%Das soll bei der Algebraischen Geometrie %und bei Liegruppen/Differentialgeometrie verwendet werden \subsection{Geringte R"aume}\label{kGer} \begin{Definition} Sei $k$ ein Kring. Unter einer {\bf $k$-Ringalgebra}\index{Ringalgebra!"uber Kring} verstehen wir ein Paar $(R,\varphi)$ bestehend aus einem Ring $R$ und einem Ringhomomorphismus $\varphi: k\ra R,$ dessen Bild im Zentrum von $R$ liegt und der meist vom Leser erraten werden mu"s. Von einer $k$-Teilringalgebra fordern wir, da"s sie das Bild dieses ausgezeichneten Ringhomomorphismus umfassen soll. In \ref{RAlg} hatten wir derartige Strukturen im Fall eines K"orpers $k$ bereits kennengelernt. \end{Definition} \begin{Definition}\label{VKBe} Sei $k$ ein Kring. Ein {\bf $k$-geringter Raum}\index{geringter Raum@$k$-geringter Raum!durch Funktionen} $X=(X,\cal{O})$ ist ein topologischer Raum $X$ mitsamt einer Vorschrift $\cal{O},$ die jeder offenen Teilmenge $U \co X$ eine $k$-Teilringalgebra $\cal{O} (U) \subset \op{Ens} (U,k)$ in der $k$-Ringalgebra aller Abbildungen von $U$ nach $k$ zuordnet, deren Elemente wir die {\bf regul"aren Funktionen auf}\index{regul"ar!Funktion} $U$\index{Funktion!regul"are} nennen und von denen wir fordern: Ist $(U_i)_{i\in I}$ eine Familie offener Teilmengen von $X$ und $U = \bigcup_{i\in I}U_i$ ihre Vereinigung, so ist eine Abbildung $f: U \ra k$ regul"ar genau dann, wenn ihre Restriktionen auf alle $U_i$ regul"ar sind. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Unter anderem impliziert unsere Definition, da"s alle konstanten Funktionen regul"ar sind, d.h.\ da"s f"ur jedes $U\co X$ die konstanten Abbildungen von $U$ nach $k$ in $\cal{O} (U)$ liegen. In der Sprache der Garbentheorie, die ich hier noch vermeiden will, w"urde man $\cal{O}$ als eine $k$-Ringalgebren-Untergarbe der $k$-Ringalgebren-Garbe aller $k$-wertigen Funktionen bezeichnen. Im Zusammenhang mit Schemata und Supermannigfaltigkeiten wird eine noch allgemeinere Definition des Konzepts eines $k$-geringten Raums ben"otigt. Wenn wir betonen wollen, da"s wir den hier erkl"arten einfacheren Begriff meinen, reden wir genauer von einem {\bf durch Funktionen $k$-geringten Raum}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{BspR} Als erste Beispiele betrachten wir die $\DR$-geringten R"aume $(\DR^n,\cal{C}^1),$ die entstehen, wenn wir $\DR^n$ mit seiner nat"urlichen Topologie versehen und als regul"are Funktionen auf einer offenen Teilmenge $U\co \DR^n$ alle stetig differenzierbaren Funktionen nehmen. \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{DkrR} Seien $(X,\cal{O}_{X})$ und $(Y,\cal{O}_{Y})$ zwei $k$-geringte R"aume. Eine Abbildung $\varphi : X \ra Y$ hei"st ein \defnoind{Morphismus von $k$-geringten R"aumen}\index{Morphismus!von geringten R"aumen} genau dann, wenn sie stetig ist und wenn das Davorschalten unserer Abbildung regul"are Funktionen zu regul"aren Funktionen macht, wenn also in Formeln aus $U \co Y$ und $f \in \cal{O}_{Y} (U)$ folgt $f\circ \varphi \in \cal{O}_{X} (\varphi^{-1}(U)).$ Die Menge aller Morphismen von $X$ nach $Y$ bezeichnen wir mit $\op{Ger}_k(X,Y)$ oder auch kurz $\op{Ger}(X,Y).$ Ein \defnoind{Isomorphismus}\index{Isomorphismus!von geringten R"aumen} {\bf von $k$-geringten R"aumen} ist ein bijektiver Morphismus, dessen Umkehrabbildung auch ein Morphismus ist. \end{Definition} \begin{Beispiel}\label{MGer} Die Morphismen von $\DR$-geringten R"aumen von $(\DR^n,\cal{C}^1)$ nach $(\DR^m, \cal{C}^1)$ sind genau die $\cal{C}^1$-Abbildungen. In der Tat ist jede $\cal{C}^1$-Abbildung offensichtlich ein Morphismus, und umgekehrt sind f"ur jeden Morphismus $\varphi$ die $\varphi_j=x_j\circ \varphi: \DR^n\ra\DR$ f"ur $1\leq j\leq m$ notwendig $\cal{C}^1$-Funktionen, als da hei"st, jeder Morphismus ist auch umgekehrt eine $\cal{C}^1$-Abbildung. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{SSKG} Sind auf ein und derselben Menge $X$ mehrere Strukturen als $k$-geringter Raum gegeben, so bilden wir ihren Schnitt, indem wir diejenigen Mengen offen nennen, die in jeder unserer Strukturen offen sind, und diejenigen Funktion regul"ar, die in jeder unserer Strukturen regul"ar sind. Dieser Schnitt ist dann offensichtlich auch eine Struktur als $k$-geringter Raum auf $X.$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{gggR} Gegeben zwei Strukturen als $k$-geringter Raum auf derselben Menge $X$ nennen wir die eine \defnoind{gr"o"sergleich}\index{gr"o"sergleich!Struktur als $k$-geringter Raum} als die andere genau dann, wenn die Identit"at ein Morphismus von $X$ mit dieser Struktur in $X$ mit der anderen Struktur ist. Salopp gesprochen sind also gr"o"sere Strukturen solche \glqq mit mehr offenen Mengen oder mehr regul"aren Funktionen oder beidem\grqq. Auf diese Weise erhalten wir eine partielle Ordnung auf der Menge aller Strukturen als $k$-geringter Raum auf einer vorgegebenen Menge $X.$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{FiSu} Seien $X$ eine Menge, $Y_{i}$ beliebige $k$-geringte R\"{a}ume indiziert durch $i \in I$ und $\varphi_{i} : Y_{i} \ra X$ Abbildungen. Die gr"o"ste Struktur eines $k$-geringten Raums auf $X,$ f"ur die alle $\varphi_{i}$ Morphismen werden, hei"st die {\bf finale Struktur auf} $X$\index{finale Struktur!von $k$-geringtem Raum} in Bezug auf unsere Familie von Abbildungen. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{EFisu} Wir m"ussen zeigen, da"s solch eine gr"o"ste Struktur auch tats"achlich existiert. Dazu geben wir sie einfach explizit an: Als Topologie nehmen wir die Finaltopologie, $U\subset X$ ist also offen genau dann, wenn seine Urbilder $\varphi_i^{-1}(U)$ offen sind in $Y_i$ f"ur alle $i\in I.$ Als regul"are Funktionen auf $U\co X$ nehmen wir dann alle Funktionen $f:U\ra k$ derart, da"s $f\circ \varphi_i$ regul"ar ist auf $\varphi_i^{-1}(U)$ f"ur alle $i\in I.$ Es scheint mir nun klar, da"s das die gr"o"ste Struktur mit den geforderten Eigenschaften ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ist $\psi: X\ra Y$ ein Morphismus von $k$-geringten R"aumen und tr"agt $Y$ die finale Struktur, so nennen wir $\psi$ \defind{final}. \end{Definition} \begin{Ubung} F"ur $m\leq n$ ist die Projektion auf die ersten Koordinaten $\DR^n\ra \DR^m$ final in Bezug auf die in \ref{BspR} erkl"arten $\cal{C}^1$-Strukturen $\DR$-geringter R"aume. \end{Ubung} \begin{Satz}[\textbf{Universelle Eigenschaft der finalen Struktur}] Seien $\varphi_{i} : Y_{i} \ra X$ wie in \ref{FiSu}. Versehen wir $X$ mit der finalen Struktur, so ist eine Abbildung $\psi:X \ra Z $ in einen weiteren $k$-geringten Raum $Z$ ein Morphismus genau dann, wenn alle $\psi\circ \varphi_{i}:Y_{i} \ra Z$ Morphismen sind. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Das folgt direkt aus unserer expliziten Beschreibung der finalen Struktur in \ref{EFisu}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Die Transitivit"at finaler Familien \ref{TFG} gilt analog im Kontext $k$-geringter R"aume. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Familie $(X_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ von $k$-geringten R"aumen versehen wir die disjunkte Vereinigung $\coprod_{\lambda\in\Lambda} X_\lambda$ meist mit der finalen Struktur in Bezug auf die Einbettungen der $X_\lambda.$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{Isu} Seien $Y$ eine Menge, $X_{i}$ beliebige $k$-geringte R\"{a}ume indiziert durch $i \in I$ und $\psi_{i} : Y \ra X_{i}$ Abbildungen. Die kleinste Struktur eines $k$-geringten Raums auf $Y,$ f"ur die alle die $\psi_{i}$ Morphismen werden, hei"st die {\bf initiale Struktur}\index{initiale Struktur} auf $Y$ in Bezug auf unsere Familie von Abbildungen. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Der Schnitt aller Strukturen auf $Y,$ f"ur die alle unsere $\psi_{i}$ Morphismen sind, hat sicher auch diese Eigenschaft und ist folglich die kleinste Struktur mit dieser Eigenschaft. Das zeigt, da"s solch eine kleinste Struktur tats"achlich existiert. Wir geben eine explizite Beschreibung im Fall einer einelementigen Familie in \ref{ExB}. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Universelle Eigenschaft der initialen Struktur}] Seien $\psi_{i} : Y \ra X_{i}$ wie in \ref{Isu}. Versehen wir $Y$ mit der initialen Struktur und\label{UEII} ist $Z$ ein $k$-geringter Raum und $\varphi: Z \ra Y$ eine Abbildung, so ist $g$ ein Morphismus genau dann, wenn alle $\psi_{i}\circ \varphi :Z \ra X_{i}$ Morphismen sind. \end{Satz} \begin{proof} Mit $\varphi$ sind nat"urlich auch alle $\psi_{i}\circ \varphi$ Morphismen. Sind umgekehrt alle $\psi_{i}\circ \varphi$ Morphismen, so ist die finale Struktur zu $\varphi$ auch eine Struktur auf $Y,$ f"ur die alle $\psi_{i}$ stetig sind. Folglich umfa"st die finale Struktur zu $\varphi$ unsere initiale Struktur, und damit ist $\varphi$ ein Morphismus. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{ExB} Ist $Y\subset X$ eine Teilmenge eines $k$-geringten Raums, so nennen wir die initiale Struktur zur Einbettung die \defind{induzierte Struktur} eines $k$-geringten Raums auf $Y$ und notieren sie $(Y,\cal{O}|_Y).$ Explizit kann man die induzierte Struktur beschreiben wie folgt: Als Topologie auf $Y$ erh"alt man die von $X$ induzierte Topologie, und eine Funktion $g$ auf $V \co Y$ ist regul"ar genau dann, wenn es f"ur alle $y \in V$ eine offene Umgebung $U \co X$ von $y$ in $X$ gibt und eine Funktion $f \in \cal{O} (U)$ mit $g|_{U\cap V} = f|_{U\cap V}.$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ist $\psi: Y\hra X$ ein injektiver Morphismus von $k$-geringten R"aumen und tr"agt $Y$ die initiale Struktur, so nennen wir $\psi$ eine {\bf Einbettung}\index{Einbettung!$k$-geringter R"aume} von $k$-geringten R"aumen. In der algebraischen Geometrie ist hierf"ur auch die Bezeichnung \defnoind{Immersion}\index{Immersion!in algebraischer Geometrie} gebr"auchlich, in der Differentialgeometrie versteht man jedoch unter einer Immersion meist etwas anderes. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Offensichtlich ist die Verkn"upfung von zwei Einbettungen wieder eine Einbettung. Besonders oft werden uns \defnoind{offene Einbettungen}\index{Einbettung!offene, geringter R"aume} und \defnoind{abgeschlossene Einbettungen}\index{abgeschlossen!Einbettung geringter R"aume} begegnen, bei denen zus"atzlich gefordert wird,\index{Einbettung!abgeschlossene, geringter R"aume} da"s sie als Abbildungen topologischer R"aume offen bzw. abgeschlossen sind, oder gleichbedeutend, da"s ihr Bild offen bzw. abgeschlossen ist. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung}\label{QQHc} Ist die Verkn\"{u}pfung $g\circ h$ von zwei Morphismen final, so ist notwendig auch $g$ schon final. Insbesondere ist jeder Morphismus final, der einen {\bf Schnitt} alias ein Rechtsinverses besitzt. Ist die Verkn\"{u}pfung $g\circ h$ von zwei Morphismen initial, so ist notwendig auch $h$ schon initial. Insbesondere ist jeder Morphismus initial, der ein Linksinverses besitzt.\label{lsS} \end{Ubung} % \begin{Definition}\label{Subm} % Unter einer {\bf Submersion}\index{Submersion!$k$-geringter R"aume} % von $k$-geringten R"aumen verstehen wir einen finalen surjektiven offenen % Morphismus. % In der Differentialgeometrie meint dieser Begriff jedoch oft auch etwas % anderes, vergleiche \ref{Submdg}. % \end{Definition} %Fr"uher finale Surjektion als Submersion definiert. %Sollte besser finale offene Surjektion ??? Weiss nicht. % \begin{Ubung} % DAS IST QUATSCH! % Besitzt ein Morphismus von $k$-geringten R"aumen einen Schnitt, % so ist % er eine Submersion. Hinweis: \ref{QQHc}. % \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{FSOB} Ist $(U_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ eine offene "Uberdeckung eines $k$-geringten Raums $X,$ so tr"agt $X$ die finale Struktur in Bezug auf die Einbettungen $U_\lambda\hra X.$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{lsSn} Ist $f: Y\ra X$ ein Morphismus von $k$-geringten R"aumen und besitzt $X$ eine offene "Uberdeckung $\mathcal U$ derart, da"s $f:f^{-1}(U)\ra U$ f"ur alle $U\in \mathcal U$ final ist, so ist unser Morphismus bereits selbst final. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{Submc} Ist $\psi: X\ra Y$ final, so ist auch f"ur jede offene Teilmenge $U\co Y$ die induzierte Abbildung $\psi^{-1}(U)\ra U$ final f"ur die induzierten Strukturen. \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% End: