\section{Ganze Kringerweiterungen und Dimension} \subsection{Ganze Kringerweiterungen}\label{GZwei} \begin{Bemerkungl}\label{Zwein} Ich beginne mit einigen Erinnerungen. Sei $A \subset B$ eine Kringerweiterung. Ein Element $b\in B$ hei"st wie in \ref{defg} {\bf ganz "uber $A$},\index{ganz!Element von Kringerweiterung} wenn es Nullstelle eines \emph{normierten} Polynoms mit Koeffizienten in $A$ ist, wenn es also $n\geq 1$ und $a_{i} \in A$ gibt mit $$b^{n}+a_{n-1} b^{n-1} + \ldots + a_{1}b + a_{0}=0$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Kringerweiterung $A \subset B$ hei"st {\bf ganz},\index{ganz!Kringerweiterung} wenn jedes Element $b\in B$ \hyperref[Zwein]{ganz} ist "uber $A$. Einen Kringhomomorphismus $\varphi:A \ra B$ nennen wir {\bf ganz}\index{ganz!Kringhomomorphismus},\label{ggg} wenn $\varphi(A)\subset B$ eine ganze Kringerweiterung ist. \end{Definition} \begin{Beispiel}\label{BngR} Die Kringerweiterung $R[T]\subset R[T,T^{-1}]$ ist, wie bereits in \ref{zui} besprochen, \emph{nicht} ganz f"ur jeden von Null verschiedenen Kring $R$. \end{Beispiel} %% \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ganz bleibt ganz unter Quotienten und Lokalisierungen}] Ist $A \subset B$ eine ganze Kringerweiterung und $I\subset B$ ein Ideal, so ist auch $(A/A\cap I)\subset B/I$ eine ganze Kringerweiterung. Ist $A \subset B$ eine ganze Kringerweiterung und $T\subset A$ eine Teilmenge, so ist auch $T^{-1}A\subset T^{-1}B$ eine ganze Kringerweiterung.\label{gKre} \end{Bemerkungl} %% \begin{Satz}[\textbf{Charakterisierungen ganzer ringendlicher Kringerweiterungen}] Gegeben eine Kringerweiterung $A\subset B$ sind gleichbedeutend:\label{EKG} \begin{enumerate} \item Der Ring $B$ wird als Kringerweiterung von endlich vielen "uber $A$ ganzen Elementen erzeugt; \item Unsere Kringerweiterung ist ganz und ringendlich; \item Unsere Kringerweiterung ist modulendlich. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] 2$\RA$1 ist offensichtlich und 1$\RA$3 hatten Sie bereits als "Ubung \ref{Zwei} ausgef"uhrt. Wir m"ussen nur noch 3$\RA$2 zeigen. Seien dazu $b_{1},\ldots ,b_{n}$ Erzeuger des $A$-Moduls $B$. Gegeben $b \in B$ finden wir dann $a_{ij}\in A$ mit $$b b_{i} = a_{i1} b_{1} + \ldots +a_{in} b_{n}$$ was wir umschreiben k"onnen zur Matrixgleichung $$\begin{array}{ccccc} \left( \begin{array}{ccc} b & & 0\\ &\ddots &\\ 0& & b \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} b_{1}\\ \vdots \\ b_{n}\end{array} \right) & =& \left( \begin{array}{ccc} a_{11}&\cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right)& \left( \begin{array}{c} b_{1} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array} \right) \end{array}$$ Ziehen wir nun beide Seiten voneinander ab und multiplizieren mit der adjungierten Matrix \eref{CraRe}{LA1}, so erkennen wir, da"s f"ur $P$ das charakteristische Polynom der Matrix der $(a_{ij})$ gilt $P(b) b_{1} = \ldots = P(b) b_{n} =0$. Das hinwiederum zeigt $P(b) =0$, denn wir k"onnen ja die Eins von $B$ als Linearkombination der $b_i$ schreiben. \end{proof} %% \begin{Bemerkunge}\label{EADF} Ein Modul "uber einem Ring hei"st {\bf treu},\index{treu!Modul} wenn nur die Multiplikation mit dem Nullelement des Rings darauf die Nullabbildung liefert. Der vorhergehende Beweis zeigt allgemeiner: Ist $A\subset B$ eine Kringerweiterung und gibt es einen treuen $B$-Modul $M$, der endlich erzeugt ist als $A$-Modul, so ist $B$ ganz "uber $A$. Ist dar"uber hinaus $\frak{a}\subset A$ ein Ideal und gilt $bM\subset \frak{a}M$ f"ur ein $b\in B$, so erf"ullt $b$ sogar eine Ganzheitsgleichung der Gestalt $b^n+a_{n-1}b^{n-1}+\ldots+a_0=0$ mit $a_i\in \frak{a}$. Das Argument bleibt dasselbe. \end{Bemerkunge} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildgA} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die Erweiterung $k[X,Y]/\langle Y^3-X\rangle\supset k[X]$ ist ganz. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur ganze Kringerweiterungen}] Um f"ur den Begriff einer ganzen Kringerweiterung\label{BildngA} eine Anschauung zu entwickeln, betrachte man den Fall, da"s $A=\mathcal O(X)$ der Ring der regul"aren Funktionen auf einer affinen Variet"at $X$ ist und da"s $B$ nilpotentfrei ist und als $A$-Ring erzeugt wird von einem einzigen Element $b$. Ist $f\in \mathcal O(X)[T]=\mathcal O(X\times k)$ ein normiertes Polynom mit $f(b)=0$, so ist $B$ der Ring der polynomialen Funktionen auf einer abgeschlossenen Teilmenge des Nullstellengebildes ${\mathcal Z}(f)\subset X\times k$ und unsere Inklusion $A\subset B$ entspricht geometrisch der durch das Weglassen der letzten Koordinate definierten Abbildung. Die Faser "uber $x\in X$ besteht also aus den Wurzeln des Polynoms $f(x,T)\in k[T]$ und da"s unser Polynom $f$ normiert sein soll, bedeutet geometrisch, da"s \glqq an keiner Stelle $x\in X$ eine dieser Wurzeln nach Unendlich streben kann\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildngA} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die Erweiterung $k[X,Y]/\langle (XY-1)Y\rangle\supset k[X]$ ist nicht ganz. Formal zeigt das die Surjektion $k[X,Y]/\langle (XY-1)Y\rangle\sra k[X,Y]/\langle (XY-1)\rangle \sira k[X,X^{-1}]$ zusammen mit Beispiel \ref{BngR}. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ganzer Abschlu"s}] Sei $A\subset B$ eine Kringerweiterung. Sind Elemente $x_1,\ldots, x_n\in B$ ganz "uber $A$, so ist $A[x_1,\ldots, x_n]$ nach \ref{EKG} ganz "uber $A$.\label{gAbk} Ist $A\subset B$ eine Kringerweiterung, so bilden mithin alle "uber $A$ ganzen Elemente von $B$ einen Teilring von $B$. Der Kring aller "uber $A$ ganzen Elemente von $B$ hei"st der {\bf ganze Abschlu"s}\index{ganzer Abschlu"s}\index{Abschlu"s!ganzer, bei Ringen} {\bf von $A$ in $B$}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Nach \eref{NUQ}{LA1} ist $\DZ$ sein eigener ganzer Abschlu"s in $\DQ$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{gAW3} Der ganze Abschlu"s von $\DZ$ in $\DQ[\sqrt{3}]$ ist $\DZ[\sqrt{3}]$. In der Tat, mit $a+b\sqrt{3}$ liegt auch $a-b\sqrt{3}$ im ganzen Abschlu"s, also $2a$, woraus folgt $2a\in \DZ$ und $a^2-3b^2\in\DZ$, also $ 3(2b)^2\in \DZ$, also $2b\in\DZ$. Setzen wir $2a\pdef \alpha$ und $2b\pdef \beta$, so folgt weiter $\alpha^2-3\beta^2\in 4\DZ$. Quadrate in $\DZ/4\DZ$ sind aber nur $0$ und $1$, woraus folgt $\alpha^2,\beta^2\in 4\DZ$ und damit $a,b\in\DZ$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Transitivit"at der Ganzheit von Kringerweiterungen}] Sind $C\supset B\supset A$ Kringe und ist $C$ ganz "uber $B$ und $B$ ganz "uber $A$, so ist auch $C$ ganz "uber $A$. Ist in der Tat $c\in C$ gegeben, so existiert f"ur $c$ eine Ganzheitsgleichung $c^n+b_{n-1}c^{n-1}+\ldots+b_0$ "uber $B$. Im Turm $A[b_0,\ldots,b_{n-1},c]\supset A[b_0,\ldots,b_{n-1}]\supset A $ ist dann jede der beiden Ringerweiterungen modulendlich nach\label{TrGa} \ref{EKG}. Damit ist aber nach \ref{TEZ} auch die gesamte Ringerweiterung modulendlich und nach \ref{EKG} ist folglich $c$ ganz "uber $A$. \end{Bemerkungl} %% \begin{Lemma}[\textbf{Sandwich-Lemma}] Gegeben ein Sandwich $B \supset A \supset k$ von Kringen\label{SWN} mit $B$ modulendlich "uber $A$ und $B$ ringendlich "uber $k$ und $k$ noethersch ist $A$ ringendlich "uber $k$. \end{Lemma} \begin{Bemerkung} Ein Spezialfall dieses Lemmas, f"ur das die Theorie ganzer Kringerweiterungen nicht in voller St"arke ben"otigt wird, bildet das R"uckgrat des in \ref{KFa} gegebenen Beweises f"ur den Hilbert'schen Nullstellensatz in seiner k"or\-per\-the\-o\-re\-ti\-schen Form. Wir werden das Sandwich-Lemma im weiteren Verlauf insbesondere beim \glqq Verkleben von Punkten\grqq\ \ref{VeKKn} ben"otigen. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Wir w"ahlen ein endliches Erzeugendensystem $b_{1}, \ldots , b_{n}$ von $B$ als $A$-Modul, das gleichzeitig $B$ als $k$-Kring erzeugt. Nach \ref{EKG} finden wir f"ur jedes Element dieses Erzeugendensystems eine Ganzheitsgleichung "uber $A$. Bezeichnet $K \subset A$ den von allen Koeffizienten dieser Gleichungen "uber $k$ erzeugten Teilring, so erhalten wir ein erweitertes Sandwich $$B \supset A \supset K \supset k$$ mit $B$ modulendlich "uber $K$ und $K$ ringendlich "uber $k$. Nach dem Hilbert'schen Basissatz \ref{HiBaa} ist $K$ also noethersch und damit $A$ modulendlich "uber $K$ und damit $A$ ringendlich "uber $k$. \end{proof} %% \begin{Beispiel}[\textbf{Unterkringalgebren endlicher Kodimension}] Ist $k$ ein K"orper und $B$ eine ringendliche $k$-Kringalgebra, so ist jede Unterringalgebra $A\subset B$ endlicher Kodimension auch ringendlich "uber $k$. Zum Beispiel ist $A=\{P\mid P'(0)=0\}=k+\langle T^2\rangle\subset k[T]$ der Ring der polynomialen Funktionen auf der Neil'schen Parabel und $A=\{P\mid P(1)=P(-1)\}=k+\langle T^2-1\rangle\subset k[T]$ der Ring der polynomialen Funktionen auf der nodalen Kubik, vergleiche \ref{BNKK}. \end{Beispiel} %% \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s der ganze Abschlu"s von $\DC[X,Y]/\langle X^3-Y^2\rangle$ in seinem Bruchk"orper isomorph ist zum Polynomring $\DC[T]$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man berechne die ganzen Abschl"usse von $\DZ[\sqrt{3}]$ und $\DZ[\sqrt{5}]$ jeweils in ihren Bruchk"orpern. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Ist $A\subset B$ eine Kringerweiterung und $B$ ein Integrit"atsring und gibt es ein Ideal $I\subset B$ mit $B=A\oplus I$, so ist au"ser den Elementen von $A$ selbst kein Element von $B$ ganz "uber $A$. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{GALL} Man zeige: Sind $A \subset B$ Kringe und $C \subset B$ der ganze Abschlu"s von $A$ in $B$. So ist f"ur jedes $S \subset A$ auch $S^{-1} C$ der ganze Abschlu"s von $S^{-1} A$ in $S^{-1} B$. \end{Ubung} %\begin{proof} % Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $S$ multiplikativ abgeschlossen. Da"s %alle Elemente von $S^{-1} C$ ganz sind "uber $S^{-1} A$ ist klar. %Ist umgekehrt $b / s$ mit $b \in B$ und $s \in S$ ganz %"uber $S^{-1} A$, so gilt in $S^{-1} B$ eine Gleichung der Gestalt %\begin{equation*} % \left ( \frac{b}{s}\right)^n + \left( \frac{b}{s}\right)^{n-1} \frac{a_{n-1}}{s_{n-1}} %+ \ldots + \frac{a_0}{s_0} = 0 %\end{equation*} %mit $s_i \in S$, $a_i \in A$. %Setzen wir $t = s_0 s_1 \ldots s_{n-1}$ und multiplizieren unsere Gleichung %mit $(st)^n$, so zeigt sie, da"s $bt/1$ ganz ist "uber $\op{lok}(A)\subset S^{-1}A$. Es folgt, da"s $btu$ ganz ist "uber $A$ f"ur ein %$u\in|S\rangle$. Es folgt %$btu \in C$ und $b \in S^{-1}C$. %\end{proof} \subsection{Going-Up} \begin{Satz}[\textbf{Ganze Kringerweiterungen und Primideale}] Gegeben eine ganze Kringerweiterung $A \subset B$ gilt:\label{GuRit} %\label{ZeLe} \begin{enumerate} \item Jedes Primideal von $A$ ist der Schnitt mit $A$ eines Primideals von $B$. Das Herunterschneiden von Primidealen induziert also in Formeln\label{GuRit1} eine Surjektion $\op{Spec} B\sra \op{Spec} A$; \item Gegeben echt ineinander enthaltene Primideale $\frak{q} \subsetneq \frak{p}$ des gro"sen Krings $B$\label{GuRit2} sind auch ihre Schnitte mit dem kleinen Kring verschieden, in Formeln $$\frak{q} \subsetneq \frak{p} \RA (\frak{q}\cap A) \subsetneq (\frak{p} \cap A)$$ \item Genau diejenigen Primideale von $B$ sind maximal, deren Schnitt mit $A$ maximal ist, in Formeln $(\cap A)^{-1}(\op{Max} A)=\op{Max} B$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir behaupten keineswegs, da"s jedes minimale Primideal von $B$ durch Herunterschneiden ein minimales Primideal von $A$ liefert. Das ist im allgemeinen auch gar nicht richtig. Betrachten wir etwa geometrisch die disjunkte Vereinigung eines Punktes mit einer Gerade $X\pdef k\sqcup \{P\}$ und einen Morphismus $\varphi:X \ra Y\pdef k$, unter dem die Gerade bijektiv auf sich selber geht und der extra Punkt eben auf irgendeinen Punkt von $Y$. So ist der Komporphismus $\varphi^\sharp: \mathcal O(Y)\hra \mathcal O(X)$ eine ganze Kringerweiterung und $\mathcal I_X(P)\subset \mathcal O(X)$ ist ein minimales Primideal, aber der Schnitt $\mathcal I_X(P)\cap \mathcal O(Y)=\mathcal I_Y(\varphi(P))$ ist keineswegs ein minimales Primideal von $\mathcal O(Y)$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele}\label{SuMax} Ist $A\subset B$ keine ganze Kringerweiterung, so mu"s das Herunterschneiden keine Surjektion auf den Primspektren liefern. Das einfachste Gegenbeispiel ist $\DZ\subset \DQ$. Ein Gegenbeispiel im geometrischen Fall w"are die Erweiterung $$k[X]\subset k[X,Y]/\langle XY-1\rangle$$ Geometrisch entspricht sie der Projektion einer Hyperbel auf die $x$-Achse. Hier liegt der Ursprung nicht im Bild. In algebraischer Sprache kann also das Primideal $\langle X\rangle$ nicht durch Herunterschneiden erhalten werden. \end{Beispiele} \begin{Lemma}\label{GRKo} Gegeben eine ganze Kringerweiterung zwischen Integrit"atsringen ist der eine ein K"orper genau dann, wenn der andere ein K"orper ist. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Die Nullideale von Integrit"atsbereichen sind prim. Unser Lemma folgt leicht aus dem Satz, der ja unter anderem besagt, da"s das Nullideal von $A$ maximal ist genau dann, wenn das Nullideal von $B$ maximal ist. Wir wollen aber umgekehrt das Lemma zum Beweis des Satzes verwenden. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $A\subset B$ unsere Kringerweiterung. Ist ${A}$ ein K"orper und $b \in {B}$ gegeben, so finden wir eine Gleichung $$b^{n} + a_{n-1}b^{n-1} + \ldots + a_{1}b + a_{0} =0$$ mit $n\geq 1$ und $a_{i} \in {A}$. Da ${B}$ ein Integrit"atsring ist, d"urfen wir im Fall $b\neq 0$ sogar $a_{0} \neq 0$ annehmen. Bringen wir nun $a_{0}$ auf die andere Seite, teilen durch $(-a_{0})$ und klammern $b$ aus, so erhalten wir das Inverse zu $b$. Also ist mit $A$ auch $B$ ein K"orper. Ist umgekehrt $B$ ein K"orper, so besitzt jedes $a \in A\backslash 0$ ein Inverses $b \in B$, und multiplizieren wir eine Gleichung f"ur $b$ wie oben mit $a^{n-1}$, so folgt $b \in A$. Also ist mit ${B}$ auch ${A}$ ein K"orper. \end{proof} %% \begin{proof}[Beweis von Satz \ref{GuRit}] 3. Ge\-ge\-ben $\frak{p}\subset B$ ein Primideal ist $A/ (A\cap \frak{p})\subset B/\mathfrak p$ eine ganze Erweiterung von Integrit"atskringen. Mit Lemma \ref{GRKo} finden wir dann $$\frak{p}\in \op{Max}B \IFF B/\frak{p}\text{ K"orper} \IFF A/(A\cap \frak{p})\text{ K"orper} \IFF (A\cap \frak{p})\in \op{Max}A$$ \noindent 1. Sei $P\subset A$ ein Primideal. Wir lokalisieren am Komplement $S\pdef A\backslash P $ von $P $ in ${A}$ und erhalten ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccc} {B} &\ra & { S}^{-1}{B}\\ \cup & & \cup \\ {A} & \ra& { S}^{-1}{A} \end{array}$$ Seine Vertikalen sind ganze Ringerweiterungen. Nun ist ${S}^{-1} {{P }}$ das einzige maximale Ideal von ${S}^{-1}{A}$ und ${S}^{-1}{B}$ ist nicht der Nullring. Mithin besitzt ${S}^{-1}{B}$ maximale Ideale und jedes maximale Ideal ${\frak m}\subset { S}^{-1}{B}$ schneidet ${ S}^{-1}{A}$ nach Aussage 3 im einzigen maximalen Ideal ${ S}^{-1} {{P }}$. Das Urbild von $\frak{m}$ in $B$ ist also unser gesuchtes Primideal $\frak{p} \subset B$ mit $\frak{p}\cap A=P $. \\[2mm]\noindent 2. Betrachten wir in $A$ die multiplikativ abgeschlossene Teilmenge $S \pdef A \backslash \frak{p}$, so ist $S^{-1}(A\cap \frak{p})$ ein maximales Ideal in $S^{-1}A$. In $S^{-1}B$ haben wir nach \ref{PiL} jedoch $S^{-1}\frak{q} \subsetneq S^{-1}\frak{p}$. Folglich ist das Ideal $S^{-1}\frak{q}$ nicht maximal in $S^{-1}B$, folglich ist $S^{-1}\frak{q} \cap S^{-1}A = S^{-1}(\frak{q}\cap A)$ nicht maximal in $S^{-1} A$ nach Aussage 3, folglich gilt $\frak{q} \cap A \neq \frak{p} \cap A$. \end{proof} %% \begin{Bemerkunge}[\emph{Beweis ohne Zorn im modulendlichen Fall}] Ist ganz allgemein $ A\subset B$ eine ganze Kringerweiterung und $\mathfrak a \subsetneq A$ ein echtes Ideal, so ist auch das Erzeugnis $\langle \mathfrak aB \rangle$ von $\mathfrak a$ in $B$ ein echtes Ideal. Das kann man aus \ref{GuRit} folgern, da jedes echte Ideal zu einem maximalen Ideal vergr"o"sert weden kann, aber wir k"onnen es auch ohne Zorn zeigen. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir unsere Kringerweiterung dabei modulendlich annehmen, denn l"a"st sich die Eins von $B$ als Linearkombination von Elementen von $\mathfrak a$ darstellen, so auch schon die Eins des von den Koeffizienten "uber $A$ erzeugten Teilrings. Ist $b_1, \ldots, b_n$ ein Erzeugendensystem des $A$-Moduls $B$, so folgt aus $\langle \mathfrak a B\rangle = B$ die Existenz von Gleichungen $$ \begin{array}{ccccl} b_1& = & a_{11}b_1 &+ \ldots + & a_{1n} b_n\\ &\vdots& & & \vdots\\ b_n &=&a_{n1}b_1 &+ \ldots + & a_{nn} b_n \end{array} $$ mit $a_{ij} \in \mathfrak a$ oder in Matrixschreibweise $ \vec b = A \vec b$ alias $ (A - I) \vec b = \vec 0 $. Multiplizieren wir mit der adjungierten Matrix, so folgt erst $\op{det} (A-I) =0$ und durch Auswerten der Determinante dann $1 \in \mathfrak a$ alias $\mathfrak a =A$. Um nun auch \ref{GuRit} im modulendlichen Fall ohne Zorn zu zeigen, bemerken wir, da"s das einzige maximale Ideal $\frak{a}={S}^{-1} {{P }}$ von ${S}^{-1}{A}$ nach unserer Vor"uberlegung ein echtes Ideal in ${S}^{-1}{B}$ erzeugt.\label{LiEE} Teilen wir diese Ideale weg, so erhalten wir eine modulendliche Kringerweiterung eines K"orpers. Darin gibt es offensichtlich ein maximales Ideal, und dessen Urbild ist notwendig ein maximales Ideal in ${S}^{-1}{B}$. Nun kann der Beweis so weiterlaufen wie zuvor. \end{Bemerkunge} %% \begin{Korollar}[\textbf{Going-up}] Gegeben $A \subset B$ eine ganze Kringerweiterung und $\frak{b}\subset B$ ein Ideal gibt es f"ur jedes Primideal $P$ von $A$ mit\index{Going-up}\label{GuRi} $ \frak{b}\cap A\subset P$ ein Primideal $\frak{p}$ von $B$ mit $ \frak{b}\subset\frak{p}$ und $\frak{p}\cap A=P$.\end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Im Diagramm mit einer ganzen Kringerweiterung in der rechten Vertikalen $$\begin{array}{ccccc} \frak b\;\;\;\; &\subset & \boxed{\frak p} &\subset & B \\ \downmapsto{\scriptstyle \cap A} & & \;\;\;\;\downmapsto{\scriptstyle \cap A} & & \cup\\ \frak b\cap A\;\;\;\; & \subset & P& \subset & A \end{array}$$ sind also das Ideal $\mathfrak b$ und das Primideal $P$ mit den dargestellten Inklusionsrelationen vorgegeben und die Existenz des eingekastelten Primideals $\mathfrak p$ wird behauptet. Sind allgemeiner in einem Diagramm mit unserer ganzen Kringerweiterung in der rechten Vertikalen\label{NGU} $$\begin{array}{ccccccccccc} \frak p_0 &\subset & \boxed{\frak p_1} &\subset& \boxed{\boxed{\frak p_2}}&\subset&\ldots &\subset& \boxed{\boxed{\boxed{\frak p_r}}} &\subset & B \\ \;\;\;\;\downmapsto{\scriptstyle \cap A} & & \;\;\;\;\downmapsto{\scriptstyle \cap A} & & \;\;\;\;\downmapsto{\scriptstyle \cap A} && &&\;\;\;\;\downmapsto{\scriptstyle \cap A} & &\cup\\ P_0 & \subset & P_1& \subset & P_2&\subset&\ldots &\subset & P_r&\subset & A \end{array}$$ die nicht eingekastelten Primideale mit vorgegeben, so k"onnen wir also induktiv der Reihe nach die mehr und mehr eingekastelten Primideale finden. Daher r"uhrt die Bezeichnung als \glqq Going-Up\grqq. Das analoge \glqq Going-down-Theorem\grqq, bei dem man stattdessen absteigende Primidealketten in $A$ betrachtet, gilt nur unter wesentlich st"arkeren Voraussetzungen, vergleiche \ref{Godow}. Es mag merkw"urdig wirken, da"s hier die \glqq kleinen\grqq\ Primideale mit gro"sen Buchstaben bezeichnet werden und die \glqq gro"sen\grqq\ Primideale mit kleinen Buchstaben. Das gefiel mir nur deshalb besser, weil so die meisten explizit notierten Primideale, wie es sich geh"ort, durch kleine Buchstaben in Fraktur notiert werden. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir gehen zur ganzen Kringerweiterung $A/(\frak{b}\cap A)\subset B/\frak{b}$ "uber und erinnern, da"s nach \ref{GuRit} f"ur jede ganze Kringerweiterung das Herunterschneiden eine Surjektion zwischen den Primspektren der jeweiligen Ringe induziert. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Dieser Satz wurde zuerst von Wolfgang Krull f"ur Integrit"atskringe bewiesen. Irvin Cohen und Abraham Seidenberg verallgemeinerten ihn dann auf den Fall beliebiger Kringe und vereinfachten gleichzeitig den Beweis. Wolfgang Krull begann sein Studium in Freiburg und kam auch zur Promotion wieder nach Freiburg, wo er zwei Jahre als au"serordentlicher Professor t"atig war. \end{Bemerkunge} %% \begin{Bemerkungl}[\textbf{Geometrie ganzer Kringerweiterungen}] Eine Abbildung von topologischen R"aumen hei"st {\bf abgeschlossen}, wenn das Bild jeder abgeschlossenen Teilmengen wieder abgeschlossen ist. Going-up \ref{GuRi} bedeutet unter anderem, da"s jede ganze Kring\-er\-wei\-te\-rung $A\subset B$\label{GgKH} eine abgeschlossene Surjektion $\op{Spec} B \twoheadrightarrow \op{Spec} A $ zwischen den Spektren der beteiligten Ringe induziert, die wir uns daf"ur mit ihrer Zariskitopologie aus \ref{ZTSp} versehen denken, und ebenso eine abgeschlossene Surjektion $\op{Max} B \twoheadrightarrow \op{Max} A $ f"ur die jeweiligen Spurtopologien. F"ur einen Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von affinen Variet"aten mit einer ganzen Kringerweiterung als Komorphismus ist speziell $\varphi:X\ra Y$ eine abgeschlossene Surjektion. Mit \ref{piG} k"onnen wir weiter "ubersetzen und erhalten, da"s jede irreduzible abgeschlossene Teilmenge $Z\As Y$ das Bild $Z=\varphi(\tilde Z)$ einer irreduziblen abgeschlossenen Teilmenge $\tilde Z\As X$ ist, da"s die induzierte Abbildung $\tilde Z\ra Z$ auch wieder einen ganzen Komorphismus hat, und da"s f"ur $\tilde Z_2\subsetneq \tilde Z_1$ echt ineinander enthaltene irreduzible abgeschlossene Teilmengen von $X$ gilt $\varphi(\tilde Z_2)\subsetneq \varphi(\tilde Z_1)$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Ganze Kringerweiterungen und Krulldimension}] Ist $A \subset B$ eine ganze Kringerweiterung,\label{KDRE} so haben beide Kringe dieselbe Krull\-di\-men\-sio\-n, in Formeln \begin{equation*} {\op{kdim}} A = {\op{kdim}} B \end{equation*} \end{Satz} \begin{proof} Nach \ref{GuRit}.\ref{GuRit2} liefert jede echt aufsteigende Primidealkette von $B$ durch Herunterschneiden eine echt aufsteigende Primidealkette von $A$. Nach Going-up \ref{GuRi} l"a"st sich umgekehrt jede echt aufsteigende Primidealkette von $A$ induktiv zu einer echt aufsteigenden Primidealkette von $B$ hochheben. \end{proof} %% \begin{Satz}[\textbf{Endlichkeitskriterium f"ur die Fasern eines Morphismus}] Ist $A \subset B$ eine ganze Kringerweiterung und $B$ noethersch, so hat $\op{Spec} B \sra \op{Spec} A$ endliche Fasern, als da hei"st, das Urbild jedes Elements ist endlich.\label{UBIE} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Einen geometrischen Spezialfall haben wir schon in \ref{meR} gesehen. Ein Gegenbeispiel f"ur nicht noethersches $B$ erh"alt man, indem man f"ur $A$ einen K"orper und f"ur $B$ ein unendliches Produkt von Kopien von $A$ nimmt. Ein Gegenbeispiel mit einem Integrit"atsring $B$ erh"alt man, indem man von $A=\DC[X]$ ausgeht und als $B$ den ganzen Abschlu"s von $A$ in einem algebraischen Abschlu"s von $\DC(X)$ nimmt: Die Fasern sind dann nach \ref{SpvI} die Galoisbahnen, und man kann sich "uberlegen, da"s in diesem Fall alle Galoisbahnen von maximalen Idealen unendlich sind. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Gegeben $ P \in \op{Spec} A$ ist $\sqrt{\langle P B\rangle} = \bigcap^n_{i=1} \frak{p}_i$ nach \ref{PMP} der Schnitt der endlich vielen minimalen Primideale $\frak{p}_i \in \op{Spec} B$, die $\langle P B\rangle$ enthalten. Sei nun $\frak{q} \in \op{Spec} B$ mit $\frak{q} \cap A = P $. So folgt $\frak{q} \supset \sqrt{\langle P B\rangle}$, also $\frak{q} \supset \frak{p}_i$ f"ur ein $i$, also $\frak{q} = \frak{p}_i $ f"ur ein $i$, denn nach Going-up \ref{GuRi} haben wir \begin{equation*} \frak{q} \supsetneq \frak{p}_i \;\; \Rightarrow \;\; \frak{q} \cap A \supsetneq \frak{p}_i \cap A \supset P \qedhere\end{equation*} \end{proof} %% \begin{Proposition}[\textbf{Verkleben von Punkten in affinen Variet"aten}] Seien $X$ eine affine $k$-Varie\-t"at "uber $k=\bar k$ und $\varphi: X \sra Y$ eine surjektive Abbildung von\label{VeKKn} $X$ auf eine Menge $Y$, bei der alle Fasern endlich und fast alle Fasern einelementig sind.\index{Verkleben von Punkten!bei naiven affinen Variet"aten} So ist $Y$ mit $\mathcal O(Y)\pdef \{f:Y\ra k\mid f\circ \varphi\in\mathcal O(X)\}$ als regul"aren Funktionen auch eine affine Variet"at. \end{Proposition} \begin{proof} Offensichtlich brauchen wir nur den Fall zu betrachten, da"s es genau zwei Punkte $p, q \in X$ gibt mit $p\neq q$ aber $\varphi(p) = \varphi(q)$. In $\cal{O}(X)$ hat der Teilring $\{ f\in \cal{O} (X) \mid f(p) = f(q)\}$ dann endliche Kodimension, folglich ist $\cal{O}(X)$ modulendlich "uber $\cal{O}(Y)$. Damit ist einerseits nach dem Sandwich-Lemma \ref{SWN} unser $\cal{O}(Y)$ ringendlich "uber $k$ und andererseits ist $\cal{O}(X)$ ganz "uber $\cal{O}(Y)$. Nach unseren allgemeinen Erkenntnissen \ref{SuMax} "uber ganze Kringerweiterungen liefert also der Homomorphismus $\cal{O}(Y)\hra \cal{O}(X)$ eine Surjektion $\pi : \op{Max}\cal{O}(X) \sra \op{Max} \cal{O}(Y)$. Da"s hier die Faser "uber $\pi (p) = \pi (q)$ genau aus den beiden Elementen $p$ und $q$ besteht und da"s alle anderen Fasern einelementig sind, ist leicht zu sehen: Zu je zwei verschiedenen Punkten $x,y\in X\backslash \{p,q\}$ gibt es ja eine regul"are Funktion mit $f(x)=1$ und $f(y)=f(p)=f(q)=0$. Folglich erhalten wir eine Bijektion $Y\sira \op{Max}\mathcal O(Y)$ durch $y\mapsto\op{ker}\delta_y$ und die geringte Menge $(Y,\mathcal O(Y))$ ist in der Tat eine affine Variet"at. \end{proof} \begin{Beispiel} Verkleben wir drei Geraden in einem Punkt, so erhalten wir eine affine Variet"at. Sie ist isomorph zur affinen Variet"at der drei Koordinatenachsen im Raum und besitzt einen bijektiven Morphismus zur Vereinigung von drei paarweise verschiedenen Ursprungsgeraden in der Ebene, der hinwiederum jedoch kein Isomorphismus ist. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Seien $L/K$ eine algebraische K"orpererweiterung und $A\subset K$ ein Teilring mit $\op{Frac}A=K$ und $B\subset L$ der algebraische Abschlu"s von $A$ in $L$. Man zeige $\op{Frac}B=L$. Hinweis: "Ubung \ref{GALL} und \ref{GRKo}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Zeigen Sie die letzte Behauptung aus \ref{BNKK}, da"s sich f"ur $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper jede L"osung der Gleichung $x^3+x^2 =y^2$ in der Form $(x,y)= (t^2-1,t(t^2-1))$ mit $t\in k$ schreiben l"a"st. \label{Goup} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Nodale Kubik als Verklebung}] Wir erhalten die nodale Kubik, wenn wir zwei verschiedene Punkte der affinen Gerade miteinander verkleben.\label{NKV} \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $A\subset B\subset C$ kommutative Integrit"atsringe und sei $C$ ein freier $A$-Modul von endlichem Rang $r$. Ist auch $\op{Frac}C$ eine K"orpererweiterung von\label{LKAp} $\op{Frac}B$ vom Rang $r$, so gilt $A=B$. % Krieg ich nicht raus. OK, $B$ ist ganz und sogar modulendlich %"uber $A$ und $\op{Frac}(A)= \op{Frac}(B)$. Also entsteht % durch Lokalisieren von $A$ an endlich vielen Elementen. % Lokalisieren nach Nichteinheiten kann schon ganz sein, % $B$ k"onnte etwa der ganze Abschlu"s von $A$ sein. "Uber $B$ aber % w"aren die freien Erzeuger linear abh"angig, Widerspruch. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Verklebungen eines Punktes mit sich selber}] Gegeben eine bepunktete affine $k$-Variet"at $(X,x)$ und ein Ideal $\mathfrak b\subset \mathcal O(X)$ mit Radikal $\sqrt{\mathfrak b}=\mathcal I(x)$ ist der Teilring $A\pdef k+\mathfrak b\subset \mathcal O(X)$ auch affin und der der Inklusion $A\hra \mathcal O(X)$ entsprechende Morphismus von affinen Variet"aten $X\ra Y\pdef \op{Max}A$ ist bijektiv und ein Hom"oomorphismus und induziert Isomorphismen von Variet"aten von jeder Nichtnullstellenmenge, die den Punkt $x$ vermeidet, auf ihr Bild. \end{Ubung} \begin{Beispiel}[\textbf{Neil'sche Parabel als Verklebung}] Ist etwa $X=k^n$ und\label{NeiP} $\mathfrak b$ ein Ideal der Kodimension zwei, so mag man es sich als Ideal der Funktionen denken, die bei $x$ verschwinden und bei denen auch die Richtungsableitung l"angs einer vorgegebenen Gerade durch $x$ bei $x$ verschwindet. Unsere Konstruktion mag man dann anschaulich verstehen als das \glqq Verkleben von $x$ mit einem in Richtung unserer Gerade infinitesimal nahen benachbarten Punktes\grqq. Verklebt man in dieser Weise einen Punkt der Gerade mit einem infinitesimal nahen benachbarten Punkt, so erh"alt man die Neil'sche Parabel. \end{Beispiel} %\begin{proof} % W"are $A\neq B$, so w"are eine $A$-Basis von $C$ ein linear % abh"angiges Erzeugendensystem von $C$ als $B$-Modul. % Nach \eref{EKG}{KAG} ist $C$ ganz "uber $B$ und % f"ur $S\pdef B\backslash 0$ ist auch % $C_S$ ganz "uber $B_S=\op{Frac}B$ %nach \eref{gKre}{KAG} und damit nach \eref{GRKo}{KAG} %ein K"orper. So folgern wir $C_S=\op{Frac}C$ und sehen andererseits, %da"s $C_S$ als $B_S$-Modul von einer Familie von %$r$ linear abh"angigen Elementen erzeugt wird. %Das aber steht %im Widerspruch % zu unserer zweiten Annahme. %\end{proof} %% %% %% \begin{Ubung}[\textbf{Eigenschaften von Morphismen mit ganzen Komorphismen}] Sei $\varphi:X\ra Y$ ein Morphismus\label{UHZp} von affinen Variet"aten. Ist der Komorphismus ganz, so ist $\varphi$ abgeschlossen mit endlichen Fasern und f"ur jede irreduzible abgeschlossene Teilmenge $Z\As X$ gilt $$\op{kdim}Z=\op{kdim}\varphi(Z)$$ \end{Ubung} \subsection{Noethernormalisierung} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere aus der Algebra \eref{FST}{AL} den Begriff der algebraischen Unabh"angigkeit. Gegeben Kringe $A\subset B$ hei"st eine Familie $b_1,\ldots, b_n$ von Elementen von $B$ {\bf algebraisch unabh"angig}\index{algebraisch!unabh"angig, "uber Ring} {\bf "uber $A$}, wenn der Einsetzungshomomorphismus $A[T_{1}, \ldots , T_{n}]\ra B$ mit $T_i\mapsto b_i$ injektiv ist. Ich schreibe dann f"ur sein Bild auch $A['b_{1}, \ldots , b_{n}]$ mit einem Freiheitsstrichlein an der er"offnenden Klammer. Ist besagter Einsetzungshomomorphismus nicht injektiv, so hei"st unsere Familie {\bf algebraisch abh"angig}\index{algebraisch!abh"angig, "uber Ring} {\bf "uber $A$}. \end{Bemerkungl} %% \begin{Proposition}[\textbf{Noether-Normalisierung von Hyperfl"achen}] Gegeben ein K"orper $k$ und ein nichtkonstantes Polynom $f\in k['X_1,\ldots, X_n]\backslash k$ gibt es eine Einbettung von $k$-Kringen $k['Y_1,\ldots, Y_{n-1}]\hra k['X_1,\ldots, X_n]/\langle f \rangle$, die eine ganze Kringerweiterung ist.\label{DARR} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Die Bezeichnung, die wir f"ur diese Proposition gew"ahlt haben, bezieht sich auf den Fall eines algebraisch abgeschlossenen K"orpers $k=\bar k$. Die Aussage zeigen wir jedoch f"ur einen beliebigen K"orper $k$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir beginnen mit dem Fall eines unendlichen Grundk"orpers $k$ und haben in Multiindexnotation $f=\sum c_{\alpha} X^{\alpha} $. Die von Null verschiedene homogene Komponente von $f$ von maximalem Grad %im Sinne von \eref{hPP}{AL} liefert eine Funktion auf dem $k^n$, die im Fall eines unendlichen Grundk"orpers $k$ an mindestens einer Stelle $(\lambda_1, \ldots \lambda_n)$ nicht den Wert Null annimmt. Diese Stelle kann nicht der Ursprung sein, denn nach unseren Annahmen hat unsere homogene Komponente positiven Grad und verschwindet mithin am Ursprung. Machen wir eine lineare Koordinatentransformation und w"ahlen in anderen Worten neue Erzeuger $Y_1, \ldots , Y_n$ als Linearkombinationen der alten Erzeuger $X_1,\ldots, X_n$, so k"onnen wir mithin erreichen, da"s die homogene Komponente von maximalem Grad bei $(0,\ldots,0,1)$ nicht verschwindet. Das bedeutet jedoch gerade, da"s unser Polynom $f$ in den neuen Variablen ein skalares Vielfaches eines normierten Polynoms positiven Grades aus dem Polynomring $(k ['Y_1, \ldots , Y_{n-1}])[Y_n]$ ist, also eines normierten Polynoms positiven Grades aus dem Polynomring mit Koeffizienten in $k ['Y_1, \ldots , Y_{n-1}]$. Damit ist klar, da"s $$k['Y_1,\ldots, Y_{n-1}]\ra k['X_1,\ldots, X_n]/\langle f \rangle =(k ['Y_1, \ldots , Y_{n-1}])[Y_n]/\langle f \rangle$$ ein injektiver ganzer Kringhomomorphismus ist. %% Im Fall eines endlichen Grundk"orpers gelingt derselbe Trick, wenn man auch nichtlineare Variablentransformationen zul"a"st. Sei etwa $\beta$ maximal in der lexikographischen Ordnung mit $c_\beta\neq 0$. W"ahlen wir als neue Erzeuger $Y_i=X_i+X_n^{r_i}$ f"ur $i \alpha_1r_1+\alpha_2r_2+\ldots +\alpha_{n-1}r_{n-1}+\alpha_{n} $ f"ur alle Multiindizes $\alpha\neq \beta$ mit $c_\alpha\neq 0$, so wird wieder $f$ bis auf einen Skalar ein normiertes Polynom in $(k ['Y_1, \ldots , Y_{n-1}])[Y_n]$ sein und wir k"onnen den Beweis in derselben Weise beenden. M"ogliche $r_i$ mag man finden, indem man sie induktiv von oben alias mit $r_{n-1}$ beginnend so w"ahlt, da"s f"ur alle $\alpha$ mit $c_\alpha\neq 0$, die sich erst in der $i$-ten Stelle von $\beta$ unterscheiden und f"ur die wir folglich $\beta_i>\alpha_i\geq 0$ haben, gilt %\begin{displaymath} $ \beta_ir_i+\ldots +\beta_{n-1}r_{n-1}+\beta_{n}> \alpha_ir_i+\ldots +\alpha_{n-1}r_{n-1}+\alpha_{n}$. %\qedhere\end{displaymath} \end{proof} %% \begin{Satz}[\textbf{Krulldimension von Polynomringen}] Gegeben ein K"orper $k$ gilt f"ur die Krulldimension des Polynomrings in $n$ Variablen\label{kdkt} $$\op{kdim} k[T_1,\ldots, T_n]=n$$ F"ur jedes nichtkonstante Polynom $f\in k[T_1,\ldots, T_n]\backslash k$ gilt weiter f"ur die Krulldimension des Quotienten $$\op{kdim} k[T_1,\ldots, T_n]/\langle f\rangle =n-1$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{kdktb} Im geometrischen Fall eines algebraisch abgeschlossenen K"orpers $k=\bar k$ ist insbesondere die Krulldimension des $k^n$ genau $n$. \end{Bemerkungl} %% \begin{proof}[Beweis] Da"s die Krulldimension von $k[T_1,\ldots, T_n]$ mindestens $n$ ist, scheint mir offensichtlich. Die andere Absch"atzung $\op{kdim}k[T_1,\ldots, T_n] \leq n$ zeigen wir durch Induktion "uber $n$. Ist $\frak{p}$ minimal unter allen von Null verschiedenen Primidealen, so ist es nach dem im Anschlu"s bewiesenen Lemma \ref{fmp} "uber fastminimale Primideale in faktoriellen Ringen ein Hauptideal $\frak{p}=\langle f\rangle$ erzeugt von einem irreduziblen Polynom $f$. Damit erhalten wir $$ \begin{array}{lll} {\op{kdim}}(k[T_1,\ldots, T_n]/\frak{p})&=& {\op{kdim}}(k[T_1,\ldots, T_n]/\langle f\rangle)\\ &=&\op{kdim} k[T_1,\ldots, T_{n-1}]\\&=&n-1 \end{array} $$ nach der Normalisierung f"ur Hyperfl"achen \ref{DARR} und der Invarianz der Krulldimension unter ganzen Kringerweiterungen \ref{KDRE}. Die Behauptung folgt. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Fastminimale Primideale in faktoriellen Ringen}] Gegeben ein faktorieller Ring $R$ sind die Primideale $\mathfrak p\subset R$, die minimal sind unter allen von Null verschiedenen Primidealen von $R$, genau die Hauptideale $\mathfrak p= \langle p\rangle$ zu irreduziblen Elementen $p\in R$.\label{fmp} \end{Lemma} \begin{proof} Wegen $\mathfrak p\neq 0$ gibt es $f\in \mathfrak p$ mit $f\neq 0$. Wegen $\mathfrak p\neq R$ kann $f$ keine Einheit sein und ist folglich ein Produkt irreduzibler Faktoren $f=p_1 p_2\ldots p_r$ mit $r\geq 1$. Da $\mathfrak p$ prim ist, liegt auch einer dieser Faktoren bereits in $\mathfrak p$, sagen wir der erste. Es folgt $\langle p_1\rangle\subset \mathfrak p$. Da $R$ faktoriell ist, ist auch $\langle p_1\rangle$ ein Primideal und die Minimalit"atsannahme zeigt dann wie gew"unscht $$\langle p_1\rangle= \mathfrak p$$ Ist andererseits $p\in R$ irreduzibel und $\mathfrak q\subset R$ ein Primideal mit $0\subsetneq\mathfrak q\subset \langle p\rangle$, so finden wir mit demselben Argument $q_1\in\mathfrak q$ irreduzibel. Aus $\langle q_1\rangle\subset \langle p\rangle$ folgt dann $p|q_1$ und damit $up=q_1$ f"ur eine Einheit $u\in R^\times$ alias $\langle q_1\rangle= \langle p\rangle$ und so $\mathfrak q= \langle p\rangle$. \end{proof} \begin{Bemerkungw} In allgemeinen Integrit"atskringen mu"s nicht jedes fastminimale Primideal ein Hauptideal sein. Der Hauptidealsatz von Krull \ref{HvK} sagt jedoch, da"s in noetherschen Kringen $R$ diejenigen Primideale, die minimal sind unter allen Primidealen, die ein vorgegebenes Element $f$ enthalten, h"ochstens ein weiteres Primideal unseres Krings echt umfassen. \end{Bemerkungw} \begin{Satz}[\textbf{Noether-Normalisierung}] Gegeben ein K"orper $k$ und ein von Null verschiedener ringendlicher $k$-Kring $A$ gibt es\label{NoeNo} $x_1, \ldots, x_d \in A$ algebraisch unabh"angig "uber $k$ derart, da"s $A$ ganz ist "uber $k ['x_1, \ldots , x_d]$. \end{Satz} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildNN} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration zur verfeinerten Noethernormalisierung nach \ref{gfd}. Wir finden f"ur $k=\bar k$ und $X\As k^n$ sogar eine lineare Surjektion $k^n\sra k^d$ derart, da"s die Verkn"upfung $$X\hra k^n\sra k^d$$ eine ganze Kringerweiterung als Komorphismus hat. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} % Das $d$ in diesem Satz ist % durch % $A$ bereits eindeutig bestimmt: Nach der Invarianz der Krulldimension unter ganzen Kringerweiterungen \ref{KDRE} mu"s die Zahl der algebraisch unabh"angigen Elemente $d$ in diesem Satz genau die Krulldimension von $A$ sein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verfeinerte Noether-Normalisierung im geometrischen Fall}] Wird ein von Null verschiedener $k$-Kring $A$ erzeugt von einem $k$-Untervektorraum $V$ und ist $k$ unendlich, so zeigen wir beim Beweis des\label{gfd} Normalisierungslemmas sogar, da"s die $x_1, \ldots , x_d$ aus $V$ gew"ahlt werden k"onnen. Geometrisch bedeutet das, da"s wir im Fall eines algebraisch abgeschlossenen K"orpers $k$ f"ur jede Zariski-abgeschlossene Teilmenge $X \As k^n$ eine lineare Abbildung $k^n \ra k^d$ finden k"onnen derart, da"s ihre Restriktion $X \ra k^d$ auf den regul"aren Funktionen einer ganzen Ringerweiterung $\mathcal O(k^d)\hra \mathcal O(X)$ entspricht. % , da"s sie mithin \glqq endlich und % dominant\grqq\ % ist Hierbei mu"s nat"urlich unsere lineare Abbildung notwendig eine Surjektion $k^n \sra k^d$ sein und im Fall $X\neq k^n$ gilt $d0$ durch Adjunktion eines Elements $f_i\in K_i$ mit $f_i^p\in K_{i-1}$. Indem wir alle $f_i$ als Br"uche in $S^{-1}\mathcal O(X)$ schreiben und $Y$ verkleinern zur Nichtnullstellenmenge des Produkts der beteiligten Nenner, d"urfen wir annehmen, da"s alle diese Elemente bereits zu $\mathcal O(X)$ geh"oren. Indem wir notfalls unsere Kette noch verl"angern, d"urfen wir zus"atzlich annehmen, da"s unsere Kette durch Lokalisieren nach $S$ aus einer Kette von Zwischenringen $$\mathcal O(Y)=R_0\subset R_1\subset\ldots\subset R_r=\mathcal O(X)$$ entsteht mit $R_i=R_{i-1}[f_i]$. Insgesamt k"onnen wir uns so auf die beiden Spezialf"alle zur"uckziehen, da"s gilt $\mathcal O(X)=\mathcal O(Y)[f]$ mit $f^p\in \mathcal M(Y)$ oder $f$ separabel "uber $ \mathcal M(Y)$. Indem wir $Y$ weiter verkleinern zur Nichtnullstellenmenge des Produkts der Nenner des Minimalpolynoms $P$ von $f$ k"onnen wir zus"atzlich $P\in \mathcal O(Y)[T]$ und $$\mathcal O(X)=\mathcal O(Y)[T]/\langle P\rangle$$ annehmen. Unser Morphismus kann dann identifiziert werden mit der Projektion auf den ersten Faktor \begin{displaymath} X \pdef\{ (y,\lambda) \in Y \times k\mid P (y,\lambda)=0\} \;\ra\; Y \end{displaymath} Im ersten Fall $f^p\in \mathcal M(Y)$ ist dann bereits klar, da"s diese Projektion eine Bijektion $X\sira Y$ sein mu"s und die K"orpererweiterung rein inseparabel und die Aussage des Satzes gilt. Im zweiten Fall eines separablen Polynomes ist die Diskriminante \eref{Diskk}{AL} unseres Polynoms $P$ nicht Null in $\mathcal M(Y)$, also nicht Null in $\mathcal O(Y)$, und "uber allen Nichtnullstellen der Diskriminante in $Y$ liegen genau so viele Punkte von $X$, wie der Grad von $P$ angibt. Folglich gilt die Aussage des Satzes auch in diesem Fall. \end{proof} \nichtfinal{\begin{Bemerkungl}[\textbf{Injektive Morphismen $k^n\hra k^n$}] Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k$ der Charakteristik $\op{char}k=0$ ist jeder injektive Morphismus von algebraischen Variet"aten $\varphi: k^n\hra k^n$ ein Isomorphismus. In der Tat ist $\varphi$ dominant nach \ref{InDo}, da beide Variet"aten dieselbe Dimension haben und die zweite irreduzibel ist. Der zugeh"orige Komorphismus ist also injektiv und die K"orpererweiterung auf den Funktionenk"orpern ist algebraisch vom Separabilit"atsgrad Eins nach Satz \ref{affann} "uber die Fasern, folglich wegen Charakteristik Null ein Isomorphismus. Wir m"ussen also zeigen, da"s eine Lokalisierung eines Polynomrings "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper nach einer Nichteinheit $f$ nicht isomorph sein kann zum urspr"unglichen Polynomring. HIERF"UR SEHE ICH ABER KEIN ARGUMENT. Also gut, im Fall $k=\DC$ kann man mit der analytischen Topologie argumentieren, einen kleinen Rundweg um $f^{-1}(0)$ nehmen und lokal pr"ufen, da"s sein Bild unter $f:\DC^n_{f\neq 0}\ra \DC^\times$ ein nichttriviales Element der Fundamentalgruppe w"are. \end{Bemerkungl}} \subsection{Quotienten nach endlichen Gruppen} \begin{Definition} Eine Kringerweiterung $A\subset B$ habe die {\bf Going-Down-Eigen\-schaft}\index{Going-Down-Eigen\-schaft} oder kurz {\bf habe Going-Down}, wenn es gegeben Primideale $Q\subset P$ von $A$ und ein Primideal $\mathfrak p\subset B$ "uber $P$ stets ein Primideal $\mathfrak q\subset B$ "uber $Q$ gibt mit $\mathfrak q\subset \mathfrak p$.\label{GoDoE} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Im Diagramm mit unserer Kringerweiterung in der rechten Vertikalen $$\begin{array}{ccccc} \boxed{\frak q} &\subset & \frak p &\subset & B \\ \;\;\;\;\;\downmapsto{\scriptstyle \cap A} & & \;\;\;\;\downmapsto{\scriptstyle \cap A} & & \cup\\ Q & \subset & P& \subset & A \end{array}$$ sind also die Primideale $P,Q,\mathfrak p$ mit den dargestellten Inklusionsrelationen vorgegeben und die Existenz des eingekastelten Primideals $\mathfrak q$ wird postuliert. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Spektren von Invariantenringen}] Gegeben ein Kring $B$ und eine endliche Gruppe $W\subset \op{Kring}^\times( B)$ von Kringautomorphismen gilt:\label{SpvI} \begin{enumerate} \item Der Ring $B$ ist ganz "uber dem Invariantenring $B^{W}$; \item Die Einbettung des Invariantenrings induziert einen Hom"oomorphismus $$ (\op{Spec} B)/W \sira \op{Spec}( B^W) $$ \item Die Kringerweiterung $B^W\subset B$ hat die Going-Down-Eigenschaft; \item Dasselbe gilt allgemeiner, wenn wir statt der Endlichkeit von $W$ nur fordern, da"s $W$ auf $B$ mit endlichen Bahnen operiert und kompakt ist f"ur die sogenannte Krulltopologie. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Insbesondere ist $\op{Spec} B \sira \op{Spec}( B^W)$ eine offene Surjektion, denn die Projektion auf den Bahnenraum in Bezug auf die Operation einer Gruppe auf einem topologischen Raum durch stetig Abbildungen ist immer offen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] 1. Jedes $b\in B$ ist Nullstelle des normierten Polynoms $\prod_{c\in Wb}(T-c)$ aus $A^W[T]$, folglich ist $B$ ganz "uber $B^{W}$. \\[2mm]\noindent 2. F"ur jede ganze Kringerweiterung wissen wir nach der geometrischen Fassung \ref{GgKH} von Going-up \ref{GuRi}, da"s die von der Einbettung $i$ auf den Primspektren induzierte Abbildung eine finale Surjektion $$ \op{Spec} (i): \op{Spec} (B) \sra \op{Spec}( B^W) $$ ist. %\nichtfinal{Jede abeschlossene Teilmenge % $Z\As \op{Spec} (B)$ hat die Gestalt %$Z=\mathcal A(\mathfrak b)$ f"ur ein Ideal $\frak b\subset B$. %Ist sie $W$-invariant, so folgt f"ur $\frak p \in \op{Spec} B$ %aus $\frak b\not\subset \frak p$ bereits %$\frak b\not\subset \tau(\frak p)\;\forall \tau \in W$. Wir finden %dann $b\in \frak b\backslash \frak p$ und $a\pdef \prod_{c \in Wb}c$ %ist ein Element $a\in (\mathfrak b\cap B^W)\backslash \mathfrak p$ %und es folgt $$(\op{Spec} i)\big((\op{Spec} B)\backslash %\mathcal A(\mathfrak b)\big) %\subset %\op{Spec}( B^W)\backslash\mathcal A(\mathfrak b\cap B^W)$$ %Andererseits ist eh klar, %da"s $(\op{Spec} i)$ die abgeschlossene Teilmenge %$\mathcal A(\mathfrak b)$ nach $\mathcal A(\mathfrak b\cap B^W)$ abbildet. %Da $(\op{Spec} i)$ surjektiv ist, mu"s es sie auch %surjektiv auf $\mathcal A(\mathfrak b\cap B^W)$ abbilden. %Das zeigt, da"s unsere Surjektion auf den Primspektren final ist f"ur die %Zariskitopologien. FOLGT BEREITS aus \ref{GuRi} folgen, %wo gezeigt wird, da"s das abgeschlossene Surjektion ist? Hier zus"atzlich auch offene Surjektion?} Es gilt zu zeigen, da"s die Fasern unserer Surjektion genau die $W$-Bahnen sind. Wir beginnen mit dem Fall $|W|<\infty$. Gegeben Primideale $\mathfrak q, \mathfrak p\in \op{Spec} B$ mit $\tau(\mathfrak q)\neq \mathfrak p\;\forall \tau\in W$ gilt entweder $\tau(\mathfrak q)\not\subset \mathfrak p\; \forall \tau\in W$ oder es gibt $\sigma\in W$ mit $\sigma(\mathfrak q)\subsetneq \mathfrak p$. Im ersten Fall gilt auch $\tau(\frak q)\not\subset\sigma(\frak p)$ f"ur alle $\sigma,\tau\in W$ und nach verallgemeinerter Primidealvermeidung \ref{PiAA} finden wir $x\in \bigcap_{\sigma\in W} \sigma(\frak q)\backslash \bigcup_{\tau\in W} \tau(\frak p)$. Dasselbe gilt f"ur alle $\rho(x)$ mit $\rho\in W$ und dann auch f"ur $y\pdef \prod_{\rho\in W}\rho(x)$ und so folgt $y\in \mathfrak q\cap B^W$ aber $y\not \in \mathfrak p\cap B^W$ und insbesondere $\mathfrak q\cap B^W\neq\mathfrak p\cap B^W$. Im zweiten Fall folgern wir $\mathfrak q\cap B^W\subsetneq \sigma (\mathfrak p)\cap B^W$ aus der Erhaltung echter Inklusionen von Primidealen beim Herunterschneiden in ganzen Kringerweiterungen nach \ref{GuRit} und damit $\mathfrak q\cap B^W\neq \sigma (\mathfrak p)\cap B^W=\mathfrak p\cap B^W$. \\[2mm]\noindent 3. Die Primideale "uber $P$ bilden nach Teil 2 eine $W$-Bahn $W\mathfrak p$ und die Primideale "uber $Q$ desgleichen eine $W$-Bahn $W\mathfrak q$. G"abe es keine Inklusion zwischen einem Ideal der einen und einem Ideal der anderen Bahn, so k"onnte nach dem Argument im Beweis f"ur Teil 2 nicht gelten $Q\subset P$. \\[2mm]\noindent 4. Im Fall von unendlichem $W$ betrachten wir alle normalen Untergruppen $N\subset W$, die als Fixatoren endlicher $W$-stabiler Teilmengen von $B$ entstehen. Sie sind kompakt in der Krulltopologie. Sie sind auch offen in der Krulltopologie und erzeugen den Umgebungsfilter des neutralen Elements, aber das sei nur am Rande bemerkt. Gegeben Primideale $\mathfrak p, \mathfrak q\subset B$ mit $\mathfrak p\cap B^W=\mathfrak p\cap B^W$ betrachten wir f"ur jedes derartige $N$ die Menge $$T_N \pdef \{\tau\in W\mid \tau(\mathfrak q)\cap B^N= \mathfrak p\cap B^N\}$$ Da $W/N$ endlich ist, ist $T_N$ nicht leer und kompakt. F"ur $L$ ein weiterer Normalteiler derselben Art ist auch $L\cap N$ ein Normalteiler dieser Art und es gilt $T_{L\cap N}\subset T_L\cap T_N$. Die Familie der $T_N$ hat folglich nichtleere endliche Schnitte. Aufgrund der Kompaktheit von $W$ gibt es dann auch $\tau\in \bigcap_N T_N$. F"ur so ein $\tau$ gilt aber offensichtlich $\tau(\mathfrak q)=\mathfrak p$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Die {\bf Krulltopologie}\index{Krulltopologie} ist definiert als die Initialtopologie f"ur die Familie aller Surjektionen $W\sra W/N$ mit $N$ wie im vorhergehenden Beweis und jeweils der diskreten Topologie auf $W/N$. Die Kompaktheit von $W$ ist gleichbedeutend zur Annahme, da"s $W$ abgeschlossen ist im Produkt der $W/N$. Andernfalls k"onnen wir zum Abschlu"s von $W$ "ubergehen, ohne die Fixpunktmenge zu "andern, aber manche Bahnen von Primidealen k"onnten dabei schon gr"o"ser werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ringendlichkeit von Invariantenringen}] Ist $B$ ein ringendlicher $k$-Kring "uber einem noetherschen Kring $k$ und $W$ eine endliche Gruppe von $k$-Kring\-au\-to\-mor\-phis\-men von $B$, so ist $B$ ringendlich "uber $B^W$ und damit modulendlich "uber $B^W$ nach \ref{EKG}. Nach dem Sandwichlemma \ref{SWN} ist damit auch $B^W$ ringendlich "uber $k$.\label{Noe} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Quotienten affiner Variet"aten nach endlichen Gruppen}] Operiert eine endliche Gruppe $W$ auf einer affinen $k$-Variet"at $X$, so wird auch der Bahnenraum $X/W$ mit $\mathcal O(X/W)\pdef\{f:X/W\ra k\mid f\circ\op{can}\in\mathcal O(X)\}$ eine affine Variet"at.\label{Qz2b} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Unter den Annahmen des Satzes liefert die kanonische Abbildung insbesondere einen Isomorphismus $$\cal{O}(X/W)\sira \cal{O} (X)^{W}$$ zwischen den regul"aren Funktionen auf dem Bahnenraum und den $W$-invari\-an\-ten regul"aren Funktionen auf $X$. Die weiteren Aussagen "uber Spektren von Invariantenringen \ref{SpvI} implizieren, da"s $\pi: X\ra X/W$ final ist f"ur die Zariskitopologien und da"s f"ur $Y\As X/W$ und eine beliebige Komponente $Z$ von $\pi^{-1}(Y)$ gilt $\op{kdim}(Z\subset X)= \op{kdim}(Y\subset X/W)$.\label{DiQo} \end{Bemerkungl} %% \begin{proof} Nach \ref{Noe} ist der Invariantenring $\cal{O}(X)^{W}$ ringendlich "uber $k$. Nilpotentfrei ist er eh. Damit entspricht er einer affinen $k$-Variet"at. Der von der Einbettung von $k$-Ringalgebren $\cal{O}(X)^{W}\hra \cal{O}(X)$ induzierte Morphismus von affinen Variet"aten $\pi: X\ra \op{Max}(\cal{O}(X)^{W})$ ist sicher konstant auf $W$-Bahnen und induziert folglich eine Abbildung $$\kappa:X/W\ra \op{Max}(\cal{O}(X)^{W})$$ Da"s sie bijektiv ist, folgt sofort aus der Beschreibung \ref{SpvI} der Primspektren von Invariantenringen, die ja nach \ref{GuRit} ganz allgemein zu einem Hom"oomorphismus $(\op{Max}B)/W\sira \op{Max}(B^W)$ einschr"ankt. Hier "uberlegen wir uns das nocheinmal geometrisch. Unsere Abbildung ist surjektiv, da bereits $X\ra \op{Max}(\cal{O}(X)^{W})$ surjektiv ist nach \ref{SuMax}, angewandt auf die ganze Ringerweiterung $\cal{O}(X)^{W}\hra \cal{O}(X)$. Wir zeigen, da"s sie auch injektiv und damit bijektiv ist. Nach \ref{ABF} gibt f"ur je zwei verschiedene $W$-Bahnen eine regul"are Funktion, die auf der einen Bahn verschwindet und auf der anderen konstant den Wert Eins annimmt. Das Produkt "uber alle $W$-Verschobenen einer derartigen Funktion ist dann sogar eine invariante Funktion mit besagter Eigenschaft. Die Existenz einer solchen Funktion zeigt, da"s unser Morphismus $\kappa$ auf den zugrundeliegenden Punktmengen auch injektiv ist. Per definitionem entsprechen unter unserer Bijektion $\kappa:X/W\sira \op{Max}(\cal{O}(X)^{W})$ die regul"aren Funktionen auf der affinen Variet"at $\op{Max}(\cal{O}(X)^{W})$ genau den Funktionen aus dem eben definierten Teilring $\mathcal O(X/W)\subset \op{Ens}(X/W,k)$. Damit mu"s dann auch $(X/W, \mathcal O(X/W))$ eine affine Variet"at sein. \end{proof} %% \begin{Bemerkunge} Operiert die endliche Gruppe $W$ auf der affinen $k$-Variet"at $X$ und ist $p\in X/W$ ein Punkt des Quotienten, so nenne ich den Restklassenring $\mathcal O(X)/\langle \mathcal O(X)\mathfrak m_p\rangle$ den {\bf Faserring bei $p$}.\index{Faserring} In der Tat wird sich sein Spektrum als die \glqq schementheoretische Faser bei $p$\grqq\ der Projektionsabbildung erweisen. Mit $\langle \mathcal O(X)\mathfrak m_p\rangle$ ist hierbei das von $\mathfrak m_p\subset \mathcal O(X/W)$ in $\mathcal O(X)$ erzeugte Ideal gemeint. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s die Quotientenvariet"at $\DC^2/\{\pm\op{id}\}$ isomorph ist zum Kegel $\{(x,y,z)\in\DC^3\mid x^2+y^2=z^2\}$. Idem, wenn man $\DC$ durch einen beliebigen algebraisch abgeschlossenen K"orper einer von Zwei verschiedenen Charakteristik ersetzt. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{QSyG} Die symmetrische Gruppe $\mathcal S_n$ operiert auf der Variet"at $k^n$ durch Vertauschen der Koordinaten. Man zeige, da"s der durch die elementarsymmetrischen Polynome $(s_1,\ldots, s_n):k^n\ra k^n$ gegebene Morphismus einen Isomorphismus $$k^n/\mathcal S_n\sira k^n$$ induziert. Hinweis: Das ist wenig mehr als eine geometrische Formulierung des Hauptsatzes "uber symmetrische Polynome \eref{SyP}{AL}. \end{Ubung} %% \subsection{Going-Down} \begin{Bemerkungl} Nach \ref{GoDoE} sagen wir, eine Kringerweiterung $A\subset B$ habe Going-Down, wenn es gegeben Primideale $Q\subset P$ von $A$ und ein Primideal $\mathfrak p$ von $B$ "uber $P$ stets ein Primideal $\mathfrak q$ von $B$ "uber $Q$ gibt mit $\mathfrak q\subset \mathfrak p$. Im Diagramm mit einer Kringerweiterung in der rechten Vertikalen $$\begin{array}{ccccc} \boxed{\frak q} &\subset & \frak p &\subset & B \\ \;\;\;\;\downmapsto{\scriptstyle \cap A} & & \;\;\;\;\downmapsto{\scriptstyle \cap A} & & \cup\\ Q & \subset & P& \subset & A \end{array}$$ sind also das Primideal $\mathfrak p$ und das Primideal $Q$ mit den dargestellten Inklusionsrelationen vorgegeben und die Existenz des eingekastelten Primideals $\mathfrak q$ in jeder derartigen Situation ist die Going-Down-Eigenschaft. Sind in einem Diagramm mit einer Kringerweiterung mit Going-Down-Eigenschaft in der rechten Vertikalen\label{Godow} $$\begin{array}{ccccccccccc} \boxed{\boxed{\boxed{\frak p_0}}} &\subset&\ldots&\subset & \boxed{\boxed{\frak p_{r-2}}} &\subset& \boxed{\frak p_{r-1}}&\subset& \frak p_r &\subset & B \\ \;\;\;\;\downmapsto{\scriptstyle \cap A} &&& & \;\;\;\;\downmapsto{\scriptstyle \cap A} & & \;\;\;\;\downmapsto{\scriptstyle \cap A} && \;\;\;\;\downmapsto{\scriptstyle \cap A} & &\cup\\ P_0 & \subset&\ldots&\subset & P_{r-2}& \subset & P_{r-1} &\subset & P_r&\subset & A \end{array}$$ die nicht eingekastelten Primideale mit vorgegeben, so k"onnen wir also induktiv der Reihe nach die mehr und mehr eingekastelten Primideale finden. Daher r"uhrt die Bezeichnung als \glqq Going-Down\grqq\ im Gegensatz zum Going-Up aus \ref{NGU}. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGDG} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Ein Gegenbeispiel zu Going-Down im Fall, da"s $B$ kein Integrit"atsring ist, liefert bereits die diagonale Einbettung $k[T]\subset k[T]\times k$ f"ur einen K"orper $k$. Geometrisch sieht man, da"s der mit $\frak p$ bezeichnete Punkt oben, der eigentlich $\cal Z(\frak p)$ darstellt, nicht zu einer irreduziblen Teilmenge $\cal Z(\frak q)$ vergr"o"sert werden kann, deren Bild als Abschlu"s die ganze Gerade $\cal Z(Q)$ unten hat. \end{minipage} \end{figure} \begin{Definition} Ein Integrit"atsring hei"st {\bf ganz abgeschlossen},\index{ganz abgeschlossen} wenn er kommutativ ist und sein eigener ganzer Abschlu"s in seinem\label{defNo} Bruchk"orper. \end{Definition} \begin{Beispiel} Nach \eref{NUQ}{LA1} ist $\DZ$ ganz abgeschlossen. Dasselbe gilt mit demselben Beweis f"ur jeden faktoriellen Ring. Insbesondere ist auch jeder Polynomring $k[T_1,\ldots, T_n]$ mit Koeffizienten in einem K"orper ganz abgeschlossen, denn nach \eref{KPFj}{AL} sind Polynomringe faktoriell. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Going-Down}] Jede ganze Kringerweiterung $A \subset B$ von Integrit"atsringen mit $A$ ganz abgeschlossen\label{GoDo}\index{Going-down} hat Going-Down und induziert eine offene Surjektion $\op{Spec}(B)\sra \op{Spec}(A)$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} In \ref{GOG} gebe ich einen alternativen Beweis der ersten Aussage, der mit einem Minimum an Galoistheorie auskommt. Ich kenne keinen alternativen Beweis daf"ur, da"s unsere Surjektion auch offen ist. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildIdPa} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Ein Gegenbeispiel zu Going-Down liefert das Verkleben zweier verschiedener Punkte der affinen Ebene im Sinne von \ref{VeKKn}. Nehmen wir in unserer Ebene eine Gerade durch genau einen unserer Punkte und deren Bild, so l"a"st sich der andere Punkt nicht zu einer irreduziblen abgeschlossenen Teilmenge vergr"o"sern, die dasselbe Bild hat wie unsere Gerade. In diesem Fall ist der Ring der regul"aren Funktionen der verklebten Ebene nicht ganz abgeschlossen. \end{minipage} \end{figure} \begin{proof} Sicher ist $\op{Frac} \!B / \op{Frac}\! A$ eine algebraische K"orpererweiterung. Wir vereinbaren die Abk"urzung $K\pdef \op{Frac}\! A$ und vergr"o"sern unsere K"orpererweiterung zu einer normalen Erweiterung $N/K$, zum Beispiel durch den algebraischen Abschlu"s von $K$, und betrachten den von den Bildern der Elemente von $B$ unter der Galoisgruppe $W\pdef \op{Gal} (N/K)$ erzeugten Teilring $C \subset N$. So erhalten wir ganze Kringerweiterungen $$\xymatrix{C&B\ar@{_{(}->}[l]\\ C^W\ar@{^{(}->}[u]&A\ar@{_{(}->}[l]\ar@{^{(}->}[u]} $$ Nach \ref{SpvI} hat $C^W\subset C$ Going-Down. Nach \eref{reii}{AL} ist $N^W/K$ rein inseparabel und nach \eref{reii}{AL} liegt folglich f"ur alle $g\in N^W$ eine hinreichend hohe Potenz $g^n$ bereits in $K$. F"ur $g\in C^W$ ist $g^n$ zus"atzlich ganz "uber $A$ und wegen $A$ ganz abgeschlossen folgt $g^n \in A$. Lemma \ref{poRE} zeigt damit, da"s auch $A\subset C^W$ Going-Down hat. Mit unseren Permanenzen \ref{PGD} folgt zun"achst, da"s $A\subset C$ Going-Down hat, und dann, da"s $A\subset B$ Going-Down hat. Die Offenheit der von $A\subset B$ induzierten Abbildung auf den Primspektren zeigt man genauso. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Permanenzen f"ur Going-Down}] Seien $A\subset B\subset C$ Kringe. Hat $A\subset C$ Going-Down und ist $\op{Spec}C\sra \op{Spec}B$ surjektiv, so hat offensichtlich auch $A\subset B$ Going-Down. Haben\label{PGD} $A\subset B$ und $B\subset C$ Going-Down, so offensichtlich auch $A\subset C$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Jede Kringerweiterung $A\subset B$ derart, da"s es f"ur alle $b\in B$ ein $n\geq 1$ gibt mit $b^n\in A$, induziert einen Hom"oomorphismus\label{poRE} $$\op{Spec}(B)\sira \op{Spec}(A)$$ \end{Lemma} \begin{proof} Sicher ist unsere Kringerweiterung ganz. Nach \ref{GuRit} induziert sie also eine Surjektion auf den Primspektren und gegeben Primideale $\mathfrak q\subsetneq \mathfrak p$ von $B$ wissen wir $\mathfrak q\cap A\subsetneq \mathfrak p\cap A$. Gegeben ein Ideal $\mathfrak b\subset B$ und ein Primideal $\mathfrak p\subset B$ mit $\mathfrak b\not\subset \mathfrak p$ gibt es $b\in \mathfrak b\backslash \mathfrak p$ und dann mit einem $b^n$ auch so ein Element in $A$. Mithin folgt aus $\mathfrak b\not\subset \mathfrak p$ unmittelbar $\mathfrak b\cap A\not \subset \mathfrak p\cap A$. Zusammen zeigt das sowohl die Bijektivit"at als auch die Offenheit unserer Abbildung. \end{proof} \subsection{Going-Down ohne Galois-Theorie**} \label{GOG} \begin{Bemerkungl} In diesem Abschnitt gebe ich einen alternativen Beweis von Going-Down, der mit einem Minimum an Galois-Theorie auskommt. Ich kenne diesen Beweis aus \cite{AM}. Die Begriffsbildungen und Aussagen dieses Abschnitts dienen nur diesem alternativen Beweis und werden davon abgesehen im weiteren Verlauf der Vorlesung nicht ben"otigt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $A \subset B$ Kringe und $\frak a \subset A$ ein Ideal. Ein Element $b \in B$ hei"st \defind{ganz "uber dem Ideal $\frak a$}, wenn es $n\geq 1$ und $a_i \in \frak{a}$ gibt mit \begin{equation*} b^n + a_{n-1} b^{n-1} + \ldots + a_0 =0 \end{equation*} \end{Definition} \begin{Lemma} Gegeben $A \subset B$ eine Kringerweiterung und $C \subset B$ der ganze Abschlu"s von $A$ in $B$ kann der ganze Abschlu"s von $\frak a$ in $B$ beschrieben werden als das Radikal $\sqrt{\langle \frak a C\rangle}$ des von $\frak a$ in $C$ erzeugten Ideals.\label{gAaa} \end{Lemma} \begin{proof} Gegeben $x \in B$ mit $x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0 =0$ f"ur $a_i \in \frak a$ gilt sicher $x \in C$ und $x^n \in \langle \frak aC\rangle$ und folglich $x \in \sqrt{\langle \frak aC\rangle}$. Gegeben $x \in \sqrt{\langle \frak aC\rangle}$ gilt umgekehrt $x^n = a_1 x_1 + \ldots + a_n x_n$ mit $a_i \in \frak a$ und $x_i \in C$. Dann ist $M \pdef A [x_1, \ldots, x_n]$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und f"ur die Multiplikation mit $x^n$ gilt \begin{equation*} x^n : M \rightarrow \frak a M \end{equation*} Mit \ref{EADF} folgern wir dann, da"s $x^n$ ganz ist "uber $\frak a$. \end{proof} \begin{Lemma}\label{LeLe} Seien $A \subset B$ Integrit"atskringe, $A$ ganz abgeschlossen und $x \in B$ ganz "uber einem Ideal $\frak a \subset A$. So liegen die Koeffizienten des Minimalpolynoms von $x$ "uber $K := {\op{Frac}} A$ in $\sqrt{\frak a}$. \end{Lemma} \begin{proof} Sei $P\in A[X]$ ein Polynom, das die Ganzheit von $x$ "uber $\mathfrak a$ zeigt. Das Minimalpolynom $Q$ von $x$ "uber $K$ teilt $P$ in $K[X]$. Sei $L/K$ der Zerf"allungsk"orper des Minimalpolynoms $Q$ von $x$ "uber $K$. Alle seine Nullstellen geh"oren zum ganzen Abschluss von $\frak a$ in $L$. Bezeichnet $C$ den ganzen Abschlu"s von $A$ in $L$, so geh"oren alle diese Nullstellen nach \ref{gAaa} mithin zu $\sqrt{\langle \mathfrak a C\rangle}$. Damit geh"oren auch alle seine Koeffizienten von $Q$ zum ganzen Abschlu"s von $\frak a$ in $L$. Andererseits geh"oren sie auch zu $K$ und damit zum ganzen Abschlu"s von $\frak a$ in $K$, und da $A$ ganz abgeschlossen ist, sogar zum ganzen Abschlu"s von $\frak a$ in $A$. Dieser ganze Abschlu"s ist aber nach \ref{gAaa} genau $\sqrt{\frak a}$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von Going-Down \ref{GoDo} ohne Galois-Theorie] Gegeben eine Erweiterung $A\subset B$ von Integrit"atskringen mit $A$ ganz abgeschlossen und gegeben Primideale $Q\subset P$ von $A$ und ein Primideal $\mathfrak p$ von $B$ "uber $P$ gilt es zu zeigen, da"s es stets ein Primideal $\mathfrak q$ von $B$ "uber $Q$ gibt mit $\mathfrak q\subset \mathfrak p$. Wir gehen zu $B_{\frak p}$ "uber und m"ussen nur $A \cap \langle Q B_{\frak p} \rangle = Q$ zeigen, um mit \ref{SchnittPI} den Satz folgern zu k"onnen. Nun, jedes $x \in \langle Q B_{\frak p} \rangle$ hat die Gestalt $x = y/s$ mit $y \in \langle Q B \rangle$ und $s \in B\backslash {\frak p}$. Nach \ref{gAaa} ist $y$ ganz "uber $Q$ und nach \ref{LeLe} liegen die Koeffizienten seines Minimalpolynoms "uber $K: = \op{Frac} A$ in $Q$ und unser Minimalpolynom hat die Gestalt \begin{equation*} y^n + q_{n-1} y^{n-1} + \ldots + q_0 \end{equation*} mit $q_i \in Q$. Liegt nun $x = y/s$ in $A$ und ist nicht Null, so haben wir $s = yx^{-1}$ und das Minimalpolynom von $s$ "uber $K$ ist \begin{equation*} s^n + (q_{n-1}/ x) s^{n-1} + \ldots + (q_0/ x^n) \end{equation*} F"ur die Koeffizienten $v_i$ dieses Polynoms gilt also $x^{n-i} v_i = q_i \in Q$. Da aber $s$ ganz ist "uber $A$ folgt $v_i \in A$ wieder mit \ref{gAaa}. H"atten wir nun $x \not\in Q$, so h"atten wir $v_i \in Q$ f"ur alle $i$ und damit $s^n \in \langle Q B\rangle $ im Widerspruch zu $s \not\in {\frak p}$. Also gilt $x \in Q$ was zu zeigen war. \end{proof} \subsection{Going-Down und maximale Primidealketten} \begin{Definition} Ein {\bf Kettenl"angenring}\index{Kettenl"angenring} ist ein Kring, in dem es eine obere Schranke f"ur die m"oglichen L"angen von Primidealketten gibt und in dem je zwei maximale Primidealketten dieselbe L"ange haben.\label{KetRR} In unserer Terminologie ist insbesondere auch der Nullring ein Kettenl"angenring. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Maximalit"at ist hier in Bezug auf die offensichtliche Teilordnung auf der Menge aller Primidealketten zu verstehen. Die Bezeichnung als Kettenl"angenring ist in der Literatur nicht gebr"auchlich. In der "ublichen Terminologie w"urde man solch einen Ring einen \glqq "aquidimensionalen und "aquikodimensionalen Kettenring endlicher Krulldimension\grqq\ nennen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Geometrisch relevante Ringe sind Kettenl"angenringe}] Jeder Integrit"atskring, der ringendlich ist "uber einem K"orper, ist ein Kettenl"angenring.\label{KeRR} \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Krulldimension und Krullkodimension}] Im geometrischen Fall bedeutet dieser Satz f"ur $Y\As X$ eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge einer irreduziblen %oder allgemeiner "aquidimensionalen affinen Variet"at\label{aeqk} die Identit"at $${\op{kdim}}Y + {\op{kdim}}(Y\subset X)={\op{kdim}}X$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Es gibt noethersche Integrit"atskringe endlicher Krulldimension, die keine Kettenl"angenringe sind. F"ur ein Gegenbeispiel mag man eine Lokalisierung eines Polynomrings betrachten, bei der alle Elemente im Komplement der Vereinigung zweier Primideale invertiert werden. Es gibt sogar noethersche lokale Integrit"atskringe endlicher Krulldimension, die keine Kettenl"angenringe sind. Hier sind Gegenbeispiele jedoch nicht so leicht zu konstruieren. Bei lokalen noetherschen Integrit"atskringen ist aber zumindest die Endlichkeit der Krulldimension nach \ref{HDiT} noch im allgemeinen gesichert. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Sei $k$ unser K"orper und $B$ unser Integrit"atskring. Wir argumentieren mit Induktion "uber ${\op{kdim}} B$. Wir finden eine Noether-Normalisierung, also einen polynomialen Unterring $A = k ['x_1, \ldots, x_n] \subset B$ mit $B$ ganz "uber besagtem Unterring. Im Fall ${\op{kdim}} B =0$ ist nichts zu zeigen. Sonst finden wir ein Primideal $\frak p \supsetneq 0$ von $B$ und nach \ref{GuRit} gilt auch $\frak p \cap A \supsetneq 0$. Ist $\frak p$ minimal unter den von Null verschiedenen Primidealen von $B$, so ist nach Going-down \ref{GoDo} auch $\frak p \cap A$ minimal unter den von Null verschiedenen Primidealen unseres Polynomrings. Also ist $\frak p \cap A=\langle f\rangle$ ein Hauptideal erzeugt von einem irreduziblen Polynom. Damit hat $A/(\frak p \cap A)$ nach \ref{kdkt} eine um Eins kleinere Krulldimension und mit der Invarianz der Krulldimension unter ganzen Kringerweiterungen folgt \begin{equation*} {\op{kdim}} B/\frak p = {\op{kdim}} A/(\frak p\cap A) = {\op{kdim}} A -1 = {\op{kdim}} B -1 \end{equation*} Nach Induktionsannahme wissen wir aber bereits, da"s jede nicht weiter verfeinerbare Kette von Primidealen in $B/\frak p$ die L"ange ${\op{kdim}} B-1$ hat. Der Satz folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ein Kring $A$ hei"st {\bf normal}\index{normal!Kring}, wenn f"ur jedes Primideal $\frak p\subset A$ die Lokalisierung $A_{\frak p}$ ein ganz abgeschlossener Integrit"atsring ist. Nach \ref{SMLO} und \ref{GALL} ist ein kommutativer Integrit"atsring genau dann normal, wenn er ganz abgeschlossen ist. Die Bedeutung der Normalit"atsbedingung f"ur beliebige Kringe diskutieren wir in den "Ubungen. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Operiert eine Gruppe auf einem ganz abgeschlossenen kommutativen Integrit"atsring, so ist auch der Invariantenring ganz abgeschlossen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $K\subset L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $\Gamma$ und $A\subset K$ ein ganz abgeschlossener Teilring und $B\subset L$ sein ganzer Abschlu"s in $L$ ist $B$ stabil unter $\Gamma$ und f"ur den Invariantenring gilt\label{invGA} $$A=B^\Gamma$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s jede Lokalisierung eines Kettenl"angenrings an einem Primideal und jeder Quotient eines Kettenl"angenrings nach einem Primideal auch selbst wieder ein Kettenl"angenring ist.\label{LKKR} \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $A$ ein Kring und $S\subset A$ eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge und $S^{-1}A\subset B$ eine Kringerweiterung. Ist $b\in B$ ganz "uber $S^{-1}A$, so gibt es $s\in S$ mit $sb$ ganz "uber $A$.\label{gazL} \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s der Ring der regul"aren Funktionen auf einer affinen Variet"at genau dann ein Kettenl"angenring ist, wenn unsere Variet"at "aquidimensional ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Normalit"at "uber maximale Ideale}] Ein Kring $A$ ist bereits normal, wenn f"ur jedes maximale Ideal $\frak m\subset A$ die Lokalisierung $A_{\frak m}$ ein ganz abgeschlossener Integrit"atsring ist. % In der Tat % liegt ja jedes Primideal $\frak p$ in mindestens einem maximalen Ideal % $\frak m$ und mit $A_{\frak m}$ mu"s dann auch $A_{\frak p}$ ein % Integrit"atsring sein. Weiter gilt nach \ref{SMLO} in $\op{Frac}A_{\mathfrak p}$ sogar $A_{\frak p}=\bigcap A_{\frak m}$ mit dem Schnitt % "uber alle maximalen Ideale $\mathfrak m\supset \mathfrak p$. % Folglich ist mit allen $A_{\frak m}$ auch $A_{\frak p}$ ganz abgeschlossen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Normalit"at "uber Komponenten}] Ein Kring $A$ mit endlich vielen minimalen Primidealen $\mathfrak p_1,\ldots,\mathfrak p_r$ ist genau dann normal, wenn die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus $$A\sira A/\mathfrak p_1\times \ldots\times A/\mathfrak p_r$$ liefert und alle $A/\mathfrak p_i$ ganz abgeschlossen sind.\label{NuK} Hinweis: \ref{EPI}. % In der Tat wissen wir aus \ref{EPI}, da"s unter der % Annahme von nur endlich vielen minimalen Primidealen aus der % Nullteilerfreiheit der Lokalisierungen $A_{\frak m}$ f"ur alle maximalen % Ideale $\mathfrak m$ bereits die behauptete Zerlegung folgt. % Der Rest des Arguments kann dem Leser "uberlassen bleiben. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl} Eine affine Variet"at $X$ hei"st {\bf normal}\index{normal!Variet"at!affine}, wenn ihr Ring von regul"aren Funktionen\label{aVn} $\mathcal O(X)$ normal ist. Nach \ref{NuK} ist das gleichbedeutend dazu, da"s unsere affine Variet"at die disjunkte Vereinigung ihrer irreduziblen Komponenten ist und da"s diese jeweils einen ganz abgeschlossenen Ring von regul"aren Funktionen haben. \end{Bemerkungl} \newpage \section{Hauptidealsatz und Folgerungen} \subsection{Nullstellenmengen einzelner Funktionen} \begin{Satz}[\textbf{Krull'scher Hauptidealsatz im geometrischen Fall}] Gegeben eine affine Variet"at $X$ und eine regul"are Funktion $f\in \mathcal O(X)$ und eine irreduzible Komponente $Z\subset \mathcal Z_X(f)$ ihrer Nullstellenmenge gilt\label{kHIg} $\op{kdim}(Z\subset X)\leq 1$ und im Fall einer k"urzbaren Funktion $f$ sogar\label{kHIgk} $$\op{kdim}(Z\subset X)= 1$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Jede Komponente von $Z$ liegt in einer Komponente von $X$ und w"ahlen wir unter allen diesen eine Komponente $X_1$ maximal m"oglicher Dimension, so gilt $\op{kdim}(Z\subset X)=\op{kdim}(Z\subset X_1)$. Andererseits ist eine regul"are Funktion auf $X$ k"urzbar genau dann, wenn sie auf keiner Komponente von $X$ verschwindet. So k"onnen wir uns beim Beweis des Satzes auf den Fall $X$ irreduzibel zur"uckziehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $R$ und ein Primideal $\frak p\subset R$ erkl"art man die {\bf H"ohe von} \index{H"ohe!von Primideal}\label{hoehe} $\frak p$ %(englisch \defind{height}) als die Krulldimension der Lokalisierung an $\frak p$, in Formeln \index{ht@${\op{ht}}$ H"ohe von Primideal} $${\op{ht}}(\frak p)\pdef {\op{kdim}}R_{\frak p}=\op{sup}\{l\mid \text{Es gibt in $R$ eine Primidealkette }\frak p=\frak p_l\supsetneq\ldots \supsetneq\frak p_0\}$$ Das Supremum soll also in Worten gebildet werden "uber die L"angen aller zu $\frak p$ aufsteigenden Ketten von Primidealen von $R$. Die Notation erinnert an franz"osisch \glqq hauteur\grqq\ und englisch \glqq height\grqq. Ist $X$ eine affine Variet"at und $\frak p\subset \mathcal O(X)$ ein Primideal, so kann die H"ohe von $\frak p$ geometrisch beschrieben werden als \hyperref[KDT]{Krullkodimension} durch die Identit"at $${\op{ht}}(\frak p)={\op{kdim}}(\mathcal Z(\frak p)\subset X)$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof} Unser Satz besagt in dieser Terminologie, da"s jedes "uber $f$ minimale Primideal von $\mathcal O(X)$ h"ochstens die H"ohe Eins hat. Das ist klar im Fall, da"s $\mathcal O(X)$ faktoriell ist, denn dann ist jedes von einem irreduziblen Element erzeugte Hauptideal prim und offensichtlich von der H"ohe Eins und die minimalen Primideale "uber $f\neq 0$ sind genau die Hauptideale der irreduziblen Faktoren von $f$. Zum Beweis sei nun ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $X$ irreduzibel und $f\neq 0$. Sei $X\sra k^n$ eine Noethernormalisierung und $\mathcal N$ die normale H"ulle zur K"orpererweiterung $\mathcal M(X)/\mathcal M(k^n)$ und $\Gamma\pdef \op{Gal}(\mathcal N/ \mathcal M(k^n))$ ihre Galoisgruppe. Weil $\mathcal N^\Gamma/ \mathcal M(k^n)$ eine endliche rein inseparable K"orpererweiterung ist, gibt es f"ur alle $h\in \mathcal N^\Gamma$ ein $b\in\DN_{\geq 1}$ mit $h^b\in \mathcal M(k^n)$. Betrachten wir auch noch das Ringerzeugnis $A\subset \mathcal N$ der Galoiskonjugierten von $\mathcal O(X)$, so erhalten wir einen Turm ganzer Ringerweiterungen $$\mathcal O(k^n)\subset\mathcal O(X)\subset A$$ F"ur $h$ das Produkt der Galoiskonjugierten von $f$ gilt sogar $h^b\in \mathcal O(k^n)$, da $\mathcal O(k^n)$ ganz abgeschlossen ist. Nun nehmen wir ein "uber $h^b$ minimales Primideal $\mathfrak q\in \op{Spec}A$. Going-Down sagt uns, da"s $\mathfrak q\cap \mathcal O(k^n)$ ein "uber $h^b$ minimales Primideal von $\mathcal O(k^n)$ ist, mithin ein Primideal der H"ohe Eins, wie wir f"ur den faktoriellen Ring $\mathcal O(k^n)$ bereits wissen. Satz \ref{GuRit} "uber ganze Ringerweiterungen sagt dann, da"s auch $\mathfrak q$ selbst und $\mathfrak q\cap \mathcal O(X)$ h"ochstens die H"ohe Eins haben. Da sie nicht Null sind, haben sie sogar genau die H"ohe Eins. Weiter umfa"st jedes $\mathfrak q$ mindestens ein $\gamma(f)$ f"ur $\gamma\in \Gamma$ und ist dann auch dar"uber minimal. So sehen wir, da"s unsere $\mathfrak q$ genau diejenigen Primideale von $A$ sein m"ussen, die "uber mindestens einem $\gamma(f)$ minimal sind. Ein Primideal $P\subset \mathcal O(X)$, das "uber $f$ minimal ist, ist nun nach Going-Up der Schnitt mit $\mathcal O(X)$ eines Primideals $\mathfrak p\subset A$, und dieses mu"s seinerseits auch "uber $f$ minimal sein nach \ref{GuRit}. Also ist es eines unserer Primideale $\mathfrak q$ und $P$ hat in der Tat die H"ohe Eins. \end{proof} \begin{Bemerkungl}Ein Primideal eines Rings $R$, das ein gegebenes Element $f$ enth"alt und minimal ist unter allen Primidealen mit dieser Eigenschaft, nennen wir wie im vorhergehenden Beweis ein {\bf "uber $f$ minimales Primideal}. Wenn ich stattdessen aus Versehen einmal \glqq minimales Primideal "uber $f$\grqq\ schreiben sollte, bitte ich um Nachsicht, denn das ist etwas v"ollig anderes und fast nie gemeint. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine ganze Kringerweiterung $A\subset B$ und $\mathfrak q\in \op{Spec}B$ gilt nach unseren Erkenntnissen \ref{GuRit} zu Primidealen bei ganzen Kringerweiterungen offensichtlich $\op{ht}(\mathfrak q)\leq \op{ht}(\mathfrak q\cap A)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{KRHH} In einem Kettenl"angenring $R$ gilt offensichtlich f"ur jedes Primideal $\frak p$ die Identit"at $${\op{ht}}(\frak p)+{\op{kdim}}(R/\frak p)= {\op{kdim}}(R)$$ In allgemeineren Ringen kann man nur $\leq$ erwarten, weil ja nicht auszuschlie"sen ist, da"s alle Primidealketten maximaler L"ange das Primideal $\frak p$ vermeiden. Der Hauptsatz der Dimensionstheorie lokaler noetherscher Kringe \ref{HDiT} wird zumindest zeigen, da"s die H"ohe eines Primideals in einem noetherschen Kring endlich ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $X$ eine irreduzible oder auch nur "aquidimensionale affine Variet"at und $f\in \mathcal O(X)$ eine nichtk"urzbare Funktion, so k"onnen wir vom Hauptidealsatz mit der Beziehung \ref{aeqk} zwischen Krulldimension und Krullkodimension noch einen Schritt weitergehen und f"ur jede irreduzible Komponente $Z$ von ${\mathcal Z}(f)$ folgern\label{KKHS} $$\op{kdim}Z =\op{kdim}X- 1$$ \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Nullstellenmengen endlich vieler Funktionen}] Gegeben eine irreduzible affine Variet"at $X$ und $r$ regul"are Funktionen $f_1,\ldots, f_r\in\mathcal O(X)$ haben alle irreduziblen Komponenten $Z$ der simultanen Nullstellenmenge unserer $r$ Funktionen ${\mathcal Z}_X(f_1,\ldots, f_r)$\label{KKHSn} eine Dimension $$\op{kdim}Z\geq \op{kdim}X - r$$ \end{Korollar} \begin{proof} Vollst"andige Induktion durch wiederholte Anwendung der Aussage im Fall $r=1$, in dem sie aus \ref{KKHS} bereits bekannt ist. Der Fall einer echten Ungleichung tritt im Fall $r=1$ nur f"ur die Nullfunktion aus, aber im Verlauf der Induktion kann ja auch nicht ausgeschlossen werden, da"s die $r$-te Funktion auf einer irreduziblen Komponente der gemeinsamen Nullstellenmenge der ersten $r-1$ Funktionen verschwindet. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Darstellung algebraischer Mengen durch Gleichungen}] Seien $Z\As X$ nichtleere "aquidimensionale affine Variet"aten und $c\pdef \op{kdim}X-\op{kdim}Z$ die Differenz ihrer Dimensionen. So gibt es Elemente $f_1,\ldots, f_c\in \cal O(X)$ mit $$Z\subset \cal Z(f_1,\ldots, f_c)$$ und $\cal Z(f_1,\ldots, f_c)$ "aquidimensional von derselben Dimension wie $Z$. \label{NStFF} \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Insbesondere ist dann $Z$ eine Vereinigung von irreduziblen Komponenten von $\cal Z(f_1,\ldots, f_c)$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Im Fall $c=0$ ist nichts zu zeigen. Sonst finden wir ein k"urzbares Element $f_1\in \cal O(X)$ mit $Z\subset \cal Z(f_1)$, etwa indem wir auf jeder irreduziblen Komponente von $X$ einen Punkt w"ahlen, der nicht zu $Z$ geh"ort, und eine Funktion $f_1$, die an allen diesen Punkten den Wert Eins annimmt und auf $Z$ verschwindet. Nach Krull hat jede irreduzible Komponente von $\cal Z(f_1)$ eine um Eins kleinere Dimension als $X$. Der Beweis kann nun mit Induktion "uber $c$ zu Ende gef"uhrt werden. \end{proof} \begin{Bemerkungw} Gegeben eine irreduzible affine Variet"at $X$ und eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge $Z\As X$ der Kodimension Eins mu"s es keineswegs eine regul"are Funktion $f\in \mathcal O(X)$ geben mit Nullstellenmenge $\mathcal Z_X(f)=Z$. Zum Beispiel ist das Komplement des neutralen Elements in einer elliptischen Kurve eine affine Variet"at $X$, aber ein Punkt in diesem Komplement ist nur dann die Nullstellenmenge einer regul"aren Funktion, wenn er endliche Ordnung hat. \nichtfinal{Das wird auch in \ref{KoPE} verwendet. Mu"s man doch mehr "uber elliptische Kurven erkl"aren? Ich mache einiges in \ref{ENIP}, das sollte reichen. Wenn $P$ ein Punkt ist und $Q$ das neutrale Element und $\mathcal Z(f)=\{P\}$, so mu"s $f$ einen Divisor $nP-nQ$ haben f"ur $Q$ das neutrale Element. Also mu"s $nP-nQ$ ein Hauptdivisor sein und damit $P$ ein Punkt endlicher Ordnung in $E$. Mu"s nat"urlich pr"ufen, warum nicht alle Punkte endliche Ordnung haben k"onnen. } \end{Bemerkungw} \begin{Korollar}[\textbf{Mindestdimension der Fasern von Morphismen}] Gegeben $\varphi : X \ra Y$ ein dominanter Morphismus von irreduziblen affinen Variet"aten und eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge $Z\As Y$ gilt f"ur jede irreduzible Komponente $K$ von $\varphi^{-1}(Z)$ mit $\overline{\varphi(K)}=Z$ die Absch"atzung\label{diF} $$\op{kdim}X-\op{kdim}K\leq \op{kdim}Y-\op{kdim}Z$$ \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Insbesondere hat jede irreduzible Komponente jeder Faser von $\varphi$ mindestens die Dimension $\op{kdim}X-\op{kdim}Y$. Die Aussage gilt auch f"ur nicht notwendig dominante Morphismen, aber dann erhalten wir daraus direkt st"arkere Absch"atzungen, indem wir sie auf $Y\pdef \overline{\varphi(X)}$ anwenden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Dasselbe folgt f"ur irreduzible, aber nicht notwendig affine Variet"aten, wie wir sie im weiteren Verlauf dieser Vorlesung einf"uhren. F"ur $\varphi$ flach zeigen wir sehr viel st"arkere Aussagen in \ref{MMK}. Da"s \glqq die meisten\grqq\ Fasern genau die erwartbare Dimension haben, wissen wir bereits aus \ref{DFB}. \end{Bemerkungw} \begin{proof} F"ur $c\pdef \op{kdim}Y-\op{kdim}Z$ finden wir Funktionen $f_1,\ldots,f_c\in\mathcal O(Y)$ mit $\cal Z\pdef \cal Z(f_1,\ldots, f_c)$ "aquidimensional und $Z$ einer irreduziblen Komponente von $\cal Z$ nach \ref{NStFF}. Nach \ref{KKHSn} hat jede irreduzible Komponente $W$ von $$\varphi^{-1}(\cal Z)=\cal Z(f_1\circ \varphi,\ldots, f_c\circ\varphi)$$ mindestens die Dimension $\op{kdim} W\geq \op{kdim} X-c$. Jede irreduzible Komponente $V$ von $\varphi^{-1}(Z)$ mit $\overline{\varphi(V)}=Z$ ist aber notwendig auch eine irreduzible Komponente von $\varphi^{-1}(\cal Z)$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Die Proposition zeigt zum Beispiel, da"s es Morphismen $X\ra Y$ zwischen irreduziblen affinen Variet"aten mit mindestens einer endlichen nicht leeren Faser nur dann geben kann, wenn gilt $\op{kdim}X\leq\op{kdim}Y$.\label{FDiMn} \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Kodimension von Schnittmengen}] $(k=\bar k)$. Gegeben irreduzible abgeschlossene Teilmengen\label{KDSa} $X,Y\As k^n$ gilt f"ur jede irreduzible Komponente $Z$ ihres Schnitts $X\cap Y$ die Absch"atzung $$(n-{\op{kdim}} Z)\leq (n-{\op{kdim}} X) + (n-{\op{kdim}} Y)$$ \end{Korollar} \begin{proof} Die Diagonale $\Delta=\{(v,v)\in k^n\times k^n\}$ kann als Nullstellenmenge von $n$ regul"aren Funktionen beschrieben werden. Der Schnitt mit $\Delta\cap (X\times Y)$ ist isomorph zu $X\cap Y$ und kann andererseits als Nullstellenmenge von $n$ regul"aren Funktionen aus $\mathcal O(X\times Y)$ beschrieben werden. Nach \ref{KKHSn} hat also jede irreduzible Komponente des Schnitts mindestens die behauptete Dimension. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Die Aussage des Korollars gilt analog auch f"ur Schnitte in beliebigen \glqq glatten\grqq\ "aquidimensionalen Variet"aten mit im wesentlichen demselben Beweis, vergleiche \ref{KDSg}. F"ur Schnitte in allgemeinen irreduziblen Variet"aten gilt sie nicht mehr. Zum Beispiel ist $Q\pdef \mathcal Z(T_1T_2-T_3T_4)\As k^4$ eine irreduzible Hyperfl"ache, also dreidimensional, und darin liegen die beiden zweidimensionalen Untervariet"aten $\mathcal Z(T_1,T_3)$ und $\mathcal Z(T_2,T_4)$ scheiden sich nur in einem einzigen Punkt, dem Ursprung des Koordinatensystems. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In meinen Augen ist dieses Korollar eine gro"sartige Verallgemeinerung der Absch"atzung f"ur die Kodimension des Schnitts affiner Teilr"aume eines affinen Raums in \eref{DFAn}{LA1} zum Fall von Teilmengen, die durch kompliziertere, nicht mehr notwendig lineare, sondern eben polynomiale Gleichungen gegeben werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur das Korollar ist es wesentlich, da"s wir "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper arbeiten: Zwei Sph"aren im $\DR^3$ etwa k"onnen sich ber"uhren und so eine einpunktige Schnittmenge haben. Im Komplexen aber mu"s nach unserem Korollar jede irreduzible Komponente des Schnitts zweier algebraischer Fl"achen im $\DC^3$ entweder eine Kurve oder eine Fl"ache sein. Gegeben komplexe Polynome $f,g$ in drei Variablen kann also ihre gemeinsame Nullstellenmenge keine isolierten Punkte haben. Genauer mu"s sogar der Schnitt zweier verschiedener irreduzibler algebraischer Fl"achen in $\DC^3$ stets eine Kurve alias "aqui-eindimensional sein, wie Sie sich in "Ubung \ref{skf} selbst "uberlegen d"urfen. \end{Bemerkungl} \subsection{Definitionsl"ucken rationaler Funktionen} \begin{Satz*}[\textbf{Definitionsl"ucken rationaler Funktionen}] Jeder ganz abgeschlossene noethersche Integrit"atskring $A$ ist in seinem Bruchk"orper der Schnitt "uber alle seine Lokalisierungen nach Primidealen der H"ohe Eins. In Formeln gilt mithin in $\op{Frac}\!A$ die Identit"at\label{Schnit} $$A=\bigcap_{{\op{ht}}(\frak q)=1}A_{\frak q}$$ \end{Satz*} \begin{Bemerkungl} Wir diskutieren eine Konsequenz dieses Satzes im geometrischen Fall. Sei $X$ eine irreduzible affine Variet"at, deren Ring\label{Schnitv} $\mathcal O(X)$ von regul"aren Funktionen ganz abgeschlossen ist. Sei $U\co X$ eine offene Teilmenge, deren Komplement eine Kodimension gr"o"sergleich Zwei hat. So ist die Restriktion eine Bijektion $$\mathcal O(X)\sira \mathcal O(U)$$ zwischen dem Ring der regul"aren Funktionen auf ganz $X$ und dem Ring der regul"aren Funktionen auf $U$. In der Tat liegt jede rationale Funktion $f\in \mathcal M(X)$ mit der Eigenschaft, da"s das Komplement $X\backslash D(f)$ ihres Definitionsbereichs aus \ref{Debk} keine irreduzible Komponente der Kodimension Eins hat, bereits im Schnitt der $\mathcal O_{X,Y}$ f"ur $Y\As X$ irreduzibel von der Kodimension Eins und liegt damit nach \ref{ELFn} und unserem Satz \ref{Schnit} in $\mathcal O(X)$. Ist $\mathcal O(X)$ faktoriell, so k"onnen wir das auch ohne den vorstehenden Satz leicht einsehen, denn dann ist der Definitionsbereich nach \ref{nnN} genau das Komplement der Nullstellenmenge des Nenners in einer maximal gek"urzten Darstellung unserer rationalen Funktion und ist nach dem Hauptidealsatz \ref{KKHS} folglich eine Hyperfl"ache. Ist $\mathcal O(X)$ nicht ganz abgeschlossen, so gilt die Aussage im allgemeinen nicht mehr. F"ur ein Gegenbeispiel verklebe man zwei Punkte einer affinen Ebene im Sinne von \ref{VeKKn} und betrachte eine regul"are Funktion auf unserer Ebene, die an diesen beiden Punkten verschiedene Werte annimmt. Dann ist der Definitionsbereich der entsprechenden rationlen Funktion auf der verklebten Variet"at das Komplement des verklebten Punktes und sein Komplement hat die Kodimension Zwei. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Nach \ref{Schnitv} und sogar nach dem sehr viel einfacheren Beweis im Fall faktorieller Ringe liefert f"ur $n\geq 2$ und $k=\bar k$ die Restriktion von regul"aren Funktionen von regul"aren Funktionen auf ganz $k^n$ zu regul"aren Funktionen auf dem Komplement des Ursprungs\label{FoRF} eine Bijektion $$\cal{O}( k^n)\sira \cal{O}( k^n\backslash 0)$$ \end{Beispiel} \begin{proof} F"ur $f\in (\op{Frac}A)\backslash A$ ist das Ideal $I\pdef \{g\in A\mid gf\in A\}$ nicht ganz $A$. Seien $\frak{p}=\frak{p}_{0},\frak{p}_{1},\ldots, \frak{p}_r$ die paarweise verschiedenen "uber $I$ minimalen Primideale von $A$ nach \ref{PMP}. Man zeigt leicht $I_{\frak p}=\{g\in A_{\frak p}\mid gf\in A_{\frak p}\}$. Die analoge Formel g"alte sogar f"ur eine Lokalisierung nach einer beliebigen Teilmenge. Es folgt $f\not\in A_{\frak{p}}$. K"onnen wir ${\op{ht}}(\frak{p})=1$ zeigen, so sind wir fertig. Indem wir sonst zu $A_{\frak{p}}$ "ubergehen, das nach \ref{GALL} auch ganz abgeschlossen ist, d"urfen wir gleich $A=A_{\frak{p}}$ annehmen, also $A$ lokal mit maximalem Ideal $\frak p$ und $I\subset A$ ein Ideal mit Radikal $\sqrt{I}=\frak p$. Wir folgern $\frak{p}^n \subset I$ f"ur $n\gg 0$. Aus $If \subset A$ folgt damit insbesondere $\frak{p}^n f \subset A$. Jetzt betrachten wir das kleinste $l \geq 0$ mit $ \frak{p}^l f\subset A$. Sicher gilt $l > 0$- W"ahlen wir $g \in \frak{p}^{l-1} f \backslash A$, so gilt $g \not\in A$ aber $\frak{p}g \subset A$. Nun ist $A$ ganz abgeschlossen, also kann $g$ nicht ganz sein "uber $A$. Dann kann aber nach \ref{EADF} die Multiplikation mit $g$ auch nicht den endlich erzeugten von Null verschiedenen $A$-Modul $\frak{p} $ stabilisieren, wir haben also $\frak{p} g \not\subset \frak{p}$. Andererseits wissen wir jedoch bereits, da"s gilt $\frak{p} g \subset A$, woraus folgt $\frak{p} g = A$ alias $\frak{p} = g^{-1} A$. Nun liefert der Krull'sche Hauptidealsatz \ref{HvK} oder sogar einfacher \ref{KruVE} in der Tat ${\op{ht}}(\frak p)=1$. \end{proof} \begin{Bemerkunge}\label{KruVE} Ein lokaler noetherscher Integrit"atskring, dessen maximales Ideal ein von Null verschiedenes Hauptideal ist, hat als einziges weiteres Primideal das Nullideal. Diesen Spezialfall des Krull'schen Hauptidealsatzes \ref{HvK} sieht man leicht direkt ein: Ist $(A,\langle g\rangle)$ unser lokaler Integrit"atskring und $\mathfrak q\subset A$ ein Primideal mit $g\not\in \mathfrak q$, so gilt $\mathfrak q=g \mathfrak q$, denn jedes $a\in \mathfrak q$ l"a"st sich darstellen als $a=gb$ mit $b\in A$ und dann notwendig $b\in \mathfrak q$. Dann aber zeigt das Nakayama-Lemma sofort $\mathfrak q=0$. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} $(k=\bar k)$. Man zeige, da"s f"ur jede offene Teilmenge $U\co k^n$ der Ring $\mathcal O_{k^n}(U)$ der regul"aren Funktionen auf $U$ ringendlich ist "uber $k$. Hinweis: Man erinnere, da"s der Polynomring faktoriell ist, und "uberlege sich, da"s eine regul"are Funktion global durch ihre maximal gek"urzte Darstellung gegeben sein mu"s. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein %noetherscher (Unn"otig) faktorieller Ring $R$ induziert das Bilden des Hauptideals irreduzibler Elemente eine Bijektion\label{gllo} $$\op{irk}R\sira\{\mathfrak p\in\op{Spec}R\mid \op{ht}(\mathfrak p)=1\}$$ zwischen der Menge der Irreduziblenklassen von $R$ und der Menge aller Primideale der H"ohe Eins. Hinweis: Man kopiere den Beweis von \ref{KKHSss}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $X$ eine affine Variet"at mit einem faktoriellen Ring von regul"aren Funktionen, $Y\As X$ eine Hyperfl"ache und $Z\As X$ eine irreduzible Teilmenge. Ist $Z$ nicht in $Y$ enthalten, so ist $Y\cap Z$ eine \hyperref[codim]{Hyperfl\"ache} in $Z$.\label{skf} Hinweis: \ref{KKHS}, \ref{KKHSss}. \end{Ubung} \subsection{Lemma von Nakayama} \begin{Lemma}[\textbf{Existenz maximaler echter Untermoduln}] Jeder von Null verschiedene endlich erzeugte Modul hat mindestens einen maximalen echten\label{meu} Untermodul. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Wir meinen hier ganz genau gesagt einen echten Untermodul, der maximal ist unter allen echten Untermoduln. Einen maximalen Untermodul, der auch noch echt ist, kann es ja offensichtlich nicht geben. Jeder Modul hat n"amlich nur genau einen maximalen Untermodul, eben sich selbst, und der ist per definitionem nicht echt. Im Fall von Idealen ist die verk"urzte Sprechweise "ublich, da"s man unter einem maximalen Ideal stets ein maximales echtes Ideal versteht, aber diese verk"urzte Sprechweise erlauben wir uns bei Moduln nicht. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Unser Modul hat ein unverk"urzbares Erzeugendensystem. Da er nicht Null ist, kann es nicht leer sein. Nach dem Zorn'schen Lemma gibt es f"ur jedes Element eines derartigen Erzeugendensystems einen Untermodul $N$, der maximal ist unter allen Untermoduln, die dies Element nicht enthalten. Jeder derartige Untermodul $N$ ist offensichtlich maximal unter allen echten Untermoduln unseres Moduls. \end{proof} \begin{Beispiel} Der $\DZ$-Modul $\DQ$ besitzt keinen maximalen echten Untermodul. Der Quotient nach einem derartigen Untermodul w"are n"amlich einerseits einfach, also endlich von Primzahlordnung, und andererseits divisibel, die Multiplikation mit jeder von Null verschiedenen ganzen Zahl m"u"ste in anderen Worten eine Surjektion dieses einfachen Quotienten auf sich selbst induzieren, und das beides zusammen ist unm"oglich. Es steht jedoch nicht im Widerspruch zu unserem Lemma, denn $\DQ$ ist kein endlich erzeugter $\DZ$-Modul. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $R$ und ein Ideal $\frak{a}\subset R$ und ein $R$-Modul $M$ vereinbaren wir die abk"urzende Bezeichnung $\frak{a}M$ statt $\langle\frak{a}M\rangle$ f"ur den in $M$ von den Elementen $am$ mit $a\in \frak{a}$ und $m\in M$ erzeugten Untermodul. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Quelle der Nakayama-Lemmata}] Gegeben ein Kring $R$ und ein endlich erzeugter $R$-Modul $M$ gilt\label{lvay} $$\mathfrak m M=M\;\forall \mathfrak m\in \op{Max}(R) \quad\RA\quad M=0$$ \end{Proposition} \begin{proof} Durch Widerspruch. H"atten wir $M\neq 0$, so h"atte $M$ nach \ref{meu} einen maximalen echten Untermodul $N\subsetneq M$. Dann w"are $M/N$ einfach und $\mathfrak m\pdef \op{Ann}(M/N)$ ein maximales Ideal $\mathfrak m\in \op{Max}(R)$ mit $\mathfrak m M\subset N\subsetneq M$. \end{proof} \begin{Bemerkunge} F"ur Verallgemeinerungen auf den Fall nichtkommutativer Ringe vergleiche \eref{lvayn}{NAS} folgende. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Nakayama-Lemma mit Jacobson-Radikal}] Gegeben ein Kring $R$ erkl"aren wir sein {\bf Jacobson-Radikal} $\op{Jac}(R)$ als den Schnitt aller maximalen Ideale von $R$. Gegeben ein endlich erzeugter $R$-Modul $M$ folgt aus unserer Quelle \ref{lvay} mit dieser Notation offensichtlich\label{NLJR} $$\op{Jac}(R) M=M \quad\RA\quad M=0$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein Ring hei"st {\bf lokal},\index{lokal!Ring|main}\index{Ring!lokaler|main} wenn seine Nichteinheiten ein Ideal bilden. Dies Ideal ist dann nat"urlich das gr"o"ste echte Ideal unseres Rings. Der Nullring ist nicht lokal, denn die leere Menge ist kein Ideal.\label{LoRi} In einem lokalen Ring ist die Summe aus einer Nichteinheit und einer Einheit offensichtlich stets eine Einheit. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Mit der Sprechweise \glqq Sei $(A,\frak m)$ ein lokaler Kring\grqq\ ist gemeint, da"s $A$ ein lokaler Kring sein soll und $\frak m$ sein eindeutig bestimmtes maximales Ideal. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben ein Kring $R$ und ein Primideal $\frak p\subset R$ ist die Lokalisierung $R_{\frak p}$ von $R$ an der Stelle $\frak p$ nach \ref{PiL} stets ein lokaler Kring mit maximalem Ideal $\frak p_{\frak p}$. Insbesondere sind unsere Ringe von Funktionskeimen $\mathcal O_{X,x}$ aus \ref{ELF} und allgemeiner unsere Ringe von Funktionskeimen $\mathcal O_{X,Y}$ aus \ref{ELFn} stets lokal. \end{Beispiel} \begin{Korollar}[\textbf{Lemma von Nakayama f"ur lokale Kringe}] Gegeben ein lokaler Kring $(A,\mathfrak m)$ und ein endlich erzeugter $A$-Modul $M$ gilt\index{Nakayama, Lemma von!f"ur lokale Kringe}\label{LNay} $$\mathfrak m M=M \quad\RA\quad M=0$$ \end{Korollar} \begin{proof} Das folgt direkt aus der Quelle der Nakayama-Lemmata \ref{lvay}. Mit einer etwas sorgf"altigeren Argumentation erkennt man, da"s man beim Beweis dieser Aussage sogar auf das Zorn'sche Lemma verzichten kann, vergleiche \ref{LVNnc}. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Lemma von Nakayama f"ur lokale Kringe, Variante}] Gegeben ein lokaler Kring $(A,\mathfrak m)$ und ein endlich erzeugter $A$-Modul $M$ und ein Untermodul $N\subset M$ mit $M=N+\mathfrak m M$ gilt bereits $N=M$.\label{LKLo} \end{Korollar} \begin{proof} F"ur $Q\pdef M/N$ folgt aus unseren Annahmen $\mathfrak m Q=Q$ und $Q$ endlich erzeugt, also $Q=0$ nach \ref{LNay}. \end{proof} \begin{Beispiel} Gegeben ein endlich erzeugter Modul $M$ "uber einem lokalen Kring $(A,\mathfrak m)$ und Elemente $m_1,\ldots, m_r\in M$, deren Nebenklassen $\bar m_1,\ldots, \bar m_r$ den Quotienten $M/\mathfrak m M$ erzeugen, erzeugen $m_1,\ldots, m_r$ bereits $M$ selbst. Das folgt, indem wir \ref{LKLo} auf den von $m_1,\ldots, m_r$ erzeugten Untermodul $N$ anwenden. Es ist hierbei wesentlich, $M$ selbst bereits als endlich erzeugt anzunehmen, die expliziten Erzeuger des Quotienten d"urften auch eine unendliche Familie sein. Das Korollar taugt also nur zum Nachzuweis, da"s eine vorgegebene m"oglichweise auch unendliche Teilmenge ein Erzeugendensystem von $M$ ist, und keineswegs zum Nachweis, da"s $M$ endlich erzeugt ist. Zum Beispiel ist die Menge aller Br"uche, in deren Nenner eine feste Primzahl $p$ nicht als Primfaktor auftritt, ein lokaler Teilring $A\pdef \DZ_{\langle p\rangle}\subset\DQ$ mit maximalem Ideal $\mathfrak m\pdef p\DZ_{\langle p\rangle}$ und Quotient $A/\mathfrak m\cong\mathbb F_p$ der Primk"orper. Betrachten wir den $A$-Modul $M\pdef \DQ=\op{Frac}A$, so gilt $M/\mathfrak m M=0$ und wird bereits von der leeren Menge erzeugt, aber $M$ selbst ist keineswegs Null. Als weniger extremes Beispiel mag man auch den $A$-Modul $M\pdef A\oplus\op{Frac}A$ mit $M/\mathfrak m M\cong \mathbb F_p$ betrachten. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw} Beide vorhergehenden Korollare gelten genauso f"ur nicht notwendig kommutative lokale Ringe und werden in dieser Allgemeinheit in \eref{ChLR}{NAS} diskutiert. Die Beweise sind dann komplizierter. Insbesondere die Gleichung $\mathfrak m=\op{Jac}(A)$ ist f"ur einen nichtkommutativen lokalen Ring $(A,\mathfrak m)$ zwar richtig, aber nicht trivial. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben ein endlich erzeugter freier Modul $M$ "uber einem lokalen Kring $(A,\mathfrak m)$ bilden Elemente $v_1,\ldots,v_r\in M$ eine $A$-Basis von $M$ genau dann, wenn ihre Bilder $\bar v_1,\ldots,\bar v_r\in M/\mathfrak m M$ eine Basis des Quotienten "uber dem K"orper $A/\mathfrak m$ bilden.\label{efb} \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $A\subset B$ eine modulendliche Kringerweiterung. Ist $A$ lokal und $B$ ein freier $A$-Modul, so spaltet die Einbettung $A\hra B$ als Homomorphismus von $A$-Moduln.\label{efs} Hinweis: \ref{efb}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $X$ eine affine Variet"at und $M$ ein $\mathcal O(X)$-Modul. Gegeben $x\in X$ hei"st $M\otimes_{\mathcal O(X)} k_x$ der {\bf geometrische Halm}\index{Halm!geometrischer} von $M$ an der Stelle $x$. Man zeige: Ein endlich erzeugter $\mathcal O(X)$-Modul $M$ ist genau dann projektiv, wenn die Dimensionen seiner geometrischen Halme eine lokal konstante Funktion bilden. Hinweis: Man finde f"ur jeden Punkt $x\in X$ eine Funktion $f\in \mathcal O(X)$ mit $f(x)\neq 0$ und $M_f$ frei "uber $\mathcal O(X)_f$.\label{lkgk} Man erinnere aus \ref{lkfp}, da"s unter gewissen Endlichkeitsbedingungen projektiv "aquivalent ist zu lokal frei. \end{Ubung} \subsection{Nichtlokale Varianten zum Lemma von Nakayama*} \begin{Bemerkungl} Die hier diskutierten Varianten des Lemmas von Nakayama f"ur nichtlokale Kringe werden wir erst im Zusammenhang mit dem Durchschnittssatz von Krull ben"otigen. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\defind{Lemma von Nakayama}] Seien $R$ ein Kring, ${\frak a} \subset R$ ein Ideal und $M$ ein endlich erzeugter\label{LVNnc}\index{Nakayama} $R$-Modul. Gilt ${\frak a} M=M$, so gibt es $f \in 1+ {\frak a}$ mit $fM=0$.\index{Nakayama, Lemma von!kommutatives} \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Die Bedingung, $M$ sei endlich erzeugt, ist an dieser Stelle wesentlich. Gegeben ein K"orper $k$ ist die Folgerung zum Beispiel offensichtlich falsch f"ur den $k[T]$-Modul $M\pdef k[T,T^{-1}]$ und das Ideal ${\frak a}\pdef\langle T\rangle$ in $R\pdef k[T]$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis aus der Quelle] Aus $\mathfrak a M=M$ folgt f"ur alle Primideale $\mathfrak p\supset \mathfrak a$ zun"achst $\mathfrak p M_{\mathfrak p}=M_{\mathfrak p}$ und mit der Quelle der Nakayamalemmata $M_{\mathfrak p}=0$. Andererseits gilt nach "Ubung \ref{Trae} f"ur Primideale unseres Krings $\mathfrak p\supset \op{Ann}(M)\RA M_{\mathfrak p}\neq 0$ f"ur endlich erzeugte Moduln $M$. Unsere Annahme impliziert also in geometrischer Sprache $$\mathcal A(\op{Ann}M)\cap \mathcal A(\mathfrak a)=\emptyset$$ und algebraisch $(\op{Ann} M) + \mathfrak a=R$, da diese Summe in keinem Primideal liegen kann. Folglich gibt es $f\in 1+\mathfrak a$ mit $fM=0$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis ohne Zorn'sches Lemma] Wir m"ussen aus $\frak{a} M=M$ folgern $f M =0$ f"ur ein $f \in 1 + \frak{a}$ oder gleichbedeutend $S^{-1} M =0$ f"ur die Lokalisierung von $M$ nach der multiplikativ abgeschlossenen Teilmenge $S \pdef 1 + \frak{a}$. Aber seien sonst $q_{1}, \ldots , q_{t} \in M$ gew"ahlt mit kleinstm"oglichem $t \geq 1$ derart, da"s ihre Bilder $S^{-1}M$ als Modul "uber $S^{-1} R$ erzeugen. Nat"urlich folgt aus $\frak{a}M = M$ auch $(S^{-1} \frak{a})(S^{-1}M) = (S^{-1} M)$. Wir k"onnen also in $S^{-1}M$ schreiben $q_{1} = b_{1}q_{1} + \ldots + b_{t}q_{t}$ mit $b_{i} \in S^{-1}\frak{a}$. Dann k"onnen wir auch in $M$ schreiben $s{q_{1}} = a_{1}q_{1} + \ldots + a_{t}q_{t}$ mit $a_{i}\in \frak{a}$, $s \in S$ und folgern $(s-a_{1})q_{1} = a_{2}q_{2} + \ldots + a_{t}q_{t}$. Wegen $(s-a_{1}) \in S$ zeigt diese Gleichung aber, da"s auch $q_{2}, \ldots , q_{t}$ schon $S^{-1}M$ erzeugen als Modul "uber $S^{-1}R$. Widerspruch! \end{proof} %\newpage \begin{proof}[Beweis ohne Zorn'sches Lemma und ohne Lokalisierung] Seien $q_{1},\ldots ,q_{n}$ Erzeuger des $R$-Moduls $M$. Wir finden $a_{ij}\in \frak{a}$ mit $$q_{i} = a_{i1} q_{1} + \ldots +a_{in} q_{n}$$ Das k"onnen wir umschreiben zur Matrixgleichung $$\begin{array}{ccccc} \left( \begin{array}{ccc} 1 & & 0\\ &\ddots &\\ 0& & 1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} q_{1}\\ \vdots \\ q_{n}\end{array} \right) & =& \left( \begin{array}{ccc} a_{11}&\cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right)& \left( \begin{array}{c} q_{1} \\ \vdots \\ q_{n} \end{array} \right) \end{array}$$ Ziehen wir nun beide Seiten voneinander ab und multiplizieren mit der adjungierten Matrix \eref{CraRe}{LA1}, so erkennen wir, da"s f"ur $P$ das charakteristische Polynom der Matrix der $(a_{ij})$ gilt $P(1) q_{1} = \ldots = P(1) q_{n} =0$. Dies $P(1)$ ist dann unser gesuchtes $f\in 1+\frak{a}$. \end{proof} %\newpage \begin{Korollar}[\defind{Lemma von Nakayama, Variante}] Seien $R$ ein Kring, ${\frak a} \subset R$ ein Ideal und $M$ ein endlich erzeugter\label{LVN}\index{Nakayama} $R$-Modul. Sei $N\subset M$ ein Untermodul mit $M= N+{\frak a} M$. So gibt es $f \in 1+ {\frak a}$ mit $N[f^{-1}]\sira M[f^{-1}]$. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Aus unserer Variante \ref{LVN} folgt unmittelbar Korollar \ref{LVNnc}, indem wir den Fall $N=0$ betrachten. Wir gehen jedoch beim Beweis den umgekehrten Weg. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Herleitung von Korollar \ref{LVN} aus Proposition \ref{LVNnc}] Wir setzen $Q\pdef M/N$ und betrachten das Diagramm mit exakten Spalten $$\begin{array}{ccccc} N\cap \frak{a}M & \hookrightarrow & \frak{a} M & \twoheadrightarrow & \frak{a}Q\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ N & \hookrightarrow & M & \twoheadrightarrow &Q\\ \downarrow & &\downarrow & & \downarrow\\ N/ (N\cap \frak{a}M) & \hookrightarrow & M / \frak{a} M & \twoheadrightarrow & Q/\frak{a}Q \end{array}$$ Seine beiden oberen Zeilen sind exakt, also nach dem Neunerlemma auch die untere Zeile. % Wir betrachten das Diagramm mit exakten Zeilen % $$\begin{array}{ccccc} % N & \hookrightarrow & M & \twoheadrightarrow &Q\\ % \downarrow & &\downarrow & & \downarrow\\ % \bar N & \hookrightarrow & M / \frak{a} M & % \twoheadrightarrow & Q/\frak{a}Q % \end{array}$$ % mit $\bar N$ dem Bild von $N$ in $M / \frak{a} M$. Aus der Wahl von $N$ folgt nun $Q/{\frak a} Q=0$, also $Q={\frak a} Q$, also $fQ=0$ f"ur ein $f \in 1 +{\frak a}$ nach Korollar \ref{LVNnc}, also $Q[f^{-1}]=0$, also $N [f^{-1}] \sira M[f^{-1}]$ wegen der Exaktheit des Lokalisierens \ref{EdLo}. \end{proof} \subsection{Flache Morphismen} \begin{Definition} Ein Morphismus von affinen Variet"aten $\varphi:X\ra Y$ hei"st {\bf flach},\index{flach!Morphismus!von affinen Variet"aten} wenn sein Komorphismus $\mathcal O(Y)\ra \mathcal O(X)$ \hyperref[flRH]{flach} ist. \end{Definition} \begin{Beispiel} Offensichtlich ist die Verkn"upfung von flachen Morphismen flach. Aufgrund der Exaktheit der Lokalisierung ist f"ur jede regul"are Funktionen $f\in\mathcal O(X)$ auf einer affinen Variet"at $X$ die Einbettung $X_f\hra X$ der Nichtnullstellenmenge flach. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Generische Freiheit ringendlicher Kringerweiterungen}] Gegeben $\varphi:A \rightarrow B$ ein Kringhomomorphismus mit $A$ einem Integrit"atsbereich und $B$ ringendlich "uber $A$\label{FRE} gibt es $a \in A \backslash 0$ derart, da"s die Lokalisierung $B_a$ ein freier $A_a$-Modul ist. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Einen Kringhomomorphisms $A \rightarrow B$ nenne ich {\bf modulfrei},\index{modulfrei!Kringerweiterung} wenn darunter $B$ ein freier $A$-Modul wird. Weiter nenne ich eine Kringerweiterung $A\ra B$ {\bf modulspaltend},\index{modulspaltend!Kringerweiterung} wenn sie injektiv ist und als Homomorphismus von $A$-Moduln spaltet. Im Beweis zeigen wir, da"s wir $a \in A \backslash 0$ sogar so w"ahlen k"onnen, da"s entweder gilt $B_a=0$ oder da"s $A_a\hra B_a$ eine modulfreie und modulspaltende Kringerweiterung ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir w"ahlen $b_1, \ldots, b_r \in B$ mit $B = \varphi(A) [b_1, \ldots, b_r]$. Auf der Menge $\mathbb N^r$ der Multiindizes erkl"aren wir eine Anordung $\leq$ durch $\nu \leq \mu$ falls $|\nu | < |\mu|$ oder $|\nu| = |\mu|$ und $\nu$ lexikographisch kleinergleich $\mu$. Dann setzen wir $B_{<\nu} \pdef \sum_{\mu < \nu} A b^\mu$ und $B_{\leq \nu} \pdef \sum_{\mu \leq \nu} A b^\mu$ und finden kurze exakte Sequenzen von $A$-Moduln $$B_{<\nu} \hookrightarrow B_{\leq \nu} \twoheadrightarrow A/ I (\nu)$$ mit $I (\nu) = \{a \in A \mid a b^\nu \in B_{< \nu}\}$. Offensichtlich gilt $\mu \leq \nu \Rightarrow \mu + \lambda \leq \nu + \lambda$ und daraus folgt $I (\nu) \subset I (\nu + \lambda)$ f"ur alle $\lambda$. Die Menge $T\pdef \{\nu \mid I (\nu) \neq 0\}$ ist also ein Monoidideal von $\mathbb N^r$ im Sinne von \ref{MoIN} und ist folglich endlich erzeugt, sagen wir $$T = \bigcup_{\eta\in E}(\eta + \mathbb N^r)$$ f"ur eine endliche Teilmenge $E\subset T$. Dann finden wir Elemente $a_\eta \in I (\eta) \backslash 0$ f"ur $\eta\in E$ und f"ur deren Produkt $a \in A \backslash 0$ gilt $I (\nu) \neq 0 \Rightarrow a \in I (\nu)$. F"ur dieses $a \in A \backslash 0$ bilden schlie"slich die $b^\nu$ mit $I (\nu) = 0$ eine $A_a$-Basis von $B_a$. \end{proof} \begin{proof}[Alternativer Beweis des k"orpertheoretischen Nullstellensatzes \ref{KFa}] Sei $L\supset k$ eine ringendliche K"orpererweiterung. Es gilt zu zeigen, da"s $L$ algebraisch ist "uber $k$. Andernfalls g"abe es $x \in L$ mit $x$ transzendent "uber $k$. Nach \ref{FRE} gibt es also $f \in k[x]$ mit $L$ frei als $k[x]_f$-Modul. Nach \eref{Uevi}{AL} gibt es aber in $k[X]_f$ ein Element $g$, das weder Null ist noch eine Einheit, und das steht nunmehr im Widerspruch zu $(g \cdot) : L \sira L$. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Generische Flachheit}] Gegeben ein Morphismus $\varphi: X\ra Y$ von affinen Variet"aten gibt es eine Funktion $s\in\mathcal O(Y)$ mit dichter Nichtnullstellenmenge $Y_s$ derart, da"s $\mathcal O(X)_{s\circ\varphi}=\mathcal O(X_{s\circ\varphi})$ flach ist "uber $\mathcal O(Y)_s=\mathcal O(Y_s)$.\label{genFL} Ist $Y$ irreduzibel, so zeigt \ref{FRE} sogar, da"s wir erreichen k"onnen, da"s $\mathcal O(X)_{s\circ\varphi}$ ein freier Modul "uber $\mathcal O(Y)_s$ ist. Sonst k"onnen wir zun"achst $t$ so finden, da"s $Y_t$ in $Y$ dicht liegt und die disjunkte Vereinigung seiner irreduziblen Komponenten ist, und k"onnen dann für jede irreduzible Komponente separat das vorherige Argument anwenden. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Flach impliziert offenes Bild}] Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. Ist $\varphi: A\ra B$ ein Homomorpismus von "uber $k$ ring\-end\-li\-chen $k$-Kringen und ist $B$ flach als $A$-Modul, so ist die induzierte Abbildung $\bar\varphi: \op{Max}B\ra \op{Max}A$ offen.\label{Obi} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dieser Satz ist eine besonders einfache Variante einer ganzen Vielfalt von Aussagen, die f"ur Kringhomomorphismen Kriterien daf"ur angeben, wann die induzierte Abbildung auf den Spektren offen ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Jede offene Teilmenge von $\op{Max}B$ ist eine Vereinigung von Bildern von $\op{Max}B_g$ f"ur $g\in B$. Da $B\ra B_g$ flach ist, m"ussen wir nur zeigen, da"s das Bild von $\op{Max}B$ offen ist. Wir argumentieren mit Induktion "uber die Krulldimension von $A$. Ist sie Null oder ist $A$ der Nullring, so tr"agt $\op{Max}A$ die diskrete Topologie und es bleibt nichts zu zeigen. Ist $A\ra D$ irgendein Kringhomomorphismus, so ist auch $D\otimes_AB$ flach als $D$-Modul. Wenden wir diese Erkenntnis an auf $A\sra A/\mathfrak p$ f"ur die minimalen Primideale $\mathfrak p\subset A$, von denen es nach \ref{MPRI} nur h"ochstens endlich viele gibt, so k"onnen wir uns auf den Fall zur"uckziehen, da"s $A$ ein Integrit"atsbereich der kleinsten Krulldimension ist, f"ur die wir unsere Behauptung noch nicht gezeigt haben. Ist nun das Bild $\bar\varphi (\op{Max}B)$ nicht dicht, so gibt es $f\in A\backslash 0$ mit $\bar\varphi (\op{Max}B)\subset\mathcal A(f)$ in unserer Notation aus \ref{Af}. In anderen Worten liegt $\varphi(f)$ in jedem maximalen Ideal von $B$ und damit nach \ref{MaxS} im Nilradikal von $B$. %Indem wir notfalls zu einer Potenz von $f$ %"ubergehen, d"urfen wir $\varphi(f)=0$ annehmen. Aufgrund der Flachheit mu"s andererseits die Injektion $(f\cdot):A\hra A$ eine Injektion $(\varphi(f)\cdot):B\hra B$ induzieren und wir sehen so, da"s aus $\bar\varphi (\op{Max}B)$ nicht dicht bereits folgt $B=0$. Da die leere Menge eh offen ist, d"urfen wir annehmen, da"s $\bar\varphi (\op{Max}B)$ dicht ist in $\op{Max}A$, und m"ussen zeigen, da"s es dann auch offen ist. Zu"achst einmal umfa"st $\bar\varphi (\op{Max}B)$ nach \ref{BMDnxa} eine offene dichte Teilmenge $U\co\op{Max}A$. Deren Komplement ist eine abgeschlossene Teilmenge $Y\As \op{Max}A$ echt kleinerer Krulldimension und per Induktion wissen wir bereits, da"s das Bild von $\op{Max}(\mathcal O(Y)\otimes_AB)\ra Y$ alias $Y\cap \bar\varphi (\op{Max}B)$ offen ist in $Y$. Die Behauptung folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir nennen einen Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von affinen $k$-Variet"aten {\bf scheinflach},\index{scheinflach}\label{sfl} wenn es ein kommutatives Diagramm von ringendlichen $k$-Kring\-al\-ge\-bren $$\begin{array}{ccc} A&\sra &\mathcal O(Y)\\ \da &&\da\\ B&\sra&\mathcal O(X) \end{array}$$ gibt derart, da"s die Horizontalen Surjektionen sind mit den jeweiligen Nilradikalen als Kern und da"s $A\ra B$ ein flacher Kringhomomorphismus ist.\label{goef} Ich erwarte nicht, da"s jede Verkn"upfung scheinflacher Morphismen wieder scheinflach ist. Dieser Begriff ist nur im Kontext vom Variet"aten n"utzlich und kommt in der Literatur sonst noch nicht vor. Jeder flache Morphismus ist auch scheinflach. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Eigenschaften scheinflacher Morphismen}] \begin{enumerate} \item Jeder scheinflache Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von affinen Variet"aten induziert eine offene Abbildung der zugrundeliegenden topologischen R"aume;%\label{BMD} \item Ist $\varphi:X\ra Y$ ein scheinflacher Morphismus von affinen Variet"aten und $T\ra Y$ ein beliebiger Morphismus von affinen Variet"aten, so ist auch der induzierte Morphismus $X\times_Y T\ra T$ scheinflach. \end{enumerate}\label{BFM} \end{Korollar} \begin{Bemerkungw} Zus"atzliche Eigenschaften, die insbesondere die Dimensionen von Fasern betreffen, diskutieren wir in \ref{MMK}. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Zum Beispiel folgt, da"s gegeben ein flacher oder auch nur scheinflacher Morphismus $\varphi:X\ra Y$ und $Z\As Y$ abgeschlossen auch $\varphi:\varphi^{-1}(Z)\ra Z$ scheinflach und insbesondere offen ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Teil 1 folgt sofort aus Satz \ref{Obi}. Teil 2 folgt sofort aus den Definitionen und der Beschreibung des Faserprodukts \ref{FPAV}. \end{proof} % \subsection{Flachheit und Faserdimension} \begin{Satz}[\textbf{H"ohenvergleich in flachen Kringerweiterungen}] Gegeben ein flacher Kringhomomorpismus $\varphi:A\ra B$ von noetherschen \hyperref[KetRR]{Kettenl\"angenringen} haben f"ur jedes Primideal $\mathfrak p\subset A$ die "uber $\varphi(\mathfrak p)$ minimalen Primideale $\mathfrak q\subset B$ dieselbe H"ohe wie $\mathfrak p$ und es gilt f"ur sie zus"atzlich\label{Hpi} $$\varphi^{-1}(\mathfrak q)=\mathfrak p$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Als Gegenbeispiel f"ur den Fall, da"s $A$ kein Kettenl"angenring ist, mag man den durch Auswerten bei $T=0$ gegebenen Homomorphismus $k[T]\times k\ra k\times k$ betrachten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Satz und sein Beweis bleiben richtig, wenn wir von unseren beiden Ringen nur fordern, da"s sie noethersch sind und da"s je zwei Primidealketten, die zu einem fest vorgegebenen Primideal aufsteigen und nicht weiter verfeinerbar sind, dieselbe endliche L"ange haben. In \ref{VKHSS} werden wir zeigen, da"s in einem noetherschen Kring jedes Primideal eine endliche H"ohe hat. Insbesondere gibt es dann zumindest mindestens eine endliche nicht verfeinerbare Primidealkette, die zu einem gegebenen Primideal aufsteigt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein flacher Kringhomomorphismus $\varphi:A\ra B$ und ein beliebiger Kringhomomorphismus $A\ra C$ ist der induzierte Homomorphismus $C\ra B\otimes_AC$ stets wieder flach. Weiter ist f"ur jedes k"urzbare Element $f\in A$ auch sein Bild $\varphi(f)$ k"urzbar in $B$. Ist insbesondere $A$ ein Integrit"atsbereich und $B$ nicht der Nullring, so mu"s jeder flache Kringhomomorphismus eine Injektion $\varphi:A\hra B$ sein.\label{flij} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir zeigen das, indem wir mit Spezialf"allen beginnen und in mehreren Schritten zum allgemeinen Fall "ubergehen.\\[2mm]\noindent Fall 1: Der Ring $A$ ist ein Integrit"atsring und $\mathfrak p=0$. Im Fall $B=0$ ist nichts zu zeigen, andernfalls d"urfen wir $A\subset B$ annehmen nach \ref{flij}. Die "uber $\mathfrak p$ minimalen Primideale von $B$ sind dann genau die minimalen Primideale von $B$ und haben auch die H"ohe Null. Weiter schneiden sie den Integrit"atsbereich $A$ in Null, denn schneidet ein Ideal $\mathfrak q\subset B$ den Teilring $A$ nicht im Nullideal, so enth"alt es k"urzbare Elemente von $A$ und diese sind nach \ref{flij} wegen der Flachheit auch k"urzbar in $B$ und nach \ref{MPVM} kann unser $\mathfrak q$ dann kein minimales Primideal in $B$ sein.\\[2mm]\noindent Fall 2: Das Primideal $\mathfrak p$ ist ein minimales Primideal von $A$. Das Darantensorieren $\otimes_AA/\mathfrak p$ zeigt mit \ref{flij}, da"s auch $\bar\varphi:A/\mathfrak p\ra B/\mathfrak pB$ flach ist mit der abk"urzenden Notation $\mathfrak p B$ f"ur das von $\varphi(\mathfrak p)$ in $B$ erzeugte Ideal. Die "uber $\varphi(\mathfrak p)$ minimalen Primideale $\mathfrak q\subset B$ sind nun genau die Urbilder unter der Projektion $\pi_B:B\sra B/\mathfrak p B$ der minimalen Primideale $\bar{\mathfrak q}$ von $B/\mathfrak p B$. Nach dem bereits behandelten Fall gilt $\bar\varphi^{-1}(\bar{\mathfrak q})=0$ und dann auch $$\varphi^{-1}(\mathfrak q)=\varphi^{-1}(\pi_B^{-1}(\bar{\mathfrak q}))= \pi_A^{-1}(\bar\varphi^{-1}(\bar{\mathfrak q}))=\pi_A^{-1}(0)=\mathfrak p$$ Es bleibt zu zeigen, da"s die "uber $\varphi(\mathfrak p)$ minimalen Primideale $\mathfrak q\subset B$ auch als Primideale von $B$ minimal sind. Andernfalls g"abe es aber in $B$ ein Primideal $\mathfrak q_1\subsetneq \mathfrak q$ und wir h"atten notwendig auch $\varphi^{-1}(\mathfrak q_1)=\mathfrak p$ und $\mathfrak q_1\supset \mathfrak pB$ und $\bar{\mathfrak q}_1\subsetneq \bar{\mathfrak q}$ w"are ein echt kleineres Primideal von $B/\mathfrak p B$ im Widerspruch dazu, da"s $\bar{\mathfrak q}$ dort ein minimales Primideal war. \\[2mm]\noindent Fall 3: Der allgemeine Fall. Wir argumentieren durch Induktion "uber die H"ohe von $\mathfrak p$. Die Basis der Induktion bildet Fall 2, bei dessen Behandlung wir sogar ohne die Bedingung ausgekommen sind, da"s unsere Ringe noethersche Kettenl"angenringe sein sollen. Im allgemeinen ziehen wir uns zun"achst einmal auf den Fall zur"uck, da"s $A$ nilpotentfrei ist, indem wir sonst $A$ und $B$ durch das Nilradikal $\mathfrak n\subset A$ beziehungsweise das von $\varphi(\mathfrak n)$ in $B$ erzeugte Ideal $\mathfrak n B$ teilen. Da diese Ideale beide aus nilpotenten Elementen bestehen, liegen sie jeweils in allen Primidealen. Des weiteren ist der induzierte Ringhomomorphismus $A/\mathfrak n\ra B/\mathfrak n B$ nach \ref{flij} auch flach, so da"s sich an unserer Aussage nichts "andert. Sei also von nun an $A$ nilpotentfrei. Ist $\mathfrak p\subset A$ ein Primideal positiver H"ohe $c\geq 1$, so enth"alt $\mathfrak p$ ein k"urzbares Element $f$ von $A$, da es nach \ref{PiAAn} nicht in einer endlichen Vereinigung minimaler Primideale enthalten sein kann, da es aber nach \ref{MPRI} in unserem noetherschen Ring $A$ nur endlich viele minimalen Primideale gibt und da deren Vereinigung nach \ref{MPVM} in unserem nilpotentfreien Ring genau die Menge der nichtk"urzbaren Elemente ist. Dann ist nach \ref{flij} aufgrund der Flachheit $f$ auch k"urzbar in $B$ und der Kringhomomorphismus $\bar\varphi: A/fA \ra B/fB$ ist flach und nach dem Krull'schen Hauptidealsatz \ref{HvK}, f"ur den wir wieder die Bedingung noethersch brauchen, sind $A/fA$ sowie $B/fB$ Kettenl"angenringe. Da wir $A$ als Kettenl"angenring angenommen hatten, hat $\bar{\mathfrak p}\pdef \mathfrak p/fA$ die H"ohe $\op{ht} \bar{\mathfrak p}=c-1$ in $A/fA$. Mit Induktion folgt f"ur jedes Primideal $\bar{\mathfrak q}\subset B/fB$, das minimal ist "uber $\bar\varphi(\bar{\mathfrak p})$, da"s gilt $\op{ht} \bar{\mathfrak q}=c-1$ und $\bar\varphi^{-1}(\bar{\mathfrak q})= \bar{\mathfrak p}$. Da wir $B$ als Kettenl"angenring angenommen hatten, zeigt der Krull'sche Hauptidealsatz weiter, da"s das Zur"uckholen Bijektionen $$ \op{Spec}_{\op{ht}=c-1}(B/fB)\sira \{ \mathfrak q\in \op{Spec}_{\op{ht}=c}B\mid f\in \mathfrak q\} $$ induziert. Dann folgt aber auch f"ur jedes Primideal $\mathfrak q\subset B$, das minimal ist "uber $\varphi(\mathfrak p)$, da"s gilt $\op{ht} \mathfrak q=c$ und $\varphi^{-1}(\mathfrak q)= \mathfrak p$. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Scheinflache Morphismen "aquidimensionaler Variet"aten}] Gegeben ein \hyperref[sfl]{scheinflacher} Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von einer nichtleeren "aqui-$n$-di\-men\-sio\-na\-len affinen Variet"at zu einer "aqui-$m$-di\-men\-sio\-na\-len affinen Variet"at gilt $ n\geq m$ und gegeben eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge $Z\As Y$ gilt f"ur jede irreduzible Komponente $K$ ihres Urbilds $\varphi^{-1}(Z)$ sowohl $\overline{\varphi(K)}=Z$ als auch\label{MMK} $$\op{kdim}X-\op{kdim}K=\op{kdim}Y-\op{kdim}Z$$ \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Das mag im Kontrast zum Fall \ref{diF} eines dominanten Morphismus irreduzibler affiner Variet"aten gesehen werden, in dem wir selbst unter der zus"atzlichen Annahme $\overline{\varphi(K)}=Z$ nur die Absch"atzung $\leq$ zeigen konnten und insbesondere nur eine untere Absch"atzung f"ur die Dimension der Fasern. Im Fall eines scheinflachen Morphismus finden wir viel st"arker, da"s alle Komponenten aller Fasern die zu erwartende Dimension haben. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir zeigen das nur im flachen Fall. Im scheinflachen Fall geht es genauso, man mu"s nur mehr Notation einf"uhren. Genau dann hat eine abgeschlossene irreduzible Teilmenge $W\As X$ die Eigenschaft $\varphi(W)\subset Z$, wenn f"ur die zugeh"origen Primideale gilt $\varphi^\sharp (\mathcal I_Y(Z))\subset \mathcal I_X(W)$. Die irreduziblen Komponenten von $\varphi^{-1}(Z)$ entsprechen also den kleinstm"oglichen Primidealen $\mathfrak q\subset \mathcal O(X)$, die $\varphi^\sharp (\mathcal I_Y(Z))$ umfassen. Nach \ref{Hpi} haben alle diese Primideale $\mathfrak q$ dieselbe H"ohe wie $\mathcal I_Y(Z)$. Folglich gilt f"ur alle irreduziblen Komponenten $W$ von $\varphi^{-1}(Z)$ die Identit"at $$\op{kdim}(W\subset X)=\op{kdim}(Z\subset Y)$$ Die obige Dimensionsidentit"at folgt damit aus unserer Beziehung \ref{aeqk} zwischen Krulldimension und Krullkodimension in "aquidimensionalen Variet"aten. Die Gleichheit $\overline{\varphi(K)}=Z$ dahingegen folgt aus der Gleichheit $(\varphi^\sharp)^{-1}(\mathfrak q)=\mathcal I_Y(Z)$ aus \ref{Hpi}. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{von Chevalley zur Halbstetigkeit der Faserdimension}] Gegeben ein Morphismus von affinen Variet"aten $\varphi : X \ra Y$ ist die Funktion ${\op{f}}:X\ra \DN$ der lokalen Faserdimension\label{hsFD} $${\op{f}}(x)\pdef \op{kdim}_x\varphi^{-1}(\varphi(x))$$ halbstetig auf $X$ in dem Sinne, da"s f"ur alle $n\in \DN$ die Menge $\{x\in X\mid {\op{f}}(x)\geq n\}$ abgeschlossen ist. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Hier verwenden wir unsere Notation $\op{kdim}_z Z$ aus \ref{KDT} f"ur das Maximum der Dimensionen irreduzibler Komponenten von $Z$, die den Punkt $z$ enthalten. F"ur das folgende vereinbaren wir die Notation $$X^{\geq n}\pdef \{x\in X\mid {\op{f}}(x)\geq n\}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Sobald wir allgemeine, nicht notwendig affine Variet"aten und ihre Morphismen kennenlernen, wird klar sein, da"s der Satz f"ur sie genauso gilt. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Wir zeigen das durch Induktion "uber die Dimension von $Y$. Wissen wir es bei festem $Y$ f"ur $X$ irreduzibel, so folgt es leicht f"ur $X$ beliebig. Im Fall $\op{kdim}Y=0$ ist die Behauptung klar f"ur $X$ irreduzibel und folgt dann f"ur $X$ beliebig. F"ur den Induktionsschritt d"urfen wir wieder $X$ irreduzibel annehmen und, indem wir $Y$ durch $\overline{\varphi(Y)}$ ersetzen, auch noch $Y$ irreduzibel. Setzen wir nun $c\pdef \op{kdim}X-\op{kdim}Y$, so folgt aus unseren Erkenntnissen \ref{diF} zur Mindestdimension von Fasern bereits $X=X^{\geq c}$. Aufgrund der generischen Flachheit \ref{genFL} und der Dimensionseigenschaften flacher Morphismen \ref{MMK} besitzt weiter $Y$ eine offene dichte Teilmenge $V\co Y$ derart, da"s unsere Funktion ${\op{f}}$ auf $\varphi^{-1}(V)$ konstant den Wert $c$ annimmt. Setzen wir $Z\pdef Y\backslash V$, so hat $Z\As Y$ echt kleinere Dimension als $Y$ und wir d"urfen auf $\varphi:\varphi^{-1}(Z)\ra Z$ die Induktionsvorausetzung anwenden und haben gewonnen. \end{proof} \subsection{Hauptidealsatz von Krull*} \begin{Bemerkungl} F"ur das folgende ben"otigen wir Resultate aus \eref{NEMK}{NAS}, deren Beweis hier nicht wiederholt werden soll. Gegeben ein Modul $M$ "uber einer Menge $\Omega$ definieren wir seine {\bf L"ange}\index{L"ange!eines Moduls}\index{l@$\op{l}(M)$ L"ange von $M$} $$\op{L"ange}_\Omega(M)=\op{L"ange}(M)=\op{l}_\Omega(M)=\op{l}(M)\in\DN\amalg \{\infty\}$$ als\index{L"ange@$\op{L"ange}(M)$ L"ange von $M$} das Supremum "uber alle $n$ derart, da"s es in $M$ eine echt absteigende Kette von Untermoduln gibt der Gestalt $M= M_n\supsetneq M_{n-1}\supsetneq\ldots \supsetneq M_0=0$, die also salopp gesprochen in $n$ Schritten vom ganzen Modul zum Nullmodul f"uhrt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Menge $\Omega$ und eine kurze exakte Sequenz $M'\hra M\sra M''$ von $\Omega$-Moduln gilt die {\bf L"angenformel}\label{LKL} $l(M)=l(M')+ l(M'')$. Das wird in \eref{NLKL}{NAS} bewiesen, hier nehmen wir es ohne Beweis hin. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein Modul hei"st {\bf einfach}, wenn er nicht Null ist, aber au"ser Null und sich selber keine weiteren Untermoduln hat. In anderen Worten sind die einfachen Moduln genau die Moduln der L"ange Eins. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Modul endlicher L"ange haben je zwei nicht verfeinerbare echt absteigende Folgen von Untermoduln dieselbe L"ange in bis auf Reihenfolge isomorphe Subquotienten. Das ist der Satz von Jordan-H"older aus \eref{NJHM}{NAS}. Auch ihn nehmen wir hier ohne Beweis hin. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Man sagt, ein Kring $R$ sei {\bf von endlicher L"ange}, wenn er von endlicher L"ange ist als Modul "uber sich selber, in Formeln $l_R(R)<\infty$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Noethersche Kringe der Krulldimension Null}] F"ur einen Kring sind gleichbedeutend: \label{NRKO} \begin{enumerate} \item Unser Kring ist von endlicher L"ange; \item Unser Kring ist noethersch von der Krulldimension Null oder der Nullring; \item Unser Kring ist isomorph zu einem endlichen Produkt von noetherschen Kringen mit genau einem Primideal, das dann notwendig sowohl maximal als auch nilpotent sein mu"s. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Die "Aquivalenz dieser Aussagen wird sich als eine wesentliche Zutat beim Beweis des Hauptidealsatzes von Krull \ref{HvK} erweisen, einer der zentralen Aussagen der Dimensionstheorie. \end{Bemerkungw} \begin{proof} (2)$\RA$(3). Ist unser Kring $R$ noethersch, so ist nach \ref{MPRI} sein Nilradikal der Schnitt seiner endlich vielen minimalen Primideale $\frak m_1,\ldots, \frak m_r$. Ist zus"atzlich die Krulldimension unseres Krings Null, so sind das auch seine maximalen Ideale. Es gibt also $n$ mit $(\frak m_1\ldots \frak m_r)^n=0$ und der abstrakte chinesische Restsatz \eref{ACR}{AL} liefert einen Isomorphismus $$R\sira R/\mathfrak m_1^n \times \ldots\times R/\mathfrak m_r^n$$ \\ (3)$\RA$(1). Jedes $\mathfrak m_i^t/\mathfrak m_i^{t+1}$ ist ein endlich erzeugter Vektorraum "uber dem K"orper $R/\frak m_i$ und folglich von endlicher L"ange als $R$-Modul. Zusammen mit der L"angenformel \ref{LKL} zeigt das, da"s $R$ endliche L"ange hat. \\[2mm]\noindent (1)$\RA$(2). Aufgrund der L"angenformel ist jeder Modul endlicher L"ange noethersch. Weiter kann unser Kring endlicher L"ange nach dem Satz von Jordan-H"older \eref{NJHM}{NAS} bis auf Isomorphismus nur endlich viele einfache Moduln haben, also nur endlich viele maximale Ideale $\frak m_1,\ldots, \frak m_r$. Offensichtlich gilt $(\frak m_1\ldots \frak m_r)^l=0$ f"ur $l$ die L"ange unseres Krings. Dies Produkt liegt mithin in jedem Primideal $\frak p$ unseres Rings. Nach \ref{UFSS} umfa"st $\frak p$ eines der $\frak m_i$. Also ist jedes Primideal maximal und die Krulldimension ist Null. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Hauptidealsatz von Krull}] Gegeben ein noetherscher Kring $R$ und ein Element $f\in R$ gilt f"ur jedes Primideal $\frak p\subset R$, das $f$ enth"alt und minimal ist unter allen Primidealen mit dieser Eigenschaft, die Absch"atzung ${\op{ht}}(\frak p)\leq 1$. Ist zus"atzlich $f$ k"urzbar, so gilt genauer ${\op{ht}}(\frak p)= 1$.\label{HvK} \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Ein unabh"angiger Beweis wird in \ref{VKHSS} gegeben. Dort zeigen wir sogar allgemeiner f"ur Elemente $f_1,\ldots,f_s$ eines noetherschen Krings und jedes Primideal $\frak p\subset R$, das $f_1,\ldots,f_s$ enth"alt und minimal ist unter allen Primidealen mit dieser Eigenschaft, die Absch"atzung ${\op{ht}}(\frak p)\leq s$. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis f"ur faktorielle Ringe] Sei $R$ ein faktorieller Ring. Enth"alt ein Primideal $\mathfrak p\subset R$ ein Element $f\neq 0$, so enth"alt es auch einen irreduziblen Faktor $g$ von $f$ und das Hauptideal $\langle g\rangle$ ist bereits selbst ein Primideal mit $f\in \langle g\rangle \subset \mathfrak p$. War $\mathfrak p$ minimal "uber $f$, so folgt $\langle g\rangle= \mathfrak p$ und wir erhalten $1=\op{ht}(\langle g\rangle)=\op{ht}(\mathfrak p)$, da die erste Gleichung in dieser Situation offensichtlich ist. \end{proof} \begin{proof} Die Versch"arfung f"ur $f$ k"urzbar folgt unmittelbar daraus, da"s jedes minimale Primideal eines Krings nach \ref{MPVM} aus nichtk"urzbaren Elementen besteht. Indem wir zu $R_{\frak p}$ "ubergehen, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $\frak p$ das einzige maximale Ideal von $R$ ist. Es gilt dann, f"ur jedes Primideal $\frak q\subset R$ mit $\frak q\neq \frak p$ zu zeigen, da"s $\frak q$ ein minimales Primideal von $R$ ist. Nach Annahme gilt $f\not\in \frak q$. % Nach \ref{NRKO} reicht es zu zeigen, % da"s der Ring $R_{\frak q}$ endliche L"ange hat als Modul "uber sich selber. Wir betrachten nun die kanonische Abbildung $\lambda:R\ra R_{\frak q}$ in die Lokalisierung und setzen $\frak q^{(i)}\pdef \lambda^{-1}(\frak q_{\frak q}^{i})$. Dann bilden wir in $R$ die Kette von Idealen $$\frak q+\langle f\rangle\;\supset\; \frak q^{(2)}+\langle f\rangle\;\supset\; \frak q^{(3)}+\langle f\rangle\;\supset\ldots$$ Da $R/\langle f\rangle$ nach Konstruktion ein noetherscher Kring der Krulldimension Null ist und folglich nach \ref{NRKO} endliche L"ange hat, wird diese Kette von Idealen station"ar, sagen wir bei $$\frak q^{(n)}+\langle f\rangle= \frak q^{(n+1)}+\langle f\rangle$$ So kann jedes $a\in \frak q^{(n)}$ dargestellt werden als $a=b+ rf$ mit $b\in \frak q^{(n+1)}$ und $r\in R$. Nun impliziert $rf\in \frak q^{(n)}$ aber $\lambda(rf) \in \frak q_{\frak q}^{n}$ und wegen $\lambda(f)\in R_{\frak q}^\times$ weiter $\lambda(r)\in \frak q_{\frak q}^{n}$ und so $r\in \frak q^{(n)}$. Mithin haben wir sogar $$\frak q^{(n)}= \frak q^{(n+1)}+f\frak q^{(n)}$$ Es folgt $f(\frak q^{(n)}/\frak q^{(n+1)})=(\frak q^{(n)}/\frak q^{(n+1)})$. Da $f$ im einzigen maximalen Ideal unseres Rings liegt, liefert das Lemma \ref{LKLo} von Nakayama dann $\frak q^{(n)}=\frak q^{(n+1)}$ und damit $\frak q_{\frak q}^{n}=\frak q_{\frak q}^{n+1}$. Wieder mit Nakayama zeigt das jedoch $\frak q_{\frak q}^{n}=0$ und damit ist das maximale Ideal von $R_{\frak q}$ bereits nilpotent, also etwa nach \ref{PUNm} ein minimales Primideal von $R_{\frak q}$. Es folgt sofort, da"s $\mathfrak q$ ein minimales Primideal von $R$ ist. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Sei $A$ ein noetherscher Kring. Man zeige: Ist der Quotient von $A$ nach seinem Nilradikal $A/\sqrt{0}$ von endlicher L"ange, so ist bereits $A$ selbst von endlicher L"ange. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein von Null verschiedener noetherscher Kettenl"angenring $R$ und darin ein k"urzbares Element $f$ ist auch $R/\langle f\rangle$ ein Kettenl"angenring und es gilt $$\op{kdim}R/\langle f\rangle=\op{kdim}R-1$$ \end{Ubung} \subsection{Hauptraumzerlegung von Moduln*} \begin{Lemma}[\textbf{Verallgemeinerte Hauptraumzerlegung}] Gegeben ein Modul $M$ "uber einem Kring $R$ und ein maximales Ideal $\chi \in \op{Max}R$ setze man\label{ZAM} $M_{(\chi)} \pdef \{m\in M \mid \chi^k m= 0$ f"ur $k\gg 0\}$. Mit dieser Notation liefern die Inklusionen eine Einbettung $$\bigoplus_{\chi \in \op{Max}R} M_{(\chi)}\hra M$$ Deren Bild besteht aus allen Elementen von $M$, die von einem Produkt maximaler Ideale annulliert werden. Ist $R$ noethersch, so ist das genau die Summe aller Untermoduln endlicher L"ange. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Im Spezialfall eines Polynomrings in einer Ver"anderlichen "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ ist das die Hauptraumzerlegung \eref{Haui}{LA2}, vergleiche auch \eref{DSHR}{LA2}. Unter der Bijektion $k\sira \op{Max}(k[X])$, $\lambda\mapsto \langle X-\lambda\rangle$ entspricht genauer die Hauptraumzerlegung des durch Multiplikation mit $X$ gegebenen Endomorphismus des $k$-Vektorraums $M$ genau der Zerlegung in der Proposition. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] W"are die Summe der $M_{(\chi)}$ nicht direkt, so w"are auch schon eine endliche Teilsumme nicht direkt und wir h"atten notwendig eine endliche direkte Teilsumme $M_{(\nu)}\oplus\ldots\oplus M_{(\mu)}$, die von einem weiteren $M_{(\chi)}$ nichttrivial geschnitten wird. Wegen $(M\oplus N)_{(\chi)}=M_{(\chi)}\oplus N_{(\chi)}$ h"atten wir dann $\mu\neq \chi$ mit $ M_{(\mu)}\cap M_{(\chi)}\neq 0$. Das ist aber absurd, da gilt $R=\chi+\mu$ und dann auch $R=\chi^n+\mu^n$ f"ur alle $n$ alias $1=c+d$ mit $c\in \chi^n$, $d\in \mu^n$, und damit $1m=0$ f"ur alle $m\in M_{(\mu)}\cap M_{(\chi)}$. Die Summe ist also direkt. Wir nun ein Element $m\in M$ von einem Produkt maximaler Ideale annulliert, so auch der davon erzeugte Untermodul $N\pdef Rm\subset M$ und es ist klar, da"s wir paarweise verschiedene $\chi_1,\ldots,\chi_r\in \op{Max}R$ finden k"onnen und $n\in\DN$ mit $$(\chi_1\ldots\chi_r)^nN=0$$ Der chinesische Restsatz \eref{ACR}{AL} liefert dann einen Isomorphismus $$R/(\chi_1\ldots\chi_r)^n\sira R/\chi_1^n\times\ldots\times R/\chi_r^n$$ Wir k"onnen mithin $N$ auffassen als einen Modul "uber dem Produktring. Die Elemente $e_i$ in diesem Produktring mit einem einzigen Eintrag $1$ an der $i$-ten Stelle und Nullen sonst haben als Elemente der rechten Seite die Eigenschaft $\chi_i^ne_i=0$ und f"ur alle $m\in N$ geh"ort $m=e_1m+\ldots +e_rm$ folglich zur Summe der $M_{(\chi)}$. Ist schlie"slich $R$ noethersch und $\chi\subset R$ ein maximales Ideal, so ist $R/\chi^n$ stets ein $R$-Modul endlicher L"ange, da alle $\chi^i/\chi^{i+1}$ endlich erzeugte Vektorr"aume "uber dem K"orper $R/\chi$ sind. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man bestimme die verallgemeinerte Hauptraumzerlegung des $\DZ$-Moduls $\DZ/1000\DZ$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Hauptraumzerlegung "uber Kringen endlicher L"ange}] Ist $R$ ein Kring und $M$ ein $R$-Modul, der die Vereinigung seiner Untermoduln endlicher L"ange ist, so sind f"ur alle $\chi\in\op{Max}R$ die Kompositionen $M_{(\chi)}\hra M\ra M_\chi$ Isomorphismen mit der Lokalisierung nach $\chi$ und f"ur maximale Ideale $\chi\neq \mu$ ist die Komposition $M_{(\chi)}\hra M\ra M_\mu$ die Nullabbildung. Insbesondere ist f"ur jeden Modul $M$ "uber einem Kring endlicher L"ange die Abbildung aus \ref{lgP} ein Isomorphismus\label{ZMEL} $$ M\sira\prod_{\chi \in \op{Max}R} M_{\chi}$$ \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXKAG" %%% End: