\section{Kleineres} \begin{enumerate} \item Supply some missing details for Styrkas: Regular representation on the big cell and big projective modules in the category $\mathcal O$ (on the archive). \item Besitzt die Koinvariantenalgebra einer Weylgruppe verschiedene $\mathbb Z$-Graduierungen, die dennoch zur "ublichen $\mathbb Z$-Graduierung isomorph graduierte Algebren liefern? Was ist die Automorphismengruppe der Koinvariantenalgebra? Gehen je zwei Koszul-Graduierungen der Algebra eines Blocks von Kategorie $\mathcal O$ durch innere Automorphismen auseinander hervor? Ich denke eher nicht, es sollte durchaus \glqq wesentlich verschiedene\grqq\ graduierte Versionen geben d"urfen, vergleiche \cite[Remark vor 4.4]{BGSo}. \item Goldie-Rang-Polynome f"ur endlichdimensionale Moduln "uber W-Algebren? \item (Vielleicht Bachelor.) Wer pr"uft mir \ref{Hallf}? Hier soll die Hall-Komultiplikation m"oglichst nat"urlich formuliert werden. \item Wer erkl"art mir \ref{VVV}? Wohl eher keine Arbeit, ich bin nur zu ungebildet dazu und erwarte, da"s man es schon in der Literatur finden kann. \item (Vielleicht Bachelor.) Die Standgruppe des Punktes $\infty$ unter M"obiustransformationen besteht aus allen Selbstabbildungen von $\DR^n,$ die Hyperebenen in Hyperebenen "uberf"uhren und Winkel erhalten. Das mu"s ja wohl das semidirekte Produkt der Gruppe aller Bewegungen mit der Gruppe aller Streckungen sein. Nach Telephonat mit Sebastian denken wir beide, da"s diese M"obiusgeometrie wohl ein homogener Raum von $\op{Spin}(n+1,1)$ ist und da"s das mit dem sogenannten \glqq Traktor-Kalk"ul\grqq\ zusammenh"angen sollte. \item Affine Bimoduln und endliche Darstellungen. (Florian Klein?) \item \ref{PDFo}, ganzzahlige Formalit"at von Fahnenmannigfaltigkeiten. Wie sieht die geometrische Hecke-Algebra "uber komischen Ringen aus? (Gerrit Begher) \item \ref{DHSy}, deformierte Homomorphismen nach Styrkas. (David Nies?) \item \ref{PBeLu}, Problem bei unbeschr"ankten "aquivarianten derivierten Kategorien. (David Stotz?) \item \ref{Aufgabe}, Derivierte Kategorie der Garben auf einem Produkt. \item Kann man Bemerkung 6.8 aus meiner Bimodularbeit mit Demazure-Operatoren l"osen? \item Erh"alt man neue kanonische Basen f"ur Quantengruppen mit IC und positive-Charakteristik-Koeffizienten? \item Eher Staatsexamen, und noch angucken: Tits-Kegel und analoge Argumente "uber angeordnetem K"orper formulieren wie \ref{TiKe}. Mit den Notationen dort sollte $T=W\bar{A}^+\subset V^\ast$ konvex sein, und ich w"urde erwarten, da"s jedes in $T$ enthaltene offene Geradensegment h"ochstens endlich viele Spiegelhyperebenen trifft. Von da ausgehend mag man die Argumente im Zusammenhang mit affinen Spiegelungsgruppen wiederholen k"onnen. \item (Staatsexamen) Man definiere f"ur eine endliche Teilmenge $E$ des Raums ihre \defind{Abst"andezahl} $A(E)$ als die Zahl der m"oglichen von Null verschiedenen verschiedenen Abst"ande zwischen ihren Elementen. Welche M"oglichkeiten gibt es f"ur Abst"andezahl $\leq 3$? Kriegt man im wesentlichen die platonischen K"orper, vergleiche \ref{PlK}? Welche M"oglichkeiten bestehen "uberhaupt f"ur $A(E)<|E|$? \item K"ocher f"ur parabolische $G_1T$-Moduln? [Kaneda]. \item (Staatsexamen) Man verallgemeinere \ref{DuSk} auf h"ohere Dimensionen: Eine Untergruppe $D\subset \op{GL}(V)$ der Automorphismengruppe eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums $V,$ die einfach transitiv operiert auf der Menge aller geeignet definierten \glqq Halbraumfahnen\grqq\ ist bereits die $\op{SO}(b)$ f"ur ein bis auf eine positive multiplikative Konstante eindeutig bestimmtes Skalarprodukt $b.$ In welchen Dimensionen geht das gut? Unter welchen Voraussetzungen kann es "uber allgemeineren angeordneten K"orpern gezeigt werden? \item (Bachelor?) Man diskutiere die Nat"urlichkeit der Spaltung im universellen Koeffiziententheorem, siehe \ref{NatS}. Gibt's aber wohl bereits bei Hatcher. \item Man berechne in kleinen F"allen die Projektiven in der Kategorie $\cal{O}$ mit diagonaler Operation der Cartan \emph{und} diagonaler Operation des Zentrums. Gibt es in dieser Kategorie nichttriviale Erweiterungen zwischen Verma-Moduln? Ist der antidominante Projektive der Duale des projektiven Verma? [Biehl, aber noch sehr unbefiedigend] \item Kann man die Spektralsequenz der Homologie zeigen, indem man die \glqq Homologie mit A-B-W"urfeln\grqq\ von Massey nimmt und den Unterkomplex der Abbildungen $[0,1]^n\ra E$ in unsere Faserung, bei denen der Basispunkt nur von den ersten $p$ Koordinaten abh"angt? \item Gegeben eine endlichdimensionale $\DZ$-graduierte Ringalgebra "uber einem K"orper und dar"uber ein endlichdimensionaler graduierbarer Modul w"u"ste ich gerne, ob auch jeder direkte Summand davon graduierbar ist. Ich wei"s nur, da"s bei einer Summenzerlegung in einen unzerlegbaren und einen graduierbaren Summanden auch der unzerlegbare Summand graduierbar sein mu"s. Ich w"are schon gl"ucklich, zu wissen, ob gegeben ein unzerlegbarer Modul mit der Eigenschaft, da"s die Summe von endlich vielen Kopien graduierbar ist, auch der unzerlegbare Modul selbst graduierbar sein mu"s. \item Shelton leitet Formeln f"ur die Erweiterungen von parabolischen Verma-Moduln in der parabolischen Kategorie $\mathcal O$ im hermitesch-symmetrischen Fall her. Welche Dimension haben die graduierten Anteile dieser Erweiterungsgruppen, wenn sie in der graduierten Version der parabolischen Kategorie $\mathcal O$ berechnet werden? To compute extensions of Verma modules in the BGG-category is an open problem, to the extend, that there is even no conjectural solution. If we work however in the parabolic category $\mathcal O$ and our parabolic has abelian nilradical, i.e. in the so-called hermition symmetric case, a solution was obtained by B. Shelton \cite{??}. On the other hand, localization to $D$-modules gives, that extensions of (parabolic) Verma modules can be described geometrically as the cohomolgy of intersections of a Bruhat cell with the translated big cell. The project is to (1) understand Shelton's results geometrically and (2) determine their analogue in the $\mathbb Z$-graded version of category $\mathcal O$ from \cite{??}. \item Eine genauere Betrachtung des Beweises von \ref{KHElAA} zeigt eine Aussage der folgenden Art: Sei $P$ eine Parabolische. Spannen gewisse Elemente der Kazhdan-Lusztig-Basis $\underline{H}_x$, etwa f"ur $x \in V \subset W_P$, unter dem Ring der Laurentpolynome $\mathcal{L}$ ein Rechtsideal in der kleinen Heckealgebra $\mathcal{H}_P$ auf, so sind auch die $*$-$P$-$V$-reinen Objekte stabil unter $\pi_s^*$ und $\pi_{s*}$. Wenden wir den Homomorphismus $J^* : \op{Der}_{(B)} (G/B) \rightarrow \mathcal{H}$ an und betrachten $ j_! (IC^P_y) $ f"ur $ j: Py B/B \hookrightarrow G/B $ und $ IC^P_y = IC (\overline{ByB/B} \subset Py B/B)$ und Konvolution mit $IC_x$, die ja direkter Summand ist von Operationen der Gestalt $\pi^*_s \pi_{s*}$, so erhalten wir wieder etwas $*$-$P$-$V$-reines. \item Man diskutiere Monodromes in m"oglichst gro"ser Allgemeinheit, vergleiche \ref{MoGh} und \ref{AMGa}. \item Ich schlage vor, $\mathfrak g$-$K$-Moduln in positiver Charakteristik zu untersuchen. Ausgiebig untersucht sind Darstellungen reduktiver algebraischer Gruppen. Die einfachen Darstellungen werden parametrisiert durch dominante h"ochste Gewichte, es gibt die Weylmoduln und die Lusztig-Vermutung. Ausgiebig untersucht sind auch sogenannte $G_1T$-Moduln. Sie k"onnen als X-graduierte Moduln "uber der restringierten Einh"ullenden verstanden werden. Die einfachen Darstellungen werden parametrisiert durch beliebige ganze Gewichte, es gibt Lusztigs Vermutung und Baby-Vermas. Beides wird im Buch von Jantzen "uber Darstellungen algebraischer Gruppen ausf"uhrlich behandelt. Meines Wissens nicht behandelt sind Zwischenf"alle, also Darstellungen vom Erzeugnis Frobenius-Kern von $G$ und einer gr"o"seren reduktiven Untergruppe oberhalb des maximalen Torus, also $G_1L$-Moduln oder $\mathfrak g$-$L$-Moduln mit gewissen Kompatibilit"aten "ahnlich wie man sie von wie sie in $\mathfrak g$-$K$-Moduln in Charakteristik Null kennt und ich es in \ref{KohI} etwas aufgeschrieben habe. Jetzt kann man erst mal zeigen, da"s die irreduziblen klassifiziert werden durch, tja, erste Frage! Und dann mal sehen, ob man in kleinen F"allen vestehen kann, wie die Standardmoduln zerfallen und ob sich da gut in KL-Polynomen ausdr"ucken l"a"st. \item Tensorprodukte von Verma-Moduln? Wie zerfallen die? \item Lokale Konstanz von Kategorien von Harish-Chandra-Moduln bei Wackeln am zentralen Charakter ohne "Anderung von Ganzheitseigenschaften? \end{enumerate} \newpage \section{L"angeres} \subsection{Lusztig's Vermutung} \begin{Bemerkungl} \end{Bemerkungl} \subsection{Zur Formalit"at in positiver Charakteristik} Dear Simon, dear Geordie, there are other things I did want to discuss with you. At the moment, I see two \glqq obvious\grqq\ questions arise, which might make nice work for students: \begin{enumerate} \item Make the whole thing $B$-equivariant. Since the cohomology ring of cassifying space of $B$ is $q$-decomposable, I would expect it to be not so difficult to lift the $q$-decomposability to this setting. \item Our ring $A$ has not only a grading, but also a natural filtration, by \glqq non-semisimplicity of Frobenius\grqq. I would expect this filtration to be trivial, but this might be not at all easy to check in general. But maybe for $\op{SL}_2$, or rank two, or the like, or maybe its easy to see for the Ext-algebra of Bott-Samelson alias parity sheaves. \end{enumerate} At the moment, I have no student work on these, but we should a bit keep in touch, to not have students work in parallel. Best, Wolfgang \newpage \subsection{Modulare Kategorie $\mathcal O$} \begin{Bemerkungl} In \cite{So-R} f"uhre ich eine Version der Kategorie $\mathcal O$ mit Koeffizienten in einem K"orper $k$ positiver Charakteristik ein, die \glqq modulare Kategorie $\mathcal O$\grqq, und diskutiere ihre Eigenschaften. In \cite{KhoPF} studiert Khomenko andere Versionen, insbesondere auch modulare Analoga parabolischer und singul"arer Kategorie $\mathcal O$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich vermute, da"s die regul"are Version der Kategorie $\mathcal O$ f"ur gro"se Charakteristik "aquivalent ist zur Kategorie $\mathcal P_{(B)}(G/B;k)$ der l"angs Bruhat-Zellen konstruktiblen modularen perversen Garben auf der komplexen Fahnenmannigfaltigkeit $G/B$. In Charakteristik Null liefert Lokalisierung solch eine "Aquivalenz. In positiver Charakteristik kenne ich keinen Funktor, der sie liefern sollte. Was stattdessen in \cite{So-R} diskutiert wird, ist eine Koszul-Dualit"atsbeziehung, vergleiche auch das neue Preprint [Riche-Soergel-Williamson] auf Arxiv. Nun sind aber die fraglichen Kategorien Koszul-selbstdual in Charakteristik Null, also wird man das hoffentlich auch sehen k"onnen f"ur hinreichend (riesig) gro"se positive Charakteristik, und k"onnte dann aus der Koszul-Dualit"atsbeziehung eine "Aquivalenz ableiten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} "Ahnlich sollte die parabolische Version der modularen Kategorie $\mathcal O$ f"ur gro"se Charakteristik "aquivalent sein zur Kategorie $\mathcal P_{(B)}(G/P;k)$ der l"angs Bruhat-Zellen konstruktiblen modularen perversen Garben auf der partiellen komplexen Fahnenmannigfaltigkeit $G/P$. Hier gibt es auch F"alle, die expliziten Methoden gut zug"anglich sind, etwa maximale Parabolische in der $\op{GL}_n$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wenn man das alles sehr gut versteht, w"are sogar ein modulares Analogon der Koszul-Dualit"at nach Backelin zu erhoffen, das singul"ar-parabolische mit parabolisch-singul"aren Kategorien in Koszul-Dualit"at setzt. Und nat"urlich modulare Analoga f"ur diese Funktoren in Bernstein-Khovanov-Frenkel, und von da zu modularen Knoten-Invarianten, aber an die kommt man vermutlich einfacher anders heran, mit Hochschild-Homologie von S-Bimoduln und so, das gibts wohl eher schon "uber $\DZ$. \end{Bemerkungl} \newpage \subsection{Zu gemischten Hodge-Strukturen} \emph{ Leider so Quatsch.} Sei $V$ ein fester ${\mathbb C}$-Vektorraum endlicher Dimension. Die Menge aller Paare $(F,\bar{F})$ von Filtrierungen von jeweils fest vorgegebenem Typ auf $V$ ist in Bijektion zum Produkt von zwei partiellen Fahnenmannigfaltigkeiten $G/P \times G/Q$ f"ur $G = \op{GL}(V)$ und $P$ beziehungsweise $Q$ der Standgruppe jeweils einer festen Filtrierung des jeweiligen Typs. Diese Bijektion ist vertr"aglich mit der Operation von $G$. Ich w"u"ste nun gerne, da"s das Vergessen der Gewichtsfiltrierung eine Faserung mit affinen Fasern \[ \begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \mbox{gemischte ${\mathbb C}$-Hodge-}\\ \mbox{Strukturen auf $V$} \end{array}\right\} & \ni & (F,\bar{F},W) \\ \downarrow & & \downarrow \\ G/P \times G/Q & \ni & (F,\bar{F}) \end{array} \] liefert und dass die Urbilder der $G$-Bahnen hier wieder $G$-Bahnen sind. Ist etwa unsere gemischte Hodgestruktur vom Typ \vspace{3mm} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|} \hline ${\mathbb C}$ & 0 \\ \hline ${\mathbb C}$ & ${\mathbb C}$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \vspace{3mm} \noindent so bedeutet die Wahl einer Gewichtsfiltrierung die Wahl einer Geraden ausserhalb der durch die beiden "`diagonalen ${\mathbb C}$"' erzeugten Ebene, und das Vergessen der Gewichtsfiltrierung ist eine Faserung mit Faser ${\mathbb C}^{2}$. Betrachten wir andererseits den Typ \vspace{3mm} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|} \hline ${\mathbb C}$ & ${\mathbb C}$ \\ \hline 0 & ${\mathbb C}$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \vspace{3mm} \noindent so bedeutet die Wahl einer Gewichtsfiltrierung eine Wahl von zwei Geraden in ${\mathbb C}^{2}$, die von einer festen Geraden verschieden sind, und wieder passt es. Allgemeiner h"atte ich gerne f"ur jede reduktive zusammenh"angende algebraische Gruppe einen Morphismus mit affinen Fasern \[ \mbox{ Grp-Sch}_{{\mathbb C}}(\mbox{Hodge}_{{\mathbb C}},G^\vee ) \to \left\{ \begin{array}{c} \mbox{ABV-Parameter f"ur } G \mbox{ mit} \\ \mbox{ganzem zentralem Charakter} \end{array}\right\} \] und derart, dass die Urbilder von $G^\vee $-Bahnen wieder $G^\vee $-Bahnen sind. Das w"are besonders sch"on, da ja $\mbox{Hodge}_{{\mathbb C}}$ die Komplexifizierung der Kategorie der gemischten ${\mathbb C}$-Motive sein sollte. Auf der ABV-Seite w"aren dann Parameter f"ur komplexe Gruppen zu nehmen. Im Fall reeller Gruppen sollte man stattdessen die Komplexifizierung der Kategorie der gemischten ${\mathbb R}$-Motive zu betrachten haben. \begin{Definition} Sei $V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum. Eine {\bf gemischte Hodge-Struktur}\index{Hodge-Struktur!komlexe} oder genauer {\bf $\mathbb C$-Hodge-Struktur auf $V$} ist die Vorgabe von drei Filtrierungen $W^{\leq n}$, $ F^{\geq i}$, $\bar{F}^{\geq j}$ durch komplexe Teilr"aume derart, da"s gilt $$\op{Gr}^p_F \op{Gr}^q_{\bar{F}} \op{Gr}^n_{W} (V) =0$$ falls $p + q \neq n$ und da"s unsere drei Filtrierungen bei Null beginnen und voll enden. \end{Definition} \begin{Definition} Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Eine {\bf reine reelle Hodge-Struktur vom Gewicht $n$ auf $V$}\index{Hodge-Struktur!reelle} ist die Vorgabe einer Zerlegung $$V\otimes_\DR\DC=\bigoplus_{p+q=n} V^{p,q}$$ seiner Komplexifizierung in Teilr"aume mit der Eigenschaft, da"s die komplexe Konjugation $ V^{p,q}$ isomorph auf $ V^{q,p}$ abbildet, in Formeln $$\overline{V^{p,q}}=V^{q,p}$$ Gleichbedeutend ist die Vorgabe einer Filtrierung $ F^{\geq p}$ der Komplexifizierung $V\otimes_\DR\DC$ durch komplexe Teilr"aume derart, da"s mit $\bar{F}^{\geq q}$ der komplex konjugierten Filtrierung gilt $$\op{Gr}^p_F \op{Gr}^q_{\bar{F}} (V) =0$$ falls $p + q \neq n$ und da"s unsere Filtrierungen endlich sind in dem Sinne, da"s jeweils einer der filtrierenden Teilr"aume der Nullraum ist und ein weiterer der ganze Raum $V$. Eine {\bf Polarisierung}\index{Polarisierung!von Hodge-Struktur} ist eine Bilinearform $Q$ auf $V,$ symmetrisch im Fall von geradem Gewicht und alternierend im Fall von ungeradem Gewicht, mit der Eigenschaft, da"s f"ur ihre komplex-bilineare Erweiterung gilt $Q(V^{p,q},V^{p',q'})=0$ falls $(p,q)\neq(p',q')$ und ${\op{i}}^{p-q} Q(v,\bar{v})>0$ f"ur alle $v\in V^{p,q} \backslash 0.$ \end{Definition} \begin{Beispiel} Das typische Beispiel einer reinen Hodgestruktur vom Gewicht $n$ ist die Kohomologie einer kompakten $n$-dimensionalen K"ahler-Variet"at. Das typische Beispiel einer polarisierten reinen Hodgestruktur vom Gewicht $n$ ist der primitive Teil der Kohomologie einer kompakten $n$-dimensionalen K"ahler-Variet"at, polarisiert vermittels der Schnittpaarung. \end{Beispiel} \begin{Definition} Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Eine {\bf reelle gemischte Hodge-Struktur auf $V$}\index{Hodge-Struktur!reelle} ist die Vorgabe von einer Filtrierung $W^{\leq n}$ durch reelle Teilr"aume und einer Filtrierung $ F^{\geq p}$ der Komplexifizierung $V\otimes_\DR\DC$ durch komplexe Teilr"aume derart, da"s mit $\bar{F}^{\geq q}$ der komplex konjugierten Filtrierung gilt $$\op{Gr}^p_F \op{Gr}^q_{\bar{F}} \op{Gr}^n_{W} (V) =0$$ falls $p + q \neq n$ und da"s unsere drei Filtrierungen endlich sind in dem Sinne, da"s jeweils einer der filtrierenden Teilr"aume der Nullraum ist und ein weiterer der ganze Raum $V$. \end{Definition} \nichtfinal{K"onnte es sein, da"s das Darstellungen der proalgebraischen Gruppe der Weil-Restriktionen der Automorphismengruppen der abgeschnittenen Polynomringe $\DC[T]/\langle T^{n}\rangle$ sind? Eine kristalline Garbe auf der komplexen Einpunktvariet"at w"urde doch wohl so eine Darstellung liefern!} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ mit einer Bigraduierung seiner Komplexifizierung $V\otimes_\DR\DC=\bigoplus_{p,q}I^{p,q}$ derart, da"s die komplexen Teilr"aume $W^{\leq n}\pdef \bigoplus_{p+q\leq n}I^{p,q}$ alle "uber $\DR$ definiert sind und da"s dar"uberhinaus die von der komplexen Konjugation auf $W^{\leq n}/W^{\leq n-1}$ induzierte schieflineare Involution f"ur $p+q=n$ stets das Bild von $I^{p,q}$ in diesem Quotienten auf das Bild von $I^{q, p}$ wirft, bilden die Filtrierungen $$W^{\leq n}\pdef \bigoplus_{p+q\leq n}I^{p,q} \quad\text{ und }\quad F^{\geq p}\pdef \bigoplus_{i\geq p}I^{i,j}$$ offensichtlich eine reelle Hodge-Struktur auf $V.$ Es ist auch leicht zu sehen, da"s wir jede reelle Hodge-Struktur auf $V$ aus einer derartigen Bigraduierung erhalten k"onnen: Wir brauchen dazu nur irgendwelche Spaltungen der Surjektionen $W^{\leq n}\sra W^{\leq n}/W^{\leq n-1}$ w"ahlen und darunter die Bilder der entsprechenden Teilr"aume von $ W^{\leq n}/W^{\leq n-1}$ betrachten. Verschiedene Bigraduierungen k"onnen dieselbe Hodge-Struktur liefern: Wenn wir eine derartige Bigraduierung bewegen mit einem Automorphismus unseres Vektorraums der Gestalt $\op{id}+\sum_{i>0,\; i+j<0} f_{i,j}$ mit $f_{i,j}$ vom Bigrad $(i,j),$ so wird sie dieselbe Hodge-Struktur liefern. Ich behaupte jedoch, da"s das Bilden der zugeh"origen Hodgestruktur wie oben f"ur jeden endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ eine Bijektion \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildWPnn} \\[4mm] \noindent Links der unter unserer Zusatzbedingung noch erlaubte Bereich f"ur von Null verschiedene homogene Komponenten von $\bar{I}^{q,p}.$ Die Projektion auf $I^{p,q}$ liefert einen Isomorphismus $\bar{I}^{q,p}\sira I^{p,q},$ was das doppelt schraffierte K"astchen andeuten soll. Rechts dann der unter unserer Zusatzbedingung erlaubte Bereich f"ur von Null verschiedene homogene Komponenten von $(W^{\leq p+q}\cap \bar{F}^{\geq q}).$ Die Projektion auf die Summe der homogenen Komponenten im doppelt schraffierten Teil liefert einen Isomorphismus unseres Schnitts mit dem entsprechenden homogenen Teilraum. Die Summe aller homogenen Komponenten im irgendwie schraffierten Teil kann beschrieben werden als \glqq die Summe dieses Bildes mit allen seinen um Eins nach links verschobenen und beliebig weit nach unten ger"uckten Kopien\grqq, also in Formeln als $$\left((W^{\leq p+q}\cap \bar{F}^{\geq q})+\sum_{i\geq 1}(W^{\leq p+q-i}\cap \bar{F}^{\geq q-i+1})\right)$$ Wir k"onnen dabei, ohne etwas zu "andern, die Summe auch "uber $i\geq 0$ oder $i\geq 2$ laufen lassen. \end{Bild} $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Bigraduierungen }V_\DC=\bigoplus_{p,q}I^{p,q}\\ \text{mit der zus"atzlichen Eigenschaft}\\ \bar{I}^{q,p} \subset I^{p,q} +\sum_{\substack {i

M^n$ . Let T$_0^{w\cdot 0}$ be a translation functors T$0_{w\cdot 0}$ for any element w of a Weyl group. Then it seems so (and extremely seems so for simple reflections) that $(L\otimes (T_0^{w\cdot 0}M))/g...$ is equal to $(T_{w\cdot 0}^0L\otimes M)/g...$. Is it true? If it is false is there a way to correct it? % Have You any ideas how to control this "end" of H^i(n, M) under the action of traslation functors and how it affect annihilators of modules? In particular annihilators mentioned before. % Thanks in Advance, % Alexey Petukhov \newpage \chapter{Penrose-Tiling Terasse} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einzelne Kacheln}] Es gibt bei Obi Platten (Diephaus) $60\ph{cm}\times 40\ph{cm}\times 4\ph{cm}$ in dunkelgrau und hellgrau, nicht teuer. Die sollen zugeschnitten und verlegt werden mit einem Fugenabstand von 5mm. Ich beginne mit den stumpfen Kacheln. Ihr spitzerer Winkel ist $360^\circ/5=72^\circ$ und bei einer H"ohe von $40\ph{cm}$ kriege ich als Kantenl"ange $40\ph{cm}/\sin(72^\circ)= 42,05\ph{cm}$. Man mu"s also zwei schr"age Schnitte in unsere Platte machen und hat die stumpfen Kacheln. Bei den stumpfen Kacheln f"uhrt die virtuelle Verdickung aufgrund der Fugen zu einer Kantenverl"angerung von $0,52\ph{mm}$. Unsere fugenlose virtuelle Kantenl"ange w"are also $42,58\ph{cm}$. Wenn ich in so eine virtuelle Kachel eine echte Kachel in $2,5\ph{mm}$ Abstand zu jeder Kante hineinlege, bleiben von echter spitzer Ecke zu virtueller spitzer Ecke $2,5\ph{mm}/\sin(18^\circ)=8,09\ph{mm}$. Wenn ich die echte Kachel in die Spitze der virtuellen Kachel schiebe, bleiben also unten $8,09\ph{mm}+2,5\ph{mm}=10,59\ph{mm}$ frei. Die lange Kante der echten Kachel ist also um $10,59\ph{mm}/\cos(18^\circ)=11,14\ph{mm}$ k"urzer als die lange Kante der virtuellen Kachel und damit $42,58\ph{cm}-1,114\ph{cm}= 41,47\ph{cm}$ lang. Die kurze Kante der echten Kachel dahingegen ist um $2\times \tan(18^\circ) \times 10,59\ph{mm}= 6,88\ph{mm}$ k"urzer bei der echten im Vergleich zur virtuellen Kachel. Bei der virtuellen Kachel ist die kurze Kantenl"ange $2\times \sin(18^\circ) \times 42,58\ph{cm}= 26,32\ph{cm}$, bei der echten Kachel kommen wir also auf eine kurze Kantenl"ange von $26,32\ph{cm}- 0,688\ph{cm}=25,63\ph{cm}$. Aus jeder Original-Platte holen wir also drei halbe spitze Kacheln raus mit vier Schnitten. Alle Schnitte gehen im selben Winkel durch unsere Platten. Das mu"s man einmal genau einstellen, und dann war's das. \end{Bemerkungl} \newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Gesamtprojekt}] Wir brauchen 180 spitze Rhomben und 292 stumpfe Rhomben. Die spitzen Rhomben sollen entstehen aus Diephaus Gehweg-Platte Anthrazit mit Fase 60 x 40 x 4 cm, 4,19 Euro das St"uck bei Obi. Wir brauchen 120 dieser Platten und ich rechne mal 5 Minuten pro Platte, um die drei Dreiecke auszus"agen und anzufasen, macht 10 Stunden Steine s"agen. Die stumpfen Rhomben sollen entstehen aus Diephaus Gehweg-Platte Grau mit Fase 60 x 40 x 4 cm zu 4,29 Euro das St"uck bei Obi. Wir brauchen davon 292 und ich rechne mal 2 Minuten pro Platte zum schneiden und anfasen, macht 584 Minuten alias nochmal 10 Stunden Arbeit. Also insgesamt 20 Stunden Steine s"agen. Gesamtkosten gesch"atzt zu 1800 Euro Steine von Obi und 1000-2000 Euro zum Kleins"agen, macht 2800-3800 Euro f"ur die Steine. Dann noch verlegen. \end{Bemerkungl} LaTeX Warning: \ref{KIin} multiply defined. LaTeX Warning: \ref{vOL} multiply defined. LaTeX Warning: \ref{RSIn} multiply defined. LaTeX Warning: \ref{IQFK} multiply defined. LaTeX Warning: \ref{ASID} multiply defined. LaTeX Warning: \ref{HyFl} multiply defined. LaTeX Warning: \ref{VFDF} multiply defined. LaTeX Warning: \ref{VAR} multiply defined. 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