\section{Offene Briefe, Lehrerbildung} \subsection{Welche Ausbildung f"ur Lehrer?} % \glqq Non vitae, sed scholae discimus\grqq\ oder auf deutsch % \glqq Nicht f"ur das Leben, sondern f"ur die Schule lernen wir\grqq\ % war bereits im alten Rom der Vorwurf von Seneca an das Bildungssystem. Unsere Schulen haben -- darin sind wir uns wohl alle einig -- zuvorderst die Aufgabe, jedes einzelne unserer Kinder so gut wie m"oglich auf das Leben vorbereiten. Sie haben aber, so denke ich, auch die Verantwortung, durch ihre Beurteilungen dazu zu helfen, da"s jeder einen Platz in der Gesellschaft findet, an dem er sinnvolle Arbeit leisten und zum effektiv Gemeinwohl beitragen kann. Damit die Schule dieser gesellschaftlichen Verantwortung gerecht werden kann, scheint es mir wichtig, da"s die Lehrer auch ihrerseits aus eigener Erfahrung eine Vorstellung davon haben, welche Kenntnisse und F"ahigkeiten ihre Sch"uler denn nun sp"ater brauchen k"onnen. Dazu schiene es mir w"unschenswert, da"s unsere Lehrer die M"oglichkeit erhielten, sich auch ab und zu einmal f"ur eine Weile in unbezahlten Urlaub zu verabschieden und einer anderen T"atigkeit nachzugehen. Weiter schiene es mir w"unschenswert, da"s man als Lehrer die ganz normale Ausbildung eine Stufe "uber das Niveau hinaus fortgesetzt hat, auf dem man unterrichtet. Ein Grundschullehrer sollte -- so denke ich -- Abitur gemacht haben, kein spezielles Abitur f"ur Grundschullehrer, sondern ein ganz normales Abitur, wie es auch viele seiner Sch"uler machen werden, die nachher nicht Grundschullehrer werden wollen. Und ein Gymnasiallehrer sollte -- so denke ich -- einen Bachelor gemacht haben, oder zumindest einen Teil desselben im Umfang von etwa zwei Jahren, keinen speziellen Bachelor f"ur Gymnasiallehrer, sondern einen ganz normalen Bachelor, wie ihn auch viele seiner Sch"uler machen werden, die nachher nicht Gymnasiallehrer werden wollen. Ersteres scheint uns selbstverst"andlich, letzteres leider noch nicht. Das halte ich aus den beiden folgenden Gr"unden f"ur ungl"ucklich. Erstens kocht ein System, bei dem die zuk"unftigen Gymnasiallehrer nach dem Gymnasium direkt eine spezielle Ausbildung f"ur Gymnasiallehrer erhalten, sozusagen \glqq im eigenen Saft\grqq\ : Man lernt als Lehramtsanw"arter, was man auf der Schule -- wie man aus der eigenen Erfahrung als Sch"uler schon wei"s -- wird unterrichten m"ussen, und unterrichtet das dann eben wieder, und so bei"st sich die Katze in den Schwanz und es kann nur allzu leicht eine selbstgen"ugsame Gemeinschaft entstehen, die sich selbstverliebt im Kreise dreht. Wir brauchen aber Lehrer, die unsere Kinder auch auf andere Studien und andere Leben vorbereiten, nicht alle k"onnen und sollen ja Lehrer werden. Dazu ist es jedoch wichtig, da"s sie dieses Andere auch kennen, wof"ur sie vorbereiten sollen. Zweitens scheint es mir unfair und auch nicht im Interesse der Schule, von unseren Kindern eine so enge Festlegung auf einen Beruf so kurz nach dem Ende der Schulzeit zu fordern, wenn sie Interesse daran haben, den Lehrerberuf zu ergreifen. Es kann doch so leicht geschehen, da"s sich die Lebensumst"ande "andern und man ins Ausland umzieht, oder da"s einem das Unterrichten keinen Spa"s mehr macht, oder da"s pl"otzlich gerade mal kaum Lehrer eingestellt werden, oder was auch immer. Dann steht man mit einem Bachelor immer noch gut da und kann sich leichter umorientieren. % Ebensowenig, wie es ausgemacht ist, da"s % Politikwissenschaftler die besten Politiker werden, % oder da"s wir von allen unseren Politikern ein Studium % der Politikwissenschaft verlangen sollten, % scheint es mir evident, da"s Lehrwissenschaftler die % notwendig die besten Lehrer werden. % Und ebenso, wie es mir vielmehr wichtig schiene, da"s in der Politik % Pers"onlichkeiten vertreten sind, die auch einmal einen % anderen Beruf ausge"ubt haben, schiene es mir auch wichtig, % da"s Lehrer einmal etwas anderes gelernt haben als eben zu lehren. % Sicher geh"oren Forschung und Lehre zusammen, in der Mathematik % vielleicht noch st"arker als in anderen Bereichen. Wenn man das % nun aber wieder trennt in die zwei F"acher \glqq Lehre der Mathematik\grqq\ % und \glqq Forschung der Mathematik\grqq\ und bei beiden hinwiederum dasselbe % Argument vertritt: % Da"s also die \glqq Forschung von der Lehre der Mathematik\grqq\ % und die \glqq Lehre von der Lehre der Mathematik\grqq\ zusammengeh"oren, % und analog wohl dann auch % die \glqq Forschung "uber die Forschung in der % Mathematik\grqq\ (Wissenschaftsphilosophie?) und die \glqq Lehre von der % Forschung in der Mathematik\grqq, % nun, vielleich schon. \newpage \subsection{Offener Brief} Ihr Artikel \glqq Ausweg aus der Not an Physiklehrern\grqq\ (BZ vom Mittwoch, den 20.7) hat mich verbl"ufft und erfreut. Erfreut, da mir das Modell einer auf einem Fachbachelor aufbauenden Lehramtsausbildung ebenso sinnvoll wie zukunftsweisend scheint. In der Tat sprechen viele gute Gr"unde f"ur ein solches FABLEHR-Modell (Fachbachelor-Lehramtsmaster): Es stellt sicher, da"s die Gymnasiallehrer aus eigener Anschauung wissen, f"ur welchen weiteren Ausbildungsweg sie ihre Sch"uler vorbereiten; es "offnet unseren Kindern breitere Berufsperspektiven und zwingt sie nicht zu einer derart fr"uhen Festlegung auf den Lehrerberuf wie das jetzige System; es entspricht der Logik der mit der Bologna-Reform umgesetzten Modularisierung des Studiums; es f"ordert die Freude am Fach, wenn man sich ihm einmal eine Weile ungest"ort widmen kann---und Begeisterung f"ur das Fach ist sicher eine zentrale Voraussetzung f"ur erfolgreichen Unterricht. Ich will nicht verhehlen, da"s es auch Bedenken gibt, insbesondere was das erst im Master begonnene zweite Hauptfach anbetrifft. Hier wird sich ein verwandtes Fach empfehlen, wie etwa Physik mit Mathematik im Modellprojekt der PH Freiburg mit der Universit"at Konstanz. Die Erfahrung lehrt aber, da"s auch im derzeitigen System das Lehramtsstudium mit zwei weit auseinanderliegenden Hauptf"achern oft zu wenig "uberzeugenden Ergebnissen f"uhrt. Verbl"ufft hat mich, in besagtem Artikel zu lesen: \glqq Die zust"andige Fakult"at f"ur Physik und Mathematik (der Universit"at Freiburg) erteilte der PH-Anfrage eine glatte Abfuhr\grqq. In der Tat war ich damals mit einem Kollegen aus der Physik zur PH gefahren, um "uber ein Pilotprojekt zur gemeinsamen Lehramtsausbildung zu sprechen, und bei diesem Gespr"ach konnte ich mit meinem Vorschlag, ein Projekt in Richtung dieses FABLEHR-Modells zu entwickeln, nicht durchdringen. Umso mehr freut es mich, da"s dieses Modell nun als Pilotprojekt umgesetzt wird. Ich w"unsche ihm guten Erfolg, hoffe, da"s es vielleicht auch noch mit meiner Fakult"at realisiert werden kann, und hoffe nat"urlich besonders, da"s in seinem Rahmen viele fabelhafte Physik-Lehrerinnen und Physik-Lehrer ausgebildet werden m"ogen! Prof. Dr. Wolfgang Soergel, Gesch"aftsf"uhrender Direktor der Abteilung f"ur Didaktik der Mathematik, Universit"at Freiburg, Eckerstra"se 1, 79104 Freiburg \subsection{Gedanken zum Mathematik-Unterricht} Wichtig f"ur alle Sch"uler, ob sie nun Bankkaufmann oder Landschaftsg"artner werden wollen, scheinen mir Dreisatz, Prozentrechnung, Volumen- und Fl"achenberechnungen, Satz von Pythagoras und Winkelsumme im Dreieck. \begin{enumerate} \item Ich denke, da"s GTR und CAS im Unterricht didaktisch helfen k"onnen, aber sie sollten nicht in Pr"ufungen benutzt werden d"urfen. \item Anschlu"s Schule-Studium der MINT-F"acher. \end{enumerate} \begin{enumerate} \item Zun"achst m"ochte ich mich kurz vorstellen. An der Universit"at Freiburg vertrete ich die Reine Mathematik und insbesondere die Algebra. Ich bin daneben gesch"aftsf"uhrender Direktor der Abteilung f"ur Didaktik der Mathematik, bin jedoch kein Didaktiker. Vielmehr werden die Veranstaltungen in Fachdidaktik von einem zu uns abgeordneten Lehrer bestritten, unter substantieller Mithilfe der Studienseminare. Meine fachliche Beteiligung beschr"ankt sich auf den regelm"a"sigen Besuch des fachdidaktischen Kolloquiums. Im letzten Jahr hat unsere Abteilung die Federf"uhrung bei der Organisation des MNU-Kongresses in Freiburg "ubernommen. Mein Kontakt mit der schulischen Realit"at beschr"ankt sich im wesentlichen auf die Gymnasien, mit denen ich in meiner Rolle als ehemaliger Sch"uler, Vater, Mann einer im franz"oschen System ausgebildeten Mathematiklehrerin am deutsch-franz"osischen Gymnasium in Freiburg, Lehrer in den ersten Semestern der MINT-F"acher, sowie als Ausbilder und Pr"ufer im Staatsexamen viele Ber"uhrungspunkte habe. \item Eine wesentliche Kompetenz, die meines Erachtens im Mathematik-Unter\-richt erworben werden sollte, ist das pr"azise Formulieren und Argumentieren. Ich w"unsche mir, da"s es die besten Noten nur gibt, wenn "uber den richtigen Zahlenwert einer L"osung hinaus auch der L"osungsweg klar und "uberzeugend dargestellt wird, ja da"s das der wichtigere Teil der L"osung ist. Je nach Vertiefung mag das bis zum Formulieren eigener Beweise gehen. \item Die F"ahigkeit zur Bedienung eines graphikf"ahigen Taschenrechners (GTR) oder eines Computer-Algebrasystems (CAS) geh"ort meines Erachtens nicht zu den Kompetenzen, die im Mathematik-Unterricht vermittelt werden m"ussen. In der Berufspraxis sind diese Hilfsmittel, im Gegensatz zum Laptop, auch wenig relevant. Wenn diese Hilfsmittel im Unterricht aus didaktischen Erw"agungen eingesetzt werden, ist dagegen nichts einzuwenden. Ich pl"adiere jedoch daf"ur, ihren Einsatz in Pr"ufungen "au"serst restriktiv zu regeln, um keine falschen Anreize bei der Entwicklung der Kompetenzen zu setzen. \item Eine andere Kompetenz, die nicht zu viel aber auch nicht zu wenig Gewicht haben sollte, ist die Rechenfertigkeit: Sicher rechnen ohne zu viele Fehler beim Addieren von Br"uchen, Umformen von Termen etc. Das "Uben von derlei Fertigkeiten hat in meinen Augen einen "ahnlichen Stellenwert wie das "Uben von Tonleitern und Dreikl"angen beim Erlernen eines Instruments oder das Krafttraining eines Kampfsportlers: Nat"urlich ist es nicht das eigentliche Ziel, aber ohnedem kommt man dennoch nicht weit. \item Was die eigentlichen Inhalte angeht, kann ich nur einige isolierte Denkanst"o"se geben. Wenn der Plan als Ganzes einmal steht, gucke ich ihn mir gerne an und sage, wenn mir etwas unausgewogen scheint. \begin{enumerate} \item Mein erster Denkansto"s betrifft die Mengenlehre. Ich denke, da"s das Pendel nach ihrer enthusiastischen Einf"uhrung nun zu weit in die andere Richtung ausgeschlagen ist. Ich halte eine Diskussion von grundlegenden Konzepten der Mengenlehre, insbesondere in Verbindung mit Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie, f"ur sinnvoll und gehaltvoll. Es kann f"ur Sch"uler bereichernd sein, zu erkennen, da"s man nicht nur mit Zahlen rechnen kann. Auch das Reden "uber L"osungsmengen scheint mir vern"unftig und strukturierend. Ich pl"adiere daf"ur, der Mengenlehre etwas Platz einzur"aumen. \item Mich schockiert, da"s nicht mehr zum Kerncurriculum geh"oren: Binomische Formeln, Primzahlen, Primfaktorzerlegung, und der Beweis der Formel f"ur das L"osen quadratischer Gleichungen. \item Der Einflu"s der Bildungspl"ane auf die Unterrichtspraxis wird wesentlich "uber die Pr"ufungspraxis ausge"ubt. Dadurch haben gewisse Themen wie Fragen der analytischen Geometrie und die Diskussion von Kurven mit Parametern einen aus meiner Perspektive ungeb"uhrlich hohen Stellenwert erhalten. Insbesondere bei der Kurvendiskussion will mir scheinen, da"s dieser Aufgabentypus nicht wegen der Bedeutung der Fragestellung per se aufkam, sondern weil an ihm viele Fertigkeiten wie das Ableiten, Integrieren, das Verst"andnis f"ur die Bedeutung dieser Konzepte sowie die Fertigkeit im rechnerischen Umgang mit ihnen gut ge"ubt und gepr"uft werden konnten. Wenn das technische Hilfsmittel "ubernehmen, verliert dieser Aufgabentypus meines Erachtens viel von seinem Sinn. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \subsection{Forschungsevaluation} Gedanken zur Quantifizierung der Forschungsstärke der Fakultät und ihrer Mitglieder. \begin{enumerate} \item Die Stärken und Schwächen der Fakultät und ihrer Mitglieder in der Forschung sind eine Realität, die sich durch einen oder wenige Parameter nur unzulänglich beschreiben läßt. Zudem wirken derartige Ansätze \begin{enumerate} \item Aufgrund der Diversität der AGs alleine innerhalb der Physik, und mehr noch innerhalb der Fakultät (Mathematik-Physik) gibt es den einen gemeinsamen Parameter (oder auch mehrere Parameter) zur Quantifizierung der Forschungsstärke unserer Fakultät und unserer Mitglieder nicht. \item Um potentiell geeignete Parameter identifizieren zu können, müssen wir verstehen, wozu genau das Rektorat die Parameter nutzen will (eine Verlaufskontrolle einer einzelnen AG benötigt andere Parameter als der Vergleich eines Fachbereichs im nationalen Umfeld) %\item In den Jahren 2014/2015 wurde an der Universität Freiburg ein detailliertes Benchmarkingsystem(BMS) diskutiert. Wie unterscheidet sich der neue Vorstoß von dem alten (und was ist aus dem alten System geworden)? Dort wurde ja explizit nicht ein oder wenige Parameter zur Beurteilung inBetracht gezogen, sondern weit über 100. \item In der Physik wurde auf Vorschlag des Instituts ein Scientific Advisory Board (SAB) eingeführt. Dieser mit angesehenen externen Wissenschaftlern besetzte Beirat evaluiert das Institut regelmäßig und verfasst einen Bericht, anhand dessen das Institut strategische Entscheidungen beschliesst. (Die für 2020 geplante Begehung musste Corona-bedingt leider verschoben werden und ist nun für 2022 geplant). Aus unserer Sicht stellt der seit etwa 10 Jahren existierende SAB die ideale Art und Weise dar, die Forschungsstärke des Instituts mit all seinen unterschiedlichen Facetten adequat zu evaluieren. Die Experten des SAB sind aufgrund Ihres Hintergrunds in der Lage, den Inhalt/die Ergebnisse derForschungsprojekte des Instituts zu bewerten und sind daher nicht auf stark vereinfachende und verzerrende Publikationsmetriken (Impact Factor, h-Index, etc) angewiesen. Dies entspricht dem Inhalt des San Francisco Declaration on Research Assesment (DORA) https://sfdora.org/read/read-the-declaration-deutsch/ Wir weisen darauf hin, dass die bei Einrichtung des SAB eigentlich geplanten Gespräche des Rektorats mit dem Institut über den Bericht des SAB leider nach keiner Begehung stattgefunden haben. \item In der Mathematik wird auch die Evaluation durch externe Experten als die einzig sinnvolle Form einer \item Das (alleinige) Heranziehen von Publikationsmetriken, wie es in einigen Fachbereichen üblich ist, sehen wir aufgrund der oben genannten Diversität sehr kritisch. Das gleiche gilt für die absolute Drittmittelstärke zur Evaluierung einzelner Arbeitsgruppen. In dem Zusammenhang weisen wir auf einige Stellungnahmen der DFG zur Leistungsbewertung anhand von Parametern (oder eine Fokussierung auf einige wenige Parameter) hin. So heisst es zum Beispiel:"Leistungsbewertung erschöpft sich nicht im Zählen von Publikationen oder dem Vergleich von Indexfaktoren."(https://wissenschaftliche-integritaet.de/kommentare/anerkennung-individueller-leistungen/)und"Für die Bewertung der Leistung von Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftlern ist ein mehrdimensionaler Ansatz erforderlich: [...] Die Bewertung der Leistung folgt in erster Linie qualitativen Maßstäben, wobei quantitative Indikatoren nur differenziert und reflektiert in die Gesamtbewertung einfließen können. [...] Qualitativ hochwertige Wissenschaft orientiert sich an disziplinspezifischen Kriterien."(https://wissenschaftliche-integritaet.de/kodex/leistungsdimensionen-und-bewertungskriterien) \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \section{Gedanken zum Bericht des FORUM} \subsection{Studieneingangsphase} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Studienmotivation und Erwartungen an das Studium}] Ich sehe auch eine durch die Entwicklung der schulischen Curricula zunehmende Diskrepanz zwischen der Mathematik an der Schule und der Mathematik an der Universit"at, die mit den Begriffen \glqq Rechnen\grqq\ im Vergleich zu \glqq Beweisen\grqq\ treffend beschrieben wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Arbeitsbelastung und Abbruchquote}] Meines Erachtens sind f"ur das Mathematik-Studium sowohl eine gewisse Begabung als auch ein gewisses Engagement unerl"asslich. Auf der Schule kann es noch gelingen, Begabung durch Flei"s zu ersetzen oder umgekehrt, aber beim Studium ist Beides unerl"a"slich. Wenn eine dieser Zutaten fehlt, wird das in vielen F"allen subjektiv als "ubergro"se Arbeitsbelastung empfunden werden. Es ist in diesen F"allen durchaus sinnvoll, wenn die Studenten daraus die Konsequenz zu ziehen, ihr Leben anderen Dingen zu widmen. \end{Bemerkungl} \subsection{Tutorate} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bedeutung und Qualit"atsunterschiede}] Ich stimme zu: Die Tutorate sind sehr wichtig und von sehr unterschiedlicher Qualit"at. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erwartungen}] Ich zitiere aus dem FORUM-Bericht: \begin{quote}{\it \glqq Allgemein l"asst sich festhalten, dass sich die Studierenden eine gleichbleibende und verl"assliche Qualit"at der Tutorate w"unschen\grqq.} \end{quote} Hierzu ist festzuhalten, da"s sich die Lehrenden das auch w"unschen. Ich gebe jedoch zu bedenken, da"s wir uns auch an der Schule eine gleichbleibende und verl"assliche Qualit"at des Unterrichts w"unschen, und da"s das trotz umfangreicher Ausbildung und Auswahlprozessen der Lehrer nicht gelingt: Es gibt immer noch Lehrer, bei denen Klassen viel lernen, und andere, bei denen sie weniger lernen. Wir suchen allerdings durchaus die Tutoren auf der Basis ihrer Kompetenzen aus, n"amlich der Noten in den Pr"ufungen und der Semesterzahl, und halten die fachliche Kompetenz der Tutoren f"ur ganz entscheidend. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Organisation des "Ubungsbetriebs}] Das selbst"andige Bearbeiten der "Ubungszettel und eine fachlich kompetente R"uckmeldung dazu scheinen mir ein ganz wesentlicher Faktor f"ur den Studienerfolg. Im folgenden will ich kurz auf die Problematik verschiedener g"angiger Verfahren eingehen, die die Studenten dazu bringen sollen, einen angemessenen Teil ihrer Zeit den "Ubungszetteln zu widmen. \begin{enumerate} \item {\bf (Punkteschranke f"ur Studienleistung)} Vielfach wird f"ur die Vergabe der Studienleistung und Klausurzulassung ein gewisses Quorum an bei den "Ubungszetteln zu erreichenden Punkten gekn"upft. Das f"uhrt schell zu ausgiebigem Abschreiben, dem man hinwiederum versucht dadurch entgegenzuwirken, da"s man \glqq zweimaliges Vorrechnen\grqq fordert: Studenten werden zweimal unangek"undigt aufgefordert, ihre L"osungen in der "Ubungsstunde vorzuf"uhren, und wenn sie dann nur abgeschrieben haben, wird es peinlich. Das hinwiederum belastet die "Ubungsgruppe: Erstens werden so oft ungeschickte L"osungen vorgef"uhrt oder gute L"osungen unverst"andlich vorgef"uhrt oder Beides. Zweitens wird der Tutor vom Helfer zum Kontrolleur. Und dann kontrollieren und korrigieren verschiedene Tutoren auch verschieden streng, so da"s das ganze Verfahren nie v"ollig fair ist. \item {\bf ("Ubungszettel eng an Klausuraufgaben)} Man k"undigt an, da"s sich in der Klausur ein gewisser Teil der Aufgaben eng an den "Ubungszetteln orientieren wird. Das f"uhrt tendenziell dazu, da"s die Studenten in den "Ubungsgruppen die "Ubungsaufgaben besprechen wollen und nichts Anderes, und zwar soll der Tutor eine m"oglichst perfekte L"osung m"oglichst perfekt anschreiben, die man dann sorgf"altig abschreibt und abheftet. Weil aber die Tutoren auch nicht immer die perfekte L"osung haben, und manchmal auch eine falsche L"osung, sind die Studenten dann auch in der Klausur verschieden erfolgreich. Bei diesem System werden auch stets Musterl"osungen gefordert. All das geht aber auf Kosten der eigenen Besch"aftigung mit den Aufgaben: Man wartet halt auf die Musterl"osung und versucht, sie sich einzupr"agen, was keineswegs ein Verstehen bedeuten mu"s. \item {\bf ("Ubungszettel als Angebot)} Man behandelt die "Ubungsaufgaben als Angebot: Wer will, kann L"osungen zur Korrektur einreichen und kriegt sie korrigiert zur"uck. Mit diesem Verfahren sind jedoch insbesondere Studenten der niederen Semster oft "uberfordert. Insbesondere wenn andere Veranstaltungen sch"arfere Anforderungen haben, werden sie Vorlesungen und sogar ganzen F"achern mit derartigen Regelungen weniger ihrer Zeit widmen und das Erlernen des Stoffes verschieben, bis die Klausur ansteht. \item {\bf (Zentrales Vorrechnen der "Ubungen)} Halte ich f"ur wenig sinnvoll. Die Vorlesung ist ein angemessener Anteil Frontalunterricht. Musterl"osungen k"onnen aber helfen. \item {\bf (Zentrale Fragenstunde)} Eine zentrale Fragestunde durch einen h"oher qualifizierten Mathematiker wird oft zu den Grundvorlesungen angeboten und hat sich bew"ahrt, insbesondere auch zur Klausurvorbereitung. \end{enumerate} Ich kenne kein wirklich gutes System. Vielleicht k"onnte man versuchen, in den ersten Semstern das System der \glqq "Ubungszettel als Angebot\grqq\ zusammen mit monatlichen Kurzklausuren im Rahmen der Vorlesung zu kombinieren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verbesserungspotenzial}] Unserer Ansicht nach sind die gr"o"sten Defizite unserer "Ubungsleiter fachlicher Natur. Wir geben uns M"uhe, unter den Bewerbern die am besten Qualifizierten auszusuchen. Wir f"urchten, da"s zus"atzliche Anforderungen an unsere Tutoren abschreckend wirken und es uns zus"atzlich erschweren, genug fachlich qualifizierte Tutoren zu finden. \end{Bemerkungl} \subsection{Didaktik} \begin{Bemerkungl} Ich zitiere aus dem FORUM-Bericht: \begin{quote}{\it \glqq Es gibt keine funktionierende Didaktik bei uns in der Mathematik\grqq.} \end{quote} Es scheint mir dem Ziel einer zusammenfassenden Darstellung nicht dienlich, diese Aussage, die ein Student gemacht haben mag, dem Abschnitt als Motto voranzustellen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich zitiere aus dem FORUM-Bericht: \begin{quote}{\it \glqq Im Gruppengespr"ach diskutieren die Studierenden die wichtige Rolle, die aus ihrer Sicht der Art der Vermittlung von Inhalten f"ur den Studienerfolg zukommt\grqq.} \end{quote} Fraglos ist die verst"andliche und motivierende Darstellung mathematischer Inhalte eine Herausforderung, die den Lehrenden st"andig begegnet. Hier sind wir st"andig auf der Suche nach geschickterer Darstellung, besseren Lehrb"uchern, sinnvolleren "Ubungen und dergleichen. Das Standardformat einer vierst"undigen Vorlesung mit 9 ECTS alias etwa 13 Zeitstunden w"ochentlicher Arbeitszeit, davon 4$\times$45min = 3 Std Frontalunterricht alias Vorlesung, 2$\times$45min = 1,5 Std "Ubung alias Arbeit in angeleiteten Kleingruppen und 8,5 Std Arbeitszeit zum Bearbeiten der "Ubungszettel und zum Vor- und Nacharbeiten der Vorlesung, meist in freier Zusammenarbeit mit Komilitonen, hat sich bew"ahrt. Das entspricht auch der Erfahrung der Studenten, dass -- ich zitiere aus dem FORUM-Bericht -- \begin{quote}{\it \glqq das Aneignen und Verstehen neuer Inhalte gr"o"stenteils im Selbststudium oder in studentischen Arbeitsgruppen stattfindet und kaum im Rahmen von Lehrveranstaltungen\grqq.} \end{quote} Wenn man etwas Besseres finden kann, umso besser! Das mu"s aber halt erst mal gefunden werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Stoffvermittlung aus Sicht der Lehrenden}] Es scheint mir wichtig, zwischen gro"sen und kleinen Vorlesungen zu unterscheiden. Kleinere Veranstaltungen werden durchaus in der Form eines \glqq flipped classrooms\grqq\ durchgef"uhrt. Mir scheint, da"s die Bedeutung des Begriffs \glqq Didaktik\grqq\ vielleicht mi"sverst"andlich ist. Den Lehrenden scheint eine m"oglichst klare und verst"andliche Darstellung des Stoffes wichtig, sowohl bei ihren eigenen Vorlesungen und sonstigen Veranstaltungen, als auch bei den Seminarvortr"agen. Alternativen Formaten wie \glqq flipped classroom\grqq\ oder E-learnning stehen sie mit einer gewissen Zur"uckhaltung gegen"uber: Nicht, da"s man es nicht mal probieren wollte, aber es gilt mit Vorsicht auszuprobieren, ob man den Lernerfolg dadurch verbessert oder verschlechtert. \end{Bemerkungl} \subsection{Lehramt} \begin{Bemerkungl} Ich zitiere aus dem FORUM-Bericht: \begin{quote}{\it \glqq Sie kommen mit einem ganz anderen Wunsch hierher als er hier erf"ullt wird: Sie wollen lernen, was sie f"ur die Schule brauchen, um den Sch"ulern Mathematik zu erkl"aren.\grqq.} \end{quote} Wir halten es jedoch f"ur au"serordentlich wichtig, da"s die zuk"unftigen Mathematiklehrer am Gymnasium sich auch mit der Mathematik besch"aftigen, die die Mathematiker und Physiker und Ingenieure verwenden. Erstens wird das der Tendenz entgegenwirken, da"s die Diskrepanz zwischen Gymnasium und Universit"at w"achst und w"achst. Zweitens kocht ein System, bei dem die zuk"unftigen Gymnasiallehrer nach dem Gymnasium nur eine spezielle Ausbildung f"ur Gymnasiallehrer erhalten, sozusagen \glqq im eigenen Saft\grqq\ : Man lernt als Lehramtsanw"arter, was man auf der Schule -- wie man aus der eigenen Erfahrung als Sch"uler schon wei"s -- wird unterrichten m"ussen, und unterrichtet das dann eben wieder, und so bei"st sich die Katze in den Schwanz und es entsteht nur allzu leicht eine selbstgen"ugsame Gemeinschaft, die sich selbstverliebt im Kreise dreht so wie die Rhetorik im alten Rom. Wir brauchen aber Lehrer, die unsere Kinder auch auf andere Studien und andere Leben vorbereiten, nicht alle k"onnen und sollen ja Lehrer werden. Dazu ist es jedoch wichtig, da"s sie dieses Andere auch kennen und sch"atzen, wof"ur sie vorbereiten sollen. Drittens scheint es mir unfair und auch nicht im Interesse der Schule, von unseren Kindern, wenn sie denn Interesse daran haben, den Lehrerberuf zu ergreifen, eine so enge Festlegung auf einen Beruf so kurz nach dem Ende der Schulzeit zu fordern. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anteil der Lehramtsstudierenden}] Die Ausbildung f"ur das Lehramt ist eine wichtige Aufagbe des Mathematischen Instituts, das sogar eine eigene Abteilung f"ur Didaktik der Mathematik besitzt, die vollumf"anglich der Ausbildung der Lehramtsstudenten gewidmet ist und f"ur diese in einem zweiw"ochentlichen Rhytmus ein eigenes fachdidaktisches Kolloquium anbietet, das auch gut besucht ist. Den spezifischen Bed"urfnissen der Lehramtsstudenten wird dar"uber hinaus durch eine enge Zusammenarbeit mit den Studienseminaren und neuerdings mit der P"adagogischen Hochschule bei der Ausbildung zum Master of Education Rechnung getragen. \end{Bemerkungl} \section{Wahrheit und Verifikation} \begin{center} Wahrheit und Verifikation \end{center} \begin{center} Pr"ufen mathematischer Argumentationsketten mit Rechenmaschinen. \end{center} Bei der Wahl einer griffigen "Uberschrift f"ur diesen Einblick in neuere Entwicklungen im Zugang zur Mathematik habe ich meiner Lust zur Alliteration freien Lauf gelassen. Wahrheit ist aber selbst in der Mathematik ein schillernder Begriff. In der Formalisierung der Mathematik, wie sie zu Beginn des vergangenen Jahrhunderts entwickelt wurde, spricht man lieber von \glqq Beweis\grqq\ und \glqq Beweisbarkeit\grqq\ im Rahmen eines vorgegebenen \glqq Axiomensystems\grqq\ und setzt die Theorie so auf, da"s die Korrektheit eines Beweises im Prinzip von einer Rechenmaschine "uberpr"uft werden kann. Daf"ur werden mathematische Behauptungen kodiert als Zeichenketten aus endlich vielen durch das Axiomensystem erlaubten Zeichen wie zum Beispiel die Kette $$((a|p) \RA (a=p\lor a=1))\RA ((p|bc)\RA (p|b\lor p|c))$$ Sie ist zusammengesetzt aus den Zeichen $ a,b,c,p,|, \RA ,(,),\lor ,1,=$. Als entsprechend vorgebildeter Mensch wei"s man, da"s das Symbol $\lor$ in diesem Kontext vermutlich \glqq oder\grqq\ bedeutet und das Symbol $|$ f"ur \glqq teilt\grqq\ steht. Man mag mit diesen und weiteren Hintergrundinformationen unsere Zeichenkette interpretieren als die Behauptung, da"s wenn eine Primzahl ein Produkt teilt, da"s sie dann auch einen der Faktoren teilt. Unsere Rechenmaschine aber interpretiert nicht, sie rechnet. \\[2mm]\noindent Ein Axiomensystem gibt uns au"ser den erlaubten Zeichen auch eine Liste von Zeichenketten, die unsere Rechenmaschine a priori als bewiesen ansehen darf, die \glqq Axiome\grqq. Ein Axiomensystem gibt uns schlie"slich sogenannte \glqq Schlu"sregeln\grqq, die Situationen spezifizieren, in denen das Pr"adikat \glqq bewiesen\grqq\ von einer oder mehreren Zeichenketten auf eine Dritte "ubertragen werden darf. Sind zum Beispiel $A,B$ bewiesene Zeichenketten und geh"ort auch $\land$ zu den erlaubten Symbolen, so kann unser Axiomensystem vorsehen, da"s dies Pr"adikat von den Zeichenketten $A$ und $B$ auf die Zeichenkette $(A)\land(B)$ "ubertragen werden darf. Als Mensch mag man sich dabei denken, da"s wenn $A$ und $B$ wahre Behauptungen sind, da"s dann auch \glqq $A$ und $B$\grqq\ eine wahre Behauptung sein mu"s. Unsere Rechenmaschine aber denkt nicht, sie rechnet. \\[2mm]\noindent Wenn wir eine Rechenmaschine entsprechend programmieren, so kann sie unsere Beweise "uberpr"ufen, indem sie "uberpr"uft, ob wir dabei von den Axiomen ausgehend die Schlu"sregeln korrekt angewandt haben. Sogar jede beweisbare Zeichenkette wird sie irgendwann finden, aber bei den meisten Axiomensystemen ist nicht vorherzusehen, wie lange das dauern wird und wieviel Speicher sie daf"ur ben"otigt. Und bereits 1931 ver"offentlichte Kurt G"odel seinen ber"uhmten Unvollst"andigkeitssatz, nach dem es in jedem Axiomensystem, das die Arithmetik der nat"urlichen Zahlen beschreiben kann, entweder einen Widerspruch oder eine unentscheidbare Behauptung geben mu"s. Wir wissen also schon seid bald hundert Jahren, da"s es mit der Wahrheit auch in der Mathematik nicht so einfach ist. \\[2mm]\noindent Die neuere Entwicklung, "uber die ich hier berichten will, besteht darin, da"s man nichttriviale Beweise nicht nur theoretisch "uberpr"ufen kann, sondern auch in der Praxis mit Rechenmaschinen "uberpr"uft. Die Motivation daf"ur liegt in der "uberbordenden Komplexit"at der modernen Mathematik. Im Prinzip ist nat"urlich, Hand aufs Herz, jede ver"offentlichte Arbeit von einem Referenten auf ihre Korrektheit gepr"uft worden oder zumindest darauf gepr"uft worden, da"s sie korrekt ist unter der Annahme, da"s alle darin aus anderen bereits ver"offentlichten Arbeiten herbeizitierten Resultate ihrerseits korrekt sind. In der Praxis aber sind bei diesem Vorgehen Fehler unvermeidbar und umso wahrscheinlicher, je l"anger die Argumentationsketten werden. \\[2mm]\noindent Die Klassifikation der einfachen endlichen Gruppen etwa, ein gro"sartiges Resultat der Algebra, hat einen Beweis von gut 10000 Seiten, verteilt "uber Forschungsartikel in gut 100 Zeitschriften. Bereits 1981 hie"s es, der Beweis sei nun vollst"andig. Bei einer gro"s angelegten Revision traten dann aber ernste Probleme zu Tage, die erst 2004 in einer weiteren Arbeit von "uber 1000 Seiten behoben werden konnten. Die Revision des Beweises ist immer noch nicht abgeschlossen, der Initiator dieses Projekts ist nicht mehr am Leben und die beiden anderen treibenden Kr"afte gehen beide auf die Achzig zu, und es gibt weitere "ahnlich gelagerte F"alle. In so einer Situation w"are es nat"urlich schon w"unschenswert, die Argumentation mit Hilfe einer Rechenmaschine zu verifizieren. Zumindest f"ur einen ersten Teil des Beweises ist das 2012 mit dem Beweisassistenten Coq unter der Federführung von Georges Gonthier durchgef"uhrt worden\footnote{Gonthier, G. et al. (2013). A Machine-Checked Proof of the Odd Order Theorem.}. \\[2mm]\noindent Ein anderer bekannter Fall ist der Beweis von Thomas Hales einer Vermutung von Johannes Kepler, nach der es keine dichtere Kugelpackung im dreidimensionalen Raum gibt als eben die offensichtliche Kugelpackung, nach der im Supermarkt die Orangen gestapelt werden. Die Arbeit wurde 1998 eingereicht und ein Team von zw"olf renommierten Gutachtern besch"aftigte sich mehrere Jahre intensiv mit dem Manuskript, um schlie"slich zu dem Schlu"s zu kommen, sie seien zu 99\% sicher, da"s der Beweis richtig sei. Die Arbeit wurde schlie"slich 2004 in der renommiertesten Zeitschrift ver"offentlicht, die die Mathematik zu bieten hat, und der Autor machte sich daran, seinen Beweis zu formalisieren. Das gelang 2014 mit der Hilfe von vielen Koautoren und zwei anderen rechnergest"utzten Be\-weis\-assis\-ten\-ten mit den Namen Isabelle und HOL Light\footnote{Hales, T. et al: A formal proof of the Kepler conjecture. Forum of Math., Pi (2017), Vol. 5}. Ein weiteres Programm zur Verifikation von Beweisen namens Lean hat j"ungst f"ur Furore gesorgt, weil es meinem Freiburger Kollegen Johan Commelin und seinen Koautoren gelungen ist, damit 2022 in k"urzester Zeit eine frisch entwickelte Theorie von Peter Scholze zu "uberpr"ufen\footnote{https://leanprover-community.github.io/blog/posts/lte-final/}. Scholze, der 2018 mit der Fields-Medaille ausgezeichnet wurde, hatte selbst um eine "Uberpr"ufung gebeten, weil ihm sein eigener Beweis zu komplex wurde. \\[2mm]\noindent Aber wie k"onnen wir uns nun sicher sein, da"s diese Verifikationen tun, was sie sollen? Das Prinzip ist, da"s man nur ein sehr kleines Programm ben"otigt, um zu pr"ufen, da"s in einem formalen Beweis die Schlu"sregeln korrekt angewandt wurden. Nur diesem kleinen Programm mu"s man vertrauen und kann damit nach und nach und in Zusammenarbeit mit Gleichgesinnten rund um den Globus immer umfassendere Bibliotheken von verifiziert beweisbaren Behauptungen erstellen. \\[2mm]\noindent Ich erwarte, da"s der Verifikation von Beweisen durch Rechenmaschinen eine wachsende Rolle bei der weiteren Entwicklung der Mathematik zukommen wird. Der Traum eines Mathematikers bleibt weiterhin, sich und andere durch Einfachheit und Transparenz zu "uberzeugen. Aber bei der Suche nach den sch"onen Wahrheiten werden wir die Hilfe der Rechenmaschinen brauchen, um uns nicht in der Komplexit"at der Argumentationsketten zu verlieren. Ich bin zuversichtlich, da"s ein besseres Verst"andnis und tiefere Einsicht folgen werden, sobald wir erst einmal wissen, was wahr -- pardon, beweisbar ist. \\[5mm]\noindent Hier noch einige Ideen f"ur Bilder oder Graphiken. \begin{enumerate} \item Foto von Kurt G"odel, von der entsprechenden deutschen Wikipedia-Seite herunterkopiert. \item Eine Kugelpackung, das Bild von Wikipedia \glqq Sphere Packing\grqq. \item Der Abh"angigkeitsgraph des Beweises des \glqq Liquid Tensor Experiment\grqq\ \url{https://leanprover-community.github.io/liquid/dep_graph_section_1.html} \end{enumerate} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXPHI" %%% End: