\section{Der Lesekurs Garbenkohomologie im SS 2025}
Es handelt sich um eine zweist"undigen Lesekurs, der
einen Lesekurs im Wintersemester fortsetzt.
\begin{enumerate}
\item[6.5] Wiederholung Vergleichss"atze. Faserfunktoren,
  kartesische Schnitte, R"uckzug, R"uckzug von Garben als Beispiel.
\item[13.5]
  R"uckzug, Vorschub, Basiswechsel \ref{idi} folgende. Eigentlicher Basiswechsel und offener Basiswechsel als Isomorphismen. Schreivorschub und zugeh"origer
  Basiswechsel.
\item[27.5]  Garben als Schmelzkategorie \eref{kspg}{TSF}
  ganzer Abschnitt. Das braucht etwas Zeit, da man sich mit der
  Begrifflichkeit der Schmelzkategorien vertraut machen mu"s. Ich habe das
  auf deutsch so getauft, man mag es als \glqq symmetric multicategory\grqq\
  googeln.
\item[3.6]  Fragen zu Garben als Schmelzkategorie.
  Motivation zu derivierter Kategorie.
\item[17.6] Planung: Derivierte Kategorie. Anmoderieren derivierte Funktoren.
\item[24.6] Planung:  Derivierte Funktoren. Orelokalisierung durch
  Indobjekte \eref{OLPO}{TD}. Rechtsfaktorierter Funktor \eref{urdv}{TD}.
  Zahmer Rechtsfaktorierter Funktor \eref{zRD}{TD}. Faktorieren mit injektiven
  Aufl"osungen \eref{fIa}{TD}.
\item[1.7] Planung: $\op{A}_\infty$-Strukturen. Ich habe es etwas angeguckt und
  bin nicht so angetan. Nochmal nachdenken. 
\end{enumerate}

\newpage
\section{Die Vorlesung Garbenkohomologie im WS 17/18}
Es handelte sich um eine vierst"undige Vorlesung, also 4$\times$45
Minuten Vorlesung, mit 2 Stunden "Ubungen. 
\begin{enumerate}
 \item[20.10] 
   Erste Cech-Kohomologie mit Koeffizienten
   in einer diskreten Gruppe und der Bezug zu
   $n$-bl"attrigen  "Uberlagerungen im Fall
   der Gruppe $\mathcal S_n$. Diskussion von
   Kolimites von Mengen, noch nicht ganz allgemein.
   Adjungierte Funktoren waren vielen nicht vertraut.
 \item[23.10]
   Pr"agarben. Erste Cech-Kohomologie  von Pr"agarben von Gruppen.
   Torsoren. Erste Cech-Kohomologie in Bijektion zu
   Isomorphieklassen von Torsoren. K"ocher, Kolimites, Limites.
   Erste Cech-Kohomologie, ganzzahlige, als erste singul"are Kohomologie.
 \item[27.10]
   H"ohere Cech-Kohomologie abelscher Pr"agarben. Garben und ihre
   \'etalen R"aume. Topologie auf \'etalem Raum angegeben, aber noch
   nichts bewiesen.
 \item[3.11]
   Topologie des \'etalen Raums. Adjungierte Funktoren und ihre Bedeutung
   f"ur die Konstruktion von "Aquivalenzen von Kategorien. Noch nicht
   "Aquivalenz zwischen \'etalen R"aumen und Garben.
 \item[6.11]
   "Aquivalenz zwischen \'etalen R"aumen und Garben. Garbifizierung.
   Kerne, Kokerne, Monos, Epis, pr"aabelsche Kategorien, additive Struktur,
   additive und abelsche Kategorien. Noch nicht Eindeutigkeit der
   additiven Struktur.
 \item[10.11]
   Eindeutigkeit der
   additiven Struktur. Die abelschen Garben sind eine abelsche Kategorie,
   und Exakheit kann auf den Halmen erkannt werden. Lange exakte
   Homologiesequenz in abelscher Kategorie, ohne den allgemeinen Beweis.
 \item[13.11]
   Injektive Objekte, injektive Aufl"osungen,
   Hauptlemma der homologischen Algebra, derivierte Funktoren, $\op{Ext}$,
   Garbenkohomologie.
 \item[17.11] Lange exakte Sequenz der derivierten Funktoren.
   Derivieren mit azyklischen Aufl"osungen. Welke Garben sind globale-Schnitte-azyklisch.
 \item[20.11] Singl"are Kohomologie als Garbenkohomologie.
   Am Schlu"s etwas zu wenig Zeit gehabt, ich sollte doch
   nochmal drangehen.
 \item[24.11] Singl"are Kohomologie als Garbenkohomologie fertig.
   Erste Spektralsequenzargumente. Rechtstor ist Linkstor.
   Garbenkohomologie durch azyklische "Uberdeckungen, sollte
   am Schlu"s nochmal drangehen.
\item[27.11] 
  Garbenkohomologie durch azyklische "Uberdeckungen
  zu Ende gebracht. Kompakte Garbenkohomologie, aber "Aquivalenz mit
  der kompakten singul"aren nicht bewiesen. Garbenkohomologie von
  Teilmengen der Zahlengeraden. Ausgezeichnete Dreiecke, Drehen von
  ausgezeichneten Dreiecken.
\item[1.12]
  Ausgezeichnetes Dreieck zu kurzer exakter Sequenz.
  Nat"urlichkeit der langen exakten Funktorsequenz.
  Zur"uckholen in der Garbenkohomologie. Komorphismen, Opkomorphismen,
  Vorschub. Zur"uckholen mu"s noch fertig behandelt werden.
\item[4.12]
  Zur"uckholen. Zur"uckholen in der Garbenkohomologie.
  Ausdehnen von Schnitte von relativ Hausdorff'schen Kompakta.
  Homotopieinvarianz der Garbenkohomologie. Sollte noch
  explizit fertigmachen, ich hatte \ref{HGM} aber noch nicht
  \ref{HIGK}.
\item[8.12]
  Homotopieinvarianz.
  Azyklizit"at kompaktweicher Garben.
  Lange exakte Sequenz der Kohomologie mit
  kompaktem Tr"ager. Noch nicht Funktorialit"aten der
   Kohomologie mit
  kompaktem Tr"ager. 
\item[11.12]
  Funktorialit"aten der
   Kohomologie mit
   kompaktem Tr"ager. Ausdehnung durch Null von abelschen Garben.
   Hyperfl"achen im $\DR^n$ und ihre Komplemente vorgezogen, also
   \ref{VG} und \ref{ENOr}.  Kompakte Kohomologie von
   Mannigfaltigkeiten \ref{KKMa} versprochen.
 \item[15.12]
Lokale Kohomologie. Kompakte Kohomologie von
Mannigfaltigkeiten. Injektive Wege im Zweitorus.
\item[18.12]
  "Uberlagerungstheorie ohne Fundamentalgruppe.
  Quotienten nach topologisch freien Operationen als
  "Uberlagerungen. Globale Schnitte von nichtkonstanter lokal konstanter
  mit Faser $\DZ$ 
  abelscher Garbe $\mathcal F$ auf zusammenh"angendem Raum und Schnitte
  von $\mathcal F\otimes G$ f"ur $G\in\op{Ab}$.
  Topologischer einfacher Zusammenhang.
\item[22.12]
  Weiche Garben auf parakompakten R"aumen sind globale-Schnitte-azyklisch.
  De-Rham-Kohomologie als Garbenkohomologie. Satz von de Rham nur
  angedeutet.
\item[8.1]
  Spektralsequenz einer filtrierten differentiellen abelschen Gruppe.
\item[12.1]
  Spektralsequenz einer filtrierten differentiellen graduierten
  abelschen Gruppe. Verschiedene Graduierungskonventionen.
  Spektralsequenzen filtrierter R"aume. Garbenkohomologie des
  $\DP^n\DC$ als Gruppe.
\item[15.1]
  Derivierte Vorsch"ube.
  Beschreibung "uber Pr"agarbe. Leray'sche Spektralsequenz versprochen.
  Faserfunktoren und Basiswechsel in Bifaserungen.
\item[19.1]
  Offener und eigentlicher Basiswechsel f"ur Garben von Mengen.
  Eigentliche Abbildungen, separierte Abbildungen. Derivierter offener und eigentlicher Basiswechsel. Noch nicht eigentliches Bild.
\item[22.1]
  Zur"uckholen auf  Faserb"undel mit zusammenziehbarer Faser.
  "Aquivariante Kohomologie. "Aquivarianter Kohomologiering
  von $\op{GL}(n;\DC)$ wirkend auf einem Punkt versprochen.
  Lokalisierung von Kategorien, nur universelle Eigenschaft.
\item[26.1] Ore-Lokalisierung von Kategorien.
  Erh"alt Additivit"at.
\item[29.1]
  Triangulierte Kategorien. Triangulierte Funktoren.
  Triangulierte Quotienten. Bisher nur bewiesen, da"s
  Abbildungen mit Kegel in Verdiersystem ein Oresystem bilden.
\item[2.2]
  Quotienten triangulierter Kategorien fertig.
  Derivierte Kategorie, Homomorphismen und
  injektive Aufl"osungen, Kohomologiering und Kohomologie
  als Homomorphismen der derivierten Kategorie.
  Lange exakte Sequenz der derivierten Funktoren  durch
  ausgezeichnete Dreiecke.
\item[5.2]
 Zur"uckholen  auf der Kohomologie als Ringhomomorphismmus.
  Vergleich von singul"arem und garbentheoretischen Kohomologiering.
  Abschneidefunktoren und beschr"ankte derivierte Kategorien.
\item[8.2] Aus der Erinnerung erg"anzt: Gysin-Sequenz, einige
  Kohomologieringe klassifizierender R"aume.
\end{enumerate}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXTG"
%%% End: 



%xdvi -q -linkstyle 2 -editor 'emacsclient --no-wait' XXTG.dvi &

%makeindex -g -s german.ist XXTG

%pdflatex "\PassOptionsToPackage{final}{showkeys}\PassOptionsToPackage{final}{ifdraft}\input{XXTG}"

%scp XXTG.pdf soergel@tux00:/webserver/home/soergel/Skripten/XXTG.pdf

%scp /home/soergel/Dokumente/Skripten/Skripten/XXTG.pdf soergel@tux00.mathematik.uni-freiburg.de:/webserver/home/soergel/Skripten/XXTG.pdf