\section{Gleichungssysteme und Vektorr"aume} In diesem Abschnitt will ich aufzeigen, inwiefern uns die r"aumliche Anschauung beim Verst"andnis der Theorie linearer Gleichungssysteme helfen kann und in welcher Weise die Theorie abstrakter Vektorr"aume eine Br"ucke zwischen diesen beiden Begriffswelten schafft. \label{GLSY} \subsection{L"osen linearer Gleichungssysteme} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere aus \eref{KAx}{GR} die Definition eines K"orpers, die dort in gr"o"serer Ausf"uhrlichkeit besprochen wird. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{KAxs} Ein {\bf K"orper}\index{K"orper} $(K,+, \cdot)$ ist eine Menge $K$ mit zwei kommutativen assoziativen Verkn"upfungen, genannt die {\bf Addition} $+$ und die {\bf Multiplikation} $\cdot$ des K"orpers, die meist schlicht durch Zusammenschreiben $a\cdot b=ab$ notiert wird, derart da"s mit der Konvention \glqq Punkt vor Strich\grqq\ die folgenden drei Bedingungen erf"ullt sind: \begin{enumerate} \item $(K,+)$ ist eine Gruppe, die {\bf additive Gruppe} des K"orpers; \item Die vom neutralen Element der Addition $0_K\in K$\index{)0@$0$ neutrales Element f"ur $+$!$0_K$ Null des K"orpers $K$} verschiedenen Elemente von $K$ bilden eine unter der Multiplikation abgeschlossene Teilmenge und diese Teilmenge $K \backslash\{0_K\}$ ist unter der Multiplikation ihrerseits eine Gruppe, die {\bf multiplikative Gruppe} des K"orpers; \item Es gilt das {\bf Distributivgesetz}\index{Distributivgesetz!bei K"orper} $$a (b+c)=a b + a c \quad \forall a,b,c \in K$$ \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Fordert man hier nicht die Kommutativit"at der Multiplikation und fordert zus"atzlich das \glqq Distributivgesetz f"ur die Multiplikation von rechts\grqq\ $ (b+c) a=b a + c a \quad \forall a,b,c \in K$, das im Fall einer kommutativen Multiplikation ja schon aus den anderen Axiomen folgte, so hei"st unsere Struktur ein {\bf Schiefk"orper}.\index{Schiefk"orper}\label{Schief} \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Sei $K$ ein K"orper. Ich rate, zun"achst einmal an den K"orper $K=\DQ$ der rationalen Zahlen oder den K"orper $K=\DR$ der reellen Zahlen zu denken. Ich werde im folgenden, weil ich selber meist an diese beiden F"alle denke, Elemente eines allgemeinen K"orpers $K$ oft als \glqq Zahlen\grqq\ bezeichnen. Gegeben seien $n$ Gleichungen in $m$ Unbekannten alias {\bf Variablen} $x_1,\ldots, x_m$ von der Gestalt\label{LGSY} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.25\textheight]{SkriptenBilder/BildLG}\\[4mm] \noindent Ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten. \end{Bild} \begin{displaymath} \begin{array}{cccc} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + &\ldots & + a_{1m}x_{m} &=b_1\\ a_{21} x_1 + a_{22}x_2 + &\ldots & +a_{2m}x_{m} &=b_2\\ \vdots & & \vdots &\\ a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + &\ldots & +a_{nm} x_m& =b_n \end{array} \end{displaymath} Hierbei denken wir uns $a_{ij}, b_i \in K$ fest vorgegeben und $x_j\in K$ gesucht. Der in mathematischer Formelsprache ge"ubte Leser wird das bereits erkannt haben, denn es ist allgemeine Konvention, Buchstaben vom Anfang des Alphabets f"ur \glqq bekannte Unbestimmte\grqq\ zu verwenden und Buchstaben vom Ende des Alphabets f"ur \glqq gesuchte Unbestimmte\grqq. Eine Gesamtheit von mehreren von denselben Variablen zu erf"ullenden Gleichungen bezeichnet man als {\bf Gleichungssystem}.\index{Gleichungssystem} Ein Gleichungssystem des obigen Typs nennt man ein {\bf lineares Gleichungssystem}.\index{Gleichungssystem!lineares} Linear hei"st es, weil darin keine komplizierteren Ausdr"ucke in den Variablen wie Quadrate $x^2_1$ oder Produkte $x_1 x_2 x_3$ vorkommen. Die $a_{ij}$ hei"sen in diesem und "ahnlichen Zusammenh"angen {\bf Koeffizienten}\index{Koeffizient} von lateinisch \glqq coefficere\grqq\ f"ur deutsch \glqq mitwirken\grqq. Gesucht ist eine Beschreibung aller $m$-Tupel $(x_1, \ldots, x_m)$ von Elementen von $K$ derart, da"s alle $n$ obigen Gleichungen gleichzeitig erf"ullt sind. In der Begrifflichkeit und Notation, wie wir sie gleich in \ref{tupel} einf"uhren, bildet die Gesamtheit aller $m$-Tupel $(x_1, \ldots, x_m)$ von Elementen von $K$ eine neue Menge $K^m$. In dieser Terminologie suchen wir also eine m"oglichst explizite Beschreibung der Teilmenge $L\subset K^m$ derjenigen $m$-Tupel, die alle unsere $n$ Gleichungen erf"ullen. Sie hei"st die {\bf L"osungsmenge}\index{L"osungsmenge} $L$ unseres Gleichungssystems. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sind alle $b_i$ auf der rechten Seite unserer Gleichungen Null, so hei"st unser lineares Gleichungssystem {\bf homogen}.\index{homogen, homogenisieren!lineares Gleichungssystem} Das lineare Gleichungssystem, das aus einem inhomogenen System in der oben angegebenen Notation entsteht, indem man alle $b_i$ zu Null setzt, hei"st das zugeh"orige {\bf homogenisierte} Gleichungssystem.\label{HGLy} \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.15\textheight]{SkriptenBilder/BildLGH}\\[4mm] \noindent Ein homogenes lineares Gleichungssystem, mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, bei dem ich die Unbekannten statt mit $x_1,x_2, x_3$ zur Abwechslung einmal $x,y,z$ notiert habe. Es ist beim Rechnen meist sinnvoll, eine Notation mit m"oglichst wenig Indizes zu verwenden. \end{Bild} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.1\textheight]{SkriptenBilder/BildLHGT}\\[4mm] \noindent Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit einer Gleichung und einer Unbekannten und leerer L"osungsmenge. \end{Bild} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schwierigkeiten der Notation}] In obigem Gleichungssystem ist $a_{12}$ nicht als $a$-Zw"olf zu verstehen, sondern als $a$-Eins-Zwei. Sicher w"are es pr"aziser gewesen, die beiden Bestandteile unserer Doppelindizes durch ein Komma zu trennen und $a_{1,2}$ und dergleichen zu schreiben. Das h"atte unser Gleichungssystem aber weniger "ubersichtlich gemacht. Man mu"s beim Schreiben und Verstehen von Mathematik oft einen Ausgleich zwischen einer pr"azisen aber un"ubersichtlichen und einer "ubersichtlichen aber unpr"azisen Darstellung suchen. An dieser Stelle schien mir das Weglassen der Kommata der bessere Weg. Einem Menschen etwas verst"andlich zu machen ist eben eine andere Aufgabe als einen Computer zu programmieren. Beim Programmieren eines Computers kommt es an erster Stelle auf die Eindeutigkeit der Anweisungen an und alles andere ist nebens"achlich. Beim Schreiben und Erkl"aren f"ur Menschen kommt es dahingegen eher auf die "Ubersichtlichkeit an und bei Mehrdeutigkeiten kann man erwarten, da"s sie vom Leser aus dem Kontext heraus aufgel"ost werden und oft noch nicht einmal auffallen. Insbesondere in der Physik ist es "ublich, einen der Indizes hochzustellen, also $a^2_1$ statt $a_{12}$ zu schreiben, aber das kann auch wieder leicht als das Quadrat $(a_1)^2$ einer Zahl $a_1$ mi"sverstanden werden. Ich w"urde am liebsten ${^1}a_2$ schreiben und eine Zeile unseres Gleichungssystems entsprechend als ${^1}a_{1} {^1}x + {^1}a_{2} {^2}x + \ldots + {^1}a_{m} {^m}x ={^1}b$, aber das schien mir zu viel Umgew"ohnung auf einmal. Man beachte auch, da"s hier die Konventionen anders sind als bei Koordinaten. Bei Gleichungssystemen w"achst "ublicherweise der erste Index nach unten der zweite Index nach rechts, bei Koordinaten dahingegen der erste Index nach rechts und der zweite Index nach oben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Um die L"osungsmenge eines linearen Gleichungssystems zu bestimmen, kann man den \defind{Gau"s-Algorithmus} verwenden. Er basiert auf der elementaren Erkenntnis, da"s sich die L"osungsmenge nicht "andert, wenn wir in einer der beiden folgenden Weisen zu einem neuen Gleichungssystem "ubergehen: \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZstF}\\[4mm] \noindent \nichtfinal{Bild mehr Hilfslinien!} Ein System in Zeilenstufenform ist ein System der obigen Gestalt, bei dem im Teil mit den Koeffizienten $a_{ij}$ wie angedeutet unterhalb solch einer \glqq Treppe mit der Stufenh"ohe Eins aber mit variabler Breite der Stufen\grqq\ nur Nullen stehen, vorn an den Stufenabs"atzen aber von Null verschiedene Eintr"age. Hier ist $r$ die Zahl der Stufen. An die durch den senkrechten Strich abgetrennte letzte Spalte mit den gew"unschten Ergebnissen $b_i$ werden hierbei keinerlei Bedingungen gestellt. Das Symbol unten links ist eine Null. Die Symbole $*$ oben rechts deuten an, da"s unerheblich ist, was dort steht. \end{figure} \begin{enumerate} \item Wir ersetzen eine unserer Gleichungen durch ihre Summe mit einem Vielfachen einer anderen unserer Gleichungen; \item Wir vertauschen zwei unserer Gleichungen. \end{enumerate} \nichtfinal{Video Gauss} Der noch zu besprechende Gau"s-Algorithmus beschreibt, wie wir mithilfe dieser beiden Operationen, also ohne die L"osungsmenge zu "andern, zu einem Gleichungssystem "ubergehen k"onnen, das \defind{Zeilenstufenform} hat. Nebenstehendes Bild mag aufschl"usseln, was das anschaulich bedeuten soll. Formal sagen wir, ein Gleichungssystem \glqq habe Zeilenstufenform\grqq, wenn man ein $r \geq 0$ und Indizes $1 \leq s (1) < s(2) < \ldots < s (r) \leq m$ so angeben kann, da"s in unserem Gleichungssystem gilt $a_{i,s(i)} \neq 0$ f"ur $1 \leq i \leq r$ und da"s $a_{\nu\mu}\neq 0$ nur gelten kann, wenn es ein $i$ gibt mit $\nu \leq i$ und $\mu \geq s (i)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Es ist "ublich und erspart Schreibarbeit, die Symbole f"ur die Variablen sowie die Pluszeichen und Gleichheitszeichen bei Rechnungen im Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen wegzulassen und stattdessen ein Gleichungssystem der oben beschriebenen Art abzuk"urzen durch seine {\bf erweiterte Koeffizientenmatrix}\index{Koeffizientenmatrix!erweiterte} \begin{displaymath} \left( \begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} &\ldots & a_{1m} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & & a_{2m} &b_2\\ \vdots & & & \vdots &\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} &\ldots & a_{nm} & b_n \end{array} \right) \end{displaymath} Die Spezifikation \glqq erweitert\grqq\ weist auf die letzte Spalte der $b_i$ hin. Unter einer {\bf Matrix}\index{Matrix} versteht man ein Rechteck aus Zahlen der hier gegebenen Art und sp"ater auch allgemeinere "ahnliche Objekte. Die Matrix der $a_{ij}$ f"ur sich genommen hei"st die \defind{Koeffizientenmatrix} unseres Gleichungssystems. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Gau"s-Algorithmus}] Der Gau"s-Algorithmus zum Bestimmen der Menge der L"osungen eines linearen Gleichungssystems funktioniert so:\label{GauA} Sind alle Koeffizienten in der ersten Spalte Null, so ignorieren wir die erste Spalte und machen mit der auf diese Weise entstehenden Matrix weiter. Ist ein Koeffizient in der ersten Spalte von Null verschieden, so bringen wir ihn durch eine Zeilenvertauschung an die oberste Stelle. Ziehen wir dann geeignete Vielfache der obersten Zeile von den anderen Zeilen ab, so gelangen wir zu einem System, bei dem in der ersten Spalte unterhalb des obersten Eintrags nur noch Nullen stehen. F"ur das weitere ignorieren wir dann die oberste Zeile und die erste Spalte und machen mit der auf diese Weise entstehenden Matrix weiter. Offensichtlich k"onnen wir so jedes lineare Gleichungssystem auf Zeilenstufenform bringen, ohne seine L"osungsmenge zu "andern. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBspL}\\[4mm] \noindent Ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten und seine L"osung mit dem Gau"s-Algorithmus. F"ur gew"ohnlich wird beim Anwenden des Gau"s-Algorithmus ein Vertauschen der Zeilen gar nicht n"otig sein. Gibt es weiter genausoviele Gleichungen wie Unbekannte, so werden wir f"ur gew"ohnlich so wie in obigem Beispiel genau eine L"osung erwarten d"urfen. \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{L"osungsmenge bei Zeilenstufenform}] Die L"osungsmenge eines linearen Gleichungssystems in Zeilenstufenform ist schnell bestimmt:\label{LMG} Ist eine der Zahlen $b_{r+1},\ldots , b_n$ nicht Null, so besitzt es gar keine L"osung. Gilt dahingegen $b_{r+1} = \ldots = b_n =0$, so k"onnen wir Zahlen $x_\mu$ f"ur $\mu$ verschieden von den Spaltenindizes $s(1), \ldots, s(r)$ der Stufen beliebig vorgeben und finden f"ur jede solche Vorgabe der Reihe nach eindeutig bestimmte Zahlen $x_{s(r)}, x_{s(r-1)}, \ldots, x_{s(1)}$ derart, da"s das entstehende $m$-Tupel $(x_1, \ldots, x_m)$ eine L"osung unseres Gleichungssystems ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine Abbildung $A:\{1,\ldots,n\}\times \{1,\ldots,m\}\ra Z$ der Produktmenge in eine Menge $Z$ hei"st ganz allgemein eine\label{DeFM} {\bf $(n\times m)$-Matrix mit Eintr"agen in $Z$}.\index{Matrix} Gegeben solch eine Matrix $A$ schreibt man meist $A_{ij}$ oder $a_{ij}$ statt $A(i,j)$ und veranschaulicht sich die Abbildung $A$ als ein rechteckiges Arrangement von Elementen von $Z$ wie eben im Fall $Z=K$. Das $a_{ij}$ hei"st dann der {\bf Eintrag}\index{Eintrag von Matrix} unserer Matrix in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte. Das $i$ hei"st der \defind{Zeilenindex}, da es angibt alias \glqq indiziert\grqq, in welcher Zeile unser Eintrag $a_{ij}$ steht. Entsprechend nennt man das $j$ den \defind{Spaltenindex} unseres Matrixeintrags. Ich erinnere daran, da"s wir f"ur beliebige Mengen $X,Y$ die Menge aller Abbildungen von $X$ nach $Y$ mit $\op{Ens}(X,Y)$\index{Ens@$\op{Ens}(X,Y)$ Abbildungsmenge} bezeichnen. Die Menge aller $(n\times m)$-Matrizen mit Koeffizienten in einer Menge $Z$ notieren\index{Mat@$\op{Mat}(n\times m;Z)$ Matrizenmenge} wir $$\op{Mat}(n\times m;Z)\pdef \op{Ens}(\{1,\ldots,n\}\times \{1,\ldots,m\},Z) $$ Im Fall $n=m$ sprechen wir von einer {\bf quadratischen Matrix} und k"urzen unsere Notation ab zu $\op{Mat}( n;Z)\pdef\op{Mat}(n\times n;Z)$. Manchmal\index{quadratisch!Matrix}\index{Matrix!quadratische} werden wir sogar f"ur beliebige Mengen $X,Y,Z$ eine Abbildung $X\times Y\ra Z$ als eine {\bf $(X\times Y)$-Matrix mit Eintr"agen in $Z$} ansprechen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Ursprung der Terminologie}] Die Bezeichnung \glqq Matrix\grqq\ wurde meines Wissens\label{Matrix} vom englischen Mathematiker Joseph Sylvester in einem 1851 bei George Bell, Fleet Street erschienenen Artikel mit dem Titel \glqq An essay on canonical forms, supplement to a sketch of a memoir on elimination, transformation and canonical forms\grqq\ in die Mathematik eingef"uhrt. Die Bezeichnung scheint auf das lateinische Wort \glqq matrix\grqq\ f"ur deutsch \glqq Geb"armutter\grqq\ hervorzugehen. Sylvester benutzt Matrizen mit einer Zeile mehr als Spalten und betrachtet die \glqq Determinanten\grqq\ der quadratischen Matrizen, die durch Streichen je einer Zeile entstehen. Die Determinante f"uhren wir erst in \ref{DefD} ein. %Was diese Minoren %sind, werden Sie erst beim Beweis %des \glqq Elementarteilersatzes\grqq\ \eref{ETS}{LA2} lernen. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{L"osungsmengen inhomogener linearer Gleichungssysteme}] Ist die L"osungsmenge eines linearen Gleichungssystems nicht leer, so erhalten wir alle L"osungen, indem wir zu einer fest gew"ahlten L"osung unseres Systems eine beliebige L"osung des zugeh"origen\label{APS} homogenisierten Systems komponentenweise addieren. \end{Satz} \begin{proof} Ist $c=(c_1,\ldots, c_m)$ eine L"osung unseres linearen Gleichungssystems und $d=(d_1,\ldots, d_m)$ eine L"osung des homogenisierten Systems, so ist offensichtlich die komponentenweise Summe $c\dotplus d=(c_1+d_1,\ldots, c_m+d_m)$ eine L"osung des urspr"unglichen Systems. Ist andererseits $c'=(c'_1,\ldots, c'_m)$ eine weitere L"osung unseres linearen Gleichungssystems, so ist offensichtlich die komponentenweise Differenz $d=(c'_1- c_1,\ldots, c'_m- c_m)$ eine L"osung des homogenisierten Systems, f"ur die gilt $c'=c\dotplus d$ mit unserer komponentenweisen Addition $\dotplus$ aus \eref{kpl}{EIN}. \end{proof} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildLFP}\\[4mm] \noindent Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, dessen L"osungsmenge nach unser allgemeinen Theorie f"ur jedes $x_3$ genau einen Punkt $(x_1, x_2 ,x_3)$ enth"alt, und zwar haben wir wegen der zweiten Gleichung $x_2 = x_3/4$ und dann wegen der ersten Gleichung $x_1 = 1 - (3/4) x_3$, so da"s die allgemeine L"osung lautet $(1-(3/4) \lambda, \lambda/4, \lambda)$ f"ur variables $\lambda$. \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Unabh"angigkeit der Stufenzahl vom L"osungsweg}] Die vorstehenden "Uberlegungen zeigen, wie man die L"osungsmenge jedes linearen Gleichungssystems bestimmen kann. Man erh"alt dabei nach \ref{LMG} im Fall einer nichtleeren L"osungsmenge durch die Transformation auf Zeilenstufenform sogar eine ausgezeichnete Bijektion zwischen $t$-Tupeln von Elementen von $K$ und besagter L"osungsmenge, f"ur $t=m-r$ die Zahl der Variablen abz"uglich der \glqq Zahl der Stufen\grqq, die eben jeder Vorgabe von $x_j$ f"ur $j$ verschieden von den \glqq Spaltenindizes der Stufen\grqq\ $j\neq s(1),\ldots, s(r)$ die durch diese Vorgabe eindeutig bestimmte L"osung zuordnet. Der Gau"s-Algorithmus gibt uns allerdings nicht vor, welche Zeilenvertauschungen wir unterwegs verwenden sollen. Damit stellt sich die Frage, ob wir unabh"angig von der Wahl dieser Zeilenvertauschungen stets bei derselben Matrix in Zeilenstufenform ankommen. Das ist nun zwar nicht richtig, aber dennoch sind die \glqq Breiten der einzelnen Stufen\grqq\ alias die Spaltenindizes $s(i)$ der Stufen unabh"angig von allen Wahlen. In der Tat lassen sie sich auch direkt beschreiben, indem wir im zugeh"origen homogenisierten Gleichungssystem unsere Variablen von hinten durchgehen und jeweils fragen: Gibt es f"ur jedes $(x_{j+1},x_{j+2},\ldots,x_m)$, das zu einer L"osung $(x_{1},x_{2},\ldots,x_m)$ erg"anzbar ist, nur ein $x_j$ derart, da"s auch $(x_j, x_{j+1},x_{j+2},\ldots,x_m)$ zu einer L"osung $(x_{1},x_{2},\ldots,x_m)$ erg"anzbar ist? Genau dann lautet die Antwort \glqq ja\grqq, wenn in der $j$-ten Spalte eine neue Stufe beginnt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Unabh"angigkeit der Stufenzahl von der Variablenreihung}] Nun k"onnten wir auch vor dem Anwenden des Gau"s-Algo\-rithmus\label{LSGl} zuerst unsere Variablen umnummerieren alias die Spalten unserer Koeffizientenmatrix vertauschen. Wir erhielten wieder eine Bijektion zwischen $u$-Tupeln von Elementen von $K$ mit der L"osungsmenge wie eben. Die Frage, der wir uns als n"achstes zuwenden wollen, lautet nun: Gilt stets $u=t$, in anderen Worten, landen wir bei einer Zeilenstufenform mit derselben Zahl von Stufen, wenn wir zuerst die Spalten unseres Systems willk"urlich vertauschen, bevor wir den Gau"s-Algorithmus durchf"uhren? Die Antwort lautet wieder \glqq Ja\grqq, aber hierzu ist mir kein ganz elementares Argument mehr eingefallen. Dar"uber war ich sogar ganz froh: Diese Frage kann so n"amlich zur Motivation der Entwicklung der abstrakten Theorie der Vektorr"aume dienen, mit der wir an dieser Stelle beginnen. Wir f"uhren in diesem Rahmen den auch in vielen anderen Zusammenh"angen "au"serst n"utzlichen Begriff der \glqq Dimension\grqq\ eines \glqq Vektorraums\grqq\ ein, und zeigen in \ref{LSGa}, da"s die Stufenzahl unabh"angig von allen Wahlen als die \glqq Dimension des L"osungsraums\grqq\ des zugeh"origen homogenisierten Gleichungssystems beschrieben werden kann. Zun"achst jedoch f"uhren wir einige weitere Begriffe ein, die wir dabei und auch dar"uber hinaus noch oft brauchen werden. \end{Bemerkungl} \subsection{Vektorr"aume} \begin{Definition}\label{DefV} Ein \defind{Vektorraum} $V$ {\bf "uber einem K"orper $K$} ist ein Paar bestehend aus einer abelschen Gruppe $V=(V,\dotplus)$ und einer Abbildung $$\begin{array}{ccc} K\times V & \ra & V\\ (\lambda,\vec{v}) &\mapsto & \lambda \vec{v} \end{array}$$ derart, da"s f"ur alle $\lambda, \mu \in K$ und $\vec{v}, \vec{w} \in V$ die folgenden Identit"aten gelten: $$\begin{array}{ccc} \lambda (\vec{v} \dotplus\vec{w}) &=& (\lambda \vec{v} ) \dotplus (\lambda \vec{w})\\ (\lambda + \mu) \vec{v} &=& (\lambda \vec{v}) \dotplus(\mu \vec{v})\\ \lambda (\mu \vec{v}) &=& (\lambda \mu ) \vec{v}\\ 1_K\vec{v} &=&\vec{v} \end{array}$$ Wie bei der Axiomatik eines K"orpers \eref{KAx}{GR} hei"sen die ersten beiden Gesetze die {\bf Distributivgesetze}\index{Distributivgesetz!bei Vektorraum}. In Analogie zu der Sprechweise bei Mengen mit Ver\-kn"up\-fung hei"st das dritte Gesetz das {\bf Assoziativgesetz}.\index{Assoziativgesetz!bei Vektorraum} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Elemente eines Vektorraums nennt man meist {\bf Vektoren}.\index{Vektor!Element eines Vektorraums} Die Elemente des K"orpers hei"sen in diesem Zusammenhang oft {\bf Skalare}\index{Skalar} und der K"orper selber der {\bf Grundk"orper}.\index{Grundk"orper} Die Abbildung $(\lambda,\vec{v}) \mapsto \lambda \vec{v}$ hei"st die {\bf Multiplikation mit Skalaren} oder auch die {\bf Operation des K"orpers $K$ auf $V$}. \index{Operation!von Grundk"orper auf Vektorraum} Sie ist nicht zu verwechseln mit dem \glqq Skalarprodukt\grqq, das wir in \eref{SKP}{LA2} einf"uhren und das aus zwei Vektoren einen Skalar macht. Ich habe oben aus didaktischen Gr"unden die Addition von Vektoren $\dotplus$ notiert, um sie von der Addition von K"orperelementen zu unterscheiden, aber das werde ich nicht lange durchhalten. Mit der auch in diesem Zusammenhang allgemein "ublichen Konvention \glqq Punkt vor Strich\grqq\ und der zu $+$ vereinfachten Notation f"ur die Addition von Vektoren und der Abk"urzung $1_K=1$ f"ur das multiplikativ neutrale Element des Grundk"orpers k"onnen unsere Vektorraumaxiome dann etwas "ubersichtlicher geschrieben werden als die Forderung, da"s f"ur alle Skalare $\lambda,\mu$ und alle Vektoren $\vec v,\vec w$ gelten m"oge $$\begin{array}{ccc} \lambda (\vec{v} +\vec{w}) &=& \lambda \vec{v} + \lambda \vec{w}\\ (\lambda + \mu) \vec{v} &=& \lambda \vec{v} +\mu \vec{v}\\ \lambda (\mu \vec{v}) &=& (\lambda \mu ) \vec{v}\\ 1\vec{v} &=&\vec{v} \end{array}$$ Ich habe aus didaktischen Gr"unden bis hierher Vektoren stets mit einem Pfeil notiert, das halte ich wohl etwas l"anger durch, aber auf Dauer werden Sie sich auch den Pfeil selbst dazudenken m"ussen. Das neutrale Element der abelschen Gruppe $V$ notieren wir $\vec{0}$ und nennen es den \defind{Nullvektor}. Die letzte Bedingung $1 \vec{v}=\vec{v}$ schlie"st zum Beispiel den Fall aus, da"s wir f"ur $V$ irgendeine von Null verschiedene abelsche Gruppe nehmen und dann einfach $\lambda \vec{v} = \vec{0} $ setzen f"ur alle $ \lambda \in K$ und $ \vec{v} \in V$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Die schmutzige Anschauung}] \nichtfinal{Video!} Ich stelle mir als Vektorraum gerne wie in \eref{VeFe}{EIN} ausgef"uhrt die Menge $V$ aller Parallelverschiebungen der schmutzigen Ebene\label{DSAA} %oder auch die Menge %$V$ der Parallelverschiebungen des schmutzigen Raums der Anschauung vor, mit der \glqq Hintereinanderausf"uhrung\grqq\ als Addition und der offensichtlichen Multiplikation mit reellen Skalaren. Diese Mengen von Parallelverschiebungen nenne ich den {\bf schmutzigen Richtungsraum}\index{Richtungsraum!schmutziger} der Ebene. % beziehungsweise des Raums. Graphisch mag man diese Parallelverschiebungen alias Vektoren durch Pfeile in der Ebene %oder im Raum darstellen und ihre Addition wie in nebenstehendem Bild veranschaulichen. Das ist nur leider im mathematischen Sinne kein recht eigentlich wohldefiniertes Beispiel: Schon die Frage, ob diese Parallelverschiebungen eigentlich \glqq wohlunterschiedene Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens\grqq\ sind, und wie man sie eigentlich zu definieren h"atte, scheint mir nicht so einfach und eindeutig zu beantworten. So bin ich in der schizophrenen Lage, da"s mir dieses Beispiel einerseits besonders nahrhaft und motivierend scheint, da"s es aber andererseits f"ur unsere rein auf Mengenlehre aufgebaute aseptisch sterile perfekte Mathematik zu schmutzig ist, um als echtes Beispiel durchzugehen. \end{Beispiel} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPar} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die Hintereinanderausf"uhrung der beiden Parallelverschiebungen der Papierebene, die durch Gruppen von f"unf beziehungsweise acht durchgezogene Pfeile dargestellt werden, wird durch die f"unf gepunktelten Pfeile dargestellt. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkunge} Wann immer ich einen Begriff mit dem Zusatz \glqq der Anschauung\grqq\ oder \glqq anschaulich\grqq\ oder \glqq schmutzig\grqq\ versehe, soll gemeint sein, da"s er nicht in einem mathematisch wie auch immer pr"azise definierten Sinne zu verstehen ist, also nicht als ein Gebilde der Mengenlehre, sondern eben anschaulich.\index{anschaulich} \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}[\textbf{Funktionenr"aume als Vektorr"aume}] Gegeben eine Menge $X$ und ein K"orper $K$ ist die Menge $\op{Ens}(X,K)$ aller Abbildungen $X\ra K$ ein $K$-Vektorraum, wenn man die Addition durch $(f+g)(x)\pdef f(x)+g(x)$ erkl"art und die Multiplikation mit Skalaren durch $(\lambda f)(x)\pdef\lambda (f(x))$. Insbesondere erh"alt so auch die Menge $\op{Mat}(n\times m;K)$ aller $(n\times m)$-Matrizen mit Eintr"agen\label{FRVR} in einem K"orper $K$ aus \ref{DeFM} die Struktur eines $K$-Vektorraums. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{L"osungsmengen als Vektorr"aume}] Gegeben ein \hyperref[HGLy]{homogenes lineares Gleichungssystem} % im Sinne von \ref{HGLy} in $n$ Variablen wird seine L"osungsmenge $L$ ein $K$-Vektorraum, wenn wir sie mit der komponentenweisen Addition $\dotplus$ und der komponentenweisen Multiplikation mit Skalaren versehen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} Im Fall eines \hyperref[Schief]{Schiefk\"orpers} $K$ mu"s man an dieser Stelle mehr aufpassen. L"o\-sun\-gen eines linearen Gleichungssystems bleiben dann nur nur L"o\-sun\-gen, wenn man sie von rechts mit Skalaren multipliziert. Das f"uhrt zur Erkenntnis, da"s man in diesem Fall \glqq Rechtsvektorr"aume\grqq\ und \glqq Linksvektorr"aume\grqq\ unterscheiden mu"s und die L"osungsmenge eines linearen Gleichungssystems, bei dem die Koeffizienten von links an die Variablen daranmultipliziert werden, einen Rechtsvektorraum bildet. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Ursprung der Terminologie}] Die Bezeichnung als \glqq Vektor\grqq\ kommt von lateinisch \glqq vehere\grqq\ f"ur \glqq fahren, transportieren\grqq. Sie r"uhrt von unserem Beispiel \ref{DSAA} der Gesamtheit aller Parallelverschiebungen der Ebene her, die ja in gewisser Weise Punkte transportieren. Auf Deutsch k"onnte man diese Intuition wiedergeben, indem man statt von Vektoren etwa von \glqq Schiebern\grqq\ redet. Beim Gedanken an eine Vorlesung "uber die \glqq Lehre von der Schieberei\grqq\ bin ich aber doch gl"ucklicher mit der gewohnten, vom Latein gepr"agten Terminologie. Die Bezeichnung \glqq Skalare\grqq\ f"ur Elemente des zugrundeliegenden K"orpers kommt von dem lateinischen Wort \glqq scala\grqq\ f"ur \glqq Leiter\grqq\ und hat sich von dort "uber eine Bezeichnung f"ur das Meterma"s entwickelt zu einer Bezeichnung f"ur das, was man auf einer Me"sskala ablesen kann, als da hei"st zu einer Bezeichnung f"ur reelle Zahlen. In Mathematik und Physik werden zwar nicht nur reelle Vektorr"aume betrachtet, aber man "ubertr"agt dieses Wort eben weiter und verwendet es auch im allgemeinen als Bezeichnung f"ur die Elemente des jeweiligen Grundk"orpers. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkt mit dem Skalar Null}] Gegeben ein Vektorraum $V$ und ein Vektor $\vec{v}\in V$ gilt $0_K \vec{v}=\vec{0}$. Multipliziert man also einen beliebigen Vektor mit dem Skalar Null, erh"alt man stets den Nullvektor. In der Tat finden wir mit dem zweiten Distributivgesetz $0_K\vec{v}=(0_K+0_K)\vec{v}=0_K\vec{v}\dotplus 0_K\vec{v}$ und Subtraktion von $0_K\vec{v}$ alias Addition seines Negativen $-0_K\vec{v}$ auf beiden Seiten liefert\label{PS0} $\vec{0}=0_K\vec{v}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkt mit dem Skalar minus Eins}] Gegeben ein Vektorraum $V$ und ein Vektor $\vec{v}\in V$ gilt $(-1_K)\vec{v}=-\vec{v}$. Multipliziert man also in Worten das Negative der Eins des Grundk"orpers mit einem beliebigen Vektor, so erh"alt man das Negative des besagten Vektors.\label{PSM1} In der Tat finden wir $$\vec{v}\dotplus(-1_K)\vec{v}=1_K\vec{v}\dotplus (-1_K)\vec{v}=(1_K+(-1_K))\vec{v}=0_K\vec{v}= \vec{0}$$ mit der letzten und der zweiten Formel aus der Definition und unserer Erkenntnis $0_K\vec{v}=\vec{0}$ aus \ref{PS0}. Damit ist $(-1_K)\vec{v}$ in der Tat das additive Inverse von $\vec{v}$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben ein K"orper $K$ ist die abelsche Gruppe $V\pdef K$ mit der durch die Multiplikation von $K$ gegebenen Multiplikation mit Skalaren ein $K$-Vektorraum. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben ein K"orper $K$ wird jede einelementige Menge $V$ vermittels der offensichtlichen Operationen zu einem $K$-Vektorraum. Wir sprechen dann von einem \defind{Nullvektorraum}, weil er eben nur aus dem Nullvektor besteht, und verwenden oft auch den bestimmten Artikel und sprechen von \emph{dem} Nullvektorraum, da er ja \glqq im wesentlichen\grqq\ eindeutig bestimmt ist. Wir bezeichnen diesen Vektorraum und allgemeiner die einelementige Gruppe gerne mit $0$.\index{)0@$0$ einelementige Gruppe!Nullvektorraum}\index{)0@$0$ einelementige Gruppe} Dieses Symbol mu"s in der Mathematik f"ur die verschiedensten Dinge herhalten. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{K"orper als Vektorraum "uber Teilk"orper}] Die additive Gruppe $\DR$ der reellen Zahlen wird durch die Operation durch Multiplikation mit rationalen Zahlen ein $\DQ$-Vektorraum. Ist allgemeiner $\varphi:K\ra L$ ein K"orperhomomorphismus, so wird die additive Gruppe $L$ ein $K$-Vektorraum vermittels der Multiplikation mit Skalaren $\lambda a\pdef \varphi(\lambda)a$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Prozentrechnung}] Bei der Prozentrechnung geht man stets implizit von einem eindimensionalen reellen Vektorraum aus. Wenn man etwa sagt, 80\% einer Pralinenschachtel sei Luft, so mag man sich im formalen Rahmen dieser Vorlesung einen eindimensionalen reellen Vektorraum $V$ denken, dessen Elemente \glqq Volumina\grqq\ sind, und darin einen Vektor $v\in V$, das \glqq Volumen der Pralinenschachtel\grqq, und will sagen, da"s $(80/100)v$ das in der Schachtel von Luft eingenommene Volumen ist. Oft gibt man den fraglichen eindimensionalen Vektorraum auch explizit an und spricht von {\bf Volumenprozent}\index{Volumenprozent} oder {\bf Gewichtsprozent}\index{Gewichtsprozent} oder dergleichen. Den Vektorraum der Volumina diskutieren wir noch ausf"uhrlich in \eref{BfT}{LA2}. Es sollte aber auch hier schon zumindest anschaulich klar sein, da"s man Volumina addieren und mit Skalaren multiplizieren kann und da"s man so, wenn man formal auch negative Volumina zul"a"st, einen eindimensionalen reellen Vektorraum erh"alt alias da"s alle Rechenregeln aus unserer Definition eines Vektorraums \ref{DefV} gelten. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Produkt mit dem Nullvektor}] Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $K$ zeige man f"ur alle $\lambda\in K$ die Identit"at\label{lao} $\lambda\vec{0}=\vec{0}$. Weiter zeige man, da"s aus $\lambda\vec{v}=\vec{0}$ folgt $\lambda=0$ oder $\vec{v}=\vec{0}$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Produkte von Vektoren mit ganzen Zahlen}] Gegeben ein K"orper $K$ und ein $K$-Vektorraum $V$ und ein Vektor $\vec v\in V$ eine ganze Zahl $n\in\DZ$ gilt mit unserer Notation $n_K$ aus \eref{GZAK}{GR} stets $n_K \vec v= n\vec v$ oder ausgeschrieben in unserer Notation \eref{naa}{GR} f"ur iterierte Verkn"upfungen $(n^+1_K) \vec v= n^\dotplus\vec v$. Hinweis: Die F"alle $n=0$ und $n=(-1)$ dieser Aussage wurden bereits in \ref{PS0} und \ref{PSM1} besprochen. \end{Ubung} \begin{Ubunge} F"ur eine vorgegebene abelsche Gruppe $(V,+)$ gibt es h"ochstens eine Abbildung $\DQ\times V\ra V$ derart, da"s sie mit dieser Abbildung als Multiplikation mit Skalaren ein $\DQ$-Vektorraum wird. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{GJI} Eine Gruppe, in der jedes Element sein eigenes Inverses ist, kann auf genau eine Weise mit der Struktur eines Vektorraums "uber dem K"orper mit zwei Elementen versehen werden. Ein Beispiel ist unsere Gruppe aus \eref{PMG}{GR}. %, und ihre Untergruppen sind dann genau die Untervektorr"aume. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{EnVV} Gegeben eine Menge $X$ und ein K"orper $K$ und ein $K$-Vektorraum $V$ ist auch die Menge $\op{Ens}(X,V)$ aller Abbildungen $X\ra V$ ein $K$-Vektorraum, wenn man sie mit der Addition gegeben durch $(f+g)(x)\pdef f(x)+g(x)$ und mit der Multiplikation mit Skalaren gegeben durch $(\lambda f)(x)\pdef\lambda (f(x))$ versieht. Das verallgemeinert unser Beispiel \ref{FRVR}. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Ist $\varphi:L\ra K$ ein K"orperhomomorphismus und $V$ ein $K$-Vektorraum, so wird die abelsche Gruppe $V$ mit der durch die Formel $\lambda \vec v\pdef \varphi(\lambda)\vec v$ erkl"arten Multiplikation mit Skalaren aus $L$ ein $L$-Vektorraum. Man sagt dann, dieser $L$-Vektorraum entstehe durch {\bf Restriktion der Skalare} aus dem $K$-Vektorraum $V$. Zum Beispiel ist jeder komplexe Vektorraum a forteriori auch ein reeller Vektorraum. \end{Ubunge} \subsection{Endliche Produkte von Mengen}\label{ErMe} \begin{Bemerkungl}[\textbf{L"angere kartesische Produkte}] Bis jetzt hatten wir nur das kartesische Produkt\label{KaPon} %\label{KaPo} $X \times Y$ von zwei Mengen\index{kartesisch!Produkt!endlich vieler Mengen} $X$ und $Y$ betrachtet. Ebenso kann man auch f"ur mehr Mengen $X_{1}, \ldots , X_{n}$ das kartesische Produkt $$X_{1} \times \ldots \times X_{n} \pdef \{ (x_{1}, \ldots , x_{n})\mid x_{i} \in X_{i} \text{ f"ur } 1 \leq i \leq n \}$$ einf"uhren. Die Elemente von so einem Produkt bezeichnet man als {\bf $n$-Tupel}\index{Tupel}. In diesem Zusammenhang hei"sen $2$-Tupel auch {\bf Paare} oder genauer {\bf angeordnete Paare} und $3$-Tupel {\bf Tripel} oder genauer {\bf angeordnete Tripel}.\index{Tripel} Die $x_i$ hei"sen die {\bf Komponenten}\index{Komponente!eines Tupels} unseres Tupels $ (x_{1}, \ldots , x_{n})$. Die Mengen $X_i$ hei"sen die {\bf Faktoren}\index{Faktor} unseres kartesischen Produkts. Wir vereinbaren, da"s wir das \glqq leere Produkt\grqq\ als die einelementige Menge interpretieren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im deutschsprachigen Raum verwendet man auf der Schule f"ur Tupel vielfach auch die alternative Notation $(x_{1}| \ldots | x_{n})$. Das geschieht, um Verwechslungen zwischen $2$-Tupeln von nat"urlichen Zahlen und Dezimalbr"uchen zu vermeiden, die ja im deutschsprachigen Raum als \glqq Kommazahlen\grqq\ notiert werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abbildungen in ein Produkt}] F"ur ein kartesisches Produkt von Mengen hat man stets die {\bf Projektionsabbildungen}\index{Abbildung!Projektionsabbildung} oder {\bf Projektionen}\index{Projektion!von kartesischem Produkt}\index{pr@$\op{pr}_i$!Projektion} $$\begin{array}{rccc} \op{pr}_{i} : &X_{1} \times \ldots \times X_{n} & \ra & X_{i}\\ &(x_{1}, \ldots , x_{n} )& \mapsto & x_{i} \end{array}$$ Wir erhalten\label{AiP} dann f"ur jede weitere Menge $Z$ eine Bijektion \nichtfinal{(Video. $\op{Ens}$ erinnern!)} $$ \begin{array}{ccc} \op{Ens}(Z, X_{1} \times \ldots \times X_{n})&\sira & \op{Ens}(Z, X_{1}) \times \ldots \times \op{Ens}(Z,X_{n})\\[2mm] f&\mapsto&(\op{pr}_{1} \circ f,\ldots,\op{pr}_{n} \circ f) \end{array} $$ zwischen Abbildungen in das Produkt und Tupeln von Abbildungen in seine Faktoren. Die Umkehrung dieser {\bf kanonischen Bijektion} notieren wir %wie in \ref{Abbk} sozusagen gar nicht. Gegeben Abbildungen $f_{i} : Z \ra X_{i}$ notieren wir genauer die Abbildung $f:Z \ra X_{1} \times \ldots \times X_{n}$ von $Z$ in das kartesische Produkt der $X_i$ gegeben durch die Vorschrift $z \mapsto (f_{1} (z), \ldots, f_{n}(z))$ schlicht $$f = (f_{1}, \ldots , f_{n})$$ In der exponentiellen Schreibweise geschrieben liest sich unsere Bijektion ganz suggestiv als eine Bijektion $(X_1\times \ldots\times X_n)^Z\sira X_1^Z\times \ldots\times X_n^Z$. Besonders wichtig ist die {\bf diagonale Einbettung} oder {\bf Diagonale}\index{Diagonale}\index{D@$\Delta$ Diagonale}\index{D@$\Delta$ Diagonale} $$\begin{array}{rccc} \Delta \pdef\Delta_X \pdef (\op{id}, \op{id}) :&X& \ra &X \times X\\& x &\mapsto &(x,x)\end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDIA} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Das Bild der diagonalen Einbettung $\Delta:\DR\ra \DR^2$, $t\mapsto (t,t)$ \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Abbildungen aus kartesischen Produkten}] Eine Abbildung $f: X_{1} \times \ldots \times X_{n}\ra Z$ von einem kartesischen Produkt in eine beliebige Menge $Z$ nennen wir auch eine {\bf $n$-Multiabbildung}\index{Multiabbildung} und notieren sie gerne $$f: X_{1} \curlyvee \ldots \curlyvee X_{n}\ra Z$$ Unter einer {\bf $0$-Multiabbildung nach $Z$} verstehen wir in diesem Kontext ein Element von $Z$. Solche Multiabbildungen lassen sich dann in offensichtlicher Weise \glqq multiverkn"upfen\grqq, aber das soll erst in \eref{kpmk}{TSK} weiter formalisiert werden. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Kartesisches Produkt von Abbildungen}] Sind ein weiteres Produkt von der Form $Y = Y_{1}\times \ldots \times Y_{n}$ sowie Abbildungen $f_{i} : X_{i} \ra Y_{i}$ gegeben, so k"onnen wir insbesondere die Abbildung\label{KrAA} $$\begin{array}{ccc} X_{1}\times \ldots \times X_{n} & \ra & Y_{1}\times \ldots \times Y_{n}\\ (x_{1}, \ldots, x_{n})& \mapsto & (f_{1}(x_{1}) , \ldots , f_{n}(x_{n})) \end{array}$$ betrachten. Wir notieren sie $f_{1}\times \dots \times f_{n}\pdef (f_1\op{pr}_1, \ldots,f_n\op{pr}_n)$ mit der im Sinne der in \ref{AiP} eingef"uhrten Notation zu verstehenden rechten Seite. Man\index{)x@$\times$!Kartesisches Produkt von Abbildungen}\label{PAb} beachte, da"s im allgemeinen keineswegs alle Abbildungen $X_{1}\times \ldots \times X_{n} \ra Y_{1}\times \dots \times Y_{n}$ von dieser Form sind. Das kartesische Produkt von Surjektionen ist stets wieder surjektiv. Das kartesische Produkt von Injektionen ist stets wieder injektiv. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Assoziativit"at kartesischer Produkte}] Gegeben drei Mengen $X,Y,Z$ mag man sich nun die Frage stellen, inwieweit die drei Mengen $(X\times Y)\times Z$, $X\times (Y\times Z)$ und $X\times Y\times Z$ "ubereinstimmen, und allgemeiner, inwieweit \glqq das kartesische Produkt $\times$ assoziativ ist\grqq. Wir werden derartige Fragen sp"ater im Rahmen der Kategorientheorie ausf"uhrlicher diskutieren. Hier sei nur bemerkt, da"s zum Beispiel alle unsere drei Tripelprodukte wohlbestimme Projektionen $\op{pr}_X$, $\op{pr}_Y$ und $\op{pr}_Z$ auf $X$, $Y$ und $Z$ haben und da"s es eindeutig bestimmte Bijektionen zwischen ihnen gibt, die mit diesen drei Projektionen vertr"aglich sind. Wegen dieser \glqq Eindeutigkeit bis auf eindeutige Bijektionen\grqq\ werden wir uns erlauben, die drei fraglichen Tripelprodukte schlicht als gleich anzusehen. In derselben Weise verfahren wir in analogen Situationen mit mehr Faktoren. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einelementige Menge}] In derselben Weise sprechen auch mit einem bestimmten Artikel von \glqq der\grqq\ einelementigen Menge. Wir notieren sie manchmal $\op{ens}$,\index{ens@$\op{ens}$ einelementige Menge} da es sich um das \glqq finale Objekt der Kategorie $\op{Ens}$ der Mengen\grqq\ handelt, aber das brauchen Sie hier noch nicht zu verstehen. Das einzige Element der einelementigen Menge notieren wir gerne $\ast$ und haben also in Formeln\index{)8a@$*$ einziges Element von $\op{ens}$} $$\op{ens}=\{\ast\}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tupel von Elementen einer Menge}] Das kartesische Produkt von $n$ Kopien einer Menge $X$ k"urzt man meist ab\label{tupel} mit \index{)8bb@$X^n$ f"ur $n$-Tupel in $X$}$$X^{n}$$ Die Elemente von $X^n$ sind also $n$-Tupel von Elementen aus $X$ alias Abbildungen $\{1,2,\ldots,n\}\ra X$. Es ist sinnvoll und allgemeine Konvention, diese Notation auf den Fall $n=0$ dadurch auszudehnen, da"s man $X^0$ als die einelementige Menge auffa"st, in Formeln $X^0=\op{ens}$, so da"s wir f"ur alle $n,m\geq 0$ eine kanonische Bijektion $X^n\times X^m\sira X^{n+m}$ erhalten. Wenn ich Verwechslungen mit anderen Notationen bef"urchte, die Sie sp"ater kennenlernen werden, schreibe ich statt $X^n$ auch ausf"uhrlicher $X^{\times n}$.\index{)8bb@$X^{\times n}$ f"ur $n$-Tupel in $X$} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele}[\textbf{Der Vektorraum der $n$-Tupel}] Einige Beispiele f"ur Vektorr"aume\label{BVFG} wurden bereits in \eref{FiVe}{EIN} diskutiert. Besonders wichtig ist das Beispiel des Vektorraums\begin{equation*} V = K^n \end{equation*} "uber einem vorgegebenen K"orper $K$. Hier verwenden wir die Notation \ref{tupel}, die Elemente von $K^n$ sind also $n$-Tupel von Elementen des K"orpers $K$. Wir notieren die Komponenten dieser $n$-Tupel im folgenden der "Ubersichtlichkeit halber untereinander, nicht wie zuvor nebeneinander und durch Kommata getrennt. Die Addition von Vektoren und Multiplikation mit Skalaren seien gegeben durch \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \begin{pmatrix} v_1\\ \vdots\\[-1,5ex] \vdots\\ v_n \end{pmatrix} \dotplus\begin{pmatrix} w_1\\ \vdots\\[-1,5ex] \vdots\\ w_n \end{pmatrix}&\pdef& \begin{pmatrix} v_1+w_1\\ \vdots\\[-1,5ex] \vdots\\ v_n+w_n \end{pmatrix}\\[8ex] \lambda \begin{pmatrix} v_1\\ \vdots\\[-1,5ex] \vdots\\ v_n \end{pmatrix}&\pdef& \begin{pmatrix} \lambda v_1\\ \vdots\\[-1,5ex] \vdots\\ \lambda v_n \end{pmatrix} \end{array} \end{displaymath} f"ur $\lambda, v_1, \ldots , v_n, w_1, \ldots , w_n \in K$. Die Erste unserer Gleichungen definiert die Summe zweier $n$-Tupel, also die Addition in unserem Vektorraum $V = K^n$, indem sie diese durch die Addition im K"orper $K$ ausdr"uckt. Die zweite Gleichung leistet dasselbe f"ur die Multiplikation mit Skalaren. An dieser Stelle gebe ich einen ersten Teil meiner didaktischen Notation auf und schreibe von nun an $+$ statt $\dotplus$. Gegeben $\vec{v}\in K^n$ schreibe ich seine Komponenten $v_1,v_2,\ldots, v_n$ und versehe sie nicht mit Pfeilen, da sie ja Elemente des Grundk"orpers sind. Wenn irgendwo einmal $\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots, \vec{v}_n$ stehen sollte, so sind nicht die $n$ Komponenten eines $n$-Tupels $\vec{v}$ gemeint, sondern vielmehr $n$ Vektoren eines Vektorraums. Sobald ich die Pfeil-No\-ta\-tion aufgegebe, mu"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen, was im Einzelfall jeweils gemeint ist. \end{Beispiele} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{UDSn}%\label{UDS} Gegeben ein K"orper $K$ und $K$-Vektorr"aume $V_1,\ldots, V_n$ k"onnen wir das kartesische Produkt $V_1\times\ldots \times V_n$ zu einem $K$-Vektorraum machen, indem wir die Addition sowie die Multiplikation mit Skalaren komponentenweise definieren. In Formeln sieht das dann so aus wie \ref{BVFG}, nur da"s wir den $v_i$ und $w_i$ Pfeile aufsetzen und statt $v_i,w_i\in K$ wie dort nun $\vec v_i,\vec w_i\in V_i$ nehmen m"ussen. Den so entstehenden Vektorraum notieren wir auch $$V_1\oplus\ldots \oplus V_n$$ und nennen ihn das {\bf Produkt}\index{Produkt!von Vektorr"aumen!endliches} oder auch die\index{)8a@$\oplus$ direkte Summe!von Vektorr"aumen} {\bf direkte Summe} der $V_i$.\index{direkte Summe!von Vektorr"aumen} Insbesondere ist $K^n$ die direkte Summe $K\oplus\ldots \oplus K$ von $n$ Kopien des $K$-Vektorraums $K$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $f:X\ra Y$ und $g:Z\ra W$ Abbildungen und $$f\times g: X\times Z\ra Y\times W$$ ihr Produkt. Ist $f\times g$ surjektiv und gilt $W\neq\emptyset$, so ist $f$ surjektiv. Ist $f\times g$ injektiv und gilt $Z\neq\emptyset$, so ist $f$ injektiv. \end{Ubung} \subsection{Ordnungen und Teilordnungen*}\label{OMl} \begin{Bemerkungl} Bei den Inhalten dieses Abschnitts hoffe ich, da"s sie rechtzeitig in der Analysis besprochen werden, so da"s sie in der linearen Algebra "ubersprungen werden k"onnen. Ich habe ihn aus \eref{OM}{AN1} kopiert, wo zus"atzlich noch Supremum und Infimum besprochen werden. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{REEb} Eine {\bf Relation}\index{Relation!auf einer Menge} $R$ auf einer Menge $X$ ist eine Teilmenge $R \subset X \times X$ des kartesischen Produkts von $X$ mit sich selbst, also eine Menge von Paaren von Elementen von $X$. Statt $(x,y)\in R$ schreiben wir in diesem Zusammenhang meist $xRy$. Eine Relation $R$ hei"st eine {\bf Ordnungsrelation}\index{Ordnungsrelation} oder eine {\bf Teilordnung}\index{Teilordnung} oder eine {\bf partielle Ordnung},\index{Ordnung!partielle}\index{partiell!Ordnung} wenn f"ur alle $x,y,z\in X$ gilt: \begin{enumerate} \item {\bf Transitivit"at:}\index{transitiv!Relation} $(x Ry$ und $yR z) \Rightarrow x Rz$; \item {\bf Antisymmetrie:}\index{antisymmetrisch!Relation} $(xRy $ und $y R x) \Rightarrow x = y;$ \item {\bf Reflexivit"at:}\index{reflexiv!Relation} $xRx$ f"ur alle $x\in X$. \end{enumerate} Eine Teilordnung hei"st eine \defind{Ordnung} oder \defind{Anordnung}, wenn wir zus"atzlich haben \begin{enumerate} \item[4.] {\bf Totalit"at:}\index{Totalit"at!f"ur Relation} F"ur alle $x,y \in X$ gilt $x Ry \text{ oder }y R x$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In der Literatur hei"st eine Teilordnung auch eine {\bf Halbordnung}\index{Halbordnung@{\it Halbordnung}} oder kurz eine \glqq Ordnung\grqq.\index{Ordnung!{\it f"ur Teilordnung}} Wir verstehen jedoch unter einer Ordnung stets eine Ordnungsrelation, die auch die Eigenschaft der Totalit"at besitzt. Auf Englisch benutzt man f"ur eine teilgeordnete Menge alias \glqq partially ordered set\grqq\ gerne die Abk"urzung \defind{poset}. Eine Ordnung in unserem Sinne hei"st in der Literatur auch eine {\bf totale Ordnung}\index{Ordnung!totale} oder eine {\bf lineare Ordnung}.\index{Ordnung!lineare} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Allgemeiner versteht man unter einer {\bf Relation\index{Relation!zwischen zwei Mengen} $R$ zwischen einer Menge $X$ und einer Menge $Y$} eine Teilmenge $R\subset X\times Y$. In diesem Sinne sind dann auch unsere Abbildungen aus \eref{DFA}{GR} spezielle Relationen. In Teilen der Literatur hei"sen derartige Relationen auch \glqq Korrespondenzen\grqq.\index{Korrespondenz} Noch allgemeiner betrachtet man\label{AlRepb} auch f"ur $n\geq 0$ und Mengen $X_1,\ldots, X_n$ Teilmengen $R\subset X_1\times\ldots\times X_n$ und nennt sie {\bf $n$-stellige Relationen},\index{Relation!mehrstellige} aber das ist f"ur uns vorerst noch nicht relevant. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Bei einer Ordnungsrelation $R$ schreibt man meist $x \leq y$ statt $xRy$ und statt $x\leq y$ schreibt man dann oft auch $y\geq x$.\index{)8c@$\geq$, $>$, $\leq $, $<$ bei Ordnungsrelation} Weiter k"urzt man ($x\leq y$ und $x\neq y$) ab mit $xy$. Auf jeder angeordneten Menge definieren wir Verkn"upfungen $\op{max}$\index{max@$\op{max}$} und $\op{min}$\index{min@$\op{min}$} in offensichtlicher Verallgemeinerung von \eref{Verk}{GR}.%\ref{Verkm}. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[height=16cm]{SkriptenBilder/Bild0005} \\ \noindent Eine teilgeordnete Menge mit zwei minimalen und einem maximalen Element, die weder ein kleinstes noch ein gr"o"stes Element besitzt. Die Darstellung ist in der Weise zu verstehen, da"s die fetten Punkte die Elemente unserer Menge bedeuten und da"s ein Element gr"o"ser ist als ein anderers genau dann, wenn es von diesem \glqq durch einen aufsteigenden Weg erreicht werden kann\grqq. \end{figure} \begin{Definition}\label{MiMab} Sei $(Y,\leq)$ eine teilgeordnete Menge. \begin{enumerate} \item Ein Element $g \in Y$ hei"st ein {\bf gr"o"stes Element\index{gr"o"stes Element} von $Y$}, wenn gilt $g \geq y \; \forall y\in Y$. Ein Element $g \in Y$ hei"st ein {\bf maximales Element\index{maximal!Element} von $Y$}, wenn es kein $y\in Y$ gibt mit $y > g$. \item Ein Element $k \in Y$ hei"st ein {\bf kleinstes Element\index{kleinstes!Element} von $Y$}, wenn gilt $k \leq y \; \forall y\in Y$. Ein Element $k \in Y$ hei"st ein {\bf minimales Element\index{minimales!Element} von $Y$}, wenn es kein $y\in Y$ gibt mit $y < k$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Jede teilgeordnete Menge besitzt h"ochstens ein gr"o"s\-tes und h"ochstens ein kleinstes Element. Wir d"urfen deshalb den bestimmten Artikel verwenden und von {\bf dem} gr"o"sten beziehungsweise kleinsten Element reden. Besitzt eine teilgeordnete Menge ein gr"o"s\-tes beziehungsweise ein kleinstes Element, so ist dies auch ihr einziges maximales beziehungsweise minimales Element. Im allgemeinen kann es jedoch maximale beziehungsweise minimale Elemente in gro"ser Zahl geben, zumindest dann, wenn unsere Teilordnung keine Anordnung ist. Es kann auch durchaus passieren, da"s es "uberhaupt kein minimales oder maximales Element gibt, und zwar selbst dann, wenn unsere teilgeordnete Menge nicht die leere Menge ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben teilgeordnete Mengen $(X,\leq)$ und $(Y,\leq)$ versteht man unter einem {\bf Homomorphismus von teilgeordneten Mengen} oder gleichbedeutend einer {\bf monoton wachsenden Abbildung} eine Abbildung $\phi:X\ra Y$ mit $x\leq z\RA \phi(x)\leq \phi(z)$. Wie immer erkl"art man einen Isomorphismus als einen Homomorphismus $\phi$ mit der Eigenschaft, da"s es einen Homomorphismus $\psi$ in die Gegenrichtung gibt derart, da"s $\psi\circ\phi$ und $\phi\circ\psi$ die Identit"at sind. Man beachte, da"s in diesem Fall ein bijektiver Homomorphismus keineswegs ein Isomorphismus zu sein braucht.\label{ageo} \end{Bemerkungl} \subsection{Untervektorr"aume} \begin{Definition} Eine Teilmenge $U$ eines Vektorraums $V$ hei"st ein \defind{Untervektorraum} oder \defind{Teilraum}, wenn $U$ den Nullvektor enth"alt und wenn aus $\vec{u},\vec{v} \in U$ und $\lambda \in K$ folgt $\vec{u}+\vec{v}\in U$ sowie $\lambda \vec{u} \in U$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Statt zu fordern, da"s unsere Teilmenge den Nullvektor enth"alt, reicht es wegen \ref{PS0} schon aus, in obiger Definition zu fordern, da"s unsere Teilmenge nicht leer ist. Diese Definitionsvariante wird oft vorgezogen, da sie zumindest prinzipiell leichter nachzupr"ufen ist. Ich mag sie nicht, da sie noch ferner von der \glqq eigentlich richtigen Definition\grqq\ ist, die ich in der folgenden Bemerkung erl"autern will. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Untervektorr"aume vom h"oheren Standpunkt}] Die vom h"o\-he\-ren Standpunkt aus \glqq richtige\grqq\ Definition eines Untervektorraums\label{UWna} lautet wie folgt: Sei $K$ ein K"orper. Eine Teilmenge eines $K$-Vektor\-raums hei"st ein Untervektorraum, wenn sie so mit der Struktur eines $K$-Vektorraums versehen werden kann, da"s die Einbettung ein \glqq Homomorphismus $K$-Vektorr"aumen\grqq\ wird. Ich kann diese \glqq bessere\grqq\ Definition hier noch nicht geben, da wir Homomorphismen von $K$-Vektorr"aumen erst in \ref{HoVV} kennenlernen. Diese \glqq bessere\grqq\ Definition ist leider auch komplizierter. Sie scheint mir dennoch besser, da man in derselben Weise auch korrekte Definitionen von Untermonoiden, Untergruppen, Unterk"orpern und Unter-was-nicht-noch-all-f"ur-Strukturen erh"alt, die Sie erst sp"ater kennenlernen werden. Genaueres diskutieren wir in \eref{Unts}{LA2}. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{L"osungsmengen als Untervektorr"aume}] Unter einem homogenen linearen Gleichungssystem "uber einem gegebenen K"orper $K$ versteht man, wie in \ref{HGLy} besprochen, ein System von Gleichungen der Gestalt \begin{displaymath} \begin{array}{cccc} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + &\ldots & + a_{1m}x_{m} &=0\\ a_{21} x_1 + a_{22}x_2 + &\ldots & +a_{2m}x_{m} &=0\\ \vdots & & \vdots &\\ a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + &\ldots & +a_{nm} x_m& =0 \end{array} \end{displaymath} Die Homogenit"at bedeutet, da"s rechts nur Nullen stehen. Die L"osungsmenge eines solchen homogenenen Gleichungssystems ist offensichtlich ein Untervektorraum $L \subset K^m$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Untervektorr"aume des schmutzigen Richtungsraums der Ebene}] Das nun folgende Geschwafel darf nicht als Teil des formalen Aufbaus der Theorie mi"sverstanden werden. Ich erinnere an den schmutzigen Richtungsraum \ref{DSAA} der Ebene alias die Menge aller Parallelverschiebungen der Ebene mit ihrer Struktur als reeller Vektorraum. Seine Untervektorr"aume sind (1) der Nullraum, (2) die Teilmengen, die aus allen Verschiebungen bestehen, die eine vorgegebene Gerade in sich selbst "uberf"uhren, und (3) der ganze Richtungsraum. Will man diese Untervektorr"aume graphisch darstellen, ist es hilfreich,\label{VAR} einen festen Punkt der Ebene willk"urlich als \glqq Ursprung\grqq\, auszuzeichnen und die Menge derjenigen Punkte zu schwarz zu machen, die wir aus diesem festen Punkt durch Verschiebungen mit Vektoren unseres Untervektorraums erhalten k"onnen. Dann entsprechen die Untervektorr"aume den folgenden Teilmengen der Ebene: (1) Der einelementigen Teilmenge, die nur aus unserem Ursprung besteht, (2) allen Geraden, die unseren Ursprung enthalten, und (3) der ganzen Ebene. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Untervektorr"aume des schmutzigen Richtungsraums des Raums}] Das nun folgende Geschwafel darf nicht als Teil des formalen Aufbaus der Theorie mi"sverstanden werden. Ich erinnere an den schmutzigen Richtungsraum \ref{DSAA} des Raums alias die Menge aller Parallelverschiebungen des Raums mit ihrer Struktur als reeller Vektorraum. Seine Untervektorr"aume sind (1) der Nullraum, der nur aus der Identit"atsverschiebung besteht, (2) die Teilmengen, die aus allen Verschiebungen bestehen, die eine vorgegebene Gerade in sich selbst "uberf"uhren, (3) die Teilmengen, die aus allen Verschiebungen bestehen, die eine vorgegebene Ebene in sich selbst "uberf"uhren,\label{VAR} und (4) der ganze Richtungsraum. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Von einer Teilmenge erzeugter Untervektorraum}] Gegeben eine Teilmenge $T$ eines Vektorraums $V$ "uber einem\label{TEUV} K"orper $K$ gibt es unter allen Untervektorr"aumen von $V$, die $T$ umfassen, einen kleinsten Untervektorraum $$\langle T\rangle =\langle T\rangle_{\op{lin}}=\langle T\rangle_K\subset V$$ Er kann beschrieben werden als die Menge aller Vektoren $\alpha_1 \vec{v}_1 + \ldots + \alpha_r \vec{v}_r $ mit $\alpha_1 , \ldots , \alpha_r \in K $ und $\vec{v}_1, \ldots , \vec{v}_r \in T$ zusammen mit dem Nullvektor im Fall $T=\emptyset$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Ein Ausdruck der Gestalt $\alpha_1 \vec{v}_1 + \ldots + \alpha_r \vec{v}_r $ hei"st eine {\bf Linearkombination}\index{Linearkombination} der Vektoren $\vec{v}_1, \ldots , \vec{v}_r$. Hierbei sind nur endliche Summen erlaubt. Der kleinste $T$ umfassende Untervektorraum $\langle T\rangle\subset V$ hei"st der {\bf von $T$ erzeugte Untervektorraum}\index{erzeugt!Untervektorraum} Untervektorraum oder der {\bf von $T$ aufgespannte Untervektorraum}\index{)5>@$\langle T\rangle$ Untervektorraum-Erzeugnis}\index{aufgespannt!Untervektorraum} oder auch das {\bf Erzeugnis von} $T$\index{Erzeugnis!in Vektorraum} oder der {\bf Spann von}\index{Spann!in Vektorraum} $T$ oder die {\bf lineare H"ulle von}\index{lineare H"ulle} $T$. \index{H"ulle!lineare} Wenn wir den Nullvektor als die \glqq leere Linearkombination von $r=0$ Vektoren\grqq\ verstehen, was hiermit vereinbart sei, so besteht das Erzeugnis von $T$ demnach auch im Fall $T=\emptyset$ genau aus allen Linearkombinationen von Vektoren aus $T$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Andere "ubliche Notationen f"ur den von einer Teilmenge $T$ eines Vektorraums erzeugten Untervektorraum sind $\op{span}(T)$ und $\op{lin}(T)$.\index{span@$\op{span}$ Spann}\index{lin@$\op{lin}$ Spann} \end{Bemerkunge} \begin{proof} Es ist klar, da"s die Linearkombinationen von Vektoren aus $T$ einen Untervektorraum von $V$ bilden, der $T$ umfa"st. Es ist ebenso klar, da"s jeder Untervektorraum von $V$, der $T$ umfa"st, auch alle Linearkombinationen von Vektoren aus $T$ enthalten mu"s. \end{proof} \begin{Definition} Eine Teilmenge eines Vektorraums hei"st ein \defind{Erzeugendensystem} unseres Vektorraums, wenn ihr Erzeugnis der ganze Vektorraum ist. Ein Vektorraum, der ein endliches Erzeugendensystem besitzt, hei"st {\bf endlich erzeugt}.\index{endlich erzeugt!Vektorraum} Manche Autoren verwenden\index{erzeugt, endlich!Vektorraum} gleichbedeutend die vielleicht noch pr"azisere Terminologie \defind{endlich erzeugbar}. \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{Erzeugnis in der schmutzigen Anschauung}] Ich erinnere an unsere Identifikation \ref{VAR} des schmutzigen Vektorraums aller Parallelverschiebungen des Raums mit der Menge aller Punkte des Raums durch Auszeichnung eines festen Punktes als Ursprung. Dem Erzeugnis des Nullvektors entspricht unter dieser Identifikation die nur aus dem Ursprung bestehende Teilmenge; dem Erzeugnis eines von Null verschiedenen Vektors entspricht die anschauliche Gerade durch den Ursprung und den Endpunkt des Pfeils, der vom Ursprung ausgehend unseren Vektor darstellt; und dem Erzeugnis zweier Vektoren, von denen keiner ein Vielfaches des anderen ist, entspricht die anschauliche Ebene, auf der unser fester Punkt und die Endpunkte der beiden Pfeile liegen, die vom Ursprung ausgehend unsere Vektoren darstellen. \nichtfinal{(Video!)} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schnitt von Untervektorr"aumen}] Der Schnitt von zwei Untervektorr"aumen eines gegebenen Vektorraums ist offensichtlich wieder ein Untervektorraum. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{VSMS} Gegeben eine Menge $X$ erinnere ich an die Menge aller Teilmengen ${\cal P} (X) \pdef\{U\mid U\subset X\}$ von $X$, die sogenannte {\bf Potenzmenge von $X$}.\index{Potenzmenge} Da es mich verwirrt, "uber Mengen von Mengen zu reden, werde ich Teilmengen von ${\cal P} (X)$ nach M"oglichkeit als {\bf Systeme von Teilmengen von $X$}\index{System von Teilmengen} ansprechen. Gegeben ein solches Mengensystem\label{SVMFa} $\cal{U}\subset {\cal P} (X)$ bildet man zwei neue Teilmengen von $X$, den {\bf Schnitt}\index{Schnitt!von Mengensystem} und die {\bf Vereinigung}\index{Vereinigung!von Mengensystem} der Mengen aus\index{)ucup@$\cup$ Vereinigung!$\bigcup$ von Mengensystem}\index{)9cap@$\cap$ Schnitt!$\bigcap$ von Mengensystem} unserem System $\cal{U}$, durch die Vorschriften\index{U@$\bigcup$}\index{$\bigcap$} $$ \begin{array}{lllll} \bigcup_{U\in\cal{U}} U&=&\bigcup_{U\in\cal{U}}^X U&\pdef&\{ x\in X\mid \text{ Es gibt } U\in \cal{U} \text{ mit } x\in U\}\\[2mm] \bigcap_{U\in\cal{U}} U&=&\bigcap_{U\in\cal{U}}^X U&\pdef&\{ x\in X\mid \text{ F"ur alle }U\in \cal{U} \text{ gilt }x\in U \} \end{array}$$ Es ist un"ublich aber manchmal praktisch, die Menge $X$ hier mitzunotieren. Insbesondere ist der Schnitt "uber das leere System von Teilmengen von $X$ ganz $X$, in Formeln $\bigcap_\emptyset^X=X$, und die Vereinigung "uber das leere System von Teilmengen von $X$ die leere Menge. Um den Schnitt "uber ein leeres Mengensystem zu bilden, mu"s man also spezifizieren, das leere System von Teilmengen welcher Menge man denn nun betrachtet. Bei allen anderen Operationen kommt es dahingegen nicht darauf an. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erzeugnis als Schnitt}] Jeder Schnitt von Untervektorr"aumen eines Vektorraums ist offensichtlich wieder ein Untervektorraum. Betrachten wir f"ur eine Teilmenge $T$ eines Vektorraums $V$ "uber einem K"orper $K$ den Schnitt aller Untervektorr"aume von $V$, die $T$ umfassen, so erhalten wir offensichtlich den kleinsten Untervektorraum von $V$, der $T$ umfa"st. Wir erhalten so einen von \ref{TEUV} unabh"angigen Beweis f"ur die Existenz solch eines kleinsten Untervektorraums. Dieser Beweis hat den Vorteil, sich leichter auf andere Arten von Strukturen verallgemeinern zu lassen. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Sei $K$ ein K"orper. Man zeige, da"s der $K$-Vektorraum $K$ genau zwei Untervektorr"aume besitzt. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{lhye} Eine Teilmenge eines Vektorraums hei"st ganz allgemein eine {\bf Hyperebene}\index{Hyperebene!lineare} oder pr"aziser {\bf lineare Hyperebene}, wenn unsere Teilmenge ein echter Untervektorraum ist, der zusammen mit einem einzigen weiteren Vektor unseren urspr"unglichen Vektorraum erzeugt. Man zeige, da"s eine Hyperebene sogar zusammen mit \emph{jedem} Vektor au"serhalb besagter Hyperebene unseren urspr"unglichen Vektorraum erzeugt. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Gegeben ein Vektorraum "uber dem K"orper mit zwei Elementen ist jede Untergruppe bereits ein Untervektorraum. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $V$ ein Vektorraum mit zwei Untervektorr"aumen $U,W$. Ist $U\cup W$ ein Untervektorraum, so gilt $U\subset W$ oder $W\subset U$. \end{Ubung} \subsection{Lineare Unabh"angigkeit und Basen} \begin{Definition} Eine Teilmenge $L$ eines Vektorraums hei"st {\bf linear unabh"angig},\index{linear unabh"angig!Teilmenge} wenn f"ur paarweise verschiedene Vektoren $\vec{v}_1, \ldots , \vec{v}_r \in L$ und beliebige Skalare $\alpha_1, \ldots, \alpha_r \in K$ aus $ \alpha_1 \vec{v}_1 + \ldots +\alpha_r \vec{v}_r =\vec{0} $ bereits folgt $\alpha_1 = \ldots =\alpha_r =0$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gleichbedeutend ist die Forderung, da"s keiner der Vektoren unserer Teilmenge {\bf redundant}\index{redundant} ist in dem Sinne, da"s er sich als eine Linearkombination der "ubrigen schreiben l"a"st. Der Nullvektor ist dabei in jeder Teilmenge redundant: Selbst wenn er der einzige Vektor ist, l"a"st er sich noch als die leere Linearkombination schreiben. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Teilmenge $L$ eines Vektorraums hei"st {\bf linear abh"angig},\index{linear abh"angig!Teilmenge} wenn sie nicht linear unabh"angig ist, wenn es also ausgeschrieben paarweise verschiedene Vektoren $\vec{v}_1, \ldots , \vec{v}_r \in L$ und Skalare $\alpha_1, \ldots, \alpha_r \in K$ gibt derart, da"s nicht alle $\alpha_i$ Null sind und dennoch gilt $ \alpha_1 \vec{v}_1 + \ldots +\alpha_r \vec{v}_r =\vec{0} $. \end{Definition} \begin{Beispiele} Die leere Menge ist in jedem Vektorraum linear unabh"angig. Eine einelementige Teilmenge\label{ELUU} ist linear unabh"angig genau dann, wenn sie nicht aus dem Nullvektor besteht: F"ur das Produkt des Nullvektors mit dem Skalar $1$ gilt n"amlich $1\cdot \vec{0}=\vec{0}$, und nach unseren Annahmen gilt in einem K"orper stets $1\neq 0$, also ist die aus dem Nullvektor bestehende Menge nicht linear unabh"angig. Da"s jede andere einelementige Teilmenge linear unabh"angig ist, folgt andererseits aus unserer Erkenntnis \ref{lao}, da"s das Produkt von einem Vektor mit einem Skalar nur dann Null ist, wenn entweder der Vektor Null ist oder der Skalar. \end{Beispiele} \begin{Beispiel} Denken wir uns wie in \ref{VAR} den schmutzigen Raum der Anschauung mit einem ausgezeichneten Urspung als reellen Vektorraum, so sind drei Vektoren linear unabh"angig genau dann, wenn sie nicht \glqq zusammen mit dem Ursprung in einer Ebene liegen\grqq. \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{BaVe} Eine \defnoind{Basis eines Vektorraums}\index{Basis!von Vektorraum} ist ein linear unabh"angiges Erzeugendensystem. \end{Definition} \begin{Beispiel} Denken wir uns wie in \ref{VAR} den schmutzigen Raum der Anschauung mit einem ausgezeichneten Ursprung als reellen Vektorraum, so ist jede Menge von drei Vektoren, die nicht zusammen mit unserem Ursprung in einer Ebene liegen, eine Basis. Die leere Menge ist eine Basis des Nullvektorraums. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben Mengen $A$ und $I$ bezeichnet man eine Abbildung $I\ra A$ ganz allgemein auch als eine {\bf durch $I$ indizierte} \defind{Familie} {\bf von Elementen von $A$} und benutzt die Notation $$(a_i)_{i\in I}$$ Diese Sprechweise und Notation f"ur Abbildungen verwendet man insbesondere dann,\label{Familie} wenn man der Menge $I$ eine untergeordnete Rolle zugedacht hat. Im Fall $I=\emptyset$ spricht man von der {\bf leeren Familie}\index{leer!Familie} von Elementen von $A$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Linear unabh"angige Familien}] Manchmal ist es praktisch und f"uhrt zu einer "ubersichtlicheren Darstellung, Varianten unserer Begriffe zu verwenden, die sich statt auf Teilmengen unseres Vektorraums auf Familien von Vektoren $(\vec{v}_i)_{i\in I}$ beziehen. Eine derartige Familie hei"st ein Erzeugendensystem, wenn die Menge $\{\vec{v}_i\mid i\in I\}$ ein Erzeugendensystem ist. Sie hei"st {\bf linear unabh"angig} oder ganz pedantisch {\bf linear unabh"angig als Familie},\index{linear unabh"angig!Familie} wenn f"ur beliebige paarweise verschiedene Indizes $i(1),\ldots ,i(r) \in I$ und beliebige Skalare $\alpha_1, \ldots, \alpha_r \in K$ aus $ \alpha_1 \vec{v}_{i(1)} + \ldots +\alpha_r \vec{v}_{i(r)} =\vec{0} $ bereits folgt $\alpha_1 = \ldots =\alpha_r =0$. Der wesentliche Unterschied zur Begrifflichkeit f"ur Teilmengen liegt darin, da"s bei einer Familie ja f"ur verschiedene Indizes die zugeh"origen Vektoren durchaus gleich sein k"onnten, was aber durch die Bedingung der linearen Unabh"angigkeit dann doch wieder ausgeschlossen wird. Eine Familie von Vektoren, die nicht linear unabh"angig ist, nennen wir eine {\bf linear abh"angige Familie}.\index{linear abh"angig!Familie} Eine erzeugende und linear unabh"angige Familie nennt man wieder eine \defind{Basis} und ausf"uhrlicher eine \defind{Familienbasis} oder eine {\bf durch $i\in I$ indizierte Basis}.\index{Basis!indizierte} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Besonders oft werden wir sp"ater Basen betrachten, die durch eine Menge der Gestalt $\{1,\ldots,n\}$ mit $n\in\DN$ indiziert sind. Hier ist dann der wesentliche Unterschied zu einer Basis im Sinne von \ref{BaVe}, da"s wir zus"atzlich festlegen, welcher Basisvektor der Erste, welcher der Zweite und so weiter sein soll. In der Terminologie aus \ref{OMl} bedeutet das gerade, da"s wir eine Anordnung auf unserer Basis festlegen. Wollen wir das besonders hervorheben, so sprechen wir von einer \defnoind{angeordneten Basis}.\index{Basis!angeordnete} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{StdB} Seien $K$ ein K"orper und $n \in \mathbb{N}$. Wir betrachten in unserem Vektorraum $K^n$ der $n$-Tupel die Vektoren \begin{equation*} \vec{\op{e}}_{i} = (0, \ldots , 0,1,0,\ldots, 0) \end{equation*} mit einer Eins an der $i$-ten Stelle und Nullen sonst. Dann bilden $\vec{\op{e}}_1, \ldots, \vec{\op{e}}_n$ eine angeordnete Basis von $K^n$, die sogenannte \defind{Standardbasis} des $K^n$. Wir notieren diese Standardbasis $\mathcal S(n)$.\index{S@$\mathcal S(n)$ Standardbasis des $K^n$} \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{"uber Linearkombinationen von Basiselementen}] Seien $K$ ein K"orper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $\vec v_1,\ldots,\vec v_r\in V$ eine durch die Menge $\{1,\ldots,r\}$ indizierte Familie von Vektoren von $V$.\label{EDDB} Genau dann ist diese Familie eine Basis von $V$, wenn das Auswerten von Linearkombinationen eine Bijektion $\Phi : K^r\sira V$, $(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)\mapsto \alpha_1\vec v_1+\ldots+\alpha_r\vec v_r $ liefert. \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{Bau} Wir notieren derartige Familien gerne mit kalligraphischen Buchstaben wie $\mathcal A\pdef (\vec v_1,\ldots,\vec v_r)$ und notieren unsere Abbildung dann $\Phi =\Phi_{\mathcal A}: K^r\ra V$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ausf"uhrlicher gilt f"ur unsere Abbildung $\Phi_{\mathcal A}$ sogar: \begin{displaymath} \begin{array}{llllcc} \mathcal A \text{ ist Erzeugendensystem} &\Leftrightarrow & \Phi_{\mathcal A} \text{ ist eine Surjektion}&K^r &\sra &V \\ \mathcal A \text{ ist linear unabh"angig} & \Leftrightarrow & \Phi_{\mathcal A} \text{ ist eine Injektion}&K^r &\hra& V\\ \mathcal A\text{ ist Basis} & \Leftrightarrow & \Phi_{\mathcal A} \text{ ist eine Bijektion}&K^r &\sira& V\\ \end{array} \end{displaymath} Hier folgt die erste "Aquivalenz direkt aus den Definitionen. Um bei der zweiten "Aquivalenz die Implikation $\Leftarrow$ einzusehen, mu"s man nur bemerken, da"s $\Phi$ den Nullvektor auf Null wirft und folglich kein anderer Vektor aus $K^r$ von $\Phi$ auf Null geworfen werden kann. Um bei der zweiten "Aquivalenz die Implikation $\Rightarrow$ einzusehen, argumentieren wir durch Widerspruch: W"are $\Phi$ nicht injektiv, so g"abe es $(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)\neq (\beta_1,\ldots,\beta_r)$ mit demselben Bild $\alpha_1\vec v_1+\ldots+\alpha_r\vec v_r= \beta_1\vec v_1+\ldots+\beta_r\vec v_r$. Dann aber w"are $$(\alpha_1-\beta_1)\vec v_1+\ldots +(\alpha_r-\beta_r)\vec v_r=\vec 0$$ eine nichttriviale Darstellung der Null als Linearkombination der $\vec v_i$ und dann k"onnten unsere Vektoren nicht linear unabh"angig gewesen sein. Die letzte "Aquivalenz schlie"slich ist eine direkte Konsequenz der ersten beiden. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Extremalcharakterisierungen von Basen}] F"ur eine Teilmenge eines Vektorraums sind gleichbedeutend:\label{MIBA} \begin{enumerate} \item Unsere Teilmenge ist eine Basis alias ein linear unabh"angiges Erzeugendensystem; \item Unsere Teilmenge ist minimal unter allen Erzeugendensystemen; \item Unsere Teilmenge ist maximal unter allen linear unabh"angigen Teilmengen. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die Begriffe minimal und maximal sind hier zu verstehen im Sinne von \ref{MiMab} in Bezug auf Inklusionen zwischen Teilmengen, nicht etwa in Bezug auf die Zahl der Elemente. Um das zu betonen, spricht man auch gerne von einem {\bf verk"urzbaren\index{verk"urzbar!Erzeugendensystem} Erzeugendensystem}, wenn man eben daraus noch einen Vektor so weglassen kann, da"s es ein Erzeugendensystem bleibt, und von einer {\bf verl"angerbaren\index{verl"angerbar!linear unabh"angige Teilmenge} linear unabh"angigen Teilmenge}, wenn man so einen Vektor dazunehmen kann, da"s sie linear unabh"angig bleibt. Ein minimales Erzeugendensystem nennen wir folgerichtig auch ein {\bf unverk"urzbares Erzeugendensystem}\index{unverk"urzbar!Erzeugendensystem} und eine maximale linear unabh"angige Teilmenge eine {\bf unverl"angerbare linear unabh"angige Teilmenge}.\index{unverl"angerbar!linear unabh"angige Teilmenge} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Existenz von Basen}] Unsere Minimalcharakterisierung \ref{MIBA} von Basen impliziert insbesondere, da"s jeder endlich\label{EEBa} erzeugte Vektorraum eine endliche Basis besitzt: Wir lassen einfach aus einem endlichen Erzeugendensystem so lange Vektoren weg, bis wir bei einem unverk"urzbaren Erzeugendensystem angekommen sind. Mit raffinierteren Methoden der Mengenlehre kann man st"arker den {\bf Basisexistenzsatz}\index{Basisexistenzsatz} zeigen, nach dem "uberhaupt jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Wir diskutieren das in \ref{VB}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} (1$\IFF$2) Es gilt zu zeigen: Ein Erzeugendensystem ist linear unabh"angig genau dann, wenn es unverk"urzbar ist. Es ist gleichbedeutend zu zeigen: Ein Erzeugendensystem ist linear abh"angig genau dann, wenn es verk"urzbar ist. Ist $E \subset V$ ein Erzeugendensystem und ist $E$ linear abh"angig, so gilt eine Relation $\lambda_{1}\vec{v}_{1} + \ldots + \lambda_{r}\vec{v}_{r} =\vec{0}$ mit $r\geq 1$, mit den $\vec{v}_{i} \in E$ paarweise verschieden und mit allen $\lambda_{i} \neq 0$, aus der wir folgern $$\vec{v}_{1}=-\lambda^{-1}_{1}\lambda_{2} \vec{v}_2-\ldots- \lambda^{-1}_{1}\lambda_{r }\vec{v}_r \in \langle E\backslash \vec{v}_{1}\rangle$$ Damit ist auch $E \backslash \vec{v}_{1}$ bereits ein Erzeugendensystem und $E$ war verk"urzbar. Ist umgekehrt $E$ verk"urzbar, so gibt es $\vec{v}\in E$ derart, da"s $E\backslash \vec{v}$ immer noch ein Erzeugendensystem ist. Insbesondere existiert eine Darstellung $$\vec{v}=\lambda_1\vec{v}_{1}+\ldots +\lambda_n\vec{v}_{n}$$ mit $n\geq 0$ und $\vec{v}_{i}\in E\backslash \vec{v}$ paarweise verschieden. Daraus folgt die Relation $1\vec{v}-\lambda_1\vec{v}_{1}-\ldots -\lambda_n\vec{v}_{n}=\vec{0}$ und $E$ war linear abh"angig, da ja in jedem K"orper gilt $1\neq 0$. \\[3mm] \noindent (1$\IFF$3) Es gilt zu zeigen: Eine linear unabh"angige Teilmenge ist ein Erzeugendensystem genau dann, wenn sie unverl"angerbar ist. Wir argumentieren wieder durch Widerspruch. Ist $L\subset V$ linear unabh"angig und kein Erzeugendensystem, so ist f"ur jedes $\vec{v}\in V \backslash \langle L\rangle$ auch $L \cup \{\vec{v}\}$ linear unabh"angig und $L$ war verl"angerbar. Ist umgekehrt $L$ verl"angerbar, so gibt es einen Vektor $\vec{v}$ derart, da"s auch $L \cup \{\vec{v}\}$ linear unabh"angig ist, und dann kann $L$ kein Erzeugendensystem gewesen sein, denn dieser Vektor $\vec{v}$ kann nicht zu seinem Erzeugnis geh"ort haben. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Extremalcharakterisierungen von Basen, Variante}] Sei $V$ ein Vektorraum.\label{MIBAr} \begin{enumerate} \item Ist $L\subset V$ eine linear unabh"angige Teilmenge und ist $E$ minimal unter allen Erzeugendensystemen unseres Vektorraums mit $E\supset L$, so ist $E$ eine Basis unseres Vektorraums $V$; \item Ist $E\subset V$ ein Erzeugendensystem und ist $L$ maximal unter allen linear unabh"angigen Teilmengen unseres Vektorraums mit $L\subset E$, so ist $L$ eine Basis unseres Vektorraums $V$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die Begriffe minimal und maximal sind hier genau wie in \ref{MIBA} zu verstehen im Sinne von \ref{MiMab} in Bezug auf Inklusionen zwischen Teilmengen, nicht etwa in Bezug auf die Zahl ihrer Elemente. \end{Bemerkungl} \begin{proof} (1) W"are $E$ keine Basis, so g"abe es zwischen seinen Vektoren eine nichttriviale Relation $\lambda_{1}\vec{v}_{1} + \ldots + \lambda_{r}\vec{v}_{r} =\vec{0}$ mit $r\geq 1$, den $\vec{v}_{i} \in E$ paarweise verschieden und allen $\lambda_{i} \neq 0$. Hier k"onnen nicht alle $\vec{v}_{i}$ zu $L$ geh"oren, da das ja linear unabh"angig angenommen war. Ein $\vec{v}_{i}$ geh"ort also zu $E\backslash L$ und kann als Linearkombination der anderen Elemente von $E$ geschrieben werden. Dann aber ist $E\backslash \{\vec{v}_{i}\}$ auch schon ein Erzeugendensystem und $E$ war nicht minimal. \\[3mm] \noindent (2) W"are $L$ keine Basis, so w"are $L$ kein Erzeugendensystem und es g"abe notwendig auch einen Vektor $\vec v\in E$, der nicht im Erzeugnis von $L$ l"age. Nehmen wir ihn zu $L$ hinzu, so erhalten wir eine echt gr"o"sere linear unabh"angige Teilmenge und $L$ war nicht maximal. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lineare Unabh"angigkeit und Erzeugen bei abelschen Gruppen}] In der Hoffnung, da"s es zum Verst"andnis beitr"agt, will ich kurz ausf"uhren, inwiefern die Analoga der vorhergehenden Aussagen im Fall abelscher Gruppen im allgemeinen nicht mehr gelten. Eine Teilmenge $L$ einer abelschen Gruppe $M$ hei"st {\bf linear unabh"angig},\index{linear unabh"angig!Teilmenge} wenn f"ur beliebige paarweise verschiedene Elemente $m_1, \ldots , m_r \in L$ und beliebige ganze Zahlen $\alpha_1, \ldots, \alpha_r \in \DZ$ aus $ \alpha_1 m_1 + \ldots +\alpha_r m_r =0 $ bereits folgt $\alpha_1 = \ldots =\alpha_r =0$. Sie hei"st ein {\bf Erzeugendensystem}, wenn sich jedes Gruppenelement als endliche Linearkombination von Elementen von $L$ mit ganzzahligen Koeffizienten schreiben l"a"st. Sie hei"st eine {\bf Basis}, wenn sie ein linear unabh"angiges Erzeugendensystem ist. In der zweielementigen Gruppe ist dann die leere Menge die einzige linear unabh"angige Teilmenge und das Komplement der Null das einzige minimale Erzeugendensystem und es gibt keine Basis. Weiter besitzt abelsche Gruppe $\DZ$ zwar eine Basis, etwa die Menge $\{1\}$, aber mit $\{2,3\}$ auch ein minimales Erzeugendensystem, das nicht linear unabh"angig ist ist, und mit $\{2\}$ eine maximale linear unabh"angige Teilmenge, die kein Erzeugendensystem ist. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Eine zweielementige Teilmenge eines Vektorraums ist linear unabh"angig genau dann, wenn keiner ihrer beiden Vektoren ein Vielfaches des anderen ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine Teilmenge eines Vektorraums ist linear abh"angig genau dann, wenn sich mindestens einer ihrer Vektoren als eine Linearkombination der "ubrigen schreiben l"a"st. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s im Vektorraum $\op{Ens}(\DR,\DR)$ das Erzeugnis der beiden Funktionen $\sin,\cos$ aus allen Funktionen besteht, die sich in der Form $x\mapsto A\sin(x+\varphi)$ schreiben lassen f"ur $A\geq 0$ und $\varphi\in [0,2\pi)$. In diesem Zusammenhang ist $A$ wohlbestimmt und hei"st die {\bf Amplitude}.\index{Amplitude} Im Fall $A\neq 0$ ist $\varphi$ auch wohlbestimmt und hei"st die {\bf Phase}.\index{Phase} \end{Ubung} \subsection{Dimension eines Vektorraums} \begin{Satz}[\textbf{Hauptabsch"atzung der linearen Algebra}] In einem vorgegebenen Vektorraum $V$ hat eine linear unabh"angige Teilmenge\label{LlEe} nie mehr Elemente als ein Erzeugendensystem. Ist also in Formeln $L \subset V$ eine linear unabh"angige Teilmenge und $E\subset V$ ein Erzeugendensystem, so gilt stets $$ |L|\leq |E|$$ \end{Satz} \begin{Beispiel} Wir zeigen beispielhaft, da"s drei paarweise verschiedene Linearkombinationen $\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3$ von zwei Vektoren $\vec w_1, \vec w_2$ stets linear abh"angig sein m"ussen. Dazu schreiben wir unsere drei Linearkombinationen als \begin{displaymath} \begin{array}{ccccccccc} \vec{v}_1 &=&a_{11}\vec{w}_1 &+&a_{21}\vec{w}_2 \\ \vec{v}_2 &=&a_{12}\vec{w}_1 &+&a_{22}\vec{w}_2 \\ \vec{v}_3 &=&a_{13} \vec{w}_1 &+&a_{23} \vec{w}_2 \end{array} \end{displaymath} Die Gleichung $x_1\vec{v}_1 + x_2\vec{v}_2+ x_3\vec{v}_3=\vec 0$ ist sicher erf"ullt f"ur jede L"osung $(x_1, x_2, x_3)$ des Gleichungssystems \begin{displaymath} \begin{array}{ccccccc} x_1a_{11} &+&x_2a_{12} &+& x_3a_{13}&=&0 \\ x_1a_{21} &+&x_2a_{22} &+& x_3a_{23}&=&0 \end{array} \end{displaymath} Das ist jedoch ein homogenes lineares Gleichungssystem aus zwei Gleichungen f"ur drei Unbekannte. Der Gau"s-Algorithmus \ref{GauA} zeigt in dieser Situation, da"s es mindestens eine nichttriviale L"osung $(x_1, x_2, x_3)\neq (0,0,0)$ hat. Also sind $\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3$ linear abh"angig. \end{Beispiel} \begin{proof} Hier schreiben wir nur das eben diskutierte Beispiel vom Fall $(2,3)$ auf den allgemeinen Fall $(m,n)$ mit $m0}\times S^1\sira \DC^\times$. Wir nennen $S^1$ die {\bf Kreisgruppe}.\index{Kreisgruppe} Im Fall eines \hyperref[vDC]{verge\ss lichen K\"orpers von komplexen Zahlen} notiere ich die Untergruppe der Elemente der Norm Eins ${\op{U}}(1)$, da uns in diesem Fall keine ausgezeichnete Bijektion mit $S^1\subset \DR^2$ mehr zur Verf"ugung steht.\index{U@${\op{U}}(1)$ versus $S^1$}\index{S@$S^1$ versus ${\op{U}}(1)$} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur unsere Norm komplexer Zahlen aus \ref{DNcc} gilt offensichtlich $$| z| =0 \Leftrightarrow z=0$$ Da in einem Dreieck eine einzelne Seite nicht l"anger sein kann als die beiden anderen zusammengenommen, %und formal etwa nach \eref{ENNo}{LA2}.\ref{ENNo2} erwarten wir weiter die {\bf Dreiecksungleichung}\index{Dreiecksungleichung!f"ur komplexen Absolutbetrag} $$| z+ w| \leq | z| +| w| $$ Formal mag man sie pr"ufen, indem man beide Seiten quadriert, wodurch die "aquivalente Behauptung $(z +w)(\bar z +\bar w)\leq z\bar z +2| z|| w|+w\bar w $ entsteht, und dann vereinfacht zu immer noch "aquivalenten Behauptung $2\op{Re}(z\bar w)\leq 2| z\bar w|$. Die Absch"atzungen $\op{Re}(u)\leq |u|$ und $\op{Im}(u)\leq |u|$ sind aber f"ur jede komplexe Zahl $u$ auch formal offensichtlich. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} F"ur eine Diskussion der analytischen Aspekte der komplexen Zahlen, insbesondere die komplexe Exponentialfunktion und ihre Beziehung zu den trigonometrischen Funktionen, verweise ich auf die Analysis \eref{eC}{AN1}. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man bestimme Real- und Imagin"arteil einer Quadratwurzel von $\op{i}$. Man bestimme Real- und Imagin"arteil einer Quadratwurzel von $1+\op{i}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine von Null verschiedene komplexe Zahl $z=x+\op{i}y$ zeige man f"ur Real- und Imagin"arteil ihrer Inversen die Formeln $\op{Re}(z^{-1})=x/(x^2+y^2)$ und $\op{Im}(z^{-1})=-y/(x^2+y^2)$. \end{Ubung} %\begin{Ubung}%in Analysis verlegt. %Gegeben eine %komplexe Zahl $z\neq -1$ %vom Betrag $|z|=1$ zeige man, da"s sie genau eine %Wurzel $w$ mit positivem Realteil hat und da"s diese %gegeben wird durch $w=1+z/|1+z|$. %K"onnen Sie auch die geometrische Bedeutung % dieser Formel erkl"aren? Man folgere, da"s %gegeben $a<1$ beliebig\label{WeKr} %jedes Element von $S^1$ eine Potenz eines Elements $z$ mit %Realteil $\op{Re}(z)>a$ ist. %\end{Ubung} \begin{Ubung}\label{GeIn} Eine Teilmenge von $\DC\amalg\{\infty\}$ hei"st ein {\bf verallgemeinerter Kreis},\index{Kreis!verallgemeinerter} wenn sie entweder ein Kreis $${\op{K}}(a;r)\pdef\{z\in\DC\mid |z-a|^2=r^2\}$$ ist f"ur $a\in\DC$ und $r>0$ oder aber eine reelle affine Gerade vereinigt mit dem Punkt $\infty$. Man pr"ufe, da"s die Selbstabbildung von $\DC\amalg\{\infty\}$ mit $z\mapsto z^{-1}$ f"ur $z\in\DC^\times$ und $0\mapsto \infty$ und $\infty\mapsto 0$ verallgemeinerte Kreise in verallgemeinerte Kreise "uberf"uhrt. \end{Ubung} \subsection{M"obiusfunktion*} \begin{Bemerkungl} Gegeben $(X,\leq)$ eine endliche teilgeordnete Menge betrachten wir die $(X \times X)$-Matrix $A$ mit Eintr"agen $a_{x,y}= 1$ falls $x\leq y$ und Null sonst. Z"ahlen wir die Elemente von $X$ auf als $x_{1},x_{2}, \ldots, x_{n}$ derart, da"s gilt $x_{i}\leq x_{j} \Rightarrow i \leq j$, so wird $A$ eine obere Dreiecksmatrix mit ganzzahligen Eintr"agen und Einsen auf der Diagonalen. Diese Matrix ist also invertierbar und ihre Inverse $A^{-1}$ ist ebenfalls ein obere Dreiecksmatrix mit Einsen auf der Diagonalen. Besitzt $X$ ein kleinstes Element $x_1=k$, so nennt man die oberste Zeile von $A^{-1}$ die {\bf M"obiusfunktion}\index{M"obiusfunktion!allgemeine} unserer teilgeordneten Menge $$\begin{array}{rccl} \mu :& X & \ra & \Bbb{Z}\\ &y & \mapsto & (A^{-1})_{k,y} \end{array}$$ Sie wird demnach charakterisiert duch die Formeln $$\mu (k) =1 \;\;\;\text{ und }\;\;\;\sum_{y\leq z} \mu (y) =0\text{ falls }z > k.$$ Analoges gilt allgemeiner f"ur jede teilgeordnete Menge $X$, die man aufz"ahlen kann als $x_{1},x_{2}, \ldots $ mit $x_{i}\leq x_{j} \Rightarrow i \leq j$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $X = \Bbb{N} =\{0,1,2,\ldots\}$ mit der "ublichen Ordnung, so haben wir $\mu (0) =1, \mu (1) =-1$ und $\mu (n) =0$ f"ur $n \geq 2$. Ist $X = \Bbb{N}_{\geq 1} =\{1,2,\ldots\}$ mit der durch das Teilen gegebenen Ordung $a\leq b\IFF a|b$, so erhalten wir die {\bf M"obiusfunktion der Zahlentheorie}\index{M"obiusfunktion!der Zahlentheorie} $$\mu (n)= \left\{\begin{array}{rl} 0 & n\text{ enth"alt einen Primfaktor mindestens zweimal};\\ 1 & n\text{ ist quadratfrei mit gerade vielen Primfaktoren};\\ -1 & n\text{ ist quadratfrei mit ungerade vielen Primfaktoren}. \end{array}\right.$$ Dieser Fall kann im "ubrigen auch als das Produkt von abz"ahlbar vielen Kopien des zuvor behandelten Falls verstanden werden. Speziell haben wir in diesem Fall also $$\mu (1) =1 \;\;\;\text{ und }\;\;\;\sum_{d|n} \mu (d) =0\text{ falls }n > 1.$$ \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}[\textbf{Kehrwerte der Riemann'schen $\zeta$-Funktion}] Mit $\mu$ der M"obiusfunktion der Zahlentheorie zeige man, da"s f"ur $s\in\DC$ mit $\op{Re}s>1$ die Inversen der Werte der Riemann'schen $\zeta$-Funktion geschrieben werden k"onnen als $$\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n\geq 1}\frac{\mu(n)}{n^s}$$ \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man bestimme die Inverse der $(n\times n)$-Matrix gegeben durch $a_{ij} =1$ f"ur $i\leq j$ und $a_{ij} =0$ f"ur $i > j$. \end{Ubung} \subsection{Dualr"aume und transponierte Abbildungen} % \begin{Bemerkungl}[\textbf{Didaktische Gedanken zum Dualraum}] % Ich bin noch nicht mit mir im Reinen, an welcher Stelle in % der linearen Algebra % das Konzept des Dualraums eingef"uhrt werden sollte. % An dieser Stelle ist es noch vergleichsweise schlecht motiviert, % daf"ur ist es ein gutes "Ubungsfeld f"ur den Zusammenhang % von Matrizen mit linearen Abbildungen. % Eine fr"uhe Behandlung hat auch den % Vorteil, da"s man % mit dem Begriff schon etwas vertraut ist, wenn er % dann wirklich in Anwendungen auftaucht. Ernsthafte Anwendungen fallen mir % erst au"serhalb dieser Vorlesung ein, etwa Differentialformen % oder schwache L"osungen in der Analysis, kontragrediente Darstellungen in der % nichtkommutativen Algebra, % das Kotangentialb"undel und der Hamilton'sche Formalismus in der klassischen % Mechanik, und % die sogenannten Bra- und Ket-Vektoren % in der Quantenmechanik. %% \emph{Vermutlich sollte ich das nocheinmal umschreiben und %% die Koordinaten mehr in den Vordergrund r"ucken.} % \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{LiFo} Gegeben ein K"orper $K$ und ein $K$-Vektorraum $V$ nennt man eine lineare Abbildung $V\rightarrow K$ eine \defind{Linearform} {\bf auf} $V$ oder einen {\bf Kovektor}.\index{Kovektor} Die Menge aller solchen Linearformen bildet nach \ref{HoVe} einen Untervektorraum $\op{Hom}_K (V,K) \subset \op{Ens} (V,K)$ im Vektorraum aller Abbildungen von $V$ nach $K$. Man nennt diesen Vektorraum aller Linearformen den {\bf Dualraum von} $V$.\index{Dualraum} Wir verwenden daf"ur die beiden Notationen \begin{equation*} V^\ast=V^\ttop \pdef \op{Hom}_K (V,K) \end{equation*} \end{Definition} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKoV} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Versuch der graphischen Darstellung eines Kovektors in der Ebene. Sei Wert auf einem Vektor w"are zu verstehen als die Zahl der von unserem Vektorpfeil gekreuzten Linien, beziehungsweise das Negative der Zahl der von seinem Negativen gekreuzten Linien, wenn er in die falsche Richtung geht. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] "Ublich f"ur den Dualraum ist die Notation $V^\ast$. Im Zusammenhang mir darstellenden Matrizen und dergleichen schien mir jedoch die Notation $V^\ttop$ sugges\-tivere Formeln zu liefern, weshalb ich diese sonst eher un"ubliche Notation in diesem Zusammenhang vorziehe. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Bezeichnung als {\bf Form}\index{Form!allgemein} f"ur Abbildungen mit Werten im Grundk"orper ist allgemein "ublich: Wir kennen bis jetzt nur Linearformen, sp"ater werden aber noch Bilinearformen und quadratische Formen und Multilinearformen hinzukommen. "Uber die Herkunft dieser Bezeichnungsweise wei"s ich wenig. Vermutlich steckt derselbe Wortstamm wie bei dem Wort \glqq Formel\grqq\ dahinter. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Frequenzraum als Dualraum des Raums der Zeitspannen}] Denken wir uns die Menge aller Zeitspannen als reellen Vektorraum, so k"onnen wir uns den Dualraum dieses Vektorraums denken als\label{DrG} die Gesamtheit aller \glqq Frequenzen\grqq\ oder vielleicht besser, weil man ja eigentlich nicht von negativen Frequenzen reden kann, als den Raum aller m"oglichen \glqq Drehgeschwindigkeiten von Drehungen um eine feste Achse mit vorgegebenem positiven Drehsinn\grqq. Dann entpr"ache eine Drehgeschwindigkeit der Linearform, die jeder Zeitspanne die Zahl der in dieser Zeitspanne erfolgten Umdrehungen zuordnet. An dieser Stelle m"ochte ich Sie am liebsten wieder einmal davon "uberzeugen, da"s das Abstrakte das eigentlich Konkrete ist. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Koordinatenfunktionen zu einer Basis als Kovektoren}] Gegeben ein Vektorraum $V$ und eine Basis $ B \subset V$ erhalten wir im Dualraum $V^\ttop $ eine linear unabh"angige Familie von Linearformen\index{)6top@$b^\ttop$ Vektoren der dualen Basis} $(b^\ttop )_{b \in B} $,\label{Kob} indem wir $b^\ttop =b^\ttop_{ B} : V \rightarrow K$ erkl"aren durch $$b^\ttop (c) = \delta_{b c} \; \forall c \in B$$ Die Linearformen $b^\ttop $ hei"sen die \defind{Koordinatenfunktionen} oder kurz \defind{Koordinaten} zu unserer Basis $ B$. Vielfach werden sie auch $b^\ast$\index{)6ast@$b^\ast$ Vektoren der dualen Basis} notiert. Ist etwa $V =\mathbb R^n$ und $ B =\mathcal S(n) = (\vec {\op{e}}_1, \dots , \vec {\op{e}}_n)$ die Standardbasis, so wird $\vec {\op{e}}_i^\ttop : \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$ die \glqq Projektion auf die $i$-te Koordinate\grqq\ $\vec {\op{e}}_i^\ttop =\op{pr}_i: (x_1, \ldots, x_n) \mapsto x_i$, die man oft auch einfach $x_i : \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$ notiert und die \glqq $i$-te Koordinatenfunktion\grqq\ nennt. Man beachte, da"s solch eine Koordinatenfunktion $b^\ttop $ keineswegs nur vom Basisvektor $b$ abh"angt, auch wenn die Notation das suggerieren mag, sondern vielmehr von der ganzen Basis $ B$. Wenn man es ganz genau nehmen will, sollte man also $b^\ttop=b_B^\ttop $ schreiben. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Dualraum eines $K^n$}] In der Literatur findet man oft die Aussage, da"s der Dualraum des Raums der Spaltenvektoren der Raum der Zeilenvektoren sei. Das kann man so sehen, wenn man den in \ref{inA} diskutierten Isomorphismus $\op{Mat}(1\times n;K)\sira \op{Hom}(K^n,K)$ soweit verinnerlicht hat, da"s man beide Seiten schlicht als gleich ansieht. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Dualraum des Richtungsraums zum Raum der Anschauung}] Denken wir uns wie in \ref{VAR} den Raum der Anschauung mit einem ausgezeichneten festen Punkt als reellen Vektorraum, so liefert jeder von Null verschiedene Vektor eine Linearform auf unserem Vektorraum vermittels der anschaulich zu verstehenden Vorschrift \glqq projiziere jeden weiteren Vektor orthogonal auf die Gerade durch den gegebenen Vektor und nimm die Zahl, mit der man den den gegebenen Vektor multiplizieren mu"s, um die Projektion zu erhalten\grqq. Diese Entsprechung hat nur den Nachteil, da"s der doppelte Vektor die halbe Linearform liefert und da"s "uberhaupt die Addition von Vektoren keineswegs der Addition von Linearformen entspricht. W"ahlt man eine feste anschaulich zu verstehende L"angeneinheit, so kann man den Raum der Linearformen auf dem Raum der Vektoren in unserem Bild identifizieren mit dem Raum der Vektoren selber, indem man jedem Vektor als Linearform dieselbe Linearform wie oben zuordnet, nur noch zus"atzlich geteilt durch das Quadrat seiner L"ange. In anderen Worten kann diese Linearform auch beschrieben werden als \glqq beliebigem Vektor ordne zu L"ange der Projektion mal L"ange des gegebenen Vektors\grqq. Diese Identifikation entspr"ache dann einem Vektorraumisomorphismus. Es ist vielleicht die M"oglichkeit dieser Identifikation, die es uns so schwer macht, eine Anschauung f"ur den Dualraum zu entwickeln. Sie benutzt jedoch die \glqq euklidische Struktur\grqq\ des Raums der Anschauung, die das Reden "uber orthogonale Projektionen eigentlich erst erm"oglicht und die wir in erst in \eref{GEV}{LA2} oder noch besser in \eref{MAn}{LA2} mathematisch modellieren werden. Formal diskutieren wir obige Identifikation dann in \eref{NaII}{LA2}. Auf allgemeinen Vektorr"aumen stehen uns keine orthogonalen Projektionen zur Verf"ugung und der Dualraum kann dann nicht mehr so leicht mit dem Ausgangsraum identifiziert werden. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} F"ur jeden $K$-Vektorraum $V$ liefert das Auswerten von Linearformen auf Vektoren eine bilineare Abbildung $\op{ev}=\op{ev}_V:V\times V^\ttop\ra K$, die {\bf Auswertungspaarung},\index{Auswertungspaarung} auch genannt die {\bf Evaluationspaarung}\index{Evaluationspaarung} von Vektoren mit Kovektoren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Dimension des Dualraums}] Ist $V$ ein Vektorraum und $B\subset V$ eine Basis, so liefert nach \ref{LeBa} das Einschr"anken von Linearformen auf unsere Basis eine Bijektion $ V^\ttop\sira \op{Ens}(B,K)$. Man sieht leicht, da"s sie ein Vektorraumisomorphismus sein mu"s. Gegeben ein endlichdimensionaler Vektorraum stimmt insbesondere seine Dimension mit der Dimension seines Dualraums "uberein, in Formeln\label{DiDu} \begin{equation*} \op{dim} V^\ttop = \op{dim} V \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $ B$ eine Basis eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$, so mu"s unsere linear unabh"angige Familie $B^\ttop \pdef (b^\ttop )_{b \in B}$ der zugeh"origen Koordinatenfunktionen aus \ref{Kob} eine Basis des Dualraums $V^\ttop $ sein, da die Zahl ihrer Elemente mit der Dimension des Dualraums "ubereinstimmt, vergleiche \ref{VED}.\label{duBA} Man nennt dann $ B^\ttop $ die {\bf duale Basis}\index{dual!Basis}\index{Basis!duale} zur Basis $ B$. Insbesondere besteht die duale Basis zur Standardbasis des $\DR^n$ genau aus den "ublichen Koordinatenfunktionen, in Formeln $\mathcal S(n)^\ttop=(\op{pr}_i)_{i=1}^n$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Wir kehren nocheinmal zu unserem Beispiel \ref{DrG} zur"uck. Dort hatten wir besprochen, inwiefern man sich den Dualraum der Gesamtheit aller Zeitspannen als den Raum aller Drehgeschwindigkeiten denken mag. Die zur Basis \glqq Minute\grqq\ der Gesamtheit aller Zeitspannen \glqq duale Basis\grqq\ besteht dann aus dem Vektor \glqq eine Umdrehung pro Minute in positivem Drehsinn\grqq, den man "ublicherweise {\bf Umin}\index{Umin} notiert.\label{Umin} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Dualr"aume unendlichdimensionaler Vektorr"aume}] Im Fall eines unendlichdimensionalen Vektorraums ist wieder nach \ref{HoVe} auch sein Dualraum unendlichdimensional, aber seine Dimension ist \glqq noch unendlicher\grqq\ als die Dimension des Ausgangsraums in einem Sinne, der in \eref{KaBaD}{AL} pr"azisiert wird. \end{Bemerkungw} \begin{Definition}\label{NTAb} Gegeben eine $K$-linare Abbildung $f : V \rightarrow W$ erkl"aren wir die {\bf duale Abbildung}\index{duale Abbildung} oder auch {\bf transponierte\index{transponiert!Abbildung!bei Vektorr"aumen} Abbildung} \begin{equation*} f^\ttop : W^\ttop \rightarrow V^\ttop \end{equation*} als\index{)6top@$f^\ttop$ transponierte Abbildung} das \glqq Vorschalten von $f$\grqq, in Formeln $f^\ttop (\lambda) \pdef \lambda \circ f : V \rightarrow K$ f"ur jede Linearform $\lambda : W \rightarrow K$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Man beachte, da"s die duale Abbildung \glqq in die umgekehrte Richtung\grqq\ geht. Oft wird die duale Abbildung auch $f^* : W^* \rightarrow V^*$ \index{)6ast@$f^*$ transponierte Abbildung} notiert. Nicht selten schreibt man auch ein kleines $t$ als Index oben links und notiert die duale alias transponierte Abbildung $^{t}\!f: W^* \rightarrow V^*$. \index{)6rt@$^{t}\hspace{-1mm}f$ {\it transponierte Abbildung}} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verkn"upfung und Transponieren}] Sicher gilt $\op{id}^\ttop _V= \op{id}_{V^{\ttop}} : V^\ttop \rightarrow V^\ttop $.\label{TFre} Man pr"uft auch leicht f"ur eine Verkn"upfung $f \circ g$ von linearen Abbildungen die Identit"at \begin{equation*} (f \circ g)^\ttop = g^\ttop \circ f^\ttop \end{equation*} In der Tat bedeutet das Vorschalten von $f \circ g$ nichts anderes, als erst $f$ und dann $g$ vorzuschalten. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Matrix der dualen Abbildung}] Gegeben eine lineare Abbildung $f: V \rightarrow W$ von endlichdimensionalen Vektorr"aumen mit angeordneten Basen $\mathcal A, \mathcal B$ ist die darstellende Matrix der dualen Abbildung\label{MdA} $f^\ttop : W^\ttop \rightarrow V^\ttop $ bez"uglich der dualen Basen $\mathcal B^\ttop, \mathcal A^\ttop$ die Transponierte der Matrix von $f$, in Formeln \begin{equation*} {}_{\mathcal A^{\ttop}}[f^\ttop ]_{\mathcal B^{\ttop}} = \left({}_{\mathcal B}[f]_{\mathcal A}\right)^\ttop \end{equation*} \end{Proposition} \begin{figure}[htbp] \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDuTa}\\[4mm] \noindent Eine lineare Abbildung $f:\DR^2\ra \DR^2$, deren Matrix in einer Basis $\op{e}_1,\op{e}_2,$ und die Matrix der dualen Abbildung auf der dualen Basis alias der Effekt des Vorschaltens unserer Abbildung auf den Koordinatenfunktionen $x_1,x_2:\DR^2\ra\DR$. \end{figure} \begin{Bemerkungl} Diese Identit"at ist der Grund daf"ur, da"s ich f"ur den Dualraum vorzugsweise die Notation mit einem hochgestellten $\scriptstyle \top$ verwenden will. Die dualen Basen sind dabei mit der offensichtlichen Anordnung zu verstehen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Seien $\mathcal A = (v_1, \ldots, v_n)$ und $\mathcal B = (w_1, \ldots, w_n)$ unsere angeordneten Basen. Die Matrixeintr"age $a_{ij}$ der darstellenden Matrix ${}_{\mathcal B} [f]_{\mathcal A}$ sind festgelegt durch die Identit"at von Vektoren $ f(v_j) = \sum_i a_{ij} w_i $. Die Matrixeintr"age $b_{ji}$ der darstellenden Matrix ${}_{\mathcal A^{\ttop}}[f^\ttop ]_{\mathcal B^{\ttop}}$ sind festgelegt durch die Identit"at von Linearformen $f^\ttop (w^\ttop _i) = \sum_j b_{ji} v^\ttop _j$. Es gilt zu zeigen $b_{ji} = a_{ij}$. Um das zu sehen, werten wir diese Identit"at von Linearformen auf den Vektoren $v_k$ aus und erhalten $$\textstyle b_{ki} = \sum_j b_{ji} v^\ttop _j (v_k) =(f^\ttop (w^\ttop _i)) (v_k) =w^\ttop _i (f (v_k)) = w^\ttop _i \left(\sum_l a_{lk} w_l\right) %=\sum_l a_{lk} w^\ttop _i (w_l) =a_{ik} \qedhere$$ \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Auswerten als Matrixmultiplikation}] Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum mit einer angeordneten Basis $\mathcal A$. Eine Linearform $\lambda \in V^\ttop $ wird als lineare Abbildung $\lambda:V\ra k$ beschrieben durch eine Zeilenmatrix $[\lambda]_{\mathcal A}={}_{\mathcal{S}(1)}[\lambda]_{\mathcal A}$. F"ur das Auswerten unserer Linearform $\lambda$ auf einem Vektor $v\in V$ erhalten wir dann \begin{equation*} \lambda (v) = [\lambda]_{\mathcal A} \circ {}_{\mathcal A} [v] \end{equation*} unter der offensichtlichen Identifikation von Elementen unseres Grundk"orpers mit $(1\times 1)$-Matrizen. Erinnern wir dann noch f"ur $v \in V$ an die lineare Abbildung $(\cdot v): K \rightarrow V$ mit $\alpha \mapsto \alpha v$ und an unsere Identit"at $ {}_{\mathcal A} [\cdot v]_{{\mathcal S}(1)} = {}_{\mathcal A}[v] $, so kann auch obige Formel interpretiert werden als der Spezialfall \begin{equation*} {}_{{\mathcal S}(1)}[\lambda \circ (\cdot v)]_{{\mathcal S}(1)} = {}_{{\mathcal S}(1)}[\lambda]_{\mathcal A} \circ{}_{\mathcal A}[\cdot v]_{{\mathcal S}(1)} \end{equation*} %Setzen wir das oben ein und erg"anzen die rechte Seite zu der allgemeinen Formel \ref{BLA} f"ur die Matrix der Verkn"upfung zweier linearer Abbildungen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Darstellung einer Linearform in der dualen Basis}] Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum mit einer angeordneten Basis $\mathcal A$. Eine Linearform $\lambda \in V^\ttop $ kann auch als Element des Dualraums in Bezug auf die duale Basis dargestellt werden durch die Spaltenmatrix $_{{\mathcal A}^\ttop}[\lambda]$. Es ist nun nicht schwer, die Formel $$_{{\mathcal A}^\ttop}[\lambda]=\left([\lambda]_{\mathcal A}\right)^\ttop$$ zu pr"ufen. Ich bin bei dieser Formel noch etwas ungl"ucklich, das $\lambda$ auf der linken Seite nicht transponiert zu sehen. Dieser Anschein von Inkonsistenz kommt dadurch zustande, da"s wir in unserer Formel links $\lambda$ als Vektor auffassen und rechts als lineare Abbildung. Erinnern wir, da"s die Spaltenmatrix eines Vektors $v$ ja auch die Matrix der vom Grundk"orper mit seiner Standardbasis ausgehenden linearen Abbildung $(\cdot v)$ ist, und beachten, da"s die Abbildung $(\cdot\lambda):k\ra V^\ttop$ bis auf die offensichtliche Identifikation $k\sira k^\ttop$ genau die transponierte Abbildung zu $\lambda:V\ra k$ ist, so erhalten wir $$_{{\mathcal A}^\ttop}[\lambda] ={}_{{\mathcal A}^\ttop}[\cdot\lambda]_{{\mathcal S}(1)} ={}_{{\mathcal A}^\ttop}[\lambda^\ttop]_{{\mathcal S}(1)^\ttop}$$ Wir erkennen die "Ubereinstimmung mit unserer allgemeinen Formel \ref{MdA} f"ur die Matrix der dualen Abbildung, indem wir die linke Seite obiger Formel in dieser Weise umformen und ihre rechte Seite ausschreiben zu $\left({}_{{\mathcal S}(1)}[\lambda]_{\mathcal A}\right)^\ttop$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Transport von Linearformen unter Isomorphismen}] Gegeben ein Vektorraumisomorphismus $f : V \sira W$ ist die duale Abbildung ein Vektorraumisomorphismus $f^\ttop : W^\ttop \sira V^\ttop $ und ihre Inverse ist ein Vektorraumisomorphismus $(f^\ttop)^{-1} : V^\ttop \sira W^\ttop$. Dieser Isomorphismus leistet, was man sich anschaulich vielleicht am ehesten unter dem \glqq Transport einer Linearform\grqq\ vorstellt: Gegeben $v \in V$ und $\lambda \in V^\ttop$ nimmt $(f^\ttop)^{-1} (\lambda)$ auf $f(v)$ denselben Wert an wie $\lambda$ auf $v$. Betrachten wir etwa die Scherung $f : \mathbb R^2 \sira \mathbb R^2$, $(x,y) \mapsto (x + y,y)$ mit der Matrix $[f] = {(^{1}_{0}}\; {^1_1)}$%\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 &1\end{pmatrix}$ und $f(\vec {\op{e}}_1) = \vec {\op{e}}_{1}, f (\vec {\op{e}}_{2}) = \vec {\op{e}}_1 + \vec {\op{e}}_2$. Offensichtlich bleibt die $y$-Koordinate eines Punktes unter solch einer Scherung unver"andert, $(f^\ttop)^{-1} (\vec {\op{e}}_2^{\;\ttop}) = \vec {\op{e}}_2^{\;\ttop}$, und die $x$-Koordinate des Urbildpunkts entspricht der Differenz zwischen $x$-Koordinate und $y$-Koordinate des Bildpunkts, $(f^\ttop)^{-1} (\vec {\op{e}}_1^{\;\ttop})= \vec {\op{e}}_1^{\;\ttop} - \vec {\op{e}}_2^{\;\ttop}$. Das entspricht auch unseren Formeln, nach denen $f^\ttop$ bez"uglich der Basis $(\vec {\op{e}}_1^{\;\ttop}, \vec {\op{e}}_2^{\;\ttop})$ dargestellt wird durch die transponierte Matrix ${(^{\;\;1}_{-1}}\; {^0_1)}$, %$\begin{pmatrix} 1&0\\ 1& 1\end{pmatrix}$, was genau die Formel $(f^\ttop)^{-1} : \vec e^{\;\ttop}_1 \mapsto \vec e^{\;\ttop}_1 - \vec e^{\;\ttop}_2$ und $(f^\ttop)^{-1} : \vec {\op{e}}_2^{\;\ttop} \mapsto \vec e^{\;\ttop}_2$ beinhaltet. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur den Transport von Linearformen}] Eine von Null verschiedene Linearform $\lambda:V\ra K$ mag man sich veranschaulichen, indem man sich den affinen Teilraum $\lambda^{-1}(1)$ vorstellt, auf dem sie den Wert Eins annimmt. In dieser Anschauung ist die Multiplikation von Linearformen mit von Null verschiedenen Skalaren noch einigerma""sen sichtbar, f"ur die Addition von Linearformen oder die Nullform versagt sie jedoch grandios. Dahingegen ist in dieser Anschauung f"ur einen Automorphismus $f:\DR^2\sira\DR^2$ der Effekt des Inversen $(f^\ttop)^{-1}$ der transponierten Abbildung auf Linearformen gut verst"andlich. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $K$ ein K"orper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Der Dualraum des Dualraums von $V$ hei"st sein \defind{Bidualraum} und wird $ V^{\ttop\ttop}\pdef (V^\ttop )^{\ttop} $ notiert oder in der Literatur oft $V^{\ast\ast}$.\index{ev@$\op{ev}$ Evaluation}\label{ev1} Wir erkl"aren die {\bf Auswertungsabbildung}\index{Auswertungsabbildung} oder {\bf Evaluationsabbildung}\index{Evaluationsabbildung} \begin{equation*} \op{ev} = \op{ev}_{V} :V \ra V^{\ttop\ttop} \end{equation*} als die Vorschrift, die jedem Vektor $v \in V$ das \glqq Auswerten auf $v$\grqq\ zuordnet. In Formeln ist $\op{ev} (v) \in V^{\ttop\ttop}$ also definiert als die lineare Abbildung $\op{ev} (v) : V^\ttop \rightarrow K$ mit $\lambda \mapsto \lambda (v)$. In der Notation machen wir insbesondere keinen Unterschied zwischen der Evaluationspaarung $\op{ev}:V \times V^{\ttop}\ra K$ und der hier eingef"uhrten Evaluationsabbildnung. Der Leser mu"s aus dem Kontext erschlie"sen, was jeweils gemeint ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Injektivit"at der Evaluationsabbildung}] Die Evaluationsabbildung ist stets eine Injektion $V \hra V^{\ttop\ttop}$. Das ergibt sich aus der Erkenntnis, da"s es f"ur jeden von Null verschiedenen Vektor $v \neq 0$ eine Linearform $\lambda \in V^\ttop $ gibt mit $\lambda (v) \neq 0$. Man kann das etwa zeigen, indem man den Satz \ref{FoLi} "uber die Fortsetzbarkeit linearer Abbildungen bem"uht, oder auch, indem man $v$ zu einer Basis $B$ von $V$ erg"anzt und dann $\lambda = v^\ttop $ w"ahlt. Im Fall unendlichdimensionaler R"aume brauchen wir jedoch in jedem Fall den Basiserweiterungssatz in seiner vollen Allgemeinheit \ref{BaaE}. Man kann ohne die ihm zugrundeliegenden raffinierteren Methoden der Mengenlehre noch nicht einmal zeigen, da"s es auf einem beliebigen von Null verschiedenen Vektorraum "uberhaupt irgendeine von Null verschiedene Linearform gibt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bidualraum im endlichdimensionalen Fall}] Im Fall eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ zeigt ein Dimensionsvergleich unmittelbar, da"s die Evaluationsabbildung ein Isomorphismus $\op{ev}:V\sira V^{\ttop\ttop}$ ist. Manchmal wird diese Erkenntnis als Gleichung $V= V^{\ttop\ttop}$ geschrieben, aber das ist dann mit einigen Hintergedanken zu lesen, denn gleich sind diese beiden Mengen keineswegs.\label{cib} Den Hauptbestandteil dieser Hintergedanken macht die folgende Bemerkung explizit. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben Mengen $X,Y,Z,W$ und Abbildungen $f:X\ra Y$ und $p:Z\ra Y$ und $q:W\ra X$ und $g:W\ra Z$ mit $p\circ g=f\circ q$ sagt man auch, man habe ein {\bf kommutatives Quadrat}\index{kommutativ!Quadrat} $$\xymatrix{ W \ar[r]^-{q}\ar[d]_-{g} & X\ar[d]^-{f}\\ Z \ar[r]^-{p}& Y }$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Auswertungen und bitransponierte Abbildungen}] Gegeben eine lineare\label{dana} Abbildung $f: V \rightarrow W$ kommutiert das Quadrat \begin{displaymath} \xymatrix{ V \ar[r]^-{\op{ev}_{V}}\ar[d]_{f} & V^{\ttop\ttop}\ar[d]^{f^{\ttop\ttop}}\\ W \ar[r]^-{\op{ev}_{W}} &W^{\ttop\ttop} } \end{displaymath} Anders gesagt gilt mithin $\op{ev}_W \circ f = f^{\ttop\ttop} \circ \op{ev}_V$ als Abbildungen $V \rightarrow W^{\ttop\ttop}$. Um das zu sehen, mu"s man nur f"ur alle $v \in V$ die Identit"at $f^{\ttop\ttop} (\op{ev}_V (v)) = \op{ev}_W (f (v))$ in $W^{\ttop\ttop}$ pr"ufen. Dazu gilt es zu zeigen, da"s beide Seiten auf allen $\lambda \in W^\ttop $ denselben Wert annehmen, da"s also gilt \begin{equation*} (f^{\ttop\ttop} (\op{ev}_V (v))) (\lambda) = (\op{ev}_W (f (v))) (\lambda) \end{equation*} alias $((\op{ev}_V v) \circ f^\ttop )(\lambda) = \lambda (f (v))$ alias $(\op{ev}_V v) (\lambda \circ f) = \lambda (f (v))$. Das ist jedoch klar. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Meines Erachtens ist es diese letzte Erkenntnis \ref{dana}, die die Bezeichnung von $V^\ttop$ als \glqq Dualraum von $V$\grqq\ eigentlich erst verst"andlich macht. \glqq Dual\grqq\ kommt ja vom selben Wortstamm wie \glqq Zwei\grqq, und die letzte Erkenntnis formalisiert die Intuition, da"s der Bidualraum im Fall endlichdimensionaler Vektorr"aume \glqq im wesentlichen derselbe\grqq\ ist wie der Ausgangsraum. Etwas formaler werden wir in \eref{BDR}{LA2} mit der dort eingef"uhrten Begrifflichkeit die obige Erkenntnis dahingehend aussprechen k"onnen, da"s f"ur jeden K"orper $K$ die Evaluationsabbildungen eine Isotransformation bilden, genauer eine Isotransformation des Identit"atsfunktors auf der Kategorie der endlichdimensionalen $K$-Vektorr"aume zum Bidualraumfunktor. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{Syn} Oft verwende ich f"ur das Auswerten einer Linearform $\lambda\in V^\ttop$ auf einem Vektor $v\in V$ auch die symmetrischeren Notationen $\langle \lambda,v\rangle $\index{)5>@$\langle \lambda,v\rangle $ Auswerten einer Linearform} oder $\langle v,\lambda\rangle $. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}\label{LuLf} Seien $K$ ein K"orper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine endliche Familie von Linearformen $f_1, \ldots, f_n \in V^\ttop$ ist linear unabh"angig genau dann, wenn sie eine Surjektion $(f_1, \ldots, f_n) :V \twoheadrightarrow K^n$ liefert. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Gegeben Vektorr"aume $V,W$ liefern die transponierten Abbildungen zu den kanonischen Injektionen nach \ref{kaI} auf den Dualr"aumen einen Isomorphismus $(\op{in}_V^\ttop,\op{in}_W^\ttop):(V\oplus W)^\ttop\sira V^\ttop\oplus W^\ttop$. Analoges gilt f"ur allgemeinere endliche Summen. \end{Ubung} \begin{Ubung} F"ur endlichdimensionale Vektorr"aume $V$ ist die Auswertungsabbildung aus Dimensionsgr"unden stets ein Isomorphismus $V \sira V^{\ttop\ttop}$. Gegeben ein endlichdimensionaler Vektorraum $V$ zeige man, da"s darunter jede Basis $B$ ihrer Bidualen entspricht, in Formeln $\op{ev}_{V} (b) = (b^{\ttop}_B)_{B^\top}^\ttop$ oder abgek"urzt geschrieben \begin{equation*} \op{ev}_{V} (b) = (b^{\ttop})^\ttop \quad \forall b \in B \end{equation*} \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man zeige: Gegeben ein Vektorraum $V$ ist die Verkn"upfung $$V^\ttop\stackrel{\op{ev}_{V^\ttop}}{\lra}V^{\ttop\ttop\ttop} \stackrel{\op{ev}^\ttop_{V}}{\lra}V^\ttop$$ der Auswertungsabbildung des Dualraums von $V$ mit dem Transponierten der Auswertungsabbildung von $V$ die Identit"at auf dem Dualraum von $V$. Hinweis: \eref{EAD}{GR} mag helfen. Vom h"oheren Standpunkt \eref{DrEA}{TF} h"angt das damit zusammen, da"s \glqq der Dualraumfunktor sein eigener Adjungierter ist\grqq. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Seien $K$ ein K"orper und $m,n\in \DN$. Man zeige, da"s wir Isomorphismen $\op{Mat}(n\times m;K)\sira \op{Mat}(m\times n;K)^\ttop$ erhalten durch die Vorschrift $A\mapsto (B\mapsto \op{tr}(AB))$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Spur einer transponierten Abbildung}] Genau dann hat eine lineare Abbildung endlichen Rang, wenn ihre transponierte Abbildung endlichen Rang hat. Ein Endomorphismus endlichen Ranges eines Vektorraums hat stets dieselbe Spur wie der transponierte Endomorphismus des Dualraums.\label{SpTr} \end{Ubung} \subsection{Erg"anzungen zu linearen Abbildungen*} \begin{Satz}\label{EKT} In einem Vektorraum besitzt jeder Untervektorraum ein Komplement. \end{Satz} \begin{proof} Der Beweis ben"otigt im unendlichdimensionalen Fall das Zorn'sche Lemma. Seien $V\supset U$ unser Raum mit seinem Untervektorraum. Ist unser Raum $V$ endlich erzeugt, so ist auch $U$ endlich erzeugt nach \ref{AbD}. Wir finden nach \ref{EEBa} eine Basis $L$ von $U$ und k"onnen sie nach \ref{BEGSn} zu einer Basis $B$ von $V$ erg"anzen. Das Erzeugnis des Komplements $B\backslash L$ ist dann der gesuchte komplement"are Teilraum. Ist unser Raum $V$ beliebig, so funktioniert derselbe Beweis, wenn wir die beiden letzten beiden Verweise durch Verweise auf den allgemeinen Basisexistenz- und Erg"anzungssatz \ref{BEGS} ersetzen. \end{proof} \begin{Proposition}\label{HRi} \begin{enumerate} \item F"ur jede injektive lineare Abbildung $f : V \hookrightarrow W$ existiert ein \emph{\bf Linksinverses},\index{Linksinverses} als da hei"st, eine lineare Abbildung $g : W \rightarrow V$ mit $g \circ f = \op{id}_V$; \item F"ur jede surjektive lineare Abbildung $f : V \twoheadrightarrow W$ existiert ein \emph{\bf Rechts\-inverses},\index{Rechtsinverses} als da hei"st, eine lineare Abbildung $g : W \rightarrow V$ mit $f \circ g = \op{id}_W$. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof} Der Beweis beider Aussagen ben"otigt im unendlichdimensionalen Fall das Zorn'sche Lemma. Um Teil 1 zu zeigen, w"ahlen wir mit \ref{EKT} ein Komplement $U \subset W$ von $f(V)$ und definieren $g : W \rightarrow V$ durch die Vorschrift $g (u + f(v)) = v \; \forall u \in U, v\in V$. Das ist erlaubt, da nach unsern Annahmen die Abbildung $(u,v) \mapsto u + f (v)$ eine Bijektion $U \times V \sira W$ induziert. Um Teil 2 zu zeigen, w"ahlen wir ein Komplement $U \subset V$ von $\op{ker}f$ und pr"ufen, da"s $f$ einen einen Isomorphismus $U\sira W$ induziert. Dessen Inverses liefert unmittelbar das gesuchte Rechtsinverse von $f$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{FoLi} Jede lineare Abbildung von einem Untervektorraum $U$ eines Vektorraums $V$ in einen weiteren Vektorraum $f:U\ra W$ l"a"st sich zu einer linearen Abbildung $\tilde{f}:V\ra W$ auf den ganzen Raum $V$ fortsetzen. Hinweis: \ref{HRi}. \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXLA1" %%% End: