{j\leq i} \op{Eig}
(D^\prime; j)$$ f"ur alle $i$, 
wenn wir haben $D^\prime = D + N$ 
mit $N\in \bigoplus_{n < 0} \op{Eig} (\op{ad} D ; n)$.
Ist schlie"slich $T \in \op{GL} (V)$ ein Automorphismus, 
so stabilisiert $T$ die zu $D$ geh"orige Filtrierung  genau dann, wenn gilt
$T D T^{-1} = D + N$ mit $N\in \bigoplus_{n < 0} \op{Eig} (\op{ad} D ; n)$ 
wie zuvor.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Gitter und Filtrierungen}]
 Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum "uber einem K"orper $k$.\label{GH} 
 So erhalten wir zueinander inverse Bijektionen
\begin{eqnarray*}
 \left\{ \begin{array}{l} k \llbracket t\rrbracket \text{-Gitter}\\
          \Gamma \subset V (\!(t)\!) 
         \end{array}\right\} & \overset{\sim}{\longleftrightarrow} &
       \left\{ \begin{array}{c}\text{von Null kommende  voll endende}\\
\text{Filtrierungen } (V^{\leq i})_{i \in \mathbb Z} \text{ auf } V
\end{array}\right\}
\end{eqnarray*}
wie folgt: Jedem Gitter $\Gamma$ ordnen wir 
die  durch $V^{\leq i}_\Gamma := \{ v \in V \mid t^i v \in \Gamma\}$
gegebene 
Filtrierung zu, die man die Filtrierung nach Polordnung 
nennen mag, und umgekehrt jeder Filtrierung das Gitter
$
 \Gamma := \sum_{i \in \mathbb Z} t^i V^{\leq i}
$.
Das alles folgt leicht aus dem Elementarteilersatz.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Gitter und Filtrierungen, Variante}]
 Sei $V$ ein endlichdimensionaler $\DC$-Vektorraum.\label{Gtt} 
 Sei $D$ eine offene Kreisscheibe in der komplexen Zahlenebene mit Zentrum im
 Ursprung. Bezeichne $\mathcal M^{\op{an}}_{D,0}$
 die Garbe aller meromorphen Funktionen
auf $D$ ohne Pole au"serhalb des Ursprungs.
Unter einem $\mathcal O^{\op{an}}_D $-Gitter in einem freien
$\mathcal M^{\op{an}}_{D,0}$-Modul $\mathcal M$ 
von endlichem Rang alias einem B"undel auf $D^\times $ mit meromorpher
Struktur am Ursprung verstehen
wir einen freien $\mathcal O^{\op{an}}_D$-Untermodul $\mathcal M_0\subset
\mathcal M$ derart, da"s die Multiplikation einen Isomorphismus
$$\mathcal M^{\op{an}}_{D,0}\otimes_{\mathcal
  O^{\op{an}}_D}\mathcal M_0\sira \mathcal M$$ liefert. 
F"ur $\mathcal M= V\otimes_\DC\mathcal M^{\op{an}}_{D,0}$  
erhalten wir wieder zueinander inverse Bijektionen
\begin{eqnarray*}
 \left\{ \begin{array}{l} \mathcal O^{\op{an}}_D\text{-Gitter}\\
          \mathcal M_0\subset
\mathcal M
         \end{array}\right\} & \overset{\sim}{\leftrightarrow} &
       \left\{ \begin{array}{c}\text{von Null kommende  voll endende}\\
\text{Filtrierungen } (V^{\leq i})_{i \in \mathbb Z} \text{ auf } V
\end{array}\right\}
\end{eqnarray*}
wie folgt: Jedem Gitter $\mathcal M_0$ ordnen wir 
die Filtrierung \glqq nach der Polordnung\grqq\ durch die $V^{\leq i}
\pdef \{ v \in V \mid  v\otimes t^i \in \mathcal M_0\}$
zu
und umgekehrt jeder Filtrierung das Gitter, das erzeugt wird von den
globalen Schnitten $v\otimes t^i$ mit $v\in V^{\leq i}$ 
und $i\in\DZ$ beliebig.
Das alles folgt leicht aus dem Elementarteilersatz, diesmal angewandt auf 
den diskreten Bewertungsring der Potenzreihen mit positivem Konvergenzradius.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion verschiedener Modulprobleme}] 
Sei $D$ eine offene Kreisscheibe in der komplexen Zahlenebene mit Zentrum im Ursprung.
Wir interessieren uns im folgenden f"ur dreierlei Modulprobleme.
\begin{enumerate}
 \item Holomorphe Vektorb"undel vom Rang $n$ auf $D\backslash 0$ mit einem holomorphen Zusammenhang.
In dieser Situation ist das Konzept einer regul"aren Singularit"at nicht
sinnvoll. Die Zuordnung,
die jeder solchen Struktur ihre Monodromie zuordnet, liefert eine Bijektion zwischen Isomorphieklassen und
Konjugationsklassen in $\op{GL} (n; \mathbb C)$.
\item Bezeichne $\mathcal O^{\op{an}}_D (\infty \cdot 0)$ die Garbe aller meromorphen Funktionen
auf $D$ ohne Pole au"serhalb des Ursprungs. Eine freie $\mathcal O^{\op{an}}_D (\infty \cdot 0)$-Modulgarbe
$\mathcal M$ vom Rang $n$ mag man ein {\bf B"undel auf $D \backslash 0$ mit meromorpher Struktur am
Ursprung} nennen.
Ein Zusammenhang auf der Restriktion nach $D\backslash 0$ eines derartigen B"undels mit meromorpher Struktur
hei"st genau dann {\bf mit regul"arer Singularit"at am Ursprung}, wenn auf jedem Kreissektor die
flachen Schnitte gegen den Ursprung hin 
h"ochstens so schnell wachsen wie meromorphe Schnitte.
Um das zu pr"azisieren, mag man irgendeine $\mathcal O_D^{\op{an}} (\infty \cdot 0)$-Basis von $\mathcal M$
betrachten, um die Schnitte unseres B"undels auf offenen Teilmengen 
von $D \backslash 0$ mit Abbildung nach $\mathbb C^n$ zu identifizieren,
und mag das Wachstum bez"uglich irgendeiner Norm auf $\DC^n$ untersuchen.
Auch diese Strukturen, also 
B"undel auf $D \backslash 0$ mit meromorpher Struktur am
Ursprung und einem Zusammenhang mit regul"arer Singularit"at am Ursprung
 werden klassifiziert durch die 
Monodromie ihrer Restriktion auf $D \backslash 0$, also durch
Konjugationsklassen in $\op{GL} (n ; \mathbb C)$. \emph{Beweis?} 
\item Schlie"slich k"onnen wir noch versuchen, holomorphe B"undel auf ganz 
$D$ mit einem Zusammenhang auf ihrer Restriktion nach $D\backslash 0$ 
alias einem {\bf singul"aren Zusammenhang} zu
klassifizieren.
Wieder ist es einfacher, sich auf den Fall regul"arer Singularit"at
 zu beschr"anken, wie sie  im vorhergehenden Fall 
sogar allgemeiner 
f"ur B"undel mit meromorpher Struktur am Ursprung erkl"art wurde.
 Weiter wollen wir in unserer  Situation hier
zus"atzlich die Forderung stellen, 
 da"s sich f"ur jeden Winkel  die 
durch Parallelverschiebung im Gegenuhrzeigersinn 
um diesen Winkel gegebene Selbstabbildung 
des Komplements der Nullfaser im
Totalraum
unseres B"undels  stetig
auf die Nullfaser fortsetzen l"a"st. 
\end{enumerate}
\end{Bemerkungl}



Nun werden nach \ref{Gtt} die $\mathcal O_D^{\op{an}}$-Gitter in $\mathcal O^{\op{an}}_D (\infty \cdot 0)^n$ parametrisiert durch
Filtrierungen von $\mathbb C^n$ und diese hinwiederum entsprechen "Aquivalenzklassen von diagonalisierbaren Matrizen $D \in \op{Mat} (n ;\mathbb C)$
mit ganzzahligen Eigenwerten nach \ref{MGE}.
Ist unser Zusammenhang dargestellt, dass seine flachen Schnitte die L"osungen der Differentialgleichung
\begin{equation*}
 \gamma^\prime (z) = z^{-1} L \gamma (z)
\end{equation*}
sind f"ur $L \in \op{Mat} (n;\mathbb C)$ was wir nach Teil 2 ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen d"urfen, so sollte die
Fortsetzbarkeit der Monodromie "aquivalent sein zur Bedingung
\begin{equation*}
 e^{2\pi i L} D e^{-2\pi iL} \cong D
\end{equation*}
f"ur die besagte "Aquivalenzrelation, alias $(\op{exp} (2 \pi i \op{ad} L)) D = D + N$ mit
$N$ wie bei der Definition der "Aquivalenzrelation.
Das hinwiederum scheint "aquivalent zur Bedingung, ??

Wie auch immer, das letzte Modulproblem wird dann 
wohl gel"ost durch die
Daten eines endlichdimensionalen $\DC$-Vektorraums $V$ 
mit einem Automorphismus $T\in\op{GL}(V)$ und einer
bei Null beginnenden voll endenden durch $i\in\DZ$ indizierten
$T$-stabilen Filtrierung darauf. 
Jedem Zusammenhang odnet man zu eine Faser 
$V$ mit ihrem Monodromieautomorphismus
und der Filtrierung durch die Teilr"aume $V^{\leq i}$ derjenigen Vektoren 
der Faser, bei denen der flache Schnitt durch besagten Vektor 
bei holomorpher Fortsetzung l"angs eines beliebigen Weges zum Ursprung
f"ur hinreichend gro"ses $r$ 
nach Multiplikation mit $z^i(\op{log}|z|)^{-r}$ gegen Null strebt.


\begin{Bemerkung}
 Die Funktionen $f_n (z)\pdef (\log z)^n/n! $ haben f"ur jeden Zweig des Logarithmus $\log$ die
Eigenschaften $f^\prime_{n+1} (z) = z^{-1} f_n (z)$, und
 $f_0 (z) =1$ ist  konstant.
Das System
\begin{equation*}
 \gamma^\prime (z) = z^{-1}J(n+1) \gamma (z)
\end{equation*}
mit $J(n+1)\in\op{Mat}(n+1;\DC)$ dem nilpotenten Jordanblock 
wie in \ref{NJB} hat demnach als L"osungen die vektorwertigen Funktionen
\begin{equation*}
(1,0, \ldots , 0), (f_1, 1, 0, \ldots , 0), (f_2, f_1, 0, \ldots , 0), \ldots, (f_n, f_{n-1} , \ldots ,
f_1, 1).
\end{equation*}
Wir folgern, da"s f"ur jede von Null verschiedene L"osung $\gamma$ auf einem
Kreissektor die Menge $E(\gamma)$ der Paare $(i,r) \in \mathbb Z \times \mathbb N$ derart,
da"s $z^i (\log |z|)^{-r} \gamma (z)$ in einer Umgebung des Ursprungs 
beschr"ankt ist, 
die folgenden Eigenschaften hat:
$E(\gamma)$ umfa"st $\mathbb Z_{>0} \times \mathbb N$,
$E(\gamma)$ ist disjunkt 
zu  $\mathbb Z_{<0} \times \mathbb N$, und $E(\gamma)$
enth"alt fast alle Elemente von $\{0\} \times \mathbb N$. 
Dasselbe folgt f"ur die von Null verschiedenen L"osungen
$\gamma$ einer Gleichung der Gestalt
\begin{equation*}
 \gamma^\prime (z) = z^{-1} A \gamma (z)
\end{equation*}
mit $A$ einem nilpotenten Endomorphismus eines endlichdimensionalen komplexen Vektorraums.
Koordinatenfrei erkennt man das daran, da"s die L"osungen ja die Gestalt
$\gamma (z) = z^A = \op{exp} ((\log z) A) v$ haben f"ur Zweige des Logarithmus und dass die 
Exponentialreihe in diesem Fall abbricht.
In diesem Fall erkennt man also in der Tat die Filtrierung am Wachstumsverhalten der L"osungen.
                                                                             
\end{Bemerkung}
\newpage
\section{Schrotthalde} 
\subsection{Komplexe und reelle Differenzierbarkeit}\label{cKDD}
\begin{Bemerkungl}
Zun"achst einmal bitte ich den Leser, sich die in \eref{KoZa}{LA1}
eingef"uhrten Grundlagen zum Rechnen mit komplexen
Zahlen sowie Abschnitt \eref{eC}{AN1} zur komplexen Exponentialfunktion 
in Erinnerung zu rufen. Je nach Vorbildung mag es eine gute Idee sein,
die Vorlesung mit einer Wiederholung dieser Abschnitte
und insbesondere auch einer Diskussion
der Integration rationaler Funktionen
\eref{IRFu}{AN1} zu beginnen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Eine grundlegende
  Schwierigkeit beim Durchdringen der Funktionentheorie scheint
  zu sein, da"s gleichzeitig zwei sehr verschiedene
  Arten von Funktionen betrachtet
  werden: \begin{enumerate}
  \item
    Funktionen $\DR\ra\DC$ oder allgemeiner
  Funktionen $I\ra \DC$ f"ur mehrpunktige Intervalle $I\subset \DR$,
  darunter insbesondere auch Funktionen $I\ra \DR$;
 \item  Funktionen $\DC\ra\DC$ oder allgemeiner
  Funktionen $U\ra \DC$ f"ur offene Teilmengen $U\co\DC$.
  \end{enumerate}
  Und dann ist es zu allem "Uberflu"s so, da"s man oft Kompositionen von Funktionen der Typen
  $\DR\ra\DR\ra\DC$ oder $\DR\ra\DC\ra\DC$ zu betrachten hat und
  f"ur deren Ableitung die Kettenregel braucht. Um so eine
  Regel in hinreichender Allgemeinheit
  bereitzustellen, f"uhre ich im folgenden einen Begriff
  von \glqq komplexer Differenzierbarkeit\grqq\ f"ur Funktionen
  $f:D\ra\DC$ mit sehr allgemeinem Definitionsbereich $D\subset \DC$ ein,
  der insbesondere den Fall eines mehrpunktigen
  reellen Intervalls $D=I\subset\DR\subset \DC$ und den Fall einer
  offenen Teilmenge  $D=U\co \DC$ umfa"st, und beweise die Kettenregel
  in dieser Allgemeinheit. Im ersten Fall eines mehrpunktigen
  reellen Intervalls als Definitionsbereich bedeutet unsere
  im folgenden erkl"arte komplexe Differenzierbarkeit nur
  die reelle Differenzierbarkeit von
  Real- und Imagin"arteil. Im zweiten Fall einer offenen Teilmenge
   der komplexen Zahlenebene als Definitionsbereich bedeutet sie
  jedoch viel st"arker die G"ultigkeit der \glqq Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen\grqq, wie im darauffolgenden Abschnitt
  noch ausf"uhrlich besprochen werden soll.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}]
  Andere Autoren erkl"aren abweichend die \glqq komplexe Differenzierbarkeit\grqq\
  "uberhaupt nur f"ur auf offenen Teilmengen $U\co \DC$ erkl"arte
  komplexwertige Funktionen. In diesem Fall f"allt er dann zusammen
  mit dem Begriff der  \glqq Holomorphie\grqq, wie er in diesem Text verwendet wird.
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}\label{cDEVc}
Seien $D\subset\DC$ eine Teilmenge und $p\in D$
ein  H"aufungspunkt. Eine Funktion $f: D \ra \Bbb{C}$
hei"st {\bf komplex differenzierbar bei $p$ mit Ableitung $b \in \Bbb{C}$},
\index{komplex differenzierbar} wenn
gilt
$$\lim_{z\ra p}
\frac{f(z) - f(p)}{z-p} = b$$
Wir k"urzen diese Aussage ab durch $f^{\prime}(p) = b$ 
und nennen $f'(p)$ die 
{\bf Ableitung} oder 
ausf"uhrlicher die {\bf komplexe Ableitung}\index{Ableitung!komplexe}
der Funktion $f$ an der Stelle $p$. 
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion des Konzepts der komplexen Differenzierbarkeit}] 
Unter einem H"aufungspunkt von $D$ verstehen wir wie in \eref{HuT}{AN1} 
 einen Punkt $p\in D$ mit der 
Eigenschaft, da"s es f"ur jedes $\varepsilon >0$ ein $z\in D$ gibt mit
$0<|z-p|<\varepsilon$.
Der Grenzwert in \ref{cDEVc} ist im Sinne von \eref{GeFuA}{AN1} zu verstehen.
Ausgeschrieben f"ur unseren Spezialfall bedeutet 
$\lim_{z\ra p} g(z)=b$ f"ur $g:D\ra\DC$ also, da"s es f"ur jedes
$\varepsilon>0$ ein $\delta>0$ gibt mit 
$0<|z-p|<\delta\RA |g(z)-p|<\varepsilon$. 
Unsere Definition der komplexen Differenzierbarkeit ist 
identisch zu unserer  Definition der \glqq rellen Differenzierbarkeit\grqq\ 
\eref{DEV}{AN1} bis auf
die Details, da"s wir (1) "uberall statt reeller Zahlen komplexe Zahlen betrachten,
da"s wir (2) etwas allgemeinere Definitionsbereiche zulassen,
und da"s wir (3), wie im Komplexen "ublich, die
Variable mit $z$ bezeichnen. Den Definitionsbereich 
unserer Funktion haben wir statt mit $I$ hier mit  $D$
bezeichnet, weil neben dem Fall 
eines mehrpunktigen reellen
Intervalls  der Fall einer offenen Teilmenge der komplexen
Zahlenebene besonders relevant
sein wird. Im Fall eines mehrpunktigen  reellen Intervalls 
 stimmt die hier
definierte Ableitung im "ubrigen "uberein mit der 
Ableitung im Sinne von \eref{Gesch}{AN1}. 
Der Rest dieses Abschnitts besteht nun darin, unsere Resultate zur
reellen Differenzierbarkeit mitsamt ihren Beweisen 
im Komplexen zu wiederholen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{cNoAc}%\label{VD}
Ich gebe noch einige  alternative Formulierungen an. Ist $D \subset \Bbb{C}$ 
eine Teilmenge und $p\in D$ 
ein H"aufungspunkt von $D$, so ist nach \eref{GeFuA}{AN1} eine Funktion 
$f: D \ra \Bbb{C}$ komplex
differenzierbar bei $p$ mit Ableitung $b \in \Bbb{C}$ genau
dann, wenn es eine Funktion $\varphi : D \ra \Bbb{C}$ gibt, die stetig ist bei
$p$ mit Funktionswert $\varphi (p) =b$ derart, da"s f"ur alle $z\in D$ gilt
$$ f(z) = f(p) + (z-p)\varphi (z)$$
In anderen nochmals anderen Formeln  ist 
unsere Funktion $f:D\ra \DC$ komplex differenzierbar
bei $p$ mit Ableitung $b$ genau dann, wenn gilt
$$f(p+h)=f(p)+ bh + \varepsilon(h)h$$
f"ur eine 
Funktion $\varepsilon$,  die stetig ist bei Null  und die dort den Wert 
Null annimmt. Hier ist zu verstehen, da"s die Funktion
$\varepsilon$ 
definiert sein  soll auf der Menge aller $h$ mit $h+p\in D$.
Diese Formulierung 
hat den Vorteil, da"s besonders gut zum Ausdruck kommt,
inwiefern f"ur  festes $p$ und kleines $h$ 
der Ausdruck $f(p)+ f'(p)h$ eine gute Approximation von $f(p+h)$ ist.
Anschaulich wirkt $f$ lokal um einen gegebenen Punkt $p$ in erster
Approximation wie eine Drehstreckung mit Zentrum in besagtem Punkt,
deren Winkel und Streckfaktor durch $f'(p)$ beschrieben werden, 
gefolgt von einer Verschiebung um $f(p)$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiele}\label{tAKc}
Eine konstante Funktion auf einer Menge von komplexen Zahlen 
ist bei jedem H"aufungspunkt besagter Menge
komplex differenzierbar mit Ableitung Null.
Die Funktion $\op{id}:\Bbb{C}\ra\Bbb{C}$, $ z\mapsto z$ hat bei jedem Punkt $p$
die Ableitung $\op{id}'(p)=1$. Ist $f:D\ra\DC$ komplex differenzierbar bei $p\in D$ und $E\subset D$ eine Teilmenge, f"ur die $p$ auch ein H"aufungspunkt ist, so ist auch $f|_E$ komplex differenzierbar bei $p$ mit derselben Ableitung.
\end{Beispiele}
\begin{Beispiele}
  Eine Funktion $f:\DR\ra \DR$ ist komplex differenzierbar bei 
$p\in\DR$ genau dann, wenn
sie dort reell differenzierbar ist. Ihre Ableitung stimmt in diesem Fall mit
der "ublichen Ableitung aus \eref{DEV}{AN1} "uberein. Ist allgemeiner 
$D\subset \DR$ eine Teilmenge und $p\in D$ ein H"aufungspunkt, so ist eine
Abbildung  $f:D\ra \DC$ komplex differenzierbar bei $p$ genau dann, wenn sie 
bei $p$ differenzierbar ist als raumwertige Abbildung im Sinne von
\eref{Gesch}{AN1} und ihre Ableitung stimmt in diesem Fall mit
der  Ableitung aus \eref{Gesch}{AN1} "uberein. 
\end{Beispiele}
\begin{Lemma}\label{cAKc}
Die Funktion $z\mapsto \frac{1}{z}$ ist komplex differenzierbar 
bei jedem Punkt von $\Bbb{C}^{\times}$
und ihre Ableitung bei einer Stelle $p\in \Bbb{C}^{\times}$ 
ist $-\frac{1}{p^{2}}$.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis] Wir rechnen
$\lim_{z\ra p} \frac{\frac{1}{z}-\frac{1}{p}}{z-p} = \lim_{z\ra p}
\frac{-1}{zp} = -\frac{1}{p^{2}}$.
\end{proof}


\begin{Lemma}
Seien $D\subset\DC$ eine Teilmenge und $p\in D$ ein H"aufungspunkt. Ist eine
Funktion $f:D\ra\DC$ komplex differenzierbar bei $p$, 
so ist $f$ stetig bei $p$.
\end{Lemma}
\begin{proof}
Das folgt sofort aus  \ref{cNoAc}.
\end{proof}










\begin{Proposition}[\textbf{Summenregel und  Produktregel}]  
Sei $D\subset\DC$ eine Teilmenge und seien 
$f,g : D \ra \Bbb{C}$ komplex differenzierbar bei einem 
H"aufungspunkt  $p\in D$. So sind auch\label{cPSc} 
die Funktionen $f+g$ und
$fg$ komplex differenzierbar bei $p$ und es gilt
$$
 (f+g)^{\prime} (p) = f^{\prime}(p) 
+ g^{\prime}(p)\quad\text{und}\quad
 (fg)^{\prime}(p)= f^{\prime}(p)g(p) + f(p) g^{\prime}(p)
$$
\end{Proposition}
\begin{proof}
Identisch zum Beweis  im Reellen nach \eref{APSu}{AN1}.
\end{proof}
%\begin{proof}[Beweis]
%Wir schreiben wie in \ref{NoAc}
%$$\begin{array}{ccccccc}
%f(p+h)& = & f(p) & + & f'(p)h& +&\varepsilon (h)h\\
%g(p+h)& = & g(p) & + & g'(p)h &+&\hat{\varepsilon} (h)h
%\end{array}$$
%f"ur Funktionen $\varepsilon, \hat{\varepsilon}$, die stetig
%sind bei Null die dort den Wert Null annehmen,
%und erhalten durch Addieren bzw.\ Multiplizieren dieser Gleichungen
%$$
%\begin{array}{cccll}
%(f+g) (p+h) &=& (f+g)(p) &+ \left[f'(p)+g'(p)\right]h\;\; +
%\left[\varepsilon (h)+\hat{\varepsilon} (h)\right]h\\[3mm]
%(f g)(p+h) &=& (f g)(p)&+ \left[f'(p)g(p)+ f(p)g'(p)\right]h\\[1mm]
%&&&\hspace{1cm}+\left[\varepsilon (h)g(p) + f(p)\hat{\varepsilon} (h) +
%h\varepsilon (h)\hat{\varepsilon} (h)\right]h
%\end{array}$$
%Nach unseren Kenntnissen "uber stetige Funktionen steht aber in der
%zweiten eckigen Klammer auf der rechten Seite 
%jeder dieser Gleichungen
%eine Funktion, die stetig ist bei $h=0$ und die dort den Wert Null annimmt.
%\end{proof}
\begin{Definition}
Ist eine Funktion $f:D\ra\Bbb{C}$ definiert auf einer 
Teilmenge
$D\subset\DC$ ohne isolierte Punkte 
und komplex differenzierbar bei jedem Punkt von $D$,
so nennen wir $f$ 
{\bf komplex differenzierbar auf $D$}
und nennen die Funktion
$f':D\ra\Bbb{C}$, $p\mapsto f'(p)$ 
ihre {\bf Ableitung}.\index{Ableitung!komplexe}   
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
  F"ur die Ableitungen komplex differenzierbarer
Funktionen mit gemeinsamem Definitionsbereich 
gelten mithin die \defind{Summenregel} und die
 \defind{Produktregel} oder\label{LPR}  
{\bf Leibniz-Regel}\index{Leibniz-Regel!f"ur komplexe Funktionen}
  $$(f+g)'=f'+g' \quad\text{und}\quad(fg)'=f'g+fg'$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Korollar}[\textbf{Ableiten ganzzahliger Potenzen}]\label{cAGPc}
F"ur alle $n\in\DZ$ und unter der Voraussetzung $z\neq 0$ im Fall $n\leq 0$
ist die Ableitung der Funktion $z\mapsto z^n$
die Funktion $z\mapsto nz^{n-1}$.
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Man zeigt das durch vollst"andige Induktion "uber $n$ separat f"ur
$n\geq 0$ und $n\leq -1$ unter Verwendung 
der Regeln \ref{tAKc} f"ur die Ableitung der Konstanten und der
Funktion $z\mapsto z$,  der 
Regel \ref{cAKc} f"ur die Ableitung der Funktion $z\mapsto 1/z$
und der Produktregel \ref{LPR}.
\end{proof}

\begin{Satz}[\textbf{Kettenregel}]\label{KRc}
Seien $D,E\subset\DC$ Teilmengen  
und\index{Kettenregel!in einer Ver"anderlichen!komplex} 
$f : D \ra \Bbb{C}$ und $g : E \ra \Bbb{C}$ Funktionen und es gelte
$f(D) \subset E$. Sei $f$ komplex 
differenzierbar bei einem H"aufungspunkt $p\in D$ und
sei $f(p)$ ein H"aufungspunkt von $E$ und $g$ komplex differenzierbar bei
$f(p)$.
So ist $g\circ f: D \ra \Bbb{C}$ komplex differenzierbar bei $p$ mit
Ableitung
$$(g\circ f)^{\prime}(p) = g^{\prime} (f(p)) \cdot f^{\prime}(p)$$
\end{Satz}
\begin{proof}
Identisch zum Beweis im Reellen nach \eref{KeRe}{AN1}. Man beachte, da"s nun rechts
ein Produkt
komplexer Zahlen steht.
\end{proof}
\begin{Beispiel}
Wir berechnen f"ur $\lambda,\mu\in\DC$ und $m\geq 1$ eine nat"urliche Zahl
die Ableitung der Funktion $\DR \ra\DC$ gegeben durch
$f:t\mapsto (t^2+ \lambda t +\mu)^m$ und erhalten mit der Kettenregel
$f'(t)=(2t+\lambda)m(t^2+ \lambda t +\mu)^{m-1}$.
Schalten wir noch eine differenzierbare Abbildung 
$t:\DR\ra\DR$, $\tau\mapsto t(\tau)$ davor, so ergibt sich die Ableitung
der zusammengesetzten Funktion wieder mit der Kettenregel zu
$$\frac{\diff f}{\diff \tau}=\frac{\diff f}{\diff t}\frac{\diff t}{\diff
  \tau}
=(2t(\tau)+\lambda)m(t(\tau)^2+ \lambda t(\tau) +\mu)^{m-1}\frac{\diff t}{\diff
  \tau}$$
\end{Beispiel}
%\begin{proof}[Beweis]
%Der 
%besseren "Ubersichtlichkeit halber
%benutzen hier Gro"sbuchstaben f"ur die Ableitungen
%und setzen  $ f'(p)=L$ und $g'(f(p))=M$. 
%Wir haben
%$$\begin{array}{rll}
%f(p+h)&=& f(p)+Lh+\varepsilon(h)h\\[2mm]
%g(f(p)+k)&=& \;\! g(f(p)) + Mk+\hat{\varepsilon} (k)k
%\end{array}$$
%f"ur Abbildungen $\varepsilon$ und 
%$\hat{\varepsilon}$, die stetig
%sind bei Null und die dort verschwinden.
%Wir erhalten durch Einsetzen
%$$\begin{array}{lll}
%g( f (p+h)) &=& g(f(p)+Lh+\varepsilon(h)h)\\[2mm]
%&=& g(f(p)) + MLh + M\varepsilon(h)h+ \hat{\varepsilon}
%(Lh+\varepsilon(h)h)(L+\varepsilon(h))h
%\end{array}$$
%Es ist nun aber offensichtlich, da"s 
%sich hier die Summe der 
%Terme ab dem dritten Summanden 
%in der Gestalt $\eta(h)h$ schreiben l"a"st
%f"ur eine Abbildung $\eta$,  die stetig
%ist bei Null und die dort verschwindet, und wir erhalten so
%$$(g\circ f)(p+h)=(g\circ f)(p)+MLh +\eta(h)h\qedhere $$
%\end{proof}


\begin{Proposition}[\textbf{Quotientenregel}]
\index{Ableitung!von Br"uchen, komplex}\index{Quotientenregel!im Komplexen}
Seien $D\subset\DC$ eine Teilmenge, $f:D \ra \Bbb{C}$
eine Funktion ohne Nullstelle und $p\in D$ ein H"aufungspunkt.\label{cQRc} 
\begin{enumerate}
\item
Ist $f$ komplex differenzierbar bei $p$, 
so ist auch $z \mapsto 1/{f(z)}$
komplex differenzierbar bei $p$ 
und hat dort die Ableitung ${-f^{\prime}(p)}/
{f(p)^{2}}$.
\item
Ist zus"atzlich $g: D\ra \Bbb{C}$ komplex differenzierbar bei $p$, so ist auch
${g}/{f}$ komplex differenzierbar bei $p$ mit Ableitung $$
\left(\frac{g}
{f}\right)^{\prime}(p)=
\frac{g'(p)f(p) -g(p)f'(p)}
{f(p)^{2}}$$
\end{enumerate}
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Teil 1 folgt sofort aus \ref{cAKc} mit der Kettenregel \ref{cKRc}.
Teil 2 folgt aus Teil 1 mit der Produktregel \ref{cPSc}.
\end{proof}


\subsection{Reste Charaktere}


\begin{Definition}
Gegeben eine Gruppe $G$ notieren wir 
$\frak{X} (G) \pdef \op{Grp} (G, \Bbb{C}^{\times})$ die Menge
aller Gruppenhomomorphismen von $G$ nach $\Bbb{C}^{\times}$. Sie hei"sen
die {\bf Charaktere}\index{X@$\frak{X} (G)$ Charaktere!von abstrakter Gruppe} oder genauer die 
{\bf multiplikativen komplexen 
Charaktere}\index{Charakter!multiplikativer komplexer} 
unserer Gruppe $G$.
Die Charaktere bilden eine Untergruppe von $\op{Ens} (G,\Bbb{C}^{\times})$
und jeder Gruppenhomomorphismus
$G \ra H$ liefert 
durch Vorschalten 
einen Gruppenhomomorphismus $\frak{X} (H) \ra \frak{X} (G)$
in der Gegenrichtung auf ihren Charaktergruppen.
\end{Definition}

\begin{Lemma}
F"ur jede endliche abelsche Gruppe $G$ und jeden Charakter $\chi\in \frak{X}(G)$ gilt\label{CHTT}
\begin{displaymath}
\sum_{g \in G} \chi (g) = \left\{ \begin{array}{cl}
|G| & \chi \text{ ist konstant} ;\\
0 &\text{sonst.}
\end{array}\right.
\end{displaymath}
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Im Fall des konstanten Charakters  ist das eh klar.
In jedem Fall gilt f"ur jedes Element $g_1\in G$ nat"urlich
\begin{displaymath}
\sum_{g\in G} \chi (g) = \sum_{g\in G}
\chi(g_1 g) = \chi (g_1)
\sum_{g\in G} \chi (g)
\end{displaymath}
Ist nun der Charakter $\chi$ nicht konstant, so
gibt es ein $g_1\in G$ mit
$\chi(g_1)\neq 1$ und das Lemma folgt
auch in diesem Fall.
\end{proof}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{Proposition}\label{keSC}
Gegeben  endliche
abelsche Gruppen $H\subset G$ l"a"st sich jeder Charakter von $H$
zu einem Charakter von $G$ fortsetzen.
\end{Proposition}
\begin{Bemerkunge}
Die Proposition gilt auch ohne die Voraussetzung der Endlichkeit.
Das zeigt man, indem man im folgenden 
Beweis mit dem  Zorn'schen Lemma argumentiert.
In der Sprache der \glqq exakten Sequenzen\grqq\  besagt die Proposition,
da"s f"ur jede kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen 
$G^\prime \hookrightarrow
G \twoheadrightarrow G^{\prime\prime}$  auch die 
induzierte Sequenz auf den
Charaktergruppen eine kurze exakte Sequenz
$\frak{X} (G^{\prime\prime}) \hookrightarrow \frak{X} (G) \twoheadrightarrow \frak{X}(G^{\prime})$
ist. In der Sprache der homologischen Algebra besagt sie, da"s 
die abelsche Gruppe $\DC^\times$ injektiv ist, vergleiche 
\eref{IAG}{TS}.
\end{Bemerkunge}
\begin{proof}[Beweis]
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir 
annehmen, da"s 
$G$ erzeugt wird von $H$ und
einem einzigen weiteren Element $g$.
Ist $n \geq 1$ 
kleinstm"oglich mit $g^n \in
H$, so hat jedes Element von $G$ eine eindeutige Darstellung der Gestalt
$g^\nu h$ mit $0\leq \nu < n$ und $h \in H$.
W"ahlen wir eine $n$-te Wurzel $w$ 
von $\chi (g^n)$, so k"onnen wir unseren
Charakter fortsetzen zu einem Charakter 
$\tilde{\chi} : G \ra \Bbb{C}^{\times}$ durch die
Vorschrift $\tilde{\chi} (g^\nu h) = w^\nu \chi (h)$.
\end{proof}
\begin{Lemma}
F"ur jede endliche abelsche Gruppe $G$ und jedes Element $g\in G$  gilt
\label{ChT}\begin{displaymath}
\sum_{\chi \in \frak{X} (G)} \chi (g) = \left\{ \begin{array}{cc}
|G| & g =1;\\
0 &\text{sonst.}
\end{array}\right.
\end{displaymath}
\end{Lemma}
\begin{Bemerkunge}
  Man kann leicht zeigen, da"s f"ur jede endliche abelsche Gruppe
die offensichtliche Abbildung einen
  Isomorphismus $G\sira \frak{X}(\frak{X}(G))$ liefert.  Damit kann man das
  Lemma auch aus \ref{CHTT} folgern.  Mir schien jedoch das direkte Argument
  "ubersichtlicher.
\end{Bemerkunge}

\begin{proof}[Beweis]
Der Fall $g=1$ ist eh klar.
Schreiben wir die Verkn"upfung von Charakteren multiplikativ, also
$(\chi \chi_1)(g)= \chi (g) \chi_1(g)$, so gilt f"ur jedes 
$g \in G$ die Formel
\begin{displaymath}
\sum_{\chi \in \frak{X} (G)} \chi (g) = \sum_{\chi \in \frak{X} (G)}
(\chi_1 \chi)(g) = \chi_1 (g)
\sum_{\chi \in \frak{X} (G)} \chi (g)
\end{displaymath}
Im Fall $g\neq 1$ gibt es nun nach \ref{keSC} und \ref{CEW} einen
Charakter $\chi_1$ mit $\chi_1 (g) \neq 1$. Das
Lemma folgt.
\end{proof}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXFT1"
%%% End: